UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA
NUCLEO TACHIRA
Trabajo de Estructura (Diagrama de Williot)
San Cristóbal, Abril de 2013
INTRODUCCIÓN
Este trabajo tiene la finalidad de que los estudiantes elaboren de forma explicita como se desarrolla el diagrama de williot, con el procedimiento de forma precisa para el cálculo demostrándolo en un ejercicio práctico. Es por ello que destacamos que su precurso se identifica como MOHR quien fue un alemán (1835 - 1918) que hizo grandes aportes a la Teoría de Estructuras. Desarrollo el método para determinar las deflexiones en vigas, conocido como el método general de Maxwell para análisis de estructuras indeterminadas, usando los principios de trabajo virtual. Hizo aportes en análisis grafico de deflexiones de cerchas, cerchas, con el complemento el diagrama de Williot, conocido como el diagrama de Mohr, para la representación gráfica de los esfuerzos en un estado biaxial de esfuerzos.
DIAGRAMA DE WILLOT Se determina un ejemplo del desplazamiento de una viga estáticamente indeterminada de un grado de libertad. La cual se basa sus principios para desarrollar el diagrama de willot mohr para la determinación de desplazamiento en estructuras. Desarrollando el procedimiento se debe averiguar los desplazamientos de los nudos de una estructura isostática, podemos utilizar una construcción grafica muy simple consiste en ir compatibilizando las deformaciones de las barras y las condiciones del contorno. El resultado de estas operaciones será una estructura deformada, pero esto suponiendo pequeñas deformaciones es difícil suponer con precisión estos movimientos, por lo cual es necesario obtener las deformaciones fuera de la armadura y con un factor de amplificación que facilite la medición Ejemplo de diagrama de willot mohr
Para trazar este diagrama se deben seguir los siguientes pasos: a) Tomar un punto (0) como un polo. b) Trazar a partir del punto (0) los movimientos de los nudos a la escala que estimemos oportuna para tener una fácil visualización. c) A partir de estos puntos se trazan paralelas a las barras afectadas y sobre ellas llevamos las deformaciones sufridas por las mismas d) Considerando que para arcos de circunferencias pequeños se puede sustituir el trazado de estos por perpendiculares. Trazamos las perpendiculares a las rectas del tercer paso por los puntos determinados por las deformaciones, y con ello obtenemos el nuevo lugar donde se encuentra el punto inicial o polo.
DESARROLLO MAS ESPECIFICO DEL DIAGRAMA DE WILLOT a) Generalidades: Para el cálculo de los desplazamientos reales de los nudos de una celosía no son todavía suficientes los procedimientos tratados hasta ahora que solo dan las componentes de los desplazamientos en una dirección determinada. Los desplazamientos reales pueden calcularse partiendo de la variación de longitud ( s) = S S + α t t s EF
b) Barra a y b unidades estribo rígido. En la celosía ABC una barra a experimenta un alargamiento ( a) y la barra b un acotamiento ( b). en primer lugar se supone que ambas barras entre sueltas en el nudo C de modo que pueden deformarse independientemente entre sí. Luego ambas barras han de llevarse de nuevo a la unión girando la barra b alrededor de A y la barra a alrededor de B, describiendo los extremos de las barras un arco de radios a + a y b - b. El punto de corte de los dos arcos de la situación del nudo C después de la deformación de la estructura. Los nudos de la deformada se designan mediante A’, B’ y C’. Ya que las deformaciones s son muy pequeñas frente a la longitud de las barras s, los arcos pueden sustituirse por sus tangentes, a saber, por las perpendiculares a las barras de la estructura no deformada. Por el mismo motivo las variaciones de longitud s y las longitudes de s no pueden dibujarse a la misma escala. Las variaciones de longitudes s se representan a una escala mayor en un diagrama de desplazamientos particulares. Partiendo de un punto de referencia, se dibujan las variaciones de longitud de las barras teniendo en cuenta su signo (alargamiento a o acortamiento b) en dirección de las barras de la estructura no deformada, ya que los nudos A y B del sistema son indesplazables y por tanto han de coincidir con los nudos A’ y B’ correspondientes y coincidentes con estos nudos en el diagrama de desplazamientos. Las perpendiculares levantadas en los puntos extremos de los desplazamientos dibujados s se cortan en el punto C’. de la congruencia de los dos cuadriláteros rayados se deduce que el segmento (A’B’), C’ en el diagrama de desplazamientos es igual al desplazamiento total buscando (segmento CC’) del nudo C.
