ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
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ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
UNIVERSIDAD EAN FACULTAD DE ESTUDIOS EN AMBIENTES VIRTUALES INGENIERÍA DE SISTEMAS
GUÍA NÚMERO UNO, BLOQUE DE ESTUDIO ECUACIONES DIFERENCIALES
AUTOR DIEGO ANTONIO GALVIS
TUTOR HERMES JACKSON MARTÍNEZ MARTÍNEZ BOGOTÁ, D.C, 01 DE FEBRERO DE 201
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ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
UNIVERSIDAD EAN FACULTAD DE ESTUDIOS EN AMBIENTES VIRTUALES INGENIERÍA DE SISTEMAS
GUÍA NÚMERO UNO, BLOQUE DE ESTUDIO ECUACIONES DIFERENCIALES
AUTOR DIEGO ANTONIO GALVIS
TUTOR HERMES JACKSON MARTÍNEZ MARTÍNEZ BOGOTÁ, D.C, 01 DE FEBRERO DE 201
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ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 CONTENIDO LISTA DE FIGURAS...................................................................................................................... LISTA DE TABLAS........................................................................................................................! RESUMEN......................................................................................................................................"
Tarea 1.............................................................................................................................................# 1. Ejercicios.................................................................................................................................# Tarea 2...........................................................................................................................................2 CONCLUSIONES.......................................................................................................................$0 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICA.........................................................................................$1
$
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 LISTA DE FIGURAS I%&'() 1. C&%*+ ( -(//-+)(...................................................................................................1$ I%&'() 2. C&%*+ ( -(//-+)(...................................................................................................1! I%&'() $. E(/-/-+ 1 /&%*+ (/3+-&4..........................................................................................25 I%&'() . E(/-/-+ 2 /&%*+ (/3+-&4..........................................................................................26 I%&'() !. E(/-/-+ $ /&%*+ (/3+-&4..........................................................................................$0 I%&'() ". E(/-/-+ /&%*+ (/3+-&4..........................................................................................$1 I%&'() 5. E(/-/-+ ! /&%*+ (/3+-&4..........................................................................................$2
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 LISTA DE TABLAS T&74& 1. C8&+ ( +93:&( ; <&:&( 83-4-=&+..........................................................................6 T&74& 2. E(/-/-+ E84( 1>()+?;@................................................................................................1" T&74& $. E(/-/-+ E84( L(; ()9-&%-()3+ ( N(:3+)..................................................................15
!
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 RESUMEN E) (3& '8& ( 3&7& (4 3(%& ( 8+ ( 4& EDO, +)( ( &*4-/&) 3/)-/& &)&43-/& ( +48/-+)( '()(&4( ; *&3-/84&(. S( (&4-=& 4& -()3-9-/&/-) ; 83-4-=&/-) ( %3++ +48/-) ( (*&&/-) ( &-&74(, 9&/3+ -)3('&+ ; (/8&/-+)( (&/3& *&& ()/+)3& 8 +48/-+() -%*4/-3& ; (*4/-3&. A-/-+)&4%()3( ( 83-4-=& M&34&7 ; ( -78&) 4+ /&%*+ (/3+-&4( ( (/8&/-+)( (4(/3& ?(*&3&74(@. S( (&4-=& 4& -%*4(%()3&/-) (4 %3++ ( E84( & *&& /+%*&& (4 *&+ ; 4& /+)('()/-& <&/-& 4& +48/-) ( 2 (/8&/-+)( -9(()/-&4(. Palabras claves:EDO, ecuaciones, campo vectorial, Mètodo de Euler, Matlab.
"
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ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
GUÍA 1 Fu!a"e#os $ EDO !e %ri"er Or!e Ac#i&i!a!es !e a're!i(aje
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ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
1.1 Gu)a *"ero 1. F8)&%()3+ ; EDO ( *-%( O().
1.2 %ro'+si#os $ co"'e#ecias a !esarro,,ar R(/+)+/(, -()3-9-/& ; /+%*()( 4+ (4(%()3+ 8( /+%*+)() 4& (/8&/-+)( -9(()/-&4( +-)&-&. 1. So#/are0ar!/are.
