Ernesto Rosa Nelo
Jossas obras na área de
Educação
Tõtica psicomotora na pré-escola Vera Miranda Gomes Movimentos Denise Del Matto Dlncao 'ré-escola, tempo de educar Ana Rosa Beal e Maria Lúcia Thiessen iontar histórias -
uma arte sem idade
Maria Betty Coelho Silva atividades lúdicas na educação da criança Leonor Rizzi e Regina Célia t educação artística da criança Marieta Lúcia Machado Nicolau (coord.) \ educação pré-escolar Marieta Lúcia Machado Nicolau Convivendo com a pré-escoia Denise Branco de Araújo Célia Regina Mineiro e Nancy Trindade Kosely Pontos de psicologia geral Pontos de psicologia do desenvolvimento Célia Silva Guimaráes Barros Psicologia educacional Estrutura e funcionamento do ensino de 1 ? grau Sociologia da educação Nelson Piletti Psicologia da aprendizagem Gérson Marinho Falcão Didãtica geral Didática especial Claudino Piletti Didãtica da matemática Ernesto Rosa Neto Processo de alfabetização Glâurea Basso dos Santos e Sueli Parada Simão Filosofia e historia da educação Claudino Piletti e Nelson Piletti Biologia educacional Maria Ângela dos Santos Psicologia moderna Introdução ao estudo da filosofia Antônio Xavier Teles Literatura infantil - teoria e prática Maria Antonieta Antunes Cunha Durso básico de estatística Hèlenalda de Souza Nazareth Manual de estágio para o magistério Graziella Zóboli
Ernesto Rosa Neto
Professor de Prática de Ensino da Matemática, História da Ciência e Matemática da Universidade Mackenzie Coordenador do Departamento de Vídeo do Colégio Anglo-Latino Ex-professor de Matemática, História da Matemática e Prática de Ensino da Universidade de São Paulo Dez anos de participação em programas educativos da Rádio e Televisão Cultura (RTC) de São Paulo
DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
Supervisão editorial: João G u i z z o Coordenação da edição: W i l m a S i l v e i r a R o s a d e M o u r a Redação: L e o n a r d o C h i a n c a Preparação de originais: R e m b e r t o F r a n c i s c o K u h n e n Ilustração: C a r l o s R o b e r t o d e C a r v a l h o E d u a r d o Seiji Seki Capa: P a u l o César P e r e i r a Ary Normanha Produção gráfica: G r a p h i c D e s i g n
ISBN 85 08 01922 x 1987 Todos os direitos reservados pela E d i t o r a Ática S . A . R . Barão de Iguapé, 1 1 0 — T e l : P A B X 2 7 8 - 9 3 2 2 C. Postal 8 6 5 6 — E n d . Telegráfico " B o m l i v r o " — S.
Paulo
Apresentação Q u a n d o estamos aprendendo u m instrumento musical, é inevitável q u e d e d i q u e m o s a m a i o r p a r t e d o t e m p o a exercícios mecânicos e r e p e t i t i v o s . Há porém m o m e n t o s d e criação e interpretação, c o m o q u a n d o e s t a m o s " t i r a n d o " u m a música n o v a o u e x e c u t a n d o u m a peça q u e já a p r e n d e m o s b e m . T o d a s a s n o s s a s a p r e n d i z a g e n s são m a i s o u m e n o s m a r c a d a s p o r essas d u a s e t a p a s : a d a p u r a repetição, d o t r e i n o , e a d a c r i a t i v i d a d e . O q u e m u d a é a ênfase d a d a a c a d a u m a d e l a s . O e n s i n o t r a d i c i o n a l e s t a v a m a i s c e n t r a d o n a memória: e r a p r e c i s o decorar tudo, ficar repetindo exaustivamente os m e s m o s tipos de exercício. Já o e n s i n o r e n o v a d o p e n d e u p a r a o e x t r e m o o p o s t o . O q u e p r o c u r a m o s , n e s t e l i v r o , é a síntese d o s d o i s m o m e n t o s , d a n d o o p o r t u n i d a d e p a r a o p r o f e s s o r d o s a r a d e q u a d a m e n t e memória, lógica e criatividade. A m a i o r i a d a s a t i v i d a d e s q u e p r o p o m o s são d e t r e i n a m e n t o , c o m exercícios q u e vão d o s m a i s fáceis a o s m a i s c o m p l e x o s . M a s n o m o m e n t o d e a b o r d a r u m assunto n o v o , nossa p r o p o s t a é q u e isso seja feito p o r redescoberta, partindo sempre d o concreto para o abstrato. É n e s s a l i n h a q u e a p r e s e n t a m o s a t i v i d a d e s d i f e r e n c i a d a s e m Aritmética e Geometria. O l i v r o t r a t a também d e t e m a s básicos, q u a s e s e m p r e polémicos: A n t r o p o l o g i a c o m história d a Matemática; P i a g e t c o m s u a s e t a p a s psicogenéticas; p a r a l e l i s m o e n t r e A n t r o p o l o g i a e t e o r i a s d e P i a g e t u t i l i z a n d o a l e i d e M u l l e r ; B l o o m c o m suas categorias d e o b j e t i v o s e d u c a c i o n a i s ; D i e n e s c o m a Matemática d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o . T o d o s esses a s s u n t o s f o r a m a b o r d a d o s p o r s u a u t i l i d a d e e f e c u n d i d a d e p a r a o magistério. A polémica p e r m a n e c e , a s t e o r i a s e v o l u e m . A s mudanças se dão d e m a n e i r a c a d a v e z m a i s rápida. P o r i s s o , o
p r o f e s s o r p r e c i s a i n s t r u m e n t a l i z a r - s e c o m u m a b a s e sólida d e c o n h e c i m e n t o s , técnicas e métodos d e e n s i n o q u e l h e p e r m i t a m c r e s c e r , adaptar-se, ser atuante. N o s s a intenção é c o n t r i b u i r p a r a a formação d e s s e t i p o d e p r o f e s s o r . A s críticas a e s t a o b r a , n o s e n t i d o d e fazê-la a p r o x i m a r - s e c a d a v e z m a i s d e s s e o b j e t i v o , serão s e m p r e b e m - v i n d a s . O Autor
E s t a o b r a é d e d i c a d a a m i n h a f i l h a I s a b e l a q u e a c a b a d e nascer e, q u e m s a b e , terá u m a m b i e n t e e u m a e s c o l a f e c u n d o s , q u e darão espaço à n o v a geração p a r a d e s e n v o l v e r s u a s i m e n s a s p o t e n c i a l i d a d e s n a c o n s trução d e u m c a m i n h o f e l i z .
índice Capítulo 1 — História da Matemática
7
Introdução A Matemática: u m a história s o c i a l A Matemática é fácil P r i m e i r a s noções matemáticas A criação d o número
7 7 16 17 18
Capítulo 2 — Etapas da aprendizagem
24
Introdução Piaget Matemática c o n c r e t a Dienes A importância d a vivência Bloom O p r o b l e m a d a avaliação
24 26 34 35 37 38 41
Capítulo 3 — Laboratório de Matemática
44
Introdução Cartaz valor d o lugar (cavalu) Flanelógrafo Quadro de pinos Cartazes Álbum s e r i a d o Ábaco Q u a d r o de varetas Quadro Paed Quebra-cabeça aritmético Material Cuisenaire Material dourado Montessori B l o c o s lógicos ( D i e n e s ) Relógio d e s o l
44 45 54 56 60 61 61 62 62 63 64 69 70 75
.
M a t e r i a l p a r a cálculo d e v o l u m e Mimeógrafo Balança M a t e r i a l p a r a determinação d o c e n t r o d e f i g u r a s Biblioteca e museu Capítulo 4 — Aritmética Introdução Sugestões d e Sugestões d e Sugestões d e Sugestões d e
88
atividades atividades atividades atividades
para para para para
a a a a
a
l. 2. 3. 4.
a a
a
série série série série
Capítulo 5 — Geometria concreta Introdução Atividades Atividades Atividades Atividades
para para para para
a a a a
a
l. 2. 3. 4.
a a a
série série série série
Capítulo 6 — Camelidades malbatahânicas Introdução Situações-problemas C u r i o s i d a d e s matemáticas R e s p o s t a s d a s situações-problemas Bibliografia
77 78 81 83 84
88 89 108 115 124 131 131 133 142 151 165 170 170 170 183 192 199
História da Matemática
INTRODUÇÃO C o n t a r a história d a d i s c i p l i n a q u e está s e n d o e s t u d a d a p o d e s e r u m a f o r m a d e i l u s t r a r a s a u l a s e m o t i v a r o s a l u n o s . A s s i m , também o p r o f e s s o r d e Matemática p o d e e d e v e lançar mão d e s s e r e c u r s o , a p r e s e n t a n d o à c l a s s e f a t o s i n t e r e s s a n t e s s o b r e a v i d a d e matemáticos f a m o s o s , b e m c o m o d e s c o b e r t a s e c u r i o s i d a d e s n e s s a área d o c o n h e c i m e n t o . E s s e t i p o d e história d a Matemática é e n c o n t r a d a a o l o n g o d e s t e l i v r o . E l e é i m p o r t a n t e e útil, d e s d e q u e s e t o m e o c u i d a d o d e não v a l o r i z a r e m d e m a s i a t a i s e s t u d i o s o s e s e u s f e i t o s notáveis a p o n t o d e a n u l a r o p a p e l d a s o c i e d a d e . N e s t e capítulo, porém, será m o s t r a d a u m a história q u e v a i b e m além d e s s e e n f o q u e . T r a t a - s e d e u m a história social d a Matemática, q u e c o l o c a e s s a ciência c o m o a l g o h u m a n o , u m f a t o s o c i a l , r e s u l t a d o d a colaboração d e t o d o s , e q u e é e s t r i t a m e n t e l i g a d a às n e c e s s i d a d e s s o c i a i s . E s s a visão d a Matemática t e m m a i o r u t i l i d a d e n a formação d o p r o f e s s o r d o q u e d i r e t a m e n t e n a preparação d e s u a s a u l a s . E s s e capítulo d e v e s e r l i d o várias v e z e s . S e u s d o i s o b j e t i v o s p r i n c i p a i s são: m o s t r a r o l o n g o c a m i n h o p e r c o r r i d o p e l a h u m a n i d a d e e m três milhões d e a n o s d e existência, a j u d a n d o a p e r c e b e r a s transformações q u e o c o r r e r a m e c o n t i n u a m a o c o r r e r , a l t e r a n d o a s o c i e d a d e e a própria p e r s o n a l i d a d e d o h o m e m , e d e p o i s f a z e r u m a comparação e n t r e e s s a história e a evolução d a própria criança.
A MATEMÁTICA: UMA HISTÓRIA SOCIAL A Matemática f o i i n v e n t a d a e v e m s e n d o d e s e n v o l v i d a p e l o h o m e m e m função d e n e c e s s i d a d e s s o c i a i s . 7
D u r a n t e t o d o o Paleolítico i n f e r i o r , q u e d u r o u c e r c a d e três m i lhões d e a n o s , o h o m e m v i v e u d a caça e d a c o l e t a , c o m p e t i n d o c o m o s o u t r o s a n i m a i s , só q u e u t i l i z a n d o p a u s , p e d r a s e o f o g o . E l e n e c e s s i t a v a a p e n a s d a s noções d e mais-menos, maior-menor e a l g u m a s formas n o l a s c a m e n t o d e p e d r a s e n a confecção d e p o r r e t e s .
Homem
—Pré-história
- 3 000 000 de anos Inferior
Paleolítico (pedra lascada)
- 35 000 Superior
10 000 i Neolítico (pedra polida)
História—
- 4 000 i •
0 —-i—
O Paleolítico s u p e r i o r é c a r a c t e r i z a d o p o r i n s t r u m e n t o s m a i s e l a b o r a d o s p a r a caça e c o l e t a : a r m a d i l h a s , r e d e s , c e s t o s , a r c o s e f l e c h a s , r o u p a s d e p e l e s , c a n o a s . O s h o m e n s u t i l i z a m n o v o s m a t e r i a i s , além d e p a u s e p e d r a s : o s s o s , p e l e s , cipós, f i bras. F a z e m pinturas e esculturas n a t u r a l i s t a s . Já n e c e s s i t a m d e m u i t o s números e f i g u r a s . P a r a f a z e r u m c e s t o é necessária a c o n t a g e m e noções i n tuitivas d e paralelismo e perpendicular i s m o . S u r g e m o s d e s e n h o s geométricos e a p i c t o g r a f i a .
Vénus de W i l l e n d o r f ( Á u s t r i a ) . Esc u l t u r a naturalista e m pedra, f e i t a pelo h o m e m do Paleolítico superior.
8
O domínio d o h o m e m s o b r e a n a t u r e z a s e e s t a b e l e c e c o m a d o m e s ticação d e p l a n t a s e a n i m a i s . É a revolução d o Neolítico, o início d a a g r i c u l t u r a e d a pecuária, q u e irá l i b e r t a r o h o m e m d a n e c e s s i d a d e d a caça e c o l e t a e d a competição c o m o s o u t r o s a n i m a i s , além d e fixá-lo a u m m e s m o lugar enquanto a terra é capaz de produzir. O s continentes t o m a m a f o r m a atual. O t e m p o p a s s a e n o v o s c o n h e c i m e n t o s são i n c o r p o r a d o s p o r t e n t a t i v a e e r r o : c o n h e c i m e n t o s s o b r e t e r r a s e f e r t i l i d a d e , s e m e n t e s , técnicas d e p l a n t i o e c o l h e i t a , datação d o p l a n t i o , seleção. O s r e b a n h o s p r e c i s a m s e r c o n t a d o s , são e l a b o r a d o s calendários agrícolas, o a r m a z e n a m e n t o d e grãos e o c o z i m e n t o c r i a m a n e c e s s i d a d e d a cerâmica. A Matemática se d e s e n v o l v e . A m a s s a d e c o n h e c i m e n t o s s e e x p a n d e , n o s e n t i d o d e u m s a b e r prático, constituído d e r e c e i t a s úteis, q u e f u n c i o n a m .
Vaso de cerâmica p r é - h i s t ó r i c o c o m desenhos g e o m é t r i c o s , a r q u e o l ó g i c o em Presidente Epitácio, São Paulo.
recolhido
num
sítio
N o início d o Neolítico a produção e r a m u i t o p e q u e n a , e o s h o m e n s c o n t i n u a v a m e x t r e m a m e n t e dependentes d a natureza. A o s poucos, c o m n o v a s técnicas, f o r a m a u m e n t a n d o a produção até a t i n g i r e m o s u p r i m e n t o d e s u a s n e c e s s i d a d e s . O Neolítico é o período q u e v a i d o início d a produção até o p o n t o d e o s h o m e n s g e r a r e m o necessário p a r a a sobrevivência. A caça t r a n s f o r m o u - s e e m e s p o r t e . O Neolítico d u r o u p e r t o d e seis m i l a n o s . N o v a g r a n d e revolução é a p a s s a g e m p a r a o período histórico. 9
A s t r i b o s se e s t a b e l e c e m e m c a m p o s p e r m a n e n t e s n a s m a r g e n s d e g r a n d e s r i o s . C o m l u g a r f i x o , a s c h o u p a n a s são t r a n s f o r m a d a s e m c a s a s ; as a l d e i a s , e m c i d a d e s , s u p o n d o p r o j e t o s e m e d i d a s . S u r g e m a s c l a s s e s s o c i a i s , a p r o p r i e d a d e , o E s t a d o , a e s c r i t a fonét i c a . T o d a s essas mudanças f o r a m c a u s a d a s p e l o a u m e n t o d a produção, q u e c h e g o u a o p o n t o d e g e r a r m a i s q u e o necessário: produção d e excedentes. S u r g e m as necessidades d e a r m a z e n a m e n t o d e p r o d u t o s e m g r a n d e e s c a l a e d e s u a contabilização, d e s e n v o l v e n d o m u i t o m a i s a Matemática. A s o c i e d a d e f i c a m u i t o m a i s c o m p l e x a , a c u l t u r a se a c u m u l a , m a s s e m p r e c o m u m s e n t i d o prático, l i g a d a a o d i a - a - d i a . A divisão d a s o c i e d a d e e m c l a s s e s e a p r o p r i e d a d e p r i v a d a l e v a m à criação d e m e d i d a s p a r a r e g u l a r p o s s e s e à cobrança d e i m p o s t o s . S e g u n d o o h i s t o r i a d o r g r e g o Heródoto, a s inundações d o N i l o d e s m a r c a v a m o s limites das propriedades, gerando a necessidade d e r e m a r cá-las. I s s o e r a f e i t o c o m o auxílio d e m e d i d a s e p l a n t a s , p e l o s c h a m a d o s " e s t i c a d o r e s d e c o r d a " . Daí o d e s e n v o l v i m e n t o d o s números fracionários. É a Matemática s e d e s e n v o l v e n d o n o E g i t o a n t i g o e n a Babilónia, d o m e s m o m o d o que, p o s t e r i o r m e n t e , c o m o s m a i a s e astecas.
A contribuição egípcia O início d a A n t i g u i d a d e , há c e r c a d e 6 0 0 0 a n o s , f o i m a r c a d o p o r inúmeras n o v i d a d e s matemáticas. O comércio, a s construções, a p o s s e e a demarcação d a s p r o p r i e d a d e s c o l o c a r a m n o v a s questões. A s m e d i d a s n e m s e m p r e constituíam números i n t e i r o s . E s s a n e c e s s i d a d e forçou o a p a r e c i m e n t o g r a d a t i v o d o s números fracionários. O s egípcios já c o n h e c i a m o ábaco, a notação d e c i m a l , a l g u m a s frações e a l g u m a s c o n t a s . O u m e r a | , o d e z e r a f | ; d e s s e m o d o , nnii nmi 10
e r a
36.
M u r a l egípcio f e i t o há 3 600 anos, m o s t r a n d o algumas atividades profissionais da época ( c u r t i m e n t o de peles, carpintaria, f u n d i ç ã o de c o b r e ) .
E l e s não s a b i a m m u l t i p l i c a r c o m o nós; s a b i a m a p e n a s Assim, para calcular 13 X 18 i a m dobrando o 1 8 : 1
2
4
18
36
72
8 144
16
dobrar.
...
288
T r e z e vezes 1 8 e r a calculado a d i c i o n a n d o 1 8 + 7 2 + 1 4 4 , d a seguinte m a n e i r a : u m a v e z dezoito ( 1 8 ) , m a i s q u a t r o vezes 1 8 ( 7 2 ) e m a i s o i t o v e z e s 1 8 ( 1 4 4 ) , i s t o é: 1 3 = 1 + 4 + 8 ; então, 1 3 X 1 8 = = 1 X 18 + 4 X 18+ 8 X 18 = 18+ 7 2+ 144 = 234. O s egípcios s o m e n t e o p e r a v a m c o m frações d e n u m e r a d o r i g u a l a 1 , i s t o é, i n v e r s o s d e números i n t e i r o s q u e e r a m r e p r e s e n t a d o s c o m u m sinal ovalado ( o ) p o r cima d o numeral. A s s i m : S e 3 e r a ||| , — e r a 3 11
A Matemática e r a c o n h e c i d a p e l o s a n t i g o s egípcios c o m o r e c e i t a s práticas q u e , m u i t a s v e z e s , f u n c i o n a v a m p o r aproximação e e r a m r e s u l t a d o d e t e n t a t i v a s e e r r o s f e i t o s d u r a n t e milénios. C o n h e c i a m o t e o r e m a q u e , m a i s t a r d e , p a s s o u a c h a m a r - s e " T e o r e m a d e Pitágoras" e d e s e n v o l v e r a m fórmulas p a r a o cálculo d e áreas e v o l u m e s . C r i a r a m u m calendário d e 3 6 5 d i a s , i n v e n t a r a m o relógio d e s o l e a balança, f u n d i r a m o c o b r e e o e s t a n h o ( c u j a m i s t u r a é o b r o n z e ) e o u t r o s m e t a i s . Construíram c i d a d e s e g r a n d e s m o n u m e n t o s . T o d o s o s i n s t r u m e n t o s q u e u s a v a m e r a m d e p a u o u p e d r a . O f e r r o a i n d a não era conhecido.
Os g r a n d e s m o n u m e n t o s egípcios, c o m o as p i r â m i d e s da f o t o , eram f e i t o s i n s t r u m e n t o s de madeira, pedra e cobre.
com
A Matemática entre os gregos e os romanos O u s o d o f e r r o é d e s c o b e r t o n a Ásia M e n o r . C o m i s s o , f e r r a m e n t a s m a i s e f i c i e n t e s p o d e m s e r c r i a d a s . C o m a utilização d a s n o v a s f e r r a m e n t a s , a produção a u m e n t a m u i t o , e l e v a n d o a produção d e e x c e d e n t e s . C o n s e q u e n t e m e n t e , o comércio se e x p a n d e , i n t e n s i f i c a n d o a s n a v e g a ções, m e l h o r a n d o o s t r a n s p o r t e s . A civilização s e i n t e r i o r i z a m a i s p e l a E u r o p a . É a época d a h e g e m o n i a g r e g a . A p a r e c e o a l f a b e t o , q u e d e m o cratiza a cultura e facilita seu registro, gera maiores conhecimentos e intercâmbio c u l t u r a l . O g r a n d e acúmulo d e c o n h e c i m e n t o s n a Grécia p r o v o c a a mudança q u a l i t a t i v a d a classificação e ordenação. Começa u m t r a b a l h o metodológico s o b r e o g r a n d e c o n h e c i m e n t o a c u m u l a d o . 12
V a i s u r g i r a F i l o s o f i a . C o n t r i b u i também p a r a i s s o o f a t o d e , n e s s a época, o t r a b a l h o s e r r e a l i z a d o p o r e s c r a v o s , p o r s e r c o n s i d e r a d o i n d i g n o p a r a h o m e n s l i v r e s . E s t e s t i n h a m a p e n a s a função d e p e n s a r . T o d a s a q u e l a s r e c e i t a s empíricas u t i l i z a d a s p e l o s egípcios, b a b i lónios e h a b i t a n t e s d e o u t r a s regiões f o r a m o r g a n i z a d a s : são o s c o n h e c i m e n t o s q u e t r a t a m d e números, o s q u e t r a t a m d e f i g u r a s , o s q u e t r a t a m d e doenças e t c . S u r g e m a s ciências. C o m o os pensadores gregos desprezavam o trabalho, seguiram o c a m i n h o d a s abstrações, a p r o f u n d a n d o - s e n a Matemática, a ciência q u e m a i s avançara, e n f a t i z a n d o m a i s a q u a l i d a d e q u e a q u a n t i d a d e , m a i s a G e o m e t r i a q u e a Aritmética. P o r i s s o , a G e o m e t r i a f o i a p r i m e i r a a r e c e b e r u m t r a t a m e n t o metodológico, c u l m i n a n d o c o m a admirável síntese d e E u c l i d e s — Os Elementos — a p r i m e i r a o b r a lógica. É a revolucionária criação d a argumentação, d a demonstração; é a c a p a c i dade de concluir a partir de premissas. E m s e g u i d a , Aristóteles, c o m s e u Organon, s i n t e t i z o u a Lógica c o m o transposição, e m p a l a v r a s , d o método d e demonstração geométrico q u e s e i n i c i a r a c o m o s pré-socráticos ( T a l e s , Pitágoras, Anaxágoras e t c ) . C o m o a d v e n t o d a Lógica, a p a lavra tornou-se u minstrumento de pod e r , p a r a c o n t r o l e d a população. O escravismo e n t r a v a e m s u a crise final. Busto de Euclides
D e p o i s d a G e o m e t r i a e d a Lógica, a t e r c e i r a sistematização o c o r r e u n a Mecânica, c o m A r q u i m e d e s . N o período e m q u e o s r o m a n o s d o m i n a r a m o m u n d o , a M a t e mática c o n t i n u o u a avançar, e s p e c i a l m e n t e c o m o s matemáticos a l e x a n d r i n o s , c o m o , p o r e x e m p l o , Eratóstenes ( 2 8 4 - 1 9 2 a . C ) , q u e c a l c u l o u o t a m a n h o d a T e r r a , P t o l o m e u ( ± 1 0 0 - 1 6 8 ) , q u e e s c r e v e u o Almagesto, o b r a q u e d e f e n d e a t e o r i a geocêntrica, e D i o f a n t o ( 3 2 5 - 4 0 9 d . C ) , q u e f o r m u l o u a s equações d i o f a n t i n a s , s i g n i f i c a n d o u m a r e t o m a d a d a Aritmética. 13
Os árabes e a Álgebra N o início d a I d a d e Média (séculos V e V I ) , n o período d e m a i o r expansão árabe, a l g u n s matemáticos, c o m o A v i c e n a , A l - K h o w a r i z m i , O m a r K h a y y a m , N a s i r E d d i n , e n t r e o u t r o s , d e s e n v o l v e r a m o sistema de numeração arábico ( q u e começou n a índia e n a Síria) e a Álgebra.
- = = ¥ f
(e 1
S ?
Brahmi
1
2
4
C ? T
* V
•
Indiano ( G w a l i o r )
l Sânscrito-Devanagari
(Indiano)
/ r Á r a b e do O e s t e (Gobar)
r r ^ Á r a b e do Leste
Século 11 ( Á p i c e s )
Século 15
Século 16 ( D u r e r )
A f i g u r a a c i m a m o s t r a algumas fases da evolução dos a l g a r i s m o s .
O s i s t e m a d e c i m a l p o s i c i o n a i , u t i l i z a d o até h o j e c o m a l g u m a s alterações n o s n u m e r a i s , r e p r e s e n t o u p a r a a Aritmética o q u e o a l f a b e t o f o i p a r a a e s c r i t a : a democratização. A f i n a l , f a z e r c o n t a s c o m a l g a rismos r o m a n o s não e r a n a d a fácil! Também d e v e m o s a o s árabes o d e s e n v o l v i m e n t o d e métodos q u e t o r n a r a m m a i s s i m p l e s a resolução d e equações. O t r a b a l h o c o m e q u a ções começou a a d q u i r i r u m a u t o m a t i s m o p a r e c i d o c o m o d o ábaco. P o r i s s o , a Álgebra s i g n i f i c o u u m a g r a n d e revolução matemática. 14
Do Renascimento aos nossos dias N o s séculos X V e X V I , d u r a n t e o R e n a s c i m e n t o , o comércio e as c i d a d e s r e a t i v a r a m - s e , r e f l o r e s c e r a m . N e s s e período s u r g e m , n a Itália, o s números negativos, d e v i d o às n e c e s s i d a d e s c o m e r c i a i s n o cálculo d e dívidas e d e créditos. O s números n e g a t i v o s p e r m i t e m " t i r a r o m a i o r d o m e n o r " . O n o v o c o n j u n t o c h a m a - s e conjunto dos números inteiros e v e m j u n t a r - s e a o c o n j u n t o d o s números n a t u r a i s , já e x i s t e n t e d e s d e a Pré-história. Z
= { . .. - 3 , - 2 , - 1 ,0 , 1 , 2 , 3, 4 , 5, 6, .. . }
A resolução d a r a i z q u a d r a d a d o s números n e g a t i v o s l e v a a o a p a r e c i m e n t o d o s números complexos. N e s s e âmbito, p o d e m o s c i t a r F i b o nacci, Tartaglia, B o m b e l l i e muitos outros. N o período d a s g r a n d e s navegações, a A s t r o n o m i a t e v e g r a n d e i m p u l s o , p a r a orientação e m a l t o - m a r . O m a p a d o m u n d o é q u a d r i c u l a d o e a s c o o r d e n a d a s são u s a d a s s i s t e m a t i c a m e n t e . A s r o t a s são gráficos. «*TYPVS
O R B I S A P T O L« D E S C R I
P TV S
Map»-mún.l. dc Cláudio Ptolomeu (cerca de 200
Mapa-múndi elaborado p o r Ptolomeu e m cerca de 15G d . C , já c o m c o o r d e n a d a s , que passariam a ser i n t e n s a m e n t e usadas a partir das grandes navegações.
15
N o século X V I I , c o m D e s c a r t e s , F e r m a t e o u t r o s , s u r g e a G e o m e t r i a Analítica e d e s e n v o l v e - s e a T r i g o n o m e t r i a . A p a r e c e m o s l o g a r i t m o s p a r a a simplificação d o s cálculos astronómicos. A ciência c o n t i n u a d e p e n d e n t e d a técnica, m a s começa a t e r u m n o v o caráter, não c o m p l e t a m e n t e utilitário. U m a n o v a revolução matemática s e c o m p l e t a c o m V i e t e , q u e p a s s o u a u t i l i z a r símbolos p a r a q u a l q u e r demonstração, u s a n d o l e t r a s t a n t o p a r a quantidades conhecidas c o m o para desconhecidas. A rapidez d o cálculo f o i a u m e n t a d a e a notação s e f o r m a l i z o u , f i c a n d o m a i s r i g o r o s a c o m símbolos s e m conotações, m a s operáveis s e g u n d o r e g r a s . E r a a Matemática s e m conteúdo, o u m e l h o r , c o m conteúdo n a própria f o r m a . E s t a m o s n o t e m p o d e G a l i l e u e d a Inquisição. P o u c o d e p o i s , c o m L e i b n i z e N e w t o n , c o m p l e t o u - s e a g r a n d e sínt e s e d o Cálculo I n t e g r a l e D i f e r e n c i a l . F i n a l m e n t e , n o f i m d o século p a s s a d o , a c o n t e c e a reordenação lógica d a Matemática c o m C a n t o r , Frege, Russell e outros, dando a ela o acabamento que conhecemos hoje.
A MATEMÁTICA É FÁCIL A Matemática é a m a i s a n t i g a d a s ciências. P o r i s s o e l a é difícil. P o r q u e já c a m i n h o u m u i t o , já s o f r e u m u i t a s r u p t u r a s e r e f o r m a s , p o s suindo u m acabamento refinado e formal. M a s caminhou m u i t o justam e n t e p o r s e r fácil. É isso q u e d e v e m o s considerar q u a n d o estamos l e c i o n a n d o , p r o c u r a n d o c o l o c a r o a s s u n t o n o nível d o d e s e n v o l v i m e n t o d o a l u n o . C a d a período t e m s u a s características, s e u g r a u d e abstração, d e elaboração, d e a c a b a m e n t o e , c o n s e q u e n t e m e n t e , s u a didática. I s s o a c o n t e c e n a história d a Matemática e n o e n s i n o d a Matemática, s e g u i n d o a s e quência: • a s r e c e i t a s práticas o b t i d a s p o r t e n t a t i v a e e r r o , e m a t i v i d a d e s c o n c r e t a s , características d a Pré-história até o E g i t o , são e s t u d a d a s d a l . à 4 . série d o p r i m e i r o g r a u ; a
a
a
• a revolução g r e g a d a demonstração é i n c o r p o r a d a d a 5 . à 8 . série d o p r i m e i r o g r a u ; 16
a
• a Álgebra — o m e c a n i s m o simbólico arábico — p a s s a a s e r o p e r a d a a p a r t i r d a 7 . série; a
• a formalização d e V i e t e — o s símbolos f r i o s e operáveis d o R e n a s c i m e n t o — começa n o s e g u n d o g r a u ; • o Cálculo D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l é e s t u d a d o n a s f a c u l d a d e s d e ciências e x a t a s ; • a reordenação lógica m o d e r n a — aritmetização d a Matemática — é conteúdo d a s f a c u l d a d e s d e Matemática. V i s t a d e s s a f o r m a , a Matemática p o d e s e r — e é — g o s t o s a e fácil d e e n s i n a r o u d e a p r e n d e r , p o i s c o r r e s p o n d e ao d e s e n v o l v i m e n t o n o r m a l d o aluno. N a d a é estranho, sem continuidade, sem significado.
PRIMEIRAS NOÇÕES MATEMÁTICAS U m u r u b u fez seu n i n h o n a torre de u m a igreja n u m a pequena v i l a . O sacristão responsável p e l a i g r e j a f e z várias t e n t a t i v a s p a r a pegá-lo, m a s , t o d a v e z q u e e n t r a v a n o prédio, o u r u b u v o a v a e só r e t o r n a v a q u a n d o o sacristão saía. Então, o h o m e m a r q u i t e t o u u m plano para enganar o u r u b u . E n t r a r a m dois homens n a igreja, e o u r u b u v o o u ; s a i u u m , f i c a n d o o o u t r o à e s p e r a . O u r u b u não v o l t o u e n q u a n t o não s a i u o s e g u n d o ! E n t r a r a m três e saíram d o i s , f i c a n d o o t e r c e i r o à e s p e r a . Não a d i a n t o u ! C o m q u a t r o , r e p e t i u - s e a m e s m a c o i s a . S o m e n t e c o m c i n c o p e s s o a s é q u e o p l a n o d e u c e r t o : saíram q u a t r o , ficou u m ; o u r u b u "perdeu a conta", voltou e f o i apanhado. E s s a p e q u e n a história m o s t r a q u e até m e s m o o s a n i m a i s são c a p a zes d e a p r e s e n t a r , e m b o r a r u d i m e n t a r m e n t e , percepções l i g a d a s à q u a n t i d a d e . Experiências s e m e l h a n t e s f e i t a s c o m o u t r a s espécies d e a n i m a i s m o s t r a m q u e e l e s não s a b e m c o n t a r , m a s p o s s u e m a l g u m a s noções c o m o " a q u i há m a i s b a n a n a s q u e a l i " . Porém, q u a n d o d u a s q u a n t i d a d e s são e l e v a d a s e c o m diferença p e q u e n a e n t r e s i , m e s m o u m h o m e m c u l t o não perceberá a diferença, a m e n o s q u e p o s s a f a z e r u m a c o r r e s p o n dência u m a u m . P o r e x e m p l o , s e m c o n t a r , p o d e m o s s a b e r q u e e m 17
B, n a f i g u r a q u e s e g u e , há m a i s e l e m e n t o s q u e e m A. D o m e s m o m o d o , o l h a n d o a p l a t e i a d e u m t e a t r o p o d e m o s s a b e r , s e m c o n t a r , s e há m a i s pessoas o u p o l t r o n a s , desde q u e as pessoas e s t e j a m e m seus lugares.
E s t e é o m a i s p r i m i t i v o c o n c e i t o d e q u a n t i d a d e : o n d e há m a i s , o n d e há m e n o s ; o n d e há m a i s f r u t o s , o n d e há m a i s p e i x e s e t c . E s s a noção, q u e até o s a n i m a i s p o d e m t e r , c o m o v i m o s p e l o c o n t o d o u r u b u , é m u i t o útil p a r a a sobrevivência.
A CRIAÇÃO DO NÚMERO A n e c e s s i d a d e d a exatidão n a c o n t a g e m começa já n o Paleolítico, q u a n d o o h o m e m p a s s a a f a b r i c a r m a c h a d i n h a s , t a c a p e s e lanças. N e s s a época são c r i a d o s o s p r i m e i r o s números. A criação d e u m número é u m p r o c e s s o classificatório, d o m e s m o m o d o q u e a divisão d o s a n i m a i s e m mamíferos, p e i x e s , a v e s e t c . Mamífero não e x i s t e c o m o u m a espécie. E x i s t e m c a r n e i r o s , l o b o s , m o r c e g o s , h o m e n s . Dois não e x i s t e c o n c r e t a m e n t e . E x i s t e m conjuntos d e d o i s e l e m e n t o s . "Mamífero" e " d o i s " são c o n c e i t o s i d e a i s , criação humana. O s números ( i d e i a s ) , j u n t a m e n t e c o m o s n u m e r a i s c o r r e s p o n d e n t e s ( p a l a v r a s , r i s c o s , p e d r a s , símbolos), f o r a m a p a r e c e n d o u m após o u t r o . D e v i d o às n e c e s s i d a d e s s o c i a i s , o zero já t i n h a n o m e — nada — m u i t o a n t e s d e a p a r e c e r e m símbolos matemáticos q u e o r e p r e s e n tassem. O zero aparece c o m a ideia d e sucesso e insucesso: cacei o u não c a c e i , p e s q u e i o u não p e s q u e i . O s e g u n d o número a s e r i n v e n t a d o f o i o w m , q u e s u r g i u d a n e c e s s i d a d e d e d i s t i n g u i r o s i n g u l a r d o p l u r a l : n a d a , u m , vários. D e p o i s começa a n e c e s s i d a d e d e i d e n t i f i c a r : leão — l e o a , b o i — v a c a , cão — cadela etc. 18
A ideia de " c a s a l " supõe uma quantidade, uma qualidade e uma relação.
A p a l a v r a casal v e m d e u m a abstração útil q u e e n v o l v e várias i d e i a s : u m a q u a l i d a d e ( a n i m a i s ) , u m a q u a n t i d a d e ( d o i s ) e u m a relação ( m a c h o e fêmea p r o c r i a n d o ) . O t e r m o casal não s e a p l i c a a d u a s p e d r a s , n e m a três a n i m a i s . D o m e s m o m o d o , a p a l a v r a par v e m d e u m a abstração q u e e n v o l v e u m a q u a l i d a d e ( o b j e t o s ) , u m a q u a n t i d a d e ( d o i s ) e u m a relação ( i g u a l d a d e o u s i m e t r i a ) . C a s a l não é número; d o i s é. O d o i s " p u r o " é t o t a l m e n t e a b s t r a t o e surge d e casal, p a r , d u p l a etc. O dois r e l a c i o n a todos os c o n j u n t o s c o m d o i s e l e m e n t o s . É a expressão d e r e l a c i o n a m e n t o e n t r e c o n j u n t o s d e d o i s e l e m e n t o s . O m e s m o o c o r r e c o m o s o u t r o s números: três, q u a t r o , c i n c o e t c . A Matemática começou a s u r g i r c o m essas abstrações. P a r a a b s t r a i r u m número, é necessário c l a s s i f i c a r o s c o n j u n t o s c o m a q u e l e número d e e l e m e n t o s . I s t o s e f a z c o m u m a correspondência u m a u m e n t r e o s c o n j u n t o s . A s s i m , a noção d e número s u r g e d a classificação d e c o n j u n t o s e q u i p o t e n t e s p e l a correspondência u m a u m .
19
A i n d a h o j e e x i s t e m t r i b o s ( n a Austrália e n a N o v a Guiné) q u e só s a b e m c o n t a r até três. M a i s q u e i s s o são vários. É c l a r o q u e , s e vêem dois grupos de animais, u m c o m quatro e outro c o m cinco elementos, s a b e m q u a l é o g r u p o m e n o r . M a s a i n d a não s u r g i u a n e c e s s i d a d e d e c l a s s i f i c a r o s c o n j u n t o s d e m a i s d e três e l e m e n t o s e d a r u m n o m e a o s números q u e o s r e p r e s e n t e m . N o e n t a n t o , várias t r i b o s d e índios b r a s i l e i r o s , antes d a c h e g a d a d o b r a n c o , e s t a v a m e m fase m a i s a d i a n t a d a , e m p l e n o Neolítico. P a r a r e p r e s e n t a r o s números, f o r a m e são u s a d o s vários p r o c e s s o s . U m a inscrição pré-histórica p a r e c i d a c o m a f i g u r a a b a i x o p o d e s i g n i f i c a r c i n c o p e i x e s . I s s o é o começo d a e s c r i t a .
E l a p o d e i n d i c a r q u e d o i s h o m e n s f i c a r a m três d i a s e três n o i t e s a o pé d e u m a m o n t a n h a . N o t a r q u e o d e s e n h o d o h o m e m s i g n i f i c a h o m e m m e s m o , já o s o l s i g n i f i c a d i a . O p r i m e i r o é pictografia e o s e g u n d o , ideografia. P a r a r e p r e s e n t a r três d i a s , não f o i d e s e n h a d o 3 O , m a s s i m O O O . Nesse sentido a figura dos cinco peixes é mais m o d e r n a , é m a i s abstrata. E a s s i m f o r a m s e n d o c r i a d o s o s números e o s n u m e r a i s . O c o n j u n t o d o s números r e a i s f o i s e n d o construído g r a d a t i v a m e n t e . P r i m e i r o s u r g e m o s números naturais c o n h e c i d o s , c o m o u t r a n o tação, d e s d e a Pré-história. IN = { 0 , 1 , 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 , 8, 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , . . . } 20
C o m números n a t u r a i s p o d e m o s e f e t u a r adições e multiplicações s e m m a i o r e s c u i d a d o s , porém n a subtração e divisão d e v e m o s e x a m i n a r se e x i s t e m o s r e s u l t a d o s . P o r e x e m p l o : 5 — 7 não está e m [ N , 3 : 5 não está e m | ] \ ] . O s n o s s o s índios não c o n h e c e m 5 — 7 , a não s e r alguns aculturados. C o m a invenção d o s números n e g a t i v o s , f i c o u possível " t i r a r o m a i o r d o m e n o r " , e 5 - 7 = — 2 . O n o v o c o n j u n t o c h a m a - s e Conjunto dos Números Inteiros. Z
= { . . . , - 3 ,- 2 ,- 1 ,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . }
N e l e p o d e m o s e f e t u a r subtrações s e m m a i o r e s c u i d a d o s . N o e n t a n t o , 3 : 5 não está e m Z . C o m a invenção d a s frações — q u e o c o r r e u a n t e s d a invenção d o s números n e g a t i v o s , p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s d e m e d i d a s — f i c o u possível t o d a divisão, e x c e t o divisão p o r z e r o . P r i m e i r o m a n d a m e n t o d a Matemática: "Não dividirás p o r z e r o " . O c o n j u n t o d o s números fracionários m a i s o s i n t e i r o s , c h a m a d o Conjunto dos Números Racionais, é:
T o d o número r a c i o n a l p o d e s e r e s c r i t o e m f o r m a d e número d e c i mal. P o r exemplo: 22 20 0
-— 4,4
22 i
o
g
o
-
>
4 > 4
=
4,40000.
5
4
L i 10 1,33 10 1
21 0
4
jogo,
[ 7 3
=
1,33333.
3
21 logo,
== , 3 =? 3 , 0 0 0 0 0 .
21
22 A l g u n s números r a c i o n a i s são d e c i m a i s f i n i t o s c o m o
, outros 5 são d e c i m a i s i n f i n i t o s , porém periódicos, c o m o 1 , 3 3 3 3 . . . S e c o l o c a r m o s z e r o s n o s f i n i t o s , t o d o número r a c i o n a l é dízima periódica: 4 , 4 0 0 0 . . ., 3 , 0 0 0 0 . . . e t c . Porém há números q u e não são dízimas periódicas. C h a m a r e m o s dízimas não periódicas. V e j a e s t e s : a)
0,10100100010000100000100...
b) V 2 " = 1,414213562. . . c ) TI = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 . . . São números q u e não p o s s u e m g e r a t r i z e s . Não p o d e m s e r c o l o c a p dos n a f o r m a , razão e n t r e números i n t e i r o s . O c o n j u n t o I I d a s q dízimas não periódicas c h a m a - s e Conjunto dos Números Irracionais, o u s e j a , números q u e não são razões. C h a m a m o s Conjunto dos Números Reais a o c o n j u n t o d e t o d o s esses números — r a c i o n a i s m a i s o s i r r a c i o n a i s — q u e f i c a m e m c o r respondência c o m o s p o n t o s d e u m a r e t a .
IR = —3 1
—2 1
—1 1
0 1
Qun 1 1
2 1
3 1
4 1
5 !
-
E s s e s n o m e s não são m u i t o b o n s . P o r e x e m p l o , n e n h u m número é r e a l , c o n c r e t o . T o d o número é i d e a l , a b s t r a t o , i n v e n t a d o p e l o h o m e m . Mas, historicamente, ficaram os nomes: N a t u r a l , Inteiro, Racional, Real etc. E m | R f i c a m possíveis operações c o m o ^ 5 F , q u e não está e m ( Q . C o n t u d o , não s e p o d e c a l c u l a r a i n d a V — 4 , q u e não está e m | R . Números d e s s e t i p o p e r t e n c e m a o Conjunto dos Números Complexos, que é estudado n o segundo grau. 22
D e v e m o s a i n d a c l a s s i f i c a r o s números i r r a c i o n a i s e m d u a s c a t e g o r i a s : a s raízes c o m o y/2, y/T, . . ., c h a m a d o s números i r r a c i o n a i s algébricos, q u e já f o r a m e s t u d a d o s n a Grécia clássica, e o s c h a m a d o s númer o s transcendentais ( q u e não são raízes), c o m o TZ e o u t r o s . O b s e r v a r q u e y/Ã é número n a t u r a l e q u e 0 , 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 . . . não é dízima periódica.
