SOLUCIONARIO DE MODELO DE PRIMERA PRACTICA DE LABORATORIO
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MNYP - I
UNMSM – FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
Integrando las Cuatro Escuelas de Matemática
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Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ciencias Matemáticas E.A.P. de Computación Cientí fica Métodos Numéricos y Programación I Práctica de Laboratorio #1 1. [3puntos] Elabore una función llamada mayores que acepte como entrada un vector de números enteros y otro entero n y que devuelva la cantidad de elementos en el vector que son mayores que n, por ejemplo:
Puede apoyarse de la función length de Matlab.
2. [4puntos] Cree una función llamada f que satisfaga los siguientes criterios: x < −π → f(x) = −1 −π ≤ x ≤ π → f(x) = cos(x) x > π → f(x) = −1 Grafique sus resultados para valores de x desde −2π hasta +2π. Elija su espaciamiento para crear una curva suave.
3. [5puntos] Un recipiente de longitud L tiene u na secci´on transversal en la forma de un semic´ırculo de radio r. Cuando es llenado con agua hasta una distancia h de la parte superior, el volumen del agua es: V = L[0.5πr2 − r2arcsen(h/r) − h(r2 − h 2)1/2]
Suponga que L = 10m, r = 1m y V = 12.4m3. Usando el m´etodo de Bisecci´on, encuentre la profundidad del agua (h) en el recipiente con una tolerancia de 10−3.
4. [4puntos] La suma de dos números es 20. Si a cada número se le suma su raíz cuadrada el producto de las dos sumas es 155.55. Determine los dos números con una tolerancia de 10−4. Puede usted usar cualquiera de los métodos hechos en clase. 5. [4puntos] La función f(x) = tanπx − 6 tiene un cero en (1/π)arctan6 ≈ 0.447431543. Considere p0 = 0 y p1 = 0.48 y use sólo 10 iteraciones para cada uno de los siguientes métodos para aproximar esta raíz. ¿Qué método es más exitoso y por qué? 2
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a) Método de Falsa Posición b) Método de la Secante c) Método de Newton Solo está permitido hacer uso del material hecho en clase. 5 de junio de 2012 J.D.V
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DESARROLLO de la PRÁCTICA DE LABORATORIO # 1
1. Elabore una función llamada mayoresque que acepte como entrada un vector de números enteros y otro entero n y que devuelva la cantidad de elementos en el vector que son mayores que n .
Rpta: La función creada es: function s=mayoresque(a,n) s=0; for j=1:length(a) if a(j)>n s=s+1 end end end
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2. Cree una funcion llamada f que satisfaga los siguientes criterios: x < -π → f(x) = -1 -π < x < π → f(x) = cos(x) x > π → f(x) = -1 Grafique sus resultados para valores de x desde -2π hasta +2π. Elija su espaciamiento para crear una curva suave.
Rpta: La función creada es:
x1= -2*pi:0.01:-pi-0.01; x2= -pi:0.001:pi-0.01; x3= pi:0.01:2*pi; y1= -1*x1.^0; y2= cos (x2); y3= -1*x3.^0; x= [ x1 x2 x3]; y= [y1 y2 y3]; grid on plot(x,y) La grafica es:
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3. Un recipiente de longitud L tiene una sección transversal en la forma de un semicírculo de radio r. Cuando es llenado con agua hasta una distancia h de la parte superior, el volumen del agua es: V = L[0:5πr 2 – r 2arcsen(h/r) - h(r 2 – h2)1/2] Suponga que L = 10m, r = 1m y V = 12:4m3. Usando el método de Bisección, encuentre la profundidad del agua (h) en el recipiente con una tolerancia de 10-3.
Rpta: Hallando el numero de iteraciones: (P-PN) =2-N(b-a) 9.965784285
→ N=10
Luego:
biseccion(0,1,10^-3,10) ingrese la funcion:10*(0.5*pi*(1)-(1)*asin(h/1)-h*(1-(h^2))^(1/2))-12.4
a 1 0.0000000000 2 0.0000000000 3 0.0000000000 4 0.1250000000 5 0.1250000000 6 0.1562500000 7 0.1562500000 8 0.1640625000 9 0.1640625000 10 0.1660156250
b
p
1.0000000000 0.5000000000 0.2500000000 0.2500000000 0.1875000000 0.1875000000 0.1718750000 0.1718750000 0.1679687500 0.1679687500
0.5000000000 0.2500000000 0.1250000000 0.1875000000 0.1562500000 0.1718750000 0.1640625000 0.1679687500 0.1660156250 0.1669921875
f(p) -6.2581515070 -1.6394538749 0.8144890292 -0.4199467241 0.1957259025 -0.1125363938 0.0414932414 -0.0355475757 0.0029664107 -0.0162921977
ans = 0.16699218750000 h= 0.166
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4. La suma de dos números es 20. Si a cada numero se le suma su raíz cuadrada, el producto de las dos sumas es 155.55. Determine los dos números con una tolerancia de 10 -4. Puede usted usar cualquiera de los métodos hechos en clase. Rpta. Si a+b=20 → b=20-a … (*) Si (a + √a) × (b + √b) = 155.55 → (a + √a) × (20-a + Luego f(a) = (a + √a) × (20-a +
20 a
20 a
)= 155.55
)- 155.55 = 0
Para el método de newton , teniendo el intervalo [a,b] , entonces P0 = (a+b)/2 = 10 newton(10,10^-4,10) ingrese la funcion: (a+a^(1/2))*(20-a+ (20-a)^1/2)-155.55 Df = Inline function: Df(a) = (1+1/2/a^(1/2))*(30-3/2*a)-3/2*a-3/2*a^(1/2) N0 1 2 3 4 5 6 7
Pi 27.6599145315 19.0450234358 15.4045674418 14.3533735282 14.2462138366 14.2450707193 14.2450705891
f(Pi) -533.7872029429 -122.0173102791 -22.3093433300 -1.8887081871 -0.0197267210 -0.0000022460 -0.0000000000
ans = 14.24507058910898
Luego a= 14.2450 y remplazando en (*) se tiene b= 5.7549.
