CAPITULO IV DISEÑOS EXPERIMENTALES DE OPTIMIZACION 4.1 Introducción La región óptima de un proceso generalmente se determina después de una secuencia de experimentos realizados y una serie de modelos empíricos obtenidos. En muchas aplicaciones de ciencia e ingeniería, se conducen experimentos y se desarrollan modelos empíricos con el propósito de mejorar la respuesta de interés. Desde el punto de vista matemtico, el objetivo es encontrar las condiciones de operación !niveles de los "actores# X $, X %, ..., X ..., X k k &ue maximizan o minimizan minimizan las r &ue maximizan variables variables respuesta respuesta del sistema sistema Y $, Y %, ..., Y r r. En la optimización experimental, se aplican técnicas di"erentes de optimización para las ecuaciones respuesta ajustadas Y $, Y %,... Y r r.
En la optimización experimental, di"erentes técnicas de optimización se aplican a las ecuaciones respuesta ajustadas. Luego de &ue las ecuaciones ajustadas se aproximan adecuadamente a la verdadera !desconocida# respuesta del sistema, las condiciones óptimas de operación del modelo se 'aproximarn( a las condiciones de operación del verdadero proceso.
La optimización experimental mediante modelos de super"icie respuesta di"ieren de las técnicas clsicas de optimización al menos de tres maneras)
$. La optim ptimiz izac ació ión n expe experi rime ment ntal al es un proc roceso eso iter itera ativ tivo* es deci decir, r, los los experimentos conducidos en un primer conjunto de pruebas ajustados a un modelo modelo indican indican donde buscar buscar para mejorar las condicion condiciones es de operación operación en el próximo conjunto de experimentos. De este modo, los coe"icientes en las ecuac ecuacion iones es ajusta ajustadas das !o la "orma "orma de las ecuaci ecuacione ones s ajusta ajustadas das## puede pueden n cambiar durante el proceso de optimización. Esto es todo lo contrario a la optimización clsica en la cual la "unción a optimizar se supone &ue es "ija y no cambia.
119
%. Los Los mode modelo los s de resp respue uest sta a son son ajus ajusta tado dos s de dato datos s expe experi rime ment ntal ales es &ue &ue usualmente contienen variabilidad aleatoria debido a causas incontrolables o desconocidas. Esto implica &ue un experimento, si se repite, generar un mode modelo lo de supe super"i r"ici cie e resp respue uest sta a di"e di"ere rent nte e lo &ue &ue podr podría ía dar dar di"e di"ere rent ntes es condic condicion iones es óptima óptimas s de operac operación ión.. +or lo tanto, tanto, deberí debería a consid considera erarse rse la variabilidad del muestreo en la optimización experimental. En contraste, en las técnic técnicas as de optimi optimizac zación ión clsic clsica a las "uncio "unciones nes son deter determin miníst ística icas s y dadas. . Las respues respuestas tas ajustada ajustadas s son aproxim aproximaci acione ones s locale locales, s, implic implicand ando o &ue el proces proceso o de optimi optimizac zación ión re&uie re&uiere re la prese presenci ncia a del experi experimen mentad tador or !una !una persona "amiliarizada con el proceso#. Esto en contraste con la optimización cls lsica ica
donde onde todo todo est est autom utoma atiz tizado ado
a
trav través és de
un
algor lgorit itom omo o
computacional.
La meto metodo dolo logí gía a de supe super" r"ic icie ies s de resp respue uest sta, a, -/, -/, !ó /-, /-, /esp /espon onse se ur"ace -ethodology#, es un conjunto de técnicas matemticas y estadísticas, 0tiles para para modela modelarr y analiz analizar ar proble problemas mas en los cuale cuales s una una respue respuesta sta de interé interés s es consecuencia del e"ecto de varias variables, y el objetivo es optimizar la respuesta. +or ejemplo, un investigador desea determinar los niveles de temperatura, ! x ! x $ # y presión ! x ! x % # &ue maximicen el rendimiento !y !y # de un proceso. El rendimiento del proceso es "unción de los niveles de temperatura y presión, o sea) Y = f ( x1 , x 2 ) + ε
Donde ε representa el error error experimental observado observado en la respuesta respuesta Y . i la respuesta esperada se denota por E !Y # 1 f ! ! x x $, x % # 1 η , entonces la super"icie representado por) η = f ( x1 , x 2 )
e denomina super"icie de respuesta. Es posible representar gr"icamente la super"icie super"icie de respuestas respuestas como se muestra muestra en la 2igura 3.$, donde η se gr"ica gr"ica
120
contra los niveles x $
y x %. 4bsérvese &ue la respuesta se representa con una
super"icie sólida en un espacio tridimensional.
