UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA Y ARUITECTURA Métodos Probabilísticos
Guía #1 Distribución muestral de medias 1. Una población consta de los siguientes cuatro valores: 12, 12, 14 y 16. a) Enumere todas las muestras de tamaño 2 y calcule la media de cada muestra. b) Calcule la media de la distribución muestral de la media y la media de la población. Compare los dos valores. c) Compare la dispersión en la población con la de las medias de las muestras. d) Calcule la desviación estandar de la media. 2. En la tabla se incluyen los ingresos por hora de cada empleado. Empleado Joe Sam Su Bob
Ingresos por hora $7 7 8 8
Empleado Han Art Ted
Ingresos por hora $7 8 9
a) ¿Cuál es la media de la población? b) ¿Cuál es la distribución muestral de la media para muestras de tamaño 2? c) ¿Cuál es la media de la distribución muestral de la media? 3. En el despacho de abogados Tybo and Associates, hay seis socios. En la siguiente tabla se incluye el número de casos que en realidad atendió cada socio en los tribunales durante el mes pasado. Socio Ruud Wu Sass Rores Wilhelm Schueller
a) ¿Cuántas muestras de 3 son posibles?
# de casos 3 6 3 3 0 1
b) Enumere todas las posibles muestras de 3 y calcule el número medio de casos en cada muestra. c) Compare la media de la distribución muestral de las medias con la de la media poblacional. d) Calcule la desviación estandar de la media. 4. Para una muestra de 19 observaciones de una distribución normal con media 18 y desviación estándar 4.8,calcule a) P (16 <
< 20).
b) P (16 ≤ ≤ 20). c) Suponga un tamaño de muestra de 48. ¿Cuál es la nueva probabilidad en el a)? 5. Mary Bartel, auditora de una gran compañía de tarjetas de crédito, sabe que el saldo promedio mensual de un cliente dado es $112 y la desviación estándar es $56. Si Mary audita 50 cuentas seleccionadas al azar, encuentre la probabilidad de que el saldo promedio mensual de la muestra sea a) Menor que $100. b) De entre $100 y $130. 6. El costo promedio de un estudio en condominio en el desarrollo Cedar Lakes es de $62,000 con una desviación estándar de $4,200. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un condominio en este desarrollo cueste al menos $65,000? b) ¿La probabilidad de que el costo promedio de una muestra de dos condominios sea al menos de $65,000 es mayor o menor que la probabilidad de que un condominio cueste eso? ¿En qué cantidad? 7. En el sur de California, la renta de un departamento con una recámara tiene una distribución normal con una media de $2 200 mensuales y una desviación estándar de $250 mensuales. La distribución del costo mensual no se rige por la distribución normal. De hecho, tiene un sesgo positivo. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de 50 departamentos de una recámara y hallar que la media es de por lo menos $1 950 mensuales? 8. El granjero Braun, quien vende granos a Alemania, posee 60 acres de campos de trigo. Basándose en su experiencia pasada, sabe que la producción de cada hectárea está normalmente distribuida con una media de 120 fanegas y una desviación estándar de 12 fanegas. Ayude al granjero Braun a planear la cosecha del sig. año encontrando: a) la media esperada de las cosechas de sus 60 hectáreas. b) la desviación estándar de la media de muestra de las cosechas de las 60 hectáreas. c) la probabilidad de que la cosecha media por hectárea exceda las 123.8 fanegas. d) la probabilidad de que la cosecha media por hectárea caiga entre las 117 y 122 fanegas.
Distribución muestral de proporciones 9. Suponga que se cuenta con un grupo de 12 personas, el cual tiene 4 personas con fobias. Se van a seleccionar 5 personas al azar de ese grupo sin reemplazo. Calcular: a) La media de la distribución muestral b) La desviación típica de la desviación muestral. 10. Después de construir una maquina nueva, se producen 5 faros prototipo para automóvil y se descubre que 2 están defectuosos y 3 son aceptables Suponga que se seleccionan 2 faros al azar con reemplazo. Calcule: a) Calcule la proporción de defectuosos en cada muestra b) La media de la distribución muestral c) La desviación típica de la desviación muestral. 11. Un experimento en genética incluye una población de moscas de la fruta consistente en un macho y 3 hembras. Suponga que se seleccionan 2 oscas de fruta al azar con reemplazo. Calcular : a) Calcule la proporción de hembras en cada muestra b) La media de la distribución muestral c) La desviación típica de la desviación muestral. 12. Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55. 13. De un total de 1000 muestras de 200 niños cada una, en cuantas cabe esperar (a) menos del 40% sean niños, (b) entre el 40% y el 60% sean niñas, (c) El 53% o más sean niñas. 14. En una determinada población el 30% votaría por el partido X en caso de que se celebraran las elecciones mañana. si seleccionamos al azar una muestra de 200 personas y las encuestamos. Obtengan la probabilidad que las personas que expresen esa intención de voto superen el 38%. 15. Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%.
