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Esta es una obra muy completa que ofrece una clara explicación de la mecánica y del comportamiento de las estructuras de concreto presforzado, y al mismo tiempo profundiza en los métodos y prácticas del diseño. El au tor dedica especial a tención a la teoría y diseño de de los los miembros precolados del del concreto pretensado. El material del texto refle ja las meto dolo gías que se usan y se están desa rrol land o actu alm ente en la construcción de miembros y sus conexiones, haciendo énfasis en los detalles de las uniones precoladas. El contenido de este libro agrupa los siguientes temas: Conceptos básicos, Materiales, Análisis por flexión. Diseño de vigas, Cortante y Torsión, Pérdida parcial de la fuerza de presforzado. Vigas compuestas. Vigas continuas y pórticos. Deflexiones, Losas, Miembros cargados axialmente, Construcción precolada y Aplicaciones. Además tiene Apéndices sobre Ayudas para el diseño. Herrajes para el postensado y Factores de conversión del SI y ecuaciones equivalentes del diseño en SI. La obra tiene numerosas ilustraciones que facilitan la explicación de los conceptos fundamentales y los procedimientos del diseño y además diversos problemas tomados de la práctica. Debido a ello y a lo didáctico es un buen libro de texto para estudiantes y profesores de esta materia en las carreras de Ingeniería Civil y Arquitectura. También es una valiosa obra para profesionistas de esta especialidad.
A R U T C E T I U Q R A Y L I V I C
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DrEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO PRESFORZADO Teínas que traía la obra: — Conceptos Conceptos básicos básicos — Material Materiales es Análisis por flexión Diseño de vigas
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IViuJIdn p.iiclnl de la fuerza de presforzado Vinas compuestas Vinas continuas y pórticos
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Aplicaciones Aplicaciones
DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO PRESFORZADO
ART HUR H. MILSON MILSON
Profesor de Ingeniería Estructural Universidad Cornell
NORIEGA
E D I T O R I A ! . ME XI XI CO CO
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E S P AN AN A
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EDITORES
L I M U S A
VENE ZUELA
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ARGENTINA
Versión autorizada en español de la obra publicada en inglés por John Wiley & Sons, Inc., con el título DESIGN OF PRESTRESSED CONCRETE © John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0471 02034 - 6
Versión española: LUIS CONSIGLIERI ECHAVE Ingeniero Civil de la Universidad Nacional de Lima, Lima, Perú. Maestría en Ingeniería Civil, Estructuras, de la Universidad de Pittsburgh, Pennsylvania. Revisión: JOSE DE LA CERA A. Ingeniero Civil de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México, Diplom-Ingenieur de la Universidad Técnica de Munich, Alemania Federal. Profesor de Tiempo Completo e Investigador del Departa mento de Ingeniería Civil de la Universidad Autónoma Metropolitana.
A George Winter
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Derechos reservados: © 1990, 1990, EDITO RIAL LIMUSA, S.A. de C.V. Balderas 95, Primer piso, 06040, México, D.F. Teléfono 521-50-98 Fax 512-29-03 Télex 1762410 ELIME Miembro Miembro de la C ámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro número 121
Primera edición: 1982 Primera reimpresión: 1988
Segunda reimpresión: 1990 Impreso en México (9541)
ISBN 968-18-1304-9 —O0O— —O0O— ESTA OBRA SE TERMINÓ DE IMPRIMIR IMPRIMIR EL DlA 23 DE OCTUBRE DE 1990, EN LOS TALLERES DE IMPRESIONES EDITO RIALES S.A. LAGO CHALCO 230, COL. ANAHUAC MÉXICO, D.F. LA EDICIÓN CONSTA DE 2 000 EJEMPLARES Y SOBRAN TES P PARA ARA REPOSICIÓN
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PROLOGO
Sí Sí
Aunque la primera proposición para aplicar el presforzado al concreto se hizo desde 1886 en los Estados Unidos, no fue sino hasta los años trein ta que, como resultado de los estudios del renombrado ingeniero francés Eugene Freyssinet, el concreto presforzado llegó a ser una realidad práctica. En Europa, en el pe ríodo de aguda escasez de materiales que siguió a la Segunda Guerra Mundial, Freyssinet Freyssinet y otros pioneros, como Finsterwalder y Magnel, Magnel, demostraron las nota bles posibilidades de es te nuevo c oncep to de diseño y estab lecieron la etapa del desarrollo que había de tener lugar en los años siguientes. Principalmente por razones económicas, la evolución del concreto pres forzado ha tenido lugar en los Estados Unidos siguiendo líneas muy diferentes en comparación con el desarrollo que tuvo en Europa. Hasta tiempos recientes, el interés principal había estado en las unidades precoladas pretensadas de claro corto a mediano, que podían llevarse a producción en masa con grandes economías en los costos de mano de obra. Habiéndose usado para pisos, techos y muros, estas unidades han dado cuenta de una fracción significativa de las nuevas cons trucciones, e indudablemente continuarán dándola. Sin embargo, las condiciones económicas cambiantes están dando origen a cambios importantes en la práctica en los Estados Unidos. La mano de obra de construcción no es tan escasa como antes. Los costos de los materiales están aumentando constantemente, y, existe existe una seria preocupación por la conservación de los recursos. En tales circunstancias, es natural que los ingenieros consideren la adecuabilidad de diseños más. elaborados, que exploten en forma más completa la capacidad del presforzado. Se ha encontrado que el concreto presforzado compile en la actualidad con éxito con otras formas de construcción en puentes de claro mediano y grande, edificios altos, techos de gran claro y otros tipos de construcción. I Tales Tales cambios cambios de condiciones condiciones de de la práctica han creado la necesidad de ingenieros que tengan una firme comprensión de los principios fundamentales
8
Prólogo
del comportamiento y el diseño del concreto presforzado, que no sólo puedan actuar con eficiencia para optimizar las formas existentes de construcción, sino que también puedan aplicar los conceptos fundamentales con confianza en situaciones poco comunes y desafiantes. El autor espera que este libro logre desarrollar dicha comprensión básica. El libro tuvo su origen en un conjunto de notas para conferencias que elaboré durante la enseñanza de concreto presforzado a estudiantes de ingeniería civil en la Univer sidad Comell, durante un período de 15 años. Se ha hecho todo lo posible por asegurar la perfecta comprensión de la mecánica y el comportamiento básicos. Aunque esta obra se ha concebido primordialmente como libro de texto para los niveles de cuarto o quinto año de profesional, se ha hecho un esfuerzo especial para desarrollar una presentación clara e integrada, de manera que la obra pueda ser de utilidad a los ingenieros que deseen mejorar por sí solos su conocimiento de este campo relativamente nuevo. Se ha coordinado cuidadosa mente el material con los códigos y especificaciones que rigen la práctica en los Estados Unidos, principalmente con el código de construcción del ACI, pero también con las especificaciones -de la AASHTQ para estructuras de carreteras y el Manual de Diseño de la AREA para construcción de vías férreas. Se da po r hecho que el estudiante cuenta con un conocimiento de los aspectos básicos del comportamiento y el diseño del concreto armado. Ciertos conceptos fundamentales que se encuentran al inicio del diseño del concreto armado, no se desarrollan aquí en detalle; en tales casos se citan referencias de otras fuentes. La disposición del material sigue la de mis conferencias. Después de presen tar una in troducción a los conceptos básicos y a las propiedades de los materiales en los capí tulos 1 y 2, se presenta en los capítulos 3 al 5, 5, el análisis análisis y el diseño de vigas. Las pérdidas de la fuerza de presfuerzo se estudian en el capítulo 6. Puede argumentarse que el anáfisis anáfisis de las pé rdidas debe pr ecf der al anáfisis anáfisis y diseño de las vigas, pero he llegado a la conclusión de que, desde el punto de vista pedagógico, pedagógico, se logran ventajas si desde un principio se aborda el tema del diseño. En muchos casos prácticos, no necesitan considerarse las pérdidas con mayor detalle que el que contienen los capítulos 3 y 4. El estudio de las deflexiones (capítulo 9) y el diseño de losas (capítulo 10) son fundame ntales , y deben emprenderse en un primer curso de estudio. Sin embargo, el maestro podría no disponer de tiempo para cubrir las vigas compuestas o los miembros continuos (capítulos 7 y 8, respectivamente). Estos tópicos, así como el estudio de los miembros que soportan carga axial (capítulo 11), pueden posponerse para un curso poster ior o el alumno puede est udiarlos por su cuenta. Los capít ulos 12 y 13, que trat an, respectivam ente, de la construcción precola da y de sus aplicaciones, se han incorpora do para que el maestr o pueda dejarlos para lectura fuera de clase. El Apéndice A contiene una serie de ayudas de diseño que son útiles en relación con los ejemplos y los problemas que han de dejarse para resolución
Prólogo
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comunes de postensado. No se ha hecho intento alguno de cubrir los temas en forma enciclopédica, sino sólo de presentar los detalles suficientes suficientes para permitir el proporcionamiento realista de los miembros en problemas prácticos. Debemos agregar unas palabras en relación con las unidades de medida usadas en la obra. A nivel nacional (EE.UU.) existe una tendencia hacia la adopción del Sistema Internacional (SI) de unidades métricas. En muchos casos, los cursos sobre fundamentos de la ciencia y sobre las ciencias de la ingeniería se enseñan en la actualidad en unidades del SI. Ciertas industrias ya se han convertido a este sistema. Sin embargo, en la práctica estructural actual de los Estados Unidos, se emplean casi en forma general las llamadas unidades “inglesas” o “ comunes” . La conversión a las unidades m étricas vendrá varios años después de la metrificación de los códigos y especificaciones de diseño. Debe observarse que la nueva edición del Código del ACI que rige el diseño y la construcción de concreto en la mayor parte de los Estados Unidos, está resuelta totalmente en unidades inglesas. inglesas. Tomando en cuenta el hecho de que los usuarios de este libro de texto pueden llegar a familiarizarse con el em pleo de las un idades del SI en sus cursos prepara torios, pero también (fue pron to habrán de ent rar a ofi cinas de dis eño en las que prevalezca el empleo de las unidades comunes (inglesas), he procedido como sigue: (1) La inform ación de todas las gráficas y tabulaciones de natura leza fundam ental se da en unidades de los dos sistemas; (2) todas las ecuaciones no dimensionales se dan en unidades inglesas, pero se presentan por separado los equivalentes de las unidades del SI en el Apéndice C; (3) se presentan ejemplos en unid ades inglesas, pero se incluyen, entr e paréntesis, los equivalentes en el SI, para los d atos del pr oblema y las respu estas clave; y (4) las ayudas de di seño del Apéndice A se dan solamente en unidades inglesas. Se considera éste un compro miso razonable entre la promoción para la adopción del Sistema Internacional de unidades, obviamente superior, y el reconocimiento de lo que ha de ocurrir probabl emente en la prá ctica pr ofesional en los próx imos 5 a 10 años. Muchas personas y organizaciones contribuyeron a la creación de esta obra. Algunos ex-alumnos hicieron aportaciones importantes, especialmente Charles Dolan, de ABAM Engineers, Inc., quien dio valiosas opiniones e hizo los arreglos arreglos de una gran parte del material ilustrativo. Otras ilustraciones se se obtuvieron mediante la cooperación de George Nasser, del Prestressed Concrete Institute, Gene Corley de la Portland Cement Association, Cliff Freyermuth del PostTensioning Institute y muchos otros. Edward Nawy, de la Universidad Rutgers contribuyó de manera significativa, ya que revisó el manuscrito final. El apoyo secretarial y otros esenciales fueron proporcionados por la Universidad Cornell. Finalmente, deseo reconocer la influencia de George Winter, quien junto conmigo conmigo es autor de una obra anterior sobre concreto armado. Una larga asociación asociación profesiona l y p ersonal con él ha t enido un p rofu ndo efect o en el desarro llo de un punt o de vi sta que espero aparezca refleja do en las siguientes páginas.
CONTENIDO
Capítulo 1 CON CEPTO S BASICO S
17
Introducción 17; Ejemplo 22; Cargas equivalentes 25; Comportamiento bajo sobrecarga y resistencia a la flexión 28; Presforzado parcial 29; M étodos de presforzado 30; Cambios en la fuerza de presforzad o 37: Cargas, resistencia y seguridad estructural 39.
Capítulo 2 MA TER IALE S
49
Introducción 49; Importancia del acero de alta resistencia 50; Tipos de acero presforzad o 52; Refuerzo no presf orzado 56 ¡Propied ades de esfuerzo -deform a ción del acero 57; Relajamiento del acero 60 ; Tipos de concr eto 63; Concreto sujeto a compresión uniaxial 64; Concreto sujeto a tensión uniaxial 67; Concreto sujeto a esfuerzos biaxiales 70; Deformación en el concreto dependiente del tiempo 71.
Capítulo 3 AN ALISIS POR FLEX ION
79
Introducción 79; Notación 80; Pérdida parcial de la fuerza pretensora 81; Esfuerzos elásticos de flexión en vigas no agrietadas 81; Esfuerzos permisibles de flexión 9 2; Carga de agrietamiento 95; Res istencia a la flexió n 9 9; Presfuerzo total versus parcial 118; Esfuerzos de flexión después del agrietamiento y resistencia de vigas parcialment e presforzadas 122.
Capítulo 4 DISEÑ O DE VIGA S
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Bases del diseño 135; Criterios de seguridad y c ondiciones de servicio ,138; Diseño por flexió n basado en los esfuerzos permisibles 138; Variación de la excentricidad a lo largo del claro 153; Variación de la fuerza pretensora a lo largo del claro 157; Vigas con peralte limitado 160; Selección de forma y eficiencia a la flexión 163; Secciones estándares 167; Secciones que tienen capaci dad en exceso 167; Diseño a la flexión basado en el balanceo de la carga 172; Diseño basándose
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Contenido Contenido
en presforzado parcial y resistencia última 180; Esfuerzo» de adherencia, longitud de transfere ncia y longit ud de desarro llo 188; Discflo de zonas de anclajes 191; Control de agrietamiento 200. Capítulo 5 CORTA NTE Y TORSION 209 Introducción 209; Cortante y tensión diagonal en vigas sin agrietar 210; Cortante del agrietamiento diagonal 215; Refuerzo en el alma por corta nte 223; Criterio de diseño por cor tante del ACI 227; Ejemplo: Diseño del refuerzo del alma por cortante 234; Torsión en estructuras de concreto 237; Diseño por torsión del concreto presforzado 2 40; Torsión más cortante 248; Ejemplo: Diseño de vigas presforzada s para cargas combinadas 254. Capítulo 6 PERDIDA PAR CIAL DE LA FUE RZA DE PRESFOR ZADO 263 Introducc ión 263; Estimaciones globales de las pérdidas 265; Estimación detallada de las pérdidas 267; Deslizamiento del anclaje 268; Acortamiento elástico del concreto 269; Pérdidas debidas a la fricción 270; Flujo plástico del concreto 275; Contracción del concreto 276; Relajamiento del acero 277; Ejemplo : Cálculo de las pérdidas individuales 2 ^8; Esti mación de las pérdidas por e l mét odo de los interva los 282. Capítulo 7 VIGA S COMPUESTA S 287 Tipos de construcción compuesta 287; Estados de carga 289; Propiedades de la sección y esfuerzos elásticos de flexión 290; Resistencia a la flexión 299; Transferencia del cortante horizontal 302; Cortante y tensión diagonal 307. Capítulo 8 VIGA S CONTINUA S Y PORTICOS 311 Claros simples en comparación con los continuos 311; Perfiles de tendones y arreglos del te nsado 312; Análisis elástico de los efectos del presforzado 317; Análisis de cargas equivalentes 323; Ejemplo: Viga p'resforzada indete rmin ada 324; Transformación lineal 329; Tendones concordantes 333; Esfuerzos del
concreto dentro del límite elástico 334; Resistencia a la flexión 336; Redistri bución de mom ento y análisis al lími te 338; Pórticos indete rmina dos 342. Capítulo 9 DEF LEX ION ES 349 Introducción 349; Bases para los cálculos 351; Método aproximado para el cálculo de deflexiones 356; Mom ento de inercia efectivo 358; Cálculos refinados por interval os incremén tales de tiem po 359; Ejemplo del cálculo d e deflexi ones 362; Miembros compuestos 372; Deflexiones permisibles 372.
i * '!' Ú. i ; ySh Capítulo 10 LOSA S 377 Introducción 377; Losas armadas en una dirección 381; Losas con refuerzo en dos direcciones con todos los bordes soportados: Comportamiento 384; Balanceo de cargas en dos direcciones para losas soportadas en sus bordes 386; Análisis práctico de cargas desbalanceadas 389; Deflexión de las losas con
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refuerzo en dos direcciones 392; Resistencia máxima de las losas con refuerzo en dos direcciones, 403; Ejemplo: Losa con refuerzo en dos direcciones soportada por muros 405 ; Losas pl anas presforzada s 41 0; Co mport amie nto de las losas pla nas 412; El estado de carga balanceada 416; El método del marco equivalente 42 0; Resistencia a la flexión de losas planas 425; Co rtante en losas planas 426; Refuer zo no presforzado 4 37; Deflexiones de losas planas 438; Ejemplo: Diseño de lo sa plana 433. Capítulo 11 MIEMBROS CAR GADO S AX IALM ENT E 455 Introducción 455; Comportamiento de columnas presforzadas 455; Ejemplo: Construcción del diagrama de interacción para columnas 462; Refuerzo no presfor zado en columnas 446; Com portam iento de columnas esbeltas 467; Consideración práctica de los efectos de la esbeltez 473; Comportamiento de miembros a tensión 4 77; Ejemplo: Comportam iento de un elemento de concreto presfor zado sujeto a tensi ón 482; Diseño de miemb ros sujetos a tensi ón 484; Ejemplo: Diseño del miembro de liga de un marco rígido 486.
< Capítulo 12 CONSTRU CCION PRE COL AD A 491 Introducción 491; Miembros precolados para edificios 492; Detalles de conexión 501; Método del cortante-fricción para el diseño de conexiones 508 ; Ménsulas 514; Construcción a base de losas levantadas 517; Trabes de puentes estándar 517; Construcción de puentes precolados por segmentos 521. Capítulo 13 APL ICACIO NES 525 Introducción 525; Puentes 525; Cascarones y losas plegadas 533; Armaduras y marcos espaciales 535; Torres para reservorios de agua 536; Recipientes de contención nuclear 53 ?; Pavimentos 540; Estructuras marinas 542; Elementos es tructurales diversos 544; Torres y mástiles 549. Apéndice A Ayudas para el diseño
555
Apéndice B Herrajes para el postensado
567
Apéndice C Factores de conversión del SI y ecuaciones equivalentes de diseño SI
589
Cuerpo de consejeros en Ingeniería
A. H-S. Ang Universidad de Illinois Donald S. Berry Northw estern University
Ingeniería civil —Sistemas y probabilidad
c
Ingeniería de transportes
James Gere Universidad de Stanford
Ingeniería civil y mecánica aplicada
J. Stuart Hunter Universidad Princeton
Estadística aplicada a la ingeniería
T. William Lambe R.V. Whitman Instituto Tecnológico de Massachusetts
Ingenierí a civil - Mecánica de suelos
Perry L. McCarty Universidad de Stanford
Ingeniería del medio ambiente
Don T. Phillips Texas A & M University
Ingeniería industrial
Dale Rudd Universidad de Wisconsin
Ingeniería química
Robert F. Steidel, Jr. Universidad de California Berkeley
Ingeniería mecánica
R.N.
Ingeniería civil
White
CAPITULO 1
CONCEPTOS BASICOS
1.1
INTRODUCCION
El presforzado puede definirse en términos generales como el precargado de una estructura, antes de la aplicación de las cargas de diseño requeridas, hecho en for ma tal que mejore su comportamiento general. Aunque los principios y las técni cas del presforzado se han aplicado a estruc turas de muchos tipos y materiales, la apliación más común ha tenido lugar en el diseño del concreto estructural. En esencia, el conc reto es un material que trabaja a compresión. Su resistencia a la tensión es mucho más baja que a la compresión, y en muchos casos, al dise ñar, se deja fuera de consideración aquélla. Por tan to, el presforzado del concreto implica naturalm ente la aplicación de una carga compresiva, previa ala aplicación de las cargas anticipadas de diseño, en forma tal que se reduzcan o eliminen los esfuerzos de tensión que de otra forma ocurrirían. En efecto, el concepto original del concreto presforzado consistió enintroducir en vigas suficiente precompresión axial para que se eliminaran en el miembro cargado todos los posibles esfuerzos de tensión que obraran en el concreto. Sin embargo, a medida que se ha desarrollado el conocimiento de esta forma de cons trucción, se ha visto claramente que esta concepción es innecesariamente restric tiva, y en la práctica actual de diseño se permite que haya esfuerzos de tensión en el concreto, y hasta cierto agrietamiento limitado. Haciendo variar la magnitud del presfuerzo compresivo puede limitarse al grado deseado el número y el ancho de las grietas, igualmente puede cpntrolarse la deflexión del miembro. Se pueden di señar vigas con deflexión nula para una combinación específica de presfuerzo y cargas externas. Desde el punto de vista de las condiciones de servicio, tal pres forzado parcial presenta una mejoría substancial, no sólo en la construcción
18
Conceptos básicos Introducción
zado completo, el cual, si bien eliminaba el agrietamiento bajo las cargas de servi cio, producía a menudo una combadura hacia arriba que causaba problemas. Pero no es sólo por las condiciones deservicio mejoradas que el presforzado ha alcanzado importancia. Por el control del agrietamiento y la deflexión bajo las cargas de servicio, el presforzado hace posible emplear el económico y eficaz re fuerzo de acero de alta resistencia a la tensión, y concreto de alta resistencia. Los anchos de las grietas, en las vigas convencionales de concreto armado, son toscamente proporcionales al esfuerzo que obra en el refuerzo de tensión, y por esta razón tiene n que limitarse los esfuerzo s en el ac ero a va lores much o m e nores que los que podrían usarse si eso no ocurriera. En las vigas presforzadas, el alto esfuerzo en el acero no va acompañado por grietas anchas en el concreto, porq ue se aplica al ac ero gran parte del esfuer zo a ntes de ser anclado al con creto, y antes de que se aplique la carga al miembro. La deflexión de las vigas ordinarias de concreto armado está ligada también directamente a los esfuerzos. Si se permitieran esfuerzos muy grandes, las defor maciones acompañantes, también grandes, que ocurrirían en el concreto y en el acero, producirían inevitablemente grandes rotaciones de las secciones transver sales a lo largo del miemb ro, las cuales se traducirían direc tamente a grandes de flexiones. Predeformando el refuerzo de alta resistencia a la tensión de las vigas presfor zadas, se evitan las gran des rota cion es y defle xiones que ocu rriría n en otras condiciones. Además, el miembro de concreto esencialmente libre de grietas, es más rígido para ciertas dimensiones dadas de la sección, que lo que sería sise per mitiera que hubiera agrietamiento hasta el grado típico de la construcción de con creto armado. En consecuencia, no es sólo por la mejoría del com portamien to bajo la carga de servicio, po r el c ontrol del agrietamiento y la deflexión, por lo que el concreto presfo rzado es conve niente , sino tam bién porq ue p ermit e la u tilizac ión de m ate riales eficientes de alta resistencia. Pueden usarse miembros de menores dimen siones y más ligeros. Se reduce la relación de la carga muerta a la carga viva, se aume ntan los claros y se amplía considerablemente la gama de aplicaciones posi bles del conc reto estruc tural. Las notables mejoras que podían obtenerse en el comportamiento de las es tructuras de concreto mediante el presforzado, fueron reconocidas por vez pri mera por el renombrado ingeniero francés Eugenio Lreyssinet. Sus estudios acerca de los efectos dependientes del tiempo, de la contracción y el escurrimiento plás tico del concreto, que inició desde 1911, le llevaron a comprender la importancia de usar acero som etido a un alto esfuerzo inicial para pi esforzar miebros de con creto. En 1940 introdujo un sistema de presforzado usando cables de alta resis tencia anclados con cuñas, arreglo de gran calidad práctica que todavía se utiliza mucho. El impresionante puente tendido sobre el río Mame, en Luzancy, Francia, que aparece e n las figuras 1.1 y 1.2, ilustra la innovación y osadía que fueron tí picas de los diseñ os posteri ores de Frey ssinet . Con struida cu 19 41, esta estr uctu ra
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Figura 1.5 Cruzam iento de carretera, en Suiza, conti nuo sobre tres claros. Figura 1.3 Vigas de piso precoladas y presforzadas de forma de doble T.
Figura 1.4 Puente de dos vigas maestras gemelas del tipo de caja, en construcción
Figura 1.6 Marcos rígidos segmentados, precolado s y postensa dos, para el estadio
Ejemplo 23 22
Concepto s básicos
claro de sólo 4.17 pies, o sea, una relación de claro a peralte de 43. Los soportes articulados del puente se dotaron de ajustes para compensar los efectos déla con tracción y el escurrimiento plástico. Los segmentos del puente en forma de I fueron precolados. Primero se vacia ron los patines y se conectaron por alambres que se tensaron previamente al del alma, manteniendo separados los patines por gatos. Después de vaciar las al mas, se suprimió la fuerza de los gatos, con lo cual se precomprimieron las almas para contra rresta r los esfuerzos de tensión diagonales res ultantes de las cargas. Luego se ensamblaron los segmentos individuales para formar componentes más grandes, y éstos se colocaron en su posición final por vías de cable, y entonces se postensó la es tructu ra entera. Esta estruc tura, y cinco otras de claros casi idé nti cos que hay en la misma región, constituyeron el modelo para los puentes preco lados en segmentos que es tan usado en la actualidad. El presforzado se ha aplicado con gran ventaja a una amplia variedad de si tuaciones, algunas de las cuales se ilustran en las fotografías que siguen. La figu ra 1.3 ilustra el uso de las vigas precoladas de “doble T” para sopor tar un piso con claro libre de alrededor de 20 pies. El soport^extremo se provee por medio de la viga precolada de sección que pasa sobre la ventana, también presforzada. Esta construcción de concreto precolado presforzado se ha usado por todas par tes en los Estados Unidos. En la figura 1.4 se ilustra la construcción de puente s empleando el método de voladizo, en la cual se presfuerzan los segmentos completos de nueva construc ción y se integran a la construcción completa. Los claros gemelos que aparecen en construcción, cerca de París, van a tener cuatro carriles de tráfico. El punte de dos carriles que aparece en la figura 1.5, que forma parte de la carretera que corre entre Berna y Lausana en Suiza, ilustra la ligereza y gracia que a menudo van asociadas con las estructuras de concreto presforzado. Los gigantescos marcos, precolados en segmentos, de la figura 1.6, que se ter minaron recientemente para los Juegos Olímpicos de Montreal de 1976, ilustran la versatilidad del concreto presforzado. Para tener una idea de la escala, obsérve se el trabajador de construcción que se encuentra en el pasillo del marco más ale jado , un poco adelante de la pata de so porte.
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f 1.2 EJEMPLO
Se pueden ilustrar muchas características importantes del presforzado por medio de un ejemplo simple. Considérese primero la viga simple de concreto sin refuerzo que aparece en la figura 1.7«. Esta sopo rta una sola cargn concentrada en el centro de su claro. (Se despreciará aquí el peso propio del miembro). Con forme la carga W se aplica gradualmente, se inducen esfuerzos longitudinales de flexión. Supo niendo que se esfuerza el concreto solamente dentro de su intervalo elástico,la distri bución de los esfuerzos de lie xión a la mitad del ilar o será lineal, como se
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En-los extremos
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(e) Figura 1.7 Esquemas alternativos para presfor zar una viga rectang ular de concre to a) Viga de concreto simple, b) Viga presforzada axialmente, c) Viga presfor zada excéntricamente, d) Viga presforzada con excentricidad variable, é) Etapa de carga balanceada para Viga con excentricidad variable.
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Conceptos básicos Cargas equivalentes
A una carga relativamente baja, el esfuerzo de tensión que se origina en el concreto en .a parte inferior del miembro alcanzará el valor de la resistencia del material a la tensión,/,., y se formará una grieta. Como no existe restricción alguna contra 1? extensión de la grieta hacia arriba, el miembro fallará totalmente y se derrumbará sin aumentar más la carga. Considérese ahora una viga idéntica, en esencia, como la de la figura 1 J b , en la cual se introduce una fuerza axial longitudinal P antes de aplicar un esfuerzo compresivo axial uniforme f c =P /Ac , siendo Ac ei área de sección transversal del concreto. Es claro que la fuerza puede ajustarse en cuanto a magnitud.de manera que, al aplicar la carga transversal Q, la superposición de esfuerzos debidos aP y Q dé como resultado un esfuerzo de tensión cero en la parte inferior de la viga, como se ilustra. El esfuerzo de tensión que obre en el concreto puede eliminarse de esta manera, o reducirse a una cantidad especificada. Pero sería más lógico aplicar la fuerza presforzante cerca de la parte inferior de la viga, para compensar con mayor eficacia la tensión inducida por la carga. Por ejemplo, una posible especificación de diseño podría ser introducir la compresión máxima en la parte inferior del miembro sin ocasionar tensión en la parte superior, al act uar solamente la fue rza presforzante.c Se puede demost rar fácilmente que, para una viga de sección transversal rectangular, el punto de aplicación correspondiente de la fuerza está en el punto inferior del tercio medio del peralte de la sección. La carga P, con el mismo valor que antes, pero aplicada con excentricidad e=h¡6 respecto al centroide del concreto, producirá una distri bución de esfuerzo compresivo l ongitudinal que varía desde cero en el borde su perior hasta un valor m áximo de 2fc=(P/Ac)+(Pec2IIc), en el inferior, siendo f c el esfuerzo en el concreto en el centroide d éla sección, c2 la distancia del centroide del concreto a la cara inferior del concreto e Ic el momento de inercia de la sección transversal. Esto se ilustra en la figura 1.7c. El esfuerzo en la parte inferior será exactamente igual al doble del valor producido antes por el presforzado <¡ axial. Consecuentemente, la carga transversal puede ser ahora del doble que antes, o sea, 2 Q, y no dar origen a esfuerzos de tensión. En efecto, la distribución final del esfuerzo resultante de la superposición de la carga y la fuerza presforzante en la figura 1 J e , es idéntica a la de la figura 1.7/;, aunque la carga es igual al doble. Es obvia, pues, la ventaja del presforzado excéntrico. Los métodos por los cuales se presfuerzan los miembros de concreto se estudiarán con ci erto detall e en la sección 1.6, además de los detalles que se dan en el Apéndice B. Por ahora será suficiente saber que en un método común de presforzado se utilizan alambres de acero de alta resistencia pasados a través de un conducto ahogado en la viga de concreto. El tendón se ancla en el concreto en uno de sus extremos, y se restira en el otro extremo por medio de un gat o h idráulico que reacciona contra el concreto. Cuando le obtiene la tensión deseada en el tendón, se ancla contra el concreto en el extremo de aplicación de la tensión y se quita el gato. El resultado es un sistema integrado por medio del cual puede aplicarse la fuerza P de la figura 1.7.
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Si se usa un sistema de este tipo, puede lograrse una mejora significativa en el arreglo de las figuras 1.7 b ó 1 Je , usando una excentricidad variable de la fuerza presforz ante, con respect o al ce ntroid e de la sección de l con creto , a lo largo del miembro. La carga 2 Q produce un m omento flexionante que varía linealmente a lo largo del claro, desde cero en los soportes hasta el máximo en el centro. Intuitivamente, se sospecha que el mejor arreglo de presforzado preduciría un contramomento que, actuando en el sentido opuesto, variaría de la misma manera. Esto se hace fácilmente, porque el momento de presfuerzo es directamente proporci onal a la excentricidad del tendón, medida desde el centroide del acero hasta el centroide del concreto. De acuerdo con lo anterior, se da ahora al tendón una excentricidad que varía linealmente desde cero en los apoyos hasta un máximo en el centro del claro. Se ilustra tal disposición en la figura 1.7 d. Los esfuerzos que ocurren a la mitad del claro son los mismos que antes, tanto cuando actúa la carga 2 Q como cuando no actúa. En los apoyos, en donde sólo actúa la fuerza de presforz ado, co n excen tricida d cero , se obtie ne u n esfuerzo unifor me de compr esión./ ., como se ilustra. Debería resultar claro qug, para cada arreglo característico de la carga, hay un perfil ^‘óptimo” del tendón en el sentido de que produce un diagrama de momentos de presfuerzo que corresponde al de la carga aplicada. Todavía es de mayor interés observar que, si el contramomento de presfuerzo se hiciera exactamente igual y opuesto al momento producido por la cargas a todo lo largo del claro, el resultado sería una viga sujeta solamente a esfuerzo axial de compresión uniforme en toda su extensión, para esas condiciones de carga en particular. La viga no sólo estaría ex enta de agrietamiento sino que (despreciando la influencia de la concentracción y el escurrimiento plástico del concreto) no se deformaría ni hacia aniba ni hacia abajo al aplicarse las cargas. Tal situación se obtendría de una carga de V 2 x (2 0 = 2 , como en la figura 1 J e, por ejemplo. A esta condición se le conoce como la etap^ de carga balanceada. Aunque se ha presentado este breve estudio en la relación con la eliminación de la tensión procedente de la flexión y del control del agrietamiento y la deformación de las vigas de concreto, debe reconocerse que el presforzado puede usarse con eficacia en muchas otras situaciones, como por ejemplo, para reducir o eliminar los esfuerzos de tensión diagonal en las vigas, la tensión tangencial en los reci pientes para almacenaje l íquid o y en las tuberías, los esfuerzos de tensió n debidos a la carga o a la contracción que obran en los pavimentos, o la tensión que obra por el ca rgado escéntr ico de las columnas. Los principio s funda menta les tienen una aplicación muy amplia y ponen en las manos de los ingenieros diseñadores un poderoso medio para mejorar peí com port amie nto de las es truc turas de muchos tipos. j £.
ff t
1,3 CARG AS EQUIVA LENTES
Ü
El efecto de un cambio en; el alineamiento vertical de un tendón de presforzado
26
Conceptos básicos
D
jun to con las fu erzas de presfo rzado que obr an en los extre mos del miembro a través de los anclajes de los tendones, pueden considerarse como un sistema de fuerzas externas al estudiar el efecto del presforzado. En la figura 1.8a, por ejemplo, un tendón que aplícala fuerza/* en el centroi de de la sección del concreto en los extremos de una viga, y que tiene una pen diente uniforme formando un ángulo 8 entre los extremos y la mitad del claro, introduce la fuerza transversal 2P sen 6 en el punto de cambio de alineamiento del tendón a la mitad del claro. En los anclajes, la componente vertical de la fuer za de presforzado es P sen 8 y la componente horizontal es P eos 6. La compo nente horizontal es casi igual a la fuerza P para los ángulos usualmente pequ eños de la pendi ente . Se ve que el diagrama de mom entos pa ra la viga de la figura 1.8 a tiene la misma forma que para cualquier claro simple con carga en el centro.
Cargas equivalentes
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P
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P
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27
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La viga de la figura 1.8Z>, que tiene un tendón curvo, está sujeta a la acción de una carga transversal distribuida desde el tendón, así como a las fuerzas/* de cada extremo. La distribución exacta de la carga depende del alineamiento del tendón. Por ejemplo un tendón de perfil parabólico producirá una carga transver sal distribuida uniformemente. En este caso el diagrama de momentos tendrá for ma parabólica, como el de una viga de un solo claro con carga unifq^memente distribuida. Si se usa tendón recto con excentricidad constante e, como en la figura 1.8c, no actúan fuerzas transversales en el concreto. Pero el miembro está sujeto a un momento Pe en cada extremo, así como a la acción de la fuerza axial P, y le corresponde un diagrama de momento constante. También tiene que tomarse en cuenta el momento que obra en el extremo al considerar la viga de la figura 1.8 d, en la cual se emplea un tendón parabólico que no pasa por el centroide del concreto en los extremos del claro. En este caso se prod uce n una carga transversal unifo rmem ente distrib uida y fuerzas extre mas de anclaje, al igual que en la figura 1.8b, pero a dicionaímente tiene n que conside rarse los momentos de los extremos, M=Pe gq &J). - \ '¡JJ?’ Es útil el concepto de carga transversal equivalente, pero debe aplicarse con cuidado. En todos los casos que se han cosiderado hasta ahora, el eje longitudinal era recto. Consecuentemente, el empuje del concreto era horizontal y cualquier cambio de alineamiento del tendón producía una fuerza desbalanceada que actua ba sobre el con cret o en esa sec ción. Si el eje de la viga es curv o, com o en las figu ras 1.8c y 1.8/, y si coinciden los centroides del tendón y el concreto en todas las secciones, entonces la fuerza lateral producida por el acero en cualquier sección es balanceada por una fuerza resultante que actúa en la dirección opuesta, produ cida por el empuje del concreto adyacente, y no resulta ningún momento flexionante.
Por otra parte, si el tendón es recto, pero el eje eeulmldul del concreto tiene algún otro alineamiento, como en la figura 1.8 g , entones la fuerza lateral produ cida por el empuje del concreto no es balanceada ptu las Iucrzas laterales proce
Ninguno
Figura 1.8 Cargas y momentos equivalentes producid os por tendone s presforzaPuede resultar evidente que, para cualquier arreglo de cargas aplicadas, puede seleccionarse un perfil de tendón tal que las cargas equivalentes que actúen sobre a viga desde el tendón sean precisamente iguales y opuestas a las cargas aplicadas. El resultado sena un estado dé compresión pu ra en la viga, como se vio en térm i nos un tanto diferentes al final de la sección anterior. Una ventaja del concepto ae carga equivalente es que conduce al diseñador a seleccionar el que es proba ble mente el mejor perfil del tendón para cualquier configuración de carga dada. ! ( onviene enf atiz ejifcic/c« los sistemas mostrad os en la figura 1.8 de
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Conceptos básicos
Presforzado parcial 29
dones extemas. Esto siempre fue cierto para las vigas estáticamente determina das, pero en general no es cierto para los claros indeterminados, como se estudiará en el capítulo 8.
Carga factorizada
—€ 1.4 COMPORTAMIENTO BAJO SOBR ECAR GA Y RESISTENCIA A LA FLEXION
Al describir el efecto del presforzado en el ejemplo de la sección 1.2, se implicó que la viga respondía en una forma elástica lineal, y que era válido el principio de la superposición. Esto requiere que la viga permanezca sin agrietamientos, y que tanto el concreto como el acero se esfuercen solamente dentro de sus intervalos elásticos. Este puede ser el caso hasta aproximadamente el nivel de la carga de servicio, es decir, el peso propio real del miembro más las cargas superpuestas de las que pueda esperarse razonablemente que puedan actuar durante la vida del miembro. Pero si las cargas sufrieran un incremento ulterior, los esfuerzos de ten sión resultantes de la flexión rebasarían linealmeqte la resistencia del concreto a la tensión, y se formarían grietas. Estas no ocasionan la falla gracias ? la presen cia del acero, y las cargas generalmente pueden aumentarse bastante más allá de la carga de agrietamiento sin ocasionar problemas. Finalmente, al aumentar aún más las cargas, ya sea el acero o el concreto, o ambos, llegan a esforzarse dentro de su intervalo no lineal. En la figura 1.9 se re prese nta la condición de falla incipie nte; en esta figura aparece una viga que so port a una carga factorizad a, iguala algún múltiplo de la carga de servicio esperada. Al diseñar un miembro, puede seleccionarse la magnitud del factor de caiga para darle el grado deseado de seguridad. En la condición de sobrecarga, la viga estaría indudablemente en un estado de agrietamiento parcial; en la figura 1.9 se ilustra un esquema posible de agrieta miento. Sólo el concreto solicitado por compresión se considera eficaz, al igual que el análisis del concreto armado ordinario. El acero sujeto a tensión trabaja con el concreto sometido a compresión para formar un par de fuerzas internas, el cual resiste el momento que origina la carga aplicada. La distribución del esfuerzo en el concreto en la zona de compresión, en el momen to de la falla, puede encontrarse por losmétodos que se presentan en el ca pít ulo 3, como tambi én puede encontr arse la magnitud de la res ultant e c ompre siva C, la fuerza de tensión T que obra en el acero, y la distancia entre las dos. Si el brazo de palanca internaesz.entonceselmomsnto resistente último, o de falla, 6S
■Jlj1= C z = 7 Í % 1-D ..jfí/j ui jjL ® í.i8 t Se reconocerá que, en l aeta pild e carga última, cuando la viga está en el punto de falla incipiente por flexión, se comporta p rácti «m ente como un a viga ordinaria de con creto armado. La diferencia principal es que el acero usado tiene resisten
m 7
Tendón Grietas de flexión
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I \ I \ \ I I I I 11r n (b)
Figura 1.9 Viga de concreto pre sfrozado a la carga máxima de flexión, a) Viga con carga factorizada. b) Equilibrio de fuerzas en media viga. elevado de esfuerzo. Si se fuera a usar sin ser presforzado (y predeformado) a la tensión, se tendría una*deformación inaceptable grande y se agrietaría la viga. Debe resultar claro que no se puede llegar a conclusiones relativas a la resis tencia de las vigas preSforzadas mediante el estudio de los esfuerzos elásticos. La predicció n de la re sistencia requiere del desarrollo de ecuaciones que tom en en cuenta tan to el agrietamiento como las características no lineales de los materiales. , i \K>
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Los primeros diseñadores del concreto presforzado dirigieron sus esfuerzos a la eli minación completa de los esfulrzos de tensión en los miembros sujetos a cargas de servicios normales. Esto se define como presfor zado com plet o. A medida que se ha .obtenido experiencia con la construcción de concreto presforzado, se ha llega do a ver que hay una solucción intermedia entre el concreto completamente presfbrzado y el concreto armado ordinario que ofrece muchas ventajas. A tal solución Intermedia, en la cual se permite una cantidad controlada de tensión en el con
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Conceptos básicos
Métodos de presforzado 31
Aunque el presforzado completo ofrece la posibilidad de la to tal eliminación de grietas bajo carga de servicio completa, puede producir al mismo tiempo miem bros con combadu ra objetab lement e grande, o deflexión negativa, bajo cargas más típicas menores que el valor pleno. Una cantidad menor de presforzado pue de producir mejores características de deflexión en las etapas de carga que son de interés. Si bien generalmente se forman grietas en las vigas parcialmente presforzadas, si se aplicara la carga plena de servicio especificada, estas grietas serían pe queñas y se cerrarían completamente cuando se redujera la carga. Adicionalmente a las mejores características de deflexión, el presforzado par cial puede llevar a una economía significativa, reduciendo la cantidad de refuerzo presfor zado, y permit iendo el uso de configuraciones de sección transversal con ciertas ventajas prácticas, en comparación con las que se requieren para el presfor zado completo. Aun cuando pueda reducirse la fuerza del presfuerzo mediante el empleo del presforzado parcial, una viga debe tener de todas maneras un factor de seguri dad adecuado contra su falla. Este requerirá a menudo de la adición de varillas de refuerzo ordinarias, no presforzadas, en la zona efe tensión. Las alternativas son propo rcion ar el área total de acero necesaria por resistencia con los tendon es de alta resistencia, pero esforzar esos tendones a un valor menor que su valor pleno perm itido , o bi en, dej ar sin esfor zar algunos de los torone s. El presforzado parcial está adquiriendo aceptación en los Estados Unidos, ■por ofrecer las ventajas combinadas del concreto reforzado y del concreto pres forzado.
cable torcido con varios torones de varios alambres cada uno, se restiran o tensan entre apoyos que forma n parte permanente de las instalaciones de la planta, como se ilus tra e n la figura 1.1 Ozz. Se mide el alargam ient o de los tend one s, así com o la fuerza de tensión aplicada con los gatos. Con la cimbra en su lugar, se vacía el concreto en torno al tendón esforzado. A menudo se usa concreto de alta resistencia a corto tiempo, a la vez que curado con vapor de agua, para acelerar el endurecimiento del concreto. Después de ha berse logrado suficiente resistencia, se alivia l a p resión en los gatos. Los torone s tienden a acortarse, pero no lo hacen p or estar ligados por adherencia al concre to. En esta forma, la fuerza de presfuerzo es transferida al concreto por adheren cia, en su may or parte cerca de los extremos de la viga, y no se necesita de ningún anclaje especial. La figura 1.11 muestr a el marco de aplicación de los gatos en el extremo de un lecho de vaciado en uso para el pretensado de muchos cables de acero, simultáneamente.
1.6 METODOS DE PRESFORZA DO
Aunque se han empleado muchos métodos para producir el estado deseado de precom presió n en los miembros de concre to, todos los m iembros de concreto presfor zado pueden considerarse dentro de una de dos categorías: pretensado o post ensa do. Los miembros de concreto pretensado presforzado se producen res tirando o tensando los tendones entre anclajes externos antes de vaciar el concre to. Al endurecerse el concreto fresco, se adhiere al acero. Cuando el concreto alcanza la resistencia requerida, se retira la fuerza presforzante aplicada por gatos, y esa misma fuerza estransmitid a por adherencia, del acero al concreto. En el caso de los miembros de concreto postensados y presforzados, se esfuerzan los tendo nes después de que ha endurecido el concreto y de que se ha alcanzado suficiente resistencia, aplicando la acción de Jos gatos contra el miembro de concreto mismo.
(b)
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Figura 1.10 Métodos de pretensado, a) Viga con tendón recto, b ) Viga con excen
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Conceptos básicos
Métodos de presforza do
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El pretens ado es bastant e ade cuado para la producció n de vigas en masa, usan do el método de presforzado de línea larga, como lo sugiere la figura 1.10c. En la práctica actual, los apoyos de anclaje y los de aplicación de los gatos pueden estar separados hasta por 600 pies. Los torones se tensan a toda la longitud del lecho de vaciado en una vez, después de la cual se vacían varios miembros individuales a lo largo del tendón esforzado. Cuando se alivia la fuerza de los gatos, se trans fiere la fuerza de presf uerzo a cada miembro por adherenc ia, y los torones se cortan para quedar libres entre los miembros. Aunque en el esquema aparece un t endón recto, con frecuencia se emplean depresores del cable con el presforzado de línea larga, al igual que con los miembros individuales. La figura 1.12 es una vista de la
Figura 1.11 Mineo para aplicación de gatos en el extr emo de un lecho de vacia do, usado pura pielcnsar muchos to rones simultáneamente. Se anotó cu la sección 1.2 que a menudo es ventajoso variar la excentricidad del te ndón a lo largo del claro de una viga. Cuando se hace el pretensad o, puede hacerse esto soslcniendo hacia abajo los torones en los puntos intermedios y man teniéndolos sn|c|os hacia arriba en los extremos del claro, como se ilustra en la figura I 10/*. Con frecuencia se usan uno, dos o tres depresores intermedios del cable pina oblcn er el perfil deseado, listos dispositivos de sujeción quedan embe Indi .........1 ......... Para poder minimizarla pérdida de tensión por fricción, una pon i n a ...... . es restirar el cable recto, y luego deprimido has ta el perfil final uilill/iiinlo galos auxiliares. Debo hacerse una tolerancia en este caso por el incre mento de Icnsión, en vista de que \c lorza el cable a quedar fuera del alineamien .
1
i ii 1.1
Vista de presforzado de línea larga en un lecho, que muest ra los mol-
i
34
Métodos de presforzado
Conceptos básicos
operación de pres iona do de líne a larga, y en ella aparecen lostendones esforzados en su posición en las formas metálicas. Nótese el marco de sujeción qué está a la mitad de la distancia; los tendones todavía no se han deprimido. El pretensado es un método particularmente económico de presforzar, no sólo porq ue la estandari zación del diseño permite el uso de formas de acero o de fibras de vidrio reutilizables, sino que también porque el presforzado simultáneo de mu chos miembros a la vez tiene como resultado una gran economía de mano de obra. Además, se elimina el costoso herraje de anclaje de los extremos. B. Postensado Cuando se hace el presforzado por postensado, generalmente se colocan en los moldes o formas de la viga conductos huecos que contienen a los tendones no es forzados, y que siguen el perfil deseado, antes de vaciar el concreto, como se ilus tra en la figura 1.13a. Los tendones pueden ser alambres paralelos atados en haces, cables torcidos en torones, o varillas de acero.
(b)
Figura 1.13 Métodos de postensado, a) Viga con conducto hueco embebido ene-i
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El conducto se amarra con alambres al refuerzo auxiliar de la viga (estribos sin esforzar) para prevenir su desplazamiento accidental, y luego se vacía el con creto. Cuando éste ha adquirido suficiente resistencia, se usa la viga de concreto misma para proporcionar la reacción para el gato de esforzado, como se ilustra en el extremo alejado del miembro, se restira, luego se ancla en el extremo de apli cación del gato por medio de accesorios similares y se quita el gato. La tensión se evalúa midiendo tanto la presión del gato como la elongación del acero. Los ten dones se tensan normalmente uno a la vez, aunque cada tendón puede constar de varios torones o alambres. La figura 1.14 muestra un arreglo típico para postensado, con el conducto del tendón atado con alambre en su posición y con los accesorios de anclaje en su lugar. En la figura 1.15 se está esforzando un tendón de varios torones, de los tres que lleva la viga. Normalm ente se rell enan de mort ero los cond uctos de los te ndone s después de que éstos han sido esforzados. Se forza el mortero al interior del conducto en uno de los extremos, a alta presión, y se continúa el bombeo hasta que la pasta aparece er¿ el ot ro extremo del tubo. Cuando se endurece, la pasta une al tendón con la pared interi or del conducto, permitiendo la transmisión de fuerza. Aunque los accesorios de anclaje permanecen en su lugar para transmitir la fuerza princi pal de pr esforzad o al c oncr eto, la aplicación del morte ro mejora al comporta mien-
Cambios en la fuerza de presfor zado 37 36
C o n c e p t o s b á s i co s
de postensado es la facilidad con la cual puede variarse la excentricidad de los tendones a lo largo del claro para proporcionar el contramomento deseado.
1.7
CAMBIOS EN LA FUERZ A DE PRESFOR ZADO
La magnitud de la fuerza de presforzado en un miembro de concreto no es cons tante, sino que toma diferentes valores durante la vida del miembro. Algunos de los cambios son instantáneos o casi instantáneos, otros dependen del tiempo, y otros más suceden en función de la carga superpuesta. Deben considerarse todos estos cambios en el diseño. En particular el desentendimiento de las pérdidas de pendien tes del tiempo explica el fracaso de todo s los p rimeros inten tos de presforzar el concreto. Con excepción de las condiciones que prevalecen bajo sobrecarga severa, la mayor fuerza que actúa ocurre durante la operación de los gatos. La fuer za apli cada por los gatos se citará en lo que sigue como P.. Para un miembro postensado, esta fuerza se aplica como una reacción directamente sobre el miembro de con creto , m ientra s que con el p re tensado, la fuerza del gato reacc iona cont ra anclajes externos y*no actúa sobre el concreto en absoluto.
Figura 1.15 Postensado de una viga usando tend ones de varios torones.
to del miembro por si éste fuera sobrecargado, y aumenta su resistencia máxima a la flexión. « En la figura 1.136 se ilustra un método alternativo de postensado. Aquí se ve una viga de concreto con bloques sólidos en sus extremos y diafragmas inter medios. Como antes, hay accesorios de anclaje, pero los tendones pasan a través de los espacios huecos que hay en el miembro. El perfil deseado del cable se man tiene pasando el acero a través de mangas ubicadas en los diafragmas intermedios. En m uchos casos, en particular en las losas relativamente delgadas, los tend o nes poste nsados se recubren con asfalto y se les envuelve con papel impregnado de asfalto , como se ilustra en la figura 1. 13c. Se proveen herrajes de ancla je y de apli cación de los ga tos. La .envoltura impide que se una el concreto al acero. Cuando ha fraguado el concreto, los (endones restiran y anclan, y se quita el gato. Obvia mente es imposible logra i la .... mi del tendón por adherencia con tal arreglo. En la figura 1.16 se ve una losa de minada en dos direcciones que está en construc ción, qu e va a ser posteas.ida us ando los tendone s envueltos que aparecen en su posición. Existe gran cantidad d, . .leinus paten tados de postensad o, que incluyen jo
------------J T " Wlr .... iiiiinmí^flj
Figm ¡i 1.16 Losa presforz ada armada en dos direcciones, con tendon es envueltos nojfligndos por adherencia, en proceso de construcción (cortesía del Post-Tensioniiip (nstitute).
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Cargas, resistencias y seguridad estruct ural
Conceptos básicos
En el momento de transferencia de la fuerza de presforzado del gato a los accesorios de anclaje que sujetan el tendón, hay una reducción inmediata en la fuerza. Inevitablemente existe un deslizamiento pequeño a asentarse las cuñas o grilletes en el tendón de acero, y el acortamiento resultante del tendón se carac teriza por una pérdida de esfuerzo y de deformación por tensión. Este es siempre un factor a considerar en las vigas postensadas. En el pretensado ocurre también una pérdida correspondiente por deslizamiento, ya que se emplean grilletes tem porales normal mente en el a poyo de aplicación del gato para sostener el torón mientras se vacía el concreto. Sin embargo, en la vigas pretensadas por el método de la línea larga, la pérdida por deslizamiento puede ser insignificante por la gran longitud del tendón sobre la que se distribuye el deslizamiento. Hay una pérdida instantánea de esfuerzo por el acortamiento elástico del concreto, al pasar a éste la fuerza de presforzado. Esto ocurre siempre en el pre tensado, pero ocurre en el postensado solamente si hay dos o más tendones, y si éstos se tensan en secuencia. Otra fuente de pérdida inmediata de fuerza de presforzado, que ocurre sólo en los miembros postensados, es la-fricción entre el acero y el conducto por el que pasa é ste, al ser estirado el tendón. La fuerza de té nsión que obra en el gato, siem pre será m ayor que la que obra en el e xtrem o lejano, en el que está Anclado el. tendón. Esta pérdida puede minimizarse sobreestirando ligeramente el acero en caso necesario, y reduciendo luego la fuerza aplicada por el gato al valor deseado. En algunos casos, se aplícala acció n de gato a los tendones desde ambos extrem os •con el objeto de minimizar las pérdidas por fricción, particularmente cuando el perfil del te ndón tiene varias inversiones de curvatura. Como consecuencia de todas las pérdidas instantáneas, incluyendo las debidas al deslizamiento en el anclaje, el acortamiento elástico y la fricción, la fuerza apli cada por el gato, Pj se reduce a un valor menor, P¡, que se define como la fuerz a inicial de presforzado.
Con el paso del tiempo, se reduce aún más el esfuerzo en el ace:o. Los cam bios que ocasionan esta re ducción ocurren más bien con rapidez al principi o, pero el régimen de cambio del esfuerzo pronto decrece. Se aproxima a un nivel de es fuerzo casi constante, pero sólo después de muchos meses, o hasta de varios años. Las causas principales de la pérdida dependiente del tiempo son la contrac ción del concreto y el escurrimiento plástico del mismo bajo el esfuerzo sosteni do de compresión. Ambas producen acortamiento de lmiem bro, el cual se traduce a su vez en una reducción del esfuerzo y la deformación del acero. Adicionalmen te, el acero exper imenta un relajamiento gradual de esfuerzo al mantenerse bajo una deformación casi constante. El resultado de todos los efectos dependientes del tiempo, incluyendo la contracción del concreto y su escurrimiento plástico, así como el relajamiento del acero, es que la fuerza inicial de presfuerzo se redu ce gradualmente a lo que se conoce como la fuer za efecti va de presf orzado La suma de todas las pérdida». Inmediatas y dependientes del tiempo, puede ser del orden del 20 al 35% de || fuerza original aplicada por el gato. Todas n» pérdida s tien en que tomarse en Consideración en el diseño del concreto presfeu'
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La carga de una viga presforzada produce generalmente un incremento del esfuerzo que obra en el tendón. Mientras el miembro permanezca sin agrietarse, el incremento es tan pequeño que generalmente se desprecia en el diseño. Sin em bargo, el agrietam iento del concreto se car acteriza por u n increment o instan táneo del esfuerzo que obra en el acero, a medida que la fuerza de tensión soportada an teriormente por el concreto es transferida al acero. Si aumenta aún más la carga, el miembro se comporta prácticamente como si fuera de concreto armado ordi nario, y el esfuerzo en el acero aumenta toscamente en proporción ala carga hasta que se alcanza el intervalo no lineal del material, seguido por la falla eventual del miembro. El acero puede alcanzar su resistencia máxima a la tensión al fallar el miembro, aunque no siempre es éste el caso.
1.8 CARGAS, RESISTENCIAS Y SEGURIDAD ESTRUCTURAL A. CARGAS
Las cargas que actúan sobre las estructuras se clasifican generahnente como cargas muertas o cargas vivas. Las cargas muertas son fijas en cuanto a posición y de mag nitud constante por toda la vida de la estructura. Generalmente el peso pro pio de una estructura es la parte más imp ortante de la carga muerta; éste puede calcular se con mucha aproximación, basándose en las dimensiones de la estructura y el peso unitar io del materia l. La densidad del concre to va ría al rededor de 90 a 120 libras por pie cúbico (14 a 19 kN/m3) para el concreto ligero, y es de alrededor de 145 libras por pie cúbico (23 kN/m a ) al peso del concret o para tomar en cuen ta el peso del refuerzo. Las cargas vivas son las de los ocupa ntes, la nieve, el vie nto, las cargas de trá fi co o las fuerzas sísmicas. Estas puden estar total o parcialmente presentes, o no estar presentes en absoluto. También pueden cambiar de posición. Aunque es responsabilidad del ingeniero calcular las cargas muer tas, las cargas vivas se especifican por lo general en códigos y especificaciones locales, regiona les o nacionales. Algunas fuentes típicas son las publicaciones del American Nati onal Standards Institute (ANSI, 1.1 en la Bibliografía), la American Association of State Highway and Trasportation Officials (AASHTO, 1.2 en la Bibliografía) y, para las cargas de viento, las recomendaciones del ASCE Task Committee on Wind Forc es ( 1.3 en la Bibliografía). Las cargas vivas en pisos y la carga de nieve en techos, tomadas del apa rta da í. 1 en la Bibliografía, se presentan en la tabla 1.1 y en la figura 1.17. Se encontrar ! información más detallada en el excelente resu men
40
Cargas, resistencias y seguridad estructura l
Conceptos básicos
Tabla 1.1 Cargas vivas mínimas unif ormem ente distribuida s (de la obra citada en 1.1, en la Bibliografía, cortesía del American National Standards Institu te).
Ocupación o utilización Apartamentos (ver Residencial) Fábricas de armamentos y sales de ejercicios militares Salas de funciones y otros lugares de reunión: Asientos fijos Asientos movibles Balcones (exteriores) Salones de boliche, areas de natación y áreas recreativas similares Corredores: Primer piso © Otros pisos, igual que la ocupación para la que sirven, excepto por lo que se indica Salones de baile Salones comedor y restaurantes Residencias (ver Residencial) Cocheras (autos de pasajeros) Los pisos deben diseñarse para soportar 150% de la carga máxima de las ruedas en cualquier parte del piso Estrados (ver Estrado y graderías) Gimnasios, pisos principales y balcones Hospitales: Salas de operación <■ Privados Salas generales Hoteles (ver Residencial) Bibliotecas: Salas de lectura Areas de libreros Manufactura Marquesinas Edificios para oficinas: Oficinas Vestíbulos Instituciones penales: Bloques de celdas Corredores fj f 1
Carga viva lb/pie2 kN/m'
150
7.2
60 100 100
2.9 4.8 4.8
75
3.6
100
4.8 C>
100 100
4.8 4.8
100
4.8
100
4.8
60 40 40
2.9 1.9 1.9
60 150 125 75
2.9 7.2 6.0 3.6
80 100
3.8 4.8
40 100
ns 4.1
41
TABLA 1.1 (contin uación )
Ocupación o utilización Residencial: Casas multifarniliares: Apartamentos privados Salones públicos Corredores Casas habitación : Primer piso Segundo piso y buhardillas habitables Buhardillas inhabitables Hoteles: # Cuartos para huéspedes Salones públicos Corredores de servicio para los salones públicos Corredores públicos Corredores privados Estrados y graderías Escuelas: Salones de clase Corredores Andadores, caminos para vehículos, y patios sujetos a tránsito de camiones Areas para patinar • Escaleras, escapes contra incendio, y pasajes de salida Almacenes: de artículos ligeros de artículos pesados Tiendas: Al menudeo: Primer piso, salones Pisos superiores al mayoreo i Teatros: Pasillos, corredores y vestíbulos Ésos para orquesta Balcones y plateas '¿risos de escenario Patios y terrazas, peato nes £
Carga viva lb/pie2 kN/m2
40 100 60
1.9 4.8 2.9
40 30 20
1.9 1.4 1.0
40 100 100 60 40 100
1.9 4.8 4.8 2.9 1.9 4.8
40 100
1.9 4.8
250 100 100
12.0 4.8 4.8
125 250
6.0 12.0
100 75
4.8 3.6
100 60 60 150 100
4.8 2.9 2.9 7.2 4.8
Cargas, resistencias y seguridad estructu ral
43
carga característi ca, es decir, la carga que realmente está en efecto bajo condicio nes nonnales de servicio, la cual será significativamente menor. Por ejemplo, al estimar la deformación a largo plazo de una estructura, la carga característica es la más importante, y no la carga especificada.
A la suma de la carga muerta calculada y la carga viva especificada se le llama carga de servicio, porque ésta es la carga máxima que puede esperarse razonable mente que actúe durante la vida de servicio de la estructura. La carga factorizád a o carga de falla que una estructura justamente debe ser capaz de soportar, es un múltiplo de la carga de servicio.
B. Resistencia
- , a 1 t . i 1 c e n i e p a r d o a p t . s i c ) e a t r a r u b i b t i l ( o t s n a I n l ó i é s c d d a t o r a s d e a d n a l m a t e t o S t n ( l a a r z e n u i o i d d t l a a a t d N o a t c n e n a c v e i e i o r n ñ e a a m l A e n l d u e o o d d d í a a a s e m s a t i t b r s e o e r c , o o a s í e o f a P d a r l 7 a g o 1 i . u g l 1 i b i a ) b o r l a u l j d
La resistencia de una estructura depende de la resistencia de los materiales de los que está hecha. La resistencia mínima de los materiales se especifica en ciertas formas normalizadas. Las propiedades del concreto y sus componentes, los méto dos de mezclado y de vaciado, así como los de curado para obtener la calidad re querida, y los métodos de pnlkba figuran entre las especificaciones del American Concrete ins titu te (ACI)* y se dan en la obra citada en la Bibliografía en 1.5. Por referencia, aparecen incluidos en el mismo documento las normas de la American Society for Testing Materials (ASTM) relativas a los aceros de refuerzo y de presforzado y al concreto. La resistencia también depende del cuidado con el que se construya la estruc tura, es decir, de la exactitud con la que se sigan los dibujos y especificaciones de los ingenieros. Los tamaños de los miembros pueden diferir respecto a las dimen siones especificadas, el refuerzo puede estar fuera de posición, o la colocación deficiente del concreto puede dar origen a huecos. Una parte importa nte del tra bajo del ingeniero es pr oporc ionar la supervisión corr ecta de la const rucció n . La elusión de esta responsabilidad ha tenido consecuencias desastrosas en más de una ocasión (ver la obra citada en la Bibliografía en 1.7).
*En tod o este t exto se hará referencia al American Concre te Institute y sus recomendaciones. Como una parte de sus actividades, el American Concrete Institute ha publicado el Building Code Requirements fo r Reinforced Concrete (Requisitos del código de construcción del con creto armudo), (ACI 318-77), que sirve de guía para el diseño y la construcción de los edifi cios de concreto reforzado y presiona do, liste código no tiene carácter oficial por sí mismo; sin embargo, se le considera en genial como la expresión autorizada de la buena práctica en uso corriente. Como re sultado de «t o, se le ha incorpo rado por ley e incontab les códigos de construcción municipales y regionales que sí tienen carácter legal. La mayoría del concreto estructural, en los Estados Unidos 1 en muchos otros países, se diseña de acu erdo co n las nor mal del Código de Construcción dpi ACI y las enmiendas al mismo. Una segunda publicación, Ofnnientary on Building Code lmttuirements for Reinforced Concrete (comentarios sobre \
44
Conceptos básicos Cargas, resistencias y seguridad estructura l
C. Seguridad estructural
45
Tabla 1.2 Facto res de carga del código del ACIa
La seguridad requiere que la resistencia de una estructura sea adecuada para todas las cargas que puedan concebiblemente actuar sobre ésta. Si la resistencia pudiera predecirse con tod a exacti tud y si se conocieran las cargas con igual certe za, p o dría asegurarse la seguridad dando a las estructuras un poco de resistencia en exceso a la requerida por las cargas. Sin embargo, existen muchas fuentes de incertidum bre en la estimac ión de las cargas así como en ei análisis, el diseño y la construcción . Estas incertidumbres requieren de un margen de seguridad. En años recientes, los ingenieros ha venido a descubrir que el asunto de la se guridad estructural es de naturaleza probabilística, y las provisiones de seguridad de muchas especificaciones en vigor reflejan esta concepción. El enfoque de segu ridad que se encuentra en el Código del ACI (citado en la Bibliografía 1.5), rela tivo a las construcciones de concreto reforzado y presforzado es el siguiente. Se da consideración separada a las cargas y a la resistencia. Se aplican facto res de carga, mayores que la unidad, a las cargas muertas calculadas y a las cargas de servicio estimadas o especificadas, para obtener las cargas factorizad as que el miem bro debe ser capaz de sopor tar en el mom ento de fSlla incipient e. Los facto res de carga relativos a los diferentes tipos de cargas varían , dependiendo delgr&do de in certidumbre asociado con las cargas de los diversos tipos, y con la probabilidad de ocurrencia simultánea de las diferentes cargas. En la tabla 1.2 se presenta un resumen de los factores de carga del ACI. • La resistencia requerida, en el caso de que se sobrecargara la estructura, no debe exceder de un valor estimado conservador de la resistencia real de la estruc tura. Para obtener ese valor estimado, se calcula la resistencia norhinal de la es tructura de acuerdo con el mejor conocimiento corriente del comportamiento estructural y de la resistencia de los materiales. Esa resistencia nominal se reduce aplicando un fac tor de reducción de resistencia para obtener lo que se llama la resistencia de d iseño. En consecuencia: * M u < 4>Mn Pu < 4>Pn VU<(¡)V„
H
por ejemp lo, en do nde los su bín dic es« están asoilados con las resisten cias nom i nales a la flexión, al empuje axial y al esfuerzo cnjjtonte, y los subíndices« están asociados con las resistencias requeridas, determjjaclas bajo cargas factorizadas. ido de diversas cosas, inclusiEl valor de 0 que debe aplicarse varía, depen ve de la variación probable de las resistencias de lo luteriales, la forma particular de falla y la precisión con la que pueda predecirse,1 nuturuleza de la falla si ésta ocurriera, la importancia de las inexactitudes dimení jimios para el tipo particul: llu 1,3 se resu men los vale de miembro, y las consecuencias de la falla. En la res de los factores de reducción de resistencia pspe jados en el Código del ACI lomudas para los factores1 para las diversas circuns tancias. Estas provisiones
1. La resistencia reque rida U para resistir la carga muerta D y la carga viva L , será por lo menos igual a U =
2.
1.4 D + 1.7L
(ACI 9-1)
Si la resistencia a los efectos est ructural es de una carga de viento especifica da W está incluida en el diseño, se investigarán las siguientes combinaciones de D, L y W para d eterminar la resistencia máxima U que se requiere: U =
0.75(1 .AD + 1.7L + \.1 W )
(ACI 9-2)
en la cual, las combinaciones de las cargas incluirán tanto el valor completo como el valor cero de L para determinar la condición más severa, y U = 0.9D + 1.3W
(ACI 9-3)
pero para cualquier cornoinación de D, L y W, la resistencia requerida debftá ser menor que la dada por la ecuación (ACI 9-1). 3.
U no
Si la resistencia a ciertas cargas de sismo especificadas o de fuerza E están in cluidas en el diseño, se aplicarán las combinaciones de carga de la Sección 2, excepto que deberá substituirse 1.1 E por W.
4. Si está incluida en el diseño la resistencia a la presión lateral del terr eno, H, la resistencia requerida U debe ser por lo menos igual a U =
1.4D + 1.7L + 1.7H
(ACI 9-4)
y en donde D ó L reduce el efecto de H, deberán investigarse las siguientes combinaciones de D, L y H para determinar la resistencia máxima U que se requiere: D en oposición a H: L en oposición a H : D y /- en oposición a H :
I
U = U = U =
0.919 + 1.7L + 1.7H 1.4D + 1.7 H 0.9D + 1.7H
(ACI 9-5) (ACI 9-6) (ACI 9-7)
pero para cualquie r combinación de D, L y // , la resistencia requerida deberá ser menor que la dsÉa por la ecuación (ACI 9-1).
U no
f Si está incluida en el disefo la resistencia a la presión lateral de un líquido, F, se aplicará la combinación de carga de la Sección 4, excepto que deberá subs tituirse 1.4F por 1.7/7. fa presión vertical del líquido se considerará como una carga muerta D, col debida consideración a la variación en la profundi dad del líquido. || )• A ■w "J^B1 '¡I) A .... . S I
,
!
X
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.■
46 Conceptos básicos
Bibliografía 47
Tabla 1.2 (continuación) 7.
Cuando los efectos estructurales T de asentamiento diferencial, escurrimiento plástic o, contra cción o cambios de temp eratu ra puedan ser significativos en el diseño, la resistencia requerida U deberá ser por lo menos igual a U = 0.75(1.4D + 1.4T + 1.7L)
(ACI 9-8)
pero la resistencia r equeri da U no deberá ser menor que U = \.4(D+ T)
(ACI 9-9)
Las estimaciones del asentamiento diferencial, el escurrimiento plástico, la contracción o el cambio de temperatura deberán basarse en una evaluación realista de tales efectos como ocurren en el servicio. 0 Adaptada con permiso del American Concrete Institute, del Código de construcción 318-77 del ACI. tu
Tabla 1.3 Factor es de reducción de resistencia, del Código del ACI“
Clase de esfu erzo De flexión, con o sin tensión axial De tensión axial De compresión axial, con o sin flexión: Miembros con refuerzo en aspiral Otros miembros reforzados excepto que, para valores bajos de la carga axial, 0 puede ser incrementado de acuerdo con lo siguiente: Para miembros en los que f y no excede de 60,000 lb/pulg2 , con refuerzo simétrico, y con (h - d ’ - de)/li no menor que 0.70,0 puede incrementarse linealmente a 0,90 al dismini Pn de 0.10 fcA g a cero. Para otros miembros reforzados, 0 puede mentarse linealmente hasta 0.9 0 al disminu: de 0.10 f c’ Ag ó 0 Pnb, la que se más pequeña, a cero. Cortante y torsión De apoyo sobre, el concreto (aplastamiento ) De flexión en el concreto simple --------------- -------------- --------------------- - --------h
____
Factor de reducción de resistencia 0 90 90
de carga se basan, en cierto grado, en información estadística, pero en mucho mayor grado en la experiencia de la ingeniería, en la intuición y en el criterio. BIBLIOGRAFIA
1.1 Bulding Code Req uirem ents fo r Minim un Design Load s in Bui ldings and Other Structures, ANSI A58.1—1972, American Nati onal Stand ards Insti tute, Nueva York, 1972. 1.2 Standard Specifications for Highway Bridges, 1la ed., American Association of State Highway and Transportion Officials, Washington, D. C., 1973. 1.3 Wind Forces on Structures, Task Committee on Wind Forces, Committee on Loads and Stresses, Structural Division, ASCE, Trans. ASCE, Vol. 126, 1961, pp. 1124-1198. 1.4 McGuir e, William, Steel Structures, Prentice-Hall., Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1968. 1.5 Building Code Requ irem ents fo r Rein force d Concrete (ACI 318-77), American Concrete Institute, De troit, 1977. 1.6 Commentary on Building Code Requirements for Reinforced Concrete (ACI 318—77C), American Concrete In stit ute, Det roit, 1977. 1.7 Feld, Jacob, Lessons from Failures o f Concrete Structu res, American Con crete Institute, Detroit, y la Iowa State University Press, Ames, 1964. 1.8 Cornell, C. Allin, “A Probability-Based Struct ural Code,” /. AC I, Vol 66, No. 12, diciembre 1969, pp. 97 4-985. 1.9 Winter, George y Nilson, Art hur H., Design o f Concrete Struct ures, 8a ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1972, 615 pp.
.75 70
.1
r CAPITULO 2
MATERIALES
2.1
INTRODU CCION
•
•
Las estructuras y sus miembros componentes a que se hará referencia, son de concreto presforzado con tendones de acero. También considerará el empleo de elementos con refuerzo convencional, no presforzados, para diversos propó sitos. Aunque las características generales de los materiales son bien conocidas por los estudia ntes de Ingenier ía Estru ctura l y los Ingenieros en la p rácti ca, al gunas propiedades especiales son de gran importancia en el diseño de concreto presforza do. En realidad , fue la no considerac ión /de algunas de estas prop ie dades especiales la que provocó la falta de éxito en los primeros esfuerzos en concreto presforzado. Por ejemplo, fue sólo hasta después que Freyssinet estable ció la importancia de la iependencia del tiempo de la contracción y el escurrimiento plástico del concreto que se pudieron construir con éxito estructuras de concreto presforzado. El uso de acero de muy alta resistencia para el presfuerzo es necesario por razones físicas básicas. Las propiedades mecánicas de este acero tal como lo re velan las curvas de esfuerzo-deformación, son algo diferentes de aquellas del ace ro convencional usado para el refuerzo del concreto. Adicionalmente a su alta resistencia, el proyectista debe tomar en cuenta las diferencias de ductilidad, ca rencia de un punto de fluencia bien definido, y otras características de gran im portancia técnica. § Las varillas de refuerzo comunes usadas en estructuras no presforzadas, también desempeñan un papel importante dentro de la construcción presforzada. Se usan como refuerzo en el alma, refuerzo longitudinal suplementario, y para otro s fines. E! concreto empleado en| miembros presforzados es normalmente de resis tencia más alta que el de las estructuras no presforzadas. Las diferencias en el
50
Importa ncia del acero de alta resistencia 51
Materiales
en cuenta en el diseno, y la característica de dependencia del tiempo asume una crucial importancia. El aumento de empleo de concretos ligeros en los años recientes ha per mitido la reducción de las cargas muertas, lo cual es un hecho de especial im porta ncia para las est ructur as de conc reto, y ha facilitado el ma nejo de grandes componenetes estructurales precolados. Los avances en la tecnología del con creto han resultado en el desarrollo de concretos de agregados ligeros con resis tencia comparables a las de materiales con densidad normal. Sus características de deformación, inclusive los efectos que dependen del tiempo, deberán de com prenderse plename nte antes de ser usados con p lena confianza . En los artículos que siguen, se presenta la información técnica relacionada con estos materiales
2.2 IMPORTANCIA DEL A CERO DE ALTA RESISTENCIA La razón para el fracaso de la mayoría de los primeros intentos en concreto prefor zado fue la falla de e mplear aceros con inadecuado nivel de esfuerzo-de formació n. Los cambios de longitud, fu nción del tie mpo, ocas ionado s‘j>or la con tracción y el escurrimiento plástico del concreto, fueron de tal magnitud que eliminaron el presfuerzo en el acero. La importancia de una deformación inicial elevada, y como consecuencia esfuerzos iniciales elevados en el acero se puede mostrar con un simple ejemplo. En la figura 2.1 (a) se muestra un miembro corto de concreto al cual se presfor zará axialmente usando un tend ón de acero. En el estado sin pres fuerzo el concreto tiene una longitud l c y el acero sin presfuerzo tiene una longitud l s. Después de tensar el acero y de que se transfie ra la fuerza al concreto a tra fs k i l o l i b r a s / p u l g , 2
h<- l. = l o n g i t u d n o « « f o r z a d a - s -| del acaro
vés de los anclajes extremos, la longitud del concreto se acorta hasta V y la longitud del acero esti rado es l ’s. Estos valores, por supuesto deben se idént i cos, tal como se indica en la figura. Pero el concreto sufre una deformación por contracción esh con el paso del tiempo y, adicionalmente, si se le mantiene bajo compresión sufrirá una defor mación por escurrimiento plástico ecu. El cambio total en longitud del miembro vale = (ssh + ecu)lc
(a)
y puede ser tal que exceda el estiramiento en el acero que produjo el esfuerzo inicial, y esto resultaría en la pérdida tota l de la fuerza pretensora. La importancia de la contracción y la deformación por escurrimiento se puede minimizar utiliza ndo deformacion es iniciales muy altas y esfuerzos ini ciales en el acero altos. Esto es así debido a que la reducción en el esfuerzo del acero por estas causas depende solamente de las deformaciones unitarias en el concreto relacionadas con la oontracción y la deformación por escurrimiento y del móda*de elasticidad del acero Es: A fs
i^s h
"b ECU) E S
j
y es independiente del esfuerzo inicial en el acero. Es informativo estudiar los resultados de los cálculos para valores repre sentativos de los diversos parámetros. Supóngase primero que el miembro se presfuerza empleando acero ordinario de refuerzo hasta un esfuerzo inicial fs¡ de 30 kiloli bras/pulg2 . El mód ulo de elasti cidad Es para todos los aceros es más o menos constante y aquí se tomará como 29,000 kilolibras/pulg2. La deforma ción inicial en el acero es •
150
fst 30 £sí = Z = 2 9 M ) = 1 -0 3 ><1 0- 3
íu
v ^ - ¡ c ^ l o n g i t u d n o « « f o rz a d a d e l .
y el alargamiento total del acero es
concreto
e js = 1.03 x 10 ~3L /;, - / , -l o ng it ud es fo rz ad a de L «0«ro y «I con creto ^
-e„X 10'
Pero una estimación conservadora de la suma de las deformaciones debidas a la contracción y al escurrimient o plástico del conc reto es alrededor de 0.90 x 10-3 y su correspondiente cambio en longitud es (£sh + J L ) / c = 0.90 x 10‘ 3/c
(f e )
(finura 2,1 Efecto de la contracción y el escurrimiento plástico del concreto>*n |n )• HdlU't'lón de la fuerza pretensora. (a) Miembro de concreto axialmente pfi
(c)
,# !
(d)
A
Como I, y l c son casi iguales,resulta claro al comparar (c) y (d) que los efectos
52
Tipos de acero presforzado 53
Materiales
casi a la total pérdida del esfuerzo en el acero. El esfuerzo efectivo remanente en el acero, después de que ocurren los efectos dependientes del tiempo sería: f se =
(1.03 - 0.90) x 10“ 3 x 29 x 103 = 4 kilolibras/pulg2
Alternativamente, supóngase que el presfuerzo se aplica usando acero de alta resistencia con un esfuerso inicial de 150 kilolibras/pulg2. En este caso, la deformación inicial sería 150 = 5.17 x 10-3 29,000
(e)
y el alargamiento total £s/s = 5.17 x 10- 3 /s
(f)
c
El cambio en la longitud debido a los efectos de la concentración y el escurrimiento plástico, serían igual que anteriormente (esh
+
£cu)lc
=
0.90 x 10-3/c
y el esfuerzo efectivo en el acero fse después de ocurridas las pérdidas por con tracción y escurrimiento plástico serían f se =
(5.17 - 0.90) 10“ 3 x 29 x 103 = 124 kilolibras/pulg2 V
!
1
En este caso la pérdida es alrededor de 17 por ciento del esfuerzo inicial en el acero, comparada con la perdida de 87 po r ciento que ocurriría al emplear acero suave. Los resultados de estos cálculos se muestran gráficamente en la figura 2.16 e ilustran claramente la necesidad de usar un acero que sea capaz de soportar es fuerzos iniciales muy altos cuando se emplee el presforzado.
A. Alambres redondos Los alambres redondos que se usan en la construcción de concreto presforzado postensa do y ocasional mente en obras pretensa das se fabri can en forma tal de que cumplan con los requisitos de la especificación ASTM A421, “Alambres sin Revestimiento, Relevados de Esfuerzo, para C oncreto Presforzado”. Los alam bres individuales se fabrican laminando en caliente lingotes de acero has ta o bte ner varillas redondas. Después del enfriamiento, las varillas se pasan a través de troqueles para reducir su diámetro hasta el tamaño requerido. En el proceso de esta operación de estirado, se ejecuta trabajo en frío sobre el acero, lo cual modifica grandemente sus propiedades mecánicas e incrementa su resistencia. A los alambres se les libera de esfuerzo después de estirado en frío mediante un tratamiento continuo de calentamiento hasta obtener las propiedades mecáni cas prescritas. Los alambres se consiguen en cuatro diámetros tal como se muestra en la tabla 2.1 y en dos tipos. El alambre tipo BA se usa en aplicaciones para las que las deformaciones de los extregios del alambre en frío se usan como medio de anclaje (anclaje de botón), y el tipo WA se usa para aplicaciones en las cuales los extremos se anclan por medio de cuñas y no se encuentra involucrada nin guna deformación de extremo del alambre en frío (anclaje de cuña). En el apén dice B se muestran ejemplos de tendones con anclaje de botón, los cuales son de uso más frecuente en los Estados Unidos. También se puede conseguir alambres de bajo relajamiento, a veces conoci dos como estabilizados, mediante pedido especial. Se emplean cuando se quiere reducir al máximo la pérdida de presfuerzo. Los tendones están compuestos normalmente por grupos de alambres, de pendiend o el núme ro de alambres de cada grupo del sistema partic ular usado y de la magnitud de la fuerza pretensora requerida. Los tendones para prefaTabla 2.1 Propiedades de Alambres Sin Revesti miento Relevados de Esfuerzo (ASTM A421). Mínima resistencia de Tensióni Mínimo Esfuerzo para Una Elongación Diámetro lb/pulg.2 (N/mm2) de 1% Lb/pulg.2 (N/mm2 ) nominal pulg. (mm) Tip oBA | TipoW A Tipo BA Tipo WA : *------¡§-* - —H--------------0.192(4.88) “ 150 ,000( 1725 ) " 200,000(1380) 0.196(4.98) 240,000(1655) |25 0,000 (1725) 192,000(1325) 200,000(1380) 0.250 (6.35) 240,000 (1655) #240 ,000 (1655) 192,000 (1325) 192,000 (1325) __ __ ____________
2.3
TIPOS DE ACERO PRESFORZADO
------- -------------------------
m
■
Existen tres formas comunes en las cuales se emploa el acero como tendones en concreto presforzado: alambres redondos estirado* on frío, cable trenzado y va rillas de un acero de aleación. Los alambres y loa cabio* trenzados tienen una re sistencia a la tensión de más o menos 250,000 lb/pulg2 (1720 N/m m2), en tanto que la resistencia de las varillas de aleación iÉtA antro los 145,000 Lb/pulg2
__________________________________________
---------------------------
-------
------
( 54
Tipos de acero presforzado 55
Materiales
bricados postensa dos típic os puede n consistir de 8 a 52 alambres individuales. Se pueden emplear tendones múltiples, cada uno de ellos compuesto de grupos de alambres para cumplir con los requisitos.
Los cables pueden obtenerse entre un rango de tamaños que va desde 0.250 pulg. hasta 0.600 pulg. de diáme tro, tal como se muestr a en la Tabl a 2.2. Se fabrican dos grados: el grado 250 y el grado 270 los cuales tienen una resistentencia última mínima de 250,000 y 270,000 Lb/pulg.2 (1720 y 1860 N/mm2) respectivamente, estando éstas basadas en el área nominal del cable.
B. Cable trenzado
El cable trenzado se usa casi siempre en miembros pretensados, y a menudo se usa también en construcción postensada. El cable trenzado se fabrica de acuerdo con la Especificación ASTM A 416, “Cable Trenzado, Sin Revestimiento, de Siete Alambres, Relevado de Esfuerzos, Para Concreto Preforzado” . Es fabri cado con siete alambres firmemente torcidos alrededor de un séptimo de diáme tro ligeramente mayor. El paso de la espiral del torcido es de 12 a 16 veces el diámetro nominal del cable. Para los cables trenzados se usa el mismo tipo de alambres relevados de es fuerzo y estirados en frío que los que se usan para los alambres individuales de presfuerz o. Sin embargo, las propieda des mecánicas se evidenc ian ligeramente diferentes debido a la tendencia de los alambres torcidos a enderezarse cuando se les sujeta a tensión, debido a que el eje de los alambres no coincide con la dirección de la tensión. Al cable se le releva de esfuerzos mediante tratamien to térmico después del trenzado. Los cables de bajo relajamiento o estabilizados se pueden conseguir mediante pedido especial. Tabla 2.2 Propiedades del Cable de Siete Alambres sin Revestimiento (ASTM A416) Area Nominal del Cable 1 pulg2 (mm 2)
Carga Mínima Para una Elongación de Lb (kN)
0.250 (6.35) 0.313(7.94) 0.375 (9.53) 0 .4 38 (1 1. 11 ) 0 .5 00 (1 2. 70 ) 0 .6 00 (1 5. 24 )
Grado 250 0.036(23.22) 9000(40.0) 0.058(37.42) 14,500(64.5) 0.080(51.61) 20,000 (89.0) 0.108 (69.68) 2 7, 00 0( 12 0.1 ) 0.144(92.90) 3 6, 00 0( 16 0. 1) 0.216(139.35) 5 4, 00 0 ( 24 0. 2)
7650(34.0) 12,300 (54.7) 17,000(75.6) 23,000(102.3) 30,600(136.2) 45,900 (204.2)
0.375 ( 9.53) 0.438(11.11) 0.500(12.70) 0 .6 00 (1 5. 24 )
1 Grado 270 i . ' 0.085 (54.84) 2 3,0 00(1 02.3) 0.115(7^.19) 31,000(137.9) 4 1, 30 0 ( 18 3. 7) 0 .1 53 (9 «. 7I ) 0.217 (1403H)) 5 8, 60 0 ( 260 .7 )
19,550(87.0) 26,350(117.2) 35,100 (156.1) 49,800(221.5)
Diámetro Nominal pulg. (mm )
Resistencia a la Ruptura Lb (kN)
C. varillas de acero de aleación
En el caso de varillas de aleación de acero, la alta resistencia que se necesita se obtiene mediante la introducción de ciertos elementos de ligazón, principalmen te manganeso, Silicon y cromo durante la fabricación de acero. Adicionalmente, se efectúa trabajo en frío en las varillas al fabricar estas para incrementar aún más su resistencia. Después de estirarlas en frío, a las varillas se las releva de es fuerzos para obtener las propiedades requeridas. Las varillas se fabrican de ma nera que cumplan con los requisitos de la Especificación ASTM A722, “Varillas de Acero de Alta Resistencia, sin Revestimientos, Para Concreto Preforzado”. Tabla 2.? Propieda des de las Varillas de Acero de Aleación
Diámetro A re a N om in al Nominal de la Varilla pulg. (mm). pulg.2 (m m2)
2 (12.70) 1( 15.88 ) 1( 19.05 ) i ( 22.23) 1 (25.40) 1¿ (28.58) 11(31.75) 11(34.93)
0.196 (127) 0.307 (198) 0.44€ (285) 0.601 (388) 0. 785 (507) 0.994 (642) 1.227 (792) 1.485 (958)
' 1(12.70) 1(15.88) ' 3 (19.05) 1 i (22.23) 1 (25.40) 1i (28.58) 11(31.75) 11 (34.93)
0.196(127) 0.307(198) 0.442 (285) 0.601 (388) 0 .7 85 ( 507) 0 .9 94 (642) 1. 227 (79 2) 1.485(958)
R es is te nc ia a la Ruptura Lb (kN) Grado 145 28,000(125) 45,000 (200) 64,000 (285) 87,000 (387) 1 14 ,0 00 ( 507) 144,000(641) 178,000(792) 215,000(957)
Mínima carga para una Elongación de 0.7% Lb (kN)
25,000(111) 40,000(178) 58,000 (258) 78,000 (347) 102,000 (454) 129,000 (574) 160,000(712) 193,000 (859)
Grado 160
31,000(138) 49,000(218) 71,000(316) 96,000 (427) 1 26 ,0 00 ( 56 1) 159,000 (708) 19 6, 00 0 ( 87 2) 238,000(1059)
27,000(120) 43,000(191) 62,000 (276) 84,000 (374) 110,000(490) 139,000(619) 172,000(765) 208,000 (926)
56
Materiales
Las varillas de acero de aleación se consiguen en diámetros que varían de 1/2 pulg. hast r 13/8 pulg., tal com o se muestr-a en la Tabla 2.3, y en dos grados, el grado 145 y el 160, tenien do resistencias últim as mínimas de 145,000 y 160,000 Lb/j ulg.2 (1000 y 1100 N/mm 2), respectivamente.
2.4 REFUERZO NC PRESFORZADO
El acero de refuerzo convencional, no para el presfuerzo, tiene varias aplicacio nes importantes en la construcción de concreto presforzado. A pesar de que el refuerzo del alma para tomar la tensión diagonal (ver capítulo 5) puede ser pres forzado, normalmente se toma mediante varillas de acero convencional. El re fuerzo suplementario convencional se usa comúnmente en la región de altos esfuerzos locales de compresión en los anclajes de vigas postensadas. Tanto para los miembros pretensad os como para los postensados es usual proveerlos de varillas de acero longitudinal para controlar las grietas de contracción y tem peratu ra. Los pat ines que sobresalen de las secciones T e I se refuerzan normal mente tanto transversal como longitudinalmente con varillas convencionales, no presforzadas. Finalm ente, a m enudo es conv eniente increm entar la resistencia a la flexión de vigas presforzadas empleando varillas de refuerzo longitudinales suplementarias. Tales varillas de refuerzo no presforzadas, las cuales son idénticas a las em pleadas en la contrucci ón de concre to reforza do, se fabrican en forma tal de cumplir con los requisitos de las siguientes Especificaciones ASTM: A615, “Va rillas de Acero de Lingotes Corrugadas y Lisas Para Concre to Ref orzad o” , A616, “Varillas de Acero de Riel Relaminado Corrugadas y Lisas para Refuerzo de Concreto” o la A617, “Varillas de Acero de Eje Corrugadas y Lisas Para Con creto R eforz ado” . Las varillas se pueden conseguir en diámetr os nominales que van desde 3/8 pulg. hasta 1 3/8 pulg., con incrementos de 1/8 de pulg., y tam bién en dos tamaño s más grandes de más o menos 1 3/4 y 2 1/4 pulg. de diáme tro. Estas varillas se denominan por lo general mediante un número, el cual corresponde al número de octavos de pulg. del diámetro nominal de la varilla, por ejemplo, la varilla N° 7 tie ne u n diá metro nominal de 7/8 pulg. Con la finalidad de identificar a las varillas que cumplen con los requeri mientos de las Especificaciones ASTM, se colocan marcas distintivas en la super ficie de un lado de las varillas, para denotar: (a) el lugar de origen (designación de la Planta de Producción), (b) la denominación del tamaño mediante número, (c) el tipo de acero (N para aceros de lingote, un riel como símbolo para acero de riel relami nado, o A par a acero de eje), y (d) en el caso de varillas del grudo 60 se coloca bien sea el número 60 o una simple línea longitudinal continua a través de por lo menos 5 espacio* defasada del centro del lado de la varilla. Cuando se usan varillas de refuerzo, es importante que el acero y el concre to se deformen juntos, esto es, que exista adherencia suficientemente resistente
Propiedades de esfuerzo-deformación del acero 57
pequeñ o o nulo. Esta adherenc ia proviene de la relativam ente grande adhesión química que se desarrollo en la superficie de contacto entre el acero y el con creto, también de la rugosidad natural de las costras del laminado en los re fuerzos laminados en caliente, y de las corrugaciones poco espaciadas en la superficie de la varilla, provistas con la finalidad de obtener un alto grado de anclaje entre los dos materiales. Se han desarrollado los requerimientos míni mos para estas corrugaciones mediante investigación experimental y se descri ben en las Especificaciones ASTM. Los diversos fabrican tes usan difere ntes patro nes par a satisfacer estos r equerimi entos. Las varillas se pueden conseguir en diferentes resistencias. Los grados 40, 50 y 60 tienen resistencias mínimas especificadas para la fluencia de 40,000, 50.000 y 60,000 Lb/pulg.2, respectivamente (276, 345,y 414 N/mm2). La ten dencia actual es hacia el uso de las varillas del grado 60. Bajo pedido especial se pueden conseguir varillas de gran diáme tro con punt os de fluencia de 75,00 0 y 90.000 Lb/pulg.2 (517 y 621 N/mm 2), aunque estas últimas encuentran muy poca apli cación en m iembros de con creto presforza do. Además de las simples vareas de refuerzo, a menudo se emplean las mallas de alambre^ soldadas para el refuerzo de losas, pati nes de vigas, y otras supe r ficies tales como cascarones. La malla consiste de alambres de acero estirados en frío longitudinales y transversales, formando ángulos rectos y soldadas en todos sus puntos de intersección. Las mallas pueden conseguirse con espaciamientos entre alambres desde 2 hasta 12 pulgs. y con diámetros de alambre desde 0.080 hasta 0.628 pulg., aunque no todas las combinaciones son de fácil obtención. El tamaño y el espaciamiento de los alambres puede ser el mismo o diferente para cada direc ción, tal como se necesite. El al ambre de acero y l a malla de alam bre deben cumplir con los requerim ientos de las Especificaciones ASTM A82, “Alambres de Acero Estirado en Frío Para Refuerzo de Concreto”, y A185, “Malla de Alambre de Ace¡p Soldada Para Refuerzo de Concreto” . La Tabla 2.4 muestra los aceros de refuerzo, que se obtienen más común mente, incluyendo las mayas de alambre, con la información del esfuerzo de fluencia y de la resistencia a la tensión. Mayor información relativa a mallas y varillas de acero se encontrará en el Apéndice A.
2.5 PROPIEDADES DE ESFUERZO-DEFORMACION DEL ACERO
La mayoría de las propiedades mecánicas de los aceros que son de interés para los Ingenieros de diseño se pueden obtener directamente de sus curvas de es fuerzo-deformación. Tales características importantes como el límite elástico proporc ional, el pun to de fluencia, la resistenci a, la duct ilidad y las pro pieda des de endurecimiento por deformación son evidentes de inmediato. (¡Resulta instructivo comparar, en términos generales, las curvas de esfuerzodeformación a tensión de varillas de refuerzo ordinarias con las de aceros típicos
58
Materiales
Propiedades de esfuerzo-deformación del acero 59
Tabla 2.4 Refuerzo Com ente, No Para el Presfuerzo
Tipo
Grado o Tamaño
Mínima Resistencia Especificada para la Fluencia Lb/pulg.2 (N/mm2)
Resistencia a la Tensión LB/pulg.2 (N/mm2)
40 Acero y lingote y Varillas de Acero de Ejes 60
40,000 (276) 60,000 (414)
70,000 (483) 90,000 (621)
Varillas de acero de Rieles 50 60 Alambre estirado en frío Malla de Alambre \V1.2 o Mayor Soldada
50,000 (345) 60,000 (414)
80,000 (552) 90,000 (621)
Menor que W1.2
70,000 (483)
80,000 (552)
65,000 (448)
75,000(517)
56,000 (386)
70,000 (483)
o
:
bles son el mucho más elevado lími te elástico propor cional y la resistencia dis ponible en alambres redondo s y en varillas de aleación usadas como p resfuerzos, y la substancialmente más baja ductibilidad. En el acero de refuerzo ordinario, tipificado aquí mediante los grados 40 y 60, existe una respuesta inicial elástica hasta un pun to de fluencia marcadamente definido, más allá del cual, ocurre un incremento substancial en la deformación sin que venga aparejado un incremento en el esfuerzo. Si se incrementa la carga, esta mesa de fluencia es seguida por una región de endurecimie nto por defor mación, durante el cual se obtiene una relación pronunciadamente no lineal entre el esfuerzo y la deformación. Eventualmente ocurrirá la ruptura del mate rial, a una deformación bastante grande de alrededor del 13 por ciento para varillas del grado 60 y del 20 por ciento para varillas del grado 40. El contraste con los aceros de presfuerzo es notable. Estos no presentan un esfuerzo de fluencia bien definido. El límite proporcional para alambres redon dos (y para cables hechos con tales alambres) está alrededor de las 200 kiloli bras/ pulg.2 , o sea 5 veces el p unto de fluencia de las varillas del grado 40. Con carga adicional, los alambres muestran una fluencia gradual, aunque la curva continúa elevándose monótonamente hasta la fractura del acero. El esfuerzo de falla para el alambre que se muestra es de 250 kilolibras/pulg.2 (1720 N/mm2), casi cuatro veces que el de las varillas de grado 40, pero la deformación en la falla es solamente la tercera purte. Las varillas de aleación tienen caracte rísticas similares a aquellas de los alambres redondos o de los cables trenzados, pero sus lím ites propor cionale s y insistencias son 30 a 40 por ciento menores. Curvas de esfuerzo-deformación para varillas de acero de refuerzo más detalla
Figura 2.2 Curvas comparativas de esfuerzo-deforma ción para acero de refuerzo y acero de presfuerzo. o menos el mismo: 29,0 00 kilolibras/pulg .2 (200,000 N/m m2). A pesar de que los aceros de grados 40 y 60 generalmente presentan un punto de fluencia bien definido, esto no ocurre con los aceros de alta resistencia. Para tales casos se define un punto de fluencia equivalente, como el esfuerzo para el cual la defor mación total tiene un valor determinado: de 0.5 por ciento para varillas de los grados 40, 50 y 60 y 0.6 por ciento para varillas del grado 75. Todos los grados presentan un endurecimiento por deformación considerable después de haber alcanzado el esfuerzo de fluencia. La ductilidad, medida como la defor mación tot al en el momento de falla, es significativamente meno r para los grados mayores. En la Fig. 2.4 se dan las curvas de esfuerzo-deformación típicas para alambres de presfuerzo, cables trenzados y varillas de aleación. Para alambres redondos lisos el módulo de elasticidad es más o menos el mismo que para el refuerzo ordinario, esto es, alrededor de 29,000 kilolibras/pulg.2 (200,000 N/mm2). Para el cable tren íad o, el módulo apare nte es algo m enor, alred edor dé 27,000 kiloli bras/pul g.2 (186,0 00 N/ mm2) , a pesar de que el cable se fabrica con el mismo alambre. Está ocurre debido a que la espiral del torcido del ca ble tiende a enderezarse ligeramente a m edida que se aplica la tensi ón al cable. El módulo para cables embebidos en concreto puede tener valores más próxi
60
Materiales
Relajamiento del acero 61
p a r a l o s a l a m b r e s Ep ^ 2 9 , 0 0 0 k l l o li b r a s /p u l g 2 para los torones
Figura 2.3 Curvas de esfuerzo-deform ación típica s para varillas de refuerzo co rrientes. aleación es también más o menos 27,000 kilolibras/pu’g.2 (186,000 N/mm2), la reducción en este caso se debe a la presencia de elementos de aleación. Ante la ausencia de un esfuerzo de fluencia bien definido para los aceros de presfuerzo de todos los tipos, es necesario adoptar definiciones arbitrarias para la fluencia. Para alambres y cables el esf uerzo de fluencia se defi ne como el esfuerzo al cual corresponde una deformación de 1 por ciento. Para varillas de aleación, el esfuerzo de fluencia se toma coitio aquel que produce una de formación de 0.7 por ciento. Estos valores se muestran en lu Fig. 2.4. 2.6 RELAJAMIENTO DEL ACERO
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Cuando al acero del presfuerzo se le esfuerza hasta loa niveles que son usuales durante el tensado inicial y al actuar las cargas de servicio, se presenta una pro piedad que se conoce como relajam iento. El relajamien to se define como la pérdid a de esfuerzo en un materia l esforzado manteni do con longi tud cons tante. (El mismo fenómeno básico se conoce con «1 nombre de escurrimiento
para las varillas
E¡¡ « 2 7 i 0 0 0 k ¡ | o l ¡ b ra s /p u J g 2 ^
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2 7 , 0 0 0 k l l o li b r a s / p u lg 2
Figura 2.4 Curvas de esfuerzo-deformación típicas para aceros de presfuerzo.
rial que está sujeto a Ssfuerzo constante). En los miembros de concreto presforzado, el escurrimiento plástico y la contracción del concreto asi como las fluctuaciones de las cargas aplicadas producen cambios en la longitud del tendó n. Sin embargo, cuando se calcula la pérdida en el esfuerzo del acero debida al relajamiento, se puede considerar la longitud constante . El relajamiento no es un fenómeno que ocurra en un corto periodo de tiempo. De la evidencia que se tiene disponible, resulta que continúa casi inde finidamente, aunque a una velocidad decreciente. Debe de tomarse en cuenta en el diseño ya que produce; una pérdida significativa en la fuerza pretensora. La magnitud del relajamiento varía dependiendo del tipo y del grado del acero, pero los parámetros más significativos son el tiempo y la intensidad del es fuerzo inicial. El análisis deflos resultados de varias investigaciones experimen tales, algunas de las cuales duraron más de nueve años, ha producido la infor mación que se presenta gráficamente en la Fig. 2.5, en la cual f p es el esfuerzo final después de t horas, / ;Je s el esfuerzo inicial, y f py es el esfuerzo de fluen cia. El esfuerzo de fluencia se puéde tomar igual al esfuerzo de fluencia efectivo
62
Materiales
Tipos de concreto
La información que se muestra en la Fig. 2.5 puede aproximarse expresán dola mediante la siguiente fórmula: 4 f Pi
log t " 1
( 2 . 1)
0
donde log t tiene como base 10, y /pi// py no es menor que 0.55 (Ref. (2.1). Las pruebas en que están basadas la Fig. 2.5 y la ecuación (2.1) se efectua ron en alambres redondos relevados de esfuerzo, y ante la falta de otra informa ción pueden también aplicarse a varillas de acero de aleación. En el caso de miembros pretensados, la pérdida por relajamiento que ocurre antes de la “liberación” (Transferencia de la fuerza al concreto) debe de restar se de la pérdida total por relajamiento que se predice para el esfuerzo efectivo en el momento de la liberación. Por ejemplo, si se va a estimar el esfuerzo para
63
propue sto, manteni éndose ep aquel nivel duran te un corto lapso de tiemp o y reduciéndose luego hasta el nivel inicialmente propuesto. Sin embargo, como el nivel práctico de esfuerzo inicial es más o menos 70 por ciento de la resisten cia áel acero, no es posible sobreesforzarlo en más de un 15 por ciento. Sobre la base de la evidencia disponible (Ref. 2.1), resulta que el prealargamiento es de poco efecto cuando su duración se limita a sólo unos cuantos minutos. Se pueden conseguir alambres y cables especiales con bajo relajamiento. De acuerd o con las Especificaciones ASTM A416 y A4 21, tales aceros deberán produ cir un relajami ento después de hrs. no mayor de por ciento cuan do se carguen al 70 por ciento de la resistencia especificada a la tensión, y no más del 3.5 por ciento cuando se carguen hasta el 80 por ciento de la resistencia especificada a la tensión. Las pérdidas para alambres y cables de bajo relajamien to debidas a este concepto, pueden tomarse como alrededor del 25 por ciento de las pérdidas en alambres y cables normales. 1 0 0 0
2 .5
« 2.7 TIPOS DE CONCR ETO 0
Figura 2.5 Curvas de relajamiento del acero para alambres y cables relevados de esfuerzo (según la Ref. 2.1). el tiempo tn , habiendo sido tensado el alambre en el tiempo cero, y liberado en el tiempo tr. entonces la ecuación ( . ) se pueda modificar como sigue: 2
1
E l t é r m i n o f p ¡ p u e d e t o m a r s e c o m o e l e s f u e r z o e n e l S C I) 0 e n e l m o m e n t o d e l a l ib e r a c i ó n . En algunos casos las pérdidas por relajamiento 10 lian reducido mediante un pre alargam iento, con stituyen do e sto una técnica medíanlo la cual el esfuerzo
Por muchas razones el concreto que se usa en la construcción presforzada se ca racteriza por una mayor resistencia que aquel que se emplea en concreto refor zado ordinario. Se le somete a fuerzas más altas, y por lo tanto un aumento en su calidad generalmente conduce a resultados más económicos. El uso de con creto de alta resistencia permite la reducción de las dimensiones de la sección de los miembros a un mínimo. Se logran ahorros significativos en carga muerta, y grandes claros resultan técnica y económicamente posibles. Las objetables deflexiones y el agrietamiento, que de otra manera estarían asociados con el em pleo de m iembros esbeltos sujetos a elevados esfuerzos, pueden controla rse con facilidad mediante el prewuerzo. Existen otras ventajas. El concreto de alta resistencia tiene un módulo de elasticidad más alto que-el concreto de baja resistencia, de tal manera que se reduce cualquier pérdida de la fuerza pretensora debida al acortamiento elás tico del concreto. Las pérdidas por escurrimiento plástico que son aproximada mente proporcionales a las pérdidas elásticas, son también menores. Los elevados esfuerzos de aplastamiento que existen en las inmediaciones de los anclajes de los tendones de miembros postensados se pueden tomar más fácilmente, y se pueden reducir el tama ño y el costo de los dispositivos de anclaje. En el caso de los elementos pretensados, una mayor adherencia resulta en una reducción de la longitud de desarrollo requerida para transmitir la fuerza pretensora de los cables al concreto. Finalmente, un concreto de alta resistencia a la compresión, tiene tumbién una mayor resistencia a la tensión, de tal manera que se disminu ye la formación de grietas debidas a la flexión y a la tensión diagonal. La mayor parte de la construcción en concreto presforzado en los Estados Unidos es precolada bajo condiciones de planta cuidadosamente controladas.
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Materiales
Concr eto sujeto a compresión uniaxia l
lar en mezclas bastante densas de alta resistencia, con bajas relaciones de aguacemento, sin el peligro de la formación de vacíos Se consigue más fácilmente un cuidadoso contro l de las proporciones de la mezcla. A menudo se usa el cura do a vapor para lograr una mayor hidratación en el cemento. Para los miembros del concreto presforzados colados insitu, también se especifica generalmente concreto de alta resistencia, y se logran más fácilmente debido a la mayor pre cisión en la ingeniería de la construcción. En la práctica actual, se especifican comúnmente resistencias a la compre sión entre los 4000 y 6000 lb/pulg (28 y 41 N/mm2) para los miembros de concreto presforzado, aunque se ha llegado a emplear resistencias hasta de lb/pulg (69 N/m m2). Debe enfatizarse sin embargo, que la resistencia del con creto supuesta en los cálculos del diseño y especificada, deberá de lograrse con certeza, ya que los altos esfuerzos debidos a la fuerza pretensora ocurren real mente. Debe de hacerse mención especial del concreto ligero que se logra mediante el empleo de agregados ligeros en la mezcla. Los agregados a usarse pueden ser pizarras , pizarras arcillosas, escoriadas o cenizás de grano gordo. Estos pesan poco debido a la natural eza porosa de la e struc tura celular de las partí culas in dividuales del agregado, lograda en la mayoría de los casos mediante la forma ción de gas o vapor durante el procesamiento de los agregados dentro de los hornos rotatori os a altas temperaturas. El concreto se puede producir empleando estos agregados, con un cuidadoso diseño de la mezcla, logrando pesos unitarios de entr e 90 y 120 lb/pulg.3, comparados con la densidad normal del concreto de más o menos 145 lb/pulg3. La resistencia que se logra en concretos de agre gado ligero puede ser comparable a la de los concretos hechos con agregados de piedr a medi ante una selección y propor cionam iento adecuado s de los compo nentes y un cont rol de la relación agua-cemento. El diseño y el control de las mezclas del concrete# y el desarrollo de procedi mientos para el colado y el curado son campos de estudio altamente especializa dos y no están dentro del alcance de este libro. Aquí enfocaremos la atención a las propiedades de ingeniería de los materiales resultantes. Para una informa ción relativa a lo que generalmente se conoce como tecnología de los materia les del concreto, se remite al lector a los extensos tratados contenidos en las Refs. 2.2 y 2.3. Información práctica de gran valor se puede encontra r en las pu blicacione s de la Asociación del Comento Portlan d (Rcf. 2.4) y del Inst itut o Americano del Concreto (Refs. 2.5 u 2.8).
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2.8 CONCR ETO SUJETO A COMPRESION UNIAXIAL El concreto es útil principalmente en compresión, y en Ins secciones que rige n
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1 0 0 0 0
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65
30
20
10
Figura 2.6 Curvas de esfuerzo-deformación típi cas para concreto sujet o a com presión uniaxial. T al curva se obtiene cargando cilindros estándar paralelam ente a sus ejes a velo cidades prescritas*. La figura 2.6 muestra un juego típico de tales curvas. Todas estas curvas tienen una forma similar. La respuesta es razonablemente elástica para cargas menores que más o menos la mita d de la máxima. Los concr etos de más alta resistencia tienen más alto módulo de elasticidad, el cual se mide me diante la pendiente de la curva en el origen. Además deberá notarse que los con cretos de más alta resistencia son más frágiles, esto es, ellos se fracturan a una deformación menor que a la que se fracturan los concretos de más baja resis tencia, De acuerdo con la práctica actual en el diseño, la deformación límite para compresión uniaxial se toma como 0.003 . Esto es comple tamen te jus ti ficable para concretos que tengan una resistencia a la compresión de 6000 lb/ pulg o menos (41 N/m m2), pero está algo fuera del lado conservador para materiales de mayor resistencia. Todas las curvas alcanzan su máximo esfuerzo a una deformación de más o menos . . .2
0
0 0 2
el diseño de los miembros, está sujeto u un estado de esfuerzos que es aproxi madamente
uniaxial.
Consecuentemente
la
curve
de esfuerzo-deformación
* Véame las Especificaciones ASTM C192, “Método Estándar Para Hacer y Curar Especíme
66
Materiales
Concr eto sujeto a tensión uniaxial
Las curvas de esfuerzo-deformación en compresión para concretos ligeros present an las mismas ca racterís ticas que las de los concreto s con densidad nor mal, y no se hace ninguna distinción especial entre los dos tipos en el diseño ordinario. Debe ponerse énfasis en que la forma exacta de la curva esfuerzo-deforma ción para cualquier concreto es altamente dependiente de variables tales como la velocidad de carga, el equipo específico de prueba, el método de prueba, y el tamaño y forma del espécimen. Las relaciones que se muestran en la figura 2 . 6 son típicas únicamente de resultados de pruebas corridas con procedimien tos est ándar actuales. En la estruc tura re al, se pueden obtener resultad os -algo diferentes. Afortunadamente, los procedimientos de diseño han resultado ser insensibles a la forma de la curva esfuerzo-deformación. Se han propuesto muchas relaciones que expresan al módulo de elasticidad en función de la resistencia del concreto. Puede calcularse con razonable apro ximación mediante una ecuación propuesta por Pauw (Ref. 2.9) y que se en cuentra incluida en el Código del Institu to Americano del Concreto:
67
la fabricación del concreto de Cemento Portland de alta resistencia y fraguado rápido (Tipo III) en lugar del cemento Portland ordinario (Tipo I), y el uso de curádo a vapor. Un estudio de la cuantiosa información experimental indica que las siguien tes expresiones son adecuadas para la predicción de la resistencia del concreto en función del tiempo (Refs. 2.12,2.13 y 2.14): Para concreto curado con humedad, usando cemento Tipo I:
f e , ,
(2.5a)
-Je. 2
4.00 + 0.85t ‘
Para concreto curado con humedad, usando cemento Tipo III: t f ’c ,=
(2.5b)
f e , 2
2.30 + H92r
Para concreto curado a vapor, usando cemento Tipo I: Ec = 33w3/2J J c
‘
(2.3)
en la cual w es el peso unitari o del concreto endurecido en lb/pie 3, / ’ es la resis tencia a la compresión cilindrica en lb/pulg . 2 y Ec está dado en lb/pulg . 2 *. La ecuación (2.3) se obtuvo probando concretos estructurales con valores de w que varían de 90 a 155 lb/pie3. Para concretos de peso normal con w de 145 lb/pie3 se obtiene aproximadamente:
f _ _____ i _____ f Jc -‘ 1.00 + 0 .9 5 rc-
(2.5c)
Para concreto curado a vapor, usando cemento Tip o III:
c ' 0.70 + 0 ,9 St Jc ’28 Ec = 5 7 , 0 0 0 ^
(2.4)
Cuando al concreto se le comprime en una dirección, al igual que ocurre con otros materiales^ éste se expande en la dirección transversal a la del esfuerzo aplicado. La relación entre la deformación transversal y la longitudinal se co noce como relación de Poisson. Es significativa solamente dentro del rango elás tico, para esfuerzos menores más o menos la mitad de la resistencia del concreto. En este rango la relación de Poisson del concreto varía entre 0.15 y 0.20. La resistencia del concreto varía con su edad, siendo el aumento de su re sistencia más rápido al principio, tornándose luego mucho más lento. Esta va riación de la resistencia es especialmente importante en el diseño y fabricación de miembros de concreto presforzado, debido a que las elevadas cargas se pue den producir a muy temprana edad por el acero tensado. En todos los tipos de construcción presforzada, pero particularmente en miembros producidos en planta s de prete nsado , se siguen método s especiales para garantizar el desarrollo rápido de la resistencia a la compresión. Entre éstos se Incluyen el empleo en
equivalencia *'ii
Internacional
(2'5d^
En estas ecuaciones, f ’c es la resistencia a la compresión al tiemp o t, f ’c 28 es la resistencia a la compresión a los 28 días, y t es la edad del concreto en días. La figura 2.7 presenta estas funciones resistencia-tiempo gráficamente, con el tiempo en escala logarítmica. La evidencia de las pruebas indica, que las ecuaciones (2.5a) a (2.5d) se aplican indiscriminadamente para concretos de peso normal y concretos con agregados de arena ligera o cualquier otro agregado ligero. -i m r .Sí#: !ér 2.9 CONCRETO SUJETO A TENSION UN IAXIAL
¡4
-M 1.
Las grietas en los miembros de concreto presforzado pueden producirse debido a la tensión directa, la flexión, la combinación del corte y flexión en las almas de las vigas, la torsión , y por! otras acciones. El compor tami ento de los miem bros cambia a menudo bruscamen te cuando se forman las grietas de tensió n. Consecuentemente es importante conocer la resistencia a la tensión del mate rial. ■Existen varias maneras de medir la resistencia a la tensión del concreto,
Concreto sujeto a tensión uniaxial 68
69
Materiales
pecificaciones ASTM. Se emplea un pequeño bloque de concret o sin re fuerzo apoyado en sus extremos y cargado en los tercios del claro. Generalmente se emplea una viga de x pulgs, con un claro entre apoyos igual a 18 pulgs. El módulo de ruptura vale: 6
6
(2.5) donde P es la carga total en el momento de la fractura, L es el claro, y b y h son respectivamente el ancho y la altura de la sección transversal. Para concre to de densidad normal el módulo de rutpura está generalmente entre 7.5 \ f J l y V f c’ , mi entras que para conc retos de agregado ligero puede variar de 5 V7 T a 9 V f c’ . En cada caso los valores más pequeños corresponden a los con cretos de mayor resistencia. Debido a que el módulo de ruptura se calcula bajo la suposición de que el concreto es un material elástico, y debido a que los es fuerzos críti cos ocurre n sólo en la superficie exte rior, es factible que el módulo sea mayor que la resistencia #del concreto sujeto a tensión uni forme axi al, la cual se toma a menudo entre 3 V f c’ y 5 V f c’ para concreto s de densidad nor mal y entre 2 V /jT y 3.5 V f ’c para concretos ligeros. En años recientes la prueba brasileña ha ganado popularidad debido a la buena reprodu cibilidad de los resultados. El arreglo estánda r se muestra en la fi gura 2.8b. Un cilindro de concreto de x 12 pulgs. (el mismo que se usa para la prueba de compresión estándar uniaxial) se coloca en una máquina para prue ba de compresión en posición horiz ontal , de tal manera que la compresión se aplique a lo largo de dos generatrices diametralmente opuestas. Puede mostrarse que en un cilindro elástico cargado de esta manera, existe un esfuerzo de tensión práctica mente uniform e en ángulos rectos con el pl ano de la carga. El cilindro se parte a un esfuerzo qu% se calcula de la ecuación: 1 2
<
6
2P
( 2 .6)
nLd
Figura 2.7 Efect o de la edad en la resistencia a la compresión uniaxial del con creto (Adaptado de la Ref. 2.12). (a) Curado con humedad, (b) Curado a vapor. de tensión se efectúan empleando especímenes con forma de pesa de gimnasia fijados mediante asideros especiales. Sin embargo los resultados presentan gran dispersión debido a los efectos de pequeños desalineamientos, concentracio nes de esfuerzo en los asideros y a los efectos casuales relacionados con la ubi cación de los agregados; por ésta razón, las prueíbas directas de tensión se usan muy poco. Durante muchos años la resistencia a la tensión se ha medido usan do bien sea la prueba del módulo de ruptura o la prueba brasileña. El módulo de ruptura es el esfuerzo calcúlalo de tensión debido a la fle xión, bajo el cual una viga de pruebu de concreto se fractura. Los dispositivos
-LP/2
P/2 P
k-*-H
^^^^^^
T h
1
K~ la)
w
Figura 2.8 Pruebas p ara detérminar la resistencia a la tensión uniaxial del con creto. (a) Prueba del módulo de ruptura, (b) Prueba brasileña.
70
Deformación en el concreto dependiente del tiempo 71
Materiales
donde P es la carga de ruptura, d es el diámetro del cilindro y L su longitud. Pa ra concretos de agregado normal la resistencia del cilindro está generalmente entre los valores V f ’c y 7 V f ’c , en tanto que para concreto ligero está gene ralmente entre los valores de 4 \ f f ’c y 5 \/ f ’c . Como antes, los valores más ba jos corres pond en a conc retos de res istencia más alta. El concreto sujeto a tensión uniaxial responde de una manera casi elástica hasta la carga de fractura. Para propósitos de diseño. El módulo de elasticidad y la relación de Poisson en tensión se pueden tomar iguales a los valores corres pon dien tes b ajo comp resión uniaxial.
fy d'c Tensión
6
2.10 CONCRETO SUJETO A ESFUE RZO S BIAX IALES
En varias zonas de las estructuras reales el concreto se encuentra sujeto a un estado de esfuerzo complejo. Por ejemplo, las almas de las vigas soportan corte, combinado con tensión o compresión por flexión. En los miembros los esfuer zos de corte debidos a la torsión actúan generalmente de manera conjunta con los esfuerzos de corte transversales y los esfuerzos longitudinales normales. Se pueden encontrar otros ejemplos fácilmente. Es pues de alguna importancia pod er pred ecir la resistencia , así como el com port ami ento antes de la falla del concreto sujeto a varios estados de esfuerzo combinados. Tales estados complicados de esfuerzo pueden reducirse siempre a tres esfuerzos principales equivalentes, actuando en ángulos rectos entre sí, median te una apropiada transformación de coordenadas. Cualquiera de los esfuerzos princi pales puede ser tensión o comp resión. Si uno de ellos es 0 puede decirse que existe un estado biaxial de esfuerzos. Si dos de ellos son 0 el estado de es fuerzos es uniaxial. A pesar de la exhaustiva investigación de los años( recientes, aún no ha sur gido una teoría general de la resistencia del concreto sujeto a esfuerzos combi nados. Sin embargo, existe progreso obtenido en el establecimiento experimental de el efecto de esfuerzos multiaxiales, notablemente para los casos de esfuerzo biaxial (Refere ncias 2.10 y 2. 1 ). La figura 2.9 muestra la influencia del esfuer zo lateral principal f y en el esfuerzo de falla f x en la dirección perpendicular. Todos los esfuerzos se expresan adimensionalmente en términos de la resisten cia a la compresión uniaxial f ’c . Pueden verse que en el cuadrante de la compre sión biaxial, solamente se requiere una cantidad de compresión lateral equivalente al % o más de la compresión en la dirección longitudinal para aumentar la resistencia en la dirección longitudinal en aproximadsmcnte 20%. En el cua drante de la tensión biaxial la resistencia es casi independiente de los esfuerzos laterales. En el estado de tensión-compresión, se obtiene una interacción apro ximadamente lineal. Un valor relativamente pequeño de lu tensión lateral deviene en una pérdida importante de la resistencia a la compresión longitudinal. También se ha encontrado que la compresión o la tensión laterul modifican la curva aparente de esfuerzo-deformación que se obtiene puní un ostudo uniaxial 1
2 0
Figura 2.9 Envolvente de la resistencia del con creto sujeto a esfuerzo biaxial. de esfuerzos (Refs. 2.10 y 2.11). Esto se debe parcialmente al efecto de Pisson, pero tamb ién se de be al in crem ento en el con finam iento de las grieta s peq ueña s interiores en el caso de la compresión lateral. Tal información ha sido de utili dad en los análisis refinados, usando el método de los elementos finitos, de miembros de concreto tales como vigas de gran peralte y muros de cortante en donde el estado de esfuerzos puede considerarse biaxial. Como se ha logrado un progreso muy limitado en el estudio del comporta miento y la resistencia del concreto sujeto a estado triaxial de esfuerzos, aún no se ha desarrollado información que sea útil para el diseño. # rf !'* - ' i '!.< M >$ 2.11 DEFORMACION EN EL CONCRETO DEPENDIENT E DE L TIEMPO • -Wm Ú m ’Mp m- • La deformación del concreto dependiente del tiempo debida al escurrimiento plástico y a la contracción, es de importancia crucial en el diseño de estructu ras de concreto presforzado, debido a que estos cambios volumétricos producen una pérdida en la fuerza pretensora y debido a que ellos producen cambios significativos en la deflexión. Una estimación cuidadosa de los efectos del escu-
72
Deformación en el concreto dependiente del tiempo 73
Materiales
rrimiento plástico y la contracción requiere de una información de ingeniería que relacione tales cambios de volumen con el tiempo, la intensidad del esfuer zo, la humedad, y otros factores. Debido a su importancia, tanto el escurrimiento plástico como la contracción, han sido objeto de investigación exhaustiva durante mucho tiempo. Los estudios más productivos fueron experimentales, y de tales investigaciones se derivaron las relaciones funcionales necesarias.
A. Es currimien to plástico El escurrimiento plástico es la propiedad de muchos materiales mediante la cual ellos continúan deformándose a través de lapsos considerables de tiempo bajo un estado constante de esfuerzo o carga. La velocidad del incremento de la de formación es grande al principio, pero disminuye con el tiempo, hasta que des pués de much os meses alcanza un valor const ante asintóti camente . Se ha encontrado que la deformación por escurrimiento plástico en el con creto depende no solamente del tiempo, sino que también depende de las pro porciones de la mezcla, de la hume dad, de las condiciones del curado, y de la edad del concreto a la cual comienza a ser cargado. La deformación jfor escurri miento plástico es casi directamente proporcional a la intensidad del esfuerzo. Por lo tanto, es posible relacionar a la deformación por escurrimiento plástico con la deformación elástica inicial mediante un coeficiente de escurrimiento •plástico definido tal como sigue: Q = — ^ci
(2.7)
existente y de la obtenida por ellos mismos relacionada tanto con la contracción como con el escurrimiento plástico (Refs. 2.12 y 2.14). Se recomendaron ecua ciones básicas que describen las relaciones funcionales entre las deformaciones debidas al escurrimiento plástico y la contracción y el tiempo, juntamente con factores de modificación que permiten tomar en cuenta a las otras variables de gran importancia. Estas recomendaciones fueron respaldadas por el comité 209 del ACI, al cual se le encomendó el estudio del escurrimiento plástico y la contracción del concreto, así como la emisión de información apropiada para el diseño (Ref. 2.13). Puede relacionarse el coeficiente de escurrimiento plástico para un tiempo cualquiera, Ct , con el coeficiente de escurrimiento último, Cu, mediante la ecuación:
,
0.60
C ,= 1 0
+ t ° - 6 0 c “
(2 . 1 0 a)
o relativamente: ^O.óO =
1 0
+ t0 60 óu
(2 .1 0 b)
donde t es el tiempo en días. Esta relación se muestra gráficamente en la figura 2.10. Cuando no se dispone de información específica de las condiciones y agre gados locales, se puede usar un valor promedio de Cu de 2.35. La ecuación (2.10) es aplicable para condiciones “estándar”, definidas por Branson y Kripanarayanan, como concreto con un revenimiento igual o menor que 4 pulgs., humedad reltiva del 40%, espesor mínimo del miembro de 6 pulg.
donde £c¡ es la deformación inicial elástica y scu es la deformación adicional en t el concreto, después de un periodo largo de tiempo, debida al escurrimiento plástico. Algunas veces el mismo fenómeno se describe en función de la deforma ción unitaria debida al escurrimiento plástico, o de la deformación por escurri miento plástico por unidad de esfuerzo, tal como sigue: E eu m Ü u f c i
(2.8)
donde Su es el coeficiente por deformación unitaria debida al escurrimiento plástic o, a veces denomina do escurrimient o específic o, y f c¡ es la intensidad del es fuerzo. Ya que la deformuclón adicional ecu puede expresa rse bien sea mediante Cueci o mediante Suf ci es fácil ver que:
'»p
Cu
- ÓUEC
(2.9)
Branson y Kripanarayan un •(•otilaron un extenso estudio de la información
Figura 2.10 Variación del coeficiente del escur rimie nto plástico con el tiem po. (Adaptado de la Ref. 2.12). J j l
m
'í ¡I
o menor, una edad para la carga de 7 días para concreto curado con humedad y de 1 a 3 días para concreto curado a vapor. Para condiciones diferentes de la
74
Materiales
Deformación en el concreto dependiente del tiempo
estándar, se recomienda la aplicación de factores de corrección a Ct ó a 8t , tal como sigue: Para edades de carga mayores de 7 días y concreto curado con humedad: Fc,ia = 1.25t,“0' 118
( . 2
1 1
a)
donde ha es la edad de carga en días. Para edades de carga mayores de 1 a 3 días y concreto curado a vapor:
Tabla 2.5 Factores de Corrección para el Escurrimiento para edades de Carga distintas de la estándar. Edad del concreto al cargarlo en días
, Factor de Corrección Por Escurrimiento Plástico F c,la
_____ ______________________________________
Curado con Humedad, Cargado Curado a Vapor, Cargado después de los 7 Días después de 1 a 3 Días 0.95 0.87 0.83 0.77 0.74
1 0
2 0
F c,la =
( . b)
1-13íj” 0095
2
1 1
Para humedad relativa mayor que el 40 por ciento: Fc¡h = 1.27 - 0.0067 H
( 2. 12)
donde H es la humedad relativa en porcentaje. En las tablas 2.5 y 2.6 se dan al gunos valores para los factores de corrección f cl y Fch , respectivamente. En la mayoría de los casos se pueden despreciar las correcciones asociadas con el tamaño del miembro y otras variables. B. Contracción Las mezclas para concreto normal contienen mayor cantidad de agua que la que se requiere para la hidratación del cemento. Esta agua libre se evapora con el tiempo, la velocidad y la terminación del secado dependen de la humedad, la temperatura ambiente, y del tamaño y forma del espécimen del concreto. El secado del con creto viene aparejado con una disminución en su volum en, ocu rriendo este cambio con mayor velocidad al principio que al final, en que se al canzan las dimensiones límite asintóticamente. Branson y Kripanarayanan sugieren ecuaciones “estándar” para relacionar la contracción con el tiempo, tal como sigue: Para concreto curado con humedad en cualquier tiempo t después de la edad de 7 días: ^sh,í
35 T t
(2.13a)
^sh,u
El valor de eshu puede tomarse como 800 X 1 0 si no se dispone de informa ción local. Para concreto curado a vapor en cualquier tiempo después de la edad de 1 a 3 días: &sh,t
55 +
£sh,u
ri,
(2.13b)
75
30 60 90
0.90 0.85 0 .8 2
0.76 0.74
Tabla 2.6 Factores de Corrección por Escurrimiento Plástico y Contracción Para Humedades Relativas distintas de la estándar. Humedad Relativa en Factíjf de Corrección por H Escurrimiento Factor de Corrección por Por Liento Plástico Fc h Contracción Fsh h 40 o menor 50 60 70 80 90
1 .0 0
1 .0 0
0.94 0.87 0.80 .0.73 0.67 0.60
1 0 0
0.90 0.80 0.70 0.60 0.30 0 .0
0
Se sugiera un valor promed io para esh(j de 730 X 10 para concret o curado a vapor. La relación entre la deformación por contracción y el tiempo se ha representado en escala semi-logarítmica y se muestra en la figura tanto para el concreto curado con humedad como para el curado a vapor. Para otras condiciones de humedad que no sean la estándar, pueden modi ficarse las ecuaciones (2.13a) y (2.13b) mediante un factor de corrección: :¿fin Jfikw ') ir 2 . 1 1
>1
Para 40 < H <
8
f%
Para 80 < / / < ! £
•'•i m. .
.
FSh,h = 1-40 - 0.010//
(2.14a)
Fsh,h = 3.00 - 0.030//
(2.14b)
, Los valores representati vos de la correc ción por cont racci ón para varios niveles de humedad se presentan en la Tabla 2.6. Las correcciones asociadas con
76
Materiales
Bibliografía 77
Edad
Figura 2.11 V ariación del coeficiente de contracción con el tiem po. (Adaptado de la Ref. 2.12). La evidencia de las pruebas no muestran una variación consistente entre concre tos de peso norm al, fabri cados con arena, ligera, y en general todos los concretos ligeros, así como también no se presenta una diferencia cjonsistente entre concretos fabricados con cemento Tipo I o Tipo III (Refs. 2.12 y 2.13). Ante la ausencia de otra información, las ecuaciones y factores de corrección que se dan arriba pueden usarse en todos los casos. Bibliografía 2.1
Magura, D. D., Sozen, M. A., y Siess, C. P., “A Study of Stress Relaxation in Prestressing Reinforcement”, J. PCI, Vol. 9, No. 2, Abril 1964, pp. 13-57. 2.2 Neville, A, M., Properties o f Concrete, 2a Ed., Wiley, Nueva York, 1973, < 6 8 6 pp. 2.3 Troxel l, G. E., Davis, H. E., y Kelley, J. W., Composition and Properties o f Concrete, 2a Ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1968. 2.4 Design and Control o f C oncrete Mixtures, 11a Ed., Portlan d Cement As sociation, Old Orchard Rd; Skokie, Illinois, 1968, 124 pp. 2.5
2.6 2.7
Reco mm end ed Practice for Selecting Proportions for Norm al Weight Concrete, ACI Stand ard 2 11. 1—70, 16 pp¿ Rec omm ende d Practice for Measuring, Mixing, Transporting, and Placing Concrete, ACI Standa rd 30 4—73, 40 pp.
“Guide for Structu ral Lightweight Aggregate Concr ete” , Hecho por ACI Comittee 213,/. ACI, Vol. 64, No. 8 , Agosto 1967, pp. 433-469.
2.8 Rec omm ende d Practice fo r Selecti ng Proportions for Structu ral Ligh t weight Concrete, ACI Standard 21 1.2—69, 20 PP> ^ 2.9 Pauw, A., “Static Modulus of Elasticity ofjKhnurtU as Affected by Den sity”, J. ACI, Vol. 32, No. 6 , Diciembre 196$[pp , 679 687. 2.10 Liu, T.C.Y., Nilson, A. H., y Slate, F.O., “ S
2.11 Tasuji, M. E., Slate, F.O., y Nilson, A.H., The Behavior o f Plain Concrete Subject to Biaxial Stress, Reporte de investigación No. 360, Departament of Structural Engineering, Cornell University, Mayo 1976, 180 pp. 2.12 Branson, D. E. y Kripanarayan an, K. M., “Loss of Prestress, Camber and Deflection of Non-Composite and Composite Prestressed Concrete Struc tures”, /. PCI, Vol. 16, No. 5, Septiembre 1971, pp. 22—52. 2.13 “Prediction of Creep, Shrinkage, and Temperature Effects in Concrete Structures” , Reporte de ACI Committee 209, Designing fo r Effe cts o f Creep, Shrinkage, Temperature in Concrete Structures, ACI publicación especial SP-27, 1971, pp. 51-93. 2.14 Branson, D. E., Defor mation o f Concrete Str uctures, McGraw-Hill, Nueva York, 1977, 546 pp.
CAPITULO 3
ANALISIS POR FLEXION
3.1 INTRODUCCION El estudio de las vigas requiere de análisis o diseño. En el caso del análisis por flex ión, las dimensiones del acero y del concreto, así como la magnitud y línea de acción de la fuerza efectiva pretensora son generalmente conocidas. Si se dan las cargas, es posible que se desee calcular los esfuerzos resultantes y compararlos con los respectivos esfuerzos permisibles. Alternativamente, si se conocen los esfuerzos permisibles, es posible calcular las máximas cargas que pueden tomarse sin exceder los esfuerzos permisibles. Para resistencias conocidas del material, pueden calcularse la capacidad del miembro para cua lquier carga y el facto r de seguridad contr a el colapso. En contraposición, en el diseño por flexión, se conocen los esfuerzos permisibles, y la resistencia de los materiales, se dan las cargas por soportar y el ingeniero debe determinar las dimensiones del concreto y el acero así como la magnitud y la línea de acción de la fuerza pretensora. El análisis por flexión de miembros presforzados es con mucho la tarea más sencilla. El diseño se complica por la interdependencia de muchas variables. Por lo general, los cambios en una variable afectarán a muchas otra s de ellas, si no es que a todas, y a menudo el m ejor camino para el diseño final es un procedimiento iterativo. Un miembro tentativo que se escoge sobre la base de un cálculo aproximado se verifica para comprobar su suficiencia, y luego se afina. De esta manera, en cierto sentido el diseñador converge a la solución que es “la mejor” . Tanto el análisis como el diseño del concreto presforzado puede necesitar de la consideración de varios estado J le carga, tal como sigue:
Esfuerzos elásticos de flexión en vigas no agrietadas 81 80 Análisis por flexión
3.3 PERDIDA PARCIAL DE LA FUERZA PRETENSORA 2. 3. 4.
5.
Presfuerzo inicial más peso propio del miembro. Presfuerzo inicial más la tota lida d de la carga muerta . Presfuerzo efectivo, Pe, después de ocurridas las pérdidas más las cargas de servicio cons istentes en la totalidad de la carga muerta más las cargas vivas esperadas. Carga última, cuando se incrementan las cargas esperadas de servicio mediante factores de carga, y el miembro se encuentra al inicio de la falla.