c) Barras a y b unidas a un estribo elástico: elástico: Si en la celosía ABC los nudos A y B como componentes de un sistema total son de por sí desplazables, se halla como sigue el desplazamiento real del punto C:
Basándonos en lo anterior suponemos ya conocidos los desplazamientos AA’ y BB’. Se supone ahora, como ya se ha descrito en b), que la unión está suelta en C. la deformación de las barras puede descomponerse entonces en: 1. Un desplazamiento paralelo (movimiento de traslación). 2. Una variación de longitud. 3. Un giro (rotación). Para obtener un diagrama de desplazamientos fuera de la figura del sistema, se elige el punto C como punto de partida y a partir de él se trazan en magnitud y dirección los desplazamientos de los nudos AA’ y BB’. El punto C se designa también como polo; contiene a la vez el punto A y B. En los puntos así obtenidos A’ y B’ han de trazarse las variaciones de longitud ( a) o (b). Levantando las normales en los puntos extremos. El punto de corte de ambas normales es el punto C’ cuya unión con C da el desplazamiento real del punto C. Aplicando lo dicho en b) y c) puede calcularse el desplazamiento de cada uno de los nudos de una celosía. d) Diagramas de celosías enteras. Para la celosía en voladizo ha de hallarse el diagrama de desplazamientos. Partiendo del punto de referencia A’, B? correspondiente a los puntos fijos A y B, se dibujan en primer lugar las variaciones de longitud AD y BD en dirección de las barras; las normales levantadas en sus puntos extremos se cortan en D’. Si se trazan ahora en el punto B’ la variación de longitud BC y en D’ la variación de longitud DC, las normales levantadas en los puntos extremos de estos elementos se cortan en el punto C’. Del mismo modo se obtiene el punto E’.
El diagrama de desplazamiento así obtenido da los desplazamientos de cada uno de los nudos con respecto al punto de referencia. Ya que los puntos A y B no experimentan desplazamiento, los desplazamientos relativos son en este caso a la vez los reales de cada uno de los nudos.
Si han de calcularse las componentes de los desplazamientos en una dirección determinada, basta con proyectar sobre esta dirección los desplazamientos totales. Con ello pueden p. e. calcularse inmediatamente mediante el diagrama de Williot las líneas de curvatura del cordón superior e inferior de celosías. La representa otra celosía cuyo único nudo indesplazable es el A. por simetría del sistema y de la solicitación la barra CD no gira al deformarse el sistema. Por lo tanto si se elige como punto de referencia el punto punto D’ del diagrama de desplazamiento que corresponde al nudo D, se obtiene C’ llevado .
∆
Paralelamente a CD en el punto D’. con ello se conocen dos puntos puntos del diagrama. Los restantes se hallan partiendo de D’ y C’ según la construcción de base. Los segmentos D’ A’, D’C’ y D’B’ representan los desplazamientos desplazami entos de los nudos A, B y C respecto al nudo D paralelamente a CD en el punto D’. con ellos se conocen dos puntos del diagrama los restantes se hallan partiendo de D’ y C’ según la construcción de base. Los segmentos D’A’, D’C’ y D’B’ representan los desplazamientos de los nudos A, B y C respecto al nudo D. según las condiciones de apoyo el punto A es fijo mientras que el B sólo puede desplazarse en dirección horizontal. Por lo tanto, en contra de la hipótesis inicial, no es D el punto fijo A y con ello igual al desplazamiento real. El nudo B se desplaza horizontalmente el valor A’B’ = . Según ello se obtiene los desplazamientos totales de todos los nudos mediante el diagrama de Williot como distancia de los puntos B’, C’ Y D’ del punto fijo A’.
Hasta ahora al calcular los desplazamiento se partió de que es conocida en el diagrama de desplazamientos desplazami entos la situación de dos puntos próximos. Ello podía venir condicionado por el hecho de que o bien los dos nudos eran indesplazables o bien la dirección de una barra era invariable. Pero en general no se da este caso, de modo que es difícil predecir de antemano algo sobre el giro de las barras.
Por lo que hay que elegir en primer lugar un punto cualquiera como punto de referencia y considerar como fija la dirección de una barra que parte de este nudo. Los desplazamientos calculados partiendo de estas bases se contradicen con las condiciones de apoyo, pero éstas pueden cumplirse mediante desplazamientos suplementarios.
