DESARROLLO Y USO DIDÁCTICO DE GEOGEBRA

DESARROLLO Y USO DIDÁCTICO DE GEOGEBRA CONFERENCIA LATINOAMERICANA COLOMBIA 2012 Y XVII ENCUENTRO DEPARTAMENTAL DE MATEMÁTICAS

Memorias FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ JORGE CARDEÑO ESPINOSA Compiladores

Celebrado en Medellín el 2, 3 y 4 de agosto de 2012

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra. Conferencia Latinoamericana Colombia 2012. XVII Encuentro Departamental de Matemáticas / compiladores Francisco Javier Córdoba Gómez, Jorge Cardeño Espinosa. -- Medellín: Fondo Editorial ITM, 2013. 477 p. : il ISBN 978-958-8743-30-1 1. Matemáticas - Aplicaciones 2. Geogebra (Programa para computador) 3. Enseñanza con ayuda de computadores I. Córdoba Gómez, Francisco Javier, comp. II. Cardeño Espinosa, Jorge, comp. III. Encuentro Departamental de Matemáticas (17. : 2012 : Medellín). 510.285 SCDD Ed.21 Catalogación en la publicación - Biblioteca ITM Desarrollo y uso didáctico de GeoGebra Conferencia Latinoamericana Colombiana y XVII departamental de Matemáticas Medellín, 2, 3 y 4 de agosto de 2012 © FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ - Compilador © JORGE CARDEÑO ESPINOSA - Compilador © Instituto Tecnológico Metropolitano Red de Investigación Elime-Gnomon Edición: febrero 2013 ISBN: 978 -958-8743-30-1 Hechos todos los depósitos legales Publicación electrónica para consulta gratuita Rectora LUZ MARIELA SORZA ZAPATA Editora SILVIA INÉS JIMÉNEZ GÓMEZ Secretaria técnica VIVIANA DÍAZ DÍAZ Corrección de textos LILA MARÍA CORTÉS FONNEGRA Diagramación ALFONSO TÓBON BOTERO CARLOS ALBERTO ROJAS HINCAPIÉ Editado en Medellín, Colombia Fondo Editorial ITM Instituto Tecnológico Metropolitano Calle 73 No. 76A 354 Tel.: (574) 440 5197 • Fax: 440 5289 www.itm.edu.co Medellín – Colombia

Las opiniones, originales y citaciones del texto son de la responsabilidad de los autores. El Instituto salva cualquier obligación derivada del libro que se publica. Por lo tanto, ella recaerá única y exclusivamente sobre los autores. Se concede permiso para copiar, distribuir o modificar este documento bajo los términos de la Licencia de Documentación Libre de gnu, versión 1.3, o cualquier otra versión posterior publicada por la Free Software Foundation.

COMITÉ ACADÉMICO Y CIENTÌFICO David Benítez Mojica, México Mariano Real Pérez, España Esperanza Valdés y Medina, México Leilani Medina, México Juan Pablo Serrano, Costa Rica Fabián Vitabar, Uruguay Juan Guillermo Rivera, Colombia Hernán Ortiz, Colombia Elkin Castrillón, Colombia Juan Guillermo Arango, Colombia Carlos Mario Restrepo, Colombia Héctor Herrera, Colombia Sergio Alarcón, Colombia María Cristina González, Colombia Sara María Yepes, Colombia Carlos Alberto Rojas, Colombia Jhon Jairo García, Colombia Jhony Alexander Villa, Colombia Francisco Javier Córdoba Gómez, Colombia Jorge Alberto Bedoya, Colombia Jorge Cardeño, Colombia José Alberto Rúa Vásquez, Colombia

COMITÉ COORDINADOR INTERINSTITUCIONAL Instituto Tecnológico Metropolitano Instituto GeoGebra de Medelín Universidad de Medellín CEID-ADIDA Francisco Javier Córdoba Gómez Coordinador Principal

Jorge Cardeño Espinosa Coordinador Principal

AUTORES Alexander Parra • Carlos Alberto Rojas H.• Carlos E. León Salinas • Carlos Enrique Villa Arango • Carlos Mario Restrepo Restrepo • David Benítez Mojica • Davidson Paulo A. O. • Diana L. Londoño Londoño • Diana Y. Gaviria Rodríguez • Diego I. Villa Chica • Edwin A. Carranza Vargas • Edwin A. Gómez Lindo • Elkin A. Castrillón Jiménez • Esperanza Georgina Valdés y Medina • Fabián G. Vitabar Vaz • Farley S. Rojas Restrepo • Fernando Angulo Díaz • Ferney Tavera Acevedo • Francisco Javier Córdoba Gómez • Héctor Herrera Mejía • Héctor M. Ruíz Vahos • Hernán D. Ortiz Alzate • Hernando Álvarez Romero • Ismael Guillermo Lasprilla Ramírez • Jhony Alexander Villa Ochoa • John Jairo García Mora • Jorge A. Bedoya Beltrán • José Javier Mogollón Carvajal • Juan G. Arango Arango • Juan Guillermo Rivera Berrío • Juan Pablo Serrano Echeverría • Juracélio Ferreira Lópes • Leilani Medina Valdés • Leonel Manrique Vergara • María Cristina González Mazuelo • Mariano Real Pérez • Maurício de Moraes Fontes • Natalia F. Sgreccia • Norberto Silva Cañas • Pablo Felipe Ardila Rojo • Piedad E. Ávila Mejía, RonyC.O.Freitas • Sara M. Yepes Zuluaga • Sergio Alarcón Vasco • Tulio R. Amaya De Armas • Víctor M. Uribe Villegas

TABLA DE CONTENIDO ponencias

1 Uso del GeoGebra como herramienta metodológica para los procesos de mediación y aprendizaje de la Matemática ..................................................................................................13 2 GeoGebra y la Web 2.0. fuente de recursos para el aula........................25 3 Sobre los números primos y su tendencia: algunas aproximaciones usando GeoGebra...........................................................40 4 Visualización de objetos matemáticos en Trigonometría con el uso del software GeoGebra............................................................65 5

Geometría de los mecanismos, experiencia de investigación para potencializar el pensamiento geométrico en estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Técnica Nacionalizada de Samacá............................................................65

6 Cirugía de paladar hendido y labio leporino..........................................79 7 Resoluções geométricas de equações do 2º grau em um ambiente dinâmico........................................................................87 8 Las representaciones gestálticas en el entorno GeoGebra.....................96 9 Propuestas de actividades para reconocer la independencia de las nociones de área y perímetro de Figuras planas......................................................................................110 10 O uso da geometria dinâmica em materiais didáticos online para formação a distância de professores de Matemática.................................................................................................120 11 GeoGebra como vehículo para la formación y actualización de docentes de enseñanza media............................................................135

12 Orquestación instrumental de un ambiente informático de aprendizaje: la noción de función .....................................................143 13 Ejemplos de secuencias didácticas con pizarra interactiva.................151 14 Uso de GeoGebra para la determinacion de los puntos notables respecto de un triángulo, a partir del conocimiento de la longitud de sus lados......................................................................164 15 Aplicaciones de máximos y mínimos en GeoGebra.............................177 16 Una metodología para la construcción y justificación de conjeturas a través del uso de GeoGebra.........................................194 17 Modelación Matemática del tiro parabólico a través del uso de GeoGebra, una experiencia humana...................................214 18 El uso de GeoGebra en la solución de algunos problemas de modelación en Matemática escolar...................................................223 19 Contextualización de las nociones de familias de curvas y la constante de integración C con GeoGebra ....................................237 20 Guía didáctica para transformaciones de funciones con GeoGebra para el aula de clase...............................................................248 21 GeoGebra ideal para prescindir totalmente del esfuerzo rutinario dedicado a desarrollar tareas mecánicas de trazado y parcialmente las tareas de cálculo geométrico....................260 22 Análisis de funciones trigonométricas, dinamizado en GeoGebra....275 23 Pensamiento variacional: el estudio de las relaciones trigonométricas en contextos ..................................................................281 24 GeoGebra en el resurgimiento de los objetos de aprendizaje.............294 25 El GeoGebra y las Matemáticas financieras .........................................304

cursillos

1 2

Construcción de recursos pedagógicos en formato html (páginas Web) con programas de geometría dinámica .............314 Taller sobre construccion de páginas Web con GeoGebra y HTML5....................................................................................................326

3 Construcción de la pizarra interactiva con objetos de aprendizaje en GeoGebra.........................................................................331 4 Diseño de objetos virtuales de aprendizaje (ova) con el apoyo de GeoGebra para el análisis de funciones racionales.............344 5 Las transformaciones isométricas con el software GeoGebra............352 6 Diseño de actvidades de aula que promueven el trabajo colaborativo con GeoGebra.....................................................................361 7 Construcciones geométricas básicas con GeoGebra.............................371 8 GeoGebra no demuestra pero su uso didáctico si ayuda: ejemplos de modelos de cálculo y geometría........................................386 9 Cônicas: construção a partir da definição e propriedades da reta tangente.........................................................................................400 10 Elaboración de objetos de aprendizaje virtuales con la nueva versión de GeoGebra....................................................................414 11 Modelado básico en programación lineal. Una solución gráfica empleando una nueva herramienta de GeoGebra 4: las desigualdades...............................................................424 12 Uso de secuencias para promover la generalización en el aula de Matemáticas........................................................................431

13 Resolución de problemas de construcción geométrica en GeoGebra empleando lugares geométricos.....................................435 14 Uso de GeoGebra como herramienta didáctica dentro del aula de Matemáticas...........................................................................446 15 Visualización del concepto de recta tangente a una curva con ayuda de GeoGebra................................................................455 16 Exposición: la calculadora y su rol en el desarrollo de los cálculos.................................................................................................461

Presentación La innovación en la creación de ambientes de aprendizaje dinámicos e interactivos en los cuales la integración didáctica de herramientas tecnológicas y de software matemático, en este caso GeoGebra, sean una prioridad, se ha convertido en la última década en materia de investigaciones y estudios por parte de docentes de todos los niveles educativos, investigadores, desarrolladores de software y público en general en el mundo entero. Este evento tuvo como propósito principal dar a conocer los avances, innovaciones y experiencias, tanto en el desarrollo como en el uso didáctico de GeoGebra no solo en el aula de Matemáticas sino también en otras áreas y en diferentes niveles educativos que docentes, investigadores y expertos han estado desarrollando en Colombia y en diferentes países del mundo. Se trató entonces de afianzar y consolidar la comunidad de GeoGebra en el ámbito regional y mundial, de tal forma que las experiencias y resultados de investigaciones y estudios pudieran ser compartidos y discutidos y que al mismo tiempo se generaran redes y comunidades de aprendizaje alrededor de GeoGebra. El Instituto GeoGebra de Medellín (IGM), junto con otras instituciones y organizaciones, mediante la realización de este evento quiso crear un contexto que facilitara y promoviera este tipo de intercambios y discusiones. Por lo anterior, este evento se convirtió en un espacio académico y científico para la discusión y presentación de experiencias didácticas y de investigación en el uso y aplicación de nuevas herramientas y recursos en los diferentes niveles educativos. Se espera que los esfuerzos y acciones en esta materia, tengan como objetivo principal promover más y mejores aprendizajes por parte de los estudiantes en todos los niveles educativos, tanto

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en Matemáticas como en ciencias en general y al mismo tiempo permitir la formación y cualificación docente como una componente fundamental de la calidad educativa.

Ponencias

1.

USO DEL GEOGEBRA COMO HERRAMIENTA METODOLÓGICA PARA LOS PROCESOS DE MEDIACIÓN Y APRENDIZAJE DE LA Matemática

Resumen

Juan Pablo Serrano Echeverría Departamento de Gestión y Producción de Recursos Tecnológicos Dirección de Recursos Tecnológicos Ministerio de Educación Pública de Costa Rica [email protected]

La incorporación de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en el ámbito educativo conlleva una reflexión adecuada de cómo utilizarlas como herramienta metodológica y no como un fin en sí mismas. Para ejemplificar este uso en el área de la Matemática, se muestran algunas aplicaciones desarrolladas con el GeoGebra, en las que se potencian procesos tales como la construcción de algoritmos, la visualización, la elaboración de simulaciones, así como el establecimiento de conjeturas y la evaluación dinámica de contenidos.

Palabras clave: GeoGebra, enseñanza y aprendizaje, simulación y visualización, construcción del conocimiento, evaluación

Abstract The incorporation of information technologies and communication (ITC) in the educational field leads an accurate reflection of how to use them as a methodological instrument and not an end in themselves. To illustrate this use in the area of mathematics, there are a few applications developed with GeoGebra, which are enhanced processes such as the construction of algorithms, visualization,

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Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

simulation development, such as the deduction of concepts and dynamic evaluation of content.

Keywords: GeoGebra, teaching and learning, simulations and visualizations, knowledge construction, assessment

Introducción El uso de las tecnologías de información y comunicación (TIC) en los ambientes educativos es cada día más frecuente y necesario. Sin embargo, no debe realizarse de manera forzada y sin analizar previamente sus fortalezas como herramienta para lograr aprendizajes significativos. Segura (2008) al reflexionar sobre las TIC en la educación, sostiene que La verdadera maestría en el uso se adquiere al aplicarlas como herramienta de búsqueda de información, de análisis, de procesamiento, de diseño, de organización, de comunicación, de simulación de procesos… en definitiva, como herramienta de trabajo en la construcción de conocimiento a lo largo de todas las etapas educativas y en todas las áreas del currículo. (p.12)

Debe tenerse en cuenta que las TIC son instrumentos, y como tales, dependen del uso que les otorgue el docente, como por ejemplo, proyectar presentaciones o corregir ejercicios realizados. Estas prácticas limitan el potencial pedagógico que poseen las TIC o que pueden llegar a tener, el cual consiste en servir como herramientas que, junto a una adecuada mediación pedagógica, ayuden a incrementar el nivel cognitivo del estudiante. De acuerdo con Preiner (2008) la tecnología en los procesos de mediación y aprendizaje de la Matemática se puede integrar de dos formas: como manipulativos virtuales y como softwares matemáticos. Los manipulativos virtuales son ambientes de aprendizaje interactivos que generalmente están diseñados para 14


entornos de red. Por otro lado, los softwares matemáticos consisten en un compendio de elementos que permiten plantear diferentes experiencias de aprendizaje. Un software que posee todo el potencial para lograr este fin, es el GeoGebra (www.GeoGebra.org), creado por Markus Hohenwarter en el 2002, pues permite elaborar aplicaciones que ayuden al estudiante a generar su propio conocimiento. Por ser libre y gratuito, GeoGebra ha tenido un desarrollo muy particular. Actualmente existe un grupo de desarrolladores enfocados a agregarle nuevas funciones y también se ha convertido en una comunidad de colaboradores que comparten al mundo sus materiales y conocimiento. Una particularidad presente en el GeoGebra, es ser un software matemático con un sinnúmero de herramientas, y que a la vez, puede generar manipulativos virtuales que no necesitan tener el software instalado para poder utilizarlos. A continuación se ejemplifican algunos manipulativos virtuales que pretenden, junto a una adecuada mediación docente, propiciar entornos de aprendizaje en diferentes situaciones y fines.

Desarrollo El uso de las TIC en la educación no es un fin en sí mismo, ni tampoco la solución de los problemas educativos. Sobre esto, Coll (2006) expresa que: “no es la incorporación ni el uso per se de las TIC -ordenadores, periféricos o internet-, sino determinados usos de estas tecnologías, los que generan dinámicas de innovación, información y mejora de la enseñanza y el aprendizaje.”(p.167) La tecnología no debe ser utilizada solo por el afán de usarla. Su uso debe enfocarse a buscar la manera en que se convierta en un apoyo para que la experiencia de aprendizaje sea enriquecedora.

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Esto por esto que se presentan a continuación algunas aplicaciones diseñadas en GeoGebra que tienen como fin incrementar el nivel cognitivo de los estudiantes.

Establecimiento de Conjeturas Se presenta a continuación una propuesta para la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo, tal como se aprecia en la Figura 1. Figura 1: Applet para el tema de suma de las medidas de ángulos internos de un triángulo

Fuente: Elaboración del autor

En esta aplicación, el estudiante puede cambiar las medidas de los lados del triángulo. Esto permite conjeturar, a través de preguntas generadoras planteadas por el docente, el resultado de sumar las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo. La primera pregunta generadora que se podría hacer es: ¿cuál es la relación existente entre las medidas de los ángulos internos de un triángulo? Es recomendable sugerir una primera exploración individual, para 16


luego realizar grupos de 2 o 3 personas para discutir los resultados obtenidos. Posteriormente el docente lidera una discusión plenaria para unificar conceptos. Es importante señalar que una de las riquezas de esta propuesta es que el estudiante traslada los ángulos internos del triángulo para hallar la relación geométrica de estos y luego realizar la suma de sus medidas.

Construcción de un algoritmo Una aplicación puede proveer las herramientas necesarias para poder construir, a través de preguntas generadoras, un conjunto de instrucciones que conlleven a realizar una operación determinada. Uno de los temas en Matemática, que ofrece la oportunidad al estudiante de hacerlo, es el de multiplicación de fracciones propias, como lo muestra la Figura 2. Figura 2: Manipulador para la multiplicación de fracciones propias


La aplicación presenta un cuadrado y unos objetos llamados deslizadores, los cuales otorgan valores a unas variables, con el fin de representar, en primera instancia, una fracción propia de la forma:

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Posteriormente se solicita la interpretación de la representación gráfica de una operación, como por ejemplo 1/5 * 2/3. Después, se recomienda solicitar la realización de otras operaciones tales como y que experimenten de forma individual. Finalmente, hacer grupos de 2 o 3 personas para que discutan sus apreciaciones. Al igual que la propuesta anterior, el papel del docente es de observador activo. Su función es detectar dudas y proporcionar pequeñas “pistas” a aquellos que lo necesiten, pero sin resolverles el ejercicio. Luego debe promoverse la manipulación de las fracciones para realizar la multiplicación de al menos 5 casos diferentes. Se concluiría la lección con una mesa redonda para unificar criterios. Este manipulador ha sido utilizado en Brasil y en Costa Rica. Los docentes han comentado que la experiencia ha sido positiva, pues los estudiantes han logrado comprender el concepto y luego establecer el algoritmo de la multiplicación de fracciones propias, y posteriormente generalizarlo a tanto propias como impropias.

Visualización de Figuras Este uso del GeoGebra es uno de los más utilizados en los procesos de mediación y aprendizaje de la Matemática, ya que el software permite construir figuras o gráficos cuya manipulación dinámica permita trabajar y entender mejor los conceptos matemáticos asociados. La Figura 3 muestra una pirámide, la cual se puede rotar así como cambiar el tamaño y el número de lados de la base. Este manipulador permite disponer de la figura para visualizar claramente sus elementos y así poder resolver problemas que se refieran a esta. Los deslizadores presentes son la principal fortaleza, pues controlan de una manera simple y sencilla los elementos seleccionados de la

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Figura. GeoGebra permite activar para cada uno una animación automática, tanto de forma ascendente como descendente. Figura 3: Pirámide regular


Si el tema en estudio es la figura en sí misma, se recomienda que el estudiante realice una exploración elemento por elemento, anotando las características que permanezcan invariantes de un caso a otro. Luego el docente podrá fomentar la discusión en una plenaria.

Simulaciones La simulación de experimentos o situaciones en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática es importante para contrastar los resultados obtenidos con los esperados. En este aspecto, la estadística es un tema que puede aprovechar este uso de la tecnología. Al respecto Ramírez (2012) afirma que: Es necesario plantear actividades que estimulen la experimentación, el desarrollo de conjeturas y la búsqueda de explicaciones en un ambiente donde, en la medida de lo posible, se promueva el uso de la tecnología en procesos

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de representación, exploración y análisis de la información que resulta ser un componente importante en el desarrollo del pensamiento estadístico (p.3).

Un ejemplo interesante es la simulación de un problema que enuncia lo siguiente: Se tiene una caja con 6 bolas de diferentes colores, a saber: rojo, azul, anaranjado, verde, gris y morado. Si se toma una bola al azar y se vuelve a poner en la caja. ¿Cuál es será probabilidad que en una extracción determinada se obtenga una bola de color azul? Como se puede apreciar en la Figura 4, la aplicación elaborada por Daniel Mentrard simula 1000 extracciones sin reemplazo, y representa en tiempo real, un gráfico con la distribución de frecuencias. Esto permite realizar una comparación entre la frecuencia teórica esperada con la obtenida experimentalmente. Figura 4: Simulación de un experimento estadístico


Evaluación dinámica de conceptos Con el GeoGebra, actualmente es posible la generación automatizada de ítems isomorfos. Esto se puede lograr con la utilización de listas cuyos elementos son valores aleatorios. Una gran ventaja es que a 20


la par se muestra la representación gráfica de la situación, lo cual también integra uno de los procesos mencionados anteriormente: la visualización. Cabe señalar que el estudiante tiene la posibilidad de volver a realizar el ejercicio, pero con valores diferentes. Figura 5: Ejemplo de un ítem de selección única realizado con GeoGebra


Cuadernos dinámicos de trabajo GeoGebra dispone de un comando llamado “Exporta-Hoja dinámica como página Web” que genera aplicaciones encapsuladas para ser vistas en entornos Web, utilizando un explorador de red para visualizarlas. Esto permite elaborar guías dinámicas de trabajo. No obstante, si se desea realizar un cuaderno de actividades interactivo, la situación se vuelve un poco más problemática, pues habría que crear un formulario Web y contar con un servidor donde se puedan guardar los cambios realizados. Existen herramientas ofimáticas que permiten la inclusión de exploradores Web, y así lograr la elaboración de guías, en un procesador de texto, que admitan tanto la introducción de texto

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de forma directa, como la inclusión directa de la aplicación de GeoGebra, transformándolas en cuadernos dinámicos de trabajo. La Figura 6 muestra una aplicación insertada en un documento de Microsoft Word. Figura 6: Ejemplo de cuaderno dinámico en Microsoft Word


El ejemplo permite la manipulación del applet y la inclusión de texto, por lo que el estudiante tendrá al final un documento completo, con sus observaciones y la aplicación encapsulada para poder manipularla en el momento en que considere conveniente.

Conclusiones El GeoGebra es un software muy valioso que permite realizar diferentes manipuladores virtuales con intencionalidades pedagógicas distintas. Lo más importante es recalcar la labor del docente. Este debe fomentar la libre exploración, el intercambio y

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la discusión de ideas, mas no debe dejar de propiciar un espacio que permita la unificación de criterios y la definición del concepto estudiado. El uso del GeoGebra como herramienta para establecer conjeturas, es una propuesta que puede utilizarse junto con otros procesos descritos en este documento. Por ejemplo, se puede establecer una conjetura, luego analizar la simulación de alguna situación, para finalizar con una práctica que evalúe los conocimientos adquiridos. En particular, el cuaderno dinámico de trabajo es una propuesta tanto relevante en su práctica como promisoria en la utilización de la herramienta, pues permite tener en un solo archivo el trabajo propuesto, el realizado y las observaciones correspondientes a modo de realimentación. La inclusión del GeoGebra como herramienta metodológica para los procesos de mediación y aprendizaje de la Matemática, es muy importante pues permite que el estudiante razone, cuestione y vaya más allá de la recepción de un concepto, sino que tiene la oportunidad de vivir una experiencia de aprendizaje más enriquecedora, cognitivamente hablando.

Referencias bibliográficas [1] Coll, C. (2008). TIC y prácticas educativas: realidades y expectativas. En Fundación Santillana Primera (Ed.). Las Tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la educación: Retos y posibilidades pp. 163-176. Madrid: Editorial Santillana.

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[2] Preiner, J. (2008). Introducing Dynamic Mathematics Software to Mathematics Teachers: the Case of GeoGebra. Tesis doctoral. University of Salzburg, Faculty of Natural Sciences. Austria. [3] Ramírez, G. (2012). Un taller de simulaciones: Fathom, GeoGebra y Excel para resolver problemas controversiales de probabilidad. Revista digital Matemática, Educación e Internet, 12(2), 1-43. Recuperado el 20 de julio de 2012 de http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/revistamatematica/. [4] Segura, M. (2008). Las TIC en la educación: panorama internacional y situación española. En Fundación Santillana Primera (Ed.). Las Tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la educación: Retos y posibilidades pp. 11-49. Madrid: Editorial Santillana.

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2. GEOGEBRA Y LA Web 2.0. FUENTE DE RECURSOS PARA EL AULA Mariano Real Pérez Centro del Profesorado de Sevilla Consejería de Educación de la Junta de Andalucía (España) [email protected]

Resumen GeoGebra nos ofrece, además de su potencial para el aula de Matemáticas y su facilidad de uso, la posibilidad de integrarla en herramientas del conjunto Web 2.0, facilitando con esta característica que el alumnado no tenga que disponer de ningún tipo de software adicional para su utilización. En esta comunicación vamos a presentar un proyecto en el que ese potencial de GeoGebra se aprovecha para ofrecer un recurso conjunto para el profesorado y el alumnado, haciendo un especial hincapié en los contenidos de Geometría. Además de integrar construcciones con GeoGebra, se ofrece gran cantidad de recursos, tanto para los que se inician en esta herramienta como para los que desean seguir profundizando en la misma. Los múltiples enlaces y el espacio de que dispone en las redes sociales facilita a docentes, alumnos y alumnas poder realizar un seguimiento de esta herramienta.

Palabras

clave:

GeoGebra, Web 2.0, Educación secundaria,

investigación

Abstract GeoGebra offers us, besides its potential for math classes and its simplicity of use, the possibility of integration in the group of tools from Web 2.0. This characteristic enables students to use it without

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any additional software. We are going to present a project in this presentation for the use of GeoGebra as a resort for both teacher and studentpropone el diseño e implementación de un sistema robot.

Keywords: GeoGebra, Web 2.0, secondary education, research Contexto El trabajo que se presenta es un blog con gran cantidad de applets de GeoGebra que han sido insertadas en el mismo para que sean utilizadas por el alumnado de Enseñanza Secundaria: 12 a 18 años. El contexto de la experiencia es por tanto la Enseñanza Secundaria. El blog que presentamos cuya dirección es http://geogebreando. blogspot.com supone un paso adelante en la importancia que debemos otorgarle a los contenidos de Geometría y a las soluciones que la geometría nos propone para determinados problemas. Los contenidos geométricos pasan a ocupar el papel que les corresponde en el currículum de Matemáticas a partir de una serie de escenas especialmente diseñadas para enganchar al alumnado y aportarles soluciones geométricas a problemas, que planteados de una forma numérica, tendrían una complicada solución fuera del alcance de los contenidos numéricos que se deben tratar en estos niveles. Así, la clasificación por niveles que se ha utilizado ha sido la española: 1º ESO (alumnado de 12 a 13 años), 2º ESO (alumnado de 13 a 14 años), 3º ESO (alumnado de 14 a 15 años), 4º ESO (alumnado de 15 a 16 años), 1º Bachillerato (alumnado de 16 a 17 años) y 2º Bachillerato (alumnado de 17 a 18 años). El gusto por la geometría y por las soluciones que el campo geométrico nos propone para determinados problemas no han sido adquiridas por el alumnado debido a que a lo largo de los diferentes cursos se ha pasado “de puntillas” por estos contenidos. Una visión espacial amplía el campo de observación y de planteamiento de soluciones

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a determinados problemas que el alumnado puede encontrarse en su quehacer diario. La reducción de la geometría al conocimiento de determinados polígonos o poliedros y al teorema de Pitágoras se ha visto generalizada en la mayoría de los niveles educativos restándole la importancia que los contenidos geométricos tienen. El alumnado aprende a mirar a utilizar y a deducir propiedades gráficas que planteamientos algebraicos no pueden vislumbrar, solamente pueden ratificar. La importancia del presente blog radica no solamente en poner encima de la mesa esos contenidos sino además en hacerlos interactivos de cara a que el alumnado se formule nuevas preguntas y se plantee nuevos retos, como así ha ocurrido. La parte de curiosidades geométricas ha terminado por implicar y atraer al alumnado hacia unos conocimientos que había reducido a la mínima expresión.

2.2 Descripción del sistema El sistema está conformado por los bloques mostrados en la Figura 2.1: un módulo de alimentación y monitoreo del estado de carga de la batería; un módulo de percepción, o etapa sensorial, para detectar la presencia del competidor; un módulo de control, para leer los sensores, aplicar un algoritmo de búsqueda y navegación para encontrar al robot oponente y dar la orden a la etapa de potencia para efectuar el respectivo movimiento; y un módulo de locomoción, para recibir la información de la etapa de control y ejecutar los movimientos pertinentes.

Justificación Los profesores de Matemáticas nos enfrentamos al reto de enseñar a unos alumnos convencidos de que los contenidos de esta asignatura, a pesar de ser necesarios, son casi imposibles de aprender. Esta creencia supone una plúmbea losa que entorpece el trabajo que

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pretendemos conseguir con nuestros alumnos. A esto le tenemos que añadir lo alejado y poco relacionado que suponen que están los contenidos de esta asignatura de la realidad y el mundo en el que se mueven, no resultando fácil hacerles ver lo erróneo de esta idea. Si el panorama general de los alumnos de la ESO de cara a las Matemáticas no es nada halagüeño, especial dificultad nos suponen los alumnos que cursan Matemáticas y observan esta asignatura totalmente alejada de la realidad. En general, estos alumnos provienen de un fracasado andar por el camino de las matemáticas. Supone un gran reto para los profesores de esta asignatura lograr que los alumnos consigan un talento básico en esta materia y un gusto especial por sus contenidos. Además, nos encontramos con la realidad del aula en la que observamos que cada vez le dedicamos más tiempo a la parte de números y funciones quedando los contenidos de Geometría relegados a ser tratados durante una semana en el aula, aunque en el currículum consta que deben recibir un trato igual al de números. es más, el alumnado de secundaria y bachillerato termina su formación en muchas ocasiones sin haber dedicado ni una sola hora a los contenidos de Geometría. Por otra parte, la herramienta GeoGebra, además de proporcionarnos un claro potencial para tratar los contenidos geométricos de forma dinámica, es una herramienta que puede ser utilizada con distintos sistemas operativos: Windows, Linux, Mac. Si además le unimos que la herramienta es gratuita ¿qué estamos esperando para potenciar el uso de la misma de cara al proceso enseñanza-aprendizaje de los contenidos geométricos? Con esta herramienta no solamente tenemos que puede ser utilizada con distintos sistemas operativos, sino que además, el producto final que obtenemos puede ser integrado en la Web para poder utilizarlo posteriormente en el proceso de enseñanza-aprendizaje

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en el aula, o en cada casa en particular, sin necesidad de un software específico que pueda complicar la utilización y/o asimilación de los contenidos geométricos tratados con este herramienta. Si además de proporcionar al alumnado y al profesorado construcciones geométricas para utilizar en el aula, podemos aprovechar enlaces existentes que contienen información sobre otras construcciones de interés para el aula y logramos clasificar las construcciones geométricas que coloquemos en nuestro blog, ya tendríamos más que justificado la elección que hemos hecho de nuestro trabajo en cuanto a contenido, herramienta, que sea el blog de forma de encauzarlo y que lo pongamos a disposición, de nuestro alumnado y de toda la comunidad educativa y todo aquel docente o alumno o alumna de cualquier centro educativo. Dicen que una imagen vale más que mil palabras y eso es lo que nos proporciona GeoGebra, imágenes que nos ayudan a comprender, entender o plantear situaciones geométricas con las qué desarrollar o aplicar los contenidos que sobre este bloque se recogen en el currículum de la asignatura de Matemáticas de Secundaria. Otro de los retos que se nos plantea a los docentes, es aprovechar las nuevas tecnologías a nuestro alcance. Desde muchos frentes se ha hecho una gran apuesta por las tecnologías de la información y la comunicación. Esta apuesta, que ha comenzado por la educación, debe ser aprovechada por todos los docentes para facilitar a los alumnos el aprendizaje de los contenidos de estas asignaturas.

Objetivos Los objetivos que se persiguen con esta experiencia son: a) Contribuir al desarrollo de la competencia tratamiento de la información y competencia digital en el alumnado desde el área de matemáticas.

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b) Facilitar al profesorado un banco de recursos de applets interactivas realizadas con GeoGebra que aparecieran ordenadas por niveles y temáticas. c) Facilitar al alumnado el descubrimiento y aprendizaje de determinados conceptos matemáticos a través de ventanas sobre las que pudieran interactuar para su investigación. d) Proponer al alumnado distintas tareas que pudieran resolver a través de la investigación utilizando ventanas interactivas de GeoGebra. e) Disponer de un espacio de referencia sobre ejercicios y problemas de geometría dinámica. f) Plantear al alumnado situaciones geométricas que son fácilmente resolubles desde el punto de vista de la geometría dinámica. g) Proporcionar al alumnado y al profesorado un base de recursos para el aula de Matemáticas con ventanas interactivas y ejemplos geométricos de fácil diseño. h) Plantear al alumnado situaciones curiosas que son fácilmente resolubles con la geometría dinámica. i) Aglutinar los recursos existentes sobre la herramienta GeoGebra colaborando a la resolución de problemas matemáticos utilizando dicha herramienta. j) Proporcionar al alumnado un lugar al que recurrir en el caso de querer resolver distintas tareas geométricas. k) Darle a la geometría la importancia que se recoge en el currículum de la asignatura de Matemáticas. l) Tratar los temas geométricos de forma atractiva utilizando GeoGebra. m) Fomentar la curiosidad y la experimentación de los alumnos para que sean ellos mismos los constructores de su conocimiento.

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n) Potenciar los procesos inductivos y el razonamiento argumentado como parte esencial de la actividad matemática. ñ) Impulsar el gusto por la belleza de las matemáticas, en las que el rigor científico vaya acompañado por una estética atractiva. o) Proporcionar al alumnado y al profesorado información sobre GeoGebra y su utilización como recurso didáctico para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

Contenidos El proceso seguido se ha basado en un trabajo constante de búsqueda de ejercicios geométricos que pudieran resultar atractivos para el alumnado y que a la vez supusieran un banco didáctico con el qué trabajar en el aula los contenidos geométricos propios de la asignatura. Estos contenidos geométricos que se tratan en Matemáticas suponen una cuarta parte de los que se recogen en el currículum de la asignatura para cada nivel. Cada una de las entradas del blog también se ha clasificado de forma que el alumnado pudiera encontrar en cada momento las entradas correspondientes que puedan resultar de su interés o que traten ejercicios de los vistos en el aula. Una parte de los diseños geométricos utilizados en el aula aparecen recogidos en Web de referencia de contenidos geométricos, por lo que en lugar de ingrarlos directamente en el blog se ha recogido en dicho blog el enlace a esas Web de referencia para que posteriormente fueran utilizadas en el aula. Por otra parte, en el blog se han dispuesto una serie de enlaces a herramientas que vamos utilizando en el aula dependiendo de las necesidades de los contenidos tratados y los aspectos que deben desarrollar los alumnos y alumnas en función de los contenidos que estén tratando en su nivel. Algunas de estas herramientas son

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generalistas, como calculadoras o representaciones gráficas y otras son más específicas adaptándose a los contenidos en cada momento como puede ser Descartes. Como ya hemos mencionado anteriormente, en el aula se han tenido tres momentos claros de los que el blog que presentamos supone algunas partes de esos momentos. En un primer momento se le planteaba al alumnado situaciones geométricamente sencillas para que resolvieran en sus cuadernos. Debido a que estos contenidos no los habían tratado en cursos anteriores, el alumnado se encontraba con serias dificultades para resolver esas situaciones. Posteriormente se les mostraba la solución con alguna ventana de las que se recogen en el Blog de forma que ellos podían interactuar y comprobar si sus soluciones eran las correctas o estaban cerca de ellas. En un segundo momento se le mostraba al alumnado el cumplimiento de determinadas propiedades geométricas con distintas ventanas interactivas que podían manejar, exponiéndoles la forma de construir cada una de ellas con las distintas herramientas de GeoGebra y animándoles a que ellos mismos las construyeran guiados por el profesor. Para finalizar, en un tercer paso se le proponía al alumnado determinados problemas geométricos para que plantearan e intentaran resolver utilizando GeoGebra. esta parte está siendo la más fructífera por las aportaciones y la mentalidad “geométrica” que ya están adquiriendo, observando la geometría como una herramienta en la que poder hallar soluciones a distintos problemas que se les puedan plantear. Todo el proceso ha ocupado la finalización del segundo trimestre y el comienzo del primer trimestre. Poco a poco se van incluyendo construcciones. Algunas de ellas se han utilizado previamente en el aula antes de incluirlas en el blog. Es decir, ha sido uno de los

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elementos didácticos en los que nos hemos basado para desarrollar el proceso de enseñanza. Esas construcciones, tras ser mostradas en el aula se han ido integrando en el blog. Por otra parte, dado que cada vez que colocamos un blog en Internet, en este caso, lo tenemos abierto a todo el mundo, hemos dado la posibilidad de que aquel profesorado o visitante que tuviera alguna construcción interesante realizada con GeoGebra pudiera enviárnosla de forma que pudiéreamos integrarla en el blog. La clasificación del nivel y curso al que puede ir dirigida la hacemos nosotros. Con este fin se ha habilitado una dirección de correo electrónico. Observando las estadísticas del blog, las visitas provienen de España, Estados Unidos, Argentina, México, Colombia y otro buen número de países que intuíamos podían ser un buen potencial que podrían aportarnos problemas u objetos de aprendizaje con el qué enriquecer las clases y la formación de nuestro alumnado. Así, al correo electrónico nos han llegado dos construcciones y tres problemas a los que hemos dado solución utilizando GeoGebra. Así, a lo largo de los tres momentos que hemos expuesto, hemos estado utilizando GeoGebra y construcciones realizadas con ella, que en un principio partían del profesorado hacia el alumnado como herramientas de comprobación; en una segunda fase el profesorado las utilizaba en el aula como herramienta didáctica con la qué hacer ver al alumnado determinadas propiedades geométricas. Como ya hemos indicado, en el aula también se utilizaron ventanas interactivas de GeoGebra con las que se comprueba que determinadas propiedades que creían que se cumplían, no era así. Estas construcciones con GeoGebra no han sido incluidas en el blog. Ya en una última fase el alumnado ha estado utilizando GeoGebra para resolver determinados problemas geométricos que se le planteaban. De esta forma se ha fomentado el aprendizaje de este

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bloque de Matemáticas que observamos que cada año quedaba reducido a la mínima expresión. El blog está compuesto de: 15 entradas sobre información. 26 entradas con vídeos explicativos sobre la instalación y utilización de GeoGebra para la resolución de problemas. 4 entradas con la resolución de actividades geométricas en 3 dimensiones. 151 entradas con construcciones realizadas con GeoGebra con la que se resuelven distintas actividades Matemáticas. 45 curiosidades resueltas con GeoGebra. Ya por niveles educativos, la composición actual del blog es de: 14 entradas con actividades para 1º de ESO, 32 entradas con actividades para 2º de ESO, 29 entradas con actividades para 3º de ESO, 14 entradas con actividades para 4º de ESO, 22 entradas con actividades para 1º de bachillerato y 12 entradas con actividades para 2º de bachillerato. Por bloques de la Matemática, la composición actual del blog es: 11 entradas para la resolución de actividades de álgebra y aritmética, 93 entradas para la resolución de actividades de geometría, 22 entradas para la resolución de actividades de gráficas y funciones, 5 entradas para la resolución de actividades de estadística, 3 entrada para la resolución de una actividad de probabilidad. Además, de las entradas con construcciones de GeoGebra, el blog contiene 3 unidades didácticas interactivas completas que aparecen en el lateral izquierdo en el epígrafe denominado “Unidades con GeoGebra”. Estas unidades son: - Una UDI con la resolución de siete problemas curiosos de geometría. - Una UDI para el tratamiento de la continuidad y las derivadas.

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- Una UDI para el tratamiento de los elementos notables de un triángulo. Debemos destacar que, tanto las entradas realizadas en el blog GeoGebreando que contienen construcciones realizadas con GeoGebra, como aquellas construcciones que aparecen en las unidades didácticas mencionadas aparecen con el tamaño que facilita su utilización con la pizarra digital interactiva, propiciando el uso de las herramientas con las que contamos en algunas aulas.

Metodología La metodología utilizada se ha dividido en tres momentos claros de los que el blog que presentamos supone algunas partes de esos momentos. En un primer momento se le planteaba al alumnado situaciones geométricamente sencillas para que resolvieran en sus cuadernos. Debido a que estos contenidos no los habían tratado en cursos anteriores, el alumnado se encontraba con serias dificultades para resolver esas situaciones. Posteriormente se les mostraba la solución con alguna ventana de las que se recogen en el Blog de forma que ellos podían interactuar y comprobar si sus soluciones eran las correctas o estaban cerca de ellas. En un segundo momento se le mostraba al alumnado el cumplimiento de determinadas propiedades geométricas con distintas ventanas interactivas que podían manejar, exponiéndoles la forma de construir cada una de ellas con las distintas herramientas de GeoGebra y animándoles a que ellos mismos las construyeran guiados por el profesor. Para finalizar, en un tercer paso se le proponía al alumnado determinados problemas geométricos para que plantearan e intentaran resolver utilizando GeoGebra. Esta parte está siendo la más fructífera por las aportaciones y la mentalidad “geométrica”

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que ya están adquiriendo, observando la geometría como una herramienta en la que poder hallar soluciones a distintos problemas que se les puedan plantear. La herramienta que presentamos supone el resultado final de algunos ejercicios sueltos que se han ido diseñando, probando y modificando en el aula para su posterior integración en el blog.

Orientaciones didácticas Comentaremos por separado algunas de las orientaciones para cada una de los dos posibles escenarios diferentes para los que pueden ser de utilidad los materiales didácticos del blog: a) Siendo el usuario el profesor o profesora, en el aula “normal”: La mayoría de las entradas pueden resultar útiles para el apoyo a las explicaciones y exposiciones en el aula, por parte del profesor, dotado de un ordenador y el videoproyector (o pizarra digital). Esta tecnología abre muchas posibilidades fuera del alcance de la tiza y pizarra convencionales, y el diseño de los recursos se ha hecho pensando en aprovechar didácticamente esas ventajas: la vistosidad de las figuras, su precisión, la facilidad para la realización de pequeños cambios, la comodidad para comprobar conjeturas, la idoneidad para provocar que sean los propios alumnos quienes propongan esas conjeturas, etc. No obstante hay que tener claro que todas esas ventajas no convierten el uso de la pizarra digital en un fin en sí mismo, sino que se trata de un medio, un recurso más para alcanzar el verdadero objetivo: que nuestros alumnos aprendan más y mejor. Desde esa perspectiva, creemos que un uso adecuado de estos materiales didácticos de cada entrada del blog en el aula pasa por evitar las exposiciones demasiado extensas o monólogos por

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parte del profesor y por potenciar la participación y aprendizaje activo por parte del alumnado, el debate, la manipulación de las figuras por ellos mismos, etc. b) Siendo los usuarios los propios alumnos y alumnas, en el aula de ordenadores dirigidos por el profesorado o bien fuera del aula, en su domicilio u otro lugar: Cada una de las entradas de construcciones contiene una figura interactiva, acompañada en algunos casos de propuestas para que el alumno/a, interactúe en ella, introduciendo cambios, observando los correspondientes efectos y aprenda a partir de sus propios descubrimientos. La experiencia con los materiales nos ha hecho comprobar que resulta muy sencillo provocar la curiosidad de los alumnos y alumnas ante las figuras interactivas y que las manipulen. Lo realmente complicado de conseguir, el reto profesional de los profesores y profesoras de Matemáticas es que el alumnado se esmere en expresarse –oralmente o por escrito– a la hora de responder a las cuestiones planteadas. Sobre todo cuando se requiere de un razonamiento o una justificación de las respuestas. A pesar de las dificultades, el esfuerzo merece la pena: la comprensión y utilización de un lenguaje adecuado para referirse a conceptos o situaciones Matemáticas es esencial en la educación. Un lenguaje en el que se busque tanto el rigor como la claridad y tanto la precisión como la sencillez.

Resultados La evaluación de la experiencia se ha realizado en parte al alumnado y al profesorado. Estos últimos han valorado muy positivamente la “herramienta” que se les proporcionaba y la utilizan en su aula. Cada una de las distintas tareas y enlaces con los que cuenta el blog ha sido valorado muy positivamente por el alumnado y el

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profesorado. Comprobando en cada momento la idoneidad de la respuesta que está encontrando a lo que se le demanda en cada tarea. Por otra parte, el blog ha sido valorado por distintas entidades educativas obteniendo los siguientes reconocimientos: A lo largo de este primer año que lleva funcionando el blog GeoGebreando ya ha recibido varios premios educativos de entre los que podemos citar los siguientes: 1. Finalista del Premio internacional EducaRed a la innovación educativa con el uso de las TIC en 2011. Este fue el primero que recibió y se le otorgó en la categoría de material educativo sin colaboración del alumnado. 2. Premio Internacional Edublog 2011 como segundo clasificado en la categoría de blog docente. 3. El último de los premios que ha recibido el blog ha sido el premio “Antonio Domínguez Ortiz” a la innovación y la mejora de la práctica educativa en el año 2012. Este último es el máximo galardón a nivel regional que concede en educación la Junta de Andalucía (España) en materia educativa.

Conclusiones La experiencia con los materiales nos ha hecho comprobar que resulta muy sencillo provocar la curiosidad de los alumnos y alumnas ante las figuras interactivas y que las manipulen. Lo realmente complicado de conseguir, el reto profesional de los profesores y profesoras de Matemáticas es que el alumnado se esmeren en expresarse –oralmente o por escrito– a la hora de responder a las cuestiones planteadas. Sobre todo cuando se requiere de un razonamiento o una justificación de las respuestas. A pesar de las dificultades, el esfuerzo merece la pena:la comprensión y utilización de un lenguaje adecuado para referirse a conceptos o

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situaciones matemáticas es esencial en la educación matemática. Un lenguaje en el que se busque tanto el rigor como la claridad, y tanto la precisión como la sencillez.

Referencias bibliográficas [1]

Instituto GeoGebra de Andalucía. (2012). I Encuentro de GeoGebra en Andalucía. Granada, 14 de abril de 2012. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.

[2] Real, M. (2010). Tratamiento de la información y competencia digital en el área de Matemáticas. Suma +, 64, 71-80.

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3. SOBRE LOS NÚMEROS PRIMOS Y SU TENDENCIA: ALGUNAS APROXIMACIONES USANDO GEOGEBRA*

Francisco Javier Córdoba Gómez Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Pablo Felipe Ardila Rojo Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen

Los números primos son conocidos desde la antigüedad, es así como Euclides en su tratado realiza la primera prueba de la infinitud de estos números, posteriormente, Fermat, Euler, Mersenne y muchos más, indagan acerca de las propiedades y características de dichos números. Actualmente, la existencia de computadores con una gran velocidad de procesamiento y de programas como GeoGebra, permiten mejorar la calidad de cómputo y obtener resultados que una década antes eran imposibles de verificar. Destacamos su uso en la elaboración de tablas, la obtención de funciones de interpolación, la creación de contraejemplos para refutar algunas conjeturas, mediante el empleo de poderosas rutinas. Esta herramienta se puede implementar en el aula y mediante ella hacer que el estudiante relacione los mundos algebraicos, geométricos y computacionales.

Palabras

clave:

Aritmética, primos, interpolación, geometría,

GeoGebra

* Este trabajo hace parte del proyecto de investigación: Estudio del impacto de la incorporación de prácticas de modelación en las clases de Matemáticas para estudiantes de tecnología e ingeniería del ITM como una forma de acercar las Matemáticas a la realidad. Proyecto adscrito al Centro de Investigación del Instituto Tecnológico Metropolitano

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Abstract The Primes numbers, are known since ancient times, it is as well as Euclides in his treatise makes the first proof of the infinitude of these numbers, later Fermat, Euler, Mersenne, and many more, investigate about the properties and characteristics of these numbers. Currently, the existence of computers with a high-speed processing and programs like GeoGebra, allow you to improve the quality of computer and obtain results that a decade earlier were impossible to verify. We emphasize its use in the preparation of tables, obtaining interpolation functions, the creation of counterexamples to refute some conjectures, through the use of powerful routines. This tool can implement in the classroom and through making the student relate algebraic, geometric and computing worlds.

Keywords: Primes, arithmetic, geometry, interpolation, GeoGebra Introducción Históricamente fueron los números naturales los primeros en ser empleados y trabajados por nuestros antepasados, ya que estos permitían contar y magnificar lo que se tenía, un problema importante fue, dado un natural hallar una factorización o sea, descomponerlo en producto de otros números naturales tales que estos últimos fueran irreducibles, entendiéndose por irreducible, aquel número que solo era divisible por sí mismo y por el número uno. Esta última condición nos lleva a definir un nuevo subconjunto dentro de los naturales llamados los números primos. Así se tienen varias preguntas que nos interesará resolver y es cómo hallar números primos?, serán que son infinitos?, qué propiedades aritméticas tienen los números primos? Trataremos de mirar algunas cuestiones aritméticas, expresadas en problemas, muchos de los cuales han permanecido por varios siglos como problemas abiertos. Matemáticos como Fermat, Gauss,

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Riemann, entre otros, presentaron resultados, teoremas y conjeturas que incluían finalmente, el uso de números primos o sus propiedades. Aunque no se conocen directamente aplicaciones a la geometría incluiremos algunas construcciones usando GeoGebra, además de realizar cómputos y completar tablas que son tediosas de realizar a mano.

Historia Mundo antiguo Debido a la falta de evidencias escritas, es muy aventurado hablar de un conocimiento preciso acerca de los números primos, sin embargo tenemos algunos registros en los cuales se muestra como se usaban algunos números primos en tablillas. Grecia Como cuna de la civilización permitió el surgimiento de mentes sumamente brillantes, que hicieron un aporte significativo a la cultura, la ciencia y claro está a las Matemáticas. Se destaca Euclides, que siendo un geómetra, compila en su publicación Elementos, todos los aspectos de la geometría conocidos a su época. Él habla de la factorización de números, el Teorema Fundamental de la Aritmética y muestra que los números primos son infinitos, además de haber dado una definición clara y precisa de número primo. No más importante que Euclides, Eratóstenes conocido por sus aportes al Astronomía, crea un algoritmo que aunque lento es contundente al hora de hallar números primos, este método conocido como Criba de Eratóstenes, usa el concepto de múltiplo de un número, y partiendo del número dos, descarta todos sus múltiplos, luego se toma el 3 y hace lo mismo, de esta manera los números que no se descartan será los números primos. Lamentablemente, ese proceso era dispendioso y poco práctico a la hora de pensar en contexto de los números naturales.

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Renacimiento En este período de la historia, Pierre de Fermat, realizó notables aportes a la teoría de números, enuncia el teorema conocido como Pequeño Teorema de Fermat, que dice que para todo natural a y primo p, se tiene la relación, , donde ≡, representa congruente y quiere decir en otras palabras que a^p-a es un múltiplo de p. Así, si a=4 y P=5, el teorema dice que . Además, Fermat postula que los números de la forma , son primos para cada n en los naturales, lo cual solo es cierto en los primeros cuatro valores, ya que para n=5 este número no es primo, lo anterior se observa en la tabla 1. Tabla 1: Primos de Fermat Número natural

Primo de Fermat

1

5

2

17

3

257

4

65537

5

4294967297=(641, 6700417)

6

18446744073709552000

7

340282366920938460000000000000000000000

8

1157920892373162000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000

9

1340780792994259700000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000 Fuente: Elaboración de los autores

Otro aporte significativo lo hace el matemático francés Marín Mersenne, quien define para cada primo p, el número, , el día de hoy se conocen unos 40 primos de Mersenne, en la tabla 2 se presentan algunos de los primos de Mersenne, notar que para el caso p=11, p=23, p=31, estos valores son en realidad factorizables.

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Tabla 2: Primos de Mersenne Primo=p 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31

Primo de Mersenne 1 3 7 31 127 2047 8191 131071 524287 8388607 536870911 2147483647

Factorización

(23, 89)

(47, 178481) 233, 1103, 2089)

Fuente: Elaboración de los autores

Época Moderna Euler, prueba que la serie es divergente, más adelante Gauss, propone que la cantidad de números primos menores o iguales a n es aproximadamente igual a para valores de n grandes ver Figura 1, resultado conocido como el teorema del número primo. Figura 1: Curva de aproximación del comportamiento de los números primos para valores grandes


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¿Cómo determinar si un número dado es primo? Como se dijo al principio, la Criba de Eratóstenes permite hallar, o determinar, si un número dado es o no primo; la dificultad de este algoritmo es su lentitud, ya que para un número grande en tiempo es casi imposible determinar al primalidad del número, través de múltiplos de él. Así, que tenemos otros algoritmos que permiten hallar con rapidez cuándo un valor dado es primo. Tenemos el test de Lucas-Lehmer, usado con números de Mersenne, el test de Lucas, que se usa para determinar si un número dado es o no primo, pero requiere saber los factores primos del número anterior, test de Pocklington, el test de Konyagin-Pomerance, que es quizá el más eficiente pero de una altísima complejidad.

Otros conceptos Números primos seguros: Un número q se denomina 1-seguro si q=2p+1, donde p es primo, y es 2-seguro si r=2s+1, con s 1-seguro, estos números, se emplean en criptografía. Así, el 7=2(3)+1, es 1-seguro y el 23=2(2(5)+1)+1 es 2-seguro. Primos de la forma 4x+1: Los números primos de la forma 4x+1, además de ser infinitos, se pueden descomponer como la suma de dos cuadrados, en la Tabla 3 se observan los primeros valores de este conjunto. Tabla 3: Primos de la forma 4x+1 Número Primo

Primo de forma 4x+1

5

4(1)+1=4+1

13

4(3)+1=9+4

17

4(4)+1=16+1

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4(7)=25+4 Fuente: Elaboración de los autores

Además, se sabe que cualquier número se puede descomponer como la suma de 4 cuadrados. 45


Algunos algoritmos para verificar si un número n dado es primo, lo hacen dividiendo este valor por todos los números comprendidos entre 2 y √n, siendo muy ineficiente por el número tan elevado de divisiones que hay que realizar para el caso cuando n es muy grande. La conjetura de Goldbach. Propuesta en 1742 por el matemático alemán, Christian Goldbach, dice que cualquier número par mayor que 2 puede ser escrito como la suma de 2 primos, tenemos algunas aproximaciones a esta teoría, ya que se ha probado que casi todo número, se puede escribir como la suma de dos primos, y que cuando un número es muy grande este se puede escribir como la suma de un primo y otro número compuesto por el producto de dos primos, sin embargo hasta el día de hoy este es un problema abierto. Función de conteo de primos: Esta función denotada por π(n), es igual a el número de primos menores o igual a n, luego π(10)=4 y π(20)=8 Función Zeta de Riemann: Propuesta por primera vez por el matemático Riemann, está definida para valores mayores que uno por la siguiente serie ζ(s)= en la región dicha función es analítica y converge, si la función se extiende a todo el plano, por continuidad analítica es meromorfa. La hipótesis de Riemann, afirma que todos los ceros de la función tiene parte real igual a 1/2. Lo más importante es la relación que Euler descubrió con los números primos que se muestra en la siguiente ecuación:

La función φde Euler: Definida para un número natural cualquiera, como la cantidad de números menores o iguales que n que son primos relativos con n. Luego, por ejemplo φ(8)=4, ya que son primos relativos con de 8 los números 1,3, 5, y 7. Para cualquier número

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primo p φ(p)=p-1, φ(7)=6, puesto que los primos relativos con 7, son los números 1, 2, 3, 4, 5, 6

Aplicaciones con GeoGebra Figura 2: Los números primos del 1 al 100

Si a cada primo le damos un valor de acuerdo a su orden de aparición podemos ubicarlo en el plano cartesiano. ¿Con el uso de Geogebra, ese conjunto de puntos le interpolamos una curva que pase por ellos para ver cuál es la que mejor se ajusta? En las Figuras 3, 4, 5, 6, 7 y 8 se observan las curvas de interpolación obtenidas con GeoGebra. Figura 3: Ajuste logarítmico


Ecuación de ajuste logarítmico, Y=-30.26733 + 31.32018ln(x)

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Figura 4: Ajuste exponencial


Ecuación de ajuste Exponencial

Figura 5: Ajuste logarítmico vs exponencial


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Figura 6: Ajuste logístico


Ecuación de ajuste logístico Figura 7: Ajuste polinómico


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Figura 8: Ajuste potencia


Ecuación de ajuste potencia Tabla 4. Tipos de ajustes


Polígonos primos Para cada primo p definamos el polígono regular de p lados y longitud de lado s. A partir de cada polígono tomemos sus área A, y de esta manera tomemos la sucesión {A_1,A_2,A_3,…} y se determina una fórmula explicita para el área en función del número de sus lados, la cual para los 5 primeros valores es un hipérbola.

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Figura 9: Polígonos primos

Fuente: Elaboración de los autores Figura 10: Hipérbola de aproximación


Conclusiones • Los números primos tienen comportamiento asintótico a la función cuando n es grande • Los algoritmos modernos para determinar si un número es primo, usan valores entre uno y √n • La conjetura de Riemann y la de Goldbach usan propiedades de los números primos en sus equivalencias

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• Cuando fueron enunciados tanto los primos de Fermat, como los de Mersenne, se creía que estas fórmulas siempre generaban numeros primos, hoy con el uso de programas como GeoGebra se sabe que la mayoría de esos valores en realidad no son primos


Hoffman, P. (2000). El hombre que solo amaba los números. Buenos Aires: Granica.

Sitios Web consultados: [2] http://yves.gallot.pagesperso-orange.fr/primes/gfn.html. Recuperado el 10 de julio de 2012. [3] http://matematica.50Webs.com/primos-de-mersenne.html. Recuperado el 11 de julio de 2012. [4] http://www.astroseti.org/articulo/3492/historia-de-losnumeros-primos. Recuperado el 11 de julio de 2012. [5] (tux.uis.edu.co/didactica/files/NUMEROS_PRIMOS[1][1]. ppt). Recuperado el 11 de julio de 2012 de http://dialnet. unirioja.es/servlet/tesis?codigo=2607

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4. VISUALIZACIÓN

DE OBJETOS MATEMÁTICOS EN TRIGONOMETRÍA CON EL USO DEL SOFTWARE GEOGEBRA José Javier Mogollón Carvajal Institución Educativa Alfonso López Pumarejo San José del Guaviare [email protected]

Resumen Se propone una estrategia pedagógica para proveer a nuestros estudiantes de décimo grado de la Institución Educativa Alfonso López Pumarejo, en el municipio de San José del Guaviare capital del departamento del Guaviare, de herramientas para construir modelos que permitan visualizar objetos matemáticos de la trigonometría y de su aplicación en situaciones problema en al aula, usando el software dinámico GeoGebra, en función de experimentar, conjeturar, demostrar, desarrollar la intuición y sus habilidades Matemáticas, fortaleciendo así el pensamiento espacial y los sistemas geométricos.

Palabras clave: GeoGebra, visualización, objetos matemáticos Abstract This work proposes a pedagogical strategy to provide the students of tenth grade of the Alfonso Lopez Pumarejo Educational Institution, in San José del Guaviare, department of Guaviare; with tools to construct models that allow the displaying of mathematical objects of the trigonometry and its application in problematic situations in the classroom using the dynamic software GeoGebra; in order to experiment, guess, demonstrate, and develop the intuition and its

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mathematical skills, thereby strengthening the spatial thinking and geometric systems.

Keywords: GeoGebra, visualization, mathematical objects. Introducción Durante los últimos años, al interior de la comunidad académica y en especial caso en la educación matemática, han manifestado la necesidad de realizar cambios en la forma en que las Matemáticas son enseñadas y comprendidas. En nuestro país este cambio se ha dado gracias al interés de los maestros y al auspicio del Ministerio de Educación Nacional, al invertir en proyectos como Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y media de Colombia (Ministerio de Educación Nacional [MEN], 2002) que están orientados a buscar estrategias didácticas con las cuales nuestros estudiantes se apropien de los significados de la diferentes situaciones contextuales dejando a un lado procedimientos mecánicos sin ningún sentido. Este reto se ha visto beneficiado con la inclusión de la tecnologías de la información y la comunicación, entre ellas encontramos software libre y especializado para la enseñanza de las matemáticas, insumo tecnológico valioso del cual debemos valernos en procura de mejorar nuestras prácticas pedagógicas y que al estudiante le permite actuar, conjeturar, argumentar y visualizar las situaciones matemáticas de manera clara y eficiente. La principal motivación entre docentes y estudiantes es la de poder construir los modelos de algunas situaciones Matemáticas particulares en un software para experimentar y aprender de esta experiencia de manera significativa.

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Sobre la visualización El eje en el cual se pueden ubicar este tipo de herramientas es el de la visualización de conceptos como varios autores la han definido: Se entiende por visualización la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual. En este sentido se trata de un proceso mental muy usado en distintas áreas del conocimiento matemático y, más generalmente, científico. Cantoral (2001, citado en Villarroel, Méndez y Lavaque, s.f, p.1.) El término visualización se emplea, por lo general, con referencia a figuras o representaciones pictóricas ya sean estas externas o internas es decir, sobre soporte material (papel, pantalla, etc.) o en la mente. Y el pensamiento visual está fuertemente ligado a la capacidad para la formación de imágenes mentales también la capacidad para visualizar cualquier concepto matemático, o problema, requiere la habilidad para interpretar y entender información figurativa sobre el concepto, manipularla mentalmente, y expresarla sobre un soporte material (…) la visualización cobra especial importancia en procesos de razonamiento inductivo y deductivo. Castro y Castro (1997). En este enfoque, se da claridad, que la visualización Matemática es en esencia una gran herramienta para que los estudiantes puedan desarrollar de manera efectiva el pensamiento espacial y geométrico a la vez que provoca la realización de conjeturas y puede facilitar la comprensión de juicios y razonamientos que permitan sostener como válidas dichas conjeturas.

Sobre objetos matemáticos y representaciones Con la palabra objeto se quiere designar las cosas (elementos) que se emplean en matemáticas. Hay objetos aritméticos, geométricos, del análisis, de la estadística (…) Así, un número, un ángulo, una

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recta, un intervalo, un diagrama de barras, un paréntesis, el signo de igualdad o cualquier otro símbolo, una ecuación o un exponente, pueden ser considerados objetos. Esos objetos deben ser empleados correctamente, distinguiendo unos de otros y agrupándolos cuando convenga o sea necesario. (…) En general, los objetos matemáticos suelen darse mediante una definición. Unido a la definición puede ir el procedimiento, el cómo se hace; y también las propiedades que cumplen (Martínez, 2009). Sobre las representaciones Matemáticas “Son las notaciones simbólicas o gráficas, específicas para cada noción, mediante las que se expresan los conceptos y procedimientos matemáticos, así como sus características y propiedades más relevantes”. Castro y Castro (1997, p.96). En articulación a lo señalado anteriormente, Hitt (1998, citado en Planchart, 2002, p. 35), afirma que: Desde 1985 aproximadamente, se le ha dado mayor importancia al proceso de generación de imágenes mentales adecuadas para el desarrollo de las habilidades como la visualización matemática, en la resolución de problemas y para el aprendizaje de la Matemática, en general. Esto ha impulsado, por un lado, el estudio del papel de las representaciones de los objetos matemáticos y, por el otro, el desarrollo de una matemática en contexto.

Castro y Castro (1997, citado en Planchart, 2002, p. 35) sostienen que: Kaput, Goldin, Duval, Glaeserfeld, Vergnaud, han dedicado trabajo y tiempo a precisar el concepto de representación y a estudiar el papel que juegan las representaciones gráficas en el aprendizaje de los estudiantes. Afirman, también, que: el incremento en la capacidad de visualización que se produce en el trabajo con representaciones gráficas ayuda al estudiante en su proceso de comprensión de los Conceptos matemáticos.

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Sobre herramientas informáticas Las innovaciones tecnológicas han modificado las técnicas y modelos didácticos que se aplicaban en la enseñanza de la Matemática. Actualmente algunos conceptos matemáticos se presentan muy frecuentemente a través de distintas representaciones: en forma aritmética, gráfica y simbólica de una manera rápida y en forma sencilla con las calculadoras y computadores. Zimmermann y Cunningham (1991, citado en Planchart, s.f, p. 39) señalaron que “las computadoras tienen papel directo y concreto en este renacimiento de la visualización debido a las maneras en que las computadoras pueden generar graficas matemáticas”. En este orden de ideas se hace necesario incluir dentro de nuestras prácticas pedagógicas en el salón de clases el uso del computador, además de implementar el manejo de un software de uso libre que reúna las características óptimas para que el estudiante pueda visualizar objetos matemáticos y específicamente de los elementos básicos de la geometría usados en trigonometría, generando conjeturas, construcciones significativas, intuición y habilidades Matemáticas, y para ello tenemos a nuestro alcance dentro de la gama de software libre uno que ya es bastante reconocido “GeoGebra“.

La propuesta metodológica El uso de GeoGebra está destinado como herramienta pedagógica en la enseñanza de la trigonometría para los estudiantes de grado decimo de la I.E.A.L.P., motivados por conocer las posibilidades educativas del software en su aprendizaje. GeoGebra permite realizar construcciones dinámicas, en las que podemos manipular las expresiones partiendo de situaciones problemas de contexto semireal propuestos en libros de texto, observar la naturaleza de las relaciones y propiedades entre los objetos matemáticos que intervienen en la construcción del modelo y hacer una reflexión en

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torno a las posibles soluciones al problema, junto con inclusión del computador en la clase de Matemáticas. El objetivo principal es potenciar el aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes, utilizando el software GeoGebra como dispositivo pedagógico que ha demostrado ser útil y enriquecedor en la visualización de objetos matemáticos. Para lograrlo se ha puesto en marcha un proyecto de aula descrito a continuación.

Conocer el entorno gráfico e interactivo del programa Inicialmente se hizo una charla con los estudiantes de los cuatro grados decimos, se les presenta el entorno de GeoGebra y la construcción de las funciones seno, coseno y tangente, gráficas que se habían trabajado previamente en papel milimetrado a partir del círculo trigonométrico, a lo que la gran mayoría de los estudiantes afirmaron que con el programa es mucho más fácil, rápido y preciso; analizaron que el programa muestra el dominio “completo”, de cada función en cambio que en el papel se trabajó desde 0 a 2π, al igual en la gráfica de la función tangente donde se presentaron dificultades en entender que el rango está comprendido por todos los números reales ya que en papel no se visualiza completamente esta característica, en esta etapa surge motivación en el estudiante ya que se siente con mayor ventaja al realizar prácticas en matemáticas dada por la confianza que le da el computador, se hace entonces un sondeo de quienes pueden llevar un computador portátil al colegio, dado que no se cuenta con las aulas suficientes para estas prácticas y las horas disponibles en el aula de informática no coinciden con las de trigonometría. En cada grupo se ofrecen entre 12 y 15 equipos disponibles y es así como se organizan grupos de 3 o 4 estudiantes con un computador para trabajar en las clases siguientes.

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Emplear

las

herramientas

básicas

del

software

para

la

exploración, manipulación en construcciones y la creación de propias

En dos clases los estudiantes por grupos se familiarizan con el entorno de GeoGebra, reconociendo cada una de las herramientas que se presentan allí, luego se les entrega una guía de trabajo que está diseñada a manera de tutorial en forma escrita y muy gráfica en donde su construye una simulación del siguiente problema propuesto en el texto Matemáticas 10 de editorial Santillana Chávez Hugo (2000) pagina 86, ejercicio numero 14:

“Ingeniería: Un puente tiene 45,5 metros de longitud cuando está atravesado sobre un río. Como se ve en la Figura 1, pueden girar las dos secciones del puente, hacia arriba un ángulo de 35º” Figura 1: Esquema de puente elevadizo

Fuente: Tomada de Hugo Chávez (2000). Matemáticas 10. Bogotá: Santillana. Pag. 86

Los jóvenes construyen la simulación siguiendo paso a paso la guía entregada en formato pdf en una memoria para tenerla en cada computador. Al final la mostraban al docente que da su visto bueno y a la vez aclaraba algunas inquietudes que surgieron en el transcurso de la construcción.