En el nivel de cargas de servicio o por debajo de él, tanto los esfuerzos en el con creto como los actuantes en el acero están por lo general dentro del rango elás tico. Sin embargo, si el miembro llega a sobrecargarse, es posible que uno o los dos materiales pueda ser esforzado dentro del rango inelástico, en cuyo caso, las predicciones de la resistencia últim a deberán basarse en las relaciones reales no lineales de esfuerzo-deformación. En este capítulo se tratarán únicamente vigas,de un solo claro, estáticamente determinadas. El estudio de estos miembros permite el establecimiento de los principios básicos en la f orma más clara posible. Por otra parte , estos miembros son de una gran importancia práctica, ya que un gran porcentaje de la construc ción en concr eto presforzado en los Estados Unidos es corrie nteme nte precolada y se monta en forma de vigas simplemente apoyadas. El estudio de las vigas indeterminadas, de uso creciente en los edificios, así como en los puentes y otras estructuras, se abordrá hasta el capítulo . 8
No es posible ir muy lejos en el análisis o diseño de miembros de conc reto pres forzado sin tomar en cuenta que la fuerza pretensora no es constante. Como ya se estudió brevemente en el capítulo 1, la fuerza de tensión en el gato P¡, aplicada ini cialmente al tendón, se reduce inmediatamente, lo que se ha denominado fuerza preten sora inicial P¡. Una parte de esta pérdida en la tensión del gato, aquella debida a la fricción existente entre el tendón postensado y su ducto, realmente ocurre antes de la transferencia de la fuerza pretensora al concreto. La restante, debida al acortamiento elástico del concreto y a los deslizamientos en los anclajes del postensado al empezar a trabajar las cuñas de bloqueo, ocurre inmediatamente después de la transferencia. Ocurren pérdidas adicionales a través de un largo periodo, debidas a la con tracción y al escurrimiento plástico, y al relajamiento de los esfuerzos en el ten dón de acero. Como consecuencia de esto, la fuerza pretensora se reduce de P¡ hasta su valor final o efectivo/^, después de que han ocurrido todas las pérdidas significativas que dependen del tiempo. Los valores de mayor interés en el cálculo de los esfuerzos en el concreto son el presfuerzo inical P¡ y el presfuerzo efectivo Pe. R esulta conveniente expre sar la relación entre estos términos en función de la relación de efectividad R. la cual se define como: P e = R P i
3.2 NOTACION El estudio y el diseño de estructuras de concreto presforzado se simplifica gran demente con la adopción de un juego de símbolos lógicos y autoconsistentes para la descripción de las dimensiones, esfuerzos, fuerzas, cargas, y otras canti dades importantes. Desafortunadamente, no existe un consenso general con relación a cuáles deberían ser estos símbolos, y la mayoría de los autores proce den de manera independiente. La notación del Códico ACI constituye la base de la notación empleada en este texto. Con la finalidad de obtener mayor claridad y consistencia, se lian efectuado algunos cambios menores. El lector tendrá m uy poca dificultad en adaptar la notación del Código, si así lo pr&íjfcre. Todos los símbolos se definen al momento de su aparición inicial. De una manera consisten te en la práct ica general de la ingeniería estruc tural, las deformaciones y los esfuerzos de tensión se consideran positivos (ya que ello» vienen asociados con un incremento de la longitud) y las deformaciones y es fuerzos do Compresión se consideran negativos. Las deformaciones y esfuerzos correspondientes a la fibra extrema superior se les asigna el subíndice 1 y a aque
(3-1)
Expresada de otra manera, la relación entre las pérdidas dependie ntes del tiempo y la fuerza inical de presfuerzo es: ii— ^ =
1
-R
(3.2)
En trabajos de mayor importancia es siempre recomendable calcular cuida dosamente cada componente de la pérdida de la fuerza pretensora. usando la mejor información disponible de las propiedades de los materiales y de las sexuencia de la construcción. En los casos rutinarios o de menor importancia, resulta adecuado suponer un valor para la relación de efectividad R, basándose en la información publicada o en las experiencias previas de construcciones simi lares. En el capítulo se dará información detallada útil para el cálculo de cada uno de los componentes individuales de las pérdidas. En todos los ejemplos de este capítulo, con el objeto de no obscurecer los principios fundamentales, se supondrá un valor razonable paradlas pérdidas. 6
j B u !» i - S ^ 3.4 ESFUERZOS ELASTICOS DE FLEXION EN VIGAS NO AGRIETADAS : 1
ü
A. Compo rtamient o de vigas preiforz adas en el rango elástico En la figura 3.1u se muestra una viga presforzada apoyada simplemente con un tendón curvo. El centroide del concreto es el de toda la sección no agrietada, y
82
Esfuerzos elásticos de flexión en vigas no agrietadas 83
Análisis por flexión
el acero se representará por su eje centroidal, bien sea que esté constituido por un solo tendón o por varios. La excentricidad del centroide del acero, será posi tiva si ésta se mide hacia abajo del centroide del concreto, y se representa con e. Las distancias de el centroide del concreto a las superficies superior e inferior del miembro son c¡ y c2 , respectivamente. La figura 3.1 b muestra las fuerzas resultantes que actúan en el concreto des pués del tensado del acero. La fuerza F actúa en el concreto en los anclajes de los tendones cerca de los extremos del miembro. La fuerza P en el centro del claro es la resultante de todos los esfuerzos normales de compresión en el con creto que actúa en dicha sección. Estos esfuerzos normales varían de un valor / , en la superficie superior a f 2 en la superficie inferior. Las fuerzas N se ejercen sobre el concreto por el tendón debido a su curvatura y la distribución exacta de estas fuerzas depende de la configuración particular que se use para el tendón. Las tres fuerzas F, N, y P forman un sistema autoequilibrado, tal como se ilustra en el polígono cerrado de fuerzas de la figura 3.1c. Nótese que cuando únicamente actúan las fuerzas del presfuerzo en una viga estáticamente determ i nada, las reacciones externas en la viga son cero . , La figura 3.1
Centroide del concreto
Y / i
__
1
i
/ i
i
i
i
i
t * p i i
i
y "
-«k
Centroide del acero"
(a)
N
-üT
(c)
* p
k -------(di
i-
wl 2 (e)
Figura 3.1 Fuerzas que a ctúan en una viga presforz ada típi ca, (a) Perfil de la viga y su sección. ( b) Fuerzas que actúan en el concreto, (c) Polígono de equili brio de fuerzas, (c?) Fu erzas de anclaje y cu rvatur a reemplaza das por la resulta nte, (e) Viga con cargas transversales. una viga de concreto reforzado, el bra/o del par interno permanece básicamente constante a medida de que la¡ carga se incrementa, y el incremento en el mo mento viene acompañado porlun incremento casi proporcional de las fuerzas infernas. Para la viga presforza|ia, l a fuerzas permanecen esencialmente constantea a medida que se incrementa la larg a, y el incr emento en el m omento viene acompañado por un incremento delfcrazo del par interno.
84
Anállili por flexión
B. Esfuerzos elásticos
Siempre que la viga permaneza sin agrietarse, y que tanto el concreto como el acero sean esforzados dentro de los rangos elásticos, los esfuerzos en el concreto pueden hallarse usando conocidas ecuaciones de la mecánica, basadas en el com port amie nto elástico. En la práctic a actual, estas condiciones se cum plen a m e nudo hasta el nivel de las cargas de servicio.
Esfue rzos elásticos de flexión en vigas no agrietadas
85
De acuerdo con el Código ACI, los esfuerzos se pueden hallar usando los métodos elásticos lineales, aun cuando la tensión nominal sea ligeramente mayor que el valor probable del módulo de ruptura. El razonamiento para esto es que debe de proveerse una cierta cantidad de refuerzo bien sea presforzado o no en las zonas de tensión. Esto sirve para controlar tanto las grietas como la deflexión, y permite al miembro responder esencialmente como si no tuviera grietas. Si el miembro se sujeta únicamente a la fuerza pretensora inicial P¡, acaba de demostrarse que la resultante de compresión actúa en el centroide del acero. El esfuerzo en el concreto f 1 en la cara superior del miembro y f2 en la cara inferior , pueden hallarse mediante la superposició n de los ef ectos axial y de flexión: k =
/ 2
•
=
P¡
Pieci
A c
Ic
Pi A c
Piec2
(3.3a)
...
Ic
’
Hr
^
1
(3.3b)
donde e es*la excentricidad del tendón medida hacia abajo desde el centroide del concreto, A c es el área de la sección transversal del concreto, e I c es el momento de inercia de la sección transversal del concreto. Los demás términos ya se defi nieron anteriormente. Sustituyendo el radio de giro r2 ~ IJ A C, estas ecuaciones pueden escribirse en una form a más conveniente: (3.4a)
k
P¿ A r
1
+
ec 2
(3.4b)
La distribución resultante del esfuerzo se muestra en la figura 3.2 a. Casi nunca el presfuerzo inicial P¡ actúa solo. En la mayoría de los casos prácticos, con el te ndón debajo del centroid e del concre to, la viga se deflexiona rá hacia arriba debido al momento de flexión causado por el presfuerzo. Entonces se soportará por las cimbras o por las camas de colado sobre todo en los extremos, y la carga muerta de la viga misma, causará momentos M0 que se superpondrán inmediatamente. Consecuentemente, en el estado inicial de carga, inmediatamen te después de la transferencia de la fuejza pretensora, los esfuerzos en el concreto en la* superficies superior e inferior val^n: i* k =
e c i )i M . - í ( | ~ r 2 J S1
^
át (3.5a)
80
Esfue rzos elásticos de flexión en vigas no agrietadas
Anéllil» por flexión
donde M0 es el momento flector debi do al peso propio del miembro, y S¡ = I J c 1 y S2 = I J c 2 son los módulos de sección con fespecto a las superficies superior e inferior de la viga. La distribución del esfuerzo para este estado de carga se muestra en la figura 3.2 b. Pueden colocarse las cargas muertas superpuestas (adicionales al peso propio) cuando la fuerza pretensora tenga aún un valor cercano al inicial, esto es, antes de que hayan ocurrido las pérdidas dependientes del tiempo. Sin embargo, este estado de cargas rara vez controlará el diseño, como se puede confirmar estu diando la figura 3.2. Las cargas vivas aplicadas son generalmente superpuestas lo sufiencientemente después como para que hayan ocurrido la mayor parte de las pérdidas del presfuerzo. En consecuencia, el siguiente estado de carga de interés es el estado correspondiente a la totalidad de las cargas de servicio, cuando actúa la fuerza pretensor a efectiva Pe con los mom entos debidos al peso propio (Ma), a la carga muerta superpuesta ( M d) y a la carga viva ( ) . Los esfuerzos resultantes son: *
f i =
f i —
1
Ac
: S i I » ' ¿
c
(3.6a)
87
En la construcción pretensada, teóricamente debería usarse la sección trans formada en los cálculos. Sin embargo, las diferencias entre las propiedades de la sección transformada y la sección total son generalmente tan pequeñas que per miten el empleo de la sección total en los cálculos.
D. Núcleo central de la sección transversal
Se dice que cuando la fuerza pretensora, actuando sola, no produce tensiones en la sección transversal, actúa dentro del núcleo de la sección transversal. En los casos límites se obtendrá una distribución triangular de esfuerzos de la aplicación de la fuerza pretensora, con un esfuerzo en el concreto de cero en la parte supe rior o inferior del miembro. Las dimensiones lími te del núcleo central de la sección se pueden hallar de las ecuaciones (3.4a) y (3.4 b). Para hallar la dimensión inferior del núcleo central, el esfuerzo en el concreto en la superficie superior deberá hacerse cero, tal como se ilustra en la figura 3.3. Así pues*: i»
(3.6b)
Ac
donde el momento total Mf es + M j
M¡
(3.7)
lo cual indica que la can tidad entre paréntesis debe de ser igual a cero. Resolviendo esta ecuación, se halla la excentricidad e = k2 y constituye el límite inferior del núcleo central de la sección
En la figura 3.2c se muestran los esfue rzos deb idos a las cargas de servicio. C. Cál culo de las propiedades de la sección
Cuando se calculen las propiedades de la sección transversal del concreto para usarse en las ecuaciones antes mencionadas, debe notarse que en la construcción postens ada los ten dones puede n pasar a tr avés de ductos de tamañ o considerable. Antes de que se aplique el mortero en los tendones, los esfuerzos en el concreto deben calcularso usando la sección neta, deduciendo los agujeros. Después de la aplicación del mortero, deberá emplearse la sección transformada. Pueden con-'' siderarse los agujeros llenos de concre to y reemgilazarse al acero co n su área trans formada equivalente de concreto igual a (np \ ) A p , donde np es la relación modulur b'p/ f ík y A p es el área del acero del pf esfuerzo (ver la obra citada en la Bibliografía en 3.14), En los casos prácticos, tanto que la deducción de los agujero» puede ser significativa, el empleo de sección total de concreto clos puél ilo la aplicación del mortero en lugar de l| | sección transformada puetj normulmcntc satisfactorio. lili muchos casos, la deducción de los agu eras es pequeña y podrá ul la aécolón total del concreto en los cálculos. Este casi siempre será el caso cujj 1
Figura 3.3 Distri buciones de esfu er* s para fuerzas pretensoras aplicadas en los limites del núcleo de la sección, (ajfcección transversal. ( b ) Límite inferior del
88
Esfuer zos elásticos de flexión en vigas no agrietadas
Análisis por flixlón
De manera similar, se puede hallar el límite superior del núcleo central anulando la expresión dei esfuerzo en el conc reto en la superficie inferior, de donde: 2 k t =
(3.8b) C2
confirmando el signo menos que la dimensión límite se mide hacia arriba del centroide del concreto. No sería aconsejable pone r much o énfasis en estas dimensio nes límit e. No se deberá inferir que el centroide del acero debe permanecer dentro del núcleo de la sección. Sin embargo, a m enudo los límites del núcleo sirven como puntos convenientes de referencia en el diseño de vigas. EJEMPLO Esfuerzos de flexión para una viga con gargas dadas La viga I simplemente apoyada que se muestra en la figura 3.4 debe soportar una carga uniforme de servicio, muerta más viva, que totaliza 0.55 kiolibras/pie con un claro de 40 pies, en forma adicional a su pesn propio. Se usará concreto nor mal con una densidad de 150 lb/pie3. La viga se pretensará usando ccbles múlti ples de 7 ala mbres; la e xcent ricida d es c onsta nte e igual a 5.19 pulg. La fu erza prete nsora P¡ inmediatamente después de la transferencia (después de ocurridas las pérdidas por ac ortamiento elástico) es de 169 kilolibras. Las pérdidas depen dientes del tiempo debidas a la con tracción, al escurrimiento plástico y al relaja miento suman un 15% de la fuerza pretensora inicial total. E ncontrar los esfuer zos de flexión en el concreto en el centro del claro y en los apoyos para las condiciones inicial y final. (Carga 8.02 kN/m, claro 12.19m, densidad 24 kN /m3 , e = 13 2m m,f>i = 752 kN.) En las vigas pretensadas que usan cables trenzados, la diferencia entre las propie dades de la sección tota l y la transf orma da es g eneralm ente peque ña. En consecuencia, tod os los cálculos se basarán en las propiedades de la sección total del concreto. Se usará un espesor promedio para los patines, tal como se mues tra en la figura 3.4 b. Para esta sección: Momento de inercia Area del concreto Módulo de sección Radio de giro
.4
6
i Los esfuerzos en el concreto producidos por la fuerzjfpyetensora inicial de 169 .2
3
kilolibras se pueden hallar mediante la ecuación (3.f K En las superficies superio e inferior estos esfuerzos valen, respectivamente: 169,000 /' 176 'iJ
5.19 x
r>) ec2\
169,000 /'
5.19 x
eci)
-83 lb/pulg
0
+wi = 0 . 5 5
144
•O
klf
e. e
=
he---------
=
=
4 0'
B
--------
-
constante
APV
Í _ T
V r X
7 C
JP
--H
pi Q ) p¡ + m b
9
3
.3
Tal como se muestra en la distribución (1) en la figura 3.4c. Estos esfuerzos existen a lo largo de toda la longitud del miembro. Sin embargo, a medida que se aplica la fuerza pretensora, la viga se levantará de la cimbra, y actuaran los esfuerzos debidos al momento flector de la viga por carga muerta. La carga muer ta debida al peso propio del miembro es: 17 f\ w = —- x 0.150 = 0.183 kilolibras/pie
©
Ic = 12,000 pulg (4.99 x 10 mm4) A c = 176 pulg (114 x 10 mm2) S¡ = S 2 = 1000 pulg (16.4 x 10 mm3) r2 = I. /A r = 68.2 pulg (44 x 10 mm2) . 2
89
(3)
Pe +Mo
( 4)
P c + M „ + M i + Mi (c)
Figura 3.4 Viga I con excentricidad constante, (a) Elevación. ( ) Sección trans versal. (c) Esfuerzos en el con cito en el centro del claro/ 6
El'momento correspondiente én el centro del claro vale
. 2
6 8 . 2
-1837 lb/pulg
. 2
M„ J | x 0.183 x 402= 36.6 kilol#>ras/pie
80
Análisis por flexión
■ui»5l Esfuerzos elásticos de flexión en vigas no agrietadas
« o
p r r Pr
i
c“ ”
‘
•—
-
- -
f i — +
36.6
/i =
Si
A=
S
x 12,000
* + ~pg g¡p» P» +439 lb/pulg
- _l 3
2
6 6
1000
1 2 , 0 0 0
.2
Los efectos combinados del presfuerzo inl.u.i superposició n S ** ^ e* peso Propio se hallan por /> = -83 - 439 =- 52 2 lb/pulg, > (~ 3.6 N/mm2) - -1837 + = -1398 lb/pulg.2 (-9 .6 N/mm2) tal como se muestra en la distribución ( ). Las pérdidas dependientes del tiempo son el % h» c relación de efectividad vale P d P*' En consecuencia la \ 4 3 9
2
1 5
p
5
R = ~
•i
= 0.85
‘
u»
esfuerzose„el
concreto debido, ,
439 = - 510 lb/pulg.2 (- 3.5 N/mm2) IS 6¡ +439 = -1122 lb/pulg.2 (-7.7 N/mm2)
tal como se da en la distribución (3) de la figura 3.4c. puestas vak.en t°
6 0
61
Centr° del claro debido a las caicas muerta y viva sobre-
"' :*|p ' 1Jf M* + M‘ =
8
■f
1, El esfuerzo en el centroi de del concreto debid o al presfuerzo inicial es
110 x 12,000
1320 lb/pulg.
X c = - ^ ~ = - 960 lb/pulg
.2
y este esfuerzo no cambia a medida que va actuando el peso propio del miembro. Tampoco varía el esfuerzo centroidal en el concreto, después de ocurridas las pérdidas, cuyo valor es 0.85 x (-960) = -816 lb/pu lg.2, al aplicarse las cargas muerta y vivas sobrepuestas. 2. El cambio en el esfuerzo en el acero del presfuerzo que proviene de la aplica ción de las cargas, se puede calcular fácilmente. Suponiendo que la adherencia entre el concreto y el acero permanece intacta, el cambio en el esfuerzo del acero será np veces el cambio en el esfuerzo en el concreto en aquel nivel del miem bro , donde np - E p /E c Aquí se supondrá un valor de np = . Refiriéndose a la figu ra 3,4C, a medida que actúa el peso propio, el incremento en el esfuerzo del acero vale »<: ■» Í| B; 5 19 Afp = ( | 1398 + 1837) x = || l 9 lb/pulg 8
8
■* 0.55 x 402 = 110 kilolibra-pie
Ylos esfuerzos correspondientes en el concreto son: '■■ & f t fe
.2
.2
P,en la, fibra , superior e ¡„ ferio, valen
/i = - 71 ~
tal como se muestra en la distribución (4). En la figura 3.4c el cambio de esfuer zo resultante del peso propio del miembro se muestra mediante un sombreado horizontal, mientras que aquel que resulta de las cargas muerta y viva sobrepues tas con un sombreado vertical. En las secciones de los apoyos, las cargas transversales no producen esfuerzos de flexión, y los esfuerzos en el concreto se deben únicamente al presfuerzo. Los valores iniciales de -83 y -1837 lb/pulg se reducen gradualmente hasta -71 y - 1561 lb/pulg respectivamente, a medida que ocurren las pérdidas dependientes del tiempo. «
0.85 x 169 = 144 kilolibras
/i =0.85 x (-83 ) = - 71 lb/pulg.2 f 2 = 0.85 x (-1837) = -1561 lb/pulg.2
f* =
.2
COMENTARIOS ADICION ALES
y la fuerza efectiva de presfuerzo, después de ocurridas todas las pérdidas es Pe =
.2
/, = -51 0 - 1320 = -1830 lb/pulg ( - 12.6 N/mm2) -1122 + 1320 = +198 lb/pulg (+ 1.4 N/mm2)
.2
f 2 =
f 2
+1320 lb/pulg
Luego, combinando la fuerza efectiva pretensora con los momentos debidos al peso prop io y a la carga sobr epuesta, los esfuerzos que se pro ducen valen:
■439 lb/pulg .2
'
1 0 0 0
110 x 12,000
91
i
,2
en tanto que el increm ento ¿so dad o con las cargas muerta y viva sobrepuestas es m ■ 5.19 + 1122) x =s 4567 lb/pulg Afp = ü 9 8
.2
Esfuerzos permisibles de flexión 92
Análisis por flexión
Este cambio por lo general se desprecia. 3. La magnitud del esfuerzo de tensión en le superficie inferior del concreto de 198 lb/pulg. está bastante por debajo del módulo de ruptu ra probable del con creto, confirmándose el hecho de que el concreto no se ha agrietado y que son válidos los cálculos de los esfuerzos que se busun en la sección total. 4. Nótese que en el estado descargado, representado por la distribución (2), exis te una precompresión sustancial en lu parte superior de la viga, la cual se’com primirá aún más posteri ormen te por lu aplicación de las cargas sobrepues tas. Esto sugiere que se podría obtener un diseño más eficaz, mediante el incremento de la excentri cidad del cable o la reducci ón de lu fuerza pretensora, o ambas cosas. Sin embargo, para un miembro con tendones rectos, tales cambios pueden con ducir a grandes esfuerzos de tensión en la parte superior del miembro en los apo yos, donde la carga muerta de la viga no produce esfuerzos de flexión. Por ésta y otras razones, a menudo se reduce la excentricidad del tendón cerca de los apoyos. 3.5 ESFU ERZO S PERMISIBLES DE FLEXION
La mayoría de las especificaciones para la construcción de concreto presforzado imponen ciertas limitaciones a los esfuerzos en el concreto y en el acero**para cada estado en particular, tales como aquellas que se imponen durante el tensado del acero, aquellas para inmediatamente después de las transferencia de la fuerza pretens ora al co ncreto, y para cuando actúa la totalid ad de la carga de servicio. Estas limitaciones en el esfuerzo tratan de evitar daños al miembro durante la construcción y asegurar buenas condiciones de servicio mediante la limitación indirecta del ancho de las grietas y la deflexión. En la práctica actual, las especi ficaciones que limitan el esfuerzo proporcionan a menudo el punto de partida para la selección de las dimensiones de l os mie mbros de concret o presforzad o. Por supuesto, el diseño resultante debe comprobarse por resistencia asegurando un adecuado factor de seguridad contra la falla. A menudo también deben calcu larse las deflexiones explícitamente para un estado particular de carga que sea de importancia. A. Concreto Los límites en el esfuerzo del concreto que impone el Código ACI se resumen en la Tabla 3.1. Aquí f c¡ es la resistencia a la compresión del concreto al momento del presfuerzo inicial, y f c es la resistencia especificada a la compresión para el concreto. Ambas se expresan en libras/pulg.2, en la misma forma que los esfuer zos resultantes. v Los esfuerzos permisibles de la parte de la /ábla 3 se aplican inmediata mente después de la transferencia de la fuerza pretensora al concreto, después de que se hayan deducido las pérdidas debidas a la fricción, deslizamiento en los anclajes, y el acortamiento elásticdldel concreto, pero antes de que se hayan tomado en cuenta las pérdidas dependientes del tiempo debidas a la contracción, 1
.1
93
Los límites de los esfuerzos de tensión de 3 \ / f c y se refieren al esfuerzo de tensión que ocurre en zonas que no sean la de tensió n precomprimida . Si el esfuerzo de tensión sobrepasa el valor límite aplicable, la fuerza total en la zona de tensión deberá calcularse, y deberá proporcionarse refuerzo auxiliar para re sistir esta fuerza. Para los fines del diseño, se supone que tal acero actúa a un esfuerzo del 60% de su esfuerzo de fluencia, pero no mayor que 30 kilolibras/ pulg.2. Tabla 3.1 Esfuerzos permisibles en el concreto de miembros presforzados sujetos a flexión 0
1. Esfuerzos inmedi atament e después de la transfere ncia del presfuer zo (antes de que ocurran las pérdidas del presfuerzo), no deben exceder los si guientes valores: a. Esfuerzo de compresión en fibras extremas b. Esfuerzo de t ensión de fibras extrem as, con excepción de lo permitid o en c c. Esfuerzo de tensión d%fibras extremas en los extremo s de miembros simplemente apoyados Cuando los esfuerzos de tensión calculados exceden estos valores, deberá proveerse refuerzo auxiliar (presforzado o sin presf orzar) en la zona de tensión pa ra resistir l a fuerza t otal de tensión en el concreto calculada suponiendo una sección no agrietada. 2. Los esfuerzos bajo cargas de servicio (después de considerar todas las pérdidas de presfuerzo) no deben exceder los siguientes valores. a. Esfuerzos de compresión en fibras extremas b. Esfuerzos de te nsión en fibras extrem as en la zona de tensión precomprim ida c. Esfuerzos de tensió n en las fibras extremas de la zona de tensión precomprimida de los miembros (excepto en sistemas de losas armadas en dos sentidos) en las que el análisis basado en la sección transformada agrietada y en las relaciones bilineares de momento-deflexión demuetre que las deflexiones a largo plazo así como las instantáneas satisfacen los requerimientos que se establecen en otra parte del Código 3. Los esfuerzos permisibles de las secciones 1y 2 se podrán sobrepasar si se demuestra mediante pruebas y análisis que el desempeño no se ve afectado ■r i*-; ^ ------ _________
-------------------
---------------------------------- -
6
4Tci
0.45/; t>4íc
12 v /c
------------------------
° Adaptado con la autorizac ión de|¡ Instituto A mericano del Concreto del Código de Edifi cación ACI 318-77.
* ¡La zona de tensión precomyrimida se define en los comentarios del Código ACI como aquella porción del miembro en la cual ocurre tensión por flexión b|¡o las cargas muert as y vivas.§
94
Análisis por flexión
Carga de agrietamiento
Los límites de los esfuerzos debidos a la carga de servicio de la parte 2 de la Tabla 3.1, se aplican después de que han ocurrido todas las pérdidas, y cuando actúa la totalidad de la carga de servicio. El esfuerzo de tensión permisible para el concreto de %/j^se ha establecido principalmente a partir de resultados expe rimentales en probetas y en estructuras reales. El uso de este esfuerzo límite en lugar de un valor menor o cero, requiere que exista suficiente cantidad de re fuerzo en la zona de tensión precomprimida para controlar el agrietamiento, también requiere que el recubrimiento de concreto para el refuerzo sea suficiente para evitar la corrosió n y que no existan condiciones de extrao rdina ria corrosividad. El refuerzo puede consistir de tendones presforzados o sin presforzar, o de varilas de refuezo, convenientemente distribuidos en la zona de tensión. Se permite el uso de un límite para el esfuerzo de tensión de 12/c para me jora r las caracter ísticas de deflexi ón bajo cargas de servicio, partic ularm ente cuando una parte importante de las cargas vivías es de naturaleza momentánea. Debe enfatizarse la naturaleza nominal del esfuerzo permisible a la tensión \Z%, calculado sobre la base de sección total sin agrietar, ya que su valor está bastante por encima de cualquier estimaci ón razonable del módul o de rupt ura del concreto. Si se usa este esfuerzo límite, se detíerá incrementar un 50% arriba de su valoi^iisual el recubrimiento de concreto para el.refuerzo, de atuerdo con el Código, y deberá revisarse explícitamente la reflexión para las cargas de ser vido, En cláusula de escape de la parte 3 en la Tabla 3.1, permite límites más altos para el esfuerzo a usarse cuando las pruebas o el análisis indiq uen u n desemp eño satisfactorio. 6
1 2
B. Acero En la Tab la 3.2 se dan los esfuerzos permisibles de tensió n para el acero de presfuerzo en función de f pu la resistencia última del acero, y f p y , la resistencia especificada de fluencia. Puede verse que el esfuerzo permitido por el Código depende del estado de carga. Cuando recién se aplica la fuerza del gato, se f y La justifica perm ite el meno r de los siguientes esfuerzos: 0.80 f pu ó ción para estos elevados valores del esfuerzo límite es que durante el tensado, los esfuerzos en el acero pueden conocerse de una manera muy precisa, ya que la presión hidrául ica y la deform ación del acero se pu eden medir fácilmen te. Ade más, si un tendón defectuoso se rompiera accidentalmente, se le podrí a reempla zar fácilmente. Después de que hayan ocurrido las pérdidas por acortamiento elástico y por deslizamiento de anclajes, se aplica el valor 0.7Q f pu , poro antes de la ocurrencia de las pérdidas dependientes del tiempo debidas a la contracción, al escurrimiento plástic o y al rel ajami ento. No se dará ningun a limi tacióh para los esfuerzos en el acero después de ocurridas todas las pérdidas, debido ¿ u e tales esfuerzos siem pre serán menor es que los esfuerzos en el acero en fás con diciones iniciales, cuando debe obtenerse un factor de seguridad adecuado!' 0 . 9 4
Tabla 3.2 Esfuerzos permisibles en el acero del presfuerzo
95
0
El esfuerzo de tensión en los tendones de presfuerzo no debe exceder los siguí ates valores: 1 Debidos a la fuerza de tensión del gato 0.80 f pu 0-94 f py el que sea menor, pero no mayor que el máximo valor recomendado por el fabricant e de los tendo nes de presfue rzo o de los anclajes. 2. Tendones pretensados, inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo 0.70 fpu 3. Tendones postensa dos, inmedi atamen te después del anclaje del tendón 0.70 f pu* a
Adaptado con la autorizac ión del Ins tituto Americano del Concreto del Código de Edifi cación ACI 318-77 *
3.6 CARGA DE AGRIETAMIENTO *
.
En la figura 3.5 se muestra de una manera cuantitativa la relación entre la carga aplicada y el esfuerzo en el acero para una típica viga presforza con buena adhe rencia. El desempeño de una viga postensada inyectada con mortero es similar. Cuando recién se aplica la fuerza del gato y el cable se estira entre los empotra mientos, el esfuerzo en el acero es f pí . Después de la transferencia de la fuerza al miembro de concreto, ocurre una reducción inmediata del esfuerzo hasta su nivel inicial / ., debido al acortamiento elástico del concreto. Al mismo tiempo, comienza a actuar el peso propio a medida que la viga se empieza a combar hacia arriba. Aquí se supondrá que todas las pérdidas dependientes del tiempo ocurren antes de la aplicación de las cargas sobrepuestas, en forma tal que el esfuerzo se continúa reduciendo hasta su nivel efectivo de presfuerzo, f pe , tal como se muestra en la figura 3.5. A medida que se agregan las cargas mue rta y viva sobrepuestas, ocu rre un pequeño increm ento en el esfuerzo del acero. Suponiend o que se m antin e una adherencia perfecta entre el acero y el concreto, este incremento debe ser np veces el incremento en el esfuerzo en el concreto al nivel del acero. El cambio no es mayor de más o menos él 3 ó 4% del esfuerzo inicial, y se desprecia por lo general en los cálculos. A menos de que la viga se haya agrietado antes de la aplicación de las car gas debido a la contracción u otras causas, no existe una modificación substan cial en el comportamiento hasta la carga de descompresión, en donde la compre sión en la parte inferior del níiembro se reduce a cero. El esfuerzo en el acero continúa incrementándose poco y en forma lineal hasta que se alcanza la carga dé agrietamiento. Bajo esta carga, ocurre un súbito incremento en el esfuerzo del acero, a medida en que la tensión que era tomada por el concreto se transfiere al
96
Aná llili por flexión Esfuerzo en el acero
Carga de agrietamiento 97
se deforma desproporcionalmente, pero soporta crecientes esfuerzos debido a la forma de su curva esfuerzo-deformación, y la curva esfuerzo vs. carga continúa hacia arriba reduciendo gradualmente su pendiente. El esfuerzo del acero en la falla f puede ser igual a la resistencia a la tensión f pu, pero por lo general se encuentra algo por debajo de ese valor, depen diendo de la geom etría de la viga, la proporc ión de acero, y de las propiedades de los materiales. La carga de agrietamiento representa el límite de validez de aquellas ecua ciones para los esfuerzos elásticos en el concreto que se basan en una sección transversal homogénea (a pesar de que esta sección puede proveer las bases para el cálculo de los esfuerzos nominales para cargas arriba de este valor, tal como se indica en la sección 3.5). A pesar de que en el pasado se ha sobreestimado la importancia del agrietamiento, puede ser necesaria la predicción de la carga de agrietamiento por cualquiera de las siguientes razones: .
l'’l(|ur» 3.5
Vurittción del esfuerzo en el a™-™ . uerzo en el acero con la carga en una viga pretensada.
1. La deflexión es afectada por la reducción en la rigidez a la flexión que acompaña al agrietami|nto. 2. Después de que se agrieta la viga, el acero del presfuerzo es más vulnera ble a la corr osión. 3. El agrietam iento red uce la resistencia por fatiga de las vigas debido a los mayores niveles de esfuerzo experimentado por el acero de presfuerzo cerca de las grietas. 4. Las grietas pueden ser estética mente objeta bles en algunos casos. 5. En el caso de recipiente s que contienen líquidos , después del agrieta miento las fugas aumentan su posibilidad de ocurrencia. El momento que produece el agrietamiento para hallarse fácilmente para una viga típica, escribiendo la ecuación para el esfuerzo en el concretp en la cara inferior, basándose en la sección homogénea, e igualándolo al módulo de ruptura: f = - ^
a S a n f i e n t o . a mb l° “
108
eSÍUer^os del ‘-•pereto al aplicarse el momento de
1
+
ec-
(a)
+ f - r .
en la cual Mcr es el momento total de agrietamiento (incluyendo al momento de bido al peso propi o y al de las cargas muertas y vivas sobrep uestas) y f r es el mó dulo de ruptura (ver sección .! Trasponiendo términos de la ecuación se obtiene 2
’’
'
Jt'
*■ * ' ¡" i
m
| |
K r
s 2
=
í
; +
Ac
1
+
ec-,
w
(b)
la cual establece simplemente qi ¡el cambio en el esfuerzo de la cara inferior al aplicarse el momento de agrietar lento debe de ser tal que venza a la precompresión inicial debida al presfuerzo | introduzca un esfuerzo de tensión justamente
®8 Análisis por flexión Resistencia a la flexión
términos y tomando en cuenta que s = / /✓• i agrietamiento es 2 c 2’ la ecuación para el momento ae !' ■rjo,/'“' * :),■=;• .<• .
-
f' r S ,•
r
, ,.j
99
= 160 - 37 - 0 = 110
(39)
3.7 RESISTENCIA A LA FLEXION
La propiedad más importante de una estructura es su resistencia, debido a que la resistencia del miembro está relacionada directamente con su seguridad. La resis tencia de un miembro de concreto presforzado no está automáticamente asegu todo el segundo término representa el momento n T ^ ^ consecuentemente, rada por la limitación de los esfuerzos bajo carga de servicio. Si el miembro tant e de compre sión del nivel del centro ide del CJ ^ m°Ver la resu1' tuviera que sobrecargarse, ocurrirían importantes cambios en su comportamiento núcleo, en donde, por definición Í f ^ ^ límite suPe™ ¿el por el agrietam iento y debido a qu e uno o los do s materia les alc anzarí an niveles de la viga. El mom ento adicional' co rres no nd' S ’aerZ,°Snu Ios en la Parte infe rior de esfuerzo dentro del rango inelástico antes de la falla. El factor de seguridad superpone, deviene en un agrietamiento por flexión térmÍn° ’ Se real solamente puede establecerse calculando la resistencia del miembro, con un reconocimiento total de estos efectos, y comparando la carga que produciría la tamie nto. ^ SegUrÍdad COntra el a riefalla del miembro con aquella que se espera actúe. C° n de ^x ió n por carga ^ Ya se mostró que las vigas de concreto presforzado difieren en su compor tamiento de las de concreto reforzado. A medida que se incremé ntala carga hasta M 0 + M d + F c rM , = A/„ más o meqos el nivel de la carga de servicio, las fuerzas que componen el par in terno resistente permanecen casi constantes, siendo el incremento en el momento aplicado resistido a través de un au mento en el brazo del par interno. Obviamente, esto no puede continuar indefinidamente, después del agrieta K , miento sobreviene un incremento súbito en el esfuerzo del acero, acompañado (3.10) M, por un aume nto en el e sfuerzo de compresió n result ante en el concr eto. A m e UJUMI-LO Cálculo del »órn em e de agrietamiento dida en que se continúa inc rementando la carga, una viga presforzada se comporta para u na viga y carga dadas más similarmente a una viga ordinaria de concreto reforzado. El brazo interno permane ce más o men os con stant e, y se increm entan con la carga tan to los esfuer zos en el c oncreto como los del acero. Igual que en una viga de concreto reforzad o, S S a m ¿ ,:; r i " I! " ° r de contra e, la capacidad a la flexión se alcanza cuando el acero se esfuerza hasta su resisten cia última o cuando se alcanza la capacidad de deformación del concreto. Sin embargo, aún para cargas próximas a la última, existen diferencias im pued hallar po r auhatituelOn directa en „ « i ~ de lerie“ ",i” to por tant es entre las vigas de conc reto reforza do y las p resforzada s, como conse cuencia de lo siguiente: (1) En concreto reforzado, cuando las cargas se anulan; ^cr —f rS + Pe se anulan también las deformaciones en el acero. En concreto presforzado, la ■“f e deformación de los tendones bajo cargas nulas no es cero, sino que corresponde al presfuerzo efectivo después de las pérdidas. Cualquier deformación posterior / S - 350 x 1000 + 144,000 + 5.19 en el acero causada por las cargas aplicadas se suma a esta deformación preexis V 12 tente. (2) Las características de esfuerzo-deformación del acero del presfuerzo = 1,916,000 lb/pulg. son bastante diferentes de las de las varillas de refuerzo, tal como se muestra en la figura 2.2. Los aceros del presfuerzo no presentan una meseta definida de = Ú-kJlolibra/pie (217kN-mj fluencia. La fluencia se desarrcÉa gradualmente y, en el rango inelástico, la curva esfuerzo-deformación continúffelevánd^e suavemente hasta que se alcanza la carga viva es, de la ecuación ( . ): func,on de ™ increme nto en la resistencia de tensión. La difelíncia entro la resistencia nominal a la fluencia fp y y la resistencia última a la tentón f pu es mucho más pequeña para los aceros de ,¥§ } ¡?U . ■ presfuerzo que para los acer qi o rdinario s d e refu erzo Tambié n, la de form ació n W<
s r delpa'él,,esí!en]aec““i6n "
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C U a n d 0
8
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31
1f“to ’¿ ¡ Zl0 r puede- —.
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2
6
.2
1 6 0
3
1 0
I
w
Resis tencia a la flexió n
101
100 Análisis por flexión
B. Distrib ución sucesiva de esfuerzos en el concret o a medida que la viga es sobreA. Curvas de esfuerzo deformaci ón
cargada
Las curvas representativas de esfuerzo-deformación para el acero de presfuerzo y el concreto se muestran, para propósitos de referencia, en la figura 3.7. Para el acero, en la figura 3.7 a, una notación conveniente y fácil de recordar es la si guiente. esfuerzo y deforma ción en el acero debidos a la fuerza pretensora efectiva Pe, después de to das las pérdidas* fpy> £py ~ esfuerzo y deformación de fluencia para el acero, tal como se les define en la sección 2 . 5 fpu> £Pu = resistencia y deformación últimas del acero fpe9£Pe
fpsi epS = esfuerzo y deform ación del acero cuando la viga falla
Al igual que las vigas de concreto reforzado, las vigas presforzadas se pueden dividir en 2 tipos, basándose en su tipo de falla por flexión. Para vigas subrefor zadas la falla se inicia con la fluencia del acero de tensión. Las grandes deforma ciones involucradas permiten el ensanchamiento de las giretas de flexión y su propagación hacia el eje neut ro. Los esfuerzos de compresió n en el concre to aumentados actuando sobre una reducida área de compresión provocan una falla “secundaria” del concreto a la compresión, aun c uando la falla se inició con la fluencia. El esfuerzo en el acero al momento de la falla estará entre los puntos A y B de la figura 3.1a. Las grandes deformaciones del acero producen un agrie tamiento visible y una deformación considerable del miembro antes de que se alcance la carga de falla, tal como se ilustra en la viga de pruebas de la figura 3.8. Esta es una consideración importante de seguridad. f' . . . . . . . . . . . . . J„ + n 1 o n n 7 » l Por otro lado, las vigas sobrerreforzadas fallan cuando el concreto alcanza la deformación límite de compresión, a una carga para la cual el acero está aún por debajo de su esfu erzo de fluencia, entre los punt os 0 y A de la figura 3.1a. 1
11
34 CO LU
Deformación
Deformación
M
<¿>) Figura 3.7 Curvas representativas de esfuerzo-deformación, (a) Acero de nres-
fuerzo. (ó) Concreto.
En el caso del concreto, la resistencia última a la compresión, se denomina f c , como siempre, y la deformación en la falla es ecu, tal como se muestra en la figura 3.7 b. Las mediciones de la deformac ión al momento de la falla en vigas e prueba indican que los valores de se encuentran entre 0.003 y 0.004. De acuerdo con el Código del ACI, aquí se empleará una deformación límite para el concreto de 0.003. Figura 3.8 Falla por flexión en viga pretensada (cortesía de la Asociación de Este esfuerzo se designa como / J en el Código ACI.
j
Cemento Portland).
102
Análisis por flexión Resistencia a la flexión
Este segundo tipo de falla viene ...... del eje neutro, debido a que e| tico, en tanto que la respuesla del iM m 8 súbita mente con poco aviso Las distribuciones de] esfuoriQ di forzadas sub y sobrerreforzadas balo figura 3.9. Tanto para los miembro. I. distribución de esfuerzos p e r , ..... S deformación del concreto, tal como .ijui
i " 'T I
B
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Z
L a« “ b!l »¿.I 'I- guv li» secciones transv e de flexión, las deformaciones en ei ^o ,'. "'I*' * áW "V«pilca el momento linealmente desde cero en el e i p c
£ ........... ........ ...
**
........... « “o 0 ) WEuras una pequeña curvatura cerca de la 7 7 ’ ^ ' " " l" ................. Mtado ( 2 ) presenta vatura cerca de la part e superio r de |„ vi««. En el estado ( 3 ) se .
fc
—
--- > f
4, >fPy
(
1)
>>fpy
(3)
(4)
M f
3
f *
fc
: O
■4
103
reproduce la curva esfuerzo-deformación hasta llegar al esfuerzo máximo pero no se llega a la falla hasta el esta do (4) en que la m áxima deformaci ón es igual a Ecu , y se reproduce totalmente la curva esfuerzo-deformación. Salvo casos excepcionales, las vigas de concreto presforzado son subreforza das. Cuando el concreto alcanza su deformación límite, el esfuerzo en el acero f ps está entre f py y f p u, tal como se muestra en la figura 3.7 a. Es interesante observar que una viga presforzada sobrerreforzada, en la cual el esfuerzo en el acero está debajo de la fluencia en la falla, se puede transformar en una viga presforzada subreforzada incrementando la intensidad del presfuerzo en el acero. Así, resulta evidente que la distinción entre una viga presforzada sub reforzada y ot ra sobrerreforzada, depende no solamente del porcentaje de acero y de las propiedades de los materiales, como en las vigas de concreto reforzado, sino también de la intensidad del presfuerzo en el acero. Pero también deberá notarse que, si se va a incrementarla intensidad del esfuerzo en el acero, debién dose mantener la misma fuerza pretensora, se requerirá disminuir el área de acero. Realmente es este cambio el que causa que la viga sea subreforzada, de acuerdo con la definición dada. « C. Bloque rectangular de esfuerzos equivalentes
*
Todo lo que se necesita para calcular el momento de resistencia última de una viga de concreto presforzado es el valor de la resultante de la compresión C (la cual debe ser igual que la fuerza de tensión T) y el brazo del par interno’en la falla. Si el concreto tuviera una curva esfuerzo-deformación que se pudiera defi nir matemáticamente, sería muy sencillo establecer relaciones explícitas tanto para la m agnitud como para la ub icación de C. Sin embargo, tal como se vio en la sección 2 .8 , la forma de la curva esfuerzo-deformación del concreto varía grandemente. Por esta razón, no se pueden escribir tales relaciones explícitas. Pero la distribución real de los esfuerzos en el concreto se puede reemplazar con una representación simplificada, escogida de tal forma que (a) se reproduzca el valor correcto de C y (b) la fuerza C actúe en el nivel correcto de la viga. Usando un método combinado de análisis y experimentación se ha hallado que la distribución real de los esfuerzos de compresión en una viga puede reem plazarse con una distrib ución rectangular equivalente de esfuerzos que tenga una intensidad de esfuerzo uniforme de 0.85 f c, hasta una profundidad a, tal como se muestra en la figura 3.10. La relación entre la profundidad del bloqueo equivalente de esfuerzos y la real es
w a = plC
(3.11)
de flexión , medid , q„e se insubreforzada. (ó, V(g, p J Z S X
Z
Z
Z !*
W ^
El valor de /3; se lia establecido exp erime ntalme nte que viene dado por la relación
di
0.85 - 0.05 (/ e' - 4000)/,1000, donde j3t no debe exceder 0.85 y no debe ser
Resistencia a la flexión 1Ò5
104 Análisis por flexión
k-£-H <■
"A- c
->■ r
Mientras que la compresión longitudinal real varía por este efecto, resulta conveniente en el diseño usar un ancho efectivo del patín que puede ser menor que el ancho real del patín, pero que se considera uniformemente esforzado. Se ha encontrado que este ancho efectivo depende primeramente del claro de la viga y del espesor relativo de la losa. Las recomendaciones para el ancho efectivo del patín que aparecen en el Código ACI son. . Para vigas T simétricas el ancho efectivo b no debe ser mayor que un cuarto de la longitud del claro dé la viga. El ancho sobresaliente (b-bw)l2 de cada lado del alma de la viga no deberá ser mayor que veces el espesor de la losa ni que la mitad de la distancia libre a la siguiente viga. 2. Para vigas que tienen pa tín sol amente de un lado, el ancho efectivo so bresaliente no debe ser mayor que un doceavo de la lo ngitud del claro de la viga, ni que veces el espesor de la losa, ni que la mitad de la dis tancia libre a la siguiente viga. 3 Para vigas aisladas en*ias cuales la form a T se usa solamen te con el fin de proporc ionar área adicional a la compresión, el espesor del patí n no deberá ser menor que la mitad del espesor del alma, y el ancho total del patín no debe ser mayor que 4 veces el espesor del alma. 1
W)
8
Figura 3.10 Distribuciones de deformaciones y esfuerzos bajo cargas de falla. (a) Sección transversal, (ó) Deformaciones, (c) Distribución real de esfuerzos. (d ) Distribución rectangular equivalente. menor que 0.65. Los valores para concretos de resistencia típicas se muestran en la Tabla 3.3 i Tabla 3.3 Valores de P1 = Profundidad del bloque de esfuerzos/profundidad del eje neutro ReiliUncla a compreiibn del Concreto u
lb/pulg.2 3000 N/mm
4000
5000
6000
7000
21
28
34
41
48
>55
0.85
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
>8000
6
E. Resistencia a la flexión mediante el análisis de compatibilidad de deformaciones
2
Pi * a/c
Una explicación completa del bloque rectangular equivalente de esfuerzos y su desarrollo se puede encontrar en la obra citada en la Bibliografía en 3.14. Se recalca que la profundidad a, no es la distancia al eje neutro real, ni que tampoco los esfuerzos en el concreto están distribuidos de la manera hipotética sugerida en la figura 3.10c?. El bloque resctangular de esfuerzos es meramente un instru mento de cálculo inventado para dar las respuestas correctas, aun cuando para un caso particular no se conozca la distribución real de esfuerzos en el concreto.
D. Ancho efectivo del patín Si el patín en compresión de una viga de concreto presforzado es sólo un poco más ancho que el espesor del alma, se puede considerar efectivo todo el patín para resistir la fuerza de compre sión. Sin em bargo, par a pa tines muy anchos, el esfuerzo de compresión en el patín no es uniforme, s|no que disminuye con la distancia lateral desde el alma. Esto se debe a que la deformación por cortante del patín, libera de algún esfuerzo de compresión a los elementos más alejados.
En la figura 3.11 se muestran las deformaciones y los esfuerzos en el concreto y en el acero bajo niveles de carga adecuados para este estudio. La distribución de deformaciones (1) de la figura 3.11 a es el resultado de la aplicación de la fuerza efectiva de presfuerzo Pe, actuando sola después de que hallan ocurrido todas las pérdidas. En este nivel de carga el esfuerzo en el acero y su def ormación asociada son respectivamente: (3.12)
i '£p" £ f pt
(3.13)
La deformación del acero en la figura 3.1 la, se muestra con respecto a su propio e independi ente origen. íf En seguida, es útil còhsid erìr un nivel de carga intermèd io (2) correspon diente a la descompresión del concreto al nivel del centroide del acero. Suponiendo que la adherencia permanece intacta entre el concreto y el acero, el incremento de la deformación en el acerdlproducida a medida que la* cargas pasan del nivel (1) al nivel ( ) es el mismo qve la disminución en la deformación del concreto a ■m : aquel nivel en la viga. Este incremento viene dado por la expresión: 2
106
Análisis por flexión
Resistencia a la flexión
e2 =
(3.14)
AcEr V * + r’’
Todos los términos se definieron anteriormente en este capítulo.
£ 3
107
(3.15)
£CI
La deformación total del acero en la falla e ps es la suma de las tres componentes recién encontradas en las ecuaciones (3.13), (3.14) y (3.15): £ps = £i +
e 2
+
e 3
(3.16)
y el correspondiente esfuerzo de el acero en la falla f ps es: f Ps = Epeps
(3.17)
La profundida del bloque de esfuerzos de compresión en la falla se puede hallar de la condición de equilibrio que establece C — T. Para una viga en la cual la zona de compresión es de un ancho constante b 0.85 f 'cab = A pf ps Resolviendo esta ecuación para la profundidad del bloque de esfuerzo se tiene p A pf ps (3.18) a= PlC 0.85 f'f b (7 ) Descompresión al nivel del acero ©
C a rg a d e r u p tu r
la)
El momento resistente en la falla es el producto de la fuerza de tensión (o compresión) por el brazo del par interno. Para un miembro que tenga una zona de compresión de ancho constante, véase la figura 3. 1 1 Z?, la resist encia n omi nal a la flexión es M n = Apf ps \d -
K 0 . 8 5 / c' - H
- C = 0 . 8 5 /> ó
^ ^ Apfps
Las ecuaciones (3.18) y (3.19) no se pueden usar directamente para calcular el momento de falla de la viga, debido a que el esfuerzo en el acero f ps en la falla no es conocido. Sin embargo, se puede seguir un procedimiento interativo para hallar la solución, descrito en las siguientes líneas: 1
.
(b) 2. Figura 3.1 1 Deformaciones y esfuerzos a medida que la carga de la viga se incre menta hasta la falla, (a) Deformaciones en el concreto y on el acero. ( b ) Distri bución equivalen te de esfuerzos en el concr eto en la falla.
Cuando e l miembro se soluocMgii liasta e l nivel de Í11 II« (3), el e j e neutro esta a la distancia e.por debajo d e la p a r l e superior de I11 viga, Id i n c re m e n t o e n la deformación es:
(3.19)
3.
4.
Supóngase un valor razonable para el esfuerzo en el acero fps en el momen to de falla, y obténgase de la correspondiente curva de esfuerzo-deforma ción del acero el valor de la deformación correspondiente a la falla eps. Calcúlese la profun didad c real del eje neutro, basándose en aquel es fuerzo del acero, usando la ecuación (3.18) y la condición de equilibrio horizontal. Calcúlese el increm ento en la defo rma ción e 3 de la ecuación (3.15) y añádase este valor a las deformaciones antes halladas, tal como se indicó en la ecuación (3.16). Si la deformación de falla e,)s obtenida de esta manera, difiere grande mente de la supuesta en el paso ( 1 ), verifiqúese tal suposición y repí tanse los pasos ( 1 ) a (.3) hasta que se obtenga una congruencia en los
108
Análisis por flexión Resistencia a la flexión
5.
Con los valores de a - f t c y f p¡¡ ahora conocidos, calcúlese el momento de flexión último mediante la ecuación (3.19).
Podrá notarse que en la mayoría de los casos la solución iterativa que se aca ba de p ropo ner converge razonab lement e rá pido y a menudo solamente son sufi cientes dos ciclos. El mét odo que se acaba de descri bir es aplicable par a las vigas en que el ancho de la zona de compresión en la falla es constante. O sea que se aplica a vigas de sección rectangular y también a vigas de sección T e I para las cuales el bloque de esfuerzos tenga una profundidad a menor que el espesor del patín a compresión o igual a él. Este es a menudo el caso que ocurre en la práctica. Para aquellas vigas de sección T o I, en las que el bloque de esfuerzos tenga una profundidad mayor que el espesor del patín, las ecuaciones (3.18) y (3.19) no son correctas debido a la forma irregular de la zona de compresión. Sin embargo, la profundidad a se puede encontrar fácilmente basándose en el hecho de que la zona de compresión, cuando es esforzada uniformemente con el valor 0.85/', debe proporcionar una fuerza igual a la fuerza de tensión Apf ps. El momento resistente último se puede hallar tomando el brazo del par interno igual a la distancia desde el centroide del acero hasta el centroide de la zona de compresión de forma irregular. La idoneidad del uso del bloque rectangular de esfuerzos, con un esfuerzo uniforme de 0.85/'. para la determinación del momento resistente en las sec ciones I y T puede razonablemente ser cuestionada. Su base experimental se desarrolló con relación a vigas de sección rectangular. Sin embargo, la com paración con los resultados de gran cantid ad de cálculos efectua dos usando distribuciones de esfuerzos provenientes de las curvas reales esfuerzo-deforma ción a la compresión (véase la obra citada en la Bibliografía en 3.16), indica que el uso del bloque rectangular de esfuerzos para vigas de secciones T e I, así como para vigas de sección circular o triangular, introduce solo errores menores y está completamente justificado. F. Resiste ncia de flexi ón de miembros con tendones no adheridos ,v ■ . y ; » 'i. ’ j
El análisis procedente es aplicable siempre y cuando los tendones estén adheridos al concreto, de tal manera que no exista movimiento relativo (deslizamiento) entre los dos componentes. Este es naturalmete el caso deja s vigas pretensadas, y normalmente es cierto para miembros postensados en los que los tendones son inyectados con mortero después de que se tensan. í Sin embargo, en algunos tipos de construccioti postoitsuda, tales como aque llas en que se usan tendones recubiertos en papel asfa)lado(o cuando los tendones son colocados en las celdas huecas de las vigas de Wcciólf en cajón, la inyección con mortero no es posible. En los miembros que resultiui f|# Usar acero no adherido al concreto, el deslizamiento puede ocurrir entr e p o s dos materiales a medida que se aplica la carga de flexión.
109
El resultado es que la elongación del acero se distribuye a lo largo de toda la longitud del tend ón, en lugar de estar concentrada en las grietas como ocurre en la construcción con adherencia. El incremento en la deformación y el esfuerzo del acero en la sección crítica por flexión es menor que para las vigas con adhe rencia, y el esfuerzo puede ser sólo ligeramente mayor que el presfuerzo efectivo / cuando el miembro falla. La falla para tales casos se caracteriza por un pequeño número de grie tas algo anchas. El crecim iento de tal es grietas produc e una concentración de la compresión en el área reducida de concreto por encima de la grieta, excediendo la capacidad que puede resistir el concreto. Las pruebas indican que la carga de falla de una viga sin adherencia puede ser sólo el u 80% de aquella correspondiente a un miembro con adherencia (véanse las obras citadas en la Bibliografía en 3.6 y 3.7). 7 5
G. Contribución del refuerzo ordinario no presforzado
Las vigas de concreto presforzado casi siempre contienen una cantidad significa tiva de varillas de refuerzo no presforzado, tal como se indica en la figura 3.12. Los estribos (a) se proporcionan para resistir el corte y la tensión diagonal, al igual que en la construcción ordinaria de concreto reforzado. Las varillas trans versales ( b) aseguran la integridad de las delgadas proyecciones horizontales de los patines, o se pueden incluir las varillas (c) como una ayuda para la fijación de otras varillas durante la construcción. Las varillas longitudinales (d) y (e) de pequeñ o diámet ro se propo rcion an en elemen tos postensa dos para cont rolar las grietas por contracció n antes de tensar el acero principal y como una ayuda para el control del agrietamiento en vigas parcialmente presforzadas; la contribu ción a la resistencia a la flexión de estas pequeñas varillas longitudinales por lo general no es significativa. id)
ib)
Resistencia a la flexión 110
111
Análisis por flexión
Sin embargo, se pueden incluir otras varillas no presforzadas de mayor diá metro, no sólo para limitar en ancho de las grletus por flexión, y como ayuda par el contr ol de deflexiones, sino tambié n, en muchas situaciones, específica mente para incrementar la resistencia última a la flexión de la viga. Pueden in corporarse para el mismo propósito los tendones de acero de alta resistencia sin esforzar. Mientras que la excentricidad del tendón del presfuerzo debe normalmente limitarse con el objeto de evitar la presencia de esfuerzos excesivos de tensión en la parte superior del miembro descargado, las varillas sin esforzar (f) pueden colo carse tan cerca de la cara de tensión de la viga como lo permitan los requerimien tos de recubrimiento. De esta manera se maximiza su contribución para con la resistencia a la flexión. A los miembros en los cuales se usan cantidades importantes de acero de flexión no esforzado se les denomina vigas de concreto reforzado presforzadas (véase la obra citada en la Bibliografía en 3.8) y pueden combinar las ventajas de cada uno de los tipo s de construc ción. ,< Las varillas no presforzadas de área A s (figura 3.12) casi siempre estarán es forzadas hasta su resistencia a la fluencia o arriba de ella, cuando se cargue al miembro hasta la falla. La razón para esto es evidente de la figura 3.13, en la cual las curvas esfuerzo-deformación para el acero con y sin presforzar se super ponen. Cuando el t endón está a su esfuerzo efectivo f , las varillas de refuerzo soportan un esfuerzo de compresión igual a ns veces el esfuerzo de compresión al nivel del acero, donde ns = E JE c. (Aquí se desprecian los efectos de la con tracción y el escurrimiento plástico del concreto). A medida de que la viga se sobrecarga hasta la falla, tanto el tendón como las varillas de refuerzo experimen tan el mismo incremento en la deformación AE 1 si ellos se encuentran al mismo nivel del miembro. Si, como es a menudo el caso, las varillas se encuentran a una mayor profundidad que el tendón, ellas experimentarán un incremento en su deformación más grande que el tendón. En cualquiera de los casos, el incremen to en la deformación AE es suficiente como para esforzar a las varillas más allá de su punto de fluencia, excepto para casos poco frecuentes. La inclusión de las varillas no presforzadas en el análisis por compatibilidad de def ormacione s, no involucra complicaciones serias, y las modificaciones que se tienen que hacer resultan obvias, tal como se ilustra en el ejemplo de la sec ción 3.9. En la mayoría de los casos, es suficiente asumir que ellas actúan a su esfuerzo de fluencia.
g l u p / s a r b i l o l i k n e , o z r e u f s E
Figura 3.13 Curvas de esfuerzo-deformación superpue stas para varillas de refuer zo y tendones. menor que 0.50 f pu , el esfuerzo en el acero a la falla se puede tomar igual a. a. Para tendone s adheridos (3.20)
<3 b. Para ten dones no adheridos \ 4 \P r 3 i f ps* f pe+ e-vt
1 0 , 0 0 0
H. Ecuac iones del AC I para resistencia a la flexió n
De acuerdo con el Código A C I® resistencia a la flexión de vigas de concreto presf orzado se puede calcular usando el análisis de compa tibilid ad de deforma* ciones, tal como se le describió én |u sección 3.7 (E). Alternativamente, dentro
+
1
jffc
fe •* 0 0 p„
(3.21)
Pero en ningún caso mayor que f py o (fpe + 60,000). Todos los esfuerzos en je de acero de presfu erzo Pp es Iguala:
J¿
I f*
::l|
S
A
í»
:sf
,J
112
Análisis por flexión Resistencia a la flexión
El brazo del par interno para esta parte del momento resistente es id (a! 2 1 1 El momento total resistente en la falla se halla sumando las do, pa rtes ^'
donde b es el ancho de la cara a compresión de la viga. Pueden suponerse que las varillas de refuerzo no presforzadas actúan a su esfuerzo de fluencia. Para vigas de sección transversal rectangular o para vigas de sección T o I en las cuales la profundidad del bloque de esfuerzos cae dentro del patí n a compre sión, la resistencia nominal a la flexión es:
M n = A pf ps \ d - l j
(3.23)
A pfps
(3.24)
0.85 f'Jb
113
M" = Apwfps ( d ~ Í ) +
(d~ j j
(3.29)
Las ecuaciones (3.23) y (3.24) son idénticas a las ecuaciones (3.19) y (3.18), respectivamente. Para fines del diseño, de acuerdo con el Código, esta resistencia nominal debe de multiplicarse por un factor de reducción de resistencia <¡> para o bten er la resis tencia de diseño (.
cf>Mn =
(3.25 )
' donde <¡>= 0.90 para flexión. Para miembros con patines tales como las vigas I y T, en las cuales la pro fundidad del bloque de esfuerzos es más grande que el espesor del patín* el área total de acero, por razones de cálculo, se divide en dos partes. La primera parte es el área A pf quw actúa bajo el esfuerzo f , y equilibra exactamente a la com presión en las porcione s sobresa lientes del p atín:
A pf = 0 . S 5 ^ ( b - b w)hf
en Una
P - el
Si el índice de refuerzo (3.26)
y actúa con un brazo de palanca interno [d - (hf/ 2)]. Todos los términos geomé tricos se definen en la figura 3.14. La parte restante del área de acero A pw viene aparejada con la compresión en el alma. Consecuentemente, A p
—
y^ ar a fines de diseñ o, como es usual, ,a resistencia a ,a flexión se supone igual a
p íí l Ppfc
J ps
íp
«
,
srs
vas para el mom ento último p ar la prOfundid,d de, bKx,„, de
(3.27)
•
(3.30)
«
lg 0
exPresiones alterna ti-
Z ' l Z ‘ f M ’
«,-0.25
y la profundida d del bloque de esfuerzos es
_ A pwTn :
0.85/1
que la (3.28)
M;
X
V
» *(Hr,
(332) En cualquier casq, la resistencia de diseño deberá tomarse igual a 6M
Resistencia a la flexión
114
115
Análisis por flexión
el Código especifica que el momento resistente último sea por lo menos 1.2 ve ces el momento de agrietamiento. EJEMPLO capacidad última a la flexión mediante el análisis de compatibilidad de deformaciones Usando el método de compatibilidad de deformaciones de la sección 3.7 E, hallar la capacidad de momento última para la viga I del ejemplo de la sección 3.4, mostrada en las figuras 3.4 y 3.15. Se usará concreto con densidad normal, con una resistencia a la compresión f = 4000 lb/pulg y un módulo de elasticidad Ec = 3.61 x 10 lb/pulg.2. La capacidad de deformación última del concreto es € cu ~ 0-003 0, y j3; =.85. La viga es preten sada y se emplea cable de 7 alambres de 1/2 pulg. c/u y grado 250, para el cual la curva esfuerzo-deforma ción se mues tra en la figura 2.4. La fuerza efectiva de presfuerzo es como en el ejemplo previo Pe = 144 kilolibras ( £ = 28 N/mm .2, E c =24,890 N/mm.2, y P e =641 kN). De la tabla 2.2, el área de la sección transversal para un cable de 1/2 pulg. es 0.144 pulg.2, por lo que .2
6
A
- 1 \ 0.144
= 1.008 pulg
. 2
El esfuerzo y la deformación en los tendones debidos a la fuerza pretensora, son respectivamente: P 144 fpe = -j- = = kilolibras/pulg 1 4 3
fpe E" = TP
143
.2
27000 V El incremento en la deformación del acero, a medida que se descomprime el con = 0.0053 = é !
creto a su nivel se halla mediante la ecuación (3.14) £2
:
Pe ArEr
1
+
144
3 -176 x 3.61 x 10
3
, 1
5.192\ n 4- ------ = J0.0003 68.2 J
0
Inicialmente se supondrá el esfuerzo en el acero a la falla como 200 kiloli bras/p ulg.2 . De la figura 2.4 la d eformac ión corresp ondien te es e„ , = 0.0070 . Suponiendo que la profundidad del bloque de esfuerzos es menor que el espesor prome dio del pat ín de 5 pulg., su profund idad se calcula usando la ecuación (3.18): A .f „ 1.008 x 200 _ . a - — ---------------&= 4.94 pulg. 0.85 /'b 0.85 x 4 x 12 y la ubicación real del eje neutro ei: _ I B
4 S£-s» % | 0.85
1
debajo de la suprficie supe rior. Eft seguida se halla el increm ento en la deforma
d -c 17.19-5.81 £ = 0.0030 x ----- — = 0.0059 = Éc £ __ c 5.81 y la deformación total en el acero a la falla, se halla sumando las tres partes, tal como se indica en la ecuación (3il6). £ps = + + = 0.0053 + 0.0003 + 0.0059 = 0.0115 la cual debe compararse con la deformación de 0.0070 supuesta al inicio. Resulta rlaro aue se necesita revisar la estimación. Para el segundo tanteo, se supone un esfuerzo de falla del acero de 210 küolibras/pulg.2, con una deformación correspondiente de 0.0095. La profundidad del bloque de esfuerzos en este caso es „ a = 4.94 x ——= 5.!9 £3
£1
£2
£3
2 1 0
c = — = 6.10
t 0.85 y el incremento en la deformación del tendón 17.19 - 6.10 = 0.0055 = 0.0030 x ÚÍO 83
tal como se muestra en la figura 3.156. La deformación tota l en el acero a la falla es entonces sps = 0.0053 + 0.0003 + 0.0055 =
0.0111
Resistencia a la flexión 116
117
Análisis por flexión
= 250 ^1 - 0.5 x 0.0049 x
que se compara con el valor supuesto de 0.0095. De la inspección de la curva esfuerzo-deformación resulta claro que un mayor refinamiento tendría como resultado un cambio despreciable en el esfuerzo de falla en el acero. El esfuerzo de falla del acero está muy cerca de las 210 kilolibras /pulg (1450 N/mm.1) y la resistencia nominal, de la ecuación (3.19) vale
= 212 kilolib ras/pulg.2
Pero los valores superiores límites valen
...
2
M„ = A pf ps ( d
-
Á c + 60,000
= 203.000 libras/pulg.2 = 203 kilolibras/pulg.2 /„. = 210 kilolibras/pulg.2 (de Fig. 2.4)
“j
En este caso, el primero de estos límites es el que rige el diseño y f = 203 kilolibras /pul g (1400 N /mm .2), según el Código. De la Ecuación (3.30 ) el índice de refuerzo es
5.19\ = 1.008 x 210 í 17.19
. 2
(
----
f p p Áj r = 0.0049 f e
= 3089 kilolibras/pulg. = 257 kilolibras/pie (348 kN-m)
1.4 d p p
2
1
V\>' Consecuentemente, puede usarse la ecuación (3.20) para hallar el valor mado del esfuerzo en el acero en la falla. Cqn la relación de acero 1.008 P. = 0.0049 P p : 12 x 17.19 bd el esfuerzo en la falla, mediante la ecuación (3 . ) es ‘* . W ü" 2 0
1
11
203 = 1.4 x 17.19 x 0.0049 x —- = 5.99
0.85 x
~ - ( b — bw )h f J p s
=
0.85 x ¿53 x 8 x 5 - °-670 Pul8-2
en tanto que de la ecuación (3.27) el área de acero del alma es ApW Ap Apf
Encontrar la capacidad de momento último de la viga recién considerada usando ecuaciones aproximadas del ACI. La relación de presfuerzo efectivo a la resistencia última del acero es >)$*•
Je
A Pf =
Im
fpu
f
con el espesor promedio del patín de 5 pulgs. Resulta claro que la ecuación (3.29) para secciones con patines es la aplicable. De la ec uación (3 .26) el área de acero del patín vale
EJEMPLO Capacidad última a la flexión mediante Las ecuaciones del ACI.
143 — = 0.57 > 0.50 250 i I
----
1
1. A pesar de que la profundi dad del bloque de esfuerzos excede el espesor de las porciones exteriores del patín, es más o menosgigual que el espesor promedio; el refinamiento para tomar en consideración la forma real de la zona de compre sión tendría muy poco efecto en los resutlados para este caso. 2. El increm ento en la deformac ión del acero producido por la descompre sión del concreto es muy pequeño en comparación con €j y e3. Ignorar esta parte ten dría pocas consecuencias en los resultados. 3. La deformaci ón en el acero a la falla está muy próxima a aquella que corres ponde al esf uerzo de fluencia. En consecuencia, ocurr iría muy pequ eña elogación en el acero, si es que se sobrecargara la viga, antes de un aplastamiento súbito en el concreto. Desde el punto de vista de la seguridad, el diseño puede mejorarse, si se logra un tipo de falla más dúctil. Estas modificaciones se verán en el capítulo 4.
f J- f =
M
203 = 0.25 4
Como este valor es menor que Ó.30 la viga se clasifica como subreforzada, de acuerdo con el Código y pueden aplicarse tanto la ecuación (3.23) ó (3.29). Para poder determi nar cuál de las ecuaciones usar, se compara el p arámet ro
COMENTARIOS ADICIONALES
6
x
De la ecuación (3.28) se halla la profundidad del bloque de esfuerzos la cual cae en el alma de la viga
v
A
^
0.8 5/X
_ 03 38^ 03 0.85 x 4 x 4
ulg.2 W
Finalmente, empleando la ecuación (3.29), la resistencia nominal a la flexión vale
7lX1-
' ;Í
1.008 - 0.670 = 0.338 pulg.2
I,
0.338 x 203 ( 17.19 - ~ I/',
) +.0.670 x: m
118
Presfuerzo total versus parcial
Análisis por flexión
= 250 kilolibras/pie (339 kN-m) COMENTARIOS ADICIONALES 1 El momento de falla que se predijo de 250 kilolibras-pie de acuerdo con el método aproximado del ACI está muy cercano al valor de 257 kilolibra-pie que se obtuvo mediante el método más exacto del análisis de la compatibilidad de deformaciones. Esta congruencia en los resultados no siempre será tan buena, parti cularm ente para vigas con elevado po rcent aje de acero. 2. A pesar de que lo indicado por la ecuación del Código sería el análisis de la viga con patín, la profundidad del bloque de esfuerzos que cae en el alma, al ser calculada, resulta casi igual que el espesor del patín de 5 pulgs. Esto indica que el análisis basado en una zona de compresión con ancho constante hubiera sido aceptable, tal como se halló mediante un análisis más exacto. 3. Cualquiera que sea el método usado para calcular la resistencia nominal a la flexión M n, este valor debe de reducirse mediante el factor
para obten er la resis tencia de diseño
«
En los inicios del desarrollo del concreto presforzado, el objetivo del presfuerzo fue la eliminación de los esfuerzos de tensión en el concreto bajo cargas de servi cio. Se trataba de crear un material nuevo, enteramente homogéneo que perma neciera sin agrietar y respondiera elásticamente hasta llegar a las cargas máximas previstas. Esta clase de diseño, cu ando los esfuerzos de tensi ón lí mites en el co n creto bajo la to talid ad de cargas de servicio son cero, se conoce generalmente com o presfuerzo tota l, en tan to que el diseño alternativo, en el cual una cierta cantidad de esfuerzo de tensión es permitida en el concreto sujeto a la totalidad de la car ga de servicio se denomina de presfue rzo parcial*. Existen casos en los cuales es necesario evitar el riesgo del agriet amiento y en los que se requiere un presfuerzo total. Tales son los casos de los tanques o rcservorios en donde se deben evitar las fugas, las estructuras sumergidas o aque llas que se encuentran sujetas a un ambiente altamente corrosivo y en donde debe tle lograrse la máxima protección para el esfuerzo, y las estructuras sujetas a car gas repetidas de una alta frecuencia en donde la fatiga del refuerzo puede ser considerable. Sin embargo, existen muchos casos en los que una menor cantidad de pres fuerzo puede mejorar substancialmente el desempeño de los miembros, reducir iif*'
1
§
. 9F‘
■
* El pionero del diseño Freyssinet originalmente se inclinó por el presfuerzo to tal aunqu e en los últimos años modificó su posición, indicando que los esfuerzos de tensión en el concreto algo mayores que el módulo de ruptura son bastante apropiados para las estructuras de puentes, por ejemplo, en donde rara vez ocu rren las cargas máximas. Las ventajas del presfuerzo parcial fueron presentadas de manera convincente por Abeles en 1951 (ver referencia 3.10 en la Bibliogra
119
el costo, o ambas cosas al mismo tiempo. Las vigas totalmente presforzadas pueden prese ntar una magnitud indeseable de combeo hacia arriba debido a la fuerza excéntrica pretensora, siendo esto sólo parcialmente compensado por las cargas de gravedad las cuales producen deflexión hacia abajo. Esta tendencia se agrava por el escurrimiento plástico del concreto, el cual agranda el desplaza miento hacia arriba debido a la fuerza pretensora, pero que influye poco en las deflexiones hacia abajo debidas a la carga viva, la cual puede aplicarse solamente en forma intermitente. Así también, si los miembros altamente presforzados debieran cargarse hasta la falla, ellos presentarán una falla frágil, en lugar de una gradual, como lo harían las vigas con cantidades menores de presfuerzo. Desde el punto de vista de la seguridad esto es importante, debido a que una falla súbita sin advertencia es peligrosa, y no da oportunidad para que se tomen medidas correctivas. Más aún, la experiencia indica que en muchos casos el uso de una combinación de varillas sin esforzar y de tendones presforzados de alta resistencia conlleva ahorros substanciales. A la vez que es posible permitir esfuerzos de tensión y grietas bajo las cargas de servicio, también se reconoéfe que tales cargas de servicio en su totalidad pue den tener poca frecuencia de aplicación. La carga típica o característica que se encontrará actuando es la carga muerta más una pequeña fracción de la carga viva especificada. De esta manera, una viga parcialmente presforzada puede no estar sujeta a esfuerzos de tensión en las condiciones usuales de carga. Las grietas pue den formarse ocasionalmente, cuando se aplique la máxima carga, pero estas se cenarán completamente cuando dicha carga se retire. Estas grietas que se for man en las estructuras presforzadas no pueden ser más objetables que las que se forman en las estructuras de concreto reforzado. Esto puede ser consideraro como un pequeño precio que hay que pagar para obtener las ventajas del desempeño y la economía. Se ha observado que el concreto reforzado es sólo un caso especial de el concreto presforzado, en el cual la fuerza pretensora es nula. El comportamiento de vigas de concreto reforzado y de vigas de concreto presforzado, a medida que se alcanza la carga de falla es esencialmente el mismo. Las relaciones carga-deflexión para vigas con cantidades variables de fuerza pretens ora se muest ran de una manera cualitativa en la figura 3 .16. Tant o las vigas de concreto reforzado como las de concreto presforzado pueden ser subre forzadas, con una área relativamente pequeña de acero de forma que la falla se genera por la fluencia o ruptura del acero, o pueden ser sobrerreforzadas con un área relativamente grande de acero de tal manera que la falla se inicia por el aplas tamiento del concreto del lado de compresión del miembro antes de que el acero alcance su esfuerzo de fluencia. En cada caso, la cantidad de fuerza pretensora aplicada para el área de acero dada puede variar desde cero (concreto reforzado) hasta un valor muy grande (sobrepresfuerzo). La figura 3.16a muestra las curvas carga-deflexión para vigas subreforzadas,
120
Presfuerzo total versus parcial
Análisis por flexión
M
ib)
Figura 3.16 Curvas idealizadas carga-deflexión para vigas con fuerza pret ensora variable (adaptado de la obra referida en 3.5). (a) Vigas subreforzadas. ( b ) Vigas sobrerreforzadas. pero con cantidade s variables de presfuerz o. Las lín eas puntead as represen tan a las curvas carga-deflexión calculadas usando la rigidez a la flexión de la sección transformada sin agrietar (EcI ut) y aquella de la sección transformada agrietada (E Jet)- La carga que produce la falla es aproximadame nte la misma en todos los casos. La viga (a) con presfuerzo nulo responde linealmente hasta su carga de agrieta miento , después de la cual su curva carg are flexión es aproximadamen te lineal y paralel a a la línea £'c/c(. Obviamente par a las vigas (b), (c) y ( d ) que están presforzad as, la carga que produce el agrietamient o es may or debido a que los esfuerzos iniciales de compresión se superponen en la zona de tensión. La ubica ción del punto de bifurcación de la línea E J ut depende del grado de presfuerzo. La viga ( ) representa una viga parcialmente presforzada, en la cual el agrieta mient o pued rrir, debajo de la carga total de servicio, mientr as que la 6
121
viga (c), es totalmente presforzada, con esfuerzos de tensión nulos, bajo cargas de servicio, pre sentándo se agrietamie nto sólo para cargas mayores. La viga (
122
Análisis por flexión
Esfuerzos de flexión después del agrietamiento
El Comité Conjunto Europeo del Concreto (consúltese la referencia 3.11 en la Bibliografía) establece tres clases de vigas presforzadas: Clase 1:
Totalmente presforzadas, en las cuales no se permiten esfuerzos
Clase 2:
Parcialmente presforzadas, en las cuales se permite el agrieta mien
Clase 3:
Parcialmente presforzadas, en las cuales pueden existir grietas per
de tensión en el concreto bajo cargas de servicio. to temporal bajo las poco frecuentes elevadas cargas. manentes siempre que su ancho sea limitado adecuadamente. El Código de Normas Británicas (consúltese la referencia 3.12) incluye categorías similares. El Código ACI permite tensiones en el concreto de y /f ^ bajo la carga de servicio total, ligeramente menor que el módulo de ruptura, y requiere la inclu sión de suficiente refuerzo con adherencia en la zona de tensión para controlar las grietas. Si los cálculos explícitos de las deflexiones debido a cargas inmedia tas y sostenidas indican que éstas se encuentran dentro de los límites permisibles, y si el recubrimiento del refuerzo está por encima del límite usual, el Código permite un esfuerzo de tensi ón de 12 Tabla 3.1). Ambos esfuerzos son equivalentes a presfuerzo parcial, de acuerdo con la definición dada anteriormente. En cada caso, de acuerdo con la práctica actual en los Estados Unidos, los esfuerzos se calculan sobre la base de las propiedades de la sección sin agrietar. Resulta claro entonces, que el límite más alto para los esfuerzos, representa sola mente un esfuerzo nominal, ya que se encuentra bastante por encima del módulo de ruptura. La justificación para sustentar los cálculos en la sección sin agrietar para tales casos, es que existe suficiente acero con adherencia para confina r y controlar las grietas, y de que el comportameinto total del miembro es aproxi madamente el que tendría si el concreto pudiera, de hecho, desarrollar esfuerzos de tensión nominales. Después de que el miembro se halla agrietado, si tanto los esfuerzos en el concreto como en el acero permanecen en el rango elástico, éstos pueden calcu larse usando las propiedades de la sección transformada agrietada (véase la refe rencia 3.17). Tales cálculos se describen en el siguiente artículo . 6
3.9 ESFUERZ OS DE FLEXION DESPUES DEL AGRIETAMIENTO Y RESISTENCIA DE VIGAS PARCIALMENTE PRESFORZADAS
Bajo el estado de la totalidad de las cargas de servicio, las vigas parcialmente presforz adas se agr ietan, au nque por lo general tan to los esfuerzos en el concre to como en el acero permanecen dentro del rango elástico. Mientras que los esfuer zos bajo cargas de servicio en secciones agrietadas pueden, en forma apropiada, considerarse de poca importancia (en comparación con la resistencia y seguridad del miembro) si éste tuviera que sobrecargarse, el cálculo de los esfuerzos puede
123
1. Para los miembros pre sforzados, los anc hos de las grietas bajo cargas de servicio se relacionan con el incremento en el esfuerzo en el acero des pués de pa sar el estado de descompre sión del concreto; en consecuencia, se deben co nocer el esfuerzo en el acero bajo cargas de servicio, así como los esfuerzos en la descompresión. 2. Un cálculo exacto de las deflexiones tanto elásticas como por escurrimiento plástico bajo cargas de servicio requiere que las curvaturas se basen en distribu ciones de esfuerzo-defo rmación reales, no nominales. 3. Si la fatiga es un factor en el diseño, se necesitan determ inar los rangos de esfuerzos reales tanto en el concreto como en el acero. 4. Puede ser necesario calcular los esfuerzos en la sección agrietada para demostrar su conformidad con los códigos de diseño. En el caso de una viga ordinaria de concreto reforzado, el cálculo de los es fuerzos en una sección agrietada es una tarea sencilla. El concepto de la sección transformada permite el uso de las ecuaciones conocidas de la mecánica en vigas homogéneas y elásticas, para localizar el eje neutro, para la determinación de las propiedade s de la sección y p«ra el cálculo de los es fuerzos. Alterna tivame nte, se pueden derivar ecuaciones explícitas para secciones de concreto reforzado no homogéneas (véase la obra referida en 3.14 en la Bibliografía). En las vigas de concreto presforzado agrietadas, las cosas se complican. La ubicación del eje neutro y las propiedades de la sección efectiva dependen no sólo de la geometría de la sección transversal y de las propiedades del material, como en las vigas de concreto reforzado, sino también de la fuerza pretensora axial y de la carga. La fuerza axial no es constante después del agrietamiento, sino que depende de la carga y de las propiedades de la sección. La sección transversal efectiva de una viga parcialmente presforzada típica bajo cargas de servicio se muestr a en la figura 3.17 . El miembro que se muestra incluye tanto acero presforzado de área A p, como varillas de refuerzo sin pres fuerzo de área A s, como usualmente es el caso. Se supone que el miembro se ha agrietado, que tanto el concreto como el acero se han esforzado solamente den tro de sus rangos elásticos y que puede despreciarse la contribución del concreto a la tensión. Se considerarán las deformaciones y esfuerzos en el concreto y en el acero bajo varios niveles de carga, algunos de los cuales re almente no son ex peri men ta dos por el miembro, pero se consideran solamente por convenir a los cálculos (véase la referencia 3.15). El estado de carga (1) corresponde a la aplicación de la fuerza pretensora efectiva Pe sola. En este estado, el esfuerzo en el tendón es a
• fpl Jjf pe = ^j|:"
(3.33)
Suponiendo que haya una perfecta adherencia entre los dos materiales, la defor mación en compresión de la varilla de refuerzo en este estado, es la misma que la
124
Análisis por flexión
Esfuerzo s de flex ión después del agrietamiento 126
./.;
2
(3.36)
Es£s2
Bajo este estado hipotético de carga, el esfuerzo en la varilla de refuerzo, despre ciando los efectos de la contracción y el escurrimiento plástico, vale: fs
EJt
es2
-f £ ) 52
(3.37)
0
El cambio en la deformación en el tendón es el mismo que el del concreto ai mismo nivel, y se puede calcular con base en las propiedades de una sección de concreto sin agrietar. Sp2 -
(3.38)
A rEr ' 4
después de lo cual f se puede hallar en la ecuación (3.35). La varilla de refuerzo no tiene esfuerzo en el estado (2), tal como se dijo, pero con el objeto de pro ducir el estado de esfuerzo nulo en el concret o, el tendón superior. •
~3) Pg* carga de servicio
p 2
(b)
(3.39)
F = AJ Lf p í + f p¿
tal como se muestra en la figura 3.17c. El esfuerzo de esta fuerza de descompresión ficticia es ahora cancelado me diante la aplicación de una fuerza igual y opuesta F, tal como se muestra en la figura 3.17c?. Esta fuerza, junto con el momento exterior M t debido al peso pro pio y a las cargas sobre puestas, p ueden ser represen tados por una fuerza resul tante R aplicada con una excentricidad e arriba del centroide del concreto agrietado, donde R - F , y Figura 3. 17 Bases para el análisis de la sección agrietada, (a) Sección transversal agrietada, (ó) Deformaciones en el concreto y acero, (c) Fuerza de descompresión. (d ) Fuerzas en la sección agrietada, (e j Esfuerzos resultantes. del concreto al mismo nivel. En consecuencia, la varilla de refuerzo está inicialmente sujeta a un esfuerzo de compresión J s t
(3.34)
E s 8s2
resulta considerar . _. A continuación, '«v fí' conveniente .í* Á; un estado de carga ficticio ( ), correspondiente a una descompresión completa en el concreto en la cual la deformación en el concreto es nula a través de toda la profundidad, tal como se muestra en la figura 3.176. La compatibilidad de la deformación del concreto y el acero requiere que los cambios de esfuerzo en el tendón y en las varillas de refuerzo a medida que la viga pasa del estado ( ) al ( ) sean, respectivamente: i (3.: 2
1
2
e =
M, — Fe
(3.40)
R
Ahora la viga puede analizarse como un miembro ordinario de concreto re forzado sujeto a una fuerza de compresión excéntrica. La distribución resultante de las deformaciones en el concreto (3), se muestra en la figura 3.17 b. Los in crementos en las deformaciones del tendón y las varillas de refuerzo, e y es3, respectivamente, junto con sus esfuerzos correspondientes, se superponen a las ya presentes deformaciones y esfuerzos en el tendón y las varillas. Estos incrementos de esfuerzos en el acero, así como los esfuerzos en el concreto,; se pueden hallar usando el concepto de la sección transformada (véase la obra referida en 3.14). El tendón se reemplaza por un área equivalente de con creto en tensión npAp y las varillas de refuerzo se reemplazan por el área nsAs, donde np '¥>Epfifc¿ y n s = E J E tal cómo se muestra en la figura 3.184. | El eje neutro para la sección equivalente homogéna transformada, a Una dis tancia y de la superficie superior, puede hallarse mediante la condición de equi p 3
0 h ' ñ
126
Análisis por flexión
4,r
■11 Esfuerzos de flexión después del agrietamiento
127
EJEMPLO Esfuerzos de flexión elásticos en vigas parcialment e pr esforzadas después del agrietamiento
Figura 3.18 Sección transversal transf ormad a agrietada de una viga parcialmen te presforzada. (a) Sección transversal trans form ada agrietada, (ó) Esfuerzos. zos en el concr eto y en los esfuerzos actuantes en las áreas de acero transform a das, tal como se muestra en la figura 3.18¿>. La ecuación de momentos alrededor de la recitante externa R de las fuerzas internas resulta una ecuación cúbica en y , y puede resolverse mediante aproxi maciones sucesivas. Una vez que se conoce, se pueden hallar el área transformada efectiva A ct y el momento de inercia Ict de la Sección agrietada alrededor de su propio centroide, ubicado mediante c f desde la superficie superior. Los incrementos de esfuerzos que se buscan, a medida que el estado de cargas pasa del (2) al (3), son: R
Re*c*
J c i -
Re*(dp - cf)
O. 2'i l '
y \
f
-zip = 0.863 pulg.2 - A , = 1.57 pulg.2
L_ a
: t
(3.42)
| Re*(ds - c f ) f s 3 =
^
Centroide del concreto n o a g r ie t ad o
(3.41)
j
■*el
/p3
La viga T parcialmente presforzada que se muestra en la figura 3.19a, está sujeta a los momentos debido a las cargas sobrepuestas, muertas y vivas, de servicio eje 38 y 191 kilo libras-pie, en forma adicional al mom ento de 83 kilolibras-pie de bido a su peso p ropio . Se aplica una fuerza efectiva de pfesfuerzo de 123 kilolibras, usando 6 cables grado 250 de 1/2 pulg. Dos varillas no presforzadas grado 60 y número 8 se colocan cerca de la cara de tensi ón de la viga. Los módulos de elastidad del concreto, del acero del tendón y las varillas de refuerzo son, respectivamente, 3.61 x 10 6 lb/pulg2, 27 x 10 6 lb/pulg.2, y 29 x 10 6 lb/pulg.2. El módulo de ruptura del concreto es 500 lb/pulg.2. Hallar los
(3.43)
"s
donde los términos geométricos se definen en la figura 3.18. El esfuerzo final en el tendón se halla ahora mediante la superposición de los esfuerzos dados por las ecuaciones (3.33), (3.35) y (3.42). El esfuerzo en las varillas de refuerzo está dado por la Ecuación (3.43). El esfuerzo del concreto en las fibras superiores de la viga está dado por la ecuación (3.41). Expecíficamente,
w
m
./ p = / , i + / p 2 + / P3 m m :■
./«
/» 3
I
S,
£
Mf
(3-44)
M
(3.45)
Figura 3.19 Análisis de la sección agrietada de una viga T. (a) Sección trans versal del miembro. ( b ) Sección transversal transformada agrietada, (c) Esfuerzos en el
128
Análisis por flexión
Esfuerzos de flexión después del agrietamiento
esfuerzos en el concreto, en el acero del presfuerzo y en las varillas de refuerzo, bajo la total idad de las cargas de servicio. {MQ =1 13 kN-m, Md = 52 kN-m, Mf= 259 kN-m,/^ = kN, Ec - 24.9 kN/mm2, Ep = 186 kN/mm2, ^ = 200 kN/ mm2 , y /r' = 3.4 N/m m2 ). Primero se verificará el esfuerzo de tensión en la parte inferior de la viga, suponiendo que el miembro no está agrietado. Las propiedades de la sección sin agrietar son:
129
mentó total de 312 kilolibras-pie, es equivalente a una fuerza de compresión = 133 kilolibras aplicada con una excentricidad de
R
5 4 7
A c = Sj = S2 =
212 pulg (137 x 103 mm2) 1664 pulg (27.3 x 106 mm3) 1290 pulg (21.1 x 106 mm3) Cj = 13.1 pulg. (333 mm) c2 = 16.9 pulg. (429 mm) r2 = 103 pulg (66.5 x 103 mm3) .2
.3
Entonces, usando la ecuación (3.6):
123,000/ 11.9 x 16.9\ 312,000 x 12 + 1290 212 V + 103 ) = +1186 Ib/pulg (8.2 N/mm2) .2
Pé p 1 = fpe = ~ = J A p
123,000 „ , , , n = 143,000lb/pulg.2 (986N/mm2) U.ooJ
I ct =
2 1 2
123,000 / 11.92\ x 3.61 x IO V + 103 J
p2 = Epüp2 = J
27 x
1 0 6
R ~
fr
Jf
Ct
133,000 135 Jp
3
x 0.0004 = 10,800 lb/pulg (74 N/mm2)
H
R
, Re*(dp -
A *
r fs 3
í
f
133,000 x 10.90 x 7.75 9347 le ,
- 2,190 lb/pulg } ( -15.1 N/mm2)
ct)~] .
133,000 133,000 x 10.90 x 17.25 = 7.48 |^135 + 9347
.2
+ J'p2) = 0.863(143 + 10.8) = 133 kilolibras 1 H ;É .« I m
Re*c*[ I 1
aCt
= 0.0004
Con el objeto de hallar la descompresión en el concreto, se halla la siguiente ten sión externa ficticia: F = AJ Jpl
9347 pulg.4
e* = 16.25 - 13.1 + 7.75 = 10.90 pulg. Ahora se pueden hallar los incrementos de los esfuerzos en el concreto y en el acero de las ecuaciones (3.41), (3.42) y (3.43):
6
y el correspondiente incremento en el esfuerzo del tendón se halla de la ecuación (3.35)
3
La excentricidad de la fuerza R con respect o al centroi de de la sección transfor mada agrietada vale
Entonces, refiriéndose a la figura 3.176 y usando la ecuación (3.38), el cambio deformación del tendón a medida que la sección se descomprime vale: SP2 ~
16.25 pulg.
arriba del centroide del concreto no agrietado, ó 3.15 pulg. arriba de la superficie superior del miembro, tal como se muestra en la figura 3.19. Con np = 27/3.61 = 7.48 y ns = 29/3.61 = 8.03 las áreas transformadas'del tendón y las varillas son respectivamente, 6.46 pulg y 12.61 pulg.2 . La sección transversal efectiva de la viga agrietada, con la dimensión y que ubica al eje neutro, aún desconocida, se muestra en la figura 3.196. Los esfuerzos en el concreto y en el acero transfo rmado , a medida en que las ¿l cargas pasan del estado (2) al (3), se muestra n en la figura 3.19c. Tomando mo- / mentos de las fuerzas resultantes alrededor dt R., se obtiene una ecuación cúbica x en y, que resulta por aproximaciones sucesivas, arroja el valor y -14.1 pulg., tal como se muestra. Con el valor de y conocido,#a ubicación del centroide de la sección transfor mada agrietada es un asunto rutinario. Tomando momentos de las áreas parciales con relación a la superficie superior se ubica el centroide a c f = 7.75 pulg. de la parte superior de la sección. Las propiedades de la sección son: , rv A c t = 135 pulg.2 ’
en lu
Pe ACEC
x 12-133 x 11.9 133
7
Este esfuerzo sobrepasa grandemente al módulo de ruptura, lo cual indica que, efectivamente, la sección está agrietada. Se continuará el análisis de acuerdo con el método descrito arriba. De la ecuación (3.33), el esfuerzo efectivo en el tendón cuando Pe actúa sola vale: „
_
R
.2
.3
.2
,
M , - F e _ 312
H
, Re*(ds -
R Aa
133,000
K,
.
133,000 x 10.90 x 19.25'
12,600Ib/pulg.2(87 N/mm2)
130
Análisis por flexión
Esfuerz os de flexión después del agrietamiento
Los esfuerzos finales en el tendón bajo la totalidad de la carga de servicio se hallan sumando las tres partes: fp — fp l
+
fp2
+
/p 3
= 143,000 + 10,800 + 12,600 = 166,400 lb/pu lg.2(l 147 N/mm2)
131
Primero se supondrá el esfuerzo en el tendón a la falla como 200,000 Ib/ pulg.2, y de la curva esfue rzo deformaci ón, la deforma ción correspond iente-es eps = 0.007 0. Se supone que las varillas no presforzad as actúan a su esfuerzo de fluencia de 60,000 lb/pulg.2. En este caso la profundidad del bloque de esfuerzos
mientras que el esfuerzo en la varilla de refuerzo es f = fs3
= 16,100lb/pulg .2(111 N/mm2)
y en la parte superior del concreto L = fd -
-219 0lb/pulg,2( - 15.1 N/mm2)
COMENTARIOS ADICIONALES 1. El increme nto de esfuerzo en el tendó n, a medida que la viga va alcanzando la totalidad de la carga de servicio es alrededor del 17% del presfuerzo efectivo. En el cálculo de los esfuerzos bajo cargas de servicio en vigas parcialmente presforzadas, se ve claramente que tal incremento n^p ued e ser despreciado. 2. Los esfuerzos de solament e 16,100 lb/pu lg.2 por cargas de servicio en las varillas de refuerzo, indican que son los requisitos de resistencia y no los esfuer zos por cargas de servicio, los que probablemente controlan la selección del área de las varillas. 3. A pesar de que no se dio el esfuerzo permisible del concret o, el esfuerzo de 2190 lb/p ulg.2 parece razon able para un co ncreto que tiene una resistencia la compresión de alrededor de 5 kilolibras/pulg.2 4. La informa ción desarrollada para las deformaciones y esfuerzos propor ciona una base racional para juzgar el desempeño de la viga. Por ejemplo, se podría estimar el ancho de las grietas basándose en los esfuerzos en las varillas de refuerzo, empleando los métodos estándar, o basándose en el incremento del esfuerzo en el tendón, a medida en que el miembro pasa del estado de descompresión hasta el estado en que actúan la totalidad de cargas de servicio.
Figura 3.20 Análisis de resistencia a la Flexión para vigas T parcialm ente pres forzadas. (a) Sección transversal. ( b ) Deformaciones en el concreto y «1 acero. (c) Esfuerzos de falla. ..
en la falla es a =
-------- — yo 0.85/2 \ 0.863 x 200 + 1.57 x/óO , _ . = ------------------------ — /= 4.90 pulg. 0.85 x 4 x 16
EJEMPLO Resistencia última de flexión de vigas con refuerzo presforzado y refuerzo ordinario Usando el método de la compatibilidad de deformaciones, encontrar la capacidad de momento última de la viga T del ejemplo precedente. Se usará concreto de densidad normal con una resistencia de / ' = 4000 lb/pulg.2, su módulo de elasti cidad es 57,00 0 v /400Ó’= 3.61 X 106 lb/pulg .2, y su lími te de deformac ión = 0.003. Puede suponerse que la curva esfuerzo deformación para los cables es tal como se muestra en la figura 2.4, y que para las varillas es tal como se muestra en la figura 2.3. (£ = 28 N/mm2, y E a = 24.9 N/mm2.) La deformación en el tendón bajo el presfuerzo efectivo es L, :
143000 2 i * #
:0.0053
Apf ps f A J y
4.90/0.85 = 5.77 pulg. Entonces el incremento en la deformación del ten dón, a medida que la carga pasa del estado (2) al (3) es: * ' > :i 1 ' 1 d -c (25 - 5.77\ fp3 = — = 0.003 ,|te~ - = 0.0100 > % f r.;X | ( c V 5.77 J
y e -
y la deformación total del acero en la falla vale E-, = 0.0053 + 0.0004 + 0.0100 = 0.0157 P
en lugar del valor 0.0070 supuaato.
Problemas 133 132
Análisis por flexión
a = 5.22 pulg. (133m m) (prácti cament e igual que el
espesor del patín ) c = 6. 14 pulg (156 mm)
ep3 = 0.0092 eps= 0.0149 tal como se muestra en la figura 3.206. Resulta claro de la curva esfuerzo-defor mación para cables que ya no se necesita más refinamiento. La deformación en la varilla de refuerzo en la falla es es3 = 0.003
= °-0102 > sr
°' 0 o2&',:
lo cual confirma que las varillas fluyen tal como se supuso previamente. El momento resistente en la falla se halla tomando momentos de las fuerzas en el acero alrededor de la fuerza resultante de compresión (la cual puede supo nerse que actúa en el punto medio del espesor del patín en el presente caso):
3.10 Abeles, P.W., “How Much Prestress?,” Engineering News-Rec ord, julio 5, 1951, págs. 32-33. 3.11 CEB-FIP Join t Committ ee, Interna tional Re comm enda tio ns for the Design and Constructi on o f Prestressed Concrete Structures, Cement and Concrete Association, Londres, junio 1970. 3.12 British Standards Institution, Draf t Brit ish Standard Code o f Practice fo r the Structur al Use of Concrete, Londres, 1969. 3.13 Abeles, P.W., “Design of Partially-Prestressed Concre te Beams,” J. ACI, Vol. 64, No. 10, octubre 1967, págs. 669-661. 3.14 Winter, G. y Nilson, A.H., Design o f Concrete St ructures, 8a. Ed ., McGrawHill, Nueva York, 1972, 615 págs. 3.15 Thurlimann, B . , “A Case for Partial Prestressing,” Structural Concrete Symposium Proceedings, Universidad de Totonto, mayo 1971, págs. 253301. 3.16 Dolan, C.W., Ultím ate Capacity of Reinforced Concrete Sections Using a Continuous Stress-Strain Function, tesis de maestría Universidad de Cornell, Ithaca, N.Y., junio 1967. 3.17 Nilson, A.H., “Flexural Stresses After Cracking in Partially Prestressed Beams,” /. PCI, Vol. 21,fN
M„ = Apfps (d p - ü ^ j + A J y (d s -
PROBLEMAS = 0.863 x 220 (25 - 0 + 1.57 x 60 (' l 7 - ^ = 6850 kilolibras/pie (743 kN-m) Si se aplica el factor de reducción usual, la resistencia de diseño de la viga es Mn = 0.90 x 548 = 493 kilolibras/pie (669 kN-m)
BIBLIOGRAFIA 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
Parme, A.L. y París, G.H., “Designig for Continu ity in Prestressed Concrete Structures,” /.. ACI, Vol. 48, No. 1, septiembre 1951, págs. 45-64. Lin, T., “ Load-Balancing Method for Designs and Analysis of Prestressed Concrete Structures,” J.ACI, Vol. 60, No. 6junio 1963, págs. 719-742. Leonhardt, F., discusión en torno del artículo referido en 3.2, J.ACI, Vol. 60, No. 12, diciembre 1963, págs. 1859-1862. Nilson, A.H., “Flexural Design Equatio ns for Prestressed Concrete Mem bers,” /. PCI, Vol. 14, No. 1, febrero 1969, págs. 62-71. Abeles, P .W Intr oduct ion to Prestressed Concrete, Vol. 1, Concrete Publications, Ltd., Londres, 1964. Abeles, P.W., Int roduc tion to Prestressed Concrete, Vol. 2, Concrete Publications, Ltd., Londres, 1966, Leonhardt, F., Prestressed Concrete Design and Construction, Wilhelm Ernst and Son, Berlín, 1964, 676 págs. Guyon, Y., Lim it State Design o f Prestressed Concrete, Vol. 1, Applied Science Publishers, Londres, 1972.
3.1
Una viga rectangu lar de concreto de ancho 6 = 11 pulg. y peralte tota l de h = 28 pulg. es postensada usando un tendón parabólico único, con una
excentricidad de 7.8 pulg. en el centro del claro y 0 pulg. en los apoyos libres. La fuerza pretensora inicial es P¡ = 334 kilplibras y la relación de efectividad R = 0.84. El miembro deberá sopo rtar una carga muer ta sobre puesta de 300 lb/pie y una carga viva de 1000 lb/pie , d istribuida d u nifo r memente en el claro de 40 pies. La resistencia especificada del concreto es de f c = 5000 lb/pulg.2 y cuando ocurre la transferencia/,,,- = 4000 lb/pulg.2. Determínese la distribución de los esfuerzos de flexión en el concreto al centro del claro (a) Para las condiciones iniciales, antes de la aplicación de las cargas sobrepuestas (b) Para la carga total de servicio. Compararlos con los límites de esfuerzos del ACI. 3.2 La viga I de concreto de la figura P3.2a es presforzada mediante 4 cables trenzados que tienen un área total de A p = 0.575 pulg.2 La excentricidad del acero varía parabólicamente desde cero en los apoyos hasta 7.58 pulgs. en el centro del claro de 30 pies. El esfuerzo efectivo en el acero después de las pérdidas es 132,000 lb/pulg.2 (a) ¿Qué Carga sobrepuesta uniforme mente distribuida producirá el agrietamiento de la viga, siendo el módulo de ruptura/. = 475 lb/pulg.2? (b) ¿Qué carga sobrepuesta produciría una condición balanceada entre la carga externa y la carga equivalente de presfuerzo, tal que se obtenga una compresión axial úniforme en el concreto? (c) Para la carga balanceada recién calculada, ¿la deflexión en el centro del claro sería hacia arriba, hacia abajo, o cero?, Explicar. 3.3 Siendo que el acero de presfuerzo para la viga del problem a 3.2 tiene una curva esfuerzo-deformación idealizada en la figura P3.26, y que el concreto tiene una capacidad de deformación última de 0.003, determínese la re-
134 Análisis por flexión
CAPITULO 4
DISEÑO DE VIGAS
Figura P 3.2 ( sistencia a la flexión nomin al Mn del miembro, basándose en el análisis de compatibilidad de deformaciones. Compárese con la resistencia calculada con el método aproximado del ACI. La resistencia del concreto es f c = 4000 lb/pulg.2. 3.4 . Una viga para puentes AASHTO tipo II (ver Apén dice A, Tabla Al 1) se usa para un claro de 50 pies. La viga se pre tensa usando cables trenz ados que aplican una fuerza de compresión P¡ = 432 kilolibras al momento de la transferencia. Después de ocurridas todas las pérdidas que dependen del tiempo, se obtiene un presfuerzo efectivo de Pe = 367 kilolibras. El acero consiste de 29 alambres de 3/8 pulg. Grado 270 y el centroide tiene una excentricidad constante de 12.5 pulg. (a) Siendo que la viga se combea hacia arriba, inmediatamente después de la transferencia de la fuerza pretensora a la viga, ¿qué esfuerzos se producen en el concreto en el centro del claro para ese estado de cargas? (b) ¿Qué esfuerzos se producen en el miembro descargado (presfuerzo más peso propio solamente) después de ocurridas todas las pérdidas importantes? (c) ¿Qué esfuerzos se producen después de la aplicación de toda la carga de servicio (suma de cargas vivas y muertas sobrepuestas) de 1.630 kilolibra/pie? (d) ¿Cuál es el factor de seguridad contra el agrietamiento (definido con respecto al incremento de cargas sobrepuestas), siendo el módulo de ruptura de 530 lb/pulg.2? (e) Si la resistencia del concreto es f c = 5000 lb/pulg.2 y el acero tiene una curva esfuerzo-deformación tal como se muestra en la figura 2.4, ¿cuál es la carga total que producirá la falla del miembro? (Usar la ecuación aproxi mada del ACI para los esfuerzos en el acero y aplicar el factor de reducción de la resistencia a la resistencia nominal del miembro.) 3.5 Vuélvase a calcular la resistencia nomina l a la flexión para la viga AASHTO del problema 3,4, basándose en el análisis de compatibilidad de deforma ciones.
4.1 BASES DEL DISEÑO Resulta útil resumir el comportamiento de una viga de concreto presforzado en función de su curva carga-deformación, tal como se muestra en la figura 4.1. Cuando se aplica la fuerza del presfuerzo inicial, existirá de inmediato un combeo hacia arriba 5pj, debido al momento de flexión asociado con la excentri cidad del presfuerzo. Estando la viga apoyada en sus extremos, su peso propio comienza a ser efectivo inmediatamente, superponiendo una componente hacia abajo de la deflexión 50 en contra del combeo hacia arriba producido por el pres fuerzo. A éste se le conoce como estado descargado, actuando en él sólo el presfuer zo inicial y el peso propio. Aquí se supondrá, por simplicidad, que todas las pérdidas ocurren al mis mo tiempo, de tal forma que la deflexión neta al comienzo es 8pe ~ SQdebida a la combinación de la fuerza pretensora efectiva Pe y el peso propio w a . En este estado la distribución de esfuerzos de flexión en el concreto en el centro del cla ro es generalmente tal como se muestra por el pequeño croquis sombreado su perpuest o en la curva carga-deflexión, variando linealmen te desde un valor bajo de esfuerzo de tensión en la cara superior de la viga hasta un máximo de com presión en la par te in ferior. Cuando se agrega la carga muerta sobrepuesta, la deflexión se incrementa en el sentido positivo hacia abajo, en una cantidad 5d . En este estado, a menudo la deflexión neta es hacia arriba, tal como se indica en la figura 4.1, pero no siempre es así. Con la adición de una parte de la carga viva, se puede alcanzar un estado de carga balanceada tal que la carga equivalente hacia arriba proveniente del pres fuerzo es exactamente igual a lai cargas exteriores hacia abajo. El resultado es un
Bases del diseño 138
137
Diseño de vigas Carga
.»f ue™ de compresión uniforme en,«! miembro tal que en 1. figura 4.1 se indica una puede deriva,% debido a que la distribución forme de producen defiexiose dél a superposicron <>e la s' * 'gas " '8 vivas Je corta duración que no las nes por escurrimiento plástico, y las cargas vivas un ,
Pr0dUce„"„ un» posterior adición de carga viva • sión, en el cual el esfuerzo en el co"cret“ en a dg egJ estado hasta que se aleanrespue sta de la viga es lineal en, y a go igualan al módu lo de rupt ura, za, en donde los esfuerzos de tensión en el 8 * estado de desc0mpre-
^
^
a
c
^
^
r ^
carga de agrietamiento.
Í d io
del ’rango elástico hasta ba stan te más alia de la siguen incrementand o, comen-
lo que se denominará el estado de sobrecarga. Cerca de la falla la respuesta de la viga es muy inelástica, tal como se indica. La distribución del esfuerzo en el con creto en el miembro agrietado, cuando la falla es inminente, es aproximadamente tal como se muestra en el último croquis de esfuerzo. Cualquiera de los estados de carga que se acaban de describir puede servir como un punto de partida para el dimensionamiento del miembro de concreto. Cualquier estado de carga proporciona la base inicial, debiéndose revisar el miem bro para todo s los otros estados significativos, en forma tal de asegurar qu e será satisfactorio para tod os los rangos. De acuerdo con la práctica usual, las dimensiones de los miembros se esco gen generalmente en forma tal de mantener los esfuerzos en el concreto dentro de los límites especificados, a medida en que el miembro pasa del estado descar gado hasta el estado de cargas de servicio (ver tabla 3.1). Cuando el miembro está descargado, y solamente actúan la fuerza pretensora inicial y el peso propio, los límites del esfuerzo en el concreto se relacionan con la resistencia que tiene el concreto al tiempo de la transferencia. Bajo las cargas de servicio, esto es, con la fuerza pretensora efectiva P ^ y las cargas viva y muerta actuando, los límites del esfuerzo en el concreto generalmente no son los mismos que para el estado des cargado. En forma adicional, ellos se relacionan con la resistencia especificada total de diseño del concreto. Las vigas dimensionadas sobre la base de esfuerzos, también deben satisfa cer todos los otros requerimientos. Las deflexiones bajo la carga de servicio total y a menudo bajo carga parcial, son consideraciones importantes de diseño y de ben revisarse. Para vigas parcialm ente presfo rzadas, puede requerirs e u na revisión explícita del ancho de las grietas, pero más a menudo el agrietamiento del concre to se controla indirectamente limitando el esfuerzo nominal de tensión en el concreto. La resistencia del miembro debe siempre calcularse para asegurar un adecuado margen de seguridad contra el colapso. Las dimensiones de los miembros se pueden también seleccionar prove yendo exactamente la resistencia requerida pero incrementando las cargas previs tas mediante un factor de carga especificado. En este caso, la fuerza del presfuerzo puede seleccionarse en forma tal de prop orcionar las características de deflexión deseadas o para controlar las grietas. Deberán de investigarse los esfuerzos tanto para el estado descargado como para la carga de servicio tal, aun c uand o el dise ño inicial se base en la resistencia. Otra alternativa consiste en seleccionar las dimensiones del miembro, la fuerza pretensora y la configuración del acero basándose en el balance de cargas para el cont rol de las def lexiones. También con esta base de diseño se deber án in vestigar otros estados de carga. Los esfuerzos en la viga cuando ésta se encuentre descargada o sujeta a la carga de servicio total se deben encontrar dentro de los límites aceptables, y se deberá propor cionar la resistencia adecuada. El diseño resultante es, en cierta forma, dependiente de la base de diseño seleccionada, aun cuando el mismo criterio debe de satisfacerse en todos los di ferentes estados de carga.
Diseño por flexión basado en esfuerzos permisibles 139
138 Diseño de vigas
4.2 CRITE RIOS DE SEGUR IDAD Y CONDICIONES DE SERV ICIO Las propuestas para la seguridad estructural que se incorporan en el Código ACI, las cuales proporcionan las bases pra la mayor parte del diseño y construcción en concreto en los Estados Unidos, se han descrito en el Artículo 1.8. (Las disposi ciones de la Especificación AASHTO, las cuales se refieren para estructuras de carreteras, son similares y en muchos casos idénticas). Los factores de carga se establecen y resumen en la tabla 1.2. Estos factores deben aplicarse a las cargas muertas calculadas y a las cargas vivas calculadas o especificadas, para obtener la mínima resistencia requerida que el miembro debe poseer. Esta resistencia reque rida no debe de sobrepasar la resistencia de diseño, obtenida por la aplicación de un factor de reducción de resistencia a la resistencia nominal calculada de acuer do con el mejor conocimiento del comportamiento estructural en boga y las ca racterísticas del material. Los factores de reducción de resistencia del ACI se dan en la tabla 1.3. Estas mismas especificaciones establecen ciertos esfuerzos permisibles para el concreto y el acero de presfuerzo. Estos incumben a las cargas en el rango elás tico, desde el estado descargado, hasta el estado de'carga total de servicio. Los es fuerzos permisibles son diferentes para las diferentes cargas, y para las diferentes regiones de las vigas. Los esfuerzos permisibles del Código ACI para el concreto se resumen en la tabla 3.1, y los esfuerzos permisibles en el acero de presfuerzo se dan en la tabla 3.2. No se especifican restricciones para los esfuerzos bajo cargas de Servicio en las varillas de refuerzo no presforzadas, si es que éstas se requirie ran en los miembros de concreto presforzado, ni en el Código ACI ni en las Es pecificaciones AASHTO. Se pueden limitar indirectamente las deflexiones, estableciendo límites en los esfuerzos, o en las máximas relaciones de claro a peralte para vigas; o directa mente, requiriéndose el cálculo de las deflexiones y estableciendo límites supe riores para los valores hallados. De acuerdo con el Código ACI, se deben calcular las deflexiones para todos los miembros de concreto presforzado sujetos a flexión. En el Código se incluye una tabla para las máximas deflexiones permisibles calcu ladas. En las especificaciones AASHTO no se encuentra ninguna disposición espe cífica con relación a la deflexión de miembros de concreto presforzado. A pesar de esto, un ingeniero prudente debería calcular las deflexiones para todos ios es tados de carga importantes.
4.3 DISEÑO POR FLEX ION BASADO EN ESFUE RZOS PERMISIBLES Generalmente, en la práctica actual, las dimensiones del concreto y la fuerza pretensora para las vigas se escogen en forma tal de no exceder los límites de esfuer zos especificados a medida en que la viga pasa del estado descargado al estado de servicio. Tanto el concreto como el acero se pueden conilderar elásticos en este
rango. Después de que se han seleccionado tentativamente las dimensiones del miembro sobre estas bases, si fuera necesario se deberán revisar las deflexiones bajo los es tados de carga de interés y la resistencia última del miembro. Esta proposición es razonable, considerando que uno de los objetivos más importantes del presfuerzo es mejorar el comportamiento bajo cargas de servicio. Más aún, es el criterio del comportamiento bajo cargas de servicio el que determi na la magnitud de la fuerza pretensora a usarse, aunque los requisitos de resisten cia pueden determinar el área total de acero a tensión. Muchos diseñadores adoptan un procedimiento de aproximaciones sucesi vas. Se suponen una sección transversal, una fuerza pretensora y un perfil del ca ble determina dos. Después se revisa el miembro de tant eo para asegurar que los esfuerzos están dentro de los límites permisibles, que las deflexiones son satisfac torias y que se dispone de la resistencia requerida. Sin embargo, se puede seguir un procedimiento más sistemático, basado en la aproximación de los esfuerzos, tan cerca como sea posible, de los esfuerzos límite, bajo los estados de carga que controlan el diseño (Ref. 4.1). Este es el método que aquí se seguirá. La notación que se establece en lo que atañe a los esfuerzos en el concreto para los es tados lí mite , es la qáS sigue: f d ~ Esfuerzo de compresión permisible inmediat amente después de la
transferencia. f ti = Esfuerzo de tensión permisible inmediatamente después de la transfe
rencia. f cs = Esfuerzo de compresión permisible bajo carga de servicio, después de
todas las pérdidas. f ts = Esfuerzo de tensi ón permisible bajo cargas de servicio, después de to
das las pérdidas. Los valores de estos esfuerzos límites se establecen normalmente mediante especificación (ver tabla 3.1).
A.
Vigas para las cuales la excentricidad del presfuerzo varía a lo largo del claro
Para una viga típica en la cual se permite que la excentricidad del tendón varíe a lo largo del claro, las distribuciones de los esfuerzos de flexión en el concreto para la sección de máximo mome nto se muestran en la figura 4.2 a. La fuerza p re tensora excéntrica, que tiene un valor inicial Repro duce la distribución lineal (1). Sin embargo, debido al combeo hacia arriba de la viga a medida en que se aplica la fuerza, comienza a actuar inmediatamente el peso propio del miembro, se superponen los esfuerzos de flexión resultantes del momento M 0, y la primera dis tribución que se alcanza realmente es la (2). En este estado, la tensión en la su perficie superior no debe exceder f u y la compresión en la superficie inferior no debe exceder f c¡, tal como se sugiere en la figura 4.2a. |g
140
Diseño de vigas
/A eDiseño por flexión basado en esfuerzos permisibles 141
( crt' :
y
M d + Aí¡
.( 4 «■-')
f u
y*c=> f)
C£ei - Ccc-J ^
S2 >
M d + M, f Ir
de donde se puede calcular el rango de esfuerzos disponibles /j r y / 2 r en las caras l M superior e inferior, de los esfuerzos límite especificados f tí, f cs, y f ., después y . de que los cambios en el esfuerzo y A/2, asociados con la pérdida de presfuerzo, son conocidos. La relación de efectividad R se definió en el Artículo 3.3 como (3.1)
P,
entonces la pérdida en fuerza pretensora es P * ~
P e =
(1 -
(3.2)
R ) P i
Los cambios en el esfuerzo en las caras superior e inferior, A/) y A/ 2, a medida en que ocurren las pérdidas son iguales a (1 ~ R ) veces los esfuerzos correspon dientes debidos a la fuerza pretensora inicial actuando sola. A / i= ( l- R ) ^ i + ^ 0
A/ 2 = (1 - R ) i - f ci +
Figura 4.2 Distribució n de esfuerzos de flexión para viga con excentricida d va riable (a) Sección de máximo momento, (ó) Sección del apoyo.
Se supondrá que todas las pérdidas ocurren en este estado, y que la distri buci ón de esfuerzos cambia gr adualm ente a la dist ribució n (3) . Las pérd idas pr o vocan una reducción de la tensión en la superficie superior en una cantidad A/j y una reducció n en la compresión en la superficie inferior en la cantidad A /2 . A medida en que comienza a actuar el momento por cargas muertas sobre puest as Md y el momento por cargas vivas M x, los esfuerzos de flexión respecti vos se superponen con los esfuerzos ya presentes y se produce la distribución (4). En este estado la tensión en la superficie inferior no deberá ser mayor que/fs y la compresión en la parte superior de la sección no deberá ser mayor que/cs, tal como se muestra. Los requerimientos para los módulos de sección Sj y S2 con respecto a las superficies superior e inferior, respectivamente,
(c)
M. (d )
En donde A /i en una reducc ión de la tensión en la superficie superior y A/ 2 es una reducción de la compresión en la superficie inferior.* Así los rangos de es fuerzo disponible a medida en que se aplican los momentos de las cargas sobre p u e s ta s ^ + A/j son:
/ir = fli — A/j — f cs = R ft i- ( l - R ) ^ - / f?
(e)
Jlr = f s - fa - \ f 2
= j S ¡ - Rfcd - (1 - R ) ~
f
^2
(0
* Nótese que los límites de esfuerzo tales como f tí y otros puntos específicos a lo largo del
Diseño por flexió n basado en esfuerzos permisibles 142
143
Diseño de vigas
Así se establece el mínimo valor aceptable para S x -
M d + M¡ M R fti — R) — —/ „
Ó
^ (1 - R) M0 + M d + M t
( 4 . 1)
Rft i - fes
Sl "
En forma similar el mínimo valor de S2 es: (1 - R )M 0 + M d + M,
(4.2)
I ^ W a
S z-
La sección transversal debe escogerse en forma tal que por lo menos se lo gren estos valores de S, y S2, Más aún, puest o que Ic = S l c i - S2c2 , el eje centroidal debe ubicarse en forma tal que:
t (g)
o en función del peralte total de la sección h - c x + c2 ¿i _
$2
(4.3)
J ~ sx+s 2
De la figura 4.2a, el esfuerzo en el centroide del concreto sujeto a las condiciones iniciales está dado por =
(44)
La fuerza pretensora inicial se obtiene fácilmente multiplicando el valor del es fuerzo en el centroide del concreto por el área de la sección transversal A c del concreto:
Pi = A je a
(45)
La excentricidad de la fuerza pretensora se puede hallar considerando el es fuerzo de flexión que debe generar el momento de flexión P f . Haciendo referen cia a la figura 4.2, el esfuerzo de flexión en la superficie superior de la viga que resulta solamente de la fuerza pretensora excéntrica es: _
Oí
- U n
Jc ci i
De donde la excentricidad requerida resulta
Para sintetizar el procedimiento de diseño para la determinación de la me jor sección transversal, y de la fuerza preten sora y excentri cidad, basándose en las limitaciones de esfuerzos: se hallan los módulos de sección requeri dos con respecto a las superficies superior e inferior del miembro mediante las ecuaciones (4.1) y (4.2), con el eje centroidal ubicado mediante la ecuación (4.3). Las di mensiones del concreto se escogen en forma tal de satisfacer estos requerimien tos lo más cercanamente posible. El esfuerzo en el centroide de concreto para esta sección ideal viene dado por la ecuación (4.4), la fuerza pretensora inicial se halla mediante la ecuación (4.5), y su excentricidad con la ecuación (4.6). En los casos prácticos, a pesar de que las desigualdades (4.1) y (4.2), son satisfechas, las dimensiones del concreto sobrepasarán a aquellas que producen los mínimos valores aceptables para S x y S 2. El esfuerzo en el centroide del con creto puede aún hallarse mediante la ecuación (4.4), usando el valor real de cxlh, y las ecuaciones (4.5) y (4.6) aplicadas sin cambio. Una mayor discusión de esta situación, en la que la sección del concreto es más grande que la mínima se en contrará en el Artículo 4.9. Se observará que se tiene que efectuar una estimación del peso muerto del miembro al principio de los cálculos ya que es necesario tener M Q. Esta estima ción puede efectuarse sobre la base de relaciones típicas de claro a peralte obte nidas de experiencias previas. Si la estimación del peso propio del miembro es substancialmente errónea, los cálculos deberán revisarse. La distribución de esfuerzos de la figura 4.2a, en la cual se basan las ecua ciones de diseño, es válida en la sección de máximo momento del miembro. En cualquier otra parte M0 es menor, y en consecuencia, la excentricidad del presfuerzo deberá reducirse, si es que los esfuerzos límite f t¡ y f ci no deben de exce derse. En el Artículo 4.4 se desarrollan expresiones que establecen los límites de la excentricidad del tendón para otras posiciones dentro del claro. En muchos casos la excentricidad se reduce a cero en las secciones de los apoyos, en donde todos los momentos debidos a las cargas transversales son nulos. En este caso se obtienen las distribuciones de esfuerzos de la figura 4.2 b. El esfuerzo en el con creto es uniformemente igual al valor centroidal f cc¡ bajo la condición de presfuerzo inicial y f cce después de ocurridas las pérdidas.
1
o
1
¿I
(h)
B.
Vigas con excentricidad constante
MA'
-t
kif'.,1
El método de diseño que se presentó en la sección previa está basado en las con diciones de esfuerzo en las sección de máximo momento de la viga, con el valor máximo de M g debido al peso propio inmediatamente superpuesto. Si P¡ y e se mantuvieran cqnstantes a lo largo del claro, como es a menudo conveniente en la contrucción de concreto pretensado, entonces los límites de esfuerzo f ti y f c¡ se sobrepasarían en otros puntp* del claro, en donde M0 es menor que su máximo
Diseño por flexión basado en esfuerzos permisibles 144
145
Diseño de vigas
rá ser menor que la dada por la ecuación (4.6). Su máximo valor viene dado por las condiciones en los apoyos de un claro simple, en donde M0 es nulo. La figura 4.3 m uestra la distribución de los esfuerzos de flexión en los apo yos y en el centro del claro para una viga con excentricidad constante. En este caso, los límites de los esfuerzos f t¡ y f c¡ no se violan cuando el momento por la excentricidad del presfuerzo actúa solo, como en los apoyos. Los cambios en el esfuerzo A f x y A /2 ocurrido s a medida en que se presentan las pérdidas, son iguales a (1 - R ) veces los esfuerzos en las superficies superior e inferior, resp ecti vamente, debidos al presfuerzo inicial solamente: A/i = (1 - R) (f t¡)
(a)
A/2 = (1 - R){ —fci)
(b)
En este caso los rangos de esfuerzo disponibles entre los límites de los esfuerzos deben de ser suficientes para lidiar con el efecto de M0 así como con los deMd y M i , tal como se ve en la figura 4.3a, y son: /ir =
f i
~
A f l
~
/ „
= Rfti - fes
(c)
fl r = f s ~ fci ~ A /2 = f s ~ Rfci
(d)
y los requerimien tos para los módulos de sección son:
St
5
> M 0 + M d + M l ~ Rfti fes
> + 2 ~ ~ f s - Rfci
(4.7)
(4.8)
El esfuerzo en el centroide del concreto se puede hallar de la ecuación (4.4) y la fuerza pretensora inicial de la ecuación (4.5) como antes. Sin embargo, la expre sión para la excentricidad requerida es diferente. En este caso, refiriéndose a la figura 4.3b: P¿e fti
fcci
(c)
de la cual la excentricidad requerida es:
e = (fi ~ fea) ~ *i
( T ) P¡ sola ( 3 ) p e s ol a
ib)
(4.9)
Comparando las ecuaciones (4 .1) y (4.2) con las correspondientes ecuaciones (4.7) y (4.8) se notará una diferencia significativa entre las vigas con excentricida d va riable y aquellas con excentricidad constante. En el primer caso, el requerimien to para módulo de sección, está gobernado principalmente por los momentos ocasionados por las cargas sobrepuestas Má y Mx . Casi todo el peso propio es so por tad o libre ment e , esto es, sin in crem entar el módu lo de la sec ción o la fu er za pretensora, me diante el hecho simple de incre mentar la excentricidad a lo largo del claro en la cantidad En el segundo caso la excentricidad se controla mediante las condiciones en los apoyos, en donde M0 es cero, y la totalidad del momento M0 debido al peso propio debe de incluirse en la determinación de los módulos de sección. No obstante, a menudo se usan las vigas con excentricidad constante por razones prácticas;; Se dispone de algunos medios alternativos para hacer frente al problema de
146
Diseño de vigas Diseño por flexión basado en esfuerzos permisibles
miembros con excentricidad constante. La fuerza pretensora se puede reducir cerca de los extremos del claro embutiendo algunos de los tendones dentro de forros de plástico, desplazando efectivamente el punto de aplicación de la fuerza prete nsora interi orme nte hacia el centro del claro en una porci ón de los cables. O puede n usarse varillas de refuerz o no presforzad as en las regiones extre mas par a controlar los elevados esfuerzos locales. El Código ACI incluye una disposición especial mediante la cual, los es fuerzos de tensión en el concreto inmediatamente después de la transferencia, antes de ocurridas las pérdidas dependientes del tiempo, y en los extremos de los miembros simplemente apoyados, pueden serían altos como 6\ Jf ¡., o sea dos veces el límite 3 V/ ^q u e se aplica para otras ubicaciones (ver tabla 3.1). Las condicio nes en los apoyos generalmente serán las que rijan el diseño de vigas con ex centricidad constante, pudiéndose f ti tomar como 6 v7^~ en las ecuaciones preced entes.
M* + M, =
147
‘ x 1.500 x 402 = 300 kilolibra/pie
Los módulos de sección requeridos con respecto a las superficies superior e infe rior de la viga de concre to se hallan de las ecuaciones (4.1) y (4.2): S, >
i 1 ~ R)M„ + Md + M¡ _ (0.15 x 50 + 300)12,000 Rf i ~ fes ~- O85TT9 5T2700 ' = 1288 pul«3 s , > n - RWo + Md + M, _ (0.15 X 50 + 300)12,000 fs - Rfi ~^65 Ta85~ Í2520~ = 1415 28t0nnLal°HreS S° nutan C6rCan0S qUe 86 ad0pt ará una vi8a sim étrica. La viga I con 28 pulg. de peralte mostrada en la figura 4.4a satisfacerá los requisitos y tiene las siguientes propiedades: 4 ’y f =
19,904 pulg4 (8.28 x 109 mm4) 14*2 pulg3 (23.3 x 106 mm3) Ac = 240 pulg2 (155 x 103 mm2) r2 = 82.9 pulg2 w„ = 250 Lb/pie (supuesto) S =
C.
Ejemp lo: diseño de una viga con tendones de excentricidad variable
Una viga de concreto presforzado postensada debe soportar una carga viva de 1000 Lb/pie y una carga muerta sobreadicional a su peso propio de 500 Lb/pie, con u n claro de 40 pies. Se usará concreto con densidad normal con un a resisten cia de diseño de f'c = 6000 Lb/pu lg2. Se estima que al momento de la transferen cia el concreto habrá alcanzado el 70 por ciento de su resistencia última, o sea 4200 Lb/pulg2. Las pérdidas dependientes del tiempo se pueden suponer como el 15 por ciento del presfuerzo inicial, resultando una relación de efectividad de 0.85. Determínese las dimensiones requeridas del concreto, la magnitud de la fuerza pretensora y la excentricidad del centroide del acero, basándose en las li mitaciones de esfuerzos del ACI, tal como se dan en las tablas (3.1) y (3.2). (w, = 14.6 kN/m, wd = 7.3 kN/m, claro = 12.2 m ,f 'e = 29 N/mm2). Refiriéndose a la tabla 3.1, se obtienen los siguientes límites de esfuerzos:
Enseguida se haUan los esfuerzos en el centroide del concreto de la ecuación f a = f i - J (f i - f i ) =
195 - ~ (195 + 2520) = -1163 Lb/pulg2
f ci = -0.60 x
4200 = -2520 libra/pulg.2 3V'4200 = +195 libra/pu lg.2 /„ = -0.45 x 6000 = -2700libra/pulg.2 f s = 6 V'6Ó00 = +465 libra/ pulg. 2 f¡ =
svi
.
Mi'
"b?
í
. .< |t
..
v i)
El peso propio de la viga se estimará como 250 Lb/pie. Los momentos de bido s a las cargas transversales son: ]W
0.250
402= 50 kilolibra/pie
1
(«)
t
.
rU.
'»-1 (*)
148
Diseño por flexión basado en esfuerzos permisibles 149
Diseño de vigas
y de la ecuac ión (4.5), la fuerza p retensora inicial es: P¡ = Kfcci = 240
X
1.163 = 279 kilolibras (1241 kN)
De la ecuación (4.6), la excentricidad requerida para el tendón en la sección de máximo m omen to en la viga es: ee = í - /■ ) — + — = (195 + 1163) ^ 22- + 50 X-1- ’000 = 9.07pulg (230 mm) - (U„ ^ u >279,000 279,000 ^ v Jccl p i- p La excentricidad se reducirá en otros puntos del claro con el objeto de no violar los esfuerzos límites del concreto. Se proporcionará la fuerza pretensora inicial usando tendones consistentes en alambres de 1/4 de pulg. relevados de esfuerzo. La resistencia mínima a la ten sión, según la tabla 2.1 es 240 kilolibra/pulg2 , y de acuerdo c on los requisitos del ACI, éstos se usarán bajo un esfuerzo inicial de 0.70 x 240 = 168 kilolibra/pulg2. Así pués, el área requerida para el acero del presfuerzo v ale: A p = 279/168 = 1.66 pulg2 (*1071 mm2)
El área de la sección transversal de un alambre de 1/4 de pulg. de diámetro es 0.0491 pulg2 ; entonces el núm ero requerido de alambres es: No.d e al ambres = 1.66/0 .0491 - 34 Se usarán dos tend ones de 17 alambres cada uno, tal como se ve en la figura4.4a. Es una buena co stumbre revisar los cálculos para confirmar de que no se excedan los límites de los esfuerzos en los estados críticos de cargas. Los esfuerzos en las caras superior e inferior del concre to producido s en este caso son, para las cargas po r sepa rado: 9.07 x 14 = +618 Lb/pulg2 _ 829
/. =
279.000 240
fz —
9.07 x 14 279.000 = -2943 Lb/pulg2 1+ ~829~" 240
= 0.85 x 618 = 525 Lb/pulg2 f 2 = 0.85( —2943) = -250 1 Lb/pu lg2
Aí„: / , = -
50 x 12,000 = -422 Lb/pulg2 1422
f 2 = +422 Lb/pulg2 l2
Aíd + Ai,: / i —
300 x 12,000 -= -2532 Lb/pulg2 1422
Así cuando se aplica la fuerza pretensora inicial y actúa el peso propio de la viga, los esfuerzos en las partes superior e inferior del concreto en el centro del claro valen, respectivamente /, = +618 - 422 = +196 Lb/pulg2 fz = -2943 + 422 = -2521 Lb/pulg2
Cuando la fuerza pretensora se ha reducido a su valor efectivo de 237 kilolibras y se aplica toda la carga de servicio, los esfuerzos en el concreto son: h = +525 - 422 - 2532 = -2429 Lb/pulg2 f 2 = -2501 + 422 + 2532 = +453 Lb/pulg2
En la figura 4.4 b se muestran estas distribuciones de esfuerzos límites. Una com parac ión con los l ímit es especificad os de e sfuerzo s confi rma que el diseño es sa tisfactorio.
COMENTARIOS ADICIONALES
1. De los esfuerzos resultantes que se muestra n en la figura 4.46, resulta claro que los límites de esfuerzos se satisfacen casi exactamente en las superficies superior e inferior para la condició n incial (existen pequeñas diferencias debido a errores de red ondeo en las aproximaciones y la elec ción de dimensiones prácticas). En la condición totalmente cargada, la tensión en la superficie inferior de 453 Lb/pulg2 es cercana al límite de 465 Lb/pulg2; sin embargo, la compresión en la parte superior de la viga de 2429 Lb/pulg2, está bastante por debajo de la permisible de 2700 Lb/pulg2. Este resultado se debe al empleo de un miembro simé trico, cuyo módulo de sección S 2 es más grande que el requerido. 2. Para casos tales como éste, en el cual uno o dos de los módulos de la sección exceden el mínimo requerido, existe cierta flexibilidad con rela ción a la selección de la fuerza pretensora y su excentricidad. Este pun to se desarrollará en el Artículo 4.9. 3. La sección transversal mostrada en la figura 4.4a es idealizada para pro pósi tos de cálculo. El miembro realm ente usado ten drí a p rob able me nte ahusadas las superficies internas de los patines, además de filetes y otro s dispositivos para facilitar la c onstrucción. 4. EL diseño final también debería incluir refuerzo longitudinal no presforzado para el control del posible agrietamiento debido a la contrac ción antes de que la viga se postensione, e indudablemente debería incluir retuerzo en el alma para proporcionar la resistencia requerida
150
D.
Diseño de vigas
Diseño por flexión basado en esfuerzos permisibles
151
+ 164
Ejem plo : diseño de una viga con tendones de excentricidad constante
La viga del ejemplo precedente debe redisefiarse usando tendones rectos con excentricidad constante. Todos los otros criterios de diseño son los mismos que antes. En los apoyos se permiten esfuerzos temporales de tensión en el concreto dC
S k / K
= 390 Lb/pulg2.
Previendo una viga menos eficiente, la carga muerta estimada se incremen tará a 270 Lb/pie en este caso. El momento resultante M0 es 54 kilolibras-pie. El momento debido a las cargas muertas y vivas sobrepuestas es de 300 kilolibrá-pie como antes. Usando las ecuaciones (4.7) y (4.8 ) los módulos de sección requeridos son V> S2 >
(54 + 300)12,000
M0 + Md + M, Rf¡ - / „
~ 0.85 x 390 + 2700 (54 + 300)12,OtO
M0+ Md + M, f . - Rfd
~ 465 + 0.85 x 2520
= 1401 pulg3 = 1629 pulg3
Nuevamente se escogerá una sección simétrica. Se mantendrán las mismas dimen siones del patín y el ancho del alma que en el ejemplo anterior, pero en este caso se requiere un peralte de viga de 30.5 pulg. En la figura 4.5a se muestran las di mensiones de la sección transversal. Se obtienen las siguientes propiedades: Ie = 25,207 pulg4
Figura 4.5 Viga con tendones de excentricidad constante, (a) Dimensiones de la sección transversal. (b ) EsfuerzSs en el centro del claro, (c) Esfuerzos en los apo yos.
