Diferencialinis Ir Integralinis Skaiciavimas. 1 Dalis [v.pekarskas] (2005) by Cloud Dancing

Χ0 + Δ Χ

Ay Ax

Sakykim, taškas M , judėdamas funkcijos y =f(x) grafiku, artėja prie taško M0. Tada Δχ artėja prie nulio, o kirstinė M0M - prie ribinės padėties, t.y. liestinės M0T. Jei liestine M0T sudaro su teigiamąja ašies Ox kryptimi kampą a, tai φ α. Kai liestine nelygiagreti ašiai Oy, tai dėl tangento tolydumo tg φ tg α . Todėl

k = tga=

Iimtgφ = AX->0

lim

= f'(x0)

Δ.Ν—»0 Δ

•

X

Taigi к = Vadinasi,

funkcijos

MQIXQ- f(xQ)),

у =/(x)

/'(х,о).

grafiko

liestinės,

nubrėžtos

krypties koeficientas k lygus išvestinės f'(x)

per

tašką

reikšmei, aps-

kaičiuotai lietimosi taške χ = X0 · Pasinaudoję tiesės, einančios per tašką

М0(х0;/(х0))

ir turinčios

krypties koeficientą k, lygtimi У- Axo) =

k

*o).

gauname kreivės liestinės lygtį y - Ą x o ) = fXхo)

(*-*o)·

Tiesė, einanti per lietimosi tašką statmenai liestinei, vadinama kreivės normale. Kadangi statmenų tiesių krypčių koeficientai k, ir k2 tenkina sąlygą k\ = ——, tai normalės lygtis bus tokia: h 1 У -

J

/(XO)

f U)

(x-x0).

C

f (X0)=- CO

f (X0) = + 00

O

yn f [X0- 0 ) = +oo

f

Hx0-O)=-O) f ' ( x 0 + 0 ) = +oo

O

O

^o

(x0+0)=-o)

Jeigu funkcijos /(χ) vienpusės išvestinės taške X0 tarpusavyje nelygios, galime kalbėti apie vienpuses kreivės liestines, kurių krypčių koeficientai f'{xo + O) ir f'(xg - θ). Kai funkcijos išvestinė taške x0 yra begalinė, tai kreivės liestinė šiame taške yra statmena ašiai Ox (67 pav.).

1.3. Funkcijos išvestinės ir jos tolydumo ryšys Sj ryšį apibūdina tokia teorema. Teorema. Jei funkcija f(x) turi išvestinę taške X0, tai ji šiame taške yra tolydi. Į r o d y m a s . Kadangi funkcija turi išvestinę taške x0, tai egzistuoja baigtinė riba

/'(x 0 ')= Ax-»0 "m Δ X . v

Pasiremkime teiginiu, kad funkcija skiriasi nuo savo ribos nykstamąja funkcija. Todėl AZ=/'(x0)+a; v Δχ čia a—> 0, kai Δχ —> 0. Tuomet Ay = / ' ( χ 0 ) Δ χ + α Δ χ . Iš šios lygybės išplaukia, kad Iim Ay=

Iim / ' ( χ 0 ) Δ χ + Iim « Δ χ = 0 .

Δχ-»0

Δχ->0

Лх->0

Taigi nykstamą argumento pokytį atitinka nykstamas funkcijos pokytis, o tai reiškia, kad taške x0 funkcija yra tolydi. • Atvirkščias teiginys gali būti ir neteisingas: iš funkcijos tolydumo tam tikrame taške dar neišplaukia, kad tame taške funkcija turi išvestinę. Jį patvirtina anksčiau išnagrinėti du pavyzdžiai: funkcijos |x| ir

yra toly-

džios taške X0 = 0, tačiau jame išvestinės neturi. Taigi funkcijos tolydumas taške yra tik būtina tos funkcijos išvestinės egzistavimo sąlyga. Trūkio taškuose funkcija negali turėti išvestinės. Pavyzdys. Įrodykime, kad funkcija

m=

X s i n A j JfaJ x Φ o, χ 0, kai x = 0,

yra tolydi taške x0 = 0, tačiau jame neturi išvestinės. S p r e n d i m a s . Apskaičiuokime Iim / ( x ) = Iim χ sin — . χ-»0 x-»0 X

K a i x - > 0 , funkcija sin — ribos neturi, tačiau yra aprėžta, nes sin <1. χ χ Žinome, kad aprėžtos ir nykstamosios funkcijos sandauga yra nykstamoji funkcija, todėl Iim χ sin A = 0 . x->0 X Taigi Iim Д х ) = 0 = / ( 0 ) , o tai reiškia, kad funkcija tolydi taške X 0 = 0. x->0

Raskime /'(0): /'(0)

=

=

Iim A Ax^-O

O

I

A x Ax

Δ χ sin — Δχ

hm Δχ—>0

H

M

=

0 =

Δχ

^ f(Ax)-f(0) Δχ—>0 Δ X

,. . 1 Iim sin Δχ—>0

=

.

Δχ

Kadangi ši riba neegzistuoja, tai duotoji funkcija neturi išvestinės taške X0=O.

•

1.4. Funkcijų diferencijavimo taisyklės 1 teorema. Jei funkcijos u ir v turi išvestines taške x, tai funkcijos Cu (C konstanta), u+v, uv ir — irgi turi išvestines šiame taške, be to, v (Cu)

= Cu', t (m+ v) =U1 + v', r (uv) =u'v + uv', U I

VJ

=

U

V-UV

V

2

'

Kaip pavyzdį įrodysime trečiąją šių formulių: , (uv) =

. u(x + Δχ) v(x + Δχ) -м(х) hm — — Δχ->0

=

V(X)

-

Ax

U(X + Δ Χ ) - Μ ( Χ ) , , ν(χ + Δ χ ) - ν (уχ ) , , Iim - i — ν(χ + Δχ) + hm — '-+-и(х) = Δχ—>0

Δχ

Δχ-»0

Δχ

= м'(х) ν(χ) + ν'(χ) м(х), nes Iim ν(χ + Δχ) = ν(χ) . Δχ^Ο Taip yra todėl, kad funkcija v turi išvestinę, vadinasi, ji kartu yra ir tolydi.

•

2 funkcija

teorema u = u(x)

atitinkamame funkcija

(sudėtinės

funkcijos

taške X0

turi išvestinę u'x = u'(x0),

taške UIL = u (X11)

Y = f(u(xjj

diferencijavimas).

- išvestinę

Tarkime,

o funkcija

y'U=F\uo)·

Tada

kad

y =f(u) sudėtinė

taške X0 taip pat turi išvestinę Y'X, lygią išvestinių Y'U ir

u'x sandaugai: Ух = У'и u'xĮrodymas. egzistuoja riba

Kadangi funkcija y = f(u)

lim = Δ«—»0 Ali

taške u0 turi išvestinę, tai

f'(u0).

Iš šios lygybės išplaukia, kad

AZ=/'( M o )+a; Au

čia α

0 , kai Δ u -» 0. Išreiškiame pokytį Ay\ Ay = / ' ( « o ) ' Au + a · Au . Padaliję abi šios lygybės puses iš pokyčio Ax Φ 0, apskaičiuosime

abiejų pusių ribas, kai Ax->0 (dėl u (x) tolydumo Au -*0, kai l i m —— = Z1IUQ)-

Δϊ^ΟΔΧ

lim

ΔΪ->0ΔΧ

+

lim a-

Δ*->0

lim

Δ*->0ΔΧ

Ax->0):

,

arba У(*о)

=

/ ' ( " o ) " ' ( * o ) +0-м'(дг0), Ух=Уиих-

А

3 teorema (atvirkštinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad funkcija y =f (x) turi ah'irkštinę funkciją χ =g (y). Jeigu funkcija y =f(x) taške x=x0 turi baigtinę ir nelygią nuliui išvestinę f'(x0), tai atitinkamame taške y 0 =f(xo) egzistuoja atvirkštinės funkcijos χ = g (y) išvestinė, lygi —γ-—r. Taigi fVo) x'=-L У

Ух'

Į r o d y m a s . Suteikę argumentuiy pokytį Ay, apskaičiuojame funkcijos x = g(y) pokytį:

Ax =g(y0+Ay)-g(y0) • Pagal sąlygą funkcija y =f(x)

turi atvirkštinę funkciją, vadinasi, ji yra

vienareikšmė, todėl Ax Φ0 , kai Д у ^ О . Turime:

Ax

1

Ay~

Y

i

Ay_ х=д[у)

Ax Ко

Kai Ay -+ O, tai dėl funkcijos χ = g (y) tolydumo ir pokytis Ax->0.

o

Ax Ay

Tuomet

/

—^-~+y' x , Ax

p

α > x'yv . Gavome formulę

/ /

0

1

X0

χ

68 pav.

Ух

Paaiškinsime jos geometrinę prasmę. Žinome, kad y'x = t g a (68 pav.). Atvirkštinės funkcijos χ = g (y) grafikas sutampa su y = / ( x ) grafiku, tik jos argumentas atidedamas ašyje Oy. Todėl x'y = tg β; čia β - kampas, kurį ta pati liestine sudaro su ašimi Oy. Taigi išvestoji formulė išreiškia žinomą prieklausą tgp = - ^ - , tga к siejančią kampų α ir β tangentus, kai tų kampų suma lygi — .

1.5. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės 1. J e i y = c o n s t , tai Ay = O su bet kuriuo A x , todėl y ' = 0. 2. Trigonometrinių funkcijų sinx, cosx, tgx (χ

+kn, k e Z)ir ctgx 2

(χ Φ kn, k e Ζ) išvestinės. a) Argumento pokytį Ax atitinka toks funkcijos sinx pokytis Ay: Ay = sin(x+Ax) - sinx = 2 sin-^--cos^x + - ^ ^ Todėl / . / (sinx)

=

- . Ax f Ax 2 sin cos χ + 2 V 2 Iim —

.. Ay Iim —— = Δχ-»θΑχ

= 2 cosx

Δχ—»0

Ax

. Ax Ax sin .· 7 1 2 =_ 2 cosx Iim —^— Iim = 2cosx·— = cosx, Δχ->0

Ax

Δχ—>0 A x

. Δχ nes sin 2

Δχ 2

, kaiAx-»0

b) (cos χ) = ^sin

= C0S

(f-X)(f"X

- xjj

= C0S _JC _1

(f )'( )

nes sin ^

sinx ,

- x'j yra sudėtinė χ funkcija. R

c) (tgx)'

'

'

f sin χ ^ _ (sinx) -cosx-sinx-(cosx) VcosxJ COS2X 2 __ cosx-cosx-sinx-(-sinx) _ cos 2 x + _ _ sin x _ COS

d) (ctgx)

X

COS" X

1 COS

cosx]

-sinx sinx-cosx-cosx

1

Sinxy

sin 2 x

sin 2 x

X

3. Logaritminės funkcijos у = In χ, χ > O išvestinė. ,, / Inx = >

χ + Δχ ~

,. 1η(χ + Δχ)-1ηχ Iim — 1 = Iim

A - - . ί\ Δχ—»0

Δ Λχ „

. . П Δχ->·0

Δ Λχ. .

=

Iim

1 Δχ->0

j Y1 Π '

|

Δχ

Δ Χ

Δχ =

Iim -^ l - = —, Δχ—»0 Δ χ

X

nes I n ( 1 + α ) ~ α, kai α->0; čia α =

ΔΤ

χ

>O, kai Δ χ 0 .

In χ 1 ' j Kadangi I o g a X = - — , tai (Iog a χ) = - — ( I n x ) = — — . Ιηα Ιηα χ Ιηα 4. Rodiklinės funkcijos у = α χ , α > O, α Φ1, -οο<χ< +oo išvestinė. 1 Sudarome atvirkštinę funkciją χ = Ioga y ir remiamės formule y'x = — x' ^rt j =

! — γ = — j — = y Ina = Ox Ina . (Iog a y) —— y In a Atskiru atveju, kai a=e, gauname: įe x) j

= ^ Ine = ^ .

5. Laipsninės funkcijos y=xa,aeR,x>0

išvestinė.

log

Remdamiesi tapatybe A "'' = b, gauname: χ = elnx . Todėl laipsninę funkciją galima išreikšti taip: χ

Tuomet

( X

A

)

= χα· α · - = χ

=

( E

A L N

α

a l n

= E

* )

a

p n x j

=

galn.r

=

*-(alnx)'=X

_

T T

-a-

(Inx)'=

αχ""1,

6. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų arcsinx, arccosx, arctgx ir arcctgx išvestinės. л a) Funkcijosy = arcsinx išvestinę nagrinėsime, kai |х|<1, |y|< у . 71 К Atvirkštinė funkcija χ = siny intervale y e (-— ) turi teigiamą išvestinę x'y = cos y. Todėl 1

i(arcsinx] • \=

1 cos

(siny)'

1

1

Jl-Sin2y

^

V b χ2

л nes cosy > O, kai |y | < — . Taigi (arcsinx) = b) Funkcija y = arccosx x = cosy , kuri intervale

, ^ ^ x 2

.

(|х|<1, 0 < y < π ) yra atvirkštinė funkcijai

ye(0; π) turi neigiamą išvestinę x'y = - sin y .

Todėl (arccosx)

1

=

1

(cosy)'

-sin^

1

1

V^ — cos 2 y

V b χ2

Taigi /

1

(arccos χ)

VT

X Ti

c) Funkcija у = arctgx χ = tgy. Todėl I (arctgx)

1

(tgy)'

(χ s R,

\y \ < —) yra atvirkštinė funkcijai

1

1

2

l/cos y

1

2

l + tg y

1 + χ2 '

d) Analogiškai apskaičiuojama funkcijos y = arcctgx (χ ей, 0 < y < π ) išvestinė.

(arcctgx)

=• (ctgy)'

-l/sin2 у

1 + ctg2>>

Taigi (arcctgr) =

—j . 1+x

Gautus rezultatus pateiksime lentele.

1.6. Išvestinių lentelė 1. ( x a ) = a / "

1

.

r x

2. [a

3. (ex) 4

j = a*\m

.

= ^ .

·

5. (Inx)' = — . χ I 6. (sinx) = cosx. r 7. (cosx) = -sinx. 8.

( t g x ) ' = - i - · cos X

9. ( c t g x ) ' = - — sin χ 1

10. (arcsinx) =

V l ^ '

11. (arccosx) = -

ι 2 л/Г-Xι—л

12. (arctgχ) = 2" · 1+x I 13. (arcctgx) =

\ — j 1+x

.

1 + x2

1.7. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas Funkcija y = / ( x ) paprastai vadinama išreikštine, nes kintamasis y išreikštas kintamuoju χ . Dabar tarkime, kad kintamieji χ ir y susieti tam tikra lygtimi F{x,y)

= 0 ,

be to, kiekvieną intervalo X reikšmę χ atitinka viena y reikšmė, nustatoma iš tos lygties. Tuomet kintamąjį y galima laikyti kintamojo χ funkcija, apibrėžta intervale X. Sakome, kad lygtis F (χ, y) = 0 apibrėžia neišreikštinę funkciją. Pavyzdžiui, išsprendę lygtį x2+y-8 = 0 kintamojoy atžvilgiu, sužinome, kad ji apibūdina funkciją y = 8-x 2 . Tačiau ne kiekvieną neišreikštinę funkciją galima pakeisti išreikštine, nes kartais iš lygties F (χ, y) = 0 neįmanoma kintamojo y išreikšti kintamuoju χ. Pavyzdžiui, tokia yra lygtis 2y + x-jtgy

= 0.

Dabar aptarsime, kaip galima apskaičiuoti neišreikštinės funkcijos išvestinę, nekeičiant tos funkcijos išreikštine. Lygtį F(x, y) = 0 panariui diferencijuojame argumento χ atžvilgiu, kartu turėdami galvoje, kad y yra argumento χ funkcija (remiamės sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisykle). Pavyzdys. Raskime y ' , kai funkcija apibrėžta lygtimi X4 + Y 4 - 4 x y = 6 . S p r e n d i m a s . Diferencijuojame abi duotosios lygties puses: 4x3 + 4y 3 · y ' - 4 ( y + x y ' ) = 0 . Iš šios lygybės, kaip iš lygties, randame y ' : У

4x3-4y -3 4x-4y

χ3-y O · ^ х-y

1.8. Logaritminis diferencijavimas Kartais, prieš diferencijuodami funkciją, ją išlogaritmuojame, ypač kai toji funkcija išreikšta kelių dauginamųjų sandauga. 1 pavyzdys. Išdiferencijuokime funkciją (3x + l ) 5 е * х -(4-х)7 jos apibrėžimo srityje.

S p r e n d i m a s . Išlogaritmavę turime: Iny = 5 ln(3x +1) + ^-ln(x - 4) - tgx - 7 ln(4 - x ) . Abi gautos lygybės puses diferencijuojame argumento χ atžvilgiu: 1 5 1 ч — y -= 3+— r У 3x +1 3(x-4)

1

7

= Cos X 2

4-х

/ 1\ -1 . v

;

Iš čia 15 У

=У

1

3x +1

Cos X

1

1 2

3(x-4)

Funkcija y = w(x)1

7

2

3(x-4)

15 3x + l

1

Cos X

4-х

+-

(3x + l) 5 V x - 4

7 4

etgJC - ( 4 - х ) 7

(u (x) > 0) vadinama sudėtine rodiklinė

funkcija.

Jos išvestinė randama, tą funkciją logaritmuojant ir pritaikant sudėtinės funkcijos bei funkcijų sandaugos taisykles išvestinei rasti: I ' (Iny) = (v(x) · 1пм(х)) , 1 , „ 1 — y = v In m + v — u У

, u ,

y' =

v' · Inw + v · -

(mv)

= v-u"-1 -u'+ uv

Taigi lnu-v'.

2 pavyzdys. Išdiferencijuokime okime funkc funkciją NCtgJC

y=(*

2

+

i) c

jos apibrėžimo srityje. Sprendimas. y ' = ctgx · (x 2 + I p "

1

· (x 2 +1) + (x 2 + l p

(M

X

ln(x 2 + lj(ctgx)

Ctg дг

= 2xctgx·^.χ

2

лс'е^- 1 +1)

sin 2 χ

-InI

( * 4 ·

=

1.9. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis, diferencijavimas Sakykime, funkcija y = / ( x ) apibūdinta parametrinėmis lygtimis I * =

Dar tarkime, kad egzistuoja šių funkcijų išvestinės x\, y't, o funkcija χ = φ(ί) turi atvirkštinę funkciją t = Φ ( χ ) , kuri taip pat turi išvestinę. Tuomet funkciją y = ψ(ί) galime laikyti sudėtine funkcija: y = ψ(ί),

kurios t = Φ ( χ ) .

Pasinaudoję sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisykle, gauname: y'x=y'ft'x Tačiau t'x = —, χ',

•

todėl

y'x=y'rjr=į-

Λ, Į

{'i*o).

JLI

Pavyzdys. Cikloidės χ = a ( i - s i n i ) , y = a (1-cosi) liestine nubrėžta 71 per tašką Mih

kurį atitinka parametro reikšmė / = y .

Parašykime tos

liestinės lygtį. S p r e n d i m a s . Pirmiausia apskaičiuokime taško A / 0 ( x 0 ; y 0 ) koordinates: X 0 = a j^y-sin-^j = , y0 = fl^l-cosyj = a. Liestinės krypties koeficientas lygus y'x reikšmei taške M 0 . Randame tą reikšmę: ,

· ,

yt _ x;r

flSin

asmt

« (v 1 - c o s i ) ' '

Todėl liestinės lygtis yra tokia: у-й =X-Al

' ππ 2

I Ух

\М»

.

π 2

—

f, πΛ α 1 - cos —

2. Funkcijos diferencialas 2.1. Funkcijos diferencijuojamumas ir diferencialas 1 apibrėžimas. Funkcija f vadinama diferencijuojama pokytį

Ay = f(x0+Ax)

taške X0 , kai jos

- f (X(j) galima išreikšti suma dviejų dėmenų,

kurių

pirmasis yra tiesinis Ax atžvilgiu, o antrasis - aukštesnės eilės negu Ax nykstamoji funkcija, t.y. Ay = A Ax + o ( Δ χ ) ; čia A = const,

ο(Δχ) lim — — - = 0. Δ*->0 Ax

Teorema. Funkcija y =f(x) yra diferencijuojama taške X0 tada ir tik tada, kai taške X0 egzistuoja išvestinė /'(x0)

=A.

Į r o d y m a s . Būtinumas. Kai funkcija/(x) yra diferencijuojama taške x0, tai pokytį Ay galima išreikšti lygybe Ay = A Ax + o (Δχ) , iš kurios išplaukia, kad A y

Ax

^A ι

Ax

Tuomet /'(X0)-

Taigi

lim

^

=

lim

Ax->0 Ax

[

А

ΔΛ—>0 v

+

° - Щ =

Ax )

+

l i m

Δ.τ-»0 AX

= A

.

f'(xo)=A.

Pakankamumas. Tarkime, kad A = f'(xn). V Ay šios lygybės g a u n a m e : —— =A Δχ Ay = (A + α ) Δχ, =

А

arba

Tuometi =

lim . Iš Ax->0AX

+ α ; čia α —> O, kai Ax —> 0. V a d i n a s i ,

Ay = AAx

+ α Δ χ . Kadangi

lim α = 0, tai α Ax = o (Δχ). Taigi Ay = A Ax + o ( Δ χ ) .

CL Ax lim = Δ*—>0 Ax

•

Δϊ—»0

Iš įrodytos teoremos išplaukia, kad teiginiai "funkcija turi išvestinę" ir "funkcija yra diferencijuojama" yra ekvivalentūs. Dydis A Ax yra pagrindinė pokyčio Ay dalis. 2 apibrėžimas. Reiškinys f '(χ 0 ) Δχ vadinamas funkcijos f (x) diferencialu taške X0 ir žymimas df(xįį)

arba dy.

Taigi

i

dy = f'(χ)

Pasinaudoję šia kai y = x , gauname:

A8

formule,

dx = x' • Ax = 1 • Δχ = Δ χ . Tuomet

W—

dy =

D.V=W

У

Αχ.

f'(x)dx.

^ a

Išsiaiškinkime diferencialo

X0

0

g e o m e t r i n ę p r a s m ę . Iš 69

x0+Ax

χ

paveikslo aišku, kad BC AB

69 pav.

= tga = / ' ( x 0 ) ,

todėl BC= f'(X0)

AB=

f'(x0)Ax

.

Taigi df(x()) = ВС. Prieiname tokią išvadą: funkcijos diferencialas lygus liestinės, nubrėžtos per taškų x(), ordinatės pokyčiui, atitinkančiam argumento pokytį Ax. Suformuluosime diferencialo savybes, tiesiogiai diferencijavimo taisyklių bei diferencialo apibrėžimo:

išplaukiančias

iš

d(au + βν) = a du + β ί/ν, α, β-const, d(uv) = udv + vdu , u '\ vdu - udv

Panaudodami diferencialą, galime apytiksliai apskaičiuoti funkcijos reikšmes. Kadangi Ay = dy + o (Δχ), tai Ay ^dy . Vadinasi, /(χ0+Δχ)-/(χ0)« /'(x0) Δχ, /(xo+Δχ) ~f(xo) + / ' ( * θ ) Δ χ . Pavyzdys. Apskaičiuokime ^26,8 . S p r e n d i m a s . Pažymėkime:/(x) = Гх , Xo — 21, f (х0) = 3, Δχ =-0,2. _2 Tuomet / ' ( * ) = V = 2,99.

•

3

, /'(x0) = -

_

=

±

ir Ц Ш

+ ^-(-0,2) =

2.2. Diferencialo formos invariantiškumo savybė Raskime sudėtinės funkcijos y = /(x), x = φ (t) diferencialą. Įrašę j y=f(x)

vietoj argumento χ j o išraišką χ = φ(ί), gausime

funkciją y = / ( φ (i)) = F (t), priklausančią nuo t . Todėl dy = y', dt. Kadangi y't = y'x • x't, tai dy = y'x • x't dt = y'xdx , nes pagal diferencialo apibrėžimą dx = x't dt. Vadinasi, diferencialo išraiška visada apibrėžiama formule dy =

f(x)dx,

nesvarbu, kokia yra funkcija f(x)'· sudėtinė ar nesudėtinė. Ši savybė ir vadinama diferencialo formos invariantiškumo savybe. Iš paskutiniosios formulės išplaukia, kad

= fdy Taigi trupmena — yra ne tik išvestinės simbolis, bet ir dviejų diferencialų dx santykis.

3. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai 3.1. Aukštesniųjų eilių išvestinės Tarkime, k a d / ( x ) - diferencijuojama kiekviename taške χ e X cija. Jos išvestinė f'(x)

funk-

yra nauja kintamojo χ funkcija g(x): f'(x) = g{x)·

Jei funkcija g(jc) diferencijuojama, tai galima kalbėti apie jos išvestinę t §'(•*) ={f'{x)) f"[x)'

У'хх

> kuri vadinama funkcijos f(x) antrąja išvestine ir žymima af

ba

— r - . Analogiškai, kai dx

f"(x)

irgi diferencijuojama

funkcija, tai apibrėžiame trečiosios eilės išvestinę / " ' ( * ) = ( / " ( ^ ) ) > kurią d\ žymime — γ . Apskritai, kai taške χ egzistuoja (n-l)-osios eilės išvestinė dx / ( " _ 1 ) (x), tai «-tosios eilės išvestinę apibrėžiame taip:

/<»>(*)- ( / ( » - O (χ))

;

dar rašome: y(»)Jy 7

M )

V

V,arba J

^ = ^ Иг" Ch

Funkcija vadinama n kartų diferencijuojama taške J t e I , jei šiame taške egzistuoja visų eilių tos funkcijos išvestinės imtinai iki n-tosios eilės. Pavyzdys. Raskime funkcijos /(x) = sinx «-tosios eilės išvestinę. S p r e n d i m a s . Nuosekliai diferencijuojame: + xj ,

/'(x) = (sinx) = cos χ = sin

/ " ( χ ) = (cosχ) = - s i n x = sin^y-2 + xJ , /'"(x) = (-sinx)

= -cosx = sin^y-3 + x

Darome išvadą, kad / W ( X )

:

sinl ~ n + x

Norėdami įrodyti, kad ši formulė tikrai teisinga, galėtume pasinaudoti matematinės indukcijos metodu.

3.2. Neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės Kaip ieškomos neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės, parodysime spręsdami pavyzdį. Pavyzdys. Raskime funkcijos, apibrėžtos lygybe arctg ^ = | l n ( x 2 + y 2 ) , antrąją išvestinę. S p r e n d i m a s . Diferencijuojame abi lygybės puses, nepamiršdami, kad y yra kintamojo χ funkcija: 1 y

y

1+ K

2

y'χ-y _ 1 X

2

z

2

X

2

z

1 + y

2 '(2x + 2yy') z

Išsprendę šią lygtį y' atžvilgiu, gauname: У

Х +

, =

У ·

x-y

Vėl diferencijuojame abi lygybės puses χ atžvilgiu: ..„ _ (l + / ) ( x - y ) - ( l - > " ) ( x + ,v) _ 2(xy'-y) (*-y)2

'

(*-y?

Į gautą lygybę įrašę y' išraišką ir sutvarkę, turime: X+y 2 χ·' y Х-У - )

_2(x2+y2)

(χ-у)2

[х-УУ

3.3. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis, aukštesniųjų eilių išvestinės Funkcijosy, nusakytos parametrinėmis lygtimis ίχ = φ(ή, j ν = Ψ (ί), pirmoji išvestinė randama pagal formulę yi=

4 = 4 OJC t

(O

Sudarykime naują funkciją χ = φ(ί), y i = η(0· Išdiferencijavę ją kintamojo χ atžvilgiu, gausime jau antrąją išvestinę, kuri, remiantis (1) formule, apskaičiuojama taip:

Л

-

Щ

-

X1

.

P

)

Analogiškai galėtume rasti ir aukštesnių eilių išvestines. Pavyzdys. Raskime funkcijos χ = a cos3?, y = a sin 3 i antrąją išvestinę У»· S p r e n d i m a s . Pasinaudokime (1) formule:

За sin 2 t cost 2 ! • За cos t (-sin t)

Ух =

=

"tSi ·

Dabar taikykime (2) formulę:

!_ yix =

(-tSi) '

cos 2 1

_

3acos 2 i ( - s i n i )

3acos 2 i ( - s i n i )

3.4. Niutono Nagrinėsime funkciją

3acos4isini

binomas

P n (x) = (x + а ) " , kuri yra n - tojo laipsnio

daugianaris Pn(x)

= (a + x)n

= A0

+ A2X2

+ A1X

+ — l · ANXN

čia A0, Ah ... ,An - koeficientai. Įrašę į ją reikšmę χ = O, gauname A0=a". diferencijuojame: P;(x) = n(a + x)n~l =Α1+2Α2χ

;

(3)

Abi (3) lygybės puses

+ ··· + ηΑηχη~1

.

(4)

Kai χ = O, gauname A\=na"~\ Išdiferencijavę abi (4) lygybės puses, turime: Р Д х ) = n(n - 1)(а + x ) " ~ 2 = IA2

+ n(n-l)Anxn~2

+ 2 ·3A3X + 3 ·4 A 4 X 2 + ··· +

. 2

K a i x = 0, tai IA2 = n(n-\)a

(5) ir ^l 2

=

n(n — l) —я

n_2

• Išdiferencijuojame

abi (5) lygybės puses ir įrašome į ją χ reikšmę, lygią nuliui: 2 · 3A3 = n(n - 1)(ai - 2)a"~ 3 ; iš čia A3 =

an~3.

~

Pratęsę procesą, gautume: n(n-l)...(n-m

+

l)fl>l_m>

w

=

0)1>2)

n

m! Įrašę šias koeficientų išraiškas į (3) formulę, gauname vadinamąją Niutono binomo formulę, būtent, /

\n

а+X

'

=a

n

n-1 1

+na n

A I ( W - Ij )

X + -^

и ( и - 1 ) - ( и - / п + 1) я-w

2! w

O

n„

_ z2

...

2

x z + ••· + „_i

m! Izaokas Niutonas (I. Newton, 1643 - 1727) - anglų fizikas ir matematikas.

„ .v, . . n(n -1) ...(n -m +1) „ .. ^ m . Reiškinį — -— 1 - pažymėję Cn ir sutarę, kad m\ pertvarkome Niutono binomo formulę: (a + x)n

= Cnan

+ C1NUN-1X

(a + x)n = Koeficientai Cm

+ ••• + Cna"-mxm

+ C1NUN-1X1

JCman~mxm m=O

vadinami binominiais

+•••

n

Cn = 1 ,

+ CNNXN

,

.

koeficientais; jie pasižymi įdomia

savybe: JjC m=O

m

= 2".

