Diagrama lui Moody pentru determinarea coeficientului lui Darcy Rezultatele experimentale obţinute pentru conducte tehnice au condus la diagrama lui Moody, o diagramă trasată în planul Re, , unde Re este numărul Reynolds, iar este coeficientul lui Darcy. În planul diagramei, coeficientul lui Darcy depinde de două variabile: Re, k D , rugozitatea relativă k D fiind parametru. Diagrama lui Moody este trasată în acelaşi stil ca şi diagrama lui Nikuradse, ceea ce permite efectuarea comparaţiilor între zonele corespunzătoare regimurilor de curgere. Diagrama lui Moody este reprezentată în figura 1.
Laminar
Turbulent prepatratic k/D
-1
10
C2
Turbulent rugos
C1
0.01 0.008 0.006 0.004 0.003 0.002 0.001 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 6e-005 4e-005 2e-005 1e-005
Tranzitie Turbulent neted
-2
10
3
10
4
10
5
10
0.1 0.08 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02
6
10
7
10
Re Fig. 1. Diagrama lui Moody În diagrama lui Moody, regimul laminar este definit prin dreapta lui Poiseuille (vezi conceptul: Relații de calcul pentru coeficientul lui Darcy).
În zona regimului de tranziţie, delimitată prin verticalele care trec prin valorile critice aproximative Re 2300 şi Re 3500 , a fost prelungită1 dreapta lui Poiseuille (cu linie punctată). Regimul turbulent neted este reprezentat de curba descrisă de formula FilonenkoAltşul2 (vezi conceptul: Relații de calcul pentru coeficientul lui Darcy), prelungită şi către valori mai mici ale numărului Reynolds Re 3500 şi este delimitat de curba notată C1, care va fi explicitată în relaţia (1) care urmează. Regimul turbulent prepătratic este cuprins între cele două curbe limită, notate C1 şi C2 (cea din urmă explicitată în relaţia (2) care urmează). Regimul turbulent rugos este delimitat inferior de curba C2. Pentru zona corespunzătoare regimului turbulent s-a utilizat formula Colebrook-White (vezi conceptul: Relații de calcul pentru coeficientul lui Darcy), în care valorile coeficientului au fost determinate iterativ, pornind de la o valoare de start egală cu 0,001.
Rugozitatea relativă variază în intervalul: 1,8 10 6 k D 0,14 . După cum s-a precizat, pe diagrama lui Moody (figura 1) se disting două curbe limită, C1 şi C2, care delimitează tipurile de turbulenţă: prima (C1) este frontiera inferioară
Re1 a regimului turbulent prepătratic, frontieră pe care Re Re1 23 D k , iar cea de-a doua (C2) este frontiera superioară Re2 a regimului turbulent prepătratic, frontieră pe care Re Re2 560 D k . Ecuaţiile acestor curbe limită se obţin în felul următor: se extrag rugozităţile relative din relatiile de mai sus, adică
k D 23 Re , respectiv k D 560 Re şi se introduc în formula Colebrook-White. Se obţin astfel ecuaţiile curbelor limită căutate, sub formă implicită, anume: frontiera inferioară C1
1
1 23 2,51 2 lg , Re 3,71Re
(1)
În condiţii speciale de laborator, regimul laminar poate fi menţinut pentru valori ale numărului Reynolds mai mari decât 2300, însă la cea mai mică perturbaţie, curgerea fiind instabilă, se face un salt la următorul regim de curgere, cel turbulent 2 Ar fi fost corect să fie utilizată formula Prandtl-Kármán, însă pe de o parte, aceasta nu acoperă toată plaja dorită a numărului Reynolds şi este mai greu de utilizat, fiind implicită, iar pe de altă parte, din figura 1, rezultă că formula Filonenko-Altşul are alura potrivită pentru a aproxima în mod acceptabil variaţia coeficientului lui Darcy pentru Re > 3500
frontiera superioară C2
1 560 2,51 2 lg . Re 3,71Re
(2)
Reprezentarea tridimensională a diagramei lui Moody, adică reprezentarea 3D a funcției de două variabile Re, k D , este realizată în figura 2, în spaţiul definit de:
Re, k
D , .
Fig. 2. Reprezentarea tridimensională a diagramei lui Moody În spaţiul 3D din figura 2 se distring trei suprafeţe, separate unele de altele, anume: S1 – planul înclinat (de culoare violet) corespunzător regimului laminar; S2 – suprafaţa cvasi-triunghiulară, simplu curbată (de culoare albastră), aferentă regimului turbulent neted; S3 – suprafaţa dublu curbată (de culoare bleu), aferentă regimului turbulent prepătratic (între curbele limită C1 şi C2 trasate cu culoare galbenă), respectiv regimului turbulent
rugos (mărginit inferior de curba limită C2); în zona numerelor Reynolds mari şi a rugozităţilor relative mari, suprafaţa corespunzătoare regimului turbulent rugos se aplatizează, palierul fiind datorat lipsei de influenţă a numărului Reynolds. Mărimea şi delimitarea diferitelor regimuri de curgere este mult mai bine evidenţiată în reprezentarea 3D din figura 2, decât în reprezentarea clasică, bidimensională, din figura 1. Curbele limită tridimensionale C1 şi C2 reprezintă intersecţia suprafeţelor S2 şi S3 cu suprafeţele verticale, generate de curbele Re1 f1 k D şi Re2 f 2 k D din planul
Re, k D .