Nuevamente, dos tendo nes se emplearán para propor cionar la fuerza P¡, compuestos cada uno de alambres múltiples de 1/4 de pulg. de diámetro. El esfuerzo máximo permisible de los alambres es de 168 kilolibras/pulg.2, y el área de acero total requerida es:
(10.49 x 109mm4)
S = 1653 pulg3 (27.1 x 106 mm3)
Ap = 272/168 = 1.62 pulg.2 (1045 mm2)
Ac = 255 pulg2 (165 x 103mm2)
r2 = 98.9 pulg2 w0= 266 Lb/pie (cercano al valor supuesto) De la ecuación (4.4) el esfuerzo en el centroide del concreto es fea = f ¡ - - r (f i ~ fa) = 390— (390 + 2520) = -1 065 Lb/pulg2 » « 2
y de la ecuación (4.5), la fuerza pretensora inicial US: P¡ = A Jcci = 255
X
Como antes se requiere un total de 34 alambres, 17 en cada tendón. Se revisarán los cálculos para verificar los esfuerzos en el concre to en las partes superior e inferi or de la viga para los estados críti cos de carga. Las co mpo nentes de las contribuciones de esfuerzos son: Pi-
es
1.065 = 272 kilollbras (121 0 KN)
272,000 /'
8.84 x 15.25\ j = - 2522 Lb/pulg.2 98.9 )
> 84 pulg. ( 224 mm)
98.9
)
-I- 387 Lb/p ulg.:
0.85 x 387 = + 328 Lb/pulg .2 / 2 = 0.85(—2522) = -21 44 Lb/pu lg.2 ,
y = (390 + 1065) ^
8.84 x 15.25\
255 \ / +
De la ecuación (4.9), la excentricidad constante requerida es
e = (f i - U
272,000 if 255 'V
54 x 12,000
,
-
152
Vari ación de la excentric idad a lo largo del claro
Diseño de vigas
M„ + M,: / ,=
300 x 12,000 1653
Los rangos de esfuerzos disponibles para resisistir las cargas muertas so brepuest as y vivas en el ejemplo previo se han reducido. Esto pu ede i n terpret arse com o el costo que hay que pagar para obtener las ventajas de los tendones rectos en los miembros pretensados. En los miembros pos tensados es fácil proporcionar la excentricidad variable y es probable que se hubiera escogido el diseño del ejemplo previo. 3. Compar ando los diseños con excentri cidad variable y constante , el in cremento en la sección de concreto para el segundo caso es más o me nos de 6 por ciento. Para vigas de claros mayores, en las que el peso propio es prop orcion almen te mayor , el cost o que se tiene que pagar es mayor que éste.
-.2178 Lb/pulg.2
f i = + 2178 Lb/pulg .2
Suponiendo las apropiadas contribuciones de esfuerzos, se obtienen las distribu ciones de esfuerzos en el concreto en el centro del claro y en los apoyos, tal como se muestra en ¡as Figs. 4.5b y 4.5c, respectivamente, Cuando solamente actúa la fuerza pretensora inicial de 272 kilolibras, como en los apoyos, los esfuerzos en las superficies superior e inferior son /, = + 387 Lb/pulg.2 f2 = - 2522 Lb/pulg.2 Después de las pérdidas la fuerza pretensora se reduce a 231 kilolibras y conse cuentemente se reducen los esfuerzos en los apoyos. El peso propio es inmediata mente superpuesto en el centro del claro de la viga, y los esfuerzos debidos a P¡ másM0 son f x = + 387 - 392 = - 5 Lb/pulg.2 f2 = - 2522 + 392 = - 2130 Lb/pulg.2
Cuando actúa tod a la carga de servicio jun to con Pe, los esfuerzos en el centro del claro son /, = +328 - 392 - 2178 = -2242 Lb/pulg2 f 2 = -21 44 + 392 + 2178 = +426 Lb/pulg2
Si checamos con respecto a los límites de esfuerzo especificados, resulta evidente que el diseño es satisfactorio en este respecto para las secciones estudiadas y bajo los estados de carga crítica. COMENTARIOS ADICIONALES
1. Se encuentra nuevamente que la especificación para esfuerzos es satis fecha casi exactamente en los apoyos, bajo las condiciones del presfuerzo inicial; y muy aproxi madame nte, esta condición es satisfecha en el centro del claro, en la superficie inferior bajo la condición cargada. De bido a la selección de una sección simétrica, el esfuerzo de compresión en la parte superior del miembro en el centro del claro y para el estado de carga total, está bastante por debajo del valor permitido. 2. En el centro del claro bajo el estado descargado, esto es, actuan do solo P. y el peso propio, existen esfuerzos de compresión de 5 Lb/pulg2 y
153
4.4
VARIACION DE LA EXCENTR ICIDAD A LO LARGO DEL CLARO
Las ecuaciones que se desarreglaron en el Artículo 4.3 para miembros con tendo nes de excentricidad variable establecen los requerimientos para el módulo de la sección, de la fuerza pretensora y de la excentricidad del tendón en la sección de máximo momento del miembro. En otros puntos del claro, en donde los momen tos son más pequeños, la excentricidad del acero debe reducirse con el objeto de evitar sobrepasar los esfuerzos límite en el concreto cuando la viga se encuentra en el estado descargado. Contrariamente, existe una excentricidad mínima, o un límite superior para el centroide del acero tal que los esfuerzos límites en el con creto no se sobrepasen cuando la viga se encuentra en su estado totalmente car gada. Los límites para la ubicación del centroide del acero de presfuerzo en cual quier punto a lo largo del claro se pueden establecer usando las ecuaciones (3.5) y (3.6), las cuales dan los valores de los esfuerzos en el concreto en las partes su perior e i nferior de la viga en los estado s descargado y cargado, respec tivamente. Los esfuerzos que se producen para aquellos estados de carga se comparan con los límites de los esfuerzos aplicables en un caso particular, tales como los esfuer zos límites del ACI de la tabla 3.1. Esto procura una solución para la excentrici dad del tendón e como una función de la distanci a* a lo largo del claro. Para indicar que tanto la excentricidad e como los momentos M0 o M t son funciones de la distancia x desde el apoyo ellos se representarán como e (x) y M0 (x) o M t (x), respectivamente. Para la escritura de las expresiones de las inecua ciones es conveniente designar los esfuerzos de tensión como mayores que cero y los de compresión como menores que cero. Así + 450 > - 1350, y - 600 > - 1140, por ejemplo. Considerando primero el estado descargado, se halla que el esfuerzo de ten
154
Diseño de vigas
Varia ción de la excentric idad a lo largo del claro
M„(x)
e(x)c1
S 1
(a)
Resolviendo para la máxima excentricidad se obtiene
, . ./«Si .
S,
M j'l
(4.10)
* ) s “ p T + u ; + — p T En la parte inferior de la viga descargada, el esfuerzo no debe sobrepasar la com presió n inicial l ími te. De la ec uació n (3. 5b) M 0(x) fc i <
—
i4e \ ‘
r¿
J
S2
(b)
de donde el segundo límite inferior para el centroide de acero resulta , ,^
fa S 2
S2
M 0(x)
(4.11)
f Considerando ahora que el miembro se encuentra en su estado totalmente cargado, se pueden hallar los valores límite superiores para la excentricidad. De la ecuación (3.6a) f c s <
Pe A..
1-
e(x)cA
M,( x) A
r2 )
(c)
de la cual e(x) >
/« S i P.
M,(x) Ar
1+
g(x)c2^
(4.12) Ejemplo: determinación de la zona límite para el centroide del tendón
M t(x)
(d)
Determinar la zona límite del tendón para la viga postensada de 40 pies de claro y 28 pulg. de peralte, diseñada en el ejemplo del Artículo 4.3c (el claro es 12.2 m y el peralte 711 mm). Los resultados de tal análisis se resumen tal como sigue:
de la cual e(x) > -
quier centroide de tendón que caiga completamente dentro de la zona sombreada será satisfactorio desde el punto de vista de los límites de esfuerzo en el concreto . Debe de recalcarse que solamente es el centroide del tendón el que debe caer dentro de la zona sombreada, los cables individuales están a menudo fuera de ella. El perfil del tendón que a menudo se usa en la práctica es una curva para bólica o una cate naria , en el caso de las vigas postensad as. El duc to que cont iene el acero del presfuerzo se cuelga según la forma deseada, y se fija en tal posición atándolo con alambres al refuerzo transversal del alma, después de lo cual se pue de colar el concreto. En vigas pretensadas a menudo se emplean tendones atiran tados. Los cables se sujetan hacia abajo en el centro del claro y e n sus pun tos ter cios o cuartos, y se sujetan hacia arriba en los extremos, de tal manera de que se obtiene una curva suave con mayor o menor grado. Para las vigas de un solo claro diseñadas con los mé todos de b alance de ca r gas (ver Artículo 4.10), el centroide del tendón debe pasar a través del centroide del concreto en los apoyos, debido a que los momentos de las cargas exteriores son cero en los apoyos. En la figura 4.6 se ve que este caso especial está incluido dentro del rango de perfiles acatables. En los casos prácticos, frecuentemente no es necesario hacer un diagrama para la zo na del cen troid e t al c omo se muestr a e n la figura 4.6 . Coloc ando el cen troide en su posición conocida en el centro del claro, y cerca de o en el centroide del concreto en los apoyos, y con una forma parabólica pasando por estos pun tos de control, se tiene asegurada la satisfacción de los límites de esfuerzos. Para vigas no prismáticas, o sea aquellas en las que el eje centroidal longitudinal del concreto es curva, o para vigas continu as, los diagramas tales como el de la figura 4.6 son una gran ayuda.
Pe
y usando la ecuación (3.6b)
A,
155
ft * S 2 Pe
S 2
M t(x)
(4.13)
A c
fci - -2520 Lb/pulg2
(-17.4 N/mm2) El límite inferior de la excentricidad del tendón se puede establecer para varios puntos sucesivos del claro usando las ecuaciones (4.10) y (4.11). Luego, usando las ecuaciones (4.12) y (4.13) se establece el correspondiente límite supe rior. Este límite superior bien puede ser negativo, lo cual indicaría que el centroi de del tendón puede estar por encima del centroide del concreto en aquel lugar. A menudo es conveniente graficar la envolvente de los perfiles de los ten dones aceptables, tal cómo se ha hecho en la figura 4.6 para un caso típico, en el
f i = +195 Lb/pulg2
( + 1.3 N/mm 2) fe. = -2700 Lb/pulg2
(-18.6 N/mm2) f . = +465 Lb/pulg2
M0 = 50 kilolibra/pie (68 kN-m)
Si = 1422 pulg3 (23.3 x 106 mm3)
M, = 350 kilolibra/pie S2 = 1422 pul g3 (475 kN-m) (23.3 x 10« mm 3) Pi = 279 kilolibras (1241 kN) P, = 237 kilolibras
Ac = 240 pulg2 (155 x 103mm 2) r2 = 82.9 pulg2
156
Varia ción de la fuerza pretensora a lo largo del claro
Diseño de vigas
Lím ite superior de la ecuación (4.12 ) o de la (4.13 )
157
263 x 12,000 , Al cuarto del claro e(x) = —10.28 h----- —-— = 3.04 pulg (77 mm )
Zona límite para el centroide del acero
237.000
350 x 12 000 Al centro del claro e(x) = —10.28 -l------- —p-— = 7.44 pulg (18 9 mm) 237.000
Mientras que de la ecuación (4.13): , En el apoyo F Figura 4.6 Zona límite típica para el centroide del acero del presfuerzo.
-4 65 x 1422
1422
Al cuarto del claro e(x) = -8.72 + —~r z
237,000
Puesto que el peso propio del miembro y las cargas sobrepuestas son uniforme mente distribuidas, la variación de todos los momentos es parabólica, desde un máximo en el centro del claro hasta cero en los apoyos. De acuerdo con esto, las ordenadas de los momentos son: « Centro de claro "P'ifY : ■ Cuarto de claro Apoyo M0 50 kilolibra-pie 37.5 kilolibra-pie 0 M t 350 kilolibra-pie 262.5 kilolibra-pie 0 Primero se hallará el límite inferior del centroide del acero de la ecuación (4.10) , En el apoyo
,
195 x 1422
1422
e(x) = ■■279 000 + ~24Ó =
6-92
, , pU 8 ^
7 6
)
37 5 x 12 000 Al cuarto del claro e(x) = 6.92 -i---- 1 Q ’— = 8.53 pulg (217 mm) 2 /7,UOU Al centro del claro e(x) = 6.92 +
^ 2 7 9
ooo^ =
9 0 7
pu'®^30 mm)
. ,
e(x) = -------------------- —— = -8. 72 pulg ( - 221 mm) y 237,000 240 = 4.60 pulg (117 mm)
, 350 x 12,000 , Al centro del claro e(x) = - 8.72 4----- ^ — = 9.00 pulg (229 mm) Resulta claro que la ecuación (4.13), la cual está basada en el límite de la tensión, es la que rige el diseño para el estado cargado. Esto pudo preveerse estu diando la figura 4 .4 b , la cual ftidica que en el estado cargado, para el valor em pleado de presfuerz o, la c ompresión en la superficie superior está bastan te por debajo del valor permitido. Los resultados de los cálculos se sintetizan en la figura 4.7a, la cual mues tra las curvas límite superior e inferior del centroide del tendón. El rango peque ño entre los límites superior e inferior de la fuerza pretensora en el centro del claro es típico en aquellas vigas con diseños muy ajustados, en las cuales la sec ción de concreto cumple más no excede grandemente los requisitos de flexión. Los perfiles de las líneas centroidales reales de los dos tendones se muestran en la figura 4.7b . Los ductos distan entre sí 4 pulg. en el centro del claro con el centroide del acero a 9 pulg. por debajo del centroide del concreto. Se hace que coincidan los centroides del acero y del concreto en los apoyos, pero ambos ten dones aq uí se separan para permit ir espacio suficiente a los dispositivos de ancla je. Se emplea una variación parabólica par a la exce ntricid ad en cada tend ón.
Mientras que los límites inferiores, de la ecuación (4.11) son: En el apoyo
e(x) =
2520 x 1422 279,000
4.5
1422 = 6.92 pulg (176 mm) 240
Al cuarto del claro e(x) = 8.53 pulg (217 mm) Al centro debelara e(x) = 9.07 pulg (230 mm)
{’ni
Los resultados idénticos obtenidos de las ecuaciones (4.10) y (4.11) simplemente confirman que la fuerza pretensora se ha escogido en forma tal de satisfacer exac tamente los límites de esfuerzos f tí y f ci. En seguida se establecerá la curva límite superior dé las ecuaciones (4.12) y I (4.13). De la ecuación (4.12): -2700 x 1422
1422
«
<
VARIACION DE LA FUERZA PRETENSORA A LO LARGO DEL CLARO
Ya se demostró que una combinación particular de fuerza pretensora y y excentricidad que pudiera ser satisfactoria para la sección de máximo mo mento de la viga, puede acarrear excesivos esfuerzos en otras secciones, en don de el momento debido al peso propio es menor. Un ejemplo común es el caso de vigas pretensadas con cables rectos. Cerca de los apoyos, en donde los momentos debidos al peso propio se reducen a cero ocurrirán a menudo elevados esfuerzos de tensión en el concreto en la parte superior de la viga. Esto puede evitarse redu ciendo la excentricidad delfácero cerca de los apoyos,) Una alternativa con diferentes ventajas prácticas es mantener la excentricidad constante, y reducir la
158
Variación de la fuerza pretensora a lo largo del claro
Diseño de vigas
del claro
159
del claro
del soporte
m
7
12 cables
4 cables encasquillados
Figura 4.8 Uso de cables cubiertos para reducir la fuerza pretensora cerca de los
(«)
apoyos. rios para resistir los esfuerzos de flexión. Normalmente se elevan y se anclan en la cara superior de la viga, tal como se muestra en la figura 4.9. Aparte del ahorro notable en la cantidad de acefo de alta resistencia a la tensión, la principal venta ja de este arreg lo es que u sualm ente es posible lev antar los tendo nes u no po r un o, sin tener que engrosar el alma, tal como sería necesario si varios tendones se le vantan en un mismo lugar. Adicionalmente, el anclaje de una parte de los tendo nes en la superficie superior de la viga reduce el nú mero de anclajes que de berían de o tra forma acomodarse en las secciones extremas, evitándose allí los excesivos esfuerzos. Más aún, la componente inclinada de la compresión debida al presfuer zo produce un corte de signo opuesto a aquel que proviene de las cargas aplica das, reduciendo la fuerza cortante neta actuante. Las pérdidas por fricción pueden ser grandes para aquellos cables que se suspenden antes de los apoyos debido a la curvatura de los ductos. Tales pérdidas
(b) Figura 4.7 Ubicación de los tendone s para el ejemplo, (a) Límites superior e in ferior del centroide del acero, (b) Ubicación real del tendón.
Esto se logra fácilmente eliminando en algunos cables su adherencia con el concreto cerca de los extremos del claro. La forma más común de lograr esto es entubando los cables en aditamentos ajustados de plástico, tal como se sugiere en la figura 4.8, o envolviendo con papel grueso o cinta de género la longitud desea da. En tal caso no existe transmisión del presfuerzo al concreto a través de los cables recubiertos cerca de los extremos del claro, y la fuerza pretensora efectiva es proporcionada por el resto del área de acero. Puede resultar evidente que ha brá po r lo general tam bién una redu cció n de la exce ntric idad efectiv a, aun cuan do se usen cables rectos, debido al desplazamiento hacia arriba del centroide del acero cuando una parte del área de acero se vuelve inefectiva. Con tal dispositivo, se debe prestar atención a la longitud de transferencia requerida para los tendones recubiertos, medida esta hacia el centro del claro desde el extremo del forro, en forma tal de asegurar que la totalidad de la fuerza pre ten sora se desarroll a en dond e se le nece sita. (Ver A rtíc ulo 4.1 2). En vigas postensadas de gran claro, particularmente en puentes, es a menu
H
t del claro
del soporte
■6a 6'-
-23'
2 /
7^ 7^ 7^ 7^ 7^ 3 3 / / 4 / ^ 5 _ 7 6 / / 7 , 8 , .' ^ Spi
¿Oí) -
10 ' ------ >
5 a 6 '-
- f —
5 7. 5'
IP •
'Mf
-2 a 4.5'-s
■ rft'
-i i i R <—10'1,5'
9, 10
-11, 12
160
Diseño de vigas
Vigas con peralte limitado
se pueden minimizar, manteniendo la inclinación de los extremos levantados tan peque ña como sea posible y usand o un radio de curva tura grande . Si el nú mero de los cables que pasan de largo es igual o mayor que el número de los que se le vantan, es posible levantar sólo un extremo en cada tendón, y dejar la otra mitad del mismo cable recta hasta el extremo opuesto de la viga. En este caso los cables se arreglan en pares, de tal manera que existan dos anclajes simétricamente levan tados por cada par (Ref. 4.2). En las vigas continuas p ostensadas se usa un arreglo similar al mostrado en la figura 4.9, excepto que en este caso son los cables que se necesitan para mo mentos negativos en los apoyos los que generalmente se deslizan hacia abajo an dándoseles en la cara inferior del miembro. 4.6
VIGAS CON PER ALT E LIMITADO
En la derivación de las ecuaciones (4.1) y (4.2) para los módulos de sección requeridos en vigas, se hizo coincidir los límites de esfuerzos/^- y f ci con los es fuerzos en las caras superior e inferior de la viga producidos por los efectos co m binad os de la fuerza excé ntrica prete nsor a P¡ y todo el momento MQ debido al peso prop io, tal como se mu estra en la figura 4.2a. El m ome nto debid o al peso propi o de la viga se com pensó incre men tando la exce ntricid ad del ten dón a lo largo del claro en la cantidad M0 IP¡ por debajo de la excentricidad que produciría los esfuerzos límites, si es que P¡ estuviera actuando sola. Todo el rango de es fuerzos f ti - f cs en la superficie superior, y todo el rango de esfuerzos f u - f ci en la superficie inferior, reducidos solamente por el efecto de las pérdidas, son dis ponib les pa ra resist ir el mo men to debid o a la s cargas sobre puesta s Md + M x. No es posible la compe nsació n to tal del peso prop io del mie mbro si es que el peralte de la viga se encuentra limitado por razones arquitectónicas u otras, o si es que existe una elevada relación del peso propio a las cargas sobrepuestas, como sería el caso de vigas de gran claro. El problem a se hará evidente al calcular la excentricidad requerida para el tendón de la ecuación (4.6). La excentricidad calculada puede producir un recubrimiento insuficiente para el tendón, y en los casos extremos puede requerirse que ei tendón sea colocado fuera de la sección de concreto, lo cual obviamente no es un arreglo práctico. Es posible calcular el “claro c rítico ” para un m iembro de sección transversal dada, hasta el cual el peso prop io puede compensa rse medi ante la exce ntricid ad del ten dón , y más allá del cual ya no es posible. (Ref. 4.2). Si los cálculos indican que, para la sección de con creto escogida, no se pue de alcanzar la excentricidad deseada para el tendón, deberán modificarse las pro porc ione s de la sección, si es posible, prop orci onan do las mismos mód ulos de sección con una sección que sea más peraltada y angosta y que pueda albergar a los tendones requeridos. Si no es posible aumentar el peralte de la sección, en tonces tendrán que aumentarse los módulos de la Sección para el miembro con pera lte restrin gido , pue sto que se ha redu cido el rango disponible de esfuerzo s
161
Las ecuaciones modificadas para el cálculo de los módulos de sección re queridos se desarrollan haciendo referencia a la figura 4.10. Si la fuerza excéntri ca pretensora P. estuviera actuando sola, se produciría la distribución (1). El momento M0 debido al peso propio se superpone inmediatamente, obtenién dose la distribución (2). Se hace notar que los línites de esfuerzos f ti y / son satisfechos más no igualados. Como los momento s de flexión debidos a la fuerza prete nsora P. no se pueden aumentar debido a la restricción en el peralte y la excentricidad, esta condición debe ser aceptada. El efecto de esto es que la distribución parcial de esfuerzos que se muestra sombreada se debe de tom ar en cuenta en la derivación de las ecuaciones para los módulos req ueridos de sección. En la superficie superior, el esfuerzo de compre sión adicional que debe de estar comprendido dentro del rang o/f . y / es y.M /S¡
Centroide del concreto
Figura 4.10 Distribución de los esfuerzos de flexión cuando el peso propio del
162
Selección de forma y eficiencia a la flexión
Diseño de vigas
y en la superficie inferior, el esfuerzo de tensión que debe de estar comprendido dentro del rango f ts y f ci es ¡dM0/S2 , en donde n es un número menor que la unidad, el cual define la fracción del esfuerzo debido al peso propio que en esta forma debe tomarse en cuenta. Así 5t > M
+ M t + Mt f u
(a)
S > VlM ° + M i + Mi
flr El cambio en los esfuerzos de las superficies superior e inferior a medida en que ocurren las pérdidas en la fuerza pretensora son, respectivamente:
A/j = (1 — R ) A f 2 = (1 - R)
H )M 0\
(1 -
Si J ci
(c)
)
(1 <- n ) M + „
f u = f u - J ( f u - f c i )
(4.4)
Pi = A f ea
(4.5)
tal como se confirma fácilmente mediante la figura 4.10. Para la viga de peralte limitado, la excentricidad máxima e máx se determi na sobre la base de la mínima distancia del centroide del acero a la cara inferior de la viga, basándose en los requisitos del espaciamiento entre tendones y del recubrimiento de concreto (ver Artículo 4.16). Conociendo emáx, se puede de terminar la relación q para la viga seleccionada y comparar este valor con el origi nalmente supuesto. Haciendo referencia a la figura 4.10:
Pf = ( f ü - f d ) + (\- - R)™°-
9
I
(d)
Entonces los rangos disponibles de esfuerzos para poder tomar los momentos incluidos en las ecuaciones (a) y ( b) son:
fl r = ft¡ ~~ A/l — fes , (1 - !í )M 0 -fes Sx
= Rf a - { l - R ) -
(e)
(g)
de la cual
e = ( fu - fc i )~ + a - A ~ 0\
163
“i
“i
(4.16)
Esta excentricidad ahora se iguala a la e máx disponible, y se resuelve la ecuación (4.16) para la única incógnita q. Si este valor difiere apreciablemente del que se supuso en los cálculos para los módulos de sección, debe adoptarse un nuevo valor de q y repetirse los cálculos. Resulta evidente de las ecuaciones (4.14) y (4.15) que los cálculos np son muy sensibles a los cambios en q, y como consecuencia el procedimiento iterati vo converge con un grado de rapidez satisfactorio, a menudo en un solo ciclo.
Í2r = f s - f c i - A/2 f s - R fci —(1 - R)
(1 -
f x ) M 0
4.7
Las ecuaciones para los módulos de sección requeridos se hallan sustituyendo los rangos de esfuerzos dados por las ecuaciones ( e ) y (/) en las ecuaciones (a) y ( b ). Los resultados son: (1 - R + n R) M0 4 M d + M l
„
l~
R f i -f e s
„ _ (1 — R 4- qR)M„ + Md4 M; O sÜ /» Mr fts r Rí a 2
SELECCION DE FORMA Y EFICIENCIA A LA FLEXION
(0
(4.14) (4.15)
Comparando las ecuaciones (4.1) y (4.2) con las ecuaciones (4.14) y (4.15), pue de notarse que ellas solo difieren en la inclusión del factor fiR en las dos últimas ecuaciones; como q no se conoce al inicio de un diseño, debe de suponerse y un buen tan teo inicial es cero. El esfuerzo en el centroide del conrolo y la fuerza pretensora inicial se
Una de las características exclusivas del diseño del concreto presforzado es la li berta d de p oder escoger las proporciones de la sección transversal y las dimens io nes en forma tal de acomodarse a los requisitos especiales de la obra en cuestión. El diseñador de acero se encuentra limitado a escoger de un número disponible de secciones transversales, por lo general simétricas. En el diseño en madera, casi sin excepción se emplean las secciones rectangulares. Pero en el caso del concreto presforzado, no solamente puede cambiarse el peralte del miembro, sino tamb ién variarse el espesor del alma y los anchos y espesor de los patines, independiente mente, con el objeto de lograr una viga que tenga las proporciones casi ideales para un caso dado. Pa rticular mente para las vigas postensadas de claros medianos y grandes, así como también para otros casos, un diseño cuidadoso de la sección transversal es una parte importante del proceso de diseño total. Para las vigas de claros pequeños, en las que la carga muerta de la viga pro bablemente es sólo una pequ eña f racción de la carga tot al a soporta rse, lo s miem bros rect angulares tales como el de la figura 4.11a, puede n proporci onar la solución
Selección de forma y eficienci a a la flexión 165 164
Diseño de vigas
secciones rectangulares, las dimensiones del núcleo de la sección son pequeñas, y la distancia a través de la cual puede pasar la resultante de la compresión a medida en que se aplican las cargas es limitada. Para claros medianos y grandes, se prefieren las secciones con patín más eficientes mostradas en las figuras 4.1 ló a 4.1 le . Para tal es secciones el centroide del acero se puede mant ener más abajo sin tener que sobrepasarse los límites de esfuerzo del estado descargado. El brazo del par interno existente entre las resultantes de las fuerzas de tensión y compresión bajo los estados de cargas de servicio y última es llevado a un máximo. En el seleccionamiento de una sección, a menudo el procedimiento más ex pedito consiste en comenzar con una sección de tante o, cuyas propiedades casi coincidan con los valores de y S 2 deseados. En el Apéndice A se han tabulado las constantes de sección que son útiles a este respecto. Después se modifica la sección tentativa tal como se requiera, teniéndose que satisfacer dos condiciones (proveer los valores de y S 2) y te niéndose que escoger en general seis dimensiones independientes (figura 4.11), resulta claro que existen muchas soluciones posibles. El diseñador deberá escoger la que es mejof. No siempre es necesario o deseable satisfacer los requerim ientos para S i y S2 exactamente. En algunos casos es deseable un patín ancho para proporcionar la superficie útil, tal como es el caso de los tablero s de los puent es o los pisos de los edificios. Considerando la resistencia última a la flexión de un miembro, a .menudo es deseable proporcionar un patín superior espacioso en forma tal que,
en caso de que la viga se sobrecargue, los esfuerzos en el concreto permanezcan bajos, y quede asegurada una falla dú ctil a través de la flu encia del acero en te nsión. En tales casos, el esfuerzo de compresión en la cara superior de la viga bajo la totalidad de la carga de servicio estará bien por debajo del valor permitido. Para vigas de grandes claros con una elevada relación del peso propio a las cargas sobrepuestas, existe poco peligro de sobresforzar el patín inferior en compresión durante la transferencia, y el patín superior puede en algunos casos eliminarse totalmente, resultando una sección T. En la práctica la profundidad de la viga se puede seleccionar primero, basándose en la deseada relación de claro a peralte, o en los requerimientos de alturas de entrepisos y gálibos. La relación de claro a peralte total para vigas de un solo claro típicas varían desde 16 hasta 22, dependiendo de las condiciones de carga y del criterio de diseño. Para tableros ligeramente cargados en doble T o para tableros de cubie rta, L/ h puede ser tan alto como 30 hasta 40. Para tableros de corazón hueco la relación L/ h puede incluso sobrepasar 40 y aún tenerse un buen desempeño (Ref. 4.7). Para vigas de pue ntes simplemente ap oyados que se encuentr en en tre los 60 y 120 pies de claro, Guyon sugiere que el peralte no sea menor que L ¡25 más 4 pulgs, pero para los claros mayores este peralte deberá incrementarse (Ref. 4.2). En todos los casos, la continuidad hará posibles más grandes relaciones de claro a peralte. Una vez que el peralte de una viga ha sido escogido, es deseable tener una medida de la relativa eficiencia a la flexión de las secciones transversales comparadas. En términos generales, la relación del módulo de sección al área de concreto, S/Ac, servirá como tal medida. Una viga que se caracterice por una elevada relación de S / A c re presentará un uso más eficiente del material que una con una relación baja. Para el caso general de secciones transversales asimétricas, uno podría desear maximizar simultáneamente las relaciones S i / A c y S2/Ac. Como 5, = 7/c, y S 2 = 7/c 2 estas relaciones pueden escribirse tal como sigue:
Si_
(rf> i||;
(e) •!$
' ¡Jfj
;JB|p ’ ,illlfl
I '
_ r
2
Ac
Acc¡
cy
Ac
A cc 2
c2
(a)
(b)
Así, para valores dados de y c2 , la sección transversal más eficiente es aquella que tiene el más grande radio de giro, esto es, aquella en la cual el área de concreto se encuentra concentrada lo más posible hacia los extremos superior e inferior del miembro. Los miembros del lado derecho de las ecuaciones ( a ) y ( b ) se reconocerán como las dimensiones inferior y superior del núcleo de la sección, respectivamente, (ver Art ículo 3AD). Resulta conveniente expresar las distancias representadas por las ecuacioc2 a nes (a) y (ó) de una manera adimensional, en función de las disntanci asci
166
Secciones que tienen capacidad en exceso
Diseño de vigas
las caras superior e inferior del miembro. Con k x =r2¡c2 y k2 =r2/c i estas relaciones son k2
r2
Cl ClC2 k2
r2 = ----C2 CiC2
(c)
(d)
En consecuencia la expresión simple Q
r2 ClC2
(4.17)
puede usarse como una base conveniente para la est imación de la eficiencia a la flexión de varias secciones transversales con un peralte dado. El factor de eficiencia Q puede también expresarse en términos geométricos. Tomando nota que h=C\ + c 2 Q=
e =
r2 c x + c2 <
CiC2 /cj + k2
h
(e) (4.18)
lo cual indica que el factor Q no es otra cosa que la relación de la profundidad del núcleo al peralte total de la sección. Lógicamente aquellas secciones con forma de / y T con almas y patines relativamente delgados presentarán factores Q más altos que los de las secciones con partes más gruesas. Sin embargo, consideraciones prácticas determinan un límite superior al grado de esbeltez que puede obtenerse. El conjunto de dimensiones de una viga deben de escogerse considerando la posibilidad del pandeo lateral del miembro cargado, si es que éste no se encuentra sujeto contra el movimiento lateral por las construcciones vecinas. Este caso se presenta particularmente durante el manejo de miembros precolados. Los patines delgados en compresión siempre presentan el peligro del pandeo local cuando son cargados. Los patines delgados son vulnerables a romperse durante las operaciones de erección de los elementos precolados. El espesor mínimo del alma se determina frecuentemente por los espacios mínimo s requeridos po r los tendones del presfuerzo y el refuerzo auxiliar y por los requisitos de recubrimiento para el acero exterior. Aunque espesores de alma de 5 pulg. o menos pueden ser satisfactori os para soportar esfuerzos de corte con cantidades razonables de refuerzo en el alma, almas tan delgadas a menudo son difíciles de colar sin riesgo de producir vacíos o aire entrampado. Normalmente un ancho del alma de 6 pulgs. debe de ser considerado como mínimo práctico. En la práctica Europea los espesores del alma son genraltricnte menores que en los Estados Unidos.
167
En general, las viga s/bie n diseñadas tienen un factor de eficiencia cercano a 0.50. Los factores Q menores que más o menos 0.45 indican una sección muy pesada en tant o que los valores mayores q ue más o m enos 0.55 indican secciones excesivamente esbeltas siendo cuestionable su ejecución en la práctica (Ref. 4.2). 4.8
SECCIONES ESTANDARES
A través de los años han surgido ciertas formas para las secciones transversales de paneles de piso y cubiert a, muros, vigas, y columnas, y para vigas de puentes carreteros de claros cortos y medianos. Los miembros que tengan estas formas estándar pueden ser producidos en forma masiva en plantas de premoldeo, usándose a menudo méto dos de línea larga y cimbras metálicas reusables. Es posible obtener grandes ahorros en el costo, en comparación con la construcción que requiere de cimbra especial, bien sea en plantas de precolado o en construcciones coladas in situ. Consecuentemente, a menudo se usan las secciones estándar, aun cuando sus propiedade s puedan no ser las óptimas para unas condiciones partic ulares de diseño y aun cuando'*la eficiencia de la sección pudiera mejorarse me diante una modificación de la forma de la sección. En el Artíc ulo 12.2 se describen las secciones estándar más comunes usadas en la construcción de edificios, y aquellas formas más comúnmente usadas en puentes has ta de claros de me diano t amaño se describen en el A rtícul o 12.7. En general, las propiedades de las secciones estándar seleccionadas para un caso particular excederán los requisitos mínimos y, como consecuencia, el diseñador tiene alguna libertad con relación a la fuerza pretensora y su excentricidad a ser usadas. La discusión del artículo siguiente es particularmente importante en estos casos. 4.9
SECCIONES QUE TIENEN CAPACIDAD EN EXCESO
En situaciones prácticas, es muy raro que la sección de concreto escogida tenga exactamente los valores requeridos de Si y S2 hallados según los méto dos del Artículo 4.3, ni tampoco que el centroide del concreto se encuentre exactamente en el nivel teórico ideal. El redondeo hacia arriba en las dimensiones del concreto, el proporcionamiento de patines espaciosos por razones funcionales, o el uso de secciones transversales estándar, normalmente resultarán en un miembro cuyas propiedades de sección excederán a los requerimientos mínimos. En tal caso, los esfuerzos en el concreto a medida en que el miembro pasa del estado descargado al estado de la totalidad de cargas de servicio permanecerá dentro de los límites permisibles, pero los esfuerzos permisibles no se obtendrán exactamente. Un número infinito de combinaciones de fuerza pretensora y excentricidad satisfacerán los requerimientos. Por lo general aquel diseño que requiera de valor más bajo dé la fuerza pretensora, y de la excentricidad más grande práctica, será el más económico.
168
Diseño de vigas
Secciones que tienen capacidad en exceso
En la figura 4.12 se ilustra una situación típica. Por razones prácticas, se ha seleccionado una viga con sección transversal en forma de T y con un patín am plio. Los m ódulos de sección S\ y S2 exceden los requisitos mínimos. En la cara inferior, a medida que la viga pasa desde el estado descargado hasta la totalidad de la carga de servicio, los esfuerzos en el concreto están dentro, y se acercan a los límites permisibles f u y f ci tal como se muestra en la figura 4.12c, por ejem plo. En la superfìcie superior, debido a la elevada ubicación del centroid e del concr eto, el cambio en los esfuerzos es mucho más pequeño y los esfuerzos en el concreto se encuentran fácilmente dentro del rango d e /fi a f cs. En las figuras 4.12b, c y d se ilustran tres de las muchas soluciones posibles para tal caso, correspon dientes a combinaciones diferen tes de la fuerza pre tensora y la excentricidad. En la figura 4.12 b se ha usado un valor relativamente bajo de P¡ (tal como se confirma por el bajo esfuerzo en el centroide del concreto en comparación con los otros casos) en combinación con una alta excentricidad (in dicada por la pendiente de la distribución de esfuerzos designada con P¡ + MQ). En la figura 4.12c se ha seleccionado un valor más alto de P¡. Como la distribu ción de esfuerzos P¡ + M0 tiene más o menos la misma pendiente que antes, la excentricidad debe de haber sido algo menor que aquella correspondiente a la fi gura 4.12 b. En el caso final , el cual se muestra en la figura 4 .12c?, se ha usado una fuerza pretensora sustancialmente más grande, en combinación con una ex centricidad muy pequeña. Todos los tres casos ilustrados en la figura 4.12 cumplen con los requisitos de que los esfuerzos permanezcan dentro de los límites indicados para todos los estados comprendidos entre el descargado y el de la totalidad de cargas de servi cio. Sin emba rgo, la primera alterna tiva sin ninguna duda sería la mejor, requi riendo el menor valor de la fuerza pretensora. Adicionalmente, el elevado valor de la excentricidad sería ventajoso para maximizar la resistencia última a la flexión del miembro, ya que ofrecería el más grande brazo del par interno entre las resultantes de la tensión y la compresión, si es que la viga fuese sobrecargada. En los casos tales como el recientemente ilustrado, en los que la sección del concreto tiene una capacidad en exceso, no se aplican las ecuaciones (4.4) y (4.6) para los esfuerzos en el centroide del concreto y la excentricidad requerida respectivamente, debido a que los límites de esfuerzo f ti y f ci no se cumplen exactamente. Sin embargo, aquellas ecuaciones pueden modificarse fácilmente para adaptarse a las circunstancias. Si los valores deseados del esfuerzo en el concreto en el estado inicial, en las caras superior e inferior del miembro, son respectivamente f \ ¡ y / 2¡, entonce s el esfuerzo en el centroide del concre to en las condiciones iniciales vale
% i = f i i - C i< ifu -ñ t)
(4-191
n
Como antes la fuerza pretensora está dada por la ecuación (4.5):
i
169
W
Figura 4.12 Distribuc iones alternativas de esfuerzos en el concret o para seccio nes con exceso de capacidad.
La excentricidad requerida es e ^ { f u - U S~ + ~ 1
(4.20)
1
De esta forma las ecuaciones (4.19) y (4.20) se pueden substituir po r las ecuacio nes (4.4) y (4 .6) en tales casos. Una solución gráfica que indique todas las combináciones aceptables de la fuerza pretensora y excentricidades, es útil para efectuar la mejor selección co rrespondiente a una sección transversal de concreto dada (Ref. 4.9). Exi sten cua
170
Seccion es que tienen capacidad en exceso
Diseño de vigas
171
de las cargas de servicio. Los requerimientos pueden establecerse nuevamente tal como sigue: (a)
(b)
(c)
(d)
Estas ecuaciones pueden reacomodarse para dar la inversa de la fuerza pre tenso ra inicial como una func ión lineal de la excentricidad. Para el estado inicial, de las ecuaciones (a) y ( b ), respectivamente:
Figura 4.13 Variación de la fuerza preten sora con la excentricidad. »
1 ^ ( - 1 + ec jr1) ' Pi ~
1 ^ P¡
(f i
+ M j s M c
{—fci + M 0¡S 2)A c
en tanto que para el estado de las cargas de servicio, de las ecuaciones (c) y (d), respectivamente: 1
R( 1 + ec2/r2)
(4.23)
P¡ ~ ( ~ fts + M, /S 2)Ac
1
i?(—1 + ec1/r 2)
e = r2/c , es decir, e = k 2, que es la dimensión inferior del núcleo de la sección. Una interpretación típica es que un valor infinito de 1P. puede aplicarse en la parte inferior del núcleo sin violar los l ímites de esfuerzos en la p arte superior del miembro, ya que aquel esfuerzo en el concreto sería cero para cualquier valor de P¡. Similarmente, las ecuaciones (4.22) y (4.23), al igualárseles a cero, indican que e = r2¡c 2, es decir, e = k \ , que es la dimensión superior del núcleo de la sección. Puede aplicarse un valor infinito de P. en la parte superior del nú cleo sin violar los límites de los esfuerzos en la parte inferior del miembro. En la figura (4.13) se muestran las excentricidades correspondientes a k x y k 2. La máxima excentricidad que puede usarse sin violar cualquiera de los cua tro límites de esfuerzos se halla en la intersección de las ecuaciones (4.21) y (4.23) en la figura (4.13). Esto también corresponde al mínimo valor aceptable para P¡ (o lo que es lo mismo, el máximo para 1/P¡), y probablemente represen tarí a la solución más deseable. En muchos casos prácticos , un valor máximo e máx se establecería por limitaciones físicas, basadas en la distancia disponible c2 re ducida por el recubrimiento de concreto necesario para porteger a los tendones, medida desde el centroide del acero. Si se da esta condición, en el ejemplo de la figura (4.13) el mejor valor para 1 /P¡ es aquel que corresponde a la intersección de e máx con la ecuación (4.23). Nótese que en la figura 4.13 se han mostra do todas las líneas co n pen dien tes positivas. Esto no siempre es cierto y para algunos casos las líneas pueden te ner pendiente infinita o negativa. Este es típicamente el caso de las vigas T, en las cuales el patín superior es a menudo lo suficientemente grande como para que las cargas sean soportadas sin que se exceda el valor f c t, aun cuando no se usara fuerza pretensora. En este caso se obtiene una pendiente negativa para la 1
(1 + ec2/r2)
(4.24)
Pi ~ ( Ls + M J S M c
En la figura 4.13 se grafican estas relaciones funcionales para un caso típi co. La ecuación (4.21) establece un límite inferior para l/P¡ (o lo que es lo mis mo, un límite superior de P¡) tal que el límite del esfuerzo de tensión f t¡ no sea sobrepasado en el estado inicial. Cualquier valor de 1¡P¡ que se encuentre por encima de la línea representada por la ecuación (4.21) es aceptable, tal como se indica por el sombreado. Similarmente la ecuación (4.22) establece otro límite inferior para 1 /P. tal que el límite del esfuerzo de compresión f ci no sea violado. Los límites superiores de l/P¡ se establecen mediante la ecuación (4.23), basán dose en el límite de esfuerzos de tensión para las cargas de servicio f ts, y median te la ecuación (4.24), basándose en el límite del esfuerzo de compresión para cargas de servicio / . La zona que indica tod as las combinaciones aceptables de P. y e que cumplen los cuatro requerimientos se muestra sombreada en la gráfica. Es interesante notar los resultados de igualar 1 /P ¡ a cero para cada una
172
Diseño de vigas vigas Diseño a la flexi ón basado en el balanceo de de la carga carga 173
4.10 DISEÑO A LA FLEXIO N BASADO EN EL BALANCEO DF. LA CARGA
v>o+ wd + kb wl
En el Artículo 1.3 se indicó que el efecto de un cambio en el alineamiento del tendón del presfuerzo en una viga es producir una fuerza lateral sobre la viga en aquella ubicación. El presforzar miembros mediante tendones curvos curvos o atirantados tiene así el efecto de introducir un juego de cargas transversales equivalentes, y éstas pueden tratarse simplemente como cualquier otra carga externa para los fines del cálculo de los momentos o las deflexiones. Cada perfil particular para el tendón produce su propio y único juego de fuerzas transversales equivalentes. En la figura 1.8 se mostraron los perfiles típicos de tendones, con sus correspondientes cargas equivalentes y diagramas de momentos. A estas alturas deben de revisarse sarse cuidadosamente tanto la figura 1.8 como el Artículo 13 . El concepto de la carga equivalente ofrece un método alternativo para la determinación de la fuerza pretensora y la excentricidad requeridas. requeridas. Pueden esta blecerse la fuerza prete nsora y el perfil del tend ón en fo rma t al de que las cargas exteriores que actuarán sean sean contrarrestadas exactamente p or las fuerzas transversales sales que resultan del presfuerzo. El resultado neto, para este juego particular de cargas exteriores, es que la viga está sujeta solamente a compresión axial, y no tiene momento flector. Más aún, si todas las fuerzas externas son de naturaleza sostenida (tal como lo es la fuerza pretensora) el miembro no tendrá deflexión vertical. La selección de la carga a balancearse se deja al juicio del diseñador. Generalmente la carga balanceada que se escoge es la suma del peso propio y la carga muerta sobrepuesta, aunque puede incluir una fracción de la carga viva prevista. El método de diseño descrito se introdujo en los Estados Unidos en 1963 como el m étodo del balanceo de cargas cargas (Ref. 4 3) , aun cuando el concepto se usó algún tiempo antes en Europa, en donde se le llamó balanceo de momentos. Los fundamentos del método se ilustrarán en el contexto de una viga viga simsim plemen te apo yada cargada un iforme mente tal c omo se mues tra en la figura 4 .14c. La viga debe de diseñarse para una carga balanceada consistente en su peso pro pio w a , la carga carga muerta sobrepuesta w d , y alguna pequeña frac ción de la carga viva designada mediante k b w x . Como la carga externa es uniformemente distri buida, resulta razonable adop tar un tend ón que tenga la form a parabólica. Es fácilmente demostrable que un ten dón parabólico producirá una carga uniformemente distraída hacia arriba igual a 8 Py wp = y
(4.25a)
en donde P es la magnitud de la fuerza pretensora, y es la flecha máxima del tendón medida con respecto a la cuerda entre sus puntos extremos, y 1 es el claro. Si la carga hacia abajo iguala exactamente a la carga hacia arriba proveniente del tendón, estas dos cargas se cancelan, y no se produce ningún esfuerzo de flexión, tal como se muestra muestra en la figura 4.146. Los esfuerzos esfuerzos de flexión debidos
w„ w„
C eenn t r o i d e d e l concreto
V
T dó ñn T ee nn d n parabólico
(a)
+n
~f a
§
+
~fa +f¿
.
-n
- fa
-n
que provienen de las cargas externas. El esfuerzo neto resultante es una compresión uniforme f a igual a la producida por la fuerza axial P eos 0. Excluyendo la consideración consideración de los efectos que dependen del tiempo, la vig vigaa no presentaría deflexiones verticales. Sin embargo, si se remueve o incrementa la carga viva, entonces aparecerán esfuerzos de flexión y deflexiones debidos a la porci ón no balanceada de la carga. Los esfuerzos debidos a esta carga diferencial deben de calcularse y superponerse a la compresión axial con el objeto de obtener los esfuerzos esfuerzos netos para el estado desbalanceado. desbalanceado. Refiriéndonos a la figura 4.14 c, los esfuerzos de flexión f ' b provenientes de la remoción de la carga viva parcial se superponen al esfuerzo de com-
174
Diseño a la flexión basado en el balanceo de la carga 175
Diseño de vigas
excéntrica y la totalidad de la carga balanceada para producir la distribución fi nal de esfuerzos que se muestra. Otras cargas que no sean las uniformemente distribuidas conducirán natu ralmente a la selección de otras configuraciones para el tendón. Por ejemplo, si la carga exterior consiste de una carga concentrada en el centro del claro, se escoge ría un tendón atirantado tal como el que se muestra en la figura 1.8a, con una excentricidad máxima en el centro del claro, variando linealmente hasta una ex centricidad nula en los apoyos. Una carga concentrada en el punto tercio del cla ro haría que el deseñador se se inclinara por la selecció selecciónn de un ten dón atirantado en el punto tercio. Una viga en voladizo con carga uniformemente distribuida se presfo rzaría mejor usando un ten dón que tenga una excent ricidad que varíe pa rabólicamente, desde cero en su extremo libre hasta y en el extremo empotrado, en cuyo caso la reacción reacción hacia arriba del del tend ón sería
Debe de quedar claro que para claros simples que se diseñen usando el mé todo del balanceo, es necesario que el tendón tenga excentricidad nula en los apoyos, debido a que los momentos de las cargas cargas superpuestas son cero allí. Cual quier excentricidad del tendón produciría un momento desbalanceado (una car ga equivalente en sí) igual a la componente horizontal de la fuerza pretensora por excentr icidad . Para vigas continuas sobre apoyos no se aplica esta restricción. En la figura 4.15a, si la fuerza pretensora es la misma en los dos claros adyacentes al apoyo interior, y si la pendiente del tendón es la misma en cada lado, entonces el mo mento de flexión neto aplicado a la viga en aquella ubicación es cero. La única carga desbalanceada es la fuerza vertical que proviene del cambio de la pendien te del tendón. Esta pasa directamente al apoyo. En tal caso, el tendón puede levantarse hasta la máxima excentricidad permitida por los requerimientos de recubrimiento de concreto, maximizando la flecha y en los claros adyacentes y minimizando la fuerza pretensora requerida para soportar la carga especificada. En los extremos simplemente apoyados, deben de mantenerse los requisitos de excentricidad nula. En el extremo libre de una viga en voladizo, figura 4.15b, la excentricidad del acero debe de ser nula. nula. La pendiente del tendón debe de coincidir con la pen diente del eje longitudinal centroidal del concreto, generalmente cero. En la figu figu ra 4.15b , es poco probable que la pendiente del tendó n 8i iguale iguale a la pendiente del te ndó n 02 ; en conse cuencia, si la fuerza pretensora P\ es la misma que P 2, el presfuer zo prod ucirá un mom ento neto en el apoy o d erecho . Es to p odr ía ev itar se empleando tendones separados para cada claro, cada uno con su propio valor para el presfuerzo en form a tal que las co mpon entes hori zont ales se balanceen. En la práctica, el método de diseño del baianceo de cargas se inicia median te la selección de una sección transversal tentativa, basándose en la experiencia,
Centroide del
/
\
----------------- •--------- --------------------------------------- *--------------
r-
S*
----- -
1
\
>i
\
t -------------------- 1
SÑ T endón parabólico
(ib) Figura 4.15 Perfiles del tendón para el balanceo de cargas en vigas continuas uniformemente cargadas, cargadas, (a) Viga continua de dos claros, (b) Viga con voladizo.
fuerza pretensora se escogen en forma tal de balancear a la carga deseada. Para tal estado de carga balanceado, la única fuerza neta en el concreto es la compre sión axial, y únicamente se requiere que la sección sea lo suficientemente grande como para resisitir tal fuerza y proporcionar espacio para el perfil del tendón deseado. Sin embargo, la sección tentativa debe de revisarse con el objeto de ve rificar que los esfuerzos estén dentro de los límites permitidos en el caso caso de que la carga carga viva viva sea sea removida totalmente o se encuentre actuando en su totalidad , en cuyo caso deben de suponerse los esfuerzos de flexión a los esfuerzos axiales de compresión. No existe la certeza de que la sección sea adecuada para tales estados de carga, y de que se posea la resistencia adecuada para el caso en que el miem bro sea sobrecarg ado. La revisión puede ser necesaria. De esta m anera, el mét odo del balanceo de cargas es esencialmente un método de aproximaciones sucesivas, y no constituye un método de diseño completo en sí mismo. Además debe de observarse que la obtención de un esfuerzo uniforme de compresión en el concreto bajo el estado de carga balanceado no asegura que el miembro tendrá deflexión nula bajo dicho estado. La razón para esto es que la distribución uniforme del esfuerzo se compone de dos partes: aquella que provie ne de la fuerza pretensora excéntrica y aquella que proviene de las cargas exterio res. La primera es de naturaleza sostenida y produce deformaciones y deflexiones
176
Diseño a ia flexió n basado en el balanceo de la carga
Diseño de vigas vigas
muertas sostenidas pero pueden también incluir esfuerzos debidos a cargas vivas transitorias, los cuales no producen escurrimiento plástico apreciable. Puede es perarse un com beo hacia arrib a despué s de un per íod o de tie mp o, en una viga que haya sido diseñada para una carga balanceada, parte de la cual es la carga viva. A pesar de estas limitaciones, el método del balanceo de cargas o de la car ga equivalente proporciona al ingeniero de diseño una herramienta útil suplemen taria. Para vigas de un solo claro, conduce al diseñador a seleccionar un perfil sensible para el tendón y enfoca rápidamente la atención en el tema de las de flexiones. Pero las ventajas más importantes resultan más evidentes en el diseño de miembros presforzados indeterminados, incluyendo tanto vigas continuas como losas reforzadas en dos sentidos. Para tales casos, por lo menos para un sistema único de cargas, el miembro soporta únicamente compresión axial más no flexió n. Esto simplifica simplifica grandemente el análisis. análisis.
177
Wbal = 508 P'f
1 4T
1 --|ü -----------------
T e n d ó n p a r a b ó lili c o
1
- i 10 t
„
T
20
114* Pe = 114*
-30 ft (a)
0 -570
EJ EM PL O: Diseño de una Viga Mediante Mediante el el Método del del Balanceo de Cargas
Una viga postensada debe diseñarse para soportar una carga uniformemente dis tribuida con un claro de 30 pies, tal como se ilustra en la figura 4.16a. Adicional mente a su peso propio, debe de soportar una carga muerta de 150 libras/pie y una carga viva de servicio de 600 libras/pie. La resistencia del concreto de 4000 libras/pulg2 se alcanza a los 28 d ías; al mome nto de la transferencia de la fuerza pret enso ra la resistencia será d e 300 0 libras/ pulg2 . Las pérdid as en el presfu erzo pue den suponerse como el 20% de P¡. Bajo la suposición de que la cuarta parte de la carga viva será sostenida durante un período de tiempo substancial, se usa rá un valor de 0.25 para k b en la determinación de la carga balanceada. (Claro = 9.1 m, wd = = 2.2 kN/m, w, = 8.8 kN/m ,f'c = 28 N/mm2 , y f'ci = 21 N/mm2.) Sobre la base de una relación de claro a peralte igual a 18 escogida arbitra riamente, se selecciona una sección con peralte de 20 pulg. en forma tentativa, teniend o u n a ncho de 10 pulg. pulg. El peso peso propio calculado para la viga viga es de 208 li bras /pie , y la carga qu e se selec ciona pa ra bala ncearse es wba¡ = wn+ wd + K wi = 208 + 150 + 150 = 508 Lb/pie
Considerando el mínimo recubrimiento de concreto hasta el centroide del acero desde la carga de la viga igual a 4 pulg., la máxima excentricidad que puede usar se para la sección tentativa de 20 pulg. es 6 pulg. Se usará un tendón parabólico para pro duc ir una reacc ión del ten dó n hacia arriba unif orm eme nte distrib uida. Para equilibrar las cargas hacia abajo sotenidas, la fuerza pretensora Pe después de ocurridas las pérdidas se calcula mediante la ecuación (4.25), resultando J 2
508 x 900
(b)
Figura 4.16 Ejemplo de diseño por balanceo de cargas, cargas, (a) Perfil de la viga y sec ción transversal. (b ) Esfuerzos de flexión en la sección de máximo momento.
y la fuerza pretensora inicial correspondiente vale P, = — = 11^ 0.8 0.8 R
= 143 143,00 ,000 libra librass (636 (636 kN) kN)
Para el estado de carga balanceada, el concreto estará sujeto a un esfuerzo de compresión uniforme igual a fba fbai =
114,000 20Q = -5 70 Lb/pulg.2
tal como se muestra en la figura 4.16b. En caso de que la carga viva de 150 lib ras/ pie se remo viera, ten drí an que superpo nerse a f bal bal los esfuerzos que resultan de la carga neta hacia arriba de 150 Lb/pie. El módulo de la sección para la viga ten tativa tativa es 667 pulg3 pulg3 y i All50 x
900
^ 16,900 Lb/pie
178
Diseño a la flexión basado en el balanceo de la carga
Diseño de vigas
Entonces los esfuerzos de flexión no balanceados en las caras superior e inferior son f unbal = 16,900 x ~
= 304 Lb/pulg2
179
ridad contra el colapso. El valor requerido de P¡ de 143,000 Lb. se proporciona rá empleando cables trenzados grado 250, con f pu - 250,000 Lb/pulg2 y f py = 212.000 Lb/pulg2. El esfuerzo inicial máximo permitido es 0.70 x 250,000 = 175.000 Lb/pulg2. Consecuentemente, el área requerida es 143,000
De esta manera los esfuerzos netos valen
, ,
1753300 0 = °' 82 PU6 ' (529 mm * Ap = 175330
/i = -570 + 304 304 = -266 Lb/pulg2 Lb/pulg2 ( - 1.8 N/mm2) N/mm2) —304 = -874 Lb/pulg2 (-6 .0 N/mm2) f 2 = -570 —304 Similarmente, en caso de que actuara la totalidad de la carga viva, los esfuerzos que tendrían que superponerse son aquellos debidos a la carga neta hacia abajo de 450 Lb/pie. Los esfuerzos resultantes en el concreto debidos a la carga de ser vicio total valen
Esta área se proporcionará usando ocho hilos de 7/16 pulg., proporcionando un área real de 0.864 pulg2 (tabla 2.2). Los esfuerzos resultantes para los estados inicial y final valen fpi
fpe =
/i — -57 0 - 910 910 = - 1480 1480 Lb/pulg2 (—10 (—10.2 .2 N/mm2) f 2 = -570 + 910 = +340 Lb/pulg2 (+ 2.3 N/mm2)
c En la figura 4.166 se muestran los esfuerzos en el concreto cuando la totalidad de la carga viva actúa y cuando se encuentra ausente. Y también es necesario investigar los esfuerzos para el estado inicial descar gado, cuando el miembro se encuentra sujeto a P¡ más el momento debido a su peso propi o.
=
143,000 = 166,000 Lb/pulg2 0.864 114,000 = 132,000 Lb/pulg2 1/864
Empleando la relación aproximada del ACI para los esfuerzos en el acero en la falla, de acuerdo con la dmación (3.20), con un porcentaje de cero pp = 0.864/160 = 0.0054, se halla el esfuerzo fps =fpu
1- 0.5 p„
fpu fpu f'c
/ 25 2500 = 250 í 1 —0.5 x 0.0054 x —
9000 90
208 x — = 23,400 23,400 Lb-pie Ma = 208 8 Por lo tanto, para el estado inicial f ' =
143,000 143, 000// 6 x 10\ 200 V1 ~~ 33. 33.35 35 /
23,400 x 12 667 667
+ 150Lb/pul g.2 (+1.0 N/mm2)
= 208 kilolibras/pulg2 Sin embargo, de acuerdo con el Código, f ps no debe de tomarse mayor que/py o f pe + 60,000. Esta última es la condición que rige en este caso, y f ps se esta blece igual a 192 kilolibra/ pulg2 . Entonces Apfps Apfps
143,000 / 6 x 10\ 23,400 x 12 143,000 = - 15 1580 80 Lb/pu lg.2 ( - 10.9 10.9 N/mm2) 200 V + 33.35 + 667
0.85 f'Jb
J
Deben revisarse los esfuerzos correspondientes a los estados descargados y actuando la totalidad de la carga de servicio en forma tal de que se cumplan los perm itidos por el Código. Con f'c =4000 Lb/pulg2 y f'cl = 3000 Lb/pulg2, los es fuerzos permisibles valen / „ = + 165 165 Lb/pulg2 Lb/pulg2 (+1.1 N/mm2) N/mm2)
/ ís = + 380 Lb/pulg2 Lb/pulg2 (+ 2.6 N/mm2)
f c¡ = - 1800 L,b/p L,b/pulg2 ulg2 (f 12.4 12.4 N/mm2) f cs = - 180 1800 0 Lb/pulg2 Lb/pulg2 (-1 2.4 N/mm2) M‘ 1% '« .+')• .+')• IT
Los esfuerzos reales qU¿ se muestran en la figura 4.166iestán dentro de estos lí mites y razonablemente cercanos a ellos, por lo tanto no se efectuará una revi sión de la sección tentativa de 10 x 20 pulg. (254 x 508 rom). Ahora debe de chocarse la resistencia última a la flcxión de los miembros,
0.864 x 192 = 4.88 pulg. (124 mm) ~~ 0.85 x 4 x 10 La resistencia nominal a la flexión es
M „
=
Apfps d
0 ..88 6 44,, 11992,000 ( l 6 - | ? ) x i =*187,000 Lb-pie (254 kN-m)
m.
la cual debe de reducirse medente el factor 9 = 0.90, tal como es usual para ob tener la resistencia de diseño: '
180
Diseño basándose basándose en en presforzado parcial y resistencia última 181
Diseño de vigas vigas
Debe de recordarse que los factores de carga.del ACI con respecto a las cargas muerta y viva son, respectivamente, 1.4 y 1.7 (ver tabla 1.2). El factor de seguri dad que se obtiene en este caso se calculará con respecto al momento debido a la carga viva de servicio de 67.500 libra-pie, suponiendo que las cargas muertas pueden ser 1.4 veces los valores calculados, para cum plir con los re querimi entos del ACI. Consecuentemente, 168 = 1.4(23.4 + 16.9) 16.9) + F, ( 67.5) F, = 1.65
Este es ligeramente menor que el requerimiento de 1.7. Sin embargo, la diferen cia podría sin lugar a duda- pasarse por alto mediante la adición de varillas de re fuerzo longitudinal tales como las que se encontrarán presentes para soportar el refuerzo del alma.
4.11 4.11 DISEÑO BASANDOSE EN PRESFOR ZADO PARC IAL Y RESISTENCIA ULTIMA ULTIMA Existe una tendencia indudable en la práctica usual del diseño hacia el uso de vigas parcialmente presforzadas, en las cuales se permiten esfuerzos de tensión y aún grietas en el concreto bajo cargas de servicio o bajo sobrecargas esporádicas. En caso de que ocurran, las grietas son por lo general pequeñas y bien distribui das, y normalmente se cierran cuando la carga que las produjo ha sido removida. Se ha argüido convincentemente que el agrietamiento constituye, hace tiempo, un factor aceptado en los miembros de concreto reforzado y que no existe razón alguna para forzar a que los diseños en concreto presforzado no pre senten grietas en absoluto, aun cuando esto es posible (Ref. 4.10). Más aún, raramente existe la condición de tensión limitada o nula en una estructura pre forzada. Si se toman en cuenta los efectos efectos combinados del del cortante y la torsión, los esfuerzos principales calculados, por lo general, sobrepasan a la resistencia del concreto a la tensión. En las regiones de carga concentradas, transferencia de car ga, o en los anclajes de los tendones, los esfuerzos de tensión no pueden evitarse. También, en la mayoría de los casos, una estructura se presfuerza solamente en una dirección, de tal manera que en la dirección transversal ésta actúa como con creto reforzado ordinario. En vista de estos hechos, resulta resulta difícil justificar el re querimiento de la no existencia de grietas por flexión. Las ventajas del presfuerzo parcial son importantes, se requerirá una fuerza prete nsora menor, lo cual permi tirá la reducción en el núm ero de tendo nes y an clajes. En tales casos se puede pr oporcion ar la resistencia a la flexión necesaria bien sea media nte una combin ación de tendones presfor zados y varillas de re fuerzo no presforzado, o por un número ádecuado de tendones de altu resisten cia a la tensión presforzados hasta un nivel menor que el límite permitido. En algunos casos se emplea una com binac ión Me tendon es esforzado s y sin sin esforzar.
sario principalmente para resistir la compresión que ocurre cuando la viga se en cuentra en el estado descargado, puede reducirse o eliminarse completamente. Esto conduce a una significativa simplificación y reducción en el costo en las cimbras cimbras de construcción, así como a la obtención de estructuras que son estética mente mejores. Más aún, siendo más elásticos para con el requerimiento de las tensiones en el concreto para cargas bajas de servicio, se obtendrá un mejora miento significativo en las características de deflexión de una viga. Podrá eludirse el problemático combeo hacia arriba del miembro durante el estado descargado, y la fuerza pretensora se seleccionará básicamente para producir la deflexión de seada para una condición de carga particular. El comportamiento de las vigas par cialmente presforzadas, al sobrecargarse hasta la falla, tiende a ser superior que el de las vigas vigas tot almente presforzadas, presforzadas, debido a que la mejor ductilidad proporcio na una amplia advertencia de peligro. Tales puntos se discutieron más completa mente en el artículo 3.8. El Código ACI actual permite esfuerzos de tensión de 6 \ f f ~ en el concreto bajo la total idad de la carga de servicio. servicio. Este se encuent ra lig eramente p or debajo del módulo de ruptura usual, ex p li ca claramente un presfuerzo presfuerzo parcial parcial debido a que la total eliminación de la tensión bajo cargas de servicio no es requerida. No se presentará agrietamiento si la tensión se limita mediante este valor, y los méto dos de diseño presentados anteriormente en este capítulo son completamente aplicables. El Código Código permite esfuerzos de tensi ón por flexi ón de 12 12 \ / / J ”en vigas vigas suje tas a la totalidad de la carga de servicio, siempre que se confirme que las defle xiones se encuentran dentro de los límites especificados mediante cálculos explícitos. Este esfuerzo de tensión es sustancialmente más grande que el módulo de ruptura del concreto, y los esfuerzos de tensión calculados sobre la base de una sección de concreto sin agrietar son para tales casos únicamente esfuerzos nominales. No obstante ellos pueden servir como una base para el dimensionamiento de la sección transversal de la viga y las ecuaciones del artículo 4.3 pue den usarse sin modificación. Sin embargo un método de diseño más racional para vigas de concreto presforzado se basa en el propor cionam iento de un miembro con la resistenci a suficiente como para resistir sobrecargas hipotéticas, las cuales se calculan me diante la aplicación de factores de sobrecarga mayores que la unidad a las cargas previstas de servicio. Después de que se han determ inado las áreas requeri das de concreto y acero, puede especificarse una magnitud de fuerza pretensora tal que produzca un miemb ro con las cara cterísti cas de carga de servicio deseadas. El diseño de miembros estructurales basándose en los requerimientos de resistencia es atractivo debido a que en casi todos los casos con excepciones muy poco frecuent es, la caracterí stica más impo rtan te de una estru ctura es su resis tencia, la cual establece el grado de su seguridad incorporado en su diseño. Rara miembros de concreto reforzado, los requisitos de resistenciu por lo general pro porcion an el punt o de p artid a pura el dimens ionamie nto do las secciones tran s
182
Diseño basándose en presfo rzado parcial y resistencia última
Diseño de vigas
para que tenga condiciones satisfactorias de servicio, haciéndose referen cia específica al agrietamiento y deflexión para el nivel de cargas de servicio.* Un método similar se propone para el concreto presforzado, aunque se presentan algunas complicaciones. Para el concreto reforzado, por lo general sólo se consideran las vigas subreforzadas, para las cuales el acero se encuentra a su punto de fluencia en la falla. Con la fuerza de tensión así conocida, el área en com presión de la sección transversal se halla fácilmente mediante la sumación de fuerzas horizontales. Conociendo el centroide del área de compresión, el brazo del par interno se halla y se puede escribir una ecuación explícita para el momento resistente último. Esta ecuación puede reordenarse con la finalidad de hallar directamente las dimensiones requeridas pra el concreto y el área de acero (Ref. 4.11). Para el concreto presforzado, por otra parte, el esfuerzo en el acero en la falla por flexión se encuentra en un valor f p¡¡ que es por lo general menor que la resistencia a tensió n / . Puede ser mayor o menor que el esfuerzo nominal de fluencia f . El área área de concreto e n compresión, la cual es una funci ón del esfuerzo en el acero al momento de la falla, no puede establecerse fácilmente al principio del proceso de d iseño, de tal manera que el brazo del par in terno entre las resultantes de compresión y tensión es desconocido. Sin embargo, para los casos prácticos, se puede hallar una sección de concreto tentativa mediante la suposición de que el esfuerzo en el tendón a la falla es 0.9 veces la resistencia última f pu . Se encontrará que un refinamiento será necesario solamente en los casos en que existe existe un porcentaje de acero inusualmente grande (Ref. 4.12). Para secciones con patines, el brazo del par interno en la falla es muy cercano a la distancia existente entre el centroide del acero en tensión al punto medio del peralte del patín. Sobre esta base, puede desarrollarse un procedimiento de diseño para vigas parcial mente p resforzadas ta l com o sigue: 1. Hállese la resistencia última de flexión Mu requerida median te la aplicación de factores de sobrecarga aplicados a las cargas muertas calculadas y a las cargas vivas de servicio. De acuerdo con las especificaciones usuales la resistencia nominal requerida del miembro es Mn = MJ-Q donde 0 es un factor de reducción de capacidad igual a 0.90 para flexión. Se asume un peralte tentativo para la sección de concreto basándose en una máxima relación de claro a peralte o en la experiencia. Las dimensiones del patín superior pueden basarse en los requerimientos funcionales o en algún otro criterio. 3. El brazo del par interno z se asume igual a la distancia que existe entre el centroide del acero y el punto medio del patín, o en el caso de una sección rectangular, igual' a 0.80 h. Si el esfuerzo en el acero en la falla se toma igual a 0.90 f pm, pm, entonces el área requerida para el tendón es 0.9/, puf" 4.
Asumiend o paja fines d d diseño, diseño, que la: la: étatribuc ión del esfuerzo real en el concretóle puede remplazar por urtjMoque rectangular equivalente
183
de esfuerzos con una intensidad de esfuerzo uniforme de 0.85 f , el área requerida para la compresión en el concreto es a
;=
Ai. 0.85 f e z
(4.27)
Esto da el área requerida para el patín superior, después de considerar la contribución, si existiera alguna, del área del alma en compresión. La sección tentativa se modifica si fuera necesario. 5. El ancho del alm a puede escogerse escogerse ahora de los requeri miento s de resistencia al corte o mediante la consideración de las necesidades prácticas de recubrimiento de los tendones y el resto del acero. 6. La magnitud de la fuerza preten sora se escoge en forma tal de de producir las condiciones de deflexión deseadas para el miembro. En lugar de otros requerimientos, por ejemplo, se puede seleccionar el criterio de la deflexión nula bajo el efecto combinado del presfuerzo y la carga muerta total. El concepto del balanceo de cargas del artículo 4.10 es útil en la determinación de ^ fuerza pretensora requerida. requerida. 7. El refuerzo pres forzado con adherencia, junt o con las varillas no presforzadas empleadas para soportar los estrib os, son por lo general suficientes para asegurar que las grietas bajo las cargas de servicio serán pequeñas y bien distri buidas. En algunos casos puede adicionarse refue rzo no presforzado con la finalidad de controlar las grietas. Debe de notarse que aquí no se ha hecho mención de los esfuerzos bajo cargas de servicio, los cuales pueden considerarse casi irrelevantes siempre que todos los requerimientos de resistencia y de servido sean alcanzados. Sin embargo, sí los esfuerzos bajo cargas de servicio deben de revisarse, está disponible el método del artículo 3.9.
EJE MP LO : Diseño Basado en los Requisitos de Resistencia Resistencia y Presfuerzo Parcial Parcial
Debe de diseñarse una viga que tiene una sección transversal T para para que soporte una carga viva de servicio servicio de 1200 Iibras/pie y un a carga muerta sobre puesta de 400 Lb/pie adicionalmente a su peso propio, con un claro simple de 80 pies, tal como se muestra en la figura 4.17a. El miembro será postensado empleando tendone s compues tos de cables trenzados del grado 250. La resistenci a del concreto a los 28 días debe de ser 5000 Lb/pulg2. Se Se adoptará un diseño basado en la resisten cia, con el requ isito adicional de que la deflexión debe de ser nula bajo la total idad de la carga carga muerta de servicio, servicio, (w, = 17.5 kN/m, wd ~ 5.8 IcN/m, claro = 24.4 m, y f'c - 34 N/uun2.) En lugar de otras restrífaones se seleccionará un peralte para el miembro de 1/20 del claro, o 4 pies (1219 mm). Los requisit os de funcionalidad indican
184
Diseño basándose en presforzado parcial y resistencia última
Diseño de vigas
pulg. (152 mm) . Los reque rimien tos previsto s pa ra los duct os y los a nclajes, así como los requ erimientos del refuerzo en el alma conducen a la selección de un Centroide del
ür
concreto
M, = ~ x 1.200 x 6400 = 960 kilolibra-pie O
Si aplicamos los fa ctores usuales del ACI para la sobrecarga, la resistencia reque rida a la flexión es Mu = 1.4(840 + 320) + 1.7(960) = 3260 ft-kips
Centroide del Parábola
185
acero 8 0 f t — --------
y c on 0 = 0.90 para flexión, la resistencia nominal que debe de tene r el miembro es
------------------- >\
M
3260 M„ = — = 3620 kilolibra-pie (4909 kN-m) H-------------70 El brazo del par interno bajo la carga última puede suponerse igual a la distancia existente entre el centroide del acero y el centro del patín en compresión. Previ niendo el uso de los tendones, con la distancia apropiada entre sí y el recubri miento de concreto, el centroide del acero se ubicará a 8 pulg. de la cara inferior de la viga en el centro del claro. De esta manera el brazo del par intern o vale z = 48 - 8 - 3 = 37 pulg. De la ecuación (4.26) el área tentativa de acero que se requiere es
' l - 0 .93 x20250 L W Figura 4.17 Ejemplo de diseño co n presfuerz o parcial. (
V
Ic = 229,000 pulg.4 (95.3 x 109mm4) S, = 13,500 pulg.3 (221 x 106 mm3) S2 = 7380 pul g.3 (121 x 106 mm3) Cj = 17.0pulg. (432 mm )' c?,= 31.0 pulg. (787 mm) Ac= lOlOpulg.2 (652 x 103mm2) w0- 1050 Lb/pie (15.3 kN/m)
Los momentos debidos a las cargas muertas y vivaS son:
§
AL - x 1.050 x 6400 = 840»>kilolibra-pie 8 » S i È ■ 3 f
^ P u i g ^ m m 2)
Se usarán dos tendones, cada uno compuesto de 12 alambres del grado 250 de 0.600 pulg. de diámetro nominal (ver Apéndice B), lo cual prporciona una área de 5.20 pulg2. Una revisión del diámetro del ducto, el cual es de 3 pulg., confir ma que la colocación propu esta es satisfactoria. Los tendones se colgarán siguien do un perfil parabólico con excentricidad nula en los apoyos y con una inyección de mortero después del tensado. De la ecuación (4.27) el área de concreto en compresión requerida es A' =
3620 x 12 = 276 pulg2 0.85 x 5 x 37
Pueden considerarse efectivas todas las 70 pulg. del ancho del patín; por consi guiente la profundida d del bloque de esfuerzos para la carga última es
d'
276 8$' ¡ A r ^ = 194 p u 18» 1»' JÉ lo cual indica que el brazo del par interno en esta revisión vale ■ JT: Si 9 : 3.94 48 - 8 ---- — 4 38 pulg. S' é
SiVi,
186
Diseño de vigas
Diseño basándose en presfo rzado parcial y resistencia última
Ahora puede calcularse el esfuerzo en el acero bajo la carga última usando la expresión aproximada del ACI dada por la ecuación (3.20). Con el porcentaje real de acero Pp
5.20 =0.00186 70 x 40
de la ecuación (3.20) el esfuerzo en el acero en la falla es A 'f e
/*= /,» M ~^5pP~
= 250 ^1 - 0.5 x 0.00186 x ~ =■ 238 kiloli bra/ pulg .2 Este se encuentra dentro del 6 por ciento del valor 0.90 x 250 - 225 kilolibras/ pulg2 que se supuso en el di mensiona miento del acero y por lo cual no se requie re una revisión. La magnitud del presfu erzo para el área de acero seleccionada se determ i nará ahora basándose en la especificación que dice que la totalidad de la carga muerta de 1450 Lb/pie deberá balancearse con el levante que producen los ten dones parabólicos. Con una flecha y = 48.0 - 8.0 - 17.0 = 23.0 pulg., la ecuación (4.25) da P. =
(>v„ f w„}l2 8y
1.450 x 6400 x 12 = 606 kilolibras (2695 kN) 8 x 23.0
Si se supone que las pérdidas son el 15 por ciento entonces 606 = — = 713 kilolibras (3171 kN) 0.85 y el esfuerzo inicial en los tendones vale f pi
713 137 kiloli bras/pulg2 520'
De acuerdo con el Código el limite superior permitido es 0.70 x 250 = 175 kilolibras /puig2 ; el presfuerzo inicial real es el 78 por ciento del valor permi tido. El empleo del valor inferior permite la obtención de deflexión nula bajo la totalidad de la carga muerta. Con la finalidad de controlar el agrietamiento en el miembro antes del postensado, se agregarán varillas longitudinales sin presforzar en una cantidad igual a 0.0020 veces la; seccrén total del concreto (ver artículo 4.14). El área total re querida de
187
está muy cerca de la que proporcionan 10 varillas del número 4. El arreglo del acero se muestra en la figura 4.17c, la cual también muestra la ubicación de los dos tendones formados de 12 alambres. Las varillas no esforzadas también ayu darán a los tendones inyectados con mortero para el control y la distribución de las grietas por flexión. Como cuestión de interés, el esfuerzo nominal se calculará en el miembro para los est ados descargado y bajo la totali dad de la carga de servicio. Los esfuer zos debidos a los efectos de cada componente son tal como sigue: 713.000
f =
23.0 x 17.0 227
1010
f i = -
713.000 1010
+ 510 Lb/pulg2
23.0 x 31.0' = -2920 Lb/pulg2 1+ 227
Pe: /, = 510 x 0.85 = +430 Lb/pulg2 f 2 = -2920 x 0.85 = -2480 Lb/pulg2 M0: /, =
,
84 ) x 12,000 x 17.0
229,000 840 x 12,000 x 31.0 229.000
= - 750 Lb/pulg2 , ,
, 4
f 2 = ------- ---------------- = +1360 Lb/pulg2 Md + M¡: /j =
1280 x 12,000 x 17.0 -1140 Lb/pulg2 229.000 ; 1280 x 12,000 x 31.0 + 2080 Lb/pulg 2 229.000 :
f i —
En el estado descargado los esfuerzos en las caras superior e inferior son, respec tivamente: p. + M„: /, = +510 - 750 = -2 40 Lb/pulg2 f 2 = -2920+ 1360 = -1560 Lb/pulg2
en tant o que para el estado correspondiente a la totalidad de la carga de servicio P, + M,: f = +430 - 750 - 1140 = -1460 Lb/pulg2 f 2 = -248 0 + 1360 + 2080 = +960 Lb/pulg2
Una comparación del esfuerzo' de tensión en la cara inferior con el limite supe rior dado por el ACf de 12 x / 500 = 849 Lb/pulg2 indica que el diseño' no satisfa ce la restricción usual del código relativa a fa tensión nominal por flexión para miembros presforzados. Sin embargo, una “cláusula de escape” se incluye en el código mediante la cual “el esfuerzo límite de tensión puede excederse cuando se demuestra experimental o a nalíticamente que el desempeño no se verá afecta
188
Diseño de vigas
Esfuerzo de adherencia, longitud de transferencia y desarrollo
189
y el desempeño bajo la carga de servicio se mejorará a través de un control de la deflexión, posible mediante el presfuerzo parcial.
4.12 ESFUERZOS DE ADHERENCIA, LONGITUD DE TRANSFERENCIA Y LONGITUD DE DESARROLLO
En las vigas de concreto presforzado existen ciertas fuerzas actuando, las cuales tienden a producir el deslizamiento de los tendones a través del concreto que los rodea. Esto produce esfuerzos de adherencias o esfuerzos cortantes que actúan en la cara de contacto entre el acero y el concreto. La tendencia al deslizamiento es resistida mediante una combinación de adhesión, fricción y adherencia mecá nica entre los dos materiales. Existen dos tipos de esfuerzos de adherencia a considerar: esfuerzos de adherencia por flexión y esfuerzos de adherencia por transferencia. Los esfuerzos de adherencia por flexión surgen debidos al cambio en la tensión a lo largo del tendón provenientes de las diferencias en el momento de fle xión entre dos secciones adyacentes. Estas son proporcionales a la razón de cambio del momento de flexión, por lo tanto a la fuerza cortante, para una ubi cación determinada a lo largo del claro. Si el miembro del concreto se encuentra sin agrietar, la magnitud de los esfuerzos de adherencia por flexión es muy baja. Después del agrietamiento los esfuerzos de adherencia por flexión son más altos en un orden de magnitud que antes. Pueden calcularse empleando las mismas ecuaciones que se desarrollaron para miembros de concreto reforzado (Ref. 4.11). El esfuerzo resultante es sólo nominal, un valor promedio; sin embargo, inmedia tamente adyacente a las grietas el esfuerzo real de adherencia guarda muy poca relación con los valores calculados. De un lado de una grieta por flexión, los es fuerzos se encuentran bien por debajo del nivel nominal y pueden aún actuar en la dirección opuesta. Del otro lado de la misma grieta pueden ser mucho mayores y producir comúnmente una destrucción local no progresiva de la adherencia. El esfuerzo de adherencia por flexión no necesita ser considerado en el dise ño de vigas de concreto presforzado, ni antes ni después del agrietamiento. Aun cuando pudiera ocurrir una falla local por adherencia, no puede presentarse una falla general mientras se proporcione un anclaje en los extremos adecuado para el tendón, bien sea mediante un anclaje mecánico o el empotre obtenido por los cables embebidos. Para las vigas pretensadas, cuando se libera la fuerza externa del gato, la fuerza pretensora se transfiere del, acero al concreto cerca de los extremos del miembro mediante la adherencia a través de una distancia que se conoce como la longitud de transferencia. Dentro <|e esta longitud((el crecimiento del esfuerzo es gradual desde cero hasta el nivel del presfuerzo efectivo, tal como se indica en la figura 4.18. Ocurrirá algún deslizamiento entre el concreto y el acero. IJn corte del alambre repentino en los extremos de la viga normalmente sumirá a l alambre
Figura 4.18 Longitudes de trans ferencia y desarrollo para cables de pretensa do.
tremos del tendón, restableciéndose la estabilidad mediante la combinación de la fricción y la adherencia mecánica. La longitud de transferencia depende de varios factores, incluyendo el es fuerzo de tensión del acero, la configuración de la sección transversal del acero (por ejemplo, alambres versus cables), la condición en que se encuentre la super ficie del acero, y la rapidez con la que se libere la fuerza del gato. Los alambres de acero que se encuentran ligeramente enmohecidos requerirán longitudes de transferencia menores que aquellos que se encuentren limpios y brillantes. Las pruebas indican que si la fuerza del gato se libera sú bitam ente, t al como sería el caso si el tendón es cortado med iante el soplete o un esmeril de disco cuando aún se encuentra bajo tensión, la longitud requerida de transferencia sería sustan cialmente más grande que la que se requeriría si la fuerza se aplica gradualmente. La resistencia del concreto parece tener muy poca influencia (Ref. 4.17). Debe de observarse que, en los extremos de una viga pretensada, las condi ciones que resisten el arrancamiento son algo diferentes de aquellas que existen para una varilla de a cero en una viga ordinar ia de c oncreto reforz ado. Cu ando la varilla es esforzada en tensión, existe una pequeña reducción en su diámetro de bido al e fecto Poisson, dandojcomo resultad o un a te nsión radial que actúa tran s versalmente en la cara de contacto existente entre el acero y el concreto. Esto tiende a reducir la resistenciafriccionante al deslizamiento. Para un tendón pres forzado, la reducción en el diámetro ya ha ocurrido cuando el concreto es colado.
Diseño de zonas de anclajes 191
190 Diseño de vigas
mucho menor que antes. Esta reducción en el esfuerzo longitudinal viene acom pañada por un pequeño increm ento en el diámet ro del acero, el cual produce compresión radial a través de la cara de contacto entre los dos materiales, la cual aumenta la resistencia friccionante al arrancamiento. Se ha probabo que esta “hinchazón” es importante en los alambres, aunque en el caso más usual de los cables la resistencia mecánica al deslizamiento proporcionada por la superficie irregular es por lo menos igualmente import ante. El presfuerzo efectivo f es esencialmente constan te a medida en que la viga es cargada gradualmente hasta el nivel de su carga de servicio. Sin embargo, si es que ésta tuviera que sobrecargarse existirá un gran incremento en el esfuerzo del acero hasta que se alcanze el esfuerzo de falla por flexión f que puede ser cercano a la resistencia de tensión f del acero. Un sobresfuerzo más allá de la carga de servicio produce esfuerzos algo menores dentr o de la longitud original de transferencia, tal como se sugiere en la figura 4.18. Para alcanzar el esfuerzo de falla f en el acero se requiere de una longitud de desarrollo mucho más grande que la longitud original de transferencia, tal como se muestra. Basándose en las pruebas efectuad as en cablas de presfuerzo (Re f. 4.18) , el presfuerz o efectivo f puede suponerse que actúa a través de una longitu d de transferencia medida desde el extremo del miembro igual a
tal como se muestra en la figura 4.18, o h
= ( f
Ps
- Í f Pe)d„
(4.28)
El código ACI no requiere que se revisen los esfuerzos de adherencia por flexión para los miembros pretensados ni para los miembros postensados, pero para los cables pret ensado s se requiere que la t otali dad de la longi tud de desarro llo dada por la ecuación (4.28) se proporcione más allá de la sección crítica por flexión. La investigación puede limitarse a aquellas secciones más cercanas a los extrem os del miem bro que son requeridas a desarrollar tod a su resistencia a la flexión bajo la carga última especificada. En el caso de que se empleen tendones envueltos cerca de los extremos del claro (ver artículo 4.5) no existirá transferencia de la fuerza pretensora de los ca bles envuel tos h asta que se alcance el extr emo de la envol tura. Desde este p unto hacia el interior en el centro del claro, la transferencia por adherencia es menor que la normalmente efectiva, debido a la falta de compresión vertical proveniente de la reacción de la viga y debido a que puede existir en el concreto esfuerzos de tensión por flexión. Basándose en pruebas (Ref. 4.19) el Código requiere que la longitud de desarrollo dada por la ecuación (4.28) sea duplicada para tendones recubiertos.
4.13 DISEÑO DE ZONAS DE ANCLAJES donde It viene dada en pulgadas, el diámetro nominal del cable d b está en pulgadas, y el presfuerzo efectivo f está en kilolibra s/pulg2 . Cuand o se investigan los esfuerzos cerca de los extremos de miembros presforzados tales como voladizos cortos, durmientes, o miembros de armaduras, puede ser importante reconocer que el valor tota l de la fuerza pretensora no actúa en las regiones extremas. Dentro de la longitud de transferencia resulta adecuado y seguro suponer una variación lineal del presfuerzo tal como se muestra en la figura 4.18. Las mismas pruebas indican que la distancia adicional requerida más allá de la longitud original de transferencia para desarrollar la resistencia de falla del acero se encuentra aproximadamente representada mediante la expresión
l't M ft» ~ fpe)dh
(b)
donde la canti dad dentr o del paréntesis es el incremento en el esfuerzo arriba del nivel del esfuerzo efectivo en kilolibras/pulg2, para alcanzar el esfuerzo calculado en el acero al nivel de falty por flexión. De esta manera la longitud total de desarrollo es
En vigas de concreto presforzado, la fuerza pretensora se introduce como una carga concentrada, que actúa a menudo sobre una relativamente pequeña parte del peralte total del miembro. Para vigas postensadas con anclajes mecánicos, la carga se aplica en la cara extrema, en tanto que para vigas pretensadas se introduce de una manera algo más gradual a través de la longitud de transferencia. En cualquier caso, la distribución del esfuerzo de compresión en el concreto llega a ser lineal, adecuándose a la requerida por la excentricidad total de las cargas aplicadas, sólo hasta después de una distancia del extremo de la viga aproxima damente igual a su peralte. La transición del esfuerzo longitudinal de compresión, de su estado concentrado al linealmente distribuido, produce esfuerzos de tensión transversales (verticales) que pueden conducir al agrietamiento longitudinal del miembro. La configuración y magnitud de los esfuerzos en el concreto dependen de la localización y distribución de las fuerzas concentradas aplicadas por los ten dones. Se han realizado numerosos estudios empleando los métodos de la teoría clásica de la elasticidad, la fotoelasticidad, y el análisis de elementos finitos. Los resultados típicos se encuentran dados en la figura 4.19 (Ref. 4.21). Aquí la viga se carga uniformemente a través de una altura igual a h con una excentricidad de 3h/8. Las líneas de contorno se han dibujado a través de los puntos que tienen igual tensión transversal, con coeficientes que expresan la relación del esfuer / 8
h — k + L
ifps
fpe
(c)
192
Diseño de vigas Diseño de zonas de anclajes
Figura 4.19 Contornos de esfuerzo vertical constante (Adaptado de Ref. 4.21).
rectangular
Figura 4.20 Vigas / postensadas con bloque rectangular de anclaje. elevados esfuerzos de fracturación a lo largo del eje de la carga a una corta dis tancia dentro de la zona extrema, y elevados esfuerzos de astillamiento localizados en la cara cargada. Estos esfuerzos serán menos severos para vigas pretensadas, en donde la carga se introduce gradualmente por adherencia, que para vigas pos tensadas en las que se aplica en la cara extrema, pero en cualquier caso, despreciar la tensión transversal puede conducir a una situación de peligro o falla prematura. En muchas vigas/ presforzadas mediante postensado, se proporcionan blo ques extrem os sólidos tal como se muestra en la figura 4.20. Mientras que éstos a menudo necesarios pfihra acomodar los dispositivos extremos de anclaje, son de muy poco uso para la ¿reducción de la tensión transversal o para eludir el agrieta miento. De hecho tanto el análisis como las pruebas han demostrado que las vigas con bloques extremostrectangulares desarrollan tensiones transversales más altas
193
cas (Ref. 4.21). Si se proporciona refuerzo, los esfuerzos en el acero son más altos que para vigas sin bloques extremos, y las grietas son más anchas. Desde que el proporcion amiento de bloques extrem os aum enta apreciableme nte el cost o de la cimbra, resulta sano por consideraciones económicas y estructurales omitirlos en las vigas pretensadas y también en las postensadas (si la distancia entre los ancla jes permite esto), sustit uyéndo los por una cantidad adecuada de refuerzo de «cero. Tal refuerzo puede ser en la forma de varillas verticales de diámetro y es paciamiento relativam ente pequeño, y debe de estar bién anclado a las p artes superior e inferior del miembro. Los estribos cerrados se usan más a menudo, ro deando al acero principal en la parte inferior y terminando en ganchos o con do bleces a 90 grados en la parte superior, ta l como se muestra en la figura 4.21. Los métodos de análisis de las zonas extremas basados en la teoría elástica b¡dimensional, arriba mencion ados, se han empleado como una base para el diseño del refuerzo en las zonas extremas, y existen disponibles numerosas tablas las cuales dan la variación de los esfuerzos para varias distribuciones de carga en los extremos(Ref. 4.2). Sin embargo, tal análisis ignora algunos aspectos importantes del comportamiento de las zonas extremas. Existe una acción inelástica bajo car gas relativamente bajas debido a la elevada concentración de esfuerzos en el con creto. El c oncret o debe de agrietarse antes de que el refuerzo en las zonas extremas comience a ser efectivo, y más aún, la presencia de grietas invalida el análisis, así como también lo hace la presencia del refuerzo. Un diseño racional del refuerzo para las zonas extremas debe de reconocer la probabilidad de ocurrencia del agrietamiento horizontal. Si se proporciona re fuerzo vertical adecuado en forma tal que se restrinjan las grietas a una cuantas pulgadas de longitud y con ancho de u n cente simo de pulgada o menos, entonce s estas grietas no afectarán el desempeño de la viga tanto bajo cargas de servicio como hasta su resistencia última. Normalmente ellas no se alargarán o ensancha rán como consecuencia de la aplicación adicional de cargas al miembro, ya que para las vigas prete nsadas y para las vigas postensadas con adherencia, la tensión en el tendón en las zonas extremas no se incrementa apreciablemente cuando se aplican las cargas. En consecuencia el diseño del refuerzo en las zonas extremas puede basarse en las condi ciones obtenid as para el presfuerzo inicial, emp leando
Final de la zona de agrietamiento
II
n
Í3fkit J
Agrietamiento longitudinal Ttndones de prwsforïado
-Grieta
104
Diseño de vigas
Diseño de zonas de anclajes
195
el esfuerzo permisible para los estribos, el cual es lo suficientemente bajo como para que los espesores de las grietas sean suficie ntemente pequeños. Para los miembros pretensados, basándose en las pruebas de laboratorio efectuadas por la Asociación de Cemento Portland, Marshall y Mattock propusie ron una ecuación muy simple para el diseño del refuerzo en las zonas extremas (Ref. 4.20). La tensión total en el estribo S se expresa en función de la fuerza total longitudinal pretensora/* mediante la relación h S - = 0.0106-
donde h es la profund idad to tal de la viga y It es la longitud de transferencia. Las pruebas indican que el es fuerzo en el estr ibo varía aproximadam ente en forma lineal desde un máximo cercano a la cara exterior hasta cero cerca del extremo de la grieta. Así, si fs es el esfuerzo permisible en el estribo cua ndo la fuerza pretensora inicial P¡ se aplica, el esfuerzo promedio en los estrib os puede tomarse como fJ 2 y el área transversal total necesaria di estribos, A t, está dada por A L
2Pi
h = 0.0106 -
‘t
ó A, = 0.021
PJt
(4.29)
f j ,
En las pruebas se ha encontrado que un esfuerzo permisible f s = 20,000 Lb/pulg produce grietas con espesores aceptablemente pequeños. La longitud de transf e rencia I t bien puede calcularse mediante la ecuación (a) del artículo 4.13 o pue de suponerse igual a 50 veces al diámetro nominal del cable. El refuerzo re querido con un área A t debe de distribuirse uniformemente a lo largo de una longitud igual a h/5 medida desde la cara extrema de la viga,y para un control más eficien te del agrietamiento el primer estribo deberá colocarse lo más cerca posible de la cara extrema. Se recomienda que se proporcione el refuerzo vertical de acuerdo con la ecuación (4.29) en todos los miembros pretensados, a menos que las pruebas o la experiencia demuestren que no ocurrirán agrietamientos bajo los estados de car gas de servicio o sobrecargado. La ecuación (4.29), derivada experimentalmente, no se aplica a miembros postensados, para los cuales la fuerza pret ensora se aplica en o cerca de las caras extremas del miembro en lugar de hacerlo mediante los esfuerzos de adherencia a través de la longitud de transferencia. Para miembros postensados, Gergely y Suzen desarrollaron un método basándose en las condiciones de equilibrio de la zona de anclaje agrietada, con el fin de limitar | longitud y el ancho de las grie 2
1
Figura 4.22 Análisis de las zonas extremas de vigas postensadas, (a) Extrem o de una viga mostrándose la ubicación del cuerpo libre, (b) Fuerzas que actúan en el cuerpo libre, (c) Variación del momento con la profundidad.
cual la fuerza pretensora P¡ sefaplica como una carga concentrada en la cara ex trema, con una excentricidad desde el centroide del concreto. A una cierta dis tancia de la cara ext rema, la ¡distribución del esfuerzo de compresión es lineal, 1
Diseño de zonas de anclajes
196 Diseño de vigas
grieta horizontal a lo largo de la cara 12, y por la cara extrema interior 23 de la zona de anclaje. En general se producirán tanto un momento como una fuerza cortante en la cara 12 por las fuerzas horizontales. El cortante es resistido po r la trabazón del agregado y el momento resistente necesario es proporcionado por la fuerza de tensión T de la zona extrema del refuerzo y de la fuerza resultante de compre sión C en el concreto. La altura c del cuerpo libre, determinada p or el nivel de la grieta, se establece mediante la condición por la cual el momento debido a las fuerzas horizontales será máximo al nivel en que se forma la grieta. En los casos práct icos, se puede n calcular los mom ento s para varias fraccion es de la altura empezando en la p arte inferior de la viga y grafícándose como una función de la distancia desde la parte inferior. En la figura 4.22c se muestran resultados típicos. Al nivel de la carga, se indica un momento de flexión neto horario produciendo tensión vertical cerca de la cara extrema que cambia gradualmente a un momen to neto anti-horario que causa tensión vertical cerca de la cara extrem a en la par te superior de la zona extrema. « Conociendo el máximo momento de flexión a resistirse, las fuerzas T y C pued en calcularse, si es q ue la distancia entre dichas fuerz as pue de ser estimada. Para vigas postensadas, se deben proporcionar estribos a una distancia h/2 desde la cara e xtrema para resistir a T, pudiéndose hallar fácilmente el centro de gravedad de las fuerzas en esos estribos. Deberá estimarse la ubicación de C. Generalmente se supone que actúa a una distancia h de la cara extrema. Consecuentemente, la fuerza de tensión a ser resistida mediante los estribos extremos es donde Mmáx es T =
h
(4.30)
— x
197
En forma adicional a los esfuerzos verticales de tensión que causan cuarteaduras, se pueden producir zonas de peligro en los extremos de las vigas postensa das por la alta concentración de los esfuerzos de compresión longitudinales bajo
Figura 4.23 Areas extre mas de apoyo para vigas postensa das.
2
6 esp. a 4 — 24 7 e s t r ib o s # 3
t 10.5
\
I I I I I I 1___ 1___ ■ 1 11 1 1 1 T j - J -J J L Jf=FF1r
1 1 1
==f
I I I 11 11 t1 1 1 1 L Ü r r r
\
1 1
L
_____
S I
--------
<«)
<*)'
el máximo momento de flexión a ser resistido y x es la distancia de la cara extre ma al centroide del acero vertical en la distancia h/2. El área total requerida de refuerzo de acero es T
(4.31)
A, = J,
donde / es el esfuerzo permisible escogido sobre la base del control del agrieta miento. Se ha encontrado que un valor de/s =20,000 Lb/pulg es satisfactorio. El método descrito es conceptualmente simple y brinda resultados razona bles. Se adap ta fácilme nte a aquello s casos e n los que la carga se aplica en v arios niveles y también puede usarse en vigas I o de otrus formas. Juntamente con el método presentado para vigas pretensadas, está busado en la fuerza pretensora inicial Pt y en los esfuerzos permisibles de los estribos, en lugar de en la resisteifcia. Como el esfuerzq recomendado en el estrib»#» menor que la mitad del es fuerzo de fluencia para las varillas comúnmente ipipleadas, y como la fuerza del 2
M o m e n t o en k i l o l i b r a s - p u l g a d a
É
f (d ) & ’9 ■ > v # Figura 4. 24 Diseño del refuerzo de la zo na de anclaje, (o) Zona extre ma. (¿>) Sección transversal, (c) Fuerza* y esfuerzos, (d) Momentos. f i
Diseño de zonas de anclajes 198
199
Diseño de vigas
las placas de los anclajes. El esfuerzo de apoyo en el concreto producido por los anclajes del postensado al momento en que actúa la fuerza inicial P¡ no debe ser mayor que: fcP = 0.6 f' ci^ A J A [
(4.32)
y no deberá exceder f de acuerdo con los comentarios del código del ACI. En la ecuación (4.32) A i es el área de apoyo de la placa de anclaje, y A 2 es la máxi ma área de la porción de la superficie del anclaje que es geométricamente similar a, y concéntrica con el área de la placa de anclaje del acero del postensado. La definición de A 2 puede aclararse mediant e la figura 4 .23, en la cual se muestra el área cargada A¡ debajo de la placa de anclaje y la más grande de las áreas A 2 que puede ser superpuesta.
Tabla 4.1 Momentos en las Secciones Hor izontale s de la zona Extrem a del Ejemplo de Diseño.
Distancia desde la parte inferior, pulgs.
Momento de los esfuerzos en el concreto, kilolibra-pulg. + 108 + 217 + 418 + 897 + 1514 + 2237 + 3035 + 3877 + 4731 + 5566 + 6349
3 4.5 6
9 15 18
Diseño dei Refuerzo para las Zonas Extremas de una Viga Postensada
21
Debe de diseñarse el refuerzo de las zonas extrerrtas de una viga postensada rec tangular tal como se muestra en la figura 4.24«. Se aplica una fuerza pretensora inicial P. de 250 kilolibras mediante 2 tendones que tienen una excentricidad de 10.5 pulg. los cuales produc en esfuerzos longitudinales en el concre to que varían linealmente desde una compresión de 2153 Lb/pulg en la parte inferior hasta una tensión de 764 Lb/pulg en la parte superior. Se usarán estribos' verticales cerrados tal como se muestra en la figura 4.24¿>, con un esfuerzo permisible de 20,000 Lb/pulg (b = 305 mm., h = 762 mm, P¡ =1112 kN, e = 267 mm, f 2 = 14.8 N/mm .,/t = + 5.3 N/mm . y f s = 138 N/mm2). Para fines de cálculo de viga se dividirá en incrementos de altura de 3 pulg., y se supondrá que el esfuerzo en el concreto al centro de cada incremento actúa uniformemente en toda la altura de dicho incremento. Los valores se dan en la figura 4.24c. Los momentos que provienen de estos esfuerzos y de las fuerzas concentradas de los tendones se calculan para intervalos de 3 pulg., tomándose como positivos los momentos horarios. Los resultados se dan en la tabla 4.1 y se grafican en la figura 4.24<7. Se encuentra que el máximo momento de 388 kilolibra-pulgadas a ctúa a una distancia de 15 pulg. por encima de la parte inferior de la viga en forma tal de producir tensión cerca de la cara extrema (zona de astillamiento). Se supo ndrá que el centroide de las fuerzas en los estribo s dentro de la dis tancia h/2 de la cara extrema se encuentra a x = pulg. Entonces de la ecuación (4.30 ) la máxima tensióii • resistirse es
0
0
0
12
EJ EM PL O:
Momento de la Fuerza P retensora küolibra-pulg.
24 27 30
.
0 0
-375 -1125 -1875 -2625 -3375 -4125 -4875 -5625 -6375
Momento neto, kilolibra-pulg. 0
+ 108 + 217 + 43 -228 -361 -388 - 340 -248 -144 -5 9 —26
2
17,600
2
A, = — - — = 0 . 8 8 pulg . 2 (568 mm2)
'
2 0 , 0 0 0
2
2
2
Cuatro estribos cerrados del No. 3 proporcionan un área de 4 x 0.11 x 2 = 02 8 pulg exactam ente como la requerida. Se colocará el primer estribo a 2 pulg. e la cara extrema, seguido por 3 estribos a cada 4 pulg. dentro de la distancia h/2 = 15 pulg., tal como se muestra en la figura 4.2. Esto ubica al centroide del acero a pulg. dede la cara extrema tal como se supuso. Un segundo momento máximo, de signo opuesto y con valor de 217 kiloh bra-pulg., se indica en la figura 4.24 d, con una tensión asociada al nivel de la fuerza pretensora y a cierta distancia hacia adentro de la cara extrema (zona de fracturación o desquebrajamiento). La fuerza de tensión de 2
8
T = 2 H £ 0° = 9860 Ib (44 kN)
8
|
r-
388,000 30 8
17,600 Ib (78 kN) |
La cantidad total de: rdfli rrzo en la zona de astillafliiento, basándose en el esfuerzo permisible de , i h/pulg2 , se halla de la ecuación (4.3 1): I 2 0
0
puede tomarse con tres estribos adicionales, lo cual da un tot al de 7 es tribos del No. 3 a cada 4 pulg. de espa cápi ient o. El refuer zo de la zona extre ma, m ostra do en la figura 4.24a, es instal ad^ de esta manera a lo largo de una distancia a prox i madamente igual a h desde la jara extrema.
200
Diseño de vigas
Control de agrietamien to
4.14 CO NTROL DE AGRIETAM IENTO A. Introducción
El esfuerzo de tensión debido a la flexión en miembros de concreto bajo cargas de servicio puede limitarse hasta cualquier valor deseado, o eliminarse completa mente mediante el presfuerzo. Sin embargo, debido a factores técnicos y econó micos existe la tendencia hacia el uso del presfuerzo parcial, tal que permita la formación de grietas por tensión bajo condiciones normales de servicio. Para los diseños que se basan en un presfuerzo parcial es recomendable pres tar especial atención al asunto de las grietas, tanto desde el punto de vista estético, como debido a la posible corrosión de los tendones de acero áltamente esforzados si es que se encuentran expuestos por las grandes grietas. Se han establecido parámetros de importancia con relación al espesor de las grietas mediante pruebas y la observación del comportamiento estructural. Estos incluyen: 1. C aracteríst icas superficiales del refuerzo, de tensión, el cual abarcan tan to a los tendones presforzados, como a las varillas de acero no presforzadas. 2. Distribu ción del acero en la sección transversal del concret o. 3. Cantidad de recubrimi ento de concreto. 4. Relación del área total del refuerzo al área de concret o. 5. Increme nto en el esfuerzo del acero a medida en que se carga el miem bro. . Resistencia a la tensión del concreto. 7. Tamaño y forma del miembro. 6
calcula el esfuerzo de tensión nominal en el concreto, basándose en las propieda des de la sección transversal del concreto, supuesta homogénea y sin agrietar, aún cuando el esfuerzo nominal exceda al valor del módulo de ruputra . El máximo espesor de la grieta se relaciona con el esfuerzo nominal de tensión f w, por me dio de ecuaciones obtenidas empíricamente correspondiendo a anchos w de grie tas de 0.004 pulg., 0.008 pulg., y 0.012 pulg., tal como sigue: Para cables /
0
=
00 4
500(p —0.3)
(4.33a)
B. Con trol del agrietamiento basándose en el esfuerzo nominal de tensión en el concreto
m
i
E l m é t o d o m á s s i m p l e p a r a e l c o n t r o l d e l a s g ri e t a s se b a s a e n e l c á l c u l o d e l e s fuerzo de tensión nominal en
el c o n c r e t o b a j o e l e i t u d o d e c a r g a q u e n o s i n t e r e
s e t a l c o m o l o p r o p u s o A b e l e s ( R e f s . 4 . 2 2 y 4 . i 2 ) . M e d i an t e e s te m é t o d o , se
800 +
900 + 1200(p - 0.3)
(4.33b)
= 1100 + 1300(p - 0.3)
(4.33c)
/o.o os= fo
. 0 1 2
Para varillas redondas o alambres lisos: /o.oo = 700 + 450(p - 0.3)
(4.34a)
fo. oo = ^50 + 600(p —0.3)
(4.34b)
/
(4.34c)
4
8
0 . 0 1 2
= 1000 + 800(p - 0.3)
donde los esfuerzos nominales f w se expresan en Lb/pulg 2, y p es el porcentaje total de acero, incluyendo tanto a los tendones como a las varillas de refuerzo, expresado en función del peralte total de la viga multiplicado por su ancho. De esta manera, si se usan cables con un área total de 1.00 pulg , en una viga de 12 pulg. de ancho y 24 pulg. de peralte, y si se especifica un espesor máximo de grieta de 0.008 pulg., entonces 2
1 0 0
Idealmente, un método para el control del agrietamiento debería reflejar la in fluencia de cada una de estas variables, auque esto no resulta práctico en la ac tualidad. Los métodos prácticos que se han propuesto se pueden agrupar en dos categorías: (a) aquellos que se basan en la limitación del esfuerzo nominal de tensión en el concreto, y ( b ) aquellos que se basan en el cálculo de un espesor máximo probable de la grieta, seguido por la comparación con valores límites. En los párrafos siguientes se sintetizan dos métodos comunes.
201
x
1 . 0 0
„„
12x24 y de la ecuación (4.33b): fo.oos = 900 + 1200(0.35 - 0.3) = 960 Lb/pulg
2
Si el esfuerzo de tensión nominal bajo cargas de servicio sobrepasa al valor calcu lado de f w , entonces se pueden preveer grietas con un espesor mayor de 0.008 pulg., y el diseñador puede optar por (a) increm entar la m agnitud de la fuerza pretensora en forma tal de reducir h asta al valor calculado los esfuerzos de ten sión nominales bajo cargas de servicio, o ( b) incrementar el porcentaje de acero agregando varillas de refuerzo'- en forma tal de que el esfuerzo calculado para el límite de espesor de grieta seleccionado se incremente hasta el valor nominal bajo cargas de servicio. Debe notarse que las ecuaciones (4.33) y (4.34) se basan en un número limitado de pruebas y deben de ser consideradas como tentativas. Adicional
202
Diseño de vigas
Control de agrietamiento
mente las pruebas sólo incluyeron vigas de sección rectangular. Las ecuaciones resultantes pueden subestimar el espesor de las grietas en las vigas T .
C. Cálcul o del espesor máximo probable de una grieta
Se han propuesto varios métodos para el cálculo directo del espesor de las grietas. El primer método emplea la ecuación de Gergely-Lutz, la cual proporciona las bases para las especificaciones ACI relativas al agrietamiento en vigas de con creto reforzado (Rfs. 4.22 y 4.24). Mientras que las disposiciones del código se establecen de una manera ligeramente diferente, la ecuación básica para predecir el espesor máximo de una grieta en la cara de tensión de una viga de concreto reforzado es w = 0.016Rfs^ A
(4-35)
en la cual w es el espesor máximo de la grieta en milésimas de pulgada y f s es el esfuerzo en el acero bajo la carga para la cual se determ ina el espesor de la grieta, medido en kilolibra/pulg . En la figura 4.25 se muestran los parámetros geomé tricos. Los términos se definen tai como sigue: 2
d = espesor del recubrim iento de concreto medido desde la cara de ten sión hasta el centro de la varilla más cercana a dicha cara, pulg. R = relación de las distancias desde la cara de tensión y desde el centr oi de del acero hasta el eje neutro, igual a h2/h , A = área de conc reto que rode a a una varilla igual al área total de tensión efectiva de concreto que rodea el refuerzo y que tiene el mismo cen troide, dividida por el número de varillas, pulg 2
Para vigas de concreto presforzado, se propone que se use la misma ecua ción, con la excepción de usar un esfuerzo incremental en el acero en lugar de /s , siendo el incremento igual al incremen to en tensión a medida en que el miembro es cargado desde la carga de descompresión hasta la carga para la cual se calcula el espesor de la grieta. Aquí se define la carga de descompresión como la carga
203
que produce esfuerzos de flexión nulos en la cara inferior de la viga. El cálculo del esfuerzo en el acero después del agrietamiento se puede basar en el método del artículo 3.9. La ecuación (4.35) se basa en experimentos en los que se usaron varillas normales corrugadas de refuerzo. La evidencia experimental disponible indica que se puede emplear con aproximación razonable en vigas presforzadas con ca bles, si es que se emplea n varillas de acero corrugadas suplementarias. Si es que no se emplean, se sugiere usar un factor de modificación de . , para tomar en cuenta la diferencia en las propiedades de adherencia entre el cable y las varillas corrugadas. Si se usan varillas redondas lisas o alambres individuales, resulta apro piado empl ear una modificac ión adicional de 1.5 a 2 (R ef. 4.2 2). Se han propuesto ecuaciones alternativas para la predicción del espesor de la grieta por Nawy y Potyondy (Ref. 5.25), basándose también en el esfuerzo incremental en los tendones, y derivándolas de pruebas en vigas pretensadas con secciones T e L La aplicación requiere de la determi nación de los esfuerzos em pleando un análisis con sección agrie tada, como lo hace el m étodo de GergelyLutz y consecuentemente resulta ser laborioso en la práctica. Parece ser, al momento de la escritura de este texto, que el método de Abeles, el cual se basa en los esfuerzos nominales de tensión, es tanto simple en su uso cuanto acepta ble en su aproxim ación. Es probable que una variación de aquel méto do even tualmente se incluya en el código ACI. 1
8
D. Espesores permisibles para las grietas
Desde el punto de vista estético, los espesores de las grietas hasta más o menos 0.015 pulg. raramente serán objetables. Con respecto a la protección de los ten dones y las varillas de refuerzo contra la corrosión, el espesor permisible de la
Tabla 4.2 Espesores Permisibles de Grietas Recomenda dos Máximo Espesor Permisible de Grieta Condición de Exposición
Pulg.
mm
Aire seco o membrana protectora
0.016
0.41
0 . 0 1 2
0.30
0.007
0.18
a. S 0.006
0.15
Humedad, aire húmedo, suelo Agentes químicos derretidores de hielo } J, Agua de mar y brisa marina; ^ humedeciendo y secando m' Estructuras para retener agua i •» m k 1
ir •
0.004 I ü» m
0 . 1 0
204
Diseño de vigas
grieta depende de las condiciones de exposición. Para miembros de concreto reforzado, las especificaciones actuales del código ACI implican espesores máxi mos de grieta aceptables de 0.016 pulg. para miembros sujetos a exposición inte rior solamente, y 0.013 pulg. para exposición exterior. El Comité ACI-224 (Ref. 4.22) ha recomendado los valores que se dan en la tabla 4.2 para miembros de concreto reforzado sujetos a varias condiciones de exposición. Estos valores están razonablemente en concordancia con aquellos encontrados en la Ref. 4.23 para miembros presforza dos, y pueden servir como una guía h asta que se codifi quen las recomendaciones.
Bibliografía 205
4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10
E. Conclusiones Debe de reconocerse que el agrietamiento en las vigas de concreto es un fenóme no pro babilístico, y que los espesores de las grietas en una estructura pueden ex ceder a los valores máximos calculados. Las grietas aisladas que sobrepasen dos veces los valores máximos calculados pueden ocurrir a veces, aunque generalmen te de variación del espesor de la grieta es más o menos 40 por ciento. Una información limitada de pruebas indica que el incremento del espesor máximo de las grietas debido a las cargas sostenidas durante dos años es más o menos 100 por ciento. Las cargas de alto grado de repetición cíclico incrementan el espesor de las grietas mediante un factor que se encuentra entre 1.5 y 4, de pendien do del nivel de carga. En el código ACI no se encue ntran reglament aciones con relación específi camente al espesor de las grietas en miembros presforzados. Sin embargo, se in cluyen requerimientos específicos para el caso especial de las vigas con tendones de presfuerzo no adheridos, basándose en las observaciones de que tales miem bros desarrollan grietas más grandes y fallan a cargas men ores que los miembros con tendones adheridos. Para tales casos, una área mínima de refuerzo, A s, es requerida tal como se da por la ecuación As = 0.004/4
4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19
(4.36)
donde A se define aquí como el área de la parte de la sección transversal total del concr eto entre la cara de tensión por flexión y el centro de gravedad. Este re fuerzo debe de distribuirse uniformemente a través de la zona de tensión pre comprimida, tan cerca cómo sea posible de la cara extrema en tensión.
4.20 4.21 4.22
BIBLIOGRAFIA 4.1 4.2 4.3
m
A
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206
Diseño de vigas
Problemas
ned Prestressed Concrete I and T Beams,” /. ACI, Vol. 1971, pp. 355-360.
6
8
207
120" ---- — -------------------
, No. 5, mayo
1.5"
PROBLEMAS 4.1
Una viga presforza da preten sada tiene una sección transversal rectangular de pulg. con un peralte total de 20 pulg. Se fabrica usando concreto de densidad normal con una resistencia de diseño /<, = 4000 Lb /pulg2 , y la resistencia al momento de la transferencia es de f cl = 3000 Lb/pulg . Los límites de esfuerzos son tal como sigue: f t¡ = 165 Lb/pulg2, f c¡ = 1800 Lb/pulg2, f u = 380 Lb/pulg y f cs = —1800 Lb/pulg2. La relación de efec tividad R puede suponerse igual a 0.80. Para estas condiciones, hallar la fuerza pretensora inicial P¡, y la excentricidad e, tal que maximice al mo mento de cargas sobrepuestas Md + M¡ que puede soportar se sin exceder los límite s de esfuerzo. ¿Qué carga unifo rmeme nte distribu ida puede so portars e con un claro simple de 30 pies? ¿Qué perfil del te ndón recome n daría usted? Una viga de concret o pretensa da debe diseñarse para sopor tar una carga muerta y viva sobrepuesta de 300 Lb/pie y 1000 Lb/pie, respectivamente, con un claro simple de 40 pies. Se usarán tendones rectos. Las pérdidas dependientes del tiempo serán aproximadamente el 16 por ciento del es fuerzo inicial en el acero. Determinar las dimensiones del concreto (usar h = 2.5 b) y la fuerza pretensora y excentricidad requerida, basadas en los esfuerzos límites del ACI. La resistencia del concreto es f'c = 500(Lb/pulg2 y 4 =4000 Lb/pulg Una viga pretensad a debe de soportar una carga muer ta sobrepuesta de 600 Lb/pie y una carga viva de servicio de 1200 Lb/pie con un claro simple de 55 pies. Se usará una sección I simétrica con b = 0.5 h. El espesor del pa tín es hf = 0.2h y el ancho del alma es bw = 0.4 b. El miembro se presforza rá usando cables del grado 270. Las pérdidas dependientes del tiempo se estiman como el 20 por ciento de P¡. Se usará concreto con densidad nor mal, con f'c =5000 Lb/pulg y/V = 3000 Lb/pulg (a) usando cables rectos, hállense las dimensiones requeridas para el concreto, la fuerza pretensora, y la excentricidad, Selecciónese el numero apropiado y el tamaño para los tendones, y muéstrese mediante una gráfica su colocación dentro de la sec ción. ( ) Revísese la parte (a) del diseño usando tendones atirantados en sus puntos tercios del claro, con una excentricidad nula en los apoyos. ( c) Comente sus resultados. En ambos casos deben de aplicarse los límites de esfuerzos del ACI.' Usted puede supon er que las deflexiones no son críti cas, y de que se permite un esfuerzo de tensión de n/^ ba jo la totalidad de las cargas de servSéio. ; # La viga T de la figura P4.4 debe de usarse para un cobertizo de claro y de be de soport ar uha carga sobre puesta (mu eríl y viva) de 70 Lb/pie de su perficie de cobt ftizo en condici ón de se rv an total. No se emple ará losa superior. Empleando las limitaciones de esfwtzos para l os estados descar 6
2
8
"
2
4.2
2
4.3
2
2
6
1 2
4.4
2
Figura P4.4 mejor combinación de fuerzas pretensora y excentricidad para el centro del claro. Manténgase el centroide del acero por lo menos a 3 pulgs. de la cara inferior del concreto. Los cables se atirantarán en el centro del claro. Selecciónese el acero de presfuerzo adecuado empleando cables trenzados del grado 270. Para la sección mostra da, A c = 782 pulg2, Ic = 169000 pulg2, ci = 12.8 pulg., wQ = 815 Lb/pie. El valor especificado para el concreto es f'c = 5000 Lb/pulg y f'c¡ = 3500 Lb/pulg La viga doble T para el cobertizo de la P4.5 debe de construirse usando concreto ligero con una densidad de 120 Lb/pie y una resistencia a la compresión de f ' c = 5000 Lb/pulg . En el momento de la liberación de la fuerza pretensora, / ' ci será 4000 Lb/pulg . Se tra ta de que el miembro se emplee con un claro de 50 pies, y debe de soportar una carga sobrepuesta w( = 10 Lb/pie y w, =40 Lb/pie distribuidas uniformemente en la su perficie de la losa. Usando los l ímites de esfuerzos del ACI, y s uponiendo un porce ntaje de pérdidas del 15 por cie nto, hallar la mejor combi nación de fuerza pretensora y excentricidad. Selecciónese un tamaño y número apro2
4.5
2
3
2
2
2
2
f¡ 208
CAPITULO 5
Diseño de vigas
piado de cables del grado 250. Deberá mantenerse una distancia mín ima de pulgs. desde el centroide del acero hasta la cara inferior de las almas. ¿Cuál es la eficiencia a la flexión de la sección de la viga? Encontrar el fac tor de seguridad en contra de la falla y el agrietamiento, ambos expresados en función del incremento de la carga viva. Las propiedades de la sección son: A c = 208 pulg 2 ,I C- 5944 pulg4, a =5.44 pulg. 4.6 La viga mostrada en la figura P4.6 es una viga I postensada empleando 2 tendones que producen una fuerza total = 390 kilolibras. Se emplearán bloques sólidos en los extremos teniendo una longitud igual a 3/4 de la altura del miembro, para alojar el dispositivo de anclaje y los esfuerzos co rrespondi entes de apoyo. Diseñar el refuerzo en las zonas extremas para el miembro, empleando estribos cerrados y un esfuerzo permisible f g = Lb/pulg2 . ¿Cuál es el mínimo tamaño de la placa de apoyo que debería emplearse en las zonas de anclaje, suponiendo que el cono central, el cual no proporciona ningún apoyo tiene un diámetro de 3 pulg. La resistencia del concreto es f'c = 5000 Lb/pulg y f'c¡ = Lb/pulg . 5
CORTANTE Y TORSION
2 0 0 0 0
2
2
5.1 Introducción 1 2
" En los capítulos 3 y 4 se han visto los esfuerzos de flexión y la resistencia a la flexión de vigas. Las vigas también deben tener seguridad en contra de fallas pre maturas de otros tipos, las cuales pueden ser más peligrosas que la falla por flexión en el sentido que, si sobrevinieran la sobrecarga y colapso catastrófico, éstos podrían ocurrir de súbito y sin previo aviso. La falla por cortant e, más prop ia mente llamada falla por tensión diagonal, es un ejemplo. Las vigas de concreto presforzado nor malmente poseen refuerzo para el cortante, especial con la fina lidad de asegurar que la falla por flexión, la cual puede predecirse con precisión y viene precedida por el agrietamiento y las grandes deflexiones obvias, ocurrirá antes que la falla por cortante, la cual es súbita y más difícil de predecir con exactitud. Muy estrechamen te relacionados con los esfuerzos cortantes provenientes de la flexión en las vigas están aquellos producidos por la torsión, o el torcimiento de la viga alrededor de su eje longitudinal. Los esfuerzos cortantes por torsión producen también tensión diagonal en el concret o. En los miembros que van a resistir momentos torsionantes significativos, se requerirá refuerzo torsionante, similar al refuerzo por cortante y a menudo combinado con él. Los aspectos bá sicos del diseñ£ por torsión se presentarán más adelante en este capítulo, después del estudio de los esfuerzos cortantes por flexión y del refuerzo por cortante. Ni al análisis del cor tante por flexión ni al análisis del cortante por t orsión, les incumbe el esfuerzo cortante como tal. Los esfuerzos cortantes producidos por cualquiera de los dos tipos de acción están generalmente muy po r debajo de la resistencia al cortante dire|to del concreto. La preocupación real la ocasiona el esfuerzo de tensión diagonal en el concreto producido por el esfuerzo cortanto, actuando ya sea solo o erí Combinación con los esfuerzos normales longitudi
210
Cortante y tensión diagonal en vigas sin agrietar 211
Cortante y torsión
Existen ciertas circunstancias en las cuales se necesita la consideración de la resistencia al cortante directo del concreto agrietado o sin agrietar. Un ejemplo es el diseño de ménsulas para columnas tales como las empleadas en las construc ciones precoladas para proporcionar el apoyo de las vigas y trabes. En el capítulo 1 2 se describirá la teoría del cortante-fricción, una herramienta de diseño útil para tales casos.
5.2 CORTAN TE Y TENSION DIAGONAL EN VIGAS SIN AGRIETA R
Cuando las cargas que actúan en una viga de concreto presforzado son relativa mente bajas, ésta no se agrietará y la respuesta del concreto será casi elástica. En estas circunstancias los esfuerzos cortantes, los debidos a la flexión, y los esfuer zos principales que resultan de su acción combinada se pueden hallar basándose en las ecuaciones familiares de la mecánica. El esfuerzo cortante en el concreto para cual quier u bicación está dado p or (5.1) donde Vnet = fuerza cor tante neta en la sección transversal debida a las cargas aplicadas y al presfuerzo. Q = momen to e stático alrededor del eje neutr o de la parte de la sec
Ic b
ción transversal que se encuentra hacia afuera del plano de corte considerado. = moment o de inercia de la sección transversal. = ancho de la sección transversal a la altura del plano considerado.
El esfuerzo de flexión en el concreto se puede hallar mediante la ecuación P , Pey _ My a
1
X
+T
(5.2)
donde
La influencia benéfica del presfuerzo en la reducción de la tensión diagonal en las trabes de concreto resulta evidente de la consideración de dos trabes de concreto, una con varillas de refuerzo no presforzadas como en la figura 5.1a, y otra presforzada, como en la figura 5.le. Un elemento pequeño “a” ubicado en el eje neutro de la trabe de concreto reforzado estará sujeto a esfuerzos cortantes positivos v actuando en sus caras verticales, y cortantes negativos de la misma magnitud en las caras horizontales, tal como se muestra en la figura 5.1b. Haciendo uso del círculo de Mohr para hallar los esfuerzos principales, (figura 5.1c) se halla que la tensión principal f \ es igual (en valor absoluto) a la intensidad del esfuerzo cortante, y actúa form an do un ángulo de 45 grados con el eje de la viga, tal como se muestra en la figura 5.L¿. En la dirección perpendicul ar actúa una compresión principal igual. Si ocu rriera algún agrietamiento, éste sería inclinado a 45 grados con el eje del miem bro, tal como se mues tra de manera idealizada en la figura 5.1a. El elemento correspondiente “b” en la trabe presforzada de la figura 5.le está sujeto a idénticos esfuerzos cortantes v, figura 5.1 f, y adicionalmente se en cuentra sujeto a esfuerzos horizontales de compresión /. La construcción del círculo de Mohr de la figura 5. lg indica que la tensi ón principal Jq se ha reducido a un valor mucho más bajo que aquel correspondiente mayor con el eje horizon tal de la viga, tal como se ve en la figura 5 A h . En consecuencia, la grieta debida a la tensión diagonal de la figura 5.le es mucho más tendida que anteriormente. Si el refuerzo por cortante consiste de estribos verticales, la grieta diagonal será cruzada por un mayor número de dichos estribos en la viga presforzada que lo que ocurrirá en la viga sin presforzar, incrementándose la eficiencia de los estri bos en la transmi sión del cort ante a través de la grieta. También puede verse de las construcciones de los esfuerzos principales de las figuras 5.1c y 5.1g, que el esfuerzo de tensión diagonal no puede eliminarse por complet o, indepe ndiente mente de cual sea el valor de la com prensión l ongi tudinal, a menos que al mismo tiempo se aplique una precomprensión vertical. Adicionalmente a los efectos que se acaban de describir, el presfuerzo por lo general introduce una fuerza cortante negativa, actuando en sentido contrario al cortante inducido por las cargas, como resultado de la inclinación del tendón, tal como se muestra en la figura 5.2. Consecuentemente, los esfuerzos cortantes en la trabe sin agrietar son aquellos correspondientes a V ’ not - y ' _
cargas
P e y A c M
= fuerz a pretensora - excentricidad de la fuerza pretensqra, positiva hacia abajo. = distancia desde el eje centroid al de la sección al pun to considerado. = área de la sección transversal de concreto. = momentos debidos a las cargas aplicadas
y el signo, superior o inferior de cada parase aplica para el cálculo de los esfuer
K
(5.3)
donde Vp = cortante invertido proveniente de los tendones. Para trabes con secciones rectangulares, la variación del esfuerzo cortante según la profundidad del miembro considerado, dada por la ecuación (5.1), es parabólica, siendo cero el valor de v en las caras superior e inferior y alcanzando un máximo en el punto medip de la profundidad. Para trabes de sección I, tal como la mostrada en la figura 1.3a, comúnmente usada en miembros presforza-
Cortante y tensión diagonal en vigas sin agrietar 213 212
Cortante y torsión
_______ __________ \ 3--------. - _____ -H
H-
L_ —
dx
(«i
+ V
Figura 5.2 Efecto de los tendones inclinados en la reducció n de la fuerza cortan te neta. 7
^
^ /^ A
W l
/
(«)
la m it ad d el cl ar o
r
w
/ L
Ce rc a de l ap oy o \
(c)
Grieta diagonal por tensión
W) Figura 5.3 Agrietam iento po r tensión diagonal en vigas I de concreto presforzado. (a) Sección transversal. ( 6 ) Variación de los esfuerzos cortantes, (c) Variación de los esfuerzos de flexión. ( d ) Ubicación probable de la grieta diagonal.
4
<*)
Figura 5.1 Efecto del presfuerzo longitudi nal en la tensió n diagonal y en el agrietamiento. alma, debido a la reducción del ancho b de la sección. La distribución del esfuer
constante de v en toda la profundidad del alma. El esfuerzo principal de tensión en una trabe I sepuede hallar de los esfuer zos cortantes de la figura 5.3 b y los esfuerzos longitudinales de flexión de la figura 5.3c, los cuales generalmente son más o menos tal como se indican bajo el nivel de cargas de servicio. Típicamente, para trabes 1, la máxima tensión principal no se encontrará en el eje neutro, en donde el esfuerzo cortante es máximo, sino que estará cerca de la unión del alma con el patín inferior, en donde el esfuerzo cortante es alto también, pero en donde la compresión longitudinal se reduce por el efecto de las cargas aplicadas.
214
Cortante del agrietamiento diagonal
Cortante y torsión
Además, deberá notarse que la ubicación crítica para la tensión diagonal no es generalmente adyacente a los apoyos, aun cuando el cortante exterior neto tiene un valor más alto aquí, debido a que la compresión longitudinal del presfuerzo es apenas reducida desde su valor total mediante los pequeños momentos exteriores actuantes. Es típica una distribución de esfuerzos por flexión tal como la mostraba por la línea discontinua de la figura 5.3c, la variación exacta depen de de la excentricidad del presfuerzo. La comprensión longitudinal considerable reduce el esfuerzo de tensión principal cerca de los apoyos. Adicionalmente, los ; esfuerzos de compresión verticales provenientes de las reacciones de la trabe evitan el agrietamiento diagonal cerca de los apoyos. En consecuencia, el agrietamiento por tensión diagonal en trabes 1presforzadas, simplemente apoyadas y uniformemente cargadas, es propenso a ocurrir en los alrededores de los puntos cua rtos del claro, en donde las fuerzas cortantes netas son relativamente grandes, y cerca de la unión del alma con el patín infe rior, en donde los esfuerzos longitudinales de compresión son bajos y los esfuer zos cortantes son altos. Si se formara una grieta se puede prevenir que ésta tendría la apariencia de la mostrada en la figura 5.3d en forma idealizada. Esto lo con firman numerosas pruebas. La investigación de la tensión diagonal en almas de trabes sin agrietar es importante mayormente en la predicción de la carga bajo la cual se formará una grieta diagonal asi como la ubicación y orientación de ésta. Basar el diseño por cortante en u n esfuerzo permisible por tensión en el concreto bajo cargas de ser- j vicio no es seguro, debido a que incrementos relativamente pequeños de carga arriba del nivel de cargas de servicio producirán incrementos desproporcionados en los esfuerzos de tensión diagonal. Esto ocurre p or dos motivos. Primero, considérese el esfuerzo de tensión principal en el punto a de la part e in ferior del alma de la t rabe 1 mostra da en la figura 5.4a. Bajo cargas de ser vicio, la distribución de esfuerzos cortantes y la distribución de esfuerzos por flexión se muestran por las líneas llenas de las figuras 5.4 b y 5.4c, respectiva mente, con valores de v y / en los puntos de interés. El esfuerzo de tensión prin cipal / i de la figura 5.4d se puede obtener gráfica o analíticamente. Supóngase ahora que las cargas se incrementan en un 20% produciendo lo esfuerzos de corte incrementados y los esfuerzos por flexión que se muestran con líneas discontinuas en las figuras 5.46 y 5.4c, respectivamente. De la cons tracc ión modificada de los esfuerzos principales mostrada por la línea discontinu de la figura 5.4d, resulta evidente que la reducción a cero de la compresión po flexión en el punto a (lo cual se logra con un modesto incremento de las carga aplicadas) junto con un % de incremento en el esfuerzo cortante, es suficient para pro duc ir u n gran incre men to en la te nsión principal. En el caso presen te el incremento mostrado es aproximadamente del 60%. La segunda causa para el incremento desproporcionado en la tensión e~ que el esfuerzo cortante se calcula para el cortante neto, dado por la ecuación (5,3). A medida en que se incrementan las cargas, el cortante externo Veargas se 2 0
k __
215
.'l 1
1
y
k
.
1
! J y i Ib)
la) Cortante
figura 5.4 Incremento en los esfuerzos principales después de la sobrecarga, (a) Sección transversal. ( b ) Esfuerzos cortantes, (c) Esfuerzos de flexión, (d) Círculo de esfuerzos principales. ilíente de los tendones inclinados, permanece casi constante. Así, un pequeño porcentaje de aume nto en las cargas fácilme nte puede duplic ar el corta nte neto para el cual se de be diseñar la trabe. En síntesis, los cálculos de los esfuerzos principales son útiles para poder visualizar el flujo de esfuerzos en las trabes sin agrietar, y pueden proporcionar información útil para la ubicación y orientación de las grietas por tensión diago nal. Dichos cálculos también brindan información con relación a la carga bajo la cual se prevee la ocurrencia de la grieta. Sin embargo, nunca deben emplearse para evaluar el grado de seguridad inher ente a un diseño. Un análisis basado en la resistencia es esencial para tales fines.
5.3 CORTANTE DEL AGRIETAMIENTO DIAGONAL
tiran cantidad de pruebas han demostrado que pueden ocurrir dos tipos de grie tas diagonales en trabes presforzadas: grietas por flexión cortante y grietas por cortante en el alma (véanse las relerencias 5.1 y 5.2 en la Bibliogra fía). Estas se ilustran en las figuras 5.5a y 5.56, respectivamente. Las grietas por flexión-cflttnnte se presentan después de que han ocurrido las grietas por flexión. Las grietas por flexión se extiende n más o menos vertical-
216
Cortante y torsión
Cortante del agrietamiento diagonal
217
binación crític a de esfuerzos de flexión y cortant es en la cabeza de una grieta por flexión, la grieta se propaga en una dirección inclinada, a me nudo algo ten dida, tal como se indica en la figura 5.5a. Si no se proporciona refuerzo en el alma, tal grieta puede producir lo que se conoce como una falla por compresióncortante, en la cual el área de compresión del concreto cerca de la parte s upe rior de la trabe, reducida por la grieta diagonal, es insuficiente para resistir las fuerzas provenientes de la flexión. Mientras que el agrietamiento por flexión-cortante es el tipo más común, la grieta por cortan te en el alma puede ocurri r tal como se muestra en la figura 5.55, especialmente cerca de los apoyos de vigas altamente presforzadas con almas re lativamente delgadas. Este tipo de grietas se inicia en el alma, sin previo agrieta miento por flexión, cuando la tensión principal en el concreto iguala a la resistencia de tensión del material. Este tipo de peligro en el alma conduce a la súbita for mación de una gran grieta inclinada, y si no se encuentra refuerzo en el alma,
Figura 5.6 Agrieta miento por cor tante en el alma (izquierda) y agrietamie nto por flexión corta nte (derecha) en vigas continua s presforzadas (Cortesí a de la Asociación del Cemento Portland). Figura 5.5 Tipos de grietas inclinadas, (a) Grietas por flexión-cortante, (b) Grie tas por cortante en el alma. conducirá a la falla de la viga según uno de los modos siguientes: a. Separación del patí n en tensió n del alma, a medida en que la grieta in clinada se extiende horizontalmente hacia los apoyos. b. Apla stamiento del alma debido a la elevada co mpresión que actúa pa ralelamente a la grieta diagonal, a medida en que la trabe se transforma en un arco atirantado equivalente. c. Agrietamie nto por tensión inclinada secundario cerca de los apoyos, el cual separa el patín en compresión del alma. Típicamente, las fallas por cortante en el alma son más violentas que las fallas por flexión -cortante . La figura 5.6 muestra tanto a las grietas por cortante en el alma como a las grietas por flexión-cortante en una trabe pretensada con alma reforzada median te estribos, probada en los laboratorios de la Asociación del Cemento Portland.