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En esta etapa poco a poco se fueron familiarizando con las herramientas y el lenguaje propio del entorno, en clase se escuchaban frases de un grupo a otro o de estudiante a otro como: use el deslizador, en el icono nuevo punto, trace el segmento, arrastre el punto, dele en propiedades, dibuje el ángulo, ¿dónde es que se insertan las imágenes?, entre muchas otras. Después de terminada la construcción como lo muestra la Figura 2, se hizo un ejercicio en clase de manera oral en el cual el docente hace las siguientes preguntas cambiando los datos entre un estudiante y otro: ¿si el nivel del agua está a p metros por debajo del puente cerrado, cuál es la distancia H entre el extremo de una sección y el nivel del agua cuando se ha elevado αgrados? y aproximadamente, ¿Cuál es la distancia m entre las dos secciones del puente cuando se ha elevado α grados?. Figura 2: Esquema de epuente elavadizo en el entorno GeoGebra


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El estudiante a quien se le interrogaba inmediatamente desplazaba el puntero en los deslizadores hasta ubicar los datos dados y luego daba sus resultados a las preguntas, la mayoría de los estudiantes intervenían en una sola hora de clase cosa que no ocurre cuando se trabaja en el tablero. A este trabajo se le suma una reflexión hecha sobre ¿cómo reducir los procesos algebraicos a los que se recurre regularmente a papel y lápiz para dar solución a este tipo de problemas?, ejercicio que se hizo en cada grado hasta encontrar una fórmula para dar solución efectiva a las dos preguntas señaladas anteriormente. Las cuales resultaron y se comprobaron en las diferentes manipulaciones de la simulación: Para la pregunta: Si el nivel del agua está a p metros por debajo del puente cerrado, ¿cuál es la distancia H entre el extremo de una sección y el nivel del agua cuando se ha elevado αgrados? la fórmula resultante es:

Para la pregunta: Aproximadamente, ¿Cuál es la distancia m entre las dos secciones del puente cuando se ha elevado αgrados? la fórmula resultante es:

Siendo x la longitud del puente, p la distancia al nivel del agua desde el puente cerrado, αel ángulo de elevación de las secciones. Además de estos resultados los estudiantes consultaron en qué lugares del planeta se encuentran este tipo de puentes para conjeturar que las Matemáticas son aplicables en contextos reales.

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Crear

construcciones trigonométricas que se pueden realizar

con el programa

Algunos de los estudiantes motivados por el programa se devolvieron a temas vistos en el primer periodo para construir simulaciones donde se analizaba la relación del movimiento angular y las razones trigonométricas, otro grupo hizo una simulación de la longitud de arco.

Simular

múltiples

soluciones

a

problemas

planteados

en

bibliografía de apoyo para la clase de trigonometría

Cada grupo escogió problemas planteados en diferentes textos de apoyo, referentes al tema de triángulos rectángulos y oblicuos y realizaron las simulaciones de ellos, en estos momentos vamos en esta etapa, está planeado hacer una socialización y exposición de las construcciones hechas y así obtener nuevas conclusiones y resultados tanto académicos como de aprendizaje.

Conclusiones La experiencia pedagógica está en marcha en estos momentos y hasta el momento se ha podido dilucidar, entre otros logros, que a la hora de aprender trigonometría los estudiantes se muestran interesados y dispuestos a comprender los conceptos matemáticos que se han de aprender. Con la modelación de situaciones problema, a través de GeoGebra, se descubre que el estudiante visualiza los diferentes elementos del contexto del problema, sus relaciones y propone soluciones cargadas de sentido y significado matemático, la herramienta GeoGebra le ha permitido ampliar su visión de las matemáticas como un ente tangible, cambiando el rigor abstracto al que han sido acostumbrados, la experiencia le ha permitido al docente dinamizar el proceso de enseñanza no solo en grado décimo sino en

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otros grados ya que se ha trabajado con grados once con resultados positivos. Esta experiencia ha generado comentarios favorables, expectativas y curiosidad en los estudiantes y los compañeros docentes de la institución, además de otros compañeros que laboran en diferentes instituciones donde se han trabajado con simulaciones de mi autoría, lo que puede aprovecharse para su transposición en el plan de estudio de otros grados, en otras asignaturas y en otras instituciones.


Castro, E. y Castro, E. (1997). Representaciones y modelización. Departamento Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. Recuperado el 22 de abril de 2012 de http://cumbia. ath.cx:591/pna/Archivos/CastroE97-2531.PDF

[2] Martínez, J. (2009). Curso Intensivo de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Recuperado el 30 de abril de 1012 de http://www2.uah.es/jmmartinezmediano/ mate0/CIM%20Tema%201%2001%20Lenguaje%20y%20 objetos%20matemaicos.pdf. [3] Ministerio de Educación Nacional de Colombia (2002). Incorporación de nuevas tecnologías al currículo de Matemáticas de la educación media de Colombia. Recuperado el 23 de abril de 2012 de http://www.colombiaaprende.edu. co/html/mediateca/1607/articles-13753_archivo.pdf.

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[4] Planchart, O (2002). La visualización y la modelación en la adquisición del concepto de función.Departamento del Matemática Educativa, Cinvestav- IPN. Recuperado el 30 de abril de 2012 de http://ponce.inter.edu/cai/tesis/ oplanchart/inicio.pdf. [5] Villarroel, Y., Méndez, N. y Lavaque, G. (s.f.). Cubos: Una propuesta didáctica basada en la visualización. Recuperado el 23 de abril de 2012 de www.famaf.unc.edu.ar/rev_edu/ documents/vol_25/prop_14.pdf.

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5. GEOMETRÍA DE LOS MECANISMOS, EXPERIENCIA DE

INVESTIGACIÓN PARA POTENCIALIZAR EL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO EN ESTUDIANTES DE GRADO NOVENO DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA NACIONALIZADA DE SAMACÁ Norberto Silva Cañas Colegio Nacionalizado del Municipio de Samacá [email protected]

Resumen El ámbito educativo es muy importante en el crecimiento y desarrollo de los individuos, requiere responder a las exigencias actuales, implementando el proyecto de incorporación de nuevas tecnologías al currículo de Matemáticas de la educación Básica Secundaria y media, este proyecto valida el potencial didáctico, característico de las diferentes herramientas tecnológicas, incentivando el pensamiento matemático de los estudiantes, de una manera activa y participativa. Por ende, se utiliza GeoGebra, un software de código abierto, que integra la geometría sintética, la analítica y la expresión algebraica de objetos gráficos, de forma dinámica y de fácil compresión, constituyéndose en una experiencia de innovación, efectuada con 24 estudiantes pertenecientes al club de geometría del Colegio Nacionalizado del Municipio de Samacá, en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, donde los estudiantes desarrollan esquemas mentales, relacionando las técnicas empleadas y sus propios conceptos geométricos, enriqueciendo así este proceso, con base en las guías didácticas diseñadas para potencializar la reflexión geométrica, que son socializadas y desarrolladas en clase, enfocadas particularmente en el estudio de la geometría de los mecanismos, permitiendo a los estudiantes adquirir una comprensión más 65


amplia, de las Matemáticas, entrando en situaciones reales basada en la investigación de objetos del entorno, logrando así un ambiente escolar interactivo, dinámico e innovador, llegando a la elaboración de futuras propuestas de construcciones de componentes empleados en las minas de carbón del municipio de Samaca, brindando así una propuesta para realizar un trabajo más tecnificado en la minería, unido a la organización de un foro municipal para socializar el uso de GeoGebra, dirigido a estudiantes de grado noveno de los colegios públicos del municipio.

Palabras

clave: pensamiento matemático, didáctica, GeoGebra, geometría, innovación, aprendizaje.

Abstract The educational environment is very important in the growth and development of individuals required to respond to current demands, implementing the project to incorporate new technologies in to the curriculum of mathematics at the secondary and middle basic education, this project validates the educational potential characteristic of the various technological tools, encouraging students’ mathematical thinking, in an activeand participatory. Thus,GeoGebrais used, opensource software, which integrates synthetic geometry, analytic and algebraic expression of graphic objects in a dynamic and easy to understand, being an innovative experience, conducted with 24 students from the geometry of the College club Nationalized Samacá Township, in the process of teaching and learning of geometry,where students developmental models, linking the techniques used and their own geometric concepts, enriching this process, based on the teaching guides designed to potentiate the reflection geometry, which are socialized and developed in class, focusing particularly on the study of the

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geometry of mechanisms, allowing students to gaina broader understanding of mathematics, entering real situations based on research of objects environment, thus achieving a school environment interactive, dynamic and innovative, leading to the development of future proposals for construction of components used incoal mines Samacá township, providing a proposal for atechjobin mining, joined the organization of a municipal forum to socialize the u se ofGeoGebra, aimed at ninth grade students in public schools in the municipality.

Keywords: mathematical thinking, teaching, GeoGebra, geometry, innovation, learning.

Introducción La geometría tiene gran relevancia dentro del ámbito cotidiano, al permitirnos comprender una serie de elementos, formas y espacios dentro de nuestro diario acontecer. Puede ser considerada “como un instrumento reflexivo que le permite al ser humano resolver problemas de diversa índole y comprender un mundo que le ofrece una amplia gama de variadas formas geométricas, en cada uno de los escenarios que lo conforman, sea este natural o artificial” (Gamboa y Ballestero, 2009). Para pasar de un sistema tradicional basado en el estudio memorístico de diversas definiciones geométricas, áreas, volúmenes, de manera mecánica y poco contextualizada, a la actualidad, se requiere de oportunidades de aprendizaje, donde los educandos participen activamente en el desarrollo de su conocimiento y se apropien de él. (Abrate, Delgado, Pochulu, 2006). En este sistema la enseñanza de la geometría se debe cambiar paulatinamente, empleando para ello, las herramientas tecnológicas con que se cuenta, aprovechando de esta manera las bondades de las

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mismas, incentivando al estudiante a asumir un rol más protagónico dentro del proceso de aprendizaje, pasando de ser un simple receptor de conocimientos, a desarrollar una serie de actividades que potencialicen su razonamiento, su inquietud investigativa, formando un proceso de retroalimentación, donde ambas partes se ven beneficiadas, tanto el estudiante como el educador, al utilizar la tecnología como un medio eficaz y dinamizador del aprendizaje de esta materia.

GeoGebra Para entrar en sintonía con lo demandado actualmente en cuanto a sistemas educacionales interactivos, se hace uso de GeoGebra, un software libre, gratuito con licencia GNU/GPL, elaborado por Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores en la Universidad Atlántica de Florida; galardonado en el 2002 con el European Academic Software Award (Suiza, 2002), con el International Free Software Award, category Education (Francia, 2005) y con el Distinguished Development Awar otorgado por la Association for Educational Communications and Technology de Orlando (USA, 2008), entre otros reconocimientos. GeoGebra, está escrito en Java, su uso está disponible en múltiples plataformas, siendo independiente de los sistemas operativos (libres o no) sobre los que corre. Para utilizar GeoGebra no se tiene que pagar ninguna licencia, ni requiere ningún software patentado, solo se debe descargar de su página oficial www.GeoGebra.org, luego se instala en el computador y está listo para ser utilizado. Al abrir GeoGebra aparece una ventana, con 4 áreas: Barra de herramientas, Ventana de Álgebra, Zona gráfica y Campo de entradas. (Ver Figura 1) Figura 1: Pantalla principal de GeoGebra

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Fuente: http//: www.geogebra.org

Es básicamente un “procesador geométrico” y un “procesador algebraico”, es un compendio de Matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo (pudiendo ser usado en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas) (Sánchez, 2011). Con GeoGebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas, etc., mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la barra de entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible. Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A. GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas, las cuales, admiten multitud de enfoques y grados de aproximación y profundización, de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc. (Sánchez, 2011).

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Representa un micromundo de posibilidades que ofrece gran autonomía y capacidad de manipulación a sus usuarios; un entorno dinámico e interactivo con prestaciones que: 1. Requieren la realización de acciones informáticas relativamente complejas (diseño, programación, ejecución). 2. Devuelven resultados matemáticos (como gráficas, construcciones, transformaciones, cálculos), y paramatemáticos (como simulaciones, modelos, clasificaciones, ordenamientos, iteraciones). 3. Facilitan el desarrollo de acciones Matemáticas (como resolución de problemas, demostración, conjeturación, aplicación, verificación), y metaMatemáticas (como análisis, deducción, inducción, reflexión, enseñanza, aprendizaje, valoración, experimentación) (Chavez, 2008). GeoGebra es un software de geometría dinámica, esto es, permite construcciones de geometría elemental, donde los elementos se construyen y se definen por propiedades cualitativas no mediante ecuaciones y geometría analítica, aunque esté detrás, en el funcionamiento interno el programa. Integra mediante su interfaz, tanto el trabajo desde una perspectiva puramente geométrica en la ventana gráfica, como desde una perspectiva totalmente analítica en la ventana algebraica, de este modo cada uno puede trabajar en una ventana u otra interactuando con ambas y pasándose de una a otra en cada momento, permitiendo así trabajar con los estudiantes profundamente, facilitando el desarrollo de nuevas estrategias cognitivas, siendo soporte relevante en los procesos de enseñanza-aprendizaje. Puede ser usado como instrumento para el estudio de un programa clásico de representación gráfica y de tratamiento de puntos notables: corte con los ejes, extremos, función derivada, integral, etc., por medio de sus rutinas analíticas; es de fácil manejo, el

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aprendizaje es muy intuitivo, se realiza a la par de su utilización en contextos de aprendizaje, lo que no requiere ni sesiones especiales de manejo del programa ni elaboración de apuntes sofisticados. Permite introducir coordenadas y ecuaciones de forma directa, maneja variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares de una función, como raíces o extremos. Tiene implementado rutinas de animación de funciones y de localización de máximos, mínimos, puntos de inflexión, función derivada, integral definida, recta tangente en un punto, se puede crear construcciones geométricas fundamentales con regla y compás, para estudios de triángulos y polígonos en general, construcción de cónicas, etc. Permite exportar los trabajos a páginas Web para interactuar dinámicamente de manera online. Además GeoGebra permite trabajar bien en local es decir instalando la aplicación en el ordenador, como de forma online, sin ser necesario que el usuario deba instalar la aplicación en ningún ordenador, en este caso solo es necesario una conexión a internet. Además GeoGebra tiene la opción didáctica, de exportación a formato html, permitiendo a los estudiantes, manipular escenas dinámicas en un navegador Web, posibilitando el análisis de comportamientos, visualizar conceptos, propiedades, modificar las construcciones, entre otras (Espina, s.f.). La comunidad tanto de desarrolladores como de usuarios de GeoGebra es muy grande, proactiva, siendo fácil obtener gran variedad de trabajos, realizados por miembros de dicha comunidad e implementarlos con resultados propios. Todas estas características hacen que en la actualidad GeoGebra sea un software ampliamente utilizado por la comunidad pedagógica con una inmensa aceptación tanto por parte de los docentes como

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por los alumnos, debido a la facilidad de aprendizaje en su manejo, y por la agradable naturalidad y sencillez con la que se puede trabajar en su interfaz. Todas estas bondades promueven en los estudiantes un pensamiento geométrico, facilita un soporte visual y algebraico a la mayoría de estudiantes, igualmente favorece la representación de múltiples conceptos geométricos pudiendo resolver los problemas de manera más fácil y didáctica, a través de la utilización de sus herramientas, siendo continuamente renovadas y agregando más posibilidades a este software, enriqueciéndolo progresivamente.

Metodología Se trata de una experiencia de investigación, aplicada a 24 estudiantes de grado noveno, seleccionados por su interés hacia las matemáticas y las nuevas tecnologías. Con el grupo de estudiantes se integra el club de seguidores de la geometría dinámica, con encuentros presenciales de una hora y 10 minutos los días martes y jueves para un total de dos horas y 20 minutos de trabajo presencial por semana, y trabajo adicional de por lo menos una hora en casa, manipulando y perfeccionando las construcciones. Para empezar a trabajar con los estudiantes se aplicó un test para conocer su nivel de interés en la utilización de un mecanismo que facilitará el proceso de aprendizaje de la geometría, de una manera dinámica y didáctica, luego se desarrollan unas guías, las cuales son socializadas y puesta en práctica por parte de los alumnos, desarrollando así actividades que conllevan a un desarrollo del pensamiento geométrico, con un mayor nivel de comprensión, incrementando paulatinamente el nivel de complejidad de las guías y las metas a conseguir. La línea de trabajo se centra en estudiar las propiedades y relaciones geométricas presentes en diversos mecanismos como el gato

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elevador, cilindros hidráulicos, excavadoras, limpia brisas de los autos, mecanismo de Theo Jansen. Mediante la experiencia se estudian didácticamente las construcciones de GeoGebra, que son fácilmente convertibles en aplicaciones Web (applets), correspondientes de cada mecanismo, de tal manera que se pueda extraer la información necesaria, que permita a los coinvestigadores (el grupo de 24 estudiantes), diseñar con el software los mecanismos de extracción del carbón de las minas existentes en la región. Para el estudio didáctico de los applets se tienen en cuenta los planteamientos de Bruno D’Amore sobre la teoría de las situaciones “pensadas como sistemas de interacción de uno o más individuos con un milieu (ambiente o medio), individuos que necesitan de un conocimiento previo para poder actuar” (D’ Amore, 2008, p.5) y la teoría de la instrumentación de Rabardel (2001). La didáctica de la Matemática es “el arte de concebir y de crear condiciones que pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemático por parte del individuo” (D’ Amore, 2008, p.4)

Resultados y discusión Enfocar las clases de geometría como un proceso de Enseñanza – Aprendizaje, donde el estudiante asume un rol de investigador, mediante el trabajo colaborativo que le permita construir conceptos matemáticos dinamizando y resignificando el valor didáctico que tiene esta ciencia en la construcción de nuevos enfoques matemáticos, necesarios para afrontar los retos educativos de la actual sociedad de la información y el conocimiento, son elementos relevantes para el desarrollo educacional requerido actualmente. Durante el tiempo que se ha venido trabajando con los 24 estudiantes, se ha podido ver su interés, ánimo por aprender realmente todo lo relacionado con la geometría, de una manera

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entusiasta, despertando en el alumno el deseo por comprender la importancia de esta materia en su diario vivir, unido a una actitud proactiva por desarrollar las guías didácticas, realizando cabalmente las actividades propuestas en estas, llegando a tener un manejo asertivo del software, mejorándolo paulatinamente con la práctica continua tanto en el aula escolar como en las casas. De igual manera, es importante tener siempre presente que GeoGebra es una herramienta tecnológica atractiva, que ayuda decididamente en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría, haciéndolo más interesante, pero no reemplaza, la relevancia del docente en este proceso, debe ser visto como un elemento complementario, a través del cual, se puede incentivar el pensamiento reflexivo y analítico de los estudiantes, forjando un entorno agradable y beneficioso.

Conclusiones GeoGebra es un software con múltiples alternativas, dinámico, por tanto, se puede adaptar hábilmente a las necesidades propias de cada usuario, unido a que es un programa muy intuitivo en su utilización, obteniendo así un aprendizaje agradable y expedito. Sistematizar la experiencia investigativa permite validar el uso didáctico de GeoGebra al interior de las instituciones educativas. El uso de GeoGebra proporciona a los profesores una herramienta muy útil para el diseño de materiales interactivos en el ámbito de las matemáticas, y la enseñanza de la geometría, que son muy fructíferos en el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Con el uso de GeoGebra se pueden obtener resultados interesantes, con un esfuerzo inicial mínimo, debido a las ventajas del uso de applets de java, dentro de un ambiente interactivo. Se deben aprovechar al máximo las herramientas tecnológicas con que se cuentan, para dinamizar los procesos de aprendizaje y enseñanza, cambiando las clases dictatoriales, por situaciones,

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donde el alumno asuma un papel protagónico, reflexione, sugiera y comprenda realmente los conceptos expresados de una manera llamativa y proactiva. Es necesario incentivar en las instituciones educativas el uso más frecuente de herramientas tecnológicas, tan poderosas y de fácil manipulación como el software GeoGebra, estando a la vanguardia de las exigencias de la sociedad, formando estudiantes con mejores capacidades reflexivas e interpretativas, capaz de aplicarlas a su diario acontecer, donde el profesor desarrolle un papel guía, motivando continuamente a sus estudiantes, en la investigación, a través de mecanismos innovadores. La experiencia ha servido de motivación, para que otros estudiantes, soliciten su vinculación al grupo de trabajo, pero por razones de espacio y falta de equipos, se limita al grupo de estudiantes (24) ya conformado, por ello se tiene programado para el mes de octubre socializar los resultados del grupo en un foro institucional que cuente con la participación de estudiantes de las otras Instituciones educativas de la región. En la actualidad se ha logrado la vinculación de algunos padres de familia de los estudiantes que pertenecen al equipo de trabajo, aportando información en videos de de los mecanismos utilizados para la extracción del carbón en las minas del municipio, estos padres son trabajadores del sector minero, siendo una fuente muy relevante y de primera mano, en el proceso de recolección de la información, debido a su acontecer diario como mineros. Simular y modelar los mecanismos de extracción del carbón con GeoGebra, diseñando las respectivas guías didácticas constituye el principal reto que tiene el grupo para aportar al mejoramiento del proceso de enseñanza – aprendizaje de la geometría de nuestro municipio.

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La propuesta cuenta con el apoyo de la rectoría de la institución educativa y con los resultados alcanzados, se espera presentar la experiencia investigativa al Consejo Directivo, para estudiar la viabilidad de incorporar GeoGebra al Currículo de Matemáticas de la Institución. El impacto de la propuesta para la Institución Educativa Técnica Nacionalizada de Samacá, consiste en continuar con la implementación de la gran variedad de material didáctico, que se puede construir con GeoGebra, como Socio cognitivo a través del fortalecimiento de comunidades de aprendizaje al interior de la Institución y la exploración, análisis y sistematización de las mismas. Estudiar, analizar e implementar experiencias investigativas como el proyecto Gauss de España, a través de grupos colaborativos de trabajo al interior de nuestras instituciones se convierte en motor de modernización del sector educativo. Mediante la interacción con el software GeoGebra, se incentiva de manera lúdica, llamativa y efectiva, la capacidad analítica, reflexiva y propositiva de los estudiantes que hacen parte del grupo de trabajo conformado, en el ámbito de la geometría. Las clases de geometría con la utilización de herramientas tecnológicas diseñadas para la enseñanza de esta materia, adquieren un carácter dinámico, ágil, donde el alumno participa activamente en el proceso educativo, mejorando su comprensión geométrica. Teniendo como ejemplo, lo realizado hasta el momento en la entidad educativa, se pretende impulsar en la región, la utilización de instrumentos tecnológicos, como apoyo interactivo, basado en un ambiente de trabajo colaborativo, dinamizando así de manera paulatina las clases, respondiendo a los retos planteados por el continuo cambio que enfrenta el sector educativo en la actualidad.

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6. CIRUGÍA DE PALADAR HENDIDO Y LABIO LEPORINO Edwin A. Gómez Lindo San Martin de Porres SED Bogotá [email protected]

Resumen Exposición y experiencia vivida en la ciudad de Bogotá con tres instituciones educativas diferentes, con estudiantes de estratos 1 y 2, 3 y 4, además de estudiantes de extra edad, bajo la programación de una cirugía de reconstrucción de paladar hendido y labio leporino, iniciando por la entrega de cada uno de los casos, observación del video belleza y el pato Donald, construcción de figuras que estén bajo la proporción Aurea el uso y creación de la máscara con ayuda del software GeoGebra y descripción de la cirugía del paciente asignado. Pretendo asi mostrar cómo el uso de la tecnología facilita y apoya el desarrollo cognitivo y emocional de los estudiantes de manera positiva, y motiva a los estudiantes de grado séptimo a explorar el mundo de la matemática como una herramienta de toma de decisiones con argumentos, y vista desde todos los espacios cotidianos y sociales, ya que fueron estas a las conclusiones que llegué, luego de la experiencia con los estudiantes, dando la posibilidad de exposición de sentimientos y experiencias en el ámbito familiar y personales, permitiendo el respeto como margen importante de tolerancia, reconocimiento del cuerpo humano y orígenes de enfermedades, motivación al trabajo en la asignatura e interés por los tópicos de la misma.

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Palabras clave: proporción aurea, cirugía reconstructiva, variación Abstract Exposure and experience in the city of Bogota with three different educational institutions , with students from strata 1 and 2, 3 and 4, as well as students of extra age under a scheduling of a reconstruction surgery of cleft palate and cleft lip , starting from the delivery of each of the cases, the observation of the videos “the beauty” and Donald Duck, construction of figures that are under the Golden ratio, the use and creation of the mask with the help of the GeoGebra software and description of the surgery of the assigned patient. I pretend to show how the use of technology facilitates and supports the cognitive and emotional development of students in a positive way and motivates to seventh grade students to explore the world of maths as a tool for decision making with arguments and view from all daily and social spaces, because this is what I concluded after the experience with the students, giving them the possibility of expose of familiar and personal feelings and experiences , allowing respect as important margin of tolerance, recognition of the human body and the origin of diseases, motivation to work on the subject and interest in the subject topics.

Keywords: golden ratio, reconstruction surgery, variation. Introducción La discriminación de la educación para los jóvenes de nuestra comunidad está enmarcada en las posibilidades de acceso a las instituciones particulares y públicas, que les brinda formaciones diferentes y caracterizadas por la calidad de los elementos con los que llevan el trabajo en las aulas y metodología con la que se orienta

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o posibilita el desarrollo de lo que hoy en día se ha denominado competencias básicas para la matemáticas (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, MEN, 2003), en este trabajo adelantado en tres instituciones educativas de la ciudad de Bogotá para jóvenes de estratos 1 y 2 de una institución pública, 3 y 4 de institución particular y jóvenes en extra edad de jornada nocturna de una institución pública ubicada en la periferia de esta ciudad. Se llevó a cabo la misma actividad en las tres instituciones con las herramientas de fotografías, video y uso softwared GeoGebra, con resultados muy similares en las tres comunidades educativas dejando de lado el señalamiento antes mencionado. Y mostrando la eficiencia del programa. Permitiendo que una herramienta tan poderosa como lo es la tecnología aplicada a la enseñanza de las Matemáticas, en especial el programa GeoGebra con la geometría y la variación siendo un apoyo para el perfeccionamiento de las competencias básicas establecidas para este nivel en nuestro país. Dando la posibilidad que el estudiante experimente una vivencia de la aplicación de las Matemáticas en un contexto controlado y con necesidades establecidas por una necesidad social de aceptación permitiendo construir competencias Matemáticas, ciencias naturales y sociales.

Metodología Presentación de la caracterización de los grupos de trabajo en el colegio particular se establecen tres grupos de 41 estudiantes de grado séptimo pertenecientes a estrato 3 y 4, en el segundo colegio IED San Martin de Porres dos grupos de 49 estudiantes cada grupo estos de estratos 2 y 3 de la localidad de chapinero pertenecientes a los barrios Paraíso, san Martin entre otros barrios de invasión de los cerros orientales de la ciudad de Bogotá y el tercer grupo 4 grupos

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de 45 estudiantes cada grupo con edades entre 18 y 57 años de edad en proceso de formación por ciclos, pertenecientes al IED José Félix Restrepo de la localidad de san Cristóbal sur ubicado en el barrio el velódromo frente a la brigada del ejército, pertenecientes a nivel socioeconómico 2 y 3. La experiencia se estableció en las tres comunidades bajo los mismos momentos: Exposición de los casos asignando casos con fotografías como en la Figura 1. Y los tiempos de presentación de avances en la programación de la cirugía de paladar hendido y labio leporino. Figura 1: Caso de la vida real encontrado en línea no se relacionan nombres

Fuente: http://www.saludcontinental.mx/2010/07/02/operan-gratuitamente-a-ninos-con- labio-ypaladar-hendido/

Proyección del video el pato Donald en el mundo de las matemáticas y la belleza de youtube. Construcción de un rectángulo con ayuda de software GeoGebra que cumpliera con el criterio de proporción aurea y análisis de la construcción en la modificación de una de las dimensiones del rectángulo con ayuda de la tabulación de los datos y las modificación de las magnitudes; construcciones auxiliares necesarias para el cumplimiento de las condiciones. Con base en el video llevado a cabo la construcción de la máscara en el programa GeoGebra ayudados de la plantilla construyendo

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así una plantilla de comparación con los casos asignados (Figura 2 y Figura 3). Figura 2: Refiere a la máscara creada por proporción aurea

Fuente: http://www.jc-mouse.net/descargas/dimask-la-mascara-de-la-belleza Figura 3: Postura en blanco y negro como apoyo a la construcción de los segmentos en GeoGebra

Fuente: http://pennaazure.wordpress.com/2010/07/08/monografia-3-4/

Con ayuda de la creación de la máscara en el software los estudiantes montan y calculan la extensión de la reconstrucción del labio en cada uno de los casos y llevan a cabo el cálculo de tiempo y recursos para la cirugía llevando a cabo una consulta cuya referencia es el material necesario para llevar la cirugía y tipo de recursos necesarios para el mismo.

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Exponiéndonos su cirugía a los compañeros, teniendo en cuenta los tiempos y recursos según cada caso. Y con la ayuda del control y calculo elaborados en el software GeoGebra.

Resultados y discusiones La primera pregunta que los jóvenes de los grupos se hacen es: ¿Por qué se da esta enfermedad? Pregunta que responden en un 30 % por experiencia familiar, el otro 65% lleva esta pregunta a los profesores que acompañan las asignaturas de Ciencias Naturales, situación que se dio de manera espontánea en los grupos trabajados. La segunda pregunta con una relación aproximadamente igual con un desfase de 3% es ¿Quién en mi familia ha sufrido de esta enfermedad? O cuentan experiencia de familiares que han sufrido de ella. De la misma forma los jóvenes se encuentran consternados por las imágenes y cómo afectan a la relaciones sociales de estoy jóvenes, al mismo tiempo que al acercarse a la enfermedad les permite ser más afectivos y menos insensibles con la realidad de los chicos que la padecen o la padecieron y no fueron intervenidos a tiempo, o que la gravedad de la enfermedad no les permitió una reconstrucción que les favoreciera el habla especialmente.

Conclusiones El apoyo que ofrece el software libre y en especial GeoGebra como una herramienta de trabajo muy positiva y sin costo la cual les permite a los jóvenes acceder y explorar con mayor facilidad su realidad. Permitiendo que sea un apoyo en el desarrollo de los conceptos y procedimientos de la geometría, la aritmética y el cálculo entre otros.

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A su vez, la transversalidad de la expiración siendo un mediador entre las asignaturas y los campos de conocimiento establecidos en la comunidad educativa colombiana. La experiencia de aprender a aprender de manera lúdica y contextualizada a las realidades de su comunidad. Compartir de experiencias y lograr un acercamiento de los jóvenes con las necesidades de congéneres que se encuentran afectados por una enfermedad o falencia, llevándolos a ser mas consientes de sus ventajas y oportunidades. Viendo así la asignatura, no como un ideal a alcanzar sino como una herramienta que permite perfeccionar y mejorar la toma de decisiones en su vida, siendo un argumento y una manera de comunicar sus ideas con mayor exactitud. Aplicar la proporcionalidad en un campo tan desconocido como lo es la estética en el aula, y relacionar este con otras asignaturas como las Ciencias Naturales la Educación Religiosa, la Ética entre otras. Mostrar que las condiciones de avance a nivel cognitivo no se encuentran directamente relacionadas con sus condiciones socioeconómicas ni de edad. Rompiendo así el precepto de vulnerabilidad al acceso del conocimiento y adquisición de destrezas aunque a mayor edad, hay resistencia al uso de la computadora, pero a medida que la experiencia inicial es creada para sus condiciones permite y facilita el uso del mismo.

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Referencias bibliográficas [1] Angarita, C. y García, F. (2005). Acercamientos a la Investigación Educativa: Pedagogía y Práctica. Bogotá: Universidad Manuela Beltrán [2] Foster, B. (2000). Matemáticas, Aplicaciones y conexiones 9. Mc Graw Hill [3] SHoffmann, L. y Bradley, G. (2001). Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Bogotá: Mc Graw Hill [4] Berenso, M. y Levine, D. (1996). Estadística para la Administración Conceptos y Aplicaciones. México: PrenticeHall México [5] Ministerio de Educación Nacional de Colombia. (2002). Proyecto de innovaciones Tecnológicas en la enseñanza de las Matemáticas y de las Ciencias. [6] Ministerio de Educación Nacional de Colombia. (2003). Estándares básicos de Matemáticas y lenguaje educación básica y media. [7] Moreno, V. y López, M. (2000). Alfa 10. Bogotá: Editorial Norma [8] Murray, S. (2000). Estadística. México: McGraw-Hill Sitios Web consultados: [9] http://www.youtube.com/watch?v=7h8dNH9Xnfg [10] http://www.youtube.com/watch?v=JcoJHxBKOys

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7. RESOLUÇÕES GEOMÉTRICAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU EM UM AMBIENTE DINÂMICO Davidson Paulo Azevedo Oliveira Instituto Federal de Minas Gerais [email protected] Juracélio Ferreira Lópes Instituto Federal de Minas Gerais [email protected]

Resumo Neste trabalho estudaremos os métodos de resolução de equações do segundo grau de acordo com Al-Khowarizmi e Descartes por meio de soluções geométricas. O objetivo desse trabalho é construir as justificativas geométricas por meio de alguns dos recursos dinâmicos do software GeoGebra de modo que seja possível resolver várias equações de um mesmo tipo com uma única construção. Além disso, percebemos que este trabalho pode ser utilizado como recurso metodológico de ensino.

Palavras-chave: GeoGebra, História da Matemática, Equação do segundo grau

Abstract In this articlewe will study themethods of solvingquadratic equationsaccording to Al-Khowarizmi and Descartes throughgeometric solutions. Theaim of this articleis to construct thegeometricjustificationthroughsome of thedynamic features of GeoGebra software so that you can solve several quations of the same type with a single building. Also, realize that this work can be used as a methodology of teaching.

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Keywords: GeoGebra, History of Mathematics, Second degree equations

Introduçäo Baseado na prática docente e na análise de livros observa-se que, no Brasil, o ensino de equações do segundo grau é realizado por meio de métodos algébricos com a utilização de fórmulas. Refatti e Bisognin (2005) ressaltam a ênfase no algébrico e simbólico na resolução destas equações, apesar das técnicas geométricas utilizadas ao longo da História da Matemática. Constatou-se, por meio de pesquisas bibliográficas, que desde a época dos Babilônios já se conhecia outros métodos para resolução dessas equações utilizando métodos geométricos. Apresentam-se neste trabalho três dos seis métodos de AlKhowarizmi e os dois de Descartes para resolução dessas equações utilizando construções com ferramentas de geometria dinâmica. Estas construções permitem visualizar a solução de diversas equações de um mesmo tipo por meio de uma única construção.

Metodologia Após uma pesquisa bibliográfica em livros (Boyer, 1996) e periódicos (Nobre, 2005; Carvalho et al., 2001) de História da Matemática selecionou-se os que abordavam os casos de resolução de Al-Khowarizmi e Descartes para compreender o modo como realizavam essas construções. Utilizou-se, então, algumas das ferramentas do GeoGebra para realizar essas construções de uma forma geral que possibilitasse encontrar as soluções de diversas equações apenas variando os coeficientes dessas equações com o auxílio do Controle Deslizante.

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Resultados e discussäo Al-Khowarizmi, matemático muçulmano do século VIII d.C., utilizava a técnica de completar quadrados para resolver equações do segundo grau, mas de modo retórico, verbal, mas com justificativas geométricas. De acordo com Carvalho, Barone, Miorim, Junior e Begiato (2001) em um trabalho de Al-Khowarizmi intitulado Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala ele apresentou a primeira solução sistemática das equações lineares e quadráticas e as classificou em seis tipos: quadrados iguais a raízes ; quadrados iguais a números ; raízes iguais a números ; quadrados mais raízes iguais a números ; quadrados mais números iguais a raízes ; raízes mais números iguais a quadrados (Nobre, 2006). Ele utilizava o método geométrico para justificar as resoluções que eram retóricas. Neste trabalho apresentase uma adaptação das construções do quarto, quinto e sexto casos que podem ser explorados por meio do software GeoGebra.

Al-Khowarizmi: 4º caso Neste tipo de equações, considerado como o quarto, são equações que, se escritas no modo retórico, em palavras, fica quadrados mais raízes iguais a números. Porém, em notação moderna é escrito como Discutiremos, inicialmente por meio de exemplos numéricos, mas que podem ser generalizados a partir da variação do Controle Deslizante. A Fig. 1 a seguir apresenta a solução para a equação Para encontrar a resolução construiu-se, inicialmente, um segmento AB que representa o valor da incógnita x. O segmento EG tem a metade da medida do valor do parâmetro b que é o coeficiente da incógnita de primeiro grau, nomeado por Al-Khowarizmi de raiz. Dessa forma o polígono ACKJHG tem área igual 14, pois representa que é a equação inicial. O quadrado JKLH tem área igual a 6,25.

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Portanto, o quadrado ACLG tem área igual a , logo tem lado igual a 4,5. Temos, então, que , porém como e e, portanto, . Figura 1: Resolução geométrica para equações do tipo

Fonte: Elaborado pelo autor

A partir da variação do Controle Deslizante altera-se a dimensão do segmento EG, que representa o parâmetro b, e a medida do segmento até que a área do polígono ACKJHG seja igual ao parâmetro c na equação do segundo grau requerida. Encontrando, portanto, os valores das raízes das equações do tipo

Al-Khowarizmi: 5º caso O quinto caso refere-se a equações do tipo quadrados mais números iguais a raízes, em notação moderna Na fig. 2 representa-se a construção para solução desse tipo de equações que possuem duas raízes positivas. Por exemplo, para equação , basta posicionar o parâmetro b no número 8 e variar o parâmetro x até que a área do retângulo BEGF seja igual a 15. O comprimento dos segmentos DE e EG serão as raízes desta equação, segundo o método de Al-Khowarizmi. Na Figura 2 a equação é representada pelo quadrado ABDC de lado x, pelo retângulo CDFE de área 15, logo o segmento AE = 8. Para 90


resolver a equação tome o ponto G na metade do segmento AE e faça um quadrado de lado IE medindo 4 unidades. Os retângulos CDJG e KIFL têm a mesma área, pois FI = CG = 4 – x e KI = GJ = x. Como o quadrado GEIH tem área 16 unidades quadradas e o polígono KIEGJL tem área 15 unidades quadradas concluímos que o quadrado HKLJ tem área uma unidade quadrada e, portanto, lado igual a uma unidade. Então x = 3 será uma raiz. Para a outra raiz Al-Khowarizmi sugere que é possível encontrá-la por meio da soma de EG e GC, isto é, 4 + 1 = 5. Figura 2: Resolução geométrica para equações do tipo


Al-Khowarizmi: 6º caso O sexto caso refere-se a equações do tipo quadrados igual a números mais raízes, em notação moderna Na fig. 3 representa-se a construção para solução desse tipo de equações. Por exemplo, para equação , basta posicionar o parâmetro b no número 3 e variar o parâmetro x até que a área do polígono LFBIKNL seja igual a 18. O comprimento do segmento CD é a medida de uma das raízes. Na Figura 3 a equação é representada pelo quadrado ABDC de lado x, pelo retângulo AEJC de área 3x, visto que foi construído

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um ponto de modo que AE = 3 que é o parâmetro b. Além disso, o retângulo EBDJ terá área medindo 18 unidades de área. Como os quadriláteros FENL e IDJK foram construídos para terem áreas iguais temos que a área de LFBIKNL também é 18 unidades de área. E portanto, o valor de x é encontrado como sendo igual a 6 em nosso exemplo. Figura 3: Resoluções geométricas para equações do tipo


Método de Descartes O outro método estudado que resolve equações do segundo grau geometricamente foi o de Descartes. Essas equações eram separadas em dois casos de acordo com os sinais das raízes: raízes de mesmo sinal e raízes com sinais contrários. As justificativas para o primeiro caso é baseado nas relações métricas no triângulo retângulo e no segundo na potência de ponto na circunferência (Varhidy, 2010). Esses dois casos foram feitos com ferramentas do GeoGebra, o que permite a resolução de diversas equações pela movimentação do Controle Deslizante.

Descartes: raízes de mesmo sinal Para as equações cujas raízes têm o mesmo sinal constrói-se um segmento de reta AB que representará a soma das raízes da equação. Em seguida, encontra-se a mediatriz desse segmento e 92


marca-se um ponto E com comprimento de E ao pé da mediatriz meça a raiz quadrada do produto das raízes. Marca-se o ponto G que é a interseção da circunferência de diâmetro AB com a reta perpendicular a ED passando por E. Ao se traçar uma reta perpendicular a AB passando por G encontrase um ponto H que determinará as raízes da equação, sendo essas raízes as medidas dos segmentos HB e AH. Realizada uma construção semelhante para valores variáveis que dependem do Controle Deslizante é possível que se encontre soluções de várias equações deste tipo por meio da variação desse controle. A fig. 4 ilustra a resolução da equação Figura4: Resolução para raízes de mesmo sinal


Descartes: raízes de sinais contrários Para a solução de equações com sinais contrários Descartes utiliza a justificativa da potência de ponto de uma circunferência. Observe a fig. 5 na qual está ilustrada a solução da equação Para encontrar as soluções foi feita a construção de um segmento AB de medida igual à raiz quadrada o tempo independente. Em seguida, construiu-se um segmento de medida igual à metade do parâmetro b perpendicular a AB passando por B. Traça-se a circunferência de centro C e raio BC. 93


Figura5: Resolução para raízes de sinais contrários


Constroi-se um segmento de reta passando por A e C para que as raízes sejam encontradas sendo as medidas dos segmentos AE e AD. Os segmentos AB e BC podem ser variados pelo Controle Deslizante a fim de que sejam encontradas soluções de outras equações do segundo grau.

Conclusão Devido a uma interface simples e aos recursos dinâmicos do GeoGebra, foi possível construir e visualizar de soluções geométricas de Al-Khowarizmi e Descartes utilizadas na resolução de equações do segundo grau. Isto foi possível por meio da ferramenta Controle Deslizante que permitiu uma variação de parâmetros da equação envolvida na construção geométrica. Percebemos que este trabalho pode ser utilizado como recurso metodológico de ensino e propiciar ao discente a percepção de que a Matemática é uma ciência que vem sendo historicamente construída.

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Boyer, C. (1996). História da Matemática. (trad. Elza Gomide). 2 ed. São Paulo: Edgard Blucher

[2]

Carvalho, F. Miorim, M. Â. Barone, J. Munsigatti, J.

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Beginato, R. G. (2001) Por que Bhaskara?. História & Educação Matemática, 2 (1),119-166

[4] Nobre, S. (2005) Leitura crítica da história: reflexões sobre a história da Matemática. Ciência & Educação,10 (3), 531-543 [5]

Nobre, S. (2006). Equações Algébricas: uma Abordagem Histórica sobre o Processo de Resolução da Equação de 2º grau. In: Silva, C. C. (Org.). Estudos de História e Filosofia das Ciências, pp. 353380. São Paulo: Editora Livraria da Física[6] Herbert Schildt (s. f.). Borland C ++.Manual de Referencia.Nueva York. McGrawHill.

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Refatti, L. Bisognin, E. (2005) Aspectos Históricos e Geométricos da Equação Quadrática. Disc. Scientia. Série: Ciências Naturais e Tecnológicas. Santa Maria, v.6. n.1, p.79-95

[8]

Varhidy, C. G. J. L. (2010). Desenho Geométrico: uma Ponte entre a Álgebra e a Geometria: Resolução de Equações pelo Processo Euclidiano. (Dissertação de Mestrado). UFOP.

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8. LAS REPRESENTACIONES GESTÁLTICAS EN EL ENTORNO GEOGEBRA Juan Guillermo Rivera Berrío Institución Universitaria Pascual Bravo [email protected]

Resumen En este artículo mostramos la posibilidad de construir representaciones en diferentes campos del conocimiento utilizando el software GeoGebra. Para ello, hemos recurrido a las representaciones gestálticas, que evidencian los problemas asociados a la percepción de los objetos de conocimiento representados y la necesidad de utilizar herramientas que mejoren nuestras representaciones

Palabras clave: representaciones, percepciones, ilusión, Gestalt Abstract In this paper we show the possibility of building representations in different fields of knowledge using software GeoGebra. To do this, we have used gestalt representations that show the problems associated with the perception of knowledge objects represented and the need of using tools that improve our performances.

Keywords: representations, perceptions, illusions, Gestalt Introducción De un objeto o evento podemos realizar múltiples representaciones. Wittgenstein (1953, p.200) nos ilustra un ejemplo sencillo a partir de la observación de un triángulo (Figura 1), que podría verse o

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interpretarse como un agujero triangular, o un dibujo geométrico apoyado en la base o colgado de una punta; como una montaña, como una cuña, como medio paralelogramo, etc. Figura 1: Representación de un triángulo

Fuente: Wittgenstein, 1953, p.200

Pero, ¿qué factores influyen en nuestra mente para que obtengamos una u otra interpretación? La respuesta parece estar en la llamada “carga teórica”; sin embargo, parecen existir patrones o especies de reglas que nuestra mente fija en el transcurso de nuestra vida. Estos patrones también contribuyen a que tengamos varias representaciones de un mismo objeto u evento percibido. No se trata de algoritmos estáticos, son procesos que se enriquecen y cambian con nuestra experiencia. La imagen ambigua del pato-conejo de Jastrow (Figura 2) podemos verla, en principio, solo como un pato, porque nuestro patrón de lectura de imágenes es de izquierda a derecha. Solo cuando intentamos romper con el patrón, observamos otra imagen presente en la representación.

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Figura 2: Imagen ambigua del pato-conejo

Fuente: Jastrow (s.f)

Así como podemos generar diferentes representaciones desde una misma realidad, nuestras representaciones también difieren de las generadas por otro sujeto perceptor, cuyos procesos mentales o formas de construir la representación difieren en grado o tienen patrones completamente distintos. Un experimento realizado por Shepard & Feng (Pylyshyn, 2003, p.290) sobre el plegado de superficies (Mental paper folding) permitió evidenciar que dos interpretantes distintos, observando un objeto igual, generan representaciones distintas o, para este caso, operaciones mentales distintas* . En la Figura 1 se observan las figuras utilizadas. El experimento consiste en determinar el número de dobleces necesarios para que las flechas se junten. En esta prueba juega un papel importante la memoria de corto plazo (Access memory), * Shepard & Chipman identifican este tipo de operaciones mentales con el “Segundo principio de isomorfismo” (Pylyshyn, 2003, p.290). El paralelismo funcional-estructural se conoce en neuropsicología cognitiva con en nombre de “principio de la especificidad neurológica” o “principio de isomorfismo”, que destaca la correspondencia entre la organización de la mente y la organización del cerebro. Por otra parte, Ballesteros destaca como el aspecto teórico más importante relacionado con la representación interna de objetos y sus transformaciones, al grado de correspondencia, o isomorfism: Con el fin de comprender las relaciones que pueden establecerse entre la representación y lo representado, es importante distinguir entre el isomorfismo llamado ‘de primer orden’ del ‘isomorfismo de segundo orden’. Nótese que no es necesario que se dé un ‘isomorfismo de primer orden’ entre un objeto externo y su correspondiente proceso representacional interno. En palabras de Shepard, la representación de una cosa verde no tiene por qué ser ella misma verde. La relación entre percepción e imagen supone un ‘isomorfismo de segundo orden’, más abstracto que el isomorfismo directo de primer orden (Ballesteros, 1993, p.10). Un experimento similar sobre doblado de superficies se puede consultar en (Prieto, et al., 1993), en el que se destacan los tiempos de reacción y el número de aciertos.

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en tanto que se debe retener la representación para “n” dobleces, mientras que se construye la representación para “n+1” dobleces. Figura 3: Figuras usadas en el experimento de Shepard & Feng

Fuente: Pylyshyn, 2003, p.290

Estos procesos mentales que marcan la diferencia, no siguen un mismo patrón en dos sujetos perceptores diferentes, así pertenezca a un mismo entorno social, económico y cultural. Las evidencias más claras se observan en las variadas actitudes que se manifiestan ante un evento cualquiera. Retomando el experimento de Shepard, autores como Pylyshyn están de acuerdo en la existencia de procesos mentales diferentes para realizar los dobleces. Es decir, el problema no es solo de conocimiento. En el campo educativo, las diferentes representaciones que hacemos de los objetos de conocimiento generan, igualmente, múltiples interpretaciones, algunas de ellas erradas. Es necesario, entonces, recurrir a herramientas que permitan mejorar nuestras representaciones y, consecuentemente, disminuir las grandes diferencias perceptivas del objeto representado. Una herramienta que da respuesta a esta necesidad es GeoGebra, en tanto que facilita 99


la construcción de objetos en diferentes campos del conocimiento. En este artículo presentamos representaciones gestálticas en GeoGebra como evidencia de un mayor campo de aplicación de la herramienta.

1. La Gestalt La investigación científica sobre la naturaleza de la visión biológica ha presentado confusión desde una pregunta filosófica central: ¿el mundo que vemos alrededor de nosotros es el mismo mundo real, o es simplemente una reproducción perceptiva de ese mundo? El neurocientífico Rodolfo Llinás afirma que los colores que vemos en los objetos son construcciones mentales, dichos objetos no poseen ese color, por el contario, lo rechazan; a ello se debe que veamos ese color. Esta postura no es aceptada por otros estudiosos del fenómeno. La mayoría de filósofos, por ejemplo, rechazan cualquier idea que suponga una percepción exacta de la realidad, idea que tildan de “realismo ingenuo”; una de sus discusiones se centra en si lo que vemos está en el objeto percibido o es una construcción de nuestra mente. Los científicos tienen sus propias disputas en torno a este fenómeno; desde la teoría newtoniana de la luz, pasando por la propuesta fisiológica de Helmholtz y Hering hasta llegar a los últimos hallazgos de la neurociencia, solo han quedado más y más interrogantes. Por su parte, los psicólogos hacen su aporte con diferentes posturas, entre ellas la Gestalt*. La mente, según la Gestalt, configura los elementos que llegan a ella a través de una interrelación entre la percepción visual y las representaciones que guardamos en nuestra memoria. En este artículo verificaremos que algunas formas o estructuras llegan a nuestra mente para ser configuradas en una forma distinta a la real. Igualmente, veremos como otras figuras, por su posición, aparentan imposibilidades geométricas. * El término Gestalt proviene del alemán y fue introducido por primera vez por Christian von Ehrenfels. No tiene una traducción única, aunque se lo entiende generalmente como “forma”. Sin embargo, también podría traducirse como “Figura”, “conFiguración” e, incluso, “estructura” o “creación”.

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El uso de GeoGebra, en algunos trabajos de la Gestalt, permite incluir ingredientes adicionales como la interactividad, las imágenes dinámicas y la posibilidad de ver las figuras eliminando los elementos distorsionantes o generadores de ilusiones. Parte del trabajo ha sido consultado en el ilusionario del profesor de Matemáticas Juan Luis Roldán Calzado (http://www.ilusionario. es/). Algunas imágenes, en especial las de movimiento ilusorio, fueron consultadas en la página del profesor japonés Akiyoshi Kitaoka: http://www.ritsumei.ac.jp/~akitaoka/index-e.html. Por otra parte, en http://www.michaelbach.de/ot/index.html se tienen publicadas 80 ilusiones ópticas de Michael Bach de la Universidad de Freiburgo (Alemania), algunas de ellas sirvieron de inspiración a ciertas actividades. Las ilusiones de contexto se basan en el trabajo del grupo de investigación del MIT: “Perceptual science group” liderado por Edward Adelson, algunos de sus resultados se pueden consultar en http://Web.mit.edu/persci/. Finalmente, en http://www.cut-the-knot.org/index.shtml se cuenta con una buena colección de ilusiones ópticas.

1.1 Las ilusiones de Akiyoshi Kitaoka Profesor del departamento de Psicología en la Universidad de Ritsumeikan en Kyoto. Es uno de los expertos que investiga activamente en la ciencia de las ilusiones visuales. El profesor Kitaoka define una ilusión como: “apreciación errónea de un objeto real”. Actualmente realiza investigaciones sobre ilusiones geométricas, cromáticas, luminosas, ilusiones móviles y el proceso visual. Para crear sus ilusiones, el profesor Kitaoka utiliza software de diseño gráfico como CorelDRAW, Adobe Illustrator, y el software de dibujo incluido en Microsoft Word, además de lenguajes de programación como Borland Delphi (Pascal). Todas las imágenes están construidas para comprobar hipótesis que sirven para avanzar en su estudio de las ilusiones y sus aplicaciones en otras funciones visuales. El 101


objetivo de su investigación es comprobar los mecanismos visuales a través de las ilusiones visuales. En un estudio para discernir por qué unas personas ven ilusiones y otras no, el profesor Kitaoka encontró una correlación estadísticamente significativa entre la edad y la magnitud de las ilusiones al utilizar su popular imagen “serpientes giratorias”. La cuestión de por qué la personas de mayor edad perciben menos ilusiones que las personas jóvenes está siendo investigada por sus colaboradores, pero la hipótesis de que eso esté relacionado con movimientos involuntarios de los ojo y con la medida de los movimientos de los ojos, dará respuestas a esta cuestión*. En su página personal (http://www.ritsumei.ac.jp/kic/~akitaoka/ index-e.html), Akiyoshi clasifica sus ilusiones en las siguientes categorías: de movimiento anómalo, rotacionales, de expansión y contracción, serpientes giratorias, de color, Op Art, geométricas modernas y geométricas clásicas. En la Figura 2 aparece su más conocida ilusión de serpientes rotando**. Otros tipos de ilusión, que producen falsos movimientos, son las ondas que hemos construido con GeoGebra (ver Figura 3). Akiyoshi llama esta ilusión: “The wave of an earthquake”.

* Información tomada de Infovis.net ** Esta imagen fue creada en 1999 y ampliamente publicada en 2003 en el libro de Akiyoshi “Trick eyes”.

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Figura 4: Serpientes de Akiyoshi

Fuente: http://www.ritsumei.ac.jp/kic/~akitaoka/index-e.html Figura 5: Ilusión de ondas, construida en GeoGebra

Fuente: http://geogebra.itm.edu.co/materiales/percepcion/percepcion.html

1.2 ¿Qué dice la neurociencia sobre este tipo de ilusiones? La primera ilusión visual documentada fue descrita por Aristóteles (384-322 a. C.) en su tratado Parva Naturalia. Aristóteles se dio cuenta de que si uno observa un curso de agua durante un tiempo,

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y seguidamente se posa la mirada sobre objetos inmóviles cercanos al agua, estos objetos parecen moverse en dirección opuesta a la de la corriente. La explicación a este fenómeno en particular y del movimiento ilusorio en general, la ofrecen la neurociencia a partir del comportamiento neuronal. La neurocientífica española Susana Martínez-Conde* y el neurocientífico americano Stephen L. Macknik presentan la siguiente versión científica:

Los neurocientíficos examinan los procesos cerebrales subyacentes a la percepción para entender nuestra experiencia del Universo, y las ilusiones visuales son una de sus herramientas más importantes. Pero, ¿qué es exactamente una ilusión visual? Se caracterizan por la disociación entre la realidad física y la percepción subjetiva de un objeto o evento en el espacio o el tiempo. Así, cuando experimentamos uno de estos “espejismos”.

podemos ver objetos que no existen, ignorar los presentes, o incluso ver distintas cosas de las que se encuentran frente a nosotros. Debido a esta disociación entre percepción y realidad, las ilusiones visuales ilustran aquellos procesos cerebrales que fracasan al recrear el mundo físico con exactitud. Estas desconcertantes imágenes ayudan a entender los métodos de computación que el cerebro usa para construir nuestra realidad.

* Susana Martínez-Conde es directora del Laboratorio de Neurociencia Visual en el Instituto Neurológico Barrows en Phoenix (Estados Unidos), es doctora en medicina y cirugía de la Universidad de Santiago de Compostela de España. En compañía de Macknik ha publicado varios artículos sobre las ilusiones visuales en revistas como Scientific American, Nature, Quo y Progress in Brain Research. Para mayor información, se puede consultar sus artículos en http://www.neuralcorrelate.com/smc/

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1.3 Aberturas Geogebra

generadoras de ilusión

- Capas

rotas en

1.3.1 La ilusión de Misha Pavel Los seres humanos yerran constantemente en su percepción del movimiento rotatorio vistos a través de una abertura (Shiffrar& Pavel, 1990, pág. 741)* . Una abertura se constituye en una restricción para la percepción visual, la cual se convierte en parte del contexto del objeto percibido. A veces, este nuevo elemento del contexto es preferido por nuestro sistema visual, en tanto que es rígido y demanda menor esfuerzo neuronal. De esta forma, prima la restricción sobre los otros elementos en movimiento. Según Shiffrar& Pavel: “The visual system has a preference to interpret the image as containing a single, rigid object”. Nuestro cerebro intenta representar la imagen en una escena coherente. En el cuadrado palpitante vemos poco la rotación del cuadrado cuando están presentes las aberturas, nuestra percepción se centra en lo que parece ser un crecimiento y decrecimiento continuo del cuadrado. Es decir, nuestro sistema visual se concentra en el movimiento más sensible, el de los bordes del cuadrado. Este movimiento hacia adentro y hacia afuera lo hace parecer palpitando. En la siguiente ilusión, diseñada con GeoGeobra, se observa a través de la abertura un movimiento continuo en una dirección, siendo imposible identificar la verdadera dirección del movimiento, pues todos los puntos observables se mueven en el mismo sentido.

* Maggie Shiffrar y Misha Pavel preesentan una amplia discussion en torno a este fenómeno en su artículo “Percepts of Rigid Motion Within and Across Apertures”, publicado en Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance , Vol. 17, No. 3

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Figura 6: Ilusión de abertura


1.3.2 Las

capas en

GeoGebra

y la ilusión de los postes del

barbero

La imagen ilusoria del problema de abertura es más popular en la tradicional ilusión del “poste del barbero” (barber pole illusion). En este caso la abertura está determinada por los soportes del poste. En el objeto diseñado con GeoGebra podemos evidenciar que al quitar los soportes, la dirección real del movimiento se hace manifiesta. El sistema visual resuelve la ambigüedad del movimiento asumiendo una dirección de un soporte a otro.

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Figura 7: Poste del barbero


Esta ilusión nos sirve para comprender el uso de capas en GeoGebra. En la imagen derecha se observan las líneas rojas, azules y blancas que debemos poner en movimiento. Esto se logra si el contorno gris y los soportes hacen las veces de una abertura. Para ello dibujamos inicialmente las líneas (primera capa) y finalmente el contorno y soportes (segunda capa).

1.3.3 Las capas de GeoGebra y el cuadrado palpitante de Pavel Esta ilusión es sencilla de construir. Usamos dos capas para superponer los elementos que constituyen la ventana o abertura, a través de la cual se observa el cuadrado en movimiento o, si se prefiere, palpitando.

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Figura 8: Cuadrado palpitante


Conclusiones Las representaciones del mundo real pueden generar múltiples representaciones, situación que obliga a recurrir a herramientas que permitan una representación más cercana a la realidad, entre ellas los procesadores geométricos como el GeoGebra. En este artículo se demuestra que el uso de GeoGebra permite la creación de representaciones más efectivas y, subsidiariamente, se evidencia el poder representacional del software en imágenes complejas como las provenientes de la Gestalt, además de permitir la identificación de los factores generadores de ilusión o, si se prefiere, de los factores que propician interpretaciones del objeto representado lejanas al objeto en sí.

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Referencias bibliográficas [1] Ballesteros, S. (1993). Representaciones analógicas de percepción y memoria: imágenes, transformaciones mentales y representaciones estructurales. Psicothema, 5 (1), 7-19. [2]

Ibarra, A., & Larrañaga, J. (2007). ¿Los modelos de la ecología de poblaciones como representaciones interventivas? Representaciones, 3(2), 43-62

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Knuuttila, T. (2005a). Models as Epistemic Artefacts: Toward a Non-Representationalist Account of Scientific Representation. Recuperado el 10 de mayo de 2009 de http://ethesis.helsinki. fi/julkaisut/hum/filos/vk/knuuttila/.

[4] Knuuttila, T. (2005b). Models, representation, and Mediation. Philosophy of Science, 1260-1271. [5]

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[6] Pylyshyn, Z. (2003). Seeing and visualizing: it’s not what you think. Cambridge: The MIT Press. [7] Prieto, G., Carro, J., Orgaz, B. & Pulido, R. (1993). Análisis cognitivo de un test informatizado de visualización espacial. PsicoTeham, 5 (2), 293-301. [8] Shepard, R., & Metzler, J. (1971). Mental Rotation of ThreeDimensional Objects. Science, 171(3972), 701-703. [9] Wittgenstein, L. (1953). Philosophical investigations. Traducción de G. E. Anscombe. Oxford: asil Blackwell Ltd, 1983.

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9. PROPUESTAS DE ACTIVIDADES PARA RECONOCER LA INDEPENDENCIA DE LAS NOCIONES DE ÁREA Y PERÍMETRO DE FiguraS PLANAS

Tulio R. Amaya De Armas Institución Educativa Madre Amalia, Colombia [email protected] Natalia F. Sgreccia Universidad Nacional de Rosario Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, Argentina [email protected]

Resumen Se pretende compartir con los participantes una secuencia de actividades que favorezcan el desarrollo de su pensamiento geométrico, al enfrentarlos a secuencias didácticas utilizando el programa GeoGebra, que los lleven a analizar la independencia de las nociones de área y perímetro de figuras planas, aprovechando la potencia del programa y la posibilidad de visualizar gráfica, algebraica y en hoja de cálculo, sincrónica y simultáneamente, una misma construcción. Esta actividad se ha aplicado anteriormente en actividades de formación de profesores, siendo muy llamativa la creencia en personas matemáticamente alfabetizadas, de la existencia de dependencia entre el perímetro y el área de figuras planas.

Palabras

clave: secuencias didácticas, nociones de área y perímetro, independencia, pensamiento geométrico, software

Abstract We want share with the participants a sequence of activities that promote the geometrical thinking when they use the software GeoGebra in didactical sequences that allow them to analyze the 110


independence of the notions of area and perimeter of plane figures. All these will be taking advantage of the potential of the software and the possibility of the visualization of a same construction by a graphic, algebraic and a calculus’ view, and by a synchronic and simultaneous manner. This activity has been applied before in several instances of training teachers, in which we could notice that alphabetized people in Mathematics had the belief about the existence of dependence between the perimeter and the area of the plane figures.

Keywords: didactical sequences, notions of area and perimeter, independence, geometrical thinking, software

Introducción Desde tiempos inmemorables, el trabajo con objetos geométricos siempre ha sido retador, para quienes se han ocupado de las matemáticas de alguna forma, o para aquellos que por diversas razones, las usan. De ahí la importancia de que la enseñanza de la geometría “se deba hacer dando oportunidades a los estudiantes para desarrollar distintos tipos de actividades que permitan explorar, formular conjeturas y experimentar situaciones que les permitan explicar, probar o demostrar hechos” (Trumper, Río y Sánchez, 2011, p. 2), que los obliguen a reflexionar sobre las propiedades de los objetos geométricos estudiados y de las relaciones entre sus diferentes elementos, como es el caso de su perímetro, su área y su volumen. Para Sevillano (2008) resulta imprescindible este tipo de enfoque constructivista, preocupado no tanto de transmitir cuanto de poner a los alumnos en condiciones de elaborar su propio conocimiento, desde ese trabajo individual, pero también desde la participación del trabajo en grupo y considerando el contexto desde el que se interactúa. Esta autora considera además, que “las

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tecnologías de la información y la comunicación (TIC) tienen un importante potencial de mejora de la educación y de la formación” (p. 270). Tan retador como el uso de la geometría, es su enseñanza. Para abordar este reto, se propone hacerlo desde la geometría dinámica o interactiva, la cual se concibe como el uso de una serie de objetos elementales (puntos, circunferencias, polígonos, etc.) a partir de los cuales es posible construir nuevos objetos (ejemplo: mediante dos puntos se puede construir una recta), de forma que al modificar las condiciones de los objetos iniciales se modifican automáticamente las características de los objetos finales, permaneciendo las relaciones establecidas entre los objetos primarios (López, 2009). Según Duval (1999), para que una representación pueda funcionar como tal, y se puedan reconocer dos representaciones del mismo objeto, se necesita disponer de por lo menos dos sistemas semióticos que representen al objeto que se quiere representar y que se pueda pasar espontáneamente de un sistema semiótico a otro sin siquiera notarlo. Donde, además, no es posible aislar la noesis de la semiosis, es decir, no se puede separar el contenido representado de la correspondiente forma que lo representa. Para Duval (2004) no hay otro medio de acceso a los objetos matemáticos que las representaciones semióticas. Una muy buena alternativa para el desarrollo de este tipo de actividades, la proporcionan los software de geometría dinámica, desde los cuales se pueden visualizar diferentes representaciones de los objetos geométricos en estudio, partir de esta visualización y comprobar tanto intuitiva como analíticamente, los parámetros que se puedan identificar en cada representación, con los de las otras, variar algunos de ellos en una de sus representaciones, y ver qué sucede con los otros en las otras representaciones.

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Más aún, las posibilidades que ofrecen las representaciones dinámicas, desbordan lo posible en ambientes físicos, y permiten que se realicen experimentaciones muy potentes, con baja dificultad en las operaciones y en la graficación, caso contrario sucede cuando se grafica sin usar este tipo de herramientas como instrumentos. Este hecho puede permitir dedicar más tiempo a las reflexiones y al significado de las relaciones entre los elementos que forman la situación y al análisis que a las operaciones. Buscando favorecer el desarrollo de pensamiento geométrico de los participantes, se pretende enfrentarlos a una serie de secuencias didácticas sobre la construcción de polígonos, utilizando el programa GeoGebra con el fin de analizar la independencia de las nociones de área y perímetro de algunas figuras planas, que según Trumper, Río y Sánchez (2011), permitan la interacción dinámica con la Matemática, en un ámbito en que se reúna la Geometría, el Álgebra y el Cálculo.

Metodología Se expondrá mediante la modalidad de ponencia una secuencia de actividades para favorecer el desarrollo de pensamiento geométrico en los asistentes. Con la ayuda del software dinámico GeoGebra, partiendo de la construcción de un cuadrado se les pedirá analizar la relación de dependencia entre su perímetro y su área, se reflexionará sobre las respuestas aportadas por cada uno de los participantes en una representación dinámica del cuadrado, al mover el deslizador; luego se cambiará el tipo de polígono y se volverá a los puntos de la reflexión anterior, haber si las concepciones sobre la dependencia o independencia entre el perímetro y el área del polígono se han modificado o se mantienen, luego de manipular y explorar, en un ambiente de mera experimentación. Un ejemplo de las actividades que se van a proponer es:

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Enfrentarlos a las secuencias didácticas, cuyos momentos son (Fig.1): • Crear un deslizador, cuyo intervalo sea de 0 a 10 y el incremento de 1 • Definir los puntos en la barra de entrada: A=(0,0); B=(a,0); C=(a,a) y D=(0,a) • Crear un cuadrado, utilizando como vértices los puntos A, B, C, D • Habilitar la Hoja de Cálculo y en ella definir: Perímetro y Área • Mover el deslizador y observar cómo varían los valores del área y del perímetro del cuadrado. Figura 1: Construcción realizada al seguir todos los pasos señalados


Que expongan, para luego analizar, sus concepciones: • Arribar a alguna conclusión con respecto a la variación del área. También para la variación del perímetro

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• Observar cómo se relacionan estas dos medidas entre sí. Inferir si son dependientes o independientes Profundizar en sus concepciones acerca de la independencia entre perímetro y área, con las siguientes actividades: • Dar ejemplos de dos Figuras planas que tengan: - igual área y distinto perímetro (Fig. 2) - igual perímetro y distinto área Figura 2: Ejemplo de dos Figuras planas con igual área y distinto perímetro


• Dar ejemplos de Figuras planas a las que se les aplica alguna modificación y se obtiene otra Figura con: - perímetro mayor y: área mayor; área igual; área menor (Figura 3) - perímetro igual y: área mayor; área igual; área menor - perímetro menor y: área mayor; área igual; área menor

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Figura 3. Ejemplo de una Figura plana a la que se le aplicó una modificación (recorte de un triángulo) y se obtuvo otra de menor área y mayor perímetro


Finalmente se desea poder llegar a construir, de manera genuina con los participantes, la independencia de las nociones de área y perímetro de Figuras planas, con su respectiva justificación. Se utilizarán diferentes sistemas semióticos de representación, como el tabular, el gráfico, el algebraico y el icónico, que posibilitarán comparar diferentes registros de la figura poligonal analizada en su momento, identificar los mismos elementos en los diferentes registros y asignar sentido. En ocasiones anteriores, los participantes realizaron construcciones concretas con papel, donde pudieron manipular, palpar e identificar los elementos de cada figura y, a partir de ello, mejorar su comprensión de los conceptos involucrados.