23
Etapas de aprendizagem
INTRODUÇÃO Q u a n d o u m h o r t i c u l t o r f a z u m a plantação d e a l f a c e , t a l v e z s a i b a , m a i s o u m e n o s , q u e e s s a p l a n t a p o s s u i d u a s histórias: a história d a espécie ( q u e e v o l u i u d e s d e o a p a r e c i m e n t o d a v i d a ) e a história d e c a d a pé ( d e s d e a s e m e n t e até a f a s e a d u l t a ) q u e , a p r o x i m a d a m e n t e , r e p e t e a história d a espécie. A a l f a c e , c o m o q u a l q u e r o u t r o s e r v i v o , p o s s u i u m código genét i c o próprio, constituído d u r a n t e o s milhões d e a n o s d a história d a s u a espécie, q u e d i r i g e a história d e c a d a indivíduo. É i m p o r t a n t e r e s s a l t a r q u e a história d a espécie d i r i g e a história i n d i v i d u a l , m a s não a determina. D o i s e r r o s e x t r e m o s o h o r t i c u l t o r não p o d e c o m e t e r : a passividade d e não i n t e r v i r n o d e s e n v o l v i m e n t o d a a l f a c e , já q u e e l a está g e n e t i c a m e n t e p r o g r a m a d a , e a utopia d e i n t e r v i r a r b i t r a r i a m e n t e , p a r a i m p o r s u a v o n t a d e . É p r e c i s o t r a b a l h a r u s a n d o o c o n h e c i m e n t o d a s próprias l e i s d a n a t u r e z a , p r o m o v e n d o o d e s e n v o l v i m e n t o e até i n f l u i n d o n a s d u a s histórias, d e n t r o d e c e r t o s l i m i t e s : c a p i n a r , a d u b a r , d e f e n d e r , p r o v o c a r mutações e t c . É preciso c o n h e c e r as etapas d o d e s e n v o l v i m e n t o d a alface p a r a dar à planta o t r a t a m e n t o adequado: saber qual o m o m e n t o d o plantio, d o t r a n s p l a n t e , d a c o l h e i t a e t c . P o r t a n t o , não só a história d a espécie, m a s também o a m b i e n t e v a i d e t e r m i n a r a história i n d i v i d u a l . O h o m e m trabalha o ambiente. Logo, quanto mais conhecimento ele tem, mais atuante pode ser. D e a c o r d o c o m M u l l e r ( 1 8 2 1 - 1 8 9 7 ) , célebre médico n a t u r a l i s t a , c a d a indivíduo p o s s u i u m a história q u e t r a n s c o r r e a c o m p a n h a n d o a p r o 24
x i m a d a m e n t e a história d a espécie à q u a l p e r t e n c e . E l e f o r m u l o u u m a l e i s e g u n d o a q u a l " o d e s e n v o l v i m e n t o d o indivíduo é u m a recapitulação a b r e v i a d a d a história d e s u a espécie". E s s a l e i é m u i t o útil, d e s d e q u e não s e j a a p l i c a d a r i g i d a m e n t e . A espécie h u m a n a , p o r e x e m p l o , f o i e v o l u i n d o até c h e g a r a o q u e é h o j e , p a s s a n d o p o r p r o f u n d a s t r a n s f o r mações. E c a d a indivíduo e m p a r t i c u l a r também s o f r e u m a série d e m e t a m o r f o s e s , q u e começam n o útero m a t e r n o e c o n t i n u a m d e p o i s d o nascimento. A s s i m , o f a t o d e t e r a p r e n d i d o a a n d a r e r e t a m e n t e n a Pré-história não i m p l i c a q u e o h o m e m já nasça s a b e n d o a n d a r . C a d a criança d e v e , s o z i n h a , p a s s a r p e l a s e t a p a s d a espécie h u m a n a , a p r e n d e n d o a a n d a r e m pé, a f a l a r , a c o n t a r , a a d q u i r i r noção d e conservação e a s s i m p o r d i a n t e . E c a d a criança f a z i s s o n u m r i t m o próprio. A B i o l o g i a e s t u d a a evolução d a espécie h u m a n a ; a Psicogenética e s t u d a a evolução i n d i v i d u a l .
PIAGET J e a n P i a g e t ( 1 8 9 6 - 1 9 8 0 ) , psicólogo suíço m u n d i a l m e n t e f a m o s o p o r s e u s e s t u d o s n a área d a Psicogenética, r e a l i z o u experiências q u e e v i d e n c i a r a m q u a t r o estágios n o d e s e n v o l v i m e n t o lógico: Estágio sensório-motor — V a i d e s d e o n a s c i m e n t o até c e r c a d e 2 4 m e s e s . N e s s e período, a criança p a s s a d e a t i v i d a d e s p u r a m e n t e r e f l e x a s à formação d o s p r i m e i r o s hábitos, d e p o i s à coordenação e n t r e visão e preensão ( o l h o s e mãos), à p r o c u r a d e o b j e t o s e s c o n d i d o s , à prática d e a t o s i n t e n c i o n a i s , à complexificação e diferenciação d e e s q u e m a s d e ações e à resolução d e p r o b l e m a s p o r compreensão. Estágio pré-operatório — V a i d o s 2 a n o s , a p r o x i m a d a m e n t e , até c e r c a d e 7 a n o s . E s s a f a s e t e m início c o m o a p a r e c i m e n t o d a l i n g u a g e m , q u e é u m a função simbólica. Começa a c u r i o s i d a d e ( p o r quê? c o m o ? que é isto?), aparece o pensamento intuitivo. Estágio das operações concretas — V a i d o s 7 a o s 1 2 a n o s , a p r o x i m a d a m e n t e , e é o q u e m a i s interessa neste l i v r o . N e s t a etapa d o d e s e n v o l v i m e n t o , a criança a i n d a está t o t a l m e n t e l i g a d a a o b j e t o s r e a i s , c o n c r e t o s , m a s já é c a p a z d e p a s s a r d a ação à operação, q u e é u m a 25
CLASSIFICAÇÃO Estágio
D A S ESTRUTURAS
Características
Idade
COGNITIVAS Noções matemáticas
1. SENSÓRIO-MOTOR
meses 1. A t i v i d a d e s reflexas 2. P r i m e i r o s
hábitos
0—1 1 —4
3. Coordenação e n t r e visão e preensão
4— 8
Maior/menor
4. Permanência do o b j e t o , i n t e n c i o n a l i d a d e dos atos
8—11
Noção de espaço, f o r m a s
5. D i f e r e n c i a ç ã o dos esquemas de ação
11 — 18
6. Solução de p r o b l e m a s
18 — 24
4. OPERAÇÕES FORMAIS
3. OPERAÇÕES CONCRETAS
2. PRÉ-OPERATÓRIO
anos 1. Função s i m b ó l i c a (linguagem)
2— 4
Desenhos
2. Organizações representat i v a s , p e n s a m e n t o intuitivo
4— 5
Contagem, figuras
3. Regulação articulada
5— 7
Correspondência termo a termo, conservação do n ú m e r o , classificação s i m p l e s
representativa
1. Operações s i m p l e s , regras, p e n s a m e n t o e s t r u t u r a d o f u n d a m e n t a d o na manipulação de o b j e t o s 7— 9 2. M u l t i p l i c a ç ã o
lógica
geométricas
Reversibilidade, classificação, seriação, t r a n s i t i v i d a d e , conservação de t a m a n h o , d i s t â n c i a , área, conservação de quantidade descontínua, c o n s e r v a ç ã o da massa (7 anos) Classe-inclusão, c á l c u l o , conservação do peso, c o n s e r v a ç ã o do v o l u m e , f r a ç õ e s (9 anos)
1. Lógica hipotético-dedutiva, raciocínio abstrato
12 — 13
Proporção, c o m b i n a ç õ e s (12 anos)
2. Estruturas
13 — 15
D e m o n s t r a ç ã o , álgebra (13 anos)
formais
N o t a : As idades constantes do quadro são apenas um referencial. Elas variam muito de criança para criança. Além disso, ela pode estar num estágio em relação a um comportamento e em outro em relação a outro comportamento.
26
ação i n t e r i o r i z a d a . É também n e s s e estágio q u e começa a c a p a c i d a d e d e c l a s s i f i c a r e d e f a z e r transformações reversíveis, i s t o é, q u e p o d e m ser i n v e r t i d a s , v o l t a n d o à o r i g e m , q u e p o d e m s e r d e s m o n t a d a s . C o m e çam a s e e s t a b e l e c e r a l g u m a s noções d e conservação. Estágio das operações formais — V a i d o s 1 1 o u 1 2 a n o s até m a i s o u m e n o s o s 1 5 . É a f a s e e m q u e a p a r e c e o raciocínio lógico: a criança já é c a p a z d e p e n s a r u s a n d o abstrações. C a d a estágio s e r v e d e b a s e p a r a o estágio s e g u i n t e ; porém o d e s e n v o l v i m e n t o não é l i n e a r n e m a p e n a s q u a n t i t a t i v o . Há r u p t u r a s n o m o d o d e p e n s a r , há mudanças d e q u a l i d a d e p r o v o c a d a s p e l o d e s e n v o l v i m e n t o q u a n t i t a t i v o d e a t i v i d a d e s . P o r i s s o , a s m e n s a g e n s são i n t e r pretadas de m o d o s diferentes e m cada etapa de desenvolvimento d a criança. I s s o é f u n d a m e n t a l e m educação. É i m p r o d u t i v o , e até p r e j u d i c i a l , t e n t a r c e r t a s a t i v i d a d e s c o m a l u n o s q u e a i n d a não estão n o estágio d e assimilá-las. A s s i m , u m a l u n o p o d e não a p r e s e n t a r b o m r e s u l t a d o n u m d e t e r m i n a d o a s s u n t o e d e n a d a adiantará f a z e r r e c u p e ração. É necessária u m a correspondência e n t r e o d e s e n v o l v i m e n t o p s i c o genético e a s a t i v i d a d e s p r o p o s t a s n a e s c o l a , l e m b r a n d o s e m p r e q u e o p e n s a m e n t o c r e s c e a p a r t i r d e ações, o u s e j a , v a i d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o , d a manipulação p a r a a representação, e d e s t a p a r a a s i m bolização.
Como avaliar o desenvolvimento psicogenético A l g u m a s experiências d e avaliação d o d e s e n v o l v i m e n t o psicogenét i c o são p a r t i c u l a r m e n t e i m p o r t a n t e s n a Matemática. V e j a m o s a s principais.
Classificação C o r t a r e m c a r t o l i n a q u a d r a d o s e círculos d e d o i s t a m a n h o s , relos e vermelhos.
ama-
P r i m e i r o , d e i x a r q u e a criança b r i n q u e l i v r e m e n t e c o m a s peças. D e p o i s , p e d i r q u e as descreva: isto é u m q u a d r a d o p e q u e n o , v e r m e l h o etc. P e d i r que as classifique p o r cor, o u f o r m a , o u t a m a n h o . (Classificar p o r c o r é s e p a r a r a s peças e m a m a r e l a s e v e r m e l h a s ; p o r f o r m a é s e p a r a r q u a d r a d o s d e círculos.) 27
Crianças m u i t o n o v a s não f a z e m classificação. E s s a operação é a t i n g i d a c o m 5 o u 6 a n o s . C o m m a i s i d a d e , a criança p o d e c h e g a r a u m a classificação m a i s c o m p l e x a . E s s a experiência também p o d e s e r f e i t a c o m b l o c o s lógicos ( v e r capítulo 3 , página 7 0 ) , c o m c a r r i n h o s d e várias m a r c a s , c o r e s , t a m a n h o s etc.
Conservação do número
oooooooo o o o o o o o o oooooooo oooooooo C o l o c a r n a m e s a o i t o t a m p i n h a s d e g a r r a f a e p e d i r à criança q u e também c o l o q u e a m e s m a q u a n t i d a d e . T e m o s então u m a situação c o m o a mostrada n o primeiro quadrinho. Dizer: — E s t a s t a m p i n h a s são m i n h a s , a s o u t r a s são s u a s ; q u e m t e m mais? A r e s p o s t a será: — Igual. E m s e g u i d a , j u n t a r a s d e l a e espaçar a s s u a s , c o m o n o s e g u n d o quadrinho, e perguntar: — Q u e m t e m m a i s , e u o u você? 28
Crianças d e 4 a 5 a n o s responderão q u e você t e m m a i s . D e 5 a 6 a n o s , ficarão n a dúvida. A s d e 6 a n o s já darão a r e s p o s t a c o r r e t a , p e r c e b e n d o q u e o espaçamento não a l t e r a o número.
Seriação Q u e b r a r dez palitos de sorvete e m t a m a n h o s diferentes, variando d e centímetro e m centímetro. 1
P e d i r à criança q u e o s c o l o q u e e m o r d e m . Até c e r c a d e 6 a n o s , a criança não o fará. A p e n a s separará o s p a l i t o s e m g r a n d e s e p e q u e n o s , o u o s juntará e m p e q u e n o s c o n j u n t o s . Após o s 6 o u 7 a n o s , já será c a p a z d e f a z e r a s comparações c o r r e t a m e n t e e c o l o c a r o s p a l i t o s em ordem.
Conservação da quantidade descontínua P a r a e s s a experiência são necessários d o i s c o p o s d e f o r m a t o s b e m d i f e r e n t e s u m d o o u t r o e u m a c a i x a c o m grãos o u cápsulas.
I r p a s s a n d o l e n t a m e n t e o s grãos d a c a i x a p a r a o s d o i s c o p o s , grão a grão, c o m a m b a s a s mãos, a o m e s m o t e m p o . D e p o i s d e já t e r p a s s a d o c e r t a q u a n t i d a d e , p e r g u n t a r à criança e m q u e c o p o há m a i s grãos. 29
Respostas
q u e c o s t u m a m s e r d a d a s p o r crianças d e até 6 a n o s :
— Este copo é mais alto, t e m mais. — Neste t e mmais porque é mais largo. D e p o i s d o s 6 a n o s a s r e s p o s t a s são c o r r e t a s : — Têm a m e s m a
quantidade.
Conservação do tamanho M a t e r i a l necessário: d u a s t i r a s d e c a r t o l i n a i g u a i s , c o m c e r c a d e 1 2 c m d e c o m p r i m e n t o , e q u a t r o "vês" i g u a i s .
M o n t a r o esquema d a figura e perguntar qual tira é maior. V i r a r o s "vês" e r e p e t i r a p e r g u n t a .
A n t e s d o s 6 a n o s , a criança dirá q u e a t i r a c o m o s "vês" v i r a d o s p a r a d e n t r o é m e n o r . Q u a n d o v i r a m o s o s "vês", o c o m p r i m e n t o m u d a . Após o s 6 o u 7 a n o s , dará a r e s p o s t a c o r r e t a . Terá a t i n g i d o a noção d e permanência d o c o m p r i m e n t o . 30
Conservação da área M o s t r a r à criança d u a s b o l a c h a s r e d o n d a s o u q u a d r a d a s , i g u a i s . D i z e r à criança q u e u m a b o l a c h a é s u a e o u t r a é d e l a . D e p o i s , q u e b r a r a sua. P e r g u n t a r q u e m g a n h o u m a i s b o l a c h a . P o d e acontecer u m a resposta assim: — A sua quebrou, ficou
menos.
D e p o i s d o s 6 o u 7 a n o s , a criança dará a r e s p o s t a q u e o a d u l t o e s p e r a . A experiência p o d e s e r f e i t a c o m " b o l a c h a s " d e c a r t o l i n a o u outro material.
Classe-inclusão São necessárias d e z o i t o peças d e c a r t o l i n a , s e n d o seis q u a d r a d o s v e r m e l h o s e q u a t r o a m a r e l o s e o i t o círculos v e r m e l h o s .
R e p a r e q u e t o d a peça a m a r e l a é q u a d r a d a , m a s n e m t o d o d r a d o é a m a r e l o . Começar a s p e r g u n t a s :
qua-
— T o d o s o s q u a d r a d o s são v e r m e l h o s ? — T o d a peça a m a r e l a é q u a d r a d a ? — T o d o s o s círculos são v e r m e l h o s ? — Há m a i s q u a d r a d o s o u m a i s círculos? — Há m a i s peças o u m a i s q u a d r a d o s ? 31
A última p e r g u n t a e x i g e a comparação d e u m c o n j u n t o d e peças c o m u m seu subconjunto de quadrados. A idade para responder corret a m e n t e a e s s a p e r g u n t a é m u i t o variável, f i c a n d o e n t r e 5 e 1 0 a n o s . P a r a c o m p r e e n d e r o c o n c e i t o d e número, é f u n d a m e n t a l a percepção d a inclusão d e c l a s s e s .
Conservação de quantidades contínuas (massa) P a r a f a z e r e s s a experiência c o m a criança, p r e c i s a - s e d e d o i s c o p o s exatamente iguais e u m terceiro, mais largo, m a s c o m a m e s m a capacidade d o s outros.
E n c h e r c o m água o s c o p o s i g u a i s e p e r g u n t a r à criança e m q u a l d o s d o i s há m a i s água. E l a dirá q u e a q u a n t i d a d e é i g u a l . D e s p e j a r o conteúdo d e u m d e l e s n o c o p o m a i s l a r g o e v o l t a r c o m a p e r g u n t a . Até 6 o u 7 a n o s , a s r e s p o s t a s m a i s c o m u n s são: — A q u i tem mais. — P o r quê? — P o r q u e é mais alto. Ou: — E s s e t e m m a i s água. — P o r quê? — Porque é mais gordo. D e p o i s d o s 6 o u 7 a n o s , a s r e s p o s t a s são c o r r e t a s : — São i g u a i s . — P o r quê? — Este é mais baixo, m a s é mais largo. 32
C a b e l e m b r a r a q u i q u e os cientistas e n t r a m n u m a o u t r a etapa, n a q u a l a m a s s a não é m a i s c o n s e r v a d a , m a s m u d a c o m a v e l o c i d a d e , é r e l a t i v a . I s s o , porém, não é d a intuição c o m u m .
Conservação do peso C o m a r g i l a o u m a s s a plástica f a z e r d u a s b o l a s i g u a i z i n h a s e p e r g u n t a r à criança q u a l é a m a i s p e s a d a . E l a responderá q u e são i g u a i s . P e g a r então u m a d a s b o l a s e pressioná-la até f i c a r e s t i c a d a c o m o u m a salsicha.
/L5 £ j Voltar a perguntar: — E agora, qual a mais pesada? A s r e s p o s t a s d e crianças até 8 o u 9 a n o s serão: — Esta é mais comprida, é mais pesada. — Esta é mais leve porque é fina. A p a r t i r d e s s a i d a d e , começam a d a r r e s p o s t a s c o r r e t a s .
Conservação de volume M a t e r i a l necessário: d o i s c o p o s i g u a i s , c o m água até a m e s m a a l t u r a , e d u a s b o l a s d e m a s s a plástica, também i g u a i s .
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C o l o c a r c a d a b o l a n u m c o p o e d e i x a r q u e a criança p e r c e b a q u e o s níveis s u b i r a m i g u a l m e n t e . R e t i r a r a s b o l a s e t r a n s f o r m a r u m a d e l a s e m " s a l s i c h a " . Daí p e r g u n t a r : — S e e u c o l o c a r e s t a s m a s s a s d e n t r o d a água, e m q u e c o p o o nível d a água subirá m a i s : o d a b o l a o u o d a " s a l s i c h a " ? A n t e s d o s 1 0 o u 1 1 a n o s , a criança não terá condições d e p e r c e b e r q u e o v o l u m e não s e a l t e r a c o m a deformação. *
*
*
H á m u i t a s o u t r a s experiências n a e x t e n s a e f e c u n d a o b r a d e P i a g e t . Porém, p a r a n o s s o s propósitos, e s t a s b a s t a m . A escola deve p l a n e j a r suas atividades d e m o d o q u e o a l u n o possa p a r t i r d e e l e m e n t o s c o g n i t i v o s q u e s e e n c o n t r a m e m s e u repertório, p a r a então c o n s t r u i r o n o v o . O p r o f e s s o r p r e c i s a c o n h e c e r s e u s a l u n o s p a r a f a v o r e c e r e s s a evolução c o m a t i v i d a d e s o p o r t u n a s . É inútil forçar u m a a t i v i d a d e impossível p a r a a e t a p a e m q u e a criança s e e n c o n t r a , m a s também não s e p o d e f i c a r e s p e r a n d o q u e o a l u n o e v o l u a s o z i n h o , c o m o s e o c o n h e c i m e n t o e s t i v e s s e n o s códigos genéticos. É necessária u m a interação e n t r e a s p o t e n c i a l i d a d e s d e c a d a e t a p a e o a m b i e n t e — n o q u a l se i n c l u i a escola — q u e p r e c i s a s e r r i c o e m o t i v a d o r .
MATEMÁTICA CONCRETA A s relações recíprocas e n t r e o d e s e n v o l v i m e n t o d o indivíduo ( o n t o gênese) e o d e s u a espécie (filogênese) l e v a m à integração e n t r e a s teorias de Piaget e a Antropologia. E s t u d o s teóricos p e r m i t e m c h e g a r a a l g u m a s constatações. P o r e x e m p l o , a noção d e permanência d a m a s s a p a r e c e f a z e r p a r t e d a r e v o lução d o Neolítico, i s t o é, d o f i m d a Pré-história. C o m o v i m o s n o capítulo a n t e r i o r , c o m o início d a a g r i c u l t u r a s u r g e a n e c e s s i d a d e d e v a s i l h a s p e r m a n e n t e s p a r a a r m a z e n a m e n t o d o s grãos. E l a s já e x i s t i a m a o n a t u r a l ( c u i a s , cabaças e t c ) , m a s não r e s i s t i a m a o f o g o , além d e s e r e m p e q u e n a s e d e u s o p o u c o sistemático. T e v e início a fabricação d e c e s t o s trançados e , e m s e g u i d a , s e u r e c o b r i m e n t o c o m b a r r o p a r a r e s i s t i r a o f o g o . S u r g e a cerâmica. D u a s são a s direções q u e forçam a 34
adaptação c e r e b r a l : o próprio t r a b a l h o c o m a " m a s s a " d a a r g i l a ( g r a n d e z a contínua) e a manipulação d o s conteúdos d a s v a s i l h a s p r o n t a s (grãos: g r a n d e z a s descontínuas; líquidos: g r a n d e z a s contínuas). O s grãos são a concretização d a permanência, p o i s a variação d e s u a s disposições, d e v a s i l h a p a r a v a s i l h a , não a l t e r a s u a q u a n t i d a d e . I s s o e x i g e o a p a r e c i m e n t o d a c o n t a g e m e d a permanência d o número. A s noções d e permanência p e r m i t e m a t r o c a , o comércio. R e s u l t a d o s d e p e s q u i s a s n o s l e v a m a r e l a c i o n a r , não r i g i d a m e n t e , é c l a r o , o d e s e n v o l v i m e n t o psicogenético d e u m a criança c o m a e v o l u ção antropológica. A s s i m :
/
.sensório-motor
pré-hominídeo
pré-operatório '(características 1 e 2 do quadro da página 26)
Paleolítico
pré-operatório — ( c a r a c t e r í s t i c a 3)
Paleolítico s u p e r i o r } Pré-história
inferior
Estágio ^operações concretas . ( c a r a c t e r í s t i c a 1)
. Neolítico
)
^operações c o n c r e t a s . ( c a r a c t e r í s t i c a 2)
Egito
antigo
^operações f o r m a i s
Grécia e Roma
antigas
DIENES A s h a b i l i d a d e s q u e u m indivíduo p o s s u i não a p a r e c e m d e r e p e n t e . E l a s também r e s u l t a m d e u m p r o c e s s o q u e o c o r r e p o r e t a p a s . É u m a evolução q u e s e dá d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o . M u i t a s v e z e s , a e x p e riência c o n c r e t a s e r e a l i z a n a e s c o l a , c o m m a t e r i a i s a p r o p r i a d o s . O u t r a s v e z e s , é a própria vivência q u e o a l u n o t r a z , a p r e n d i d a n o d i a - a - d i a . A experiência c o n c r e t a s e i n i c i a c o m a manipulação c u r i o s a , c o m o c o n t a t o físico, c o m o s s e n t i d o s . 35
À m e d i d a q u e a s experiências vão s e a c u m u l a n d o , começam a s u r g i r semelhanças e classificações, q u e l e v a m à formação d o s c o n c e i t o s . Surge depois a capacidade d e descrever, c o m p a r a r , representar graficam e n t e e, p o r f i m , d e e q u a c i o n a r e d e m o n s t r a r . A e s c o l a d e v e f a v o r e c e r e p r o m o v e r esse a m a d u r e c i m e n t o n o r m a l , a o invés d e f u n c i o n a r c o m o e m p e c i l h o , t o r n a n d o a s a t i v i d a d e s forçadas e s e m atrativos. A s etapas d e v e m transcorrer n o r m a l m e n t e e trazer satisfação à criança. S e g u n d o o e d u c a d o r Z o l t a n P a u l D i e n e s , essas e t a p a s , n a M a t e mática, são a s s e g u i n t e s : Jogo livre — É a e t a p a d a c u r i o s i d a d e , d o c o n t a t o c o m o m a t e r i a l , que pode o c o r r e r n a escola. P o r e x e m p l o : b r i n c a r l i v r e m e n t e c o m b l o c o s lógicos ( v e r capítulo 3 , página 7 0 ) , s e m r e g r a s . Regras do jogo — A s próprias crianças começam a s e i m p o r regras: fazer m o n t a g e n s , classificar, o r d e n a r (de a c o r d o c o m s u a idade). É o m o m e n t o d e o p r o f e s s o r f a z e r sugestões e d i r i g i r a s a t i v i d a d e s p a r a c e r t o s f i n s ( p o r e x e m p l o , s e p a r a r b l o c o s lógicos p o r c o r e s , f o r m a s , tamanhos etc). Jogo do isomorfismo — A s crianças começam a p e r c e b e r s e m e lhanças e n t r e o s d i v e r s o s j o g o s p r a t i c a d o s e i s s o g e r a u m a classificação, através d a abstração d a e s t r u t u r a c o m u m . E s s a abstração é u m a m u dança d e q u a l i d a d e p r o v o c a d a p e l o a u m e n t o q u a n t i t a t i v o d e e s t r u t u r a s semelhantes. Representação — P a r a t o m a r consciência d e u m a abstração, a criança t e m n e c e s s i d a d e d e u m p r o c e s s o d e representação d a situação abstraída. T a l representação poderá s e r u m d e s e n h o , u m gráfico, u m d i a g r a m a o u q u a l q u e r o u t r a representação v i s u a l o u a u d i t i v a . Linguagem inventada — A criança t o m a p l e n a consciência d a abstração. É c a p a z d e d e s c r e v e r , r e p r e s e n t a r e v e r b a l i z a r a e s t r u t u r a abstraída. I n v e n t a l i n g u a g e n s e , c o m a a j u d a d o p r o f e s s o r , s e l e c i o n a a mais vantajosa. Teoremas — N e s t a última e t a p a , a criança já é c a p a z d e m a n i pular sistemas formais. 36
N a P e d a g o g i a t r a d i c i o n a l , a direção d a a p r e n d i z a g e m é i n v e r s a a e s s a sequência. A criança p a s s a d o s i s t e m a f o r m a l p a r a a e t a p a d a representação, p o r m e i o d o s i m b o l i s m o , e t o r n a - s e necessário e n s i n a r - l h e a s aplicações d o s c o n c e i t o s n a r e a l i d a d e . D e p e n d e n d o d a i d a d e , o a l u n o percorrerá a s e t a p a s d e s c r i t a s d a s e g u i n t e m a n e i r a : n a l . e n a 2 . séries, poderá a t i n g i r até a f a s e d a representação; n a 3 . e n a 4 . , poderá c h e g a r à l i n g u a g e m i n v e n t a d a ; s o m e n t e e n t r e 1 4 e 1 5 a n o s , poderá a t i n g i r a última e t a p a , c o n s t r u i n d o u m a estrutura formal. a
a
a
a
E s t a b e l e c e n d o u m a relação e n t r e a s e t a p a s d e s c r i t a s p o r D i e n e s e a A n t r o p o l o g i a , c o m o fizemos c o m a teoria de Piaget, temos o seguinte esquema:
jogo
livre
. Pré-hominídeo
selvagem
regras do j o g o
Paleolítico i n f e r i o r (utilização de paus, pedras, c o u r o , o s s o s , segundo certas regras, cada i n s t r u m e n t o c o m sua utilidade)
jogo do i s o m o r f i s m o
Paleolítico superior (classificação gerando noção de par, n ú m e r o s etc.)
Etapas ^representação linguagem inventada Heoremas
Neolítico (calendário, desenhos cerâmica) Egito antigo (receitas e f ó r m u l a s
geométricos, práticas)
Grécia e Roma antigas (teorias formalizadas)
A IMPORTÂNCIA DA VIVÊNCIA A s s i m c o m o o s p o v o s não evoluíram c o m a m e s m a v e l o c i d a d e , também a s crianças não a m a d u r e c e m d o m e s m o m o d o , e o s c o n c e i t o s não são i n t e r i o r i z a d o s s i m u l t a n e a m e n t e . D e p e n d e m d e d i v e r s o s f a t o r e s . A experiência d e v i d a , n a i d a d e a p r o p r i a d a , é u m f a t o r d e c i s i v o ; e m c a s a , n o c l u b e , n a e s c o l a , n a r u a , e m t o d o l u g a r . E há s e m p r e u m a i d a d e m a i s f e c u n d a p a r a c a d a experiência. 37
N a idade certa, é preciso regar plantas c o m u m a m a n g u e i r a para t e r o v i s u a l d a parábola d e água e a sensação d a reação d a m a n g u e i r a a o j a t o ; d a transformação d o e s g u i c h o contínuo e m g o t a s ; d o arco-íris n a b r u m a q u e o r l a o j a t o ; d a s variações d o c h u v e i r o p r o v o c a d a s p e l o d e d o n a saída d a água e t c . N a idade certa, é preciso serrar madeiras para sentir a textura, as f i b r a s q u e não p o d e m s e r c o r t a d a s c o m f a c a , a s variações d e d u r e z a e resistência. É p r e c i s o c a v a r b u r a c o s n o s o l o , s e n t i r a t e r r a , o s grân u l o s , a variação d e u m i d a d e c o m a p r o f u n d i d a d e , o b s e r v a r raízes, minhocas, formigas. N a idade certa, é preciso cozinhar, lidar c o m fogo, sentir o calor e a l u z . N o t a r a mudança q u e a c o z e d u r a p r o v o c a n o s a l i m e n t o s , a evaporação, a condensação. E n c o s t a r a mão n o c a b o d e c o l h e r d e m a d e i r a e d e m e t a l d e n t r o d a p a n e l a , p a r a a d q u i r i r noção d e c o n d u t i b i l i d a d e . É p r e c i s o c o s t u r a r , t e c e r , p r e g a r botões. D i s s o l v e r , m i s t u r a r , s a t u r a r . U s a r d e t e r g e n t e s , s o l v e n t e s , óleos, c e r a . É p r e c i s o p r a t i c a r e s portes, artes. São m i l h a r e s d e experiências q u e d e s e n v o l v e m o s s e n t i d o s , p o s s i b i l i t a n d o , l o g o d e p o i s , o a p r e n d i z a d o d e a r t e s , ciências e técnicas. B r i n c a r e f a z e r experiências é c o n s t r u i r a b a s e c o n c r e t a p a r a t o d a s a s disciplinas. E s t a é a f a s e pré-histórica d o d e s e n v o l v i m e n t o d a inteligência s e n sório-motora. É a f a s e necessária p a r a a s p o s t e r i o r e s operações c o n c r e t a s , a c u m u l a n d o c o n h e c i m e n t o s q u e serão o r g a n i z a d o s n a e t a p a d a s operações f o r m a i s . O s b r i n q u e d o s pedagógicos p o d e m , e m p a r t e , s u b s t i t u i r a r i q u e z a d e s s a s experiências. E m u i t o s b r i n q u e d o s pedagógicos p o d e m s e r e l a b o r a d o s n a e s c o l a , c o m m a t e r i a i s disponíveis.
BLOOM P l a n e j a r u m c u r s o c o n s i s t e não a p e n a s e m p r o g r a m a r o q u e e n s i n a r , m a s também e m s e l e c i o n a r a s experiências q u e deverão s e r v i v e n c i a d a s e a s técnicas pedagógicas m a i s a p r o p r i a d a s p a r a o t r a b a l h o escolhido. 38
U m b o m p l a n e j a m e n t o supõe u m a definição c l a r a d e o b j e t i v o s a s e r e m alcançados. O e s t a b e l e c i m e n t o d e o b j e t i v o s c o n s t i t u i u m a b a s e sólida p a r a a seleção d e conteúdos, métodos, técnicas, estratégias e recursos. Q u a n d o fazemos u m p l a n e j a m e n t o , devemos classificar os objet i v o s p a r a então l h e s d a r o t r a t a m e n t o a d e q u a d o . C l a s s i f i c a r o b j e t i v o s e d u c a c i o n a i s é, n o mínimo, u m a experiência enriquecedora p a r a o professor. E l e precisa saber, naquele m o m e n t o , e m q u e nível v a i t r a b a l h a r c o m o a l u n o : n o d a informação, n o d a resolução d e p r o b l e m a s , n o d a demonstração e a s s i m p o r d i a n t e . C a d a nível e x i g e a b o r d a g e m , método e avaliação a p r o p r i a d o s . P o r t a n t o , é n e cessária u m a séria preocupação c o m a f o r m a , c o m o m e i o q u e v a i s e r utilizado nos trabalhos e msala d e aula. P o r e x e m p l o : os recursos audiov i s u a i s são e x c e l e n t e s p a r a r e p a s s a r informações ( e não a p e n a s p a r a i s s o ) , o vídeo está s e i m p o n d o , t r a z e n d o r e c u r s o s inesgotáveis. O c o m p u t a d o r é ótimo p a r a t r e i n a m e n t o n a resolução d e exercícios, além d e o u t r a s possibilidades. O s t r a b a l h o s e m g r u p o , as pesquisas d e c a m p o , as redações, o s seminários, e n f i m , c a d a t i p o d e t r a b a l h o p r o d u z r e s u l t a d o s diferentes. Se u m professor " e f i c i e n t e " escreve n a l o u s a e e x p l i c a q u e a s o m a d a s m e d i d a s d o s ângulos d e u m triângulo é 180°, o a l u n o n o r m a l a p r e n d e . S e , a o contrário, o p r o f e s s o r propõe a t i v i d a d e s q u e l e v a m o a l u n o a d e s c o b r i r e s s a p r o p r i e d a d e , o a l u n o também a p r e n d e . E m t e r m o s d e conteúdo, o s r e s u l t a d o s f i n a i s são o s m e s m o s , m a s o s e g u n d o p r o c e s s o p e r m i t e a t i n g i r m u i t o s o u t r o s o b j e t i v o s , i n c l u s i v e e m níveis c o m p o r t a m e n t a i s . S e a e s c o l a está a p e n a s a m e s t r a n d o u m a l u n o , o p r i m e i r o método é m a i s d i r e t o . Deve-se estudar b e m a t a x i o n o m i a de B l o o m (ver quadro) para v e r i f i c a r q u e a p r i m e i r a c a t e g o r i a t r a t a a p e n a s d a memória, a s e g u n d a começa a e x i g i r c e r t a s h a b i l i d a d e s m o t o r a s e lógicas, a t e r c e i r a já e x i g e raciocínio e a s s i m p o r d i a n t e . É p r e c i s o e s t i m u l a r a inteligência e a criatividade, b e m c o m o a motricidade e a afetividade. I n f e l i z m e n t e , e n t r e nós, o e n s i n o d a Matemática f i c a q u a s e q u e a p e n a s n o s níveis d e c o n h e c i m e n t o e utilização d e métodos e p r o c e d i m e n t o s , i s t o é, o a l u n o a p r e n d e a t e r m i n o l o g i a e a s fórmulas e t r e i n a f a z e r substituições p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s d e r o t i n a . A Matemática f i c a t r a n s f o r m a d a e m a l g o rígido, a c a b a d o , c h a t o , s e m f i n a l i d a d e . O 39
T A X I O N O M I A POS OBJETIVOS E D U C A C I O N A I S — B L O O M
1. C o n h e c i m e n t o de
Terminologia Fatos e s p e c í f i c o s Convenções Tendências e sequências - ( C l a s s i f i c a ç õ e s e categorias Critérios Metodologia Princípios e generalizações iTeorias e estruturas
2. Utilização de p r o c e d i m e n t o s e p r o c e s s o s (rotina)
3. C o m p r e e n s ã o
4. A p l i c a ç ã o
5. A n á l i s e de
6. Síntese
*T
À
li s va laçao
i
f Translação Interpretação ^Extrapolação
(situações-problemas) ("Elementos < Relações l P r i n c í p i o s organizacionais f P r o d u ç ã o de uma comunicação singular 1 Produção de um plano ou c o n j u n t o de operações ^Derivação de u m c o n j u n t o de relações abstratas f J u l g a m e n t o em t e r m o s de evidências i n t e r n a s \ J u l g a m e n t o e m t e r m o s de c r i t é r i o s e x t e r n o s
a l u n o u s a a p e n a s a memória; não d e s e n v o l v e a s h a b i l i d a d e s d e e x t r a p o l a r , r e s o l v e r situações-problemas, r a c i o c i n a r , c r i a r . Não t e m o p r a z e r da descoberta. F i c a m faltando elementos para seu desenvolvimento integral. A proposta deste l i v r o é j u s t a m e n t e a d e p r o g r a m a r u m ensino d e m o d o a d o s a r memória, raciocínio e c r i a t i v i d a d e , t e n t a n d o a síntese d a Matemática t r a d i c i o n a l e d a m o d e r n a . O u t r o p r o b l e m a sério e d e caráter m a i s g e r a l está e m q u e n o s s a s e s c o l a s d e f i n e m o b j e t i v o s a p e n a s e m t e r m o s d e conteúdo, q u a n d o o q u e d e v e r i a s e r f e i t o é d e f i n i r o b j e t i v o s n o nível c o m p o r t a m e n t a l . A o p r o f e s s o r c a b e r i a s e l e c i o n a r a t i v i d a d e s e conteúdos p a r a a t i n g i r a q u e l e s objetivos. Isto s e m falar e m objetivos afetivos e psicomotores, dos 40
q u a i s não t r a t a m o s n e s t e l i v r o , m a s q u e estão t e s t a d o s n a s a t i v i d a d e s propostas. Estudamos Piaget e B l o o m . V e j a agora o produto cartesiano de s u a s t e o r i a s , f o r m a d o p e l o s estágios p i a g e t i a n o s n o e i x o h o r i z o n t a l e os o b j e t i v o s classificados p o r B l o o m n o e i x o vertical: 6 5
CO o •Si O
2 -
Estágios
D e s s e m o d o , ( 3 , 4 ) s i g n i f i c a t r a b a l h a r n o estágio d a s operações c o n c r e t a s ( p a s s a g e m p a r a operações f o r m a i s ) e n o nível d a aplicação. *
O PROBLEMA DA AVALIAÇÃO Avaliação é u m a s s u n t o m u i t o sério. O p r o c e s s o d e avaliação t e m u m a relação d i r e t a c o m o s o b j e t i v o s f o r m u l a d o s e n e l e s e n c o n t r a s e u s i g n i f i c a d o . E m o u t r a s p a l a v r a s , só s e p o d e f a z e r u m a avaliação q u a n d o s e t e m p o r referência o b j e t i v o s a alcançar. A v a l i a r não s i g n i f i c a c o n s t a t a r o q u e o c o r r e u , m a s f a z e r u m balanço e n t r e o q u e s e p r e t e n d i a e o q u e f o i c o n s e g u i d o . É a l g o q u e c o m p r o m e t e m u i t o o e d u c a d o r , m a s também é o único i n s t r u m e n t o c a p a z d e a p o n t a r e m q u e direção e c o m q u e i n t e n s i d a d e c a m i n h a o desenvolvimento d o aluno.
* O autor está trabalhando neste modelo, utilizando a Teoria das Catástrofes por causa dos saltos qualitativos no eixo dos estágios. Estuda também a possibilidade de mais um estágio: dialética.
41
Q u a n d o o s o b j e t i v o s são d e f i n i d o s a p e n a s e m t e r m o s d e conteúdo, a avaliação é q u a s e mecânica, através d e p r o v a s o b j e t i v a s , até e m f o r m a d e t e s t e s d e múltipla e s c o l h a . E s t e l i v r o contém orientações p a r a a u l a s e x p o s i t i v a s , v i s a n d o a o conteúdo. Porém, s e o p r o f e s s o r passa a d e s e n v o l v e r atividades c o m o as a q u i sugeridas, t r a b a l h a n d o c o m h a b i l i d a d e s e r e d e s c o b e r t a s , a avaliação m u d a d e f o r m a e d e f i n a l i d a d e . E será m u i t o difícil h a v e r repetência, p r i n c i p a l m e n t e n a l . série, a não s e r e m c a s o s e x t r e m o s d e crianças limítrofes o u c o m graves p r o b l e m a s , q u e necessitam d e escolas especiais. a
P i a g e t já t e s t o u . A criança p a s s a p e l a s e t a p a s n o r m a l m e n t e , d i f e r e n c i a d a m e n t e , e m interação c o m o a m b i e n t e , i n c l u i n d o a e s c o l a . A s a t i v i d a d e s p r o p o s t a s a q u i também já f o r a m t e s t a d a s . T r a t a - s e d e u m a Matemática c o n c r e t a , q u e c o r r e s p o n d e a o estágio d a s operações c o n c r e t a s d e P i a g e t ( e a o c o n h e c i m e n t o egípcio). E n g a j a d a n o d e s e n v o l v i m e n t o psicogenético d o a l u n o , a c a b a p r o d u z i n d o e f e i t o s d e h a b i l i d a d e s e conteúdo m u i t o s u p e r i o r e s a o q u e s e c o s t u m a a v a l i a r o b j e t i v a m e n t e . E s t e g r a n d e c o n h e c i m e n t o , s o b f o r m a d e operações c o n c r e t a s , será s i s t e m a t i z a d o , c o m o n a Grécia clássica, q u a n d o o a l u n o e n t r a r n o estágio d a s operações f o r m a i s , época e m q u e a s avaliações f i c a m mais objetivas. a
a
D a l . à 4 . série, a avaliação p a r a esse método é a c o m p a n h a r p e r m a n e n t e m e n t e o a l u n o , v e r i f i c a n d o se e l e fez as a t i v i d a d e s , q u e t i p o d e mudança d e c o m p o r t a m e n t o o c o r r e u ( e q u e n e m s e m p r e é o m e s m o de a l u n o p a r a a l u n o ) . P o r serem atividades interessantes, desafiadoras e l i g a d a s à própria evolução d o a l u n o , p r o v o c a m mudanças n o r m a i s , s e m t r a u m a s , r e s p e i t a n d o i n d i v i d u a l i d a d e s e, f e c u n d a m e n t e , a c e l e r a n d o o próprio a m a d u r e c i m e n t o . Há a t i v i d a d e s i n d i v i d u a i s e e m g r u p o s . O u t r a s , p a r a pesquisa o u t r e i n a m e n t o e m casa. P o d e h a v e r p r o v a s i n d i v i d u a i s o u e m g r u p o s , m a s a p e n a s c o m o mais uma a t i v i d a d e . Aliás, o p r e p a r a r - s e p a r a u m a p r o v a é u m a d a s m a i o r e s distorções d o e n s i n o . O a l u n o n o r m a l só p o d e r i a f i c a r r e t i d o s e , n o m o m e n t o d e a e s c o l a t r a b a l h a r c o m operações f o r m a i s , e l e a i n d a e s t i v e s s e e m o u t r o estágio. O p r o f e s s o r q u e d e s e n v o l v e r s u a a t i v i d a d e n o r m a l m e n t e terá, c o m u m a l u n o n o r m a l , u m d e s e n v o l v i m e n t o n o r m a l . P o r isso, o m a i s i m p o r t a n t e é o p r o f e s s o r se a u t o - a v a l i a r . 42
a
É e v i d e n t e q u e o a l u n o , até a 4 . série, p r e c i s a c o n h e c e r , e x p l i c i t a m e n t e , a l g u m a s informações c o m o a s q u a t r o operações, frações e u m p o u c o d e g e o m e t r i a . Porém, i s s o é pouquíssimo p e r t o d a r i q u e z a d e e s t r u t u r a s q u e e l e constrói. S e o e n s i n o f o r lúdico e d e s a f i a d o r , a a p r e n d i z a g e m prolonga-se f o r a d a sala d e aula, f o r a d a escola, p e l o c o t i d i a n o , até a s férias, n u m c r e s c e n d o m u i t o m a i s r i c o d o q u e a l g u m a s informações q u e o a l u n o d e c o r a p o r q u e vão c a i r n a p r o v a . Aliás, informação p o r informação, e l a s estão n o s l i v r o s , m u i t o b e m e x p l i c a d a s , e a g o r a também n o s vídeos e c o m p u t a d o r e s , c a d a v e z m a i s e f i c i e n t e s . V a l e a q u i u m a comparação. Q u a n d o f o i i n v e n t a d a a f o t o g r a f i a , o s p i n t o r e s s e l i b e r t a r a m d a cópia. E m t e r m o s d e informações s u p e r f i c i a i s , a p i n t u r a não p o d e c o m p e t i r c o m a f o t o g r a f i a e o c k i e m a . O s p i n t o r e s a g o r a t r a b a l h a m c o m composições d e f o r m a s e c o r e s p a r a p r o v o c a r s e n t i m e n t o s . T r a b a l h a m n o nível psicológico, c o m emoções q u e a técnica d i f i c i l m e n t e a t i n g e . Q u a l q u e r p e s s o a é c a p a z d e f o t o g r a f a r ; e x i s t e u m g r a n d e número d e p i n t o r e s q u e c o p i a m r o s t o s , f o t o s , p a i s a g e n s . Porém a r t i s t a s , são p o u c o s . A g o r a a máquina i n v a d e a educação n o c a m p o d a informação. O p r o f e s s o r , l i b e r t o d a a u l a mecânica, p o d e cuidar de c o m p o r t a m e n t o s e afetos.