Ta,a 1. C8&+ ( +93:&( ; <&:&( 83-4-=&+. S+93:&(H&:&( F+%& ( &//(+ R( 8(-%-()3+ D((/<+ ( &83+ MATLAB R201$& S+93:&( 8%-)-3&+ S-3(%& O*(&3-+ C&& (38-&)3( 3-()( *+ 4& 8)-(-& -)+: 6.1 8)& 4-/()/-& )-/& EAN *&& 4+ -)+: 6 (4&/-+)&& /+) 4& (38-&)3( ( -)+: 5 S(-/( -(//-) MAC (4 -)'()-(&. &/ 1 /+%*83&+ /+) (4 8( -)+: V-3& S(-/((3 3&7&&)+. &/ 2 -)+: S(-/( &/ $ -)+: " E-3-+) S(-/( &/ 2 -)+: S(( 2012 -)+: S(( 2006 R2 S(-/( &/ 1 -)+: S(( 2006 S(-/( &/ 2 MAC LINU +/(&+ I)3(4 C+( -! E*&/-+ () -/+ $> GB *&& 4& -)3&4&/-) 3*-/&
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-&.
#
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
1.4 Eucia!o $ !esarro,,o Tarea 1 1. Ejercicios Secci+ 1.1 E) 4+ *+74(%& 1 &4 12, &%+ 8)& (/8&/-) -9(()/-&4 8)3+ /+) (4 /&%*+ +(& +)( 8'(. C4&-98(4& /+%+ 8)& (/8&/-) -9(()/-&4 +-)&-+ ?EDO@ + 8)& (/8&/-) -9(()/-&4 *&/-&4 ?ED@ *+*+/-+)( (4 +() ( -)-8( 4& &-&74( -)(*()-()3( ; (*()-()3(. S 4& (/8&/-) ( 8)& (/8&/-) -9(()/-&4 +-)&-&, -)-8( - 4& (/8&/-) ( 4-)(&4 + )+ 4-)(&4.
Ejercicio 1 2
3
d y dx
2
dx + 9 x =2cos3 t dt
+ 4
x´ + 4 + 9 x =+(t )
t
I)(*()-()3(
E/8&/-) -9(()/-&4 +-)&-&
D(*()-()3( x
O() 2
→
? x´ @
L-)(&4 S-
Ejercicio ( 2− 3 x ) dy = y dx x ( 1−3 y )
10
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 x
dy y x y 1 = → .y − =∅ (2−3 x ) dx (1 −3 y ) (2−3 x ) ( 1−3 y ) .
I)(*()-()3(
x
E/8&/-) -9(()/-&4
+-)&-& D(*()-()3( y
O() 1 L-)(&4 N+
Ejercicio 5
dx = ( 4 − x ) (1− x ) dt x´ P x 2−5 x + 4 x´ P F
( X )
I)(*()-()3( 3 D(*()-()3( y O() 1 ( x´ ) L-)(&4 S-
Secci+ 1.2
11
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 E) 4+ *+74(%& $ & 6, (3(%-)( - 4& 98)/-) && ( 4& +48/-) ( 4& (/8&/-) -9(()/-&4 /+(*+)-()3(.
Ejercicio 6. x =cos2 t
dx + tx =sin 2 t (1 ) dt
−2sin 2 t + t cos 2 t = sin2 t 2 t =¿ 3sin2 t
t cos ¿
t =3tan2 t ;
pi 8
pi ≠ 3tan ( ) 4
S( /8%*4( +4+ *&& /-(3+ &4+( ( 3. S- (/+'( *+ ((%*4+ *-6 ( ()/8()3& *+ /+)3&(%*4+ 8( 4 &(/8&/-) )+ ( /8%*4(. + 4+ 3&)3+ ( /+)/48;( 8( )+( +48/-) ( 4& (/8&/-) 1.
Ejercicio 7.
2
d y dy y = e − 3 e , 2 − −2 y =0 dx dx 2 x
− x
dy =2 e 2 x + 3 e− x dx
12
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 2
d y dx
2 x
4e
2
=4 e x−3 e− x 2
−3 e− x −2 e x −3 e− x −2 e x + 6 e− x 2
⌈ 4 −2 +2 ⌉ e
2 x
0.e
2 x
2
+ ⌈ −3 −3 + 6 ⌉ e− x
+ 0 . e− x = 0 . Sedemuestra que sì es solu ciòn.