Las grietas se han marcado con tinta en las superficies de la traba para hacerlas resaltar. Para el caso de las grietas por flexión-cortante, las pruebas muestran que la inclinación crítica de la grieta tiene una proyección horizontal por lo menos igual al peralte efectivo d de la trabe (véanse referencias 5.3, 5.4 y 5.5). Por lo tanto, hay una grieta por flexión a una distancia d medida en la dirección en que decrecen los momentos, desde la sección considerada, relacionada con la grieta inclinada que causa la falla. Adicionalmente, las pruebas indican que la formación de una segunda grieta por flexión, generalmente a más o menos d¡2 de la sección dada, es el hecho que marca el colapso real. La figura 5.7 a muestra una representación idealizada de grietas por flexió ncortante en la región de esfuerzos combinados de una trabe (véanse referencias 5.6 y 5.7). La grieta por flexión en la sección A inicia una grieta inclinada que tiene una proyección horizontal d, y termina en la sección considerada C. Una segunda grieta por flexión en la sección B es crítica en la precipitación de la falla. El cortante y el momento en la sección C, son V y M respectivamente, en tanto que el cortante y el momentq en la sección B son Vcr y Mcr, tal como se mués-
218
Cortan te del agrietamiento diagonal
Cortante y torsión
M - M cr
219
Vd
i r
así M y
M cr
d
V ~ 2
y V=
M„
(a)
M / V - di2
Esta ecuación da el cortante V en la sección C, debido a las cargas sobrepuestas muerta y viva, cuando el momento debido a dichas cargas en la sección tí es Mcr. Nótese que, aun cua ndo el corta nte V aparece en ambos lados de la ecuación (a), no es necesario saber el valor de V para usar la ecuación, sino solamente el valor de M/V , el cual es una característica para cualquier forma de carga dada y perma nece constante a medida en que se incrementan proporcionalmente las cargas sobrepuestas. El cortante total en la sección C cuando se desarrolla una grieta por flexión en la sección tí , es la suma de aquel dado por la ecuación (a) más la fuerza cor tante debida al peso propio Va y el cortante Vp inducido por la componente ver tical de la fuerza en el tendón curvado o colgado. Más aún, las pruebas indican que se necesita un incremento en el cortante de ,6bwd \f fc , después de la for mación de la segunda grieta por flexión, para que se desarrolle la grieta inclinada, donde bw es el ancho de la sección y d es la profundidad del centroide del acero de presfuerzo (véanse referencias 5.3, 5.4 y 5.5). Así, la fuerza cortante total Vc¡ que produciría la falla por flexión-cortante está dada por 0
Figura 5.7 A grietamiento por flexión- cortante , (a) Configuración idealizada del agrietamiento. ( b ) Diagrama de la fuerza cortante, (c) Diagrama de momentos. tra en las figuras 5.7 b y 5.7 c. Los co rtantes y momentos mostrados son aquellos producidos por las cargas sobrepuestas muerta y viva, y actúan en forma adicional a aquellos producidos por el peso propio del miembro y por el tendón del presfuerzo. La razón para la distinción entre los momentos y cortantes debidos a las cargas exteriores y aquellos debidos al peso propio se aclarará más adelante. El cambio de momento entre las secciones tí y C es igual al área debajo del diagrama de corte entre las dos secciones: M
- M„
i 2 < V
S +
V
w
En la mayoría de los casos, en la parte del claro en que es más probable el agrie tamiento por flexión-cortante, la inclinación del tendón es muy pequeña. En consecuencia, Vp tiene un valor pequeño que puede despreciarse conservadoramente, lo cual resulta en 4¡£i ■ í. W h' :«< " c Énír I
M / V - d/2
+ K
n
(5.4)
rvH
2
4 o, como
v..-Mi>Mñ +t~ z Tl +K +v,
la diferencia entre V y V\.r en la distancttí d¡2 es pequéfiu para la mayo
El momento de agrietamiento Mcr de la ecuación (5.4) es, por definición, aquel momento proveniente; de las cargas muerta y viva sobre puestas, y actúa en forma adicional al momento debido al peso propio, Mcr se puede calcular
220
Cortante y torsión Cortan te del agrietamiento diagonal
221
tomando como base el esfuerzo de tensión en el concreto en la cara inferior igual al módulo de ruptura, el cual vale 6 \/ f^ . De esta forma r
f ° +
M „c2
__
,
— fi p = 6V/T
1 c
ó
M cr = ~
(6
síTc + f 2p - fo )
(5.5)
c2
donde fo c2 Ic f ip
= esfuerzo de flexión en el concret o en la cara inferi or de la trabe debido al peso propio. = distancia desde el centroi de del concreto a la cara inferior. = mome nto de inercia de la sección transversal del concreto. = esfuerzo de compresión del concreto en la cara inferior debido a la fuerza pretensora efectiva.
La convención de signos que se usará aquí, congruente con la del Código ACI, trata a todos los esfuerzos como valores absolutos, sin darles el sentido positivo o negativo. La razón para la consideración por separado del peso propio y las cargas exteriores es debido a que el peso propio es generalmente uniformemente distri buido, en tan to que las cargas sobrepuestas pueden t ene r cualqu ier dis tribución. Separando las cargas de esta forma, la relación M /V de la ecuación (5.4) perma nece constante a medida en que las cargas exteriores aumentan, facilitándose los cálculos. También debe notarse que, mientras que el análisis y diseño a seguirse para el re fuerzo del alma se fu ndame nta en la resistencia ú ltima bajo cargas factorizadas, los términos VQ y f 0 usados para predecir el agrietamiento diagonal deben basarse en el peso propio real calculado sin la aplicación de factores de carga. La figura 5.8 muestra la estrecha concordancia entre la ecuación (5.4) y la información experimental disponible (véase referencia 5.7). El segundo tipo de grietas, las grietas por cortante en el alma, ocurren cuan do el máximo esfuerzo principal de tensión proveniente de la combinación de los esfuerzos de corte y de flexión, iguala a la resistencia de tensión del concreto. El comportam iento del concreto es razonablemente elástico hasta la falla por tensión, de manera que los cálculos se pueden basar en las ecuaciones ordinarias de la elasticidad. Los cálculos de los esfuerzos principales y las pruebas entrabes típicas indican que puede esperarse la aparición de grietas por cortante en el alma en o
Figura 5.8 Comparación de la ecuación (5.4) para Vc¡ con información expe rimental. debajo del centroide de la sección de concreto (ver sección 5.2 y referencias 5.3, 5.4 y 5.5). Las trabes para las cuales la máxima tensión principal se encuentra en la parte inferior de su sección transversal tienen más probabilidad de admitir grie tas por flexión, las cuales conducen a su vez a las grietas por flexión-cortante en lugar de a las grietas por cortante en el alma. En consecuencia, se puede estimar el cortante que produce las grietas por cortante en el alma tomando como base la tensión principal en el centroide del concreto. La capacidad al cortante de un miembro se alcanza si la tensión principal llega a igualar a la resistencia a la tensión di recta del co ncr eto ,/) ' Así
donde vcw f cc
— esfuerzo cortante nominal en el concreto, Vcw/bwd debido a to das las cargas aplicadas, muerta s y vivas. — esfuerzo de compresión en el centroide del concreto debido a la fuerza pretensdra efectiva. fWh
(B
tj
(W '
Despejando el esfuerzo cortante nominal correspondiente al agrietamiento diago
222
Cortante y torsión
Refue rzo en el alma por cortant e
223
cual ocurre el agrietamiento diagonal debe tomarse como el menor de los dos va lores Vci y V cw, dados por las ecuaciones (5.4) y (5.8), respectivamente.
5.4 REFUER ZO EN EL ALMA POR CORTANTE
Figura 5.9 Esfuerzo cortante nominal vcw para agrietamiento por cortante en el alma. La resistencia a la tensión directa puede tomarse igual a 3.5 V/T, conservadoramente lo cual indica que
»„ = 3 . 5 ^ 1 + 3Í ^
<56)
La figura 5.9 muestra la relación funcional de la ecuación (5.6). También indica que el resultado del cálculo de esfuerzos principales puede aproximarse extrechamente mediante la siguiente expresión, mucho más simple i’cw= 3.5 v ^ + 0.3/«
(5.7)
Por lo tanto, el uso de la ecuación (5.7) se recomienda como una base para el diseño. El cortante exterior Vcw bajo el cual es probable la ocurrencia del agrieta miento por cortan te en el alma, basado en la ecuación (5.7), es incrementado por la component e vertical de la fuerza pretensora, Vp,, la cual normalmente actúa en sentido opuesto al cortante inducido por las cargas, Asi pues '¡c M ,§ (5.8) %w = bwd(3 .5jf'c + 0.3/«). + Y„
í
S
i
«■
En cualquier caso dado.se puedej) formar tanto grietas por flexión-cortante
No sería ni económico ni seguro di señar trabes de con creto presforza do de tales proporciones que sólo el concret o sea el que propor cione toda la res istencia al cortante. El refuerzo del alma sin presforzar se emplea de la misma manera gene ral tal como se usa en trabes de concreto reforzado. Tal acero en el alma no sola mente aumenta la resistencia al cortante de las trabes, sino que también garantiza que la falla sea más dúctil, en caso de que exista una severa sobrecarga que pro duzca una falla por cortante. La fluencia del refuerzo del alma, acompañada por el amplio agrietamiento del concreto dará alguna alarma de peligro. Se requiere por lo menos una cantidad mínima de refuerzo en el alma en todas las trabes presforzadas. Se pueden exceptuar los miembros tales como tra bes doble T de claros cortos a m edianos, que han probad o tene r un com port a miento satisfactorio sin tal acero, o las losas en las que el esfuerzo cortante es característicamente bajo. Con poca frecuencia se usa el presfuerzo diagonal o vertical en las almas de las vigas. Aun cuando esto brinda la ventaja de que pueden eliminarse completa mente las grietas y los esfuerzos principales de tensión en el concreto, bajo cargas de servicio, tales métodos no son económicos con la excepción de casos poco fre cuentes. Adicionalmente, existe gran dificultad práctica en el control de la tensión en el acero, debido a las grandes pérdidas por los deslizamientos en los anclajes de los tendones cortos. En la figura 5.10 se muestran formas típicas de refuerzos para el alma no presforzados. Para las t rabes de dimensiones ordinarias, es común el uso de vari llas de refuerzo corrugadas con tamaños que varían desde el No. 3 hasta el No. 5, y aceros con grados desde el 40 hasta el 60. Los aceros con resistencias más altas, sometidos a esfuerzos más altos bajo cargas de servicio, son propensos a permitir grietas excesivamente anchas. Estas no sólo serían estéticamente inconvenientes, sino que reducirían la efectividad de ciertos mecanismos para la transferencia del corte, los cuales se describen más adelante en esta sección. Adicionalmente, los ganchos muy pronunciados requeridos en los estribos, pueden acarrear deterioros si se usaran los aceros de resistencias más altas, que son más frágiles. Debido a que las varillas de los estribos son forzosamente más bien cortas, en la mayoría de los casos no es posible desarrollar la totalidad del esfuerzo de fluencia de la varilla solamente por la adherencia dentro de la longitud embebida de desarrollo. Por esta razón, se proporciona anclaje especial en la forma de gan chos o dobleces tal como se piuestra en la figura 5.10. En la parte inferior de un estribo típico, la varilla de refuerzo se dobla en la forma de una U, presentando resistencia positiva al arrancan!lento. En la parte superior se usan ganchos o do
Refuerzo en el alma por cortante 225 224
Cortante y torsión
p
ñ
:
«r
i
n
\
i
1
I
Imide del tendón en la sección de interés. Entonces, si el espaciamiento del re fuerzo del alma en la dirección del eje del miembro es s, el número de estribos U que atraviesan la grieta diagonal es d/s. Cuando el miembro se encuentra al inicio de la falla, los estribos se encuentran esforzados a la totalidad de su resistencia de fluencia / . Por lo que la contribución tot al de los estribos para la transfere ncia del cortante a través de la sección agrietada es
Varillas típicas de las esquinas
(c)
Figura 5.10 Tipos de refuerzo en el alma.
En la mayoría de los casos, se agregan varillas longitudinales de diámetro pequeño en las trab es presforzadas, en l as esquinas del r efuerzo del alma. Estas varillas rectas se entrelazan con los estribos para mejorar su resistencia al arranca miento, y servir para el propósito práctico de la formación de una “jaula” rígida tal que permita la fabricación del refuerzo del alma fuera de las cimbras de la trabe y luego colocarlo en Su posición como un ensamble total. La trnsferencia de fuerzas cortantes a través de la sección diagonalmente agrietada de una trabe con refuerzo en el alma puede comprenderse estudiando la figura 5.11. Esta muestra las fuerzas que actúan en una parte de la trabe entre la sección diagonalmente agrietada y el apoyo adyacente. Los estribos en U se muestran con un espaciamiento s. Por razones que ya se establecieron, el análisis se basará en las cargas factorizadas, cuando se supone que el miembro se halla en un estado correspondiente al inicio del colapso. Debido al presfuerzo de compresión longitudinal en el concreto, la pen diente de la grieta diagonal es por lo general considerabl emente más pequeña que 45 grados. Aquí se supone algo conservadoramente, que la proyección horizontal de la grieta tiene una longitud d igual al peralte efectivo de la viga medido al cen-
Estribos
1
II I
l
I
donde A v es el área total de acero de un estribo, esto es, dos veces el área de la »ección transversal de la varilla para el caso típico de los estribos en U. Si el centroide del tendón atraviesa la sección de interés con una inclina ción 6 , entonces el tendón transmite una fuerza cortante igual a la componente vertical de la fuerza pretensora. Aun cuando la fuerza en el tendón aumenta a medida en que se sobrecarga el miembro, se supondrá conservadoramente que tiene un valor igual al presfuerzo efectivo Pe. Así, la componente vertical es Vp
= Pe Sen<>
(d)
Una tercera contribución a la transferencia del cortante proviene de la re sistencia friccionante a lo largo de las superficies naturalmente rugosas formadas por la grieta. Aun cuando la grieta será perpend icular a la dirección de l a tensión principal, de tal forma que no debería n preveerse desplazam ientos po r cor tant e, no ha confirmado por las pruebas que después del agrietamiento ocurre una redistrlbución significativa de fuerzas internas, en tal forma que existe una tendencia al deslizamiento r elativo de las caras de la grieta. Es ta es resistida por la rugosidad de la superficie y por la trabazón del agregado. La fuerza Va resistente asociada Con la trabazón del agregado actúa sobre el cuerpo libre en la dirección represen tada en la figura 5.11. Su componente vertical es V ay . Finalmente, el concreto de la zona en compresión sin agrietar arriba de la grieta diagonal proporciona una fuerza resistente Vcz. Igualando a cero la suma de todas las fuerzas verticales de la figura 5.11, se obtiene la expresión para la resistencia nominal al cortante:
K
= ^vfy ~ +
K z
+ Vp + Vay
(5.9)
LJ No o bstan te la intensiva investigación dur ante un pe riodo de años, las mag nitudes individuales de las contribuciones de Vcz y Vay son desconocidas. Par tiendo de las pruebas, parece ser que una base conservador a para el diseño consiste en suponer que su contribución combinada no es menor que Vc, la fuerza cortunte que produjo la grieta diagonal. A su vez, se puede determinar la magnitud
226 Cortante y torsión
Criterio de diseño por cortante del ACI
de Vc bien sea por agrie tamiento por c ortan te en el alma o por a grietamient o po r flexión-cortante, y se tomará como el menor de los valores de Vc¡ y Vcw dados por l as ecuaciones (5.4) y (5 .8), respectivamente. Si finalmente se desprecia la componente vertical de la fuerza pretensora (esto se puede justificar debido al pequeño ángulo de inclinación del tendón en la región de mayor interés), entonces la ecuación (5.9) para la resistencia última al cortante se puede simplificar hasta obtener: K = A vf y - + K
s
(5-10)
227
6.5 CRITE RIO DE DISEÑO POR CORTA NTE DE L ACI A. Bases del diseño Las especificaciones para el cortante del Código ACI concuerdan directamen te con el desarrollo de los artículos precedentes. El diseño debe basarse en el miembro cargado con un estado de sobrecarga hipotético, con las cargas muertas calculadas y las vivas de servicio multiplicadas por lo s usuales f actores de sobreca r ga, excepto cuando se especifique otra cosa. El deseño de las secciones transversales sometidas a cortante debe de basar le en la relación:
Si ( Vn - Vc) representa el “exceso de cortante” sobre el que toma el con creto y si el porcentaje del refuerzo del alma se define como
(5-12)
K ^ <¡>V„
donde Vu Vn 9
entonces la ecuación 5.10 puede escribirse en la siguiente forma: Pvfy
= Fuerza cortan te aplicada bajo cargas factorizadas =
Resistencia nominal al cortante de la sección
= Fact or de reducción de la resistencia, tom ando igual a 0.85 para
cortante
(5.11)
La resistencia nominal al cortante, Vn, se calcula de la ecuación K = K + Vs
(5.13)
donde Vc Vs
Figura 5.12 Increm ento en la resistencia al corta nte en un miembro presforzado debido al refuerzo en el alma (Véase publicación referida en 5.5).
= Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo pa ra cortante
El valor de Vc debe calcularse de acuerdo con la sección B que sigue. Se supone que la primera sección crítica para el cortante se encuentra a la distancia h¡2 desde la cara del apoyo, y las secciones que se encuentran a menos de h¡2 se diseñan para el cortante calculado para /z/2. Esta especificación recono ce el efecto benéfico de la compresión vertical en el concreto producida por la reacción. En circunstancias especiales, aquellos beneficios no se obtienen, y el cortante en la cara del apoyo puede llegar a ser crítico. •i- ñ
En la figura 5.12 se compara la resistencia al cortante predicha mediante la ecua ción (5.11) y la información experimental. Puede verse que la ecuación da un limite inferior conservador para casi todos los casos de la información experi mental, estando también las excepciones cercanas al valor dado por la ecuación
<■
m
B. Resistenci a nominal al cortante proporcionada por el concreto
i
-'9
El valor de Vc en la ecuación (5.13) debe tomarse como el menor de los valores
228
Cortante y torsión
Criterio de diseño por cortante del ACI
agrietamiento por cortante en el alma, respectivamente. Estos valores se basan en las ecuaciones (5.4) y (5.8). Primero, en la ecuación (5.4) para las grietas por flexión-cortante, el térmi no d/2 se puede despreciar, con el propósito de simplificar. Esto tiene el efecto de realacionar el agrietamiento por flexión-cortante a la carga que produce el agrietamiento por flexión en la sección considerada, en lugar de a la distancia d /2 de la sección considerada, y vuelve algo más conservadora a la ecuación. En tonces, con algunos pequeños cambios en la notación, Ki =
0.6 V /TM + K +
M rr
(5.14)
donde bw es el ancho de la sección rectangular o el espesor del alma de una sec ción con patín, y d es la profundidad desde la cara en compresión del miembro hasta el centroide del acero del presfuerzo. Basándose en las pruebas, este último valor no necesita tomarse menor que 0.80 h para ésta y para todas las demás espe cificaciones del Código relativas al cortante, excepto cuando específicamente se diga diferente. En la ecuación (5.14), V¡ y Mmáx son, respectivamente, el cortante y m o mento flector afectados del factor en la sección considerada, provenientes de las cargas muerta y viva sobrepuestas, y Mcr es el momento que produce el agrieta miento por flexión, calculado mediante la ecuación (5.5) M cr = ^ ( 6 s / f c + f 2p - f 0)
(5.5)
C2
En la ecuación (5.14), VQ es el cortante debido al peso propio del miem bro y se calcula sin f actor de carga, y f a en la ecuación (5.5) es el esfuerzo de flexión en la cara inferior de la trabe, debido al peso propio del miembro, tam bién dactil ado sin f actor de carga. La ra zón para la consideración por separado del peso propio se ha explicado anteriormente. Al aplicarse la ecuación (5.14), Vc¡ no necesita ser considerado menor que 1.7 \/ fc b wd, de acuerdo con el Código. La resistencia nominal al cortante correspondiente al agrietamiento por cortante en el alma se calcula mediante la ecuación (5.8) sin modificación: Vcw= (3.5V7T
+ 0.3 /J M + VP
(5.15)
donde Vp es la componente vertical de la fuerza prctensora efect iva en la sección: Vp = P eseñO
en la cual 6 es la inclinación de la linca centroidal del tendón en la sección.
(5.16)
229
como la fuerza cortante que corresponde a la carga muerta más la carga viva, que resultan en un esfuerzo de tensión principal de 4 V/c en el centroide del miem bro o en la i ntersecci ón del pat ín y el alma cuando el eje centroida l está en el patín. Para miembros con una fuerza pretensora efectiva no menor que el 40% de la resistencia a la tensión del refuerzo por flexión, se permite una alternativa con relación al empleo de las ecuaciones (5.14) y (5.15). La fuerza cortante Vc pue de tomarse igual a K =
(O.ÓVTI + 700 V ^ \ bwd
(5.17)
En esta ecuación, Vu y Mu son el cortante y el momento factorizados debidos a todas las cargas, en la sección considerada, y la cantidad Vud/Mu no debe consi derarse mayor que 1.0. Sj_se emplea la ecuación (5.17), Vc no necesita ser con siderado menor que 2 \ff
C. Area requerida de refuerzo en el alma
Cuando se emplea el refuerzo por cortante perpendicular al eje del miembro, su contribución a la resistencia al corte es
tal como se derivó en la sección 5.4, pero el valor de Vs no debe tomarse mayor que 8 \ / f cbwd. La resistencia total nominal al cortante Vn se halla sumando las contribu ciones del acero y del concreto: ■f K =
.) / ./ -
7
- K
Pura el caso límite de la inecuación (5.12) y mediante la ecuación (5.13): k
=
vn
(5.19)
230
Cortante y torsión
Criterio de diseño por cortante del ACI
de la cual
y
+ v)j
Vu = ([>
(K - 4>K)s
(5.21)
fyd
Normal mente, en los casos práctico s de dis eño, el ingeniero escogerá un ta maño tentativo de estribo, para el cual se halla el espaciamiento requerido. Así pues, una forma más conveniente de la ecuación ( 5.21) es: Ayfyd K -
'dp fpu s
(5.20)
El área requerida para la sección transversal de un estribo, A v, puede calcularse mediante una adecuada trasposición de términos en la ecuación (5.20)
(5.22)
K
Refuer zo mínim o en el alma
r; ' "-v i.. ,„ W I En todos los miembros de concreto presforzado se debe de proporcionar por lo menos una cierta área mínima de refuerzo por cortan te, cuando la fuerza cortan te factorizada total Vu es mayor que la mitad de la resistencia al cortante 8 Vc proveniente del concret o. Sin embargo, basándose en su exitoso com portam iento, se exceptúan de este requerimiento los siguientes tipos de miembros: 1. Losas y zapatas. . Construcciones de viguetas de concreto (influyen a miembros nervados tales como trabes doble T). 3. Trabes con un peralte total no mayor que el más grande délos siguientes valores: pulgs., veces el espesor del patín, del espesor del alma. 2
1 0
2
1 / 2
i d
(5.24)
8Ò j y d ^ K
en la cual A p es el área de la sección transversal del acero de presfuerzo,/y es el esfuerzo de fluencia del acero del estribo, y f pu es la resistencia última de tensión del acero de presfuerzo. Todos los demás términos se han definido anteriormente. La ecuación (5.23) por lo general requerirá un mayor refuerzo mínimo de ucero en el alma que la ecuación (5.24); de forma que la última ecuación es la que rige generalmente el diseño. Sin embargo, solamente puede ser aplicada si la fuerza pretens ora efect iva no es menor que el 40 % de la resistencia a la tensión del refuerzo tensado. El Código ACI contiene también ciertas restricciones para el espaciamiento máximo del refuerzo del alma, para asegurarse que cualquier grieta diagonal po tencial será atravesada por lo menos por una mínima cantidad del acero del alma. Para miembros presforzados, este espaciamiento máximo no debe exceder el me nor de los siguientes valores: . o 24 pulg. Si el valor de Vs sobrepasa 4 \/ fJ b wd, estos límites se reducen a la mitad. 0
Si el espaciamiento hallado para el tamaño tentativo de estribo resulta muy estre cho para una colocación económica o práctica, o si resultara tan grande que los requisitos para espaciamiento máximo rigen el diseño para una parte muy grande del claro de la trabe, entonces se selecciona un nuevo tamaño de varilla y se repi ten los cálculos.
D.
231
75/2
E. Concreto ligero
Los concretos con agregado ligero se están empleando con creciente frecuencia en miembros presforzados. Aun cuando las disposiciones para el diseño por cor tante del Código ACI que se acaban de sintetizar atañen a los miembros de con creto con peso normal, se pueden aplicar a aquellos construidos con concreto ligero con las siguientes modificaciones: a. Cuando se especifique la resistencia cilindrica a la cuarte adura f ct para el concreto ligero, las disposiciones para Vc deberán de modificarse sus tituyendo/cí/ .7 por v ^ p e r o el valor de f c¿6 .7 no deberá exceder 6
y / C
^
b. Cuando no se especifica f ct , todo s los valores de V /c que afectan Vc y Mcr deberán multiplicarse por 0.75 páralos concretos con agregados li geros y por 0.85 para los concretos con agregados ligeros y arena normal.
1 / 2
El área mínima que debe de proporcionarse como refuerzo para el cortante para todo s los demás Casos debe ser igual al menor de los siguientes valores b„s
F. Anclaje del acero del alma
El refuerzo del alma debe de llevarse tan cerca de las superficies de tensión y compresión del miembro comolo permitan los requisitos de recubrimiento y la proximid ad de algún otro refuerzo. De acuerd o con el Código, los estribos deben extenderse una distancia d desdé la cara extrema en compresión y deben de an
232
Criterio de diseño por cortante del ACI
Cortante y torsión
a. Un gancho estándar más un anclaje efectivo de 0.5ld . El anclaje de 0.5/d de una pierna del estribo debe de tomarse como la distancia entre el pun to medio del per alte del m iembro , d / , y el inicio del gancho (punto 2
de tangencia). b. Anclaje por arriba o por debajo del pun to medio del pe ralte, d/2, de la trabe del lado de compresión desarrollando toda la longitud ld pero no menos que 24 veces el diámetro de la varilla, o pulg. para varillas o alambres corrugados. c. Para varillas del No. 5 y alambres D31 y menore s, el doblad o alrededor del refuerzo longitudinal en po r lo menos 135 grados, más, para estribos con esfuerzos de diseño que excedan 40,00 0 lb/pulg2 , un anclaje efecti vo de 0.33 ld . El anclaje de 0.33/d de una pi erna del estribo debe de tomarse como la distancia entre el punto medio del peralte del miembro, d/2, y el inicio del gancho (punto de tangencia). 1 2
233
Se han estandarizado las dimensiones de los ganchos, y para los estribos ésse muestran en la figura 5.13. Para tal refuerzo, el mínimo diámetro interior del doblez no debe ser menor que 4 veces el diámetro, para varillas del No. 5 y menores, y no menor que veces el diámetro, para varillas hasta del No. . I hs
6
8
Q. Diseño en la prácti ca
Resulta claro que en el diseño del refuerzo del alma llega a haber ciertas compli caciones, aun en los casos ordinarios. Estos es particularmente cierto si Vc está busado en el méto do más refinado usand o las ec uacion es ( 5.1 4) y ( 5.1 5) para Vd y V cw, respectivamente, debido a que muchos de los parámetros de aquellas oeunciones varían dependiendo de la ubicación a lo largo del claro. El uso de un programa de com puta dora facilita rá consid erabl emen te los c álculos del espacialiilcnto requerido para los estribos.
La longitud básica de desarrollo ld debe de considerarse igual a /„ =
0.04 Abf y
(5.25a)
4T c
pero no m enor que /„ = 0.0004dbf y
(5.25b)
donde A b db
= Area de la sección transversal de la varilla, pulg m Diámetro de la varilla, pulg.
2
Pitra concreto» con agregados ligeros esta longitud es aumentada en 3 3%, mientras que per« los concretos con agregados ligeros y arena normal, el incremento es el 18%. 6rf4 > 2 l
pu lg
Figura 5.14 Bases para el diseño de estribos de una viga cargada uniformem ente.
Alternativamente, puede resultar ventajoso determinar los requisitos de «cero en el alma graficando lavariación de los cortantes aplicados y resistentes a lo largo del claro, tal com o se inuestra en la figura 5.14 para un miembro ca rgado uniformemente. El exceso en cortante puede establecerse rápidamente para cual quier ubicación con tal diagrama, y se puede seleccionar una colocación práctica de los estribos. Para la posición de los estribos, por lo general se seleccionan 3 ó 4 cspaciamientos constantes para aproximar al requerimiento de variación conti
Ejemplo de diseño del refuerzo 235
234 Cortante y torsión
5.6 EJEMPLO: DISEÑO DEL
ALMA POR CORTANTE >■ nMt ■ : La trabe I asimétrica de la figura 5.15 d*be »«portar una carga muerta sobrepues ta de 345 lb/pie y una carga viva de servicio de 1220 lb/pie en forma adicional a su peso propio de 255 lb/pie. Debe fabricarlo con concreto de = 5000 lb/pulg 2 y se presfuerza usando tendones de alambres múltiples con fpu - 275,000 lb/pulg 2 con una fuerza efectiva Pg =>288 kllollbras. Hállese el espaciamiento re querido para los estribos verticales en U en un punto a 1 0 pies del apoyo izquier do, si f y para el estribo de acero es 40,000 lb/pulg2 (wQ = 3.72 kN/m, wd = 5.03 kN/m, w¡ = 17.8 kN /m ,/c'= 35 N/mni’ ./p,, = 1896 N/mm2, / y = 276 N/mm2, Pe = 1281 kN, y la sección a x = 3.05 m). H— 18— H REFUERZO DEL
El momento por peso propio y el cortante en x — 10 pies son, respectivamente M0 = ^ í ( / - x ) 0.255 x 10 -(45 - 10) = 45 ft-kilolibra/pie (61 kN-m) K = w„ | - - x
0.255 | y - 10
1
del apoyo
5J Q
rU
13.1
= 3.19 kilolobras (14.19 kN)
13.1"
Centroide
El momento M0 produc e un esfuerzo de tensión en la parte inferior de la viga igual a
-J . __
del concreto 5 —>
del claro
T
29
--------
24.5"
15.9
■m,
5^
-------- - 1 0 '-15'-
T
M 0c 2
fo =
Centroide de los !tendones
_ 45,000 x 12 x 15.9 24,200
A p = 1 .7 5 P u l9 -‘
h-12-H
L
-22.5-
= 355 lb/pulg . 2 Figura 5.15 Ejemplo de diseño por cortante, (a) Sección transversal. ( 6 ) Perfil. Entonces, de la ecuación (5.5) Puede establecerse fácilmente que las propiedades de la sección transversal de concreto sin agrietar son: I r = 2 4,200 pulg , Ac :245 pulg.2, y r 2 = 9 9 pulg¿ (10.1 X 10 9 mm4 , 158 X 10 3 m m2, y 64 X 103 mm2). La profundidad d del tendón en la parte central del claro es 24.5 pulg. y la excentricidad e — 11.4 pulg. Desde una distancia de 15 pies del apoyo, la excen tricidad comienza a reducirse linealmente hasta cero en los apoyos. Así pues, la excentricidad en la sección de interés es 10 e = 11.4 x — = 7.6 pulg. (193 mm)
La profundidad d correspondiente es 13.1 + 7.6 = 20.7 pulg. De acuerdo con el Código, la profundidad efectiva para los cálculos de cortante se lupondrá igual a 0.8 X 29 = 23.2 pulg. (589 ■‘ mm). 'atijBi i ‘ Con la ayuda de las ecuaciones (5.14) y (5.5) se halla la resistencia nominal al cortante para agrietamiento por flexión-cortante. Para la sección dada, el es fuerzo en el concreto en la cara inferior debido solamente al presfuer/.o es: h2 |i
Pe 1
+■
288,000 / 7.6 x 15.» 99 'H 245 I ' +
I.
£ (6y lñ + h t - f ú
24,200 ,-------1 = — ---- (6^5000 + 2600 - 355) ------ 15.9 v 12,000 = 339 kilolibra/pie(460 kN-m) El cortante y el momento en la sección a 10 pies del apoyo, provenientes de la carga muerta sobrepuesta de 345 lb/pie y de la carga viva de 1220 lb/pie, son respectivamente V¡
1.565 f y - 10 = 19.56 kilolibra/pie
i
Mi
sjmj¡¡
1.565 x 10 i
M '
2
(45 - 10)
236
Torsió n en estructuras do concreto
Cortante y torsión
\/50 00 X 5 X 23.2 = 27.9 kilolibras de manera que rigen las limitaciones norma les de espaciamiento. En forma tentativa, se seleccionan estribos en U del No. 3, proporciona ndo un área por estribo de A v = 2 X 0.11 = 0.22 pulg2. De la ecuación (5.22)
Así, de la ecuación (5.14) el valor de Vci es K¡ =
237
o.6s/7^fewrf + K + 1máx
= 0.6S/5000 x 5 x 23.2 + 3190 +
¿vfyd
x 339,000
274,ÜOU
K - K
= 32,310 Ib (144 kN) ~ Nótese que el l ímit e infer ior 1.7\/50ÓÓ X 5 X 23.2 = 13,940 Ib no es el que rige el diseño aquí. La resistencia nominal al cortante para agrietamiento por cortante en el alma se halla de la ecuación (5.15). Con Pe = 288 kilolibras, el esfuerzo centroidal en el concreto es Scc
=
288,000 = 1170 lb/pulg 245
0.85 x 0.22 x 40,000 x 23.2 8970
= 19.3 pulg. (490 mm) Revisando el área mínima de acero en el alma mediante las ecuaciones (5.23) y (5.24):
2
J
La componen te vertical de la fuerza pretensora efectiva es V„ =
288 x
= 0.00625s
11.4 15 x 12
y
= 18.24 kilolibras
/Z
A = ^ l ^ ' 80 f y d V bw
Entonces, de la ecuación (5.15)
1.75 275 s [232 “ lo X 40"212 y - 5~~
_
K„ =
(3.5 y/ ñ + 0.3 fcc)bwd + Vp = (3.5^/5000 + 0.3 x 1170) x 5 x 23.2 + 18,240 = 87,660 Ib (390 kN)
En el presente caso, el agrietamiento por flexió n-cortante rige el diseño, y Vc = Vc¡ =
5 - ^ ) s
\ 40,000 J
32,310 Ib = 32.31 kilolibras (144 kN)
= 0.01396s El menor de los dos requerimientos es el que rige, y para estribos del No. 3 con = 0 2 2 pulg el máximo espaciamiento es s = 35 pulg. Adicionalmente, el máximo espaciamiento no debe sobrepasar el menor de los siguientes valores 24 pulg., ó .75 X 29 = 2 2 pulg. El requerim iento calculado de s = 19.3 pulg. rige en cualquier caso. Este se redondeará a i = 18 pulg., por razones prácticas.
Av
.2
0
La fuerza cortante total en * = 10 pies bajo cargas factorizadas es 6.7
Vu =
[1.4(0.255 + 0.345) + 1.7 x 1.220] 12.5 = 36.43 kilolibra s (162 kN)
Luego el exceso en cortante, ( Vu —6 Vc)=z 0 V s = 36.43 —0-8ÉX 32.31 —8.97 kilolibras, se encuentra bien por debajo del límite superior de X 0,85 X v5 00 0 8
TORSION EN ESTRU CTUR AS DE CONCR ETO
Los miembros de concreto reforzado o presforzado pueden estar sujetos a mo mentos torsionantes, los cuales provocan la rotación del miembro alrededor de su eje longitudinal. Mientras que tales momentos torsionantes pueden actuar ais ladamente, más frecuentemente actúan juntamente con momentos de flexión y
238
Torsión en estructuras de concreto
Cortante y torsión
Durante muchos afios, los diseñadores de las estructuras de concreto se han inclinado a considerar la torsión como un efecto secundario, confiando en la ca pacidad que ti ene una estruct ura t ípic a indeterm inada pa ra redistri buir las fuerzas internas hasta que se encuentra un estado alternativo de equilibrio. Un ejemplo B
I
239
El puente con sección de cajón de la figura 5.176, al sufrir la carga de una línea de tráfico tal como se indica mediante el área sombreada, experimentará esfuerzos torsionantes que constituyen una parte dominante del diseño. Otros ejemplos pueden encontrarse fácilmente, tales como las escaleras helicoidales y las vigas curvas. Los ingenieros se encontrarán con muchos de tales problemas de diseño en los cuales la tor sión es la carga primaria. El comportamiento de las estructuras de concreto que soportan torsión o una carga combinada no se conoce completamente. La investigación en los años recientes ha aclarado mucho este comportamiento, sin embargo las recomendaciones actuales se encuentran basadas en gran medida en las observaciones de las pruebas, no en la t eoría . Los requerim ientos específicos que rigen el diseño de los miembros de concreto reforzado sujetos a torsión y a cargas combinadas se incluyeron por primera vez en el Código del ACI de 1971. Estos se han incluido sin cambios esenciales en el Código actual de 1977.
Figura 5.16 Viga de fachada sujeta a torsión.
frecuen te se halla en el diseño de trabes de fachada las. cuales soportan el borde de un piso monolítico, tal como se muestra en la figura 5.16. Una carga distribuida que se aplique en el piso produce los momentos torsionantes m t, aplicados más o menos uniformemente a lo largo del eje de la viga. Estos son equilibrados mediante pares resistentes Mt proporcionados por las columnas del edificio en A y B. Las secciones transversales de la viga cerca del centro del claro tienden a rotar con respecto a las secciones correspondientes cercanas a las columnas, tal como se muestra. Si no se presta especial atención a la torsión en el diseño de las vigas de fachada y su refuerzo, es probable la ocurrencia de agrietamiento torsional, lo cual reduce su rigidez y su capacidad para proporcionar restricción en el borde para la losa. Si la losa es reforzada adecuadamente, en la mayoría de los casos no se prese ntará ninguna di ficultad. Mientras que de esta manera las estructuras indeterminadas procuran acomodarse a las suposiciones hechas por el diseñador, resul ta arriesgado tratar de exp lota r esto en gran escala. La redist ribució n en algunos casos puede estar acompañ ada p or un excesivo agrietamient o y grandes deflexiones . En otros casos, la ductilidad requerida puede no estar presente. Más aún, en muchos tipos de estructuras, la torsión es una condición primaria de diseño. Por ejemplo, la viga de la figura 5.17a soporta una losa en voladizo, y debe poseer una resistencia, torsionante adecuada para soportar la carga.
Figura 5.17 Miembros a torsión, (a) Losa en valadizo. (6) Viga de puen te de sección en cajón. I
Diseño por torsión del concre to presforzado 241
240 Cortante y torsión
Las disposiciones del Código no Incluyen a loa miembros de concreto presforzado sujetos a torsión. Sin embargo, parece que un método similar al usado en concreto reforzado es aplicable, y se lian propuesto recomendaciones tentativas (consúltese la referencia 5.10). El método que «e resumirá en los ar tículos si guientes, combina la teoría con la observación experimental, en la consecución de un método práctico de diseño. Sin embargo, el material presentado debe con siderarse como tentativo, sujeto a revisión a medida en que se disponga de nueva información.
T
5.8 DISEÑO POR TORSION DEL CONCRETO PRESFORZA DO En el estudio del comportamiento de miembros de concreto presforzado sujetos a cargas que combinan la torisón, la flexión, y el esfuerzo cortante, resulta nece sario primero estudiar los efectos de la torsión actuando sola. Para simplificar, el tema se presentará con relación a miembros rectangulares, pero las conclusiones son aplicables a formas más complicadas con modificaciones muy leves, tal como se discutirá posteriormente.
(«>
ib)
Figura 5.19 Agrietam iento por torsión de una viga sin refuerzo en el alma, (a) l?ulla por flexión asimétrica, (ó) Modelo de falla idealizado.
A. Torsión en vigas sin refuerzo en el alma I.a figura 5.1 8a muestra una porción de un miembro prismático sin fuerza pretcnsora, con pares iguales y opuestos T actuando en cada extremo. Si el material es elástico, la teoría de la torsión de St. Venant indica que los esfuerzos de corte lorsionantes se distribuyen en la sección transversal tal como se muestra medían le las líneas llenas de la figura 5.18¿>. El más grande de los esfuerzos de corte ocurren en el punto medio de las caras anchas y es igual a ib)
Figura 5.18 Esfuerzos causados por la torsión.
242
Diseño por torsión del concreto presforzado
Cortante y torsión
donde r¡ es un coeficiente que depende de la forma de la sección transversal, y
x e y son, respect ivamente, los lados corto y largo. Si el material es inelástico, la distribución de esfuerzos es similar, tal como se muestra mediante las líneas dis continuas, y el máximo esfuerzo cortante estará aún dado mediante la ecuación (5.26), excepto que adopt a un valor diferente. 77
Los esfuerzos cortantes actúan por pares en un elemento de o cerca de la superficie ancha, tal como se muestra en la figura 5.18a. Puede demostrarse fá cilmente que este estado de esfuerzos corresponde exactamente a un estado pro ducido mediante esfuerzos iguales de tensión y compresión aplicados sobre las caras de un elemento a 45 grados con la dirección del cortante. Cuando los esfuerzos de tensión diagonal sobrepasan la resistencia a la ten sión del concreto, se forma una grieta en alguna sección accidentalmente más débil y se propaga inmediatamente a través de la viga tal como se muestra en la figura 5.19a. Las pruebas confirman que la grieta forma ángulos de 45 grados en la cara cercana, y que las extensiones de la grieta en las dos caras más estrechas forman también ángulos de 45 grados con el eje del miembro. La línea de falla en la cara más alejada conecta las grietas con las caras cortas, estableciendo una superficie de falla alabeada. Para los fines del análisis, esta superficie puede remplazarse mediante una sección plana incl inada 45 grados con el eje tal como se muest ra en la figura 5.19 b. El par T aplicado puede descomponerse en una componente Tb que produce flexión alrededor del eje a-a del plano de falla, y una componente Tt que produ ce torced ura. Las pruebas indican que la falla está asociada con la componen te de flexión, no con la de torcimiento. El módulo de sección del plano de falla alrededor de a-a es
Si f t fuera el único esfuerzo actuando, el agrietamiento ocurriría cuando f t llegue a igualar a / ’r, el módulo de ruptura del concreto, generalmente tomado como 7.5 \/J J. Sin embargo, formando ángulos rectos con la tensión, existe igual compresión. Esto conduce a una reducción en la resistencia a la tensión de más o menos 15% (ver sección 2.10). En consecuencia, se forma una grieta y el miem bro sin reforzar falla c uando / , = 6 V/c'- De esta forma el par de falla Tcr para una viga sin presforzar y sin acero de refuerzo en el alma (o el par de agrieta miento de una viga con refuerzo en el alma) puede predecirse de la ecuación
Tcr = 6 s Í T X W y )
(5.28)
Para miembros de concreto presfo rzado sin acero en el alma, es válido un procedimiento similar. La falla se alcanza cuando el esfuerzo principal de tensión máximo, debido a la acción combinada de la torsión y la compresión, alcanza la resistencia directa a la tensión del concreto, la cual para los fines presentes es lomada igual a 0.10 / c'. Bajo estas bases se demuestra en la obra referid a en 5.9 que el par de agrietamiento de una viga presforzada viene dado por la ecuación
T'cr = 6 y /f csj \ 4- 10 f j f ' c(r\x2y)
(5.29)
o T c’ r = Tcr V i + 10 f j f ó , donde f cc es el presfuerzo longitudinal promedio PJ AC. La ecuación (5.29) permite la evaluación experimental del factor de forma
r¡ basado en el par de agrietamiento medido. De las pruebas de 218 vigas rectan gulares presforzadas, con excentricidad variable del presfuerzo (véase referencia 5.10), parece ser que un límite inferior razonablemente conservador para el fac tor de forma r¡ viene dado por
6 señ45 y el esfuerzo máximo de tensión resultante de la componente de momento Tb es,
0.35 0.75 + (xjy)
T b 6 T sen 45 eos 45 f = Z = Vy La cual simplificada resulta en
T '~ W y
243
(5.27)
Puede verse que el esfuerzo de tensión calculado mediante esta teoría de flexión asimétrica es idéntico que el esfuerzo de corte de Si. Venant de la ecuación (5.26) con 77 = 1/3.
(5.30)
Para secciones con patines, la resistencia torsionante puede tomarse con servadoramente como la suma de las resistencias torsionant es del alma y de los patines. Consecu entem ente, el térmi no px 2y en la ecuación (5.29) es reempla zado por 'Zpx2y, donde x e y son, res pectivame nte, las dimensiones menor y mayor de cada uno de los componentes rectangulares. Las secciones T y L pue den subdividirse en forma tal de maximizar Hp x2y . El ancho efectivo de los patines no debe considerarse ma yor que 3 veces el espesor del p atín . Basándose en un número.limitado de pruebas, parece ser que el método del Código ACI para secciones cajón no presforzadas se aplica también a las seccio nes cajón presforzada s (véase la referencia 5.8). Para tales miembros con espesores de paredes h no menores que;x,/4, donde x es el ancho total de la sección cajón,
244
Cortante y torsión
la resistencia torsiona nte puede considerarse .como si se tratara de una sección rectangular sólida con las mismas dimensiones totales. Si el espesor h de la pared es menor que x/ 4 pero mayor que jc/ 10, la resistencia torsionante de la sección cajón se reduce mediante el factor 4 h /x del segundo miembro de la ecuación (5.29).
B. Torsión en vigas con refuerzo en el alma
Para incrementar la resistencia a la torsión, tanto en vigas no presforzadas como en vigas presforzadas, se proporciona esfuerzo consistente en estribos cerrados es trechamente espaciados y varillas longitudinales. Aun cuando el miembro se encuentre reforzado de esta manera adecuadamente, tal como se indica en la fi gura 5 .20, el conc reto se agrietará al alcanzar un pari gual o solamente algo mayor que el requerido por un miembro sin reforzar. Sólo hasta después del agrieta miento el refuerzo llega a ser efectivo. Las grietas adoptan una configuración en espiral, tal como se muestra para.una simple grieta en la figura 5.19a. Realmente se desarrolla un gran número de tales grietas estrechamente espaciadas.
Diseño por torsión del concreto presforzado 245
to (sombreada) y las fuerzas horizontales y verticales S h y S v en los estribos, correspondientes a todos aquellos que intersectan la superficie de falla, excepto los que se encuentran en la zona a compresión. En la obra referida en 5.11 se demuestra que la contribución total al par proveniente del acero de refue rzo está dada por la expresión r r , ____x i L i
, f
* S
A j J y
OCf
donde s = A t = f y =
separación de los estribos a lo largo del eje del miembro, pulg. área de la sección transversal de una pierna del estribo, pulg2. resistencia a la fluencia del acero del estribo, lb/pulg 2.
■<— x — >
M
Y ~ | t k l I C — -g ZZ TL — L - ----v Estribos cerrados Varillas longitudinales
!
|
+
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i
i
3'i
y
I u i i i
li _____ V
vi . ----- •)
<«>
w
Figura 5.20 Refuerzo por torsión, (a) Sección rectangular. ( b ) Sección con pati nes.
Después del agrietamiento, la resistencia torsionante del concreto en un miembro sin presforzar disminuye a más o menos la mitad de la del miembro sin
agrietar, siendo la restante resistida mediante el ¡refuerzo. La falla ocurre por la flexión asimétrica. El acero de los estribos puede o no encontrarse esforzado hasta su resistencia de fluencia, dependiendo de la localización de la grieta y de la orientación de la pierna del estribo. La resistencia torsionante de un miembro no presforzado puede analizarse considerando el equilibrio de las fuerzas internas que se transmiten a través de la superficie potencial de falla mostrada en la figura 5.21. Esta muestra la super ficie parcialmente agrietada de falla, incluyendo la zona a compresión del concre-
y el coeficiente a t toma en cuenta la geometría de la grieta, el esfuerzo del es tribo durante la falla, y otros parámetros. Este coeficiente ha sido establecido empíricamente como
Diseño por torsión del concreto presforzado 247 246
Cortante y torsión
no debiendo sobrepasar 1.5. Para los miembros no presforzados, después del agrietamiento, el par Tc r e sistido po r el concreto se reduce a más o menos la mitad del par de agrietamiento. Tomand o conservadoramente para la relación entre ambos igual al 40%, se obtie ne de la ecuación (5.28) que (5.32)
0.4(ix2>)6v7c
La resistencia total nominal a la torsión para un miembro no presforzado es en tonces T 1 s 1 n — T1 c +* T
n a s jrfñc -x j2y x i>’i A Jf y 2-4 - +. ce, — a
(5.33)
Este par sólo podrá desarrollarse si los estribos se encuentran lo suficientemente próxi mos entr e sí como para que cualq uier superficie de falla interse cte un nú mero adecuado de estribos. La función de las varillas longitudinales de refuerzo aún no se ha entendido por com pleto , pero se h a dem ostra do media nte prueb as que Tn puede desarro llarse sólo si se proporciona tal refuerzo. Probablemente sus principales funciones son (1) anclar los estribos, particularmente en las esquinas, lo cual les permite de sarrollar la totalidad de su resistencia a la fluencia, y (2) proporcionar ellos mis mos por lo menos alguna resistencia a la torsión mediante el efecto de su anclaje en las secciones én que cruzan la superficie de falla. Es costumbre diseñar miem bros torsi onan tes de ta l for ma q ue el volumen del acero longi tudin al iguale al del refuerzo transversal. Es fácil comprob ar que si esto es así, el área tota l del refuer zo longitudinal es A, = 2/4,
x, + y,
(5.34)
Figura 5.22 Par último para miembros de concreto reforzados y presforzados (véase publicación referida en 5.10).
que produce el agrietamiento Tcr. La resistencia reducida se toma igual al 40% del par de agriet amien to, tal como se señaló ante riorm ente , según la prá ctica actual del diseño. . De manera similar, para miembros presforzado s, la resistencia del concreto después del agrietamiento es sólo una fracción, aunque una fracción mayor, del pur que prod uce el agrie tamie nto. Con secu ente men te, pa ra un miem bro pre sfor z a d o , e l par ú ltimo se puede expres ar com o
m
Para los miembros presforzados sujetos a torsión, un número limitado de prue bas dem uestr a que la resistencia torsi ona nte última se puede expres ar com o la suma de las contribuciones para la resistencia del concreto y del refuerzo del alma, justamente igual que para los miembros no presforzados. El efecto del presfu erzo es incr emen tar la con trib ució n del co ncret o a la resistencia últim a t or sionante, en tanto que la constribución del refuerzo permanece invariable.
»
. m>
7
■ i i íí w t
T„ = T c + T s
ó
1 71 = r ; + x, - 1-?1- A j y S
donde los términos de T, son-exactamente tal como se les definió anteriormente para miem bros no presforza dos, y Tt! es la resistencia torsionante del concreto
248
Torsión más cortante
Cortante y torsión
Se ha propuesto en la publicación referida en 5.8 que la reducción del par del concreto, después del agrietamiento, para vigas de concreto presforzado se tome igual que aquella reducción para el miembro no presforzado equivalente después de su agrietamiento. Esto se ilustra en la figura 5.22. De la ecuación (5.32) la resistencia torsionante, después del agrietamiento, de una viga sin presforzar es
pares de torsión produce n esfuerzos cortant es. Por lo tan to, debe preveerse que la aplicación simultánea de las fuerzas cortantes y los pares de torsión producirá una interacción que reducirá la resistencia del miembro en comparación con la que tendría si el cortante y la torsión actuaran independientemente.
A, Cargas combinadas en vigas sin refuerzo en el alma
Tc = 0.133(x2y)6v7T
Así, con referencia a la figura 5.22 T'c = T CJ 1 + 10 f j f ' c - (T cr - Tc) Ó
+ 10 f j f ' c - k)
T'c = (t]x2y)6
249
(5.35)
donde k = { 1 - T J T cr) = (10.133///).
Entonces el par nominal resistente total Tn para un miembro rectangular presforzado , con refuerzo en el alma es T n = T ' c + Ts
Aún no se han establecido teorías satisfactorias de esta completa interacción, de manera que se tiene que confiar en la evidencia experimental disponible (véanse publicaciones re feridas en 5.10, 5.12 y 5.13). Las recomendaciones deben consi derarse como tentativas. Las pruebas han demostrado que la interacción entre la torsión y el cortante para vigas presforzadas sin refuerzo en el alma pueden repres entarse adecuada men te mediante una curva circular. Sean Vcr y Tcr el cortante y el par de agrieta miento del miembro presforzado cuando se encuentra sujeto, respectivamente, a corte por flexión o solamente torsión, calculados de acuerdo con los métodos de las secciones 5.3 y 5.8.* Se recordará que, para propósitos prácticos, la falla ocu rre a estos mismos valores casi inmediatamente después del agrietamiento, de manera que, para miembros sin refuerzo en el alma, Vcr y Tcr representan ade cuadamente sus resistencias últimas en los dos modos. Más aún, sean Vn y Tn , respectivamente, las capacidades al cortante y a la torsión bajo cargas combina das, esto es, cuando el miembro se encuentra simultáneamente sujeto a cortante por flexión y torsión. Los resultados que se di sponen de las pruebas se pue den representar razonablemente bien mediante la ecuación de interacción circular
ó T„ = ( t]x2y) 6 % / f ' c(yJ 1 + 10 f j f ' c - k ) + at ^
s
A j y
(5.36)
La expresión equivalente para una sección con patines se obtiene sustitu yendo Erjx2y por r]x2y en la ecuación (5.36) . Para tales casos, el valor de k pue de determinarse basándose en el más grande de los rectángulos compone ntes, j Para una sección cajón, se puede aplicar el factor de reducción 4 h/ x dentro de los límites anteriormente indicados. ff l 5.9 TORSION MAS CORTAN TE £,
M
mL M
■'
rf l . 1
Se indicó en la sección 5.7 que los miembros d e’concre to diseñados para sopor- j tar ú nicament e torsión son poco frecuente s. Es «nicho más común que la viga >
donde Vn Tn Vcr
= fuerza corta nte en la falla bajo carga combinada = momento torsionante en la falla bajo carga combinada = el menor de los valores de Vci y Vcw calculados de acuerdo con la sección 5.3
Tcr
= 6 V 7 IV 1 + W J f X ^ y
Una representación gráfica de esta ecuación se muestra en la figura 5.23. Se puede ver que esta curva de interacción es algo favorable, es decir, los dos mo-
250
Torsión más cortante
Cortante y torsión
dos no se interfieren grandemente entre sí. Por ejemplo, si un miembro soporta un par 7’cr/2, o sea, la mitad de su capacidad a la torsión pura, la curva muestra que simultáneamente puede soportar más o menos 0.85 Vcr, o sea solamente un 15% menos que el que podría soportar de no existir torsión por completo. Después de efectuar las transferencias algebraicas adecuadas, la ecuación (5.37) se transforma en
251
B. Cargas combinadas en vigas con refuerzo en el alma
Mientras que la verificación experim ental es escasa, cuando se diseñen miembros con refuerzo en el alma sujetos a cargas combinadas, parece razonable proceder siguiendo el mismo método general que se estableció para los miembros sin re fuerzo en el alma. Quedando pendiente una investigación más completa, tanto experimental com o ana lítico, se harán las siguientes suposiciones: 1. En miembros con estribos, la parte de la torsión total que soporta el concreto se determina empleando el mismo tipo de ecuación de inte r acción que se empleó para miembros sin estribos; es decir, es aplicable una ley de interacción circular. 2. En los miembros sujetos a carga combinada, para soportar el exceso de torsión, arriba de quella que resiste el concreto, se proporcionará la mis ma cantidad de refuerzo que para los miembros que solamente están sujetos a torsión. Este refuerzo por torsión debe de ser agregado al que requiere el miembro para soportar los momentos de flexión y los cor tantes por flexión. Bajo la primera suposición y haciendo referencia a las ecuaciones (5.38) y (5.39), las ecuaciones de interacción para el cortante y la torsión nominales que soporta el concreto , en vigas con refuerzo en el alma, son
rz* -
*
c
V i + ÍP TJK )2
J*
C Figura 5.23 Curva de interacción para co rtante po r flexión combinado con tor sión.
M
'
l
Los términos en los numeradores de las ecuaciones^ .38) y (5.39) son los esfuer zos de agrietamiento por cortante y torsión, respectivamente, si es que el cortan te o la torsión actúan independientemente. Los factores en los denominadores de estas ecuaciones tomanen cuenta la interacción entre la torsión y el cortante. Nótese además que, en tan to que las incógnita s Vn y Tn aparecen en el se gundo miembro de estas dos ecuaciones, no es necesario conocer sus valores al inicio de los cálc ulos ,íino solamente la relación ent, c ellas para la sección de in terés, TnfV n, o en encaso del diseño, lafual es constante y conocida
(5.41)
.
(5.42)
J \ + ( K ¡ p T n}1 üífeí.
hl>
donde
V* T* Vc
i 1 í .jymu 1 = fuerza cortante soportada por el concreto bajo cargas combinadas = fuerza torsionante soportada p or el concreto bajo cargas combinadas = el menor de los siguientes valores Vci y Vcw calculados según la sección 5.3 f
Torsión más cortante 252
253
Cortante y torsión
C.
k = 1 - 0 .1 3 3 ¡n
0,35 n ~ 0.75 4- x/y E1 fundamento de las ecuaciones (5.41) y (5.42) se encuentra en la publicación referida en 5.10. De la segunda de las suposiciones de arriba, si el par Tu realmente aplicado al miembro es mayor que el que soporta el concreto, entonces debe de proveerse refuerzo para soportar el exceso. La ecuación (5.36) puede reconstruirse para aplicarla al caso de los esfuerzos combinados, obteniéndose T„ = T* + at ^
s
A ,fy
(5.43)
donde T^está dado por la ecuación (5.42). Para el caso del diseño, estableciendo Tn = Tu bajo cargas factorizadas, y trasponiendo términos se obtiene
Refuerzo en el alma máximo y mínimo .
Para evitar una falla frágil después del agrietamiento, debe proporcionarse una mínima cantidad de refuerzo en el alma en los miembros sujetos a esfuerzos combinados. Las pruebas reportadas en la publicación referida en 5.10 indican que el mínimo refuerzo requerido en el alma por el Código ACI para cortante de bido a flexión es insufi ciente como para asegurar la ductilidad de las vigas con elevadas relaciones de torsión a cortante. Consecuentemente, se recomienda que una viga debe reforzarse para soportar un par no menor que el de agrietamiento. También debe considerarse la posibilidad de que un sobrerefuerzo en el miembro puede ocasionar que éste presente una falla súbita por compresión en el concreto antes de que se produzca la fluencia en el acero de los estribos. Para eludir este tipo de falla, debe establecerse un límite superior para el refuerzo en el alma mediante la especificación de un máximo par nominal Tu máx. Basándo se en las pruebas disponibles, en la publicación referida en 5.8 éste se recomienda lal como sigue: 1. Para miembros sujetos únicamente a torsión: + WJf'cCLnx2y)
Tnmá =
(5.46)
donde C = 14 —13.33
(Tu — T*) = a, “ “ A ,f y
de la cual
2. Para miembros sujetos a cargas combinadas: A
~
(T u - T * ) s
(5.44)
r *tfyX\y\
Nótese que el refuerzo por torsión del alma, determ inado mediante la ecuación (5.44), debe de ser de la forma de estribos cerrados, y es adicional al que se requiere por cortante debido a flexión. Este último debe de hallarse me diante la ecuación (5.18), sustituyendo V*de la ecuación (5.41) por Vc en aque lla ecuación. Para fines de diseño, es consistente con los métodos anteriores introducir un factor de reducción de capacidad — 0.85 para la torsión en el cálculo de las resistencias nominales. Así, para el diseño,
I
i
(Tu - 4>Tf)s xM yX iy i
Á|
■ ,7 / 7 . 1
T* ' —
V * . r u,max
c'síTc
______________io j
ñ
•Œ n ^ y )
______________
' 1 + / I 0 y Í T n Y ( C'J \ V j
m
u
(M )
(5.47)
(5.48)
V I r,x2y
donde = cyi + iofjfc
c
D. Limitaciones
Para asegurar el desarrollo de la resistencia torsionante última y controlar el agrietamiento y la rigidez bajo cargas de servicio, debe limitarse el máximo es-
Ejemplo de diseño de vigas presforzadas 255
254 Cortante y torsión
de 1.20 kilolibra/pie, ambas con una exce ntricida d de 9 pulg., adicionalmente u su peso propio de 0.38 kilolibr a/pie. La viga se presfuerza con una fuerza que después de las pérdidas es P e = 300 kilolibras, con el centroide del acero a una profundidad efectiva de 24 pulg. La re sistencia especificada para el concre to a los 28 días es f ¡ . = 5000 lb/pulg2. Diseñar el refuerzo requerido por cortante y torsión, para una sección que diste h / 2 de la cara del apoyo, empleando acero de f y = 40,000 lb/pulg2. (Claro = 9.14 m, w0 = 5.5 kN/m, w d = 27.0 kN/m, w¡ = 17.5 kN/m, e = 229 mm, P e = 1334 kN, d = 618 mm ,/c'= 34 N/mm2, y f y = 276 N/mm2.) Aplicando los factores de carga usuales del ACI se obtienen las siguientes curgas factorizadas: Wj = 1.4 x 0.38 = 0.53 kilolibra/pie w2= 1.4 x 1.85 + 1.7 x 1.20 = 4.63 kilolibra/pie La fuerza cortante total y el par en la cara de los apoyos, respectivamente son Vu = T u =
5.16(30/2) = 77.4 kilolibras 4.63(9/12)(30/2) = 52.1 ki loli bra/ pie
De acuerdo con las disposiciones del Código ACI para c ortan te, la primera sección crítica se supondrá a una distancia h /2 = 1.25 pies de la cara del apoyo. Los va lores del cortante y el par en esa sección son respectivamente, 71.0 kilolibras y 47.8 kilolibra-pie tal como se muestra en la figura 5.24. Primero, de la ecuación (5.30) con x/ y = 12/30 = 0.40 fuerzo de fluencia del estribo a 60 kilolibra/pulg2. Con la finalidad de controlar adecuadamente el agrietamiento espiral, el espaciamiento máximo de los estribos por torsión no debe sobrepasar (>! + y x )/4 ó 12 pulgadas, la que sea menor. De ben pro porcionarse varillas longitudinales, bien dist ribuidas a lo largo del p erím e tro de los estribos cerrados, con un espaciamiento que no debe ser mayor que 12 pulg. Para miembros de conc reto reforzado , el Código del ACI permite despreciar el efecto de la torsión si es que los esfuerzos de corte torsionante son menores que el 25% del esfuerzo de agrietamiento. Este mismo requisito parecería ser jus tificado para vigas presforzadas. Especialmente, puede despreciarse la influencia de la torsión si T u es menor que i*. % "■ 'H T u ,m ír T
L5V/^VT
+ W J f'Á ln ^ y )
0.35 n = 0?75 + 0.40 = 0.304 r]x2y =
0.304 x 144 x 30 = 1310 pulg3
mientras que
b„cl =
12 x 24 = 288 pulg2
Con el esfuerzo en el concreto en el centroide de la sección
(5.49)
5.10 EJEMPLO: DISEÑO DE VIGAS PRESFORZAD AS PARA CARGAS COMBINADAS
La viga rectangular de 30 pies de claro mostrada en la figura 5.24 debe soportar una carga muerta sobrepues ta de 1.85 kilolibras/piel y una carga viva de servicio
fc c
P L, 300,000 = 833 lb/pulg2 Z ~ 12 x 30
= 1
de la ecuación (5.49) t Q U f'A n ^ y ) = 1.5V/-‘'°0Ó + 8336/5000(1310) —227.000 íb-pulg. = 18.9 kilolibra-pie
T u.mtn = m / f ' c J m
\ / ' 1
256
Cortante y torsión
Ejemplo de diseño de vigas presforzadas 257
La torsión nominal real de 47.8 kilolibra-pie se encuentra bastante por enci ma de este valor, lo cual confirma que la torsión debe considerarse en el diseño del miembro. Los límites superiores de la torsión y el cortante se determinan de las ecua ciones (5.47) y (5.48), respectivamente, con 14 - 13.33(833/5000) = 11.78 = 11.78v'l + 8330/5000 = 19.23
C =
________
'1
+
C y / ft
10
rpcy b^.d
T,
r 7 1 9. 23 V 7 + V 10 /
7 1.0
K
■('/-'i) Vc =
19.23 V5000 V
se empleará la ecuación aproximada (5.17):
Vc,
_______
/
= 101 kilolibra-pie >47.8 kilolibra-pie ! 0
1
5x/5000 x 288/1000 = 102 kilolibras
Entonces con (3 = >¿(102/595) = 0.086, la aplicación de la ecuación 5.42 condu ce a
/ 1310 \
W 1 3 1 0 V V i 2 0 00 /
\4 7.8 x 1 2/ i W
= ( 0 . 6 ^ + 700
pero no será m enor que 2 \ J f c b w d y no deberá exceder 5 \ / J l b w d . En este caso la limitación superior es la que rige el diseño y
C '
T » = 1 *u,max
Para el valor de
T*
T 1 c
=■ 1
4 fc b wd
+
nx2y.
Í
1
10V5Ó00 í 288 \ 10 V /47.8 x 12V /28 8 V V1000/ + 19.23 71.0 loíoi
1
______
'1
V*
1
1 --------
11
d
0.133 ~ 0.304
K
0.086 x 47.8 + 7L0
x
12
= 83.8 kilolibras i i l El acero en el alma requerido por toráión será de la forma de estribos cerrados colocados con un recubrimiento de 1 - 1/2 pulg., medido hasta el centro del acero tal como se muestra en la figura 5.24, dando x , — 9 pulg., y y i —27 pulg. De la ecuación (5.31):
* 0.563 entonces de la ecuación (5.35): í + ‘ /,,//' — k)(¡jxm) f 10
= 6 v/5000(v/r + 8330/5000 - 6.563) ( 1' i° 1 :S
595 kilolibra-pulg.
+ / L O ’ 102
4
Tc ■>
K
=-
0.133
(
595 71.0 (0.086 x 47.8 x 12
= 339 kilolibra-pulg
Se confirma que los valores máximos de las fuerzas que actúan se encuentran por debajo de los límites superiores permitidos en cada caso. En seguida se emplearán las ecuaciones de interacción para determinar la contribución de la sección del concreto para la resistencia a la torsión y a las fuerzas cortantes. Con
_
- Y
f i T j
En tanto que la ecuación (5.41) indica
150 kilolibras >71 kilolibras
:=
+
(bwd)
J :■( Vi 00 0/
1»; í;
258
Blbllo(|inlia 260
Cortante y torsión
pero n o deberá excederse 1.50, lo cual rige el diseño en este caso. El área re queri da para la sección transversal de una pierna de un estribo por torsión se halla me diante la ecuación (5.45): (Tu-
fíe selecciona un espaciamiento práctico de pulg. El refuerzo no presforzado longitudinal requerido se halla de la ecuación (5.34): 8
07?)S
A¡
X,.fyX,y\
2A,
Xi +.y i
= 2 x 0.0245(9 + 27)
(47.8 x 12 - 0.85 x 339)s f 50 x 0.80 x 40 x 9 x 27 0.0245s pul g
=
_ 1.62 pulg
.2
El máximo espaCiamiento de tales estribos no debe de sobrepasar el menor de los siguientes valores: pulg. o 1 2
x l + J*i o ^máx — --------
2
listo se logra mediante seis varillas del No. 5, dispuestas tal como se muestra en la figura 5.24, lo cual proporciona un área total de 1.84 pulg2. El espaciamiento máximo de pulg., resulta apropiado para el arreglo de las varillas permitien do espacio para el colado. 1 2
6
BIBLIOGRAFIA
4
_ 9 + 27
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5.1
6
= 9 pulg.
6
la cual es la que rige aquí. En seguida se hallará el refuerzo requerido por cortante debido a la flexión. Puesto que V u = 71.0 kilolibras es menor que V * = 83.8 kilolibras, solamente se requiere el acero mínimo para el cortante debido a la flexión. De la ecuación (5.23)
50 x 12 ~ 40,000 S = 0.015s El área mínima requerid« para la sección transversal de una pierna es por lo tanto ±= Q.0075s. Este requerimiento míni mo se puede conseguir fácilmente me diante los estribos para la torsión. Se seleccionarárjfvarillas del No. 4 para los estribos cerrados, el área de una pierna vertical es 0.2í| pulg2. Establec iendo que esta área prop orcionada es igual al requisito de 0.02451 se obtiene que el espaciamfento requerido es I < m A v /2
1
0.20
6
260
Problemas
Cortante y torsión
5.11 Winter, G. y Nilson, A. H., Design o f Concrete Str uctu res, Sa. ed., McGraw Hill., Nueva York, 1972, 615 pâgs. 5.12 GangaRao , H. V. S. y Zia, P., Rectan gular Prestressed Beams in Torsion and Bending, J. Struc t. Div., ASCE , Vol. 99, No. STI, enero 1973, pâgs. 183-198. 5.13 Henry, R. L. y Zia, P., “Prestressed Beams in Torsion, Bending, and Shear,” . J. Struct . Div., ASC E, Vol. 100, No. ST5, mayo 1974, pâgs. 933-952. 5.14 Mitchell, D. y Collins, M.P., “ Detailing for Torsion ,” J. ACI, Vol, 73, No, 9, septiem bre 1976, pâgs 506—511.
PROBLEMAS
'' W M aM
5.1
Establec er el espacia miento requ erido po r estribos en U del No. 3 en la sección transversal de una viga sujeta a un cortante debido a carga factorizada de vu = 35.55 kilolibras y un momento Mu = 474 kilolibra-pie. An cho del alma bw = 5 pulg, profundidad efectiva d = 24 pulg, y peralte total h — 30 pulg. La contribución del concreto para el cortante puede ba sarse en la relación aproximada de la ecuación (5.17). Usar f y = 40,000 lb/pulg para el acero de los estribos y f'c = 5000 lb/pulg2. La viga pretensada mostrada en la figura P5.2 debe de diseñarse para sopor tar una carga muerta sobrepuesta de 500 lb/pie y una carga viva de 900 lb/pie en forma adicional a su peso propio de 300 lb/pie con un claro sim-. pie de 50 pies. Pa ra prop orci ona r una fuerza prete nsora efectiva Pe = 218 kilolibras. Se usarán 10 cables de 1/2 pulg., de diámetro con fp u = 270,000 lb/pulg2 . Se coloca el cable con una excentricidad de 12.5 pulg., en el cen tro del claro y se deflexiona en los puntos tercios hasta una excentricidad nu la en los apoyos. Se empleará concreto con densidad normal, con fc =5000 lb/pulg"“. (a) Preparar un diagrama en que se muestren los valores de Vu, Vc¡, y Vcw como una función de la distancia a lo largo del claro, (b) Su perp one r en el mismo diagrama los valore s ob teni dos media nte la ecuación simplificada (5.17). (c) Basándose en los excesos de cortante obtenidos en 2
5.2
261
la parte (a), hallar el espaciamiento requerido para estribos del No. 3 verti cales en U a lo largo del claro. Los estribos tendrán un esfuerzo de fluencia f y = 40,000 lb/pulg2. Para la sección que se muestra, A c = 288 pulg2, Ic = 28,700 pulg4, c, = 13.5 pulg., Ap = 1.45 pulg2.
CAPITULO 6
PERDIDA PARCIAL DE LA FUERZA DE PRESFORZADO
6.1
INTRODUCCION
La falta de éxito experimentada en los primeros intentos para presforzar el concreto se debieron, en la may oría de los casos, a la falla en la apreciación de la Importancia de las pérdidas parciales inevitables de la fuerza pretensora. Las dudas con relación a la permanencia del presfuerzo persistieron hasta los años 40. f ue sólo hasta el dramátic o éxito de los puentes de Freyssinet, tales como el mostrado en la Fig. 1.1, que la profesión de la ingeniería comenzó a aceptar que las pérdidas del presfuerzo podían calcularse y tomarse en cuenta en el diseño, y que su efecto podría minimizarse mediante la selección adecuada de los materiales apropiados . Tal como se discutió en el artículo 1.7, las pérdidas en la fuerza pretensora se pueden agrupar en 2 categorías: aquellas que ocurren inmediatamente durante la construcción del miembro, y aquellas que ocurren a través de un extenso período de tiempo. La fuerza de presfuerzo del gato P¡, puede reducirse inmediatamente debido a las pérdidas por fricción, deslizamiento del anclaje, y el acortamiento elástico del concreto comprimido. En este libro, la fuerza pretens ora después de ocurridas estas pérdidas se ha denomin ado fuerza pretensora inicial P¡. A medida en que transcune el tiempo, la fuerza se reduce más, gradualmente, primero rápidamente y luego más lentamente, debido a los cambios de longitud provenientes de la contracción y el flujo plástico del concreto y debido al relajamiento del acero altam ente esforzad o. Después de un período de muchos preses, o aún años, los cambios posteriores en los esfuerzos llegan a ser insignificantes, y se alcanza una fuerza pretensora casi constante. Esta se define como la fuerza pretensora efectiva Pe. La fuerza en el gato, P¡, seráíla mayor de todas las fuerzas que actuarán en el tendón de acero durante la riela normal del miembro, y la operación del tensado puede considera | prueba sobre el comport amiento del tendón.
264
Estima ciones globales de las pérdidas
Pérdida parcial de la fuerza de presforza do
Para los miembros pretensados, P¡ nunca actúa en el concreto, sino úni camente en los anclajes permanentes de la cama del colado. La tensión se redu ce a lo largo de la longitud del cable por la fricción que ocurre en los puntos de cambio de direcci ón del cable y en las cimbras extremas de la viga. Adicio nalmente, la fuerza en el acero se reduce, inmediatamente después de la transferencia, por el acortamiento elástico del concreto. Para miembros postensados, la fuerza del gato se aplica realmente en el concreto durante el tensado, pero sólo existe con su valor total en el extremo del miembro donde se realiza el tensado. En algún otro lugar disminuye debido a las pérdidas por fricción. Inmediatamente después de la transferencia, la fuerza postens ora se reduce por el deslizamiento del anclaje. El acortam iento elástico acarrea pérdidas adicionales. Se puede concluir, que en cierta forma, la fuerza del gato P¡ es de interés secundario para el diseñador, aun cuando deben de estimarse las pérdidas instan táneas con la finalidad de saber qué fuerzas especificar en los gatos. Son de interés primario la fuerza pretensora inicial P¡, inmediatamente des pués de la transferenci a, y la fuerza pretens ora efectiva Pe, después de ocurridas todas las pérdidas. En el artículo 3.3 éstas se relacionaron con la relación de efectividad R, mediante la ecuación Pe = RP¡
(3.1)
Todas las pérdidas dependientes del tiempo, específicamente aquellas debidas al flujo plástico, a la contracción, y al relajamiento, todas las cuales afectan tanto a los miembros pretensados como a los postensados, se incluyen en el coeficien te R. La estimación de las pérdidas se puede efectuar en varios niveles diferentes. Para la mayoría de los casos, en el diseño práctico, no se necesita un cálculo detallado de las pérdidas. Es posible adoptar cantidades globales razonablemente precisas para las pérdidas del pre sfuerzo. Tales expresiones se encuen tran inclui das en los Coment arios del Código ACI, en la Especificación Provisional AASHTO para pu entes (R ef. 6 .1) y en otro s do cumentos , y se sint etizan en el art ículo 6.2. Para los casos en que se requiera mayor precisión, es necesario estimar las pérdidas por separado, tomand o en consideración las condiciones especiales de la geometría del miembro, las propiedades de los materiales, y los métodos cons tructi vos que se apliquen. Algunos métodos para efectuar estimacio nes más de talladas de este tipo se reseñan en los artículos 6j3 hasta 6.10 de este capítulo. La información acerca de las propiedades de losánateriales del capítulo 2 será de utilidad. La precisión en la estimación de las pérdidájs puede aún mejorarse más to mando en cuenta la interdependencia de las pérdidas dependientes del tiempo, empleando intervalos de tiempo discreto para losSálculos. Un método práctico
i de efecuar esto se describe en el artículo . . Para estructuras presforzadas de mayor importancia, o para aquellas en las 6
1
1
265
Micndable basar los cálculos de las pérdidas en la inform ación esp ecífica obteni da de los materiales a emplearse, de los métodos de curado, de las condiciones de exposición ambiental, y toda aquella información relacionada con la constructílón. Para estructuras tales como los puentes formados por segmentos en canlilivcr precolados o colados in situ, por ejemplo, puede resultar apropiado y necesario obtener esta información, con la finalidad de mantener el control de la geometría del puente durante la construcción. Las pérdidas reales, las cuales pueden ser mayores o menores que las pér didas estimadas, no tienen efecto en la resistencia última a la flexión de una Viga presforzada. Sin embargo, las pérdidas afectan las caracter ísticas del com portamiento bajo cargas de servicio tales como la deflexión o el combeo , la varga de agrietamiento, los espesores de grietas, así como las deformaciones du rante la construcción. La sobrestimación de las pérdidas del presfuerzo, lo cual podría parecer estar del lado conservador, puede ser realmente tan perjudicial como una subestimación. La sobrestimación puede conducir al diseñador a especificar mucho presfuerzo, lo cual resulta en un excesivo combeo y en mo vimientos horizontales problemáticos en las estructuras. Es necesario que se efectúe la mejor estimación de las pérdidas en cada caso, la cual debe de estar acorde con la importancia del trabajo que se tenga en manos.
8.2 ESTIMACIONES GLOB ALES DE LAS PERDIDAS A principios de 1958, el Comité Conjunto 423 del ACI-ASCE reconoció la necelldad de poseer expresiones aproximadas a usarse en la estimación de las pérdidas de presfuerzo en los casos rutinarios de diseño. En la Ref. 6.2 se recomendaron los siguientes valores para la estimación de las pérdidas totales, incluyendo aquellns debidas al acortamiento elástico, a la contracción, al flujo plástico, y al rela jamiento, pero excluyend o a las pérdidas debidas a la fricci ón y al deslizamiento en el anclaje: Para el pretensado: 35,000 Lb/pulg (241 N/mm2) 2
Para el postensado: 25,000 Lb/pulg (172 N/mm2) 2
l as pérdidas debidas a la fricción, aplicables sólo a miembros pos tensados , debían calcularse separadamente, mediante las ecuaciones del artículo pítulo.
6 .6
de este ca
Esta base para el cálculo de las pérdidas se incorporó en el Código del ACI do 1963 y se encue ntra ta mbién contenida en los comenta rios del actual Código ACI. Se han construido muchos millares de estructuras de concreto presforzado basándose en diseños que usan estas pérdidas, y cuand o los ta maños de los m iem bros, m ateriales, los proc edimie nto »cons tructi vos, la cantida d de p resfu erzo, y las condiciones ambientales no se salen de los cánones ordinarios, este procedi
266
Estimación detallada de las pérdidas
Pérdida parcial de la fuerza de presforzad o
Estos mismos valores totales se incluyeron en las especificaciones de la AASHO (AASHTO) aplicables para los puentes carreteros. Casi todos los puente| de concreto presforzado que se encuentran ahora en servicio fueron diseñado empleando estos valores, y en general, el comportamiento y el servicio de estof puente s han sido excelentes. , Estos valores de pérdidas se basan en el empleo de concreto de peso nor mal, con niveles de presfuerzo normales, y con condiciones de exposición pro-,, medio. Sin embargo, la Especificación Provisional de la AASHTO de 1975 se inclu-J yen modificaciones, las cuales estipulan que las estimaciones de las pérdidas tota?] les de la tabla deben de emplearse en miembros o estructuras presíorzadas de diseño corriente. Las modificaciones son un reflejo de la investigación que ha ,’ proba do que algunas de las suposiciones h echas en el desarrollo original de estimaciones de las pérdidas totales pueden mejorarse. Esto es particularmente3 cierto con respecto a las pérdidas por relajamiento del acero, pero también se aplica en cierto grado a las pérdidas por contracción y flujo plástico del cop-l creto. La tabla 6.1 incluye resistencia de concreto de 4000 y 5000 Lb/pulg2. Sin i embargo, los valores de pérdidas totales pueden usarse para puentes con resisten-;Í cias de concreto que se encuentren 500 Lb/pulg por encima o debajo de los valores de 4000 y 5000 Lb/pulg enlistados en el encabezam iento de las tabl as;1^ De esta manera el rango de resistencia de concreto que cubre la tabla se puede considerar extendido desde 3500 hasta 5500 Lb/pulg2. Estos valores se des arrollaron bajo la suposición de que se requiere la totalidad del esfuerzo permisible de compresión del concreto durante la vida del miembro. Para estructuras o .1
6 . 1
2
267
elementos en los que la resistencia del concreto se determina sobre la base de es pecificaciones nominales mínimas, y en los que no ocurrirá la ut ilizaci ón tota l de los esfuerzos permisibles de compresión durante la vida de la estructura, los valores totales de las pérdidas dados serán algo conservadores (Ref. 6.1) Los valores totales de las pérdidas presentados en el Código ACI y en las Especificaciones de la AASHTO incluyen las pérdidas por acortamiento elástico, así como también las pérdidas dependientes del tiempo debidas a la contracción, al flujo plástico, y al relajamiento. Las pérdidas por acortamiento elástico, fácil mente calculadas mediante el método dado en el Art. 6.5, pueden restarse de las suma total para las pérdidas si es que se usan los valores recomendados como una base para la determinación de la relación R de efectividad de la ecuación (3.1). Debe ponerse énfasis en el hecho de que el tratar a las pérdidas como can tidades total es es recomendable solament e para las condiciones “est ánda r” . Para miembros de proporciones poco usuales, claros excepcionalmente largos, o de con creto ligero, por ejemplo, se deberá efectuar una estimación por separado de las pérdidas individuales empleando los métodos descritos en los siguientes ar tículos. 6.3 ESTIMACION DETALL ADA DE LAS PERDIDAS
2
Tabla 6.1 Pérdidas Totales Por la AASHTO (Ref. . ) 6
Tipo del Acero De Presuferzo
Pérdida Total f' c — 4,000 Lb/pulg
2
(27.58 N/mm 2)
Pretensado Cable Trenzado Postensadofl Alambre o Cable
6
f ' c = 5,000 Lb/pulg (34.47 N/mm 2)
45,000 Lb/pulg (Í0.26 N/mm2) » Jk ,s>, ■ 33,000 Lb/pulg (#7.53 N/mm2) ■^3,000 Lb/pulg (18.58 N/mm2)
2
2
6
,*
À 32,000 Lb/pulg (220.63 N/mm2) Varillas 22,000 Lb/pulg 1(151.68 N/mm2) —r —*---------------------------- No se inc luyen las pérdidas po r fr icción. L as pé jid us por fricción deben de cal- | cularse de acuerdo con el artículo 6.5. . 2
. 2
Para los casos en los cuales no sean adecuadas las estimacion es globales de las pér didas, es necesario estimar cada una de las pérdidas separadamente, bien sea em pleando informac ión supuesta o, para obras de mayor magnitu d, empleando la información recopilada para la obra particular que se tenga en manos. Entonces las contribuciones por separado se suman para obtener la pérdida total. El cálculo detallado de las pérdidas de presfuerzo debidos a los varios fac tores contribuyentes es complicado debido a que la velocidad de la pérdida debida a un efecto es continuamente afectada por los cambios en los esfuerzos debidos a otras causas. Por ejemplo, el relajamiento del esfuerzo en los tendones es afectado por los cambios de longitud debidos al flujo plástico del concreto. La velocidad del flujo plástico, en su caso, es afectada por el cambio del esfuerzo en el tendón. Es extremadamente difícil separar la cantidad neta de pérdidas a cada uno de los factores bajo las diferentes condiciones de esfuerzo, ambienta les, de carga, y otros factores no definidos. En los siguientes artículos proporciona la base teórica necesaria para determinar los efectos de las pérdi¡ as por separado. Las pérdidas instantáneas debidas al deslizamiento de los andajes, al acortamiento elástico del concreto, y a la fricción se discuten e,n los artículos 6.4, 6.5, y . , respectivamente, mien tras que las pérdidas dependientes del tiempo asociadas con el flujo plástico del concreto, su contracción y.el relajamiento del acero son tratadas en los artículos 6.7, . , y 6.9. A las pérdidas dependienteádel tiempo aquí se les trata como si ellas ocu
. 2
.2
6
6
8
6
268
Pérdida parcial de la fuerza de presforzado
Acortamiento elástico del concreto
269
cálculos más precisos, se recomiendan para tomar en cuenta su interdependencia. Si fuera necesario mayor refinamiento, se puede emplear el método de pasos sucesivos descrito en el artículo . .
de anclaje producirán elevadas pérdidas por deslizamiento. Para miembros pos tensados largos, o para pretensados que emplean grandes camas de colado, las pérdidas p or desl izamiento llegan a ser insignificantes.
6.4 DESLIZAMIENTO DEL ANCLAJE
6.5 ACORTAMIENTO ELASTICO DEL CONCRETO
6
1 1
En los miembros postensados, cuando se libera la fuerza del gato, la tensión del acero se transfiere al concreto mediante anclajes de uno u otro tipo (ver Apéndi ce B). Existe inevitablemente una pequeña cantidad de deslizamiento en los anclajes después de la transferencia, a medida en que las cuñas se acomodan den tro de los tendones, o a medida en que se deforma el dispositivo de anclaje. Una situación similar se produce en el pretensado, cuando la fuerza pretensora se transfiere de los gastos a los anclajes permanentes de la cama del colado a través de las calzas alrededor de los cables. En cualquier caso, la pérdida por desliza miento en los anclajes se puede compensar mediante un sobreesfuerzo, siempre que se conozca su magnitud. Su magnitud dependerá del sistema particular que se use en el presfuerzo o en el dispositivo de anclaje. La gran variedad de anclajes excluye cualquier gene ralización. La fuente más confiable de información puede ser el fabricante del dispositivo seleccionado o, mejor aún, pruebas específicas del equipo en labo ratorio. Conocida la característica del deslizamiento del dispositivo de anclaje es pecificado, la pér dida por deslizamiento en el anclaje se puede calc ular fácilmen te de la expresión A/anc = j £ P
( -) 6
1
donde Al
Cuando la fuerza pretensora se transfiere a un miembro, existirá un acortamiento elástico en el concreto a medida en que éste se comprime. Para miembros preten sados, en los cuales el tendón se encuentra adherido al concreto al momento de la transferencia, el cambio en la deformación del acero es el mismo que el de la deformación de compresión del concreto al nivel del centroide del acero, pu diéndose de acuerdo con esto calcular las pérdidas. Para los miembros postensa dos en los cuales se tensa al mismo tiempo a todos los tendones, la deformación elástica del concreto ocurre cuando se aplica la fuerza en el gato, y existe una compensación autom ática para las pérdidas por acortamiento elástico, las cuales por lo t ant o no nec esitan calcularse.* Considerando primero las vigas pretensadas, el esfuerzo de compresión en el concreto al nivel del centroide del acero, cuando se encuentran actuando el presfuerzo excéntr ico más el peso p ropi o, inmed iatame nte después de l a t rans ferencia, es ( 6. 2)
donde P¡
= fuerza pretensora inicial (ver abajo)
Ae
= área de la sección de concreto
= cantidad de deslizamiento e
/ E
= Longitud del tendón = Módulo de elasticidad del acero de presfuerzo
La ecuación (6.1) se basa en la suposición de que el deslizamiento se en cuentra uniformemente distribuido a lo largo de lalongitud del tendón. Esto ge neralmente será así para el pretensado, y por lo gelcral también se aplicará para el postensado, particularmente si el tendón se encu|nlra bién lubricado y el ducto se encuentra libre de excesivas deformaciones. Si í embargo, si las pérdidas por fricción son altas, las pérdidas por deslizamiento ip el anclaje pueden concen trarse ma yormente acerca de los extremos del tendón, i cquiriéndose una conside ración especial (Ref. 6.3). La importancia del deslizamiento en los ancijes depende de la longitud
M0 r Ic
= excentricidad del centroide del acero con respecto al centroide del concreto = momento debido al peso propio del miembro
= radio de giro de la sección de concr eto = mome nto de inercia de la sección de concreto
Estableciendo la relación modular np = EpjEc , la pérdida de esfuerzo en el ten dón debida al acortamiento elástico del concreto es ■ * ■§ 4
a
í
, = nfcs
4, ■■ § |
■_¡I
i
|
0
, (6.3)
270
Pérdida parcial de la fuerza de presforzado
Pérdidas debidas a la fricc ión
El valor de Ec que se use para calcular np debe de ser aquel correspondiente al concreto al momento del tensado. Se requiere algún comentario con relación al valor de la fuerza pretensora P. a usarse en la ecuación (6.2). P¡ es la fuerza pretensora despue's de que han ocurrido las pérdidas por calcularse. Resulta generalmente adecuado estimar P¡ como más o menos el 10 por ciento menor que P¡. Posteriormente puede corre girse, pero raramente se justifica tal refinamiento. La pérdida del presupuesto debida al acortamiento elástico en vigas pre tensadas variará a lo largo de la longitud del miembro, pero generalmente es suficiente calcular las pérdidas en la sección o secciones de máximo momento. Para vigas postensadas, si todo el acero se tensa al mismo tiempo, no exis tirán pérdidas debidas al acortamiento elástico. Sin embargo, para el caso en que se usan tendones múltiples, y en que éstos se tensan siguiendo una secuencia, existirán pérdidas. El primer te ndón que se ancle sufrirá una pérdida de esfuerzo cuando se tense el segundo, el primero y segundo sufrirán pér dida de esfuerzo cuan do se tense el tercer o, etc. La pérdida por acorta miento elást ico puede calcularse para cada t endón en su caso, c omenzando con el último tend ón, para el que np existirá pérdida. Sin embargo el procedimiento es tedioso si existen varios ten dones, y éste se complica más debido a la incertidumbre de cuándo int roduc ir el efecto del peso propio. En los casos prácticos, es adecuado calcular la pérdida de esfuerzo como la mitad del valor obtenido empleando las ecuaciones ( .2) y (6.3). Nótese que para las vigas pretensadas la pérdida de esfuerzo en los te ndo nes puede ser diferente para diferentes secciones a lo largo de la viga, dependien do del cambio de esfuerzo en el concreto en las secciones consideradas. En contraste, para las vigas postensadas, el acero no se encuentra adherido para este estado y las pérdidas por acortamiento elástico serán las mismas a todo lo largo del tendón, despreciando los efectos de la fricción. Cuando se aplica la ecuación ( . ) en vigas postensadas, se puede emplear el esfuerzo promedio en el concre to f cs entre los anclajes. Para aquellos cada vez más frecuentes tipos de diseño en los que se combi na el empleo del pretensado y el postensado, no debe de despreciarse la pérdida de esfuerzo en los cables pretensados a medida en que se aplica el postensado. 6
6
2
6.6 P ERDIDAS DEBIDAS A LA FRICCION
En los miembros postensados, por lo general los tf mo y se estiran mediante los gatos desde el otro.| desliza a través del dueto, se desarrolla la resistei tado de que la tensión®n el extremo anclado es n La pérdida total por fricción es la suma de la fricc) cional del ducto, y la fricción debida a la curvatura efectos se consideraráijjseparadamente primero, y l | Las pérdidas debidas a la fricción por defoi ducto se encontrarán presentes aún para los casos
271
perdidas depende del ti po de t endón y el duc to a emplearse, así como del cuida do que se tome durante la construcción. La pérdida diferencial de esfuerzo dP debida a la fricción por deformación no intencional del ducto, en una longitud corta dx del tendón, puede expresarse como dP = K P d x
(a)
donde la fuerza pretensora P es una función de la distancia* a lo largo del claro, y donde K es el coeficiente de fricción por deformación no intencional del ducto, expresada en unidades de libras de pérdida por cada libra de fuerza pretensora y por pie de ducto. Se han establecido los rangos típicos de los valores mediante pruebas. Los valores que se dan en la tabla 6.2 son aquellos e ncontrado s en los ( omentarios del Código ACI y en las Recomendaciones del PCI (Ref. 6.5). Tabla 6.2 Coeficientes de Fricción Para Tendones de Postensado Coeficiente por Deformación No Intern acional del Ducto K por Pie
Tipo de Tendón Tendones dentro de ductos metálicos flexibles Tendones de Alambres Cable trenzado de 7 alambres Varillas de alta resistencia Pendones dentro de ducto metálico rígido Cable trenzado de 1 utambres
.3
Coeficiente por Curvatura p
0.0010-0.0015 0.00 05-0 .002 0 0.0001 -0.0006
0.15-0 .25 0.1 5-0 .25 0.0 8- 03 0
0.0002
0.15-0.25
'Pendones con lubricación previa Pendones de al ambres y cables trenzados de alambres
0.0003,0.0020
Pendones recubiertos con masilla Pendones de alambres y cables trenzados de ulambres
0.0020
7
idones se anclan en un extremedida en que el acero se |¡ íi friccionante, con el resulor que la tensión en el gato. |li por deformación'no intertntencional de) tendón. Estos Igo en forma co mbinada, iciones no intencionales del tendones rectos, debido a
0.05-0,15 ----------- — ; "t
7
é
«■- lii
0.05-0.15
272
Pérdidas debidas a la fricción
Pérdida parcial de la fuerza de presforzado
La ecuación para aquellas pérdidas asociadas con la curvatura intención del tendón se desarrollarán tomando como referencia la figura 6.1. La figura 6.1 a muestra un tendón curvo sujeto a una fuerza Ps en el extremo del gato. La fuer' za reducida a una distancia 1 es Px. En la mayoría de los casos prácticos, la curv real del tendón puede reemplazarse por un arco circular para el cálculo de las pérdidas p or f ricción, t al com o se sugiere en el croquis. La pérdida de fuerza de la pequeña longitud definida por el cambio angul d a es dP, según se muestra en la figura 6.1b. Aquí E es el valor de la fuerza pre tensora en la ubicación considerada. El polígono del equilibrio de las fuerz actuantes en el pequeño segmento, mostrado en la figura . c, indica que la co ponen te normal de la fuerza al tend ón es igual a P da. 6
273
Combinando las ecuaciones (a) y (b), la suma de las pérdidas por deforma ción no intencional y curvatura intencional del ducto en una longitud diferencial en dP = K P dx + f.iP da
La pérdida por fricción puede expresarse convenientemente como la rela ción dP¡P en la ubicación considerada. Si hacemos eso, y luego integramos dentro (le los límites apropiados,
Jíy =JóKáx+J>da
1
p
ln -- - = -*
K l + p a
r
listo conduce a la deseada relación entre la fuerza pretensora valor reducido Px a la distancia 1 del gato: P, =
l\e
Ps en
el gato y su (6.4)
K l + no.
donde e es la base de los logaritmos naturales. La ecuación (6.4) se derivó reconociendo que la fuerza P es una función de la distancia a lo largo del tendón. Si las pérdidas por fricción son suficientemente bajas, es satisfa ctorio calcular las pérdidas basá ndose en la tensión Px a la distan cia del gato: 1
Ps - P x = K P J + pExa
de la cual
P d a
Ps = Px( 1 + K l +
pa)
(6.5)
De acuerdoconel Código ACI, esta aproximaciones aceptable si (Kl + pa) < 0.30. Las relaciones establecidas mediante las ecuaciones (6.4) y (6.5) pueden también expresarse en términos de la pérdida de esfuerzo, en lugar de la pérdida de fuerza. De la ecuación (6.4):
•‘ P — d P
p x = psg-(Ki+Ma) (c )
FIGURA .1 Pérdida de presfue rzo debi da a fricción por curvatura, (a) Geome tría del tendón, (b) Efecto de la fricción en una longitud diferencial, (c) Polígono de fuerzas. 6
Si el coeficiente de fricción entre el tendón y elÉucto es p, la pérdida diferencial de esfuerzo dP debida a la fricción por curvat urais dP = p E da | (b) Los valores de p se han establecido también por experimentación, y se encuentran
y la pérdida de fuerza debida a la fricción por curvatura es: APfr = Es - Ex =
Ps(1
- )
Dividiendo entre el área del tendón, Ap , se obtiene la pérdida en esfuerzo por fricción por curvatura:
A/}r = / s(l —e~ ,K1+'“))
(6.6)
donde fs es el esfuerzo en el tendón en el gato. Alternativamente, de la relación aproximada dada por al ecuación (6.5) APfr
P J K l +
pa)
274
Flujo plástico del concreto
Pérdida parcial de la fuerza de presforzado
1,7 FLUJO PLASTICO DEL CONCRETO
Ps(Kl + fia)
o en términos de los esfuerzos:
(SI flujo plástico del concreto se discutió en el artícu lo . , en donde se indicó que el concreto sujeto a una fuerza sostenida de compresión, primero se deforlliurá elásticamente, después continuará deformándose durante un período adiJlonal de tiempo. El coeficiente último de flujo plástico se definió mediante 2
4 / / r = fs (K l + fia)
(6.7)
Para los perfiles de tendones compuestos por una combinación de segmen tos rectos y curvos, las pérdidas se pueden calcular progresivamente, comenzan do en el ex tremo del ga to. Para cada segmento, la fuerza en el extrem o más cercano al gato es equivalente a Pg, y es igual a la fuerza reducida Px calculada para el extremo del segmento precedente. Un problema geométrico encontrado a menudo en el cálculo de las pérdi das de presfuerzo debidas a fricción, es encontr ar el arco de círculo que pase por 3 puntos desconocidos; por ejemplo, las coordenadas del tendón en los 2 extre mos y en el punto medio del claro, y hallar el ángulo central a . Si la curva es relativamente suave, como generalmente es el caso, será suficiente un calculo aproxima do. En la figura 6.2, si el ángulo central es a, la pendi ente en cada extre mo es a/ . Entonces 2
a m tan o = x 2
/ 2
2m = x—
FIGURA 6.2 Determinación aproximada del ángulo central para un tendón.
La distancia m es aproximadamente igual a dos veces la flecha y. También para ángulos pequeños, la tangente de un ángulo es aproximadamente igual al ángulo mismo, medido en radianes. En consecuencia, a
4 y
2
x
3
,
u
^ 1 y a = — radianes X 1 f l 8
Si el ángulo a fuera demasiado grande para que ciones, puede ser conveniente determinar a m edí
275
( 6. 8)
n aceptables estas aproximaun método gráfic
1 1
In ecuación (2.7):
Cu= ^
(2.7)
&ci
donde eci es la deformación elástica inicial y ecu es la deformación adicional en el concreto, después de un largo período de tiempo, debida al flujo plástico, tos valores típicos de Cu se encuentran en el rango de 2 a 4. Cuando no se dis pone de informaci ón específica, se recomienda un valor prom edio de 2.35. En los miembros de concreto presforzado, el esfuerzo de compresión si nivel del acero es de naturaleza sostenida, y el flujo plástico resultante en ti concreto es una fuente importante de pérdida de fuerza pretensora. En el artículo 6.3 se mencionó la interdependencia de las pérdidas depen dientes del tiempo. En los miembros presforzados, la fuerza de compresión que produce el flujo plástico del concreto no es constante, sino que disminuye con el paso del tiempo, debido al relajamiento del acero y a la contracción del concreto, así como también debido a los cambios en longitud asociados con el Unjo plástico en sí mismo. Esta interdependencia puede motivar la adopción del método de los pasos sucesivos en el cálculo de las pérdidas dependientes del tiempo, en el cual el esfuerzo que actúa al comienzo de cualquier intervalo es pecífico del tiemp o, produci endo el siguiente increme nto de deformaci ón, o relajamiento, refleja todas las pérdidas que han ocurrido hasta aquel instante. El método PCI para el cálculo de las pérdidas descrito en el artículo 6.11, emplea tul técnica incorporando 4 intervalos de tiempo. Para estos fines, las pérdidas se tratarán individualmente, para una mejor apreciación del papel que desempeña cada una de ellas. Los cálculos en la práctica también se efectúan sobre esta base, con ajustes arbitrarios para tomar en cuenta la interdependencia. El esfuerzo en el concreto, en el cual se basan los cálculos de las pérdidas por flujo plástico, es aquel correspo ndiente al nivel del centroi de del acero, cuan do se encuentran actuando la fuerza pretensora excéntrica más todas las cargas sostenidas. Puede emplearse la ecuación (6.2), sólo que M0 deberá reemplazarse por el mome nto debido a todas las cargas m uertas, más aq uel debido a aquell a porción de la carga viva que se considere sos tenida. De una m anera ap roximad a, para tomar en cuenta la re ducción gradual de la fuerza prete nsora a m edida en que ocurren el flujo plástico, la contracción y el relajamiento, se recomienda sus tituir 0.9P¡ en lugar de P¡ en los cálculos del flujo plástico. Para los miembros pre colados que posteriormente recibirán una losa colada in situ, deberá usarse el momento de inercia de la sección compuesta en los cálculos de esfuerzos produ-
276
Pérdida parcial de la fuerza de presforzado
Relajamiento del acero
cidos por cargas que se apliquen después de que halla endurecido el concreto colado in situ. Después de que se ha hallado f cs, la pérdida de esfuerzo en el acero asocia« da con el flujo plástico del concreto se puede determinar de la expresión 4
fcr = Cunfcs
( 6 . 9 )
donde n = Ep¡Ec, como es usual. Para los miembros pretensados y los postensados a los que se les ha inyec tado mortero, la pérdida del presfuerzo debida al flujo plástico dependerá del esfuerzo en el concreto en la sección particular que sea de interés. Las pérdidas por flujo plástico se calcularán por lo general en la sección o secciones de máxi«j mo momento. Para vigas postensadas sin adherencia, sin embargo, la reducción en el esfuerzo del acero será más o menos uniforme a lo largo de toda la longitud del tendón. Para este caso, en los cálculos de las pérdidas por flujo plástico puede usarse un valor prome dio de f cs entre los anclajes. Si se va a emplear un m étodo de pasos sucesivos en el cálculo de las pérdidas dependientes d'el tiempo, para obtener mayor aproximación, se podrá emplear la ecuación (2.10) para la relación flujo plástico-tiempo. Para otras condiciones de carga y humedad diferentes de las “estándar” se pueden usar las ecuaciones ( . ) y ( . ). 2
1 1
2
1 2
6.8 CONTRACCION DEL CONCRETO
puede habe r ocurrid o más o menos del 10 al 15 por ci ento de la contra cción úl tima. Si el tensado se retrasa hasta los 28 días, habrá ocurrido entonces más o menos del 35 al 40 por ciento de la contracción. Para el cálculo de la pérdida total por contracción, o para los cálculos me diante el método de pasos sucesivos, la cantidad de la contracción que ocurre en un intervalo específico de tiempo es la diferencia entre las contracciones al inicio y al final del intervalo. Para tales cálculos se pueden emplear la figura 2.15 y las ecuaciones del artículo . . Una vez que se ha determinado la magnitud de la deformación por contrac ción, puede fácilmente hallarse la pérdida de esfuerzo en el acero resultante, multiplicándola deformación por el módulo de elasticidad del acero del presfue rzo: 2
' 6
1 0 ' 6
7
1 1
4 fSh = Epesh
(6.10)
donde esh es la magnitud de la deformación por contracción que ocurre durante el período considerado.
6.9 RELAJAM IENTO DEL ACERO
Los tendones de presfuerzo se mantienen esforzados esencialmente con longitud constante durante la vida de un miembro, a pesar de que existe alguna reducción de longitud debido al flujo plástico y la contracción del concreto. Tal como se discutió en el artículo . , existirá una reducción gradual del esfuerzo en el ace ro bajo estas condiciones debido al relajamiento, aun cuando la longitud se man tenga casi constante. La magnitud del relajamiento depende de la intensidad del esfuerzo en el acero, así como del tiempo y, para el acero usual relevado de esfuerzos, la relación del esfuerzo reducido )p al esfuerzo inicial f p¡ puede esti marse usando la ecuación ( . ) 2
La contracción por secado del concreto provoca una reducción en la deformación del acero del presfuerzo igual a la deformación por contracción del concreto. La reducción de esfuerzo resultante en el acero constituye una componente impor tante de la pérdida del presfuerzo para todos los tipos de vigas de concreto presforzado. Las deformaciones últimas del concreto resultantes de la contracción por secado pueden estar más o menos dentro del rango 500 x 10 a 1000 x 10'6, En el a rtículo 2.1 l(b) se recomendó una deformación última por contracción para concre to curado con humeda d de 800 x ante la ausencia de datos específicos, y para concretos curados a vapor un valor de 730 x 10"6. La ve locidad de variación de la contracción para estos dos casos se dio, mediante las ecuaciones (2.13a) y (2.13b), y los factores de corrección para otras condi ciones de humedad diferentes de las “estándar” se dieron mediante las ecuaciones (2.14a) y (2.14b). Sólo se necesita cons iderar la parte de lá|co ntracció n que ocurre después de la transferencia de la fuerza pretensora al.miembro. Para la construcción pretensa da, la t ransferencia común mente ocurre 24 horas después del colado, y casi toda la contracción ocurre posteriormente a ese tiempo. Sin embargo, los miembros postensados raramente son esforzados antes de los días, y a menudo
277
6
2
1
f
^
J pi
(2.1) \ j p y
J
donde fpy es el esfuerzo de fluencia efectivo, t es el tiempo en horas después del tensado, log t es de base 10, y f p¡!fpy no debe ser menor que 0.55. Para este efec to, el relajamiento puede volverse a expresar en términos de la pérdida de esfuerzo en el acero proveniente del relajamiento:
A ^=^f(¿-0-55)
(611)
Para los fines del análisis de pérdidas por pasos sucesivos, el incremento de pérdi das en cualquier intervalo de tiempo proveniente del relajamiento del acero pue de estar basado en la ecuación ( . ), la cual puede volverse a expresar como 2
2
r /4og t„ - log rrV / pi
nc c\
6 12
278
Cálculo de tas pérdidas individuales 279
Pérdida parcial de la fuerza de presforzadc
en la cual tn es el tiempo al final del intervalo y tr es el tiempo al inicio del int valo. La misma ecuación es útil para estimar las pérdidas por relajamiento #J miembros pretensados, para los cuales deben descontarse las pérdidas por relaje miento que ocurren antes de que se cuele el concreto de las pérdidas totales p~ relajamiento, para obtener el cambio de esfuerzo en el acero a medida en que ^ viga envejece desde la condición inicial hasta la final.
5.77"
V
Centroide
__ __ ^
del
concreto
JTZ23" ___
24.00" 18.23"
Centroide del arco (parábola)
-50'-
K-
Las pérdidas por relajamiento disminuirán debido a los efectos de la co ' tracción y el flujo plástico del concreto, los cuales reducen la intensidad d esfuerzo en el acero. Esta interacción puede tomarse en cuenta de manera ap ximada sustituyendo 0.90 fp{ en lugar d efp¡ en las ecuaciones de arriba. En la práctica corriente se viene incrementando el empleo de aceros esf cíales de bajo relajamiento. Para tales aceros, la pérdida de presfuerzo debida relajamiento puede considerarse más o menos como el 25 por ciento de la pre vista mediante las ecuaciones ( . ) o ( . ). 6
11
6
12
FIGURA 6.3 Viga para el ejemplo del cálculo de pérdidas del artícu lo 6.10 (a) Perfil, (b) Sección transversal.
6.10 EJEMPLO: CALCULO DE LAS PERDIDAS INDIVIDUALES
La viga mostrada en la figura 6.3 debe de postensarse usando 12 cables de 1/2] pulg. de diámetro, grado 270 en un único ducto flexible. La tensión tota l del gato de 300 kilolibras (1334 kN) se aplicará simultáneamente a todos los ca bles, cuando el concret o tien e 28 días. El t ensado sólo se hará desde un extremo,! y se ha previsto mediante pruebas que en el anclaje puede existir un deslizamien»] to de 0.10 pulg (2.54 mm). Los demás datos de diseño son: ' 1
Ap
=
12x 0.15 3= 1.836 pulg (1185 mm2)
A c
=
524 pulg (338 x IO mm2)
Ic
= 22,040 pulg (9.17 x 199 mm4)
r
= 42.06 pulg (27.1 x 10 mm2)
2
2
I(aliar las contribuciones por separado de las pérdidas de la fuerza pretensora al final de un período de 5 años, durante el cual se pueden tomar las cargas soste nidas como el peso propi o de la viga. La estimación de la pérdida de presfuerzo se basará en la consideración de cada una de las contribuciones a la pérdida total por separado, tal como se des cribió en los artículos 6.4 a 6.9. La interdependencia de las pérdidas de flujo plástico, contra cción y relajami ento, se tom ará en cuenta de manera aprox i mada mediante un ajuste por el cual se disminuye la fuerza para la cual se calculan las pérdidas.
3
(A) Pérdidas por deslizamiento en el anclaje 4
De la ecuación (6.1), con el deslizamiento estimado de 0.10 pulg. 2
w
0
Ec
2
3
= 546 Lb/pie (7.97 kN/ffl) « :..i ';Í - 4,000,000 Lb/pulg (27.6 x 10 kN/mm2) 2
_ AL Janc .'i
I°- x.27 x 10 50 x 12 f 0
6
: 4S0 T.h/mite2 Í31 N /mm ¡ l
3
(B) Pérdidas por acortamiento elástico
Ep
27,000,000 Lb/pulg (186 x 10 kN/mm2) - t § = 5000 Lb/pulg (34 kN/mm2) -
2
1
f c
2
3
•#
Con los 12 cables tensados simultáneamente con un solo gato, el acortamiento elástico del concreto ocurrirá durante la operación del tensado, y se compen sará totalmente mediante una extensión adicional del gato, como consecuencia
280
Cálculo de las pérdidas individuales
Pérdida parcial de la fuerza de presforza do
A Lx = (C)
0
Pérdida po' fricción
Para el cálculo de las pérdidas por fricción, el perfil parabólico del tendón real se aproximará mediante un arco circular. De la ecuación ( . ) el ángulo central para el arco circular ei más o menos igual a 6
peso propio . Con el ob jeto de to mar en cuenta de manera apr oximada, la reduc ción gradual de la fuerza pretensora debida al flujo plástico, a la contracción, y hI relajamiento, a medida en que ocurre el flujo plástico, la fuerza pretensora a usarse en los cálculos se reducirá a 0.90 P¡ o 240 kilolibras. El máximo momen to producido por el peso de la viga es M0 = | x 546 x 502= 171,000 Lb/pie
8
y, de la ecuación ( . ), el esfuerzo en el concreto al nivel del centroide del acero es 240,000 / 12.232\ 171,000 x 12 x 12.23 cs ~ 524 \ + 42.067 + 22^040 6
8
x 12.23 = 0.163 radián 50 x 12
Consultando la tabla 6.2 para los valores del coeficiente de fricción por deforma ción no intencional del ducto y del. coeficiente de fricción por curvatura para el cable de alambres dentro de un ducto flexible, se seleccionan valores represen tativos de K = 0.0010 y \i = 0.20. El parámetro 7
(Kl + na) = (0.0010 x 50 + 0.20 x 0.163)
2
= -948 Lb/pulg
Entonces, de la ecuación (6.9), con np = Ep/Ec = 6.75, la pérdida de esfuerzo en el acero proveniente del flujo plástico del concreto es = 15,000 Lb/pulg (103 N/mm2) .2
es bastante menor que 0.30, lo cual indica que se puede usar ia ecuación aproxi mada (6.7) para calcular las pérdidas por fricción. El esfuerzo en el acero del ten dón en el extremo del gato en este estado es igual a la tensión en el gato menos la pérdida por deslizamiento en el anclaje. Con fpj- ~ 300,000/1.836 = 163,000 Lb/pulg2 , el esfuerzo en el gato es 1
f s = 163,000 - 4500 = 158,500 Lb/pulg
.2
Affr = 158,500 x 0.0826
= 13,100 Lb/pulg (90 N/mm2) .2
Esto genera un esfuerzo inicial en el acero, después de ocurridas tod as las pérdida s 1 instantáneas, pero antes de ocurridas las pérdidas dependientes del tiempo, de fpi —fpj ~ 4/mc —4/rt —Af/r
(E) Pérdida por contracción
El cálculo de la pérdida por contracción se basará en una deformación última de contracción supuesta para el concreto de 800 x 10'6. La magnitud de la contrac ción que afecta al esfuerzo en el tendón es aquella que ocurre después de tensar y anclar el acero al concreto de 28 días. De la figura 2.15, puede notarse que, para concretos curados con humedad , puede preveerse que ocurrirá el por ciento de la contracción última antes de aquel tiempo. En consecuencia, la con tracción remanente es 800 x 10 x 0.56 = 448 x 10;6, y de la ecuación (6.10) la pérdida en el esfuerzo del acero asociada con esta reducción de deformación es 4
el cual corresponde a una fuerza pretensora inicial de P¡ = 145,400 x 1.836 x
; ilóo
= 267 kilolibras (1188 kN) Pérdida por flujo plástico
4
' 6
Afsh = 27 x 10 x 448 x 10 6
= 163,000 - 4500 - 0 - 13,100 = 145,400 Lb/pulg .2 (1003 N/mm2)
(D)
. 2
Afcr = 2.35 x 6.75 x 948
= 0.0826
y, de la ecuación (6.7),
281
"
6
= 12,100 Lb/pulg (83 N/mm2) 2
(F) Pérdida por relajamiento
La reducción gradual de esfuerzo en el acero proveniente de los efectos combina dos del flujo plástico, la contracción, y el relajamiento se tomará en cuenta en la determinación de las pérdidas por relajamiento usando un valor reducido de tuerza pretensora /le 0.90 P¡ en los cálculos. El esfuerzo correspondiente en el acero es 0.9 x 145,000 = 131,000 Lb/pulg Haciendo referencia a la figura 2.4, vemos que el esfuerzo efectivo de fluencia para cables del grado 270 es fp y = 230,000 Lb/pulg2 . Entonces, de la ecuación ( ), a los 5 arios o 44,000 horas, .2
282
Pérdida parcial de la fuerza de presforzado
4.64 /131 A/„, = 131,000 x —
Estimación de las pérdidas por el método de los intervalos 283
0.55
Tabla 6.3 Resumen de Pérdidas para el Ejemplo del artí culo 6.10 Pérdida
1200 Lb/pulg 2 * ( 8 N/mm2)
(G) Resumen y comparaci ón con las estimaciones de las pérdidas totales
Las pérdidas de presfuerzo debidas a todas las causas se sintetizan en la tabla 6.3. El esfuerzo inicial en el gasto fp j de 163,000 Lb/pulg 2 se reduce debido a las pérdidas instantáneas por deslizamiento, acortamiento, y fricción, a un pres fuerzo inicial fp i de 145,400 Lb/pulg2. Después de un periodo de 5 años desde la transferencia, aquella tensión inicial se reduce aún más por los efectos del flujo plástico, la contrac ción, y el relajam iento hasta un presfuerzo efectivo fpe de 117,100 Lb/pulg2. Las pérdidas también se expresan como un porcentaje del esfuerzo inicial fp¡ en la tabla 6.3. Puede verse que las pérdidas instantáneas totalizan 12 por ciento, en tanto que las pérdidas dependientes del tiempo son el 19 por ciento d e fpi- La relación de efectividad R de la viga es 117,100/145,400 = 0.81. Es interesante comparar los resultados de los cálculos con las estimacio nes de las pérdidas t otale s basadas en las recomen daciones del ACI y la A ASHTO. Para la suma total de pérdidas, incluyendo aquellas debidas al acortamiento elás tico, al flujo plástico, a la contracción y al relajamiento, para vigas postensadas, los Comentarios al Código ACI dan un valor de 25,000 Lb/pulg2, en tanto que la suma total de pérdidas de la AASHTO de la tabla 6.1 da 33,000 Lb/pulg2. Para los cálculos recién terminados, la cifra correspondiente es 28,300 Lb/pulg2. Puede concluirse q ue, p or lo menos para el caso present e, el uso de cualquiera de las sumas totales sería satisfactorio.
6.11 ESTIMACION DE LAS PERDIDAS POR EL METODO DE LOS INTERVALOS
En los cálculos de pérdidas de los artículos precedentes, y en el ejemplo que se acaba de presentar, se reconoce la interdependencia de las pérdidas por flujo plástico, contra cción, y relajam iento de u na manera aproxi mada, median te una reducción arbitraria en un 1 0 por ciento de la fuerza pretensora inicial para ob tener la fuerza con la cual se calculan las pérdidas por flujo plástico y relaja* Debe notarse que la pérdi da por relajamiento en este ejemplo es inusualmente baja. Est~ proviene del bajo esfuerzo en el acero fp¡. El área de acero para esta viga se seleccionó to mando como base los requisitos de resistencia. El presfuerzo inicial de 300 kilolibr se detcntiinó mediante los requisitos de deflexión y fue menor que el máximo permitido
Fuente Deslizamiento en anclaje Acortamiento elástico Fricción Flujo plástico Contracción Relajamiento
Porcentaje de pérdida de fp¡
Lb/pulg2 4,500 0
31 0
13,100
90
15,000
103 83
1 2 , 1 0 0 1 ,2 0 0
8
3 0
9 1 0 8 1
miento. Para los casos en que se requiera mayor precisión, las pérdidas se pueden calcular en intervalos de tiempo durante el período de interés. La fuerza preten sora que produce las pérdidas durante cualquier intervalo de tiempo se considera Igual al valor al final del intervalo de tiempo precedente, tomando en cuenta las pérdidas debidas a todas las causas hast a aquel instan te. La pre cisión se puede aumentar hasta cualquier grado deseado reduciendo la longitud y aumentando el número de intervalos. Se encuentran disponibles programas de computadora para tal tipo de análisis (Ref. 6.4). El Comité del PCI para las pérdidas del presfuerzo ha desarrollado un mé todo de pasos sucesivos que emplea sólo un pequeño número de intervalos de tiempo y, en consecuencia, puede adaptarse bien su uso para cálculos con regla de cálculo o calculadoras electrónicas, así como tam bién concomputadoras (Ref. 6.5). El intervalo de tiempo para cada paso se aumen ta con la edad del concreto. Se emplean 4 intervalos de tiempo tal como sigue: 1. Para miembros pretensados: desde el momento del anclaje del acero de presfuerzo hasta la edad del concreto en que éste se presfuerza. Pa ra miembros postensados: desde el momen to en que termina el curado hasta la edad del concreto en que éstense presfuerza. 2. Desde el final del paso (1) hasta la edad de 30 días, o hasta el momen to en que se sujete al miembro a carga adicional a su peso propio. 3. Desde el final del paso (2) hasta la edad de 1 año. 4. Desde el final del paso (3) hasta el final de la vida útil. El método del PCI para la determinación de las pérdidas debidas a los efectos dependientes del tiempo interrelacionados producirá estimaciones más precisas que el método sugerido en los artículos 6.7, 6 .8 , y 6.9, y la precisión puede aumentar aún más, dentro del formato general del método del PCI, incrementan do el número de intervalos de tiempo. Cuando se prevean cambios significativos
Problemas
284
285
Pérdida parcial de la fuerza de presforzado
h — 24”— H
tal refinamiento, por supuesto, es un mayor esfuerzo de cómputo. En un caso dado esto puede o no ser justificable.
r —] I -
BIBLIOGRAFIA 6.1
Inter im Specificat ions -B rid ge s- 1975, AASHTO Subcom míttee on Bridges and Structures, American Association StateHighwayand Transportation Officials, Washington, 1975, pp. 41-79. 6.2 “Tentative Recommendations for Prestressed Concrete”, Informe de ACIASCE Join Committee, 423, J. ACI, Vol. 54, No. 7, enero 1958, págs. 548-578. I 6.3 Huang, T., “Anchorage Take-up Loss in Postte nsione d Members” , /. PCI, Vol. 14, No. 4, agosto 1969, pág. 30-35. 6.4 Sinno, R. Furr, H. L., “Com puter Program for Predicting Prestress Loss and Camber”,/. PCI, Vol. 17, No. 5, septiembre-octubree 1972, pág. 27-38. 6.5 “ Recomm endations for Estimating Prestress Losses”, Informe de PCI Committee on Prestress Losses,/. PCI, Vol. 20, No. 4, julio-agosto 1975, pág. 43-75. Discussion of Ref. 6.5, J. PCI, Vol. 21, No. 2, marzo-abril 1976, pág. 108-126. 6.7 PCI Design Handbook, Prestressed Concrete Institute, Chicago, 1971, pág. 4.38-4.40, 5.57-6.61. Tadros, M. K., Ghali, A., y Dilger, W. H., “Time-D ependent Prestress Loss and Deflection in Prestressed Concrete Members”, J. PCI, Vol. 20, No. 3, mayo-junio 1975, pág. 86-98.
6 .6
6 .8
PROBLEMAS 6
.1
6.2
Enumere las fuentes de pérdidas de fuerza pretens ora que deben tomarse en cu enta par a el diseño de (a) miembros pretensad os (b) miembros pos tensados. Presente su respuesta en forma tabular, indicando con una simple afirmación o negación la respuesta apropiada. Se ha elaborado un diseño alternativo usando la misma sección transversal del miembro y el mismo cable descritos en el ejemplo del artículo . . Sin embargo, el diseño a lternativo será pretensado usando cables con excen tricidad constante e = pulg. Como antes la fuerza del gato es 300, 0000 Lb. Calcular todas las pérdidas para la viga pretensada y expréselas como un porcentaje de la fuerza pretensora inicial P¡. Se emplea concreto de al ta resistencia y rápido fraguado, curado a vapor, la fuerza pretensora se transfe rirá a los 3 días a la viga pretensada. Como antes la resistencia de diseño del concreto es f ' — 5,000 Lb/pulg .Compare los resultados de sus cálculos y aquellos de la viga del ejemplo con los valores que para vigas pos tensadas y pretensadas se sugiere en los Comentarios al Código del ACI. Discuta. La viga mostr ada en la figura P6.3, de 70 pies de claro, es postensad a usan do 18 cables de 1/2 pulg de Grado 270 contenidos en un simple tendón 8
2
1 0
-9.6"
J
'6
Figura P 6.3 cero en los apoyos. (La curva puede aproximarse mediante un arco circular para los cálculos de pérd idas). La fue rza en el gato es P¡ = 618 kilolibras. Calcule las pérdidas debidas al deslizamiento, al acortamiento elástico, a la fricción, al flujo plástico, a la contracció n, y al relajamiento. Use los mé todos de los artículos 6.3 a .10; aquí no se necesita emplear el método de los intervalos de tiempo del artículo 6.11. Exprese sus resultados en forma tabular, como porcentajes de la fuerza pretensor a inicial P¡. Puede suponerse que los efectos del flujo plástico ocurren bajo la combinación de la fuerza pretensor a y el peso propio. La viga es curada con hume dad y se presfuerza cuando la edad del conc reto es 7 días. Deslizamiento en el anclaje = 0.25 pulg; coeficiente de fric ción del cable = . ; coeficiente de fricción por deformación no intencional del ducto = . ; coeficiente de flujo plástico =2. 35. Las propiedades del miembro son: A c = 737 pulg?, = 192,000 pulg a = c2 = 24 pulg, f p = 5,000 Lb/pulg2, E q = 4,000,000 Lb/pulg2, Ep = 27,000,000 Lb/pulg2 , y wc = 150 Lb/pie3 . 6
4
6
6.3
48 "
0
2
0
0
0
0
1
0
PITULO 7
IGAS COMPUESTAS
f,1 TIPOS DE CONSTRUCCION COMPU ESTA
l'l ic'i mino construcción compuesta, aplicado al concreto presforzado, se refiere |Hii lo general a la construcc ión en la cual un miembro de concreto precolado actúa combinación con concreto colado posteriormente in situ, y ligado a aquél. A incluido, el elemento precolado es una losa pretensada o una viga simple o doble / Un tales casos, se emplea una losa relativamente delgada de remate, a menudo •In refuerzo, aunque a veces reforzada con malla de alambre. Otra forma frecuen temente empleada de construcció n compues ta combina un a viga / precolada protensada con una losa de concreto reforzado colada in situ, para formar un miembro compuesto con sección T. En uno u otro caso, la losa colada in situ «■limpie con los requisitos funcionales de proporcionar una superficie lisa y útil, ■demás de rigidizar y reforzar a la unidad precolada. Un miembro compuesto prelimsiido puede adicionalmente presforzarse, postensándolo después de que la losa lmendurecido. La construcción compuesta ofrece las ventajas del precolado, incluyendo In prefabricación en planta de secciones estandarizadas, las cimbras reutilizables, id tensado de cables en lí nea larga, y un excelente co ntrol de calidad. En el lugar ilr In obra, se eliminan en gran escala los trabajos de cimbrado y andamiaje, permil iendo una erección rápida de la estructura en el campo, con muy poca interInoncia del trabajo o del tráfico efectuado por debajo. La construcción compuesta puede adoptar muchas formas. Los tipos del miembro más comunes en la práctica de los Estados Unidos se muestran en la ligura 7.1. En cada caso, la parte precolada ( PC) de la sección se muestra som breada, en tan to que la parte colada in situ ( CIP) se deja sin sombrear para di ferenciarla. La sección de viga de puente mostrada en la figura 7.1 a ha sido amplia 911
288
Estados de carga
Vigas compuestas
nes para las secciones / precol adas han sido estandarizad as en seis tamaños por la AASHTO, variando el p eralte desde 28 hasta 72 pulg (véase obra referida en 7.1 y Apéndice A). La sección I asimétrica se emplea en combinación con una losa de rodamiento colada in situ, creando una viga nervada T con el centroide de la sección compuesta cercano al lado inferior de la losa. La viga de sección T mostrada en la figura 7.16, se emplea a menudo en losas de cubierta y sistemas de entrepiso de medianos y grandes claros, tales como estacionamientos vehiculares, por ejemplo. Con el aumento del uso del presfuerzo parcial, el cual evita la necesidad de patines inferiores grandes para resistir las grandes fuerzas pretensora s iniciales, se ha encon trado que tales secciones transversales son adecuadas para todos los tipos de miembros, inclusive puentes, así como para edificios. Normalmente, se colocan una al lado de la otra, con los bordes de los patines en contacto. Típicamente, el espesor de la losa de acabado para edificios es de 2 a 3 pulg, pero puede ser substancialmente mayor en puentes. La construcción puede incluir diafragmas intermedios, a menudo lateralmente presforzados para asegurar que el sistema total actúa como un todo. La viga doble T de la figura 7.1c es típica en la producción de numerosas plantas de pr ecolado. Tales vigas se usan ampliamen te en claros cor tos y medianos, mayormente en pisos y cubiertas de edificios, y a menudo se diseñan para acción compuesta con una losa de acabado de 2 pulg. Los mismos comentarios son aplicables para las losas precoladas de corazón hueco mostradas en sección transversal en la figura 7. Id. El prerrequisito esencial para la acción compuesta es una buena adherencia entre el concreto precolado y el colado in situ. El cortante por flexión produce la tendencia al deslizamiento horizontal a lo largo del plano que separa
289
Hlas dos partes. Una considerable resistencia al deslizamiento es proporcionada por la adhesión y fricción naturales entre el concreto colado in situ y el precolado. En muchos casos, se deja rugosa la superficie superior del elemento prccolado, raspándola, más no aplanándola con llana, para aume ntar la trans ferencia de cortante por fricción y trabazón mecánica. Como regla general, pura aquellos miembros con una amplia superficie de conta cto, tales como los mostrados en las figuras 7.16, c, y d, no se proporciona ningún otro dispositivo para la transferencia del corta nte. Para las trabes de puentes más intensamente cargadas, como la de la figura 7.1a, con superficies de contacto más pequeñas, el refuerzo del alma de la trabe se prolonga hacia arriba dentr o de lu losa colada in situ. Esto proporciona la acción de anclaje para resistir al deslizamiento, y mantiene juntos a los dos materiales para asegurar el desarrollo de una resistencia friccionante máxima. En casi todos los casos, la calidad obtenida para el concreto precolado os superior a la del concreto de la parte colada in situ de la sección compuesta. El concreto colado bajo las condiciones de una planta de precolado, donde puede manten erse fácilmente el c ontro l de calidad, tiene generalmente resistencias de 4000 a 6000 lb/pulg2 . El concret o colado en el lugar de la obra es de calidad más variable y de menor resistencia, generalmente en el rango de 3000 a 4000 lb/pulg .Tales diferencias deben tomarse en cuenta en el diseño. 2
7.2 ESTADOS DE CAR GA
Un miembro compuesto debe tener un comportamiento satisfactorio bajo cualquier carga o combinación de cargas que puedan actuar durante su vida útil. El análisis y diseño de secciones compuestas puede requerir la consideración de varios, o de todos, los siguientes estados de carga: 1. 2. 3. 4.
Presfuerzo inicial P¡ inmediatamente después de la transferencia. Presfuerzo inicial P¡ más el peso propio del miembro precolado. Presfuerzo efectivo Pe más el peso propio del miembro. Presfuerzo efectivo Pe más todas las cargas muertas de la sección no compuesta, inclusive el peso del concreto húmedo de la losa. 5. Presfuerzo efectivo Pe más las cargas muertas tanto de la sección no compuesta como de la compuesta más las cargas vivas de servicio. . Sobrecarga máxima.
<*) /E I L
6
te) Figura 7.1 Secciones compuestas típ icas, (a) Viga de puen te AASHTO. ( ) Viga T simple, (c) Viga doble T. (d) Losa de corazón hueco. / 6
Las cargas que se aplican antes de que fragüe el concreto colado in situ producen esfuerzos asociados con la flexión de la sección precolada, alrededor de su propio eje centroid al. Las cargas aplicadas después de que endurece el conc reto colado in situ producen la flexipn alrededor del centroide del miembro compuesto. Los esfuerzos que ya se encuentran áctuando enl aparte precolada del miembro
290
Propiedades de ia sección
Vigas compuestas
son modificadas y, adicionalmente, se aplican esfuerzos en el concreto recien' temente colado. En algunos casos, resulta económico soportar todas las cargas sobrepuesta!. mediante la acción compuesta. Esto puede lograrse mediante el apuntalamiento temporal de la unidad precolada durante el período en que la losa se cuela y es curada. Cuando se remueven los puntales, el peso de la losa, así como todas las cargas subsecuentemente aplicadas, producirán flexión alrededor del centroide de la sección compuesta. Como regla general, los esfuerzos provenientes de los estados de carga 1 a 5 pueden hallarse tomando como base la suposición de un comportamiento elástico, calculando las propiedades de la sección no compuesta o compuesta, la que sea aplicable. Las pruebas han demostrado que al sobrecargarse a los miembros comp' tos, se desarrolla la totalidad de la resistencia de la sección compuesta, siemp que se mantenga la transferencia de cortante a través de la superficie de conta entre los dos componentes (véanse publicaciones referidas en 7.2 y 7.3). Tanto el acero como el concreto pueden esforzarse bien hasta dentro de sus rangoi inelásticos, y las consecuencias de las discontinuidades en las deformaciones son mínimas. La resistencia de los miembros compuestos puede calcularse como si la construcción fuera homogénea. Normalme nte, los es tados de carga que rigen el diseño de las vigas presforzadas compuestas son: el , cuando deben satisfacerse las limitaciones en los esfuerzos de tensión y compresión en las partes superior e inferior, respecti vamente, de la unidad precolada, el estado 5, cuando no deben excederse los lí mites de esfuerzos bajo carga de servicio de compresión en la parte superior y de tensión en la parte inferior de la sección compuesta, y el estado , cuando el miembro debe desarrollar la resistencia adecuada para resistir las sobrecargas, pro porcio nando un margen de seguridad aceptabl e. 2
6
7.3 PROPIEDAD ES DE LA SECCION Y ESFUER ZOS ELASTICOS DE FLEXION
Centroide del
w
precolado
ep
6
Centroide
1
compuesto
i
Area del concreto
Area del concreto
Momento de inercia
Momento de inercia
Radio de giro
Radio de giro
Módulos de sección Excentricidad deios tendones
iX f
fia 1
C2p
X
Él
A cc I cc rc
M ó d u l o s d e s e c c i ó n S-\c
J2p
Excentricidad de los tendones
ec
M ib) Figura 7.2 Propiedade s de las secciones precolada y compuest a, (tz) Sección pre colada. ( b) Sección compuesta.
respectivamente, a las propiedades de las secciones precolada y compuesta. De manera similar, a aquellas cargas muertas que sólo afecten a la porción precolada se les dotará de un subíndice p, mientra s que a aquellas que produ cen esfuerzos asociados con la sección compuesta se les pondrá el subíndice c. Los esfuerzos elásticos que actúan en el miembro bajo cualquier estado pueden hallarse median te l os método s del cap ítul o 3, emplean do las propi edades de la sección apropiadas. Se supondrá que el miembro no está agrietado en ningu no de los estados que sean de interés. En la figura 7.3 se muestran los esfuerzos en una viga compuesta típica co rrespondientes a varios estados de carga. Inmediatamente después de la transfe rencia, la fuerza pretensora P¡ actúa en el miembro. Normalmente, el peso propio de la parte precolada se superpone inmediatamente. Los esfuerzos en las partes superior e inferior de la viga precolada se dan mediante la distribución ( ) de la figura 1 3 b , y son, respectivamente: 2
.r
Cuando se calculan esfuerzos en vigas compuestas, es ne .esario diferenciar entre las cargas que actúan n la viga precolada y aquellas que se aplican después de ha berse agregado l a parte colada in situ de la sección, c uand o pu ede desarrollarse la totalida d de la acción compuesta. Los esfuerzos producidos por la flexión del miembro compuesto se pueden superponer directamente a aquellos ya presentes en la porción precolada. Lógicamente, la flexión en cada caso es alrededor de un centroide diferente, debiéndose emplear dos ju«os separados de propiedades de sección. | i La n otació n se establecerá tomando a la Aur a 7.2 como referencia, la cual mue stra la sección / de una viga precolada a la q|ul se le adiciona una losa colada
r
T
C'P
291
Á¡#¡.