43
Laboratório de Matemática
INTRODUÇÃO C o m o v i m o s no* capítulo a n t e r i o r , p a r a u m e n s i n o e f i c i e n t e d a Matemática o p r o f e s s o r t e m n e c e s s i d a d e d e p a r t i r d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o . C o m i s s o , e l e d e s e n v o l v e métodos próprios, i n t e g r a d o s n a s t e o r i a s q u e estuda, l e v a n d o e m c o n t a as p a r t i c u l a r i d a d e s d o a l u n o (região o n d e v i v e , c l a s s e s o c i a l , f a i x a etária, nível d e e s c o l a r i d a d e e t c ) . A o s p o u c o s , o p r o f e s s o r v a i f o r m a n d o u m " c a n t i n h o d a Matemática", às v e z e s u m a s i m p l e s e s t a n t e o n d e s e e n c o n t r a m l i v r o s , c a r t a z e s e d i v e r s o s m a t e r i a i s c o m o s q u a i s f a z experiências, d e s e n v o l v e n o v a s técnicas e v a i a c u m u l a n d o r e s u l t a d o s .
44
N e s t e capítulo, t r a t a r e m o s d e d i v e r s o s r e c u r s o s c o n c r e t o s , c o m sugestões p a r a a t i v i d a d e s , q u e contribuirão n a formação d o " c a n t i n h o d a Matemática". E s s e a c e r v o poderá c r e s c e r , a p o n t o d e a e s c o l a , o u o próprio p r o f e s s o r , p o s s u i r u m laboratório o u u m a sala ambiente, c r i a d o s l e n t a m e n t e , s e m m u i t o s g a s t o s e n a m e d i d a d e s u a utilização. É m u i t o fácil! C o m u m p o u c o d e prática, o p r o f e s s o r formará o l a b o ratório c o m d i v e r s o s utensílios e l a b o r a d o s p e l o s próprios a l u n o s , a p r o v e i t a n d o o m a t e r i a l disponível. A ação d e p r o d u z i r é m a i s i m p o r t a n t e q u e o próprio m a t e r i a l p r o d u z i d o . O laboratório poderá i n c l u i r u m museu e u m a biblioteca. A aprendizagem deve processar-se d o concreto para o abstrato. T o d a atividade feita c o m m a t e r i a l concreto pode serrepetida, de d i v e r s a s f o r m a s , g r a f i c a m e n t e . É o p r i m e i r o p r o c e s s o d e abstração. A s sugestões d e a t i v i d a d e s d e Aritmética e G e o m e t r i a serão v i s t a s p o s t e r i o r m e n t e . A n t e s , t o r n a - s e necessário e s t u d a r a l g u n s r e c u r s o s p a r a a p r e n d i z a g e m , b e m c o m o o m o d o d e confeccioná-los e d e utilizá-los e m classe.
CARTAZ VALOR DO LUGAR (CAVALU) O c a r t a z v a l o r d o l u g a r , q u e c h a m a m o s a b r e v i a d a m e n t e d e cavalu, é d e c i s i v o n o t r a b a l h o c o m números e operações p a r a a s d u a s p r i m e i r a s séries, a s s i m c o m o o u t r o s m a t e r i a i s c o n c r e t o s ( t a m p i n h a s , p a l i t o s , pedras etc). O cartaz deve ficar permanentemente preso n aparede e e m lugar b e m visível; poderá s e r c o n f e c c i o n a d o também e m t a m a n h o r e d u z i d o , para trabalhos e m grupo o u individuais. A confecção d o c a r t a z é m u i t o s i m p l e s . São necessárias u m a c a r t o l i n a e u m a f o l h a d e p a p e l . N o p a p e l , f a z e r três d o b r a s ( o u m a i s ) . G r a m p e a r o u costurar a o redor para fixar o papel c o m dobras n a cartolina e fazer mais duas costuras verticais d i v i d i n d o o cavalu e m três c o l u n a s , f i c a n d o c o m n o v e b o l s a s . E s c r e v e r e m c i m a : u n i d a d e s , d e z e n a s e c e n t e n a s . O c a v a l u também p o d e s e r f e i t o c o m l o n a c o s t u r a d a e f i x a d a e m c o m p e n s a d o o u papelão. 45
Cavalu centena
dezena
unidade
is palitos de s o r v e t e s ou f i c h a s
N o c a v a l u d e s e n h a d o a c i m a , t e m o s , n a p r i m e i r a l i n h a , o número 25: duas dezenas e cinco unidades; n a segunda linha, temos o 1 0 1 ; n a t e r c e i r a , o 1 2 . P a r a r e p r e s e n t a r o s números, u s a r p a l i t o s d e s o r v e t e , fichas o u algo semelhante. T u d o b e m simples e q u e possa ser visto c o m clareza d o f u n d o d a sala. T o d o s o s palitos d e v e m ser iguais. O q u e d i f e r e n c i a a s o r d e n s é o l u g a r . Aí está o f u n d a m e n t a l : o valor do lugar.
Sugestões de atividades 1. O s números vão s e n d o r e p r e s e n t a d o s vão s e n d o e s t u d a d o s . c d u
n o quadro c
à medida que d
u
2. Q u a n d o c h e g a r a o 5 : a ) e s c o l h e r u m número d e 1 a 5 p a r a o a l u n o r e p r e s e n t a r n o c a v a l u : b ) r e p r e s e n t a r u m número p a r a q u e o a l u n o o l e i a . 3. Adição:
3 + 2
Contar o total. 46
4. Subtração:
Passar dois palitos para b a i x o e contar quantos f i c a r a m (os cinco p a l i t o s p o d e m s e r três d e u m a c o r e d o i s d e o u t r a ) . 5. C o n t i n u a r r e p r e s e n t a n d o o s números até p a s s a r d e d e z , s e m p r e n a coluna das unidades. C o m b i n a r de fazer amarradinhos de dez ( d e u m a d e z e n a ) , p o r q u e o s p a l i t o s não estão m a i s c a b e n d o n a coluna. Depois de trabalhar u m pouco c o mamarradinhos representando 1 0 + 1 , 1 0 + 2 e t c , c o m b i n a r que os amarradinhos ficarão d o l a d o e s q u e r d o , n a c o l u n a d a s d e z e n a s . T r a b a l h a r u m p o u c o d e s s a f o r m a , s e p a r a n d o o s a m a r r a d i n h o s d a s u n i d a d e s . P o r último, u m a v e z q u e n a s e g u n d a c o l u n a só f i c a m a s d e z e n a s , c o m b i n a r q u e e l a s poderão s e r r e p r e s e n t a d a s p o r u m a f i c h a a p e n a s . C a d a f i c h a da esquerda vale u m amarradinho, u m a dezena. É o valor d o lugar. 6. À m e d i d a q u e o s números vão s e n d o e s t u d a d o s , r e p e t i r s e m p r e esta atividade: a ) r e p r e s e n t a r u m número e p e d i r a o a l u n o q u e o l e i a ; b ) d i z e r u m número e p e d i r a o a l u n o q u e o r e p r e s e n t e n o c a v a l u .
12
15
23
D e s e n h a n d o o c a v a l u s i m p l i f i c a d o n o c a d e r n o , r e p e t i r as a t i v i d a d e s d o i t e m 6 . F a z e r variações c o m o : p e d r i n h a s e m b u r a c o s , ábaco, dois m e n i n o s ( o das unidades e o das dezenas, representando c o m os dedos; v e j a o 3 7 n a f i g u r a ) e t c
47
8. T r a n s f o r m a r d e z e n a s e m u n i d a d e s e v i c e - v e r s a :
9. Adição ( c o m r e s e r v a ) :
I
9 + 2
I
D e z unidades f o r a m transformadas e m u m a dezena. 10. Adição e subtração d e d e z e n a s i n t e i r a s : 1 Í B T 20 + 5 0
60 — 40
(Ver item 4 . )
J _ L 11. Adição e subtração d e d e z e n a s i n t e i r a s c o m d e z e n a s e u n i d a d e s : 30 + 2 4 C o n t a r o total: 5 dezenas e 4 unidades = 5 4 . 12. Adição e subtração d e d e z e n a s e u n i d a d e s ( s e m r e s e r v a ) :
riniiii 34 + 23
1
36 — 14
18 ih
22 i
13. P a r o u ímpar? D a d o u m número, p e g a r a s f i c h a s e colocá-las u m a d e b a i x o d a o u t r a , d u a s a d u a s , p a r a v e r se s o b r a a l g u m a s e m p a r . 7 é ímpar.
F a z e r s o m e n t e c o m a s u n i d a d e s , p o i s t o d a d e z e n a é p a r . São c i n c o p a r e s . M o s t r a r i s s o n o c a v a l u , c o n c l u i n d o q u e o s números t e r m i n a d o s e m 0 , 2 , 4 , 6 o u 8 são p a r e s . 48
14. Multiplicação p o r 2 :
2 X 3
R e p e t i r o 3 duas vezes. (Ver item 8 . )
2 X 7
15. Multiplicação p o r 3 :
mm 21
3 X 7
MTITTTl 3 X 12
i
1
I
II118
36
L e r a s s i m m e s m o , s e m m e x e r n o c a v a l u : t r i n t a e s e i s . D i z e r : três v e z e s d u a s u n i d a d e s , três v e z e s u m a d e z e n a , p r e p a r a n d o p a r a o algoritmo.
16. Divisão p o r 2 :
R e p a r t i r as fichas e m duas dobras ( d e u m a e m u m a , duas e m duas, c o m o quiser).
C o n t a r e m u m a d o b r a : t o d a s têm a m e s m a q u a n t i d a d e . 49
17. Divisão p o r 3 : R e p a r t i r a s f i c h a s e m três d o b r a s , c o m o n o i t e m a n t e r i o r . 21
III HM UB III B
Contar e m u m a dobra. 18. R e p r e s e n t a r números m a i o r e s q u e c e m . P e d i r a o a l u n o q u e l e i a ; d a r u m número e p e d i r p a r a representá-lo. 19. T r a n s f o r m a r c e n t e n a e m d e z e n a e v i c e - v e r s a (análogo a o i t e m 8 ) . 20. V a l o r a b s o l u t o versus v a l o r r e l a t i v o :
243 • o 2 não é 2 , é 2 0 0 , d u a s c e n t e n a s ; • o 4 não é 4 , é 4 0 , q u a t r o d e z e n a s ; • o 3 é 3 mesmo, 3 unidades. O s a l g a r i s m o s são 2 , 3 e 4 , m a s a posição l h e s dá o u t r o v a l o r . M a i s tarde, dizer q u e o 2 é 2 e é 2 0 0 : valor absoluto, 2 ; valor relativo, 2 0 0 . 21.
Multiplicação p o r 1 0 : 2 X 1 0 = 10+10 = 2
dezenas.
O 2 v i r a 2 0 ; é só c o l o c a r u m z e r o n o 2 . 12 X 1 0 = 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + + 1 0 + 1 0 + 1 0 = 1 2 dezenas. 1 2 X 1 0 = 1 2 0 .
J
L
O 1 2 v i r a 1 2 0 ; é só c o l o c a r u m z e r o n o 1 2 . 50
22. Adição ( c o m r e s e r v a ) : a ) p r i m e i r a série d e exercícios s o m e n t e n o c a v a l u : 53 +.28.
m BB
m is m BB
81
III
M S BB
b ) S e g u n d a série d e exercícios, a s s o c i a n d o , p a s s o a p a s s o , o c a v a l u c o m o abstrato: 47
82
+ 35
40 + 30 + 70 + 12 = 7 0 + 1 0 + 2 = 8 2
c ) T e r c e i r a série d e exercícios, s o m e n t e e m a b s t r a t o : 58 = 5 0 +
8
+ 24= 2 0 + 4 70 + 12= 7 0 + 10+ 2 = 8 2
d ) Q u a r t a série d e exercícios, f o r m a l i z a n d o a o s p o u c o s o a l g o r i t m o :
+
6; 5 2! 7 8!12 9|2
5|6 + 3Í7 ~9Í3
29= 20+ 9 38= 30+ 8 + 5 = 5^ 50+ 22= 70+ 2 = 72
23. Subtração ( c o m r e s e r v a ) : a ) Só n o c a v a l u : 65 —27
BBS
m gg§ BB
—>
BBB BB B IB BB l | 111 i BB
•38 (parte retirada) 51
b ) F a z e r a associação e n t r e números, p a s s o a p a s s o , n o c a v a l u :
S
43 25 40 + 3
> 18
3 0 + 13
30 + 13 2 0 — 5
D o 3 não s e p o d e t i r a r 5 , p o r i s s o u m a d e z e n a f o i t r a n s f o r m a d a e m unidades, ficando 3 0 e 1 3 .
c ) Até o f i m , só n o c a v a l u : 52 I H — 24
se i i
mm
BI II
1MI1I BI III 1
28
E m s e g u i d a , só e m a b s t r a t o , r e p e t i n d o o q u e f o i f e i t o n o c a v a l u : 52 = 50 + 2 = 40 + 12 —24 = —20 —4 = — 2 0 — 4 2 0 + 8 = 28
d ) F i n a l m e n t e s e m c a v a l u , só e m a b s t r a t o : 2 —1 7
24. Cálculo d o •
desconhecido:
+ 3= 8
São o i t o f i c h a s . C o l o c a r três n o c a v a l u , e a s q u e s o b r a r e m , n o quadrado acima. 52
25. Multiplicação ( c o m
algoritmo):
118 na
2 X 31
i i
2 X 17
3 X 214
sa BI 11
I g 8
B3B B HS fl 11!
31 31 + 62
30 + 1 X 2 60 + 2
31 X2 62
17 17 + 34
10+7 X 2 2 0 + 14
17 X2 34
214 214 214 +
200+ 10+ 4 X 3 600 + 30 + 12
214 X3 642
642
26. Divisão:
ne s BB§ B 118 B
14-^3
sobra I I
C o l o c a r e m três p r e g a s d o c a v a l u ( d e u m a e m u m a , d u a s e m d u a s , c o m o s e q u i s e r e f o r possível). 27. Operações c o m números d e c i m a i s : dez.
unid.» déc.
u n i d . * déc.
dez.
u n i d . déc.
eia I l l | u um dez. u n i d . ) déc. 1
25,8 -12,5 34,2 -12,5
—•
dez, 13,4 X 3
dez. 13,6 4-21,7
7,4 + 2,3
unid.ydéc.
• U.lll I I
m
-*
13,3 dez.
->
unid. > déc.
|
1
21,7
se m n
s m ma R m m i 1 m ma
D i s t r i b u i r n o c a v a l u , c o m o s e não h o u v e s s e vírgula. 53
FLANELÓGRAFO
A confecção é s i m p l e s . U m c o m p e n s a d o d e 1 m p o r 8 0 c m , a p r o x i m a d a m e n t e , coberto c o m flanela. Pode ser feito n o verso d o cavalu. A s f i g u r a s também são f e i t a s e m f l a n e l a ( o u c a r t o l i n a ) e, p a r a f a c i l i t a r s u a fixação n o q u a d r o , d e v e m t e r c o l a d a s n o v e r s o três t i r i n h a s d e l i x a p a r a m a d e i r a . É só i s s o . T u d o m u i t o b o n i t o e c o l o r i d o . A s f i g u r a s d e v e m ser feitas d e a c o r d o c o m as necessidades. I n v e n t a r histórias: e r a m três p a t i n h o s n a d a n d o , c h e g a r a m m a i s d o i s e t c . É preciso utilizar figuras q u e possam ser reproduzidas n o caderno o u e m folhas mimeografadas. A característica p r i n c i p a l d o flanelógrafo é q u e as f i g u r a s f i c a m grudadas, m a s p o d e m ser retiradas e trocadas de lugar.
Sugestões de atividades 1. C o l o c a r n o flanelógrafo várias f i g u r a s d e d o i s o u três t i p o s p a r a o aluno agrupar, classificando e separando e m conjuntos ( p o r cores, f o r m a s , t a m a n h o s , utilidade). 2. E n t r e várias f i g u r a s d e u m m e s m o t i p o e a p e n a s u m a d i f e r e n t e , pedir a o aluno q u e identifique e retire d o quadro aquela q u e f o r d i f e r e n t e . A a t i v i d a d e p o d e s e r i l u s t r a d a c o m u m a história, c o m o a d o patinho feio. 54
3. C e r c a r c o n j u n t o s e l i g a r e l e m e n t o s ( a s t i r a s e s e t a s d e ligação p o d e m ser de cartolina). F i x a r n o quadro u m c o n j u n t o de pires e o u t r o d e xícaras. P e r g u n t a r e m q u e c o n j u n t o há m a i s e l e m e n t o s . P a r a r e s p o n d e r , o a l u n o d e v e l i g a r c a d a xícara a u m p i r e s . R e p e t i r a a t i v i d a d e c o m c o n j u n t o s d e b o l a s e crianças, p e i x e s e aquários e t c . 4. Seriação. Pôr e m o r d e m f i g u r a s d e t a m a n h o s
diferentes.
5. C l a s s i f i c a r e o r d e n a r f i g u r a s r e p r e s e n t a n d o números ( f o l h a s d e u m a p o n t a , d u a s , três, . . .; árvores d e u m g a l h o , d o i s , três, . . .; d a d o s e m várias posições e t c ) . 6. J o g o d o u m a m a i s . I r c o l o c a n d o f i g u r a s d e u m a e m u m a n o flanelógrafo p a r a q u e o s a l u n o s d i g a m o número; c a d a número é s e m p r e u m a m a i s d o q u e o a n t e r i o r . F a z e r também o i n v e r s o : tirar de u m ae m u m a (jogo d o u m a menos), de duas e m duas (dois a m e n o s ) etc. 7. Adição. C o l o c a r três l a r a n j a s d e u m l a d o e d o i s a b a c a t e s d e o u t r o . M o n t a r o problema: Papai f o i à feira, quantas laranjas c o m p r o u ? Q u a n t o s abacates? P e d i r a u m a l u n o q u e j u n t e tudo. Perguntar e m seguida: — E n o total, quantas frutas papai comprou? A ação d e r e u n i r é necessária. É e l a q u e l e v a a o c o n c e i t o d e adição. F a z e r várias v e z e s a a t i v i d a d e c o m o u t r o s números. 8. Subtração. C o l o c a r seis f e r r a m e n t a s n o flanelógrafo. P e r g u n t a r : — Q u a n t a s são a s f e r r a m e n t a s ? M a n d a r r e t i r a r três. — Quantas sobraram? E s s a ação d e r e t i r a r é q u e l e v a a o c o n c e i t o d e subtração. R e p e t i r . 9. I n v e r s i b i l i d a d e . R e t i r a r e c o l o c a r f i g u r a s n o q u a d r o , p a r a f o r m a r a noção d e adição e subtração c o m o operações i n v e r s a s . 10. O u t r o s m o d o s d e p e r c e b e r a adição e a subtração: — Q u a n t o s d e v o c o l o c a r p a r a f i c a r e m sete? — Quantos devo retirar para ficarem quatro? — Quantos faltam? Quantos a mais? 55
— R e t i r e i três e f i q u e i c o m c i n c o , q u a n t o s e r a m ? — C o l o q u e i d o i s e f i q u e i c o m sete, q u a n t o s 11.
eram?
Separar e m dois conjuntos. E x e m p l o : sete b o l a s . Há várias soluções: 1 + 6 ,
2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1 .
12. S e p a r a r e m três c o n j u n t o s , r e p e t i n d o o raciocínio a n t e r i o r . 13. A s s o c i a r . V e j a m o s u m e x e m p l o c o m três c o n j u n t o s : três v a c a s , dois burros e quatro cabritos. a) J u n t a r vacas e burros, achar o t o t a l e depois j u n t a r o s cabritos: (3 + 2 ) + 4 . b) J u n t a r b u r r o s e cabritos, achar o t o t a l e depois j u n t a r as vacas: 3 + (2 + 4). 14. Multiplicação. U s a r c o n j u n t o s c o m o m e s m o número d e e l e m e n t o s . E x e m p l o : três c u r r a i s c o m d u a s v a c a s e m c a d a u m . N o t o t a l : 2 + 2 + 2= 3 X 2 . 15. Divisão. R e p a r t i r f l o r e s e m três v a s o s ; r e p a r t i r v a c a s e m c u r r a i s e t c .
QUADRO DE PINOS É u m quadro simples, c o m furos, e cerca de vinte pinos que p o d e m ser c o l o c a d o s n o s f u r o s . P o d e s e r f e i t o d e c o m p e n s a d o o u c h a p a d e papelão. D e v e - s e r i s c a r d u a s r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s e f a z e r u m g a n c h o para pendurar n a parede. O q u a d r o d e p i n o s é m u i t o útil p a r a j o g o s . A s a t i v i d a d e s s e d e s e n v o l v e m s e m p r e e m d u a s direções: a) pedir a o a l u n o q u e c o l o q u e pinos segundo u m a regra; b) colocar os pinos n o quadro e pedir a o a l u n o q u e descubra a regra. 56
o
o o
0
o
o < o <)
o
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<
o
Sugestões de atividades 1. J o g o d e r e p r e s e n t a r números c o m p i n o s . C a d a p i n o é u m a u n i d a d e ; u m a l u n o d i z ( o u e s c r e v e ) u m número, e o u t r o o r e p r e s e n t a . 2. J o g o d a o r d e m . F o r m a r e s c a d i n h a s : o o o o o o etc. 3. P a r o u ímpar? o o o o
o
o
o
4. Adição: 8 + 5: colocar oito pinos mais cinco pinos e contar o total. 5. Subtração: 7 — 4 : c o l o c a r sete p i n o s , r e t i r a r q u a t r o p i n o s e c o n t a r o q u e r e s t o u . 57
6. Multiplicação: 3 X 5 : c o l o c a r c i n c o p i n o s três v e z e s (três f i l a s h o r i z o n t a i s o u verticais) e contar o total. 7. J o g o d a decomposição. Números r e t a n g u l a r e s , números p r i m o s , números c o m p o s t o s , números p a r e s , números q u a d r a d o s . E x e m p l o s : o o o • 6: o
o
o f o r m a retângulo, l o g o é c o m p o s t o ; .
• 5: o
o
o
o
o não f o r m a retângulo, é p r i m o ;
o o • 4 : o o f o r m a q u a d r a d o , é número q u a d r a d o . 8. Divisão: 1 8 - ^ - 3 : t o m a r d e z o i t o p i n o s e d i s t r i b u i r e m três f i l a s . M o s t r a r q u e a s três f i l a s f i c a m i g u a i s . 9. M e t a d e — d o b r o ; u m terço — t r i p l o e t c . 10. J o g o d o p a r o r d e n a d o :
58
a) D a d o o p a r o r d e n a d o ( 4 , 3 ) , l o c a l i z a r n o q u a d r o : q u a t r o p a r a a d i r e i t a e três p a r a c i m a ( c o m o n a f i g u r a a n t e r i o r ) . b ) C o l o c a r u m p i n o n o q u a d r o e p e d i r q u e o a l u n o d i g a o s númer o s ( c o o r d e n a d a s ) ; u s a r a p e n a s o p r i m e i r o q u a d r a n t e (números positivos). 11.
Gráficos. I m p o r condições: a ) T o d o s o s p i n o s c o m o p r i m e i r o número i g u a l a três: ( 3 , 2 ) , (3, 5 ) etc. b ) T o d o s o s p i n o s c o m o s e g u n d o número i g u a l a c i n c o : ( 2 , 5 ) e t c . c ) T o d o s o s p i n o s c o m o p r i m e i r o número i g u a l a o s e g u n d o : ( 2 , 2 ) etc. d ) T o d o s o s p i n o s c o m o s e g u n d o número i g u a l a o d o b r o d o p r i meiro: ( 3 ,6), ( 1 , 2 ) etc. e ) T o d o s o s p i n o s c o m o s e g u n d o número i g u a l a o p r i m e i r o m a i s u m : ( 2 ,3), ( 1 , 2 ) etc. C a d a caso destes r e s u l t a n u m a reta. O s p i n o s d e v e m ser ligados c o m u m b a r b a n t e . M a i s t a r d e , dá-se u m c o m a n d o c o m o : o s e g u n d o número i g u a l a o q u a d r a d o d o p r i m e i r o . I s s o levará à formação d e u m a parábola. 2
12. Operações v i s t a s c o m o funções d e N ~» N : a ) C o m adição. C o l o c a r o p i n o e m ( 5 , 3 ) ; o a l u n o d e v e p e n s a r n o s d o i s números c o o r d e n a d o s e d i z e r oito. C a d a p a r d e números p o s s u i u m a s o m a . O c o r r e o m e s m o c o m as o u t r a s operações. A u m e n t a r a v e l o c i d a d e , c o m b i n a r j o g o s , pagamento de prendas etc. b ) C o m divisão. S e o p i n o f o r ( 6 , 2 ) , o a l u n o d e v e d i z e r três; se o p i n o f o r ( 7 , 3 ) , o a l u n o d i z s e r impossível. Porém, a p a r t i r d a 3 . série, dirá sete terços. a
13. Relações. O q u a d r o d e p i n o s p o d e também s e r u s a d o p a r a gráficos e relações ( v i s u a l i z a r a s p r o p r i e d a d e s r e f l e x i v a , simétrica e a s s i métrica). 59
14. F o r m a r f i g u r a s geométricas, l i g a n d o p i n o s c o m b a r b a n t e o u c o r d i n h a s : polígonos, polígonos e s t r e l a d o s , d i a g o n a i s , s e v i a n a s e t c . P e d i r o simétrico d e ( 5 , 3 ) e m relação à b i s s e t r i z d o p r i m e i r o q u a d r a n t e . N o s níveis m a i s a d i a n t a d o s , p e d i r o simétrico e m r e l a ção a o s e i x o s e à o r i g e m . D a r ( 5 , 3 ) e p e d i r a s o m a ( o u o u t r a operação) d a s c o o r d e n a d a s d o simétrico. A c o m p l e x i d a d e d e s s e j o g o p o d e s e r a u m e n t a d a , c o m pondo simetrias. T o d a s essas a t i v i d a d e s p o d e m s e r r e f e i t a s e m c a d e r n o s culados. Cada pino equivale a colorir u m quadrinho.
quadri-
CARTAZES O s c a r t a z e s são m u i t o úteis p a r a i l u s t r a r a l g u m a s a t i v i d a d e s e p o d e m ser deixados permanentemente n a parede, m o s t r a n d o todos os símbolos matemáticos d a q u e l a série, o f e r e c e n d o a o s a l u n o s u m a visão global. MATEM. 1.
MATEM. Geom.
a
série
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1.°
X
-í-
=
*
+
-
• OOOÒOo
A D O D O O 1/2 1/4
1/4 1/6
60
1/3
1/6
1/6
1/6
1/6
1/9 1/9 1/9
ÁLBUM SERIADO Constitui-se de folhas de c a r t o l i n a e m t a m a n h o n a t u r a l e duas c a p a s d e papelão, d o m e s m o t a m a n h o d a s f o l h a s , q u e a j u d a m o álbum a m a n t e r - s e e m pé s o b r e a m e s a . P o d e - s e também u t i l i z a r u m c a v a l e t e p a r a apoiá-lo. A s f o l h a s e a s c a p a s d e v e m s e r p r e s a s n u m a d a s e x t r e m i d a d e s c o m a r g o l a s g r a n d e s , q u e p e r m i t a m v i r a r a s páginas c o m facilidade. E m c a d a página c o l o c a - s e u m a s s u n t o , e m sequência. O v e r s o d a página a n t e r i o r , q u e f i c a à m o s t r a , p o d e s e r u s a d o p a r a anotações e l e m b r e t e s p a r a q u e m está e x p o n d o o a s sunto. /
O álbum s e r i a d o é ótimo p a r a a t i v i d a d e s s e q u e n c i a i s , p r o b l e m a s encadeados e conhecimentos classificados e ordenados. E x e m p l o : q u a n d o a c l a s s e já e s t i v e r c o n h e c e n d o várias p r o p r i e d a d e s d a s f i g u r a s g e o métricas, c o l o c a r n u m a página d o álbum s e r i a d o o triângulo c o m t u d o q u e se r e f e r e a e l e ; n a página s e g u i n t e , f a z e r o m e s m o c o m o q u a d r i látero e a s s i m p o r d i a n t e .
ÁBACO E m c a d a a r a m e f i c a m até d e z o i t o bolinhas, o que é igual a 9 + 9. Assim, é possível e f e t u a r operações c o m e m préstimos. V e j a , n a f i g u r a a o l a d o , c o m o s e r e p r e s e n t a o número 2 1 3 n o ábaco.
61
O b s e r v a r q u e a ação d e p u x a r a s b o l i n h a s é i m p o r t a n t e p a r a a j u d a r o a l u n o a a d q u i r i r a noção d e u m a m a i s . Além d o ábaco m o s t r a d o n a f i g u r a , e x i s t e m o u t r o s t i p o s , encont r a d o s e m m e s a s d e j o g o s , n o s c h a m a d o s "cadeirões" de crianças e e m outras formas.
QUADRO DE VARETAS
C o n s i s t e n u m q u a d r o d e m a d e i r a e m c i m a d o q u a l se c o l o c a m varetas. V e j a : N o d e s e n h o há três v a r e t a s d i s p o s t a s d e l a d o e q u a t r o d e c o m p r i d o ; l o g o , são d o z e ( 3 X 4 ) c r u z a m e n t o s . O j o g o é s i m p l e s : c o l o c a r a s v a r e t a s e p e r g u n t a r a o a l u n o o número d e c r u z a m e n t o s o b t i d o s . Atenção p a r a u m d e t a l h e : o q u a d r o não p o d e s e r l i s o e m c i m a , p a r a q u e a s v a r e t a s não r o l e m ; a l g u n s p r e g u i n h o s r e s o l v e m o p r o b l e m a .
QUADRO PAED C o m o m o s t r a a figura, trata-se de u m q u a d r o c o m dois arames c r u z a d o s ; e m c a d a u m a d a s e x t r e m i d a d e s há u m número f i x o d e b o l i nhas unidas entre si: u m a , duas, quatro e oito.
62
O j o g o é o s e g u i n t e : d i z e r u m número d e 1 até 1 5 ; p a r a r e p r e s e n tá-lo, o a l u n o p u x a a s b o l i n h a s p a r a o c e n t r o d o q u a d r o . S i r v a d e e x e m p l o o número 7 . D e v e m s e r p u x a d a s 4 + 2 + 1 b o l i n h a s . Há variações. P o d e - s e d i z e r u m número q u a l q u e r d e 1 a 1 5 , e o a l u n o p u x a p a r a o c e n t r o o número d e b o l i n h a s q u e f a l t a m p a r a c h e g a r a o 15; dizendo 6, por exemplo, o aluno p u x a 9 bolinhas. Os jogos c o m o quadro Paed e n v o l v e m associatividade e comutatividade.
QUEBRA-CABEÇA ARITMÉTICO C o n s e g u i r u m quebra-cabeça c o m u m e , e m c i m a d e c a d a peça, c o l a r u m p a p e l c o m indicação d e u m a c o n t a . F a z e r u m t a b u l e i r o c o m u m a m a r g e m e m v o l t a , m a i s a l t a , p a r a q u e a s peças não se d e s l o q u e m . N e s s e t a b u l e i r o , e s c r e v e r , n o l u g a r d e c a d a peça, o r e s u l t a d o d a c o n t a i n d i c a d a , s e m d e s e n h a r a peça.
O a l u n o p e g a u m a peça, f a z a c o n t a , p r o c u r a a r e s p o s t a n o t a b u l e i r o e c o l o c a a peça e m c i m a . S e o r e s u l t a d o d a c o n t a e s t i v e r e r r a d o , a peça não e n c a i x a . P o d e - s e u s a r u m quebra-cabeça p a r a c a d a a l u n o o u g r u p o d e alunos. Eles os recebem desmontados e devolvem montados, para conferência, o q u e já é u m a avaliação. A s c o n t a s i n d i c a d a s p o d e m e n v o l v e r d i v e r s o s níveis d e d i f i c u l d a d e , até frações m i s t a s , d e p e n d e n d o d a c l a s s e . O s a l u n o s p a s s a m u m b o m t e m p o d i v e r t i n d o - s e e a p r e n d e n d o c o m esse material. E x i s t e , n o m e r c a d o , u m j o g o p a r e c i d o , c o m 4 9 peças d e plástico; é o "Instrutor Otto", produzido pela Bender. 63
MATERIAL CUISENAIRE É constituído d e b a r r i n h a s d e m a d e i r a c u j o c o m p r i m e n t o v a r i a d e 1 a 1 0 centímetros. P a r a c a d a c o m p r i m e n t o há u m a c o r . São m u i t a s barrinhas de c o m p r i m e n t o s diferentes, n u m total, geralmente, de 2 4 1 . branca
vermelha
marrom
ooooooo o o o o ooooooooooooo o 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O 0 0 O 0 O 0 0
o o o
oo o o o o o o o o°o o o °0oooo o o o o o o o O o ° o o o ° o o - 5 0 o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0
amarela
0
laranja
10
i
i!!W ^ 1 1 M • IÍ • MM 11;; > * i <:: > i : > • •; uí *t i í 1
111
1
1
a
1
1
verde-clara
verde-escura
azul
preta
Existe à venda n o mercado, m a s pode ser confeccionado e m cartolina o u outro material semelhante. M u i t a s atividades realizadas c o m o m a t e r i a l Cuisenaire p o d e m ser refeitas e m caderno quadriculado. 64
Sugestões de atividades 1 . J o g o l i v r e . A s crianças b r i n c a m e f a z e m m o n t a g e n s , f a m i l i a r i z a n do-se c o m o m a t e r i a l e u s a n d o a c r i a t i v i d a d e . P o d e m fazer classificações espontâneas p o r c o r / t a m a n h o o u o u t r a s . 2. A t i v i d a d e s q u e a u m e n t a m a f a m i l i a r i d a d e c o m a s b a r r a s : a) F o r m a r t r e n z i n h o s c o m barras d a m e s m a c o r . b) F o r m a r trenzinhos c o m dois tipos d e barras o u mais. 3. J o g o d a o r d e m . P a r a começar, p o d e m - s e f o r m a r e s c a d a s c o m a s cinco barras menores.
Depois, aumenta-se a quantidade. Escadas, faltando barras, p o d e m i n d u z i r , p o r e x e m p l o , q u e 2 < 5 < 6 ; porém não se d e v e f a l a r e m números, p o r e n q u a n t o . P o d e - s e p e r g u n t a r : — Qual a barra menor? — — — —
Qual Qual Qual Qual
a maior? v e m depois d a vermelha? v e m antes d a v e r m e l h a ? está f a l t a n d o ?
4. Composição. São a s q u a t r o operações d e f o r m a c o n c r e t a ; o s c h a m a d o s trens de contas. E x e m p l o s : — Quantas barras brancas precisamos para f o r m a r u m a barra d o t a m a n h o d a vermelha? E d a verde-clara? — C o m quantas vermelhas f o r m a m o s u m a roxa? — Você p o d e f o r m a r u m a b a r r a c o m o a r o x a , u s a n d o s o m e n t e barras de u m a m e s m a cor? (Resposta: quatro brancas o u duas vermelhas.) 65
E s s e t i p o d e a t i v i d a d e já começa a f o r m a r noções d e e s t r u t u r a s d o s números ( a s q u a t r o operações, frações, números p r i m o s e t c ) . O s números p r i m o s só p o d e m f o r m a r t r e n z i n h o s d e b a r r a s i g u a i s se e l a s f o r e m unitárias. E x e m p l o : 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 . C o m o 6 , h á o u t r a s p o s s i b i l i d a d e s , c o m o : 2 + 2 + 2 ; l o g o , 6 não é primo. 5. J o g o d o t a t o . S e o s a l u n o s s a b e m d e c o r a s c o r e s d a s t a b u i n h a s , p o d e m d e s c o b r i r a c o r d e u m a d e l a s p e l o t a t o . F i c a m d e mãos p a r a trás; o p r o f e s s o r c o l o c a u m a b a r r i n h a n a s mãos d e c a d a u m e p e d e q u e d i g a m a c o r , s e m o l h a r . É possível q u e p r e c i s e m c o m p a r a r c o m outras conhecidas. 6. Identificação cor/número. O s exercícios a n t e r i o r e s d e v e m l e v a r à identificação: 1 = b r a n c o ; 2 = v e r m e l h o ; 3 = v e r d e - c l a r o e t c . É p r e c i s o a v a l i a r esse c o n h e c i m e n t o . P o d e m s e r f e i t o s a l g u n s j o g o s , c o m o : se o p r o f e s s o r b a t e r p a l m a s sete vezes, o s a l u n o s d e v e m m o s t r a r a b a r r i n h a p r e t a ; se b a t e r p a l m a s q u a t r o vezes, a b a r r i n h a amarela, e assim p o r diante. É interessante pedir a u m a l u n o q u e c o m a n d e o jogo, batendo palmas e m lugar d o professor. Jogos d o t i p o uni a mais, um a menos, dois a mais também s e p r e s t a m a essa a t i v i d a d e . 7. Noção d e inclusão. F a z e r u m t r e n z i n h o , u s a n d o s o m e n t e c o r e s . E x e m p l o : três b a r r a s a m a r e l a s e três r o x a s . O On 0 o
O D • O
gamar^a
c o o
O
O
O
|.v/,roxa;^
o o
o
O . O o
duas
C O O C C C . O O 01* • • • • •
Perguntar: — S e t i v e s s e u s a d o seis b a r r a s , t o d a s r o x a s , o t r e m s e r i a m a i s comprido o u mais curto? — E s e u s a s s e seis a m a r e l a s ? E s s a a t i v i d a d e d e s e n v o l v e a noção d e inclusão. 8. Formação d e números. D e s c o b r i r q u e : a) duas barras brancas f o r m a m u m a v e r m e l h a ; b ) três b r a n c a s f o r m a m u m a v e r d e - c l a r a ; c) u m a b r a n c a e u m a v e r m e l h a f o r m a m u m a verde-clara. 66
9. L o c a l i z a r o s números n a r e t a numérica:
.'roxa.".*
H
1 1
Início
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
9
1
1
1 0
10. O r d e m numérica. R e p e t i r a a t i v i d a d e d o i t e m 3 , m a s a g o r a f a l a n d o e m números. 1 1 . O u t r a s b a s e s . P a r a f o r m a r , p o r e x e m p l o , o número 2 3 , t o m a r duas barras l a r a n j a e u m a verde-clara (base 10). O 1 2 é f o r m a d o c o m u m a base laranja e u m a v e r m e l h a . P a r a a base 3 , p o r e x e m p l o , usar apenas as b r a n c a s , v e r m e l h a s e verde-claras; assim:
1
2
10
11
12
20
21
22
12. Adição. J u n t a r d u a s b a r r i n h a s e p e d i r u m a b a r r a d o m e s m o c o m primento das duas juntas. 2
4
N a figura, u m a barra vermelha mais u m a roxa equivalem a u m a v e r d e - e s c u r a , i s t o é, 4 + 2 = 6 . Começar c o m s o m a s m e n o r e s q u e cinco. 13. Jogo de separar e m dois. O professor escolhe u m a b a r r i n h a , e o a l u n o d e v e e n c o n t r a r d u a s o u t r a s q u e , j u n t a s , dêem o m e s m o c o m p r i m e n t o . Há várias soluções possíveis: i l i o l ò V e rde-escurajg§8
6
y v e r m . ^ r o x a ••*•*•*•• //////////. O OO 0 o o O o o O o o o o o o o ooooo 3 fn a r e l a ° o ° o £ b r . ° o o o
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5 + 1
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í i l i i i i j í l v e r d e - i l j l i i ! ! !jil"!i|í\ , e r d e - ! ! l í l !! , '! i :>i'lll lnililoi-claraíillmi! •.v.-.v roxa v 1
1 1
iil,ii||,r .
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br.
ooooooo oo a o o o o o oo o o a m a r e i J o oo o o oo oo o o o o
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3 + 3 4 + 2 1 + 5
67
O u t r a p o s s i b i l i d a d e é u s a r três b a r r i n h a s , f i x a n d o , n e s s e c a s o , a p r o p r i e d a d e a s s o c i a t i v a d a adição. E s s e j o g o p e r m i t e a o a l u n o p e r c e b e r q u e o s números ímpares não p o d e m ser separados e mduas barrinhas iguais. 14. Subtração. Q u e b a r r i n h a d e v e m o s c o l o c a r j u n t o d a v e r m e l h a , p a r a q u e e l a f i q u e tão c o m p r i d a q u a n t o a a m a r e l a ? W///////////M '///// v e r m . '/M W/7//////////Á
?