3.5. Leibnico formulė Išveskime sandaugos uv n-tosios eilės išvestinės formulę, kai u ir v turi išvestines iki «-tosios eilės: (UV) =u'v + uv', n

(.UV) =(u'v)

t

t

+(kv')

= u"v + u'v' + uv" + u'v' = u"v + 2u'v' + uv" .

Išdiferencijuojame dar kartą: (uv)'" = u"'v + 3u"v' + 3u'v" + uv'" . Supratę, kad koeficientai 1, 3, 3 ir 1 yra binominiai koeficientai, ir apibendrinę, galime parašyti: n (m) w 1

H

=

ΣΟ "-

m=O

Norėdami įrodyti, kad ši formulė tikrai teisinga, galėtume panaudoti matematinės indukcijos metodą.

3.6. Aukštesniųjų eilių diferencialai Sakykime, kad / - diferencijuojama funkcija ir dy = f'(x)dx

- jos

2

diferencialas. Antrosios eilės diferencialu d y vadinamas pirmosios eilės diferencialo diferencialas, t.y. dy = d(dy). Apskritai d"y =

dįdn~1y).

Kai χ - nepriklausomas kintamasis, tai dx = Ax = const, todėl ify = d(dy) = (dy) dx = (f'(x) dx) dx = f"(x)

dxdx = f"(x)(dx)2

.

Pažymėję (dx)2 = dx2, gauname: d2y = f"(x) dx2 . Analogiškai įsitikintume, jog d3y = f'"(χ) dx3 ,

dny = f^n\x)dxn

.

Taigi gauname formulę

dny Vadinasi, šiuo atveju reiškinys — y r a ne tik n - tosios eilės išvestinės simbolis, bet ir trupmena, lygi tam tikrų dydžių santykiui. Dabar sakykime, kad χ - priklausomas kintamasis: χ = φ (t). Tuomet funkcija/(x) bus sudėtinė. Raskimejos antrosios eilės diferencialą: d2y = d(dy) = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + /'(*) d(dx) = = f "(x)dx2

+f'(x)d2x.

Kaip matome, ši formulė nesutampa su formule d2y = f"(x)dx2

, todėl

antrosios eilės diferencialas, kartu ir aukštesniųjų eilių diferencialai, neturi formos invariantiškumo savybės. Taigi šiuo atveju reiškinį

dny dxn

galima

traktuoti tik kaip išvestinės simbolį, nesuteikiant jam santykio prasmės.

4. Vidurinių reikšmių teoremos Įrodysime kelias teoremas, kuriomis pagrįstas įvairus išvestinių taikymas.

4.1. Ferma* teorema Sakykime, kad funkcija f (x) yra apibrėžta intervale (a ; b), o jo vidiniame taške c įgyja didžiausią (mažiausią) reikšmę. Jei tame taške egzistuoja baigtinė išvestinė f '(c), tai būtinai f'(c) = 0.

Pjeras Ferma (P. de Fermat, 1601 - 1665) - prancūzų teisininkas ir matematikas.

Į r o d y m a s . Sakykime, / ( c ) - didžiausia reikšmė, t.y. su visomis intervalo ( a ; b) χ reikšmėmis

У

/ ( x ) < / ( c ) « / ( x ) - / ( c ) < 0. Pagal išvestinės apibrėžimą

0

_

α

f '(c) = lim • x—>c

^

X-C

Ši riba nepriklauso nuo to, ar χ artėja prie c iš kairės, ar iš dešinės, nes išvestinė taške χ = c egzistuoja.

70 pav.

Kai χ > c, tai χ — c > 0, todėl

f(x) - f (c) w y X-C

lim M z / l f l x->c+0

K a i x < c, tai A x ) ~ f { c )

< 0 ir / ' ( c ) <0.

X-C

> q įr

X-C Gavome: / ' ( c ) < 0 ir f'(c) f'(c) = 0. A

' < 0 . Tuomet

lim

X^c-0

ЛХ)~ЛС)

> Q^ t o d ė ]

л >

0

X-C

> 0. Iš šių dviejų nelygybių išplaukia, kad

Geometrinė lygybės prasmė tokia: c - vidinis intervalo (a; b) taškas, per kurį išvesta kreivės y = f (x) liestinė yra lygiagreti ašiai Ox. Esminis šios teoremos reikalavimas, kad taškas c būtų intervalo (a ; b) vidinis taškas, nes reikėjo ieškoti vienpusių ribų jame. Jeigu funkcija didžiausią (mažiausią) reikšmę įgytų atkarpos ( a ; b) gale (70 pav.), tai liestinė galėtų ir nebūti lygiagreti ašiai Ox, todėl ir išvestinė tame taške galėtų nebūti lygi nuliui.

4.2. Rolio* teorema Sakykime, kad funkcija f(x)

tolydi atkarpoje [a; b],

diferencijuojama

bent intervale (a; b), be to, f (a) = f (b). Tada tarp a ir b yra bent vienas taškas c (a
kuriame f'(c)

= 0.

Į r o d y m a s . Iš ankstesnio kurso žinome, kad tolydi atkarpoje funkcija įgyja tiek mažiausią reikšmę m, tiek ir didžiausią M. Jei M=m,

t a i / ( x ) =M = m = const visame intervale ir /'(x) = 0 su

Vx s(a-,b). Mišelis Rolis (M.Rolle, 1652 - 1719) - prancūzų matematikas.

Yi

K

s—N4

a

0

C1

71

Jei

МФГП,

b

C2

r .

χ

0

P av -

1

χ

72 pav.

tai abi reikšmės negali būti įgyjamos atkarpos galuose, nes

f (a) = f (b). Vadinasi, didžiausia arba mažiausia reikšmė įgyjama kuriame nors vidiniame taške c. Tada pagal Ferma teoremą / ' ( c ) = 0.

•

Geometrinė šios teoremos prasmė tokia: jei funkcijos reikšmės atkarpos galuose lygios, tai egzistuoja bent vienas vidinis atkarpos taškas, kuriame liestine lygiagreti ašiai Ox (71 pav.). Visi Rolio teoremos reikalavimai yra esminiai. Pateiksime pavyzdžių. 1 pavyzdys. Nagrinėkime funkciją f(x) = |x[,

χ e[-l; l].

Nors / ( - 1 ) = / ( 1 ) = 1, tačiau nė viename atkarpos [-1; 1] taške f'(x)*

O, nes netenkinamas diferencijuojamumo intervale (-1; 1) reika-

lavimas (jau anksčiau išsiaiškinome, kad taške x = 0 funkcija nediferencijuojama). 2

pavyzdys.

|x| yra

•

Funkcija

f(x) = x-{x\

(72 pav.)

atkarpoje

[0; 1]

apibūdinama sąryšiu , j i , /l

kai O < χ < 1,

J

* - { 0 , kai χ = I.

Nors ši funkcija diferencijuojama intervale (0; 1) ir / ( 0 ) = / ( 1 ) = O, tačiau / ' ( * ) * O visuose intervalo (0; 1) taškuose. Taip yra todėl, kad funkcija trūki taške* = 1.

•

4.3. Koši teorema Sakykime, kad funkcijos f(x) diferencijuojamos

ir g(x) yra tolydžios atkarpoje

[a\ b],

bent intervale ( a ; b), be to, g'(x) * O intervale (a;

Tada tarp a ir b yra taškas c, kuriame f (b)-f

(a)

g(b)-g(a)

f'(c) g'(c)"

b).

Ši formulė vadinama Koši formule, baigtinių pokyčių, teorema. Įrodymas. g(b) = g(a),

Skirtumas

g(b)-g(a)

o pati teorema - Koši,

arba

^ O, nes priešingu atveju

būtų

tuomet pagal Rolio teoremą g'(x)

kuriame nors intervalo

taške būtų lygi nuliui, o tai prieštarautų teoremos sąlygai. Sudarome pagalbinę funkciją F(x) =

f(x)-f(a)-^M(g(x)-g(a)).

Ji tenkina visas Rolio teoremos sąlygas: 1) F (x) tolydi su Vx e [a; b], nes f(x) ir g (x) tolydžios; 2) F'(x)

egzistuoja su VJC e ( α ; b ) :

3) F(a) = O, F(f>) = /(i>) - / ( „ ) -

M

(g(i) - s H ) = O .

Todėl pagal Rolio teoremą tarp a ir b yra taškas c, kuriame F'(c) = O . Įrašę į (6) formulę vietoj χ dydį c ir prilyginę išvestinę nuliui, gauname:

Iš šios lygybės ir išplaukia Koši formulė.

•

4.4. Lagranžo teorema Lagranžo teorema yra Koši teoremos atskiras atvejis, kai g (χ) = x. T u o m e t g ( a ) = a i r g ( b ) = b ir Teorema. Jei funkcija

y = f(x)

= 1 ^ O su Vx e ( a ; b). yra tolydi atkarpoje [a; b] ir diferen-

cijuojama intervale (a ; b), tai tarp a ir b yra taškas c, kuriame f (b) - f (a) = =

f'(c)-(b-a). Į r o d y m a s . K a i g ( x ) = x , iš Koši teoremos išplaukia, kad yra taškas c

(a < c < b), kuriame

=

fi

T-a Ψ~ a)

'

arba

W - M =

Пс)-(Ь-а).

Si formulė vadinama Lagranžo formule. Išnagrinėkime Lagranžo teoremos geometrinę prasmę (73 pav.).

A

Kadangi b-a f(b)-f(a)=BC,

=AC,

Vk B

tai m

Sąlyga tga = / ' ( c )

reiškia, kad

f(a)

c - toks taškas, kuriame kreivės liestinė lygiagreti stygai AB. Kadangi c yra tarp a ir b, tai a
/ C O

C

73 p a v .

Q(b-a)){b-a).

+

Nors Lagranžo formulėje yra nežinomas taškas c arba nežinomas dydis Θ , tačiau tai nekliudo šią formulę taikyti, ypač kai reikia pertvarkyti dviejų funkcijos reikšmių skirtumą. Tuo įsitikinsime vėliau ne vieną kartą.

4.5. Lopitalio* teorema Tarkime, kad f ir g - tolydžios ir diferencijuojamos galbūt išskyrus patį tašką a, funkcijos, lim f(x)

=

taško a aplinkoje,

lim g(x) = 0,

be to, g'{x) Φ O minėtoje aplinkoje. Tuomet, jeigu egzistuoja

egzistuoja ir riba lim

, tai

ir kartu teisinga lygybė

Į r o d y m a s . Funkcijos f(x) irg(x) gali būti neapibrėžtos taške a, todėl tarsime, k a d / ( a ) = O, g (a)= 0. Tuomet funkcijos f(x) ir g (x) bus tolydžios taške a ir tenkins Koši teoremos sąlygas. Galima parašyti Koši formulę:

/ W = M z M = ZM g(x)

g(x)-g(a)

g'(c) '

Gijomas Fransua Antuanas de Lopitalis (G. F. A. de L'Hospital, 1661 - 1704) prancūzų matematikas.

kurioje χ < c
arba a
*->a g(x)

Kai χ ->a, tai c ->a . Vadinasi,

c->a g'(c)

x-+a g'(x)

4.6. Lopitalio taisyklė Ši taisyklė taikoma neapibrėžtumams aiškinti. Ji remiasi įrodytąja Lopitalio teorema, iš kurios formuluotės aišku, kad Lopitalio taisyklė taikytina neapibrėžtumui -jj-. 1 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą lim >o

ex -1 χ

.

Sprendimas. H m M l = W - limil-1. x—>0 X VO J л;->0 1

A

Jeigu, pritaikius vieną kartą Lopitalio taisyklę, neapibrėžtumas -Ц neišnyksta, taisyklė taikoma dar kartą. ,. ex-e~x-2x 2 pavyzdys. Iim x—>0 x - s i n x

= H

m

x->0

M M

J M

sinx

vO/

l

i

=

m

*->0

Г ОЛ — = VOy

M M =

,. е * + < Г * - 2 fO lim = — >0 l - c o s x VO 2.

A

cosx

Teoremą įrodėme taikydami neapibrėžtumui -Ц, kai χ ->a . Tačiau ji OO teisinga ir tada, kai χ ^>oo. Be to, ją galima taikyti ir neapibrėžtumui — , OO kai χ ->a arba χ

oo. Šių teiginių įrodymo čia nepateikiame.

3 pavyzdys. Apskaičiuokime

xn lim , kai a > O, n > O . X—•+со Qax

OO S p r e n d i m a s . Kaix->+oo, turime neapibrėžtumą — . Pritaikę Lopioo

talio taisyklę n kartų, gauname: г lim X->+oo

x

" = Cax

νlim "Xn'1 ax X->+oo (Ig

=

vlim — " (— " -j 11 K ' x->+oo a Cax

2

= ... =

lim x->+co

n\ =0. . CJnCax

д

•

Lopitalio taisyklę galima taikyti ir tada, kai turime neapibrėžtumus O-co, oo -oo, 0°, oo0, I е0 . Tačiau pirmiausia juos reikia pertvarkyti j neapibrėžtumus — arba — . Neapibrėžtumus 0°, oo°, ir V O

galima pakeisti

oo

neapibrėžtumu O со, išlogaritmavus duotąjį reiškinį. Pavyzdžiui, neapibrėžtumą O -oo, kuris atsiranda apskaičiuojant sandaugos ribą, k a i / - ^ 0 , O oo f g g -+со, taip pakeičiame neapibrėžtumu — arba — : fg= ~, arba . O oo 1 1 g

7

Reiškinį f-g, iš kurio gauname neapibrėžtumą с о ^ з о , kai f—>, ir g —>, pertvarkome šitaip: 1_ 1 f~8

=

ι

ι _ 8

I f

I 8

f

f I I 8

ir gauname neapibrėžtumą —. Išspręsime dar keletą pavyzdžių. .

2

χ—>a

2a

JC - A

sin-

• X-Cl ш ,. ч 4 pavyzdys. Iim sin t g — = ( 0 • ooj = Iim

1

x—>a

2 — =

tg ^ 2a .

Sin

= Iim x ^a

JC-a

/r .\

COS

— — = i—1 = Iim x cte— ^ ^a 2a

1 5 pavyzdys. ,· Iim Γ *-*ιν1ηχ

JC-a

1

1

—

-2_2_ . π 2 sin — 2a 2a

=

__2_ = _ « . π —

A

2a

1

"l = (/ 0 0 - g c \ * - l - гl n * J = ,· bm -; x-\) x->i ( J C - I j l n J C

= (O — vO

l - I :

,-

Iim

JC

,·

— - = Iim

injc + ^ 1

X^ixlnx

+ x - l

=

Г 0Л

,.

1

— = Iim

VoJ

X-+1 l n x + x

X

1

= —.

l

+ 1

JC

ι 6 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą Iim (— arccosjc] 1 . x->ov π J

2

π 1 — ir 2 χ

S p r e n d i m a s . Kaix->0, tai arccosx

neapibrėžtumą I х . Pažymėkime:

>00, todėl čia turime

limf—arccosx) A = A . Abi šios lygybės x-»0V π J

puses išlogaritmuojame: 1 InA = In I i m f — a r c c o s x ) x = Iim Ini—arccosx] л = Iim — Inf—arccosx] = *->ον π J νπ J Х-УОХ ν π J ln(^-arccosxj = (со · 0) = Iim χ->0

= χ

1

1

arccosx = Iim ^ 0

I n - + Inarccos л: — = Iim _ π VO J χ->ο χ

Γ-, ~2

V1

χ

ι

τ = --

= - Iim

1

j m 0

2 Taigi InA = — , todėl A = e π

V I - X 2 arccosx

71

2 π

.

•

5. Teiloro formulė Išvesime labai svarbią formulę, kuri funkciją išreiškia tam daugianariu.

tikru

5.1. Daugianario Teiloro formulė Sakykime, kad Pn(x)

yra n -tojo laipsnio daugianaris

Ρ η (χ) = α 0 + α ι ( χ - χ 0 ) + · · · + α η ( χ - χ 0 ) η . Išdiferencijąvę jį n kartų, gauname: Pn(x) = ai + 2a2(x-xo)

+

3a?,(x-Xo)2

Pn(x) = 2a2 + 2-3a3(x-X0)+---+n(n

+'" + nan{x

~ xo)"

- 1 )a„(x-x0)"

P™(x) = 2 • 3a 3 + · · ·+ n(n - l)(/i - 2) an(x - x 0 ) " ~ 3 ,

pįn\x) = n(n-l)(n-2)...3-2

Ian

.

Brukąs Teiloras (B.Taylor, 1685 - 1731) - anglų matematikas.

2

^ ,

Įrašykime j daugianario ir jo išvestinių išraiškas vietoj χ dydįx 0 : PN(X0) = a o , ···.

Pnn\*0) =

Pn(x0) = ax , Pn(x0) = Ha2

, P"(x0)

= 3!a3

,...

nlan.

Iš šių lygybių išplaukia, kad «о=

Pn(x0),

"i=Pn(xo)>

a2 =

,

Лк)Ы

РпЫ

Įrašę šias koeficientų išraiškas j pradinę gauname vadinamąją daugianario Teiloro formulę: Pn(x) = PN(X0)+

daugianario

išraišką,

X0)2+•••+

P^(x0)(x-x0)+

)-.

(7)

n\

5.2. Funkcijos reiškimas Teiloro formule Nagrinėkime bet kurią n +1 kartą diferencijuojamą tam tikrame intervale X funkciją/(x), kuri apskritai nėra daugianaris. Pagal analogiją su (7) formule sudarykime daugianarj Pn(x) = f(x0)4U)(x-x

0

)

+

^ ( χ - χ

0

)

2

+

· · ·

+

^ ^ ( χ - χ

0

)

η

· ,

čia χ ir x 0 e X. Nors šio daugianario ir funkcijos/(x) reikšmės taške x(1 bei jų atitinkamų išvestinių iki «-tos eilės reikšmės taške x() sutampa, tačiau bendru atveju, kai pati funkcija / ( x ) nėra daugianaris, negalima tvirtinti, kad/(x)=F„(x). Sakykime, f(x) nuo P„(x) skiriasi dydžiu rn (x): r„ (χ)= f (x)-Pn(x)

,

t.y. rn (x) = f(x) - f (X0) - f'(x0)(x

X - X0)2 - . . . -

-X0)-

-I^M(X-X0)". n\

Dydis rn (x) vadinamas liekana, arba liekamuoju

'

·

(8)

nariu.

Apibrėžtumo dėlei tarkime, kad χ > x0. Analogiškai, kaip ir (8) formulėje, dydį Xo pakeitę kintamuoju z, sudarykime pagalbinę funkciją

- ζ)2 - · · · -

φ(ζ) = f (χ) - f (ζ) - f'(z)(x - ζ) -

^

(

χ

- ζ)" , (9)

apibrėžtą atkarpoje [лг () ; jc]. Kadangi funkcija f (χ) yra n kartų diferencijuojama, tai funkcijos /, /', /",...,

tolydžios intervaleX, todėl funkcija φ(ζ) irgi tolydi tame

intervale. Be to, ji ir diferencijuojama, o jos išvestinė lygi φ'(ζ) = -f (z) - f"(z)(x

-Z)2+

- z) + f'(z)-£№-(x

f{n+l\z)(

f{n

чи-1

+

f"(z)(x

% ) ,

- z) - . . . -

λη

n m

Pasirinkime dar vieną tolydžią atkarpoje [jr0; x] ir diferencijuojamą intervale

funkciją

ψ(ζ),

kurios

ψ'(ζ)*0.

Funkcijos

ψ(ζ)

išraiškos kol kas nesukonkretiname. Funkcijos φ(ζ) ir ψ(ζ) tenkina Koši teoremos sąlygas, todėl joms atkarpoje [x a ; χ ] pritaikome Koši formulę: φ ( * ) - φ ( * θ ) _ Ф'(с) • ψ(χ)-ψ(Λ:ο) Ψ'(c)

čia xt)

Iš (9) ir (10) formulių turime: /·(/! +1)/ cp(x) = 0 ,

ср(дс0) = /·„(*),

ф'(с) =

\

-у^(дс-с)".

Taigi 0

_

f(n+%) и!

ψ(*)-ψ(*ο)

-(χ - с ) "

Ψ'Μ

is cia

=

Parinkę

skirtingas

лт! ψ-įc) ψ(ζ)

liekamuosius narius. Kai

W

išraiškas,

ψ'(ζ) = -(n + l ) ( j t - z ) " ,

M

gauname +

ψ(ζ) = ( x - z ) " '

tenkina keliamus jai reikalavimus), tai

^

• nevienodos

formos

(tokia funkcija tinka, nes ji \|/(Д:)

= 0,

ψ'(с) = -(n + l ) ( x - c ) " .

Ψ(Λ:0) = (Χ - * О ) "

+ 1

>

Tuomet &+%)(χ-ή", r n { x )

-~nUn

,

l)(X-c)"\'

+

{X

r

~

η

_

/"+%),

n+1

X0)

Liekamasis narys, nusakomas šia lygybe, vadinamas Lagranžo formos liekamuoju nariu. Jo išraiška labai panaši į Teiloro formulės (n + l)-ojo — — - 0 ^ (x - χ ο ) " + 1 ; yra tik vienintelis (n + 1)!

nario išraišką

skirtumas -

liekanoje išvestinės reikšmė apskaičiuojama ne taške x a , bet tarpiniame taške се(х0\ x ) . Atsižvelgdami į tai, kad f(x)=Pn (x)+rn (x), parašome galutinę Teiloro formulės išraišką: f(x) = f (xo) +

+

Af(X0)

= f'(x

f(x)-f(x0)

0)

^

(

x

- xo)2 + - +

\n,ft+1\c)t \n+\ +-į—.WT(X-XQ) • (n + 1)!

П!

Pažymėję x-x0 = Δ χ , formulės išraišką

-X0)+

Χ

Ax

ίΛΛ,

(U)

= Af(x0), gauname dar vieną Teiloro

+ I ^ A x

2

+..·+

AX"

+

f(n+1)( C)

(n + 1)!

Ax"+1

Jeigu parinktume ψ(ζ) = x-z, tai gautume Koši formos liekamąjį

narį.

Tuomet ψ(χ) = 0 , ψ(^ο) - x - x o , ψ'(ζ) = - 1 , todėl

=~^(x~c)n(X-X0)

Φ )

•

Prisiminę, kad C galima pakeisti C = X0 gauname X - C =

x-x 0 - Θ

(X-XQ)

=

+ Θ(χ-χ ( ) ),

(12) 0<Θ<1,

(1 - Θ ) (χ-χ 0 ).

Įrašę šią χ - c išraišką į (12) formulę, gauname galutinę Koši formos liekamojo nario išraišką i i =! rn(x)

V

i

N

l

i

1

n v r(*-*o) -(1-©)

5.3. Kai kurių elementariųjų funkcijų reiškimas Makloreno* formule Teiloro formulė, kurios x 0 = O, vadinama Remiantis (11) formule, galima parašyti tokią išraišką: 1!

Makloreno Makloreno

2!

formule. formulės

n\

{n+ + f \)xn,

(13)

(и + 1)!

Rasime kai kurių elementariųjų funkcijų dėstinius, gaunamus pritaikius (13) formulę. l./(x) =

Kadangi f{n\x) e

čia r„(x) =

2.f(x)

= e*,

/ ( " } ( 0 ) = 1 su Vn eN , tai

. X X X ( \ =l + x + — + — +··· + — + /Jx 2! 3! n\ '

у

—r-x"+1, (n +1)!

(14)

;

O < c
= s i n x Įrodėme, kad O,

mz / W ( x ) = s i n [ n ^ + x j . Tuomet/

(n)

(0) = sin

n = 2k,

(-1)*,

n = 2k +1,

k s Z. Todėl χ3

SinX = X

3!

H

χ5

χ1

5!

7!

2k + l \k χ H v( — l ) , , ' (2k +1)!

H

Лк+3

čia \г2к+з{х)\ =

2к+з{х)

;

(!5)

Лк+г jS in((2A:

(2 к + 3)

3. / ( χ ) = cosx.

+ г

+ 3 ) | + c}

Kadangi

(2& + 3)!

COSC

f^"\x) = c o s y + x j , tai

analogiškai

sinusui gauname: Cosx = I

X

2

2!

1-

X

4

4!

X

6

6!

+ •··+(-1) y 1

K

X2K

7—r- + /71-+2(*) ; v (2k)\ '

Лк+2 cia ia 1¾+2 W l =

COS C (2k + 2)\

Kolinas Maklorenas (C.Maclaurin, 1698 -1746) - škotų matematikas.

(16)

4.f (χ) = ln(l+jt). R a n d a m e išvestines:

{l + x) Apskaičiuojame jų reikšmes taške χ = 0: / ( 0 ) = 0,

/ ' ( 0 ) = 1,

/ " ( 0 ) = - 1 , . . . , /(")(0) = ( - I r 1 ( M - I ) !

Vadinasi, ln(l + x) = x - ^ - + y - ^ - + - + ( - l У ' ^ + ф )

;

(17)

n+1

cia

r ( l + c)" + 1 (n +1)

5. fix)

= (l+лг)01, kai α ей.

Kadangi f(n\x) = α ( α - 1 ) . . . ( α - n + 1) (ΐ + χ ) α ~ " , tai / ( 0 ) = 1, /'(0) = α , / " ( 0 ) = a ( a - l ) , . . . , / W ( 0 ) = α ( α - 1)... ( α - n + 1). Tuomet ι, \a , α ( α -1) τ α ( α - 1 ) . . . (α - η +1) η ( l + x) = l + c a + v ^ i 'χ2 + ···+ — —^ '-x"+rnix); 2! η! cia r,.

(r)

α(α~ΐ)-(α-η)/Ί

/1ПЧ

(18)

ла-и-l „+ι

Iš šios formulės, kai а = n e N, gauname Niutono binomo formulę, nes tuomet rn (x) = 0 . Remdamiesi išvestomis (15) - (18) formulėmis, galime tam tikru tikslumu funkciją pakeisti daugianariu, kurio reikšmė pasirinktame taške apskaičiuojama atliekant aritmetinius veiksmus. Tokie funkcijų dėstiniai naudojami apskaičiuojant funkcijų reikšmes su E S M .

5.4. Funkcijų reikšmių apskaičiavimas 1 pavyzdys. 0,0001 tikslumu apskaičiuokime J e . S p r e n d i m a s . Įrašę į (14) formulę vietoj χ skaičių j n 4~e=e2

=

2

ii)

3

,gauname:

f Iх" +

+

2

2!

3!

(19)

n\

ec 1 1 1 čia r„= - , 0 < c < —. Kadangi ec < e2 <2, tai rn < +1 (n +1)!2" ' 2" ' ( И + 1)!2 Я Norėdami išsiaiškinti, kiek reikia imti (19) sumos dėmenų, kad galėtume Je

apskaičiuoti duotuoju tikslumu, reikalaujame, kad liekamasis narys

būtų mažesnis už duotąjį tikslumą, t.y. <0,0001 . (n + 1) ! 2 " Ši nelygybė jau teisinga, kai n = 5 , nes tuomet — 6! 2 =

— < 0,0001 . 32-720

Taigi -Te « 1 + - + - M 2 2 -2!

+ 2 ·3!

+ — — 2 -4!

+ M - «1,6487. 2 5 ·5!

•

2 pavyzdys. 10 ~4 tikslumu apskaičiuokime sin I 0 . S p r e n d i m a s . Įrašykime į (15) formulę tokį keitinį:χ = — ( l 180 Gausime: • ,o Sinl =

π

3 , π 2k+l ι л\к 53 +•••+ V -1 —Γ—, 180 -3! ' 180 (2k +1)!

=

—rad). 180

π

180

180 2 * +3 (2k + 3)!

, nes lcoscl < 1.

COSC

180

(2k + 3)!

Pareikalaukime, kad būtų 2к+Ъ 180 2/с+3 (2к + 3)!

< 0,0001 .

Kadangi ši nelygybė jau teisinga, kai k = 0 , tai sin I 0 « —

180

Ьг^+з ;

2k+3

2fc+3

cia Ы + з | :

0

я 0,0175.

6. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos 6.1. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos sąvoka Sakykime, kad kiekvieną argumento t e [i 0 ; T] reikšmę atitinka spindulio vektoriaus r taško M(x; y; z) (74 pav.) koordinatės, apskaičiuotos pagal formules χ = x(t),
χ i (20)

z = z(t). Kintant parametro t reikšmei, kis ir taško M padėtis. Taigi spindulys vektorius r brėš erdvinę kreivę, vadinamą to spindulio vektoriaus hodografu (graikiškai hodos - „kelias"). (20) lygtys vadinamos parametrinėmis kreivės lygtimis, o lygtis

i = r (i)=(χ (t); y (/); 2 (i))

0

У

^ ^ ^ >r *

74

av PaV

'

vadinama vektorine kreivės lygtimi. Funkcija r (i) vadinama skaliarinio argumento vektorine funkcija. Išvesime sraigtinės kreivės lygtį. Šią kreivę gauname vyniodami statųjį trikampį ABC aplink cilindrą (75 pav.). Pėdsakas, kurį cilindro šoniniame paviršiuje palieka to trikampio įžambinė, ir yra sraigtinė kreivė.

Pažymėkime: AO = α , ZMAN' = Θ , Z AON= t. Tuomet taško M(x; y ; z ) koordinatės bus χ = a cos t, y = a sin i, U z = MN= M'N' = NA- tg Θ = AN- tg Θ = at • tg Θ . Vadinasi, sraigtinės kreivės parametrinės lygtys yra tokios: X = ACOSi,

• y = asini, z = atgO -t.

6.2. Vektorinės funkcijos riba, tolydumas ir išvestinė Tarkime, kad

limx(i)=x0, ^O

t t

r0 = ( x 0 ^ 0 ' ½ )

vadinamas

Iim y(t) = y 0 , '^tO

funkcijos

Iim r(i) = r0 . Jeigu x0 =x(t0),y0 n o

=y(t0),

r(i)

Iim z(t) = z0. ^O

Vektorius

t t

riba,

kai

t->t0.