Resultados y discusión Esta actividad, con diversas variantes -empleando cartulinas, tijeras, geoplanos, hilos, gomas elásticas, entre otros- se ha venido realizando desde hace más de cinco años en actividades de formación de profesores, tanto en la instancia inicial como continua. En todos los casos ha resultado llamativo cómo personas supuestamente

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alfabetizadas matemáticamente, tienen entre sus concepciones la idea de dependencia (y no de independencia) entre el área y el perímetro de figuras planas. La exploración de su potencial con el empleo de software de geometría dinámica es incipiente, por ello se desea socializar esta propuesta para, por un lado, apoyar el tratamiento de este concepto matemático para quienes todavía no lo han hecho y, por otro lado, nutrir el diseño de la actividad a partir del intercambio con colegas. Ya en los ambientes donde se ha aplicado esta propuesta, se ha visto aflorar la capacidad de asombro de los profesores participantes, al ver en el software GeoGebra y las posibilidades que este ofrece, un medio a través del cual poder contextualizar ejemplos en diferentes representaciones y compararlas, al poderlas visionar todas a la vez, manipular alguna y analizar los cambios que se producen en las otras. Visualización que se puede hacer en cada una de las tres vistas que ofrece: Gráfica, Algebraica y de Hoja de Cálculo, vinculadas cada una de ellas dinámicamente a las demás en una adaptación automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara originalmente. Según Herrera (2011) las herramientas y procedimientos basados en nuevas tecnologías, hacen viable que la exploración, la experimentación, la modelización y la simulación, puedan incorporarse de manera fundamental en las actividades matemáticas de los estudiantes. Probablemente muchos de los profesores en la actualidad, estarán de acuerdo con el planteamiento de que antes de una formalización matemática rigurosa, el alumno debería antes reunir evidencias de fenómenos matemáticos, lo que es una muestra del cambio de paradigma que ha ido experimentado la educación matemática. Se rescata el uso de software de geometría dinámica para el reconocimiento de relaciones geométricas, en este caso: la

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independencia entre dos medidas básicas de figuras planas. Para reconocer tal independencia, la exploración de numerosos y variados ejemplos se presenta como fructífera. Para ello el software puede constituirse en un andamio de considerable ayuda. Se considera propicio también, cómo se anticipa previamente, su articulación con otros recursos didácticos oportunamente seleccionados por el docente.

Conclusiones La habilidad de ejemplificar es fundamental al enseñar Matemática, pues permite contextualizar y profundizar los conceptos involucrados desde sus atributos y propiedades, conocer casos en los que se cumplen las condiciones necesarias y suficientes y casos en los que no, pensar en variantes de acuerdo a las consignas solicitadas. La geometría dinámica mediada por software como el GeoGebra ofrece esta posibilidad. Todas estas habilidades, a su vez, nutren las posibilidades de acceso a los objetos matemáticos desde las representaciones semióticas que favorecen habilidades, que luego de un proceso de interacción con las actividades y el software propuesto, se espera que desestabilicen, acomoden y quede la expectativa para iniciar un trabajo similar en su contexto de actuación.

Referencias bibliográficas [1] Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Cali: Universidad del Valle. [2] Duval, R. (2004).Los problemas fundamentales en el aprendizaje de las Matemáticas y las formas superiores del conocimiento. Cali: Universidad del Valle.

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[3] Herrera, M. (2011). Introducción al Capítulo de Uso de recursos tecnológicos en el proceso de aprendizaje de las Matemáticas. En P. Lestón (Ed.). (2011). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (pp.1106-1108), Vol. 24. México, DF: Colegio Mexicano de Matemática Educativa A.C. y Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A.C. [4] López, D. (2009). Las Matemáticas en Secundaria con Software Libre.Curso GeoGebra – primeros pasos. CEP Cuevas-Olula + CEP El Ejido + CEP Almería, Marzo-Mayo. [5] Sevillano, M. (2008). (Coord.) Nuevas Tecnologías en Educación Social. Madrid: McGraw Hill. [6] Trumper, R., Río, M. y Sánchez, D. (2011). Geometría dinámica y polígonos. XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, Recife, Junio, 1-11.

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10. O USO DA GEOMETRIA DINÂMICA EM MATERIAIS DIDÁTICOS ONLINE PARA FORMAÇÃO A DISTÂNCIA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA Rony Claudio de Oliveira Freitas Instituto Federal do Espírito Santo [email protected]

Resumen Este artigo apresenta uma experiência com uso de applets construídos com o GeoGebra, utilizados em atividades concebidas dentro da Metodologia de Resolução de Problemas. Tais atividades foram desenvolvidas para comporem um dos módulos de cursos de formação continuada para professores de Matemática atuantes no Ensino Médio da rede pública de ensino do Estado do Espírito Santo – Brasil. Foi escolhido para investigação o curso de Trigonometria por ser o que mais faz uso do recurso em análise. Mais especificamente, foi estudado o segundo módulo de tal curso, que era composto de questionários que contemplavam apenas interações entre cursistas e o ambiente virtual de aprendizagem, sem mediação do tutor. Foram avaliados dois momentos: o processo de produção do material didático online, onde o foco era a abordagem metodológica; e os dados coletados após o término do curso, contemplando análise quantitativa e qualitativa dos resultados, avaliação das atividades dos professores e depoimentos coletados no ambiente. Os resultados apontam para o potencial das ferramentas utilizadas, havendo melhoria na visão dos professores com relação a conteúdos que consideram difíceis de serem ensinados.

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Palavras

chave:

Resolução de Problemas; Educação a Distância; Geometria Dinâmica; Material Didático Online

Abstract This paper presents an experience with applets built with GeoGebra, used in activities based in solving problems Methodology. These activities were developed to compose one of the modules of continuing education courses for mathematics teachers of public high school of Espírito Santo State - Brasil. The course of Trigonometry was chosen to be investigated because it use a lot of applets. More specifically, we studied the second module of this course, which consisted of questionnaires that included only interactions between course participants and the virtual learning environment, without mediation of the tutor. We evaluated two moments: the production process of online teaching material, in what the focus was the methodological approach; and data collected after the end of the course, making quantitative and qualitative analysis of the results, evaluation of the teachers’ activities and testimonies collected in the virtual classroom. The results indicate the potential of the tools used, with improvement in teachers’ vision in relation to content they consider difficult to be teached.

Keywords: Solving Problems, Distance Education, Dynamic Geometry, Online teaching material

Introduçäo As ações voltadas para a educação a distância em nosso país têm se intensificado nos últimos anos, muito disso graças à criação, em 2005, da Universidade Aberta do Brasil. Porém, embora questões relacionadas ao uso das tecnologias de informação e comunicação já estejam bastante resolvidas, ainda há uma longa caminhada a trilhar

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quando nos referimos a estratégias metodológicas a serem adotadas nessa modalidade de ensino. Escrevi este artigo na tentativa de contribuir com esse processo de busca por possibilidade de ações, relatando uma pesquisa desenvolvida durante uma etapa da formação a distância oferecida para professores de Matemática do ensino médio da rede pública do estado do Espírito Santo - Brasil. Este texto se foca especificamente nas situações em que a Geometria Dinâmica, utilizando o GeoGebra, foi utilizada para criação de atividades que pudessem se inserir dentro de uma perspectiva metodológica de resolução de problemas. Quando nos referimos à resolução de problemas é comum se encontrar na literatura classificações quanto ao seu uso. Stanic e Kilpatrick (1989), por exemplo, trazem três temas gerais que caracterizam o papel da resolução de problemas nos currículos de Matemática das escolas: resolução de problemas como contexto, como capacidade e como arte. Branca (1997) diz que até a década de 1990 a resolução de problemas era descrita dentro de três concepções: como meta, como processo ou como habilidade básica. No entanto, a partir da década de 1990 a resolução de problemas passa a ter outra dimensão, passando a ser enxergada e utilizada como metodologia para ensino e aprendizagem da Matemática, inicialmente. A partir daí, o avanço de pesquisas na área concebe para a resolução de problemas um conjunto de estratégias relacionadas com o processo de ensino-aprendizagem, originando assim a Metodologia de Resolução de Problemas. É nessa perspectiva que utilizo tal expressão neste texto e achei importante já pontuar neste momento, embora essa discussão volte mais à frente. Desde 2007 professores de Matemática do Ensino Médio, da rede pública estadual do Espírito Santo - Brasil, estão inseridos em uma formação continuada, voltada para discussões acerca de conteúdos matemáticos, linhas de pesquisa em educação Matemática e temas

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pedagógicos. O processo de formação foi denominado Multicurso Matemática e tem sido desenvolvido em parceria entre a Secretaria Estadual de Educação do ES, a Fundação Roberto Marinho e professores de Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo - Ifes. A terceira etapa dessa formação, ocorrida em 2010, se deu na modalidade de educação a distância, utilizando o ambiente Moodle. Para selecionar os conteúdos desses cursos foram tomados como referência a Avaliação do Programa de Formação Continuada – Marco Um (INNOVA, 2009), relatórios tutoriais, avaliações de atas e atividades coletivas feitas por tutores, interações entre tutores e professores e pesquisas atuais em educação Matemática. Com relação à Avaliação Marco Um (2009), mais especificamente, foram considerados o desempenho dos alunos em 2008 e 2009 e os conteúdos que os professores se sentiam menos à vontade de ensinar e/ou que apontavam como difíceis para o aluno aprender. Quanto às interações entre tutores e professores, foram consideradas as experiências com formação dos professores nas etapas 1 e 2 do Multicurso, quando a formação ocorria com encontros presenciais. Os conteúdos escolhidos foram Geometria, Trigonometria e Função Exponencial, escolha justificada pelos fatores listados a seguir: • Apenas 30,5%, em 2008, e 39,0%, em 2009, afirmaram ter conforto para ensinar Geometria aos alunos, enquanto 25,1% e 30,0%, respectivamente, diziam ser esse conteúdo aquele que os alunos tinham maior dificuldade. • Apenas 16,5%, em 2008, e 26,0%, em 2009, afirmaram ter conforto para ensinar Trigonometria aos alunos, enquanto 61,9% e 50,2%, respectivamente, diziam ser esse conteúdo aquele que os alunos tinham maior dificuldade. • As funções exponenciais foram apontadas como confortáveis para ensinar por apenas 10,6% dos professores em 2008 e 19,2% em 2009.

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Conhecidos os conteúdos, o próximo passo era pensar na organização dos cursos. A opção foi por organizar em cursos de curta duração, cada um deles focando uma área/conteúdo de Matemática. Os cursos foram estruturados buscando referências na Metodologia de Resolução de Problemas, valorização do diálogo e das experiências prévias dos professores/cursistas. O objetivo principal de cada curso era discutir um dos conteúdos matemáticos selecionados, se possível de forma contextualizada. Pretendia-se que após a atividade o professor tivesse maior conforto no planejamento e no desenvolvido do conteúdo em sala de aula e ainda que pudesse, a partir daí, buscar novas possibilidades de trabalho, de forma a contribuir para a aprendizagem de seus alunos. Cada atividade de aperfeiçoamento foi estruturada em uma sala de aula virtual na plataforma Moodle, divida em 4 semanas/módulos. A primeira semana trazia uma problematização, sempre que possível relacionada a alguma situação real, de possível interesse dos cursistas, que serviria de ponto de partida, o disparador de toda discussão que seria feita no curso. A segunda semana apresentava atividades online com mediação do tutor para discussão e aprofundamento do conteúdo. A terceira semana propunha uma problematização para ser resolvida em grupo com a ferramenta Wiki, tendo como foco conteúdos matemáticos. A quarta semana trazia uma nova problematização, porém dessa vez com foco na discussão pedagógica e finalizava com um retorno ao problema inicial. As atividades eram pensadas de forma a fazer uso da Metodologia de Resolução de Problemas como norteadora das diversas ações propostas. Ao se escolher essa abordagem, abrimos possibilidades não apenas para a valorização daquilo que já foi construído, mas também para a descoberta de novas interligações não antes vislumbradas. Para Freire (2005) utilizar a problematização como

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estratégia didática é também uma forma de libertação, uma vez que o desafio proposto tende a contribuir para as possíveis interligações, podendo contribuir de forma significativa para a ligação entre o conhecimento da vida e o conhecimento acadêmico. Partindo desse ponto de vista, o que se propunha, metodologicamente falando, era uma ruptura com o “sistema explicador” (RANCIÊRE, 2007, p. 23). Para esse autor não há necessidade de uma explicação para “socorrer uma incapacidade de compreender”. Isso significa que é totalmente viável que se caminhe no sentido de trazer situações problematizadoras reais, possíveis e desejáveis. Para Freire (2005), além das aulas baseadas em explicações há outro tipo de aula em que o educador, mesmo que aparentemente não fazendo a transferência do conteúdo, “também anula a capacidade de pensar criticamente do educando ou a obstaculiza”, seriam aquelas exposições baseadas na repetição. Polya (1995) diz que se o professor de Matemática dedica seu tempo a exercitar os alunos em operações rotineiras, ele perde uma grande oportunidade e acaba por matar nos educandos o interesse, impedindo seu desenvolvimento intelectual. O grande desafio, portanto, era levar essa perspectiva para um ambiente virtual de aprendizagem de modo a favorecer as possibilidades de descobertas, o diálogo e a vontade de aprender. O uso de Applets produzidos com o software GeoGebra, principalmente, tem sido importante na proposição de situações que possam ao mesmo tempo motivar o cursista e dar autonomia para tomadas de decisões, proposições de conjecturas e experimentações, ajudando na construção de objetos de aprendizagem que dialoguem com a abordagem metodológica pretendida. Neste artigo as discussões e análises foram restritas ao curso de Trigonometria, por ser o curso onde mais fizemos uso do GeoGebra. Mais especificamente concentro-me nas atividades da segunda semana/módulo, que foi a que mais nos desafiou, pois se tratava 125


de questões que exigiam feedback automatizado. O desafio era: ¿como criar questões automatizadas, via questionário, de forma a não cair em um “sistema explicador” (RANCIÊRE, 2007) e estivesse condizente com a perspectiva metodológica de resolução de problemas?. O objetivo da pesquisa aqui relatada foi, portanto, analisar a inserção da geometria dinâmica nos materiais didáticos online preparados para cursos de formação de professores de Matemática ofertados na modalidade a distância, em atividades que contemplavam interação entre cursista e ambiente virtual.

Metodologia A pesquisa realizada, de cunho quantitativo e qualitativo, foi feita em dois momentos distintos: no processo de estruturação dos cursos e produção do material didático online (o autor deste artigo participou desse processo) e no término dos mesmos levantando dados que apontassem para quebras de paradigmas e superação das dificuldades iniciais. O primeiro momento da pesquisa teve como objetivo verificar se as atividades propostas no material didático online se aproximavam daquilo que os autores denominam “situação problema”. Vila e Callejo (2006, p.29) conceituaram como problema aquela situação, com finalidade educativa, cujo método de solução não é imediatamente acessível ao aluno ou ao grupo de alunos resolvedores que tentam resolvê-lo e, para isso, deverá buscar, investigar, estabelecer relações e envolver suas emoções para enfrentar a nova situação que lhes apareceu. Essa mesma definição é dada por Pozo (1998, p.16), que ainda complementa que uma mesma situação pode ser um problema para um e não ser para outro, simplesmente por esse não se interessar pela situação.

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O segundo momento a pesquisa focou-se nos resultados alcançados. Para isso recorri aos às atividades realizadas pelos estudantes, em depoimentos dos mesmos, colhidos no ambiente virtual de aprendizagem, e nos relatórios da avaliação da formação, produzido por consultores externos ao processo.

Resultados e discussäo A perspectiva construcionista de Papert (1994) tem sido preferida quando se fala do uso do computador na educação. Há, no entanto, várias possibilidades para se fazer tal uso, entre elas: • O computador como ferramenta de apoio ao trabalho docente à nessa perspectiva o professor utiliza o computador para tornar as suas aulas mais dinâmicas. • O computador como ferramenta de manipulação à aqui o aluno é protagonista, embora as atividades tenham sido previamente pensadas e preparadas pelo professor. • O computador como ferramenta de investigação à os alunos são desafiados por uma situação problema e eles precisam encontrar estratégias, mobilizar conhecimentos prévios e buscar novos conhecimentos para resolvê-la. No curso aqui apresentado optamos pela segunda forma, utilizando applets produzidos com o GeoGebra para que fossem manipulados pelos cursistas e a partir daí pudessem estabelecer comparações, inferências e conjecturas, se posicionando acerca de algumas afirmativas. O segundo módulo do curso de Trigonometria, escolhido para análise, propunha quatro atividades, tipo questionário, todas como quatro afirmativas para que o cursista assinalasse como Falso ou Verdadeiro. As atividades tinham como foco discussões que ajudassem o cursista a responder a uma situação problema inicial proposta no primeiro módulo do curso. No caso estudado

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a proposição inicial era: ¿Você já sabe ou parou para pensar como funcionam as usinas hidrelétricas e o que é Corrente Alternada? ¿E o que isso tem a ver com trigonometria?. As atividades do segundo módulo eram estruturadas de modo a promover um percurso formativo que pudesse ajudar o cursista a buscar elementos que o ajudasse a construir conceitos, fazer descobertas e organizasse sua forma de pensar a respeito do assunto em discussão. Ao final de cada uma dessas atividades o sistema dizia quantas das opções estavam corretas e o cursista podia optar se queria voltar para refazer as questões ou finalizar a atividade. Após essa finalização lhe eram mostrados os feedbacks de cada uma das alternativas. Abaixo há um exemplo de uma das quatro atividades do segundo módulo do curso de Trigonometria (fig.1, fig.2 e fig.3). Figura 1: Atividade 3 do curso de Trigonometria – contextualização parte 1

Fonte: http://www.fisica.seed.pr.gov.br/modules/noticias/article.php?storyid=314

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Figura 2: Atividade 3 do curso de Trigonometria – contextualização parte 2

Fonte: http//sites.uol.com.br/m.albernaz/generadores.htm

Figura 3: Atividade 3 do curso de Trigonometria –applet


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As questões, com seus respectivos feedbacks problematização são colocadas no quadro 1, a seguir:

para

essa

Quadro 1. Questões propostas na atividade 3 do curso de Trigonometria com feedbacks

Questão

Feedback

A corrente alternada gerada é uma senoide. Quando mais rápido a bobina girar, maior será a corrente gerada. Os valores absolutos de máximo e mínimo da corrente são iguais.

Verdadeira, a senoide é a curva que representa a função seno. Falso, a velocidade do giro da bobina interfere diretamente no período da função e não na amplitude. Verdadeiro, os valores de máximo, também chamado de crista, e de mínimo, ou vale, de uma função seno são simétricos. Sendo assim os valores absolutos são iguais. A corrente elétrica assume tanto Verdadeiro. Se lembrarmos que a corrente elétrica é valores positivos quanto valores o movimento dos elétrons, isso significa dizer que negativos. os elétrons ora circulam em um sentido, ora em outro sentido. Fonte: Elaborado pelo autor

Percebe-se, na atividade, uma problematização inicial: “¿Será que trigonometria ajuda a modelar correntes elétricas alternadas? ¿Qual seria a melhor função para representá-la?”. Para Skovsmose (2007, p.203) o ensinar Matemática significa oferecer o melhor ambiente possível para que o estudante possa construir seu próprio conhecimento, entendendo que esse ambiente também inclui as práticas comunicativas entre professor e estudantes e todos os outros aspectos relevantes que possam facilitar construções. Nesse caso é necessário que se entenda mais uma vez que esse conhecimento é construído de forma diferente por cada estudante. Pode-se observar que, embora se trate de um questionário, as opções que os cursistas podem fazer não estão postas a priori, ou seja, não há uma instrução anterior, as opções são dependentes da manipulação do objeto construído com o GeoGebra.

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Embora a quantidade de acertos não indique necessariamente que as metas propostas foram alcançadas, é um indicador importante pelo menos no que diz respeito ao caráter autônomo que a atividade propicia. Os cursistas foram divididos em quatro turmas, cada uma delas com um tutor diferente. A tabela 1 abaixo mostra os resultados relativos à turma da qual o autor deste artigo foi o tutor. Tabela 1. Percentual de cursistas em relação ao número de acertos nos itens da atividade 3 do curso de Trigonometria

Quantidade de acertos 4 itens 3 itens 2 itens 1 item Total

Percentual de cursistas 86,3% 8,4% 4,2% 1,1% 100%

Fonte: Curso de Trigonometria FRM/SEDU.

Pode-se notar que, mesmo não havendo uma “explicação” inicial, houve um alto índice de acertos, o que nos leva a crer que a atividade motivou a busca por caminhos e conhecimentos necessários para se chegar às repostas. A atividade, dessa maneira, foi não somente adequada, mas conseguiu estimular curiosidade e a sua resolução, despertando o gosto pelo pensamento independente. Os depoimentos, ao final do curso, reforçam essa afirmação. O mais interessante de tudo que nós vimos neste roteiro do Multicurso foi a relação íntima entre a trigonometria e a geração de energia. Eu, particularmente, nunca havia relacionado as duas coisas e sentia a necessidade de encontrar uma aplicação prática para a trigonometria que era um conteúdo muito abstrato. (Cursista1) A minha descoberta mais surpreendente foi como a energia é gerada. Sempre achei que fosse uma coisa que nunca entenderia

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e gostei muito mesmo de ter participado de tudo isso. [...] Estou realmente cheia de ideias para trabalhar o assunto com meus alunos. (Cursista2) Quando estudamos novas teoria e novas possibilidades percebemos como nossa prática melhora. Sempre ensinei trigonometria de modo descontextualizado. Com esta experiência do Multicurso percebi que podemos sim melhorar. (Cursista 3) O que me chamou atenção foi exatamente a ideia de corrente alternada associada à trigonometria, algo que para mim era novidade e que me interessei tanto que resolvi aprofundar no tema para uma possível realização de um trabalho do tema com meus alunos. (Cursista 4) Ao todo, 509 cursistas concluíram do curso de Trigonometria. A avaliação externa indicou que 95,8% deles consideraram que o curso foi importante e 68,3% afirmaram que as atividades propostas foram pouco ou nada difíceis. A proficiência dos estudantes na área aumentou 4% de 2008 para 2009 e 8,2% de 2009 para 2010, o que pode significar uma melhoria na abordagem feita em sala de aula. Os professores, de modo geral, disseram que o curso contribuiu para sua aprendizagem, esclarecimentos de dúvidas, aumento dos seus conhecimentos com relação a tecnologias e inovações pedagógicas, motivação para aprofundar seus conhecimentos matemáticos e segurança para ensinar os conteúdos envolvidos.

Conclusoes A intenção deste artigo foi mostrar um pouco da utilização do GeoGebra na construção de propostas que possam ser inseridas dentro da metodologia de resolução de problemas, em cursos de formação continuada a distância de professores de Matemática. Trouxe aqui uma estruturação da proposta com alguns resultados

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colhidos na execução de um curso preparado para discutir conteúdos relacionados com a Trigonometria. A proposta foi mostrar que a utilização do GeoGebra para criação de objetos de manipulação pode ajudar na investigação, no diálogo, na construção de conjecturas e na resolução de problemas, estimulando a busca por novos conhecimentos e incentivando a adoção de novas estratégias e práticas em sala de aula. Os resultados apontam para o potencial das ferramentas escolhidas, havendo melhoria da visão dos professores com relação a conteúdos que consideram difíceis de serem ensinados. As opiniões dos professores envolvidos na formação indicam que as manipulações de atividades preparadas com o software GeoGebra contribuem para as conceituações prévias e motivam buscas por demonstrações formais e, consequentemente para o potencial da estruturação do curso dentro da metodologia de resolução de problemas.

Referencias bibliográficas [1] Branca, N. (1997). Resolução de problemas como meta, processo e habilidade básica. In Krulik, S.; Reys, R. E: A resolução de problemas na Matemática escolar (pp. 04-12), Atual, São Paulo, Brasil. Tradução de Hygino H. Domingues, Olga Corbo. [2]

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[10] Stanic, G. & Kilpatrick, J. (1989). Historical perspectives on problem solving in the mathematics curriculum. In R. I. Charles & E. A. Silver (Eds.): The teaching and assessing of mathematical problem solving (pp.1-22). Reston, VA: NCTM e Lawrence Erlbaum. [11] Vila, A. & Callejo, M. (2006). Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed.

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11. GEOGEBRA COMO VEHÍCULO PARA LA FORMACIÓN Y ACTUALIZACIÓN DE DOCENTES DE ENSEÑANZA MEDIA Fabián G. Vitabar Vaz Instituto de Profesores Artigas, Montevideo [email protected]

Resumen Uruguay está atravesando un importante proceso de provisión tecnológica de todas las aulas del país a partir del Plan Ceibal. Esto ha generado una gran demanda de formación por parte de los docentes, especialmente en el uso de GeoGebra en el aula. A partir del dictado de numerosos cursos para profesores enfocados en la planificación didáctica usando GeoGebra, se han analizado las reflexiones y producciones de los docentes. Surgen algunas regularidades sobresalientes: resulta difícil que los profesores logren concentrarse en las cuestiones didácticas ya que su preocupación por el uso de la tecnología acapara la atención; al mismo tiempo las características del entorno generado por GeoGebra facilitan que se fije la atención en los contenidos matemáticos e impulsan una modalidad de trabajo colaborativa y cuestionadora. Los cursos para docentes que atienden acertadamente estas precauciones se convierten en valiosas experiencias de formación permanente y desarrollo profesional.

Palabras

claves:

formación de profesores, Didáctica de la Matemática, trabajo colaborativo, TIC

Abstract Uruguay is involved in an important technological program, providing computers to every classroom in the whole country (Plan

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Ceibal). Teachers have been requesting training programs specially about using GeoGebra in their classrooms. Considering several courses focused in this aim, we have analyzed teacher’s reflections and productions. There are a few regularities: it’s not easy that teachers accomplish a didactical focus without being concentrated in technological issues; simultaneously the GeoGebra’s environment promotes collaborative work, critical sense and mathematical concepts focusing. Those teachers training courses that successfully take care of these items become in valorous experiences of continuous capacitation and professional growing.

Keywords: teacher’s training, Mathematics Education, collaborative work, ICT

Introducción Uruguay está atravesando un importante proceso de provisión tecnológica de todas las aulas del país. El «Plan Ceibal», impulsado desde la Presidencia de la República, persigue fundamentalmente este objetivo. Inició como una implementación del proyecto OLPC (One Laptop Per Child), y se ha extendido con características propias. Al momento de escribir el presente trabajo, todos los alumnos de las escuelas primarias disponen de su ordenador personal, y casi todos los alumnos de secundaria también. En cuanto a los docentes, se han entregado computadores a todos los docentes de Primaria, a casi todos los de Secundaria, y actualmente también se están entregando equipos a los estudiantes de formación docente. La conectividad también ha crecido notoriamente, puesto que todas las instituciones educativas tienen puntos de acceso libre a internet, y también se han colocado multiplicadores en todas las plazas públicas del país. En este momento, es posible afirmar que cualquier hogar que desee tener acceso a internet puede hacerlo sin mayores esfuerzos.

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De acuerdo a lo que se puede observar en diversas partes del mundo, puede haber distintas estrategias, educativas y políticas, para promover el uso de TIC en el aula. En el caso de Uruguay, se ha optado por comenzar con una provisión agresiva de equipamiento con un marcado impacto social, y no restringido exclusivamente al ámbito del aula. Más aún: las mayores repercusiones se han sentido en los barrios y no en las escuelas. Para acompañar estos cambios desde la formación de docentes ha intentado hacer una propuesta de capacitación en simultáneo con la provisión tecnológica, pero en los hechos apenas se pudo garantizar alguna instancia de formación técnica (en cuestiones de informática) previa a las entregas de las computadoras, y ninguna formación didáctica que pudiera percibirse. La sensación general de los docentes ha sido ampliamente positiva, especialmente en primaria, quienes reconocen sinceramente la urgencia de que las prácticas escolares se adapten a los medios actuales. Por lo general, los docentes viven este desafío desde su responsabilidad profesional y ética: es necesario formar a los jóvenes para un mundo mediado por la tecnología. No obstante, las fundamentaciones de este discurso están regidas primordialmente por el apremio: es necesario incluir las TIC en el aula porque el mundo actual así lo requiere. Se escuchan pocas reflexiones que tengan que ver con que los aprendizajes de los alumnos mejorarán si se incorporan tecnologías al aula. Al mismo tiempo, los docentes se perciben a sí mismos como carentes de formación específica para aprovechar la tecnología en el aula. Esta inseguridad proviene, sustancialmente, de un manejo poco ágil de las herramientas informáticas. Se percibe que los docentes se sienten en desventaja incluso en relación con sus propios alumnos, específicamente por la velocidad en que estos últimos adoptan las TIC naturalmente.

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Nuevamente, vemos la preocupación fundamental del docente en el uso concreto de la tecnología, y no tanto en la reflexión didáctica que debería estar asociada a un cambio de instrumentos en el aula. Existe en el ambiente una cierta ilusión de que la sola incorporación de la tecnología en el aula mejorará los aprendizajes de los alumnos. Es posible percibir esto en variadas políticas educativas, que por ejemplo exigen cierto número de horas de clase dictadas con computadora, o que identifican el uso de TIC como un indicador de calidad docente (sin preguntar siquiera para qué se usan). De todos modos, no es fácil discriminar bien las sensaciones cuando el que analiza es protagonista a la vez. Por un lado, el docente que se veía desafiado por el uso de la tecnología, dadas sus limitaciones personales, una vez que logra incorporarla en el aula (por mínimo que sea el uso que se le dé), se siente muy conforme consigo mismo, generándose una sensación de autosatisfacción muy fuerte. Por otro lado, y simultáneamente, es lógico esperar que los mismos alumnos encuentren la motivación más fácilmente cuando se enfrentan a este nuevo recurso en el aula; ellos suelen manifestar que la clase les gustó más, fue entretenida, y animan al profesor a que se repita la instancia. Obsérvese que se trata de dos componentes muy potentes que inciden en la autoevaluación del docente, pero ninguna de ellas refiere directamente a la calidad de los aprendizajes de los estudiantes. Estamos ante la presencia de un falso indicador de calidad de una propuesta didáctica con tecnologías.

Metodología El autor de este trabajo fue responsable de numerosos cursos de capacitación para estudiantes de formación docente y docentes en servicio, tanto de educación primaria como secundaria. Si bien se dieron en modalidades diversas (presenciales, a distancia, con más

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o menos extensión en el tiempo) en todas ellas se tuvo en cuenta el análisis de la realidad antedicho para el diseño de las propuestas. Todos los cursos se enfocaron fundamentalmente en el uso de GeoGebra en el aula, yendo más allá de la mera operación del software. Se procuró, de acuerdo con lo explicado, poner como eje rector lo didáctico, y no lo tecnológico. Del mismo modo se procuró siempre promover el trabajo colaborativo y concretar los productos en el diseño de actividades didácticas de aplicación concreta e inmediata en las aulas de cada participante.

Resultados El análisis de las reflexiones y producciones de los docentes participantes en estas instancias formativas permite detectar varias constantes, recogidas a partir de las intervenciones en los foros de discusión de los cursos a distancia y de los trabajos presentados (que consistían en diseños de actividades para el aula).

Algunas regularidades detectadas Los docentes están de acuerdo en el discurso acerca del rol del profesor en el aula: debe ser un dinamizador, un generador de oportunidades de aprendizaje y no un transmisor de conocimiento. También acuerdan en que la tecnología no debe ser un fin en sí misma, sino una herramienta para provocar aquellas situaciones que el docente pretende. Podemos decir entonces que hay una gran homogeneidad en el discurso de los docentes acerca de los fines del uso de TIC en el aula y el rol del docente que se requiere. También hay gran disparidad en las competencias personales que los docentes manifiestan en el uso de la informática. Esta disparidad se percibe en docentes de diferentes edades, y no sucede que los más jóvenes sean más competentes que los mayores, como podría suponerse.

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Se observa también que el diseño de actividades para el aula basadas en GeoGebra provoca en algunos docentes un escenario desconcertante. Esto se aprecia al comparar las ideas que manifiestan al crear actividades para el aula tradicional con las propuestas que realizan para el trabajo con TIC. Estas últimas suelen ser mucho más sencillas y menos desafiantes (desde el punto de vista de la construcción del conocimiento matemático) que las primeras. Una posible explicación radica en que los docentes pueden estar suponiendo que sus alumnos se encontrarán con algunas trabas en la operación del software similares a las que ellos encuentran; por ejemplo, es frecuente que los alumnos lleven a cabo las tareas en mucho menos tiempo de lo que el docente supone. Se da el caso de profesores que son ávidos usuarios de la tecnología. Su cercanía con este entorno digital los vuelve también cercanos a los estudiantes. Pero sucede con frecuencia que estos docentes centran sus propuestas de clase en un eje tecnológico, priorizando la operación del software en sí mismo. De alguna manera, parecen asumir que un uso experto del programa provocará un mejor aprendizaje en los estudiantes. Cuando se trabaja con un grupo de docentes en cursos para aprender a utilizar GeoGebra, se alteran las características de las relaciones profesionales. Los que tienen más experiencia, que suelen tener una voz protagonista en lo que refiere al trabajo cotidiano del aula, se sienten ahora en inferioridad de condiciones con respecto a los más jóvenes. Las relaciones tradicionales de autoridad y referencia se reconstruyen, dando lugar a una situación original. Esto constituye una privilegiada oportunidad para comenzar desde cero, y que todos sientan que van recorriendo un mismo camino, en el que el trabajo colaborativo es indispensable. Del mismo modo, puede aprovecharse esta instancia para equilibrar la tensión entre lo didáctico y lo tecnológico, dando alternadamente el protagonismo

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a diversos docentes según el aporte especifico que cada uno puede brindar. GeoGebra propone un «ambiente» de trabajo en el que las reglas de juego son el conocimiento matemático. Dicho de otro modo: quien no sabe Matemática no podrá utilizar competentemente las herramientas que ofrece GeoGebra. Aquí se provoca una situación muy valiosa para la formación de docentes, puesto que exige al usuario una reflexión profunda en el contenido matemático que desea enseñar.

Conclusiones A partir de las observaciones realizadas es posible sugerir algunas líneas que pueden resultar valiosas para otras propuestas de capacitación docente similares. En primer lugar, destaquemos que la inmensa mayoría de los profesores que participaron en estas actividades evaluaron muy positivamente las instancias formativas. Ellos rescatan la aplicabilidad de lo aprendido y lo enriquecedor del trabajo colaborativo. Entendemos entonces que es aconsejable optar por una metodología que promueva estas dinámicas y que de algún modo también incentive a los participantes en continuar trabajando así más allá de los cursos de capacitación. El entorno informático es aún desconcertante para muchos docentes. Por eso es fundamental referir constantemente al contenido matemático que se pretende enseñar, evitando que el eje se ubique en la tecnología. Debería promoverse una reflexión permanente de cuáles son los objetivos que se persiguen a través de cada pequeña actividad que se propone en el aula. Considerando todas las inseguridades que el profesor puede sentir al embarcarse en este tipo de tareas, es fundamental que reconozca la seguridad en la gestión de los aspectos didácticos de su clase, ya que en eso radica su profesión.

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Referencias bibliográficas [1] Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 7(2), 33-115. [2]

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12. ORQUESTACIÓN INSTRUMENTAL DE UN AMBIENTE INFORMÁTICO DE APRENDIZAJE: LA NOCIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Víctor M. Uribe Villegas Institución Universitaria Antonio José Camacho [email protected], [email protected]

Resumen El presente trabajo se inscribe en el campo de la Didáctica de las Matemáticas, especialmente en la línea de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación (TIC). En este, se indaga las características didácticas y los elementos de la teoría instrumental y de la teoría de las situaciones didácticas que se deben considerar en el diseño de un ambiente informático de aprendizaje, el cual tendrá como finalidad el estudio de la función exponencial en el grado noveno de la educación media. Este proyecto se está realizando tomando como enfoque metodológico una aproximación a la Microingeniería Didáctica, en la que se pondrá en juego representaciones numéricas, algebraicas y geométricas de la función exponencial, asociadas mediante un parámetro de variación.

Palabras

clave:

ambiente informático de aprendizaje, función exponencial, génesis instrumental, orquestación instrumental, situación didáctica

Abstract The present workshop is registered in the field of the Didactics of Mathematics, especially in the line of the Information and Communication Technologies (ICT). In this one, I´m trying to

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investigate the didactic characteristics and the theoretical elements that must be considered, from the instrumental theory and from the theory of the didactic situations, in the design of a computer environment of learning, which will take as a purpose, the study of the exponential function in students of ninth grade of the average education. This project is completed including an approach as a methodological approach for the Didactic Micro engineering, in which one will apply numerical, algebraic and geometric representations of the exponential function, associated by means of a parameter of change.

Keywords: Computer environment of learning, exponential function, instrumental genesis, instrumental orchestration, didactic situation

Incorporación

de tecnología en los procesos de enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas:

¿un problema?

La integración de herramientas tecnológicas en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas, se ha de concebir en un contexto propicio para ello. En este sentido Trouche (2004) ha introducido la noción de ambiente informático de aprendizaje (AIA) como una noción que se caracteriza, desde un enfoque ecológico, como un lugar, real o virtual, donde habitan personas y artefactos; que privilegia la iniciativa y la actividad de los estudiantes y donde los recursos informáticos están disponibles para fortalecer y mantener en actividad a los estudiantes. Pero los artefactos que hacen parte del AIA solo cobrarán sentido en la medida que los estudiantes, a través de su interacción, los constituyan en instrumentos. Este proceso, concebido desde Rabardel (1995) como génesis instrumental, permite constituir al instrumento como una entidad mixta conformada por el artefacto mismo y los esquemas mentales de acción que ha desarrollado el sujeto. 144


Ahora bien, Trouche (2005) ha introducido la noción de orquestación instrumental para referirse a la configuración didáctica de los AIA y sus modos de funcionamiento. La orquestación instrumental propende por mantener los procesos de génesis instrumental dentro de un AIA. Desde esta perspectiva y con los elementos en consideración expuestos anteriormente, la orquestación instrumental de un AIA genera múltiples cuestionamientos: En primer lugar, un objeto matemático se define en un sistema simbólico de representaciones y su sentido lógico está confinado a aquello que dice su definición matemática. En el AIA se busca propiciar el aprendizaje de dichos objetos a través de la interacción de los estudiantes con múltiples actividades informáticas que trasciende la lógica de la definición matemática. Ahora bien, esta situación de ubicar un objeto matemático en un AIA, genera nuevas representaciones semióticas de dichos objetos que se pretenden enseñar, generando nuevas interpretaciones y transposiciones no contempladas en el lenguaje matemático. Estas transformaciones nuevas, están ligadas a lo que Balacheff (2000) llama fenómenos de transposición computacional, los cuales surgen al hacer cumplir los requisitos de la representación simbólica y de la representación computacional en un mismo ambiente. Un segundo problema ligado con la orquestación instrumental de un AIA está relacionado con los procesos de génesis instrumental, es decir, los procesos que hacen referencia a la construcción de un instrumento como un objeto cognitivo a partir de un artefacto dado. Desde la perspectiva de Rabardel (1999), la construcción de un instrumento establece una relación entre un artefacto, simbólico o material, aunado a los esquemas de acción que constituya el individuo. El problema que debemos considerar es la constitución de instrumentos por parte de los estudiantes en el AIA; en otras palabras, cómo lograr que se gesten procesos de génesis instrumental 145


que conlleven a desarrollar esquemas que le permitan al individuo relacionarse con el AIA y entender el objeto matemático en juego. En este enfoque instrumental, la noción de esquema está ligada a la perspectiva Piagetiana donde los esquemas explican como un sujeto construye sus instrumentos cognitivos para intercambiar información con un medio a través de la acción. Un tercer problema está asociado a la didáctica, en especial al rol que debe tener el maestro, el estudiante y el saber en el AIA. Es Brousseau (2007) quien fundamenta y caracteriza las configuraciones del medio donde habita el sistema didáctico. En esta perspectiva, el medio cobra un valor importante porque es el lugar donde se van a gestar las adaptaciones del sujeto, como producto de los desequilibrios que este le proporciona. El problema que se presenta es el tipo y diseño de situaciones que se deben disponer en el AIA para propiciar la adaptación del estudiante al ambiente y posibilitar la constitución de instrumentos desde la génesis instrumental. Retomando los tres problemas expuestos anteriormente y sus marcos teóricos a los cuales se afilian, podríamos decir que la incorporación de tecnologías informáticas, en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas se ubica en tres dimensiones: (1) una dimensión epistemológica en la que se debe considerar las representaciones semióticas de los objetos matemáticos a representar en el AIA junto a las imposiciones tecnológicas; (2) Una dimensión cognitiva en la cual nos preguntamos por aquellos procesos de génesis instrumental que permiten constituir un artefacto en instrumento y (3) Una dimensión didáctica en donde en el ambiente informático de aprendizaje interactúan el profesor, los estudiantes y un saber, y debemos considerar el tipo de situaciones didácticas y su diseño.

Orquestando un ambiente informático de aprendizaje Ahora bien, la noción de función constituye uno de los pilares de estudio tanto en la educación media como en la educación superior. 146


Hoy en día y por directrices del Ministerio de Educación Nacional (MEN) esta se empieza a formalizar en la educación media a partir de grado noveno. Entre las funciones a estudiar en este grado, aparece la función exponencial la cual está directamente ligada a los estándares básicos de competencias en Matemáticas propuestos por el MEN (2006). Estos estándares están orientados hacia el desarrollo de habilidades de visualización tal como las define Hitt (2003), pues promueven el estudio de las relaciones entre distintas representaciones de un mismo objeto matemático. Si queremos incorporar tecnología para el desarrollo de estos estándares, tomando como referencia la función exponencial y considerando los cuestionamientos en la orquestación instrumental de un AIA, desde los fenómenos de transposición informática, los procesos de génesis instrumental y la didáctica, la pregunta que nos surge es: ¿Qué caracteriza el diseño de un Ambiente Informático de Aprendizaje para la enseñanza de la noción de función exponencial en grado noveno, a partir de la teoría de situaciones didácticas y el enfoque instrumental?.

Aproximación a la microingeniería didáctica Para abordar este problema se está implementando un enfoque próximo a la microingeniería didáctica, la cual se caracteriza como una metodología de validación interna, centrada en estudio de casos. Esta metodología está conformada por cuatro fases.

Fase I: Análisis preliminar En esta fase se está realizando el estudio de los diferentes marcos teóricos del proyecto de investigación y se está articulando una estructura de análisis desde tres dimensiones: La epistemológica centrada en documentar los sistemas matemáticos de representación

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de la función exponencial desde consideraciones históricas, y en un ambiente informático de aprendizaje (en este estudio se usará el GeoGebra). Una dimensión cognitiva que pretende documentar las potencialidades y limitaciones que surgen en el AIA desde la génesis instrumenal y la caracterización de los fenómenos de instrumentación e instrumentalización en el AIA que se implemente; y una dimensión didáctica en la que se hará una revisión de la teoría de las situaciones didácticas para establecer la disposición del saber que estará en juego en el AIA, así mismo, el rol del maestro y de los estudiantes en el AIA. Fase II: Concepción y análisis a priori En esta fase se afianzará el instrumento teórico que permitirá diseñar el AIA, apoyándose en la Fase I. También se determinan las variables de análisis pertinentes al problema estudiado. Estas variables se clasifican en: (1) Variables Macro-didácticas, que se analizarán globalmente en el AIA y en las diferentes fases de las secuencias didácticas que se estructuren para el diseño. A manera de ejemplo, se puede establecer un parámetro que asocie las representaciones algebraicas de las funciones exponenciales con sus respectivas representaciones geométricas y (2) las variables microdidácticas pertinentes a cada una de las fases de la secuencia didáctica en juego. Una variable microdidáctica podría ser el cambio de ubicación del parámetro dentro de la representación algebraica de la función, por ejemplo la ubicación de p en cada caso: f(x)+p y f(x+p) . Fase III: Experimentación En esta fase, se pondrá en juego el AIA que se diseñe y se recolectará la información para evidenciar las hipótesis planteadas en la fase de los análisis a priori. Esta fase se implementará con estudiantes

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de grado Noveno que se encuentren en el periodo académico que corresponda con el estudio de las funciones exponenciales según la programación de la institución. Fase IV: Análisis a-posteriori y validación En esta fase se validarán o refutaran las hipótesis planteadas en el análisis a priori, contrastándolas con los resultados obtenidos en la experimentación. Esta fase permitirá establecer unas conclusiones finales del trabajo elaborado.

A manera de conclusión

La incorporación de tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, no ha de ser un proceso enmarcado en una didáctica ingenua por parte del maestro, en una concepción en la que se da por hecho el uso de tecnología como un garante del aprendizaje, o en la que se considere la incorporación de tecnología un proceso de modernización del quehacer docente. El problema de la orquestación instrumental de un ambiente informático de aprendizaje debe constituirse en un proceso de reflexión del maestro en el que ha de considerar elementos epistemológicas del objeto matemático de estudio y sus transformaciones en el AIA; debe considerar elementos cognitivos asociados al aprendizaje de sus estudiantes en el AIA, y considerar elementos didácticos que respondan a la orquestación del ambiente, el rol del maestro, del estudiante y del saber que en él se encuentran.


Balacheff, N. (2000). Entornos informáticos para la enseñanza de las Matemáticas: complejidad didáctica y expectativas. En M. N. Piquet, Matematicas y educación: retos y cambios desde una perspectiva internacional. 149


[2] Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoria e situaciones didacticas. Buenos Aires: Libros del Zorzal. [3] Hitt, F. (2003). Una reflexíon sobre la construcción de conceptos matemáticos en ambintes con tecnologia. Boletin de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. X, No. 2 . [4]

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[5] Rabardel, P. (1995). Les hommes et les tecnologies. Une approche cognitive des instruments contemporains. .Paris: Armand Colins. [6]

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13. EJEMPLOS DE SECUENCIAS DIDÁCTICAS CON PIZARRA INTERACTIVA Elkin Alberto Castrillón Jiménez Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Carlos Alberto Rojas Hincapié Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen Los proyectos de producción de Contenidos Educativos Digitales Interactivos parten de las temáticas y contenidos de una asignatura especifica con el empleo de las TIC en el aula de clase donde el docente puede producirlos a partir de la integración y combinación secuencial de varios Objetos de Aprendizaje (OA) virtuales en una Secuencia Didáctica (SD) y utilizarlos con los estudiantes para conseguir un mejoramiento en el proceso de enseñanza/aprendizaje como estrategia metodológica innovadora. Partiendo de la combinación secuencial de varios Objetos de Aprendizaje que pueden estar elaborados con applets (GeoGebra, Descartes, wxMaxima, entre otros), explicar como se genera la elaboración de una Secuencia Didáctica (Introducción, exploración, ejercicios y evaluación) y lograr construir los conceptos de una asignatura.

Palabras

clave:

contenidos educativos digitales, objeto de aprendizaje, secuencia didáctica, innovación educativa

Abstract Projects to produce digital interactive educational content depart from the themes and contents of a specific subject with the use of 151


ICT in the classroom where the teacher can produce them from the integration and sequential combination of several virtual Learning Objects (VOA) in a Didactic Sequence (DS) and use with students to achieve an improvement in the teaching / learning and innovative methodological strategy. Starting from the sequential combination of several learning objects that can be made with applets (GeoGebra, Descartes, wxMaxima, among others), explain how they generate the elaboration of a Didactic Sequence (introduction, exploration, exercise and evaluation) and able to build the concepts of a subject.

Keywords: digital educational content, learning object, didactic sequence, educational innovation

Introducción El docente a partir de su experiencia y la de sus alumnos puede adentrarse en el diseño de contenidos educativos digitales apoyado en las características de los usuarios al que van dirigidos (sus propios estudiantes) tales como habilidades, actitudes, competencias, contexto de acceso y empleo de los contenidos, conocimientos previos, aspectos socioculturales y psicosociales, y disponibilidad de los recursos en relación con las TIC. Apoyado en herramientas de software libre como GeoGebra, Descartes, entre otros y con código abierto puede construir los applets de tecnología java que le permitirán crear la codificación HTML para ser publicados en formato Web y ser vistos en los principales navegadores como Internet Explorer, Mozilla Firefox, Google Chrome, Netscape, Opera. Logrando el docente una producción atemporal y a muy bajo costo que le servirán como herramientas de uso didáctico en el aula y fuera de ella.

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Metodología La producción de contenidos educativos digitales tiene como referencia el modelo de Objeto Digital Educativo (ODE) con soporte digital el cual tiene tres características básicas: • Su finalidad es facilitar un cierto aprendizaje del usuario • Es independiente de los demás porque tiene significado propio por sí mismo • Admite una integración modular de jerarquía creciente, es decir, se puede integrar con otros objetos para dar lugar a otro más complejo En la Figura 1 se aprecia la estructura de los contenidos digitales en arquitectura modular de jerarquía creciente para un ODE, el Recurso Educativo (RE) es el ODE más amplio de toda la jerarquía. Figura 1: Estructura de los contenidos digitales en arquitectura modular de jerarquía creciente


El Objeto de Aprendizaje (OA) resulta de la integración de varios elementos multimedia el cual se enfoca como un elemento didáctico especifico como recurso digital, autocontenible y reutilizable, con un propósito educativo. La secuencia didáctica (S D) se obtiene al desarrollar y aplicar un diseño de instrucción completo a la combinación de varios Objetos 153


de Aprendizaje creados previamente. La S.D. supone un proceso completo de enseñanza y aprendizaje con los siguientes pasos: • Introducción • Exploración • Ejercicios • Evaluación A continuación se explica en los ejemplos las pautas de diseño de una S.D. y el entorno visual a manera de Pizarra Interactiva con ejemplos para un curso de Cálculo Integral y otro de Matemáticas: • Uso individual / colectivo • Predomina la interacción • Aleatoriedad • Entorno visual (Botones, Instrucciones, ventanas emergentes) • Accesibilidad (Uso de un lenguaje claro y conciso) • Contador de aciertos o fallos • Refuerzo significativo • Tiempo límite. Ejemplo 1: Tomamos una Pizarra Interactiva de la asignatura Cálculo Integral (Rivera, 2011: http://gnomon.itm.edu.co/calculo/index.html) del Instituto Tecnológico Metropolitano (ITM) conformado por 16 Objetos de Aprendizaje elaborados con el software DESCARTES como se muestra en la Figura 2, estos pueden ser trabajados en línea o ser descargados en un dispositivo portable, también su uso puede ser individual o colectivo (la aleatoriedad permite que los usuarios observen ejercicios diferentes) en un aula de clase con predominio de interacción.

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Figura 2: Pizarra Interactiva de la asignatura Calculo Integral elaborada con OAs de DESCARTES

Fuente: http://gnomon.itm.edu.co/calculo/index.html

Se puede abrir cada objeto como se observa en la Figura 3 con su entorno visual (botones, instrucciones, ventanas emergentes), dentro de cada objeto en la parte inferior derecha del interactivo se encuentra el botón (i – muestra la documentación del interactivo) con el cual se puede abrir la ventana emergente de documentación como se aprecia en la Figura 4, la cual nos indica que se puede navegar entre los apartados con el menú de botones de la parte inferior del OA (Introducción – Exploración – Ejercicios – Evaluación). En la Figura 3 esta seleccionada por defecto la ventana Introducción del OA.

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Figura 3: Ventana del paso Introducción del OA seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Calculo Integral

Fuente: http://gnomon.itm.edu.co/calculo/index.html. Figura 4: Ventana emergente de documentación del paso Introducción del OA seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Calculo Integral

Fuente:http://gnomon.itm.edu.co/calculo/index.html.

En la Figura 5 está la ventana de Exploración del OA, la cual le permite al usuario explorar varias opciones del tema tratado en el OA.

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Figura 5: Ventana del paso Exploración del OA seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Calculo Integral

Fuente: http://gnomon.itm.edu.co/calculo/index.html.

En la Figura 6 está la ventana de Ejercicios del OA, la cual le permite al usuario estudiar una gran cantidad de ejercicios por su diseño con aleatoriedad en los ejercicios del OA con lo cual se busca que la actividad del OA agote el tiempo del usuario y no que el usuario agote la actividad del OA, es decir, se le puede programar un tiempo límite para cada ejercicio si se desea. En la Figura 7 se muestra la ventana de evaluación la cual contiene refuerzo significativo y si se desea se puede colocar controles de contador de aciertos o fallos y tiempo límite si se desea.

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Figura 6: Ventana del paso Ejercicios del OA seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Calculo Integral

Fuente: http://gnomon.itm.edu.co/calculo/index.html. Figura 7: Ventana del paso Evaluación del OA seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Calculo Integral

Fuente: http://gnomon.itm.edu.co/calculo/index.html.

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Ejemplo 2: En este ejemplo tomamos OA publicados en la página Web del Instituto GeoGebra de Medellín (IGM) para conformar una Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas (Castrillón, 2011: http:// GeoGebra.itm.edu.co/materiales/algebra/algebra.html)del Instituto Tecnológico Metropolitano (ITM) conformado por Objetos de Aprendizaje elaborados con el software GeoGebra 4.0 como se muestra en la Figura 8, 9 y 10. Estos pueden ser trabajados en línea o ser descargados en un dispositivo portable, también su uso puede ser individual o colectivo (la aleatoriedad permite que los usuarios observen ejercicios diferentes) en un aula de clase con predominio de interacción. Figura 8: OA de Matemáticas elaborados con GeoGebra 4.0

Fuente: http://GeoGebra.itm.edu.co/materiales/algebra/algebra.html.

La Figura 9 es un objeto de aprendizaje de la línea recta: Intercepto – pendiente con aleatoriedad y en la Figura 10 es un objeto de aprendizaje de dominio y rango de gran utilidad como ayuda para determinar el dominio y rango de una relación en forma gráfica. Los applets y archivos .ggb de GeoGebra se pueden descargar del vínculo http://GeoGebra.itm.edu.co/materiales/algebra/algebra. html.

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Figura 9. OA de ecuación de la línea recta: intercepto - pendiente de la asignatura Matemáticas


Figura 10. OA de dominio y rango – análisis gráfico de la asignatura Matemáticas


La Figura 11 es creada con el OA seleccionado de la página Web de la línea recta: Intercepto–pendiente, con aleatoriedad. Puede ser trabajada en línea o desde un dispositivo portable, su uso puede ser individual o colectivo (la aleatoriedad permite que los usuarios

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observen ejercicios diferentes) en un aula de clase con predominio de interacción. Figura 11. Ventana del ejemplo 3 con el OA seleccionado (Ecuación de la línea recta: intercepto – pendiente) en la Pizarra Interactiva de la asignatura de Matemáticas


La Figura 12 es creada con el OA de la página Web de dominio y rango: análisis gráfico. Figura 12. Ventana del ejemplo 1 con el OA seleccionado (Dominio y rango: Análisis gráfico) en la Pizarra Interactiva de la asignatura de Matemáticas (Cálculo Diferencial


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Resultados y discusión Comprender cómo los contenidos educativos digitales interactivos con secuencias didácticas ayudan a sus alumnos en el proceso de retención de conceptos donde «la intención es “abrir los ojos” para que la mente aborde adecuadas observaciones geométricas y a partir de ellas desarrolle estrategias de resolución eficientes» (Rivera, 2009: 12).

Conclusiones En experiencias con el uso de secuencias didácticas, en el Instituto de Tecnologías Educativas del Ministerio (ITE), con los recursos que ofrecen las TIC se logra «interactividad, modularidad, adaptabilidad y reusabilidad, interoperabilidad y portabilidad» (ITE, 2010: 5), con la gran ventaja que los recursos se pueden trabajar en línea o descargarlos para trabajar fuera de línea (portables) sin la necesidad de conexión a la internet. Los estudiantes que han empleado estos OVA han encontrado el «material de ayuda dinámico e interactivo para entender y visualizar conceptos matemáticos subyacentes.» (Hohenwarter et al, 2008: 7). En La elaboración de una Pizarra Interactiva es muy importante la accesibilidad (Uso de un lenguaje claro y conciso) para los usuarios y usuarias que los van a utilizar con determinadas necesidades educativas. La Pizarra Interactiva con GeoGebra es una nueva innovación educativa generada desde el ITM para la comunidad académica de todo el mundo, gracias al apoyo de su creador «Markus Hohenwarter y su equipo internacional dedicado al desarrollo de GeoGebra 4.0» (Hohenwarter, 2012: http://wiki.GeoGebra.org/es/ Manual:P%C3%A1gina_Principal).

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Castrillón, E. (2011). Material didáctico de algebra. Medellín, Colombia: Instituto Tecnológico Metropolitano. Recuperado de:http://GeoGebra.itm.edu.co/materiales/algebra/ algebra.html. Fecha de consulta: 9 de Julio de 2012

[2] Hohenwarter, M. et al. (2008). Teaching and calculus with free dynamic mathematics software GeoGebra. 11th International Congress on Mathematics Education. Mexico: ICME 11 [3] Hohenwarter, M. (2012). Manual: Página Principal. U.K.: MediaWiki. Recuperado de:http://wiki.GeoGebra.org/es/ Manual:P%C3%A1gina_Principal. Fecha de consulta: el 7 de Julio de 2012 [4] Instituto de Tecnologías Educativas. (2010). Proyecto de elaboración de contenidos. Mexico: Universidad Nacional Autónoma de México. Recuperado el 9 de julio de 2012 de http://www.slideshare.net/fernandoposada/descartespi-20. [5]

Rivera, J. et al. (2009). Geometría Interactiva. Medellín, Colombia: Fondo Editorial ITM.

[6]

Rivera, J. (2011). Proyecto PI Calculo Integral. Medellín, Colombia: Creative Commons. Recuperado el 9 de julio de 2012 de http://gnomon.itm.edu.co/calculo/index.html.

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14. USO DE GEOGEBRA PARA LA DETERMINACION DE LOS PUNTOS NOTABLES RESPECTO DE UN TRIÁNGULO, A PARTIR DEL CONOCIMIENTO DE LA LONGITUD DE SUS LADOS Hernán D. Ortiz Alzate Miembro Del Grupo ELIME-ADIDA Miembro Del Grupo Descartes Colombia [email protected]

Resumen En esta ponencia se da a conocer a la comunidad académica las fórmulas algebraicas desarrolladas por el autor, con las cuales se establecen las coordenadas de los puntos notables respecto de un triángulo en términos de la longitud de los lados, sin que se requiera de procesos constructivos elaborados. Fórmulas que, una vez introducidas en el software dinámico GeoGebra, permiten que se logre visualizar la variación de la ubicación de los puntos notables respecto de un triángulo, cuando, haciendo uso de las herramientas del software, como los deslizadores o casilla de entrada, se modifica la longitud de los lados en valores exactos predeterminados, para cada uno de ellos

Palabras

clave:

Incentro, Gravicentro, Ortocentro, Circuncentro,

Recta de Euler

Abstract This paper provide information to the academic community about algebraic formulas developed by the author, which sets the coordinates of notable points on a triangle in terms of the length of the sides, without the need of elaborate construction processes. Formulas that, once introduced into the dynamic software GeoGebra, allow visualize the variation in the location of the notable points to a 164


triangle, when, making use of software tools, as sliders or input box, is modified the length of the sides in exact values predetermined, for each of them.

Keywords: Incenter, Centroid, Orthocenter, Circumcenter, Euler line

Introducción En el desarrollo de la geometría se acostumbra determinar la ubicación de los puntos notables del triángulo por métodos sintéticos, analíticos o dinámicos. Los métodos sintéticos, los cuales son propios del modelo «euclidiano» y basados en una axiomática más o menos explícita (Gascón, 2002) corresponden a procedimientos constructivos, con regla y compás, sin referencia a un sistema de coordenadas, los cuales conllevan la inexactitud propia de los instrumentos y la imprecisión en la manipulación de éstos por parte del dibujante, siendo métodos netamente intuitivos. Para el caso de establecer la mediatriz de un segmento, por el método sintético, se trazan circunferencias de igual radio desde los extremos del segmento, de tal manera que se logren interceptar, determinándose los puntos de corte entre éstas (teorema de existencia y axiomas de continuidad), lo cual se hace intuitivamente, para luego trazar la recta que une dichos puntos de corte y que corresponderá a la mediatriz del segmento (ver Figura 1).

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Figura 1. Uso del método sintético para el trazado de la mediatriz de un segmento


Por su parte, los métodos analíticos, propios del modelo «cartesiano», cuya práctica se sustenta en las técnicas del álgebra lineal y cuya axiomática suele quedar más implícita”(Gascón, 2002), arrojan datos exactos, con referencia a un sistema de coordenadas. Los métodos analíticos requieren de gran desempeño matemático y cálculos diversos, siendo netamente abstractos, en los cuales se acostumbra el uso de ayudas visuales. Para el caso de establecer la ubicación del gravicentro de un triángulo, por el método analítico, se parte del conocimiento de las coordenadas de los vértices del triángulo y la posterior determinación de parámetros como puntos medios, pendientes, ecuaciones de rectas y puntos de intersección, todo haciendo uso de fórmulas y procedimientos de la geometría analítica, en los cuales difícilmente se parte de conocer las longitudes del triángulo (ver Figura. 2).

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Figura 2. Uso del método analítico para el trazado del gravicentro de un triángulo


Los métodos dinámicos son los más versátiles porque permiten una excelente visualización a partir de la manipulación de software dinámico creado para tal fin, como lo es el software libre GeoGebra, con el cual se simplifica el proceso que demanda las construcciones sintéticas. Para el caso de determinar la ubicación de los puntos notables respecto de un triángulo, por el método dinámico, se hace uso de las herramientas del software, en este caso GeoGebra (ver Tabla 1 y Fig. 3).

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Tabla 1. Herramientas del software GeoGebra para la construcción de los puntos notables respecto de un triángulo

Fuente: Elaboración del autor Figura. 3. Uso del método dinámico para la determinación de los puntos notables respecto de un triángulo


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Al respecto, Gómez (2004) plantea las ventajas que presentan las aplicaciones desarrolladas a través de la utilización de un programa de geometría dinámica. • Posibilita que las figuras adquieran vida propia mediante el movimiento • Permite ir a una fase del dibujo cualquiera que sea el momento de la exposición en la que nos encontremos • Permite aplicaciones para geometría en 2D y 3D. • Permite un aprendizaje individualizado ya que los diferentes dibujos realizados son susceptibles de ser colgados en la red mediante un applet en Java para que el alumno pueda repasar, desde su casa, la construcción paso a paso de acuerdo al ritmo que su aprendizaje impone Con el presente documento se hace divulgación de fórmulas algebraicas que permiten determinar la ubicación de los puntos notables respecto del triángulo y las distancias entre ellos, a partir del conocimiento de la longitud de los lados, sin que se requiera de procesos constructivos elaborados, cuya aplicación puede visualizarse mediante el software dinámico GeoGebra.

Determinación de los puntos notables respecto de un triángulo, con base trigonométrica

Para la determinar la ubicación de los puntos notables respecto de un triángulo, con base trigonométrica, se parte de considerar el triángulo de lados opuesto al vértice , opuesto al vértice y opuesto al vértice , y de considerar el ángulo θ entre los lados y (ver Fig. 4), con lo cual se establece un sistema coordenado con origen en el vértice B, quedando los vértices del triángulo como sigue:

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Figura. 4. Triángulo base


B(0,0)C (a,0) A(c cos q , csenq )

(1)

A partir de teoremas del triángulo, procedimientos analíticos y trigonométricos se llega a la determinación de las fórmulas para la ubicación de las coordenadas de los puntos notables respecto del triángulo del triángulo, con base trigonométrica: incentro (Iθ), circuncentro (Cθ), ortocentro (Oθ), gravicentro (Gθ). (2) (3) (4) (5)

Establecidas las coordenadas de los puntos notables respecto del triángulo, se determina la fórmula que da cuenta de la distancia entre el circuncentro (3) y el ortocentro (4), es decir la longitud del denominado segmento de Euler, así: 170


(6)

De igual manera, se establecen las coordenadas del centro de la circunferencia de Euler, es decir, el centro de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento de Euler, el cual, a su vez, corresponde al centro de la denominada circunferencia de Feuerbach o de los nueve puntos (circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo, los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices del triángulo y los pies de las alturas del triángulo), esto es

(7) Al determinar la distancia entre el circuncentro (3) y uno de los vértices del triángulo (1), es decir, el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo (rc), se tiene que este corresponde a:

(8)

Como la ordenada del incentro (2) corresponde a la distancia desde éste hasta el lado a, se tiene que dicha distancia corresponde al radio de la circunferencia inscrita en el triángulo (ri), esto es: (9)

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Dado que el radio de la circunferencia de Euler (re) corresponde a la mitad de la longitud del segmento de Euler (6), se tiene que:

(10)

Al determinar la distancia entre el centro de la circunferencia de Euler (7) y el punto medio de cualquiera de los lados del triángulo, se encuentra que el radio de la circunferencia de Feuerbach (rf), con base trigonométrica, corresponde a:

(11) Esto indica que, el radio de la circunferencia de Feuerbach corresponde a la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Coordenadas de los puntos notables en términos de la longitud de los lados del triángulo

Partiendo de las fórmulas con base trigonométrica y haciendo uso del teorema del coseno se obtienen las nuevas fórmulas para los puntos notables en términos de los lados: incentro (I(a,b,c)), circuncentro (C(a,b,c)), ortocentro (O(a,b,c)), gravicentro (G(a,b,c)). Así:

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(12) (13) (14) (15) (16) Las coordenadas del centro de la circunferencia de Euler y la circunferencia de Feuerbach en términos de la longitud de los lados del triángulo, serán:

(17)

Los radios de las circunferencias circunscrita, inscrita, de Euler y de Feuerbach en términos de la longitud de los lados del triángulo, corresponden a: (18) (19) (20) (21)

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Uso de GeoGebra para la determinación de los puntos notables de un triángulo, a partir del conocimiento de la longitud de los lados El programa dinámico GeoGebra se constituye en un excelente medio para visualizar la utilidad de las fórmulas divulgadas en este artículo, el cual, con su herramienta de deslizadores permite establecer la longitud de los lados a, b y c del triángulo y su variabilidad, de modo que, luego de introducir las correspondientes fórmulas de las coordenadas de los puntos notables y las del centro de la circunferencia de Euler, en términos de los lados del triángulo, se pueda observar su ubicación (ver Fig. 5). Figura. 5. Ubicación de los puntos notables del triángulo y el centro de las circunferencias de Euler y Feuerbach


Al ingresar las fórmulas para los radios de las circunferencias inscrita, circunscrita, de Euler y de Feuerbach, en términos de los lados del triángulo, y haciendo uso de la herramienta que traza las circunferencias dados el centro y el radio, se puede lograr la visualización de estas (ver Fig. 6).

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Figura. 6. Traza de las circunferencias circunscrita, inscrita, de Euler y de Feuerbach


De igual manera puede verse que al trazar el segmento (radio) que va desde el centro de la circunferencia de Feuerbach hasta el punto de intersección de esta circunferencia con el segmento que va desde el ortocentro hasta el vértice C, este es paralelo al segmento (radio) que une el circuncentro con el vértice C e igual a la mitad de su medida (ver Fig. 7). Figura. 7. Relación entre el radio de la circunferencia de Feuerbach y el radio de la circunferencia circunscrita


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Conclusión Las fórmulas algebraicas que determinan las coordenadas de los puntos notables respecto de un triángulo, en términos de la longitud de los lados, permite que, junto con las herramientas que proporciona el software dinámico GeoGebra, se logre la visualización de la variación en la ubicación de éstos, al modificar la longitud de sus lados en valores predeterminados, lo cual simplifica el proceso constructivo que generalmente se requiere al hacerlo con los métodos sintético, analítico y dinámico tradicionales.

Referencias bibliográficas [1] Gascón, J. (2002). Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato. ¿Dos mundos completamente separados?. Suma, 39, 13-25. Recuperado el 24 de junio de 2012 de http:// revistasuma.es/IMG/pdf/39/013-025.pdf. [2]

Gómez, J. (2004). Nuevos Planteamientos Metodológicos En La Enseñanza De La Geometría. Geometría Dinámica Con Cabri. XVI Congreso Internacional De Ingeniería Gráfica. Zaragoza, España.Recuperado el 24 de junio de 2012 de http://www. egrafica.unizar.es/ingegraf/pdf/Comunicacion17021.pdf.

[3]

Ortíz, H. (2010). Determinación de los puntos notables de un triángulo en términos de sus lados. En Cardeño, J. y otros (Au.). Lecciones de Matemáticas Número Cuatro. Propuestas Alternativas para La Enseñanza Aprendizaje de las Matemáticas (pp. 17 – 26). Medellín: Aires, CEID ADIDA[4] José Capmany y Beatriz Ortega (2007). Redes Ópticas. Valencia. Universidad Politécnica de Valencia.

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15. APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN GEOGEBRA* Jorge A. Bedoya Beltrán Universidad de Medellín [email protected] Diego I. Villa Chica Universidad de Medellín [email protected] Diana L. Londoño Londoño Universidad de Medellín. [email protected] [...] Porque, al fin, ¿qué es el hombre en la naturaleza? una nada frente al infinito, un todo frente a la nada, un medio entre nada y todo, infinitamente alejado de la comprensión de los extremos. El fin de las cosas y sus principios están para él invariablemente escondidos en un secreto impenetrable. Incapaz de ver la nada de donde ha sido sacado y el infinito donde es absorbido. [...] Faltos de la contemplación de esos infinitos, los hombres se han lanzado temerariamente a la búsqueda de la Naturaleza como si tuvieran alguna proporción con ella.» Pensamientos. B.Pascal (1623-1662)

Resumen Se presenta un enfoque para la enseñanza de ocho Principios Fundamentales, aplicados frecuentemente para la obtención de máximos y mínimos, expuestos por el Doctor Emiliano Álvarez**, basado en los recursos que ofrece el software GeoGebra. La propuesta de enseñanza que aquí se discutirá consiste en promover el aprendizaje de elementos del cálculo y la geometría a través de * Este artículo se desarrolla en el marco de la Maestría en Educación Matemática de la Universidad de Medellín y de su grupo de investigación SUMMA, en el cual se implementa el uso de las tecnologías como una de sus líneas de trabajo. y a su vez se desprende de una investigación más amplia titulada “Incorporación de nuevos medios por un colectivo de profesores–con-medios”, desarrollada por la Universidad de Medellín y cofinanciada por las Universidades de Antioquia y la UNESP-Brasil. ** Profesor de Matemáticas Universidad de Medellín desde 1970. Fue profesor de la Universidad de Antioquia de 1960 a 1970. Profesor del Instituto Tecnológico Pascual Bravo de 1966 a 1990. Ingeniero Civil de la Universidad Nacional Facultad de Minas de Medellín. Matemático de la Universidad de Antioquia. Orienta estudios de posgrado en la Universidad de Medellín: Lógica, Matemática, Álgebra moderna, Análisis de sistemas, Modelos estadísticos lineales.