° o O O o O O 0 ° o o 0 0 0 3 oo oo oo oooo oo S o o S ° ° o < ? amarela* ° ° o o o ° o o o o ° o o °o o°o° °oo° o o o o ° 0
o C
c
0
0
v
1 5 . Multiplicação. Três b a r r i n h a s v e r m e l h a s e q u i v a l e m a u m a b a r r a de que cor? ( 3 X 2 = 6). Q u a t r o barrinhas verde-claras e q u i v a l e m a u m alaranja mais u m avermelha ( 4 X 3 = 10+ 2 = 12). E n c o n t r a r u m m o d o d e f o r m a r o número q u i n z e c o m b a r r i n h a s iguais (15 X 1 o u 3 X 5). 16. Divisão. Q u a n t a s b a r r i n h a s v e r d e - c l a r a s são necessárias p a r a m a r quinze? (15 = laranja + amarela).
for-
17. Frações. Q u a n t a s b a r r i n h a s a m a r e l a s são necessárias p a r a f o r m a r u m a laranja? O aluno coloca duas amarelas a o lado o u p o r c i m a da laranja para descobrir q u e a laranja é o dobro d a amarela e q u e a a m a r e l a é a m e t a d e d a l a r a n j a . Começa a d e s c o b r i r q u e metade mais metade f o r m a u m inteiro. A mesma atividade pode s e r f e i t a c o m a z u l e v e r d e - c l a r o , p a r a e s t u d a r o terço, e a s s i m p o r d i a n t e . A b a r r i n h a v e r m e l h a é u m terço d a v e r d e - e s c u r a . A v e r d e - c l a r a é m e t a d e d a v e r d e - e s c u r a . Q u a l a m a i o r ? U m terço o u m e t a d e d a v e r d e - e s c u r a ? M o n t a r o retângulo c o m o n o d e s e n h o : §x verde-escura 8< 1 verde-clara i ijiiiljii iiiiiimiii " i MiiiiniHii $ verm. 4 /////////////
WW/
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W////////A
br.
Quantas brancas f o r m a m u m a verde-escura? F a l a r e m u m sexto. M o s t r a r q u e u m s e x t o m a i s u m s e x t o f o r m a m u m terço. E s t e m a t e r i a l l e v a às operações c o m frações. 68
MATERIAL DOURADO MONTESSORl
São peças d e m a d e i r a d e q u a t r o t i p o s : • cubo de 1 X 1 X 1 c m
3
• barra de 1 X 1 X 10 c m
3
• placa de 1 X 1 0 X 10 c m
3
• cubo de 1 0 X 1 0 X 10 c m
3
S e r v e p a r a a compreensão d o s i s t e m a d e c i m a l d e numeração. É útil também p a r a d e s e n v o l v e r a noção d e v o l u m e .
Sugestões de atividades 1 . E s t a b e l e c e r correspondência e n t r e a s peças. P e r g u n t a r , p o r e x e m plo: — T r e z e c u b i n h o s c o r r e s p o n d e m a quê? ( A u m a b a r r a e três cubinhos.)
m
o
2. D a r u m número e representá-lo c o m o m a t e r i a l . E m s e g u i d a , r e p r e s e n t a r u m número e p e d i r a o a l u n o q u e d i g a q u a l é esse número.
2135
69
3 . F a z e r a s operações d e m o d o s e m e l h a n t e às d o c a v a l u . É i m p o r tante q u e cada aluno, o u grupo de alunos, tenha seu material. O s t r a b a l h o s d e v e m s e r f e i t o s e m mesas. T o d a s as a t i v i d a d e s desenvolvidas c o m o material dourado Montessori p o d e m ser desenhadas.
BLOCOS LÓGICOS (DIENES) São 4 8 b l o c o s d e m a d e i r a o u plástico.
Formas
quadrados triângulos retângulos círculos
Cores
vermelho azul amarelo
Tamanho
1 2 * [ pequeno
Espessura
<| f i n ^ °
r a n c
e
S
O s b l o c o s lógicos p o d e m também s e r c o n f e c c i o n a d o s e m c a r t o l i n a , e l i m i n a n d o - s e o a t r i b u t o espessura o u t r o c a n d o grosso e fino p o r com furo e sem furo ( o u o u t r a m a r c a q u a l q u e r ) . E l e s s u g e r e m m u i t a s a t i v i d a d e s gráficas. São úteis n a s noções d e lógica e t e o r i a d o s c o n j u n t o s . 70
Sugestões de atividades 1 . J o g o l i v r e . P r o m o v e a familiarização c o m o m a t e r i a l e dá vazão à c r i a t i v i d a d e . A s crianças p o d e m começar a s p r i m e i r a s c l a s s i f i c a ções espontâneas p o r c o r e s , f o r m a s e t c . Começam a d a r n o m e s c o m o " t e l h a d o " o u "chapéu" a o s triângulos, " b o l a " a o círculo e t c . 2. J o g o d o r e c o n h e c i m e n t o . P e d i r q u e o a l u n o m o s t r e o q u a d r a d o , v e r m e l h o , g r a n d e , f i n o o u então o triângulo, a z u l , p e q u e n o , f i n o . F a z e r d e p o i s o contrário: m o s t r a r u m a peça e p e d i r o s a t r i b u t o s (são s e m p r e q u a t r o ) . F o r m a r conjuntos, por exemplo: conjunto dos quadrados, conjunto d a s peças v e r m e l h a s e t c . P o d e - s e f a z e r , c o m u m g i z , u m a c u r v a s i m p l e s f e c h a d a n o chão e a l i c o l o c a r a s peças d o c o n j u n t o . N o c o n j u n t o d o s q u a d r a d o s , p o r e x e m p l o , d e v e m e x i s t i r d o z e peças:
grande<
-grosso -fino
pequeno
grosso fino
vermelho<^
grande Quadrado-
-azul pequeno
-grosso -fino grosso fino
grande-
-grosso -fino
pequeno
grosso fino
^amarelo
A s peças d e v e m e s t a r d i s p o s t a s d e t a l m o d o q u e , se o p r o f e s s o r r e t i r a r u n i a , o a l u n o notará s u a f a l t a . E s t e é u m j o g o q u e p o d e s e r f e i t o também c o m o u t r a f o r m a , c o r , t a m a n h o o u e s p e s s u r a . 71
3 . M o s t r a r d u a s peças e p e d i r q u e o s a l u n o s a p o n t e m a s diferenças. E x e m p l o : u m q u a d r a d o , v e r m e l h o , g r a n d e , f i n o e u m círculo, v e r m e l h o , g r a n d e , g r o s s o . N e s s e c a s o , a s diferenças serão d u a s : a f o r m a e a espessura. 4. J o g o d o t r e n z i n h o d e u m a diferença, n e m m a i s , n e m m e n o s . D i s t r i b u i r a s peças p e l a s crianças. U m a d e l a s começa o j o g o , c o l o c a n d o n o c e n t r o d a m e s a u m a peça q u a l q u e r ( u m círculo, a z u l , pequeno, g r o s s o ) ; a s e g u n d a criança d e v e c o l o c a r a o l a d o d a p r i m e i r a peça u m a o u t r a q u e p o s s u a u m a diferença e três permanências ( u m círi o , a z u l , grande, g r o s s o ) e m relação à p r i m e i r a ; a b r i n c a d e i r a c o n t i n u a t e n d o c o m o referência q u a l q u e r u m a d a s peças d a s p o n t a s . Q u e m não t i v e r a peça a d e q u a d a f i c a s e m j o g a r . O r g a n i z a r o u t r o s j o g o s , c o m o o d o t r e n z i n h o c o m d u a s diferenças e d u a s permanências; c o m três diferenças e até c o m q u a t r o . 5. D e s e n h o d a s peças. M o s t r a r u m a peça, e o s a l u n o s f a z e m o d e s e n h o , r e p r o d u z i n d o o s q u a t r o a t r i b u t o s . Variação: m i m e o g r a f a r o u f a z e r n a l o u s a u m a t a b e l a d o s a t r i b u t o s ; m o s t r a r u m a peça à c l a s s e , e os alunos colocam u m X nascolunas correspondentes d a tabela de atributos.
•
A
i
i
O
1 1 1
f
X
X X
X
X
Az
V
Am
X X
X
O p r i m e i r o e x e m p l o é o d e u m quadrado, pequeno, grosso e verm e l h o . O s e g u n d o é d e u m círculo, g r a n d e , f i n o , a m a r e l o . 6. Correspondência. F o r m a r d o i s c o n j u n t o s arbitrários, e o a l u n o d e v e d i z e r o n d e há m a i s ( s e m c o n t a r ) . E l e p o d e i r c o l o c a n d o u m a 72
peça d e u m c o n j u n t o s o b r e u m a peça d e o u t r o , f o r m a n d o p a r e s . C o m i s s o , v e r i f i c a d e q u e l a d o s o b r a m peças. 7. J o g o d a seriação. C o l o c a r a l g u m a s peças e m f i l a p a r a o a l u n o descobrir a regra e continuar. Exemplos: a)
Az
Am
'Az^
Resposta: a m a r e l o , a z u l , v e r m e l h o , a m a r e l o , a z u l , v e r m e l h o etc. Sequência d e c o r e s . Q u a i s q u e r f o r m a s .
Am
R e s p o s t a : triângulo, q u a d r a d o , círculo, triângulo, q u a d r a d o , círculo e t c . Sequência d e f o r m a s . Q u a i s q u e r c o r e s . 8. J o g o d o não. P e d i r u m a peça q u e não t e n h a d e t e r m i n a d o a t r i b u t o . E x e m p l o : f o r m a r o c o n j u n t o d a s peças q u e não são triângulos e t c . E s s e j o g o f a m i l i a r i z a a criança c o m a negação, c o m o c o n j u n t o complementar. M o s t r a r u m a peça e p e d i r a o a l u n o q u e d i g a t u d o o q u e e l a não é. E x e m p l o : p e g a r u m retângulo a m a r e l o , p e q u e n o e f i n o . O a l u n o d i z q u e e s s a peça não é q u a d r a d o , não é círculo, não é triângulo, não é a z u l e t c . O u t r o e x e m p l o : f o r m a r u m a t o r r e d e triângulos; e m s e g u i d a , m o s t r a r u m q u a d r a d o e p e r g u n t a r p o r q u e e s s a peça não está n a t o r r e . A r e s p o s t a deverá ser: — P o r q u e não é triângulo. 73
Preparar u m a caixa grande e 2 4 caixinhas iguais. Estas, quando e m p i l h a d a s , d e v e m f i c a r c o m a m e s m a configuração d a c a i x a g r a n d e , c a b e n d o d e n t r o d e l a . A s c a i x i n h a s p o d e m s e r f e i t a s p e l o s próprios alunos.
A experiência c o n s i s t e e m m o s t r a r q u e a s 2 4 c a i x i n h a s c a b e m e x a t a m e n t e d e n t r o d a caixa grande. P o r t a n t o , esta m e d e 2 4 c a i x i n h a s . E m seguida, encher u m a c a i x i n h a c o m areia e despejar n a caixa m a i o r . R e p e t i r até q u e e l a f i q u e c o m p l e t a m e n t e c h e i a , o u s e j a , 2 4 v e z e s . A a r e i a se e s p a r r a m a , m a s é c o m o se a c a i x a estivesse c h e i a d e c a i x i n h a s d e a r e i a . C o n s e g u i r i m a g i n a r i s s o e x i g e a noção d e conservação da m a s s a . E s s a a t i v i d a d e p o d e s e r f e i t a c o m o u t r o s números e o u t r o s m a t e r i a i s , c o m o água, b o l i n h a s d e i s o p o r e t c .
MIMEÓGRAFO O mimeógrafo a s s u m i u u m a importância m u i t o g r a n d e n o e n s i n o d a l . à 4 . série. I s t o s e d e v e à eliminação d o l i v r o d e a t i v i d a d e s j u s t a m e n t e q u a n d o s e p e r c e b e u q u e fazendo o a l u n o a p r e n d e m e l h o r . Certos livros de atividades f o r a m m u i t o importantes para o processo d e e n s i n o - a p r e n d i z a g e m , p o i s o a l u n o não a p e n a s e s c r e v i a no l i v r o , m a s a
78
a
MIMEÓGRAFO A ÁLCOOL
e s c r e v i a o próprio l i v r o . E r a p o s s e d e l e . T o d a s essas riquíssimas a t i v i d a d e s f o r a m a b o l i d a s p o r m o t i v o s económicos e também p o r q u e esses l i v r o s , e m s u a m a i o r i a , e r a m a p e n a s descartáveis. N o e n t a n t o , é impossível e n s i n a r Matemática n a s p r i m e i r a s séries s e m atividades d e preencher, riscar, desenhar, c o l o r i r , colar, escrever. E s s a carência p o d e s e r s u p r i d a p e l o mimeógrafo, m e s m o s e m o s r e c u r sos gráficos i n d u s t r i a i s e a s composições e d e s e n h o s p r o f i s s i o n a i s . C o m u m p e q u e n o mimeógrafo a álcool, e s t a r e m o s p o s s i b i l i t a n d o inúmeras a t i v i d a d e s , reforçando o q u e j u l g a r m o s necessário, t e s t a n d o exercícios n o v o s q u e c r i a r m o s , i n i c i a n d o abstrações c o m m a t e r i a l c o n creto etc.
Sugestões de atividades 1 . A t i v i d a d e s d e d e s e n v o l v i m e n t o d e h a b i l i d a d e s , c o m o coordenação e discriminação s e n s o r i a l e m o t o r a . 2. A t i v i d a d e s c o m c o n j u n t o s . C e r c a r , e s t a b e l e c e r correspondência c o m riscos, setas e t c . 79
3 . C o m p l e t a r sequências:
O 0
O
. 4 . Multiplicação:
A [fpl
nn
ra
AM
ga
na
pe ce fi
5 . I n v e n t a r histórias, u s a n d o números e operações:
E n f i m , são inúmeras a s a t i v i d a d e s q u e p o d e m s e r f e i t a s c o m o auxílio d o mimeógrafo, s u g e r i d a s p e l o próprio conteúdo e , e m p a r t i c u l a r , p e l a s camelidades malbatahânicas, q u e v e r e m o s n o último capítulo d e s t e livro. 80
BALANÇA Só s e d e v e e n s i n a r Álgebra a a l u n o s q u e já a t i n g i r a m o estágio d a s operações f o r m a i s , a m e n o s q u e s e c o n s i g a u m r e c u r s o q u e l e v e à ação c o n c r e t a d a criança. A balança d e p r a t o s ( q u a l q u e r u m a , até m e s m o feita d e m a d e i r a ) serve p a r a isso.
São necessários c e r c a d e d o z e p e s o s i g u a i s q u e representarão 1 k g e a i n d a a l g u n s p a c o t e s , t o d o s i g u a i s , porém d e 1 k g , 2 k g e 3 k g ( d o s " q u i l o s " u s a d o s n a balança). B a s t a c o l o c a r a r e i a n o p a c o t e e " p e s a r " .
Sugestões de atividades 1 . J o g o l i v r e . P r o p o r situações q u e l e v e m o a l u n o a c o n h e c e r a b a lança; p e r g u n t a r : — S e e u c o l o c a r 1 k g deste l a d o , o q u e acontece? — E -se e u c o l o c a r d o o u t r o ? — E se e u c o l o c a r u m d e c a d a l a d o ? — E se e u . t i r a r u m deste l a d o ? 2 . P e s a r o s p a c o t e s . O s a l u n o s vão d e s c o b r i r q u e há p a c o t e s d e 1 k g , 2 k g e 3 k g , m a s , a p a r e n t e m e n t e , são t o d o s i g u a i s . 81
3. D e s c o b r i r o desconhecido c o n c r e t a m e n t e . C o l o c a r u m pacote e m a i s 2 k g de u m lado e 4 k g d o outro. Q u a n t o pesa o pacote? E l e pesa 2 kg, porque 2 + 2 = 4 .
MU
UÈÈ.
F a z e r essa a t i v i d a d e m e t o d i c a m e n t e : t i r a r 1 k g d e c a d a l a d o e m o s t r a r a o s a l u n o s q u e a balança não s e d e s e q u i l i b r a ; t i r a r m a i s 1 k g de cada lado, de m o d o q u e fique n o prato apenas o pacote pesando 2 kg.
R e p e t i r e s s a a t i v i d a d e a l g u m a s v e z e s , v a r i a n d o o s números: 1 p a c o t e + 3 k g = 4 k g , 1 • + 2 = 5 etc. D e p o i s , u m n o v o t i p o : 2 • = 6. T i r a r a metade de cada lado, ficando com: • — 3. R e p e t i r c o m o u t r o s números: 2 • = 2 , 3 • = 6 etc. F i n a l m e n t e , atividades d o tipo: 2 • + 1 = 5 etc. 4. A s s o c i a r o c o n c r e t o c o m o a b s t r a t o . O a l u n o f a z o exercício n a balança, e o p r o f e s s o r e s c r e v e ; d e p o i s , t u d o é f e i t o p e l o s a l u n o s . Exemplo:
2 D + 3 = 5
Tirar 3 de cada lado.
• = 1
2 Q = 2
Tirar a metade de cada lado.
Conclusão: o pacote pesa 1 ka.
82
R e p e t i r e s s a a t i v i d a d e c o m o u t r o s números: 2 • 3 • + 2 = 5 etc.
+
1 =
7,
M u i t o s a l u n o s r e s o l v e m d e cabeça. I s s o d e v e s e r e n c o r a j a d o , m a s também d e v e s e r d i t o q u e é p r e c i s o a p r e n d e r o s d o i s métodos. 5. P r o p o r exercícios d o m e s m o t i p o d o s a n t e r i o r e s , p a r a s e r e m r e s o l vidos apenas abstratamente: 3 • + 2= 8 Tirar 2 de cada lado.
3 • = 6 Dividir por 3 d o s 2 lados.
• = 2 Conclusão: o p a c o t e pesa 2 kg.
R e p e t i r m u i t a s vezes. A u m e n t a r o s números: 4 • + 5 = 1 3 , + 7 = 2 2 etc.
3 • + 5 = 11,
5•
+
Complicar u mpouco mais: 3 D + 1= 2 D + 3
Tirar 1 d e cada lado
3 D = 2 D + 2
Tirar 2 pacotes d e cada lado.
• = 2
Conclusão: o p a c o t e p e s a 2 k g .
E assim p o r diante, como: 4 Q + 3 = 2 D + 9etc.
MATERIAL PARA DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE FIGURAS F a z e r d o i s q u a d r a d o s d e papelão o u m a d e i r a . N o p r i m e i r o , f a z e r u m furo n o centro (encontro das diagonais); n o segundo, o furo fica fora d o centro. P e n d u r a r e m dois pregos n a parede. O p r i m e i r o quad r a d o f i c a p a r a d o e m q u a l q u e r posição, i n d i f e r e n t e m e n t e . Já o s e g u n d o balança até p a r a r , s e m p r e n a m e s m a posição, c o m o c e n t r o b e m e m b a i x o d o f u r o . F a z e r o m e s m o c o m u m círculo, u m hexágono e t c . 83
\
\
\
/
/
X
OO 88
Q u a n d o a f i g u r a não é r e g u l a r , o p r o b l e m a f i c a m a i s c o m p l i c a d o . N o triângulo, a c e n t r o é p o n t o d e e n c o n t r o d a s m e d i a n a s ( l i g a r c a d a vértice a o m e i o d o l a d o ) .
E s s a s experiências d i f i c i l m e n t e dão r e s u l t a d o s p e r f e i t o s , p o i s a s f i g u r a s n u n c a f i c a m e x a t a s . M a s .são r i c a s . P o r t e n t a t i v a e e r r o , d e s c o b r i r c e n t r o s d e o u t r a s f i g u r a s , c o m o u m quadrilátero i r r e g u l a r . P a r a b a l a n c e a r , c o l a r p e q u e n o s papéis n o l a d o m a i s l e v e ( o d e c i m a ) . S e as f i g u r a s f o r e m d e m a d e i r a , o b a l a n c e a m e n t o p o d e s e r f e i t o c o m pregos.
BIBLIOTECA E MUSEU C o m o já f o i d i t o n a introdução d e s t e capítulo, o laboratório d e Matemática p o d e i n c l u i r , além d e t o d o s o s m a t e r i a i s e r e c u r s o s q u e acabamos de ver, u m a biblioteca e u m museu. D a b i b l i o t e c a p o d e m c o n s t a r , além d e l i v r o s específicos d e M a t e mática p a r a c o n s u l t a d e p r o f e s s o r e s e a l u n o s ( a l g u m a s sugestões p o d e m ser e n c o n t r a d a s n o f i n a l deste l i v r o , n a b i b l i o g r a f i a , assinaladas c o m asterisco), obras de l i t e r a t u r a i n f a n t i l q u e e n v o l v a m a l g u m assunto r e l a c i o n a d o à Matemática. Q u a n t o a o museu, deve reunir os mais variados materiais, q u e poderão s e r u t i l i z a d o s p a r a e n r i q u e c e r a t i v i d a d e s r e a l i z a d a s e m a u l a s d e Matemática e m e s m o d e o u t r a s matérias. A p r e s e n t a m o s a seguir u m a lista d e coisas q u e p o d e m fazer parte desse m u s e u . 84
Sugestões de materiais 1 . Coleções c l a s s i f i c a d a s d e o b j e t o s n a t u r a i s , r e p r e s e n t a n d o números o u figuras: a ) F o l h a s c o m u m a , d u a s , três, q u a t r o e c i n c o p a r t e s . b) Flores e frutos. c ) I n s e t o s (seis p a t a s ) , aracnídeos ( o i t o p a t a s ) , e s t r e l a - d o - m a r ( c i n co pontas) etc. d) F o r m a s : caracol, girassol, cristais, favos etc.
2. Coleções c l a s s i f i c a d a s d e o b j e t o s : a) C a i x a s , copos, velas e t c . b) Ladrilhos:
A
•
® 8
O
c ) Símbolos c o m e r c i a i s :
3 . F o t o s , r e c o r t e s e c a r t a z e s d e t r i l h o s , o b j e t o s , construções, arco-íris, planetas etc. 4. A m p u l h e t a , calendário, régua d e cálculo e relógio d e s o l . 5. Trançados: c e s t o s , t a n g a , a r c o - e - f l e c h a e t c . 6. Cerâmica: f o r m a s , d e s e n h o s d e c o r a t i v o s e t c . 7. Odômetro ( p o d e s e r d e c a r r o ) . 8.
Cartazes: a ) S i s t e m a s d e numeração egípcio, babilónico, g r e g o , m a i a . b ) Números t r i a n g u l a r e s e números q u a d r a d o s .
c) Q u a d r a d o s
mágicos.
d ) E l i p s e , hipérbole, parábola e círculo, c o m o c o r t e s d e u m c o n e ( o u d e u m c i l i n d r o p a r a e l i p s e ) . P o d e m s e r sólidos d e m a d e i r a .
e ) Triângulo dé T a r t a g l i a - P a s c a l :
1
1
1 5
1 3 4
1
1
2 6
10
1
1
3 10
4
1 5
1
1
A s o m a d e d o i s números v i z i n h o s é o d e b a i x o ( 3 + 1 = 4 , 4 + 6 = 1 0 e t c ) . P o d e - s e c o n t i n u a r o triângulo: a próxima l i n h a s e r i a 1 , 6 , 1 5 , 2 0 , 1 5 , 6 , 1 . A s crianças poderão d e s c o b r i r muitas propriedades, como: • A s o m a d a l i n h a e m q u e o s e g u n d o número é 4 v a l e 1 + 4 + + 6 + 4 +- 1 = 1 6 , q u e é o m e s m o q u e 2 X 2 X 2 X 2 , c o m quatro 2 multiplicados (2 ). 4
Outro exemplo: 1 + 3 + 3 + multiplicados (2 ).
1 = 2 X 2 X 2 ,
c o m três 2
3
• A segunda linha é 1 1 , a terceira é 121 = 1 1 X 1 1 , a quarta é 1 3 3 1 = 1 1 X 1 1 X 1 1 e t c . ( A p a r t i r d a s e x t a l i n h a não s e pode fazer o " v a i u m " . ) • E m c a d a l i n h a , a s o m a d o 1.° + 3.° + 5.° + . . . é i g u a l à s o m a d o 2.° + 4.° + 6.° + . . . E x e m p l o : n a q u i n t a l i n h a , 1 + 6 + 1 = 4 + 4. 86
• D e s c e n d o pelas diagonais: 1 + 2 + 3 + 4 = 1 0 , 1 + 3 + 6 = = 10,1 + 1 + 1 + 1 = 4. f ) C o l a g e m d e f o t o s d e matemáticos: E u l e r , Pitágoras, G a u s s , Euclides, Leibniz, Lagrange, Laplace, Cauchy, Dedekind, Cantor, H i l b e r t etc. g ) C a r t a z e s d e números.
i o; g
2
^
A
h ) C a r t a z d e u m relógio c o m o s p o n t e i r o s móveis. 9. Dominó, d a d o s e b a r a l h o s . 10.
Ábaco.
1 1 . Quebra-cabeças: d e a r a m e , d e m o n t a r f i g u r a s , d e m a d e i r a , d e e n caixe. 12. C a d e a d o c o m s e g r e d o numérico. 1 3 . T o r r e d e Hanói ( v e r capítulo 6 ) . 14. Sólidos geométricos:
15. S u c a t a s , c a i x a s , o b j e t o s . 87
Aritmética
INTRODUÇÃO C o m c i n c o o u seis a n o s , a criança já é c a p a z d e c o n t a r , a p e s a r d e a i n d a não t e r f o r m a d o a noção d e número. E l a c o n t a u m , d o i s , três c a r r i n h o s c o m o q u e m dá n o m e s : c a r r i n h o 1 , c a r r i n h o 2 , c a r r i n h o 3 . M a i s t a r d e , a noção d e número s e e s t a b e l e c e c o m o síntese d a seriação e d a noção d e classe-inclusão. O b s e r v e a f i g u r a a b a i x o :
O número 3 pressupõe inclusões s e r i a d a s : o c o n j u n t o d e u m c a r r i n h o c o n t i d o n u m c o n j u n t o d e d o i s c a r r i n h o s e e s t e , n u m d e três; o 1 incluído n o 2 , o 2 n o 3 . C o m i s s o , estará e s t a b e l e c i d a a e s t r u t u r a abstraía d e número: 3 = 2 + 1 = ( 1 + 1 ) + l e t c . E s s a e s t r u t u r a p o s s i b i l i t a várias operações aritméticas. A criança, n e s t e estágio, já f a z 2 + 3 = 2 + 1 + 1+ 1 = 5 . O o b j e t i v o d o e n s i n o d a Matemática n a s p r i m e i r a s séries é a f o r mação d e s s a e s t r u t u r a . E l a s e e s t a b e l e c e n o p r i m e i r o g r a u , v a r i a n d o d e a l u n o p a r a a l u n o . O p r o f e s s o r d e v e t e r e m m e n t e s e m p r e i s t o : não existe uniformidade, e e s s a d e f a s a g e m n a t u r a l não é m o t i v o p a r a reprovação. 88
Verificar-se-á q u e a s a t i v i d a d e s a q u i p r o p o s t a s são d i f e r e n c i a d a s d e a c o r d o c o m o o b j e t i v o . Às v e z e s , o o b j e t i v o é f o r m a r c o n c e i t o s ; o u t r a s , é aplicá-los e t c . O capítulo 6 — C a m e l i d a d e s malbatahânicas — é u m g r a n d e a u x i l i a r p a r a motivação d e a u l a s e p a r a análise. D e v e s e r c o n s u l t a d o s e m p r e , r e t i r a n d o - s e situações-problemas p e r t i n e n t e s . O " c a r t a z v a l o r d o l u g a r " (capítulo 3 ) d e v e s e r e s t u d a d o a n t e s d e s t e capítulo. Q u a n d o se i n v e n t a m p r o b l e m a s d e Aritmética, é p r e c i s o c u i d a d o c o m a questão ideológica. E x i s t e m l i v r o s n o s q u a i s q u e m v a i à f e i r a é s e m p r e a m u l h e r e q u e m t r a b a l h a é o h o m e m ; se s u r g e d e s e n h o d e u m a e m p r e g a d a doméstica, e l a é n e g r a e se c h a m a B e n e d i t a , e a s s i m p o r d i a n t e . São p r o b l e m a s fúteis, d e s l i g a d o s d a r e a l i d a d e a t u a l , q u e d e v e r i a m , a o contrário, e n v o l v e r , além d o s b r i n q u e d o s ( n a d a d e b o n e c a s p a r a m e n i n a s e c a r r i n h o s p a r a m e n i n o s ) , a r e a l i d a d e s o c i a l : profissões, f e r r a m e n t a s , o b j e t o s e t c . Além d e j o a n i n h a s e p e i x i n h o s , t o d o o a m b i e n t e físico, químico, biológico e s o c i a l d e v e s e r p o s i c i o n a d o n o nível d o aluno.
SUGESTÕES DE ATIVIDADES PARA A 1 . SÉRIE A
1 . Exercitação pré-numérica. A t i v i d a d e s c o m c o n j u n t o s , s e m u s a r nomes: a) C e r c a r c o n j u n t o s p o r cores, f o r m a s , t a m a n h o s o u u t i l i d a d e s dos elementos. b ) P i n t a r , c o m a m e s m a c o r , as f i g u r a s d e m e s m a f o r m a o u t a m a n h o etc.
0 1
o O
A A 89
c ) L i g a r e l e m e n t o s a c o n j u n t o s c o r r e s p o n d e n t e s , s e g u n d o critérios a n t e r i o r m e n t e c o m b i n a d o s (noção d e inclusão).
A t i v i d a d e s d e s s e t i p o p o d e m s e r f e i t a s n o flanelógrafo, c o m b l o c o s lógicos o u g r a f i c a m e n t e . T u d o q u e f o r f e i t o c o m m a t e r i a l c o n c r e t o d e v e s e r r e f e i t o , s e possível, g r a f i c a m e n t e . O o b j e t i v o é o d e s e n v o l v i m e n t o d e h a b i l i d a d e s , c o m o coordenação e discriminação s e n s o r i a l e m o t o r a , v i s a n d o às noções d e c o n j u n t o e número. ( O u t r a s atividades p o d e m ser encontradas lógrafo, i t e n s 1 e 2 ; b l o c o s lógicos, i t e m 2 . )
n o capítulo 3 : f l a n e -
2. A t i v i d a d e s d e classificação e seriação. A operação c o g n i t i v a d a classificação é f u n d a m e n t a l ; d e s d e a Pré-história o s h o m e n s a f a z e m . O s nomes são r e s u l t a n t e s d e classificações. A p a l a v r a cão não é a p e nas n o m e de u m a n i m a l . E l asignifica q u e o h o m e m < distingue u m a espécie d e a n i m a l ; cavalo é o u t r a espécie; milho c l a s s i f i c a u m t i p o d e e s p i g a e t c . Já a p a l a v r a mamífero c l a s s i f i c a c l a s s e s d e a n i m a i s c o m o c a v a l o , cão e t c . A p a l a v r a dois c l a s s i f i c a o s c o n j u n t o s p a r e s . E a s s i m por diante. O que veio primeiro, o ovo o u a galinha? O que veio primeiro, o c o n c e i t o o u a classificação? O s d o i s estão s e m p r e e m mudança, u m p u x a n d o o o u t r o , n u m a interação dialética. P a r a f o r m a r o c o n c e i t o , é preciso classificar, abstraindo propriedades c o m u n s . P a r a classificar, é p r e c i s o f o r m a r o c o n c e i t o , t e r u m critério p a r a classificação. São necessários m u i t o s a n o s d e d e s e n v o l v i m e n t o c o n j u n t o , n u m p r o c e s s o embriológico, p a r a q u e s e estabeleçam o c o n c e i t o e a operação d e classificação a s s o c i a d a a e l e . 90
A t i v i d a d e s d e classificação: • B r i n c a d e i r a s n o pátio: s e p a r a r a l u n o s p o r g r u p o s , s e g u n d o c e r t o s critérios q u e p o d e m s e r s u g e r i d o s p e l a s próprias crianças; e m seguida, separar objetos de diversas maneiras. • B l o c o s lógicos: classificá-los p e l o s a t r i b u t o s ( c o r , f o r m a , t a m a n h o e espessura). • Flanelógrafo: c o l o r i r e l e m e n t o s d e c l a s s e s d i f e r e n t e s , c a d a u m a c o m u m a c o r ( o u m a r c a r c o m A , B e t c ) . C o l o c a r as f i g u r a s no quadro para o aluno realizar a atividade n o caderno. A seriação é o u t r a operação c o g n i t i v a i m p o r t a n t e n a formação d e c o n c e i t o s e e s t a b e l e c i m e n t o d e relações lógicas e s p a c i a i s e t e m p o r a i s (sequências, t e m p o , c o n t i n u i d a d e ) . C o l o c a r e m o r d e m é m u i t o i m p o r t a n t e ; t o d o p r o j e t o d e s c r e v e u m a sucessão d e a t i v i d a d e s . A d e m o n s tração e a argumentação são sequências d e proposições. A t i v i d a d e s d e seriação: • B r i n c a d e i r a s n o pátio: f a z e r f i l a s , s e g u n d o vários critérios; p a s s a r b o l a s p e l o túnel d e p e r n a s ( o último p e g a a b o l a , c o r r e p a r a o p r i m e i r o l u g a r e a t i r a a b o l a p e l o túnel); " p u l a r carniça". E n f i m , c o l o c a r e m o r d e m , s e g u n d o a l g u m critério, m a t e r i a i s d e vários t a m a n h o s , e s p e s s u r a s , t o n a l i d a d e s e t c . • Flanelógrafo: l i g a r e l e m e n t o s a números ( n o c a s o d e já t e r e s t u d a d o s u a o r d e m ) . C o l o c a r as f i g u r a s n o q u a d r o p a r a o aluno realizar a atividade n o caderno.
3 . Correspondência. Exercícios d e l i g a r u m a u m e l e m e n t o s d e d o i s c o n j u n t o s p a r a d e t e r m i n a r o n d e há m a i s , m e s m o s e m c o n t a r . U s a n d o o flanelógrafo, b l o c o s lógicos e o u t r o s r e c u r s o s , r e p e t i r a s a t i v i d a d e s c o m c o n j u n t o s d e m e s m o número d e e l e m e n t o s . I n t e g r a r c o m a atividade 1 , cercando conjuntos e depois ligando elementos. Pode-se c o m p a r a r o número d e a l u n o s c o m o número d e c a r t e i r a s . 91
U m a a t i v i d a d e d i v e r t i d a é a "dança d a s c a d e i r a s " : u m g r u p o d e alunos (mais o u m e n o s oito) e u m a fileira de cadeiras, u m a v i r a d a para u m lado, outra para o outro, de m o d o que haja u m aluno a mais q u e o número d e c a d e i r a s . #
E l e s f i c a m a n d a n d o a o r e d o r d a s c a d e i r a s até u m d a d o s i n a l , q u a n d o d e v e m s e n t a r - s e . A q u e l e q u e não c o n s e g u i r s a i d o j o g o , r e t i r a n d o u m a cadeira. O o b j e t i v o dessas a t i v i d a d e s é classificar c o n j u n t o s e q u i p o t e n t e s ( c o m o m e s m o número d e e l e m e n t o s ) , f o r m a r a c l a s s e d o s c o n j u n t o s unitários, c u j a abstração é o número 1 , a c l a s s e d o s p a r e s , c u j a a b s t r a ção é o número 2 e a s s i m p o r d i a n t e . T u d o s e m n o m e n c l a t u r a . P o r e n q u a n t o , o i m p o r t a n t e é o c o n c e i t o . E s t e é o começo d e u m c o m p o r t a m e n t o q u e se completará m u i t o d e p o i s . (Atividades q u e v i s a m a o m e s m o objetivo p o d e m ser encontradas n o capítulo 2 , página 2 7 . ) 4 . Números n a t u r a i s . E s t u d o d o s números a p a r t i r d e . c o n j u n t o s concretos: • M o s t r a r c o i s a s d u p l a s , p a r e s , c a s a i s o u a g r u p a m e n t o s arbitrários de duas coisas. Jogos: — Q u a n t o s chifres t e m o boi? Quantas orelhas? F a l a r d o 2 e representar n o cavalu. Escrever os numerais 2 , I I , dois, o etc. • M o s t r a r c o i s a s t r i p l a s o u a g r u p a m e n t o s d e três e r e p r e s e n t a r n o c a v a l u . E s c r e v e r o s n u m e r a i s 3 , I I I , três, o o o e t c . N a s a t i v i d a d e s c o m números n a t u r a i s , é útil o c a r t a z c o m o s símbolos d a l . série ( s u g e r i d o n o capítulo a n t e r i o r ) , q u e d e v e f i c a r a f i x a d o n a p a r e d e , p a r a o s a l u n o s s a b e r e m até o n d e c h e g a r a m . a
92
5. C o n t a g e m . L i g a r o b j e t o s a números, e m o r d e m , u m a u m . E s t a é a própria operação d a c o n t a g e m . N o início, u s a r a p e n a s c o n j u n t o s d e até três e l e m e n t o s .
Objetivo: explicitar o ato da contagem. • C o n t a r e l e m e n t o s d e u m c o n j u n t o até três e c o l o c a r o número n a e t i q u e t a . R e c i p r o c a m e n t e , d a r o número e p e d i r p a r a o a l u n o desenhar o conjunto. • M o s t r a r d o i s o b j e t o s e p e r g u n t a r : q u a n t o s f a l t a m p a r a três? • M o s t r a r cinco objetos e perguntar: — Q u a n t o s d e v e m o s r e t i r a r p a r a f i c a r e m três? • F a z e r a a t i v i d a d e g r a f i c a m e n t e e n o c a v a l u , s e m símbolos d e operações. • P r o p o r p r o b l e m a s q u e e n v o l v a m a s q u a t r o operações. E x e m p l o : — T e n h o três p i r u l i t o s p a r a r e p a r t i r p o r três a l u n o s . Q u a n t o s são p a r a c a d a u m ? Fazer concretamente, usando tampinhas e outros objetos. • T r e i n a r a e s c r i t a d o s n u m e r a i s até 3 . 6 . O u t r o s exercícios c o m números n a t u r a i s . M o s t r a r c o i s a s q u e são quádruplas. • Utilizando o cavalu, mostrar o numeral 4 . Fazer o mesmo com o 5. P r o p o r problemas sempre b e m concretos. 93
• J o g o d o dominó ( s e c o n f e c c i o n a d o p e l o s a l u n o s , c o m c a i x a s d e fósforos r e v e s t i d a s d e p a p e l , a a t i v i d a d e é a i n d a m a i s p r o d u t i v a ) . M o s t r a r vários m o d o s d e f o r m a r o 4 . F o r m a r o u t r o s números.
•• •• ( P a r a o u t r a s p r o p o s t a s d e a t i v i d a d e s , v e r capítulo 3 , c a v a l u , i t e n s 1 e 2.) 7. Adição e subtração. Q u a i s as ações c o n c r e t a s q u e c o n d u z e m às noções d e adição e d e subtração? a ) Reunir—separar — E m u m a c a i x a há d u a s t a m p i n h a s e e m o u t r a há três. R e u n i r t u d o e m u m a t e r c e i r a c a i x a . F a z e r c o n c r e t a m e n t e e c o n t a r o t o t a l . D e p o i s , separar as c i n c o t a m p i n h a s e m d u a s c a i x a s , o q u e p o d e s e r f e i t o d e várias m a n e i r a s , inclusive desfazendo o q u e f o i feito anteriormente ( 2 + 3 ) . Mostrar concretamente que 2 + 3 é o mesmo que 3 + 2 ( s e m notação). b ) Acrescentar—retirar — E m u m a c a i x a há três t a m p i n h a s . Acrescentar duas. F a z e r concretamente e contar o total. D e p o i s r e t i r a r d u a s p a r a r e t o r n a r às três. A q u i há o u t r o a s p e c t o d e s t a ação q u e é o d e a t i n g i r u m t o t a l , u m nível, p a r a m a i s o u p a r a m e n o s . S e e s t a m o s a b a i x o , t e m o s d e completar; se e s t a m o s a c i m a , t e m o s d e tirar o e x c e s s o . V e j a os e x e m p l o s : — V o u p i n t a r c i n c o c a r r i n h o s ; já p i n t e i três. Q u a n t o s f a l t a m para completar o trabalho?
94
— N o e s t o j o estão c i n c o lápis, e e l e não f e c h a a t a m p a , p o i s só c a b e m três. Q u a n t o s d e v o r e t i r a r ? c ) Comparar — U m a e s c a d a t e m c i n c o d e g r a u s e a o u t r a , três. Q u a n t o s degraus a mais a escada grande tem?
R e p e t i r esse t i p o d e a t i v i d a d e e m várias situações, c o m c r i a n ças, o b j e t o s e t c . S e m n o m e s , a p e n a s c r i a n d o situações. U s a r a s p a l a v r a s mais e menos. T u d o i s s o é u m começo q u e terminará q u a n d o t i v e r m o s a n o m e n c l a t u r a a T f b , e e l a não i n d i c a r m a i s u m a operação e , s i m , u m número, 3 + 2 será u m n u m e r a l q u e indicará o m e s m o número q u e 8 — 3 o u 10 o u 5 e t c . Aliás, m u i t a s v e z e s não d e v e m o s " e f e t u a r " a s operações, 2 deixando-as apenas indicadas. P o r exemplo: vinte e nove, deixamos a s s i m m e s m o , 2 9 , q u e s i g n i f i c a 2 0 + 9 , p o i s não e x i s t e u m símbolo " s i m p l e s " p a r a esse número. São i n f i n i t o s números! 8. O r d e m . O r d e n a r d e 1 a t e 5 , s e m o s s i n a i s < e > . L i g a r p o n t o s voltando ao1.
4 3 2 1
2
3
95
Atividades
concretas:
• F o r m a r escadinhas c o m palitos, c o m tampinhas o un o q u a d r o de pinos.
I I1
• íl I II 1
O oo ooo oooo ooooo
• C o m p l e t a r sequências.
O o o
( V e r também capítulo 6 . ) 9 . J o g o d o um a mais. D i z e r o u e s c r e v e r u m número até 4 . O a l u n o d i z o u e s c r e v e o número s e g u i n t e . P r o c e d e r d o m e s m o m o d o c o m o j o g o d o um a menos. E s c r e v e r a b a i x o o n u m e r a l (arábico) correspondente.
I n s i s t i r n e s s e t i p o d e exercício, c o m o o b j e t i v o d e i d e n t i f i c a r c a d a número c o m o a n t e r i o r , m a i s u m . 1 0 . C o l o r i r algumas bolas de azul e outras, de vermelho.
'o~à °o° 96
D e p o i s p r o p o r à c l a s s e questões c o m o : a ) Q u a n t a s são a s b o l a s
azuis?
b ) Q u a n t a s são as v e r m e l h a s ? c ) A o t o d o , q u a n t a s são a s b o l a s ? d) C e r c a r as azuis e c e r c a r as v e r m e l h a s . R e p e t i r o exercício c o m o u t r o s números, c o r e s e f o r m a s .
