El METODO DEL PÓRTICO (O PORTAL EQUIVALENTE) Dado que la distribución de momentos toma en cuenta a vigas y columnas, podemos decir que se tiene un primer indicio o idea al Análisis Estructural; teniendo la desventaja que los cálculos se complican según el tipo de estructura o de la cantidad de marcos que se trabajen. En realidad debido a la sencillez del método (excepto por la distribución de momentos) probablemente este método del portal sea mucho mas exacto y realista que cualquier otro procedimiento aproximado para determinar las fuerzas internas producidas por cargas en estructuras de edificios; por lo que podemos decir que el diseño de losa será mucho mas exacto. Se dice que este método fue expuesto por primera vez por Albert Smith en la publicación denominada Journal of the western Society of Engineers (abril de 1915).
Deben formularse por lo menos 3 hipotesis por cada marco o por cada trabe. En este método, la estructura se considera dividida en pórticos o marcos independientes. (Ver figura 6.A) y se establecen los tres supuestos siguientes:
1.- LAS COLUMNAS SE DEFORMAN DE MANERA QUE EN SU PUNTO MEDIO EXISTE UN POUNTO DE INFLEXION.
2.- LOS TRABES SE DEFORMAN DE MODO QUE EXISTE UN PUNTO DE INFLEXION EN SU LINEA CENTRAL.
3.- LAS FUERZAS CORTANTES HORIZONTALES EN CADA NIVEL ESTÁN DISTRIBUIDAS ARBITRARIAMENTE ENTRE LAS COLUMNAS.
EJEMPLO: Diseñar las losas del segundo nivel del sistema estructural dado a continuación; la sobrecarga es de 100 kg/m2. La carga viva es de 210 (kg/m2.) dado que su utilidad será para vivienda multifamiliar. La resistencia del concreto será de
F ‘c = 210 kg/cm2.
(Para losa) y
columnas), diseñar por pórticos equivalentes.
281 kg/cm2
(Para
Las dimensiones de la vivienda son los que aparecen a continuación: (a): Planta de Cotas de vivienda 2
1
3
A
5
4
4
4.5
B
5
C
4.5
PLANTA DE COTAS_________________ ESCALA: INDICADA
(a): Elevación de Cotas de vivienda a lo largo (B-B’) 4,5
5
A
4
D
C
3
B
F
G
H
I
J
K
L
3,5
E
(b): Elevación de Cotas de vivienda a lo ancho (2-2’) 4 ,5
5
A
C
3
B
F
D
3 ,5
E
G
H
I
PASOS PARA DISEÑAR UNA LOSA POR EL MÉTODO DEL PORTAL EQUIVALENTE:
1. RECOLECCION DE DATOS: Peso Del Concreto:
2400 kg/m3.
Sobre Carga:
100 kg/m2.
Carga Muerta:
PP. + S/C (en kg/m2.)
Carga Viva
210 (kg/m2.) Utilidad:
F ‘c =
210 kg/cm2. (Para losa) 281 kg/cm2. (Para columnas)
Fy =
2810 kg/cm2.
Espesor De Losa
t = 0.10 m (mínimo según norma)
Recubrimiento:
de 2.5 a 3 cm.
2. PREDIMENSIONAMIENTO: ESPESOR DE LOSA
t =10 cm.
AREA DE COLUMNA
(Según norma ACI Amin.>400cm2.)
***Se selecciona entonces una columna tentativa de 25x25 (625 cm2.)
3. DEFINIENDO PORTALES EQUIVALENTES (AREAS TRIBUTARIAS) Es la ubicación correcta de un área tributaria que va de centro a centro de cada ambiente y se mantiene paralelo como una viga hasta terminar longitudinalmente; esto condiciona o provoca a que el método del “pórtico equivalente” sea aplicable a edificaciones o viviendas de tipo simétrico y rectangulares pues se complicaría mas de lo normal un calculo dado.
Los pórticos equivalentes se definen a continuación en ambos sentidos, se presentan los detalles y los cálculos realizados y rápidamente se visualiza que a diferencia del Método Tres que diseña con franjas o elementos unitarios (de 1m de ancho) este método diseñará con franjas que están en función a la longitud de la luz a diseñar.
Definiendo los portales verticales del ejemplo a resolver:
2
1
3
5
4
4
A
4.5
B
5
C
4.5
P1
P3
P2
P5
DETALLE DE PORTALES VERTICALES ESCALA: INDICADA
ANCHO DE PORTAL VERTICAL “P2”: P2 = (5 + 4.5)/2
= 4.75m.
LARGO DE PORTAL VERTICAL “P2”: 5+4.5
= 9.5m.