Taigi

Z 0 = z (i 0 ), tai funkcija r(i) vadi-

nama tolydžiąja taške t0. Tuomet Iim f(i) = F(i 0 ). Apibrėšime vektorinės funkcijos išvestinę. Sakykime, kad parametro reikšmę t atitinka kreivės taškas M, o reikšmę t + At - taškas Mi (76 pav.). —> Tuomet M M 1 = r (i + Δί) - r(i) = Ar . Apskaičiuokime Δ ? koordinates: Δ γ

=

(x(i

+

At) - x(i);

y(t + At) - y(t);

z(t + At) - z(i)) =

(Δχ; Лу; A z ) . . Ar Sudarome santykį — = At

f

Ax _ Ay Az^ — ; ——; — . Jo ribą, kai Δί->0, ir vadiAt At At

dr name vektorinės funkcijos išvestine. Žymime — . Jeigu funkcijos χ (i), y (i) ir dt z (t) turi išvestines, tai vektoriaus — = Δί U i . dx prie — , dt

dy — , dt

:

At

;— At)

dz , . , _ _ . . — , kai Δ i -» O. Taigi dt dį__(
dt ~{dt'dt'dt)~X'

, τ + v'-l + z'-k 1+У

'

i + Zt

k

koordinatės artėja J

Išsiaiškinsime geometrinę išvestinės prasAr mę. Vektorius — yra kolinearus vektoriui At Ar . Kai A / - » 0 , tai taškas M i kreive artėja prie taško M , o styga MM1 ribiniu atveju užima liestinės, nubrėžtos per tašką M , padėtį. Ar Tokia Fpati bus ir ribinė vektoriaus — At padėtis. Vadinasi, — bus nukreiptas išilgai dt 76 pav. kreivės liestinės, nubrėžtos per tašką M , be to, parametro t didėjimo kryptimi. Kitaip sakant, jį galėsime laikyti kreivės liestinės krypties vektoriumi s = (x't; y't; zį). Liestinės, nubrėžtos per tašką M 0 (X 0 ; y o; z0), lygtys bus tokios: * - * o _ У - У o _ Z - Z n^ x\ y[ z; Plokštuma, nubrėžta per lietimosi tašką stamenai liestinei, vadinama normaliąja

kreivės plokštuma. Kadangi liestinė statmena šiai plokštumai, tai

liestinės krypties vektorių

s

galima laikyti normaliosios

plokštumos

normaliuoju vektoriumi i i = (jc't; y't; z't ). Tuomet normaliosios plokštumos lygtis bus tokia: jc;(jc-x 0 ) + y ; ( y - y 0 ) + z ; ( z - z 0 ) = o . Teisingos šios vektorinių funkcijų diferencijavimo formulės: . d - ч Jr1 db 1) Γι + Г? )= i- + - - · 21 ' dr 1 dt dt dr 2) į ( a, r ) , = α — j dt dt

4..)

d /_

„ ,

dri

α

eR:

_

_

dr2

•

Visos šios formulės įrodomos analogiškai, kaip ir skaitinių funkcijų diferencijavimo formulės. Kaip pavyzdį įrodysime 4) formulę. Žinome, kad

i F1Xr2=X1 X2

Pasiremkime determinanto pateikiame be įrodymo: X

Ч

1

x

2

Уг

z

Уъ

z

I

-

χ

2

*3

I

J I

ζ

У2

ζ

Уъ

ζ

k Z1

y2

Z2

.

diferencijavimo

x

ί

2

j yx

I

+

χ

2

χ

3

3

У\

z

У2

ζ

Уз

ζ

formule,

X1

I

+

2

χ

2

У\

z

У2

ζ

Уз

ζ

χ

3

kurią

3

čia

I

2 3

Vadinasi, 0

I r ( F 1 X i 2 ) = X1 χ

2

=

d r, dt

0

0

У1

z

У2

ζ

I

2

i

+

XJ χ

2

j

к

У1

z

У2

ζ

I

2

i

+

x

I

χ

2

j

к

У\

z

У2

z

I

2

- _ dr7 X r17 + 1Γι X dt de

Pavyzdys. Įrodykime, kad e ± — , k a i

|e| =1.

S p r e n d i m a s . Kadangi |e| =1, tai её =1, todėl - (yе ё ) = O . dt ' Antra vertus, d de _ _ de „ de _ — ее = e+e = 2 e= U . dt dt dt dt Lygybė ^ e

= O ir reiškia, kad vektoriai

e ir

yra tarpusavyje

statmeni.

7. Kai kurios kreivių teorijos žinios 7.1. Plokščiosios kreivės kreivis Kreivės formą galima apibūdinti jos išlinkiu. Tarkime, duota kreivė, kuri kiekviename taške turi liestinę. Pažymėkime kreivės tašką A ir nubrėžkime jos liestinę AM (77 pav.). Sakykime, kad lietimosi taškas buvo perkeltas į tašką B, tada liestinė AM užėmė padėtį BN. Kampą MCB pažymėkime α .

1 apibrėžimas. Lanko

AB

vidutiniu

kreiviu /cvjd vadinamas dydis Ial ^vid AB 2 apibrėžimas. Kreivės kreiviu taške A vadinama vidutinio kreivio riba, kai taškas B artėja prie taško A : kA = Iim B^A

Iim B->A

kvid

u

77 pav.

,

\AB

1 pavyzdys. Apskaičiuokime apskritimo (78 pav.), kurio spindulys r, kreivį bet kuriame taške. Sprendimas.

Kadangi AB = α ·r ,

tai α c

ir

vid

ar

kA = Iim ArvItJ = Iim — = — . B^>A B-*A r r Taigi

apskritimo

kreivis

78 pav.

kiekvie-

name jo taške vienodas ir lygus — .

•

r Išveskime kreivėsy = f(x) kreivio formulę bet kuriame taške M(x; y) (79 pav.). Parinkime dar vieną kreivės tašką M 1 , kurio abscise χ+Ax ir nubrėžkime dvi liestines: vieną - per tašką M , kitą - per M 1 . Jų su ašimi Ox sudaromus kampus pažymėkime φ ir φ + Δ φ . Tuomet Z MiNT = Δ φ . u Lanko M 0 M ilgį nuo tam tikro taško M0 pažymėkime s . Tuomet jo U

U

pokytis Δ s, atsiradęs dėl χ pakitimo, bus Δ 5 = M 0 M 1 - M 0 M =

U MM1.

Taigi ^•'vid

-—

M

|δ j

*=

I i m M As—>0 A s

= dų ds

Dydžiai φ ir i priklauso nuo χ , todėl lygtis φ = φ (χ) ir .s = ί (x) galima laikyti parametrinėmis funkcijos φ lygtimis, priklausančiomis nuo parametro χ , todėl άφ dy _~dx ds

ds^ ' cbc

79 pav.

Rasime išvestines — ir — . Kadangi tg φ = y', tai φ = aretg y' ir dx dx d(Į> _ 1 •ydx i + y'2 Iš 80 paveikslo matome, kad MM1 = As* As ^ Δϊ

\MMX\ = JAx2+Ay2

JAX2 +Ay

2

Δχ

I V

|

,

f Ay

ΐΔχ,

ds As , Ay ... .„ As v v. — = lim — , o y - lim — , todėl is sąrysio — dx Δ*—>0 Ax Δτ->0 Ax Δχ

l +l — V V Ar

gauname: — = J l + у ' 2 . Tuomet dx dų> _ 1 +у'2

У ' (ι+у2у

к =

\у"\ (I + / 2 ) '

7.2. Kreivio apskritimas Dydis R = — vadinamas kreivės kreivio taške M spinduliu.

Per tašką

M (x; y) nubrėžiame kreivės / normalę MP (81 pav.) ir n u o taško M atstumu R = — pažymime tašką M0, be to, toje pusėje nuo M, iš kurios žiūrint k kreivė atrodo esanti įgaubta. Taškas M0 vadinamas kreivės kreivio taške M 1 centru, o apskritimas, kurio centras taške M0 ir spindulys R= kreivio k apskritimu. Rasime to apskritimo centro M0 koordinates α ir β. Į normalės lygtį Ka įrašę vietoj X turime: P

Iš

ir

Y

dydžius

α ir β,

-y = -i-(a-x) . y'

sąlygos

(21)

\MQM\=R,

panaudoję

atstumo tarp dviejų taškų M0 ir M formulę, gauname: 2

д/(а - χ ) + ( β - y )

2

= R .

о 81 pav.

(22)

Į (22) lygtį įrašome β - y išraišką, apibrėžiamą (21) lygtimi, ir pertvarkome gautą lygtį: (α -χ)2

ί~(α-χ)2

( а - χ)2

=R2,

у'2 R2

R 1 i+-V j'2

,2 1+37

Iš čia α-χ

=

R\ У'

α =χ±

λ/Ϊ+7

,2

•R.

71 + y

,2

Tuomet P=y +

•R .

\3/2

(ι+У' 2 ) 3 Įrašę j pastarąsias formules vietoj R reiškinį - — j — f — , gauname: \у"~

1+ y'2) а = дс± y'{V — i . [y" I

_1+V'

β=^+

2

—

И'

Dabar turime nuspręsti, kurį ženklą pasirinkti. Iš 81 paveikslo aišku, kad β > y , kai kreivė yra įgaubta, todėl pasirenkame apatinį ženklą. Kadangi y" > O , tai \y"\ = y" . Vadinasi,

а =*

W

1 +/2) Ч г - ^ , y"

P=y+

1 + y' 2

(23)

y"

Analogiškai įrodytume, kad šios formulės teisingos ir tada, kai kreivė iškila.

7.3. Evoliutė ir evolventė Kreivės kreivio centrų geometrinė vieta vadinama kreivės evoliute, o pati kreivė evoliutės atžvilgiu - evolvente (arba involiute). Pavyzdys. Išveskime elipsės χ = a cos t , y = b sin / evoliutės lygtį. S p r e n d i m a s . Apskaičiuojame: y't b cost b Ух = — = — = — ctgi, χ', -asini a b „» - ( ½ ) ' -

Ух

1

a

sin 2 t -a sint

a 2 sin 3 i '

Įrašę šias reikšmes į (23) formules ir atlikę veiksmus, gauname: b а = a cos t - -

i O \ b ctgi i1 H—o-ctg2 i V a

2

Ι

1

1 +

3 cos t ,

2 • 5"i sin" 1

b2 -C a

2

—b a

a

β = bsini +

a

2

t g _ i

b2 - a2

. 3 sin t .

2 · 3 sin t

Eliminavę iš šių lygybių parametrą t , gauname evoliutės lygtį

82 pav. 2

α

a2-b2

i

-I a)

ab

Ši lygtis panaši 2

2

χ3

уЗ

83 pav.

į astroidės

lygtį

2 = c3

todėl ir elipsės evo-

liutė savo f o r m a p a n a š i į astroidę (82 pav.). • Iš evoliutės apibrėžimo aišku, kad evoliutės liestine yra evolventės 84 pav. normalė. Todėl kreivės evoliutę galima gauti taip: per kiekvieną kreivės tašką brėžiame jos normalę ir randame kreivę, liečiančią visas šias normales (83 pav.). Jei kiekviena normale paleistume šviesos spindulį, tai šviesa koncentruotųsi evoliutėje. Todėl optikoje evoliutė vadinama kaustika (graikiškai kaustikos deginantis). Technikoje dažnai naudojama apskritimo evolventė, t.y. kreivė, kurią brėžia ant apskritimo vyniojamo siūlo galas (84 pav.). Šios kreivės formą turi dantračių profiliai, turbinos rato mentės, pakeliamojo tilto mechanizme įtaisytas skridinys ir kt.

8. Funkcijų tyrimas 8.1. Funkcijos pastovumo sąlyga Teorema. Jei diferencijuojamos inter\'ale (a; b) funkcijos tapačiai lygi nuliui, tai funkcija f(x) tame intervale yra pastovi. Į r o d y m a s . Pasirinkime du pritaikykime Lagranžo teoremą:

intervalo

(a; b)

taškus

išvestinė X\, хг

ir

/(*2)-/(*l) = /'(c)(x2-*l); čia X1 < c
= O, f(x2)

= f(xi).

O

tai reiškia, kad/'(x) = const, χ e (я; b). A Išvada. Jei dviejų funkcijų f (x) irg(x) išvestinės intervale (a; b) sutampa, tai tos funkcijos tame intervale skiriasi tik konstanta. I Iš tiesų, jei f'(x)

= g'(x),

tai (f(x)-g(x))

= 0. Remiantis įrodytąja

teorema, galima parašyti, k a d / ( x ) - g (x) = const.

8.2. Funkcijos monotoniškumas Teorema. Jei diferencijuojamos inten'ale (a; b) funkcijos išvestinė yra teigiama (neigiama), tai funkcija tame intervale didėja (mažėja). > 0, χ e (a; b).

Į r o d y m a s . Įrodysime, kad funkcija didėja, kai f'(x) Pasirinkime du intervalo (a; b) taškus Xi, Lagranžo formulę: / ( X

2

) - Z ( X

1

)

= Z-(C)(X

x2 (χλ
2

-X

1

)

ir pritaikykime

.

Kadangi f'(c) > 0, X 2 - X 1 > 0, tai f'(c) (x2 - X1) > 0, tuomet f (X2)-f(xi) Iš čia f (x2) > f(xI).

> 0.

Taigi iš X 2 > X\ =>

= > Z ( * 2 ) >f(x 1)· Vadinasi, funkcija f(x) didėja.

•

Paminėsime,

kad

teoremoje

formuluotoji sąlyga f'(x)

su-

> 0 nėra bū-

tina funkcijai didėti. Teoremos teiginys —

•

teisingas ir tada, kai intervalo (a\ b) viduje yra baigtinis skaičius taškų, kuriuose f'(x)

85 pav.

= 0 (85 pav.). Tai taškai,

kuriuose liestinė yra lygiagreti ašiai Ox.

8.3. Funkcijos ekstremumai, būtinos jų sąlygos Apibrėžimas. Funkcijos f(x) reikšmė f(x0) vadinama tos funkcijos maksimumu (minimumu), kai yra taško x0 aplinka (xo - δ; Χο+δ), kurioje su visais χ teisinga nelygybė f (x0) > Z ( * ) ( Z ( * o ) -f(x)) (86, 87 pav.). Kitaip sakant, taškas X 0 yra funkcijos maksimumo (minimumo) taškas, jei reikšmė f(x 0 ) yra didžiausia (mažiausia) iš visų reikšmių, įgytų tam tikroje taško X 0 aplinkoje. Todėl taip apibrėžti maksimumas ir minimumas

χ0-δχ0χ0+δ

χ χ,-δ

О 86 pav.

86 pav.

88 pav.

89 pav.

X

D

X

d

+ 6

vadinami lokaliaisiais (lotyniškai localis - „vietinis"). Maksimumas minimumas kartu vadinami ekstremumais.

X

ir

Iš pradžių tarkime, kad intervale (я; b) funkcija turi baigtinę išvestinę. Jei taškas x 0 yra funkcijos ekstremumo taškas, tai egzistuoja aplinka (x0 - δ; X0 + δ), kurios vidiniame taške x 0 funkcija įgyja didžiausią arba mažiausią reikšmę. Tuomet pagal Ferma teoremą

/ ' ( x 0 ) = 0 . Tai tik

būtina ekstremumo sąlyga, ir nereikia manyti, kad kiekviename taške, kuriame / ' ( x 0 ) = 0, funkcija turi ekstremumą. Štai, pavyzdžiui, funkcijos •y

J

y = x (88 pav.) išvestinė y' = 3x

taške χ = 0 yra lygi nuliui, tačiau šiame

taške funkcija ekstremumo neturi. Ekstremumas gali būti ir tokiame taške, kuriame funkcija neturi išvestinės. Funkcija y = |x| taške x = 0 neturi išvestinės (žr. šio skyriaus 1.1 skyrelio 1 pavyzdį ir 63 pav.), tačiau χ = 0 yra jos

minimumo

3 У = 1-х

taškas.

89 paveiksle

pavaizduotas

grafikas

funkcijos

kuri neturi išvestinės taške χ = 0, bet šiame taške įgyja

maksimumą. Tačiau nereikia manyti, kad kiekviename taške, kuriame išvestinė neegzistuoja, funkcija turi ekstremumą. Pavyzdžiui, funkcija

У = Тх

taške χ = O neturi išvestinės, tačiau ji tame taške ir ekstremumo

neturi (64 pav.). Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami kritiniais taškais.

8.4. Pakankamos ekstremumų sąlygos Dabar suformuluosime sąlygas, kurių pakanka, kad egzistuotų ekstremumas. Sakykime, kad x0 yra vienas iš funkcijos kritinių taškų; jame f'(xo) lygi nuliui arba neegzistuoja. 1 teorema. Tarkime, kad funkcija f(x) taško X0 aplinkoje (.X0 - δ; JC0 + δ), (išskyrus gal būt tašką X0)

turi baigtinę išvestinę f'{x).

intervale (xn - δ; x0) ir f'(x)

< 0 intervale (jto; xu + δ), tai taškas

funkcijos f (x) maksimumo

taškas. Kai

f'[x) < 0

Kai

/'(*)>

O

x0 yra

intervale (x0 - δ; X0) ir

f'(x) > 0 intervale (x0; X0 + δ), tai taškas XIL yra funkcijos f(x)

minimumo

taškas. Paprastai ši teorema formuluojama trumpiau: x0, išvestinė pliuso ženklą keičia į minuso ženklą, taškas; kai minusą keičia pliusu, tai X0 yra minimumo Į r o d y m a s . Įrodysime tik pirmąją teoremos Antroji dalis įrodoma analogiškai. Sakykime, kad f'(x)

>0,

f'(x)

< 0, kai

kai χ einant per tašką tai X0 yra maksimumo taškas. dalį apie maksimumą.

kai χ < x0, x>x0.

Pritaikykime Lagranžo formulę: f(x)-f(x0)

= f'(c)(x-x0)

;

čia c yra tarp л: ir X0. 1) K a i x 0 ir x-x0 < 0, todėl iš f '(c) (x-x0)< 0 => =>f(x)-f(xo)

< 0, arba/(xo) >f(x).

2) K a i * >x0 , tai f'(c) < 0 ir x-x0 > 0, todėl iš f'(с)

(д:-л:0)< 0 =>

=>/Ы >f(x). Taigi funkcijos reikšmė taške X0 yra didžiausia, lyginant ją su kitomis funkcijos reikšmėmis, paimtomis iš intervalo (JC0 - δ; taškas X0 pagal apibrėžimą yra maksimumo taškas. Įrodytoji teorema vadinama pirmąja

x 0 + δ). Tuomet

•

pakankama

ekstremumo egzista-

vimo taisykle. Geometriškai ji iliustruojama taip. Kai f'(xo) = 0, tai liestinė, einanti per tašką x0 (90 pav.), yra lygiagreti ašiai Οχ, o kai f'(x0)

neegzistuoja, tai liestinė yra lygiagreti ašiai Oy

(91 pav.). Jeigu, be to, dar išvestinė keičia ženklą, pavyzdžiui, iš pliuso į minusą, tai kreivė iki taško X0 kyla į viršų, po to, perėjusi per tašką x0, leidžiasi žemyn. Tai bus maksim u m o taškas. Jeigu išvestinės ženklas nesikeičia, tai kreivė, ir praėjusi tašką x0, lieka tokia pati, kokia buvo: arba kylanti aukštyn, arba besileidžianti žemyn; taške x0 ji tik persilenkia.

Vl

max

T A .

f'(x0)

=0, o f"(xo)*0.

X0 yra maksimumo kas, kai f"(x())

iš

I

90 pav.

f (X0) neegzist. max ima

A ж

,mirt

kad 0

Taškas

91 pav.

taškas, kai

/ " ( * „ ) < 0 , ir minimumo

e

o

Sakykime, kad taško X0 aplinkoje egzistuoja pirmoji ir antroji funkcijos išvestinės. Tarkime,

-g¾,

min

Suformuluosime dar vieną pakankamą ekstremumo egzistavimo sąlygą, paprastai vadinamą antrąja taisykle.

2 teorema.

W = ū

taš-

>0.

Į r o d y m a s . Vėl įrodysime tik pirmąją teoremos dalį. Kadangi antroji išvestinė yra pirmosios išvestinės f'(x) f "(χ o ) =

lim / ' ( * ) - / ' ( * o ) _ χ • XO

lim

Tarkime, kad / " ( ^ 0 ) < 0. Tuomet ir Kai

X
todėl f'(x)

tai x-x0 < 0, todėl f'(x)

/'(*) χ

nes /'( j r O) = 0.

/'W X — XQ

<0.

> 0, o kai χ >xa , tai x-x0 > 0,

< 0. Išvestinė pakeitė ženklą iš pliuso į minusą, todėl pagal

pirmąją taisyklę taškas xf) - maksimumo taškas. Antroji taisyklė netinka, kai taške x„ f'(x0) tada, kai

išvestinė, tai

• neegzistuoja. Ji netinka ir

f " ( x 0 ) = 0. Tuomet reikia taikyti pirmąją taisyklę. Taigi pirmoji

taisyklė taikoma plačiau negu antroji.

8.5. Funkcijos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė atkarpoje Funkcijos ekstremumai (minimumai ir maksimumai) ne visuomet sutampa su didžiausiomis ir mažiausiomis reikšmėmis atkarpoje. Tai parodysime brėžinyje (92 pav.). Kaip matyti iš grafiko, mažiausiąją reikšmę funkcija įgyja taške x3 - viename iš minimumo taškų, didžiausiąją dešiniajame intervalo gale, t.y. taške b, kuriame funkcija neturi ekstrem u m o (nes dešiniau taško b funkcija neapibrėžta). Suformuluosime taisyklę, kaip apskaičiuoti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmę atkarpoje. Norint rasti funkcijos mažiausiąją ir didžiausiąją reikšmę, reikia sužinoti atkarpoje esančius funkcijos kritinius taškus, apskaičiuoti funkcijos reikšmes juose bei atkarpos galuose ir iš visų gautų reikšmių išrinkti mažiausią ir didžiausią reikšmę. 1 pavyzdys. Raskime funkcijos y siąją reikšmę atkarpoje [-4; 3].

didžiausiąją ir mažiau-

S p r e n d i m a s . Randame У

=

—

л/25-x 2 ir kritinį tašką

χ = O,

kuriame

y ' = 0. Kiti kritiniai taškai χ = ± 5,

kuriuose y' neegzistuoja, nepriklauso atkarpai [-4; 3]. Apskaičiuojame y (0) = 5,

y ( - 4 ) = 3,

y(3) = 4 .

Vadinasi, max y = 5 , *
miny = 3 .

•

xe[-4;3]

2 pavyzdys. Skritulys, kurio spindulys R, padarytas iš filtravimo popieriaus. Iš skritulio reikia išpjauti tokią kampo α išpjovą, kurią sulankstę į kūgį, gautume didžiausio tūrio filtrą (93 pav.). Apskaičiuokime šio filtro tūrį.

Уi

\ / X

σ

X1

0

λ2

b

*

93 pav. S p r e n d i m a s . Tarkime, kad gauto kūginio filtro spindulys yra r, aukštinė - h. Jo sudaromoji bus R. Apskaičiuojame tūrį: F=

-7ir2/z 3

= Inr2 3

JR2-r2

.

v

Kūgio pagrindo apskritimo ilgis 2π r lygus lanko / ilgiui, o šis lygus Ra. Todėl 2nr = Λα. β Iš čia r = — α . Įrašę šią reikšmę į tūrio formulę, gauname: 2π K(α a ))

=

R

t

τ-α2ν4π2 - a 2 o, 2 24π

Aišku, kad 0 < α < 2π . Vadinasi, uždavinys bus išspręstas, kai rasime funkcijos V maksimumo tašką intervale (0; 2π ). Ieškome šios funkcijos išvestinės:

V(a)

=

R3

2-\/4π2 - α

24π

Šios funkcijos kritinis taškas

а0 =

3

α^8π 2 - З а 2 j

24π 2

ylAn2-а2

R

2а

2ал/4тг2 - а 2

2

2π^—

J

rad (α 0 « 294°). Kadangi

F'(А) > O, kai А < OT0 ir F'(А) < O, kai А > O F L , tai taškas OT0 - maksimumo

3 pavyzdys. Į r o d y k i m e , k a d su visais jc e ( - oo; + oo) yra teisinga nelygybė

1

—< 2

x2+x *

2

+l +l

3

<— . 2

χ2 + χ +1 ., . v χ , apibrėžtą 2 χ + 1 visoje skaičių tiesėje. Nelygybė bus įrodyta, jeigu įrodysime, kad jos 3 Sprendimas.

Išnagrinėkime funkciją y

=

didžiausioji ir mažiausioji reikšmė intervale (- oo; + со) atitinkamai lygi — ir — . Kadangi funkcija apibrėžta visoje skaičių tiesėje ir 2

lim y = 1, tai

x->±x

jos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė sutaps su maksimumu ir minimumu. Ieškome šios funkcijos ekstremumų: (2x + l)(x 2 + l ) ~ ( * 2 + x + l ) 2 x 1_χ2 У'

y' = O, kai x = - l ir χ = 1. Patikrinę, kad taške χ = - 1 funkcija įgyja minimumą, o taške x = 1 - maksimumą, apskaičiuojame y m i n = —, ymax = ~ • 1 3 Vadinasi, — < y < — . 2 2

•

8.6. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai 1 apibrėžimas. Kreivė vadinama egzistuoja to taško aplinka

iškila aukštyn (žemyn) taške x0, jeigu

FG ( X Q ) , kurioje visi tos kreivės taškai yra po

liestine (virš liestinės), nubrėžta per kreivės tašką X0 (94 pav.). 2 apibrėžimas. Taškas M, kuris atskiria iškilą aukštyn kreivės dalį nuo iškilos žemyn dalies, vadinamas kreivės perlinkio (vingio) tašku (95 pav.). 1 teorema. Jei taške X0 funkcija f(x) turi tolydžią antrąją išvestinę, kuri yra neigiama (teigiama), tai kreivė tame taške yra iškila aukštyn (žemyn). Įrodymas.

Sakykime, kad f(x

0)

< 0. Nagrinėkime taško X0 aplinką

K5 (x 0 ). Per tašką x 0 nubrėžiame liestinę T (96 pav.) ir parašome jos lygtį yi~f{xo)

= f'{xo){x-xo)>

У1 = fixo)

+

f'{xo){x-xo)•

Norėdami įrodyti, kad kreivė taške x 0 yra iškila aukštyn, turime įrodyti, kad to taško aplinkoje liestinės taškai yra virš kreivės taškų, t.y. kad Уa - Ув > 0 . Funkciją/(x) išreiškiame taško X0 aplinkoje Teiloro formule: f (χ) = f(x0)

+ f'(x0 )(x - X 0 ) +

čia c ε Κ δ ( χ 0 ) . Randame skirtumą:

x

- o У2;

УА-УВ

у ii

о) +

=YI~f(x)=f{x

+ / ' ( * o ) ( * - * o ) - f[хо)

-

r

f"(c) 2! -X

Iš

sąlygos

0

)

2

.

X0-S Xo Xo+δ

f{x0)

< O

ir

94 pav.

/ " ( x 0 ) tolydumo išplaukia, kad ir f "(c) < O pakankamai mažoje aplinkoje. (x-x0)

Kadangi

> O, tai у а -у в > 0.

M

Teorema įrodyta. 2 teorema (būtina perlinkio taško sąlyga). Jeigu funkcija f taške X0 turi tolydžią antrąją išvestinę ir taškas X0 yra kreivės perlinkio taškas, tai / " ( x 0 ) = 0.

0

X

95 pav.

Į r o d y m a s . Jei taškex 0 būtų / " ( x 0 ) > 0 (arba / " ( * „ ) < 0 ) , tai remiantis 1 teorema, kreivė

y

n

šiame taške būtų iškila žemyn (arba aukštyn). Iš to ir išplaukia teoremoje suformuluotas rezultatas. 3 teorema. Jei / " ( x 0 ) = 0 ir antroji išvestinė, eidama

per

0

tašką X0, keičia ženklą, tai taškas X0 - perlinkio taškas.

96 pav.

Į r o d y m a s . Jeigu f"(x)

<0,

kai χ < x 0 ir f " ( x ) > 0, kai χ > x 0 , tai į kairę nuo taško X0 kreivė yra iškila aukštyn, o į dešinę nuo x 0 - iškila žemyn. Tuomet pagal apibrėžimą taškas X0 - perlinkio taškas.

•

8.7. Grafiko asimptotės Apibrėžimas. Tiesė vadinama kreivės asimptote, kai bet kurio kreivės taško atstumas iki tos tiesės artėja prie nulio, taškui tolstant kreive (97 pav.). Asimptotės skirstomos į vertikaliąsias ir pasvirąsias. 1. Vertikaliosios asimptotės.

Jei nors viena šių

ribų

lim f{x), x->a-O

lim /(JC) , lim /(JC) yra begalijt->a+0 Jt->a nė, tiesė x = a yra vertikalioji asimptotė (97 pav., c). Pavyzdžiui, kreivės y = 1 jc + 3 vertikalioji asimptotė yra tiesė JC = - 3 , nes 1 lim O)

j t - > - 3 - 0 JC + 3

lim

^

=

+ OO

x - > - 3 + 0 JC + 3

2. Pasvirosios asimptotės. Sakykime, kad tokios asimptotės lygtis y = kx + b. Rasime koeficientus k ir b. Taškas M(x;y) yra kreivės taškas, o N(x;yN) - asimptotės taškas, a - kampas, kurį asimptotė sudaro su teigiama ašies Ojc kryptimi (98 pav.). Pagal apibrėžimą, kai / yra asimptotė, tai lim MP = 0. Iš Δ MNP X->00

yn

O

Γ\ O

C)

turime:

MP MN

... f todel MN=

cos α MP

cos α MP ->0. Todėl

π αφ — 2

ir M/V—>0, kai

I i m M A f = 11т(у-удг) *->co X >co = lim ( / ( * ) - f e e - f t ) = 0 .

=

Pritaikę ribų dėsnius, gauname: b = l i m (/(JC) - kx] .

Be to, l i m (/(JC) - K X - B J

= lim JC М . x—>cc

к

Л

=

Xa Ol

j . o .

98 p a v .

Kadangi sandaugos riba lygi nuliui, JC Φ O, tai antrojo dauginamojo riba turi būti lygi nuliui. Todėl lim M \ χ X-* Tačiau

χ

-

k

-

b

-

X

= 0.

> 0 , kai JC - > oo, vadinasi, lim JC—>QO

/W

-к

=0,

к = lim fl· X—>co X Atskiru atveju, kai к = O, asimptotė y = b yra tiesė, lygiagreti ašiai Ox. Jei, apskaičiuodami koeficientus к arba b, sužinome, kad bent viena iš ribų yra begalinė arba neegzistuoja, tai funkcijos grafikas pasvirosios asimptotės n e t u r i . Be to, ieškodami koeficientų к ir b, privalome nepamiršti, kad užrašas JC - > со suvokiamas kaip du: JC

- oo ir JC

+ oo.

Todėl, jeigu reikia, atskirai apskaičiuojame ribas, kai JC - > + oo ir JC - > - oo, nes jos gali būti ir skirtingos. - 3JC + 2 asimptotės. JC + 7 tiesė JC = - 7, asimptotė

Pavyzdys. Raskime funkcijos y = Sprendimas.