i!ur" 4.1# uper"icie respuesta tridimensional &ue muestra el rendimiento esperado como una "unción de la temperatura y presión
+ara visualizar mejor la "orma de una super"icie de respuesta, a menudo se gra"ican los contornos de dicha super"icie, como se muestran en la "igura en la proyección de la super"icie respuesta sobre el plano x $ x %. En esta gr"ica de contornos se trazan líneas de respuesta constante en el plano x $ , x % , cada contorno corresponde a una super"icie especí"ica de la super"icie de respuesta. 5al gr"ica es 0til para estudiar los niveles de x $ y x % &ue dan por resultados cambios en la "orma o altura de la super"icie respuesta.
En la mayoría de los problemas de -/, la "orma de la relación entre la respuesta y las variables independientes se desconoce. +or ello el primer paso en la -/ consiste en determinar una aproximación apropiada a la relación "uncional real entre Y y el conjunto de variables independientes. +or lo general, se emplea un polinomio de orden bajo sobre alguna región de las variables independientes. i la respuesta es descrita adecuadamente por una "unción lineal entre las variables independientes, la "unción de aproximación es el modelo de primer orden) 121
Y = β 0 + β 1 X 1 + +β 2 X 2 + ... + β k X k + ε
i existe curvatura en el sistema, entonces debe emplearse un polinomio de grado superior, tal como el modelo de segundo grado.
k
k
i =1
i =1
2 Y = β 0 + ∑ β i X i + ∑ β ii X i + ∑∑ β ij X i X j + ε i
j
La -/ es una técnica secuencial. 6 menudo, cuando se considera un punto sobre la super"icie respuesta alejado del óptimo, como las condiciones de operación actuales de la 2igura .%, el polinomio de primer grado es apropiado por&ue existe poca curvatura en el sistema. x
2
x
1
i!ur" 4.$) 7r"ica de contornos de la super"icie respuesta del rendimiento
En este caso el objetivo consiste en guiar al experimentador rpida y e"icientemente
a la cercanía general del punto óptimo. 8na vez &ue se ha
determinado la región del punto óptimo, puede emplearse un modelo ms elaborado, como por ejemplo el de super"icie de respuesta de segundo grado, y realizar un anlisis para localizar el óptimo. 6 partir de la "igura .$, se observa &ue el anlisis de la super"icie de respuesta puede interpretarse como el 9ascenso a la
122
loma9, donde la cima representa el punto de la respuesta mxima. i el óptimo real es un punto de respuesta mínima, se puede pensar en el 9descenso hacia un valle9.
4.$
Di%&'o C&ntr"( Co)*u&%to Los Dise:os ;entrales ;ompuestos de ilson, com0nmente llamados dise:os centrales compuestos, contienen embebidos un "actorial completo o un "actorial "raccionado con puntos centrales ms puntos estrella &ue permiten la estimación de la curvatura. i la distancia del centro del dise:o al punto "actorial es ±$ unidades para cada "actor, la distancia del centro del dise:o hasta el punto estrella es ±α con |α|?$. El valor preciso de α depende de ciertas propiedades deseadas para el dise:o y del n0mero de "actores involucrados.