En forma vertical, aparecen 4 tipos de portales. PORTAL
ANCHO
LARGO
AREA
Pn
(a1 + a2)/2
L
(m2)
P1
0
5
9,5
23,75
P2
5
4,5
9,5
45,125
P3
4,5
4
9,5
40,375
P4
4
0
9,5
19
Definiendo los portales horizontales del ejemplo a resolver:
2
1
3
5
4
4
A
4.5
5
PA
4.5
B
PB
C
PC
DETALLE DE PORTALES HORIZONTALES ESCALA: INDICADA
ANCHO DE PORTAL HORIZONTAL “B”: PB = (5 + 4.5)/2
= 4.75m.
LARGO DE PORTAL HORIZONTAL “B”: 5+4.5+4
= 13.5m.
En forma horizontal, aparecen 3 tipos de portales PORTAL
ANCHO
LARGO
AREA
L
(m2)
Pn
(a1 + a2) / 2
PA
0
5
13,5
33,75
PB
5
4,5
13,5
64,125
PC
4,5
0
13,5
30,375
4. INTEGRACION DE CARGAS CARGA MUERTA = PESO PROPIO + SOBRE CRAGA C.M. = PP + S/C = [(2400X0.10) + 100] kg/m2.
C.M. = 340
kg/m2. CARGA VIVA = Según la utilidad del edificio. C.V.
= 210 kg/m2.
C.V. = 210
kg/m2.
CALCULO DE LA CARGA ULTIMA C.U. = C.M.U. + C.V.U. C.U. = 1.2*C.M. + 1.6*C.V. C.U. = (1.2X340 + 1.6X210) C.U. = 408+336 C.U. =744 kg/m2.
C.U. =744 kg/m2.
5. DISTRIBUCION DE CARGA ÚLTIMA (Según Área Tributaria y Portal) Se aplicará la siguiente fórmula para el cálculo de carga última distribuida linealmente obre el portal: W = (C.U. X ÁP) / L W = (Carga Última Lineal POR Área de Portal) / (longitud de portal) A PORTICO
W
C.U.
(TRIBUTARIA)
Largo.
(distribuida)
(kg/m2.)
M2.
m
kg/m
P1
744
23,75
9,5
1860
P2
744
45,125
9,5
3534
P3
744
40,375
9,5
3162
P4
744
19
9,5
1488
PA
744
33,75
13,5
1860
PB
744
64,125
13,5
3534
PC
744
30,375
13,5
1674
Aparece la representación gráfica de las cargas distribuidas y se hace mención de la carga lineal a utilizar en los distintos pórticos para el cálculo de momentos. GRAFICA 6.D (Detalle de carga distribuida linealmente) 4,5 3534.0 kg/m
3534.0 kg/m
3534.0 kg/m
3.5
3
5 3534.0 kg/m
744 kg/m Para una franja de 4.75m y no de 1.00 m
Detalle de Carga Linealmente Distribuida_________________ ESCALA: INDICADA
(a): en la elevación de lo ancho 4,5
4
3534.0 kg/m
3534.0 kg/m
3534.0 kg/m
3
5
3534.0 kg/m
3534.0 kg/m
3.5
3534.0 kg/m
744 kg/m Para una franja de 4.75m y no de 3534.0 kg/m para una franja de 1.00m
Detalle de Carga Linealmente Distribuida (sentido largo)__________ ESCALA: INDICADA
(b): en la elevación de lo largo.
Los portales P1, P2, P3 Y P4 Son equivalentes ya que teniendo un ancho distinto experimentan la misma carga superficial por tal razón se analiza el de dimensiones mas críticas; el portal P2. A continuación mostramos los momentos calculados, según las fórmulas mostradas por la grafica 6.x GRAFICA 6.E (Calculo de Momentos para edificación a dos luces distintas)
M=Wa.2 9
2
M=Wa. 10
M=Wb.2 9
2
M=Wb. 10
M=Wb.2 9
M=Wa.2 9
a
b
Se presentan entonces los momentos calculados a lo ancho y en elevación del portal 2 (P2) de la vivienda. 4,5
5 2
WL2 = 1860kg-m WL 2= 1506.6kg-m 10 10
2
WL = 2066.7kg-m 9 1328kg-m
1860kg-m
WL2 = 1674kg-m 9 1506kg-m
1076kg-m
1674kg-m
3.5
2066.7kg-m
WL2 = 1076kg-m 14
3
WL = 1328kg-m 14
Detalle de Momentos ________
ESCALA: INDICADA
Para el calculo de momentos a los largo de nuestro sistema se utilizarán las fórmulas mostradas en la siguiente grafica, M=Wa.2 9
M=Wa.2 10
2
M=Wb. 10
2
M=Wa.2 10
M=Wb. 10
a
b
M=Wc.2 9
M=Wc.2 10
M=Wc.2 10
c
FIGURA 6.F (Cálculo de momentos para tres luces de diferente longitud)
Los datos obtenidos se muestran en el siguiente detalle: 4,5
5
4
2
2
WL = 1860kg-m 10 1860kg-m
2066.7kg-m
2
WL = 1860kg-m 10
WL2 = 1506kg-m 10
WL2 = 1506kg-m 10 WL2 = 1506kg-m 10
WL2 = 1506kg-m 10
WL 2= 1190.4kg-m 2 WL = 1302.7kg-m 10 9
WL 2= 1190.4kg-m 10
1190.4kg-m
1302.7kg-m
WL 2= 1190.4kg-m 10
Detalle de Momentos __________________
ESCALA: INDICADA
Dado que los momentos negativos adyacentes varían y como que las columnas no fuesen afectadas por estos se distribuirá momentos para que el diseño de la losa sea mucho mas real y se tenga conocimiento previo del Análisis Estructural.
