+ o) u'(4> - o) u <í>. Si 5 = q + it, la transformada de Laplace se transforma en «(*)= í~ (£7(0)e-^)e Jo 2 ) )/2
232
Argz
10
1dz 1
78
arg z
11
85
Int S
21
Pn(z) dR
90
311
23
Ln (z )
98
oo
23
101
H(4> - a)
240
/(*) ez
24
Sn inf
110
240
41
121
42
Jn (z ) (f,G)
eos z
44
sen z
249
cosh z
131
44
m a- 1
£ 2{u\ £{u} u*v m
133
Si (0)
46
Resz f(z )
133
125
232 232 232 236
241 246 247
A l estudiante Grupo Editorial Iberoamérica en su esfuerzo p erm a n en te de p ro d u cir ca da vez m ejo re s textos, pon e en tus manos esta nueva obra, en la qu e se ha puesto la más alta calidad en los aspectos teórico y didáctico, así como en diseño y presentación, con el objetivo de pro porcio nart e la m ejo r her ra m ie nta , no sólo para f a c ilitarte el aprendizaje sino también para hacértelo más estimulante. Es te, co m o cu alq uie ra de nu es tros libro s, ha sido cuidadosamente seleccionado para que encuentres en él un pilar de tu preparación, y un complemento ideal a la enseñanza del maestro. Lo didáctico de la presentación de sus temas hace que lo consideres el mejor auxiliar, y el que llevas a todas partes. Lo ante ri or es parte de nu es tr o pr op ós ito de se r partí cip es en una m ejo r prepara ción de pro fe si on ale s, contribuyendo así a la urgente n ecesidad de un mayor desarrollo de nuestros países hispanohablantes. Sabemos que esta obra será fun dam enta l en tu biblioteca, y tal vez la más inmediata y per m an ente fu e n te de consulta. Como uno de nuestros intereses principales es hacer mejores libros en equipo con profesores y estudiantes, agradeceremos tus comentarios y sugerencias o cualquier observación que contribuya al enriquecimiento de nuestras publicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica . . . presente en tu form ació n profesional
A Funciones I ANALÍTICAS
Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el mate mático italiano Girolamo Cardano, en un tratado monumental acerca de la so lución de las ecuaciones cúbica y cuárticas titulado Ars Magna. Para apreciar la dimensión de esta propuesta debe tenerse en cuenta que el concepto de nú meros negativos apenas había tenido aceptación, y que aún había controversia en relación con sus propiedades. Las cantidades “ficticias” de Cardano fueron ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Cari Friedrich Gauss les dio el nombre actual y las utilizó para demostrar el Teore ma Fundamental del Álgebra, el cual establece que todo polinomio que no sea constante tiene al menos un cero. En este libro, exploraremos las propieda des de los números complejos y de las funciones, con valores complejos, de una variable compleja. Veremos que la teoría de funciones de una variable comple ja extiende los conceptos del cálculo al plano complejo. Al hacerlo, la deriva ción y la integración adquieren nueva profundidad y elegancia, y la naturaleza bidimensional del plano complejo produce muchos resultados útiles en mate máticas aplicadas.
1. ■1
N Omeros
c o m p l e j o s y su álgebra
Los números usados en álgebra elemental y en cálculo se llaman números rea les. Estos son todos aquellos que pueden representarse geométricamente por los puntos de una línea recta infinitamente larga (véase Figura 1.1). La línea se 1
2
CAPÍTULO 1
1 -
1 3
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
1 -
1
1 2
1 -
1 1
'1— 0
1 1
' 2
(-• 3
► i
FIGURA 1.1 . Modelo del sistema de números reales
divide en intervalos por medio de puntos equidistantes que representan a cada uno de los enteros, con los números reales positivos a la derecha del cero y los reales negativos a la izquierda. Todo número real se representa por un solo punto sobre la línea. Estos números satisfacen las cinco reglas algebraicas si guientes, llamadas axiomas de campo:
1. Leyes conmutativas ab = ba. a+b b+a yA . 2. Leyes asociativas (a + b) + c = a + (b + c) y (ab) c = a(bc). 3. Leyes distributivas y a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + be. 4. Identidades. La identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 satisfacen que 0 ¥= 1 y
a + 0 = a = 0 + a
y
a ■ 1 = a = 1 ■ a.
5. Inversos. Cada número real a tiene un inverso aditivo ( -a) y, si ai= 0 un inverso multiplicativo a ~1que satisface
a + (—a) - ,0 = (—a) + a
y
aa ~1 = 1 = a~ la.
Sin embargo, los números reales tienen una deficiencia básica: no propor cionan todas las soluciones posibles de las ecuaciones polinomiales. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 1 = 0 no puede resolverse usando números reales, ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo. No obstante, po demos corregir este defecto si definimos el conjunto de números complejos G, que se forma de todos los pares ordenados z = (x, y) de números reales x y y, con las siguientes operaciones de suma y multipli cación: (x, y) + (a, b) = (x+a,y + b), (x, y) • (a, b) = (xa yb, xb + ya).
1.1
•
NÚMEROS CO MPL EJO S Y SU ÁLGEBRA
3
y
FIGURA 1.2. Ley del paralelogramo para la suma vectorial
Como los números complejos se representan por pares ordenados de números reales, podemos asignar el punto en el plano Cartesiano con coordenadas x y y al número complejo 2 =(x, y). De cualquier forma, es más útil denotar por 2 al vector (segmento de recta dirigido) que va desde el origen hasta el punto (x, y). Si usamos este modelo para cada número complejo, la suma de dos números complejos (x, y) + (a, b ) = (x + a, y + b ) corresponderá a la ley del paralelogramo para la suma vectorial descrita grá ficamente en la Figura 1.2. También se pueden utilizar los vectores para interpretar la multiplicación (x, y) (a, b) = (xa — yb, xb + ya) de dos números complejos. Note que (x, 0) (a, b) = (xa, xb), y que el vector (a, b) se alarga o se acorta por un factor x si x > 0 y también se refleja con respecto al origen si x < 0 (véase Figura 1.3 ). Observe, además, que (0, 1) (a, b) = (b, a). Si usamos triángulos semejantes, vemos que al multiplicar cualquier número complejo por (0, 1), el vector rota 7t/2 radianes en sentido contrario al de las ma necillas del reloj (véase Figura 1.4). Puesto que (x, y) = (x, 0 ) + (0, 1) (y, 0), el producto de (x, y) y (a, b) se puede expresar en la forma (x, y) (a, b) = [(x, 0) + (0, 1) (y,0)] (a, b) = (x, 0) (a, b) + (0, 1) (y, 0) (a, b) = (xa, xb) + (0, 1) (ya, yb).
4
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Y
FIGURA 1.3. Ala rg am ie nt o y refl ejo d e un ve ct or
Y
FIGURA 1.4. Rotación d e un vector: (0, 1)(o, b ] = [-5, o)
Por lo tanto, la multiplicación compleja involucra la suma de dos alargamien tos de (a, b), con el segundo de ellos rotado tt/2 radianes en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por ejemplo, el producto (1,2) (2, 3) = (2, 3) + (0,1) (4,6) = (2, 3)+ (- 6, 4) = (- 4 , 7) está ilustrado en la Figura 1.5. Si identificamos el par ordenado ( jc , 0) con el número real ac, notamos que la suma y la multiplicación de tales pares satisfacen las operaciones usuales de suma y multiplicación de números reales:
(x, 0) + (a, 0) = {x + a, 0)
y
(x, 0) (a, 0) = (xa, 0).
11
•
5
NÚMEROS COMPL EJOS Y SU ÁLGEBRA
(-4. 7) (4.6) (-6.4) = (0. 1)(4. 6)
X
0 FIGURA 1.5. Multiplicación de complejos
Luego entonces, el conjunto de números complejos incluye los números reales. Como (x, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0), si representamos (x, 0) por x y denotamos (0, 1) por el símbolo i, podemos reescribir z — (x, y) en la forma
z = x + iy.
o El origen del sistema coordenado se denota por el número complejo 0. El mo delo de plano Cartesiano de los números complejos se llama plano complejo. Cuando nos referimos al número complejo z = x + iy, llamamos a x par te real de z, y la denotamos por Re z. El número y llamado parte im agina ria de z, se denota por Im z. Si x — 0, tendremos z = iy, y entonces se dice que z es imaginario puro.
Ej e m p l o 1 Encuentre las partes real e imaginaria de z = 2 + 3z. SOLUCIÓN:
Tenemos Re z = 2 e Im z — 3.
* Los libros de ingeniería denotan frecuentemente la unidad imaginaria por el símbolo j.
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Si usamos la notación z = x + iy para los números complejos, las defini ciones de suma y multiplicación nos permiten realizar estas operaciones con números complejos de la misma manera en que lo hacemos con los polinomios, excepto que i 2 = —1: (1 + 2 i) + (2 + 3t") = 3 + bi, (1 + 2i) • (2 + 3t) = 2 + (41 + 3 i) + 6 i2 = —4 + li . Es fácil verificar que las operaciones de suma y multiplicación de números complejos son conmutativas, asociativas y distributivas. Los números 0 y 1 son las identidades aditiva y multiplicativa para los números complejos. Podemos restar números complejos notando que
z¡ — z2 =z¡ + (~z2) = z¡ + ( - 1 )z2 . Por ejemplo, (7 + 2í) - (3 - 4Í) = (7 + 2í) + (- 3 + 4í) = 4 + 6t. Por tanto, —z es el inverso aditivo de z. Para comprobar que los números complejos forman un campo (véase Ejercicio 33), se debe verificar la existencia de un inverso multiplicativo para cualquier número a + bi =£ 0. Si se mul tiplica a + bi por su complejo conjugado a - bi, tendremos (a + bi) (a bi) = a2 + (abi abi ) — b2i2 a2 + b 2 . Consecuentemente, el inverso multiplicativo de a + bi es
a —bi a 2 +¿ r2 ' La división de números complejos se obtiene cuando se multiplica por el in verso multiplicativo del divisor. Por ejemplo, si dividimos x + yi por a + bi ^ 0 , entonces , , (a + bi)
a + bi
=
- (, +y) (4 d j ) = / ^ '
J ' \a2 + b 2 J
w
\a 2 + b 2 )
\a2 + b 2
De manera alternativa, podemos multiplicar el numerador y el denominador de un cociente por el complejo conjugado del divisor:
x + yi _ x + yi a —bi _ i ax + by \ a + bi a + bi a —bi \a 2 + b 2 )
f ay — bx \a2 + b2 i ’’’
Ej e m p l o 2 1 - 2i Exprese el cociente —- como un número complejo. Si multiplicamos numerador y denominador por el comple jo conjugado, 3 — (—4i) = 3 + 4t del denominador, tendremos SOLUCIÓN:
1.1
•
7
NÚMEROS COM PLEJ OS Y SU ÁLGEBRA
1 — 2 1 _ (1 — 2z) (3 +4 i) _ 3 — 6z + 4 i —8 i 2 3 - 4í (3 - 4í) (3 +4zj 9 + 12* —12* — 16z2 = 11 _ JL • 25 25 *' El complejo conjugado de un número complejo z se denota por el símbolo z: Dado que si z = x + iy, entonces
z + z = (x + ¿y) + (x — iy) = 2x = 2 Re z, z —z = (x + iy) —(x — iy) = 2iy = 2i Im z, y
zz = (x + iy) (x — iy) = x 2 + y2 . De esta forma tendremos las identidades
z+z z z Re z = --------, Im z = , 2 2i y el teorema de Pitágoras nos dice que (longitud z)2 = zz.
Ej e m p l o 3 Encuentre la longitud del vector z = 5 + 7i. SOLUCIÓN:
Si se multiplica z por z, tendremos
(longitud z)2 = zz = (5 + 7i) (5 — li) = 25 + 49, por lo tanto, longitud z =-\/74.
Si z ! - x j + iy j y z 2 - x 2 + ¿y2 , entonces z, + z 2 = (x, + x 2) + í(y 1 + y 2 ) = ( ^ 1 + x 2 ) - 7 ( y i + y 2) = (x, i y i ) + (x2 i y 2 ) = * i + z 2 Luego, el complejo conjugado de la suma de números complejos es la suma de sus conjugados: + Z2
+ ¿2 -
De manera semejante se muestra (véanse Ejercicios 27-29) que Z\ z 2 = Z l z 2 ,
y
z~¡r2 =ZiZ2 (z, /z2) = z7/z¡, z2 # 0 .
CAPÍTULO T
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-12, encuentre la suma, diferencia, producto y cociente de cada par de números complejos. 1. i, 2 2 . i, —i 3. 1 + i, i 4. 2- i, 3 + í 5. 1 + i, 1 —i 6. 2+ i, 3 — 4 i 7.5 ,2+ * 8.5í,2 + í 9 . 3 - 2t, 4 + i 10. 2+ i, 2 - i 11. 4 + 5 i, 1 — i 12. 2+ i, 2i En los Ejercicios 13-20, escriba el número dado en la forma x + iy. 13. ( l - ¿ ) 2 1 4. (1 - i ) 3 15. (1 — 2i)2 16. i2 (1 + i)3 1, 2 + i 4+i 3 + 2¿ , 5 - 2 ¿ i /. 18. + 3 — ¿ 1 + 2i 1+ i —1 + i 19. (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3í) 20. (1 - i) ( 1 - 2i) (1 - 3í) 21. Pruebe que Re ( iz ) = —Im z. 22. Verifique que Re (z) = Im(z'¿). 23. Pruebe que si z¡z2 ~ 0 , entonces z¡ = 0 o z 2 = 0. 24. Muestre que si Im Z > 0, entonces Im (1 ¡z) < 0. *25. Suponga que z x + z2 y z ¡ z2 son, ambos, números reales negativos. Pruebe que Z[ y z2 deben ser reales. *26. Pruebe el teorema binomial para números complejos, ---------
(2, + z 2)n = z n, P t f j z r 1 Z 2 + ( Z) z nr 2 z l + . . . + Zn2 , ni donde n es un entero positivo y (%) k ! (n — k )! {Sugerencia: Use inducción.) En los Ejercicios 27-29, sean z¡ x¡ + iy i y z 2 = x 2 + iy2. 27. Muestre que z x — z 2 = z 1 — z2 . 28. Compuebe que z¡ z2 = z¡ z2. 29. Muestre que (zx/z2) =zx¡z2, donde z 2 0. En su libro Ars Magna, Girolamo Cardano incluyó un método para encontrar las raíces de la ecuación cúbica general
z* + pz2 + qz + r = 0 que había sido descubierto por Niccoló Tartaglia. *30. Muestre que la sustitución w = z ■+ p¡3 reduce la ecuación cúbica general a una ecuación de la forma w 3 + aw + b = 0.
* Un asterisco (*) indica los ejercicios con mayor dificultad
1.2
•
9
REPRESENTACIÓN POLAR
*31. Verifique que las raíces de la ecuación del Ejercicio 30 son „ „ U=A+B,
A + B
A B r. A+B +— V 3
A ~ B rñ — V*.
---------------
donde A = \ / — + D, B = j / — - D, y D = J — + — • 2 2 4 27 *32. Confirme la necesidad de los números complejos incluso para encontrar las raíces reales de
w3 — 19tu + 30 = 0 por el método de Tartaglia. 33. Pruebe que los números complejos satisfacen los axiomas de campo. 34. Demuestre que la identidad aditiva de C es única. 35. Pruebe que la identidad multiplicativa de Q es única.
1 . 2 R epresentación polar Hemos visto que los números complejos pueden representarse como vectores en el plano complejo. En esta sección utilizaremos el concepto de segmento de recta dirigido para determinar las propiedades de la longitud y del ángulo de inclinación de un vector en el plano complejo. Considere el vector no nulo z = x + iy mostrado en la Figura 1.6. La longitud del vector z se puede determinar con el teorema de Pitágoras:
r =\A2 + y2 . Llamamos a esta longitud valor absoluto (módulo o magnitud) del número complejo z, y la denotamos como lzl = v /* 2 + y 2 . Note que Iz I> Re z, Iz I> Im z y Iz I= \z\. Además, recuerde que en la Sección 1.1 probamos que zz = x 2 + y2. Por tanto, zz = Iz I2. Im z
FIGURA 1.6. Representación polar
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
La interpretación de la suma compleja como vectorial es muy útil al pro bar el siguiente resultado:
La d e s i g u a l d a d del t r i á n g u l o : iz 'f +:-?2
I z j l+; lz 2 i.
PRUEBA: Recuerde que la longitud de un lado de cualquier triángulo es me
nor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. De tal forma que la desigualdad del triángulo se deduce inmediatamente al considerar el trián gulo sombreado en la Figura 1.7. La desigualdad del triángulo también puede probarse algebraicamente (véase Ejercicio 38). I Regresando a la Figura 1.6, vemos que el ángulo que forma el vector 2 = x + iy con el eje real positivo, está dado por la expresión y 6 = arctan — x
Esta expresión, sin embargo, no será válida en el segundo o tercer cuadrante, ya que los valores de arcta ngente caen en el intervalo (—7r/2, 7t/2). Además, el ángulo de inclinación del vector está determinado hasta un múltiplo de 2n, ya que los ángulos
6 + 2nk,
k = 0, ±1, ±2 ,. .
proporcionan todos la misma dirección en el plano complejo. El ángulo de inclinación del vector z, determinado excepto por un múltiplo de 27T, se llama argumento de z y se denota por arg z. El valor de arg z que satisface —7T< arg z < 7r se llama valor principal del argumento y se designa Arg z. Cuando se trabaja
Im z
FIGURA 1.7. ' D e s i g u a l d a d d e l t ri á n g ul o : lz , + 'z 2 K l z , l +
\ z 2 1
12
•
11
REPRESENTACIÓN POLAR
con el argumento, es conveniente acordar que la notación argz ignore los múl tiplos de 27T, además de utilizar la expresión Argz + 2TTk,
k como entero fijo,
para indicar un ángulo particular. Regresando al vector original z = x + iy, z =£ 0,: note que
x = r eos 9 = Iz Icos(arg z) y que y = r s e n 0 = Iz lsen(arg z). Ahora, z = x + iy = r (eos 6 + i sen 8) puede reescribirse como z = Iz I[cos(argz) + i sin(argz)], z ^ 0. Esta forma se llama representación polar del número complejo z. *
Ejemplo
1
Encuentre la representación polar de 1 — i. SOLUCIÓN:
Remítase a la Figura 1.8. El valor absoluto de 1 — i es
\ l i \ = y / l 2 + ( - l ) 2 =y/2, mientras que el valor principal del argumento de 1 — i es Arg(l -*') = -
FIGURA 1.8. Representación polar de i - i
* Los iibros de ingeniería usan a menudo las notaciones r | y r cis 6 para la representación polar de z.
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Como los ángulos polares no están determinados de manera única, el argumento es arg(l— i) = —
+ 2itk,
4
donde k es cualquier entero. Así, la representación polar de 1 i es
La multiplicación de los números complejos z y w tiene interpretaciones geométricas interesantes cuando los escribimos en sus representaciones polares. Sean 8 = arg z y <¡) = arg w. Se tiene z = Iz l(cos 0 + zsen 0) Entonces,
y
w Iw l(cos
zw \z \ Iw l(cos 8+ i sen 8) (eos <¡) + i sen 0) = Iz I \zv l[(cos 8 eos 0 —send sen0) + i (sen 8 eos 0 + eos 8 sen0)] y, por las fórmulas de suma de ángulos de trigonometría,
zw = Iz I Ia; I [cos(0 + 0) + ¿sen(0 +0 )] . Como
(1)
Icos(0 + 0) + z’sen(0 + 0) I= 1,
la ecuación (1) conduce a y
\zw\= \z \\w\
(2)
arg zw = arg z + arg w.
(3)
Por tanto, la longitud del vector zw es el producto de las longitudes de los vec tores z y w, mientras que el ángulo polar del vector zw es la suma de los ángulos polares de los vectores z y w. Como el argumento se determina hasta un múl tiplo de 27Tla ecuación (3) se interpreta diciendo que, si se asignan valores parIm z
FIGURA 1.9. M u l t i p li c a c i ó n d e c o m p l e j o s
1.2
•
13
REPRESENTACIÓN POLAR
ticulares a dos términos cualesquiera, existe un valor del tercer término para el cual se cumple la igualdad. La construcción geométrica del producto zw se muestra en la Figura 1.9. Para la multiplicación, el ángulo entre w y zw debe ser idéntico al ángulo entre 1 y z en la Figura 1.9. De ello, los triángulos de 0 1 z y 0 w zw son semejantes. La división dé números complejos conduce a la ecuación siguiente: Iz I 2 — - -j— - [cos(0 —0) + ¿sen(0 —0 )] . w Iw I Como Iw I= Iw I, obtenemos, por las fórmulas de suma de ángulos de la trigonometría,
z zw \z l(cos 0 + i sen 0) Iüj l(cos 0 —¿ sen0) — = —_ = i — —A—----------------- , w ww Iw I Por lo tanto, ----------------------
z W y
, w =f U.
Iz I 7 -T \w\
=
arg (z/w) = arg z —arg w,
(4)
(5)
con la ecuación (5) sujeta a una interpretación similar a la de la ecuación (3). El producto
zw = Iz I Iw I[cos(0 + 0) + i sen(0+ 0)], donde 6 = arg z y 0 - arg w, conduce a un resultado muyinteresante cuando z = w. Como 0 = 0, tenemos z2 = \z\2 [cos(20) + isen(20)]. Con w = z2 obtenemos
z(z2) = Iz I Iz I2 [cos (0 + 20) + ¿sen(0 + 20)] o z3 = Iz I3 [cos(30) + i sén(30)]. Como z = Iz I(eos 0 + i sen0), hemos demostrado que (eos 0 + ¿sen 0)2 = cos(20) + ¿sen(20) y
(eos 0 + i sen0)3 = cos(30) + ¿sen(30). Mediante este proceso obtenemos el teorema de De Moivre, llamado así en ho nor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754), z = Iz l(cos 0 + i sen0)
y
w = Iw l(cos 0 + i sen0),
donde n es un entero positivo. El teorema de De Moivre tiene muchas aplica ciones útiles.
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Ej e m p l o 2 Calcule (1 —z')23. SOLUCIÓN: Si multiplicamos 1 - i por sí mismo 23 veces, obtenemos la
respuesta, pero si utilizamos el teorema de De Moivre podemos en contrarla más fácilmente. Vimos en el Ejemplo 1 que 1
=V2 eos I —— + 2nk ) + i sen í J 4 V4
Usando el valor principal del argumento, tenemos ir (1 - z ) =^/2 e o s + 1 sen
+ 2irk )
-7T
Entonces, por el teorema de De Moivre, 7T\ . / —7T (1 i)23 = (v^)23 eos | + z sen 4 ; V4 _ 2^3/2 eos I - 2 3 tt , + z sen ----
23
----
YA
Pero como —237T/4 - 7r/4 — 6ir, y sen (zr/4) = cos(7t/4) = l¡^/2, obtenemos ( 1 —z")2
3 = 223/2 (1 + 0
2048(1 + *).
El teorema de De Moivre también puede utilizarse para encontrar las raíces de un número complejo. Si z es una raíz n-ésima del número complejo w, entonces z n =w. Para encontrar z, establezcamos que
z = \z l(cos Q + zsen0) w = Iw l(cos 0 + i sen0), y donde 6 = arg z y
0 = — arg w = —(Arg w + 27 xk), n n
k 0 , ± 1, ± 2, . . . .
(6)
Aunque la ecuación (6) proporciona un número infinito de valores para 6, sólo se obtienen n ángulos polares diferentes porque
12
•
15
REPRESENTACIÓN POLAR
2ir(k + n ) 2irk - + 2 it , — — n n pues los ángulos polares se repiten cada n enteros. Por tanto, limitamos nuestra atención a lós n ángulos polares -------
-----
6 = —(Arg w + 2irk), n
k = 0, 1, . .
n — 1.
Ej e m p l o 3 Encuentre las tres raíces cúbicas d e a = 1 - i SOLUCIÓN:
Sea z una raíz cúbica de 1 - i. Entonces
z 3 = 1 — i, y, por el teorema de De Moivre,
\z\3 (eos 30 + i sen30) = y / 2 eos |—- + 2nk ) + i sen ( —— + 2rck De tal forma que
—ir 2irk 12 3 En consecuencia, las tres raíces cúbicas de 1 — i son 7r\ . f —ir\ — + i sen - o = ^ 2 eos 122 / \ 12 / lzl=21/6
a
6 = — + -----
k = 0, 1, 2.
----
ir \ = V/2” eos ( — — i sen 12/ V12 ^=^2
lir\ ( lir . eos |— + i sen — 12/ V12 ( 5ir 57r\ . eos |— + i sen I — 4 1 V4
Las secciones cónicas proporcionan ejemplos adicionales de los conceptos vistos hasta ahora. Aunque pueden utilizarse las fórmulas usuales de la geometría analítica (con x = Re z y y = Im z), es fácil definir las secciones có nicas en términos de la distancia.
Ej e m p l o 4 Una elipse se define como el conjunto de todos los puntos de & tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
¿Cuál es la ecuación de la elipse que pasa a través de i y que tiene sus focos en +1? Como z — z0 es el vector que va de z 0 a z, la definición de la elipse conduce a
SOLUCIÓN:
Iz - 11+ Iz + 1 1= c, donde c es una constante real. Comoz = i debe satisfacer la ecuación, se tiene (véase Figura 1.10) lm z
c = l í - 1 1 + \i+ l l= V 2 Así, la elipse está dada por Iz - 11+ \z + l\=2y/2.
Ej e m p l o 5 Una paráb ola se define como el conjunto de todos los puntos de (3 cuya distancia a un punto dado, llamado foco, es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz. Encuentre la ecuación de la parábola que tiene i como foco y la recta Im z = —1 como directriz. SOLUCIÓN:
Por definición, obtenemos Iz —¿1= Im z + 1,
ya que el punto de la directriz más cerc ano a un punto z, es el que se loca liza verticalmente abajo de él (véase Figura 1.11). Si deseamos encontrar la fórmula correspondiente en geometría analítica, elevamos al cuadrado ambos lados, para obtener Iz I-2 + 1 + 2 Re zi = (Im z + l)2
12
•
17
REPRESENTACIÓN POLAR
Ej e m p l o 6 Una hipérbola está constituida de todos los puntos z de <3 tales que el va lor absoluto de la diferencia entre las distancias de z a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola con focos ± 1, que pasa por el punto 1 + t? SOLUCIÓN:
Por definición, tenemos llz —1 1— \z +^1 II= c,
donde c es una constante. Como el punto z = 1 + i satisface la ecuación, encontramos que c = y/W — 1.
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-9, encuentre el valor absoluto, el argumento y la representación po lar de los números complejos dados. l.í 4. —3 + 4 i 7.2 + li
2 . —i 5. 4 + 3í 8. 2 - i
3. 1 + í 6. 5 — 12z 9. 5 + 2i '
18
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
En los Ejercicios 10-15, use el teorema de De Moivre para expresar cada número en la forma x + iy, donde x y y son reales. io. (i + 0 29 12. ( - 1 - O36 14. (>/3 + z’) is
11. (- 1 + O17 13. (2 + 2z)12 15. (—\/3 + z')13
Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones señaladas en los Ejercicios 16-23.
17. z2 = l + z 16. z2 = i 18. z2 2 —i 19. - z 2 = ^ 3 + z 20. z3 = 2 21. z 3 = 1 +y/5t +i 22. z4 = i 23. z4 = - 1 24. Encuentre la ecuación de la elipse con focos ±z que pasa por el punto 1 + i. En geometría analítica, ¿cuál es la fórmula correspondiente? 25. Exprese la ecuación de la elipse con focos 1 e i que pasa p or el origen. ¿Cuál es la fórmula correspondiente en geometría analítica? 26. Encuentre la parábola con foco 1 + i, y con la recta Re z + Im z = 0 como di rectriz. 27. Escriba en forma compleja la ecuación general de una hipérbola con focos ay b.
28. Pruebe que Iz I< |Re z I+ ll mz l *29. Demuestre que, si Iz, I= Iz 2 I= Iz 3 I y z¡ + z 2 + z 3 = 0, entonces z , , z 2, z 3 son los vértices de un triángulo equilátero. {Sugerencia: Muestre que Izj — z 2 I2 = lz2 — z 3 I2 = lz3 — z x I2 .) *3 0.
Compruebe que el triángulo con vértices Z ¡ , Z 2 , Z3 es equ ilátero si y sólo si z \ + z \ + z \ = Z j Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z ] .
31. Verifique que \zx 11x j i — ix n n 32. Demuestre que E z¿ < 2 \zk k= \ k=\ 33. Muestre que \z1 ± z 2 I2 = Izj I2 + Iz2 I2 ± 2 Re z i z 2 . 34. Pruebe que Iz¡ + z 2 I2 + Izj —z 2 I2 =2 ( 1 Zj I2 + lz2 I2). 35. Demuestre que 1 —az
<1
s i l z K l y l a l < 1. 36. Muestre que la desigualdad del triángulo es una igualdad para los números z ¡ y z 2 con valor diferente de cero si y sólo si arg z i = arg z 2. 37. Muestre que si z 0 es una raíz del polinomio P(z) con coeficientes reales, entonces z 0 es también una raíz de -P(z). 38. Desarrolle Izj + Z 2 l2 para probar la desigualdad del triángulo. {Sugerencia: z ,z 2 ^ |Z]Z2 1= Iz 3 IIz 2 I.) 39. Las n raíces de la ecuación zn = 1 se llaman raíces n-ésimas de la unidad. Muestre que estas raíces están dadas por
( 2nk \ / 2nk \ . z¿.= eos I I + i sen I I, --------
k = 0, 1, . . ., n — 1.
1.3
•
19
CONJU NTOS EN EL PLANO COMPLEJO
40. Sea z*cualquier raíz ra-ésima de la unidad y pruebe que 1 + Zk + zl + . . . + z l ~ l = 0,
sizk =£1.
41. Si 1, z ¡, z 2 , . . ., zn_ j son las raíces n-ésimas de la unidad, muestre que (z — z x)(z —z 2) • . . . * (z —zn_ j ) = 1+ z + z2 + . . . + zn_1 . *42. Encuentre todos los tiempos posibles en que las manecillas de un reloj se pu dieran intercambiar para obtener una posición factible en un reloj ordinario. *43. Minimizando la expresión :2*= j (la * I — Xlz* I)2 , donde at , . . an, Zj , . . ., zn son números complejos, para X,real arbitraria, demuestre que S la*zA. l V < ( l la*l2) ( l \zk I2 k =i J \k= i J \k = i *44. Pruebe la identidad de Lagrange: n
n
\
2 akzk 2 ( 2 la* I2 k=\ I k=\
(
n
(2
\ k -l
\zk \2) /
1
2
Ia¡zk a kZj\i,
*45. Teorema de EnestromKakeya. Sea P(z) un polinomio con coeficientes reales,
P(z) anz n + an_ ,z " 1 + . . . + a i Z + a o ) que cumplen a0 > a ¡ > . . . > an ■> 0. Pruebe que todas las raíces de P(z) sa tisfacen :lz I > 1. (Sugerencia: Aplique la desigualdad del triángulo a (1 —z) P(z) = a0 — [(«o - a¡)z + ( ü ! - a2)z2 + . . . + (án_ i - a n)zn + «„^n+1]-)
1.3 C
o n j u n t o s en el p l a n o c o m p l e j o Si z 0 es un número complejo, entonces, un a e- vecindad de z0 es el conjunto de todos los puntos z, cuya distancia a z 0 es menor que e , esto es, todos los z que satisfacen Iz — z0 I < e (véase Figura 1.12). Gráficamente, este es el in terior de un disco centrado en z0 de radio e. Imz
FIGURA 1
.1 2 .
Uno
e-
vecindad de z0
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Sea S un conjunto de puntos del plano complejo 6 . Se dice que z 0 es un punto interior de S si alguna e-vecindad de z 0 está completamente contenida en S; el conjunto de todos los puntos interiores de S se llama interior de S y se denota por Int S. El complemento de S es el conjunto G — S de todos los pun tos que no están en S. El conjunto Int ( 6 — S) se denomina ex terio r de S. Un punto z 0 es un punto fr on tera de S si toda e- vecindad de zQcontiene puntos que están en S y puntos que no lo están. Note que los puntos frontera de S no están en el interior ni en el exterio r de S. El conjunto de todos los puntos fron tera de S se llama frontera de S (véase Figura 1.13). Im z
F IG U RA 1 . 1 3 .
Interior, exterior y frontera de un con junto
Un punto zQes llamado un punto de acumulación de un conjunto S, si cada vecindad de z 0 contiene al menos un punto de S distinto de zQ.
Ej e m p l o Sea S 0 el conjunto de todos los puntos z tales que \z I < 1. Encuentre el interior, la frontera y el exterior del conjunto S0. Im z
FIGURA 1.14. Interior, frontera y exterior del conjunte lz l < l
1.3
•
CONJUN TOS EN EL-PLANO COM PLEJO
21
Sea ¿o un punto cualquiera de S0 . Note que el disco Iz — z 0 I< e está situado completamente dentro de S0 siempre que e < 1 — lz0 I. Así, todo punto de S 0 es un punto interior. Igualmente, todo punto z 0 que satisfaga lz0 ^ 1 será exterior a S0 . Si l z0 I = 1, entonces toda e- vecindad de z0 contendrá puntos que están en S 0 y pun tos que no lo están. Por tanto, la frontera de S 0 consiste en todos los puntos sobre el círculo Iz I= 1: el interior es el conjunto Iz I< 1, y el ex terior es el conjunto de todos los puntos que satisfacen Iz I > 1 (véase Fi gura 1.14). SOLUCIÓN:
Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores; esto es, S = Int S cuando S es abierto. Así, el conjunto S q del ejemplo anterior es abierto. Al complemento de un conjunto abierto se le llama cer rad o. Por ejemplo, el con junto T de todos los puntos z, tales que iz I ^ 1 es cerrad o. De igual manera , el conjunto Iz K 1 es cerrado. Se dice que un conjunto S es acotado en caso de que exista un número re al positivo R tal que todo z en S satisfaga Iz I< R . Si esta condición no se cumple, decimos que S es no acotado. Por ejemplo, el conjunto S0 en el ejemplo anterior es acotado, pero r = { z : l z l > l } es no acotado. Un conjunto S es conexo si no puede ser representado como la unión de dos conjuntos A y B ajenos y no vacíos tales que ninguno de ellos contenga un punto frontera del otro. Intuitivamente, lo que se señala es que S está integra do por una sola pieza. Por ejemplo, S 0 es conexo, pero el conjunto de todos los z, para los cuales Iz — 2 I< 1 o lz + 2 l < l e s n o conexo, puesto que podemos formar el conjunto A de todos los z tales que Iz — 2 I< 1, y el conjunto B de todos losz p ara los cuales Iz + 2 l < 1 (véase Figura 1.15) . Entonces x4 y B son conjuntos abiertos, ajenos, y ninguno de ellos puede contener un punto fronte ra del otro (¿por qué?).
FIGURA 1 .1 5 .
A
UB
es no
conexo
Una región* es un conjunto conexo abierto. Intuitivamente, es claro que cualesquiera dos puntos de una región pueden unirse por medio de un polígo no contenido en esa región, pero este hecho requiere verificación. La prueba es *Muchos libros llaman dominio a un conjunto conexo abierto. Evitaremos tal uso para evitar una posible confusión cuando se describa el dominio de definición de una función compleja.
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICA S
ligeramente complicada, pero debe estudiarse porque la técnica empleada será usada posteriormente.
Te o r e m a Cualesquiera dos puntos de una región pueden unirse por medio de un polígono contenido en la región.
PRUEBA:t Llamemos S a la región, y supongamos que z 0 está dentro de S. De notemos por todos aquellos puntos de S que pueden unirse a z 0 por medio de un polígono y denotemos por S2 aquellos puntos que no pueden unirse. Si z¡ está en Si y por tanto en S, es un punto interior de S. Así, existe una evecindad de Zi contenida en S: Iz — z¡ I< e. Todos estos puntos están en S i , ya que cada uno puede unirse a z 1 por medio de una recta que pertenece a S, y por ende puede unirse a z0 por medio de un polígono contenido en S. Entonces, todo punto de Sj es punto interior de S j , así que S ¡ es abierto. Si z 2 está en S2 , sea Iz —z 2 I< e una vecindad contenida en S. Ningún punto de esta vecindad puede estar en S ] , porque si así fuera z 2 estaría en S x. Por lo cual todo punto de S2 es punto interior de S2, entonces S2 es abierto. Nin gún conjunto puede contener un punto frontera del otro, ya que ambos son abiertos y son ajenos. Como S es conexo, uno de estos conjuntos debe ser vacío. Pero z 0 está en S j , así que S 2 es vacío. Cualesquiera dos puntos pueden unir se a z0 por medio de una trayectoria poligonal contenida en S y, por tanto, pueden unirse entre sí por una trayectoria poligonal que pasa por z0. Ahora, la prueba ha quedado completa. B
t Una daga (f ) indica pruebas más difíciles u opcionales.
1.3
•
23
CONJUNTOS EN EL PLANO COMPL EJO
Más aún, es posible pedir que todas las líneas del polígono sean paralelas a los ejes coordenados. La prueba con este requisito adicional será idéntica, ya que siempre podemos unir el centro de un disco abierto a uno de sus puntos por, a lo más, dos segmentos de recta paralelos a los ejes. (Véase Figura 1.16.) Una región es simplemente conexa si su complemento es conexo. Esto significa que esta región no tiene “hoyos”. Por ejemplo, el conjunto S 0 del ejemplo anterior es simplemente conexo, pero el conjunto de todos los z que sa tisfacen 0 < Iz I< 1 no lo es, ya que el origen constituye un “hoyo” de este conjunto. En muchas ocasiones es conveniente extender el sistema C de los números complejos con la inclusión de un punto al infinito denotado con el símbolo Este nuevo conjunto se llama plano complejo extend ido 311 y el punto °° sa tisface las siguientes reglas algebraicas: a + oo = oo + a = oo)
a
_ = 0
OO
h •°o = ao • b = oo ' ■— = oo
a#
b^O.
0
Como modelo geométrico p ara 3R usamos lá esfera unitaria en el espacio tridimensional x\ + x\ + x| = 1. Asociamos cada punto z del plano al punto z en la esfera, donde el rayo que se origina en el polo norte N pasa a través de z e intersecta la esfera. Así, N corresponde a °° (véase Figura 1.17) y las e-vecindades de N sobre la esfera unitaria corresponden a vecindades del punto al in finito. Este modelo se llama esfera de Riemann, y la correspondencia entre los puntos se denomina proyección estereográfica. Todas las líneas rectas en Q corresponden a círculos que pasan a través de °° en 311* Probaremos esta afir mación en el Capítulo 5.
F I G U R A 1 . 1 7 . La esfera de Riemann
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-10,clasifique los conjuntos de acuerdo a los términos abierto, cerrado, acotado, conexo ysimplemente conexo. 1. Iz + 3 l < 2 2. IRe z I< 1 3. IIm z I> 1 4. 0 < Iz - l l < 1 * Otras notacione s comunes para í)TC son 5,
<3,U {° ° f.
24
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
5. Iz K Re z + 2 6. Iz - 1 1- Iz + 1 l> 2 7. I z + l l + \z + i\>2 8. Iz — 1 1< Im z 9.2v/2"< Iz 1 1 3 10. 11z — í I — Iz + zII< 1 . 11. ¿Cuáles son las fronteras de los conjuntos señalados en los Ejercicios 1-10? En los Ejercicios 12-15, pruebe las propiedades indicadas de los conjuntos abiertos y cerrados. 12. La intersección de un número finito deconjuntosabiertos es abierta. 13. La unión de un número finito de conjuntoscerradoses cerrada. 14. La intersección dé cualquier colección de conjuntos cerrados es cerrada. 15. La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es abierta. 16. Pruebe que, si cualesquiera dos puntos de un conjunto abierto pueden unirse mediante un polígono contenido en el conjunto, entonces éste es una región. 17. La cerradura de un conjunto S es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a S. Pruebe que la cerradura de un conjunto conexo es conexa. 18. Pruebe que S es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación. 19. ¿Cuál es el punto de acumulación del conjunto que consiste en todos los puntos z = 1/n., siendo n un entero positivo? (Este ejercicio muestra que un punto de acumulación no necesariamente pertenece al conjunto.) 20. Sea S el conjunto de todos los z que satisfacen I z l ^ l oz = Oy muestre que z = 0 no es un punto de acumulación de S. 21. ¿Cuál es el punto de acumulación del conjunto de todos los puntos :z = —m, siendo n un entero positivo, en el plano extendido 371? ¿Este conjunto tiene un punto de acumulación en (3? 22. Muestre que cualquier punto de una región es un punto de acumulación de dicha región.
lz-ll + + <
1.4
Fu n c i o n e s
c o n t i n u a s de u n a variable _____________
Una fun ció n compleja de una variable compleja es una regla que asigna un nú mero complejo w a cada número complejo z de un conjunto S. Si escribimos w —f(z), w es el valor de la función en el punto z que está en el dominio de de finición S. Al escribir w = f( z) en términos de las descomposiciones en partes real e imaginaria z = x + iy y w = u + iv de cada variable compleja, w = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y), notamos que una función compleja de una variable compleja consiste en un pa r de funciones reales de dos variables reales.
Ej e m p l o 1 Exprese w = z 2 como un p ar de funciones reales de dos variables reales. SOLUCIÓN: Con z = x + iy obtenemos
\A
•
FUNCIONES CONTINUA S DE UNA VARIABLE
Así,
25
w z 2 = (x + iy)2 = (x2 — y 2) + i(2xy). u ( x , y) = x 2 — y 2 y v(x, y) = 2xy.
Las funciones reales de una variable real y —f(x) pueden describirse geo métricamente por medio de una gráfica en el plano xy. No es posible una representación tan cómoda para w —f(z), ya que ésta requeriría cuatro di mensiones, dos para cada variable compleja. En lugar de esto, la información acerca de la función se expresa dibujando planos complejos separados para las variables z y w, e indicando la correspondencia existente entre puntos, o con juntos de puntos, en los dos planos (véase Figura 1.18). Se dice que la función f es un mapeo del conjunto S contenido en el plano z en el plano w. Una función / q u e mapea un conjunto S en un conjunto S ',f:S S', se llama uno a uno si f ( z i ) = f ( z 2 ) sólo para z , = z2 ; se le llama sobre si S ' = f ( S ) , donde f(S ) es el conjunto de todos los valores tomados por/ en el conjunto S.* Llamamos a f(S ) el conjunto imagen de S bajo el mapeo /. Imz
Im w
Figura 1 .18. u n m a p e o ™=f(z)
Ej e m p l o 2 Analice la función w = 2>z. SOLUCIÓN:
Con z x + iy, obtenemos
w u + iv = 3x + i(3y) . Así, u = 3x, v 3y, y todo vector no nulo del plano z se alarga en un vector que tiene el mismo argumento, pero tres veces su longitud, en el plano w. Como cualquier punto a + ib del plano w es la imagen del pun to (a/3) + i(b¡ 3) en el plano z, la función w = 3z es sobre. Además, la función es también uno a uno, ya que 3z x = 3z2 sólo cuando z x = z 2 .
* A las funciones uno a uno se les llama frecuentemente inyecciones y a las funciones sobre se les denomina suryecciones. Una función que es tanto inyección como suryección se llama biyección.
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Ej e m p l o 3 Describa el conjunto imagen de la función w = z2 definida en el disco Iz l< 2, y establezca si este mapeo es uno a uno. SOLUCIÓN:
Si escribimos cada punto del disco en su representación polar
z •=r (co s 6 + i sen 6), donde 0 < r = l z l < 2 y 0 < 6 < 27T, obtenemos w = z2 = r2 (eos 26 + i sen 20) . Por tanto, cada argumento se duplica, indicando que el disco Iz I< 2 se mapea sobre Iw I < 4 y cada punto de 0 < Iw I< 4 es imagen de dos puntos de 0 < l z l < 2. Por ejemplo, z ±i ambos se mapean en w = —1. Por tanto, el mapeo no es uno a uno. (Véase Figura 1.19.) Im w
F I G Ü R A 1 . 1 9 . El m ap eo w = z 2
Ej e m p l o 4 Determine si la función
w=
z- 1 -------
2 -2
es uno a uno, y establezca dónde puede definirse la función. SOLUCIÓN:
Suponga que z t y z 2 producen el mismo valor de w:
zi 1 _ z2 — 1 Zi 2 z2 — 2 Si efectuamos los productos cruzados, tenemos z ! z 2 — 2z, — z 2 + 2 = z , z 2 —z, — 2 z 2
+
2.
1.4
•
27
FUNCIONES CONT INUA S DE UNA VARIABLE
Cancelemos términos similares y unamos todos los que contienen z t en un lado y z 2 en el otro, para obtener z L = z2, lo cual implica que la fun ción es uno a uno. La respuesta a la segunda pregunta depende de qué valores de w va mos a permitir. Si restringimos w al plano complejo 6 , entonces la fun ción no está definida en z = 2, ya que el denominador se anula. No obs tante, si permitimos que w tome todos los valores en el plano extendido 311, entonces la función se puede definir en 311, con z = 2 mapeado en se obtiene al evaluar w °°. La imagen del punto en 1 1 ----z—1 z tu = = z- 2 1 _ 2 z cuando z tiende hacia °°. Así, z = “ se mapea en zv = 1 (véase Ejerc i cio 26). ---------
------------
Suponga que / está definida en una región G, y a es un punto de G. En tonces, el límite y la continuidad se definen de la misma manera que en el caso de variable real.
D efinición Se dice que la función/(z) tiene límite A cuando z tiende hacia a , lím /(z) = A, z^a
si para todo e > 0 existe un número 8 > 0 tal que
If ( z ) - A \ < e siempre que 0 < Iz — a I< 8 . Además, la func ión/(z) es contin ua en a si y sólo si lím /(z ) = / (a) z - a-a
(véase Figura 1.20). Una función continua es aquella que es continua en todos los puntos donde está definida.
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Geométricamente, la definición de límite establece que cualquier e-ve cindad de A contiene todos los valores que f toma en alguna 5 -vecindad de a, excepto posiblemente el valor f(a ). El siguiente ejemplo ilustrará el procedi miento usual para determinar 5 con un e > 0. dado.
Ej e m p l o 5 Pruebe que lím 3 Z
1 —2
2.
SOLUCIÓN: Con la expresión l/ (z ) —A I, simplificada, obtenemos
z2
3 —z z 2
2
pues suponemos que 0 < Iz — 3 I< 5: donde 5 debe todavía expresarse en términos de e. Si 5 <~2 , mediante la desigualdad del triángulo, tenemos
\z - 2 1 = |1 - ( 3 z ) \ > 1
3 z\ > 1 - 5 > |
de tal forma que 1 -
2 < 2 5.
Así, dado cualquier número pequeño e > 0, si elegimos 5 < mín ( y, "2 e), obtenemos z 1 2 < e. -
Al igual que la definición de límite de una función compleja de una va riable compleja es idéntica a la de una función real de una variable real, y puesto que los valores absolutos se comportan como en el caso real, -se aplican exactamente las mismas reglas de los límites. La verificación de las propiedades siguientes son análogos exactos de las pruebas usuales del cálculo elemental.
REGLAS DE LÍMITES Sean lím f ( z ) A y lím g{ z) = B. z-*a Entonces (i) lím [f(z) ±g(z)] = A ± B , z-+a \:
(ii) lím f { z)g( z) = A B , z-*a
(iii) lím ^ = - - » para B -A 0. g( z) B ¿2w¡j2ü¿^ia¿S¿ilü53ílü£üííiÍJüy¡fiSü3üjlSiíi£i¿iSyL5ÍES5iütl
1.4
•
29
FUNCIONES CONT INUAS DE UNA VARIABLE
PRUEBA: Dado e > 0, existen un número 5 ! S> 0 tal que I f(z) — A I
e, si Iz - a I< 5 1 , y un número 5 2 > 0 tal que Ig( z) —B I< e, siempre que Iz — al < 5 2 • Sea ¡z — al < 5, donde 5 = mín ( 5 1; 5 2). Entonces, por la desi gualdad del triángulo, >[/(*) +g(z)] —(A + B)\= l[/(z) A \ + [ g( z) - B ] I < l / (z ) — A I+ I g( z) —B\ < e + e 2e y
![/(*)-*(*)] {AB)\= \[f(z)A] +[Bg(z)}\ < l / ( z ) A ) \ + \B —g{z) \< e + e = 2e Como e > 0 es arbitrario, se muestra que f ( z) g( z) puede estar arbitra riamente cercano a A ± B eligiendo a z suficientemente cercano a a. Por tan to, la regla (i) se cumple. Además I f( z) g(z) A B I= If(z)g(z) - f ( z ) B + f ( z ) B AB I
+ B [ f ( z ) A ] I
= I < / ( * )
g(z )
A B
\g[?)~B\ + 151 \fiz) ~ A¡ 1
1
+
g( z)
B B B _ / ( z ) [ B - g { z ) ] + f ( z) A Bg(z) B
i . l/(z) — A i '/(*)! i b - m i * M ± — B I Ig(z) \ si 0 < e < \ \B\, tenemoss 1*1 = \ B g ( z ) + g ( z ) \ < e + \ g ( z ) \ , de tal forma que \ g ( z ) \ > \ B \ e > \ \B\ l/(z)l= \f(z) A + A \ < \ A \ + e. Por tanto,
\f (z )g (z) A B \ < e ( \ A \ + I 5 l + e )
y <
g( z )
b
\A |+ e B\
\\B\
+ 1
así que podemos hacer f{ z)g( z) y/(z) arbitrariamente cercanos a AB y A/ B, respectivamente, con z suficientemente cercano a a. Esto comprueba las reglas (ü) y (iü) - ■ Las reglas de los límites pueden usarse para probar que toda función polinomial en z
f { z ) = a nzn + an_ xz n—1
30
CAPÍTU LO 1 ■•
FUNCIONES ANALÍT ICAS
es continua en 6 . Note que la función identidad
m=? es claramente continua en cualquier punto si 8 = e. Al aplicar la segunda regla de los límites repetidamente, vemos que f ( z ) = zn es continua para todo entero positivo n. Toda función constante f ( z ) = c es trivialmente continua, ya que todas las e- vecindades de cualquier punto se mapean dentro de cualquier 5-vecindad de c. Nuevamente, aplicando la segunda regla de los límites, ve mos que f ( z ) = anzn es continua. Finalmente, cuando usamos la primera regla de los límites repetidamente, vemos que todos los polinomios son continuos. Ciertamente, con la tercera regla de límites encontramos que todos los cocien tes de polinomios anzn + . . . + a l z + a 0 b m z m + . . , + b { z + b 0
son continuos en aquellos puntos en que el denominador no se anula. Median te las reglas de los límites, se muestra que la suma f ( z ) + g(z) y el producto f( z )g (z ) de dos funciones continuas son continuas, y que el cociente f ( z ) /g ( z ) se define y es continuo en todos los puntos donde g(z) no se anula.
Ej e m p l o 6 Determine si la función
m
í z2 1 , =■ z- 1 3, ----------
zi= i z = 1
es continua. Claramente, f e s continua en el conjunto z i 111 1, ya que el denominador es diferente de cero. Así, el único punto donde todavía ne cesitamos verificar la continuidad es z = 1. Sin embargo, z2 1 lím =2 Z-» 1 Z — 1 porque z2 — 1 = z + 1, 2- 1 si z ^ l. Per o, por definición, / ( 1 ) = 3 ^ 2. Por ta nt o, /n o es continua.
SOLUCIÓN:
---------
----------
Ej e r c i c i o s Use la definición e 8 de límite para verificar los Ejercicios 1-10. 1.
lím 2 z = 2
Z-+1
2. lím iz = — 1 z~*i
1.4
•
31
FUNCIONES CONTINUA S DE UNA VARIABLE
3. lím z + i = 0 z— * —i 5. lím 2z — 3 = —1 + 2i z> 1+i z2 — 4 7. lím =4 z*2 z — 2
4. lím z2 +1 = 0 z+i 6. lím z 2 = 2 i Z* 1+i z2 + 1 8. lím r = —2 i z->—í z+z
---------
z3 — 1
z 2 — 3z + 2
9. lím =3 10. lím =1 2 i z —1 z —2 Pruebe que las funciones en los Ejercicios 11-14 son continuas en G : ------------------
11. tu = Re z 12 . w = lm z 13. w = z 14. w = Iz I Suponga que/(z) es una función continua en un dominio G. Pruebe que las funciones de los Ejercicios 15-18 son continuas en G. 15. Re/ (z) 17. l/(z )l 19. ¿En qué puntos la función
/ ( * ) H
16. Im/ (z) 18. f ( z )
z3 — 1 -zi¿—— 1r 3 2
z i = ± 1 z = ±1
es continua? Demuestre que las funciones en los Ejercicios 20-23 son continuas para z ¥= 0. ¿Puede definirse la función como para hacerla continua en z = 0? 20 ./+ ) = i^ i-z
2 1 . /( z ) = i i Ü
2 2 . / ( z) = ( 2 £ í ) S h ) 23 , / ( z ) = ( 5 5 4 0 0 ^ 4 ! Iz r Iz r 24. Verifique que toda función de la forma
w = - — - . a¥= b zb es un mapeo uno a uno del plano extendido 3TI sobre sí mismo. 25. Compruebe que toda función de la forma JlU be fldí
ÜZ + b > w - -----
cz + d es un mapeo uno a uno de 3TZ sobre sí mismo. 26. La función f(z) tiene límite A cuando z tiende hacia co; lím f ( z) = A,
Z-+ oo
si para todo e !> 0 existe un número 5 !> 0 tal que l/ (z ) —z4 I< e siempre que l z l > 5 .
32
CAPÍTULO "1 •
FUNCIONES ANALÍTICAS
Use esta definición para probar que
z*°° z — 2 27. Suponga que los coeficientes del polinomio P(z) = anzn + . . . + a xz + a0 satisfacen Ia0 I^ Ia t I+ Ia 2 ¡ + ■••+ I I. Pruebe que P(z) no tiene raíces en el disco unitario Iz I< 1. (Sugerencia: Note que \P{z) l> la 0 I— [ Ia t I \z 1+ . . . + \an \\z\n \.)
1 . 5 Co nd icion es necesarias para la
ANALITICIDAD La derivada de una función compleja de una variable compleja se define, exactamente, de la misma manera que el caso real del cálculo elemental.
cuando el límite existe. Se dice que la función f es anal ítica (u holomorfa) en la región G si tiene derivada en cada punto de G, y se dice que/ es ent era si es analítica en todo G. Observe que, en la definición anterior, h es un número complejo, como también lo es el cociente [f ( a + h) —f{ a) ] / h . Así, para que exista la deriva da, es necesario que ese cociente tienda a un número complejo único :f'(a) in dependiente de la manera en que h tienda hacia cero.
LEMA: Si f tiene demada en a. entontes / es continua en a
Manipulaciones de la definición de derivada llevan a las reglas usuales de derivación: if±g)' = f'±g', ifg)' = fg +gf>
15
•
33
COND ICIONES NECESARIAS PARA LA ANAUTICIDA D
/y
g f ' - f g a
^ /
r
------
’
,n
■§r ^ ° >
(/U(-Z) ) ) ' = / V ( - Z))sr'(-Z)> Regla de la cadena. Las pruebas son idénticas a las de cualquier libro de texto de cálculo ele mental. Por ejemplo,
1Im n a * h ) g ( a + h ) - f ( a ) e (a)
{ m .}=
h~* o
h
= lím f ( a + h)g (a + /t) - /( a + ft)g(q) + /( a + ft)g(a) - f( a)g(a) h-+ o h
= lím /( a + h) ■ h* 0
+ * ) - » ( “) + í W •
+ A)
/i
/i
= / ( « ) £ ' (« ) + g ( a ) / ' ( a ) .
Los polinomios y las funciones racionales se derivan de la misma manera que en cálculo elemental. Por ejemplo, sea f ( z) = zn con n un entero positivo. Si usamos el teorema del binomio, tendremos / ' ( * ) = lím /.< f + * > - / ( * > = lím <1l ± l * " h~*0 h h* 0 h
(zn +n zn~ 1h + . .. + hn) z n n , v L-------- = nz n~1. = lím > h* o h -----------------------------------
En particular, todo polinomio
P( z) = a 0 + a xz + a 2z 2 + . . . + anzn es entero, porque en cada punto z de C tiene derivada
P'(z) = a x + 2a2z + •••+ nanzn~l . No obstante estas similitudes, hay una diferencia fundamental entre la deriva ción para funciones de variables reales y la derivación para funciones de una variable compleja. Sea z = (x, y), suponga que h es real y entonces i- 1f 1i — x + -w y) —nf ( .x>y) f w \ - i,m w .
df ( z ) .
A (,).
Pero entonces si h = ik es puramente imaginario, entonces
m
lím * * ? _ + * > - / < « > > ir. k—>o
i ay
Así, la existencia de una derivada compleja obliga a la función a satisfacer la ecuación diferencial parcial
fx = i fy .
34
CAPÍTULO -1 •
FUNCIONES ANALÍTICAS
Si f ( z ) = u ( z ) + iv( z), donde u y v son funciones reales de una variable compleja, y si igualamos las partes reales y las imaginarias de ^X
Wx
f x
i fy
Vy
lUy ,
obtenemos las ecuaciones diferenciales de Cau chy -Riem ann ^X ~~ Vy ,
Vx ~
Uy .
Hemos probado el teorema siguiente:
TEOREMA: Si la función / (z) = u(z) + iv {z) tiene derivada en el punto z, las prime ras derivadas parciales de u y v, con respecto a x y y, existen y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Ej e m p l o Sea f( z) = z2 = ( x 2 — y2) + 2xyi. Como f es entera, u = x 2 — y2 y v = 2 xy deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Observe que ux = 2x = vy y —uy = 2y = vx . Por otra parte, si :/(z) = Iz i2 = x 2 + y2 , entonces u = x 2 + y2, v = Oy ux = 2x, uy = 2 y, vx = 0 = vy , así que f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann sólo en 0. Aún más ,/ ti ene derivada cuando z — 0 por que Ih I2 / ' ( 0 ) = lím = lím h = T). ¿->0 h h+ 0 --------
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-4, pruebe que cada función satisface las ecuaciones de CauchyRiemann. 1 . f(z )
ex (eos y + i sen y) 2. /(z) = eos x cosh y — i sen x senh y 3. /(z) = sen x cosh y + i eos x senh y 4. /(z ) = ex ~y (eos 2 xy + i sen 2xy) Mediante las reglas para derivar, encuentre las derivadas (complejas) de las funciones señaladas en los Ejercicios 5-8.
5. f ( z ) = 18z3
z2 ---------
+ 4z + 8
6. f ( z ) = (2z3 + l)s
1.6
•
35
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA ANALITICIDAD
z ¥= 1 zj=±i 7-/(z) = — ~ ’ 8. f ( z) = z 3(z2 + 1) 2, z —1 Sean f y g funciones analíticas definidas en la región G. Pruebe las reglas para derivar dadas en los Ejercicios 9 y 10. -----
9 ( f ± g)' = f , ± g' ( f \ ' § f ~' fg' 10. ^ J = 2'— >
con g(z) f= 0 para cualquier z en G
------
11. Muestre que el cociente P(z )¡ Q (z ) de dos polinomios tiene derivada en todo punto z donde Q(z) Q. Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pruebe que las funciones de los Ejerci cios 12-15 no son derivables en todo C . 12 . f { z ) = z 13. f ( z) = Re z 14. f (z) = Im 2 15. f (z) — I^ 1 Use las ecuaciones de Cauchy-Riemann y la definición de derivada para determinar dónde tienen derivada las funciones de los Ejercicios 16-19. 16 . f ( z ) = z 2 17. f ( z) = (Re z)2 18 ./(z ) =z Rez 19. f (z) z Im z 20. Pruebe la regla de la cadena para la derivada [/ (g(-z))] ' = f'{g(z))g\z), su poniendo que f y g son enteras. 21. Utilice la regla de la cadena para probar que una función entera de una función entera es entera. *22. Si todos los ceros de un polinomio P(z) tienen partes reales negativas, pruebe que lo mismo se cumple para todos los ceros de P'(z)? (Sugerencia: Factorice P(z) y considere P'(z) /P(z) .) 23. Si u y v se expresan en términos de las coordenadas polares (r, 6), muestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden escribirse en la forma 9m 1 9u > 9r r 90 24. Pruebe que la función -
19u dv = - — > 9r r 90
----------------
r
0.
f ( z ) = r5 (eos 50 + i sen 50) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar para todo z=f 0.
1.6 C
o n d i c i o n e s suficientes para la analiticidad En este punto, uno se podría preguntar si las ecuaciones de Cauchy-Riemann son suficientes para garantizar la existencia de la derivada en un punto dado. El ejemplo siguiente, de D. Menchoff, muestra que no es así. Sea
36
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Entonces ,4 \ lZ
Z
**o.
que tiene valor 1 sobre el eje real y valor -1 sobre la línea y = x. Así,/no tiene derivada en z — 0; pero si se desarrolla la expresión para / se tiene u(x ,0) = x,
u(0,
y)
= 0 = i/(x, 0) ,
r /( 0, y ) = y .