Los dise:os centrales compuestos utilizan un conjunto grande de "actores cuantitativos con menos puntos &ue un dise:o "actorial multinivel y sin una gran pérdida de e"iciencia. Estn constituidos por dos clases de dise:os) 8n "actorial y una estrella. +or ejemplo en un estudio de tres "actores los ocho puntos del dise:o central compuesto lo constituye un "actorial % . La porción estrella del dise:o consiste de puntos adicionales ubicados a igual distancia del centro del cubo con un radio &ue atraviesa los puntos centrales de cada cara del cubo, denominndose a la distancia del centro del cubo a cada uno de esos puntos distancia axial de la estrella.
i!ur" 4.+) Dise:os centrales compuestos para k 1% y k 1
123
Los dise:os centrales compuestos son ventajosos por dos motivos) La ortogonalidad y la rotabilidad. La ortogonalidad nos permite mediar e"ectos deseados independientemente uno de otro. Los dise:os no ortogonales implican la dependencia entre e"ectos, lo &ue no es deseable en la experimentación. +or otro lado la rotabilidad implica &ue podemos estimar la respuesta con igual varianza respecto a la dirección del centro del dise:o.
+ara elaborar el dise:o central compuesto se debe tener en cuenta &ue est constituido por tres partes)
•
8n blo&ue "actorial %@ a dos niveles A$.
•
8n blo&ue estrella con %@ puntos adicionales, donde cada "actor toma los niveles codi"icados A % @B3.
•
8n punto central de niveles codi"icados !C, C, # &ue se repite en "orma conveniente con el objeto de determinar el error experimental.
6sí por ejemplo, para optimizar un proceso con dos variables !k 1%#, el primer blo&ue lo constituye un "actorial %%, el segundo blo&ue estrella un conjunto de %x% pruebas y el tercer blo&ue repeticiones en el centro ! ó ms#.
N
x 1
x $
$ % 3 F G H I J $C $$
=$ $ =$ $ =$,3$ $,3$ C C C C C
=$ =$ $ $ C C =$,3$ $,3$ C C C
T",(" 4.1# Dise:o compuesto central k 1 % +ara el caso &ue deseemos optimizar un proceso con tres "actores, el dise:o central compuesto estaría constituido por un primer blo&ue "actorial % , un blo&ue estrella de %x pruebas y un blo&ue con repeticiones en el centro. 124
K $ % 3 F G H I J
x $ =$ $ =$ $ =$ $ =$ $ =$,GI
x % =$ =$ $ $ =$ =$ $ $ C
x =$ =$ =$ =$ $ $ $ $ C
$C $$ $% $ $3 $F $G $H
$,GI C C C C C C C
C =$,GI $,GI C C C C C
C C C =$,GI $,GI C C C
T",(" 4.$# Dise:o compuesto central @ 1 . +ara ms de tres variables, la ventaja, para el dise:o compuesto central en términos de pruebas, se hace ms notoria, puesto &ue la parte "actorial se puede "raccionar convenientemente.
3 F G
N %G 33 3G
Co)&nt"rio ;ompleto 2racción 2racción
T",(" 4.+# /elación entre k y N para el dise:o central compuesto A.
Int&r*r&t"ción d&( )od&(o d& %&!undo ord&n 8n modelo de segundo orden con dos variables, k 1%, se da por) 2
2
E (Y ) = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 11 X 1 + β 22 X 2 + β 12 X 1 X 2
Dependiendo de los valores de los coe"icientes, se puede describir di"erentes super"icies de respuesta. Los ms comunes son a&uellos con un 125
mximo, un mínimo, ó un punto 9silla de caballo9. 7r"icos de los contornos de estos tres tipos de super"icies se muestran en la "igura siguiente.
i!ur" 4.4# 7r"ica de super"icies y contornos de modelos de segundo orden ) a#mximo* b#mínimo, c#9silla de caballo9.
6lejndose del punto crítico !el punto del óptimo# en cual&uier dirección, resulta en una disminución !o incremento# de la respuesta. in embargo, en el caso del punto 9la silla de caballo9 el experimentador puede obtener un incremento o disminución en la respuesta cuando se aleje del punto crítico, dependiendo de la dirección &ue tome.