(Outras atividades semelhantes t u l o 2 , à página 3 1 . )
p o d e m ser encontradas
n o capí-
1 1 . Notação. O s símbolos + ( m a i s ) e = ( i g u a l ) . — A g a l i n h a a m a r e l i n h a pôs d o i s o v o s e a carijó pôs três. Q u a n t o s ovos posso j u n t a r ? 2
+
3
—
5
2
4
3
+
3
=
5
C r i a r vários p r o b l e m a s d e s s e t i p o . R e p e t i r a a t i v i d a d e 1 0 , a g o r a e s c r e v e n d o as c o n t a s . F a z e r n o c a v a l u e n o flanelógrafo. P o d e - s e u t i l i z a r o m a t e r i a l C u i s e n a i r e . É p r e c i s o q u e h a j a a ação d e r e u n i r , j u n t a r e a c r e s c e n t a r p a r a f o r m a r o c o n c e i t o d e adição. P o d e - s e u s a r também a disposição v e r t i c a l d a s o m a . ( V e r a t i v i d a d e s s u g e r i d a s n o capítulo 3 : c a v a l u , i t e m 3 ; f l a n e lógrafo, i t e m 7 ; m a t e r i a l C u i s e n a i r e , i t e m 1 2 . ) 97
12. D e z e r o a d e z . • R e t o m a r a s a t i v i d a d e s d e 5 a 1 1 , c o m números d e z e r o a d e z . • R e p r e s e n t a r c o m números:
• C o l o r i r para representar 4 + 3:
• P r o p o r exercícios d e decomposição d e u m número e m d u a s parcelas: 6 = 0 + 6 = 1 + 5 = 2 + 4 e t c . C o l o c a r seis a l u n o s e m f i l a d e várias m a n e i r a s d i f e r e n t e s (batalhão). C u i d a d o c o m o z e r o ! U t i l i z a r u m símbolo p a r a representá-lo, a i n d a é m u i t a abstração p a r a e s t a f a i x a etária. Não e x i g i r t a b u a d a s d e c o r , m a s d a r exercícios v a r i a d o s p a r a q u e , a o s p o u c o s , e l a s f i q u e m m e m o r i z a d a s . D a r exercícios q u e i n d u z a m a o c o n h e c i m e n t o d e q u e u m a mais, n a parcela, representa u m a mais n a soma. 13. R e t a numérica. R e p r e s e n t a r o s números n a r e t a numérica: 0
_j
1 i
2
i
3
i
4
i
5
i
6
i
7
i
8
9
1
1—
• Perguntar, p o r exemplo: — Q u a i s o s números v i z i n h o s d o 5 ? — Q u a l o número q u e f i c a e n t r e o 6 e o 8 ? • T r a b a l h a r c o m números o r d i n a i s a p e n a s v e r b a l m e n t e , e m s i t u a ções u s u a i s , c o m o o s d i a s d a s e m a n a (segunda-feira, terça-tcfcu etc). 14. P r o p r i e d a d e a s s o c i a t i v a . F a z e r t u d o c o m e x e m p l o s , s e m p r e o cupação d e d a r n o m e à p r o p r i e d a d e . P r o p o r p r o b l e m a s i l u s t r a t i v o s . D a r e x e m p l o s , u s a n d o t a m p i n h a s . D e p o i s , f o r m a l i z a r c a d a situação. C a b e a q u i o p r o b l e m a a p r e s e n t a d o n o capítulo 3 , flanelógrafo, i t e m 1 3 . 98
15. O símbolo — ( m e n o s ) . P r o p o r p r o b l e m a s d o t i p o :
C o l o r i r a l g u m a s bolas d e a z u l e as o u t r a s d e v e r m e l h o . — Q u a n t a s b o l a s há n o t o t a l ? — Q u a n t a s b o l a s são a z u i s ? — R e t i r a n d o as azuis, quantas
ficam?
S e e u r e t i r a r três b a n a n a s , q u a n t a s 7
7
—
=
4
—
- 3
3
sobrarão? =
=
4
7 - 4 ( P a r a o u t r a s a t i v i d a d e s , v e r capítulo 3 ; c a v a l u , i t e m 4 ; m a t e r i a l Cuisenaire, i t e m 13.) 99
16. C o l o c a r o número q u e f a l t a :
b)
4
+
5
—
3
=
+ 2
1
+
2
—
•
8
•
4
5
9
• + c)
6
3
3
+
8
=
4
3 :
7
• =:
3
5
4
5
3 5 d) 4 + • = • + 4 E s s e p r o b l e m a ( d ) t e m i n f i n i t a s soluções. É a propriedade comutativa. O s a l u n o s vão começar a t e s t a r números. E s c o l h e r u m a r e s p o s t a e d i z e r q u e é a c e r t a . C l a r o , haverá p r o t e s t o s . I s s o l e v a à conclusão d e q u e q u a l q u e r número s e r v e p a r a o l u g a r , o u seja, satisfaz a p r o p r i e d a d e . 17. P r o b l e m a s : a ) I n v e n t a r u m a história p a r a • + 3 = 7 . b ) E s c r e v e r c o m símbolos matemáticos e r e s p o n d e r : P e d r i n h o tinha quatro figurinhas; b r i n c o u de bater figurinhas e ficou c o m sete. Q u a n t a s g a n h o u ? 18. O v a l o r d o l u g a r . C a d a número p o s s u i s e u s n u m e r a i s . I r a u m e n t a n d o a q u a n t i d a d e d e números e a q u a n t i d a d e d e n u m e r a i s : 10, 1 1 , 1 2 , . . . O aluno, inicialmente, entende o 1 2 c o m o u m n o v o símbolo q u e v e m d e p o i s d o 1 1 . Não c o m p r e e n d e a operação m e n t a l implícita ( 1 0 + 2 ) . Vê o n u m e r a l 1 2 c o m o u m símbolo c o m p o s t o , u m símbolo e m d o i s pedaços. ( S e o 1 2 f o s s e e m e n d a d o , i m a g i n e o q u e d a r i a 1 3 1 1 2 2 0 e s c r i t o s e m t i r a r o lápis d o p a p e l . . . ) 100
N a s adições c o m r e s e r v a , o a l u n o compreenderá m e l h o r o v a l o r d o l u g a r : n o 1 2 , o 1 v a l e 1 0 . Aliás, s e a q u a n t i d a d e d e números é i n f i n i t a , não é possível i n v e n t a r u m símbolo " s i m p l e s " p a r a c a d a númer o , c o m o a c o n t e c e d e 0 a 9 . O s símbolos p a s s a m a s e r c o m p o s t o s a partir d o 1 0 ; passam a t e r unidades e dezenas, c o m v a l o r posicionai. Contar de dez a vinte. Escrever osnumerais. Decompor: 13= 1 0 + 3 e assim p o r diante. A o s poucos, i r dando os nomes: vinte, trinta etc. D e c o m p o r os nomes: n o v e n t a = n o v e + enta ( o sufixo é genta: n o n a + + genta, q u i n q u a + genta, t r i + genta e t c ) . 19. R e t a numérica até números m a i o r e s q u e 9 . C o n t a r d e d o i s e m d o i s , m a r c a n d o n a r e t a numérica, c o m o n a a t i v i d a d e 1 3 . T e n t a r d e três e m três. 20. Operações c o m d e z e n a s . Começar n o c a v a l u e p a s s a r d e p o i s p a r a o c a d e r n o , s e g u i n d o a s simplificações a b a i x o :
d u
2 + 5 7
0 0 0
d u d u
3 + 4 7
0 0 o
9 -2
o o \
d u o 0
8 -3 \
0 0
3 + 6 ;
2 1 . A dúzia e a m e i a dúzia. F a z e r p r o b l e m a s r e l a c i o n a d o s c o m esses números. 2 2 . J o g o d o p a r o u ímpar. F a z e r a s a t i v i d a d e s s u g e r i d a s n o capítulo 3 c o m o cavalu (item 13) e o quadro de pinos (item 3 ) . 2 3 . D o b r o e m e t a d e . C r i a r p r o b l e m a s q u e e n v o l v a m a s noções d e d o b r o e m e t a d e , u s a n d o números n a t u r a i s . C o n s t r u i r a t a b u a d a d o dobro, s e m decorar. M o s t r a r q u e todo dobro é p a r . Essas atividades s e r v e m d e preparação p a r a a multiplicação, a divisão e o e s t u d o d a s frações. N o c a s o , u s a r s o m e n t e a s p a l a v r a s meio e metade a s s o c i a d a s c o m a p a l a v r a dobro, s e m notação matemática. T e s t a r o vocabulário d o s a l u n o s e m e x e m p l o s c o n c r e t o s : m e i o c o p o d e água, m e i o - d i a , m e i a - l u a , m e i o saco d e m i l h o , metade d o trabalho. R e c o r t a r e apresentar grav u r a s c o m situações s e m e l h a n t e s . N e s t a i d a d e , a s p a l a v r a s m e i o e m e 101
t a d e não são u s a d a s c o m a precisão d o a d u l t o ; a s m e t a d e s não são " i g u a i s " , o u m e l h o r , não são e q u i v a l e n t e s . Aliás,* o b s e r v a r q u e , se u m bolo tem, por exemplo, a f o r m a d o Brasil, podemos dividi-lo n a metade, m a s a s p a r t e s não serão v i s u a l m e n t e i g u a i s , a m e n o s q u e e l e s e j a d i v i d i d o e m d u a s c a m a d a s . N o r m a l m e n t e , as p r i m e i r a s a t i v i d a d e s c o m frações são f e i t a s c o l o r i n d o - s e p a r t e d e u m c o n j u n t o : u m c o n j u n t o d e f i g u r a s ( c o n j u n t o d i s c r e t o ) o u u m a única f i g u r a ( c o n j u n t o contínuo). METADE c o n j u n t o contínuo
conjunto discreto
A (A
V
A
A A
A\ A)
J
* S
Y/r
P o r t a n t o , n a s frações, o s p r o f e s s o r e s t r a b a l h a m u s u a l m e n t e c o m q u a n t i d a d e s o u áreas. É p r e c i s o também o p e r a r c o m m a s s a , p e s o , v o l u m e , tempo, trabalho e levar sempre e m conta o desenvolvimento d o a l u n o . N a l . série, p o d e m o s u s a r c o n j u n t o s d i s c r e t o s e c o m p r i m e n t o s , p o i s o s a l u n o s já p o s s u e m a s noções d a conservação d o númer o e d o c o m p r i m e n t o . Já p o d e m o s u t i l i z a r áreas e m a s s a s s e m e x i g i r a o p e r a b i l i d a d e . ( V e r , a esse r e s p e i t o , o capítulo 2 , página 2 7 . ) a
Tipos de problemas: • Q u a n t o é a metade de dez? • Q u a n t o é o dobro de 5 ? • Q u a n t o s o v o s t e m m e i a dúzia? • Q u a l é o dobro de 6? • Q u a n t o é m e i a dúzia m a i s m e i a dúzia? • Quanto é a metade de 2 0 ? Esses problemas d e v e m ser feitos concretamente c o m tampinhas, p a l i t o s d e s o r v e t e s , q u a d r o d e p i n o s , flanelógrafo, s e p a r a n d o o s c o n juntos e m duas partes iguais. 102
P r o b l e m a s d e c o m p r i m e n t o p o d e m s e r f e i t o s c o m as b a r r i n h a s d o m a t e r i a l Cuisenaíre: p o r e x e m p l o , e n c o n t r a r d u a s b a r r a s i g u a i s q u e , juntas, t e n h a m o m e s m o c o m p r i m e n t o d a verde-escura. P r o p o r ativid a d e s d e c o l o r i r , c o l a r e t c . R e p e t i m o s : u s a r s o m e n t e a s palavras m e i o , 1 m e t a d e , d o b r o , não o símbolo . 2 24. Multiplicação. Q u a l a ação c o n c r e t a q u e l e v a a o c o n c e i t o d e multiplicação? É a s o m a r e p e t i d a d e p a r c e l a s i g u a i s . É u m a g e n e r a lização d o d o b r o . E x e m p l o s : • São q u a t r o c a i x a s , c a d a u m a c o m três lápis. Q u a n t o s lápis são no total? 3 + 3 + 3 + 3 = 12 y
4
vezes
• Desenhar e colorir: azul
amarelo
vermelho
verde
â
a ) Q u a n t o s c a r r o s são a z u i s ? b ) Q u a n t o s c a r r o s são a m a r e l o s ? c ) Q u a n t o s c a r r o s são v e r m e l h o s ? d ) Q u a n t o s c a r r o s são v e r d e s ? e ) Q u a n t o s c a r r o s são a o t o d o ? f) 3 + 3 + 3 + 3 =
• Q u a n t a s vezes o 3 ? 103
• Desenhar e colorir:
/V\A /
\
•
a ) Q u a n t a s são a s c a s a s d e t e l h a d o e m p o n t a ? b ) Q u a n t a s são as c a s a s d e t e l h a d o c o m três p o n t a s ? c ) Q u a n t a s são as c a s a s c o m t e l h a d o
achatado?
d ) N o t o t a l , q u a n t a s são a s c a s a s p r o n t a s ? e) 2 + 2 + 2 =
Q u a n t a s vezes o 2 ?
f ) Q u a n t a s são as c a s a s d e u m a p o r t a ? g ) Q u a n t a s são as c a s a s d e d u a s p o r t a s ? h ) A o t o d o , q u a n t a s são a s c a s a s p r o n t a s ? i) 3 + 3 =
• Q u a n t a s vezes o 3 ?
R e p e t i r exercícios d e s s e t i p o . Alguns problemas: • U m c a v a l o t e m 4 p a t a s . 2 c a v a l o s têm têm . patas. • F a z e r somas de parcelas repetidas: 4 + 4 + 4 = Q u a n t a s vezes o 4 ?
patas. 3 cavalos
A b r e v i a r 3 X 4 ( 3 vezes 4 ) etc. E s c r e v e r d e m a n e i r a s rentes:
dife-
'3 + 3 + 3 + 3 4 X 3 <4 + 4 + 4 3 X 4 A l g u n s exercícios: • I n d i c a r , s o b f o r m a d e multiplicação, as s e g u i n t e s 5 + 5 + 5. • Indicar 5 X 2
somas:
s o b f o r m a d e adição e e f e t u a r .
• M o s t r a r c o m o o s egípcios e f e t u a v a m a multiplicação ( v e r capí* tulo 1). A p a r t i r d e s t e m o m e n t o a s crianças já p o d e m começar a f a z e r divisões, c o n c r e t a m e n t e , c o m t a m p i n h a s o u o u t r o m a t e r i a l . E s s a a t i v i d a d e s e r v e p a r a m o t i v a r a multiplicação e p r e p a r a r t e r r e n o p a r a a divisão. P e d i r a u m a l u n o q u e d i s t r i b u a seis t a m p i n h a s e n t r e três c o l e g a s . D i s t r i b u i r de u m a e m u m a , de duas e m duas, c o m o quiser. T i r a r a prova, multiplicando 3 X 2 . Repetir a atividade de vez e m quando, a u m e n t a n d o o s números. Essa atividade, c o m o muitas outras, pode ser dramatizada. U m chapéu e u m a g r a v a t a , e já t e m o s u m p a i q u e v a i d i s t r i b u i r as b a l a s se o s f i l h o s se c o m p o r t a r e m . 2 5 . T a b u a d a d o 2 e d o 3 . P r o p o r exercícios e p r o b l e m a s , u t i l i zando o cavalu, para q u e o aluno aprenda a tabuada s e m decorar; a memorização v e m c o m o u s o . U t i l i z a r a disposição v e r t i c a l . F a z e r p e r guntas d o tipo: — Q u a n t a s p a t a s têm d o i s g a t o s ? 26. Divisão. A p r i m e i r a e t a p a é a c o n c r e t a e já v e m s e n d o f e i t a d e s d e o i t e m 2 4 (divisão d e t a m p i n h a s e n t r e a l u n o s o u o u t r a a t i v i d a d e s e m e l h a n t e ) . " M o s t r a r q u e d i v i d i r é o contrário d e r e u n i r q u a n t i d a d e s iguais. 105
N u m a s e g u n d a e t a p a , t r a b a l h a r a divisão c o m o operação i n v e r s a d a multiplicação. D a r o s i n a l -4- ( d i v i d i d o p o r ) . 2
X
3
6
M o s t r a r q u e a divisão d e s m a n c h a a multiplicação ( v e r capítulo 3 , c a v a l u , i t e n s 1 6 e 1 7 ) . N u m a t e r c e i r a e t a p a , c o l o c a r 9 -f- 3 = • , s e m a multiplicação, p a r a o s a l u n o s f a z e r e m c o m o q u i s e r e m , m a s e s t i m u l a r a divisão s e m p r e a p a r t i r d a multiplicação. F a z e r p e r g u n t a s d o género: — Q u a l o número q u e m u l t i p l i c a d o p o r 3 dá 9 ? A r m a r a s divisões:
3 X 4 = 1 2 ;
1 2 -r- 4 = 3 :
12 |_4_ ; 3 Não e s c r e v e r o r e s t o d a divisão p o r e n q u a n t o . D a r , e m s e g u i d a , m u i t o s p r o b l e m a s d e fixação. Começar a u s a r a s p a l a v r a s múltiplo e fator: 8 é múltiplo d e 4 e 4 é f a t o r d e 8 , p o i s 8 = 4 X 2 . D a r o s múltiplos d e 2 , 3 e t c . C o l o c a r e m u m a reta numerada. D a r os fatores de 6 , 8 etc. Descobrir os múltiplos c o m u n s a 2 e 3 . D e s c o b r i r o s f a t o r e s c o m u n s a 6 , 8 e o u t r o s . O p r o f e s s o r d e v e s a b e r q u e a e s c r i t a simbólica matemática não p o d e r o m p e r c o m a s r e g r a s g r a m a t i c a i s . T o d a fórmula, sentença o u expressão matemática t e m s u j e i t o e p r e d i c a d o . V e j a a sentença: 6 - ^ 2 = 3 . S u j e i t o : 6 - f - 2 ; p r e d i c a d o n o m i n a l : 3 ; v e r b o d e ligação: (é); p r e d i c a t i v o d o s u j e i t o : 3 . 2 7 . M e d i d a d e t e m p o . Há m u i t o t e m p o o s h o m e n s não s a b i a m plantar. V i v i a m c o m o os outros animais, catando frutos n a mata, caçando e p e s c a n d o . O s índios também caçam, m a s s a b e m p l a n t a r u m p o u c o . P a r a p l a n t a r é p r e c i s o c o n h e c e r o t e m p o , s a b e r q u a l a m e l h o r época p a r a colocar a semente n a terra etc. O s índios m a r c a m o a n o , o l h a n d o a s e s t r e l a s . A p a r t e d o céu q u e se vê à n o i t e v a i m u d a n d o d u r a n t e o a n o e, a s s i m , c o n h e c e n d o as e s t r e l a s , dá p a r a s a b e r s e está c h e g a n d o a época d a s c h u v a s , d o 106
f r i o o u a época d a s f l o r e s . O s índios também m a r c a m t e m p o s c u r t o s , c o n t a n d o o s dias o u as l u a s . Faz muito tempo, provavelmente n o Egito antigo, inventaram o relógio d e s o l p a r a m a r c a r p e q u e n o s t e m p o s .
V
H
1
o
si
— O b s e r v e b e m o s d e s e n h o s d o relógio d e s o l . P o r q u e a s o m b r a da varinha vai m u d a n d o de lugar? M o s t r a r u m a a m p u l h e t a , u m relógio d e p o n t e i r o , u m relógio d i g i t a l ; m o s t r a r u m relógio g r a n d e d e c a r t o l i n a c o m p o n t e i r o s móveis. Começar a l e i t u r a a p e n a s c o m a s h o r a s . 28. M e t r o , q u i l o e l i t r o . E x i b i r m e t r o d e p e d r e i r o , d e l o j a , f i t a métrica. C a d a u m t e m s u a u t i l i d a d e . E x p e r i m e n t a r m e d i r a c i n t u r a c o m o m e t r o d e l o j a . M o s t r a r balanças. M o s t r a r q u e o l i t r o é i g u a l a u m a c a i x a d e 1 0 c m X 1 0 c m X 1 0 c m . P a s s a r líquido o u grãos d e u m a l a t a d e 1 l i t r o p a r a essa c a i x a . F a z e r o m e s m o c o m g a r r a f a s . M o s t r a r q u e 1 l i t r o d e água p e s a 1 q u i l o . F a l a r s o m e n t e o s n o m e s d a s u n i d a d e s , s e m c o b r a r memorização e s e m c o b r a r e n t e n d i m e n t o . N e s s e p o n t o , já t e r e m o s u m a b o a p o r c e n t a g e m d e a l u n o s c o m noções d e conservação d a m a s s a , m a s não d e p e s o e v o l u m e . 107
SUGESTÕES DE ATIVIDADES PARA A 2. SÉRIE a
a
a
A 2 . série é p r a t i c a m e n t e u m a ampliação d a l . . O s números p o d e m c h e g a r a 1 0 0 0 , o s c o n c e i t o s se a p r o f u n d a m , e o s a l u n o s a m a durecem. A s n o v i d a d e s , e m Aritmética, sào: adição e subtração c o m r e 1 s e r v a , a l g o r i t m o s d a multiplicação e divisão ( o s símbolos
1 ,
2
e 3
1 ) ; a l g a r i s m o s r o m a n o s . V a m o s às a t i v i d a d e s .
1 . Revisão d e numeração: d e z e n a s . Notação p o s i c i o n a i n o c a v a l u . 2. Revisão d e numeração: c e n t e n a s . Exercícios d e decomposição dos n o m e s : sete-centos, quatro-centos e t c . 3 . Transformação d e c e n t e n a s e m d e z e n a s e v i c e - v e r s a ( p o d e s e r feito n o cavalu). 4 . Revisão: adição, subtração, multiplicação. D e s t a c a r a s s u b t r a t i v a s e c o m p a r a t i v a s d a subtração: Ideia subtrativa
Ideia
58 - 2 4 34
58 - 2 4 34
(8- 4 = 4 ) (5- 2 = 3 )
ideias
comparativa ( 4 para 8 faltam 4 ) ( 2 para 5 faltam 3 )
5 . Revisão: v a l o r a b s o l u t o X v a l o r r e l a t i v o . U t i l i z a n d o o c a v a l u , e s t a b e l e c e r comparações, m o s t r a n d o a correspondência e n t r e o " v a l o r marcado e o real" ( 2 vale 2 0 0 etc). 6 . Multiplicação p o r 1 0 . P r o p o r exercícios d o t i p o : 2 X 1 0 , 3 X 1 0 , 4 X 1 0 , q u e i n d u z e m à colocação d e u m z e r o n o r e s u l t a d o : 3 X 1 0 = 3 0 , são 3 d e z e n a s . 108
7. S o m a c o m c e n t e n a s Por exemplo:
s e m r e s e r v a . C r i a r situações-problemas.
— Q u a n t a s d e z e n a s há e m 3 4 + 2 3 ? E e m 2 7 + 3 5 ? F a z e r exercícios. 8. S o m a c o m r e s e r v a : 53 = 5 0 + + 28 = 2 0 + 7 0 + 70 +
3 8 11 10+ 1 = 80+ 1 = 8 1
N a resolução d e p r o b l e m a s e exercícios, u t i l i z a r o quebra-cabeça aritmético. C a d a a l u n o , o u g r u p o d e a l u n o s , r e c e b e s e u j o g o p a r a montar. 9. Diferença c o m c e n t e n a s , s e m r e s e r v a . E l a b o r a r p r o b l e m a s e exercícios. ( A l g u m a s sugestões p o d e m s e r e n c o n t r a d a s n o capítulo 3 , cavalu, item 12.) 10. Diferença c o m r e s e r v a . Também n e s s e c a s o , t r a b a l h a r c o m o c a v a l u , p r o p o n d o p r o b l e m a s e exercícios. 1 1 . Multiplicação. S e o c a v a l u t e m três p r e g a s , só s e r v e p a r a m u l t i p l i c a r até 3 . Então, c o m o c a v a l u , f a z e r : III III
1 1
3 1 = 3 0 + 1 X 2 60 + 2
X 2
Sem cavalu: 4 X 173
31 X 2
62
173 = 100 + 7 0 + 3
173
X 4
X 4
X 4
400 + 280 + 12
692
Problemas: • D e c o m p o r u m número e m p r o d u t o d e d o i s o u t r o s . • M o n t a r e s q u e m a s c o m o p r o d u t o c a r t e s i a n o : r o u p a s , caminhões, casas, r u a s e esquinas, t a b u l e i r o s , cercas e pregos, q u a d r o d e varetas etc. 109
12. D o b r o e t r i p l o , m e t a d e e u m terço. F a z e r exercícios, c o m o o s d a a t i v i d a d e 2 2 , d a l . série. a
1 3 . P r o p r i e d a d e c o m u t a t i v a d a multiplicação. D a r e x e m p l o s c o n c r e t o s e , d e p o i s , matemáticos.
14. T a b u a d a d o 6 , 7 , 8 e 9 . P r o p o r exercícios e p r o b l e m a s p a r a o a l u n o t r e i n a r a s t a b u a d a s . Não m a n d a r d e c o r a r .
1 5 . Divisão: p r o c e s s o s u b t r a t i v o . O b s e r v a r a s e g u i n t e sequência d e a t i v i d a d e s p a r a a divisão: a) C o n c r e t a m e n t e — U m a l u n o distribui quinze t a m p i n h a s p o r três c o l e g a s , c o m o q u i s e r , d e u m a e m u m a , d e d u a s e m d u a s e t c . N o f i m , p e r g u n t a r a esse a l u n o : — Q u a n t a s t a m p i n h a s você possuía? — Q u a n t a s t a m p i n h a s g a n h o u cada colega seu? — São três c o l e g a s , c a d a u m c o m c i n c o t a m p i n h a s ; q u a l o total de tampinhas? Repetir pinhas. cavalu. c o m as
a atividade trocando os alunos e a quantidade de t a m D e p o i s d e a l g u m a s vezes, utilizar s i m u l t a n e a m e n t e ô O q u e e s t i v e r s e n d o f e i t o c o m as t a m p i n h a s é r e p e t i d o fichas n o cavalu.
b ) C o n c r e t a m e n t e — M e s m a a t i v i d a d e , porém, a g o r a , c o m r e s t o não n u l o : 7 7 p o r 3 , 2 9 p o r 4 e t c . P e r g u n t a s : — Q u a n t a s e r a m as t a m p i n h a s ? — Quantas ganhou cada u m ? — Quantas sobraram? Não há i n t e r e s s e e m f a z e r n o c a v a l u , s e p a r a n d o o r e s t o . c ) Associação c o m o a b s t r a t o — U m a l u n o d i v i d e c a t o r z e t a m p i n h a s p o r três. P a s s o a p a s s o , r e p e t i r , n a l o u s a e c o m números, o q u e a c o n t e c e u n a r e a l i d a d e ( u m a l u n o p o d e também r e p e t i r no cavalu). Assim: 110
A representação na lousa feita pelo professor
O fato concreto
0
• • •
Se o aluno distribuir uma em uma:
14 [_3_
Quantas são? Vão ser divididas por quantos colegas? de
14
3
1 1
1 11
1!
1
111 IS11111!
0.
m m m
Se o aluno, em seguida, distribuir de duas em duas:
Quantas eram? Quantas você deu para cada um? Quantas sobraram com você? 14
-_3_ 11
0
•m
DD m
Se o aluno, depois, distribuir de uma em uma:
2 +
-_6_ 5
III III eie
Repetir as perguntas. 14
-_3
1
11
0
• c u
-_6 5 — 3_ 2
2 + 4
Repetir as perguntas.
111
R e p e t i r várias v e z e s . É u m a a t i v i d a d e m u i t o r i c a , u m a o p o r t u n i d a d e d e participação. O a l u n o p o d e r i a q u e r e r p a r a r q u a n do estava c o m cinco tampinhas. T u d o b e m ! O professor t a m bém pára, d e m o d o q u e a Matemática c o r r e s p o n d a à r e a l i d a d e . O r e s t o f i c a m a i o r q u e o d i v i s o r . T u d o b e m ! A Matemática p o d e d e s c r e v e r também u m a situação c o m o e s s a . O a l u n o p o d e querer distribuir de quatro e m quatro quando possui apenas o n z e ; e l e m e s m o verificará q u e é impossível. T u d o está c e r t o e a Matemática acompanhará o q u e o c o r r e c o m a r e a l i d a d e . Repetir: 3 0 - f -4 , 17 -r- 2etc. d ) Associação c o m o a b s t r a t o — N e s s a a t i v i d a d e t u d o ocorrerá c o m o n a anterior, m a s agora é o a l u n o q u e m v a i escrever n o l u g a r d o p r o f e s s o r . F a z e r u m r i s c o v e r t i c a l , s e p a r a n d o o númer o d a s t a m p i n h a s d o número d e c o l e g a s , e u m r i s c o h o r i z o n t a l , e m b a i x o d o q u a l ficarão a s q u a n t i a s q u e irão r e c e b e n d o , b e m c o m o a s o m a delas. F a z e r perguntas d o t i p o : — Quantas tampinhas recebeu cada u m ? N e s s e m o m e n t o , o s a l u n o s vão v e r i f i c a r q u e f a l t a m t a m p i n h a s . P o r e x e m p l o , 3 0 - r - 4 ; eles d i v i d e m e c o n c l u e m q u e c a d a a l u n o r e c e b e u sete t a m p i n h a s . O r a , q u a t r o a l u n o s , c a d a u m c o m sete t a m p i n h a s , são 2 8 t a m p i n h a s . O n d e estão a s o u t r a s d u a s ? É o resto. L o g o , 4 X 7 + 2 = 3 0 . e ) A b s t r a t a m e n t e — P o r f i m , o s a l u n o s f a z e m divisões a b s t r a t a m e n t e e m s e u s c a d e r n o s : 2 3 7 - f - 7 , 3 5 2 -=- 1 3 , 8 3 - 4 - 1 2 , 4 7 2 - r - r - 2 5 e t c . S e m p r e p e l o m e s m o p r o c e s s o : o método subtrativo. P r o n t o ! Está f e i t a a divisão e c o m q u a i s q u e r números. C o m a prática, o s a l u n o s vão e v o l u i n d o s o z i n h o s , s i m p l i f i c a n d o , até c h e g a r e m a o a l g o r i t m o d a divisão l o n g a : 27 - 2 4 3 112
| 4 6
a
A q u i t e r m i n a a divisão n a 2 . série. S e o a l u n o s o u b e r a t a b u a d a d o 1 , já p o d e d i v i d i r o u r e s o l v e r p r o b l e m a s c o m q u a i s q u e r números. 38 26 - 1 2 14 - 1 2
1
857 -700 157 - 7 0 87 - 7 0 17 - 1 4
1 1.2, 1 + 1 3
2
1
548 | 23 10 230
1 0 07
-
10 + 10 2 122
318 -230 88 - 6 9
10 + _3_ 23
19
3 U t i l i z a n d o es$e método, o a l u n o v a i , a o s p o u c o s e d e a c o r d o c o m s u a i n d i v i d u a l i d a d e , f a z e n d o simplificações, s e m f i c a r n o u s o p u r o e s i m p l e s d a memória. O u t r a v a n t a g e m d o método é t r e i n a r e m o t i v a r a t a b u a d a d a multiplicação, q u e s i m p l i f i c a a divisão ( p o r i s s o , m u l t i p l i cação e divisão d e v e m s e r e s t u d a d a s j u n t a s , p o d e n d o i n i c i a r - s e o e s t u d o c o m a divisão). N a 3 . série, o a l u n o chegará a o a l g o r i t m o f i n a l . P o r enquanto, "faz de qualquer jeito, depois j u n t a t u d o " . É i m p o r t a n t e falar d a s d u a s i d e i a s d a divisão: a
• Repartir — T e n h o d o z e b a l a s p a r a d i v i d i r p o r três crianças. Quantas d o u para cada uma? • Medir — Q u a n t a s v e z e s o três c a b e n o d o z e ? 16. F a z e r c o n t a s . I n v e n t a r p r o b l e m a s i n t e r e s s a n t e s e n v o l v e n d o as q u a t r o operações. Cálculo d o d e s c o n h e c i d o : O X 3 = 2 1 . U t i l i z a r o quebra-cabeça aritmético. 17. P a r o u ímpar c o m números até 1 0 0 0 . F a z e r exercícios, c o m o n a a t i v i d a d e 2 1 d a l . série. a
a
18. Frações. R e f a z e r a a t i v i d a d e 2 2 d a l . série n o q u e j u l g a r necessário. I n t r o d u z i r a p a l a v r a , quarto c o m o m e t a d e d a m e t a d e . Associá-la c o m o d o b r o d o d o b r o , q u e é q u a t r o v e z e s . 113
Através d e p r o b l e m a s e exercícios c o n c r e t o s , f a z e r o a l u n o d e s 1 1 c o b r i r q u e 2 < 4 , porém > . 2 4 1 I n t r o d u z i r a expressão um terço, o n u m e r a l , f a l a n d o também 3 e m triplo. Não i n s i s t i r , não e x i g i r m u i t o ; são a p e n a s a t i v i d a d e s p r e p a ratórias. O a s s u n t o é d e l i c a d o e a b s t r a t o . Ninguém c o m p r a u m terço d e dúzia d e o v o s . Além d i s s o , a s crianças d e s t a i d a d e a i n d a não c o m p r e e n d e m , p o r e x e m p l o , q u e m e t a d e s d e c o n j u n t o s d i s t i n t o s são d i f e r e n t e s : m e t a d e d e v i n t e é d i f e r e n t e d e m e t a d e d e d e z o i t o ; são m e t a d e s , m a s são d i f e r e n t e s . E x e m p l o s : • U m a dúzia d e t a m p i n h a s : d a r m e t a d e p a r a u m a l u n o . — Q u e m ficou c o m mais? • O u t r a dúzia d e t a m p i n h a s : f o r m a r a s m e t a d e s d a s m e t a d e s e d a r 1 1 mais para outro aluno. 4
4
— Q u e m ganha mais? 1 Dar
1 para u m aluno e
2 1
>
para outro e descobrir q u e 3
1
.
• M o s t r a r m e t a d e d e u m terço, u m terço d a m e t a d e . • Descobrir que
1
>
1
>
1
1
1
6 C o n f o r m e o nível d o s a l u n o s , p o d e - s e f a l a r e m 5 e c o m o contrários d e c i n c o v e z e s (quíntuplos) e s e i s v e z e s (sêxtuplos).
1
Problemas como 6 dúzia e t c . 114
1
d e dúzia c o m p a r a d o c o m
1
de 2
de 3
M u i t o s a l u n o s já p o s s u e m noção d e conservação d a área e d a m a s s a . Começar c o m situações-problemas e n v o l v e n d o essas noções. E m seguida, dividir tiras e figuras d e papel s i m u l a n d o bolos e chocolates. P a r a d i v i d i r u m b o l o e m terços, o s a l u n o s c o s t u m a m r e t i r a r três p a r t e s , d e i x a n d o u m r e s t o e, m u i t a s v e z e s , a s p a r t e s não são i g u a i s . S o m e n t e c o m c e r c a d e 1 2 a n o s , começam a t o r n a r m a i s e x a t a s essas noções. S e a G e o m e t r i a c o n c r e t a e s t i v e r s e n d o u s a d a , já terá s u r g i d o a n e c e s s i d a d e d e r e p r e s e n t a r o s milímetros, p o i s n e m s e m p r e a s m e d i d a s dão centímetros e x a t o s . C o m b i n a r o s e g u i n t e : s e , p o r e x e m p l o , o r e s u l t a d o f o r 1 3 centímetros e 8 milímetros, d i z e r : " A s m e d i d a s d e r a m 1 3 centímetros e m a i s 8 r i s q u i n h o s " (milímetros). V a m o s e s c r e v e r o 1 3 e o 8 s e p a r a d o s p o r vírgula, p a r a não f i c a r 1 3 8 . A s s i m : 1 3 , 8 . A vírg u l a s e p a r a o número d e centímetros d o número d e milímetros. P a r a c a l c u l a r u m perímetro, é p r e c i s o a d i c i o n a r as m e d i d a s d o s lados. N u m quadrado, mede-se u m lado e multiplica-se p o r quatro p a r a c a l c u l a r o perímetro. A o contrário, c o n h e c e n d o o perímetro d o quadrado, divide-se p o r quatro para calcular o c o m p r i m e n t o d o lado. A s s i m , n e m a adição n e m a subtração o f e r e c e m d i f i c u l d a d e . Também a multiplicação p o r i n t e i r o s o u a divisão p o r i n t e i r o s são s i m p l e s . O u t r a prática c o m números d e c i m a i s q u e o s a l u n o s a l g u m a s v e z e s t r a z e m p a r a a e s c o l a são o s c e n t a v o s . F a z e r exercícios c o m p r o b l e m a s .
SUGESTÕES DE ATIVIDADES PARA A 3. SÉRIE a
a
N a 3 . série, c o n t i n u a r c o m m u i t a s e v a r i a d a s a t i v i d a d e s e n v o l v e n d o a s q u a t r o operações. A s situações c r i a d a s d e v e m s e r r i c a s , e n v o l v e n d o números, a t i v i d a d e s gráficas, m a t e r i a l c o n c r e t o , j o g o s e t c . a
a
A s n o v i d a d e s , e m relação à l . e 2 . séries, estão n o f a t o d e q u e o s a l g o r i t m o s d a s q u a t r o operações poderão f i c a r p r o n t o s . O s c o n c e i t o s serão a p r o f u n d a d o s , e a multiplicação lógica ( u s a d a d e s d e a l . série) f i c a i n c o r p o r a d a . Será a p r o f u n d a d o o t r a b a l h o c o m frações. a
115
1 . Números n a t u r a i s : número X n u m e r a l . T r a b a l h a r c o m notação d e c i m a l , v a l o r a b s o l u t o X v a l o r r e l a t i v o , p a r o u ímpar, ordenação. 2. A s q u a t r o operações. D a r definições e as p r o p r i e d a d e s c o m u tativa, distributiva e os elementos neutros. Ensinar a prova real. P r o p o r exercícios e n v o l v e n d o a s p r o p r i e d a d e s d a s q u a t r o operações. 3 . Multiplicação c o m d o i s a l g a r i s m o s : • 2 X 1 0 = 1 0 + 1 0 : são d u a s d e z e n a s . 2 X 1 0 = 2 0 : é só colocar u m zero n o 2 . • 7 X 10= 10+ 10+ 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + zenas.
1 0 : são s e t e d e -
7 X 1 0 = 7 0 : é só c o l o c a r u m z e r o n o 7 . • 3 1 X 1 0 = 3 1 0 : é só c o l o c a r u m z e r o n o 3 1 (são 3 1 d e z e n a s ) . P a r a m u l t i p l i c a r u m número p o r 1 0 , b a s t a c o l o c a r u m z e r o à direita d o n u m e r a l decimal; para multiplicar p o r 100, colocam-se dois z e r o s ; p a r a e f e t u a r a multiplicação p o r 1 0 0 0 , c o l o c a m - s e três z e r o s . P r o p o r c o n t a s d e s s e t i p o n a disposição v e r t i c a l . — T r e z e dúzias d e o v o s , q u a n t o s o v o s são? — D e s a f i a r o a l u n o ( e s s e t i p o d e p e r g u n t a já p o d e r i a s e r f e i t o n o i t e m 2 ) . — T r e z e dúzias são d e z dúzias m a i s três dúzias. São: 10 X 12 + 3 X 12 =
120 + 36 = 156.
Ou: 12 X13 ? 1 0 dúzias 116
12 X 1 0 + 120 +
12
X_3_ 36 = 1 5 6
3 dúzias
Ou
ainda:
12 X 13 3 x 12= 36 10 X 1 2 =1 2 0 + 156
12 X 1 3 3 6 < - 3 dúzias 1 2 0 < - 1 0 dúzias 156
R e p e t i r c o m o u t r o s números, 2 4 dúzias, p o r e x e m p l o . E m s e g u i d a , c o m números q u e não são dúzias: 32 26 X14 X 4 2 1 2 8 < - 4 vezes o 3 2 5 2 < - 2 vezes o 2 6 3 2 0 < - 1 0 vezes o 3 2 1 0 4 < - 4 vezes o 2 6 (sem o zero, 448 1 092 m a s deixando seu lugar, p o i s são 4 0 v e z e s e não 4 ) F a z e r m u i t o s exercícios d e fixação. a
4 . Divisão c o m d o i s a l g a r i s m o s . R e t o m a r o i t e m 1 5 d a 2 . série. F a z e r exercícios d e revisão p e l o método l o n g o , q u e o s a l u n o s s a b e m utilizar. N e s s e p o n t o , é necessário u m p e q u e n o "empurrão" d o p r o f e s s o r p a r a q u e o a l u n o faça a subtração d e cabeça, p a s s a n d o d o método l o n g o p a r a o b r e v e . A l g u m a d i f i c u l d a d e a p a r e c e a i n d a p a r a se c h e g a r a o a l g o r i t m o f i n a l , porém, d e q u a l q u e r m o d o , já t e m o s u m método s e g u r o e s i m p l e s . V a m o s e s t u d a r u m e x e m p l o q u e m o s t r a várias e t a p a s d a evolução d o a l u n o . A c o m p a n h e ! D i v i d i r 2 6 2p o r 7. Q u e r e m o s q u e o aluno chegue a fazer assim: 2 6'2' 5 2 3
\j_ 37
M a s é i m p o r t a n t e q u e o a l u n o a l c a n c e esse p o n t o s e m t r a u m a s . C l a r o , o método u t i l i z a d o t r a d i c i o n a l m e n t e é o d e d e c o r a r vários p a s s o s s e m s a b e r p o r quê. I s s o p o d e r i a s e r f e i t o a q u i , a g o r a q u e o a l u n o está s e g u r o e já d o m i n a u m a técnica, p o i s o a l g o r i t m o f a c i l i t a m u i t o . 117
N o e n t a n t o , s e possível, d e v e - s e s e g u i r u m c a m i n h o m i s t o d e lógica e memória, o f e r e c e n d o a o a l u n o a o p o r t u n i d a d e d e d o s a r a s d u a s c o i s a s , de a c o r d o c o m s u a i n d i v i d u a l i d a d e ; t a l d o s a g e m se a l t e r a c o n f o r m e s e u a m a d u r e c i m e n t o . Não e x i g i r u m a lógica impecável, impossível n e s t a i d a d e . Não f a z e r d e c o r a r ! V e j a m o s : a ) D e n t r o d o p r o c e s s o d e abreviação, o a l u n o q u e r começar d i v i d i n d o l o g o as centenas: 26'2
| 7
b) 2 6 ' 2 | 7 — 21 3 241
Não p o d e m o s d i v i d i r 2 c e n t e n a s p o r 7 ; p o r isso, d i v i d i m o s 2 6 dezenas p o r 7 . 2 6 d i v i d i d o p o r 7 são 3 , e 3 v e z e s 7 são 2 1 . I s s o está c e r t o e, s e f o r c o n t i n u a d o , c o n d u z a o r e s u l t a d o . Porém, não s e r v e c o m o c a m i nho para o algoritmo. Para o algoritmo,devemos raciocinar q u e 2 6 dezenas divididas p o r 7 dão 3 d e z e n a s , i s t o é, 3 0 .
c)
26'2 17 A g o r a s i m ! 3 d e z e n a s v e z e s 7 são 2 1 d e z e — 210 30 nas o u 2 1 0 ;para 2 6 2 faltam 5 2 . Conti5 2 + 7 nuando normalmente, encontraremos 7. — 4 9 37 Está p r o n t a a divisão. 3 Tirar a prova: 7 X 3 7 + 3 = 262. • S e m escrever o zero d o 2 1 0 : 26'2 - 2 1 3 70 52 + 7 37 - 4 9 3
1
S e m escrever o zero d o 3 0 , pois 26'2' 3 0 + 7 = 3 7 (falar e m abaixar - 2 1 o 2): 5 2 - 4 9 3 F a z e n d o a s subtrações d e cabeça 2 6 ' 2 ' (método b r e v e ) : 5 2 3 118
17
37
| 7 37
• Q u a n d o c h e g a m o s a esse p o n t o , p o d e m o s f a z e r a l g u m a s d i v i sões, f a l a n d o e m v o z a l t a p a r a f i x a r o a l g o r i t m o (não é p r e c i s o i n s i s t i r , é só f a z e r d e v e z e m q u a n d o ) : 26'2 5 26'2' 5 2 3
3
26 dividido p o r 7, 3. 3 vezes 7 , 2 1 ; p a r a 2 6 , 5 .
Li
Abaixa o 2.
37 52 dividido p o r 7, 7. 7 vezes 7 , 4 9 ; p a r a 5 2 , 3 .
Outro exemplo: 49'4' 12 3 03 4 21 1 1 .
4 9 p o r 2 3 , 2 . 2 vezes 3 , 6 ; p a r a 9 , 3 ; 2 vezes 2 , 4 ; p a r a 4 , zero. A b a i x a o 4 . 3 4 por 23, 1 .U m a vez 3, 3; para 4 , 1 ; u m a vez 2 , 2 ; para 3 , 1 .
Está p r o n t o o a l g o r i t m o d a divisão c o m d o i s a l g a r i s m o s . F i c a f a l t a n d o a p e n a s u m a generalização. N o t a r q u e o a l g o r i t m o s u r g i u a s s i m m e s m o n a história d a Matemática. É o r e s u l t a d o d e simplificação.
5. Frações. T r a b a l h a r c o m m a t e r i a l c o n c r e t o , c o l o r i r f i g u r a s e t c . a F a l a r s o b r e a notação , n u m e r a d o r e d e n o m i n a d o r . Começar c o m n u m e r a d o r i g u a l a l e d e p o i s , p o r adição, f o r m a r o u t r o s n u m e r a d o r e s : u m terço m a i s u m terço são d o i s terços e t c .