Por lo que,
ux ( 0 , 0) = 1 = Vy (0, 0),
u y (0, 0) = 0 = vx (0, 0),
y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sin embargo, tenemos el siguiente teorema:
Te o r e m a
L
Sea f ( z ) = u( x, y) + iv(x, y), definida en alguna región G que contiene al punto z0, y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con res pecto a x y y, que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z0. Entonces f ' { z 0) existe
PRUEBA:t Si :x # x 0 y y =£ y 0 , el cociente de diferencias se puede escribir
f ( z) f ( z o) = u (x >y) u j x p , y 0 ) + . v ( x , y ) v { x 0 , y o ) z — z0 zz f z - zc X —x 0 u(x, y) u ( x 0, y) v(x, y) v{x0, y) z z0 X —Xf X — Xc y - y o ~u(x o, y) u ( x 0, y 0) + t>(x0, y) - t;(x0, y 0) zz0 yyo y-yo X —x 0 Ux (x0 + ti (x x 0) ,y ) +ivx (x 0 + t2{x x 0),y) z —z0 yyo z z „
% ( *o .y o + *3( y - y o ) ) + ivy (x0, y 0 + M y - y o ) ) f >
donde 0 < í ¿ < 1, k 1 , 2 , 3, 4 , según el teorema del valor medio del cálculo diferencial. Este resultado también se cumple si x = x 0 o y yo Como las parciales son continuas en z 0 , podemos escribir
f (z) f ( z o) _ * - * o [«* (*o) + *M*o) + (m ] Z— Z0 zz n y - y o
z
— Zn
[uy (Z0) +ÍVy (-Z0 ) + e2 ] ,
1.6
•
37
COND ICIONES SUFICIENTES PARA LA AN ALIT OD AD
donde , e2 *■ 0 cuando z - > z 0 . Aplicando las ecuaciones de CauchyRiemann al último término, podemos combinar los términos para obtener
m
(z0 ) + ¡V , (z„) + ( * - * . ) « . -|- ( y - y o ) e J _ z - zo
2 Zo
Como Ix — x 0 \, Iy —y0 l< \z —z 0 \, la desigualdad del triángulo conduce a (» - « . ) € , t ( y - y o) e,
< | e i | + | e ¡K O i
c ua nd o2 ^ , o.
Z - Z o
Por tanto, el último término tiende a cero cuando z tiende a z Q así que al to mar el límite, tenemos
f ' ( z o) = lím = u x (z0) + ivx (z0) z*zo z —z 0 En particular, si las hipótesis del teorema se cumplen en todos los puntos de la región G, entonces f es analítica en G. I
Ej e m p l o 1 Muestre que la función
f ( z ) = e x*~y2 (eos 2x y + i sen2xy) es entera. SOLUCIÓN:
Debemos verificar que las primeras parciales de
u e x2~y2 eos 2a;y y v e x l ~ y l sen2a;y son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy -Riemann en todos los puntos de &. Claramente, ux = 2ex ~y (x eos 2x y —y sen 2a;y) = vy y
2
2
—uy = 2ex ~y (y eos 2a;y + a; sen 2a;y) = vx son funciones continuas en 6 así que/( z) es entera.
Ej e m p l o 2 Describa la región de analiticidad de la función
(x 1) —«y (x —l)2 + y2
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
SOLUCIÓN:
Las primeras parciales, de u = Re / y ® = Im / satisfacen
ux
_
y2 —{x — l) 2 _ = Vv [(a - l)2 + y2 ] 2 y
----------
y —2y (jc — 1) i -— = —vx . [(* - 1) + y 2 ] 2 Estas funciones son continuas para todo z ¥= 1. Note que f(z ) no está de finida enz = 1. Por tanto, f( z ) es analítica para todo z ¥= 1.
uv =
-----------
--------
En el caso de variable real del cálculo elemental, sabemos que cuando la deri vada de una función es Cero en algún intervalo, la función es constante en ese intervalo. Para variables complejas se obtiene un resultado semejante.
Te o r e m a de la d e r i v a d a n u l a Sea/ analítica en una región G y f'(z) = Oen todo z de G. Entonc es/ es constante en G. Se tiene la misma conclusión si Re f, Im /*. l/l o ar g f es constante en G.
PRUEBA: Como f'(z) - ux (z) + ivx (z), si la derivada se anula implica que
ux = vy, vx = —uy son todas cero. Así, u y v son constantes a lo largo de cual quier recta paralela a los ejes coordenados y como G es conexo mediante un polígono (véase el teorema y las observaciones después de su prueba en la Sec ción 1.3), / = u + iv es constante en G. Si u (o v) es constante vx = —uy = 0 = ux = vy ,lo cual implica que /'( z ) = ux (z) + ivx (z) = 0 y / es constante. Si l/ l es constante, también 1 / |2 = u2 + v2 ,1o es; esto implica que UU X
+
VVX
= O,
UU y
+
Wy
—vux —uvx = 0.
Resolviendo estas dos ecuaciones para ux, vx , tenemos ux = vx = 0 a menos que el determinante u2 + v2 se anule. Como l/l 2 = u2 + v2 es constante, si u2 + v2 = 0 en un punto, entonces es constantemente cero, y / s e anula idén ticamente. De otra man era, las derivadas se anulan y/ es constante. Si arg/= c,/(G) estará contenida en la recta
v = (tan c) ‘ u, a menos que u = 0 , en cuyo caso terminamos. Pero (1 - z tan c ) f es analítica y Im(l — i tan c) / = v — (tan c)u = 0, lo que implica que (1 - i tan c)f es constante. A sí , /l o es también. I
1.6
•
CONDIC IONES SUFICIENTES PARA LA ANALITICIDAD
39
Ej e r c i c i o s Pruebe que las funciones en los Ejercicios 1-5 son enteras. 1. f(z) = ex (eos y + i sen y) 2. f(z) = eos x cosh y — i sen je senh y 3. f(z) sen x cosh y + i eos x senh y 4. f\z) = (x3 — 3xy2) + i {ix2y — y 3 ) 5. f(z) = sen(x2 — y2 )cosh(2xy) + i cos(x2 — y2 )senh(2xy) En los Ejercicios 6-8, diga si las funciones son analíticas. 6 f( z ) =
,- X ,
x 2 + y 2
J
x2 +y2
? • f (z ) = sen / — -) cosh x 2 + y2J \ x2 + y2 ------
i eos ( ~ ) senh x 2 + y 2) \ x 2 + y2 8. f ( z) = \ log(x2 + y2) + i are tan y_ X
9. Muestre que, en z = 0, la función z3
z^O,
Izl2
z = 0.
0
satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero no tiene derivada en ese punto. 10. Muestre que la función
r
/(*H
[o ,
,
z o, z = 0,
satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = 0, pero no tiene derivada en ese punto. 11. Si f( z) = u + i v y f = u — iv son analíticas, pruebe que/ es constante. 12. Sea f(z) = u + zuentera, y suponga que u • v es constante. Pruebe que f es cons tante. 13.51 f(z) —u + iv es entera y v = u 2, muestre que f es constante. 14.51 / = u + ives entera y u 2 —v2 pruebe que f es constante. 15.Suponga que la función analítica f definida en la región G, toma valores reales. Pruebe que/es constante en G. 16.Sean f(z) = z 3, z ¡ = 1, z2 = i. Pruebe que no existe un punto z 0 sobre el segmento de recta que une a z x y z2 tal que f ( Z2 ) f { z l ) = f \ z 0) ( z 2 Z l ). Esto demuestra que el teorema del valor medio para funciones reales no se ex tiende a las funciones complejas. 17.51 z x + iy, muestre que no existe una función entera cuya derivada sea la función f(z) = x
40
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
1 . 7 Ex p o n e n c i a l c o m p l e j a Hemos visto en la Sección 1.4 que los polinomios y las funciones racionales en una variable real producen funciones analíticas cuando la variable real se reemplaza por z. Esto de ninguna manera es un ejemplo aislado. De hecho, to das las funciones elementales del cálculo, tales como exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas, dan lugar a funciones analíticas cuando se extien den apropiadamente al plano complejo. En las siguientes tres secciones, defini remos las extensiones de estas funciones elementales e indicaremos algunas de sus propiedades. Empecemos con la exponencial ex . Deseamos definir una función /(z ) = e? que sea analítica y que coincida con la función exponencial real cuando z sea real. Recordando que la exponencial real se determina por la ecuación diferencial / ' ( * ) = / ( * ) ,
/( O ) = 1 ,
nos preguntamos si existe una solución analítica de la ecuación / ( o ) = i.
Si tal solución existe, necesariamente deberá coincidir con ex cuando z — x, pues sólo así satisfará la ecuación que la determina sobre el eje real. De la defi nición de /', tenemos w(0) = l, u(0) = 0. ux + ivx = u + iv, Como ux = u,vx = v, al separar variables, tenemos
u(x, y) =p (y )e x ,
v(x, y) = q(y) ex ,
con p (0) = 1, q(0) = 0 por las condiciones iniciales. Derivemos estas dos ecuaciones con respecto a y apliquemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, para obtener p'(y)«* = uy = v x = q { y ) e x ,
q'{y)ex = vy = ux =p {y )e x .
Por tanto, p ' —q , q p, así que ? ~ P ~ —g ,
. ir t _ . P = q ~ P>
y p, q son soluciones de la ecuación diferencial real <¡>"(y) + 0(y) = 0. Todas las soluciones de esta ecuación son de la forma A eos y + B sen y , con A y B cons tantes. Como ^'(0) = p(0) = 1, p'(0) = —^(0) = 0, debemos tener p(y) = eos y , q(y) = sen y. Por tanto, obtenemos la función /(z) = ex eos y + iex sen y = e* (eos y + i seny), que coincide con ex cuando z = x y es analítica, puesto que su construcción automáticamente garantiza que las parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
1.7
•
41
EXPONENCIAL COMPLEJ A
DEFINICIÓN La exponencial compleja dada por
é2 = ex (eos y + i seny) es una función entera con valor diferente de cero que satisface la ecuación dife rencial / ' ( * ) = / ( * ) . /(O) = 1. Que é2 0 se sigue de que ni ex ni eos y + i sen y se anulan. Además, observe que como z = x + iy , la notación conduce a
e® = eos y + i seny,
I
I= 1.
Así, la representación polar de un número complejo se transforma (véase Sec ción 1.2) en
z= \z\é^z. Si z, = x¡ + iy i y z2 = x 2 + iy2, entonces las fórmulas trigonométricas para las sumas implican que e2' é2* = e*1eXi (eos y j + i seny,) (eos y2 + i seny2) = g*i +*2 [(eos y] eos y 2 —seny] seny2) + ¿(seny] cosy2 + cosyi seny2)] = é?*<+*N [co s(y ] + y 2 ) + * sen ( y , + y 2 )] = ex i +x2 e i(y,+y,) = ezi +z2 .
Ya que
gZ1~Z2g^2 —gZ1—Z2 +Z J —gZl ^
Se sigue que
gZ\—Z2 gZl jgZ2 _
Si usamos repetidamente la fórmula para la suma de exponentes, obtenemos g™ (e2 )" . Esta identidad proporciona una prueba rápida del teorema de De Moivre cuando z = et6 : (eos 6 + i sen Q)n = (e%6 )" = em6 = eos nd + i sen nd , para n = 0, +1, ±2, . . . . Con esta versión del teorema de De Moivre, tenemos (1 _
¿ ) 23 = (y^2"e-7”/4 )23 = 223/12 e-2 3 "^4 = 223/2 e™74 = 2 11 (y/2 em‘/ 4 ) = 2n (l+í).
La exponencial compleja jugará un papel esencial en las aplicaciones. Con el fin de entender completamente la exponencial compleja, necesitamos estudiar sus propiedades como mapeo. Para visualizar el mapeo
w = e2 = ex (eos y + i seny),
42
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
FIGURA 1.2 1. La exponencial
observemos que la franja infinita —7t < y < 7t se mapea en <3 — { 0 } : los pun tos sobre el segmento de recta x = 0, —ir *0 y < irse mapean de manera uno a uno en el círculo Iw I= 1, las rectas verticales a la izquierda del eje imaginario se mapean en círculos de radio r < 1, las rectas verticales a la derecha del eje imaginario sobre círculos de radio r > 1, la mitad izquierda de la franja en la Figura 1.21 se mapea en 0 < Iw I< 1, y la mitad derecha va a I w I> 1. Obser ve que e? tiene periodo 2iri, porque ^ + 2 ™ = e x + ( 2 n + y ) ¿ = g x [ c o s ( 2 t t ' + y ) + z s en ( 2? r + y ) ] = e * ,
así que los valores complejos e2 y ez+2ntk , con k entero, son idénticos. Por tan to, cada franja infinita —ir < y — 2nk < ir, k = 0, ±1 , ±2, . . ., también se mapea en <3 — {0 } , y el mapeo e2 : <3 *■ <3 — {0 } manda un número infinito de puntos de <3 al mismo punto en <3 — {o } . Este es un resultado indeseable, en vista de que no permite la discusión de una función inversa, exc epto sobre cada una de las franjas infinitas descritas anteriormente. La función inversa es ver daderamente importante, porque la inversa de la exponencial real es el logarit mo. Para eliminar esta dificultad, imagine que el contradominio del mapeo consiste en un número infinito de copias de <3 — {o } apiladas en capas unas sobre otras, cada una cortada a lo largo del eje real negativo con el borde supe rior de una capa “pegada” al borde inferior de la capa superior, produciendo un conjunto
^ +h - ** ~ ~ r ~
¿ e° \
17
•
43
EXPONENCIAL COMPLEJA
FIGURA 1.22. La superficie de Riemann de w = e2
y la cantidad entre paréntesis tiende a e° cuando h *■ 0, si eh pertenece a la misma capa de (R que e ° . De manera alternativa, si Im z (2k + 1 )ít y h es pequeño, zy z + h pertenecerán a la misma franja, de tal forma que e2 y e2+h se encuentren en la misma copia de C — { 0 } . El conjunto (R se llama superficie de Rie ma nn; las líneas de corte en cada copia de cortes de ramificación; los extremos de los cortes de ramificación 0, °° puntos de ram ificació n; y cada copia de 6 — {0 } se llama rama de (R.
6 —{o}
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-7, exprese cada número en la forma x + zy.
l e™
2
3 . g_ r + (,rí/4)
4_ e (—1 + ttí)/4
. e 3 *V2 7. e7ír¿/2.
6
5
. e (1+7r!')/2
En los Ejercicios 8-10, encuentre todos los números complejos z que satisfacen las con diciones dadas.
8. e 2 z = l
9 . e iz = 2
10. e * = 1
1 1 . Obtenga todos los valores de e 71* / 2 , con h entero
12. Muestre que (e2 ) = e2 . En los Ejercicios 13-20, utilice el teorema de De Moivre y calcule cada número
13. (1 + i)29 15. (—1 —f) 36 17. (v/3 + 0 15
14. ( - 1 + i ) 17 16. (2 + 2 í) ia 1 8 .(- V $ + 0 13
En los Ejercicios 21-24, encuentre las sumas mediante el teorema de De Moivre.
21. 1 + eos x + eos 2x + . . . + eos nx 22. eos x + eos 3x + eos 5x + . . . + cos(2n — l)x
44
CAPÍTU LO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
23. senx + sen 2x + sen 3x + . . . + sen nx 24 . senx + sen 3x + se n5x + . . . + sen(2n — l)x 25. Si f(z) es entera, muestre que es entera y encuentre su derivada. 26. Pruebe que e2 es la única solución analítica de la ecuación diferencial compleja f ' ( z ) = f ( z ) , f ( 0 ) = l. ¿Cuál es la imagen del conjunto |z." Ix I
28. w = e”z!2
29. Encuentre una función analítica que mapee { z : 0 < x < l , 0 < y < l } d e mañera uno a uno y dentro de 1 < |w \< e 2n.
1 . 8 Las funciones COMPLEJAS
t r i g o n o m é t r i c a s e hiperbólicas
La exponencial compleja puede utilizarse para definir las funciones trigono métricas complejas. Como e^ = eos y + i sen y y = eos y — ¿sen y, ent0nCCS
¿y - e~ v 2 2i Extendemos estas definiciones a los planos complejos como sigue: eos y =
+ e-v
>
sen y
--------------
D efinición eos z =
giz + e h --------------
2
>
sen z =
2i
Estas funciones son enteras, pues son sumas de funciones enteras y satisfacen , ieu — ie~u e12 — (cosz) = - 2 2i
= —senz,
. , iea + ie~u ea + e~ u (senz) = 2i 2
=eosz.
--------------
---------------
Las otras cuatro funciones trigonométricas, definidas en términos de las fun ciones seno y coseno por medio de las relaciones usuales
18
•
45
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS COMPLEJAS
son analíticas, excepto donde se anulan sus denominadores, y satisfacen las reglas normales de derivación (véase Ejercicio 22) (tan z)' = sec2z, (c o tz )' = —esc2 z,
(sec z)' = secz tanz, (cs cz )' = —csc z co tz .
Todas las identidades trigonométricas usuales son válidas en variables comple jas, y sus demostraciones dependen de las propiedades de la exponencial. Por ejemplo, cos2z + sen2z = \ [( eu + e~iz )2 — (eu —e~lz )2 ] =1, y
co szj eos z2 —senzj senz2 g«i + e« i + e~ai elz■ — e~Ul e12"1 ~ e-1*2, 2 2 2c¿ ‘ eü' + 2e ~ü ' 4
2í
2i
= cos(z, +Z2).
De la definición de eos z, tenemos eos z = cos(x + iy) =
e y +vc + ey~tx --------- ------------
= \e~y (eos x + i senx) + \ e y (eos x — i senx)
ey + e~ y\ . ( e y - e~ y eos x — z — ) senx. 2 V 2 J Así, eos z = eos x cosh y — i senx senh y. De manera semejante encontramos sen z = sen x cosh y + i eos x senh y.
TEOREMA Los ceros reales de sen z y eos z son sus únicos ceros.
PRUEBA: Si sen z = 0, la última ecuación muestra que debemos tener
senx cosh y = 0,
eos x senh y = 0.
Perocosh y > 1, lo cual implica que el primer término se anula solamente cuando sen x = 0, esto es, x = 0, ±7T,±27T, . . .Sin embargo, para estos valores eos x no se anula.Por tanto, debemos tener senh y = 0, sea y = 0. Así, sen z = 0 implica z = nir, con n entero.
46
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Esta aseveración también se aplica a tan z, y de igual forma encontramos que eos z = 0
implica
z = (n + •y)7T,
con n entero. ■
Las funciones hiperbólicas complejas se definen al extender las defini ciones reales al plano complejo.
D efinición senh z =
e2 — 6~~Z -------------
2
>
cosh z =
C? "P € z 2
•
Nuevamente, todas las identidades y reglas usuales de derivación se aplican a las funciones hiperbólicas complejas (véase Ejercicios 23-30). Note, además, que senh iz =
----------------
cosh iz =
-------------
2
= i senz
= eos z.
Así, las funciones hiperbólicas complejas están íntimamente relacionadas con las funciones trigonométricas complejas, ya que al multiplicar por i, simple mente se rota todo vector en 6 por 90° , en sentido contrario a la dirección que llevan las manecillas del reloj. Por tanto, los ceros de senhzy cosh z son ima ginarios puros.
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-8, exprese cada número en la forma
l. se ní 3. c o s h ( l + í ) 5. eos (1 + i) 7. senh (1 + 7tí )
2. 4. 6. 8.
x + iy.
eos (—í) senh7Tí tan 2í cosh (7rz’/4 )
En los Ejercicios 9-12, encuentre todos los números complejos z que cumplan las con diciones dadas.
_9. eos z = senz 10 . eos z = —i senz IX. cosh z = 2 12 . cosh z = t 1.3. ¿Existen puntos z donde senh z = cosh z? 14. Muestre que sen z = sen z. 15. Pruebe que eos z = eos z . En los Ejercicios 16-21, pruebe las identidades.
,1 6. sen(z, ± z 2) = senzi c o sz 2 ±cosZ j sénz2 ,/JL2. cos(z, —z 2) = cos z, eos z2 +senz, senz2 18. sen(-z) = —senz, cos(—z) = eos z ¿IS^sen 2z = 2 senz eos z, * 'c 0 S2 z = e o s 2z —sen2 z, tan 2z =
tan Z
1 — ta n 2 z
1.9
•
47
LAS FUNCIONES LOGARITMO COMPLEJO Y POTENCIA COMPLEJA
20. Isenz I2 = sen2 x + senh2 y 21. Ieos z I2 = eos2 x + senh2 y 22. Pruebe que las reglas de derivación para las funciones tan z, cot z, sec z y esc z son válidas como se ha establecido. En los Ejercicios 23-27, pruebe las identidades. 23. cosh2z —senh2 z = 1 , bósh(z) = cosh z, s¿ífiífz) = —senhz j 24 . senh(zj + z 2 ) = senhZj cosh z 2 + cosh z¡ senh z 2 1 cosh(z j + z 2 ) = cosh z , cosh z 2 + senhz 1 senh z 2 26. i senh z = sen iz, cosh z = eos iz, i tanh z = tan iz 27. Isenh z l2 senh2 x + sen2 y, Icosh z I2 = senh2 x + eos2 y Pruebe las reglas de derivación dadas en los Ejercicios 28-30. 28. (senh z)’ = cosh z, (cosh z) ' = senh z 29. (tanh z)' = sech2 z, (cothz)' = —csch2 z 30. (sech z)' = —scch z tanh z, (csch z)' =—csch z coth z 31. Encuentre todos los ceros de senh z y cosh z. 32. Verifique que e z = cosh z + senh z . 33. Verifique que eK = eos z + i sen z. Muestre que la función w = sen z mapea cada una de las franjas en los Ejercicios 34-36 en el conjunto dado, indicando qué les sucede a los segmentos de recta horizontales y verticales bajo la transformación ui = sen z = sen x cosh y + i eos x senh y. 34. La franja I x l< 7t/2 en C — {z : y = 0, I x 1^ l} 35. La franja semiinfinita J x I< tr/2, y 0 en el semiplano superior. 36. La franja semiinfinita 0 < x < 7T/2, y > 0 en el primer cuadrante. 37. Describa la función w = eos z, al considerar el mapeo de segmentos de recta ver ticales y horizontales bajo la transformación.
w eos z = eos x cosh y — i sen x senh y.
4 . 9 Las FUNCIONES LOGARITMO COMPLEJO Y POTENCIA
COMPLEJA
.
_______________
__
_________
Como e* : C (R es uno a uno, con (R como la superficie de Riemann defi nida en la Sección 1.7, podemos definir su función inversa que mapea (R en C . Imitando el caso real, llamamos a este mapeo inverso logaritmo y lo deno tamos por log z : (R *■ G . Como la exponencial compleja y el logaritmo son funciones inversas, se tiene que lo g e2 = z , para todo z e n C ,
y el°gz =
pa ra todo z en
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
La única tarea pendiente es obtener una expresión para log z en términos de funciones conocidas. Una complicación se presenta cuando el logaritmo se de fine en la superficie de Riemann (R, ilustrada en la Figura 1 .22. Como
e - {o},
log z = log( Iz leíarg* ) = log(elog ]z'+i arg *) = log Iz I+ i arg z , donde log Iz Ies el logaritmo natural del cálculo elemental. Para completar la descripción de la superficie de Riemann (R definimos las e-vecindades para los puntos en (R. Si z pertenece a una ram a de (R y Iz I> e , entonces el conjunto de todos los puntos sobre esa rama cuya distancia desde z es menor que e constituye una e-vecindad de z. Este concepto es importante porque los límites se definen en términos de e-vecindades. Al definir una e-vecindad en una superficie de Riemann, podemos extender las nociones de continuidad, derivabilidad y analiticidad de una función definida en esa superficie, ya que estas nociones dependen sólo del comportamiento local de lafunción. Esto es, la continuidad en z depende únicamente de la dife rencia /(z) — f { w) para cualquier w en cualquier e-vecindad de z,mien tras que la derivada en z depende únicamente del cociente de las diferencias [/(z) — f(w )] /(z — w). Con estos conceptos, no es difícil verificar que log z es continua ya que log z —log w = log Iz I+ i arg z —log Iw I— i arg w = [log Iz I—log Iw I] +z [arg z — arg i c ] , y el logaritmo natural y la función argumento son continuas.
TEOREMA La función log z ~ log !z I+ i aig z es analítica p ara todo z en
Prueba
Wv
Como u
= log
x 2 + y2
Iz I= \ log(x2 + y 2 ), v = arg z = tan 1 y/x + nn y _ —y x tl y ' = ,2 V* x + y" x 2 + y2 x 2 + y 2
las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen y las derivadas parciales son to das continuas en (R. Porque la analiticidad es una propiedad local, y porque la
1.9
•
LAS FUNCIONES LOGARITM O COMP LEJO Y POTENCIA COMPLEJA
49
prueba del teorema sobre condiciones suficientes para la analiticidad, de la Sección 1.6, se basa en argumentos locales, log z es analítica en (R. ■ El logaritmo complejo tiene las propiedades usuales de un logaritmo: log z , z 2 = logz, + log z2 , log ü i = l o g z , - l o g z 2 . • z2 Note que en estas dos identidades suponemos que z 1 y z 2 son puntos de la su perficie de Riemann (R. Como z = elogz para cualquier z en (R, aplicamos la regla de la cadena para la derivación para obtener 1 = eíogz (logz)' o (logz)'=l/z, parazenlR. Así, la fórmula usual de la derivada se cumple en (R. De la misma manera que definimos el valor principal Arg z del argumen to arg z, podemos extender este concepto al logaritmo. Al visualizar al logarit mo como el mapeo inverso de la exponencial, llamamos a la rama de (R cortada a lo largo del eje real negativo, que se mapea en la franja semiinfinita —TT^y < 7T, ra ma princip al del logaritmo (véase Figura 1.23 ). Denotamos log z cuando se restringe la rama principal, por Log z = log Iz 1+ i Arg z, y llamamos a éste valor principal de log z. Note que el valor principal log z se define sólo en aquella rama de (R para la cual Arg z existe. Debe tenerse cuidado cuando se trabaje con la rama princi-
FlGURA 1.23. R a m a p r i n c i p a l d e m
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
pal del logaritmo Log z, ya que las propiedades usuales de los logaritmos pueden no cumplirse. Por ejemplo, Log z = log IzI+ zArg z= z7r/2, Log (—1 + i) = log 1—1 + zI+ z Arg (—1 + z) 37r , rcr i■ — = ilog^IT-f 4
pero Log [z '(-1 + z')] = Lo g (- l - z) = log 1—1 —zI+ z Arg (—1 —z) 37T
= l og \/ 2 - z — . así que Log [z’(—1 + z')] ¥= Log z+ Log(—1 + z). Por el contrario, las dos expresiones difieren por un múltiplo de 27rz‘. (¿Por qué?) Las funciones logaritmo y exponencial complejas se pueden usar para de finir las funciones potencia.
D efinición za = ealogz,
a complejo ^ 0 ,
z i= 0 .
La función z a : (R *■ (R es analítica y uno a uno porque es la composición de funciones de esos tipos. Por la regla de la cadena,
(za)' = ea logz • - = aza~ l . z El valor principal de la función potencia está dado por z a - £ a Logz ^ A menudo estamos interesados en el caso donde a m/n > 0, m, n en teros positivos son factores comunes. Considere ahora el conjunto de números e L ° g ( z ) + 2 t t* z ^ ^ = o, ±1 ,±2 , . . ., esto es, aquellos puntos en (R situados di rectamente “arriba” y “abajo” del punto e Logz. Entonces ( eLog<z) + 2nkíjm/n = ¿m/n ) Logz g(m/n) 2* ki y si escribimos k = pn + q con p y q enteros, 0 ^ q < n, tenemos £{m/n)2nki —£2npmi £2niqm/n —£2mqmln de tal forma que hay únicamente n respuestas con valores complejos diferen tes. Así, el mapeo zm!n : (R -»• fí conduce a cada n copias de Q — {o} a una copia de C — {o } y se repite a partir de ahí. Este hecho permite simplificar el modelo usado para describir el mapeo w = zm!n. Para simplificar, suponga que m = l . Entonces
1.9
•
51
LAS FUNCIONES LOGAR ITMO COMP LEJO Y POTENCIA COMPL EJA
w = z l¡ n = e ( l l n ) L o gz ^ i q / n >
? = 0 , 1,
[ <2 M r C —{o}
1,
[ C {o}]
puede visualizarse como un mapeo de — en — , donde — consiste en n copias de “pegadas” una después de otra a lo largo del eje real negativo, como en
[ C {o}]"
Ej e m p l o 1 Describa la superficie de Riemann modificada de la función
U) = -y/F.
e
SOLUCIÓN: De la discusión anterior, la función mapea [ - { O } ] 2 en [ e - { 0 } ] , como se ilustra en la Figura 1.24. Podemos observar que la rama de arriba está mapeada en la mitad derecha del plano, y la ram a de abajo está mapeada en la mitad izquierda del plano.
w = l/F
0
e - (0) FIGURA 1.24. La superficie de Riemann para w = z'A '
52
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
El mapeo zm = [ C — { 0 } ] -> [ G — { 0 J-] ”*es el inverso del mapeo zl¡m . Por tanto, la función compuesta
(zVn)m =zm/n:
[e - {o}]” ->[e - {o}]m
es analítica y uno a uno en las superficies modificadas de Riemann, descritas anteriormente. El logaritmo también se puede usar para definir las funciones trigono métricas inversas.
Ej e m p l o 2 Muestre que sen- 1 z = —i log [iz + (1 —z2 )t] . SOLUCIÓN:
La función w — sen 1 z revierte la acción del mapeo
e iw — e~iw 2i Si multiplicamos ambos extremos de esta ecuación por 2 ietw, tenemos z = sen w =
eliw -
----------------
2 izéw
- 1 = 0.
Cuando utilizamos la fórmula cuadrática en la solución de e iW , obtenemos
e iw =¿z + (l z 2 )±, donde la raíz cuadra da mapea [ 6 — {o } ] 2 en [ C — {o } ] (o es bivaluada en G). El resultado se sigue ahora al tomar logaritmos de ambos lados.
Las identidades y reglas usuales para la derivación de funciones trigono métricas e hiperbólicas inversas también se aplican aquí. De hecho, la mayoría de las funciones matemáticas que surgen en problemas de física e ingeniería son analíticas. Así, el concepto de analiticidad se aplica a una clase, grande y útil, de funciones.
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-6, encuentre todos los valores de las expresiones dadas. 1. log i 3-Jtfig (—1) ■ ¿O L
2. log ( 1 + i) 4. I1' 6. (1 + z)1+t
En los Ejercicios 7-10, encuentre los valores principales de las expresiones dadas. X Jo g i, •JUU
8. log(l + i) 1 0 . ( 1 + í ) 1+!
1.10
•
53
APLICACIONES EN ÓPTICA (OPCIONAL)
11. ¿Para qué valores complejos de a, puede extenderse continuamente la función z “ en z = 0? ¿Cuándo es entera la función resultante? 12. Pruebe que log z es la única solución analítica de la ecuación diferencial
m
/ ( i ) = o,
=
en el disco Iz — 1 I< 1. 13. Muestre que log z j + log z 2 = log Zlz2. zi 14. Verifique que log z t —log z 2 = log — • Z,
a —£&+b 15. Compruebe que zaz =z ¿' 16. Muestre que —g = z'a —b 17. Confírme que Lo g(—1 — í ) — Log i =£ Log
-i
Exprese que Log (z3 ) 3 Log i. Pruebe que log za = a log z, complejo ¥= 0, z ^ 0. ¿Es 1, elevado a cualquier potencia, simpre igual a 1? Demuestre que eos- 1 z = —i log [z + (z2 — 1)T ]. 1 ( i + z \ 22. Corrobore que tan-1 z = —los ( > z ^ ±z‘. 2 \izj 18. 19. 20. 21.
-------
23. _Eruebe que co t
z = — log ( \>z ¥= ±i. 2 Vz + i ) 24. Muestre que sehn- 1 z = log [z + (z2 + 1)"» ] . ,2á.J/erifique que cosh-1 z = log [z +(z2 — ---------
l)"í ] .
26 . Compruebe que tanh- 1 z = \ log ^ ^ + Z ^ , z ^ ± l . 27.Pruebe que (sen-1 z ) ' = ( l —z2)-_ í, z ¥= ± 1. 28. Confirme que (eos-1 z ) ' = —(1 —z2)-_í, z ^ ±1. 29 . Pruebe que (tan- 1 z)' = — -— > z ¥= ±i. 1 + z2 30. Exprese que (senh-1 z) ' = (1 + z2 )- L z =£ ±i. 31. Confirme que (cosh-1 z) ' = (z2 — l)- L z ±1. 32 . Muestre que (tanh-1 z)' = — -— > z =h ± 1. 1 —z2 33. Encuentre la falla en el argumento siguiente: Z= ( —1 ) 1/2 = [( —l ) 3 ] 1 /2 = ( - l )3/2 = z3 = - z .
1 . 1 0 A plicaciones
en ó p t i c a (opcional)
Uno de los modelos que se han sugerido para interpretar las propiedades empí ricas de la luz supone que cierta fuente luminosa crea una perturbación que
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
produce ondas esféricas en determinado medio homogéneo. Este modelo es análogo al siempre creciente círculo de olas que ocurre cuando la superficie de un volumen de agua se perturba. El análisis matemático de este modelo (usando las ecuaciones de James Maxwell de electromagnetismo) conduce a la ecuación de onda unidimensional a 2 e = j _ a 2 e dx2 c2 a t 2 donde E es la perturbación óp tica, x es la dirección de propagación de la onda, c es la velocidad de propagación de la luz, y t es el tiempo (véase Ejercicio 4). Es fácil probar que cualquier función de la forma E = f(c t — x) es solución de la ecuación de onda, ya que a 2e a [ - / ' ( c í - x )] = f " { c t x ) dx2 dx a 2e
a = — [cf' (ct — x)] = c 2 f ' ( c t — x ) . a t2 aí
La observación de efectos de interferencia, que ocurren cuando dos rayos de luz de una fuente común llegan al mismo punto a través de diferentes caminos, sugiere que la perturbación óptica consiste en una suma de funciones casi sinu soidales. Esto es, E puede muy bien aproximarse por una suma de ondas sinusoidales de la forma
A eos
cu ^ t — —^ +
donde A es la amplitud, co/27t es la frecuencia, y a = <¡>— cox/c es el corri miento de fase de la onda. Podemos fácilmente sumar ondas sinusoidales de la misma frecuencia si utilizamos la exponencial compleja:
A , eos (c ot + oq) + . . . + A n eos (cot + oc„ ) = Re [,4,é?!'<“ í+°u) + . . , + A ne i^ t+an)] = Re A e l^ t+a^= A eos (coi + a), donde obtenemos
A , e ia‘ + . . . + A ne lan = A e ia gráficamente, cuando usamos la ley del paralelogramo de la suma vectorial (véase Figura 1.25). En un telescopio, las imágenes se afectan por las franjas de interferencia que aparecen cuando los rayos luminosos incidentes se transmiten y se reflejan en la superficie de las placas de vidrio y los espacios, dentro del telescopio, que contienen aire. Considere la Figura 1.26, donde un rayo de luz desde una fuen te distante S llega a la placa de vidrio en R 0 . Parte del rayo incidente se refle-
11 0
•
APLICACIONES EN ÓPTICA [OPCION AL]
Im z
FIGURA
1.25. Sumo vectorial
FIGURA
1.26. Interferencia de ondas múltiples
55
56
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
ja, mientras el resto se transmite a través de la placa. En T 0, parte se refleja en T0 y parte se transmite y se enfoca por la lente. Al llegar a R i parte del rayo se refleja hacia T\ y parte se transmite. Y así sucesivamente. Sea r(s ) la razón de la amplitud reflejada (transmitida) a la incidente, y supon ga que el rayo incidente inicial tiene una amplitud A. Entonces, la perturba ción óptica en r 0 está dada por
E t¡¡ s2 A Re
,
porque el rayo ha sido transmitido a través de dos superficies, mientras la per turbación óptica en T ; está dada por E T i = s2r2A R e e '^ - * !
donde a es el corrimiento de fase que surge de los rayos que viajan una distan cia extra durante las dos reflexiones en T0 y en R j (véase Ejercicio 2). En for ma semejante E t ■* 2 = s 2 r4A R e e i^ t~ 2^ E t 1n = s2r 2nA R e e t'(wt naK
Y
Para determinar la perturbación óptica resultante, sumamos todas estas per turbaciones y obtenemos
E = =
2 E t
n = 0 s2A
Re
n
~
s2A
Re
e,ut 2
n = 0
(r2e~ia)n
iuit
1 r 2e~ la
La última ecuación se sigue de observar que la serie geométrica
G=
2 z” = l + z + z2 + . . . + z” + . . . n —0 satisface la identidad zG = G — 1 o (1 — z)G = 1. Se abundará más al res pecto en el Capítulo 3. Pero eiuf e ígj t l_rV'a 1 — r2 e~101
1 — r2 e~*a 1 — r2 e *a _ e itút{\ —r2e iot) 1 + r4 — 2r2 eos a
de donde ^ 5 A •Re [e ittjj _ r2 e^ t+“)] 1 + r — 2r eos a _ s2 A [eos coi — r2 eos (coi + a)] 1 + r4 — 2r2 eos oí
E =
-------
_ s2 A [(1 — r2 eos a) eos coí+ (r2 sen a) sen coi] 1 + r4 — 2r2 eos a
11 0
•
57
APLICACIONES EN ÓPTICA [OPCIONAL]
Ya que (1
—r 2 eos a )2 + (r 2 sena )2 =
1
+ r 4 — 2 r 2 eos a,
Cuando 1 —r 2 eos a eos j3 = —~ ... r y 1 + r 4 — 2 r 2 eos a
proporciona la perturbación óptica transmitida
s 2A eos (cjí — ¡3) y f í + r4 — 2 r 2 eos a La ley de conservación de la energía implica que s + r = 1 y
E =
(\ —r\2 A
• eos (coi - J3).
■y/l + r 4 — 2 r2 eos a
El ángulo de fase a depende de la longitud del camino que la luz viaja durante las reflexiones en T0 y R x (véase Ejercicio 2). Como co = 2irc/X donde la longi tud de onda X es la distancia entre máximos sucesivos de la onda, obtenemos a=
2 tt ( £ 2
- Ex) X
Si a es un múltiplo entero de 2ir, la amplitud de la perturbación ó ptica es
(1 - r )2 A y /{ l - r 2 )2
1 1
=
A
- r + r
’
mientras que los múltiples impares de ir producen una amplitud igual a (1 —r ) 2 A _ (1 - r ) 2 V
(1
+ r2)2
1
A.
+ r2
Cambios pequeños en el ángulo de incidencia 0 de la Figura 1.26 pueden pro ducir cambios sustanciales en el ángulo de fase a. Así, haces luminosos conti guos, con amplitudes de incidencia idénticas, producirán imágenes con am plitu des diferentes. Si r es cercano a 1 (reflectancia grande), el cambio en amplitud
1 ~ r A 1 + r (l~ r) 2 A 1 + r2
1 1
+ r2 -r2
será grande, produciendo una imagen que consiste en líneas brillantes delga das sobre un fondo oscuro. Este efecto de halo se llama fr an ja de interferencia. Si r es cercano a cero (reflectancia pequeña), el cambio de amplitud será pe queño y las franjas de interferencia serán amplias y difusas.
CAPÍTULO 1
•
FUNCIONES ANALÍTICAS
Ej e r c i c i o s 1. Pruebe que la perturbación óptica reflejada en la Figura 1.26, también tiene la forma E = A * eos (coi — 7 ). Encuentre A * y 7 . 2. Considere la Figura 1.27.
Figura 1.27. LeydeSnell
Sea la distancia de la fuente S a H, y Snell de la refracción establece que
£2
la distancia de S a T¡ . La ley de
v sen
—£] = 2dv' eos <¡>'.
3. Muestre que E = f ( c t + x) es también solución de la ecuación de onda. *4. Sean E y H, respectivamente, las intensidades eléctrica y magnética en cualquier punto de un campo electromagnético. Muestre que las ecuaciones de Maxwell div H = 0, rot E = —ju0 — > 31
div E = 0, rot H = e
3E 3í
proporcionan la ecuación de onda si suponemos que c — 1 ¡x/cfJ 0 que E y H de penden únicamente del tiempo t y de la coordenada x. (Esta es una buena apro ximación cuando la fuente se localiza en la dirección x, y muy lejos de una vecin dad del punto de donde se obtiene la ecuación de onda.)
1.10
•
APLICACIONES EN ÓPTICA [OPCIONAL)
59
NOTAS
Sección 1.1 Las fórmulas que relacionan z a Z en la proyección estereográfica son fáciles de calcular: [A, págs. 18-20] o [H, págs. 38-44].
Se c c i ó n 1.5 Otros sinónimos de analítica son holomorfa, monogénica y regular.
Se c c i ó n 1.6 Se conocen condiciones suficientes para la analiticidad mucho más débiles. El mejor resultado en este sentido parece estar en [S, págs. 197-199], donde el teorema de LoomanM en ch off establece que s i u y v son continuas en G, tienen primeras parciales en todos los puntos de G, excepto un número contable de puntos en G y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann casi en cual quier parte de G, entonces f = u + iv es analítica en G. Otros ejemplos, que muestran que las ecuaciones de Cauchy-Riemann solas son insuficientes para la analiticidad, pueden encontrarse en [T, págs 67, 70].
Secciones 1.7 y 1.9 Para un desarrollo elemental más detallado de las superficies de Riemann, véa se [Kn, Parte II, págs. 100-146]. Se pueden encontrar tablas de mapeos ele mentales de dominios en el Apéndice y en [Ko]. Como la derivada de una fun ción en un punto se obtiene al considerar cocientes de diferencias de puntos cercanos, la definición de analiticidad se extiende a cualquier superficie de Riemann.
O I ntegración Z COMPLEJA
Integración es un concepto de gran importancia y utilidad en el cálculo ele mental. La naturaleza bidimensional del plano complejo sugiere considerar in tegrales a lo largo de curvas arbitrarias en Q en lugar de segmentos del eje real únicamente. Estas “integrales de línea” tienen propiedades interesantes y poco comunes cuando la función que se está integrando es analítica. La integración compleja es una de las teorías de las matemáticas en las que se trabaja con sumo entusiasmo, debido a su accesibilidad.
2.1
Integrales de línea Las propiedades de las funciones analíticas estudiadas en el capítulo anterior, son resultantes de la derivabilidad de la función. En cálculo real, el teorema fundamental revela una conexión sorprendente y de gran utilidad entre las de rivadas y las integrales definidas.
Te o r e m a f u n d a m e n t a l del c á l c u l o Si una función real J(x) es continua en un intervalo a < jo < b, entonces f{x ) posee antiderivadas en ese intervalo. Si F(x) es cualquier antiderivada de f(x ) en a < x < b, entonces 61
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLEJA
f ( x ) d x = F (b) —F{a).
Una de las principales metas de este capítulo es probar un teorema similar para integrales de línea de una función analítica en el plano complejo. Apa rentemente esta es una tarea difícil, ya que hay una infinidad de curvas que unen dos puntos dados, pero la prueba es fácil y las aplicaciones son muy útiles. Un arco 7 en el plano es cualquier conjunto de puntos que pueden descri birse en forma paramétrica por 7
: x = x ( t) ,
y= y{t ),
j3,
con x(t), y(t ) funciones continuas de la variable real t en el intervalo real cerra do [ a, |3] . En el plano complejo se describe al arco 7 por medio de la función compleja continua de una variable real 7
: 2 = z{t) = x{t) + iy (t),
a < í < ¡5.
Se dice que el arco 7 es suave si la función z'(t ) = x' {t ) + iy'(t ) no se anula y es continua en oí ^ t ^ /3. Un arco suave por partes (spp) consiste en un número finito de arcos suaves unidos por sus extremos. Si 7 es un arco spp, entonces x(t) y y(t) son continuas, pero sus derivadas x'(t) y y'(t) son continuas por par tes. Un arco es simple, o arco de Jordán, si z ( t i ) = z(t2 ) sólo si t x = t2 , esto es, si no se intersecta a sí mismo, o autointersecta. Un arco es una curva cerra da si z(ot) = z(P) y una curva de Jordán si es cerrada y simple excepto en los extremos a y ¡3. La Figura 2.1 ilustra algunos de estos conceptos.
A rc o sim ple
A rc o q u e se au to in te rs ec ta
FlGURÁ 2 .1 . Arcos y curvas
Cu rv a d e Jo rd án
C ur va c e rr a d a q u e se au to in te rs ec ta
2.1
•
63
INTEGRALES DE LÍNEA
Ej e m p l o 1 Esbozar los arcos dados por las parametrizaciones (a)
7
: z(t) = e u ,
0<í<27T,
(b) 7 *-z (í) = f 1 - í ( l ' ' jl + í-í, {)
0
- ■ 0 < Í < 1 , - K « 0 .
SOLUCIÓN: (a) Como [elt)' = ielt =£ 0, el arco 7 es suave. Note que Ie lt \= 1 y e° = e2m = 1. Por tanto, 7 es una parametrización del círculo unitario, recorrido en dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Claramente se observa que es una curva de Jordán (véase Figura 2.2a). (b) 7 * no es un arco suave porque z (t ) no está definido en t = 0. Sin em bargo, z (¿) es un arco suave en cada uno de los intervalos [—1 , 0 ] y [0 , 1 ]. Por tanto, 7 * es spp. Notemos en la gráf ica de la Figura 2.2b que 7 * es un arco simple.
FIGURA 2.2. Círculo unitario y arco spp 1 *
Las curvas de Jordán satisfacen la propiedad siguiente.
Te o r e m a de la c u r v a de J o r d á n Una curva de Jordán separa el plano extendido en dos regiones simple mente conexas, que tienen a la curva como su frontera. La región que contiene el punto al infinito se llama exterior de la curva; la otra región se llama in ter ior . Aunque este teorema parece obvio, su prueba es difícil, así que se aceptará su validez en base a la intuición. Una curva de Jo rdán está parametrizada en su sentido positivo si su interior se mantiene
64
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLEJA
siempre a la izquierda cuando se recorre la curva. Por ejemplo, z(í) = elt = eos t + i sen t, 0 < t < 2ir, parametriza a la curva Iz I= 1 en su sentido po sitivo, mientras que z (t) = e~n, 0 < t < 27T, no lo hace. Sea 7 un arco suave en Q y sea la función com ple ja/# ) continua en 7 . Se usa la parametrización de 7 para definir la integral de línea d e / sobre 7 en términos de dos integrales reales. Si las dos integrales reales pueden evaluarse, se le podrá asignar un valor a la integral de línea.
D efinición Sea 7 : z = z(t), o¿< t < P, un arco suave, y /(z) = u + iv continua en 7 . Así, la integral de línea de f sobre 7 estará dada por /(z ) dz = j* f(z(t))z'( t) dt
[u(z(t)) + zz;( z(í)) ]
■[*'(«) + ry' (f) ]
dt
[u(z(t))x'{t) -v(z(t))y'(t)] dt +i £
[w(*( 0 ) / ( 0 + l,(*( 0 )*'(f)] dt
La integral de línea sobre un arco 7 spp se obtiene al aplicarse la defini ción anterior a un número finito de intervalos cerrados, en los cuales z(t) es suave, y sumar los resultados. Si no se está familiarizado con integrales de línea, léase el Apéndice A.3.
Ej e m p l o 2 Para evaluar f y x dz a lo largo del arco 7 spp, mostrado en la Figura 2.3, parametrice 7 por _ J l + zí, 0 < f < l , 7 :z{t) K í < 2. ( 2 t ) + i, Entonces 0 < í < l , í, [ - 1 , K K 2 , con derivadas izquierda y derecha diferentes en t = 1. Por definición, al integrar sobre cada uno de los intervalos .0 < í < 1 y 1 < í < 2 , se ob tiene /»! x dz = i dt + ( 2 t ) ( - 1 )dt = \ + i,
z\t) =
ya que x (t) =
1
en
0
< t <
1
y x (t) = 2 — í : en 1 < í <
2.
2 A •
INTEGRALES DE LÍNEA
65
Im 2
i
\ \ \
1
V y*
\
y
\ \ \
O
i
Fig ura 2.3. Arco y spp
Al escoger una parametrización diferente para y, por ejemplo , , í 1 + i log t, y :z ( t ) = \ f * 2 - - +; e
1
< t < e,
e < t < 2e,
se tiene z ' ( t )
x dz =
l
i/t, 1/e,
dt +
2 —— 1 I— I dt = —\ + i . * ' :) Por lo tanto, la integral de linea es inde pendi ente de las dos parametriza ciones de y. Este caso se dará siempre y cuando el cambio de parámetros sea derivable por partes, como puede comprobarse fácilmente al utilizar la fórmula del cambio de variable del cálculo integral. Se obtiene un valor diferente si se integra sobre el segmento de línea 7 * que une a 1 con i. Así, y*:
z(t) =
( 1 —í)
+ it,
0
< t < 1 ,
asi que
í
x dz =
( 1 —t) ( —1 +
í) dt =
—1 + i
Este ejemplo muestra que no se puede obtener un teorema similar al teo rema fundamental del cálculo para todas las funciones complejas continuas f( z). Suponga, por otra parte, que se consideran únicamente aquellas fun-
66
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLEJA
ciones continuas/(z), que son derivadas de una función analítica F = U + iV en alguna región G que contenga el arco suave 7 . Entonces, por definición,
f(z) dz
F'(z) dz F' (z ( t))z'(t) dt.
Con la regla de la cadena del cálculo, se tiene
F'(z (t )) z'( t) dt
d [F(z(í))] dt dt
— [t/(z(f))] dt + i a at a ■7dt - [ ^ ( * ( 0 ) 1 dt Si se aplica el teorema fundamental del cálculo a cada una de estas integrales reales, se obtiene /(z ) d z= [t/(z(0)) - t/(z(o¡))] + i [F(z(/3)) - F(z(a))]
= F(z(P))F (z(a)). Además, se puede extender fácilmente este resultado a los arcos spp con la suma de los resultados obtenidos de los subarcos suaves. Como el resultado de pende únicamente de los puntos extremos de cada subarco suave, se habrá pro bado el siguiente teorema.
TEOREMA FUNDAMENTAL (DEL CÁLCULO) Si F(z) es una función analítica con derivada continua, f(z) = F\z) en una región G que contiene al arco spp 7 : z = z(t), a < t entonces
f ( z ) d z = F ( z [ P ) ) F ( z ( a ) ) .
Como la integral sólo depende de los extremos del arco 7 , es indepen diente de la trayectoria. De esta forma se obtiene el mismo resultado para cualquier arco spp en G con estos extremos. Para curvas 7 , spp cerradas, el teorema fu nda ment al establece que
J t
ya que F( z( fi )) = F (z(a )).
f(z ) dz = 0 ,
2.-1
•
67
INTEGRALES DE LÍNEA
Ej e m p l o 3 Calcule
z dz donde
7
z dz,
y
y 7 * son los arcos mostrados en la Figura 2.3.
La función continua f(z) = z es la derivada de la función entera F[z) = z2 / 2. Al realizar la parametrización 7 como en el Ejemplo 2 , se tiene SOLUCIÓN:
z dz
(1
+ it) i dt +
dt — =-
1
r 1
[(2
— t) + i\ (—1 ) dt
(t — 2 ) dt — i
.t dt +
.
Si se utiliza la parametrización de z dz =
7 *,
del Ejemplo 2, se obtiene
[(1
1
dt + i
— t) + it]
(1
-
2 1)
i2 1
z dz = -—
(— 1
+ i) dt
r 1
Mediante el teorema fundamental, cualquier arco 1 y termina en i satisface a
y
dt
=
7
-
dt = 1 . spp que empieza en
1.
2
Ej e m p l o 4 Muestre que
Jizl=l
dz
= 2717.
Aparentemente este resultado se contrapone al teorema fundamental, ya que Iz I—1 es una curva de Jordán. Sin embargo, las antiderivadas de la función continua /( z ) = 1 /z son logaritmos y analíticas sobre la superficie de Riemann (R, descrita en las Secciones 1.7 y 1.9. La curva \z I= 1 no es una curva cerrada en (R. Se ilustrarán dos SOLUCIÓN:
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLF.IA
métodos para obtener esta integral. Primero nótese que, a menos que se establezca lo contrario, se supone que las integraciones sobre las curvas de Jordán se llevan a cabo en sentido positivo. Así, al parametrizar \z I= 1 por z(t) = eil, 0 < t < 27T, se tiene
z'(t) = iei{ Por lo cual, la integral se convierte en (*2ir te'* dz p2ir z'(t) dt dt = i dt = 27TJ. I z 1=1 Z o e *(*) Para utilizar el teorema fundamental en la evaluación de esta integral, elegimos cualquier rama de la superficie de Riemann
Ej e m p l o 5 Sea P(z) cualquier polinomio, y 7 un arco spp. Muestre que: (a) / 7 P{z ) dz = 0 si 7 es una curva cerrada, (b) f y P(z) dz depende sólo de los extremos de 7 . SOLUCIÓN: Todo polinomio P(z) es continuo en C . Además, si
P(z) = a nzn + a„ _]z ” - 1 + . . , + ajZ + ao, entonces P(z) será la derivada del polinomio analítico ^ a n i z n + . . . + a ,z 2 + dciZ, U(z) — anzn+1 + n+l n 2 W ---------
De esta forma se satisface el teorema fundamental y se cumplen las partes (a) y (b).
Ej e m p l o 6 Como eos z es entera y tiene antiderivadas sen z, se tiene eos z dz = sen z
l = 2 sen i = 2 z’sen h(l), —J
2.1
•
69
INTEGRALES INTEGRALES DE LÍNEA
y a lo largo de cualquier curva
7 spp
cerrada,
eos z dz = 0 .
Ej e r c i c i o s 1. Muestre Muestre que que la parametriza parame trización ción 27T, describe la elipse
7
: z(t) = a eos t + ib sen sen í, 0 ^ í ^
X2 v2 — + í = 1. a2 b2 En los Ejercicios 2-5, determine las parametrizaciones spp para los arcos o curvas indi cados. 2. Semicírculo de 1 a -1 .
Imz
4. Cuadrado
3. Triángulo
Im Z Im
z
Re
5. Mancuerna Mancuer na que empieza en 1 Im
z
z
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMP LEJA
Muestre Muestre que que z' (í ) puede puede interpretarse como como un vector tangente al al arco y: z — z(t) en todos los puntos donde z'{t) no sea cero. Evalúe las integrales
x dz,
\y dz,
z dz
a lo largo de las trayectorias dadas en los Ejercicios 7-9. 7. El segmento segmento de de recta rect a dirigido de 0 a 1 — i del círculo Iz I= 1 8 . Alrededor del 9. Alrededor del del círculo Iz — a I= R 10. Evalúe f 7 y dz, donde y es la línea recta rec ta que une 1 a i. 11. Evalúe/ 7 y dz,, donde y es el arco en el primer cuadrante cuadran te a lo largo de Iz I= I= 1 que une a 1 con i. 12. Evalúe f y y d z , dond dondee y es el arco a lo largo de los ejes coordenados que une 1 con i. 13. Ya que los los tres valores valores en los los Ejercicios 10-1 1 0-122 son diferentes, ¿por qué qué este resul tado no viola el teorema fundamental? Use parametrizaciones de los arcos para evaluar las integrales de los Ejercicios 14-24. Confirme su respuesta utili utilizando zando el teorema fu ndam ental.
14. Evalúe Evalúe la integral / (z — a)n dz, con n como entero, alrededor del círculo Iz — a I = i?. (L a respu respues esta ta para n — -1 difiere del resto.) 15. Evalúe f y e2 dz, donde y es la recta que une a 1 con i. 16. Evalúe f y e2 dz, donde y es la trayectoria en el primer cuadrante sobre el círculo Iz I= 1 que une a 1 con i. 17. Evalúe f y e2 d z , donde y es la trayectoria a lo largo de los ejes coordenados que une a 1 con i. 18. Eval Evalúe úe e " dz. 19. Evalúe Evalúe senh(az) dz. 20. Eval Evalúe úe /f (z - l ) 3 dz. *21. Si y es la elipse z (t) = a eos t + ibsent, 0 < t < 27T, a2— b 2 = 1, muestre que
dz V I - z2
= ±27T,
según el valor del radical que se haya tomado. (,Sugerencia : 1 — z 2 (í) = [z'( [z '(t) t)\2 \2 .) 22. Sean-y, : z(t) = euyy2: z(t) = e ~ ü , 0 ^
7T. Evalúe
— a lo lo largo de cada curva curva.. J a 2 23. Evalúe f Log z dz a lo largo de cada curva dada en el el Ejercicio 22. 24. Evalúe fyf z dz a lo largo de cada curva dada en el Ejercicio 22. (Use la rama principal de y/z.)
2.2
•
71
EL TEOREMA DE DE GREEN Y SUS SUS CON SECU ENC IAS
2 . 2 El teorema
de G reen y sus c o n s e c u e n c i a s
En los Ejemplos 4 y 5 de la sección anterior, encontramos que la integral de línea de un polinomio a lo largo de una curva spp cerrada se anula, pero tam bién que f
d z
.
— = 2 m. Jl*l Jl *l=l =l Z Nótese que la función 1 /z no es analítica en el origen. ¿Podría ser que la in tegral de línea de una función a lo largo de una curva de Jordán spp se anulara cuando la función sea analítica sobre y en el interior de de la curva? Sorprenden temente, esto es correcto. Será fácil probar que la integral de línea a lo largo de una curva de Jor dán spp es cero, siempre y cuando se suponga que la derivada de la función analítica en el integrando es continua en el interior de la curva de Jordán spp. Este es un requisito razonable, pues la derivada de toda función analítica que se ha encontrado es analítica. La prueba se basa en el resultado siguiente, y se encuentra én la mayoría de los libros de texto de cálculo elemental, así como en el Apéndice A.3.
T EOREMA DE GREEN Sea G la región interior de una curva de Jordán 7 spp y suponga que las funciones reales p y q son continuas en G U 7 con primeras parciales continuas en G. Entonces
(Px (Px
J J G ..
4
.
qy ) dx dy =
.■: : J 7
p dy
q dx.
Ahora, si f = u + iv es analítica sobre y en el interior de una curva de Jor dán 7 spp, spp, reescriba la integral d e / a lo largo de 7 en la forma f ( z ) d z =
(u + iv) (dx + i dy) = y
Jy
u dx — v dy + i
v dx + u dy.
Si f es continua en G, entonces las primeras parciales u x , uy, vx, vy también lo son. Al aplicarse el teorema de Green a las dos integrales de línea de la de recha, se obtiene
f{ f { z ) d z = (ux — vy ) dx dy. (vx + uy ) dx dy + i jy Las primeras parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, u x = vy y uy = —vx , p o rq ue /e s analítica. Por tanto, ambos integran integrandos dos del del lado dede-
CAPÍTULO CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPL EJA
f ' ( z ) es continua en G se ha probado el recho son cero. Bajo el supuesto de que f' teorema siguiente.
Te o r e m a de C a u c h y Sea f( Jor dán f ( z ) una función an alítica sobre y en el interior de la curva de Jordán y spp. Entonces
f{ f { z ) d z = 0 . aa¡gBgB»8Mi¡iiajii«8sm8aiBg«gaai^^
f ' ( z ) es continua El inconveniente de esta prueba es la suposición de que f' en G. Se verificará esta condición antes de usar el teorema de Cauchy. Sin em bargo, en la Sección 2.5 se probará que esta condición es innecesaria. De hecho, las funciones analíticas tienen derivadas analíticas , como se demostrar dem ostrará. á.
Ej e m p l o 1 Evalúe
Izi=i z 2 +
4
dz.
La notación empleada significa que la integración se toma sobre el el círculo unitario unitario en su su senti sentido do posi positiv tivo. o. La fu nc ión/ ió n/(z (z)) = e* /( z 2 + 4) y su derivada , (z 2 - 2z + 4) f (z) = - e (z 2 + 4) J W
SOLUCIÓN:
-----------------
son analíticas sobre y en en el interior de Iz I = 1. Como la derivada es analítica, es continua. Por ende, el teorema de Cauchy se aplica y
dz = 0 . 1* 1=1
+ 4
Ej e m p l o 2 Muestre que 1
27T
rzn
R 2 — r d d = 1 , R 2 — 2 Rr R r eos eos 6 + r2
0
< r
El integrando que aparece en esta integral se llama núcleo de Poisson. Tiene muchas propiedades útiles, que se estudiarán en el Capítulo 6 .