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su representación y visualización en el software, sin necesidad de acudir previamente al conocimiento de reglas y definiciones. De ahí que la aplicación del GeoGebra es una herramienta bien importante para la solución de situaciones problemas, la representación de objetos matemáticos, para la construcción de conceptos matemáticos y la vinculación de la exploración con la formalización. Se ofrece un espacio en el que el estudiante a través de la aplicación y apropiación del GeoGebra, como un recurso didáctico en el proceso de enseñanza y aprendizaje, podrá relacionar elementos del cálculo diferencial con la geometría. La finalidad consiste en presentar algunos principios geométricos que se pueden aplicar para la obtención de máximos y mínimos a través de métodos geométricos, la modelación en GeoGebra y su aplicación en la solución de problemas. En el artículo se incluyen ejemplos y demostraciones de algunos de los principios que proporcionan una clara idea en favor de la propuesta didáctica (17) que aquí se presenta.

Palabras clave:Sistemas de representación semiótica, comprensión, Modelación, visualización, ambientes tecnológicos.

Abstract It presents an approach to the teaching of eight Fundamental Principles, frequently applied to obtain maximum and minimum, presented by Dr. Emiliano Alvarez, based on the resources offered for the GeoGebra software. The teaching proposal discussed here is to promote the learning of basic calculation and geometry through its representation and visualization software, without having to go prior to knowledge of rules and definitions. Hence the application of GeoGebra is a very important tool for mathematic solving problem situations, the representation of mathematical objects, for the construction of mathematical concepts and linking with the formal examination. It offers an opportunity in which the 178


student through the application and appropriation of GeoGebra as a teaching resource in the teaching -learning, can relate elements of differential calculus to geometry. The purpose is to present some geometric principles that can be applied to obtain maximum and minimum through geometrical methods, modeling in GeoGebra and its application in mathematic problem solving situations. The article includes examples and demonstrations of some of the principles that provide a clear idea in favor of the teaching proposal presented here.

Keywords: Semiotic representation systems, understanding, modeling, visualization, technological environments.

Introducción La educación debe ser una acción, en alguna instancia, de motivación y de movilización del pensamiento, el conocimiento y la razón; pensar en ella como un espacio de encuentro, si se quiere geográfico o virtual, de reflexión y posibilidad, además de compromiso con la condición humana. Desde el rol del educador y al abrigo de algunos de los instrumentos, por excelencia tecnológicos, que ofrece nuestra época es posible suscitar, en el acto de enseñar, otras relaciones, quizás mejores entre los seres humanos consigo mismos, con su entorno, con su forma de aprender, pero también con el conocimiento, la ciencia y las Matemáticas. Apropiar en esta forma el proceso de enseñanza con la ayuda de las herramientas tecnológicas actuales permite acceder en mejor manera a los saberes y conocimientos matemáticos que desde las experiencias de aula y desde los procesos de aprendizaje se presentan, con fundamentos claros y otras visualizaciones, con el fin de alcanzar su aprendizaje y más aún su comprensión. La necesidad actual que existe en los procesos de educación y de formación radica principalmente en alcanzar y en aceptar nuevos

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horizontes procedimentales y de construcción del conocimiento para ofrecer formas, medios, herramientas y otras opciones para realizar lecturas de la realidad del sujeto humano que aprende y del objeto de conocimiento que se comprende. Las posibilidades de apertura dependen, no obstante, de los enfoques, los medios y las representaciones que se elijan para decodificar, relacionar y comprender la categoría conceptual que se presenta. La comprensión de un contenido matemático significa la relación dialógica que se presenta entre las diferentes representaciones internas y externas, siempre mediadas por el lenguaje (conceptos y símbolos), a partir de las cuales el sujeto desde su contexto le atribuye una significación lo más fiel posible a la concepción aceptada desde un fundamento científico. Esta, la comprensión, se detecta en el espacio de clase cuando el estudiante significa y le atribuye resignificaciones conceptuales a ese saber (contenido matemático) y a su quehacer y lo aplica en otros espacios de razonamiento sobre la realidad. La tecnología, como estrategia didáctica en el proceso de conceptualización y comprensión de los contenidos matemáticos, permite esa resignificación del saber y de alguna manera ayuda a que los estudiantes puedan estudiar y entender conceptos y técnicas para resolver problemas. Su uso posibilita que los estudiantes mantengan la curiosidad, imaginación e interés. La incorporación de la tecnología en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática y de manera especial en el campo de la eometría, se ha constituido en una de las herramientas más características a la hora de formar conceptual y experimentalmente en esta área, puesto que esta ofrece un nuevo espacio en el que el estudiante puede visualizar, representar, simular y modelar situaciones matemáticas difíciles de reproducir a través del lápiz y el papel. Es así como la manipulación de estas herramientas

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interactivas para la solución de situaciones problema dentro y fuera del aula de clase, se convierten en un elemento importante para construir una visión y comprensión más amplia del contenido matemático. El National Council Teacher of Mathematics (NCTM, 1989) pone énfasis en la deducción y resolución de problemas con el empleo de calculadoras y computadoras, promoviendo como una de las estrategias de enseñanza el trabajo en grupo o cooperativo. Argumentan que la instrucción matemática centrada alrededor de la solución de problemas puede ayudar a los estudiantes a aprender conceptos, siempre que estos problemas sean puestos en contextos motivantes, donde los procesos y los contenidos forman una parte primordial. El enfoque didáctico que se le ha dado al uso de la tecnología, se ha ido configurando a través de los días en un medio para la formación de competencias básicas, desarrollo de habilidades y capacidades en los estudiantes al permitir entre otras, la contextualización del conocimiento, la forma de someter a contraste y comprobación las idealizaciones, representaciones mentales y aprendizajes que se han logrado de los objetos matemáticos. En general, la inmersión de las tecnologías en los procesos educativos permiten crear un ambiente experimental en el salón de clase dando la oportunidad de modelar, simular, observar, conjeturar, hacer predicciones y generalizar (MEN, 2000). Es así como el currículo de Matemáticas es afectado por las posibilidades ofrecidas por el mejoramiento tecnológico, en particular la capacidad de la computadora para manipular múltiples representaciones (numérica, simbólica y gráfica). El NCTM (2000) identifica el uso de la tecnología como un principio que le debe dar soporte a las propuestas curriculares:

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Las calculadoras y computadoras son herramientas esenciales para la enseñanza, aprendizaje y desarrollo de las Matemáticas. Generan imágenes visuales de las ideas Matemáticas, facilitan la organización y el análisis de datos, y realizan cálculos de manera eficiente y precisa…. Cuando las herramientas tecnológicas están disponibles, los estudiantes pueden enfocar su atención en procesos de toma de decisiones, reflexión, razonamiento y resolución de problemas (p.24).

En este sentido, la incorporación y uso de la tecnología permite el reconocimiento, el análisis y la visualización de las propiedades del objeto matemático representado, el desarrollo del pensamiento lógico y el juicio deductivo, lo que conlleva a la comprensión conceptual, la diferenciación e interpretación de variables y enunciados y el dominio de diferentes formas de razonamiento. El NCTM señala que uno de los cambios más importantes de la enseñanza de las matemáticas tiene que ver con evidencia y justificación, especialmente con el crecimiento de los ambientes tecnológicos, donde la geometría es un área rica en la cual los estudiantes pueden descubrir patrones y formular conjeturas. El uso de software de geometría dinámica posibilita a los estudiantes para inspeccionar un rango muy amplio de ejemplos geométricos, de esta manera ellos extienden sus habilidades para formular y explorar conjeturas, así como para juzgar, construir y comunicar argumentos matemáticos apropiadamente. Finalmente en estas clases el estudiante deberá entender el rol de la experimentación, conjetura y prueba (NCTM 1989,2000). Actualmente, como se ha mencionado, uno de los usos más claros de la enseñanza de la geometría a partir de software dinámicos es el de la exploración y la representación de los objetos matemáticos y la de permitir que el estudiante llegue por sí mismo a un resultado. Duval (1998) expresa que el uso de distintas representaciones es esencial en el desarrollo del pensamiento y en la producción de 182


conocimiento, que los Sistemas Semióticos de Representación proporcionan alternativas de aprendizaje bajo un modelo integrador, en vías de mejorar la aprehensión del concepto en cuestión. Primero se debe reconocer que la aprehensión del objeto matemático es por medio de las representaciones semióticas, esto se basa en la ley fundamental del funcionamiento cognitivo “...no hay noésis sin semiósis”,Duval (2004, p. 19). Se puede decir que la adquisición de los conceptos matemáticos es una aprehensión conceptual y la actividad con los conceptos matemáticos solo es a través de las representaciones semióticas. Es decir, un concepto matemático visto en sus diferentes representaciones proporcionará información específica, dando solidez al concepto. La observación y análisis de las características y propiedades de un objeto matemático a través de su representación resulta fundamental en el desarrollo de conjeturas y en el proceso de argumentación y comunicación de esas conjeturas por parte del estudiante. Los software dinámicos, como el GeoGebra, apoyan al estudiante en el proceso de visualización. Esta visión es más difícil de transmitir por medio de construcciones hechas con lápiz y papel, donde la observación de las propiedades que se mantienen invariables al modificar la forma y el tamaño de las figuras, motiva la explicación por parte del estudiante en un ambiente donde se posibilite la inserción de herramientas computacionales. La utilización de este software, permite por un lado abordar los objetos matemáticos y geométricos e introducirlos en el aula de clase de una manera experimental, logrando que los estudiantes lleguen a establecer las relaciones adecuadas y obtener sus propias conclusiones, y por otro lado contribuye al desarrollo general de las capacidades de razonamiento, de análisis y de visualización de los estudiantes, facilitando la conexión interna entre distintas formas de representación matemática.

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Propuesta: máximos y mínimos La propuesta está basada en el estudio de los 8 principios fundamentales que se pueden aplicar para la obtención de máximos y mínimos, expuestos por el Doctor Emiliano Álvarez, en su libro: Métodos para demostrar teoremas y resolver problemas de Geometría. A través de la aplicación y apropiación del GeoGebra, como un recurso didáctico en el proceso de enseñanza y aprendizaje, el estudiante podrá relacionar elementos del cálculo diferencial, como es el caso de los máximos y mínimos a partir de métodos puramente geométricos. El objetivo es demostrar al estudiante los principios fundamentales de Máximos y Mínimos a través de la simulación y modelación de situaciones geométricas como estrategia de verificación y generalización al cálculo diferencial en la solución de problemas. La modelación en el GeoGebra de estos principios fundamentales aplicados a la geometría euclidiana y el estudio de las variaciones de figuras conocidas, permite al estudiante además de reconocer elementos geométricos y establecer relaciones adecuadas con el cálculo, la comprensión y por consiguiente la solución de problemas de este tipo. Se utilizará la aplicación del GeoGebra para exponer y justificar los componentes conceptuales de la temática a abordar por medio de métodos geométricos. Diferentes actividades propuestas de simulación, exploración, verificación y conexión entre la geometría y el cálculo serán desarrolladas. Identificar la aplicación del GeoGebra como una herramienta bien importante para la solución de situaciones problemas, para la construcción de conceptos matemáticos y la vinculación de la exploración con la formalización. A través de la modelación en el GeoGebra los asistentes pueden verificar, manipular y construir directamente los elementos geométricos y sus relaciones y de esta manera obtener una visión más amplia y potente del contenido matemático.

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Revisemos algunos principios Actividad. Principio Uno. El producto de dos factores, cuya suma es constante, es máximo cuando estos factores son iguales. Figura 1: Producto de factores representado en un triángulo rectángulo


Es posible reflexionar en torno a lo siguiente: • ¿Cambia la medida del segmento AC si m y n varían? • ¿Existe alguna relación entre la longitud del segmento AC y el segmento BD al desplazar el punto B? • ¿Cuándo BD (h) es máximo? Los estudiantes notan que el segmento AC es constante, AC=m+n y que al desplazar el punto B, sobre el segmento AC, se tiene que el cuadrado de la altura del triángulo es igual al producto de las medidas de los segmentos que subtiende dicha altura, es decir: h2=mn. Además que mnes máximo cuando h es máximo, esto ocurre cuando h=R (radio del círculo). De lo anterior se les podría proponer a los estudiantes los siguientes interrogantes y problemas: 185


1. ¿De todos los rectángulos en los cuáles el perímetro es constante, cuál es el de área máxima? 2. ¿De todos los triángulos de igual perímetro y base, cuál es el de mayor área? 3. En un semicírculo dado, inscribir el trapecio de área máxima 4. En un círculo inscribir el cuadrado de mayor área. Actividad. Principio Dos. La suma de dos factores, cuyo producto es constante, es mínima cuando estos son iguales. Este principio se deduce del anterior. Para el análisis y comprensión del presente principio, tengamos en cuenta el siguiente procedimiento: Paso 1. Se construye una circunferencia (O, OM). Figura 2: Trazado de circunferencia


Paso 2. Se inscribe un triángulo BCM, con un lado el diámetro de la circunferencia.

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Figura 3: Triángulo inscrito en la semicircunferencia


Paso 3. Se traza una circunferencia (O’, O1N) que pase por M,O1N=O1M Figura 4: Circunferencias secantes


Paso 4. Finalmente, trazamos el triángulo FME

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Figura 5: Trazado del triángulo entre las dos circunferencias Fuente: Elaboración de los autores

Paso 5. En efecto, se puede comprobar que MO2 en un producto constante. En los triángulos BMC y FME, se tiene respectivamente que MO2=BO*OC y MO2=FO*OE. Acá lo realmente interesante, es que el estudiante compruebe que la suma de estos factores; BO+OC y FO+OE, es mínima cuando los términos sean iguales. Figura 6: Verificación de la suma mínima


Adicionalmente, se les puede proponer a los estudiantes en torno a lo anterior, resolver los siguientes ejercicios: 188


1. ¿De todos los rectángulos en los cuáles el área es constante, cuál es el de perímetro mínimo? 2. ¿De todos los triángulos que tienen la misma área, cuál es el de menor perímetro? Actividad. Principio Tres. El producto de dos factores, cuya suma de sus cuadrados es constante, es máximo cuando estos factores son iguales entre sí. En el presente principio, los estudiantes comprueban que al desplazar la altura del triángulo rectángulo inscrito sobre la hipotenusa,lado c, la suma de los cuadrados de los lados del ángulo recto del triángulo rectángulo, a y b, es constante, y es igual al cuadrado del lado opuesto del ángulo recto (hipotenusa). Como lo muestra la Figura 8: Figura 7: Producto de tres factores


De ahí, que los estudiantes pueden comprobar el Teorema de Pitágoras y eventualmente pueden llegar a conjeturar: El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices del triángulo. Haciendo uso del software GeoGebra

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ellos podrán visualizar muchos casos de la conjetura, incluso se puede comprobar teoremas asociados a este. También, después de generalizar el principio, se les puede proponer a los estudiantes los siguientes problemas: 1. Inscribir en un círculo, el rectángulo de área máxima 2. ¿De todos los rectángulos en los cuáles la suma de los cuadrados de los lados adyacentes es constante, cuál es el de área máxima? 3. Inscribir en una circunferencia un rombo de área máxima En conclusión, cuando los estudiantes ven las conexiones de las matemáticas con diferentes contextos, desarrollan una visión matemática más entera e integral. Por lo que el problema planteado no debe terminar ahí, el profesor deberá plantear nuevas preguntas que lleven a problemas más interesantes.

Aportes y conclusiones El proceso de enseñanza y aprendizaje, debido a la condición de relación interhumana que suscita, se sustenta, y de ahí su singular riqueza desde diferentes direcciones; no es este un proceso exclusivamente unidireccional que se da en el encuentro entre dos actores: un sujeto que enseña y otro que aprende. Esencialmente, ha de ser entendido como una importante instancia del proceso educativo en donde fundamentalmente se desarrolla una posibilidad para el lenguaje, una acción comunicativa de sentidos y significantes en los que hacen presencia estilos y procesos mentales. Es esta característica, la del lenguaje y sus posibilidades, la que invita a acentuar en dicho proceso una atención dinámica y una disposición reflexiva más abierta y a su vez más pausada puesto que el centro de gravedad de dicho proceso es la comunicación de un conocimiento y las diferentes actividades mentales que entran en juego y se hacen movilizar para efectivamente alcanzar un

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entendimiento (que tiene que ver con la forma en que se presenta y las diferentes relaciones mediadoras que se emplean) y una comprensión (como relación intrasubjetiva entre el conocimiento y las propias características cognoscentes) que en lo subsecuente posibiliten destinar un significado pertinente a los objetos, símbolos y conceptos que constituyen un conocimiento, en particular el matemático. Incorporar el empleo del software dinámico en los procesos de aula ya sea que se los tome como herramientas interactivas de representación o como estrategias mediáticas de aproximación conceptual, favorecen en gran medida las diferentes instancias educativas que se puedan generar al interior del aula puesto que promueven fuertemente la movilización de sentidos y significantes en torno a una categoría conceptual del conocimiento matemático, no obstante lo usual y corrientemente abstracto de los objetos matemáticos. Es a través de la modelación que es posible, no como única instancia pero sí como una de las mejores, aproximarse al estudio y al aprendizaje para la comprensión, su riqueza dinámica y variacional posibilita en mejor manera, además de fundamentales interrelaciones conceptuales, el desplazamiento académico de los conceptos y contenidos de estudio. El empleo de las nuevas tecnologías en el proceso educativo, y fundamentalmente en el proceso de aprendizaje promueve nuevas visiones y otras interacciones en los procesos de educación, una especie de mejor paisaje, en tanto recursos, que apuntalan a la accesibilidad y construcción del conocimiento y más aún a las diferentes posibilidades de mejora del proceso de aprendizaje, pues en lo sucesivo afectan y promueven dinámicas diferentes, en el sentido de las visualizaciones y las representaciones, en el que hacer de los actores presentes en dicho proceso, valga decir el docente y el estudiante; lo cual deviene en enriquecimiento para conjeturar y contrastar la información y el conocimiento.

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Así el proceso no solo el de aprendizaje de los contenidos matemáticos, en particular, sino el educativo en general adquiere otras búsquedas, análisis, reelaboraciones y resignificaciones de la información. Lo que redunda positivamente en la construcción y significación de la misma y en el desarrollo de procesos y habilidades mentales del sujeto que aprende. En suma, el favor que hacen las nuevas tecnologías aplicadas al estudio de las matemáticas es notable y usualmente importante por los medios, representaciones y recursos dinámicos que permiten lo que deviene, entre otras, en las siguientes fortalezas y eventos posibles: • El reconocimiento y posibilidades efectivas de otras instancias educativas, según los diversos contextos de aprendizaje y los diferentes tiempos y estilos para el desarrollo de las habilidades cognoscentes para aprehender, comprender y para producir conocimiento. • Posibilitar que el sujeto aprendiente sea actor y sujeto protagonista de su proceso de aprendizaje, a partir de su propia autonomía, académica, intelectual, cognoscente y ética. • El aprovechamiento y empleo de diversas mediaciones didácticopedagógicas proporcionadas por las nuevas tecnologías al interior del proceso de aprendizaje. • Fomenta un mayor grado de responsabilidad y compromiso teniendo en cuenta los propios ritmos y según las propias expectativas.

Referencias bibliográficas [1] Álvarez, E. (2003). Métodos: Para demostrar Teoremas y resolver problemas de Geometría. Medellín: Editorial Universidad de Medellín.

192


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Pascal, B. (1980). Pensamientos. Madrid: Alianza Editores

[5]

National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics

193

16. UNA METODOLOGÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN DE CONJETURAS A TRAVÉS DEL USO DE GEOGEBRA David Benítez Mojica, Universidad Autónoma de Coahuila [email protected] Noelia LondoñoMillán Universidad Autónoma de Coahuila [email protected]

Resumen Este estudio documenta los tipos de conjeturas matemáticas que alumnos universitarios de primer año formulan dentro de un ambiente de solución de problemas donde se promueve el uso de software dinámico. Estamos particularmente interesados en analizar tanto las preguntas que los llevaron a la formulación de una conjetura en particular y los tipos de argumento utilizados para validar esa conjetura. Los resultados indicaron que los estudiantes consistentemente examinaron la viabilidad y la pertinencia de una conjetura en particular en términos de usar el software para (i) identificar la conjetura visualmente, (ii) examinar si la conjetura falla dentro de una familia de objetos isomórficos (prueba de arrastre), (iii) construir una macro que reproduce la construcción y verificar si la conjetura se mantuvo en objetos generados por el macro, (iv) cuantificar y verificar las propiedades de objetos matemáticos para detectar patrones, y (v) presentar argumentos formales para probar la conjetura que emerge en los pasos anteriores.

Palabras clave: conjeturas, GeoGebra, argumentos

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Abstract This study documents the types of mathematical conjectures that first year university students formulated within an environment of problem solving in which promotes the use of dynamic software. We are particularly interested in analyzing both the questions that led them to the formulation of a conjecture in particular and the types of argument used to validate this conjecture. The results indicated that students consistently examined the feasibility and relevance of a conjecture in particular in terms of using the software to (i) to identify visually conjecture, (ii) to examine whether the conjecture fails within a family of isomorphic objects (test drive), (iii) build a macro that plays the building and verify if the conjecture remained in objects generated by the macro, (iv) to quantify and verify the properties of mathematical objects to detect patterns, and (v) to present formal arguments to test the conjecture that emerges in the previous steps.

Keywords: conjectures, GeoGebra, arguments. Introducción Formular conjeturas y desarrollar argumentos matemáticos para apoyarlas son actividades fundamentales en la práctica Matemática. Harel & Sowder (1998) reconocen, la importancia que tiene para el aprendizaje, participar en el proceso de la construcción de conjeturas y la necesidad a buscar argumentos convincentes para validarlas La meta [de la enseñanza] es de ayudar a los estudiantes a refinar su propio concepto de lo que constituye una justificación en las Matemáticas: desde una concepción que es altamente dominada por la percepción de superficie, manipulación simbólica y ritual de prueba, hasta una concepción que está basada en intuiciones, convicciones y necesidades (p. 237).

195


En este contexto es importante examinar el papel que juega el uso de herramientas específicas en ayudar a los estudiantes para representar los objetos o los problemas que pueden analizarse matemáticamente. ¿Qué tipo de preguntas los estudiantes pueden formular y explorar cuando representan objetos matemáticos con el uso de la tecnología computacional? ¿Qué funciones del pensamiento matemático mejoran cuando los estudiantes utilizan herramientas de computación en sus experiencias de aprendizaje matemático? Estas son preguntas relevantes que se necesitan discutir al evaluar el potencial real de una herramienta particular para ayudar a estudiantes a construir su conocimiento matemático de forma importante. Se reconoce que diferentes herramientas computacionales pueden ofrecer oportunidades distintas a los estudiantes para identificar, representar y explorar relaciones y propiedades de objetos matemáticos. Entonces, cuando se utiliza una herramienta que es importante para investigar las funciones del pensamiento matemático y las formas de razonar que los estudiantes pueden desarrollar como resultado de representar y examinar problemas matemáticos con el uso de tecnología computacional. En particular, el uso de software dinámico (GeoGebra) parece facilitar el proceso de buscar conjeturas o relaciones matemáticos integrados en objetos y problemas que pueden representarse dinámicamente. Bajo esta perspectiva estamos interesados en documentar tipos de conjeturas y relaciones que alumnos de preparatoria formulan en un ambiente de resolución de problemas que promueve el uso de software dinámico. ¿Qué tipos de representaciones de objetos o problemas matemáticos construyen los alumnos con el uso de software dinámico? ¿Qué recursos y estrategias muestran alumnos durante el proceso de buscar por relaciones o invariables matemáticos integrados en las representaciones de un problema? ¿Qué tipo de argumentos

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y pruebas proporcionan los alumnos para apoyar las conjeturas o relaciones? Argumentamos que el uso de software dinámico no solo ayuda a los estudiantes a cuantificar y explorar los atributos matemáticos de los objetos, también influencia el razonamiento o el pensamiento de estudiantes sobre el apoyo y la presentación de relaciones o conjeturas. En este estudio documentamos hasta dónde los estudiantes usan el software dinámico para representar los problemas de forma dinámica. En particular, ¿hasta dónde estudiantes formulan y persiguen preguntas que pueden guiarlos a reconstruir o desarrollar conjeturas y relaciones básicas y a pensar en argumentos matemáticos para explicar y justificarlos?

Elementos de un marco conceptual El desarrollo de conocimiento y aprendizaje matemático puede rastrearse en términos del tipo de representaciones utilizadas para pensar en matemáticas. “Mucho de la historia de las Matemáticas se trata de crear y refinar sistemas representacionales, y mucho de la enseñanza de las Matemáticas de cómo los estudiantes aprenden a trabajar con ellos y resolver los problemas con los mismos” (Lesh, Landau, and Hamilton, 1993, citados in Goldin & Shteingold, 2001, p.4). En este contexto, argumentamos que las representaciones dinámicas (generadas con el uso de la tecnología) de objetos o problemas matemáticos, ofrecen a los estudiantes la posibilidad de detectar y examinar modelos o invariables que emergen mientras que se está cuantificando atributos matemáticos (longitudes, perímetro, área, volumen, ángulo, inclinación, etc.) y moviendo objetos particulares (puntos, segmentos, bisectores perpendiculares, etc.) dentro de la representación. Además, reconocimos que el ambiente de resolver un problema proporciona condiciones de aprendizaje para estudiantes a participar activamente en la construcción de su

197


propio conocimiento matemático y conceptualizar su aprendizaje matemático como un proceso continuo donde el uso de herramientas tecnológicas se considera como su oportunidad para explorar y examinar problemas o conjeturas desde ángulos distintos. Aquí, algunas preguntas o conjeturas que muchas veces son difíciles de verificar con procedimientos de pluma y papel que ahora se pueden explorar vía el uso de herramientas tecnológicas. Una función relevante que emerge en las formas de estudiantes de representar problemas matemáticos con el uso de tecnología es la posibilidad de rastrear “ciclos de modelaje” donde su descripción de conjeturas, explicaciones y predicciones se refinan, revisan o rechazan gradualmente – basados en la retroalimentación de pruebas de verificación. [En resolver problemas] varios niveles y tipos de respuestas casi siempre son posibles (con uno que depende mejor de propósitos y circunstancias), y estudiantes mismos deben ser capaces de juzgar la utilidad relativa de formas alternativas de pensar. De otra manera, los que solucionan problemas no tienen manera de saber que deben ir más allá de sus formas iniciales primitivas de pensar; y que tampoco tienen manera de juzgar las fortalezas y las debilidades de las alternativas de pensar- para que pudieran sortear y combinar las características productivas de las distintas formas de pensar (Lesh, y Doerr, 2003, p. 18).

Diseño de investigación, participantes y procedimientos generales El estudio se llevó a cabo en un grupo con dieciocho alumnos universitarios de primer año, todos voluntarios, que se interesaban en utilizar software dinámico para trabajar en un conjunto de problemas y pensar en diferentes formas de resolverlos y extender los problemas originales. El desarrollo del curso incluyó dos sesiones por semana, de dos horas cada una, durante todo un semestre. En particular nos interesaba documentar el tipo de conjeturas y argumentos que los estudiantes formulan durante su interacción

198


con los problemas. De tal manera que a los alumnos se les motivó a utilizar el software para: 1. Trabajar en ciertos problemas que aparecen en libros de texto normales, en material de clases o problemas en páginas Web, se les exhortaba a representar y examinar problemas con la ayuda del software. La meta fue la de motivar a los estudiantes a representar y resolver el problema a través del software, a exponer y explorar otras preguntas que pudieran guiarlos a identificar conjeturas u otras relaciones. 2. Construir una configuración dinámica con el software que incluye objetos matemáticos simples (segmentos, líneas, puntos, triángulos, ángulos, etc.), para usarla como plataforma para formular preguntas que pueden llevarlos a reconstruir o construir relaciones o teoremas matemáticos. En ambos casos, los alumnos necesitan proporcionar explicaciones y argumentos matemáticos para presentar y comunicar sus resultados. De esta forma, ellos toman conciencia de la importancia de usar el software para visualizar los comportamientos de objetos matemáticos dentro de la representación y la necesidad de buscar argumentos para justificar tal comportamiento o relaciones. 3. Proporcionar un acercamiento pedagógico que apareció consistentemente durante el transcurso de las sesiones de solución de problemas incluía trabajo individual, participación en pequeños grupos (grupos de tres), presentación a todo el grupo y la discusión general guiada por el profesor con relación a los diferentes enfoques y conceptos matemáticos y las ideas que aparecieron durante el proceso de resolver problemas.

Presentación de resultados y comentarios Para mostrar o ilustrar el trabajo de los estudiantes, nos enfocamos en las formas utilizadas por los estudiantes para identificar y tratar

199


una conjetura que emerge cuando trabajan en un problema que plantearemos a continuación. En particular comentamos el tipo de relaciones y argumentos que los alumnos demuestran durante el desarrollo de dos sesiones de resolver problemas. El problema. Sea MNO un triángulo equilátero. Se construye una recta que pase por el baricentro (B) del triángulo MNO. Se trazan tres segmentos perpendiculares a esta recta que pasen por cada uno de los vértices del triángulo (Figura 1): Figura 1: Entendiendo el enunciado del problema


Sean M´, Ný O´ los pies de las perpendiculares. Se construyen tres triángulos equiláteros cuyos lados sean los segmentos MM´, NN´ y OO´ (Figura 2) Fig.2: Construyendo los triángulos


200


¿Existe alguna relación entre las áreas de los triángulos, cuyos lados sean los segmentos MM´, NN´ y OO´ y el área del triángulo original?

Una conjetura emergente ¿Cómo se puede construir un triángulo equilátero que tenga por lado un segmento dado? ¿Cómo podemos relacionar la construcción de los tres triángulos en función del lado del triángulo dado? Discutiendo estas preguntas los llevó realizar trazos, a identificar variables y a realizar las primeras mediciones. En esta etapa, la meta para los estudiantes es entender el problema, identificar las variables, las preguntas y realizar trazos. El software fue una herramienta poderosa para entender el problema, construir una conjetura y en la búsqueda de formas para validarla. Ilustramos las formas que los estudiantes mostraron para construir y tratar una conjetura:

Reconocimiento visual Una importante característica al utilizar software dinámico es la precisión con la que se pueden dibujar figuras matemáticas. En este caso, los estudiantes dibujaron el triángulo MNO, los triángulos cuyos lados son los segmentos MM´, NN´ y OO´ (Figura 3). Utilizaron la estrategia heurística de estudiar un caso especial. En este sentido, movieron la recta que pasa por el baricentro del triángulo, de tal manera que pasara por un vértice del triángulo MNO: Figura 3: Estudiando un caso especial

201



Los estudiantes hicieron un trazo auxiliar y lograron identificar, en este caso especial, que la suma de las áreas de los triángulos cuyos lados son los segmentos MM´, NN´ y OO´, cubre la mitad del área del triángulo MNO (Figura 4). Figura 4: Reconocimiento visual de la relación entre las áreas de los triángulos


La prueba de arrastre. En este caso los estudiantes exploraron la validez de la conjetura para una familia de triángulos. Calcularon la razón entre la suma de las áreas de los triángulos, cuyos lados son los segmentos MM´, NN´ y OO´ y el área del triángulo MNO. Con el uso del software, movieron la recta que pasa por el baricentro para generar una familia de triángulos con la misma construcción. Pudieron comprobar que la conjetura era válida para una familia de triángulos (Figura 5). Figura 5: Verificar la conjetura para diferentes posiciones de la recta que pasa por el baricentro


202


Construir una macro Otra manera para verificar la conjetura era que los estudiantes construyeran un macro para reproducir la construcción para cualquier triángulo dado. Esto es, los estudiantes identificaron objetos iniciales (triángulo MNO, su baricentro (B) y una recta que pasa por B) y los objetos finales triángulos cuyos lados son los segmentos MM´, NN´ y OO´. Al aplicar este macro a diferentes triángulos, los estudiantes confirmaron la conjetura, esto es, en todos los triángulos donde aplicaron aquella macro, observaron que la conjetura es válida en varios ejemplos. La Figura 6 muestra dos de aquellos triángulos. Figura 6: Aplicar un macro para verificar la conjetura


Cuantificar atributos y modelos Es fácil con el uso del software cuantificar atributos (longitudes, áreas, ángulos, etc.) de la figura y observar sus comportamientos. Por ejemplo, aparte de observar el comportamiento de las áreas de los triángulos, los estudiantes enfocaron en comparar (la proporción) entre la suma de las áreas del triángulo cuyos lados son MM´, NNý OO´ y el triángulo MNO para diferentes valores, casos particular (Figura 7). Basado en esta información, observaron que:

203


Figura 7: Buscando modelos


Prueba formal Para probar la conjetura, los estudiantes siguieron diferentes métodos que se discutieron con todo el salón. Aquí presentamos una prueba que se construyó durante la discusión de clase. La idea es hacer algunos trazos auxiliares y expresar los lados de los triángulos en función del lado del triángulo MNO. Por ejemplo, construyeron un triángulo MNO, la recta L que pasa por su baricentro, los segmentos MM´, OO´ y NN`, perpendiculares a L; trazaron una recta paralela a MN que pase por B, la cual forma un ángulo con la recta L. Construyeron una prolongación de MN que corte a L en Q. Por último, trazaron una perpendicular a MN que pase por O (Figura 8).

204


Figura 8: Haciendo trazos auxiliares


La altura OP del triángulo MNO tiene las siguientes propiedades:

OP = OB + BP = h 2 OB = h 3 1 BP = h 3

(1)

(2)

En el triángulo rectángulo OO´B, de la Figura 8, se obtiene:

OO´ =

2 h cos b 3

(3)

La altura se puede escribir en función del lado del triángulo como:

h=

3 2

(4)

Reemplazando (4) en (3) se obtiene:

205


OO´ =

3  cos b 3

(5)

En el triángulo rectángulo QM´M, de la Figura 8, se obtiene:

MM ´ = QM senb

(6)

En el triángulo rectángulo QPB, de la Figura 8, se obtiene:

tan b =

PB QM + MP

(7)

1

1

Sabemos que PB = h y MP =  . Reemplazando estos resultados 2 3 en (7), se encuentra:

tan b =

h 3

QM +

 2

Despejando en (8) se obtiene:

QM= senb

(8)

h  cos b − senb 3 2

(9)

Igualando (6) y (9) se encuentra:

= MM ´

h  cos b − senb 3 2

Esta expresión es equivalente a:

(10)

206


= MM ´

3   cos b − senb 6 2

(10)

En el triángulo QNN´de la Figura (8) se deduce que:

senb =

NN ´ (11) QM + 

Despejando (11) y expresando la altura en función del lado, se obtiene:

= NN ´

3   cos b + senb 6 2

(12)

En las expresiones (5), (10) y (12) se han escrito los segmentos OO´, MM´ y NN´ en función del lado del triángulo MNO. Usando estas expresiones se puede encontrar el área de los triángulos equiláteros. El área del triángulo MNO, cuyo lado es , se puede expresar de la siguiente manera:

Ao =

2 3 4

(13)

De manera análoga, el área de los triángulos equiláteros que tienen por lado los segmentos MM´, OO´ y NN´, respectivamente, se pueden expresar de la siguiente manera: 2

A1 =

MM ´ 4

3

1  3 2, 3 1 2 2 (14)  A1 = cos b − sen b cos b + sen b   12 6 4 4   207


2

OO´ 3 A2 = 4 ,

1  3 2 A2 =  cos 2 b   3  4

(15)

2

1  3 2 3 1 NN ´ 3 2 A3 = senb cos b + sen 2 b   (16) A3 =  cos b + 12 6 4 4   4 ,

Sumando las expresiones (14), (15) y (16), se obtiene:

1 A1 + A2 + A3 =A0 2

(17)

Generalizaciones y Extensiones. El profesor planteó nuevos problemas, como variantes de la situación original. Por ejemplo: ¿Se puede extender el resultado obtenido en la solución del problema para otra clase de polígonos? Figura 9. La construcción básica


Si tenemos un triángulo equilátero MON con baricentro en B y una recta L que pase por B. Se trazan los segmentos MM`, NN` y OO`, perpendiculares a L. Se construyen polígonos regulares de n lados sobre cada uno de estos segmentos y sobre el segmento MN. Resolver el nuevo problema implica encontrar una relación entre las áreas de los eneágonos. 208


Particularización. El profesor empleó casos particulares para ilustrar la nueva situación problemática. Para ello, usó el software dinámico y construyó una figura similar a la 9 y sobre ella trazó cuadrados sobre los lados MM`, NN, OO y MN. Figura 10: Un caso particular


El profesor construyó otros casos particulares con pentágonos y hexágonos. En cada uno de ellos hizo la relación entre las áreas. Figura 11: Estudiando otros casos particulares


209


A partir de estos casos particulares, los estudiantes conjeturaron que la relación demostrada en el caso inicial, se puede extender para otros polígonos regulares, esto es:

1 A1 + A2 + A3 =A0 2

(18)

El profesor partió de la ecuación 18 para el caso del triángulo equilátero, es decir: 2 2 2 2 3 3 3 1 3 MM ´ + NN ´ + OO´ = MN 4 4 4 2 4

Simplificando, se obtiene: 2 2 2 2 1 MM ´ + NN ´ + OO´ = MN 2

(19)

En la expresión 19 se presenta la relación entre las áreas de los cuadrados de lados MM´, NN´, OO´ con el cuadrado de lado MN. Es decir el resultado original se puede extender para el caso de los cuadrados. A partir de estos casos particulares, el profesor realizó una generalización. La prueba inició encontrando una relación general para el área de un polígono regular de n lados.

210


Figura 12: Construyendo una relación general


A=

Perímetro * Apotema 2

(20)

En la Figura 12, a representa la apotema y el ángulo POM se puede calcular dividiendo entre el número de lados del polígono. Por otra l

parte, PM = . Haciendo esas consideraciones, el profesor construyó 2 las siguientes relaciones:

a = PM cot

p n

(21)

Reemplazando (21) en (20) se obtiene:

A=

nl 2 *cot 4

p n

(22)

211


En ambos lados de la ecuación (19) se multiplica por la expresión

n cot 4

p n y se obtiene:

p p p p n cot n cot n cot 2 2 2 1 n MM ´ + n NN ´ + n OO´ = n MN 2 (23) 4 4 4 2 4

n cot

Usando la expresión (22) en (23), se concluye que:

1 A1 + A2 + A3 =A0 2

Conclusiones Existe evidencia que el uso de software dinámico formó y determinó la forma en la que los estudiantes pensaron sobre el proceso de formular conjeturas y métodos para examinar y validar la conjetura. En particular, las representaciones dinámicas de los problemas y de los objetos matemáticos que los estudiantes generaron con la ayuda del software se hicieron una plataforma mejorando la experiencia para identificar y explorar relaciones matemáticas. La facilidad de cuantificar atributos matemáticos y la exploración de las representaciones visuales de problemas fueron actividades fundamentales que permearon el proceso de los estudiantes de formular conjeturas. Para evaluar la validez de la conjetura, los estudiantes se basaron en el uso del software para evaluar casos particulares visualmente, para examinar familias de casos al arrastrar elementos particulares dentro de la representación, para construir un macro y así examinar una familia de casos y para observar modelos que se presentan como un resultado de explorar la invariante en el comportamiento de ciertos datos (cambiar el 212


coeficiente de proporción de los lados de rectángulos, por ejemplo). En este contexto, el uso de un método analítico para probar la conjetura resultó como natural, como una forma de confirmar la validez de la conjetura.


Goldin, G., & Shteingold, N. (2001). Systems of representations and the development of mathematical concepts. In A. A. Cuoco & F. R. Curcio (Eds.), The roles of representation in school mathematics, 2001 Yearbook, pp.1-23. Reston VA: National Council of Teachers of Mathematics

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Harel, G. & Sowder, L. (1998). Students’ proof schemes: Results from exploratory studies. CBMS Issues in Mathematics Education, 7, pp. 234-283.

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Lesh, R. & Doerr, H., M. (2003). Foundation of a models and modeling perspective on mathematics teaching learning, and problem solving. In R. Lesh, & H. M. Doerr (Eds), Beyond constructivism. Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching, pp. 3-33. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

[4] Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press.

213

17. MODELACIÓN MATEMÁTICA DEL TIRO PARABÓLICO A TRAVÉS DEL USO DE GEOGEBRA, UNA EXPERIENCIA HUMANA Carlos E. León Salinas Universidad La Gran Colombia [email protected]

Resumen En el presente reporte se dan a conocer los resultados de una experiencia basada en la modelación Matemática del lanzamiento de un proyectil por medio de una catapulta. La actividad y su representación en el software GeoGebra, se describe a través de una metodología basada en tres fases, la primera de construcción la segunda, de experimentación y la tercera de análisis. Los resultados de esta experiencia no solamente están ligados al componente tecnológico, sino además a un aporte de tipo convivencial entre los estudiantes con los que se realizó esta actividad.

Palabras clave: Modelación, tiro parabólico, catapultas, variación, GeoGebra

Abstract This report announces the results of an experience based on mathematical modeling of a missile launch by a catapult. The activity and its representation in the GeoGebra software is described through a methodology based on three stages: building, experimentation and analysis. The results of this experiment aren’t only linked to the technological component, but also with a type of contribution in terms of teamwork among students who took an active part in this activity.

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Keywords: Mathematical modeling, Parabolic Movement, catapult, variation, GeoGebra.

Introducción Dentro de las políticas educativas nacionales, se ha establecido una estrategia para la implementación de nuevas tecnologías en el aula de clase, principalmente en el área de Matemáticas. Debido a esta directriz, la secretaria de educación distrital de Bogotá ha provisto a la mayoría de los colegios oficiales con equipos como computadores portátiles, sensores de movimiento, calculadoras graficadoras, entre otros; para aprovechar el potencial innovador y educativo que presentan las tecnologías de la información. Esta tarea ha sido complementada con el interés de los docentes en la utilización de estos recursos, aunque en ocasiones se presentan algunos prejuicios, sobretodo en colegios ubicados en zonas vulnerables, acerca las complicaciones que se pueden generar por el mal uso de los equipos tecnológicos por parte de los estudiantes. Henry Ford, industrial estadounidense, afirmaba que el verdadero progreso es el que pone la tecnología al alcance de todos, y en este sentido una de las razones de la falta de progreso en las metas en educación que se proponen en nuestra sociedad es la idea de que el uso de la tecnología en el aula de clase, es para grupos privilegiados económicamente, dotados de equipos de avanzada y cuya formación en este ámbito se ha dado desde sus primeros años escolares. Preceptos como estos se enfrentan a las grandes ventajas que tiene un software como GeoGebra, su uso libre y los pocos requerimientos que necesita el ordenador lo convierten en una inmejorable opción para plantearse como una herramienta tecnológica en el interior de las clases de Matemáticas no solo en la educación secundaria sino en además en el caso de la educación superior.

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Por lo tanto no es descabellado pensar en el uso del GeoGebra como una herramienta tecnológica y de modelación Matemática, en un ambiente escolar con estudiantes de bajos recursos, que cuentan con equipos de informática nunca utilizados en esta dirección. La dificultad que se avizoraba ahora giraba en torno a las condiciones sociales del grupo con el que se pretendía plantear y ejecutar una actividad en donde se hiciera el uso del software en la modelación de algún fenómeno físico. Este ha sido el caso del colegio Federico García Lorca, institución ubicada en la fría Localidad de Usme, muy cerca del páramo de Sumapaz, el páramo más grande del mundo. La población que se establece en esta región, presenta grandes problemas de convivencia, que generan conflictos y situaciones de violencia que han derivado en tragedias y asesinatos de un gran número de adolescentes. Esta situación es algo común en la instrucción, donde las riñas, la violencia y la intolerancia propician un lánguido ambiente para la planeación de actividades en grupo por parte de los docentes. Además a esto hay que sumarle el temor por parte de los docentes, del mal uso o hasta del robo de los equipos por parte de algunos estudiantes, lo que en síntesis determina serie de factores que dificultan la consecución, no solo del uso de la tecnología, sino también de la realización de ejercicios en grupo. Bajo esta perspectiva se pretendía realizar la construcción de una situación didáctica que utilizara a la tecnología como una herramienta que pueda contrarrestar las dinámicas de conflictos en esta comunidad académica, para lo cual se utilizó la temática referente al grado noveno de educación media, específicamente el tema concerniente a la función cuadrática y su modelación.

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Objetivos Construir una secuencia de actividades en la que se realice la modelación de un lanzamiento de un proyectil y se analice sus resultados con el software GeoGebra. Crear un espacio de experimentación y discusión que posibilite la disminución de conflictos a través del uso de la tecnología.

Metodología Se establecieron tres fases en el diseño de la secuencia de actividades. Para efectos de la presentación de este trabajo se hará énfasis en la fase tres, acerca de la utilización del software para la modelación del movimiento parabólico. 1. Fase 1 (Construcción) En esta primera parte se les solicitó a los estudiantes, en grupos de tres personas, la construcción de una catapulta que lanzara una pelota de tenis, a un determinado sitio. Con ayuda de los maestros de historia se logró contextualizar a los estudiantes alrededor del uso que se le dio en la antigüedad a las catapultas y los distintos tipos que existieron de estas armas. La construcción de estos dispositivos se realizó durante dos semanas y fue un proyecto que realizaron en grupos de tres estudiantes. La única condición que se tenía en el diseño y en la elaboración era que la catapulta debería ser de funcionamiento totalmente mecánico, condición que los estudiantes tuvieron en cuenta más que todo por razones de costos, dadas las condiciones económicas descritas inicialmente. 2. Fase 2 (Experimentación) Durante dos sesiones de clase, cada una de hora y media se les pidió a los estudiantes que probaran sus catapultas, lanzando una pelota de tenis a un recipiente. El lanzamiento de cada catapulta describía curvas diferentes bajo la necesidad de que la pelota cayera dentro 217


del recipiente lo que creo una necesidad de analizar las trayectorias y el recorrido de la pelota. En esta instancia se les pidió que tomaran medidas de la distancia y de la altura que alcanzaba la bola. 3. Fase 3 (Análisis) En esta fase se utilizó el software GeoGebra para realizar la interpolación a partir de los datos que se tomaron en la fase anterior y poder encontrar la ecuación de la función cuadrática que se generaba al relacionar estas magnitudes. Inicialmente, se construía una tabla en donde se determinaban cada uno de los tiempos que se tomaron en la trayectoria de la pelota con su correspondiente altura. Figura 1: Gráfica a partir de los datos obtenidos en el experimento

Fuente: Elaboración del autor (Con cada tabla se generaba una ecuación que establecía con la comando) Ajuste Polinómico[P, 2]

Las ecuaciones y las gráficas que se realizaban en el software servían para el posterior análisis de la variación de los parámetros a, b ,y c de la función cuadrática, y como esta variación se relacionaba con lo que experimentaban físicamente en los lanzamientos y en el mecanismo de cada catapulta. 218


Figura 2: Relación entre las distintas gráficas obtenidas


El análisis de los parámetros se hacía a partir de las siguientes preguntas (Santos, 2010): 1. ¿En qué se parecen las gráficas y en qué se diferencian? 2. ¿Tienen las gráficas puntos en común? ¿Qué podemos decir de estos puntos? 3. ¿Qué puede concluir acerca del efecto del valor de los coeficientes a, b y c en la gráfica de la función cuadrática?

Resultados El principal aporte de esta actividad es la comprensión por parte de los estudiantes de la dependencia que hay entre el tiempo que transcurre en el lanzamiento y la altura que alcanza la pelota. Para realizar el análisis de los resultados, los estudiantes encontraron que el parámetro a para todos los casos era negativo y en la gran mayoría de lanzamientos se obtenían valores muy cercanos a 5. En el caso de c, simplemente se dieron cuenta que este valor coincidía con el de la altura de la catapulta, es decir la distancia vertical de la que se lanza la pelota.

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El análisis del parámetro b fue el que más interpretaciones tuvo debido a la variedad de trayectorias que se describía en la actividad. Por esta razón se requirió una vez más el software y se construyó una animación para representar el lanzamiento utilizando deslizadores en los parámetros b y c. Unos de los resultados que se dados a partir de la experimentación fue el tomar el valor de a como - 5 debido a que la gran mayoría de las funciones cuadráticas tenían este valor o uno muy cercano a él. Figura 3: Gráfica de la variación de parámetros


Gracias a esta simulación se pudo encontrar una relación entre el parámetro b y la altura que alcanza la pelota, además de condicionar los valores de b a la altura que tenga la catapulta es decir a los valores de c. De esta manera se realizó un acercamiento a partir del estudio de los parámetros de las funciones cuadráticas resultantes de un ejercicio de lanzamiento de un proyectil (pelota de tenis), a la ecuación (1)

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Donde a es la aceleración, v0 es la velocidad inicial y h0 la posición inicial. La ecuación (1) rige el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la componente vertical de la posición de la pelota cuando describe una trayectoria parabólica.

Conclusiones Dadas las condiciones del evento vale la pena aclarar que inicialmente se planteó una actividad de modelación matemática que en su desarrollo se convirtió en una actividad más de socialización y trabajo en equipo. Desde la primera fase, los estudiantes empezaron a establecer grupos de trabajo que, en algunos casos involucraron a sus familiares alrededor de la construcción y funcionamiento de las catapultas. Luego en la fase experimental, cada grupo se vio en la necesidad de tener en cuenta no solo sus resultados sino además los de sus compañeros para poder analizar la variación de los parámetros de la función cuadrática. Ahora el trabajo que inicialmente era de dos o tres estudiantes, paso a ser de grupos de más de seis estudiantes estableciendo comunidades en donde el dialogo se daba alrededor de la manipulación de las catapultas. Esta dinámica se mantuvo y se complementó con el uso de GeoGebra, se compartieron conjeturas y se trataron de evidenciar relacionando lo que veían en la trayectoria de la pelota con lo descrito en las gráficas. Con esto se generó un ambiente de trabajo que terminó siendo una actividad que involucró a todo el curso sin distinción de los grupos que se plantearon inicialmente. Esta situación se convirtió en algo particular para el entorno en el que se planteó la actividad dada la hostilidad y el poco interés que presentaba el trabajo en equipo. Además, el estudio de la variación permitió que los estudiantes fueran un poco más allá a la hora de establecer conjeturas acerca de la trayectoria que describía la pelota,

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por esta razón esta actividad se puede complementar con la temática de tiro parabólico de la asignatura de física. Se pudo relacionar muy bien un trabajo de uso de software con un proyecto como lo es la construcción de una catapulta, para alcanzar una modelación de un fenómeno real y más cercano para los estudiantes. Los planteamientos de problemas físicos están asociados a uno o varios conceptos matemáticos guardando así una relación constituyente más que experimental (Levy- Leblond, 1999). Esta integración entre la Física y la Matemática da al docente de Matemáticas nuevos contextos de enseñanza, y propicia la conformación de comunidades de estudios interdisciplinares, que ampliaran considerablemente los contextos en donde se puede apreciar y usar contenidos matemáticos.


Lévy-Leblond, J. (1999). Física y Matemáticas. En F. Guénard y G. Lelièvre (Eds.). Pensar la Matemática. Barcelona: Tusquets Editores, cuarta edición.

[2]

Santos, L. (2010). La Función Cuadrática enfoque de resolución de problemas. México: Editorial Trillas.

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18. EL USO DE GEOGEBRA EN LA SOLUCIÓN DE ALGUNOS PROBLEMAS DE MODELACIÓN EN Matemática ESCOLAR* Francisco Javier Córdoba Gómez Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Pablo Felipe Ardila Rojo Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen El auge de las herramientas computacionales como apoyo a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el ámbito escolar ha crecido de manera acelerada y ha generado cambios, no tan acelerados, en las prácticas docentes en el aula de tal suerte que la intencionalidad pedagógica y didáctica ya no sea solo una mejora en los resultados académicos ni un aprendizaje de tipo memorístico de los estudiantes sino más bien el desarrollo de habilidades y competencias que les permitan enfrentarse a situaciones y problemas de la vida real de una manera exitosa y creativa. Es por ello que a través de problemas prácticos que se pueden abordar desde las Matemáticas y con el apoyo del GeoGebra, se pretende estimular y potenciar estas competencias y habilidades, lo cual exige al mismo tiempo replantear la forma de trabajo en el aula que posibilite una mayor interacción y participación de los estudiantes.

* Este trabajo hace parte del proyecto de investigación: Estudio del impacto de la incorporación de prácticas de modelación en las clases de Matemáticas para estudiantes de tecnología e ingeniería del ITM como una forma de acercar las Matemáticas a la realidad. Proyecto adscrito al Centro de Investigación del INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO.

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Palabras clave: interacción, modelación, visualización, GeoGebra Abstract The rise of computational tools to support the teaching and learning of mathematics in schools has grown rapidly and has generated changes, not so fast, in teaching practices in the classroom so that the pedagogical and didactical intention is not only an improvement in academic achievement and rote learning, but rather the development of skills and competencies that enable them to deal with situations and problems of real life in a successful and creative way. That is why through practical problems can be addressed from mathematics and with the support of GeoGebra, it aims to encourage and enhance these skills and abilities, requiring at the same time to rethink the way of the work in the classroom that allows for an interaction and student participation.

Keywords: interaction, modeling, visualization, GeoGebra Introducción Una de las demandas que hacen los estudiantes y en general la gente del común, es sobre la utilidad de las matemáticas en la solución de problemas cotidianos y de la vida real. Aunque estas situaciones o problemas sean tomados de la vida real, para los estudiantes es difícil comprenderlos e interpretarlos pues las formas de representarlos no son las más adecuadas y se reducen solo a soluciones de tipo analítico y en algún sentido estático, puesto que se dan unas condiciones iniciales fijas y no se pueden apreciar los resultados de modificaciones en tiempo real. En este sentido, una preocupación general tiene que ver con encontrar maneras de intervenir y mejorar los procesos de aprendizaje de las matemáticas de tal forma que el conocimiento matemático escolar

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se convierta realmente en conocimiento significativo y funcional, en el sentido de que se pueda integrar al mundo de la vida para transformarla y transformar al sujeto que aprende, reconstruyendo y enriqueciendo significados permanentemente (Córdoba, 2011). Es por ello, que la estrategia de modelación en la clase de Matemáticas con ayuda de las representaciones que permite GeoGebra (visualización) se puede convertir en una alternativa motivadora que promueve la interacción y participación en clase de Matemáticas. La visualización como ayuda al desarrollo del pensamiento matemático mediante el uso de ayudas computacionales puede convertirse en un elemento central en la enseñanza de las Matemáticas que despierte el interés de los estudiantes y permita crear nuevos ambientes de trabajo que permita que ciertos problemas que normalmente se resuelven con modelos matemáticos simbólicos puedan ser llevados a representaciones gráficas en las que se pueda obtener una primera aproximación a la solución (Córdoba y Castrillón, 2011) y luego pasar al campo de la formalización.

La visualización Hitt (1998) señaló que desde 1985, aproximadamente, se le ha dado mayor importancia al proceso de generación de imágenes mentales adecuadas para el desarrollo de las habilidades como la visualización matemática, en la resolución de problemas y para el aprendizaje de la matemática, en general. Esto ha impulsado, por un lado, el estudio del papel de las representaciones de los objetos matemáticos y, por el otro, el desarrollo de una matemática en contexto (Planchart, 2002). La visualización ha sido generalmente considerada solo como un soporte que ayuda a la intuición y formación del concepto en el aprendizaje matemático, sin embargo en los últimos años

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muchos matemáticos y educadores matemáticos han reconocido la importancia del razonamiento visual no solo en el descubrimiento, sino también en la descripción y justificación de resultados, ya que la visualización juega un papel importante en el desarrollo de las estructuras cognitivas del estudiante y del pensamiento matemático (Zúñiga, 2009). En Matemáticas visualizar no significa simplemente ver al objeto matemático, ya sea una Figura, gráfica, representación algebraica o cualquiera otra, sino que se refiere a un proceso más complejo en donde las imágenes estimulan el pensamiento abstracto del que las percibe o genera (Kerlegand, 2008). Según Planchart (2002) la Matemática en sus comienzos utilizó la percepción visual como instrumento primario para el acercamiento a los objetos reales. Pero, en el transcurso del desarrollo social, la Matemática tomó un camino diferente. Gracias a los vestigios históricos conocemos que, en sus inicios, los objetos matemáticos se representaban de manera pictórica. Más adelante, la Matemática se formaliza y las estructuras de concretas y visuales cambiaron a estructuras formales y proposiciones lógicas, basadas en teoremas y postulados. Para autores como Zimmermann y Cunningham (1991) (citados por Kerlegand, 2008) por ejemplo, la visualización es un proceso mediante el cual se forman imágenes (mentalmente, con lápiz y papel, o con ayuda de la tecnología) y se utilizan para una mejor comprensión de los objetos matemáticos y para estimular el proceso de descubrimiento y construcción de las nociones. La experimentación y la visualización permiten reorganizar el pensamiento matemático, elaborar más fácilmente conjeturas que promuevan la investigación y construcción de conocimiento. Balacheff (2000) (citado por Scaglia y Götte, 2008) reflexiona en torno al uso de entornos informáticos en la enseñanza de las Matemáticas, señalando que “modifican el tipo

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de Matemáticas que se puede enseñar, el conjunto de problemas y las estrategias didácticas. El conocimiento profesional del profesor también debe modificarse” (p.36). Por su parte Castañeda (2004), frente a la pregunta sobre la visualización, se remite a las palabras de Guzmán (1996) Nuestra percepción es muy primordialmente visual y así no es de extrañar en absoluto que el apoyo continuo en lo visual esté tan presente en las tareas de matematización, [...]. Y aun en aquellas actividades Matemáticas en las que la abstracción parece llevarnos mucho más lejos de lo perceptible por la vista, los matemáticos muy a menudo se valen de procesos simbólicos, diagramas visuales [...] que les acompañan en su trabajo [...]. La visualización aparece así como algo profundamente natural [...] en la transmisión y comunicación propias del quehacer matemático. (p.114)

Para Suárez y Cordero (2005), el potencial de la graficación (en el marco de la visualización) puede ir más allá si se le considera en sí misma una modelación. Las características que debería cumplir son: las gráficas se obtienen a partir de una simulación que lleva a cabo múltiples realizaciones y hace ajustes en el movimiento para producir un resultado deseable en la gráfica, y tiene un carácter dinámico que permite crear modelos gráficos que se convierten en argumentos para nuevas descripciones de movimientos, propicia la búsqueda de explicaciones y enfatiza los comportamientos invariantes en las situaciones. Según los mismos autores, la práctica de la graficación soporta el desarrollo del razonamiento y de la argumentación y así mismo se puede estudiar como categoría que sirva de vehículo para implementar el trinomio modelación-graficación-tecnología en la construcción de conocimiento matemático en el salón de clases. La visualización al mismo tiempo permite que se puedan hacer otro tipo de representaciones de objetos matemáticos o de problemas, Duval (1999) por ejemplo, refiriéndose a la formación de conceptos

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matemáticos, asume la necesidad de construir el concepto a partir de la interacción con las diferentes representaciones del objeto matemático, ya que cada una de ellas por sí sola es parcial, siendo importante para el proceso de comprensión, la conversión de una representación a otra. Finalmente Arcavi (1999, citado por Zúñiga, 2009) sostiene que la visualización es la capacidad, el proceso y el producto de creación, interpretación, empleo y reflexión sobre cuadros, imágenes, diagramas, en nuestras mentes, en papel o con herramientas tecnológicas, con el propósito de representar y comunicar información, pensando y desarrollando ideas desconocidas y anticipando el entendimiento. En la siguiente presentación se pretende mostrar cómo el proceso de visualización se puede favorecer mediante el uso de un software de Geometría Dinámica y de qué manera se pueden implementar algunas acciones en el aula que favorezcan el aprendizaje de conceptos matemáticos y ayuden en la modelación.

La modelación Según Córdoba (2011) la modelación en el ámbito de la matemática escolar es un tema que en las últimas décadas ha cobrado mayor relevancia y sobre el cual se han realizado no solo eventos y encuentros internacionales sino que además se ha incorporado el tema de la modelación en diferentes currículos escolares en los diferentes niveles educativos. De la misma forma Mousoulides (2011) afirma que en la actualidad diferentes organizaciones profesionales (National Research Council, National Council of Teachers of Mathematics) han enfatizado en la necesidad de desarrollar en los estudiantes habilidades que les permitan usar exitosamente herramientas tecnológicas en la solución de problemas complejos en la escuela y más allá de ella.

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Al usar una perspectiva de modelación, los estudiantes tienen la oportunidad de crear, aplicar y adoptar modelos matemáticos y científicos para interpretar, explicar y predecir el comportamiento de problemas del mundo real (Mousoulides, 2010). La modelación matemática está siendo fuertemente defendida en diversos países como método de enseñanza de las Matemáticas en todos los niveles de escolaridad, ya que permite al alumno no solo aprenderla de forma aplicada a otras áreas del conocimiento, sino también mejorar para leer, interpretar, formular y solucionar situaciones problema (Biembengut y Hein, 2004, citados en Córdoba, 2011). Para Castro y Castro (2000) la modelización matemática es una forma de resolución de problemas de la vida real en la que no solo se tiene en cuenta la solución del mismo, sino que exige la utilización de un gran número de habilidades matemáticas y no llega solo a una respuesta específica sino a un rango de respuestas que describen la conducta del fenómeno considerado y da al resolutor sentido de participación y control en los procesos de solución. Esto hace que la modelización matemática sea un poderoso instrumento de aprendizaje significativo, a tener en cuenta para trabajar en el aula. Para Sadovsky (2005) un proceso de modelación supone en primer lugar recortar una cierta problemática frente a una realidad generalmente compleja en la que intervienen muchos más elementos de los que uno va a considerar, identificar un conjunto de variables sobre dicha problemática, producir relaciones pertinentes entre las variables tomadas en cuenta y transformar esas relaciones utilizando algún sistema teórico-matemático, con el objetivo de producir conocimientos nuevos sobre la problemática que se estudia (Córdoba, 2011). La modelación también se ha asumido como una construcción social de conocimiento matemático y no como una simple aplicación

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del conocimiento matemático, tal como lo proponen Cordero y otros (2009), una de las creencias frecuentes en las prácticas de enseñanza de la Matemática consiste en que la modelación es una aplicación de la Matemática. Ello conlleva enseñar Matemáticas y después buscar la aplicación de tal conocimiento, para este grupo de investigación la modelación es, en sí misma, una construcción social del conocimiento matemático. Otro tipo de construcción es el que propone Suárez (2008) cuando afirma en su investigación que la modelación es una construcción teórica que un individuo realiza al enfrentar una tarea matemática en la que pone en juego sus conocimientos. Se supone en este caso que son conocimientos previos, es decir, la modelación para que pueda ser significativa debe estar apoyada en ciertos conocimientos que permitan nuevas construcciones. Para esta autora, la hipótesis es que las matemáticas que se construyen con las actividades de modelación cobran un nuevo sentido. Para Arrieta (2003) por su parte, la modelación se constituye en un proceso de matematización en el aula de actividades que desarrollan interactivamente docentes y alumnos usando las matemáticas para interpretar y transformar un fenómeno de la naturaleza confrontando y argumentando diferentes versiones. Finalmente, se adopta para este trabajo la aproximación de Confrey y Maloney (2007, citados en Hitt y Cortés, 2009) quienes proponen que la modelación matemática es el proceso de encontrarse con una situación indeterminada, problematizarla y traerla a investigación, razonamiento y estructuras matemáticas para llevar a transformar la situación, produciendo como resultado un modelo que es una descripción o representación de la situación.

La interacción Una de las ventajas de articular la modelación con la representación que permita GeoGebra es que promueve y facilita procesos de 230


interacción entre sujetos y entre los sujetos y el ambiente dinámico que ofrece el software, potenciando de esta manera aprendizajes colectivos en un proceso constructivo continuo. Según Falsetti y Rodríguez (2005) las interacciones son un proceso de intercambio comunicativo, recíproco y voluntario entre actores que participan del acto intencionado de enseñar y que conlleva la potencialidad de provocar alguna transformación (intelectual o actitudinal) entre los sujetos participantes. Las interacciones pueden ser consideradas entonces como procesos de intercambio comunicativo en los que las negociaciones, los consensos, las convergencias, las divergencias, las explicaciones y las argumentaciones son los mecanismos mediante los cuales se dan las relaciones entre los actores en la clase de Matemáticas. Así, las interacciones se presentan como una herramienta, un instrumento pedagógico que ayuda al profesor a crear las condiciones para que el aprendizaje ocurra (Córdoba, 2011)

Ejemplos de aplicación A continuación se muestran algunos ejemplos con ayuda de GeoGebra en los cuales la modelación puede ser llevada a ambientes dinámicos y a partir de la manipulación se pueden obtener respuestas aproximadas a tales problemas. A continuación se muestran algunas imágenes tomadas del ambiente gráfico de GeoGebra. En la Figura 1, se presenta un problema de modelado que se puede resolver usando elementos del cálculo diferencial (optimización), pero que también con ayuda de la visualización usando GeoGebra se puede resolver y encontrar una muy buena aproximación a la solución. Se puede observar que en la misma zona gráfica se pueden ir planteando inquietudes que pueden ir conduciendo a la respuesta y que el mismo estudiante puede manipular los objetos para que vaya confrontando sus respuestas y así llegar a la solución.

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Figura 1: Problema de costos mínimos


En la Figura 2, se observa la solución analítica del problema y se observa que coincide con la solución gráfica Figura 2: Solución analítica del problema de costos mínimos


En la Figura 3 se observa el problema del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en una semicircunferencia y la tabla de los datos que se actualiza automáticamente. 232


Figura 3: Rectángulo de área máxima en una semicircunferencia


En la Figura 4, se plantea un problema clásico de la geometría euclidiana que también se puede llevar al ambiente gráfico Figura 4: Trayectoria mínima entre dos puntos en un mismo semiplano

Fuente: Elaboración delos autores

En este caso, el estudiante puede mover el punto P y observar cual es la ubicación que da el camino más corto.

Consideraciones finales El creciente uso de ayudas computacionales en la educación y especialmente en el área de las matemáticas, hace que la práctica docente se enfoque no solamente en la mejora del rendimiento académico sino también, y más importante, en el desarrollo de otras 233


habilidades y competencias en los estudiantes que les permitan enfrentar con mayor creatividad problemas reales. Actividades escolares en las que la modelación sea la estrategia didáctica principal y en cuyo desarrollo las interacciones sean promovidas por medio de un trabajo colaborativo y en articulación con la visualización ayudada con GeoGebra, pueden motivar y estimular a los estudiantes a ver las Matemáticas desde otra perspectiva y con mayor funcionalidad de tal forma que se permita la construcción de un conocimiento matemático significativo.

Referencias bibliográficas [1] Castañeda, F. (2004). Visualización Universidad del País Vasco. [2]

y

Matemáticas.

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Córdoba, F. (2011). La modelación en Matemática Educativa: una práctica para el trabajo de aula en ingeniería. Tesis de maestría no publicada. CICATA- IPN, México.

[5] De Faria, E. (2005). Geometría con Cabri: Un viaje con Voyage 200. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala, 21 al 25 de noviembre del 2005. 234


[6]

Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Cali: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía.

[7]

Falsetti, M. y Rodríguez, M. (2005). Interacciones y aprendizaje en Matemática preuniversitaria: ¿qué perciben los alumnos? Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 8 (3), 319-338

[8]

Hitt, F.y Cortes, J. (2009). Planificación de actividades en un curso sobre la adquisición de competencias en la modelización Matemática y uso de la calculadora con posibilidades gráficas. Revista digital Matemática, Educación e Internet, 10, 1-30. Recuperado el 3 de julio de 2012 de http://www.cidse.itcr. ac.cr/revistamate/.

[9] Hohenwarter, M. & lavicza, Z. (2007). Mathematics teacher development with ICT: towards an International GeoGebra Institute. In D. Kuchemann (Ed.). Proceedings of the British Society for Research into Learning mathematics.27(3): 49-54. University of Northampton, UK: BSRLM. Recuperado el 18 de agosto de 2011 de http://www.geogebra.org. [10] Kerlegand, C. (2008). Desarrollo de dos propiedades de la circunferencia usando el modelo de Van Hiele y la visualización. Tesis de Maestría no publicada. ICATA-IPN. México. [11] Mousoulides, N. (2011). GeoGebra as a Conceptual Tool for Modeling Real World Problems. In Lingguo Bu & Robert Schoen (Eds.), Model-Centered Learning: Pathways to Mathematical Understanding Using Geogebra, 105-118. Rotterdam: Sense Publishers.

