R O D A R G E T N I O J A B A R T
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Tabla de contenido INTRODUCCIÓN. INTRODUCCIÓN............................................................... ............................................................................................ ............................................................. ............................................................. ................................. ... 2 CINÉTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS............................................................. ........................................................................................... ..................................................... .......................2 5.1 Introducción .............................................................. ............................................................................................ ............................................................. ........................................................... ............................2 5.2. Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido................................................ rígido............................................................................... ................................... 2 Ejemplo 1 ............................................................. ........................................................................................... ............................................................. ............................................................. ...................................... ........3 Ejemplo 2 ............................................................. ........................................................................................... ............................................................. ............................................................. ...................................... ........4 5.3. Momento angular de un cuerpo rígido en el plano.......................................................... ............................................................................ ..................5 Ejemplo 1 ............................................................. ........................................................................................... ............................................................. ............................................................. ...................................... ........7 Ejemplo 2 ............................................................. ........................................................................................... ............................................................. ............................................................. ...................................... ........9 5.4. Movimiento de un cuerpo rígido............................................................... ............................................................................................ ............................................. ............... 10 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 11 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 12 5.5. Segunda Ley de Newton........................................................... ......................................................................................... ............................................................. ................................... ..... 14 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 15 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 16 Trabajo y energía. .......................................................................... ......................................................................................................... .............................................................. ........................................ ......... 17 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 18 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 20 5.7. Impulso y cantidad de movimiento mo vimiento.......................................................... ........................................................................................ ............................................. ............... 21 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 22 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 25 Cuadro Sinóptico Cinética de los cuerpos rígidos ................................................................................... ................................................................................... 27 VIBRACIONES MECÁNICAS MECÁNICAS ............................................................ ........................................................................................... ............................................................. ........................................ .......... 28 6.1. Vibraciones sin amortiguamiento. amortiguamiento. ........................................................... ......................................................................................... ............................................. ............... 28 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 29 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 30 6.2. Vibraciones con amortiguamiento. amortiguamiento. .............................................................................. ....................................................................................................... ......................... 31 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 32 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 33 Cuadro Sinóptico de Vibraciones Mecánicas. .............................................................. ............................................................................................ .............................. 36 Cuadro Comparativo........................................................... ......................................................................................... ............................................................. .................................................. .................... 37 CONCLUSIÓN. .............................................................. ............................................................................................ ............................................................. ............................................................. .............................. 38
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Tabla de contenido INTRODUCCIÓN. INTRODUCCIÓN............................................................... ............................................................................................ ............................................................. ............................................................. ................................. ... 2 CINÉTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS............................................................. ........................................................................................... ..................................................... .......................2 5.1 Introducción .............................................................. ............................................................................................ ............................................................. ........................................................... ............................2 5.2. Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido................................................ rígido............................................................................... ................................... 2 Ejemplo 1 ............................................................. ........................................................................................... ............................................................. ............................................................. ...................................... ........3 Ejemplo 2 ............................................................. ........................................................................................... ............................................................. ............................................................. ...................................... ........4 5.3. Momento angular de un cuerpo rígido en el plano.......................................................... ............................................................................ ..................5 Ejemplo 1 ............................................................. ........................................................................................... ............................................................. ............................................................. ...................................... ........7 Ejemplo 2 ............................................................. ........................................................................................... ............................................................. ............................................................. ...................................... ........9 5.4. Movimiento de un cuerpo rígido............................................................... ............................................................................................ ............................................. ............... 10 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 11 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 12 5.5. Segunda Ley de Newton........................................................... ......................................................................................... ............................................................. ................................... ..... 14 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 15 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 16 Trabajo y energía. .......................................................................... ......................................................................................................... .............................................................. ........................................ ......... 17 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 18 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 20 5.7. Impulso y cantidad de movimiento mo vimiento.......................................................... ........................................................................................ ............................................. ............... 21 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 22 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 25 Cuadro Sinóptico Cinética de los cuerpos rígidos ................................................................................... ................................................................................... 27 VIBRACIONES MECÁNICAS MECÁNICAS ............................................................ ........................................................................................... ............................................................. ........................................ .......... 28 6.1. Vibraciones sin amortiguamiento. amortiguamiento. ........................................................... ......................................................................................... ............................................. ............... 28 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 29 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 30 6.2. Vibraciones con amortiguamiento. amortiguamiento. .............................................................................. ....................................................................................................... ......................... 31 Ejemplo 1................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 32 Ejemplo 2................................................................................. ................................................................................................................ ............................................................. ............................................. ............... 33 Cuadro Sinóptico de Vibraciones Mecánicas. .............................................................. ............................................................................................ .............................. 36 Cuadro Comparativo........................................................... ......................................................................................... ............................................................. .................................................. .................... 37 CONCLUSIÓN. .............................................................. ............................................................................................ ............................................................. ............................................................. .............................. 38
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INTRODUCCIÓN. En el siguiente trabajo integrador hablaremos y explicaremos con ejemplos la unidad 5 cinéticas de cuerpos rígidos y la unidad 6 vibraciones mecánicas, se definirán conceptos que ayudaran al entendimiento de cada tema, de igual manera se establecerán algunos ejemplos que ilustraran los mismos.