Estimación por intervalo para la media 16. Se selecciona una muestra de 10 observaciones de una población normal para la cual la desviación estándar poblacional es de 5. La media de la muestra es de 20. a) Determine el error estándar de la media. c) Determine el intervalo de confianza de 95% para la media de la población. 17. Bob Nale es propietario de Nale’s Texaco GasTown. A Bob le gustaría estimar la cantidad de galones de gasolina vendidos a sus clientes. Suponga que la cantidad de galones vendidos tiende a seguir una distribución normal, con una desviación estándar de 2.30 galones. De acuerdo con sus registros, selecciona una muestra aleatoria de 60 ventas y descubre que la cantidad media de galones vendidos es de 8.60. a) ¿Cuál es el estimado puntual de la media poblacional? b) Establezca un intervalo de confianza de 99% para la media poblacional. 18. La Universidad de Carolina del Norte está llevando a cabo un estudio sobre el peso promedio de los adoquines que conforman los andadores del campus. Se envía a algunos trabajadores a desenterrar y pesa una muestra de 421 adoquines, y el peso promedio de la muestra resulta ser 14.2 libras. Todo mundo sabe que la desviación estándar del peso de un adoquín es 0.8 libras. a) Encuentre el error estándar de la media. b) ¿Cuál es el intervalo alrededor de la media de la muestra que incluirá la población de la media el 95.5% de las veces? 19. Eunice Gunterwal es una ahorradora estudiante de licenciatura de la universidad del estado que está interesada en comprar un auto usado. Selecciona al azar 125 anuncios y ve que el precio promedio de un auto en esta muestra es $3,250. Eunice sabe que la desviación estándar de los precios de los autos usados en esta ciudad es $615. a) Establezca una estimación de intervalo para el precio promedio de un automóvil de manera que Eunice tenga una seguridad del 68.3% de que la media de la población está dentro de este intervalo. b) Establezca una estimación de intervalo para el precio promedio de un auto de modo que la señorita Gunterwal tenga el 95.5% de certeza de que la media de la población está dentro de este intervalo. 20. La administradora del puente Neuse River está preocupada acerca de la cantidad de automóviles que pasan sin pagar por las casetas de cobro automáticas del puente, y está considerando cambiar la manera de cobrar, si el cambio permite solucionar el problema. Muestreó al azar 75 horas para determinar la tasa de violación. El número promedio de violaciones por hora fue 7. Si se sabe que la desviación estándar de la población es 0.9, estime un intervalo que tenga el 95.5% de probabilidad de contener a la media verdadera. 21. Suponga que se toma una muestra de 50 elementos de una población con desviación estándar de 27, y que la media de la muestra es 86.
a) Establezca una estimación de intervalo para la media de la población que tenga el 95.5% de certeza de incluir a la media verdadera de la población. b) Suponga, ahora, que el tamaño de la muestra es 5,000 elementos. Establezca un intervalo para la media de la población que tenga el 95.5% de certeza de incluir a la media verdadera de la población. c) ¿Por qué la estimación del inciso a) sería preferible a la del inciso b)? ¿Por qué la estimación del inciso b) sería mejor que la del inciso a)?
Estimación de una proporción 22. El propietario de West End Kwick Fill Gas Station desea determinar la proporción de clientes que utilizan tarjeta de crédito o débito para pagar la gasolina en el área de las bombas. Entrevistó a 100 clientes y descubre que 80 pagaron en el área de las bombas. a) Calcule el valor de la proporción de la población. b) Construya un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional. 23. El dueño de la empresa Home Loan Company investigó aleatoriamente 150 de las 3,000 cuentas de la compañía y determinó que el 60% estaba en una posición excelente. a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la proporción de cuentas que están en posición excelente. b) Con base en el inciso anterior, ¿qué tipo de estimación de intervalo podría dar para el número absoluto de cuentas que cumplen con el requisito de excelencia, manteniendo el mismo nivel de confianza del 95%? 24. El consejo estudiantil de una universidad tomó una muestra de 45 libros de texto de la librería universitaria y determinó que de ellos, 60% se vendía en más del 50% arriba de su costo al mayoreo. Dé un intervalo de confianza del 96% para la proporción de libros cuyo precio sea más del 50% mayor que el costo al mayoreo. 25. Michael Gordon, un jugador profesional de básquetbol, lanzó 200 tiros de castigo y encestó 174 de ellos. a) Estime el error estándar de la proporción de todos los tiros que Michael falla. b) Construya un intervalo de confianza del 98% para la proporción de todos los tiros de castigo que Michael falla. 26. En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de Hamilton se encuentra que 340 están inscritas a HBO. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la proporción real de familias que tienen HBO. 27. Se esta considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes. La probabilidad de que el sistema existente tenga un lanzamiento exitoso se representa con p = 0.8. Se toma una muestra de 40 lanzamientos con el nuevo sistema y 34 resultan exitosos.
