Desain soal bertipe Pemodelan Matematika Sederhana Penulis: Dr.rer.nat. Adi Nur Cahyono, S.Pd., M.Pd Prof. Dr. Hardi Suyitno, M.Pd Matematika ada di sekitar kita. Berjalan di dunia dengan mata terbuka maka akan menemukan matematika di mana-mana (Blum 2006). Dalam kehidupan seharihari, banyak hal/masalah yang menggunakan matematika sebagai alat untuk menyelesaikannya. Permasalahan-permasalahan nyata dalam kehidupan sehari-hari dapat digunakan untuk mendesain soal untuk pelajaran matematika dengan beberapa kriteria yang harus terpenuhi. Permasalahan-permasalahan Permasalahan-permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan mengikuti siklus pemodelan matematika dengan kategori sederhana.
1. Kriteria soal bertipe pemodelan matematika Menurut Reit dan Ludwig (2013) soal pemodelan matematika memuat beberapa kriteria, yaitu: konteks yang otentik (Maaß 2007), nilai numerik yang realistis (Müller dkk. 2007), karakter pemecahan masalah (Maaß 2007), format naturalistik untuk pertanyaan, keterbukaan terkait dengan ruang lingkup permasalahan. Untuk membantu pendesainan soal pemodelan, Maaß (2010) mengidentifikasi lima faktor yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan soal pemodelan yaitu: ruang lingkup proses pemodelan, jumlah data yang diberikan, sifat dari hubungan tugas dengan realitas, situasi kontekstual, dan jenis model yang digunakan. Proses pemodelan yang dilakukan dalam pembelajaran matematika di sekolah, khususnya bagaimana siswa menghubungkan antara dunia nyata dan pengetahuan matematika mereka, memerlukan soal pemodelan matematika yang sederhana. Soal pemodelan matematika untuk sekolah dapat disusun berdasarkan kriteria dari Reit dan Ludwig (2013) dengan kategori sederhana yang dapat diidentifikasi berdasarkan faktor-faktor yang ditawarkan oleh Maaß (2010).
2. Contoh soal bertipe pemodelan matematika sederhana BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti Kemenristekdikti RI, 2018
Berdasarkan kriteria-kriteria dan memperhatikan faktor-faktor yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, di bagian ini disajikan beberapa contoh soal pemodelan matematika kategori sederhana yang dapat digunakan dalam pembelajaran matematika di sekolah. Berikut ini adalah beberapa contoh soal bertipe pemodelan matematika sederhana. Contoh pertama adalah soal tentang berat badan. Berat badan. Seorang anak dan ibunya ditimbang secara bersamaan menunjukkan
berat 73 kg. Anak tersebut dan ayahnya ditimbang secara bersamaan menunjukkan berat 91 kg. Ayah dan ibu dari anak tersebut ditimbang secara bersamaan menunjukkan berat 122 kg. Berapa berat badan ketiga orang tersebut jika ditimbang secara bersamaan?
Untuk menyelesaikan soal tersebut dapat diawali dengan melakukan identifikasi variabel, besaran, dan tujuan untuk didefinisikan secara matematis dan membentuk persamaan-persamaan, kemudian diselesaikan dan hasilnya diinterpretasikan ke dalam situasi nyata. Contoh soal kedua adalah soal tentang pasta gigi (Gambar 4) yang didesain oleh Reit (2016). Pasta gigi. Menyikat gigi adalah bagian dari rutinitas sehari-hari kita. Dapatkah
Anda memberikan rumus umum untuk berapa hari kira-kira sebuah pasta gigi dipakai hingga habis? Berikan alasan secara matematis!
Gambar 4. Pasta gigi dan sikat gigi (Reit, 2016).
BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
2
Soal ini merupakan soal terbuka yang mengarahkan pada pencarian formula umum untuk mengetahui berapa lama pasta gigi akan habis jika dipakai. Untuk menyelesaikan soal ini diperlukan asumsi tentang ukuran sikat gigi dan tempat pasta gigi. Soal tentang pemodelan matematika sederhana juga dapat didesain berdasarkan objek nyata di lingkungan sekitar seperti yang dilakukan dalam proyek MathCityMap, yaitu proyek math trail yang didukung oleh pemanfaatan GPSenabled mobilephone application (Cahyono, 2018). Dalam proyek ini soal bertipe pemodelan matematika sederhana yang berkaitan dengan suatu objek di lingkungan sekitar didesain dan diunggah kedalam sebuah portal (www.mathcitymap.eu) kemudian soal-soal tersebut dapat diakses dan diketahui lokasinya melalui sebuah aplikasi yang didukung oleh fitur GPS, yaitu MathCityMap App. Salah satu soal yang ada pada proyek tersebut adalah soal tentang Polder Semarang Tawang (Gambar 2.2) yang didesain oleh Cahyono & Ludwig (2017). Polder Semarang Tawang. Polder Semarang Tawang berfungsi mengatasi
masalah banjir di Kawasan Kota Lama Semarang. Andaikan sekarang kawasan kota lama sedang dalam keadaan darurat, dan anda diminta untuk menaikkan pintu air satu meter dari posisi semula. Berapa kali kendali pintu air harus diputar?
Gambar 5. Polder Semarang Tawang (Cahyono & Ludwig, 2017). Soal ini hanya dapat diselesaikan dengan mendatangi dan mengumpulkan informasi nyata di lokasi. Informasi tersebut dapat berupa cara kerja alat, ukuran dan informasi lainnya.
BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
3
Tong Miring. Sebuah tong berbentuk silinder dengan diameter 2 meter dan tinggi
5 meter dimiringkan sehingga tepi bagian atasnya sama tinggi dengan garis-tengah alasnya. Jika tong tersebut akan diisi pasir, Berapa maksimal banyak pasir yang bisa diisikan kedalam tong dengan posisi tersebut?