2.2
73
EL TEOREMA DE OREEN Y SUS CONSECUENCIAS
SOLUCIÓN:
El núcleo de
R + reie R re ie
(R + re% re %e) (R (R re ie) (R
Poisson es igual a la parte pa rte real delcociente delcociente
— re ~t e) _ R 2 —r 2 + 2 irR senfl re~ie) re~ie) R 2 2rR eos 6 + r2
Si z re19 re19 con r fija, fija, se tiene
dz = ri r i e%e = iz ~dd así que 1
277 277
/■ /■27T
fi + z dz
R 2 - r2
- d0 = Re Re fi — 2r.fi 2r.fi eos 6 + r2 \ 277Í
o
\z \=r R - z
z
Pero, por fracciones parciales, R +z
1 2 ni
. \z \=r z ( R - z )
dz =
1
1 —
----
27n' . |z |=r\ z 1
+
dz
f i-z
dz
1
2771 . Iz l=r z
2 dz
2771
z l=r R —z
Por medio de los métodos utilizados en el Ejemplo 4 de la Sección 2.1, se puede mostrar que la primera de las integrales en el lado derecho es igual a 1, con \z = rei{ y z ' = ir é 8Í, 0 < í < 277. La última integral del lado derecho es cero, según el teorema de Cauchy, ya que f ( z ) = 2/ (R — z) y /'( / '( z ) = 2/ (R — z ) 2 son analíticas en Iz K r.
Ej e m p l o 3 Muestre que eos 2 bx dx =
b
Si se aplica el teorema de Cauchy a la función analítica f( f ( z ) = e~ z , en una región región que contenga al rectángulo .1 x 1 < (véase Figura 2.4), se obtiene SOLUCIÓN:
i dy dy +
0 =
e —x dx» — e o
j j::
-( x+ x+ib)2 ib)2 dx + \
(eos 26x — i sen 26x) dx e x (eos
b
e
i dy
74
CAPÍTULO CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLEJA
P ey2(e2i ey2(e2iay - e - 2iay)dy 2iay)dy dx —
I
ey sen 2 ay dy,
e x eos 2 bx dx + 2e °
—a + ib
(1)
a + ib
FIGURA 2.4. Rectángulo de integración
porque la parte imaginaria de la integral de enmedio se anula. Pero, al usar coordenadas polares,
e~x dx
e~* dx
e y dy dy
e(x2 + y"> dx dy 2tt 0
e r r dr dd = n,
(2 )
las dos primeras integrales en (1) serán convergentes cuando a a + °°, el último término en ( 1 ) se anula y 2
e ~ x eos 2 bx dx = e~
»2
00. Si
e x 2 dx y/ñé- b 2
Ej e m p l o 4 Pruebe que ~ se n( x2 ) , 7T — '— - dx = —
J o
x
4
Al integrar ¡z a lo largo largo de la frontera frontera der < |z \< R, 0 < argz argz < 7T/ 2 (véase (véase Figura 2.5) , el teorema de Cauchy Cauchy dará
SOLUCIÓN:
f * e"
-------- dx + i
J r
x
V/2 v0
de -
[R e-iy* Vr
------- dy —i
y
*,2J(reid?
0.
(3)
2. 2
•
75
EL TEOREM A DE GREEN Y SUS CON SEC UEN CIAS
. FIGURA
2.5. Región de integración
Si se utiliza la desigualdad | f( d ) dd\ < $ \ f(d)\ dd que se probará —para integrandos con valores complejos— en la Sección 2. 3, se tiene z
’W 2 0
e^Reiey dd < =
W2
*0 2
j
< 2
e~Rlsén2e dd
V/4
„R' sen 20 d6
" /4
dd
7T 2 R'‘ ya que /i(0) = sen 26 — (40/7r) se anula en d = Q, 7r/ 4 y satisface a /i”(0) < 0 para 0 < 6 < 7r/ 4 , lo cual implica queA es cóncava hacia ab a jo y sen 26 > 40/7T. Por tanto, la segunda integral en (3) se anula cuando R -* °°. Dado e > 0, existe una r > 0 tal que \ea — 1 1< e siempre que Iz l< r. Entonces .• f’ /2
C M
O
=
i W2 (e 'V ®)1 — 1) •0
^ 7r
de ahí que la última integral en (3) se aproxime a ár/ 2 cuando r *■ 0. Al 00 y r *■ 0, te sumar la primera y la terce ra integrales en (3) y hacer R nemos
0 =
e
—e
dx
s e n ( x 2 )
Z7T =
2»
dx — . 2
CAPITULO 2
•
INTEGRACION COMPL EJA
Ej e r c i c i o s 1. Muestre que
Log ¿ I z 1= 1
Z
dz = 0 ,
aunque (Log z)/z no sea analítica en ¡ z I =0 1. Qué resultado se obtiene si se in tegra
M i Z
7
*
sobre-y: z (t) = e lt, 0 ^ t ^ 27T? Explíquelo. Utilice el teorema de Green para los Ejercicios 2-4, donde A es igual al área de G y dG es la frontera de G. 2. Pruebe que / 3G x dz = ¿A. 3. Muestre que / 3G y dz —A. 4. Pruebe que f aG z dz = 2iA. 5. Pruebe que 'W 2 n, / , , sena e > a > 0 , eos (t + a sen t) dt = o a si integra é1 a lo largo de la curva de Jordán en el primer cuadrante, compuesta del cuarto de círculo Iz I= a y de los segmentos de recta de ¡o a 0 y de 0 a a. 6 . Muestre que -------
, , ' T at eaT(a eos bT + b sen bT ) — a e m eos bt dt , o a2 + b2 ------ ------------------------------------
T at , , e<íl (a sen b T — b eos bT) + b e at sen bt dt = ^ , 1° a2 + b2 al integrar f(z) e z a lo largo del segmento de recta que une a 0 con (a + ib)T. 7. Muestre que -
-------
------
,, , T b senaT senhór — a eos aT cosh bT + a sen at cosh bt dt = > o a2 + b2 -----------------------------------------------------------
. ,, , T b eos aT cosh bT + a senaT senhóT — b eos at senhoí dt = , o a2 + b2 ----------------------------------------------------------
si integra fiz) = sen z a lo largo del segmento de recta entre 0 y (a + ib)T. 8 . Obtenga las integrales ,, , T a sena T cosh bT + b eos a T senh bT eos at cosh bt dt = > o a2 + b2 -----------------------------------------------------
i , , T b sen aT cosh bT —a eos aifsenh b T sen at senh bt dt = > o a2 + b2 -----------------------------------------------------
con f(z) = eos z integrada a lo largo del segmento de recta de 0 a (a + ib) T.
2.2
•
77
EL TEOREMA DE GREEN Y SUS CON SECU ENCIA S
9. Suponga queO < b < 1 y aplique el teorema de Cauchy a la función f ( z ) = (1 + z 2 )- 1 a lo largo de la frontera del rectángulo de la Figura 2.4, para mostrar que — b2 + x2) dx = 7T. (1 b 2 + x 2 ) 2 + 4 x 2 b2 (1
10. Pruebe que k x 4 eos a x d x
/ — e a l4k,
k > 0 ,
a real,
3, con la función f(z) —e sit , utiliza el mismo procedimiento que * 2 # en el Ejemplo ,. . Verifique su respuesta cambiando variables. 11. Pruebe que
j:
(1
(1
— b2 + x 2 ) eos kx + 2x b sen kx dx = ekb ( 1 —b2 + x2)2 + 4x2 b2
eos kx dx, l+x2
— b2 + x2)sen kx —2xb eos kx dx = 0 . ( 1 - b2 + x 2) 2 + 4 x 2 b2
con 0 < b < 1 y k real. 12. Sea 0 < b < l /\ /2 y muestre que Re(l + (x — ib )4 ) dx = 1 + (x + ib) 4 12
1
dx + x 4
13. Muestre que „0
ex dx,
e x sen 2 xb dx = e b
b > 0 ,
integrando alrededor de un rectángulo apropiado. 14. Pruebe las igualdades eos x 2 dx
sen x 2 dx =
, integrales de Fresnel, 2y/2 al aplicar el teorema de Cauchy a la función f(z) = e~‘~ a lo largo de la frontera del sector 0 < 12 I< / i , 0 < arg z < 7t/4. 15. Muestre que .0
o
e x
cos(a;2
) dx =
4
y / > / 2 + 1 ,
e x sen (x2) dx —— yj y/2 — 1 , o 4 cuando integra e z a lo largo de la frontera del sectorO ^ Iz I^ R, 0 ^ arg z < 7T/8. 16. Pruebe la integral de Dirichlet
78
CAPÍTULO'2
•
INTEGRACIÓN COMPLEJA
¡z a lo largo de la frontera del conjunto r < Izl < R, 0 si integra X(z) = < arg z < 7T. Verifique su respuesta cambiando las variables en el Ejemplo 4.
2 . 3 La fórmula integral de C a u c h y Se necesitarán conocer los siguientes resultados acerca de las integrales.
TEOREMA (i) / j Iafi (z) + PÍ 2 (*)] dz = a fy fi (z) dz + ¡3 f 7f 2 (z) dz. (ii) f 7¡ +7j/(z) dz = / Ti f( z) dz + /7j f(z) dz, donde 7 i + I 2 es la trayectoria que consiste en recorrer primero 7 j seguido de 7 2 . (iii) /. 7f(z ) dz = —f 7 f( z) dz, donde —7 es la trayectoria que recorre el arco 7 en sentido inverso, (iv) I fy f{z) dz K f 7 I f(z) I I dz I, donde definimos: Idz Icom o la dife rencial con respecto a la longitud de arco, con Idz I= i dx + idy I= y/[dx)2 + {dy)2 = ds.
PRUEBA: Para probar (iv), obsérvese que para cualquier constante real 6, Re
Í0
f { z ) d z
Re(e
f { z { t ) ) z ' { t ) ) d t <
l/(z(í)) IIz^í) Idt,
ya que la parte real de un número complejo no puede exceder su valor absolu to. Si se escribe fy f[z) dz en forma polar y 3 = arg [fy f(z) d z ], la expresión de la izquierda se reduce al valor absoluto de la integral y se cumple la desi gualdad. Las pruebas restantes son consecuencias inmediatas de la definición de integral de línea de la Sección 2.1. Sus verificaciones, directas y algo te diosas, se dejarán como ejercicios.® Si l/ (z ) I< A/ en todo punto z de un arco 7 de longitud L, la parte (iv) del teorema proporciona la desigualdad / ( z) dz
\dz\ = ML.
Ej e m p l o 1 e z dz < 2Tre. lzl = l SOLUCIÓN:
De la parte (iv), se tiene
ez dz lzl = l
A /
J \z I = 1
lez I \dz I
2.3
•
LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUC HY
79
Como Ie z I= e x < e para todos los puntos z = x +iy sobre el círculo uni tario, se observa que
l
Ie z I Idz I< e
\dz\ = 2tte,
J
Jl zl = Iz 1=1 y se verifica la desigualdad. De hecho, es claro que
ez dz < 27TÉ?, lz 1=1 ya que Ie z I alcanza el valor e sólo en z =
1
.
En muchas aplicaciones es necesario considerar regiones que no son simplemente conexas. Se generalizará el teorema de Cauchy al caso de una re gión múltiplemente conexa.
TEOREMA Sea 7 0 una curva de Jordán spp tal que su interior contiene las curvas de Jordán spp disjuntas, y ¡ , . . ., yn , ninguna de las cuales está contenida en el interior de la otra. Suponga que f(z ) es analítica en una región G que contiene al conjunto S, el cual consiste en todos los puntos sobre y en el interior de 7 0 pero no en los interiores de yk, k = 1, . . n. Entonces,
]\z) d z = I v;: ó MEÓÓY ■' ■'LIYyÓÓ:l T„ :u:0 .
l“ f{z)dz. v;:, ULI:ATTl=^.; :UL:;
, k = 0, . . n, spp disjuntos, que unan a yk con yk+1 (donde L n une a yn con 7 0 ) que formen dos curvas de Jordán spp, cada una contenida en alguna subregión simplemente conexa de G. (Sobre bases intuitivas omitimos la prueba. Véase Figura 2.6.) Por el teore ma de Cauchy, la integral de f(z ) sobre estas curvas, cada una recorrida en senPRUEBA: Siempre se podrán enco ntrar arcos
FlGURA
2.6. Un d o m i n i o m ú l t ip l e m e n t e c o n e x o
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLEJA
tido positivo, se anula. Pero la contribución total de estas dos curvas es equiva lente al recorrido de 7 0 en el sentido positivo, J i , . . 7 n en el sentido negativo (contrario) , y L 0 , . . Ln en direcciones opuestas. Así, las integrales sobre los arcos Lf¿ se cancelan, y 0
f ( z )d z =
=
7°~
f{z) dz lo
^ 17*
f( z) dz.
2
fe=i
'n
En seguida se probará el sorprendente resultado de que los valores de una función analítica, en el interior de una curva de Jordán spp, están completa mente determinados por sus valores sobre la curva.
r
i
LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY Sea f( z) una función analítica en una región simplemente conexa que contenga la curva de Jordán 7 spp. Entonces /(? ) =
m 2m .
dz.
para todos los puntos ? en el interior de 7.
PRUEBA: Se fija f . Entonces, dado e > 0 , existe un disco cerrado Iz —f I< 1 1
en el interior de 7 para el cual If(z) — /( f ) I < e. (Véase Figura 2. 7. ) Como f(z)/( z — f) es analítica en una región que contiene aquellos puntos sobre y en el interior de 7 , que satisfacen \z — f I> r, el teorema de Cauchy para re giones múltiplemente conexas implica
o FIGURA
2.7. La fórmula integral de Cauchy
2.3
•
81
LA FÓRMUL A INTEGRAL DE CAUC HY
Pero /(* ) lz-fl=r ^
?
dz
* = /(? )
/(* ) ~ / ( f ) dz. Iz—f l=r *-r
+
lz-fl=r Z - f
Por el Ejemplo 4, o el Ejercicio 14 de la Sección 2.1, la primera integral del lado derecho es igual a 27Tí , entonces /(■*) -f I=r z - f
I z—f l=r
\z — f I
Idz I< 27TC.
Como e puede elegirse arbitra riamente cercano a 0 la prueba está completa.®
Ej e m p l o 2 Integre eos z 7 Z
sobre las curvas dadas: (a)
7
dz
~F Z
: \z I = 2 , (b)
7
: \z I = j; y (c)
7
: lz —
*72 1= 1.
SOLUCIÓN: (a) 7 : \z I—2. Al descomponer la integral por fracciones
parciales, se obtiene z3 +z
dz =
1
eos z
eos Z
1
------- dz — — d z -----2 J7 z +* 2 -Z ) 7 1
1
1
2
2
= 27TÍ cos(O) — — eos (—i )
cost
dz
: 27T¿ [1 — c o s h (l )] .
(b) 7 : Iz I= “2 . Como eos z/(z 2 + 1 ) es analítica sobre y en el interior de 7 , la integral es igual a 27rz veces su valor en z = 0 , esto es, eos z dz = 2m. z3 + z (c) 7 : Iz — z'/2 I= 1. Como eos z/(z + i) es analítica sobre y en el interior de 7 , por fracciones parciales se tiene ^ z(z— i)
-
Vz
L
z —;
por lo cual eos z 7
z
+ Z
dz = 2m
"/cos(0)\
./COSI 2i
2m
1 — — cosh(l) 2
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLEJA
Por supuesto, en los tres ejemplos se puede utilizar la descomposición en fracciones parciales de la parte (a), porque las integrales correspondientes se anulan cuando los puntos 0 o ±i están en el exterior de 7 . Si la fórmula integral de Cauchy se deriva formalmente con respecto a f dentro del signo de integración, se obtiene una expresión para la derivada en todos los puntos del interior de 7 :
m dz. / ’(!•) = 27U „ ■y ( * - n 2 Para verificar esta ecuación se usa la fórmula integral de Cauchy al reescribirse m + h )m h
m r y (* - n
1
2m 1
1 í
dz 2 1
1
dz h \z — f — h 2717 r (* - f ) 2 h f(z) dz 2m Jt { z - f ) 2 (z - ? “ h ) Sea d la distancia más corta entre J y 7 , M el valor máximo de I f(z ) I sobre 7 , y L la longitud de 7 . Al suponer que I h I < d/2, entonces m
\ z S h \ > I z - fl - \h\>d = 2
2
de tal forma que
2m
7
f(z) dz (z - f ) 2 (z - f - h)
ML I h I 7reí3
Haciendo /i ->■0, se sigue que / ( f + A) ~ / ( f ) h
1
/(^) 2717 . ^ ( ¿ ~ f ) 2 En la Sección 2.5 se generalizará este procedimiento y se probará el teore ma de Cauchy para las derivadas: n\ ’ /(^ ) - dz, n= 1 , 2 , / w (n 2m 7 ( z - j y '
válido para todos los puntos f del interior de una curva de Jordán 7 spp conte nida en una región G simplemente conexa, en la cual/(z) es analítica. Obsér vese que esta fórmula implica que /( z ) tiene derivadas de todos los órdenes en G. Por ende, la derivada de una función analítica es también analítica. Con base en este hecho, se obtiene un inverso del teorema de Cauchy que frecuente mente es útil para establecer la analiticidad de una función.
2.3
•
83
LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUC HY
Te o r e m a
de
M orera
Si f(z) es continua es una región simplemente conexa G y satisface | f i z) d z = 0 , . . . para todas las curvas y spp cerradas en G, entonces f(z) es analítica en G.
PRUEBA: Elija un punto z0 en G y defina
F(z)
m
para todo z en G. Luego entonces, F(z) está bien definida porque es indepen diente de la trayectoria: Si y y y y2 son curvas spp en G que van de z0 a z, en tonces 7 - 7 t — 7 2 es una curva cerrada spp en G, y 0
/ ( « « = m * . _ jy Si / es continua, para cualquier punto z e n G y e > 0 existe un disco If —z I< 8 en G tal que l/ (J ) — f(z) I< e. Si Ih I< 8, se tiene z+ h F (z + h) - F ( z ) _ 1 z+ h m d t , /(n¿r m dt, h h donde la integración puede tomarse sobre la recta desde z hasta z + h. Como =
m h
z+ h
d$,
por sustracción se obtiene F'(z + h ) - F ( z ) -------------
¡
f{z)
-------
1 [z+h
h Jz 1
'z+h
i/(n m \ u n < e .
Por tanto F '( z ) = f(z ), así que F es analítica en G. Pero entonces F tiene deri vada analítica, lo que implica que / también es analítica en G.
iJEMPLO 3 Integre
Sobre (a)
7
eos z dz }y z 2 (z - 1 ) : Iz I= -y, (b) 7 : Iz — 1 1= 3 -, y (c)
7
: Iz I= 2.
84
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLE JA
(a) 7 : lzl = -j. En este caso eos z/( z — 1) es analítica sobre y en el interior de 7 , así que, por el teorema de Cauchy pa ra las de rivadas, se obtiene
SOLUCIÓN:
eos z eos z = —2m. Jy z* \z — 1, (b) 7 : Iz — 1 1= -j. Ahora que z “ 2 cosz es analítica sobre y en el interior de 7 , por lo tanto, la integral es igual a 2m veces el valor de z~2 eos z en z = 1 , esto es, 1
dz = 2m
z
2 eos
z-
z
1
dz = 2m cos(l).
(c) 7 : Iz I= 2. Mediante el teorem a de Cauchy en regiones múltiplemen te conexas, se puede reemplazar a 7 por los círculos en las partes (a) y (b). Luego la integral es igual a 27T¿ [c os (l ) — 1]. Alternativamente, al des componer el integrando en fracciones parciales, se obtiene _ y z (z — 1 )
dz =
1
Jy
\z —1
1 — — \ dz ——
= 2 7 T í[ c o s ( 1 ) — c o s ( O ) + s e n ( 0 ) ] = 2 7 n [ c o s ( l )
■1 ],
por el teorema de Cauchy para las derivadas.
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-3, evalúe la integral
dz Jy (z a)(z b) mediante la descomposición del integrando en fracciones parciales. 1. Si a y b están en el interiorde 7 2. Si a está en el interior de 7 y b en el exterior 3. Si b está en el interior de 7 y a en el exterior Sea z(t) = 2eit + 1, 0 ^ t ^ 27T. Evalúe las integrales de los Ejercicios 4-7. 4.
*dz
5.
eos z dz y z —1
sen z sen z dz dz z2 + 1 y -z J t I= O z(t) —2él t Sea + 1, 0 < ’Sá 27T. Evalúe las integrales de los Ejercicios 8-11.
6.
^ dz y z2
eos z
9.
7
(Z -
l) 2
dz
2.3
•
LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUC HY
85
senz sen z dz 11. dz 7 (z 2 + l ) 2 7 (Z -1) 3 Pruebe las identidades integrales de los Ejercicios 12-14.
10.
12
- Sy [ocMz) + Pf2(z)] dz = a f y f l (z)dz + Pfy f 2(z)dz
13- A , +7, f ( z ) dz = A , / ( Z) dz + A , f ( z ) dz 14. SJy'f(z) dz = - / 7 / ( z ) dz 15. Sin calcular la integral, muestre que 1* 1=2
dz z2 +
47T 1
16. Si 7 es el semicírculo \z \= R, Iarg z I< ir¡2, R > 1, muestre que Log z 7
Z
dz < — í Log i? + — * V 8 2
y, por ende, que el valor de la integral tiende a cero cuando R 17. Evalúe /|z|=i Iz + 1 I Idz I. 18. Si f(z) es analítica y acotada por M en lz l < R , pruebe que l/<»>(z)l<
MRn\ (R lzl ) n+1
°°.
Iz \ < R .
19. Si/(z) es analítica en Iz I< 1 y l/ (z ) 1 ^ ( 1 — Iz l)—1 , muestre que l/(">( 0 ) l < ( n + 1 )! (\ + J 20. Una función analítica/(z) ¿puede satisfacer 1/1”) (z) l > nl nn , para todos los enteros n positivos, en algún punto z? 21. Calcule
e kzU
f J Iz
1= 1
Z
dz,
con n entero positivo. Ahora, muestre que 2 IT , k eosnfl cos(&senM 0 ) dd = 2n. 0
22. El polinomio de Legendre Pn(¿) se define como d” 1 Pn {z)= — [(z 2 - 1)” ] . dz" 2 ”n! ---------
Con la fórmula de Cauchy para las derivadas, muestre que
Pn(z)
1
2 7TZ h
2
”(r-z)
n+1
donde z está en el interior de la curva de Jordán 7 spp.
86
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMP LEJA
23. Pruebe la siguiente extensión del teorema de Morera: Sea f(z) continua en una región G (con la posibilidad de ser múltiplemente conexa). Suponga que, para cada f en G, existe un disco D, que contiene a f , en G tal que
f( z ) dz = 0 , para todas las curvas 7 spp cerradas en D. Entonces f(z) será analítica en G. 24. Sea P{z) un polinomio, ninguna de cuyas raíces se encuentra sobre la curva de Jordán 7 spp. Muestre que 1
' P\ z)_ dz
2ni \ 7 P(z) es igual al número de raíces de P(z) en el interior de 7 incluyendo multiplicida des.
2 . 4 Teorem a de Liou ville y princ ipio del m áxim o En esta sección se presentan tres consecuencias útiles de la fórmula integral de Cauchy, y la extensión de ésta a derivadas de orden superior.
Te o r e m a de G auss del v a l o r m e d i o Sea f(z) analítica en \z — f \
■■■ 2ir .
PRUEBA:
/ ( f + re ) dd,
0
La fórmula integral de Cauchy establece que
m dz, 27TÍ \z—S I=r z — f para toda 0 < r < i?. Siz = f + ret0 , entonces z\6) = iretB , de donde se si gue la identidad deseada.®
LA ESTIMACIÓN DE CAUCHY Sea f( z) analítica y que satisface \f(z ) I< M en Iz —f K r„ Entonces i/»)(f)l< ^
1
.
2.4
•
87
TEOREMA DE LIOUVILLE Y PRINCIP IO DEL M ÁX IM O
PRUEBA: Por el teorema de Cauchy para las derivadas, se tiene
ni 27ri
m l*-M=r
Mnl 2irr n + 1
Te o r e m a
de
( z - f ) " +1
dz I =
dz
Mn\
Liouville
Una función entera no puede acotarse en todo Q , a menos que sea una constante.
PRUEBA: Suponga que f(z) es entera y acotada por M. Así, en cualquier pun
to f en C , la estimación de Cauchy implica que I< M/r. Pero r puede hacerse arbitrariamente grande, de manera que / ' ( f ) = 0 en todo í de C. Por tanto, f( z) es constante en Q . I Enseguida se prueba uno de los teoremas más útiles de la teoría de las funciones analíticas.
Pr i n c i p i o
del m á x i m o
Si f(z) es analítica y no es constante en una región G, entonces I f(z) I no tiene máximo en G.
PRUEBA: Suponga que hay un punto z 0 en G que satisface I f(z) I< l/(z0) I
para todo zenG . Como Zq es un punto interior, existe un número r > 0 tal que \z — z 0 I< r está contenido en G. Entonces, por el teorema de Gauss del valor medio, 2 tt
f ( z 0 + r eh ) dt,
esto es, el valór en el centro del círculo es igual al promedio integral de sus va lores sobre el círculo. Por suposición I f ( z 0 + re11) I< I f ( z 0 ) I, y, si se cumple la desigualdad estricta para algún valor de t, debe cumplirse, por la conti nuidad de I f(z) I, en un arco del círculo. Pero entonces
l/(z0)K 27r 1
2 tt
l/(z 0 + relt) \dt <
2 tt
\f(z0)\dt= \f(z0 )l, 2n 0 lo cual es una contradicción. Así, l/(z 0 + relt) I= l/ (z0 ) I Para 0 ^ t < 27T, y, como el procedimiento se cumple sobre todos los círculos I z z0 I= s , o < S < r, I/( z ) I es constante en el disco Iz —¡ z 0 K r. Sea S el conjunto de todos Jo
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLEJA
los puntos z de G que satisfacen I f(z ) I= l/(z 0 )l. El argumento anterior muestra que cada uno de tales puntos es interior de S, por lo que S es abierto. Pero cualquier punto en T = G S es también un punto interior debido a la continuidad de l/(z)l. Ni T ni S contienen puntos frontera uno del otro, ya que son abiertos. Como G es conexo, T debe ser vacío. Por tanto, S = G y — según el teorema de la derivada cero de la Sección 1.6 —/(z) es constante en G, lo que contradice la hipótesis. Así, \f(z) Ino tiene máximo en G, y la prueba queda completa. I Se denota por G el conjunto que consiste en G unido con su frontera. Como el exterior de G es abierto, G es cerrado. Se puede, ahora, reformu lar el principio del máximo de la siguiente manera. —
—
—
=
-
C orolario Sea f(z) analítica en uña región acotada G y continua en G. Entonces I f(z ) I alcanza su máximo sobre la frontera de G.
PRUEBA: Un teorema del cálculo ordinario establece que \f(z) I alcanza un
máximo en alguna parte de G si G es cerrado y acotado, y \f(z) Ies continua en G. Según el principio del máxim o, éste no puede estar en G, así que debe estar en la frontera de G. I =
;
;
:
P r i n c i p i o del m í n i m o Sea/(z) analítica en una región acotada G, y continua y no nula en G. Entonces \f(z) I alcanza su mínimo en la frontera de G.
PRUEBA: Sea g(z) = 1 /f(z). Entonces g es analítica en G y continua en G. Se
gún el corolario anterior, lg(z) I alcanza su máximo (y, por ende, \f(z) I alcan za su mínimo) en la frontera de G. I El teorema de Liouville proporciona una fácil verificación de un teorema muy importante del álgebra elemental, que generalmente se establece sin probar.
T e o r e m a f u n d a m e n t a l de l á l g e b r a Todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz.
PRUEBA: Suponga que P(z) = anz n + d n iz n 1 + . . . + a^z + a0 no es cero
para cualquier valor de z. Entonces f(z) = 1 /P(z) es entera. Más aún, \f(z) I
2.4
•
89
TEOREMA DE LIOUVILLE Y PRINCIPIO DEL M ÁX IM O
tiende a cero cuando Iz Itiende a infinito, porque
l/(z)l = -------------------- L _ ---------+ . .. +^ ° 1* 1» an + z zn -
-
Por tanto, I/( z) I está acotada para todo z. Con base en el teorema de Liouville,/(z) y, consecuentemente, P(z), es constante, lo cual contradice la hi pótesis de que n > 0. Así que P(z) tiene cuando menos una raíz. Para demostrar que P(z) tiene realmente n raíces (incluyendo raíces múl tiples), observamos que, por el teorema fundamental del álgebra, tiene por lo menos una raíz, por ejemplo, . Así, P ( Z ) = P ( Z ) P ( $ o)
= an(zn - ^ ) + « n- i (z” -
1
- ^ - M + . - . + a t í z - f o)
= (*-?o )Q (*),
donde Q(z) es un polinomio en z de grado n - l . S i n — 1 > 0 , entonces Q(z) tiene una raíz. Si se continúa de esta manera, se pueden extraer n factores de P(z); luego entonces, P(z) tiene exactamente n raíces. I
Ej e r c i c i o s 1. Pruebe que una función entera, que satisface I/(z) l< Iz ln para algún n y todos los Iz Isuficientemente grandes, debe ser un polinomio. [ Sugerencia: Aplique las desigualdades del Ejercicio 18, Sección 2.3, ya sea a /( n+11(z) o a / ( n)(z).] 2. Sea f{z) analítica en Iz I < 1 y que satisface a /(O) = 0. Defina F(z) = f(z)/z para todo z en 0 < I z K l . ¿Qué valor puede dársele a F( 0) para que F(z) sea analítica en Iz I
90
■ CAPÍTULO 2
• INTEGRACIÓN COMPLEJA
Iz I= r j y I f(z) I< M2en Iz I = r 2 , entonces elmáximo de l/( z ) I en Iz I = r, r x ^ r ^ r 2 , es menor o igual a j f l jlog r2/r)/(Iog r2/ r,) . y ^ lo g r/r! )/(log r j r l ) _
9. Teorema fundamental del álgebra (prueba alternativa): Muestre que cualquier polinomio no constante
P(z) = anzn + . . . + a xz + a0, an # 0, tiene al menos una raíz, suponiendo que/,(z)no se anula e integrando a0/zP(z) sobre Iz I= R con R ->
2 . 5 El TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT (opcional) El teorema fundamental y el teorema de Cauchy, probados en las Secciones 2.1 y 2 . 2 , proporcionan condiciones para garantizar que J t
f(z)d z = 0 ,
donde 7 es una curva spp cerrada. El teorema fundamental requiere qu e/(z ) sea la derivada continua de una función analítica F(z) en una región G que contenga 7 , mientras que el teorema de Cauchy requiere que /(z ) sea analítica y tenga derivada continua sobre y en el interior de la curva de Jordán 7 spp. En esta sección se probará que ambas hipótesis se satisfacen cuando /(z) es analítica. Más aún, seremos capaces de extender el teorema de Cauchy a cual quier curva 7 spp cerrada. El siguiente teorema proporciona el primer paso para probar que las fun ciones analíticas tienen antiderivadas analíticas. Nótese que este resultado es muy similar al teorema de Cauchy de la Sección 2.2, excepto que no se supone que f'( z) es continua dentro del rectángulo R, mostrado en la Figura 2.8.
Te o r e m a de C a u c h y -G o u r s a t Sea/(z) una función analítica en una región que contenga al rectángulo R, dado por las desigualdades a ^ x ^ b , c ^ y ^ d . Entonces ja/f
/ (z) dz = 0 ,
donde dR es la frontera de R.
PRUEBA: Para simplificar la notación, hagamos
2.5
•
91
EL TEOREMA DE CAUCHY-G OliRSAT [OPCIONA L]
f FIGURA 2.8.
R
Bisecando el rectángulo
para cualquier rectángulo R. Ahora, si se divide R en cuatro rectángulos congruentes, R 1, R 2, R 3, R4 , se observa que I{R ) = I { R 1) + I { R 2 ) + I { R 3) + I { R 4 ), porque las integrales sobre los lados comunes se cancelan entre sí —de acuerdo a la parte (iii) del primer teorema de la Sección 2.3 —, ya que tienen orienta ciones opuestas (véase Figura 2.8). Por la desigualdad del triángulo, se obtiene
\I(R)\< \I(R1)\+ \I(R2)\+ \I(R3)\+ \l{R4)\, de ahí que al menos un R1 satisfaga a \l(RÍ)\^ 1/(7?) 1/4. Más de un R1 pueden tener esta propiedad; elíjase el que tenga menor supraíndice y llámese R i . Si se repite el proceso anterior indefinidamente, se obtiene una sucesión anidada de rectángulos R D R 1 D " ' ' D R n D R n+\ D • • • que satisfarán a ^
n)
! / ( * » - ! )l -------------
lo cual implica que !/(*.„>
>
JM !
(véase Figura 2.9). Denótese por z£ = x* + ¿y* el vértice inferior izquierdo del rectángulo Rn . Por la construcción de los rectángulos Rn , es claro que las suce siones ja;*} y { y * } de números reales son no decrecientes y están acotadas por arriba por b y d, respectivamente. Así, sus límites x * y y* existen. Mostra-
0
b
a
F i g u r a 2.9. r
d
r
1d
r í
d
r 3 d . . .
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMP LEJA
remos que el punto .z* = x* + iy* pertenece a todos los rectángulos Rn . Si zn = xn + ijn es el vértice superior derecho de Rn , entonces xn y yn son cotas superiores de las sucesiones, {jc*} y {y*}, esto implica que x% < x * < x n, y% < y* < yn . Así que z* pertenece a Rn , para todo n. Además, ningún otro punto pertenece a todos los rectángulos R n, pues Izn —z* I*■ 0 cuando n °°. Dado e > 0, se puede encontrar un 5 > Otal que f(z ) sea analítica y AíW
Í í !) _ / V )
siempre y cuando Iz — z* I < 5. Para n suficientemente grande, se tiene a Rn contenido en \z — z * l < 5 . C o m o z * , f ( z * ) y f'{z *) son constantes, el Ejemplo 5 de la Sección 2.1 implica que
f( z * ) dz =
0
3R ,
f { z * ) { z z * ) dz.
De tal modo que, al agregar cero a la integral I{R n ), se tiene !/(*„)!=
3R ,
lf{ z ) f { z * ) ~ f { z * ) { z - z *) ] dz
En base a la parte (iv) del primer teorema de la Sección 2.3, y a las condiciones anteriores, se tiene !/(/?«) I< f _ {f( z) f (z*) J3nn < e
- / ' ( * * ) ( * - * * ) 1
lcízl
Iz — z* 1Idz I< eDn Ln ,
donde Dn
íz ..
7* I cn 1
Ln
3R t
Idz I
son, respectivamente, la diagonal y la longitud del perímetro de Rn , Pero
Dn = j D n - 1 = . . . = 2~nD, Ln = | L n_ i - . . . = 2~nL, donde D y L son la diagonal y la longitud del perímetro de R, así que 4~n \I(R) I< \l(Rn)\
Te o r e m a Si f(z) es analítica cn el disco Iz I< r, entonces hay una función analítica F{z) en r z 0 l< r que satisface I'\z ) = f( z).
2.5
•
93
EL TEOREMA DE CAUCHY-G OURSAT [OPC ION AL]
FIGURA 2.10. Los arcos i z y -yz
PRUEBA: Para cualquier z en el disco Iz — z 0 I< r, sea yz el arco que consiste en los segmentos de recta que une a z 0 con x + iy0 y a x + iy0 con z, donde z = x + iy y z0 = x 0 + iy 0 (véase Figura 2.10 ). Defina
F(z)
f(z ) dz = f ( t + iy 0 ) dt + i f ( x + it ) dt. (1) Tz yo Si y'z es el arco que consiste en los segmentos de recta que unen a z 0 con x 0 + iy y a x 0 + iy con z, entonces yz — y'z es la frontera de un rectángulo y, según el teorema de Cauchy-Goursat, f ( z ) d z = f( z ) d z f(z) dz. t z~yz pz También se puede calcular F(z) a lo largo de la trayectoria y 'z , F (z ) =
C
'
(*
, f (z) dz = i I y f( x 0 + it) dt + f ( t + iy) dt. Jy0 J*o La derivada parcial de (1) con respecto a y está dada por . 9 f ( x + it) dt = i f(x + iy) = i f( z), Fy ( Z ) = * hz
(
2)
dy .
debido a que la primera integral en (1) es independiente de y. En forma semejan te, al tomar la derivada parcial de (2), con respecto a x, se llega a F x (z) = /(z). Así, F(z) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann
Fx { z ) = f ( z ) = i F y ( z ), y como f(z) es continua, se tienen condiciones suficientes para la analiticidad de F(z) en Iz —z 0 I< r. Finalmente, F'( z) = F x (z) = f(z). ■ Como en cálculo real, dos antiderivadas de la misma función difieren a lo más por una constante: Si F(z ) y H(z) son antiderivadas de la función f(z), en tonces [ F ( z ) - / / ( z ) ] ' = / ( z ) - / ( z ) = 0 ,
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPL EJA
lo cual implica que F(z) H(z) es una constante, según el teorema de la deriva da cero de la Sección 1.6. La prueba del teorema anterior puede extenderse a cualquier región simplemente conexa.
Te o r e m a de la a n t i d e r i v a d a Sea/(z) analítica en una región G simplemente conexa. Entonces hay una función analítica F(z) en G tal que F'( z) ' f{z). PRUEBA: Fije un punto z 0 en G. Luego, por el teorema sobre trayectorias po ligonales de la Sección 1.3, se puede encontrar un polígono, con lados parale los a los ejes, que una a z 0 con cualquier punto z en G. Suponga después que 7 y y ' son dos de tales polígonos; así, y — y ' consistirá en un número finito de fronteras de rectángulos en G (posiblemente algunos de ellos degenerados), re corridos en sentidos positivo y negativo en forma alternada (véase Figura 2.11). Este hecho requiere una prueba delicada, para la cual se utiliza la conexidad simple de la región G, y se omite por ser intuitivamente clara (véase las Notas al final del capítulo). Por el teorema de Cauchy-Goursat, 0
7-7
f ( z ) d z —
, /( *) dz
tf ( z )d z . 7
Así,
F(z )
f(z ) dz =
f(z ) dz
es independiente de la elección de la tra yectoria. Si una línea horizontal (verti + iy 1 el último punto cal) es el último segmento de recta de 7 ( 7 ) y ¿i de intersección, entonces
F(z ) = i
f(x
+ it) dt +
f ( t + iy) dt + C
f ( t + iy¡) dt + i
f ( x + it) dt + C,
1
donde z = x + iy y la constante C = F(z j ). Al tomar las derivadas parciales, la primera ecuación da F x (z) = / ( z ) , y la segunda, F y (z) = if{z). Como/ ( z ) es continua y F x = —iFy, F(z ) es analítica en G y F'( z) = / ( z ) . Es esencial que G sea simplemente conexo, porque, de otra manera, los polígonos J y y ' podrían formar un rectángulo con un “hoyo” en su interior. La función/(z) no sería analítica en una región que contuviese el rectángulo; por lo tanto, el teorema de Cauchy-Goursat no se aplicaría. I
25
•
EL TEOREMA DE CAUC HY-GO lfRSAT [OPC ION AL!
F IG U RA 2 . 1 1 . Lo cur vo
95
y - y ' que consiste en los fronteros de los rectángulos en
G
Ej e m p l o La función f(z) = 1 ¡z, analítica en <2 — { o } , tiene a F( z ) = log z como antiderivada. Si se recorre la mitad superior del círculo unitario, con 1 al principio sobre la rama principal, se obtiene
F { e W ) = ~ { , 2 mientras que, si se recorre la mitad inferior del círculo unitario, se tiene F { e W ) =
2 De ahí que, en este caso, el valor de la antiderivada en z = de la trayectoria elegida.
1 dependa
El teorema de la antiderivada proporciona una simplificación inmediata de las hipótesis de los siguientes teoremas.
Te o r e m a f u n d a m e n t a l Sea /(z) analítica en una región G simplemente conexa. Entonces, para cüalquier arco 7 spp: z - z (í), a < t < j3 , ¡ / ( z ) d z - / -'( z( ¿ ¡) )
■ j7
■■
\ F (z ( o í ) ) ,
en donde F(z) es cualquier antiderivada de/(z) en G.
96
CAPÍTULO 2
•
j------------------
INTEGRACIÓN COMPLEJA
:r_'-------------------------------------------------- TCT7T V' ’ i ■"cí'ípJJÍ ’g * -L?; ‘* f >: 'V''
TEOREMA DE CAUCHY Si J( z) es analítica y 7 es una curva spp cerrad a, en la región G simple mente conexa, entonces ■ :LL'.'C' ■ 'OL r' ■'■■■■'L: ":'J v f( z) dz = 0 . .
Ló L
- J r
...... O :
.
■•¡ ' ó - j ' í : - - ; . c i ó L
PRUEBA: Si f(z) es analítica en la región G simplemente conexa, existirá una
función analítica F(z) en G tal que F' = /. Así, el teorema fundamental de la Sección 2.1 se cumple, lo cual implica que, pa ra cualquier arco 7 spp: >z = z(t),a
=
F ( z ( J 3 ) ) - F ( z ( a ) ) .
v 7•
Si z(j3) = z{ot), se obtiene el teorem a de Cauchy. I Ahora consideremos las propiedades de las integrales del tipo encontrado en la fórmula integral de Cauchy.
TEOREMA DE RlEMANN
i>ea g(£) continua en el arco 7 , spp. Entonces la función
■■mm n = 1, 2, 3, . . ., Jr (i - * ) " " - . será analítica en todo z en el complemento de 7 y su derivada satisfará n F n (z)
F ' ni z ) = n F n +1 ( z ) .
PRUEBA: Elija un punto :z 0 que no pernetezca a 7 y un disco Iz — z c < 5
ajeno a
7
. Para z en el disco Iz —z 0 l< 5/2, se tiene
l ^ ( z ) - F , ( z 0)l =
sin
tz
n
ií(r)iidn l f - z l If — ¿o I El arco 7 tiene longitud L finita, de ahí que sea un conjunto de puntos cerrado y acotado. Un teorema de cálculo ordinario establece que las funciones reales continuas alcanzan un máximo en cualquier conjunto cerrado y acotado. Así que | g( $) Iestá acotada por M en 7 . Como If —z I> 5/2 para todo f de 7 ,
lF,(z)-F,(z0)l<
- I z - z 0 I,
2.5
•
97
EL TEOREMA DE CAUCHY-G OURSAT (OPC IONAL)
lo que prueba la continuidad de F i (z) en z0. Al aplicar este hecho a las fun ciones *(í)
Gn(z) =
( S ~ z o ) d$, 7 (f-z)»
se encuentra que G, (z) es continua en z 0 , ya que g( f) /(f — z 0 ) es continua en 7 . Entonces, como el cociente de las diferencias de F t (z) es igual a G x (2 ), — F A F 2 (zQ) = G í (z0 ) = lím G ,(z ) = lím ] Z°1 = F\(z0 ). z^z 0 z^z0 z —z 0 Supóngase que F!n_ i (z) = (n — l ) F n (2 ) es verdadero (y, como g(f) es ar ’ = (n — 1 )Gn (z)).< Entonces bitraria, también que G ^__1(z) 1 1 _ z —z0 f-*
£ z 0
( f z ) ( f z 0)
implica que
Fn {z) F n {z0 ) = [G„_ 1 (2 ) - Gn - 1 (z0)] + (z —z 0 )G„(z). Ya que G„_i (z) es derivable, será continua, y \G„(z)\
2nML
g(? ) d$
8n+
para Iz —z 0 I< 5/2 . Por la desigualdad del triángulo, 0 < l ím
\Fn ( z ) F n ( z0 ) \^
2" AfA On
lím l z - z o l =0 , Z->Z 0
lo cual significa que F n(z) (y, por ende, Gn(z)) es continua en z 0 . Así,
F'n(z0 ) = V m z —z 0 z*z0 L = (z0 ) + G„ (z0 ) = nG n (z0) = nfv+i (z0). La prueba se sigue ahora por inducción.®
J
Gn (z)
El teorema de Riemann proporciona una prueba del teorema de Cauchy para las derivadas, además del notable hecho de que las funciones analíticas tienen derivadas analíticas.
T e o r e m a de C a u c h y p a r a d e r i v a d a s
Sea f(z) analítica en una región simplemente conexa que contiene la cur va de Jordán 7 spp. Entonces, para todos los puntos f en el interior de 7 ,
n: 2iri
I . / < = ’ j dz, h i* r r *
n = 0 , L, 2 ,
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACIÓN COMPLEJ A
PRUEBA: Escriba g(z ) = /( z ) en el teorem a de Riemann. Así, (f) =
7
m z —f
por la fórmula integral de Cauchy para todos los puntos t en el interior de 7 .. Si aplicamos repetidamente, el teorema de Riemann, se tiene F n +i ( f )
K i n _
_ Fí» )(f) _ 2 m / n) ( n ni ni
_ n(n — 1 )
lo que nos da
m r dz,’ n+1 2m ( * S T h = f y 01 = 1, la ecuación ante y se sigue el resultado. Si se acuerda que rior se reduce a la fórmula integral de Cauchy cuando n = 0. I f {n)( n = ^ 7
F n +l ( f ) =
^ 7 2m
C orolario Si f{z) es analítica en una región G, entonces también lo será su derivada f'(z). Más aún, f(z) tiene derivadas de todos los órdenes en G.
PRUEBA: Como la analiticidad necesita probarse sólo en una vecindad de un
punto, para cada f podemos encontrar un disco Iz— f I r contenido en G. Sea 7 el círculo Iz — f I= r. Entonces (f) existirá para todo n entero posi tivo, así que /'(z) tendrá una derivada en f y será por tanto, analítica. ■ Este corolario completa la tarea de mostrar que las funciones analíticas tienen derivadas analíticas, y permite eliminar todas las hipótesis innecesarias en las versiones del teorema fundamental, del teorema de Cauchy y el teorema de Morera, que fueron probados en las Secciones 2.1-2.3.
Ej e r c i c i o s 1. Los polinomios de Laguerre Ln (z) están dados por
Ln (z) = ez — (zn e~ z ). V' dznK ’ Muestre que, para todo z en el interior de la curva de Jordán y spp, J f f ' A N - t 2m - t .. ,y ■'»*! d t ' ^ (r -* r 2. Obtenga la fórmula de Wallis a = —— 2 n adj 8 (2n) ! eos ¿n8 * 7r— 0 (2n ni )2 2 al integrar f(z ) = (z + 1 /z) 2n/z sobre Iz 1= 1 . V/2
99
EL TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT [OPCIONAL]
3. Sea/(z) continua en la regiónRe z > <7y suponga que lím f( z) = 0. Enton ces, para todo número negativo t, pruebe que z^"x lím donde = {l zl =7 ? } H {R *4. Sea f( z) analítica en el conjunto R *, obtenido al omitir un número finito de pun tos interioresz x, z 2 , . . zn del rectángulo R. Pruebe que
f(z) dz = 0 , 3R
dado que lím ( * - * * ) / ( * ) = 0 , z^zk para todo k = 1 , 2 , . . . , n. *5. Sea f(z) analítica en el conjunto D, obtenido al omitir los puntos z lt z 2, . . zn en Iz —z o I< r. Pruebe que
J 7
f{z) dz =
0
para cualquier curva y cerrada en \z —z0 I< r , dado que
k = 1 , 2 , . . n. lím (z zk )f( z) = 0, z^zk * 6 . Muestre que la aseveración del Ejercicio 5 permanece cierta cuando D se obtiene al omitir un número infinito de puntos z lt z2 , . . que no tienen puntos de acumulación en Iz — z 0 I< r.
NOTAS Sección 2.1 Una prueba del teorema de la curva de Jordán se encuentra en [W, pág. 30].
Se c c i ó n 2 .4 Las generalizaciones del lema de Schwarz se pueden encontrar en [A, pág. 136],
S e c c i ó n 2 .5 Se puede mostrar que el teorema de Cauchy-Goursat se cumple en R con hipó tesis más débiles. [V, pág. 76] prueba que es válido para f(z) analítica en el interior de 37? y continua en R. La verificación, en el teorema de la antideri vada, de que y — y' consiste en las fronteras de un número finito de rectán gulos puede encontrarse en [A, págs. 141-143] o [L, págs. 128-131]. Una
100
CAPÍTULO 2
•
INTEGRACION COMPLEJA
prueba del teorema de Cauchy, que evita la topología, ha sido dada reciente mente por J. D. Dixon. Puede encontrarse en Í[L, págs. 148-150] o en el ar tículo original en Proc. Amer . Math. Soc. 29 (1971): 625-626. Más generaliza ciones del teorema de Cauchy pueden encontrarse en [A, pág. 144] y [Ho, págs. 3, 26]. El teorema de Riemann se cumple siempre y cuando f y I g(f) I• I < °°. La prueba, al utilizar esta hipótesis más débil, es esencialmente la misma. Una prueba de la analiticidad de la derivada, independiente de la in tegración, se da en [W, pág. 77].
C » Q
O Series O INFINITAS
3.1
S erie de T a y l o r D efinición Una serie infinita de números complejos
a \ + fl2 + . . . + fln + •. • converge a la suma A, si las sumas parciales Sn = di + a.2 + . . . + fln satisfacen Sn -> A cuando n _>°°, y, en este caso, se escribe 2 “ an = A. De otra manera, se dice que la serie diverge. A una serie con la propiedad de que los valores absolutos de sus términos formen una serie convergente se le dice absolutamente convergente. Como an + 1 = S„+i — Sn , si la serie es convergente, se tiene que lím an + 1 = lím (Sn+\ — Sn ) = A —A = 0. n~+00
Así, el término general de una serie convergente tiende a cero. Esta condición es necesaria, pero no suficiente, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ej e m p l o 1 La serie 1^
+ 42- + 42- + J—i-J—i-J3 3 3 + + J—i-J—uJ—l 4 + 4 + 4 + í4- l+
...
10 1
102
CAP ÍTUL O 3
•
SERIES INFINITAS
diverge porque, si se suman los términos similares, + C2 + i ) + ( i i + i ) + ( i + las sumas parciales crecen indefinidamente. 1
4 + 4 + 4) + ■
Una serie absolutamente convergente debe converger. La prueba se deja como ejercicio, ya que es indéntica a la que se da en cualquier texto de cálculo. Frecuentemente, es de gran interés una serie infinita de funciones defini das en una región G. 2 f n ( z ) = f l ( z ) + M n= 1
z ) + . . . + f n (z) + . . .
Se dice que la serie converge en G si converge para cada z0 en G. se escribe f ( z ) = | f n (z) y a f(z) se le llama suma de la serie.
Ej e m p l o 2 Muestre que la serie geométrica oo
zn
2 n =0
converge a 1 1~
z
para Iz I< 1 . La división larga de polinomios da
SOLUCIÓN: 1
1
—z
= 1 + Z + Z2 + . . . + Zn-~l
+— 1
Como Iz I< 1 , se sigue que zn _ L _ = 1—Z
Zn
—z
0 cuando n 2
zn ,
7n
= S n_ ! + — — . 1
—z
Así, Iz i<
1
.
n - 0
Se mostrará ahora que toda función analítica puede expresarse como una serie de Taylor convergente.
3.1
•
10 3
SERIE DE TAYL.OR
T e o r e m a de Ta y l o r Sea f{z) analítica en la región G, que contiene al punto z0. Entonces, la representación
f ( Z) = / ( ? o ) + — ^ {z~ z0 ) + . V. + (z - Z0 )” + . . . ni ■ 1! es válida en todos los discos Iz —z 0 I< r contenidos en G. PRUEBA: Sea z cualquier punto interior del disco cerrado If —z 0 1 r contenido en
G. Úsese la fórmula integral de Cauchy para expresar/(z) como una integral.
— J m
/( * )
I Í~ zol=r £ —z
27TÍ
di
Ahora, Z — Zr
z-z
y
0
< 1 , f - Zo ^ ~ z0 al usar las sumas parciales de la serie geométrica para reescribir la integral en la forma 1
-
/(*) =
2ni
m lf-z0 l=r f -- zo
Zz o
m f - zo
í
2ni
1
+
f ~ z0 z z0
+...+
i z - z0
n —1
+ Qn d i
donde Qn ~
- z 0 )nl { $ - z 0 )n _
(Z - Z 0 )"
i-(z-z0)/(f-^o) (T-^KT-ío)"-1
Si se utiliza el teorema de Cauchy para las derivadas se obtiene
f { z ) = fi z o) + (z ~ zo)
1
!
+ •••+ (z ~ z o)n~ l
(n -
^ )!
1
+Rn,
donde
R„
(z ~
z 6
m
T
27TÍ
Se elige a z dentro de If — Z 0 I= r, sea Iz:—:z0 I= p, y si se observa que If —z I para todo J en —z 0 I = r, se tiene -r..
2nrM
rM
r —p
104
CAP ÍTUL O 3
•
SERIES INFINITAS
FIGURA 3 .1 . El di sc o l f -
z 0
1< r contenido en
G
siendo M como el máximo de I/(f) I en If — z 0 I= r (véase Figura 3.1) . Pero p/r < 1, por lo que R n *■ 0 cuando n *■°°. Por tanto, f(z) está representada por la serie de Taylor para todos esos z.B Este teorema permite obtener series de Taylor para funciones analíticas de la misma manera en que se hace en el cálculo ordinario. Por ejemplo, si f( z) = e z, entonces /^ ( z ) = ez y f^n\0) = 1 , y se obtiene la serie de Maclaurin
e* =
oo
2
n-0
yn
2- ,
I zK oo ,
ni
válida para todo z e n S , ya que f(z) es entera. Los dos teoremas siguientes son consecuencias útiles del teorema de Taylor.
TEOREMA Si f(z) es analítica en una región G que contiene al punto z 0 , y /* ”*(z0 ) = 0 para n — 1 , 2 , . . . , entonces f(z) será constante en G.
Por el teorema de Taylor, f(z) = f( z0 ) para todo z en cualquier disco If — z0 I < r contenido en G. Sea g( z) f(z) —f ( z0 ). Entonces g es analítica en G y g ^ (z) = 0, n = 0, 1, 2, . . ., para todo z en este disco. Sea S el conjunto de todos los puntos z de G, en los cuales g ^ (z) = 0 , n = 0, 1 , 2 , . . . , . y sea T = G S. Si z x está en S, entonces, por el teorema de Taylor, g tendrá la representación en serie g(z) 0 en todos los discos Iz — z x I< r contenidos en G. Por ende, con base en el argumento anterior, S es abierto, ya que todos sus puntos son interiores. Si z1 está en T, existe un entero n > 0, para el cual g(n) ( z j) ^ 0. Por tanto, en un disco centrado en z x y contenido en G, la serie de Taylor de g(z) no se anula; lo que implica que z, es un punto interior de T. PRUEBA:
3.1
*
105
SERIE DE TAYLOR
Así, T es abierto. Ni T ni S contienen puntos frontera del otro porque ambos son abiertos. Como G es conexo, T debe ser vacío; por ende, g( z) = f( z) — f ( z 0) - 0 para todo z de G. ■ Este teorema implica que si una función f(z) analítica y no constante en una región G se anula en un punto z 0 de G, existirá un entero positivo n, para el c u a l ( z 0) =£ 0. El mínimo entero que satisfaga esto determinará el orden del cero de f en z 0 y permitirá escribir /(* ) = ( * - * „ ) * / , ( * ) ,
f
^
,
s d!,
2 m J l f - z 0 l= r ( f - Z) ( f _ Zo)n
con f j z ) analítica en el interior del disco If — z 0 I< r contenido en G —por el teorema de Cauchy—, para las derivadas (o por el teorema de Riemann de la Sección 2.5). Aún más, f n { z o ) =
m 2m
(f — Z0)n+l
ni
Así que existe una e-vecindad de z 0 totalmente contenida en G, en la cual fn (z) no se anula, ya que es continua. Esto muestra que z 0 es el único cero d e / e n Iz — z 0 I< e. Así, se ha probado el teorema siguiente.
Te o r e m a Los ceios de una función analítica no constante son aislados.
Ej e m p l o 3 Obtenga la serie de Maclaurin de f(z) = (1 —z)~2 . SOLUCIÓN: Como / ( " ) (z) = (n + 1)!(1 —z)~(n+2) para n = 0, 1, 2, . . . se tiene/<">(0 ) = (» í 1 ) 1 y ” - 2 = 2^ (n + l) zn , IzK l, n=0 ( 1 — z)2 puesto que f(z) no es analítica en z = 1. La serie de Taylor de f(z) , centra da en el punto z 0 = —1 es 1
yaque
í— = 2 í ü l i l (Z + i)» ( 1 z ) 2 n=o 2 2 fn\ —1 ) = (n + l)!/ 2 n+2 .
Iz l< 2 ,
10 6
CAPÍTULO 3
•
SERIES INFINITAS
Ej e m p l o 4 Encuentre el orden del cero de f(z) = 2z (ez — 1 ) en z = 0.
SOLUCIÓN: Primero calcule /^ ( 0 ) para n = 0, 1, 2, . . . Como f\ z ) = 2zez + 2{ ez 1 ), f ( z ) = 2zez + 4ez , se encuentra que /"(O ) = 4, así que el orden es 2. Tam bién resulta claro, a partir de la serie de Maclaurin de f(z) / y y2 OO yH = 2z2 1 + — + — + . . 2z (ez — 1 ) = 2 z 2 2! n=l n\ 3! -----
V
Se debe tener especial cuidado al buscar la serie de Taylor de funciones analíticas definidas en una superficie de Riemann. Véase el siguiente ejemplo.
Ej e m p l o 5 Es importante recordar que la función log z se define en la superficie de Riemann R, descrita en la Sección 1.9. Al construir la serie de Taylor de /( z) = log z es esencial especificar la rama de que se trata. Si se busca la serie de Taylor alrededor de z = 1, que es un punto en la ram a principal, se tiene / (n^(z) = (—l )n - 1 (n — l )! z “ " , n = 1, 2, 3 ,. . y log 1 = ’ Log 1 = 0, así que Logz =
f ¿Ííü (._!)■-_ f íL i f r . nl n\ n =l n Por otra parte, la serie de Taylor alrededor de z = e2m en la siguiente rama de <ñ es oo ( 1 _ z \n log z = 2m 2 i , n= 1 n ya que las funciones fn\ z) son analíticas en C —{ 0 } y
f { e 2ni) = log e2ni = 2m, (n _ 1 ) 1 , n = 1 , 2 , . . . fin) (e 2 *i)= Se pueden aplicar observaciones similares a cualquier otra rama de (R. Las fórmulas son válidas en Iz — 1 I< 1, ya que f^n^(z) no es analítica en z = 0 , para n = 0 , 1 , 2 , . . .
Ej e m p l o 6 Muestre que no existe una función an alítica en Iz I< 2 que satisfaga la condición / ( - ) =
\n)
^
n
»
n=l,2,3,...
3.1
10 7
• - SERI SERIE E DE TAYLOR
F ( z) = z —f(z) sería una función analítica no Si existiera, F( constante, que satisfaría F ( l / 2 m ) = 0, para m = 1, 2, 3, . . . Por tan to, z = 0 es un cero de/(z) que no es aislado, lo cual contradice el teore ma anterior. SOLUCIÓN:
Ej e r c i c i o s
oo
1. Muestre que la serie 2 1 /n diverge. n= 1
2. Pruebe que una serie serie absolutamente absolutamente convergente debe debe converger. Obtenga las series de Maclaurin dadas en los Ejercicios 3-7. oo ^ 3. senz senz = 2 ( - 1 ) " - 1 , lzl< °o n=i ( 2 n — 1 )! 4. eos z =
2 (- l) n n=0
z 2n , ( 2 n)!
Iz I< °°
---------
22n-l
5. senh z = 6.
7.
2
n=i
1 -
—
(2n
— 1 )!
>
Iz I< °°
z 2n —— > n=o ( 2 n)!
cosh z = -
-------------
Iz I< °°
2
=
Z2
£
| 2 | <] L
n =0
En los Ejercicios 8-15, desarrolle las funciones dadas en una serie de Taylor alrededor de Zq. Indique el máximo disco donde sea válida esta representación. 8- ñ z) = 10
1 - Z
zo =
’
- 1
7T z0 = —
f ( z ) = eos z, . f(
9 - f i z ) 11
1
1 - 2
/(z)) = senz, senz senz,, . /(z
2
12./(z)=-, z 14. /(z ) = logz,
¿0
z0 = "
=1
13 ./ (z ) = Logz,
z0 = - 1
15. /(z) = logz,
7T
2
z 0 =t 2 0 = 2e3,r!
Encuentre Encuentr e el orden del cero en z = 0 de las funciones funciones dadas en los los Ejercicios 16-19. 1 6-19. 16. z 2 (eos (eos z — 1) 17. 6 senz 2 + z 2 (z 4 — 6 ) 18. z —tan z 19. z 2 — senh senh z 2 20. 20 . Pruebe que si si dos funciones funciones analíticas en una región G coinciden en un un subconsubconjunto de G, que tiene tiene un punto de de acumulación acumul ación de G, entonces coinciden en to dos los puntos de G. 21 0 1 0 1 0 1 0 1 22. 1 ,0 , i , 0, -h 0, -7, -7, 0, •9, 0, 0, . . . OQl I i i í i 1 i .
