CONCRETO PRESFORZADO 2013
5 DISEÑO DE VIGAS
E. LEUSCHNER
Se trata trata de diseñar una de las vigas interiores del puente de 4 carriles con 120 ft. de luz libre cuya c uya sección transversal es la de la figura, f igura, usando en la solución la sección standard Bulb - Tee (BT-7 (BT-72) 2) de AASHTO -PCI. Las vigas serán diseñadas para actuar en forma compuesta compuesta con la losa superior del puente, y soportará la carga de tráfico HS-20 de AASHTO.
5 DISEÑO DE VIGAS
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Losa :
Long := 121ft
Longitud total
Luz := 120ft
Luz de diseño
f'clo := 4000psi
hlo := 8in
f'c := 6500psi
Vigas : Cables :
E. LEUSCHNER
δhfutura := 2in
f'ci := 5500psi
φ=0.5in, seven wire strands fpu := 270ksi
Es := 28500ksi
φcable := 0.5in
Aspstrand := 0.153in
fpy := 0.9⋅fpu
fpy = 243 × 10 psi
fsj := 0.75⋅ fpu
fsj = 202.5 × 10 psi
2
3
3
fsj = Presfuerzo en el gato antes de pérdidas Cargas :
AASHTO HS-20 Defensas tipo New Jersey Peso de losa Peso propio de vigas
Barreras New Jersey :
qdef := 600
lbf ft
Peso de las 2 defensas
Cargas de tráfico : HS-20 Para la luz de este puente gobierna la carga de camión . Los momentos y cortantes máximos por un eje del camión de diseño : Mmax := ⎛ 18kip⋅ Luz +
⎝
Vmax := ⎛ 72⋅ kip −
⎝
5 DISEÑO DE VIGAS
392ft 1 ⋅ 1kip⋅ ft − 280kip⋅ ft ⎞ ⋅ Luz ⎠ 2
672 ⋅ kip⋅ ft ⎞ 1 ⋅ Luz ⎠ 2
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Mmax = 941.633 kip⋅ ft
Carga viva de camión HS20 : Momentos y cortantes máximos por eje longitudinal del camión, sin impacto.
Vmax = 33.2 kip
q m :=
Mmax⋅ 8
q v :=
2
Luz
kip q m = 0.523 ft
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Vmax⋅ 2 Luz
Cargas equivalentes a HS20 por eje de camión, para momento,qm, y cortante,qv.
kip q v = 0.553 ft
Factor de distribución : Para vigas losa en sección compuesta con vigas presforzadas con más de 2 carriles , AASHTO Tabla 3.23.1, S := 9ft DF :=
S = Separación de vigas
S 5.5ft
DF = 1.636
Factor de impacto : I I :=
50ft Luz + 125ft
I = 0.204
Factor de reducción por número de carriles : AASHTO 3.12.1 Para 4 carriles FR = 0.75 FR := 1
Para comprobar el ejemplo se ha usado FR=1
Carga HS-20 en cada viga interior : qHS20 := q m ⋅ DF⋅ ( 1 + I) ⋅ FR
qHS20 = 1.031
kip ft
: Tracción : En zonas traccionadas sin refuerzos normales : ftri := 3 ⋅ f'ci⋅ 1 psi
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ftri = 222.486 psi
< = 200 psi
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ftri := if ( ftri > 200psi , 200psi , ftri)
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ftri = 200 psi
Compresión : 3
fci := −0.6⋅ f'ci
fci = −3.3 × 10 psi
Vigas pretensadas
Esfuerzo de tracción admisible en servicio para zonas inicialmente precomprimidas : ftrs := 6 ⋅ f'c⋅ 1 psi
ftrs = 483.74 p si
: Esfuerzo de compresión admisible en servicio para todas las combinaciones
fcs := −0.6⋅ f'c