Se pretende ejemplificar de manera más fácil cada concepto para obtener una perspectiva más clara acerca de cada unidad, se anexaran cuadros sinópticos de cada unidad y un cuadro comparativo del contenido de la unidad vibraciones mecánicas.
CINÉTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS 5.1 Introducción Un cuerpo rígido se puede entender como una distribucin continua de materia
que se subdivide en pequeos elementos arbitrarios de volumen y masa, que son las partculas del sistema. El movimiento general de un cuerpo rgido es entonces un caso particular del movimiento de un sistema de partculas unidas rgidamente entre s. En general, un slido en el espacio tiene seis grados de libertad, es decir, su configuracin queda determinada unvocamente por seis coordenadas independientes. La posicin de un punto O en el cuerpo queda especificada por sus tres coordenadas en un sistema fijo. Para especificar la orientacin del cuerpo en el espacio se requieren tres coordenadas adicionales. En este ca ptulo se estudia la forma de especificar la orientacin. Entre muchos sistemas utilizados para este fin, uno de los ms simples es el de los Angulos de Euler. 5.2. Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido El movimiento de un cuerpo rígido en el espacio sigue las leyes generales enunciadas para sistemas de partículas. Se estudia por separado el movimiento traslacional y el movimiento rotacional. El movimiento de traslación del cuerpo corresponde al movimiento del centro de masa. El movimiento de rotación corresponde al movimiento con respecto al centro de masa. Movimiento del Centro de Masa: El centro de masa se mueve como una partícula de masa igual a la masa total M del sólido, sometido a la fuerza externa neta F. La ecuación del movimiento traslacional del centro de masa es: F = MA Donde A es la aceleración del CM medida con respecto al origen de un sistema inercial.
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Movimiento en torno al Centro de Masa: El movimiento en torno al centro de masa se describe mediante la ecuación general del movimiento angular para un sistema de partículas: c = H c
τ
Donde τc es el torque externo neto ejercido sobre el sistema, medido con respecto al centro de masa y Hc es el momento angular del sistema con respecto al centro de masa. Ejemplo 1
Una esfera homogénea de masa m y radio R rueda sin deslizar por un plano inclinado con un ángulo β.
Datos: β = 30 o; m = 0.5 kg; R = 15 cm; L = 2.5 m; I CM = (2/5) mR2 .
a) Dibujar las fuerzas que actúan sobre la esfera y expresar las ecuaciones de la dinámica de rotación y de traslación. b) Calcular la aceleración del centro de masas, la aceleración angular con respecto al centro de masas y la fuerza de rozamiento. c) Si inicialmente se encontraba en reposo, calcular la velocidad del CM y la velocidad angular de rotación cuando ha rodado por el plano una longitud L. a)
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b)
c)
Ejemplo 2
Un listón homogéneo de longitud L = 2 m y masa m = 1 kg está clavado en la pared por su punto medio (O), de forma que puede girar libremente en torno a ese punto. Sobre él se aplican las fuerzas F1 = F2 = 4 N y F3 = 6 N, según la figura. Dato: ICM = (1/12)
mL
2
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a) Determinar el valor de d para que el listón esté en equilibrio estático, así como el valor de la normal en el punto O.