235


[12] Mousoulides, N. (2011). Student developments in modeling real world problems using conceptual technological tools. ACTA MATHEMATICA 13, 63-72. [13] Planchart, O. (2002). La visualización y modelación en la adquisición del concepto de función. Tesis de doctorado no publicada. Instituto de Ciencias de la Educación. Universidad Autónoma, Morelos, México. [14] Scaglia, S.& Götte, M. (2008). Una propuesta de capacitación docente basada en el uso de un software de geometría dinámica. Revista Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias, 3 (1). [15] Suárez, L. y Cordero, F. (2005). Modelación en Matemática Educativa. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 18, 639-644. México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. [16] Suárez, L. (2008). Modelación- Graficación, una categoría para la Matemática escolar. Resultado de un estudio socioepistemológico. Tesis doctoral no publicada. Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, México. [17] Zúñiga, M. (2009). Un estudio acerca de la construcción del concepto de función, visuzalización. En alumnos de un curso de cálculo I. Tesis de maestría no publicada. Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán, Tegucigalpa.

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19. CONTEXTUALIZACIÓN DE LAS NOCIONES DE FAMILIAS DE CURVAS Y LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN C CON GEOGEBRA* María Cristina González Mazuelo Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Carlos Mario Restrepo Restrepo Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen En los libros de texto, videos educativos en internet y demás recursos con los que cuenta el profesor como guía para sus clases, se presenta el concepto de antiderivada y las nociones relacionadas de familia de curvas y constante de integración C, desde un enfoque geométrico el cual es comúnmente adoptado por el profesor en la enseñanza a sus estudiantes. Sin embargo, este hecho puede representar para los estudiantes una limitación al momento de comprender y aplicar dichas nociones en situaciones problema. Por tanto, en este trabajo se muestra el diseño de un objeto interactivo de aprendizaje (OIA) bajo el software GeoGebra, como una alternativa para la construcción de las nociones de familia de curvas y constante de integración C en el contexto de la física mecánica. El objeto que se presenta en este trabajo consta de dos escenas en las que se recrea una situación de la cinemática relacionada con la caída libre, donde se simulan las funciones velocidad y altura de una pelota que es lanzada hacia arriba, y en las cuales se contextualiza las nociones de interés. * Este trabajo hace parte del proyecto de investigación: Estudio del impacto de la incorporación de prácticas de modelación en las clases de Matemáticas para estudiantes de tecnología e ingeniería del ITM como una forma de acercar las Matemáticas a la realidad.Proyecto adscrito al Centro de Investigación del INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

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Palabras

clave:

objeto interactivo de aprendizaje, antiderivada, familia de curvas, constante de integración, GeoGebra.

Abstract Calculus textbooks, learning videos and other internet resources for teachers often present the concept of antiderivative and the basic ideas about family of functions and integration constantC, mainly from a very geometric viewpoint which is commonly adopted by teachers in calculus class. However, this situation might represent a limitation to students when they tried to understand and applying these basic ideas through a wider cluster of calculus problems. Consequently, this work shows the basic ideas to design an Interactive Learning Object that present the meaning of family of functions and integration constant C in cinematics problems. The Object presented in this work has two stages, each showing a free fall problem and simulating velocity and position functions of a ball thrown upwards, in order to clarify the basic ideas mentioned.

Keywords: interactive Learning Object, antiderivative, family of functions, integration constant, GeoGebra.

Introducción Por lo general la antiderivada de una función f se define desde un enfoque geométrico como otra función F tal que F’(x)=f. De allí que puedan existir varias funciones F cuya derivada sea f, las cuales constituyen una familia de curvas o funciones primitivas que tienen la forma F(x)+C, donde C es una constante arbitraria. Por lo anterior se concibe entonces la familia de curvas como aquellas funciones que resultan de asignarle un valor específico a la constante C, “cuyas gráficas son traslaciones verticales unas de otras”(Stewart, 2010) y

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que tienen en común la misma derivada, tal como se muestra en la Figura 1. Figura 1: Familias de curvas de f(x)=x2


Prueba de lo común de este enfoque puede verse en distintos libros utilizados como textos guía en las asignaturas de cálculo, algunos de tradición como lo son El Cálculo de Louis Leithold y Cálculo con Geometría Analítica de Earl W. Swokoski, y otros más actuales como lo son Cálculo: Conceptos y Contextos de James Stewart y Cálculo Diferencial e Integral de Edwin Purcell entre otros. También se puede constatar en videos disponibles en internet como el producido en la Universidad Tecnológica de Tabasco titulado: Matemáticas aplicadas a Telecomunicaciones. Cálculo Integral (2011) y la presentación elaborada por Marisol Cuicas Ávila titulada: Integral Indefinida. Definición. Teoremas (2010). El profesor, teniendo como guía los recursos antes mencionados, adopta este enfoque para sus clases siendo en la mayoría de los casos la única forma de presentar dichas nociones. Lo anterior puede constituirse en una limitante para los estudiantes al momento de comprender, en particular, la noción de familia de curvas y asignarle un significado a la constante C en otros contextos distintos

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al geométrico con la consecuente dificultad para resolver situaciones problema en dichos contextos. Así, con este trabajo se proporciona un objeto interactivo de aprendizaje, OIA, como una alternativa para la presentación de la noción de familia de curvas y el significado de la constante C desde un enfoque físico, específicamente desde una situación de la cotidianidad relacionada con la caída libre. Igualmente se espera facilitar en el estudiante, el establecimiento de las relaciones existentes entre las diferentes representaciones de los fenómenos físicos, esto es, entre la representación física, la cartesiana o geométrica y la analítica o algebraica, al tiempo que se apropia de los conceptos matemáticos que los rigen. El diseño de este OIA se llevó a cabo bajo el software libre GeoGebra, el cual consiste en un programa dinámico para el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática, de fácil utilización y de disponibilidad gratuita. Por tratarse de un procesador algebraico y geométrico, permite la construcción de representaciones gráficas y algebraicas de todo tipo, lo que facilita la percepción de los objetos, es decir, su visualización, el establecimiento de conexiones entre estos objetos y las expresiones algebraicas, numéricas y geométricas que los representan (Losada Lister, S.F). Debido al carácter dinámico, el software GeoGebra ofrece la posibilidad de animar automáticamente o manualmente, esto último mediante deslizadores, la variabilidad numérica, que para el caso en particular del trabajo que aquí se desarrolla, le confiere al usuario la posibilidad de asignarle valores a la constante C y observar su efecto no solo en la representación física del fenómeno considerado, sino también en su representación geométrica y su expresión algebraica.

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Objeto

interactivo de aprendizaje para la contextualización de

las nociones de curvas y la constante de integración

C

El OIA que se presenta en este trabajo consta de dos escenas en las que se recrea una situación de la cinemática relacionada con la caída libre, consistente en el lanzamiento de una pelota hacia arriba, que solo se encuentra bajo el efecto de la gravedad. De acuerdo con esta situación, en la primera escena se simula la función velocidad V(t) de la pelota y en que la velocidad inicial varía. De manera similar, en la segunda escena se simula la función altura H(t) de la pelota, dejando la velocidad inicial de lanzamiento constante y variando la altura inicial desde la cual es lanzada la pelota. Así, en la primera escena se plantea la función velocidad como la antiderivada de la función aceleración a(t), que en este caso corresponde a la aceleración de la gravedad, y en la segunda la función altura como la antiderivada de la función velocidad. El propósito de las dos escenas consiste, coherentemente con la intencionalidad del trabajo, en ayudar al estudiante a comprender los significados que tiene la constante C en las expresiones algebraicas que representan las funciones velocidad V(t) y altura H(t), y el surgimiento de las dos familias de curvas de las funciones mencionadas al variar la constante C en sus expresiones generales. Como ya se mencionó, la primera escena ayuda a la visualización de los efectos que tiene sobre la expresión general de la velocidad V(t) la variación de la constante C y el significado de esta última en el contexto de la situación propuesta. Para ello, inicialmente se deduce la expresión general o de la familia de curvas para la velocidad a partir de la función aceleración la cual está dada por: a(t)=g=-9.8 m⁄seg2 (1)

241


Del cálculo se sabe que la función velocidad de la pelota en cualquier instante V(t) es la antiderivada de la función aceleración a(t). Por consiguiente: V(t)=∫ a(t) dt

(2)

Reemplazando 1 en 2: V(t)=-∫ 9.8 dt

(3)

Integrando la expresión 3 con respecto al tiempo: V(t)=-9.8 t + C

(4)

La expresión 4 representa la velocidad de la pelota en cualquier instante. Si se asume que la pelota fue lanzada con una velocidad inicial V_o, es decir, la velocidad cuando t=0 ó V(0)=V_o, se tiene que: V0=-9.8 (0) + C Entonces: V0= C La ecuación general para la velocidad de la pelota en cualquier instante t está dada por: V(t)=-9.8 t + V0 (5) Con base en lo anterior la primera escena se encuentra provista de unos botones que le permiten al usuario verificar la expresión 5 según el protocolo anterior. Igualmente se dispone de dos deslizadores: uno para variar el tiempo t y otro con el que es posible variar la velocidad inicial V_0ambas en la expresión 5. Para iniciar la interactividad del objeto se elige una velocidad inicial desplazando el deslizador correspondiente, empezando de una velocidad inicial de 5 m⁄s y variando de en intervalos de 5 m⁄s hasta llegar a 20 m⁄s.

242


Una vez elegida la velocidad inicial se procede a desplazar lentamente el deslizador con el que se varía el tiempo. A medida que esto último sucede, se simula el movimiento del balón y en un plano cartesiano se va configurando la recta que representa la función velocidad V(t). Culminada esta actividad se escoge otra velocidad inicial y se repite el proceso anterior. Al ir cambiando la velocidad inicial sucede la traslación vertical de la recta que representa la función velocidad V(t) cuyo intercepto con el eje y corresponde a la constante C, que en este contexto se relaciona con la velocidad inicial V0. En la Figura 2 se muestra un esquema de lo anterior. Figura 2: Primera escena del objeto


De forma similar, la segunda trata de mostrar los efectos que tiene sobre la expresión general para la altura H(t) de la pelota, la variación de la constante C y el significado de esta última en el contexto de la situación propuesta. Para ello, igualmente en un primer momento se deduce la expresión general o de la familia de curvas para la altura a partir de la función velocidad la cual, como ya se dedujo anteriormente está representada por:

243


V(t)=-9.8 t + V0 (6) Del cálculo se sabe que la función altura de la pelota en cualquier instante H(t) es la antiderivada de la función velocidad V(t). De esta forma: H(t)=∫ V(t) d

(7)

Reemplazando 5 en 6: H(t)=-∫ 9.8 t + V0 dt

(8)

Integrando la expresión 7 con respecto al tiempo: H(t) = -4.9 t2 + V0 t + C

(9)

La expresión 8 representa la altura de la pelota en cualquier instante. Si se considera que la pelota fue lanzada desde una altura inicial Ho, es decir, la altura a la que se encontraba la pelota cuando t=0 ó H(0)=Ho, se tiene que: Ho= -4.9 (0)2+ V0 (0) + C Por tanto: Ho = C De esta forma la ecuación general para la altura de la pelota en cualquier instante t está dada por: H(t)=-4.9 t2+ V0 t + H0 (10) Según lo anterior y al igual que la primera escena, la segunda dispone de unos botones que le permiten al usuario deducir la expresión 9 conforme al protocolo anterior. Igualmente se cuenta con dos deslizadores: uno para variar el tiempo t y otro con el que se puede variar la altura inicial Ho de la pelota, ambas en la expresión 9. Para comenzar la interactividad del objeto se elige una velocidad inicial V0 , la cual permanecerá constante durante toda la actividad, 244


también se selecciona la altura inicial en la que se encuentra la pelota desplazando el deslizador correspondiente, comenzando desde el suelo, esto es desde una altura inicial de 0 m y variando dicha altura cada 2 m y hasta 10 m . Seleccionada la altura inicial, se procede a desplazar lentamente el deslizador con el que se varía el tiempo. A medida que se va moviendo el deslizador de t, simultáneamente en la escena se simula de nuevo el movimiento del balón y en un plano cartesiano se va configurando la parábola que representa la función altura H(t). Una vez terminada la actividad se escoge otra altura inicial y se repite el proceso anterior. Al ir cambiando la altura inicial sucede la traslación vertical de la parábola que representa la función altura H(t) cuyo intercepto con el eje y corresponde a la constante C, que en este contexto se relaciona con la altura inicial Ho En la Figura 3 se muestra un esquema de lo anterior. Figura 3: Segunda escena del objeto


Conclusiones Con la socialización de este objeto de aprendizaje se pretende que el profesor de la asignatura de cálculo cuente con alternativas para la 245


construcción de la noción de familia de curvas, y disponga de otros significados para la constante de integración C, desde un enfoque físico y en un problema de aplicación del concepto de antiderivada. En otra vía, se espera que el estudiante se apropie de forma autónoma de las nociones mencionadas, al tiempo que no solo visualice los efectos que tiene la variación de la constante C y su significado en el contexto de la situación propuesta, sino que establezca las relaciones existentes entre la representación física, geométrica y algebraica del fenómeno físico en estudio. GeoGebra 4.2 brinda una amplia gama de herramientas que facilitan la consolidación de un verdadero Objeto de Aprendizaje: la interactividad y la aleatoriedad se logran mediante el uso de los deslizadores, los botones, los booleanos y condicionales que ofrece el software. Esta interactividad y aleatoriedad se concretan en la manipulación directa de variables o parámetros por parte del usuario del applet, y la experimentación de situaciones problema por medio de simulaciones. La retroalimentación inmediata, que permite al estudiante conocer sus aciertos y dificultades (por ejemplo con un mensaje de felicitación que aparece en el OAI ante una acción correctamente realizada por el estudiante). La accesibilidad, la modularidad y la adaptabilidad de que goza todo OIA, se logran fácilmente con GeoGebra ya que permite la exportación de los contenidos como página Web dinámica, y su posterior ensamble con otras páginas Web para formar estructuras más generales como por ejemplo las secuencias didácticas. Finalmente la portabilidad exigida a todo OAI está asegurada con GeoGebra por ser software libre y de fácil instalación en cualquier sistema operativo.

246



Cuicas, M. (2010). Slideshares. Recuperado el 16 de julio de 2012 de http://www.slideshare.net/marisolcuicas/integralindefinida-5132692.

[2]

Losada, R. (S.F). GeoGebra en la Enseñanza de las Matemáticas. Recuperado el 17 de julio de 2012 de http://GeoGebra.es/ cvg/index.html.

[3] Stewart, J. (2010). Cálculo. Conceptos y Contextos (4a ed.). México: Cengage Learning Editores, S.A. [4] Universidad Tecnológica de Tabasco (2011). Youtube. Recuperado el 16 de julio de 2012, de http://www.youtube. com/watch?v=V5bcTzNuy6g&feature=related.

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20. GUÍA DIDÁCTICA PARA TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES CON GEOGEBRA PARA EL AULA DE CLASE Elkin A. Castrillón Jiménez Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Carlos A. Rojas Hincapié Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Sara M. Yepes Zuluaga Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected].

Resumen

Formalizar con los docentes y estudiantes la manera cómo nace una idea innovadora en el aula de clase con el empleo del procesador geométrico GeoGebra a partir de las ideas y propuestas generadas por parte de los estudiantes con el docente al valorar la comprensión de los conceptos de un tema determinado de las ciencias básicas y que van a ser necesitados como preconceptos para otras asignaturas del área de ingenierías en los programas de Electrónica, Telecomunicaciones, Electromecánica, Mecatrónica, Biomédica, entre otros.

Palabras

clave:

transformaciones de funciones, procesador geométrico, innovación educativa, GeoGebra

Abstract Formalizewith teachersand studentsthe wayan innovative idea is borninthe classroomwith the use ofGeoGebrageometry processorfromthe ideas andproposals generatedby thestudentswith the teachertoassessunderstanding ofthe concepts of a topic fromthe basic sciencesand that willbe neededas preconceptionstoother

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subjects in theareaof engineeringprogramsinElectronics, Telecom munications,Electromechanical, Mechatronics, Biomedical, among others.

Keywords:

transformationsof functions,geometry educational innovation, GeoGebra.

processor,

Introducción Una forma particular de obtener la gráfica de una función compleja se puede lograr a partir de realizar transformaciones a una función conocida mediante combinaciones tales como reflexiones, alargamientos, compresiones y traslaciones con respecto a los ejes coordenados, pero se debe indicar en forma muy clara y exacta a los estudiantes el procedimiento para realizarlo ya que no basta con aclararles cada movimiento por aparte sino como hacerlo en forma secuencial hasta alcanzar el conjunto de las combinaciones pedidas.

Metodología Se explicaron y demostraron las pautas del diseño de la guía didáctica a los estudiantes, el docente con anterioridad a la fecha de aplicación del tema en clase construyó previamente con el procesador geométrico GeoGebra las plantillas de las funciones conocidas para ser utilizadas por los estudiantes en el aula de clase o en su tiempo de trabajo independiente como se puede apreciar en la Figura 1.

249


Figura 1: Generación de la gráfica de una función conocida i(x) =ex en GeoGebra con divisiones en unidades de longitud en cm para exportarla como una imagen a Word


En segundo lugar exporto las gráficas de las funciones conocidas al procesador de texto Word con divisiones de escalas iguales y exactas de 1 cm en los ejes coordenados como se observa en la Figura 2 y se entregaron a los estudiantes para que procedieran a obtener la impresión en acetatos, y por último el estudiante procedía a construir en una hoja tamaño oficio cuadriculada el plano cartesiano coordenado para poder ubicar allí la gráfica de la función conocida como lo apreciamos en la Figura 3 para realizar sobre dicho plano los movimientos de las combinaciones requeridas quedando así el estudiante con un kit de práctica a muy bajo costo, portable y con mucha versatilidad.

250


Figura 2: Gráfica importada a Word de una función conocida i(x) =ex con divisiones en unidades de longitud en cm elaborada en GeoGebra para ser impresa en acetato


El día del desarrollo del tema en el aula de clase el docente empleo la ventana gráfica de GeoGebra para construir paso a paso las transformaciones que debía realizar a partir de la función conocida con un alto grado de exactitud para de esta forma apoyados con la visualización e interpretación a la cual debían llegar los estudiantes y mostrar que «la modelación puede ser llevada a ambientes dinámicos y a partir de la manipulación se pueden obtener respuestas aproximadas a tales problemas» (Córdoba y Castrillón, 2011: 26-31) y se utilizó un Objeto Virtual de Aprendizaje (OVA) desarrollado por el docente con el software GeoGebra y se entregó además el archivo a los estudiantes para que lo utilizaran en sus computadores personales o en las salas de la institución educativa.

251


Figura 3: Gráfica de la función i(x) =ex impresa en acetato y plantilla del plano cartesiano elaborada en hoja cuadriculada tamaño oficio con divisiones en cm y con resolución de 0,5


En la Figura 4 apreciamos el ingreso de la función conocida f(x) =ex en el OVA y la gráfica que se propuso obtener era q(x) = -2 e(-2x+1) - 3. Figura 4: Ingreso de la función base f

(x)

= ex en el OVA y su respectiva gráfica


Con el botón Reflexión Eje x del OVA se les mostro la gráfica de reflexión con respecto al eje x obteniendo así h(x) = -ex, donde la porción de la gráfica correspondiente al semiplano superior queda

252


en el semiplano inferior y la porción de la gráfica del semiplano inferior queda en el semiplano superior como se observa en la Figura 5, lo que normalmente en la vida real denominamos el efecto espejo en un lago. Con el botón Reflexión Eje y del OVA se les mostró la gráfica de reflexión con respecto al eje y obteniendo así j(x) = e-x, donde la porción de la gráfica correspondiente al semiplano izquierdo queda reflejada en el semiplano derecho y la porción de la gráfica del semiplano derecho queda en el semiplano izquierdo como se muestra en la Figura 6, lo que normalmente en la vida real denominamos el efecto de voltear la página de un libro. Con el botón Desplazamiento Vertical del OVA se les mostró el desplazamiento de la gráfica en forma vertical con un valor de d = 1 cm hacia arriba como lo podemos apreciar en la Figura 7 donde tenemos el punto de referencia A=(0, 1) de f(x) y que para el desplazamiento obtenemos la función k(x) = ex+1 y dicho punto estaría ubicado en las nuevas coordenadas B=(0, 2) lo que normalmente en la vida real denominamos el efecto de subir la gráfica si el valor es positivo o bajar la gráfica si el valor es negativo. Figura 5: Gráfica de la función f(x) reflejada con respecto al eje x obteniendo h(x) = -ex


253


Figura 6: Gráfica de la función f(x) reflejada con respecto al eje y obteniendo j(x) = -ex

Fuente: Elaboración de los autores Figura 7: Gráfica de la función f(x) con desplazamiento vertical hacia arriba, k(x) = ex+1


Con el botón Desplazamiento Horizontal del OVA se les mostró el desplazamiento de la gráfica en forma horizontal con un valor de e = - 3 cm hacia la derecha como lo podemos ver en la Figura 8 donde tenemos el punto de referencia A=(0, 1) de f(x) y que para el desplazamiento obtenemos la función l(x)=e(x-3) estaría ubicado en las coordenadas del nuevo punto B=(3, 1) lo que normalmente en la vida real denominamos el efecto de correr o desplazar la gráfica a la derecha si el valor es negativo o correrla o desplazarla a la izquierda si el valor es positivo. Con el botón Estiramiento o acortamiento vertical del OVA se les mostró el estiramiento vertical de la gráfica, con un valor de c = 2 cm para lo cual se obtiene la función g(x)= 2ex donde hay alargamiento vertical como lo podemos observar en la Figura 9 donde tenemos el 254


punto de referencia A=(0, 1) de f(x) y que para g(x) estaría ubicado en las coordenadas del nuevo punto B=(0, 2) lo que normalmente en la vida real denominamos crecer más rápido la gráfica, si el valor está entre 0 < c < 1 el efecto es de acortamiento de la gráfica, es decir, hay un crecimiento muy lento de la gráfica g(x) con respecto a la gráfica f(x). Figura 8: Gráfica de la función f(x) con desplazamiento horizontal hacia la derecha, l(x)=e(x-3)

Fuente: Elaboración de los autores Figura 9: Gráfica de la función f(x) con estiramiento vertical g

(x)

= 2ex


Con el botón Estiramiento o acortamiento horizontal del OVA se les mostró el acortamiento horizontal de la gráfica obtenida, con 255


un valor de s = 2 cm, con la función p(x)= e2x como se muestra en la Figura 10 donde tenemos el punto de referencia A=(0, 1) de f(x) y que para p(x) estaría ubicado en las mismas coordenadas de punto A=(0, 1) lo que normalmente en la vida real denominamos acortamiento horizontal de la gráfica, si el valor de s está entre 0 < s < 1 el efecto es de alargamiento horizontal de la gráfica, es decir, hay estiramiento horizontal de la gráfica f(x). Figura 10: Gráfica de la función f(x) con acortamiento horizontal, p(x)= e2x


Con el botón Transformaciones del OVA se les mostró todas las transformaciones de la gráfica de la función conocida f(x) para obtener la función compleja en construcción q(x) =-2 e(-2x+1) - 3 como se aprecia en la Figura 11. Figura 11: Gráfica de la función q(x) con todos las transformaciones propuestas para obtener q(x) =-2 e(-2x+1) - 3


256


A continuación se les distribuyó a los estudiantes un taller con ejercicios de transformaciones para practicar en el aula de clase con diferentes tipos de funciones en el kit desarrollado (plantillas funciones conocidas y plano cartesiano coordenado) como se evidencia en la Figura 12, antes de aplicar la evaluación individual sobre el tema de transformaciones de funciones. Figura 12: Construcción de la función compleja q(x)= -1 e(-1x+4)+3 a partir de la función conocida f(x)=ex utilizando el kit desarrollado con GeoGebra


Resultados y discusión Los resultados de la evaluación individual del tema de transformaciones de funciones aplicada a 178 estudiantes de Cálculo Diferencial en el INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO de Medellín (Colombia) en el primer semestre del año 2010 arrojó que 154 estudiantes pasaron la prueba y 24 no la pasaron. Lo que nos indica que el 86 % de los estudiantes alcanzaron a comprender los conceptos del tema estudiado mejorando los índices alcanzados en semestres anteriores para esta misma prueba. 257


Los procesadores geométricos ayudan a los estudiantes a interpretar uno o varios conceptos, para que luego puedan argumentar como sería una secuencia de transformaciones relacionadas para una función específica y que retengan el concepto para ser aplicado en otras asignaturas de sus competencias específicas de su campo de saberes, «la intención es “abrir los ojos” para que la mente aborde adecuadas observaciones geométricas y a partir de ellas desarrolle estrategias de resolución eficientes» (Rivera, 2009: 12). Con los estudiantes nativos digitales «es necesario recomponer con todos los medios, la idea arraigada, con todos los medios, la idea arraigada en nuestra sociedad, procedente desde la niñez, de que la Matemática es aburrida, inhumana y muy difícil» (Castrillón y Arango, 2010: 75).

Conclusiones Compartir experiencias innovadoras educativas para utilizar en el aula de clase con los recursos que ofrece el procesador geométrico GeoGebra convertirá el aula de clase habitual en un lugar de experimentación y modelación matemática con un costo muy bajo y alto grado de eficiencia en los procesos de enseñanza - aprendizaje. Promover las conferencias internacionales de GeoGebra para «Mostrar la importancia de la visualización en matemáticas como ayuda al desarrollo del pensamiento matemático mediante el uso de ayudas computacionales [...]» (Córdoba y Castrillón, 2011: 2930) cuando se tiene el recurso para utilizarlo con construcciones dinámicas y «estimular al docente a la creación de nuevo material de apoyo para que sus clases sean mucho más amenas e incentiven al estudiante a estimular el proceso de descubrimiento y construcción de las nociones, la experimentación y la visualización […]» (Castrillón, 2011: 90-91).

258


Referencias bibliográficas [1] Castrillón, E. y Arango, J. (2010). De la comunicación lineal a la counicación dialógica mediada por tecnologías informáticas en los procesos formativos de las ciencias básicas. En: Formación y modelación en Ciencias Básicas. Medellín, Colombia: Universidad de Medellín. [2] Castrillón, E. (2010). Diseño y construcción de material interactivo con geogebra para impactar en el aprendizaje de la geometría, algebra y cálculo diferencial. En: Memorias: Segundo Encuentro Nacional sobre la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales. Pereira, Colombia: Universidad Católica de Pereira. [3] Córdoba, F. y Castrillón, E. (2011). La visualización y sus potencialidades en el aprendizaje de las Matemáticas con ayuda de la geometría dinámica. En: III Congreso Internacional en Formación y modelación en Ciencias Básicas. Medellín, Colombia: Universidad de Medellín. [4] Córdoba, F. y Castrillón, E. (2011). La visualización en Matemáticas articulada a la modelación: algunos ejemplos. En: Memorias: Primer Encuentro Internacional sobre la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales. Pereira, Colombia: Universidad Católica de Pereira. [5] Rivera , J. et al. (2009). Geometría Interactiva. Medellín, Colombia: Fondo Editorial ITM.

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21. GEOGEBRA, IDEAL PARA PRESCINDIR TOTALMENTE DEL ESFUERZO RUTINARIO DEDICADO A DESARROLLAR TAREAS MECÁNICAS DE TRAZADO Y PARCIALMENTE LAS TAREAS DE CÁLCULO GEOMÉTRICO John Jairo García Mora Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]; [email protected]

Resumen El presente análisis es el resultado de una experiencia de aula donde buscamos comparar el rendimiento académico de dos grupos de estudiantes de geometría integrada del primer nivel del programa de Diseño Industrial del INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO de la ciudad de Medellín, uno de los grupos inmerso en la Web 2.0 con el apoyo de GeoGebra y el otro únicamente con los recursos de la Web 1.0. Mediante el análisis de esta experiencia se detectó que el grupo apoyado con TIC logró mejor rendimiento académico.

Palabras

clave: Web 2.0., TIC, GeoGebra, modelo de Van Hiele, Teoría de la Gestalt.

Abstract This analysis is the result of a classroom experience where we compare the academic achievement of two groups of students in geometry class integrated program of Industrial Design at the Technological Institute of the Metropolitan city of Medellin, one of the groups engaged in the Web 2.0 with the support of GeoGebra and the other only the resources of the Web 1.0. By analyzing this experience it was found that the group managed ICT supported higher academic achievement. 260


Keywords: Web 2.0., ICT, GeoGebra, Van Hiele model, Gestalt theory

Introducción En la industria, la ingeniería, la docencia, el diseño o el estudio entre muchas otras actividades, existe claridad que los procesos mediante TIC facilitan el diseño, interpretación y aplicación leyes físicas y matemáticas. En el campo de las actividades de enseñanzaaprendizaje esas TIC deben proveer profesionales que se hayan formado en su ambiente ya que “las tecnologías de la información y comunicación cuando se insertan en el mundo de la enseñanza universitaria generan profundos cambios tanto en la dinámica de las clases diarias como como en el planteamiento formal y metodológico de la mismas…” (López 2002). Para lograr lo anterior en nuestras clases de geometría integrada y que igualmente pueden ser aplicadas en todos los campos del conocimiento donde la forma y sus propiedades sean parte importante de su apropiación, se requieren de los docentes del tercer entorno (Echavarría, 1999)* , “Por entorno entendemos aquello que está alrededor de nuestro cuerpo, de nuestra vista, o, en general, de las diversas implementaciones que se hayan creado para expandir nuestro espacio inmediato” (pág. 45). Aunque en el momento se busca un proceso de enseñanza – aprendizaje centrado en el alumno, es cierto también que este cambio debe ser liderado por los docentes. A partir de los conceptos de la filosofía de Echeverría (1999), normalmente encontramos en nuestras instituciones educativas docentes caracterizados como: * El segundo entorno (Pólis) y tercer entorno (Telépolis) son dos conceptos utilizados por el filósofo español Javier Echeverría que le permiten describir el tránsito hacia la extraña y nueva realidad, que por contraste es artificial, casi virtual. “Las nuevas tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC) posibilitan la emergencia, el desarrollo y la expansión a nivel global y local de un nuevo espacio social, el tercer entorno (espacio electrónico, mundo digital, etc.)”, (Echeverría, 2007, pág. 69)

261


Docentes del segundo entorno. Normalmente son aquellos que viven aferrados al segundo entorno (Polis) y resistentes al cambio, son aquellos que contribuyen a que no exista una cohesión entre las actividades docentes y las actividades del contexto del discente. Docentes Web 1.5, son los docentes que disponen de todas las herramientas para convertirse en docentes del tercer entorno, no realizan el esfuerzo necesario para ello, pues toda la interactividad de sus clases son enmarcadas en la Web 1.0, del PowerPoint, del Word y del uso masivo de fotocopiadoras. Docentes del tercer entorno. Es el universo de los discentes y de unos pocos docentes que han logrado ingresar al mundo de la Web 2.0. Es el ambiente donde cada donde cada vez surgen nuevas herramientas y tecnologías que dependen de la informática para organizar y hacer fluir la información de una manera más intuitiva y fácil de usar. Estamos inmersos en el complejo mundo de la Web social con sus redes, los contenidos creados por los usuarios, las herramientas colaborativas, aplicaciones “online”, los “face to face”, de los Ipod, de los bluetooth… del entorno virtual. En un esfuerzo por hacer parte de ese tercer entorno hemos enmarcado nuestra experiencia en la Web 2.0, puesto que nuestra esperanza se centra en el uso de las nuevas tecnologías como facilitadoras del proceso enseñanzaaprendizaje, en forma particular, el uso de procesadores geométricos que dinamizan las actividades propuestas en el desarrollo curricular. La enseñanza de la Geometría Integrada en estudiantes de primer semestre del Instituto Tecnológico Metropolitano se puede desarrollar desde la enseñanza tradicional o desde la utilización de las TIC, esto nos lleva a la pregunta: ¿cuál de ellas desarrolla con mayor efectividad el pensamiento geométrico conllevando consigo a la obtención de mejores resultados?

262


La pregunta anterior se trató de resolver realizando un seguimiento a dos cursos paralelos de estudiantes de geometría integrada del programa de Diseño Industrial, uno siguiendo el descrito “día a día” y otro fundamentado en el mismo documento pero haciendo uso de las TIC como herramienta, en el segundo caso la preparación previa se complementó con la creación de Applets para cada sesión.

Referentes teóricos Calidad de las TIC empleadas en el estudio Una TIC o aplicación multimedial de calidad debería según los diseños que se han preparado en el Instituto Tecnológico Metropolitano llevar asociados los siguientes parámetros: • Retroalimentación inmediata. La interactividad multimedial alimentará de manera inmediata el resultado de las acciones del alumno. • Refuerzo significativo. Para aquellos estudiantes que hayan logrado concluir con éxito un objeto de aprendizaje y para aquellos que no lo han logrado, en tiempos razonables deben recibir un refuerzo positivo ajustando a la dimensión del éxito del fracaso. • Uso individual o colectivo. La TIC diseñada y aplicada permitirán el alumno interactúe individualmente con ella y lo ideal sería qué el grupo pudiese trabajar desde la Pizarra Digital (aulas B-Learning) Interactiva en modo colectivo.

Estructura

de los objetos de aprendizaje con

GeoGebra

como

plataforma

Durante el desarrollo de nuestro ejercicio, al estudiante al enfrentarse a un diseño de aprendizaje obtuvo: • Información inicial para un software externo o una pantalla inicial con información breve y precisa de contextualización en

263


•

•

• •

el caso de tratarse de una aplicación diseñada por el docente o por la institución. Aplicaciones donde el alumno aplicó lo aprendido en contextos distintos para asegurar la apropiación del concepto objetivo de la clase. Indicadores para detectar si el estudiante logró el objetivo propuesto y los pasos para llegar a un nivel superior de complejidad. Evaluación y autoevaluación final de cada sesión. Pautas para el trabajo independiente vía correo electrónico, presentaciones, solución de talleres, chat, Web interactivas, videos y solución de cuestionarios en línea entre otras modalidades.

Marco contextual Fue Tim O’Reillyquien en el 2004 creó el término Web 2.0 con el que se hace referencia a una nueva versión de la red de redes en la cual los usuarios se transforman en productores de contenidos accediendo a múltiples servicios en línea diseñados para favorecer la colaboración y el intercambio. La Web 2.0 se traduce en una evolución que reta los conceptos tradicionales de los medios masivos de comunicación porque admite un usuario racionalmente participativo. El efecto inmediato de este nuevo paradigma comunicacional de una sola vía, es la gran diversidad de los participantes y sus aportes, fenómeno que desencadena cambios muy significativos en el ámbito académico. El impacto de las TIC en el aprendizaje es una medición a mediano plazo, por ser de tipo cualitativo, según un estudio presentado por Martín (s.f), de la Universidad Autónoma de Madrid.

264


Normalmente las TIC tienen efectos cualitativos debido a sus características implícitas, para nuestro estudio comparativo los Applets diseñados tenían estas características: • Una planificación del trabajo a realizar para afianzar los conceptos geométricos • Diseño de las formas y elementos que facilitan la interactividad del estudiante • Dinamismo, los procesos fueron observados, analizados y retroalimentados • Apoyo multimedia para los Applets que permitieron desarrollar la capacidad de generalización de los conceptos geométricos de los estudiantes • Facilidad de la autonomía con hipertextos (supone una ruptura de la secuencialidad de los contenidos) para “obligar” al estudiante a tomar diferentes roles durante su aprendizaje • Se hizo hincapié en la importancia de la red como trabajo grupal para estimular el cambio de las formas tradicionales de trabajo académico

Metodología Diagnóstico Se realizó un test que diera cuenta del estado de algunos niveles del modelo Van Hiele adquiridos previamente por los nuevos estudiantes y que a su vez verifican si se apropiaron de los contenidos establecidos en los estándares educativos del MEN (Ministerio de Educación Nacional de la república de Colombia) durante once o más años de estudio. Teniendo como punto de referencia las formas de pensar matemáticamente* lo que incluye pensamiento numérico * MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL DE LA REPÚBLICA DE COLOMBIA. La revolución educativa: Estándares básicos de Matemáticas y lenguaje, educación básica y media. Santa Fe de Bogotá

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y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento métrico y sistemas de medidas, pensamiento aleatorio y sistemas de datos además del pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos. La prueba diagnóstica no presentó niveles de complejidad progresivos. Se diseñó esta prueba para detectar la globalidad de la habilidad geométrica que los estudiantes del primer nivel poseían y, en ella los principales niveles del modelo Van Hiele a detectar fueron la percepción de figuras geométricas y algunos movimientos generalizados, identificación de características generales de figuras y de los cuerpos, Se inicia el razonamiento formal, en la medida, en que descubre que unas leyes se deducen de otras. Se comprenden los pasos sucesivos de un razonamiento formal, pero en forma aislada, ya que no se ve la necesidad de encadenarlos y el empleo papel y lápiz como instrumentos necesarios para demostrarse la veracidad de una respuesta apoyándose en la búsqueda de alternativas de solución. Se buscó al realizar el inventario de conocimientos previos analizar lo que significa la representación para los futuros diseñadores desde tres niveles diferentes. “Un primer nivel es la estructura sintáctica de la representación o la forma de la representación: es el sistema de códigos por los cuales los objetos mentales pueden representar los aspectos del mundo. Un segundo nivel es el contenido, como aquello que da respuesta a la pregunta ¿qué representa la representación? (la cosa representada no necesariamente debe existir). Un tercer nivel es el cómo se realiza o implementa la representación. Este modelo está referido especialmente a las representaciones resultantes de nuestra percepción visual.” (Rivera, 2010) El test de 20 preguntas buscó establecer cuáles eran los conocimientos previos de los estudiantes.

266


Teoría de la Gestalt Reconocimiento de formas básicas como integrantes de un todo, determinación de la figura en un campo perceptivo heterogéneo, orientación y distancia entre componentes de un todo, similitud de componentes geométricos, determinación de las posibles formas básicas: el concepto de pregnancia, discriminación de componentes principales y secundarios de una forma de complejidad media y el concepto de profundidad de los objetos Modelo Van Hiele Reconocimiento de conceptos y propiedades geométricas y su organización en grupos característicos como los triángulos, los cuadriláteros, los paralelogramos y la geometría métrica, clasificación de figuras geométricas con características irrelevantes, inclusión y exclusión de formas geométricas dentro de la clasificación de polígonos y poliedros y la comparación visual y algebraica de formas geométricas. Desarrollo Se siguió el llamado día a día preparado por la ecanatura de Ciencias Básicas con el apoyo de guías, Applets, videos y direcciones htpp como trabajo previo y de refuerzo bajo los siguientes parámetros soportados por las fases del modelo Van Hiele y por la Gestal: • Partiendo de Gestales donde predominen la distinción de un fondo en diseños realizados por dibujantes técnicos o planos de objetos, se establece una fase de información de manera verbal orientada por el docente. • Con una serie de formas de apoyo que permitiesen el agrupamiento de objetos por su proximidad, se orientaron algunas sesiones buscando que los estudiantes descubriesen los conceptos, propiedades y relaciones de las formas presentadas.

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• Al final de cada sección se recapituló acerca del lenguaje geométrico que describía cada forma y la forma pregnante de un conjunto determinado representado como un diseño geométrico y la manera de desarrollarlas mediante software. • La quinta fase del modelo Van Hiele se denomina integración, se buscó la creación interna por parte del estudiante reforzada por aplicaciones reales de diseño de formas geométricas, especialmente en búsqueda de semejanzas, agrupamientos por proximidad y simetrías. • La evaluación de se realizó mediante diseños realizados con entrada manual de datos al software empleado GeoGebra para dos dimensiones.

Resultados Evaluación estadística del comparativo Los resultados del seguimiento a los grupos experimental y grupo de control realizado durante dos semestres consecutivos del mismo programa se orientaron con pruebas de hipótesis para determinar la diferencia entre medias de las dos poblaciones como muestras independientes, aquí está la nomenclatura empleada: μ=Media aritmética poblacional σ=Desviación estándar poblacional H0=Hipotesis nula o hipotesis a probar H1=Hipotesis alternativa, verdadera en caso de que H0 sea rechazada x i=Media aritmética de la muestra si=Desviación estándar de la muestra ni=Tamaño de la muestra

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Las herramientas que la estadística proporciona indican que para muestras grandes, osea cuando n1, n2 ≥30 se emplea la distribución normal y el estadístico de prueba está dado por la ecuación 1:

Como en nuestro caso que no se conocían los valores de σ1, σ2 se emplearon las desviaciones estándar de las muestras. Trabajamos con un nivel de significación del 10% (área sombreada de la Figura 1) o sea con valor de Z = 1,28 Figura 1: Nivel de significación


La muestras N° 1 (grupo experimental) y N° 2 (grupo control) corresponde al primer semestre de seguimiento y las muestras N° 3 (grupo experimental) y N° 4 (grupo control) corresponden al segundo semestre de seguimiento:

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Tabla 1: Características de las muestras


Con la descripción analítica de las muestras agrupadas se realizó un análisis global (Figuras 2 y 3) de los dos semestres para analizar si cuál de estas dos hipótesis se cumple:

Figura 2: Distribución normal grupo experimental


El valor de z con los datos obtenidos se puede observar en la ecuación 2:

270


Comparando el valor estimado para el nivel de significación, observamos que 2,57>1,28, quiere decir que la hipótesis H0 en la que planteamos que μ1=μ2 es falsa, por lo tanto tomamos como verdadera la hipótesis alternativa: μ1 > μ2 Esto indica que la nota promedio de los grupos experimentales del programa de Diseño Industrial, que trabajan la geometría con apoyo de las TIC, es mayor que los estudiantes del mismo programa que trabajan la geometría integrada sin apoyo de los recursos que proveen las TIC. Los logros de ambos grupos se resumen en la tabla 2: Tabla 2: Logros de los grupos experimental y grupo control Característica Representación gráfica de objetos o formas geométricas Requerimientos teóricos de conceptos geométricos Realización de trabajo independiente

Relaciones geométricas de objetos Exploración geométrica en el plano

Exploración de las llamadas cónicas

Aplicación en geometrías no planas

Grupo Control Dibujo a mano alzada con desproporciones y deformaciones evidentes Acompañados de material impreso y demostraciones Elaboraciones gráficas caracterizadas por incumplimiento de su realización La guía de construcción debe ir acompañada de la respectiva demostración Estática: cada nueva característica requiere demasiado tiempo para nuevas construcciones Estática: determinada por láminas en fotocopias y proyectores a discreción del docente Difícil de percibir la tridimensionalidad de los objetos dibujados

Grupo Experimental Habilidad con el ordenador

Guías de trabajo a través de referencias electrónicas y Applets Interacción permanente con el blog del docente y su correo, feedback inmediato

Habilidad para ubicar y seguir las instrucciones en el software de turno Dinámica: admite construir y explorar objetos geométricos de forma interactiva. Traslada, amplía, reduce y gira los objetos geométricos respecto a un punto definido. Dinámica: permite la interactividad mediante el cambio de parámetros lo que se traduce en nuevos interrogantes Permite explorar la geometría esférica y la geometría proyectiva


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Conclusiones Se buscó que las TIC empleadas no se convirtiesen en una culturización informática, sino en apoyo de la construcción del saber geométrico, de allí que se haya detectado cierto nivel variación en los procedimientos y actitudes frente al aprendizaje de los grupos experimentales y los grupos de control durante los dos semestres de seguimiento. Los resultados obtenidos corroboran la afirmación de lo descrito en el informe de la UNESCO de 1998 en el caso educativo, lo que indica que si es una necesidad estudiada por un organismo internacional de esta calidad es porque vamos por buen camino: Existen indicios de que esas tecnologías podrían finalmente tener consecuencias radicales en el proceso de enseñanza y aprendizaje clásico. Al establecer una nueva configuración del modo en que los maestros y los educandos pueden tener acceso a los conocimientos y la información, las nuevas tecnologías plantean un desafío al modo tradicional de concebir el material pedagógico, los métodos y los enfoques tanto de la enseñanza como del aprendizaje.

272



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ANÁLISIS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, DINAMIZADO EN GEOGEBRA Leonel Manrique Vergara Instituto de Educación y Pedagogía Universidad del Valle [email protected]

Agradecimientos Gracias a mi familia, estudiantes de grado Decimo año lectivo 20112012, a directivas del Liceo Los Alpes, Santiago de Cali, Valle del Cauca, Colombia y sobre todo a Dios y a Virgen María, por darme licencia de vida para culminar cada uno de mis proyectos.

Resumen Las funciones trigonométricas siempre han sido un dolor de cabeza en nuestros estudiantes, al iniciar el año lectivo 2011-2012, se comenzó a trabajar en una serie estrategias para que nuestros estudiantes reconocieran y analizaran cada una de las funciones trigonométricas y sus elementos, por tanto decidimos implementar en algunas clases, actividades con el uso del computador y el programa de geometría dinámica GeoGebra, son actividades intencionadas a potenciar el pensamiento lógico y matemático. Empezamos explorando cada una de las herramientas de programa de geometría dinámica, por medio de situaciones problemas y actividades intencionadas, presentamos el resultado de la ultima actividad la cual evidencia un profundo análisis a cada una de las funciones trigonométricas realizadas por los estudiantes del curso de Matemáticas de grado decimo del Liceo los Alpes, Santiago de Cali, Valle del Cauca, Colombia.

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Palabras

clave:

Programa de geometría dinámica, funciones trigonométricas y elementos, situaciones problemas, actividades intencionadas, gestión docente

Abstract The trigonometric functions have always been a headache for our students, starting the 2011-2012 school year, work began on a series of strategies for our students to recognize and analyze each of the trigonometric functions and their elements, therefore decided to implement in some classes, activities and computer use dynamic geometry program GeoGebra are activities intended to promote the logical and mathematical thinking. We started exploring each of the tools of dynamic geometry program, through problem situations and activities intended, we present the results of the last activity which demonstrates a thorough analysis of each of the trigonometric functions performed by students of mathematics course tenth grade of Liceo Los Alpes, Santiago de Cali, Valle del Cauca, Colombia.

Keywords: dynamic geometry program, trigonometric functions and elements, situations, problems, activities intended, teaching management.

Introducción Una de las actividades fue la construcción del Teorema de Pitágoras en el programa de geometría dinámica GeoGebra y la presentación de la demostración de manera formal, con el ánimo de explorar las diferentes herramientas del programa, pero también con el objetivo de demostrar de manera formal el resultado del Teorema de Pitágoras, lo cual generó en el estudiantado gran controversia, ya que siempre lo utilizaban pero no sabía qué había detrás de ese resultado. Siguiendo con la actividad del Teorema de Pitágoras, utilizamos la misma para reforzar el tema de razones 276


trigonométricas y las diferentes relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. La segunda actividad es la construcción de las gráficas de las funciones trigonométricas en lápiz y papel, a partir de una tabla de valores, donde se solicitaba un análisis en cada uno de los valores, nuestros estudiantes tenía conocimientos previos de dominio y rango, además realizan un análisis de las diferentes valores donde la función se indeterminaba. La tercera actividad fue la relación entre la función seno y el movimiento armónico simple. Con estas actividades, se trabajo la actividad central de este trabajo, la cual consistía en graficar cada una de las funciones a partir de las funciones seno y coseno, utilizando deslizadores para los valores de la amplitud y periodo en GeoGebra, la cual se llamó, análisis de funciones trigonométricas, dinamizado en GeoGebra.

Metodología Partimos de una serie actividades orientadas a que nuestros estudiantes pudieran explorar el programa de geometría dinámica, el objetivo era despertar su curiosidad. La primera actividad, consiste en recrear el Teorema de Pitágoras desde la geometría, luego pasamos a la construcción de funciones trigonométricas en lápiz y papel, con el objetivo de analizar distintos valores en la tabulación, determinar el dominio y rango de las funciones trabajadas, es importante la gestión del docente dentro aula, ya que debe de ser un motivador y facilitador de herramientas para que los estudiante puedan construir un conocimiento sólido. La actividad de cierre, consiste en construir las funciones trigonométricas a partir de las funciones elementales seno y coseno, nuestros estudiantes debía de descargar la guía del campus (plataforma moodle), cada estudiante con su computador, fue realizando su trabajando, profesor pasa mesa por mesa,

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supervisando el trabajo, ellos al fin debían entregar dos documentos: un documento en un procesador de texto dando un pequeño análisis verbal y numérico a cada función y un archivo en GeoGebra con las funciones, a la hoja de trabajo debía de tener deslizadores para el periodo y amplitud. Es muy importante tener clara las consignas de trabajo y la rúbrica de calificación, ya que el proceso de enseñanza debe de ser transparente para poder aprender de las fortalezas y mejorar las debilidades.

Resultados y discusión De acuerdo con el documento de Hanna (1997), la demostración tiene un papel fundamental en la teoría y en la práctica matemática, y su uso en todo a lo que se refiere con la práctica didáctica favorece el aprendizaje y la comprensión en los estudiantes, les brinda la posibilidad de actuar cognitivamente en terrenos nuevos, haciendo así el ambiente de la clase de Matemáticas mucho más reflexivo y crítico. En la primeras actividades se evidenció en nuestros estudiantes, una matemática muy superficial, dada a recordar y memorizar resultados de las diferentes demostraciones, pero jamás abordadas desde la demostración; es importante que nuestros estudiantes conozcan la estructura de las cosas, con el objetivo de formar estudiantes reflexivos, críticos y constructores de conocimiento. En cuanto a la actividad Análisis de Funciones Trigonométricas, Dinamizado en GeoGebra, la consigna fue clara y puntual. El profesor mostró una diapositiva con los requerimientos y rúbrica de calificación, en los requerimientos se solicita, un documento Word con el análisis de cada función y un archivo en GeoGebra con las diferentes funciones graficadas y sujetadas a los deslizadores en la amplitud y periodo.

278


La actividad no era solo graficar y utilizar GeoGebra, los requerimientos del documento a entregar debían cumplir con unos parámetros como los son; tabla de valores, continuidad, dominio, rango y valores donde la función se indetermina. Ellos debían comprobar y demostrar de manera inductiva sus procesos. Retomando el documento de Moreno (1996), en la actividad demostrativa la cognición se dirige hacia la construcción de toda una generalidad matemática, que actúa de forma valiosa para el estudiante; es claro que hoy en día, con la implementación de los recursos tecnológicos en el aula de clases, como las calculadoras, las computadoras, etc., favorecen procesos y habilidades cognitivas como el desarrollo de la visualización, promueve la capacidad investigativa, el aprendizaje de la retroalimentación, la observación de patrones y el establecimiento de conexiones; de esta manera, el aspecto experimental de las matemáticas se resalta y se utiliza para poder observar, hacer predicciones, validar hipótesis, etc., no debe ser un fin en sí mismo, sino un medio para lograr el mejoramiento tanto en la enseñanza como en el aprendizaje de las matemáticas. Lo que se busca con nuestros estudiantes es analizar diversas situaciones en matemáticas, con las que puedan realizar distintas representaciones de las mismas, como lo son tablas de valores, argumentación, gráficas y análisis matemático coherente, como lo es el caso de la actividad, presentada, en la cual se relaciona las nuevas tecnologías con el conocimiento matemático.

Conclusiones • La cooperación entre estudiantes y docente, fue fundamental para construir cada uno de los conceptos.

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• Al formular actividades intencionadas, los objetivos y resultados deben de ser claros para los estudiantes, ya que ellos deben de supervisar su proceso de aprendizaje. • Reconocer el trabajo de cada uno de los estudiantes es importante, por que todos no tenemos los mis procesos de aprendizaje, el diálogo es herramienta fundamental de todo proceso de enseñanza. • Las funciones trigonométricas no son estáticas, como se observan en el papel, sino dinámicas como las trabajadas en GeoGebra. • Nuestros estudiantes pueden explorar a fondo cada una de las características y elementos de las funciones en un ambiente dinámico. • Construir actividades intencionadas para obtener resultados distintos por parte de los estudiantes, evitar la monotonía entre las tareas que transciende de generación en generación. • Generar autonomía en nuestros estudiantes por medio de las tareas. Hacerlos partícipes del proceso enseñanza-aprendizaje. • Nuestra sociedad es dinámica, utilizar las herramientas tecnológicas para motivar, ayudar a nuestros estudiantes por el estudio de las matemáticas. • No abandonar los procesos de demostración, es decir, exponer y recrear los diferentes resultados de las matemáticas, a partir de las demostraciones. • Invitar a docentes, padres de familia e instituciones a ver a la tecnología como una herramienta de apoyo en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. • Implementar mecanismos de evaluación que sean transparentes, invitar a los estudiantes al dialogo y a la argumentación.

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Referencias bibliográficas [1] Moreno, L. (1996). Una perspectiva sobre la demostración. Revista Mexicana de Investigación Educativa, 1 (1), 123-136. [2] Hanna, G.(1997). El valor permanente de la demostración. Recuperado el 1 de febrero de 2012 de http://www.uaq.mx/ matematicas/redm/art/a0102.pdf.

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23. PENSAMIENTO VARIACIONAL: EL ESTUDIO DE LAS RELACIONES DINÁMICOS

TRIGONOMÉTRICAS

EN

CONTEXTOS

Ferney Tavera Acevedo Institución Educativa Escuela Normal Superior Genoveva Díaz [email protected] Jhony Alexander Villa Ochoa Universidad de Medellín Universidad de Antioquia [email protected]

Resumen Este documento se elabora a partir de una revisión inicial de literatura donde se analizaron los Lineamientos Curriculares, los Estándares Básicos de Competencia y algunos estudios e investigaciones en el campo de la variación y la trigonometría. Desde los elementos teóricos observados en la literatura se hizo indispensable un análisis de algunos libros de texto frente al tipo de ejercicios que se proponía para abordar la trigonometría plana; de este análisis surgió la necesidad de diseñar propuestas alternativas en las cuales se haga hincapié en la visualización de relaciones funcionales entre los ángulos y los lados de un triángulo; de este modo, se espera aportar elementos para superar la idea de que las relaciones trigonométricas son “fórmulas” para calcular datos fijos y desconocidos de un triángulo.

Palabras

clave:

Pensamiento Trigonométricas, Software GeoGebra

Variacional,

Relaciones

Abstract This document devises from an initial review of literature where the Lineamientos Curriculares (Curriculum Guidelines) of Mathematics, 282


the Estándares Básicos de Competencia (Basic Standards of Competences) and some studies and researches were analyzed on the variation and trigonometry field.Based on the theoretical elements observed in the literature, an analysis of some textbooks set against the type of exercises proposed was done to undertake the plain trigonometry, from this analysis the need to develop alternative proposals which emphasize visualization functional relationships between angles and sides of a triangle was raised. In this way, it is expected to contribute elements to overcome the idea that trigonometry are “formulas” for calculating fixed and unknown data of a triangle.

Keywords: Variational Thinking, Trigonometry, GeoGebra Software Introducción Este trabajo constituye un reporte parcial de investigación que se desarrolla en el marco de la Maestría en Educación Matemática de la Universidad de Medellín, en el cual se aborda la utilización del software GeoGebra para el estudio variacional de algunos tópicos de la trigonometría. Esta indagación se enmarca en una investigación más amplia titulada “Incorporación de nuevos medios por un colectivo de profesores–con-medios”, desarrollada por la Universidad de Medellín y cofinanciada por las Universidades de Antioquia y la UNESP-Brasil. En el estudio que se reporta en este documento se pretende indagar por la manera como los estudiantes producen conocimiento matemático en algunos tópicos de la trigonometría desde una perspectiva variacional; en particular, se socializan los primeros hallazgos obtenidos a partir de una revisión de literatura tanto desde el pensamiento variacional como de la trigonometría misma; de igual manera, se propone y analiza algunas actividades que

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pueden ser pertinentes para atender a las necesidades que surgen de la revisión anteriormente mencionada. El pensamiento variacional. Algunos referentes teóricos En primera instancia se revisaron las consideraciones del Ministerio de Educación Nacional con la publicación de los Lineamientos Curriculares (Colombia, 1998) y los Estándares Básicos de Competencia (Colombia, 2006); estos documentos proporcionan orientaciones frente al currículo del área de Matemáticas; asimismo, expresan, de forma implícita, algunas ideas para tener en cuenta en el estudio de la trigonometría. Desde estos textos el Ministerio de Educación Nacional-MEN (Colombia, 1998, 2006) propone que el pensamiento variacional está en relación con “el reconocimiento, la percepción, identificación y caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como su descripción, modelación, y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos” (Colombia, 1998, p. 73). Para desarrollar este tipo de pensamiento se hace necesario propiciar en el aula de clase espacios para que los estudiantes exploren, reflexionen, deduzcan, conjeturen y planteen nuevas situaciones frente a relaciones dinámicas entre los conceptos matemáticos, en este caso del presente documento, interesan los conceptos que tienen que ver con algunos tópicos de la trigonometría. De otro modo, el MEN resalta que este tipo de pensamiento debe cumplir “un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las Matemáticas mismas” (Colombia, 2006, p. 66).

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Por otra parte, Vasco (2006) considera que el pensamiento variacional va más allá de las interpretaciones clásicas del álgebra, en ese sentido, proporciona algunas ideas sobre lo que se puede entender por este tipo de pensamiento. Para tratar de ofrecer una descripción más específica de cómo se debe asumir el pensamiento variacional, él propone nuevos elementos para su desarrollo y establece algunas relaciones de entre este pensamiento, la modelación y la tecnología; de esa manera, puntualiza que este pensamiento puede describirse […] como una forma de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distinta magnitud en los subprocesos recortados de la realidad (p.138).

De acuerdo a esta mirada, se considera que la tecnología promueve alternativas muy diferentes a las convencionales (i.e. uso de papel y lápiz) sobre las cuales se pueden presentar los conceptos matemáticos (en este caso, aquellos que tienen que ver con algunos tópicos de trigonometría), de tal manera que su intervención sea percibida como una manera de indagar no solo por procesos asociados a la modelación; sino también, como una manera de producir y reproducir las relaciones variacionales que se pueden reconocer entre algunos objetos matemáticos (Villa y Ruíz, 2010). Tanto desde los documentos expuestos por el Ministerio de Educación Nacional (Colombia, 1998, 2006) como desde los planteamientos de Vasco (2006) se observa un interés en el reconocimiento de la variación en otros contextos (i.e. numéricos, geométricos, métricos, algebraicos…). Teniendo estas consideraciones en mente se hizo una revisión de algunos libros de texto, de allí, se pudo observar que en varias oportunidades los libros textos “desaprovechan” algunas oportunidades para abordar relaciones dinámicas en el estudio de algunos tópicos de la trigonometría. Algunas evidencias sobre 285


esta aserción, se presentan en el apartado denominado “Algunos hallazgos en los libros de texto” desarrollado más adelante en este documento.

GeoGebra

y

el

estudio

variacional

de

las

relaciones

trigonométricas

El uso del software GeoGebra como una herramienta para potenciar el pensamiento variacional, ya ha sido tema de discusión por autores como Villa y Ruíz (2010), quienes señalan que en el diseño de situaciones para el aula de clase con auxilio del GeoGebra se ponen de relieve diferentes aspectos asociados al pensamiento variacional, entre ellos: captación y descripción de una relación, creación de una estrategia, construcción de herramientas, surgimiento de conjeturas, construcción de representaciones gráficas y algebraicas de tales relaciones, refutación o demostración formal de las conjeturas. Estos elementos resaltan el papel que tiene GeoGebra en la visualización de nociones asociadas a la variación, lo cual es posible gracias al ambiente dinámico que proporciona el software. El software GeoGebra, por considerarse como un ambiente de Geometría Dinámica, se convierte en una herramienta que posibilita hacer visualmente explícito el dinamismo implícito de conceptos matemáticos. Leung (2008) entiende por dinamismo implícito aquellas actividades o razonamientos matemáticos que se emplean para comprehender los conceptos abstractos de las matemáticas mediante algún tipo de “animación mental”, es decir, la visualización mental de las variaciones de objetos conceptuales de los que se espera “observar” patrones de variación o propiedades invariantes. Basados en lo anterior, se observa que a través de un Ambiente de Geometría Dinámica (proporcionado por el software GeoGebra) es posible estudiar visualmente la variación de un aspecto de un

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concepto matemático (en este caso, figuras en las que se puede observar relaciones trigonométricas) mientras otras se mantienen constantes. Es por esta situación, que Leung (2008) asume la variación como una esencia epistémica de la modalidad de arrastre; su objetivo se ve reflejado en el hecho de generar estrategias de arrastre para descubrir propiedades invariantes en medio de los diferentes componentes de una configuración geométrica. Es así, como la Geometría Dinámica requiere de otras funcionalidades que son expresadas desde el pensamiento métrico y el sistema de medidas, porque el software GeoGebra utiliza constantemente el comando “elige y mueve”, para acentuar los diferentes patrones de variación que pueden dar lugar a la aparición de patrones geométricos. Las ideas anteriormente estudiadas, parecen generar ciertos insights sobre cómo la variación puede contribuir al discernimiento del conocimiento propio de la trigonometría, porque proporciona descubrir escenario distintos a los convencionales y observar algunas aplicaciones de la trigonometría fuera del ámbito escolar.

Algunos hallazgos en los libros de texto En segunda instancia se analizaron siete libros de texto, tanto de la Educación Media como universitarios, en los cuales se desarrollan los contenidos temáticos asociados a la trigonometría; esto fueron los siguientes: Serie Matematica Progresiva Geometría Analítica y Trigonometría, cuyos autores son Nelson Londoño y Hernando Bedoya (1988); Matemática experimental 10 de Julio Alberto Uribe Cálad (1998); Álgebra y Trigonometría de Dennis Zill y Jacqueline Dewar (2000); Álgebra y trigonometría con geometría analitíca de Earl Swokowski y Jeffery Cole (2002). Matemáticas previas al cálculo, cuyos autores son Francisco Mejia Duque, Rafael Álvarez Jiménez y Horacio Fernández Castaño (2005); Matemáticas básicas

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con aplicaciones a las ciencias económicas y afines de Rafael Álvarez Jimenez, Horacio Fernández Castaño y José Alberto Rúa Vásquez (2009); Hipertexto Matemáticas 10 de la Editorial Santillana (2010). La selección de estos textos se hizo atendiendo a que son libros que generalmente se referencian por los profesores como bibliografía básica para los cursos de Matemática en la Educación Media (15 - 18 años) o para los primeros semestres de universidad. Esta revisión se hizo, en parte, porque habitualmente los libros de texto pueden ser considerados como mediadores curriculares, que son utilizados por el docente de Matemáticas para orientar los procesos de enseñanza y aprendizaje en los estudiantes en las aulas de clase. En los libros de texto analizados se encontró la siguiente regularidad: La mayoría de los ejercicios y tareas se orientan a la solución de problemas, donde hay que hallar el valor numérico de una distancia o de un ángulo en un triángulo en el cual los demás datos están dados. Así mismo se desaprovechan los contextos de los ejercicios planteados para hacer un estudio de las relaciones variacionales entre las cantidades que en ellas intervienen; en otras palabras, las medidas a determinar se muestran como incógnitas observadas como cantidades desconocidas que permanecen “fijas” y no como cantidades variables sobre las cuales se pueden establecer ciertas relaciones funcionales. De otro modo, en la revisión de los textos observamos un uso constante de fórmulas, caracterizado por un dominio algebraico y procedimental, que hace énfasis en el manejo apropiado de símbolos, operaciones y propiedades y, en ocasiones, se desatiende al reconocimiento de las nociones dinámicas que se presentan en algunos tópicos de la trigonometría. A continuación transcribimos algunos “problemas” y mostramos la “desarticulación” que se presenta entre ellos y el desarrollo del pensamiento variacional:

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1. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 pies de la base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57°20’. Calcular la altura de la torre. 2. Si los rayos del sol forman un ángulo de 65° con el suelo y la sombra de un mástil es de 86 cm ¿cuál es la altura del mástil medido en metros? 3. Dos barcos son contratados para remolcar un barco petrolero que está varado en el océano; despliegan sus cables que tienen longitudes de 500 m y 524 m respectivamente, si están distanciados 300 m, ¿cuál es el ángulo entre los cables? 4. Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de teléfono inclinado a un ángulo de 9° en dirección opuesta al Sol arroja una sombra de 21 pies de largo a nivel del suelo. Calcula la longitud del poste. 5. Dos hombres que están en un campo llano y se encuentran separados a una distancia de 300 metros uno del otro, observan mutuamente un helicóptero. Sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son 60° y 75°. Determinar la altura a la cual se encuentra el helicóptero. 6. La distancia entre la meta y un hoyo particular de golf es de 380 m. Un golfista le pega a la pelota y la coloca a 215 m. Desde el punto donde está la pelota ella mide un ángulo de 165° entre la meta y el hoyo. Encuentre el ángulo de su lanzamiento Se observa que este tipo de “ejercicios” ocupan la parte de las aplicaciones de las relaciones trigonométricas en los libros de texto analizados y no encontramos otro tipo de “problemas” que ofrezcan la descripción de una relación funcional entre los lados y los ángulos de un triángulo. Estos primeros hallazgos ponen de relieve la necesidad de establecer nuevas relaciones en las cuales los conceptos matemáticos se observen de una manera dinámica.

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En ese sentido, el uso del software GeoGebra, se muestra como una herramienta importante para resaltar nociones de tipo variacional (Villa-Ochoa y Ruiz, 2010), porque brinda la posibilidad de vivenciar de manera experimental los conceptos y propiedades que hace poco solo se manejaban desde el papel bajo ideas en abstracto.

A manera de propuesta Teniendo en cuenta los elementos anteriormente planteados se genera un especial interés por el estudio de las relaciones trigonométricas desde una perspectiva variacional; para ello se utiliza el software GeoGebra, atendiendo a que una de sus principales ventajas consiste en que las figuras pueden dejar de abordarse de manera estática e incluso facilita la interacción con ellas modificando ciertas condiciones en su diseño. Estos elementos sugieren preguntas sobre la manera de integrarlos al diseño de ambientes de intervención en el aula, frente a ello surge el siguiente interrogante: ¿Cómo explorar relaciones trigonométricas desde una perspectiva variacional a través del software GeoGebra? Como una manera de aproximarse a esta pregunta presentamos, a manera de ejemplo, la actividad denominada “Las Sombras del Árbol” (ver Figura 1), donde actúa como escenario para observar algunas relaciones funcionales o dinámicas entre cantidades, en un problema propio de trigonometría. Esta actividad se empieza a desarrollar cuando dos personas discuten sobre la medida de la sombra de un árbol; para ello, es necesario simular los rayos solares, para poder visualizar con claridad como cambia dicha sombra. Para realizar ésto, los estudiantes han de fijar un triángulo, que puede ser rectángulo u obtusángulo dependiendo de la inclinación del terreno, la cual es proporcionada por el deslizador α (alpha) en la figura. De manera particular, los elementos que varía en la situación son:

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• El ángulo de elevación del terreno: proporcionado por el deslizador α(alpha) que se encuentra en la parte superior izquierda de la ventana. Este deslizador puede funcionar como un parámetro, el cual se “fija” para poder determinar el tipo de triángulo y la variación entre los lados y los ángulos del triángulo (ver Figura 1). • El ángulo de inclinación del árbol. Este ángulo está determinado por la superficie (piso) y el árbol; dicho ángulo siempre estará en función del ángulo α (alpha) y, por tanto, también puede funcionar como un parámetro. • La posición de sol. La situación incorpora el movimiento del sol el cual se desplaza por una línea horizontal generando, a su vez, una variación del ángulo formado por la superficie (piso) y los rayos solares y, de la misma manera, la variación de la sombra proyectada por el árbol sobre la superficie. • Longitud del árbol. En esta situación la longitud del árbol puede cambiar de acuerdo al deslizador “longitud”, que se muestra en la parte superior izquierda de la Figura 1. Figura 1: Construcción gráfica de la variación en un problema de Trigonometría


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La situación está diseñada para abordarse en varios momentos: en un primer momento el ángulo α (alpha) se fija en 0º (cero grados) generando una relación de covariación entre la sombra del árbol y el ángulo de elevación formado por los rayos de sol y la superficie. En este primer momento el estudio se reduce a establecer dicha covariación se describe mediante la relación trigonométrica tangente. En un segundo momento, el ángulo α (alpha) puede variar y, en estos casos, la covariación entre la sombra y el ángulo formado por los rayos del sol y la superficie origina un triángulo no rectángulo lo que conduce al estudio de otras propiedades de la trigonometría plana, a saber, las leyes del seno y del coseno. En cada momento de la situación están presente preguntas como: ¿Qué cantidades varían?, ¿cómo varían? ¿en cuánto varían? Y con la ayuda de las tablas y los gráficos proporcionados por el software GeoGebra se construye una visión más amplia sobre la situación de variación.

