Diseño Experimental

DISEÑO EXPERIMENTAL DE UN FACTOR Un fabricante de papel utilizado para fabricar bolsas de caramelo, está interesado en mejorar la resistencia a la tensión del producto. El grupo de ingeniería del producto piensa que la Concentración de Observaciones Madera Dura 1 2 3 4 5 6 (%) 5 7 8 15 11 9 10 10 12 17 13 18 19 15 15 14 18 19 17 16 18 20 19 25 22 23 18 20 resistencia a la tensión es una función de la concentración de madera dura en la pulpa, y que el rango de interés práctico de las concentraciones de madera dura está entre 5% y 20%. El equipo de ingenieros responsables del estudio decide investigar cuatro niveles de concentración de madera dura: 5, 10, 15 y 20%. Para ello, deciden fabricar seis especímenes de prueba para cada nivel de concentración, utilizando una planta piloto. Los 24 especímenes se someten a prueba en un probador de tensión de laboratorio, en orden aleatorio. Los datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla:

Determinar si existe un efecto de la concentración de madera dura en la resistencia del papel. Entre las concentraciones de madera dura (tratamientos)¿Cuáles son significativamente distintas? Planteamos la Hipótesis Nula y la Hipótesis Alternativa

H 0 : τ 1=τ 2=τ 3=τ 4 =0 H a : τ i ≠ 0 almenos para un i Realizamos los cálculos para la tabla de análisis de varianza: Suma de cuadrados de los errores 4

6

SST =∑ ∑ i =1 j=1

y ..2 y − N 2 ij

SST =( 7 )2+ ( 8 )2+ …+ ( 20 )2−

( 383 )2 =512. 96 24

4

SSTr =∑ i=1

SSTr =

2

y i. y .. − n N

2

( 60 )2+ ( 94 )2 + ( 102 )2+(127)2 ( 383 )2 − =382. 79 6 24 SSE=SST −SSTr =512.96−382. 79=130 . 17

Grados de libertad:

n A −1=3 n A ( n−1 )=20 Cuadrados Medios

MSE=

SSE 130,17 = =6.5085 n A (n−1) 4(6−1)

MSTr=

f=

SSTr 382.79 = =127.59 n A −1 4−1

MSTr 127.59 = =19.6 MSE 6.5085

Origen de las variaciones

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Entre grupos Dentro de los grupos Total

382.7916667

3

Promedio de los cuadrados 127.5972222

130.1666667

20

6.508333333

512.9583333

23

En este caso el valor de p=P ( F 3,20 ≥ 19.6 ) =3.59 x 10−6 Luego ya que la probabilidad es prácticamente 0 se descarta la Hipótesis Nula.

f

19.605207

Por lo tanto concluimos que los diversos niveles de concentración de madera dura si afecta la resistencia la tensión del papel. Cuando rechazamos la Hipótesis Nula, significa que los distintos niveles del factor, no producen el mismo efecto en la variable respuesta, por lo tanto determinaremos que tratamientos son significativamente distintos. Mediante el método LSD de Fisher. El par de medias

μi−μ j

se considerará significativamente diferente si:

| y´i . − y´ j .|> LSD

Donde LSD se calcula mediante:

LSD=t α / 2,n

A

( n−1 )

√

2 MSE n

Primero calculamos las medias de tratamiento:

y´1.=

7+8+ 15+11+9+10 =10 6

y´2 .=

12+17+13+18+1 9+1 5 =15.67 6 y´3 .=

14+ 18+ 19+1 7+16+ 18 =17 6

y´4 . =

19+25+22+23+18+20 =21.17 6

Luego el valor del LSD es:

LSD=t 0.025; 20

√

2(6.51) =3.07 6

Por lo tanto cualquier par de medias observadas de tratamiento que difieran en más de 3.07, implica que el correspondiente par son significativamente distintas. Las comparaciones entre las medias de tratamiento observadas son las siguientes:

4 vs 1=´y 4− ´y1 =21.17−10=11.17> 3.07 4 vs 2= ´y 4− ´y 2=21.17−15.67=5.50>3.07 4 vs 3= ´y 4 − ´y 3=21.17−17=4 .17>3.07 3 vs 1= ´y 3− ´y 1=17−10=7.00>3.07 3 vs 2= ´y 3− ´y 2=17−15.67=1.33<3.07 2 vs 1=´y 2− ´y 1=15.67−10=5.67> 3.07 A partir del análisis, vemos que existen diferencias significativas entre todos los pares de medias excepto los pares 2 y 3. Esto implica que el 10 y el 15% de concentración de madera dura producen aproximadamente la misma resistencia a la tensión y que todos los otros niveles de concentración probados producen diferentes resistencias a la tensión.