Z O. i ,
,
,
3
,
-
,
,
,
,
-
, . . .
, 5 , 7) 9) 11 > 13) 15) • • •
1 08
CAP ÍTUL O 3
•
SERI SERIES ES INFINITAS
Determine n = 1, 2, o4
JL X X 2 > 2> 3>
si existe una función analítica analí tica en IzI
X X 3>4>
X X X 4 ) 5 > 5 » •• •
25. 25 . Dé un ejemplo de dos dos funciones funciones que coincidan coinci dan en un número infinito infi nito de puntos de una región G y, no obstante, sean diferentes. 26. 26 . Muestre que si f f e s una función analítica no constante en G, el conjunto de pun tos que satisfacen/(z) = Ct, a en 6 , no tiene un punto de acumulación en G. 27. Pruebe el teorema del binomio para ct complejo: complejo: (l+z)tt = l + —Z + a ^a ~ ^ z 2 + a ^a — 1)(a — ^) 1 1-2 1- 2- 3
3.2 C
o n v e r g e n c i a u n i f o r m e de series En esta sección se probará el inverso del teorema de Taylor, a saber que las se ries de potencias convergentes son de hecho funciones analíticas en sus regiones de convergencia.
D efinición La serie/(z) serie/(z) = 2 ” f n (z) es uniformemente convergente en G, si para todo e > 0 existe existe un número positivo K tal que
f i z )
n= 1
fn (z)
para cualquier k > K y z en G. La convergencia uniforme uniforme difiere difiere dé la convergencia en que, que, para esta úl tima sólo se necesita mostrar la existencia de una fu f u nc i ó n positiva K{z), tal que para cada z 0 en G,
(z 0 ) < e . 2 f n (z0 n=1 siempre y cuando k > K{ K { z Q). La importancia del concepto de convergencia uniforme se ve en el siguiente resultado. /(Z0 ) -
Te o r e m a
de
W eierstrass
La suma de una serie uniformemente convergente de funciones analíticas es analítica y puede derivarse o integrarse término por término. PRUEBA: Sea /(z) = 27 f n (¿) con cada f n (z) analítica en la región G. Dado
e > 0, existirá un número positivo positivo K tal que
3.2
•
1 09
CON VER GEN CIA UNIFORME DE SERIES IES
para k > K y todo z en G. En cualquier z 0 de G y k ( > K ) , fija, existe una 5 tal que ^ f n { z ) ~ =1
2
/ B ( z0 )
3
siempre que z esté en Gy \z — z 0 I< 5, ya que que la suma parcial es es continua. continua. Así, por la desigualdad del triángulo,
f( If( z) - f( f ( z 0 )
/ ( * ) +
2 1= 1
2 , / » ( * ) n=1
/ „ (z (z ) -
f n { z o) 2 fn n-1
2 /»(*<>) -/(^o)
n=1
< e siempre y cuando z pertenezca a G y Iz — z 0 I < 5. L u eg o, / es contin continua ua en G. Por el teorema de Cauchy, para cualquier curva y spp cerrada en un disco contenido en G,
fn f n ( z ) dz d z = 0 , n = 1 , 2 , . .
k,
por ende,
f( f ( z ) dz
f( f ( z) dz —
7
/ ( z ) -
2 n=l
/n í2 ) d,Z
2
n=l
^
/„ (z)
Idz I<
eL
donde L es la longitud de y. Como e puede estar estar arbitrariamente cercano a cero, la extensión del teorema de Morera (Ejercicio 23, Sección 2.3) es válida y f( f ( z) es analítica en G. (Si G es simplemente conexa, se sigue directamente del teorema de Morera.) En particular, lo anterior muestra que en cualquier arco 7 spp en G, /( z ) dz
2
n=1
*
/ » iz) dz
Además, por la fórmula de Cauchy para las derivadas,
1 f 27rí „
/( D -
2 „ =1 /B(f)
< ü , 3r . I=r (r- ^ ) 2 jara todo z que satisfaga Iz —z 0 l< r/2, r/2, k > iv, iv, y If If — z 0 I< r contenido contenido en G véase Figura 3.2). Así, la serie 2 f'n (z) converge uniformemente a f' f ' ( z ) en Iz —zo I< r/2, Ahora la prueba está completa. El teorema de Weierstrass Weierstrass puede aplicarse a la serie serie de potencias potencias 2 7 an (z —z o )n , ra que cada término de la serie es una función entera. Antes de proceder en ísta dirección, es conveniente mencionar algunos comentarios acerca de las
f \ z ) ~
X fU z)
n —1
1 10
CAP ÍTU LO 3
•
SERIE SERIES S INFINITAS
Figura 3 .2 .2 . i ? - z i > r / 2
series de potencias. Nótese que la sustitución %= z — z0 transforma la serie • oo anterior en la serie 2 ! an , así que solamente solament e consideramos considera mos series series de poten pot en cias de esta última forma. Del cálculo alemental, se debe recordar el concepto de radio de conver gencia R de una serie de potencias 2 1 rn x n , donde los coeficientes rn son rea les. les. El número 0 < R < oo tiene la propiedad propi edad de que la serie converge absolu tamente tamente para para Ix Ix í < R y diverge para I x I > R , y que R puede calcularse por medio de la fórmula
R = lím rn+ 1
dado que el límite existe. Desafortunadamente, para series como
2 + x + 2 x 2 + x 3 + . . . + 2 x 2k + x 2k+l 2k+l + . . ., la razón de los coeficientes Irn/rn+i I es, es, alternada alternada,, i y 2 , así que no existe el límite. Ahora se dará una fórmula que pueda usarse siempre para calcular el radio de convergencia R de una serie serie de potencias 2 t anzn, y se probará que R se comporta de la misma manera que en el caso de series de potencias reales.
FÓRMULA DE HADAMARD El radio de convergencia R de una serie de de potencias 2 7 anzn está dado por
R - 1
lím sup-y/ \an 1 = lím [in f(l a„l 1^ , Ia„ Ia„+i +i.l1 .l1^ ^n+1), . . . ) ] .
La mínima cota superior (inf) decrece o permanece constante cuando n aumenta, así que el límite existe siempre (con el infinito como un valor permi tido). tido) . Si 2 1^2”) 1 cuando cuan do n *■ oo, la serie 2
+ x + 2 x 2 + x 3 + . . .
tiene como radio de convergencia R = 1.
3.2
•
CON VER GE NCIA UNIFORME DE SERIES IES
111
T e o r e m a de A bel Sea R el radio de convergencia de la serie serie de potencias 2~ 2 ~ anzn. Entonces: (i) .. (ii) (iii)
La serie converge absolutamente en :lz :lz I < R , y es uniformemente en Iz \
PRUEBA: (i) Sea Sea Iz I< r < R. Entonces, r 1 > R 1 , así así que la definición de
lím sup implica la existencia de un entero N tal que Ian I< r ~ n para todo n ¡D5 N. Entonces N
\zin <
2 n - N
2 n - N
i
-
por la serie geom étrica (Ejemplo 2, Sección 3.1), 3.1 ), ya que Iz/ r I< 1. Así, Así, la serie serie converge converge absolu absolutamen tamente te en Iz I< r para cualquier cualquier r < i ? , y, por ende, ende, en Iz I< I< R. Par a mostrar la convergencia convergencia uniforme, uniforme, se elige elige Iz K p < r < i?, en tonces, por lo que se hizo anteriormente y por la desigualdad del triángulo, N
2
2
<
n = N
n=k
1 -
le
para todo k > N y Iz Iz l < p . (ii) Si Iz I> r > R, entonces r - 1 < i ? - 1 y la definición de lím sup es tablece la existencia de un número infinito de enteros n, para los cuales r ~ n < \an I. Por Po r tanto, tanto , un número númer o infinito infinito de términos de la sucesión satisfacen satisface n la„z" l> Iz/rl" y son, por ello, no acotados. (iii) Se sigue del teorema teor ema de Weierstrass que la suma es es analítica analí tica én Iz I < R y que su derivada puede obtenerse por derivación término por término. Fi 1 + cn ; entonces, por el teorema del binomio, nalmente, si se hace
n
=
/ /-■ \ti ^ n(n n( n — 1 ) , (l+c„) > 1 + el, ------
lo cual implica que c% < 2/n. Así, Así, cn Se calcula cal cula el radio 0 cuando n de convergencia de la derivada 2 7 na„z n _ 1 observando que lím sup ~^/\an I f n-+ °° < lím lím sup-^n \an I -----------------
r z - > 00
< lím lím \ f ñ ' lím sup y / Ian I= lím sup \ / 1 an
11 2
CAP ÍTUL O 3
•
SERI SERIES ES INFINITAS
Ej e m p l o 1 Considere la serie 1
-z
2
+ z 4 - z6 + . . .
En tal caso Ian I se anula anula para n impar y es igual a 1 para n par. Enton ces, R = 1; as!, la la serie converge absolutamente en Iz I < 1, uniforme mente en Iz I <í r < 1, y diver diverge ge en Iz I > 1. Aún más, represen representa ta alguna alguna función analítica en Iz I< 1. Nada Nad a se se ha dicho de Iz I= 1; sin embargo, embar go, obsérvese que la serie diverge en todos los puntos de Iz I= 1 , ya que su término general no tiende a cero. Con el Ejemplo 2, de la Sección 3.1, se encuentra que
— — = 1 z 2 + z 4 z 6 + . . ., Izkl. 1 + z2 Nótese que la la serie es analítica sólo sólo en Iz I< 1, mientras que la fun ción ción (1 + z 2 )- 1 es analítica en todo G excepto en z = ±i. Se puede in tegrar la serie término por término en cualquier trayectoria dentro del círculo unitario para obtener dz z3 zs z7 — + -------------- + ______ izki. o 1 + z2 3 5 7 En particular, la función dz z^ z^ = i — o < iz k i, fl f l ? ) = ~ z o l + z 2 3 5 /(O) = 1 es analítica en en Iz J< 1 , lo que ilustra una u na mane ma nera ra útil de mostr mo strar ar la analiticidad.
Ej e m p l o 2 Encuentre el radio de convergencia de las variables de potencias (a)
2 n=l
-
n
(b)
2
n- 0
-
n!
(c)
2 2 nz n= 1
(a) Por la prueba del teorema de Abel, (1/ra)1/" = l¡\/ñ tiende a 1 cuando n *■ 00 , así, R = 1 para pa ra la serie (a). (a ). Obsérvese que este resultado también se puede obtener con la fórmula de la razón. Para (b) es más fácil usar la fórmula de la razón
SOLUCIÓN:
rn+l y R = 00 00 .
(n + 1 )! — = n + 1 -> 00 ni
n *■°°
3.2
•
CO NVE RG ENC IA UNIFORME DE SERIES
113
En la serie (c) la fórmula de la razón no puede usarse, ya que con tiene un número infinito de coeficientes igual a cero . Aquí R = 1, debido a que se tiene ( 2 ” ) 1 /” ! = g l n 2 / ( n —1 )! ^ g 0 = ^
n ^ oo
y todos los otros términos se anulan.
Ej e m p l o 3 Encuentre solución analítica de la ecuación diferencial
f"(z) - 2 zf'(z) 2f(z) = 0 con condiciones iniciales /(O) = 1,/'(O) = 0. SOLUCIÓN:
Derive la serie
f ( z ) = a 0 + a l z + a2z 2 + . . . + anzn + . . ., a0 = 1 , dos veces, para obtener f \ z ) = a t + 2a2z + 3a3z2 + . . . + nanz " - 1 + . . ., a y= 0 , f"(z) = 2a2 + 6 a3z + . . . + (n + 2) (n + \)an+ 2 Zn + ... . Entonces, al agrupar términos de potencias iguales, f"(z) - 2 zf'(z) ^ 2 f{z) =
2 n-0
[(n + 2 )(n +
l)a n+2 -
2 (n +
l)an]zn =0 ,
así que (n + 1) [(n + 2 )an +2 — 2 an] = 0, para n — 0, 1, 2, . . . La ecuación de recurrencia an + 2 = 2 an/(n + 2 ) implica que la solución analítica general de la ecuación diferencial es z4 z6 . f ( z ) = a 0 ( l + z 2 + — + — + . . . ) 2! 3!
+ axz ( l + — (2z )2 + — ( 2z )4 + — ( 2z )6 + . . . ) . V 3! 5! 7! /
Gomo fl0 = l y a i = 0 , se obtiene la función entera
f(z) =
+ z2 +
+ — + .. . = 2! 3! como la solución analítica al problema de valor inicial. 1
Ej e r c i c i o s Encuentre la radio de convergencia de las series dadas en los Ejercicios 1-6.
CAP ÍTUL O 3
3. 5.
•
SERIES INFINITAS
2 z2n
4. 2 zn!
2
6.
n=0
n=0
n=1
[2 + (—l ) " ]" z n
2 (eos m )z"
n=0
R
7 / 2 nkanzn
8.
n-0
9. 11.
2 n~nanzn
n=1
2
10. 2 anzn+fe
2 a%zn2
12. 2 a„z"2
n -l
n =0
n-0
n=0
En los Ejercicios 13- 16, desarrolle las funciones en series de potencias centrada s en 0, y encuentre sus radios de convergencia, sin usar el teorema de Taylor.
13.
15. 17. 18. 19. 20.
—(1 - z )3
1 4. L o g ( l + z )
------
eaz - 1 1C -¿Y \ ’ Z^ 0 16. f{ z) = ¿) z ) a, z = 0n Encuentre la serie de potencias más general (con dos constantes arbitrarias) que satisfaga la ecuación diferencial / (z) + /(z) = 0. Exprese la suma en términos de funciones elementales. Encuentre una serie de Maclaurin que resuelva la ecuación diferencial f'(z) — 1 + z/(z)con la condición inicial/(O) = 0. ¿Cuál es su radio de convergencia? Determine la serie de Maclaurin general que solucione la ecuación diferencial zf"(z) + f'(z) + z /(z)= 0 y muestre que es entera. (Sugerencia: Pruebe que y^~ñ\ -> oo cuando n *■ ya que e2 es entera). Encuentre la solución general, en serie de Maclaurin de la ecuación diferencial * SenZ dz 0 Z
( i - z 2 ) f"(z)
2 z/'(z)
+ n(n + 1 )/(z ) = 0 .
21. Suponga que/(z) y g(z) son analíticas en una vecindad de z 0 y quey"(z0 )=g(z0) = 0 mientras que g'(z 0) =£ 0. Pruebe el teorema de L ’Hospital
iiZ)
g'(z o)
22. Resuelva el Ejercicio 2, Sección 2.4, con el método de esta sección. 23. Encuentre la suma en Iz I< 1 de la serie
3.3
•
115
SERIES DE LAURENT
24. Demuestre la prueba de la razón: Si lím
R,
- * oo
a n+ 1
entonces R será el radio de convergencia de la serie 2 an z n. Ahora, para los Ejercicios 25-27, permita que sea g(t) una función compleja continua en 0 < t ^ 1 y defina
K z )= ] Q g(*)e
<*t-
25. Muestre que, para z fija, la serie
g{t )e " - S
n= 0 ni converge uniformemente en 0 < t .< 1 . 26. Pruebe que f(z) es entera. ( Sugerencia: Utilice el Ejercicio 25 para intercambiar la sumatoria y la integral.) tg{t)eñl dt. 27. Pruebe que f ' ( z ) = 28. Sea g{t) continua enO < t < 1 Ahora defina ñ z) =
J o
S'(í) sen(zí) dt.
Pruebe que f(z) es entera y encuentre su derivada. 29. Sea g(t) continua en 0 < t < 1 Defina / ( Z)= l 1 30
1
z t
dt,
\z\
Pruebe que f(z) es analítica en \z I< 1 y encuentre su derivada. 30. Utilice una serie de Maclaurin para resolver la ecuación funcional
f ( z i ) = z + f ( z ) . ¿Dónde converge la serie?
3 . 3 S eries
de
Laurent
I.a serie
d i z
Q,2 z2
&n zn
puede considerarse una serie de potencias en la variable 1/z. Si R es su radio de convergencia, la serie convergerá absolutamente siempre que \l¡z\
116
CAP ÍTULO 3
•
SERIES INFINITAS
analítica en Iz I> 1/R . Al combinarse una serie de este tipo con una serie de potencias ordinaria se obtiene una de la forma 2 n=—°°
anzn.
Supóngase que la parte ordinaria converge en un disco Iz l < R y que la otra parte converge en una región Iz I > r. Si r < R , entonces existe un anillo abierto donde ambas series convergen: r < Iz I < R (véase Figura 3.3). La serie representa una función analítica en este anillo. En forma semejante, 2 n=—oo
an (z —z0)n
representa una función analítica en el anillo r < Iz —z 0 l< i? . A un de sarrollo de este tipo se le llamará serie de La ur en t. Recíprocamen te, se proba rá ahora que una función analítica en el anillo r < Iz —z 0 I< i? puede desarrollarse en una serie de Laurent.
Te o r e m a
de
La u r e n t
Si f(z) es analítica en el anillo r < Iz — z 0 . < R, entonces puede de sarrollarse de manera única en una serie de Laurent / ( z ) =
S
n = —oo
an (z — z 0)n, .
donde
a.n
21 im r i JÍ ii?f —2z0„ i1=* = p
n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ,
r < p
( f - z 0 )” +1
o FIGURA 3.3. R e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a d e u n a s e r i e d e L a u r e n t a l r e d e d o r d e z 0
3.3
•
11 7
SERIES DE LAURENT
Figura 3.4.
PRUEBA: Denótense por 7 ! y 7 2 los círculos Iz — z 0 I = r + e y >z —z0 I=
R — e, respectivamente, con .0 < e < (R muía integral de Cauchy,
r)f 2 (véase Figura 3.4). Por la fór-
_ L f f f l ) # 2m y 2 $ - z 2m Ti t ¿ para todo z que satisfaga r + e < Iz —z 0 I< J? e. El teorema de Riemann (o el de Cauchy y el de Cauchy para las derivadas) proporciona la analiticidad de cada integral en los complementos de las curvas 7 1 y 7 2 •Si se procede exac tamente igual que cuando se probó el teorema de Taylor, la primera integral se transforma en 1
/( * )
1 2717
t2
m ^ tz
= i n =0
Qn ( ¿ ¿ O )"
con 1 2717
/(? ) dt n+l y2 ( t z o)
n = 0 , 1 , 2 , . .
Para la segunda integral obsérvese que, por la serie geométrica (Ejemplo 2, Sección 3.1), -1
t - Z
(z- Z 0) -
(t - Z0 )
2 Z - Zr n = 0
tz0
ya que If —z 0 I< Iz —z 0 I sobre 7 i . Aún más, la serie converge uniforme mente en t para f en el interior de 7i • Con el teorema de Weierstrass, se puede integrar término por término para obtener
11 8
CAP ÍTUL O 3
•
SERIES INFINITAS
Luego l_
=
7 1 S —Z
2m
2 a_n_! n= 0
(2
— z 0 )_ n _ 1
con 1
7
■
/ ( n #
2 tti
Finalmente, como f {£)/(f — z 0 )n+1 es analítica sobre y en el interior de y2 ~ 7» o 7 — y i, donde 7 es el círculo if — z 0 I = p, r < p < i?, el teorema de Cauchy implica que se puede reemplazar 7 i o 7 2 por 7 en el cálculo de los coe ficientes an. Nótese que si e puede elegirse arbitraria mente cercano a cero se llega a la representación deseada en el anillo r < Iz — z 0 l
f { z ) =
2 n —— °°
an { z z 0 )n ,
f(z)=
bn { z z 0 )n ,
'2 n=—
00
entonces, al multiplicar por (z — z 0 )k ,para cualquier entero k, y al integrar a lo largo de Iz — z0 I = p se tendría'-, por convergencia uniforme, 2
n—
00
an • (z z 0)n+k dz = 2 bn J 7 n— —00
( z z 0)n+k dz. 7
Como todas las potencias de z — z 0 excepto (z — z0 ) _1, tienen antideri vadas analíticas en r < Iz — z 0 I< R, sus integrales se anulan por el teorema fundamental. Así 2ítzcz_£_i = 2’nib_¡l _ i , lo cual implica que a¿ = b¿ para todo entero k. Frecuentemente los coeficientes an no se obtienen por medio de sus fór mulas integrales. Se darán ejemplos de las técnicas que se emplean para evitar este cálculo.
Ej e m p l o 1 Al utilizar la serie de Maclaurin de eos z y e ? , se tiene
Z2
- ns (-ir 2 »=-1
1/2
ev s =
(2 n) \
0
~2 n ( _ 1 )" +1 — i , (2 n + 2 )! ---------
00 Z
2
n=0
-----
n\
=
^ 2
1— , n=—°° (—n)l
0 <
Iz I<
0 <
Iz I.
3.3
•
119
SERIES DE LAURENT
Ej e m p l o 2 Considere la función (z 2 — 3z + 2)- 1 . Es analítica en todas partes, ex cepto en z = 1, 2. Encuentre su serie de Lauren t en las regiones (a) 1 < l z l < 2 , (b) l : l < l , ( c ) U I> 2 y (d) 0 < Iz - 1 1 < 1 . (a) En el anillo
SOLUCIÓN:
< Iz I< 2, al escribir
1
1
1
1
(z — l)(z — 2 )
z 2
z —1
se pueden desarrollar las fracciones en la forma 1
_
1
z 2
z
1
1
1
2
'z
1_ z
1
2
z
2 no \ 2 J ya que l l / z l < l y lz/2 l< 1. Así, _
1
( z - l ) ( z - 2)
\2
Z
S zn n=--
2
2 f n=0 \ 2
(b) Para Iz l< 1, se desarrolla la expresión como _ 1
_ i z —2
L_ = z —1
Por tanto,
L _ + _ L _ = _ I 2 l\ 1 —z 2 n=o \ 2 z 2 1
(z -
1
\------------ = £
1
) (z -
(c) Aquí 1
z
- 2
+ S
1
'
z-
1
2)
»= 0
I zK i .
V
2
J
J
z
z _2
z
X_ I z
. i s ( i y _ I £ ( i )" z n=0 \ Z / Z n=0 Vz / =
2? „=_oo
(—L \2 "
1 ) Zn , /
2 < Izl.
12 0
CAP ÍTUL O 3
•
SERIES INFINITAS
(d) En .0 < Iz — 1 1< 1, se obtiene 1
1
z —2
1
1
z —1
z —1 1 Z— 1
1 — (z — 1) 00
-
2
( z - l ) n.
n=0
Por tanto, en 0 < Iz — 1 1< 1, 1
1
1
(z _ ! ) ( * _ 2)
z — 1
l- (z -l )
=
- 2 n=—i
( z - l) n.
Ej e r c i c i o s Encuentre la serie de Laurent de la función (z 2 + z )- 1 en las regiones de los Ejerci cios 1-3. l.O C lzK l
2. 0 < I z — 1 1< 1
3. 1 < I z — 1 1 < 2
Represente la función (z 3 — z )- 1 como una serie de Laurent en las regiones de los Ejercicios 4-7. 4. 0 < Iz I < 1 6. 0 < ¡z - l l < 1
5. 1 < Iz I 7. 1 < I z - 11 < 2
Encuentre la serie de Laurent de la función z/(z 2 + z — 2 ) en las regiones dadas en los Ejercicios 8-13. 8. I z K l .10. 0 < Iz + 2 I < 3 12. Iz I> 2
9. 0 < I z — 1 I< 3 11. 1 < Iz I < 2 13. Iz + 2 l> 3
Represente las funciones dadas en los Ejercicios 14-17 como series de Laurent en la re gión 0 < Iz I< °°. 14. zellz
15.ez+1lz
16. senz sen —
.17. sen (z + — z \ z Encuentre las series de Laurent de las funciones de los Ejercicios 18-21 en la región 0 < Iz — 1 I< 1 .
io 18. 20 .
1 ------
z —1
1 sen — ¿
sen z(z — 1 )
1
1
1 9 . — sen
’z
21.
z sen
z —1 z —1
22. Suponga que f(z) es analítica y acotada por M enr
la_B X A Í r " ,
n = 0, 1, 2, . . .
Suponga que r = 0. ¿Se puede definir /( z 0 ) de tal forma que f(z) sea analítica en Iz —z 0 I< R?
3.4
•
12 1
SINGULARIDADES AISLADAS
23. La función de Bessel J n (z) se define como el n-ésimo coeficiente (n ^ 0) de la serie de Laurent de la función n=— Muestre que ir Jo
24. Use los coeficientes de la serie de Laurent de e^z en Iz I > 0, para mostrar que — f ecose 2 ir J -ir
cos(sén 6 —n 6 ) d 6 = — , n!
n = 0 , 1 , 2 , . . .
(iSugerencia: Integre sobre Iz I= 1.) 25. Evalúe la integral
n 1
(eos 6)m eos nd dO,
m, n enteros,
comparando los coeficientes de la serie de Laurent de (z + l/z)mcon su desarro llo binomial. 26. Encuentre la serie de Laurent de esc z en ir
3 . 4 S ingularidades
aisladas
Se dice que una función f( z) , analítica en una región 0 < Iz —z 0 K R, pero no analítica o no necesariamente definida en z 0 , tiene una singul aridad aisla da en z0. Estas singularidades se clasifican en tres categorías. (i) Singularidades removibles son aquellas donde es posible asignar a /( z 0 ) un número complejo, de tal forma que/(z ) se vuelve analítica en Iz —z 0 I < R. En este caso, es necesario que /( z ) *■A °°) cuando z *■ z 0 . Pe ro, en tales circunstancias, f(z) es analítica en 0 < Iz — z 0 I< R/2 y continua e n l z — z 0 l < i ? / 2 ; por ende, el principio del máximo implica que /(z ) es acotada en Iz — z 0 I
122
CAPÍTUL O 3
•
SERIES INFINITAS
Además, la serie de Laurent de /(z), centrada en z 0 , es el producto de (z —z0) n y la serie de Taylor de f n(z) e n : 0 , as! que se escribe 2
k=—n
ak ( z z 0 )k,
a _n i= 0 .
Cora.og(z) es una función analítica no constante en Iz — z 0 I< r, el orden del cero de g en z 0 debe ser finito. Entonces, el orden del polo de f( z) en z0 debe ser también finito. (iii) Singularid ades esenciales son todas las aisladas que no son removibles ni polos. En este caso, f(z ) no tiene límite cuando z -»•z 0 , y un número infinito de coeficientes a_n, n = 1, 2, 3, . . ., de su serie de Laurent alrede dor de z 0 no se anulan; puesto que, de otra man era, z 0 sería un polo o una singularidad removible. Se dan algunos ejemplos para ampliar las definiciones. Obsérvese que senz — +— z 3! 5! tiene una singularidad removible en z = 0. De tal forma que
1 1 eos z z2 z2 z 2 2! 4! tiene un polo de orden 2 en z = 0. Finalmente,
z 2 lz2 tiene una singularidad esencial en z = 0 . El concepto de singularidades aisladas también se aplica a las funciones (univaluadas) f(z) , analíticas en una vecindad R < Iz I< 00 de Por conven ción, se clasifica una singularidad aislada en oo si g(z) = / ( 1 /z) tiene una sin gularidad removible, un polo, o una singularidad esencial en z = 0 . Las singularidades no son necesariamente aisladas. Por ejemplo, la función
tiene singularidades en z = (irn) 1 para todos los enteros positivos n. Así, z = 0 no es una singularidad aislada.
D efinición Una función analítica en un a región G, excepto por sus polos, se llama meromorfa en G.
3,4
•
12 3
SINGULARIDADES AISLADAS
Sif( z) y g(z) son analíticas en G, y g(z) no es idénticamente cero, entonces las singularidades del cociente f{z) /g (z) coincidirán con los ceros de g(z ). Estos serán polos siempre y cuando f(z) no sea cero, o tenga un cero de orden menor que el de g(z); de otra manera, serán singularidades removibles. Al extender f(z) /g( z) por continuidad, sobre las singularidades removibles, se obtiene una función meromorfa en G. Por ejemp lo,/(z) = tan z = sen z/cos z es meromorfa en <3 con polos en z = (k + jr)n, k 0 , ± 1 , ± 2 , . . y z = °o es un punto de acumulación de polos. El comportamiento de determinada función en una e- vecindad de una sin gularidad esencial es muy complicado, como lo demuestra el siguiente resultado.
Te o r e m a de W eierstrass-C a s o r a t i Una función analítica se aproxima arbitrariamente a un valor dado en cualquier e- vecindad de una singularidad esencial.
PRUEBA: Si el teorema es falso, se puede encontrar un número complejo A y
un 5 > 0 tales que l/( z) — A I> 5 en toda vecindad 0 < Iz —z 0 I < e de la singularidad esencial z0. Entonces
m A
>
cuando z -o > iz — z 0 i lo cual implica que g(z) = [/(z) — A ] / ( z — z 0) tiene un polo en z 0 . Así, g(z) es meromorfa en Iz —z 0 I< e. Pero, entonces, también /(z ) = A + (z — z0)g(z), lo es. De ahí que contradiga la hipótesis de que z 0 es una singularidad esen cial. II De hecho se puede demostrar más, aunque la prueba es difícil, y no se da rá aquí:
Te o r e m a de P i c a r d Una función analítica toma infinitas veces todos los valores complejos, e x cepto posiblemente uno, en cada una de las e-veeindades de una singula ridad esencial.
Ej e m p l o 1 Encuentre y clasifique las singularidades de las funciones (a) fiz ) = / ■■■’ z¿ +z
(b) Siz) = « ~ l¡z2 ,
(c) h(z) = esc z.
124
CAPÍTUL O 3
•
SERIES INFINITAS
(a) Las singularidades ocurren en los ceros del denomina dor: z = 0, -1 . Como éstos son ceros simples y el numerador tiene un cero simple en z = 0 ,f(z) tiene una singularidad removible en z = 0 y un polo simple en z — - 1 . (b) Nótese que g(z) -* 1, puesto que 1/z2 -* 0 cuando z -* °o; así que g(z) tiene una singularidad removible en z = Pero SOLUCIÓN:
1
1
=
1
+ 2Í 7
es la serie de Laurent de g(z), centrada en z = 0; por lo que g(z) tiene una singularidad esencial en z = 0 . (c) Como senz = (—\)k sen(z — irk) = (—l)k
3! h(z ) tiene un polo simple en .z = irk, k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . de acumulación de polos en z =
y un punto
Ej e m p l o 2 Pruebe que sen z toma todos los valores de C en cualquier vecindad de oo, Toda franja (2n — 1 )7r/2 ^ x < ( 2 n + 1 )7r/2 de C se mapea en G por w = sen z. Como se puede encontrar un número^infinito de franjas en Iz I > R para todo R real, sen z toma a todos los valores de C en toda vecindad de °°. SOLUCIÓN:
Ej e r c i c i o s Para cada una de las funciones de los Ejercicios 1-6, encuentre y clasifique las singula ridades. .- ^ z3 + z 3. zellz 1
5. sen - +\ z z¿
2
4. 6.
. * 1 +z2 ez~ilz etan 1¡Z
7. Construya una función que tenga una singularidad removible en z = -1, un polo de orden 3 en z = 0, y una singularidad esencial en z = 1. Entonces en cuentre su serie de Laurent en 0 < Iz I< 1. Muestre que cada uno de los integrandos de los Ejercicios8-11 tiene unasingularidad removible en z = 0.Quite la singularidad y obtenga la serie deMaclaurin de cada in tegral.
3.5
•
125
CONTINUACIÓN ANALÍTICA [OPCIONAL]
O-/ \ o . Si(z) 8
l z
Jo
s e n f M a f-
i \ =-------------------------\Z c o s f - 1 o9. nClz)
f
v'
1 0. £ (z ) = |qZ 1 d$
Jo
f
ac
11. L( z) = |* L° g^ +
12. Muestre que la función f( z) = el¡z toma todos los valores, excepto 0, un núme ro infinito de veces en cualquier e-vecindad de z = 0 . 13. Pruebe que una función entera, con una singularidad no esencial en e * , debe ser un polinomio. ¿Qué clase de singularidad tienen oo sen z y eos z en oo? 14. Muestre que una función meromorfa en ílll debe ser el cociente de dos poli nomios. 15. Pruebe que una función entera es constante si no toma los valores 0 y 1. (Sugerencia: Use el teorema de Picard).
3.5 C
o n t i n u a c i ó n analítica (opcional) Sucede a menudo que la expresión / 0 (2 ),como una serie infinita o una integral — que define una función analítica —, sólo tiene significado en alguna región limitada G0 del plano. Surge entonces la pregunta de si existe o no alguna for ma de extender la definición de la función y volverla analítica en una región mayor. En particula r, ¿es posible encontrar una expresión (2 ) analítica en una región G0 que intersecte a G¡ tal que f 0 (2 ) = /¡ (2 ), para todo 2 en G0 D G j ? Sí es así, se puede extender esta función a la región G0 U G j , y se dice que los elementos (fo, G0) y (f\,Gx) forman una continu ación ana lítica di recta donde se sigue el uno del otro. Cualquier continuación analítica directa de {f0, G0) a Gi es necesariamente única, porque dos funciones analíticas en Gj concordantes en G 0 ó Gx deben coincidir en G¡ (véase Ejercicio 20, Sec ción 3.1). Un procedimiento para obtener continuaciones analíticas empieza por desarrollar la expresión dada en una serie de Taylor / 0 (2 ) =
S
n=0
an (2 — 2 0 )”
que converja en el disco I2 — z0 I< R 0 centrado en el punto z0 de G0. Si 2 j satisface alz, —z0 \< R 0) se puede desarrollar f Q en la serie de potencias / , ( 2 )= f- ón(2 n=0
'
2
1)",
ón = ^ l J , til
que converja en el disco 12 — z¡ I < i?]. Ciertamente, R , > R 0 —12 1 — z 0 I. Si se cumple la igualdad, el punto de contacto de los círculos \z —z 0 I = R 0 y 12 — 2 , I= R j debe ser una singularidad de la función, puesto que el teorema de Taylor implica la existencia de una singularidad en cada círculo de conver gencia. De otra manera, una parte de I2 — 2 , I < R y se localizaría en el exte rior de I2 — 2 0 1'< jR0 y ( /, , { íz — z¡ I< f? i }) sería una continuación
12 6
CAPÍ TULO 3
•
SERIES INFINITAS
FIGURA 3.5. Continuación analítica directa
analítica de (f0, {lz — z 0 I < traslape (véase Figura 3.5).
} ) , ya que ambas series coinciden en el
Ej e m p l o 1 La serie de potencias / 0 (z)= z
n-0
(z-ir
tiene radio de convergencia R = 1, así que la región de convergencia G0 es el disco Iz — \ I< 1. Se puede continuar (fQ, G0 ) a un disco centrado en 0 calculando / o ( 0 ) = Z ( - I r , n-0
' / ¿ ( 0 ) = l
n=1
pero es más fácil observar que fo (z ) = (3/2 —z )_ 1 en G0. Entonces, con el Ejemplo 2, Sección 3.1, se tiene
lo cual implica que Gj es el disco Iz I< 3/ 2, y z = 3/ 2 es una singulari dad de la función.
Este procedimiento puede continuarse, pero se debe tener cuidado, por que una sucesión de discos podría volver a traslaparse con el primero, y es posible que no coincida en el traslape. Esto ocurre cuando la función es multivaluada y los discos llevan alrededor de un punto rama de la función, y sobre una rama diferente de su superficie de Riemann (véase Figura 3.6). Así, aun si (fi> G i ) es una continuación analítica directa de (/ ), G j ), no necesariamente lo es de (/ o , G0 ), y sólo una función multivaluada servirá para definir la extensión.
3.5
•
127
CONTINUACIÓN ANALÍTICA (OPCIONAL)
FIGURA 3.6. Uno continuación analítico
Ej e m p l o 2 Considere la función f( z) = 1 J^fz en los puntos z = e7"/4 , e lm^ . Si se uti liza el teorema binomial, se puede obtener el desarrollo en serie de Taylor alrededor de cada uno de esos dos puntos: J _ = g-m /8 sJT y/l =
- ( 1
~
(( 22 n)\ n )!
|
e - r d /%
ze~^) (!
_
z e - « '/ 4 ) n J
z _
e 7TÍ/4 |<
j >
n =o 2 2 ” ( n ! ) 2
y
i
e 7«/8
v/F
“ (I z e 1 ™ * )
0
= e-i*i/s
|
«=o
(2»)1 /1_ zg-7ir.y* )" Iz _ g7^/4|< 1 .
2 2 n(n ! ) 2
Al evaluar la primera expresión en e° y la segunda en e2m, se obtiene e° = 1 y e~ni = —1, respectivamente. Nótese que en la superficie de Riemann [ C — {0 }] 2 , para f(z) = l/y/z', el punto e° no pertenece al disco Iz —e1m^4 I< 1 .
Cada elemento de una cadena (f0, G0), (flr G j ), . . ., (fn, Gn ), donde (fj, Gj) es una continuación analítica directa de :(/y„ 1, Gj_ j), se llama conti nuación analítica de los otros. Así, el procedimiento anterior puede utilizarse para construir continuaciones analíticas, donde la elección de los centros z x, z2, ■ . z ndetermine los valores de la función. En particular, si y es una curva que une a z Q con un punto z' que no está en el disco :l z' — z0 I< R 0 , se puede construir una continuación analítica, que consista de discos Iz — z¡ I<.Rj de convergencia de representaciones por series de la función, de tal forma que z;siga a Zj_ i en la parametrización de y. Al llegar az'por una cadena finita de
128
CAP ÍTUL O 3
•
SERIES INFINITAS
FIGURA 3.7. Continuación analítica a lo largo de 7
tales discos, se dice que ésta es una continuación analítica de la función a lo largo de la curv a 7 (véase Figura 3.7). Por otra parte se tiene un número infi nito de discos, cuyos centros z¡ convergen a un punto z* de 7 , y, por tanto, sus radios tienden a cero. Además, debe haber una singularidad de la función en la frontera de cada uno de estos discos, y estas singularidades también tienden a z*. Puesto que toda e-vecindad de z* contiene una singularidad, la función no puede ser analítica en z*. Así, se ha probado el teorema siguiente.
TEOREMA La sene de potencias Z J an(z zu)n puede continuarse analíticamente a lo largo de cualquier curva 7 que empiece en su disco de convergencia \z — z 0 I < R 0 hasta que se encuentre una de sus singularidades. Intuitivamente, si 7 y 7 ' son arcos disjuntos, excepto en sus dos extremos z 0 y z tales que no existen singularidades sobre o en el interior de la curva cerrada 7 — 7 ', entonces el resultado de la continuación analítica por cada trayectoria es el mismo, ya que el interior podría cubrirse con discos que trasla pasen a los de la continuación analítica a lo largo de los dos arcos (véase Figura 3.8). Este resultado se llama teorema de la monodromía; como su prueba es complicada, no se dará.
Figura 3.8.
3.5
•
CONTINUACIÓN ANALÍTICA [OPCIONAL]
129
D efinición Una fun ción a nalítica glo bal es una colección 5 de elementos (f, G), tales que dos cualesquiera de ellos son uno continuación analítica del otro, a través de una cadena de elementos de Í7 .
Ej e m p l o 3 Sea Gk la región que consiste en todos los puntos z que satisfacen Iarg z — (kir/2) I< 7r/2, para todos los enteros k, y sea fk (2 ) = log z, para todo z en Gk . Entonces la colección :{f0, G0), (fx, Gj), . . (fn, Gn ), . . . es Gj) una función analítica global, ya que es la colección de elementos para todo entero/ Se dice que dos elementos (f0, G0), ( f ¡ , G j ) determinan la misma rama de una función analítica global en un punto z 0 de G0 H G : si f 0 (z) = f i (2 ) en una e- vecindad de z 0 . Nótese, sin embarg o, que no es necesario que los elementos de la función sean continuaciones analíticas directas uno del otro.
Ej e m p l o 4 Si Gk consiste en todos los puntos z que satisfacen Iarg z —(kir/2) I< 37 T/ 4 , y fk (2 ) = log z, para todo z en Gj y todo entero k, entonces etn^ perte nece a G0 H G2 y /o {z) = fi (z)> Para todo z con Iarg z —(ir¡2) I< 7r/4, aunque (f0, G0) y (f2, G2) no sean continuaciones analíticas directas uno del otro (véase Figura 3.9).
Los puntos de la frontera del dominio de definición de una función analítica global caen en dos clases: (i) puntos sobre los cuales la función puede continuarse analíticamente (puntos regulares) y (ii) singularidades.
130
CAP ÍTUL O 3
•
SERIES INFINITAS
Las singularidades pueden ser aisladas o no. Si es aislada se llama punto de ramificación de orden n - 1 , siempre que todos los puntos en una e-vecin dad de la singularidad tengan n ramas distintas. Si n = se le llama punto de ramificación logarítmico.
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-3, encuentre primero una función que coincida con la serie dada en su disco de convergencia. 1. Desarrolle 2 j zn jn en una vecindad de z = •%, y determine su radio de conver gencia. 2. Desarrolle 2 ra=i zn en una serie de Taylor, en una vecindad de z = a, la l< 1. ¿Cuál es el nuevo radio de convergen cia de la serie? 3. Mue stre que las series ~ z ra 2 — 1 n
°° I 7T+ S ( - 1 )” i
y
(z — 2)n n
no tienen región de convergencia común, no obstante que son continuaciones analíticas una de la otra. Pa ra los Ejercicios 4-7, encuen tre la serie de Tay lor de cada función en el disco Iz — 1 I<Ü lde su ram a principal. Entonces, continúe analíticamente cada función a lo lar ) coinciden con los de z(0)? go de y: z ( í ) = e l t , 0 < t < 27T. ¿Los valores en z ( 2 tt
4. logz
5. Z 1 /2 7. (sen ztt / 2 ) 1^2
6 . sen (z 1 /2 )7T/2 8.
Muestre que la función n- 1
Z2 n
es analítica en Iz I 1 , a pesar de que no puede continuarse fuera de este con junto. A Iz I= lse le llama su frontera natural. ( Sugerencia: Como f{z) = z 2 + z 4 +. . + z2” + /(z 2 ), muestre que los puntos f satisfacen f(t%) oo cuando t -> l"- .) 9. Muestre que Iz I= 1 es la frontera natural de 00 2 ra=0
i
zn!.
10. Muestre que el eje imaginario es una frontera natural de la función
°°
2 n =0
e~
i
.
¿Dónde es analítica la función? 11. Encuentre una representación en serie, centrada en z = 1, de la función
f(z) = í
J o
t2e~zt dt,
0 <
í < °°,
analítica en Re z > 0. ¿Cuál es su continuación analítica al plano completo?
3.5
•
131
CONTINUACIÓN ANALÍTICA (OPCIONAL]
12. La función gamma está definida en el semiplano derecho mediante la integral r(z) = í " e H z x dt, J0
0 <
í < °°.
Pruebe que ésta satisface la ecuación funcional T(z + 1) =zr(z )y es analítica en Re z > 0. Muestre que tiene una continuación analítica al plano completo como una función meromorfa con polos simples en 0 , - 1 , - 2 , . . . 13. Principio de reflexión de Schwarz. Sea f = u + iv analítica en una región G + situada en el semiplano superior, y que tiene un segmento y del eje real como parte de su frontera. Si/es continua y toma valores reales en y, entonces/ tiene una continuación analítica única a través de y hacia la región G—, que es la reflexión de G+ a través del eje real. (Sugerencia: Muestre que /(z) es analítica en G - y aplique el teorema de Morera o las ecuaciones de CauchyRiemann a G+ U y U G —.) 14. Pruebe el teorema de Pringsheim: Una serie de potencias /(z ) =
S an z” n=0
con radio de convergencia 1 y coeficientes reales no negativos an tiene una sin gularidad en z = 1 . 15. Muestre que aunque S n= 1 zn/n2converge en todo punto de Iz I= 1, no es analítica en z = 1 . *
NOTAS Se han omitido importantes teoremas de Mittag-Leffler y Weierstrass, concer nientes a las representaciones de funciones meromorfas por medio de series in finitas y productos. Se exhorta al lector al estudio de estos tópicos, de los cuales puede encontrar un desarrollo en [A, págs. 185-196].
Se c c i ó n 3 .4 Se pueden encontrar dos pruebas diferentes del teorema de Picard en [A, pág. 297] y [V, pág. 144].
S e c c i ó n 3 .5 Aunque en teoría está bien el método indicado para construir continuaciones analíticas directas, en la práctica rara vez es útil. El problema radica en calcu lar los coeficientes bn , los cuales, a menos que se tenga información adicional, son sumas de series infinitas. Una prueba del teorema de la monodromía puede encontrarse en [A, pág. 285],
A Integración ¿4 EN CONTORNOS
4.1 T eorema
del residuo
Se ha demostrado en la Sección 3.3 que una función f{z), analítica en una re gión 0 < \z — z Q\< R, puede desarrollarse en una serie de Laurent alrede dor de z 0 . Al coeficiente
al ~
1
r
2m
m d$,
0 < p < R,
I ? - z 0 l= P
de esta serie de Laurent, se le llama residuo de la función f(z) en z 0 y se deno ta como ResZf)f(z). Obsérvese que al conocer el residuo de / e n z0 se tiene un método alternativo para evaluar la integral /(? ) d$ = 2ttí ResZo f(z), J7 donde 7 es cualquier curva de Jordán spp, con z 0 en el interior de y. El siguiente teorema es de fundamental importancia en el análisis complejo, y es el concepto central en el desarrollo de las técnicas de este capítulo.
13 4
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CON TOR NOS
punios (U 111 n> \ soliu m i i i i u \ i d < |o idm
finito de singularidades Z j , . .
Npp *m ])io poi un imim i i
Z& en el interior de
í f(z) dz - 2m
2
7
. Entonces
Res*n f{z) .
LA;/: L-C-'a-TP^V. --'ir-;'
TV .<
•
PRUEBA: Se pueden dibujar círculos Iz —z n I = rn ( > 0), n = 1, . .
k, en el interior de 7 de tal forma que los discos iz — zn I < rnsean disjuntos uno del otro. Por la generalización del teorema de Cauchy a regiones múltiplemente conexas (véase Sección 2.3),
J y
/( z) dz =
2 [ n = l J \z—zn \= rn/2
f{z)dz,
y en cada región 0 < Iz —zra I< rn , el desarrollo de f(z) en serie de Laurent alrededor de zra establece que Res2 „ ñ z ) = « -i = ~
2m
í
J lz - z n \= rn/2
f{z )dz,
n = l,...,k .
El resultado deseado se obtiene al combinar estas dos identidades. H Para que este teorema sea útil es necesario obtener métodos simples de evaluación de residuos. En particular, se desea evitar el proceso de integración siempre que sea posible. Si se conoce explícitamente la serie de Laurent, en tonces el residuo es igual a a _ i . Para singularidades no esenciales, nótese que a_ j se anula en las singularidades removibles, y que si z 0 es un polo de orden k, entonces
{zZo)kf(z)=
2 n= —k
an (z — z 0 )n+k ,
Así que, para k = 1, lím (z-Zo)/(z) = fl_!, z-*z0 mientras que, para k > 1 , T k ^ i K * ~ z o ) A/ ( z ) l = ( k ~ 1 ) !a - ' ’ lím ~dzR 1
Z-*Z0
Ej e m p l o 1 Encuentre el residuo en todas las singularidades en C de las funciones (a) /(z ) = z 2 sen , z
(b) g(z) =
z ó —z ¿
>
(c) h(z) = — • senz
4.4
•
13 5
TEOREM A DEL RESIDUO
SOLUCIÓN:
(a) Se sabe que la serie de Laurent de f( z) centrada en z = 0 , \z
=2 -
—
3 \z
3lz +
5!z
—
0 <
5!z
| z | < °°,
lo cual implica que Res 0 /(-z) = —"6 . (b) Obsérvese que g(z) tiene un polo simple en z = 1 y uno de orden 2 en z = 0. Así que se tiene Resi g{z) = lím(z - l)g(z) = e Z - * l
Res0 g( z) = lím[z 2 g(z ) ] ' = lím Íí z-o *->■o (z _
?1 = - 2 .
1)2
(c) Nótese que h(z) tiene una singularidad removible en z = 0 y po los simples en z = irk, k = ±1 , ±2, . . . (véase Ejemplo l e, Sección 3.4 ). Como sen(z — irk) = ( —l) Asen z, la solución completa está dada por Res, ,kh{z) = lím — — z^nk senz
=
( —1
7tá,
k = 0, ± 1 , ± 2, . . .
Ej e m p l o 2 Evalúe la integral ¡z
-
4 I= 1
Z3 - Z
dz.
Las singularidades del integrando se presentan en z - 0, ±1. Por tanto, sólo es necesario calcular los residuos 0 y 1 en los polos simples
SOLUCIÓN:
€Z Res0 — r z(z -
Res!
z(z -
= lím 1)
1)
0
0Z Z2 -
=
—1
1
= lím z->i z(z + 1 )
2
Así, I z—
4
I= 1 ' Z 3 — Z
dz = 7rz (e — 2 ).
136
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONTO RNOS
Aunque el teorema del residuo se establece en términos de los residuos en el conjunto S, de singularidades del integrando que están en el interior de la curva de Jordá n y, spp, los residuos en el conjunto 5*, de singularidades del in tegrando que están en el exterior de y , pueden utilizarse algunas veces en la evaluación de integrales.
T e o r e m a del interior y del exterior Sea
anzn + a n:..lzn + . ••+ fli¿ + a 0 +' ° m — ,z bmzm 'ib 1 m ~ 1 + . . . + b xz + b0 donde m ^ n + 2. Entonces F( z) =
Res F( z),
2 tt¿
F{ z) dz = I —2ililis* Res F( z) .
7
La igualdad de arriba es sólo un reenunciado del teorema del resi duo. Para obtener la igualdad de abajo, se escoge R suficientemente grande para que y y todos los polos de F(z) estén situados en el interior del círculo C : Iz I = R. Sea y' un arco spp de y para el círculo C que no pasa a través de los polos de F(z) (véase Figura 4.1). Entonces, por el teorema del residuo,
PRUEBA:
2ni 2 Res F( z) , F {z) dz, - 7+ 7 + C 7 s* donde y se recorre en el sentido de las manecillas del reloj. La integral sobre y' cancela la de —y' (véase parte (iii) del primer teorema de la Sección 2.3), así que F( z) dz. F{ z) dz = —2ni S Res F(z ) + \z\ = R s* Como R es arbitrario, la prueba estará completa si se muestra que lím
R-*°°
\z\ = R
F( z) dz = 0.
Por hipótesis, ¡ z2 F(z ) I está limitada por una constante 0 < M < tiende a porque
z F(z) = Por tanto,
anzn+2~m + . . . + a0z 2~m : —> br, + bm _ i z 1 + . . . + b0z m
---------------------
\z l= R
F{ z) dz
que tiende a 0 cuando R
---------------------
z,2 F(z) \ . , . . 2n RM > Idz I ^ Izl2 R 2
--------------
z I= R
°°.
m ^ n + 2.
cuandoz
4A
•
13 7
TEOREMA DEL RESIDUO I m z
Ej e m p l o 3 Evalúe la integral Ji*i =i zn (z + b)
dz,
Ib I>
1
.
SOLUCIÓN: El integrando tiene un polo de Orden n en 0 y un polo simple en b. Incluso si se diera n, el cálculo del residuo en 0 sería compli cado para n > 1 , ya que se requerirían n - 1 derivaciones de (z + a) / (z + b). Esta dificultad puede evitarse con el uso del teorema del interior y del exterior en la forma 1* 1= 1
z +a , „ ._ dz = —27n Res_ zn (z + b) . ^ 2 ni lím
z+ a zn (z + b)
zn Obsérvese que la integral sería cero si Ib I< 1. z-+-b
- 2"< “ ~ 6> (—1 )" bn
13 8
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONTORN OS
Ej e r c i c i o s Encuentre el residuo en todas las singularidades en C para las funciones dadas en los Ejercicios 1-12. 2 .f(zy
z2 + 1 z2 + 1 3.f(z) = ZJ
4.f(z)
5 ,f ( z ) = z el/z
6 ./(z)
7 .f (z ) = ( z l ) e « z
8 . f(z)
9.f(z) 11
3
Zó — Z
10 .
senh z
. f ( z ) = cotz
12
(z2 + 1 )' = z eos — z
= (z — l ) 2 sen
/(z) = tan z
. /( z ) = (z + — ) sec z
Evalúe las integrales en los Ejercicios 13-24. En los Ejercicios 15-18, n es un entero no negativo. 13. 15. 17. 19.
21 . 23 .
I2 1=2 z2 +
14.
dz
1
dz \ z - l \ = 2 Zn ( z 2 + 1 ) dz
12—¡ 1=3/ 2 z n ( z 2 + l ) senz
lz-1/2 1=1 : 1=1 12: 1=2
z3 +z
dz
16. 18.
20 .
ze1!2 dz
22 .
tan z dz
24 .
1* 1=2
e2 dz z3 +z dz
l * - l l= V 5 / 2
zn (z2 + 1)
dz l*-£ 1=1/ 2 zn(z2 + l) sen z dz 1* 1=2 (z 3 + z )2 l*i=l 1*1=5
tan z dz tan z dz
25. Suponga que P(z), Q(z) son polinomios. Muestre que todos los residuos de la función [P{ z) /Q (z )] ' son cero.
4 . 2 Ev a l u a c i ó n
de integrales reales definidas
En esta y las siguientes tres secciones, se presentan algunas técnicas útiles para aplicar el teorema del residuo a la evaluación de integrales definidas.
4. 2
•
13 9
EVA LUA CIÓN DE INTEGRALES REALES DEFINIDAS
Integrales como f 2 7r
F ( eos 6, sen 6) dd,
donde F(s, t) es el cociente de dos funciones polinomiales en s y t, pueden transformarse en integrales de línea mediante la sustitución z = eie, 0 < 0 < 27T, puesto que eos 6 = (eie +e ~ie)= (z +
2
2V
2
sen 6 = — (eie - e~ie ) = — ( z I > 2i z, 2i \
dz = ie %e iz. dd Así, se ha probado el siguiente teorema.
Te o r e m a 2 ir
Fleos d, sen d) dd = f
F i ( * + i V A
L2 V
z
z
2i
dz ------
.
Ej e m p l o 1 Muestre que
dd ° « + &COS0
a> b>
^ a2 _ b2
0.
SOLUCIÓN: Como eos d toma los mismos valores en [7T, 27f] que en [ 0 , 7f], la integral anterior es igual a 1
2
f 2 7r
JO
dd a + b eos d
dz i Ji^i=l bz2 + 2az + b
Cuando se factoriza el denominador en b(z —p)(z —q), donde
—a +\ fa2 — b2 b
—
y se observa que pq =
1
—€L b
y Iq I > a/b > 1 , entonces la única singularidad
14 0
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONTO RNOS
del integrando, en el disco unitario, está en p. Además es un polo de or den 1 , así que el residuo del integrando en p es igual a lím l = i = — 1 z>p b(z — q) b( p — q) 2y/a2 — b2 La respuesta se sigue ahora por el teorema del residuo.
Ej e m p l o 2 Pruebe que
de o (a + b eos d)2 SOLUCIÓN:
ira
a> b>
y/(a2 b2 )3
0.
Otra vez, la integral es igual a
f z dz _ 2 f z dz i Jizi=i ( bz2 +2az + b)2 ib2 Jizi=i (z p) 2 (z q)2 ’
2
con un polo de orden 2 en p, como única singularidad. El residuo en p es igual a ab 2 -(p + q) lím = lím -iz + q) z-*p z^p ( z - 9 ) 3 i p q ) 3 4y/( a2 b2 )3 y ahora el resultado es inmediato.
_
Ej e r c i c i o s Evalúe las integrales en los Ejercicios 1-9 por el método mostrado en esta sección. En los Ejercicios 6 -8 , n es un entero no negativo. í'jt/2 dd . ^ tt tCT ~ 1 r— ’ a '> 0 ’ ‘ ° a+sen 6 2y/ a2 + a 2
. 0 f'27r
0 4.
5
[a + sen 9)
= 4 ^ 2
dd _ 2i r a2 eos 2 d + b2 sen2 9 ab
¡’2 t7 dd — Jo (a eos 9 + b sen 9) ------
~2n Jo
+ a )3
=
a> 0 a, b >
0
ir(a2 + b 2) > a3 b3
d9 = l 1-a2 1 — 2a eos 9 + a2 ) ^ a2 — 1
a, b > 0
si Ia I<
1
si Ia I>
1
4.3
•
nlir
6.
141
EVA LUAC IÓN DE INLEGRALES REALES IMPROPIAS
2 7T
si n es par
-tn— 1
eos" d dd si n es impar
0 ,
n!ír 2 tt
(.a eos d + b sen d )" dd =
2
^ (a 2 + b ¿ T , n par
71 — 1
n impar
0 ,
a, b reales 8.
f o
ecosd eos (nd —sen d) dd = —
'2 tt cot(d + ib) dd = —2ni signo ó, o
4 . 3 Ev a l u a c i ó n
b real y diferente de cero
de integrales reales impropias ________
En el teorema de la Sección 4.2, el intervalo de integración se transformó auto máticamente en una curva cerrada, lo cual permitió aplicar el teorema del re siduo. En la siguiente aplicación esto no es posible. En este caso se reemplaza la curva dada por una curva cerrada tal que en el límite los valores de las integra les coincidan.
Te o r e m a Suponga que F(z) es el cociente de dos polinomios en z tales que (i) F(z) no tiene polos sobre el eje real, y (ii) F{ \/ z) tiene un cero al menos de orden 2, en z — 0, esto es, el grado del denominador excede, al menos por 2 , al grado del nume rador. Entonces / i VE* “ íMáwfe-j ó» fe os
|
F(x) |
iÓ¡:lM óf Re fe V Vóó .vfE
> dx = j i
sv
| 2iri 2 Res F ( z ) e mz,
a > 0,
donde la suma sólo incluye los polos de F(z) en el semiplano superior. ________________________
PRUEBA: Sea y la curva cerrada que se obtiene al tomar el segmento de recta
( R , R ) sobre el eje real seguido del semicírculo z = R e ie , 0 ^ 0 ^ tt. Puesto que F(z) es el cociente de polinomios, sus polos, y por ende los de F ( z ) e laz,
14 2
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONT ORN OS
Figura 4.2.
ocurren sólo en los ceros del denominador y así son finitos en número. Si R se escoge suficientemente grande, todos los polos de F(z) que estén en el semiplano superior se localizarán en el interior de 7 (véase Figura 4.2). Entonces, el teorema del residuo implica que 2irí 2
y>0
Res F {z )etaz =
J y
F ( z) emz dz
I* F ( x ) e iax dx + í" F { R e ie ) e hReÍd iRe ie de.
J ~R
J 0
Por (ii) \z2F(z) I está aco tada por una constante M en todos los puntos del semiplano superior que no estén en el interior de 7 . Así,
F(R eie) eiaReie iRe ie
de
< — | " e~aR send de < M ir i? JO
R
ya que e~aR sen 8 < 1 . Por (ii) y por el teorema de comparación de integrales impropias del cálculo se sigue que
F(x) eos ax dx, ambas convergen. Cuando R -*
J —00
a > 0,
se tiene
F ( x ) e iax dx = 2m 2 3
F (x ) sen ax dx,
Res F ( z) emz,
a > 0,
y > 0
de donde se sigue el resultado al tomar las partes real e imaginaria de ambos lados. ■ OBSERVACIÓN: Si a > 0, la condición (ii) puede reemplazarse por (ii)’ F(l /z) tiene un cero de orden 1 en z = 0. En este caso no se puede utilizar el teorema de comparación para obtener la convergencia de la integral
F ( x ) e & dx,
a > 0.
4.3
•
14 3
EVAL UAC IÓN DE INTEGRALES PEALES IMPROPIAS
De hecho, debe probarse que "x. F ( x ) e mx dx,
a > 0,
tiene un límite cuando X x y X 2 tienden independientemente hacia oo. Sea 7 la frontera del rectángulo con vértices en los puntos — X l , X 2, X 2 + iY, —X x + i Y , donde las constantes X ,, X 2, Y se eligen suficientemente grandes como para que los polos, que tienen F\z) en el semiplano superior, queden situados en el interior de 7 (véase Figura 4.3). De esta forma, la condición (ii)' muestra que IzF(z) Iestá acotada por M en todos los puntos en y > 0 que no estén en el interior de 7 . La integral í x 7 h y
J x ,
-a y i'Y dy ■ 0 \X2 + iy\ M ,'Y „-ay M < dy < X 2 -'o aX2
F ( z ) eiaz dz
< M
De manera semejante, la integral sobre el segmento de recta que une + iY con Xi está acotada por M/ aXx y C-X.+iY J X 2+iY
F(z)e
^ Me~aY Y J
dz
dx =
Me ~aY (*! +X2).
----
...
Si se utiliza el teorema del residuo y la desigualdad del triángulo, 2 F(x)eiax dx -x .