Vertikalioji

-JC

lim y = +oo. Apskaičiuojame koeficientus: χ->-7+0 к =

,. -jc z -3JC + 2 = -1 lim — r л:->+oo ( χ + 7)-JC

b =

lim *->±G0

F

- X

2

- 3X

x+7

+2 -+χ=

rlim 4 x + 2 =л4 . χ—>±oo x + 7

Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: y = - x + 4 .

nes

8.8. Bendroji funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo schema Funkciją tiriame pagal tokią schemą. 1. Nustatome funkcijos /(x) apibrėžimo sritį. Jeigu yra trūkio taškų, apskaičiuojame funkcijos ribas jiems iš kairės ir iš dešinės, taip pat ribas apibrėžimo srities galuose. 2. Ištiriame, kokia yra funkcija: lyginė ar nelyginė, periodinė ar neperiodinė. 3. Išsprendę lygtį f(x)= O, randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta ašį Ox. Įrašę į funkcijos išraišką χ reikšmę, lygią nuliui, randame tašką, kuriame grafikas kerta ašį Oy. 4. Išdiferencijuojame funkciją. Randame lygties f'(x) = O šaknis. Prijungę prie jų taškus, kuriuose f'(x) neegzistuoja, gauname visus kritinius taškus. Jie padalija apibrėžimo sritį į tam tikrus intervalus. Nustatę išvestinės ženklą kuriame nors pasirinktame intervalo taške, sužinome, koks yra išvestinės ženklas visame tame intervale. Taip tvirtinti galime štai kodėl. Jeigu intervale išvestinė keistų ženklą, tai tame intervale dar turėtų būti taškas, kuriame išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja, t.y. turėtų būti kritinis taškas. Tačiau visi kritiniai taškai jau surasti. Ištyrę, koks yra išvestinės ženklas kiekviename intervale, sužinome funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus bei ekstremumo taškus. Apskaičiuojame funkcijos ekstremumus. 5. Randame funkcijos antrąją išvestinę. Išsprendžiame lygtį f"(x) = O. Prie jos šaknų prijungę dar ir taškus, kuriuose f"(x) neegzistuoja, sužinome, kurie iš jų gali būti perlinkio taškai. Sie taškai apibrėžimo sritį padalija į tam tikrus intrevalus. Nustatę antrosios išvestinės ženklą kiekviename tokiame intervale, sužinome grafiko iškilumo intervalus bei perlinkio taškus. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes perlinkio taškuose. 6. Randame vertikaliąsias ir pasvirąsias grafiko asimptotes. 7. Braižome funkcijos grafiką. Pavyzdys. Ištirkime funkciją y =

(* + l) 3

ir nubraižykime jos grafiką.

(,-I)2 S p r e n d i m a s . 1. Funkcija egzistuoja, kai χ φ\. Todėl jos apibrėžimo sritis tokia: (-oo; l ) u ( l ; o o ) . Apskaičiuojame Iim y = + o o , Iim y = - o o , Iim у = + с о . лг-»+со jc->1+0 2. Funkcija nei lyginė, nei nelyginė, nes фу (χ)

bei y (-χ)

Φ

-y (χ).

Funkcija neperiodinė. 3. Funkcijos grafikas kerta ašį Ox taške χ = - 1 , nes šiame taške y = O, o ašį Oy- taške y = 1. 4. Randame „ , , t i i M

~ . (X-I) 3

'

y' = O, kai χ — -1 arba χ = 5. Šie taškai apibrėžimo sritį padalija į intervalus ( - o o ; -1), ( - 1 ; 1), (1; 5) ir (5; oo). Paėmę kurią nors χ reikšmę iš vieno šių intervalų, ištiriame, koks yra y '

ženklas (jį žymime simboliu

s g n y ' ) šiame taške. Toks pat y ' ženklas bus ir visame intervale. Taip pat nustatome y ' ženklą ir kituose intervaluose. Sudarome lentelę. 1 lentelė X

(-oo; - 1 )

- 1

(-i;

sgn y '

+

0

+

( i ; 5)

υ

-

ekstr.

У

( 5 ; oo)

0

+

min.

Ч

nėra

5

Apskaičiuojame ymį„ taške χ = 5: y m i„ = 13,5. Taške χ = - 1 ekstremum o nėra, nes pirmoji išvestinė, eidama per šį tašką, ženklo nepakeitė. 5. Randame 24(^+1)

'

"(-D

4

^

y " = 0 , kai χ = -1. Sudarome y " ženklo tyrimo rezultatų lentelę. 2 lentelė (-oo; - 1 )

χ

- 1

(-1;

i)

oo)

(1;

у"

-

0

+

+

Kreivė

n

perlinkis

U

u

Sgn

Apskaičiuojame у регИпк , kai χ = - 1 : урегИпк = 0. 6. Grafikas turi vertikaliąją asimptotę x = l . Randame pasvirosios asimptotėsy = kx+b koeficientus: k =

b =

+ lim = lim ±α0 *->· (χ-ΐ) χ *->±<»

lim X->±°0( χ - I ) 2

=

χ 3 +3x 2 + 3x +1 χ -2x

= 1,

+χ

5x + 2x + 1 lim —-z = 5. * - > ± o o JC 2 - 2 x + 2

0

χ 99 pav.

Todėl pasvirosios asimptotės lygtis y = χ + 5. 7. Grafiką braižome taip: 1) Pažymime taškus, kuriuose funkcija neegzistuoja, bei taškus, kuriuose grafikas kerta ašį Ox ir ašį Oy. 2) Nubrėžiame asimptotės. 3) Pažymime maksimumo, minimumo, perlinkio taškus. 4) Braižome kreivę, atsižvelgdami į abi lenteles: imame pirmą intervalą ir žiūrime, kokia yra funkcija - didėjanti ar mažėjanti - ir koks jos grafikas šiame intervale - iškilas aukštyn ar žemyn, ir 1.1., pavyzdžiui, iš pirmos lentelės matyti, kad intervale (-oo; - 1 ) funkcija didėja, o iš antros lentelės - kad šiame intervale kreivė yra iškila aukštyn. Todėl šiame intervale grafiko dalis gali atrodyti tik taip, kaip parodyta 99 pav., a. 5) Braižydami grafiką, būtinai atsižvelgiame į ribas, kurias apskaičiavome pirmajame tyrimo punkte. Ištirtos funkcijos grafikas pavaizduotas 100 paveiksle. y n

13,5

01

5

χ

Uždaviniai 1. Pasinaudodami išvestinės apibrėžimu, raskite f'(x),

kai:

3

a) f{x) = χ ; b) fix) = cosx; c) fix) = tgx; d) /(χ) = e1. 2. Tarkime, kad funkcijos/(χ) ir g (x) taške χ = O turi išvestines, / ( 0 ) = g(0) = 0. Įrodykite, kad: . , b f i . / t o K) ; x->0 X '

b)

=

*->0 g(x)

g'(0)

3. Jei/(x) turi išvestinę taške x 0 , tai Iim X^rX

* / ( * o ) - * o f {χ

/(*o)-*o/'(*o)

X — XQ

Įrodykite. 4. Išdiferencijuokite funkcijas: a)y = |x|; b)y=x|x|; c)y=ln|x|; 5. Funkcija y = | cosx | tolydi su kiekviena χ к kad taškuose — + π n (n e Z) ji neturi išvestinės.

d ) y = |cos3x |. reikšme. Įsitikinkite,

6. Raskite šių funkcijų išvestines taške x 0 :

a)/(*)=

i !-cosx χ , [O,

c)/(x) = Γ 2 10,

. π X sin—

. kaix*U,

b ) / w

=

kai x = 0, X0 = 0;

s i n

į ' kai**0' kai x = 0, X0 = 0;

x

e 0,

d)/(x) =

- 1,

kai χ Φ 0,

kai x = 0, X 0 = 0;

z fl + x -l

χ 0,

,

kai χ Φ 0,

kai χ = 0, X 0 = 0.

7. Išdiferencijuokite funkcijas: a )y-

Χ2-4

+

χ2-4

c)y = arctg(e* -e

jc

+ 4 Inl( x 2 - 4 ) ;

J;

e)y = ^sinln(Ctgx) ;

g)y = -i(tg3x + Incos2 3x) ;

b)y= ( 3 ^ - 4 ) ^ + 1 )

X cos — I 2

;

d) y = sin 2 (cosx) + cos 2 (sinx); f) y = 2 V 1 + X 2 + 31n(x + yfv+л

h)y=xarccos J

I r 1 + I, COS — Il 2 + 2 a r c t g J c o s — - In

i )y =

3

I * 1 - ,11 cos •—

X

^ + Vx -arctg Vx ;

j ) y = aretg

j

f2 k)y = X х , m

t g

\ + l n ^ 2 + tg 2 x + tgxj ; 2 + tg x \)y= (sinx)' 8 *; t t (prieš tai įrodykite, kad (shx) = chx, (chr) = shr).

χ > O;

) У - (chx) s h i

8. Įrodykite, kad n-tosios eilės determinanto išvestinė apskaičiuojama pagal formulę /12(-*) · •f 1η{χ)

AiW

Л 2 М ·- Z t n W

//JlW

/ л 2 ( * ) · ••/ил W

/11W / I 2 W - •Л Л W Il

/n W

Z t 2 W - ••/te W

fili*)

x / n l W fn2i ) · • / n « W

9. Tarkime, kad / ( x ) ir g(x) diferencijuojamos intervale (a; b) funkcijos ir f(x) > g(x). A r teisingas intervale (a; b) sąryšis f{x)

> *'(*)

?

10. Įrodykite formules: a) l + 2x + 3x

„_!

+--- + WC

=

l - ( n + l ) x " +nx

n+1

(1-х)2 b) I 2 +2 2 - x + 3 2 - x 2 + ··· + n 2 x " _ 1

= +2

l + x - ( n + l ) 2 x " + (2n 2 +2 n- 1 )x" + 1 - я 2 х "

ί7?

=

11. Raskite y'x , kai: b) χ = cos31, у = sin 3 1;

a) χ = 2 cos t, y = 3 sin t; c)χ = l n ( l - f ) , у = arccos Vf ; d) χ = arcsin

у = arccos л/Г+ f2

1 Vi + ί2

12. Raskite y'x , kai funkcija apibrėžta neišreikštine lygtimi: 2

2

x a)\— + —У = 11 ; > 4 9

b)

c)y+xexy

У = xy . d) aretg — χ

= 0; X2

13. Per hiperbolės —τα Parašykite jos lygtį.

V2 b

+^

=

;

= 1 tašką (xo;yo) nubrėžta liestinė.

14. Įrodykite, kad apskritimo x2+y2 = a2 liestinė yra to apskritimo evolventės χ = a (cos t + i sin f), y = a ( s i n i - r c o s / ) normalė. 15. Įrodykite, kad traktrisės χ = a ( ^ l n t g y + cosij , y = a s i n i i e ( 0 ; π)) liestinės pastovus.

atkarpos tarp lietimosi taško ir ašies

Ox

(a>0, ilgis yra

16. Raskite šių funkcijų diferencialus dy, kai: a)y = ^4 + x2 ;

b ) у = 1п|з~л/х) ;

c)y = arcsin|x| .

17. Taikydami formulę / ( χ + Δ χ ) « f(x) + f'(x) Ax , įrodykite apytiksles lygybes (Ax - mažas): 2 a) ( l + Δϊ)

я 1 + •—; n c) e" x * 1 + Δ * ; e) Ux + Ax ~ Ifx H

b)sinAx«Ax; d) In ( 1 + Δχ ) « Δχ ;

-==. 3 ίχ2

18. 0,001 tikslumu apskaičiuokite apytiksles reikšmes: a) sin 61°;

b) arcsin0,49 ;

c)^/įoT;

d)e H ' 2 .

19. Raskite y" , kai: b ) y = W l + x2 ;

а)y = In sin*; 20. Raskite y ^ , A )y=x",

n s N;

е'Щх;

с)у =

kai: b ) y = COSA:;

C

)y=——-·

cx+ d

i_ 21. Įrodykite, kad funkcija f(x) =e

x

~ , kai χ i r

/ ( 0 ) = 0 , turi

antros eilės išvestinę taške x0 = O . 22. Raskite y"x , kai: a) χ = л/1 - t 2 ,

_y = arcsini;

b)x = c h i ,

y = \п[е1 +e~' j .

23. Suteikite Rolio ir Lagranžo teoremoms fizikinę prasmę, tarę, kad χ - laikas, o / ( x ) - judančio tiese materialaus taško koordinatė laiko momentu x. 24. Ar galima taikyti Rolio teoremą šioms funkcijoms: a ) f ( x ) =TXa - 3x2 - 8 atkarpoje [- 1; 1]; b ) / ( x ) = -Jjxf atkarpoje [- 2; 2]? 25. Taikydami Lagranžo formulę, įrodykite, kad šios nelygybės yra teisingos: χ— y X X-V a) — < In— < — , kaiO<_y
26. Tarkime, kad funkcija / ( x ) : 1) atkarpoje [a·, b] turi tolydžią išvestinę;

2) intervale ( a ; b)

turi antrąją išvestinę; 3) f (a) = f(a)

=0,

f (b) = 0 . Įrodykite, kad yra taškas c e (a·, b), kuriame f "(c) = 0. 27. Sakykime, kad funkcijoms f(x) taikyti -g(a)

Lagranžo

formulę:

= g'(c){b-a),

f (b) - f ja)

ce(a\b).

f'{c)

=

g{b)~g{a)

ir g(x)

atkarpoje [a; b] galima

f [b)-f[a)

= f'[c)(b-a),

g(b)~

Padaliję vieną lygybę iš kitos, gauname:

Ar galima tokiu budu įrodyti Koši teoremą?

g'{c)

28. Tarkime, kad funkcijos f(x) jamos, k a i x > x 0 , be to,/(x 0 ) = g(x0),

ir g(x)

apibrėžtos ir diferencijuo-

/ ' ( * ) > g'[x), kai л: >x0.

Įrodykite,

kad f(x)>g ( r ) , kai χ > x0. 29. Taikydami Lopitalio taisyklę, apskaičiuokite šias ribas: VCOSX- 1 a) Iim *->0 sin 2 2x

c) Iim x->2 ln(x-l)

b) Iim

d)

χ -2

In sin 3x

Iim

lntg5x

tgx-

π

χ

t — e) Iim te x-+o{ W g)

2

χ

o;™/ -!) -Vi+ лX h) Iim-

Iim I— arcctgx Χ->-αο\ π

x->0

4

3

COS X

tg χ

2

30. Daugianarjx - Tr + Sr - 5x + 3 išreikškite dvinario χ - 2 laipsniais. 31. Šias funkcijas išreikškite Makloreno formule, apsiribodami pirmaisiais keturiais nariais: a) f (χ) = V^TT;

b) f (χ) = ^-f χ+ 2

;

= "Tx · e

32. Apskaičiuokite 10 " 3 tikslumu: a) Ųe ;

b) In 1,3 ;

c) cos 72°;

d) л/ΪΟ .

33. Raskite funkcijų didėjimo ir mažėjimo intervalus: 1 a) f (x)=x + b)f(x)= sin— , k a i x > 0 . \+χΔ Χ 34. Taikydami funkcijos monotoniškumo sąlygą, įrodykite, kad šios nelygybės yra teisingos: &)Ec>l+X,

kai ΧΦΟ ; 2

c) 2x arctg χ > In (1 -fx ).

b)x>ln(l+x),

kaix>0;

35. Su kuriomis realiomis p reikšmėmis funkcija y = q - px - sin25x didėja visoje skaičių tiesėje? 36. Tarkime, kad funkcija f(x) kia, kad f'(x)

didėja intervale (a\b). Ar iš to išplau-

irgi didėja intervale ( a ; b ) ?

37. Tarkime, kad f(x)

= к

1 Д 2

[θ

>

x xl

kai χ Φ O,

,

g^Axe~

kai χ = O,

' ,

kai χ Φ О,

}O

,

kai χ = 0.

Įrodykite, kad / ( χ ) taške χ = 0 turi minimumą, o g (x) taške χ = 0 ekstrem u m o neturi. 38. Raskite funkcijų didžiausias ir mažiausias reikšmes nurodytoje atkarpoje: . 1 а)У=-

1 1 b ) y = In2X - 2 lnc, Χ E [ 1 ; 5 ] . + ~т τ, 2 j * χ x 39. Apskaičiuokite plotą didžiausio stačiakampio sklypo, kurį galima aptverti ilgio a tvora, kai iš vienos pusės sklypą riboja tiesi siena. 40. Sijos skerspjūvis yra stačiakampis, sijos stipris proporcingas jos pločiui b ir aukštinės h kvadratui. Sija tašoma iš rąsto, kurio spindulys R. Koks turi būti santykis h/b, kad sija būtų stipriausia? 41. Išveskite šviesos atspindžio dėsnį (kritimo kampas lygus atspindžio kampui), taikydami šitaip nusakomą principą: šviesos spindulys sklinda iš taško A į tašką B taip, kad kelyje j o sugaištas laikas yra minimalus. 42. D u kanalai, kurių plotis a ir b, susikerta stačiu kampu. Kokio didžiausio ilgio rąstą galima nuplukdyti iš vieno kanalo į kitą? 43. Ištirkite funkcijas ir nubraižykite jų grafikus: a)y =

ίχ + ί) 2 x _ 2 >

b

)y

=

(

x

2

-

c

;

)J =

;

xeJr

d) y = χ2 In χ.

Atsakymai 1 4. a) sgnx (л:*0); b)2|x|; c) — (x*0); d) χ X5

1

c ) 0 ; d ) - . 7. a) 2

- COSx

(*2-4

W. · sin (2 sinx); e)

; b)

2\e2x Ф

х

3 1 sin2r |cosx|. 6. a) — ; b) neegzistuoja; 2 2 e3x+ex

; c) -j- =T-—; d)-sinx sin(2cosx)e +1 +1 ~e

cosln(ctgx) 2x + 3 . , . ' — , f) . - ; g)(l-tg3x) ; 2 sin2x Jsinln(ctgx) Vl+x

h)

1)

arc

cos

i)

V х +1

(sinx)tgiil + i i ^ l ; V COS"X)

m)

11. a) - 1 , 5 ctg t;

b) - t g f ;

C)

d)

- 1 ¾ ) ;

1 +χe

b)

s

; c)

Snxtfo

1 h - r - J ; 2 V t

9x

,

. "

d)sgnr.

12. a ) - — ;

0.

16.

b2

•

18. a) 0,875;

Х(2Х2+З)

, V—;;

bb)

i

) T — 2 (l + *χ2 )j

-

ne.

v2 i

yX

;

a)

·

'

^

b) 0,512 rad, arba 29°20';

e~tgt(l -sin2x) c;

> c)

1

—

ccoos

(x - 2)"+(x - 2) 3 - 10(x - If 2

d) 3,162.

- ; b)

t

3 2

-

('••T ; g) el/n ; h) - .

2

+ — X3 + й 5 (х); 16

- 25(x-2) - 15. 31. a) l + ^ x - - x 2 8

с) X - X

a) n!;

2/n

; b) 1; c) j ; d) 0; e) e ~ ; f) e

3

+^-+д5(х);

20.

-

*

2

2

24. a) Taip; b) ne. 27. Ne. 29. a) ~

c) 0,309;

b)

4y

13. a2

atveju

Vb

d) 1,2. 19. a)

b) - 1 + х -

/(lnr+l);

Bendru

b) cos[x + y · ] ; с) ( - 1 ) л _ 1 л ! c"~\ad - bc)(cx+d)~n~\ 22. а)

30.

k)

( c h x f j ^ f s h 2 χ + c h 2 x l n c h x ) . 9. * '

4 ¾ ¾ x(l-x2-J2)

2Л/7(З -Л}'

c) 1,003;

c)

Jtg2X + 2 ;

j)

. x 3 x sin—JCOS — 2 V 2

4

+

+«<*)•

33. a) Didėja visoje skaičių tiesėje;

32. a) 1,396; b) didėja

b) 0,262;

intervaluose

i — - — ; — - — I , mažėja intervaluose (2; со) ir f — - — ; — - — I , k = 0 , 1 , 2, ... 35.p < - 5 . U * + 3 4/fc + l J U J t + 5 4k+3J 36.

Ne.

38.

b) m i n / ( x ) = - l

a)

min

/(x)=-890

taške

taške X = e, m a x / ( x ) = 0

2 3

42. [а ! +

43. a) J M A X = O

.

1/10,

taške χ = 1 .

max

/(x)=l 2

39. a /8.

taške 40.

h/b

x = l; =-Jl.

taške x = - l , J M I N = 12 taške x = 5 , didėjimo intervalai

(-00; - 1 ) , (5; oo), mažėjimo - (-1; 2), (2; 5), perlinkio taškų nėra, iškilumo aukštyn intervalas (-00; 2), žemyn - (2; oo), asimptotės χ = 2, j = x

+ 4;

b) J m i n = - 4 taške χ = 1, didėjimo

intervalas (1; со), mažėjimo - (0; 1), perlinkio taškų nėra, iškilumo žemyn intervalas, (0; со), asimptočių nėra;

c) J min = e taške χ = 1, didėjimo intervalai (-oo; 0), (1; oo), mažėjimo -

(0; 1), perlinkio taškų nėra, iškilumo aukštyn intervalas (-со; 0), žemyn - (0; oo), asimptotė y = x + 1, / ( - 0 ) = - 0 ;

mažėjimo |θ; e~ 3 / 2 j , žemyn -

d) J r a i n = — t a š k e χ =

2e

JperImk = " γ τ

t a

^e

e ^ 2 , didėjimo intervalas

x = e

>

|e~ 3 / 2 ;ooj , asimptočių nėra, / ( + 0 ) = - 0 .

iškilumo aukštyn

(e"'/ 2 ;co), \ ' intervalas

NEAPIBREZTINIS INTEGRALAS

1. Pirmykštė funkcija 1.1. Pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokos Diferencialinio skaičiavimo pagrindinis uždavinys - rasti funkcijos F(x)

išvestinę

F'(x) = / ( x ) arba diferencialą dF(x) = f(x)dx.

Dažnai

tenka spręsti atvirkštinį uždavinį - ieškoti funkcijos F(x), kai žinoma šios funkcijos išvestinė f(x) arba diferencialas f(x)dx. Jei prisimintume išvestinės mechaninę prasmę, tai atvirkštinis uždavinys skambėtų taip: atkurti materialiojo taško tiesiaeigio judėjimo dėsnį, kai žinomas to taško greitis. 1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija atkarpoje [a; b], jeigu visuose šios atkarpos taškuose χ teisinga lygybė F'(x)=f(x)

arba dF{x)

=f(x)dx.

Analogiškai apibrėžiama funkcijos begaliniame bei atvirame intervale (a; b).

f(x)

pirmykštė

funkcija

1 pavyzdys. Funkcijos f(x) = X5 pirmykštės funkcijos F(x) intervale ( — G O ; + OO)

yra šios: F(x)=

X

6 =

χ6

6

— , F(x)= —

1-C (čia C - laisvoji konstanta), nes

6

+7, F(x)=

X

6

3,2,

6

F(x)

F\x)=

2

fvM — I 6 J

=

pavyzdys.

(J> I 6

=

fx6 λ (χ6 Л -—3,2 = — +С 6 6 I ) I

Funkcijos / ( x ) = — — cos χ

f intervaluose

+7 )

Я

=x5=/(x).

pirmykštės

funkcijos

•

F(x)

я 1

( n k - —; n k + —J

(čia

k e Z)

yra

šios:

F(x)=tgx,

F(x) = t g x + π , F ( x ) = t g x - 5 , F ( x ) = t g x + C , nes F ' ( x ) = ( t g x ) ' = (tgx + π)' = ( t g x - 5 ) ' = (tgx + С ) ' = — \ — = / ( x ) . A COS X Vadinasi, jei funkcija/(x) turi vieną pirmykštę funkciją F(x), tai ji turi jų be galo daug ir jos apibūdinamos formule F(x)+C. Tačiau kyla klausimas, ar visos pirmykštės funkcijos gaunamos iš formulės F(x)+C, keičiant konstantos C reikšmes. Į šį klausimą atsako tokia teorema. Teorema. Jei F\ (x) ir F2(x) yra dvi funkcijos f (x) pirmykštės funkcijos atkarpoje [a ; b], tai jos viena nuo kitos skiriasi tik konstanta C: F1(X)-F2(X)=C.

Į r o d y m a s . Pagal pirmykštės funkcijos apibrėžimą visuose atkarpos [a ; b] taškuose χ teisingos lygybės: F/(x) = / ( x ) , ^ i W = m Iš jų gauname: F{(x) = Fj(x)

su kiekviena reikšme iš atkarpos [a ; b].

Toliau belieka pasiremti I V skyriaus 8.1 skyrelio išvada, teigiančia, kad dvi funkcijos tam tikrame intervale skiriasi tik konstanta, jeigu jų išvestinės lygios tame intervale. Apie tokias funkcijas dar sakoma, kad jos yra lygios konstantos tikslumu.

•

Išvada. Kai F(x) yra viena funkcijos f(x) pirmykščių atkarpoje [a; b\ funkcijų, tai kiekviena kita tos funkcijos pirmykštė šioje atkarpoje išreiškiama suma F(x)+C; čia C - laisvoji konstanta. Pavyzdžiui, funkcijų —xj~x +C, - c o s x + C ,

-Jx , sinx, e* pirmykštės funkcijos yra tokios: ex+C.

2 apibrėžimas. Jeigu funkcija funkcija, tai reiškinys F(x)+C neapibrėžtiniu

integralu.

Jis

F(x)

yra funkcijos

f(x)

pirmykštė

(čia C - konstanta) vadinamas funkcijos f(x) žymimas

simboliu

jf(x)dx.Ženklas

j

,

vadinamas integralo ženklu, yra stilizuota raidė „s" ir kilęs iš lotyniško žodžio summa pirmosios raidės. Funkcija /(x) vadinama pointegraline funkcija, f (x)dx - pointegraliniu reiškiniu, χ - integravimo kintamuoju. Vadinasi, \f(x)dx = F(x)+C

, C = const ,

kai F'{x)=f(x) Veiksmas, kuriuo randama duotosios funkcijos pirmykštė funkcija, vadinamas integravimu. Jis yra atvirkštinis diferencijavimui. Geometriškai y = F(x)

neapibrėžtinis

integralas

reiškia šeimą

kreivių

+C, kurių kiekviena gaunama lygiagrečiai pastumiant funkcijos

y = F(x) grafiką ašies Oy kryptimi j viršų ar j apačią. 101 paveiksle pavaizduotos kelios ^lxdx =X2+C

yn

šeimos kreivės.

У

K=X2+3

A r kiekviena funkcija, apibrėžta kuriame nors intervale, turi pirmykštę? Pasirodo, kad bendruoju atveju tenka atsakyti neigiamai. Tačiau, kai funkcija f(x) yra tolydi atkarpoje [a ; b], tai jos pirmykštė funkcija (kartu ir neapibrėžtinis integralas) egzistuoja visada. Šį teiginį įrodysime vėliau.

/=X2+2

K=X2

—

/=X2-S

\

7

Suformuluosime pagrindines neapibrėžtinio integralo savybes: /r , ч 1) (jf{x)dx) 2)

101 pav.

=/(*);

d(\f{x)dx)=f(x)dx·,

3) \dF(x) =

F(x)+C.

4) J(a/(x) + pg(x))iic = a^f(x)dx

+

α,β-const.

Paskutinioji savybė vadinama neapibrėžtinio integralo tiesiškumo savybe. Pirmosios trys tiesiogiai išplaukia iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo, o ketvirtąją įrodysime. Kadangi diferencijavimas turi tiesiškumo savybę, tai (a jf{x)dx =a f(x) + Vg(x).

+ V\g{x)dx)

Antra vertus, (J(a/(x) + p g ( x ) ) ^ )

=af(x)+pg(x).

4) lygybės abiejų pusių išvestinės lygios, todėl ši lygybė teisinga konstantos tikslumu.

1.2. Neapibrėžtinių integralų lentelė Jeigu F'(x)=f(x),

tai jf{x)dx

=F(x)+C,

todėl, žinodami elementariųjų neapibrėžtinių integralų lentelę. 1. jdx

funkcijų

išvestines,

=x+C. a+l

2. Jf x a d x = +C a+l

4. J\axdx = — Ina

(a*-l).

V

'

+C.

5. fexdx = e* +C. 6. Jsinxctc = - c o s * + C . 7. Jcosxctc = sinx + C .

9.

,2.

L ^ - =-ctgx+C. χ

J sin

ί

*

JVTv

=arcsinx+C = - arccosx+C.

galime

sudaryti

13.

f

,

dx

. χ = arcsin—I-C.

14. Jtgxiic = - I n I cosx I + C . 15. jctgxiir = I n I sinx I + C .

16.

Γ dx

= In t

SINX

17

18.

19.

J s dx

ί:

cosx

* +C. ~2 π

= In

T

χ +

1 .

ί:

χ-α χ+α

dx

ί

+C.

Y

+C.

= In х + л/х2 ±β 2 +C.

11 ir 13 - 19 formulių pirmykščių funkcijų nėra išvestinių lentelėje. Šių formulių teisingumu galėtume įsitikinti, išdiferencijavę dešinėse jų pusėse esančius reiškinius. Visais atvejais gautume atitinkamas pointegralines funkcijas. Paaiškinsime 3 formulę. Žinome, kad i Inx , kai χ > O,

In χ

1 ln(-x), kai χ < O,

todėl kai χ > O, (

l n

M)

= -χ

(-1), kai χ < 0.

Taigi abiem atvejais nepriklausomai nuo χ ženklo ( vadinasi,

l n

M)

1 =T

'

f — = In \x | +C .

Jχ

1 pavyzdys. |(3х 2 - 2 sin χ + 6л/х) dx = J 3 x 2 i f e - J 2 sin xdx + |б-Jxdx =

= 3jx2dx-

3 P — 2 Jsinxdtc + 6 I x 2 dx = 3· — +2cosx+

2 +C= 2

3

=x +2cosx+4xVx+C.

•

2 pavyzdys. J t g 2 X i f o =

=

j]—

J ν cos

1]dx = x ^

Г S ' n * dx = J cos X

X

Γ - —

J

COS

dx

X

j—^ Jiic = t g x - x + C . cos χ

•

J

2. Pagrindiniai integravimo metodai 2.1. Tiesioginio integravimo metodas Šis metodas pagrįstas Įrodysime tokią teoremą. Teorema. Jeigu jf(x)dx

integravimo

formulių

invariantiškumu.

= F(x) + C ir u = cp(x) - funkcija, turinti toly-

džią išvestinę, tai \f(u)du=F{u) Įrodymas. dF(x) =f(x)dx

Kadangi

jf(x)dx

+ C.