0.75 m, determinar la aceleracin angular α del listn en funcin del ngulo θ que barre, suponiendo que las fuerzas son b) Si se duplica el módulo de F3 y
d =
siempre verticales.
a)
b)
5.3. Momento angular de un cuerpo rígido en el plano Consideremos un sólido de forma arbitraria que rot a con velocidad angular ω con respecto a un eje Z que, para simplificar, consideraremos fijo con respecto a un sistema de referencia inercial, tal y como se muestra en la siguiente figura:
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Cada partícula del sólido describe un movimiento circular con velocidad angular ω y su momento angular calculado con respecto al origen O viene dado por:
El momento angular del sólido con respecto a O es simplemente el momento angular de un sistema de partículas, es decir, la suma de los momentos angulares de todas las partículas del sistema.
Como veremos a continuación, es más interesante calcular la proyección del momento angular de la partícula sobre el eje de giro, que viene dada por:
De las figuras anteriores se deduce que el radio de giro (Ri) de la partícula i-ésima del sólido y la velocidad lineal de dicha partícula son respectivamente:
Sustituyendo en la ecuación anterior, la proyección del momento angular de la partícula i-ésima sobre el eje de giro queda:
La proyección del momento angular del sólido rígido sobre el eje de giro Lz será la suma de las proyecciones de todas las partículas del sólido sobre dicho eje:
El sumatorio que aparece en la ecuación anterior es el momento de inercia I del sólido con respecto al eje de giro. Veremos su significado físico cuando obtengamos
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la ecuación del movimiento de rotación de un sólido. Sus unidades en el Sistema Internacional son kg m2, y se define:
Finalmente, la proyección del vector momento angular del sólido es:
Ejemplo 1 El sistema de la figura está formado por dos masas m 1 y m2 unidas por una cuerda inextensible mediante una polea de masa M y radio R. Entre m 1 y el plano
inclinado el coeficiente de rozamiento cinético es μ y entre el plano horizontal y m 2 no hay rozamiento. Inicialmente el sistema se encuentra en reposo y se suelta, moviéndose como se indica en la figura.
a) Para cada elemento del sistema dibujar las fuerzas que actúan y expresar las ecuaciones del movimiento. b) Calcular la aceleración de los bloques y las tensiones en la cuerda. c) Cuando los bloques llevan una velocidad de v = 0.6 m/s, calcular el momento angular de la polea con respecto al CM, su energía de rotación y la energía total del sistema.
a)
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b)
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c)
Ejemplo 2 Una esfera homogénea de masa m y radio R rueda sin deslizar por un plano inclinado con un ngulo β. Datos: β= 30º, m= 0.5 kg: R = 15 cm: L= 2.5m; ICM = (2/5) mR2.
a) Dibujar las fuerzas que actúan sobre la esfera y expresar las ecuaciones de la dinámica de rotación y de traslación. b) Calcular la aceleración del centro de masas, la aceleración angular con respecto al centro de masas y la fuerza de rozamiento. c) Si inicialmente se encontraba en reposo, calcular la velocidad del CM y la velocidad angular de rotación cuando ha rodado por el plano una longitud L.
a)
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b)
c)
5.4. Movimiento de un cuerpo rígido. Un cuerpo rígido es aquel cuya forma no varía pese a ser sometido a la acción de fuerzas externas. Eso supone que la distancia entre las diferentes partículas que lo conforman resulta invariable a lo largo del tiempo.
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El cuerpo rígido es un modelo ideal que se utiliza para realizar estudios de cinemática y de mecánica. Sin embargo, en la práctica, todos los cuerpos se deforman, aunque sea de forma mínima, al ser sometidos al efecto de una fuerza externa. Por lo tanto, las máquinas y las estructuras reales nunca pueden ser consideradas absolutamente rígidas.