+ara determinar el punto crítico, denominado también el punto estacionario , se establece las siguientes derivadas igual a cero)
∂ E ( y ) ∂ X 1
= β 1 + 2 β 11 X 1 + β 12 X 2 = 0
126
∂ E ( y ) ∂ X 2
= β 2 + 2 β 22 X 2 + β 12 X 1 = 0
Esto conduce a determinar el punto estacionario, seg0n)
X 1, 0
β 12 β 2 2 β 22 β 1 4 β 11 β 22 β 122 −
=
−
X 2 ,0
β 12 β 1 2 β 11 β 2 4 β 11 β 22 β 122 −
=
−
+ara determinar la naturaleza de la super"icie en el punto estacionario, se debe investigar la segunda derivada)
∂ 2 E (Y ) ∂ 2 E (Y ) ∂ 2 E (Y ) = 2 β 11 ; = β 12 ; = 2 β 22 ∂ X 1 ∂ X 2 ∂ X 12 ∂ X 22
i las dos soluciones de la ecuación cuadrtica (2 β 11
−
λ )(2 β 22
−
λ ) β 122 −
=
0
ean λ$ y λ% son ambas negativas, la "unción tiene un mximo en el punto estacionario !$,C , %,C#. i ambas son positivas existe un mínimo* sin embargo, si se presentan di"erentes signos, se trata de una super"icie de 9silla de caballo9.
6hora, existen diversos métodos analíticos &ue se pueden utilizar para investigar la naturaleza de las super"icies de respuesta. +or ejemplo en el caso de la 9silla de montar9, esos métodos indican la dirección en la &ue se debe de mover a "in de incrementar la respuesta. En el caso mximo, esos métodos indican la dirección en la &ue la disminución de la respuesta es la ms lenta. Esta in"ormación es importante, ya &ue indican al experimentador la dirección en la cual la respuesta es menos sensible a cambios en los "actores de 127
ingreso. Esos métodos estn "uera del objetivo de este curso y tan solo se indicarn &ue con k 1% "actores, se puede gra"icar los contornos de la super"icie estimada de segundo orden y e"ectuar evaluaciones gr"icas.
La siguiente tabla resume las propiedades de las tres variedades de dise:os centrales compuestos. La "igura siguiente ilustra las relaciones entre estas variedades.
Ti*o
;ircunscrito
Nnscrito
;entrado ;ara
T&r)ino(o!"
Co)&nt"rio
;;;
;;; es la "orma original del dise:o central compuesto. Los tos estrella se encuentran a la distancia α del centro basado en las propiedades deseadas del dise:o y del n0mero de "actores.Los puntos estrella establecen los nuevos extremos para los niveles bajos y altos de todos los "actores. Estos dise:os tienen "orma circular, es"érica o hiperes"érica simetría y re&uieren F niveles para cada "actor. 6umentando puntos estrella a un "actorial existente o a un "actorial "raccionado de resolución M se produce este dise:o.
;;N
+ara a&uellas situaciones en las cuales los límites especi"icados para los "actores sean verdaderos límites, el dise: ;;N usa las especi"icaciones del "actor como puntos estrella y crea un "actorial o "actorial "raccionado dentro de estos límites !en otras palabras, un dise:o ;;N es un sub=dise:o de un dise:o ;;; con cada nivel del "actor del dise:o ;;; dividido por α para generar el dise:o ;;N#. Este dise:o también re&uiere F niveles por cada "actor.
;;2
En este dise:o los puntos estrella son el centro de cada cara del espacio "actorial, de modo &ue α ±$. Esta variedad re&uiere niveles por cada "actor. 6umentando puntos estrella en "orma apropiada a un "actorial existente o dise:o de resolución M también se puede general este dise:o.