=FQc)+C,

. Imkime sudėtinę funkciją

tai

F'(x)=f(x)

arba

F (u ) = f((p(x)) . Žinome, jog

pirmosios eilės diferencialui būdinga formos invariantiškumo savybė, todėl dF(u) = F '(u) du=f Tuomet j f (u) du = jdF(u)

(u) du.

=F(u)+C.

•

Vadinasi, pagrindinių integralų formulės visada yra teisingos; ir nesvarbu, ar integravimo kintamasis yra nepriklausomas, ar bet kuri diferencijuojama to kintamojo funkcija. Pavyzdžiui, a+l \uadu= J

n J+ . 1l a

+C

(a*-l),

-=InUI+C.

fu

(1)

(2)

J ( 3 x + 5) 1996 dx . Kadangi d(3x+5)=3dx,

1 pavyzdys.

tai

ir J ( 3 x + 5)1996<£t = - | J ( 3 x + 5) 1 9 9 6 J(3x + 5) =

dx=^d(3x+5) 1 (3x + 5) 1997 = — -—YŲŲj

(pritaikėme (1) formulę).

•

Apskritai visada galima dx pakeisti d(ax+b), dx= — d (ax+b), a

nes d(ax+b)=

adx

ir

a φ O.

2 pavyzdys. j " x 2 t / x 3 +Adx = J x 2 ( x 3 +4j 4 dx. Kadangi dįx3 +4j = =3x 2 tfc,taix 2 i& = | d ( x 3 + 4 ) . Tuomet J x 2 t/x 3 +4 iit = 5

= i

J(x3

+4

) Ϊ rf(x3

+

4) = l ^

(pritaikėme (1) formulę).

3

;4)

4

+C = ^

+

+C.

•

3 pavyzdys. Jsin(2x - 3)dx = — Jsin(2x - 3)d{2x - 3) = 1 :- -cos(2x-3)+C.

Γ (Į6x-5)dx (6x-5)dx

J

4 pavyzdys

Зх

2

_

- 5x + 7 ^

Γęd(3x2

J

Зх

2

-5χ + ή ^ -5x + 7

= In Зх2 - 5 х + 7 j +С (pritaikėme (2) formulę).

5 pavyzdys,

r J

А

, f sin χ , fii(cosx) = - In cosx tgxdx = I dx = - I Jcosx J cosx

(pritaikėme (2) formulę). Gavome integralų lentelės 14 formulę.

+С •

Toliau išnagrinėsime du pagrindinius integravimo metodus.

2.2. Integravimas keičiant kintamąjį Sakykime, kad, norėdami rasti integralą

jf(x)dx,

kintamąjį pakei-

čiame pagal formulę χ = φ(ί) . Dar tarkime, kad funkcijos / ( χ ) , φ ( i ) ir

φ'(ί) yra tolydžios, o funkcija χ = φ ( ί ) turi atvirkštinę funkciją. Tada dx= (p'(t)dt. Įrodysime, kad teisinga lygybė jf(x)dx=

|/(φ(/))φ'(ί)Λ.

(3)

Į r o d y m a s . Išdiferencijavę kairiąją lygybės pusę, gauname: (if{x)dx)^

=/(*).

Dešiniąją įrodomos lygybės pusę diferencijuosime funkciją, kintamąjį t laikydami tarpiniu argumentu. Todėl (ί/Μ'))

= /(φ(0)

Φ'(')

=f(x)'

=(№('))

nes t

X = ~ XT

Φ'(0

dt

X

kaip

• 'i = /М')М0

sudėtinę

•

= ~7П\ • ( 3 ) !ygybė įrodyta. φ ^rj

=

А

Suintegravus reikia grįžti prie senojo kintamojo χ . Integruojant kartais tinka keitinys t=\\i(x) . Sakykime, reikia rasti integralą

j * ^ 7 } dx . Pažymėkime: f = ψ(χ) , dt = ψ'(χ) dx . Gausime:

J ψ(*)

1 pavyzdys.

Г Jaz

^x +xz

= -Ą- f a2 J .

1+

——— . Parenkame keitinį t = —; ίχΥ a

dx = adt. Tada f

dx

т

Ja + χ

=

I f ~?

adt

j

=

α J1+Г

1 ^ 1 χ _ — arctg ί + C = — arctg—l-C.

a

Gavome integralų lentelės 11 formulę. 2 pavyzdys,

i , J y/a2-X2

= — Γa J

a

a

• dx X

,2

I-Ia

t = —, a 1 C adt β J V w

f r

"

J

dt

VT

dx = adt •

Χ

^

= arcsin/+C = arcsin—I-C ,2 a

/

(a>0) .

Gavome integralų lentelės 13 formulę. Paminėsime

trigonometrinius

•

keitinius:

1)

x=a smt,

x=a cos i;

2)x=a tgi, x=a etgč; 3) x = — —/ , x= sini . Pirmąjį tikslinga taikyti, kai cos /7 9 pointegraliniame reiškinyje yra dauginamasis Vfl ~x 2 „2 Vfl2 + χ2 , trečiąjį - kai yra Vx" - a :iąjį - kai y

, antrąjį - kai yra

• χ2 dx

3 pavyzdys.

χ = asini, dx = a cos t dt = JVa 2 - fl2 sin2 t a costdt = a2 Jcos2 t dt =

= a2 Ι ^ ψ ^ - Λ =

+

i Jcos 2 i d{2t)]

Ąsin2i]

Iš keitinio — = s i n i , tardami, kad t kinta atkarpoje α

+C. π

π ;

'2 2

, gauna-

• χ · „ • ^x Г. . 2 me: i = arcsin—, sin2i = 2 sinf cosi = 2—Vl - sin t =

-2Ϊ.1-:

2x V 7 7

+ -Vfl2 -X2 + c .

2

4 pavyzdys

. Tuomet

IVfl - x

•

i Vx +fl 2

2

t=X+\X

+fl

X + Vx 2 + fl2 , ai = — , —flx, 2 2

Jx Ta

dt =

dx, Vx 2 +fl 2 dx dt

Vx 2 +fl 2

'

iir = — aresin—l-

2

fl

= J y = InH-C = In ( х + л/х2 + α 2 ) + С . dx

Analogiškai gautume:

= In χ +

1Jx -U r

+С.

2

Įrodėme integralų lentelės 19 formulę.

s 5 pavyzdys.

f

dx

h ™ JVe +! jc

Jex + 1= t, ex + 1 = t2, exdx =

2ίώ,

2 tdt =

Γ =

2tdt

J (^ 2 - l ) r ^

Γ t/f Jz2-I

In

f-1 f +1

+C=In

ex + 1 - 1

+C.

Cjr +1 +1

2.3. Integravimo dalimis metodas Išnagrinėsime dar vieną efektyvų integravimo metodą. Tarkime, kad u=u(x) ir v = v ( x ) - kintamojo χ funkcijos, turinčios tolydžias išvestines. Tuomet šių funkcijų sandaugos diferencialą galėsime užrašyti taip: d(uv iš čia

)=udv+vdu;

udv=d(uv)-vdu.

Integruodami šios lygybės abi puses, gauname: judv = Je/(m·) - ^vdu , Judv = uv - ^vdu . Tai ir yra integravimo dalimis formulė. Kad galėtume tinkamai pasinaudoti ja, privalome pointegralinį reiškinį suskirstyti į du dauginamuosius u ir dv taip, kad pavyktų suintegruoti diferencialinius reiškinius - iš pradžių dv, po to vdu; todėl metodas ir vadinamas integravimo dalimis metodu. Daugumą integralų, integruojamų šiuo metodu, galima suskirstyti į tris grupes. 1) Integralai J p ( x ) l n x i £ t ,

JP(x)arcsinxdr , |P(x)arctgxiic

čia P(x) - daugianaris; žymime u= l n x , M = arcsinx, M = arctgx,...

, ...;

^P{x)eaxdx , Jp(x)cosoxi£c , JP(x) sin ях cit ; čia a -

2) Integralai

realusis skaičius, P(x) - daugianaris; žymime u =P(x). 3) Integralai Jeax cosbxdx , Je a * sinbxdx,

Jsin( In χ) dx , Jeos(Inx) dx,

ax

...; žymime U=C (arba и = cosbx), u =sin(lnx). Pažymėję bet kurį šios grupės integralą raide / ir du kartus pritaikę integravimo dalimis formulę, gausime pirmojo laipsnio lygtį integralo / atžvilgiu. Išsprendę ją, rasime I . Aišku, kad yra ir kitokių integralų, kuriuos galima suintegruoti dalimis. 1 pavyzdys. du=dx,

Jxsin2xdx . Pažymėkime:

u = x, dv=sin2xdx.

Tada

1 1 v= Jsin2x
1 1 1 1 = ——xcos2x + — Jcos2xiit = -—xcos2x + — Jcos2xd(2x) = C- — xcos2x + — sin2x. 2 4

•

2 pavyzdys. Jarctgxtic = -dx,

u = arctgx, du = l +x dv = ώc,

= xarctgx-

f xdx

v = Jūtc = .

iYTT

2

HL

1 H = xarctgx2 J

= xarctgx-

1+ X

|ln(l + x2)+C. i

3 pavyzdys. I= j"VX 2 + a 2 dx =

2

U = -J.χ

+ a2,

-dx,

du = V x 2 + O2

dv = dx,

Γ"2 2 •хл]х +a

v = J
J"

(x2+a2)-

2 , „2

fJ x

dx = xVx" + a~ r

Ta2

Tx2Ta1

- dx =

dx

= xVx 2 +a2 - J V x 2 + a2 dx + a2 j"

^ T a

/~~2 2 xylx +a 2

- J V x 2 + a2 dx + a2 In^x + -Jx2 +a2 j , I= xVx 2 +a2 - / + a2 ln(x + Vx 2 + a 2 j . Taigi dešinėje pusėje gavome pradinį integralą, kurį perkėlę į kairiąją pusę, turėsime: 21= xyIx2 + a2 + a2 I n f x + V x 2 + a 2 2 Todėl J V x

2

2

2

+a

2

+ ^ - l n ( x + Vx2 + α 2 ] +С.

dx =^yjx +а

Analogiškai gautume: ,2 f Г"2 2* . ^ r~2 2 Vx - α ar = — i χ -a J 2 4 pavyzdys. I=

й In x + V x 2 - я 2 2

+C.

Jeax cosfoxdx = U = Cax,

dv = cosbxdx,

du = CieaxCbC, v = — sin fox

= ^ e i u r S i n f o x - - Ce i " sin bx dx b bJ dv = sinfeei k ,

u =e ax

du = Ue dx, v = - — cos bx

= — e ^ sinfox - — ( - —^ iur cosfox + — Feax cosbxdx] = ^e ajr Sinfox+

b + Areax

b\ b ax b j J b cosbx-Ar Ie cosbxdx = e ^ i — sinfox + ^-cosfoxl - Ar I.

fPerkėlę dydį —γΐ į kairiąją pusę, gausime: b

Γ „2 I 1 + -S-I=C l bV

(

n

ax

2

I

— sin bx + Ar cos bx I .

{

f e^ibsmbx + acosbx) Tada \e cosbxdx = ^ -+C. a2+b2 Analogiškai \e sin bxdx =

e^^asinbx

-bcosbx)

a2+b2

+C.

3. Įvairių reiškinių integravimas 3.1. Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris, integravimas I Nagrinėkime integralą l\ =

f

—

dx

; čia a ^ 0 , b, c - realieji

J ax" +bx + c skaičiai. Pertvarkykime vardiklyje esantį kvadratinį trinarį, dvinario kvadratą: c f 2 b ) a χ + —x + —\= \ a a) v

=

χ + —b Y 2a

a

Aac-b'

cia

+

Aac-b* ^ —

2a

= I k 2 ^ 0.

Pliuso

a

v 2a

±k2

x + ±] 2a.

Aai

v 2aJ

išskirdami

ženklą

rašome

tada,

kai

reiškinys

z

Aa Aac - b2

> 0 arba kai trinaris ax2+bx+c neturi realiųjų šaknų; minuso

Aa . kai

Aae-b2 Aaz

< 0 arba kai trinario šaknys realios.

Tada

A= f — ^ J

ax

+bx + e

dx

=^ f a

J

V

χ+— 2a) Parinkę keitinį χ H

2a

= t ,dx = dt, turėsime: dt h

- a4 J t2

±k2

,2 ±kl

Gavome integralų lentelės 11 ir 18 formules.

1 pavyzdys.

±Χ f = [-5 — = z Jx +2x +3 Jxz+2x +l +2

d(x + l)

1

ί

χ+1 + c

UT

II. Nagrinėkime integralą I2 =

-

+2

^

aras

'72

Γ J (χ + ψ

-

Mx + N I— J dx ; čia M, h ax + bx + c

N,

a, b, c -

realieji skaičiai. Pertvarkykime pointegralinę funkciją:

Mb

m

.— H[2ax + u\ b) +(M \N f Mx+ N J C 2a 'V 2 aJ 12 = I —~ dx = I J ax" +bx + c J ax~+bx + c „

=

M_ C{2ax + b)dx 2

2

<*Jax +bx

fAr + \N V

+c

f

Ί

МЬЛ C

N

dx

2

^

IaJJax +bx

, dx =

Max2+bx

_M 2

+c

^J

+ c)

+

2

ax +bx + c

Mb),

M l l 2 u I (xr МЬЛТ III = — I n I ax + bx + с \ + N h • 2a J 2a V 2a J

III. Nagrinėkime integralą / 3 =

f I

dx ; a, b, с - realieji

J Vox2 +bx + c skaičiai. Pertvarkę analogiškai kaip ir I atveju, turėsime integralus: dt

kai a > 0 ,

i VP ±k' arba dt

f Vfc2-i2 kai a < 0, ir trinaris ax1 + bx + c turi realias šaknis. Gavome integralų lentelės 19 ir 13 formules. IV.

Nagrinėkime

/4 =

integralą

f

I

Mx+ N I ax

dx . + bx + c

analogiškai kaip ir I I atveju, gausime: ц =

f

Mx+ N I— = ^ = =

2

, M dx - —

J л/яг +br + r

2й

f

2 ax + b I —===== dx + JJnr^+hr +r

Pertvarkę

+ (N-Щ

1

, лг + ι N

2 j

f

J

МЛ

*

V«x

2

+

= ^

6x

+

2fl lf

J

c

( « +2 bx + f+ a c +I

j

M ΓΊ—Γ ίΛΤ / , = —Vax" + bx + C + N 2α у α ν

Mb,

Γ

2 pavyzdys.

"ί

2 Y

I

-

^_

2α

2 c/l4αχ 2 c p

+ Ьх + c I +

1

τ

I Z3.

Jji

VT-X-X2

S p r e n d i m a s . Sudarykime skaitiklyje pošaknio 1 - х - X 2 išvestinę bei išskirkime šiame trinaryje dvinario kvadratą: f .

2

* -

8

d* = -!,-2*-1

JVl-X-X2

JVl-X-X2

• f(l-x-x2pc/(l-x-x2)-9f J

1

[

'

f ,

J M _Į

J t

2

+ 2

* .i

1

j

j r +

1i _ iι_ Λ l

dx

dx -9

,

-

2

vn

*

U x ' F i

J

=

J

+ x

X-X

J l - X - X - i )

j i ^ 7 -

1

9

j* J

15 -4

dx

Γ

r i ) V*+2J

2

=

dt ]

M V4

^

i 2 f · - |5

J

14 1 Parinkę keitinį x + — = t, dx = dt,

2

cit Г ,x V

+

Γ

2

2

turėsime:

. t . 2r aresin —=• = aresin -7=, V5 V5

7

f 2x-8 , „ Γ T r> .· ·2x +1 Todėl galutinai I — P = = O x = C - 2 V l - x - x -yarcsin- _ . JVl-X-X2 V. Nagrinėkime integralą Z5 = 1 Parinkę keitinį Mx+ N= - , c/x= t 3 pavyzdys.

dx

Lx(x + l)Vx l

2

+1

I

i;1— c/i Mt2

dx = = = = = ; ax + bx

Vš čia M ^ 0.

, gauname Z1 tipo integralą.

л: +1 = —, t dx = — d t , Г χ =

1

dt

- f

2t + 2t

Γ

4Ϊ J

- - 1

t

A f

JN2 J " i — +-

l-jc+ , 2 U =C—^ln V2

f

+. r - i + 2 V 2

=C—=In V2

+1

2(jc +1)

3.2. Racionaliosios trupmenos. Paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integravimas Priminsime, kad racionaliąja trupmena vadinamas dviejų daugianarių santykis F(Jc) _

я 0 х " + A 1 X n - 1 +... + an-\x + a„

Q(x) ' b0xm + bxxm~l

+ ... + bm_xx + bm '

č i a F ( x ) , Q ( x ) - daugianariai, neturintys bendrų šaknų, я 0 * 0 , b0*0 . Racionalioji trupmena vadinama taisyklingąja, kai skaitiklyje esančio daugianario laipsnis n yra mažesnis už vardiklyje esančio daugianario laipsnį m. Priešingu atveju racionalioji trupmena yra netaisyklingoji. Jeigu racionalioji trupmena netaisyklinga, tai, padaliję skaitiklio daugianarį iš vardiklio daugianario, šią trupmeną galime išreikšti naujo daugianario S ( x ) ir taisyklingosios racionaliosios trupmenos suma:

Q(x)

S(X)+

Q(x)'

R(x) . . , , . . . . , . . . v. cia — 7 — - j a u taisyklingoji racionalioji trupmena. Q(x) _ . I x i -4x2 + 5x-3 62x - 57 Pavyzdys. = Ix-18+ • 2 x + 2x - 3 χ2 + 2 x - 3

Šį rezultatą gavome taip: Ixi-

4x2+5x-3

3

Į X2+2X-3

2

"7X +14X -21X

IX- 18

z

-18r +26x- 3 "-18* 2 -36x+54 62*-57

A

Dabar išnagrinėsime, kaip integruojamos vadinamosios paprasčiausios racionaliosios trupmenos. Jos esti keturių tipų: I. - A - ; x a ~ J1J χ

„.

Mx + N 2 ' + px + q

^ (x-a)k

'

Mx+ N , ч i· ' ' 2*· ^x + px + q^

čia a, A, M, N, p, q - realieji skaičiai, k - natūralusis skaičius, be to, k > 2, diskriminantas D = p2-Aq < 0 . Pažvelgę į diskriminantą apibūdinančią nelygybę, matome, jog lygtis . r + px + q = 0 realiųjų šaknų neturi. Suintegruosime pateiktas trupmenas. (χ-α)

ι.

=

x-a

J x-a II.

-k+1

J x Л

f

ι ι - =A In\x-a I + C .

, dx = A \lx-a)-kd(x-a)

Л

= A ^

X

' ^

+C=

+C.

(l-A^X-fl)*"1 M> f „ Mp (2x + p ) + A r ^

III. i - ^ L * = Jx

+px + <7

f

Jx

m

r*(*2+**+g)

z

+px + q

2 2

2 JJ x χ+ +px p x + 9o

v

, Гд, ^

f

2

l 2

J

jc +

z

7

Jx

Μ/Λ f 2

2 JУ JJ

+q

^

=

M — +px + g

Л 2 2 x z + 2· —-χ + - - + q - ± — 2 4 4

dx 2

2

(

^

+

v

4

" , 2

Parinkę keitinį

x +^ = t ,

dx = dt ir pažymėję q-

raide

gausime: f

Мк + ЛГ

,

M .

2

Į

ί τ ^ Γ ^ ' Ύ ^ ln(x 2 + px + ¢ ) + ( n -

= y

+

\l(Kr

V

IV.

f

+

^

J

t

dt

· I arctg i + C =

^q-P2

'

C

"H r--JJttf-

M 1 / 2 \ 2N-Mp = —ln(xz +px + q) + . ^ arctg 2

Μρλ

+

2x + p

+C.

^Aq-P2

Ą .

+ px + g j

Pertvarkę analogiškai kaip ir I I I trupmeną, gausime: Γ

Mx + N

J ( * 2 + / « + *)*

+

2

- τ-) J ^ * f

+ 2

; j

Ą

=

2

(/ ip

+

2

6

+ q) ^

- K * 2 + ^ + ?)*

+

f ί(*2+^+«Γ

Д

г_ %

+ UV- 2

ęd(x2+px

Jx _M

M )"

2(1-^)(*

+

^ 2

+

+

+^)

л

Gautąjį integralą pažymėkime Ik ir pertvarkykime: Г =

\x2+Px

dx

C + q)k

=

dt

\t2+b2)k

_1

f

i'2+*2)J'(f2+b2f

/2

-dt =

b2,

J_ f =

b2

1_ f

dt j*"1 V

}įt2+b2

t1 dt

J(f2+b2j*

Antrąjį integralą integruosime dalimis: u = t, du = dt,

tdt

dv =

2

tdt J (t +b ) f<

2 kV

2

(t +b ) ' -\(t2

+b2)~kd(t2

2 k

+b2) 2(k

. Taigi 181

_

f

dt

k =

\

t

2

+

_ J _ b

2

2

f b

Г )

£

Kadangi

I— J

-\){t2+b2)k'x

dt

[ t

,

1

+ b

Г

2 ^ -

dt

dt = Λ - ι , tai

2 2 i (t i +b )

h =

h-1

+ t2+b2

2{k-l)[

i

Zfc =

.Jfc-i

'Jfc-I

2(* - 1)

2jt-3 . -+ h

(4)

2 (*-!)(• Vadinasi, integralo

+

Γ J (χ

2

^ — — iic

apskaičiavimas pakeičiamas

+ pjt + g j

integralo Ik apskaičiavimu, o tai galima padaryti rekurentinę formulę. Kai k= 1, gauname integralą /1=

f dt 1 i _ H τ = — arctg— + C . 2 2 J i +b b b

naudojant

Žinodami I1, rasime Ii =

I2:

h(,^i, ) ""H I' ^ ) 4/, dt

22

1 i t 2

Ib

2

W

2 2 2

2

1 t) ^ + —arctg— + C . +b b b 2

Žinodami I2 , galime rasti Z3 ir 1.1.

3.3. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos reiškimas paprasčiausių trupmenų suma Jau išsiaiškinome, kaip integruojamos paprasčiausios trupmenos. Bet kuri taisyklingoji racionalioji trupmena integruojama remiantis teiginiu, kad ją galima išskaidyti paprasčiausių trupmenų suma. Sis teiginys, kaip ir toliau suformuluota teorema, įrodomi algebros kurse, čia tuos tvirtinimus pateiksime be įrodymo. Pix) — y r a Q{x)

Sakykime, kad

taisyklingoji racionalioji trupmena, kurios

skaitiklyje ir vardiklyje esantys daugianariai P(x) ir Q(x) neturi bendrų šaknų. Trupmenos vardiklio daugianario Q ( x ) šaknys gali būti realios ir skirtingos, kai kurios realios ir kartotinės, jungtinės kompleksinės skirtingos ir jungtinės kompleksinės kartotinės. Realią nekartotinę šaknį α vardiklio Q(x) skaidinyje atitinka dauginamasis x-a, « - t o j o kartotinumo realią šaknį β - dauginamasis ( x - β ) " , jungtinių kompleksinių šaknų nekartotinę porą - dauginamasis x2 + px + q , kurio diskriminantas neigiamas, k - tojo kartotinumo jungtinių kompleksinių šaknų porą - dau, P(x) ginamasis ( x " + r x + s ) . Tuomet trupmenos —)—^ skaidymą paprasčiausi*) šiųjų trupmenų suma apibūdina tokia algebros teorema. Teorema.

P(x) — Q[x)

Jei

taisyklingoji

racionalioji

trupmena,

vardiklis išskaidytas šitaip: Q(x)=(x-

α)...(χ - β)'\..|χ2 + p χ + q^...(^x2 + rx + i j

tai ją galima išreikšti paprasčiausių trupmenų suma: P(x) A —— = QH X-O.

1- H

Bn

1

(χ-β)

η

Bn, — (χ-β)""1

1- H

B1 i *-β

1- +

,

kurios

Cx+ D

Mk-\x + Nk_x +...+ / , \k-1

2

χ +px + q

M1X

+

(Χ2

+ RX + S

N]

(5)

2

' X + ГХ + 5 čia Л , B i, ...,

C, D, Mu Ni, ..., Mk, Nk - realieji neapibrėžti koeficientai

(kai kurie jų gali būti lygūs nuliui). Norėdami

apskaičiuoti

šiuos koeficientus,

sudedame

trupmenas,

parašytas dešinėje (5) lygybės pusėje ir sulyginame skaitikliuose esančius daugianarius. Kadangi du daugianariai tapačiai lygūs tik tada, kai lygūs jų koeficientai, esantys prie vienodų χ laipsnių, tai galime sulyginti šiuos koeficientus. Gausime tiesinių lygčių sistemą, kurią išsprendę rasime minėtus koeficientus. Šis metodas vadinamas neapibrėžtųjų koeficientų metodu. Kartais koeficientus galima apskaičiuoti paprasčiau. Kadangi, sulyginę skaitiklius, dešinėje ir kairėje lygybės pusėje gauname tapačiai lygius daugianarius, tai ir jų reikšmės su bet kuriomis χ reikšmėmis turi būti lygios. Įrašę tam tikras χ reikšmes, gauname lygtis, iš kurių galime rasti minėtus koeficientus. Geriausia parinkti χ reikšmes, lygias realiosioms vardiklio šaknims. Pavyzdys. Taisyklingąją

trupmeną

2x 3 + 4x 2 + χ + 2 (x-l)

išreikškime

+x + l

paprasčiausių trupmenų suma. S p r e n d i m a s . Kadangi trinario χ2 + χ +1 šaknys kompleksinės, tai, remdamiesi suformuluota teorema, gauname lygybę 2x 3 + 4x 2 + χ + 2

A

B

Cx+ D

Sudėję dešinėje jos pusėje parašytas trupmenas, gauname: 2x 3 + 4x 2 + x + 2

ή + Β(χ- l)(x 2 + χ +1) + (Cx + D)(x -1)2

Sulyginame skaitiklius: 3

2r +4x2 +χ +2=A (χ2 +χ 4-l)+fi(x 3 -l) + (Cx+Z))(x 2 -2r +1) .

(6)

Taikome neapibrėžtųjų koeficientų metodą. Sulyginę koeficientus prie χ 3 , χ2, χ1, x°, sudarome lygčių sistemą: r-3 χ2 r1 „0 Г

B+ C = 2, A-2C+D = 4, A + C-2D = 1, A-B+D = 2.

Ją išsprendę, randame A = 3, B = 2, C = O, D = I . 3

2x

2

+ 4x

+x + 2

(x-Ij2Ix2+χ+

3

ή

Todėl

2

1 ι

(χ-if

2

x +x

+l

Minėtus koeficientus galėjome rasti ir kitaip: kadangi vardiklio viena šaknis x = l reali, tai, įrašę į (6) lygybę vietoj χ skaičių 1, gautume: 9=3A,

A= 3.

Kitus tris koeficientus rastume išsprendę trijų lygčių sistemą, kurią gautume sulyginę koeficientus prie vienodų χ laipsnių.

•

3.4. Racionaliųjų trupmenų integravimas Nagrinėkime integralą

fP(x) P(x) I—7—-rdx . Jeigu racionalioji trupmena —7—r J Q(X) Q(x)

netaisyklinga, tai pirmiausia ją išreiškiame tam tikro daugianario S ( x ) ir taisyklingosios racionaliosios trupmenos

R(x) — s u m a :

Q(x) Plx) -HQ{x)

ч

= S(x)+ K '

R(x) -H·.

Q[x)

Integruodami šią lygybę, gauname:

JeW

J 1 ;

J Q(x)

Kadangi 5 ( x ) - daugianaris, tai jį suintegruoti lengva. Belieka rasti integralą

CRix) I—-г^-dx . Išreiškę trupmeną J Q(X)

rasčiausių trupmenų suma, racionaliosios trupmenos pakeisime paprasčiausių trupmenų integravimu.

R(x) — p a p Q(X) integravimą

^x2 + 2)dx 1 pavyzdys. Raskime integralą

i,(χ + ΐ ) ( χ - 2 ) 3

S p r e n d i m a s . Pointegralinį reiškinį sudarančios trupmenos vardiklio šaknys yra realios, todėl, remdamiesi 3.3 skyrelio (5) lygybe, tą trupmeną išreiškiame paprasčiausių trupmenų suma: X2+2

A

B

C - +

3

(JC + 1 ) ( X - 2 )

(* + l )

3

(x + l )

2

+

* + l

D -

x-2'

Sudėję dešinėje lygybės pusėje parašytas trupmenas, gauname: X

2

+ 2

_

A(x

+ 1 ) 2 ( J C - 2 ) + D(x

- 2) + B(x + 1 ) ( J C - 2 ) + c(x

(χ + ΐ)3(χ-2)

(x +

+1)3

lf(x-2)

Sulyginame skaitiklius: x2+2=A(x-2)+B(x

+ l)2(x-2)+D(x+\f

+ l)(x-2)+C(x

.

(7)

Įrašę į (7) lygybę reikšmę χ = - 1 , gauname: 3 = - 3 A , arba A=-I. 2 Įrašę reikšmę χ = 2, gauname 6 = 27D, arba D= — . Kitiems dviem koeficientams rasti užtenka dviejų lygčių. Pertvarkome (7) lygybę: x2+2=(C+D)x3+(B+3D)x2+(A-B-3C+3D)x+(-2A-3B-2C 3

+

2

Sulyginę koeficientus, esančius prie JC , x , gauname sistemą χ3 χ2 2 iš Jjos randame C = — , 9

1

3

(χ + 1)3

2

*

J (JC + 1 )

+ 2 -

=

9 _2 "9

;

л:+ 1

2

2 Mjc-2) _ 9

J

AC-2

9(* + l)

9(x-2)

i———j— — 3

J(JC + 1 )

-i { x + l ) ~ 3 d { x + 1 ) +

3(л: + l ) 2

^ = -

(JC-2)

?d(x + \)

J

1 B = — . Tada 3

χ2 +2 (x + l) [x-2)

f

C+ D = O, B+3D = 1;

3 J (

+ l)

4 Į

~ 2(x +1)

X

+ 1

)2

f - ^ +

9 J J C + 1

~2d{x+1

2

'

3(JC + 1)

2, I In JC 9

,1

+ 1

+

D).

+ -ln|x-2|+C = C-

x - 2

2X

\ +-In \2 9 x+1 6(x + iy

2 pavyzdys. Raskime integralą

J;

2x3 +Ax2 +x + 2

dx .

( x - l ) 2 ( x 2 + x + l)

C J T Sprendimas.