< M
- 2m 2 Res F(z)eu
1
_ ü X 1
y>0
+
1
X 2 ü
+
e - a Y
(.X 1 + X 2 )
Al hacer primero que Y °° y luego que X x y X 2 tiendan independientemen te a 00 se obtiene el resultado.
Ej e m p l o 1 Pruebe que eos ax + h2
dx =
TT0—ab éT ----------
9h
>
a > 0 ,
b>
0.
144
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONTOR NOS
Aquí, F(z) es igual a (z2 + b2)~l con polos en ±ib, y F(l jz ) = z2 /(I + b2z2) tiene un cero de orden 2 en 0. Como se satisfacen las hi pótesis del teorema, se tiene SOLUCIÓN:
eos ax
dx = Re 2 m Res*
= Re - e~ab + b2 b de donde se sigue el resultado, puesto que el integrando es una función par. Nótese que senax dx = 0 , x 2 + b2
a > 0 ,
b>
0.
Ej e m p l o 2 Muestre que
x senax 77 dx — — e~ab, a > 0, b > 0 . Jo x 2 + b2 2 Las condiciones (i) y (ii)’ se aplican a F( z) = z¡ {z2 + b 2 ), ------------
SOLUCIÓN:
x sen ax - dx = Im r2717. Res* —zeiaz 1 = 7re ab , —J-~ x + b z2 + b2\ L nuevamente con el integrando como una función par. ------
------ -
Ej e r c i c i o s Evalúe las integrales siguientes por el método dado en esta sección, 1
oc dx
.
7T
(x2 + 2x + 2 ) 2 x dx , 2- I —: í =* <■ (x2 + 2x + 2) 00 77 X dx 3. 4a o (x2 + a2 )2 -------
4.
r-
2
--------------
dx — (x + a )(x + b 2 ) ---------------
7r = ab(a + b)
, ^„ *a, ó > 0
dx , = -(2n)lir n un entero no negativo 2 2 n (n ! ) 2 ‘ (x 2 + l )n+1 eos ax dx 7r(l + ab) e~ab ^ „ c ^ n b—í = — a > 0, b > 0 ’ t 2b3 J- °° (x 2 + b2 )2 „
5
_ 7-
__________
__ ___
x 3 sen ax dx „h 7T ~ {x2 n —+ b¡ r2r)2r = ñ2 2 - afe * »
, ^ n ■ a , b > o
4. 4
*
8.
9. 10 .
14 5
INTEGRALES C O N POLOS SOBRE EL EJE REAL
C°°
eos ax , 7T / ab 7r\ -¡ T d x = — e-(ai>)/V2 sen [-ÍÍ— + - , x 4 + 6 4 26 \y/T 4 /
a > 0 ,
------
Jo
x senax , 7T , hV nr ab — — dx = — e ~(a 'i v 2 sen ,
o X4+ 64
^ a > 0,
26
------
xs*3 senax — — dx, = -n e-( ab)/V2 ¡„h\i cos PT , 0 x 4 + 64 2 v/T -
4 . 4 I ntegrales
6 > 0
„ 6>0
, . 0„ ab &>
c o n polos sobre el eje real
En el estudio de la Sección 4.3, se supuso que F(z) no tenía polos sobre el eje real, ya que, de otra manera, la integral
F ( x ) e iax dx,
a > 0,
sería divergente. Sin embargo, la parte real o imaginaria de la integral anterior puede converger si F{z) tiene polos de orden 1 que coincidan con los ceros de cos ax o sen ax. Supóngase que F(z) tiene un polo de orden 1 en z = 0, y no tiene otros po los sobre el eje real. Entonces
F(x) senax dx,
a > 0,
es convergente. La técnica para esta integración consiste en utilizar la frontera X v, X 2, X 2 + iY, —X t + iY, excepto que 7 del rectángulo con vértices en — se evita el origen al seguir un pequeño semicírculo E de radio r en el semiplano inferior (véase Figura 4.4). Suponga que X ¡ , X 2, Y, 1/r se escogen suficiente mente grandes como para que todos los polos de F(z), que no estén en el se miplano inferior, se localicen en el interior de y. Entonces F(z )emz = [a^\/z) + f(z) con a_ i = Res0 F(z)eiaz y f(z) analítica en una e-vecindad cerrada de z = 0. Ahora, sobre el semicírculo E con r < e, í
F(z)eiaz dz = i í°
J — 7T
= 7Tza_i ¡Y
i y -X,
Figura 4.4.
V^o
J
- i r
*2
[a_! +f{reie)rée]
f(re )e
de
d6
14 6
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONTO RNOS
Como f(z) está acotada en Iz I< e por una constante N,
ir
ro
f(re )e%e de < rNn,
y el segundo término se anula cuando r tiende a 0. Por el teorema del residuo, y las desigualdades desarrolladas en la Sección 4.3, se obtiene
F(x)elax dx — 271'i 2 Res F(z) etaz -> 0 y >0
JE
cuando Y *■ y después X x y X 2 tienden independientemente a °°. Ahora, cuando r 0 , se encuentra que lím r ->0
F(x)emx dx = 2m
+
2 Res F(z) eiaz + — 2 y >o
Al límite en el lado izquierdo de la expresión se le conoce como v alor princ ipa l de Cauchy de la integral, y se escribe PV
F{x)etax dx = 2iri
2 Res Flz^e^ + y >o
2
Obsérvese que sólo la mitad del residuo en 0 se ha incluido en la derecha. Permítanse breves comentarios acerca de los valores principales de Cauchy. Sea f(x ) definida en la recta real, y considérense los límites lím
CR
/?-> “= J —R
lím
f(x) dx,
f 0
J R ,
( 1)
f(x) dx +
lím R^ °°
f(x) dx.
(2 )
Si el límite en (1) existe, se dice que la integral impropia de f converge en el sentido de Cauchy, y por tanto se escribe PV
f( x) dx = lím
/?“►« J —R
f(x) dx.
Si el límite en (2) existe, se dice que la integral impropia converge y se hace lím
f(x) dx
'0
f(x) dx +
lím
CR.
f(x) dx.
Nótese que la convergencia de la integral implica la convergencia (hacia el mismo valor) en el sentido de Cauchy, pero que una integral puede tener un valor principal sin ser convergente. Por ejemplo, PV
f°°
J-oo
x dx = lím
( x ^.2 R \
— = 0, \\ 22 —R/
aunque ninguno de los límites en (2) exista. En algunas situaciones, tales como una carga neta en una placa infinita, se utiliza el límite en ( 1 ); en otras si-
4. 4
•
147
INTEGRALES C O N POLOS SOBRE EL EJE REAL
tuaciones, tales como la carga total en la placa, se emplea el límite en (2). Se elige la herramienta que se ajuste al problema. Un desarrollo similar surge cuando f ( x ) se define en un intervalo a < % < b pero es no acotada en toda vecindad de un punto c, a < c < b. La in tegral impropia converge siempre que el lado derecho de la ecuación a
f(x) dx = lím
fc-e
e~*0 J a
f(x) dx + lím
Cb
V ->0 J c+r¡
f(x) dx,
e > 0 , i?> 0 ,
(3)
exista. Incluso, si estos límites no existen, el valor principal de Cauchy de la in tegral
f(x) dx = lím ( *■*a €->0 \Ja puede existir. Por ejemplo, PV
py f
f(x) dx +
*5^1 = iím n 0g e + log
J - l
X
e - *0
\
f(x) d x ) , e > 0, J
J c+e
=o,
(4)
e > 0 ,
e j
pero ninguno de los límites en (3) existe. Como antes, convergencia implica convergencia en el sentido de Cauchy. Aún más, una integral impropia de tipo mixto puede tener un valor principal de Cauchy aunque la integral sea divergente: PV |
dx
----
( r—1 f°°\ dx fi = PV ( | + — + PV -°° •i / x J = l,m ( I' - 1 + [ * ) * = R - k » \ J — R
Jl /
x
1
dx — x
0.
Si F(z) tiene varios polos de orden 1 sobre el eje real, que coinciden con los ceros de eos ax o sen ax, entonces, al incluir en y tantos semicírculos como po los haya y al tratarlos como al anterior semicírculo E, se obtiene el resultado general siguiente.
TEOREMA Supóngase que F( z ) es el cociente de dos polinomios en z tales que (i)' todos los polos de F(z) localizados sobre el eje real son de orden coinciden con los ceros de eos ax o de sen ax, a > 0 , y (ii)'/,-(l/z) tiene un cero al menos de orden 1 , en z = 0 . Entonces PV
F { x ) é ax dx = 2ni
2 Res F(z)eiaz ■ | 2 Res F{z)eiaz y>0 y=0
1
y
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONTO RNOS
Ejemplo
a
Pruebe que f °° sen x ^ _ JT JO x 2 Puesto que F(z ) = 1/z, es claro que (i)' y (ii)-'se cumplan, por lo que tenemos SOLUCIÓN:
PV
J - ° °
— dx = X
7tí Res 0
— = 7Ti‘. z
Al igualar las partes imaginarias se obtiene el resultado deseado, ya que el integrando es una función par y x — 0 es una singularidad removible de (sen x )/x . Las integrales que contienen potencias de eos ax o de sen ax pueden eva luarse con la misma técnica.
Ej e m p l o 2 Muestre que
sen2 x , 7t — dx = — SOLUCIÓN: Con el uso de la fórmula del ángulo doble 2 sen 2 x = 1 -
eos 2 x, se obtiene “
1 —eos 2x
— 4x 71
------
, dx ’
que converge por el teorema de la comparación del cálculo. Si se integra (1 — e2tz )/4 z2 a lo largo de la curva 7 mostrada en la Figura 4. 5, se tiene 1 7
e 2iz J — dz 4z 2
=
2m Res 0
l e 2ü z— 4z 2
= 7t.
El valor absoluto de la integral a lo largo del arco Iz I R, 0 está acotado por J _ f" \ l e 2iReÍ6\ d d < — , 4 R Jo 2 R el cual se anula cuando R ^ °°. Como i „ . 1 - e2h = +ftz) n 1 4z 2 2z
arg z
n,.
4.4
•
149
INTEGRALES C O N POLOS SOBRE EL EJE REAL
con f( z) analítica en un disco cerrado centrado en 0 y que contiene al se micírculo E, se tiene 1
I 'E
- e2“ A * 42 2 d Z -------2
ir f° f{reie )eie J TT
de
< rNir,
__
y esta cota se anula cuando r * 0. Así que, 1 -
e 2¿£ , 4 x 2
PV
dx = -
2
y la solución queda completa.
Ej e r c i c i o s Evalúe las integrales en los Ejercicios 1-9 por el método mostrado en esta sección. 1
.
2. 3.
’ °°
COS TTX
,
—7T
d x = ---------
- - 4x — 1 2 7T <» sen TTx dx = — (e n — 3) -oo x " — x
“
2
sen u x eos
o-oo
ttx
— x
2x
dx = —7T
senx x 2 + a2
*• r foo 5 - 1o
x
d x = — [a 2 + e - b ( b 2 - a 2 ) ], b2
x2 + b2
sen x
7r
6 ) x (x 2~+.TTn
a, b > O
,
, isn 262r ( x ~ g
).
6>0
a b
(ab + 2)
o x(x + b ) 7.
8.
f~
eos ax —eos 6 x
37T •oo Sen x — dx = —
o
x
8
,
dx =
b — a --------
7T,
a, 6 > O
a , b > O
150
CAPÍTULO 4
•
„ 9.
INTEGRACIÓN EN CONTO RNOS
sen m(x —a) sen nlx — b) , sen n(a —b) dx = TT 1 -A J_ oo x — a x —b a —b m ^ n ^ 0 , a, b reales, a b 10. Pruebe la identidad ------
-------
eitx dx ) 2* t>0’ 1 PV — = < 0 , f = 0 , ¿TTí s ' í\ 0 , 27TÍ JJ —“ “” *X (I - X± , í4- < con el método que se mostró en esta sección. Si se añade a esta función, se ob tiene la “función impulso”, encontrada frecuentemente en los libros de ingenie ría, y que representa la conexión súbita de una corriente en un circuito eléctrico abierto.
4 . 5 Integración
-----------
de funciones multivaluadas
(opcional)
Cuando se trabaja con integrales que contienen funciones multivaluadas, se de ben tomar en cuenta los puntos y cortes de ramificación del integrando, además de sus singularidades aisladas. Esto se debe a que, para usar el teorema del resi duo, es necesario seleccionar una región donde el integrando sea univaluado.
Te o r e m a Sea F(z el cociente de dos polimonios en z que satisface a (i) F(z) no tiene polos en el eje real positivo, y (ii) zü+l F(z) se anula cuando z tiende a 0 o donde a es real pero no entero. Entonces
[
Jo
x aF ( x ) d x =
----
- 7rí —
1 — e2irta
2
z* °
Res (zaF(z)),
la suma se toma de todos los polos de F(z) diferentes de cero.
PRUEBA: Como F(z) sólo tiene un número finito de polos en G , existen núme
ros 0 < r < R tales que todos los polos diferentes de cero están en el interior del anillo r < Iz I< R . Para la función z a, se selecciona la rama de (fi cuyo argum ento se localice entre 0 y 27r, con puntos de ramificación 0 y °°. Sea 7 = Ti + 72 + 7 3 + 7 4 Ia frontera de la región que se obtiene al cortar r < Iz I< R a lo largo del segmento de recta r < x < R, como se muestra en la Figura 4.6.
4.5
•
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES MULTIVALUADAS [OPC ION AL)
151
Estrictamente hablando, no es posible aplicar el teorema del residuo di rectamente a 7 , puesto que zaF(z) es multivaluada en el corte de ramifica ción. Sin embargo, sí se puede aplicar el teorema del residuo a las fronteras de las regiones D lt D 2 indicadas en la Figura 4.7 , donde se cancelan las integra les a lo largo de los arcos 7 5 y 7 6 de tal forma que se extienda a 7 el teorema del residuo. Nótese que el integrando tiene diferentes valores en 7 , y 7 , . Por el teore ma del residuo,
zaF(z) dz = 2ni 2 Res(z“F(z)), z^O pero
zaF(z) dz 7 /
<
2 tt ^0
\za+LF(z)\dd,
- Corte de ramificación
Figura 4.7.
; = 2 ,4,
152
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONT ORNO S
que se anula, por (ii), cuando R -> °° o :r -> 0. Ahora s ob r e T i ,
zaF(z\= \X<1F(X)
\xae2nu‘F(x ) sobre 7 3 ,
sobre
zaF(z ) dz = (1 - e2"“ ) f* xaF(x) dx f Jti+T 3 proporciona la fórmula requerida si R 00 y r 0 . I
Ej e m p l o 1 Muestre que 00 x a dx
J o x + b
—7rba sen 7m
0 > a > —1,
b>
0.
Aquí, 0 < a + 1 < 1 , por tanto es claro que (i) y (ii) se cumplen. Al elegir la rama de (R cuyo argumento se localiza entre 0 y 27T, se tiene 2iri 2m ba — Res._ 1 e 2™ (z + b) ya que en esta rama SOLUCIÓN:
Se puede aplicar el mismo tipo de procedimiento a otras funciones multivaluadas. Se ilustra esto con los dos ejemplos siguientes.
Ej e m p l o 2 Pruebe que - lQgX dx =■— log b, o x 2 + b 2 2b SOLUCIÓN:
tonces
Aquí se usa la curva
b>
0.
que se muestra en la Figura 4.8. En
7
in log z , „ log z 7T — dz = 2m Res bi - - - - - - - = - log b + y z +b z2 + b2 b Pero iR
.
l o g fl + t f
o (. R é e )2 + b2
^
M
R( llogRl+TT) I R 2 b 2 1
4.5
•
153
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES MULTIVALUADAS [OPC IONA L]
que se anula cuando R *■ 00 o 0 por el teorem a de L’Hospital. Como la integral es convergente, TT f°° log pc dx los b + — ~b . ° pc 2 + b2 2. dx log IPC I dx + iir -oo x 2 + b2 x 2 + b2 de donde se sigue el resultado ya que el primer integrando es par.
Ej e m p l o 3 f Pruebe que 00 senh ax l a dx = — tan . ■— : 2 2 ■0 senh 7Tpc
-ir < a < ir.
----
La integral de la función eaz /senh irz se anula sobre la cur va 7 mostrada en la Figura 4.9, porque no tiene singularidades en el in terior de 7 . Pero Isenh 7t (R + iy) I > Isenh 7TÜI (véase Ejercicio 27, Sección 1.8), lo cual implica que SOLUCIÓN:
R+i eaz dz r senh irz
„a R
Isenh 7f R
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONTO RNOS
cuando R ± Como i senh z = sen iz. 1 / senh nz tiene polos de orden 1 en todos los múltiplos enteros de i; por tanto, Res0
-----------
senh irz
= lím
¿->-0 sénh
irz
eaz (z — i)eaz —ea = lim n senil 7tz z-*t senh nz por el teorema de L’Hospital. Si se integra sobre los dos semicírculos se obtiene /^ TTl | .n n más una integral que se anula cuando 5 -+ 0. Pero senh n ( x + i) = -senh ttx , por lo cual se obtiene Res;
------------
-----------
P V (1 +
senh itx
dx = i ( l e ai),
Q
OO
PV
------------
dx = tan —>
2 J-°° senh tt x de donde se sigue el resultado, pues el integrando de la ecuac ión original es par.
Ej e r c i c i o s Evalúe las integrales en los Ejercicios 1-16, por el método de esta sección. 1
.
7nzfea _ 1 f°° x a - dx > Jo (x + fe) sen na ----------
—nb a f °° eay dy = — , J oo i + be y sen na
2 .----------- ------- -f-
-----
l > a > —1 , 0 >
a > —1 ,
xa dx nba"~l 1 > a > —1 , 7Ta Jo x 2 + b2 „ 2 cos — 2 f°° 7T sen 9 a Xa dx 4. , = > Jo x 2 + 2x cos 0 + 1 sen na sen 9
fe>
b>
0
ó>
0
0
--------------------------
1 >
a > —1 , n > 9 > —n nbü~ s ( \ —a) f°° xa dx 5. i —Z T= = na Jo x 2 + fe ) 4 cos — ’
0. ^ 3 > a > —1 ,
b>
0
4.5
6.
•
155
NTEGRA CIÓN DE FUNCIONES MULTIVALUADAS [OPC IONA L]
xa dx o x 3 + b3
2irba 2 3 sen ira
2 > a > —1,
b>
eos — 3
(1
— 2a) — — 2
0
7T log x — cülO— dx = — - (log b —1), ib 3
7. |
8 . "°° x a lo g x d,x = o x + b sen* ira
(7T
b> 0 irb0 1 9. f “ dx = ira Jo x 2 + b2 2 eos 2
b> 0
eos ira —sen ira •log b ),
0>a >l,
I > a > - 1 ,
10 .
11 .
7TÉZ
7TéZ
0
x , ir2 dx = — o senh x 4
o
12 .
sen ax , (xx senh x
ir air — tcinn — ? 2 2
a real
x eos ax , ir , n air dx = — sech — senh x 4 2
a real
------------
0
13.
b>
IT
—sen — + log 6 •eos — .2 2 2
cosh ax a 1 dx = — sec —> o cosh irx 2 2 eos x‘ - i
14.
^ a<. ^ ir —ir <. ira r »
i co s K d x = ] 2 Isen bx | , na sen
ba
1 >
a>
0 ,
b > 0 ,
donde T(a) - f 0 e x Xa 1 dx es la función gamma. (Sugerencia: Integre z a _ 1 e bz alrededor de un contorno apropiado y utilice la desigualdad 0 ^ 1 — (2¡ir)d , 0 < 0 < /2 .)
r, í l \ ir T ( — eos — sen xa . \a J 2a dx = 15. uo x“ a —1
1
> a>
1
2
(Sugerencia: Mediante la derivación por partes, muestre que xT(x) = F(x + 1)) eos x 1 6 .
0
, I” sen x —— dx = dx = 0 >/2x \f~x~ -0 y /x
dx.
156
CAPÍTULO 4
• INTEGRACIÓN EN CONTORNOS
17. Pruebe que f w/2
Jo
7r
(tan d)a dd =
— > na os — 2 r/2
1
> a > —1 ,
log tan d dd = 0 .
(Sugerencia: Use el Ejercicio 3.)
4 . 6 El principio
del a r g u m e n t o
Otra aplicación del teorema del residuo, útil para determinar el número de ce ros y polos de una función meromorfa, es el siguiente resultado.
El
p r i n c i p i o del a r g u m e n t o
Sea w = f(z) meromorfa en la región G simplemente conexa, y sea y una curva de Jordán spp en G que rodea los ceros y los polos de f( z). Entonces f dw = 1 f f'( z ) d z = z p 2m Jf( t) w 2 i rí J t f( z) donde Z y Pson, respectivamente, el número de ceros y polos, incluyendo multiplicidades, de f( z) situados en el interior de y. _1
PRUEBA: Nótese que la primera integral es igual al número de veces que la
curva cerrada f(y ) da vueltas alrededor de 0 ; en otras palabras, mide la va riación del argumento de f( z) cuando z recorre la curva y, lo que conduce al nombre del teorema. (Véase el Ejemplo 4 de la Sección 2.1.) Si a es un cero de orden k de f(z), entonces se escribe f( z) = (z —a)k f Q(z), con /o (z) analítica y diferente de cero en una e-vecindad de a. Así, ñ
= _ A _
á
f( z)
za
+ í M
,
f Q(z) ’
y, puesto que / ¿ / / 0 es analítica en una e-vecindad de a, se observa que f / f tiene un polo de orden 1 con residuo k en z = a. Por otra parte, si a es un polo de orden h de f( z), entonces f( z) = f 0 (z)/ (z —a^con f 0 (z) nuevamente analítica y diferente de cero en una e-vecindad de a. Así que / » f( z)
=
h + fó (z ) za f 0 (z)
4.6
•
EL PRINCIPIO DEL ARGUM ENTO
1 57
tiene un polo de orden 1 con residuo ( - h ) en z = a. Por el teorema del residuo, se sigue que — 2m
i L ^ l dz = Z P , h f( z)
donde Z es la suma de todos los órdenes k de los ceros de f(z ), y P es la suma de todos los órdenes h de los polos de /( z ), situados en el interior de 7 . ■ Una aplicación sumamente útil del principio del argumento es el siguien te resultado.
T e o r e m a de R o u c h é Sean f( z) y g(z analíticas en una región G simplemente conexa . Si If(z ) I > . \ g{ z ) f ( z ) ' en todos los puntos de la curva de Jordán spp 7 conteni da en G, entonces f( z) y g(z) tienen el mismo número de ceros en el inte rior de 7 .
La hipótesis If(z) I> lg(z) — f( z) I obliga a ambas funciones a ser diferentes de cero sobre 7 así que 7 rodea los polos y los ceros de F(z ) = g(z )/ f( z). Sin embargo, para todo z de 7 . PRUEBA:
g{z ) 1 < 1. /( * ) Luego entonces F ( 7 ) no da vueltas alrededor de 0, por lo cual el principio del argumento implica que F(x ) tiene el mismo número de ceros que de polos en el interior de 7 . Pero éstos corresponden a los ceros de g(z) y f( z), respectivamen te. De esta forma, la prueba queda completa. I
Ej e m p l o 1 Encuentre el número de raíces de la ecuación z4 + 5z + 1 = 0 situadas en el interior del círculo Iz I= 1 . Sea f( z) = 5 z y g(z) = z4 + 5z + 1 . Entonces, por la desi gualdad del triángulo, IgJ-z) — f(z ) l< \z I4 + 1 < I 5z 1= If( z ) I sobre \z\= 1 . Como f( z ) tiene un cero en el interior de 12 I= 1 , también g(z) lo tendrá. Por otra parte, si f( z) z4 , se tiene SOLUCIÓN:
\5z + 1 l< 11 < 16 = Izl4 sobre Iz I = 2. Así que g(z) tiene cuatro ceros en el interior de Iz I= 2, tres de los cuales se encuentran en el anillo 1 < Iz I< 2 , ya que no hay c e ros sobre Iz I= 1 .
15 8
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CON TOR NOS
Ej e m p l o 2 Muestre que z — e? + a = 0 , a > l , tiene una raíz en el semiplano iz quierdo. SOLUCIÓN: Sea f( z) z + a y g(z) = z — e* + a. Para z = iy o Iz I= R > 2a, x < 0, se obtiene
\g{z ) ~ f i z) l= eRez < 1 <
Ej e m p l o 3 Encuentre el número de raíces de la ecuación z 4 + iz 3 + 3z 2 + 2iz + 2 = 0 que se localizan en el semiplano superior. SOLUCIÓN: Sea f( z) = z 4 + 3z 2 + 2 = (z2 + 2 )(z2 + 1) y g(z) = z 4 + iz3 + 3z 2 + 2 iz + 2. Para z = x o \z\ = 2, se tiene Ig-(z) — f( z) 1= Iz l l z 2 + 2 l < Iz 2 + 1 I Iz 2 + 2 1= I f( z) I,
por lo tanto, g(z) tiene dos raíces en el semiplano superior.
Ej e m p l o 4 Encuentre el número de raíces de la ecuación 7z 3 — 5z 2 + 4z —2 = 0 en el disco Iz I< 1 . SOLUCIÓN: Si se multiplica la ecuación por z + 1, se obtiene 7z 4 + 2z3 - z2 + 2z - 2 = 0.
Si se hace /(z) = 7z 4 y g{ z) = 7z 4 + 2z 3 —z 2 + 2z —2, se encuentra, por la desigualdad del triángulo, que |g(z) _ /(z )| < 2 Iz I3 + Iz I2 + 2 i z l + 2 < 7 l z l 4 = l/(z) I, siempre y cuando1 Iz I = 1 + e, e > 0 . Por ende, g(z) tiene cuatro raíces en Iz I< 1 , lo cual implica que la ecuación original tiene tres raíces en el disco unitario cerrado.
Ej e r c i c i o s Para los Ejercicios 1-4, encuentre el número de raíces de las ecuaciones dadas en el in terior del círculo lzl = 1 . ''
4.6
•
159
EL PRINCIPIO DEL ARGUME NTO
1 .z 5 + 8z + 10 = + 3. z6 + 3z5 4. z 7 — 7z6 +
2. z 8 - 2 z 5
0 z 3 - 8 z 2 + 3=0 2 z 2 + 2 z - 9 =0 4z3 — 1 = 0
5. ¿Cuántas de las raíces de las ecuaciones dadas en los Ejercicios 1-4 están en el in terior del círculo iz I= 2 ? 6 . ¿Cuántas de las raíces de la ecuación 3z4
- 6 iz3 + 7z 2 - 2¿z + 2 = 0
están en el semiplano superior? 7. ¿Cuántas raíces de la ecuación z 6 + z 5 - 6 z 4 - 5 z 3 + 1 0 z 2 + 5z - 5 = 0
están en el semiplano derecho? Encuentre el número de raíces de la ecuación 9z 4 + 7z 3 + 5z 2 + z + 1 = 0 que se encuentran en el disco Iz K 1 . 9. ¿Cuántas raíces de la ecuación 8.
z4 + 2z3 - 3z2 - 3z + 6 = 0
se encuentran en el disco IZ I^ 1 ? 10. Muestre que la función /(z) =
11. 12.
13.
14.
— _ a- ,
l a l < 1,
—az toma en Iz I< 1 todo valor c que satisface a Ic K 1 exactamente una vez, y nin gún valor c tal que Ic I> 1. A sí,/(z) mapea Iz K 1 en sí misma en forma sobre y uno a uno. ( Sugerencia: Muestre qu el/(z) I = len Iz I= 1 y aplique el teorema de Rouché a /(z) —c.) Suponga la hipótesis del principio del argumento, y muestre que el número de veces que / ( 7 ) da vueltas alrededor del punto a es igual aZ a —P, donde Za es el número de valores a de f(z) incluyendo multiplicidades. Sean f(z) analítica en una región G, a en G, y suponga que/(z) — f( a) tiene un cero de orden n en z = a. Pruebe que, para e > 0, suficientemente pequeño, existe un5 > 0 tal que, para todo f en If — f( a) I< 5 la ecuación/(z) —f = 0 tiene exactamente n raíces en Iz — a I< e. Use el resultado del Ejercicio 12 para probar que las funciones analíticas no constantes mapean conjuntos abiertos en conjuntos abiertos, y utilice este hecho para obtener una prueba inmediata del principio del máximo. ( Sugerencia: Muestre que los puntos interiores se mapean en puntos interiores.) Use el teorema de Rouché para probar el teorema fundamental del álgebra. 1
Notas S e c c i ó n 4.1 Los resultados de esta sección se extienden fácilmente a curvas 7 spp cerradas arbitrarias de G . Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones, 7 es una cur va de Jordán. En consecuencia, se incorporó esta hipótesis adicional para sim
160
CAPÍTULO 4
•
INTEGRACIÓN EN CONTO RNOS
plificar los enunciados de los teoremas. Para los enunciados más generales, véase [A, págs. 147-151].
S e c c i o n e s 4.2-4.S El lector puede haber notado que algunas integrales, que dependen de uno o más parámetros arbitrarios, podrían haberse obtenido por derivación o in tegración de otras integrales con respecto a estos parámetros. Por ejemplo: Ejercicios 1 y 2 de la Sección 4.2; Ejemplos 1 y 2 de la Sección 4.3; Ejercicios 8 y 9 de la Sección 4.3; Ejercicios 5 y 6 de la Sección 4.4; Ejercicios 3 y 5 de la Sec ción 4.5. Una condición suficiente para la validez de estos procedimientos es la convergencia uniforme de las integrales en el intervalo de definición de los pa rámetros. Los teoremas y pruebas importantes pueden encontrarse en la mayoría de los libros de cálculo avanzado. Por ejemplo, véase [B, págs. 204212], Usualmente, esta técnica es más sencilla que evaluar las integrales por el método del residuo.
S e c c i ó n 4 .6 Estos resultados también pueden extenderse a curvas 7 spp cerradas arbitra rias (véase [A, págs. 151-153]).
C MAPEOS O CONFORMES
5.1
C
onsideraciones geométricas Obsérvese el cambio de la pendiente de un arco suave que pasa por el punto z o bajo el mapeo w = f(z), cuando/ es analítica en z0 y f '( z 0 ) ¥= 0. Si 7 : z = z(t), z(0) = z0 , es tal arco, su tangente en z 0 tiene pendiente
?
=
dx x (U) tanar§ 2'(°)> y su imagen f(y ): w = f{z(t)) tiene una tangente en f ( z 0 ) con pendiente tan arg zt/(0 ). Pero, por la regla de la cadena, arg u/(0) = arg[/'(2 0 )^'(0)] = arg f '( z 0 ) + argz'(O). Por tanto, el cambio de dirección es igual a la constante arg f '( z 0) independiente del arco elegido. Así, el ángulo formado por las tangentes de dos arcos suaves que se intersectan e n : 0 se conserva bajo el mapeo w = f(z), ya que ambas direcciones cambian p or la misma cantidad (véase Figura 5 .1) . Los mapeos que conservan el tamaño y la orientación de los ángulos se llaman confor mes. De esta forma se ha probado el siguiente teorema.
Te o r e m a Si f(z ) es analítica en una región G, entonces w f(z) es conforme en to dos los puntos z0 de G para los cuales f '{z 0 ) # 0 .
161
162
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORME S
FIGURA 5 .1 . M a p e o c o n fo r m e en z 0
Ej e m p l o 1 El mapeo w = e? es conforme en todos los puntos de C , ya que su deri vada no se anula. Esta función mapea el eje real del plano z en los reales positivos del plano w. El eje imaginario del plano z se mapea repetida mente en el círculo unitario del plano w porque Iely I= 1. Así, el ángulo recto entre los ejes coordenados en el primer cuadrante del plano z se transforma en el ángulo recto entre el eje real positivo y el círculo unitario en el primer cuadrante del plano w (véase Figura 5.2).
^ t / 2
plano z
FIGURA 5 . 2 . El m a p e o c o n f o r m e w = ez
Sea w = f( z) conforme en una región G que contiene al punto z Q. Consi dérese el efecto de este mapeo sobre un disco centrado e n z 0 y contenido en G (véase Figura 5.3). Los ángulos entre líneas radiales se conservan, aunque no sus longitudes. No obstante, puesto que i/ ',, ,,) ,= ,Im z~*z0
1
L M
,
\Z — Z0 \
las líneas radiales están sujetas, aproximadamente, al mismo cambio de escala l/' (z 0)l cuand o el radio es pequeño. En términos generales, se dice que círculos “pe qu eños ” alrededor de z0 se mapean en círculos “pe qu eñ os” alrede
5.1
•
16 3
CONSIDERACIONES GEOMÉTRICAS
FIGURA 5.3. Mapeando un disco centrado en
z0
dor de f ( z 0 ) con cambio de escala If ' ( z 0 ) I. Esto indica que el mapeo es localmente uno a uno, aunque es claro que nada puede decirse acerca de su com portamiento global. Por ejemplo, / ( z ) = e? es localmente uno a uno, ya que f '(z ) = ez =£ 0 , pero /(O) = f ( 2 n i), por lo cual no es uno a uno en 6 . Los ángulos se amplifican en todos los puntos donde la derivada es cero. Por ejemplo, / ( z ) = z 2 tiene una derivada que se anula en el origen. Como / ( l ) = / ( —1 ) = 1 y f{ i) = /(-*) = —1 , los ángulos rectos entre los ejes se mapean en ángulos de 180°. Esta duplicidad de ángulos provoca que los círculos alrededor del origen se mapeen en curvas circulares que dan dos vueltas alre dedor del origen. Esto motiva el teorema siguiente.
Te o r e m a Sea /(z) analítica en una región G que contiene al punto z 0 en el cual /'( z ) tiene un cero de orden k. Entonces todos los ángulos en z 0 se ampli fican por un factor k + 1 .
PRUEBA: Se puede escribir f'( z ) = (z — z0)kg(z), con g analítica y diferente
de cero en una e-vecindad de z0. Así, los términos f '( z 0 ), f ' ( z 0 ) , . . . , (z0) se anulan todos en la serie de Taylor de f'{ z ). Por tanto, la serie de/(z) es
f(z ) = f( z o) + lo cual implica que
f {k+1)(z o) (z - z 0 )A+1 + (A + l)!
+. (A+ 1 ) 1 Los primeros dos argumentos comparan los ángulos entre la dirección horizon tal y los vectores que van de / ( z 0 ) a f{ z) y de z 0 a z. Si z tiende a z0 a lo largo de un vector fijo que forma un ángulo 6 con la dirección horizontal, el ángulo del vector de/(z) a /(z) con la horizontal tiende a argl/fc) ~ f ( z o)] = (A + 1 ) arg(z
z0) + arg
(k + 1 )6 + arg f {k+1)(z oY L (A + 1)I
J
J
{ k + 1 ] ( z o )
164
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
donde el último argumento es independiente de 9 . Así, el ángulo entre las tan gentes de dos arcos suaves que se intersectan en z 0 se amplifica por el factor k + i.m
Ej e m p l o 2 El mapeo w = 1 —eos z es entero y conforme excepto en los ceros 0, ±7t, ± 27 T, . . . de la derivada (1 — eos z)' = sen z. Para analizar el comporta miento de este mapeo en z = 0 , nótese que sen z tiene un cero de orden 1 en z 0 y senz z
Z
3!
+
Z5
5!
... =z
El teorema anterior implica que w — 1 - eos z amplificará al doble todos los ángulos en z = 0. Obsérvese en la Figura 5 .4 que el ángulo recto entre los ejes coordenados en el primer cuadrante se transforma en un ángulo de 180°, ya que 1 —eos x > 0 para 0 < x < 7t/2 y 1 —eos iy = 1 —cosh y < 0 para 0 < y < 7t/2. v
v
w = 1 - eos z
► U
■t ;
n/2 FIGURA 5.4. Comportamiento local de w
- 1.51
= l - eos z
1
en z = o
Con respecto a las propiedades globales, es razonable preguntar cuándo se puede mapea r de maner a conforme una región G en una región H dadas. El siguiente teorema, cuya prueba va más allá de los objetivos de este libro, es el resultado fundamental en este sentido.
T e o r e m a de R i e m a n n del m a p e o Sea z 0 un punto de una región G ( # 6 ) simplemente conexa. Entonces existe una única función analítica w f(z) que mapea a G de manera uno a uno en el disco I w I< 1 tal que f(z 0 ) = 0 y f ’(z0 ) > 0 .
Ahora, supóngase que G y H son dos regiones simplemente conexas, dife rentes de C . El teorema asegura la existencia de funciones ana lítica s/y g que mapean a G y H en el círculo unitario. Entonces g~ l f es un mapeo uno a uno de G en H. Si se puede mostrar que g ~ l , y por tanto la composición es
5.1
•
165
CONSIDERACIONES GEOMÉTRICAS
analítica, se tiene entonces un mapeo conforme de G en H , lo cual prueba que cualesquiera dos regiones simplemente conexas, diferentes del plano, pueden mapearse de manera conforme la una en la otra. Puesto que g es conforme (uno a uno y analítica), también g ~ 1 lo es. El teorema de la función inversa del cálculo (véase [B, pág. 278]) muestra que g ~ l tiene primeras derivadas par ciales continuas, y éstas satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ya que
Xu ~
1 — _ 1 —yv
UX
Vy
yu ~
1 — _ - 1 _ “ x v.
Uy
VX
Por tanto, g _ 1 es analítica. Las condiciones/(zo) = 0 y f '( z 0 ) > 0 implican que la imagen de cual quier arco 7 suave que pasa por z 0 tendrá la misma pendiente en 0 que tiene el arco y en z 0 , ya que arg f'( z 0) = 0. Esto no es una limitación sino una nor malización que indica la existencia de tres “grados de libertad” al elegir el mapeo: las coordenadas x y y del punto z 0 y el cambio de dirección de los án gulos. Si se desea cambiar la dirección por un ángulo 9 , sólo se necesita mul tiplicar el mapeo por la constante de longitud unitaria e te. Aunque el teorema de Riemann del mapeo asegura que una función ma pea de manera conforme una región dada en un disco, no muestra cómo encon trarla. La construcción de la función puede ser un problema de gran di ficultad. El resto de este capítulo se dedica a la elaboración de mapeos confor mes específicos y su aplicación al flujo de fluidos, flujo de calor y electrostática.
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-4 indique dónde son conformes los mapeos. 1 . w = ez 2 . w = senz 3, w = — 4. w = z 2 — z z Describa cómo afecta cada uno de los mapeos, en los Ejercicios 5-8, al ángulo recto entre los ejes coordenados en el primer cuadrante 6 . w = z —sen z 5.¡x> = z 3 senz 7 .w e z —z 8. w = e2 —eos z 9. Pruebe que la imagen del círculo zv = z2 bajo el mapeo Iz —r I= r, r > 0, es la cardioide con ecuación polar p = 2 r 2 ( 1 + eos 9) . 10. Muestre que el mapeo w = z + 1 jz forma los círculos Iz I = r en las elipses
11. Si
= /( z)e s una función analítica, muestre que su jacobiano satisface
3(*. y)
16ó
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORME S
12. Sea f(z ) u(x , y) + iv(x, y) conforme y con primeras derivadas parciales ux, uy, vx, vy continuas en una región G. Pruebe que f(z) es analítica en G. (Sugerencia: Muestre que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.) 13. ¿Por qué el teorema de Riemann del mapeo establece que no es posible mapear el plano complejo 6 simplemente conexo de manera conforme en el disco unitario? 14. Una región G es convexa si el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de G está contenido en G. Pruebe el teorema de Noshiro Warshawski: Suponga que w = f(z) es analítica en una región convexa G. Si R ef'(z) > 0 para toda z en G, entonces f es uno a uno en G. (Sugerencia: Exprese a f ( z 1) —/(z 2 (como una integral.) 15. Use el Ejercicio 14 para probar que si/ es analítica en z0 y f'(z 0 ) 0, entonces existe una vecindad de z0 en la cual f es uno a uno.
5 . 2 Tr a n s f o r m a c i o n e s
f r a c c i ó n a l e s lineales
Un simple pero importante tipo de mapeos conformes está dado por la expresión
az + b tv = w(z) = — , ad —bc=£Q, cz + d donde a, b, c, d son constantes complejas. Tal mapeo se llama transformación fraccio na l lineal. La condición ad — be =£ 0 impide que su derivada --------
, ad —be w ~ F (cz + d)2 se anule, ya que de otra manera la función es constante. Se puede despejar a z, para obtener -----------
—dvo + b cw —a y como w (—d/c ) = °° y w(°°) = a/c, se sigue que w mapea 3TC (la esfera de Riemann) de manera uno a uno en sí misma. Además el mapeo es conforme, excepto en z = o®, —d/c, porque en estos puntos w' = 0 o °°.
Ej e m p l o 1 Considérese la transformación fraccional lineal
w=
zz +
1
---------
•
1
Encuéntrense ahora las imágenes de los puntos i, —2 i, e °°. ¿Qué puntos se mapean en 0 , 1 e oo?
5.2
•
167
TRANSFOR MACIONES FRACCIO NALES LINEALES
SOLUCIÓN:
Se tiene
2i i *■ i — 1 • 1 — i = — 2 í+ 1 1 - í Al escribir -------
y
= i
'
-2í-l —2i + 1
3-4 i 5
- 2 i - + ---------------- = ---------------
Ci-^L , 1 + ( 1 Iz) nótese que 00 se mapea en 1. Para encontra r el punto que se mapea en 0, obsérvese que z = 1 provoca que se anule el numerador del lado derecho de la transformación fraccional lineal. Por ende, 1 se mapea en 0. Simi larmente, - 1 provoca que el denominador se anule, así que - 1 se mapea en oo.
W =
Una composición de dos transformaciones fracciónales lineales es la in tegración de ambas en una sola, ya que
az + )3 +b yz + 5 / _ («a + by)z + (a¡3 + bS) az + |3\ + (ca + dy)z + (c|3 + d 8) yzfrh) con
(aa + by)(c¡3 + dd ) — (a¡3 + bS)(ca + dy) = (ad — bc)(a8 ¡3y) ^ 0. Cualquier transformación fraccional lineal es una composición de cuatro tipos especiales de transformaciones: (i) Traslación: w = z + a, a complejo, (ii) Ro tación : w = eld z, 6 real, (iii) Am plificación: w = kz, k > 0, (iv) Inversión: w = 1 ¡z. Si c ^ 0, puede escribirse
az + b
be — ad C2
a + —y
I 2 +
lo cual muestra que la transformación puede descomponerse en traslación por d/c, seguida de rotación por e2íargc, amplificación I c I2 , inversión, rotación, amplificación y traslación. Sl c =
az + b a i b z+ d d \ a, esto prueba que la descomposición consiste en una traslación, una rotación y una amplificación.
16 8
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORM ES
Ej e m p l o 2 Encuéntrese una transformación fraccional lineal que mapee el círculo Iz — i I= 1 en el círculo Iw — 1 1 = 2 . Considérese la sucesión de transformaciones fracciónales li neales mostrada en la Figura 5.5: plano traslación f = z —i, seguida de amplificación co = , y seguida por otra traslación w = co + 1. La com posición de estos tres mapeos es SOLUCIÓN:
ti>= co + l = 2 f + l = 2 (z — ¿) +
1
o sea
w = 2z + ( 1 — 2 i), y esta transformación mapea Iz — i I= 1 en \w —\ \= 2.
o j
p l a n o i
p l a n o z
=
p l a n o cu
p l a n o w
Figura 5.5.
La propiedad fundamental de las transformaciones fracciónales lineales es que mapean círculos en círculos en DIZ. Un círculo en 31Z corresponde a una línea recta en 6 , ya que las rectas en el plano corresponden a círculos a través de °o en la esfera de Riemann (véase Sección 1.3 ). Geométricamente, es claro que traslaciones y rotaciones llevan círculos a círculos. Antes de considerar las otras dos transformaciones, obsérvese que la línea y = tan 6 * x + b puede escribirse en la forma 7T 19 I< — •
Re(—ie~ ie z) = y eos 9 — x sen 9 = b eos 9,
La amplificación w = kz, k > 0, mapea (por sustitución) círculos Iz —z0\ = r en círculos Iw — kz0 I = kr, y rectas Re (az) = c en rectas Re(otw) ck, con Ia l = 1, c real. Bajo inversión, el círculo \z —z 0 \= r ( > 0) satisface a 0 = \z —z 0 \2 —r 2
= Iz I2 +
=
Iw\
Iz 0 I2 —2 Re zz0 — I2 ~ r 2 )
\w\
R e z 0 w.
r2 (1)
5.2
•
16 9
TRANSFOR MACIONES FRACCIONA LES LINEALES
Si lz 0 I= r, indicando que el círculo pasa por el origen, se obtiene la ecuación 1 —2 Re z 0 w 0 = (2 ) i w I2 de donde resulta la recta Re(z 0 w) = \ que pasa por oo. Si lz 0 l^ r , el origen no pertenece al círculo, así que al multiplicar la ecuación ( 1 ) por la cantidad Iw I2 /( \zQI2 — r2 ), diferente de cero, se tiene 0
=
Iw I2 -
Izo I2 — r2
w
1* 0 I2
Re z Q w
) (Izo I — r,2 \2
Izo I2
un círculo. Al invertir los pasos que condujeron a la ecuación (2), se sigue que las rectas se mapean en círculos que pasan por el origen. Puesto que cualquier transformación fraccional lineal es úna composición de estas transformaciones especiales, se ha probado el siguiente teorema.
TEOREMA Las transformaciones fracciónales lineales mapean círculos en círculos en Lile. '•
Ej e m p l o 3 Mapéese de manera conforme la intersección de los discos Iz — 1 1< 1 y Iz — i I< 1 al primer cuadran te.
SOLUCIÓN: Como los círculos Iz — 1 1= 1, Iz — i I = 1 se intersectan en los puntos 0 y 1 + i, se utiliza el mapeo z ? = ----------------- r
z — ( 1 + i) que manda 0 a 0 y 1 + ¡ a » . Los círculos se mapean en rectas perpendi culares entre sí en el origen, ya que el mapeo es conforme y las rectas tan gentes a los círculos son perpendiculares en z = 0. Como f( 2) = 1 + i y f( (l + z)/ 2 ) = —1 , las líneas tienen pendientes ± 1 en el plano f y el traslape corresponde al conjunto Iarg f —7t| < ít/4 (véase Figura 5.6). La rotación 37t¿/4 _ w = e~57rifii¡= z — ( 1 + *) --------------
produce el mapeo deseado.
170
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
plano w
Figura 5.6.
Ej e m p l o 4 Mapéese el semiplano derecho en el círculo unitario 12 I< 1 de tal forma que el punto 1 se mapee en el origen. SOLUCIÓN:
Nótese que el mapeo del Ejemplo 1
w
z-
1
z + 1
(3)
manda l a 0 , 0 a - l y e l ° ° e n l . Además, ±i se mapean en ellos mismos [tales puntos se llaman puntos fijos del mapeo (3)]. Puesto que tres pun tos determ inan un círculo, se sigue que el eje imaginario se mapea en el círculo unitario (véase Figura 5.7).
Figura 5.7.
Ej e m p l o 5 Encuéntrese el número de raíces de la ecuación
p{ z) = llz 4 - 10z 3 - 4z 2 + lOz + 9 = 0 situadas en el semiplano derecho.
5.3
•
171
EL PRINCIP IO DE SIMETRÍA
Como la transformación (3) mapea el semiplano derecho en el disco, al sustituir el mapeo inverso 1 + w z= > 1 —w se obtiene el problema equivalente de encontrar el número de raíces de la ecuación g(¡x>) = ¡x>4 + 3 w3 + 8 w2 — 2 w + 1 = 0 que se sitúan en Iw I< 1. Si se escribe f(zu) = 8 w2 , se encuentra que
SOLUCIÓN:
--------
lg(tü) —f(w) I< 7 < 8 Iw I2 = If( w ) I en Iw I = 1, lo cual implica, por el teorema de Rouché, qu e p(z ) tiene dos raíces en el semiplano derecho.
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-4, describa la imagen de la región indicada bajo el mapeo dado. 1. El disco Iz I< 1;
2. El cuadrante x > 0,
w=i
z —1 z+ 1
--------
y> 0 ;
w=
7T
z —i r z +i Z
3. El sector angular Iarg z I< —; w = 4 z —1 z 4. La franja 0 < x < 1; w z —1 5. Encuentre el número de raíces de la ecuación l l z 4 - 2 0 z 3 + 6z 2 + 2 0 z que están en el semiplano derecho. 6 . ¿Cuántas raíces de la ecuación --------
-------
1
=
0
17z4 + 26z3 + 56z2 + 38z + 7 = 0 se encuentran en el primer cuadrante? 7. Utilice la función exponencial para mapear la región interior a Iz I= 2 ,yexterior al z — 1 I= 1 en el semiplano superior. 8 . Mapee la región Iz — 1 I< 1, Im z < 0, en el semiplano superior. 9. Mapee el sector Iarg z I < 7r/4 en el conjunto |Re w K l , Im w > 0.(S«geren cia: Utilice la función seno.)
5 . 3 E l p r i n c i p i o de s i m e t r í a Dados tres puntos distintos z l, z2, z3 en Olí, existe una transformación fraccional lineal que los lleva a 0, 1, °°, respectivamente. Si ninguno de los puntos
172
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
es ooj ésta está dada por la razón cruzada w=
iz - z i ) (z 2 - z 3 )
(z z 3)(z2
zi)
y se convierte en z2 - z , z -z , z -z . Z —z 3 Z —z 3 Z2 —z 1 si zx, z2 o z 3 = oo. Si w* es otra transformación fraccional lineal con la mis ma propiedad, entonces la composición w*w~l mantiene fijos los puntos 0, 1, oo. Así, se tiene la transformación az + b , „ •? = > ad—bc=P0, cz + d que satisface las ecuaciones n a + b , U_ ^ , oo = _a , 1= d c +d c Pero entonces b = c = 0 y a —d,lo que implica que zü*u; ~ 1 = I, el mapeo identidad y, por ende, w* = w.Por tanto, w es laúnica transformación frac cional lineal que mapea los puntos z x, z2 , z 3 en 0 , 1 , °°, respectivamente. Puesto que un círculo está determinado por tres de sus puntos, ahora se puede definir fácilmente una transformación fraccional lineal que lleve un círculo dado en el plano z a un círculo dado en el plano w. Elíjanse puntos dis tintos Zj, z2, z 3 del primer círculo y wlt w2 , w 3 del segundo. Entonces ---------
(w - a )i )( a>2 - w3) = (z z 1)(z2 - z 3) (Z - Z 3 )(Z2 - Z j ) ( W W 3 )(w2 W i ) mapea z¡ , z 2, z 3 en w¡, w2, w 3, ya que el lado derecho de la ecuación ma pea z!, z2, z 3 en 0 , 1 , y la inversa del lado izquierdo 0 , 1 ,° ° enuq, w2, w3 .
Ej e m p l o 1 Encuéntrese la transformación fraccional lineal que mapea los puntos 1, i, -1 en 2, 3, 4, respectivamente. SOLUCIÓN:
Al resolver la ecuación
(w — 2)(3 —4) = (z !)(,- + 1 ) (a ,- 4) (3 -2 ) (z + l ) ( t - l ) para w, se obtiene
= (2 - 4¿)z + (2 + 4¿) ( 1 — i)z + ( 1 + i)
5.3
•
17 3
EL PRINCIP IO DE SIMETRÍA
Los puntos w y w son simétricos con respecto al eje real. Puede generali zarse este concepto a cualquier círculo C de SIL.
DEFINICIÓN Los puntos z y z* son simétricos con respecto al círculo C, en el plano z extendi do, si existe una transformación fraccional lineal w que mapee C en el eje real y que satisfaga w(z) = w(z*). A primera vista podría parecer que la simetría con respecto a C depende de la transformación w, pero si a;* es una transformación fraccional lineal que también mapea C en el eje real, entonces f = w*w~1 mapea al eje real en sí mismo. Por tanto, es de la forma {$ b l ) (b 2 b 3 ) _— —(---------------w a ---------------i ) { a ---------------2 a3 ) ------------------------------------------------------------------ y (f - b3)(b2 ¿>i) ( w - a 3 )(a2 - a i ) con aj, bj, j = 1, 2, 3 reales. Despejando f , se obtiene _ czw + (3 s> 7 w+ S con cz, (3, 7 , 5 reales; entonces, ----------
w*{z) = $(w(z)) = ${w{z)) = ${w{z*)) = w*{z*), y la simetría es independiente de la transformación utilizada. Aún más, la simetría se conserva bajo transform aciones fracciónales lineales, porque si z y z* son simétricos con respecto al círculo C y w* es cualquiera de tales transfor maciones, entonces w*(z) y w*(z*) son simétricos con respecto a w*(C) bajo el mapeo ww*1. Este hecho se llama princ ipio de simetría.
Ej e m p l o 2 Encuéntrese el punto simétrico a i con respecto al círculo \z + 1 1= 1. Primero, se necesita encontrar la transformación fraccional lineal del círculo \z + 1 1= 1 en el eje real. Al elegirse 0, —1 + i, —2 para mapearse en 0 , 1 , 00 se obtiene
SOLUCIÓN:
W=
—:ÍZ -------
z+2
>
que transforma a i en w = (2 — i)¡ 5. Así, w = (2 + i)¡5 y el mapeo inverso - 2 a; r w+ 1 manda a t« e n -| (- l+ i) . Consecuentemente z* =
z=
+ \i.
174
CAPÍTULO 5
•
MAREOS CONFORME S
Ej e m p l o 3 Encuéntrese el número a (< 1) para el cual existe una transformación fraccional lineal que mapea al semiplano derecho, omitiendo el disco Iz — 1 K a en el anillo 1 < Iw I< 2 . Primero se buscan los puntos z 0, zjj simétricos con respec to tanto al eje imaginario como al círculo Iz — 1 1= a. Si se rota el eje imaginario 90° se obtiene que
SOLUCIÓN:
izt =izQ=iz0, así que z$ = —Zq". La trans form ación fraccional lineal que mapea 1 + a, 1 + ia, 1 — a en 0 , 1 , °° está dada por z — ( 1 + a) w = —i Entonces z0 .z o -
(1 (1
+ a)' = —i a)_
(1
+ a)
—Zr _ - z 0 -
(1 (1
+ a) a).
asi que
af a).
z0 - (1 +
To
z0 +
n 1
(1
+ a)
- ^ + ( 1 —«)de donde se obtiene z 0 2 = 1 — a2 > 0 . Por tanto z 0 es real y puede suponerse z 0 > 0 , ya que zo = —z0 , lo cual implica que z 0 = y^l —a2. Por el principio de simetría, el mapeo (1
r=
z +z0 manda z 0 a 0 y —z 0 a °° y mapea el eje imaginario y el círculo Iz — 1 I= a en círculos concéntricos en el origen. Puesto que f(°°) = 1, y ( 1 + a) —z 0 ( 1 + a) —z 0 _ 1 z0 f(l + a) < 1, ( 1 + a) + z 0 ( 1 + a) zo se amplifica por a/( 1 —z0) = 2 , de donde a = ■f y
w= 2r =
2
'z
Ej e r c i c i o s Encuentre la transformación fraccional lineal que mapea los puntos —1, i, 1 + i, res pectivamente, en los de los Ejercicios 1-4. 1.0,1,0 0 2.1, °o, 0 3. 2 , 3 , 4 5. ¿Es w = z una transformación fraccional lineal?
4 . 0 , 1, 1
5.4
•
6.
COM POS ICION ES DE MAREOS CON FORM ES ELEMENTALES
175
Muestre que cualesquiera cuatro puntos distintos pueden mapearse, por una transformación fraccional lineal, en los puntos 1 , —1 , k, —k, donde k depende de los puntos originales.
Encuentre los puntos simétricos al punto 3 + 4z’ con respecto a los círculos de los Ejer cicios 7-9. 7 . Iz¡= 1 - 8 . Iz - 1.1= 1 9. Iz - íl= 2 10. Mapee el círculo unitario en sí mismo de tal forma que el punto a vaya a 0 y Ct/I Ctl a l, lc tl < 1.(Sugerencia: Mapee Oí * a °°.) 11. Encuentre la transformación fraccional lineal que lleva a l z l = l e n l z — l l = l , el punto - 1 en 0 , y 0 en 2 i. 12. Encuentre una transformación fraccional lineal que lleve Iz I= 1 y Iz — 1 I= 3 a círculos concéntricos. ¿Cuál es la razón de los radios? 13. Haga el Ejercicio 12 para Iz I= l e Im z = 2. 14. Pruebe que todo mapeo conforme de un disco en otro está dado por una trans formación fraccional lineal. ¿Por qué esto implica la unicidad de la función en el teorema de Riemann del mapeo? ( Sugerencia: Utilice el lema de Schwarz, Ejer cicio 3, Sección 2.4.) 15. Suponga que z* es simétrico al punto z con respecto al círculo Iz — a I= R. Pruebe que (z* — a) (z —a) = R2. 16. Utilice el resultado del Ejercicio 15 para comprobar que se puede usar la cons trucción mostrada en la Figura 5.8 para localizar los puntos simétricos con res pecto a un círculo.
5 . 4 C omposiciones ELEMENTALES
de mapeos c o n f o r m e s _______________________________
En la Sección 5.1 se probó que las funciones elementales ez , eos z, sen z, log z y z“ son conformes en aquellas regiones de sus dominios de definición donde su derivada es diferente de cero. En esta sección se mostrará cómo pueden usarse las composiciones de dichas funciones, con transformaciones fraccióna les lineales, pa ra m apear de manera conforme ciertas regiones en otras. El pr o cedimiento que se utilizará para analizar el mapeo es similar al que se usó en los Ejemplos 2 y 3 de la Sección 5.2.
FIGURA 5.8. C o n s t r u c c i ó n g e o m é t r i c a d e p u n t o s s im é t ri co s c o n r e s p e c t o a l círculo l z —a\ = R
17 6
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
Ej e m p l o 1 Encuéntrese un mapeo conforme de la franja infinita IIm z I < 7t/2 en el disco unitario. SOLUCIÓN: Si se aplica el mapeo conforme f = e? a la franja infinita
IIm z I < 7T/2, se obtiene el semiplano derecho Re f > 0, porque g*±.v/2 _ + y e° = 1. El principio de simetría implica que el mapeo i +r que manda 1 , 0 , —l e n O , 1 , ° ° debe mapear al eje imaginario en el círculo unitario. Por tanto, la composición iv = w(^(z)), ♦ uí— z\ , iv -------- = = —tanh 1 + f 1 +e* \2J mapea la franja IIm z I < ir¡2 en el círculo unitario (véase Figura 5.9 ).
f=e
plano z
plano f
Figura 5.9.
Ej e m p l o 2 Mapéese de manera conforme la franja semi-infinita / = { z : IRe z I < 7T/2, Im z > O} en el primer cuadrante. La función f = sen z mape a a / en el semiplano superior, porque (véase Sección 1.8) SOLUCIÓN:
sen |± — + i’y'j = sen
cosh 3*= ± cosh y,
lo cual implica que lsen(± 7t/2 + iy) I = cosh y > 1 mientras que Isena; l< 1 para Ix I ^ 7T/2. Pero la función iv >/fr mapea el semipla-
5.4
•
17 7
COM POS ICION ES DE MAPEOS CON FORM ES ELEMENTALES
no superior en el primer cuadrante, puesto que la raíz cuadrada reduce el argumento a la mitad. Así, w => /sen z es el mapeo deseado.
Ej e m p l o 3 Mapéese el semiplano derecho, cuando le falta la recta { z : x > 1, y = 0 } en el semiplano superior. Primero apliqúese la función f = z2 para obtener el pla no, menos las dos ranuras que se muestran en el plano f de la Figura 5.10. Entonces, utilice la transformación fraccional lineal que lleva 1, 0 en 0 , 1 , o®,
SOLUCIÓN:
£ para mapear el plano con sus dos ranuras en un plano con una sola ranu ra. Finalmente, w = \fZ genera el semiplano superior, así que el mapeo deseado es w =
í=
plano z
►
O
'a1
-
z1 -
i _ v z' V — «-► ► 0 1 1
1
w=vT ►
p l a n o Z
plano f
Fi g u r a 5.10. ei mapeo
w=
plano w
/ -— -
EJERCICIOS 1. Encuentre un mapeo conforme del disco unitario en la franja infinita IRe z I < {Sugerencia: Considere el inverso del mapeo del Ejemplo 1.) 2. Muestre que
w=
1
z -------- -----
xA
2 + 1
mapea, de manera conforme, el semiplano superior al que se ha quitado la línea { z : x = 0 , y > 1 }
.
