DILATACION LINEAL
OBJETIVOS
Estudiar la relación funcional entre la dilatación lineal y la temperatura
Estudiar la relación funcional entre la dilatación lineal y la longitud inicial
Determinar el coeficiente de dilatación lineal
FUNDAMENTO TEORICO
Los efectos más comunes que ocasionan las variaciones de temperatura en los cuerpos o sustancias, son los cambios cambios de sus dimensiones y los cambios de fase. Nos referiremos a los cambios de dimensiones de los cuerpos sin que se produzcan cambios de fase. Llamamos dilatación al cambio de dimensiones que experimentan los sólidos, líquidos y gases cuando se varía la temperatura, temperatura, permaneciendo la presión presión constante. constante. La mayoría de los sistemas aumentan sus dimensiones cuando se aumenta la temperatura. DILATACIÓN DE LOS SÓLIDOS
Es el cambio de cualquier dimensión lineal del sólido tal como su longitud, alto o ancho, que se produce al aumentar su temperatura. Generalmente se observa la dilatación lineal al tomar un trozo de material en forma de barra o alambre de pequeña sección, sometido a un cambio de temperatura, el aumento que que experimentan las otras dimensiones son despreciables frente a la longitud. Si la longitud de esta dimensión lineal es L o, a la temperatura t o y se aumenta la temperatura a t , como consecuencia de este cambio de temperatura, que llamaremos Δt se aumenta la longitud de la barra o del alambre produciendo un incremento de longitud que simbolizaremos como ΔL Experimentalmente se encuentra que el cambio de es proporcional al cambio de y la longitud inicial. . Podemos entonces escribir:
..
o bien que
= ...
(1)
= 1 ∆∆ Donde es un coeficiente de proporcionalidad, que denominado “coeficiente de dilatación lineal”, y que es distinto para cada material. Por ejemplo: Si consideramos Que el incremento de temperatura, Δt = 1ºC y la longitud inicial de una cierta pieza, Lo = 1 cm consecuentemente el alargamiento será:
= . .° Si efectuamos el análisis dimensional, advertimos que las unidades de α, estarán dadas por:
= .° = °
o bien ºC-1 (grado -1); luego:
= 1/0 /.
(2)
Operativamente, si designamos a la longitud entre dos puntos de un cuerpo o de una barra a la temperatura de 0 ºC y la longitud a la temperatura ºC podemos escribir que:
= – De donde
y
= – 0 = °
= − ∗
Luego
– = .
(3)
A se le denomina coeficiente de dilatación lineal entre las temperaturas 0 y t, su valor, como se expresó anteriormente, es característico de la naturaleza de las sustancias que forma el sólido. La experiencia demuestra que el coeficiente de lineal depende de la temperatura. Se puede definir el coeficiente de dilatación lineal medio “ ”, como "el aumento que experimenta la unidad de longitud inicial, que se encuentra a una temperatura t cualquiera, cuando se aumenta en un grado dicha temperatura”, por eso este coeficiente de dilatación medio, dependerá del incremento de temperatura. El coeficiente de dilatación lineal medio a una temperatura “ t ”, puede ser deducido a partir de la ecuación (1)
= l→im 1/. / = ∆→ lim 1/1. /
=1/. / 4
Donde:
= =
coeficiente de dilatación o expansión lineal
coeficiente de dilatación lineal medio a una temperatura t
Resumiendo:
= − ∗
y
= 0 0 ∗ 1
a presión constante
/
/
En general t es igual al inverso de la longitud inicial por , a presión constante. Donde el cociente diferencial , representa la derivada de la longitud con respecto a la temperatura a P = CTE y t será el coeficiente de dilatación lineal real a cualquier temperatura t. Como la longitud del sólido es función de la temperatura: representando gráficamente dicha función resulta que t es el coeficiente angular de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa t, dividido por la longitud correspondiente a dicha temperatura, ver figura B:
=
Figura B
Estrictamente hablando, como se ha visto, el valor de depende de temperatura, sin embargo su variación es muy pequeña y ordinariamente despreciable dentro de ciertos límites de temperatura, o intervalos que para ciertos materiales no tienen mayor incidencia. Si despejamos L de la ecuación (2)
= .. = + .. = 1 + . = 1 + . 1 + . = 1/. /
si la temperatura inicial fuera t0 0ºC
Denominándose “Binomio de dilatación lineal “al factor
(5)
Rescribiendo esta fórmula obtenemos
(6)
De modo que , representa el cambio fraccional de la longitud por cada cambio de un grado en la temperatura. Hablando rigurosamente, el valor de depende de la, temperatura real y de la temperatura de referencia que se escoja para determinar L. Sin embargo, casi siempre se puede ignorar su variación, comparada con la precisión necesaria en las medidas de la ingeniería. Podemos, con bastante seguridad, suponerla como una constante independiente de la temperatura en un material dado. En la Tabla 1 se presenta un detalle de los valores experimentales del coeficiente de dilatación lineal promedio de sólidos comunes. Tabla 1: Valores* de Sustancia Plomo Hielo Cuarzo Hule duro Acero Mercurio Oro
ºC-1 29 x 10-6 52 x 10-6 0,6 x 10-6 80 x 10-6 12 x 10-6 182 x 10-6 14 x 10-6
Sustancia Aluminio Bronce Cobre Hierro Latón Vidrio (común) Vidrio (pirex)
ºC-1 23 x 10-6 19 x 10-6 17 x 10-6 12 x 10-6 19 x 10-6 9 x 10-6 3.3 x 10-6
* En el intervalo de 0ºC a 100ºC, excepto para el hielo, que es desde
– 10ºC a 0ºC.
En todas las sustancias de la tabla, el cambio en el tamaño consiste en una dilatación al cambiar la temperatura, ya que es positiva. El orden de la magnitud es alrededor de 1 milímetro por metro de longitud en un intervalo Celsius de 100 grados. Para comprender la dilatación, es conveniente visualizar el fenómeno a nivel microscópico, la expansión térmica de un sólido sugiere un aumento en la separación promedio entre los átomos en el sólido. La curva de energía potencial de átomos contiguos en un sólido cristalino, en función de s u separación internuclear, es de trazado asimétrico, como la que se indica en la Figura C. Conforme los átomos se van aproximando, su separación disminuye respecto del valor de equilibrio ro, entonces intervienen fuerzas repulsivas intensas y la curva de potencial aumenta rápidamente, recordemos que el valor de dicha fuerza está dado por la expresión: Conforme los átomos se alejan, sus separaciones aumentan respecto del valor de equilibrio y entonces intervienen fuerzas un tanto más débiles y la curva de potencial aumenta de una manera más lenta. Para una energía vibracional dada, la separación de los átomos cambiará periódicamente de un valor mínimo a uno máximo y la separación promedio será mayor que la separación de equilibrio, debido a la naturaleza asimétrica de la curva de energía potencial. Cuando la energía vibracional es mayor aún, la separación promedio será también más grande. El efecto es aumentado por el hecho de que al tomar el promedio temporal del movimiento, se debe tomar en cuenta el mayor tiempo transcurrido en las separaciones extremas (en donde la rapidez vibracional es menor). Debido a que la energía vibracional aumenta conforme lo hace la temperatura, la separación promedio entre los átomos aumenta con la temperatura y el sólido como un todo se expande. Recordemos, que la energía potencial molecular, se puede expresar como la suma de las energías cinética media, rotacional y vibracional:
=
/.
= + + , Donde Ekmed, representa la energía cinética media, E r, la energía rotacional, y E v la energía vibracional.