TA/LA 4.4# Di%&'o% C&ntr"(&% Co)*u&%to%
128
I0URA 4. ;omparación de los tres tipos de Dise:os ;entrales ;ompuestos Los diagramas en la "igura anterior ilustran los tres tipos de dise:os centrales compuestos para dos "actores. Kotemos &ue el ;;; explora el proceso en un espacio ms grande y el ;;N en el espacio ms pe&ue:o. Los dise:os ;;; y ;;N son dise:os rotables, pero el ;;2 no lo es. En el dise:o ;;;, los puntos describen un círculo circunscrito en el "actorial cuadrado. +ara tres "actores, los puntos del dise:o ;;; describen una es"era alrededor de un cubo "actorial.
/.
E2&)*(o d& "*(ic"ción
129
La e"iciencia de extracción de un contaminante metlico de un e"luente mediante una resina orgnica se cree &ue depende de los siguientes "actores)
2actores 6B4 pO
Kivel !=$# C,3 %,F
Kivel !$# C,I ,F
T",(" 4.) 2actores y niveles para el D;; uponiendo &ue el laboratorio de pruebas est simulado por la siguiente ecuación matemtica)
(
)
%
(
)
% % E (%)=$CC−$F pH − C,F A +$ −3,F %− A +%*aleatorio()−$ O O
a# e pide realizar un dise:o preliminar para determinar cules de los "actores son ms signi"icativos al nivel del FP. En el anlisis debe incluirse solamente e"ectos principales y curvatura. 2ormule el modelo matemtico respectivo. b# 8tilizando el modelo matemtico anterior y mediante el método del mximo ascenso indi&ue los nuevos intervalos de experimentación &ue se realizar en la siguiente etapa de optimización para lograr una e"iciencia mayor a JP. c# /ealice un dise:o central compuesto para encontrar los niveles óptimos de los "actores &ue maximicen la extracción del contaminante metlico !mayor a JP#.
So(ución# ;omo el proceso tiene k 1% bastar empezar con un dise:o "actorial completo %%, cuya matriz dise:o y sus resultados obtenidos con el modelo son los siguientes.
6B4 C.3
pO %.F 130
E!P# H$.J
C.I C.3 C.I C.G C.G C.G
%.F .F .F
II.FG %F.$$ FH.3J GF.F$ GF.33 GF.3C
T",(" 4.3# /esultados obtenidos luego de aplicar el dise:o "actorial % % En primer lugar se calculan los e"ectos de cada uno de los "actores &ue intervienen en la extracción del contaminante metlico.
2actores
AO *5 AO 6 *5
E"ectos %3,HI =I,GI H,G$
T",(" 4.7# E"ectos estimados del dise:o % % De la tabla podemos observar &ue el e"ecto ms signi"icativo es el e"ecto del pO, puesto &ue a mayor pO la extracción disminuye I,GIP. El e"ecto de la relación 6B4 es positivo, pero menor al e"ecto del pO. +or lo tanto podemos concluir &ue el "actor controlante del proceso es el pO. Esto también podemos observarlo en el diagrama de +areto &ue se muestra a continuación.
131
0r89ico 4.3# Diagrama de +areto de los e"ectos +ara averiguar si e"ectivamente los e"ectos son realmente signi"icativos al nivel del FP, es necesario comparar sus varianzas con la varianza del error. Esto se observa en la siguiente tabla.
T",(" 4.:# 6nlisis de Marianza para los e"ectos De la tabla podemos concluir &ue los tres e"ectos !6B4, pO y la interacción# son signi"icativos al nivel del FP, esto por &ue sus valores de p son menores a C,CF. De los resultados obtenidos podemos observar también en la tabla ,3 &ue el mejor resultado !II,FGP# se obtuvo con 6B41C,I y pO1%,F. ;omo el objetivo es lograr extracciones superiores a JP, debemos utilizar el método del mximo ascenso con el modelo matemtico obtenido, manipulando la variable ms signi"icativa, en este caso el pO. E (%) = 210 − 52,14
A A − 61,49 pH + 38 pH O O
132
T",(" 4.;) -étodo del mximo ascenso De la tabla podemos concluir &ue para obtener extracciones superiores al JP, los nuevos rangos de experimentación sern)
"ctor&% Ni<&( =>1? Ni<&( =@1? 6B4 pO
C,HF %,%
C,I %,
T",(" 4.1# Kuevos rangos de experimentación obtenidos con el método del mximo ascenso
6hora podemos entonces, realizar un dise:o central compuesto para k 1%. La matriz dise:o, así como los resultados obtenidos mediante el modelo de simulación se muestran en la siguiente tabla.