6 . Exercícios: a ) D a d a a fração e m a l g a r i s m o s , escrevê-la p o r e x t e n s o . b ) D a d a a fração p o r e x t e n s o , escrevê-la e m a l g a r i s m o s . c ) D a d o o d e s e n h o , e s c r e v e r a fração. d ) D a d a a fração, c o l o r i r o d e s e n h o . 119
7. Frações d e m e s m o 1
denominador: 1
a) O r d e m :
> 3
etc. F a z e r desenhos. 4
. F a z e r p r o b l e m a s e exercícios.
b ) Adição:
5
2
3
c ) Subtração:
= 7
. P r o p o r problemas e exer-
7
7
c i c i o s . F a z e r m u i t a s a t i v i d a d e s . C r i a r situações p a r a a d e s c o 1
berta:
1
d e dúzia,
de 2 0 etc.
1 d ) Multiplicação p o r número n a t u r a l :
3 X 5
1 H
1
1
=
3
1 =
+ 5
etc.
6 e ) Divisão p o r número n a t u r a l . T e n h o
de u m bolo para 8 6
dividir p o rdois meninos. Q u a n t o d o u para cada u m ? — -r- 2 =
r-
3
. S e i s o i t a v o s d i v i d i d o p o r d o i s d a três o i t a v o s 8 para cada u m . 120
8. Frações e q u i v a l e n t e s . Começar c o m d e s e n h o s p a r a m o s t r a r q u e : 1
2
2
4
3
4
6
8
F o r m a r a s famílias, a s c l a s s e s : 1 2
2 9
3 9
4 2
3
9
5
2 9
9
8 4 9
5
9
12
3 9
10
9
3 9
6
1
6
4
4 >
15
5
6
7
8
10 '
12
14 '
16
5
6
15
18 '
5
6
7
8
21
24
7
8 etc.
>
20
25 '
30 '
35 '
40 '
F a z e r q u a d r o d a s classes: 1/2
1/3
V5
A o s p o u c o s , d e a c o r d o c o m a s n e c e s s i d a d e s , i r e s t u d a n d o esses 1 q u a d r o s . N o q u a d r o d a classe d o , vemos n a primeira linha 2 d o i s retângulos; n a s e g u n d a , q u a t r o ; n a t e r c e i r a , s e i s ; i $ t o é, 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 , . . ., s e o q u a d r o f o s s e m a i o r . E s s e s números são o s múlti1 2 3 pios de 2 e m o s t r a m q u e = = = . . ., m e t a d e d e 4 cada linha. 121
1 N o quadro d o
t e m o s : 3 , 6 , 9 , 1 2 , 1 5 , . . ., q u e são o s 3 1
múltiplos d e 3 , m o s t r a n d o q u e
2 =
3 =
3
= . . ., u m terço
6
9
de cada linha. C o m o 6 é múltiplo c o m u m , então está n o s d o i s q u a d r o s , i s t o é, o s d o i s q u a d r o s p o s s u e m l i n h a s i g u a i s q u e são a t e r c e i r a d o q u a d r o d o 1 1 e a segunda d o quadro d o ; p o r t a n t o , u s a n d o essas d u a s 2 3 1 3 1 2 linhas, trocamos por e por , q u e são frações d e 2 6 3 6 d e n o m i n a d o r e s c o m u n s . S e o s q u a d r o s f o s s e m m a i o r e s , encontraríamos outras linhas iguais, c o m o a de doze partes. 9. S o m a e subtração d e frações. Começar c o m n u m e r a d o r 1 . E s c o l h e r , n a s c l a s s e s d o i t e m a n t e r i o r , d u a s frações e q u i v a l e n t e s às dadas e de m e s m o denominador. E x e m p l o : 1
1 H
; o l h a n d o n a classe d o 5
1
e n a classe d o
3
encontramos
1
1
+
1
, q u e são e q u i v a l e n t e s a
,
1
, porém 15 15 3 5 c o m d e n o m i n a d o r e s i g u a i s ( f a z e r d e s e n h o s i l u s t r a t i v o s ; V e r última l i n h a 1 1 do quadro do e a terceira d o quadro d o ). 3 5 Daí:
e
1
5 =
+ 15
3
8
15
15
e
F a z e r m u i t o s exercícios. I n d u z i r o a l u n o a e n c o n t r a r frações e q u i v a l e n t e s s e m o l h a r as classes, m a s m u l t i p l i c a n d o o n u m e r a d o r e o d e n o m i n a d o r p e l o m e s m o número, p o r t e n t a t i v a s , até c o n s e g u i r i g u a l a r os d e n o m i n a d o r e s . 122
1 Exemplo:
1 1
1 X 2 2 X 2
= =
2 4
1 X 2
=
2
3 X 2
=
6
1 X 3 2 X 3
= =
3 6
1 X 3 3 X 3
= =
3 9
P r o n t o . Já e n c o n t r a m o s d u a s frações c o m o m e s m o d e n o m i 2 3 nador: e . Então: 6 6 1
1
Fazer o m e s m o c o m numeradores diferentes de 1 .
2
10
10. Multiplicação. 5 X 9
=
. F a z e r vários exercícios.
3
1 1 . Divisão.
- 3 = . P r o p o r também u m b o m número 11 11 d e exercícios. U s a r quebra-cabeça aritmético. 2 1 12. O r d e m . D e t e r m i n a r q u a l é m a i o r : ou ? Primeiro, 3 2 f a z e n d o d e s e n h o s e c o l o r i n d o . S e g u n d o , p r o c u r a n d o n a s classes d u a s frações d e m e s m o d e n o m i n a d o r , porém e q u i v a l e n t e s às d u a s frações dadas. Terceiro, m u l t i p l i c a n d o " e m c i m a e e m b a i x o " pelo m e s m o número até i g u a l a r o s d e n o m i n a d o r e s . E x e m p l o : 2 1 4 3 4 3 e são i g u a i s a e ; como > , 3 2 6 6 então
2
>
1
123
13. Frações d e c i m a i s ( c o m d e n o m i n a d o r 1 0 , 1 0 0 , . . . ) . P r o c e d e r c o m o n a s o u t r a s frações, só q u e , n e s t e c a s o , é m a i s fácil, p o i s o s n u m e r a d o r e s são múltiplos u n s d o s o u t r o s . 14. Números d e c i m a i s . S e a G e o m e t r i a c o n c r e t a está s e n d o a p l i c a d a , o s números d e c i m a i s já vêm s e n d o u t i l i z a d o s , n a prática, d e s d e a 2 . série, i n c l u s i v e c o m o operações. Também e x i s t e a prática c o m c e n t a v o s . F a z e r adições e subtrações n o c a v a l u . Multiplicação e d i v i são só p o r números i n t e i r o s . P r o p o r p r o b l e m a s e exercícios. a
1 5 . U n i d a d e s d e m e d i d a : t e m p o , c o m p r i m e n t o , área. A p r o f u n d a r os c o n c e i t o s . L e r as h o r a s e o s m i n u t o s .
SUGESTÕES DE ATIVIDADES PARA A 4 . SÉRIE A
1 . Números n a t u r a i s . D a r o s i s t e m a d e numeração d e c i m a l . 2. Operações c o m números n a t u r a i s , p r o p r i e d a d e s , numéricas. P r o p o r exercícios v a r i a d o s .
expressões
3 . Múltiplos d e u m número. T r a b a l h a r a p a r t i r d e situações motivadoras: u m vendedor viajava pela redondeza e demorava quatro dias p a r a v o l t a r p a r a casa. Se saiu d e v i a g e m pela p r i m e i r a v e z n o d i a 4 , q u a i s o s d i a s q u e passará e m c a s a ? O u t r a s situações q u e p o d e m ser e x p l o r a d a s : • Remédio q u e d e v e s e r t o m a d o d e c i n c o e m c i n c o h o r a s , c o m e çando à z e r o h o r a . • S a p o q u e v a i p u l a n d o 6 0 centímetros. U s a r a notação M ( 3 ) p a r a múltiplos d e 3 , l o g o : M ( 3 ) = { 0 , 3, 6, 9, 12, 15, 18,2 1 , ... }. 124
F a z e r o j o g o d e c o n t a r d e três e m três. Q u e m e r r a r s a i d o j o g o . D e q u a t r o e m q u a t r o e a s s i m p o r d i a n t e . C o n s t r u i r u m crivo. A p a r t i r d o z e r o , p u l e d o i s números e r i s q u e u m , i s t o é, r i s c a r 0 , 3 , 6 , e t c . I d e m para M ( 2 ) , M ( 5 ) etc. 0 1 10 1 1 20 tf 30 3 1 40 4 1
2 # 4 5 ^ 7 8 # 1 / 1 3 1 4 \g 1 6 1 7 \É 1 9 2 2 2 3 ?4 2 5 2 6 ?t 2 8 2 9 32 3 4 3 5 3é 3 7 3 8 ^ 4^ 4 3 4 4 46 47 49
M o s t r a r que, p o rexemplo, M ( 6 ) e M ( 3 ) . Calcular M ( 3 ) D M ( 4 ) etc. 4 . D i v i s o r e s d e u m número. D i v i d i r o 1 2 p e l o s números 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7 , 8, 9 , 1 0 , 1 1 e 1 2( u m d e cada vez). Q u a i s d e r a m resto zero? D ( 1 2 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 1 2 } . Exercícios: D ( 1 8 ) , D ( 7 ) , D ( 1 4 ) e t c . M o s t r a r q u e o s d i v i s o r e s d e s s e s números a p a r e c e m e m q u a n t i d a d e s pares: D(18) = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 1 8 } ; D ( 7 ) = { 1 , 7 } ; D ( 1 4 ) - { 1 , 2 ,7,1 4 } . Q u a n d o o s d i v i s o r e s d e u m número a p a r e c e m e m q u a n t i d a d e s ímpares, esse número é q u a d r a d o p e r f e i t o . E x e m p l o :
D ( 1 6 ) = { 1 , 2 , 4 , 8, 1 6 } . 5. Número p r i m o . E n c o n t r a r D ( 7 ) , D ( 5 ) , D ( 2 ) . S e t e , c i n c o e d o i s são números primos, o u s e j a , são divisíveis a p e n a s p e l a u n i d a d e e p o r e l e s m e s m o s . P a r a d e t e r m i n a r o s números p r i m o s , u s a r o crivo de Eratóstenes *. P a r a i s s o , p o d e - s e u t i l i z a r o q u a d r o d e p i n o s : começar c o l o c a n d o o s p i n o s n o s múltiplos d e 2 ; d e p o i s , n o s d e 3 ; e m s e g u i d a , n o s d e 5 , n o s d e 7 e a s s i m p o r d i a n t e . São p r i m o s o s números q u e s o b r a r e m s e m p i n o s , e x c e t o o 1 , p o i s , p o r convenção, o 1 não é p r i m o n e m composto. * Eratóstenes (276-196 a.C.) — Astrónomo grego, foi um dos primeiros a medir o tamanho da Terra. Foi diretor da biblioteca do Museu de Alexandria. O crivo que leva seu nome serve para determinar os números primos.
125
a
6 . Frações. R e t o m a r o s i t e n s d e 5 a 1 4 d a 3 . série. A p r o f u n d a r o e s t u d o d a s frações: frações próprias e impróprias, número m i s t o , frações e q u i v a l e n t e s , simplificação d e frações, redução a o m e s m o d e n o m i n a d o r . N e s t a a l t u r a , o e s t u d o já começa a f i c a r u m p o u c o f o r m a l . A i n d a não s e f a z e m demonstrações, m a s o a l u n o já a c e i t a e x e m p l o s numéricos, gráficos e o u t r o s . 7. Operações c o m frações: a ) Adição e subtração — C o n t i n u a r c o m t e n t a t i v a s p a r a e n c o n trar u m denominador c o m u m . O produto dos denominadores s e m p r e s e r v e . D e s c o b r i r q u e o m e n o r múltiplo c o m u m dá u m r e s u l t a d o m a i s s i m p l e s . Começar a f a l a r e m m e n o r múltiplo c o m u m o u , c o m o é m a i s c o n h e c i d o , mínimo múltiplo comum dos denominadores ( m m c ) . b)
Multiplicação
6
multiplicar os n u m e 3 4 12 r a d o r e s e os d e n o m i n a d o r e s . O s a l u n o s a c h a m isso m u i t o n a t u r a l . D e p o i s d e a l g u n s exercícios, f o r m a r u m a j u s t i f i c a t i v a . X
2/3
3/4
O e s q u e m a a c i m a é m u i t o útil. A b a s e f o i d i v i d i d a e m q u a t r o p a r t e s , e o l a d o e m três; l o g o , são 3 X 4 = 1 2 q u a d r a d i n h o s . Se a base f o i d i v i d i d a e m q u a t r o partes, cada parte é 4 3 e foram tomados
2
. N o lado, foram tomados , por4 3 t a n t o , 2 X 3 = 6 q u a d r a d i n h o s , q u e é a m e t a d e d e 1 2 , i s t o é, 2 3 6 . 1 X = = , representado pela parte reti3 12 3 1 culada. Lembre-se q u e s i g n i f i c a : 3 pedaços d e
126
c ) Divisão por número natural — P o d e s e r f e i t a p o r d o i s métodos diferentes: • Método franco — D i v i d i r o n u m e r a d o r p e l o d i v i s o r : 6
6 ^ 3
2
7 7 7 S e i s pedaços p a r a d i v i d i r p o r três m e n i n o s são d o i s pedaços p a r a c a d a m e n i n o . S e i s sétimos p a r a d i v i d i r p o r três m e n i n o s são d o i s sétimos p a r a c a d a m e n i n o . • Método da inflação — M u l t i p l i c a r o d e n o m i n a d o r p e l o d i v i s o r ( a o invés d e d i v i d i r e m c i m a , m u l t i p l i c a r e m b a i x o ) : 6
6
-i- 3 =
7
6
55
7 X 3
(que é igual a
21
2
)
7
N a h o r a d e d i v i d i r , c a d a u m g a n h a seis pedaços, só q u e m e n o r e s d o q u e o s pedaços d o c a s o a n t e r i o r . E r a m seis sétimos e g a n h a r a m seis v i n t e e u m a v o s ( c a d a u m c o n t i n u a g a n h a n d o a m e s m a q u a n t i d a d e , só q u e v a l e n d o m e n o s ) . O método f r a n c o d i m i n u i a q u a n t i d a d e m a s mantém a q u a l i d a d e . O método d a inflação mantém a q u a n t i d a d e m a s diminui a qualidade. O método d a inflação é s e m p r e possível d e a p l i c a r . V e j a : 5
5 -r-
2
5 5
9 18 M o s t r a r q u e , d i v i d i n d o - s e q u i n z e b a l a s p o r u m a criança, dará q u i n z e p a r a e l a : a -f- 1 = a . M o s t r a r q u e , d i v i d i n d o - s e z e r o b a l a s p o r s e t e crianças, dará z e r o p a r a c a d a u m a : 0 -f- a = 0 . d ) Divisão por frações — I n v e r t e r e m u l t i p l i c a r : 3
2
3
3
9
4 3 4 2 8 E l e s a c e i t a m b e m . Aliás, n a divisão p o r número n a t u r a l , já i n v e r t i a m n o método d a inflação: 5
5 -r-
2 =
1 X
5 =
9 9 2 18 D a r p r o b l e m a s e exercícios v a r i a d o s . 127
J u s t i f i c a r a r e g r a d e divisão d e frações p o d e s e r m u i t o i m p o r t a n t e , pois envolve dois conceitos extremamente construtivos. O p r i m e i r o d e l e s é o fenómeno i n t u i t i v o d e q u e d i v i d i r p o r m u i t o s dá p o u c o p a r a c a d a u m . S e v o u d i v i d i r u m b o l o , q u a n t o m e n o s g e n t e , m a i o r o pedaço; q u a n t o m a i s g e n t e , m e n o r o pedaço. S e v o u d i v i d i r b a l a s , q u a n t o m e n o s gente, m a i o r a quantidade de balas; q u a n t o mais gente, m e n o r a q u a n tidade. E x e m p l o : doze balas. 12
-T-
12
6
4
3
2
1
1
2
3
4
6
12
n ú m e r o de
pessoas
q u a n t i d a d e de
balas
E x p l o r a r esse f a t o e, e m s e g u i d a , d a r exercícios c o m o o s e g u i n t e , para mostrar que quanto menor o monte, maior a quantidade de montes: ( p o o o) D i v i d i r doze bolos e m m o n t e s de o o o o q uatro bolos. Quantos montes? o o o o
12 - r - 4 = 3 m o n t e s
'OIQ-O O D i v i d i r d o z e b o l o s e m m o n t e s de o ooo dois bolos. Quantos montes? o o o o
1 2 ^ - 2 = 6 montes
\ào o o o o o o o o o o
D i v i d i r d o z e b o l o s e m m o n t e s de um
cro o o o o o o o o o o
bolo. Quantos
12 - T - 1 =
montes?
D i v i d i r d o z e b o l o s e m m o n t e s de meio bolo. Quantos
montes?
12
1 2
12 m o n t e s
= 24 m o n t e s
Escrever o quadro:
12
-r-
4
2
1
72
3
6
12
24
1
/4
t a m a n h o do
monte
quantidade de m o n t e s
P o d e - s e c o n c l u i r q u e , se o m o n t e é a m e t a d e d o a n t e r i o r , a q u a n 1 t i d a d e d e m o n t e s é o d o b r o . E s c r e v e r : 1 2 -h = 12 X 2 = 24. 2 Comparar com o quadro. 128
O u t r o fenómeno i m p o r t a n t e d a divisão é o d e q u e , n a h o r a d e d i v i d i r as b a l a s , se c h e g a r m a i s g e n t e , d e v e - s e a u m e n t a r a q u a n t i d a d e de balas p a r a q u e cada u n r c o n t i n u e recebendo o m e s m o . D o b r a n d o o número d e p e s s o a s , d e v e - s e d o b r a r o número d e b a l a s : 1 2 -r- 4 = 3 12 24 e 2 4 - 7 - 8 = 3 , i s t o é, = = 3. 4 8 M u l t i p l i c a n d o o d i v i d e n d o e o d i v i s o r p e l o m e s m o número, o q u o c i e n t e f i c a o m e s m o , p o i s c h e g o u m a i s g e n t e , m a s também m a i s balas. V a m o s u s a r e s t e f a t o : a -f- b = 2 a - r - 2 b = 3 a -f- 3 b : 1 2 -r-
== ( 1 2 X 2 ) + (
X 2 ) = 2 4 -r- 1 = 2 4
2
2
1 12
1 = (12 X 3 ) - r (
~r~
X 3 ) = ( 1 2 X 3 ) -s- 1 = 1 2 X 3 ,
3
3
1 i s t o é, 1 2 - r - — — = 1 2 X 3 ( d i v i d i r p o r 3
1 é multiplicar p o r 3).
:
3
8. P o r c e n t a g e m : iniciação preparatória p a r a as séries s e g u i n t e s . 8
27
D a r apenas isto: 8 % =
,
2 7 %=
100
. 100
E x p l i c a r q u e p o r c e n t a g e m é fração d e d e n o m i n a d o r 1 0 0 . T r a b a l h a r n o r m a l m e n t e . Daí, d a r a l g u m s i g n i f i c a d o s o c i a l : p o r c e n t a g e m d e aprovação, I m p o s t o d e R e n d a , F u n d o d e G a r a n t i a e t c . 9. Números d e c i m a i s . T r a n s f o r m a r frações d e c i m a i s e m números decimais e vice-versa: 2,57 = 2 +
5 10
+
7 100
=
200 + 50+ 7 • — 100
=
257 100
B a s t a e s c r e v e r o número, s e m vírgula, n o n u m e r a d o r e o 1 s e g u i d o d e t a n t o s z e r o s q u a n t o s f o r e m o s a l g a r i s m o s d e p o i s d a vírgula, n o denominador. Cada dezena vale dez unidades, cada unidade vale dez décimos, c a d a décimo v a l e d e z centésimos e t c . V e r capítulo 3 , c a v a l u , item 27. 129
T r a n s f o r m a r frações e m números d e c i m a i s : 3
6
5
10
= 0,6 o u 3 0 0
5 0,6
D a r a s q u a t r o operações n a f o r m a d e números d e c i m a i s . P a r a j u s t i f i c a r c a d a r e g r a , t r a n s f o r m a r e m frações d e c i m a i s , e f e t u a r e v o l t a r : 6 0,6 + 0,3 = 0,9, pois 0,6 + 0,3 =
3 +
10
9 =
10
= 0,9. 10
a
T u d o i s s o v e m s e n d o f e i t o d e s d e a 2 . série, s e a G e o m e t r i a c o n c r e t a e s t i v e r s e n d o a p l i c a d a . D e q u a l q u e r f o r m a , o a l u n o já d e v e t r a z e r a l g u m a experiência c o m números d e c i m a i s ( p e l o m e n o s m e d i d a s d e c o m p r i m e n t o e os centavos). 10. Cálculo d o d e s c o n h e c i d o : • + 3 = 5 . E s s e t i p o d e exercício d e v e s e r f e i t o d e s d e a 2 . série, m a s c o n c r e t a m e n t e , já q u e a s r e g r a s algébricas são d o estágio d a s operações abstraías. A Álgebra é u m a e s t r u t u r a abstraía. Porém, s e p u d e r m o s c o n c r e t i z a r , a ação levará à operação c o n c r e t a , i s t o é, o p e n s a m e n t o o p e r a n d o c o m o b j e t o s c o n c r e t o s . O p o r t u n a m e n t e , o a l u n o fará a abstração. C o m o v i m o s n o capítulo 3 , e s s a ação c o n c r e t a p o d e s e r f e i t a c o m u m a balança, a p a r t i r d a 4 . o u 5 . séries. a
a
a
11. U n i d a d e s d e m e d i d a s . A p e s a r d e o a l u n o a i n d a não p o s s u i r a noção d e conservação d o v o l u m e , já se p o d e m f a z e r a s experiências d e s s e t i p o . A s i d e i a s começam a s e f i x a r . F a z e r p r o b l e m a s e n v o l v e n d o t e m p o , m o e d a , perímetro, área, p e s o e t c . C o n t i n u a r a a t i v i d a d e 1 5 d a 3 . série. a
130
Geometria concreta INTRODUÇÃO E s t a G e o m e t r i a v e m s e n d o t e s t a d a há m u i t o s a n o s , e m m u i t a s e s c o l a s . T r a t a - s e a p e n a s d e a t i v i d a d e s q u e e n v o l v e m o m a n e j o d e régua, esquadro, compasso e transferidor. O p r i m e i r o c u i d a d o d o p r o f e s s o r d e v e s e r o d e não se p r e o c u p a r e m p a s s a r informações a o s a l u n o s . P e l o contrário: e l e é q u e v a i d e s c o b r i - l a s , d a m a n e i r a m a i s lúdica e m a i s g o s t o s a possível, a s e u m o d o , em seu ritmo. A hora d a Geometria vai funcionar como u m a quebra n o ritmo n o r m a l d a a u l a . V a i s e r a h o r a d e d e s e n h a r , d e u s a r lápis c o l o r i d o s , d e d e i x a r a cabeça t r a b a l h a r c o m g o s t o . Não p a r a d e v o l v e r n a p r o v a . A avaliação c o n s i s t e a p e n a s e m v e r i f i c a r se a a t i v i d a d e f o i f e i t a o u não. E não é o c a s o d e o b r i g a r o a l u n o a f a z e r , m a s s i m d e incentivá-lo a i s s o , reforçando, e l o g i a n d o s e u d e s e m p e n h o . É i m p o r t a n t e , a i n d a , e s t i m u l a r a comunicação e n t r e o s a l u n o s . A frequência d a s a u l a s d e G e o m e t r i a v a i s e r opção d o p r o f e s s o r : u m p o u q u i n h o p o r d i a , t o d o s o s d i a s , o u u m t e m p o m a i o r , m a s só u m a v e z p o r s e m a n a . É p o u c a c o i s a p a r a se f a z e r e m c a d a a n o . S e m p r e q u e possível, o a l u n o d e v e f a z e r a a t i v i d a d e p r i m e i r o e , d e p o i s , o p r o f e s s o r f a z n a l o u s a , p a r a q u e o a l u n o p o s s a se a v a l i a r . P a r a f a z e r u m d e s e n h o c o m o este são:
p r i m e i r o f a z e r três p o n t o s .
, a s instruções n e s t e l i v r o
. , depois
ligá-los
(fechar
•A-
e, p o r f i m ,
a c e r q u i n h a ) , e m s e g u i d a f a z e r m a i s três p o n t o s ligá-los
. E s s a s instruções vêm a c o m p a n h a d a s d e q u a d r i n h o s c o m o 131
os
A A A
seguintes
, m o s t r a n d o a sequência d e
a t i v i d a d e s . N a l o u s a , e n t r e t a n t o , estes d e s e n h o s f i c a n d o s o m e n t e o último.
serão
superpostos,
M u i t a s f i g u r a s , c o m o a s a c i m a , também são e s t u d a d a s e m E d u c a ção Artística, porém c o m o b j e t i v o s d i f e r e n t e s . E n q u a n t o a G e o m e t r i a está i n t e r e s s a d a e m propriedades geométricas (relações métricas, t a n g e n c i a , posições r e l a t i v a s ) , a s A r t e s estão i n t e r e s s a d a s e m estética ( e q u i líbrio, m o v i m e n t o , r i t m o , h a r m o n i a ) . T e r e m o s , então, diferenças e n t r e o lógico e o artístico, e t o d o a l u n o d e v e d e s e n v o l v e r - s e e m a m b a s a s direções, m a n t e n d o a integração. É i m p o r t a n t e q u e o s a l u n o s v e j a m s u a g e o m e t r i a a p l i c a d a às necessidades sociais. A s s i m , depois d e estudar retas perpendiculares, p o d e - s e v i s i t a r u m a construção e o b s e r v a r u m p e d r e i r o u s a n d o o f i o d e p r u m o p a r a v e r i f i c a r se a p a r e d e está r e a l m e n t e v e r t i c a l . O p e d r e i r o u s a l i n h a s , e s q u a d r o , nível, f i o d e p r u m o e p o d e r i a e x p l i c a r m u i t a c o i s a a o s a l u n o s . N a s m a r c e n a r i a s e s e r r a l h e r i a s também se u t i l i z a G e o m e t r i a e u m a v i s i t a s e r i a útil, a p e s a r d o p e r i g o d a s máquinas. O b s e r v a r u m a l f a i a t e o u u m a c o s t u r e i r a u s a n d o s u a s réguas e m e d i d a s , o u u m v e n dedor de panos utilizando o m e t r o é outra possibilidade interessante. A G e o m e t r i a c o n c r e t a d a s q u a t r o p r i m e i r a s séries, época e m q u e o a l u n o está e n t r a n d o n o estágio d a s operações c o n c r e t a s , c o r r e s p o n d e à " G e o m e t r i a " d o período Neolítico até o E g i t o a n t i g o . São r e c e i t a s d e s c o b e r t a s p o r t e n t a t i v a s e e r r o s , n u m p r o c e s s o embriológico. A p a r t i r d a 5 . série, começará o t r a b a l h o metodológico d e c l a s s i f i c a r e o r d e n a r c o n h e c i m e n t o s , c h e g a n d o às demonstrações ( 7 . e 8 . séries), c o m o f e z E u c l i d e s n a Grécia a n t i g a , c o m b a s e n o s c o n h e c i m e n t o s egípcios e d e o u t r o s p o v o s . É a construção d o g r a n d e edifício lógico a p a r t i r d e p o s t u l a d o s , r e s u l t a d o d e u m a prática f e i t a n a época c e r t a . Começa, então, a G e o m e t r i a r a c i o n a l . a
a
a
a
a
P o r t a n t o , d a l . à 4 . série não se e n s i n a conteúdo geométrico, a p e n a s a t i v i d a d e s . É p r o i b i d o e x p l i c a r ! O conteúdo será d e s c o b e r t o 132
a p a r t i r d a s a t i v i d a d e s , m a s não é e s t e o o b j e t i v o p r i n c i p a l . O o b j e t i v o é a ação! A p a r t i r d a ação serão a t i n g i d o s o b j e t i v o s c o g n i t i v o s , a f e t i v o s e psicomotores.
ATIVIDADES PARA A 1 . SÉRIE a
a
N a l . série o a l u n o manipulará régua e esquadro p a r a habilidades e f o r m a r conceitos.
desenvolver
Material necessário a) A l u n o : • lápis g r a f i t e o u d e c o r ; • c a d e r n o d e d e s e n h o ( 5 0 páginas); • régua ( u m p e q u e n o s a r r a f o s e m graduação, só p a r a r i s c a r ) ; • b)
esquadro.
Professor: • régua d e m a d e i r a ( 1 m e t r o ) ; • e s q u a d r o d e m a d e i r a ( d e preferência a r t e s a n a l , s e m ção, só p a r a r i s c a r ) .
gradua-
133
Propostas de atividades 1 . Ê a etapa d o j o g o livre. O a l u n o f a z riscos l i v r e m e n t e , usando lápis e régua. P o d e também f a z e r r i s c o s c o m a mão l i v r e , m a s a a t i v i d a d e é c o m régua. R i s c a r o q u e q u i s e r , e n c h e n d o u m a o u d u a s páginas.
2.
O professor faz dois pontos n a lousa. O s alunos d e v e m fazer o mesm o e m s e u s c a d e r n o s e , e m s e g u i d a , ligá-los c o m u m traço r e t o , u t i l i z a n d o a régua ( a a b e l h i n h a v a i v o a r d e u m a f l o r até a o u t r a e t c ) . P o r f i m , o p r o f e s s o r também f a z o traço n a l o u s a , u s a n d o s u a régua. N o começo, o s a l u n o s não c o n s e g u e m f a z e r a a t i v i d a d e : a régua e s c o r r e g a , o lápis não a c o m p a n h a a régua — p e g a n o d e d o o u f u r a o p a p e l — , a f o l h a d e b a i x o f i c a m a r c a d a . T u d o b e m ! Não é p r e c i s o c o r r i g i r . É só r e p e t i r a l g u m a s v e z e s . A f i r m e z a ( e a conceituação) virá c o m o t r e i n o , m a i s o u m e n o s n a época e m q u e e s t i v e r e m t r a b a l h a n d o c o m triângulos. T o d a a t i v i d a d e d e l i g a r p o n t o s p o d e s e r r e f e i t a n o q u a d r o de pinos, ligando-se concretamente pinos c o m u m barbante. V e r i f i c a r , c o m a régua, se a m e s a e o u t r a s superfícies são p l a n a s .
O p r o f e s s o r f a z três p o n t o s . O s a l u n o s f a z e m o m e s m o e , u s a n d o a régua, l i g a m o s p o n t o s , f o r m a n d o o triângulo ( f e c h a r a c e r q u i n h a ) . P o r último, o p r o f e s s o r também u n e o s p o n t o s . Não d a r n o m e s . R e p e t i r a a t i v i d a d e várias v e z e s , c o m o s p o n t o s e m d i v e r s a s posições. C o l o r i r . T r a b a l h a r a l g u m a s v e z e s à mão l i v r e , s e m p r e p a r t i n d o d o s p o n t o s . F a z e r d e s e n h o s l i v r e s e composições c o m triângulos.
134
O p r o f e s s o r f a z três p o n t o s . O s a l u n o s f a z e m o m e s m o e , c o m o auxílio d a régua, u n e m o s p o n t o s . O p r o f e s s o r também l i g a esses p o n t o s e f a z m a i s três. O s a l u n o s f a z e m o s três p o n t o s e o s l i g a m . O p r o f e s s o r também. C o l o r i r . R e p e t i r à mão l i v r e . O s a l u n o s se a j u d a m .
O professor f a z quatro pontos. O s alunos f a z e m o m e s m o e u n e m os p o n t o s , c o n s t r u i n d o a cerca. R e p e t i r c o m v a r i a d a s f o r m a s de q u a d r i láteros. Não d a r n o m e s . C o l o r i r . P r o p o r o j o g o d e d e s c o b r i r quadriláteros n a sala (coisas d e q u a t r o lados: j a n e l a , q u a d r o , l a d r i l h o , caderno. .. ) . 6. Desenho de u m papagaio. O professor faz quatro pontos, os a l u n o s o i m i t a m e l i g a m o s p o n t o s . O p r o f e s s o r d i z q u e estão f a l t a n d o as v a r e t a s . O s a l u n o s f a z e m a s d i a g o n a i s . O p r o f e s s o r r e p e t e n a l o u s a . F a z e r à mão l i v r e . C o l o r i r . S e o s a l u n o s q u i s e r e m , d e s e n h a r o r a b o d o papagaio.
S e o p r o f e s s o r p e r g u n t a r q u a n t o s triângulos há n e s t e p a p a g a i o , o a l u n o responderá q u a t r o . M a s n a r e a l i d a d e são o i t o . U m d e l e s é a m e t a d e d e c i m a . E v i d e n t e m e n t e , e s s a p e r g u n t a só p o d e s e r f e i t a s e e l e s já c o n t a m até o i t o . 135
7.
O p r o f e s s o r f a z três p o n t o s . O s a l u n o s r e p e t e m , s e m u n i - l o s . O p r o f e s s o r f a z , então, m a i s d o i s p o n t o s . O s a l u n o s r e p e t e m e f e c h a m a c e r c a . O p r o f e s s o r também. C o l o r i r . R e p e t i r . Há m u i t a s variações: \ / \ / , 5y£, ( p u l a n d o u m p o n t o ) . P r o p o r o j o g o d e f a z e r e s t r e l a à mão livre, d e u m a vez, s e m pontos:
8. A t i v i d a d e s p a r a s e r e m f e i t a s s e m p r e c o m a régua:
•
•
11
• •
• •
11
•
•
•
n
•
• •o*
9.
U n i r c i n c o p o n t o s d e t o d a s a s m a n e i r a s possíveis. C o l o r i r a e s t r e l a . R e p e t i r . F a z e r à mão l i v r e . São d e z r i s c o s .
10. F a z e r três p o n t o s , d e p o i s m a i s três e e m s e g u i d a u n i - l o s . V a i f o r m a r - s e u m a f i g u r a d e seis l a d o s . C h a m a r a atenção d o a l u n o p a r a a semelhança c o m a c a s i n h a d a a b e l h a ( m o s t r a r g r a v u r a d e c o l m e i a ) . M o s t r a r ladrilhos e coisas hexagonais (sextavadas). P e d i r q u e t r a g a m d e c a s a o b j e t o s s e x t a v a d o s ( p a r a f u s o , lápis e t c ) . 136
11.
O hexágono e s u a s d i a g o n a i s (não c i t a r n o m e s ) . Traçar t o d a s
as n o v e :
D e i x a r a p e n a s c o m seis:
12. T e n t a r o t r a c e j a d o , s e m forçar:
O p r o f e s s o r decidirá se d e v e o u não f a z e r e s s a a t i v i d a d e , p o i s t a l vez os alunos estejam aprendendo a escrever c o m letra cursiva.
Muro:
137
15. F a z e r u m a r e t a a o l a d o d a o u t r a . E s s e c o m a n d o é e n t e n d i d o c o m o paralelas. F a z e r e m várias posições. Não é p a r a f i c a r p e r f e i t o .
16. R i s c a r u m a r e t a , f a z e r u m p o n t o f o r a d e l a e traçar u m a r e t a ao lado, passando pelo ponto.
R e p e t i r várias v e z e s , p a r a q u e o a l u n o p o s s a i n t u i r o p o s t u l a d o d e E u c l i d e s : "Só p a s s a u m a p a r a l e l a p e l o p o n t o " . 17. Traçar d u a s r e t a s , u m a d e i t a d a e o u t r a e m pé, c r u z a n d o - s e . R e p e t i r esse traçado e m várias posições. Não é p a r a f i c a r p e r f e i t o . (Noção d e p e r p e n d i c u l a r i s m o , s e m e s q u a d r o . )
U m a r e t a e u m p o n t o f o r a d e l a . U m p i n g o d e c h u v a —-— c a i n d o . P a s s a r p e l o p o n t o u m a r e t a p e r p e n d i c u l a r . R e p e t i r a construção, -, só q u e c o m o p o n t o n a r e t a . C o l o c a r u m p o s t e n o p o n t o . 18. J o g o - d a - v e l h a . É u m j o g o p a r a d u a s p e s s o a s . Começa c o m o d e s e n h o à mão l i v r e . U m m e n i n o c o l o c a u m X , o u t r o coloca u m O e assim p o r d i a n t e , até q u e alguém faça u m a f i l a d e três, e m q u a l q u e r posição. É u m j o g o de esperteza. 138
0
N X
o
IX
0 0
K
19. T a b u l e i r o s q u a d r i c u l a d o s : w7
H
'/y/A Ws
H
'/Z/s
C o n t a r intersecções ( p o n t o s d e c r u z a m e n t o d e l i n h a s ) . C o n t a r quadradinhos (cruzamento de faixas). Essa atividade é importante para a multiplicação e p a r a a conceituação d e área. F a z e r trançados c o m t i r a s d e p a p e l o u o u t r o m a t e r i a l .
U s a n d o p a p e l q u a d r i c u l a d o , traçar gregas c o m o a s d a f i g u r a . E s s a itividade pode ser feita integradamente c o m a aula de A r t e s .
20. À mão l i v r e , n o p a p e l q u a d r i c u l a d o , f o r m a r t a b u l e i r o s ( f o r m a s de gelo, grades e t c ) .
•
6 casas:
•
4 casas:
•
12 casas:
•
5 casas:
139
D e s c o b r i r q u e t o d o número t e m p e l o m e n o s u m t a b u l e i r o e m t i r a . C o m o 5 , porém, só se p o d e f o r m a r u m a t i r a . D e s c o b r i r o u t r o s números q u e só p o s s u e m t a b u l e i r o s e m t i r a s únicas ( 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 2 3 . . . ) , q u e são o s números primos. D e s c o b r i r números q u e p o d e m d a r t a b u l e i r o s q u a d r a d o s ( 1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 5 . . . ) , números quadrados. D e s c o b r i r números q u e p o d e m d a r t a b u l e i r o s e m t i r a s d u p l a s ( 2 , 4 , 6 . . . ) , números pares. E s s e j o g o p o d e s e r f e i t o também n o q u a d r o d e pinos o u c o m tampinhas. É u m jogo m u i t o interessante e i m p o r t a n t e n a conceituação d e multiplicação e n a d e s c o b e r t a d e várias relações n a e s t r u t u r a d o s números. E s s e t i p o d e a t i v i d a d e f a c i l i t a m u i t o t r a b a l h o s p o s t e r i o r e s , c o m o m m c e t c . O a l u n o p r e c i s a t e r alcançado a noção d e conservação d o número, p o i s v a i h a v e r alterações n a posição d o s q u a dradinhos. 21. Divisão. 6
3, pois 3 + 3 = 6 . L o g o :
F a z e r per-
12 - h 3 = 4 , pois 4 + 4 + 4 = 12. L o g o : guntas
como:
— Q u a n t o s q u a d r a d i n h o s há e m c a d a t i r a ? — Q u a n t a s são a s t i r a s ? — Q u a l o total de quadradinhos? — A g o r a , conte u m a u m para conferir. I n s i s t i r n e s s e t i p o d e p r o b l e m a , p o i s é útil n a multiplicação e n a conceituação d e áreas. 22. U s o l i v r e d o e s q u a d r o . D e s e n h a r o q u e q u i s e r . 23. V e r i f i c a r o e s q u a d r e j a m e n t o da carteira, d o caderno, d a parede, d o papel quadriculado etc.
140
CADERNO
24. E n s i n a r d e s e n h o s , u t i l i z a n d o o e s q u a d r o :
•
perpendicular:
( c r u z a n d o o u não)
escada:
pente:
retângulos e q u a d r a d o s :
25. P e r p e n d i c u l a r p o r u m p o n t o :
26. P a r a l e l a p o r u m p o n t o :
Repetir a atividade. Depois, marcar u mponto n a reta de "baixo" e traçar, p o r esse p o n t o , u m a r e t a p a r a l e l a à d e " c i m a " . É c l a r o q u e coincidirão: propriedade reflexiva. M o s t r a r também q u e d u a s r e t a s , p a r a l e l a s a u m a t e r c e i r a , são p a r a l e l a s e n t r e s i : propriedade transitiva. 141
27. S i m e t r i a s : a ) P i n g a r t i n t a e m u m p a p e l e dobrá-lo p a r a o b t e r u m a f i g u r a simétrica. A a t i v i d a d e também p o d e s e r f e i t a s e m t i n t a . B a s t a dobrar o papel e recortar irregularmente. Fazer borboletas desse m o d o . b ) D o b r a r u m p a p e l várias v e z e s e r e c o r t a r u m a f i g u r a ; d e p o i s d e d e s d o b r a d o , formará u m a f i l a . c ) C i t a r c o i s a s simétricas c o m o o r e l h a s , o l h o s , c h i f r e s e t c .
ATIVIDADES PARA A 2. SÉRIE a
a
N a 2 . série, o a l u n o manipulará a régua graduada. V a i t r e i n a r t o m a r m e d i d a s d e c o m p r i m e n t o , d e s c o b r i n d o a p a r t i r daí u m a série d e relações geométricas e aritméticas, q u e poderão s e r d e m o n s t r a d a s m a i s t a r d e . É d a prática c o n c r e t a q u e surgirá a n e c e s s i d a d e d a s frações d e c i m a i s . C o m s e t e a n o s o a l u n o já a t i n g e a noção d e conservação operatória d o s c o m p r i m e n t o s .
Material necessário a) A l u n o : • lápis g r a f i t e o u d e c o r ; • c a d e r n o d e d e s e n h o ( 5 0 páginas); • régua • b)
graduada;
esquadro.
Professor: • régua d e m a d e i r a g r a d u a d a ( 1 m e t r o ) ; • esquadro de madeira.
142
Propostas de atividades 1 . M e d i r c o m p r i m e n t o s de objetos, c o m o : cadernos, livros, cart e i r a s , lápis, e s t o j o s . M e d i r c o m p a l m o s , d e d o s , p a l i t o s , centímetros. Fazer perguntas c o m o : — Q u a n t o s centímetros t e m u m p a l m o ? — Quantos palmos m e d i u a carteira? — Q u a l o m a i o r p a l m o , o m e u o u o d e vocês? — C o m m e u palmo a carteira vai medir mais o u menos d oq u e c o m o d e vocês? F a z e r riscos d e 8 c m , 11 c m etc. 2. D e s e n h a r , c o m e s q u a d r o e régua, u m retângulo q u a l q u e r . Será preciso m e d i r os dois lados para q u e f i q u e m iguais.
3 . D e s e n h a r u m q u a d r a d o . M e d i r as d i a g o n a i s . Q u a l é m a i o r , o l a d o o u a d i a g o n a l ? A q u i já v a i f a z e r f a l t a a notação d e números d e c i m a i s ( q u e também não d a r i a m e x a t o ! ) . D e i x a r a s s i m m e s m o . P e d i r q u e e s c r e v a m o número m a i s próximo. E x e m p l o : s e a m e d i d a é 1 2 , 3 c m , e s c r e v e r 1 2 . E l e s não a c e i t a m , p o i s não é 1 2 . Então, e s c r e v a : 1 2 e u m p o u q u i n h o o u 1 2 e m e i o . Também não a c e i t a m m u i t o t e m p o . C o m b i n a r de escrever o 12, e m seguida contar os risquinhos (pauzinhos) e e s c r e v e r d e p o i s d o 1 2 . C o l o c a r u m a vírgula p a r a s e p a r a r . E l e s e s c r e v e m 1 2 , 3 e f i c a m m u i t o s a t i s f e i t o s . Não i n s i s t i r n i s s o . E l e s c o n v e r s a m e n t r e s i e r e s o l v e m ; o interesse é deles. M a s o c o r r e u m f a t o interessante: a i n d a não c o n s i d e r a m o p r o b l e m a r e s o l v i d o . E l e s têm a s m e d i d a s d o s q u a t r o l a d o s , porém, n a f i g u r a , o s l a d o s s e s o m a m e f e c h a m u m a região. A s s i m , p e d e m p a r a s o m a r o s números. T u d o b e m : 1 2 , 3 + 1 2 , 3 + + 12,3 + 12,3 = 4 8 , 1 2 , pois f i c a m doze risquinhos. É a h o r a de i r ao cavalu para transformar dez risquinhos e m 1 c m . M o s t r a r antes n a régua. A s s i m o perímetro f i c a 4 9 , 2 . P r o n t o ! Vão t r a b a l h a r o a n o i n t e i r o c o m números d e c i m a i s . I s s o facilitará m u i t o o t r a b a l h o c o m frações. G a n h a - s e m u i t o t e m p o . 143
4 . D e s e n h a r u m triângulo e m e d i r a a l t u r a . R e p e t i r c o m vários t i p o s d e triângulos.