U
Debemos hacer notar que si la curva de Energía potencial fuese simétrica en torno a la separación de equilibrio, la separación promedio correspondería a la separación de equilibrio, sin importar que tan grande fuese la amplitud de la vibración. Por lo tanto, la expansión térmica es una consecuencia directa de la desviación de la simetría (es decir, de la asimetría) de la curva de energía potencial característica de los sólidos. Algunos sólidos cristalinos pueden contraerse, en ciertas regiones de temperatura, conforme la temperatura aumenta. El análisis anterior sigue siendo válido sólo si se supone que únicamente existen modos de vibración compresional, (es decir, longitudinales) y que esos modos son predominantes. Sin embargo, los sólidos pueden vibrar en modos transversales (es decir, cortantes) al igual que en modos vibracionales y esto permiten que el sólido se contraiga con los aumentos de la temperatura, disminuyendo con ello la separación promedio de los planos atómicos. En ciertos tipos de estructura cristalina, y en ciertas regiones de temperatura, estos modos transversales de vibración pueden predominar sobre los longitudinales, dando lugar a un coeficiente de expansión térmica total negativo. Existe por lo tanto una relación directa entre las fases y la estructura molecular, o dicho de otro modo una relación directa entre el estado de agregación y la energía potencial molecular, y como consecuencia también entre la energía vibracional y la dilatación. Físicamente tiene importancia esta relación entre el coeficiente de expansión o dilatación con la estructura atómica o molecular. Debemos aclarar que los modelos microscópicos presentados son una sobresimplificación de un fenómeno mucho más complejo, que puede tratarse con mayor detalle al relacionar la termodinámica y la teoría cuántica. El cambio porcentual de la longitud de muchos sólidos, llamados isotrópicos, asociados con un cambio dado de la temperatura, es el mismo sobre cualquier línea del sólido. La dilatación es totalmente análoga a una amplificación fotográfica, excepto en que el sólido es tridimensional. Si tenemos una lámina delgada en la que se practica un orificio, el cambio = para una dada es el mismo para la longitud, el espesor, la diagonal de una cara, la diagonal del cuerpo y el diámetro del orificio. Cualquier línea, sea recta o curva, se alarga en la relación por aumento de un grado de temperatura. Si se escribe un nombre rayando la lámina, la línea que representa dicho nombre tiene el mismo cambio fraccional de longitud que cualquier otra línea. En la Figura D se muestra la analogía con una amplificación fotográfica
DATOS1:
Registrar la longitud inicial
de la varilla:
0.6±0.001;0.17%
La temperatura es
24±1℃;4.17% En la siguiente tabla registrar la dilatación en la longitud que es producida por la variación de la temperatura T. Nota: Se puede considerar
N 1
para una temperatura inicial
℃
=0℃
∆− ×10 ×10− ×10− ×10− ×10− ×10− ×10−
91
4.9
2
63
3.7
3
60
3.4
4
55
3.1
5
53
2.5
6
50
2.2
7
45
1.9
GRAFICO 1
Según la curva de ajuste del grafico anterior, la ecuación de ajuste es:
=+
Con el método de mínimos cuadrados encontrar los parámetros de ajuste de la ecuación de ajuste:
N
1
91
2
×10− ×10− ×10− ×10− ×10− ×10− ×10− ×10−
4.9
0.04459
8281
2.401
63
3.7
0.02331
3969
1.369
3
60
3.4
0.0204
3600
1.156
4
55
3.1
0.01705
3025
9.61
5
53
2.5
0.01325
2809
6.25
6
50
2.2
0.011
2500
4.84
7
45
1.9
2025
3.61
417
2.17
26209
7.357
8.55
×10−
0.13815
×10− ×10− ×10− ×10− ×10− ×10− ×10− ×10−
∑ ∑ − = ∑ ∑∑ =7. 6 77250888×10 ∑ 6 = ∑∑∑ =6. 4 92584082 ×10 2 2 ∑ ∑
= 22+ +2+
∑ =5.345853353×10−
∆= ∑ ∑
= ∑− =1.069170671×10−
∆=9574
= ∑∆ =5.410059385×10− = ∆ =8.841497468×10− ∑ = √ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ =0.9566322098 =7.68 ×105 ± 5.41×105 [℃] ;70% =64. 9 ×107 ± 8.8×107 [℃] ;14% = 0.9566322098
Con los valores de los parámetros, la ecuación de ajuste es:
∆=7.68 ×105 + 64.9 ×107 Utilizando la ecuación 1 y la ecuación de ajuste, encontrar e l valor del coeficiente de dilatación lineal con su respectivo error:
= ..
=+
=∆ =
≈0 =64.9 ×107
= = − =1.0 817×10−
=11×10 1 =√ ∆ +∆ = ( ∗) + =1.4844×10−
DATOS2
Registrar la temperatura ambiente
22±1℃;4.55% Registrar la temperatura del vapor del agua (temperatura de ebullición):
91±1℃;1.1% En la taba siguiente registrar la dilatación en la longitud para las tres longitudes del tubo.