6B4 C.HF C.IC C.HF C.IC C.H3 C.I$
pO %.%C %.%C %.C %.C %.%F %.%F
133
E!P# J%.C J.I IJ.IG J%.$H J$.F J%.3
C.HI C.HI C.HI C.HI C.HI
%.$I %.% %.%F %.%F %.%F
J$.JG JC.FG J$.%H J$.$ J$.C
T",(" 4.11# /esultados del dise:o central compuesto Los resultados del dise:o ajustados a un modelo de segundo orden, nos proporciona lo siguiente)
2
A A − 478,41 pH + 711,35 E (%) = 1268,44 −1632,14 + 60,83 pH 2 + 246 pH O O O A
0r89ico 4.7# uper"icie respuesta para la extracción de contaminante metlico 4ptimizando el modelo polinómico obtenemos la mxima extracción y los niveles óptimos.
T",(" 4.1$) ;ondiciones óptimas para extracción ?JP 134
+ara observar mejor la zona de trabajo donde obtendríamos extracciones superiores a JP, es muy conveniente representar el modelo matemtico, mediante un gr"ico de contornos, como se muestra a continuación.
Zona óptima
0r89ico 4.:# 7r"ico de contornos para la extracción de contaminante metlico
4.+
Otro% Di%&'o% d& O*ti)iB"ción 4.+.1 Di%&'o d& /o6>/&n-&n 4tra alternativa para la estimación de super"icies de respuesta es el uso de los dise:os de
. ;abe aclarar &ue el
ahorro es mínimo cuando el n0mero de "actores est entre cinco y siete. La segunda es &ue en estos dise:os existen solamente tres niveles !estos es, cada "actor se controla en =$, C, $#, mientras &ue los dise:os compuestos centrales tienen cinco niveles !esto es, =α, =$, C $, α#. 6dems al mantener el n0mero de niveles al mínimo "acilita
la administración del programa
experimental.
El dise:o de
considerado se mantiene en cero o en su nivel medio, a:adiendo los
puntos centrales. La estructura
es la misma si se tienen de tres a cinco
"actores* cuando se tienen de seis a nueve el dise:o est integrado con "actoriales
% puntos centrales.
0r89ico 4.;) Dise:o
N $ % 3 F G H I J $C $$ $% $ $3
x 1
=$ $ =$ $ =$ $ =$ $ C C C C C C
x $
=$ =$ $ $ C C C C =$ $ =$ $ C C 136
x +
C C C C =$ =$ $ $ =$ =$ $ $ C C
$F
C
C
C
T",(" 4.1+# -atriz Dise:o
se encuentra entre
in embargo, tienen la desventaja &ue al utilizar
experimentación secuencial no se basan en el "actorial %@. Esto signi"ica &ue el
dise:o completo de super"icie de respuesta se implementa, sin haber
ejecutado el dise:o en su "orma restringida
!esto es, "actorial puntos
centrales#, para determinar la necesidad de experimentos adicionales con el "in de separar los "actores cuadrticos.
Debido a esto se debe escoger un dise:o compuesto central, a menos &ue se tenga la seguridad &ue se re&uiere un dise:o de super"icie de respuesta completo o &ue es ventajoso tener tres niveles en cada "actor.
4.+.$ Di%&'o Dr"*&r>Lin on pe&ue:os dise:os centrales compuestos D;; no balanceados y con una mínima cantidad de puntos. Ko son rotables y son extremadamente sensibles a los puntos extremos. La selección del valor de α para asegurar el blo&ueo ortogonal para , 3 y G "actores se calcula de la manera usual. +ara F, H, I, J y $C "actores no existe un valor de α &ue asegure la ortogonalidad.