La Cinemática podemos establecer que es una rama científica, concretamente enmarcada dentro del campo de la Física, que tiene como objeto de estudio lo que son los movimientos de los cuerpos, sin tener en consideración lo que son las presiones o fuerzas a las que se ven sometidos. Asimismo es importante resaltar el hecho de que la mencionada disciplina científica desarrolla sus estudios y análisis teniendo tres pilares fundamentales para ello. Estos no son otros que el tiempo, el espacio y el móvil. Todo ello da lugar a que posteriormente se trabaje con lo que es el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, el movimiento armónico simple, el movimiento rectilíneo, el movimiento circular o el movimiento parabólico, entre otros. Con la rotación, las partículas se mueven en relación a un eje con la misma velocidad y aceleración angular. Cuando la traslación y la rotación se combinan, aparece el movimiento general, que es estudiado a partir de la traslación y la rotación del centro de masa. Ejemplo 1
Un ferrocarril se mueve con velocidad constante de 25 km/h hacia el este. Uno de sus pasajeros, que originalmente est sentado en una ventanilla que mira al norte, se levanta y camina hacia la ventanilla del lado opuesto con un velocidad, relativa al ferrocarril, de 8 km/h. ¿Cuál es la velocidad absoluta del pasajero?
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Dibujaremos un diagrama de vectores que represente la ecuación anterior.
Ejemplo 2 Un avión A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avión, B, viaja en línea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razón de 30 ft/s.s. Determine la velocidad y
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aceleración relativas del avión A respecto al B.
Resolución:
La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B ms la velocidad absoluta de B.
Con el diagrama de vectores que representa la ecuación anterior se muestra que:
La aceleración de A es normal a la velocidad y su magnitud
Entonces:
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De la figura que representa la ecuación:
5.5. Segunda Ley de Newton. La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera: F=ma
Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como: F=ma
La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea, 1 N = 1 Kg · 1 m/s2
La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa. Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:
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p=m·v
La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s. En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera: La Fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir, F = dp/dt
De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos: F = d(m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v
Como la masa es constante dm/dt = 0
y recordando la definición de aceleración, nos queda F=ma
tal y como habíamos visto anteriormente. Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que: 0 = dp/dt
es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo.
Ejemplo 1 Una fuerza le proporciona a la masa de 2,5 Kg. una aceleración de 1,2 m/s2. Calcular la magnitud de dicha fuerza en Newton y dinas.
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Datos m = 2, 5 Kg. a =1, 2 m/s2. F =? (N y dyn) Solución Para calcular la fuerza usamos la ecuación de la segunda ley de Newton:
Sustituyendo valores tenemos:
Como nos piden que lo expresemos en dinas, bastará con multiplicar por 105, luego:
Ejemplo 2 ¿Qué aceleración adquirirá un cuerpo de 0,5 Kg. cuando sobre él actúa una fuerza de 200000 dinas?
Datos: a =? m = 2,5 Kg. F = 200000 dyn
Solución La masa está dada en M.K.S., en cambio la fuerza está dada en c.g.s. Para trabajar con M.K.S. debemos transformar la fuerza a la unida M.K.S. de esa magnitud (N)
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La ecuación de la segunda ley de Newton viene dada por:
Despejando a tenemos:
Sustituyendo sus valores se tiene:
Trabajo y energía. Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
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Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y q el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s. Ejemplo 1 Tres remolcadores llevan un barco hacia su dársena, tirando cada uno con una fuerza constante de 3 x 105 N en un recorrido de 500 m, como indica la figura. Si la fuerza de rozamiento que ejerce el agua sobre el barco es de 1 x 105 N, determinar:
a) La resultante de las fuerzas que actúan sobre el barco. b) El trabajo que realiza la fuerza resultante.
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El primer requerimiento que nos hace el ejercicio es, simplemente, una suma de fuerzas que se resuelve del mismo modo que lo hicimos en estática y dinámica. Voy a desestimar las fuerzas verticales: el peso del barco y el empuje que lo hace flotar. Ambas fuerzas -normales a la superficie- sabemos que no aportan a la resultante porque en el eje vertical la aceleración es nula: el barco no se hunde, ni levanta vuelo. Las fuerzas no son colineales, de modo que voy a tener que descomponer alguna de ellas y reemplazarlas por sus componentes paralelas a los ejes de referencia. Ten en cuenta que:
R1x = R1 cos 37º, R1y = R1 sen 37º R3x = R1 cos 37º, R3y = R3 sen 37º
El asunto queda así:
ΣFy = R1y — R3y = 0 ΣFx = R1x + R2 + R3x — Roz La resultante, Res, será la composición de esas dos sumas... por suerte la componente y de la resultante también es nula (de lo cual ya te habías dado cuenta porque el barco no dobla, ni a babor ni a estribor) así que la resultante sólo tiene componente en x, y vale...