En la celosía se muestra la determinación de tales desplazamientos sumplementarios. sumplementari os. Se elige como punto de referencia el A y se considera como fija la dirección de la barra U1. En la figura anterior se muestra el diagrama correspondiente. Si estos desplazamientos se llevan sobre la figura del sistema, resultan para los nudos las nuevas situaciones B’, C’ y D en la estructura deformada. Sin embargo la variación de la situación del nudo B allí indicada no es posible ya que B sólo puede desplazarse horizontalmente. horizontalment e. Para eliminar esta anomalía la estructura se considera como rígida después de sus deformación, y se gira alrededor del punto fijo A, el polo, hasta que B’ esté sobre el camino de desplazamiento del apoyo B. después de girar este ángulo los nudos del sistema toman las posiciones A’’ A’, B’’, C’’, D’’.
PROCEDIMIENTOS: Bv =
10,00 30,00 − 5,46 .4,00 00 = +15,46 . , 00 .30,00
c) Esfuerzos en las barras. Nudo 12:
= 0:9 = − = −15,62 , = 0:1 0: 100 = 8 = = + 12,0 12,0 ;
= 0: − 8 8 8 8 + 7 7 7 7 = − −80,6 −80,640 40 + 70 70,44 ,4477 = −10,0 = 0: 8 8 8 + 7 7 7 7 = − 80,768 80,768 + 7 0,8943 0,8943 = −12,0 Y de donde, 7 = −16,76 −16,76 ,8 , 8 = +3,91 +3,91 , Nudo 9:
= 0:1 = − = +9,86 , = 0:1 0: 1 = −ℎ −ℎ − 1 1�� ���� 1 = −2,74 74 , Nudo 3: = 0: 0: 3 = = −2,78 78 , = 0:3 0: 3 = 3 3 = −0,454 454 , Nudo 4: = 0: 4 = − 1 + 3 = −7,82 , 1 = :4 : 4 = 1 = 1 1 − ℎ 4 = +14,21 21 , 6: 4 = +14,21 , Nudo 5: = 0:5 0: 5 = 7 � 5 5 5 − 3 3 3 � 4 4 4 = 0, 5 0,447 − 5 5 00,640 ,640 = −5,46, 5�� 5 ���� 7 7 + 5 5 5 5 − 3 3�� ���� 3 3−− 4 4 ��� ��� 4 = 0,0, 5 0,8943+ 5 0,768 = −8,75; Nudo 1:
La solución del sistema de ecuaciones da:
5 = −10,7 , 5 = +1,06 ; Nudo 8: = 0:7 0: 7 = − −5 + 8 8 5 = −3,18 18 , Control en el nudo 7 (apoyo B)
= 0 7 + 5 + 7 7 7 + + = 0, −3,18− 10,7+16,76 0,447 447 + 15,46 46 = 0, −3,18− 12,28+15,46 = 0, = 0: 7 7++ 5 5 7 7 + ℎ = 0, −0,06 .0,8943 + 5,46 = 0, −5,43 −5,43 + 5,46� 5,46� 0,
d. Variación de longitud de las barras y diagrama de desplazamientos. Lo primero se calcula mediante luego el diagrama de desplazamientos.
∆ = . Con estos valores se dibuja
Barra 02 04 06 08 010 U1 U3 U5 U7 U9 V1 V3 V5 V7 V9 V11 D1 D4 D5 D8 D9
F
39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16
2
s
6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,08 6,72 6,72 6,08 4,00 4,00 5,00 8,00 5,00 4,00 7,22 7,82 7,82 7,82 7,82
S
0 +14,21 +14,21 +12,00 +12,00 -2,74 -2,78 -10,70 -16,76 0 0 -0,454 0 -3,18 0 0 +9,86 -7,82 +1,06 +3,91 -15,62
∆10
S’
+10,42 +10,42 +8,80 +8,80 -2,01 -2,07 -8,78 -13,76 -0,54 -7,57 +21,20 -18,20 +2,47 +9,11 -36,39
0 +1,421 +1,421 +1,200 +1,200 -0,274 -0,278 -1,070 -1,1,676 0 0 -0,0454 0 -0,318 0 0 +0,986 -0,782 +0,106 +0,391 -1,562
10
+14,81 +14,81 +10,57 +10,57 + 0,55 + 0,58 + 9,40 +23,03 + 0,02 + 2,41 + 20,90 +14,23 + 0,26 + 3,56 +56,88
+182,58
e) Líneas de curvatura. El punto 1’’ está sobre la paralela a la dirección de desplazamiento de apoyo A (nudo I) trazada por el punto 1’ y sobre la perpendicular a la línea de unión de los dos apoyos. Ya que el nudo 7 es indesplazable (apoyo fijo B), coinciden 7’ y 7’’. Mediante los dos puntos 7’’ y I’ queda fijada semejante estructura. Para determinar determinar las líneas de curvatura de los dos cordones se proyectan los puntos 1’ 12’ del diagrama de desplazamientos correspondientes a cada uno de los nudos del cordón y los puntos 1’ a 12’ sobre las verticales que pasan por los puntos correspondientes del dibujo del sistema. Entonces los puntos de corte resultantes se unen entre sí en el orden fijado por la construcción de la estructura. La línea de unión de las perpendiculares trazadas hacia los puntos 1’’, 3’’ hasta 11’’ o bien 2’’, 4’’ hasta 12’’ es una recta que se designa como línea de cierre. Pero ya que una recta está determinada por dos puntos, es suficiente la proyección de sólo dos puntos. Las distancias distancias verticales de los puntos 1’, 3’’ hasta 11’ o bien 2’ 4’ hasta 12’ a esta línea de cierre dan las ordenadas de la línea de curvatura.