N
∆ ×10− ×10− ×10−
1
0.6
5
2
0.4
3.3
3
0.2
1.6
GRAFICO2
Según la curva de ajuste del grafico anterior la e cuación de ajuste es:
=+ Con el método de mínimos cuadrados, encontrar los parámetros de ajuste de la ecuación de ajuste:
N
×10− ×10− ×10− ×10−
1
0.6
5
2
0.4
3.3
3
0.2
1.6
1.2
9.9
×10− ×10− ×10− ×10−
×10− ×10− ×10− ×10−
3
0.36
2.5
1.32
0.16
1.089
3.2
0.04
2.56
4.64
0.56
3.845
∑ ∑ = ∑ ∑∑ ∑ =1×10− 4 = ∑∑∑ =8. 5 ×10 2 2 ∑ ∑
= 22+ +2+
∑ =0
= ∑− =0 ∆= ∑ ∑ ∆=0.24 = ∑∆ =0 = ∆ =0
= √ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ = = 1×105 ±0 ;0 =8.5 ×104 ±0 ;0 =1
Con los valores de los parámetros la ecuación de a juste es:
= 1×105 + 8.5 ×104 Utilizando la ecuación 1 y la ecuación de ajuste, encontrar e l valor de coeficiente de dilatación lineal con su respectivo error:
= .. = .. =+ =∆ = ≈0 =8.5 ×10− ∆= = ∆ =1.23188×10−
1 =√ ∆ +∆ = ( ∗) +( ) =1.78534×10− RESULTADOS
=7.68×10− ±5.41×10− ℃;70% − ℃;14% =64. 9 ×10=0.−9±8. 8 ×10 566322098− 1 − =10. 8 2×10 ±1.48×10 [℃];13.7% =1×10− ±0 ;0 =8.5×10− ±0 ;0 =1 =12.3188×10− ±2×10− [℃1 ];1.6% CUESTIONARIO 1. De los métodos utilizados para determinar el coeficiente de dilatación lineal, ¿Cuál elegiría como el mejor valor y por qué?
×10−
Erigiría el método 2 porque tiene mejor acercamiento al valor de dilatación lineal del acero que es de 12
también porque tiene menor error
2. ¿Por qué la mayor parte de los líquidos y sólidos, se dilatan cuando se someten a la acción del calor? Al calentar las partículas, estas comienzan a vibrar fuertemente, de tal forma que salen de su situación original, y nosotros, por medio de la vista vemos que se ha dilatado. Esto ocurre también con los líquidos y gases. 3. En general los líquidos tienen un coeficiente de dilatación volumétrica mucho mayor que el de los sólidos, explicar las causas. En los gases y los líquidos las partículas chocan unas con otras en forma continua pero si se calienta, chocaran violentamente rebotando a mayores distancias y provocaran la dilatación. 4. Demostrar que la variación del momento de inercia con la temperatura, para la varilla está dada por la siguiente ecuación:
∆=2∆ = 121 1+∆ 121
CONCLUCIONES
1 ∆ = 12 (1+ ∆ ∗∆) 121 112 (1+ ∆ ) 121 ∆<< ∆ (1+ ) =1+2 ∆ → ∆= 121 (1+2 ∆ ) 121 ∆= 121 + 121 ∗(2 ∆ ) 121 ∆=2 (∆ )∗ ∆∆ ∆=2∆
Se logró estudiar la relación funcional entre la dilatación lineal y la temperatura sabemos también q a mayor temperatura se dilata mas También se logró estudiar la relación funcional entre la dilatación lineal y la longitud inicial que cuando sea más pequeño la longitud se dilata menos Se determinó el coeficiente de dilatación lineal en función a la temperatura y también con la longitud inicial
RECOMENDACIONES
Se recomienda portar guantes para no tener tragedias al hacer el procedimiento experimental Tener cuidado con el agua y la corriente porque se pueden electrocutar Se recomienda enfriar el tubo de acero, hierro, etc. Después de hacer el procedimiento anterior para volver hacer otro procedimiento
BIBLIOGRAFIA
ing.unne.edu.ar/pub/ DILATACION verultima libro de laboratorio de física 2