5 . D e s e n h a r d u a s r e t a s p a r a l e l a s , r i s c a n d o o s d o i s l a d o s d a régua. M e d i r a distância e n t r e e l a s ( q u a l q u e r p o n t o s e r v e ) . M e d i r a distância entre duas linhas d o caderno. O o b j e t i v o é identificar retas paralelas c o m o s e n d o r e t a s q u e não s e a p r o x i m a m n e m s e a f a s t a m . 6 . D e s e n h a r u m retângulo e m e d i r s u a s d i a g o n a i s p a r a d e s c o b r i r q u e a s d u a s são i g u a i s ( u s a r a p a l a v r a igual, a o invés d e congruente, p o r s e r d o vocabulário d o a l u n o ) . 7. Traçado d e p a r a l e l a s :
Traçar u m a r e t a e d u a s p e r p e n d i c u l a r e s . M e d i r d o i s s e g m e n t o s i g u a i s c o m o p a r a c o n s t r u i r u m retângulo. Traçar a p a r a l e l a . M e d i r e m o u t r o s p o n t o s p a r a v e r i f i c a r se a distância se mantém. E s s a equidistância é a relação c o n c e i t u a i d e r e t a s p a r a l e l a s , n e s t e m o m e n t o . 8. D i v i d i r u m s e g m e n t o e m d u a s p a r t e s i g u a i s . B a s t a m e d i r o s e g m e n t o , d i v i d i r a m e d i d a p o r 2 e m a r c a r o p o n t o médio ( c o n s t r u i r u m s e g m e n t o d e m e d i d a divisível p o r 2 , p a r a f i c a r fácil; p o d e - s e t a m bém d e s a f i a r o a l u n o c o m m e d i d a s m a i s difíceis). D i v i d i r u m s e g m e n t o e m três p a r t e s i g u a i s . D e p o i s , e m q u a t r o o u c i n c o , e s c o l h e n d o s e m p r e m e d i d a s divisíveis. T i r a r a p r o v a m e d i n d o cada parte e m u l t i p l i c a n d o pela quantidade de partes. 9. P a r a l e l o g r a m o :
M o s t r a r q u e a s d i a g o n a i s se c o r t a m a o m e i o , m e d i n d o c a d a p a r t e . 144
10. F a z e r d e s e n h o s :
•PI D
l IQIOIOI PÍH
N
vj V
11. Perímetro. D e s e n h a r polígonos, m e d i r o s l a d o s e c a l c u l a r a s o m a d e l e s ( q u a n t o d e m u r o n o t e r r e n o ? q u a n t o d e a r a m e ? ) . Perímetro do quadrado (multiplicar o lado p o r 4 ) . O problema inverso: dar o perímetro d o q u a d r a d o e p e d i r o l a d o ( d i v i d i r p o r 4 ) , d a n d o u m número divisível p o r 4 . 12. Triângulo. M a r c a r o s p o n t o s médios d o s l a d o s . U n i - l o s , p a r a f o r m a r u m triângulo p e q u e n o .
M e d i r , p a r a d e s c o b r i r q u e c a d a l a d o d e s s e triângulo é a m e t a d e d e c a d a l a d o c o r r e s p o n d e n t e d o triângulo m a i o r ( l a d o p a r a l e l o ) .
13.
D e s e n h a r u m triângulo q u e t e n h a d o i s l a d o s d e m e s m a m e d i d a . L i g a r o p o n t o médio d a b a s e ( l a d o d e s i g u a l ) c o m o vértice, p a r a d e s c o b r i r q u e é perpendicular à base (para m o s t r a r q u e é perpendicular, basta encaixar o esquadro).
14.
Traçar a s três a l t u r a s d e u m triângulo p a r a d e s c o b r i r q u e p a s s a m todas p o r u m m e s m o ponto. 145
A
K
15.
\
D e s e n h a r u m triângulo q u a l q u e r . L i g a r o s p o n t o s médios a o s vértices, p a r a d e s c o b r i r q u e o s três s e g m e n t o s ( m e d i a n a s ) p a s s a m p e l o m e s m o p o n t o G . M e d i r AG e GM. C o n s t a t a r q u e A G = 2 G M . E x a m i n a r a m e s m a relação n o s o u t r o s d o i s s e g m e n t o s . R e p e t i r c o m o u t r o s triângulos. 1 6 . D e s e n h a r u m triângulo retângulo ( u s a r o e s q u a d r o p a r a c o n s t r u i r o ângulo r e t o ) . M e d i r o s três l a d o s p a r a d e s c o b r i r q u a l é o m a i o r deles. D e s c o b r i r q u e o m a i o r l a d o é m e n o r que a s o m a d o s o u t r o s dois. P e d i r p a r a c o n s t r u i r u m triângulo retângulo c u j o s l a d o s t e n h a m 6 , 8 e 1 0 c m . M o s t r a r q u e 1 0 < 6 + 8 , porém, I O = 6 + 8 . ( O p r o f e s s o r p r e c i s a c o n h e c e r a convenção: 2 a = a + a e a = a . a , i s t o é, 2 X 6 = 6 + 6 = 1 2 e 6 = 6 X 6 = 3 6 , m a s não há n e c e s s i d a d e de d i s c u t i r isso c o m o a l u n o , p o r e n q u a n t o . B a s t a d i z e r - l h e q u e m u l t i p l i q u e o número p o r e l e m e s m o : 5 = 2 5 ; 8 = 6 4 ; l = 1 ; 1 , 2 = 1 , 4 4 etc.) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
R e p e t i r a a t i v i d a d e c o m o u t r o s triângulos retângulos: 3 , 4 e 5 ; 5 , 1 2 e 1 3 ; 8 , 1 5 e 1 7 ; 9 , 1 2 e 1 5 . E s t e é o f a m o s o teorema de Pitágoras: a = b + c (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos). 2
2
2
b
Repetir a atividade mais concretamente. N ocanto d a mesa, medir 9 c m p a r a u m l a d o e 1 2 c m p a r a o o u t r o . C o m isso, o b t e m o s 1 5 , f e c h a n d o o triângulo. O b s e r v a r o u t r a v e z q u e 9 + 1 2 = 1 5 . 2
146
2
2
17. D e s c o b r i r q u e o s p o n t o s médios d e u m quadrilátero q u a l q u e r d e t e r m i n a m o u t r o quadrilátero d e l a d o s p a r a l e l o s ( p a r a l e l o g r a m o ) .
18. D e s e n h a r u m l o s a n g o :
P i n t a r m e t a d e d e v e r m e l h o e m e t a d e d e a z u l . Já v a i f i c a n d o a noção d e q u e o l o s a n g o ( b e m c o m o t o d a s a s c o i s a s ) t e m d u a s m e t a d e s . 19. A t i v i d a d e s preparatórias p a r a o cálculo d e áreas. O s a l u n o s já têm a noção d a conservação operatória d e superfície, m a s a a t i v i d a d e a q u i p r o p o s t a não e n v o l v e operações* além d e c o n t a g e m . P o d e s e r f e i t a c o m m a t e r i a l concreto. U s a r , p o r e x e m p l o , a p l a n t a d e u m a casa (pode ser m i m e o g r a f a d a , d e s e n h a d a n o q u a d r o o u r e t r o p r o j e t a d a ) . E l e s c o n t a m o s q u a d r a d i n h o s e d e s e n h a m n o p a p e l q u a d r i c u l a d o ; aliás, o s próprios a l u n o s p o d e m f a z e r p l a n t a s s i m p l e s d a s a l a e t c . P a r a r e a l i z a r e s s a a t i v i d a d e o a l u n o já estará u t i l i z a n d o o c o n c e i t o de q u e m e i o m a i s m e i o é i g u a l a u m .
òzin ia
luar
.0
que rto
li ss lei
147
Começar f a l a n d o s o b r e a p l a n t a : v e j a m a s a l a ; e s t a p o r t a p e r m i t e a e n t r a d a n o q u a r t o ; e s t a m o s v e n d o o s l a d r i l h o s d o chão; v e j a m o quarto d a frente. Perguntar: —- Q u a n t o s l a d r i l h o s há n o q u a r t o d a f r e n t e ? — Q u a n t a s são a s f i l e i r a s d e l a d r i l h o s ? — Q u a n t o s l a d r i l h o s há e m c a d a f i l e i r a ? — Q u a n t o é 4 + 4 + 4 (ou 3 + 3 + 3 + 3, conforme a fileira)? F a z e r o m e s m o c o m o q u a r t o d o s f u n d o s e c o m a s a l a . Não i n s i s t i r m a i s . A próxima a t i v i d a d e é m a i s r i c a . V e r i f i c a r se n a e s c o l a há a l g u m l u g a r c o m chão l a d r i l h a d o p a r a r e f a z e r a experiência.
20. R e p e t i r a a t i v i d a d e a n t e r i o r , só q u e , a g o r a , c o m a l g u n s l a d r i l h o s c o b e r t o s p o r móveis. I s s o não impedirá a c o n t a g e m ; m a s a l g u n s já poderão f a z e r o exercício, m u l t i p l i c a n d o .
n
1
u n
••
148
i i
21. C o n t a r o s q u a d r a d i n h o s d e c a d a f i g u r a :
/
/
/
\
\
/\ \
/ \\
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sN \/ /\
/
s
•\ /
/
/\
s
/ \ \
s
\/
22. C o n t a r o s q u a d r a d i n h o s d e c a d a triângulo e d o correspondente:
\
k
quadrado
\
/
/
s\ s\ v 149
23. C o n t a r o s q u a d r a d i n h o s ( a l g u n s a l u n o s retângulo d e c a d a triângulo p a r a d i v i d i r p o r 2 ) .
L
7
vão c o m p l e t a r
o
V
É o m o m e n t o de deixar claro que a quantidade de quadradinhos d o retângulo é i g u a l a o p r o d u t o d o s d o i s números, u m d e c a d a l a d o . O triângulo t e m a m e t a d e . O s a l u n o s já têm a noção d e conservação d a superfície.
24. M o n t a r u m a c a i x a c o m t a m p a :
JX tampa
£ o
CO
10 c m
10,4 c m
t
C o p i a r o s desenhos e m c a r t o l i n a , r e c o r t a r , f a z e r as d o b r a s e m o n t a r . E s c o l h e r o t a m a n h o . N a f i g u r a , há sugestões; a t a m p a é l i g e i r a m e n t e m a i o r , p a r a poder encaixar. Pode-se decorar a c a i x a antes d e montá-la: p i n t a r , f a z e r c o l a g e n s e t c . Repetir a atividade. 150
25. M o n t a r o u t r o t i p o d e c a i x a : 1\
ATIVIDADES PARA A 3. SÉRIE a
a
N a 3 . série, o a l u n o manipulará o transferidor e o compasso.
Material necessário a) A l u n o : • lápis g r a f i t e o u d e c o r ; • c a d e r n o d e d e s e n h o ( 5 0 páginas); • régua g r a d u a d a ; •
esquadro;
•
transferidor;
•
compasso. 151
b) Professor: • régua d e m a d e i r a g r a d u a d a ( 1 m e t r o ) ; • esquadro de madeira; • transferidor de madeira; • compasso para giz.
Propostas de atividades 1 . D e s e n h o l i v r e c o m t r a n s f e r i d o r . P r e e n c h e r u m a o u d u a s páginas, c o m o o a l u n o quiser. 2. D e s e n h a r u m ângulo c o m a régua e m e d i - l o . R e p e t i r u m a s três v e z e s , c o m ângulos d e p o u c a , média e g r a n d e a b e r t u r a . E s s a a t i v i dade é trabalhosa para o professor. C o m o proceder? Perguntar: — C o m o se m e d e u m s e g m e n t o c o m a régua? — Assim? 1
1 1 1 I l' I I 1 1
1
1
1
1
— Assim?
— Assim?
h
i
1
i • i • | i rrn
M
1
i •i • P T
O s alunos a j u d a m e acaba-se acertando. É preciso aprender c o m o se f a z ! A c e r t a r o z e r o e a c e r t a r a régua c o m o r i s c o . P e r g u n t a r e m s e g u i d a o q u e se d e v e u s a r p a r a m e d i r a a b e r t u r a d e u m ângulo. E l e s d i z e m q u e é a régua:
— Assim?
— Assim?
— Assim?
152
C o n f o r m e o l u g a r o n d e é c o l o c a d a a régua, t e m o s u m a m e d i d a d i f e r e n t e . P o r i s s o , t e m o s d e u s a r o t r a n s f e r i d o r , q u e é u m a "régua torta" (exibir o transferidor). Procurar o zero d o transferidor. — O n d e está o 1 0 ? — E o 20? (Pode ser q u e o t r a n s f e r i d o r t e n h a duas escalas, cada u m a c o m e çando d e u m l a d o . ) A g o r a , d e s e n h a r u m ângulo n a l o u s a e e f e t u a r a m e d i d a , e s c r e v e n d o - a n o ângulo (é u m ótimo m o m e n t o p a r a u t i l i z a r u m r e t r o p r o j e t o r , se disponível, p o i s a s s i m p o d e - s e u s a r u m t r a n s f e r i d o r d o a l u n o , q u e é d e plástico t r a n s p a r e n t e . P e d i r q u e façam o m e s m o . E l e s não c o n s e g u e m . I r d e c a r t e i r a e m c a r t e i r a . N a p r i m e i r a , c o m o transferidor, mostrar:
— V e j a agora: 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 4 5 , 4 8 . P r o n t o , 4 8 é a medida. Escreva aqui. A g o r a ensine seu colega. L o g o já são q u a t r o e n s i n a n d o , já s a b e .
o i t o , dezesseis, e t o d a a classe
3. D e s e n h a r duas retas perpendiculares c o m esquadro e m e d i r o s ângulos c o m t r a n s f e r i d o r . R e l a c i o n a r p e r p e n d i c u l a r c o m 90°. 153
4 . M e d i r ângulos d e c o i s a s , c o m o : c a d e r n o , f o l h a , c a r t e i r a . N o pátio, m e d i r o ângulo e n t r e d u a s l i n h a s q u e s a e m d o a l u n o e p a s s a m u m a d e c a d a l a d o d o prédio. Q u a n t o m a i s e l e se a p r o x i m a d o prédio, m a i o r será o ângulo. F a z e r o m e s m o c o m o u t r a s c o i s a s : d u a s árvores, a l t u r a d o prédio e t c . 5 . Até a q u i o p r o b l e m a e r a m e d i r ângulos. A g o r a , é o i n v e r s o : c o n s t r u i r u m ângulo a p a r t i r d e u m a m e d i d a . E x e m p l o : 10°, 4 3 ° , 57°, 90°, 180°. O u t r a v e z é necessário e n s i n a r d e c a r t e i r a e m c a r t e i r a . O s próprios a l u n o s se a j u d a m . F a l a r s o b r e o "ângulo" d e m e i a - v o l t a , q u e m e d e 180° e não é ângulo, é u m a r e t a , d o i s s e g m e n t o s o p o s t o s . 6 . C o n s t r u i r retas perpendiculares, usando o transferidor. C o n f e r i r c o m e s q u a d r o . D a r o n o m e : perpendicular.
1
M e d i r o s d o i s ângulos, o d a d i r e i t a e o d a e s q u e r d a . D e v e m s e r i g u a i s , e e s t a é a relação c o n c e i t u a i d e r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s . D e s c o b r i r retas perpendiculares e m u m a caixa d e sapatos. D e p o i s , n a própria s a l a . F a z e r o m e s m o c o m p a r a l e l a s . 7. M e d i r ângulos O P V ( o p o s t o s p e l o vértice):
Traçar d u a s r e t a s q u e s e c r u z a m e d e s c o b r i r q u e o s ângulos o p o s t o s têm a m e s m a m e d i d a : o d a d i r e i t a c o m o d a e s q u e r d a ; o d e c i m a c o m o d e b a i x o . A d i c i o n a r as m e d i d a s d e c i m a c o m a d a d i r e i t a ( c o n s e c u t i v o s ) p a r a d e s c o b r i r q u e a s o m a é 180°. Começar a e s c r e v e r a bolinha acima d a medida para indicar q u e a medida f o i feita e m g r a u s , c o m o é hábito. 154
M u i t a s experiências p o d e m s e r f e i t a s c o m m a t e r i a l c o n c r e t o . E s s a a t i v i d a d e , p o r e x e m p l o , p o d e ser f e i t a c o m d o i s b a r b a n t e s q u e se c r u z a m . 8. D e s e n h a r u m ângulo q u a l q u e r e d i v i d i - l o a o m e i o . É p r e c i s o m e d i r o ângulo e d i v i d i r a m e d i d a p o r d o i s .
S e o ângulo m e d e 50°, d e v e m o s m a r c a r u m ângulo d e 25°. P o r último, t o m a r u m p o n t o q u a l q u e r d a l i n h a q u e d i v i d e o ângulo ( b i s s e t r i z ) e m e d i r a s distâncias d e l e a c a d a l a d o d o ângulo. D e s c o b r i r q u e são s e m p r e i g u a i s . R e p e t i r a a t i v i d a d e a l g u m a s v e z e s , i n c l u s i v e d i v i d i r 180° a o m e i o .
9.
D e s e n h a r u m q u a d r a d o , u s a n d o o e s q u a d r o . M e d i r o s ângulos p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s . M e d i r o s l a d o s p a r a d e s c o b r i r q u e t a m bém são i g u a i s . M e d i r a s d i a g o n a i s p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s . M e d i r o s ângulos d e u m a d i a g o n a l c o m o s l a d o s p a r a d e s c o b r i r o q u e é bissetriz. 1 0 . D e s e n h a r u m triângulo q u a l q u e r , m e d i r o s três ângulos e a d i c i o n a r a s m e d i d a s p a r a v e r i f i c a r q u e a s o m a é s e m p r e a m e s m a : 180°. R e p e t i r várias v e z e s e e m várias ocasiões, c o m triângulos d i f e r e n t e s , p a r a d e s c o b r i r a p r o p r i e d a d e s e g u n d o a q u a l a s o m a d o s três ângulos d e u m triângulo q u a l q u e r v a l e s e m p r e 180°.
J k M
j M n 11 1 1
155
O u t r o método: r e c o r t a r u m triângulo d e p a p e l , r a s g a r e s e p a r a r o s três ângulos. C o l o c a r u m a o l a d o d o o u t r o p a r a a d i c i o n a r . M o s t r a r , c o m u m a régua, q u e a s o m a é 180° (ângulo d e m e i a - v o l t a ) . P o d e - s e também a d i c i o n a r o s ângulos s e m r a s g a r o p a p e l , f a z e n d o d o b r a s c o n v e n i e n t e s , o b t e n d o , n o f i m , u m retângulo c o m o u m e n v e l o p e .
11. D e s e n h a r u m triângulo c o m d o i s ângulos d e 60° n a b a s e . M e d i r o t e r c e i r o ângulo p a r a d e s c o b r i r q u e também m e d e 60°, c o m o os o u t r o s dois. C l a r o , a s o m a deve ser 1 8 0 ! o
!
1
1
- —1
M e d i r o s três l a d o s p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s .
12.
Série d e p a r a l e l a s c o r t a d a s p o r u m a t r a n s v e r s a l . M e d i r o s ângulos c o r r e s p o n d e n t e s p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s . É c o m o s e ^ a p r i m e i r a r e t a d e s l i z a s s e , s e m balançar, o c u p a n d o posições p a r a l e l a s s u c e s s i v a s . P o r i s s o é q u e o ângulo não m u d a . 13. D i v i d i r u m ângulo e m d u a s , três, q u a t r o p a r t e s i g u a i s . D e v e - s e d i v i d i r a m e d i d a . E s c o l h e r m e d i d a s divisíveis. T i r a r a p r o v a , m u l t i p l i c a n d o c a d a p a r t e p e l o número t o t a l d e p a r t e s . 156
14. Traçado d e circunferências:
A utilização d e s s e s métodos a r t e s a n a i s f a c i l i t a m u i t o a c o m p r e ensão d e p r o p r i e d a d e s c o m o a d a circunferência: t o d o s o s p o n t o s são e q u i d i s t a n t e s d o c e n t r o ( p r e g o ) , e e s s a distância é o c o m p r i m e n t o d o b a r b a n t e ( r a i o ) . E s s a equidistância é a relação c o n c e i t u a i d e c i r c u n ferência. 15. D e s e n h o s l i v r e s c o m c o m p a s s o . O a l u n o p o d e p r e e n c h e r m u i t a s páginas, s o l t a n d o a imaginação. P r o p o r o j o g o d e e n c o n t r a r c o i s a s redondas.
16. T e n t a r o t r a c e j a d o , s e m forçar: / 17. D e s e n h a r u m a circunferência. M a r c a r três p o n t o s d e q u a l q u e r m a n e i r a e d e s e n h a r o triângulo. Não p r e c i s a s e r r e g u l a r . C o l o r i r . F a z e r o m e s m o c o m o quadrilátero e o u t r a s f i g u r a s .
18. D e s e n h a r u m diâmetro ( c o r d a q u e p a s s a p e l o c e n t r o ) e m e d i - l o . R e p e t i r a operação c o m o u t r o s diâmetros. D e s c o b r i r q u e t o d o s o s diâmetros d e u m a m e s m a circunferência têm a m e s m a m e d i d a , q u e é o dobro d a d o raio.
157
19. D e s e n h a r d u a s circunferências, u m a p a s s a n d o p e l o c e n t r o d a outra.
20. D i v i d i r u m a circunferência e m seis p a r t e s i g u a i s , u s a n d o o c o m p a s s o c o m a m e s m a a b e r t u r a c o m q u e f o i traçada a circunferência.
o L i g a r o s seis p o n t o s c o m a régua. São várias a s p o s s i b i l i d a d e s .
f 21. F a z e r d e s e n h o s , u s a n d o régua, e s q u a d r o e c o m p a s s o :
158
\
22. C o m o n a a t i v i d a d e 2 0 , d i v i d i r u m a circunferência e m seis partes:
D e p o i s , l i g a r o s p o n t o s a o c e n t r o e m e d i r o s ângulos p a r a d e s c o b r i r q u e são seis ângulos d e 60°, n u m t o t a l d e 360°, q u e é i g u a l a u m a volta. 23. C o m o t r a n s f e r i d o r , d i v i d i r u m a circunferência e m d e z p a r t e s i g u a i s , m a r c a n d o ângulos d e 36°, p o i s 360° -r- 1 0 = 36°.
D i v i d i r o u t r a s circunferências e m c i n c o , s e t e , q u a t r o , três p a r t e s i g u a i s . Q u a n d o se d i v i d e e m q u a t r o p a r t e s i g u a i s , obtém-se u m q u a drado. 24. Diviâir u m a circunferência e m d o z e p a r t e s i g u a i s e l i g a r o s p o n t o s , d e t o d o s o s m o d o s possíveis, c o m a régua ( l a d o s e d i a g o n a i s ) .
F i c a b e m d e c o r a t i v o f a z e r e s s a a t i v i d a d e ( c o m u m número m a i o r d e p o n t o s ) e m u m a tábua p i n t a d a d e p r e t o . F i n c a r p r e g u i n h o s n o s p o n t o s e ligá-los c o m l i n h a s c o l o r i d a s . Há m u i t a s variações. 160
25. D e s e n h a r várias c o r d a s d e u m a m e s m a circunferência p a r a d e s c o b r i r q u a l é a m a i o r ( d a r o n o m e corda p a r a q u a l q u e r s e g m e n t o q u e l i g a u m p o n t o a o u t r o d a circunferência).
A s s o c i a r c o r d a c o m a r c o : a r c o e f l e c h a d e índio.
26. D e s e n h a r u m a circunferência e m a r c a r d o i s p o n t o s A e B. A p a r t i r d e u m o u t r o p o n t o P q u a l q u e r , f o r m a r o ângulp e m e d i - l o . E m s e g u i d a , t o m a r o u t r o p o n t o Q e , d o m e s m o m o d o , m e d i r o ângulo. O a l u n o v a i d e s c o b r i r q u e o s ângulos são i g u a i s , não d e p e n d e n d o d a posição d e Q, d e s d e q u e e s t e p o n t o e s t e j a d o m e s m o l a d o q u e P e m relação a AB.
27. B i s s e t r i z d e u m ângulo.
C o m c e n t r o n o vértice V, traçar u m a r c o . C o m c e n t r o e m A e d e p o i s e m B, traçar d o i s a r c o s . O n d e s e c o r t a r e m , t e m - s e u m p o n t o q u e , l i g a d o a o vértice, dará a b i s s e t r i z . Não c i t a r n o m e s . M e d i r o s ângulos p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s . R e p e t i r várias v e z e s . F a z e r a a t i v i d a d e c o m u m ângulo d e 180°, p a r a d e s c o b r i r q u e a b i s s e t r i z é p e r p e n d i c u l a r à reta. 161
28.
a
D a r três s e g m e n t o s p a r a q u e o s a l u n o s d e s e n h e m u m triângulo c o m eles. M a r c a r u m p o n t o B sobre u m a r e t a q u a l q u e r . A b r i r o c o m p a s s o até f i c a r i g u a l a o s e g m e n t o a e m a r c a r s o b r e a r e t a o p o n t o C . E m s e g u i d a , traçar d o i s a r c o s : u m c o m c e n t r o e m B e a b e r t u r a i g u a l a o s e g m e n t o c e o o u t r o c o m c e n t r o e m C e a b e r t u r a b. O n d e o s a r c o s se c r u z a m , t e m - s e o t e r c e i r o vértice, A, d o triângulo. R e p e t i r c o m três s e g m e n t o s i g u a i s . O a l u n o v a i i n t u i n d o q u e o triângulo é u m a f i g u r a rígida, não a r t i c u l a d a . D a d o s o s três l a d o s , o triângulo está d e t e r m i n a d o . O m e s m o não a c o n t e c e c o m polígonos d e q u a t r o l a d o s . O quadrilátero p o d e s e d e f o r m a r e m várias posições.
29. R e f a z e r a s a t i v i d a d e s 1 9 , 2 0 , 2 1 , 2 2 e 2 3 d a 2 . série. a
3 0 . R e f a z e r a a t i v i d a d e 1 6 d a 2 . série. U m a o u t r a m a n e i r a d e fazê-la é c o n t a n d o " l a d r i l h o s • s o b r e o s q u a d r a d o s n o s l a d o s d o triâng u i o retângulo. a
9 16
162
E x i s t e m a t e r i a l c o n c r e t o p a r a e s s a a t i v i d a d e . São 2 5 q u a d r a d i n h o s de m a d e i r a q u e p o d e m ser encaixados n o q u a d r a d o d a h i p o t e n u s a o u r e p a r t i d o s e n t r e o s o u t r o s d o i s . R e p e t i r a a t i v i d a d e c o m u m triângulo d e 6 X 8 X 1 0 centímetros d e l a d o s . R e p a r a r q u e t e m o s p r o c u r a d o t r a b a l h a r c o m números i n t e i r o s , m a s o t e o r e m a v a l e s e m p r e c o m q u a l q u e r triângulo retângulo. E x e m p l o : 2 , 7 ; 3 , 6 e 4 , 5 . 3 1 . M o n t a r u m dado:
32. M o n t a r u m cilindro:
15 31,4
A b a s e d o retângulo q u e v a i s e r e n r o l a d o d e v e s e r 3 , 1 4 v e z e s o diâmetro d o círculo d a b a s e ( n o e x e m p l o : 3 , 1 4 X 1 0 = 3 1 , 4 ) . ( L e m b r a r q u e w = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 . . ., m a s a r r e d o n d a - s e p a r a 3 , 1 4 . ) 163
33. M o n t a r u m c o n e :
F a z e r u m círculo d e c a r t o l i n a c o m r a i o d e 1 9 , 5 c m . M a r c a r u m ângulo d e 138°. D e i x a r a b e i r a d a p a r a c o l a r . A b a s e é u m círculo d e 7 , 5 c m d e r a i o . D e c o r a r a n t e s d e c o l a r . Não c o l o c a n d o a b a s e , p o d e s e r u m chapéu. C o l o c a r b a r b a n t e p a r a a m a r r a r d e b a i x o d o q u e i x o . 34. C o n t a r t i j o l o s . É u m a a t i v i d a d e q u e p o d e s e r f e i t a c o m m a t e r i a l c o n c r e t o , t i j o l o s m e s m o , n o pátio d a e s c o l a . — Q u a n t o s t i j o l o s há n a p i l h a ?
zz
~z_
yL
zz:
E c o m d u a s c a m a d a s , q u a n t o s t i j o l o s há? y
y
zz:
y
A g o r a , c o m três c a m a d a s , q u a n t o s são o s t i j o l o s ? yZ
zz:
~7_
Z
71
7\ ' A
R e p e t i r a a t i v i d a d e c o m o u t r o s números e o u t r o s m a t e r i a i s ( c a i x a s d e s a p a t o , l a t a s d e óleo v a z i a s ) . N e s s a f a s e , o a l u n o a i n d a não a t i n g i u a noção d e conservação d o v o l u m e . O a s s u n t o d e v e s e r s i s t e m a t i z a d o a partir dos onze anos. 164
ATIVIDADES PARA A 4.* SÉRIE Material necessário a) A l u n o : • lápis g r a f i t e o u d e c o r ; • caderno de desenho ( 5 0 folhas); • régua g r a d u a d a ; • esquadro; • transferidor; • compasso. b) Professor: • • • •
régua d e m a d e i r a g r a d u a d a ( 1 m e t r o ) ; esquadro de madeira; transferidor de madeira; compasso para giz.
Propostas de atividades 1 . C o n s t r u i r d u a s retas q u e se c r u z a m e, e m seguida, as d u a s bissetrizes, m e d i n d o c o m o transferidor.
D e p o i s , m e d i r o ângulo e n t r e a s d u a s b i s s e t r i z e s p a r a d e s c o b r i r q u e são p e r p e n d i c u l a r e s , q u a i s q u e r q u e s e j a m a s posições'iniciais d a s duas retas. 2 . D e s e n h a r u m triângulo c o m d o i s l a d o s i g u a i s (isósceles). M a r c a r o p o n t o médio d a b a s e e l i g a r a o vértice. D e s c o b r i r q u e e s s a m e d i a n a é, a o m e s m o t e m p o , a l t u r a ( p e r p e n d i c u l a r à b a s e ) e b i s s e t r i z (ângulos i g u a i s ) .
165
3 . C o n s t r u i r u m triângulo c o m d o i s l a d o s i g u a i s .
M e d i r p a r a d e s c o b r i r q u e o s d o i s ângulos d a b a s e são i g u a i s . 4 . C o n s t r u i r u m triângulo c o m d o i s ângulos i g u a i s . M e d i r d e s c o b r i r q u e há d o i s l a d o s i g u a i s .
para
5 . D e s e n h a r u m triângulo c o m três l a d o s d e s i g u a i s . M e d i r o s ângulos p a r a d e s c o b r i r q u e o ângulo m a i o r f i c a o p o s t o a o m a i o r l a d o . 6 . D e s c o b r i r q u e u m triângulo retângulo é a m e t a d e d e u m retângulo. Colorir.
7. D e s e n h a r u m quadrilátero d e l a d o s o p o s t o s p a r a l e l o s . Traçar as d u a s d i a g o n a i s e m e d i r p a r a d e s c o b r i r q u e e l a s se c o r t a m a o m e i o . C o l o r i r a s q u a t r o regiões, u s a n d o d u a s c o r e s .
8. D e s e n h a r u m retângulo e m e d i r as d u a s d i a g o n a i s p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s .
166
9. D e s e n h a r u m q u a d r a d o p a r a d e s c o b r i r q u e a s d u a s d i a g o n a i s são p e r p e n d i c u l a r e s e b i s s e t r i z e s d o s ângulos.
10. D e s e n h a r u m triângulo q u a l q u e r , m a r c a r d o i s p o n t o s médios e ligá-los. M e d i r esse s e g m e n t o p a r a d e s c o b r i r q u e é a m e t a d e d o terceiro lado e é paralelo a ele.
11. D e s e n h a r u m triângulo e s u a s três m e d i a n a s e n c o n t r a n d o o p o n t o o n d e elas se c r u z a m . D e s c o b r i r q u e c a d a u m a delas f i c a d i v i d i d a e m duas partes e m q u e a m a i o r é o d o b r o d a m e n o r ( A G = 2 G M ) . A
r
-X
~JvT
^
U m a experiência i m p o r t a n t e é d e s c o b r i r q u e a s f i g u r a s têm c e n t r o d e m a s s a . N e s t a i d a d e , m u i t o s a l u n o s a i n d a não s a b e m c o m p e n s a r l a r g o e b a i x o c o m e s t r e i t o e a l t o ; m a s , m e s m o a s s i m , a s experiências são válidas c o m o preparação. ( V e r capítulo 3 . ) 12. D e s e n h a r u m a circunferência ( a m a i o r possível) d e n t r o d e u m triângulo q u a l q u e r . E l e s farão p o r t e n t a t i v a e e r r o . D e p o i s , d a r a solução sistemática. P e d i r p a r a d e s e n h a r u m triângulo e s u a s três b i s s e t r i z e s , e n c o n t r a n d o o p o n t o o n d e e l a s se c r u z a m , q u e é o c e n t r o d a circunferência i n t e r n a a o triângulo e t a n g e n t e a o s três l a d o s ( c i r c u n ferência i n s c r i t a ) .
167
13. D e s e n h a r u m a circunferência p o r f o r a d e u m tjiângulo q u a l q u e r , p a s s a n d o p e l o s três vértices.
D e i x a r , primeiro, q u eos alunos t e n t e m fazer a atividade sozinhos; d e p o i s , d a r a s instruções: d e s e n h a r u m triângulo e , e m c a d a p o n t o médio, traçar u m a r e t a p e r p e n d i c u l a r a o l a d o ( m e d i a t r i z ) , e n c o n t r a n d o o p o n t o o n d e e l a s se c r u z a m , q u e é o c e n t r o d a circunferência e x t e r n a a o triângulo, p a s s a n d o p o r s e u s três vértices (circunferência c i r c u n s c r i t a ) . R e p e t i r c o m triângulo retângulo. a
14. R e f a z e r a a t i v i d a d e 3 0 d a 3 . série: t e o r e m a d e Pitágoras. 15. D e s e n h a r u m a circunferência e m a r c a r d o i s p o n t o s A e B. A p a r t i r d e o u t r o p o n t o q u a l q u e r , P, f o r m a r o ângulo e m e d i - l o . E m s e g u i d a , t o m a r o u t r o p o n t o , Q, e , d o m e s m o m o d o , m e d i r o ângulo p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s , não d e p e n d e n d o d a posição d e Q, d e s d e q u e e s t e e s t e j a d o m e s m o l a d o q u e P e m relação a AB.
O a l u n o também p o d e d e s c o b r i r q u e esses ângulos i g u a i s m e d e m m e t a d e d o ângulo A O B d e vértice n o c e n t r o O (ângulo c e n t r a l ) . 16. D e s c o b r i r q u e , l i g a n d o u m p o n t o q u a l q u e r d e u m a c i r c u n ferência até a s e x t r e m i d a d e s d e u m diâmetro q u a l q u e r , f o r m a - s e u m triângulo retângulo. É só d e s e n h a r e m e d i r .
17. Traçar u m a circunferência e u m a c o r d a
168
qualquer.
M a r c a r o p o n t o médio d a c o r d a descobrir q u e e l a passa pelo centro d a i n v e r s o : l i g a r o c e n t r o d a circunferência d e s c o b r i r q u e essa r e t a é p e r p e n d i c u l a r
e traçar a p e r p e n d i c u l a r p a r a circunferência. F a z e r d e p o i s o a o p o n t o médio d a c o r d a p a r a à corda.
18. Traçar u m a c o r d a p e q u e n a e o u t r a m a i o r e m u m a m e s m a circunferência. M e d i r a s distâncias d a s c o r d a s a o c e n t r o d a c i r c u n f e rência p a r a d e s c o b r i r q u e , q u a n t o m e n o r a c o r d a , m a i s l o n g e d o c e n t r o . 19. M a r c a r u m p o n t o s o b r e u m a circunferência e traçar u m a r e t a t a n g e n t e , i s t o é, q u e a p e n a s e n c o s t a n a circunferência. L i g a r esse p o n t o c o m o c e n t r o d a circunferência p a r a d e s c o b r i r q u e é p e r p e n d i cular à reta tangente.
20. Traçar d u a s circunferências t a n g e n t e s u m a à o u t r a ( a p e n a s se e n c o s t a n d o ) . D e s c o b r i r q u e a distância e n t r e s e u s c e n t r o s é i g u a l à s o m a d a s m e d i d a s d o s r a i o s ; S e f o r e m t a n g e n t e s i n t e r i o r m e n t e , será a diferença e n t r e a s m e d i d a s d o s r a i o s .
21. D e t e r m i n a r TU = C -r- D . E m c a s a , c o m u m a f i t a métrica, m e d i r u m o b j e t o c i r c u l a r q u a l q u e r (disco, r o d a d e bicicleta etc.) a o r e d o r ( C ) e d i v i d i r p e l a m e d i d a d o diâmetro ( D ) . O r e s u l t a d o será s e m p r e próximo d e 3 , 1 4 , s e j a m o s o b j e t o s c i r c u l a r e s g r a n d e s o u p e q u e n o s . E s s e número c h a m a - s e pi ( l e t r a g r e g a ) . Q u a n t o m a i o r a circunferência, m a i o r será o diâmetro; a s s i m , t e o r i c a m e n t e , s e m p r e se e n c o n t r a o m e s m o número n a divisão. N a prática, c o m o as circunferências não são b e m r e d o n d a s , a s m e d i d a s não são e x a t a s . a
22. R e f a z e r a s a t i v i d a d e s 2 1 , 2 2 e 2 3 d a 2 . série. a
23. R e f a z e r a s a t i v i d a d e s 2 2 , 2 3 e 2 4 d a 3 . série. a
24.. R e f a z e r a a t i v i d a d e 3 4 d a 3 . série. 169
Camelidades malbatahânicas INTRODUÇÃO N e s t e capítulo a p r e s e n t a m o s u m a série e x t e n s a d e situações-prob l e m a s , c u r i o s i d a d e s matemáticas, d e s a f i o s , quebra-cabeças, t u d o n o e s t i l o d o s a u d o s o matemático M a l b a T a h a n . P a r a o p r o f e s s o r , p o d e s i g n i f i c a r o início d e u m a coleção d e a t i v i d a d e s lúdicas q u e serão d e g r a n d e u t i l i d a d e p a r a d e s p e r t a r o i n t e r e s s e d o a l u n o p e l o e s t u d o d a Matemática e t o r n a r a s a u l a s m a i s e s t i m u l a n t e s e gostosas.
SITUAÇÕES-PROBLEMAS O s d e s a f i o s q u e r e l a c i o n a m o s a s e g u i r p o d e m s e r lançados às c l a s s e s c o m d i v e r s a s f i n a l i d a d e s : e s t i m u l a r a reflexão e a c r i a t i v i d a d e , p r o v o c a r d e b a t e s c o m o s p a i s e , p o r c o n s e g u i n t e , e n s i n a r Matemática. A s situações p o d e m s e r c o l o c a d a s e m s a l a d e a u l a o u e m m u r a i s , j o r n a i z i n h o s e o u t r o s veículos d e comunicação d e n t r o d a e s c o l a . A s r e s p o s t a s , q u e estão n o f i n a l d o capítulo, não d e v e m sèr a p r e s e n t a d a s a o s a l u n o s . E l a s irão a p a r e c e n d o , c i r c u l a n d o p e l a c l a s s e . A l g u n s p r o b l e m a s vão f i c a n d o p a r a trás e v o l t a n d o à discussão d e v e z e m q u a n d o . O p r o f e s s o r d e v e d e i x a r q u e t u d o aconteça d e m a n e i r a e s p o n tânea. P o d e m s u r g i r interpretações v a r i a d a s e , c o n s e q u e n t e m e n t e , r e s postas variadas. T u d o b e m ! N o v o s exercícios d e s s e tipó p o d e m s e r f a c i l m e n t e c r i a d o s o u c o l e t a d o s e m j o r n a i s e revistas q u a n d o a p a r e c e r e m . V a m o s a eles! 170
1 . B o t i n a e m e i a m a i s b o t i n a e m e i a , q u a n t o s p a r e s são? 2 . Q u a l a p a l a v r a d e seis l e t r a s e 3 7 a s s e n t o s ? 3 . P a r a e m e n d a r o s c i n c o pedaços d a c o r r e n t e a b a i x o , elos é preciso serrar?
OOD
OOO
C Z 3 Q = 2
quantos
cGo
4 . C o m três l e t r a s é p e s s o a . U m a s a i , q u a t r o a f i c a r . T i r e d u a s — essa é b o a — a i n d a c i n c o v a i restar. 5. Q u a n t o é a metade de dois mais dois? 6. C o l o c a r d e z soldados e m cinco filas de q u a t r o cada u m a . 7. O q u e s a i m a i s b a r a t o : l e v a r u m a m i g o d u a s v e z e s a o c i n e m a o u levar dois amigos u m a vez? 8. L i g a r água, l u z e e s g o t o n a s três c a s a s , s e m c r u z a r a l i n h a .
®
®
(D
9. Q u a l o próximo?
1 0 . Q u a n t o s q u a d r a d o s ? Q u a n t o s triângulos?
171
11.
M e x e r u m palito apenas para acertar a igualdade.
a)
b)
c)
d)
e)
l + ll /II-
f)
12. D e s c o b r i r a r e g r a e e s c r e v e r o próximo número: a) 2 , 4 , 6 , 8, .
j) 2 , 6, 1 8 , 5 4 , . . .
b) 1 , 3, 5, 7, .
1) 2 , 3 , 5 , 8 , 1 2 , . . .
c) 3 , 6 , 9 , 1 2 ,
m) 1, 4, 9, 2 5 , ...
d) 1 , 4 , 7, 1 0 ,
n) 5, 5, 10, 15, 2 5 , . .
e) 2 , 7 , 1 2 , 1 7 ,
o) 1 , 1 , 2 , 3, 5, 8,
f) 3 , 4 , 7 , 1 1 , 1 8
p) 1 , 3, 6, 1 0 , . . .
g) 1 , 2 , 4 , 7 ,
q) 1 , 2 , 3, 5, 7 , 1 1 , .
h) 3, 6, 1 2 , 2 4 , .
r) I I ,I I I , V , V I I I ,
i) 1 , 2 , 4 , 8, 172
XII,
13. P e n s e u m número q u a l q u e r d e três a l g a r i s m o s . R e p i t a e l e m e s m o n a f r e n t e , f o r m a n d o u m número d e seis a l g a r i s m o s . D i v i d a p o r 13; o que der divida p o r Í l e o q u e der divida p o r 7 . E n c o n t r o u o m e s m o número. P o r quê? Exemplo: 493493
| 13 37961
LJJL 3451 [7__ 493
14. U m número é a s o m a d a i d a d e d e u m a p e s s o a ( d e p o i s d o s e u aniversário) c o m o a n o e m q u e e l a n a s c e u . E s t e número é: a) 2 0 0 1
b) 1 9 8 7
c) 1 9 9 3
d) 2 0 2 3
15. C o l o c a r o s números d e 1 a 8 n o s q u a d r i n h o s d e m o d o q u e o s números c o n s e c u t i v o s n u n c a f i q u e m v i z i n h o s . I n v e n t a r o u t r o s esquemas.