Salah satu alternatif penyelesaian soal tersebut adalah dengan menggunakan aplikasi integral, khususnya menghitung volum benda pejal. Gelas Kopi Raksasa. Contoh soal keempat adalah soal tentang kopi raksasa
(Gambar 6). Di depan sebuah kedai kopi, seorang mahasiswa sedang berfoto dengan sebuah gelas kopi raksasa. Kira-kira seberapa tinggi raksasa itu agar gelas tersebut cocok? Jelaskan solusi Anda!
Gambar 6. Gelas Kopi Raksasa Dengan memanfaatkan informasi tentang perkiraan tinggi orang di sebelah gelas kopi raksasa pada gambar 6, maka dapat diperkirakan besar gelas kopi tersebut. Gunakan perbandingan antara perkiraan ukuran gelas yang dipakai orang normal untuk mengetahui ketinggian raksasa yang mungkin cocok untuk menggunakan gelas raksasa tersebut. Memindahkan papan. Sebuah papan berukuran lebar 3 meter, panjang 9,5 meter,
dan tinggi 3 meter. Papan tersebut akan dipindahkan dari suatu ruangan ke ruangan yang lain melalui sebuah lorong dengan lebar 5 meter dan tingginya 9 meter dan terdapat sebuah belokan berbentuk siku-siku yang harus dilewati. Dapatkah papan itu dipindahkan melewati belokan tersebut? Berikan alasan secara matematis! BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
4
Meyelesaikan soal ini dapat dilakukan membuat sketsa grafik yang berdasarkan model matematis yang dapat dirumuskan dari situasi nyata. Kemudian grafik tersebut ditafsirkan untuk menarik kesimpulan. Kegiatan ini dapat dimodifikasi untuk mengarahkan pada penemuan suatu nilai minimum dari suatu fungsi. Prose melukis grafik sebagai ekspresi matematika pada pemecahan soal tersebut dapat dilakukan dengan bantuan software komputer. Buah Pir. Berapakah volum satu buah pir? (Gambar 7)
Gambar 7 Buah Pir (Sumber: Horticultural Society of London dicetak pada 1822) Tentu saja, ukuran tiap-tiap buah pir berbeda-beda dan strategi dalam menghitung volum buah pir tersebut juga bermacam-macam sehingga akan menghasilkan jawaban tak tunggal. Penyelesaian dapat dilakukan dengan memasukkan buah pir ke dalam tempat penuh berisi air, kemudian diukur berapa volum air yang keluar dari tempat tersebut setelah buah tersebut dimasukkan. Alternatif lainnya adalah dengan menggunakan konsep integral, khususnya volum benda putar. Sebelum melanjutkan untuk mempelajari materi selanjutnya, coba selesaikan soalsoal bertipe pemodelan matematika diatas. Gunakan berbagai macam cara penyelesaiannya. Pada bagian materi berikutnya, akan dibahas alternatif solusi dari beberapa soal diatas.
BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
5
!"#$"% '()$"*" Blum, W. (2006). Die Bildungsstandards Mathematik, Einführung. In W. Blum, R. Drüke-Noe, & O. Köller (Eds.), Bildungsstandards Mathematik: konkret, Sekundarstufe 1: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen (pp. 14–32). Berlin: Cornelsen Verlag Sciptor GmbH & Co. KG. Pollak, H. O. (1977). The interaction between mathematics and other school subjects (including integrated courses). In H. Athen & H. Kunle (Eds.), Proceedings of the Third International Congress on Mathematical Education (pp. 255–264). Karlsruhe: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. Niss, M., Blum, W., & Galbraith, P. (2007). Introduction. In W. Blum, P.L. Galbraith, H.-W. Henn & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics education. The 14th ICMI Study (pp. 3–32). New York: Springer. Cahyono, A.N. (2018). Learning mathematics in a mobile app-supported math trail environment . New York: Springer. Cahyono, A. N. & Ludwig, M (2017). MathCityMap: Motivating students to engage in mathematics through a mobile app-supported math trail program. In Institut für Mathematik der Universität Potsdam (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2017 (pp.155–158). Münster: WTM-Verlag Greefrath, G & Vorhölter, K. 2016. Teaching and Learning Mathematical Modelling . Switzerland: Springer. Kaiser, G. (2007). Modelling and modelling competencies in school. In C. Haines, P. Galbraith, W. Blum & S. Khan (Eds.), Mathematical modelling (ICTMA 12). Education, engineering and economics (pp. 110–119). Chichester: Horwood. Maaß, K. (2007). Mathematisches Modellieren – Aufgaben fu! r die Sekundarstufe. Berlin: Cornelsen Verlag Scriptor. Müller, M., Leiß, D., Schukajlow, S., Blum, W., & Messner, R. (2007). Auswendiggelernt – Abgehackt – Abgefragt? In Beiträge zum Mathematikunterricht (pp. 723–726). Hildesheim: Franzbecker. Reit, X.-R & Ludwig, M. (2013) An Approach to Theory Based Modelling Tasks. In G.A. Stillman et al. (eds.), Mathematical Modelling in Education Research and Practice, International Perspectives on the Teaching and Learningof Mathematical Modelling (pp. 81-91). Reit, X.-R. (2016). Denkstrukturen in Lösungsansätzen von Modellierungsaufgaben. Eine kognitionspsychologische Analyse schwierigkeitsgenerierender Aspekte. Heidelberg: Springer. Schupp, H. (1988). Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I zwischen Tradition und neuen Impulsen. Der Mathematikunterricht , 34(6), 5–16.
BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
6