17 8
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
3. Encuentre un mapeo que lleve al semiplano superior en el complemento del seg mento de recta de - 1 a 1 . 4. Encuentre un mapeo conforme del cuadradoj z: l x l < 1, Iy I=5- 1} en el anillo 1 < l u i K e 2 1 con el eje real negativo suprimido. 5. ¿Cuál es la imagen del disco 12 — a I
7. 8. *9. *10. *11.
w— 1 \ 2 . I z — 1 =i w + 1 / \ z+ 1 mapea de manera conforme la mitad superior del disco unitario en él mismo. Describa la imagen de la hipérbolas2 — y2 = j bajo el mapeo w = -y/l — z2 . Mapee el complemento del segmento de recta {z ; y = 0, Is I^ 1 } en el disco unitario. Mapee el exterior de la parábola y2 = 4x en el disco unitario de tal forma que 0, - 1 sean enviados en 1 , 0 . Mapee la región a la izquierda de la rama derecha de la hipérbola Re (z 2 ) = 1 en el disco unitario. ( Sugerencia: Considere el mapeo w = z + 1 ¡z.) Pruebe que el mapeo .¿4z2 +Bz + C w = -------------------
az2 + bz + c puede descomponerse en tres transformaciones sucesivas, f
yz + 8
z = i f í + I), 2 V í /
u> = ¡iz + v,
o en dos, . _ o* + (3 í 72 + 5
---------------------
5 . 5 F lujo
y
w = f 2 + v.
de fluidos
En esta sección se analizará un problema físico que puede resolverse con la ayuda de funciones analíticas. Como una función compleja puede descomponerse en dos funciones rea les la teoría de funciones analíticas es muy útil al resolver problemas que tienen dos variables en un espacio bidimensional. Sin embargo, como este libro no es un tratado de física matemática, mucho de lo que sigue es un bosquejo heurís tico de la teoría física. Una descripción completa del movimiento de un fluido requiere el cono cimiento del vector velocidad en todos los puntos del fluido en cualquier tiempo dado. Supóngase que el fluido es incompresible (esto es, de densidad constan te) y que el flujo es estacionario (independiente del tiempo) y bidimensional (el mismo en todos los planos paralelos al plano xy del espacio tridimensional). Se presentan condiciones de este tipo, por ejemplo, cuando en el flujo del
5.5
•
17 9
FLUJO DE FLUIDOS
fluido se interpone un objeto cilindrico largo, cuyo eje es perpendicular a la di rección del flujo. El vector velocidad puede darse, entonces, como una fun ción compleja continua en una variable compleja V = V (z) para todo z en una región G. Tam bién se supondrá en esta sección, que la región G no contiene fuentes o sumideros (puntos en los cuales el fluido se crea o se destruye). La inferencia de que el fluido es incompresible y que no hay fuentes o su mideros en G implica que una región simplemente conexa de G siempre con tiene la misma cantidad de fluido. Así, la cantidad de fluido por unidad de tiempo que atraviesa por un elemento de longitud ds de una curva de Jord án 7 , spp, contenida junto con su interior en G, es Vnds, donde Vn es la componente (un número real) de V en la dirección de la normal que apunta hacia el exte rior de la curva (véase Figura 5.11). Por tanto, el flujo total hacia afuera
Q=
í Vnds = 0. h .
(1)
La integral de línea de la componente tangencial Vs de la velocidad V a lo largo de la curva 7 , r = f vs ds, J y
(2)
se llama circulación de V a lo largo de 7 . Si la circulación no es cero en alguna curva 7 , entonces lascomponentes tangenciales que tienen un signo dominan a las que tienen el otro signo en la integral (2 ). En términos generales, esto sig nifica que el fluido rota alrededor de 7 . Se dice que el flujo es irr otaciona l si la circulación es cero a lo largo de todas las curvas cerra das en G. Al suponer que el flujo es irrotacional, T = 0 . Considérese la Figura 5.11, donde las direcciones normal y tangencial, que van afuera de la curva 7 se indican en un punto z. Sea ol = a(z) el ángulo
180
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
entre la dirección horizontal (positiva) y la normal hacia afuera de 7 enz, y su póngase que el vector velocidad V en z es como se indica. Rotando el sistema de coordenadas ns alrededor del punto z por un ángu lo —oí se obtienen los componentes normal y tangencial del vector velocidad V Fs = Im (e -fa F). Vn = Re(e~ia V), En particular, se tiene que (3) e~iaV= Vn +iVs. El elemento de longitud ds está relacionado (véase Figura 5.11) con los elementos dx y dy por las identidades
dx cos
+ a j ds,
dy = sen ^
+ o j ds,
lo cual implica que
dz = dx + i dy = e!(7r/2+“) ¿ s =
¿ls.
(4)
Ahora, si 7 es cualquier curva de Jord án spp contenida junto consu interioren G, tenemos por las ecuaciones (l)-(4), (z) dz = i (e ,a V) ds f V(z J7 Jy =*
7
( Vn + i V s) d s ( Fs + tF n ) d s - 0 ,
donde se denota que V(z) es analítica por el teorema de Morera. Si G es simplemente conexa, la antiderivada de V(z) es una función analítica w(z) = u(z) + iv(zj, llamada poten cial complejo del flujo; u se conoce como fun ción potencial y v como función corriente.* Las partículas individuales del fluido se mueven a lo largo de curvas cuyas direcciones, en cada punto, coinci den con la del vector velocidad. Tales curvas se llaman líneas de corriente y están caracterizadas por la ecuación v(z) = constante, ya que la tangente de tal curva tiene pendiente dy _ vx _ vx , — tan arg w = tan arg F dx vy ux por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, puesto que F = ¿7 . Las curvas u(z) — constante se llaman líneas equipotenciales y son nor males á las líneas de corriente, ya que —1 dy _ ux _ ux dx uy vx tan arg F
------------- ----------------
* Evitamos utilizar el símbolo
5. 5
•
FLUJO DE FLUIDOS
181
En consecuencia, los puntos en ios que V(z) = 0, y w'(z) = 0, se conocen como puntos de estancamiento del ñujo.
Ej e m p l o 1 Supóngase que el semiplano superior tiene un flujo uniforme de velocidad A (> 0) en la dirección positiva de las x. Aquél se aproxima al flujo de fluidos en canales extremadamente anchos (véase Figura 5.12). Como V(z) = A, se sigue que w'{z) A,, así que el potencial com plejo es w(z) = Az + c , donde c = c ¡ + i c 2 es una constante comple ja. Entonces u(z) = A x + c ¡ y v(z) = Ay + c2, así que las líneas equipo tenciales son verticales y las de corriente horizontales (despreciando el efecto de la viscosidad sobre el eje real). Si c = 0, la línea de corriente v — 0 coincide con el eje real.
Figura 5.12.
Supóngase que la función f = f( z) mapea de manera conforme la región G en el semiplano superior /(G ). Si el potencia l complejo ) del flujo del fluido en f(G ) es conocido, entonces el potencial complejo del flujo en G está dado por la función analítica w(f(z)). Por ejemplo, si el potencial complejo en /( G ) es el dado en el Ejemplo 1, entonces las líneas de corriente en G son aquellas curvas que, mediante la función compuesta zvof, se mapean en las rectas v — constante en el semiplano superior. La determinación de tales fun ciones compuestas es el procedimiento fundamental en la solución de proble mas en la dinámica de fluidos.
Ej e m p l o 2 Para encontrar las líneas de corriente a lo largo de un ángulo recto de un canal ancho, inicialmente puede estudiarse el flujo en el primer cuad ran te. El mapeo f = z 2 forma el cuadrante en el semiplano superior. Así que, si conocemos el potencial complejo w = ) del flujo en el semipla no superior, entonces w = w(z2 ) es el potencial complejo del flujo en el
182
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORME S
primer cuadrante. Por ejemplo, si suponemos que el flujo es uniforme y de velocidad A (> 0) en la mitad superior del plano f (y c = 0), enton ces el potencial complejo en el plano f es w = A£. Así, el potencial complejo en el primer cuadrante satisface zv —Az2, las líneas de corriente están dadas por las hipérbolas 2Axy — constante, y el vector ve locidad es V{z) = 2A z. El origen es un punto de estancamiento. (Véase Figura 5.13.) Im f
FIGURA 5.13. Líneas de corriente en una esquina
Ej e m p l o 3 El mapeo f = z + a2 ¡z tiene importantes aplicaciones en el flujo bidimensional de fluidos. Reescribiendo la transformación en la forma z Se ve que la imagen £ de cada punto del círculo Iz I = b, b > a, satisface i. ■ ,, , \z —a\2 + \z + a\2 If - 2 al+ If + 2 aI = b
------------------------------
Por la ley de los cosenos (véase Figura 5.14), se sigue que Iz — a I2 =a2 + b2 — 2 ab eos0 , Iz + a I2= a2+ b2 — 2 ab eos (ir— 0 ), donde 0 = arg z. Por tanto, l f - 2 a l + I f + 2 al=
2 (al
l -fe- } , b
y como el lado derecho es constante para una b fija, se sigue que la ima gen del círculo Iz I = b es una elipse con focos en ±2 a. De ahí que los círculos concéntricos de radio b~> a centrad os en el origen del plano z se mapean en elipses confocales en el plano f . Además, el círculo Iz I = a
5. 5
•
18 3
FLUJO DE FLUIDOS
plano z
plano f
Fi g u r a s .14. E i m a p e o ? = z +
se mapea en el segmento de recta que une 2 a y 2 a en el pía no f , puesto que z ael6 implica que a2 0 < 6
( = z +a2 -2a
plano z
FIGURA 5 .1 5 . Flujo alrede do r de un cilindro
0
plano f
2a
18 4
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
Si se observa que (z + a2¡z)' = 1 — (a/z )2, entonces f = z + a2 ¡z mapea de manera conforme el exterior del círculo Iz I = a en el exterior del seg mento de recta que va de -2a a 2a. Por tanto, suponiendo que el mo vimiento del flujo del fluido en el plano f es uniforme y de velocidad A (> 0) paralela al eje real, se obtiene el potencial complejo ^ w = A A ,Iz + — z para el flujo alrededor de un cilindro circular de radio a (véase Figura 5.15). La función corriente se obtiene cuando z = re16 , así
v AA I r
I sen 6a ;
la línea de corriente v = 0 consta del círculo Iz I= a y del eje real con I x O a. La velocidad del flujo de fluido es
V = w’ = A
1
-
a' z
2-1
con puntos de estancamiento enz = ±a. Nótese que V *■ A cuand o Iz I—> °°, por lo cual, aunque la corriente se perturba por la presencia del ci lindro, la perturbación es despreciable a grandes distancias del cilindro, y el flujo para grandes i z I es esencialmente uniforme y de velocidad A pa ralela al eje x.
Ej e r c i c i o s Encuentre las líneas de corriente para el flujo de un fluido incompresible, sin fuente ni sumideros, en cada una de las regiones de los Ejercicios 1-4. Suponga que el flujo tiene velocidad A > 0 cuando z -> °o. ¿Hay puntos de estancamiento? 37T 57T
.
0
5.6
•
185
IA FÓRMULA-DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL Im £
ir/2
i i i \1 i n \ i \
\
\
\
\
\
>\ \ v \ \
x
plano z
p l a n o (
FIGURA 5.16. Flujo vertical uniforme en el plano f
12. Use el Ejercicio 11 para describir un flujo a través de una abertura acotada por la hipérbola x 2 —y 2 = 1 . 13. Use el Ejercicio 11 para describir el flujo a través de una abertura de ancho 2a en una placa plana. ¿Es este flujo realizable físicamente? ( Sugerencia: Encuentre la rapidez en los bordes.) 14. Use el mapeo f- = sen- 1z para determinar las líneas de corriente del flujo de un fluido incompresible en la región mostrada en la Figura 5.16. Suponga que el flujo en el plano f es uniforme y paralelo al eje imaginario. ¿Es este flujo reali zable físicamente? 15. El teorema de Bernoulli establece que en el movimiento estacionario de un fluido incompresible, la cantidad ^ + ^ 1 V\2 P tiene un valor constante en todos los puntos de una línea de corriente del flujo, donde p, p y I Vi son la presión, la densidad y la rapidez, respectivamente. Muestre, para el Ejemplo 3, que si A 2 > \p (°°) /p , entonces habrá puntos en los que la presión es negativa. En éstos se formará vacío, lo que provoca el fenómeno de cavitación. Ocurre cavitación, por ejemplo, cerca de las puntas de una hélice que se mueve rápidamente.
5 . 6 La
fórmula de S c h w a r z - C hristoffel En el segundo teorema de la Sección 5.1 (página 163), se probó que si f ( z ) es analítica en una región que contiene al punto z 0 en el cual f'( z ) tiene un cero de orden k, entonces todos los ángulos en z 0 se amplifican por el factor k + 1 . Considérese, en cambio, una función f(z) analítica con derivada f ( z ) = A ( z z oy ,
18 6
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES V
li
/
n
o
w = f[z )
0
plano w
plano z
FIGURA 5.17. Efecto de f' {z ) - a (z —z 0)a
donde —1 < a < 1, a =£ 0. El punto z 0 es un punto de ramificación para / ' ; sin pérdida de generalidad, supóngase que el corte de ramificación es vertical y hacia abajo de z0. Sea z un punto de la recta, paralela al eje real, que pasa por z0. Puesto que arg f \ z) = 'd rñA + « arg (z - z o), el cambio en dirección será arg A si z está a la derecha de z 0, y arg A + ira siz está a la izquierda de z 0 (véase Figura 5.17 ). Entonces, el ángulo n en z0 se amplifica por el factor a + 1 en f { z0) Puede utilizarse esta observación para construir una función / (z ) que mapee al eje real en una trayectoria poligonal. Sean x ¡ < x 2 < . . . < xn núme ros reales, y supóngase que la función f( z) tiene derivada donde A =£ 0 es una constante compleja y —1 < a ¿ < 1, para k = 1, 2, . . ., n. Puesto que arg f ' ( z) = arg A + ai arg(z - x j + a2 arg(z - x 2) + •••+
arg(z - x n),
las imágenes de los intervalos ( —°°, Xi ), (x i, x 2), ■ ■ ■, (xn , °°) son segmen tos de rectas cuyos ángulos, medidos a partir de la horizontal, están dados como sigue. Intervalo Angulo arg A {Xn , °°) arg A + TTOin (xn- 1 >X„, )
(xi, x 2) * i)
5.6
•
18 7
A FÓ RM UA DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL
0 x, Cortes de i
► i
ramificación plano z
Figura 5.18.
Así, la función w f(z ) mapea al eje real en una trayectoria poligonal, como se muestra en la Figura 5.18. Por construcción, f( z) es analítica en el plano complejo, excepto en los cortes de ramificación hacia abajo de cada uno de los puntos x lt x 2, ■ ■■, x n Así que, si z es un punto cualquiera en el semiplano superior, podemos definir el mapeo conforme f(z ) por / ( * ) =
J 7
f ( S ) d S
donde 7 es el segmento de recta que va de X q^ x ^ ^ =1, 2, . . ., n) a z. Cual quier función f(z ) de esta forma se conoce como una transformación de Schwarz-Christoffel. Esta argumentación proporciona el recíproco del si guiente teorema, cuya prueba está más allá del objetivo de este libro.
Te o r e m a de Sc h w a r z -C hristoffel Todas las funciones que mapean de manera conforme el semiplano supe n, son de rior en un polígono en flíc con ángulos exteriores ak, k = 1 la forma
f ( z ) = A + B í* Jo
(z —x 2 )a2 ‘
donde los puntos x¡ < x 2 < . . . < complejas.
‘ {z —x n )an dz, son reales, y A, B constantes
La función dada por la ecuación integral de este teorema se llama fórm u la de Schwarz-Christoffel para el polígono dado. El ángulo exterior en el vértice = f(z k) del polígono es na k requerido para hacer que la dirección del vector que va de w¿ a w^+¡ coincida con la del vector que va de u>/s_i a Wf¡. En la Figura 5.19, se observa que el ángulo exte rior se mide al rotar desde el siguiente lado del polígono hasta la línea que es continuación del lado anterior del polígono. Nótese que —1 < a* < 1 , con
18 8
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
FIGURA 5.19. Áng ulo exteri or de un po líg ono
ak > 0 cuando la rotación es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, y a* < 0 cuando es en el sentido de las manecillas del reloj. Además, si se efectúa un circuito completo en el sentido de las manecillas del reloj a lo lar go del perímetro del polígono, se recorre una revolución completa, lo cual implica que ir
n 2
ak= —2ir
o
ft=i
n 2
ak = —2 .
ft=i
Las constantes A y B controlan —por medio de traslaciones, amplifica ciones y rotaciones— la localización, escala y orientación del polígono en el plano w, y los puntos x¡¿ se mapean en los vértices Wk del polígono. Una transformación fraccional lineal del semiplano superior en sí mismo permite mapear tres de los puntos x ¿ en tres posiciones prescritas sobre el eje real. Así, se tiene la libertad de elegir la localización de tres de los puntos . Dependiendo del polígono, una elección apropiada de las localizaciones de es tos puntos puede ser extremadamente útil para obtener una solución en forma cerr ada de la integral. La localización de los puntos x¿ restantes depende de la forma del polígono y puede ser muy difícil de establecer, excepto en los casos en que el polígono sea altamente simétrico. Generalmente conviene elegir xn = aquí se omite el término que con tiene a xn en la fórmula de Schwarz-Christoffel. Los ejemplos siguientes muestran el uso de la fórmula de Schwarz-Chris toffel.
Ej e m p l o 1 Mapéese, de manera conforme, el semiplano superior en la franja \x I
w = A + B ¡ Z (z + 1 ) Jo
- 1 /2
( z - 1 )
- 1 /2
d x = A + B \Z
dz y/jTTl
5. 6
•
189
LA FÓRMULA DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL
=A +
dz
B
. B _ i = = A + — sen z. 2 i
°
w=f[z) -1
0
1
Fi g u r a 5.20.
Puesto que w(± 1) = ±1 , se tiene a - — A ^
= 1i.
^ +
= -i . 2 De /í = 0 y B = 2 z/ 7r, se infiere que w = ( 2 / 7r). sen _ 1 z.
Ej e m p l o 2 Mapéese el semiplano superior en la región sombreada del plano w, mostrada en la Figura 5.21. Es fácil obtener esta transformación sin utilizar la fórmula de Schwarz-Christoffel. De la composición de los mapeos indicados en la Figura 5.21 se sigue que SOLUCIÓN:
w = y / ¥ = s/ z -
0 -
1
-
0
plano z
1
0
-i
1
Fi g u r a 5.21.
0
o plano W
plano Z
w
=
!•
iv =
W = Z - 1
Z = z2 -
1 = V ^ 2 -
Xplano w
1
Para comprobar que se obtiene la misma transformación con la fórmula de Schwarz-Christoffel, nótese que se tienen ángulos exteriores —ir¡2, n, —ir¡2 en -1, 0, 1. Por ende,
19 0
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
z dz
w = A + B
z*
= A+ By /z2 - 1 Ahora
0
=
(1)
zü
= A — ei =
zü(
0)
1 Z
0
= (A - Bi) + .Bv ^
2
- 1-
= A, así que £ = 1 y w =
^ /z 2
_ ^
Ej e m p l o 3 Mapéese el semiplano superior en la franja infinita 0 < v < n. Considerando el triángulo sombreado de la Figura 5.22, supóngase que los puntos —1 , 0 del plano z se mapean en los puntos w0o, ni, Wq del plano w. Si hacemos que w0 tienda a oo a través de los reales negativos, mientras que wc«, tiende a oo por los reales positivos, se obtiene la franja infinita 0 < v < n en el límite. Los ángulos exteriores en w„ , ni, w0 tienden a —n, 0, —n, entonces una fórmula de SchwarzChristoffel para el caso límite es SOLUCIÓN:
Cz dz — = A + B log z. J i z Se escoge z = 1 como el límite inferior de la integración, puesto que log 0=°°. Ahora ni = w{—1) = A + B log(—1) = A + Bni, así que si A = 0 y 13 = ls e llega a la transformación deseada w = Log z. w=A+B
v
y
I
I 717
vTS-
f -
1
0 p l a n o z
-----
0
w' —
plano w
Figura 5.22.
Ej e m p l o 4 Mapéese el semiplano superior en el interior de un triángulo con ángulos exteriores —na, —n/3, —ny, donde a + P + y = 2. Elíjanse a 0, 1 , 00 como puntos que desean mapearse en los vértices con ángulos exteriores —na, —nfi, —ny, respectivamente; se en cuentra que la función tiene la forma SOLUCIÓN:
5.6
•
19 1
LA FÓRM ULA DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL
ñz)-A*B
f‘
------
Jo Za(z - 1)^
Como A y B afectan únicamente la posición y el tamaño del triángulo, con el fin de encontrar la fórmula más simple para la localización de los vértices, se tiene A = 0, B = e ln®, y ,, , =
fz dz 0 z“(l - z f
Entonces /(O) - 0 y dx _ r ( i - a ) r ( i —■/?) Jo ?c“ ( 1 — x )13 r(7) La función gamma satisface la identidad r ( x ) r ( l — x) = ir(sem rx )~1, por lo cual la longitud de este lado es / ( ! ) -
c = - senTTT T ( 1 - a ) r ( l - j3)r(l - y). 7T
Si se utiliza la ley de los senos, las longitudes de los otros dos lados son
a = — sen ira r(l —a)r(l —|3)r(l —y), 7r b = ^ sen 7T/3 T ( 1 - a ) r ( l — /3 )r(l -
7)
(véase Figura 5.23).
1
plano z
plano w
Fi g u r a 5.23.
Ej e m p l o 5 Mapéese el semiplano superior en el interior de un rectángulo. Por el Ejercicio 6 de la Sección 5.3, cualesquiera cuatro puntos sobre el eje real pueden mapearse, por una transformación frac-
SOLUCIÓN:
192
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORME S
cional lineal, en los puntos ±1, ±k, k > 1 (inviértase si es necesario). En consecuencia, el mapeo está dado por [.z dz ^ ^
Jo a/ (
1
— z2)(k2 — z 2 )
(véase Figura 5.24). A partir de la fórmula se nota de manera clara que los vértices del rectángulo son simétricos respecto al eje imaginario, con
dx
lfl ^ J °
1
_ / 7T
1
— x 2 ) ( l —k~2x2) = k
'■-2
*
(una integral elíptica de primera clase) y
IC=
—I
dx _ i ffc dx /Ti —X2) Jl1 \¡{\ „ 2 \/z ,2 —X2 „ 2 \ (k2 ) kk Jl1 \/(x2 —1)(1 — k 2X2) r*
1
-------- ---
- *
-1
b
0
plano z
plano iv
Fi g u r a 5.24.
Ej e r c i c i o s 1. Encuentre las líneas de corriente de un flujo de fluido incompresible de veloci dad A ( > 0) en oo para la región sombreada del plano w de la Figura 5.21. 2. Obtenga un mapeo del semiplano superior en la región sombreada del plano w en la Figura 5.21, que mande a los puntos 0, 1, °° en 0, i, 0. 3. Muestre que la función
mapea el semiplano superior en un cuadrado con lados de longitud a=I
í1
2 Jo
j 3 /4
dt 0 _
t
- r ( 4 ) r (i ) _ r 2 ( j )
2s/2ñ
4. Utilizando la transformación de Schwarz-Christoffel, encuentre el mapeo que transporta el semiplano superior en la franja infinita Iy I < 1 . 5. Mapee de manera conforme el semiplano superior en el exterior de la franja semi-infinita I x I< 7r/2, y > 0 . 6 . Mapee de manera conforme el semiplano superior en cada una de las regiones indicadas en la Figura 5.25 con 0, 1, °° a, ¡5, y, respectivamente. 7. Mapee de manera conforme el semiplano superior en la región señalada en la Fi gura 5.26, y muestre que la longitud (con \B I=1) del segmento que va de (X a j3 es igual a 127T-y/27r/5r2 (-4 ).
5.6
•
LA FÓRMULA DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL
<*
193
0
y (b)
(a)
Figura 5.25.
Fi g u r a 5.26.
* 8 . Mapee de manera conforme el semiplano superior en la región de la Figura 5.27, con 0, x, l,oo ->• o¿, j3,7 , 5 , respectivamente, y muestre que x = k2 ,0
-5
kv —8
(3 O
Figura 5.27.
*9. Muestre que
m
= a
+ V Z - « — i•y / / a — i"1 TLog iy/z(a — 1 ) + y'z —a' \fz—y/z —a ¿•v/z(a — 1 ) —y'z —a.
]_og -
-- ------
---------
mapea de manera conforme el semiplano superior en la región de la Figura 5.28 con O, 1, a, 0 0 *■(X, j3, y, 5 y a = 1 + (h2/H 2 ).
194
CAPÍTULO 5
6
....
•
MAPEOS CONFORMES
6
H
Figura 5.28.
5 .7
APLICACIONES FÍSICAS EN FLUJO DE CALOR Y ELECTROSTÁTICA (opcional) En esta sección se desarrollará la teoría básica de los flujos de calor y de campos electrostáticos bidimensionales en estado estacionario. Es importante notar las similitudes entre estos flujos y el de fluidos. En la siguiente sección se presenta rá un breve desarrollo de la teoría de estelas en un fluido.
Fl u j o de c a l o r Puede enfocarse el estudio de la conducción de calor en un cuerpo sólido ho mogéneo de manera muy parecida a como se trató el flujo de fluidos, si el sóli do es tal que el flujo es bidimensional, y el flujo de calor se encuentra en estado estacionario. Supóngase que no hay fuentes o sumideros de calor en la región G, simplemente conexa. Puesto que dos puntos pueden tener temperaturas di ferentes, hay un flujo de calor —por conducción— de las partes más calientes hacia las más frías. El vector flujo de calor Q = Q(z) puede escribirse como una función compleja continua. El calor que fluye afuera desde el interior de una curva 7 cerrada spp contenida en G debe satisfacer í Qn ds = 0 ,
Jy
porque, de otra forma, la temperatura en el interior cambiaría. Como el calor fluye de las partes más calientes hacia las más frías, es irrotacional, así que se tiene í Q s d s = 0 ;
Jy
__
por el teorema de Morera (como la Sección 5.5) se sigue que Q es analítica en G. Entonces Q(z) = kw'(z), donde k es el coeficiente de conductividad térmica y w = u + iv es el poten cial complejo del campo térmico. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
57
•
APLICAC IONES FÍSICAS EN FLUJO DE CAL OR Y ELECTROSTÁTICA [OPC IONA L]
19 5
u.>'(z) = ux + iuy = grad u(z), el grad iente de u, así que Q — ~k grad u (ley de Fourier), lo cual implica que el flujo de calor es normal a las curvas u{z) = constan te. Los puntos que están sobre estas líneas deben tener la misma tem peratura; entonces las curvas u(z) = constante son las isoterm as y u(z) es la temperatura. Las curvas v(z) = constante se llaman líneas de corr ien te, y son ortogonales a las isotermas. Un problema frecuente en elflujo de calor en estado estacionario es construir las isotermas en una región G especificando las temperaturas d e lafrontera.
Ej e m p l o 1 Encuentre las isotermas de la placa G, indicada en la Figura 5.29, aislada a lo largo del segmento 0 < x < l , y = 0 , con tem peratura 0 ° a lo largo de z = y > 0 , y I o a lo largo de z = x > 1 . u=0
Figura 5.29.
La función w (2¡ir) sen 1 z mapea a G en la franja 0 < u < 1, v > 0, y es el potencial complejo. Entonces
SOLUCIÓN:
7T
7T
7T
. 7T
7T
2
2
2
2
2
z = sen —w = sen —u cosh —v + i cos —u senh —v. Por tanto, encontramos que sen 12 —u 2
cos*2 —u 2
esto indica que las isotermas son hipérbolas.
Ej e m p l o 2 Encuentre las isotermas de una placa G, que tiene la forma de la Figura 5.25a, aislada a lo largo del segmento que une a a = 0 con j3= 1, con temp eratura - I o en el rayo que va de a a 7 y I o en el que va de ¡3 a 7 .
196
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORME S
Como los ángulos exteriores en 0 y 1 son —ít/2 y 7t/ 2 , res pectivamente, la transformación de Schwarz-Christoffel SOLUCIÓN:
z=
1
+ —
^
f
1 d? = 1 + — [\/f2 - 1 + cosh 1 f ]
7T Jl V f - 1
7T
mapea el semiplano superior en G con —1, 1, °° ct, |3, 7 . Pero f = sen (irw/2) mapea la franja \u l < 1 , v > 0 , en el semiplano superior, así que
z =
1
+ 7T- 1
1 cosh1 - 1
r ■
L
/
Vsen —2 / —eos
—
2
.
mapea la franja mencionada en G. Por tanto, su inversa w = w(z) es el potencial complejo. Como en el Ejemplo 1, las isotermas serán las imáge nes, bajo z = z(w), de las rectas verticales u = constante. Simplificando el primer término entre paréntesis, se encuentra
w+
irw ir 2 2 de donde las isotermas pueden graficarse fácilmente. z=
1
1
eos
El e c t r o s t á t i c a Considérese un campo electrostático plano E(z) que surge de la atracción o re pulsión de un sistema arbitrario de cargas (fuentes y sumideros) dispuestas en el plano. En una región simplemente conexa G, complementaria a estas car gas, el interior de una curva cerrada 7 spp contenida en G no tiene carga, así que
E n ds 0, h por la ley de Gauss. La circulación del campo es el trabajo realizado por el campo cuando una carga positiva unitaria recorre la curva 7 completa. Como no se requiere gasto de energía para mantener un campo electrostático, se tiene que E s ds = 0. Entonces se dice que E es un campo potencial, E ¡i es analítica, y su antideri vada iw = —v + iu se llama potencial com plejo del campo; v es la función fuerza y u es la función potencial. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se encuentra
E = —w'{z) = —(ux + iuy ) = —grad u. Las curvas v(z) = constante son líneas de fue rza , y u(z) = constante son líneas equipotenciales.
5.7
•
APLIC ACION ES FÍSICAS EN FLUJO DE CAL OR Y ELECTROSTÁTICA (OPC ION AL]
19 7
TABLA 5.1 Analogías del flujo de fluidos; flujo de calor y campo s electrostáticos
Potencial complejo
Flujo de fluidos
Flujo de calor
w(z) = u + iv
w ( z ) = u + iv
Campo vectorial
II
V
= grad u Función potencial Lineas equipotenciales Función corriente
v ( z ) = constante
Lineas de corriente
u u ( z ) = constante
Campo electrostático
iw(z) =
—V
+ iu
E = —u)'{z) = —grad u Función potencial Líneas equipotenciales —v es la función fuerza Líneas de corriente Lineas de fuerza
Q - - kw \ z ) = —k grad u Temperatura Isotermas Función corriente
Pueden resumirse todas las analogías entre el flujo de fluidos, flujo de ca lor y electrostática, y presentarlas en forma tabular, como se hace en la Tabla 5.1. Pueden hacerse analogías similares con el flujo de fluidos y difusión esta cionaria, magnetostática y campos gravitacionales, e hidromecánica. Frecuentemente se desean encontrar las líneas equipotenciales de un campo electrostático plano, acotado por contornos sobre los cuales el potencial es una constante dada (cada contorno es un conductor).
Ej e m p l o 3 Un condensador consta de dos placas en forma de semiplanos coplanares con bordes paralelos, separados una distancia 2 a y con una diferencia de potencial 2u 0 . Cualquier sección normal a los planos genera un campo plano con dos cortes (véase Figura 5.30). Encuéntrense las líneas equipo tenciales para este campo. |v i i
I I
«4_ ~uo —a
----------------
+¡0 i i i
a
u0 ^ x
i i i i
l Figura 5.30.
SOLUCIÓN:
La función
19 8
CAPÍTULO 5
MAPEOS CONFORMES
mapea el dominio en la franja luí < u0 . Así que las líneas equipoten ciales son las hipérbolas r
a2 sen2
7ru 2 u0
7ru a eos 9 2 u0
= 1.
2
Ej e m p l o 4 Un condensador de placas paralelas consiste en dos semiplanos paralelos, cuyos bordes están separados una distancia 2ir y que mantienen una dife rencia de potencial 2u0. Cualquier sección normal a los planos produce un campo bidimensional con dos cortes, como se muestra en la Figura 5.3 1. Encuéntrense las líneas equipotenciales para este campo.
— 1 + n i
■1 — n i
Fi g u r a 5.31.
Nótese la región sombreada en la Figura 5.32. Haciendo que w0 tienda a —00 se obtiene la región de la Figura 5.3 1 como caso
SOLUCIÓN:
-1
+ i»
- 1 - i r# plano w
Fi g u r a 5.32.
5.7
•
APLICA CIONES FÍSICAS EN FLUJO DE CAL OR Y ELECTROSTÁTICA [OP CION AL]
199
límite. Por simetría, los puntos —1 , 0 , 1, °° de la frontera del semiplano superior se mapean en los vértices de la región sombreada en la Figura 5.32 . Como los ángulos exteriores en —1 + ni, w0, —1 — ni, °° tienden a 7T, —7t, 7T, 7T cuando zv0 tiende a — la fórmula de Schwarz-Christoffel se convierte en
w = A + B |
+ 1) (*
]1 d z = A + B (\ z2 —log z)
-----
donde los valores del límite inferior de la integración (evaluado en algún punto diferente de cero) se absorben en las constantes A y B. Al evaluar esta expresión en z = ± 1 se llegá al sistema
A + B / 2 = —1 —7T* A + B (\ — ni) = —1 + ni, con solución A = —ni, B =\—2, y w = 2 Logz —z2 —ni. Ahora, obsér vese que el semiplano superior puede mapearse en la franja IIm f 1 < ni por medio del mapeo f = 2 Log z —ni. En los mapeos de la Figura 5.33, es evidente que la función w = 2 Log z —ni —z2 £ + mapea, de manera conforme, la franja |Im f I< ni en la región som breada del plano w. Como las líneas equipotenciales son paralelas al eje real del plano £ , pueden obtenerse en el plano w. En forma paramétrica están dadas por u = %+ e1 eos v = r¡ + e* sen rj, rj constante, donde £ = %+ ir\. Im£ TT/
— 1 + Í T/
0
R e f
1 I
w = w(z)
m - 1
0
o!
1 ”
— ni
plano C
plano z
|
l É I S i i i il l i lI l i í - 1 - n t ¡ plano w
Fi g u r a 5.33.
Ej e r c i c i o s 1. Encuentre el potencial electrostático en una región situada entre un cilindro sóli do y una placa plana paralela, donde el potencial en el cilindro es 1 y en la placa es 0. Suponga una sección que coloca la placa en el eje imaginario, tal que el ci lindro esté dado por Iz - 2 l< 1 .
200
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFOR MES
2. Encuentre las líneas de corriente para una pared de altura a si el flujo es infinita mente profundo y tiene velocidad .¡4 > 0 cuando z *■ °°. ¿Cuál es la velocidad en 0 y en ia (véase Figura 5.34)?
Figura 5.34.
3. Encuentre las isotermas en la franja infinita 0 < y < ir si los bordes están aislados en x < 0 y la temperatura satisface u(x) = 0 ° y u(x + iir) = 1 ° para x ^ 0 . 4. Encuentre el potencial complejo y los puntos de estancamiento para el flujo de un fluido incompresible a través de la región de la Figura 5.35, si se supone que la velocidad original del flujo es A .
5. Encuentre las isotermas de la placa indicada en la Figura 5.36, con temperatura 0 o en el lado horizontal y Io en los lados verticales.
- 1
o¡
i
Fi g u r a 5 . 3 6 .
5. 8
6.
•
20 1
ESTELAS EN UN FLUJO DE FLUIDO [OP CIO NA L]
Un condensador consiste en tres placas paralelas: la central es un semiplano y las otras son planos con sección y potencial indicados en la Figura 5.37. Encuentre una expresión para las líneas equipotenciales. ( Sugerencia: Use el mapeo de Schwarz-Christoffel.)
: II o c
i i i i
—i I
u= 1 : II c o
I
Fi g u r a 5 . 3 7 .
7. Muestre que la función
v = Im \e~ict z(cos a + i sen otyjl —( j a¡z)2 )] es la función corriente para un flujo alrededor de una placa de longitud 2 , incli nada un ángulo a con respecto a la horizontal, cuando U(°°) A(^> 0 ).
5 . 8 Estelas
en un flujo de fluido (opcional)
Considérese el impacto directo de una corriente de anchura infinita y veloci dad A (> 0) sobre una placa fija de anchur a 4a colocad a perpendicularmente al flujo (véase Figura 5.38c). La función
S = z a2/z mapea, de manera conforme, el exterior del círculo Iz l = a en esta región. Uti lizando los tres mapeos mostrados en la Figura 5.38 se obtiene el potencial complejo del flujo alrededor de la placa fija: w(£) = Acó = A(z + a2 ¡ Z ) = A(2z —$) = ±A -y/f 2 + 4a 2 , puesto que 0 = 4(z 2 —f
(a)
Fi g u r a 5 . 3 8 .
2
— a2 ) = (2z —f )2 —(f 2 + 4a2).
(b)
(c)
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORMES
El potencial complejo puede usarse para determinar las líneas de corriente y la velocidad del flujo en cualquier punto f : iV/- w — -- +±
A t
---------------
-
y /f 2 + 4a2
En este punto surge un problema desconcertante: la velocidad en f = ±2 ai es infinita. Como las velocidades infinitas no son físicamente posibles, se busca una solución realista. Una hipótesis es la existencia de una región infinita de agua en reposo, llamada estela, detrás de la placa. La estela estará acotada por líneas de corriente libres a lo largo de las cuales la rapidez es constante finita (véase Figura 5.39). La existencia de una estela requiere un cambio en el análisis del proble ma, ya que el flujo tiene lugar en un polígono acotado por la placa y las líneas de corriente libres. El teorema de Riemann del mapeo establece que el polígo no puede mapearse, de manera conforme, en el semiplano superior con los puntos ±2 ai yendo a ±1. Las líneas de corriente en el semiplano superior pueden determinarse al considerar las líneas de corriente en el plano W de la Figura 5.40c. Para determinar el potencial complejo zv(z), recuérdese que V(z) = diu/dz, y considérese el mapeo uW(z) n \ =
A
------
V(z)
=
A
.
*>\z)
A lo largo de la placa, la velocidad es paralela al eje y; por ende, V es imagina rio puro. Por simetría, la rapidez será la misma en ±2 ai, aunque la dirección será la opuesta. Finalmente, la rapidez será constante en cada línea de corrien-
5. 8
•
203
ESTELAS EN UN FLUJO DE FLUIDO [O PC IO NA L]
1
0
o.>= ('■ 2 (c) plano
[b) plano i
cu
V[oo) = A > 0
Figura '5.40.
plano W
plano z 1
plano z 2
plano (
FIGURA 5.41. La hodógrafa
te libre. Así como V{+ °°) = A y las líneas de corriente libres tienden a todo punto sobre las dos líneas de corriente libres se mapeará en un punto de la mitad derecha del círculo unitario. Como F(0 ) = 0, el origen se mapea en 00. Además, V( -1) es positivo y menor que A , ya que el flujo se detiene al acercar se a la placa. Así, el flujo se mapea en la región sombreada en el plano W de la Figura 5.41. Esta región se llama hodógrafa. Nótese que se mapea en la mitad superior del plano f por medio de la transformación iT= —[sen (i log flT)] - 1 = i [senh (log W)] - 1 , y los puntos i, —i,
1 se mandan a 1, —1, 0,
l senh(log W) = —> o, por el Ejercicio 24 de la Sección 1.9,
Así,
204
CAPÍTULO 5
•
MAPEOS CONFORME S
Como W = A/w'(z), la ecuación anterior implica que 1
^ dw _
A
dz
Sin embargo, dw _ dw d£ dz dt¡ dz asi que
f
i+ y /p
Y
1
dw dw doj „ . —r = — ’ — = 2 A£, d£ dco d$
Entonces,
z=
2
[\/f 2
—1 +
*] d$ $y/$2 —1 —cosh 1 f + 2 ¿ f + c
= >/co(co —1 ) —cosh ' ■ y f c W y f c + c . Puesto que co = 0 corresponde a z = 0, c = cosh - 1 0 = —i eos - 1 0 = —iir¡2. El problema está resuelto ahora, al menos en forma implícita, ya que las líneas de corriente están dadas por las curvas Imzo = constante.
Ej e r c i c i o s 1. Considere un fluido que sale por una rendija en el fondo de un recipiente grande (véase Figura 5.42). Suponga que el fluido sale como un chorro acotado por líneas de corriente libres, a lo largo de las cuales la rapidez es constante, y que el flujo en el chorro es uniforme y paralelo al eje imaginario en °°. Encuentre las lí neas de corriente libres. (Sugerencia: Use una hodógrafa.)
FIGURA 5.42. Flujo de cho rro
2. Suponga que se forma una estela detrás de la pared del Ejercicio 2 de la Sección 5.7. Encuentre las líneas de corriente libres.
5.8
•
ESTELAS EN UN FLUJO DE FLUIDO [OP CIO NA L)
205
NOTAS S e c c i ó n 5 .1 Se da una tabla de mapeos conformes elementales en el Apéndice. Se pueden encontrar mapeos adicionales en [Ko]. Se pueden encontrar dos pruebas dife rentes del teorema de Riemann del mapeo en [V].
Se c c i ó n 5 .2 Las transformaciones fracciónales lineales se conocen también como transfor maciones lineales, transformaciones bilineales, sustituciones lineales y trans formaciones de Móbius.
SECCIÓN 5 .5 En el Capítulo 6 se analizarán problemas que incluyen fuentes. Pueden en contrarse algunas aplicaciones detalladas en [R]. Para un texto excelente, en que se detalla el uso del análisis complejo en la hidrodinámica, véase [MT].
S e c c i ó n 5 .6 Véase [A, págs. 227-232] para una prueba de la fórmula de SchwarzChristoffel. Una fórmula para mapear el disco unitario en el exterior de un po lígono se obtiene fácilmente.
S e c c i ó n 5 .8 Se puede encontrar una argumentación cuidadosa de estelas y chorros en [MT],
A Problemas c o n
U VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES 6.1
Fu n c i o n e s
armónicas
La ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 es de fundamental importancia en Física y surge en conexión con el flujo de calor y de fluidos, así como con los campos gravitacionales y electrostáticos. Por ejemplo, la temperatura u en un flujo de calor es la parte real de una función analítica w = u +' iv. Por las ecua ciones de Cauchy-Riemann, se tiene formalmente que
Uxx ~ {ux )x — (py )*; —(Vx)y ~ ( Uy)y ~ Uyy donde la ecuación de Lapla ce se cumple para u. De la misma forma, se cumple para v. Cualquier función real u(x, y ) con segundas derivadas parciales conti nuas, que satisface la ecuación de Laplace en una región G, se denomina ar mónica en G.
Ej e m p l o 1 Muéstrese que la función u(x, y) = x2 —y2 es armónica en C . SOLUCIÓN:
La función u tiene primera y segunda parciales continuas:
ux = 2x, uy = —2y Uxx ~ 2 , uxy —uyx —0 , uyy
2 ,
20 7
208
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
Además, u satisface la ecuación de Laplace, puesto que
UXX
U.yy
2
0.
2
Así que u es armónica en C . Obsérvese que u = Re (z2). Las funciones armónicas están íntimamente ligadas a las funciones analíticas.
Te o r e m a (i) Sea f( z) ■ u(z) + iv(z) analítica en la región G. Entonces las dos funciones reales u(z) y v(z) son armónicas en G. (ii) Sea u(z) una función real armónica en una región G simplemen te conexa. Entonces la integral de línea
v(z) =
ux dy — uy dx, ■L;
es armónica en G, y la función f( z ) - u(z) + iv(z) es analítica en G; 7 representa cualquier arco spp en G que une z 0 az. A v{z) se le llama ar mónica conjugada de u(z).
PRUEBA:
(i) Si / = u + iv es analítica en G, también lo es
f' (z) = ux + ivx = vy - iu y . Así, las segundas parciales de u yz/ son continuas y, del cálculo, uxy = uyx y vxy = vyx . Si se aplican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se tiene u xx ~~ iPy )x ~ {Vx)y
u yy
^xx ~ (
y
uy)x
(w x)y
Vyy>
lo cual implica que u y v satisfacen, ambas, las ecuación de Laplace. (ii) La función F(z) = ux —iuy tiene primeras parciales continuas que satisfa cen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en G, (u x ) x ~ (
^y)y
y
(ux)y
(
u y )x >
ya que u es armónica. Estas son condiciones suficientes para la analiticidad de F(z) en G. Como G es simplemente conexa, se puede utilizar el teorema funda mental para definir una antiderivada analítica de F(z):
f(z )= j F ( z ) d z = f (ux —iuy) (dx + idy) = j (ux dx + uy dy) + i j (ux dy —uy dx). El primer integrando es la diferencial exacta de la función u = u(x, y), por lo tanto
f( z) = \du + i \ux dy — uy dx
6.-1
•
209
FUNCIONES ARM ÓN ICA S
= u(z) + i j ux dy — uy dx. Entonces, se ha construido una función analítica f{ z) que tiene a u(z) como su parte real. Esto significa que la integral
v(z) = j ux dy —uy dx, definida hasta una constante arbitraria, es armónica en G. I En los ejemplos siguientes se mostrará el uso de la integral anterior para determinar armónicas conjugadas.
Ej e m p l o 2 Encuéntrese la armónica conjugada en C de la función
u = x 2 — y 2Á. En el Ejemplo 1 se probó que la función u es armónica en (B■ Como ux = 2x y Uy = —2y , se tiene
SOLUCIÓN:
ü(z) = J ux dy —uy dx = J
2x
dy + 2 y dx
= 2 j d(xy) = 2xy + c. Nótese que v es armónica en C , puesto que vxx = vyy = 0, y que
f( z) = u + iv = (x2 —y 2 ) + 2ixy + c = z2 + c es entera.
Ej e m p l o 3 ¿Hay alguna función analítica f = u + iv para la cual U
x 2 + y 2 7 ?
u no está definida en el origen; así que se buscará una ar mónica conjugada de u en algún subconjunto simplemente conexo de Primero se prueba que u es armónica: SOLUCIÓN:
C —{o}.
ux =
y2 — x 2 — (x 2 + y 2 ) 2 Uvy ”
—2xy uv = ' y (x2 + y 2 )2
2x3 — 6xy2' _ (x
+ y )
•
210
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
De ahí que una armónica conjugada esté dada por
[ {y 2 x 2 ) dy + 2x y dx f — —— v{z) \ux dy - uy dx J (x ¿ + y ) J ---------
-y x 2 + y 2)
• y
-------
------
y x2 + y2
Nótese que la función
x —iy es analítica para z
z 1 ¡tp = 7
0.
La correspondencia entre funciones analíticas y armónicas proporciona muchas propiedades importantes de estas últimas.
P r i n c i p i o del m á x i m o Si u(z) es armónica y no es constante en una región G simplemente cone xa. entonces u(z) no tiene máximo o mínimo en G. PRUEBA: Al construir una función armónica conjugada v(z), se tiene que
f = u + iv es analítica en G. En forma semejante, F (Z) = */(*) = eu+iv es analítica en G, y I F(z ) I= eu ^zK Como F(z) no se anula en G, al aplicar los principios del máximo y del mínimo para funciones analíticas a F, se sigue que eu no tiene máximo o mínimo en G. Como la función real eu es una función creciente de u, la prueba es completa. I
T e o r e m a del v a l o r m e d i o Si u(z) es armónica en Iz —f I< R , entonces M(?) = —
I
2tt Jo
u(j; + rete) dd,
0
PRUEBA: Construyase una armónica conjugada v(z) tal que f = u + iv sea
analítica en Iz — £ I < R. El teorema de Gauss del valor medio (véase Sección 2.4 ) establece que
M + reÍ6 ) d e > 0
6.2
•
21 1
EL PROBLEM A DE DIRICHLET
Ej e r c i c i o s Pruebe que las funciones de los Ejercicios 1-4 son armónicas en C. 1 . <¡)(x, y) = ex eos y 3. (¡)(x, y) = x 3 — 3 xy 2 2 . <¡)(x, y) = senxsenh y 4.
u x2 —(y — l ) 2 9. u = \ log(;c2 + y2 ) , 2xy ,, — 1 ) + y2 1 0 . u = tan -- -ll.u = -i — p-t x 2 —y2 (x — 1 ) + y 12. Si u y v son funciones armónicas, muestre que au + bv es también armónica, donde ay b son constantes reales. Muestre que uv es armónica si u y v son fun ciones armónicas conjugadas. 13. Pruebe que log l/(z) Ies armónica siempre y cuando/(z) sea analítica y diferente de cero. 14. Muestre que el principio del máximo se cumple para regiones múltiplemente co nexas. 15. Pruebe que log sen 6 dd = —7Tlog 2. (Sugerencia: Aplique el teorema del valor medio a log ll + 2 l e n l z l ^ r
-------
6.2
El p r o b l e m a de D irichlet Las aplicaciones al flujo de fluidos, flujo de calor y electrostática que se anali zaron en el Capítulo 5, muestran que la solución en cada una está dada por la función analítica llamada potencial complejo. Las partes real e imaginaria del potencial complejo tienen significado físico como líneas de corriente, líneas de fuerza, temperaturas iguales, etcétera. De acuerdo con la Sección 6.1, las par tes real e imaginaria de una función analítica son funciones armónicas que sa tisfacen la ecuación de Laplace A U
=
UXX + Uy y
=
0.
Por ende, estas aplicaciones se reducen á encontrar una función armónica en una región G dada y que tome ciertos valores predeterminados en la front er a de la región G. A una situación tal se le llama problema con valores en la fron tera. Más específicamente, tenemos lo siguiente.
212
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES INICIALES
El p r o b l e m a de D irichlet Dada una región región G arbitra ria, ¿hay una función función arm ónica en G que tenga valores predeterminados en la frontera de G?
Ej e m p l o 1 Encuéntrese una función que sea armónica en el primer cuadrante y que tenga valores frontera 0 en el eje real y 1 0 0 en el eje imaginario. SOLUCIÓN:
La función
200 T Log z
w=
-------
map ea, de manera conforme, el primer cuadrant e en en la franja 0 < v < 100, donde w = u + iv (véase Figura 6.1). El eje x positivo se transforma en la recta v — 0 , mientr mie ntras as que el eje y positivo se convierte en la recta v — 100. Puesto que
u + iv =
200 -------
. . . (log (lo g Iz 1+ i Argz),
la función
200 Arg z rr es armónica en el primer cuadran te y satisface satisface las las condiciones condiciones de frontera requeridas. v-
-----
100 /
w=
200Log2
Solución gráfica d e un problem a de Dirichl Dirichlet et FIGUR FIGURA A 6 . 1 . Solución
No todos los problemas de Dirichlet tienen solución. La existencia de una solución depende de la geom ge om etría et ría de la región: siempre que alguna alguna componen te del complemento de la región pueda reducirse, de manera continua, a un del obje pu nto, nt o, existirá existir á una u na soluci sol ución. ón. La prueba de esta afirmación está fuera del tivo de este libro. El Ejercicio 9 proporciona un ejemplo de una región para la cual el problema de Dirichlet no necesariamente tiene solución.
6. 2
•
2 13
EL PROBLEMA DE DIRICHLET DIRICHLET
Figura 6.2.
El problema de Dirichlet siempre tiene solución para una región G (¥=e) simplemente conexa. Para obtener una expresión explícita de la solución u en cualquier punto z 0 de G, sea g la función función que que mapea, de manera conforme, a G en el disco unitario If I< 1 con g(z g (z 0 ) = 0. (La existencia de tal función está asegurada por el teorema de Riemann del mapeo.) Por simplicidad, supóngase que g es analítica en un conjunto abierto que contiene a G y su frontera. La función compuesta uog ~ 1 (véase (véase Figura 6.2 ) es es armónica en If I < 1, así así que —por el teorema teorem a del valor medio par a funciones armón icas (véase Sección 6 . 1 ) — se se puede represe ntar a uog los valo uo g ~ 1 ( 0 ) como el promedio integral de los res de u o g ~ 1 en If I= 1 si se escribe
Con f = e
uog~~1 ( 0 ) = — í 2* u o g ' í é * ) d e. e. 2it J o o se obtiene
y como f = g(z g (z ), la integral se convierte en
u( Zo) =¿ r L Esta ecuación indica que el valor de una función armónica u, en puntos inte riores de la región G, puede determinarse como una integral de los valores frontera de u. Nótese la similitud de esta situación con la fórmula integral de Cauchy. Los ejemplos siguientes ilustran el uso de esta integral.
Ej e m p l o 2 \z I < R } , adviértase Para Pa ra resolver el el problema proble ma de Dirichlet en G = {z : \z que R ¿ —z nz
214
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTE FRONTERA RA Y VALORES INICIALES INICIALES
mapea, de manera conforme, a G en el disco unitario abierto con g( g ( z 0 ) = 0. Para \z I= R,
R 2 — \zn \zn I2 g'( g '(zz ) = g( z) (z z 0 ) (R 2 z 0z)
\z I2 — \zn \zn I2 z lz z c
_______________________________
así que la ecuación ( 1 ) se convierte en i, i . i: dz u(z) 2iri Jlzl=* Iz — z 0 \2 Si se hace z = R e1(t> y z 0 = ret re td se obtiene la fórmula integral de R : Poisson para el disco Iz I< R:
u(z0)=
u(re ) =
i r
12
------------
R 2 — r 2 d<¡>, R 2 + r2 —2Rr eos eo s(
2 7T
2 it • o
(2 )
porque
\z — z 0 \2 = \z I2 + \z0 \z0 I2 — (z 0z + z 0z ) = R 2 + r2 Rr
+ e_í( e_í(0“ 0“ 0)). 0)).
Como z 0 = re’6 es arbitrario arb itrario , la ecuación ecu ación (2 ) es válida en todos todos los los pun tos lz„ \
Ej e m p l o 3 Sea G el semiplano derecho, y sea z 0 cualquier punto interior de G. En tonces, la función
g( z) = (z z 0 )/(z )/ (z + z 0 ) mapea, de manera conforme, a G en el círculo unitario con g( g ( z 0 ) = 0. Como = 2xq ;
g( z) z 2 2 i y 0z \ z o \2 la fórfnula integral de Poisson para el semiplano derecho es u(z) dz _ x 0 (■ u(zo) = — m 9g z2 — 2iy 0z — l-z l-z0 I2 y con z = i t , se tiene
, \
U(Zo) =
-* o -------
'~
u(it) dt {t —yo) + x0
En el análisis que condujo a la fórmula integral de Poisson en el disco \z I< R , los valores frontera se supusieron continuos. En muchas aplicaciones (tales como el Ejemplo 1), los datos frontera son discontinuos. Es interesante notar que la fórmula integral de Poisson proporciona una función armónica a pesar de las discontinuidades.
6. 2
•
215
EL PROBLEM A DE DIRICHLET DIRICHLET
TEOREMA DE POISSON Sea £7(0) £7(0) continua continua para 0 < 0 < 2rr excepto excepto por un número finito de sal tos. Por ende, la función
u(z) = — f ' £7(0) 2 ?r Jo I r #* es armónica en Iz I< R y lím u(z) = £7(0), z^Re® en todos los puntos de continuidad de £7 (0 ).
z
¿0
PRUEBA: Obsérvese que
R el< <¡> + z / Rel Re - 2 \Re’*-----
„
R 2 - Iz \2 I R R e * - z\2
(3 )
Si se sustituye el lado izquierdo de la ecuación (3) en la integral, podemos efec tuar derivacion derivaciones es parciales repetidamente con respecto a x y y bajo el signo de la integral, integra l, ya que el integrando integra ndo resultante es continuo en Iz I< r < < R. Entonces
( Re* + z Au(z) = — í2* £7( £7(0) 0) ARe , \ r ¿ * — z 2 tt Jo
d(j) = 0 ,
Iz \ < R ,
R e ! + z ) /( R e Kt> — z) es armó puesto que la parte real de la función analítica ( Re nica. De ahí que u(z) es es armónica armónica en Iz K i ? . R e t<¡>, nótese que Si f •= •= Re 1
27T
2 tt
o
f + z df
/ R e& + z , , d
Re
—
í
_2 _27Tí Jl?l =fl
2m
\$-z
f -z
f
f
= 1.
Cuando £7(0) £7(0) es continua en 0 = a dado e > 0, hay un 5 > 0 tal que que I£7(0) — £7(a) I < e siempre que que |0 — a l < 5 (en el supuesto supuesto de que £7 £7 tiene tiene 2ir) . Así, periodo 2ir). Im(z) Im(z) — £7(a) 1= 1= 1
< —
2 tt
1
27r J 2 tt
Jo
2zr
/ R e i(t>+ z\ 2 tt o (£7( (£7(0) 0) - £ /(a)) Re ( ¿ 2 * 3 - 1 d$
| u{(j>) U f a) a).
.'«<
lip-aKn
R 2 Iz I2 d
R 2 - \z\2 | R e ^ — , Z I2 I2
£7(0) £7(0) - £7(a) £7(a) I d0.
216
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN EN LA FRONTERA FRONTERA Y VALORES INICIALES INICIALES
0
A
Figura 6 . 3
Ahora, Ahora, si si largz —c tK 5/2 y \<¡> —
\u{z)U{a)\
5, entonces (véase Figur gura 6.3 6.3))
f2* |U{
-----------------
2
cuando z
Reta. Como e es arbitrario, la prueba está completa.®
El ejemplo siguiente contrasta el uso de mapeos conformes con la fórmula integral de Poisson para encontrar soluciones al problema de Dirichlet.
Ej e m p l o 4 Encuéntrese una función u, armónica en el disco unitario, que tenga el valor en la frontera 1 en el semiplano semiplano derecho y 0 en el semiplano izquierdo. SOLUCIÓN:
La transformación fraccional lineal
transforma transfor ma los puntos 0 , i, i, 1 en i, 0 , 00, —1 , así que map m apea ea de mane m anera ra conforme el disco unitario en el semiplano superior. Al continuarse este mapeo con w (1 / 7rz) Log f se transforma al semiplano superior en la franja franja 0 < u < 1, donde donde w = u + iv (véase Figura 6.4). Por tanto, la función armónica requerida es
6 .2
•
21 7
EL PROB LEMA DE DIRICHLET DIRICHLET
- '0 * 0
4Logí O
plano z
1
plano í
plano w
Figura 6.4 6 .4
Para resolver el problema de Dirichlet, por la fórmula integral de Poisson, nótese que
r .n
_ i UP
J-,/2 I*?*-*!2 I*?*-*!2
2 *
ya que U((j>) = 0 en el semiplano izquierdo. Si z = re , 1
u(z)
r tt/2
-r2 2ir
_
J- 7T /2
1
1
— tan - l ir
1
1
d{4>6) + r 2 — 2 r eos eos ( 0 — 6)
+r 0 —6 tan — — 2 —r
tt /2
—tt/ 2 '
Por tanto 1
tan iru(z) =
1
+ r -r
tan ( 1
1
1-r 2 r
/ 7T 6 6 I + ta n — + — 2/ \4 2 e 7T 6 IT tan — tan — + 2 \4 \4 2 )
ir 4
-----------
+ r' —r /
tan 2 - +
1
-r 2 —2 r eos 6 1
2
tan 2
1
Para comprobar que estas respuestas son equivalentes, adviértase que Arg
i —z i+z
Ar g
( z + z) + í (l \z\2)) ( l - \z\2 i + z I2
y, con la identidad Arg A rg(x (x + iy) = tan recho, Arg Ar g
i —z i+z
= tan -
l
1
1
el semiplano de {y/x)_ en el 12-1
{ Z + Z )
= tan
1
-r
2
—2r eos 6
21 8
CAPÍTUL O 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
Ej e r c i c i o s 1. Sea u(z) armónica en Iz — f I< R. Pruebe el teorema del valor medio del área m(?) = —í— í í .
J J I z -
irR
j k
/í
u(z)rdrdd.
(Sugerencia: Use el teorema del valor medio para funciones armónicas.) 2. Use el teorema del valor medio del área para probar el principio del máximo para funciones armónicas. 3. Si u es armónica en una región G simplemente conexa, muestre que grad u es analítica. Entonces, utilizando el desarrollo de la Sección 5.5, pruebe que un ds = 0 , y donde 7 es cualquier curva cerrada spp en G, y un es la derivada direccional de u en la dirección de la normal exterior. 4. Muestre que la fórmula integral de Poisson para el semiplano superior y > 0 es y f“ u(t) dt u(z) = - | z = x + iy. , ir (t —x)2 + y2 5. Pruebe que la fórmula integral de Poisson para el primer cuadrante es tu(t) dt , \ _ ^xy u(z)~ ir o t4 — 212 (x2 — y 2) + (x 2 + y2 )2 tu(it) dt + lo t 4 + 2 t 2 (x 2 - y 2 ) + (x 2 + y 2 ) 2 _ 6.
Encuentre la temperatura en cualquier punto z del semiplano superior, si la tem peratura (en grados) en el eje real está dada por
U \ i \ , 1 0 ,
líKi, líl> l.