3
WL2 = 1860kg-m 10
3.5
WL = 2066.7kg-m 9
CALCULO DE RIGIDECES: Entonces se utilizará la siguiente fórmula:
K=
4EI L
CALCULO DE INERCIAS: Dado que la sección transversal de la losa es rectangular la inercia se calcula con: 3
1 bh I = 12 CALULO DE FACTORES DE DISTRIBUCION:
FDi =
Ki Kn
DE DONDE: El módulo de elasticidad del concreto reforzado está dado por: E = 15100*
(en Kg/m2.)
f ‘c
PARA LAS COLUMNAS: E = 15100 x
(281) E = 253,122.1 Kg/m2.
E = 15100 x
(210) E = 218,819.8 Kg/m2.
CALCULO DE INERCIAS: Donde: para la losa para la columna
b=4.75 m (franja) b=0.25 m (franja)
h = 0.10m. h = 0.25m.
I los. = 39583.33 cm4. I col. = 32552.10 cm4.
Con los siguientes datos podemos iniciar ya el análisis de cada portal, en cada marco y en cada nivel. Iniciaremos con el cálculo de momentos y con el portal dos.
TRABAJANDO EL NODO “A”.
FD1 FD2 GRAFICA 6.G (forma del nodo A)
(218812,8)(39583,3) FD1 = 5 (218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1) 5 3 FD1 = 0,387 Dado que la sumatoria de fuerzas de distribución en un NODO=1, entonces: FD1 + FD2 = 1 FD2 = 1 - FD1 FD2 = 1 – 0.387 FD2 = 0.613 A manera que el estudiante concluya la veracidad del dato anterior, calculamos: (253122,1)(32552,1) 3
FD2 =
(218812,8)(39583,3) 5
+
(253122,1)(32552,1) 3
FD2 = 0,613
TRABAJANDO NODO “B”.
FD1
FD2
FD3 GRAFICA 6.H (forma del nodo B)
FD1 = (218812,8)(39583,3) 5
(218812,8)(39583,3) 5 (218812,8)(39583,3) 4,5
(253122,1)(32552,1) 3
(218812,8)(39583,3) 4.5 (218812,8)(39583,3) 4,5
(253122,1)(32552,1) 3
(253122,1)(32552,1) 3 (218812,8)(39583,3) 4,5
(253122,1)(32552,1) 3
FD1 = 0,27
FD2 = (218812,8)(39583,3) 5 FD2 = 0,30
FD2 = (218812,8)(39583,3) 5 FD2 = 0.43
FD1 + FD2 + FD3 = 1 OK!!! EN EL NODO B.
TRABAJANDO NODO “C”.
FD1 FD2 GRAFICA 6.I (forma del nodo C)
FD1 =
(218812,8)(39583,3) 4,5 (218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1) 4,5 3
FD1 = 0,41 (253122,1)(32552,1)
FD2 =
3 +
(218812,8)(39583,3) 4,5
(253122,1)(32552,1) 3
FD2 = 0.59
La sumatoria de fuerzas de distribución en el NODO C=1 entonces OK!!
TRABAJANDO EL NODO “D”.