hv := 72in
3
fcs = −3.9 × 10 psi
2
4
A := 767in
I := 545894in
St :=
I yt
St = −15420.73 in
kt :=
−Sb A
kt = −19.446 in
3
Sb :=
kb :=
I yb
−St A
yt := −35.4in
yb := 36.6in 3
Sb = 14915.14 i n
kb = 1.675 ft
1.- Ancho efectivo de la losa del tablero como ala de la sección compuesta : be Ancho efectivo del nervio de la BT : bwe a ) .- De acuerdo a AASHTO 9.8.3.1 , bwe, será el menor de : bwe1 = 2(Seis veces el espesor del ala al borde del chaflán + el chaf'lán) + el ancho del nervio, bw. bwe2 = El ancho total del ala de la viga prefabricada. bwe1 := ( 6⋅ 5.5in + 2in) ⋅ 2 + 6in
bwe1 = 76 in
bwe2 := 42in 5 DISEÑO DE VIGAS
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bwe := if ( bwe1 < bwe2 , bwe1 , bwe2) bwe = 42 in
Ancho efectivo del ala de la sección compuesta : AASHTO 9.8.3.2 Será el menor de : a.- 1/4 de la luz de la viga; b- Seis veces el espesor efectivo de la losa a cada lado más el ancho efectivo del nervio ; c.- La separación centro a centro de vigas, S. Luz 4 hloeff := 7.5in
be1 :=
be1 = 360 in
Espesor efectivo de losa
be2 := 2⋅ 6 ⋅ hloeff + bwe
be2 = 132 in
be3 := S
be3 = 108 in
be := if ( be1 < be2 , if ( be1 < be3 , be1 , be3) , if ( be2 < be3 , be2 , be3) ) be = 108 in
Ancho efectivo de la losa en sección compuesta
Ancho efectivo transformado de la losa en sección compuesta : betr Relación modular de concretos de losa y viga : n γc := 150pcf 1.5
γc Eclo := ⎛ ⎞ ⋅ 33⋅ ⎝ pcf ⎠
3
f'clo⋅ psi
Eclo = 3.834 × 10 ksi
1.5
⎛ γc ⎞ ⋅ 33⋅ Ec := ⎝ pcf ⎠ n :=
Eclo Ec
3
f'c⋅ psi
Ec = 4.888 × 10 ksi
n = 0.784
betr := n ⋅ be
betr = 84.722 in
Ancho efectivo transformado de la sección compuesta.
Propiedades de la sección compuesta transformada : Ac := 1402.47in 5 DISEÑO DE VIGAS
2
4
Ic := 1081411.57in
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ybc := 54.34in U. CATOLICA - GUAYAQUIL
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ytg := −hv + ybc
ytc := −hv − hlo + ybc
ytg = −17.66 in Stg :=
ytc = −25.66 in
Ic ytg
Stc := 3
Ic n ⋅ ytc
Sbc := 3
Stg = −61235.08 in
Ic ybc 3
Stc = −53723.1 in
Sbc = 19900.84 in
Stg : En el borde superior de la viga prefabricada. Stc : En el borde superior de la sección compuesta. Sbc : En el borde inferior de la sección compuesta. ktc :=
−Sbc Ac
ktc = −14.19 in
kbc :=
−Stc Ac
kbc = 38.306 in
Stc está dividido por "n" para que los esfuerzos en la losa se comparen con los admisibles del concreto de la losa
Cargas muertas : Peso de viga, qg, peso de cartela, qcartela, peso de losa, qlo. : qg := A⋅ γc
qg = 798.958
lbf ft
Peso de la cartela sobre el ancho de las vigas para considerar el perfil de contraflecha
lbf qcartela := 25 ft hlo := hlo
hlo = 8 in
Altura de losa con 0.5in, de desgaste.
La losa de 8 in, incluye el espesor de desgaste : qlo := hlo⋅ S⋅ γc
qlo = 900
lbf ft
qTR := qg + qcartela + qlo 3 lbf
qTR = 1.724 × 10
ft
Cargas actuantes sobre la sección simple.