7. Pruebe que cualquier solución del problema de Dirichlet, continua en la cerra dura de una región G simplemente conexa, debe ser única. ( Sugerencia: Use el principio del máximo.) 8 . Suponga que u(z) y v(z) son armónicas en una región G, continuas en su cerradu ra, y que satisfacen u(z) ^ v(z) en la frontera de G. Muestre que u(z ) ^ v(z) para todo z en G. 9. Sea G la región 0 < I z I< 1. Muestre que no hay una función u(z), armónica en G, con valores en la frontera u(ete ) = 0, m(0) = a > 0.(Sugerencia: Aplique el Ejercicio 8 a las funciones
ur(z) = a
log Izl
■ . log r armónicas e n r s I z K l. ) 10. Pruebe la desigualdad de Harnack: Si u(z) es armónica y no negativa en 1z I< R entonces R - Izl . , , . R + Izl m
(0)
------------
¡— -
R + Izl
<
m
(z ) <
m
(0)
R -
Iz l
63
•
219
APLICACIONES
11. Si f(z ) = u(z) + iv(z) es analítica en una región que contiene a Iz I< R pruebe la fórmula de Schwarz 1
f 2 n
R ^ + Z
/ ( z ) = 2 P J o 12. Muestre que la fórmula de Schwarz puede reescribirse en la forma / ( * ) = m
f Jiri=ñ J —z
(Sugerencia: Aplique el teorema del valor medio a w(0) = 2t>(0) + /(O).)
13. Sea t/(0 ) continua para 0 Pruebe que
0
2?r excepto por un número finito de saltos.
í ( * > = i p ’ y > . d t ir Jo Re^ —z es analítica en Iz I
u(z) = — ir
u(t)
^ (t — x y + y
---------
,
----- -
dt,
z = x + iy,
es una función armónica en él semiplano superior, aun si u(t) es discontinua en un número finito de valores de t. 15. Use el Ejercicio 14 para encontrar una función u(z ) que sea armónica en el se miplano superior y que satisfaga los valores en la frontera [1
si
1 1 1 < 1 ,
jo Si l t l > l . 16. Repita el Ejercicio 15 para los valores en la frontera , , _ r l si - 1 < t < 0 , “ < *> -
UM
< l-t 0
si
0< Í<1 ,
en los otros puntos.
6 . 3 A plicaciones En las Secciones 5.5 y 5.7 se analizaron tres ejemplos análogos de campos vec toriales en estado estacionario que se presentan en la naturaleza: flujo de fluidos, flujo de calor y campo electrostático. Los campos vectoriales, que se supusieron bidimensionales e irrotacionales, se examinaron dentro de una re gión G que no contiene fuentes ni sumideros. En esta sección, se ampliarán esos problemas para incluir fuentes y vórtices en la región G. La teoría se de sarrollará para el flujo de fluidos, y las analogías con los otros dos campos se presentarán en la Tabla 6.1 al final de la sección. Recuérdese que el vector velocidad V(z) del campo es igual a w'(z\ don de la función analítica m(z) es el potencial complejo del flujo. Así, la función
220
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
potencial u y la función comente v son armónicas conjugadas, y el problema de encontrar la línea de corriente se reduce al problema de Dirichlet. Obsérve se, por el principio del máximo, que si una línea equipotencial fo rm a una curva cerrada y, entonces y encierra una singularidad de u(z), o bien u(z) es constante en G. Por supuesto, no hay líneas de corriente cerradas, ya que el flujo es irrotacional. Además, ni las líneas de corriente ni las equipotenciales em piezan o terminan en un punto interior z 0 de G, porque de otra manera un disco sufi cientemente pequeño, centrado en z 0 estará contenido en G y su frontera cor ta la línea de corriente v(z) = k en un solo punto. Por continuidad, los puntos restantes de la frontera satisfarían que v(z) > k o v(z) < k, lo que violaría el teorema del valor medio. Líneas de corrientes diferentes pueden cortarse sólo en los puntos de la frontera de G (por ejemplo, en las fuentes) o en el infinito. Esto se muestra con un problema de flujo de calor.
Ej e m p l o 1 Sea la placa G un disco de radio R con temperatura 1 0 en la frontera que se encuentra en el semiplano superior y 0 o en la del semiplano inferior. Encuéntrese la temperatura en todos los puntos de G y descríbanse las iso termas. SOLUCIÓN:
Con la fórmula integral de Poisson, se tiene para z = retB,
r
R e f fi e<>+Z d(¡) KRe^ z R 2 r 2 1 d( d) 2ir Jo R + r — 2R r cos(0 — d)
2ir J o
1
7r
tan - i
R + r ó — d tan R r 2 -------
o
Así, tan wu(z)
R + r 7T— 6 tan + tan — R r 2 2 R + r \ 2 7t6 6 1 tan tan — R r ) 2 2 R 2 —2Rr sen 6 -------
Pero, como tan
y/x = Arg (x + iy), ttu ( z ) = Arg |i [R2 — Iz I2 + R(z — z)]} ' R + z Arg R z
6.3
•
2 21
APLICACIONES
lo cual implica que la temperatura está dada por
u(z)
1 A . R + z — Arg Arg i R z 7r
----------
Las isotermas satisfacen
. R + z Arg i = constante, R — z e i(R + z)j(R — z) mapea a \z I< R en el semiplano superior, así que las isotermas corresponden a los arcos de la familia de círculos que pasan a través de los puntos ±R que pertenecen a \z l
F IG IG U RA RA 6 . 5 .
Famili Familia a de círculos círculos a través de ±R
Supóng Supóngase ase que una fuente fu ente (o sumidero) punt p untua uall se locali localiza za en el origen origen.. En tonces, el flujo Q_ a través de cualquier curva de Jordán alrededor del origen es una constante diferente de cero, y si 7 es el círculo Iz I= r, la componente nor mal Vn de la velocidad es constante en cada dirección, ya que las líneas de corriente son radiales en el origen. Así,
Q = |\Vn ds = Vn Vn ¡2n rd d = 2nrV n J
Jo
V(z) = Vn _ Q [ 1 \z\ 2 ?r
\z \2
ya que z/\z I es el vector unitario unitario normal. Como V{z) = w'(z),
w(z) =
2 7T
log(z ) + c,
c complejo,
por tanto, la función potencial y la función corriente están dadas por Q u(z) = — log Iz Iz I, - — arg ^, 2 ?r 2 ?r respectivamente, hasta una constante real arbitraria. Nótese que v(z) es multivaluada, y que ambas funciones son armónicas en cualquier región simple mente conexa que no contenga al origen. Si Q > 0, se se tiene tiene una fuente de t endrá drá un sumidero. poten po tencia cia Q en z = 0 , y si Q < 0 , se ten
222
CAPÍTULO ó
•
PROBLEMA PROBLEMAS S C O N VALORES VALORES EN EN LA FRONTERA FRONTERA Y VALORES VALORES INC ALE S
Cuando la fuente no está en el origen, sino en el punto z0, el potencial complejo es ^ ( z ) = % l o§ o §(z ~ z ° ) + c
(! )
Por otra parte, el campo vectorial puede no ser irrotacional. Esto puede ocurrir, por ejemplo, debido a la acción de un rotor cilindrico, de tal forma que en cualquier plano perpendicular a su eje, las líneas de corriente sean círculos concéntricos centrados en el rotor. Tal campo se denomina campo plano de vórtices. Si un vórtice puntual se localiza en el origen, la circulación T a lo largo de cualquier curva 7 de Jord án es es una constante no nula (T > 0 cuand o el el flujo está en contr a de las manecillas del reloj). A lo largo de un círculo Iz I= r, la componente tangencial de la velocidad Vs es constante, así que K ds = 2irrV¡
r = f
Trt \
Tr
V ( z ) = V s
ÍZ
*
7 T
Iz I
=
—
2 ?r
Iz
2
ya que iz/ iz / Iz Iz Ies el vector tangencial unitario. Entonces, excepto por una cons tante arbitraria, / \ — w(z) ~ —
, r . r 1 t o g * - — arg z + i — lo log — Iz I 27 t 2 tr 2 ?r
(2
es el potencial complejo de este campo. Como también una fuente puntual puede ser vórtice, se combinan las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) (en z0), para obtener
wiz) = r o+ ^ 2m
lo g (z -
Z0 )
+c
(3)
como el potencial potencial complejo complejo de una fue nte vór tice localizada en en z 0 con intensidad T y pote po tenc ncia ia Q. Para obtener el potencial complejo de un sistema de fuentes vórtice T i + iQi, . . + iQ¿ localizadas en zx, . . ., z¿ se suman los potenciales complejos individuales ^ (z) =
2 tti tti i = l
(r/ + ^ ') lo§( lo§(zz - z/) ’
(4 )
ya que el campo vectorial se obtiene por superposición. Además, pueden utili zarse este resultado y el procedimiento procedimi ento usual de de límite par a obtener obtene r el poten pote n cial complejo de una línea L de fuentes, si la función flujo Q(£) es integrable: w(z) =
í Q(J) log( log(zz - J) ds, ¿ir J l
f en L.
(5)
6.3
•
223
APLICACIONES
Ej e m p l o 2 Si el sistema consiste en dos dos fue nte s, cada una de potencia Q_, localizadas en z 1 y z 2 , el potencial complejo está dado por
w(z) = R log (z Z l ) ( z z 2 ).). 2ir Las líneas equipotenciales, que satisfacen \z — zj IIz —z2 \= constante, se conocen como lemniscatas, y se muestran en la Figura 6 . 6 . La lemniscata , con la forma de un está dada por la ecuación
Nótese que (z¡ +z2)/2 es un punto de estancam iento.
Ej e m p l o 3 El sistema que consiste en una fu e n t e y un sumidero de potencias Q y Q situados en z x y z 2 , respectivamente, tiene un potencial complejo dado por la ecuación / \_ Q , log z — z, . w(z) -----
27T
z
— z -.
Las líneas equipotenciales satisfacen Z — Zi
constante
224
CAPÍTU LO ó
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
y forman forma n los círculos de Apolonio Apolonio que se indican como líneas continuas en la Figura 6.7. Las líneas de corriente son la familia de círculos que pasan por z¡ y z 2 .
FIGU FIGURA RA 6.7 6. 7 . Círculos Círculos de A polonio
Sea z ! = —h, z2 = 0. Entonces , , Q , z+h p , ( h \ 1lh p = Qh. w(z) w(z) = — log log = f lo g 1 + , ¿ir z 2tt 2tt \ z J Si ahora se permite que la fuente se acerque al sumidero, aumentan do (5 simultáneamente de tal forma que p permanezca constante, se ob tiene en el límite un doblete puntual de momento p localizado en 0 , cuyas líneas de corriente están dirigidas a lo largo del eje real positivo. Su potencial complejo está dado por -------
w{z) = —
2ir
lím lím log ( l + —)
h —o
\
z /
= — l oge 1^ = 2ir
2 ttz
(6 )
por lo que
p
x
27r X2 + y 2
p v _ —
27T x 2 + y 2
Entonces 47TM
\ 4 7 T M
x + I y + p y ( p 47TV 47w
y las líneas equipotenciales y las líneas de corriente son las familias de círculos indicados en la Figura 6 . 8 .
6.3
•
225
APLICACIONES
FIGU FIGURA RA 6.8 . Doblete pun tual (dlpolo) en el origen
El procedimiento anterior también se cumple para z l complejo, pero en tonces el momento del doblete es complejo con argumento ir + arg z t y coincide con la dirección de las líneas de corriente en el origen.
Ej e m p l o 4 Considérese el problema de conocer todas las líneas de corriente en el exte rior del disco unitario de tal forma que el vector velocidad tienda a 1 en °°. Como se mostró en el Ejemplo 3, Sección 5.5, si el flujo es simétrico con respecto al eje x, el potencial complejo estará dado por 1 ) w¡(z) = Z + —
z ya que Vl(z) = 1 —(1 /z2). Pero al quitar la suposición de simetría, el flu jo podría también estar sujeto a un flujo de vórtice, centrado en el origen, de intensidad intensidad F , con potencial potencial complejo complejo r w2{z) = — l o g z , 27TZ
pues su vector velocidad correspondiente F 2 (z ) =
Í L
2itz
se anula en oo. p0r superposición, la ecuación del potencial complejo está dada por j p w(z) = Z + — +
Z
2m
log 2 .
226
CAP ITULO ó
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
La magnitud de la velocidad satisface
V{z) I= Iw'(z) I=
i 4* r — z 2 2mz
1
------
que se anula en los ceros zs (puntos de estancamiento) de la ecuación z2 +
z-
2iri
1
= 0.
Esto es, _ T i ± ^ l 6 i r 2 - r
2 (V)
47T
Si Ir I< I<
47 T,
entonces Izs I= > / r 2 + tan Arg zs
16 7 T2
47 T= 1 y — r 2 / 47
±r y/l6ir2 - T
2
y si Ir I> 4 7T, los puntos de estan camient cam ientoo están sobre el eje imaginario imagi nario y satisfacen iz . , . _ r * C r r n g , 47T
Así que solamente uno de los puntos de estancamiento está fuera del círculo unitario. Se muestra un bosquejo de las líneas de corriente en la Figura 6.9.
(a) FIGUR FIGURA A 6.9 6 .9 . Líneas de corriente del exterior de un disco con un vórtice puntual en su centro
(a) 0 < r < 4?r; 4?r; (b) (b) r = 4?r; 4?r; (c) I' > 4tr
Para conocer todas las líneas de corriente en una región G sólo se necesita mapear de manera conforme a G en el exterior del disco unitario, f : G ~ > { Iz Iz I> 1} ; entonces, la función compuesta w o f es el potencial complejo de G. Es de in terés particular en aerodinámica el conocimiento de todas las líneas de co rriente del perfil de Joukowsky, dado por el mapeo z = f + 1/f, que ma pea los círculos como se muestra en la Figura 6.10. Es posible lograr que los
6.3
*
22 7
APLICACIONES
FIGURA 6 . 1 0 .
Perfil de Joukowsky: {a) plano ?; (b) plano z
perfiles se aproximen a las secciones de las alas de un avión, y evaluar la eleva ción del ala. Se puede incorporar la información de esta sección en la analogía entre flujo de fluidos, flujo de calor y electrostática (véase Tabla 6.1). TABLA 6 . 1
Campos vectoriales en estado estacionarlo
Flujo de fluidos
Campo electrostático
Flujo de calor
F + iO w ( z ) = ------------ log(z - z0) 2m
zv(z) -
Fuente vórtice de potencia Q, e intensidad F en Z q
Fuente de potencia Q, en z 0
Carga de magnitud Q ¡ 277 en z 0
w(z) = Z t _ i _ 27T& Z — z 0
iw{z) =
Doblete de momento p en z0
Dipolo de momento p/2 lT en z Q
w(z)
P
C M
1 N 1 N 0
Doblete de momento p en Z q
Q ------
2irk
i log ---------Z — Zq
1 Q i w { z ) = — ¿ lo g ---------277 z —z0
. , ,
1
-ip ----
277
----------Z -
ZQ
Ej e r c i c i o s 1. Encu entre la función potencial para el camp o electrostático plano en I z I
228
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN ÍA FRONTERA Y VALORES INICIALES
cidad V, los puntos de estancamiento, la potencia y la intensidad de las fuentes vórti ces, los momentos de los dobletes y el comportamiento del flujo en oo. 5 - w(z) = TT" loS ( z + 2ir \ z 6.
w(z) = log ( l +
7. w(z) = log ¡z 2 8.
w(z) = az +
z _1
------ -
z
a, Q >
log —> 27T
0
z
9. Un multiplete puntual (o multipolo) es una generalización de un doblete (dipo lo), que se obtiene al tomar un sumidero de potencia Qen el origen junto con n fuentes de potencia Qjn distribuidas simétricamente en un círculo de radio r, y que mantiene Qr fijo cuando r tiende a 0. Muestre que su potencial complejo está dado por » ( * ) = 2irn 4z ’
\p\ r = Qr, x.>
y que las líneas de corriente están dirigidas a lo largo de los argumentos de las raíces n-ésimas de p. Se dice que tal multiplete tiene orden 2n. Dibuje la imagen de los círculos descritos en los Ejercicios 10 y 11, bajo el mapeo z = f + (1 / f ). (Sugerencia: Muestre que z — 2 = / r - i V 2 1 0 .
6.4
S eries
l f - x l
de
= v /2
+
2
\ f
'
+
1 1.
1 / I f + l
— zl = > / F
Fourier
La fórmula integra) de Poisson está íntimamente relacionada con la noción de una serie de Fourier. Se ha visto que si U(<¡)) es continua por partes para 0 < 0 < 27T, entonces la función , ^ (Re^ + z £7(0) Re ( d<¡) 2 7T X R e ^ z 0 es armónica en Iz I< R y tiene valores en la frontera u(Rei
u(z)
u(z) = Re
2*
-----
1
f 2 tt
— 2 tt - o
U(
1+2
2
------
d
6 .4
•
229
SERIES DE FOURIER
y, como la serie converge uniformemente en Iz I < p < R , la integración tér mino a término está permitida, y conduce a la serie de Fourier
u{z) =
1
27T
'2 it
°° ( 1 — U{é) d(¡) + 2 Re 2 o »=i V2 tt
= c 0 + 2 Re
d<¡>\ (j
in 8
( 1)
? c n é
2
donde Rnc
=
'2 tt
U {é)ein,¡> d<¡> 2 tt es el n-ésimo coeficiente de Fourier de U{<¡>). ___
(2)
Ej e m p l o 1 Encuéntrese una función armónica en z < R que tenga los valores en la frontera U{(¡>) = eos 0, 0 < 0 < 2n . SOLUCIÓN:
Primero se deben calcular los coeficientes de Fourier de eos é e !ní> d é
0
T I
"2n
+
1
0
'- I 2i 1
1
-
" a '
1
_ n — 1 4>
+
g —i(n +l )4 > ~\ 27t
n+
1
= 0 ,
Jo
e2H> -i 2 tt
_ Así, w(z) = 2 Re (rc^16) = Re (z/¿?). 2
d<¡>
2
2i
n¥= 1 , n = 1.
=
Ej e m p l o 2 Una placa con la forma'de un disco de radio R se mantiene a una tempe ratura constante de 1 0 0 ° en la mitad superior de su frontera, y de 0 o en la mitad inferior. Búsquese la temperatura en cualquier punto z de la placa. Aquí U{<¡>) = 1 0 0 p ara 0 < (¡> < ir y t/( 0 ) = 0 para ir < <¡>< 2 ir, por lo tanto los coeficientes de Fourier satisfacen c0 — 50 y
SOLUCIÓN:
2irRn cn = l0 0 f" e in*d
[
1
n > 0.
230
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
Luego,
u(z) = 50 + 2 Re 50 +
(re * ) 2 " +1 c 2n+1
2 n=0
200
Re
------
i
|
(z/R)2n+l
n= o
2n + 1
_
Con el método del Ejemplo 1 en la Sección 3.2, la suma -2n+l
2.
n=o
2n
+
J o
1
1
dz _ —z2
= i
2
Log
( L O
\1 —z
Por ende,
u(z) = 50 +
Re
— Log ( i L Ü 2i \R —z ) 1
7T
= 50 + 100
100 ------
tr
f R + z \ R -z
Arg
--------
R + z R z
Arg
Existe una conexión similar entre las series de Fourier y de Laurent de una función f( z) analítica en un anillo r t < Iz I< r 2. Aquí,
f { z ) =
CnZn ,
2 n - — °°
(3 )
donde
Rn cn =
R n | 2iri -----
1 27T
dz
zn 1
f 2 7T
d
rl < R < r 2.
j o
Obsérvese que f2ir O
27T
k
2 I J
k 2 I
K I é s I 1
k 2 n - —k
1
r 2n
puesto que 2 ir
e i ( n - m ) 0 d(¡) =
g i ( n - m
)
i(n — m)
2 ir 0
= 0 ,
m =£ n.
6.4
•
231
SERIES DE FOURIER
Como la representación en serie de Laurent converge uniformemente en p j < I 2 : 1 < p 2 < r2 , se pueden intercam biar los límites y las integrales y obtener la identidad de Pa rseval 2
r r\ / ( « * )
d<¡) = lím = 27T
*2 ir
2 n=—k
0
rncnein*
2
d(¡)
r 2 n
2 n=—oo
Si z = é®, las series de las ecuaciones (1) y (3) pueden escribirse ambas en la forma 2 con
= c„ , puesto que
2
cnein
(4 )
R e(cnem
Ej e m p l o 3^ Sea f( z) = 2„=_oo cnzn analítica y uno a uno en una región que contiene al anillo r < I: l < R. Muéstrese que el área de la imagen del anillo es 7r
2 n lc„ I2 (R2n r 2n). n= —°°
SOLUCIÓN: En el Ejercicio 11 de la Sección 5 . 1 , se vio que el cambio lo cal en la escala de las áreas, producido por el map eo /(z), es If ( z ) I2 . Por tanto, el área de la imagen del anillo es r< Iz Ki ?
I f'( z ) I2 dx dy -
Por el método utilizado al probar la identidad de Parseval, se tiene
í
Jo
k 2 2 n= —k
\f'(reul>)\2 d
2 n= —~
n2
ncn z.n— 1
d<¡)
l cJ 2 r 2( n -l )
De ahí que, como la convergencia es uniforme,
fí Jr
\f'{z) I2 dx dy = 2ir = 7r
2 n2 n= —«« 2 n = —««
lc „ | 2 í r2n
n\cn I2
J r
1
dr
_ r2n ).
La serie de Fourier de la ecuación (1) no necesita converger a í/(0) . Con sidérese, por ejemplo, una función (0 ) que difiere de í/( 0 ) en sólo un punto. Ambas funciones tienen la misma serie de Fourier, pero ésta no puede
232
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
representarlas en cada punto. De hecho, existen funciones continuas cuyas series de Fourier divergen en todos los números racionales 0 en el intervalo [0, 27 t). El problema de la convergencia es de fundamental importancia en este estudio. Antes de estudiar el tema de la convergencia, es útil definir límites y deri vadas por un lado. Para e > 0,
U{<¡> + 0) = lím 1/(0 + e), e-*0
1/(0 - 0) = lím 1/(0 - e) ►0 e—
son los límites de los lados derecho e izquierdo, y e-> 0 u ' » - o
e
i- if »
e-* 0 —e serán las derivadas por la derecha y por la izquierda, respectivamente, de la función U en 0. Nótese que si U es continua en 0, ambos límites por un lado coinciden con U{<¡>), y si U es derivable en 0 , ambas derivadas por un lado concuerdan con U'(
Te o r e m a Sea U{<¡>) una función spp en [0 , i 27T
27 t]
2*
o
con periodo
27 T,
y
u(d)e~ine dd.
Entonces lím
" &-»co
E
n=
fe
cne ^ = \ [í/( 0 + 0 ) + U ( 0 -())].
(Adviértase que si la serie de Fourier (4) converge, concuerda con el límite anterior, pero que éste existe aunque (4) diverja.)
PRUEBA t : Si C/(0 ) es derivable en a < 0 < b, entonces la integral
b u{(¡>)eik* d<¡>= u ^ y a ik
b
^ rb
ik
í/'( 0 )e*** d
se anula cuando k °°, ya que la última integral está acotad a. Así, la in tegral sobre el intervalo [0, 2tt] se anulará también cuando k *■ °°. Ahora
6.4
•
233
SERIES DE FOURIER
sk((¡))=
2 n=—k
cn e 2n
1
27 T Jo
2
m
_«=—fc
ek^ 9]
eik(
-2ir Joi r
1
= - I í 2' 27 T Jo
s e n (0 —0)
-
dd
- «•'(♦-»)
dd
£ ,(* )
al establecer t = d — 0 , integrar sobre el intervalo [—ir, tt] y dividir el interva lo de integración en mitades, se tiene
W =irr Jor sensen -fe+ r ' )¿- W +1)+ jt 27
-
0] dt
(véase Figura 6.11).
F i g u r a 6.11.
En particular, si £7(0) = 1 para todo 0, entonces c 0 = 1 y cn - 0 para n =£ 0. En consecuencia, 1»
i 27r
f'
Jo
Í ü £ ± í í í . 2 * .
sen t í
Al multiplicar esta identidad por [1/(0 + 0) + 1/(0 —0)] /2, se tiene Sfc( 0 )
£7(0 + 0) + £7(0 - 0) g
= J _ f * sen(_fe + T_)í ^ ^ _ 0jj ¿t + t j _ u(^ . + + sen t t 2ir Jo Ya que las derivadas por un lado de £7 existen, la función £7(0 + í) - £7(0 + 0) £7(0 - í) - £7(0 - 0) sen t í es suave por partes en 0 < t < 7r por lo que se aplica la primera observación de esta prueba, y la integral ■* sen (fe + i ) í ^ o sen t t
+^
+ ^ + u{^ __ ^
^
dt
234
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
se anula cuando k
°°. Así, lím sk (4>) = i [U{ + 0) + U(4> - 0 ) ] . ■
Ej e m p l o 4 Muéstrese que 7T — ~
T
2
1
~
1
1 ^3
~~
1
1
3 ^5
5 ^7
_
7 ^9
por medio de la serie de Fourier de la función TTtA>\ - í Sel1 W
SOLUCIÓN:
-
j
O <0<77, 0,
7 7 < 0 <
277.
U(4>) es suave por partes y
2ircn = í sen 4>e~m<^ d
¿(\n)
lo cual implica que c 2k = [^(1 — 4&2) ]- 1 , c±1 = ±[4¿] - 1 , donde se anulan los coeficientes restantes. Como c 2k = c 2 k, c\ = — , se tiene
c 2ke2k
UU) =
+ i + Í 2
7T
l 7T
— cos2H
k =\
(1
-
2 A ¡ )( 1
■ +
2k)
Específicamente, para 0 = 7t/2, U( tt /2 ) = l,así que k 1 = —+ i —— f k = i ( 2k l)(2k + 1) 2 77 7t Por tanto t t -
4
2 = j _ _ _ _ _ _ _ L + _ L
1*3
3-5
5-7
_ L +
7-9
Ej e r c i c i o s 1. Si la placa G tiene forma del disco unitario con temperatura u(e%) =
u(z) = 77 + 2 Arg(l —z). 2. Encuentre la temperatura de Iz I < 1, dado que la que tiene en la frontera es u(e‘
6.5
•
235
TRANS FORM ADAS DE FOURIER
4. Pruebe la serie de Fourier para U(
7. Pruebe qué
— =
“ 1 n= 1 n 2 £
— •
90 n=l n4 8 . Aplique la identidad de Parseval a la función f{z ) — (1 — z )"~1 y pruebe que 1 0 < r < 1 . í’2n ^ = — — , 27T ■'0 1 — 2 r c o s 0 + r 1 —r 9. Emplee la identidad de Parseval en la función f( z) = 1 +z + . . . + zn~1, confirme que C2n / M0 / 0 \ 2 sen — / sen— dé = 27rn. 2 / 2 / J o V {Sugerencia: f{z) = {zn — 1 )/ {z — 1) para z =£ 1.) 10. Para propósitos de cálculo, los coeficientes de la serie de Fourier en la ecuación (4) se aproximan con sumas de la forma _______
Nl ( 2 TTk\ . ., ... Nc n = 2 U — ) e -2* *n /N . k=o \ N / Si N = Ni ' N 2, k = ki N 2 + k2 , y n n 2Ni + ni , 0 < k }, n¿ < N j , muestre que
Ncn =
2
k 2=o
N
2
k,=o
U
\ N J
W».*. , 1 j
donde WJv = e~ 2™/N. Así, cn = cnj ,n2se obtiene como una transformada de los coeficientes N 2 Afj —1 / 27r/s \
0
6.5
T r a n s f o r m a d a s de F ourier La serie de Fourier de una función U{(¡>) de periodo 27T puede escribirse en la forma siguiente: 2 c j n\ n=-«
cn = - L í* U{
236
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
De modo semejante, si £7(0) tiene periodo 27rA, con 0 = 0/A se obtiene una función de periodo 2ir; por ende, £7(0) tiene la serie de Fourier f
n = —oo
cnein* =
f
71=—oo
, cnein^ K
donde í/( 0 ) c - ¿n0/x d
u(t) = —^— í
U{<$>)e~lt* d(j>,
y ya que t n +1 — tn 1 /A, se puede escribir la serie de Fourier en la forma |
J í M ¿tn* = J _ ! u(fB) ^ * (tn+l tn ), A-v/Stt y/2ñ B=-°"
muy similar en apariencia a las sumas con las que se definen las integrales de Riemann. Si A -> °° e ignora todas las dificultades técnicas, se obtienen for malmente las expresiones
Ú (0) = —-— í ” u(t)
M(t) = —^ í / ( 0 ) ^ - ¿í0 d<¡>.
y /W J- ”
. n n n n n n ri 0 2717X 1->n n n n n t
n
n n
n
r01 r1
n
n n
I I FIGURA 6.12. T r en es d e p u ls o s d e f r e c u e n c i a d e c r e c i e n t e
n
6. 5
•
2 37
TRANS FORMA DAS DE FOURIER
Las fórmulas para £7 y u tienen similitud inconfundible. Se dice que éstas for man un par de transformadas de Fourier, y u{ t ) es la transformada de Fourier de U(
TEOREMA INTEGRAL DE FOURIER Si £7(0) es suave por partes y I£7(0) I se puede integrar en entonces PV £7(0)- PV •
PRUEBAt:
1
d t=
í"
1
—00 <
0<
[f/( 0+ 0) + £7(0 - 0)].
Como I£7(0) I es integrable, la integral oo '
£7(0)e!í(0-1^ d(j>
converge uniformemente con respecto a t sobre cualquier intervalo finito. Es posible, por tanto, integrar con respecto a t sobre el intervalo (~T,T), e inver tir el orden de integración. Entonces, -T
£ 7 ( 0 ) ^ - ^ d<¡>dt =
> |0 1 +
rr
dt d
J -
=2 y
£7(0)
1 (0 fijo)
£7(0)
sen 7(0 - 0) t£0, 0— 0
puede escogerse de tal forma que I
•U0l>
l£7(0 )ld 0< f • .
4
Así que $ — I0 I> 1, lo cual denota que serene - j ) #
I£7(0) Id < p < 4 0 1>0 I0 l>
238
CAPITUL O 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
y en forma semejante para la integral en [—<3?, T grande 'T
d(¡>dt
- T
’
2 1
0
— 5 ] , lo cual indica que para
0+ 6
' " í/( 0 ) 3-6
sen!T(0 — 0 ) 0 - 0
d
Pero al cambiar variables, se encuentra M U M * aTS e z ñ d
’6
senTcj)
0
0
[U {6 +0) + U(Q - 0 ) ] d<¡>,
i* n I t [U {6 + 0) + U{d 0)] ¿0.
7-*-“ 7T Jo
0
^
Como las derivadas por un lado de U existen, la función U{6 + 0 ) - U(6 + 0) + U{6 - 0) - f/(0 - 0) 0
es suave por partes. Por (1) la integral sen T
U{Q + 0 ) + U{6 - 0 ) - U{6 + 0) - 17(0 - 0)
lo cual implica que rv if o j-
,t a P g + ai + W - o ) 7T
=
<¿0 ->■ 0
0
?.) + ^
- °)
f
íe
Jo
Iím
Z* * 0
S^ 1 0
7T
¿0
0
1
= ^ [ í / ( 0 + O) + í/( 0 _O)] por la integral de Dirichlet (Ejercicio 16, Sección 2.2 o Ejemplo 1, Sección 4.4). ■
Ej e m p l o 1 Supóngase que t/(0) = e~ 1 ^ e n t o n c e s I U(
u(t) =
e ( - i t + 1 ) 0 d<¡) +
-ít—1 )0 d
x / 2 ñ V ^ ( l + í2 ) satisface a
p!Í0
Í0 0 1 + í2 7T 1 + t2 7T Debe compararse este resultado con el Ejemplo 1 de la Sección 4.3. ■I0 I
^
dt =
“
COS
I 6.5
•
239
TRANSFORMADAS DE FOURIER
Ej e m p l o 2 Al separar las integrales como en el cálculo anterior, se obtiene e- y
I£I
x) t
2( 0
— x ) 2 + y 2 lo que transforma la fórmula integral de Poisson para el semiplano supe rior (Ejercicio 4, Sección 6.2) en (0
0 W
- *
n
f '
„ (0
= J_ f“ 2 7f
J — OO
— x ) ¿ + y
í ” U{
Si se invierte el orden de integración y denota por u(t ) a la transformada de Fourier de £7(0) se tiene
U(z) = — ^
í ” u{t)e~y ltl+ixt dt
Re —
í ” u{t)eht dt j , Jo J
(3)
ya que u(t) = u(—t) para funciones reales £7(0) y 2 Re tt(í)e“ * = «(í)*”* + u{t)e~at = M(í)e(_y+¿c)/í + M(-í)
Ej e r c i c i o s Encuentre las transformadas de Fourier de las funciones de los Ejercicios 1-4. (Sugerencia: Utilice las integrales de contorno de la Sección 4.3.)
^
b x 2 + b2
x 2 3. —r —— {x2 + b 2 )2 -----
x x 2 + b2 4.
1
x 4 + ó 4
Encuentre las transformadas de Fourier de las funciones de los Ejercicios 5-8. ( Sugerencia: Use las integrales de las Secciones 2.2 y 4.5.)
5. e~ kx* 1
7. senh x
---------
6 . x e ~ kx2 x 8. senh x ---------
240
CAPÍTULO 6
• PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
9. Suponga que U((p) = l¡ en 0 < <¡) < °° y se anula en--°° < <¡) < 0. Encuentre una función armónica en el semiplano superior que tenga a £/() como sus valo res en la frontera. 10. Considere la placa G con la forma del semiplano superior y con temperaturas de 1° en el intervalo [—1, l]y 0 ° e n e l resto del eje real. Encuentre la temperatura en todo punto de G. 11. Suponga que U = U en casi todos los puntos de (—°°, °°). Sin considerar la con vergencia, muestre que í
J —OO
U(
u(t)v(t)dt,
J — oo
donde u, v son las transformadas de Fourier de U, V, respectivamente. Entonces obtenga la identidad de Parseval para las integrales I
£/()
J — oo
2
d<¡>= f
J —oo
\u(t)\2 dt.
12. Muestre que r
J-“
* - * , , , ^ 2
r
7T J - “
(1 + í )
(iSugerencia: Use el Ejercicio 11.)
6 . 6 T r a n s f o r m a d a s de L a p l a c e Los métodos de la transformada de Fourier a menudo son inútiles para anali zar funciones que no son absolutamente integrables en (—°°, °°). Por ejemplo, la función de Heaviside
{o,
t < l
no tiene transformada de Fourier, ya que la integral
diverge. Esto se debe a que el factor no tiende a cero cuando °°, lo que conduce a probar factores de la forma e~ S(l> = e~^g+lt^ , que se anulan cuando g > 0 y <¡) °°. La función £ 2 { U ( < P ) } ( s ) = J _ " _
d<¡>
(1)
se denomina transformada de Laplace de dos lados de la función U(<¡)). Cuan do se escribe s = q + it, la ecuación ( 1 ) se convierte en J “
t/(0) d
que es la transformada de Fourier de la función \J 2’nU(
6.6
•
241
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
En lugar de desarrollar un análisis de la transformada de Laplace por dos lados, es más conveniente escribir la integral ( 1 ) en dos partes, |°°
J —oo
U{
J_ oo
U{(¡))e^ d(¡) + f “ U{4>)e~s* d<¡) Jo
d
= I” Jo
Entonces, un estudio de las propiedades de la integral £{£/()} (s )= J "
¿ 0 ,
(2 )
llamada transformada de Laplace (por un lado) de £7(0), permite investigar el comportamiento de la transformada de Laplace por dos lados, ya que JC2 { t / ( 0 )} (s) = £ { t / ( _ 0 ) } ( - s ) + £ { t / ( 0 )}(s). La transformada de Laplac e por un lado, definida en la ecuación (2), tiene muchas propiedades similares a las de las series de potencias. Se probará la existencia de un semiplano de convergencia análogo a la noción del radio de convergencia en el teorema de Abel. La transformada de Laplace por dos la dos convergerá en la franja a < Re s < b (a < b) en analogía con el de sarrollo de la serie de Laurent.
TEOREMA Supóngase que í/(0) es suave por partes y de orden.e xpo nen cial (esto es, existen constantes a y $ tales que e~a<1> I U{<¡>) I está acotada para toda 0 >
PRUEBA: Al denotar por M una cota finita de e a
tiene í°° lí/(0k - i 0 \d(¡)< I* It/(0)e - i 0 Id<¡>+ M í°° I (*—«)0 |d<¡>. Jo Jo J
f"
e - ( R e * - f l ) 0 ¿ 0 = g ( R e *_ j l
J
242
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
Dómlnio’d©
ÍQípfíVeítívÑT'
FIGURA 6.13. Semiplano de convergen cia
¡'oo
J
C/(0 ) < M -
(Re s —a)
Re s —a
cuando 0 > <£>, y 0 puede elegirse de tal forma que el lado derecho de la ecuación anterior quede más pequeño que un e > 0 preestablecido, para todo s en D. Para los enteros n 0, las funciones ^ = Jo
u ^ e ~s4> d 0
son analíticas en la región Re s > a porque
Un ( s ) = - J o
0 U{^)e~s4> d(¡).
Por tan to, según el teorem a de Weierstrass, la serie de funciones analíticas 2
[M„+1 (í) - M„ (í)] = í
n= 0 J0 es analítica en Re s > a. En particular,
c/(0)e_í0 £¿0 = JC{[/ (0)} (í )
JC {í/(0)} = - J “ 0 í/(0 )e -^ dc¡> = —£ {0 C/(0)}. ■
Ej e m p l o 1 Muéstrese que
£ { e ~z* } para Re s > —Re z. SOLUCIÓN:
1
í +z
En la región Re í > —Re z, se tiene
JC 1
J
Jo
“ _ 1 d<¡) . r _ (í + z ) o í +z
(3)
6.6
•
243
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Ej e m p l o 2 Confírmese que
¿ i r } =
n! j i +i
para Re s > 0, n = 0, 1, 2 , . . . SOLUCIÓN:
Al integrar por partes repetidamente, se obtiene
(jfe s d(j) o n _ 0,n_-s0 "e + —
jc m
-
0
n s ni
5 JO
6"-1
—5
pn 1 g s
+
n —1
0
e s dtp
5
,n - 2
0’
d
n\ A+ 1
También se pudo haber hecho z = 0 en el Ejemplo 1 y utilizado la ecuación (3) repetidamente para obtener el resultado.
Otros dos resultados útiles al calcular transformadas de Laplace son los teoremas de desplazamiento. Nótese que °° ( C / ( 0 ) c - ^ ) c - í 0 d<¡>= J ”
U (4 )e ^ z^ d(j>,
lo cual proporciona el primer teorema de desplazamiento JC{í/( 0 )e-^}(s)-=JE{í/( 0 )}(s+-z)v donde la última expresión significa que cada s en £ \U } se reemplaza por s + z. Si a > 0, se tiene
¡o
U(c¡>)H((¡) - a)e~s* d
d
Cuando se sustituye 0 = 6 + a en el lado derecho de esta ecuación, se obtiene f " U (0 ) / / ( 0 - a )é * d(¡> = e as f °° U(6 + a)e¡e dd. Jo Jo Además, puede reescribirse como el segundo teorema de desplazamiento,
£{U{(p)H(
244
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
Ej e m p l o 3 Para cualquier entero n > 0, pruébese que (C O T Í’
R' s > “ R E
SOLUCIÓN: Podría usarse la ecuación (3) repetidamente para obtener este resultado, pero es mucho más fácil el primer teorema de desplaza miento, si ya se tiene el resultado del Ejemplo 2. Así,
£ { r e » } = £ {< ? } ( , + * ) = (- ^
I .
0
Ej e m p l o 4 Muéstrese que si a > 0, entonces e - a (s + z )
£ {e Z(¡> H((¡) —a)} =
------------
s+ z
Re s > —Re z.
>
SOLUCIÓN: Por el segundo teorema de desplazamiento y el Ejemplo 1,
£ { e Z(t>H(<¡) a)} = < r« £ { e~z^ +a)} = e - « ( * + * ) £ {e~z*} .
En particular, obsérvese que
£{H(
é~as » s
Re s > 0,
cuando z — 0 .
Nótese que la transformada de Laplace es lineal:
£{aU(
d
V(
= a£{U((¡>)} + b£{V(cp)}.
Ej e m p l o 5 Muéstrese que, cuando Re s > IIm z I, £{cos z(p}=
— s2 + z 2
'
y
£{sen z
S2 + Z 2
6. 6
•
245
TRANSFORMA DAS DE LAPLACE
Obsérvese que
SOLUCIÓN:
£{cos z 0 } = £{i(é?** + e - ¿í>)}
£ {sen 2 0 } = X
1
1
s — iz
s + iz )
s2 + z 2
^ (e* * e ~ ^ ) 1
/ 1
2¿ V s — ¿2
5 + iz )
S 2 + Z2
P r o p i e d a d de la d e r i v a c i ó n Si £7(0) y U'{4>) son funciones spp de orden exponencial, entonces £ { í / ' ( 0 ) } =s£{U(
(4)
donde £/(()+) es el límite por la derecha de U.
Como U y U' son de orden exponencial, todos los términos en la ecuación (4) existen en Re s > a. Para probar (4), integre por partes PRUEBA:
C/'(0 ) e - , í d(¡> = C/(0 )e-**
U{$)e~s* d(¡>.
Ej e m p l o 6 Compruébese que 2z2
£ {sen2 2 0 } = — — > 1 5 (s2 + 42 ) '
Re 5 > 2 IIm 2 I.
--------
Como d /0 sen.2 2 0 \ i . — ) = t ( 1 —cos d0 V2 4z / por la propiedad de derivación y linealidad, SOLUCIÓN:
----------------
X{»e
2 1 = 5
cuando Re s
>
1I m 2 2 I .
, 2s 2
4:
.
220)
2
=sen‘íz 0 ,
j
\ 2(s 2 + 4 z 2 ) / 1
2z2 s(s 2 + 4z 2 )
246
CAPIT ULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
La convolución de las funciones U(<¡>) y F( 0) es la función
U * V{
U{t) V{
Adviértase que los papeles de U y V pueden intercambiarse sin que varíe el va lor de la convolución. Si las funciones U, V son absolutamente integrables en ( 0 , °°), la convolución satisface la identidad
£{U * V} = £{U}£{ V},
(5)
esto es, la transformada de Laplace de la convolución es el producto de las transformadas de las funciones. Las hipótesis anteriores son suficientes para in vertir el orden de integración
£ {U * V} = J ” = J ”
U{t) V{<¡> t ) dt J ”
d<¡>
U{t) V{<¡) t)H((¡> - t ) dt
—S(¡> d<¡>
= í ” U{t) í ” V{<¡> t)H(
r U{t)£{v{(p - t)H{(¡> - t ) j dt,
Jo
que, por el segundo teorema de desplazamiento, conduce a
£ { u * v } = £ { v } J ” U{t)e~ts dt = £ { u }£ { v } . El ejemplo siguiente da una indicación de la importancia de la noción de convolución.
Ej e m p l o 7 Obténgase una solución particular de la ecuación diferencial
U"{<¡>) + 2 wU'() + (w2 + z 2 )U(
Por medio de la propiedad de la derivación, se obtiene
[s2 + 2ws + [w2 + z 2 )] jC{C/(0)} =£{V{<¡>)}. Pero, si se usa el primer teorema de desplazamiento, se tiene
£ {e
senz
(s + u; ) 2 + z 2
Así que, 1
- 0 }jC{ K(0 ) } ,
6.6
•
24 7
TRANSFORMADAS DE [APLACE
y la solución es
U{
Este último ejemplo crea el importante concepto de función de transfe rencia. Muchos sistemas físicos pueden tomarse como aparatos que transfor man una función de entrada V en una función de salida U. Si todas las condi ciones iniciales son cero cuando
Z{s) donde Z(s )- i , la función de transfe rencia, es independiente de V. Sea UH la función de salida cuando V(cp) = H((p). Entonces, con el Ejemplo 4, se en cuentra Z(s) 1 {U H) = £{H(<¡>)} = I
S
o bien
£ { u } = ^ $ - = sZ { uh } l { v } = sZ { uh * V}.
sZ(s) En consecuencia, por la propiedad de la derivación,
U{<¡>) = (UH * V)'(tp) = í 0 UH( t) V\< l> t )d t + UH (
(6 )
Al conmutar £,{U h } y X{ Vj dadas anteriormente, también se sigue que
U(
(7)
ya que las condiciones iniciales implican que f///(0) = 0. Las ecuaciones ( 6 ) y (7), fórm ulas de Duh amel, expresan la respuesta de un sistema a la función de entrada V((p) en términos de la respuesta, experimentalmente accesible, a la función de Heaviside.
Ej e r c i c i o s Verifique las transformadas de Laplace y las regiones de convergencia en los Ejercicios 1-13. 5 1. £ {cosh ztp} = — Re 5 > |Re z| 52 - Z 2 2. £ {senh ztp] = —J-— -> Re 5 > |Re z| 52 - z 2 2 sz 3. £ {(p sen zcp\ = — —— > Re 5 > |Im z | ------
(í2 + z 2)2
24 8
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
2
2
4. £ {0 eos z<¡)} =
— Z , (s2 +z¿)¿ 9 cy 5. £{0senh z<¡)} = — — , (s2 —z2)2
Re 5 > |Im z\
------
2
2
6. £ {0 cosh z 0} = —^ , \s ~ z ) 7.
sen z0| =
8. £ { e ~ w
R e s >| R e z| Re 5 > |Re z| Re(s+a;)> |Imz|
(s + w) + z2
—Re(s + w) > |Im z) (s + w)2 + z2 -----
------
9. JC{02 sen z0 } = 2 y^ S ■ Z ^> (s2 + z2)J
Re 5 > |Im z|
10. £ { 0 2 co sz 0 } =
TTT^ ’ Re 5 > |Im z | (.s2 + z2) J 2z 2 ~\~c2 , 11. JC{cos2 z 0 } = — —> Res>2|Imz| s(s2 + 4z2) e~as 1 2 . jC{ / / ( 0 — a) senz0} - — (z eos za + s senza), s + z2 ------ -
Re s > I Im z I 13. jC{//(0 — a) eos z 0 } = — - (s eos za — z senza), s + z2 -----
Re s > IIm z I 14. Resuelva la ecuación diferencial U'\<¡>) + 3t/'(0) + 2 U{<¡>) = sen0, use transformadas de Laplace. 15. Resuelva la ecuación diferencial t/"( 0 ) + t/( 0 ) = 0 sen 0 ,
C/(0) = U'( 0) = 0,
t/( 0 ) = 0 ,
t/ '( 0 ) = l .
Utilice transformadas de Laplace. 16. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales t/'( 0 ) = U{<¡>) F ( 0 ) + sen 0 ,
t/ ( 0 ) = 0 ,
V\
F(0)=1,
con transformadas de Laplace. 17. Encuentre la transformada de Laplace de la solución general de la ecuación di ferencial 0C/"(0) + t/'(0) + 0t/(0) = 0.
67
•
249
LA TRANSF ORMADA INVERSA DE IV\PACE
18. Dé un ejemplo de una función spp que no sea de orden exponencial. 19. Dé un ejemplo de una función de orden exponencial que no sea suave por partes. 20. Si £7(0) es suave por partes y de orden exponencial, muestre que
£ | j* £7(0) cty-J = i £{ £/ (0 )} + J [° £7(0) d, y use ésta para encontrar la transformada de Laplace de la integral seno
„., , = Si(0)
r* sen0 d(j). i.
Jo
--------
0
Si £7(0) y £/'(0) son suaves por partes y de orden exponencial, pruebe las condiciones dadas en los Ejercicios 21-23, ya que el dominio de convergencia de incluye el semiplano derecho cerrado. 21. lím jE{C7(0)} = 0 S~ > 00
22. lím 5 jC{t/( 0 )} = £7(0+) S~+00 23. lím s£{U{(¡))} = lím £7(0) >00 0 0— ► 24. ¿Pueden las funciones
s
>
1
.
e
,./i
s' 1 ser transformadas de Laplace de funciones £7(0) que, junto con £7'(0) son suaves por partes y de orden exponencial? En los Ejercicios 25-27, pruebe que la convolución es distributiva, conmutativa y aso ciativa. 25 . U* {Vy + V2)= U * Vy + U * V2 26. U * V = V * U 27. { U * V) * W £7 * ( F * W)
6 . 7 La
t r a n s f o r m a d a inversa de
Laplace
En esta sección se estudiará una técnica muy poderosa para determinar la fun ción £7(0) cuando sólo se conoce la transformada de Laplac e U(5 ) = £{£ 7 (0 ) }( 5 ) = [ “ U(<¡>)e* d<¡>
(1)
de esa función. Supóngase que £7(0) es de orden exponencial, con e~a
¿í0
¿ 0 ,
q>a,
25 0
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN U\ FRONTERA Y VALORES INICIALES
que es la transformada de Fourier de la función
<¡>>0, (2) 4><0. Como q > a, I P((¡)) I es integrable, se aplica el teorema integral de Fourier. Así que, en todos los puntos
P((j>) = ?VP((j))=
1
PV
y/2ir
o sea
u(q +
t W = T27TT PV
2m
PV
q+i** q—i*
dt
u(s)es
s = q + it,
<¡) >
0.
(3)
Esta última ecuación es la fórmula de inversión para transformadas de Laplace. Se escribe £ ~ l {w(s)} = U((¡>) en todos los puntos <¡>> 0 de conti nuidad de U, y a U se le llama la transformada inversa de u. En particular, nótese que diferentes funciones continuas spp de orden exponencial tienen di ferentes transformadas de Laplace. Supóngase que se desea encontrar la transformada inversa de Laplace de una función univaluada w(s), Res > a y además que u(s) se anula cuando ( para s = q + Re‘e , q > a, s -> oo en I e *
+ # 0 eos e
o
si R °°, dado que
2 m J-Ti
u{s)es
<¡>< 0,
(4)
(5 )
(a)
Fi g u r a 6.14. (a)0
(b)
6.7
•
251
LA TRANS FORMA DA INVERSA DE LAPACE
convergen a £ ~ 1 {w(í)| cuando R *■ °°. Puesto que u(s) es analítica en Re s > a , la ecuación (4) se anula por el teorema de Cauchy. Así í/( 0) = 0 si 0 < 0. Fi nalmente, el teorema del residuo señala que ¿7(0) =
2
Res w(j), si
Re s < q
0 > 0.
(6)
Como la función exponencial es
Ej e m p l o 1 Encuéntrese la inversa de la transformada de Laplace
u(s) = > \ (*+ l)( s + 2) ------------------
Re s > 0.
La transformada u(s) tiene polos en s = -1 y s = -2. Con la fórmula del residuo en la ecuación ( 6 ), se obtiene es
SOLUCIÓN:
-------------------
= e0 _ e-
2 0.
Ej e m p l o 2 Obténgase la transformada inversa de Laplace de la función . . 2s + 3 u(s) = > s2 + 4 ----------
SOLUCIÓN:
. Re s > 0,
Aquí los polos están en ±2z, así que (25 + 3 V 0 „ (25 + 3 V 0 - — + Re s_ 2i — — s2 + 4 52 + 4 4z + + 3 ) e -2út> + 3^ 220 + f 4Z
f/(0) = Res2¿
----
-----
—4z = 2 eos
2 0 +
"I sen 2 0 .
Ej e m p l o 3 Inviértase la transformada de Laplace -2 s
u(s) = —
T’
(5 + 3)2
R e5 >0 .
252
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INC ALE S
La ecuación ( 6 ) no puede usarse porque u(s) no se anula cuando s 00 sobre el eje real negativo. Sin embargo, el método utiliza do para obtener la ecuación ( 6 ) puede emplearse todavía. Al integrar j 0 - 2 )í u(s)eS(l> =
SOLUCIÓN:
----------
(, + 3)2
sobre los dos contornos mostrados en la Figura 6.15, adviértase que para s = Re ie, |e(
°° si (0 — 2) eos 6 < 0. Por el teorema de Cauchy, *(0 - 2 )í 1 ds = 0 si 0 < 2 . 2m R*™ h , (s + 3 ) 2 Para 0 > 2, el teorema del residuo proporciona el resultado Í7(0) =
1
lím
r gto-zh
ds Jy 2 (í + 3 )2 ,g(0 - 2 )í = Res_ (0 - 2 )e'3(0“2). (s + 3 ) 2 Por tanto, u(0) = (0 —2) e" 3^ - 2 ^ H(
27r¿
y
y
(b) F i g u r a 6.15.
(a)
Cuando se invierte una transformada de Laplace u(s) que sea multivaluada, se debe tener especial cuidado para evitar cruzar cortes de ramifi cación.
Ej e m p l o 4 Encuéntrese la inversa de la transformada de Laplace
u(s) = — »
Re s > 0.
6.7
•
253
LA TRANSFOR MADA INVERSA DE LAPACE
El teorema de Cauchy indica que ambas integrales
SOLUCIÓN:
ds = 0 ,
2 iri Ja v/j-
donde 7¡ y y2 son l°s contornos mostrados en la Figura 6.16. Puesto que | g (* -i )<¡> ] = eRQ cos 6 -> o,
cuando R *■ °° si 0 cos 6 < 0, la función U(
Corte de ramificación
Figura 6 .1 6 .
Para 0 > 0, nótese que la integral se anula cuando R círculo grande de y2 mientras que 1
1
f 2
ds < _L_ I 2 tt Jo r 1= r 27TZ « ■ j ■ ■ , / j
tt
°° en el semi
cos 6 d d ^ 0,
cuando r -> 0 en el círculo pequeño de y2 . Entonces, f/ ( 0 ) = l í m R-+~
1
fi+zfi
,
—— ds
2 i r i J l V J T
„ í 1 f—r = lím I K— (27TZ \ - R r—0
1
etrl> dt — —
2m
yf \ t \e ~ i
f-r j - R
t<¡>dt
_____
y/\t
Si x = t se tiene
U{(¡>) = lím
1
— *
CR e~x4> dx
1
f°°
e x(t> dx
------------ --------
Jr
V 5"
* J °
y con la definición de la función gamma del Ejercicio 14 de la Sección 4.5, se tiene n i) _ i ■
m
)
ns/0-
v^r0
254
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
Ej e m p l o 5 Resuélvase el problema de valor inicial
U”{
í/'(0 ) = ~
■
SOLUCIÓN: Con la propiedad de la derivación de la Sección 6.6,
£ { t / " ( 0 ) } = íJ E{1 T(0 )} - i - =s2£{U(
o sea,
S
£ { í / ( 0 )} =
—
= ■■■ w s + iv
IV
2iü(í + iv)(s2 + w2) Por el teorema de inversión para transformadas de Laplace, t/( 0 )=
2
s<
Res JC{í/(0)} (í) es
asi que
U(<¡>) = ~ e~ ,W4> + — 2iv 4zv
4-
e~ ÍW0 - cos w<¡) ~ e~ W0 4zv2 2zv
Ej e m p l o 6 La ecuación de difusión térmica en una varilla semi infinita es
BU c d2 U =0 9 31 dx2
(7)
----
donde 6 es el coeficiente de difusividad de calor en la varilla, x es la por ción sobre la varilla, t es el tiempo y U es la temperatura. Supóngase que se dan las siguientes condiciones inicial y de frontera: 0 < x < °° , U(x, 0) = 0, U{0,t) = c¥=0, t > 0, lím U(x, t) = 0, t > 0.
(
8)
X-K»
Encuéntrese la temperatura U en cualquier punto x a cualquier tiempo t.
6.7
•
255
LA TRANSFO RMADA INVERSA DE LAPACE
SOLUCIÓN: Considérese a x como parámetro y defínase
£{U(x, t)}(s) = j
e~st U(x, t) dt.
Por la propiedad de la derivación, la ecuación (7) se transforma en í £ { t/ } -t /( * ,0 ) = J c j ^ } = 6
—
£ { U },
Cuando se intercambian las operaciones de tomar la transformada de Laplace y la de derivar con respecto a x. Como este intercambio puede no ser válido, se debe comprobar la respuesta y verificar que solucione el problema. Si :w = £ { [ / } , la ecuación diferencial es
d2u 5 , , i= — u, (9) dx2 8 donde se considera a x como la variable independiente y s como un pará metro. Las condiciones de frontera en (8) pueden reescribirse en la forma (0,s) = £{u(0, f)} =
lím u ( x , s ) =
~ cce*' e ~ s t dd tt = -C
o
lím U(x, t)e
Jo
d t 0,
(10)
(11)
siempre que el intercambio de la integral y el límite sea válido. La solu ción general de la ecuación (9) tiene la forma ,
u
así que c t = 0 por la ecuación (11) y c 2 = c/s por la (10). Por tanto, £ { u y = ce~'J*fix/s, y puede utilizarse el teorema de inversión para las transformadas de Laplace, o el Apéndice 2, para obtener
U(x, t) = c ( 1 - — f * /2s/i7 e - " 2 dv) . s / T
(12)
Al comprobar que la ecuación (12) es efectivamente la solución, nótese que
r e dv = - — 2 Jo por medio del Ejemplo 3 de la Sección 2.2. De esta forma se satisfacen las condiciones inicial y de frontera (8). Además, _
y ‘
c
9^
yjñbt
a2 f I _
ex
g—x2/45 1
e ' x'l4St = W
3 ^ “ 2 v ^ 5 í3/ 2
" 9í '
256
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
Ej e r c i c i o s Encuentre las inversas de las transformadas de Laplace dadas en los Ejercicios 1-10. Suponga que cada transformada se define en el semiplano Re s > a y b es real. 1
. ^ (s + a)
3.
2.
5 {s2 + a2 )2
4.
------
1
+ a)
(s
1 (s + a )4
------ ----
5 .— i s(s2 + a2 )
6.
1 7 . — -------
8o . e~bs
(s3 + a3 )
5 s3 + a3
(s + a )3
P ~ b s
pbs
9.— s2 + a2
10.— s(s2 + a 2 ) ---------
Use los métodos de los Ejemplos 3 y 4 para invertir las transformadas de Laplace de los Ejercicios 11-18. Suponga a, b > 0. 11.— ,
Re 5 > 0
13. Log
,
14. tan-1 —> s
12.— , V^ Re s > máx(a, b)
Re s > 0
1 5.
Log ^1 + —— ^ >
16.
Re s > 0
Re s > 0
e~a'fs~ , Re s > 0 y /T 19. Resuelva la ecuación
17 .
Re 5 > 0
i 1 8 .— L o g ( l + s 2 ), 25
----------
l 2 ■ | sen ( 4> —í) U(t) dt. U(<¡>) = <¡>+
20. Resuelva la ecuación
UU) = e * 2 í0 eos {<¡> - t ) U(t) dt. Jo
21. Resuelva la ecuación integrodiferencial
U'{(¡))+ í0 U(t)dt = e a*, Jo
(j)>0,
dado que [/(0) = c(Y=0). Use transformadas de Laplace.
Re s > 0
6.7
•
257
LA TRANS FORMA DA INVERSA DE LAPACE
22. Encuentre la solución de la ecuación diferencial con retraso í/"( 0 ) = í / ( 0 -
1
)-
-
1
)
dado que £7(0) = 1 para —1 ^ 0 ^ 0 . 23. Resuelva la ecuación de convolución £7(0) = 1 + J * ( 0 - t) U(t) dt. 24. Encuentre una solución de la ecuación, de onda
Un ~ o, Uxx , con condiciones iniciales y de frontera
U(x, 0) = 0, Ut(x, 0) = 0,
£7(0, í) = sen — , b
U(b, t ) = 0,
donde a y b son constantes fijas 25. Busque una expresión para la solución de la ecuación de onda
Uft ~ Q UXX y X, t ^ 0 y en una cuerda semi-infinita, dadas las condiciones iniciales y de frontera U(x,0)=f(x), x > 0, Ut(x, 0) = 0, x > 0 , U(0,t) = 0, t > 0, lím U(x, t) = 0, t > 0. X-*^o
26. Una cuerda finita, sujeta a una función de forzamiento f{x, t), satisface la ecuación de movimiento
Ux x
\ Utt = f( x, t). a
Las condiciones iniciales
U(x,0)=g(x), 0 0 < x < L, Ut(x, 0) = h(x), son funciones dadas, y la cuerda tiene sus extremos fijos: £7(0, í) = U(L, t) = 0. Use transformadas de Laplace para obtener una expresión para la solución de este problema. 27. Resuelva la ecuación diferencial parcial
Ut = 8Uxx + nU x ,
t > 0,
x > 0,
dadas las condiciones inicial y de frontera
U(x, 0) = 0, x > 0 , t > 0, £7(0, t) = c(=£ 0), lím U(x, t) = lím Ux (x, t) = 0,
X-*^o
co
t > 0.
258
CAPÍTU LO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
NOTAS SECCIÓN 6.2 Puede encontrarse un análisis más completo del problema de Dirichlet en el plano complejo en [A. págs. 237-253]. El problema de Dirichlet en el espacio tridimensional se estudia en la teoría del potencial; un clásico en esta área es [Ke]. La hipótesis sobre C/(0) en el teorema de Poisson puede desarrollarse substancialmente [Hf, Capítulo 3, y H, Capítulo 19].