:>A
LPC 1P
f l — ~ h
X f #
y : Á
Sip P± 1
+ eP°2p\ . Í
/
' UÉ
(7.1a) (7.1b)
S
donde Ma es el momento debido al peso propio del miembro pre colado, y los de más términos se definieron anttfficarraánte. Se supondrá que todas las pérdidas dependientes del tiempo ocurrirán en
292
Vigas compuestas
Propiedades de la sección
_
^ 0
+ ^ $ip
293
(7.2a)
ip
M 0 + M dp
(7.2b)
S2p
I
® P e +M„ @ P e + M0 + Mip
donde Mdp es el mom ento debido a las cargas muertas, sin contar el peso propio del miembro, que produce flexión en la sección no compuesta. Después de que el concreto recientemente colado de la losa se ha endureci do y adquirido su resistencia, el centroide efectivo se desplaza hacia arriba hasta Ocupar la posición correspon diente a la sección compuesta, y todas las cargas apli cadas subsecuentemente producen flexión alrededor del centroide compuesto. Hutas incluyen a las cargas muertas aplicadas después de que la losa se ha endure cido, tales como la superficie del pavimento, las tuberías, y las banquetas para puentes, o el ac abado de los pisos, t echos , y los aditam entos suspendidos en el Cliso de los edificios. Casi siempre la carga viva actúa sobre la sección compuesIn únicamente. Los esfuerzos incrementables debidos a las cargas compuestas mostrados en la figura 7 .3 e, se superponen a los esfuerzos previos actuantes en la sección prccolada para produc ir la distribuc ión de esfuerzos (5) mostrad a en la figura 7,3/. Nótese que, como no existen esfuerzos previos en la losa (despreciando los efectos de la contracción), la distribución (5) muestra una discontinuidad de esf uerzos al nivel de la superficie de contact o entr e los comp onente s precolado y colado in situ. Los esfuerzos en el concreto precolado para el estado (5) vie nen dados por las ecuaciones:
_Pe ( h “ Figura 7.3 Esfuerzos elásticos en una viga compuest a no agrietada, (a) Sección transversal. ( b ) Presfuerzo más peso propio, (c) Incremento debido a cargas no compuestas, (d) Presfuerzo más cargas no compuestas, (e) Incremento debido a cargas compuestas, (f) Presfuerzo más cargas compuestas y no compuestas.
mente hasta llegar a los mostrados en la distribución (3), cuando/^ actúa junto con el peso propio. Por lo general, la única caíga de importancia, que no sea el peso de la viga precolada , que actúa sobre la sección no c ompuesta, es el peso de l a losa de con creto, húmeda aún. Esta produc^ flexión alrededor del centroide de la unidad precolada, con esfuerzos tal como se muestra e n la figura 7.3c. Cuando se super ponen estos esfuerzos sobre los ya presentes, se genera la distri bución ( 4 ) de la figura 7.3d. Bajo este estado los esfuerzos en k i partes superior e inferior de
e pc l p\
A cpl, 1 Pe (
f 2 ~ ~ A p { 1 +
) epc2p\
M 0 + M dp
M ic + M,
Slp
Sic
M„ + M ip
r¡ ) +
S2p
M ác + M, +
S2C
(7.3a)
(7.3b)
en tanto que aquellos correspondientes a las partes superior e inferior de la losa son, respectivamente,
M jc + M, Í3 =
M,k + M, / * =
(7.3c)
(7.3d)
$4c
En estas ecuaciones, Mdc es el momento producido por las cargas muertas apli cadas después de que se ha logrado, la acción compuest a, y es el mom ento
Propiedades de la sección 294
295
Vigas compuestas
Sustituyendo nfcp por f c y cancelando términos iguales:
Ya se señaló con anterioridad que el concreto precolado tiene ordinaria mente mayor calidad que el concreto colado in situ, el cual debe colocarse y curarse según las condiciones del campo. Los esfuerzos elásticos en la viga com puesta se verán afectados por la diferencia de rigideces de los concretos. Esta diferencia se puede tomar en cuenta en los cálculos usando el concepto de la sección transformada, mediante el cual el concreto colocado in situ de menor calidad puede transformarse en una porción equivalente más pequeña de concre to precolado de más alta calidad.
(7.4)
btr = nb
l's decir el ancho realó debe ser sustitu ido por un ancho reducido btr dependiente de la relación modular n, en el cálculo de las propiedades de la sección. Después de esta sustitución pueden hallarse las propiedades de la sección como si la viga es tuviera compuesta uniformemente del concreto de más alta calidad.
La figura 7.4# muestra la sección compuesta real con dos calidades de con creto, mientras que la figura 7.4b presenta la sección homogénea transformada equivalente. En cada una de ellas, las deformaciones correspondientes a un nivel cualquiera distante y por encima del eje centroidal serán idénticas. Si /Cy f son, respectivamente, los esfuerzos en el concreto al nivel y en las secciones reales y equivalente, y si Ec y Ecp son, respectivamente los módulos de elasticidad de los concretos, entonces, como las deformaciones son iguales:
■H
96
K H
K = 75--------------------- -H
_
________ ______
1
^
1
1 2 ^ 1
Centroide compuesto
Ec
ECp
ó fe = 4 - fcP = nfcp cp
[a)
donde n = relación modular de los concretos, el cual es generalment e un número menor que la unidad. La sección equivalente brindará la resistencia adecuada siempre que la fuer za de compresión -diferencial sea la misma en cualesquiera de los dos casos, es decir:
-410
dC = f cb dy = f cpbtr dy
--------- b --------------
V a c ia d o en s ..........................
-
...............
i ....
t
s
.............
H
i
---------
■
-------- ----------
1
------ 1
Centroide del
H o
“y
i
,
"— M ie m b r o
(a)
_
J 4«
X I },v
y
yJ'l
concreto
H
P r e c o la d o e q u iv a le n te
_ __ _
p re co lad o
— M ie m b ro precolado
I
(b)
Figura 7.4 Sección compuesta transformada. (a) lección real. ( b ) Sección trans
(¿) Jfe {d) Figura 7.5 Sección transversal y distribución de esfuerzos en una vigad epu ent e AASHTO. (a) Sección transversal, (ó) 'Pf + Ma. (c) Pe +M a + Mdp. (d) Pe Ma + Mdp +Mdc+Mv
296
Propiedades de la sección
Vigas compuestas
Hállense los esfuerzos de flexión correspondientes a las siguientes combinaciones de carga: (a) presfuerzo inicial más peso propio de la viga precolada, (b) presfuerzo efectivo más todas las cargas muertas de la sección no compuesta, y (c) pres fuerzo efectivo más la totalidad de la carga de servicio. Las propiedades de la viga AASHTO tip o II se pueden hallar en el Apéndice A y se resumen en la Tabla 7.1. El peso propio de la viga es inmediatamente so brepuesto cuando se aplica la fuerza preten sora inicial a la viga prec olada, y los esfuerzos en el concreto en las partes superior e inferior de la sección se pueden hallar usando las ecuaciones (7-l¿z) y (7-16):
EJEMPLO: Cálculo de los esfuerzos elásticos por flexión en una viga de puente
Una viga AASHTO del tipo II de tres pies de peralte, precolada y pretensada, se usará con una losa colada in situ de 5.75 pulg. x 96 pulg. para formar unav' compuesta de 55 pies de claro entre apoyos. La geometría de la sección transv sal se muestra en la figura 1.5a. La viga precolada se fabricará empleando concr to con fc = 5000 lb/pulg y Ec = 4.07 x 10 lb/pulg2, en tanto que la losa de concreto tiene fc = 3000 lb/pulg y Ec =3.15 x 10 1b/púlg2 . Una fuerza pre tensora inicial de 468 kilolibras, aplicada 11.59 pulg por debajo del centroid de la viga precolada, se reduce por las pérdidas dependientes del tiempo a 398 kilolibras. (h = 914 mm, losa = 146 x 2438 mm, claro = 16.76 m, viga E 28.1 x 10 kN/mm2, P¡ = 2081 kN, Pe = 1770 kN, y e = 294 mm). Las cf || gas y correspondientes momentos a soportarse son tal como sigue: 2
6
2
6
epciP\ )
3
Viga precolada:
= 385 lb/pie
Mo
= 146 kilolibra-pie
Mdp
= 218 kilolibra-pie (296 KN-m)
= 185 lb/pie (2.7 KN/m)
Mdc
= 70 kilolibra-pie (95 KN-m)
= 1158 lb/pie (16.9 kN/m)
Mi
(56 kN/m) losa de concreto:
Wdp = 575 lb/pie
(8.4 kN/m)
carga muerta
wdc
carga viva:
wl
468,000 369
(198 kN-m)
f i —
. 2
3
c2c = 27.75 pulg. (705 mm)
tal como se muestra en la figura 1.5b. La losa de concreto fresco recién colada provoca esfuerzos en la sección precolada debido al mome nto adicional de acción no compuesta de 218 kiloli bras-pie. De las ecuaciones (1.2a) y (1.2b):
f
r = 138 pulg (89.0 x 10 mm2) slp = 2528 pulg (41.4 * io mm3)
Icc = 1 9,000 pulg (62.0 x 10 m m
2
. 2
s2p = 3220 pulg
3
.
3
.
3
6
(52.8 x 10 mm3) 6
-
_
( \
K
_
\
V + A _
1
c4c = 7.25 pulg. (184 mm) . 4
9
4
2
-2
-980 lb/pulg
s
3
6
6
S3c
100 pulg (187 x 10 mm3)
S
550 pulg (337 x 10 mm3)
. 3
3
6
6
fz —f A
xcp
1
\\
+
398,000 h
M
“°
6 .8
CPL2p
r' p1-
+
S lp
( — N/mm2)
.2
3
. 3
q
11.59 x 20.17\ (146 + 218) x 12,000 138 2528 )
r = 1 2 Pulg (105 x 10 mm2) Si = 1 ,000 pulg (295 x 10 mm3) 5 100 pulg (87 x 10 mm3) 2c
M
J
398,000 / 369 V
c3c = 13.00 pulg. (330 mm)
9
i
h
Icp = 50,980 pulg (21.2 x 10 mm4) . 4
KPC2p
.2
3
clp = 15.83 pulg. (402 mm)
2
= -2400 lb/pulg (-16.5N/mm2)
Acc = 799 pulg. (515 x 10 mm 2) clc = 8.25 pulg. (210 mm)
( + l-3N/mm
1 2
468,000 / 11.59 x 15.83\ 146,000 x 12 369 V + 138 JH 3220
= 438 kilolibra-pie (594 kN-m)
t'ip = 20.17 pulg. (512 mm)
+
.2
146,000 x 2528
p
Viga compuesta
Acp = 369 pulg (238 x 10 mm2)
1
S/p
11.59 x 20.17 08
+ 190 lb/p ulg
Tabla 7.1 Resumen de las propiedades de sección para la viga de puente AASHTO del Ejemplo Viga precolada
297
+ Mj, 2 p
11.59 x 15.83\
(146 + 218) x 12,000 3220
T^rif¡sr-'+
298
Resistenc ia a la flexión
Vigas compuestas
Ahora deben hallarse las propiedades de la sección transversal compuesta. Con la relación modular n = 3.15/4.07 = 0.775, el ancho transformado del patín en compresión es btr = 0.775 x 96 = 75 pulg. según se muestra en la figura 7.5a, propo rcion ando un área del pat ín en com presión de 430 p ulg2. Si se toman mo mentos de las áreas alrededor de la superficie superior de la losa para ubicar el centroide compuesto: C3c
369 x 24.92 + 430 x 2.87 = 13.00 pulg. 369 + 430
En consecuencia, las distancias c¡c y Cj c desde el centroide compuesto hasta las superficies superior e inferior de la sección precolada son, respectivamente 8.25 y 27.75 pulg, y la distancia c4c hasta la parte inferior de la losa es 7.25 pulg, según se muestra en la figura 7.5 a. El momento de inercia de la losa de concreto transformada alrededor de su propi o eje c entroida l es: losa = J 2 x
7 5
x
5 -7 5 3
= H90 pulg
.4
,
(70 + 438)12,000
f i = ------- jg
,
= 149,000 pulg
¡.25
149.000 S2c = “27.75
= 18,000 pulg 5300 pul g
.3
.3
149.000 #— = 11,400 pulg.
$3c —
—
------- = - 340 lb/pulg (-2.3 N/mm2)
(70 + 438)12,000 5300 ~~ +
2
1 1 5 0
lb/P
u l 8
(7.9 N/mm2)
Kdos esfuerzos asociados con la acción compuesta se superponen a los esfuerzos ya presentes debido a la flexión de la sección no compuesta, figura 7.5c, para ob tener los esfuerzos debidos a la totalidad de las cargas de servicio. /, = -9 80 - 340 = -1320 lb/pulg (-9.1 N/mm2) f 2 = -1150 + 1150 = 0 .2
en las superficies superior e inferior, respectivamente, según se muestra en la figu ra 7.5 d. Los esfuerzos en las superficies superior e inferior de la losa de concre to se pueden hallar de manera similar, excepto que los esfuerzos hallados para el área transformada de la losa deben de volverse a transfo rmar, en su caso, a esfuerzos que actúen en el concreto real, multiplicándolos por la relación modular n. To mando como base las ecuaciones (7.3c) y (7.3á) estos esfuerzos son: (70 + 438)12,000 x 0.775 = -410 lb/pulg (-2.8 N/mm2) 11,400 .2
/*= -
(70 + 438)12,000 x 0.775 = -230 lb/pulg (-1.6 N/mm 20,550 .2
2
.4
Los módulos de sección con respecto a las partes superior e inferior de la sección precolada y a las partes superior e inferior de la losa son, r espec tivam ente: Su =
qqq
2 ~ +
y, empleando el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia de la sección compuesta alrededor de su propio eje es lcc= 50980 + 369(27.75 - 15.83)2 + 1190 + 430(13.00 - 2.87)2
299
= 20,550 pul
#
3
Todas las propiedades de la sección compuesta se resumen en la Tabla 7.1. Los esfuerzos increméntales aplicados en lasi partes superior e inferior del miembro precolado a medida en que se aplican las cargas muertas y vivas de la
La distribución final de esfuerzos para la sección compuesta bajo la totalidad de la carga de servicio es tal como se muestra en la figura 7.5 d.
7.4 RESISTENCIA A LA FLEXION
Í+t/: I??"''’' Si se toman las medidas adecuadas para la transferencia de las fuerzas cortantes horizontales a través de la cara de contacto entre los componentes de un miembro compuesto, entonces puede considerarse efectiva toda la sección transversal en el cálculo de la resistencia última a la flexión. Para grandes deformaciones de compresión, la diferencia entre los módu los de elasticidad del concreto colado in situ y el precolado, la cual condujo al empleo del ancho del patín a compresión transformado en los cálculos elásti cos, no tiene significación y, consecuentemente, los cálculos deberán basarse en la totalidad del ancho efectivo del patín. Más aún, la discontinuidad relativa mente pequeña en las deformaciones en la cara de contacto entre el concreto precolad o y el colado in situ, prevenien te de la flexi ón previa de la sección
300
Resistencia a la flexión
Vigas compuestas
301
y no por la del concreto. De esta manera, en la mayoría de los casos prácticos, los cálculos de la resistencia se pueden basar en una sección homogénea consti tuida por el concreto colado in situ que es más débil. Como es usual, para las vigas T los cálculos deberán basarse en un ancho efectivo del pa tín . Asimismo, se pueden emplear las recomendac iones del ACI dadas en la sección 3.7 para vigas monolíticas. Cuando se aplique el criterio a secciones tales como las mostradas en las figuras 7.1b ó 7.1c, deberá usarse el espesor promedio de los patines colado in situ y precolado. EJE MP LO Resistencia última a la flexión de una viga para puente compuesta
K
m
J
1 Vaciado
en sitio r
Hallar la resistencia última a la flexión de la viga para puentes AASHTO Tipo II de 36 pulg, con losa colada in situ, estudiada en el ejemplo previo y mostrada en sección transversal en la figura 7.5 a El acero de presfuerzo consiste de dos tendones de 28 alambres con una sección transversal total de 2.75 pulg2. La resis tencia última del acero es fpu = 250,000 lb/pulg (Ap = 1774 mm2, fpu = N/mm2, y h = 914 mm). La resistencia última a la flexión se determinará tomando como base la ex presión aproxi mada del ACI para los esf uerzos en el acero en la falla. Primero se determinará el ancho efectivo del patín en compresión, usando el criterio del ACI descrito en la sección 3.7: 2
Preco ado
f
1 7 2 3
(c) b < i x 55' x 12 = 165 pulg.
Figura 7.6 Distribuciones de deformaciones y esfuerzos para una sección com puesta en una caja de falla, (a) Curvas esfuerzo-deform ación comparadas.!/)) De formaciones en la falla, (c) Esfuerzos en la falla.
b < (16 x 5.75 + 12) = 104 pulg. b< 96 pulg .(rige)
La relación de acero es Sin embargo, las diferencias entre los esfuerzos de compresión en el concreto para una deformac ión dada en los dos mat eriales produc irá una discontin uidad en el esfuerzo en el concreto en la cara de contac to, tal como se ilustra en la figu ra 7.6. La figura 7.6a muestra las curvas de esfuerzo-deformación típicas de los conceptos colado in situ y precolado. La distribución de las deformaciones en el concreto al inicio de la falla se representa en la figura 7.6 b. Las distribuciones de esfuerzos mostradas en la figura 7.6 c se obtienen de las respectivas curvas de esfuerzo-deformación, siendo la curva con esfuerzos mayores aplicables por de bajo de la superficie de c onta cto , y la curva de esfuerzos menores aplicable por encim a de la misma. / Tomar en cuenta tal distribución de esfuerzos en el diseño tendría como resultado la obtención de expresiones complicadas para el momento de falla. En la mayoría de lós casos resulta innecesario facer esto, debido a que para la sección T el eje neutro último se encuentra generalmente algo elevado en la sec ción y a menudo, de hecho, se encuentra por e A n a de la superficie de contac
2.75 = 0.00078 96 x 36.51 Se hallará el esfuerzo en el acero a la falla basándose en las relaciones aproxima das contenidas en el Código ACI. De la ecuación (3.20) se calcula que el esfuer zo de falla es
= 250(1 - 0.5 x 0.00078 x 250/3)
= 240 ksi (1655 N/mm2) Sin embargo, de acuerdo con el Código, el esfuerzo de falla no debe sobre pasar el esf uerzo de fluencia fpy , el cual para el cable del grado 250 es 212 kiloli bras/pulg 2, ni tampoc o debe de sobrepasar al esfu erzo fpe + 60 kilolibras/pulg2,
302 Vigas compuestas
Transferencia del cortante horizontal 303
timo límite es el que aquí rige, por lo que el esfuerzo de falla se supondrá que es 205 kilolibras/pulg 2 (1414 N/mm2). El espesor del patín de 5.75 pulg. es mayor que el correspondiente al cri terio del Código f
I Adpp ~ = 1.4 X 36.51 X 0.00078 x J
205
Patín vaciado en sitio
Alma precolada'
.sil
C
(
(«>
= 2.72 pulg.
Ï
Patín
lo cual indica que el eje neutro caerá en el patín colado in situ. En consecuencia, la viga se puede tratar como rectangular con un ancho de 96 pulg en el cálculo de la resistencia a la flexión. Mediante la ecuación (3.18)
6)
Alma- * • T
Apfps 0.85 f'cb
2.75 x 205 0.85 x 3 x 96
del claro
(c)
2.30 pulg.
Figura 7.7 Acción compu esta en la viga T. (a) Sección, (ó) Com portam iento no compuesto, (c) Esfuerzos cortantes en interfase.
y de la ecuación (3.19), la resistencia nominal es = A J m d = 2.75 x 205(36.51 - 1.15>/12 = 1661 kilolibra/pie (2252 kN-m)
1
correspondiendo a una resistencia de diseño de (¡>Mn = 0.90 x 1661 = 1495 kilo* libras-pie (2027 Kn-m). Este valor se comparará con la resistencia requerida ha- j liada mediante la aplicación de los usuales factores de sobrecarga del ACI para las cargas muerta y viva: M„ =* 1.4(146 + 218 + 70) + 1.7(438) = 1353 kilolibra/pie (1835 kN-m) confirmándose que, de ser sobrecargado el miembro, éste dispone de la resistencia adecuada. I «' ' ■ § ii ¡ni 7.5
I
I
TRANSFERENCIA DEL CORTANTE HORlÉONTAL
f " I' medida en que se aplica la carga ftexionante a fría viga compuesta presfor; \
A
1
losa colada in situ se deslice horizontalmente. La cara inferior de la losa tiende a moverse hacia afuera con respecto a la cara superior del alma precolada, la cual tiende a desplazarse hacia adentro. Si no se evita este deslizamiento, el patín y el alma actuarán como dos vigas separadas, resistiendo cada una de ellas su por ción de carga independientemente mediante flexión alrededor de sus propios ejes centroidales, tal como como se muestra en la figura 1.1b. El desarrollo de la to talidad de la acción compuesta depende de la prevención del deslizamiento. Para evitar el deslizamiento, deben existir medios para la transferencia de las fuerzas cortantes a través de la cara de contacto entre los dos componentes del miembro compuesto. Las fuerzas cortan tes producidas por las cargas norma les de flexión actúan hacia adentro en la losa, orientadas a la sección de máximo momento, y hacia afuera en el alma, según se muestra en la figura 7.7c. La resistencia al cortante a lo largo de la superficie de contacto se puede proporc ionar media nte la adhesión natural y fricción entre el conc reto colado in situ y el precolado. Esto se incrementará si es que deliberadamente se aumenta la rugosidad de la parte superior de la unidad precolada, en lugar de darle un acaba do liso con llana. Esto se efectúa generalmente, y para aquellas vigas compuestas que poseen una amplia superficie de contacto, como las mostradas en las figuras l.lb, c, y d, no se requiere proporcionar ningún otro dispositivo para la trans ferencia de la fuerza cortante. Las pruebas han confirma do que en miembros de este tipo se encuentra garantizada^ la totalidad del comportamiento compuesto
i 304
Transferencia del cortante horizontal
305
Vigas compuestas
Para aquellas vigas cargadas más intensamente y que poseen una m enor su* perfici e de c ont acto , tal com o la m ostra da en la figura 7.1a, lo s estribo s vertica* les colocados en el alma de la viga para resistir los esfuerzos de tensión diagonal po r lo general son prolon gados haci a arriba y anclados en la losa colada in situ. Esto no solamente proporciona una resistencia al deslizamiento mediante la acción del anclaje, sino que también aumenta la resistencia friccionante al man tener en contacto íntimo a los dos componentes. Por lo general, en forma adicio nal se especifica una superficie rugosa. En casos especiales, se pueden proporcionar llaves de corte en la parte superior del alma proyectándose hacia arriba dentro del pa tín , aun cuan do éstas no son efectivas sino hasta la ocurren cia de algún desli zamiento. Para una viga elástica sin agrietar, la intensidad del esfuerzo cortan te hori zontal debido a la flexión puede calcularse mediante la expresión familiar
(7.5a) donde vh
=
intensidad del esfuerzo cortan te, lb/pulg2.
E
= fuerza cortante extern a en la sección debida a las cargas muertas y vivas actuando en la sección compuesta, Ib.
Q
-
/
= momento de inercia de toda la sección alrededor de su propio eje centroidal, pulg4.
bv
momen to estático alrededo r del eje centroidal de toda la sección del área de compresión de la sección comprendida entre el plano hori zontal considerado y la cara extrema en compresión, pulg3.
= ancho del plano de corte que se está investigand o, pulg.
Si bien en las primeras investigaciones, (véanse publicaciones referidas en 7.3 y 7.4), se empleó la ecuación (7.5a) para calcular el esfuerzo cortante en la cara de contac to a la falla, se reconoció que ella no da una representación correc ta de los esfuerzos debido a que se ignora la influencia del agrietamiento y debido a la suposición de una respuesta elástica del concreto. Se brinda una base de com para ción igualme nte válida y más simple, al calcillar la inten sidad del esfuerzo cortante nominal en la falla, mediante la ecuación vh =
M
(7.5b)
donde des la distancia de la cara extrema en compresión del miembro hasta el Centroide del acero de presfuerzo, para toda la sección compuesta. Los procedi mientos actuales de diseño se basan en los límites délos esfuerzos cortantes nomi nóles, calculados mediante la ecuación (7-5b), y determinados mediante pruebas. De acuerdo con el Código ACI, se puede suponer que existe transferencia lid la totalidad de las fuerzas cortantes horizontales si se satisfacen todas las con diciones siguient es: 1. Las superficies de conta cto se encuen tran limpias, libres de lechada , e intencionalmente rugosas con amplitudes de rugosidad de aproximada mente 1/4 pulg. 2. Se proporciona por lo menos la cantidad m ínima de estribos. 3. Los miemb ros del alma se diseñan para resistir todo el cortan te vertical. 4. Todo el resfuerzo por cortante se ancla totalmente en tre todos los ele mentos interconectados. I!n estas disposiciones, los requerimientos mínimos de los estribos o ligaduras son los que se establecieron para la tensión diagonal mediante las ecuaciones (5.23) y (5.24). El espaciamien to de los estribos no debe ser mayo r que 4 veces la menor dimensión del elemento soportado (por ejemplo, el espesor de la losa) ni que 24 pulg. Las ligaduras para el cortante horiz ontal pueden consistir de simples vurillas o alambres, estribos con piernas múltiples, o de las piernas verticales de la malla de alambre soldada. En todos los casos se deberá proporcionar el ancla je adecuado. Si no se cumpliera con todos los requerimientos de arriba, entonces deberá comprobarse la capacidad del miembro para transmitir fuerzas horizontales baMÍmdose en la relación K < 4 > v n h =4 > ( V n H b v d )
( 7 -6)
donde Vu es la fuerza cortante bajo cargas factorizadas, Vnh es la resistencia no minal al c ortante , y 0 = 0.85 es el factor de reducción de resistencia. De acuerdo con el Código ACI deben aplicarse los siguientes valores máximos de vnh : 1. Cuando no se proporcionan ligaduras, pero las superficies de contacto se encuentran limpias, libres de lechada, e intencionalmente rugosas, vnh = 80 lb/pulg 2. Cuando se cumple con los requerimientos mínimos de ligaduras, y las superficies de contacto están limpias y libres de lechada, y no son intencionalmente rugos'ás, vnh - 80 lb/pulg2. 3. Cuando se cumple con los requerimientos mínimos de ligaduras o estri bos, y las superfic ies de con tacto se en cue ntra n limpi as, libres de le cha da, e intencionalm ente rugólas. vnh = 350 lb/pulg2. .2
306
Cortante y tensión diagonal
Vigas compuestas
Los requerimientos mínimos para las ligaduras o estribos y para la rugosidad in tencional son tal como se establecieron anteriormente. Un procedimiento alternativo, también permitido por el Código, para el diseño por cortante horizontal, consiste en disponer lo necesario para la trans misión de la máxima fuerza de compresión o tensión que debe actuar en cada componente de la sección compuesta en la falla. Refiriéndonos a la figura 7.7c, la fuerza tota l de compresión por flexión C o de tensión T se pueden determin fácilmente. La máxima fuerza cortante que se puede transferir entre las secciones de momento máximo y nulo puede calcularse tomando como base la teoría de cortante-fricción de la sección 12.4 (ver publicación referida en 7.5), y es fun ción del número y la resistencia a la fluencia de los estribos que atraviesan la superficie de contacto, así como también de la rugosidad de la superficie. Este procedim iento se basa en la aceptación de peque ños movimie ntos a lo largo de la cara de contacto bajo sobrecargas severas, de tal forma que la distribución elásti ca del esfuerzo cortante horizontal llega a ser irrelevante. Este análisis alternativo se requiere específicamente cuando el valor calculado de Vu sobrepase (350 0
De acuerdo con el Código, para superficies rugosas y estribos, la resistencia de diseño por cortante se puede tomar igual a (¡)Vnh = 0.85 x 350 x x 36.5 = 130 kilolibras, estando bastante por encima de Vu = 99.5 kilolibras. El máxi mo espaciamiento de los estribos no deberá sobrepasar 4 veces el espesor de la losa o 24 pulg., de acuerdo con el Código. El máximo espaciamiento propuesto de pulg. satisface ambos criterios. Para fines de comparación se comprobará el diseño empleando la teoría de cortante-fricción. La fuerza total a transferirse con el objeto de desarrollar la capacidad a flexión del miembro, puede hallarse fácilmente, basándose en el es fuerzo del acero bajo carga última de 205 kilolibras/pulg (ver el ejemplo en la sección 7.4). Para un área de acero de presfuerzo de 2.75 pulg2, ésta correspon de a una acción de tensión (o compresión) de 1 2
2 1
2
T = C = 2.75 x 205,000 = 564,000 Ib (2509 kN)
De acuerdo con el Código, con un factor de fricción entre el concreto colado in situ y el precolado de . , el área de acero requerida para atravesar la superficie de contacto se halla de la ecuación (12.4) 1
b¿).
307
0
EJE MP LO : Investigación de la transferencia del cortante horizontal
La viga AASHTO del ti po II con losa colada in sit u estudiada en los ejemplos pre cedentes está provista de refuerzo del alma consistente en estribos en U del No, 4 que se prolongan hacia arriba dentro de la losa anclándose mediante ganchoi estándar de 90 grados. El espaciamiento propuesto para los estribos del grado 60 varía desde 5 pulg. (127 mm.) entre centros en los apoyos hasta un máximo de 21 pulg. (533 mm.) entre cent ros en la región central del claro. Se proporci o na un total de 29 estribos en cada mitad del claro. La superficie superior de la viga precolada es raspada de manera tal que cumpla con los requerimientos del Código acerca de la “rugosidad intencion al” , con una amplitud de aproximada mente 0.25 pulg. (6.35 mm.). Determin ar si el mecanismo propo rciona do para transferir el cortante es adecuado. La carga factorizada se calcula a partir de la carga muerta real y las cargai vivas de servicio mediante los procedimientos usuales del ACI: w„ = (385 + 575 + 185)1.4 +.1185 x 1.7 | = 3618 Ib/pie (53 k? correspondiente a unn¿cortante de p
i'
I K = 3618 x 55/2 = 99,500 «4 4 3 kN) Para la viga compuesta, el peralte efectivo hast; 11 centroi de del acero es 36.51 pulg y el ancho de la superfi cie de con tact o en la| irte superior del miembro pr colado es pulg.
564,000 0.85 x 60,000 x 1.0 = 11.06 pulg (7136 mm2) .2
Los 29 estribos propuestos en total, cada uno con un área de 0.40 pulg2, propor cionan Av = 29 x 0.40 = 11.60 (7484 mm2)
cumpliendo así con los requisitos de la teoría de cortante-fricción. +j; 7.6 CORTAN TE Y TENSION DIAGONAL
No existen problemas particular es asociados c on el diseño de vigas co mpuesta s preforzadas para resistir el c ortan te y la t ensión diagonal. En general, son apli cables sin cambio los conceptos y especificaciones de diseño del capítulo 5 para los miembros compuestos. Debido a que el diseño por cortante se basa en las condiciones del miembro sujeto a cargas factorizadas, es decir, al inicio de la falla, es irrelevante el hecho de si las cargas se aplican a la sección precolada solamente o al miembro compuesto. Se supondrá que el cortante vertical es resistido por todo el miembro co lado monolíticamente con la misma forma de sección transversal. Generalmente
308
Vigas compuestas
Problemas
él cálculo de Vc se puede basar en la resistencia del concreto en la parte precola da de los miembros compuestos (normalmente de la mejor calidad) debido a que la mayor parte de la resistencia al cortante es proporcionada por el alma precola da y no por el patín colado in situ. Como de costumbre, el esfuerzo nominal cortante se calcula basándose en el ancho del alma. Para secciones I tales como la mostrada en la figura 7.1a, re sulta apropiado y conservador usar el más angosto de los anchos del alma sin considerar el patín superior de la sección precolada. Para secciones con alma de ancho variable, tal como la de la figura 7.1c, es aceptable basar los cálculos en el ancho promedio del alma. Normalmente no es necesario o no se prop orcion a refuerzo para el alrpa para losas como la de la figura 7.1c?, o para dobles T (realme nte unidades de losas nervadas) tales como la de la figura 7.1c. Para otros casos, tal como el de la T simple, figura 1.1b, y para las secciones I (figura 7.1a), sí se proporcionan estribos. Los estribos se prolongan hacia arriba, anclándose adecuadamente con dobleces a 90 grados o el dispositivo que sea equivalente. Tal acero del alma sirve para varios propósitos. Brinda refuerzo en contra de la falla debida a los es fuerzos por tensión diagonal, se opone a la falla por deslizamiento entre los com ponent es a lo largo de la superficie de c onta cto y, adicionalm ente, se opo ne al pandeo hacia arriba del pat ín de la viga debido a la compresi ón longitudinal causada por la flexión.
PROBLEMAS
7.1
La viga T compuesta de 50 pies de claro de la figura P7.1 lleva incorporada una losa colada in situ con f ' = 3000 lb/pulg2. El área de acero total es Ap = 1.73 pulg2, y cálculos p or separado indican que el esfuerzo del acero en la falla es fps = 230,000 lb/pulg2. Determinar el número y espaciamiento de estribos en U del No. 4 con resistencia fy = 50,000 lb/pulg2, para ase gurar la acción compuesta mediante la transferencia del cortante a través de la superficie de contacto entre los componentes. La cara superior de la sección T precolada se ha dejado intencionalmente rugosa. 60"-------------H
FIGURA P. 7.1
7.2 BIBLIOGRAFIA
Se proyecta una plataforma estructural para estacionamiento, compuesta por simples vigas T precoladas paralelas de 42 x 96 pulg, colocadas unas al lado de otras, según se muestra en la figura P7.2. Después de la erección de las T, se colará in situ una losa de 5 pulg que actuará en forma compues ta con los miembros precolados. El concreto precolado tiene resistencia de f c'= 5000 lb/pulg y /J . = 3500 lb/pul g2, mientras que el concreto colado in situ tiene una resistencia de f j = 3000 lb/ pul g2 . Se propo ne que las vigas se pretensen, usando cables rectos de pulg de diámetro y grado 250 de forma tal que soporten su peso propio más el de la losa de concreto fresco sin violar los límites de esfuerzos del ACI, y que, después de endurecida la losa, las vigas se presfuercen aún más postensándolas mediante cables adi2
7.1 7.2 7.3 7.4
AASHTO, Specifications for Highway Bridges, 1la. ed., American Associa tion of State Highway and Transpo rtati on Officials, Washington, D.C., 1973i 469 págs. Hanson, N. W., “Precast-Prestre ssed Concrete Bridges: (2) Horizonta l Shear Conections”, J. Res. and Dev. Lab., Portland Cement Association, Vol. 2, No. 2 , mayo 1960, págs. 38-58. Saemann, J. C. y Washa, G. W„ “Hor izontal Shear Connect ions Between Precast Beams and Cast-in-Place Slabs”,/. ACI, Vol. 61,No. 11,noviembre 1964, págs. 1383-1409. | ACI-ASCE Com mittee 333, “Tentative Reçommend ations for the Design of Composite Beams and Girders for Buldings”, J. AC I, |Vol. 57, No. , di ciembre 1960, págs. 609-628, Mast, R. F., “Auxiliary Reinforcement in Concrete Connections”, /. Struct, Div. ASCE, Vol. 94, No. STáfjunio 1968, pigs. 1485-1104. Matto ck, A. H. y Kaar, P. Hi, “Precast Préstressed Concrete Bridges: (4) Shear Tests of Continuous Girders”, J. R eí and Dev Mab ., Portland C* ment Association, Vol. 3, No. 1, enero 1961, págs. 19-46. 6
7.5 7.6
309
1/ 2
-96"-
-H
310
CAPITULO 8
Vigas compuestas
dónales de pulg de diámetro para poder soportar toda la carga de ser vicio, incluyend o la cargaviva de 150 lb/pie, cumpliend o co n las limitaciones de esfuerzos del ACI. Las pérdidas se pueden suponer del 15% para el pre tensado y el 12% para el postensado, (a) Determinar la fuerza pretensora requerida y el número de cables de pulg de diámetro requeridos, (b) Hállese la fuerza que se requiere aplicar adicionalmente mediante posten sado y el número de cables postensados, (c) Calcular los esfuerzos de flexión en el concreto para todos los estados críticos de carga, (d) ¿Qué sugerencias tiene usted para mejorar el diseño? Las propiedades de la sec ción T simple son: A c = 834 pulg2, Ic = 127,000 pulg4, Cj = 15.3 pulg. 1 / 2
1 / 2
VIGAS CONTINUAS Y PORTICOS
8.1 CLAROS SIM PLES EN COMPARACION CON LOS CONTINUOS
l.a mayor parte de la construcción presforzada en los Estados Unidos en’nuestros días consiste de vigas estáticamente determinadas y trabes, de púneles para cubiertas de piso y tech o, y unidades de muros. Existen varias razones para esto. A diferencia de la constru cción de concr eto refor zado, la cual se cuela mayormente en el lugar de la obra y para la cual la continuidad es la condición natural, la gran parte del concreto presforzado es también precolado. Esto brinda las grandes ventajas de evitar el empleo de las cimbras, y el tensado en campo, y permite una construcción de alta calidad y bajo costo. Sin embargo, la estructura llega al lugar de la obra en partes como en el caso de las estructuras de acero, y se requiere de un gasto y esfuerzo adicionales para obtener la conti nuidad. Adicionalmente, para claros continuos, el diagrama de momentos máximos de diseño tiene picos localizados por lo general en los apoyos. Para las estruc turas de concreto que emplean las varillas ordinarias de acero no presforzado, el momento resistente puede fácilmente variarse para adecuarse a los momentos que controlan el diseño en varias secciones, cortando o doblando las varillas en donde éstas no se requieran. Para los miembros presforzados, a menudo el refuerzo principal es un tendón, continuo de sección transversal constante, cuya área se determina por los requisitos de la sección de máximo momento. Para los claros continuos: en los cuales los requerimientos de momento varían gra dualmente a lo largo de toda la longitud esto puede conduc ir a diseños
Perfiles de tendones y arreglos del tensado 313
312 Vigas continuas y pórticos
En claros continuos presforzados para los cuales el perfil del tendón pre senta varios cambios de curvatura, las pérdidas por fricción pueden también llegar a ser grandes. Finalmente, tal como se discutirá más detalladamente más adelante, las vigas estáticamente indeterminadas presforzadas desarrollan de manera carac terística momentos secundarios como consecuencia del presfuerzo, introdu ciendo una complicación en el proceso de diseño. Sin embargo, existen ventajas importantes relacionadas con las estructuras indeterminadas de concreto presforzado, así como para estructuras de otros tipos. Para claros y cargas dadas, los momentos de diseño son menores que para las estructuras determinadas. La rigidez se aumenta y las deflexiones se dis minuyen. Mediante la continuidad en el postensado de los tendones a lo largo de varios claros, se requieren menos anclajes, y los costos de mano de obra para el tensado se reducen grandemente. La rigidez de los nudos en los pórticos con tinuos proporciona un importante mecanismo para resistir las cargas horizonta les tales como las inducidas por el viento, las explosiones, o las fuerzas sísmicas. Como una consecuencia de las ventajas, la construcción continua en con creto presforzado viene ganando continuamente popularidad en los Estados Unidos, y se espera que esta tendencia continúe, y han probado ser tanto fun cionales como altamente económicas. Para puentes medianos y largos, las venta jas económic as y estética s de la conti nuid ad son conside racione s domina ntes. Se h;tn desarrollado muchos arreglos ingeniosos para evitar los problemas enun ciados anteriormente, tales como las altas pérdidas por fricción del presfuerzo, y la necesidad de adaptarse a la variación de los momentos a lo largo de los cla ros. En muchos casos los componentes precolados pretensados se postensan i jun tos en el campo con la finalidad de o bte ner las venta jas de la conti nuida d, así como la economía asociada con la producción en planta. Este sistema se ha explotado extensamente en puentes con claros medianos, para los cuales claro* ¡ completos son a menudo precolados y pretensados para soportar su peso propio y las cargas de construcción, luego se postensan en el lugar de la obra para pro porc iona r conti nuid ad para las ca rgas mu ertas y vivas sobrepuestas. Los pu ent ede gran claro de segmentos precolados se diseñan normalmente para continti dad total. La construcción continua presforzada se encuentra bien arraigada en Euro pa, y se espera que llegue a popula rizarse en los Estados Unid os como un resul tado de un may or desarrollo técnico y de las cambiantes condiciones económica* (Refs.8.1,8.2,y 8.3).
j§
l
l
8.2 PER FILE S DE TENDONES Y ARREGLO s!DEL TENSADO
variación de las cargas muerta y viva, de la misma forma en que lo era para las vigas de un claro simple estáticamente determinadas. En general, los momentos proven ientes del presfue rzo deberá n variar en la misma forma que los mom en tos debidos a las cargas aplicadas, y actuar en sentido opuesto. Como conse cuencia se puede establecer un perfil razonable para el tendón dividiendo todas las ordenadas del diagrama de momentos de las cargas aplicadas por una cons tante para obtener las excentricidades del tendón a lo largo del claro. Por ejemplo, para la viga continua de dos claros de la Fig. 8.1a, una carga uniformemente distribuida producirá el diagrama de mome ntos de la figura . b. Los momentos varían parabólicamente, alcanzando un valor máximo de w l 8
1
2 / 8
en el apoyo central. El momento en el centro de cada claro es w l2/1 6. Conse cuentemente, se puede seleccionar un tendón para el cual la excentricidad va ríe parabólicamente, con una excentricidad máxima en el apoyo central, y con una excentricidad justamente igual a la mitad de esa cantidad en el centro del claro, según se muestra en la figura . c. En tanto que esto conduce a un tendón concordante, descrito posterior mente en el artículo 8.7, probablemente no constituya el mejor de los arreglos. Se obtendrá una mejor economía empleando un tendón con la máxima excen tricidad posible, en ambos centros del claro y en el apoyo central, tal como se muestra en la figura .Id. Se requeriría una fuerza menor que la necesaria para el caso mostrado en la figura 8.1c, si es que se empleara tal perfil. Esto puede confirmarse recordando el principio del balanceo de cargas, o el de las cargas equivalentes, descritos en el artículo 4.10, lo cual confirma que la fuerza pretensora requerida para balancear una carga dada se minimiza maximizando la flecha (Refs. 8.4 y 8.5). El método del balanceo de cargas generalmente proporciona la mejor ma nera de determinar el perfil del tendón en vigas continuas, revelando a menudo posibilidade s que no son mostr adas muy claram ente por otro s méto dos. Al d i señar mediante el balanceo de cargas, el diseñador es orientado hacia la selec ción de un perfil que produzca las cargas equivalentes sobre la viga que sean iguales y opuestas a las resultantes de las cargas aplicadas. Una carga distribuida pod ría ser to mad a medi ante un ten dón para bólic o, un grupo de cargas con cen tradas mediante un tendón lineal segmental, etc, de manera similar a lo que se discutió para un claro simple en el artículo 4.10. En los extremos simplemente apoyados de los claros exteriores de vigas continuas, la excentricidad debe ser cero, debido a que los momentos inducidos por las cargas son cero allí. En los apoyos interiores, la excentricidad puede tener el máximo valor permitido por los requerimientos de protección de concreto para el acero. Las consideraciones prácticas excluyen el empleo de un cambio brusco en la pendiente del tendón tal como se muestra en el apoyo central de la viga de la figura .Id. En los casos reales, se usará una curva de transición, según se muestra en la figura .le. La longitud de la curva de transición varía, dependien 8
8
8
8
1
314 Vigas continuas y pórticos
Perfiles de tendones y arreglos del tensado 315
I n t e n s i d a d d e c a r g a — W
::
-4^
(a)
Centroide parabólico del aceros
1
i
'
---------------------- -------------------------------------------- ----------------------
_______
~
T
' _________________ : 1
'
1
~ i ------------- " ,
Centroide de! concreto
1
(c) Centroide parabólico del acero.
Centroide del
?
T
T=
\d)
h-
Curva de transición
""•r-------------io Figura 8.1 Bases para la selección del perfil del tJxI ón . (a) Cargas, (b) Momen tos debidos a las cargas, (c) Perfil del tendón basado en el diagi ama de momen
cia en la carga equivalente producida mediante el tendón idealizado de la figura 8 .Id y el arreglo más práctico de la figura 8 .le, con una curva de transición, puede tomarse en cuenta en el análisis, pero por lo general se desprecia. Mien tras que el comportamiento bajo cargas de servicio será ligeramente diferente que el supuesto, la capacidad última a la flexión no se verá afectada. Los varios cambios en el sentido de la curvatura típicos en los tendones postensados de vigas con tinuas pueden provocar elevadas pérdidas por fricción. Para las losas (figura 9.2a) el peralte de concreto es pequeño en comparación con las longitudes de los claros y por lo tanto, las curvaturas requeridas para el tendón son pequeñas. En tales casos, es posible emplear tendones continuos sobre tres, cuatro o a veces cinco claros sin excesivas pérdidas por fricción. Para otros casos, pueden emplearse otros arreglos con la finalidad de evitar la dificultad. Por ejemplo, una viga de dos claros tal como la de la figura 8.1e, podría tensarse desde ambos extremos simultáneamente empleando dos gatos. Alter nativamente, la viga podría tensarse desde un extremo solamente, aunque soluetesándola temporalmente para lograr que la tensión en el claro más alejado alcance el valor deseado. Después de esto, la fuerza en el gato se reduce hasta el nivel inicial especificado. En la figura 8.2 se muestran otros arreglos para los tendones postensados empleados en construcciones coladas in situ. La excentricidad requerida para el tendón se puede lograr sin emplear excesivas curvaturas en el cable desvian do el patín inferior de la viga, según se muestra en la figura 8.2b. La excen tricidad efectiva es la distancia desde el centroide del acero al centroide del concreto, cuyo peralte varía tal como se muestra. Los anclajes intermedios traslapados de la figura 8.2c reducen la longitud de las unidades pretensoras y de esta manera reducen las pérdidas por fric ción. Los tendones se llevan hacia afuera por la superficie superior de la viga. Deberán proporcionarse cajuelas alargadas para acomodar los gatos y los an clajes. Estas cajuelas se llenarán posteriormente mediante concreto sin forzar. Generalmente es necesario, cuando se usa tal arreglo, colocar varios tendones rectos a lo largo de toda la longitud de la viga inicialmente, para evitar el agrie tamiento en los apoyos intermedios provenientes de la gran excentricidad efecctiva (Ref. 8.1). En varios diseños se han empleado cables tipo casquete cortos y disconti nuos, según se muestra en la figura 8.2d. Estos son tensados y anclados en cajue las moldeadas en el intradós de la viga a cada lado de los apoyos intermedios. El tensado de claro por claro en vigas continuas se puede lograr empalmando los tendones, según se sugiere en la figura 8.2e. Se emplean normalmente vari llas de alta resistencia, con extremos roscados enlazados mediante copies. Los claros se construyen y presfuerzan uno a continuación de otro. Mientras que los copies se localizan cerca de los apoyos intermedios, esto provoca alguna di
Análisis elástico para los efectos del presforzado
317
316 Vigas continuas y pórticos
(a)
Centroide del acero
Centroide del concreto
Tendones
Cables de casq uillo
Acoplador
■Ga to
3 TKT Primer claro
Segundo claro
Tercer claro
M
Figura 8.2 Arreglos del tendón para vigas continuas coladas in situ. (a) Tendones continuos en losas. ( b ) Viga de peralte variable, (c) Uso de anclajes inte rmedios. (d) Cables de casquete, (e) Construcción de claro por claro. complican este arreglo óptimo. Un mejor esquem%consiste en colocar los empal mes del tendón en juntas de construcción ubicadas en los puntos quintos de los verticalmente los tendones claros consecutivos, en donde es posible distribj individuales, manteniendo aún el centroide del gr o en el nivel deseado, lo más económico y práctico En muchos casos, para vigas continuas, el a¡ tos precolados pretensados, consiste en armar la estructura empleando ele: los cuales se postensan después del ensamble coi finalidad de lograr una con-
apoyos, soportando su peso propio y las cargas de construcción como simplemente apoyados. Después del postensado, las cargas muertas y vivas adicionales se soportan mediante la acción de la continuidad. Para puentes con grandes claros, a menudo cada claro se encuentra constituido por varios segmentos precolados que son postensados sucesivamente a medida en que se lleva a cabo el montaje. En este caso, se puede obtener una continuidad to tal. En la figura 8 ,3a se ilustra el empalme de tendones en vigas continuas constituidas por claros precolados pretensados. Después de colocar los elementos precolados, éstos se posten san uno por uno en secuencia, prop orcion ándoles un anclaje temporal en cada apoyo. Luego el tendón de postensado para el claro siguiente se acopla, se tensa desde el extrem o lejano , y se ancla. De esta forma se puede proporcionar la continuidad necesaria para resistir las cargas muerta y viva sobrepue stas. Pueden también emplearse los cables tipo casquete para unir vigas recoladas, según se muestra en la figura 8.3b. Esto proporciona resistencia a la flexión negativa sobre los apoyos intermedios, en tanto que el pretensado se encarga de resistir los momentos positivos en los claros. En la figura 8.3c se ilustra la construcción de un puente de gran claro mediante el método del voladizo; en este caso pequeños segmentos del claro central son precolados o colados in situ sucesivamente. Los tendones necesarios sobre los apoyos se curvan sucesivamente hacia abajo dentro del alma de la viga y se anclan a los segmentos a medida en que éstos son progresivamente colocados en su lugar, volando hacia afuera con dirección al centro del claro. Los cables para la continuidad comienzan en la parte superior de la viga, cerca de los puntos de inflexión. Estos cables se curvan hacia abajo de forma que alcancen la parte inferior de la viga en el centro del claro. Ellos se tensan y anclan en cajuelas formadas en la parte superior de la viga. Son muchas las variantes, tanto para la construcción colada in situ como para la precolad a, habiéndos e demostr ado considerable ingenuidad al desarrollar las técnicas especiales. Para los miembros continuos de todos tipos, es absolutamente indispensable tomar en cuenta el acortamiento axial asociado con el postensado.
8.3 ANALISIS ELASTICO PARA LOS EFECTOS DE L PRESFORZADO
Cuando una fuerza pretensora excéntrica se aplica a una viga estáticamente determinada, como la mostrada en la figura 8.4, se inducen momentos flectores iguales al producto de la fuerza por la distancia entre el centroide del acero y el centroide del concreto. Al presforzarse la viga se deflexionará, combándose generalmente hacia arriba, aunque sin que se produzcan reacciones exteriores. Si se excluye el efecto del peso propio del miembro, la resultante de los esfuerzos de compresión C coincide con el centroide del acero presfuerzo, según se muestras ¿ m
Análisis elástico para los efectos del presforzado
318 Vigas continuas y pórticos
319
Para las vigas estáticamente indeterminadas, la acción es más complicada. El momento que se acaba de describir, el cual ahora se denominará momento primario, produce una tendenc ia en la viga a deformarse como antes, pero es restringida por el sistema de apoyos redundantes. Las reacciones que se pro ducen en estos apoyos, dan lugar a momentos secundarios en la viga. En este caso, el momento total producido por el presfuerzo en cualquier sección es la suma de los momentos primario y secundario. Puede comprenderse el efecto del presfuerzo en una viga estáticamente indeterminada mediante las figuras 8.5 y . . La viga de la figura 8.5a se en cuentra sujeta a una fuerza pretensora P con excentricidad constante e. El mo mento primario de flexión Pe causará el levantamiento de la viga continua de su apoyo central, según se muestra en la figura 8.5 b, si es que ésta tuviera la li bertad para hacerlo. Sin embargo este desplazami ento esta restringido por el 8
6
Centroide del Centroide del acero
..
-4
concreto
-
H-------- — i — -------- >H------------ 1-------
-----
H
(a)
dbo
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ib) R
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w
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1
I—
I• I 1 f
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Figura 8.4 Viga estáticamente determinada. (a) .w fil de la viga. (b ) Deflexión debida al presfuerzo. (c) Diagrama de cuerpo lipc de una porción de la viga.
I d )
'
fp I Figura 8.5 Fuerzas y deflexiones para una viga estáticamente indeterminada. (a) Perfil de la viga. (b ) Deflexión cuando se retira el apoyo central, (c) Reaccio' r' (d) Deflexión •• nes en los apoyoswebidas al-'tJrer presfuerzo. real’ debida al< presfuerzo.
320 Vigas continuas y pórticos Anális is elástico para los efectos del presforzado 321
sistema de apoyos redundantes. Para proporcionar esta restricción se desarrolla una fuerza hacia abajo R en el apoyo central, según se muestra en la figura 8.5c. Esta fuerza se equilibra mediante reacciones iguales a R/2 en cada extremo de la viga continua. La forma real deflexionada de la viga continua, sujeta a la fuerza pretensora P, y restringida a tener deflexión nula en todos sus apoyos, se representa en la figura 8.5d. Las fuerzas de apoyo debidas al presfuerzo se pueden hallar mediante el método clásico de superposición (Ref. . ). Las reacciones redundantes apro piadas se seleccionan de forma que su eliminación conduzca a una estruc tura primaria estática mente estable y determi nada. Las redun dantes se reemplazan por fuerzas desconocidas, y el valor de estas fuerzas se ajust a en forma tal de reproducir deflexiones nulas en los apoyos. Para el presente ejemplo, sería conveniente considerar a la fuerza en el apoyo central como a la redundante. Con dicha restricción redundante remo vida, se puede hallar la deflexión d bo de la figura 8.5 b, debida a la fuerza apli cada de presfuerzo, mediante cualquier método conveniente, tal como el de área de momentos, el de la viga conjugada, el de trabajos virtuales, etc. Luego se halla la fuerza R de la figura 8.5c de la condición que debe de producir una deflexión igual y opuesta, de manera que la suma de las dos componentes de de flexión en aquella ubicación es cero. Los momentos flectores para la viga de la figura 8.5 se muestran en la figura . . Como la excentricidad es constante, para este ejemplo, el momento prima rio Mi = Pe es constante (figura . a). Las reacciones provenientes del pres fuerzo producen el momento secundario M2 = Rl /2 en el apoyo central. Puesto que los momentos secundarios en cualquier viga continua presforzada son pro ducidos por fuerzas que actúan únicamente en los apoyos, estos momentos se cundarios deben siempre variar linealmente entre apoyos, según se muestra aquí. El momento total debido al presfuerzo de la viga indeterminada es igual a la suma de los momentos primario y secundario, y se muestra en la figura . c. Los puntos con momento de flexión nulo deben identificarse con puntos de inflexión de la curva de deflexión de la figura 8.5c?. En cualquier caso, la magnitud de los mome ntos secundarios depende del ; perfil parti cular seleccionado para el t endó n. Para casos especiales, los m omen- ; tos secundarios pueden ser cero (ver artículo 8.7), pero generalmente esto no es así. A menudo ellos son comparables a los momentos primarios, y en muchos casos pueden ser mayores, aun cuando se les denomine secundarios. Por lo general, el centroide de la distribución de esfuerzos en el concreto para una viga conti nua, no se encont rará al mismo nivel que el centro ide del acero, tal como sí lo era en el caso de vigas simptómente apoyadas, debido a la existencia de momentos secundarios. Para el préjjpntc ejemplo esto se muestra mediante el diagrama del cuerpo libre de la figuráis. J. El momento secundario con sentido horario, igual a la reacción R/ 2 por É,distancia / al apoyo central, es equilibrado mediante el par in terno con sen ti® antihorario, consistente de 8
8
6
6
8
6
8
6
Figura Momentos y líneas de empujes para viga estáticament e indeter mina da. (a) Momentos primarios debidos al presfuerzo. ( b ) Momentos secundarios debidos a las reacciones de apoyo, (c) Momentos totales debidos al presfuerzo. (d) Diagrama de cuerpo libre de una mitad de la viga. 8 .6
la resultante de compresión C por el brazo hasta el centroide del acero. En algún otro lugar del claro, del desplazamiento del centro de presión, o línea de empu jes, desde el centroide del acero varía linealment e con la distancia desde el apoyo, de la misma forma en que lo hace el momento secundario M2 . Especí ficamente, refiriéndose a la figura . d, 8
6
M,
6
donde y
= distancia desde el centroide del acero hasta
( 8. 1)
Análisis de cargas equivalentes 323
322 Vigas continuas y pórticos
M 2 = momento secundario debido al presfuerzo P = fuerza pretensora
Nótese que los mom entos prim ario s son directam ente proporcionale s a la fuerza pretensora. En consecuencia las reacciones debidas al presfuerzo, y los momentos secundarios son ta mb ién proporcionales a la fuerza pretensora, como lo son los momentos totales generados por el presfuerzo. Se concluye que el desplazamiento y de la línea de empujes desde el centroide del acero no cambia a medida en que las pérdidas reducen gradualmente la fuerza pretensora desde P¡ hasta Pe. La ubicación de la línea de empujes para un perfil dado del acero es fija. Los esfuerzos en el concreto resultantes de presforzar una viga continua se pueden hallar de las ecuaciones de l a rtícu lo 3 .4, excep to que e*, la excentricidad de la línea de empujes con respecto al centroide del concreto, debe de sustituirse | por e, la escentricidad del centroide del acero, debido a que el centro de com presión ya no coincide con el ce ntr o de tensión. Así, para una viga continua, los esfuerzos longitudinales en las caras superior e inferior del concreto, resul tantes del presfuerzo inicial son:
f i = -
P¡ e*c¡ I 1"
( . a) 8
2
( . b) 8
2
en tanto que, después de ocurridas todas las pérdidas, la fuerza pretensora efec tiva produce los siguientes esfuerzos en el concreto:
/. =
/
2
=
e*c. A c
Pe Ac
1
+
e*c2
(8.3a). (8.3b)
donde e* es la distancia desde la línea de empujes hasta el centroide del con creto, habiéndose definido previamente todos los otros términos. Nótese que e* es negativo cuando la línea de empujes se encuentra por encima del eje neu tro. Las reacciones de apoyo que resultan de pAsforzar una viga estáticamente indeterminada producen fuerzas cortantes así cómo también momentos flectores, y ellos deberán considerarse en el análisis. Sin embargo se hallará que, las fuerzas cortantes son por lo general, de menor ¿piportancia que los momento
En el artículo 8.5, se hallará un ejemplo para el cálculo de los momentos secundarios, de la línea de empujes,, y de los esfuerzos resultantes de presforzar una viga continua, a continuación del desarrollo de un método alternativo de análisis para tales mie mbros.
8.4 ANALISIS DE CARGAS EQUIVALENTES
. >■, . ,i fv I' . vq • Los momentos totales resultantes de presforzar un miembro continuo se pue den hallar directamente, sin considerar por separado las contribuciones de los momentos primario y secundario, mediante el método de las cargas equivalen tes. Las cargas equivalentes producidas por varios perfiles de tendones de presl'uerzo se describieron en el artículo 1.3 (también véase figura 1.8), y el empleo del método de la carga equivalente en el diseño de vigas simplemente apoyadas estáticamente determinadas se presentó en el Art. 4.10. El método de la carga equivalente se basa en la consideración de que siempre que exista un cambio en el alineamiento de los tendones de presfuerzo se produ cirán cargas transversales aplicadas al miembro. Estas fuerzas producen momen tos, de igual forma que cualquier otro sistema de cargas exteriores. Los esfuerzos resultantes de estos momentos deberán combinarse con la compresión axial uniforme, P/Ac, debida al presfuerzo con el objeto de obtener los esfuerzos to tales en cualquier sección. El concepto de las cargas equivalentes es particularmente ventajoso para vigas continuas. Las fuerzas transversales correspondientes a un perfil particular de tendón se encuentran, empleando las relaciones desarrolladas en los artícu los 1.3 y 4.10. Luego la estructura puede analizarse para los efectos de estas cargas equivalentes empleando cualquiera de los métodos disponibles para aná lisis indeterminado, tales como el método de la distribución de momentos o el análisis matrici al. Para una estructura indeterminada, los momentos hallados de tal análisis son los momentos totales debidos al presfuerzo, e incluyen los momentos se cundarios debidos a las reacciones en los apoyos así como también a los momen tos primarios debidos a la excentricidad del tendón. Si se requieren, los momentos secundarios pueden hallarse, restando los momentos primarios, determinados fácilmente, de los momentos totales obtenidos del análisis de la carga equiva lente. Si las cargas equivalentes debidas al presfuerzo fuesen exactamente iguales y opuestas a las cargas aplicadas, entonces todas las fuerzas transversales se cancelarían. Para esta condición única de carga balanceada, no existen momen tos flectores aplicados a la viga. No existen esfuerzos de flexión, sino solamente esfuerzos axiales producidos por la componente longitudinal de la fuerza pretensora. Para una condición como ésta, no existen otros desplazamientos en la viga que no sea el acortamiento axial, y la cuestión de la determinación o inde terminación se convierte en irrelevante (Refs. 8.4 y 8.5). Sin embargo, si la
324 Vigas continuas y pórticos 6
carga balanceada tuviera que removerse o incrementarse, entonces tendrán que hallarse los momentos para la porción desbalanceada de la carga. Para háá liarse los esfuerzos netos en el concreto, se deberán agregar los esfuerzos debidos a estos momentos a los esfuerzos de compresión uniforme debidos al presfuerzo. El método de la carga equivalente simplifica el análisis y diseño de vigas indeterminadas, mediante la eliminación, para el análisis por cargas de servicio, de la neces idad de calcular las reacciones y los momentos , secundarios debidos al presfuerzo. Cuando deban hallarse tales momentos secundarios, en cone xión con un análisis por carga última, el método de la carga equivalente pro porcio na la f orma más conveniente de o bten er aquellos mome ntos secundarios, restando los momentos primarios de los totales. Más aún, es una ayuda para el diseñador en la sección del perfil de tendón más ventajoso y para la compren sión de los efectos de la transformación lineal y la concordancia de tendones, discutidos en los artículos 8 . 6 y 8.7. Mientras que el método de la superposición de deflexiones es bastante con veniente cuando existen sólo una o dos reacciones redundantes, para miembros más altamente indeterminados el método de las cargas equivalentes permite una solución más sistemática, y se adapta mejor para el uso con los programas de computadora existentes.
"
6 "
i ---------------------------1
—
V 1 1 T e n d ó n p a r a b ó l ic o
A
U ----------------
"
Centroide
T
del concreto
—
t !
C
B
- 3 0 '----------------------------------s- L s ----------------------------------3 0 ' - ----------------------------> J (a)
Rb = 3.34k
= 1.67k
Re
=
1.67k
(c)
8.5 EJEMPLO: V IGA PRESFORZADA INDETERMINADA
50,k
La viga rectangular de 2 claros de la figura 8.7a tiene un ancho b = 12 pulg. y un peralte total h = 22 pulg. Se presfuerza mediante un tendón continuo tenien do un perfil parabólico en cada claro, con las excentricidades según se indica! La viga llevará una fuerza pretensora efectiva Pe, después de todas las pérdidas, de 200 kilolibras. Pueden despreciarse las diferencias de tensión a lo largo del claro debidas a la fricción. Hállense los momentos primario, secundario y to tal resultantes del presfuerzo, así como las reacciones de apoyo y la ubicación de la línea de empujes: ( 1 ) empleando el método de la superposición de de flexiones, y (2) usando el método de las cargas equivalentes. Hállense los es fuerzos en el concreto en el apoyo B debidos al presfuerzo. (b = 305 mm, h = 559 mm, e =+ 152, - 152, + 152mm, claro = 2 x 9.14m, y Pe = 890 kN). 9"
(1
) Método de superposición
A
:'ff 5
Los momentos primarios se hallan fácilmente multiplicando las excentricidades de la figura 8.7a por la fuerza pretensora de 200 kilolibras, supuesta constante a lo largo de toda la longitud de 60 pies. Los momentos primarios resultantes se dan en la figura 8.7 b. I La estructura dada tiene un grado de indeterminación. Siguiendo el pro cedimiento usual para el método de superposición, se escoge una redundante
4. 5"
.
/
Cen tro de compresión
4. y
\fWr-
:
¡¡
fe;:
- 1
Centroide del ^concreto
Figura 8.7 Análisis de viga indeterminada por el método de superposición, (a) Perfil de la viga, ( b ) Momentos primarios M i . (c) Reacciones debidas al pres fuerzo. ( ) Momentos secundarios M2,( e) Momentos totales Mi (/) Linea
Ejemp lo de viga presforzad a Indeterminada 327 326 Vigas continuas y pórticos
tal que su eliminación conduzca a una estructura primaria estable y determi nada. En este caso, se considerará redundante a la reacción en B, la estructura primaria se transfo rma en una viga simplemente apoyada en A y C con un so lo claro. Primero la estructura primaria se sujetará a los momentos M¡ debidos al presfuerz o, hallándose la deflexión en el p unto B. Esta deflexión es numérica mente igual a la distancia del punto A , en la curva elástica, desde la tangente horizontal a la curva elástica en el punto B. Esta puede hallarse fácilmente usan- j do el segundo principio del área de momentos (Ref. . ). Primero, al tomar momentos del área M /E I , es conveniente dividir al diagrama del claro AB en el área positiva 012 limitada por la parábola y el área triangular 023 (figura 8.7 b). Luego, si tomamos momentos alrededor de A , la deflexión resulta igual a 8
6
dbo = — [(150 x 30 x f x 15) - (100 x 30 x | x 20)] El
15,000 pies El
La línea de empujes resultante de la aplicación del presfuerzo se presenta en la figura 8.7/. Su ubicación se halla calculando las distancias desde la línea de centroides del acero mediante la ecuación (8.1). Así, en B, el centro de compre sión se encuentra y b = 50 x 12/200 = 3 pulg. (76 mm)
por encima del centroide del acero, o 9 pulg. por encima del centroide del con creto. Cálculos similares indican que en el centro del claro, la línea de empujes se encuentra a 1.5 pulg. por encima del centroide del acero o a 4.5 pulg por de bajo del centroid e del concret o. La desviación de la línea de empujes del cen troide del acero varía linealmente desde cero en los apoyos exteriores hasta 3 pulg. en el apoyo central. La lubicación de las línea de empujes puede también hallarse directamente, de los momentos totales de la figura 8.7e, usando la condición de que estos momentos son producidos por la resultante de compresión, que actúa con su propia excentricidad e*, desde el centroide del concreto. Así, en B, e* = 150 x 12/200 = 9 pulg. (229 mm)
hacia arriba, es decir, la viga se levantaría del apoyo B de no estar restringida mediante la aún desconocida fuerza hacia abajo R b en ese punto. En seguida la estructura primaria con claro AC, se sujetar á a la carga R b con sus correspondientes reacciones R b/ 2 en A y C, según se muestra en la figura 8.7c. El diagrama de momentos resultante es lineal, con la forma mos trada en la figura 8.7 d, y un valor máximo de 15 R b . La deflexión hacia abajo del punto B debida a la fuerza R b es
mientras que al centro del claro, e* = 15 x 12/ 200 = 4.5 pulg (114 mm)
I,os esfuerzos en el concreto en las caras superior e inferior en B se hallan usando las ecuaciones (8.3a) y (8.3¿>). Con A c = 264 pulg2, Ic = 10,600 pulg4 , y 40.2 pulg estos esfuerzos son, respectivamente, 2
1
,
4500
dbb = — (15 R„ x 30 x * x 20) = —
Rb
„ f i
Para satisfacer la condición de compatibilidad, la deflexión hacia arriba de bida a los mome ntos primarios del presfuerzo, d b o , debe de ser igual a la defle xión hacia abajo debida a R b, d bb , es decir, la deflexión neta debe ser cero en el apoyo. Así 4500 R b = 15,000 R b = 3.34 kilolibras R a = R C = 1.67 kilolibras (7.43 kN) El momento secundario M2 varía linealmente desde cero en los apoyos e terior es hast a el valor de 1.67 x 30 = 50 kilolibru-pie en el apoyo B, según indica en la figura 8.7 d. Estos momentos secundarios se superponen a los pri
200,000/ +
= ---- (l
f i =
264
- 4 Q 2
9 x 11\ J = -2620 Lb/pulg (- 18.1 N/mm2) 2
200,000 ( 9 x 11 1 = +1110 Lb/pulg 2 ( 264 40.2
7.7N/mm2)
( ) Método de las cargas equivalentes 2
Pueden encontrarse los mismos resultados empleando el método de las cargas equivalentes. De la ecuación (4.25a) del artículo 4.10 se sabe que un tendón parabólico con una flecha total y producirá una carga uniforme distribuid a hacia arriba en el miembro igual a
WP
*Py
• \ m ! (4*¿>
328 Vigas continuas y pórticos
Transformación lineal 329 = 1.33 kilolibras/pie
>
AJ k i
4
H ~ ----------------------30 ' ---------------------- -> f< ------------------------30'.
M
:
actuando hacia arriba, según se muestra en la figura 8 .8 a. La viga indeterminada de dos claros se analizará para esta carga, usando el método de distribución de momentos (Ref. 8 .6 ). Los momentos de empotramiento en los extremos iz quierdo y derecho de cada claro son 1.33 x302/12 = 100 kilolibra-pie. Estos se registran con los signos apropiados en la figura 8 .8 b. Se ejecutan dos ciclos de distribución de momen tos para hallar el momento final de cero en los apoyos exteriores y de 150 kilolibra-pie en el apoyo central. El diagrama de momen tos finales se da en la figura 8 .8 c. Estos son los momentos totales debidos al presfuerzo, e incluy en tan to la contr ibuc ión de los m omen tos primarios como a la de los secundarios. Pueden hallarse fácilmente los momentos primarios, multiplicando la excentricidad del tendón por el valor de Pe, y se muestran en la figura 8 .8 d. Los momentos secundarios se hallan restando los primarios de los momentos totales, y están dados por el diagrama de la figura 8 .8 e Todos los resultados son idénticos a los obtenidos mediante el método de superposición. La línea de empujes y los esfuerzos en el concreto se hallan simplemente como antes. Habiendo establecido el efecto total del presfuerzo, existe muy poca difi cultad para superponer los efectos de otras cargas y establecer los momentos y esfuerzos netos en cualquier ubicación. 8.6 TRANSFORMACION LINEAL
Revisando los artículos 8.3 y 8.4, se notará que, ubicando el centro de pre siones en cualquier claro de una viga indeterminada, la línea de empujes tiene la misma forma que la línea de los centroides del acero en aquel claro. Su per fil puede obtenerse rotando el perfil de la línea de centroides del acero una cantidad apropiada alrededor de su extremo. Esto se debe a que la desviación de la línea de empujes del centroide del acero es directamente proporcional al momento secundario, el cual a su vez varía linealmente con la distancia al apo yo.
Figura 8 . 8 Análisis de viga indeter mina da por el método de cargas equivalentes, (a) Carga equivalente del presfuerzo. (b ) Análisis por distribución de momentos, (c) Momentos totales M. (c/) Momentos primarios M i . (e) Momentos secunda r i o s ^ -M -M ] . Para el caso presente, la flecha, medida respectóla una línea que pasa a través del tendó n en los apoyos de cada claro, es 9 pulg. Así 8
x 200 x 9
= 1.33 kilolibra/pie (19.4 kN/m)
Este procedimiento, mediante el cual se rota una línea con características de forma dadas alrededor de un extremo u otro, sin cambiar aquella forma dentro del claro, se conoce como transformación lineal. Se dice que la línea de empujes es una versión linealmente transformada de la línea de centroides del acero. Es un hecho importante, de considerable significación práctica, el que cual quier perfil de acero pueda transformarse linealmente hasta una nueva posición en un claro y continuar produciendo exactamente la misma línea de empujes que antes. Las reacciones inducidas por el presfuerzo diferirán para perfiles de acero diferentes, y serán diferentes los momentos primarios y secundarios, pero el momento total, es decir, la suma de los momentos primarios y secundarios, será constante. En consecuencia, la línea de empujes se encontrará en la misma ubicación. Esto se ilustra mediante las vigas de las figuras 8.9 y 8.10; en cada caso, todas las condiciones son las mismas que para la viga mostrada en la figura 8.7,
330 Vigas continuas y pórticos
En la viga de la figura 8.9« se emplea un tendón parabólico en cada claro, con la misma flecha de 9 pulg. de antes. Sin embargo, el centroide del acero pasa a través del centroid e del concre to en el apoyo centra l B así como tam bién en los apoyos e xterio res A y C. El análisis se efectúo mediante el método de superposición. Cuando se apli can en la viga los momentos primarios M¡ de la figura 8.9b, se presentan las reacciones mostradas en la figura 8.9c para mantener deflexiones nulas en los apoyos. Cuando se superponen los momentos secundarios de la figura 8.9 d a los momentos primarios, se producen los momentos totales debidos al presfuerzo, mostrados en la figura 8.9/. Se ve que estos son idénticamente los mismos que se obtuvieron para la misma viga, con el perfil de tendón que se muestra en la figura 8-7«. También la línea de empujes mostrada en la figura 8.9/, es idénticamente la misma que antes. En la figura 8.10« se muestra otra alternativa de diseño. Se emplea nueva mente un tendón parabólico con la misma flecha de 9 pulg, pero en este caso con una excentricidad de 9 pulg en el apoyo central; los momentos primarios se obtienen y se muestran en la figura 8.10h. Para este análisis particular del diagrama de momentos mediante el método de superposición se ve que no exis te la tendencia en la viga de moverse ni hacia arriba ni hacia abajo de su apoyo en B, es decir, la deflexión en B para la estructura primaria AC es cero cuando se aplican los momentos M¡. Como consecuencia, no existen reacciones indu cidas ni momentos secundarios. Los momentos totales de la figura 8.10e son idéntico s que los mom entos pr imarios de la figura 8.1 Oh. Nuevamente se obti e ne la misma línea de empujes, debido a que los momentos finales producidos por el presfuerzo son los mimos que en los dos casos previos. Deben estudiarse y compararse cuidadosamente las figuras 8.7, 8.9 y 8.10. Los momentos primarios, las reacciones por el presfuerzo, y los momentos se cundarios son completamente diferentes en cada caso, a pesar de que se obtiene la misma línea de empujes y, en consecuencia, se producen los mismos esfuer zos en el concreto debidos al presfuerzo. Los ejemplos confirman que un perfil de tendón puede transformarse li nealment e sin modifi car la línea de empujes correspondie nte. Esto siempre es así. Aun cuando la razón pueda no ser inmediatamente evidente, sí lo será después de considerarlo desde el punto de vista de las cargas equivalentes. Se empleó la misma forma del tendón para todos los tres casos. La carga equiva lente hac ia arriba de 1.33 kiloli bra/pie permaneció invariable para las tres pequeñas rotaci ones de la línea de centroid es del acero. En consecuencia, los momentos totales obtenidos de la carga equivalente, deben de ser los mismos en los tres casos, aun cuando los mom entos primarios y secundarios deban de ser diferentes. Es una restricción necesaria que la línea transformada de centroides del acero aún intersecte al centroide del concreto en los extremos simplemente apoyados de los claros continuos. Los cambios en la excentricidad en el extre mo libre producirían cambios en el momento aplicado en el extremo de la viga.
Transformac ión lineal 331 9
9 ~
sr 4
i ---------------
f
^
________
-
f
’
—
T . ib i "endón parabólico
^
^Centroide
_____ ____ d e l c o n c r e t o ---------------- j
I 5-
30 ' --------------------->-f< -----------------------30 '------------------------ *■
(a)
(b)
. k
10 0 0
Figura 8.9 Viga indeterminada con perfil modificado del tendón. («) perfil de la viga, ( b ) Momentos primarios M \ . (c) Reacciones debidas al presfuerzo. ( d ) Momentos secundarios M 2 . (e) Momentos totales M ¡ + M 2 . ( f ) Línea de em
Tendones concordantes 333
332 Vigas continuas y pórticos
listo representa una modificación de la carga equivalente, la cual produce un diagrama de momentos totales y una línea de empujes diferentes. El concepto de transformación lineal 'tiene gran uso entre los diseñadores de estructuras de concreto presforzado, debido a que permite la reubicación del centroide del acero, tal como sea necesario para mantener el recubrimiento de concreto adecuado para el tendón, por ejemplo, sin cambiar la línea de em pujes o los esfue rzos en el con creto de la es truc tura .
9"
M
8.7 TENDONES CONCORDANTES
i
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9" 4 - 5 " _____
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Centroide r ~ W.
T
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~ ~ 1 ---------------
4 T
*
Figura 8. 10 Viga indeterminada con tendó n concordante, (a) Perfil de la viga, (ó) Momentos primarios M x. (c) Reacciones -debidas al presfuerzo. ( d ) Momen tos secundarios M 2 . (e) Momentos totales M i + M 4 f j ) Línea de empujes debida
El perfil del tendón seleccionado para la viga de la figura 8 .10fue único, debido a que para aquel tendón en particular no se generaron reacciones por el pres fuerzo y, en consecuencia, no se desarrollaron momentos secundarios. La línea de empujes producida por el presfuerzo coincidió con la línea del centroide del acero, tal como sería el caso de una viga simplemente apoyada estáticamente de terminada. A tal tendón se le denomina tendón concordante. Existe cualquier cantidad de tendones concordantes posibles para una viga continua de concreto presforzado dada. El más obvio de todos es el perfil de acero que coincide en todos sus puntos con el centroide del concreto. Para este caso no se generan momentos primarios debidos al presfuerzo, y de esta forma no es posible la existencia de reacciones en los apoyos ni de momentos secunda rios, Sin embargo, esta observación tiene un uso práctico limitado, debido a que en general las vigas presforzadas centroidalmente son altamente ineconó micas. Las vigas de los ejemplos en las figuras 8.7, 8.9, y 8.10 sugieren otro fun damento para la concordancia: un tendón que coincida con la línea de empuje obtenida usando un tendón no concordante es en sí mismo un tendón concor dante. El perfil de acero empleado para el ejemplo de la figura 8.10 se selec cionó de esta manera, y para aquel perifl se halló que no existen reacciones debi das al presfuerzo ni momen tos secundarios. La pru eba de concordancia para aquel tendón es simple. Ha sido demostrado que en cualquier caso dado la línea de em pujes es una lí nea de centr oide s de acero linealm ente tra nsfo rmad a. Cualqu ier otra versión linealmente transformada de la línea de controides del acero producirá idénticamente la misma línea de empujes, incluyendo a aquella que coincide con la misma línea de empujes. Consecuentemente, un tendón que siga esa línea de empujes será concord ante. En realidad, cualquier diagrama válido de momentos para un miembro continuo brinda la base para un perfil de tendón concordante, con la excen tricidad del acero considerada igual a una constante por la ordenada del mo mento en cualquier punto. Esto también puede demostrarse fácilmente. Para cualquier sistema arbitrario de cargas, el diagrama de momentos para el claro
334 Vigas continuas y pórticos
Esfuerzos del concreto dentro del limite elástico 335
apoyos. Si tuvieran que calcularse las deflexiones de la viga en los apoyos, em pleando el te orema del área de m oment os u otro medio, éstas serían cero. Una línea de centroides de acero que tenga excentricidades directamente propor cionales a las ordenadas de cualquiera de tales diagramas de momentos produ ciría momentos primarios que varían en la misma forma. Las deflexiones en los apoyos de la estructura primaria, provocadas por aquellos momentos, tam bién serían cero. El presf uerzo no produ ciría reacciones ni mom entos secunda rios, y los requerimientos para que exista la concordancia estarían satisfechos. Mientras que el empleo de un cable concordante en un caso dado ofrece la posibilidad de simplificar el análisis, existe muy poca ventaja, práctica con relación al comportamiento estructural. El diseño más económico en un caso dado generalmene se obtiene colocando el centroide de acero tan alto como sea posible en los apoyos, y lo más bajo posible cerca del centro del claro, lo cual resulta en un arreglo que generalmente no corresponde a un tendón concordante.
8.8 ESFUERZOS DEL CONCRETO DENTRO DEL LIMITE ELASTICO
No existe ninguna dificulta d especial asociada con el c álculo de los esfuerzos en el concreto de vigas presforzadas indeterminadas para los estados inicial y de cargas de servicio. Los momentos M0 ,M d yM l , debidos respectivamente al peso propio del m iembro , a la carga m uerta sobrepuest a y a la carga viva de servicio, deben de encontrarse para cada una de las secciones de interés mediante un aná lisis que tome en cuenta los efectos de la continuidad. Al igual que cualquier otra estructura indeterminada, una viga continua de concreto presforzado o un marco, deben de analizarse para cargas vivas alternativas, para determinar los máximos momentos en todas las secciones críticas. No se deberá pasar por alto la investigación de los momentos mínimos en los claros, ya que podrían tener signos contrarios a los momentos máximos. Para las condiciones iniciales, inmediatamente después de la transferencia
,1
el efecto del presfuerzo se halla empleando las ecuaciones ( . a) y , b). En OP centro del claro, donde los momentos debidos a la gravedad son generalmente positivos, los esfuerzos en el concre to en las caras superior e inferior de la viglj son, respectivamente, 8
A
h
Pi
e*c¡
Mo
1
2
8
2
(8.4a)
: Ae Pi ' A,
1
+
e*c2
+
(8.4b)
■ Las mismas ecuaciones se aplican para las regíanos con flexión negativa cerqp de los apoyos, sólo que el signo de los esfuerzf» asociados con M0 se invie
hacia arriba desde el centroide del concreto, de lo contrario es positiva. Para el estado correspondiente a la totalidad de la carga de servicio, cuan do se supone que ya han ocurrido todas las pérdidas, los esfuerzos en el con creto debidos al presfuerzo se hallan basándose en las ecuaciones ( . a) y (8.3¿), y se superponen los esfuerzos debidos a las cargas totales de servicio. Con Mt = M 0 + Md +M U los esfuerzos resultantes en la región de flexión po sitiva para las caras superior e inferior del concreto son, respectivamente 8
3
(8.5a) (8.5b) como anteriormente, el signo dél esfuerzo asociado con los momentos para cargas de gravedad deberá invertirse al determinar el esfuerzo neto en las re giones de flexión negativa. De acuerdo con el Código ACI , los esfuerzos por cargas de servicio se pue den basar en las propiedades de la sección de concreto sin agrietar, aun cuando el esfuerzo de tensión nominal en el concreto alcanzara valores tan altos como \J f ’c , bastante por encima del módulo de ruptura. El método del balanceo de cargas brinda una simplificación considerable para la determin ación de los esfuerzos en el concre to dentr o del rango elás tico. La carga equivalente que resulta del presfuerzo, puede hallarse fácilmente recurriendo a los artícu los 1.3 y 4.10. Si las cargas exteriore s actuantes son justam ente iguales y opuestas a las. cargas equivalentes, entonces no existirá flexión, ni esfuerzos de flexión, ni deflexión (excepto la deformación axial) del miembro continuo. Consecuentemente un análisis indeterminado resulta innecesario. Para el estado de carga balanceada, el esfuerzo neto en el concre to es simplemente una compresión uniforme de P J A C. Por lo general este estado de carga es el producido por el presfuerzo efectivo más la carga muerta total más cualquier carga viva sostenida. Cuando se aplica el resto de la carga viva de servicio, se produce la flexión del miembro continuo, y los esfuerzos en el concreto debidos a este incremen to de carga deben de hallarse mediante un análisis que tome en cuenta la con tinuidad. Estos esfuerzos de flexión deben de superponerse en cualquier sección a la compresión axial producida por la carga balanceada. Como el análisis por flexión sólo requiere incluir la fracción no balanceada de la carga viva, el uso de un método aproximado de análisis de momentos se justifica plenamente. Mientras que el método del balanceo de cargas elude la necesidad inmediata de calcular las reacciones y los momentos secundarios debidos al presfuerzo, éstos deben de hallarse eventualmente con el objeto de hallar el factor de segu ridad en contra del colapso. Los momentos secundarios y cortantes provenien tes del presfuerzo so pueden agregar o descontar de los momentos y cortantes 1 2
Resistencia a la flexión 33/
336 Vigas continuas y pórticos
8.9 R ESISTENC IA A LA FLEXION
La resistencia última a la flexión de vigas continuas de concreto presforzado de be de checarse siempre igual que para las sim pleme nte apoy adas, debid o a que el grado de seguridad en contra del colapso no se asegura automáticamente por la satisfacción de los lím ites de esfuerzos bajo cargas de servicio. Para obten er la sobrecarga hipotética mínima que el miembro es capaz de resistir, se aplican los factores de carga tales como aquellos del Código ACI, afectando a las cargas muertas y a las vivas de servicio. Se determinan los momentos correspondientes a estas sobrecargas en todas las secciones críticas, comparándoseles con las re sistencias a la flexión de la viga en aquellas secciones. El análisis de los momen tos se puede efectuar mediante cualquiera de los métodos estándar para vigas continuas y pórticos, las resistencias de las secciones por flexión pueden hallarse mediante los métodos del artículo 3.7, incorporando los factores usuales para reducción de la resistencia. Por varias razones el método del balanceo de cargas no es útil para analizar miembros continuos sujetos a estados de sobrecarga o falla incipiente. Cuando el miembro se sobrecarga, éste se encuentra definitivamente más allá del rango de respuesta elástica, y la superposición de esfuerzos que se encuentra implí cita en el balanceo de cargas, no es válida. También las cargas equivalentes cal culadas para el análisis por balanceo de cargas, se determinan por lo general para la fuerza de presfuerz o efectiv a Pe, la cual se supone constante a lo largo del claro, y a medida en que se aplican las cargas. Estas condiciones se cum plen, por lo menos apro xim adam ente, hasta las cargas de servicio, p ero ya no tanto, más allá de tal estado. Cuando la viga es severamente sobrecargada, el esfuerzo en el tendón aumenta, la magnitud del aumento depende de la ubi cación a lo largo del cla ro, de si se aplica o no mo rter o a los tend one s o si se consigue la adherencia con el concreto de otra forma, y de la magnitud del agrietamiento del concreto. Cualquier cálculo de carga equivalente tendría que reconocer este cambio en el esfuerzo del tendón, un procedimiento que involu craría gran dificultad práctica. Para cualquier estructura indeterminada, los momentos pueden hallarse basándo se en un análisis elásti co, o en la asunción de algún grado de compo r tamiento plástico. El análisis plástico supone la deformación de una o más rótulas plásticas en las secciones críticas por momento, seguida de cierta can tidad de redistribución de momentos elásticos, hasta que finalmente se for ma un mecanismo de colapso. Este tipo de análisis para estructuras de concreto presfo rzado , se di scutirá en el artí culo . . Resulta conservador efectuar el análisis de la resistencia basándose en los momentos elásticos. Se considera que los momentos en todas las secciones se incrementan linealmente con la carga, hasta quelse alcanza la capacidad de la 8
1
0
viga o pórtico en alguna ubicación, estableciéndose la carga de falla. Este proce dimiento es conservador, en el sentido en que desprecia la capacidad de casi to
del colapso real. Es también inconsistente para las estructuras reales de concre to, debido a que la resistencia a la flexión de las secciones individuales se calculan sobre la base de un comportamiento inelástico no lineal, aun cuando se supone que la viga o pórtico responden elásticamente. Sin embargo, debido a la dificul tad en la predicción de las capacidades de rotación, la práctica actual en los Estados Unidos sigue esencialmente este procedimiento tanto para los miem bros de con creto reforz ado como para los de conc reto presfo rzado . Resulta siempre conservador despreciar la redistribución de momentos. La carga de falla real no sería menor, y puede ser substancialmente mayor que la calculada. Así, los momentos últimos que deben de ser resistidos se pueden hallar empleando cualquiera de los métodos comunes para el análisis elástico de vi gas y pórticos, sujetos a las cargas afectadas con los factores. Normalmente, para las soluciones manuale s ejec utadas emple ando regla de c álculo o calcu ladora electrónica, se usa el método de distribución de momentos, mientras que para las soluciones con computadora, se adoptan casi universalmente los métodos matriciales incorporados en los paquetes de programas (Ref. . ). 8
6
En cualquier caso, los miembros se representan mediante sus ejes. Los mo mentos de inercia en que se basan las rigideces de los miembros, pueden calcu larse para las secciones de concreto sin agrietar, despreciando las influencias del acero y el agrietamiento. Siempre que se adopte un juego consistente de asunciones para todos los miembros de la estructura indeterminada, no se obten drán errores significativos de esto, debido a qu e lo relevante son las rigideces relativas de los miembros, y no las rigideces absolutas, para la determinación de los momentos. Las cargas que deben incluirse en el análisis elástico por flexión son el peso propio del miem bro, las cargas muer tas sobrep uestas, y las cargas vivas, cada una con el factor de carga apropiado especificado por el Código. Ya se indicó que el balanceo de cargas no resulta apropiado para el estado de carga última y, por lo tanto, las cargas equivalentes debidas al presfuerzo no deben de inclu irse. Sin embargo, se deben de incluir los momentos secundarios resultantes del presfuerz o, usa ndo un fact or de carga de . . El tratamiento apropiado de los momentos secundarios en el análisis de carga última de estructuras presforzadas indeterminadas ha sido un tema muy debatido (Refs. 8.7 a 8.11). En el Código del AC I de 1971, se estableció que debe de despreciarse el efecto de los momentos debidos al presfuerzo, incluyen do a los momentos secundarios, para el cálculo de los momentos por sobrecar gas. También se estableció que el comportamiento se debe determinar mediante análisis elástico, permitiéndose únicamente una modesta cantidad de redistri bución de mom ento s debi da a la forma ción de rótu las plásticas. El com enta rio adjunto al Código AC I estableció que los momentos secundarios debidos a la fuerza de presfuerzo en un tendón no concordante desaparecen para aquella ca pacidad en que la estr uctu ra se transf orma en estát icam ente dete rmin ada, de bido a la formac ión de rótul as plásticas. Por lo ta nt o, de acue rdo con aquella 1
0
Redistribución de momento y análisis al límite 339
338 Vigas continuas y pórticos
ticas de una viga continua presforzada, son sólo aquellos que se deben a las cargas muertas y vivas. En las Refs. 8.7 a 8.10 y en otras se indicó que tal procedimiento es incortsistente y, en algunos casos, inseguro. Los momentos secundarios existen e influ yen en los momentos elásticos de todas las secciones de la estructura a través de todo el rango de cargas hasta alcanzar la falla. Las únicas circunstancias bajo las cuales pueden legítimamente ignorarse los momentos secundarios son cuando se especifica un tendón concordante (en cuyo caso no existen momentos secundarios, por definición), o cuando es.posible la redistribución total de momentos, mediante la formación de rótul$r plásticas que tengan una capacidad de rotaci ón adecuada. El procedim iento establecido por el Código del AC I de 1971, mediante el cual, por un lado se perm itía rotaci ón limitada en las secciones crític as, y por otro se ignoraban los momentos secundarios, estaba claramente equivocado. El Código de 1977 exi ge correctamente la consideración de los momentos secundarios, empleando un factor de carga de . , hasta e inclusive la carga última. Los momentos secundarios se deben hallar tomando como base la fuerza de presfuerzó efectiva Pe. Mientras que la fuerza en el tendón se incrementa significativamente a medida en que se incrementan las cargas en la estructura, debido a la flexión de los miembros (figura 3.5), esto no representa un cambio en la fuerza pretensora, que es la que produce los momentos secundarios; de la misma manera, un incremento similar en el esfuerzo del acero en una viga de concreto reforzado, no convierte a ésta en una de concreto presforzado. La fuerza resultante del presfuerzó es invariable, y los momentos secundarios per manecen constantes a medida en que se incrementa la carga, hasta la carga última o aquella que produce la primera rótula plástica. 1
0
Los aspectos esenciales pueden demostrarse mediante el ejemplo simple mos trado en la figura 8.11. La figura 8.1 la muestra una viga de un solo claro con el apoyo izquierdo empotrado y el derecho de rodillo, teniendo así la estructura un grado de indeterminación. Soporta una carga concentrada en el centro del claro. La carga se incrementa gradualmente hasta que el momento de flexión elástico en el apoyo empotrado, 3/7/16, iguala justamente a la capacidad de mo mento plástico de la sección de la viga M n. Esta carga es P = 16 Mn/31 '= 5.33 M j l
(a)
p
U2------->4-í------- ;/2------- H (a)
8.10 REDISTRIBUCION DE MOMENTO Y ANALISIS AL LIMITE
Si las cargas actuales en una estructura indeterminada debieran incrementarse gradualmente, la capacidad límite a la flexión se alcanzaría eventualmente en una (o posiblemente más de una) sección de la estructura. Si el miembro en aque lla ubicación posee la capacidad de rotar plásticamente, con un momento resis tente que es esencialmente constante, entonces es posible la redistribución de momentos. Si en un caso dado las cargas son tales que puedan produc ir un nú mero suficiente de rótulas plásticas, entonces se formará un mecanismo de co lapso pudiendo calcularse la carga de colapso basándose en que cada sección en la que exista una rótula plástica proporcionará una resistencia igual a su resis tencia a la flexión. Después de formadas una o más rótulas plásticas, las relacio nes entre momentos en las secciones críticas no Continuarán siendo las misma que entre m omentos elásticos. Los principios del análisis al límite, basado! en el comportamiento plás
(c)
plástica
■ -'f ■’i?' _ .i:1" " _ Figura 8.11 Redistribución de momentos en viga estáticamente indeterminada, (a) Viga indeterminada. ( b ) Diagrama de momentos elásticos, (c) Mecanismo de colapso. (d ) Diagrama de momentos plásticos.
340 Vigas continuas y pórticos Redistribución de momento y análisis al límite 341
En este estado el momento positivo bajo la carga es 5PI/32, según se mues tra en la figura 8.1 16. La viga aún responde elástic amente en tod as sus secciones excepto en su apoyo izquierdo en donde ocurre una rotación plástica. En aquel pu nto , para fines de l análisis, el apoy o empo trado real se pue de reemplaz ar por una rótula plástica que ofrezca una resistencia conocida de momento Mn . Co mo una reacción redundante ha sido reemplazada por un momento conocido, la viga es ahora estáticamente determinada. La carga puede aún incrementarse más hasta que el momento debajo de la carga alcance también el valor Mn (asumiendo aquí que la viga tiene igual capacidad para la flexión positiva y la negativa), cuando se forma la segunda rótula plástica. La estructura constituye ahora un mecanismo, según se mues tra en la figura 8.11c, y ocurre el colapso. El diagrama de momentos para la carga de colapso se muestra en la figura 8 . 1 1 d. La magnitud de la carga que produce el colapso puede calcularse fácil mente de la ge ometría de la figura 8 . 1 Id: M„
Pl
de una capacidad de rotación plástica en la ubicación de las rótulas si es que debe de alcan zarse la carga de falla predicha me diante el anáfisis plástico. El unálisis plástico es ampliamente usado para estructuras de acero, en las que la capacidad de rotación es generalmente adecuada debido a la gran ductilidad del ucero. No ha sido generalmente aceptado para las estructuras de concreto refor zado y presforzado, debido a la mayor limitación en la cantidad de rotación que se puede alcanzar en las secciones con rótulas, y la dificultad práctica para In predicción de la capacida d de rotació n con que se cuenta en los casos dados. Se ha demostrado experimental y analíticamente que las secciones de con creto presforzado con pequeñas cantidades de acero son capaces de absorber rotaciones plásticas sustanciales, mientras que aquellas con relativamente gran des cantidades de acero se comportan de una manera más frágil. En consecuencia y en lugar de exigir cálculos más exactos de los requerimientos y capacidades de rotación, el Código ACI permite una cantidad limitada de redistribución de momentos elásticos, dependiendo del índice del refuerzo. Definiendo
M" + T = 4 de la cual
P =
6
(b)
Comparando las ecuaciones (a) y (b) resulta evidente que después de la formación de la primera rótula plástica, es posible incrementar P en 12.5 por ciento para este ejemplo, antes de que la viga alcance el colapso real. Debido a la formación de las rótulas plásticas ha ocurrido una redistribución de mo mentos tal que, al momento de falla, la relación entre los momentos positivo y negativo es igual a la relación entre los momentos resistentes proporcionado s al diseñar la viga, en lugar de la relación entre los momentos elásticos. Existe una relación directa entre la cantidad de redistribución a alcanzarse y la cantidad de rotación plástica requerida en las secciones críticas de una viga para prod ucir la redistri bución deseada. En general, cua nto mayo r es la varia ción de la relación de momentos elásticos, mayor será la capacidad de rotación requerida para lograr este cambio. Si la viga de la figura 8.11 hubiera sido di señada con momentos resistentes que sean consistentes con el diagrama de mo mentos elásticos de la figura 8.116, entonces no se hubiera requerido rotación en las dos secciones críticas, y la viga (teóricamente) hubiera fluido simultánea mente en el apoyo izquierdo y en el centro del claro. Por otro lado, si se redujera deliberadamente el momento resistente del apoyo izquierdo (y aumentara co rrespondientemente la resistencia en el centro del claro), entonces se requeriría una rotación plástica substancial en el apoyo antes de alcanzar la resistencia en ,'j® 1 el centro del claro. El ejemplo simple seleccionado ilustra clalijlicnte la diferencia entre uJ
wP =
Ppfps f e
donde
en el Código se establece que los momentos negativos debidos a las cargas muerta y viva factorizadas, calculados mediante la teoría elástica para cual quier arreglo supu esto de cargas, en los apoyos de vigas continua s presforzada s con suficiente acero adherido para asegurar el control del agrietamiento, se po drán incrementar o disminuir en no más de p =
(Ú 2
0
1
1
0.30
( 8 . 6)
Pórticos indeterminados 343
342 Vigas continuas y pórticos
dientes a la misma condición de carga. Tal ajuste sólo se podrá efectuar cuando la sección en la cual se reduce el momento se diseña en forma tal que (w + wp - w’) es igual o menor que 0 .2 0 . De esta m anera, muchos de los beneficios económicos y prácticos del aná- | lisis plástico se pueden lograr sin la complejidad de un análisis plástico real de la estructura de concreto presforzado indeterminada. . Amerita repetir que, para estructuras presforzadas en las que no se encuen- j tra garantizada la totalidad de la redistribución de momentos, resulta necesario incluir los momentos secundarios debidos al presfuerzo al calcular los momentos en las secciones críticas. Esos momentos secundarios sólo desaparecen para el estado de cargas en el cual la estructura se convierte en estáticamente determi nada mediante la formación de rótulas plásticas que giran los ángulos de rota - 1 ción que se necesiten.
8.11 PORT ICOS INDETERMINAD OS
Todos los fundamentos del comportamiento de estructuras indeterminadas que han sido presentados para el estudio de vigas se aplican con igual validez a los pórticos. Para los pórticos también, el presfuerzo desarrolla tanto momen tos secundarios como primarios. Así como para las vigas, el método de la carga equivalente es de utilidad para el establecimiento de los perfiles óptimos del tendón, y puede evitar la necesidad de tener que considerar los momentos secundarios, por lo menos hasta el estado de cargas de servicio. Para los pór ticos se debe prestar especial atención al acortamiento axial de los miembros que acompaña al presfuerzo, debido a que si se restringe a la estructura en con-j tra de esta tendencia al acortamiento, puede que no se logre el presfuerzo que se pretende, y que.se produzcan grandes momentos secundarios. El pórtico con nudos rígidos de la figura 8.12, de un grado de indetermi nación, servirá para ilustrar ciertos principios fundamentales. Las cargas uni formemente distribuidas muerta y viva que actúan sobre la viga conduce a la selección de un perfil de tendón parabólico, con el centroide del acero cerca de la superficie superior de la viga en las columnas y cerca de la cara inferior en el centro del claro, maximizando la flecha. Los momentos producidos en las uniones de la viga y las columnas por el tendón excéntrico de la viga se balancea rán por los momentos de sentido contrario producidos allí por la excentricidad) del tendón de la columna. En las bases de las columnas, en donde se han dotad apoyos articulados,da excentricidad del tendó n es cero. La figura 8 .13a m uestra la carga transversal equivalente que actú a sobr ‘ la viga como consecuencia de la curvatura delftcndón. Esta carga produce deflexión hacia arriba, acompañada por la rotl lión de los nudos, la cual prQ duce desplazamientos hacia adentro de las pí |ex inferiores de las coluro
Cargas muerta + vjva
Figura 8.12 Pórtico presforzado. La componente axial de la fuerza de presfuerzo produce una tendencia de acortamiento en la viga, según se muestra en la figura 8.13A. Esto también pro voca reacciones hacia afuera en la base de las columnas del pórtico, produciendo deformaciones de flexión en ambas columnas y en la viga. Las fuerzas hacia afuera debidas a la restricción de los apoyos tienden a producir esfuerzos de ten sión en la viga. Estos producen una reducción en el presfuerzo efectivo, lo cual debe de tomarse en cuenta en el diseño. Las deformaciones y fuerzas de reacción producidas por las cargas muerta y viva son de naturaleza similar. La figura 8.13c muestra las reacciones verti cales y el empuje dirigido hacia adentro en las bases de las columnas, típicos para cualquier pó rtico. Cuando se superponen los efectos de la fuerza pretensora y la carga muer ta como en la figura 8.13c?, en la mayoría de los diseños la carga transversal neta sobre la viga actuará hacia arriba, deflexionándola consecuentemente hacia arriba. Las reacciones en los apoyos se obtienen superponiendo aquellas de los tipos mostrados en las figuras 8.13a, b y c. Para este estado de carga, es proba ble que la reacc ión horizo ntal neta en las colum nas sea hacia afuera, en vez de hacia adendro como normalmente sería el caso para pórticos no presforzados. Finalmente, cuando actúa toda la carga de servicio, junto con el presfuer zo y las cargas muerta y viva superpuestas, la viga se deflexiona hacia abajo, según se muestra en la figura 8.13e. El empuje en las bases de ¡as columnas ahora es hacia adentro, pero será mucho menor que el que se produzca de otra forma, debido a la combinación de los efectos de acortamiento y flexión en la viga resultante del presfuerzo. Esta reducción de la fuerza en la cimentación permite emplear cimenta ciones más ligeras. Adicion alment e, los mom entos en las columnas al ser directamente proporcionales al empuje horizontal, se rán mucho más reducidos. Esto puede permitir la eliminación del presfuerzo en las columnas, resistiéndose los esfuerzos de tensión en ellas mediante las varillas oridinarias de r efuer za! 1 n. Las magnitudes relativas de los varios efectos que se acaban de discutir y, en consecuencia, la dirección de las fuerzas de reacción y los desplazamientos,
344 Vigas continuas y pórticos
<«>
Pórticos indeterminados 345
t
ingeniosos. Los puentes esbeltos de Freyssinet sobre el río Marne (ver figura . ) fueron estructuras aporticadas poco profundas, en las que se usó un apo yo triangulado en cada extremo, equivalente a columnas muy rígidas. Los miem bros inclinados a compresión de las estruc turas extrema s de a poyo podí an ser ajustados mediante gatos hidráulicos y cuñas (figura 8.14) cuando el acota miento en la viga fuera tal que produjera deflexiones notorias al centro del claro.
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Cargas
Reacciones y deformación
Figura 8.14 Estructura aporticada de Freyssinet con barras inclinadas ajusta bles en los apoyos (de la Ref. 8.2). En otros diseños, el acortamiento se ha ajustado mediante un mecanismo de junt a deslizante. La figura 8.15 muestra un apoyo de estruc tura aporticad a de este tipo, empleando en el puente de Rosenstein en Stuttgart. Los gatos pro porcionan los movimientos hacia adentro requeridos , a medida en que ocurren las deformaciones por contracción y flujo plástico, manteniendo las reacciones deseadas y controlando los momentos flectores aplicados en los extremos del claro.
Figura 8.13 Efectos del presfuerzo y cargas en el pórtico. ( a ) Carga equivalente del presfuerzo. (ó) Componente axial del presfuerzo. (c) Cargas muerta y viva sobrepuesta. ( d ) Presfuerzo y carga muerta, (e) Presfuerzo y cargas muerta y viva. lumnas rígidas producen un alto grado de restricción, una gran reducción del presfuerzo en la viga (ver figura 8.13Ó), y grandes mo mento s en la jun ta de viga y columna de forma tal que resultan deflexiones hacia abajo en el centro del claro de la viga. La deformación en el concreto dependiente del tiempo debida a la contrac ción y al flujo plástico asume gran importancia én la construcción de pórticos presforzad os, partic ularme nte de grandes claros !Las columnas se deberán di
' Figura 8.15 Detalle del apoyo del puente de Ros entein en Stu ttgar t (de la Ref.
Problemas 347
346 Vigas continuas y pórticos
BIBLIOGRAFIA 1 1
8.1 8.2
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8.1
8.2
. ___ /_Z _____ g"
10 ”
..ota La viga de concreto presforzado mostrada en la figura P8.1 se encuentra empotrada en el extremo izquierdo y sobre apoyo de rodillo en el derecho, Es postensada con un tendón único de perfil parabólico, con las excen tricidades indicadas, (a) Ubicar la línea de presiones debida a la aplica ción de fuerza pretensora de 240 kilolibras. (b) Halle los momentos pri marios, secundarios y totales debidos al presfuerzo en la cara del apoyo empotrado, (c) ¿Cuál es la magnitud y dirección de la reacción produ cida en el rodillo por el presfuerzo? (d) ¿Qué pequeño ajuste se podría hacer en el tendón para producir un tendón concordante? io ¡y y 24 pulg. de peralte es conti Una viga de concret o de 12 pulg. de anc ho nua sobre dos claros de 48 pies con apoy■o*Hticulados o de rodillo en ] tres puntos. Se postensa con tendones quu e f Hoporcionan una fuerza prtí" tensora efectiva P , después de las pérdid i as do de 230,000 Lb. El perfü del tendón en cada claro es parabólico, con ntricidad cero en los apo-
±
-j ~
T.
T
i H-
-
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■Cen troide d e i c o n c r e to
f
\
^
f
12" 12"
N Centro ide parab olico
del acero
20 '-
-4 0 '-
Figura P8.1 + 8 pulg. en el centro de cada claro. Usando el método de las cargas equi valentes (a) Hállense los momentos primarios que resultan del presfuerzo. (b) Hállense las reacciones de apoyo y los momentos secundarios pro venientes del presfuerzo. (c) Dibujar el diagrama de momentos combi nados provenientes del presfuerzo y ubiqúese la línea de presiones a lo largo del claro, (d) Hállense las distribuciones de los esfuerzos de ñexíon en el concreto en el centro del claro y en el apoyo interior provenientes de: (1) presf uerzo efectivo más carga muer ta total de 500 Lb/pie , y (2) presfuerzo efectivo más carga mu erta tot al más carga viva sobre puesta de 300 Lb/pie. 8.3 Resuélvase el problem a 8.2 empleando el méto do de la superposición (De formación consistente). Haga comentarios acerca de los méritos relativos de los métodos alternativos de diseño.
CAPITULO 9
DEFLEXIONES
9.1
INTRODUCCION
Los miembros presforzados típicamente son más esbeltos que los de concreto reforzado, debido al uso de materiales de mayor resistencia y a técnicas más refinadas de diseño y construcción. Con una menor relación de carga muerta a viva, ellos pueden emplearse en claros mucho mayores. En tales circunstancias, el tópico de las deflexiones requiere de especial atención. En algunas condiciones, el interés principal se enfoca hacia la deflexión total debida a los efectos combinados del presfuerzo y toda la carga de servicio. En otros casos, la deflexión de importancia puede ser la debida sólo a la carga viva. A menudo, son las deflexiones de larga duración debidas a la combinación del presfuerzo y a las cargas de naturaleza sostenida las que interesan. No presta r la at ención adecuada a las deformacion es puede crear varias clases de problemas. Para muchos miembros, particularmente para aquellos diseñados para la total idad del presfuerzo, en lugar de para presfuerzo parcial, el problema es una excesiva deflexión hacia arriba, o combeo, el cual se incrementa con el tiem po debido al fluj o plástico del c oncreto. El combe o de las vigas de puent e, por ejemplo, puede ocasionar un perfil no uniforme del camino, produciendo características de circulación incómodas o aún peligrosas. El combeo excesivo en los tableros de cubierta puede interferir con el drenaje apropiado. Para los entrepisos, los desplazamientos excesivos hacia arriba o abajo pueden producir el agrietamiento de tabiques divisorios u otros elementos no estructurales, uniones defectuosas en ventanas o puertas, o posibles desalineamientos en maquinarias sensibles. En algunos casos, el desplazamiento vertical diferencial, tal como el que existe entre unidades de piso precoladas adyacentes, producido por la variación no intencional de las propiedades de los materia les, de la fuerz a preten sora, o de la exc entrici dad, puede causar prob lemas.
Bases para los cálcul os 351
350 Deflexiones
Mediante el presfuerzo es posible controlar las deflexiones de manera significativa. Una viga de sección transversal dada puede considerarse más rígida si es que es presforzada que si lo es simplemente reforzada. La reducción del agrieta miento significa que toda, o casi toda la sección transversal es efectiva para la contribución al momento de inercia. Por otra parte, la deflexión neta durante el servicio puede minimizarse o aún anularse totalmente mediante el balanceo de los momentos inducidos por las cargas con los momentos del presfuerzo actuan do en sentido opuesto. Sin embargo, la predicción de la deflexión en miembros presforza dos se complica por la reducción gradual de la fu erza pre tensora debida a las varias pérdidas y a cambios en la curvatura debidos al flujo plástico del con creto. En un miembro típico, la aplicación de la fuerza pretensora producirá ; combeo hacia arriba. El efecto de la contracció n, del flujo plástico y del relaja miento, consiste en reducir gradualmente el combeo producido por la fuerza inicial, a medida en que disminuye la fuerza. Sin embargo, el efecto del flujo plástico es doble. Mientras que produce una pérdid a del p resfuerzo , ten diente a reducir el combeo, las deformaciones por flujo plástico en el concreto por lo general aumentan las curvaturas negativas y, en consecuencia, aumentan el com beo. Por lo general, el segundo efecto es el que pred omina, y el combe o aum enta con el tiempo, a pesar de la reducción de la fuerza pretensora. Por lo general, las cargas muerta y viva son tales que producen deflexiones hacia abajo. En el caso de las cargas sostenidas, las deflexiones son también de pendient es del t iempo, debido al flujo plást ico del concr eto. Al considerar el efecto del flujo plástico en las deflexiones, se puede notar que, si una carga balanceada se obtiene combinando la acción del presfuerzo y las cargas transversales de larga duración, de forma que prevalezca una compre sión uniforme en todas las secciones del concreto, entonces se anulan los efectos del flujo plástico en las deflexiones, y éstas se pueden mantener casi nulas. Este estado balanceado de cargas puede constituir un dato muy útil de referencia para el diseño. El control de la flexibilidad en el diseño, o la predicción de la deflexión se pueden lograr con cualesquiera de varios grados de precisión, dependien do de la naturaleza e importancia de la obra. En muchos casos es suficiente establecer limi taciones en la relación claro a peralte basándose en experiencias previas o en li mitaciones del código (ver sección 4.7 para vigas y secciones 10.6 y 10.16 para losas). Si se deben calcular deflexiones, se encontrará que el método aproximado descrito en la sección 9.3 tiene suficente aproximación para la mayoría de los propó sitos de diseño. En circunstancias especiales en las que es importante obtener la mejor in formaci ón posible acerca de las deflexiones bajo todo s los estados import antes de carga, como en el caso de puentes de grandesffclaros, el método más satisfac torio consiste en el procedimiento basado en la sámatoria de las deflexiones que ocurren en intervalos discretos de tiempo, según jsc describió en la sección 9.5. j De esta manera, los cambios dependientes del tieljllpo en la fuerza pretensora, en
las propiedades de los materiales, y en las cargas, se pueden tomar en cuenta con precisión.
9.2 BASES PARA LOS CALC ULOS Si la fuerza pretensora se conoce con precisión, si los materiales se esfuerzan so lamente dentro de sus rangos elásticos, y si el concreto permanece sin agrietarse, entonces el cálculo de la deflexión debida a la flexión de un miembro presforzado no presentará ninguna dificultad especial. El combeo proveniente del pres fuerzo se puede calcular bien sea basándose en las curvaturas , o bien directam ente de los diagramas de momentos debidos al presfuerzo, empleando herramientas conocidas tales como el método de área de momentos. Alternativamente, el efec to del presfuerzo se puede co nside raren función de las cargas equivalentes. Luego se calculan las deflexi ones debidas a las cargas mue rta y viva como en cualquier otro miembro sujeto a flexión, y se sobreponen a las deflexiones del presfuerzo para obten er los valores netos correspo ndientes a los estados de carga que sean de interés.
Figura 9.1 Esfuerzos y deformaciones debidos a la fuerza preten sora inicial P¡. (a) Sección transversal, (b) Esfuerzos, (c) Deformaciones.
Las deformaciones y los esfuerzos en el concreto de una viga típica, debi dos a la aplicación de la fuerza pretensora inicial P., pueden ser como los mostrados en la figura 9.1a. Los esfuerzos en el concreto se hallan de las ecuaciones del ca pítulo 3, después de lo cual las deform aciones se hallan fácilmente media nte la relación ec = f c/Ec . Si el peralte total de la sección es h, entonces la curvatura debida aP¡- para una sección en particular es &2I ~
e li
(9.1)
352 Deflexiones
Bases para los cálcu los 353
consideran do d ebidamente los signos. Si se considera positiva la deformación por ; tensión, como es usual, entonces un signo negativo indicará curvatura cóncava i hacia abajo, y combeo hacia arriba para un claro simple. Los esfuerzos y deformaciones en el concreto del miembro después de las ,1 pérdidas se muest ran en la figura 9.2. Los esfuerzos disminuye n en com paración j con los de la figura 9.1, debido a la pérdida de fuerza pretensora. Sin embargo, j debido a los efectos combinados de la contracción y el flujo plástico, existe un ! incremento en las deformaciones del sentido de la compresión. Después de ocurrí-1
En muchos casos, al calcular deflexiones debidas a la fuerza pretensora, es más sencillo trabajar con momentos en vez de con curvaturas. Para vigas estática mente determinadas, el diagrama de momentos del presfuerzo es directamente proporcional al diagrama de la excentric idad, ya que M = Pe. Las ordenadas de momentos se convierten en ordenadas M/E I, y al diagrama M/ EI se le considera como una carga elástica para hallar las deflexiones mediante el teorema de área de momentos o el método de la viga conjugada. La equivalencia entre los dos mé todos es obvia, ya que de la mecánica elemental
das las pérdidas, la curvatura es M _ Pe
(9.4)
E j c ~ E J c
Así, para la viga de la figura 9.3a, la cual tiene un tendón parabólico con excentricidad e en el centro del claro, disminuyendo a cero en los apoyos, se obtiene un diagrama parabólico de momentos con una máxima ordenada Pe. Es te se convierte fácilmente al diagrama M/ EI de la figura 9.3 b. Si se apalica el mé todo del área de momento s, el desplazamiento por flexión A debido al presfuerzo P se halla tomando momentos del área M/EI , entre el centro del claro y el apoyo, alrededor del punto de apoyo: Pe —
E l
l
2
x - X —x 2
3
5 — 8
5 Peí2
48 E l Figura 9.2 Esfuerzos y deformaciones debidos a la fuerza pretensor a efectiva P¥ después de las pérdidas, (a) Sección transversal, (ó) Esfuerzos, (c) Deformaciones,
Para los fines del cálculo, es conveniente considerar la curvatua después d o las pérdidas, p¡ que ocurre inmediatamente después de la aplicación de P¡, (2) el cambio de cur vatura d<¡>x correspondiente a la pérdida del presfuerzo por el relajamiento, 1|| contracción y el flujo plástico, y (3) el cambio de c u rv a tu ra ^ proveniente d e l flujo plástico del concreto sujeto a cargas de compresión sostenidas (véase la pu blicación referida en 9.1). Así 4>pe = 0 p¡ +
d& i +
d2
(9.M
las curvaturas (¡>pi ’§ (¡>pe varí an a lo largo del claro Los valores en diferent es in tervalos se pueden calcular de manera que se establezca la forma del diagrama de curvatura, el cual puede luego tratarse como uná Curga elástica para los cálculo»
Este y otros casos que ocurren con frecuencia, se sintetizan en la figura 9.4 para fines de referencia. Las figuras 9Ab, c, y d dan las deflexiones al centro del claro para tendones atirantados al centro del claro, en los puntos tercios, y en los cuartos, respectivamente, y pasando por el centroide del concreto en los apoyos en todos los casos. La figura 9.4e da la deflexión en el centro del claro producida por un t endó n re cto con excen tricida d co nstante e. Los otros casos se pueden obtener por superposición. Por ejemplo, si el tendón parabólico de la figura 9.4/tiene una excentricidad e¡ en los apoyos, más una excentricidad adicional e 2 en el centro del claro, la deflexión total en el cen tro del claro debid a al presf uerzo se halla superponiendo los casos (a) y (e), según se muestra en la figura 9.4/. Una tercera alternativa para hallar la deflexión debida al presfuerzo consis te en encontrar las cargas equivalentes que produzcan el efecto del presfuerzo, lo que permite el empleo de las ecuaciones para las deflexiones, pudiéndose hallar éstas en los manuales para las condiciones de carga usuales. Para ilustrar el hecho de que se pueden obtener resultados idénticos me diante el método de las cargas equivalentes, se recordará que la carga equivalente
Bases para los cálculos 355
354 Deflexiones
8
W~
Deflexió n en la mitad del claro
Perfil
Pe
l2
(4.25)
5 PeP
(a)
48 E l
■m
Puede confirmarse en cualquier referencia bibliográfica estándar que la deflexión debida a una carga uniforme en un claro simple es A
- ~ — ~ 384 E l
~~T
t
^
Parábola
w
- •— ___
e
T
-1/2-
12 E l
-1/2-
Sustituyendo la carga equivalente del presfuerzo: 5 x 8 Peí 4 ~ 384 P EI
_ 23 Pel2 216 E l
(c)
5 Peí2
“ 48 ~ E Í
I-*— //3 -
±
-1/3 — -H <
1/3-
&= 1 1 Pel2
W)
96 E l
-& T -f/4 ->t
(■*-!/A - * 4 « s ---------- 1/2 -
T e n d ó n p a r a b ó li c o
(a)
(*>
A=
1 Pel2
8
E l
m
-
—
—
-
r .
8
.“ i
E l
48
E l
Figura 9.4 Deflexiones del presfuerzo para varios perfiles del tendón. M
infiü
.*§•
rjá
-if
: b l
•»•«!
que ya se había encontrado mediante el método de área de momentos. De ma nera similar, se puede obten er una confirmación para los otros casos de cargas
Método aproximado para el cálculo de deflexiones 357
356 Deflexiones
Si la viga o losa no se encuen tra agrietada, el momen to de inercia a emplearse en los cálculos se puede considerar como aquél correspondiente a toda la secció transversal de concreto sin caer en serios errores. Si existiera una gran cantidad de acero de refuerzo, lo cual es poco frecuente, la precisión aumentará emplean do las propiedades de la sección transformada. Si existiera agrietamiento, la rigidez del miembro puede verse sustancial mente reducida. Sin embargo, aun en el caso de miembros parcialmente presforzados, éstos sólo se agrietan en ubicaciones discretas. Entre grietas, la rigidez a la flexión es aproximadamente igual a la de la sección de concreto sin agrietar. En tales casos, se recomienda el empleo de un momento de inercia efectivo, según se describe en la sección 9.4.
9.3 METODO APROXIMADO PARA EL CALCULO DE DEFLEXIONES
Aun cuando en ciertos casos la deflexión para estados intermedios puede ser im port ante , los estados a cons iderarse normal mente son el estado inicial, cuando a la viga se le aplica la fuerza pretensora inicial P¡ y su peso propio, y una o más combinaciones de carga de servicio, cuando la fuerza pretensora es reducida por las pérdidas hasta Pe y cuando las deflexiones son modificadas por el flujo plás tico del concreto sujeto a cargas sostenidas. Las deflexiones de corta duración Ap¡ debidas a la fuerza pretensora inicial P¡ se pueden hallar basándose en la variación de la curvatura a lo largo del claro, usando los principios del área de momentos. Las curvaturas iniciales p ¡ se pue den calcular de las deformaciones (ecuación 9.1), pero generalmente es más directo trabajar con el diagrama de momentos del presfuerzo y la correspondiente varia ción de Pie/Ecl c a lo largo del claro. Para los casos comunes, la deflexión al cen tro del claro Api se puede calcular directamente de las ecuaciones déla figura 9.4. Por lo general, Api es hacia arriba, y para condiciones normales, el peso propio del miembro se superpone inmedia tament e después del presfuerz o. La deflexión inmediata A hacia abajo debida al peso propio, el cual por lo general es uniformemente distribuido, se halla fácilmente por los métodos convenciona les. La deflexión neta después del presfuerzo es 0
A — — Api + Aa
Pe
=
+
(Pi~
P e)
4- p e \ \ c; p. g x i '
ECIC
EJ .
C„
(9.6)
donde Cu es el coeficiente de flujo plástico (ver capítulo 2). El subíndice x em pleado con e indica que la excentricidad varía a lo largo del claro. El primer tér mino de la ecuación (9.6) es la curvatura negativa inicial, el segundo término es la reducción de aquella curvatura inicial debida a la pérdida del presfuerzo, y el tercer término es el incremento en la curvatura negativa debido al flujo plástico del concreto. Aquí la aproximación important e que se hace es que el flujo plásti co ocurre bajo una fuerza pretensora constante, e igual al promedio de sus valo res inicial y final. Correspondiente a tal aproximación, la deflexión final del miembro bajo la «cción de Pe es A = - Api + (Ap¡ - Ape) - A^ ± Ape C„ o simplemente A = —Apg —Ap‘ ^ Ape C„
(9.7)
donde el primer términ o se halla fácilmente mediante proporción directa: AP, = Ap¡ £
(9.8)
* i
La deflexión de larga duración debida al peso propio es también modifi cada por el flujo plástico, y puede obtenerse aplicando el coeficiente del flujo plást ico al valor instantá neo. De esta forma, la deflexión to tal del miembr o, después de ocurridas las pérdidas y las deflexiones por flujo plástico, cuando actúan el pres fuerzo efectivo y el peso propio, viene dada por A=
'Ape —Ap<-jr Ap
(9.9)
(9.5)
donde los valores negativos indican desplazamiento hacia arriba. Al considerar los efectos de larga duración, se hace referencias a la ecua ción (9.3), la cual indica que las curvaturas (o deflexiones) debidas a la fuerza preten sora Pe después de las pérdidas se puedeiijcal cular como la suma de las curvaturas iniciales (o deflexiones) más los cambios debidos a la reducción del presfuerzo y debidos al fl ujo plástic o del concr ete. La ecuaci ón (9.3 ) se puede
La deflexión debida a las cargas sobrepuestas puede agregarse ahora, intro duciendo el coeficiente por flujo plástjco para tomar en cuenta el efecto de larga duración de las cargas muertas sostenidas, para obtener la deflexión neta bajo to da la carga de servicio: 18 M í
Ap
Apf| jf e
+ (A„ + AjK 1 +
C J
+ A,
(9.10)
Cálculos refinados por intervalos increméntales 359 358 Deflexiones
donde Ad y A¡ son las deflexiones inmediatas debidas a las cargas muerta y viva sobrepuestas, respectivamente.
9.4 MOMENTO DE INERCIA EFEC TIVO
Se señaló con anterioridad que, si un miembro no se encuentra agrietado en los ¡es < tados de carga bajo los cuales debe de calcularse la defle xión, entonces los cálcúl se pueden basar en el momento de inercia de la sección transversal total del con creto. Si el agrietamie nto sí existe, entonce s la rigidez efectiva de flexión pued verse considerablemente reducida. Por ejemplo, en miembros parcialmente'pre' forzados, donde puede esperarse la ocurrencia de agrietamiento bajo cargas de servicio, el empleo de la sección transversal total puede acarrear serios errores. Para vigas de concreto reforzado, Branson ha demostrado que puede em plearse un momen to de inercia reducido o efectivo (véase publicación referida en 9.2), tai como sigue: Ma
K +
M , M„„
(9.11)
sin sobrepasar Ig, donde = mome nto de inercia de la sección transversal tot al de concreto Ig I cr = momento de inercia de la sección transformada de concreto total mente agrietada Mcr = mom ento de agrietamie nto de la viga Mmáy = máximo momento que actúa en el claro simple Se ve que Icr < l e < / g y que Ie alcanza el valor Icr a medida en que Mmáx sobre pasa a Mcr. La ecuación (9.11) se emplea mucho y se incluye en las recomendaciones del Código ACI para vigas de concreto reforzado. El Código no es claro con relación al uso de la ecuación (9.11) para la de flexión de miembros presforzados en el rango agrietado, pero exige que aquellos cálculos de deflexiones se basen en las secciones agrietadas transformadas y en relaciones bilineales de momento-deflexión. Basándose en los resultados de pruebas (véase publicación referida en 9.3), Branson recomendó que se use la ecuación (9.11) en miembros de concreto presforzado, cargados en el rango de agrietamiento (veánsc también las publicacio referidas en 9.4, 9.5 y 9.6). El empleo de Ec I e implica la adopción de un módtf lo secante de rigidez, y parece satisfacer la intención de las disposiciones del Có digo. Al calcular I cr para ser empleado en la ecuueión (9.11), es normalmente
mando en cuenta el área de acero en la forma usual, pero despreciando el efecto de la fuerza pretensora en la modificación de la ubicación del eje neutro (véase publicación referida en 9.7). A menudo, en la práctica el ingeniero no está involucrado tanto con el cálculo de la deflexión total sino, por ejemplo, con la deflexión incremental a medida en que se aplica la carga viva. En tales casos, debido a la relación no lineal entre carga y deflexión proveniente del aumento del agrietamiento (ver figura . ), primero es necesario calcular la deflexión antes que se aplique el incremen to de carga, empleando el l e apropiado de la ecuación (9.11), calcular luego la deflexión después de que se agrega la carga, usando un nuevo valor apropiado de y finalmente restar el primer valor del segundo para obtener el incremento deseado de deflexión. 4
1
9.5 CALCU LOS REFINADOS POR INTERV ALOS INCREMENTALES DE TIEMPO
Al calcular la deflexión resultante de la fuerza pretensora, el método presentado en la sección 9.3 tratá a los cambios dependientes del tiempo de una manera muy aproximada. Se consideraron dos estados de carga: el estado inicial, cuando actuaba el presfuerzo P¡, y el estado final, después de ocurridas todas las pérdidas dependientes del tiempo, cuando actúa la fuerza pretensora Pe. Con referencia a la ecuación (9.6), se redujo la curv atura inicial Píe;c/£ ’c/c para tom ar en cuent a las pérdidas del presfuerzo ( P¡ - Pe), luego se incrementó para tomar en cuenta el efecto de la deformación por flujo plástico en el aumento de las curvaturas a lo largo del claro. Al calcular la última componente se hizo la aproximación de que el flujo plástico del concreto ocurre bajo una fuerza pretensora constante, igual al valor promedio (P¡ + Pe)¡ 2. Tal aproximación debe de ser lo suficientemente precisa en todos los casos except o en los p oco usuales. Para un m ayor refinamiento, es necesario tomar en cuenta los cambios de pendientes del tiempo de la fuerza pretens ora en forma tal que se recono zca la interacción de los efectos del flujo plástico, la contracción, y el relajamiento. El flujo plástico no ocurre bajo una carga constante, sino más bien bajo una fuerza que se reduce constantemente debido a los efectos de la contracción, el relaja miento, y el flujo plástico en sí mismo. Esto puede tomarse en cuenta usando un procedimie nto de sumator ia, basado en los ca mbios incremén tales que ocurren en una serie escalonada de tiempos discretos (véase publicación referida en 9.1). Mientras que tal método de intervalos sucesivos es aún aproximado, permite au mentar el grado de precisión hasta cualquier grado deseado media nte la reducción de la longitud y el aumento del número considerado de intervalos de tiempo. La determinación de las curvaturas y deflexiones mediante tal procedimiento no solamente requiere de información con relación a los coeficientes últimos de flujo plástico, contracción y relajamiento, sino también de la variación de esas
360 Deflexiones
Cálculos refinados por intervalos increméntales 361
cantidades con el tiempo. La información contenida en el capítulo 2 será útil a este respecto (véanse también las publicaciones referidas en 9.4 y 9.5). En realidad, para el método de los intervalos sucesivos, la ecuación (9.6) se reemplaza por la siguiente sumatori a, pa ra obten er la cur vatura p (en una sección cualquiera en el tiempo t:
P ic: e 1
+ £ (iV 1-
Pn) -jf f -
£ (C„ - C„_,)fV !-y
(9.12)
donde los subíndices ( n - l ) y n definen el inicio y el final de un intervalo parti cular de tiempo. Se recordará que el primer término es la curvatura instantánea que ocurre después de la aplicación de la fuerza pretensora P¡, el segundo térmi no es la disminución en curvatura correspondiente a la pérdida de presfuerzo debida al flujo plástico, a la contracción y al relajamiento, y el tercer término es el incremento en la curvatura proveniente del flujo plástico. La fuerza pretensora al final de cualquier intervalo de tiempo es igual al presfuerzo incial P¡ menos las pérdidas producidas por la contracción, el flujo plástico y el rela jamiento. Las pérdidas pro ducidas p or la co ntracc ión, y el relaja miento podrían hallarse fácilmente mediante la aplicación de los coeficientes de contracción y relajamiento y de las funciones del tiempo del capítulo 2. Sin em bargo, el efecto del flujo plást ico d eberá to marse en cuenta sumando los cambios de curvatura de todos los intervalos de tiempo hasta el tiempo ( t ), debido a que la fuerza que produce el flujo plástico disminuye continuamente. En la práctica, resulta conveniente tratar todas las pérdidas en la misma su matoria. Los cambios en curvatura representados por los términos segundo y ter cero de la ecuación (9.12) se obtienen de manera concurrente en cada intervalo, mediante una secuencia de cálculos que toman en cuenta tanto a las pérdidas de presfuerzo debidas a toda s las causas como a la curvatura debida al flujo plást ico, y proporcionan los elementos de la sumatoria indicada simbólicamente por la ecuación (9.12). Primero se determina la curvatura inicial, primer término de la ecuación (9.12), bien sea de la ecuación (9.1) o de la ecuación (9.4). Luego, para el si guiente y cada intervalo subsecuente de tiempo, se realiza la siguiente secuencia de cálculos. (Referirse a la figura 9.5): 123 1.
4.
con el objeto de obtener el cambio total de deformación al nivel del centroide del acero. Multipliq úese la deformación tot al hallada en el paso 3 por E p , y agre gúese el incremento de pérdida por relajamiento para obtener la pér dida total de esfuerzo en el acero para el intervalo.
Obtener el incremento tota l en la deformación por flujo plástico en cada fibra extrema, A el to ta ¡ Y Ae totah mediante la multiplicación del esfuerzo al inicio de cada intervalo dé tiempo por el incremento en la deformación unitaria por flujo plásticóípara aquel intervalo. Determinar la deformación por flujo plá|tico correspondiente al nivel del centroide del acero. Sumar la deforma ción por flujo plástico Dallada en el paso 2 y el incre
Figura 9.5 Cambios en la deformación y rotacion es en el intervalo de tiemp o n.
5.
Hallar el cambio en los esfuerzos del concre to en las fibras extremas correspondientes a la pérdida de esfuerzo en el acero, y divídanse por E c para hallarlos correspondientes cambios de deformación A'x y A'2 .
6
.
7.
Determinar los cambios netos en la deformación por flujo plástico en las fibras extremas. Ae ln et y Ae2„e(, restando los cambios de defor mación del paso 5 de los cambios totales del paso 1. Obtener el incremento en curvatura
2
2. 3.
/i \ ^&2nel ~^&lnet ¡ Wn ~ (Pn^l) = -------- T -------de las deformaciones netas halladas en el paso , y súmese con las cur vaturas presentes al inicio del intervalo de tiempo para obtener las 6
362 Deflexiones
8
.
Ejemplo del cálculo de deflexiones 3 63
Hallar los esfuerzos en las fibras extrema s al final del intervalo de tiempo encontrando la suma algebraica del esfuerzo inicial y el cambio de esfuerzo determinado en el paso 5. Estos son los esfuerzos con los cuales se inicia la secuencia de cálculos para el siguiente intervalo de tiempo.
r 2 = 68.2 pulg2 (44.0 X 103 mm2) Ec = 4 ,030,000 lb/pulg 2 Cu = 2.35 = 800 x
1 0 - 6
e — c o n s t a n t e
El efecto de la secuencia de cálculos recién descrita es encontrar la curvatu ra por flujo plástico, el término 3 de la ecuación (9.12), basándose en la fuerza prete nsora al inicio del intervalo de tie mpo, luego calcular el ca mbio en curvatu ra debido a las pérdidas, el término 2 de la ecuación (9.12), basándose en la con tracción y el relajamiento que ocurren durante el intervalo, y el flujo plástico correspondiente a la fuerza pretensora que actúa al inicio del intervalo. Los cálculos descritos se deben realizar en un número suficiente de ubica ciones a lo largo del claro para establecer la forma del diagrama de curvatura con suficiente precisión, por lo menos en el centro del claro, en los puntos cuartos, y en los apoyos. El cálculo de las deflexiones de la viga a partir del diagrama de curvatura es una tarea rutinaria, y se puede efectuar empleando el método del área de momentos u otros medios. Las deflexiones instantáneas y de larga duración debidas a las cargas trans versales pueden ahora superponerse para obtener las deflexiones netas en los estados de carga que sean de interés. En este caso, el flujo plástico no requiere del empleo del método de sumatorias, debido a que la carga sostenida que produ ce el flujo plástico es constante. Las deflexiones instantáneas debidas a la carga sostenida se pueden multiplicar directamente por el coeficiente de flujo plástico para o btene r las deflexiones de larga duraci ón.
-*-
-H
-40'-
1
M
O - 8 3 l b / p u lg 2
I b)
(c)
9.6 EJEMPLO DEL CALCULO DE DEFLEXIONES Tiem po, en días
Calcular la flecha en el centro del claro de 40 pies de la viga I de la figura 9.6 a los 0, 30, 180 y 360 días de edad, empleando el método de los intervalos sucesi vos de la sección 9.5. Comparar la deflexión resultante a los 360 días con la obtenida empleando el método aproximado de la sección 9.3. El miembro, estu diado originalmente con relación al análisis de esfuerzos elásticos en la sección 3.4, debe desopo rtar su peso propio de 183 Ib/pie y estará sujeto a una carga viva de servicio de 550 lb/pie. (claro = 12.9 m, wa = 2.7 kN/m, y w¡ = 8.0 kN/m.) Se dan los siguientes datos: P¡ Ap fy fpi
169.000 Ib (752 kN) 0.966 pulg 2 (623 mm2) 210.000 lb/pulg 2 (1448 N/mm2) 175.000 lb/pulg 2 (1207 N/mm2) 176 pulg2 (114 X 10 3 mm2) 12.000 pulg (4.99 X 10 mm4)
0
30
180
360
PS
-— . g l u p n e
PS + wa
y /( \ K
_
wo
W)
Figura 9.6 Ejemplo de deflexiones, (a) Elevación, (b) Sección transversal, (c) Esfuerzos en el concreto debidos aPj =. 169 kilolibras. (d) Deflexión en el centro
Ejemplo del cálculo de deflexiones 365
364 Deflexiones
El miembro se construirá con concreto de densidad normal, curado con hume dad, y se presforzará a los 7 días de edad. Resulta conveniente determinar las deflexiones debidas al presfuerzo, al peso propio, y a las cargas sobrepuesta s separadamente , y luego superpo ner los resultados. En los cálculos de la sección 3.4 se demostró que los esfuerzos en el con creto debidos a P¡, en las partes superior e inferior de la sección, son respectiva mente - 83 y —1837 lb/pulg2 . Las deformaciones correspon dientes en el concreto son
k
83 4.030.000
=
2 1
x
X
s
10~ 6 = -18.14
X
La variación de 5 con el tiempo se puede obtener de la ecuación (2.106 ). Por ejemplo, a los 30 días: 30° x 0.583 x 10" 10 + 30060 = 0.254 x 10" 6
6
Entonces, de la ecuación (9.1), la curvatura inicial es
—456 "I*21 = ----------24
2.35 = 0.583 x 1(T 6 4/030,000
«5,
1 0 ~ 6
1837 Íl = 456 x 1(T Ec 4.030.000
El coeficiente último de flujo plástico Cu de 2.35 corresponde a una defor mación unitaria por flujo plástico de
, ,i 10" 6 rad/pulg.