Cargas muertas superimpuestas : qdefensa, qdiafrag. Estas cargas se distribuyen por igual en todas las vigas del puente. 5 DISEÑO DE VIGAS
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Nvigas := 6
qdefensa :=
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qdef Nvigas
qdefensa = 100
lbf ft
Peso de la capa de concreto futura de 2", qcarpet, a ser colocada en todo el ancho útil del puente Bu=48 ft. Bu := 48ft
qcarpet :=
wcarpet := 2in⋅ γc
wcarpet⋅ Bu Nvigas
qSDL := qdefensa + qcarpet
wcarpet = 25 psf
qcarpet = 200
qSDL = 300
lbf ft
lbf ft
en cada v iga
qHS20 = Carga viva de tráfico 3 lbf
qHS20 = 1.031 × 10
qS := qSDL + qHS20
ft
3 lbf
qS = 1.331 × 10
ft
Cortantes y momentos : Cálculo en secciones cada 1/10 de la luz, para la mitad de la viga. Cargas uniformes en toda la luz. i := 0 , 0.1 .. 0.5
Luz = 120 ft
x( i) := i⋅ Luz
En la transferencia : Por peso propio de la viga , por peso de losa y cartelas sin fraguar. Mgx( i) := 0.5⋅ qg⋅ x ( i) ⋅ ( Luz − x (i ) ) MTRx( i) := 0.5⋅ qTR⋅ x ( i) ⋅ ( Luz − x (i ) )
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Por las cargas muertas superimpuestas , asfalto, veredas, barandas, defensas y las cargas vivas que pueden ser de tráfico como las HS . MSDLx( i) := 0.5⋅qSDL⋅ x ( i) ⋅ ( Luz − x (i ) )
Momentos por cargas vivas HS20 : MHS20x( i) := 0.5⋅qHS20⋅ x( i) ⋅ ( Luz − x ( i ) )
MSx( i ) := 0.5⋅ ( qS) ⋅ x ( i) ⋅ ( Luz − x (i ) ) x(i) = 0
Mgx( i) = ft
MTRx( i) = 0
12
48
0
517.725
1.117·10 3
920.4
1.986·10 3
1.208·10 3
2.607·10 3
1.381·10 3
2.979·10 3
1.438·10 3
3.103·10 3
24 36
kip⋅ ft
MHS20x( i) =
kip⋅ ft
0
kip⋅ ft
667.913 1.187·10 3 1.558·10 3 1.781·10 3 1.855·10 3
60
Mtotx( i ) := MTRx(i ) + MSx( i) MSx( i) =
Mtotx( i) = 0
kip⋅ ft
0
862.313
1.979·10 3
1.533·10 3
3.519·10 3
2.012·10 3
4.619·10 3
2.3·10 3
5.279·10 3
2.395·10 3
5.498·10 3
kip⋅ ft
Estimación del número de torones : Generalmente está gobernado por el esfuerzo de tracción admisible de servicio en la fibra inferior, fbs. Cálculo de la tracción máxima en la fibra inferior por los momentos actuantes antes del presfuerzo . De los resultados anteriores : MTRmax := 3103kip⋅ ft
MSmax := 2395kip⋅ ft
MTOTmax := MTRmax + MSmax
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3
MTOTmax = 5.498 × 10 kip⋅ ft
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Sobre la sección simple actúan el peso propio de la viga, el peso de las cartelas y el de la losa, es decir, MTR . Sobre la sección compuesta, MS. Determinando el esfuerzo de tracción en la fibra inferior de la viga en servicio como viga de hormigón simple sin presfuerzo : fbs fbs :=
MTRmax MSmax + Sb Sbc
ftrs = 483.735 psi
3
fbs = 3.941 × 10 psi
Esfuerzo de tracción admisible en servicio.
El presfuerzo efectivo de compresión necesario para no sobrepasar el máximo, ftrs, es igual a : 3
fce := ftrs − fbs
fce = −3.457 × 10 psi
El centro de gravedad de los cables en la mitad de la luz , generalmente se ubica a una distancia del fondo de la viga igual al 5% de la altura de la sección prefabricada. ybs := 4in
Valor asumido muy cerca a 5% de, hv=72in.