Trupmeną

2x3+4x2+x + 2 —• r χ +x+l 2 (-i) !·

.„ įsreiskeme

papras-

čiausių trupmenų suma 3.3 skyrelyje išspręstame pavyzdyje. Pasinaudokime gautu rezultatu, ieškodami integralo: 2 x 3 +Ax2 + χ+ 2 2 ^

ί (x-l) 1

2

=

( x 2 + x +ΐϊl )

+2 f - ^ +

J(X-I)2

fJχ

J^-I

dx +x + l

K*"·>•= г J f ^ + J t ^/ л/3/—л 2 = C - x - 1 χ+—

2

ι ι 2 2x +1 +2 In I x-11 + —pr arete — . л/3 л/3

+

+

V2 ,

A

3 pavyzdys. Raskime integralą

Гх4+2x2 + χ J

S p r e n d i m a s . Kadangi trupmena

ūk.

(x2+l)^ X4

+ 2x 2 + χ _ χ 4 + 2x 2 + χ

+12

P )

χ 4 +2x 2 +1

netaisyklinga, tai pirmiausia jos skaitiklį padalijame iš vardiklio:

X4+2X2+X 4

г +2Г+1

Į x4+2T2+1 1

х- 1 . . . χ 4 + 2x 2 + χ x-1 fx4+2x2+x, t Todel — = 1 -I — . Tuomet I — dx = x4+2X2+1 <2+Л2 J <χ2+Λ2

T

•

yra

f

X-I

\ с = \dx + Г J

x +A f i x 2 +l)~2d(x12 2 J 1 ' Γ dx — J*

Г X2 dx +

+1

—-dx-

J(x2+l)2

1 Τ=χ-~Γ~η

J(x2+l)2

2

dv =

I

dx=x-

, 1 , 2(x2+l)

г-arctg X-

du = dx,

X,

———

ν= 2(x2+l)

'

χ l f i f o χ +1 --j— γ+— =X--J2 2 2 l x + l) 2 J Χ +1 2IX2+1) * +l 7 r 2(x2+l)

=

P + l)

(x2+l)Z

=x

^x

J(x2+l)2

+l)1 - f ( 1 + "2 2 ) '2 f J (x +l)

U =

Г

1 _ arctg χ + - a r c t g x + C = 2

arctgx+C.

2

3.5. Dviejų tipų iracionaliųjų funkcijų integravimas Šiame skyrelyje nagrinėsime du tipus iracionaliųjų funkcijų, kurių integralai, parinkus keitinį, pakeičiami racionaliųjų funkcijų integralais, kitaip sakant, jų pointegraliniai reiškiniai racionalinami. p I. Nagrinėkime integralą

'

/Л

m

ί « Χ,Χ" J ι

,.. . , X i

dx. Simboliu R žymime /

kintamųjų x, x n _..., x s atžvilgiu racionaliąją funkciją. Pavyzdžiui, jei _ П Х )

\2

/

(х + 4)(л/х + 5

, tai f ~

( 2 - ^ p c - l )

(x)=R

1 3

1

X, X , X 4 , X 5

ι

r

i"

J

m XtXn

dx pointegralinis reiškinys racionalina-

,.

V

J

mas naudojant keitinį Vx = t; iš čia X=Ik,

dx = kf

l

dt, k lygus trupmenų

m r — ,..., — bendrajam vardikliui. Iš tikrųjų (

m X, X n

i' I = J/ψ*

,tni,...

Kadangi

n\ =

,. ..,X

i

dx =

)ktk^ Wik

'

mk

fl tk,t

"

r

J

,. • >t

1

s

ktk~l

dt =

/

dt =

jR^dt.

rk , ..., S1 = — s

n

rk N

yra sveikieji skaičiai, tai pointegralinė

funkcija yra racionalioji. Integralų

|/? ( (ί)ί/ί

integravimą jau aptarėme anksčiau. 1

Γ -Jx dx _ 1 pavyzdys. • J t p T T

2

f

χ 3

dx .

J y X4 +1 1

S p r e n d i m a s . Kadangi trupmenų

3

— ir — bendrasis vardiklis yra 4,

tai, parinkę keitinį i/x = t, χ = t4, dx = Atidt, gausime: . 4 Ο Ι . Λ * . 4 f ^ L . 4 L· . ^ L ) *

= 4 γ! 2 ,dt-AΛ J

=

I ^ - I n I

4 3 t2 , ' dt =—— 3 Ji +! 3

4

V x

3

+

1

+C.

4

3 f 4 3 +1) 4 3 43 , L= -t --In / + 1 +C= 3 J ,3+1 3 3

A

II. Nagrinėkime integralą

ίτ·

-

m f OX+ ЬЛ n

ax + b

\cx + d

cx+ d

dx;

čia a, b, с, d - realieji skaičiai, ad-bc φ 0 . Šio integralo pointegralinis reiškinys racionalinamas naudojant keitinį ax + b cx+ d

ax + b

=t,

cx+ d

čia k - trupmenų

u\~ αχ + ΐΛ n Kcx+ dJ

=

ad-bc {a~ct)

, —k - t

,

dt;

— ,..., — bendrasis vardiklis. Tuomet n s

km

f

dtk - b , -r- , dx= a-et"

k

=Г,х=

-

= t>h

^

5

f # \ — kr Г αχ + ΐΛ s = - = f„ . \cx + dJ

čia nЬ . . . , S 1 - sveikieji skaičiai. Įrašę šiuos reiškinius į pradinį integralą, gautume integralą

J

čia R2(t)~

ad-bc a-ct

(a-ctk

_ktk-ldt=\R2{t)dt. f

racionalioji funkcija.

2 pavyzdys.

Г —- · ^UUzr. U J (1-х) Vl-x

S p r e n d i m a s . Parinkę keitinį 31^ + x = t , ''1-х 6

йх=

(i

J

3

'2

2

J , — dt , 1 - χ =

j

Z

+

l)

4

.^з

, gausime:

*

"

+ ]|

2

3.6. Integralai

|

1

2 2

4

Jl +x 7 ox =

f - 4— - ^

J ( I - X )

2 J/i^x,Vax

f

^ + X = f 3 , X = -^5—1-х /3+1

2

8ν1-χ/γ1-χ

+ Z>x + cJ dx .

Oileriokeitiniai

Nesunkiai galėtume įsitikinti, kad tokių integralų pointegraliniai reiškiniai racionalinami, naudojant vieną šių trijų Oilerio keitinių: 1) kai a > 0 , tai

2) kai с > 0 , tai Vox2 +bx + c = x / ± V č ; ir X2,

3) kai kvadratinis trinaris ax 2 + bx+ c turi skirtingas realias šaknis x\ tai -Jax2 +bx + c = /(x-x)

čia χ

;

kuri nors viena trinario šaknis.

P

1 pavyzdys. Raskime I =

-Λ/Χ

2

+3X + 2

dx.

«1 χ + V x 2 +3x + 2

S p r e n d i m a s . Kadangi šiame pavyzdyje α = 1 > 0 , c = 2 > 0 ir trinaris x 2 + 3 x + 2 turi dvi realiąsias šaknis

X

1

= - I ,

X

2

= - 2 , tai tinka bet kuris

Oilerio keitinių. Panaudosime trečiąjį: V x 2 t- 3x + 2 = /(x + l ) ; is cia

χ=

t2

- 2

I-/

Itdt

ir dx =

2

M

. Įrašę šiuos reiškinius į pradinį integ-

2

ralą, gauname: i2-2

't

2

-2

Il-/2

Γ \-t'

+ 1 y

f "> ~

2

JT T - +

Г -2

/

v 1-/

,

2/ώ

^

_

M

^ +1

[ J 4 l

2

J (/ + l ) 3 ( / - 2 ) ( / - 1 )

Pointegralinę funkciją išskaidome paprasčiausių trupmenų suma: г2 +2/

/4

3

(/ + l ) ( / - 2 ) ( / - 1 )

(/ + I)

+ 3

+ C /+1 (/ + 1)' β

+D

E+

/-2

t-l

Apskaičiavę koeficientus, gauname: 1 5 17 A = -— , B = —— , C = —— ,D 6 36 216

8 = — 27

ir E

Tuomet - i f dt /=1 ~ 3 J ( f + i)3

5_ Γ +

dt

1 8 J '(/ ( i ++1 )2 l)

_ YT_ Γ dt

_ _H> Γ dt

108 J / +1

27 J / - 2

3 =— 8

3 f dt = 4 Ji-I

1 6(f +1)

r-

5 7 18(/ + 1)

17 , ι , ι In ( + 1 108

16 . ι „ ι In i - 2 + 27

+ - ln| i - 1 1 +C; 4 cia / =

л1х2 +3X + 2 χ +1

Kai kuriuos nagrinėjamo tipo integralus galima rasti paprasčiau, netaikant Oilerio keitinių. Reiškinyje ax2 + bx + c (a * 0) išskirkime dvinario < /c b1 kvadratą: ax2 + bx + c = a \ x2 + —χ+ —]= I = a a\ χ + —I + a a a 4a2 JJ - a

b ^2 χ + ·— V 2a J

. 4ac-b2 -1 4a

2 , 2. v. b = at±n ; čia χ 4 2a

t, dx = dt,

4ac-b2

, 2 / r>4 — =±n (n φ 0). 4a • Kadangi a gali būti ir teigiamas, ir neigiamas, tai raide a pažymėję

reiškinį ±m2,

integralą

J f t ^ x , Vax 2 +bx + c^dx

pakeičiame vienu šių

integralų:

I.

Jm2I2

II. ^R[t,4m2t2

+n2^jdt;

(8)

-n2^jdf,

(9)

III. ^R{t,yln2-m2t2Jdt.

(10)

Sie integralai, atitinkamai parinkus keitinius, pakeičiami nometrinių funkcijų integralais. Keitiniai gali būti tokie: (8) integralui tinka keitinys t = —Igz m

arba V

(9) integralui-keitinys / = — secz = — - — m wcosz (10) integralui - keitinys / = — sinz arba m V 2 pavyzdys. Suintegruokime

dx

i

t = — ctg z , m J arba V

t = —— msinz

t = — cosz . m J

trigo-

S p r e n d i m a s . Šis integralas yra III x = 3sinč, dx = 3costdt, gausime: j*

i

dx

f

= ltg/+C =

9

3 cos t dt

_

Jf^W

A —+C 9cos

=

'

tipo, todėl, parinkę

j*3cosidi _ 1 j*

keitinį

dt

»J COS

2

t

A , sin ' + C9- I - - J b + C VTwT Π Τ 1-

9

9

9-у9-

2

•+C.

•

3.7. Diferencialinių binomų integravimas Reiškinys xm[a + bx")P dx vadinamas diferencialiniu

binomu",

a, b - bet kokios konstantos, m , n , p- racionalieji skaičiai. Kalbėsime apie tokių reiškinių integravimą. Įrodyta, kad diferencialinio binomo integralas

^xm [a + bxn)P dx, kai m,

n, p-

racionalieji

skaičiai, išreiškiamas elementariosiomis funkcijomis tik tada, jeigu kuris nors vienas iš skaičių: 1) P,

2)

n

3)

+p, n yra sveikasis (teigiamas, neigiamas). Išnagrinėkime, kaip kiekvienu atveju integruojamas diferencialinio binomo integralas. 1) Jeigu p yra sveikasis teigiamas skaičius, tai, panaudoję Niutono binomo formulę, pointegralinę funkciją išreiškiame racionaliąja funkcija ir ją žinomais metodais suintegruojame. Jeigu p < 0 , tai, parinkę keitinį Vx = t,

X= S

(k - trupmenų m ir n bendrasis vardiklis), pointegralinę

funkciją išreiškiame racionaliąja funkcija. r 2) Tarkime, kad p - trupmena, p = - , o s Reiškinį Xm (a+bx"ydx

tn +1 n

sveikasis skaičius.

pertvarkome pažymėję x" raide 2. Tada

m+1 j > ( a + bxn fdx=^

—+ ^ n

Kadangi

J ( a + bz)pz

- sveikasis skaičius, tai ą =

»

m +

n

~\z.

^ _ ] irgi sveikasis skai-

čius, todėl jxm

(a + bx"Y

dx = I J ( f l + bz)pzUz

= I

J/?(z,(e +

bz)p)jdz.

Iš 3.5 skyrelio žinome, kad tokio tipo pointegralinė funkcija racionalinama ts , t.y. a+bx" =

naudojant keitinį a+bz=

3) Tarkime, kad p = — s

m

bei

+

ts.

- trupmenos, bet

n

^ L t l +p n

_

sveikasis skaičius. Integralą pertvarkome: |(fl + bz)pzUz

Kadangi p + q =

m +1

= ||

a + bz

:p+qdz.

1 +p - sveikasis skaičius, tai

n

^(a + bz)pz4z

= J f l L

o tokio tipo pointegralinė funkcija a + bz = ts , t.y. a+bx"= χ"ts

a + bz

dz,

racionalinama,

naudojant

keitinį

2

r

-if 3

fJ

2 \~

^

1 +Jt 3

dx.

J

I

1 S p r e n d i m a s . Cia

m =

-— ,

2 n=—,

keitinį t = Ux , x = /3, dx=3t2dt, Л i 1 \ -2

J'

1 +

V

JC

p=-2

((1) atvejis). Parinkę

gausime:

(ir

3

y

иM Jil(- 2 ) 2

J

1

1

3 1 - - l T2 + C = C -

2 1+r

J(i

,

3

+ i

2

)2

- = C21 1 + V x 2

2 pavyzdys,

f

X

x

^

J V1-х

= fx3(l-x2)

2

2

dx .

J 1 n = 2, p = — , 2

S p r e n d i m a s . Cia m = 3 ,

m +1 = 2-sveikasis

n

i skaičius

((2)

atvejis).

Parinkę

keitinį

2

2

2

x= (l-i j2,

1-х = ? ,

l 2

2

dx = -[l-t )

χ

= C-

tdt,

gausime:

(2 + x 2 ) .

3

3 pavyzdys.

2

K^

=7 |x~ 2 (l + x 2 |

,

». S p r e n d i m a s . Cia

m=-2

J

„

,

1

2dx.

j

„ n = 2 , p =

3 2 2

,

m +1 n 2

sveikasis skaičius ((3) atvejis). Parinkę keitinį l + x = 1 X

2

J

i.

χ = (t2 - l j 2 ; dx = ~[t2 - l j

X

=

2

J

l+x

2 tdt,

gausime:

2

2 Γ 1--ί' -dt =CW J ί 22

1 '

. ^ 1 = C-

JC JlTx2

V1 + χ2

. Vp=-Z

, χ2 =

tL

-1

3.8. Trigonometrinių reiškinių integravimas Nagrinėsime integralus cosx

J/?(sinx,cosx)i£t; čia R - kintamųjų sin χ ir

racionalioji funkcija. Si funkcija visada racionalinama χ

keitinį

tg — = t,

sąlygos t g y = i

parinkus

kuris dėl šios priežasties vadinamas universaliuoju.

Iš

turime: Idt

x = 2arctgi, dx =

2tg

f

— , sinx=

1+ i

l + tg2± 5 2

1-¾2!

—=

COSX =

2

1+ tg * 5 2

21

—=

—,

l +t

,-,2

T- .

i +t

Todėl f/?(sinx,cosx)iZr = 1

[r\ ^ A r , ^ - A r \ R \ ( t ) d t . J J u + t2 l+t 1 + t2

Nors universalusis keitinys /?(sinx, c o s x ) , tiniais.

J

X tg — = t

visada racionalina

funkciją

tačiau kartais ją galima racionalinti paprastesniais kel-

1) Sakykime, pointegralinė funkcija F (sinx, cosx) yra nelyginė funkcijos sinx atžvilgiu (pakeitus funkcijos sinx ženklą, pointegralinė funkcija pakeičia ženklą), t.y. R ( - s i n x , c o s x ) = -R (sinx, cosx). . з Tokia yra, pavyzdžiui, funkcija R (sinx, cosx) = 3 D,( - s i•n x , c o s x ч R ) = (-sinx) = cosx-3

cosx-3

, nes

s i n 3 x = -R (sinx, , . . cosx). cosx-3 ^t

Tada tinka keitinys cosx = t, χ = arccos t, dx= JT-

r

2) Sakykime, pointegralinė funkcija R (sinx, cosx) funkcijos cosx atžvilgiu, t.y. R ( s i n x , - c o s x ) = - R (sinx, cosx).

yra nelyginė

Siuoatvejutinkakeitinys sinx = i, χ = aresin t, dx = V T ^ ' cosx 3) Sakykime, pointegralinė funkcija cijų sin χ ir cos χ atžvilgiu, t.y.

R (sinx, cosx) yra lyginė funk-

R ( - sinx, - cosx) = R (sinx, cosx). Pavyzdžiui, .R(sinx, cosx)= sin 2 x+3 sinx cosx+5 yra lyginė sinx ir cosx atžvilgiu, nes i ? ( - s i n x , - c o s x ) = ( - s i n x ) 2 + 3(-sinx)(-cosx)+5= =sin2x +3 sinx cosx: +5 = R (sinx, cosx). Tuomet tinka keitinys tgx = t,

χ = aretgt, dx =

tg x t , = , , cosx = y]l + tg2x Vl + tz '

sinx =

1 V^Ttg 2 X

^t , , 1+t 1 Vl + t2

I S m X dx. J 'cos χ - 3 S p r e n d i m a s . Pointegralinė funkcija yra nelyginė funkcijos sinx atž1 pavyzdys.

vilgiu, todėl tinka keitinys cosx = t , sinx = V l - t 2 , dx=

^t . 2 Vl-t

Tuomet 3 .3 „

2

11 — i "2 1 rfl dt

Γ

fjūiiL A _ f ('-' ^ J cos χ - 3

-J

(-- 9 ) + о t-3

COS2 X 2

J

i

(/-3)(1-г2)

Г dt = J(i + 3)dt + 8 J y ^ -

I ι +3cosx+81n cosx-3 +C.

2 pavyzdys

•i

o

n

Л

J

t-3

гЛ

• • fiz£i*_ fiizl dt

i

=

J

t-3

t^ — +3i +8 In I ί-З I + C =

•

tie

2 sin χ + 5 sin χ cos χ - 2

S p r e n d i m a s . Pointegralinė funkcija yra lyginė sinx ir cosx atžvilgiu, nes

2(-sin χ) 2 + 5(-sin x)(-cos χ) - 2 Parinkę keitaų

tgx=/,

2sin 2 χ + 5sinxcosx - 2

dt

. t γ , sinx = - = = , 1 + i2 ' Vl + / 2

dx =

cosx=

1 Vl + / 2

'

gausime: dt I + /2 2/ 2 Jl·^-^ 2 s i n χ + 5sinxcosx-2 d/ J 2/-2 + 5 / - 2 - 2 / 2

5/

J4I + /

J 5/-2

2 +

5 J

I + /2

5/-2

5

I + /2 = | l n | 5 t g x - 2 | +C. 3 pavyzdys.

f

J 5 + 4 cos χ

χ S p r e n d i m a s . Parenkame universalųjį keitinį t g — = /. Tuomet

2 dt 2

I-1 Idt cosx = " \l , dx= t 1 +1

f

dJ-

2

J 5 + 5/ + 4 - 4 / 2

. ir

f dx Γ i + t2 I-— = IΊ J 5 + 4cosx J I-/2 5 + 4· 1 + /'

— = 2 *j——— = 2— ^fJ/2+9

2 2 J / +3

= 2—arctg— + C = ё 3 3

χ t g 2 i ^ a r c t g y 2 +C.

4 pavyzdys

dx

i Sin

3

X COS •s χ X

S p r e n d i m a s . Kadangii?(sinx, cosx)= — з sm XCOSX 1

R ( - sin χ, - cos χ ) = (-sinx)

1 = —τ , tai (-cosx) sin χ cosx

R (sin χ , cosx) = R ( - s i n χ , - c o s x ) . Vadinasi, tinka keitinys ~ , , Tuomet αχ=

dt

=- , sinx = —=

1 + г2 '

t

1 , cosx = — ρ = ir + ί2

VTT7 '

Λ/Γ

dt Γ

dx

Jsin xcosx

1+f t

J

— d t ί

J

,

fл

=

t

Γώ

-r-+

3

J ί

3

ί3

J

1 + t2

^i + ί212

_

ι

— = C

1 H2

Γ

3

Į1+t2j2

fi + ί 2

dt 2

Γ

3

ι

ι ι +InIiI=C

T

,ι ι ζ - + I n ItgX I. A

Itg2X

It

J i

tgx = f .

dx

5 pavyzdys

•ΐ

sinx

χ S p r e n d i m a s . P a n a u d o s i m e keitinį tg — = t . „ I u o m e t sinx =

2t

, Idt . =-, dx = ir 2 1+t 1+t r dx J

=

sin χ

J

rdt , į ι , — = In i + C = In t

Gavome integralų lentelės 16 formulę Kai kurie integralai

+ C.

A

J/?(sinx,cosx)<&

nesunkiai suintegruojami

naudojant trigonometrines formules 2 l + cos2x cos χ = , 2

. , l-cos2x surx =

'

2

'

cos mx cos nx = I (cos (m + n)x + cos(m -rc)x), sin rax cosnx = I ( s i n ( m + n)x + sin(ra - n)x), sin mx sin/ix = I ( c o s ( m - n)x - cos[m + « ) x ) . Jsin 4 χ dx.

6 pavyzdys. Raskime Sprendimas.

I

1 - cos2x^2

Jsin 4 χ

dx = I

= J | s i n 2 x j dx =

1 - 2 c o s 2 x + cos 2 2xjc£c =

= i

^ Jiie - 2 Jcos 2 χ ifc+ -^- J(l + cos4x)čitj =

1 Γ 1 1 ^ = - 4I x" — sin 2x л— ^dx н— Jcos Ax dx j = ι Гχ - sin2x · „ + ι—χ +ι—sin4x . „ , +C „ = —

:

1 f3 . „ I . . = — — x - s i n 2 x + — sin4x 4l2 8

•

+C.

γ 7 pavyzdys. JsinIx cos5xdx = — J(sinl2x + sin2x)dr = If

1

1 cosl2x — c o s 2 x + C = C 12 2 J

1

1 cos 1 2 x — cos2x. 24 4

4. Integralai, neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis 1.1 skyrelyje minėjome, kad kiekviena funkcija f(x ), tolydi kuriame nors intervale, tame intervale turi pirmykštę funkciją. Kitaip sakant, tolydžių funkcijų integralai egzistuoja. Tačiau tai nereiškia, kad tolydžios funkcijos integralą visada galima išreikšti elementariąja funkcija. Kai kurių net labai paprastų elementariųjų funkcijų integralai gali būti neelementariosios funkcijos. Tokius integralus vadiname „nesuintegruojamais", turėdami galvoje, kad jų negalima išreikšti elementariosiomis funkcijomis. Jau minėjome, kad integralas

J x m įa + bxn j^ dx neišreiškiamas ele-

mentariosiomis funkcijomis, kai nei p, nei sveikieji skaičiai. Tokie pat yra ir integralai

(integralinis sinusas),

(Vsinx dx ,

J

m +

n

^ ; nei

m +

n

^ +p

je~x dx , Js"1*

nėra

dx =six

=ciχ (integralinis kosinusas), Jsinx 2 dx ,

f dx I =Iix (integralinis logaritmas) ir 1.1., kurių irgi negaJ Inx

Įima išreikšti baigtiniu elementariųjų funkcijų kombinacijų skaičiumi. Vadinasi, tokie integralai minėta prasme yra „nesuintegruojami". Esti

integralų, kurie neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis, tačiau daug r

kur naudojami. Pavyzdžiui, toks yra integralas tikimybių teorijoje. Integralas

Ie

- X

2

dx , plačiai taikomas

J s i n x 2 άκ naudojamas šviesos difrakcijos

klausimams spręsti. Prie neapibrėžtinių integralų, kurių nepavyksta išreikšti baigtiniu elementariųjų funkcijų kombinacijų skaičiumi, priskiriami elipsiniai integralai. Taip jie buvo pavadinti dėl to, kad pirmiausia su šiais integralais teko susidurti apskaičiuojant elipsės ilgį (žr. V I skyriaus 5.3. skyrelį). Elipsiniai integralai būna trijų tipų: / -

f

dx 2

Is

χ 2 dx

f

J^(l-x2)(l-it2x2)

"

dx + /zx2Uil-x2)(l-£2x2

čia 0 < / c < l , h gali įgyti ir menamąsias reikšmes. Jie vadinami pirmojo, antrojo ir trečiojo tipo elipsiniais integralais. Z . Liuvilis įrodė, kad šie integralai yra neelementariosios funkcijos. A. M . Ležandras" dar labiau suprastino minėtus integralus, panaudojęs keitinį χ = sin φ ^O < φ < у ] :

f

*

.

Z2=-L

j Vl-It2Sm2 φ

t

--L f j T Š ^ į . *

2

άψ

f

,2-2 I j l - к sin φ

f

J

*

" ί 1 + /гsin

φΜΐ-k

sin

Sie integralai taip pat vadinami pirmojo, antrojo ir trečiojo elipsiniais integralais. Y p a č svarbūs ir dažniausiai taikomi integralai

φ tipo

Ležandro

άφ

ί -Jl-k

F

1-k

2

sin 2 φ sin

φ dų>.

Ž o z e f a s Liuvilis (J. Liouville, 1 8 0 9 - 1 8 8 2 ) - p r a n c ū z ų matematikas. A d r i e n a s Mari Ležandras (A. M. Legendre, 1752 - 1 8 3 3 ) - p r a n c ū z ų matematikas.

Uždaviniai 1. Suintegruokite tiesioginio integravimo metodu: a) j"sin2xVl + cos2 χ dx ;

In χ dx

b)

In 2 χ

χ с)

sin 2 χ

ί cos

4

dx

arcsin -Jx

d)

3

χ\ (l + tg x)

dx ;

Vx-. In ( χ + Vl-KX2

2

x

e) J(l + c t g x y ^ d x ;

f)

dx .

ί

Jux

2

2. Suintegruokite keisdami kintamąjį: a)

d)

χ-Ί

J i

dx ;

b)

Jl-x

Cjxdx

X Vx

c

J^+i ' j* χ5 dx

dx 2

c)

^

e)

z

J VTT^

+4

;

j* e3xdx

JVTTI ' Γ

dx

JxVTT

3. Suintegruokite dalimis: a) Jxsinx dx ;

b) jVxlnx<£c ;

d) j|x 2 - 3x + l)e~xdx;

e

) ie

x

c) Jarcsinxtic f) Jcos In xiic

cos χ dx ;

4. Raskite šiuos racionaliųjų funkcijų integralus: a)

c)

e)

J J J

dx ;

b)

J

dx ;

X4 - 5 x

(x-l)iie

d)

х 2 (Х-2)(Х + 1)" Зх + 5x +12 2

dx :

f)

χ +1

2

+4

f dx r

JT Ti Г

Зх+1

-dx .

J x ( l + x2)2

5. Raskite šiuos iracionaliųjų funkcijų integralus: a)

J

-Jx dx

V + l

b)

+χ 2

ii-x i i

-

X

dx;

с) Jjc3Vl-X2

e)

J"

JxV J

dx ;

dx

1 - 2 x + 7x 2

χ2 +4x

dx .

Vx2 + 2x + 2

ЪТ?

χ6

dx

6. Raskite šiuos trigonometrinių funkcijų integralus: I c o s 3 χ Sin 3 Xiic ; a) \fc

e) J8 - 4sinx A + 7cosx dx 2 ^ 1 7cos x + 2sin~x

J

O

h)

J

J

Sin7X

iie ;

b)

л/27-j ;

3 + 5cosx dx

J J

3 5 i 'sin x Cos X

-Ixdx

c) Jx 7 e

dx

J

4

7. Suintegruokite:

a)

COS3X

d) Jsin3x sin7x<£e ;

c) Jsin 4 xdx ;

g)

b)

d)

dx

1 6 - χ 4

'

Jί* J

dx

JV

dx

Sin X COS' X

e) Jln 3 Xiic;

g)

f)

sin2xiie 4

• 4

h)

e2x +ex +1

COS X + Sin X χ arctg χ čir i)

aresin χ -dx ;

2

j) J l n j)

( x + Vl+ χ \dx;

K f k)

dx 5

2 2 3 1) J ^ j x -a j cie ;

χVx +9 m) J V l + sec Xiie ;

n)

J

(4-x)<±e

χ2 h x

2

+2x-4

Atsakymai (l + cos2*)4/3; b) С— л/5 — In2 χ; с)|ΐη(ΐ + tg3x) + С; d) (arcsin-v/x)2 + С;

l. С

e) C- ectg*; f) ln2(x + J1 + χ 2 ) + C. 2. а) 10л/2 - χ +jyĮ(2-xf b)

_

+ 2λ /7

-

+ C;

+ 6arctg^x + С; с) j ^ ' + l f ' J ^ *

+ 2л/777 + С; d

e) С- J ^ J

+

|į f r f

+ 1

f

+

--j J f T f ;

f) — arccos — + C. 3. a) sinx-χ cost +C; b)—X3^2I I n x — + C ; c) χ arcsinx + •Vl-x 2 +C; d) (T^jx-χ2 j + C ; e)

e " (sinx-cosx)+C; f) y (cos Inx +

+sin Inx)+C. 4. a)x+ln

(x + lf(x-2) χ-3 + C; c) C — - + C; b) 7 -In 2x 3 x+3 - l)(x + 2)

--In |xI + — In|x-21 4 36

X-I - — arctgx +C; — + — I n U + l l ; d) -In 3(x +1) 9 4 x+l

3x +1 2 ч ^ V3 „ χ 9 5 X2 +1 e) C — — arctg + - arctg χ + -ln-j-^-; f) In |x I- —ln(l + χ j • 2 >(x + l) 3 3 3 4 4 X - In X4 +1 + — arctgx+ C. 5. a) — /

\

\5

Jh-χ2 )

+j

;

^

Гl + x + C; b) J+ C; c) C -H !

+ C; e)-

In χ + •J\-2x + 1

l-xz

+

+ C;

5x5 4

—

4

-

4 4 χ +1 + Jx 2 + 2x + + 2 C. 6. a)—Cos X—cos x + C; f) —(x + 5)4 x2 + 2x + 2 --In ' 15 7

b)

1

1

4 sin4x

6 sin6x

e) In

tgy-5 tg--3

1 Γ sin4x 4sin2x + 6x|; d) — sin4x- — sinIOx+ C; + C; c) C+ 161 2 J 8 20 ,g

+ C; f) ; -In 4

χ 2 + C; g) - j = arctg . - t g x +C; Vl4

2

h) 4^/tgT + C. 7. a) l a r e s i n J + C ;

c) C - -

b) A-In

2+χ + ±arctg£+ C ; 2-х

(x6 + 3x4 + 6x2 + б) ; d) 2y[tįx + C; e) x(ln3x-31n2x + όΐηχ-б) + C;

f) С

χ

arcsinx- In 1 +Vl-X

h) x-ln(2+ex ^

2

+2-Jl + ex +e2x)

; g) С - arctg (cos 2x);

>

+C;

i)

. * , + - arctgx^rctSx + C; 4(1 + * 2 ) 4 2Į1 + x j

Vx5 + 9

3+ 2 In j) .vIn2(x + Vl + x 2 ) — 2t]\ + x2 In^x + Vl++χ2x ) + С; к) C 2 ' 15 V^ ,. 1 I 2 2\3 1) — X^X -a j

3α χ Π 2 3a 4 , f Π —νχ- -a + —^-ln^x +V*

m) C + 2arccos|Včosxj ; n)

Зх" + 2х - 4 + С.