Como control pueden calcularse las flechas de un nudo cualquiera mediante el principio del trabajo. Para ello ha de disponerse la carga P’ = 1 en el nudo correspondiente; los correspondientes esfuerzos de las barras S’ han de superponerse entonces a los esfuerzos debidos a la carga dada según.
= ′ La exactitud del desplazamiento obtenido puede deducirse por comparación con el resultado analítico se obtuvo.
12 = 183.10 = 1,83 (gráficamente), 12 = 182,58.10 182,58.10 = 1,826 (analíticamente). -4
-4
EJERCICIO Se busca para el pórtico de celosía de tres articulaciones el diagrama de Williot y la línea de curvatura del cordón superior. La sección de las barras diagonales, es F1 = 12 cm 2, para todas las otras barras F2 = 22 cm 2, el módulo de elasticidad E = 2,1 . 10 7 t/m2.
A) Reacciones: Av 15.00 – Ah 15,50 = 37,5. Bv 11,25 – Bh 7,75 = 0, Ah = Bh, Av + Bv = 10,0. De estas ecuaciones se obtiene: Av = + 7,00 t; Bv = + 3,00 t; Ah = Bh + 4,35 t B) Esfuerzos en las barras. barras. b) Esfuerzos en las barras: � ����
Tg v Sen v Cos v
α�β
ϕ�� ϕ�� ϕ�
ϕ �� ϕ�� ϕ�� ϕ��
0,333 0,3159 0,9487
0,734 0,5917 0,8060
1,400 0,8138 0,5812
ϕ�
2,065 0,900 0,4357
Nudo 1:
= −9,98 , = 0: 1 = = 0: 1 = −ℎ − 1 = +1,99 +1,99 ,
Nudo 2: U2 = 0, V2 = V1 = +1,99 t Los esfuerzos en las barras del cord{on superior e inferior se han calculado según las expresiones:
= - 0,264 Mn. , = + 0,264 Mn + 1 ,
On – 1 = -
=
Barra
Nudo n
O3 U4 O5 07 U8 09
4 5 6 8 9 10
Mn
O
-7,50 -4,00 + 34,10 +11,63 +11,57 -0
+1,98 -8,99 -3,06 0
U
-1,06 -3,05 -
Para calcular los esfuerzos de las barras diagonales se llevan a cabo secciones verticales que pasan por la diagonal considerad y por una barra del cord{on superior e inferios. La formulación de la condición de equilibrio para todas las fuerzas que actúan en la parte izquierda de la estructura seccionada no da la relación.