Considerando la sección simple : ec := yb − ybs
yb = 36.6 in
ec = 32.6 in
ec = Excentricidad en el C/L de la viga
Fuerza de presfuerzo efectiva, Pse, necesaria, para producir un esfuerzo de compresión en la fibra inferior igual a fse. fse = Pse/A + Pse*ec/Sb ; Pse(1/A+ec/Sb)=fse Pse = fse*A*Sb/(Sb+A*ec) Pse :=
fce⋅ A⋅ Sb Sb + A⋅ ec
Pse = −990.677 kip
Asumiendo pérdidas totales del 25% : fse := fsj − 0.25⋅fsj
fse = 151.875 ksi
Presfuerzo efectivo final
Fuerza que toma cada torón de 1/2" : 2
Aspstrand = 0.153 in
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5 DISEÑO DE VIGAS
CONCRETO PRESFORZADO 2013
Psestrand := Aspstrand⋅ fse Nstrand :=
Psestrand = 23.237 kip
−Pse Psestrand
Nstrand = 42.634
Nstrand := 44
Usar :
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Φ=1/2" , fpu = 270 ksi
Distribución de los torones en la altura de la sección : f1 := 12
y1 := 2in
f2 := 12
y2 := 4in
f3 := 8
y3 := 6in
f4 := 4
y4 := 8in
f5 := 2
y5 := 10in
f6 := 2
y6 := 12in
f7 := 2
y7 := 14in
f8 := 2
y8 := 16in
ybs :=
f1⋅ y1 + f2⋅ y2 + f3⋅ y3 + f4⋅ y4 + f5⋅ y5 + f6⋅ y6 + f7⋅ y7 + f8⋅ y8 44
ybs = 5.818 in
Excentricidad en el C/L de la sección simple : ec := yb − ybs
ec = 30.782 in
ES= Por acortamiento elástico; SH = Por retracción; CR = Por flujo plástico; Frel = Por relajación del acero ES := 18ksi
SH := 6.5ksi
CR := 24.2ksi
Frel := 1.7ksi
Pérdidas iniciales : Fini := ES
Fini = 18 ksi
Fuerza total en la transferencia : fsi := fsj − Fini fsi = 184.5 k si
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Presfuerzo inicial luego de pérdidas iniciales
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Pérdidas diferidas : 0
Fdife := SH + CR + Frel
Fdife = 32.4 × 10 ksi
Pérdidas totales : 0
Ftot := Fdife + Fini
Ftot = 50.4 × 10 ksi
Presfuerzo efectivo luego de pérdidas : fse := fsj − Ftot
η :=
fse fsi
fse = 152.1 k si
fse= Presfuerzo efectivo total luego de pérdidas :
η = 0.824
ex := ( kt − 1in) , ⎛ kt +
⎝
yb ⎞ .. 1.7yb 10 ⎠
3
Mgmax := 1.438 ⋅ 10 kip⋅ ft
MTRmax := 3103kip⋅ ft
Pi1( ex) :=
MTRmax − St⋅ ftri ex − kb
Pi2( ex) :=
MTRmax − Sb⋅ fci ex − kt
Pi3( ex) :=
Stc⋅ MTRmax − St⋅ ( Stc⋅ fcs − MSmax) η ⋅ ( ex − kb) ⋅ Stc
Pi4( ex) :=
Sbc⋅ MTRmax − Sb⋅ ( Sbc⋅ ftrs − MSmax) η ⋅ ( ex − kt) ⋅ Sbc
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MSmax := 2395kip⋅ ft
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CONCRETO PRESFORZADO 2013
1 = Pi1( ex) -3.126·10 -8
ex = -1.704
1 = Pi2( ex)
-2.767·10 -8
ft
-2.407·10 -8
-1.316 -0.927 -0.539 -0.151 0.238 0.626 1.014 1.403 1.791 2.179 2.568 2.956 3.344 3.733
2
s 1 ft lb
-3.595·10 -10 1.316·10 -9 2.991·10 -9
-2.048·10 -8
4.666·10 -9
-1.689·10 -8
6.342·10 -9
-1.33·10 -8
8.017·10 -9
-9.706·10 -9
9.692·10 -9
-6.114·10 -9
1.137·10 -8
-2.522·10 -9
1.304·10 -8
1.07·10 -9
1.472·10 -8