Cálculos similares conducen a los resultados que se resumen en la segunda columna de la Tabla 9.1. El incremento de deformación por flujo plástico para cada intervalo de tiempo está dado en la columna 3. Los cálculos por contracción deben tomar en cuenta el hecho de que la viga es colada y comienza a experimentar cambios volumétricos 7 días antes del tensado, por lo tanto, a los menos 7 días. Con esh u = 800 X 10 - 6 y la función del tiempo dada según la ecuación (2.13a), un cálculo típico es tal como sigue:
^ ,3 0 = ^
7 ^ ( 8 0 0
x
1 0
" 6)
Se pueden obtener resultados idénticos de la ecuación (9.4): = 411 x 1CT6 P¡
Pf x EJc 169,000 x 5.19 = -18.14 x 10 4,030,000 x 12,000
6
rad/pulg.
Se puede hallar el correspondiente combeo hacia arriba mediante el méto do del área de momentos, o mediante la figura 9.46 tomada como referencia:
Los cálculos para otros intervalos de tiempo conducen a la información dada en la columna 4 de la Tabla 9.1, con los incrementos en cada intervalo en la columna 5. La pérdida de esfuerzo en el acero debido al relajamiento está dada por la ecuación (2.1). Con un esfuerzo de fluencia de 210 kilolibras/pulg 2 y un esfuer zo inicial de 175 kilolibras/pu lg2, la relación de esfuerzo a los 30 días, o 720 horas, es
k = _ log 720 /175 f P¡ V 1
1 0
Ap¡ = 4>P¡ g= -18 .14 x 10” 6(40 x 12)2/8 = -0.52 pulg. (13 nuil)
Los cambios en deflexión dependientes del tiempo debidos al relajamiento, a la contracción, y al flujo plástico del concreto se dfterminarán basándose en la
2 1 0
= 0.919 correspondiendo a una relación de pérdida de 1.000 —0.919 = 0.081. Cálculos similares para todos los intervalos de tiempo proporcionan la información de la columna 6 de la Tabla 9.1, con los cambios increméntales dados en la columna 7. Ahora puede procederse con el cálculo de los cambios en la curvatura y la deflexión dependientes del tiempo, siguiendo los pasos 1 a 8 de la sección 9.5. Se usarán solamente 3 intervalos de tiempo para los fines de la demostración del
Ejemplo del cálculo de deflexiones 367
366 Deflexiones
En consecuencia la pérdida de esfuerzo total en el acero durante el tiempo del intervalo es
Tabla 9.1 Parámetr os dependient es del tiempo para el cálculo de las pérdidas (Ejemplo 9.6) (1) Tiempo
(7) (6) Relajamiento
(5) (4) Contracción
(3) (2) Flujo plástico
1
(8)
Incrementl
A fp
(^cr + £sh)Ep + A fPtfel = (340 + 278) x 10“ x 27 x 10 + 14,200 6
8,
x 10“ 6
x 1(T6
Días
A<5,
£sh,t x 10“6
fp/fpi
^&sh,t
1 -fp/fpi A(1
= 30,900 lb/pulg
- f p/ f i
x 10~6
't:T ¡|
Los cambios correspondientes en los esfuerzos del concreto de las caras superior e inferior son
0
-7 0
0
6
2
133
133
1 . 0 0 0
30
0.254
0.2 54
411
27 8
0.919
0.081
0.081
;
180
0.404
0.150
67 4
26 3
0.897
0.103
0.022
j
36 0
0.451
0.047
730
56
0.888
0.112
0.009
i
+-
A/,
: Se tomará el primer intervalo de tiempo desde el tiempo correspondiente j al presforzado, tiempo 0, hasta lds 30 días. Al comien zo de este intervalo de j tiempo los esfuerzos en las fibras del concreto son - -83 lb/pulg f 2 = —1837 lb/pulg / i
0.966 x 30,900 / 176 V
=-1-14 lb/pulg
2
AP ¡ ec2 + — ( +~ 3
A f 2
1
0.966 x 30,900 /
2
~
2
YT6
= +324 lb/pulg Aplicando el increm ento unita rio de flujo plástico de 0.254 X 10 mer intervalo se obtienen deformaciones totales por flujo plástico de
“ 5
Aelgross = 83 x 0.254 x 10
“
6
AE2gross = 1837 x 0.254 x 10
= 21 x 10 = 467 x 10 “
“
5.19 x 12 68.2
6
+
\ 2
Estos esfuerzos se dividen por el módulo de elasticidad del concreto para obtener los correspondientes cambios en la deformación del concreto:
6
“
6
El flujo plático total al nivel del acero de presfuerzo es 17.19 21 + -—-(467 24 340 x 10
“
-4
68.2
para el pri
A', = 14/4,030,000 = 3 x 10 A = 324/4,030,000 = 80 x 10“ “
'2
Ae„
5.19 x 12
1 0
6
6
6
Ahora se ajustan las deformaciones totales obtenidas anteriormente con la finalidad de obtener las deformaciones netas en las caras superior e inferior de la sección de concreto: ■)fi :•.b.< +5K j;' , ■ » A AeUet = (21 - 3) x 10 = 18 x 10 “
6
“
6
As2„e( = (467 - 80) x 10 = 387 x 10 “
El incremento en la deformación por contracción para el primer intervalo de ti empo, de la Tabla 10.1, es 278 X 10~6. El «taja mie nto en el esfuerzo del I acero, basándose en la relación de pérdida incremejltal es Afpre¡— 0.081
X
175,C
6
“
6
El incremento en la curvatura durante el tiempo del primer intervalo se halla cilmente-basándose en estas deformaciones:
fá
i u g * o o O a
368 Deflexiones
= -33.52 x 10
< VO Tt roN v-f + + +
As>"S s> "S e u
r-
0 \ '«t Tt
V i
■g & g s
De esta manera la curvatura total, al finalizar el tiempo del intervalo 1, es: 15.38)10 )10 4>pi + A(j>= ( —18.14 - 15.38
As,
g*
§ ¿ E h
ce V M
«
6
5
< 1
* a S
S ; o
“ 6
S -s g =5 S o a cO u) tí OJ "3 2
S ¡h
Esta curvatura, la cual es constante a lo largo del claro como consecuencia de la excentricidad constante, se transforma fácilmente a deflexión hacia arriba en el centro del claro:
oo oo oo
cT «o
t í -"
ro v— i
o
"53 2
s 23 O tí 'O 13 T3 S O a> m 53 GJ tí H Q o
£ s § |
-*30 —V30 -33.52 x 10
g
Q O »/■) fN oo »o Tf' co
g § 2
_ 6
(40 x 12
o fr) fr) r-
O w i—i
tí «M "«O M
) 2
^ O a -d _ G O,° g
= —0.97 pulg. (—25 mm) Los esfuerzos en el concreto en las caras superior e inferior al inicio del si guiente intervalo de tiempo se obtienen mediante la suma algebraica de los esfuer zos al inicio del primer intervalo de tiempo y el cambio en el esfuerzo resultante de las pérdidas:
g ■§ ‘3
J<-D l a
c e
/ i = —83 + 14 = —69 —69 lb/pu lb/pulg lg 324 = - 15 1513 13 lb/pulg f 2 = -1837 + 324 2
Los resultados de todos los cálculos descritos hasta este punto se resumen en la Tabla 9.2 para el tiempo de 30 días. Asismismo, se resumen los cálculos correspondientes a los intervalos de tiempo segundo y tercero. Basándose en la curvatura total al final de cada intervalo de tiempo, encon trada mediante el proceso sumatorio recientemente descrito, los cómbeos hacia arriba debidos a la fuerza pretensora correspondientes a los tiempos 0, 30, 180 y 360 días son respectivamente, 0.52, 0.97, 1.18 y 1.24 pulg., según se dáñenla columna final de la Tabla 9.2. Estos cómbeos se grafican como una función del tiempo en días en la figura 9.6d. A cont inuació n se hallan las deflexiones debidas al peso propio de 183 lb/pie. La deflexión instantánea hacia abajo es
5 w / 4
5 x 183(40 x 12)| “ 384 x 4,030,000 x 12,Oo|:X 12
5ce
SO »O
o
tí g £ o ,tí
8 2 9 1
. 1 OO 5 0 .
2
1 4 3 3 4
X
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6
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2
X
6 3 8 4 . 1 . 3 7 2 5 1
ce
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7 7 8 3 8 1 5 3
Tt
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8 4 7 1 2 9 . . 1 1 0
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A I ° ~ 3S4 3S4L,. L,./, /,
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g
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s o g a ce o> u *3 S? S 0
'jJT 'jJT O
j í
1 +
370 Deflexiones
Ejemplo del cálculo de deflexiones
El incremento en este valor dependiente del tiempo se halla más fácilmente me diante la introducción del coeficiente de flujo plástico Cu = 2.35, con los factores de tiempo obtenidos mediante la ecuación ( . a): 2
r X
1 0
A, = A„(l + C,) A = 0.218(1 0.218(1 + 0.435 x2.35) 2.35) = 0.44 pulg (11 mm) A = 0.218(1 0.218(1 + 0.693 x2.35) = 0.57 pulg (14 mm) A = 0.218(1 4- 0.774 x2.35) = 0.61 pulg (15 mm)
“
37 1
sys-—* s í íEf S j sSS s ErtaSlo¡
ueií“1q Afp =
30,900 30,900 + 15,400 15,400 + 4400 = 50,700 lb/pulg (350 N/inm2)
30
180
2
360
Estos valores también se grafican como una función del tiem po en la figura 9.6d, y se muestra la deflexión neta debida al efecto combinado del presfuerzo y la carga muerta. La deflexión instantánea debida a la aplicación de la carga viva de 5 50 lb/pie es
0
r x " s b X T « A T ¿ 2 - ES ESt° CO COrreSP° nd e una pérdida en la fuerza de 3
Pe = P¡ ~ AP
= 169-49 = 120 kilolibras (534 KN)
A, = 0.218 x
•= 0.66 (17 mm) 183 183
La deflexión inmediata hacia arriba debida al presfuerzo es
Así la deflexión neta para el tiempo de 360 días, debida al presfuerzo, y a las cargas viva y muerta será
A h
igual igual que antes, mientras que
A„ A„e, =
- 1.24 1.24 + 0.61 61 + 0.66 = +0.03 pulg (1 mm)
-----0-52 pulg (13 mm)
Ape = -0.52 x
120 120
169 169
-0.37 pulg mm ) ( 9
En este estado de carga la viga estaría casi a nivel, pero podría preverse un combeo neto hacia arriba de 0.63 pulg., debido a la remoción de la carga viva de corta duración. En la Tabla 9.3 se resumen las componentes de deflexión y las deflexiones netas al final de de cada intervalo de tiempo. La columna 5 representa el combeo de la viga para el miembro descargado, en tanto que la columna es la deflexión cuando ac túa la totalidad de la carga viva viva..
t
°
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3
6
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0
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™ .X
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J 5
6
' « n
"
, "
i i
'
f- i
Tabla 9.3 Resumen de deflexiones deflexiones (Ejemplo 9.6) (1)
Tiempo Días 0
30 180
(2)
Ap
(3) | A0
pulg. mm
pulg. mln
- 0 .5 2 - 1 3 -0.97 -25 -1.18 -30
+ J& J& + 0 .44 +1 +1 1 + 0 .57 +1 +1 4 0 . 2 2
(4) A,
(5)
(6)
Ap + A„
Ap + A„ +
pulg.
mm
pulg. mm
pulg.
+ + +
+ |¡7 |¡7 + 1 [7 +| 7
-0.3 0 -0.53 - 1 3 - 0. 0. 6 1 - 1 5
0 . 6 6 0 . 6 6
-
8
^
±
^
P
l C ,
_ 0.52 0.52 + 0.37 0.37 ---- 0.37----------------x 1.82
|
0 . 6 6
¿360 ¿360 = - A p e ~
- 1.18 pulg (30 mm)
mm
+ 0.36 + 9 + 0.13 + 3 + 0.0 0.055 + t
e mp mp le le an an do do t re re s" s"¡ nt nt eett va va lloo s's' t " T “ " » « ° * > * - m .e .e ttvv ai ai o. o. para las ed ades de 30 180 y 360 días Si las def f erdld a y deflex lón calcula dos
Deflexiones permisibles permisibles 373 372
Deflexiones
cuencia que podría emplear cálculos correspondientes a edades entre un día y tres años, empleando intervalos corto s al inicio de la secuencia e intervalos intervalos largos largos al final de la misma. misma. Puesto que el trabajo po dría ser tedioso si se efectúa ma nualmente, el análisi análisiss de deflexiones se puede programar fácilmente para obten er una solución mediante computadora digital. 9.7 MIEMBROS COMPUESTOS
La determinación de la deflexión de vigas compuestas de concreto presforzado introduce muy pocos conceptos nuevos, aunque existen complicaciones prácticas debido a la necesidad de relacionar a los parámetros de los materiales dependien tes del tiempo con la secuencia de tiempos de las operaciones de construcción, tales como el colado de la losa, el logro de la acción compuesta total, y posible mente el tensado del acero por etapas. Deben usarse las propiedades apropiadas de la sección para los diversos estados en los cálculos. Aun si se usara el método aproximado de la sección 9.3, normalmente es necesario emplear dos intervalos de tiempo, el primero desde el tiempo de trans ferencia del presfuerzo hasta el teimpo en que se cuela la losa, y el segundo desde el momento en que se cuela la losa hasta el estado de cargas de servicio, en que se puede supo ner que han ocurri do t odas las pérdidas. El combeo inicial debido al presfuerzo, y la deflexión debida al peso pro pio de la unidad precola da y el peso del conc reto fresco de la losa se p ueden hallar mediante los procedimientos ya descritos, sin cambio, usando las propie dades de la sección precolada. El efecto del flujo plástico debido al presfuerzo y a otras cargas sostenidas, junto con el efecto de las pérdidas de fuerza pretensora, se deben determinar en dos estados: antes y después de colar la losa. También hay que establecer los valores apropiados de los coeficientes de contracción, flujo plástico y relajamiento mediante la aplicación de las funciones del tiempo del cap ítulo 2 para los valores valores últimos de los parámetros. La deflexión po r carga carga viva se puede calcular de la manera usual, empleando las propiedades de la sección compuesta de la viga. Una nueva consideración en el caso de vigas compuestas es el efecto de la contracción diferencial entre las partes colada in situ y precolada de la sección. La contracción de la losa después de su colado siempre será mayor que la conti nuación de la contracción de la sección precolada. Los incrementos resultantes en la deflexión hacia abajo del miembro compuesto pueden ser significativos, aunque los esfuerzos y deformaciones po r la contracción tienden a ser reducidos por el flujo plástico del con creto. El cálculo de la deflexión en miembros compuestos se discute en las publi caciones referidas én 9.4, 9.5 y 9.8. Para los detalles relaóionados con casos espe espe cíficos se remite al lector a aquellas fuentes. i 9 .8 .8
DEFLEXION ES PERMISIBLES
Tabla 9.4 Deflexiones permisibles máximas calculada s del Código ACIa ACIa
Tipo de miembro
Deflexión a ser considerada
Cobertizos planos que no soportan Deflexión inmediata debida a la o están ligados a elementos no carga viva L estructurales propensos a ser danados por las grandes deflexiones Deflexión inmediata debida a la Pisos que no soportan o están carga viva L ligados a elementos no estructurales propensos a ser dañados por las grandes deflexiones Construcción de cobertizo o piso que sopo rta o está ligado a elementos no estructurales propen sos a ser dañado s po r las grandes deflexiones Construcción de cobertizo o piso que soporta o está ligado a elementos no estructurales que no son propen sos de dañarse por las grand es def lexiones
Limitación en la deflexión /* 180
l
360
f*
Aquella parte de la deflexión total que ocurre después de la colocación de los elementos no estructurales, la suma de la deflexión de larga duración debida a todas las cargas sostenidas y la deflexión inmediata debida a cualquier carga viva adicional
480
/§ 240
“Adaptado con la autorización del Instituto Americano del Concreto del Código de EdificaciónACI 318-77. 318-77. *Con este límite no se intenta obtener protección en contra de los encharcamientos. El encharcamiento deberá checarse mediante cálculos adecuados de la deflexión, incluyendo la deflexión adicional debida al agua encharcada, y considerando los efectos de larga duración de todas las cargas sostenidas, el combeo, las tolerancias de construcción y la confiabilidad de las previsiones para el drenaje. fLas deflexiones de larga duración se pueden reducir en la cantidad de la deflexión que ocurre antes de la colocación de los elementos no estructurales. Esta cantidad se deberá determinar basándose en informaci ón técn ica aceptada con relación a las características tiempo- deflexión de los miembros similares a aquellos que se están considerando. fEste límite podrá excederse siempre que se tomen medidas adecuadas para evitar los daños en los elementos soportados o ligados. . §Pero no mayor que la tolerancia permitida en los elementos no estructurales. Este límite se podrá sobrepasar si se proporciona una contraflec ha, de tal manera que la deflexión totul menos la contraflecha no sobrepase la limitación.
funcionales del miembro o la estructura pueden imponer limitaciones. Si las de flexiones debidas a las cargas de corta o larga duración son muy grandes, los ele mentos no estructurales soportados por la construcción presforzada pueden verse
Problemas
375
374 Deflexiones
afectados. Se puede afectar el drenaje de los cobertizos de grandes claros. Las propi edad es de conf orte en la circula ción sobre puent es pued en ser in satisfac torias si la estructura soporte es muy flexible. En el Código ACI se incluyen ciertos límites, aplicables a la construcción de edificios. Estos se dan en la Tabla 9.4. En cada caso, la limitac ión de la deflexión, expresada como una fracción del claro, depende del tipo del miembro y de la construcción que se soporta. En algunos casos los límites sólo se aplican a la deflexión po r carga viva, viva, mientras que en otros casos los los límites se aplican a las deflexiones increméntales previstas previstas después de la fijación de los elementos no es tructurales. Para puentes, la especificación AASHTO exige que, para claros simples o continuos, la deflexión debida a la carga viva más el impacto no debe sobrepasar 1/800 del claro, excepto para los puentes en áreas urbanas usados en parte por transeúntes, en los cuales la relación debe ser de preferencia 1/100 0. La deflexión de las vigas vigas en voladizo deb ida a la carga viva más el el impac to est á limit ada a 1/300 del voladizo, excepto para el caso de los usados por tanseúntes en que se debe emplear preferentemente de acuerdo con la especificación 1/375. BIBLIOGRAFIA
9.1
“Deflections of Prestressed Prestressed Concrete Concrete Members,” Members,” ACI ACI Committee 43 5 ,/. 60 No. 12, diciembre 1963, págs. 1697 —1727. Branson, D. D. E., “Instan taneous and Time Time Dependent Deflections of Sim Sim ple and Contin uous Reinforc ed Concrete Beams,” HPR inform e No. 7, Parte 1, Alabama Highway Department, Bureau of Public Roads, agosto 1963 1963,, págs. 1—78. Shaikh, A. F. y Branson, D. E., “Non-Tensione d Steel in Prestressed Con crete Beamá, “/. PCI, Vol. 15, No. 1, febrero 1970, págs. 14—36. 14—36. Branson, Branson, D. E., “The Deformation of Non-Composite Non-Composite and Composite Pres tressed Co ncrete Mem bers,” ACI Special Publicatio n SP—43, Defle ction s o f Concrete Concrete Structures, American Concrete Institute, Detroit, 1974, págs. 83-127. Branson, D. E., y Kripanara yanan , K. M. “ Loss of Prestress, Camber, and Deflection of Non-Composite and Composite Prestressed Concrete Struc tures,” /. PCI, Vol. 16, No. 5, septiem bre-oc tubre 1971, págs. 22— 22—52. 52. Chicago, 1971. PCI Design Design Handboo k, Prestressed Concrete Institute, Chicago, “Deflections of Continuous Concrete Beams,” Beams,” ACI ACI Committee 435, /. AC I, Vol. 70. No. 12, diciem bre 1973, págs. 781 —787. Branson, D. E., Defo rmat ion o f Conc rete Struct ures, McGraw-Hill, Nueva York, 1977.546 págs. ACI, Vol.
9.2
9.3 9.4
9.5 9.6 9.7 9.8
valor efectivo Pe = 183 küolibras. Adic ionalm ente a su su peso propio la viga debe soportar una carga viva sobrepuesta de corta duración de 21.5 kiloh bras al cent ro del claro. Emplea ndo el m étod o aprox imado de la sección 9 3 hallar (a) la deflexión inicial de la viga descargada, y (b) la deflexión a la edad de un año de la viga cargada. Se dan los siguientes datos: A c - 45 4500 pulg2, ci = 8 pulg, I c = 24,600 pulg4 , Ec = 3,500,000 lb/pulg2, Cu = 2.5 2 1.5 kilo lib ra s — 50"—>4
25 "
10 ”
Figura P9.1 9 2
Hallar las deflexio nes de la viga del probl ema 9.1 mediante el mét odo de los intervalos increméntales de tiempo descrito en la sección 9.5. Conside rar a la viga en los tiempos cero, 1 mes, 3 meses, 6 meses y un anm Se dan los siguientes datos adicionales: Ap = 1.31 pulg , f y - 210,000 lb/pulg , de los los f oi = 175,000 lb/pulg2, eSh,u = 650 X 1 0' 6. Usar las propiedades de materiales según se dan en el capítulo 2. La viga se cuela 3 días antes de la H ----------- 60"'
acero U —
1 8 ' --------- | H - ----------- 18 ' ----- ------H - 6------------ « ’ ---------- *
PROBLEMAS
9.1
La viga T de concreto mostrada en la figura P a l es postensada con una fuerza inicial P 229 kilolibras, la cual despuéÉ despuéÉSe Se un un año reduce a
^ ______—
Figura P9.3
---------
-4 -------—*
-64'—
------------------
—
376 Deflexiones
9.3
CAPITULO 10
transferencia, y se cura con vapor. Compárese con los resultados del pro blema 9.1 y haga comenta rios. La viga de sección doble T estándar de la figura figura P9.3 debe tener un claro simple de 54 pies. Los tendones se atirantan en los puntos tercios con excentricidades que varían según se muestra en el croquis. El presfuerzo inicial en el acero es de 140,000 lb/pulg 2; después de las pérdidas dependie ntes del tiempo éste se reduce a 77,000 lb/pulg2. Usando el método aproximado de la sección 9.3, calcul arlas def lexiones del miembro bajo los siguientes estados de cargas: (a) inmediatamente después de la transferencia, cuando actúan el presfuerzo inicial y el peso propio, (b) Después de todas las pérdidas dependientes del tiempo, cuando actúan el presfuerzo efectivo y el peso propio, (c) Igual que en (b) pero actuand o una carga viva de corta duración de 275 lb/pie. Se dan los siguientes datos: A c = 267 pulg2, I c = 7550 pulg4, c i = 5.5 pulg, Ap - 1.52 pulg2, w = 275 lb/pie,
LOSAS
0
/ c' = 5000lb/pulg2, 5000lb/pulg2, Cu = 2 .0 ,E C= 4,030,000lb/pulg2, y Ep = 27,000, 27,000,000 000 lb/pulg2. Nótese que la aplicación de toda la carga viva producirá agrietamiento por flexión. flexión.
10.1
INTRODUCCION
Las losas de concreto presforzado se emplean en muchos tipos de estructuras de Ingeniería civil, para proporcionar superficies planas tales como pisos, cubiertas, plataformas, o mur os. En su forma más básica, una losa es una placa, c uyo espesor es pequeño en comparación con su longitud y anchura. Por lo general el espesor es constante. La losa se puede apoyar en muros, pero más a menudo es soportada por vigas que generalmente se cuelan monolíticamente con la losa, por vigas de acero estruct ural, o directam ente por medio de colum nas sin vigas o trabes. Las losas soportadas por vigas vigas se pueden apoyar únicamente a lo largo de dos ejes opuestos, como se muestra en la figura . a, en cuyo caso la acción estructural es esencialmente en un solo sentido. Las cargas aplicadas en la su perficie son soportada s por la losa con claro estruc tural en la dirección perpe ndicular a los ejes de apoyo. Por otro lado, pueden existir apoyos en los cuatro Indos de un panel de la losa, según se muestra en la figura . Ib, Ib, de forma que se obtiene acción en dos sentidos. Se pueden incorporar vigas intermedias para subdividir la losa, según se muestra en la figura 10.1c. Si la relación del lado corto al lado largo de un panel rectangular de losa es menor que aproximadamente 0.5, la mayor parte de la carga será soportada en la dirección corta, debido a la mayor rigidez asociada con la longitud del claro más corto. De esta manera, uun cuando exista soporte en los cuatro lados, se obtendrá acción efectiva en una sola dirección. Las losas de concreto presforzado a menudo se apoyan directamente en Columnas, como se muestra en la figura 10. \d, sin el uso de vigas o trabes. A tales 1 0
1
1 0
Introducción 379
378
Losas
coladas in sito, igual que para los otros^tipos d®lo^ d®lo^ colarse al nivel del terreno para luego izarse a su pos
nfinal dentro de la e* i r i ___ i _ i __
!
L. - Beam-
y
y r~
I i
Y
Yl í-
r ~ [ f ~ Y ~ r
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T
Iructura mediante gatos desde las columnas. A estas losas se les conoce como losas levantadas. Casi siempre se emplean columnas de acero. Estrechamente relacionada con la losa plana, se encuentra la losa emparri llada que se muestra en la figura 10.1«’. Con la finalidad de reducir la carga muer tu, se dejan vacíos en la superficie inferior de la losa de acuerdo con un arreglo rectilíneo rectilíneo mediante cimbras insertas removibles de metal, cartón de fibra o plás tico. Se obtiene como resultado una construcción nervada en dos sentidos. Ge neralmente se omiten los insertos cerca de las columnas, dando como resultado tina losa sólida más capaz de resistir la concentración local de momentos y Icortantes. Se reserva el término de losa plana para el tipo de construcción carente de vigas mostrado en la figura . / (aun cuando en el sentido literal todas las forI mus descritas sean losas planas). La construcción de losas planas se caracteriza por una porció n de losa localm ente engrosada, denom inada pane l deprim ido, Icentrado con la columna, o por el ensanchamiento de las partes superiores de dispositivos es Iiin columnas, o por ambas características. El propós ito de esos dispositivos niimentar la resistencia al cortante y a la flexión negativa cerca de las columnas. Lu tendencia del diseño se apartaÉanto del uso de lospáneles deprimidos como ;ilol ensanchamiento de las columnas, inclinándose por la incorporación de Wlíuerzo especial en la losa plana que sirva pura el mismo propósito. 1
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FIGURA 10.1 (Conti nuac ión)
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, , i n-sa -sa con refuerzo en una direcci ón, (b) FÍGURA 10.1 Tipo s de de losas, (a) (a) S L t t o en una dirección, (d) 1 1
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380
Losas Losas armadas en una dirección
Por lo general las losas de concreto presforzado se diseñan para carga! . muerta y viva supuestas, uniformemente distribuidas sobre la superficie de un área limitada por ejes de columnas o vigas. Se pueden considerar distribuciones de la carga viva según las cuales algunos péneles están descargados, para así obtener los máximos y mínimos momentos. Las cargas concentradas requieren de estudio especial. Estas son siempre resistidas por un ancho de losa mayor que el ancho de contacto, debido a la acción en dos sentidos, o en el caso d. losas de armado en una dirección, debido a la acción del acero de distribución lateral que siempre se encuentra presente. Las cargas concentradas fijas muy pesadas pueden re querir vigas de soporte. El refuerzo principal en las losas presforzadas consiste generalmente d© cable trenzado o tendones de alambres múltiples, espaciados típicamente en« tre, aproximadamente, dos pies y cinco pies entre centros, dependiendo de l a i cargas, los claros, y el espesor de la losa. Casi siempre se especifica excentricr dad variable, con un perfil básico parabólico, el cual se deriva de las cargal uniformes que deben soportarse, pero incorporándose curvas locales de transí*! ción cóncavas hacia abajo sobre las líneas de centro de columnas o sobre las vigal I de apoyo. La protección de concreto para los tendones no deberá ser menor di I una pulg. si es que la superficie se encuentra expuesta al suelo o a la intemperie, y no menor de 3/4 pulg si no existe posición a la intemperie o contacto con su terreno, de acuerdo con el Código ACI. Consideraciones económicas y de construcción han conducido generalmente a la selección de tendones engrasados y envueltos para losas. Estas considerado*] nes incluyen la elevada fricción durante el tensado de los tendones del tipo | que se aplica el mortero posteriormente, la necesidad de proteger los tendonSM en contra de la corrosión durante la construcción, y los problemas relacionado! con la aplicación de mortero a un gran número de tendones dentro de ductos de pequeños diámetros. Com únmente se agregan varillas no presforzadas de ref uer za en losas de armado en un sólo sentido, a manera de acero de distribución. Cuan*) do se emplean tendones no adheridos en losas armadas en una o dos dirección!© a menudo se agregan varillas de acero para controlar el agrietamiento y aumentar la resistencia a la flexión. También aumenta la resistencia al cortante cerca de columnas en las construcciones con losas planas. El comportamiento de las losas de concreto presforzado debe ser satisfufl«! torio en todos los estados de carga. No deben de sobrepasarse los esfuerzos per*] misibles en el estado descargado o con toda la carga de servicio actuando, combeo, la deflexión, y la frecuencia y amplitud de la vibración durante 9 servicio deben permanecer dentro de límites aceptables. Se debe proporcio resistencia adecuada para resistir el grado especificado de sobrecarga. Cualquiera de estos requerimientos puede servir como punto de partid' en el proporcionamiento de la losa. Reconociendo que las deflexiones pueden r‘ gir para miembros relativamente delgados caHlo las losas, muchos diseñador; empiezan con un peralte supuesto de la losaJfciisándose en relaciones máxii de claro/peralte o en su experiencia personal,®lira asegurar una rigidez adecu 6 8
381
da. Para algunos tipos de losas, especialmente losas planas, el cortante es crítico, y la estimación inicial dél espesor de la losa debe ser tal que se satisfagan los requerimientos de resistencia al cortante en las columnas. El concepto de balanceo de cargas es especialmente útil para losas, y casi siempre proporciona la base para el establecimiento del mejor perfil para el tendón, así como de la fuerza pretensora requerida para producir deflexión nula para la carga escogida. La carga a balancearse es generalmente la carga mu erta, o en algunos casos, la carga muerta más alguna pequeña fracción de la carga viva de servicio. 10.2
LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIO N
Se ha señalado que para las losas armadas en una direcci ón la principal acción estructural ocurre en la dirección perpendicular a los apoyos, según el caso de una losa de un solo claro que se muestra en la figura 10.2a. Normalmente se emplean cables trenzados no adheribles o tendones de alambres múltiples no adheridos. Para guardar consistencia con el principio del balanceo de cargas, se debe escoger un cable parabólico para el caso usual de carga uniformemente distribuida, con una excentricidad que varía desde un máximo al centro del claro, hasta cero en los ejes de apoyo. Es conveniente, para fines de diseño, aislar una franja de losa típica de ancho unitario, como se muestra en la figura 10.2a. Entonces la carga aplicada por unidad de área de superficie de losa es equivalente a una carga distribuida, por unidad de longitud, a lo largo de la franja de claro 1. Se pueden aplicar todas las ecuaciones desarrolladas en anterior es capítul os para vigas, sin cambio alguno, a la franja de losa considerada.* La fuerza pretensora requerida, así determinada, será por unidad de ancho de la losa. Esto puede expresarse como el espaciamiento requerido de los tendones de capacidad conocida. Como una guía general, el espaciamiento máximo recomendado para los tendones es poco más o menos veces el espesor de la losa (Ref. 10.1). A menudo las losas de armado en una dirección son continuas sobre varios apoyos o en voladizo, como se muestra en la figura 10.2 b. Se sigue un método similar al de un solo claro, pero en este caso el tendón continuo se puede levantar sobre los apoyos anteriores hasta la máxima excentricidad negativa permitida por los requerimiento s de recubrim iento de concreto. Se usan perfiles parabólicos en cada claro, con curvas de transición relativamente cortas, cóncavas hacia abajo sobre los apoyos interiores. Estas transiciones tienen el efecto de distribuir la reacción abajo de cada tendón sobre una longitud finita kl, figura . c, en lugár de aplicarla en un solo punto, como sería el caso 6
1 0
2
1
* Este análisis simplificado, el Cual desprecia las presiones laterales entr e las franjas adyacentes de losas debidas al efecto de l’oisson, es ligeramente conservador. La losa será realmente algo más rígida y resistente que lo supuesto, pero la diferencia es pequeña y casi siempre
Losas armadas en una direcció n 383
Parábola - l -
M
(b) í. del apoyo
Los tendones pueden ser continuos sobre dos, tres, o más claros. Debido a la poca profundidad de las losas en comparación con las vigas, las pérdidas de! presfuerzo debidas a la fricción no son severas, y no imposibilitan varias in versiones en el signo de la curvatura. El efect o de las pérdidas por fricción en losas puede minimizarse todavía más, mediante el tensado alternado de extremos opuestos de los tendones o mediante el tensado de cada tendón desde ambos extremos. Además del acero presforzado principal perpendicular a los apoyos, se de be proporci onar resfuerzo en la dirección paralela a los apoyos en las losas ar madas en una dirección. Esto ayuda a control ar las grietas debidas a la contracción del concreto o al descenso de temperatura. También sirve para distribuir cual quier carga concentrada. El refuerzo para los efectos de contracción, temperatura y distribución de cargas puede estar constituido por varillas de acero no presforzadas, igual que para la construcción ordinaria de concreto reforzado. El Código ACI especifica las siguientes relaciones mínimas de área de refuerzo a área total de concreto: Losas en las que se usan varillas corrugadas del grado 40 ó 50 0.0020 Losas en las que se usan varillas corrugadas del grado 60 o malla de alambre soldada 0.0018 Losas en las que se usa refuerzo con resistencia a la fluencia que sobrepasa las 60,000 lb/pulg2, medida para una deformación de fluencia de 0.0018 x 60,000 7 0.35 por ciento Jy
c-stLirtf,xní¿ n ± i,eroin,prif coque- ■ > ■ —•& >7 " " ‘ 7 * * * » pc»a influencia en los m od er no , d t a ° ¿ Z % de flexión. T ’y | tcta a a caPacidad última
En ningún caso se deben espaciar dichas varillas a más de 5 veces el espesor de la losa ni a más de 18 pulg, y en ningún caso la relación de acero debe ser menor que 0.0014. El empleo de varillas no presforzadas no elimina las grietas por con tracción y temperatura, pero sí garantiza que éstas serán muy angostas, “estrías filiformes” , bien distribuidas en la losa e inocuas en todo sentido. Una alternativa que puede evitar por completo el agrietamiento es usar ten dones postensados centroidales, paralelos a los ejes de apoyo, para proporcionar un esfuerzo de compresión uniforme en aquella dirección. Este no es esquema práctico para losas angostas con refuerzo en una dirección, debido a que el presfuerzo cort o no es ni económico ni preciso, pero se ha usado con éxito en losas anchas. En caso de intentar esta alternativa, se deberá mantener una com presión m ínima en el con creto de aproximadam ente 125 lb/pulg 2. El pres forza r la losa en la dirección transversal tiene el efecto de reducir las pérdidas asocia das con el acortamiento elástico y el flujo plástico en la dirección longitudinal, pero puede demostrar que la importancia de esta reducci ón es relativa. Muy rara vez será el |iseño de losas con refuerzo en una dirección contro
384
Losas
las ecuaciones usuales para vigas. Se tomará por sección crítica la que dista h/2 de la cara del apoyo. Las losas con refuerzo en una dirección son esencialmente vigas poco profundas y anchas, y tienden más a ser críticas por flexión o a ser regidas por la deflexión. Para las losas diseñadas mediante el método de balan ceo de cargas, la que es importante es la deflexión debida a la carga desbalancea da (por lo general la carga viva). En los cálculos se puede usar ordinariamente el momento de inercia de la sección transversal total de concreto. El Código ACI exige que se calculen deflexiones para las losas, así como también para todo miembro presforzado, y que las deflexiones calculadas no excedan los límites proporcionados en la tabla 9.4. Las relaciones claro/peralte proporcionan un conveniente punto de partida para el pro porcio namie nto de losas con refuerzo en una dir ección. Para losas de un solo claró son comunes valores de entre 22 y 28. En los claros totalmente continuos, a menudo se ven relaciones de entre 30 y 35, mientras que en los voladizos parece ser razonable emplear un límite superior de aproximadamente 16. El espesor total que por lo general se requie re se redondea al siguiente más alto cuarto de pulgada para losas de hasta 6 pulg de espesor, y a la siguiente media pulgada para losas más gruesas. Una consideración práctica que no debe pasar inadvertida en el diseño de losas presforzadas longitudinalmente, o en losas longitudinal y transversalmente presforzadas, es que no se debe impedir el acortam iento axial de la losa po r con diciones en los apoyos. Este acortamiento puede ser particularmente significativo en miembros de claros múltiples con una longitud total substancial, o en losas muy anchas. Se deberá limitar la máxima longitud de una losa entre juntas de construc ción a poco más o menos 150 pies, para minimizar el efecto del acorta miento de la losa, y evitar la excesiva pérdida del presfuerzo debida a la fricción.
10.3
LOSAS CON REFU ERZ O EN DOS DIRE CCIO NES CON TODOS LOS BORDES SOPORTADOS: COMPORTAMIENTO
Los sistemas de losas con refuerzo en dos direcciones se pueden apoyar en muros o en vigas relativamente rígidas en los cuatro lados de cada panel. Mientras que las losas con refuerzo en una dirección tratadas en la sección anterior se defor man por las cargas según una superficie cilindrica (figura 10.3u), una losa con refuerzo en dos direcciones apoyada en sus bordes se flexionará en forma de plato (figura 10.3Ó). En cualquier pun to la losa está curvada en las dos direc ciones principales y, por lo tanto, existen momentos'en dos direcciones. Los ten dones de presfuerzo se colocan en dos direcciones^ paralelas a los bordes de la losa y cada juego proporciona su contribución paiÉícontrarrestar las cargas que se aplican. La inspección de la figura 10. 3b most rará quilla curvatura de la parte cen tral de la losa en la dirección corta es mayor que 1 de la dirección larga. Como
Losas con refuerzo en dos direccion es 385
FIGURA 10.3 Forma defle xionada de losas cargadas uniform emente y apoya das en sus bordes, (a) Losas conrefu erzoe n una dirección con dos bordes apoyados. (b) Losa con refuerzo en dos direcciones apoyada en cuatro bordes. concluir que el momento de flexión en la dirección corta es mayor que el dé la dirección larga. Más aún, la curvatura del claro cor to es menor cerca de los bordes cortos del pánel que al centro de la losa. En consecuencia, existe una variación de los momentos de claro corto a través del ancho de la losa, reduciéndose mar cadamente los momentos a medida en que se alcanzan los bordes de apoyo. Se presenta un compo rtami ento similar en la dirección larga. Las cargas aplicadas en una losa con refuerzo en dos direcciones producen momentos de torsión, así como momentos de flexión. Un estudio cuidadoso de la figura 19.3Ó indica que las franjas de la losa en cualquier dirección, y para cualquier ubicación excepto para las líneas de centro de la losa, se deben torsionar con el objeto de acomodarse a las rotaciones por flexión en la dirección per pendicular. Los mome ntos torsionant es intern os desarrollados en las losas con refuerzo en dos direcciones tienden a reducir los momentos de flexión que de ben de ser resistidos. Resulta claro de esta corta discusión que la determinación de los momen tos de diseño para la losa, aún en la losa relativamente simple con refuerzo en dos direcciones mostrada, es un problema bastante difícil. En tanto que se tienen soluciones disponibles, basadas en la aplicación de la teoría de la elasticidad, los casos prácticos se complican, por la continuidad de la losa sobre uno o más de sus bordes, por la deflexión torsionante y vertical del borde de las vigas, variacio nes en las proporciones del panel, etc. En los métodos prácticos de análisis se
386 Losas
Balanceo de cargas en dos direccio nes 387
Para fines del diseño, se establece que la carga a ser balanceada es la suma de las dos componentes hacia arriba:
10.4 BA LANC EO DE CARGAS EN DOS DIREC CION ES PARA LOSAS SOPORTADAS EN SUS BORDES
El concepto del balance de cargas, presen tado en el capít ulo 1 y desarrollado más en el capítulo 4, es una herramienta útil para el análisis y diseño de losas con refuerzo en dos direcciones apoyadas en vigas o en muros. El objetivo del balan ceo de cargas para losas, así como para vigas, es proporcionar una carga equiva lente hacia arriba mediante los tendones curvos, tal que balancee exactamente a la carga hacia abajo especificada. Para aquella carga única, la losa está sujeta únicamente a un esfuerzo de compresión uniforme en su propio plano, resultante de la fuerza pretensora. No existirán ni momentos flectores ni momentos torsionantes y, en consecuencia, el análisis es muy simplificado. Si la carga extema es de naturaleza sostenida, como lo es la fuerza pretensora, la losa no presentará ni combeo ni deflexión. El balanceo de cargas bidireccional para losas difiere del balanceo de car gas lineal para vigas, en que la carga equivalente en la losa producida por los ten dones en una dirección puede bien agregar o disminuir la carga equivalente de los (endones en la dirección per pendicular. La fracción de la carga a ser tomada por los tendones en cualquier dirección es más o menos arbitraria, siendo estricta mente el único requisito la satisfacción de la estática. La consideración de la in determin ación se elude mediante la carga única balanceada que produce deflexión nula. Los fundamentos del balanceo de cargas bidireccional se demostrarán den tro del contexto de la losa rectangular apoyada sobre muros de la figura 10.4 La carga a ser balanceada es generalmente la carga muerta, y es uniformemente dis tribuida. Esto naturalmente conduce a escoger perfiles prabólicos para el tendón en cada dirección según se muestra. A su vez los bordes simplemente apoyados, con ucen a la selección de excentricidad nula sobre los muros. De la ecuación (4. 25a) del capítulo 4, la carga equivalente hacia arriba n riformemente distribuida, aplicada a la losa por los tendones parabólicos en la dirección del claro corto es 8 Paya
w„
L2
... 8Paya +, — 8 Pbyb Wb _ — —
y las fuerzas pretensoras requeridas Pa y l \ se determinan de manera consecuente.
(10.1 a) wpb
donde wpa es la carga hacia arriba en función de la fuerza por unidad de área de la fuerza por unidad de área de la superficie de la losa, Pa es la fuerza pretensora efectiva después de las pérdidas en la dirección la por unidad de longitud a lo largo del lado lb, y ya es la excentricidad máxim¡ 'de aquellos tendones con res pecto al p unt o medio del peralte eje la losa. Sim ármente los tendon es en la di rección lb produ cen una carga equivalente hacia a: iba de i
*
8 Ph}’b
( 10.2)
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Análisis práctic o de cargas desbalanceadas 389
388 Losas
Nótese que muchas combinacion es de y Pb satisfacerán el requerimien to de la estática dado por la ecuación (10.2). En general para los paneles rectangulares, la alternativa indicada por la economía consiste en soportar la mayoría de la carga en la dirección corta. Sin embargo, es usualmente deseable mantener un cierto mínimo grado de precom presión en la dirección larga, para contro lar el agrietam iento, y permi tir una mejor distribución de cualquier carga aplicable localmente. Esto se puede usar para disminuir el presf uerzo requerido en la dirección cort a en la c antidad wpb de la ecuación (10.1b). Bajo la acción de las fuerzas pretensoras Pa y Pb más la carga aplicada wb, la losa se encontrará en un estado de compresión uniforme P j b h en la dirección de la y Pb /bh en la dirección de lb, donde h es el espesor de la losa y b es el ancho de una franja unitaria, en las unidades apropiadas. Teóricamente, la losa debe es tar completamente nivelada para este caso especial de carga, aun cuando este esta do solamente se encontrará de manera aproximada en la práctica. Esto es debido a las incertidumbres relacionadas con las pérdidas y debido a los efectos depen dientes del tiempo en las deflexiones. Si la losa está sujeta a una carga incremental por encima de la carga balan ceada, los momentos debidos a la porción desbalanceada de la carga se pueden determinar empleando los métodos clásicos de la elasticidad, o mediante los mé todos aproximados descritos en el artículo 10.5. Los esfuerzos resultantes en la losa (dentro del rango elástico) se hallan mediante la superposición de la com presión uniforme proveniente de las cargas balanceadas y los esfuerzos de flexión asociados con los momentos debidos a la carga desbalanceada. En la dirección de la: M Ji h
h
bh
21r
P
Mah
(10.3a)
b h + 2L
M bh
J~2
I
bh ^ bh
21c
, M bh
(10.3b)
21c
donde Ma y Mb son los momentos asociados co
el momento de inercia de una franja unitaria de la sección de la losa, la cual se supone sin agrietar. Los esfuerzos en el estado descargado, y los esfuer zos bajo la totalidad de la carga de servicio, se pueden hallar de esta manera y compararse con los límites especificados. El arreglo de tendones sugerido en la figura 10.4 no es la única posibili dad, ni la mejor, si se toman en cuenta otros punto de vista diferentes del balanceo de cargas. Si se aplica una carga adicional, por ejemplo la total idad de la carga viva de servicio, la losa se defexionará hacia abajo, obteniéndose el comportamiento descrito en el artículo 10.3. Para tal carga sería más racio nal y económica una mayor concentración de tendones en la banda central en ambas direcciones, aun cuando una losa diseñada con los tendones en banda no constituiría una superficie a nivel si es que se remueve la carga viva. Un arreglo con los tendones en banda produciría una losa con una mayor reserva, de resis tencia, en el caso de que fuera sobrecargada, que la que tendría una con el mis mo número de tendones espaciados uniformemente. En las losas con refuerzo en dos direcciones puede surgir el problema práctico originado por la interfer encia de los tendone s que se cruzan en direc ciones perpendiculares en ciertas regiones. Por ejemplo, en el panel simplemen te apoyado en la figura 10.4, tal interferencia de tendones ocurrirá en la región central y en las esquinas. Para las losas más gruesas, es suficientemente exacto usar en los cálculos de cada dirección la excentricidad promedio; debiéndose redistribuir las cargas de acuerdo con esto, en caso de existir una sobrecarga severa. Para las losas más delgadas, en las que el diámetro del tendón represen ta una fricción más substancial del peralte de la losa, es recomendable usar las excentricidades reales, reconociendo la inevitabilidad del amontonamiento.
10.5 ANALISIS PRACTICO DE CARGAS DESBALA NCEADA S
en la cara superior e inferior de la losa, respectivamente, mientras que en la direc ción de lb:
f i
lc es
la por ció n desbalanceada de 1'
Si la carga aplicada a una losa apoyada en sus bordes difiere de la carga balan ceada, la losa se deflexionará bien sea hacia arriba o hacia abajo, debiéndose hallar los momentos reconociendo la naturaleza indeterminada aun del caso simple de un solo panel rectangular simplemente apoyado. La situación más frecuente es la aplicación de las cargas vivas produciendo deflexión hacia abajo, o la consideración de las sobrecargas. En tanto que los métodos clásicos de análisis elástico proporcionan soluciones para las situaciones bastante ideales, las complicaciones prácticas se imponen y, como consecuencia, son convenien tes los métodos aproximados que efectivamerite toman en cuenta estos factores de complicación, aun cuando sólo sea de manera simplificada. Tal vez el procedimiento más racional y comprensivo sea el que se conoce como Método 3, publicado eh el Apéndice de la edición 1963 del Código ACI*. i
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* Es una lastima que el metoilo.se halla suprimido en las ediciones posteriores del Codigo;
Anál is is prá cti co de carga s des bal anc ead as
390 Losas
El método se aplica a losas apoyadas en los 4 lados en muros o vigas relativamente rígidas*. La relación del lado corto al largo de un panel puede variar entre 1.0 y 0.5. Las losas que tengan esta relación de lados menor que 0.5 se pueden diseñar para acción en una sola dirección. Las condiciones de restricción en los bordes a considerarse son simplemente apoyado (resistencia torsional despreciable) y continua a través o empotrado en los apoyos. Se incluyen nueve condiciones se paradas de restricción. Para cada juego de variables dentro de los rangos establecidos, se dan coeficientes que permiten el cálculo directo de los momentos. Estos coeficientes se basan en el análisis elástico, pero también toman en cuenta la redistribución inelástica de momentos. Los momentos de diseño en las dos direcciones se calculan de las expresiones C aW¡¡
(10.4a)
Mb= Mb=cbwl¡
(10.4b)
M a
=
¡a--------
391
H (■
donde coeficientes de momento tabulados tabulados Ca y Cb = coeficientes w = carga carga uniformemente distribuida por pie2 la y lb
= longitud del claro libre en en las direcciones corta y larga, res pectivam ente, en pies.
El método estipula que cada panel sea dividido, en ambas direcciones, en una franja central cuyo ancho sea la mitad del panel y en dos franjas de columnas cuyo ancho sea la cuarta parte del ancho del panel. Según se indicó en el artículo 10.3, los momentos en ambas direcciones son mayores en la región central de la losa que en las regiones cercanas a los bordes. De acuerdo a esto, el método 3 estipula que toda la franja central se diseñe para la totalidad de los momentos de diseño calculados con los coeficientes tabulado s. En las franjas de columnas se supone que este momento decrece desde su valor total en el borde de la fran ja central hasta un t ercio de este valor en el borde del panel. La figura 10.5 muestra una porción de piso de una losa con refuerzo en dos direcciones apoyada en vigas, con las franjas central y de columnas indicadas para el panel 3. La fuerza también ilustra algunas de las posibles condiciones de borde. Por ejemplo, el panel 1¡ tiene dos bo rJt ctenores adyacentes disdiscontinuos , mientras que los otros bordes son contfjnuos con los paneles vecinos. ;;§■
1
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* Para los casos con vigas más flexibles, cuya rigidez ri gidez se$| del mismo orden que la de la losa, o par a las losas con refuerzo en dos direcciones apqfudas directamente en columnas
FIGURA 10.5 Losa con refuerzo en dos direcciones apoyada en viga vigas. s. El panel 2 tiene un borde discontinuo y 3 continuos. El panel interior 3 tiene todos sus bordes continuos. Las tablas 10.1 a 10.4, reproduci das del Código ACI de 1963, dan los coeficientes de los momentos y los cortantes para páneles de losas con refuerzo en dos direcciones. En las tablas se diferencian los efectos de las cargas muertas en los efectos de las cargas vivas. vivas. La razón p ara esto es que las cargas cargas muertas se encuen tran siempre presentes en todos los páneles de un sistema de piso, mientras que las cargas vivas pueden o no actuar, debiéndose posicionar para obtener el máximo efecto. La tabla 10.1 da los coeficientes de mom ento para los mom entos negativos en los bordes con tinuos . Los momen tos negativos máximos en los bordes se obtienen cuando ambos páneles adyacentes a un borde en particular llevan la totali dad de las cargas cargas muerta y viva. El mom ento se calcula para est a carga total. Lógicamente, se aplican los mismos coeficientes para calcular los momentos máximos negativos debidos sólo a la carga muerta, ó sólo a la carga viva, suponiendo que actúan en ambos páneles adyacentes. El método 3 estipula que los momentos negativos en los bordes discontinuos deben de suponerse igual a 1/3 de los momentos positivos en la misma dirección. Se debe de diseñar para
392
Losas
tales momentos debido al cierto grado de restricción que proporcionan los bor des discont inuos, mediant e la rigidez torsional de la viga, o median te el muro de apoyo. Para los momentos positivos, si existiera, habrá muy pequeña rotación de los bordes continuos cuando sólo actúa la carga muerta, debido a que las cargas en ambos púneles adyacentes tienden a producir rotaciones opuestas que se can celan o casi cancelan. Por lo tanto, para esta condición los bordes continuos puede n considerarse empotr ados, y los coeficientes apropiados para momen tos por carga muert a, están dados en la tabla 10.2. Por otro lado, los máximos momentos por carga viva se obtienen cuando la carga viva se coloca sólo en el pánel en partic ular y no en ninguno de los adyacentes. En este caso ocurrirá alguna rotación en todos los bordes continuos. A manera de aproximación se supone que existe el 50 por ciento de restricción para el cálculo de los momen tos por cargas vivas, y los coeficientes correspondientes se dan en la tabla 10.3. Finalmente, para el cálculo del cortante en la losa y las cargas sobre las vigas de apoyo, la tabla 10.4 de las fracciones de la carga total w que son trans mitidos en las dos direcciones. 10.6 10.6
DEFL EXIO N DE LAS LOSAS CON REFU ERZ O EN DOS DIRECCIONES
Las losas apoyadas en sus bordes son tí picam ente delgadas en relación con SU SUS' claros, y cuando son cargadas, pueden presentar deflexiones excesivamente gran des, aun cuan do sean satisfactori as en todos los otros aspectos. Al inicio del diseño, se debe seleccionar un peralte tentativo para la losa tal que sea poco probable la necesidad de revisar posteriormente las restricciones de las deflexiones. Para losas continua s sobre sus bordes apoya dos, presforzadas en dos direcciones, la relación del claro promedio al peralte total se estima que está entre 45 y 55. Siempre se deben calcular las deflexiones de la losa, y comparar los resul tados co n los valores límite. Suponien do que la losa ha sido diseñada para un estado balanceado bajo la acción combinada del presfuerzo más toda la carga muerta, se puede hallar la deflexión para cualquier otro estado de carga dentro del rango eléctrico, tal como toda la carga de servicio, considerando sólo la carga incremental por encima del estado de carga balanceada. Las losas pres forzadas apoyadas en sus bordes están en su mayorí a sin agrietar para o por debajo del estado de cargas de servicio, y pueden emplearse las propiedades de la sección transversal total de concreto en los cálculos sin incurrir en serio error. En los casos prácticos los métodos clásicos para el cálculo de deflexiones son de uso muy limitado, debido generalmente a eme los bordes de los púneles, no son ni completamente empotrados ni perfectahente articulados, sino que tienen algún grado intermedio de fijación el cual lepcndc de la carga y de las condiciones de los claros en los paneles adyacent®, y de la restricción torsio
Deflexión de las losas con refue rzo en dos direcciones
393
Sin embargo, se pueden calcular las deflexiones basándose en los coefi cientes aproximados de momento del artículo 10.5, los cuales incluyen el re conocimiento de tales efectos de una manera autoconsistente. Aquí se justifica plenamente tal mét odo aproxim ado, debido a que es solamente la deflexión incremental, y no la total, la que debe de hallarse. Se recuerda que el método de los coeficientes de momentos del artículo 10.5 se usa para hallar los valores máximos de los momentos posit ivos y nega tivos tivos en las secciones crítica s de las las losas. losas. Los coeficientes de momen tos de las tablas 10.1 a 10.3 se han establecido considerando la posibilidad de que las cargas actúen en paneles alternados y según otros arreglos. En consecuencia, en los cálculos de deflexiones sería incorrecto suponer que aquellos momentos puedan actuar simultáneamente en las secciones críti cas positivas y negativas. Debido a que la máxima deflexión al centro de un panel de losa se ob tendrá normalmente cuando la carga viva actúa en dicho panel, y no en los paneles adyacentes, el cálculo de las deflexiones se debe basar en los m áximos momentos positivos calculados con los coeficientes de la tabla 10.3, junto con los momentos negativos de los apoyos que sean estáticamente consistentes. Esto se ilustrará considerando la franja central de ancho unitario en la dirección larga de un panel, según se muestra en la figura 10.6a. La variación del momento para la carga uniformemente distribuida es parabólica, y por estática, la suma del momento positivo y del promedio de los dos momentos negativos debe de ser igual a - w l £ = M, M, donde w es la fracción de la carga transinitida en la dirección larga del panel. Si se tuvieran apoyos totalmente rígidos, los momentos negativos serían W l¿, o sea M, y el momen to positivo sería — W /b2, o sea se a — - M. Pero se ha señalado anteriormente que los coeficientes para los máximos momentos positivos se derivaron suponiendo que no existía una ri gidez del 100 por ciento en los apoyos, Sino sólo del 50 por ciento. De acuerdo con esto, la línea base de momentos asociada asociada con el momento máximo positivo Mmáx Mmáx es tal com o se muestra en la figura 10.6c, y los mom entos negativos en los apoyos estáticamente consistentes son M , ¡2. Así los cálculos de deflexión se basan en una curva parabólica de momen tos, tos, con una ordenada máxima en el centro del claro, claro, y los los momentos extremos iguales a la mitad de aquel máximo. La deflexión d al al centro del claro de la franja de losa mostrada en la figura 10. 10.6b se puede hallar fácilmente empleando el diagrama de momentos de la figura 10.6c, juntamente con los principios del área de momentos. Para la losa mostrada, con todos los bordes continuos: 3 32 ECIC
(10.5)
donde M máx el mom ento positivo por carga viva obtenid o emplean do los coe máx es el ficientes de la tabla 10.3, el módulo de elasticidad del /
Tabla 10.1 Coeficientes para Momentos Negativos Negativos en Losas0 Losas0 M
a
M
B n eg
Caso 1 Relación A
m
=
1.00
0.95
—
^
0.85
Caso 2
x
w x A 1 W
X
¿ Q n ¿ e
w _ car carga muerta
uniforme total
£ 2 f
Caso 3
Caso 5
Caso 4
Caso 6
Caso 7
Caso 8
Caso 9
f~ T
r n
0.033
0.061
0.061
0.033
0.038
0.065
0.056
0.029
0.043
0.068
0.052
0.025
0.049
0.072
0.046
0.021
0.055
0.075
B ^
F
1
a
0.045
r Bneg ^ Bne
0.045
r Aneg ^ Ane
0.050 ; 4, s; ¿
.
0.041
r Ane Aneg
0.055
Cßneg
0.037
'c “'/4 neg
0.060
Cß neg
0.031
v“ /l neg
neg
CBneg X
r ^A neg
c
0.80
=
a
B
. - C - w -
0.90
C
n e g
ccoo -P>
0.065
V /V/vi ^ V
0.050 0.076
0.071 0.071
0.079
0.075 0.067
0.080
0.079 0.062
0.040 0.066
0.065
0.075
0.045 0.060
0.070
a
7777777 ^
0.050 0.055
0.072
0.082
0.083 0.057
0.034 0.071
0.083
0.086
9777777777
Ö
Í A
co
(O O
TABLA TABLA 10.2 Coeficiente para momentos positivos por carga carga muerta en losas“ losas“ a$-
M a p o s
D L
—
C
A
D L
X W X A
2
f donde w = carga muerta uniforme total
M ß pos pos d l = C b d l x w x B
Caso 5
Caso 6
Caso 7
Caso 8
Caso 9
0.027
0.027
0.033
0.027
0.020
0.023
0.027
0.027
0.018
0.027
0.033
0.023
0.020
0.020
0.021
0.030
0.028
0.036
0.031
0.022
0.024
0.033
0.016
0.025
0.024
0.015
0.024
0.031
0.021
0.017
0.045
0.022
0.025
0.033
0.029
0.039
0.035
0.025
0.026
C
0.029
0.014
0.024
0.022
0.013
0.021
0.028
0.019
0.015
CA
0.050
0.024
0.029
0.036
0.031
0.042
0.040
0.029
0.028
Cn
0.026
0.012
0.022
0.019
0.011
0.017
0.025
0.017
0.013
JA DL
0.056
0.026
0.034
0.039
0.032
0.045
0.045
0.032
0.029
Caso 2
Caso 3
Caso
0.036
0.018
0.018
c BDL
0.036
0.018
c
0.040
Caso 1 Relación A m — — B C A
D L
4
B
1. 00-
A
D L
0.95
0.90 B D L
0.85
3 9 8
Tabla 10.3 Coeficientes Coefici entes para momento mome ntoss positivos por carga viva viva en los losas as® ® X W X A : M B pos LL — C Rri X W X B 2
M A
p o s L L
C Aa Ll Li B
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
Caso 7
Caso 8
Caso 9
0.036
0.027
0.027
0.032
0.032
0.035
0.032
0.028
0.030
cn
0.036
0.027
0.032
0.032
0.027
0.032
0.035
0.030
0.028
c
0.040
0.030
0.031
0.035
0.034
0.038
0.036
0.031
0.032
0.033
0.025
0.029
0.029
0.024
0.029
0.032
0.027
0.025
C AI
0.045
0.034
0.035
0.039
0.037
0.042
0.040
0.035
0.036
C
0.029
0.022
0.027
0.026
0.021
0.025
0.029
0.024
0.022
CA
0.050
0.037
0.040
0.043
0.041
0.046
0.045
0.040
0.039
C K
0.026
0.019
0.024
0.023
0.019
0.022
0.026
0.022
0.020
Relación
B
—
B C A
1.00
donde w = carga viva uniforme total
L L
Caso 2
Caso 1 m =
L o s a s
A
L L
L L
0.95 CR
Ül—
0.90 B L L
0.85
Tabla 10.4Relación de la Carga Caso 1 Relación
A m~ h
1.00
0.95
w en
Caso 2
las direcciones la y Caso 3
Caso 4
B
^L J
lb
para el corta nte en la Losa y la Carga Carga en los apoyos0 Caso 5
Caso 6
Caso 7
Caso 8
Caso 9
/////////
a
□
n
cz l
/777777T7
r
“
0.50
0.50
0.17
0.50
0.83
0.71
0.29
0.33
0.67
W B
0.50
0.50
0.83
0.50
0.17
0.29
0.71
0.67
0.33
W A
0.55
0.55
0.20
0.55
0.86
0.75
0.33
0.38
0.71
wB
0.45
0.45
0.80
0.45
0.14
0.25
0.67
0.62
0.29
W A
0.60
0.60
0.23
0.60
0.88
0.79
0.38
0.43
0.75
0.40
0.40
0.77
0.40
0.12
0.21
0.62
0.57
0.25
wA
0.66
0.66
0.28
0.66
0.90
0.83
0.43
0.49
0.79
wB
0.34
0.34
0.72
0.34
0.10
0.17
0.57
0.51
0.21
W A
0.71
0.71
0.33
0.71
0.92
0.86
0.49
0.55
0.83
wB
0.29
0.29
0.67
0.29
0.08
0.14
0.51
0.45
0.17
0.90 mmmwr-
0.85 *
0.80
Resistencia má xima de las losas con refuerzo 402
403
Losas
1 ft
~
1 J_
----------
1 p ie
t í
I ...............
I
“ r
-
I I
I
I
:r.TTT i
" l_____ j _______
I
T Franja central
±
t I
_______
Franja central
aun cuando en general se obtendrán pequeñas diferencias debido a la naturaleza aproximada del cálculo de los momentos. Un procedimiento razonable consiste en calcular la deflexión para cada dirección y promediar los resultados. La ecuación (10.5) se derivó para un panel interior típico con momentos iguales de restricción en cada extremo de la franja de la losa. Se pueden fácil mente derivar ecuaciones similares cuando uno o ambos bordes son disconti nuos. Teniendo en mente que, de acuerdo con el método aproximado de análisis de momentos, los momentos negativos mínimos en los bordes discon tinuos generalmente se deben tomar igual a 1/3 del momento positivo en la misma dirección, es claro que las ecuaciones resultantes diferirán muy poco de la ecuación (10.5). Para el caso especial en que todos los bordes se encuentran libres completamente de restricción, como por ejemplo ocurriría al estar la losa apoyada en muros de manipostería, la deflexión en el centro del claro es
(a) 5 M m¿xl¡ Puntos de
48 ECIC
( 10.6)
Si la losa se encuentra apoyada en vigas de borde para las cuales la defle xión es significativa, la deflexión al centro del claro de las vigas en el lado corto del panel de la losa se puede agregar a la deflexión central de una franja unitaria de losa en la dirección larga, para obtener la deflexión total al centro del panel. Debería obtenerse aproximadamente el mismo resultado sumando la deflexión del claro corto de la losa a la deflexión de la viga en el claro largo. Las deflexiones calculadas mediante las ecuaciones de arriba son las de flexiones elásticas iniciales, que resultan inmediatamente después de la aplica ción de las cargas de corta duración. Como los efectos sostenidos del presfuerzo y la carga muerta han sido tomados en cuenta po r separado mediante el balanceo de cargas, por lo general sólo se requiere la deflexión de corta duración asocia da con la carga viva. Sin embargo, si toda o parte de la carga incremental es de naturaleza sostenida, se debe estimar la deflexión adicional de larga duración multiplicando la deflexión inmediata producida por la carga sostenida por un factor apropiado. A menudo se ha empleado un valor de 2.5, aun cuando en algunos casos éste puede no ser conservador. FIGURA 10.6 Bases para el análisis de deflexiones en losas con refuerz o en dos direcciones apoyadas en sus bordes, (a) Vista en planta de la losa. (6) Curva de deflexión de franja unitaria, (c) Diagrama para el máximo momento positivo. momento de inercia de la sección transversal de concreto de ancho unitario su puest a sin agrietar. I 1 Mientras que la ecuación (10.5) se basa entina franja unitaria con claro en la dirección larga del panel, se hubiera podido fácilmente efectuar un cálculo si-
10.7 RESIS TENC IA MAXIMA DE LAS LOSAS CON REF UER ZO EN DOS DIRECCIONES
Para las losas, al igual que para otros miembros presforzados, el mantener los es fuerzos dentro de límites aceptables en los estados descargado y de carga de ser vicio no garantiza un grado de seguridad adecuado contra el colapso. Se deberá siempre d etermin ar la resistenci a última de las losas para el estado de sobrecarga.
•\
404 Losas
crítico, aun cuando la capacidad al cortante de las franjas unitarias se puede re visar usando las ecuaciones ordinarias, y compararla con la resistencia requerida al cortante, basándose en los coeficientes de la tabla 10.4. Es más probable que sea la resistencia última a la flexión la que rija el diseño de losas. Se ha propuesto el uso de la teoría de las líneas de fluencia del análisis por carga última para el diseño de las losas de concreto presforzadas. Siendo ésta básicamente una versión bidimensional del análisis al lími te, tal como a veces se usa en vigas y pórticos, la teoría de las líneas de fluencia asume la formación de un número suficiente de rótulas plásticas según un arreglo tal que se forme un mecanismo, el cual conduce al colapso de la losa. La formación de tales rótu las, o líneas de fluencia, viene acompañada con una redistribución de momentos de manera que quedan modificadas las relaciones de los momentos elásticos (Ref. 10.3). Han surgido dudas respecto a ia aplicabilidad del análisis al límite aún para el concreto reforzado, sobre la base de que puede no ser disponible la necesaria capacidad de rotación. El Código-ACI permite al diseñador asumir solamente una modesta cantidad de redistribución de momentos. El acero de presfuerzo es menos dúctil que las varillas de refuerzo, y los miembros de concreto presforzado presentan menor rotación en las secciones críticas en la falla que los miem bros de concreto presforzado. Mientras que la aplicación de la teo ría de las líneas de falla a las losas presforzadas constituye una atractiva posibilidad, puede con cluirse que todavía no existe una suficiente base experimental para hacerlo. Se recomienda que los momentos de falla se calculen mediante la aplicación de los factores de carga usuales a los momento s hallados del análisis elástico, o de los coeficientes de las tablas 10.1 a 10.3. Al investigar la carga última en losas, ya no resulta apropiado superponer los efectos de las cargas, cancelándose el efecto del levante producido por el pres fuerzo con toda o parte de las cargas de la superficie, según se hace en el estado de carga balanceada. Es probable que tanto el concreto como el aceróse esfuercen hasta su rango no lineal, invalidando la superposición. La fuerza pretensora cam bia a medida en que se sobrecarga la losa, y el incre mento generalmente no es uniforme a lo largo de la longitud de los tendones. A medida en que la losa se deflexiona bajo sobrecargas pesadas, la distribución lateral de los momento a través de las secciones críticas cambia, invalidando aún más el método del balanceo de cargas. Los momentos últimos resistentes requeridos se deben hallar mediante 1|| aplicación de factores de sobrecarga a la carga muerta total, incluyendo el peso propi o de la losa, así como la carga viva total . Si exi stiera algún mom ento se cundario debido al presfuerzo, éste debe de ser incluido, usando un factor carga de 1 .0 . Luego se hallan los momentos resistentes 1 propor cionado s por las franja de la l osa, usando los mét odos que para las vigas se desarro llar on según se d cribe en los c apítul os 3 y 4 y si fuera necesario se modifica el diseño p;
Ejemplo de losa con refuerzo en dos direcciones 405 10.8 EJEMPLO: LOSA CON REFU ERZ O EN DOS DIREC CIONES SOPORTADA POR MUROS
Una losa rectangular que mide 20 x 30 pies en planta está apoyada sobre muros de manipostería en sus cuatro lados, ofreciendo una resistencia despreciable ala rotación. El arreglo general se muestra en la figura 10.7. La losa debe diseñarse para s oporta r una carga mu erta superpuesta de 9 lb/p ie 2 en forma adicional a su propio peso, y estará sujeta a una carga viva de servicio de 50 l b/pie 2. La con di ción de deflexión nula se especifica cuando actúa la totalidad de la carga muerta. Se usará concreto que tenga una resistencia a la compresión a los 28 días de 4000 Lb/pulg 2 y Ec = 3.6 x 10 6 Lb/pulg2 . Se usarán tendones no adheridos, con ca bles t renzados postensados, y las pérdidas después del anclaje pueden tomarse como el 15 por ciento de la fuerza pretensora inicial. ( la = 6.09 m, lb = 9 . 1 4 m , wd =9.43 kN/m2, wx = 2.40 kN/m2,/ c'= 28 N/mm 2 , y f c = 24.8 kN/mm2). Se selecciona un espesor tentativo para la losa basándose en una relación claro/peralte de 45. La longitud del claro promedio puede ser empleada para este propósito. h =
—~—
— = 6.67 pulg probar con h = 6.5 pulg (165 mm) - lb = 30 pies Muros de mampostería
-/ = 20 pies-
-l b = 3 0 p i e s -
--------Parábola
Va w
FIGURA 10.7 Ejempl o de (Jiseño:
Parábola
j
r Vb
(c)
con refuerzo en dos direcciones, (a)
Ejemplo de losa con refuerzo en dos direcciones 407
406 Losas
Puesto que se desea una deflexión nula para el estado de la totalidad de la carga muerta, se iniciará el diseño empleando el método del balanceo de cargas para tal estado, aunque por su puesto, todos los otros estados significativos deberán re visarse. Para el peralte tentativo de la losa, el peso propio es 81 Lb/pie2, y de es ta manera la carga muerta total a balancearse es wp = 81 + 9 = 90 Lb/pie2 (4.3 kN/m2). Es económico soportar la mayoría de la carga en la dirección corta. Sin embargo se usará una compresión unifor me míni ma de 150 Lb/pul g2 en el con creto de la dirección larga para asegurar que no se presenten grietas en la estruc tura. Como la carga balanceada es uniformemente distribuida se usan tendones parabóli cos en ambas direcciones, según se muestra en las figuras 10.76 y 10.7c, con excentricidad nula en los bordes apoyados. Ya que se debe de tener un re cubrimiento de 3/4 pulg por debajo de los tendones más bajos, de acuerdo con el Código, y suponiendo que los tendones envueltos tendrán un diámetro exterior de poco más o menos 1/2 pulg, se usará una distancia promedio desde la parte inferior de la losa al centroide de tendón de 1*1/4 pulg para los cálculos. Esto da una flecha máxima para los tendones de 2 pulg desde el centroide de la losa de 6.5 pulg de peralte. Para mantener la compresión promedio deseada de 150 Lb/pulg2 en la di rección larga de la losa, se requiere una fuerza pretensora efectiva de Pb =
150 x 6.5 x 12 = 11,700 Lb/pie de franja (52 kN)
correspon diendo a u n valor inicial de 13,800 Lb/pie de franja. De la ecuación (10.1 ó), con el perfil de tendón m ostrado, ésta produce un levante de %P„yb vpb :
~
= 73 x 400 x 12 * 21 ,900 Lb/pie de franja (97 kN) 8x2 8y„
después de las pérdidas, requiriéndose una fuerza pretensora inicial de 25,800 Lb/pie de franja. Después de las pérdidas, ésta producirá una compresión prome dio en el concreto en la dirección corta de Pa
S° = J5-’8Ó0 = 1,59 ft = 19 PulS<483 ™>) y en la dirección larga 41,000 = 13800 = 297 ft = 36 pUlg
21,900
h™ )
Estos espaciamientos corresponden aproximadamente a 3 y 5.5 veces el espesor de la losa, respectivamente, lo cual afirma que las elecciones hechas en el diseño hasta este punto son razonables. Adicionalmente a los tendones, se agregará refuerzo sin presfuerzo en los extremos de anclaje para evitar la fracturación del concreto. Se colocarán dos varillas del No. 4 horizontalmente alrededor del perímetro justamente dentro de los anclajes para este fin (ver artículo 10.15). Con la totalidad de la carga muerta actuando, y la fuerza pretensora y el arreglo según se ha indicado, se obtendrá una losa a nivel muy aproximadamente. Ahora se aplica la carga viva de 50 Lb/pie2 y se revisan los esfuerzos en el concreto y la deflexión de la losa. Usando los coeficientes de momentos del Mé todo 3 del ACI, con l j l b = 2 0/30 = 0.67, del caso 1 en la tabla 10.3, Ca = 0.072 y Cb = 0.014. Así los momentos para una franja de 12 pulg en las direcciones cor ta y larga, respectivamente, resultante de la aplicación de la carga viva de 50 Lb/pie2 son
8 x 11,700 x 2 = 17 Lb/pie2 900 x 12
En consecuencia los tendones deben de proporcionar un levante de wpa = 90 17 = 73 L b/pie2 en la dirección corta; de la ecuación (10.1a): P„ =
Se seleccionan para cada dirección cables envueltos no adheridos del grado 270 con un diámetro de 0.600 pulg (ver Apéndice B) y se tensan hasta su valor total permiti do de tal ma nera que se produzca una fue rza inicial de 4 1,000 Lb por ten dón, con 0.70 f después del anclaje del cable. El espaciamiento requeri do en la dirección corta es
Ma = 0.072 x 50 x 202 = 1440 Lb/pie Mb = 0.014 x 50 x 302= 630 Lb/pie
El momento de inercia de una franja de losa de 12 pulg es igual a 12 X 6.53/12 =275 pulg 4 Los esfuerzos de f lexión que se superponen al ya existen te esfuerzo de compresión uniforme en la losa balanceada son 1440 x 12 x 3.25 f ----------------- — 275 Jb
-
en la dirección corta, y 630 x 12 x 3.25
T, , , , = 204 Lb/pulg2
Ejemplo de losa con refuerzo en dos direcciones 409
408 Losas
y de la ecuación (3.21):
en la dirección larga. Los esfuerzos resultantes son
f f m = /„ + 10,000 + -J-L p p 100pp
/i = -2 80 - 204 = -4 84 Lb/pulg2 f 2 = -280 + 204 = -76 Lb/pulg2 en las superficies supe ior e inferior en la dirección corta, y
= 160,000 + 10,000 + 18,200 = 188,200 Lb/p ulg2 (1 300 N/ mm 2) De las ecuaciones (3.18) y (3.23):
f i = -15 0 - 89 = —239Lb/pulg2
a=
f 2 = -150 + 89 = -61 Lb/pulg2
0.217 x 188,200 = 0.63 pulg 1.59 x 0.85 x 4000 x 12
en las superficies superior e inferior en la dirección larga. Esto indica una condi ción de inexistencia de tensión en la losa para cuando actúa toda la carga de ser vicio, y que la compresión máxima se encuentra bastante por debajo del esfuerzo límite del ACI de 0.45/c'. Se revisará la deflexión al centro del panel para cuando actúa toda la carga viva usando la ecuación (10.6). En la dirección corta ,
5 1440 x 12(20 x 12)2
„
0.217 1 = ------ x 188,200(5.25 - 0.32) — 1.59 12 = 10,600 Lb-pie (14.37 kN-m)
■ ,
d = — ——— — 2 — ——— = 0.10 pulg (3 mm ) 48 3.6 x 106 x 275 F 5v ’
Apf ps
0.85 f'cb
Introduciendo el factor de reducción de resistencia, la resistencia de diseño es
mientras que una revisión independiente usando una franja central en la dirección larga confirma que
<¡>Mn = 0.90 x 10,600
= 9540 ft-lb (12.94 kN-m) , 5 630 x 12(30 x 12)2 J ‘ 48 16 > 10- x 275 * 010 pU' 8 (3 mm) En seguida se determinará la resistencia a la flexión de la losa para confir mar que existe un adecuado factor de seguridad. Para una franja de 12 pulg en la dirección corta, la resistencia requerida, basándose en los factores de carga del ACI, debe ser por lo menos de
Este valor se encuentra bastante por encima del valor requerido de 6080 Lb-pie. Cálculos similares para la dirección larga indican que se requiere una capa cidad de momento de 2660 Lb-pie, teniéndose un momento resistente disponible de 5640 Lb-pie. Finalmente, se comparará la resistencia al cortante de la losa con la capa cidad requerida. Usando los coeficientes de la tabla 10.4, con la carga total en la losa de
Mu = 0.072(90 x 1.4 + 50 x 1.7)202= 6080 L b/pi e (8 .24 kN-m)
En el presente caso el presfuerzo no produce momentos secundarios, ya que to dos los bordes se encuentran simplemente apoyados. Se hallará el momento resistente de la franja usando el método aproxima do del ACI. Con Ap =0,217 pulg2,a 1.59 pies entre centros. 21,900 x 1.59 Lb/pulg2 ¿ á r — 160,00( 0.217
W = (90 x 1.4 + 50 x 1.7)20 x 30 = 126,60 0 Lb
la fuerza cortante aplicada a lo largo del borde largo es: 1 W ■• w ' 1 '1 126,600 x 0.83 — — -— =¡1750 Lb/pie 2 x 30 n
K -*
y a lo largo del borde corto es I
í
I
126.600
0.17
OT 1
Losas planas presforzadas 411
410 Losas
Usando la ecuación aproximada del ACI para la resistencia al cortante, ecuación (5.17),
Vc = ( . vf ; + 700 0
6
M
pero
>2 Jf 'j bj í
y
< 5^ f'cb„d
Aquí rige la última disposición y Vc = 0.85 x 5 \/4000 (12 x 5.25) = 16,900 Lb/pie Claramente resulta que la losa no es crítica al cortante.
Comentarios adicionales 1. El peral te de la losa se escogió basándose en una relación claro/peral te y se postensó para alcanzar una condición de deflexión nula para la totalidad de la carga muerta. Se obtiene una muy baja compresión uniforme en la losa en cada dirección para esta condición. 2. Cuando se superpuso t oda la carga viva de servicio, los esfuerzos en el concreto permanecieron muy bajos y no se produjo esfuerzo de tensión. La deflexión al centro del panel fue extremadamente pequeña. 3. Las resistencias a la flexión y al corta nte se encuentran bas tante por encima de las requeridas por el Código. 4. Se puede conclu ir que el espesor de la losa podría reducirse ligeramente sin causar dificultad en ninguno de los estados límite significativos. Sin embargo, la fuerza pretensora requerida para balancear la carga específica se incrementaría como consecuencia de esto. Debe investigarse la economía total de un diseño alternativo.
10.9 LOSAS PLANAS PRESFOR ZADAS El sistema de piso conocido como de losa plana, en el cual no existen vigas u otros elementos estructurales debajo de la superficie inferior de la losa se adapta bien y con la construcción con conc reto presforzado. Se ha usado ampliamente para edificios de oficinas, estructuras institucionales, edificios de apartamentos, y hoteles. Para tales casos, las cargas no son pesadas, los claros generalm ente no son muy largos, y se pueden explotar completamente las ventajas de la construcción con losa plana. I slas ventajas son numerosas. Se minimizan los costos de cimbra, debido a la caienda de vigas o páneles deprimidos debajo de la superficie inferior de la
en la altura total de la estructura, con los ahorros concomitantes en los costos de tabiques divisorios y muros exteriores, calefaccwán, ventilación, plomería, etc. La tersa superficie inferior de la losa se puede pintar directamente y dejarse expuesta como un cielo raso terminado, o pudiéndose aplicar directamente al concreto, yeso o material acústico. Muchas losas planas son coladas in situ. Sin embargo, muchas estructuras de este tipo se han construido usando la técnica de las losas levantadas, mediante la cual las losas de los pisos se cuelan al nivel del suelo, y luego se izan hasta su posición final mediant e barras de izaje cone ctadas con gatos a las partes s uperiores de las columnas. Esta forma de construcción se ilustra en la figura 10.8.
Comporta miento de las losas planas 413
412 Losas
El comportamiento, diseño, y construcción de las losas planas de concre to presforzado ha sido objeto de intensivo estudio por un comité conjunto ASCE-ACI. Su reporte “Recomendaciones Tentativas para Losas Planas de Concreto Presforzado” (Ref. 10.4), es una fuente documental valiosa. En las siguientes secciones se incorporan las recomendaciones contenidas en aquel reporte.
10.10 COMPO RTAMIENTO DE LOSAS PLANAS
El comportamiento de una losa plana se puede comprender refiriéndose a la fi gura 10.9, la cual muestra un panel interior típico de losa, junto a porciones de los péneles adyacentes. En tan to que en las losas planas no existen vigas en las líneas de columnas para proporcionar apoyo en los bordes a los péneles, las franjas de losa centradas con las líneas de columnas en cada dirección cumplen con el mismo papel de estas vigas faltantes. Cuando se aplican las cargas, bien sea mediante los tendones curvos del presfu erzo o las cargas extern as, una losa plana se d eforma rá según una super ficie de doble curvatura, con los momentos principales actuando en las direc ciones paralelas a bneas de columnas.
Una carga aplicada en el área central, que se muestra sombreada en la figura 10.9, es compartida entre las franjas de la losa con claros en las direc ciones corta y larga del panel. La división de la carga entre las franjas de las direcciones corta y larga depende de la relación de aspecto del panel, y de las condiciones de borde, al igual que en las losas apoyadas en sus bordes. Cada una de las franjas de la losa lleva su porción de carga a las franjas de columnas de la losa, las que se muestran sombreadas, que actúan a manera de vigas de borde para el panel aun cuando su espesor no es mayor que el de la parte central de la losa. Nótese que la por ció n de la carga que es so port ada po r l a franja cent ral en la dirección larga es transmitida a las franjas de columnas con claro en la dirección corta del panel. Esta porción de la carga total, más aquella soportada directamente por la franja central en la dirección corta, totaliza el 100 por ciento de la carga total aplicada al panel. Similarmente las franjas centrales en la dirección corta transmiten una parte de la carga a las franjas de columnas de la dirección larga. Esta carga, más aquella soportada directamente por las franjas centrales en la dirección larga, incluyen el 100 por ciento de la carga aplicada. Es claramente un requerimien to de la estática que, para las losas apoyadas sobre columnas, debe de tomarse en cuenta el 100 por ciento de la carga aplicada en cada dirección, en forma conjunta por las franjas de colum nas y las franjas centrales.* La figura 10.10a muestra una losa plana de piso apoyada en las columnas a, b, c, y d, y soportando una carga w por unidad de área superficial. La figura 10.10b indica el diagrama de mo mento para la dirección del claro /t . En esta dirección de losa puede considerarse como una amplia viga plana con ancho ¿2 ■ Consecuentemente, la carga por unidad de longitud del claro es wl2. En cualquier claro de una viga continua, la suma del momento positivo en el centro del claro y el promedio de los momentos negativos en los apoyos adyacentes es igual al momento en el centro del claro de una viga correspon diente simplemente apoyada. En términos de la losa, este requerimiento de la estática se puede escribir + M ci) + M ef = évv/2/f
(10.7a)
Existe un requerimiento similar en la dirección perpendicular, lo cual conduce a i ( M ac + M J
+
M gh = i w h f i
7
(10.7b)
Estas expresiones no descubren nada respecto a las magnitudes relativas de los * Esta conclusión no contradice ul artículo 10.4, en el cual so señaló que podría asig narse de plañera más o menot urbltrarlu la carga aplicada a la» tiuiijas de la losa en cada dirección, pura losas apoyadaí en su» bordes. En aquella discusión no s e consideraron
Comporta miento de las losas planas 415
414 Losas
mome ntos de apoyo y de los del claro. La proporc ión del mom ento total está- * tico que se halla asociado con cada sección crítica debe de hallarse mediante un ' análisis elástico, el cual considere las rigideces relativas y las cargas de todos los paneles en una franja con tinu a de p iso, así como las rigideces de las columnas a las que se conecta. En forma relativa, se pueden adoptar métodos empíricos que se han encontrado confiables bajo condiciones restringidas. Los momentos a través del ancho de las secciones críticas, tales como a través de las líneas ab ó e f no son constantes, sino que varían según se mués- j tra cualitativamente en la figura 10.10c y en la 10.1 Oí /. A lo largo de las líneas de centro de columnas, en donde las curvaturas son mayores, los momentos son más grandes, en tanto que a lo largo de la línea del centro del panel, las 1 curvaturas son más graduales y los correspondientes momentos son menores. Para fines de diseño, es conveniente dividir al panel en cada dirección según se muestra, en franjas de columnas y en franjas centrales. Dentro de los lími tes de cada una se considera al momento constante. Considerando esta distribución lateral de momentos, resulta claro que la mejor distribución de los tendones es una no uniforme a través del ancho del pane l de una losa, en c ualq uier direcció n. De pr eferen cia los cables se espaciarán ampliamen te en las franjas centrales, y más próximos en las franjas de columnas. Las losas planas de concreto presforzado son estructuras indeterminadas y, en general, la aplicación de la fuerza pretensora produce no solamente momen tos primarios, sino también momentos secundarios, asociados con las reacciones de apoyo resultantes del presfuerzo. Este efecto es completamente similar a los momentos secundarios producidos por el presfuerzo en las vigas indeterminadas, tal como se discutió en el capítulo 8. El concepto de la carga equivalente es útil en el diseño de losas, tal como lo fue para vigas, en el sentido de que se pueden determinar los momentos pri marios y secundarios combinados basándose en las cargas transversales equivalentes prove nien tes de los tendo nes. Los m ome ntos secundario s se pu eden calcu lar me diante la deducción de los fácilmente determinables momentos primarios de los momentos totales resultantes del análisis de la carga equivalente. El método de diseño del balanceo de cargas, mediante el cual la carga equi valente hacia arriba proveniente del presfuerzo es cancelada por una carga selec cionada aplicada hacia abajo en la losa, es también de utilidad. Para aquella carga en especial, suponien do que la carga aplicada, así como la fuerza pretensora, son de naturaleza sostenida, la losa se encontrará en un estado de compresión uniforme y no se deflexionará ni hacia arriba ni hacia abajo. Si luego se incre menta la carga hasta la carga total de servicio, sólo se necesita considerar el efecto de la carga incremental por encima de la carga balanceada, y los esfuerzos y las deflexiones para aquella carga incremental d eben sujberponerse a aquellos corres pon dien tes al estado de carga balancead a. Para el estado de la carga última, tal superposición no es válida, y la resis tencia de diseño de la losa debe de compararse con la resistencia requerida, halla
Columnas
Columnas
4L
Columnas
Columnas
Franja de las
> ^<
Franja
Franja de las
FIGURA 10.10 Momentos en pisos de losa plana, (a) Plañía. (b ) Momentos en la dirección h ■(c) Variación del momento a través del ancho ab. (d) Variación del momento a través del ancho ef. calculadas y a las cargas vivas de servicio. En este estado, deben de considerarse los momentos secundarios debidos al presfuerzo, justamente igual que para las vigas continuas, con un factor de 1.0.
416 Losas 10.11 EL ESTADO DE CARGA BALA NCEADA
El método del balanceo de cargas para diseñar es especialmente útil para el trata miento de losas planas. Los tendones pueden colocarse de tal manera que una carga especificada, por ejemplo la carga muerta total, pueda cancelarse mediante la carga equivalente hacia arriba proveniente del presfuerzo. Para cada panel por lo general se especifica una parrilla ortogonal de ten dones parabólicos, cóncavos hacia arriba. Las curvas de transición, cóncavas hacia abajo, características en cada tendón cuando éste pasa sobre las líneas de columnas, al ir de un panel de la losa al siguiente, producen reacciones hacia abajo que deben de ser tomadas por tendones especiales en banda que corren a lo largo de aquellas líneas de columnas, en cada dirección. El diseño mediante el balanceo de cargas para un sistema de losas planas se puede desarrollar desde dos puntos de vista ligeramente diferentes. El pri mero proviene del método de análisis de losas con refuerzo en dos direcciones apoyadas en sus bordes, mientras que el segundo trata ala losa como un sistema de vigas amplias y de poco peralte, primero en una dirección y luego en la otra. El primer método se ilustra mediante la losa rectangular de la figura 10.11, la cual muestra un panel interior típico de una losa plana de piso. La carga unifor memente distribuida a ser balanceada es soportada por una red de tendones en dos direcciones de forma parabólica, espaciados uniformemente a lo largo de ca da uno de los lados lx o 4 •Se considera que el panel está apoya do en sus bordes a lo largo de las líneas de columnas, en cada dirección. La propor ción de la carga a ser soportada en una dirección u en la otra es más o menos arbitraria, al igual que también lo es para las losas apoyadas en todos sus bordes. Para el presente ejemplo supóngase que se asigna el 60 por ciento de la carga a la dirección cor ta l2 y el 40 por ciento a la dirección lx. La malla de tendones requerida se mues tra en la figura 10. 11 a. Se emplean tendones parabólicos, cóncavos hacia arriba, cercanos a la parte superior de la losa en las líneas de columnas y próximos a la parte inferior en el cen tro del claro. Pero el cambio en la pendiente de los tendones de la red primaria, a medi da en que ellos cruzan las líneas de columnas, produce una reacción hacia abajo en las franjas de la losa a lo largo de las líneas de columnas. Se podría obtener una línea real de carga para los tendones doblados abruptamente, pero tal perfil no es práctico. En los casos reales una curva de transición, cóncava hacia abajo, prod ucir ía una carga de franja de ancho finito a lo largo de las líneas de colum nas. La carga hacia abajo en las franjas de columbas debe de ser resistida por un segundo juego de tendones, colocado a lo largo de aquellas franjas de colum nas, según se muestra en la figura 10.1 lh. Si se sofortara el 40 por ciento de la dirección larga de la losa, entonces las franjas de columnas en la dirección corta tomarían aquella carga y la transmitirían a las colÉrinas. Nótese que el 60 por ciento soportado directamente por el lado corto da la losa, más el 40 por ciento
El estado de carga balanceada 417
418 Losas
to de la carga, tal como lo exige la estática. En la dirección perpendicular se aplica un análisis similar. El arreglo final para los tendones se halla superponiendo los arreglos de las figuras 10.11a y 10.li ó , resultando un más bien amplio espaciamiento para los cables en la parte central del panel y una banda concentrada de tendones a lo largo de las líneas de columnas en cada dirección. El segundo método de análisis trata a la losa como un sistema ortogonal de vigas amplias de poco peralte, cada uno con el ancho total del panel, y emplea directamente el hecho de que el 100 por ciento de la carga a ser balanceada debe de ser soportado en cada una de las dos direcciones perpendiculares. Para los fines de análisis en la dirección lx (Figura 10.12a) la losa se considera apoyada conti nuamente a lo largo de las líneas transversales de columnas ab y cd. Para la carga distribuida usual, el diseñador se orientaría hacia el empleo de tendones parabólicos, con una flecha m áxima contr olada por los r equerim ientos de recu brim iento en las part es superior e i nferio r de la losa. Pero es sabid o, basándose en el artículo elástico así como en las pruebas, que la distribución lateral de los momentos flectores debidos a la carga aplicada no es uniforme a través del ancho de las secciones críticas, sino que tiende a concentrarse cerca de las líneas de co lumnas (ver artículo 10.9). De acuerdo con la última información (Refs. 10.4 y 10.5), para los claros simples se concentrará en las franjas de columnas entre el 55 y 60 por ciento del momento, mientras que para claros continuos dentro de las franjas de columnas se concentrará entre el 65 y 75 por ciento, encontrándose el resto en las franjas centrales en cada caso. Previendo tal distribución cuando la losa se encue ntra sujeta a t oda la carga viva o a la sobrecarga, el diseñad or se orien ta a distribuir los tendones de una manera similar. El resultado se indica en la figura 10.12Ú. El núm ero tot al de tendones po r panel es el mismo que para la figura 10.12a, pero se concentra un mayor porcentaje en las bandas a lo largo de las líneas de columnas. En la dirección 4 se obtiene una situa ción similar, siendo el número tota l de tendones suficiente para equilibrar el 100 por ciento de la carga a ser también balanceada en aquella dirección. En la figura 10.12c se muestra la superposición de los tendones en las dos direcciones perpendiculares. Resulta claro que los resultados finales son los mis mos que aquellos correspondientes al análisis sintetizado en la figura 10.11, aun cuando el razonamiento es diferente. El segundo método es algo más simple de aplicarse en la práctica, y por esto es más generalmente empleado. Cualquiera que sea el método adoptado, son aplicables los fundamentos del balanceo de cargas. Por lo general |a carga seleccionada para ser balanc eada con siste de la carga muerta total o, en algunos casos, la carga muerta total más un pequ eño porcen taje de la carga bajo el supuesto de que es sost enida. La compresión promedio en el concr en cada dire| ión no deberá ser menor que 125 Lb/pulg2, y es deseable manti íer un valor de :00 a 250 Lb/pulg2. Por otro lado, un alto valor en el presfuer] promedi o lede inducir excesivo acortamiento elástico y flujo ico. Se fccomienda unla lor máximo de 500 Lb/pulg2
El estado de carga balanceada 419
FIGURA 10.12 Balar|peo de carga en loaa plana como un sistema de viga ancha, (a) Tendones, distribuidos unilpmiemente. (b) Tendones concentrados en las
El método del marco equivalente 421
420 Losas
FIGURA 10.12 (Continuación) Como una guía general, el espaciamiento máximo recomendado para lot tendones en las franjas de columnas es alrededor de 4 veces el espesor de la losa, y el espaciamiento máximo recomendado para las franjas centrales es alrededor ) de 6 veces el espesor de la losa. Sin embargo, para claros muy cortos, pueden' resultar apropiados especialmente de tendones de hasta 8 veces el espesor de la losa (Refs. 10.1 a 10.4). Para el estado de la totalidad de la carga viva, los momentos y esfuerzos so hallan superponiendo los correspondientes a la carga incremental al esfuerzo do compresión uniforme que se obtiene para el estado balanceado. El análisis de mu-, mentos para el estado de la totalidad de la carga, así como para las sobrecarga», se puede basar en el método de| marco equivalente, descrito en los artículos si guientes. |
10.12 EL METODO DEL MARC
EQUIVALENTE
'! É r | i Cuando en las losas planas actúa Iotras cargas d|ferentes de la carga balanceada,
carga, asociadas con curvaturas y momentos. Un análisis refinado para tales con diciones es extremadamente complejo, involucrando no solamente las variaciones longitudinales y transversales de los momentos, sino que requiere la consideración de la rigidez torsional, la redistribución de momentos, y otros efectos. Afortuna damente, hay disponibles métodos aproximados. El uso de tales métodos aproxi mados se justifica plenamente para el cálculo de esfuerzos y deflexiones en losas planas de concre to presfor zado diseñadas media nte el mé todo del balanceo de cargas, debido a que es solamente la carga incremental la que se necesita conside rar, y ésta es sólo una fracción de la total. El métod o aproximad o para losas de conc reto que es usado más amplia mente es el método del marco equivalente del capítulo 13 del Código ACI. El método del marco equivalente, a veces conocido como el método de la viga, es bastante general, y puede ser aplicado a losas con refuerzo en dos direcciones apoyadas en vigas sobre líneas de columnas, a losas planas con páneles deprimi dos o capiteles de columnas o ambos, a losas nervadas con nervaduras en una o en dos direcciones, y en losas planas, incluyendo a las losas levantadas. La mayor parte de los sistemas pres forzados con refuerzo en dos direcciones son losas pla nas o losas levantadas y aquí se sintetizan únicamente las recomendaciones per tinentes a aquellas formas. El uso de algunas de las disposiciones del capítulo 13 del Código no se re comiendan al aplicar el método en losas planas presforzadas (Ref. 10.4). La dis posición de que puede reducirse la carga viva a los 3/4 de su valor tot al al considerar los efectos de cargas alternadas se basa en la redistribución de momen tos en losas reforzadas, más no debe de aplicarse a los diseños presforzados. Los coeficientes para la distribución lateral de los momentos de diseño a través del ancho de las secciones críticas en gran parte se desarrollaron sobre las bases de pruebas en losas de concreto reforzado, siendo apropiados otros juegos de coeficientes para la construcción presforzada. El capítulo 13 del Código también incluye un método alternativo de análisis conocido como el método directo de diseño, basado en los coeficientes de momentos obtenidos principalmente me diante pruebas en losas de concreto reforzado. El método directo de diseño no se debe usar en concreto presforzado. Mediante el método del marco equivalente, la estructura se divide para fi nes de análisis en marcos continuos, centrados con las líneas de columnas y ex tendiéndose tanto longitudinal como transversalmente, según se muestra mediante las franjas sombreadas en la figura 10.13. Cada marco está compuesto por una hilera de columnas y una amplia viga continua consistente de, la porción de losa limitada por la línea de centros de páneles de cada lado de las columnas. Para cargas verticales, se puede analizar separadamente cada piso con sus columnas; las columnas se suponen empotradas en los pisos superior e inferior. Para cum plir los requerim ientos de \a estática, las vigas equivalentes o marcos en cada dirección deben de soportar el 100 por ciento de la carga aplicada. Para maxiinizar el efecto de las cargas vjvas, se deben considerar posiciones alternativas
422 Losas
El método del marco equivalente 423
Columnas 1
Columnas D Panel
1
1
Panel í.
i
.
1
1
•
'
• r
Columnas
1
i
( *)
¿Y
\ v\
\\\
£
\x \\
N\\ Sección a-a
Sección c-c
Sección b-b
FIGURA 10.13 Idealización del edifi cio para el análisis media nte el marco equivalente (a) Planta, (ó) Elevación.
FIGURA 10.1 4 Elementos de la columna equivalente, (a) Sección ción b-b. (c) Sección c-c.
Cuando las columnas son relativamente esbeltas o no se encuentran rígidamente conectadas a la losa (como en el caso de las losas levantadas) sus rigideces se pueden despreciar y efectuar un análisis de viga continua. Para otro» casos es necesario tomar en cuenta la resistencia a la rotación proporcionada por las columnas. La figura 10.14 muestr a la condición en una columna inter ior con la losa con claro en la dirección /j *. De acuerdo con el Código, se debe considerar a la losa plana como apoyada en una franja de losa transversal o viga de ancho b igual a la dimensión de la columna en la dirección del análisis de momentos, y de altura h igual al peralte de la losa. La resistencia rotacional proporcionada por la losa se encuentra influenciada, no solamente por la rigidez a flexión de la columna, sino también por la rigidez torsional de la viga transversal, según se indica mediante las secciones. Con el torque distribuido mt aplicado por la losa y el torqué resistente Mt proporcionado p or la columia, los extremos exteriores de la franja transversal de losa rotarán 'en mayor cu ariía que la sección central, debido a la defonnación por torsión. Para tomar enluenta esto, la columna real y la
franja transversal de losa se reemplazan por una columna equivalente, definida de tal forma que la flexibilidad total (inversa de la rigidez) de la columna equivalente sea la suma de las flexibilidades de la columna real y de la franja de losa. Así
* Por la notación del Código
siendo todas expresadas en términos del momen to por un idad de rotación. La ri-
es la longitud del ciro en la dirección en que se deter-
1 _ k ;c ~
i
1 +
k
;
a-a ( b )
Sec-
( 10. 8)
donde Kec
= rigidez a la flexión de la columna equivalente
Kc
= rigidez a la flexión de la columna real
Kt
= rigidez torsion al de la franja transversal de losa
424 Losas
Resistencia a la flexión de losas planas
y para miembros que tengan una sección transversal uniforme es igual 4 E J I 1 , Lí rigidez torsional de la franja transversal de losa se puede calcular mediante la ex presión 9 EcC
(10.9)
donde
c2 = dimensión transversal de la columna según se muestra en figura 10.14 C
= sección transversal consta nte de la franja transversal
La sumatoria es aplicable para el caso típico en el cual existen franjas de losa u ambos lados de la columna. La constante C es inherente a la rigidez torsional de la sección transversal efectiva, y para la franja de losa mostrada en la figura 10.14 es
C = (l -0 .6 3 í) ^
Los momentos negativos obtenidos del análisis se aplican en las líneas de centros de los apoyos. Como el apoyo existente no es del tipo de filo de un cu chillo sino que se trata más bien de una amplia banda de losa con claro en la di rección transversal, resulta apropiado efectuar alguna reducción al momento negativo de diseño. La sección crítica por flexión negativa, tanto en la franja de columna como en la franja central, se puede tomar en la cara de las columnas de apoyo, pero en ningún caso a una distancia mayor que 0.175 l¡ desde el centro de la columna. Los esfuerzos de flexión causados por los momentos de las cargas desba lanceadas, hallados mediante el método del marco equivalente, se pueden calcular mediante las ecuaciones usuales de la mecánica. Como los esfuerzos de tensión y compresión son normalmente bastante bajos, los cálculos por lo general se basan en la sección sin agrietar. Estos esfuerzos se sum an algebraicamente a los esfuerzos de compresión uniforme obtenidos para el estado de carga balanceada. Los esfuerzos límite en el concreto bajo cargas de servicio recomendados para losas planas difieren de los esfuerzos permisibles dados en el Código ACI para otros t ipos de const rucció n en los siguientes a spectos (Re f. 10.4): a. Compresión en el concreto Areas de momento negativo alrededor de las columnas Tensión en el concreto: Areas de momento positivo sin la adición de refuerzo no presforzado Areas de momento positivo con la adición de refuerzo no presforzado Areas de momento negativo sin la adición de refuerzo no presforzado Areas de mom ento negativo con la adición de refuerzo no presforzado
,10.10)
donde x e y son, respectivamente, las dimensiones menor y mayor de la sección transversal rectangular (h y b en la figura 10.14). Con la rigidez efectiva de la franja de losa y las columnas halladas mediante este procedimiento, se puede continuar con el análisis de marco equivalente usan do cualquier medio conveniente. Habiendo hallado los momentos totales en las secciones críticas positivai y negativas del análisis de la viga conti nua o el marco, qu eda aún la distribución de aquellos momentos a través del ancho de las secciones críticas. Para este propó sito es conveni ente dividir el ancho total de la losa en franjas de columnas y franjas centrales tal como se sugirió anteriormente. La franja de columna se define con un ancho a cada lado de la columna igual a 1/4 de la menor de las dimensiones l\ o l2 del panel. La franja centr al está limitada po r dos franjas de columnas. Los momentos en las secciones de flexión positiva y negativa se supo nen const antes dentro de los límites de la franja central o de la franja de columna. Para las losas planas presforzadas se recomienda la siguiente distribución de mom entos en las secciones críticas (Refs. 10.4 y 10.5):
.jifa
Un solo claro:
55 a 60 por ciento a la 1 mja de columna y el resto a la franja central.
Claros continuos:
65 a 75 por ciento a la i luja de columna y el resto a
42S
0.30/;
2 SÍ?C 6 s/rc 0 6 s/f¿
Todos los otros límites de esfuerzo del Código ACI son aplicables. Se remite al lector a la Ref. 10.4 para los antecedent es y la exposición razo nada de estas re comendaciones. V
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10.13 RESISTEN CIA A LA FLE XION DE LOSAS PLANAS
Mientras que el concepto de balanceo'de cargas es de gran uso hasta el estado de cargas de servicio, no tiene validez para los estados de sobrecarga. El balanceo de cargas emplea el principio ¡de superposición, el cual es solamente válido dentro del rango de comportamiento elástico. Para el estado de sobrecarga, tanto el ace ro como el concreto se encuentran esforzados dentro del rango inelástico. El
Cortante en losas planas 427
426 Losas
ga a medida en que ocurre el agrietamiento de la losa. Adicionalmente, el incre men to de esfuerzo en el acero no es uniforme a lo largo de la longi tud del tendón. Debe evaluarse la seguridad de la estructura en contra del colapso compa rando el momento resistente en todas las secciones críticas con los momentos máximos que actuarían en todas las secciones críticas con los momentos máximos que actuarían en estas secciones de ocurrir sobrecargas catastróficas. Se puede calcular la resistencia a la flexión de secciones de la losa mediante los mismos procedimientos empleados en vigas, descritos completamente en el capítulo 3. Las ecuaciones aproximadas del ACI para la estimación del esfuerzo en los tendones en la falla también se pueden usar para las losas, siendo aplicables como es usual los factores de reducción de capacidad. Cuando se usa el refuerzo no presforzado en combinación con el acero presforzado, se puede considerar que aquel contribuye con una magnitud igual a su área por su resistencia a la fluencia. Los momentos que deben resistirse en las secciones críticas deben de ba sarse en un análisis elástico, tal como el método del marco equivalente del artículo 10.11. En este caso, las cargas se hallan mediante la aplicación de los usuales factores de carga a la carga muerta real (incluyendo el peso propio de la losa) y a la carga viva de servicio. Se ha sugerido que la carga de colapso en losas presforzadas puede calcu larse empleando la teor ía de las líneas de falla (Refs. 10.5 y 10.6). La limitada evidencia experimental sugiere que esto puede ser válido. Sin embargo, el aná lisis de las líneas de falla implica una redistribución de momentos elásticos, la cual solamente puede ocurrir si se dispone de una adecuada capacidad de rotación en las secciones altamente reforzadas. En este momento no existe suficiente información disponible para apoyar tal suposición. El Comité 423 de ACI, en sus recomendaciones tentati vas, (Ref. 10.4), no hace mención de la teoría de las líneas de falla, pero apoya la disposición del Código ACI para es tructuras presforzadas estáticamente indeterminadas, en la que los momentos resistentes últimos requeridos se deben de hallar mediante un análisis elástico, estando incluidos los factores usuales de carga. Si existieran algunos momentos secundarios debidos al presfuerzo, deberán de incluirse, empleando un factor de carga de 1.0. Para las losas se permi te una cantid ad limitada de redis tribución, al igual que para vigas y marcos, cuidando que las secciones críticas sean lo sufi cientemente subreforzadas específicamente. Se puede aplicar la ecuación (8.6).
A. Losas planas sin refuerzo especial por cortante
Existen dos clases de corta nte que pueden ser críticos. El primero es el cortante común, tipo viga que conduce a la falla por tensión diagonal, según se indica en la figura 10.15«. Siendo más probable que rija el diseño principalmente de losas largas y angostas, este mecanismo se basa en que la losa actúa a manera de una viga ancha, con claro entre los apoyos proporcionados por las franjas de colum nas perpendiculares. Una grieta diagonal potencial se extiende en un plano a través de todo el ancho de la losa, según se muestra. La sección crítica se con sidera a la distancia ú/2 de la cara de la columna. Al igual que para vigas, Vu < Vn, donde Vu es la fuerza cortante correspondiente a las cargas factorizadas y Vn es la resistencia nominal al cortante. El factor de reducción de resistencia 0 es igual a 0.85 como es usual en los cálculos de cortante. Normalmente no se proporci ona refuerz o para el corta nte tipo viga en las losas, y de e sta manera Vn = Vc donde Vc se calcula como es usual para las vigas. No se requiere con-
<«) V4 < ---- 5 Tendones de ' presforzado
1
f
f
#
;- '».
<~d/2
dt 2-
P e r f m e t r o d e l a s e c c ió n crítica supuesta =
-
10.14 CORTA NTE EN LOSAS PLANAS
T
*
¡
— A/L a s l o sá is p l a n a s p r e s f o r z a d a s s o n p r o p e n s a s a s e r C r í ti c as a l c o r t a n t e . C u a n d o l a s
Y
/
d
ib)
S u p e r f i c ie d e falla
* (c)
l o s a s c o n r e f u e r z o e n d o s d i r e c c i o n e s se a p o y a n d i a c t a t ú e n t e e n c o l u m n a s , e x i s te una gran concentración de esfuerzos cortantes cenia de las columnas. Las prue b as en es tr u ct u ra s co n los as pl an as fc on fi rm an quel jbn m uc h o s ca so s p rá ct ic o s l a
FIGURA 10.15 Falla por co rtante en losas planas. («) Cortante tipo viga en pé neles rectangulares. ( b) Sección crítica al cortante por penetración, (c) Superficie
428 Losas
Cortant e en losas planas 429
siderar un peralte efectivo menor que 0.80 h. En losas no es aplicable la restric ción mediante la cual se debe proporcionar refuerzo siempre que Vu > - 5 -. 0 Vc . Alternativamente, la falla puede ocurrir debido al cortante por penetración, siguiendo la grieta diagonal potencial la superficie de un cono truncado o pirá mide alrededor de la columna, según se muestra en las figuras 10.15b y 10.15c. La superficie de falla se extiende desde la parte inferior de la losa en la columna diagonalmente hacia arriba a la superficie superior. El ángulo de inclinación con la horizontal, 0 , depe nde de la c antidad de refuerzo en la losa y del grado de presfuerzo. Puede variar poco más o menos desde los 20 a los 45 grados. Para los fines del diseño, se define una sección crítica al cortante, perpendi cular al plano de la losa, y a una distancia d \ 2 de la cara de la columna, definién dose el períme tro de corte bQ según se muestra en las figuras 10.5b y 10.5c. En esta sección, como es usual, la base del diseño es que Vu <
K =
(2
+
4 f cb0 ’ d
(
B.
Tipos de refuerzo por cortante
Por lo general es deseable el refuerzo especial por cortante cerca de las columnas en las losas planas. Puede asumir variadas formas. Unas cuantas de éstas se mues tran en la figura 10.16. Los cabezales para cortan te mostrad as en las figuras 1 0 .6 a y 1 0 . 6 c consisten de perfiles estándar de acero estructural embebidos en la losa
I I I I I I I I I _ k k l __________ 4 - U } ---------------
-VI4--------I I I I I I
.■„v.
(b)
10. 11)
■Co stillas de atiesamiento
\
pero no may or que 4 y/fj~ba d. En la ec uación (10 .11) , (?c es la relación del lado corto de la columna*.
O
* El Comité 423 del ACI, al reportar sus puntos de vista en la Ref. 10.4, siente, que aún esto es demasiado restrictivo para losas planas de concreto presforzado, y recomien da que se liberalicen las disposiciones del Código. El Comité propuso que la resistencia al cortante se considere igual a
K=(3.5 V /; + 0.3/ J M
+
vP
Vp
m
1
= componente vertical de la fuerza preten so« efectiva en la sección
Esta es la misma ecuación que se usa achialmente para pádoc ir el agrietamiento por cor tan te en ol alma en vigas. En losas plat as, no se recomilnda considerar / mayor que 500 Lb/pulg2 y además se recomienda qué f j no sobrepas^JOOO Lb/pulg2 en la ecuación
> Seccion es de canal soldadas
Columna de
( 10. 12)
M . 1 * 1 1 donde f cc = esfuerzo de compresión'pn el cent roide de la sección
V
^
1
\ J k Collarín bridado de acero
Cortan te en losas planas 431
430 Losas
y proyectándose de la columna. Ellos sirven para incrementar el perímetro efec tivo ba de la sección crítica. En forma adicional pueden contribuir a la resistencia a la flexión negativa de la losa. El refuerzo mostrado en (a) se adapta particularmente para ser empleado con columnas de concreto. Consiste en pequeñas longitudes de vigas I o de patín amplio, cortadas y soldadas en el punto de cruce, de manera que los brazos sean continuos a través de la columna. Los tendones de presfuerzo pasan por encima de la parte superior del acero estructural. Las varillas de refuerzo de las colum nas pasan verticalmente en las esquinas de la columna sin interferencia. La efecti vidad de este tipo de cabezal para cortante ha sido bien documentada mediante pruebas (Ref. 10.8). La estructura de canales de (c) es muy similar en su acción, pero su uso se adapta mejor con columnas de acero, tal como con frecuencia se emplean con las losas levantadas. El arreglo de varillas dobladas de (ó) se adapta para usar con columnas de concreto. Frecuentemente las varillas se doblan a 45 grados a través de la grieta diagonal potencial y se prolongan a lo largo de la parte inferior de la losa una dis tancia suficiente como para desarrollar su resistencia por adherencia. El collar con patines de ( d ) se diseña principalmente para ser empleado con losas levantadas. Consiste de una placa inferior plana con costillas rigidizadoras verticales. Puede incorporar casquillos para barras de izaje, y por lo general se emplean juntamente con atenuadores de cortante soldados directamente a las su perficies de la columna por debajo del col lar para trans ferir la reacc ión vertical. La transferencia de momento generalmente se considera despreciable.
la ecuación (10.11). Sólo se pueden considerar efectivos para resistir al cortante los 3/4 centrales de las porciones dobladas de las varillas, y se debe de propor cionar la totalidad de la longitud de desarrollo en el acero más allá de la ubicación del pico de esfuerzos. D. Diseño de cabezales de refuerzo para cortante
Si se emplean perfiles de acero estructural embebidos (figuras 10.16a y 10.16c), se puede aumentar el valor límite de Vn a 7 \ rJJb a d, de acuerdo con el Código! Siempre que sea lo suficientemente rígido y fuerte, un cabezal como estos, tiene el efecto de desplazar la sección crítica hacia afuera de la columna, según se muestra en la figura 10.17. De acuerdo con el Código, esta sección crítica cruza a cada brazo del cabezal para cortante a una distancia igual a 3/4 de la proyec ción desde la cara del apoyo, y se define de tal forma que el períme tro sea unm ínimo. No es necesario que se acerque a menos de <7/2 de la cara del apoyo. Desplazando hacia afuera de esta forma a la sección crítica se obtiene el doble beneficio de aumentar el perímetro efectivo bQ y disminuir la fuerza cor tante total Vu para la cual debe diseñarse la losa. La resistencia al cortante Vn = Vc en la nueva sección crítica no debe de sobrepasar 4 \ f f] b 0d, de acuerdo con el Código. Las pruebas repo rtadas en la Ref. 10.7 indican que, a lo largo de la ma yor parte de la longitud de un brazo del cabezal para cortante, el cortante es constante y, más aún, que la parte del cortante total soportado por el brazo del cabezal para cor tant e es prop orcion al a o ,, Su rigidez relativa a la flexión, comparada con aquella de la sección circundante de concreto:
C. Diseño de las varillas de refuerzo
EJ s
Si se emplea refuerzo por cortante en la forma de varillas (figura 10.16b), la resis tencia nominal al cortante Vn calc ulada en la sección crítica a la distancia d¡2 de la cara del apoyo, se puede incrementar a 6 \/f ¿b0d, de acuerdo con el Código ACI. En este caso, la resistencia al cortante del concreto, Vc, se considera igual a 2 y jf j b 0d, debiéndose encargar el esfuerzo del exceso de cor tant e por encima de VC J :
de la cual ; - 4>K a
sen ) f y
(10.13)
Se deben investigar secciones sucesivas a distancias crecientes del apoyo, y pro
« V
E / c
(10.14)
La sección de concreto se considera con un ancho efectivo de (c2 + d), donde c2 es el ancho del apoyo medido perpendicularmente a la dirección del brazo. Las propiedades se calculan para la sección transformada agrietada, incluyen do al cabezal para cortante. La observación de que el cortante es esencialmente constante, por lo menos hasta la carga de agrietamiento diagonal, implica que la reacción se concentra mayormente en el extremo del brazo. Así, si el cortante total en el apoyo es V, la fuerza cortante constahte en cada brazo es igual a av V/4. Si la carga se incrementa más allá de la que produce el agrietamiento diago nal alrededor de la columna, las pruebas indican que el cortante incrementado por encima del cortante de agrietamiento f e, es soportado principalmente por el ca bezal de acero para co rtan te, y que la fuerz a cor tant e en el brazo en una distancia K desde la cara de la columba, sien# hu el peralte del brazo, adopta un valor casi constante mayor que V'JA. Estefvalor incrementado es casi igual al cortan te
Cortante en losas planas 433
432 Losas di2 -H K-
m
i T
FIGURA 10.18 Esfuerzos resultantes en el brazo del cabezal para cortante, (a) Brazo del cabezal para cortante, (b) Cortante, (c) Momento. fácilmente que la resistencia requerida en el momento plástico en la cara del apoyo, para cada brazo del cabezal para cortante es tal que 3(/ 4 1' 1' --) 2 h„ +
< >C1 FIGURA 10.17 Secciones crític as p or cortan te en losas planas (a) Sin cabezal p ra cortante. ( b) Pequeño cabezal para corta nte, (c) Cabezal grande para cortante. agrietado. El último término es igíal a (Kc/4) ( l l ) ; obteniéndose por lo tanto el diagrama de cor tant e idealiz ado 4e la f'1Sura . . . El diagrama de momento de la figura 10.18Íse obtiene mediante la m e gración del diagrama de cortante. Si tal como lo iiilean las pruebas en cabeza
a„ l„ -
( 10. 15)
en la cual el factor de reducción de la capacidad se considera igual a 0.90 como es usual para la flexión. De acuerdo al Código, el valor de o^ debe de ser por lo menos igual a 0.15; cabezales para cortante más flexibles han demostrado no ser efectivas. El patín en compresión no se debe encontrar a más de 0.30 d desde la superficie inferior de la losa, y el peralte de los perfiles de acero usados no debe ser mayor que 70 veces el espesor del alma. Para el diseño de losas por flexión, los m omento s hallados en las líneas cen trales de los apoyos mediante el método del marco equivalente se reducen a mo mentos en la cara del a poyo, suponiendo que ésta es la sección crítica por momen to. Si se usan los cabezales para cortante, ellos tienen el efecto de reducir el mo mento de diseño en las franjas de columna aún más mediante el incremento del ancho efectivo del apoyo. Esta reducción es proporcional a la parte de la carga soportada por el cabezal para cortante, y a su tamaño, y se puede estimar conser vadoramente (figuras 10.18Ó y 10.18c) mediante la expresión
434 Losas
Cortante en losas planas 435
M v
(pV-vK i, _*£ i
8
I '’
(10.16)
2
donde
Una losa plana de piso presforzada con 7-1/2 pulg de espesor es apoyada medi an te columnas cuadradas de pulg y reforzada para flexión negativa con tendones, con un peralte promedio efectivo d de pulg. La resistencia del concreto f'c = 3000 Lb/pulg2. La losa debe de transferir un cortante último Vu de 113,000 Lb a la columna. ¿Qué refu erzo especial se requi ere en la losa, si es que se requiere alguno, en la columna para transferir el cortante último requerido? {h= 191 mm, d = 152 mm, columnas de 254 x 254 mm ,/c' = 21 N/mm2 , y Vu = 503 kN.) La resistencia nominal al cortante en la sección crítica a la distancia d/2 de la cara de la columna se halla mediante la ecuación ( . ) y es 1 0
Se usará un cabezal para cor tante similar al.de la figura 10.16a, fabricado con vrgas de perfil I con f y = 36 kilolibras/pulg2. Si mantenemos un recubri miento de 3/4 pulg por debajo de la vigueta, el recubrimiento requerido en la parte s uperior de la losa permite el empleo de una viga I de - pulg de peralte; se usará una sección nominal de 4 pulg. Con tal refuerzo, el límite superior para el cortante Vn en la sección crítica es 7 V3000 (64 x ) 147 kiloiibras, y <¡>Vn = 0.85 x 147= 125 kiloiibras, que se encuentra bastante por encima del valor"de Vu a ser resistido. Se puede hallar el perímetro bQ requerido estableciendo que Vu = L don de Vc está dado mediante la ecuación (10.11): 4
5 / 8
6
0
K =
44f’cd
____ 113,000 4 x 0.85-^3000(6)
101 pulg.
(Nótese que la fuerza real cortante que debe de ser transferida en la sección críti ca es ligeramente menor que 113 kiloiibras, debido a que una parte de la carga del piso se encuentra dentro del perímetro efectivo bQ; sin embargo, la diferencia es pequeña excepto para cabezales muy grandes. La longitud proyectada requeri da lv del brazo del cabezal se halla de la geometría, expresando b en función de lv.
b„= 4 j2
= 101 pulg.
de la cual /„ = 22.2 pug. Para determinar el módulo plásti co requer ido en la sección por el brazo de co rtan te, es necesario suponer un valor ten tativo de la rigidez re lativa o,,. Seleccionando 0.25 t entativ amente, la capacidad requerida de mom ento halla de la ecuación (10.15). no
6
1 0
1 1
4 N3000(64 x 6) = 84.Í kiloiibras y <¡)Vv = 0.85 x 84.1 = 71.5 kiloiibras. Este es me) jr que Vu = 113 kiloiibras,
lo
,,
113,000 r [4 + a25(22'2 - 5>] = 130,000 lb/pulg.
" = 8 T 09 0
I)na sección de viga I estándar S4 X 7.7 con un esfuerzo de fluencia de 36 kiloli bras/pulg proporci ona una resistencia de 126,000 Lb-pulg y se ad optará tentativamente. El valor E /g proporci onado por la viga es 174 x 10 Lb-pulg2. En la figura 10.19 se muestra la sección transversal efectiva déla franja de la losa. Si tomamos momentos de la sección agrietada compuesta alrededor de la super ficie inferior para ubicar el eje neutro, 6
Refuerzo no presforzado 437 10 + d
o 54X7.7
ti A. =
= 16 "
o
10.15 REFU ERZO IMOP RESFORZADO
o
—
”
8.90
JL
19.9
h
tiAp =
6
,,
2.75
■ jfl
FIGURA 10.19 Ejemplo de diseño de cabezal para cortante: Sección efectiva de losa. de la cual y = 2.29 pulg. El momento de inercia de la sección compuesta es lc = i x 16 x 2.293 + 8.90 x 3.712 + 6 x 9 + 19.9 x 0.462
= 244 pulg4 La rigidez a la flexión de la franja efectiva de losa compuesta es Eclc = 3.1 x 106 x 244 = 756 x 106 Lb-pulg2
En la mayoría de las losas planas de concreto presforzado se usan tendones no adheridos. En general los miembros con acero de presfuerzo no adherido deben también contener una cierta cantidad de refuerzo adherido en la zona del concre to a tensión. Tal refuerzo sirve para controlar y distribu ir las grietas en el concreto , en el caso de que éstas ocurran durante el servicio, y adicionalmente mejoran la ductilidad del miembro y pueden aumentar su resistencia a la flexión al evitar las concentraciones de esfuerzo en el concreto en las grietas anchas. Los miem bros a flexió n que emplea n tendo nes no adhe ridos deb en, en general, ser p ro vistos con refuerzo adherido de acuerdo con al ecuación (4.36). Las disposiciones del Código para las losas planas presforzadas con refuer zo en dos direcciones son algo más liberales, basadas en el comportamiento exitoso de losas presforzadas no adheridas sin acero suplementario (Refs. 10.4 y 10.9). En las áreas de mom ento positivo de tales losas, si los esfuerzos calculados de tensión en el concreto no exceden de 2 s / f ^ n o se requiere esfuerzo adherido. Si el esfuerzo de tensión sobrepasa este valor, entonces debe de proporcionarse una cantidad mínima de varillas de refuerzo adheridas o de malla de alambre soldado igual a
y de la ecuación (10.14), (10.17) 174 = 756 = ° 23 Este valor es mayor que el mínimo especificado de 0.15 y próximo al valor de 0.25 supuesto anteriormente. El valor revisado paraA^ es 113 000 [4 + 0-23(22.2 - 5)] - 122,000 Lb-pulg. o x u.yu
M p = — 5
7 ^
5
La viga I de 4 pulg es adecuada. La longitud calculada lv de 22.2 se incrementa rá a 24 pulg por razones prácticas. La reducción en el momento de la franja de columna de la losa se puede basar en esta longitud real. De la ecuación (10.16)
I'
0.90 x 0.2$; x 113,000 Vi, = --------- ----------- 2----(2 4 - 5) = 55,600 Lb-pulg. Este valor es menor que M tal como lo estipulad las especificaciones, y también debe de ser menor que el 30 por ciento del momento negativo de diseño en la franja de columna, y menor que el cambio en el momento de la franja de colum
donde Nc es la fuerza de tensión en el concreto bajo la carga total de servicio, y f , la resistencia a la fluencia del acero, no debe de sobrepasar 60,000 Lb/ pulg2 . Tal acero debe de encon trarse uni fon nem en te distrib uido a través de la zona precomprimida de tensión, y colocarse tan cerca de la cara a ten sión como sea posible. Su longitud debe de ser un tercio de la longitud del claro, y debe de encontrarse centrada en el área de momento positivo. De acuerdo con el Código, siempre se debe de proporcionar refuerzo adherido en las áreas de momento negativo de las losas planas presforzadas con refuerzo en dos direcciones. Tal refuerzo, el cual puede ser en la forma de varillas o mallas, debe tene r una área no me nor que As =
0 . 0 0 0 7 5 / 1 /
( 1 0 . 1 8 )
donde l es la longitud del claro de la losa en la dirección de tal refuerzo. Este acero se debe de concentrar cerca a las columnas de apoyo. De acuerdo con el Código, debe de colocarse dentro de un ancho de la losa limitado por las líneas que se encuentran a \.Sh de cad a lado de las caras de las column as. Se deben de pro porc ion ar por lo meno s 4 varillas ó alambre s en cada direcc ión, y el espacia-
Deflexio nes de losas planas 439
43B Losas
En forma adicional al refuerzo no presforzado en las regiones de ten sión de las losas planas, se debe de agregar algunas varillas de refuerzo en los extremos de anclaje para evitar el posible aplastamiento del concreto. Se usan con frecuencia dos varillas del número 4 continuamente alrededor del perímetrode la losa justamente por detrás de los anclajes para este propósito. Para losas altamente presforzadas, o cuando los anclajes se encuentran concentrados en una losa de poco ancho, se debe de investigar la necesidad de refuerzo para resis tir el aplastamiento horizontal de la losa. Puede ser necesario refuerzo especial alrededor de aberturas, particular mente, si corresponden a terminaciones de tendones. Se pueden emplear varillas de refuerzo, o en el caso de aberturas grandes, se pueden instalar tendones pos tensados suplementarios.
10.16 DEFL EXIO NE S DE LOSAS PLANAS
Siempre se debe prestar cuidadosa atención a la deformación de losas planas pres forzadas. El empleo de materiales de alta resistencia, con el presfuerzo para pro porcio nar contr ol de los esfuerzos y evitar el agr ietamiento, y el uso de cabezales especiales para el cortante alrededor de las columnas, todos ellos tienden a pro ducir una losa más bien delgada, la cual puede ser satisfactoria respecto a todo excepto a las deflexiones. Mientras que las deflexiones deben de calcularse explícitamente, para ll comparación con los valores límites (y debe de serlo, de acuerdo con el Código ACI), resulta útil basar el disefio inicialmente en una relación de claro/peralt« que sea probable produ zca una losa de suficie nte rigidez, tal que ya no requiera una revisión posterior. Para losas presforzadas continuas sobre dos o más claro en cada dirección, se puede usar una relación claro/peralte (para cargas vivas ligeras, digamos de alred edor de 50 Lb/p ie2) de 40 a 45 para pisos, y una relación de 45 a 48 para cubiertas. Estos límites se pueden aumentar a 48 y 52, respec tivamente, si los cálculos comprueban que las deflexiones, cómbeos, y que l l frecuencia y amplitud de la vibración no son objetables, de acuerdo con el Comité 423 del ACI (Ref. 10.4). Por lo general la deflexión que interesa es la incremental debida a la car ga viva. Ciertamente esto es así para losas diseñadas para el balanceo de la car muerta, en las cuales se debe de producir una superficie casi a nivel para t estado de carga balanceada. Como solamente se tiene que hallarla deflexión in cremental, se justifica plenamente un m étodo aproximado. La deflexión de una losa plana cargada uniformemente se puede estimad mediante el método del marco equivalente (Ref. 10.10). Desarrollado origin mente para sistemas de concreto presforzado dos direcciones, el método é especialmente apropiado para losas planas prestorzadas, las cuales por lo ge ral no son agrietadas bajo cargas de servicio (Bel. 10.11). El método es to
momentos presentado en el artículo 10.11. La definición de las franjas de columna y centrales, el análisis de momentos longitudinales, los coeficientes de distribución lateral de momentos, y otros detalles son los mismos que para el análisis de momentos, y de esta manera la mayor parte de las cantidades ne cesarias ya se tienen a la mano. Una región de losa limitada por las líneas ie centros de columnas se mues tra en la figura 10.20. El cálculo de la deflexión considera la deformación de una región típica como ésta en una dirección y a la vez después de lo cual se suman las contribuciones de cada dirección con el objeto de obtener la deflexión total en cualquier punto de interés. Refiriéndose a la figura 10.20«, se considera que la losa actúa como una viga amplia y de poco peralte, con un ancho igual a la dimensión ly del panel teniendo un claro de lx. En este estado, la losa se con sidera apoyada sobre líneas de apoyo rígidas en x = 0 y x = lx. Nótese que todas las franjas unitarias en la dirección X no se deformarán idénticamente, debido a la variación del momento y de la rigidez a la flexión a través del ancho rie la losa. En seguida la losa se analiza por flexión en la dirección Y (figura 10.20b). Nuevamente se m uestra el efecto de la variación del mo mento y la rigidez a la flexión. Se puede ahora obtener la deflexión en el centro del panel como la suma de la deflexión en el centro del claro de la franja de columna en una dirección, y aquella de la franja central en la otra dirección, tal como se muestra en la figu ra 10.20:
dm áx
^cx
dmáx=
d 'y
+
^my
(10.19a)
d «*
(10.19b)
Mientras que para introducir este método se empleó el área del piso limi tada por las líneas de centros de columnas (figura 10.20), los cálculos reales se hacen más fácilmente para franjas de piso en cualquier dirección limitadas por las líneas de centr o de los páneles, al igual que para el análisis de moment os. La figura 10.21 muestra tal franja de piso con claro en la dirección X . Inicialmente se considera que la franja tiene apoyos que se encuentran totalmente fijos e n r = 0 y x = /í ,lo cual no permite deflexión ni rotación en aquellas líneas de apoyo. Se calculan las deflexiones del marco equivalente. El efecto de las rotaciones reales del apoyo en la deflexión al centro del claro se halla posteriormente, y la deflexión total del marco equivalente con claro en la dirección X se considera como la suma de las tres partes: aquella del panel su puesto con apoyos fijos, más aquella debida a la rotació n de cada una de las dos líneas de apoyo. La variación del momento a truvés del ancho del panel es tratada de la
Deflexiones de losas planas 441
440 Losas
FIGURA 10.21 Deflexión de las franjas de columna y central en la dirección X. Se puede establecer una deflexión de “referencia” al centro del claro de un marco equivalente uniformemente cargado en todo el ancho del panel, con extre mos empotrados, de la siguiente manera: wP lf,ref :
FIGURA 10.20 Bases del método del marco equivalente para el análisis de defle xiones. (a) Flexión en la dirección X ( b ). Flexión en la dirección y (c) Flexión
384EJ c
donde w es la carga por pie a lo largo de la longitud / del claro, e Imarco es el mo mento de inercia de todo el ancho del panel de la losa. Esto implica una distribu ción lateral uni forme de moment o a través del ancho del panel, deformándose la losa según una superficie cilindrica. El efecto de la variación real del momento, así como la posible diferencia en el ancho de las franjas de columna y central, se toman en cuenta multiplicando la deflexión de referencia por la relación del Mj EI de la franja a aquella del marco:
combinada. df.coi — d
W
Las franjas de columnas y la franja central son definidas tal como antes, y se supone que el momento es constante dentro de los límites de cada una de ellas. Tal como se sugirió en el a rtícu lo 10.12, para claros aislados se puede asignar del 55 al 60 por ciento del momento total en las lecciones criticas parala fran ja de col umnas, mientra s que para claros continuos; se puede asignar a la franja
( 10. 20)
marc
X e ye f = (d, 1 • J
U f J ' c e n t
LUI
X X
j m u i r
ECI C01 ^<7/ M
marc
(10.21a)
(10.21b)
E J Cent
Los subíndices relacionan la deflexión d, el momento flector M, o el momento de inercia a la franja de columna a la franja central, o al ancho total del marco. Nótese la relaci ón del mo de la franja al del marco es sim
442 Losas
Ejemp lo de diseño de losas planas 4 43
En seguida es necesario corregir por las rotaciones del marco equivalen te en los apoyos, los cuales hasta ahora se consideraron empotrados. La rotación en la columna es igual al momento desbalanceado neto aplicado en las colum nas, dividido por la rigidez de la columna: 9=
~
(10.22) ec
donde 0 = cambio del ángulo en radianes Mnet
Kec
= diferencia de mom entos en el piso a la izquierda y ala derecha de la columna = rigidez de la column a equivalente (ver artíc ulo 10.11)
En algunos casos la conexión entre la losa de piso y la columna, como en el caso de las losas levantadas, transmite momentos despreciables. En tal caso, el análisis por flexión indicará que el momento aplicado neto a la columna es cero. En este caso, se pueden hallar las pendientes extremas de la losa, usando el se gundo principio del área de momentos. La pendiente del extremo derecho del claro de una estructura equivalente, por ejemplo, se halla tomando momentos del diagrama M/ EI para tal claro, alrededor del extremo izquierdo, dividiéndolo luego por la longitud del claro. Una vez conocida la rotación en cada extremo, se puede calcular la defle xión al centro del claro asociada de la estructura equivalente. Se puede confirmar fácilmente que la deflexión al centro del claro de una viga que experimenta una rotación en un extremo de 6 radianes, estando el otro empotrado, es ni
de =
" O
(10.23)
Así la deflexión total al centro del claro de la franja de columna o de la franja central es la suma de 3 partes: dCoi — d f¡cot + dg¡ + d0r
(10.24a)
(10.24b) dcent ~ dfrent + dul + dUr jÉ sp: I ,1; donde los subíndices / y r se refieren a los extremos izquierdo y derecho del cla ro, respectivamente. Los cálculos arriba descritos se repiten para el marco equivalente en la otra dirección de la estructura, y la deflexión total al centro del panel se halla suman do Ja deflexión de la franja de columnas en una dirección y la deflexión en la
La deflexión al centro del panel debe de ser la misma bien sea que se calcu le mediant e la ecuación (10 .19«) o la ecuación (10.1 9¿>). En realidad por lo general se obtendrá una diferencia debido a la naturaleza aproximada de los cálculos. Para los paneles muy rectangulares, la contribución principal a la deflexión del centro del panel proviene de la franja de columnas en la dirección larga. En con secuencia la deflexión al centro del panel puede calcularse mejor sumando aquella correspondiente a la dirección larga de la franja de columnas y la de la franja central en la dirección corta. Sin embargo, para los páneles exteriores, la contri bución más imp ortan te proviene de las franjas de columnas perpendi culares al borde d iscont inuo, a un cuando el lado largo del panel pueda ser paralelo al borde. Se requiere de criterio. Las deflexiones halladas empleando el procedimiento descrito son defle xiones de corta duración tales como las producidas por la carga viva aplicada intermitentemente. Si la carga desbalanceada se mantiene durante un extenso períod o de tiemp o, deberá tom arse en cuent a el i ncreme nto de deflex ión deb ido al flujo plástico del concreto. Para las vigas así como para las losas es una prác tica antigua estimar las deflexiones de larga duración como la simple multipli cación de un factor por la deflexión elástica inicial. Con frecuencia se usa el factor 2. En el artículo siguiente se halla un ejemplo del cálculo de la deflexión de una losa plana. 10.17 EJEMPL O: DISEÑO DE LOSA PLANA
Una losa plana levantada presforzada estará apoyada en columnas de a'-ero distan tes 25 pies entre centros en cada dirección, según se muestra en la figura 10.22«. Las cargas de la losa se transferirán a las columnas tubulares de 10 x 10 pulg me diante collares de izaje cuadrados mostrados en la figura 10.22 b. El collar se detalla de tal forma que transmita momentos insignificantes a las columnas. La carga a ser soportada incluye el peso propio de la losa, una carga muerta adicio nal de 12 Lb/pie2, y una carga viva de servicio de 50 Lb/pie2. Se especifica una condición de carga balanceada, con deflexión neta nula para la carga muerta total. Se debe diseñar un panel interior típico, siguiendo las recomendaciones del Comité 423 del ACI (Ref. 10.4).* Resistencia a la compresión del concreto f c'= 5000 Lb/pulg2, y E e = 4,030,000 Lb/pulg2 (Columnas de 254 x 254 rnm. con un espaciamiento de 7.62 m, wd = 0.57 k N/m 2, Wj = 240 kN/m2 , fe' = 34 N/mm2, y Ee = 27.8 kN/mm2). Se escoge un peralte tentativo de losa basándose en una relación de claro a peralte de 45: * Para los fines del presente ejemplo se adoptan las recomendaciones del Comité 423 del ACI debido a que el Código ACI de 1977 da disposiciones detalludas para todos los as
Ejemplo de diseño de losas planas 445
444 Losas
_ 12.5 x 12 *cen< = -----4 -----= 37.5 pulg. = 5 Ah
h = 25 x 12/45 = 6.7 pulg. usar 7 pulg. (187 mm)
Para la losa de 7 pulg. de peralte, usando concreto con densidad normal, el peso propio es de 8 8 Lb/pie2. Por lo tanto la carga muerta total, en la cual se debe basar el balanceo de cargas es 8 8 + 12 = 100 Lb/pie2. Se usará una malla de tendones parabólicos en dos direcciones. Con un recubrimiento de concreto requerido en las partes superior e inferior de la losa de 3/4 pug, y previendo que el diámetro exterior de los tendones será de poco más o menos 1 / 2 pug, la dis tancia promedio de la superficie de la losa a las partes superior e inferior del ace ro es 1 -i- pulg. Así la flecha máxima y para un claro interior típico es 7 2.5 = 4.5 pulg, según se muestra en la figura 10.22c. Las curvas de transición cortas necesarias sobre las líneas de columnas se despreciarán en los cálculos.
lo
cual confirma que las decisiones del diseño hasta este punto son satisfactorias. En seguida la estructura se analizará para hallar el efecto de la aplicación de la carga viva deservicio de 50 Lb/pie 2. Nuevamente se tomará como base la fran ja de 25 pies de ancho, siendo el análisis que sigue aplicable en cada dirección de la
-------2 5 p i e s -------- > |< --------2 5 p i e s -------H Típica
El perfil del tendón y la fuerza pretensora se basarán en un balanceo de carga para una carga muer ta de 100 Lb/pie2 , a ser soporta da en cada dirección. El análisis se basa en una viga equivalente de un ancho del panel de 25 pies. En cada dirección, la fuerza pretensora efectiva requerida para la franja de 25 pies, de la ecuación (4.25), es wl2l\ Pe
100 x 25 x 625 x 12 = 521,000 Ib (2317 kN) 8 x 4.5
Suponiendo un 20 por ciento de pérdida en la fuerza pretensora, la fuerza pre tensora inicial es de 651,000 Lb para la franja de 25 pies. Se usarán cables del grado 270 envueltos, con 0.600 pulg de diámetro, proporcionando cada uno un área de 0.217 pulg2. Para un presfuerzo inicial de 0.10fpu cada cable proporcio na una fuerza de 41.0 kilolibras (Apéndice A); de esta manera el número de ten dones que se requieren en una franja de 25 pies es 651.000 41.000
15.9
considerar 16
El número de estos que deben de colocarse en la franja de columnas es 0.75 x 16 = 1 2 , los cuatro restantes deben de distribuirse a través del ancho de la franja central. La compresión promedio en la losa de concreto bajo la carga balanceada es 521,000 ,c'°'
1fj25 x 12 x f
= 248 Lb/pulg 2 (1.7 N/mm2)
(a )
Columna de
T
7 pulg.