FD1
FD2
FD3
GRAFICA 6.J (forma del nodo D)
FD2 = (218812,8)(39583,3) 5
(218812,8)(39583,3) 5 (253122,1)(32552,1) 3
(253122,1)(32552,1) 3.5
(253122,1)(32552,1) 3 (253122,1)(32552,1) 3
(253122,1)(32552,1) 3.5
(253122,1)(32552,1) 3.5 (253122,1)(32552,1) 3
(253122,1)(32552,1) 3.5
FD2 = 0,254
FD1 = (218812,8)(39583,3) 5 FD1 = 0,40
FD3 = (218812,8)(39583,3) 5 FD3 = 0.346
FD1 + FD2 + FD3 = 1 OK!!! EN EL NODO D. TRABAJANDO EL NODO “E”.
FD1
FD3 FD4 FD2
GRAFICA 6.K (Elementos que llegan al nodo E)
(253122,1)(32552,1)
=
3,0 (218812,8)(39583, (218812,8)(39583, (253122,1)(32552, (253122,1)(32552, 3) + 3) + 1) + 1)
5 FD1 = 0.31
4,5
3
3.5
(253122,1)(32552,1)
=
3,50 (218812,8)(39583,3) + (218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1) + (253122,1)(32552,1)
5
4,5
3
3.5
FD2 = 0.27
(218812,8)(39583,3)
=
5.0 (218812,8)(39583,3) + (218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1) + (253122,1)(32552,1)
5
4,5
3
3.5
FD3 = 0.20
(218812,8)(39583,3)
=
4.50 (218812,8)(39583,3) + (218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1) + (253122,1)(32552,1)
5
4,5
3
FD4 = 0.22
FD1 + FD2 + FD3 + FD4 = 1 OK!!! EN EL NODO E.
TRABAJANDO EL NODO “F”.
3.5
FD1
FD3
FD2
GRAFICA 6.L (forma del nodo F)
FD1 = (218812,8)(39583,3) 4.5
(253122,1)(32552,1) 3.00 (253122,1)(32552,1) 3.5
(253122,1)(32552,1) 3
(253122,1)(32552,1) 3.5 (253122,1)(32552,1) 3.5
(253122,1)(32552,1) 3
(253122,1)(32552,1) 4.5 (253122,1)(32552,1) 3.5
(253122,1)(32552,1) 3
FD1 = 0,39
FD2 = (218812,8)(39583,3) 4.5 FD2 = 0,34
FD3 = (218812,8)(39583,3) 4.5 FD3 = 0.27
FD1 + FD2 + FD3 = 1 OK!!! EN EL NODO D. NOTA: El mismo procedimiento se utilizó para calcular los factores de distribución en los otros marcos, el dato que cambia es el ancho de franja; ya que en este ejemplo se utilizó 4.75 el cual es el mayor de los cuatro: mas crítico.
Los factores de distribución y los momentos balanceados o ya distribuidos por el Método de Cross se muestran en el marco siguiente:
6. BALANCEO DE MOMENTOS PORTICO EQUIBALENTE 2: (A lo ancho de la vivienda)
GRAFICA 6.M (Distribución de momentos a lo ancho; pórtico 2) Las dimensionales están en kg-m
BALANCE DE MOMENTOS PORTICO EQUIBALENTE B: (A lo largo de la vivienda)
GRAFICA 6.N (Distribución de momentos a lo ancho; pórtico B)
El diagrama de momentos finales que se presenta a continuación (para las losas) fue calculado proporcionalmente al aumento o disminución de los momentos originales. Por ejemplo en el nudo “A” a lo ancho (Portal 2: gráfica de detalle de momentos) el momento calculado según fórmulas era de 1382 kgm pero según el balanceo en el pórtico equivalente 2 es de 1126 kg-m lo cual disminuyó en un 18.5% utilizando proporcionalidad también ajustamos los momentos positivos de tal manera que se mantenga la concavidad de las gráficas. DIAGRAMA DE MOMENTOS FINALES PARA LOSAS. PORTICO EQUIBALENTE 2: (A lo ancho de la vivienda)
4,5
5 920 kg-m
1893 kg-m
1279 kg-m
1431 kg-m 1105 kg-m
666.5 kg-m
3 1801 kg-m
1719 kg-m
831 kg-m
1595 kg-m 3.5
Detalle de Momentos Finales____ ESCALA: INDICADA
Siendo el Pórtico mas crítico, diseñaremos con base a los momentos que se muestran en la gráfica.