ΣFx = Res = R1x + R2 + R3x — Roz ΣFx = Res = 2,4 x 105 N + 3 x 105 N + 2,4 x 105 N — 1 x 105 N
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a) R=
Para calcular el trabajo de la resultante durante este desplazamiento podemos aprovechar que se trata de una fuerza constante y aplicar:
WF = F. Δx . cos α Por lo que vimos, la fuerza resultante tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento, de modo que entre ambas (resultante y desplazamiento) forman un ángulo de 0º, su coseno vale 1.
WRes = Res . Δx . cos α WRes = 6,8 x 105 N . 500 m . cos 0º
b) R=
Ejemplo 2 En el gráfico de la figura se representa la velocidad escalar de un móvil de 20 kg, en función del tiempo. Determinar el trabajo que realiza la fuerza resultante de las que actúan sobre el mismo, para las distintas etapas de su movimiento, y para el viaje total.
Alcanza y sobra con utilizar el así llamado Teorema de las fuerzas vivas:
WRes = ΔEc ya que para cada tramo tenemos todos los datos que hacen falta. Vamos de a uno: Tramo 0-3 s
WRes0-3 = ½ m v(3s)² — ½ m v(0s)² WRes0-3 = ½ 20 kg (6 m/s)² — ½ 20 kg (0 m/s)²
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Tramo 3-8 s
WRes3-8 = ½ m v(8s)² — ½ m v(3s)² WRes3-8 = ½ 20 kg (6 m/s)² — ½ 20 kg (6 m/s)²
Tramo entero
WResTot = ½ m v(13s)² — ½ m v(0s)² WResTot= ½ 20 kg (-4 m/s)² — ½ 20 kg (0 m/s)² pero también podemos sumar los aportes de cada tramo...
WResTot = ΣWRes i
5.7. Impulso y cantidad de movimiento Impulso
El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el
impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.
Cantidad de Movimiento
La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado
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obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad. La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento.
m = Masa v = Velocidad (en forma vectorial) p = Vector cantidad de movimiento
Relación entre Impulso y Cantidad de Movimiento
El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso también puede calcularse como:
Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa:
Ejemplo 1 En el momento en que se enciende la luz verde en un semáforo, un auto arranca con aceleración constante a = 2.5 (m s2). En el mismo momento, un camión que lleva una velocidad constante vc =10(m/s) alcanza al auto y lo pasa.
a) Construya un grfico velocidad versus tiempo para dos mviles, b) ¿a qué́ distancia del punto de partida, el auto alcanzar al camin?, c) ¿qué velocidad llevar el auto en ese momento? Nota: Las ecuaciones de movimiento para el caso en que la aceleración a es un vector constante son:
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En el caso de una partícula moviéndose en una única dirección, el eje X por ejemplo, las ecuaciones de movimiento quedan de la siguiente manera:
Solución:
a) Construya un grfico velocidad versus tiempo para los dos mviles. Las ecuaciones de movimiento, considerando vx = v, v0 x = v0, ax = a, quedan:
Consideremos como origen del sistema de referencia el punto donde ambos vehculos inician su movimiento, el semforo en este caso. Por lo tanto, se cumple que x0 a = x0 c = 0. Donde los subndices a y c, se refieren al auto y al camin, respectivamente.