K
1 $ + 4 3 7 :
x $ C $ $ $ =$ $ =$ =$
x % C $ $ =$ =$ $ =$ $
137
x C $ =$ $ =$ =$ $ $
x 3 C =$ =$ $ $ $ =$ $
; 1 11 1$ 1+ 14 1 13 17 1:
=$ =$,3$ $,3$ C C C C C C C
=$ C C =$,3$ $,3$ C C C C C
=$ C C C C =$,3$ $,3$ C C C
=$ C C C C C C =$,3$ $,3$ C
T",(" 4.14# -atriz dise:o Draper=Lin para k 13
4.+.+ Di%&'o "ctori"( +Este es un dise:o &ue consta de k "actores con tres niveles cada uno. Los "actores y las interacciones
se representarn mediante
letras
may0sculas. in pérdida de generalidad, los tres niveles de lo "actores pueden re"erirse como nivel in"erior, intermedio
y superior. Estos niveles se
representan mediante dígitos =$ !nivel in"erior#, C!intermedio# y $ !superior#. ;ada combinación de tratamientos de un dise:o @ se representa mediante k dígitos, donde el primero indica el nivel 6, el segundo dígito se:ala el nivel <,... y el k =ésimo dígito , el nivel del "actor k .
El experimentador
preocupado por la curvatura en la "unción de
respuesta a menudo considera el dise:o @. La adición de un tercer nivel permite modelar con una relación cuadrtica la relación entre la respuesta y cada "actor, sin embargo es necesario considerar dos aspectos)
•
El dise:o @ no es el mejor medio para modelar una relación cuadrtica, los dise:os de super"icie de respuesta , considerados anteriormente, son mejores alternativas.
•
El dise:o %@ aumentado con puntos centrales, es un excelente medio para obtener una indicación de curvatura, pues permite mantener
138
reducidos el tama:o y la complejidad del dise:o y al mismo tiempo obtener cierta protección contra la curvatura.
En el caso &ue se estudien tres "actores ! x $, x %, x #, y &ue cada "actor tiene tres niveles acomodados en un experimento "actorial. Este es un dise:o y el arreglo experimental, así como la notación de las combinaciones de tratamientos se muestran en la "igura .J.
i!ur" 4.1# ;ombinaciones tratamientos en un dise:o Las combinaciones de tratamientos tienen %G grados de libertad. ;ada e"ecto principal tienen % grados de libertad, cada interacción de dos "actores tiene 3, y la interacción de tres "actores tiene I grados de libertad. i hay n réplicas, habr un total de n = $ grados de libertad y el error tendr !n =$# grados.
Las sumas de cuadrados pueden calcularse usando los métodos estndares para los dise:os "actoriales. 6dems si los "actores son cuantitativos y e&uidistantes, los e"ectos principales se pueden descomponer en los componentes lineales y cuadrticos cada uno con un solo grado de libertad.
E2&)*(o upongamos &ue en el ejemplo anterior, en lugar del dise:o central compuesto, utilizamos un "actorial %, tendríamos la siguiente matriz y resultados.
139
6B4 C.HF C.HI C.IC C.HF C.HI C.IC C.HF C.HI C.IC C.HI C.HI C.HHF
pO %.%C %.%C %.%C %.%F %.%F %.%F %.C %.C %.C %.%F %.%F %.%F
E!P# J$.C$ J$.J J$.JI J$.C% J$.C J%.GG JC.F3 JC.GF J%.3C J%.3% J$.HH J$.C3
T",(" 4.1) -atriz dise:o y resultados por el "actorial % En este caso el modelo de segundo grado ajustado a los datos del problema es el siguiente) 2
A A A 2 E (%) = −275,38 −1201,5 + 732,42 pH + 536 −194 pH +178 pH O O O La super"icie respuesta correspondiente al modelo polinómico es la siguiente.
140
0r89ico 4.11# uper"icie respuesta del proceso de extracción utilizando un "actorial %
Derivando convenientemente el polinomio obtenido, podemos determinar las condiciones óptimas de operación.
T",(" 4.13) Kiveles óptimos para el proceso de extracción
141