Consideraciones finales Con los elementos propuestos en este documento se espera proporcionar espacios alternativos en los cuales los estudiantes puedan acceder al estudio de relaciones dinámicas entre cantidades los ángulos y los lados de triángulos rectángulos y oblicuángulos; de esa manera, las relaciones trigonométricas y las leyes del seno y del coseno podrían adquirir significados que vayan más allá de unas “fórmulas para calcular valores fijos pero desconocidos”. Con este tipo de estrategias se espera cimentar el posterior estudio de las funciones trigonométricas las cuales generalmente se introducen con el estudio de la función circular y otros elementos de la trigonometría analítica

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24. GEOGEBRA EN EL RESURGIMIENTO DE LOS OBJETOS DE APRENDIZAJE Esperanza Georgina Valdés y Medina [email protected] Facultad de Estudios Superiores Acatlán Universidad Nacional Autónoma de México Leilani Medina Valdés [email protected] Facultad de Estudios Superiores Acatlán Universidad Nacional Autónoma de México

Resumen A través de esta propuesta se espera documentar al proyecto GeoGebra como un Objeto de Aprendizaje, debido a que cumple todas las características fundamentales de los mismos. Que GeoGebra participe en el resurgimiento de estos, ya que mundialmente se está fomentado la inclusión de las Tecnologías de la Información y la Comunicación en las aulas. Es por esto que su aplicación, como un apoyo didáctico en la enseñanza de la matemática y otras áreas del conocimiento, debe ser fomentado.

Palabras clave: Objetos de Aprendizaje, GeoGebra. Abstract The purpose of this proposal is to document the GeoGebra project as a Learning Object considering that it meets all their fundamental characteristics. It would therefore promote these objects since there has been a global inclusion of the Information and Comunication Technologies in the classrooms. For this reason, its usage as a Mathematics and other subjects, teaching resource should be encouraged.

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Keywords: Learning Objects, GeoGebra Introducción Uno de los retos a los que se enfrenta la humanidad es lograr que exista igualdad social en la educación, este ideal se convierte en un proyecto palpable cuando se buscan soluciones concretas ante el analfabetismo, cuando se presentan alternativas dentro de las estrategias educativas. La UNESCO (2011) ha publicado que “las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) pueden contribuir al acceso universal a la educación, la igualdad en la instrucción, el ejercicio de la enseñanza y el aprendizaje de calidad y el desarrollo profesional de los docentes, así como a la gestión dirección y administración más eficientes del sistema educativo”. Por lo anterior los países asociados a ella, en su proyecto de desarrollo han promovido la inserción de estas tecnologías, en distintos ámbitos como por ejemplo, la administración pública, en los sistemas de salud, etc. Hoy en día se ha tratado de introducir las TIC en el aula, sin embargo, existe un significante analfabetismo tecnológico, que no ha permitido escalar a la era digital de una manera ágil. Es por esto que muchos docentes no están incluyendo la tecnología en su clase, por ello es relevante demostrar que se pueden incluir los objetos de aprendizaje, como un apoyo didáctico en el salón de clases. Mostrando que existe software orientado al cambio en las estrategias didácticas. Wayne Hodgins acuñó el término Objeto de Aprendizaje OA, popularizado a partir de 1994 cuando denominó a su grupo LALO (Learning Architectures and Learning Objects). Su visión es que este avance supone una revolución similar a la invención de los productos manufacturados, porque la potencia de esta forma de

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ensamblar la información, tan dinámica y adaptable es comparable a la invención de Eli Whitney sobre la intercambiabilidad de las partes... la información puede ser reconstruida, intercambiada, es duradera y accesible, (Sicilia, 2007).

Metodología Este es un estudio descriptivo que busca documentar de manera explicativa la relación que existe entre el proyecto GeoGebra y los Objetos de Aprendizaje comparando las características fundamentales de estos entre sí. Los Objetos de Aprendizaje, según Wiley (2000)

Son elementos de un nuevo tipo de instrucción por medio de

computadora, basados en el objeto orientado en el paradigma de la ciencia computacional. La orientación del objeto valora altamente la creación de componentes llamados objetos que pueden ser reusados. Esta es la idea fundamental detrás de los objetos de aprendizaje: los diseñadores instruccionales puede construir pequeños [relativo con respecto al tamaño del curso completo] componentes instruccionales que pueden ser reusados en variadas ocasiones en diferentes contextos. Adicionalmente los Objetos de Aprendizaje se entienden, generalmente, como entidades digitales que pueden ser transmitidas por medio de Internet significando esto que mucha gente puede tener acceso a ellos y usarlos simultáneamente [un caso opuesto a la instrucción mediada Tradicional como un videocassete que solo puede existir en un lugar a la vez]. Más aún, las personas que incorporan los objetos de aprendizaje pueden colaborar y beneficiarse inmediatamente de nuevas versiones. Esta es una diferencia significativa entre los Objetos de Aprendizaje y otros tipos de instrucción mediada que existe previamente.

De acuerdo con la propuesta de Wiley (considerado por diversos autores como el padre de los objetos de aprendizaje), estos componentes dependen del sistema binario y la codificación computacional, por lo tanto solo pueden ponerse en práctica cuando

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en el aula se tenga la infraestructura del medio digital. En tiempos pasados esto pudo haber sido una importante limitante, pero en la actualidad tenemos aulas virtuales que existen exclusivamente gracias a las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC). Existe una analogía entre los Objetos de Aprendizaje y las piezas de LEGO que se refiere principalmente a que éstos son unidades que al ser utilizados en distintos contextos logran distintos resultados. Pero al igual que estas piezas si no se incluyen en un diseño de instrucción con claras metas, pueden no obtenerse los resultados esperados y finalmente fragmentar el aprendizaje. Es decir, que una vez analizada la propuesta de Wiley, no todo lo que se encuentra en el medio digital es un objeto de aprendizaje, sino que debe de cumplir con ciertas características para poder ser descrito por esta denominación. Según García Aretio (2005) las características fundamentales de los Objetos de Aprendizaje son: Reutilización: objeto con capacidad para ser usado en contextos y propósitos educativos diferentes y para adaptarse y combinarse dentro de nuevas secuencias formativas. Instruccionalidad: con capacidad para generar aprendizaje. Interoperatividad: capacidad para poder integrarse en estructuras [plataformas] diferentes. Accesibilidad: facilidad para ser identificados, buscados y encontrados gracias al correspondiente etiquetado a través de diversos descriptores (metadatos) que permitirían la catalogación y almacenamiento en el correspondiente repositorio. Durabilidad: vigencia de la información de los objetos, sin necesidad de nuevos diseños. Independencia y autonomía de los objetos con respecto de los sistemas desde los que fueron creados y con sentido propio.

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Generatividad: capacidad para construir contenidos, objetos nuevos derivados de él. Capacidad para ser actualizados o modificados aumentando sus potencialidades a través de la colaboración. Flexibilidad, versatilidad y funcionalidad, con elasticidad para combinarse en muy diversas propuestas de áreas del saber diferentes. Estas características concuerdan ampliamente con las propuestas de Wiley y Hodgins, ya que si ejemplificamos con relación a las piezas de la línea de manufactura, un tornillo estándar puede ser funcional para muy distintas aplicaciones. Con el fin de que la instrucción sea significativa se busca que el aprendiz pueda utilizarla en diversos aspectos de su vida fuera de la academia, por lo que una de las características más importantes es la funcionalidad. Si bien, el recurso didáctico depende fuertemente de la estrategia con la que se entrega, el hecho de que sea pertinente para cada curso es lo que logrará el cambio cognitivo. Virtual Educa (2007) plantea que: Los Objetos de Aprendizaje son probablemente la tendencia más importante en el ámbito mundial en lo que respecta a la producción de contenidos educativos, tanto como apoyo adicional a la educación en el aula como materia prima esencial para la educación basada en Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC). A poco más de diez años de su concepción original como piezas autocontenidas y reutilizables de contenido educativo. Ha sido mucha la variedad de visiones en torno a su diseño pedagógico, su implementación tecnológica y su gestión, lo cual ha producido un área de investigación, desarrollo y aplicación sumamente rica en su diversidad. Por otra parte, esta misma diversidad ha sido origen de inconsistencias y falta de interoperabilidad y reusabilidad entre los Objetos de Aprendizaje y ha hecho difícil la comunicación en la comunidad agrupada en torno a ellos. De ahí la necesidad de mantener activa una discusión que permita conciliar la riqueza de la diversidad con la interoperabilidad y la facilidad de comunicación.

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Esta interoperabilidad en la actualidad depende de la capacidad del objeto de aprendizaje de poderse implantar en diversas plataformas, sobre todo debido a que las plataformas han cambiado desde la concepción misma del modelo. Como consecuencia no se podía ver a futuro lo que ocurriría con ello, ni la orientación misma de los avances tecnológicos con los que tienen una trascendental relación. Una plataforma, en informática, “es un sistema que sirve como base para hacer funcionar determinados módulos de hardware o de software con los que es compatible. Dicho sistema está definido por un estándar alrededor del cual se determina una arquitectura de hardware y una plataforma de software [incluyendo entornos de aplicaciones]. Al definir plataformas se establecen los tipos de arquitectura, sistema operativo, lenguaje de programación o interfaz de usuario compatibles” (Red de Aprendizaje, 2011). En un inicio, estas plataformas carecían de compatibilidad, es decir que lo que se desarrollaba en una PC, difícilmente se podía compartir en una MAC, al paso de los años la evolución de ellas ha hecho que esta limitante se comience a superar y que los lenguajes de uno sean trasladables al otro. Dichas limitantes han dado paso a la discusión sobre la vigencia de los OA, Dave Wiley desde hace algún tiempo ha dicho que la idea del ensamblaje de recursos como si fuera un LEGO, simplemente no funciona bajo la perspectiva del aprendizaje. El rol del contexto es primordial en la educación y la expectativa de que cualquier recurso educacional, puede ser reusado sin precisar el contexto, es ingenua. Por lo que él decide que los Objetos de Aprendizaje no pueden existir, basándose en la premisa de que la posibilidad del simple reuso es incorrecta. (RIP-ping on Learning Objects). El problema de la interoperabilidad de los OA encuentra una luz en los avances de los lenguajes informáticos. Java es un lenguaje de programación orientado a objetos, desarrollado por Sun

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Microsystems en 1995. El lenguaje en sí mismo toma mucha de su sintaxis de C, Cobol y Visual Basic, pero tiene un modelo de objetos más simple. Las aplicaciones Java están típicamente codificadas para poderse usar en diferentes plataformas. “GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y universidades. Su creador Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la Universidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida. GeoGebra está escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas. Haciendo referencia a GeoGebra, es básicamente un “procesador geométrico” y un “procesador algebraico”, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo -y por eso puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas” (GeoGebra.org, 2012). Al comparar las características fundamentales de los objetos de aprendizaje descritas por García Aretio, con las del proyecto GeoGebra podemos rescatar que este cumple con: • Generatividad, ya que el programa tiene la capacidad de generar sus applets que pueden existir de manera independiente y de ser manipulados. • Interoperatividad, Es bien sabido que estos applets se han colocado en blogs, foros y plataformas moodle. • Reutilización, gracias a las comunidades de GeoGebra los applets que en un país se ponen en práctica, se pueden utilizar en otro que tenga un sistema educativo diferente. • Accesibilidad, a través de GeoGebratube se tiene la facilidad de identificar, buscar y encontrar, los ejercicios desarrollados por distintos usuarios gracias al correspondiente etiquetado

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• a través de diversos descriptores (metadatos) que permiten su catalogación y almacenamiento en el correspondiente repositorio. • Flexibilidad, versatilidad y funcionalidad, debido a que se puede combinar en muy diversas propuestas de áreas del saber diferentes. • Instruccionalidad, esta se presenta en dos aspectos igualmente relevantes, el primero es la autoinstruccionalidad, donde a través de manuales y tutoriales se puede aprender a utilizar GeoGebra y la segunda sería la instruccionalidad orientada a las distintas disciplinas. • Durabilidad, en el caso de GeoGebra, su aplicación está dirigida principalmente a la matemática cuyos contenidos serán los mismos al paso del tiempo. • Independencia y autonomía, aunque los objetos sean creados en alguna plataforma en específico, pueden ser trasladados a otro dispositivo. Es decir que, GeoGebra cumple con dichas características por lo que se puede afirmar que sus applets funcionan como Objetos de Aprendizaje y que son unidades de conocimiento que se trasladan a través del Internet en lenguaje Java a distintas plataformas.

Conclusiones Al cumplir GeoGebra con las características fundamentales de los objetos de aprendizaje, se puede considerar que estos no han muerto. Como lo predecía Wiley, por el contrario, pueden cobrar fuerza en tanto sus unidades se puedan contextualizar a los distintos ámbitos educativos. GeoGebra se orienta en la principal característica que es la reutilización, ésta se puede presentar gracias a su principal

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repositorio, GeoGebratube, la presencia de los objetos en Internet permite el acceso sin fronteras a ellos y a su uso como recurso didáctico. En la más polémica característica, que es la interoperatividad, se observa que gracias al lenguaje Java los applets generados en una plataforma se pueden trasladar a otra, incluso hoy en día se puede trasladar a dispositivos que en el tiempo que se generó el concepto de Objetos de Aprendizaje, no se habían desarrollado. Como resultado, GeoGebra pueden contribuir al acceso universal a la educación matemática, ya que se encuentra en distintos idiomas, permitiendo que a través de las Tecnologías de la Información y la Comunicación se difunda el conocimiento de la Matemática. Busca la igualdad en la instrucción, el ejercicio de la enseñanza y el aprendizaje de calidad, ya que permite la manipulación de los elementos matemáticos, generando con ello una experiencia de aprendizaje constructivista y significativo. Permite el desarrollo profesional de los docentes orientándolos en una estrategia didáctica asistida por computadora, acepta expresiones matemáticas de precisión y complementa la instrucción con ejemplos gráficos. Como discusión ante la vigencia de los Objetos de Aprendizaje, es pertinente aclarar que GeoGebra transmite conocimientos matemáticos y que estos son de origen universales, por lo tanto no se podría afirmar el resurgimiento de ellos en otros ámbitos del conocimiento sin antes estudiarlo a detalle ya que las unidades de conocimiento en forma de LEGOS pueden ser fuertemente afectadas por el idioma y contexto. Desde que Lev Vigotsky propuso que el aprendizaje colaborativo eleva el nivel potencial del aprendizaje individual, podemos considerar que el uso de los objetos de aprendizaje generados

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con GeoGebra y sus redes de participación incrementarán las capacidades de aprendizaje de la matemática en el alumno, por lo que es pertinente afirmar que debe de ser fomentado.

Referencias bibliográficas [1] García, L. (2005). Objetos de Aprendizaje. Características y repositorios. Boletín Electrónico de Noticias de Educación a Distancia (BENED). [2] Red de Aprendizaje. (2011). Obtenido de Plataforma Informática: http://www.reddeaprendizaje.com/ component/k2/itemlist/tag/inform. [3] Sicilia, M. (2007). Objetos y diseños para el aprendizaje. REDAOPA. [4] UNESCO. (2011). Las TIC en la Educación. Recuperado el 10 de mayo de 2012 de http://www.unesco.org/new/es/ unesco/themes/icts/. [4]

Virtual Educa. (2007). II Seminario de Objetos de Aprendizaje. Recuperado el 5 de julio de 2012 de http://investigacion. udgvirtual.udg.mx/eventos/soa-ii/.

[5] Wiley, D. (2000). Learning Ojects Design and Sequencing Theory. Bringham Young University, Departament of Instructional Psychology & Technology. Bringham: opencontent. [6]

Wiley, D. (2006). RIP-ping on Learning Objects. Recuperado el 10 de junio de 2012 de http://opencontent.org/blog/ archives/230.

Sitio: http://GeoGebra.org/cms/

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25. EL GEOGEBRA Y LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Juan G. Arango Arango [email protected] Instituto Tecnológico Metropolitano Diana Y. Gaviria Rodríguez [email protected] Instituto Tecnológico Metropolitano Farley S. Rojas Restrepo [email protected] Instituto Tecnológico Metropolitano

Resumen Basados en GeoGebra se diseñan Applets, como componentes de Objetos Virtuales de Aprendizaje. Los docentes y estudiantes de las Matemáticas Financieras que asisten a la ponencia, adquieren gran posibilidad y perspectiva para comenzar a diseñar gráficas para fórmulas financieras de manera que los estudiantes en su trabajo presencial y/o independiente logren la comprensión de los conceptos de las Matemáticas Financieras. Para lograr que los asistentes comprendan las herramientas del GeoGebra se trabajará con una fórmula fundamental:Vf=Vp(1+i)n; donde “Vf” es el valor futuro, “Vp” es el valor presente, “i” es el interés, y “n” es el número de períodos..

Palabras

clave:

valor futuro, valor presente, interés, número de períodos, Objeto Virtual de Aprendizaje

Abstract Based on GeoGebra Applets are designed as components of a Virtual Learning Objects. Teachers and students of Financial Mathematics attending the lecture acquire a great possibility and prospects to

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start designing graphics for financial formulas so that students face in their work and / or independently to achieve an understanding of the concepts of Financial Mathematics.. “When talking about compound interest in Financial Mathematics, profits are not equal for all periods, since the investment varies from period to period, due to the profits earned in a period are reinvested in the next.” To ensure that attendees understand GeoGebra tools will work with a basic formula: Vf=Vp(1+i)n, where “Vf” is the future value, “Vp” is the present value, “i” is the interest, and “n” is the number of periods.

Keywords: future value, present value, interest, number of periods, Virtual Learning Object

Introducción El Interés Compuesto es uno de los elementos más importantes de las Matemáticas Financieras; y en esta ponencia se pretende que a partir de una fórmula básica que tiene cuatro variables; se toman dos para realizar una gráfica en un plano cartesiano; y las otras dos se tomen como parámetros los cuales se pueden variar a con los datos que quiera el docente o estudiante; y así lograrse entender de una forma más amigable los conceptos de las Matemáticas Financieras. El maestro y/o estudiante debe ser capaz de entender por medio de esta ponencia el significado e interpretación geométrica de una fórmula financiera desde la plataforma del GeoGebra 4.0.

Objetivos En el marco de la enseñanza apoyada con TIC la ponencia busca que los docentes logren: 1. Adquirir conciencia de que los Objetos virtuales de Aprendizaje son una herramienta valiosa que permite minimizar las tareas

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mecánicas de despeje y reemplazo de ciertos datos en una fórmula financiera. 2. Inducir a los docentes del área financiera y contable al diseño de Objetos Virtuales de Aprendizaje que les permitan a sus estudiantes la apropiación de los conceptos en estas áreas. 3. Mostrar que los diseños de Objetos Virtuales de Aprendizaje amigables llevan al estudiante a realizar su trabajo independiente de una forma agradable.

Metodología La ponencia esboza que los asistentes logren los objetivos propuestos buscando realizar: 1. Una familiarización con las herramientas de la versión 4.0 del simulador geométrico GeoGebra 2. La programación de la tarea a realizar 3. El diseño de una función racional que es una fórmula de Matemáticas Financieras y los parámetros que permiten observar el comportamiento de dicha función, parámetros que serán variados por medio de botones. (Figura 1) Figura 1. Pantallazo general del diseño terminado de la fórmula Vf=Vp(1+i)n


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El eje de las abscisas es “n” (número de períodos. meses); y el eje de las ordenadas es Vf (Capital en millones en el mes “n”). Obsérvese en la figura que una persona que deposita en el banco $6.200.000 a una tasa del 1.5% mensual, cuyo equivalente es 0.015, y reinvierte sus intereses; en el mes 5 si fuera a sacar su dinero, recibiría del banco $6.679.000. Si quisiera sacar su dinero en el mes 10, recibiría del banco $7.195.000. Se pueden variar los valores “Vp” (valor presente; es decir, lo que quiero depositar en el banco); y también puedo variar la tasa de interés “i”. Si se desea colocar:

Figura 2. La fórmula Vf=Vp(1+i)n variando “i” y “Vf”


Se observa geométricamente que mientras más alto es el interés; y mientras más tiempo se tenga el dinero en el banco, es cada

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vez mayor el capital recibido; es decir este Vf crece de una forma exponencial. (Figura 2) • Verificación de lo amigable del Applet y la capacidad de aprendizaje de los conceptos con la fórmula de Matemáticas Financieras Vp=Vf/(1+i)n y como es el comportamiento geométrico de esta función (Figura 3). Aquí también se puede variar como que se desee “Vf” e “i” Figura 3. Pantallazo general del diseño terminado de la fórmula Vp=Vf/(1+i)n


• De la fórmula Vf=Vp(1+i)n se puede deducir

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Figura 4. Pantallazo general del diseño terminado de la fórmula


Aquí tambien se explicará detalladamento el comportamiento financiero de la fórmula; así como su comportamiento geométrico relacionado con ésta parte financiera (Figura 4) • De la fórmula Vf=Vp(1+i)nse deduce n=ln(Vf/Vp)/ln(1+i/100) (Figura 5) Figura 5. Pantallazo general del diseño terminado de la fórmula n=ln(Vf/Vp)/ln(1+i/100)


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En esta gráfica se introduce un nuevo elemento del GeoGebra, el deslizador; donde se puede ir recorriendo toda la curva de la ecuación para observar que con interés (i/100) determinado podemos hallar el número de períodos “n”

Resultados Los docentes y/o estudiantes que asisten a la ponencia lograran dimensionar: 1. Lo amistoso del procesador geométrico GeoGebra; sobre todo en su versión 4.0 2. Con el GeoGebra se logra que los conceptos de las Matemáticas Financieras sean más fáciles de asimilar; sobre todo financieramente que significa el comportamiento geométrico de la curva. 3. Para el estudiante de Matemáticas Financieras es un estímulo hacer su trabajo independiente, investigando qué ocurre cuando varían los valores de los diferentes parámetros. 4. El docente se ve motivado a conocer mejor el software GeoGebra y aprender a diseñar para mejorar su docencia

Conclusiones 1. Desde que el creador del GeoGebra Markus Hohenwarter comenzó este proyecto en el año 2001; se ha convertido en uno de los software más importantes y amigables para una gran cantidad de disciplinas del conocimiento. 2. El GeoGebra es un procesador geométrico y algebraico con software interactivo que se puede usar además de las Matemáticas Básicas, en proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica, Matemáticas Financieras, y otras. 3. Es un software de geometría dinámica con el cual se pueden hacer construcciones y con el uso de herramientas y de comandos en

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la barra de entrada, todo el trazado se puede modificar en forma dinámica. 4. El uso de las TIC se está imponiendo cada vez más en nuestro medio, y es que con el avance de las nuevas tecnologías hay una gran oportunidad de mejorar el aprendizaje y que este cada vez sea más independiente. 5. Jaramillo (2005) concluye: Los resultados confirman hallazgos de otras investigaciones que señalan que hay instituciones educativas donde la incorporación de las TIC se ha producido en el terreno tecnológico-instrumental y no basada en sus potencialidades pedagógicas (Cabero, 1999), que las TIC se están usando en la educación como herramientas neutrales para hacer las mismas actividades de enseñanza y aprendizaje que se pueden hacer sin ellas (Lim, 2000) y que los profesores reconocen la importancia de usar TIC en sus clases (Beichner, 1993 en Ermer et al, 2001; Fulton, 1993 en Ermer et al, 2001) pero no saben cómo hacerlo (Roblyer, 1993 en Ermer et al, 2001).


Rosero, A. (2005). Matemáticas financieras. Universidad Nacional Abierta y a Distancia-UNAD.

[2] Jaramillo, P. (2005). Uso de tecnologías de información en el aula. ¿Qué saben hacer los niños con los computadores y la información? Revista de Estudios Sociales 20, 27-44. [3]

Matemáticas Financieras. Recuperado el 5 de julio de 2012 de http://gratis.portalprogramas.com/Matematica-Financiera. html.

[4]

Manual: ¿Qué es GeoGebra? Recuperado el 30 de junio de 2012 de http://wiki.GeoGebra.org/es/Manual:P%C3%A1gina_ Principal. 312

Cursillos

1. CONSTRUCCIÓN DE RECURSOS PEDAGÓGICOS EN FORMATO HTML (PÁGINAS Web) CON PROGRAMAS DE GEOMETRÍA DINÁMICA Alexander Parra Instituto de Educación y Pedagogía Universidad del Valle [email protected]

Resumen El taller surge a partir de la experiencia de formación docente en los cursos de herramientas computacionales para la educación matemática, específicamente en el segundo de ellos, de la estructura curricular de las licenciaturas del área de Educación Matemática de la Universidad del Valle. En el desarrollo de las prácticas ha sido posible el análisis de diferentes experiencias y diseños específicos que intentan desde diferentes referentes teóricos integrar las TIC a la educación matemática. Particularmente con programas de geometría dinámica tales como Cabrì geometric, GeoGebra o Regla y Compás, estos diseños parten de una construcción o de un problema que se explora a través del programa acompañado de un material en formato de texto en papel, muy pocos de estos diseños realizados por docentes de instituciones de educación media son realizados en formato de páginas Web. Por lo anterior se realiza el diseño de para realizar una aproximación al diseño, edición y apropiación de recursos pedagógicos en formato HTML a partir de construcciones de geometría dinámica en el programa GeoGebra.

Palabras

clave:

Recurso pedagógico, Ambientes de Geometría Dinámica, GeoGebra, Diseños HTML

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Abstract The workshop emerges from the experience of teacher training courses in computer tools for mathematics education, specifically in the second one, the structure of the degrees curriculum in the area of Mathematics Education of the Universidad del Valle. In the development of practices has been possible to analyze different experiences and designs that attempt from different theoretical framework to integrate TIC in mathematics education. Particularly with dynamic geometry programs such as Cabri geometric, GeoGebra or Compass and Rule, these designs begin with a building or a problem that is explored through the program together with a material in text format on paper, very few of these designs performed by teachers in secondary school institutions are realized in the format of Website pages. By the above design is performed for an approach, to design, editing and appropriation educational resources in HTML from dynamic geometry constructions in the program GeoGebra.

Presentación En los cursos de herramientas computacionales para la educación Matemática de las licenciaturas del área de Educación Matemática de la Universidad del Valle, específicamente en el segundo de ellos se tiene entre sus objetivos: • Desarrollar procesos de integración de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) en la educación matemática a través de la elaboración de construcciones geométricas, del planteamiento y resolución de problemas. • Conocer y analizar algunas experiencias de aula que integren TIC • Determinar las características, limitaciones y posibilidades de algunos usos de TIC en el aula de matemáticas. 315


Con este horizonte claramente definido en el desarrollo de las prácticas, ha sido posible reconocer algunas experiencias y diseños específicos que intentan desde diferentes referentes integrar las TIC a la educación matemáticas, en cuanto a la posibilidad de la elaboración, apropiación y evolución de recursos específicamente diseñados en formato tipo Web que se pueden reconocer o tomar desde diferentes fuentes como: • http://www.GeoGebra.org/en/upload/ • http://i2geo.net/xwiki/bin/view/Main/Partner Se puede identificar, sin ser una mirada profunda, que algunas de ellas, son propuestas en formato HTML por las posibilidades propias de los programas de geometría o del software, pero que no van más allá de lo que se puede hacer con el propio programa dando una sensación de que, el diseño nace y termina en los potenciales y restricciones propias de los programas, de esto, varios interrogantes quedan planteados: • ¿Cuáles son las mayores dificultades que se dan para abordar los diseños en formato HTML? • ¿Cuál es el impacto en las prácticas docentes que tiene la posibilidad de realizar o adecuar diseños en formato HTML? • ¿Cómo se identifican o integran los docentes a través de este tipo de diseños y formatos en una comunidad de práctica? En el taller no se pretende dar respuesta final a estos interrogantes, pero se espera que en él se genere un espacio de discusión alrededor de dichos interrogantes que le aporte a la comunidad que participe en él y que estos sean multiplicadores de dicha reflexión. En este sentido se establecen como objetivos del taller: • Desmitificar que las posibilidades de generación de diseños en formatos HTML con applets interactivos o páginas Web que puedan ser usados en la escuela, son exclusivos de diseñadores o programadores.

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• Identificar elementos didácticos que deben ser tenidos en cuenta al momento de la apropiación de algunos recursos disponibles a la comunidad educativa.

Metodología En este apartado se hace necesario, realizar inicialmente una reflexión teórica, para culminar con el trabajo práctico.

Marco teórico Los referentes teóricos se enmarcan dentro de la concepción colaborativa de recursos pedagógicos de Trouche (2009) en el que se plantea “Una nueva concepción de los recursos pedagógicos concebir los recursos pedagógicos como artefactos, que se constituyen en instrumentos dentro comunidades de práctica” (p.21)(el resaltado es nuestro). Los anteriores conceptos resaltados dejan a la luz varios enfoques teóricos que se han puesto en consonancia para el establecimiento de tal afirmación, el primer reconocimiento en los enfoques teóricos que tratan de explicar los fenómenos didácticos partes de la teoría antropológica de la didáctica (TAD), como una evolución de la teoría de situaciones didácticas de allí Trouche toma como una noción fuerte, la de institución, un elemento que ha sido reconocido en diferentes investigaciones es la falta de herramientas por parte de la TAD para explicar los fenómenos asociados a la instrumentación en el aula, Artigue (2002), de allí se hace necesario poner en juego un enfoque instrumental, en el que se postula la influencia y los fenómenos didácticos que implica la implementación de una tecnología en el aula, uno de los aportes fundamentales es la distinción de artefacto e instrumento, el primero es el “objeto” o “software”, dado como tal en este caso, al docente (o al alumno) ya sea material o simbólico, este está concebido y construido

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por un diseñador con una intención específica y los segundos (el instrumento) son“entidades mixtas, compuestas de una parte de artefacto y de esquemas de utilización” (Trouche, 2009, p.6). Estas posiciones teóricas llevan implícitas la concepción que entre más complejas sean las herramientas, mayores y complejos serán los fenómenos didácticos que los docentes deben asumir e integrar en sus actividades. Este primer aporte del enfoque instrumental a los fenómenos en la integración de las herramientas tecnológicas en las actividades de los docentes en el aula, introduce un complejo fenómeno, la génesis instrumental, compuesta de un proceso de instrumentalización e instrumentación, el primero es dirigido hacia el artefacto en él se reconocen y va dotando al artefacto de potenciales y limitaciones y transformándolo para las aplicaciones específicas, el segundo de estos procesos duales está dirigido hacia el sujeto en el que se van construyendo los diferentes esquemas de utilización del artefacto como respuesta a un tipo específico de tareas. Este complejo fenómeno y la dualidad de sus dos procesos llevan consigo nociones teóricas necesarias como orquestación instrumental, una orquestación instrumental toma cuenta a la vez de los aspectos “artefactos” y de los aspectos matemáticos, (Quieran, 2000), como es citado en Trouche (2009), es considerada como las organizaciones didácticas y los modos de explotación o de funcionamiento de estas configuraciones es decir, la “gestión didáctica de los artefactos puestos a disposición en relación con los objetivos didácticos” (Trouche, 2009, p.11). En la orquestación instrumental se dan tres niveles de configuración, configuraciones internas de los artefactos, ¿qué ocurre al interior de ellos?; configuraciones de los artefactos en el aula ¿cuál es la disposición que hacemos de ellos?; configuraciones reflexiva ¿Cómo se realiza la disposición para discusión teórica?

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De la orquestación a la elaboración de recursos. Es en estos momentos que se da el paso a lo que inicialmente se afirmó, “los recursos pedagógicos como artefactos, que se constituyen en instrumentosdentro de comunidades de práctica” (Trouche 2009, p.21), un nivel posterior se hace necesario, la realización didáctica, esto se presenta y aclara en la Fig. 1, allí se da un ciclo en el que se puede identificar como el proceso de la orquestación y génesis instrumental no solo se da para los estudiantes sino como en el proceso de ajustes a la configuración o modos de explotación lleva a la evaluación de la aplicación y revisión de la orquestación, en este momento también es posible pensar como se da una génesis documental para los docentes. Figura 1: Ciclo de la génesis instrumental y la orquestación, en la génesis documental

Fuente: Tomada de Luc Trouche (2009). De los libros de texto a los recursos en línea: evoluciones tecnológicas, evolución de los acercamientos didáctica. México: Cinvestav. Pág. 15. Recuperado el 20 de junio de 2012 de http://educmath.inrp.fr/Educmath/recherche/approche_documentaire/ trouchecinvestav.pdf

En este ciclo se da por parte de los docentes la elaboración de unos recursos que al finalizar el ciclo dan como resultado un documento, el docente que tiene relación como una comunidad y hace parte de ella elabora, gestiona los recursos, recursos que se han de convertir

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en instrumentos de su práctica, práctica que no es aislada sino que emerge dentro de una comunidad de práctica, por lo cual dichos artefactos (recursos*) también son instrumentos dentro de la comunidad, estos finalmente pueden ser considerados como parte de un “vivero”, o responsorio de recursos que forman parte de los instrumentos de la comunidad, estas ideas se amplían en la Figura 2. Figura 2: Comunidad de práctica, instrumentos y responsorio de recursos

Fuente: Tomada de Luc Trouche (2009). De los libros de texto a los recursos en línea: evoluciones tecnológicas, evolución de los acercamientos didáctica. México: Cinvestav. Pág. 21. Recuperado el 20 de junio de 2012 de http://educmath.inrp.fr/Educmath/recherche/approche_documentaire/ trouchecinvestav.pdf

Tal propuesta implica reconocer que el recurso pedagógico** está compuesto de varios elementos que complementan el diseño, que permite la evolución y transformación de este en un instrumento dentro de la comunidad de práctica, tales elementos propuestos han ido evolucionando a lo largo del tiempo en la propuesta, estos son: Fichade identificación:

* We use the term resources to emphasize the variety of artifacts we consider: a textbook, a piece of software, a student’s sheet, a discussion with a colleague, etc. A resource is never isolated; it belongs to a set of resources. Gueudet &Trouche (2009, p.205) ** Une ressource pédagogique est formée de documents indisociables. Troche(2003)

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• Describe el recurso (diseño) para usuarios potenciales y permitirá indexar el diseño en una base de datos. • Hoja del estudiante: Contiene las instrucciones que describen el trabajo por hacer. Es una etapa esencial, hay que preparar la transferencia (o devolución) del problema a los estudiantes, de tal manera que lo consideren como el suyo. • Hoja del profesor: Elementos que el profesor quiere conservar (pistas para soluciones, referencias teóricas, etc.) para él mismo, o para compartir con colegas • Libreto de utilización: Cómo serán organizados los estudiantes, entre ellos y con los diferentes artefactos disponibles, la orquestación de este entorno. • Informe de experimentación: Permitirá mejorar para una nueva oportunidad, identificando las diferentes situaciones que se han presentado al colocar en acción el libreto de utilización y enmendar a lo que hubiera lugar. • Ficha técnica: Presenta la información sobre el software utilizado, características y necesidades que se han de tener en cuenta en su implementación. En la elaboración de diseños en formato HTML es importante reconocer y acoger estos elementos complementarios, dado que permitirán a los integrantes de la comunidad que tienen acceso a estos recursos, tener por ejemplo la ficha técnica en la cual, se da información sobre el software utilizado, en estos ambientes un elemento clave es reconocer la versión en la que se realiza la actividad, pues todas la versiones traen mejoras que permiten que la actividad sea adaptada o que evolucione, en estos ambientes siempre se generan sorpresas: En la elaboración de los recursos pedagógicos en formato HTML, es importante, como se ha mencionado que las sorpresas sean

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identificadas o se puedan prever dado que no siempre la solución del problema es exclusiva de programadores o ingenieros en sistemas y que, en la propuesta de recursos pedagógicos y comunidades de prácticas se reconoce que,…no hay un modelo universal para los recursos, este emerge como respuesta a necesidades y como resultado de la actividad. Lo importante es: • Integrar los aportes de los usuarios muy río arriba del proceso de concepción (instrumentalización). • ”Pensar en una estructura de los recursos que permita su reutilización, su puesta en común y su evolución, un proceso complejo, que necesita el trabajo de equipos pluridisciplinarios (matemáticos, informáticos, didácticos)”. (Trouche, 2009, p.26)

Desarrollo práctico Para la realización del taller se hace necesario contar con una sala de sistemas con video beam e instalados en ella, software de geometría dinámica (gratuitos) como: GeoGebra versión 3.2.4 y Open office versión 2.7, estos dos serán los insumos. El taller está pensado para un nivel básico de dominio de la herramienta (software GeoGebra): Se realizará, en las siguientes etapas:

Instrumentalización Reconocimiento de las herramientas tecnológicas disponibles o que se emplearán en el taller bajo forma Open Source (gratuitos), tales como Open Office y los programas de geometría, características básicas de un formato HTML, para esto, se proponen las siguientes prácticas: creación, edición y administración de archivos en Open Office, de texto y documentos HTML.

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Edición y evolución de diseños, open office como editor gratuito de páginas HTML Reconocimiento y manipulación de construcciones y diseños que se han construido desde de los cursos de herramientas computacionales para la educación matemática, que se tomaron como punto de partida de la propuesta del taller, al menos se dejarán a disposición de los participantes 2 diseños diferentes en GeoGebra, aquí los participantes podrán identificar las posibilidades y potenciales de los diseños que pueden llegar a nuestras manos como parte de una comunidad, pero que no necesariamente estos recursos se pueden implementar de la misma forma en cada institución, la pregunta centrales que se abordan en esta etapa es: ¿Cómo puedo editar sin dañar el funcionamiento de la página, en este tipo de actividad?

Exportando desde GeoGebra, generación de applets en formato HTML En este momento del taller se desarrolla cómo generar páginas HTML desde el programa de geometría dinámica GeoGebra, y posteriormente editarlas con open office, las preguntas centrales de esta etapa son: ¿Cuáles son los potenciales y restricciones de esta herramienta?, ¿Existen consideraciones didácticas que se deban tener en cuenta al momento de exportar la actividad?. Para unificar elementos de discusión se partirá de una construcción en GeoGebra (Modelación caja.ggb) con la simulación de un problema clásico de optimización,

¿Cuál es el máximo volumen que se puede obtener al construir una caja de una lámina rectangular? (Ver Figura 3) Esto no solo con el fin de unificar criterios de discusión o control de variables, sino para centrar la discusión en la construcción

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del recurso en el formato HTML y no en la construcción de la simulación, al igual que se tienen al alcance en diferentes fuentes un número amplio de construcciones (asiladas, como muestra de un potencial, con un autismo* en diseño) en los dos programas de geometría dinámica que se trabajan.

Resultados Identificación de la noción de recurso pedagógico, generación y edición de un documento en formato HTML desde GeoGebra, finalmente el reconocimiento de los participantes como integrantes de una comunidad de práctica. Figura 3. Construcción en GeoGebra que se llevará a un formato HTML


* Es una ausencia de ciertos niveles en el desarrollo de las propuestas, generando un encierro temático, que acarrea la desaparición de la razón de ser de los mismos.

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Referencias bibliográficas [1] Artigue, M. (2002). Learning Mathematics in a CAS Environment: the Genesis of a Reflection about Instrumentation an the Dialectics between Technical and Conceptual Work. International Journal of Computers for Mathematical Learning 7, 245–274. [2]

Gueudet, G. & Trouche, L. (2009). Towards new documentation systems for teachers? Educational Studies in Mathematics, 71(3), 199-218. Recuperado el 25 de junio de 2012 de http:// springerlink.metapress.com/content/6600hx1254664n74/.

[3] Guin D. & Trouche L. (1999). The complex process of converting tools into mathematical instruments: the case of calculators. The International Journal of Computers for Mathematical Learning, 3(3), 195-227. [4]

Trouche, L (2009). De los libros de texto a los recursos en línea: evoluciones tecnológicas, evolución de los acercamientos didáctica. México. Cinvestav. Recuperado el 5 de junio de 2012 de http://educmath.inrp.fr/Educmath/recherche/ approche_documentaire/trouchecinvestav.pdf.

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2. TALLER SOBRE CONSTRUCCION DE PÁGINAS WEB CON GEOGEBRA Y HTML5 Hernando Álvarez Romero Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira [email protected]

Resumen Presentaremos en este taller el gran avance de GeoGebra trabajando dentro de páginas HTML5. Inicialmente se muestra una serie de nuevos elementos y atributos que trae HTML5 que reflejan el uso típico de los sitios Web modernos, dando a conocer las principales etiquetas semánticas, los principios básicos de CSS3 y de la programación en Javascript. Se nos cumplió el sueño a los profesores de Matemáticas: con GeoGebraWeb tenemos la posibilidad de preparar material para las mediaciones de matemáticas disponible para smartphones o tabletas con Android. Para terminar, presento un ejemplo de GeoGebra con programación en Javascript, publicado por Markus Hohenwarter y que consiste en lo siguiente: Creamos un Applet sencillo en GeoGebra y lo exportamos como página Web, que convertimos con unos pequeños cambios en página HTML5 y empezamos a ejecutar comandos de GeoGebra con el potente lenguaje Javascript que esta embebido en la página. Palabras clave: GeoGebra, GeoGebraWeb, HTML5, CSS3, Javascript

Abstract In this workshop will present the breakthrough of GeoGebra, working in HTML5 pages. Initially shown a series of new elements and attributes that brings HTML5 that reflect the typical use of modern Web sites, revealing the main semantic tags, the basic

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principles of CSS3 and Javascript programming. We fulfilled the dream of Mathematics teachers. With GeoGebraWeb we are able to prepare materials for the mediation of Mathematics available for Android smartphones or tablets. Finally, I present an example of programming in JavaScript with GeoGebra, published by Markus Hohenwarter and consists of the following: We created a simple applet GeoGebra and to export the site, we convert a few small changes in HTML5 page and begin to execute commands with the powerful GeoGebra Javascript embedded in this page.

Keywords: GeoGebra, GeoGebraWeb, HTML5, CSS3, Javascript Introducción GeoGebra es un software matemático para desarrollar actividades de aprendizaje en Geometría y Algebra. Su código fuente es accesible a todo el mundo y se encuentra disponible de manera libre para su uso no comercial. Con GeoGebra 4.2 y HTML5 tenemos a nuestra disposición una potente herramienta para crear Documentos GeoGebra para la Web que se ejecutan bastante rápido sin el requisito de Java. Estos documentos tienen actualmente solo un conjunto limitado de comandos y no tienen menús de interfaz gráfica de usuario, pero por lo demás tienen las mismas características que los documentos usuales de GeoGebra.

Metodología Desarrollo de competencias en GeoGebra y HTML5 mediante el uso de las TIC y el aprendizaje autónomo, con mediación.

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Resultados y discusión En el mundo de las tecnologías hay que cambiar todos los días y llego el momento de cambiar las aplicaciones de escritorio por las aplicaciones Web. Es la hora de dar el paso a HTML5, no saquemos la excusa de que yo lo uso cuando este completamente terminado. Si uno piensa así nunca va a estar al frente de la tecnología y muy probablemente se queda estancado en la Web. Uno de los problemas que tenemos con HTML5 es la no compatibilidad con algunas versiones de navegadores. Estas incompatibilidades se resuelven con dos importantes librerías: • Modernizar Librería Javascript para desarrollar aplicaciones Web con HTML5. Modernizr hace que HTML5 semántico sea compatible con la mayoría de los navegadores. • CSS3Pie Posiblemente una de las mejores librerías que hay para la retrocompatibilidad con ciertos efectos. CSS3Pie busca muchas de las habilidades que hay: bordes redondeados, degradados con sombras, etc. Con GeoGebra 4.0 se integran documentos HTML5 disponibles para los smartphones, es decir, GeoGebraWebes la versión HTML5 de GeoGebra para iPads o romebooks o tabletas con Android. GeoGebra dispone de algunos métodos públicos: GeoGebraApplet, para ser utilizados desde una página HTML5 a través de Javascript. Lo anterior permite crear páginas Web con todas las capacidades de la programación con Javascript aprovechando toda la potenciabilidad de GeoGebra.

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Conclusiones HTML5 pretende proporcionar una plataforma para desarrollar aplicaciones Web más parecidas a las aplicaciones de escritorio, donde su ejecución dentro de un navegador no implique falta de recursos o facilidades para resolver las necesidades reales de los desarrolladores. Esta versión de HTML es más eficiente y ocupa menos recursos en la computadora del cliente, en particular mediante el uso del nuevo reproductor que no requiere flash o adobe player para utilizarse, y siendo el HTML5 compatible con las versiones anteriores de HTML, utilizar la nueva versión en una página ya diseñada implica un menor trabajo que si fuera una colección completamente nueva. Resulta que HTML5 está formado por muchos módulos distintos, cuyo grado de especificación está en niveles dispares, por tanto, muchas de las características de HTML5 están ya listas para ser implementadas, en un punto de desarrollo que se encuentra cercano al que finalmente será presentado. Otras muchas características están todavía simplemente en el tintero, a modo de ideas o borradores iníciales. En estos momentos no todos los exploradores soportan HTML5 (actualmente solo las últimas versiones de Chrome, explorer, Safari, Firefox y Opera soportan la mayoría de las características). A partir de GeoGebra 4.2 se introdujeron genuinos documentos HTML5 GeoGebra por lo que los applets dan inicio con mayor rapidez y, además java ya no es un requisito previo.


Freeman, A. (2012). The Definite Guide to HTML5. Springer.

[2]

Meyer, J. (2011). HTML5 and JavaScript Projects. Springer.

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[3] Bowers, M., Synodimos, D. and Summer, V. (2011). Pro HTML5 and CSS3 Design Patterns.Springer. [4] Tutorial y Manual de GeoGebra (s.f.). Recuperado el 10 de junio de 2012 de http://www.GeoGebra.es/cvg/index.html. Sitios Web, consultados en junio de 2012 • WIKIPEDIA. La enciclopedia libre http://es.wikipedia.org/ wiki/HTML5 • Introducción a HTML5 online: Video youtube.com: http:// www.youtube.com/watch?v=fUvDw4Pi6Yw • Javascript http://www.javascriptya.com.ar/ • CSS3 Youtube. Mejorando la Web • http://www.youtube.com/watch?v=5HpQgUYcdSs • Curso: Introducción a CSS3 cristalab.com • http://www.cristalab.com/css3/selectores-css/ • Video de Introducción GeoGebra tomado de youtube.com • http://www.youtube.com/watch?v=VxxisWWkDOA&feature =results_video&playnext=1&list=PL4519C1B8589DE773 • GeoGebraWeb http://wiki.GeoGebra.org/es/ Creando_Documentos_HTML5_con_GeoGebraWeb • GeoGebra y Javascript por Markus Hohenwarterm http:// www.GeoGebra.org/source/program/applet/GeoGebra_ applet_javascript_test.htm

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3. CONSTRUCCIÓN DE LA PIZARRA INTERACTIVA CON OBJETOS DE APRENDIZAJE EN GEOGEBRA Carlos A. Rojas Hincapié Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Elkin A. Castrillón Jiménez Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen El docente de hoy puede producir recursos digitales interactivos a partir de la integración y combinación secuencial de varios Objetos de Aprendizaje (OA) virtuales en una Secuencia Didáctica (SD) con las clases de una asignatura para un nivel educativo específico y planificar clases innovadoras e interesantes mediante el uso de las TIC en el aula de clase logrando beneficios en mejoramiento de los resultados de aprendizaje, optimización del tiempo de clases y mejorar la motivación de los alumnos. Partiendo de la combinación secuencial de varios Objetos de Aprendizaje elaborados con applets de java en GeoGebra, explicar como se genera la elaboración de una Secuencia Didáctica (Introducción, exploración, ejercicios y evaluación) y lograr construir los conceptos de una asignatura.

Palabras

clave:

secuencia didáctica, objeto de aprendizaje, innovación educativa, GeoGebra, contenidos educativos digitales

Abstract The teacher of today can produce interactive digital resources from the integration and sequential combination of several Virtual Learning Objects (VLO) in a didactic sequence (DS) with to the 331


classes of a course for a specific educational level and planning innovative and interesting classes through the use of TIC in the classroom achieving benefits in improving learning outcomes, optimization of class time and improve student motivation. Starting from the sequential combination of several learning objects made with applets of GeoGebra, to explain how they generated the elaboration of a Didactic Sequence (introduction, exploration, exercise and evaluation) and able to build the concepts of a subject.

Keywords: didactic sequence, learning object, educational innovation, GeoGebra, digital educational content.

Introducción El docente a partir de su experiencia y la de sus alumnos puede diseñar sus propios contenidos educativos digitales sustentado en las características de los usuarios al que van dirigidos apoyado en herramientas de software libre como GeoGebra y con código abierto puede construir los applets de tecnología java que le permitirán crear la codificación HTML para ser publicados en formato Web y ser vistos en los principales navegadores como Internet Explorer, Mozilla Firefox, Google Chrome, Netscape, Opera. Logrando el docente una producción atemporal y a muy bajo costo que le servirán como herramientas de uso didáctico en el aula y fuera de ella. Orientar los pasos para la creación de una Secuencia Didáctica (Introducción, exploración, ejercicios y evaluación) partiendo de la combinación secuencial de varios objetos de aprendizaje elaborados previamente con applets de GeoGebra y lograr construir una temática en una asignatura a partir de material interactivo propio

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o de la selección de material interactivo de una plataforma con librerías de recursos interactivos.

Metodología

La producción de contenidos educativos digitales tiene como referencia el modelo de Objeto Digital Educativo (ODE) con soporte digital el cual tiene tres características básicas: • Su finalidad es facilitar un cierto aprendizaje del usuario • Es independiente de los demás porque tiene significado propio por sí mismo • Admite una integración modular de jerarquía creciente, es decir, se puede integrar con otros objetos para dar lugar a otro más complejo En la Figura 1 se aprecia la estructura de los contenidos digitales en arquitectura modular de jerarquía creciente para un ODE, el Recurso Educativo (RE) es el ODE más amplio de toda la jerarquía. Figura 1. Estructura de los contenidos digitales en arquitectura modular de jerarquía creciente


El Objeto de Aprendizaje (OA) resulta de la integración de varios elementos multimedia el cual se enfoca como un elemento didáctico especifico como recurso digital, autocontenible y reutilizable, con un propósito educativo (ver Figura 2).

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Figura 2. Objeto de aprendizaje con propósito educativo


La secuencia didáctica (SD) se obtiene al desarrollar y aplicar un diseño de instrucción completo a la combinación de varios Objetos de Aprendizaje creados previamente. La S.D. supone un proceso completo de enseñanza y aprendizaje con los siguientes pasos: • Introducción • Exploración • Ejercicios • Evaluación A continuación se explica las pautas de diseño de una S.D. y el entorno visual a manera de Pizarra Interactiva con ejemplos para un tema del curso Matemáticas Básicas: 1. Creación y diseño de los OA en GeoGebra 2. Adaptación de los OA a la plantilla de Pizarra Interactiva, colocando los botones de Introducción, Exploración, Ejercicios y Evaluación, esto por medio de un software para el manejo de códigos HTML, por lo cual se utiliza Adobe Dreamweaver CS4.

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3. Después de tener todos los objetos en la plantilla de Pizarra se crea una página como entrada principal donde se accede a cada objeto propuesto, esta se diseña con Adobe Flash CS4, creando vínculos para acceder a cada objeto por medio de la Web. Como ejemplo tomamos OA publicados en la página Web del Instituto GeoGebra de Medellín (IGM) en la sección materiales (Castrillón, 2011: http://GeoGebra.itm.edu.co/materiales/ algebra/algebra.html) para conformar una Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas del Instituto Tecnológico Metropolitano (ITM) conformado por Objetos de Aprendizaje elaborados con el software GeoGebra 4.0 como se muestra en la Figura 3. Los applets y archivos .ggb de GeoGebra para la construcción de la Pizarra interactiva pueden ser descargados del vínculo http://GeoGebra. itm.edu.co/materiales/algebra/algebra.html en un dispositivo portable. Figura 3. OAs de Matemáticas elaborados con GeoGebra 4.0

Fuente: http://GeoGebra.itm.edu.co/materiales/algebra/algebra.html.

La Pizarra Interactiva elaborada para una temática específica de la asignatura Matemáticas Básicas del Instituto Tecnológico

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Metropolitano (ITM) (Castrillón y Rojas, 2012: http://www.epm. net.co/~carlosrojas/OAevento/index.html) conformado por 13 Objetos de Aprendizaje construidos con el software GeoGebra se puede apreciar en la Figura 4, estos objetos pueden ser trabajados en línea o ser descargados en un dispositivo portable, también su uso puede ser individual o colectivo (la aleatoriedad permite que los usuarios observen ejercicios diferentes) en un aula de clase con predominio de interacción. Figura 4. Pizarra Interactiva de la función lineal de la asignatura Matemáticas Básicas con OAs de GeoGebra

Fuente: http://geogebra.itm.edu.co/materiales/OAevento/index.html.

Se puede abrir cada objeto como se observa en la Figura 5 con su entorno visual (Botones, Instrucciones, ventanas emergentes), en la parte inferior derecha del interactivo del objeto se encuentra el botón (i – muestra la documentación del interactivo) con el cual 336


se puede abrir la ventana emergente de documentación como se aprecia en la Figura 6 la cual nos indica que se puede navegar entre los apartados con el menú de botones de la parte inferior del OA (Introducción – Exploración – Ejercicios – Evaluación). En la Figura 5 esta seleccionado el Objeto 2 y por defecto sale con la ventana Introducción del OA. Figura 5. Ventana del paso Introducción del OA Objeto 2 seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas Básicas

Fuente: http://geogebra.itm.edu.co/materiales/OAevento/index.html

En la Figura 7 esta la ventana de Exploración del OA, la cual le permite al usuario explorar varias opciones del tema tratado en el OA con deslizadores.

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Figura 6. Ventana emergente de documentación del paso Introducción del OA seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas Básicas

Fuente: http://geogebra.itm.edu.co/materiales/OAevento/index.html. Figura 7. Ventana del paso Exploración del OA Objeto 2 seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas Básicas


En la Figura 8 esta la ventana de Ejercicios del OA, la cual le permite al usuario estudiar una gran cantidad de ejercicios para practicar con los deslizadores. En la Figura 8 hay un vínculo en la parte inferior derecha (Ejercicio 2) que es otra opción de ejercicios con botón y campos de entrada de valores dados por el usuario como se 338


muestra en la Figura 9, los ejercicios del OA por su diseño contienen aleatoriedad con lo cual se busca que la actividad del OA agote el tiempo del usuario y no que el usuario agote la actividad del OA, también se le puede programar un tiempo límite para cada ejercicio si se desea. Figura 8. Ventana del paso Ejercicios del OA Objeto 2 seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas Básicas

Fuente: http://geogebra.itm.edu.co/materiales/OAevento/index.html. Figura 9. Ventana del paso Ejercicio 2 del OA Objeto 2 seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas Básicas


En la Figura 10 esta seleccionado el Objeto 3 y su ventana Exploración del OA, en este objeto no se da la gráfica de la línea recta sino dos 339


puntos de ella para encontrar la ecuación de la función lineal afín, el valor de la pendiente y del intercepto con el Eje y lo debe ingresar el usuario por medio de los campos de entrada. Figura 10. Ventana del paso Exploración Introducción del OA Objeto 3 seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas Básicas


En la Figura 11 esta la ventana de Ejercicios del Objeto 3 la cual le permite al usuario estudiar una cantidad inagotable de ejercicios para practicar con campos de entrada, los ejercicios del OA por su diseño contienen aleatoriedad. En la Figura 12 se muestra la ventana de Evaluación del Objeto 3 la cual contiene refuerzo significativo y si se desea se puede colocar controles de contador de aciertos o fallos y tiempo límite. Figura 11. Ventana del paso Ejercicios del OA Objeto 3 seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas Básicas


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Figura 12. Ventana del paso Evaluación del OA Objeto 3 seleccionado en la Pizarra Interactiva de la asignatura Matemáticas Básicas


Resultados y discusión Comprender cómo los contenidos educativos digitales interactivos con secuencias didácticas ayudan a sus alumnos en el proceso de retención de conceptos donde «la intención es “abrir los ojos” para que la mente aborde adecuadas observaciones geométricas y a partir de ellas desarrolle estrategias de resolución eficientes» (Rivera, 2009:12).

Conclusiones En experiencias con el uso de secuencias didácticas, en el Instituto de Tecnologías Educativas del Ministerio (ITE), con los recursos que ofrecen las TIC se logra «interactividad, modularidad, adaptabilidad y reusabilidad, interoperabilidad y portabilidad» (ITE, 2010: 5), con la gran ventaja que los recursos se pueden trabajar en línea o descargarlos para trabajar fuera de línea (portables) sin la necesidad de conexión a la internet. Los estudiantes que han empleado estos OVA han encontrado el «material de ayuda dinámico e interactivo para entender y visualizar conceptos matemáticos subyacentes.» (Hohenwarter et al, 2008: 7).

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En La elaboración de una Pizarra Interactiva es muy importante la accesibilidad (Uso de un lenguaje claro y conciso) para los usuarios y usuarias que los van a utilizar con determinadas necesidades educativas. La Pizarra Interactiva con GeoGebra es una nueva innovación educativa generada desde el ITM para la comunidad académica de todo el mundo, gracias al apoyo de su creador «Markus Hohenwarter y su equipo internacional dedicado al desarrollo de GeoGebra 4.0» (Hohenwarter, 2012: http://wiki.GeoGebra.org/es/ Manual:P%C3%A1gina_Principal).

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Castrillón Jiménez, E. A. (2011). Material didáctico de algebra. Medellín, Colombia: Instituto Tecnológico Metropolitano. Recuperado el 9 de julio de 2012 de http://GeoGebra.itm. edu.co/materiales/algebra/algebra.html.

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Hohenwarter, M. et al. (2008). Teaching and calculus with free dynamic mathematics software GeoGebra. 11th International Congress on Mathematics Education. México: ICME 11.

[3] Hohenwarter, M. (2012). Manual: Página Principal. U.K.: MediaWiki. Recuperado el 7 de julio de 2012 de http://wiki. GeoGebra.org/es/Manual:P%C3%A1gina_Principal. [4] Instituto de Tecnologías Educativas. (2010). Proyecto de elaboración de contenidos. Mexico: Universidad Nacional Autónoma de México. 1-12. Recuperado el 9 de julio de 2012 de http://www.slideshare.net/fernandoposada/descartespi-20. [5]

Rivera, J. et al. (2009). Geometría Interactiva. Medellín: Fondo Editorial ITM.

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Castrillón, E. y Rojas, C. (2012). FUNCION LINEAL. Medellín, Colombia: Creative Commons. Recuperado el 13 de julio de 2012 de http://geogebra.itm.edu.co/materiales/OAevento/ index.html.

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4. DISEÑO DE OBJETOS VIRTUALES DE APRENDIZAJE (OVA) CON EL APOYO DE GEOGEBRA PARA EL ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES Juan G. Arango Arango Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] John J. García Moraa Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen

Con el Diseño de Applets basados en GeoGebra, como componente de un Objeto Virtual de Aprendizaje los docentes asistentes adquieren las bases para que diseñen la manera de que sus estudiantes en su trabajo presencial y/o independiente logren la comprensión de los conceptos del Cálculo Diferencial. Para lograr que los docentes adquieran dichas herramientas se orientará la creación de una función racional y los objetos interactivos propios de GeoGebra que permiten la variación de todos sus parámetros.

Palabras

clave: Objeto Virtual de autoaprendizaje, simulador geométrico.

Aprendizaje,

TIC,

Abstract With the design based on GeoGebra Applets, as part of a Learning Object Virtual assistants teachers acquire the foundations to design a way for students in their classroom work and / or independently to achieve an understanding of the concepts of differential calculus. In order for teachers to acquire these tools will guide the creation of a rational function and the objects themselves GeoGebra interactive allowing variation of all parameters. 344


Keywords: Virtual Object Learning, ICT, self learning, geometric simulator

Introducción Las asíntotas es una de los elementos más importantes para lograr una correcta gráfica de una función racional; y en este cursillo se pretende es que a partir de una correcta identificación de las asíntotas de una curva se logre además dar una expresión correcta de sus ecuaciones. El maestro debe ser capaz de diseñar por medio de este cursillo una función racional con todas sus asíntotas de tal manera que sus estudiantes puedan entender cuál es el significado de una asíntota y como se pueden hallar sus ecuaciones desde la plataforma de GeoGebra 4.0

Objetivos En el marco de la enseñanza apoyada con TIC el cursillo busca que los docentes logren: 1. Adquirir conciencia de que los Objetos virtuales de Aprendizaje son una herramienta valiosa que permite minimizar las tareas mecánicas de graficado de funciones 2. Diseños de Objetos Virtuales de Aprendizaje que les permitan a sus estudiantes la apropiación de conceptos en las diferentes áreas de las Matemáticas 3. Diseños de Objetos Virtuales de Aprendizaje amigables que lleven al estudiante a realizar su trabajo independiente de una forma agradable.

Metodología El cursillo esboza que los asistentes logren los objetivos propuestos buscando realizar:

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1. Una familiarización con las herramientas de la versión 4.0 del simulador geométrico GeoGebra 2. La programación de la tarea a realiza 3. El diseño de una función racional y los parámetros que permiten observar el comportamiento de dicha función, parámetros que serán variados por medio de botones, campos de texto y casillas de verificación (Figura 1) Figura 1. Pantallazo general del diseño terminado


4. Verificación de lo amigable del Applet y la capacidad de aprendizaje de los conceptos con la evaluación del comportamiento de la función 5. Lo amigable del Apple muestra que al hacer click en la casilla Inmediatamente aparecerán graficadas las asíntotas. Es por lo anterior, de que el estudiante debe graficar las asíntotas y luego verificar si lo hizo bien haciéndole clik a ésta casilla (Figura 2 y 3)

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Figura 2. Pantallazo sin las asíntotas


Figura 3. Pantallazo con las asíntotas


6. Lo mismo se haría para las ecuaciones de las asíntotas. El estudiante intentará hallar las ecuaciones de las asíntotas, luego hará clik en para que aparezcan dichas ecuaciones y corroborará si lo hizo bien (Figura 1)

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7. Realizar Applets que involucren las nuevas herramientas de la plataforma GeoGebra 4.0 como son las casillas de entrada y los botones (ver Figura 4). Es aquí donde podemos cambiar el grado del numerador “m” y/ó el grado del denominador “n” e inmediatamente la gráfica cambiará Figura 4. Otros valores para “m” y para “n”


8. Al hacer click en ; inmediatamente los parámetros “a”, “b” y “c” cambiaran de una forma aleatoria y aparecerá por lo tanto otra gráfica con su respectiva función (Figura 5) Figura 5. Los valores para “a”, “b” y “c” cambiaron aleatoriamente


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Resultados Con los objetivos logrados, los asistentes al cursillo habrán conseguido: 1. Un reconocimiento de las características de la versión 4.0 del procesador geométrico GeoGebra 2. Sentir la necesidad de explorar el software con la idea de “simplificar” su trabajo para impartir su conocimiento de una manera más ágil con el software 3. Realizar una construcción dinámica que se elaboró con el empleo de herramientas y comandos, admiten representaciones diversas de los diferentes objetos matemáticos (desde cada una de las posibles perspectivas: gráficas, algebraicas, estadísticas...) y su organización dinámica (en tablas, planillas y hojas de datos vinculadas). 4. Reconocer que el empeño y la puesta en práctica de su capacidad de diseño en GeoGebra proporcionan un contexto motivador y eficaz para aprender conceptos matemáticos. 5. Convencerse que las TIC apoyadas con GeoGebra u otro procesador geométrico nos urge un nuevo sistema evaluativo.

Conclusiones 1. El simulador geométrico GeoGebra es una muestra palpable de lo que en la actualidad se considera desarrollo tecnológico, el que nos está situando en un nuevo paradigma de enseñanza que da lugar a nuevas metodologías y nuevos roles docentes. 2. Esos nuevos enfoques de la profesionalidad docente caracterizada por estar más centrada ahora en el diseño y la gestión de actividades y entornos de aprendizaje. Esos nuevos roles del docente lo motiva a que prevalezca la investigación sobre la práctica, a la creación a la orientación y el asesoramiento, en la dinamización de grupos 349


3. La gran cantidad de recursos que se encuentran bajo licencia “Creative Commons” (proyecto internacional que tiene como propósito fortalecer a creadores para que sean ellos quienes definan los términos en que sus obras pueden ser usadas, qué derechos desean entregar y en qué condiciones lo harán), es otro aliciente para que los docentes nos sintamos motivados a desempeñar ese rol que las TIC nos invocan. 4. Patricia Jaramillo en su artículo: Uso de tecnologías de información en el aula. ¿Qué saben hacer los niños con los computadores y la información?; dice: ”Desde hace algún tiempo se viene dotando a las escuelas de la ciudad y del país con computadores, software educativo y acceso a Internet con el fin de mejorar la calidad de la educación. Sin embargo, no se han adelantado estudios para identificar qué sucede en las aulas con la enseñanza y con el aprendizaje cuando los maestros hacen uso de las Tecnologías de Información y Comunicaciones (TIC) con los estudiantes”. El anterior estudio se hizo en Bogotá, y es un reto para que se trabaje cada vez más con las TIC y se comiencen a realizar más y más estudios y se concienticen a los docentes.

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Referencias bibliográficas [1] Gráfico de funciones racionales http://www.analyzemath. com/spanish/Graphing/GraphRationalFunction.html. [2] Asíntotas. http://wiki.GeoGebra.org/s/es/index.php?title= Especial%3ABuscar&search=As%C3%ADntotas&button. [3] Manual: Página principal ¿Qué es GeoGebra? http://wiki. GeoGebra.org/es/Manual:P%C3%A1gina_Principal. [4]


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Castrillón, E. y Rojas, C. (2012). FUNCION LINEAL. Medellín, Colombia: Creative Commons. Recuperado el 13 de julio de 2012 de http://www.epm.net.co/~carlosrojas/OAevento/ index.html.

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5. LAS TRASNFORMACIONES ISOMÉTRICAS CON EL SOFTWARE GEOGEBRA Maurício de Moraes Fontes Escola Técnica Estadual Magalhães Barata – ETEMB-PA [email protected]

Resumen El presente trabajo es una propuesta de Taller para la enseñanza y aprendizaje de la Geometría utilizando como herramienta facilitadora el Ambiente de Geometría Dinámica – GeoGebra. El objetivo del taller es proporcionar a los docentes una visión general del Software GeoGebra en actividades de construir, explorar, analizar y discutir actividades de Geometría –en particular las Transformaciones Isométricas en el Plano. En fin, objetivamos mostrar que uno de los caminos para enseñar y aprender las Ciencias Matemáticas, proporcionando un aprendizaje eficiente y de cualidad puede ser por medio de la utilización de programas Computacionales como el GeoGebra.

Palabras clave: Translación, Rotación, Simetría, GeoGebra Abstract This paper is a proposed workshop for teaching and learning of geometry using as a tool for facilitating the Dynamic Geometry Environment - GeoGebra. The workshop provides teachers an overview of Software GeoGebra in activities to build, explore, analyze and discuss activities of Geometry - particularly Isometric Transformations in the Plane. In short, our goal is to show that one way to teach and learn the Mathematical Sciences, providing efficient and quality learning by means the use of Computer programs such as GeoGebra. 352


Keywords: Translation, Rotation, Symmetry, GeoGebra Introducción Muchas investigaciones demuestran que la enseñanza de la geometría está alejada de las clases de las Ciencias Matemáticas en todos los niveles de la Educación Básica. Entre esas investigaciones tenemos como ejemplo Ripplinger (2006) y Fontes & Fontes (2012). Entre los factores que contribuyen para tal abandono están: la posición del contenido de geometría en el final de los libros de las Matemáticas, la mala formación que los docentes tuvieron en la Universidad, las huelgas de los profesores por mejores sueldos y condiciones de trabajo, etc. Para Fontes & Fontes (2012), en una investigación con cuatro escuelas de enseñanza media (discentes de 17 años) verificaron que de modo general, en los 534 alumnos investigados los conocimiento de conceptos básicos de Geometría Euclidiana Plana son deficitarios. Ese resultados refuerzan el comentario de Itzcovich (2005) que afirma que es “conocido por quienes tienen un vinculo con la enseñanza de las Matemáticas el hecho de que el trabajo geométrico perdió espacio y sentido, tanto en los colegios como la formación docente”. Todavía para intentar contornar esa situación recorremos hacia una de las metodologías que transforma el alumno de un ser pasivo en la enseñanza tradicional para un ser activo en la enseñanza donde utilizamos las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC), como herramienta de apoyo en el proceso de enseñanza y aprendizaje. La introducción de las TIC en el ambiente escolar es reforzado por Padilha & Aguirre (2011) El reconocimiento del enorme potencial que las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) tienen como herramienta para la construcción social

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del conocimiento, para el aprendizaje compartido y autónomo, permite constatar la importancia de una nueva cultura, la digital, y el desarrollo de una nueva sociedad basada en la información y el conocimiento.

Esa recomendación incorporada en la enseñanza de la geometría nos permite hacer investigaciones de conceptos básicos y avanzados de la geometría que antes era muy difícil de comprender en las clases tradicionales. Para Fontes & Fontes (2010) Es innegable el impacto que las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC) provocan en la sociedad actual. Así, esa tecnología que está presente en el día a día de la sociedad no debe estar ausente del ambiente educacional, y sin debe subsidiar el proceso de aprendizaje de la Matemática.