Para el auto con aceleracin constante aa que parte del reposo (v0 a = 0), las ecuaciones de movimiento vienen dadas por
Por lo tanto, para el auto, el grfico velocidad tiempo es una recta con pendiente positiva que parte del origen (ver la curva roja en la Fig. (1.1.1)). Para el camin que se mueve con velocidad vc constante, sus ecuaciones de movimiento son:
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Por lo tanto, el grfico velocidad tiempo es una recta con pendiente cero, es decir, paralelo al eje t (ver Fig. (1.1.1)
b) ¿a qué́ distancia del punto de partida, el auto alcanzar al camin? Reemplazando todos los datos conocidos: v = 0, a = 2.5 (m s2) y v =10(m s) en las ecuaciones (6) y (7), tenemos
El auto y el camin se encontrarn cuando sus coordenadas xa y xc sean iguales, es decir, xa = xc. Igualando (8) y (9), se tiene:
Existen dos soluciones de esta ecuacin de segundo grado: t = 0(s), que corresponde al tiempo al inicio del movimiento, y el tiempo de encuentro te:
Reemplazando este tiempo t = te = 8(s) en la relacin (8) o (9), se puede calcular 24
la distancia xc = xa medida desde el punto de partida, hasta el punto en la cual el auto alcanza al camin,
c) ¿qué velocidad llevar el auto en ese momento? Reemplazando el dato te = 8(s) en la relacin (10), se obtiene la velocidad del auto en el momento del encuentro de los mviles:
En la Fig. (1.1.2) se muestran todos los datos obtenidos para ambos mviles.
Ntese que la distancia recorrida por ambos mviles hasta el punto de encuentro, xc = xa , al final de los 8(s), se puede calcular también como el rea bajo la curva del grafico velocidad-tiempo mostrado en la Fig. (1.1.2). El rea bajo la curva asociada al camin viene dada por el rea del rectngulo que se forma hasta t = 8(s):
El rea bajo la curva asociada al auto viene dada por el rea del tringulo que se forma hasta t = 8(s) , considerando la lnea segmentada inclinada:
Ejemplo 2 Determinar el impulso que produjo una fuerza horizontal constante, tal que
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aplicada a un objeto de 6 kg que estaba en reposo sobre un plano horizontal sin rozamiento le hizo recorrer 5 m en 2 s. I = m vF — m vO Como la velocidad inicial es cero (dato del enunciado) el asunto queda así: I = m vF Donde lo único que tienes que averiguar para poder obtener el impulso es la velocidad final del objeto.
Δx = ½ a Δt² vF = a Δt combinando ambas:
vF = 2 Δx / Δt por lo tanto: I = m . 2 Δx / Δt I = 6 kg . 2 . 5 m / 2 s
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Cuadro Sinóptico Cinética de los cuerpos rígidos
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VIBRACIONES MECÁNICAS Movimiento vibratorio o vibración es la variacin o cambio de configuracin de un
sistema en relacin al tiempo, en torno a una posicin de equilibrio estable, su caracterstica fundamental es que es peridico, siendo frecuente el movimiento armnico simple, por lo que este movimiento adquiere una singular importancia en los estudios vibratorios. Los sistemas mecánicos al ser sometidos a la accin de fuerzas variables con el
tiempo, principalmente peridicas, responden variando sus estados de equilibrio y, como consecuencia, presentan cambios de configuracin que perturban su normal funcionamiento, presentan molestias al personal que los maneja y acortan l a vida til de los mecanismos En general, se suponen vibraciones de pequea amplitud porque fuera de ellas dejan de tener validez la mayora de las hiptesis que se establecen para su estudio.
Supongamos el sistema de la figura, formado por una masa principal m, un elemento recuperador elstico de constante k y un dispositivo amortiguad or de constante c.
6.1. Vibraciones sin amortiguamiento. La ecuación diferencial del movimiento es mx''+kx = 0, su ecuación característica es mr2 + k = 0, siendo sus raíces imaginarias conjugadas
La solucin general es de la forma x = a.sen (ωnt + φ) donde a (amplitud) y φ (fase inicial) son constantes que se pueden determinar, en cada caso particular, con las condiciones iniciales.
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La frecuencia natural de la vibracin y el periodo son:
En este tipo de vibraciones se cumple el principio de la conservacin de la energa
mecnica, es decir, la suma de la energa cinética y el potencial elstico es constante e igual a la energía total comunicada inicialmente al sistema, por lo que se verifica la ecuación:
Ejemplo 1 Un objeto de 10 kg est suspendido por dos muelles idénticos de constante elástica K=500 N/m asociados en serie, y un amortiguador de tipo viscoso de constante c=90 N·s/m.
Calcular: a) Coeficiente de amortiguamiento critico
b) Factor de frecuencias (Ω) c) Valor del Pseudoperiodo justificando su existencia
RESOLUCIN a) Constante equivalente (serie)
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b) Factor de frecuencias
c) Pseudoperiodo, existe por ser un amortiguamiento subcrtico
Ejemplo 2 Un bloque de 4 kg de masa se mueve entre guías verticales suspendido por dos muelles iguales de constante recuperadora elástica K1 = K2 = 50 N/m, como se indica en la figura.