DIAGRAMA DE MOMENTOS FINALES PARA LOSAS. PORTICO EQUIBALENTE B: (A lo largo de la vivienda) 4,5
5
4
1942 kg-m
1114 kg-m
1415 kg-m 818 kg-m
750 kg-m 1000 kg-m
1585 kg-m 1510 kg-m
1349 kg-m
3
1433 kg-m
992 kg-m
756 kg-m
1480 kg-m
1214 kg-m
3.5
ESCALA: INDICADA Detalle de Momentos Finales___________________
Diseñaremos las losas según la magnitud de los momentos mostrados en los detalles de momentos en ancho y en largo anteriores. Espesor De Losa Recubrimiento: F ‘c = Fy =
t = 0.10 m (mínimo según norma) de 2.5 a 3 cm. 210 kg/cm2. (Para losa) 2810 kg/cm2.
f 'c fy (kg/cm²) (kg/cm²)
b (cm)
d (cm)
AsminT (cm²)
AsminF (cm²)
As (cm²)
Asmáx (cm²)
92000 143100 189300 127900 66650
210 210 210 210 210
2810 2810 2810 2810 2810
475 475 475 475 475
7,5 7,5 7,5 7,5 7,5
7,13 7,13 7,13 7,13 7,13
7,15 7,15 7,15 7,15 7,15
4,90 7,67 10,21 6,85 3,54
85,67
110500 171900 180100 159500 83100
210 210 210 210 210
2810 2810 2810 2810 2810
475 475 475 475 475
7,5 7,5 7,5 7,5 7,5
7,13 7,13 7,13 7,13 7,13
7,15 7,15 7,15 7,15 7,15
5,90 9,25 9,70 8,57 4,42
85,67
85,67 85,67 85,67 85,67
85,67 85,67 85,67 85,67
NIVEL 1
Mu (kg-cm)
NIVEL 2
7. CALCULO DE ACERO PARA PORTAL 2 (EN ANCHO)
CALCULO DE ACERO PARA PORTAL “B” (EN LARGO) Mu
f 'c
fy
b
d
AsminT
AsminF
As
Asmáx
(kg-cm)
(kg/cm²)
(kg/cm²)
(cm)
(cm)
(cm²)
(cm²)
(cm²)
(cm²)
111400 100000 194200 142100 141500 75000 81800
210 210 210 210 210 210 210
2810 2810 2810 2810 2810 2810 2810
475 475 475 475 475 475 475
7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5
7,13 7,13 7,13 7,13 7,13 7,13 7,13
7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15
5,95 5,34 10,48 7,62 7,59 3,99 4,35
85,67
134900 121400 151000 149600 143300 75600 99200
210 210 210 210 210 210 210
2810 2810 2810 2810 2810 2810 2810
475 475 475 475 475 475 475
7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5
7,13 7,13 7,13 7,13 7,13 7,13 7,13
7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15
7,23 6,49 8,11 8,03 7,69 4,02 5,29
85,67
85,67 85,67 85,67 85,67 85,67
85,67 85,67 85,67 85,67 85,67
El área de una varilla número tres es de 0.71cm2. Entonces: Si 7.13 cm2. es a 475 cm (franja no unitaria) 0.71 cm2.
es a
X (espaciamiento) X = (0.71 x 475) / 7.13
X = 47.3 cm.
(Dado que la separación máxima debe ser 3t, separaremos las varillas a 3 cm. en donde el acero requerido es de 7.13 cm2.) Nuevamente por proporciones; dada el área de una varilla número tres; Si 10.48 cm2. es a 475 cm (franja no unitaria) Entonces:
0.71 cm2.
es a
X (espaciamiento) X = (0.71 x 475) / 10.48
X = 32.18 cm.
(Dado que la separación máxima debe ser 3t, separaremos las varillas a 3 cm. en donde el acero requerido es de 10.48 cm2.) En conclusión se separarán las varillas de acero #3 a 30 cm. debido a que ninguna opción cumple con el distanciamiento según la cantidad de acero por franja de 4.75 (esto será en ambos sentidos (Según normativo).
NIVEL 1
85,67
8. CALCULO DE LA SEPARACION PARA VARILLAS #3
Entonces:
NIVEL 2
85,67
9. PRESENTACION DE ARMADO: 2 1
4
4
4.5
1.25 1
A
5
3
#3 @ 0.15m.
5
#3 @ 0.15m.
1.12 0.9
B
1.25 1
#3 @ 0.15m.
#3 @ 0.15m.
C
1.12 0.9
4.5
#3 @ 0.15m.
#3 @ 0.15m.
P1
P3
P2
P5
DETALLE DE ARMADO; SENTIDO VERTICAL 2
1
3
A
5 1.25 1
#3 @ 0.15m.
1.25 1
4
4.5
4
#3 @ 0.15m.
#3 @ 0.15m.
5
PA
1,02 0,9
1,02 0,9
B
PB
4.5
#3 @ 0.15m.
#3 @ 0.15m.
#3 @ 0.15m.
1 0,8
1 0,8
C
PC
DETALLE DE ARMADO; SENTIDO HORIZONTAL