Ejercicio 28. D(3(%-)( 4+ &4+( ( % *&& 4+ 8( 4& 98)/-)
∅
( x )= emx ( 8)& +48/-) ( 4&
(/8&/-) &&. 2
d y
9a:.
dx
2
+6
dy + 5 y =0 dx
2
d y dy + + 5 y =0 6 2 dx dx φ ( x )=e
mx
dφ =m em x dx
2
d φ = m2 e mx 2 dx
2
mx
mx
mx
m e + 6 me + 5 e = 0
1$
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 m (¿¿ 2 + 6 m + 5 ) e mx =0
¿
( m + 5 ) ( m + 1 )= 0 −5 x
m = {−5|−1 } ❑ φ ( x )=e
+ C ; e− x + C 1
⇒
2
S+) 4+ &4+( +48/-) ( 4& (/8&/-) -9(()/-&4 *4&)3(&&.
3
9:.
3
2
d y d y dy + 3 2 +2 =0 3 dx dx dx
2
d y d y dy + 3 2 +2 =0 3 dx dx dx
φ ( x )=e
mx
dφ =m emx dx
3
d φ = m3 e mx 3 dx
3
mx
2
mx
mx
m e +3 m e + 2 m e = 0
m
(¿ ¿ 3 + 3 m + 2 m) emx =0 ¿ 2
1
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 % ( m + 1 ) ( m + 2 )= 0 −2 x
m = {−2|−1 ∨0 } ❑ φ ( x ) =e ⇒
+ C ;e− x + C ; 1 1
2
S+) 4+ &4+( +48/-) ( 4& (/8&/-) -9(()/-&4 *4&)3(&&.
Seccio 1. Ejercicio 6 L& (/8&/-) 4+'-3-/& *&& 4& *+74&/-) ( /-(3& (*(/-( ?() %-4(@ (3& && *+ dp = 3 p −2 p2 dt
9a:. B+8(( (4 /&%*+ ( -(//-+)( 8&)+ 8) *&8(3( ( /+%*83+ + (4 %3++ ( -/4-)&.
I"a;e 1. C&%*+ ( -(//-+)(.
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-& 83-4-=&)+ (4 +93:&( M&3<4&7 [t,y]=meshgrid(1:5,4.5:-1:1);
1!
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 dt=ones(4.5,5); dy = 3.*y -2*y.^2; qi!er(t,y,dt,dy,1); ho"d on
9: - 4& *+74&/-) -)-/-&4 ( 2000 ( (/-, p ( 0 )=2 ¿ , 8( (/- &/(/& ( 4& *+74&/-) 4-%-3( límt +∞ p ( t )
+¿ L& '9-/& %8(3& 8( 4& /8& 3-()() & 4& (/3& <+-=+)3&4 p=1.5 , t → ∞¿ . + 4+ 8(
+¿
t → ∞ p ( t )= lim ¿
3 2
¿
9c: Si p ( 0 )=0.5 <=C84 ( (4 &4+ límt +∞ p ( t ) +¿
L& /8& (( 0.! 3-()() & 4& (/3& <+-=+)3&4 p=1.5 , t → ∞¿ , *+ 4+ 8( (4 4%-3( +¿
t → ∞ p ( t )=
( (4 %-%+ *8)3+ &)3(-+
lim ¿
3 2
¿
9!: +-& 8)& *+74&/-) ( $000 -%-)8- <&3& !00 N+, 4& *+74&/-) 3-()( & 1!00, *+ 4+ 8( )+ & & *+( -%-)8- <&3& !00.
Ejercicio 7 C+)-(( 4& (/8&/-) -9(()/-&4 dp = p ( p− 1)( 2 − p ) dt
1"
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
&& 4& *+74&/-) p (enmiles ) ( /-(3& (*(/-( () (4 -)3&)3( t
9a:. B+8(( (4 /&%*+ ( -(//-+)( 8&)+ 8) *&8(3( ( /+%*83+ + (4 %3++ ( -/4-)&.