4.663·10 -9
1.639·10 -8
8.255·10 -9
1.807·10 -8
1.185·10 -8
1.974·10 -8
1.544·10 -8
2.142·10 -8
1.903·10 -8
2.309·10 -8
2.262·10 -8
2.477·10 -8
1 = Pi3( ex)
2
s 1 ft lb
1
i P e d o s r e v n I : i P / 1
1 .10 8 .10
8
1 = Pi4( ex)
7.09·10-8 6.275·10-8 5.46·10-8
4.121
7
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2
s 1 ft lb
-4.969·10-10 1.819·10-9 4.135·10-9
4.646·10-8
6.45·10-9
3.831·10-8
8.766·10-9
3.016·10-8
1.108·10-8
2.201·10-8
1.34·10-8
1.387·10-8
1.571·10-8
5.719·10-9
1.803·10-8
-2.428·10-9
2.034·10-8
-1.058·10-8
2.266·10-8
-1.872·10-8
2.498·10-8
-2.687·10-8
2.729·10-8
-3.502·10-8
2.961·10-8
-4.316·10-8
3.192·10-8
-5.131·10-8
3.424·10-8
-5.946·10-8
3.656·10-8
-6.761·10-8
3.887·10-8
2
s 1 ft lb
DIAGRAMA DE MAGNEL
8
Pi1( ex) 6 .10 8 4 .10 1 8 Pi2( ex) 2 .10 0
1
8
Pi3( ex) 2 .10 8 4 .10 1 8 Pi4( ex) 6 .10 8 .10
8
1 .10
7
2
1.06
0.13
0.81
1.75
2.69
3.63
4.56
5.5
ex
ex : Excentricidad de Pi
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5 DISEÑO DE VIGAS
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Con la máxima excentricidad disponible , "ec" , en el diagrama de Magnel, se lee para el Requisito 4, la menor fuerza de presfuerzo posible, Pi. −8 2 −1 −1 InvPi := 2.335 × 10 ⋅ s ⋅ ft ⋅ lb
ec := 2.56ft Pi :=
1 InvPi
6
Del diagrama de Magnel 3
Pi = 1.331 × 10 lbf
Pi = 1.331 × 10 kip
El valor de Pi, se calcula con precisión al usar la excentricidad ,"ec", en la igualdad Pi4, valor que servirá para comprobar los 4 requisitos básicos. Pi4 :=
Sbc ⋅ MTRmax − Sb⋅ ( Sbc ⋅ ftrs − MSmax) η ⋅ ( ec − kt) ⋅ Sbc
Ci := −Pi4
fti :=
3
Ci = −1.247 × 10 kip
Ci ⎛ ec⋅ A ⎞ Mgmax ⋅ 1+ + A ⎝ St ⎠ St
fti = −0.261 ksi
fbi :=
3
Pi4 = 1.247 × 10 kip
ftri = 0.2 ksi
OK !!
Ci ⎛ ec⋅ A ⎞ Mgmax ⋅ 1+ + A ⎝ Sb ⎠ Sb
fbi = −3.036 ksi
fci = −3.3 ksi
OK !!
En el borde superior de la viga prefabricada : fts := η ⋅
Ci ⎛ ec⋅ A ⎞ MTRmax MSmax ⋅ 1+ + + A ⎝ St ⎠ St Stg
fts = −2.177 ksi
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fcs = −3.9 ksi
OK !!
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3.2- En el borde superior de la losa : fts :=
MSmax Stc 3
fcslo := −0.6⋅ f'clo
fcslo = −2.4 × 10 psi
fts = −0.535 ksi
fcslo = −2.4 ksi
fbs := η ⋅
OK !!
Ci ⎛ ec ⋅ A ⎞ MTRmax MSmax ⋅ 1+ + + A ⎝ Sb ⎠ Sb Sbc
fbs = 0.484 k si
ftrs = 0.484 ksi
OK !!
ex1( i) :=
St⋅ ftri − MTRx( i) + kb Ci
ex2( i) :=
Sb⋅ fci − MTRx( i ) + kt Ci
ex3( i) :=
Stc⋅ St⋅ fcs − Stc⋅ MTRx( i) − St⋅ MSx( i) + kb η ⋅ Ci⋅ Stc
ex4( i) :=
Sbc ⋅ Sb⋅ ftrs − Sbc ⋅ MTRx( i) − Sb⋅ MSx( i) + kt η ⋅ Ci⋅ Sbc
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Zona Límite del Cable Equivalente 4
) n i ( s e d a d i c i r t n e c x E
2
− ex1( i) − ex2( i) 0 − ex3( i) − ex4( i) 2 4
6
0
10
20
30
40
50
60
x( i)
Abscisas - (in)
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