1
y = 4 .i
í
T
^ 7 p u lg .
la cual se puede considerar ideal. Los espaciamientos promedios de los tendones en las franjas de columna y central, respectivamente,¡son FIGURA 10.22 Ejemplo diseño losu plana, (a) Vista en planta del piso. (b ) De
y . 446
Losas
-4',;',
Ejemp lo de diseño de losas planas 447
estructura. Se deben de considerar cargas alternativas para maximizar los momen tos en las secciones negativa y positiva. Para los momentos negativos máximos en un apoyo típico, se aplicará la carga viva uniforme de 50 x 25 = 1250 Lb/pie a 2 claros adyacentes, según se muestra en la figura 10.23«. El apoyo siguiente al inmediato (en ambas direcciones) del considerado, se supondrá empotrado, tal como lo permite el Código ACI, y el análisis de los momentos se efectúa mediante la distribución de momento s, dando como resultado lo que se muestra. Para el m omento máximo positivo en un claro típico, se cargará únicamen te aquel claro, tal como se muestra en la figura 10.23Ú. Se indica el diagrama de momentos por carga viva resultante. Aun cuando no se necesita para los fines presentes, en la figura 10.23c se muestra un tercer análisis para referencia posterior: el efecto de una carga muer ta de 100 x 25 = 2500 Lb/pie distribuida uniformemente sobre todos los claros. Los esfuerzos en el concreto bajo la totalidad de la carga de servicio se hallan superponiendo los esfuerzos de flexión debidos a los momentos por carga viva a la compresión uniforme obtenida para la carga muerta balanceada. Los momentos negativos que se obtienen del análisis por carga viva se apli can en las líneas de centros de columnas, y pueden reducirse para fines de diseño a aquellos correspondientes a la cara del apoyo. El cortante en la línea de centros de columnas provenientes de la carga que produce el momento máximo negativo es: de la figura 10.23«) V =
wl 2 = 1.25 kilolibra/pie lineal
!
o 0
0 -3 2
+65 -3 3
-65 0
+65 0
-6 5 +33
0 +32
0 0
-1 6 ___ 0
0 ____ o
0 ___ q
-16 ____ 0
+16 0
0 ____ 0
0 0
+16 0
-32
+32
-8 1
+81
-32
+32
+16
-1 6
wl 2 = 1.25 kilolibra/pie lineal
= ■'
25 82 - 32 1.25 x — + - ^ = 17.6 kilolibras (78 kN)
•'---------------------"I ----------
2*— 0 ¡0
0 0
0 -3 2
+65 -3 3
-65 +33
0 +32
-1 6 0
0 -8
+16 - 8
-16 + 8
0 + 8
-4 0
■ ■0
0 -2
+ 4 - 2
- 4 + 2
0 + 2
+ 4 0
-1 0
0 0
+ 1 - 1
- 1 + 1
0 0
+ 1 0
-4 2
+42
-4 2
-2 1
+42
+21
El ancho efectivo del apoyo es 24 pulgs, basándose en el empleo del collar de iza je most rado en la figura 10.22 /j . En consecuencia, el momento negativo en la cara de los apoyos es (ver Ref. 10.8, p. 350); M„eg= Aít
2 — = 81 - 17.6 x - = 69 kilolibras-pie (94 kN-m)
Val ----
......
El momento que se asigna a la franja de columna es 0.75 x 69 = 52 kilolibras-pie. El momento de inercia en la franja de columna es lc =
12
+130
- 13 0
+130
• •• •• •- • -130
+130
-130
+130
- M -130
x 12.5 x 12 x 73= 4290 pulg4
En consecuencia, el esfuerzo de flexión en el concreto en aquella franja es 'V S fiM 52,000 x 12 x 3.5 _ • , , , ~ 4290 f = 510 Lb/PulS h -----
De esta manera los esfuerzos en el concreto en las caras superior e inferior de
FIGURA 10.23. Análisis de momentos p or cargas de servicio para el ejemplo de losa plana. («) Momento máximo negativo por carga viva. (¿>) Momento máximo
448 Losas
Ejemplo de diseño de losas planas 4 49
/, = -248 + 510= + 262 Lb/pulg2 (+1.81 N/mm2) = - 248 - 510 = - 758 Lb/pulg2 ( - 5.23 N/mm2)
f 2
que 2 La canti dad requerid a se halla medi ante la ecuación (10.1 7). Bajo la carga total de servicio los esfuerzos en el concreto en las partes superior e infe rior de la losa son, respectivamente:
De acuerdo con las recomendaciones del Comité 423 del ACI, la compresión permisible en el concr eto es 0.30 x 5000 = 1500 Lb/pulg2 , y la tensión permisible (siempre que se incluya acero adherido no presforza do) es 6 x/500 0 = 424 Lb/pulg2. Ambos límites se encuentran bastante por encima de los esfuerzos reales. El mome nto negativo que se asigna a la franja central es 0.25 x 69 = 17 kilolibra-pie. Los bajos esfuerzos de flexión en las franjas centrales, superpues tos a la compresión de 248 Lb/pulg2, producen un esfuerzo de compresión variable que no es crítico. En la sección de momento positivo, el momento total en cada franja de 25 pies es 56 kilolibra-pie. Se asignará a la franja de columnas nuevamente el 75 por ciento, o sea 42 kilolibras-pie. Así los esfuerzos de flexión en la franja de columna son 42,000 x 12 x 3.5 , f, = —1----------------- = 411 Lb/pulg 4290 Jb
2
y los esfuerzos netos en las partes superior e inferior de la losa de concreto son, respectivamente, f i = f 2
-248 - 411 = -
6 5 9
Lb/pulg2 (- 4.54 N/mm2)
fi = - 659 Lb/pulg2 h = + 163 Lb/pulg2 El eje neutro se encuentra a 1.39 pulg de la cara inferior de la losa y la fuerza to tal de tensión en el concreto es
Nc= — x 12.5 x 12 x 1.39 = 17,000 Lb
El área requerida de acero adherido es 17,000 5~~0.5 x 60,000 ~ 0 57 pul g (3 67 111111 ) se usarán cuatro varillas del No. 4 del Grado 60 en la dirección paralela a la línea de columnas, proporcionando un área de 0.78 pulg2. Se checará el cortante tipo viga en una sección distante 6/2 de la cara del apoyo, o sea a 15.5 pulg de la línea de centros de columnas (ver figura 2.996). La fuerza cortante bajo cargas factorizadas es
= -248 + 411 = +163Lb/pulg2 (+ 1.12 N/mm2) 22 4
De acuerdo con las recomendaciones, la compresión permisible es 0.45 x 5000 = 2250 Lb/pulg 2 y la tensión permisible, sise agrega acero adherido , es42 4 Lb/pul g2. Los esfuerzos reales son claramente satisfactorios. El momento positivo de la franja central de 14 kilolibra-pie produce es fuerzos de flexión muy bajos en aquella región, lo cual resulta en una compresión variable a través del peralte de la losa. Los esfuerzos no son críticos en aquella ubicación. Se debe de proporcionar varillas de refuerzo no presforzadas en la parte superior de la losa en la región de la columna, en la cantidad
A s = 0.00075 x 7 x 25 x 12 = 1.58 pulg2 (1019 mm2) Se usarán 4 varillas del No. 6 Grado 60 en cada dirección, lo cual proporciona un área de cada dirección de 1.77 pulg2. Estas se colocarán cerca de la colum na, y tendrán un largo de 25/3 = 8 pies. También se deberá colocar acero adherido en la región de flexión positiva
K = — (1.4 x 100 + 1.7 x 50) x 25 = 63,000 Lb Según el Código ACI la resistencia al cortante se puede considerar Vc = 2 s f T b d = 2\/5000 x 25 x 12 x 5.75= 244,000 lb. As íVc = 0 .85x244,00 0= 207,000 Lb, lo cual se encuentra substancialmente por encima de Vu. El cortante tipo viga no es crítico aquí. Se investigará el cortante por penetración en un perímetro crítico distante d¡ 2 del collar de izaje. La dimensión del lado de la sección crítica supues ta es 24 + 5.8 = 29.8 pulg, y bQ = 119 pulg. (Referirse a la figura 10.226). La fuerza cortante a ser resistida se puede basar en el área tributaria, despreciando la pe queña reducción de carga dentro del perímetr o crítico en este caso:
K = 625(1.4 x 100 + 1.7 x 50) = 141,000 lb (627 kN) De acuerdo con la ecuación (10.11), Vc = A\JTc b0d = 4\/3ÜÜfi'x 119 x 5.75 «■ 194,000 Lb y $V = 0.85 x 194,000 = 165,000 Lb. Resulto claro que la losa
Ejemplo de diseño de losas planas 461
450 Losas
de cortante tipo viga como para el de cortante por penetración. Se checará ia resistencia a la flexión para todo el ancho de la franja de losa de 25 pies, en cada dirección, ubicando las cargas de tal manera que se produzcan momentos máximos en las secciones críticas. Refiriéndose a la figura 10.23, e in troduciendo los factores de carga usuales, el momento negativo aplicado en la línea de centros de columnas, bajo cargas factorizadas es.* M„eg = 1.4
130 + 1.7
X
X
3.472 x 185 + 1.77 x 60 = 0.59 pulg. 0.85 x 5 x 300
Asfy
0.85 f'cb
= 306 ft-kilolibra-pie (415 kn-m)
y la fuerza cortante asociada es
lo cual se encuentra más o menos 13 por ciento por encima del momento negati vo requerido. Asimismo cálculos similares confirman que la sección de flexión positiva tiene una adec uada resistenci a a la flexión. La deflexi ón po r c arga viva en el centro de un panel típico se checará, empleando el método del marco equivalente. Los momentos de inercia para todo el ancho del marco y para las franjas de columna y central son, respectivamente,
= 74 kil olib ras (32 9 kN)
4
ApfpS
Mu = 0.90(3.472 x 185 + 1.77 x 60)(5.75 - 0.59/2)/12
81 = 320 kilolibra-pie (434 kN-m)
V = y (1.4 x 2.5 - 1.7 x 1.25) +
La contrib ución de las cuatro varillas del No. 6 agregadas para cumplir los reque rimientos de acero adherido no presforzado se puede incluir en los cálculos de la resistencia última. Entonces
En consecuencia la resistencia requerida a la flexión en la cara del a poyo es Mneg = 320 - 74 x f = 271 kilolibra-pie (36 7 kN-m)
¡maro
=
*
25
X
1 2 x
7 3
=
8 5 80
P u l g 4
El momento positivo a resistirse es .
¡i
¡o;. '■>b si '' , Or
, j.'ii í
! 0 ,■
: .
i
.■ ■:
8580 4 r i l col —I c e n t = - ^ = 4290 pulg
Mpos = 1.4 x 65 + 1.7 x 56 = 186 kilolibra-pie (252 kN-m)
De la ecuación (10.20) la deflexión de referencia se halla igual a
Para toda la franja de 25 pies conteniendo 16 tendones 521,000
T1 . , 2
Le = ------------= 150,000 Lb/pulg2 16 x 0.217 F 6 Jp
f, cen tra l =
Ap —0.217 x 16 = 3.472 in.2 P p = 25 x
3.472 = 1 2
50 x 25 x 254 x 124 = 0.064 pulg 384 x 4,030,000 x 12 x 8580
De las ecuaciones (10.21a) y (10.216), las deflexiones de las franjas de columna y central, suponiendo sus extremos empotrados, son
0.0020
x s j s
y el esfuerzo en los tendones no adheridos se calcula de la ecuación (3.21) tal como sigue
! * -/„ ■ *
df.coi = 0064 x 0.75 x 2 = 0.096 pulg. df.mid = 0.064 x 0.25 x 2 = 0.032 pulg.
' 5000
= 150,000 + 10,(XX) + — ------ - = 185,(XX) Lb/ pul g2 (127 6 N/m m2) ’ V 100 x 0.0020 i ^ 6 '
Para el presente caso, considerando que no se transmiten momentos a través de la junta entre losa y columna, se deben de hallar las rotaciones reales de la franja de losas del diagrama de momentos para la losa, usando los principios del área de momentos. Los cálculos se basan en el diagrama correspond iente al momento máximo p or carga viva (figura 10.236). La distancia de un pun to sobre la «urva elástica en el apoyo izquierdo desde una tangente a la curva clástica en el apoyo
Bibliografía 453
452 Losas
i /
à= ¿ ( « 8
2
25
x 2S x - x y
25\
y de las ecuaciones (10.24a) y (10.246) las deflexiones en el centro del claro de las franjas de columna y central son, respectivamente,
7290
- 42 x 25 x y j = ^ -
dco, = 0.096 + 0.045 x 2 = 0.186 pulg (5 mm )
La pendiente en el apoyo derecho (la pendiente en el apoyo izquierdo es la mis ma pero de signo contrario) es ahora calculada fácilmente dividiendo por la longitud del claro:
er-
7290 25 El
7290 x 1000 x 123 -= 0.0012 radianes 25 x 12 x 4,030,000 x 8580
rotación en el extremo que se acaba de hallar
-12'6"-
0.0012 x 25 x 12 = 0.045 pulg ~~8 H»+<-
Franja de las columna s
-12'6" -
-H-
Franja central
BIBLIOGRAFIA
-12'6"-
12'6"
Franja de las columnas
y # 4 X 8 pies O | | 4 # 6 "x 8 pies O I pulg. I j pulg. | I Franjas típicas | | Cada dirección | | de las colum nas j t íp ic a en las. i columnas.
12'6”
I
______________
M ______ £ _______ j _
’i : 12’6”
_
Franja de las columnas
i -i4?r
Tendones
Tendones
De acuerdo con el Código ACI, se debe de considerar una deflexión límite por carga viva de 1/360 veces el claro, ó 0.833 pulg. El dis eño para este respecto, y para t odos los otros , es satisfac torio. El arreglo completo de los tendones de presfuerzo y de las varillas de re fuerzo no presforzadas se muestra en la figura 10.24.
Franja de las columna s
----- f ------
Franja central
Finalmente, de la ecuación (10.19a), la deflexión por carga viva en el punto cen tral del panel se halla sumando la deflexión de la franja de columna en la direc ción y de la franja central en la otra: 4 « = 0.186 + 0.122 = 0.308 in. (8 mm)
De la ecuación (10.23) se halla la deflexión en el centro del claro asociada con la
:
dcent= 0.032 + 0.045 x 2 = 0.122 pulg (3 mm )
T endones
T endones
i
10.1 “Tentative Recommendations for Concrete Members Prestressed with Unbonded Tendons”, Informe de ACI-ASCE Joint C ommittee 423, J. ACI, Vol. 66, No. 2, febrero 1969, págs. 81-86. 10.2 Timoshenk o, S. y Woinowsky-Krieger, S., Theory o f Plates and Shells, 2a. Ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1959, 580 págs. 10.3 Jones , L. L. y Wood, R. H., Yield Line Analysis o f Slabs, Am erican Elsevier, Nueva York, 1967, 405 pp. 10.4 “Tentative Recommendations for Prestressed Concrete Flat Plates”, Infor me de ACI Committee 423, J, ACI, Vols. 71, No. 2, febrero 1974, págs. 61-71. 10.5 Scoredelis, A. C., Lin, T. Y„ y Itaya, R., “B ehavior of a Contin uous Slab Prestressed in Two Directions”, J, ACI, Vol. 56, No. 6, diciembre 1959, págs. 441-460. 10.6 Rice, E. K. y Kulka, F., “ Design of Prestressed Lift Slabs for Deflection Control”,/. ACI, Vol. 56, No. 8, febrero 1960, págs. 681-693. 10.7 Corley, W. G. y Hawkins, N. M., “Shearhead Reinfo rcemen t for Slabs”, /. ACI, Vol. 65, No. 10, octubre 1968, págs. 811-824. 10.8 Winter, G. y Nilson, A. H., Design o f Concrete Structures, 8a. Ed., Mc Graw-Hill, Nueva York, 1972, 615 págs. 10.9 Gerber, L. L. y Bums, N. H., “Ultimate Str egth Tests of Posttension ed Flat Plates”,/. PCI, Vol. 16, No. 6, noviembre-diciembre 1971, págs. 40-58. lO.lONilson, A. H., y Walters, D. B., “Deflection of Two-Way Floor Systems by the-Equivalent Frame Method”, /. ACI, Vol. 72, No. J, mayo 1975, págs. 210-218. 10-llNawy, E. G. y Chakrabarti, P. “Deflection of PrestfUiod Concrete Flat
454
Losas
PROBLEMAS 10.1 Se debe de proporcio nar una losa de concreto presforzada en dos direcciones, midiendo 60 x 120 pies en promedio, para sopor tar una cancha de tenis sobre una instalación subterránea de estacionamiento. El apoyo se pro porciona mediante muros de m anipo sterí a en el per íme tro, y mediant e estructuras de acero a lo largo de las líneas de columna interiores, según se muestra en la figura P10.1. Se proporcionará una superficie asfáltica de 2 pulg de espesor, pes ando 25 Lb /pie2 . (a) Diseñar la losa para una carga balanceada consistente del peso propio de la losa y el acabado asfáltico. Determinar el peso requerido de la losa, la fuerza pretensora, y el número y espaciamiento de los tendones no adheridos postensados Grado 250 de 1/2 pulg de diámetro . Resistencias del concret o f'c = 5000 lb/pulg2 y fci — 3500 lb/pulg2. (b) Checar los esfuerzos de flexión en el concreto para el estado totalmente cargado suponiendo la carga viva de 100 Lb/pie2. (c) Checar la seguridad de la losa en con tra de la falla por flexión, apl icando los factore s usuales de carga del ACI, y los factores de reducción de resistencia. Modificar el diseño si es necesario, (d) ¿Qué otros aspectos de la estructura propue sta deben de investigarse para un diseño estru ctura l co mpleto?
CAPITULO 11
MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE
11.1
FIGURA P10.1 10.2 Rediseñar la estr uctur a del probl ema 10.1 como una losa plana, sin vigas o trabes. Se proporcionarán muros en el perímetro tal como antes, pero la estructura de acero se reemplazará por dos columnas de concreto de 18 pulg de d iámetro ubicadas en el lugar de las columnas de acero en el croquis. Inclúyase refuerzo por cortante en las columnas interiores si fuera necesario, empleando bien sea varillas de refuerzo o cabezales para cortante.
INTRODUCCION
Los capítulos precedentes se han enfocado al análisis y diseño de miembros a flexión: vigas, para las cuales la carga principal es normal al eje del miembro, o losas, con cargas que actúan normalmente a su superficie. Ahora se estudiará otra clase de miembros: los elementos prismáticos, para los cuales la carga principal actúa en la dirección paralela al eje largo. Se incluyen a los miembros a compresión, tales como las columnas, los componentes de las armaduras, o los pilotes, y los miembros a tensión tales como los que se emplean en las armaduras, los tirantes de los arcos y los marcos rígidos, o las péndolas. Aunque las cargas principales en todo s los casos mencionados son l ongitudina les y produc en com presión o tensión , é stas pueden combinarse con cargas de flexión. La combinación de cargas es normal en las columnas, en las cuales las fuerzas se aplican a menudo excéntricamente mediante ménsulas, o en donde existen excentricidades provenie ntes de la a cción de las junt as rígidas en las estr uctura s continuas. Este capítulo presentará los aspectos básicos del análisis y diseño de miem bros a ten sión y columnas, incluyendo a las columnas ex céntricas. Las aplicaciones especiales, tales como armaduras, pilotaje, anclajes de cimentación, tanques para almacenami ento de líquid os, y depósitos de contenc ión se describirán en el capítulo 13. r
11.2
COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS PRESFO RZAD AS
""Ai ¡¡ Si una columna de concreto estuviera sujeta únicamente a compresión axial, ten-
456 Miembros cargados axialmente
embargo, la columna cargada únicamente con fuerza concéntrica de compresión es el caso más raro en la práctica estructural. En la mayoría de los casos, las co lumnas también soportan momentos de flexión, introducidos por la aplicación excéntrica de la carga, como en el caso de las columnas precoladas con ménsulas, o por la acción de la continuidad en las juntas rígidas de los marcos, la cual trans fiere los momentos de flexión de los extremos de los claros de las vigas a las co lumnas. Las fuerzas de viento o sismo introducen con frecuencia tensión directa así como también elevados esfuerzos de flexión. Con frecuencia se encontrará ventajoso el presfuerzo en las columnas, en particular para situaciones en las que la relación entre el momento de flexión y la fuerza axial es alta, de tal manera que se produzca tensión en una parte sustancial de la sección transversal de con creto. Las columnas de concreto presforzado pueden catalogarse como cortas o largas. En el primer caso, la resistencia depende únicamente de las resistencias del acero y del concreto y de la geometría de la sección transversal, mientras que en el segundo, la resistencia se puede disminuir significativamente por los efectos de la esbeltez. El efecto de la esbeltez en la resistencia se estudiará en las secciones 11.5 y 11.6. La presente discusión se refiere a las columnas cortas, pero ta mbién propor ciona una base para el e studio poste rior de columnas esbeltas. Casi nunca son la deflexión y el agrietamiento en colunas presforzadas bajo cargas de servicio un serio problema. Más aún, la investigación de los esfuerzos bajo cargas de servicio, basada en el co mport amient o elástico de los m ateriales, es de interés limitado y tiene poca influencia en la seguridad de las columnas, la cual es la principal consideración. En consecuencia, nuestra atención se enfocará al análisis para determinar la resistencia última de columnas cortas de concreto presforz ado, cargadas excéntri camente (véanse publicaciones referidas en 11.1, 11.2 y 11.3). La figura 11.1a muestra a tal columna, en un estado incipiente de falla, con la carga última Pn aplicada con una excentricidad e con respecto al centro geométrico de la sección transversal.* Las dimensiones b y h de la sección son respectivamente paralela y perpendicular al eje de flexión, según se muestra en la figura 11.16. El acero de presfuerzo se coloca en dos capas, cada una paralela al eje de flexión, y se supondrá que la sección transversal es simétrica, con áreas de
Comportamiento de columnas presforzadas 457
a. Para grandes excen trici dades el acero de presfuerzo del lado de la co lumna más alejado de la carga alcanzará la condición de fluencia en ten sión. La continuación de la fluencia desplazará el eje neutro hacia el lado cargado del miembro, reduciendo el área de concreto disponible para
acero A pt y A p2 iguales. La carga excéntrica es equilibrada en cualquier sección a-a a lo largo de la longitud del miembro mediante las fuerzas internas, produ ciendo un empuje neto igual y opuesto aPn,y un momento Mn igual y opuesto a pneUna columna como esa puede fallar según cualquiera de los dos modos si guientes: id )
* Nótese que una columna que soporta una carga concéntrica P n y un momento flexionante M n sé puede diseñar para un» carga equivalente consistente de P n actuando con una ex centricidad
Figura 11.1 Columna corta Con cargas excéntrica, (a) Cuerpo libre de media co lumna. ( b) Sección transversal, (c) Distribución de deformaciones, (d) Fuerzas y esfuerzos equivalentes.
458
Comportamie nto de columnas presforzadas 459
Miembros cargados axialmente
resistir la compresión, y sobrecargando eventualmente el concreto. Resultará una falla secundaria por compresión cuando la deformación por compresión en el concr eto llega a ser igual al valor lími te ecu. b. Para pequeñas excentricidades se alcanzará una falla primaria por com presión del concr eto cuando la d eformaci ón máxim a en el c oncre to del lado cargado de la colu mna iguala ecu. El acero en el lado alejado de la columna puede encontrarse bastante por debajo del esfuerzo de fluencia cuando esto ocurra. Ciertamente, también es posible obtener simultáneamente para alguna combinación única de Pn y Mn (o la excentricidad equivalente), la fluencia por tensión en el acero del lado de la columna más alejado de la carga, y el aplastamiento del concreto en compresión en el lado más cercano a la carga. A tal situación se le denomina falla balanceada, y ocurre con una carga Pb y un momento Mb . Para las columnas, esta combinación no tiene el significado que tuvo para las vigas, en las que se podía garantizar una falla dúctil por fluencia estableciendo un límite superior en la relación de acero. Para las columnas, la naturaleza de la falla, es decir, si ésta es por fluencia o por aplastamiento, se determina mediante la relación entre el momento aplicado Mn y el empuje Pn , establecida mediante el análisis de la estructura como un todo. La excentricidad equivalente resultante puede ser m ayor o menor que la excentri cidad eb para la falla balanceada, y de esta manera la falla se podrá iniciar bien sea por el aplastamiento del concreto o por la fluencia del acero en un caso pa rticular. En la figura 11.1c se muestran las deformaciones en el concreto en la sección a-a. Un estado conveniente de deformación de referencia corresponde a la fuerza pretensora efectiva Pe, tal que después de ocurridos el flujo plástico, la contracción y el relajamiento, la deformación uniforme en el concreto vale ece . En la figura 11.1c se muestra tam bién la distr ibución de la deforma ción en el concreto al inicio de la falla, cuando el eje neutro se encuentra a la distancia c del lado cargado de la columna, y la deformación en el concreto en aquella cara es igual al valor límite ecu. Las fuerzas y los esfuerzos correspondientes a las deformaciones del inicio de la falla se dan en la figura 11 .le?. El bloque rect angular de esfu erzos equivalentes con una intensidad de esfuerzo uniforme en el concreto de 0.85 f' c y una profu ndidad a = j3jc sustituye a la variación real del esfuerzo en el concreto como es usual (ver sección 3.7c). Con relación a la figura 11,1c?, los requisitos del equilibrio del cuerpo libre consistente de la mitad superior de la columna indican que
P„ = C - T l - T 2
(11.1)
donde la resultante de los esfuerzos de compresión en el concreto es C = 0.85 f'c ab, y 7) y T2 son, respectivamente, las fuerzas de tensión proporcionadas por las Á
P„e ~ C
h
a
2 ~2
+ T 2 d
( 11.2)
Las ecuaciones (11.1) y (11.2) no permiten calcular en seguida la carga de falla Pn para una excentricidad dada e, debido a que los términos C, Ti, y T2 de los lados derechos, asi como también a, son todos dependientes de la aún desconocida ubicación del eje neutro en la falla, o sea la distancia c desde la cara de la columna (ver figura 11.1c). A su vez, la posición del eje neutro de pende de la magnitud de las fuerzas C, T i , y T2 . Teóricamente, uno podría expresar todas las incógnitas de los lados derechos de las ecuaciones (11.1) y (11.2) en función de la distancia c del eje neutro, y luego resolver simultáneamente las dos ecuaciones para una excentricidad dada e y hallar c y Pn . Sin embargo, las dificultades de cálculo serían considerables. Resulta más práctico encarar el problema indirectamente, a través de la construcción de un diagrama de interacción que relacione el empuje Pn y el momento Mn a la falla. En la figura 11.2 se muestr a un diagrama típico de este t ipo. La línea llena corresponde a un estado de inicio de falla para la columna en particular, en tan to que cualquier combinación de empuje y momento que caiga dentro del área limitada por aquella línea podrá ser resistida con algún margen de seguridad. En la figura 11.2 se pueden dibuj ar líneas radiales correspondie ntes a valores discretos de la excentricidad, según se muestra. Para cualquier excentricidad, a medida en que se incrementa la carga desde cero, el momento aumenta pro porcion almen te. Cuando la traye ctoria de la carga rep resentada por la lí nea radial de excentricidad alcanza la línea llena de interacción, se obtiene la falla. Una excentricidad de cero (línea de excentricidad vertical) corresponde a una falla por compresión axial bajo la carga PQ, mientras que una excentricidad infinita (línea de excentricidad horizontal) corresponde a una falla bajo el momento M0 de flexión pura sin fuerza axial Poster iormen te, se verá que en la región de pequeña excentricidad (falla por compresión) la adición de carga axial reducirá el momento que puede resistirse. A la inversa, en la región de grandes excentricidades (falla por fluencia) la adición de carga axial aumenta la capacidad por momento. Un diagrama de interacción para la falla de la columna, tal como el de la figura 11.2, se puede construir para una geometría, una resistencia de los materiales, y una fuerza pretensora de la columna dados, escogiendo sucesivamente ubicaciones arbitrarias para el eje neutro último. Cada selección corresponde a una excentricidad, a una carga de falla/*„, y a un momento de falla Mp particulares, los cuales se pueden hallar mediante un análisis de compatibilidad de deformaciones como se indica a continuación. Un pun to de partid a convenienle para el análisis es el estado de presfuerzo efectivo, antes de la aplicación de las cargas exteriores, en que la fuerza pretenso-
460 Miembros cargados axialmente
C o m p o r t a m i e n t o d e c o l u m n a s p r e s f o r z a d as 4 6 1
11.le se ve que esta deformación de compresión en el concreto está distribuida uniformemente a través del peralte de la sección. La aplicación de una carga excéntrica producirá una deformación lineal mente variable en el concreto. Cuando la columna se encuentra al inicio de la falla, la deformación en el concreto del lado más cercano de la carga será ecu y el eje neutro se encontrará a la distancia c de aquella cara, según se muestra en la fi
mientras que el cambio correspondiente en la deformación en el acero de área
A p 2 es
Ae2 =
Ec u
<¿2 e ---------- h E ce
(C)
gura 11.1c. Las fuerzas en el acero 7) y T2 de la ñgura 11 .leí se pueden hallar basán dose en las deformaciones netas de las áreas de acero respectivas. Si éstas se en cuentran por debajo del límite elástico proporcional, o de la deformación de fluencia, entonces
Pn
E i — A plf pl A pXE p{cpe Afij) E\
Los esfuerzos y las fuerzas de la figura 1l .l d pueden hallarse basándose en las distribuciones de la deformación. Para el valor de c arbitrariamente escogido, la resultante de compresión en el concreto es (11-3)
Nótese que mien tras que el v alor de c pued e ser mayo r que la dime nsión h de la columna, y que de hecho tendrá un valor infinito para el caso especial de carga concéntrica, en todos los cálculos, el límite superior de a es la dimensión h de la columna. La deformación en el acero del presfuerzo para el presfuerzo efectivo es
&ne
*-• Ep
(Ápl + A p2)Ep
(a)
El cambio en la deformación en el acero de área .4 ^ al pasar el miembro desde el estado de presfuerzo efectivo hasta la carga últimaes 'i
c—d1
eclt
c —dx
+ £c
(11.4)
+ £c
(11.5)
E2 — A p2fp2 = Ap2Ep2(£pe + Ae2)
Figura 11.2 Diagrama de interacción para columna presforzada.
C = 0.85 />b
^p\Ep I Epe
(b)
T 2 = A p2Ep íe pe +
Al aplicar estas ecuaciones, se debe prestar cuidadosa atención a los signos, no tando que c puede ser menor que d x o mayor que d2 . Si las deformaciones representadas por las cantidades entre paréntesis en las ecuaciones (11.4) y (11.5) sobrepasan el límite proporcional, entonces los esfuerzos correspondientes a las deformaciones particulares se deben de hallar refiriéndose a la curva real de esfuerzo-deformación del acero. Ahora pueden hallarse la carga de falla Pn mediante la ecuación (11.1), y el momento de falla Mn mediante la ecuación (11.2) sin dificultad, estableciendo así un punto de la curva de falla de interacción. Se debe de repetir el análisis, escogiendo otro s valores de c, para establecer la línea de falla completa. Después de que se define la curva de esta manera, se puede n leer la carga de falla y el m ome nto para cualq uier va lor de la ex cen trici dad de la gráfica, interceptando la línea radial apropiada con la curva. Para fines de diseño, de acuerdo al Código ACI, se deben modificar los va lores calculados de Pn y Mn mediante un factor
f
E^.cfiP,,
(11.6a)
462 Miembros cargados axialmente
Ejemplo de construcción del diagrama de Interacción 463
El valor especificado de para columna s con estribo s es 0.70 y d e 0.7 5 para co lumnas con refuerzo espiral. En cualquier caso, el valor de = 0.9 0, u sual para vigas, cuando se tiene el valor M0 del momento. En todos los casos prácticos, se puede sustituir el valor de Pn correspondiente al momento máximo (figura 11.2) por Pb. Adicionalmente, de acuerdo con el Código, la resistencia de diseño por carga axial <¡>Pn no deberá considerarse mayor que 0.85 (para miembros con re fuerzo en espiral) ó 0.80 (p ara miembros con estribos) de la resistencia de diseño <¡>P0 a la compresión pura. Es evidente que el diseño de columnas de concreto presforzado es esencial mente un procedimiento de tanteos sucesivos. Se debe seleccionar una columna de tanteo, calcular la curva de resistencia, y comparar la capacidad de aquella columna con la capacidad requerida. Se sigue el mismo método para columnas ordinarias de concreto reforzado. En tanto que se disponen de ciertas ayudas para diseñar en la forma de tablas (ver obra referid a en 11.4), en la m ayo ría de los casos prácticos es necesario un análisis de compatibilidad de deformaciones tal como el que se acaba de describir. Para ejecutar los cálculos en tantos diseños tentativos como se requieran se puede elaborar un programa de computadora relativamente sencillo.
Figura 11.3 Sección transversal de columna.
(11.4), (11.5), (11.1), y (11.2). Aquí se calcularán puntos representativos única mente. Toda la información se resume en la tabla 11.1 y se gráfica en la figura 11.4. 1. Supóngase la distancia del eje neu tro desde la cara izaquierd a c = 8 pulg. (ver figura 11.1c). Entonces a = 0.75 x 8 = 6 pulg., y de la ecuación (11.3) se halla la fuerza resultante de compresión:
11.3 EJEMPLO: CONSTRUCCION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION PARA COLUMNAS
La columna de la figura 11.3 tiene una sección transversal de 12 x 12 pulg. y está presf orzada mediant e 8 cables d e 3/8 de pulg. Grado 250 en dos capas. El área total de acero es 0.640 pulg2. El acero soporta un presfuerzo efectivo, después de las pérdidas, de 150,000 lb/pulg2, el cual, con Ep — 29,000,000 lb/pulg2 , co rresponde a una deformación cpe = 0.0052. La curva esfuerzo-deformación del acero es tal como la mostrada en la figura 2.4. La resistencia del concreto es 6,000 lb/pulg2, y la deformación en el concreto al actuar Pe es ece = 0.0005. La deformación última por compresión se puede considerar ecu =0.003. (Columna de 305 x 305 mm, Ap =413 mm 2, fpe = 1034 N/mm2, Ep = 200 kN/mm2,y / ' = 41 N/mm2). Establézcase el diagrama de interacción de falla para esta co lumna, relacionando Pn y Mn. Superpóngase en el mismo diagrama la línea corres po ndi ente a la resistenc ia de diseño del ACI, obten ida median te la aplicación de los factores
C = 0.85 x 6 x 6 x 12 = 367 kilo libras
Tabla 11.1 Resumen de los cálculos para la colum na del ejemplo de diseño.
Punto
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c pulg.
a pulg.
8 6.0 10 7.5 12 9.0 15 11.3 oo 12.0 6 4.5 4 3.0 3 2.3 i 2 1.5
M„ (j)P„ Pn kilolibras kilolibra-pulg. kilolibras
275 376 473 616 684 177 77 ¡ 24 Î
1213 1125 899
319 0 1151 944 777
0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.77 0.84 0.88
193 263 331 431 479
136 65 21
e Mn kilolibra-pulg. pulg.
849 788 629 223 0 886 793 683
4.4 3.0
1.9 0.5 0 6.5 12.3 32.4
Ejemplo de costrucción del diagrama de interacción 465 464 Miembros cargados axialmente
Mientras que el momento Mn se obtiene usando la ecuación (11.2): ■) ' ítV.Uú: ■ M„ = 367 x 3 —4 x 32 + 4x 60 = 1213 kilolibra-pulg
determinándose así el punt o 1 en la curva de interacció n de la figura 11.4. Los otros puntos se hallan de manera similar: 5.
Suponer que c = 00; a = 12 pulg. Entonces C = 0.85 x 6 x 12 x 12 = 734 kilolibras Ti = 0.32 x 29,000(0.0052 - 0.0030 + 0.0005) = 25 küoli bras T2 = 25 kilolibras P„ = 734 —25 —25 = 684 kilolibras M„ = 0 - 4 x 25 + 4x 25 = 0
6.
Supóngase que c = 6 pulg.;a = +.5 pulg. Entonces C = 0.85 x 6 x 4.5 x 12 = 275 kilolibras Ti = 0.32 x 29,000(0.0052 - 0.0020 + 0.0005) = 34 kilolibras
En este caso la deformación total en el acero del cable, del lado derecho de la columna, es de 0.0077, sobrepasándose la deformación de fluencia del cable Grado 250 mostrada en la figura 2.4. No sería válido un cálculo basado en el módulo de elasticidad, y el esfuerzo en el acero correspondiente a aquellas deformación se debe de leer directamente de la gráfica. Entonces Momento
= P „ e kilolibras-pulgada
Figura 11.4 Ejemplo de diagrama de interacción para columna excéntrica.
La fuerza resultante en el acero cerca de la cara Izquierda se halla de la ecuación
T2 = 0.32 x 200 = 64 kilolibras Pn = 275 —34 —64 = 177 kilolibras Af„ = 275 x 3.75 —4 x 34 + 4 x 64 = 1151 kilolibra-pulg
Se obtienen condiciones similares para los puntos (7) y (8). 9. Supóngase que c = 2 pulg.; a = 1.5 pulg.. Entonces
(11.4): Ti
= 0.32 x 29,000(0.0052 - 0.0023 + 0.0005) = 32 kilolibras
Mientras que
T2
C = 0.85 x 6 x 1.5 x 12 = 92 küolibras Ti = 0.32 x 29,000(0.0052 + 0 + 0.0005) = 53 küolibras T2 = 0.32 x 225 = 72 küolibras
en el lado derecho se halla de la ecuación (11.5):
Pn = 92 —53 —72 = - 33 küolibras M„
T 2-
0.32 x 29,000(0.0052 + 0.0008 + 0.0005)
T
60 kilolibras
-
Sumando fuerzas verticales para determinar
Pn
(ecd|ción 11.1):
= 92 x 5.25 —4 x 53 + 4 x 72 = 559 küolibras-pulg.
I I signo negativo de Pn en este caso es una indicación de que la ubicación selec cionada para el eje neutro solamente es posible si se sujeta a la columna a una car ga de tensión , en vez de a una carga de compresión. La excentricidad equivalente,
Comport amiento de columnas esbeltas 467
466 Miembros cargados axiaimente
no lo cual indica que la carga de tensión debe de aplicarse del lado opues to de la columna. A pesar de que principalmente es de interés académico, el ultimo calcu lo indica que el método puede, en general, aplicarse a miembros con tensión excéntrica, así como a miembros con compresión excéntrica. Se calcularon un total de 9 puntos sobre la línea de interacción de falla. En la línea de interacción de falla. En la tabla 11.1 se resumen todos los resulta dos y en la figura 11.4 se trazan. . ... , En la figura 11.4 también se muestra la curva de resistencia de diseño, ob tenida mediante la aplicación de los factores 0 apropiados a Pn y Mn de acuerdo con las ecuaciones (11.6a) y (11.66). El punto de máximo momento sobre la curva de resistencia calculada casi coincide con el punto (1) para el cual Fn 275 kilolibras lo cual se puede considerar como una aproximación de P b . Para cargas más altas, se aplica un valor de 0 de 0.70 al empuje y al momento para obtener los puntos en la curva de diseño, excepto que es aplicable un recorte en 0.80 (¡¡p = kilolibras. Por debajo del punto (1) se permite que 0 varíe linealmen te hasta 0.90 al disminuir Pn hasta cero. Nótese la disconti nuidad que resulta en la pendiente de la curva de diseño. 3 8 3
11.4 REFU ERZO NO PRESFORZA DO EN COLUMNAS
El refuerzo no presforzado se usa en columnas presionada s en la forma de estri bos o espirales y, en algunos casos, co mo acero longitudina l suple mentario. De acuerdo con el Código ACI, si los miembros a compresión tienen un presfuerzo promedio P jA g, menor que 225 lb/pulg2, entonces se deben de pro porciona r varillas de refuerzo longitudi nal. Los re querimi entos son los mismos que para las columnas ordinarias de concreto reforzado en este caso. Específica mente, se deberá proporcionar acero longitudinal no presforzado con un area j total no menor que y no mayor que 0.08 veces el área total de la sección transversal de concreto. Cuando se ha seleccionado un arreglo rectangular se re-1 quiere un mínimo de varillas, y por lo menos varillas cuando el arreglo es cir- I cular. Si el presfuerzo promedi o es de 225 lb/pul g o mayor, estas disposiciones 0 . 0 1
4
6
2
no son aplicables. . , Siempre se deberá proporcionar refuerzo transversal, al igual que para lai ] columnas de concreto reforzado. Cuando el acero principal se distribuye según J un patrón circular, normalmente se emplea un enrollado continuo en espiral,* generalmente de alambre de acero redondo liso sin corrugaciones. Si las varilla» ! principales se dis tribuye n según un patr ón rectangul ar, se proporci onan estribos individuales, espaciados uniformemente a lo largo del eje de la columna. Tal refuerzo lateral sirve para varios fines importantes, según se enumeran » ■
U
■'.
jy 1
a continuación: ... ( ) Al resistir la expansión lateral del concreto que ocurre normalmente debido •* la carga longitudinal aplicada, el acero transversal produce compresión horizontsM en el concreto. Al superponerse ésta al esfuerzo longitudinal, esto origina un tado de compresión triaxial. Esto no solamente aumenta la resistencia de la c 1
ponible (2) Si se usa acero a compresión no presforzado en form a suplementaria al acero longitudinal de presfuerzo, estas varillas tendrán la tendencia a pandearse hacia afuera al ser cargadas, tal como lo haría cualquier elemento muy esbelto sujeto a compresión. Los estr ibos o las espirales son efectivos al prevenir este tipo e falla prematura. (3) Cuando se sujeta a las columnas a fuerzas cortantes hori zontales, como las provenientes de la acción sísmica, el refuerzo lateral sirve para aumentar sustancialmente la resistencia al cortante. ( ) Finalmente, tiene la fun ción practica de mantener al acero longitudinal bien alineado y en posición ade cuada a medida en que se cuela el concreto. 4
El acero lateral se diseña basándose en procedimientos empíricos que se an establecido mediante pruebas. De acuerdo con el Código ACI, si se emplea re uerzo en espiral, la relación del volumen del acero de refuerzo espiral al volu-
r4w)t“Z L « r qíe(“ n d
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(U7)
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donde Ag es el área total de concreto. Ac es el área del corazón de concreto, y f y es la resistencia especificada de fluencia del refuerzo en espiral (no debiendo considerársela mayor que 60,000 lb/pulg2). Para las columnas coladas in situ el alambre de la espiral no deberá tener un diámetro menor que 3/8 pulg. En todos os casos el paso de la espiral (avance correspondiente a una vuelta completa) debe ser de a 3 pulg. Cuando se usen estribos, deberán tener por lo menos un diámetro de 3/8 pulg. Su espacimiento no deberá ser mayor que 18 pulg., 48 veces el diámetro del estribo, o que la menor de las dimensiones de la columna c que sea menor . Más aún, se deben de disponer de tal manera que cada esquina y varilla longitudinal alternada, alambre, o cable disponga del soporte lateral proporciona do por la esquina de un estribo cuyo ángulo inter no no sea may or que 135 grados. 1
11.5 COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS ESBEL TA S
Las columnas consideradas en las secciones precedentes fueron columnas cortas, de tales proporciones que su resistencia se pudo determinar basándose en la geo metría de la sección transversal y en las propiedades de los materiales. En la practica, muchos miembros a compresión son columnas largas, para las cuales la resistencia esta reducida significativamente po r los efectos de la esbeltez Las columnas de concreto presforzado, que emplean materiales de alta resistencia, son propensas a tener menores secciones transversales que las columnas ordinarias de concreto reforzado, y siempre se deberá investigar la posibilidad de la reducción e la resistencia debida a la esbeltez (ver publicaciones referidas en 115 y . ). El caso idealizado de una columna esbelta, perfectamente recta, cargada 1
1
6
comportamiento de columnas esbeltas 469
468 Miembros cargados axialmente
como ésta, se encuentra libre de restricciones a la rotación de sus extremos, falla rá por pandeo lateral bajo la carga critic a
P, =
n2EI
( 11. 8)
¡i
donde FI es la rigidez a la flexión del miembro, y lv es la longitud no arriostrada. Esta ecuación muestra que la carga crítica por pandeo disminuye rápidamente a medida en que aumenta la longitud. La ecuación de Euler se puede generalizar para aplicarla a condiciones dife rentes de restricción en los extremos mediante la introducción de un factor k de longitud efectiva, aplicado a la longitud real lu tal que
P ,=
n2EI (klu)
(11.9)
El valor de k depende del grado de restricción a la rotación que exista en un caso dado, y de si se evita o no el desplazamiento lateral de los extremo s de la columna. En la mayoría de los casos, la estructuras de concreto se encuentran con traventeadas en contra del desplazamiento lateral mediante muros, siendo éstos lo suficientemente robustos y rígidos en su propio plano como para prevenir efectivamente tal desplazamiento. Estos muros se pueden proporcionar exprofe samente para tal propósito, o de otra forma pueden ser requeridos en casos tales como por ejemplo, confinamiento de escaleras, tiros de elevadores, o ductos para servicios. Para una columna con sus extrem os articulados e impedidos de desplazarse lateralmente, según se muestra en la figura 11 .5a, la longitud efectiva kl u es igual a la longitud real lu . Cuando se alcanza la carga crítica de la ecuación (11.9), esta columna se pandeará lateralmente, adoptando la forma de una semionda de la función seno, según se muestra. Por el contrar io, si el miembro se empo tra en sus extremos y se fijan éstos lateralmente (figura 11 .5b') se pandeará según la forma de una onda seno completa, con puntos de inflexión en los puntos cuartos de su longitud. La porción de la columna comprendida entre estos puntos de inflexión se encuentra precisamente en el mismo estado de columna con extremos articu lados que se consideró primero, y la carga de pandeo de esta columna con sus extrem os empot rados se puede predecir mediante la ecuación (11.9 ) con un fac tor de longitud efectiva k = 0.5. ^ I, Los extremos de columnas en estructuras reales no están ni perfectamente empotíados ni perfectamente articulados, sino más bien se encuentran restringi dos por vigas, las cuales permiten alguna rotación limitada. En consecuencia, se deben preveer valores de k intermedios entre 1.0 y 0.5 para columnas que for man parte de marcos contraventeados.
(b)
(c)
(d)
Figura 11.5 Formas pandeadas y longitudes efectivas de columnas cargadas axial mente. (a) Contraventeada, extremos articulados, k = \.(b) Contraventeada, ex tremos empotrados, k = 1/2, (c) Sin contraventeo, extremos empotrados, k = 1. (d) Sin contraventeo, extremos articulados, k = ° ° .
se, siendo la única resistencia al desplazamiento lateral proporcionada por la acción de marco rígido. Entonces la longitud efectiva de las columnas es mucho mayor que antes, y la carga crítica por pandeo es mucho menor. Esto se ilustra mediante las columnas de las figuras 11.5c y 11.5cf. Si se evita la rotación de los extremos de la columna, permitiéndose la traslación, co mo en la figura 11.5c, la longitud efectiva es igual a la longitud real, y el factor de longitud efectiva es k = 1.0. Si los extremos no tuvieran restricción a la rota ción (figura 11.5d) la columna se volcaría inmediatamente, es decir, el factor de longitud efectiva es infinito. Así para columnas de estructuras sin soporte lateral se puede preveer que el factor de longitud efectiva k varía entre 1.00 e infinito. Los miembros considerados hasta este punto fueron cargados concéntrica mente. Realmente, la mayoría de las columnas se encuentran sujetas simultá neamente a compresión y a momentos de flexión, siendo los últimos debidos bien sea a la aplicación excéntrica de la carga o a la continui dad del ma rco. El comportamiento de miembros sujetos a cargas combinadas, depende también en gran medida de la esbeltez. La figura 11.6a muestra a un miembro que soporta una carga axial Peón una excentricidad e, produciendo un momento primario M0 - P e , el cual es cons tante a lo largo de la longitud. El miembro se deflexiona lateralmente en una cantidad y Q debido al momento Ma según se muestra mediante la línea discon
Comportamiento de columnas esbeltas 471
470 Miembros cargados axialmente
La forma resultante deflexionada se muestra mediante las líneas discontinuas de las figuras 11.6a y 11,6¿>. La esbeltez se puede tomar en cuenta para tales miembros sujetos a carga combinada, mediante lo que se conoce como un análisis de segundo orden, el cual incluye el denominado efecto P-A, es decir, el cual toma en cuenta el incre mento en momento proveniente del desplazamiento lateral. Se calculan las de flexiones para los momentos primarios. Luego se determina el incremento en los momentos producidos por estos desplazamientos laterales, revisándose las de flexiones consecuentemente. El proceso se repite en forma iterativa hasta obte ner una convergencia satisfactoria. Pero aun empleando una computadora, un análisis como este resulta ser largo y caro. Para fines ordinarios de diseño, es'po sible emplear una solución aproximada satisfactoria, basada en los momentos am plificados, tal co mo se indica a contin uación (ve r obra referida en 11.7). La deflexión final y de una columna esbelta sujeta a una carga excéntrica se puede calcular a partir de la deflexión y Q mediante la siguiente expresión:
y =y«-
P
1-
'
1
(11.11)
P/Pc
Luego de las ecuaciones (11.10) y (11.11), B M , = M 0 + P y
max
M , = M„ + Py 0
max
1
1-
(
11. 12)
P/Pc
Para fines del diseño, la última expresión puede aproximarse mediante la siguien te forma simplificada: W) Figura 11.6 Compo rtamie nto de columnas esbeltas, (a) Carga y curva de defle xión. (ó) Cuerpo libre de media columna, (c) Diagrama de momentos, (d) Diagra ma de interacción para la falla.
Pero este desplazamiento lateral produce un incremento en el momento flector, debido al aumento en la excentricidad de la carga con respecto a la línea central deflexionada de la columna. La columna se deflexiona aún más debido al aumento del momento, lo cual produce a su vez un aumento adicional del mo mento. Este comportamieno es estrictamente no lineal. Si la deflexión lateral total del miembro conrespecto a su eje original es y , entonces el momento final es ■■■■■',$
M
1
. = M O r^p¡pc
max
(11.13)
donde 1/1 - P/Pc) es conocido como el fac tor de amplificaci ón de mom ento s, que toma en cuenta el aumento en el momento primario Ma debido a la defle xión lateral de la columna. Claramente, si la fuerza axial/’es mucho menor que Pc, el momento máximo es casi igual que el momento primario Mn .S i P es muy parecido a Pc, el denominador tiende a cero, y el momento máximo tiende a infi nito. El efecto de la ampliación del momento en la resistencia de una columna de concreto presforzado se ilustra mediante la figura 11.6d, la cual muestra un dia grama típico de interacción da la resistencia de una columMi Una columna corta cargada con una excentricidad e experimentará un incremento lineal de M al au
Consideración práctica de los efectos de la esbeltez 473
472 Miembros cargados axialmente
un momento y cargas correspondientes a los del punto A . La resistencia no se disminuye por la esbeltez. p
p
M
p
(b)
(c)
Figura 11.7 Superposición de los momen tos primario y por deflexión en columnas esbeltas, (a) Momentos en los extremos iguales y opuestos. ( b) Momentos en los extremos desiguales y opuestos, (c) Momentos en los extremos del mismo sentido.
Sin embargo, si la misma columna es esbelta, ocurrirá una ampliación significativa del momento. Para una excentricidad dada e, a medida que se incrementa la carga, el momento aumenta de manera no lineal según se indica en la ecuación (11. 13) y se muestr a en la figura 11.6d. El miembro falla bajo una cargay momento correspondientes al punto B. No siempre es aplicable la adición directa del momen to máximo produci do por la deflexión al valor total del m oment o primario, como se pud o hab er dado a enten der anteriormente. Considérense las situaciones alternativas mostradas en la figura 11.7. La figura 11.7a muestra el caso que se acaba de describir, con excentricidades de las cargas provocando momentos iguales y opuestos en los extre-
provocado por la deflexión lateral se superpone d irectam ente al máximo m omen to (constante en este caso) debido a la excentricidad. Si los momentos extremos actúan en sentido opuesto pero son desiguales, figura 11.76), entonces el momento primario máximo ocurre en un extremo del miembro, mientras que el momento máximo debido a la deflexión ocurre en las inmediaciones del centro de la columna. Este caso menos severo de carga puede producir un momento am plificado ligeramente mayor que el mo ment o primari o, según se ve. En el ter cer caso (figura 11.7c) los mome ntos de los extremos actúan en el mismo sentido, producie ndo una form a deflexionad a con curvatur a doble. En este caso, los momentos amplificados podrán o no ser mayores que los momentos primarios, dependiendo de las magnitudes relativas de los mom entos primari os y de aquellos debidos a la deflexión. La columna podrá verse o no debilitada por el efecto de la esbeltez. En los métodos prácticos de diseño, tales como los descritos en la sección 11.6, la influencia de la magnitud y dirección relativa de los momentos en los extremos se toma en cuenta empleando un momento equivalente uniforme, basado en el mayor de los dos momentos de extremo, modificado para tomar en cuenta los posibles casos alternativos de carga que se han descrito. Se deben hacer ciertas suposiciones con relación a la rigidez efectiva de la columna. Se recomienda el uso de la ecuación (1 1.13 )para determinar el momento amplificado después de calcular la carga crítica de pandeo Pc de la ecuación (11.9). El cálculo de Pc, depende a su vez de la rigidez a la flexión ¿7 de la columna. Las columnas de concreto presforzado no son homogéneas, ya que consisten de acero, el cual es substancialmente elástico, y de concreto, el cual no lo es. El concre to se encuentra sujeto a flujo plástico, y si la relación del momento a la carga axial es alta, también se encontrará sujeto a agrietamiento. Todos estos factores afectan la rigidez efectiva. A pesar de que han sido propuestos varios métodos “exactos” para calcular la rigidez a la flexión tomando en cuenta estos efectos, los cálculos no son más precisos que las suposiciones en que ellos se basan. Generalmente, es satisfactorio tomar en cuenta tales influencias en una forma aproximada, en el cálculo de la rigidez efectiva El , mediante los métodos descritos en la sección 11.6.
11.6 CONSIDERACIO N PRACTIC A DE LOS EFEC TOS DE LA ESBELTEZ El Código del ACI no incluye disposiciones relativas al diseño de columnas esbeltas de concreto presforzado. Sin embargo, se ha demostrado que es posible aplicar los métodos del Código para columnas de concreto reforzado a las columnas de concreto presforzado con precisión razonable (ver publicaciones referidas en 11.8 y 11.9). Estas disposiciones se busan en los concepto» y métodos presenta-
Consideración práctica de los efectos de la esbeltez 475
474 Miembros cargados axialmente
Las cargas axiales y momentos se pueden hallar media nte un análisis elásti co convencional del m arco. Después se deberá diseñar una co lumna para su carga axial y un mome nto amplificado simultáneo igual a
M = -..Cm™2 - > M 2 1 - PJPc 2
(11.14)
En esta ecuación, M2 es el valor del mayor de los momen tos de extrem o,Pu es la carga axial hallada del análisis hecho con las cargas factorizadas, Pc es la carga crítica por pandeo según se da en la ecuación (11.9), y 0 es el factor de reduc ción de capacidad tomado igual a 0.75 en columnas con refuerzo en espiral y a 0.70 en columnas con estribos. El factor Cm relaciona al diagrama de momentos reales con el diagrama de momentos equivalentes. Para los miembros en que se impide el ladeo mediante contraventeos, y que no tienen cargas transversales entre apoyos, Cm debe de calcularse de la siguiente ecuación Cm= 0.6 + 0.4 ~
> 0.4
(1115)
Aquí M 2 es el mayor de los dos momentos de extremo y siempre se considera positiv o. Mi es el menor de los momen tos de extremo. Es positivo si el miembro se flexiona con curvatura simple, pero será negativo si se flexiona con curvatura doble. En los miembros no contraventeados, o si se encuentran sujetos a cargas transversales entre apoyos, Cm se debe considerar igual a 1.0. Los valores de Cm se han trazado como una función de la relación de mo mentos M t /M2 en la figura 11.8. Puede verse que para un miembro flexionado
Figura 11.9 Nomogramas para el factor de longitud efectiva k. (a) Marcos con traventeados. (b ) Marcos sin contrav enteo.
con curvatura simple mediante momentos de extremo iguales, Cm es igual a 1.0. Esto corresponde al caso que se muestra en la figura 11.7a., para el cual no es apropiado reducir el momento. Para un miembro sujeto al momento M2 en un extremo solamente, con M x = 0 en el extremo alejado, se debe de usar un mo mento uniforme equivalente de 0.6 M 2. Este es el caso límite de la carga mostra da en la figura 11.76. Si el miembro se flexiona mediante m omentos de extrem o que le produzcan doble curvatura, según se indica en la figura 11.7c, el factor de momento equivalente se reduce linealmente desde 0.6 hasta 0.4 pero no se debe de considerar menos que este último valor. Independientemente de los factores de modificación que se apliquen a M2 en la ecuación (11.14), el valor del momento de diseño Mc no se debe de consi derar menor que M 2. La necesidad de esta limitación resulta evidente de los dia gramas de momentos de la figura 11.7. En todos los casos, independientemente de los efectos combinados de la esbeltez y de la variación del momento a lo lar go de la longitud de una columna, ésta se encuentra por lo menos sujeta a toda la carga axial y al momento primario, actuando simultáneamente, en un extremo o en ambos. El denominador de la ecuación (11.14) es esencialmente el mismo que el
Comporta miento de miembros a tensión 477
476 Miembros cargados axialment e
es la máxima carga que el miembro pueda sostener, es decir, la resistencia nomi- \ nal Pn . Esta se relaciona con la resistencia requerida Pu mediante la expresión Pu = ct>Pn . En consencuencia P es sustituida por el factor PJ
-1
(11-17)
o la expresión más simple
I
El factor (¡d to ma en cuen ta aproximadam ente el efecto del flujo plástico. Es de cir, cuanto mayores son los m omentos producidos por las cargas muertas sosteni das, mayores serán las deformaciones por flujo plástico y las correspondientes curvaturas. En consecuencia, cuanto mayores sean las cargas sostenidas en com paración con las tempora les, m enor será la rigidez efecti va, tal como se refleja co rrectamente en las ecuaciones (11.17) y (11.18). Aun cuando estas ecuaciones se desarrollaron usando columnas de concre to reforzado, su uso puede considerarse aceptable para columnas de concreto presforzado mientr as no se disponga de mayor informaci ón.
11.7 COMPORTAM IENTO DE MIEMBROS A TENSION
Claramente un valor bajo de \¡/ corresponde a una columna casi completamente empotrada contra rotaciones por miembros de piso muy grandes, por lo tanto el valor de k debe de estar próximo a 0.5 para una columna contraventeada y a 1.0 para una sin cont raventear. Un alto valor de p t corresponde a una columna mu cho más rígida que las vigas, tal que sus extremos podrían considerarse articula dos. El valor de k en tal caso sería cercano a 1.0 para un marco contraventeado, y tendería a 00 para una columna sin contraventear. En la práctica, el valor de ip no puede ser igual en ambos extrem os de una columna. En los monogramas de la figura 11.9, se traza una línea rect a entre los valores de ip de los extremos A y B de una columna dada, y el valor de k apropia- ¡ do se halla en la intersección de aquella línea con el eje k. Resulta apropiado hacer un comentario final con relación al valor de la ri gidez a la flexión El a usarse en el cálculo de Pc mediante la ecuación (11.9). i Basándose en estudios analíticos y experimentales de columnas de concreto reforzado, el Código permite la determinación de E l mediante cualquiera de las siguientes ecuaciones: ECI J 5 + ESIS ---- a----- n i 1+
Ig — momento de inercia de la sección total de concreto Is = momento de inercia del refuerzo respecto al eje centroidal de la sec ción de concreto Pd = relación del máximo momento por carga muerta al momento máximo por carga tota l
(11-16)
Y El// para miembros del piso
£ j 1 =
donde
(11.18)
El concreto no parece a primera vista una opción natu ral para constr uir un miem bro que de man era domina nte estará sujeto a cargas de tensión. Un miembr o de concreto reforzado sujeto a tensión se agrietará bajo cargas relativamente peque ñas, después de lo cual las varillas de refuerzo deben sopor tar toda la tensión. El concreto, posteriormente al agrietamiento, sirve principalmente para proporcio nar alguna protección en contra de la corrosión del acero. Si el agrietamiento es grande, aún esta función no se realiza bien. Sin embargo, presforzando el concreto se puede construir un miembro a tensión que es superior en todos los aspectos a una unidad de concreto reforzado y, en varios aspectos importantes, es superior a un miembro comparable fabrica do totalmente de acero. Es evidente que, al aplicar una cantidad apropiada de presfuerzo de com presión, se puede diseñar un miembro a tens ión libre de grietas en el con creto en condiciones normales de servicio. Esto es de particular importancia en miem bros tipo tensor, los cuales se encontr arán, por ejemplo, enterra dos entre las cimentaciones de un arco. Es de gran importancia el hecho de que en muchos casos un miembro de concreto presforzado sujeto a tensión presente mucho menos elongación que uno comparable hecho completamente de acero y diseñado para la misma carga. Antes del agrietamiento del concreto, la deformación correspondiente a una car ga unitaria será mucho menor, debido a la sección transversal efectiva mucho más grande. Después del agrietamiento, el tendón de acero debe soportar toda la
Comporta miento de miembros a tensión 47 9
478 Miembros cargados axialmente
concreto de su esfuerzo de compresión mediante las cargas exteriores sea muy peque ña. Este punto se ilustrará en la figura 11.10. Si el cable de acero descubierto de la figura 11.10a se esfuerza mediante la carga de servicio especificada Q, tal como se indica en la figura 11.106, experimentará un incremento de longitud en la cantidad Al directamente proporcional al esfuerzo en el acero e inversamente prop orci onal al m ódulo de elasticida d. Si se usara el, en otra s circun stancia s, efi ciente, económico, alambre o cable de alta resistencia a tensión, y si la longitud Al es considerable, podría esperarse una elongación inaceptablemente grande. Sin embargo, si se “prestirá” al cable mediante una fuerza? igual a Q, y el concreto fuera colado e ntre placas de extremo adecuadas, y más aún, si la fuerza P se removiera después de endurecido el concreto, entonces el acortamiento del cable sería evitado grandemente por el concreto según se ve en la figura 11.10c. La longitud del miembro de concreto presforzado, sin cargas exteriores aplicadas, sería ligeramente menor que la longitud (l + Al), debido al acortamiento elástico del concreto. (Esto también reduciría la fuerza pretensora a un valor algo menor que P).
Si ahora se aplica la carga exterior Q, como en la figura 11.10c?, el miem bro única mente se e longarí a en la cantid ad A 7, much o m enor que la elon gac ión A l de la figura 11.106, debido a que en este caso la elongación se encuentra regida por la sección transversal transformada del concreto en lugar de solamente el área del cable. En el estado de carga de servicio, el esfuerzo en el concreto disminuiría hasta cero, y la fuerza en el acero sería igual a Q. Este ejemplo simplificado desprecia tales factores como el flujo plástico y contracción del concreto y el relajamiento del acero, pero sirve para ilustrar el control de la deformación posible en miembros presforzados a tensión. Una pregunta que puede surgir con relación al presfuerzo de miembros a tensión es de si el miembro, el cual será más bien largo y esbelto, es vulnerable o no al pandeo debido a la carga de compresión del presfuerzo. Se puede demostrar analíticamente, y se ha confirmado experimentalmente que, en el caso del postensado, si el tendón se encuentra en contacto íntimo con el interior del ducto, entonces no existirá ninguna tendencia al pandeo. Cualquier desplazamiento lateral del concreto viene acompañado por un desplazamiento correspondiente del acero, el cual proporciona la fuerza que produce la compresión y en consecuencia no se obtiene momento flector. Esto está en contraposición con la condición en el típico análisis de columna de Euler, en la cual un pequeño des plazam iento latera l del eje del miemb ro introd uce mom ento de flexión com o resultado de la excentricidad de la carga que acompañ a a este desplazamiento. El mismo argumento se aplica obviamente también a los miembros pretensados; las fuerzas del presfuerzo no producen tendencia al pandeo. Para los elementos postensados en los que el tendón se encuentre contenido en un ducto inusualmente grande o en una sección en cajón hueca existirá sin embargo, una tendencia al pandeo, y los cálculos siempre se deberán efectuar de manera que se asegure la inexistencia de este problema. Siempre y cuando ambos materiales se esfuercen dentro del rango elástico, los esfuerzos y las deformaciones se pueden hallar basándose en la sección transversal neta o transformada, la que sea aplicable. Se usará la siguiente notación: P¡ = Fuerza p retensora inicial, después del anclaje pero antes de las pér -
didas dependientes del tiempo Pe = A g = A p = A c = A, =
Fuerza pretensora efectiva, después de todas las pérdidas Area tota l de la sección transversal de conc reto Area del tendón de acero Area neta de la sección transversal de concreto Area transformada de la sección transversal de concreto
n = Relación modular = Ep/E c fgf , yim kré-
Figura 11.10 Uso del concreto presforza do para limitar la deformación por ten-
. #{* )j B h , El esfuerzo en el concreto inmediatamente después de la transferencia y el ancla je
4S0 Miembros cargados axialmente Comporta miento de miembros a tensión 481
Ja
Ar
(11-19)
Después de ocurridas las pérdidas dependientes del tiempo, este esfuerzo se re duce a
Puede predecirse la carga de agrietamiento Qcr usando la ecuación (11.25), estableciendo que el esfuerzo en el concreto sea igual a la resistencia a la tensión directa del material. Esta se encuentra generalmente dentro del rango 3 y / f a 5v77para concreto de densidad normal y de 2 \ f f c a 3.5 V /T para concreto ligero. Después del agrietamiento, el concreto es inefectivo, y toda la tensión debe de ser resistida por el tendón de acero. Denotando con/pu la resistencia del ace ro a la tensión, la resistencia nominal del miembro a la tensión es
en tanto que el esfuerzo en el acero es fpe =
Qn = A pf pu Pe
( 11.21)
Para fines del diseño, ésta se reduce mediante el factor
Debido a que las cargas de tensión aplicadas al miembro después de este tiempo produ cen iguales elongaciones y deformacione s p or tens ión t ant o en el conc reto como en el acero, los cambios de esfuerzo debidos a la carga posterior, antes del agrietamiento, se pueden hallar usando el método de la sección transformada.* Si se reemplaza el área real de acero A p por su área equivalente de concreto a tensión, la sección transformada es A t = A g + ( n - 1)A„
( 11. 22)
Los cambios de esfuerzo en el concreto y acero, a medida en que se aplica una tensión externa Q (hasta la carga de agrietamiento), son respectivamente
A, A/„ =
(11.27a)
Q nQ
(11.23) ■: « (11.24)
4>Qn = 4>Apf pu
(11.27b)
Las deformaciones se hallarán con respecto a la longitud original de concreto sin esforzar. Si para los fines presentes se supone que el miembro será postensado y se le aplicará mortero, la reducción en longitud a medida en que el concreto se esfuerza inicialmente a P¡ es A
P ¡1
i= ~ A jc
(1L28)
Ocurre deformación por flujo plástico mientras la fuerza pretensora se reduce gradualmente desde P¡ hasta Pe . En la mayoría de los casos prácticos será sufi ciente usar un valor de fuerza promedio igual a (P¡ + P e)¡2 para calcular el des plazamiento tota l des pués de un extenso perío do de tiemp o:
A , Pt + P.
(11.29)
Al superponerlos a los esfuerzos ya presentes, se obtiene Pe Q , f ' ~ ~ A , + A,
(11.25)
nQ —J f pe H ' — —
(11.26)
f Jp
a
A ,
* Esta afirmación se aplica tanto a los miembros sujetos a tensión adheridos como a los no adheridos. En la práctica, la miyoría de los miembros a tensión son adheridos, siendo pre
donde Cu es el coeficiente de flujo plástico. En el capítulo 2 se encontrarán los valores de Cu y de los factores de modificación adecuados. Si se requiere de ma yor preci sión, se puede te ner una mejor estimación de la deformación de larga duración usando un método de intervalos increméntales de tiempo, similar al descrito en el capítulo 9, en el cual la fuerza que produce el flujo plástico duran te cualquier intervalo es aquellu calculada después de las pérdidas, al final del intervalo precedente. Suponiendo que el miembro ha sido diseñado para evlturse el agrietamien
Ejemplo del comportamiento de un elemento de concreto 48 3
482 Miembros cargados axialmente
con respecto a la longitud presforzada pero descargada del miembro de concreto, es (11.30)
;; -%m ' M
y
>;
-
, ...
11.8 EJEMPLO: COMPORTAMIENTO DE UN ELEMENTO DE CONCRETO PRESFORZADO SUJETO A TENSION
'
.
Nótese que el valor de Qa requerido para producir tensión nula en el concreto es mayor que la fuerza pretensora efectiva Pe. La razón de esto es que la fuerza Pe se aplicó en la sección neta de concreto, mientras que la fuerza Qa requerida para volver a ten er esfuerzo nulo en el c oncret o se en cuentr a aplica da en la sec ción transformada. Si se supone comportamiento elástico, la carga de agrietamiento también se halla mediante la ecuación (11.25), estableciendo en este caso el esfuerzo en el concreto igual a 4.75 Lb/pulg2. Entonces Qcr = ( f c +
Un miembro de concreto de 100 pies de largo sujeto a tensión tiene una sección transversal cuadarada de 10 pulg; es postensado con una fuerza P¡ = 103 kiloli bras usando u n solo tendó n de 12 alambres de acero Grado 250, con un área total A = 0.589 pulg2 . Los alambres se encuen tran contenido s en un ducto de 1.5 pulg. de diámetr o y seles aplica morter o después de postensarlos. Cálculos hechos por separado indican que después de las pérdidas la fuerza pretens ora será de P e = 88 kilolibras. Usando los valores de Cu = 2.0, Ep - 29 x 103 kilolibra/pulg3, E = 3.64 x 103 kilolibras/pulg2, n = 8, y / ' = 0.475 kilolibras/pulg2, hallar: C « a. La máxima fuerza de tensión Q que se puede resistir sin producir ten sión en el concreto. b. La carga de agrietamient o. c. La carga de falla. d. El fact or de seguridad en contra del agrietamiento y la falla, si es que se define que la carga de servicio es la de tensión nula de la parte (a). e. La elongación correspondiente a P¡, Pe, y a la carga de servicio total. (/ = 30.5 m, b = h = 254 mm, P¡ = 458 kN, Pe = 391 kN,zl = 380 mm2, ducto de 38 mm de diámetro, .Ep =200 kN/mm2, Ec =25.1 kN/mm , f t = 3.28 N/mm2), >s ™ Los cálculos de esfuerzos elásticos requerirán del uso de la sección transformad#, En el presente caso Ag =
10 x 10 = 100 pulg2
Ac= 100 - n x
A,
-(™t> = 142 kilolibras (362 kN) Pero, suponiendo que es aplicable la curva esfuerzo-deformación de la figura 2.4 al acero del Grado 250, el esfuerzo resultante en el acero de 142/0.589= 240 kilolibras/p ulg2 se encue ntra algo por encima del esfuerzo de fluencia de 215 ki lolibras/pu lg2 . En cualquier caso, el agrietamiento del concreto se iniciaría rápidamente después de la fluencia del acero y por lo tanto la tensión de agrietamiento se de be de conside rar igual a Qcr = 215
x 0.589 = 127 kilolibras (565 kN)
La resistencia de diseño se puede hallar fácilmente usando la ecuación (11.27Ó): 4>Qn = 0.90
x 0.589 x 250 = 132 kilolibras (587 kN)
Sobre la base de estos cálculos, los factores de seguridad en contra del agrieta miento y la falla respecto a la carga de tensión nula son, respectivamente,
1.52 —— = 98 pulg2
A, = Ag+ (n -
1)Ap = 100 + 7 x 0.589 = 104 pulg2
1.37
La carga de tensión nula, que aquí se define como carga de servicio, se puede h llar habiendo que / en la ecuación (11.25) valga pero y despejando Q:
= 1.42 )D
Qo“
|
.
Ac
x Pe
.¡15
La gran proximidad relativa entre el agrietamiento y la falla es típica en miem bros presforzad os sujetos a tensión, e ilustra bie n los daño s que se produc irían al
Diseño de miembros sujetos a tensión 485 484 Miembros cargados axialmente
b. Revisar la elongación del miembro para la carga de servicio total, con
En seguida, se calcularán las deformaciones. Después del postensado ini cial, el acortamiento en el concreto se halla de la ecuación (11.28): A,- = -
103 x 1200 = —0.346 in. ( —9 mm) 98 x 3.64 x 10:
103 + !
1200
general tensión nula en el concreto para este estado. En consecuencia, se sugiere el siguiente procedimiento de diseño para miembros sujetos a tensión:
Después de ocurridas todas la pérdidas, el desplazamiento total con respecto a la longitud original se halla de la ecuación (11.29):
88 + A„= — 98 x 3.64 x 103
referencia a su longitud descargada. c. Revisar el agrietamiento bajo cargas de servicio, especificando por lo
a. Seleccionar el área de acero basándose en la resistencia requerida, des
preciando la presencia del concr eto, el cual estará agrietado bajo la c ar ga última. Así Qu = FiQd + F2Q ,
= —0.939 in. (24 mm) Cuando actúa toda la carga de servicio, la deformación con respecto a la longitud presforza da pero descargada se halla de la ecuac ión (1 1.30): 93 x 1200 = 0.294 pulg. (7 mm) A. = 104 x 3.64 x 10-
donde Qd y Qt son las fuerzas de tensión correspondientes a las cargas muerta y viva de servicio, respectivamente, y F¡ y F2 son los factores de carga requeridos. (Por ejemplo, 1.4 y 1.7, de acuerdo con el (Código = QJcjiy el área ACI). Luego, de la ecuación (11.27«), Qn = A f requerida de acero es
Es de gran importancia comparar esta deformación con la que se obtendría si se hubiera usado el tendón de acero descubierto para soportar la misma carga, sin presfuerzo. En tal caso, la deformación a las 93 kilolibras habría sido Ql
ApEp
93 x 1200 = 6.53 pulg. (166 mm ) 0.589 x 29 x 10'
b. En seguida se establece la elongación máxim a As bajo la carga de servi cio total Qd + Qv basándose, por ejemplo, en los momentos máximos
aceptables en un marco rígido de existir desplazamiento en los apoyos. Baáandose en la ecuación (11.30).
Esta es igual a 22 veces el incremento de longitud asociado con el miembro ten sor de concreto presforzado.
11.9 DISEÑO DE MIEMBROS SUJET OS A TENSION
4 '
#
|
’
I
(Qd + Qi)l AA
(11.32)
dando el área de la sección transformada requerida, de la cual
Mediante el ejemplo precedente se ilustró que un miembro sujeto a tensión diseñado basándose en un esfuerzo permisible en el concreto puede presentar un factor de seguridad peligrosamente bajo en contra de la falla. Esto indica que la ruta más directa hacia el diseño final de tal componente estructural bien puede comenzar con la consideración de la resistencia en lugar de con las limitaciones de esfuerzo. En la mayoría de los casos, las consideraciones de diseño, en orden de im porta ncia, son las siguientes: 'c
A t =
I
A g = A t - ( n - 1)AP y
Ac
Ag
Aiuct
c. Se determina finalmente la cantidad de presfuerzo, con el objeto de propor cionar el c ontro l deseado del agrietam iento. Para el caso común en que se especifica tensión nula bajo carga de servicio, de la ecuación (11.25):
Ejemplo de diseño del miembro de liga de un marco rígido 487
486 Miembros cargados axialmente
P e = ~ ( Q < l +
Q ,)
El área de acero requerida se halla usando la ecuación (11.31):
(11-33)
Un diseño que se efectúe con esta secuencia será satisfactorio para todas las condiciones especificadas y se concluirá sin efectuar esfuerzos de repetición, innecesarios.
11.10EJEMPLO: DISEÑO DEL MIEMBRO DE LIGA DE UN MARCO RIGIDO El techo para un cent ro de atletism o se encuentra apoyad o en marcos rígidos de concreto de 120 pies de claro según se muestra en la figura 11.1 la. Al cargárseles con la carga muerta más toda la carga viva de servicio, los marcos producirán un empuje hacia afuera en cada zapata de Qd = 50 kilolibras y Q, = 85 kilolibras. Bajo aquella carga es aceptable un desplazami ento máximo hacia afuera de 0.333 pulg. Empleando los fa ctores de carga y de re ducción de capacidad de acuerdo con el Código ACI, diseñar un apropiado miembro de liga presforzado para co nectar las zapatas del marco. Se dispone de los siguientes datos E = 27 x 103 kilolibra/pulg2, iTc=3.64x 103 kilolibra/pulg2, n = 8, Acero Grado 250. (1=36.6 m, = 25.1 kN/mm2). Qd = 222kN, Q¡ = 378 kN, d = 8 mm ,£p = 186 kN/mm2 , y Marco rígido
A = 1,4 X50 + 1-7 X 85- = 0.96 pul g2 (61 9 mm2 ) p 0.90 x 250
Se escoge un tendón de cables múltiples consistente de 12 cables de 3/8 pulg. de diámetro, proporcionando un área total de acero justamente igual a 0.96 pulg2. Los cables se encuentran encerrados dentro de un ducto de 2.5 pulg. de diámetro. De la ecuación (11.32) se halla que el área transformada necesaria para limitar la elongación al valor deseado es (50 + 85) x 120 x 12 = 160 pulg2 (103 x 103 mm2) 0.333 x 3.64 x 103 Así Ag = 160 —7 x 0.96 = 153 pulg2 (99 x 103 mm2 )
Se especificará una sección transversal total de 12 x 13 pulg., según se muestra en la figura 11.11 ó, la que proporcion a A g = 156 pulg2 y A t = 163 pulg2. Con un ducto de 2.5 pulg. de diámetro, el área neta del concreto es Ac= 156 —^(2.5)2 = 151 pulg2 (97 x 103 mm2 )
De la ecuación (11.33) la fuerza pretensora necesaria para asegurarla existencia de tensión nula en el concreto bajo toda la carga de servicio es
Pe - — (50 + 85) = 125 kilolibras (556 kN) 163 (a)
Las pérdidas se estimarán basándose en esh = 8 0 0 x 1 0 ^ , Cu = 2.35, y un relajamient o de 3.5% . El cambio en la longitud debi do al escurrimi ento plástico del concreto está basado en una fuerza constante supuesta 15% mayor que Pe:
13"Torones de 12 3/8 pulg. de diámetro en ducto de 21/2 pulg. de diámetro
Figura 11.11 Elemento de liga presforzado a tensió n para marco rígi do, (a) Sec ción transversal a través del edificio, (ó) Sección transversal del elemento de liga de las zapatas.
Acr
1.15P../C, ACEC 1.15 x,125 x 120 x 12 x 2.35 r ^ 151 x 3.64 x 103 hn' ty ' = 0.88 pulg. (22 mm)
* $ ty }m>‘ v a mientras que.el cambio en la longitud debido a la contracción es
'íftr 3f>
Problemas 489
488 Miembros cargados axialmente
A.v/1— ESJ = 800 x 1 0 '6 x 120 x 12 = 1.15 pulg (29 mm) En consecuencia la pérdida de tensión proveniente de estas dos causas es
A p J ± ± M EpAp
11.6 Nathan, N. D., “ Slenderness of Prestressed. Concrete Beam-Columns,” J. PCI, Vol. 17, No. 6 noviem bre-dicie mbre 1972, págs. 45—57. 11.7 Winter, G. y Nilson, A. H., Design of C oncrete Struc tures, 8 a. ed., McGrawHill, Nueva York, 1972, 615 págs. 11.8 Nathan, N. D., “Applicability of ACI Slenderness Comp utations to Pres tressed Concrete Sections,”/ . PCI, Vol. 20, No. 3, mayo-junio 1975, págs. 68-85. 11.9 “Re commended Practice for the Design of Prestressed Concrete Columns and Bearing Walls,” reported by PCI Committee on Prestressed Concrete Columns,/. PCI, Vol. 21, No. 6, noviembre-diciembre 1976,págs. 1 6-4 5.
2.03 x 27 x 103 x 0.96 120 x 12 = 37 kilolibras (165 kN) Teniendo en cuenta también el relajamiento del 3.5% : Pe—AP
1 - 0.035
PROBLEMAS 11.1 La columna preco lada de concreto m ostrada en la figura P1 1.1 se postensa con 8 cables de 3/8 pulg. de diámetro del grado 250, tensados a un esfuer zo el cual, después de las pérdidas se reduce a fpe = 150,000/Lbpulg2. El acero tiene las características de esfuerzo-deformación que se muestran en la figura 2.4. El concreto usado tiene la resistencia f'c = 5500 Lb/pulg2, y
125 + 37 - = 168 kilolibras (747 kN)
--------------14 " ----------- --- >■ 2"
Como una revisión de la fuerza usada en los cálculos del escurrimiento plástico se tiene: P¡ + Pe
125 + 168 - = 147 kilolibras (654 kN)
5"
—
5"
—
2" l I
que es muy cercana al valor usado de 1.15 x 125 = 144 kilolibras. No se requiere repetir los cálculos. El diseño final se muesrra en la figura 11.11.
BIBLIOGRAFIA 11.1 Zia, P. y Moreadith, F. L., “Ultimate Load Capacity of Prestressed Concre te Columns,” / . ACI, Vol. 63, No. 7, julio 1966, pags. 767-788. 11.2 Zia, P. y Guillermo, E. C., “Comb ined Bending and Axial Load in Pres tressed Concrete Columns,” /. PCI, Vol. 12, No. 3 junio 1967, pags. 52- 59 . 11.3 Wilhelm, W. J. y Zia, P., “Effects of Creep and Shrinkage on Prestressed Concrete Columns,” J. Struct. Div. ASCE, Vol. 96, No. ST10, octubre 1970, pigs. 2103-2123. 11.4 PCI Design Handbook, Prestressed Concrete Inst itute, Chicago, 1971. 11.5 Aroni, S., “The Strength of Slender Prestressed Concrete Columns,” J. PCI, Vol. 13, No. 2, abril 1968, pags. 19-33.
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2.5" -
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2.5"
2
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Eje de flexión
Figura P ll. l
una capacidad de deformación última ecu = 0.0035. Bajo el presfuerzo efectivo, la deformación en el concreto es 0.0007. Trazar para este miem bro un diagrama de intera cció n de falla que r elacio ne Pn y Mn ocurriendo la flexión alrededor del eje fueite según se indica en la figura. Calcular no menos de 10 pun tos b ien espa ciados a lo largo de la curva. Muéstrese el pun to de “falla balan cead a” en su diagrama. Muéstrese tamb ién la curva de resistencia de diseño, obtenida mediante la aplicación de los factores de reducción de resistencia de ACI.
490 Miembros cargados axialmente
11.2 Para la columna del problem a 11.1 se considera un diseño alternativo, idéntico en todos los aspectos excep to que se reduce el presfuerzo en el acero a f = 75 000 Lb/pulg2 . La deformación correspon diente en el concreto es 0P.00035. C onstruir la curva de int eracción para este diseño alter nativo y compararla con los resultados previos.
CAPITULO 12
CONSTRUCCION PRECOLADA
12.1 INTRODUCCION
En varias décadas pasadas, en Europa y en los Estados Unidos ha ocurrido el desarrollo del concreto presforzado en ramos absolutamente diferentes. En Euro pa, en donde la relación entre el c osto p or man o de obra y el costo p or m ateria les ha sido relativamente bajo, la realización de novedosos proyectos, únicos en su clase, ha sido económicamente factible. Se usaron sofisticadas técnicas de diseño y construcción para lograr el máximo ahorro en materiales. En los Estados Unidos, en donde por contraste, con frecuencia la demanda de mano de obra especializada sobrepasa a la oferta, las condiciones económicas fueron de tal naturaleza que se vio más favorecida la estandarización de la construcción, substituyendo la mano de obra in situ por la producción en planta de partes precoladas. Existen indicios de que las condiciones de la práctica aquí están cambiando. La mano de obra de construcción ya no es escasa, y los costos de los materiales están siempre en aumento. Se están empleando más a menudo los conceptos avanzados de diseño y construcción, tanto para ahorrar materiales como para extender el rango del concreto presforzado más allá de sus límites previos. Sin embargo, las ventajas del precolado se establecen claramente. Debido a la producción masiva, se requiere de menos cantidad de mano de obra por cada unidad, y es posible emplear la mano de obra local no especializada, la cual es más barata que la mano de obra especializada de la construcción móvil. El concreto de gran calidad y alta resistencia es más fácil de obtener. Las formas com plicadas de las secciones transversales se vuelven económ icamente factibles con el empleo repetitivo de cimbras metálicas o de fibra de vidrio. La obra puede transcurrir con mayor independencia del clima y de las estaciones. La duración de la construcción in situ se reduce debido a la prefabricación de las partes, lo cual es una consideración de importancia en lugares congestionados.
492 Construcción precolada Miembros precolados para edificios 493
De esta manera la operación de las plantas permanentes de precolado ubi cadas céntricamente, abasteciendo miembros estándar dentro de radios de em barq ue de varias millas, cons titui rá una parte imp orta nte del esfu erzo tot al de la construcción en los Estados Unidos en los años venideros, al igual que lo fue en el pasado. Muchos diseños futuros presentan la tendencia a combinar el concreto pre colado con el colado in situ con la finalidad de proporcionar la acción compuesta o desarrollar la continu idad. En muchas situaciones la combinación del pretensado y el postensado ha demostrado ser económicamente ventajosa. Adicionalmente, se puede preveer el mayor uso de patios temporales para preco lado, instalad os en lugar de la con strucc ión pesada, p ara p rodu cir mi embros especialmente diseñados para proy ectos particulares. Un ejemplo es la producción de segmentos celulares precolados para puentes de grandes claros. En otro s casos, el precolado in situ se usará para reducir los costos de cimbra y acelerar la cons trucción, tal como en las losas izables o en la construcción de cascarones para cubiertas. Se han desarrollado muchos tipos de miembros precolados, y se han dedi cado muchos esfuerzos para diseñar las conexiones de los miembros precolados, de forma tal que se cumplan los requerimientos estructurales y se simplifiquen los procedimientos de construcción al grado máximo. Por razones de economía, siempre que sea posible se usan miembros y conexiones estándar. En otros casos en que se justifican componente s y detalles especiales, se necesita la estrecha co laboración entre el ingeniero y el constructor para desarrollar el mejor arreglo. En los siguientes artícu los se describen algunos de los más comunes miem bros precola dos y conexio nes. Debido al gran núme ro de variant es y diferencias importantes en los detalles de diseño, generalmente la discusión es descriptiva. Sin embargo, la teoría del cortante-fricción, la cual es de amplia aplicación en el diseño de conexiones y miembros precolados, es descrita al detalle en el artículo 12.4. En el artíc ulo 12.5 se prese ntan disposiciones especiales del Código y deta lles especiales de refuerzo para ménsulas, las cuales se emplean con frecuencia en las estructuras precoladas.
12.2 MIEMBROS PRECOLADOS PARA EDIFICIOS
5e han desarrollado para edificios algunas formas más o menos estándar de unis precolad as. Aun cuand o a la fecha no se e ncue ntran comp letam ente esüarizadas, se encuentran ampliamente disponibles con pequeñas variaciones locales. Al mismo tiempo, el procedimiento del precolado es lo suficientemente adaptable como para que se puedan producir económicamen te las formas espe ciales, siempre que el número de repeticiones de cada unidad sea suficientemen te grande. Esto es particularmente importante por ejemplo, para los paneles de muro exteriores, para los cuales se necesita una gran variedad de tratamientos
A. Unidades para pisos y techos
Tal vez la más común de las formas estánda r para edificios sea el tablero de piso o cubierta en doble T mostrado en las figuras 12.1a y 1.3. Estos se encuentran disponibles en anchos de 4 y 8 pies, con peraltes que varían desde 8 a 24 pulg. La doble T es altamente funcional, ya que no solamente cumple con los requisi tos estructurales, sino que también proporciona una útil superficie plana. Con frecuencia se emplea una losa superior de acabado de 2 pulg., colada in situ sobre el patín superior para proporcionar una superficie de acabado suave. La losa de acabado se adhiere a la unidad precolada, cuya p arte superior ha sido dejada deli berad ame nte rugosa. La acción com puesta resul tante aume nta tan to la rigidez como la resistencia. Son comunes claros de más o menos 30 pies, pero se pueden lograr claros más largos de hasta 60 pies con secciones más peraltadas. También son ampliamente usadas para pisos y cubiertas los varios tipos de losas de corazón hueco. En la figura 12.1 b se muestra una sección transversal representativa del panel. Los paneles de losa son ordinariamente disponibles en peralt es de 4 a 12 pulg., y en anchos de 2 a 8 pies. El a ncho de 4 pies es el más común. Los claros pueden variar desde 15 hasta más o menos 30 pies. También con estos paneles se emplea una losa superior de acabado. La sección de T simple de la figura 12.1c se ha empleado con frecuencia para claros más largos y cargas más pesad as en edificios tales como edificios de estacionamiento, auditorios, gimnasios, y comedo res. Los espesores del alma va rían regularmente de 8 a 12 pulg., y los anchos del patín son por lo general de a a 10 pies, aun cuando pueden colarse fácilmente patines más angostos, simple mente bloqueando en sus extremos las cimbras. Los peraltes varían desde 24 has ta 48 pulg. Por lo general se usan losas superiores de acabado. No son poco fre cuentes claros de pisos y cubiertas de hasta 120 pies para miembros de este tipo. La figura 12.2 muestra un ejemplo típico de vigas T simples usadas en un esta cionamiento. Cuando el concreto se cuela contra cimbras de acero liso o de fibra de vi drio, tal como generalmente es el caso para los miembros de los tipos que se acaban de describir, y cuando se cuida el proporcionamiento de la mezcla y el vibrado después de su colocación, el miembro resultante tiene una superficie que es muy lisa y dura. Con frecuencia esta se deja expuesta en la estructura terminada sin ningún otro acabado adicional que no sea la pintura. El tablero plano proporcio na u n techo liso en la parte superior. Las vigas simples y en doble T pueden también dejarse expuestas e incorporarse en el esquema arquitectón ico básico. B. Vigas y trabes
Se lian producido vigas y trabes de muchas formas para los miembros estructura les principales en los edificios de concreto presforzado precolados. Las formas y
Miembros precolado s para edific ios 495
494 Construcción precolada
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FIGURA 12.2 Vigas T simples de gran claro usadas sobre una cochera.
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ras 12.1 d y 12.le se pueden ver secciones transversales L y T invertidas típicas. Se debe prestar especial atención al detallado del refuerzo de secciones de este tipo. El acero auxiliar del alma debe de extenderse dentro del patín para poder resistir a las reacciones verticales provenie ntes de las unidades de piso. El acero puede diseñarse usando el método del cortante-fricción (artículo 12.4). El acero de presfuerzo longitudinal, en el caso de vigas L asimétricas, deberá tener su centroide dentro del mismo plano vertical que el centroide de la sección de concreto, para evitar el alabeo lateral debido a la fuerza pretensora. El empleo típico de vigas de sección L para soportar un sistema de piso en doble T se muestra en la figura 12.3.
6 T E s p e s o r d e la r unidad de ' Y Piso o techo
Id)
C. Columnas
le)
FIGURA 12.1 Secciones estándar típicas, (a) Doble T. (b) Tablón de corazón hueco, (c) T simple, (d) Sección L. (e) T invertida. mente por los requerimientos de carga y claro, sino a menudo por la necesidad
Las columnas así como las vigas y trabes de piso son a menudo precoladas. Pue den ser presforzadas (ver Capítulo 11) pero con más frecuencia son reforzadas convencionalmente, aun cuando el resto de la obra sea presforzada. Las secciones transversales resctangulares son las más comunes, pero se lian empleado formas poco usuales para propósit os especiales. Las columnas son precoladas en posición horizontal, simplificando grandemente los trabajos de cimbrado y facilitándola colocación del concreto. Se ha desarrollado una variedad de detalles de columnas para el apoyo de
496 Construcción precolada
Miembros precolados para edificios 407
los muros tienen capacidad portante, y brindan apoyo vertical a los pisos y cu biertas. Adiciona lmente, prestand o cuidadosa a tenci ón a los detalles, ellos pueden propor cionar resistencia ef ectiva a las fuerzas la terales de los edificios. Pueden emplearse las mismas formas en doble T que se usan en tableros de piso par a constr uir paneles de m uro. Norma lmente los anchos son de 4 u 8 pies, y el espesor típico de la superficie es de 2 a 3 pulg., con nervaduras de 8 a 16 pulg., de peralte. Tales unidades propor ciona n apoyo vertical a ios pisos y cu biertas mediante ménsulas con tinuas en la cara i nteri or, o mediante ángulos de asiento anclados a dispositivos encastados dentro del concreto. A menudo también se usan páneles de muro planos, tales como el que se ilustra en la figura 12.5. Estos pueden tener varios tratamientos superficiales incluyendo la exposición del agregado y las superficies con cierto patrón. A veces los páneles planos se cuelan ccn una capa inte rior de 2 a 4 pulg., de materi al de espuma aislante, con caras de concreto estructural, adentro y afuera, conectadas mediante grapas de cortante. Los páneles de muro portante inusualmente grandes que se muestran en la figura 12.6 son continuos a través de 4 pisos de la altura del edificio, transmitiendo las cargas de piso y cubierta directamente al muro de cimentación.
FIGURA 12.3 Edificio titul ar comunal en Tacoma, mos trando el sistema de pisos y techos compuesto por vigas doble T precoladas apoyadas en trabes de sección L precoladas (Cortesía de la Corporación de la Tecnología del Concreto, Tacoma, Washington). artículo 12.5 e ilustrada en la figura 12.15 en la construcción industrial, pero pueden ser est ética o funcional mente objetables en apa rtame ntos o escuelas, por ejemplo. En el artículo 12.3 se discutirán detalles alternativos de apoyo de vigas. En la figura 12.4 se muestra un ejemplo inusual de columnas precoladas con ménsulas. Estos miembros de 93 pies, reforzados más no presforzados, se precola ron de u na sola pieza, pesando cada uno 42 ton. Los miembros del piso son vigas T de 9 pies de ancho y 36 pulg., de peralte apoyados individualmente en las ménsulas de las columnas en cada nivel. D. Paneles de muro de fachada Se han empleado muchos tipos de paneles de muro para encerrar edificios de uno
FIGURA 12.4 Garage de estaciona miento en la calle Crown, New Haven, se muestran columnas tipo árbol precoladas de 93 pies de largo que soportan trabes T
498 Construcción precolada
Miembros precolados para edificios 499
exteriores. Por lo general no se usan columnas o vigas. Los muros sirven para encerrar y subdividir el espacio, proporcionar apoyo vertical, y adicionalmente resistir las fuerzas laterales. Los péneles de muro son reforzados y pueden ser pretensados . Pueden servir como cimbras para columnas de co ncreto coladas in situ. En algunos casos el ensamble terminado es postensado, permitiendo que la estructura se comporte de manera integral para resistir las fuerzas horizontales debidas al viento o a la acción sísmica.
FIGURA 12.5 Aldea Tai Tung en Boston, con muros portan tes precolados y unidades de piso unidas mediante postensado (Sepp Firnkasy Asociados, Ingenieros; la fotografía es cortesía del Inst ituto del Concreto Presforzado). E. Cons trucci ón con grandes péneles
La construcción con grandes péneles es el nombre que se le da a la amplia clase de sistemas estructurales, algunos patentados, en los cuales los péneles preco-
FIGURA 12.6 Unidades de muros portantes precoladas, de concret o presforz ado, tenien do una al tal de (>.’ pies y pesando cada una 3S Ion. (cortesí a del
Detalles de conex ión 501 500 Construcción precolada
tales módulos precolados, con la ductería, el cableado, y la calefacción preinstalados, se usan ampliamente en edificios de apartamentos de varios pisos, como una alternativa de construcción similar de apartamentos mediante páneles de muro, de cubierta, y de piso, precolados, los cuales si bien son de más fácil trans porte , son más di fíciles de erigir que los cajones modu lares. Tal vez el ejemplo más conocido del diseño modular precolado es Habitación 67 en Montreal, mostrado en la figura 12.8. Tendones postensados mantienen unidas entre sí a las unidades residenciales, permitiendo la existencia de dramáticos voladizos y de espacios libres en los arreglos de las cajas con apariencia fortuita. El proyecto se puede considerar como un prototipo de la industrialización de la vivienda que retiene una gran parte de su exclusividad en el resultado final.
FIGURA 12.8 Caserío de la Habitación en Montreal, construido como una parte de Expo 67. (Cortesía de la Asociación del Cemento Portland). FIGURA 12.7 Cuartos modulares preeolados para un hotel de 21 pisos (Cortesía de la Asociación del Cemento Portland). La figura 12.7 muestra una variante de la construcción con grandes páneles empleada en un hot el de 21 pisos. Con excepción de las unidades de servicio, la estructura consiste completamente de cajones modulares del tamaño de un cuar-
12.3
DE TA LLE S DE CONEXION
Por naturaleza, las estructuras de concreto coladas in situ tienden a ser monolíti-
Detalles de conexió n 503
502 Construcción precolada
de otra manera separadas, ocurren raramente en este tipo de construcción. Por otro lado, las estructuras precoladas se asemejan a la construcción en acero en el sentido de que la estructura final consiste del ensamble de un gran número de elementos prefabricados que se conectan unos con otros en el lugar de la obra. Para las estructuras de concreto precolado, las conexiones se pueden detallar de tal forma que transmitan únicamente las fuerzas de gravedad, o las fuerzas de gravedad y horizontales, o los momentos adicionalmente a estas fuerzas. En el último caso, se obtiene una e structura continua similar a la construcción colada in situ, y a las conexiones necesarias para lograr tal continuidad mediante el em pleo apropiado de dispositivos m etálicos especiales, refu erzo de contin uidad , y concreto para transm itir los esfuerzos de tensión, compresión, y cortante, a veces se les denomina conexiones duras. Al contrario, las conexiones que transmiten reacción solamente en una dirección, análogas a los pedestales de oscilación o a los rodillos en las estructuras de acero, pero que permiten una cantidad limitada de movimiento para liberar otras fuerzas tales como las componentes horizontales de la reacción, son conocidas como conexiones blandas. En muchas conexiones precoladas se usan las placas de asiento, ancladas adecuadamente dentro de los miembros conectados para asegurar la distribución y uniformidad razonable de las presiones de apoyo. Si estas placas de asiento son de acero y las placas de los miembros que se conectan son unidas con soldadura, el resultado es una conexión dura en sentido de que por lo menos se transmiten las fuerzas horizontales así como las verticales. Por otro lado, son comunes los detalles de apoyo que permiten la liberación de fuerzas horizontales, tales como los cojines de tetrafluore tileno (TFE ), los cuales eliminan la fricción en los apoyos de manera efectiva, o como los cojines con baja rigidez al cortante (cojines elastoméricos o de hule de varios tipos) que permiten movimientos horizontales apreciables. Las estructuras de concreto precolado se encuentran sujetas a cambios dimensionales provenientes del flujo plástico y de la contracción, adicionalmente a los debidos a la temperatura, mientras que las estructuras de acero sólo presentan variaciones dimensionales producidas por la temperatura. En los inicios del desarrollo de la construcción precolada existió la tendencia al uso extensivo de conexiones blandas con el objeto de p ermit ir la ocurrencia de es tos cambios dimensionales sin causar fuerzas de restricción. Experiencias más recientes con conexiones suaves indican que las estructuras resultantes tienden a tener insuficiente resistencia a las fuerzas laterales, tales como a las sísmicas. Por esa razón la tendencia actual es hacia el uso de las conexiones duras con un alto grado de continuidad. En las conexiones de esta clase, se deben adoptar precauciones para resistir a las fuerzas de restricción causadas por los cambios volumétricos. En el Código ACI se encuentran unas cuantas recomendaciones específicas relativas al diseño de las conexiones de miembros precolados, debido a que este tipo de construcción es considerado como algo especial. Se ha llevado a cabo substancial cantidad de trabajo por grupos de orientación industrail con relación
de conexión más o menos estandarizados. Son de particular interés las recomendaciones del Comité de Detalles de Conexión de PCI contenidas en la Referencia 12.1 (véase también referencia 12.2). Al diseñar conexiones, es prudente seleccionar factores de carga que sobre pasen a l os fa ctores requerido s por los miembros que se están c onectand o. Es to es así debido a que las conexiones se encuentran sujetas generalmente a elevadas concentraciones de esfuerzo, los cuales excluyen la consecución de mucha ductilidad en el caso de que ocurra una sobrecarga. Al contrario, los miembros conectados se encuentran aptos para presentar substancial deformación al cargárseles cerca de la carga última, y darán la alarma para impedir el colapso. Adicionalmente, las imperfecciones en las construcciones, provenientes de la construcción, pueden produc ir grandes c ambios en la m agnitud de los esfuerzos co n relación a los supuestos en el diseño. En general, al diseñar miembros de acuerdo con el Código ACI, se aplicarán factores de carga de 1.4 y 1.7 a las cargas muert a y viva, D y L respectivamente, para determ inar la resistencia requerida. Cuando se consideran los efectos del cambio volumétrico T, estos normalmente se tratan como carga muerta, y el efecto de la carga última U se calcula de la ecuación U = 0.75 (1.4 + 1.4 T + 1.7 L). Se introduce el factor de reducción total 0.75, reconociendo el hecho de que es poco p robable la ocurrenc ia simult ánea de los efectos más desfavorables. Sin embargo, para el diseño de ménsulas y cartelas, el Código especifica que la fuerza de tensión proveniente de los efectos del cambio volumétrico debe de incluirse con la carga viva. Debiéndose así usar un factor de carga de 1.7. No se emplea el factor de reducción total en las ménsulas y cartelas. Las recomendaciones para factores de carga del PCI son todavía más conservadoras. En vista de la importancia de las conexiones, y para asegurar de que en caso de que ocurriera la falla, sería en los miembros conectados en lugar de en las conexiones, el Comité del PCI recomendó la aplicación de un factor adicional de carga de 4/3 al diseñar todas la conexiones. Esto es equivalente a un factor de carga total de más o menos 2 en los casos típicos. Otros han notado que, para las conexiones que pueden ser pa rticu larmen te sensibles a las imperfecciones, no resul ta excesivo un factor tota l de 2.5 (referencia 12.3). Se han desarrollado muchos tipos de conexiones para emplearse con miem bros de concreto precolad o, con detalles que dependen de las fuerzas a tra nsferi rse, de las instalaciones disponibles en la planta, de las técnicas particulares de construcción y de las secuencias a seguirse. Algunos de los tipos más comunes se describirán en seguida.
A. Conexiones de base de columnas
La figura 12.9a muestra un detalle de base de columna con placa base proyectada. Se usan 4 pernos de anclaje con tuerca doble, facilitando la erección y nive-
Detalles de conexión 505
504 Construcción precolada
dentro de ductos formados en frío y rellenos de mortero, que se embeben dentro de la cimentación cuando ésta se cuela. Se puede emplear arriostramiento temporal para mant ener a la columna en posición hast a que se ha colado y endureci do el mortero, o pueden proporcionarse ángulos temporales de erección, empernados en dos caras opuestas de la columna usando insertos encastados en el concreto. En todos los casos descritos, se deberá proporcionar acero de confinamien to alrededor de los pernos de anclaje en la forma de estribos cerrados. Se reco mienda un m ínimo de 4 estribos del No. 3, colocados a cada 3 pulg., entre centros cerca de la superficie superior de la pila o muro adicionalmente al patrón normal del acero transversal. En la figura 12.9 no se muestra el refuerzo transversal en las columnas por claridad, debiéndose éste proporcionar de la manera usual. B. Conexiones de viga a columna
FIGURA 12.9
Conexiones de base de columnas.
sin contracción de 2 pulg., entre la parte superior de la pila, zapata o muro y la parte inferi or de la placa base de acero. El refuerzo de la colum na se suelda a la ca ra superior de la placa base. Las pruebas han confirmado que tales conexiones de columna pueden-transmitir todo el momento para el que se diseña la columna, si es que se detallan apropiadamente (referencia 12.4). En la figura 12.9 b se muestra un detalle alternativo de placábase, con las mismas dimensiones de la placa base que las dimensiones exteriores de la colum na, o en algunos casos menores. La ventaja de este tipo es que la columna se puede colar usando las cimbras de línea-larga, sin la necesidad de mo dificación especial para adaptarse a las proyecciones de las placas bases de la figura 12.9a. Se proporcionan cavidades para los pernos de anclaje, bien sea de manera centra da en las caras de la columna según se muestra, o ubicándolas en las esquinas. Co múnmente se emplea un sistema de doble tuerca para facilitar la nivelación de la columna, y se pone una capa de mortero sin contracción después de colocar la co lumna. También se aplica mortero en las cavidades para los pernos, después de ajustar las tuercas. El refuerzo de la columna que no se muestra aquí, se soldará como antes en la cara superior de la placa. En la figura 12.9c, el refuerzo principal de la columna se entiende por el extremo del miembro precoludo una distancia suficiente como para desarrolar su
En la figura 12.10 se ilustran varias formas alternativas para interconectar vigas y columnas. En todos los casos se muestran vigas rectangulares, pero serían aplica bles detalles similares a las vigas I o T simple. La figura mues tra únicam ente la geometría básica de la junta en cada caso, omitiéndose el refuerzo auxiliar, los anclajes, y el refuerzo transversal en aras de la claridad. Tal acero es de crucial importancia para la integridad de las conexiones, debiéndose dar cuidadosa at en ción al detalle. El diseño de tal refuerzo se puede basar en la mayoría de los casos en el método de cortante-fricción (artículo 12.4). En la referencL 12.1 y en otras fuentes que se enumeran al final de esta capítulo, se encontrarán suge rencias específicas para los detalles de acero. La figura 12.10a muestra el detalle de una jun ta con cartela oculta. Se pro porcionan ángulos de apoyo bién anclados en el a siento de la colu mna y en el extremo de la viga. Este tipo de conexión se puede usar para proporcionar com ponent es de re acción horizo ntal y vertical únicam ente, o me dian te la adición de mortero sin contracción y postensando la parte superior de la viga tal como se muestra, servirá también como una conexión de momento. En tal caso el tendón atraviesa la columna y es tensado y anclado desde afuera. Puede ser continuo a lo largo de toda la longitud del claro de la viga, puede terminar en un anclaje in terior, o puede curvarse hacia abajo y anclarse en la cara inferior de la viga. La figura 12.10Ó muestra una conexión típica de ménsula, que es común en la construcción industrial donde las ménsulas proyectadas no son ofensivas arquitectónicamente. El ángulo de la esquina superior de la ménsula está soldado a las varillas de refuerzo ancladas a la columna, y se proporciona refuerzo trans versal especial y varillas de momento en la ménsula. Se emplea una placa de acero de apoyo en la esquina inferior de la viga, anclada en el concreto. En el artículo 12.5 se discutirá n al detalle las consideraciones de diseño para ménsulas. El perfil de acero embebido mostrado en la figura 12.10c se emplea cuan do es necesario evitar las proyecciones salientes de la cara de la columna o por debajo de la parte inferior de la viga. El acero, a menudo una piez a co rta de viga
Detalles de conex ión 507
506 Construcción precolada
frío o ductos embebidos en los extremos de la viga. Se inyecta mortero en los tubos después de que las vigas se encuentren en posición. Se muestra una placa de acero en la parte superior de la columna, habiéndose también proporcionado placas de apoyo en las caras inferiores de la viga. La conexión puede convertirse en continua colocando mortero sin contracción en los extremos de las vigas, después de lo cual se introduce un postensado superior. Alternativamente, se pueden colocar varillas de contin uidad no presforzad as en ranuras de bloq ueo a lo largo de la parte superior de las vigas para luego sellarlas con mortero in situ (referencia 12.6).
Mortero no contra íble (optativa) Postensado (optativo)
C. Conexiones de columna a columna
La figura 12.11 muestra varios empalmes típicos de columna a columna. Por lo general se emplea un mortero sin contracción entre miembros de columna, y a (a)
eee: ee
Angulo de acero
¡ ©
Barras de
Conducto de
(«) Agujeros en el alma
ahogada de la viga de acero (c)
Cajas para los
M)
FIGURA 12.10 Conexiones de viga a columna.
tancia suficiente como para proporcionar apoyo adecuado a la viga. Se forma una cajuela al colar la viga, con ángulo de acero o placa en su parte superior, para recibir a la viga de tope. Alternativamente, se puede emplear una muesca en el extremo de la viga, similar a la mostrada, pero con un corte que se extienda a todo el ancho de la viga. En tales casos el refuerzo auxiliar es especialmente crítico. Los agujeros dispuestos en el alma de las vigas de acero de tope ayudan a asegurar una buena consolidación en el concreto entre patines (referencia 12.5). Finalm ente, la figura 12.102 mues tra una cone xión en base a varillas de
508 Construcción precolada
menudo se emplea un sistema de doble tuerca para facilitar la nivelación de la columna superior. Las placas base pueden ser ligeramente más pequeñas que las dimensiones exteriores de las columnas, si es que los requerimientos arquitectó nicos así lo indican. En los croquis se ha omitido el acero transversal y el longitu dinal por claridad, en la mayoría de los casos. El espaciamiento del refuerzo transversal colocado en las columnas i nmediatamente arriba y debajo de la junta debe de ser estrecho, tal como se describió anteriormente, en forma adicional al refuerzo transversal común. La figura 12.11a mue stra un detalle en el que se emplean cavidades para los pernos de anclaje y un sistema de tuerca doble en los pernos de anclaje. Las cavidades de los pernos se llenarán con mortero sin contracción después del mon taje de las partes. Los pernos pueden también ubicarse en los centros de las caras de las columnas, tal como en la figura 12.9b. El detalle de la figura 12.11b permite que el acero principal se empalme traslapándose con el de la columna inferior. Por lo general se proporcionarán án gulos sujetadores, fijados a piezas de acero encastadas en las caras de columnas, para per miti r la colocaci ón de la columna superior durante la erección. Una de las muchas posibilidades para empalmar una columna a través de una viga continua se muestra en la figura 12.11c. Se deberá soldar tanto elrefuerzo principal de la co lumna superior como el de la infe rior a los cabezales de acero y a las placas base para transferir su carga, debiéndose detallar los pernos de anclaje teniendo en cuenta la misma consideración. El refuerzo transversal de la columna deberá estar extrechamente espaciado, y en este caso también el de la viga, para transferir la carga entre columnas. Los varios tipos de conexiones que se han mostrado y descrito son repre sentativos, pero pueden desarrollarse incontables variaciones para adaptarse a las circunstancia s en cualquier caso dado . En la referencia 12.1 se sugieren muchos detalles.
Método del cortante-fricción para conexiones 509
en suponer que el concreto puede agrietarse de una manera desfavorable. En al gunos casos, una grieta como ésta puede ya existir por razones no relacionadas con el cortante, tales como las fuerzas de tensión producidas por la contracción restringida o el cambio volumétrico debido a la temperatura. Se debe de propor cionar refuerzo para evitar que el agrietamiento potencial o real tenga consecuen cias indeseables. La teoría del cortante-fricción es muy simple, y el comportamiento se puede visualizar fác ilmente. La figura 12.12a mues tra un bloque de concr eto agrietado, estando la grieta cruzada por rerfuerzo. Paralela a la grieta actúa una fuerza cortante Vn, y la tendencia resultante en el bloque superior a deslizarse relativamente respecto al de abajo es resistida en gran medida por la fricción en la cara de deslizamiento de la grieta. Como la superficie de la grieta naturalmente es rugosa e irregular, el coeficiente de fricción efectivo puede ser algo elevado. Adicionalmente, la superficie irregular causará que los dos bloques de concreto se separen ligeramente, tal como se muestra en la figura 12.12b. Si existe refuerzo normal a la grieta, entonces el deslizamiento y la separa ción subsecuente del concreto esforzarán en tensión al acero. Las pruebas han confirmado que el acero bién anclado se esforzará hasta su resistencia de fluencia al alcanzar la falla por cortante (referencia 12.9). La fuerza resultante de tensión
12.4 METODO DEL CORTA NTE-FRICCION PARA EL DISEÑO DE CONEXIONES En el Capít ulo 5 se trata al cortante en vigas de concreto presfor zado dent ro del cont exto de cargas de flexión y torsion antes. En tales casos, el cortan te se emplea simplemente como una medida conveniente de la tensión diagonal, la cual real mente es el problema. Al contrario, existen circunstancias tales que la falla sea causada por el cortante directo. Tales situaciones ocurren comúnmente en miem bros de concret o precolad o, en partic ular cerca de las conexiones. Se pueden establecer planos potenciales de falla, a lo largo de los cuales los esfuerzos cor tantes sean elevados, y una falla en proporcionar refuerzo adecuado a través de tales planos puede producir resultados desastrosos. En tales casos el refuerzo necesario se puede determinar basándose en la
lJ\>ffy
FIGURA 12.12 Bases para lu teorí a de cortante-fric ción (a) Corta nte aplicado, (b) Representación aumentada de la superficie de una grieta, (c) Cuerpo libre del
510 Construcción precolada
Método del cortan te-fricc ión para conexio nes 511
produce una presión igual y opuesta entre las caras de concr eto a cada lado de la grieta. Resulta claro del cuerpo libre de la figura 12.12c que el máximo valor de esta presión interfacial es A vf f y , donde A uf es el área total de acero que cruza la grieta, y f y es la resistencia de fluencia. La resistencia del concreto al deslizamiento se puede expresar en función de la fuerza normal por un coeficiente de fricción p. Igualando a cero la sumatoria de fuerzas horizontales. K =
d 2-1)
Definiendo la relación de acero p = A vf/A c, donde A c en este caso es el área de la superficie agrietada, la ecuación (12.1) se puede volver a escribir en función del esfuerzo cortante nominal vn : v„ — PPfy
(12.2)
L1 movimiento relativo del concreto en los lados opuestos de la grieta tam bién somete a las varillas individuales de refuerzo a la acción del corta nte, y la resistencia de trabazón de las varillas a esta acción cortante, también contribuye a la resistencia al corta nte. Sin embargo, por simplicidad en el diseño es una cos tumbre despreciar el efecto de trabazón del refuerzo, y para compensar esto se usa un valor artificialmente elevado del coeficiente de fricción. Basándose en pruebas anteriores, para grietas en concreto monolítico p se puede considerar igual a 1.4, per o Vn no se deberá suponer mayor que 0.2 /c' A c ó 800.4 c Lb. (referencia 12.7). En la figura 12.13 la resistencia a la transferencia de cortante predicha mediante la ecuación (12.2) es comparada con los más recientes valores experi mentales obtenidos en pruebas conducidas en la Universidad de Washington (refe rencias 12.9 y 12.10). Es evidente que la ecuación 12.2 da una estimación conserva dora de la resistencia al cortante. Resulta claro también que se puede desarrollar una resistencia considerablemente mayor que el límite superior de 800 lb/pulg si se proporciona el refuerzo adecuado. Se ha propuesto (referencia 12.10) la adopción de una forma modificada de la ecuación (12.2) cuando p fy sea mayor que 600 lb/pulg2, tal como sigue
, /300 \ Vn = Ppfy + 0.5j
(12.3)
Parece ser que las resistencias predichas mediante la ecuación (12.3) (inidicadas con línea discontinua en la figura 12.13), se correlacionan satisfactoriamente con los resultados experimentales para resistencias del concreto mayores que 2500 lb/pulg2. Quedando pendiente más información, se recomienda usar un límite
FIGURA 12.13 Valores calculados contr a valores experimen tales de la resistencia a la transferencia del cortante para especímenes inicialmente agrietados. Las disposiciones del Código ACI se basan en la ecuación (12.1). La resis tencia de diseño se debe considerar igual a 0F„, donde < ¡>= 0.85 para el diseño por cortante -fricción , y V„ no deberá sobrepasar al menor de los siguientes valorés: 0.2f¿Ac ó 800/1c lb. Se recomie ndan los siguientes valores de p. Para concreto colado monolíticamente Para concreto colado contra concreto endurecido Para concreto colado contra acero estructural laminado
1.4 1.0 0.7
La resistencia de diseño del refuerzo no deberá ser mayor que 60,000 lb/pulg2. Si existiera tensión directa a través de la grieta, deberá tomarse en cuenta para el refuerzo adicional. Cuando el cortante es transferido entre el concreto colado contra concreto endurecido, la cara de contacto deberá ser rugosa, con una am plitud tota l de a proximad amente 1/4 pulg. Cuando el cort ante se transfiere entre acero laminado y concreto, el acero deberá estar limpio y sin pintar, según el Código. Si Vu es la fuerza corta nte a resistirse bajo las cargas afectadas por los fac tores, entonces el área de acero requerida se halla mediante una adecuada traspo sición de la ecuación (12.1):
512
Construcción precolada
Método del cortante-fricción para conexiones 513
Se deberán observar ciertas precauciones al aplicar el método del cortantefricción en el diseño. El refuerzo debe de ser por lo menos aproximadamente perpendi cular a la grieta potencia l. Deberá estar lo suficient emente anclado como para desarrollar la resistencia a la fluencia de las varillas, bien sea mediante la longitud total de desarrollo o mediante ganchos o dobleces. El concreto debe rá encontrarse bién confinado, habiendo sido recomendado el uso liberal de gan chos (referencias 12.7 y 12.11). Se deberá tener cuidado de considerar todos los posibles planos de falla, y de pro porci onar suficiente acero bién anclado a través de estos planos. En algunas circunstancias es necesario clacular la fuerza cortante que se puede transf erir a t ravés de u na grieta de i nclinación arbitra ria c on resp ecto a la dirección del refuerzo. En la figura 12.12 se describe una extensión del método de cortante-fricción aplicable en tales casos.
- 16 f (= 18 7 pulg. \ sen 20 / Así, de acuerdo al Código, la resistencia nominal máxima al cortante de la super ficie no deberá ser mayor que Vn —0.2f^A c = 187 kilolibras ó Vn = 800/1c = 150 kilolibras. La máxima resistencia de diseño a usarse es <¡>Vn =0.85 X 150= 128 ki lolibras. El cortante aplicado en la superficie interna de la grieta bajo cargas afec tadas de los factores es K = 125 eos 20° + 25 sen 20° = 126 kilolibras y de esta manera el diseño se considera satisfactorio hasta este punto. Se deberá considerar la posibilidad de una segunda grieta, tal como la de la figura 12.14Ó, resultante de la tendencia de todo el conjunto de piezas soldadas del anclaje a jalar la viga hacia afuera. Se calcularán el área de acero requerida Ash y el esfuerzo cortante en el concreto basándose en el desarrollo de la totali-
EJEMPLO: DISEÑO DEL DETALLE DE APOYO DE UNA VIGA
Se debe de diseñar una viga pretensada precolada para resistir una reacción de apoyo, bajo cargas afectadas por los factores de Vu — 125 kilolibras, aplicada a un ángulo de acero de 3 X 3, tal como se muestra en la figura 12.14. En vez de calcular su valor, se supondrá una fuerza horizontal T , debida a la restricc ión del cambio volumétrico, igual al 20 por ciento de la reacción vertical, o sea 25 kiloli bras. Determi nar el refuerzo auxiliar requeri do, emp leando acero co n resistencia de fluencia f y = 60,000 lb/pulg2. Resistencia de diseño del concreto / e'= 5000 lb/pulg2. (V u = 556 kN, Tu = 111 kN ,/y = 522 N/mm2, y £ = 34 N/mm2). Se supondrá uan grieta potencial a 20 grados, iniciándose en un punto a 4 pulg del extre mo de la viga, según se muest ra en la figura 12.14a. El área de acero total requerida A vf es la suma requerida para resistir los efectos de Vu y Tu. De acuerdo a esto se modifica la ecuación (12.4): F„ eos 20° T„ eos 20° A”f
4>l4y
+
K— Ash
(b)
(a )
l-<-----# 4 ----- H estribos a 5"
16 "—H
125 x 0.940 i 25 x 0.940 _ 0.85 x 1.4 x 60 + 0.85 x 60 estribos # 4
= 1.65 + 0 46 = 2.11 pulg2 (1361 mm2) Se usarán 6 varillas del No. 6, proporcionando un área de 2.65 pulg2. Se soldarán a un ángulo de 3 X 3 y se prolongarán dentro de la viga una distancia sufiente como para desarrollar la resistencia de fluencia de las varillas. De acuerdo al Có digo, la longitud de desarrollo para una varilla del No. 6 es 12 pulg. Sin embargo, considerando la incertidumbre de la ubicación exacta de la grieta, las varillas se prolongarán dos veces la lo ngitud de desarr ollo, o sea, 24 pulg., dent ro de la viga tal comq se muestra en la figura 12.14«. Si seguimos las recomendaciones hechas en la referencia 12.11, las varillas se colocarán a un ángulo de 15 grados con la
barras en U # 3 anclas # 6
4 varilla!
fe)
í
da
esquina # 5
‘ W)
514 Construcción precolada
Ménsulas 515
dad de la tensión de fluencia en las varillas A vf . (Nótese que aquí no se necesita usar el factor < ¡>debido a que ya se introdujo al calcular A vf).
Ay/fy C O S —
15°
ufy
2.11
X
0.966
J
1
zontales debidas a la restricción de la contracción, el flujo plástico o el cambio de temperatura, ellas también deberán resistir fuerzas horizontales. De acuerdo al Código ACI, a menos que se tomen tales precauciones especiales, se deberá su poner que actúa una fuerza ho rizont al de t ensión no m enor q ue el 20 por ci ento de la reacción vertical. Tal fuerza de tensión deberá ser considerada como carga
1.4
Solar acero
= 1.46 pulg2 (942 mm2) Se usarán 4 granchos del No. 4, proporcionando un área de 1.57 pulg2. La fuerza cortante máxima que se puede transferir de acuerdo a los límites del Código, se basará conservadoramente en un plano horizontal de 24 pulg de largo. No se requiere incluir el factor de reducción de resistencia en el cálculo ya que éste ya se introdujo en el cálculo del área de acero A vf , mediante la cual se aplica la fuerza cortante. En consecuencia V n < 800 X 16 X 24 = 308 kilolibras —
La fuerza cortante máxima que podría aplicarse en un caso dado es V = 2.11 X 60 eos 15° = 122 kilolibras n
FIGURA 12.15 Ménsula de concre to reforzado típica. que está bastante por debajo del valor máximo especificado. En la referencia 12.11 se recomienda acero adicional para confinamiento en la cantidad de Vu¡8fy , a colocarse en la forma de estribos cerrados o varillas horquilladas de acoplamiento, confinando al concreto cerca de las caras inferior y extrema de una viga precolada en la reacción. En el presente caso Ar„ = Ad
125 x 60 = 0.26 pulg2 (168 mm2)
Se colocará un estribo adicional del No. 4 tan carca como sea posible de la cara extrema, y se agregarán dos varillas en forma de U paralelas a la cara inferior de la viga tal como se muestra en las figuras 12.14c y 12.14c?. En la figura 12.14 d también se muestran 4 varillas de esquina del No. 5 que porporcionarán anclaje al acero de los estribos. 12.5 MENSULAS Las ménsulas o cartelas, mostradas en la figura 12,15, se usan ampliamente en la construcción de concreto precolado para el apoyo de vigas en columnas o muros.
viva, aplicándosele un factor de carga básico de 1.7. Las demás recomendaciones para los factores de carga en el diseño de la conexión son tal como se establecie ron en el artículo 12.3. Las placas de acero de apoyo se usan por lo general en la cara superior de las ménsulas para proporcionar una superficie uniforme de contacto y distribuir la reacción. Su borde exterior no deberá encontrarse a menos de 2 pulg del bor de exterior de la ménsula, para evitar el agrietamiento de la esquina. En la esqui na inferior de la viga soportada, se proporciona por lo general, de manera corres pondient e una placa de acero de apoyo o ángulo. Si se soldaran las dos placas, es evidente que deberán considerarse las cargas horizontales en el diseño. Estas po drán evitarse mediante el uso del TFE o de los cojines elastoméricos de apoyo. Se deberá suponer que la fuerza vertical actúa en el punto tercio exterior de la placa de apoy o. El comportamiento estructural de una ménsula es algo complicado, pero se puede visualizar aprox imadam ente de la figura 12.15. Una ménsula cor recta men te diseñada, al sobrecargársele, desarrolla una grieta tal como se muestra en la figura 12.15a. Las fuerzas aplicadas V^ y (si estuvieran actua ndo) son equilibradas entonces de manera análoga a lo que ocurre en las armaduras me diante la fuerza de tensión T desarrollada en el refuerzo principal de tensión
Trabes de puentes estándar 517 516 Construcción precolada
grieta. Para contrarrestar el agrietamiento, bien sea del tipo mostrado o más cer cano a la sección de raíz, se deberán colocar estribos horizontales en la porción superior de la ménsula. En la figura 12.156 se muestra el refuerzo típ ico de una ménsula. Con fre cuencia se usa un ángulo de confinamien to en lugar de una placa plana, tal como se muestr a. Debido a que las dimensiones dé las ménsulas son pequeñas, se deberá presta r especial at ención al propo rciona mient o de adecuado anclaje al acero. El refuerzo principal a tensión A s es soldado al ángulo de confinamiento (o placa) y a una varilla transversal especial de anclaje en el extremo alejado. Los estribos horizontales de área A h son de la forma de zuncho s cerrados, y se pro porcion an varillas de ensamblaje, más o menos del mismo diámetr o que los estribos, para mejorar el anclaje de éstos. Para el caso en que únicamente actúa V , el acero principal a tensión se puede calcular para el momento Vua mediante el método usual, con 0 = 0.9. Si debiera resistirse la tensión horizo ntal Hu , debe rá incrementarse el acero principal en la cantidad HulK
(12.5)
en donde todos los términos han sido definidos anteriormente y 0 = 0.85. La re sistencia nominal Vn no debe ser mayor que los siguientes valores: a.
Para cartelas y ménsulas sujetas a tensión debida a la restricción del flujo plástico y de la contracción: K = [6-5 - 5.1V ¡V„r/Púl [ 1- 0.5a/d]
x (1 + [64 + 160 J ( N J V u)3]p ) ^ r cb J
b.
(12.6)
donde p no deberá ser mayor que 0.13 fé /f y y N uc/V u no deberá con siderarse menor que 0.20. Cuando se toman precauciones para evitar la tensión debida a la res tricción del flujo plástico y la contracción, de tal manera que la cartela o ménsula se encuentre sujeta únicamente a cortante y flexión V„ = 6.5(1 - 0.5fl/d)(l + 64pv)W lb wd
donde Pv
/íh
(12.7)
Los estribos cerrados o refuerzo de ligazón paralelo al acero de tensión prin cipal, con un área total A h no menor que 0.50 A s, deberán distribuirse uniforme mente dentro de los 2/3 del peralte efectivo adyacentes al acero principal. La relación del acero principal p = A Jb d no deberá ser menor que 0.04 f / / f y . Las cartelas y ménsulas con relación a/d de 1/2 o menor podrán, de acuer do con el Código ACI, diseñarse con la teoría del cortante-fricción, excepto que serán aplicables todas las limitaciones en cuanto a la cantidad y espaciamiento del refuerzo dadas arriba. Adicionalmente se ha propuesto el uso de una teoría modificada del cortante-fricción para todas las cartelas con relaciones a/d de 1.0 o menores (referencias 12.14 y 12.15).