16. Q u a l o m a i o r número, 7 o u 5 ? 17. Q u a l a m e t a d e d e 8 ? 18. Q u e m d e v i n t e c i n c o t i r a , q u a n t o f i c a ? 19. São três garrafões d e 8 l i t r o s , 5 l i t r o s e 3 l i t r o s .
O d e 8 l i t r o s está c h e i o . P a s s a n d o exatamente 4 litros n o d o meio.
de u m para outro, colocar
173
20. U m triângulo f o r m a d o p o r d e z t a m p i n h a s a p o n t a p a r a c i m a . M o v e r a p e n a s três t a m p i n h a s p a r a f a z e r o triângulo a p o n t a r p a r a b a i x o .
21.
C o m d o z e p a l i t o s d e fósforos, f o r m a r q u a t r o
quadrados.
22. F o r m a d o s q u a t r o q u a d r a d o s c o m d o z e fósforos, r e t i r e d o i s fósforos, d e i x a n d o a p e n a s d o i s q u a d r a d o s . 23. U m g a t o c o m e u m r a t o e m u m m i n u t o . C e m g a t o s c o m e m c e m ratos e m quantos minutos? 24. D e s e n h a r a s f i g u r a s a b a i x o , s e m t i r a r o lápis d o p a p e l e s e m passar p o r c i m a de risco (cruzar pode): a)
0
b)
d)
/
e)
25. Multiplicação egípcia. O s egípcios só s a b i a m d o b r a r p l i c a r p o r 2 ) . U s a n d o esse r e c u r s o , c a l c u l a r 1 3 v e z e s 1 8 . 26. E s c r e v a o s números q u e f a l t a m : 2
3
1
7
6
8
2
3
4
3
4
5
a)
b)
174
4
(multi-
1
2
4
2
4
8
12
16
7
11
1
2
3
2
4
6
2
3
7
6
c)
d)
e)
f)
g)
27. E s c r e v a o s números q u e f a l t a m : a) 2
5
3
A 2 5 /13\ 3
c) 3
A
A
4
A
5
A 2
A
3
1 1
A
A3
4
3
.
A
3
A
5
4 a 2 /13\
l
W
5
A
A A 4
3 4
1
3
3 4 /17\ 5
2 d) 7
5
A
8
4 b)
6
6
I3
z\ 5
8 . 5
A
6
2 8 . E s c r e v a o s números q u e f a l t a m :
m
2 9 . E s c r e v a o s números q u e f a l t a m :
p
15
í
\ w\ ' 1 9 o
411'
23
3 0 . E s c r e v a o s números q u e f a l t a m :
í
3/
3 1 . E s c r e v a o s números q u e f a l t a m :
!H '
^
32. Q u a n t o s triângulos há e m c a d a f i g u r a ? a)
b)
c)
d)
33. C o m p l e t a r : a ) [ 3 está p a r a H a s s i m c o m o Q está p a r a
...
b ) < está p a r a > a s s i m c o m o £ está p a r a
...
c ) — está p a r a + a s s i m c o m o ~ está p a r a
...
d)
4 está p a r a
...
e ) < está p a r a c : a s s i m c o m o > está p a r a
...
f)
3 está p a r a
2 está p a r a
6 assim c o m o
6 assim c o m o
3 está p a r a . . .
g ) © está p a r a Q3 a s s i m c o m o ® está p a r a
...
34. O l h a n d o d e c i m a , é a s s i m :
— Q u a l das figuras abaixo corresponde a)
b)
c)
à de cima? d)
177
35. O l h a n d o d e c i m a , é a s s i m :
e
36. U m t i j o l o p e s a 1 k g m a i s m e i o t i j o l o . Q u a n t o p e s a u m t i j o l o meio?
37. São n o v e lápis i g u a i s , s e n d o q u e u m é u m p o u c o m a i s l e v e q u e o s o u t r o s . C o m o separá-lo c o m a p e n a s d u a s p e s a g e n s n u m a b a lança d e p r a t o s ? 38. U m c r i m i n o s o f o i c o n d e n a d o à prisão perpétua. Porém, s u a p e n a f o i r e d u z i d a à m e t a d e . C o m o p o d e s e r c u m p r i d a a sentença? 39. N u m a e s t a n t e e x i s t e m d e z l i v r o s d e c e m f o l h a s c a d a , f o r m a n d o u m a coleção. U m a traça estraçalhou d e s d e a p r i m e i r a f o l h a d o p r i m e i r o l i v r o até a última f o l h a d o último l i v r o . Q u a n t a s f o l h a s danificou? 40. D o i s p a i s e d o i s f i l h o s f o r a m p e s c a r . C a d a u m p e g o u peixes. Q u a l o t o t a l de peixes pescados?
dois
41. U m t r e m s a i d e u m a estação c o m d e z e s s e t e p a s s a g e i r o s . N a estação s e g u i n t e d e s c e r a m n o v e p a s s a g e i r o s e s u b i r a m c i n c o , n a o u t r a d e s c e r a m três e s u b i r a m o n z e , n a o u t r a d e s c e r a m s e t e e s u b i r a m t r e z e , n a o u t r a d e s c e r a m o i t o e s u b i r a m s e t e . E m q u a n t a s estações p a r o u ? 42. Três r a p a z e s , n o r e s t a u r a n t e , g a s t a r a m C z $ 2 7 , 0 0 , t o c a n d o C z $ 9,00 a cada u m . Cada rapaz d e u u m a nota de C z $ 10,00. O garção f o i a o c a i x a e t r o u x e C z $ 5 , 0 0 d e t r o c o , p o i s f o i f e i t o u m 178
abatimento. C o l o c o u C z $ 2 , 0 0 n o bolso e d e v o l v e u C z $ 1,00 para cada rapaz. P o r t a n t o , cada rapaz pagou C z $ 9,00, perfazendo u m total d e C z $ 2 7 , 0 0 ; c o m m a i s C z $ 2 , 0 0 d o garção são C z $ 2 9 , 0 0 . O n d e está o outro cruzado?
C o m d o i s r i s c o s d i v i d i r o relógio e m três p a r t e s , d e m o d o q u e o s números d e c a d a p a r t e t e n h a m a m e s m a s o m a . 44. C o m o p o d e a m e t a d e d e t r e z e s e r o i t o ? 45. Q u a l o m a i o r número possível d e três a l g a r i s m o s , n o q u a l entram somente 3, 2 e 8, sem repetir? E o m e n o r ? 46. P e n s a r u m número. M u l t i p l i c a r p o r 2 . A d i c i o n a r 1 6 . D i v i d i r p o r 2 . S u b t r a i r o número p e n s a d o . D e u 8 ? 47. O q u e p o d e s e r o b s e r v a d o n e s t a s
contas?
a) 6 X 2 1 = 1 2 6 b) 3 X 5 1 = 1 5 3 c) 8 X 8 6 = 6 8 8 48. T i r a n d o 5 d e 2 5 , q u a n t o f i c a ? 49. São s e t e v e l a s a c e s a s . A p a g u e i d u a s . C o m q u a n t a s f i c a r e i ? 50. U m a s a l a t e m q u a t r o c a n t o s , e m c a d a c a n t o há u m g a t o , c a d a g a t o vê três g a t o s . Q u a n t o s g a t o s são n o t o t a l ? — R e f a z e r c o m s a l a s p e n t a g o n a i s e h e x a g o n a i s p a r a i n d u z i r o t e o r e m a d o número d e diagonais. 51. N u m g a l h o d e árvore h a v i a o n z e p a s s a r i n h o s . U m caçador atirou, matando quatro. Quantos ficaram? 179
52. O q u e p e s a m a i s , 1 k g d e f e r r o o u 1 k g d e algodão? 53. P e l a e s t r a d a c a m i n h a v a m c i n q u e n t a b u r r o s . O d a f r e n t e o l h o u p a r a trás. Q u a n t o s b u r r o s c o n t o u ? 54. São q u i n z e a l u n o s , d e z c o r i n t i a n o s e o i t o j a p o n e s e s . p o d e ser?
Como
55. E s c r e v e r o número 1 0 0 c o m c i n c o a l g a r i s m o s i g u a i s e c o m s i n a i s d e operações. 56. T r o c a r o s a s t e r i s c o s p o r números, d e m o d o q u e a c o n t a f i q u e certa:
+
344 *5* 6*2
+
1708 * ** *030 3*2
—* 4 * 125 17 X * *1 O s a l u n o s também p o d e m c r i a r p r o b l e m a s d e s s e t i p o p a r a o m u r a l . 57. O q u e você o b s e r v a n e s t a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 180
X X X X X X X X X
9 9 9 9 9 9 9 9 9
= = = = = = = = =
9 18 27 36 45 54 63 72 81
tabuada?
58. a ) Q u a n t o s l a d o s t e m o círculo? b) D e q u e lado a galinha t e m mais penas? 59. M e u avô t e m c i n c o f i l h o s , e c a d a u m t e v e o u t r o s filhos. Quantos primos tenho?
quatro
60. Q u a l o mês d o a n o q u e t e m 2 8 d i a s ? 61. O s f i l h o s d o s e n h o r R i b e i r o são três r a p a z e s e c a d a u m t e m u m a irmã. N o t o t a l , q u a n t o s são o s f i l h o s e f i l h a s ? 62. U m h o m e m f o i d e c a s a até a p a d a r i a e c o n t o u , à s u a d i r e i t a , 2 3 árvores. N a v o l t a , c o n t o u , à s u a e s q u e r d a , 2 3 árvores. Q u a n t a s são as árvores, n o t o t a l ? 63. N u m a h o r t a há c i n c o árvores, c a d a árvore c o m seis g a l h o s , c a d a g a l h o c o m d o i s n i n h o s , c a d a n i n h o c o m três o v i n h o s . A C z $ 1 2 , 0 0 a dúzia, q u a n t o c u s t a c a d a o v o ? 64. U m a l e s m a está n o f u n d o d e u m poço d e 1 2 m e t r o s d e p r o f u n d i d a d e . D u r a n t e o d i a s o b e 5 m e t r o s e, à n o i t e , d o r m i n d o , escorrega 3 metros. a) Q u a n t o s m e t r o s a l e s m a sobe p o r dia? b ) D e p o i s d e q u a n t o s d i a s chegará e m c i m a d o poço? 65. U m s e n h o r t e m 4 0 a n o s , e s e u s f i l h o s têm 1 3 , 1 1 e 8 c a d a u m . D a q u i a q u a n t o s a n o s a i d a d e d o h o m e m será i g u a l à s o m a d a s idades d o s filhos? 66. C o m o e s c r e v e r 1 1 , u s a n d o a p e n a s três v e z e s o a l g a r i s m o 2 ? 67. O s e n h o r R i b e i r o e s t a v a d a n d o v o l t a s n o p a r q u e . N a s u a f r e n t e c a m i n h a v a m d u a s p e s s o a s . Atrás d e l e , também c a m i n h a v a m d u a s p e s s o a s . N o e n t a n t o , e l e s e r a m três. C o m o é possível? 68. Q u a l o m e n o r número i n t e i r o p o s i t i v o q u e se p o d e c o m dois algarismos?
escrever
181
69. O q u e v e m d e p o i s ? a)
a
b)
L — y
c)
D
d)
0
e)
G
.
d
,
o
li il• i • .
n
.
. l ^ J ^L L
y
, o
.
, @
,
e
, ©
, G
.
. .
. ..
70. a ) Q u a n t a s d e z e n a s há e m 3 2 5 0 3 ? b) Q u a l a soma de 9 9 6 + 3 8 5 + 4 ? c ) Q u a i s o s números n a t u r a i s q u e , d i v i d i d o s p o r 3 , d e i x a m resto 2 ? 71.
O q u e se o b s e r v a n e s t a e s t r e l a ?
72. U m avião p e r c o r r e u a distância d a c i d a d e A até a c i d a d e B e m 1 h o r a e 2 0 minutos. N a volta, gastou 8 0 minutos c o m a mesma v e l o c i d a d e . Você s a b e e x p l i c a r p o r quê? 73. U m q u a d r a d o d e 1 0 c m d e l a d o f o i d i v i d i d o e m q u a d r a dinhos de 1 c m de lado. Colocando-se todos os quadradinhos e m fila, qual o c o m p r m e n t o d a fila? 182
74. Você m o r a e m A, v a i à e s c o l a e m B, p e r c o r r e n d o c a d a v e z u m caminho diferente. •A
B. Q u a n t o s c a m i n h o s d i f e r e n t e s e x i s t e m d e A até BI 75. S e m e i a c a r e c a t e m 3 5 0 0 c a b e l o s , q u a n t o s c a b e l o s t e m u m a careca inteira? 76. I I I + I I + I + I I + I H = I X . C o m o é possível? 77. T i r a n d o q u a t r o l a r a n j a s d e c i n c o l a r a n j a s , q u a n t a s
laranjas
terei? 78. A d i c i o n e d o i s números p o s i t i v o s a 9 e f i q u e c o m m e n o s de 1 0 . 79. Dicionário,
q u a n t a s sílabas t e m ?
80. O r a t o r o e u a r o u p a d o r e i . Q u a n t o s r t e m i s s o ? 81.
O q u e é, o q u e é, t e m o i t o l e t r a s , t i r a q u a t r o , f i c a o i t o .
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS 1 . Multiplicação pelo método gelosia. F o i i n v e n t a d o p e l o m a t e mático i t a l i a n o L u c a s P a c i o l i ( 1 4 4 5 - 1 5 1 4 ) . C o m o e x e m p l o , v a m o s m u l t i p l i c a r 3 4 v e z e s 2 3 5 , i s t o é, u m número d e d o i s a l g a r i s m o s p o r u m d e três. 183
Começamos d e s e n h a n d o u m retângulo 2 X 3 . E s c r e v e m o s o s números e r i s c a m o s a s d i a g o n a i s :
4
4
3
3
Começamos a s multiplicações:
2 4
3
3
5
\ 8
\
o \ \
\
2
\ \
4
\
3
\ \
\
\ \
\
V
8
3
5 \
i \ k
2
V
2
'
4
\
3
\
\ \ \
\
\
,
,,
\
8 o \
\
3
5 \
1
v
\
6
\
0
2
\'
\ 5
\
1 \
\
\
P o r último, a c h a m o s a s s o m a s d i a g o n a i s : 2 + 2 + 8 + 1 + 9 + 1 = 19, vai u m , 1 + 6 = 7:
2 \
3 8
\
2
o \
\
0
2 \
6
o
A
\
9
0
\
\
\ 5
X 1
\ 9
r e s p o s t a é: 7 9 9 0 .
Outro exemplo: 63 X 5 4 .
Resposta: 3 4 0 2 . 184
\
3
\
5
6
1 \ 3
\ 0 \ \ 2
O
2
2
4 \
0
5 =
9,
2 . Multiplicação egípcia. É f e i t a só d o b r a n d o o s números, q u e é o q u e o s egípcios s a b i a m f a z e r . P o r e x e m p l o : 2 2 X 3 5 .
=
1
2
35
70
4 140
8
16
280
560
C o m o 2 2 = 1 6 + 4 + 2 , então, 2 2 X 3 5 = 5 6 0 + 1 4 0 + 7 0 = 770.
3 . A palavra álgebra. U m matemático árabe, A b u l C h a f a r M o h a m e d I b n - M u s a A l - K h a r i s m i , d e o n d e v e m a p a l a v r a algarismo, p u b l i c o u , e m 8 3 9 , u m l i v r o c h a m a d o Al-djabr Wal Mogabalah. D a expressão Al-djabr v e m a p a l a v r a álgebra, q u e s i g n i f i c a v a t r a n s p o r t e , redução, restauração. E s s a p a l a v r a também e r a u s a d a e m m e d i c i n a c o m o s e n t i d o d e restauração. Às v e z e s , a i n d a s e p o d e m e n c o n t r a r c a r t a z e s c o m a s p a l a vras: "massagista e algebrista". 4. Multiplicações
abreviadas:
a ) Números d e d o i s a l g a r i s m o s : 23 X12 6
7
6
• 23 X U 2 276
Outro exemplo:
X 16 9 O u t r o exemplo, c o m reserva:
X 80 5 185
b ) Multiplicação d e u m número d e d o i s a l g a r i s m o s p o r 1 1 : b a s t a c o l o c a r , e n t r e o s d o i s a l g a r i s m o s , a s u a s o m a (às v e z e s , v a i um): 35 X 11 = 385; 47 X 11 = 517. c) P a r a m u l t i p l i c a r p o r 1 2 , m u l t i p l i c a m o s p o r 1 0 , depois p o r 2 e a d i c i o n a m o s u m a o o u t r o . I s t o é m u i t o útil e m n o s s a v i d a . Q u a n t o c u s t a u m a dúzia d e a b a c a x i s s e c a d a u m c u s t a C z $ 8,00? Resposta: 8 0 + 16 = 9 6 . d ) M u l t i p l i c a r , p o r e l e m e s m o , u m número t e r m i n a d o e m 5 ( i s t o é, e l e v a r a o q u a d r a d o u m número t e r m i n a d o e m 5 ) : b a s t a m u l t i p l i c a r o número d e d e z e n a s p e l o s u c e s s o r e c o l o c a r 2 5 n a frente. Exemplos: • 3 5 X 3 5 -» 3 X 4 = 1 2 . R e s p o s t a :
1 225.
• 6 5 X 6 5 - > 6 X 7 = 4 2 . Resposta: 4 225. ( O resultado sempre t e r m i n a e m 25.) 5 . A letra grega K (pi). A razão e n t r e o c o m p r i m e n t o d e u m a circunferência e s e u diâmetro é u m número r e p r e s e n t a d o p e l a l e t r a g r e g a TC ( p i ) . É u m a dízima não periódica: TI = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 3 9 9 . . . T I é u m número i r r a c i o n a l c u j o s d e z p r i m e i r o s a l g a r i s m o s p o d e m s e r m e m o r i z a d o s c o m a f r a s e : " V a i à a u l a o a l u n o a p r e e n d e r u m número u s a d o n a s a r t e s " . C a d a p a l a v r a dá u m a l g a r i s m o , c o n t a n d o s u a s l e t r a s . O u t r a f r a s e q u e dá o m e s m o r e s u l t a d o é: " S o u o m e d o e t e m o r c o n s tante d o aluno vadio, b e m vadio". Porém, n u n c a t e r e m o s n e c e s s i d a d e d e d e z d e c i m a i s . N a prática, arredondamos para 3,1416 o u ,menos ainda, 3,14. 6 . O símbolo !. E m Matemática, não s i g n i f i c a admiração, m a s s i m fatorial, i s t o é, u m a multiplicação começando d o 1 até o número dado. 186
Por exemplo: 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 =
120.
Calcule: 4!, 6!, 2 ! 6! Simplifique: 4! 7. A lenda do xadrez. D i z u m a v e l h a l e n d a q u e o i n v e n t o r d o j o g o d e x a d r e z f o i o grão-vizir S i s s a B e n D a h i r , q u e o f e z p a r a r e c r e a ção d o r e i d a índia, Shirlâm. O r e i , m u i t o s a t i s f e i t o , m a n d o u S i s s a e s c o l h e r , c o m o p a g a m e n t o , o q u e b e m d e s e j a s s e . O grão-vizir p e d i u u m grão d e t r i g o p a r a a p r i m e i r a d a s 6 4 c a s a s d o t a b u l e i r o d e x a d r e z , d o i s grãos p a r a a s e g u n d a , q u a t r o p a r a a t e r c e i r a , o i t o p a r a a q u a r t a e a s s i m p o r d i a n t e , d o b r a n d o c a d a c a s a até c h e g a r à 6 4 . , c o b r i n d o todo o tabuleiro. a
O r e i a d m i r o u - s e ! O f e r e c e r a t u d o , e Sissa p e d i a apenas u m p u n h a d o d e grãos d e t r i g o ! C h a m o u o s matemáticos d a c o r t e , m a n d o u c a l cular e pagar ao inventor. O s cálculos começaram a f i c a r d e m o r a d o s , o r e i f i c a v a i m p a c i e n t e e só n o d i a s e g u i n t e o s matemáticos a p r e s e n t a r a m o r e s u l t a d o : n e m plantando e m todos os continentes e secando os mares para f o r m a r lavouras, poderia ser pago o pedido d o inventor. O r e i , a s s o m b r a d o , p e d i u a c i f r a e o s matemáticos e s c r e v e r a m : 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 5 , q u e é o b t i d a c o m a progressão geométrica 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 = 2 - 1. 6 3
6 4
C o m o 1 m e t r o cúbico d e t r i g o contém p e r t o d e 1 5 milhões d e grãos, então a r e c o m p e n s a s e r i a p e r t o d e 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m \ S e o c e l e i r o tivesse 4 m e t r o s d e a l t u r a p o r 1 0 m e t r o s d e l a r g u r a , s e u c o m p r i m e n t o p a s s a r i a m u i t o além d o S o l ! 8 . As frações. N o início d e s t e l i v r o , v i m o s q u e o s egípcios r e p r e s e n t a v a m o três p o r 111 e o um terço p o r | | | . A q u e l a o v a l s o b r e o três s i g n i f i c a v a um pão, l o g o | | | s i g n i f i c a v a um pão para três pessoas, i s t o é, u m terço d e pão. U m d o z e a v o s d e pão e r a r e p r e s e n t a d o 187
p o r H I I • E s t e é u m d o s m a i s a n t i g o s m e i o s d e se r e p r e s e n t a r u m a fração e c o n t i n u a e s s e n c i a l m e n t e o m e s m o até h o j e ! N a Grécia e e m R o m a , u s a v a - s e u m s i s t e m a u m p o u c o d i f e r e n t e . F o i n o início d o R e n a s c i m e n t o q u e o matemático i t a l i a n o L e o n a r d o d e P i s a , o F i b o n a c c i ( f i l h o d o B o n a c c i ) , começou a u s a r o traço s e p a r a n d o a q u a n t i d a d e d o número d e p a r t e s . A s s i m , a s frações a s s u m i r a m a f o r m a a t u a l .
9 . Sequência de Fibonacci. F i b o n a c c i i n v e n t o u u m a sequência a p e n a s c u r i o s a : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3 , . . ., o n d e a s o m a d e d o i s números c o n s e c u t i v o s é o próximo: 3 + 5 = 8 , 5 + 8 = 1 3 e t c . M u i t o t e m p o d e p o i s , começaram a s u r g i r várias u t i l i d a d e s p a r a e l a s . A m a i s c u r i o s a f o i n a a r t e : o s p i n t o r e s começaram a p i n t a r árvor e s c o m números d e g a l h o s n a sequência d e F i b o n a c c i .
O t r o n c o se b i f u r c a , f o r m a n d o d o i s g a l h o s . O s d o i s g a l h o s não s e b i f u r c a m j u n t o s . U m v a i p r i m e i r o , f i c a n d o três g a l h o s . A g o r a é u m p r o b l e m a d e p r o b a b i l i d a d e : o g a l h o q u e não se b i f u r c o u p o s s u i m a i s p r o b a b i l i d a d e d e bifurcação q u e o s o u t r o s d o i s , m a s e s t e s , p o r s e r e m d o i s , a c a b a m s o f r e n d o u m a bifurcação, e o número c i n c o é o m a i s provável. E a s s i m p o r d i a n t e .
1 0 . Torre de Hanói. N o d e s e n h o a s e g u i r , v e m o s q u a t r o d i s c o s (arruelas) n a p r i m e i r a haste. E l a s d e v e m ser passadas p a r a a terceira haste, d e u m a e m u m a , podendo-se usar a segunda, m a s n u n c a f i c a n d o disco m a i o r p o r c i m a de m e n o r . 188
É c l a r o q u e , c o m m a i o r número d e a r r u e l a s , o j o g o f i c a m a i s difícil. O j o g o p o d e s e r f e i t o c o m m o e d a s , s e m h a s t e s , m a r c a n d o três lugares. S e a t o r r e d e Hanói p o s s u i a p e n a s u m d i s c o , e l e p o d e s e r p a s s a d o para a terceira haste c o m apenas u mm o v i m e n t o . Se a torre possui dois d i s c o s , o s m o v i m e n t o s serão o s s e g u i n t e s :
IL
P o r t a n t o , c o m d o i s d i s c o s são três m o v i m e n t o s ; c o m três d i s c o s serão sete m o v i m e n t o s e a s s i m p o r d i a n t e , s e g u n d o a t a b e l a : 1
2
3
4
5
6
1
3
7
15
31
63
A r e g r a é a s e g u i n t e : c o m c i n c o d i s c o s , o número d e m o v i m e n t o s é: 2 X 2 X 2 X 2 X 2 — 1 = 3 2 — 1 = 3 1 , i s t o é, e m g e r a l , c o m n discos teremos 2 — 1 m o v i m e n t o s . n
Há u m a l e n d a e n v o l v e n d o esse j o g o : e m B e n a r e s — o c e n t r o d o m u n d o — há u m t e m p l o b u d i s t a o n d e , n a s a l a p r i n c i p a l , estão vários s a c e r d o t e s j o g a n d o a " t o r r e d e Hanói" n o i t e e d i a , s e m p a r a r . A b a s e é d e p r a t a , a s h a s t e s são d e d i a m a n t e s e o s d i s c o s são d e o u r o , n u m total de 6 4 .Q u a n d o B r a m a criou o m u n d o , colocou n o T e m p l o d e B e n a r e s e s s a t o r r e d e Hanói c o m 6 4 d i s c o s e d e t e r m i n o u a o s sacerdotes q u e passassem os discos, s e m parar, p a r a a terceira haste, s e g u n d o a r e g r a d o s m e n o r e s p o r c i m a . O f i m d o m u n d o s e dará q u a n d o f o r p a s s a d o o último d i s c o . E d e s d e então o s s a c e r d o t e s estão c u m p r i n d o a determinação, s e m p a r a r , substituídos u n s p e l o s o u t r o s , d i a e n o i t e . 189
M a s . . . q u a n t o s d i a s demorarão? B e m ! P a r a p a s s a r 6 4 d i s c o s serão necessários 2 — 1 m o v i m e n t o s , q u e é o m e s m o número d o t a b u l e i r o d e xadrez. S e os sacerdotes gastarem 1 segundo p a r a cada m o v i m e n t o , s e m p a r a r e s e m e r r a r , gastarão 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 5 s e g u n d o s . C a d a a n o t e m 3 6 5 X 2 4 X 6 0 X 6 0 s e g u n d o s , i s t o é, 3 1 5 3 6 0 0 s e g u n d o s ; d i v i d i n d o , concluímos q u e o s s a c e r d o t e s gastarão 5 8 4 9 4 2 4 1 7 3 5 5 a n o s p a r a p a s s a r t o d a s as peças. São m a i s d e 5 0 0 bilhões d e a n o s ! A T e r r a t e m s o m e n t e c e r c a d e 5 bilhões d e a n o s ! 6 4
11. Quantos avós? C a d a u m d e nós t e m d o i s p a i s , q u a t r o avós, o i t o bisavós, d e z e s s e i s tataravós e t c . ( s e não h o u v e c a s a m e n t o c o n sanguíneo). A q u a n t i d a d e v a i d o b r a n d o , d i g a m o s , a c a d a 2 5 a n o s p a r a o p a s s a d o . E se v o l t a r m o s n o t e m p o 1 6 0 0 a n o s ? C o m o 1 6 0 0 = 6 4 X X 2 5 , teríamos d e d o b r a r 6 4 v e z e s , i s t o é, 2 t a t a t a . . .taravôs, q u e e q u i v a l e a 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6 . E s s e número d e p e s s o a s d a r i a p a r a p o v o a r bilhões d e p l a n e t a s T e r r a ! 6 4
12. "Quem parte e reparte fica com a maior parte". D o i s beduínos v i a j a v a m e m u m único c a m e l o q u e p o d e r i a não s u p o r t a r , c o m p e s o d o b r a d o , a v i a g e m p e l o d e s e r t o . C h e g a r a m a u m oásis o n d e três irmãos b r i g a v a m p a r a d i v i d i r 3 5 c a m e l o s d e i x a d o s c o m o herança. U m d o s beduínos v i a j a n t e s , q u e e r a matemático, p e d i u licença p a r a t e n t a r r e s o l ver o p r o b l e m a . O falecido p a i dos rapazes h a v i a deixado 3 5 camelos p a r a d i v i d i r p e l o s três, d e m o d o q u e o p r i m e i r o f i c a s s e c o m a m e t a d e , o s e g u n d o c o m u m terço e o caçula, c o m u m n o n o . A discórdia se e s t a b e l e c e r a p e l a i m p o s s i b i l i d a d e d e s e r e t i r a r a m e t a d e d e 3 5 c a m e l o s , b e m c o m o u m terço e u m n o n o . O matemático m i s t u r o u s e u próprio c a m e l o c o m o s 3 5 , f i c a n d o 3 6 . D e u m e t a d e p a r a o p r i m e i r o q u e , r e c e b e n d o 1 8 a o invés d e 1 7 , 5 , f i c o u m u i t o s a t i s f e i t o e s e r e t i r o u . D e u u m terço p a r a o s e g u n d o q u e , c o m 1 2 , s a i u g a n h a n d o . F i n a l m e n t e , d e u 4 p a r a o caçula q u e também f i c o u m u i t o s a t i s f e i t o . O s três irmãos se r e t i r a r a m c o m s e u s 3 4 c a m e l o s ( 1 8 + 1 2 + 4 ) , s o b r a n d o 2 , u m p a r a o matemático e o u t r o p a r a o c o m p a n h e i r o d e viagem. 13. Você sabia que. . . •
1+ 2 + 3 =
1 X 2 X 3 ?
• D a n d o u m nó e m u m a t i r a d e p a p e l , f o r m a r e m o s u m pentágono? 190
• N o B r a s i l , 1 bilhão v a l e 1 0 0 0 milhões, m a s há países e m q u e e l e v a l e 1 milhão d e milhões? • Q u a n d o a m p l i a m o s u m a f o t o , o s c o m p r i m e n t o s das coisas f i c a m a u m e n t a d o s , m a s não a s m e d i d a s d o s ângulos? • M u l t i p l i c a n d o 1 4 2 8 5 7 p o r q u a l q u e r número d e 1 a 6 , o r e s u l tado é f o r m a d o pelos mesmos algarismos e m o u t r a ordem? • O s números ímpares e r a m c o n s i d e r a d o s fêmeas?
m a c h o s e os pares,
• 4 X 1 963 = 7 8 5 2 , onde aparecem todos os algarismos? • P a r a d a r u m a v o l t a a o r e d o r d a T e r r a , teríamos d e a n d a r 40 000 km? • U m d o s m a i o r e s matemáticos f o i E u l e r , q u e c o n t i n u o u c r i a n d o Matemática m e s m o d e p o i s d e c e g o ? • Q u e u m número é c h a m a d o perfeito s e é i g u a l à s o m a d o s s e u s d i v i s o r e s , e q u e o 6 é o m e n o r número p e r f e i t o ( 6 = 1 + 2 + + 3)? • O s i n a l + é, p r o v a v e l m e n t e , c o r r u p t e l a d a conjunção l a t i n a et? • O sinal — pode ter tido o r i g e m n o risco q u e os comerciantes m e d i e v a i s u s a v a m p a r a i n d i c a r diferenças n o s p e s o s d a s m e r cadorias? • O s i n a l X já e r a u s a d o e m 1 6 4 7 e é atribuído a W . O u g h t r e d ? • O s i n a l - r - d e v e t e r - s e o r i g i n a d o d a própria notação d e fração, u m traço c o m o n u m e r a d o r e o d e n o m i n a d o r ? • O símbolo n, p a r a o número 3 , 1 4 1 5 9 . . ., é u m a l e t r a g r e g a q u e começou a s e r u s a d a p e r t o d e 1 7 0 0 n a I n g l a t e r r a ? • O sinal = f o i utilizado pela primeira vez p o r Robert Record e m 1542 n a Inglaterra? • M u l t i p l i c a n d o 3 7 p o r 3, 6, 9, 1 2 , 1 5 , 1 8 ,2 1 , 2 4 o u 27, obtem o s u m p r o d u t o d e três a l g a r i s m o s i g u a i s c u j a s o m a é o m u l t i plicador? 191
• Alguém i n v e n t o u u m a história — q u e não c o r r e s p o n d e à r e a l i d a d e — q u e o s números t e r i a m s i d o f o r m a d o s c o n t a n d o ângulos?
• U m d o s m a i o r e s matemáticos b r a s i l e i r o s f o i J o a q u i m G o m e s d e S o u z a — o S o u z i n h a — q u e n a s c e u n o Maranhão e m 1 5 d e fevereiro de 1 9 2 9e m o r r e u e m Londres, c o m 3 4 anos de i d a d e , d e i x a n d o inúmeros t r a b a l h o s ? • É m u i t o difícil d i z e r d e p r e s s a : u m t i g r e , d o i s t i g r e s , três t i g r e s ? • P a r a calcular 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . + 2 0 0 , pegam o s a média d o p r i m e i r o c o m o último e m u l t i p l i c a m o s p o r 2 0 0 ? Assim: 1 + 200 X
2 0 0 = 2 0 1 0 0 . Isso vale para qualquer q u a n t i -
d a d e d e números: 3 0 0 , 3 1 5 e t c .
RESPOSTAS DAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS (Se o a l u n o d e s c o b r i r u m a r e s p o s t a d i f e r e n t e d a s a p r e s e n t a d a s a b a i x o , t u d o b e m , d e s d e q u e t e n h a a l g u m a lógica.) 1. D o i s p a r e s ( u m d e b o t i n a e u m d e m e i a ) o u então u m p a r d e b o t i n a mais u m a botina (meia mais meia). 2 . Ônibus. 3 . Três e l o s . A b r i r o s três elos d o p r i m e i r o pedaço e c a d a e l o a b e r t o e n g a n c h a d o i s d o s q u a t r o pedaços.
192
4. I V O , I V , V . 5. A metade de dois m a i s dois é o m e s m o q u e a metade de 4 , é 2 . M a s a m e t a d e d e 2 , m a i s 2 , é 1 m a i s 2 , i s t o é, três. Há d u a s respostas certas.
6.
7. L e v a r dois amigos u m a vez. 8. S e m solução, n o p l a n o . N u n c a d i z e r isso a o s a l u n o s . 9 . B a s t a c o b r i r a m e t a d e e s q u e r d a d e c a d a d e s e n h o p a r a v e r q u e o próx i m o deve ser . V e j a , s e p a r a n d o as m e t a d e s : M , 5 2 , £3 . . . São o s a l g a r i s m o s . 10. C a t o r z e q u a d r a d o s , c i n c o triângulos. P o d e - s e a u m e n t a r o s d e s e n h o s e f a z e r m a i s divisões.
=1
11. a )
(onze = onze) o u
b)
d)
i
|=
c)
ff
<
111
+
X
II
—
e) f) 12.
M-1
a) 10 b) 9 c) 15 d ) 13 i ) 1 6 j ) 1 6 2 1) 1 7 m ) 3 6 (números p r i m o s ) r) XVII.
e) 2 2 n) 4 0
f) 29 o ) 13
g) 1 1 p ) 15
h) 48 q) 13
13. P o r q u e 1 3 X H X 7 = 1 0 0 1 e m u l t i p l i c a r u m número d e três a l g a r i s m o s p o r 1 0 0 1 é repeti-lo e m seguida. 193
14. O a n o e m q u e e s t a m o s . T e s t e c o m a s u a i d a d e . 2
15.
16. 7 .
6
8
5
4
1
3
7
17. O a l u n o dirá 4 ; m a s , se e s t i v e r m o s f a l a n d o d o n u m e r a l 8 , a r e s p o s t a pode ser 3 o u 0 . Isso porque podemos cortar o n u m e r a l n a metade assim ^ o u assim. . 18. 1 5 .
19. A p r i m e i r a situação é 8 , 0 , 0 , i s t o é, 8 l i t r o s n u m garrafão e z e r o n o s o u t r o s d o i s . A g o r a , v a m o s e n c h e r o garrafão d o m e i o , f i c a n d o 3 , 5 , 0 . A s s i m , v a m o s t e n t a n d o . U m a solução é:
f i c a n d o 4 n o d o m e i o . Há o u t r a s soluções. O b s e r v e q u e , n a última p a s s a g e m , p e g a m o s o garrafão d o m e i o e c o m p l e t a m o s o p e q u e n o , q u e já t i n h a 2 l i t r o s . C o u b e a p e n a s m a i s 1 l i t r o . 20.
O o o o o • o o 21.
194
o o o -
o o o o o
22.
23. U m m i n u t o . C a d a u m c o m e o s e u . 24.
a)
d)
b)
e)
c) s e m solução. 25.
1
2
4
8
18
36
72
144
13
26.
i _|_ 4 +
=
d) 16
144 =
234.
e)
g)
15 c) 3 2 , 3 , 4 d ) 7 , 4 , 15
a ) 9 , 8, 1 b ) 1 6 , 5, 3
28. a ) 2 X 3 —
c) 0 + 2 X 1 : 2 4 2 + 2 X 1 4 + 2 X 4 : 12
1 = 5 2 X 5 — 8 = 2 2 X 4 — 7 = 1 b) 5 + 11 = 16
29.
18 + 7 2 +
20
8 c)
b) 5
27.
...
8, l o g o , 13 X 18 =
4 a)
...
19, 1 1 , 6.
30. 9 , 1 4 , 0 . 31. a) 9, 1 1 32.
a) 4
33. a ) | j ] 34.
b)
35.
d)
36.
3 kg
b) 32, 64 b) 10 b) ^
c) 4 c) x
c) 3 , 3 d) 2 d) 8
e)
3)
f) 9
g)
El
195
37. S e p a r a r o s lápis e m três g r u p o s d e três. QQQ
"TV • P r i m e i r a p e s a g e m : três lápis e m u m p r a t o e três n o o u t r o . S e d e r i g u a l , o m a i s l e v e está c o m o s o u t r o s . S e d e r d e s i g u a l , o m a i s l e v e está n o p r a t o q u e s u b i u . D e q u a l q u e r f o r m a , já i s o l a m o s três.
- t
A
• S e g u n d a p e s a g e m : u m lápis e m u m p r a t o e u m n o o u t r o . Se d e r i g u a l , o m a i s l e v e é o o u t r o . S e d e r d e s i g u a l , o m a i s l e v e f i c a também d e t e r m i n a d o . 38. U m d i a p r e s o , o u t r o s o l t o . 39.
802.
3
-
7
8
!
7
P e r f u r o u t o d a s as f o l h a s d o s o i t o l i v r o s d o m e i o , m a i s a p r i m e i r a f o l h a d o l i v r o 1 , q u e f i c a à d i r e i t a d o l i v r o , m a i s a última f o l h a d o l i v r o 1 0 , que fica à esquerda. 40. 3 X 2 = 6 . E r a m u m m e n i n o , o p a i e o avô. 41. E s s e p r o b l e m a é a p e n a s u m a b r i n c a d e i r a q u e i n d u z o a l u n o a f i c a r s o m a n d o passageiros q u a n d o há inúmeras coisas a o b s e r v a r . Só p o d e m o s começar a r e s o l v e r d e p o i s q u e f o r f e i t a a p e r g u n t a . 42. E s s e p r o b l e m a é i n t e r e s s a n t e , p o i s m o s t r a q u e as c o n t a s não p o d e m ser f e i t a s a t a b a l h o a d a m e n t e . É p r e c i s o q u e h a j a u m o b j e t i v o . P o r e x e m p l o : q u e r e m o s s a b e r o n d e estão o s C z $ 3 0 , 0 0 ? Estão C z $ 2 5 , 0 0 n o c a i x a , C z $ 3 , 0 0 n o s b o l s o s d o s r a p a z e s e C z $ 2 , 0 0 c o m o garção. Não há m o t i v o p a r a a d i c i o n a r , c o m o n o p r o b l e m a , o s C z $ 2 7 , 0 0 p a g o s c o m o s q u e f i c a r a m c o m o garção. H a v e r i a m o t i v o p a r a s u b t r a i r ! C z $ 2 7 , 0 0 p a g o s m e n o s o s C z $ 2 , 0 0 q u e f i c a r a m c o m o garção são o s C z $ 2 5 , 0 0 q u e estão n o c a i x a . 196
43.
44. - X f f l — > V I I I . É só p e g a r a m e t a d e d e c i m a . 45.
832 e 238.
46. U m número:
Multiplicar p o r 2: Adicionar 16: Dividir por 2:
% 2x 2 x + 16 2x + 16
Subtrair x:
2 2 x + 8 —x = 8
47.
6 X 2 1 , d e trás p a r a f r e n t e : 1 2 6 .
48.
2.
49.
C o m d u a s ; as o u t r a s serão c o n s u m i d a s .
2x
+
16
x + 8
50. Q u a t r o . 51. N e n h u m . O s o u t r o s v o a r a m . 52.
P e s a m o m e s m o : 1 k g . Q u a l você q u e r q u e c a i a s o b r e s e u pé?
53. N e n h u m . B u r r o não sabe c o n t a r . 54.
Há três a l u n o s q u e são j a p o n e s e s e c o r i n t i a n o s .
55.
111 -
3 11 o u 3 X 33 +
ou 5 X 5 X 5
— 5 X 5 .
56.
c) 3 7 2 d) 17 b) 1 708 a) 3 4 4 — 247 + 322 X 3 + 258 602 2 030 125 51 57. A s dezenas c r e s c e m e as u n i d a d e s d e c r e s c e m , d e m o d o q u e , e m c a d a número, a s o m a é s e m p r e 9 . 58. a ) D o i s : o d e d e n t r o e o d e f o r a . b) L a d o de fora. 59. D e z e s s e i s . O s irmãos não são p r i m o s . 60. T o d o s p o s s u e m 2 8 dias, o u m a i s .
61. 3 + 1 = 4 . 62. 2 3 . A s 2 3 d a d i r e i t a estarão à e s q u e r d a n a v o l t a . 63. C z $ 1,00.
197
64. a ) 2 m e t r o s . b ) C i n c o d i a s , p o i s , d e p o i s d e q u a t r o dias, s u b i u 8 m e t r o s e, n o d i a seguinte, subindo 5 metros, atinge a borda, m e s m o q u e escorregue de n o i t e . 65. D a q u i a q u a t r o a n o s . 22 66.
.
2
67. O c a m i n h o e r a c i r c u l a r . 1 2 6 8 . T o d o s d i z e m 10; n o e n t a n t o , é a u n i d a d e escrita c o m o — o u — etc. 1 2 69. a ) c)Q d)(g) e)Q
)Q
70.
b)|_
a) 3 250. b ) 9 9 6 + 4 = 1 0 0 0 , l o g o , a s o m a é 1 3 8 5 , d e cabeça. c) 2 , 5 , 8 , 1 1 , 1 4 , . . .
71. A s o m a é s e m p r e 2 6 , i n c l u s i v e a d a s seis p o n t a s . 72. 8 0 m i n u t o s é o m e s m o q u e 1 h o r a e 2 0 m i n u t o s . 73. 1 0 X 1 0 =
1 0 0 , o u seja, 1 m e t r o .
74. E s s e p r o b l e m a p o d e s e r r e s o l v i d o p o r c o n t a g e m , r i s c a n d o t o d o s o s c a m i n h o s , o u u s a n d o o triângulo d e T a r t a g l i a - P a s c a l . P a r a n o v e q u a r teirões, t e r e m o s : 1 1 1
1 2
3
1
1
3 6
4 10
4 10
Resposta: V i n t e caminhos. 20 Se f o s s e m dezesseis quarteirões, teríamos s e t e n t a c a m i n h o s . 75. N e n h u m . 76. V i s t o n o e s p e l h o . 77.
4.
78. 9 +
1 . N a v e r d a d e , e s t a m o s s o m a n d o a p e n a s u m número: 2
79. O dicionário t e m 2 3 7 5 9 7 sílabas. S e d u v i d a r , c o n f i r a . 8 0 . I s s o não t e m r ! 81. B i s c o i t o . 198
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Impresso por W. Roth & Cia. Ltda.
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ISBN 85 08 01922 x