15
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
I"a;e 2. C&%*+ ( -(//-+)(.
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-& 83-4-=&)+ (4 +93:&( M&3<4&7 [t,y]=meshgrid(1:4.5,4:-1:1); dt=ones(4,4.5); dy = y.*(y - 1).*(2 - y); qi!er(t,y,dt,dy,1); ho"d on
9: S- 4& *+74&/-) -)-/-&4 ( $000 ( (/- < p ( 0 )=3 ¿ , 8( (/- &/(/& ( 4& *+74&/-) 4-%-3( límt +∞ p ( t )
16
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 +¿ L& '9-/& %8(3& 8( 4& /8& 3-()() & 4& (/3& <+-=+)3&4 p=2 , t → ∞¿ . + 4+ 8( ( 2.
9c: Si p ( 0 )=1.5 <=Cu>, es e, &a,or
límt +∞ p ( t )
+¿ L& '9-/& %8(3& 8( 4& /8& 3-()() & 4& (/3& <+-=+)3&4 p=2 , t → ∞¿ . + 4+ 8( ( 2
9!: Si p ( 0 )=0.5 <=Cu>, es e, &a,or
límt +∞ p ( t )
H&/-()+ =++%, 4& '9-/& %8(3& 8( 4& /8& 3-()() & 4& (/3& <+-=+)3&4 p=0 ,
+¿ t→∞
¿
. + 4+ 8( ( 0.
9e: %ue!e ua 'o,aci+ !e ?88 crecer @as#a 1188 N+ ( *+-74( 8( /(=/& & 1100.
Seccio 1.4 Ejercicio U3-4-/( (4 %3++ ( E84( *&& &*+-%& 4& +48/-) (4 *+74(%& /+) &4+ -)-/-&4 y =1− sen y , y ( 0 ) =0 !
e x = " < 8&)+ 1,2, ; 6 *&+. Las siguiente tabla ilusltra los resultados a 3 cifras decimales con los diferentes pasos
Ta,a 2. E(/-/-+ E84( 1-seo9$: N
1 2 4 8
h
3.142 1.571 0.785 0.393
(Pi)
∏ ∏/2 ∏/4 ∏/8
3.142 1.571 1.207 1.148
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-& 83-4-=&)+ (4 +93:&( E/(4. 1#
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
Ejercicio 16 L(; ( E)9-&%-()3+ ( N(:3+). L& 4(; ( ()9-&%-()3+ ( N(:3+) (3&74(/( 8( 4& &=) ( /&%7-+ () 4& 3(%*(&38& # ( t ) ( 8) /8(*+ ( *+*+/-+)&4 & 4& -9(()/-& ()3( 4& 3(%*(&38& (4 %(-+ $ (t ) ; 4& 3(%*(&38& (4 /8(*+. E (/-, d# = % [ $ ( t )−# (t ) ] dt
−1
D+)( K ( 8)& /+)3&)3(. S(& % =1 ( minuto )
; /+)-((%+ /+)3&)3( & 4&
3(%*(&38& (4 %(-+, $ (t ) & 70 ℉ , 83-4-/( (4 %3++ ( E84( /+) ' =0.1 *&& &*+-%& 4& 3(%*(&38& (4 /8(*+ (*8 ( ?&@ 1 %-)83+. ?7@ 2 %-)83+. La siguienta tabla ilusltra los resultados a 3 cifras decimales con los diferentes pasos
Ta,a . E(/-/-+ E84( L(; ()9-&%-()3+ ( N(:3+) n
0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11
tn
Tn
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0. 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
100.000 97.000 94.300 91.870 89.83 87.715 85.943 84.349 82.914 81.23 80.40 79.414
20
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 12 13 14 15 1 17 18 19 20
1.2 1.3 1.4 1.5 1. 1.7 1.8 1.9 2.0
78.473 77.2 7.83 7.177 75.559 75.003 74.503 74.053 73.47
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-& 83-4-=&)+ (4 +93:&( E/(4. 9a: L& 3(%*(&38& ( 8) /8(*+ (*8 ( 1 %-)83+ T?1@ ( 60."0 ) ?7@ L& (%*(&38& (*8 ( 2 %-)83+ T?2@ ( 5$."5 ) T(%*(&38& /+) ! /-9& -')-9-/&3-&.