12.6 CONSTR UCCION A BASE DE LOSAS LEVANTA DAS
Una forma de construcción precolada in situ que ha sido ampliamente explotada emplea lo que se conoce como la técnica de la losa izable. En la figura 12.16 se muestra un ejemplo. Se cuela una capa de concreto, la cual funge a su vez como losa de piso, se ereccionan y arriostran las columnas, y se cuelan a nivel de piso losas sucesivas, las que posteriormente serán los pisos superiores. Se coloca una membrana o se aspersiona un agente separador entre dos coladas sucesivas, de forma que cada losa pueda izarse a su debido momento. Los gatos colocados en cima de las columnas son conectados a varillas roscadas que se prolongan hacia abajo por las caras de las columnas, conectándose a su vez a collares de izaje em bebidos en l as losas. Las columnas pueden ser de acero o concreto. A menudo se emplean sec ciones tubulares de acero. Cuando una losa se encuentra en su posición final, se sueldan a la columna llaves de cortante para transferir las reacciones verticales de la losa. La construcción con losas izables, casi invariablemente implica una cons trucció n en base a losas planas (ver artícu lo 10.9) sin vigas, sin páneles deprim i dos, ni capiteles de columnas, por razones obvias. Las losas por lo general se postensan usando alambre no adherido o cable, bie n sea revestidos c on masti que bitumin oso y envueltos en papel o encastados en tubos plásticos. A m enudo se incorpora refuerzo especial por cortante en la losa en su encuentro con las co lumnas. Típicamente, las conexiones de losa a columna en los edificios de losas izables pueden transferir poco mo mento, y de esta manera la estabilidad del mar co ante las cargas laterales deberá proporcionarse mediante otros elementos resis tentes. Para este propósito se pueden usar los cubos de escaleras, de elevadores, y los tiros para los servicios. 12.7 TR ABES DE PUENTES ESTANDAR
El precolado de trabes para puentes es particularmente atractivo debido a que permite la erección de la superes tructura del puen te con muy poca o ninguna
Trabes de puentes estándar 519
51 8 Construcción precolada
En la figura 12.17a se muestra una tra be AASHTO típica con losa colada in situ. Por lo general, tales trabes se cuelan con bloques extremos para facilitar los anclajes del postensado. En muchos casos se combina el pretensado con el postensado. En el Apéndice A se muestran y dimensionan otras secciones AASHTO. Los tipos 1 a IV se describen mejor como vigas I asimétricas. El patín inferior grande sirve para tomar fuerzas pretensoras iniciales pesadas. Las proporciones de la sección se escogieron previendo la acción compuesta con la losa, la cual proporcio na la mayor parte del área a compresió n necesaria en los es tados de carga de servicio y sobre cargado. Los claros para los tipos AASHTO I a IV varían desde más o menos 35 a 100 pies.* Para claros más largos, hasta más o menos 140 pies, se pueden emplear las secciones AASHTO de los tipos V y VI. La sección mostrada en la figura 12.175 42---- 5Losa vaciada en sitio, 6 a 8” , típico
FIGURA 12.16 Construcci ón del edificio de oficinas para la Douglas Aircrafl Company en Long Beach, California, usando el método de las losas izables. Par* facilitar el izaje, cada piso se dividió en 8 secciones de más o menos 12,000 pies2 cada una (cort esía del In stit uto del Postensado). interferencia del tráfico que circula por debajo. Para claros de hasta más o menos 140 pies, es una práctica común colar las trabes portantes principales de una sola pieza, bien sea en una pl anta de precolado o en un p atio temp oral in stalado en el lugar de la obra, para luego izarlas hasta su posición mediante carros grúa. Colo cadas lado a l ado, éstas proporcionan apoyo tem poral para la cimbra usada para construir la losa del tablero colada in situ. La losa terminada clarea transversal mente entre trabe s, transmit iendo las cargas de rueda a aquellas trabes. Adicionalmente, en la dirección principal se desarrolla la acción compuesta entre las trabes precoladas y la losa colada in situ, de tal manera que la losa proporciona la parte principal del p atí n a compresió n para las trab es. Se toman precauciones es peciales para asegurar el evitamie nto del deslizamiento longitud inal entre los componentes. Esto requiere que la parte superior de la unidad precolada se dejo con un escobillado rugoso, en vez de un acabado liso con llana, y que los estribos verticales colocados en la unidad precolada para el refuerzo convencional por cortante sean prolongados dentro de la losa para aumentar más la trabazón entre las partes. Existe una variedad de trabes de puente estándar. Las más comunes son las trabe s estánda r AASHTO, con peraltes que varía n desde las 28 hasta las 72 pulg.
FIGURA 12.17 Secciones transversales de trabes de puente s precoladas (todas las dimensiones en pulg o según se indiquen), (a) Trabes AASHTO tipo IV con losa. ( b) Trabe AASHTO tipo V. (c) Trabe estándar para puente de 100 pies de claro del Estado de Washington.
520 Co nstrucción precolada
es típica. El patín inferior, con proporciones similares a aquellas de las trabes anteriores, se diseña para resistir la fuerza de compresión pesada correspondiente al estado inicial. El patín superior más ancho proporciona mejor resistencia al deslizamiento por adherencia para cumplir con los requerimientos en los estados de cargas de servicio y sobrecargado, y propor ciona un área substanci al a com presión, com plementaria a la proporc ionada por la losa. En todas las trabes AASHTO, el acero del refuerzo del alma es llevado den tro de la losa para mejorar la transferencia del cortante horizontal mediante la sección de trabazón y mediante la fricción por cortante.
Constrc ucció n de puentes precolados por segmentos 521
La figura 12.18 muestra varias trabas estándar del Estado de Washington en un patio de precolado. Nótese el refuerzo por cortante de acero dulce extendién dose hacia arriba para ser embebido posteriormente en el tablero de la losa. La viga que se está izando tiene un tendón postensado esforzado para facilitar la operación, mientras que aquellas que se encuentran sobre el piso del lado izquier do tienen ambos tendones esforzados. Adicionalmente, se usaron cables preten sados en los patines inferiores. Nótese también los bloques extremos de anclaje los cuales se emplean para anclar al postensado y reducir los esfuerzos locales de compresión en las regiones de anclaje. La trabe en la parte principal de cada claro tiene un espesor del alma de solamente 5 pulg, tal como se muestra en la figura 12.17c. 12.8 CONSTRUCCION DE PUENTES PRECOLAD OSPOR SEGMENTOS
Existe una clara tendencia hacia el empleo de grandes claros en la construcción de puentes carreteros, resultante de la combinación de los requisitos relacionados con la seguridad, la economía, la funcionalidad y la estética. El límite superior práctico para las trabes descritas en el Artí culo 12.7 es de alrededor de 120 a 140 pies. Mientras que este rango puede prolongarse algo median te la adopción de claros continuos postensados o mediante la combinación de unidades precoladas con secciones de cerramiento coladas in situ, aún con tales esquemas los claros mayores de 160 pies no son factibles. Cuando se necesitan claros más largos, las trabes de concreto sección cajón ofrecen muchas ventajas. Esta forma de construcción resulta en un miembro estructural muy com pacto con una alta resistencia a la flexi ón, a la t orsión , y al c ortan te. Es adecuada para claros m ayores de 140 pies, y un puente sobre el Río Rin en B endorf, Ale mania, tiene un claro principal de 682 pies. En la figura 12.19 se muestran dos ejemplos de puentes con sección cajón. En la figura 12.19a se muestra el Viaducto Olerón en Francia. Es una trabe sec ción cajón de celda simple, contin ua sobre 16 claros de 130 pies y 26 claros de 260 pies. Los segmentos con un ancho total de 35 pies y una longitud de 10.8 pies se presforzar on transversal mente y después de la colocaci ón los segmentos se
FIGURA 12.18 Trabe carretera estándar, Est ado de Washington (cortesí a de la Corporación de la Tecnología del Concreto, Tacoma, Washington). Se han adoptado otras secciones transversales estándar para trabes carrete ras en algunos estados. El estado de Washington ha establecido una serie de 5 vigas I estándar teniendo las proporciones que se muestran, como un ejemplo, en la sección de 58 pulg de peralte de la figura 12.17c. Los peraltes de esta serie varían desde las 32 hasta las 73.5 pulg usándose en claros desde más o menos 40 a 120 pies. Estos miembros también están orientado s para la acción compues ta con un tablero colado in situ.
postensar on lon gitudinal mente. La superestructura del Pont Aval en París (figura 12.196) consiste de tra bes formadas por cajón de doble celda, con la losa superior rígi damente cone ctada mediante una junta de 8 pulg., colada in situ, y mantenidas juntas mediante un postensado transversal. Los segmentos individuales prec olados eran cbe-52 pies de ancho y 12.5 pies de largo. Los segmentos de trabes de puente sección cajón pueden ser colados in situ, pero con creciente frecuencia son precolados, bien sea en una planta de pre colado de ubicación permanente o en un patrio temporal de construcción adya cente al lugar del puente. A menudo los segmentos son “contraco lados” , es decir, cada segmento que continúa es colado contra la cara del segmento precedente antes de que el último sea retirado de la plataforma de coludo. Esto proporciona
Bibliografía 523
522 Construcción precolada
3 4 , 8 p i e s ------------------------------------ >
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I Variable 8.2 a 14.8 pies
J
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18.0 pies -------------- >
M 52 pies
FIGUR A 12.19 Puentes de Segmentos precolados, (a) Viad ucto Oleron. (ó) Pont Aval. un excelent e control dimensional del alineam iento y brinda superficies de seg mentos que encajan bastante bién como para usar juntas con resina epóxica. Después de que se coloca cada segmento, éste es postensado a la construcción ya colocada, el trabajo por lo general continúa de manera balanceada en voladizo sin la necesidad de apuntalamiento. Después de terminado el claro, la continui dad se logra mediante cables continuos postensados. Los puentes presforzados de grandes claros sólo recientemente se están introduciendo en los Estados Unidos. La primera aplicación de la construcción según el método de segmentos precolados fue el puente Corpus Christi en Texas con claros de 100, 200 y 100 pies. Ahora se encuentran en preparaci ón una bue na cantidad de diseños en los que se emplea este método constructivo, algunos de gran claro, y es seguro que en los años venideros se verán muchas obras de és te tipo. « í.
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CAPITULO 13
APLICACIONES
13.1 INTRODUCCION
Yves Guyon observó hace muchos años que probablemente no exista problema estructural para el cual el presfuerzo pueda no brindarle una solución, la que a menudo puede ser revolucionaria. Las diversas aplicaciones del concreto presforzado descritas recientemente en la literatura técnica y en la prensa en general con firman la veracidad de esta observación. El presfuerzo es algo más que una técnica, es un principio general. Los miembros y estructuras que se describirán en las páginas siguientes sir ven para ilustrar la variedad de circunstancias del diseño en las cuales se puede emplear ventajosamente el concreto presforzado. Debido a las limitaciones de es pacio, se describirán aplicaciones específicas en los t érminos más generales. Sin embargo, se incluye una extensa bibliografía, la cual proporcionará una i ntroduc ción a la literatura referente a detalles más rebuscados.
13.2
PUENTES
El concreto presforzado ha demostrado ser técnicamente ventajoso, económica mente competitivo, y estéticamente superior para puentes, desde las estructuras de claros muy cortos que emplean componentes precolados estándar, hasta las trabes atirantadas con cables y las trabes de sección cajón continuas con longitu des de claros cercanas a los 1000 pies. Casi todo s los puentes de concr eto, aún los de claros relativamente curios, son ahora presforzados. Se puede usar el pre colado, la construcción colada lu situ, o una combinación de los dos métodos. Se
526 Aplicaciones
O o
Puentes
527
Las losas huecas mostradas en la figura 131a se encuentran disponibles por lo general en peraltes que van desde las 15 hasta las 21 pulg. y en ancho de 3 a 4 pies. Para la carga estánda r de carreteras HS20 (ver obra referida en 13.1), ellas se encuentran disponibles para claros de más o menos 50 pies. Las secciones canal estándar (figura 13.1¿) se encuentran disponibles en peraltes desde 21 hasta 35 pulg., en u na variedad de anchos, y se emplean p ara claros de entre 20 y 60 pies. Las vigas huecas sección cajón y las tr abes T mostr adas en las figuras 13.1c y 1 3 .Id respectivamente se destinan para claros más largos de hasta más o menos 100 pies. La sección cajón mostrada ha sido adoptada como un miembro estándar para viaductos por la AREA, mostrándose en la publicación referida en 13.3 un dise ño típico en el que se usan 4 secciones de 3 pies de ancho, colocadas una al lado de la otra, con claros simples de 28 pies. En todos los casos, los detalles y dimensiones varían ligeramente depen diendo de la fuente local de suministro. En la publicación referida en 13.4 se dan propiedades de la sección transversal para miembro s típi cos. Para puentes carreteros de claros medianos, de hasta 120 pies, se usan por lo general las vigas I estándar AASHTO. Estas ya se han descrito en el capítulo 12 y en las figura 12.17a y 12.17¿> se encuen tran secciones transversales típicas.
FIGURA 13.1 Secciones precoladas para puentes de claros cortos, a) losas huecas, b) Sección canal, c) Viga cajón, d) T simple. En los Estados Unidos, por lo general los puentes carreteros deben cumplir los requerimientos de cargas, diseño y construcción contenidos en la Especificación AASHTO (ver publicaciones referidas en 13.1 y 13.2). El diseño y la construcción de puentes para ferrocarriles se encuentran reglamentados por las disposiciones del AR EA Manual fo r Railwa y Engineering (referido en 13.3). Los requerimien tos de diseño para cruces peatonales y puentes que sirvan para otros propósitos pueden ser establecidos por los Códigos y especificaciones locales o regionales. Las disposiciones del Código ACI a menudo son incorporadas como referencia y en la mayoría de los casos sirven como disposiciones modelos de otros documen tos gobernantes. Los claros de puentes de hasta 100 pies a menudo consisten de unidades precoladas de tablero integral tales como las mostradas en sección transversal en la figura 13.1. Estas unidades ofrecen un bajo costo inicial, un mantenimien to mínimo y una construcción rápida y fácil, con interrupción mínima del trán sito. Dichas trabe s son por lo general pretensadas. Las unidades se colocan una al lado de la otra y por lo general se postensan lateralmete en las ubicaciones de los diafragmas intermedios, después de lo cual las llaves de corte entre unidades adya centes son llenadas con mortero sin contracción. Para los claros en carreteras, so puede aplicar directa mente una carp eta asfáltica de ro dadura en la par te superior
Puentes 529 528 Aplicaciones
FIGURA 13.3 Vista de la construcción del puente Knight Street, Vancouver-Ric h mond, Colombia Británica (Cortesía del Instituto del Postensado). Ellas se emplean juntamente con una losa de rodadura colada in situ en acción compuesta. Tales trabes combinan a menudo el pretensado del miembro precola do con el postensado de la viga compuesta después de que ha sido colocado el tablero . En un esfuerzo por obten er un aument o en la economía, algunos Estados han adoptado diseños más refinados, tal como la trabe estándar del Estado de Washington que se muestra en la figura 12.17c. El empleo de trabes precoladas diseñadas especialmente para soportar el tránsito de un sistema de monorriel se ilustra en la figura 13.2. El dispositivo de apoyo guiado terminado caracteriza a una serie de segmentos, consistiendo cada uno de 6 vigas pretensadas simplemente apoyadas, postensadas juntas para formar una estructura continua. Los claros típicos son de 100 a 110 pies. Aproximada mente la mitad de las 337 vigas empleadas tienen alguna combinación de cur vaturas vertical y horizontal y una sobreelevación variable. Todas las vigas son huecas, característica que se logra insertando un vacío mediante material espu moso estirofom en las vigas curvas y usando un raspatubos móvil en la producción de vigas rectas. No se puede n usar t rabes p recoladas para claros m ucho mayores que 120
largos en puentes. La seguridad en las carreteras se incrementa al eliminar los pi lares intermedios y al alejar los pilares exteriores del borde de las carreteras divi didas. Para las vías expresas urbanas elevadas, los grandes claros facilitan el acceso y minimizan la obstrucción de las actividades por debajo. El interés de la protec ción del ambiente ha conducido a la selección de grandes claros en los viaductos continuos. En los cruces de ríos, los pilares interm edios pueden ser imposibles debido a los requerimientos de espacio libre para la navegación. Tales requerimientos han conducido al desarrollo en Europa, y más recien temente en el hemisferio occidental, de puentes en base a trabes segméntales de concreto presforzado sección cajón del tipo mostrado durante el proceso construc tivo en la figura 13.3. En la construcción típica de este tipo, las pilas son a menu do coladas in situ, empleando la técnica de cimbra deslizante. Luego se cuela en la parte superior de la pila una sección tipo “martillo” de la trabe cajón, y la cons trucción continúa en cada dirección mediante el método del voladizo balanceado. La construcción es balanceada usando ya sea segmentos colados in situ o precola dos, cada uno postensado a la porción previamente terminada. Finalmente, des pués de que se ha hecho la jun ta de cerramiento colada in situ en el centro del claro, la estructura es postensada aún más para obtener la continuidad total. Las llaves para cortante se pueden usar en las caras verticales entre segmentos, siendo las unidades precoladas pegadas fuertemente con resina epóxica (ver publicaciones referidas en 13.5, 13.6, 13.7, y 13.8). El empleo de segmentos precolados de hasta 20 pies de largo, ha llegado a convertirse en el método más común para la construcción de este tipo de puente. Con frecuencia se establece un patio de colado en lugar de la obra. Se fabrican cimbras especiales para lograr las secciones de peralte variable y los muros de es pesor variable, y cada unidad se cuela usando la un idad inmediata mente prece dente como cimbra de extremo, asegurando de esta manera el alineamiento per fecto. Se han desarrollado muchas técnicas especiales para colocar los segmentos precolados. En la figura 13.4 se ilustra una t rabe de votadur a (ver publicación re ferida en 13.5). Tal trabe tiene una longitud ligeramente mayor que la longitud máxima del claro y consiste esencialmente de a) una viga tipo armadura principal de la cual la cuerda inferior actúa como riel, b ) tres estructuras de apoyo, fijas o no a la viga principal, con las estructu ras posteri or y central dispuestas de tal ma nera que permitan el paso de los segmentos, y c ) un trole para colocación de seg mentos que se desplaza a lo largo de la viga principal y que se encuentra dot ado de desplazamiento longitudinal y vertical así como rotación horizontal. Durante las operaciones normales, la trabe adopta posiciones sucesivas, según se muestra en la figura 13.4: 1. Colocación de segmentos estándar: la estructura de la pierna de apoyo central descansa direcl uniente sobre un pilar y la estruc tura trasera des cansa cerca del extremo del voladizo del puente previamente terminado. 2. Colocación del segmento sobre el siguiente pilar: la trabe avanza alo lar
530 Aplicaciones
FIGURA 13.4 Fases operacionales de una viga de lanzam iento: a) colocación de segmentos estándar, ( b ) traslación parcial y colocación del segmento de la pila, (c) traslación de la viga. (Cortesía de Freyssinet International). alcanza el extremo del voladizo. La estructura de la pierna delantera, apoyada en una ménsula temporal que está sujeta al pilar, garantiza la estabilidad de la trabe en tanto que el segmento del pilar es colocado y ajustado en posición. i :i 3. Traslación de la trabe: ahora se emplea el trole para colocación de seg mentos como una cuna de botadura con la ayuda de un apoyo auxiliar que descansa en el segmento del pilar recientemente colocado. Se retira
Puentes 531
La ingeniería imaginativa demostrada por tales técnicas ha aumentado el al cance de la construcción de puentes de concreto mucho más allá de lo que pudiera haberse concebido hace solo unos pocos años. El récord actual(197 7) e sun puen te sección cajón 787 pies de longitud de claro que lleva una carrete ra sobre la desembocadura del lago de Hamana-Ko a 150 millas al Sudoeste de Tokio (ver publicació n referida en 13.9). En los Estado s Unidos, se han termi nado recient e mente trabes gemelas curvas de sección cajón para claros de 310 pies sobre el río Eel en la California septentrional (ver publicación referida 13.10). Se ha concluido el diseño preliminar de trabes gemelas continuas sección cajón consistentes de claros centrales de 550 pies flanqueados por claros de 390 pies en los lados, llevan do a la ruta 408 sobre el río Illinois cerca de Springfield (ver publicación referid a en 13.11). No todos los puente s se adecúan a la constr ucción precolada. En la figura 13.5 se muestra un claro postensado particul arment e impresionante colado in situ. Este cruce de río, diseñado por Pierre Tremblet, cumple con los requerimientos de alineamiento de la carretera, que es curva en plata, con sobreelevación, y con una pendiente vertical del 6.7%. Se adoptó una sección transversal doble T, re matándose en secciones huecas en cajón en las regiones de flexión negativa de los apoyos intermedios. Otra form a de puente de c oncreto pres forzado que se adapta bien en grandes claros es la trabe cajón atirantada con cables (ver publicación referida en 13.12). Un ejemplo notabl e e sel puent e Chaco-Corrientes en la Argentina, que se muestra en la figura 13.6. El claro principal del puente de 804 pies se encuent ra sopor ta do mediante dos torres aporticadas en A, con cables atirantadores desde las partes superiores de las torres en puntos a lo largo del puente. El puente en sí consiste de dos trabes cajón paralelas hechas con secciones precoladas armadas mediante el método del voladizo. Los cables tensados proporcionan no solamente un compo nente de reacción vertical para resistir al puente, sino que también proporcionan una compresión horizontal a las trabes cajón, que se agrega a la fuerza pretensora en aquellos miembros (ver publicación referida en 13.13). Los diseños de los pu entes que se acaban de d escribir se derivan de un con cepto de diseño original del notable ingeniero italiano Ricardo Morandi. Los di seños de Morandi, similares en apariencia ala estructura de la figura 13.6, emplean cables atirantados encastados en concreto, en lugar de acero al descubierto, para minimizar la deflexión bajo carga (ver publicación referida en 13.14, y la sección 11.7). Se han constru ido cuat ro de estas estructu ras incluyendo un récord de 940 pies de claro en la Libia Sept entriona l. Un tipo de estructura que se adapta bien a cargas ligeras y grandes claros es el puente del tipo de esfuerzo en cinta, iniciado hace muchos años por el ingeniero alemán Ulrich Finsterwalder (ver publicaciones referidas en 13.15, y 13.16). El puent e del tipo de esfuerzos en cinta mostrado en la figura 13.7 conduce aú na línea de tuberías y a peatones sobre el río Rhin con un claro de 446 pies. La se cuencia de erección de la superestructura fue a) tar un par de cables, b) colo
Cascarones y losas plegadas 5 33
532 Aplicaciones
FIGURA 13.6 Puente Chaco-Corrientes en la Argentina. Trabe cajón atirantad a con cables con máximo claro de 804 pies (Cortesía de Ammán y Whitney inge nieros consultores).
Resulta apropiado al estudiar formas de puentes mencionar la estética estruc tural. Y a pasó el tiempo en que las estructura s sólo podía n ser diseñadas sobre las bases del mínimo costo y las ventajas técnicas. En particular, las estructuras de los puentes se encuentran expuestas a la vista de todos. Producir una estructu ra visualmente ofensiva, como ocurrió muy frecuentemente en el pasado, es un acto de irresponsabilidad profesional. Particularmente para los grandes claros, pero también para las es tructu ras más ordin arias, se debe procu rar la obtenc ión de la infoimación arquitectónica al principio en el estado conceptual del proce so de diseño (ver publicación referida en 13.18). FIGURA 13.5 Puente pre sforzado colado in situ sobre el río Viege en Suiza, dise ñada por Pierre Tremblet, Ginebra.
13.3 CASCARONES Y LOSAS PLEGADAS
uno de los juegos de cables, y c) colocar concreto in situ entre las dos Ues. La línea de tu bería s se coloca encima de apoyos a la altura de la baranda al costado de uno de los lados, lo cual aumenta grandem ente la velocidad crítica del viento
En una estructura de cascarón bien diseñada, las cargas son en su mayor parte re sistidas por fuerzas de membran a que actúan en el plano tangencial a la superficie del cascarón en cualquier punto I os esfuerzos principales de tensión en donde
534 Aplicaciones
FIGURA 13.8 Cascarón paraboloide hiperbólico de concreto.
nes de presfuerzo se emplean pa ra cancelar los esfuerzos de tensión de membrana , los cuales actúan en la dirección de la curvatura parabólica cóncava hacia arriba, y tamb ién sirven para minimizar la deformación del cascarón cargado, reduciendo to, y pueden afectar adversamente su comportamiento. Una concepción obvia es cancelar estos esfuerzos de tensión mediante el presfuerzo, y el arreglo óptimo de los tend ones es a lo largo de las líneas de trayect oria de los esfuerzos principa les de tensió n. K Las ventajas del presfuerzo de cascarones son importantes. Al evitar el agrietamiento bajo el estado de cargas de servicio, el cascarón satisface más ínti mamente la suposición que generalmente se hace en el análisis acerca del hecho de que la estructura no está agrietada y es elástica. Con el presfuerzo, las defle xiones se pueden m inimizar dando como resultado el evitamiento de los esfuerzos secundarios. El acero requerido se coloca más convenientemente en la forma de tendones de alta tensión que de varillas de refuerzo ordinario. Las áreas de acero no solamente son menores, y por lo tanto de más fácil acomodo dentro del por lo general pequeño espesor del cascarón, sino que es posible usar el refuerzo co rrido sin empalmes traslapados, los cuales son con frecuencia fuentes de proble mas cuando se emplean varillas de refuerzo gruesas. Los cascarones de concreto tales como los paraboloides hiperbólicos mostru dos en la figura 13.8 resisten sus cargas principales median te esfuerzos de mcm rana, aun cuando en ciertas regiones, tales como las extremidades proyectadas y
así la flexión secundaria de la superficie del cascarón. Las cubiertas en base a placas plegadas de concreto, las cuales pueden consi derarse como cascarones prismáticos, han sido también ventajosamente presforzadas. La figura 13.9 muestra la instalación de un hangar construido recientemente en el aeropuerto de Logan en Boston, en el cual se alcanzó el récord de 255 pies
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de claro (ver publicación referida en 13.19).
13.4 ARMADURAS Y MARCOS ESPACÍALES El concreto presforzado no ha sido empleado a menudo para estructuras tipo ar madura, pero se han producido unos cuantos diseños sorprendentemente exitosos. El presfuerzo de miembros a tensión axial se estudió en el capítulo 11, y se seña ló que no sólo se pueden evitar los esfuerzos de tensión y el agrietamiento, sino que también la elongación al cargarse es muy pequeña en comparación con la elongación que resultaría si se hubiera usado un miembro de acero. Este gran aumento en la rigidez se ha empleado ventajosamente para armaduras de cubier
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536 Aplicaciones
Torres para reservorios de agua 537
FIGURA 13.9 Hangar en base a placa plegada para Allegheny Airlines en el aero puerto de Logan en Boston (Co rtesía de Sepp Firnkas Engineering Inc). Tal vez la más notable estructura de este tipo sea la correspondiente al almacén para servicio de la industria de máquinas de volar diseñadas por A. J. y J. D. Harris Engineers para la Transair, Ltd. En Gatwick, cerca de Londres. En la figura 13.10 se muestra una vista de parte de la estruc tura de cubierta. Las “vigas trian guladas” secundarias, o ar maduras espaciales clarean 105 pies desde la parte tr asera hasta la delantera del hangar, y están sostenidas transversalmente en la parte frontal de la estructura mediante vigas principales también trianguladas, continuas en dos claros de 140 pies. Los componentes precolados que conforman las armaduras secudarias se ensamblaron al nivel del piso, postensándose luego y levantándose hasta su ubicación. Luego se armaron in situ las vigas portantes principales instalando elementos precolados entre los pórticos extremos de las vigas secundarias, después de lo cual se colocaron y postensaron los cables parabólicos princi pales. Las conexiones se detallar on para estar libres virt ualmente de ñexió n, de tal forma que se eliminen los esfuerzos secundarios. La estructura resultante es un ejemplo inspirante de la resistencia y elegancia que se pueden lograr mediante una combinación del precolado y del presfuerzo (ver publicación referida en 13.20). 13.5 TORRES PARA RESERVORIOS DE AGUA
Los tanques elevados para reservorios de agua son una atracción principal en los horizontes de las colectividades grandes y pequeñas. Muy frecuentemente se diseñan basándose únicamente en las condiciones de servicio y económicas. Además de desempeñar su función, una torre p ara agua bien diseñada puede ser un atractivo estético para cualquier región. Este hecho es ampliamente reconocido en los
FIGURA 13.Í0 Armaduras especiales de concreto presforzado para una estación de servicio de aviones en Gatwick, Inglaterra (Cortesía de A. J. Harris. P. W. Abeles, y de la Asociación del Cemento y del Concreto). en 1 3.21 y 13.22). Una torre puede llegar a ser un símbolo de una ciudad y la
538 Aplicaciones
Recipientes de contención nuclear 539
13.6 REC IPIEN TES DE CONTENCION NUCLEAR
El desarrollo de la energía nuclear para la generación de energía eléctrica ha dado como resultado la aparición de nuevas aplicaciones para el concreto presforzado. Se emplean dos tipos de estructu ras de concreto presforzado postensado para reac tores. En el primer tipo, todo el circuito de presión que abraza al reactor y calienta a los intercambiadores se coloca dentro de un recipiente reactor de concreto pres forzado, siempre dentro de paredes de concreto masivo, sujetas a compresión triaxial mediante el postensado. El segundo tipo de la estructura para el reactor es un recipiente contenedor, diseñado para proteger al ambiente del escape radi-
FIGUR A 13.11 Torre de almacenamiento de agua con capacidad de 9000 m3 en Orebro, Suecia. Se ha calculado que la estética excepcional en las torres para agua finlande sas, aumenta en má som eno sel 15% su costo (ver publicación referida en 13.23). En müchos casos, el aumento en los gastos puede recuperarse por lo menos par cialmente mediante las rentas provenientes de restaurantes y plataformas de oh servación incorporados en el diseño. Un buen ejemplo de la convergencia de la función y la estética es la torre de 58 m de altura en Orebro, Suiza, vista fotográficamente en la figura 13.11 y mostrada seccionalmente en la figura 13.12. La estructura consiste de unacáscaru cónica de 46 m de diámetro exterior, apoyada en una caja bastante alta. Encimu del tanque mismo se encuentra una plataforma de observación cubierta mediante una cáscara cónica con la apariencia de un paraguas. La cáscara del tanque princi pal se encue ntra pre sforzada circunferenci almente me diante 20 6 cables Freyssinel conteni endo c ada uno 12 alambres de 7 mm de diámetr o. Se proporc ionaron 16 costillas verticales por razones arquitectónicas, sirviendo también para el anclaje de los cables de presfuerzo, cada uno de los cuales se extiende alrededor de media circunferencia del tanque. De manera típica en muchas de estas estructuras, el tanque se coló en el nivel del piso y se levantó hasta su posición final mediante gatos hi dráulicos colocados en la circunferenci a de la torre y sujetados en la cara inferior del anillo de base del tanque. La construcción de la torre continuó a me
FIGURA 13.12 Sección a través de la torre Orebro (Adaptada de obra referida en
540 Aplicaciones
activo en el caso de un accidente en la planta. En este tipo de diseño, el reactor es contenido en un recipiente de acero a presión conectado mediante ductos ex teriores a los intercambiadores de calor. Luego todo el sistema es rodeado por una estructura contenedora más grande (ver publicación referida en 13.24). En la figura 13.13 se muestra un recipiente de contención nuclear típico de 40 m de diámetr o y 54 m de altura. El cascarón es presforzad o vertical y circun ferencialmente en la pared cilindrica, y el domo es presforzado mediante tendones dispuestos a 120 grados. La fuerza pretensora circunferencial o anular requerida para un recipiente secundario típic o es de más o menos 700 kil olibras por pie. Para aplicar esta gran fuerza económicamente, se han desarrollado tendones de postensado de mucha mayor capacidad que la normal (ver publicación referida en 13.25).
Pavimentos 541
para propo rcion ar una compresi ón en el concr eto de más o m enos 320 lb/pu lg2 . En la figura 13.14 se muestra un detalle de junta típi co, el cual brinda la transfe rencia de la fuerza de anclaje de los anclajes temporales “A” a los anclajes “B” después de que se han colado los bloques de 4 pies. Los anclajes “C” prop or cionan la restricción en el extremo muerto de los tendones en el siguiente seg mento de losa. La junta de expansión brinda un movimiento total de 3.5 pulg. Se espera que la losa resultante no requiera de mantenimiento durante 40 años, mientras que el pavimento convencional necesita de mantenimiento pesa do por lo general después de 20 años. Al comparársele con un diseño competente S E C C I O N H O R I Z O N T A L - 1 /2 0 0 4 5 A N C L A J E S EN C A D A L A D O D E L C O N T R A F U E R T E
13.7 PAVIMENTOS
El creciente aumen to del volumen del tráfico y el peso de las losas de los pavimen tos de concreto, ambos en carreteras y en aeropuertos, demandan mejoras en el diseño y en la construcción de pavimentos. Los pavimentos convencionales se di señan basándose en el bajo módulo de rupturas del concreto; de esta manera no puede uti lizarse la alfa resistencia a l a compre sión del m aterial. Cuando se incluye el acero, se intenta con trolar y distribuir el agrietamiento en el concreto, pero no eliminarlo. Por otro lado, la experiencia indica que el deterioro del pavimento usualmente empieza en las grietas y en las juntas transversales. En los pavimentos de concreto presfrozado longitudinalmente, la fluctuación de esfuerzos debida al paso de las cargas de rueda permanece en el rango de com presión. Se elimina el agr ietamient o y las juntas transversales son disminuidas en número o eliminadas completamente, dando como resultado una mayor vida del pavimento y caracte rísticas de circulación más suaves. Adicion almente, los cos tos se pueden reducir disminuyendo el espesor de la losa. La experimentación re ciente con pavimentos de prueba y prototipos de pavimentos presforzados ha confirmado que ellos son práctica y económicamente competitivos (ver publica ciones referidas en 13. 26, 13.27, y 13.28). Las téncnicas para el presfuerzo longitudinal de pavimentos varían, pero son de interés algunos detalles de un proyec to reciente en Pensilvania (ver publicación referida en 13.29). Se emplearon tendones recubiertos no adheridos de 0.68 pulg de di ámetro, colocados a 24 pulg entre centros y ubicados ligeramente por debajo del centro de la losa de 6 pulg de espesor. Se modificó una cimbra deslizante pavimentadora de concreto de tal manera que pudiera alimentar a los 12 tendones dentro de la losa a medida en que pasaba. Se usaron hojas de polietileno debajo de la losa para permitir que ésta se contraiga durante el tensado. La longitud tí pica entre juntas transversales de expansión fue de 600 pies. Los bloqueo s de 4 pies de largo ubicados en las junt as proporcio nan el espacio pa
FIGURA 13.13 Rec ipiente de contenci ón
nuclear
en Asco, España (Cortesía de
542 Aplicaciones
Estructuras marinas 543
FIGURA 13.14 Pavimento de conreto presforzado (Adaptado de la publicación referida en 13.29). de concreto reforzado ordinario, el espesor del pavimento se redujo de 9 a 6 pulg. y la cantidad de acero se redujo en 90% en peso.
13.8 ES TRU CTU RAS MARINAS
El concreto presforzado ha encontrado frecuente aplicación en años recientes en estructuras marinas de todos los tipos. Estas van desde las rutinarias construcciones de diques marítimos hasta los barcos tanques de concreto presforzado y el barco tanqu e para almacenamie nto masivo de petr óleo “Ekof ísk” constru ido recientemente en Noruega y remolcado hasta su ubicación permanente en el Mar del Norte (ver publicaciones referidas en 13.30, 13.31, y 13.32). Un ejemplo de las posibilidades de las estructur as costeras, es la gigantesca instalación en concreto presforzado para gas de petróleo licuado (LGP) mostrada en la figura 13.15 (ver publicación referida en 13.33). Esta notable estructura de 461 pies de longitud total y 65,000 ton de desplazamiento, se construyó en Tacoma, Washington y se remolcó 10,000 millas a través del Océano Pacífico hasta el campo Ardjuna de aceite y gas en el mar de Java. Proporciona almacenamiento del gas licuado de petróleo en 12 tanques de acero aislados, 6 por encima y 6 por debajo de la plataforma, teniendo una capacidad total de 375,000 barriles. Toda la instalación incluye tanques, maquinaria para la refrigeración, una planta de energía eléctrica, servicios para una tripulación de 50 hombres, servicio de grúa para ma nteni mien to, lanchas salvavidas y heli puerto . Toda l a estr uctur a del casco se precoló en segmentos. Con referenci a a la figura 13.16, la parte inferior del casco se hizo de segmentos de cascarón de concreto precolado a), los cuales se colocan en un dique seco b ). Los cascarones laterales ver-
FIGURA 13.15 Recipiente flotan te para gas de petróleo licuado remolcado a su destino en Indonesia (Cortesía de ABAM Engineers and Concrete Technology Corporation).
terminado es botado al agua d). Cuando se encuentra flotando, se instalan los 6 tanques inferiores é) y el resto del casco de concreto se cuela in situ f) . Finalmente se instalan los apoyos de las plataformas de los tanques y los tanques g). Los elementos precolados fueron reforzados y provistos de ductos tanto para los tendones longitudinales como para los transversales. Durante el ensamble de los segmentos del casco, cada junta se revistió con adhesivo epóxico, después de lo cual el segmento fue rápidamente postensado a su vecino. Al comparar la construcción en concreto presforzado para la instalación con un diseño alternativo en acero, se notaron las siguientes ventajas: a. Costo inicial de constru cción más bajo. b. Caracterí sticas de durabili dad superior es en el ambiente del agua marina. c. Compo rtamie nto dúctil al ser severamente sobrecargada. d. Exent a de daños bajo cargas de fatiga. e. Excelentes propiedades bajo temperaturas extremadamente bajas. f. Com portam iento superior a la exposición al fuego. g. Facilidad de reparar los daños producid os en choques. h. No se requiere el secado en dique seco en intervalos regulares para ins pección, rep aración y mant enimi ento.
Elementos estructurales diversos 545
544 Aplicaciones
a. Emb onado de las piezas vaciadas de segmentos del casco
e. Colocación de los tanques de los cascos
b. Colocación d e los cascos en dique seco
XI
f. Vaciado en sitio de las placas "A" y la cubierta c. Vaciado en sitio de mamparos longitudinales, silletas y mamparos transversales
do grado de permanencia. Mientras que los pilotos son miembros primordiales a compresión, se encuentran sujetos a esfuerzos de tensión producidos por la flexión durante el izado y la colocación, así como durante el servicio y, adicionalmente deben de ser capaces de soportar tensión durante su clavado o hincado. Con fre cuencia se emplea una fuerza pretensora que produzca una compresión axial de aproximad amente 700 lb/pul g2 en el concreto, lograda casi siempre median te pretensado (ver publicaciones referidas en 13.34, 13.35, y 13.36). En la figura 13.17 se muestra n típicas secciones transversales de cimentacio nes de pilotes. La sólida sección cuadrada de la figura 13.17a resulta económica para rangos de carga ent re más o m enos 60 y 80 to ns, mientras que para cargas hasta de 125 tons resulta más adecuada la cimentación octogonal de pilotes de la figura 13.17b, con espesores de 14 a 18 pulg. La cimentación octogona l hueca de pilotes de la figura 13.17c, p or lo general con una d imensión de 24 pulg, ha sido muy empleada en construcciones sujetas a la acción frontal del agua. Se han em pleado pilotes cilindrico s de gran tamaño (figura 13.17c?), con diám etros de 36, 54, y 60 pulg, como apoyo de los grandes pilares en puentes, pudiendo desarro llar capacidades que sobrepasan las 800 tons. Cuando lo demande los requerimientos de longitud, los pilotes de concreto presforzado se puede n empalmar usando varillas de ref uerzo no presforzados e n castadas en los extrem os de la sección superior e introdu cidas de ntro de casquillos llenos de mortero colocados en la sección inferior. El table stacado se usa para resistir el empuje de tierras o la presión hidrostática a través de la resistencia a la f lexión, pudiendo tambi én soportar cargas vertica les. Si se requiere la impermeabilidad en contra del paso del agua, esta se lograría mediante juntas de trabazón especialmente diseñadas. La instalación completa de tales tablestacas puede también incluir vigas horizontales de apoyo, barandales y anclajes.
B. ANCLAJES PARA ROCA Y SUELOS d. Etapa de botadura
g. Colocación de los tanques de cubierta y ensamble final
FIGURA 13.16 Secuencia de construc ción de la termi nal flotant e LPG (de la obra referida en 13.34), futuro de instalaciones marinas empleando el concreto presforzado son más favo rables. 13.9 ELEMENTOS ESTRUCTU RALES DIVERSOS A. PILOTAJE
Cuando los muros tablestacados o las formaciones rocosas inestables deben ser anclados al subsuelo firme o a la roca, resultan adecuadas las anclas presforzadas. La fuerza de restricción proporcionada por los tirantes altamente esforzados so mete a la compresión al material expuesto, evitando el desplazamiento lateral y los deslizamientos (ver obra referida en 13.38). En la figura 13.18 se muestra una instalación típic a. El agujero para recibir la barra tensora es perforado en la roca o barrenado en el suelo, después de lo cual la barra pretensora, que contiene un corazón hueco, es colocada en toda la profun didad . Se inyect a a presión morter o de a lta resiste ncia en la par te superior, sobresaliendo la base de la barra tensora y llenando el agujero perforado en una longitud suficiente como para desurrollar la resistencia a la tensión del acero por adherencia. Se pueden emplear varillas deformadas para reducir los requerimien
Elementos estructurales diversos 547
546 Aplicaciones
hueco con un diámetro mayor para aumentar aún más la seguridad en contra del arrancamiento. Después de que se ha construido el muro y que el mortero ha lla alcanzado suficiente resistencia, la barra es tensada mediante gatos postenso res, y cuñas de anclajes o tuercas colocadas en una placa de apoyo.
férrea subestándar empleando durmientes de concreto presforzado o traviezas. Se han empleado en Europa durante varias décadas y han demostrado ser tanto eco nómicas como prácticas (ver publicaciones referidas en 13.39,13.40,13.41 ,13.42). En los Estados Unidos se encuentran ya en uso mucho más de un millón de dur mientes de concreto presforzado. El diseño de tales durm ientes ha sido estanda rizado po r la Asociación Ameri cana de Ferrocarriles. Aunque existen varios diseños alternativos, en la construc ción de los Estados Unidos se ha empleado casi exclusivamente el Tipo I de AAR mostrado en la figura 13.19. La superficie superior del durmiente es plana para poder así acept ar el dispositivo de sujeción indir ecto del riel. Los d urmien tes se caracterizan porque los tres pies centrales de la parte inferior tiene n forma de cu ña. Su peso es de más o menos 620 Ib. Los durmientes se pretensan con cuatro cables de 7/16 pulg hasta una fuerza pretensora inicial que totaliza 81,600 Ib. Después de las pérdidas se calcula que esta fuerza vale 69,000 Ib. Diseñados para un mom ento de agrietam iento de 150,000 lb-pulg debajo del riel, ellos deben de ser capaces de soportar 200,000 lb-pulg de momento flector para un ciclo de car gas de 2 '000,000 sin fallar. En la figura 13.20 (ver publi cación referida en 13.41), se muestr a un durmie n te transversal de diseño algo diferente, instalado de maner a experimenta l en Cali fornia.
6"
a 18” ípico
i
T W> FIGURA 13.17 Típicas secciones de cimentaciones piloteadas de concreto presforzado. a) Sección cuadrada sólida, b ) Sección octagonal sólida, c) Sección octa gonal hueca, d ) Sección cilindrica. FIGURA 13.18 Ancla presforzada en hueco perforado. C. DURMIENTES DE FERROCAR RIL D. POSTES DE SERVICIOS
Con la largamente retrasada, aunque necesaria, reconstrucción de los ferrocarriles
548 Aplicaciones
Torres y mástiles 54 9
excepto por unas costillas intermitentes que conectan a los patines. Este poste se presforzó concéntricamente con una compresión uniforme en el concreto de 2400 lb/pulg2. Aun cuando se retardó grandemente el agrietamiento, la sección
FIGURA 13.20 Durmientes de ferrocarril de concreto presforzado esperando su instalación en un proyecto de prueba en California (Cortesía del Ferrocarril de Santa Fe).
FIGURA 13.19 Durmiente de ferrocarril de concreto presforzado, AAR Tipo E, Asociación de Ferrocarriles Americanos. da la madera, y su popularidad también está aumentando en los Estados Unidos. Por lo general ellos son pretensados, aun cuando a veces se emplean postensados. La forma de los postes depende del propósito para el cual servirán y de las condiciones previstas de carga. De esta forma los postes a usarse como soporte de los cables de contacto en los ferrocarriles eléctricos son por lo general de sección 1, ya que principalmente la flexión ocurrirá alrededor de un eje, mientras que los postes de transmis ión autoestables , los cuales deben ser capaces de resistir flexión alrededor de ambos ejes así como también cargas torsionantes, normalmente son circulares u octagonales (ver obras referidas en 13.42, 13.43, y 13.44).
fue sobresforzada y sujeta a falla frágil. Se concluyó que una sección que contuviera substancialmente menos presfuerzo pe rmitiría mayor absorción de energía al sujetársele a cargas de impacto, y posteriormente se enmendó el diseño. La figura 13.21Ó muestra un tipo de poste desarrollado por los Ferrocarriles Británicos. En este caso, el momento f lector en una dirección fue mayor que en la otra, y de esta manera se empleó presfuerzo excéntrico. El presfuerzo en el concreto fue relativamente bajo. Las pruebas de carga confirmaron la existencia de recuperación completa después del cargado hasta más o menos dos veces la carga de agrietamiento. 13.10 TOR RES Y MASTILES
El empleo del concreto presfor/ndo en torres muy altas para soportar restauran-
Torres y mástiles 551
550 Aplicaciones
Con una altura tot al de 1815 pies, la torre es la estructura autoestable más alta del mundo. En el nivel 1100 pies, existe una cápsula de siete pisos y 140 pies de diáme tro que contiene cu atro pisos para instalaciones de radiodifus ión, dos pi sos para plataformas de observación y un piso para un restaurante giratorio con capacidad de 400 personas tal como se muestra en la figura 13.23. La torre colada en una operación continua con cimbra deslizante, contiene 150 tendone s verticales de postensado. A lgunos cables individuales de 1/2 pulg de diámetro tienen u na longitud de casi 1500 pies. El mástil se apoya sobre una platea de cime ntación celular de 18 pies de espesor, la cual se postensó en 16 eta pas a medida en que progr esaba la const rucción de la tor re. Las limitaciones de espacio no permiten una descripción adecuada del dise-:ño y ejecución de esta importante estructura, la cual ocupa un lugar entre los más notables logros de la ingeniería estr uctura l. En la publicación referida en 13.45 se encontrarán detalles adicionales.
- J
U M
1 7
p u l g .
(b)
FIGURA 13.21 Postes de concreto presf orzado. (De la obra referida en 13.43). a) poste Vierendeel. b) Poste estándar de los Ferrocarriles Británicos.
1953 con la famosa torre S tuttgart diseñada por Fritz Leon hardt. Con una altura total de 211 m, esta estructura tiene un restaurante elevado con 170 plazas. Si bien desde ento nces se han construi do bastan tes torr es similares en concep- to, ninguna puede competir con la torre CN en Toronto diseñada para los Ferro carriles Nacionales del Canadá por Nicolet, Carrier, Dressel y Asociados, Ltd. de Montreal. En la figura 13.22 se muestra una vista total de la torre recientemente
FIGURA 13.22 Torre CN, Toronto, la estructura autoestable más alta del mundo
Bibliografía 553
552 Aplicaciones
13.4
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FIGURA 13.23 Vista de la Torre CN en la elevación 1100 pies. La estructur a con tiene instalaciones de radiodifusión, plataformas de observación y un restaurante giratorio (Derechos reservados por la Torre CN Ltd. 1973). BIBLIOGRAFIA
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554 Aplicaciones
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APENDICE A
AYUDAS PARA EL DISEÑO TABLA A.l Propiedades de los Aceros de Presfuerzo Cable de siete alambres Grado 250 Diámetro nominal, pulg,
1 4
5 T6
7 T6
3 8
1 2
0.600
0.036
0.058
0.080
0.108
0.144
0.215
0.12
0.20
0.27
0.37
0.49
0.74
0.7/p„Ap, kilolibras
6.3
10.2
14.0
18.9
25.2
37.6
0.8 fpuAp, kilolibras
7.2
11.6
16.0
21.6
28.8
43.0
9.0
14.5
20.0
27.0
36.0
54.0
Area ,A p , pulg.2 Peso, Lb/pie
kilolibras
Cable de siete alambres Grado 270 Diámetro nominal, pulg. Area, Ap , pulg.2
3 8
7 16
1 2
0.600
0.085
0.115
0.153
0.217
Peso, Lb/pie
0.29
0.39
0.52
0.74
0.7, fpuAp, kilolibras
16.1
21.7
28.9
41.0
0-8/p„4p, kilolibras
18.4
24.8
33.0
46.9
23.0
31.0
41.3
58.6
f pllAp, kilolibras
Alambre redondo Diámetro Area, Ap , pulg.2 Peso, Lb/pie
0.192
0.196
0.250
0.276
0.0289
0.0302
0.0491
0.0598
0.098
0.10
0.17
0.20
Resistencia última, / kilolibra/pulg.2
250
250
240
235
0.7 fpuAp, kilolibras
5.05
5.28
8.25
9.84
0.8 fppAp, kilolibras
5.78
6.04
9.42
11.24
556
Ayudas para el diseño 557
Apéndice A
TABLA A.2 Designaciones, áreas, perímetros, y pesos de varillas de refuerzo
Varillas redondas Grado 145 Diámetro nominal, pulg.
78
43
1
11 A8
H
ii
1.227
1.485
Varilla No.“ Diámetro, pulg.
0.442
0.601
0.785
0.994
Peso, Lb/pie
1.50
2.04
2.67
3.38
4.17
5.05
0.7fpuAp, kilolibras
44.9
61.0
79.7
100.9
124.5
150.7
91.0
115.3
142.3
172.2
113.8
144.1
177.9
215.3
Area, A p , pulg.2
0-8/p„Ap, kilol ibras f puAp,
kilolibras
51.3 64.1
69.7 87.1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 18
Varillas redondas Grado 160 34
78
1
ii
U
11 a8
0.442
0.601
0.785
0.994
1.227
1.485
Peso, Lb/pie
1.50
2.04
2.67
3.38
4.17
5.05
0.7 fpuAp, kilolibras
49.5
67.3
87.9
111.3
137.4
166.3
0.8 fpuAp, kilolibras
56.6
77.0
100.5
127.2
157.0
190.1
fp»Ap, kilolibras
70.7
96.2
125.6
159.0
196.3
237.6
Diámetro nominal, pulg. Area, A p , pulg.2
Perímetro, pulg.
Peso unitario por pie, Lb.
0.79 1.18 1.57 1.96 2.36 2.75 3.14 3.54 3.99 4.43 5.32 7.09
0.167 0.376 0.668 1.043 1.502 2.044 2.670 3.400 4.303 5.313 7.650 13.600
“Basado en el número de octavos de pulg. contenidos en los diámetros nominales de las va rillas. El diámetro nominal de una varilla deformada es equivalente al diámetro de una vari lla lisa que tiene el mismo peso por pie que la varilla deformada. La varilla del No. 2 sólo viene en varillas lisas. Todas las demás son disponibles en varillas redondas deformadas. bAproximar al octavo de pulg. más cercano
TABLA A.3 Areas de Grupos de varillas de Refuerzo, Pulg.2
Varillas deformadas 58
1c
1
1
li
Ü
11 A8
Area, Ap , pulg.2
0.28
0.31
0.85
0.85
1.25
1.25
1.56
Peso, Lb/pie
0.98
1.09
3.01
3.01
4.39
4.39
5.56
Diámetro nominal, pulg.
i = 0.250 | = 0.375 i = 0.500 | = 0.625 | = 0.750 i = 0.875 1 = 1.000 1 |= 1.128* l i = 1.270* lf = 1.410* 1 |= 1.693* 2i = 2.257*
Area sección transversal, A pulg.2 0.05 0.11 0.20 0.31 0.44 0.60 0.79 1.00 1.27 1.56 2.25 4.00
Resistencia últim a, f pu , kilolibra/pulg.2 0.7 fpuAp, kilolibras
157
230
150
160
150
160
150
30.5
49.5
89.5
95.4
131.0
140.0
163.8
0.8 fpuAp, kilolibras
34.8
56.5
102.2
109.1
150.0
160.0
187.2
fpuAp, kilolibras
43.5
70.5
127.8
136.3
187.5
200.0
234.0
«La varilla designada 5/8S se hace de un acero tratado al calor desarrollado recientemente con una resistencia última de 230 kilolibra/pulg.2 La información acerca de las propieda des de este acero con relación al esfuerzo de corrosión, al agrietamiento, su fragilización
Varilla No. 4 5 6 7 8 9 10 11 14 18
Número de varillas 2
3
0.39 0.58 0.61 0.91 0.88 1.32 1.20 1.80 1.57 2.35 2.00 3.00 2.53 3.79 3.12 4.68 4.50 6.75 8.00 12.00
4
5
6
7
8
9
10
11
0.78 1.23 1.77 2.41 3.14 4.00 5.06 6.25 9.00 16.00
0.98 1.53 2.21 3.01 3.93 5.00 6.33 7.81 11.25 20.00
1.18 1.84 2.65 3.61 4.71 6.00 7.59 9.37 13.50 24.00
1.37 2.15 3.09 4.21 5.50 7.00 8.86 10.94 15.75 28.00
1.57 2.45 3.53 4,81 6.28 8.00 10.12 12.50 18.00 32.00
1.77 2.76 3.98 5.41 7.07 9.00 11.39 14.06 20.25 36.00
1.96 3.07 4.42 6.01 7.85 10.00 12.66 15.62 22.50 40.00
2.16 3.37 4.86 6.61 8.64 11.00 13.92 17.19 24.75 44.00
n
2.36 3.68 5.30 7.22 9.43 12.00 15.19 18.75 27.00 48.00
13
14
2.55 3.99 5.74 7.82 10.21 13.00 16.45 20.31 29.25 52.00
2.75 4.30 6.19 8.42 11.00 14.00 17.72 21.87 31.50 56.00
558
Apéndice A
Ayudas para el diseño 559
TABLA A.4 Perímetros de grupos de varillas de refuerzo, pulg.
TABLA A.6 Longitud de Desarrollo en Tensión, pulg.
Número de varillas
Varuias No.
2
3
4 5 6 7 8 9 10 11 14 18
3.1 3.9 4.7 5.5 6.3 7.1 8.0 8.9 10.6 14.2
4.7 5.9 7.1 8.2 9.4 10.6 12.0 13.3 16.0 21.3
4
5
6
6.2 7.8 7.8 9.8 9.4 11.8 11.0 13.7 12.6 15.7 14.2 17.7 16.0 20.0 17.7 22.2 21.3 26.6 28.4 35.5
9.4 11.8 14.1 16.5 18.9 21.3 23.9 26.6 31.9 42.5
7
11.0 13.7 16.5 19.2 22.0 24.8 27.9 31.0 37.2 49.6
8
9
10
11
12
13
14
12.6 15.7 18.8 22.0 25.1 28.4 31.9 35.4 42.6 56.7
14.1 17.7 21.2 24.7 28.3 31.9 35.9 39.9 47.9 63.8
15.7 19.5 23.6 27.5 31.4 35.4 39.9 44.3 53.2 70.9
17.3 21.6 25.9 30.2 34.6 39.0 43.9 48.7 58.5 78.0
18.8 23.6 28.3 33.0 37.7 42.5 47.9 53.2 63.8 85.1
20.4 25.5 30.6 35.7 40.9 46.0 51.9 57.6 69.2 93.2
22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.6 55.9 62.0 74.5 100.3
Para varillas del No. 11 o menores: Para varillas del No. 14:
Varilla No.
3 4 4i 5 5i 6 6i 7 n 8 9 10 12
3
0.44 0.38 0.33 0.29 0.26 0.24 0.22 0.20 0.19 0.18 0.17 0.15 0.13 0.11
4
5
6
0.78 0.67 0.59 0.52 0.47 0.43 0.39 0.36 0.34 0.31 0.29 0.26 0.24 0.20
1.23 1.05 0.92 0.82 0.74 0.67 0.61 0.57 0.53 0.49 0.46 0.41 0.37 0.31
1.77 1.51 1.32 1.18 1.06 0.96 0.88 0.82 0.76 0.71 0.66 0.59 0.53 0.44
7 2.40 2.06 1.80 1.60 1.44 1.31 1.20 1.11 1.03 0.96 0.90 0.80 0.72 0.60
8
9
10
>0.00 04d fc/ ,
f
3000 Va Básico rilla No. fy Z
4000
Varillas lecho sup.
Básico
Varillas lecho sup.
1.4/
z
1.4/
2
40 50 60
12 12 12
12 12 12
3
40 50 60
12 12 12
4
40 50 60
5
Varillas lecho sup.
z
1.4/
z
1-4/ 12 12 12
12 12 12
12 12 13
12 12 12
12 12 13
12 14 17
12 12 12
12 14 17
12 12 12
12 14 17
12 13 15
14 18 21
12 13 15
14 18 21
12 13 15
14 18 21
12 15 18
17 21 25
12 15 18
17 21 25
12 15 18
17 21 25
21 27 32
14 18 21
20 25 29
14 18 21
20 25 29
16 20 24
23 29 34
21 26 31
29 36 43
12 12 13
12 12 12
12 14 17
12 12 12
40 50 60
12 13 15
14 18 21
6
40 50 60
13 16 19
18 22 27
7
40 50 60
18 22 26
25 31 37
15 19 23
8
40 50 60
23 29 35
32 40 48
20 25 30
28 35 42
40 50 60
29 37 44
41 51 61
25 32 38
35 44 53
Básico
12 12 12
12 12 12
9
Básico
12 12 12
12 12 13
6000
Varillas lecho sup.
12 12 12
5000
12 12 12
12 12 12
Tí
3.14 4.00 5.06 6.25 2.69 3.43 4.34 5.36 4.68 2.36 3.00 3.80 3.37 4.17 2.09 2.67 1.88 2.40 3.04 3,75 1.71 2.18 2.76 3,41 1.57 2.00 2.53 3.12 1.45 1.85 2.34 2.89 1.35 1.71 2.17 2.68 1.26 1.60 2.02 2.50 2.34 1.18 1.50 1.89 1.05 1.33 1.69 2.08 0.94 1.20 •1.52 1.87 0.78 1.00 1.27 1.56
bf y/ J f c but
Z = 0.085//V7I
Z = o.nfjJJl Para varillas del No. 18: (Longitud mínima 12 pulg. en todos los casos).
TABLA A. 5 Areas def varillas de refuerz o en l osas, pulg.2 po r pie Espaciamiento pulg.
Z = 0.04 A
18 22 27
25 31 38
23 28 34
32 40 48
Ayuda s para el diseño 581 560
Apéndice A
TABLA A.7 Propiedades de las Mallas de Alambre Soldadas
TABLA A.6 (continuación)
Espaciamiento de los alambres pulg
f ' c
Designación
3000 Va rilla No.
10
11
14
18
Básico f y
40 50 60 40 50 60
4 37 46 56 46 57 68
4000
Varillas lecho sup.
1.44 52 65 78 64 80 96
Básico 4
5000
Varillas lecho sup.
1.44
Básico
Varillas lecho sup.
Básico
4
1.44
4
39 49 59
45 56 67 55 69 83
29 36 43 35 44 53
40 50 60
62 78 93
87 109 130
54 67 81
75 94 113
48 60 72
40 50 60
80
113 141 169
70 87 104
97 122 146
62 78 93
100
121
Varillas lecho sup.
1.44
w < u o
32 40 48
40 50 60 49 62 74 67 84
26 33 39 32 40 48
L ong.
de estilo
6000
37 46 55 45 56 68
101
44 55 66
61 77 92
87 109 131
57 71 85
80 99 119
T rans.
Tamaño de los alambres, calibre AS y W
Area seccional, pu lg 2/ pi e
Peso por cada
Long.
Trans.
L ong.
T ran s.
100 pie2
2
2
10
10
0.086
0.086
60
2
2
12 14
12 14
0.052
0.052
37
2 x 2-12/12“
2 2
0.030
0.030
21
3 x 3-8/8
3
3
0.082
0.082
58
2 x 2-10/10 2 x 2-14/14“
3 x 3-10/10
3
3
8 10
0.057
41
3 x 3-12/12“
3
3
12
10 12
0.057
-d
0.035
0.035
25
o
3 x 3-14/14“
3
3
14
14
0.020
0.020
14
4 x 4-4/4
4
4
4
4
4
4
4 x 4-8/8
4
4
6 8
6 8
0.120 0.087
85
4 x 4-6/6
0.120 0.087 0.062
0.062
62 44 31
o ■U
g V O ii 4 > < JD i <
8
4 x 4-10/10
4
4
10
10
0.043
0.043
a
4 x 4-12/12“
4
4
12
12
0.026
0.026
19
D e O Oh
6 x 6-0/0
6
6 6
0.148 0.108
107
6
0 2
0.148
6 x 6-2/2
0 2
H
6 x 6-4/4
6
6
4
4
0.080
0.108 0.080
78 58
6 x 6-4/6
6
6
4
6
0.080
0.058
50
6 x 6-6/6 6 x 6-8/8
6 6
6 6
6
6
0.058
42
8
8
0.041
0.058 0.041
6 x 6-10/10
6
6
10
10
0.029
0.029
21
2 x 12-0/4
2
12
0
4
0.443
0.040
169
2 x 12-2/6
2
12
2
6
0.325
124
2 x 12-4/8
2
4
2 x 12-6/10
2
12 12
6
8 10
0.239 0.174
0.029 0.021 0.014
2 x 12-8/12
2
12
8
12
0.124
0.009
46
3 x 12-0/4
12
0
4
0.295
0.040
119
3 x 12-2/6
3 3
12
2
6
0.216
0.029
87
3 3
12 12
4
8
0.159
0.021
64
«j
3 x 12-4/8 3 x 12-6/10
6
10
0.116
0.014
O
3 x 12-8/12
3
12
8
12
0.082
0.009
46 32
4 x 8-8/12
4
12
0.062
0.013
27
4
8 8
8
4 x 8-10/12
10
12
0.043
0.013
20
4 x 12-0/4
12
0
4
0.221
94
12
2
6
0.040
4 x 12-2/6
4 4
0.162
0.029
69
4 x 12-4/8
4
12
4
8
0.120
0.021
51
4 x 12-6/10
12
6
10
0.087
0.014
36
4 x 12-10/12
4 4
12
10
12
0.043
0.009
19
6 x 12-00/4
6
12
4
0.172
0.040
78
6 x 12-0/4
6
00
12
0
4
0.148
0.040
69
6 x 12-2/2
6
12
2
0.108
0.054
59
6 x 12-4/4
6
12
2 4
4
0.080
0.040
44
6 x 12-6/6
6
12
6
6
0.05K
0.029
32
:o
o < D d G O ti ü < + H O ti «1 »
Oh O Oh H
“Por lo general sólo
se suministra alambre galvanizado
30
91 66
562
Apéndice A
Ayudas para el diseño 563
b
1 F7 sbw/2
,bwn
i
1 kf
T
h
,,
’
TABLA A.8 Propiedades de Sección de Vigas I y Cajón Simétricas TABLA A.9 Propiedades de Sección de Vigas T
bjb
hf/h
0.1 0.1 0.1
0.1 0.2 0.3
0.2 0.2 0.2
0.1 0.360 0.2 0.520 0.3 0.680
0.0492 0.0689 0.0791
0.500 0.500 0.500
0.500 0.500 0.500
0.3 0.3 0.3
0.1 0.2 0.3
0.440 0.580 0.720
0.0535 0.0707 0.0796
0.500 0.500 0.500
0.500 0.500 0.500
0.4 0.4 0.4
0.1 0.2 0.3
0.520 0.640 0.760
0.0577 0.0725 0.0801
0.500 0.500 0.500
0.500 0.500 0.500
Ic
Cl
r2
c2
0.280Wi 0.0449Wi3 0.500h 0.500/1 0.160/ j 2 0.460 0.0671 0.500 0.500 0.146 0.640 0.0785 0.500 0.500 0.123
0.137 0.132 0.117 0.121 0.122 0.111 0.111 0.113 0.105
b jb
hf/h
0.1 0.1 0.1
0.1 0.2 0.3
0.2 0.2 0.2
0.1 0.2 0.3
0.3 0.3 0.3
0.1 0.2 0.3
0.4 0.4 0.4
0.1 0.2 0 .3
Ac
lI C 1
Cl
r2
c2
0.190WI 0.01796^3 0.286/ j 0.714h 0.0945h2 0.280 0.0192 0.244 0.756 0.0688 0.370 0.0193 0.245 0.755 0.0520
0.0283 0.0315 0.0319
0.280 0.360 0.440
0.371 0.322 0.309
0.629 0.678 0.691
0.1010 0.0875 0.0725
0.0365 0.0408 0.0417
0.415 0.374 0.355
0.370 0.440 0.510
0.585 0.626 0.645
0.0985 0.0928 0.0819
0.0440 0.0486 0.0499
0.441 0.408 0.391
0.559 0.592 0.609
0.0954 0.0935 0.0860
0.460 0.520 0.580
564
Apéndice A Ayuda s para el diseño 565
12
12
16
TABLA A. 10 Propiedades de Sección de Vigas I Asimétricas b2/b =
0.30
b jb hf/h
Ac
h
Cl
0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 0.2 0.2 0.2 0.3
0.210W1 0.320 0.430 0.290 0.380 0.470
0.02606/13 0.0345 0.0387 0.0316 0.0378 0.0402
0.350A 0.325 0.328 0.390 0.353 0.345
b2/b = b jb hf/h
Ac
0.3 0.3 0.3
2
0.65011 0.675 0.672
0.1236/12 0.1080 0.0900 0.610 0.1090 0.647 0.0994 0.655 0.0856
Cl
Ic
0.230W1 0.0326M3 0.4031i 0.360 0.0464 0.389 0.490 0.0535 0.394 0.310 0.0373 0.428 0.1 0.405 0.2 0.420 0.0488 0.401 0.0540 0.3 0.530 0.1 0.390 0.0430 0.443 0.2 0.480 0.0510 0.418 0.570 0.0553 0.408 0.3
c2
r2
0.597!i 0.611 0.606 0.572 0.595 0.599 0.557 0.582 0.592
0.1420!i2 0.1288 0.1090 0.1204 0.1160 0.1020 0.1103 0.1065 0.0970
(
S e
\
hf /h
0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 0.2 0.2 0.2 0.3
Ac
0.038IW 0.250fcli 0.0560 0.400 0.550 0.0651 0.330 0.0425 0.0578 0.460 0.590 0.0657
13
Tipo ni 55 a 80 pies
\ 8
/
6
Í 23
54
9
\
8
w
-s-26->
Tipo iv
Tipo y
70 a 100 píes
Tipo vi
90 a 120 pies
1 1 0 a 140 pies
TABLA A.l 1 Propiedades de Sección de las Trabes de Puente AASHTO Cl
Ic
Tipo ii 40 a 50 pies
<-20->
\ /
b2/b = 0.70 b jb
Tipo | 35 a 45 pies
0.50
0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.3 0.2 0.2 0.2
r2
C
C2
h
r2
0.4461i 0.554!i 0.1525112 0.440 0.560 0.1391 0.443 0.557 0.1182 0.460 0.540 0.1290 0.1258 0.448 0.552 0.447 0.553 0.1113
Tipo I II III IV V
A c
pulg. pulg.2
Ic
pulg.4
Cl pulg.
28 276 22,750 15.41 36 369 50,979 20.17 45 560 125,390 24.73 54 789 260,741 29.27 63 1013 521,180 31.04
C2
pulg.
1 2 . 5 9
15.83 20.27 24.73 31.96
r2 w0 pulg.2 Lb/pie 82 288 384 138 224 583 330 822 514 1055
APENDICE B
HERRAJES PARA EL POSTENSADO
SISTEMA DE POSTENSADO INRYCO CONA DE UN SOLO CABLE Los tendones de un solo cable Inland Ryerson emplean el sistema de cuña de anclaje Cona desarrollado por los diseñadores del sistema BBRV. En los tendones se usan cables estirados en frí o, relevados de esfuerzo, de 7 alambres de 0.5 pulg., y 0.6 pulg., de diámetro, de acuerdo con la norma ASTM A416. Los tendones de un solo cable Cona se usan normalmente en la constr ucción no adherida, pero se pueden emplear como tendones adheridos cuando asi' se especifique. El cable con haz de pequeño diámetro es parti cularmente adecuado para losas delgadas con refuerzo en una dirección, en losas con refuerzo en dos direcciones, en losas planas, y en losas superiores de acabado. Las características del sistema Cona de un solo cable son: *EI diámetro muy pequeño del tendón permite excentricidades óptimas, por lo tanto el empleo eficiente del acero PT. • La pequeña placa de anclaje cumpla con las restricciones del tamaño del borda da losas delgadas y perfiles estructurales llgerps. (Anclas de 0.5" requieren un espesor de concreto de 4 1/4"). •Hay disponibles placas de anclaje de dimen-
•Como todas las cuñas de agarre, en los sistemas de cables, el anclaje desarrolla ligeramente menos capacidad que la capacidad última del tendón, pero el diseño de cuñas de dos partes reduce las pérdidas por deslizamiento aun mínimo. •E l diseño de los componentes del anclaje y del equipo de tensado permite un sobres fuerzo preciso y un bloqueo y desbloque sin la prematura y descontrolada presencia del deslizamiento de las cuñas., •Nunca se necesita efectuar acoplamiento. Esencialmente no existen restricciones de longitud, pudiéndose aplicar la tensión en forma separada en secciones sucesivas de la longitud total tensando en cualquier punto intermedio, y continuando luego con el mismo cable. •No se requieren formar ni parchar grandes cajuelas. Con los accesorios de anclaje vienen incluidos formadores de cajuelas reusables, los cuales se sujetan a la cimbra para la rápida colocación del anclaje, formándose pequeños huecos para tensado, limpios y fácilmente parchables. • Los tendones se "a rman " en el lugar de la obra medi ante los componentes preensam blados de anclaje y las longitudes envueltas del cable. (El exceso se puede cortar con soplete.) De este manera no se requiere de precisión especial en cortar a una longitud y no se requiere fabricación.
Herrajes para el postensado 569
568 Apéndice B
Designación de anclaje.
Tipo CG (para esforzado)
Tamaño de placa de base (pulg.)
0.5 C G (A) (B)
D.E. form, bolsas (pulg.) Long; formador de bolsas (pulg.)
5% x 2% 71 /e
x 2%
2%
1%
1%
1
11/a
D.E. del conducto (pulg.)
La placa de apoyo "A" está diseñada para aplicar esfuerzo a una resistencia del concreto a la compresión de 2,5 00 a 3 ,00 0 Ib/pulg^ , dependiendo de la geometría del concreto y de la separación entre tendones. La placa de apoyo "B " está diseñada para aplicar esfuerzo a resistencia del concreto de 1,5 00 a 2 ,00 0 lb^ dependiendo de la geometría del concreto y de la separación entre tendones.
Vista despiezada del anclaje para tensado Cona de un solo cable, tipo CM, de izquierda a derecha: tuerca plástica, casquete formador de plástico (reusable), cuña de acero, encaste de anclaje, conector plástico, y cable de 7 alambres. El casquete formador plástico puede reemplazarse mediante una arandela para el anclaje de tensado intermedio, tipo IM.
/
0.6 C G
X21/4 6V 4X21/4 2/ '4
4V2
También está disponible, sobre pedido especial, el tipo LM de anclaje para usos especiales o reparaciones. Consiste en uña cuña de sujeción dentro de un collarín corto de acero y en la parte posterior tiene una placa con un cojinete de metal.
INSTALACION TIPICA DE TENDONES CONA DE UN SOLO TORON ANCLA INTERMEDIA DE ESFORZADO
ANCLA EXTERIOR DE ESFORZADO
/
/
Torta
ANCLA FIJA
Conector \
Formador ANCLA Postico Tuerca . de plástico | de bolsas, DEL TIPO Tablón dede plástico CM
ANCLADO DEL T I PO EM
Tapa de p lá st ic o
madera de %"
SISTEMA POSTENSADO INRYCO CONA DE CABLE MULTIPLE
Vista despiezada del anclaje Cona para un solo cable, tipo EM, de izquierda a derecha: tapa plástica, cuñas de acero, encaste de anclaje, conector plástico, y cable de 7 alambres. SISTEMAS DE POSTENSADO
ANCLA CONA DE UN SOLO TORON
4 ■
0.5 CM
0.6 CM
(A)
4>/2 x 2V4
5% x 2%
(B)
6V4 x 2V4
7 Va x 2%
2%
2%
Long formador de bolsas (pulg.)
1%
1%
D.E. del haz (pulg.)
0.5
0.6
Designación del anclaje Tamaño de placa de
Tipo Cm base (pulg.) ( p a r a e s f o r z a d o ) D E. form. bolsas (pulg.)
Las anclas fijas Cona, de los tipos EM y EG, son idénticas en su diseño básicoysu tamaño a las anclas de esforzado. El extremo del torón tiene cabeza de botón. Las cuñas son asentadas por fuerza hidráuli, > ca, por lo cual proveen un anclaje positivo, no deslizante, de extremo fijo.
El sistema Cona de cable Múltiple fue desarrolla do por los ingenieros Suizos que crearon el sistema de alambres BB RV (págs. 16—20) e intro ducido en el mercado de los Estados Unidos en 1970 por Inland Ry erson. Es más aplicable en vigas pesadas o en estructuras que requieran de tendones de elevada capacidad —en los casos en que la irregular idad de la es tructura dicta el empleo de tendones de postensado con tamaño y longitud variables o en donde no es posible la determinación precisa de la longitud. El sistema está constituido por múltiples unidades de cables de 7 alambres, con diámetros cada uno de 0.5" ó 0.6". Las cuñas de acero anclan todos y cada uno de los cables de un tendón dado tensados s imultáneamente. Una característica importante del sistema es la capacidad de colocar hidráulicamente todas las cuñas de anclaje del tensado (WG) para suponer una fuerza inicial uniformo y para controlar las pérdidas por deill/nmlonto. Por lo general a los tendones Colín iln cable
método de pasar el tendón a través. En este procedimiento, únicamente se colocan duc tos rí gidos vací os en las cimbras antes de colar el concreto. Los tendones fabricados en el lugar de la obra se jalan a través de los ductos y se tensan aplicándoseles mortero en una operación continua . Los tendones también pueden ser fabricados en taller. Se disponen de anclajes para el uso con cables de 0.5" de diámetro en unidades de 7, 12, 19, 31 y 55 cables. Los tendones en los que se emplean cables de 10.6" de diámetro, son disponibles en unidades de 4, 7, 12, 19 y 31 cables.
5 7 0
A N C L A J E S C O NA D E C A B L E M U L T I P L E
Designación del anclaje No. de cables de 0.5" (máx.) Tipo WG (par# esforzado)
Designación del anclaje No. de cables de 0. 6" (máx.)
-mm
7/.05 WG
12/0.5 WG
19/0.5 WG
31/0.5 WG
55/0.5 WG
7
12
19
31
55
4/0.6 WG
7/0.6 WG
12/0.6 WG
19/0.6 WG
31/0.6 WG
12
19
4
7
14 X 14
Tamaño de la placa de apoyo (pulg.)
8^2 X s Ví
1 1 X 11
Diámetro exterior trompeta (pulg.)
3 V4
A
Longitud trompeta (pulg.)
8
16
2%
23/4
A
23/8
3
Diametro exterior
de jalar a través
ducto (pulg.)
Ensamblado.
2
.31
I 7 V2 X 1 7 V2 24 X 24
53/4
7%
10
20
26
36
A
33/4
53/4 5l/4
E l t i p o W G s e u s a c o m o a n c l a j e f i j o e n i n s t a l a c i o n e s e n l a s q u e e l t e n d ó n s e p a s a j a la n d o a t r a v é s . L a s c u ñ a s s e
,E
p r e s i o n a n d e n t r o d e l a c a b e z a d e l a n c l a j e m e d i a n t e u n a p l a c a d e c o n t e n c i ó n e s p e c i a l.
A p é n d i c e B
Herrajes para el postensado 573 572
Apéndice B
construcción con alambres múltiples de aceros de alta resistencia. Péro debe de tomarse en cuent a el hecho de que los tendo-
TENDONES Y ANCLAJES BBRV
nes de gran capacidad requieren de equipo voluminoso y de menos fácil manejo en el
El postensado B BR V se desarrolló en 1946 por cuatro ingenieros Suizos, Birkenmeier, Brandestini, Ros, y Vogt, cuyas iniciales le dieron nombre al sistema. El empleo del sistema BBRV se ha extendido rápidamente en el mundo libre, y ahora probablemente es el método de postensado más ampliame nte usado en los Estados Unidos. El tendón BBRV consiste de varias (o muchas) longitudes paralelas de alambres de alta resistencia de 1/4" t erminando el extremo de cada cable en una cabeza abocinada formada en frío, después de que el alambre pasa separadamente a través de un dispositivo de anclaje maquinado. El sistema permite el tensado simult áneo de todos los alambres en un tendón y las cabezas abocinadas permiten el desarrollo de las fuerzas últ imas del tendón. Los tendones se prodecen bien sea para instalaciones adheridas como para las no adheridas. Se pueden conseguir prácticamente en cualquier longitud y en un rango de tamaños y capacidades de fuerza de 8 hasta 52 alambres para la construcción de edificios. Para la constr ucción pesada, tal como en los recipientes de contención nuclear, se emplean comúnmente tendones con 90 hasta 170 alambres. L a información ingenieri l para tales tamaños se pueden obtener solicitándola. En los tendones aheridos o en aquellos a los que se les apli ca mortero, los alambres están encerrados dentro de un ducto metálico flexibl e. Los tendones no adheridos BBR V están por lo general revestidos con mastique y envueltos con papel grueso pero en ciertas aplicaciones también se usan tendones dentro de ductos sin la aplicación de mortero. En estos casos el ducto se llena con grasa después de que el tendón se ha instalado y tensado.
campo. También debe de recordarse que este tipo de tendón y anclaje requiere de relativamente grandes bloques de anclaje.
Los anclajes BBRV que aquí se ¡lustran corresponden a los tipos estándar. Pero se pueden desarrollar tipos especiales para cumplir con los requerimientos inusuales y se puede producir cualquier anclaje con cualquier número de alambres (hasta la máxima capacidad del dispositivo metálico) que se requieran para producir una fuerza pretensora especificada.
puede cond ucir a un más elevado costo inicial por libra de tendón que con otros sistemas, pero no necesariamente a un más elevado costo instalado. Y a menudo el más elevado costo inicial puede conducir al más bajo costo por libr a de fuerza entregada. • Los tendones pueden fabricarse en grandes longitudes cuando así se desee. (L os hemos suministr ado hasta de más de 400 pies de largo). • Los tendones largos no presentan problemas de fabricación o embarque ya que ellos se proporcionan enrolladosen rollos "Lazy Susan'' de 6 pies de diámetro. Este método de embarque también reduce los requerimient os de almacenaje en el lugar de la obra, y facilita el manipuleo de cualquier longitud de tendón minimizando ia exp osición a los daños de tránsito. • El acoplamiento de los tendones BB RV se obtiene fa'cilmente, sin pérdida de fuerzas. • La colocación de los tendones curvos o colgados dentro de un miembro estructural, deseable con frecuencia desde un punto de vista de diseño, se logra fácilmente debido al pequeño diámetro (1/4") de los elementos de acero. Sin embargo, por la misma razón los tendones BBR V colocados verticalmente requieren de apoyo substancial.
Las diferencias del Sistema BBRV son: • Las terminaciones abocinadas de cada alambre dan anclaje positivo , no deslizabl e, y eliminan las pérdidas por deslizamiento, haciendo posible que se desarrolle toda la fuerza potencial de cada tendón. • Los tendones se encuentran construidos con precisión y fabri cados completamente en taller , lo cual minimiza la mano do ob
• La fu erza desarrollada se puede aproximar muy cerca de los requerimientos de diseño sin desperdicio de acero pretensado debido a que los tendones BBRV se encuentran disponibles en un amplio rango de tamaños de unidades de fuerz a —con el incre mento de 7 kilol ibras de fuerza por cada alambra que se agregue.
Se envíen centre simple
solicitud
Ins ,!„
lo*; de ¡ngsmurla sobre los sistema n do t e n do n e s B B H V p w a c o n s t r u í i ó n p « mi
11 ........... ./In «!>" tini H|>"
SG para
instala ciones «ftrmta ........ ». morloro
es
similar a la
Herrajes para el postensado 575
574 Apéndice B
BARRAS STRESSTEEL SISTEMA DE BARRAS STRESSTEEL Laselección de anclajes y acopladores ofrecida
formación a los ingenieros de Stressteei sobre
por "Stressteel Bar System" proporciona una
el diseño, los detalles específicos y cotizaciones
amplia gama en opciones de diseño. Solicite in
basadas en las ventajas de este sistema.
gurando sus características de ductilidad y una uniforme distribución esfuerzo-defor mación. Este proceso cuidadosamente controlado proporciona barras de gran resis tencia ideales para el pretensado.
Las barras Stressteel se encuentran en diá metros desde 3/4" hasta 1 3/ 8",en incremen tos cíe 1/8"*. Las barras se pueden ordenar de cualquier longitud hasta los 100 pies. Las longitudes mayores de 100 pies se obtienen mediante el uso de acoplamientos.
El proceso de estirado en frío, adicionalmen te, prueba los esfuerzos de cada barra hasta el 100 %de su mín imo esfuerzo de fluencia garantizado. La prueba del tensado elimina en todas las barras las imperfecciones de superficie o los defectos metalúrgicos que afectan la resistencia del acero. Garantiza que cada barra posee las propiedades necesa rias para comportarse según se requiera.
Estas barras se fabrican de aceros de aleación laminados en caliente especialmente selec cionados. Cada barra se estira en frío, lo cual trabaja uniformemente en frío la sección transversal y desarrolla elevada resistencia de fluencia. Luego la barra es liberada de esfuer zos en un horno de encendido con gas, aseAnclaje de cuña
Las barras Stressteel se fabrican en dos gra dos: Stressteel Regular con una resistencia Ultima mínima de 145,000 lb/pulg2, garanti zada, y Stressteei Especial con una resisten-
Anclaje de tuerca y rosca
Un barra Stressteel, un ancla de cuña
Un barra Stressteel, tuerca, arandela
y una placa de cuña.
de distribución de la carga y placa.
*Se pueden conseguir barras más pequeñas y barras más grandes bajo pedido especial. Las r e s i s t e n c ia s ú l t i m a s y l a s p r o p i e d a d e s f ís i c a s de estas barras varían de las indicadas. Solicite la información específica.
cía última mínima de 160,000 lb/pulg , garantizada.
PROPIEDADES DE DISEÑO DE LAS BARRAS STRESSTEEL Tamaño nominal barra
Ancla je de placa rosca da Un oarra roscada Stressteel y una
Acop lad or rosc ado
Peso nominal lb/pie
Resistencia última mínima garantizada
Area nominal
♦
pulg2
Regular 145 kilolibras/ pulg2
Barras Stressteel roscadas y acoplador
Carga final de diseño máxima recomendada 0.6 f's*
Cara inicial de tensado recomendada -0.7 fs* Regular 101.5 kilolibras/ pulg2
Especial 160 kilolibras/ pulg2
Regular 87 kilolibras/ pulg2
Especial 112 kiloiibras/ pulg2
Especial 96 kilolibras/ pulg2
placa roscada (para usarse en el ex (todas las unidades en valores de 1000 Ib)
tremo en que no se aplican los gatos). 1 .5 0
.4 4 2
64
71
2.04
.601
87
1
2.67
.785
114
96 126
iy . IV«
3 .3 8 4 .1 7
.9 9 4 1 .2 2 7
144
1%
5 .0 5
1 .4 8 5
y.
45 61
50 67 88
52 68
58
80
159
101
111
87
95
178
196
137
107
11 8
215
238
125 15 1
166
129
14 3
39
42 75
‘ Las propiedades de diseño indicadas están de acuerdo con el Código de Edificación ACI 31 86 3, secciones 26 06 y 26 07 . Se permiten esfuerzos temporales de tensado de 0.8 f' para vencer a las pérdidas por fricción del tendón, por deslizamiento del anclaje, y por acortamiento elástico. Las pérdidas debidas al flujo plástico, a la contrac ción y al relajamiento del acero deberán de deducir se de la carga de tensado inicial para obtener la carga final de diseño real. La carga final de diseño real, después de tomar en cuenta las pérdidas puede ser menor que i o.6f;.
Anclaje Howlett de tuerca de agarre
Acoplador de agarre HOWLETT
Una barra Stressteel. tuerca y manga
Barras Stressteel, un acoplador de agarre
Howlett de agarree, y placa.
Howl ett y dos ^mangas.
INFORMACION PARA EL DETALLADO DEL ANCLAJE DE LAS BARRAS TUERCA DE
En manuales por separado se descnben los Sistemas STRESSTEEL para el postensado de tendones de torón y el Sistema STRESSTEEL S/H de Anclaje por Cuñas para sistemas de un torón y de var ios torones. Se envían copias a solicitud.
Cuñas y tuercas
1T=r— v= i L
a g a r r e
G
STRESSTEEL CORPORATION 221 Conyngham Avenue, Wilkes Barre, Penna, 18702 Teléfono (717) 825 7381
WESTERN DIVISION 32420 Central Avenue, Union City,California 94587
No. parte
A
y,
W6
i%
iy .
Vi
W7
1%
114
1
W8
iy . IV *
W9 W 10
i»/. 2
iw IV . 2
1%
W
Teléfono (415) 471 6610 Miembro activo OFICINAS DE VENTAS: Nueva York •San P etersburgo • Memphis • San Francisco Seatle • Portland MANUAL STRESSTEEL S S 9B
2V .
ll 2 »
Tuercas de agarre
Tuercas*
Cuñas
B
No pmm
A
N6 N7
i%
iy .
.5
G6
3
i%
l ’At
.7
G7
.5
NH
2 Vi
1 .5 2 .5
1. 5
G8 G9
2'/«
NU
1% í'S* 2
1. 0
7
X ’/ . 2'A
2Vz
2'A
2 .7
2 .0
G 10
3 .2
G
2V. 3
2%
2 .0
2V,
4 .2
Pli so Ib .2
II 11
N IO N U
B ^
2'/. 2*
-
2
PesoIb
•'
No. Parte
Toda la información está su|tla «i rwvi' uón inii'il ula un qun hit ufocliimi nuevo» .(Intuii ii i IIon ‘ S e embarca cada tuerca con mandola* d" WIb
i l
A • i 7 /. 2%
8 L
i3/« 2
PesoIb 1. 0 ^
576
Apéndice B Herrajes para él postensado
INFORMACION PARA EL DETALLADO DEL ANCLAJE DE LAS BARRAS (continúa)
Acopladores
Dimensiones en pulg.
ACOPLADORES ROSCADOS TC
Tipo 3 0 T on — 60 Ton— 60 Ton —
Acoplador roscado
f
No. parte
A C B D TC6 l 1/« 3 y. i% >/« TC7 3% i% V. y. 1'A 1 TC8 iy« 33/4 i 3/* y* TC9 2 4V, i-/. TC10 2 »/« 4y. 2% % IV. TCI 1 2Vi 5 2V, v¡
barra
Diám. int." acoplador ducto
Pesoen unidad
1.1 i-/. 2 1.8 2 1.9 2% 2.5 2-/. 3.7 2 'h 3.5
Acopladores de agarre
No. parte
B c GC6 i-/. 3% 1?« GC7 3% ty. 2% GC8 2'A 4»/« i% GC9 4y, 2y, 2Vz GC10 2y. 5>/8 2% GC11 3 5y8 2% A
Toda la informació n está sujeta a revisión a medida en que se efectú an nuevos desarrollos.
D
Diám. Peso en int' acoplador unidad ducto
2.0 3.0 3.5 4.9 6.2 8.1
2V. % % 2V, % 23/4 % 3 % 3 y. 3%
6 " T r av e l 3 " T r av e l 1 0 " T ra v e l
100 T on — 100 Ton—
3 " T rav e l 6 " T r a v el
100 Ton —
1 0 " T r a v el
D
•»
B
21% 21% 30»/« 23»/2
6>/4
93/4
3»/«
6»/« 6»/4
9% 18 %
3»/« 3»/4
6»/4
io»/2
6V , 6 -/,
12»/4 16-/2
25-4 29-4
* Mínima longitud de barra necesaria para tensar con gato, exterior a la placa. ' * 6 1 1 2 " para barras de 1 3/8 " NOTA 1 .■Se pueden efectu ar adaptacio nes especiales para satisfacer las aplicaciones especiales. Consultar al Departa-
c
Cerrado
E
F 5
2-/. 2»/«
5
33/4
2»/« 23/«
5 5 **
33/4
23/«
33 'A
2
5 ** 5 **
%
G
577
Peso de la parte más pesada 36
6-/2 6»/2
63
6*/2
120
7>/2 7%
95 11 4
7-4
14 5
mento de Ventas para el diseño especial de componentes para el tensado. NOTA 2. Se proporcionan casquillos para centrar la cabeza de tiro y el empujador. Los empujadores con carreras de 6 " y 1 0" tienen retorno hidráulico; los empujadores con carrera de 3" tienen retorno de resorte.
Todas las dimensio nes en pulg.
Agujeros típicos para pernos para placas vaciadas
PLACA PLACAS
__ _A
COLOCADA SECA
c -S°A ~ Te
_
Arreglo general de los Componentes hidráulicos f barra y*
6 7
1
8
1 1
iy .
9
1
l ‘ /4
10
1
i%
11
2 @ 1 2 @ 1-4 2 @ iy 4
@
No. de agujeros
1
y.
2
No. de parte WP-TPó P*
1%
1
8 2
2
9-2 10-2
2 2
11-2
2
Dimensiones en pulg. A
B
D
C
E
4
4
2
—
2 ‘A 2y . 3
— — —
2- 4 3
3»/2 33/4
—
3
5
4%
5y2 6 7
5 6
7-/!
7
11
6
3
11 % 12
5 6 7
14 V.
7
4V .
31/4
3*4
—
T
2
1
2%
1 V 2 IV 2
3
y.
5 5
2% 3
5 6
3
%
3-/2
i 3/* iy . 2 1% 1% iy < 2
Peso en lb/unidad 4 .5 9. 5 11.9
Unidad de gato hidráulico StreSstel de 6 " de carrera y 10 0 ton. con bomba eieétrica. Nótese la silleta del gato y la cuña de asiento del empujador con la conexión a una bomba hidráulica manual.
17.8 20.8 2 9 .7 23.4 32.2 41.6 57.5
‘ Anteponer al No. de la parte una designación literal apropiada: WP = placa de cuña; TP = placa rosca da. EP= placa con agujeros perforad os; agujero con un diámetro mayor en %" que el de la barra. Aplicación del mortero
Notas:
La aplicación del mortero se efectúa a través de aberturas previamente formadas. La mezcla del motero debe ser especificada por el ingeniero y la aplicación de lamisma bajo su dirección. Para las recomendaciones acerca del mortero y del método véase la Práctica Recomendada por el PCI acerca de la aplicación del mortero. La bomba estándar para mortero Stressteel con motor a gasolina o eléctrico desarrollará una presión en el mortero de 150 lb/pulg2 Los métodos de proceso, anclajes y dispositivos de acoplamiento que se describen en este manual se encuentran protegidos por patentes de los Estados Unidos y solicitudes de patente.
1 . Se muestran tamaños estándar de placa, al usarse barras de tamaño regular, cumpliendo con los requis itos de esfuerzos permisibles de apoyo del Código de Edificación ACI 31 86 3. Sección 2 60 5, suponiendo que f' = 5 00 0 lb/pulg2 y que Ab'/Ab = 1.0 . Se deberá proporcionar una mayor área para los concretos de menor resistencia. Para los concretos de mayor resistencia, o cuando Ab'/Ab sobrepasa 1.0 se pueden usar placas menores. Consultar a nuestro departamento de Ingeniería para las recomendaciones del diseño de la placa. 2 . Las placas estándar se fabrican con acero AISI C1 040 . 3 . Las placas para anclar un mayor número de barras, las placas para anclar barras de diámetro diferente, o las placas de forma no rectangular se pueden diseñar para satisfa cer las necesidades especificas del ingenie ro.
El Monosistema Wastrand
Tendón« y anclaj« L o s tendones del Monosistema emplean oablu
cable para estar de acuerdo con la Norma ASTM A—416. Las oeracteristicas del Monosistema son:
Herrajes para el postensado 579
578 Apéndice B
■
■
■
■
cione s de las losas delgad as o de las vigas angostas. L o s a n c l a je s f ij o s d e e x t r e m o s o n s u j e ta dos y preinstalados en taller para reducir la mano de obra en campo y e vitarel deslizamiento del cable en el extremo fijo.
Breve'especificación
Instalación del monosistema
1.0 Material
1.
1.1 El ca ble emplea do en e_l postensado debe r á e s t a r en c o n f o r m i d a d c o n A S T M A — 416
(Espec ificación para cable sin recu-
brir de 7 alambres relevado de esfuerzos para concreto presforzado).
N u n c a e s n e c e sa r io e l a c o m p l a m i e n t o ya que es posible aplicar separadamente la tensión a secciones sucesivas de la longitud total tensand o en cualquier punto
1.2 Los anclajes del cable deberán desarrollar por lo menos el 95% de la m ínima resis-
intermed io, y luego continua ndo con el mismo cable.
tencia última espe cificada para el acero de presfuerzo sin sobrepasar el desliza-
N o e s n e c e s a ri o f o r m a r n i r e sa n a r g r a n d es cajuelas. Con el anclaje viene un forma dor de cajuelas reusable. Todo el ensamble se s u j e t a a l a c i m b r a y a l r e t i r a r se d e s p u é s del colado, deja una pequeña cajuela par a t e n s a d o q u e p u e d e p a r c h a r s e fá c i l m e n te . E l e q u i p o d e l t e n sa d o e s p e q u e ñ o y d e
2.0 Colocación
poco peso, de fácil manejo por un hom b r e . L a o p e r a c i ó n e s se m i a u t o m á t i c a y M rápida.
2.1 Los dispositivos de anclaje se deberán su je ta r fi ja m en te a los bo rd es de las ci m br as y deberán de ser perpendiculares al eje
Las ventajas del Monosistema Westrand de p o s t e n s a d o c o l o c a n a l a f l e x i b i l id a d d e l p r e -
miento previsto. 1 .3E l forro deberá tener la suficiente resist e n c i a c o m o p a r a r e s is t i r lo s d a ñ o s d u r a n t e la instalación. Deberá evitar la intrusión de cemento y el escape del material de revestimiento.
longitudinal del tendón.
tensado dentro del alcance de cualquier proy e c t o . C o n e s ta f l e x i b i l i d a d , l o s gr a n d e s claros, voladizos, y cargas pesadas no conti-
2.2 Los tendones de p ostensado se deberán d e s u j e t a r e n i n t e r v a l o s r e g u l a r e s p a ra e v i tar el movimiento vertical o lateral durante la colocación del concreto.
núan siendo un problema.
3.0
O
Máxima fuerza de anclaje Máxima fuerza a fe c tiv a
T ensado
3.1 No se deberá emp ezar el postensado hasta que el concreto haya alcanzado una r e s is t e n ci a m í n i m a d e 3 , 0 0 0 I b / p u lg .
INFORMACION DE DISEÑO Area del cable Máxima fuerza de tensado
Todos los tendones del Mono sistema Westrand están fabricados y enrollados de f o r m a m ú l t i p l e s i e m p r e q u e s ea p o s i b l e facilitar su coloc ación en el cam po; mediante este método se colocan hasta 4 tendones en una sola operación. 2 . L o s a n c l a j e s i n t e r m e d i o s y f i jo s d e e x t r e m o s e s u j e t a n a l t e n d ó n e n e l t a l le r d e t a l m a n e r a q u e ú n i c a m e n t e s e r e q u i e r e d es e n rrollar la parte requerida de un tendón particular para cada colada. 3. El an claje de tensado se sujeta al borde de la cimbra mediante un forma dor de ca ju el as , un h u si llo , y un a tu er ca ex ag on al . El anclaje ahora está listo para recibir el extremo de tensado del tendón el cual se puede empu jar fácilmente a través de todo el ensabie.
0.1 53 pulg 0 .8 0 f 's
3 3.0
k ilo lib ra s
0.70f's
2 8 .9
k ll ol ib r a s
3 .2 El
cable
puede tensarse tempo ralmente
hasta el 80% de f’s para vencer a la fricción. 3.3 La fuerza en el anclaje no deberá sobrepa-
0 .6 0 f 's
2 4 .8
k ilo lib ra s
las piezas fundidas de anclaje son de 2 % "
X 5"
sar 70%de f's. 3.4S e deberá suponer que la fuerza efectiva e s 6 0 % d e f ' s s u p o n ie n d o u n 1 0 % d e p é r didas, a menos que exista suficiente info rmación que pruebe otra cosa.
Equipo de esforzado
E t a p a s d e la o p e r a c i ó n del t e n s a d o .
4.
5.
Una vez fraguado el concre to, se retiran las tuercas exagonales, los husillos, las cimbra s de borde, y los formad ores de ca ju el as . De sp ué s de qu e se ha al ca nz ad o la r e s i s t e n c ia r e q u e r i d a , g e n e r a l m e n t e m á s o menos 5 días, se continú a con el tensado. E l e m p u j a d o r d e l t e n s a d o se c o l o c a s o b r e el tendón y se apoya en contra del ancla je . Lu eg o el te nd ón se ap rie ta y ja la ha sta la fuerza y elongación especificadas. A medida en que se libera la presión hidrául ic a , e l e m p u j a d o r a j u s t a a u t o m á t i c a m e n t e l a s c u ñ a s y l u e go s e r e t r a e . E l t i e m p o d e t e n sa d o e s d e a p r o x i m a d a m e n t e 3 0 s e gundos por tendón.
580
Apéndice B
Herrajes para el postensado 581
M u l t i s is t e m a W e s t r a n d El
Multisistema
Westrand
propo rciona
pos
■
V i ga s
o
trabes
de
estructuras
com erciales
t e n s a d o p a r a u n a m p l i o r a n g o d e r e q u e ri m i e n
cuan do so n ventajosos o deseables los ten
tos de fuerza qu e va desde el sistema de 99K
dones con
y cua tro cables hasta el de 11 89K
y 48 cables.
E s t e s i s te m a ,
usado
común men te
tendones con
m o r t e r o , t i e n e m u c h a s a p l i c a
■ Tanques o
m ediante
sean
con
e s t r u c tu r a s d e c o n t e n c i ó n
tend one s
b i en
circunferenciales o con
verticales.
ciones.
■ Anillos de tensión usados para el apoyo de domo s
■
a p l ic a c i ó n d e m o r t e r o .
Puentes
continuo s
de
grandes
c la r o s
cola
o
arcos de oualquier tipo de cons
trucción.
Posiciones de esforzado horizontal
d o s i n s i tu y p r e c o l a d o s , a P o s t e n s a d o t r a n s v e sa l d e l t a b l e r o e n l a c o n s trucción
de
p uentes
colado s
in situ
o
Postensado VSL para estructuras circulares 1 -Cada t.endón se esfuerza en tres fugares simultáneamente. ,2 3 4 -EMugár de. esforzado gira en los tendones s ucesivos para igualar la-fue.rza de pcrstensado en la pared
pre
colados.
Sección típica de la pared
M o n t a j e d e l a n c l a je N ú m e r o
de
cables
de
1/2"
de
d iám etro
y
4s
12s
16s
4
12
16
20S
24 s
28 s
48»
20
24
28
48
270 K .6 1 2
1.8 3 6
2 .4 48
3 .0 60
3 .6 72
4 .2 84
7 .3 44
M á x i m a f u e r z a d e t e n s a d o 0 . 8 0 ^ 's ( k i l o l l b r a s )
132
396
529
661
79 3
9 25
1586
Máx ima fu erza de anclaje 0.70f's (kilolibras)
11 6
34 7
463
578
69 4
8 10
1388
M á x i m a f u e r z a e f e c t iv a 0 . 6 0 f ' s ( k i l o l l b r a s )
99
297
396
496
595
694
1189
Diám etro
1%
2%
3
3%
3%*
3%
5%6
A (pulg.)
6%
10 %
13
1 4%
15 %
16 %
2 1%
A r e a d el c a b l e ( b a s a d a e n 0 . 1 5 3
ducto
rígido
de
cuña
)
( e x t e r i o r) ( p u l g . )
P l ac a d e a p o y o c u a d r a d a Placa
p u lg
cuadrada
B (pulg.)
3%
Espesor de la placa de cuña
C
(pulg.)
VA
E s p e s o r d e l a p l ac a d e a p o y o
D
(pulg.)
1
E (pulg.)
12
L o n g i t u d d e t a n s i ci ó n Diámetro máx imo
d e t r a n si c i ó n
F
(pulg.)
Espacio pata tensado
G
(pies)
Espacio para tensado
H
(p u lg .)
Equipo de tensado
6
8
8
8
8
13
2%
3
4
4
4
5
VA
V A
2
2%
2%
3
22
35
35
35
31
54
2%
4%
3 ' -0 "
8 '- 0 "
6 3A
8 '-0 "
6 3A 8'-0 "
6%
6%
8 '-0 "
8 '- 0 "
1 Espesor-mínimo de pard 10 pulgadas 2' Ancla je de .esforzado' VSL, .T'po E 3. Pnftección'vertical a toe alrededor 4 4 Pro tección horizontal ovafada (redonda si el diámetro es menor que 100 pie s) ■ . 5 Cable sísmico si se \. requiere; 6. Anclaje fijo VSL, Tipo-L e Lo, 7. Cierre libre'de ‘ contracción, que se coloca después del esforzado 8. Base deslizante, de . colocación previ a'", . al ¡esforzado 9.. Sello de agua, ' si se requiere
Los ‘detalles mostrados son para fcondición de base articulada A opción dél diseñador pueden-hacerse provisiones para la condición deslizante, la parcialmente fija o [a‘totalmente fija Se ilustran los detalles para tendones con unión íntima. Se fabrican también tendones precolocádos y/o tendone.s sin unión íntima 'No, se recomiendan los tendones sin unión íntima-para almacenaje de líquidos Por claridad no se ' il ustra el refgérzo desacero dulce, •;/ . \L.::. r.;o’
9% 8 '- 0 "
4
12
12
12
12
12
16
30 T
200T
500T
50QT
5 00 T
5 C0 T
1000T
Sección típica del muro;'
Posiciones de esforzado horizontal
Anclaje deesforzado * VSL, fip o.E - '
Resaque, temporal. . para .esforzado
-
honzofitpi
.Protección horizontal' -Protección vertical ; -
I liVHOfóplipica ilul muro
582
Herrajes para el postensado 5 83
Apéndice B
Gato hidráulico de esforzado
POSTENSADO FREYSSINET Descripción
La mayoría de ios cables de tendones Freyssinet está compuesta de 12 torones, aunque también se emplean uno s cuantos con 6, 8 ó 9. Los diámetros de torón disponibles se encuentran limitados a 1/2" y 0.6". Todos los tendones con torones Freyssinet cumplen con la última edición de la Norma AST M A —416.
,
Tendones de media pulg., de diámetro
.y m
Grado 250 ki loi ibras/pu lg2
Presforzado vertical Anclaje fijo VSL;
:::4
■:
L
6/500 = 8/500 = 9/500 = 12/500 =
6/500K = 6 torones 9/500K = 8 torones 9/500K = 9 torones 12/500K = 12 torones
Tendones de 0.6 pulg., de diámetro
>v.=
Laventaja de este anclaje es. que.puede ahogarse en¡ protección del tendón antes deinstalar el aceroprestar;
6 torones 8 torones 9 torones 12 torones
Grado 270 ki loi ibra/pu Ig2
6/600 8/600 9/600 12/600
= = = =
6 torones 8 torones 9 torones 12 torones
6/600K 8/600K 9/600K 12/600K
= 6 = 8 = 9 = 12
torones torones torones torones
La mayor capacidad última disponible corrientemente en los tendones es de 12/500K (495.6 kilolibras) y 12/6Q0K (703.2 kilolibras).
Unidad
• • ®
®®® o o • • # Sí«»«® ®12TOBOME*® • @ ® ® • o • ®ÿ • O• • ® O' 4 o 18TORONE S# © ® o
o
•
o
•
o
«
O«t oucwesO • « O 0 ®
584
Herrajes para el postensado postensado 585
Apéndice B
Tensado
Se dispone de una variedad de técnicas para cumplir con todos los posibles requerimientos del lugar. El sistema Freyssi net se adapta casi a cualquier técnica de construcción proporcionando procedimientos de recuperación seguros y efectivos para las condiciones inesperadas del campo. La carga en el tendón se puede controlar fácilmente en cualquier nivel que se requiera, relajando, tensando parcialmente, retensando, o destensando. Los tendones Fressine t se se pueden pueden tensar al 8 0% de la resiste ncia garantizada del acero para vencer a la fricción. Recuperaci ón del deslizamiento del A nclaje. Si el deslizamiento del anclaje afecta a la fuerza pretensora requerida final, el deslizamiento se puede ajustar mediante una silleta de tensado y cuñas. Para hacer esto se emplean anclajes exteriores con placas de apoyo (ver ilustraciones). pueden Destensado. Los tendones con torones Freyssinetse pueden destensar en cualquier estado bien sea para remover totalmente la fuerza pretensora o para reducir la fuerza hasta alcanzar algún requerimiento especial del proyecto.
Tendones extendidos hacia arriba. Los tendones se pueden anclar en la superficie superior del miembro. El mínimo ángulo de O elevación de 25 , y el hueco dimensionado tal como se muestra a la derecha son característicos en los anclajes interiores de cables de media pulg. Sin embargo, todos los ancla jes Fre yss ine t pueden usarse de manera similar.
han sido A ncl aj es par a Col ado In Si tu . Los ancla jes que han dejados encastados dentro de una estructura y que después de eso son completamente inaccesibles son denominados "A n clajes de Extremo Muertos". La ilustración de la derecha muestra un detalle típico estándar para un anclaje de extremo muerto. Deberá de consultarse al personul Freyssinet de Ingeniería cuando se tenga cualquier situación •ipecial.
Tabla A —Características del tendón Tamaño estándar
1/2' diám.
Resistencia última de un torón
0.6" diám.
41,300 Ibs
A'ea de acero nominal de un torón
58,600 Ibs
0.1531 pulg2
Número de torones en el tendón
6
Area de acero nominal (pulg2!
8
0.92
Resistencia última de tensión del tendón Ikilolibrasl Fuerza máxima de tensado -80% l| Ikilolibrasl
Fuerzamaxima después del anclaje - 70% f Ikilolibrasl Fuerza electiva máxima -60% \[ Ikilolibrasl
1.22
^ 247,8
330.4
196.2
2 64 64 .3 .3
173.5
1 48 48 .7
1.38
2 97 97 .4 .4
396.5
260.2
2 23 23 .0 .0
3.15
4.20
Diámetro de envoltura -diám . int. (puli|l
1%
a 2V
A (pulg)
9
9 Vi
10
B (pulg)
9
10’/%
11
C (pulg)
1
a 1V
D (pulg)
6Vz
7
1.84 49 49 5. 5. 6
231.3
1 9 8. 2
12
371.7
Peso del tendón -s in envoltura tura líb/piel
0.217 pulg2
9
4.73
2V 2V4
11/4;
8
1 .30
1.7 4
3 51 51 .6 .6
2 81 81 .3 .3
346.9
246.1
2 97 97 .4 .4
211.0
6. 6.30
10
131/2
10
11/4
9
4 68 68 .8 .8
12
1 .95
2.60
5 27 27 .4 .4
703.2
3 75 75 .0 .0
421.9
562.6
328.2
3 69 69 .2 .2
2 81 81 .3 .3
a 2V
10 10
11/2
4 .3 8
2%
6
5. 5.84
6 .5 7
2%
2%
10
3 16 16 .4 .4
13 13
11/2
4 92 92 .2 .2
421.9
8.76 3
10 10
12
i4 y 2
15
11/2
1%
7
8
—
—
—
—
9
10
11
—
—
—
—
6
6
7
—
—
—
—
11/2
—
—
-
—
F (pulg)
9
F (pulg) g)
5
G Ipulgl
2
1%
1%
Cuando se requiera, requiera, puede usarse torón torón de calidad de 25,0 00 Ib/pulg2 Ib/pulg2 de 1 /2" ó 0.6 pulg de diámetro diámetro • Las dimensio nes A y B se han calculado usando ac ero A36 o equivalente y un esfuerzo de apoyo acorde con las especificaciones corrientes del Código de Construcciones del ACI. Las dimensiones A y B pueden variarse para adecuarse a la resistencia del concreto y a las dimensiones de los bloques bloques de los extremos, teniendo teniendo los anchos mínimos de placa de de 9 " y 1 0" para tendones tendones y torones torones de 1 1 2 " y t 0 .6 ", respecti respectivamente. v amente. En una placa común de apoyo pueden pueden colocarse dos o más anclajes. Las placas de apoyo pueden pueden adoptar forformas especiales para adecua rse a condiciones de sitio especiales. * Nuestro personal de ingeniería está disponible en todo momento para adoptar el sistema Freyssinet a sus necesidades particulares. Para aplicaciones de anclaje externo, el espesor mínimo de concreto es 2 pulgadas.
586
Apéndice B
Herrajes para el postensado 587
Cono Manga
Anclaje con placa sólida
Características del tendón in.
V .”
*/ .” S
1”
1"
11/«”
VU"
Diámetro real mm.
mm .
1 5.0
16.0
26.5
2 6.5
32 .0
3 2.0
Resistencia última kilolibra/pulg 2
KSI
157
23 0
150
160
150
160
s q . i n.
0 .2 8
0.31
0 .8 5
0.8 5
1.25
Diámetro nominal pulg.
Area
127.5
136.0
187.5
200.0
108.8
150.0
1 60 60 .0
49.5
89.3
K IP
30.5
KIP
26.1
4 2.3
Peso_ libra/pie Radio mín. de doblado.* pies
150
102.0
0.7 U
1.58
3 4. 4.8
0.6\pu
43.5
1 .2 5
70.5
KIP
pulg 2
36.0
56 .5
KIP
0.8ipu
Carga última f :£
CONO
1V. "
lbs/ft
0 .9 8
1.09
ft
26
15
76.5
3.01
9 5. 5.2
131.0
1 40 40 .0
8 1 .6
112. 5
120.0
3.01
52
49
4. 4.39 64
237.0 1 89 .6 1 65 .9
142.2
4.39
5 .5 6
60 60
72
Tara radios más pequeños las barras son predobladas en frío.
Detalles de Anclaje Diámetro de bara Diám. ancl. campana
A N C L A J E IN IN T E R N O , DIMENSIONES DE LOS BLOQUES EXTREMO S
ANCLAJEEXTERNO PLACA DE APOYO
Placa de anclaje sólida
Tuerca de extensión Barra saliente
*/»
Va S'
1
3V* 3V* 0 X 1Ví
4 0 X2V4
5Ví 0 X 2*/a 2*/a
3X3 XV* 2X5X1
4X4X1 3X5X1
5X5V j X1 1/« X V XIV*
6X7X1 Vi 5X8X1V
7X7 VïX 1a/* 5X9ViX1V«
1 2
1s/a
VU
2V*
23/*
3
2Vi
3
3Vi
Detalles de Acoplamiento
4 62
IV*
6V* 0
VU
X2V. 7V* 0 X3Va
2
APENDICE C
588 Apéndice B Detalles de acoplamiento &/*
8S/»
2V.
25U
Lo ng itud pulg .
3V*
5 Vi
5Va
Diám. ext. pulg.
V U
1V*
2
1 v»
i V«
1V» 1V*
V U vu
2 13/«
1»/«
1»A 1V.
2V. 2V.
3V* 2V.
3V* 3V»
Envoltura Envoltura de barra diám. ext. pulg. Diárt>:Ant. pulg. Acopl. de env. Diám. int.
V U
FACTORES DE CONVERSION DEL SI Y ECUACIONES EQUIVALENTES DE DISEÑO EN SI
FACTORES DE CONVERSION DE LAS UNIDADES ACOSTUMBRADAS EN LOS ESTADOS UNIDOS AL S.l. S.l. DE UNIDADES METRICAS. GEOMETRIA TOTAL Claros Desplazamientos Area de superficies Volumen
1 pie = 0.348 m 1 pulg = 25.4 m 1 pie2 = 0.0929 m2 1 yarda3 = 0.765 m3 1 pie3 = 0.0283 m3
PROPIEDADES ESTRUCTURALES ESTRUCTURALES Dimensiones sección transversal Area Módulo de sección Momento de inercia
1 pulg = 25.4 mm 1 pulg2 = 6 45.2 mm2 1 pulg3 = 16.39 x 103 mm 3 1 pulg4 =0 .41 62 x 106 mm4
PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS MATERIALES densidad Módulos y esfuerzos
1 Lb/pie3 “ 16.03 kg/m3 1 Lb/pu Lb/pulg lg2 2 0.006895 0.006895 N/mm2 N/mm2
m:
590
Apéndice C
Factores de conversión conversión del del SI y ecuaciones equivalentes equivalentes 591
CARGAS
Acost umbr ado en EEUU
1 Lb = 4.448 4.448 NJ 1 kilolibra —4.448 kN 1Lb/pie3 =0.1571 kN/m3 1 kilolibra/pie = 14.59 kN/m 1 Lb/pie2 = 0.0479 kN/m2 1 kilolibra/pie2 = 47.9 kN/m2
Cargas concentradas Densidad Cargas lineales Cargas de superficie ESFUERZ OS Y MOMENT MOMENTOS OS
Esfuerzos
1 Lb/pulg2 = 0.006895 N/mm2 1 kilolibra/pulg2 = 6.895 N /mm2 1 Lb-pie Lb-pie = 1.356 N-m N-m 1 kilolibra-pie kilolibra-pie = 1.356 kN-m kN-m
Momento o torque
1-5 y/Tc
0.13 y/Tc
I6 y/ T c y/Fc 1-7 y/Fc y/Tc 1-9 y/Tc 2 0 y /f l 2.4 y /f l 3-0 y /ñ 3-3 s/Tc 3-
Acos tumb rado e n EEUU
S.I. MET RICO
pulg2 pie2 L b/p ie3 Lb pulg pie Lb/pulg2
Area
5 y/ fl
4-
0 y/ fl
4-
4 y /f l
5- 0 y /ñ
Densidad Carga T amaño Esfuerzo
\ÍTc. \ÍTc. J :; o.ejñ 2/3V7T Í-1 y/Tc l.2y/fc 1-25 y /f c 0 .5
'
7-
0 y /f l
y/Tc 0 y/Tc
0.58V7;
0.62 0.62 y/f l 0.67 y /f l 0.83 0.83 y/ fl 1.00y/ñ
‘ ú-.)
S.I. Métrico
Sec. 7.12.2 (ACI Code)
iLrb
0. 0.0018 0018 x 60,000
0.0018 x 410
fy
fy
w f533y/r f533y/rcc 51,000y/Tc
wc15 0.043 y/Tc 4,730 y/Tc
Tabla 9.5 (a) notas de pie (a) y ((b) b)
ÏA ï/v
A5fl A5 fl V" m
., >*íi| Ib ./H
. .^j. 1»
0.25 y /f l 0 .2 lj fc 0.29 y /f l 0.33 j f c 0.37 y/ fl 0.42 j f l 0.46 y /ñ 0. 0.50 50 y/Tc 0.52 y /f c 0.54 y /f c
Sec. 8.5.1
Æ
0.05 J f l 0.06 y/Tc 0.091 J f l 0.10 j r c 0.10 0.10 V/ ; it e o
%’r -, .
;l¥
Acostumbrado en EEUU
S.I. Métrico
o m
5 yjfc
8-
0.08 /¡ f/ . ;
3 y /f l
6-
10.0 10.0 y/ fl 12.0 12.0J ñ
ESFUERZO
Acost umbr ado en EEUU
6-
7.5 vT ;
mm2 m2 kg/m3 N mm m MPa N/m2
. . \ \
0.20 V/T
6.0y/fc
UNIDADES
\
0.13V7T
01 4 y/ fl 0 .\ 6 jr ¿ 01 1 y/ ñ
yJTc 5.5 yJTc LOS S.I. METRICOS EQUIVALENTES DE LOS VALORES LIMITE*
S.I. Métrico
( 1 .6 .6 5 - 0 . 00 00 5 w e) e) f c 1.09
wc) * 1.09 ( 1 .6 .6 5 - 0 . 0 0 0 3 wc) 1.09
•
/ a» a» , 592 Apéndice C
:ü M:; Máte-i-,: ■<, 5 sí;
7 ‘i
Factores de conversión conversión de! de! Si y ecuaciones equivalente* equivalente* 893
Sec. 10.5.1
r
í
200
# 4
fe ,
f y
f y
0.56 &
6.7 y / f i
1.38
i': .Cvo
/«
■' .V ■-
Sec. 12.3.2
Sec. 10.6.4
kilolibras/pulg. kilolibras/pulg.
0 .0 2 /4
30.6 MN/m 25.4 MN/m
:
stTc
! ?'{ ..Vi
y / n
0.0003 0.0003íí / 4
Sec. 11.2.1.1
’•i
0 .2 4 /4
'0.04/4
'Tabla 12.5.1 — Q valores |y <
0 . 0 8 3 4 f c
>
I I
Sec. 11.6.6.2
1+
í:v
/* =
33 0
1 N , 500 A ,
1 + 0.29 —
36 0
A ,
42 0 45 0
Sec. 11.7.4 5.5AC
'
540
Sec. 12.2.2
'
í fc fc lO lO N Í 'V¿ \./V'í 2
40
' /v /v- - ;
:i;SV..'lo',)
.ÍÜ
Sec. 12.8.2
0.0 4 A bf y
0 .0 2 A bf y
0 . 0 3 4 1 / - 20,000)
4T'c
síTc
J fc
0.0004 d bf y
0.06 d bf y
0.085/
Wy
0.20 — S"
5./. M é tr ic o
A c o st u m b r a d o e n E E U U
0.3641/ -
' ./-■'
*.
i-K 4 •'"? -•
0.27 ^ - 4
3.3 A
.. . . .
fy
”
s/Te
Acostumbrado en EEUU
0.11/,
34/
Vñ
vf;.
S.I. Métrico
(.ti. :■
Sec. 12.10.1
0.0MJy
0 .3 6 d bf y
4Tc
4T'c
( fp s
-
I f s M
0 . 14 14 5 ( /p /p, - f / e) 4
b
■
Sec. 12.11.5.2
■ yt'- J • 60 b ws
-------/y
Sec. 12.2.3
¡s
j r <
...... ...... ..........
s» 4T'c
Sec. 12.2.2 ( c o n t .)
iS i.
:&1 :&1 2
410
140)
24
-f f , yf F c
Sec. 12.9
S/Tc
2 - 6Q’ 6Q’000
. z&t ii<~'
30 35 37
48 0
800AC
/;
c v
18 28
22 0
É
0.414,5
J¡./,
Sec^ m p l A
/y
ííéÚKÜ 1 ' ■■ I ;i¡ t
1
y -
1 ■ i M " h ' 594
Apéndice C
Sec. 17.5.4.1 y
Factores de conversión del del SI y ecuaciones equivalent equivalentes es 596
17.5.4.2
Ecuación (11-4)
80 b vd
0.55 b vd Vc =
Sec. 17.5.4.3 35 0 b vd
2 A \ b vd
0.17 ( 1 + 0.073 ^ ) v T Í M
(
Ecuación Ecuación (11 -5)
Sec. 19.5.1 600//;
7
7
r
16,660 £
~ Jy
Jy
Sec. A.5.2 20 0
1.38
¿
/,
. r ). J.H, 4>' Ii* ,■
+
Ecuación(ll-6) K
= (0.1 67 7; + 17.2pw 17.2pw
V J
) b wd
Ecuación (11-8) Fc = 0. 0. 2 9 V/ ; M J 1 + 0 .2 .29 ^
CONVERSIONES DE ECUACIONES NO HOMOGENEAS HOMOGENEAS AL S.l. METRICO*
Ecuación (8-1) p b =
0-17 y / f c
K =
7.2//;
29,000
y w ) w f
■ I
Ecuación (11-9) Fc = 0. 0. 1 7 ^1 ^1 + 0 . 2 9 ^ “) “) 7 7 M Ecuación(ll-lO)
£ 600 0.85)9 0.85)9 ' 1 f y 600 + f y
Fc = (0.05 v/ ' + 4.8 4.8
Ecuación (9-10)
- / } s) h
b j
Ecuación (11-11)
______________ /„(800 + Q,73/v) 36,000 + 5,000)9 am- 0.5( 0.5(11
M UJ
+ L
K¡ = 0.05 yj'fcb„d yj'fcb„d + V d +
VjMa
Ecuación) 11-12) Ecuación (9-11) /„(800 + 0.7 3/, ) h = 36,0 00 + 5000)9(1 + )9S )9S)
,) M„ = j { Q . 5 y c + j pe - / ,) Ecuación (11-13)
Ecuación (9-12)
/pc) M + 1/ Kcw = (0.29 /7;. + 0 . 3 /p
0.73/„) h _ 4(800 + 0.73/„)
36,000 ..7 i.7.A■
Ecuación (11-3) K - o .17 v ^
í |’ .1 / '
■ m
Ecuación (11-14) y (11-16)
A, = 0.35 -V-
•' í : 7
■
596
Apéndice C
i'Woa «b
Factores da conversión del Si y ecuaciones equivalentes 597
Ecuación (11-22)
Ecuación (11-34)
5 ‘í í i ' Y . “ r » t t X ü ;
0-2 J f ' c
Tr ~
•.¿l-S : • : /
.
H
S
0 . 05 v 7 I +
K —
2.7 6 x s
At =
f y
Tu A
v
1
r 0.35
M u ^ lw K
’0W
Ecuación (11-25)
3cj
- 2 /4 ,
Ai + yA
l
»
J
para 2 A t
! ó ó ? + ; ú . '
-
i-.h
2
!fv;ui
Ecuación (11-37) K =
t ib
/1
0.083 ( 2 + j j
4T 'c b0d
Ecuación (18-4)
Jy f e fp s ~ fs e
+
6 9 +
Ecuación (11-27) K =
100pp
•03+.?' Ecuación (A-3)
0.055 (1 0 + jl J
i.í.l
Ecuación (11-29) Ecuación (B-2)
> í - ( 3 -5 - « ^ ) ( 0.i6 V ñ + n P» | ) M
^ = 0.09(1 + 0.58 Ecuación (B-3)
Ecuación (llr31)
vc =
0 . 08 y / f t + 9p ^
Ecuación (B-4) 1 + (^64 + 160
— ) )¿> | 0.083 VT; M uc = 0.091 ( l + 0.087 I p j J f c
Ecuación (11-32) Ecuación (B-5) *'• = 0 .5 40 ( l - 0.5 5 ) ( l + 6 4 p , ) V 7 ; M
A „ =
0.35 b- f J y
Ecuación (11-33) K = 0 . 27 4
/;t ó
Ecuación (B-10)
:
598
Apéndice C
Factores de conversión del SI y ecuaciones equivalentes
Refuerzo de alambre (continuación)
Refuerzo de metal
Acostumbrado en EEUU
Varillas de refuerzo Acostumbrado en EEUU Diámetro Tamaño Nominal varilla pulg 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 18
0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 1.128 1.270 1.410 1.693 2.257
Area Nominal pulg2
Peso nominal Lb/pie
0.11 0.20 0.31 0.44 0.60 0.79 I.0Ö 1.27 1.56 2.25 4.00
0.376 0.668 1.043 1.502 2.044 2.670 3.400 4.303 5.313 7.650 13.600
w
Métrico
9.525 12.700 15.875 19.050 22.225 25.400 28.651 32.258 35.814 43.002 57.328
Masa nominal kg/m
Area nominal mm2
Diámetro Nominal mm.
71 129 200 284 387 510 645 819 1,006 1,452 2,581
0.560 0.994 1.552 2.235 3.042 3.973 5.060 6.404 7.907 11.385 20.240
Refuerzo de alambre
DIO D9
W8 W7.5 W7 W6.5 W6 W5.5 W5 W4.5 W4 W3.5 W3 W2.9 W2.5 W2 W1.4
Métrico
Diámetr o Area Peso Tamaño W tamaño D Nominal nominal nominal Liso Deformado pulg. pulg2 Lb/pie D31 D30 D28 D26 D24 D22 D20 D18 D16 D14 D12 DII
D liso Deformado
Métrico
Diámetr o Area Peso Diámetro Area Masa nominal nominal nominal nominal nominal nominal * mm ' pulg. pulg2 Lb/pie mm. kg/m
D8 0.319 0.309 D7 0.298 0.288 D6 0.276 0.264 D5 0.252 0.240 D4 0.225 0.211 0.195 0.192 0.178 0.159 0.135
0.080 0.075 0.070 0.065 0.060 0.055 0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.029 0.025 0.020 0.014
0.272 0.255 0.238 0.221 0.204 0.187 0.170 0.153 0.136 0.119 0.102 0.098 0.085 0.068 0.049
8.103 7.849 7.569 7.315 7.010 6.706 6.401 6.096 5.715 5.359 4.953 4.877 4.521 4.039 3.429
51.6 48.4 45.2 41.9 38.7 35.5 32.3 29.0 25.8 22.6 19.4 18.7 16.1 12.9 9.0
0.405 0.380 0.354 0.329 0.304 0.278 0.253 0.228 0.202 0.177 0.152 0.146 0.127 0.101 0.073
Tendones de presfuerzo
Acostumbrado en EEUU
W31 W30 W28 W26 W24 W22 W20 W18 W16 W14 W12 Wl l W10.5 W10 W9.5 W9
599
0.628 0.618 0.597 0.575 0.553 0.529 0.504 0.478 0.451 0.422 0.390 0.374 0.366 0.356 0.348 0 338
0.310 0.300 0.280 0.260 0.240 0.220 0.200 0.180 0.160 0.140 0.120 0.110 0.105 0.100 0.095 0 090
1.054 1.020 0.952 0.934 0.816 0.748 0.680 0.612 0.544 0.476 0.408 0.374 0.357 0.340 0.323 0.306
Diámetro nominal mm.
15.951 15.697 15.164 14.605 14.046 13.437 12.802 12.141 11.455 10.719 9.906 9.500 9.296 9.042 8.839 8.585
200.0 193.6 180.7 167.7 154.8 141.9 129.0 116.1 103.2 90.3 77.4 71.0 67.7 64.5 61.3 581
Acostumbrado en EEUU
Area Masa nominal nominal mm 2 kg/m
1.569 1.518 1.417 1.390 1.214 1.113 1.012 0.911 0.810 0.708 0.607 0.557 0.531 0,506 0.481 0 455
Tipo
Cable de 7 alambres (Grado 250)
Cable de 7 alambres (Grado 270)
Métrico
Diámetro Area Peso Diám etro Area Masa nominal nominal nominal nominal nominal nominal pulg pulg2 Lb/pie mm. mm2 kg/m ± (0.250) 0.036 0.12 A (0.313) 0.058 0.20 1(0.375) 0.080 0.27 -re (0.438) 0.108 0.37 ¿ (0.500) 0.144 0.49 (0.600) 0.216 0.74 1(0.375) 0.085 0.29 0.40 (0.438) 0.115 i (0.500) 0.153 0.53 (0.600) 0.215 0.74
TS
Alambres de 0.192 0.029 0.098 presfuerzo 0.196 0.030 0.10 0.250
23.2 37.4 51.6 69.7 92.9 139.4
6.350 7.950 9.525 11.125 12.700 15.240
9.525 11.125 12.700 15.240 4.877 4.978
54.8 74.2 98.7 138.7 18.7 19.4
0.179 0.298 0.402 0.551 0.729 •1.101
0.432 0.595 0.789 1.101 0.146 0.149
600
Apéndice C
Tendones de presfuerzo (continuación)
Acostumbrado en EEUU V
Tipo Varillas de presfuerzo (lisas)
Diámetro nominal puls. 3 4 7 8
i
0
U i|
Varillas de presfuerzo (deformadas)
5
8 3 4 l
U
r
Métrico
Area nominal pule2
Peso nominal Lb/nie
Diámetro nominal
Area Nominal
mm.
mm L
0.44 0.60 0.78 0.99 1.23 1.48
1.50 2.04 2.67 3.38 4.17 5.05
19.050 22.225 25.400 28.575 31.750 34.925
283.9 387.1 503.2 638.7 793.5 954.8
2.232 3.036 3.973 5.030 6.206 7.515
0.28 0.42 0.85 1.25 1.56
0.98 1.49 3.01 4.39 5.56
15.875 19.050 25.400 31.750 34.925
180.6 271.0 548.4 806.5 1006.5
1.458 2.217 4.480 6.535 8.274
Masa nominal \c o
1m
INDICE
A AASHTO: especificaciones de la, 39, 138, 264, 525 límites de deflexión de la, 372 trabes estándar para puentes, 287, 517 Abeles, P. W„ 200 . Acero: alambres, 53, 61 de bajo relajamiento, 5 3 relajamiento del, 60 torones, 54, 61 varillas con aleación, 55, 61 Acero no presforzado: en columnas, 466 en losas, 437 Acortamiento elástico, pérdidas por, 269 Agregados, entrelazamiento de los, 225 Agrietamiento, carga de, 95 Agrietamiento en la zona de anclaje, 193 Agrietamiento por esfuerzo cortante en el alma, 215 Agrietamiento por flexión y esfuerzo cor tante, 216 Alambres para el presforzado, 53 Alma, refuerzo del, 223 mínimo, 230 Amplificación del momento para las colum nas, 471 Análisis de compatibilidad de deformaciones, 105 Análisis de límites, 339 Análisis por flexión, 79 Anclaje: del acero del ama, 231 deslizamiento en el, 268 Anclaje, diseñ o de la ztmu de, 191
Armaduras, 535 Articulaciones plásticas, 336 ASCE, cargas de viento de la, 39 ASTM, especificaciones de la, 43, 53-57 B
Bloque de esfuerzos, rectangular, 103 Branson, D. E., 72, 35 8 C
Cables de casquillo, 315 Cables, presforzado de, 54 Capacidad en exceso, secciones con, 168 Cargas: de nieve, 42 de servicio, 43 equivalentes, 25, 172 factorizadas, 43, 44 muertas, 39 vivas, 39-42 Cargas, balanceo de las: para losas, 386, 414 para vigas, 171, 313 Carga, etapas de: para vigas, 79, 135 para vigas compuestas, 290 Cartelas o ménsulas, 514 Cascarones, 533 Claro crítico, 160 Columnas: comportamiento, 455 diagramas de interacción, 459 esbeltas, 467 longitud efectiva de las, 469 resistencia de las, 459
r 602
Indice
aumento de la resistencia con la edad, 66 contracción del, 74 propiedades del flujo plástico, 73 resistencia a la compresión, 64 resistencia a la tensión, 69 Conexiones precoladas, 501 Continuas, vigas, 311-347 Contracción: del concreto, 75 pérdidas por, 275 Curvaturas: instantáneas, 352 por flujo plástico, §52 D
Deflexiones: bases para el cálculo de las, 351 cálculo aproximado de las, 356 debidas a las cargas, 357 debidas al presforzado, 354 de las losas armadas en dos direcciones, 392 de las placas planas, 438 método de los intervalos, para, 360 permisibles, 372 Deflexiones permisibles, 372 Deformación del concreto, 71 Desarrollo, longitud de, 188 Diagonal, tensión, 210 Dimensión del núcleo, 165 Diseño: ayudas para el, 555-565 bases del, 135 Diseño de las zonas de los extremos, 191 Distribución lateral de los momentos, 424 Diseño por esfue rzo co rtante según el Código del ACI, 227 Duramientes para vías de ferrocarril, 546 E Efectividad, relación de, 81, 141, 264 Efectivo, presfuerzo, 37 Eficiencia a la flexión, 163 Elástico, módulo: del acero, 51 del concreto, 67 Elásticos, esfuerzos: en las vigas, 82 en las vigas compuestas, 291 Equivalente, columna, 423 Equivalentes, cargas: deflexiones debidas a las, 354 en las vigas, 25, 171 ¡ en las vigas cont inua s, 322 ,,
método de diseño del ACI para, 473 Esfuerzo cortante de penetración, 428 Esfuerzo de adherencia, 188 Esfuerzo de agrietamiento diagonal, 215 Esfuerzo de apoyo permitido, 198 Esfuerzos de flexión: permitidos: en el concr eto, 92 después del agrietamiento, 124 en el acero, 94 en el concreto, 84 en las vigas compuestas, 290 en las vigas continuas, 320, 333 Esfuerzo de fluencia, equivalente, 60 Esfuerzos permisibles: en el acero, 94 en el concreto, 93 en las losas, 426 Esfuerzos principales en las vigas, 211 Espacio, marcos en el, 535 Estribos, 222 Excentricidad: límites de, 154 variación de la, 153 F
Factores de carga, ACI, 44, 46 Factores Q, 165 Ferrocarril, durmientes para vías de, 546 Flexión, eficiencia a la, 164 Flujo plástico: coeficiente de, 72, 275 del concreto, 71 específico, 72 pérdidas por, 275 variación del, con el tiempo, 73 Forma, selección de, 164 Freyssinet, E., 18, 49, 263, 345 Fricción, coeficientes de, 510 Fricción, pérdidas por, 270 Fuerza de los gatos, 37 G Gergely, P„ 194, 202 Grietas, anchura de las: cálculo de las, 202 permisibles, 203 Grietas, control de las, 200 H
Herrajes, para el postensado, 567-586
; I Indeterminadas, vigas, 3 11-342
K Kripanarayanan, K. M., 73
L Leonhardt, F., 346, 550 Lineal, transformación, 329 Longitud de transmisión, 188 Longitud efectiva de las columnas, 469 Losas: armadas en una dirección, 381 armadas en dos direcciones, soportadas en sus bordes, 384 deflexión de las losas armadas en dos di recciones, 392 de placa plana, 410 refuerzo mínimo en las, 381 tipos de, 379 Losas de armado en una dirección, 392 Losas de placa plana, 410 Losas soportadas en sus bordes, 385 LPG, instalaciones de la, 542 Lutz, L. A., 202 M
Malla de alambre, soldada, 57 Marco equivalente, método del para las deflexiones, 438 para el análisis a la flexión, 421 Marcos indeterminados, 342 Marinas, estructuras, 542 Marshall, W. T„ 194 Mattock, A. H., 194 Método de la viga, losas, 418 Método de las losas levantadas, 517 Método de los coeficientes, losas armadas en dos direcciones, 390 Método de los momentos de las áreas, 353 Miembros cargados axialmente , 455 Miembros sujetos a tensión: comportamiento de los, 477 diseño de, 484 Módulo de ruptura, 68 Módulo elástico: del acero, 52 del concreto, 67 Momento de inercia efectivo, 358 N Nawy, E. G., 203 Nomogramas, 475, Núcleo de la sección, 87 Núcleo de la sección trunsversal, 87 P
Par de torsión último, 247 Paraboloides hiperbólicos, 535 Patines, anchura efectiva de los, 104 Pavimentos, 540 PCI: detalles de conexiones, 502 métodos para las pérdidas, 282 Pérdidas: método de los intervalos para las, 283 por a cortamie nto elástico, 269 por co ntracción, 276 por deslizamiento en el anclaje, 268 por flujo plástico, 275 por fricción, 270 por relajamiento, 277 totales, 265 totales de la AASHTO, 266 Pérdida de la fuerza de presforzado, 37, 81, 263 Perfil de los tendones, 154 Piloteado, 544 Placas plegadas, 533 Plásticas, articulaciones, 336 Poisson, relación de, para el concreto, 66 Postensado, método del, 34 Postes para servicios, 547 Potyondy, .1. C„ 203 Precolado: de conexiones, 501 de miembros de construcción, 492 trabes de puentes, 517 Presforzado de línea larga, 34 Presforzado, fuerza para el, 38, 81, 263 con excentricidad, 171 variación: a lo largo del claro, 157 Presforzado parcial, 29, 119, 180 Presforzado, métodos de, 29 Presfuerzos iniciales, 38 Presión, ce ntro de, 321 Pretensado, 30 método de la línea larga, 33 Primario, momento, 317 Propiedades de esfuerzo-deformación: del acero presforzado, 61 de las varillas de refuerzo, 60 de los aceros comparados, 58 Prueba brasileña, 68 Puentes: AASHTO, sección estándar de la, 52 Í de cinta de esfuerzos, 531 de claro corto, 526 en voladizo, 529 precolados. 528 segmentados, 521 soportados por cables, 533