2 -a

+ С;

APIBRĖŽTIMS INTEGRALAS IR JO TAIKYMAS

1. Apibrėžtinio integralo sąvoka 1.1. Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio integralo sąvoka Sakykime, kad atkarpoje [a; b] apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija f(x). Figūra, apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų - tiesių χ = a ir χ = b, iš viršaus - funkcijos f(x) grafiko, vadinama kreivine trapecija (102 pav.). Apskaičiuosime šios trapecijos plotą. Atkarpą [ a; b ] taškais a=x(i
σ = Σ/( /) < · ί=1

Aišku, kad laiptuotos figūros plotas bus tuo artimesnis kreivinės trapecijos

y=W

0

a

103 pav. plotui, juo bus mažesnės atkarpos [JC,_I ;

. Pažymėkime тахДх,· raide λ .

Tikslią kreivinės trapecijos ploto reikšmę S gausime apskaičiavę sumos σ ribą, kai λ —> 0 (tuomet n neaprėžtai didėja). Vadinasi, и 5 = Iim σ = Iim V / ( c . · ) Axi . λ->0

Aprašytą

procedūrą

λ->0

pritaikykime

(1)

'

bet

kokiai

tolydžiai

funkcijai

apibrėžtai atkarpoje [a; b ]: n 1) sudarykime sumą ^ / ( c , · ) Axi , kuri vadinama Rymano'

f(x),

integraline

1=1

suma; 2) apskaičiuokime šios sumos ribą, kai λ -> 0 : n Iimi Y f (Ci) A Xi . Apibrėžimas. Jei egzistuoja baigtinė integralinės sumos riba, kai Л nepriklausanti nuo atkarpos [ a; b ] skaidymo būdo bei nuo parinktų taškų CĮ, tai ta riba vadinama funkcijos F(X) apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a; b ]. Apibrėžtims integralas žymimas simboliu" b

\f(x)dx. a Taigi b

n

\f(x)dx =Wm^f(Ci)Axi.

(2)

λ—>0 a

'-I

Skaičiai α ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu integravimo rėžiais. Georgas Fridrichas Bernhardas Rymanas (G. F. B. Riemann, 1826 - 1866) - vokiečių matematikas. Taip žymėti pasiūlė prancūzų matematikas Žanas Baptistas Zozefas Furjė (J. B . J . F o u r i e r , 1 7 6 8 - 1 8 3 0 ) .

(2) formulė rodo, kaip galima formaliai integralinės sumos ribą pakeisti apibrėžtiniu integralu: pirma, ribos ir sumos ženklas keičiami b simboliu j , antra, funkcijos reikšmė tarpiniame taške /(c,) keičiama f(x), o a dydis A Xi - reiškiniu dx. Šią pastabą vertėtų įsidėmėti, nes tokiu būdu toliau ne kartą nuo integralinės sumos pereisime prie apibrėžtinio integralo. Jeigu funkcijos f(x) integralinė suma turi baigtinę ribą, tai funkciją vadiname integruojama Rymano prasme atkarpoje [ a; b ] arba integruojama atkarpoje [a; b ]. i Pavyzdys. Taikydami apibrėžimą, apskaičiuokime fx2dx . o S p r e n d i m a s . Šiame pavyzdyje/(JC) =x2, a = O, b = 1; atkarpą [0; 1] padalijame į n lygių dalių: л '-O 1 v. . τ— Δ Xį = = — ; cia ι = \,n. n n Gauname tokius dalijimo taškus: x0 = 0, x\ = — ,X2= — , . . . , Jt,·_i = - — , n n n XI=

i Yi — , ... , XN= — = 1. Tašką c, parenkame per vidurį tarp taškų jc,_i ir n n i-1 | i +

Xj, todėl j o koordinatė lygi

2

2 Apskaičiuojame/(c,)=

—— 2n

. Vadinasi, c, = —

2

— = ——-. 2n

. Tuomet

n

2 2 2 2 2 i (li-\) _ 1 +3 +5 +...+ (2k-1)

P(Ci)Axi=^

;_l

Pasinaudoję

/=1

4« 3

4/73

I 2 + 32 + 5 2 + ... +(2л-1)2

formule

i,^4n2 - lj j

apskaičiuojame integralą: į 2 , " K " 1 ) 1 4„2-l 4 1 \x ax = Iim — -r- - = hm j- = — = —. z Q «->00 3 • 4n «->00 I2n 12 3

A

Iš (1) formulės išplaukia, kad kreivinės trapecijos (102 pav.) plotas b S=

\f(x)dx.

Tai ir yra apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė. O kokia j o fizikinė p r a s m ė ? T a r k i m e , k a d taškas j u d a skaičių tiese tiesiai tolydžių greičiu v(f); t e [/ 0 ; Т]. T u o m e t per t r u m p ą laiką Ati = ί, - ί,·_i jis nueina apytiksliai v(c;) · Δ i, kelią; čia c, e [ Z i i ; f,·]. Kelias s , nueitas per laiką nuo t0 iki T, bus n apytiksliai lygus sumai Σ v(c, )Δ/, , o tiksli kelio reikšmė bus jau integralas /=1 τ s = jv(t)dt. 'o

Dabar išsiaiškinsime, kokios turi būti sąlygos, kad integralinė suma turėtų baigtinę ribą. Aišku, kad funkcija f(x) turi būti aprėžta, nes priešingu atveju, jei ji atkarpoje [я; b] būtų neaprėžta, tai tokia ji būtų kuriame nors daliniame intervale, kartu neaprėžtas būtų ir dėmuo f(Ci) AXi, atitinkantis tą intervalą. Tokia integralinė suma baigtinės ribos neturėtų. Taigi funkcijos f(x) aprėžtumas yra būtina jos integruojamumo Rymano prasme sąlyga. Kaip žinome, šią sąlygą tenkina tolydi atkarpoje [ a; b ] funkcija.

1.2. Darbu* sumos Išnagrinėkime dar dvi integralines sumas, šiek tiek paprastesnes už Rymano sumą. Pažymėkime: Mi = sup{/(x)|, χ e [x, _i -,Xi], ra, = i n f j / ( x ) J , χ € [jCį-ь Xi],

i = \,n.

Sudarykime sumas n S =

YjMiAxi, ;=1

n s = Y^ml • Axi. (=1 Pirmoji jų vadinama viršutine Darbu suma, antroji - apatine suma. Kadangi ra, < f(Ci) < Mi,

*

Ci E [x,_| -,Xi],

v

Ž a n a s G a s t o n a s D a r b u (J. G. Darboux, 1 8 4 2 - 1917) - prancūzų matematikas.

Darbu (3)

tai teisinga nelygybė, kuri g a u n a m a padauginus (3) nelygybės narius iš Axi > O ir susumavus juos pagal i : n n n JjMi-Axi < JjI(Ci)Axi < X MiAxi , t.y. s < σ < S . (4) /=I ;=1 ί=1 Geometriškai apatinė suma i lygi laiptuotos figūros, esančios kreivinės trapecijos viduje, plotui (104 pav.), o viršutinė suma S - laiptuotos figūros, kurios viduje yra kreivinė trapecija, plotui (105 pav.).

1.3. Darbu sumų savybės Įrodysime tris šių sumų savybes. 1 savybė. Prie turimų skaidinio taškų pridėjus naujų, apatinė Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė - tik sumažėti. Į r o d y m a s . Tarkime, kad tarp taškų x,:_i irx, (i = \,n) pažymėtas dar vienas dalijimo taškasx,_i < χ < χ,. Pažymėkime: m, = inf j / ( x ) J , χ e [x;_, ;x f ] ,

coi = inf{/(*)} , Χ e [x,_i;x] , W2 = inf j / ( x ) J , X G [χ;χ,· ] , J - apatinė Darbu suma, atitinkanti naują padalijimą. Aišku, kad ω ! > m, ir CO2 > m,. Sumos s ir 7 skiriasi tik tais dėmenimis, kurie atitinka dalį [x,_i; x ( ]: sumoje s - tai dėmuo m, (x, -x, _i), o sumoje J - du dėmenys: coi ( χ -χ,·_ι )4+ ω 2 ( χ , _ι - χ ). Kiti sumų i ir 7 dėmenys vienodi, todėl 7-s=

C0]|x-x,-_i | + ω 2 | χ / - x ) - m , ( x ; · - x , _ i )

= ω](χ-χ ; ·_|) + ω 2 (χ,· - χ)-m,(χj = (χ -x,'_])(cO] -mi) + (xi -χ)(ω2

=

- χ + χ -χ,·_ι) = ~щ).

Kadangi J-

Χ - XI _Χ > 0 ,

s > 0 , t.y.

sąryšį.

> 0,

XI-X

J > s . Analogiškai

> 0 ir

Щ-MI

įrodytume viršutinių

(о 2 -т г · > 0, tai Darbu

sumų

•

2 savybė. Apatinė Darbu suma yra ne didesnė už viršutinę, net jeigu jos atitinka skirtingus atkarpos [a\b] skaidinius. Į r o d y m a s . Darbu sumas, atitinkančias vieną skaidinį, pažymėkime raidėmis Si ir S b Darbu sumas, atitinkančias kitą skaidinį -S 2 ir S2 ir Darbu sumas, atitinkančias skaidinį, sudarytą iš pirmojo ir antrojo skaidinio taškų - s3 ir S 3 . Tuomet remdamiesi (4) nelygybe ir tik ką įrodyta savybe, galėsime parašyti: S1 < s 3 < S 3 < S2. Taigi S i < S2. Savybė įrodyta.

•

Įsitikinome, kad visa apatinių sumų aibė {s} aprėžta iš viršaus bet kuria viršutine suma S, todėl egzistuoja tos aibės tikslusis viršutinis rėžis sup {s} = / , be to, / < S; analogiškai dėl viršutinių sumų aibės {5} aprėžtumo iš apačios dydžiu /

egzistuoja tos aibės tikslusis apatinis rėžis

inf {S} = I , be to, / < I . Įrodėme dar vieną savybę. 3 savybė,

s < / < 7
(5)

1.4. Rymano integralo egzistavimo sąlyga Teorema. Funkcija f(x) atkarpoje [a·, b] integruojama Rymano prasme tada ir tik tada, kai kiekvieną ε > O atitinka toks skaidinys, kad S-s

(6)

< z.

Į r o d y m a s . Būtinumas. Tarkime, kad funkcija integruojama, t. y. egzistuoja Iim σ = /. Vadinasi, λ->0

Vs > O 3 δ > 0: λ < δ = > I σ - / I < - , 2 σ-Ι I < - о / - - < в < / 2

+

2

ε

2

Fiksuokime atkarpos [α; b] skaidinį, tuomet sumos s ir S bus pastovios, o suma σ kis. Aišku, kad sumos s ir S bus sumų σ aibės tikslusis apatinis ir viršutinis rėžis. Todėl I-

- < s < σ < S <1 + - . 2

Iš šios nelygybės išplaukia: S < I + —,s > I - —. 2

2

Iš pirmosios nelygybės atėmę antrąją, gauname: S - s < reikėjo įrodyti.

ε . Tai ir

Pakankamumas. Tarkime, kad (6) sąlyga teisinga; tuomet iš (5) išplaukia, kad L = 7Jų bendrąją reikšmę pažymėkime raide I , t. y. turėsime s < /
/ = / = / .

Iš (5)

Iš anksčiau žinome, kad s < σ < S. Kadangi dydžiai / ir

σ yra tarp s ir S, kurių skirtumas mažesnis už ε , kai Axi pakankamai maži, tai I / - σ I < ε tuo labiau, o tai reiškia, kad Iim σ = I . λ->0

Taigi funkcija/(x) integruojama atkarpoje [a; b] .

•

Paminėsime vieną įdomų dalyką. Įrodinėdami pakankamumą, gavome sąlygą

/

= 1 = 1, kuri

kartais

laikoma

funkcijos

integruojamumo

atkarpoje apibrėžimu. Sis apibrėžimas ir ankstesnis λIim ->0 σ

= I yra ekvi-

valentūs. Prisiminę, kad ω , = M , - m , , apskaičiuojame skirtumą S-s: n n S-s = J(Mį -mAAxi = Jj(S)i Axi . i=1 /=1 Tuomet funkcijos integruojamumo sąlygą galėsime užrašyti taip: n \/ε > O Ξ δ > O: λ < δ = > Jai-Axi < ε. ;=1

Dabar šią sąlygą pritaikysime išsiaiškindami, kokių klasių funkcijos yra integruojamos.

1.5. Integruojamųjų funkcijų klasės Pagrindinę integruojamųjų funkcijų klasę sudaro tolydžios atkarpoje [a ; b ] funkcijos. 1 teorema. Tolydi atkarpoje [ a; b ] funkcija f(x) yra integruojama Rymano prasme. Į r o d y m a s . Kadangi funkcija /(x) tolydi atkarpoje [a\b], tai jai galima pritaikyti Kantoro teoremos išvadą, kad funkcijos svyravimas i - tajame intervale ω , gali būti kiek norima mažas. Todėl Ve > O 3 δ > O: Axi < δ => => ω, < —-— . Tuomet b- a "

J a /=1

i

• Axi

ε

< b

-

"

JAxi α

/=1

ε

= b

(b -a)

-α

ο tai reiškia, kad funkcija f(x) yra integruojama.

A

= ε,

2 teorema. Monotoniška atkarpoje [ a ; b ] funkcija f(x) yra integruojama Rymano prasme. Į r o d y m a s . Tarkime, kad funkcija/(x) yra didėjanti. Jos mažiausioji ir didžiausioji reikšmės daliniame intervale [xt , x, ] bus lygios: m, = f(x,-\), Mi = fix,). Tuomet S-s=

= (f(xi)-f(Xid

i(f (X1) ~f (Xl^)AXi i= 1

+Kx2) -KxO +/(Xi) - f(Xi)+ - +

-f(xn~ι)) ΔΧ, =

+ f(XN)

=

(f(XN)

-

f(XO))AXĮ

= (f(b) -/(fl)) Ax 1 .

Kai Axi 0 , tai aišku, kad ir 5 - s -» 0. Teorema įrodyta. • Apibrėžimas. Funkcija vadinama dalimis tolydžiąja atkarpoje [a; b], kai ji šioje atkarpoje turi baigtinį kiekį pirmojo tipo trūkio taškų. 1 teoremos rezultatą apibendrina tokia teorema (ją pateikiame be įrodymo). 3 teorema. Dalimis Rymano prasme.

tolydi atkarpoje [ a ; b ] funkcija yra integruojama

1.6. Apibrėžtinio integralo savybės Sakykime, kad/(x) ir g(x) - integruojamos atkarpoje [a;b]

funkcijos.

Tuomet teisingi šie teiginiai: b b b 1. J(a/(x) + Pg(x)) dx = α |/(χ)ί& + β Jg(x) dx ; čia α , β - bet kokie a a a realieji skaičiai. Į r o d y m a s . Pritaikę integralo apibrėžimą, gauname: b n J ( q f ( x ) + ^x))dx = Iim ^ ( « / ( c , ) + pg(c,)) A x,· = o n n b b = α Iim Y f ( C i ) A x i + P l i m ^ g ( C j ) A x , = α|/(χ)ί&; + β Jg(x)i& . • ^0I=I a a b 2. Įvesdami apibrėžtinio integralo ^f(x)dx sąvoką, darėme prielaidą, a kad a < b. Kai b < a, tai sutarsime, kad b \f(x)dx =

a -\f(x)dx.

a

b

a Dar paminėsime, kad pagal apibrėžimą ^f(x)dx a

= 0.

3. Kad ir kokie butų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė b

c

|/(X)Ū6C =

Jf(x)dx +

b

a

a

\f{x)dx,

jei tik visi trys integralai egzistuoja. Į r o d y m a s . Sakykime, kad a < c < b . Minėjome, kad integralinės sumos ribos reikšmė nepriklauso nuo [ a ; b ] skaidymo į dalis, jei tik funkcija integruojama. Todėl atkarpą [a; b] galima suskaidyti j dalis taip, kad taškas c būtų dalijimo taškas. Tuomet b

c

Jf(Ci)Axi

a

b

=Jf(Ci)Axi

+ Jf(Ci)Axi

.

a

Perėję prie ribos, kai λ 0 , gauname reikiamą lygybę. D a b a r tarkime, kad taškas c yra atkarpos [ a ; b ] išorėje, pavyzdžiui, a < b < c . Tuomet, remdamiesi tik ką įrodyta savybe, galėsime simboliškai (kad būtų trumpiau) rašyti: c b c b c c c b

J=M ^ y - J=J- J = f +

a

a

b

a

a

b

a

c

M

4. Jei/(x) > 0 atkarpoje [a; b ] , tai b \f(x)dx> 0. a Į r o d y m a s . Kadangi bet kuriame atkarpos [a; b] taške c, /(c,) > 0 ir b Axi > 0, tai J f [cį)Axj > 0. Perėję prie ribo£ kai λ —> 0 , gauname a reikiamą nelygybę.

•

5. Jei /(x) > g ( x ) atkarpoje [a; b ], tai b b \f(x)dx> |g(x)cfe. a a Į r o d y m a s . Iš nelygybės f(x) >g(x) išplaukia nelygybė f(x)-g(x) Tuomet pagal 4 savybę b b b J ( / ( x ) - g ( x ) ) < & > 0 , t . y . \f(x)dx>\g{x)dx. a a a 6. Tarkime, kad m =

min f(x),

M =

•

max f (χ). Tada xĄa-,b\

> 0.

m(b -a) <

\f(x)dx
.

(7)

a Į r o d y m a s . Kadangi m < /(c,) < M ir Ax1 > O, tai Σ

m A x

i

Σ

^

/=I

/(с,- )Δχ(· < Σ

/=1

·

(8)

(=1

η

η

Apskaičiuosime sumą JmAxi

=InjAxi

/=1

= m(b -a).

Dabar aišku,

/=1

kad, perėję prie ribos (8) nelygybėje, gauname (7) nelygybę. • 7. Vidurinės reikšmės teorema. Sia savybe remiamasi dažnai, todėl ją suformuluosime kaip teoremą. Teorema. Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [ a ; b], tai egzistuoja tos atkarpos taškas c, kuriame b \f(x)dx=f(c)(b-a). a Į r o d y m a s . Kadangi funkcija tolydi atkarpoje [ a ; b], tai ji šioje atkarpoje įgyja mažiausią ir didžiausią reikšmę m ir M , todėl m < /(x) < M. Tuomet teisingos (7) nelygybės. Padaliję jas iš b - a > O, gauname: m <

й

I

\f(x)dx
{

Dydis

a

b

f f ( x ] d x yra tarp funkcijos/(x) mažiausios ir didžiausios

b-a

J

a reikšmių m ir M , taigi pagal teoremą apie tolydžios atkarpoje funkcijos tarpinę reikšmę jis yra funkcijos/(x) tarpinė reikšmė, įgyjama, pavyzdžiui, kuriame nors taške c. Todėl 1 b-a

6 J

ff{x)dx

= /(c);

a iš čia b \f(x)dx=(b-a)f(c). • a vadinama vidutine funkcijos /(x) reikšme atkarpoje

Reikšmė /(c) [a; b]. 1 pavyzdys. Įrodykime, kad

2 < JA/4 + x2dx < V Š . o

S p r e n d i m a s . Apskaičiuosime tolydžios atkarpoje [0; 1] funkcijos fix) = л/4+ χ 2

f

reikšmes ra ir M . R a n d a m e f'(x)=

(x)> 0 atkarpoje [0;1], tai funkcija J 4 + x2

. 2 л/4 + X

. Kadangi

šioje atkarpoje didėja,

todėl mažiausią reikšmę ra ji įgyja kairiajame atkarpos gale, o didžiausią reikšmę M - dešiniajame. Taigi m

= / ( 0 ) = V ? = 2, M=f(

1) = л/4 + 1 = V Š .

Vadinasi, 2 < }л/4 + x2dx < V Š . o

•

2 pavyzdys. Įvertinkime integralą 2π r

J CtX

P л/5 + 2 sin χ S p r e n d i m a s . Apskaičiuosime tolydžios atkarpoje [ 0 ; 2 π ] funkcijos f(x) =

=- reikšmes ra ir M. R a d ę / ' fx) = л/5 + 2 sin χ J{5 + 2smx)3

išsprendę lygtį f{x) kritinius

/ ' (χ) = 0 , t.y. taškus

/(2π) = - į , , / ( f ) =

7t — Z

cosx = 0 , kai χ e [0; 2π] nustatome

Зя ir — . Z

, / ( ¾

bei

Toliau

=

I apskaičiuojame: / ( 0 ) = - = · , yj 5

Aišku, kad ra = - ^ , M

f

J= .

Todėl, pritaikę (7) formulę, gauname 2π

<

V7 ~

abr J л/5 + 2 sin χ

<

2π

^

~ 7з '

2. Niutono ir Leibnico formulė 2.1. Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu Jei funkcija/(x) integruojama atkarpoje [a; b ], tai ji bus integruojama χ ir atkarpoje [α;χ], x e [ a ; b]. Nagrinėsime integralą jf(t)dt, kuris a geometriškai reikštų kreivinės trapecijos (106 pav.), turinčios kintamą

kraštinę AB, plotą. Aišku, kad tokios trapecijos plotas bus kintamas ir priklausys nuo χ. Todėl X \f(t)dt = φ(χ). a

0 σ

χ

χ+Δχ

Teorema.

b χ

106 pav.

Jei

funkcija

f(x)

[a; b],

tai

tolydi

atkarpoje

(Φ(χ))'

= f (χ) šios atkarpos taš-

kuose.

Į r o d y m a s . Kintamajam χ suteikiame pokytį Ax ir apskaičiuojame pokytį Δ Φ : χ+Δχ

Δ Φ = Φ ( χ +Δχ) - Φ (*)

χ

χ

= J-J = J+

χ+Δχ

χ

J-J=

χ+Δχ

{/(Ή·

χ+Δχ

Integralui

\f(t)dt taikome vidurinės reikšmės teoremą: χ+Δχ

ΔΦ =

\f(t)dt =f(c)(x

+

Ax-x)=f(c)Ax;

čia c yra tarp je ir χ + Ax . Tuomet ΔΦ Ax

_

f (c) Ax Ax

=M-

Pasinaudosime išvestinės apibrėžimu: / , ΔΦ ,ч Φ'(χ) = Iim = Iim f (c). Δχ—>0 Δ χ

Δχ—>0

Kadangi с -> χ, kai Δχ —> 0, tai dėl Дх) tolydumo Iim f (с) = Iim f (с) Δχ-»0 с—>x

=/(x).

Taigi Ф'(х)=/(х).

А

Ši lygybė reiškia, kad funkcija Ф(х) yra funkcijos /(x) pirmykštė atkarpoje [ a ; b ]. Iš to gauname svarbią išvadą: kiekviena tolydi atkarpoje [ a ; b ] X funkcija f(x) turi pirmykštę funkciją Ф(х) = J / ( / ) dt. a Taigi įrodėme dar V skyriaus 1.1 skyrelyje suformuluotą teiginį apie pirmykštės funkcijos egzistavimą.

2.2. Niutono ir Leibnico formulė Išvesime svarbiausią matematinės analizės formulę, kuri apibrėžtinj integralą susieja su pointegralinės funkcijos pirmykšte funkcija. Teorema. Jeifunkcija f(x) tolydi atkarpoje [ a ; b ] ir F(x) - kuri nors jos pirmykštė šioje atkarpoje, tai b \f(x)dx =F(b) - F (a). a Į r o d y m a s . Remiantis ankstesne teorema, galima teigti, kad tolydi л atkarpoje [a; b] funkcija f(x) turi pirmykštę, lygią J / ( i ) dt. Kadangi pagal a sąlygą F(x) irgi yra funkcijos /(x) pirmykštė, tai jos turi skirtis tik konstanta, todėl X I f (t) dt =F(x) + C. a Įrašę į šią lygybę reikšmę χ = a , gauname: a jf(t)dt

= F (a) + C,

a O = F(a) + C, Taigi

X jf(t)dt

= F(x) -F(a).

C = -

F(a).

Vietoj χ įrašome reikšmę b:

a b \f(t)dt = F(b)-F(a).

A

Ši formulė vadinama Niutono ir Leibnico formule. Skirtumą

F(b)-F(a)

įprasta žymėti F(x)' Ъ . Tuomet Niutono ir Leibnico formulė rašoma taip: b \f(x)dx = F (b) - F (a) = F(x) a K.

1 pavyzdys. Apskaičiuokime

Ij — L — + cosx j Λ . ^VcoszX J

S p r e n d i m a s . Kadangi — p- i r m y k š t ė lygi tgx, o cosx pirmykštė COS X lygi sinx, tai

f — L — + cosx )dx = (tgjc + sinx) J v COS X ' O = ( t g f + s i n f ) - ( t g O + sinO) = l + ^ . 2

pavyzdys. Apskaičiuokime

•

funkcijos f(x) = 10 + 2 sinx + 3cosx

vidutinę reikšmę atkarpoje [0; 2π]. Sprendimas. 2π 2π (l Ox + 2 cosx-3 sin χ) О

j( 10 + 2sinx + 3cosx)i/x _ O Ac) 2π - О 20π 2π

2π

= 10.

3. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimo metodai 3.1. Kintamųjų keitimo metodas Šis metodas pagrįstas tokia teorema. b

1 teorema. Tarkime, kad integrale j/(x)
tai

[a; b], be to, φ ( α ) = a, φ (β) = b ,

β

\Ąx)dx=

//(φ(ί))φ'(ί)Λ. α

α Į r o d y m a s . Sakykime, kad F(x) - funkcijos/(x) pirmykštė atkarpoje [a; b]. Tuomet, panaudoję Niutono ir Leibnico formulę, gauname: b

\f(x)dx = F(b) -F(a) a β β = J^(cp(0) = {^'(ср(О)л. a

= F((a)) =

a

Išvestinę F'(cp(i)) apskaičiuosime, taikydami sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę

ί-'(φ(0) = / ( φ ( 0 ) φ ' ( 0 · Vadinasi,

b \f{x)dx = a

β //(φ(/))φ'(ί)ώ. α

64

1 pavyzdys. Apskaičiuokime

-η=—^= . J-v/X+VX

S p r e n d i m a s . Kintamąjį pakeiskime taip, kad išsitrauktų abiejų rūšių dx = 6t5dt.

šaknys: tfx = t, χ = t'\ Tuomet

Į keitinį

§Jx = t vietoj χ

įrašome skaičius 1 ir 64: л/Г = t, л/б4 = i; iš čia t = 1 ir t = 2. Todėl 64

2

f

dx

,

2

f bt dt

=

=6

JvrT/r J777 1

f

.

1

3

2

3

2

,

s ft dt

2 z

f|

=6

J7TT JI 1

i

t

1

2

-t

+

I - - L dt = t+\

+ ? - lnl/ 1+1| 1

Baigti siūlome skaitytojams.

•

2 pavyzdys. Apskaičiuokime

χ2 dx .

S p r e n d i m a s , χ = a sini, O < t < — , dx = acostdt. įrašoma O ir a: i =

a sini = O, a sini = a;

Į keitinį vietoj χ

iš čia sini = O, sini = 1 ir i = O,

—. Tuomet 2

JVo2 -X

1

dx =

JVa2 - a2 sin2 t a cost dt =

π Л 2

= a2 Jcos 2 tdt = A- J(l + cos2i)t/i = A-^i + ^-sin2i2 2 teorema. funkcija. Tuomet

Tarkime,

\f(x)dx =

kad f(x) - io/ydi atkarpoje

_

[ - α ; a ] (a > 0)

2 J / ( x ) dx , kai / ( x ) - lyginė funkcija; O O,

kai / ( x ) - nelyginė funkcija.

Įrodymas.

a

О

J/(X)Ū&C =

| / ( Χ ) Ί &

a J/(x)atc.

+

-a -a O P i r m a j a m e integrale p a k e i s i m e k i n t a m ą j į : Χ = -1, dx = - dt. K a i χ = - a, tai iš χ = - / gauname t = a, o kai χ = O, tai iš tos pačios lygybės turime t = O, todėl O |/(x)Jx -α

O = - / / ( - 0 dt = α

α \f(-i)dt O

=

α J/(-x)A. O

Tuomet a a a a \f(x)dx = J/(-x)i/x + //(д)оЬг = J ( / ( - x ) + /(x))i/x. -a O 0 0 J e i / ( x ) - lyginė funkcija, t a i / ( - x ) = /(x) i r / ( - x ) + /(x) = 2/(x). Jei /(x) - nelyginė funkcija, tai /(-x) = -/(x) ir /(-x) + /(x) = O. Iš to ir išplaukia reikiama lygybė. • 3 pavyzdys. Įrodykime, kad A+T

jf(x)dx a nepriklauso nuo a, kai /(x) - tolydi ir periodinė funkcija, kurios periodas lygus T. a+T 0 T a+T j/(x)ūtc = J + j + J . a a 0 T a+T Apskaičiuosime \ f(x)dx: Sprendimas.

τ χ - T = z, dx = dz,

X Z

T 0

a+T a

a+T a \f{x)dx = \f(z+T)dz. T o Kadangi funkcija/(x) yra periodinė, tai f(z + T) = /(z), todėl a+T a a \f(x)dx = \f(z)dz = J f(x)dx. τ 0 0 α+γ

Taigi

jf(x)dx a

0 T a a T a T = J + J + J = - J + J + J = J f(x)dx, a

0

0

0

0

0

0

o tai reiškia, kad duotasis integralas nepriklauso nuo a.

•

3.2. Integravimas dalimis Šis metodas pagrįstas tokia teorema. Teorema. Sakykime, kad u(x) ir v(x) - diferencijuojamos [a; b] funkcijos. Tuomet b b judv = uvb- Jvc/м.

atkarpoje

a a Į r o d y m a s . Panaudoję lygybę d(uv) = udv + vdu bei Niutono ir Leibnico formulę, gauname: b b jd(uv) = uvb = j(udv + vdu).