21
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 Secci+ 2.2. E) 4+ *+74(%& (4 1 &4 " (3(%-)( - 4& (/8&/-) -9(()/-&4 ( && ( (*&&74(
Ejercicio x + y
dy y . e = dx x 2 + 2 x
y
x + y
e
=e x .e y
x
dy y . e . e dy e dx = 2 → = 2 y dx x + 2 y . e x + 2
S- ( (*&&74(.
Ejercicio 5
( x y +3 y ) dy −2 xdx =∅ 2
2
( x + 3 ) y dy =2 xdx 2
2 x 2 y dy = dx x + 3
S- ( (*&&74(.
Ejercicio 21 dy =2 √ y + 1 . cos x dx 1 2
1 2
−1 / 2
dy =cos x. dx
−1 / 2
dy =cos x. dx = smx + c
. ( y + 1)
. ( y + 1)
22
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 1
1 /2
. 2 ( y+ 1 ) =sin x + c
2
( y +1) / =sin x + c ( a ) 1 2
E&4+ /+)-/-) y ( " ) =∅ 1
1 /2
. 1
2
= o +c → c * 1
(+ >1 P / )+ /8%*4( () ?&@ → c =+ 1
1
( y +1) = sin x +1 2
x + 1 sin ¿
¿ ¿
( y +1 )=¿ 1
y + 1=sin x + 2sin x + 1 2
y =sin + 2sin x
Ejercicio 24 dy =8 x3 e−2 y dx
dy −2 y
e
3
=8 x dx
2$
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 − 2 y
e
1
dy P
2 y
8 x
3
dx
4
e =2 x + C
2
2 y =1 n 4 x
4
+ C
4
y =1 n 4 x + C
y =
1 n 4 x 2
4
+C
2
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 Seccio 2. E) 4+ *+74(%& 15 & 22, (8(4( (4 *+74(%& /+) &4+ -)-/-&4.
Ejercicio 17 dy y = = x e x ( 1 ) y ( 1 ) =e −1 dx x
L& (/8&/-) ( ()/8()3& ;& () 9+%& /&))-/&. + ( x )=
−1 x
=¿
∫ − x1 dx =−1∫ x1 dx=−1− ln ∨ x ∨¿ ∫¿
+ ( x ) dy =
E4 9&/3+ -)3('&)3( *&& 4& (/8&/-) ( ()3+)/( −1
−1 ln ∨ x ∨¿=e ( x )= x − ¿ ( x )=e ln
1
A4 %843-*4-/& 4& (/8&/-) ?1@ *+ ( x ) dy 1 y 1 x − = x e x dx x x x 1
dy y − 2 = e x x dx x 1
d −1 ( x y )= e x dx −1
∫ e =e +C
x y =
x
x
2!
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 x
y = x e + Cx y (1 ) =e −1 e −1= e + c
−1 =c =¿ x
x
y = x e − x = x ( e −1)
Ejercicio 8 E/8&/-+)( ( B()+844-. L& (/8&/-) ?16@
dy + 2 y = x y −2 dx
E 8) ((%*4+ ( 8)& (/8&/-) B()+844-. ?E) 4& (//-) 2." ( &)&4-=&) /+) %& (3&44( 4& (/8&/-+)( ( B()+844-@. 3
9a: M8(3( 8( 4& -38&/-) - = y (8/( 4& (/8&/-) ?16@ & 4& (/8&/-) ?1#@ d+ 6 - =3 x dx 3
9: D(*(( - () 4& (/8&/-) ?1#@. L8('+ <&'& 4& 83-38/-) - = y *&& +73()( 4& +48/-) ( 4& (/8&/-) ?16@ islando las equis &4 %843-*4-/& *+ y 2
y
2
dy + 2 y 3 = x (1 ) dx
S83-38;()+ - = y
3
d dy = 3 y 2 dx dx
2"
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 S( 83-38;( () ?1@ 1 3
d+ 2 - = x dx
M843-*4-/&)+ *+ $ d+ 6 - =3 x l . q . q . d con + ( x )=6 y / ( x )= 3 dx
3
9c: D(*(( - () 4& (/8&/-) ?1#@. L8('+ <&'& 4& 83-38/-) - = y *&& +73()( 4& +48/-) ( 4& (/8&/-) ?16@ E4 9&/3+ -)3('&)3( ( e∫
p ( x ) dx
=e∫ =e x 6 dx
6
M843-*4-/&)+ 4& (/8&/-) 91: *+ (4 9&/3+ -)3('&)3(. e
d + 6 e 6 x - =3 x e6 x dx
6 x
6e
6 x
∫ 3 x e
6 x
-=
dx
( 6 x −1) e x dx 6
6e
6 x
-=
-=
6 x −1 12
12
+
C 6 x
e
Sustituyendo - = y 3
y =
6 x − 1 12
+C
+
3
C e
6 x
25
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 x
1
2
12
y =( −
1
−6 x
+C e
)
3
Seccio 2.4 Ejercicio 14 E) 4+ *+74(%& # & 20, (3(%-)( - 4& (/8&/-) ( (&/3&. S- 4+ ( (84&4&. 1. e ( y−t ) dt + ( 1 + e ) dy =0 ( 1 ) t
t
d$ t t d0 = e =e = dy dt
L& (/8&/-) ( (&/3&.