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5. La función f(x) = tanπx - 6 tiene un cero en (1/π)arctan6 ≈ 0.447431543. Considere p0 = 0 y p1 = 0.48 y use solo 10 iteraciones para cada uno de los siguientes métodos para aproximar esta raíz. ¿Que método es mas exitoso y por qué? a) Método de Falsa Posición b) Método de la Secante c) Método de Newton
Rpta: >> Para el método de falsa posición : falsaposicion(0,0.48,10^-30,10) Ingrese la funcion: tan(pi*x)-6 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0000000000 0.4800000000 0.4800000000 0.4800000000 0.4800000000 0.4800000000 0.4800000000 0.4800000000 0.4800000000
0.4800000000 0.1811942417 0.2861871658 0.3489812274 0.3870526212 0.4103047199 0.4245664829 0.4333363130 0.4387374086
0.1811942417 0.2861871658 0.3489812274 0.3870526212 0.4103047199 0.4245664829 0.4333363130 0.4387374086 0.4420669491
-5.3601052816 -4.7422109537 -4.0528212590 -3.3010690668 -2.5456377553 -1.8595503853 -1.2951533290 -0.8684850458 -0.5663580537
El método fracaso luego de 10 iteraciones.
ans = 0.44206694908170
0.447431543
>> Para el método de Secante: secante(0,0.48,10^-30,10) Ingrese la funcion: tan(pi*x)-6 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8
0.0000000000 0.4800000000 0.4800000000 0.1811942417 0.1811942417 0.2861871658 0.2861871658 1.0919861065 1.0919861065 -3.6922966654 -3.6922966654 -22.6006498547 -22.6006498547 -57.2228324726 -57.2228324726 3.5387581457 3.5387581457 -113.9444050481
0.1811942417 0.2861871658 1.0919861065 -3.6922966654 -22.6006498547 -57.2228324726 3.5387581457 -113.9444050481 -195.8949948245
-5.3601052816 -4.7422109537 -5.7026945763 -4.5511425304 -2.9435626868 -6.8423719057 -14.1720946500 -5.8235454011 -5.6576053090
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El método fracaso luego de 10 iteraciones.
ans =
-1.958949948245166e+002
-195.8949948245166
0.447431543
>> Para el método de Newton: newton(0.24,10^-30,10) ingrese la funcion: tan(pi*x)-6
newton(0.48,10^-30,10) ingrese la funcion: tan(pi*x)-6
Df =
Df =
Inline function: Df(x) = (1+tan(pi*x)^2)*pi 1 1.0960493008 2 2.7469025693 3 3.8423736204 4 5.4540397285 5 5.4482564481 6 5.4474443735 7 5.4474315464 8 5.4474315433 9 5.4474315433
-5.6887476919 -7.0196535977 -6.5400834565 0.8775651440 0.0974007602 0.0014917275 0.0000003607 0.0000000000 0.0000000000
ans = 5.44743154328875
0.447431543
Inline function: Df(x) = (1+tan(pi*x)^2)*pi 1 0.4675825019 3.7851052523 2 0.4551291915 1.0468681519 3 0.4485512339 0.1329583650 4 0.4474551843 0.0027492252 5 0.4474315538 0.0000012246 6 0.4474315433 0.0000000000 7 0.4474315433 0.0000000000 8 0.4474315433 -0.0000000000 9 0.4474315433 0.0000000000 10 0.4474315433 -0.0000000000 el metodo fracaso luego de 10 iteraciones.
ans =
0.44743154328875
0.447431543
Se nota que para el método de newton, si tomamos el punto inicial P= (p0 = 0 + p1 = 0.48)/2 = 0.24 el resultado no es equivalente a un cero de la función; pero si tomamos solo el punto p1 = 0.48, el resultado es equivalente a la solución de la afirmación dada. Por lo tanto, el método que tuvo mas éxito es el Método de Newton para el punto p1 = 0.48.
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