Se observă, după cum era de aşteptat, că regimul laminar corespunde
planului înclinat S1 generat de formula Hagen-Poiseuille (vezi conceptul: Relații de calcul pentru coeficientul lui Darcy) independent de rugozitate. Se ilustrează faptul că regimul turbulent neted este întâlnit într-o zonă foarte mică (S2) de forma unui triunghi curbiliniu foarte ascuţit; practic, acest regim nu poate fi obţinut pentru valori mari ale rugozităţii relative! Turbulenţa netedă poate fi atinsă doar pentru valori ale rugozităţii relative mai mici decât3 0,0065. Cu alte cuvinte, pentru conducte cu rugozitate relativă mare, se face un salt direct de la regimul de tranziţie, la regimul turbulent prepătratic. În fine, se observă că atât regimul turbulent prepătratic, cât mai ales regimul turbulent rugos, ocupă suprafeţe însemnate din diagramă. Se menţionează de altfel, că majoritatea sistemelor hidraulice, ale căror conducte sunt de metal sau de azbociment, sau ale căror conducte sunt vechi (indiferent de material), funcţionează în regim de curgere turbulent prepătratic sau turbulent rugos. În cazul în care conductele sunt din polietilenă, pexal sau alte materiale cu rugozitate foarte mică (de exemplu, sticlă), sau în cazul în care conductele de metal sunt noi, curgerea poate corespunde regimului turbulent neted. Existenţa celor patru zone (anume: zona laminară, zona de turbulenţă netedă, zona de turbulenţă prepătratică şi zona de turbulenţă rugoasă) de variaţie diferită a coeficientului lui Darcy (coeficientul de pierdere de sarcină hidraulică uniform distribuită) poate fi explicată observând variaţia diferită a vitezelor v în funcţie de raza 3
Când valoarea numărului Reynolds se apropie de 3500, din condiţia Re Re1 23 D k , rezultă:
k D 23 3500 0,00657
r, într-o secţiune normală la direcţia principală de curgere, într-o conductă circulară de diametru 2 R (figura 3). Pentru efectuarea comparaţiei între profilele de viteză aferente celor 4 regimuri de curgere, în figura 3 au fost adimensionalizate variabilele, prin raportarea la valorile lor maxime, anume: v vmax în abscisă (viteza maximă vmax înregistrându-se în axa conductei) şi r R (în procente) în ordonată. Să ne reamintim că factorul care determină pierderile de sarcină hidraulică este vâscozitatea fluidului, o proprietate care se pune în evidenţă atunci când există diferenţe între vitezele straturilor adiacente de fluid.
100
80
r/R [%]
Turbulent neted 60
40
Turbulent prepatratic
Laminar 20
0
Turbulent rugos 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
v/v max Fig. 3. Profilul vitezelor medii temporale la curgerea în conducte circulare În cazul regimului laminar (datorită profilului de viteze care apare în această situaţie), diferenţele se regăsesc în toată masa fluidului şi în consecinţă sunt puţin influenţate de rugozitatea peretelui conductei. În cazul regimului turbulent, variaţiile importante de viteză se regăsesc în apropierea peretelui conductei. Spre exemplificare, în figura 4 este prezentată variaţia vitezei medii
temporale în ultimii 10 milimetri ai unei conducte cu diametrul de 200 mm şi rugozitatea absolută k de 1 mm. Pentru o mai uşoară înţelegere a fenomenului, a fost de asemenea trasată limita de la care viteza depăşeşte 50% din viteza maximă (verticala v vmax 0,5 ), precum şi mărimea medie a rugozităţii (orizontala r 99 mm).
100
98
r [mm]
Turbulent neted 96
94 Turbulent prepatratic 92 Turbulent rugos 90
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
v/v max Fig. 4. Variaţia vitezei în apropierea peretelui unei conducte circulare cu diametrul de 200 mm şi rugozitatea absolută de 1 mm, pentru diferite numere Reynolds: Re 4200 (regim turbulent neted), Re 50000 (regim turbulent prepătratic) şi Re 200000 (regim turbulent rugos) În figura 4, se poate astfel observa cu uşurinţă că grosimea zonei în care viteza ajunge la 50% din viteza maximă în conductă scade o dată cu creşterea numărului Reynolds. De asemenea, în cazul regimului turbulent neted, grosimea acestei zone este mai mare decât rugozitatea absolută, ceea ce face ca mecanismul de disipare a energiei să nu fie mult influenţat de rugozitatea peretelui conductei (ca şi în cazul mişcării laminare).
La regimul turbulent prepătratic, grosimea zonei cu variaţii importante de viteză este de acelaşi ordin de mărime cu grosimea rugozităţii absolute a peretelui conductei, deci disiparea de energie este influenţată atât de această valoare, cât şi de numărul Reynolds. În sfârşit, în cazul regimului turbulent rugos, grosimea acestei zone cu variaţii importante de viteză este mult mai mică decât mărimea rugozităţii absolute şi, în consecinţă, numărul Reynolds nu mai influenţează semnificativ disiparea energiei mecanice. Trebuie menţionat că: zona în care apar variaţii semnificative de viteză, concentrând astfel pierderile energetice, este impropriu denumită substrat limită laminar (într-adevăr, zona de regim laminar este mult mai apropiată de peretele conductei). O denumire mai corectă este aceea de substrat vâscos (în care eforturile tangenţiale date de vâscozitate sunt preponderente), deşi această denumire presupune inexistenţa pulsaţiilor de viteză pe direcţii transversale curgerii (ipoteză evidentă în apropierea pereţilor solizi, dar greu de demonstrat experimental pe întreaga grosime a zonei); valoarea de 50% din viteza maximă din axa conductei a fost aleasă arbitrar, cu titlu de exemplu. Există relaţii de calcul adecvate definirii grosimii zonei în care se concentrează pierderile de energie mecanică în cazul mişcării turbulente.