∫
1 ( t , y ) = 0dy + ' ( t )= y ( 1+ e ) + ' ( t ) t
S( (7( /8%*4- ()3+)/( 8( d2 = $ ( x , y ) dt
y e + ' ( t )= y e − t e t
!
t
t
' (t )=−t e !
' ( t ) =−1
t
∫ t e dt = e ( 1−t ) t
t
2 ( t , y )= y ( 1 + e ) + e ( 1−t ) t
t
+ 4+ 3&)3+ 4& +48/-) -%*4-/3& ( ?1@ (
26
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 y ( 1+ e ) + e t
( 1−t )=C
t
Ejercicio 24
( e t x +1 ) dt +( et −1 ) dx x ( 1 )=1 d$ t d0 =e = dx dt
Q8( *8(7& 8( ( 8)& (/8&/-) (&/3&. e t 0dx + ' ( t )= (¿¿ t −1) dx + ' ( t )= x ( e −1 )+ ' ( t )
∫
∫
2 ( t , x ) = ¿
D(7( /8%*4- ()3+)/( 8( d2 ( t , x ) = $ (t , x ) dt
x e + ' ( t )= x e + 1 t
!
t
' (t )=1 !
∫
' ( t ) = dt =t
2 ( t , x )= x ( e −1 ) + t =C t
2 ( t , x )=1 ( e −1 ) + 1=C 1
2 ( t , x )=e −1 + 1 =C
2#
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 2 ( t , x )=e =C
+ 4+ 3&)3+ 4& +48/-) ( ?1@ ( x ( e −1 ) + t =e t
x =
e −t
(e t −1)
de manera explicita
Seccio 2.6 E) 4+ *+74(%& 5 & 12, (8(4( 4& (/8&/-) .
Ejercicio ?.
( 2 y + 2 y + 4 x ) dx +( 2 xy + x ) dy =0 91: 2
2
d$ d0 = 4 y +2 ≠ = 2 y + 1 dy dx
∫ ( x ) =e
d$ d0 − dy dx dx 0
∫ x 2(2 y y++11 ) dx =e
ln ¿ x ∨¿= x
∫ xdx ¿ ( x ) =e =e
M843-*4-/&)+ *+ (4 9&/3+ -)3('&+ & ?1@
( 2 x y + 2 xy + 4 x ) dx + ( 2 x y + x ) dy 2
3
2
2
x Integro a $ con respecto a
$0
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
∫ $dx=∫ ( 2 x y + 2 xy + 4 x ) dx = x y + x y + x +C 2
3
2
2
2
4
$1
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 Ejercicio 12.
( 2 x y +1 ) dx + ( 3 x y − y − ) dy 3
2
2
1
91:
d$ d0 = 6 x y 2=6 x y 2= dy dy
∫
2
3
2 ( x , y )= $dx + 3 ( y )= x y + x + 3 ( y )=¿
S( (7( /8%*4- d2 ( x , y )= 0 ( x , y ) dy
2
3 x
−1
y + 3 ( y )=3 x y − y !