Calcular: a) Ecuación de las pequeñas oscilaciones del sistema. b) Periodo y frecuencia del movimiento resultante. c) Determinar la masa que debería tener el bloque para que su periodo de oscilación sea 1 s.
RESOLUCIN a) Los muelles estn asociados en paralelo y oscilan con vibracin libre sin
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amortiguamiento de acuerdo a la ecuacin:
b) La frecuencia natural y el periodo son:
c) La masa que debería tener el bloque para que su periodo de oscilación sea 1 s se obtiene para una frecuencia natural igual a, por tanto:
6.2. Vibraciones con amortiguamiento. La realidad es que todas las vibraciones son amortiguadas, especialmente por las fuerzas de rozamiento. Un tipo de amortiguamiento de especial interés es el amortiguamiento viscoso causado por la fricción fluida a velocidades bajas y moderadas. Este tipo de amortiguamiento está caracterizado por el hecho de que la fuerza de fricción o rozamiento es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo en movimiento La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de
tipo peridico, F = F senωt , es de la forma F La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial homogénea es mr2 + cr + k = 0. Se supone amortiguamiento inferior al crítico para que resulte una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la ecuación diferencial de la homogénea una solución particular de la completa (x = xh + xp ), resultando:
esta solución consta de dos partes, una solución transitoria, en la que el primer término (xh), al cabo de un tiempo generalmente breve, se reduce a un valor despreciable, y la solución estacionaria (xp), en la que el sistema oscila con
frecuencia ω , amplitud A constante y desfase Θ cuyas expresiones son:
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Ejemplo 1 Un motor de 350 lb esta sostenido por cuatro resortes con constante de 750 lb/in. Cada uno. El desbalanceo del rotor equivale a un peso de 1 oz localizado a 6 in. Del eje de rotación. Si el motor está restringido a moverse verticalmente, determínese a) la velocidad en rpm a la que ocurrirá la resonancia, b) la amplitud de la vibración del motor a 1200 rpm.
SOLUCION a.- Velocidad de resonancia. La velocidad de resonancia es igual a la frecuencia circular natural (en rpm) de la vibración libre del motor. La masa de este y la constante equivalente de los resortes de sustentación son
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b.- Amplitud de la vibración a 1200 rpm. La velocidad angular del motor y la masa equivalente al peso de 1 oz son
La magnitud de la fuerza centrífuga provocada por el desbalanceo del rotor es
La deflexión estática que una carga constante provocaría es
La frecuencia circular forzada del movimiento es la velocidad angular del motor,
Si sustituyen los valores de /, y en la ecuación (2.33), se obtiene
Nota. Como >, la vibración esta 180° fuera de fase con la fuerza centrífuga debida al desbalanceo del rotor. Por ejemplo, cuando la masa desbalanceada está directamente debajo del eje de rotación, la posición del motor es =0.001352 sobre la posición de equilibrio.
Ejemplo 2 Un bloque de 50 Kg se desplaza entre guías verticales, como se muestra. Se tira del bloque 40 mm hacia debajo de su posición de equilibrio y se suelta. Para cada una de las disposiciones de los resortes, determínese el periodo de vibración, la velocidad y aceleración máximas del bloque.
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SOLUCION
a.- Resortes dispuestos en paralelo. En primer lugar, se determina la constante de un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cálculo de la magnitud de la fuerza P requerida para producir una deflexión dada . Como con una deflexión las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los resortes son, respectivamente, 1 y 2, se tiene
La constante del resorte equivalente es
Periodo de vibración: Como =50 , la ecuación da
Velocidad máxima:
Aceleración máxima:
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b. Resortes unidos en serie. En primer lugar, se determina la constante de un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cálculo del alargamiento total de los resortes sometidos a una carga estática dada . Para facilitar el cálculo, se utiliza una carga estática de magnitud =12 .
Periodo de vibración:
Velocidad máxima:
Aceleración máxima:
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Cuadro Sinóptico de Vibraciones Mecánicas.
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Cuadro Comparativo.
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