Taigi

b b judv + Jvdu =

UV

; is cia b judv = uvb— jvdu . a

•

a

e Pavyzdys. Apskaičiuokime Jxlnxdx . i S p r e n d i m a s . Pažymėsime Inx = u, o xdx = dv. Tuomet du = -jdx ir V =

2 c \xdx = -y- •

e jxlnxdx --

e 2

χ 4

1

Inx

J Jxcfct

2 χ

1 _ ez+l 4

4

3.3. Integralai

π/2

π/2

o

o

J sin"x
cos"xdx

(n

e

N)

Pirmiausia įrodysime, kad šie integralai yra lygūs. Pakeiskime kintam ą j į : * = -f -t,

dx = -dt. Tuomet

π/2 /2

n/

°f

Jsin "xdx i O

= -

[sin" ( f -t)dt π/2

π/2

π/2 n

fcos tdt о

=

Jcos n Xifr. о

=

f [sin "Įf-tjdt

=

π 2

' .

Dabar

apskaičiuosime

dalimis: u = sin"-1 χ, v = -cosx.π/2Vadinasi, In=

Jsin xdx n

Jsin nxdx. Integruosime o Tuomet du = (Ji-I)Sin^ 2 X cosx dx,

integralą

dv = s'mxdx.

In =

π/2

-1

-cosxsin" χ| ^ + J [η-1) sin"-2 χ cos2 χ dx

=

π2

о

=

о

π/2

f π/2

-2

2

Ν

π/2

-2

= (и-l) J sin" x|l-sin x^dx = (я-l) J sin" xdx- Jsin"xdr . O

V O π/2

Kadangi

O

J

π/2

Jsin n xdx = I n , tai

Jsin n ~ 2 xdx =1,,-2- Taigi

о

о

gavome

rekurentinj sąryšį In =

(n-l)(/„_2-/„),

In = (n-l)/„_2-(«-l)/„, /„ + (и-1)/„=(п-1)/„_ 2 ) I — w-1 τ In — 'n-2Panaudoję šią formulę, gautume τ — j 7"-4 'n-2 - n-3 TJZf todėl I — n-\ in .. ' n-3 ^ τ-4 и n-2 Pratęsę šį procesą, gautume I lyginis. Kai n - lyginis (n = 2m), tai _

h

kai n - nelyginis, arba

(2w-1)(2m-3)-..,3-l 2m(2m-2)-..,4-2

π/2

π/2

čia

I0=

Jsin0Xifo=

^dx = .

°!

π/2 _ π

O 2 O O Kai n - nelyginis (n = 2m + \), tai _ 2m(2m-2)-...-4-2- . '2/ϊ!+1 —ηζ ггтт —, T T-M ί (2w + 1)(2/и -1)-...-5-3 π/2

cia Zi= Jsin χ ί/χ =-cosx O

π/2

= 1.

I0, kai n

Simboliu n\\ (skaitysime "dvigubas faktorialas") pažymėsime vien tik lyginių skaičių iki n sandaugą, jei n - lyginis, ir vien tik nelyginių iki n skaičių sandaugą, jei n - nelyginis. Pavyzdžiui: 5!! = 1 - 3 - 5 = 15, 6!! = 2 - 4 - 6 = 48. Tuomet _

12т —

(2m-l)!!

π

2 m\\

2

> '2m + l

_

—

2от!!

ч ' · (2/И + 1)!!

Trumpiau šias dvi lygybes galima parašyti taip: (w - O- π и!! In =

2

. . . . , kai n - lyginis;

( " - 0 " ,kai n - nelyginis. JL

Pavyzdys. Apskaičiuokime

Jsin 8

dx .

χ S p r e n d i m a s . Pakeiskime kintamąjį: — = t, dx = 2dt. Tuomet η

>π/2 ν 8

Jsin ^x

= 2 Jsin 8 / dt = 2о

7!!

π

8!!

2

= 2

7-5-3

π

35π

2

128

-·— =

8-6-4-2

.

ж

•

4. Apibrėžtinio integralo apytikslis skaičiavimas Apibrėžtinį integralą lengva apskaičiuoti, kai žinoma pointegralinės funkcijos pirmykštė. Tačiau kartais ji yra labai sudėtinga arba visai neišreiškiama elementariosiomis funkcijomis. Tuomet apibrėžtinį integralą skaičiuojame apytiksliai.

4.1. Stačiakampių formulė Kreivinės trapecijos (107 pav.), kurią riboja kreivė y = f(x), ašis Ox ir tiesės* = a b e i * = b, plotas lygus integralui ь j/(x)dx, /(*)> 0. a Apskaičiavę apytikslę tos kreivinės trapecijos ploto reikšmę, kartu apskaičiuosime ir integralą.

107 pav. Atkarpą [a\ b] taškais a = X 0 , X\, Хг, ..., x„ = b padalijame į n lygių dalių (žr. 107 pav.), kurių kiekvienos ilgis Δχ = ———. Kiekvienos tokios n dalies ilgis dar vadinamas integravimo žingsniu. Nubrėžę per dalijimo taškus tieses, lygiagrečias ašiai Oy, kreivinę trapeciją padalijame į n vienodo pločio juostelių. Kiekvieną tokią juostelę pakeičiame stačiakampiu, kurio aukštinė lygi funkcijos /(x) reikšmei, apskaičiuotai atkarpų [χ 0 ;χι], [xi;x 2 ], —, [ x n - i \ x n ] vidurio taškuose. Tuos taškus pažymime X\n, x3/2, ..., х„-ш, o atitinkamas ordinates У m, Уъа, —, Уn -1/2 · Tuomet laiptuotos figūros plotas S

=

y 112 · Δ χ

+

УЗ/2'ΔΧ

= Δχ (уι/2 + Уз/2 +

+

-

+

...

+ УП-1/2' Δ χ

=

Уп-т)·

b

Kadangi

J/(x)<& « S, tai gauname formulę a b

\f(x)dx « - I f y J n

u 2

+ y3l2 + ... + y„.V2),

(9)

a

kuri vadinama stačiakampių formule. (9) formulės paklaida vadiname kairiosios ir dešiniosios (9) apytikslės lygybės pusių skirtumą, kuris paprastai žymimas Rn. Jeigu atkarpoje [ a; b ] funkcija /(x) turi antrosios eilės tolydžią išvestinę, tai paklaida išreiškiama formule (čia ir toliau dydžių Rn formulės pateikiamos be įrodymo)

Rn = čia a < ξ < b.

IAn

;

(10)

4.2. Trapecijų formulė Dabar kiekvieną juostelę pakeičiame trapecija (108 pav.) ir apskaičiuojame visų tokių trapecijų plotų sumą 5

= Z O l Z L Д , + Z i l Z l Λ , + .,.+ Ζ - ι ΐ Ζ - Λ , ,

= δ*I

Уо Уп

*

+ У1+У2 + -+Уп-1

Ją ir laikysime apytiksle integralo

\f(x)dx

b-a

f У p + У„

j f ( x ) d x reikšme. Taigi

+ У1+У2 + ... + Уя-1

(11)

Ši formulė vadinama trapecijų formule. Paklaidą Rn apskaičiuojame pagal formulę Rn

Un1

(12)

•/"(ξ);

čia a < ξ < b.

/

X

s

K1

У*

VnTyn

Y0

X0

Xi

X2

*„-, Xn

X

108 pav.

4.3. Parabolių (Simpsono*) formulė Atkarpą [a; b] dalijame į lyginį skaičių 2n lygių dalių ir atitinkamas funkcijos reikšmes pažymime yQ, y\, y2, ..., у-ы-г, VinУь>Kreivinės trapecijos dalį, atitinkančią atkarpą [xQ;x2], pakeičiame kreivine trapecija, kuri apribota jau ne kreivės y = f(x), o parabolės y =Ax2

*

+ Bx + C,

Tomas Simpsonas (T. Simpson, 1710 - 1761) - anglų matematikas.

einančios per tris taškus M0(x0, ), M\(x\, y i ) , M2(x2, Уг) (109 pav.). Apskaičiuosime tokios parabolinės trapecijos plotą. Г

3 Ax

2 x2 Bx _ + — + Cx 3 2

Axa +Bx+ C^dx =

i(

X0

x

O

= —

—-Xo) + ~(x2-Xo)+

X2-XQ

C(X2-X0)

=

1

{2A{x2 + X2Xo + xO ) + 3 β ( χ 2 + ^o) + 6 c j .

Kadangi M0, M1, M2 - parabolės taškai, tai jų koordinatės turi tenkinti parabolės įbolė lygtį. Turėdami galvoje, kad X i = — — — , gauname tokias tris lygybes: y0 = Axo2 + Bx0 + C, = Ax12+Bx1

yx

+C =

A 2 H A X Xi = — Jtn 0 4 2

XQ -f Xj

A

+x

x

2

O

+B

+ C

2

B 2 H A JC? H—JCo "t S xI + C_ . 4 2 2

Л

уг

= Ax2

Л-

+

BX2

С.

Padauginę antrosios lygybės abi puses iš 4, po to sudėję ją su pirmąja ir trečiąja lygybėmis bei atlikę veiksmus, gauname:

Уо +Ąy\

+У2 =2л(хо

+Χοχ2 +x2) + 3B(x0 +x2) + 6C

Vadinasi, parabolinės trapecijos plotas S= У

il

M

M2

i2_iSL(y0 6

„_ y=f[x)

+

4yi +y2) =

(У0 +

6л

^+У21

todėl

M1 i 7 i X0

Vi X1

УK2 x:

ч J/(x)A * ^

(Уа

+

4y, +y 2 ).

O

Analogiškai XĄ

109 pav.

on

x

\f{x)dx «

Į) _

Q

(>>2 + 4y3 +^ 4 );

x

In b-a \f(x)dx ~ ——(Ут-2 J 6n

+ 4_У2«-1 +У m)•

x

2n-2

Sudėję šiuos integralus, gauname parabolių (Simpsono) formulę b \f{x)dx*

b

a

—-((уо+ут)+ 6n

a

+ 2(У2+УА

4(У] + y3 + ... + y^-i)

+

+Уъ-г))·

+ -

(13)

Paklaidą Rn apskaičiuojame pagal formulę

*-fc^zwWi

i")

čia a < ξ < b .

4.4. Pavyzdžių sprendimas Pateiktos paklaidų formulės naudojamos, norint nustatyti, j kiek dalių reikia padalyti atkarpą [я; b], kad būtų galima apskaičiuoti integralą pasirinktu tikslumu. Jeigu tikslumas ε > O, tai, pažymėję Mk =

max

, iš (10), (12) bei (14) formulių gauname nelygybes

дге[а;Ь]

I

l

|Л„|

(15) 24/;

< ί ^ - Μ

2

<

ε

,

(16)

12«

|Я„|<

( 6 7 ) 5 Μ4<ε. 180•(2л)

(17)

Išsprendę jas, randame n reikšmę. Visų šių paklaidų nustatymo praktinė reikšmė nedidelė, nes įvertinti f " { x ) (o juo labiau f^ A \x)) dažniausiai sunku, ypač jei funkcija išreikšta lentele. Todėl paklaidai skaičiuoti taikomas toks metodas. Bet kuriuo būdu parinkus integravimo žingsnius h ir H = 2h, du b kartus apytiksliai apskaičiuojamas / = J f { x ) d x ir gaunamos jo apytikslės a reikšmės

^

ir

formulių paklaida

^

. Tada gaunama tokia stačiakampių ir trapecijų

Ώ

_ Σ/,

*

3 — '

ir Simpsono formulės paklaida R

_ Σ/,

~Ση

15 Apytikslia integralo I reikšme laikoma 1

Th

=

+R

-

Taikant šį metodą, stačiakampių ir trapecijų formulėse n turi būti lyginis, o Simpsono formulėje - skaičiaus 4 kartotinis. 3,2

1 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą

J l n cos

dx, pasirinkę žingsnį

1,6 0,2. Įvertinkime paklaidą. S p r e n d i m a s . Šį integralą apskaičiuosime panaudodami (11) bei (13) formules ir dviem būdais įvertinsime paklaidas. Sudarysime lentelę: H = Ih = 0,4

f ( x ) = lncos [ - ^ x j

h = 0,2

i

Xi

y>

i

-r,

yi

O

1,6

Уо

0

1,6

Уо

-0,13203

1

1,8

yi

-0,16921

2

2,0

У2

-0,21194

3

2,2

Уз

- 0,26070

4

2,4

У4

-0,31612

5

2,6

У5

- 0,37900

6

2,8

У6

- 0,45032

7

3,0

У7

-0,53139

8

3,2

У8

- 0,62394

1

2,0

2

2,4

3

2,8

4

3,2

У\

У2

Уъ

У4

a) Trapecijų metodas (a = 1,6; b = 3,2; n = 8). 3,2

J l n c o s ( ^ x ) * « ^-[У0+2У* 1,6

+У1+У2+Уъ + У4+У5+Уб+У1)

;

У1 + У2 +Уз +У4 + }¾ +Jb +У7 |

= - 2,31868

уд + Vg _-0,62394-0,13203 2

^

0 3 7 7 9 9

2

Σ ft-a _ 3,2-1,6 _ η

= - 2,69667 0 2

8

3,2

J l n c o s ^ x j i i c « - 2,69667 • 0,2 « - 0,539334. 1,6

Paklaidą įvertinsime panaudodami (16) formulę: ι

(b-a)h2

ι

\Rn\<{

12

>

·

ι

max max

,

|/"(x

e[I,6; 3,2]'

2 1

/"M =

^7 γ, l o W f ^ x ) 10

I Rn \ < ( 3 ' 2

Tuomet

max Jnax |/"(x)| = /"(3,2) « 0,3438. -HΓ1,6; · 3,2] " '

^6)-(0,2)

^ 0,00184 < 0,002.

12 3,2

Todėl

Jlncos

x j dx = - 0,539 ± 0,002.

1,6 b) Simpsono metodas (a = 1,6; b = 3,2; n = 4). 3,2 w ι lncos —-χ; \dx J Vio

=

1,6

6«

"(уо

+

У%

+ 4

{у\ + Уг + У5 + У1) + 2 {У2 + J4 + Уб)) 5 УО +у 8 = -0,75597

+ 4 ( y i + у з + Л + У?) = - 5 , 3 6 1 2 0

+ 2 ( у 2 + у 4 + У б ) = - 1,95676 X

=-8,07393

b-a

_ 3,2-1,6 _ 1,6

6η

6-4

~ 24

3,2

In cos I — χ I dx 10

1,6 24

( - 8,07393) « - 0,538262.

1,6

Paklaidą įvertinsime, panaudodami (17) formulę: I

l ^ [b-a)n 180

max χ e[l,6; 3,2]

χ e[l,6; 3,2]

•21 π 1 + 2sin 10

2tcJ

/W(X)

IO 4

/ (4) w

(4)

max

cos

41 10'

/(4)(3,2)

: 0,5733.

Tuomet (3,2-1,6)-(0,2) 4 _ IRJ

<

0,5733 » 0,0000082 < 0,00001.

180

Todėl 3,2

J l n cos (yb· xj dx = - 0,53826 ± 0,00001. 1,6 c) Trapecijų metodo paklaidą įvertinsime, taikydami formulę

ΣΑ ~Σ# Turime

=-0,539334.

Apskaičiuojame ^

: _

3,2-1,6( J o + ^ 4 + Jl

+У2

+Уз

=

= 0,4- ( - ° ' 1 3 2 0 3 - ° ' 6 2 3 9 4 -0,21194-0,31612-0,45032] = 0,4 · ( - 1,35637) = - 0,542548.

Tuomet paklaida Λ

=

Σ* ~ΣΗ

-0,539334 + 0,542548

=

=

^

1 0 7

^

<

_

Taigi 3,2

Ilncos — x\dx = - 0 , 5 3 9 + 0,002. V l10 O

J

1,6

d) Simpsono metodo paklaidą įvertinsime, taikydami formulę

Ση

"ΣΗ 15

Turime ^

=-0,538262.

Apskaičiuojame ΣΗ

Σ

16

=

3

Η

'•

Į ~ 2 '

6-2

6

^

0

+

У

4

+

4

^

1

+

+

2

^ )

=

( - 0,13203 - 0,62394 + 4(- 0,21194 - 0,45032) +

12

+ 2 · (- 0,31612)) = ^ - ( - 4,03725) = - 0,538300. Tuomet paklaida Λ

=

Σ „ - Σ Η

=

-0,538262 + 0,538300

15

=

^

^

<

15

Galiausiai 3,2

I In cos r"-x\ — ; dx =-0,53826 ± 0,00001. J VlO 1,6

_2 2 pavyzdys. Iš anksto pasirinktu tikslumu ε = 0,5 · 10 trapecijų metodu apskaičiuosime integralą 1,2

j In^l + χ 2 j 0 Integravimo formulę.

žingsnį

parinksime

;

atsižvelgdami

!

S p r e n d i m a s . Randame / " ( * )

(·-2)

H)

į paklaidos

vertinimo

Įsitikiname, kad

max

|/"(jc)| = |/"(θ)| = 2.

Tuomet ,

,

Įb-aį*

^

,

w |

č i a h =

b - a .

12 * e [o; 1,2] I"7 w3 I ' n II Kn lI ь (,b-af _ (1,2-o) _ 1,728 _ 0,288 2 ' / 2 12n 6n5 6 n=2 n2 . Pagal sąlygą turi būti I Rn I < 0 , 5 - I O " 2 , todėl gauname nelygybę Π 988 ^ = P < 0 , 5 - I O - 2 , arba n2 > 5 7 , 6 . n Išjos matyti, kad užtenka paimti n = 8. Todėl

Taigi

1,2

J ln(l + χ 2

\,l DX

*

Va + V»

T

Α

+У\+У2+Уъ+УА+У5

+ У(,+У1

=

o = 0,15 [ °

+

° 2 8 9 2 0 + 0,0223 + 0,0862 + 0,1844 + 0,3075 + 0,4463 +

4- 0,5933 + 0,7431) = 0,15 · 2,8291 = 0,4244. Vadinasi, 1,2

|ln(l + x

2

) ^ = 0,424 ±0,005.

•

o

5. Geometrinis ir mechaninis apibrėžtinio integralo taikymas 5.1. Figūros ploto apskaičiavimas stačiakampėje koordinačių sistemoje Jau žinome, kad kreivinės trapecijos, apribotos funkcijos f(x) > 0 grafiko, abscisių ašies ir tiesių χ = a bei χ = b , plotas lygus b S = \f{x)dx a Jeigu f(x) < 0 atkarpoje [a; b ], tai

b \f{x)dx < 0 , tačiau j o modulis lygus a

figūros plotui. Todėl

S = -\į\x)dx.

y^

a K a i / ( r ) atkarpoje [a; b] kelis kartus keičia ženklą (110 pav.), tai atkarpą [ a; b ] išskaidome į atkarpas [a\c], [c; d], [d\b] ir apskaičiuojame kiekvienos dalies plotą. Įvertinę integralų ženklus, gauname: c d b S= \f(x)dx - \f{x)dx + \f{x)dx , a c d arba trumpiau b S = \\f{x)\dx. a Jei figūrą riboja dviejų lunkcijų/(x) irg(x) grafikai (111 pav.), tai

S

1

=

S

E A M C F

- SEBNDF

b b b = \f{x)dx - \g[x)dx = J ( / ( x ) - g ( x ) ) dx . a a a

pavyzdys. Apskaičiuokime

figūros,

apribotos

kreivių y = x 2 ir

y = -Jx (112 pav.), plotą. S p r e n d i m a s . Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį

χ2 =

Jx ;

iš čia X1 = 0, x2 = \.

Tuomet

111 pav.

112 pav.

1 1

5 =

=

X3

| о

О

о 2

2 pavyzdys. Apskaičiuokime figūros, apribotos elipsės

X V +^ a"

y< МШ\ 0

Уo

113 pav.

χ

2 r

=1

b

(113 pav.), plotą. S p r e n d i m a s . Apskaičiuokime plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanoninę lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis χ = a cost, y = b sin t. Pirmajame ketvirtyje χ kinta nuo O к iki a, todėl t kinta nuo — iki O (to-

kias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį χ = a cos i vietoj χ jo reikšmes O ir a), b

Į formulę S = Jydx vietoj y įrašykime y = b sin t, o vietoj dx - jo reikša mę, gautą iš lygybesx = a cos t , t.y. dx = x\dt = - a s i n / Λ . Tuomet π/2 o S = - Jb sin t a sin / dt = ab J sin 2tdt = π/2

O

, 1!! π 1 π τνώ = ab = ab · — · — = . 2!! 2 2 2 4 Visos figūros, kurią riboja elipsė, plotas lygus

• 4 = каЬ. 4

5.2. Figūros ploto apskaičiavimas polinių koordinačių sistemoje Tarkime, kad polinėmis koordinatėmis p ir φ apibūdintos kreivės lygtis yra tokia: p = / ( φ ) ; čia / ( φ ) Apskaičiuosime plotą išpjovos OAB,

- tolydi funkcija, kai α < φ < β. kurią riboja kreivė p = / ( φ )

ir

spinduliai vektoriai φ = α ir φ = β (114 pav.). Šią išpjovą spinduliais vektoriais bet kaip padalykime į n

dalių.

Raskime dalies, apribotos spindulių cp,_] ir φ,, plotą. Kampą tarp šių spindulių pažymėsime Δ φ, = φ, - φ,_ι. Šioje dalyje bet kur nubrėžkime

114 pav. spindulį vektorių p, ir tą dalį pakeiskime skritulio, kurio centras taške O ir _ 1—2 spindulys P i , išpjova. Jos plotas lygus — p, Δ φ, . Tokių išpjovų plotų suma 1 " -Zpi2 1 i=1

A(

pi

bus apytiksliai lygi duotosios figūros plotui. Tikslią ploto reikšmę gausime apskaičiavę ribą, kai λ = max Δ φ, -> O. Kadangi ši suma yra funkcijos P2 = ( / ( Φ ) ) 2 integralinė suma, tai jos riba, kai λ

O, lygi apibrėžtiniam

β

1 integralui — Jp 2 dų>. Taigi figūros plotas β \ Jp2^cp · Pavyzdys. Apskaičiuokime figūros, apribotos polinio spindulio atkarpos ir esančios tarp pirmosios (O < φ < 2π) ir antrosios (2π < φ < 4π) logaritminės spiralės p = ae°'2v (a > 0) vijų (115 pav.), plotą. S p r e n d i m a s . Pirmoji vija susidaro, kampui pasikeitus nuo 0 iki 2π, o antroji - nuo 2π iki 4π. Todėl 4π

f

2π

e0,4
s =

\

\a2e°Mdv

2π

= 1,25a (e '

- \ I - 1) .

a

2

^

=

i

^5fli

V

4π 2π

λ 2π _

е 0,4 Ф

ο,

A

Vijų pavadinimai - pirmoji ir antroji - yra sąlyginiai, nes logaritminė spiralė iš tikrųjų daug kartų apsisuka apie polių, asimptotiškai artėdama prie jo. Beje, logaritminė spiralė pasižymi įdomia savybe. Visi iš poliaus nubrėžti spinduliai kerta ją vienodu kampu. Gyvojoje gamtoje yra būtybių,

augančių pagal logaritminę spiralę. Štai, daugelio minkštakūnių bei sraigių kriauklės (žr. knygos viršelį), taip pat kai kurių žinduolių ragai susisukę pagal logaritminę spiralę. Šios kreivės savybės taip nustebino Jakobą Bernulį, kad jis ją pavadino spira mirabilis (stebuklingąja spirale) ir prisakė iškalti antkapyje bei parašyti: Eatem mutata, resurgo (pasikeitusi gimstu iš naujo).

5.3. Kreivės lanko ilgis 1. Kreivės lanko ilgis stačiakampėje koordinačių sistemoje. Tarkime, kad stačiakampėse koordinatėse nusakyta kreivė, kurios lygtis y = f(x). Rasime šios kreivės lanko AB ilgį (116 pav.). Pirmiausia apibrėšime, ką vadiname kreivės lanko ilgiu. Tuo tikslu lanką AB bet kaip taškais A = M 0 , M1,..., Mį-1, M , . . . , Mn = B, padalykime į n dalių. Sakykime, kad šių taškų abscisės yra a = x0, X\, ..., x„ ..., xn = b. Per gautus taškus išveskime stygas AMi, M 1 M 2 , ..., M1^M1, ..., Mn_įB. Stygos M1^M1 ilgį

\

Mi M

i

/

, / ^

в y=f[x) ΔΚ

AX i

At 0

a

b

χ

pažymėkime Asi.

Tuomet laužtės, įbrėžtos į lanką AB,

ilgis bus lygus

Σ As į . Pažymėkime max Axl raide λ. /=1 Apibrėžimas. Kreivės lanko AB ilgiu L vadinama riba, prie kurios artėja įbrėžtos į tą kreivę laužtės ilgis, kai λ —> O. Taigi n L = Iim V Asi . D a r tarkime, kad funkcija f(x) ir jos išvestinė f'(x)

atkarpoje [a\b]

tolydžios. Pažymėkime: Ayi =I(Xi) -/(*,_1) · Pagal Pitagoro teoremą /

Asi = J(Axi)2

,

\

2

+(Ayi)2=.H 1 +i—] ,AxiJ

Axi.

V

Skirtumui Ayi = f(xt) -/(*,_ ι) pritaikome Lagranžo teoremą. Tuomet Ay, = f'(ct)

(Xi-Xr l) = f'(cj)

^

=

Axi

Axi; Ci e

1

Xi). Todėl

^

=

Axi

.

Δί,· = Jl+ (/'(Ci))2

Vadinasi, L =

HmYAv,

Axi. 1+

= Hm Y

'=I

T(C1)

)/

(/'Ы)

Δ*,· .

/=1

Kadangi f'(χ) tolydi atkarpoje [a; b], tai -Jl + (f'(x))2 egzistuoja parašytos integralinės integralui:

L =

j^l a

+ (f'(x)f

irgi tolydi, todėl

sumos riba, kuri lygi

dx =

jVl + y'2 dx a

apibrėžtiniam

=^dsa

čia ds = Jl + y'2 dx . Dydis ds vadinamas kreivės lanko ilgio

diferencialu.

з 1 pavyzdys. Apskaičiuokime kreivės y = χ2 ,0
==JlIi

<4 lanko ilgį. + - χ . Tuomet

2

- J Ilf +F-xdxH =J- iо II 1 +—χ 1

d\ \+—x I =

3

I 9

2

i + ^ 4

3V

2

Η ( . ο Λ - ι ) . z/

O

Jau minėjome (žr. V skyriaus 4 skyrelį), kad elipsės ilgis išreiškiamas elipsiniu integralu. Dabar įsitikinsime tuo, apskaičiuodami elipsės X a

2

2

F +^y b

=

1 ( a > b ) ilgį. Iš elipsės lygties randame b Γ2 2 ' = — \a - χ Уa

Todėl bx Γ~2

a\a čia A2 =

-χ

2

.

Γ

"T

α

2

2

—k χ

^ = I - a2

-χ

2

2

a 2 - ft2 2 — (taigi /с - elipsės ekscentricitetas). Tuomet elipsės ilgis a

a Γ^2~^72~ΊΓ 2 ι 2 2 £ = 4 [,Г , ^ ^x = 4fl fVl - A: s i n / dt 2 n V 0 х ^ O O (keitinys χ = α sini)· Taigi gavome apibrėžtinį integralą, kuris irgi vadinamas antrojo tipo elipsiniu integralu. Jis žymimas simboliu: φ , £(Λ:;φ)= J v l - £ 2 sin2 t dt . O Panašiai žymimas ir pirmojo tipo elipsinis integralas:

F(k- φ) = J t =

dt

o Vi •k 2 sin2 ?

Yra sudarytos šių integralų reikšmių lentelės. Vadinasi, elipsės ilgis

H).

L = AaE\ Pavyzdžiui, kai a = 2, b = V 3 ,

tai A: = 0,5 ir £(0,5;

) = 1,4675.

T u o m e t L = 11,74. 2. Kreivės lanko ilgis, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis. Tarkime, kreivės lygtys yra tokios: χ = φ (t), y = ψ (t), te [/ (l ; T]; čia φ (i) ir ψ (t) -

tolydžios atkarpoje [ί 0 ; T] funkcijos, turinčios tolydžias išvestines. Tuomet y'x = — ,dx = ψ',άίϊτ Jl + y'2 dx = J(p'2 +ψ} 2 dt. Vadinasi, jeigu φι b T T φ (ί0) = a, φ (T) = b, tai L =

J ^ l +y'2dx

=

a

čia ds = τJx'į 2 +y'2

^x'2

+ y'2dt = J d s ;

'o

'o

dt.

2 pavyzdys. Apskaičiuokime cikloidės χ = a(t - sin/), y = a ( l - c o s i ) (a > 0) pirmosios arkos ilgį (117 pav.). S p r e n d i m a s . Pirmoji cikloidės arka gaunama, kai parametras t kinta nuo 0 iki 2 π . Randame: x't = a ( l - c o s / ) , yjx'2

+y'2

y't = a s i n i ,

= Ja2 (l - 2 cost + cos 2 /) + a 2 sin 2 / = ^ 2 a 2 ( l - c o s i ) =

t = J 4 a 2 sin2 - = 2 a sin— 2

2asin^-, nes sin

2π

> 0 , kai i e [0; 2π].

2π

t 2π f t J Л Isin-й = -4а cos— = 8fl. J 2 IJ 2 0

3. Kreivės lanko

ilgis polinių

koordinačių

sistemoje. Tarkime, kad

kreivės lygtis polinių koordinačių sistemoje yra p = / ( φ ) , φ e [α; β]. Šią lygtį

galima

stačiakampių

pakeisti

parametrinėmis

ir polinių

koordinačių

lygtimis,

naudojant

ryšio

tarp

formules χ = p cos φ, у = p sin φ .

Tuomet, įrašę į šias lygtis vietoj p dydį / ( φ ) , gauname: x =

/ ( ψ ) c o s Ф, У = / ( φ ) sin φ ; čia parametras φ vaidina parametro t vaidmenį. β Tuomet L =

J ^ x į 2 + у'2 сЛр . Randame: α

χ'φ = p{p cos φ - ρ sin φ , I V 4 2 +K2

η =VP2

+

Ρφ

čia ds = ^p2 + ρ'2 dų>.

ir

L

γ'φ = p į sin φ + ρ cos φ , todėl β β I 7 = W P 2 + Ρφ d V = I d s > '

3 pavyzdys. Apskaičiuokime kardioidės p = α ( 1 + c o s φ ) (118 pav.) ilgį. S p r e n d i m a s . Pirmiausia apskaičiuosime viršutinio lanko, kuris gaunamas, kai polinis kampas φ kinta nuo O iki π, ilgį. Turime:

118 pav.

Ρφ = - a sin φ ,

Jp2 + ρ'φ

=

Jla2

„2Ф 2 +2α2 cos