De esa manera, utilizaremos en ese Taller el Software GeoGebra 4.0, por ser un software libre y de fácil exploración. El procesador GeoGebra no es solo geometría dinámica (Geo) y álgebra (Gebra), es mucho más, ya que ofrece herramientas y opciones que permitirán trabajar cualquier contenido matemático, sobre todo en niveles educativos equivalentes a primaria, secundaria o bachillerato, sin contar las propuestas de futuro en las que están trabajando que harán que sea imprescindible para enseñar Matemáticas (Carrillo, 2010, p. 201). Esas recomendaciones son compartidas por Edith (2011) que afirma que el Software GeoGebra es un programa útil para explorar propiedades y con posibilidades de diferentes procesos para construir una misma actividad, así como también sugerir contraejemplos para verificar la falsedad de algunas proposiciones, la posibilidad de controlar la validez del procedimiento, armar conjeturas desde la exploración dinámica y otras que se han registrados durante los diferentes momentos de acción con los alumnos. (p. 178).

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Contenidos Trabajaremos en ese Taller las Transformaciones Isométricas con apoyo de la herramienta GeoGebra 4.0 para que los docentes investiguen y exploren los conceptos de Translación, Simetría y Rotación. La importancia de trabajar las Transformaciones Isométricas con auxilio del Programa GeoGebra 4.0 se da por el dinamismo que el Software proporciona, facilitando así los docentes trabajaren las Translaciones, Simetrías y las Rotaciones, contradiciendo de esa forma lo que afirma Ripplinger (2006) Preocupase el hecho de que los contenidos de geometría, enfocando la Simetría, son trabajados en algunas situaciones de forma mucho superficial, mostrando en la enseñanza de la simetría apenas uno de sus movimientos, que es la simetría de reflexión, siendo dejado de lado los movimientos, como Translación y Rotación y la combinación de los mismos, de una forma general.

Objetivos • Introducir las TIC – Tecnologías de Información y Comunicación en la práctica educativa de los profesores de la Educación Básica • Identificar figuras con Simetría Central (Simetría de Rotación de 180º) • Identificar figuras con eje de Simetría • Identificar el punto simétrico de un punto dado • Reconocer la rotación de una figura • Reconocer figuras con Simetría de Translación • Dibujar figuras simétricas en relación a un eje de simetría • Dibujar figuras con Simetría de Rotación

Metodología Las actividades de investigación se desarrollaron en el laboratorio (o aula preparada con computadoras con el Software GeoGebra 4.0 instalado) de Matemática o Informática. 355


El público destinado para el Taller son los alumnos de graduación en Ciencias Matemáticas (futuros profesores), Pedagogía y los docentes de Nivel Secundario. Inicialmente haremos una breve introducción del Software GeoGebra 4.0 y después trabajaremos las actividades propuestas para el Taller. Un ejemplo de una actividad que será trabajada en el taller es: Actividad Nº 1: Rotación de un Pentágono Cualquier por un Punto fijo • Paso1: Presione el ícono de la ventana del Software GeoGebra, y construya un pentágono ABCDE cualquiera • Paso 2: Presione el ícono y marque un punto en la ventana del Software - en ese caso vamos a marcar el origen del plano cartesiano. Vamos a llamarlo de Punto F • Paso 3: Ahora accione el ícono que trabaja las transformaciones en el plano, active la función – Rota objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado • Paso 4: Seleccione el pentágono ABCDE y presione el punto F. Va a aparecer una ventana que debe usted digitar el ángulo y el sentido de rotación • Paso 5: Digite 90º y marque el sentido anti horario • Paso 6: Listo su pentágono ABCDE, sofrió una rotación de 90º en el sentido anti horario • Paso 7: ¿Qué observa usted en relación a los puntos B y B`? ¿Ellos tienen las mismas coordinadas? • Paso 8: Ahora vamos a repetir los pasos 3, 4 y 5. El en paso 5, no digite 90º, sino 180º. ¿Qué acontece? • Paso 9: Repita el paso 8 digitando 270º en vez de 180º. ¿Qué ocurre?

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• Paso 10: ¿Cuáles son sus conclusiones en relación a los puntos B, B`, B`` y B```? Figura1: Actividad investigativa con el GeoGebra 4.0


Esperamos con esa actividad que los participantes del Taller lleguen a la siguiente conclusión: que los puntos en una transformación de Rotación tomando como punto base de rotación el origen del sistema cartesiano sufren cambios, o sea, como enseña la figura el punto B (2,2), se transforma en el punto B`(-2,2), que se transforma en el punto B´´(2,-2) y que se transforma en el punto B´´´(2, -2). Es importante notar que si los participantes del Taller no llegan a esos resultados, tenemos como orientarlos a sanar sus dudas en el propio GeoGebra a través del Protocolo de Construcción, que muestra paso a paso la construcción ejecutado en él.

Resultado Se espera que el taller pueda contribuir en la formación de los profesores para implementar en sus prácticas docentes más una herramienta en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las ciencias Matemáticas. 357


Conclusiones Es innegable el impacto que las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC) provocan en la sociedad actual. De esa forma, ella debe auxiliar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría. En ese sentido la escuela tiene una función muy importante en la preparación de los alumnos para actuar en la sociedad del conocimiento en que vivimos. Barberá, Mauri y Onrubia (2008) afirman que El impacto de las TIC en la educación responde, en primer lugar, a su capacidad para transformar las relaciones entre los tres agentes educativos, principalmente, el profesor, los alumnos y los contenidos involucrados en el proceso de enseñanza y aprendizaje y su consiguiente impacto sobre dicho proceso. En segundo lugar, responde a su capacidad para transformar las prácticas de educación habituales, creando nuevos escenarios educativos cada vez más variados, influyentes y decisivos que se combinan con los existentes.

En fin, por lo expuesto los Ambientes de Geometría Dinámica (AGD) tienen un papel fundamental en el rescate de la enseñanza de la geometría. Bravo (2005) Considera que un AGD, [...] es una aplicación útil, interesante y “provocadora de las aprendizajes”. Al proporcionar al utilizador, con relativa facilidad, la posibilidad del movimiento “continuo”, provocarlo a experimentar y a tentar descubrir las razones, tanto de la construcción, como del comportamiento de las Figuras que él propio construye y manipula, contribuyendo así para el desarrollo de una visión distinta y más rica de la geometría (p. 150).

Finalizando, como maestro de la asignatura de las Ciencias Matemáticas en la enseñanza secundaria, he observado que las clases de Matemáticas con la utilización del software GeoGebra 4.0 tienen motivados a los alumnos a la exploración de nuevas descubiertas en el aprendizaje de la geometría. 358


Referencias bibliográficas [1] Barberá, E., Mauri, T. y Onrubia, J. (Coord.) (2008). Como valorar la calidad de la enseñanza basada en las TIC: pautas e instrumentos de análisis. Barcelona: Grao. [2] Bravo, F. (2005). Impacto de Utilização de um ambiente de Geometria Dinâmica no Ensino-Aprendizagem da Geometria por Alunos do 4° Ano do 1° Ciclo. Dissertação (mestrado em Estudos da Criança). Universidade do Minho, Braga,Portugal. Acessado em 08.03.2012 em www.repositorium.sdum. uminho.pt/handle/1822/9101 . [3]

Carrillo, A. (2010). GeoGebra. Un recurso imprescindible en el aula de Matemáticas. UNIÓN Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 23, 201 – 210.

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Edith, J. (2011). Las construcciones con GeoGebra como medio para resignificar las propiedades de las Figuras. UNIÓN Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 28, 177 – 189.

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Fontes, M. M. & Fontes, D. J. S. (2010). Utilização do Software GeoGebra no Ensino de Geometria. In: X Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador – BA, Brasil.

[6] ____________________________(2012). Explorando los conocimientos geométricos en los alumnos de enseñanza media. In: XXVI Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa - RELME 26. PUC-MINAS. Belo Horizonte, MG Brasil.

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[7] Itzcovich, H. (2005). Iniciación al estudio didáctico de la Geometría: de las construcciones a las demostraciones. Buenos Aires: Libros del Zorzal. [8] Padilha, M. y Aguirre, S. (2011). La Integración de las TIC en la Escuela: Indicadores cualitativos y metodología de Investigación. Madrid: Fundación Telefónica. [9] Ripplinger, H. (2006). A Simetria nas práticas escolares. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Paraná UFPR, Paraná, Brasil.

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6. DISEÑO DE ACTVIDADES DE AULA QUE PROMUEVEN EL TRABAJO COLABORATIVO CON GEOGEBRA Fabián G. Vitabar Vaz Instituto de Profesores <>, Montevideo [email protected]

Resumen El uso de la informática en el aula se ha visto reducido, muchas veces, a un simple cambio de formato en la presentación de la información, sin aprovechar cabalmente las excelentes oportunidades que esta ofrece. GeoGebra tiene muchísimas ventajas que permiten resituar al docente en el aula, dejando de ser el poseedor del conocimiento para asumir un rol dinamizador donde el propio alumno, en interacción con sus pares, es capaz de constituirse en protagonista de su propio aprendizaje. En este cursillo se guía una reflexión en aspectos cruciales de la planificación de aula para poder tenerlas en cuenta en el diseño específico de actividades. De este modo, partiendo de vivenciar el tipo de aprendizaje que se promueve, se provoca un espacio de creación conjunta de utilidades didácticas. Se resaltan algunos ejes fundamentales que deberían ser contemplados cuando se planifican actividades con GeoGebra para el aula de Matemática, recuperando el objetivo fundamental de la enseñanza de esta disciplina.

Palabras clave: formación de profesores, Didáctica de la Matemática, trabajo colaborativo, TIC

Abstract The use of technologies in the classroom is often reduced to a simple change in the way that the information is presented to the students,

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without taking benefits of the great opportunities that technologies offer. GeoGebra has lots of advantages that allow the teacher to take a new role in the classroom. The teacher no longer is the owner of knowledge, and now he guides the students to interact with their mates to become the most important part of their learning process. In this course we promote a deep analysis in the main aspects of a class planning, to consider them in the designing of new activities. Thereby, starting from an experimental point we propose a workshop time. Some main axis has been highlighted when planning activities with GeoGebra for Mathematics lessons, recovering the essential purpose of this subject.

Keywords: teacher’s training, Mathematics Education, collaborative work, I.C.T.

Introducción A los profesores de matemática nos gusta GeoGebra. Probablemente las razones son muchas y variadas, pero hay un atractivo instantáneo que nos hace sentir un impulso a aprovecharlo de algún modo en nuestras clases. Es probable que este agrado a primera vista tenga que ver con las potencialidades de visualización de los conceptos matemáticos que el programa ofrece. Son de ese tipo de bondades que no todo el mundo percibe al instante, salvo quienes estamos diariamente preocupados por eso. Nos tienta la situación de incorporar a GeoGebra en nuestra clase, porque apreciaríamos muchísimo que nuestros estudiantes lograran ese mismo asombro que nosotros sentimos al ver una construcción geométrica, o la variación simultánea de varios parámetros y sus representaciones. Pero es necesario reconocer que el proceso de visualización que protagonizamos los profesores es

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muy diferente del que realizan los estudiantes, por el simple hecho de que el conocimiento matemático personal es diferente. Los estudiantes no cuentan con tanto conocimiento disponible como para establecer relaciones y ver más allá de la pantalla. Aquí hay una primera constatación muy simple, pero importante a la vez: que una herramienta didáctica sea favorable para la visualización en el profesor no garantiza que también lo sea para el alumno. No es problema de la herramienta, sino de los conocimientos previos. También es importante reconocer que el entorno de trabajo con GeoGebra es diferente que el tradicional: hay otro tipo de herramientas disponibles, pueden obtenerse algunos resultados de forma inmediata. Es de suponer entonces que varias de las técnicas tradicionales que eran válidas en otro entorno, quizás no lo sean aquí. Esto plantea una situación en la que se evidencia que puede resultar muy difícil planificar actividades efectivas, ya que las variantes con lo tradicional son muchas y desconcertantes. Súmese a esto que los docentes somos de generaciones en las que no aprendimos matemática de esta manera, por lo que es más ardua aún la tarea de ponernos en el lugar del alumno. Sabemos cómo funcionan en el razonamiento de un alumno las tareas tradicionales, pues lo vivimos en carne propia, pero no así cuando hay una computadora de por medio. Atendiendo a estas características, se plantea un cursillo en el que se analizan algunas modalidades de trabajo en el aula con GeoGebra, y se comparten algunos indicios para su implementación efectiva.

Precauciones relevantes Durante el análisis de actividades, se procura enfatizar algunos cuidados importantes que determinan el éxito de una propuesta de clase con GeoGebra. Listamos aquí algunas de esas tensiones.

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Visualizar no es construir. El proceso de visualización es más complejo que simplemente ver un dibujo, ya que remite a procesos cognitivos superiores que se desencadenan y se ven estimulados a partir de la representación gráfica que el sujeto observa. Debemos tener cuidado, y no suponer que cuando un alumno realice una construcción en GeoGebra está aprendiendo un concepto. Quizás no. Respetar el ritmo personal de cada estudiante. Una dinámica que promueva la reflexión personal a partir de la interacción con GeoGebra respeta los tiempos de cada uno, ya que el sujeto se centra en su trabajo y va avanzando e interactuando a su propio ritmo. Esto se da aunque haya varios computadores en el aula, generando una diversidad de trabajos que respetan los procesos personales. Esto es muy bueno, pero puede resultar caótico si el profesor no lo controla adecuadamente. La importancia de las consignas de trabajo. De acuerdo con el punto anterior, si cada alumno camina a su ritmo, es muy difícil que una intervención del docente dirigida a todo el grupo sea significativa para la mayoría. Diría entonces que este tipo de intervenciones son desaconsejables. Por el contrario, la consigna que se ofrece a los estudiantes debe ser muy buena para que garantice el encuentro del estudiante con el conflicto que el docente desea provocar y prevea las posibles dudas. Esto puede ser un factor determinante en la autonomía que el alumno desarrolle. Un nuevo rol del docente. Siguiendo el caso anterior, cuando se promueve la autonomía del estudiante, el docente adquiere un rol en el que ya no es poseedor del conocimiento, sino que es quien dinamiza el aula y va velando por que todos sus alumnos lleguen al conflicto deseado y saquen provecho de él. Incluso las mismas interacciones con GeoGebra pueden dar al alumno las respuestas a las preguntas acerca de si una tarea está bien hecha o no; el docente

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debería procurar entonces ir promoviendo este tipo de estrategias en los alumnos, para no ser requerido como garante del conocimiento erudito, y que los estudiantes asuman que ellos mismos son capaces de decidir si algo está bien o mal. Simultáneo pero ordenado. La posibilidad de exploración con GeoGebra puede resultar abrumadora para el alumno, quien puede pasar mucho tiempo «jugueteando» con el programa, pero con poca reflexión al respecto. Proponer un trabajo más libre, de exploración y de búsqueda personal de relaciones conceptuales, no significa que la clase deba ser desordenada y según el libre albedrío de los alumnos. La planificación didáctica es esencial para que el alumno pueda, dentro de su libertad, seleccionar hábilmente las estrategias que le permitan resolver los problemas planteados. Desarrollo de competencias matemáticas. Trabajar de esta manera es una excelente oportunidad para promover el desarrollo de algunas competencias matemáticas. Si se planifican actividades para realizar en parejas, entonces puede impulsarse la discusión, la confrontación de ideas, la argumentación, la comunicación formal, etc. El entorno matemático de GeoGebra. Cuando se permite que los alumnos exploren por su cuenta, busquen argumentos, sometan a prueba sus conjeturas, también se corre el riesgo de que pierdan el eje de concentración y terminen haciendo cosas que poco tienen que ver con las intenciones de la actividad. El entorno de GeoGebra nos da la tranquilidad de que, aunque no estén haciendo exactamente lo pedido, estarán explorando herramientas que a fin de cuentas también refieren al conocimiento matemático; de modo que no es un problema que el alumno se distraiga un poco o explore un camino inesperado, ya que igualmente estará encontrando oportunidades para aprender. Este comentario debe leerse en el marco de lo ya expresado, que la consigna debe ser bien planificada, para evitar cambios de rumbo demasiado abruptos.

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La institucionalización del conocimiento. Si se ha logrado un trabajo en pequeños equipos que sea fructífero, entonces es necesario en algún momento institucionalizar el conocimiento y dar estatus a lo elaborado en cada uno de los pequeños equipos. Esto se pude producir con la intervención del docente que recoja y otorgue valor institucional a las construcciones personales. Habrá que cuidar la elaboración de la consigna para que aquellos elementos cruciales que todos deben comprender hayan sido efectivamente trabajados en los pequeños equipos. Esto no es sencillo si se tiene en cuenta que todos los equipos pueden tener ritmos diferentes y tomar caminos diversos. Es primordial que esta puesta en común esté muy bien planificada y prevista, para ir asegurándose durante el desarrollo de la clase que todos los estudiantes lograrán comprender lo planteado e incorporarlo a su proceso de aprendizaje. No es cuestión de hacer lo mismo que antes, ahora con la computadora. Esta es la primera tentación, que surge de la seguridad propia del docente. Si se ofrecen propuestas de trabajo similares a otras ya realizadas sin computadora, habrá que pensar bien qué procesos cognitivos se activan en esta nueva modalidad y qué valor didáctico tiene. Muchas veces es suficiente realizar algunos pequeños ajustes para que una propuesta antigua se adapte exitosamente, pero todo termina dependiendo de la reflexión didáctica del profesor. No hay por qué hacer todo con GeoGebra. Si bien GeoGebra es una herramienta muy versátil, no es necesario (y muchas veces no es conveniente) hacer todo con ella. Es ineludible el análisis didáctico del docente que detecta cuáles son las facetas del conocimiento matemático que se ponen en juego en cada propuesta, y decidir en función de ello la pertinencia del uso del GeoGebra en la clase. No hay que dar clases de GeoGebra, sino que hay que dar clases de Matemática. Muchas veces las clases de Matemática se enfocan

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tanto a la enseñanza del uso del programa, que dejan de ser clases de Matemática. Hay que evitar estas situaciones. Si bien hay aspectos básicos del uso de GeoGebra que es necesario enseñar, debe realizarse de a poco y siempre en función del conocimiento matemático que se pretende presentar. No asumir indicadores de aprendizaje que no son tales. El cambio en la dinámica de la clase y el entusiasmo que suele apoderar a los estudiantes pueden llevar al docente a confundirse, interpretando que el hecho de que la clase haya sido entretenida y disfrutada por los alumnos, significa que han aprendido más matemática. Son características que aportan al bienestar en el aula y facilitan la motivación, pero no son indicadores de aprendizaje del conocimiento matemático.

Ejemplos de actividades Se presentan algunos ejemplos de actividades de aula que pueden llevarse adelante con GeoGebra y que respetan las condiciones mencionadas anteriormente. Construcciones desde cero. Cuando se trata de tareas sencillas, es posible dar indicaciones mínimas de operación del programa y partiendo desde un archivo vacío, generar una construcción que permita reflexionar sobre ciertos conceptos. GeoGebra como auxiliar de trabajo. No es necesario guiar completamente el uso de GeoGebra: pueden plantearse efectivas propuestas que no indican explícitamente el uso de GeoGebra, pero que este se ofrece a los estudiantes como una herramienta de uso libre y a partir de las decisiones personales. Tal como hacemos habitualmente, por ejemplo, con una calculadora de bolsillo. Proyecciones frontales. El uso de un proyector, o una pantalla interactiva, puede ser una excelente herramienta. Que todos los alumnos usen sus computadoras no siempre es lo más adecuado

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a los objetivos de la clase, especialmente si se desea socializar un razonamiento o dar a conocer un resultado relevante, o se trata de una actividad en la que se pretende que todos sigan el mismo ritmo. Naturalmente, la planificación de una clase con proyección frontal es sustancialmente diferente a la de una clase con computadoras para todos los alumnos. Desafíos varios. También es interesante proponer desafíos a los estudiantes que requieran usar GeoGebra, pero que no estén planteados en un contexto matemático netamente escolar. Imitar una figura, realizar una simulación de la realidad, generar un diseño decorativo, pueden ser actividades muy enriquecedoras si se aprovechan hábilmente. Creación de aplicaciones. GeoGebra permite crear applets con gran facilidad. Este tipo de aplicaciones tienen la ventaja de que el docente controla a su criterio las herramientas disponibles, y agiliza los procedimientos de construcción que no son esenciales para el aprendizaje de los conceptos. De este modo, el alumno se concentra específicamente en lo que el docente planifica.

Las consignas de trabajo Las consignas de trabajo son un punto neurálgico en el diseño de actividades. Si el docente pretende evitar su protagonismo en el aula, tiene que dar a sus alumnos todas las herramientas para que se manejen en forma autónoma. De este modo, una buena consigna deberá atender algunas condiciones: prever la interacción entre pares haciendo que valga la pena el trabajo en equipo, exigir la

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discusión y el consenso entre los estudiantes, promover estrategias de autorregulación del ritmo de trabajo y autocorrección de las tareas, permitir al docente llevar un control de qué están haciendo los alumnos, evitar las interrupciones del desarrollo de la clase para dar indicaciones, promover la síntesis de lo trabajado y no permitir que todo quede en una mera exploración, facilitar al docente la posterior institucionalización del conocimiento sustentado en puntos que inevitablemente hayan sido abordados por todos, promover el registro de conclusiones para que queden disponibles en futuras oportunidades.

Reconocer las limitaciones Es tan importante saber para qué sirve GeoGebra, como saber para qué no sirve. A partir de esto siempre es posible generar actividades complementarias que afirmen el aprendizaje de los conceptos.

Conclusiones El diseño de actividades para el aula usando GeoGebra requiere, ante todo, tener claros los objetivos de aprendizaje matemático y reconocer cómo GeoGebra puede ayudar a alcanzarlos. La tarea del docente es imprescindible para que las tareas de exploración den frutos significativos.

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Referencias bibliográficas [1] Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 7(2), 33-115. [2] Charnay, R. (1994). Aprender (por medio de) la resolución de problemas. In C. Parra & I. Saiz (Eds.). Didáctica de Matemáticas: aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós. [3]

Cuban, L. (2001). Oversold and underused: Computers in the classroom. Londres: Cambridge University Press.

[4]

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. USA: NCTM.

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7.

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS CON GEOGEBRA Ismael Guillermo Lasprilla Ramírez Docente IEM Carlos Lozano y Lozano. Fusagasugá. [email protected]

Resumen El presente trabajo tiene como fin presentar una estrategia metodológica para abordar el tema Construcciones geométricas básicas con regla y compás en los grados Quinto de Educación Básica Primaria y Sexto de Educación Básica Secundaria. Intenta que el docente utilice el software GeoGebra para la enseñanza y el aprendizaje de este tema. Se vincula a estos dos procesos el enfoque de enseñanza problémica. Este trabajo presenta algunas construcciones geométricas hechas con GeoGebra, siguiendo todo el proceso constructivo para obtener un objeto geométrico. Igualmente, presenta problemas, exploraciones y construcciones que tienen por objeto aplicar conceptos geométricos en la solución de situaciones problema. Es el resultado del trabajo de aula que por varios años el autor ha realizado con estudiantes de grados sexto a noveno aplicando GeoGebra. Tiene como novedoso la introducción de la Geometría Dinámica en la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría Euclidiana, proceso que paulatina e insistentemente muchos Educadores Matemáticos hemos llevado al aula. Rompe algunos esquemas, por ejemplo, probar que es posible orientar en los niños y niñas de grado sexto a noveno el concepto de lugar geométrico. Esto, sin necesidad de aplicar complejos procesos matemáticos, sino utilizando las herramientas de GeoGebra para explorar, conjeturar y descubrir.

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Palabras clave: Construcción, regla, compás, problema, GeoGebra Abstract This paper aims to present a methodological strategy to address basic geometric constructions with straightedge and compass in grades fifth and sixth Primary Basic Education Basic Education Secondary. It is intended that the teacher use the software GeoGebra for teaching and learning of this topic. Links to these two processes problematic teaching approach. This paper presents some geometric constructions made with GeoGebra, following the entire construction process to obtain a geometric object. Also presents problems, explorations and constructions that are intended to link geometric concepts in problem solving situations. This work is the result of classroom work for several years the author has done with students from sixth to ninth grades using GeoGebra. Is introducing new Dynamic Geometry in teaching and learning of Euclidean geometry, a process that slowly and insistently Mathematics Educators have led many to the classroom. Break some schemes, for example, prove that it is possible to guide children in sixth grade the concept of locus. This, without having to apply complex mathematical processes, but using GeoGebra tools to explore, conjecture and discovery.

Introducción La Geometría Dinámica está permeando progresivamente las clases de Geometría. Ya es posible afirmar que las niñas y los niños de Educación Básica tienen todas las posibilidades de aprender Geometría Euclidiana de forma más lúdica, dinámica, eficiente, y por qué no decirlo, investigativa. Para lograr esto se requiere una visión y capacitación docente diferente a la tradicional. Por costumbre, el docente podría estar aplicando el modelo de enseñanza tradicional

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basado en actividades realizadas por los estudiantes, que no le permitirán descubrir, proponer hipótesis, conjeturar y manipular los objetos geométricos. Esto solo lo puede hacer con un software de geometría dinámica como GeoGebra. Se necesita que el educador matemático colombiano se actualice en las nuevas tecnologías informáticas para aplicarlas en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en general y de la geometría en particular. Esto permitirá cambios efectivos en los métodos de enseñanza y aprendizaje de la matemática, en todos los niveles educativos. Esta Conferencia Latinoamericana de GeoGebra Colombia 2012, es una oportunidad para que los docentes incorporemos nuevas ideas y acciones en nuestro quehacer educativo. El cursillo Construcciones Geométricas Básicas con GeoGebra tiene como intención hacer un aporte a los educadores matemáticos para mejorar nuestras prácticas docentes. Su nivel es elemental y está dirigido a los docentes de Educación Básica Primaria y Educación Básica Secundaria. Pretende iniciar a los novatos en el uso de GeoGebra aplicado a la enseñanza problémica de construcciones geométricas básicas.

Un poco de historia La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo, tierra y metria, medida), es una rama de la Matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.),(http://es.wikipedia.org/ wiki/Geometria) Los primeros geómetras se interesaron en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos.

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Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto y Babilonia, entre otros, fue mejorada y sistematizada por los griegos. Cuando el hombre adquirió un determinado desarrollo de sus ideas matemáticas necesitó también representarlas gráficamente. Tras la observación diaria de diversos cuadrados imperfectos en la naturaleza, el hombre induce la existencia del cuadrado ideal y se lanza a su representación. Diseña y construye instrumentos. En un principio solo punzones y tablillas enceradas. Después inventa herramientas que le permiten firmeza en los trazos para imitar la idealidad de los objetos a dibujar. Aparece la regla y el compás. La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de los polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue recopilada por el matemático griego Euclides, en su libro Los Elementos (Siglo III A.C). En este, las llamadas “construcciones de regla y compás”, habrían sido para Euclides aquellas que se obtienen intersectando rectas y circunferencias, cuya existencia estaba garantizada por ciertas nociones comunes y cinco postulados. Además, los griegos se preocuparon y aficionaron por la construcción de variados instrumentos para hacer estas construcciones geométricas. Por ejemplo, construyeron un instrumento para trisecar un ángulo. Una construcción se consideraba elegante si para hacerla solo se utilizaba la regla no graduada y el compás. Los griegos introdujeron los problemas de construcción. Se trataba de construcciones geométricas que debían hacerse mediante intersección de rectas y circunferencias, usando solo la regla no graduada y el compás. Para Platón, estos eran los instrumentos divinos. Rectas y circunferencias eran considerados por filósofos y matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de las cuales todas las demás construcciones debían ser posibles.

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En el siglo X, el persa Abul Wefa, se interesó por los objetos que podían ser construidos solo con regla y compás rígido. El compás rígido era un instrumento que permite trazar circunferencias de un único radio prefijado. En el año 1673, en Ámsterdam, se publicó el libro Compendius Euclidis Curiosi, autoría de George Mohr, quien dio un tratamiento serio al problema de las construcciones con regla no graduada y compás. En el siglo XIX el francés Poncelet demostró que toda construcción con regla y compás puede ser llevada a cabo únicamente con una regla y un compás rígido. Posteriormente, el suizo Jacob Steiner probó que bastaba únicamente con una regla y una circunferencia fija en el papel, para hacer la mayoría de las construcciones geométricas planteadas desde la época de los griegos. En el siglo XX se probó que solo hacía falta la regla, el centro de la circunferencia y un arco de tamaño arbitrario de la misma para hacer las mismas construcciones. En 1794, el italiano Lorenzo Mascheroni (1750-1800) demostró que toda construcción con regla y compás podía ser realizada únicamente con el compás, considerando que una recta viene dada por dos de sus puntos, aunque esto ya lo había demostrado George Mohr un siglo antes (Pan Collantes,2005). Pero hay construcciones que no se pueden hacer solo con regla y compás. Como ejemplo de estas tenemos tres construcciones que se plantearon en la Antigua Grecia y que no se pudieron resolver: la trisección de un ángulo arbitrario, la duplicación de un cubo y la cuadratura del círculo.

Construcciones 1. Duplicación de segmentos y ángulos En esta sección vamos a duplicar un segmento y duplicar un ángulo usando una regla no graduada y un compás.

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Construcción 1.1 Dado un segmento AB, utilizar un compás y una regla no graduada para construir un segmento CE congruente con AB. Hacerlo utilizando GeoGebra. Procedimiento: 1. Construyo un segmento de recta AB, de cualesquier medida 2. Trazo una semirrecta CD, utilizando la herramienta ‘Semirrecta que pasa por dos puntos’ 3. Selecciono la herramienta ‘Compás’ y doy clic sobre los puntos A y B del segmento. Me aparece una circunferencia cuyo radio corresponde a la medida del segmento AB 4. Doy clic sobre el punto C de la semirrecta 5. Activo la herramienta ‘Intersección de dos objetos’. Doy clic sobre la circunferencia y luego sobre la semirrecta. Aparece el punto E. La magnitud CE es equivalente a la magnitud del segmento AB 6. Oculto la circunferencia y la semirrecta 7. Trazo el segmento CE pedido 8. Podemos ocultar los objetos que no necesito como la circunferencia y la semirrecta . Para ocultar un objeto, doy clic derecho sobre este y en la ventana desplegada hago clic sobre ‘Muestra objeto’

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La construcción queda así (Figura 1): Figura 1: Construcción de un segmento congruente a otro


Construcción 1.2 Dado un ángulo ABC, utilizar un compás y una regla no graduada para construir un ángulo DEF congruente con ABC. Hacerlo con GeoGebra. Procedimiento: 1. Construya un ángulo ABC cualquiera. Para esto, utilice la herramienta ‘Semirrecta que pasa por dos puntos’. Trace una semirrecta AB a partir del punto A. Seleccionando el punto A, trace la semirrecta AC. Recuerde que un punto está seleccionado cuando al acercarse a el, este se dilata. En este momento, se hace clic izquierdo sobre él 2. Trace la semirrecta DE 3. Haciendo centro en A y utilizando la herramienta ‘Circunferencia dados su centro y uno de sus puntos’, trace la circunferencia de radio cualquiera AF 377


4. Activo la herramienta ‘Intersección de dos objetos’. Doy clic sobre la circunferencia y luego sobre la semirrecta AB. Aparece el punto G. Luego, doy clic sobre la circunferencia y luego sobre la semirrecta AC. Aparece el punto H 5. Activo la herramienta ‘Compás’. Doy clic sobre A y luego sobre H. La idea es copiar exactamente la circunferencia construida anteriormente 6. Llevo esta circunferencia sobre el punto D 7. Activo la herramienta ‘Intersección de dos objetos’. Selecciono la segunda circunferencia y luego la semirrecta DE. Aparece el punto de intersección I 8. Activo la herramienta ‘Compás’. Doy clic sobre G y luego sobre H. Traslado la circunferencia de radio GH haciendo clic sobre el punto I. Este radio me garantiza que tomo la misma abertura del ángulo BAC a partir de la semirrecta DE 9. Hallo la intersección de las dos últimas circunferencias construidas: punto K 10. Uno el punto D con K. El ángulo EDK es exactamente igual al ángulo BAC 11. Oculto los objetos geométricos que no necesito.

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La construcción queda así: Figura 2: Construcción de un ángulo congruente a otro


2. Construcción de mediatrices En esta sección vamos a construir mediatricesusando una regla no graduada y un compás. Definición: Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento. Construcción 2.1 Dado un segmento AB, utilizando un compás y una regla no graduada, construir la mediatriz de este segmento. Hacerlo en GeoGebra. Procedimiento: 1. Construyo el segmento AB 2. Haciendo centro en A y con un radio mayor a la mitad del segmento AB, construyo la circunferencia de radio AC

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3. Activo la herramienta ‘Compás’. Doy clic sobre B y luego sobre C 4. La circunferencia creada de radio BC la sitúo sobre el punto B 5. Activo la herramienta ‘Intersección de dos objetos’. Hallo los puntos de intersección de las dos circunferencias D y E 6. Uno los puntos D y E con una recta. Esta es la mediatriz del segmento AB 7. Hallo la intersección de la mediatriz con el segmento AB. Es el punto F. Este punto es el punto medio del segmento AB 8. Compruebo que la distancia AF es igual a la distancia FB. Para hacer esto, activo la herramienta ‘Distancia o longitud’. Doy clic sobre A y luego sobre F. Aparece la magnitud AF. Repito este proceso sobre F y B 9. Oculto los objetos que no necesito La construcción queda así: Figura 3: Construcción de la mediatriz de un segmento


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Exploración Ubique un punto sobre la mediatriz de un segmento. Qué relación tiene este punto con los puntos extremos del segmento?. Sugerencia: trace dos segmentos desde el punto sobre la mediatriz hasta los extremos del segmento. Mida la magnitud de estos segmentos. Mueva el punto sobre la mediatriz. Saque sus conclusiones. Concepto de lugar geométrico Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Construcción 2.2 Utilizando GeoGebra, halle el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos dados A y B. Procedimiento: 1. Construya el segmento AB 2. Ubique un punto C por encima del segmento AB calculando que quede a la mitad entre A y B 3. Construya dos segmentos desde C hasta A y B. Mida la magnitud de estos 4. De clic derecho sobre el punto C. De clic sobre la función ‘Activa rastro’ 5. Empiece a mover muy suavemente el punto C de tal manera que la magnitud de los segmentos sea igual 6. Analice que tipo de objeto geométrico corresponde al rastro que deja el punto C 7. Desactive la función ‘Activa rastro’

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8. Con la función ‘Mediatriz’, construya la mediatriz del segmento AB 9. Active la función ‘Adosa/ Libera punto. Seleccione el punto C y luego la mediatriz. Automáticamente, los dos segmentos AC y BC quedan de igual magnitud. El lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos dados A y B es la mediatriz del segmento AB Problema Si A es un extremo de un segmento y M es su punto medio, como haríamos para ubicar el otro extremo del segmento?. Resolverlo por dos métodos diferentes utilizando GeoGebra. Problema En una plaza circular, cómo tendrías que atravesarla para estar siempre a la misma distancia de los puntos A y B?. Resolverlo utilizando GeoGebra. Problema Una empresa quiere construir una central eléctrica para abastecer a tres pueblos que no están en línea recta. ¿Cuál es el sitio adecuado para que la central esté a la misma distancia de los tres pueblos y de esta forma el coste del suministro sea mínimo para la empresa? Exploración Construya dos segmentos AB y AC, formando un ángulo agudo cualquiera. Traza sus mediatrices y determina el punto de corte P. Descubra que propiedad cumple el punto P. ¿Qué puedes afirmar de las distancias de P a los puntos A, B y C?. Se cumple la propiedad para ángulos obtusos?

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3. Construcción de perpendiculares a una recta Las siguientes construcciones presentan solo el procedimiento sin la explicación con las herramientas de GeoGebra. Esto por la limitación en el espacio predeterminado por las memorias. 3.1 Construir una recta perpendicular a una recta dada AB, por un punto exterior P Procedimiento: Con centro en P, se describe una circunferencia que cortará la recta en dos puntos C y D. Hacemos centro en estos puntos y tomando radios iguales trazamos dos circunferencias que se cortarán en los puntos E y F. Unimos con una recta E y P. Esta recta es perpendicular a AB. 3.2 Dado el punto medio de un segmento, construir una recta perpendicular por este punto Procedimiento: Seguimos el proceso de la construcción 2.1 3.3 Construir la perpendicular en el extremo B de un segmento AB Procedimiento: Colocamos un punto C por encima de la recta. Haciendo C trazamos una circunferencia de radio CB. Esta circunferencia corta el segmento en D. Trazamos la semirrecta DC que se intersecta en E con la circunferencia. La recta BE es la perpendicular pedida. 3.4 Construir la perpendicular a una recta AB dada que pase por cualesquier punto P sobre la recta Procedimiento: Haciendo centro en P se traza una circunferencia. Se halla los puntos C y D de intersección de la recta y la circunferencia. Luego, Seguimos el proceso de la construcción 2.1

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Resultados 1. El aprendizaje de los estudiantes es efectivo 2. Es una estrategia motivadora natural del aprendizaje 3. Es una metodología activa que promueve en las y los estudiantes: el descubrimiento de relaciones geométricas, el desarrollo del pensamiento geométrico, el planteamiento y prueba de hipótesis, el análisis, la lógica, entre otras

Conclusiones 1. Es necesaria la sólida formación inicial universitaria de los futuros Educadores Matemáticos en torno al tema de la utilización de las TICs en la Educación Matemática. 2. Es necesaria la capacitación de los actuales Educadores Matemáticos en ejercicio en la implementación y aplicación de las TICs para la enseñanza y aprendizaje de la Matemática. 3. La Geometría Dinámica es una herramienta efectiva para mejorar la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática. 4. Los problemas de construcción constituyen un valioso instrumento para trabajar los contenidos geométricos previstos en el currículo, y además, resultan ser un buen recurso para la enseñanza de la resolución de problemas en el aula.

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8. GEOGEBRA NO DEMUESTRA PERO SU USO DIDÁCTICO SI AYUDA: EJEMPLOS DE MODELOS DE CÁLCULO Y GEOMETRÍA* Francisco Javier Córdoba Gómez Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Pablo Felipe Ardila Rojo Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen Algunas preguntas que se pueden hacer quienes se acercan por primera vez al uso de un software dinámico de matemáticas (en este caso GeoGebra) podrían ser ¿puede este software hacer una demostración de geometría?, ¿se puede garantizar que el rendimiento de los estudiantes mejora si uso con frecuencia este software en clase? Las respuestas a estas preguntas son relativas y van a depender de los contextos y de las intencionalidades didácticas que se pretendan. El siguiente trabajo muestra cómo se pueden abordar diferentes problemas (geometría, cálculo) desde la perspectiva de la visualización para establecer las primeras aproximaciones a la solución de dichos problemas, enfatizando que no se trata de dejar de lado la matematización de los problemas sino más bien complementarla permitiendo de esta forma desarrollar otras habilidades y competencias.

Palabras clave: demostración, visualización, modelos

* Este trabajo hace parte del proyecto de investigación: Estudio del impacto de la incorporación de prácticas de modelación en las clases de Matemáticas para estudiantes de tecnología e ingeniería del ITM como una forma de acercar las Matemáticas a la realidad. Proyecto adscrito al Centro de Investigación del INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

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Abstract Some questions that can make those who come for the first time for using a dynamic mathematics software (in this case GeoGebra) could be can this software make a demonstration in geometry, for example?, can it ensure that the performance improves if students frequently use this software in class? The answers to these questions are relative and will depend on the context and the didactic intentions. The following paper shows how to address different problems (geometry, calculus) from the perspective of visualization to establish the first approaches to solving these problems, emphasizing that it is not neglecting the mathematization of problems but rather thus allowing the development of other skills and competencies.

Keywords: proof, visualization, models Introducción Actualmente la enseñanza de la geometría y de algunos temas del cálculo está centrada en el profesor y en la habilidad que tenga para hacer representaciones gráficas en el tablero o pizarra. Si bien estas representaciones son didácticas y contribuyen a la comprensión, su carácter estático no permite la flexibilidad suficiente para que las condiciones cambien y los estudiantes puedan observar lo que ocurre y las relaciones que se establecen al variar ciertos parámetros en tiempo real (Córdoba, 2011). En muchos casos, una explicación visual no justifica la demostración o resolución de un problema, solo sirve como ayuda o para establecer conjeturas. Por ejemplo, en geometría, las demostraciones se basan en razonamientos escritos con proposiciones ordenadas y articuladas donde la figura se utiliza como referencia para observar las propiedades (la figura pasa a un segundo plano en importancia)

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y los teoremas, postulados y axiomas son los que permiten la demostración de un problema geométrico (Planchart, 2002). No se trata entonces de dejar en un segundo plano el trabajo matemático argumentativo y explicativo, sino más bien de construirlo a partir de una aproximación visual que permita despertar cierto interés y motivación para ello. ¿Cómo lograr un aprendizaje significativo de las matemáticas en general y de la geometría y el cálculo en particular, con el uso de GeoGebra, y desarrollar al mismo tiempo habilidades de razonamiento analítico, argumentativo y propositivo que estructuren mejores procesos mentales en los estudiantes al momento de resolver un problema? Esta es tal vez una pregunta frecuente, de respuesta compleja, que se hacen los profesores de Matemáticas frente a su enseñanza.

Finalidades del cursillo Trabajar con diferentes representaciones de objetos matemáticos en la solución de diversos problemas e identificar sus relaciones. Mostrar la importancia de la visualización en Matemáticas como ayuda al desarrollo del pensamiento matemático mediante el uso de ayudas computacionales y cómo (la visualización) puede convertirse en un elemento central en la enseñanza de las matemáticas que despierte el interés y motivación de los estudiantes y permita crear nuevos ambientes de trabajo en el aula y fuera de ella. Resolver de manera colaborativa con los asistentes al cursillo, algunos problemas de la geometría y el cálculo con la ayuda de GeoGebra y discutir sus potencialidades y aplicaciones didácticas.

Visualización Tal como afirma Hitt (2003), el desarrollo tecnológico y la capacidad de graficación (de las computadoras y calculadoras) impulsaron

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el estudio del rol que juegan las diferentes representaciones de un concepto matemático en su construcción. Las representaciones de un concepto matemático, solo constituyen una parte del mismo, por lo tanto, el tratamiento de las diferentes representaciones del concepto es lo que nos permitirá su construcción y por ende su comprensión. La visualización ha sido generalmente considerada solo como un soporte que ayuda a la intuición y formación del concepto en el aprendizaje matemático, sin embargo en los últimos años muchos matemáticos y educadores matemáticos han reconocido la importancia del razonamiento visual no solo en el descubrimiento, sino también en la descripción y justificación de resultados, ya que la visualización juega un papel importante en el desarrollo de las estructuras cognitivas del estudiante y del pensamiento matemático (Zúñiga, 2009). Cualquier propuesta que se precie de ser efectiva para la enseñanza de la geometría y en general de las matemáticas debe considerar que el vínculo entre la visualización, la experimentación, el razonamiento lógico, la argumentación y la aplicación es indisoluble (Abrate, Delgado y Pochulu, 2006). Tal vínculo puede lograrse en alguna medida con la ayuda de GeoGebra. En matemáticas visualizar no significa simplemente ver al objeto matemático, ya sea una figura, gráfica, representación algebraica o cualquiera otra, sino que se refiere a un proceso más complejo en donde las imágenes estimulan el pensamiento abstracto del que las percibe o genera (Kerlegand, 2008). Duval (1999) al referirse a la construcción de conceptos matemáticos, asume la necesidad de construir el concepto a partir de la interacción con las diferentes representaciones del objeto matemático, ya que cada una de ellas por sí sola es parcial, siendo importante para el

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proceso de comprensión, la conversión de una representación a otra u otras. Por su parte Arcavi (1999, citado por Zúñiga, 2009) sostiene que la visualización es la capacidad, el proceso y el producto de creación, interpretación, empleo y reflexión sobre cuadros, imágenes, diagramas, en nuestras mentes, en papel o con herramientas tecnológicas, con el propósito de representar y comunicar información, pensando y desarrollando ideas desconocidas y anticipando el entendimiento. La visualización matemática de un problema juega un papel importante, y tiene que ver con entender un enunciado mediante la puesta en juego de diferentes representaciones (gráfica, algebraica, etc.) de la situación en cuestión que permita realizar una acción que posiblemente puede conducir hacia la solución del problema (Hitt, 2003). Para de Faria (2005), por ejemplo, y con el uso de un sistema de geometría dinámica: la aplicación Cabri Geometry nos permite por un lado realizar “experimentos” geométricos, de manera que los estudiantes lleguen a establecer las relaciones adecuadas y obtener sus propias conclusiones, y por otro lado facilita la conexión interna entre distintas representaciones matemáticas. (p. 1) Es en este punto en el que la visualización toma sentido y se convierte en facilitadora de este proceso. La experimentación y la visualización permiten reorganizar el pensamiento matemático, elaborar más fácilmente conjeturas que promuevan la investigación y construcción de conocimiento. Balacheff (2000) (citado por Scaglia y Götte, 2008) reflexiona en torno al uso de entornos informáticos en la enseñanza de las matemáticas, señalando que modifican el tipo de matemáticas que se puede enseñar, el conjunto de problemas que se pueden proponer

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y las estrategias didácticas a usar, y por lo tanto el conocimiento profesional del profesor también debe modificarse. Para Scaglia y Götte (2008), un cambio de herramientas durante la enseñanza conduce a un cambio en los problemas interesantes que se pueden plantear. En este sentido plantean dos tipos de transformaciones que se presentan: • Por un lado, la tecnología informática ofrece la posibilidad de tratar problemas y experimentar situaciones que sin ella no serían accesibles para la enseñanza y el aprendizaje • Por otro lado, dicha tecnología abre la posibilidad de adoptar un enfoque experimental de las Matemáticas que cambia la naturaleza de su aprendizaje De esta forma lo que se busca es potenciar el uso didáctico de GeoGebra en la clase de Matemáticas pero teniendo presente que este uso exige cambiar también las prácticas docentes.

Demostración Una de las autoras que más ha trabajado el tema de las demostraciones en matemáticas (Gila Hanna), plantea una situación que es muy común en las aulas y que por supuesto pone en entredicho el valor de la demostración: … proclaman que la demostración no es central para la actividad de descubrimiento en la Matemática, que la Matemática es en cada caso falible y que la demostración es una especie de afrenta autoritaria a los valores sociales modernos y que puede también obstaculizar la actividad de aprendizaje a determinadas personas (Ortiz y Jiménez, 2006, p.238)

En el trabajo de Ortiz y Jiménez (2006), se plantea que es una experiencia diaria la dificultad de abordar demostraciones en el aula de clase por la predisposición de los estudiantes que ven en ellas una actividad innecesaria en la cual son sujetos pasivos, para 391


la cual no están preparados, no encuentran aplicaciones inmediatas y sobre todo exigen un esfuerzo mental muchas veces frustrante. Esta es una primera barrera que en muchos casos inhibe procesos de enseñanza y aprendizaje efectivos en el aula. Una de las mayores dificultades con las que se encuentran los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas tiene que ver con las demostraciones, pues esta sola palabra ya provoca en ellos cierta angustia y temor, de alguna manera los predispone. Pero este no es solo un problema de los estudiantes, lo es también de los docentes y en especial de la Educación Matemática. Tal como lo afirma Larios (2006), uno de los viejos problemas en Educación Matemática está relacionado con la construcción de la demostración y la aprehensión de su papel. Goncalves (2006, citado por Gamboa y Ballestero, 2009) señala que: Los estudiantes pueden resolver problemas concretos con bastante habilidad, pero carecen de ideas cuando deben resolver esos mismos problemas planteados en un contexto algo diferente, abstracto o más formalizado. Otra situación típica de las clases de Matemática, es la de los estudiantes que tienen que recurrir a memorizar las demostraciones de los teoremas o las formas de resolver los problemas, pues es la única manera de llegar aprobar los exámenes (p. 90).

Lo anterior evidencia una dificultad mayor cuando se pasa de la simple ejercitación matemática a la demostración formal. Si bien existen diferentes acepciones al término demostración, citaremos algunas dadas por diversos autores citados en Larios (2006): Cada demostración es una cadena de inferencias deductivas, y cada una de estas con sus correspondientes premisas y conclusiones (Morris Kline, 1992) Una serie finita de fórmulas (expresiones correctas del sistema axiomático donde se hace la demostración), cada una de las cuales 392


o es un axioma o puede ser derivada de otras fórmulas anteriores de la serie mediante reglas de transformación (reglas de deducción que convierten de manera válida una fórmula en otra) (Ernest Naguel y James R. Newmann, 1979). La idea clásica de una demostración matemática consiste en partir de una serie de axiomas o afirmaciones que pueden considerarse ciertos o que por evidencia propia lo son. Después, con una argumentación lógica y progresiva, se puede llegar a una conclusión. Si los axiomas son correctos y la lógica es impecable, la conclusión final es innegable. Esta constituye un teorema (Simon Singh, 1998). Según Planchart (2002) la matemática en sus comienzos utilizó la percepción visual como instrumento primario para el acercamiento a los objetos reales. Pero, en el transcurso del desarrollo social, la matemática tomó un camino diferente. Gracias a los vestigios históricos conocemos que, en sus inicios, los objetos matemáticos se representaban de manera pictórica. Más adelante, la matemática se formaliza y las estructuras de concretas y visuales cambiaron a estructuras formales y proposiciones lógicas, basadas en teoremas y postulados. Algunas de las razones que se esgrimen para justificar la importancia y la necesidad de la demostración están (Ortiz y Jiménez, 2009): • El alumno debe poner en práctica un adecuado y conveniente lenguaje oral y escrito • Debe ordenar cada una de sus proposiciones de una manera lógica y coherente • Permite el desarrollo de habilidades como refutar, deducir, inferir y argumentar • Contribuye al desarrollo de operaciones mentales generales tales como concretar, abstraer, analizar, sintetizar, comparar, clasificar, particularizar, generalizar (Bravo y otros, 2001)

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Lo que se pretende entonces no es desconocer el valor y la importancia de la demostración en matemáticas, ni mucho menos querer reemplazarla por aspectos visuales de verificación o de simple comprobación, tal como lo puede permitir GeoGebra, sino más bien abordar los problemas y demostraciones partiendo de su visualización, exploración, conjeturación y verificación para crear el basamento necesario para la formalización y favorecer al mismo tiempo procesos de abstracción posterior.

Modelo Al igual que otros conceptos matemáticos, el término modelo tiene diferentes acepciones. Para Hitt y Cortés (2009) un modelo matemático puede ser una expresión algebraica, una representación gráfica u otro tipo de representación de una situación, fenómeno o problema y que puede servir no solo para explicarlo sino también para predecir estados futuros. Confrey y Maloney (2007, citados por Hitt y Cortés, 2009), al referirse a la modelización matemática, exponen que: La modelación Matemática es el proceso de encontrarse con una situación

indeterminada,

problematizarla

y

traerla

a

investigación,

razonamiento y estructuras Matemáticas para llevar a transformar la situación. El proceso de modelación produce un resultado -un modeloel cual es una descripción o una representación de la situación (p.61)

394


Córdoba (2011) lo define como un sistema (físico o teórico) que sirve para representar un objeto, situación o fenómeno del mundo real en el cual se utilizan conceptos y relaciones matemáticas y cuya utilidad está dada en términos de ser una herramienta para interpretar, transformar y predecir el fenómeno y su comportamiento en unas condiciones de contexto y tiempo particulares. En la construcción de un modelo que pueda ser representado gráficamente, el entorno gráfico de GeoGebra se convierte en una herramienta poderosa que, dada su versatilidad y dinamismo, permite modificar las condiciones iniciales del problema y observar en tiempo real cuáles son los resultados o los cambios que se producen en el sistema al hacer estas variaciones. Se puede decir entonces que en principio hay un modelo gráfico dinámico, el cual a través de observaciones, modificaciones, establecimiento de invariantes y conjeturas permite aproximarse a una interpretación de tipo más formal como paso previo al proceso de demostración. Es importante considerar en este sentido que entre más representaciones de un mismo concepto o problema se consideren, mayores serán también las posibilidades de abordarlo y de proponer alternativas de solución. Hitt y Cortes (2009, p. 3) lo expresan bien cuando afirman que “en el aprendizaje de las Matemáticas, todas las representaciones de un concepto deben ser consideradas al mismo nivel cognitivo; y, una vez que se ha adquirido el concepto, el profesor puede solicitar a los estudiantes una manipulación más depurada sobre los tratamientos algebraicos”.

Algunas actividades Algunas de las actividades propuestas para el trabajo en el cursillo son:

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Figura 1: Demostración de un problema de costos mínimos

Fuente: Elaboración de los autores Figura 2: Demostración trayectoria mínima entre dos puntos en un mismo semiplano

Fuente: Elaboración de los autores Figura 3: Problema de circunferencias tangentes interiormente

Fuente: Elaboración de los autores.

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Se trata entonces de que mediante la construcción de este tipo de actividades en el taller, los asistentes puedan por si mismos plantearse las inquietudes con respecto al papel de la modelación y su articulación con los ambientes dinámicos de trabjo.

Consideraciones finales Es una idea generalizada entre muchos profesores que con el advenimiento de las nuevas herramientas computacionales, el hecho de verificar y comprobar ciertos teoremas o propiedades de objetos matemáticos de manera visual, ha desplazado a la demostración como tal y que por lo mismo estas nuevas herramientas han traído consigo unas formas alternativas de demostración, menos rigurosas pero más prácticas y fáciles de observar por parte de los estudiantes. El uso didáctico de GeoGebra no debe entenderse como el desplazamiento radical de la demostración formal a la demostración visual y computacional sin más ni más, por el contrario esta herramienta debe ampliar el espectro de posibilidades y exploraciones de los estudiantes de tal suerte que puedan aventurarse a iniciar una elaboración formal y más detallada de una demostración o de la solución de un problema. Las potencialidades que ofrece GeoGebra se pueden convertir en un aliado en los procesos de demostración, pues el estudiante al comprobar que efectivamente lo que se va a demostrar es verdad para múltiples variaciones, le da en alguna medida cierta confianza y credibilidad en lo que se propone y al mismo tiempo puede despertar una mayor motivación.


Hitt, F.y Cortes, J. (2009). Planificación de actividades en un curso sobre la adquisición de competencias en la modelización

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9. CÔNICAS: CONSTRUÇÃO A PARTIR DA DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DA RETA TANGENTE

Juracélio Ferreira Lópes Instituto Federal de Minas Gerais [email protected] Davidson Paulo Azevedo Oliveira Instituto Federal de Minas Gerais [email protected]

Resumen Neste artigo utiliza-se algumas ferramentas do software GeoGebra para construção do esboço das cônicas (elipse, hipérbole e parábola) partindo-se da definição geométrica. Estas construções facilitam a demonstração das propriedades da reta tangente a cada uma destas curvas e por meio dos recursos deste software pode-se visualizar, de forma dinâmica, tais propriedades.

Palabras

clave:

Cônicas, Geometria Analítica, Visualização,

GeoGebra

Abstract Thisarticle usessametoolsfor buildingsoftwareGeoGebraoutlineof conic(ellipse, hyperbola and parabola) starting from thegeometric definition. These constructsfacilitatethe demonstrationof the propertiesof the tangent lineto each of thesecurves andusingthe features of thissoftwarecanbe visualizeddynamically, such properties.

Keywords: Conics, Analytical Geometry, Visualization, GeoGebra. 400


Introduçäo Após análise de livros de Geometria Analítica a nível universitário de diversos autores, tais como BOULOS, P; IEZZI; G. KINDLE, J. H.; VENTURI, J. J.;GONÇALVES, Z; LIMA, E. L.; LEHMANN, C. H.; EFIMOV, N.; SANTOS, R. J. e MURDOCH, D. C., constatou-se que a abordagem do conteúdo de cônicas é, na sua maioria, apresentada apenas sob o ponto de vista de equações algébricas. Além disso, a construção do esboço destas curvas é feita considerando-as como gráficos de função e com utilização técnicas do Cálculo Diferencial que em determinados cursos ainda não são de conhecimento dos discentes. Acredita-se que tratar o esboço das cônicas como gráfico de função pode dificultar a percepção destas curvas enquanto lugar geométrico. Além disso, as propriedades de reflexão (retas tangentes e normais) das cônicas são pouco enfatizadas pelos atuais livros didáticos, como por exemplo, no livro do LIMA, E. L. sendo que estas propriedades possuem importantes aplicações tecnológicas. Desta forma, este artigo tem por objetivo apresentar as possibilidades de utilização do GeoGebra para construir o esboço das cônicas a partir da definição e visualizar as propriedades das retas tangentes a estas curvas. 2. CÔNICAS 2.1 Construção do esboço 2.1.1. Elipse

Definição 2.1.1. Elipse é o lugar geométrico dos pontos para os quais a soma das distâncias a dois pontos distintos fixados é igual a uma constante, maior que a distância entre esses pontos. Partindo-se da definição 2.1.1 e com a utilização das ferramentas do GeoGebra é possível obter pontos de uma elipse através do seguinte procedimento: 401


• Marque dois pontos F1 e F2 distintos num plano; • Trace uma semirreta de origem em F1 e que passe por F2; • Marque um ponto A na semirreta F1 F2 não pertencente ao segmento F2; • Trace uma circunferência de centro F1 e raio F1A. Defina F1A = 2a; • Escolha um ponto D qualquer sobre a circunferência e trace uma reta s passando pelos pontos F1 e D; • Trace o segmento F2D; • Trace a mediatriz t do segmento F2D e chame de B a interseção entre eles; • Considere P a interseção da mediatriz t com a reta s. Então, P é um ponto da elipse com focos F1 e F2 conforme a demonstração abaixo. Figura 1: Determinação de um ponto da elipse


Demonstração Pela construção tem-se que t é mediatriz do segmento F2D e que P pertence a t. Logo, pela propriedade da mediatriz de um segmento, PF2 = PD. Por outro lado, observa-se que F1D = F1P + PD = F1P + PF2. Mas F1D = 2a, pois o segmento F1D é o raio da circunferência. Portanto, F1P + PF2 = 2a para qualquer D escolhido sobre essa

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circunferência. Pela construção dada anteriormente, tem-se que o raio de medida igual a 2a é maior que a distância entre F1 e F2. Então, pela definição 2.1.1, o ponto P pertence à elipse de focos F1 e F2. Assim, quando D percorrer toda a circunferência de maneira dinâmica, o lugar geométrico determinado pelos pontos P será uma elipse de focos F1 e F2 conforme ilustra a Figura 2. Figura 2: Esboço da elipse


Para visualizar o esboço da elipse habilite o rastro do ponto P e arraste o ponto D sobre a circunferência. Para movimentar D de maneira automática proceda da seguinte forma: 1. Após executar os passos da construção anterior até o item 4, escolha um ponto D qualquer sobre a circunferência; 2. Clique na ferramenta Seletor e em seguida clique na tela. Aparecerá a janela de conFiguração do seletor onde deve ser marcada a opção ângulo; 3. Suponhamos que o ângulo escolhido para o seletor seja & que a circunferência considerada tenha centro O, então digite no campo de entrada o comando girar[D,&,O]. Em seguida, dê e aparecerá sobre a circunferência o ponto D’.

403


4. Clique com botão direito do mouse sobre o ponto D e escolha a opção Exibir objeto. 5. Clique com mouse direito sobre o seletor e marque a opção Animação ativada e observará que o ponto D’ movimentará automaticamente sobre a circunferência. Use o botão play/ pause e pare o ponto D’; 6. Execute o restante da construção a partir do item 5 até o item 8 utilizando o ponto D’ ao invés de D. Para visualizar o esboço da elipse basta usar o botão play/pause. 2.1.2 Hipérbole Definição 2.1.2 Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos para os quais a diferença das distâncias a dois pontos distintos fixados é em valor absoluto igual a uma constante, menor que a distância entre estes pontos fixados. Partindo-se da definição 2.1.2 e com a utilização das ferramentas do GeoGebra é possível obter pontos de uma hipérbole através do seguinte procedimento: 1. Marque dois pontos F1 e F2 distintos num plano; 2. Trace uma semirreta de origem em F1 e que passe por F2; 3. Marque um ponto A na semirreta F1 F2 pertencente ao segmento F2; 4. Trace uma circunferência de centro F1 e raio F1A. Defina F1A=2a; 5. Escolha um ponto D qualquer sobre a circunferência e trace uma reta s passando pelos pontos F1 e D; 6. Trace o segmento F2D; 7. Trace a mediatriz t do segmento F2D e chame de B a interseção entre eles; 8. Considere P a interseção da mediatriz t com a reta s. Então P é um ponto da elipse com focos F1 e F2 conforme a demonstração abaixo 404


Figura 3: Determinação de um ponto da hipérbole


Demonstração. Seja P a interseção das retas t e s tal que P se encontra no prolongamento à direita do segmento F1D. Tem-se que t é mediatriz do segmento F2D e que P pertence a t, logo, pela propriedade da mediatriz de um segmento, PF2 = PD. Por outro lado, observa-se que F1P = F1D + PD = F1D + PF2. Segue que F1PPF2 = F1D. Tem-se que F1D é o raio da circunferência de medida 2a, logo, PF1 - PF2 é constante e igual a 2a. Portanto P pertence a hipérbole de focos F1 e F2. Para P no prolongamento à esquerda de F1D a demonstração é análoga. Para visualizar o esboço da hipérbole, habilite o rastro do ponto P e arraste o ponto D sobre a circunferência. Para movimentar D de maneira automática proceda da mesma forma como foi feito na construção da elipse. A interseção das retas t e s à direita de F1P determina os pontos do ramo direito da hipérbole, assim como a interseção à esquerda de F1P determina os pontos do ramo esquerdo.

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Figura 4: Esboço da hipérbole


2.1.3 Parábola Definição 2.1.3 Fixados uma reta e um ponto não pertencente a ela denomina-se parábola o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes da reta e do ponto fixados. Partindo-se da definição 2.1.3 e utilizando o GeoGebra pode-se determinar os pontos de uma parábola da seguinte forma: 1. Trace uma reta r e marque um ponto F não pertencente a r; 2. Trace uma reta s perpendicular à reta r passando por um ponto D qualquer de r. Em seguida trace o segmento FD; 3. Trace a mediatriz t do segmento FD; 4. Considere P a interseção das retas t e s. Então P é um ponto da parábola de foco F e diretriz r conforme a demonstração abaixo

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Figura 5: Determinação de um ponto da parábola


Demonstração Tem-se que P pertence à reta s que é perpendicular à diretriz r no ponto D. Então, a distância de P a reta r é dada pelo segmento PD. Tem-se ainda que P pertence a t mediatriz do segmento FD. Logo, pela propriedade da mediatriz, PF = PD. Assim, P é equidistante do ponto F e da reta r. Portanto, pela definição 2.1.3, P pertence à parábola de foco F e diretriz r. Para obter os demais pontos P da parábola basta repetir o procedimento escolhendo diferentes posições de D sobre a reta diretriz r conforme ilustra a Figura 6. Para visualizar o esboço da parábola através do GeoGebra habilite o rastro do ponto P e arraste o ponto D sobre a reta r. Figura 6: Esboço da parábola


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Para que o ponto D movimente automaticamente sobre a reta r, na construção anterior, proceda da seguinte forma: 1. Após executar o item 1 marque um ponto D sobre a reta r; 2. Marque sobre a reta r outro ponto E qualquer relativamente próximo de D. 3. Usando a ferramenta Vetor definido por dois pontos trace o vetor com origem em D e extremidade em E; 4. Clique na ferramenta Seletor em seguida clique na área de trabalho. Aparecerá a janela de conFiguração do seletor onde pode-se estabelecer o intervalo de variação para o parâmetro escolhido; 5. Suponhamos que o parâmetro escolhido no item anterior seja a e que o vetor 6. DE esteja nomeado por u, então digite no campo de entrada o comando transladar[D,u*a]. Após dar aparecerá sobre a reta r e o ponto D’. 7. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto D e escolha a opção Exibir objeto. O ponto D desaparecerá. 8. Clique com o botão direito do mouse sobre o seletor e marque a opção animação ativada e verá que o ponto D’ movimentará automaticamente sobre a reta. A distância percorrida por D’ dependerá do intervalo do seletor; 9. Use o botão play/pause e pare o ponto D’; 10. Execute o restante da construção a partir do item 2 até o item 5 utilizando o ponto D’ ao invés de D. Para visualizar o esboço da parábola basta usar o botão play/pause. 2.2 Propriedade da reta tangente as Cônicas Como consequência das construções apresentadas para elipse, hipérbole e parábola pode-se afirmar que a reta t é tangente a cada uma destas curvas. Este resultado pode ser demonstrado utilizando ferramentas puramente geométricas conforme Lopes (2011). 408


Propriedade 2.2.1. A reta tangente t à elipse num ponto P forma ângulos iguais com os segmentos do ponto PF1 aos focos, ou seja, com PF1 e PF2. Figura 7: Propriedade da reta t tangente à elipse


Demonstração. Considere SPF1 e BPF2 os ângulos determinados pela reta t com os segmentos PF1 e PF2, respectivamente. No triângulo PF2D, a reta t é mediatriz do lado F2D no ponto B e passa pelo vértice P. Então, a altura PB do triângulo PF2D é bissetriz do ângulo F2PD. Logo, os ângulos F2PB e BPD são congruentes. Como os ângulos BPD e F1PS são opostos pelo vértice, prova-se que F1PS F2PB. Para visualizar esta propriedade através do GeoGebra utilize a construção feita para esboçar a elipse e proceda da seguinte forma: 1. Trace os segmentos PF1 e PF2; 2. Simplifique construção exibindo apenas o ponto P, a reta t e os segmentos que liga P aos focos, isto é, PF1 e PF2. Esconda os demais objetos da construção clicando sobre cada um deles e desmarque a opção Exibir objeto; 3. Marque dois pontos, por exemplo, C e E, sobre a reta t tal que C esteja à esquerda do ponto P e E à direita de P.

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4. Determine o ângulo entre cada segmento e a reta t. Para isto clique na ferramenta Ângulo e no sentido horário clique sobre pontos C, P e F1, em seguida sobre os pontos F2, P e E. 5. Exiba o valor das medidas dos ângulos clicando com mouse direito sobre os mesmos acessando as opções Propriedades, Exibir e Nome & valor; 6. Clique no botão play/pause e observe a medida dos ângulos quando o ponto P se move sobre a curva. Propriedade 2.2.2 A reta BP tangente à hipérbole no ponto P é bissetriz do ângulo F1PF2. Figura 8: Propriedade da reta BP tangente à hipérbole


Demonstração No triângulo DPF2, tem-se que DP = PF2 pois P pertence à mediatriz do segmento DF2. Assim, o triângulo DPF2 é isósceles, e pela construção da Figura 8 o segmento PB é a altura desse triângulo em relação a base DF2. Utilizando a propriedade da altura de um triângulo isósceles tem-se que PB é bissetriz do ângulo DPF2= F1PF2. Como a reta t contém o segmento PB implica que t é bissetriz do ângulo F1PF2. 410


Utilizando a construção feita para esboçar a hipérbole pode-se visualizar o resultado da reta tangente da seguinte forma: 1. Trace os segmentos PF1 e PF2; 2. Simplifique a Figura exibindo apenas o ponto P, a reta t e os segmentos que ligam P aos focos, escondendo os demais objetos da construção pela opção Exibir objeto. 3. Trace o menor ângulo formado pelo segmento PF1 e a reta t. Para isto marque um ponto distinto de P sobre a reta t, por exemplo, o ponto E, e usando a ferramenta Ângulo clique sobre os pontos F1, P e E no sentido horário. 4. Repita o processo do item anterior para o segmento PF2. 5. Exiba o valor das medidas dos ângulos; 6. Clique no botão play/pause e observe a medida dos ângulos quando o ponto P se move sobre a curva. Propriedade 2.2.3A reta t tangente à parábola em um ponto P qualquer forma ângulos iguais com o segmento PF e com a reta l que passa por P e paralela ao eixo da parábola. Figura 9: Propriedade da reta t tangente à parábola


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Demonstração Seja t a reta tangente a parábola no ponto P e l a reta que passa por P paralela ao eixo da parábola. Seja D ponto de interseção da reta l com a diretriz d da parábola e B a interseção da reta t com o segmento FD. Sejam os pontos R e S sobre as reta l e t respectivamente conforme a Figura 9. Considere a medida o ângulo RPS e a medida do ângulo FPB. Pretende-se mostrar que . De fato, no triângulo FPD, o vértice P pertence à mediatriz do segmento FD. Então, FP=PD e o FPD é isósceles. Assim, a altura PB do triângulo FPD em relação ao vértice P é também bissetriz do ângulo FPD. Segue que o ângulo FPB é congruente ao ângulo BPD, isto é, BPD tem medida igual a . Os ângulos B PD e RPS são opostos pelos vértices, então, . Para visualizar este resultado utilize a construção feita para esboçar a Parábola e proceda da seguinte forma: 1. Trace o segmento PF e o menor ângulo entre a reta t e o segmento PF. 2. Trace o menor ângulo entre a reta t e a reta s e que não seja adjacente ao ângulo do item anterior; 3. Exiba o valor das medidas dos ângulos determinados.