2
2
3 ( y ) =− y !
2
−1
dy =−1 ln ∨ y ∨¿ y 3 ( y )=−1
∫¿
2 ( x , y )= x y + x −ln ∨ y ∨¿ 2
3
4& +48/-) ( ?1@ ( ()3+)/( ( %&)(& -%*4/-3& x y + x − ln| y|=C 2
3
$2
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 Tarea 2 E4&7+& 8) +/8%()3+ (/-3+ () + +)( (*4-8( 4+ /+%&)+ 83-4-=&+ () (4 -(+ C&%*+ V(/3+-&4. D& /-)/+ ?!@ ((%*4+ ( EDO ; (/-7- (4 /-'+ /+(*+)-()3( *&& -78& (4 /&%*+ (/3+-&4 &+/-&+ & /&& 8)+ ( (3+, -'8-()+ (4 %3++ (*4-/&+ () (4 -(+. (()3( 4+ /-)/+ ?!@ /-'+ () (4 +/8%()3+ ; &8)3( 4+ &/<-+ ( M&34&7 /+(*+)-()3(.
1.8. R(-& (4 %&)8&4 ( M&34&7 8( ( ()/8()3& () <33*'++.'4TB:K4M *&& 9&%-4-&-=&( /+) M&34&7.
1.1. D& /-)/+ ((%*4+ ( EDO. 1.2. R(+4( /&& 8)+ ( 4+ ((%*4+ *+ (4 %3++ ( (*&&/-) ( &-&74(. 1.. V( (4 -(+ 44&%&+ C&%*+V(/3+-&4.%+ 8( ( ()/8()3& () %&3(-&4 ( &*+;+. 1.4. D-78& (4 /&%*+ (/3+-&4 ( /&& 8)+ ( 4+ ((%*4+ /+) M&34&7. 1.6. (()3& () 8) &/<-+ + (4 /-'+ &+/-&+ &4 /&%*+ (/3+-&4 ( /&& 8)+ ( 4+ ((%*4+ 8)3+ /+) (4 /&%*+ (/3+-&4 +73()-+. I)/48- () (3( &/<-+ + 4& (*4-/&/-) ( 4+ /+%&)+ (4 -(+ C&%*+V(/3+-&4.%+.
$$
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 dy = seno (t ) dt
I"a;e . E(/-/-+ 1 /&%*+ (/3+-&4
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-& /+) &3+ () (4 *+'&%& M&3
$
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
dy = sec 2 (t ) dt
I"a;e 4. E(/-/-+ 2 /&%*+ (/3+-&4
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-& /+) &3+ () (4 *+'&%& M&3
$!
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1
$"
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 dy 1 = dt t
I"a;e 6. E(/-/-+ $ /&%*+ (/3+-&4
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-& /+) &3+ () (4 *+'&%& M&3
$5
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 dy = et dt
I"a;e 5. E(/-/-+ /&%*+ (/3+-&4
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-& /+) &3+ () (4 *+'&%& M&3
$6
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 dy = cos( t ) dt
I"a;e 7. E(/-/-+ ! /&%*+ (/3+-&4.
Fue#e3 E4&7+&/-) *+*-& /+) &3+ () (4 *+'&%& M&3
$#
ECUACIONES DIFERENCIALES - GUÍA 1 CONCLUSIONES E) (4 (&+44+ ( (3& '8-& ( *+98)-=&) 4+ 3(%& ( +48/-)( ( EDO. A-/-+)&4%()3( ( 83-4-=&+) <(&%-()3& /+%*83&/-+)&4( *&& '&9-/& /&%*+ (/3+-&4( + *&& (+4( (/8&/-+)( -9(()/-&4( (*&&74( 83-4-=&)+ (4 %3++ ( E84(, &-&)+ 8 *&+ *&& +7(& 8 /+)('()/-&. S( *&/3-/& 4& +48/-) -'8&4%()3( ( (/8&/-+)( -9((/-&4( (&/3& ; )+ (&/3&. E3& 43-%& 83-4-=&)+ 4& 3/)-/& (4 9&/3+ -)3('&+.
0