= 0
Sss
+ + + =
Los diferentes signos tienen en cuenta la diferente inclinaci{on de los cordones y diagonales y han de elegirse convenientemente. El calculo numerico se reliaza en la siguiente tabla. Barra
0 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Sen
1 0,8138 0,5917 0,8138 0,8138 0,5917 0,8138
1
2 1,23 1,69 1,23 1,23 1,69 1,23
Q
3 +7,00 +7,00 -3,00 -3,00 -3,00 -3,00
(O+ U)
4 +0,92 -10,05 -8,99 -3,06 -6,11 -3,05
(O + U) sen
5 +0,29 -3,18 -2,84 -0,97 -1,93 -0,96
� 3 + 5 6 +7,29 +3.82 5,84 +2,03 +1,07 +2,04
D=
� 6 2
7 -8,97 +6,47 +7,18 -2,50 +1,82 -2,50
a diferencia de ello el esfuerzo en la barra D3 se obtiene mediante:
3 = + 13 + 03 + 1
Resultado: C) Variación de longitud de las barras: Las variaciones de longitud de las barras debidas a los esfuerzos hallados se calculan:
∆
Ya que los sistemas estáticamente indeterminados se realizan allí el cálculo de los esfuerzos son en las barras. Y los resultados en el cálculo de las variaciones de longitud de las barras están en la siguiente tabla:
Barra
s
Factor
10,00 10,00 10,00 5,00 10,00 6,40 6,40 10,00 4,00 8,00 6,40 6,40 6,40 6,40 6,40 6,40 6,40
01 03 05 U1 U2 U4 U5 U6 V1 V5 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
F
10-1 28,2 28,2 28,2 28,2 28,2 28,2 28,2 28,2 14,1 28,2 14,1 14,1 14,1 14,1 14,1 14,1 14,1
EF
104 5,922 5,922 5,922 5,922 5,922 5,922 5,922 5,922 2,961 5,922 2,961 2,961 2,961 2,961 2,961 2,961 2,961
10-4 1,6886 1,6886 1,6886 0,8443 1,6886 1,0807 1,0807 1,6886 1,3509 1,3509 2,1614 2,1614 2,1614 2,1614 2,1614 2,1614 2,1614
S
∆
-6,49 -0,73 +3,53 -2,08 +10,90 -8,71 -8,71 +2,42 -5,19 -5,32 +8,31 -8,31 -15,69 +6,98 +1,53 -10,25 -5,75
10-4 -10,96 -1,23 +5,96 -1,76 +18,41 -9,41 -9,41 +4,09 -7,01 -7,19 +17,96 -17,96 -33,91 +15,09 +3,31 -22,15 -12,43
S’
-0,625 -0,625 +1,250 -0,500 -0,500 +0,800 -0,800 -0,800 +0,800 -
10-4 +6,6849 +0,770 +23,007 + 3,506 +3,593 +14,369 +14,369 +27,130 +12,069 -
′
+105,662
Con las variaciones de longitud
∆ =
debidas a los esfuerzos en las
barras S en el sistema estáticamente indeterminado se dibuja el diagrama de Williot como punto de referencia se ha elegido el nudo 4 y sed ha supuesto como invariable la dirección de la barra D3. Por la configuración de apoyo el punto A no puede desplazarse, por tanto A’’ ha de coincidir con A’. El apoyo B sólo se desplaza horizontalmente y normalmente al radio polar AB. Por lo tanto el punto B’’ ha de estar en el punto de corte de la horizontal horizontal por B’ con la perpendicular a AB por A’. de A’’ y B’’ pueden determinarse todos los otros puntos. Por otra parte C’’ ha de estar sobre una paralela al sentido de desplazamiento del apoyo C trazada por C’ y sobre la perpendicular a la línea de unión BC que pasa por B’’ en donde puede observarse un un control gráfico. La línea de curvatura del cordón superior se determina del modo ya aclarado. Para controlar la flecha vertical del nudo 3 considera el teorema de reducción. Se hace actuar la carga virtual P’ = 1 en el sistema base. Se deducen entonces las siguientes reacciones y esfuerzos en las barras:
A’v = Bv’ = 0,500. V’1 = - A’v = - 0,500. D’1 = - V’1/sen α = + 0,800. O’ = v’1/tg α = – 0,625. D’2 = - D’1 = - 0,800. U’2 = 2 . 0,800 cos α = + 1,250, U’1 = 0 U’4 = 0 D’3= -0,800. D’4 = + 0,800 V’5 = - 0,500. O’3 = - 0,625. Con estos esfuerzos en las barras S’ se calculó el desplazamiento tabla y según ello vale:
3 = = +105,662 . 10 3 ′
-4
m.
En cambio gráficamente se obtiene el valor:
3 = +106.10
-4
m. Con ello la coincidencia conseguida puede considerarse como satisfactoria.
CONCLUSIÓN La actividad del diseño estructural que realiza el ingeniero civil, requiere un gran conocimiento de las cargas, los materiales y las formas estructurales y no solo de los modelos matemáticos usados para obtener las fuerzas internas: momento flector (M), cortante (V), fuerza axial (N), y momento torsor (T). Los estudiantes ya están acostumbrados a esos procedimientos matemáticos y es necesario que entiendan que una viga es un cuerpo real y no una ecuación diferencial o una matriz. Por tal razón se presenta aquí una referencia, para ir introduciendo al estudiante de ingeniería civil en el proceso de diseño el cual debe evaluar las cargas o solicitaciones a las que estará sometida la estructura durante su vida útil. Además, de debe hacer un esfuerzo por tenerlas todas en cuenta sin olvidar aquellas que aunque pequeñas puedan poner en peligro la resistencia o estabilidad de la estructura por ello es importante análisis este tema para tener presente el desplazamiento satisfactorio de las cargas y el peso que conlleva cada una.