Conclusao Com a utilização do GeoGebra é possível esboçar as cônicas tratandoas sob o ponto de vista geométrico sem considerá-las como gráfico de função e investigar a propriedade da reta tangente a estas curvas.

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Referencias bibliográficas [1] Lopes, J. F.(2011). Cônicas e aplicações - Dissertação de Mestrado. Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP, Brasil. [2] Boulos, P.; & Camargos, I. (2005). Geometria analítica .São Paulo: Prentice Hall, (3ªed.). [3]

Lima, E. (2006). Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2. ed.

[4]

Iezzi, G. (1993). Geometria Analítica. São Paulo: Atual, 4. Ed.

[5] Lehmann, C. (1989). Geometria Analítica. México: Editorial Limusa, S.A. [6] Murdoch, D. (1969). Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA.

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10. ELABORACIÓN DE OBJETOS DE APRENDIZAJE VIRTUALES CON LA NUEVA VERSIÓN DE GEOGEBRA Elkin A. Castrillón Jiménez Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Carlos A. Rojas Hincapié Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen Actualmente con el empleo de las TIC y los Procesadores Geométricos, la preparación del material para nuestras clases tendrá mayor valor y se convertirá en una producción intelectual para publicar en la Web y alcanzara reconocimiento en la comunidad educativa internacional. El objetivo de este cursillo es aprender a elaborar un Objeto de Aprendizaje Virtual con la nueva versión de GeoGebra aprovechando sus nuevas características para generar un elemento didáctico específico de la asignatura de cálculo diferencial como recurso digital, autocontenible y reutilizable con un propósito educativo para el aula de clase y para el trabajo independiente de los estudiantes.

Palabras clave: objeto de aprendizaje, innovación educativa, GeoGebra

Abstract Currentlywith the useof ICT andGeometryProcessorpreparing the materialfor our classeswill have morevalueand becomean intellectual productionfor publishing on theWeband reacha great recognition inthe international education community. The objectiveof this workshopis to learn todevelop aVirtualLearning Objectwith the new versionofGeoGebrausing itsnew featuresto 414


generate aspecificteachingelementof the subject ofdifferential calculusasdigital resource, self containableand reusable with an educational purposefor classroomclass andfor independent workof students.

Keywords: object of learning, educational innovation, GeoGebra Introducción La innovación en la creación de ambientes de aprendizaje dinámicos e interactivos se han convertido en una prioridad en la última década en materia de investigaciones por parte de docentes de todos los niveles educativos, desarrolladores de software, investigadores, ministerios de educación y público en general. Precisamente hemos preparado este cursillo, para mostrar el uso didáctico del software matemático GeoGebra, no solo en el aula de clase de Matemáticas, sino también en otras ciencias con la creación de Objetos de Aprendizaje Virtuales con GeoGebra que los podemos publicar en la Web (Hohenwarter, 2012: http://www.GeoGebra.org/en/ wiki/index.php/GeoGebra_Know_How) y compartir con toda la comunidad académica internacional.

Metodología Se explican los pasos para la construcción del Objeto de Aprendizaje Virtual con el procesador geométrico GeoGebra, los participantes elaboran el Objeto de Aprendizaje y crearán su applet con un entorno visual adecuado y amigable para los futuros usuarios y comprueban que su elaboración no requiere tener conocimientos de programación complejos. En la Figura 1 se muestra el OVA construido para determinar el dominio y rango de una función en forma gráfica, en la Figura 2 se aprecia el OVA construyendo solo el dominio de la función en forma gráfica.

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Figura 1: OVA construido con GeoGebra para determinar el dominio y rango de una función en forma gráfica


Figura 2: OVA construyendo solamente el dominio de una función en forma gráfica


En la Figura 3 se aprecia el OVA construyendo solo rango de una función en forma gráfica y en la Figura 4 se muestra el OVA

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construyendo el dominio y rango simultáneamente de la función en forma gráfica. Figura 3: OVA construyendo solamente el rango de una función en forma gráfica


Figura 4: OVA construyendo el dominio y rango de una función en forma gráfica simultáneamente


En la Figura 5 y 6 se encuentra el protocolo de construcción del OVA con los pasos para su construcción.

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Figura 5: Protocolo de construcción del OVA (parte 1)

Fuente: Elaboración de los autores Figura 6: Protocolo de construcción del OVA (parte 2)


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Encontramos en la Figura 7 las propiedades de objeto del deslizador Números, y en la Figura 8 las propiedades de objeto del Botón botón1 del OVA. Figura 7: Propiedades del objeto número a del OVA


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Figura 8: Propiedades del objeto Botón botón1 del OVA


Seguidamente en la Figura 9 las propiedades de los objetos Punto C y D del OVA. Figura 9: Propiedades de los objetos Punto C y D del OVA


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En la Figura 10 se muestran las propiedades de los objetos Segmento b y d del OVA. Figura 10: Propiedades de los objeto Segmento b y d del OVA


Adicionalmente para los puntos C y D y los segmentos b y d se deben activar los trazos, cada persona asistente al cursillo definirá los colores que desee colocar a los objetos del OVA y salvar el archivo como DominioRango.ggb en la memoria portable.

Resultados y discusión Los asistentes comprenderán cómo el procesador geométrico GeoGebra ayuda a crear Objetos de Aprendizaje para uso individual o colectivo, donde predomine la aleatoriedad (inagotable), un buen entorno visual (botones, casillas de control, deslizadores, textos dinámicos y casillas de entrada) para los usuarios, ofreciendo una herramienta más para los nuevos estudiantes nativos digitales donde «la intención es “abrir los ojos” para que la mente aborde

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adecuadas observaciones geométricas y a partir de ellas desarrolle estrategias de resolución eficientes» (Rivera, 2009: 12). A los docentes y estudiantes mostrarles que «un objeto de aprendizaje es un objeto digital educativo que incluye una o varias actividades de aprendizaje y su evaluación como un elemento de contenido de una asignatura en un nivel educativo determinado» (Castrillón y Córdoba, 2011: 37-38).

Conclusiones Una de las dificultades que se ha tenido en la creación de objetos de aprendizaje virtuales con las versiones 3 en GeoGebra era la limitante que se tenía para insertar casillas de entrada de datos en los textos del área de gráficos para recoger los datos de los usuarios de los objetos de aprendizaje y la creación de botones de comandos, ahora con las nuevas versiones 4.0 y superiores (Hohenwarter, 2012: http://wiki.GeoGebra.org/es/Manual:P%C3%A1gina_Principal) estas dificultades desaparecen y nos alientan mas a continuar creando objetos de aprendizaje mas amigables para los usuarios y nuestros estudiantes en el aula de clase. Los estudiantes que han empleado estos OVA han encontrado el «material de ayuda dinámico e interactivo para entender y visualizar conceptos matemáticos subyacentes». (Hohenwarter et al, 2008: 7)

422


Referencias bibliográficas [1] Hohenwarter, M. (2012). Manual: Página Principal. U.K.: MediaWiki. Recuperado el 7 de Julio de 2012 dehttp://wiki. GeoGebra.org/es/Manual:P%C3%A1gina_Principal. [2] Hohenwarter, M. (2012). GeoGebra Know How. U.K.: MediaWiki. Recuperado el 7 de Julio de 2012 de http://www. GeoGebra.org/en/wiki/index.php/GeoGebra_Know_How. [3]

Hohenwarter, M. et al. (2008). Teaching and calculus with free dynamic mathematics software GeoGebra. 11th International Congress on Mathematics Education. Mexico: ICME 11.

[4] Rivera, J. et al. (2009). Geometría Interactiva. Medellín, Colombia: Fondo Editorial ITM. [5]

Castrillón, E. y Córdoba, F. (2011). Diseño e implementación de objetos de aprendizaje virtuales para la elaboración de contenidos educativos digitales en la asignatura de geometría con software libre GeoGebra. En: III Congreso Internacional en Formación y modelación en Ciencias Básicas. Medellín: Universidad de Medellín.

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11. MODELADO BÁSICO EN PROGRAMACIÓN LINEAL. UNA SOLUCIÓN GRÁFICA EMPLEANDO UNA NUEVA HERRAMIENTA DE GEOGEBRA 4: LAS DESIGUALDADES John J. García Mora Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Juan G. Arango Arango Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen La versión 4.0 de GeoGebra y las posteriores presentan la característica de poder representar regiones gráficas por medio de inecuaciones, un elemento básico para la programación lineal. Esta programación es un algoritmo matemático que consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. El cursillo ofrece a los asistentes herramientas para que representen modelos lineales y orienten el análisis de regiones factibles; además, maximizar y minimizar las condiciones que limitan los procesos en la programación lineal, desde la grafica de un sistema de dos desigualdades lineales o cuadráticas.

Palabras clave: desigualdades, inecuaciones, programación lineal, maximizar, minimizar

Abstract GeoGebra Version 4.0 and later have the characteristic of representing graphical regions through inequalities, a basic element for linear 424


programming. This programming is a mathematical algorithm is to optimize (minimize or maximize) a linear function, called objective function, so that variables of that function subject to a number of constraints expressed by linear inequalities system. The course provides attendees with tools to represent linear models and guide feasible region analysis also maximize and minimize the conditions that limit the processes in linear programming, since the graph of a system of two linear or quadratic inequalities.

Keywords:

inequalities, maximize, minimize

inequalities,

linear

programming,

Introducción La aplicación práctica más importante de un sistema de desigualdades es la programación lineal, una técnica que les permitió en el año 1975 al matemático y economista soviético Leonid Kantoróvich junto al economista estadunidense Tjalling Koopmans ganar el premio Nobel de Economía. El cursillo no pretende adentrarse en la programación lineal en toda la extensión del término, pero sí brindar las herramientas básicas para que se pueda graficar y entender cuál es el significado de las desigualdades y los valores máximos y mínimos que las variables puedan tomar desde la plataforma de GeoGebra 4. Desigualdades en GeoGebra: Esta versión del programa permite las desigualdades y estas se pueden se pueden especificar y trazar. No solo a partir de rectas sino empleando todo tipo de cónicas (Manual versión 4.0). La presentación incluida en la Vista Gráfica indica si emplear los signos < o <=. Hay también una posible representación inversa para optimizar el rango lineal válido para establecerlos libremente. Las inecuaciones lineales de una variable pueden exponerse como intervalos sobre los ejes en la presentación usual con círculos llenos o vacíos. 425


Objetivos El diseño del cursillo enmarcado en la enseñanza con el apoyo de TIC busca que los asistentes logren: 1. Representar desigualdades interactivas con deslizadores en la plataforma de GeoGebra 4 para el modelado básico de programación lineal 2. Diseñar Objetos Virtuales de Aprendizaje que les permitan a los asistentes o a sus estudiantes la apropiación de conceptos de la solución de desigualdades e inecuaciones lineales y cuadráticas 3. Diseñar Objetos Virtuales de Aprendizaje amigables que permitan analizar la optimización de procesos de manera grafica en GeoGebra 4.

Metodología El cursillo esboza que los asistentes logren los objetivos propuestos buscando realizar: 1. Explicación de lo que se pretende con el cursillo y la metodología de trabajo 2. Una familiarización con las herramientas de la versión 4.0 del simulador geométrico GeoGebra 3. Diseño y programación de la tarea a realizar a través del cursillo 4. Visualización de las regiones factibles en una desigualdad lineal o cuadrática como podemos observar en la Figura 1 mediante Applets creados por los asistentes.

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5. Diseño de Applet con deslizadores que faciliten la interactividad del usuario y su ubicación en diferentes capas para facilitar su interactividad como se observa en la Figura 2.

6. El diseño de un sistema de dos inecuaciones lineales con dos variables y los parámetros que permiten observar el comportamiento de dichas inecuaciones; los parámetros serán variados por medio de botones, campos de texto y casillas de verificación. La grafica 3 nos muestra un modelo de lo que pretendemos lograr.

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7. Realizar Applets que involucren las nuevas herramientas de la plataforma GeoGebra 4 como son las casillas de entrada y los botones(ver Figura 4) Figura 4: Applet con casillas de entrada y botón


8. Aplicación y solución de desigualdades desde la ventana de entrada de datos y los efectos sobre la ventana grafica

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9. Verificación de lo amigable del Applet y la capacidad de aprendizaje de los conceptos con la evaluación del comportamiento de la inecuacion.

Resultados Con los objetivos logrados, los asistentes al cursillo habrán conseguido: • Un reconocimiento de las características de la versión 4.0 del procesador geométrico GeoGebra • Diseñar Applets para el análisis de una región factible en un contexto de programación lineal • Diseñar Applets interactivos que permitan visualizar las variaciones de todos los parámetros de una desigualdad lineal • Diseñar Applets interactivos que permitan visualizar las variaciones de todos los parámetros de una desigualdad cuadrática • Realizar construcciones dinámicas elaboradas con el empleo de herramientas y comandos. Lograr representaciones de diversos contextos de programación lineal • Reconocer que el empeño y la puesta en práctica de su capacidad de diseño en GeoGebra proporcionan un contexto motivador y eficaz para aprender lo básico de un programación lineal de manera gráfica • Convencerse de que las TIC apoyadas con GeoGebra u otro procesador geométrico nos urge un nuevo sistema evaluativo

Conclusiones • El simulador geométrico GeoGebra y sus nuevas herramientas permiten la visualización de regiones graficas delimitadas por desigualdades.

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• La determinación de condiciones que influyen en la optimización de condiciones lineales y sus gráficas dan como resultado establecer paralelos entre un sistema de ecuaciones y un sistema de desigualdades. • El cursillo orienta a los docentes asistentes hacia nuevos enfoques de la profesionalidad docente caracterizada por estar más centrada ahora en el diseño y la gestión de actividades y entornos de aprendizaje. Esos nuevos roles del docente lo motiva a que prevalezca la investigación sobre la práctica, a la creación a la orientación y el asesoramiento, en la dinamización de grupos; y como decía Patricia Jaramillo. “Las Tecnologías de Información y Comunicaciones (TIC) pueden constituirse en medios que ayuden al mejoramiento de los procesos de enseñanza y aprendizaje”. • La gran cantidad de recursos que se encuentran bajo licencia “Creative Commons” (proyecto internacional que tiene como propósito fortalecer a creadores para que sean ellos quienes definan los términos en que sus obras pueden ser usadas, qué derechos desean entregar y en qué condiciones lo harán), es otro aliciente para que los docentes nos sintamos motivados a desempeñar ese rol que las TIC nos invocan.

Referencias bibliográficas [1] Manual: Página principal ¿Qué es GeoGebra? http://wiki. GeoGebra.org/es/Manual:P%C3%A1gina_Principal, http:// wiki.GeoGebra.org/es/Tutorial:Nuevas_Posibilidades_de_ la_Versi%C3%B3n_4.0#Desigualdades. [2]

Jaramillo, P. (2005). Uso de tecnologías de información en el aula. ¿Qué saben hacer los niños con los computadores y la información? Revista de Estudios Sociales 20, 27-44. 430

12. USO DE SECUENCIAS PARA PROMOVER LA GENERALIZACIÓN EN EL AULA DE MatemáticaS Edwin A. Carranza Vargas Universidad Pedagógica Nacional [email protected] [email protected]

Resumen En este taller se pretende evidenciar el potencial de las herramientas de GeoGebra para generar material didáctico, en esta ocasión se servirá de las instrucciones de secuencias y casillas de control para gestar una experiencia de aprendizaje y desarrollo de pensamiento inductivo a través de GeoGebra. Es por ello que se enseñará a los presentes el uso de secuencias y casillas de control, con el objeto de crear objetos de aprendizaje enfocados al desarrollo del pensamiento inductivo y los procesos de generalización.

Palabras

clave:

secuencias, casillas de control, proceso de

generalización

Abstract This worshop aims to show the portential of tolos for generating GeoGebra materials, this time will use the sequence instructions and check boxes to gestate a learning experience and development of inductive thinking through GeoGebra. That is why we will teach these sequences and the use of check boxes in order to créate learning object focused on the development of inductive throught processes and generalation.

Keywords: sequences, check boxes, a process of generalization 431


Introducción Con frecuencia el programa GeoGebra es usado en ámbitos geométricos, dejando de lado otros ambientes que pueden ser usados en algunos procesos que deben ser incorporados en la educación matemática como son procesos de generalización, conjeturación y argumentación, aunque esta última en muchas ocasiones es dejada de lado y no considerada fuerte, ya que los estudiantes tienden a argumentar desde el dispositivo tecnológico lo cual para muchos docentes no es una argumentación válida. En este taller se expone el uso de las herramientas de sucesiones y casillas de control para que los docentes puedan crear materiales didácticos interactivos que promuevan el desarrollo de procesos de generalización y conjeturación que internamente afloran los de argumentación.

Metodología Es un taller en el que se mostrará un objeto de aprendizaje realizado en GeoGebra. La primera parte se destina a mirar algunas generalizaciones que se obtienen de un objeto por parte de los asistentes y en segundo momento se instruye en el uso de secuencias para crear este tipo de objetos. Se muestra un archivo realizado con GeoGebra en donde se logra apreciar relaciones entre algunos elementos que aparecen allí, además de unas preguntas que surgen en el transcurso de la exploración del archivo. Una vez los presentes logren encontrar la relación o relaciones pedidas, se pasa a instruir a los participantes en la creación de archivos de este tipo que traen consigo el uso de secuencias y casillas de control, en donde definitivamente se evidencian procesos lógicos que acompañan al objeto en su creación. El objeto que muestra tiene que ver con relaciones que se establecen con la suma de números impares, presentados de forma gráfica, para hacer uso de la visualización, de las herramientas de deslizadores, de 432


casillas de control que hacen que la persona que está interactuando con el objeto fije su atención a correlaciones que se presentan allí. (Figura 1)

Figura 1: Fotografía de pantalla del trabajo final de suma de impares


La instrucción se hace sobre el uso de secuencias en GeoGebra y el manejo de casillas de control, con el objeto de que el participante logre al final del taller crear un objeto interactivo pequeño que logre desarrollar procesos de generalización, para tal fin se proponen otros ejercicios.

Resultados Se espera que los asistentes al final desarrollen un pequeño objeto usando secuencias y casillas de control. Además es pertinente que se de lugar a la reflexión en términos de la creación de objetos para la producción de conocimiento y adquisición de habilidades matemáticas.

Conclusiones El uso de herramientas tecnológicas ayuda al desarrollo de procesos inmersos en la Matemática como es el proceso de generalización. 433


El uso de visualización y representaciones ejecutables ayudan al estudiante a comprender y ser partícipe de su aprendizaje. GeoGebra aporta un mayor grado de versatilidad a la hora de enriquecer nuestro quehacer docente y favorece procesos inmersos en el aprendizaje de las Matemáticas.


Nelsen, R. (1993). Proofs Without Words, Exercises in Visual Thinking. Mathematical Association of America, Washington D.C.

[2]

Mason, J., Graham, A., Pimm, D. y Gowar, N. (1999). Raíces del álgebra/Rutas hacia el álgebra. Tunja: Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.

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13. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA EN GEOGEBRA EMPLEANDO LUGARES GEOMÉTRICOS Fernando Angulo Díaz Instituto de Educación y Pedagogía - Universidad del Valle [email protected]

Resumen Este cursillo consiste en estudiar en primera instancia, como la noción de lugar geométrico permite abordar la resolución de algunos problemas de construcción geométrica desde un punto de vista instrumental, en el sentido que dicha noción entra a jugar un papel crucial como herramienta mediadora en la implementación de una estrategia heurística específica; y en segunda instancia, se plantea una variante didáctica a los problemas propuestos, al pedir la recreación de los lugares geométricos involucrados por medio de transformaciones, es decir, que la herramienta de lugar geométrico ofrecida por el programa GeoGebra, solo sea usada en la fase exploratoria del problema pero no en la presentación final de la resolución del mismo.

Palabras

clave:

problema de construcción geométrica,lugar geométrico, dialéctica herramienta-objeto, heurística

Abstract This workshopis to studyin the first instance, as the notion oflocuscan help in the resolution of someproblemsofgeometric constructionfrominstrumental point of view, in the sense thatthis notioncomes into playa crucial role asmediator tool inthe

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implementation of a heuristic strategy specific, and secondly, it raises a didactic variant to the problems posed, being that must be recreate the lociinvolved, through transformations, i.e. the locustool offered by the program GeoGebra,only to be used in the exploratory phaseof the problem but not in the final presentation of the resolution of it.

Keywords: geometric construction problem, locus, tool-object dialectic, heuristic

Introducción La visualización de los lugares geométricos y los movimientos de figuras en el plano, son piedras angulares en la enseñanza de la Geometría elemental a nivel de la educación secundaria; los sistemas de geometría dinámica como GeoGebra, se constituyen en una herramienta clave para lograr ese tipo de visualizaciones y movimientos, que los estudiantes aprecian de manera evidente. Tradicionalmente el lugar geométrico se define como el conjunto de todos los puntos, y solo aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones dadas (Hemmerling, 2002), pero en los distintos programas de geometría dinámica, como GeoGebra , la noción de lugar geométrico, se percibe desde una perspectiva más dinámica (se llama lugar geométrico de un punto M, al variar otro punto Q sobre un objeto, como el conjunto de posiciones que toma M al mover Q sobre ese objeto) y permite abordar problemas de construcción geométrica desde un punto de vista instrumental, en el sentido que dicha noción entra a jugar un papel como herramienta mediadora en algunas estrategias en el enfoque de la resolución de problemas. Se ilustrará el uso de una estrategia en particular, la cual en términos generales consiste en el “relajamiento” de las condiciones iniciales, es decir, tratar de satisfacer algunas de las condiciones iniciales que plantea el problema. 436


Los lugares geométricos vistos a través de la dialéctica herramienta– objeto en GeoGebra: De acuerdo con Douady (1995), los objetos matemáticos se pueden presentar desde dos aspectos, como herramientas y como objetos de estudio, a tal enfoque, lo denomina la dialéctica herramienta-objeto. La dificultad de materializar la graficación a partir de la descripción sintética del lugar geométrico correspondiente, hace que no se haya aprovechado la oportunidad de articular dicha descripción sintética con su representación visual; una forma de aprovechar el dinamismo para enseñar geometría es a partir de la construcción de curvas como lugares geométricos en GeoGebra. En GeoGebra, la herramienta “lugar geométrico”, produce un conjunto de puntos L, tal que cada elemento es definido en función de un elemento de el conjunto E: L = {f(P), P E E}, y aparecerá sobre la pantalla como un dibujo (una representación) del conjunto L para un número finito de f(P). Para definir tal lugar geométrico es necesario seleccionar un punto P’ para el cual el lugar es deseado y luego seleccionar el punto P sobre el cual P’ dependa (donde una relación funcional existe entre P y P’). El punto P es un punto “variable” que pertenece a un conjunto particular de puntos del plano (una recta, una circunferencia, un segmento de recta, etc.) y el punto P’ esta relacionado a P por medio de una construcción geométrica.

Metodología Existen diversas estrategias de resolución de problemas (dibujar una figura, enriquecer la figura, particularizar el problema, descomponer y recomponer el problema, aritmetizar el problema, ver el problema resuelto y trabajar hacia atrás, etc.) y algunas de esas estrategias cuando se trabajan con el uso de la tecnología, pueden adquirir una dimensión notable en el proceso de solución o tratamiento de situaciones-problema. 437


Con el fin de ilustrar la estrategia heurística que es objeto de estudio, “relajamiento” de las condiciones iniciales del problema, se parte de un ejemplo concreto planteado por el matemático George Polya (1965. p. 41-42), donde se presenta un problema de construcción geométrica, cuya solución se va desarrollando a manera de un diálogo socrático entre el maestro que propone el problema y el estudiante quien debe resolverlo, dicha solución puede ser recreada en el ambiente de GeoGebra: Inscribir un cuadrado en un triángulo dado (acutángulo), tal que dos vértices del cuadrado deben hallarse sobre la base del triángulo y los otros dos vértices del cuadrado sobre cada uno de los otros dos lados del triángulo respectivamente. • ¿Cuál es la incógnita? - Un cuadrado. • ¿Cuáles son los datos? - Un triángulo dado, nada más. • ¿Cuál es la condición del problema? - Los cuatro vértices del cuadrado deben hallarse sobre el perímetro del triángulo, dos sobre la base y los otros dos sobre cada uno de los otros dos lados respectivamente. • ¿Es posible satisfacer la condición? - Creo que sí, pero no estoy seguro. • No parece que el problema le resulte muy fácil. Si no puede resolverlo, trate primero de resolver algún problema relacionado ¿Puede usted satisfacer alguna parte de la condición? - ¿Qué quiere decir por una parte de la condición? • Veamos; la condición concierne a todos los vértices del cuadrado. ¿De cuántos vértices se trata? - De cuatro.

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• Una parte de la condición se aplicaría a menos de cuatro vértices. Tome solo una parte de la condición, deje la otra parte. ¿Qué parte de la condición es fácil de satisfacer? - Es fácil trazar un cuadrado con dos de sus vértices sobre el perímetro del triángulo, incluso un cuadrado con tres de sus vértices sobre el perímetro del triángulo. • Dibuje una Figura. El alumno dibuja la Figura 1. Figura 1: Cuadrado con tres vértices sobre un triángulo


• Usted no ha considerado más que una parte de la condición, abandonando la otra. ¿En qué medida la incógnita queda ahora determinada? - El cuadrado no está determinado si solo tiene tres de sus vértices sobre el perímetro del triángulo. • Bien. Dibuje otra Figura. El alumno dibuja la Figura 2.

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Figura 2: Dos cuadrados, cada uno con tres vértices sobre un triángulo


• Tres de los vértices de su cuadrado están en el perímetro del triángulo, pero el cuarto no está donde debería estar. Como usted lo ha dicho, el cuadrado no está determinado, puede variar; resulta lo mismo para su cuarto vértice. ¿Cómo puede variar? — … • Trátelo experimentalmente si lo desea. Trace otros cuadrados, tres de cuyos vértices se hallen sobre el perímetro del mismo modo que los dos cuadrados ya dibujados en la figura. • Dibújelos pequeños y grandes. ¿Cuál le parece ser el lugar geométrico del cuarto vértice? ¿Cómo puede variar? El profesor ha llevado al alumno muy cerca de la idea de la solución. Agrega Polya, que si el alumno es capaz de adivinar que el lugar geométrico del cuarto vértice es una recta, habrá resuelto el problema.

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Primera Situación-problema: A manera de ejemplo, se plantea el problema de construir un triángulo equilátero inscrito en un cuadrado dado, de tal forma que tengan un vértice en común. Empleando la estrategia estudiada, se construye el cuadrado AMPQ y después un triángulo equilátero ABC, debilitando las condiciones iniciales del problema, es decir, se construye de tal forma que el vértice A sea común al cuadrado dado, además que el vértice B esté sobre un lado del cuadrado pero que el vértice C no pertenezca a él; por tanto al desplazar el vértice B sobre el perímetro del cuadrado se debe determinar el lugar geométrico descrito por el vértice C (ver Figura 3): Figura 3: Lugar geométrico del punto C con respecto al punto B


Si GeoGebra reconociera el punto de intersección del lugar geométrico y el lado QP del cuadrado y lo nombráramos como C´, entonces con los puntos A y C´ como vértices, se podría construir el triángulo equilátero ABĆ´ (B´ E PM ), solucionando así el problema propuesto (ver Figura 4):

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Figura 4. Triángulo AB’C’ inscrito en el cuadrado AMPQ


Atendiendo a las directrices planteadas en los objetivos del cursillo, debe caracterizarse dicho lugar geométrico y luego este debe ser reconstruido; después de algunas conjeturas y mediciones pertinentes, se “descubre” cuál es la transformación involucrada en la resolución del problema; esta corresponde a una rotación del cuadrado AMPQ con centro en A y ángulo de rotación 60°. Segunda Situación-problema Se plantea el problema de construir un triángulo equilátero a partir de tres circunferencias concéntricas dadas, de tal forma que cada vértice del triángulo esté sobre una de las circunferencias. Tercera Situación-problema Se plantea el problema de construir un triángulo equilátero a partir de tres rectas paralelas dadas, de tal forma que cada vértice del triángulo esté sobre una de las rectas.

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Cuarta Situación-problema Se plantea el problema de construir un triángulo equilátero a partir de dos rectas paralelas dadas y una tercera que las corta, de tal forma que dicho triángulo tenga un vértice en cada una de las rectas. Quinta Situación-problema





Dadas dos semirrectas OL y OK formando un ángulo agudo LOK, y un punto X en el interior de dicho ángulo. Construir un triángulo AOB, tal que A E OL y B E OK tal que X es el punto medio de AB . Sexta Situación-problema Dadas tres circunferencias concéntricas C1, C2 y C3, trazar una recta que las intersecte respectivamente en los puntos A, B y C de tal forma que .

Conclusiones En la búsqueda de experiencias didácticas en las que se conjuguen la construcción de conceptos matemáticos con la visualización, la exploración, la conjeturación, la argumentación y la modelación; se pretendió abordar el estudio de lugares geométricos desde un punto de vista instrumental, a partir de la resolución de situacionesproblema que demandaban construcciones geométricas, las cuales cumplían ciertas características o condiciones especificas; a través de la recreación de lugares geométricos implicados, por medio de movimientos o transformaciones, se logró ampliar la red conceptual puesta en juego, recurriendo a distintas formas válidas de solucionar una situación-problema dada. Se ha detectado que los problemas de construcción geométrica resultan ser una excelente fuente para la enseñanza de ciertas formas de proceder propias de las heurísticas, más aún, en programas de geometría dinámica, superando la mera técnica del ensayo y error 443


que resulta tan arraigada en los estudiantes en el ambiente de lápiz y papel, para dar paso la exploración de distintas formas de producir una construcción geométrica en forma más precisa, utilizando distintas propiedades y relaciones de los objetos geométricos. Un gran número de estudios han mostrado que los buenos resolutores de problemas se caracterizan por disponer de un conjunto de estrategias generales o heurísticas que guían su acción y que les ayudan a superar las dificultades que van encontrando durante el proceso de resolución, sin embargo, las estrategias heurísticas no garantizan el ciento por ciento de efectividad para resolver un problema, a pesar de que en determinadas situaciones hayan tenido éxito, lo que las diferencia de los algoritmos, que sí la garantizan. Es fundamental el papel que desempeña el docente en el aprendizaje de estrategias generales de resolución de problemas, ha de ser un monitor externo del proceso de aprendizaje de los estudiantes, aportando, en un primer momento, las ayudas necesarias que faciliten la ejecución por parte del alumno de determinadas actuaciones cognitivas que sin esta ayuda externa no podría realizar y que, en un segundo momento, irá retirando gradualmente a medida que el alumno sea capaz de utilizarlas de manera autónoma.

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Douady, R. (1995). La Ingeniería Didáctica y la evolución de su relación con el conocimiento. En: M. Artigue, R. Douady, L. Moreno & P. Gómez (Eds.). Ingeniería didáctica en educación Matemática (pp. 61-96). Bogotá: Grupo Editorial Iberoamérica.

[2]

Hemmerling, E. (2002). Lugares geométricos. En: Geometría elemental. Ciudad de México: Limusa, Noriega Editores.

[3] Ministerio De Educación Nacional. (2004). Pensamiento Geométrico y Tecnologías Computacionales. Santafé de Bogotá: Enlace Editores. [4]

Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Ciudad de México: Trillas.

[5]

Yaglom, I. (1962). Geometric Transformations. Vol. I. Traducido al inglés por Shields, Allen, New Mathematical Library, New York, EE.UU.

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14. USO DE GEOGEBRA COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA DENTRO DEL AULA DE MatemáticaS Héctor M. Ruíz Vahos Vermont School Medellín. [email protected] Piedad E. Ávila Mejía Vermont School Medellín. [email protected] Jhony A. Villa Ochoa Universidad de Antioquia. [email protected]

Resumen

Este cursillo es presentado con el fin de crear un espacio de reflexión y análisis acerca de la integración de nuevas herramientas dinámicas, como el GeoGebra, dentro del ejercicio docente. El cursillo se basa en la realización de un conjunto de actividades que será presentado en tres momentos diferentes, a saber: (1) qué se ha construido y con qué intencionalidad se ha construido, (2) cómo se ha construido y, (3) cómo puede cada uno de los participantes hacer su propia construcción. Las actividades estarán centradas en tópicos como la geometría, el álgebra y el análisis matemático dentro de un ambiente dinámico basado principalmente en el desarrollo del pensamiento variacional.

Palabras

clave:

pensamiento Variacional, ambientes dinámicos, GeoGebra, Geometría, Álgebra

Abstract This workshop is presented in order to create a space for reflection and analysis on the dynamic integration of new tools such as GeoGebra within the teaching. The workshop is based on the realization of a set 446


of activities that will be presented in three different times, namely: (1) what has been built and how intentionality is built, (2) how it was built and, (3) how each of the participants can do their own construction. The activities will focus on topics such as geometry, algebra and mathematical analysis in a dynamic environment based primarily on the development of variational thinking.

Keywords: variational thinking, dynamic environments, GeoGebra, Geometry, Algebra

Introducción Actualmente algunos estudios (Villa-Ochoa, 2011; Ruiz, 2011; Ávila, 2012; Moreno, 2002), han mostrado que el uso de recursos tecnológicos en el aula de clase permiten la creación de ambientes de aprendizaje en el que los estudiantes pueden producir conocimiento matemático de una forma alternativa, donde se resalten aspectos de los conceptos no siempre explícitos en el modelo tradicional de presentación expositiva. El asistente matemático GeoGebra integra el trabajo en las áreas de geometría, álgebra y análisis matemático en un ambiente dinámico potenciando entre otros, el desarrollo del pensamiento variacional, el cual será el principal pensamiento a trabajar a lo largo del taller. El pensamiento variacional hace énfasis en la habilidad que tiene una persona para identificar estados de cambio de una o más “variables” y relaciones entre ellas, patrones existentes en secuencias, así como el manejo y creación de funciones como representaciones de situaciones de variación. En este sentido GeoGebra al recrear ambientes dinámicos, permite a los usuarios la visualización y representación de relaciones de covariación. Este documento presenta las principales actividades y elementos teóricos que orientaron el desarrollo y diseño de un taller en el uso de GeoGebra, cuyos propósitos se centraron en la creación

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de un espacio de reflexión y análisis sobre la integración de una herramienta dinámica e interactiva dentro del ejercicio del docente de Matemáticas a partir del manejo instrumental del software y de la práctica de cada uno de los participantes. Con base en lo anterior, GeoGebra puede asumirse como una herramienta didáctica, puesto que es un elemento físico o simbólico que, dentro del aula de clase, provee de cierta ventaja al maestro para la presentación de una temática particular, y que a la vez le proporciona al estudiante una forma de representación, visualización y organización de los conceptos trabajados en el estudio de ciertos conceptos o procedimientos.

Aspectos metodológicos del taller Para contribuir al mejoramiento de algunas prácticas al interior del aula de clase y apoyándose en el uso de las tecnologías de información y la comunicación, se presenta el taller: el uso de GeoGebra como herramienta didáctica dentro del aula de Matemáticas. La propuesta del taller está dirigida a docentes convencidos de la necesidad de transformar sus prácticas usando recursos innovadores, creativos e interesantes, este tipo de ambientes de aprendizaje permiten compartir con sus estudiantes el enorme potencial didáctico que presentan los espacios virtuales como GeoGebra, mostrándoles una oportunidad diferente de apropiarse del conocimiento. El taller, tiene como metodología de trabajo, orientar y crear espacios de reflexión en cuanto a la posibilidad de diseñar una serie de técnicas y estrategias que ayuden a direccionar y relacionar los saberes de los maestros con la integración de GeoGebra en el aula escolar, permitiendo que los procesos de enseñanza y aprendizaje se dinamicen y al mismo tiempo se posibiliten la significación de objetos matemáticos en el estudiante.

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Para alcanzar los propósitos del taller, éste se puede desarrollar en tres momentos a saber: Momento I ¿Qué se ha hecho y con qué propósito? Donde se pretende mostrar lo que se ha construido con el software, en relación con la creación de material de apoyo, es decir, muestra algunas de las actividades que los talleristas han realizado e implementado en su ejercicio docente; asimismo, se espera construir algunas reflexiones sobre la manera cómo los conceptos matemáticos adquieren otras características poco visibles con otras estrategia convencionales. Momento II ¿Cómo se construyeron? Esta fase del trabajo tiene como principal objetivo analizar con el participante, los elementos matemáticos e instrumentales de construcción de las actividades presentadas, mostrando así, las utilidades, herramientas y limitaciones del programa; así como las diferentes conceptualizaciones de los mismos objetos matemáticos y maneras de reconstruirlos Momento III Incursionando en las construcciones. En este momento se le propone a los participantes diferentes situaciones en las cuales los profesores deban hacer un uso articulado de las herramientas presentadas en el software, las cuales redunden en la visualización y interpretación de diferentes propiedades de los objetos matemáticos. Otro tipo de actividades que dan cuenta de una diferente apropiación del software, implicaría la creación de herramientas al interior del mismo por parte de los participantes, así como un uso avanzado de las potencialidades del programa, por ejemplo listas asociadas

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a tablas y secuencias; sin embargo estos elementos escapan de los intereses de este documento. Estos momentos se desarrollaran en el taller, a partir de la articulación de dos actividades, las cuales han sido extraídas de previos estudios realizados por los autores (Villa-Ochoa, 2011; Ruiz, 2011; Ávila, 2012) las cuales se presentan a continuación.

Actividad 1. La elipse como lugar geométrico En esta actividad (Figura 1) se presenta a los participantes una situación en GeoGebra mostrando una familia de triángulos con igual base e igual perímetro, donde ellos pueden analizar y describir las características que cumple el vértice opuesto al segmento “base” para formar un lugar geométrico que se presenta en GeoGebra, la primera parte de la actividad consiste en indagar sobre cuáles elementos varían y de qué forma lo hacen, así como en la posibilidad de establecer unas regularidades de lo observado. Figura 1: Situación propuesta a los participantes en la intervención


Esta actividad posibilita una aproximación a la elipse como el lugar geométrico de todos los vértices opuestos a la base de un triángulo de perímetro constante, lo cual introduce de manera alternativa definición estándar de esta curva; esta aproximación presenta una 450


especial ventaja, pues según Ruiz (2011), ofrece significados a la elipse desde la manipulación y experimentación con el software GeoGebra. Del trabajo de Ruiz (2011) se puede identificar que inicialmente la variación toma un carácter cualitativo, en el cual la dependencia o covariación entre cantidades estará ligada a un fenómeno determinado, es decir, inicialmente los participantes describen las características del movimiento, con lo cual deben procurar establecer y validar diferentes regularidades, de esa manera se espera que ellos reconozcan las diferentes cantidades y sus relaciones en la situación. De este modo, se podrá observar que los participantes atraviesan por diferentes momentos en los cuales está involucrado el desarrollo del pensamiento variacional: percepción cualitativa de la variación, establecimiento de patrones al interior del cambio y establecimiento cuantitativo de la variación (Villa-Ochoa y Ruiz, 2010). Las captaciones de las variaciones, así como la relación entre los objetos de la elipse estarán mediadas por las imágenes que irán emergiendo de la visualización proporcionada por el software y por las conjeturaciones y proposiciones de los participantes. Estos elementos ponen de manifiesto que la visualización es un proceso que va más allá del simple acto de mostrar una imagen, así como considerarla como una herramienta fundamental en el proceso de aprendizaje, pues como afirman Borba y Villarreal (2005), los medios hacen parte de nuestra naturaleza y de esa manera el proceso de aprendizaje se observa como una unidad donde la separación entre lo interno y externo, es decir los medios se convierten en la forma en cómo se aprende.

Actividad 2. GeoGebra en el estudio de la variación lineal Desde Ávila (2012), se propone una actividad en la que se trabaja la función lineal desde una serie de momentos que convergen

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finalmente en la manipulación de gráficas y la puesta en práctica de los diversos complementos del software GeoGebra. A continuación se hace una descripción más detallada de la misma. Para el desarrollo de la actividad se propone realizar una previa discusión y una búsqueda de información con respecto al consumo de telefonía celular. Con esta información se propone a los participantes se realicen una comparación de diferentes planes y que analicen la información de acuerdo a sus necesidades. Posteriormente a través de GeoGebra se propone construir dos gráficas correspondientes a dos planes de telefonía celular, las cuales permiten los estudiantes profundizar en las relaciones de variación lineal que en ellas intervenían. En la Figura 2 se muestra el ambiente de esta situación. Figura 2: Comparación tarifas de telefonía celular


Según Ávila (2012) esta actividad ha permitido en los estudiantes (en la actividad hay un punto móvil que a partir de su movimiento genera la comparación de los planes, el incremento de los costos) observar el cambio del precio por unidad, lo cual se constituiría en la tasa de variación constante que a su vez ofrece significados a la función lineal a través de la variación. Este tipo de actividades son importantes ya que permiten una aproximación al concepto de función a través de la comparación de los planes de telefonía y la 452


manipulación de su representación gráfica; posteriormente a través de la identificación de regularidades observadas en la gráfica, se construye la expresión algebraica como una manera de representar las relaciones entre las cantidades que intervienen en las cantidades de la situación. Este tipo de secuencias se muestra importante porque los conceptos matemáticos como la función se introducen con la representación gráfica, a partir de la experimentación con el software, lo cual como se mencionó anteriormente, ofrece ciertos insights sobre dichos conceptos; y así la representación algebraica aparece como una representación más de un fenómeno y no como el único punto de partida del mismo.

Consideraciones finales Las herramientas como el Software GeoGebra son recursos útiles en el aula de clases de Matemáticas, ya que permiten que los estudiantes muestren a través de la puesta en práctica de aquellos conocimientos previos lo que han logrado interiorizar hasta el momento. Las actividades de aula, diseñadas específicamente para la producción del conocimiento a partir de la manipulación, la visualización, la utilización de software educativos y el uso de diversos contextos o representaciones, permiten que los docentes mejoren significativamente sus herramientas de trabajo dentro del aula y de esa manera los estudiantes tengan momentos de “diversión” y “tensión” que los llevan directamente a la búsqueda de diversos resultados, además de convertirse en un reto y una forma de mostrar sus habilidades, generando en ellos un mayor sentido de competitividad. Con los elementos teóricos y prácticos brindados en este taller se espera que los participantes generen nuevas experiencias y actividades, las cuales puedan ser aplicadas con sus estudiantes, ampliando así sus estrategias didácticas y

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comunicativas en cuanto a la enseñanza de las matemáticas. Por otro lado, se espera generar una nueva actitud por parte de los asistentes en cuanto a la implementación de nuevas estrategias metodológicas que propicien la motivación en el estudiante, favoreciendo así el aprendizaje.

Referencias bibliográficas [1] Ávila, P. (2012). Razonamiento covariacional a través de software dinámico. el caso de la variación lineal y cuadrática. Trabajo de Maestría no publicada. Medellín: Universidad Nacional de Colombia. [2]

Borba, M., & Villarreal, M. (2005). Humans-with-Media and the reorganization of mathematical thinking.New York: Springer.

[3] Moreno, L. (2002). Evolución y Tecnología. En: ColombiaMEN, Incorporación de nuevas tecnologías en el currículo de la educación media en Colombia (pp. 67 - 80). Bogotá: MEN. [4]

Ruiz, H, (2011) Génesis instrumental en el estudio de la elipse desde una perspectiva variacional: el caso de GeoGebra. Tesis de Maestría no publicada. Medellín: Universidad de Antioquia.

[5]

Villa, J. (2011). la comprensión de la tasa de variación para una aproximación al concepto de derivada. Un análisis de la teoría de Pirie y Kierem. Tesis Doctoral no publicada, Medellín: Universidad de Antioquia.

[6] Villa, J. y Ruiz, M. (2010). Pensamiento variacional: sereshumanos-con GeoGebra en la visualización de noción variacional. Educação Matemática Pesquisa, 10 (3), 514-528.

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15. VISUALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE RECTA TANGENTE A UNA CURVA CON AYUDA DE GEOGEBRA Sergio Alarcón Vasco Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Héctor Herrera Mejía Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen La visualización en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ha venido siendo un aliado importante en el diseño de estrategias metodológicas para la construcción de los conceptos básicos; esto debido, entre otras cosas, a la facilidad que brindan hoy día las nuevas tecnologías, en particular a programas especializados como GeoGebra. En el caso específico de la construcción del concepto de recta tangente a una curva, como el “límite de una secante variable”, GeoGebra, por su gran componente dinámico y visual, hace más fácil dicho proceso y, además, permite al docente estudiar la manera como se forma o se manifiesta en los alumnos su concepto imagen, permitiéndole evidenciar obstáculos que dificulten la comprensión y ayudar a superarlos. Con este trabajo se pretende, entonces, presentar la visualización como una herramienta clave para la construcción del concepto de recta tangente a una curva, como el “límite de una secante variable”, a través de la componente visual y dinámica que se obtiene a partir de GeoGebra, y de las nociones de concepto imagen y concepto definición.

Palabras

clave: visualización, comprensión, concepto imagen, concepto definición, recta tangente

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Abstract The visualization, in teaching and learning of mathematics process, has been an important ally in the design of methodological strategies for the construction of the basic concepts, because of, among other things, to the facility that new technologies provide nowadays, in particular, specialized programs such as GeoGebra. In the particular case of the construction of the concept of tangent line to a curve, as the “limit of a variable secant “, GeoGebra, due to their dynamic and visual component, makes the process easier and, also, allows the teacher to study the manner as is formed or manifested in students the concept image, allowing the evidence of obstacles which hinder the understanding and help to overcome them. Thispaper seeks, then, to present visualization asa key toolfor the constructionof the concept oftangent to acurve, asthe”limit ofa variable secant “, through thevisualand dynamiccomponent which is obtained fromGeoGebra, and notionsof image conceptand definition concept.

Keywords: visualization, understanding, image concept, definition concept, tangent line.

Introducción El concepto de recta tangente a una curva como “el límite de una secante variable” es clave para la comprensión de conceptos básicos del cálculo diferencial como son el límite y la derivada. No obstante, este concepto se enseña a los alumnos en los cursos de geometría en relación al círculo, a partir de la definición III-2 de Elementos de Euclides, como “una recta que toca al círculo y prolongada no lo corta”(Euclides, 1970). De acuerdo con Vinner (Vinner, 1991)esta definición puede tener una representación visual como la que se muestra en la siguiente figura:

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Figura 1: Representación visual de la recta tangente al círculo

Fuente: Elaboracion de los autores

Este cuadro, asegura Vinner (1991), hace que los alumnos en algunos casos construyan una imagen mental para el concepto de recta tangente como la siguiente: Figura 2. Imagen mental para el concepto de recta tangente


Aunque en los cursos de cálculo diferencial a los alumnos se les presenta la definición formal de tangente como el límite de una secante variable, su concepto imagen mantiene presentes, en la mayoría de los casos, cuadros como los de la Figuras 1 y 2,llevándolos a adquirir concepciones que los hace pensar en la recta tangente a una curva como “una recta que no puede cortar a la curva” o como “una recta que solo puede tocar a la curva en el punto de tangencia y no en algún otro punto de la curva” (Alarcón y Suescún, 2005), que es típico de la tangente al círculo en el contexto de Euclides. Estas concepciones hacen que la definición euclídea se convierta en un obstáculopara la comprensión del concepto de recta tangente 457


como el “límite de una secante variable”, que dificulta hallar la tangente a ciertas curvas por puntos específicos de ellas, llevando muchas veces a que se cometan errores en el intento de hallarlas, y haciendo que en los alumnos su concepto imagen y su concepto definición entren en conflicto (Vinner, 1991), (Tall & Vinner, 1981), (Tall, 1985). Las estrategias didácticas para la construcción del concepto de recta tangente deben ser diseñadas de tal manera que pueda contarse con situaciones que ayuden al docente a poner en evidencia, en sus alumnos, obstáculos que dificultan el proceso de construcción del concepto y otras que ayuden a superarlos. De esta manera puede lograrse la integración entre el concepto imagen y el concepto definición, y obtener así una buena comprensión del concepto. Es aquí donde GeoGebra toma su importancia, debido a su carácter dinámico y a la posibilidad que brinda de visualizar los objetos matemáticos, lo que hace más fácil para el alumno construir el concepto y para el docente estudiar la manera como se forma o se manifiesta en los alumnos su concepto imagen.

Metodología Las actividades desarrolladas en el cursillo son de carácter netamente visual e integran dos escenarios. El primer escenario comprende un cuestionario escrito de 10 preguntas con el que se quiere, mediante el análisis del concepto imagen y el concepto definición, poner en evidencia obstáculos que retrasan la comprensión del concepto de recta tangente a una curva. Se busca con esto analizar las representaciones visuales que se tienen del concepto y las traducciones que, de forma verbal, puedan darse a dichas representaciones. De esta manera, se espera encontrar concepciones erróneas con respecto a dicho concepto.

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El segundo escenario utiliza GeoGebra en el diseño de objetos de aprendizaje donde se pretende, además de construir el concepto de recta tangente como el límite de una secante variable, ayudar a superar los obstáculos que retrasan dicho proceso. Este segundo escenario comprende, a su vez, dos situaciones. Con la situación 1 se busca construir el concepto de infinito potencial y con la situación 2 construir, con ayuda del concepto de infinito potencial, el concepto de recta tangente.

Resultados Se espera que al final del cursillo los participantes puedan ver la eficacia de GeoGebra, por sus características dinámicas y visuales, en el diseño de objetos de aprendizaje para la construcción de los conceptos matemáticos, en particular del concepto de recta tangente como el límite de una secante variable. Igualmente, que puedan ver la importancia del proceso de construcción en conceptos básicos del Cálculo, en este caso comprender el concepto de recta tangente a una curva como el límite de una secante variable.

Conclusiones La visualización, en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, toma gran importancia en el diseño de estrategias didácticas para la construcción de los conceptos básicos. GeoGebra por su carácter dinámico y visual es una gran herramienta para el diseño de objetos de aprendizaje que faciliten la construcción de los conceptos matemáticos, en particular del concepto de recta tangente a una curva, como el límite de una secante variable. El concepto de recta tangente a una curva, como el límite de una secante variable, es clave para la construcción del concepto de límite y de derivada; su falta de comprensión puede traer dificultades en dicho proceso. Las concepciones de los alumnos, con respecto a un concepto

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matemático, se pueden convertir en obstáculos de aprendizaje que llevan, muchas veces, a comprender de manera errada o parcial dicho concepto. Este trabajo está enmarcado dentro del proyecto de investigación “Diseño e implementación de una estrategia metodológica para la construcción de los conceptos básicos del cálculo, a partir del concepto de infinito potencial”; Grupo Da Vinci, ITM, Medellín.

Referencias bibliográficas [1] Alarcón, S., y Suescún, C. (2005). El obstáculo euclídeo en la construcción del concepto de tangente. Tesis de Maestría. Medellín: Universidad de Antioquia. [2] Vera, F. (1970). Científicos griegos: Euclides: Elementos de Geometría.Madrid: Aguilar, Vol.1. [3] Tall, D. (1985). Transition to Advanced Mathematical Thinking: Functions, Limits, Infinity and, Proof. Learning from Instruction. [4] Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics , 151-169. [5] Vinner, S. (1991). The Role of Definitions in the Teaching and Learning of Mathematics. In D. O. Tall, Advanced Mathematical Thinking. Boston: Kluwer.

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16. LA CALCULADORA Y SU ROL EN EL DESARROLLO DE LOS CÁLCULOS Carlos Enrique Villa Arango Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

Resumen El ser humano, en su afán de mejorar y agilizar las operaciones con cantidades, fue ideando formas, métodos, instrumentos y aparatos que le auxiliaran al proceso cerebral a retener valores y utilizarlos en rutinas y procedimientos cada vez más precisos y complejos, máxime cuando estos están relacionados con funciones abstractas y científicas que por su grado de dificultad y magnitud ya no era posible procesarlas mentalmente.

Palabras

clave:

cálculo aritmético, cálculo científico, funciones, operaciones, procedimientos, memorias, calculadora, calculadora científica

Abstract Human beings in their quest to improve and streamline operations with quantities was devising ways, methods, tools and equipment to serve you brain process to retain values and used it in routines and procedures in increasingly precise and complex, especially when these are related to abstract and scientific functions by their degree of difficulty and size, could not process them mentally.

Keywords:

arithmetic computation, scientific computation, functions, operations, procedures, reports, calculator, scientific calculator

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Introducción El interés por recordar datos o cantidades movió al ser humano, en tiempos prehistóricos, a grabar con sus utensilios puntiagudos en árboles, piedras y huesos, muescas que representaran cada una la unidad y, en conjunto, un resultado o suma de algo que para él era importante tener como registro escrito. En la Figura 1 se puede observar una fotografía y un dibujo en los que es clara la intención del autor de recordar cantidades y de llevar cuentas. Figura 1: Formas de recordar cantidades

Asta de reno con muescas

Huesos tallados

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada.

Cálculos Contar implica calcular. La palabra cálculo proviene del nombre calculus, con el que designaron las piedras o canicas que los primitivos usaron inicialmente para hacer sus operaciones mediante el proceso de adición simple y adición por agrupación hoy llamado multiplicación. En la Figura 2 los dibujos recrean dos situaciones que supuestamente se presentaban habitualmente en las eras primitivas, en las que

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seguramente algunos de nuestros antepasados dedicaban buena parte de su tiempo. Figura 2: Recreación artística de primitivos calculistas

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/

Ábacos: Esas piedras o canicas entrelazadas (llamadas también “cuentas”) constituyeron el ábaco romano que, junto con el suanpan chino, instauran las primeras máquinas de calcular (Figura 3), entendidas como de contar. Figura 3: Diferentes tipos de ábacos.

Fuente: http://www.google.com.co/search?q=abaco+romano&hl=es-419&prmd=imvns&tbm=isch&tbo =u&source=univ&sa=X&ei=ih3_T5CTH-jo6wHb3LjBBg&ved=0CFsQsAQ&biw=1440&bih=773

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Reglas de cálculo Luego de los ábacos, el ser humano necesitó de cálculos de funciones especiales como las trigonométricas, para lo cual se desarrollaron las tablas de valores, con las que se pudieron efectuar operaciones especiales en las que primaba la interpolación y la extrapolación. Vinieron luego las reglas de cálculo, que son instrumentos diseñados para realizar operaciones y obtener respuestas mediante el uso de escalas diferentes (medición analógica) con algún grado de precisión. Fueron utilizadas masivamente desde mediados del siglo XIX hasta casi finales del siglo XX. La regla de cálculo fue inventada entre 1620 y 1630, unos años más tarde de la invención de la noción y propiedades de los logaritmos naturales por John Napier (1614), y posterior conversión a base diez por Henry Briggs (1617). Fue hacia 1621 cuando William Oughtred (matemático inglés) juntó las escalas de dos líneas de Gunter, creando así la regla de cálculo tal como se conoció. El profesor Oughtred era un catedrático de Matemáticas inflexible, que proyectaba a sus alumnos hacia el aprendizaje razonado y con habilidades operativas, por lo que no permitía la utilización de artefactos de ningún tipo, por lo que conservó el instrumento para uso propio y no lo divulgó. Su alumno Richard Delamain reveló el invento en 1630. En la Figura 4 se muestran varios tipos de reglas de cálculo usadas masivamente por los estudiantes y docentes hasta finales del siglo XX.

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Figura 4: Reglas de cálculo

Fuente: Elaboración del Autor

Historia de las calculadoras Calculadoras mecánicas Las primeras calculadoras fueron de funcionamiento mecánico. El matemático escocés John Napier en 1617 inventó la primera máquina multiplicadora. Blas Pascal, filósofo y matemático francés, fue el primero en diseñar y fabricar una calculadora con capacidad de sumar números de seis cifras por medio del desplazamiento de las decenas (Figura 5), mejorada en 1693 por el matemático alemán Gotfried Whilelm Leibniz hasta lograr que calculara raíces cuadradas. Figura 5: Calculadora de Pascal: “Pascalina” (1642)

Fuente:http://www.google.com.co/search?q=abaco+romano&hl=es419&prmd=imvns&tbm=isch&tbo= u&source=univ&sa=X&ei=ih3_T5CTH-jo6wHb3LjBBg&ved=0CFsQsAQ&biw=1440&bih=773

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Se diseñaron y elaboraron calculadoras muy sofisticadas inicialmente de tamaño gigante, con múltiples ejes y piñones que eran accionados con bielas y manivelas de acuerdo con las cantidades que se estuvieran sumando o multiplicando. En la Figura 6 se pueden apreciar dos modelos de las calculadoras mecánicas para oficina cuando el tamaño ya era racional. Por la utilidad en el procesamiento de cifras y la facilidad para la realización de operaciones Matemáticas, desde finales del siglo XVII hasta mediados del siglo XX las calculadoras mecánicas dominaron el mercado de automatización de escritorio. Figura 6: Calculadoras mecánicas

Fuente:https://www.google.com.co/search?q=calculadoras+mecanicas&hl=es419&prmd=imvns&tbm=i sch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=Vh7_T7fFG4eu8QSSnvTeBg&ved=0CGIQsAQ&biw=1440&bih=773

Calculadoras electrónicas El conocimiento de las propiedades de la electricidad se convirtió en el aliado para diseñar y construir artefactos eléctricos y electrónicos. La primera aplicación industrial extendida fue el telégrafo eléctrico de Samuel Morse (1833), que revolucionó las telecomunicaciones. La generación intensiva de electricidad se dio finalizado el siglo XIX, cuando la iluminación eléctrica llegó hasta las calles y las casas.

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No fue hasta el siglo XX cuando se fabricaron las primeras calculadoras electrónicas. Inicialmente eran unos aparatos pesados y de gran tamaño que difícilmente realizaban las cuatro operaciones fundamentales con éxito. A finales de 1961 se fabricó la calculadora electrónica Anita (Figura 7), convirtiéndose en la primera calculadora electrónica de escritorio. En su construcción se usaron tubos de vacío y tubos de conmutación de cátodos fríos en su lógica de circuitos y tubos nixie (válvulas utilizadas para representar visualmente una serie de símbolos, normalmente las cifras 0 a 9, punto o coma, signos más y menos, etc.), para sus pantallas numéricas. Figura 7: Calculadora electrónica Anita

Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AnitaMk8-01.jpg?uselang=es

Fue solo a partir de 1970 que los chips permitieron la fabricación de calculadoras de bajo consumo energético, lo que permitió la obtención de equipos más livianos y portátiles con el uso de pequeñas baterías. El sistema de visualización inicialmente utilizado fue el VFD (Vacuum Fluorescent Display), consistente en un tubo fluorescente al vacío que transforma una señal eléctrica en representación simbólica y numérica lumínica (Figura 8).

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Figura 8: Vacuum Fluorescent Display

Fuente:https://www.google.com.co/search?q=vacuum+fluorescent+display&hl=es419&prmd=imvns& tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=KB__T7mjIYWC8QSEt6XdBg&ved=0CGQQsAQ&biw=1440 &bih=773

También se comercializaron las calculadoras con visualización tipo LED (Light Emitting Diode) o diodo emisor de luz, que para ese entonces, emitían luz roja de baja intensidad (Figura 9) Figura 9: Pantalla tipo LED

Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unilinea.jpg?uselang=es

La primera calculadora electrónica portátil de Casio fue la MINI Cm-602 (Figura 10), de seis dígitos en pantalla tipo VDF trae las

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cuatro operaciones fundamentales y posibilidad de trabajar con dos decimales. Figura 10: Primera calculadora electrónica Casio 1972


Entre esas primeras calculadoras electrónicas portátiles, está la “Rockwell Automatic percent” (Figura 11), que solamente efectuaba operaciones aritméticas simples y el porcentaje. No tenía incorporada la raíz cuadrada.. Figura 11: Calculadora Rockwell1974


La Mini Handy 80 SR de UNITREX (Figura 12), cuyo año de fabricación fue 1974, tiene pantalla con LED rojos. Presenta operaciones aritméticas, porcentaje, memoria, funciones trigonométricas, logaritmos y raíz cuadrada. Tiene la particularidad de que trabaja con base en logaritmos naturales pero entrega las

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potencias aproximadas, como por ejemplo el cubo de dos que da 7.9999999. Figura 12: De las primeras calculadoras

Fuente: Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unilinea.jpg?uselang=es

Vienen luego las calculadoras marca Texas Instrument con las operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación, división y funciones trigonométricas. Ya en el año 1976 las calculadoras de bolsillo más sencillas tenían un menor costo y resultaron más asequibles al público. Cada vez salían al mercado más marcas de calculadoras con más funciones y por lo tanto más adecuadas para los trabajos técnicos y científicos. No obstante, el costo de las calculadoras era enorme y no era viable para el público en general. A nivel universitario solo los más pudientes podían tener acceso a estos aparatos, lo que hacía la educación universitaria elitista.

Calculadoras científicas La primera calculadora capaz de realizar cálculos algebraicos fue la HP-28, fabricada en 1987. Podía resolver, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas. La primera calculadora graficadora fue una Casio, el modelo fx-7000G producida desde 1985.

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Los tres más importantes y primeros productores de calculadoras, Hewlet Packard, Texas Instrument y Casio, fabricaron modelos con cada vez más funciones y características durante las décadas del 80 y 90. Las calculadoras más completas, o sea con más funciones y características, llamadas “científicas”, admiten cálculos de logaritmos, exponenciales, funciones trigonométricas, estadísticas entre otras. Las más desarrolladas, fuera de realizar gráficos, tienen características de los sistemas algebraicos computacionales, siendo también programables para aplicaciones tales como resolver ecuaciones algebraicas, modelos financieros e incluso juegos. La gran mayoría de estas calculadoras tienen la opción de mostrar números grandes enteros o decimales completos en la pantalla y la posibilidad de usar la notación científica para registrar números por hasta un límite dispuesto por el diseñador del modelo, como 9,999999999 × 1099. He aquí una galería (Figura 13) con modelos de calculadoras científicas fabricadas y distribuidas en las décadas del 80 y 90: Figura 13: Galería con modelos de calculadoras


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A finales de siglo XX, la diferencia entre una calculadora gráfica y un PDA (personal digital assistant) o computador manual no era apreciable, pues muchas calculadoras avanzadas como la TI89, la HP-49G y la Casio Casio fx-9860 G podían hacer derivadas e integraciones de funciones.

Calculadoras tipo PC Otras referencias podían manejar procesadores de texto y software administrativo, adicional a la posibilidad de programar, conectarse a otros equipos y tener una interface para grabar programas e imprimir (ver Figura 14). Figura 14: Calculadoras programables tipo pc


Calculadoras graficadoras Ahora a principios del siglo XXI, la tendencia es hacia el uso de las calculadoras graficadoras programables. La primera calculadora gráfica fue desarrollada por Casio en 1985. Posteriormente, otras marcas siguieron su trayectoria. Las más conocidas son Texas Instruments (TI) y Hewlett-Packard (HP). Todas ellas son similares en cuanto a presentaciones y posibilidades, si comparamos modelos afines.

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No obstante lo anterior, se pueden diferenciar en el enfoque que cada marca persigue: Casio es una marca popular en el ámbito educativo. TI es la referencia en los institutos en Estados Unidos y HP obtuvo renombre en el trabajo de la ingeniería desde que lanzó sus primeros modelos. Hay cierta similitud entre las marcas pero cada una tiene sus pro y sus contra. Puede decirse que la calculadora HP es una calculadora muy completa, pero algo complicada de manejar. Está muy orientada para profesionales e investigadores. Casio es muy amigable y esta más orientada al estudiante. Las características de la TI están en el intermedio, lo que la hace especialmente competitiva. Figura 13: Tipos de calculadoras graficadoras

Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unilinea.jpg?uselang=es Figura 14: TI Voyage 200


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Calculadoras virtuales Con el computador y el internet los procesos de cálculo y graficación están al orden del día. Tenemos programas libres descargables en nuestro computador en casa, en el portátil, en la tableta (Figura 15) o en el teléfono celular y utilizarlos para nuestro beneficio personal y de las instituciones educativas. Figura 15: Tableta Galaxi

Fuente: Samsung.com

Programas educativos libres: Cocina, Editores gráficos infantiles, Educación infantil, Electrónica, Física, Genealogía, Geografía, Herramientas de autor, Idiomas, Logo, Mapas conceptuales, Matemáticas, Música, Programación, Química, Salud, entre otros. Programas de Matemáticas libres: En particular, están KBruch, CarMetal, WxMaxima, Geogebra, DrGeo, entre otros. En general, tenemos Calculadoras virtuales, Convertidores de unidades, Cálculo numérico, Cálculo simbólico, Estadística, Fractales, Geometría, Gráficos, Álgebra, entre otros. Características distintivas La precisión numérica. No todas las calculadoras tienen la misma precisión, depende de los programas que se almacenen en los chips. Los métodos de aproximación numérica (p.e. el método de Horner y Cordic) dan como resultado diferencias numéricas que pueden 474


ser descubiertas, por ejemplo, en las funciones trascendentes como las trigonométricas. En la tabla 1 se presenta el cálculo numérico de sin(22) en radianes en diferentes calculadoras: Tabla 1: Cálculo de sin (22) para diferentes calculadoras Máquina

Valor para sin(22)

Valor con 40 dígitos significativos:

−0,00885130929040387592169025 6815772332463289…

Casio FX-3900Pv

−0,0088513094194

Casio FX-991D, Casio FX-82SX, Casio FX-702P, Casio FX-603P

−0,008851309219

Casio FX-992S

−0,008851309290957

Casio ALGEBRA FX 2.0 PLUS, Casio FX-85ES, Casio CFX-9850G

−0,00885130929035655

Casio ClassPad 330 (Ver. 3.03)

−0,00885130929035651226567489

Casio FX-991ES

−0,00885130929021092

HP-10s

−0,008851309290389

HP 11C, HP 34C, Casio FX-85MS, Casio FX-115MS, Casio FX-991WA

−0,008851309289

HP-25, HP 45, HP-65

−0,008851306326

HP-48S/X, HP 48D/X, HP 49G, HP 49G+, HP 50, HP-33s, HP-35s, HP-71B

−0,0088513092904

Logitech LC-605

−0,008851304

Sharp EL-506 P, Sharp EL-5020, Sharp EL-5120, TI-35x, TI-52, Sharp PC-1401

−0,008851309

Sharp EL-W506, EL-W531

−0,0088513092902112

Sharp EL-520R

−0,00885130915412

Sharp EL-9900

−0,0088513092902122

Sharp PC-E500S (Después de cambiar a DEFDBL)

−0,0088513092904038759217

Simvalley Instruments GRC-1000

−0,008851309288957

Texas Instruments TI-25, TI-30|TI-30-SLX

−0,0088487

Texas Instruments TI-30 (LEDs rojos), TI-45, CASIO fx-3600P

−0,008851307832

Texas Instruments TI-30 eco RS

−0,0088513093286

Texas Instruments TI-30X IIS, TI-36X II

−0,008851309288956

Texas Instruments TI-35 II

−0,0088513

Texas Instruments SR-51-II

−0,00885130929151

Texas Instruments TI-51-III

−0,0088513097488

Texas Instruments TI-59

−0,008851309285516


−0,008851309290408

Texas Instruments TI-83 Plus

−0,0088513092903565


−0,0088513092904

Texas Instruments TI-200, TI-89 Titanium

−0,0088513092903565

Texas Instruments TI-Nspire CAS (primera version)

−0,0088513092901566

Texas Instruments TI-Nspire CAS (version actual)

−0,00885130929 (interna: −0,885130929016x10²)

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Calculadora

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Conclusiones Saltamos en unas pocas líneas de este escrito, de las “cuentas” o “cálculus” a las TIC, esto es, recorrimos unos quince o diez y siete mil años. Toda una historia del desarrollo del proceso de cálculo. Estos avances han posibilitado al ser humano vencer dificultades y crear caminos que conducen a una mejora en el diario vivir, por los aportes que han dado las Matemáticas a otras áreas del conocimiento. Sin las matemáticas, no tendríamos el progreso social y tecnológico actual. Resta poner todo nuestro esfuerzo, para que las aplicaciones de las Matemáticas nos conduzcan a un mundo más equitativo y en paz.

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Historia de la Calculadora. Recuperado el 5 de julio de 2012 de http://www.saber.golwen.com.ar/hcalculadora.htm.

[2]

Imágenes de la Historia de las calculadoras. Recuperado el10 de julio de 2012 de https://www.google.com.co/search?q=hi storia+de+las+calculadoras&hl=es-419&prmd=imvns&tbm= isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=5gL_T-erKsjx0gHN45yJ Bw&ved=0CF0QsAQ&biw=1440&bih=773.

[3]

Historia del negocio de las calculadoras Casio. Recuperado el 10 de julio de 2012 de http://www.casio-intl.com/latin/es/ calc/history/, http://es.wikipedia.org/wiki/Calculadora.

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DESARROLLO Y USO DIDÁCTICO DE GEOGEBRA

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