a) Construya un intervalo de confianza del 95% b) Con base en sus resultados concluiría que el nuevo sistema es mejor?. 28. Schadek Silkscreen Printing, Inc., compra tazas de plástico para imprimir en ellas logotipos de actos deportivos, graduaciones, cumpleaños u otras ocasiones importantes. Zack Schadek, el propietario, recibió un envío grande esta mañana. Para asegurarse de la calidad del envío, seleccionó una muestra aleatoria de 300 tazas. Halló que 15 estaban defectuosas. a) ¿Cuál es la proporción aproximada de tazas defectuosas en la población? b) Construya un intervalo de confianza de 95% para la proporción de tazas defectuosas. c) Zack llegó con su proveedor al acuerdo de que devolverá lotes con 10% o más de artículos defectuosos. ¿Debe devolver este lote? Explique su decisión. 29. Durante un año y medio las ventas han estado disminuyendo de manera consistente en las 1,500 sucursales de una cadena de comida rápida. Una empresa de asesores ha determinado que el 31% de una muestra de 95 sucursales tiene claros signos de una mala administración. Construya un intervalo de confianza del 98% para esta proporción. Estimacion del tamaño adecuado de una muestra 30. Suponga que el presidente de Estados Unidos desea un cálculo de la proporción de la población que apoya su actual política relacionada con las revisiones del sistema de seguridad social. El presidente quiere que el cálculo se encuentre a menos de 0.04 de la proporción real. Suponga un nivel de confianza de 95%. Los asesores políticos del presidente calculan que la proporción que apoya la actual política es de 0.60. a) ¿De qué tamaño debe ser la muestra que se requiere? b) ¿De qué tamaño debe ser una muestra si no hubiera disponible ningún estimador de la proporción que apoya la actual política? 31. Suponga que una universidad está efectuando una investigación acerca de los ingresos anuales de los estudiantes del último año de su escuela de administración. Se sabe, por experiencia, que la desviación estándar de los ingresos anuales de la población completa (1,000 estudiantes) de los egresados es alrededor de $1,500. ¿Qué tan grande debe ser la muestra que debe tomar la universidad con el fin de estimar el ingreso medio anual de los estudiantes graduados el año pasado, dentro de más menos $500 y con un nivel de confianza del 95%?
32. Quiere estimar la media de la población a menos de 5, con un nivel de confianza de 99%. Se calcula que la desviación estándar es de 15. ¿De qué tamaño debe ser la muestra?
33. Debe votarse una propuesta importante y un político desea encontrar la proporción de personas que están a favor de la propuesta. Encuentre el tamaño de muestra requerido para estimar la proporción verdadera dentro de 0.05 con un nivel de confianza del 95%. Suponga que no se tiene idea de cuál es la proporción. ¿Cuál sería el cambio en el tamaño de la muestra si pensara que cerca del 75% de las personas favorece la propuesta? ¿Cuál sería el cambio si sólo alrededor del 25% favorece la propuesta? 34. Se planea llevar a cabo una encuesta para determinar el tiempo medio que ven televisión los ejecutivos corporativos. Una encuesta piloto indicó que el tiempo medio por semana es de 12 horas, con una desviación estándar de 3 horas. Se desea calcular el tiempo medio que se ve televisión a menos de un cuarto de hora. Se utilizará el nivel de confianza de 95%. ¿A cuántos ejecutivos debe entrevistarse? 35. La universidad está considerando la posibilidad de elevar la colegiatura con el fin de mejorar las instalaciones; para ello, sus autoridades desean determinar qué porcentaje de estudiantes están a favor del aumento. La universidad necesita tener una confianza del 90% de que el porcentaje se determinó dentro del 2% del valor verdadero. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para garantizar esta precisión independientemente del porcentaje verdadero?