S e c c i ó n 6 .3 Un tratam iento del perfil de Joukowski se encuentra en [R , págs. 115-121],
SECCIÓN 6 .4 Un ejemplo de una función continua cuya serie de Fourier diverge en los nú meros racionales de [0, 27t] se encuentra en [J, pág. 546]. Un teorema de Y. Katznelson [Studia Math., 26 (1966), 301-304] muestra que para cualquier conjunto S de medida cero, existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en ese conjunto. Recíprocamente, por un resultado de L. Carleson [Acta Ma th., 116 (196 6), 135 -157], la serie de Fourier de una función continua converge excepto en un conjunto de medida cero. Se puede encontrar un a ná lisis comprensible del problema de la conve rgencia en [Hf]. La integración y la derivación término a término de una serie de Fourier se pueden realizar, para obtener una serie de Fourier de la integral indefinida o de la derivada, si las funciones involucradas son suaves por partes.
SECCIÓN 6 .5 Frecuentemente se encuentran definiciones alternativas de las transformadas de Fourier. Todas las definiciones son equivalentes hasta una rotación y la am plificación por y/2ñ.
SECCIÓN 6 .6 En muchos manuales matemáticos pueden encontrarse tablas de transforma das de Laplace, una de las cuales está en el Apéndice.
SECCIÓN 6.7 Una prueba de unicidad de la transformada de Laplace para funciones conti nuas puede encontrarse en [M, pág. 412], El desarrollo de una fórmula de inversión para transformadas de Laplace de dos lados se dificulta por su no unicidad. Cualquier fórmula de inversión para la transformada de Laplace de dos lados debe considerar la región de convergencia.
A 1 Tabla de mapeos CONFORMES
259
260
APÉ NDIC E 1
•
TABLA DE MAPEOS CONF ORME S
Plano z
Fun ción del mapeo
Plano w v
/ ■ISlSl: 1 - 2 1 + z
a
d 1-----
. b -----1
-----
-----
v b
W w +
1 \ _ ; Z ~ 1 1y z+ 1
w = Log /
*= Ia | I wa 1 ~a~ l 1 ~aw J
C 1
wm m \ a O 1
APÉNDIC E í
•
261
TABLA DE MA PEOS CON FOR ME S
Plano z
Función del mapeo
Plano w
w= l
c
o
. b\
a
, = yr16 b
u
262
APÉN DICE 1
•
TABLA DE MAPE OS CO NF OR ME S
Función del mapeo
Plano z
w = sen z Linea continua y cosh/: J
y senh/: J
Línea discontinua
(l s—■Y J e n j J “ (^ — eos;■V
w — ez + 1 e2 - 1
ni
0
—ni
f
9
w-
d
b
a
Log
( N
Plano w
APÉND ICE 1
•
26 3
TABLA DE MA PEOS CON FOR ME S
Plano z
Función del mapeo
w= ni +z Log z
vm w 2 V’ 1+ z+ Log (l i'TT7 +$
“ {y'z2 1 +cosh *z]
Plano W
A 2 Tabla de
TRANSFORMADAS DE Laplace
Dominio de co nverge ncia
u(
e
z
sen z(j) eos z(p ewi^ sen z
gw
sen z
\[w$> \pñ§
r(z + i)/s'z+1 1l( s - z) z/(s 2 + z2). s/(s 2 + z2) z l [( s - w ) 2 + z2 ] (s - w)/[(s - w)2 + z2] 2 s z/(s2 +z2)2 (s2 - z2)l{s2 +z2)2 2 z2 /s( s2 + 4z 2 ) (s2 +2 z2 )/s(s2 +4 z2 ) log[(s - w)l{s - z)\ tan z/ s Í l o g ( l + 4 z2 /s 2 ) ¿y/ir/z es%^ [ \ — erf (s¡2\fz j ] (log s y )/s, y = 0.5772. . . e- “ /s
Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > e Re s > Re s >
0 Re z i Im z\ |Im z| Re w + |Im z| Re w + |Im z\ |Im z| |Im z\ 2 |Im z \ 2 |Im z\ máx j| Re z|, |Re tn|| |Im z| 2 |Im z| 0 0
Re s > 0
( s a f 12 (2\^)
e —a/s
vf
Res > 0
265
2 66
APÉND ICE 2
•
TABLA DE TR ANSF ORMA DAS DE LAPLACE
£ { w ( 0 ) } (í )
“(0)
ea¡5
— -— cosh (2yfa)
Reí > 0
y/T
c~a 2 /40
a
Dominio de convergencia
e-as/T
Reí > 0
-------------
Re s > 0
2\J-n2 9
1 — -------
;’a/2 y/
y/ir ■ 0
e
dv
s
Para una lista más extensa de transformadas de Laplace, ver [M, págs. 428434].
A 3 I ntegrales de
LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN Las integrales de línea son una generalización natural del concepto de in tegral definida
\b f(x) dx. (1 ) Ja En este apéndice se dará un breve desarrollo de las integrales de línea de fun ciones reales f(x, y) a lo largo de curvas spp en el plano Euclideano. El término integral de línea* es una designación desafortunada, ya que usualmente se evalúan las integrales a lo largo de curvas. Para entender lo que se mide con una integral de línea, recuérdese que la integral definida ( 1 ) se ob tiene al dividir el intervalo a < x < b en n subintervalos de longitudes Ax ¡ , A x 2 , . . Ax n , luego se elige un punto x^ en cada subintervalo, y se evalúa el límite de la suma de Riemann 2 f ( x k ) Axk k\ cuando todas las longitudes Ax k tienden a 0. Se puede llevar a cabo un proceso similar para una función real f(x, y) definida en una curva 7 suave del plano Euclideano: se divide 7 en n subarcos de longitudes de arco A s ¡ , As 2 , . . As„ , se elige un punto (x/¡, yk ) en cada sub arco, y se evalúa el límite de la suma 2
k—\
f ( x k , y k ) & s k
(2 )
cuando todas las longitudes de arco A t i e n d e n a 0 (véase Figura A.l ). * En inglés line integral, donde line sugiere siempre una línea recta. (N. de. T.)
26 7
268
APÉND ICE 3
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEO REMA DE GREEN
f(x.Y)
F IG U RA A . 1 .
Suma de Riemann para una Integral de línea
De la misma manera en que la integral definida (1) puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f entre a y b, la integral de línea í f ( x , y) ds = J y
2 f { x k, y k ) A s k ,
lím m á x A s ^ - t - O
(3)
k
puede interpretarse como el área bajo la gráfica d e / a lo largo de 7 . Puede mostrarse que si f es continua en la curva suave 7 , entonces el límite en (3) existe [B, pág. 301], De hecho, el límite (3) existe bajo hipótesis mucho más débiles (véase [S]). Las integrales de línea casi nunca se evalúan mediante la suma de Riemann de la ecuación (3). Los dos ejemplos siguientes muestran el procedimiento usual para determinar el valor de una integral de línea.
Ej e m p l o 1 Evalúe J y
donde
7
xyds
es el arco a lo largo de y = x 2 que va de ( 0 , 0 ) a ( 1 , 1 ).
SOLUCIÓN: Del teorema de Pitágoras (véase Figura A. 2 ), el cambio de
APÉN DICE 3
•
FIGURA A .2
269
INTEGRALES DE LÍNEA Y TE ORE MA DE GR EEN
Longitud de arco
la longitud de arco As que corresponde a un cambio en la variable inde pendiente de x a x + Ax es, aproximadamente, (A í )2 « {Ax)2 + {Ay)2 . Si se dividen ambos lados por {Ax)2 y se toma el límite cuando Ax tiende a 0 , se tiene
(£ )’ = '♦ (£ )’•
<4>
donde í(x) es la función longitud de arco que mide la longitud del arco a lo largo de la gráfica de y que va de (0, 0) a {x, x2 ). Cambiando varia bles, se obtiene y
xyds = I xy y / l + {y'{x))2 dx JO
1 y/l + 4x2 dx. Jo Al sustituir u 1 + 4 % 2 y cambiar variables, se tiene
3
x 3\/ l + 4 % 2 dx = — {u — 1 ) \ A du 32 -1! 1
Ti
u 5/ 2 L 5
55/2 + 120
1
u 3/ 2 3
2 70
APÉ NDIC E 3
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TE ORE MA DE GREEN
Si la curva 7 se describe en forma param étrica se puede proceder como en el siguiente ejemplo.
E j e m p l o 2
Calcular el valor de la integral de línea
\fy~ds donde 7 es la curva paramétrica
x = t — sen t,y = 1 —eos t,
0
< t <
2 tt.
SOLUCIÓN: Se reescribe la ecuación (4) en la forma
+ f dy x 2 ds \2 _ ( dx dt J \dt ) \dt y se cambian todas las variables en la integral de línea a funciones de t para obtener y/y 7
ds = í
-v /l —eos t yj{ 1 —eos t)2 + sen2 1 dt.
Jo
Al simplificar el segundo radical, se tiene 2 eos
t + eos2 1 + sen2 1 = \ / 2 ~— 2 eos t.
Por tanto, al multiplicar los dos radicales, se obtiene ' y / y d s y / z j * ' (1 —eos t) dt
= y/Y (t - sení)
= Isf ón .
El valor de la integral de línea fy f(x, y) ds para una curva 7 spp es independiente de la parametrización de la curva 7 . Cualquier cambio de pará metros en una curva suave está determinado por una función creciente t = t(T ) con derivada continua que mapea al intervalo A < T < 5 en a < í < ¿>. Si se cam bian variables y se utiliza la regla de la cadena, se tiene f f { x , y ) d s = I f(x(t),y(t)) s'(t) dt
J7
J a
=
f ^
¿/c
d t
f { x { T ) , y { T ) ) ^ ? L d T dt dT
= j A B f(x(T), y( T) ) s' (T) d T.
APÉN DICE 3
•
27 1
INTEGRALES DE LÍNEA Y TE ORE MA DE OREEN
Ejemplo 3 Encuéntrese el valor de la integral de línea
x 3 ds donde 7 es la mitad derecha del círculo unitario.
SOLUCIÓN: Para demostrar el hecho de que las integrales de línea son independientes de la parametrización, se usarán dos parametrizaciones diferentes de la mitad derecha del círculo unitario. Es importante que ambas parametrizaciones tengan la misma orientación a lo largo de 7 . (i) Sea y = t y x = y/\ — t2 con —1 < í < 1. Entonces
dx dt
y /T 1
dy = 1. dt
.2
ds _ dt
1
yj\ — t3
por lo cual I x 3 ds = i
J —1
J y
(1
— t 2 ) dt l
3
= 4
-1
3
(ii) Sean x = eos t, y = sen t con —7t/2 ^ t < 7t/2. Entonces
ds dt
\/sen 2 1 + eos 2 1 = 1 ,
así que 7
x 3 ds
í’ W 2 J - n / 2
sen 3■’Aí f eos t dt = sení — ,
ir/2 -ir/2
_
4 3
Hay otros dos tipos de integrales de línea de la función f(x, y ) a lo largo de 7 que pueden definirse. Si se reemplaza ASk por o Ay k en la ecuación (3), se obtienen las integrales de línea d e / a lo largo de 7 con respecto a x o y: I f { x , y ) d x =
.'7
| f(x, y) dy =
.7
f { x k, y k) Axk,
lím
2
lím
2 f ( x k, yk ) A yk . k
máx Ax¿-> 0
máx Ay¿->0
k
272
APÉND ICE 3
FIGURA A. 3.
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOR EMA DE GREEN
Proyecciones
Estas integrales de línea pueden verse como proyecciones de la integ ral de línea (3) sobre el plano xz o el plano yz, respectivamente (véase Figura A.3). La evaluación de estas integrales es similar a lo que se hizo anteriorm ente.
Ej e m p l o 4 Evalúe fy y(l — x) dy a lo largo de la porción y del círculo unitario en el primer cuadrante. SOLUCIÓN: Al parametrizar a y como x = cos t, y = sen £, 0 < t < tt/2, se tiene
f y(l —x) dy = f77/2 sen t ( 1 —cos t) cos t dt
J t
J o
1 — eos a t 3
1
2
eos 2 t
77/2 _
1
o
6
En las aplicaciones, a menudo aparecen integrales de línea en la combi nación í p(x, y) dy + I q(x, y) dx = | p( x, y) dy + q{x, y) dx, J 7 Jy Jy
(5)
APÉNDI CE 3
•
273
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREM A DE GREEN
donde p y q son funciones continuas en una región D que contiene a la curva 7 . Cuando 7 es una curva ce rrada simple y las funciones p y q tienen derivadas parciales continuas en D, existe una importante relación entre la integral de línea alrededor de 7 y la doble integral sobre la región G interior de 7 .
Te o r e m a de g r e e n Sea G la región interior de una curva 7 spp cerrada simple. Si p(x, y), q(x, y), 9p/9x , y dq/dy son continuas en todos los puntos de GU 7 , en tonces , ap aq — — dxdy, p dy + q dx = -----
h
j Je
\9x
9 y j
dado que la integral de línea se toma erí sentido positivo (contrario al de las manecillas del reloj) alrededor de 7 .
PRUEBA: Supóngase inicialmente que 7 tiene la propiedad de que cualquier recta paralela a algún eje coordenado intersecta a 7 en, a lo más, dos puntos. Se dibujan las rectas horizontales y verticales que circunscriben a 7 (véase Fi gura A.4). Entonces los arcos ABC y CDA a lo largo de 7 pueden definirse por medio de funciones de x, univaluadas, en el intervalo a Se denotan estas funciones por y = f i(x) y y = f 2 (x), respectivamente. Obsér vese que la integral de línea
Figura A.4.
2 74
APÉND ICE 3
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEORE MA DE GREEN
7
q dx =
J A BC
q dx +
JC DA
q dx
fb q(x,f,(x))dx Ja
[b q(x,f2(x))dx, Ja
ya que CDA se recorre de derecha a izquierda. Como la región G está delimitada por las curvas ABC y CDA, se tiene G
9q — — dxdy =
b r/ 2 (x) 9 q
9 -y
a Jf,( x)
dy
q(x, y) "b
dy dx y=f7Íx) dx y=ft (*)_
[ q { x , f i { x ) ) q ( x , f 2 {x))\ dx.
Por tanto, 7
q d x
^ dxdy. dy
J jg
Similarmente, los arcos DAB y BCD pueden definirse por medio de funciones univaluadas x = g¡ (y) y x = g 2 (y) en c < y < d, con
p dy
el c
P{ g 2 (y),
*£■ d x d y =
G dx
y)
í “ ¡S' b )
Je Jg,(y)
dy -
*
dx
p( x, y)
fd Je
p { g x{y), y) dy
dxdy
x=ff2(y) x=g,(y)_
Figura A .5
dy J p dy.
APÉ NDI CE 3
•
275
INTEGRALES DE LÍN EA Y TEO REM A DE GREEN
Esto establece el teorema de Green para las curvas especiales que se han consi derado. El teorema de Green puede extenderse a las curvas que no satisfacen esta propiedad especial dividiendo la región G en subregiones G¡, cuyas fronte ras 7 i sí tengan esta propiedad (véase figura A.5). Aunque esta afirmación es intuitivamente clara en los ejemplos como el de la Figura A.5, requiere una prueba difícil que sale de los objetivos de este libro. Si se aplica el teorema de Green a cada una de las subregiones G¡, y se suman, se nota que la integral de lí nea a lo largo de los subarcos de 7 i no son subarcos de 7 se cancelan por pares, ya que cada subarco se recorre dos veces en sentidos opuestos. Por tanto, se
,iene
rí
¿G \9x
9y )
r
i Jjg,-.\9íc
3y
dxdy
pd y + qdx Ti pdy + qdx.
Ej e m p l o 5 Evalúese la integral de línea (jc — 2 y) dx + x dy, donde 7 es el círculo unitario. Utilice el teorema de Green. SOLUCIÓN: Aquí p{x, y) = x y q(x, y) = x — 2y, así que dp/dx= 1, dq/by = —2 y el teorema de Green conduce a
(jc — 2 y) dx + x dy =ff JJx2+y2< 1
[1 — (—2)] dxdy =
37 t,
porque el círculo unitario tiene área igual a ir.
Ej e r c i c i o s En los Ejercicios 1-8, evalúe la integral de línea dada a lo largo de la curva que se indica. . 2. 3. 4. 5. 1
f7 x ds, donde 7 es la recta y = x, 0 < x < 2 . f y x ds, donde 7 es la curva y = x 2 , 0 < x < l . fy y ds, donde 7 es la curva x 2 = y3 , 0 < 1. fy x 2 y2 ds, donde 7 es el círculo unitario. fy (x2 —y2) dx —2xydy, donde 7 es la curva y = x2, —1 < x <
1.
276
APÉN DICE 3
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TE OREM A DE GREEN
La integral de línea de 5, donde y es el círculo unitario. 7. f y xy dx + x 2dy, para y definida por x = 3t — 1, y = 3t 2 — 2 1, 1 < t < 2. 6.
8 * fy
2 —y —dx + 2y tan- 1 x dy, donde y es la curva cerrada 1 + x * 2/3 +y2/3 = 1 .
9. Use el teorem a de Green para evaluar el Ejercicio 6 . 10. Use el teorema de Green para evaluar el Ejercicio 8 . 11. Muestre que el área delimitada por la curva y spp cerrada simple está dada por 1i xd y — ydx. 2
12. Use el teorema de Green para evaluar la integral de línea
2x y dx + ( x 2 + y 2 ) dy donde y es cualquier curva spp cerrada simple. 13. Muestre que Jy
pd y + qdx =
0
para cualquier curva y spp cerrada simple si p, q, bp /b x = bq/b y son continuas sobre 7 y en su interior. 14. Sean (3c, y) las coordenadas del centroide de una región G delimitada por una curva y spp cerrada simple. Pruebe que
x =
i y- = x 2Ldy,
-1
y 2 dx 2 A y 2A donde A es el área de G. 15. Muestre, utilizando la notación del Ejercicio 14, que Ay = f y xy dy. ¿Puede expresarse / 7 xy dx en términos de 3c? 16. Con la notación del Ejercicio 14, pruebe que ----
' (b2F b2F\ , , le U ? +
[ d F J , ~in
donde dF/ dn es la derivada direccional de F en la dirección de la normal exterior a y. 17. Pruebe que 'bf bg bf bg' dxdy = / dg. g \3x by by bx
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Respuestas a PROBLEMAS IMPARES C a p í t u l o
l
SECCIÓN 7.7 1 . 2 + i ; — 2 + i ; 2i ; y7 3. 1 + 27; 1; —1 + i', 1 —i 5. 2; 27; 2;7 7. 7 + 7; 3 - 7; 10 + 5í; 2 - 7 9 . 7 - 7; - 1 - 37; 14 - 57; 1 4 - yy7 11 . 5 + 47; 3 + 67; 9 + 7; - ^ + ■§ 7 13. -27 1 5. - 3 - 47
' ■ ■i J oL j +. iilo- f
17
1
19. -10 2 1 . iz = ix —y 23. Si z2 =£0, entonces z 2z 2 = (longitud de z 2)2 ¥= 0, pero zlz2z2 = 0 , asi que dividiendo ambos lados por (lon gitud de z 2)2 se obtiene z t = 0. 25. Im ¿ i = —Im z 2 así que Im z¡z2 = Imz2. (Re^! —Rez2) = 0. Si Re z ! = Re z 2 , entonces Re z t z 2 > 0. Por tanto Im z 2 = 0. 2 7 . ( * , - x 2 ) i( y ! - y 2) = ( *i - *yi ) - (*2 - íyi)
29
* l * iy i • * 2 + iy i x 2 + i y2
x 2 ± 7y2
X ix 2 + y ¡ y 2 ------
*2
5
-------
+ y 2
5—
. x 2y , — x , y 2
!
--------
*2
7
-
------
+ y2
7—
31. (A + B)3 =A3 + B3 +3AB(A +£) = —b + 3 AB w
AB = \ / — — D 2 = ——> así que 4 3 w3 + aw + b = (w —A —B) (w2 + (A + B)w +a + (A + B)2) = 0 con (A + B)2 - 4 [a + (A + B )2] = —3 (A B)2 33. Use las leyes de conmutatividad, asociatividad y distributividad de los nú meros reales para verificar que la suma y la multiplicación complejas también satisfacen estas propieda des. Las leyes de la identidad y del inverso se mostraron en el texto. 35. Suponga que z l y z 2 son, ambos, inversos multiplicativos de z. Ento n ces z |z = 1 = zz2 y z 1 = z j (zz 2 ) = (zjz)z 2 = z 2 .
279
280
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
(z, + z 3) (zi - z3 ) + (z 1 + z3)
SECCIÓN 12
(¿l —•z3)= l-zll 2 —I-Z3I2 -
+ 2n k;
1 . 1 ; -
2
ZjZ 3 + Z3Zi + I Zi I2 -
tt + 2nk^j + i sen^ + 2irkj
eos
3. s¡2\ - +2irk;\/2 4
eos |— + 2tt£
+ ¿ senl — + 2nk
u
5. 5, tan - 1 (-5 ) + 27T& ^ 0.6 43 5 + 2nk, 5 [cos(tan “ 1 (-|) + 2nk) + !sen(tan _1 (■§■) + 27T&)] 7. V53"; tan - 1 (4) + 2ttA; « 1.2 92 5 +
27r£; V5¥[cos(tan- 1 (4 ) + 27T&) + ! sen (tan - 1 (4 ) + 2nk)] 9. \/29; tan - 1 (4) + 2irk « 0 .3 8 0 5 + 2n k ,\ /2 9 [cos(tan —1 (4 ) + 2nk) + í sen (tan - 1 (4 ) + 2lfk) ] 11. 256(—1 + i) 13. —2 18 15. 2 12'(- \ /3 + 0
7 ir
eos — + 1 sen —
V 12 12 19 tt\ v r2 l eos 19?r + 1 sen V
3 /—/ 2 1 . v 2 eos 1
12
7T .
12/
7T
—+ * sen — 9 9
7 7T ^ 2 (eos t i + 0 ~9~
43. 0 < 2 * (| ak |2 -
7 7T
ir
23 .
+ i . —1 + » \/2
1
z n
=0
2| akzk IX +
| z J 2 X2 ) = S¿ | a j 2 -
13 tt 13 tt\ eos — + * s en — J 1
39 . Iz ln (cos n9 + i sen nd) = zn = 1 = eos 2irk + i sen 2irk así que Iz 1= 1 y 6 = 2?rk/n. Pero 2li(k + n) 2nk + 27T así que
para cualquier raíz n-ésima de la uni dad z¿ ya que zfj1= 1. Como las n primeras raíces n-ésimas de la unidad son todas diferentes (ver Ejercicio 39) y el polinomio 1 — z" tiene exacta mente n raíces, una de las cuales es 1 , 1 + z + . . . + zn—1 debe te ner a cada una de las otras raíces n-ésimas de la unidad como raíz.
4r / 9?r 9tt V 2 I eos — + ! sen Tn
35. Iz — a I2 = Iz I2 + Ia I2 —2Re za; I I - a zi 2 = 1 + la í2 Iz I2 —2Reza, 0 < (1 - Iz l2)(l - Ia I2) y = 1 - Izl 2 - la I2 + la I2 Iz I2 37. P( z0 ) = p f o ) = ó = 0
n —1
17. $ 2 (eos | + 1 sen —
r- (
Z3Z1 - z l z 3 = 0
3 1 . I z , I — I z 2 I = l(z 1 - z 2 ) + z 2 Ilz 2 l ^ LZX — z 2 I+ Iz 2 1— l z2 l = I z¡ — z 2 I. Similarmente Iz 2 1— IZx I < Izj - z 2 I 3 3. I z x ± z 2 l2 = (z 1 z 2 ) (z¡ ± z 2 ) = I zX I2 + I z 2 I2 ± ( zj Z 2 + Z2Z¡ ) = Izx I2 + lz 2 I2 ± 2 Re z( z 2
zk+n zk
7T
19. v 2
Iz 3 I2 +
1 —i
V2
1 —i '
2 5 . Iz - ¡ 1+ Iz - l l = 2 ; 3x2 + 2xy + 3y2 - 4x + 4y = 0 27. IIz — a l — Iz — 5 II = c 2 9. I z , - z 2 l2 - I z , - z 3 l2 = [ I Zj I2 + Iz 2 I2 - Z! Z2 - Z2Zj ] —[ Iz 2 I2 + lz 3 I2 —Z2Z3 —z 3z 2 ] = - z 2 ( z, - z 3 ) - z 2 ( I , - z 3 ) =
+ ( 2 * |z¿|2) (V - -?*- 1****1 V ’ V Xk \zk \2 ) y haga X = Z k \akz k \ / Z k \zk \2
45 . |(1 - z) P(z) | > a0 - [(a0 - « i) | z| + (ai' - a2 ) | z |2 + . . . + (an _ ! - a„) I z\n + an |z |n-1 ] con igualdad si y sólo si z ^ 0 (véase ejercicio 36). R(l) ¥= 0 y |(1 — z) ■ P(z)\ > 0 para los puntos restantes en |z |^ 1 .
28 1
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
SECCION 13 1 . abierto; acotado; simplemente cone xo 3. abierto; no acotado; no conexo 5. cerrado; no acotado; simplemente conexo 7. cerrado; no acotado; conexo, pero no simplemente conexo 9. abierto; acotado; conexo, pero no simplemente conexo 11. círculo Iz + 3 I = 2 ; rectas Im z = ± 1; parábola I2 I = Re z + 2; elipse I z + 1 ¡ + I z + ¿ 1 = 2 ; elipses I 2 — 1 1 + lz + l l = 3 y l . z — ll + Iz + ll = 2\¡2 13. Sean S i, . . ., Sn conjuntos cerra dos, entonces 6 — Sfc es abierto. Pero Sk) = - OkSk es abierto. 15. Si z e U aSa con cada Sa abierto, entonces z es un punto interior de al gún Sa . Por ende, una e- vecindad de z está contenida en Sa y, por tan to, en U^Sq,. 17. Suponga que la cerradura S es no cone xa. Entonces, existen conjuntos abiertos G y H tales que S C. G O H, G O H es vacía, y G O S y H O S son no va cías. Como S es conexo, está contenido en alguno de los conjuntos, digamos G. Entonces S está contenido en el conjunto cerrado 6 —H , así que S TT H es vacía, una contradicción, una contradicción: 19. 2 = 0 21. 2 = °°. No.
n¿(e-
e
SECCIÓN 7.4
9.
—2 1< 5 = e
z3 1
2 ->a
- 3
32 + 2 1 ll
2 ->a
Re f( a) 17. ll/( 2 ) l - l / ( B) l l < l / ( 2 ) - / ( B) l < e +2 +
23 - 1
1
lím 2- ± l ►± 1 2 - 1 2 +1 4 , si z = 1 ; indefinido, si z = —1 2 1 . f( z) = z para 2 0 así que es con tinua en C — { 01 por el ejercicio 13. Como lím 1 = 0 defina^O) = 0 z *0 para hacerla continua en 6 . 19. lím
23. f (z ) =
es continua en
x 2 +y 2
6 — {o | por ser el cociente de funciones continuas con denomina dor no nulo, lím f( z) no existe por2 ->0
.
que obtenemos 1 si nos acercamos sobre el eje real y —1 sobre el eje imaginario. Por tanto la función puede hacerse continua en z = 0. 25.
czw +
dw = az + basí que
z = ^~ para 2 ¥= —d/ c y cw — a w a/c. El punto —d/c se mapea en 00 y °° se mapea en a/c. 27.
1 . I 22 - 2 1 = 2 12 - 1 1 < 25 así que haga e = 25 3. 12 + ¿ I< 5 así que haga e = 5 5. 1(22 - 3) - ( - 1 + 2¿) I = 122 - 2 - 2* I = 2 12 - (1 + t)l <25 =e 42 + 41 22 - 4 7. - 4 2 - 2 Iz 2 1 2
I22 + 2 —2 1= 1(2 — l )2 + 3(2 — 1) [ < 5 (5 + 3) . Sea 5 < 1 y elija 6 = 45. 11. I Re 2 — Re a I= I Re (z — a) I < 12 — a I< 5 = e así que lím. Re 2 = Re a z^a 1 3. l l — a l = l 2 — a l < 5 = e así que lím 2 = a. z*a 15 . lím Re f(z ) = Re(lím f(z) ) =
I P(z ) I > I a 0 I — [ I« i Ia„ l ^ 0 en 12 I< 1
I +.
SECCIÓN 7.5 1. — i fy = ex (eos y + i sen y) = f x 3. —i f y = eos x coshy — i sen x senhy
= fx
5. 5422 - ^ + 4 7.
(2 - l ) 2
. . +
282
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
9.
If ( z + h) ±g(z + fe)] - |f ( z ) ±g(z)] _
7. ify =
h g (z + h )g (z ) h
f( z + h ) f ( z ) h 13. f x = lpero i f y = 0
(x
iy >para ify _ -—-
senh
Iz I
z ¥= 0, y lím
z->0
------
z
no existe, ya
(Re z) 2
z- 0
0 , ya que
m
-------
= f x se cumple
_ i * ' 2 tiene valor 1 sobre
z = 0. Pero u =
3xy
y3 — Sx2y . v = -— ^satisfacen --------
l z l < 5 = e.
Vy, Uy = 0 = —vx en z = 0 . 11 . I m ( / + / ) = 0 y / + / es analítica, así que el teorema de la derivada nu la implica que / + / = 2 Re /e s cons tante y, por tanto, / es constante. 13. Las ecuaciones de Cauchy- Riemann conducen al sistema 2 UUX + Uy = 0 Ux — 2UUy = 0 Sil + 4u 2 0 ,entonces u* = uy = 015. Im / = 0 , aá que aplique el teorema de la derivada nula.
19- fx ~ y pero —ify = 2y - ix, así que sólo puede tener derivada en z = 0 , en donde (, , zlmz / ( 0) = lím = 0. z->0 z 21. Use la regla de la cadena del ejercicio 20 23. rvr = r(vxxT + vyyr) = xvx + yvy = — x u y + y u x = — u g , yaque x g = y y ye = x similarmente para la otra identidad. ------
1. Ver la solución del ejercicio 1 de la Sección 1.4, y aplique el teorema sobre condiciones suficientes para analiticidad. 3. Ver la solución del ejercicio 3 de la Sección 1.4, y aplique el teorema sobre condiciones ^suficientes para analiticidad. 5 . —ify =2[x cos(x 2 —_y2) cosh 2x y + y sen(x 2 — y 2 ) senh 2x y] + 2¡[y cos(x 2 — y 2 ) cos h 2xy — x sen(x 2 — y2 ) senh 2x y] = f x y aplique el teorema sobre condiciones suficientes para analiticidad.
—
x + y
x 2 + y 2
el eje real y -1 sobre el eje imagina rio, entonces no tiene derivada en
IRezl Iz I
SECCIÓN 1.6
2 \2
+ y 2)
para z ¥= 0 , lo cual implica condi ciones suficientes para analiticidad en z ¥= 0.
que tiende a 1 cuando z -> 0 sobre el eje real positivo y a — 1 sobre el eje real negativo. 17. f x = 2x pero —ify = 0, así que tiene derivadas solamente sobre el eje imaginario porque f( z + iy) - /( iy ) /' (iy ) = lím z*0 lím
(x + y 2 )\2
cosh x 2 + y 2 x 2 + y 2 2x y + i (y — x )
11- (P / Q)' = (QP' - PQ') / Q2 15- fx =
(y2 — x 2 ) + 2ixy
17.
Si f = f x = x, e nto nc es / = — + g( y) , pero / ' = ify = ig no es una función de x.
SECCIÓN 1.7 1. - 1
e- 1 3- — (1 +0 y / 2
5. —i 7. i 9. 2uk i log 2, k = 0, ±1, ±2, . . .
ux = 1
2 83
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
La última identidad se sigue de la de finición de tan 2z. ' 21. Use las identidades eos z = eos x cosh y — i sen x senh y, cosh 2 y — senh2y
1 1 . ±l,±¿ 13. —2 14 (1 + ») 15. —2 18 17. 21S¿ 19. —2 13 (1 + V3¡) 21. Use la identidad de la solución del ejercicio 41 de la sección 1.2 p ara ob tener (n + 1 )x nx x sen eos — / sen — • 2 2 2
= 1. 23. (ez + e~z)2 - (ez - e~z)2 = 4, las dos últimas se siguen de la defini ción. 25 . (e2! + e ~ z ¡ ) (ez 2 + e-2*) + (e2i — e _2i )(e2 2 — e 2 ) = 2 (e2> éz 2 + e z‘ e z 2 ) 27. Use los ejercicios 20, 21 y 26. 29. Use la fórmula del cociente para de rivadas y el ejercicio 2 ,8. 31. Use el ejercicio 26 y la localización de los ceros de sen z y eos z. 33. Sume las definiciones de eos z y de i sen z. 35. El segmento de recta t '+ iy, I íl < 77/2 se mape a en la mitad supe rior de la elipse
------------
'• (n + l)x nx x 23. sen sen — / sen — 25. Use el ejercicio 21 de la sección 1.5. 27. { e ~ n
SECCIÓN 1.8 1 . i( e — e - 1 )/2 ( e + e - 1)
eos 1 + x
3.
---------------
5.
---------
2
cosh 2y
(e -e -1) sen 1 2
El segmento de recta x + it, t > 0 se mapea en la mitad superior de la hipérbola
--------------
(e + e_1) (e — eos 1 — i
) sen 1
--------------
2
2
sen2 jc
7. ( e 1 e ) / 2
± 1 , ± 2 , . 1 1 . e2 = 2±V"3^ así que 2 = log I 2 ±\/3~l + 27Tki,k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . 13. No, porque ez 0. 15. e',z+ e~~*z = e~*z + e*z
e*zi
+ e~‘zi e*zi 2 e‘z¡ — e~a' eizi 2i e>zt é~*zi + e *zi
+ e~*zi 2 — e~'z* 2i
-----------------------------------
— e —2 IZ 1 9. 2 i (el z + e ~ l z)
= 2 e
ijz \e
— e„ —l Z \) 2 i + e~
2
iz . —ÍZ\ 2
1
+
SECCIÓN 1.9 1 . i arg * = 2"^77 + ^7T&J
„ 2 l Z
e
cos2;c
que esté en el mismo cuadrante que el segmento de recta. 37. Use el mismo procedimiento que en los ejercicios 34-36 para mostrar que la franja 0 < x < 77, y > 0 se ma pea en el semiplano inferior. Enton ces considere la acción sobre la otra mitad de esta franja.
9. e2iz = i, así que z = — + irk, k = 0, 4
17.
1 , for y > 0.
sénh2y
2
/ iz
-iz. o
= 0 , ± 1 ,
± 2 , . . . 3. i arg(—1) = ¿(77 + 277/e), k = 0, ±1,
± 2 , . . . 5 . *~arg¿ = e—irl2+2irk' * = 0> ±1>
± 2 , . . .
284
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
9. e ~ n l 2 11. Para a real, no negativo, con/(O) = 1 si a = 0 , yf(0) = 0 en otro caso. Entera para a = 0, a T? 1. 13. log lzx I + i arg zi + log lz 2 I + 1 arg z2 = log \z1z 2 ¡+ i arg(z1z2 ) 15. a lo g z + b logz = (a + 5)logz 17. Log(—1 — i) = log \¡2 tLog i•-- — m’ pero tLog 2 Log(—1 + i) = logViF+
S E C C I Ó N 1.1 0 1 . E r = r A R e e iw\ E r = r s 2 A Re E r
= r 3 s2 A Re e^wt 2^ = r 2n- 1 52 4 Re
s 2 A
Re -J eíu,í 2
-1 - * i 3m
n=0
-----------
^
23. Sea z = cot w = i{eiw + e~iw)¡ (e’w —e~ iw), entonces z +í 2 iw z —i 425. Si z = cosh w :±Í0W + en . 2 .— li\l tonces = z + (z¿ ) í//2¿ donde la raíz cuadrada es bivaluada.
dw 27. Si z = sen w, entonces 1 = eos w ~dz (1 —sen w) 1/2 dw dz dw dz
2 (1 + tan' w ,) dw . dz 31. Seaz = cosh w, entonces 1 = dw , dw senh w — = (cosh w — 1 ) < — dz dz
33. zk¡2 mapea a [ 6 — { o } ] 2 en [ 6 — |ü |] ^ t para k — 1, 3 así que los espacios del contradominio son diferentes para z 1/ 2 y z 3^2 . Por tan to ( - 1)1/2 =É( - 1 )3/2.
* 2 \j
1 + — £ transmitida
1
2 —
19. log za = log(eal°sz) = a logz ya que la exponencial y el logaritmo son funciones inversas. 21. Sea z = eos w = (e + e~^w)¡2, entonces e 2zw_ — 2ze*w + 1 = 0 tiene raíces e*w = z + (z2 — 1 )V 2 donde la raíz cuadrada mapea [ e — { o } ] 2 e n e - { o } .
29. Siz = tan w; entonces 1 = sec w
(1 — ——| E r d
.. así que T-Teílejada
>
..........
— J
A eos
wt
(1 —r2) A eos (wt —(3)
r \¡\ + A ~ 2r2 eos Ct Entonces escriba cos( ieí — ¡3) = co: wt eos (3 + sen wt sen (3 y póngale en la forma A * eos (wt — y) eli giendo cot y = [( 2r — 1 ) \ /l + r 4 — 2r 2 eos a + (1 —r 2 ) eos ¡3]
(1 —r2) sen (3 3.
d2 E dx2
1 d2 E - f ( c t
+ X)= S J S
C a p ít u l o 2
S E C C IO N
2.1
1 . x = a eos t, y = b sen í 3. Por ejemplo, C t, o < í < i z(f) = j 2 - t + i(t 1 ), 1 < f < 2 * í (3 - t ) , 2 < f < 3 2 + e»ír(í+2 )
5. z(í) = i —í, —1 < í < 1 L—2 + zr(t+ 1 ) ^ j ^ ¿ ^ 3 7. (1 —0 /2 ; (* — l)/ 2; 1 9. i R 2 i t ; R 2 n ; 2 m R 2
285
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
11.
Haga z = e!í, 0 < t < — , en tonces ^
y dz = i
—7r T
r -rr/2
sen í ezí di =
z "2
Ri
13. / ( z ) = y no es la derivada de una función analítica. 15. e { e 17. é e 19. (cos a — cosh a)¡a
2?r
21.
z '(í ) dt
j0
2 tt
_
0
g - R í c os 2i d t
o,
0
cuando R
00.
di
V(*'(*))*
SECCION 2.3 1. 0
SECCIÓN 2.2 1. Haga z = etí para obtener-
t dt = 0.
ParaO AL arg z < 27T obtenemos—2 Ti
BG
— dxdy
y dx + iy dy
ex dx +
5. 0
J o .
Jo
a dx —a 1 + X 2
dz 7 1 + z*
dy 0 (1 + a2 y2) + 2iay rb 0
17. 19.
e aeü e it dt — 1- I a e ¡yy d, y ,
donde e = e os t + 1 sen t, y con sidere la parte imaginaria de las dos últimas integrales. 7. Senz = se n* cosh y + zcosxsenhy, donde* = at, y y = bt, 0 ^ i AL T 9. 0 =
3. 5. 7. 9. 11. 13. 15.
= A
ai.
f rr/8 7r/8
R
23 . 2 —rn; 2 + ni
3.
11. Use el rectángulo del Ejemplo 3 y la función f( z) = e ikzJ { \ + z ). 13. Integre f{ z) = sobre la fronte ra del rectángulo 0 AL x AL a, 0 AL y Aj b , y haga a *■ °°. 15. Muestre que
dy (1 + o2 - y 2) -
2iay
dx a (l + x — ¿>2 ) + 2ibx Multiplique numerador y denomina dor de la última integral por el com plejo conjugado y tome el límite cuando a °°,
21. 23 .
2ni¡ {b — a) 2ni cos 1 2ni sen 1 — 2ni sen 1 —ni sen 1 Rompa la parametrización de 71 + 72 en dos partes. Use la desigualdad del triángulo y la propiedad (iy). Use I 1 + elt\= y/2(l + cos i) Aplique la estimación de Cauchy a / y minimice el con M - (1 — resultado para todo 0 Aj r Ai 1 . Sea z = e*6 , 0 < 9 < 2'/T e iguale los términos imaginarios. La fundón es analítica en cada disco D, y la analiticidad es una prop ie dad local.
SECCION 2.4 1. Muestre que es constante. 3. Aplique el principio del máximo a la F[z) definida en el ejercicio 2. Enton ces I F I Aj 1 en Iz I= 1 . La igualdad hace que F sea constante. 5. Sea f( z) = z y sea G el disco unitario abierto. 7. I/I =A 0 en la frontera de G, y si/ no tiene ceros en G, los principios del máximo y el mínimo implican que/ es constante en G.
28 6
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
3. Sea f{ z) sen 2. Entonces f ^ n\Q) =
9. Por el teorema de Cauchy
ao IzKR zP(z)
0 ,
/ (4n+1 )( 0 ) = 1 , / (4n+2 )(0 ) = 0 , /< 4b+s)(0 ) = - 1 .
dz = 2m.
5. Si f( z) = senh z, entonces / ^ ^ ( 0 ) = 0 , / ( 4 n + l )( o) = 1( ^ 4 *1 +2 ) ( 0 ) = 0 ;
Cuando R -+ °° tenemos
"
lím R*°°
/ (4n+3)(0) = 1 _
P(z) = 1 así que pa ra R grande,
anzn I P(z) I I anzn 1/2. Entonces 277 = dz IzKR zP(z) üq
47T|flc I
ün I R
—que con-
7. Use la serie geométrica del Ejemplo 2. 9.
1 1 — 8 —
duce a una contradicción cuando R ■+ °°
SECCION 2.5
eztf(z) dz J r R 2 sup I f( z) I
r*
Jo
,Q si. a \> „0. Sea c e tR eos e Rn dd
g(6 ) = eos 0 — (1 — 20 / 7t). En tonces g( 0) = g(TT¡2) = 0 y g" < 0. Use eos 0 > 1 — 20 /tt para aco tar la integral y muestre que la cota tiende a cero cuando R "+ 5. Suponga que la trayectoria poligonal y — y' en la prueba del teorema de la antiderivada evita los puntos z j, . . zn . Si un número finito de los puntos excepcionales están dentro de cualquier subrectángulo formado por las curvas y — 7 ', aplique el ejercicio 4. Entonces aplique el teo rema Fundamental.
+
+ íi zi 'i + 1-8
, \Z — 1\
< V 2 11
. £
88 = 0
3.
1 — 8
2
1 - i 1. Use el teorema de Cauchy para deri vadas.
(Z — t)
(- ir
(2n)
(i)n 13. — — S s iíL 2 n=l n <1 15. log I 2I+ 377Í-
1
00 / S ^ n=l
« 37T¿\n — í-, 2%
Iz - 2e3m I< 2 17. 10 19. 6 21. No 23. f(z ) = (2 —z )~ 1 25. /(z) = 0 y g(z) = sen z son ambas enteras. 27. Desarrolle ea ^og(l+z) en una ser¡e de Maclaurin.
SECCIÓN 3.2 1. 0
CAPÍTULO 3
3. 5. 7. 9. 11.
SECCIÓN 3.1
13. [(1 - z ) - 1 ] ” =
1- 1+\ +(t +7 )+(i +i +4+i) + . . . y cada grupo entre paréntesis excede a 14.
1 1/3 /? /T R
£
(n + 1 ) (n + 2 )z", /? = 1
78 = 0
15. Integre la serie de Maclaurin de sen z/z para obtener
287
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
Í_ 1 \n r2n+1
2 — -— . R = °° n =0 (2n + l ) ! ( 2n + 1 ) 17. f { z ) = a0 eo s z + ai sen2
2
2 (—1 )nz 2n /22n (n !)2 n =0 21. Use las series de Taylor def(z) y g(z) centradas en 20para obtener f(z) /g(z)
2 -1 11 .
f '( z 0)(z z0 ) + f " ( z 0 )(z z0 )2 l 2 + . . g'( 20)(2 z0) + g'( z0 )(z Z 0)212 + . . .
13 .
----------------
19. a0
Entonces divida numerador y deno minador por z — Zq y tome el límite cuando z -*■z 0. 23. \/ E (1 z ) / 2 (1 z 3) 25. La serie de potencias para ezt es-en tera, así que aplique el teorema de Weierstrass. 27. Derive dentro del signo de integra ción ya que la serie converge unifor memente. 29.
— = 2 zn tn g(t) converge 1 - zt n=0 uniformemente en 0 < t < 1 para Iz K 1. Aplique el teorema de Weierstrass y derive término a térmi no para obtener
/'( *) =
tg{t) 0
(l-2 í)2
dt.
[Z ~
9 n=0
r \™ —n —Z\
2
-
3
1)”
2
n=l
+
z+2
.
+ Z
2
n=1 (2 + 2)n+1
oo
15.
cn zn , donde cn = c_n y
2
cn = 2 [&!( « + &)!] -l ¿=0 17.
2
n=0
c2n+i (z2n+1 + 2 2^ 1 ), donde
n+A
( - 1)
c2n+l “
19.
fc=0 k ! ( 2n + 1 +ft) !
(1 z ) n
2 \n=0
£
(_ 1 )"( 2 -
n =0
2
1)
—(2M+1 )
( 2n + 1 ) ! ( - l )n+1 c„(z - 1 )" donde
(-ir
k=q (2k + 1 ) !
SECCION 3.3 1 1. 2
-
(—1 )
2
n~ 0 3. 1
-
q 0 , par a n > —1 ,
l + 2 - 22 + 2 3 - . . . =
2
n =0
2
2 1 . 2 c n(2 — 1 ) n~ 0
( 1 - 2 ) -(n+1)
Cti
- /1 -
2
2
\"
23. an
4
£
n - —1
[n/ 2 ] + 1 ) ! fW U S) d$ —^ 2m li-1=1 f’n+l
J _ f * eí(z s e n o - « 0 ) ^ 0 27T J _ w
2 2 - 2" - 1 n -1
7, i
(_l)(n/ 2 ]
(2
2 n =0 V 2
5.
, donde
\
2
(!-,)»
y la parte imaginaria de esta integral es cero.
288
RESPUESTAS A PROBL EMAS IMPARES
2 n —0
25. [ z +
z
m—2n
1/2 y
7. I sen
7t2 ( z - 1)2
(z + z 1)”1 dz _ 2 ni 2 m—1 f7T
jn+1
lzl=l
e m eos771 (6 ) dO. Por tanto
7T J - 7 T ,m— l
eos (m— 2 ra)0 eosm 9 dd -
7TJ —ti mN
71* ( z - 1 )*
8 8 2! 4! No. 9. Sea f = g27rI^/^ para cualesquiera enteros positivos p y q, y observe que / W ) 00 cuando í -*■ 1 .
n.
i
(- l) n (n + 2 )! (z - l)n
n=0
f (z) = -%• z3
SECCION 3.4 1.
z = 0 , 00 son removibles, z = ±t son polos simples. 3. z = 0 es una singularidad esencial, z = o° es un polo simple. 5. z = 0 es una singularidad esencial, z = 00 es removible. 7 , (z + 1 ) e 1Hz 1>l(z* + z3 ) es un ejemplo.
n _1n 9. C(z) = 2 n= l 11.
2n (2ra)!
Ti+l n
2 ( - 1 ):
L( z) =
ra!
13. Defina F (z ) = f f(z ) en G + U 7 . 1 7 ( 5 ) en G .
Entonces F(z)es continua en G = G + U 7 UG—. En G—tenemos F( z) = u(z) —¿y(z) en donde f = u + iv. Entonces —iFy = vy (z) + (z) = (z) — ivx (z) = F x así que F es analítica en G . Para cualquier z 0 dentro de 7 considere Iz - z 0 I < p interior a G. Divida los círculos en dos semicírculos y muestre por continuidad que
F(z)
71=1
13. Sea k el orden del polo en 00 (k = 0 si oo es una singularidad removible), y aplique el teorema de Liouville a z— /(? ). Singularidades esen ciales. 15. z = 00 no es una singularidad esen cial, ni puede ser polo de orden k ¡3= 1 , ya que entonces /( z ) = zk (z), con fk analítica en 311, / no se omite el cero.
Iz-z 0l=p z - z 0
15 . Si I zl = 1 entonces OO
1
2
-4 71=1 71 *
1 +
<
n- 1
( - 1 )” (2n - 3)! (z - l ) n 2 2("- l )
Iz - 1 1< 1. No.
OO
71
1
2
7i = 2 t i ( n — 1)
(3 - 3 )
+ ■••=
2
1
= _ i
L og (1 - z)
que diverge en z = 1 .
1. Considere —Lo g(l — z). R = 1/2 3. Use —Iog(l —z). 5. z 1/2 = 1 + y(z 1) -
7i=2
71= 1
así que siempre converge. Sin em bargo, derivando término a término se tiene
OO Jtl
-
+
1
(4 - t) +
2
SECCIÓN 3.5
dz = 0.
(ti -
2 )!
ti!
C a p ít u l o 4
SECCIÓN 4.1 1 . Res¿ / (z) = — i . R e s _ í / ( z ) = — í2
2
289
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
3. Res 0 f(z) = 1
z dz (a2 - b2 ) z 4 + 2 (a 2 + b2) z2 + (a2 b2) —4 i asJl — oU 2 1zl=l
5. Res 0 f(z) = —
2
7. Res 0 f(z) = — 2
z dz
9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23.
Reskm f (z) = ( ~ l ) k km Resk n f ( z ) = 1 -27 rí 0. (Use el teorema del interior y el exterior.) —2iri [Res_j-/(z), = m n 0, ya que Res 0 f(z) = 0. 7ri 27T¿ [R e s ^ tan z + Res_Jr/2 tanz] = —4 ttí 25. Quite todos los factores comunes de P y Q. Entonces
a b ) \ y la — ó I
dz Iz 1=1 (az — l)(z —a)
5. t
[(a — ib)z2 + (a + ib)\n dz
P
\'
(z r f \ Q j
i
(z -
r )\0+l
(— aP\ así que Resr Í — P \' = \QiJ
da f í P \' lím — - i (z- r) { ) z - r dza 1 \ Q j y, por inducción = lím z-r
y calcule el residuo en z = 0. 9. Use cos ib = cosh b y sentó = t'senh b.
SECCION 4.3
\QJ
----
n+1
Iz 1=1
(* - »■)“ Qi p
a+ b
aP
--------
Q i
d ia~k r
( P \ (¿+l)
dza~R (.
VQj
1. Haga a = 0 en el teorema de esta sección y evalúe el residuo de z/(z 2 + 2z + 2)2 en —1 + i. 3-
( k a ) ^( —P \ik) ) ) = 0.
x 2 dx
T
(x 2 + a )
1 Re /27T¿ Res™
(z 2 + a 2 ) 2
5. Re |27T¿ Res¿ (z 2 + 1)— 7. Im <27T¿ Res¿¿, 1 (z 2 + ó 2)2 9.
SECCION 4.2 1.
ze
j 2ttí Res(l+¿)fe/V2 - 4— 4 z +0
+ Res (i+i)b/s/2
i f2w
4 Jo
-2 Im
z4 + ó 4
a +sen z dz
' JI lz l=l (z2 - l )2 - 4 az2
SECCIÓN 4.4
y Iy/a —yja + 1 1< 1 3 . —4í
lzl=l
1. Use los residuos en x = ±1/2 3. Residuos en x ¡= 0, 1/ 2, y escriba el numerador como \ sen 27tx
29 0
RESPUESTAS A PROBLEM AS IMPARES
5. Residuos en x = 0 y x bi de f ( z ) = e iz/z(z2 + b 2 ) 7. Use f( z) = {e™ elbz)¡ z2 sobre el contomo de la Figura 4.5. 9. Use la identidad eos (A — B ) — eos (A + B) = 2 sen A sen B e integre la función
f(z ) = {e ^A ~B'> e i{A+B))l 2 (z a ) (z - b) en donde A = m ( z a ) , B = n (z b) alrededor de un semicírculo de ra dio R al que se le añaden semicírcu los de radio r en a y b.
7. 3. Sea f( z) = (z2 - 1) • (z 4 — 5z 2 + 5) y note que Iz 2 — 1 1 > Iz I sobre el semicírculo Iz I = R > 2 , x > 0, y sobre el seg mento de recta z = iy, Iy K R. 9. 0. Multiplique la ecuación por z 2 + 2.
11.
Aplique el principio del argumento a g(z) = / ( * ) 13. Elija cualquier punto z 0 interior a G. Por el ejercicio 12, / ( z 0 ) es inte rior a J{ G) ya que todo punto en un disco suficientemente pequeño, cen trado en f ( z 0 ) tiene su preimagen en G. Ningún punto interior de G puede tener valor absoluto máximo ya que todos son interiores a f( G).
SECCIÓN 4.5 1. Use el método del ejemplo 1. Para a = 0 resuleva directamente e in terprete la respuesta como un límite cuando a ->■ 0. 3. Vea la respuesta del ejercicio 1. 5. Resuelva directamente para a = 0, 1, 2. Interprete la respuesta para a = 1 como un límite. 7. Use el método del ejemplo 2. 9. Use f(z) = za\og z/(z 2 + b2)e n la Figura 4.6. 11. Use f( z) = eíaz /senh z sobre un contomo rectangular j z : I x I < R, 0 < y ^ 2m } al que se le quitan semicírculos en 0 y 2m . Polo en 7Tt con residuo —i senh Tía. 13. Üse f( z) = e^/cosh 7Tz sobre el contomo rectangular { z : I x I ^ a , 0 < y < l } . Polo en i 12 con residuo cos(a/2)/7T!. 15. Sustituya a u = xa y aplique el ejerci cio 14. 1). Sustituya x = b tan0 y haga 5 = 1. Esta sustitución cambia la segunda integral en la del ejemplo 2 .
C a p ít u l o 5
SECCIÓN 5.1 i. e 3. z¥= 0 5. Cuadmplica el ángulo a 2 tt radianes. 7. Duplica el ángulo. 9. Haga z = r (1 + e i e ) y eleve al cuadrado n
d (“ . v) = b( x, y)
“x uy vx vy
y aplique
las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 13. Mire el teorem a de Liouville. 15.Existe un valor 6 y un e > 0 tales que Re (e^f’(z))> 0 paratodo z en Iz —z 0 K e.
SECCIÓN 5.2 SECCIÓN 4.6 1. 0
3. 0 5. (i) 5, (ii) f), (iii) 5, (iv) 6
1. ü<0 3. 1zw— (1 +Í)I2\>\¡2I2, Itu - (1 - t ‘) / 2 l > V 2/2 5. 3. La sustitución del Ejemplo 5 con duce a 16 (zw4 + 8tf 3 + 3w2 2 w + 1) = 0.
29 1
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
7. Sea w = exp(2í riz/(z — 2)). 9. Sea w = sen" 1 (iz2 ).
w=
i y/z — 1 + y/ 2 ----------------------------
y¡2 —2 —i \Jz — 1
SECCIÓN 5.3 1. w= 3. 5. 7. 9. 11. 13 . 15.
i 1
2
z+1 z 1 i
2 — w 1 +í 1 +z uj - 4 2 1+t- jz No. No es analítica (3+4í)/25 (2 + 50 /3 a; = ( - 2 + 40 (2 + 1)¡(5iz + 2 + 0 2 -V 3 . z — (a — R) w - i El mapeo ' z —(a + R) ------------ -----
-
mapea al círculo en el eje real. Así,
11. Suponga que fl y v son puntos rama de la superficie de Riemann de la transformación. Haciendo w = f ( z) , entonces f(z) = ( 2 /( z ) f l — v ) ¡ (fl —v) mapea al plano z en una su perficie de Riemann con dos hojas, y puntos de ramificación en ±1 . Escri biendo f(z ) como una serie de Laurent, vemos que Z(z) = f (z) + V f 2 (*) - 1 es analítica en ±1 y es analítica o tiene polos simples en los polos de f( z). Además, Z(z) de be tener al menos un polo simple ya que de otra forma sería constante, así que Z(z) es una función racional. Finalmente, muestre que Z(z) es de primer grado, de lo cual se sigue la respuesta. La segunda alternativa surge cuando v =
z(aR) z (a + R)_ +a
b
(a — R)
+ a (a+R) —a lo cual implica que z* = (R2 /(z —á)) + a.
SECCIÓN 5.4
_ 2 i
1 . w = — log 7T
3. w
1
1
+ u)
-------
1 — w
+z J
5. Vea el Ejercicio 9 de la Sección 5.1. Dentro de la cardioide. 7. La m apea en si misma invirtiendo la orientación 9. Primero recórrala hacia la izquierda 1 unidad y considere la raíz cuadrada con corte rama sobre el eje real posi tivo. Finalmente
SECCIÓN 5.5 1. Im (/4z4/3 ) = A Im (z4/3) = constante. El origen es un punto de estancamiento. 3. lm(Az* )= constante o x 3y — xy 3 = constante. El origen es un punto de estancamiento. 5. V = w ' = 1 - 3z2, así que \V\ = 1, 2, 4 en 0, 1 , i, respectivamente. w' = 0 cuando z = ±( 3 )—1^2 . 7. V = 3 + 2 iz, así que I V\ = 3 , V Í 3 , 1 en 0 , 1, i, respectivamente, w = 0 cuando z = —Si/2. 9. y + Sx2y — y 3 = constante; y + 2(x2 —y2 ) = constante; 3y — (x2 —y2) = constante; eos x senh y constante.
1 1 . ew = (z ± sfz2 — a2)¡o así que arg [(z ± y/z2 —a2 )¡a] = cons tante 13. Las líneas de corriente son hipérbo las confocales eos2
V
a2 sen2
1,
292
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
v = constante. Para v = 0, 7Tob tenga el flujo en los bordes de la abertura, pero este flujo no es realidz 1 , _ . zable físicamente porque — = = V dw
dx 0
------
a senh w a \l cosh 2 w — 1 a2 , así que I V I es infinito en z = 15. V w = .4(1 - a /z ) así que, para z = ae'^ obtenemos I V (ae*®) I = 2i6 \i_ 2A I sen 6 I. Pero A( 1 P
\ 4(i - * 2) ’i dt
0 í 3/4 V i - f 2 r ( 3/ 4) 5. tu = (1 —2¿:) \¡z —z2 — (sen- 1 (2z - l ) )/ 2 - tt/4 7. Use las identidades r(-g-) T( 3/ 4) = 7lVíF y r(-j )2 = 7T. Entonces tu = "2 (z - 1)3/4 dz 0
VT 1 )3/4 dx
(x
2v42sen20
P
r(-í) r(T)
lo cual implica que
m P
= t ^ + y > [ l - 4 s e n 2 0] . P 2p(c
Si A 2 >
3p
A
y 6 = +7T/2,
- 3 /4 r ( f ) r ( 7 / 4 )
( - 1 )“
T(9/4)
1 2 ttV^
5r(T )2 9. Haga s = (z a)¡z y considere el mapeo
hay cavitación.
\/-t —a
dz.
V-zfc - 1 )
SECCION 5.6 1. Im \/¡ü 2 + 1 = constante, son las líneas de corriente en el plano w. 3. Claramente mapea al semiplano su perior en un cuadrado, ya que
J°
i
v 4 ( x 2 - 1)
fl
r
—=
J 0 y x { \ — x 2 )
—1 0 1 1
dx
°
dx \/x{\ — x 2 ) d ( —x)
%/(-*) (x2 1 )
Haga x 2 = t, use la integral del Ejem plo 4 y T(x) T(1 — x) = 7r/sen 7rx para obtener
SECCIÓN 5.7 1 . f = (z V3)/ (z + V 3) mapea la región en el anillo (\/3 — 1)1 (y/3 + 1) < I f I < 1. Las líneas equipotenciales en el plano f son círculos I f I = constante, así que las líneas equipotenciales en el plano z satisfacen I z —y/3 I / I z + %/ 3l = constante. 3. u =
y
- - Re (sen- 1 ez )
7r
1 1 + sen(7K/2) 5. u = — Arg 7T 1 —sen(7K/2) --------------------
7. Sea z = cosh f y w = A (cosh f — ¿a). El primer mapeo genera una fa milia de elipses confocales y una familia de hipérbolas confocales.
293
RESPUESTAS A PR OBLE MAS IMPARES
SECCION 6.2
SECCION 5.8 1. V es real sobre los bordes del recipien te, la rapidez es igual a ± 1 , pero en direcciones opuestas, y es constan te en las líneas de corriente libres. Cuando V(0) es puramente imagi nario obtenemos la hodógrafa
Integre ambos lados del teorema del Valor Medio de la Sección 6.1 obte-
1
fR f27T
77 /?Ti“ JO JO W( + 1)
W(-1)
0
W( o con W = A /V = A/w (z) : Enton ces, considere la sucesión de mapeos z i = 2 Log W + Í7r z2 = sen(z'z1 / 2 )
1. 0 = Re(e2 ). Verifique que se satis face la ecuación de Laplace 3. 0 = R e(z 3 ). Verifique que se satis face la ecuación de Laplace 5. f ( z ) = sen z; entera 7. No. 9. v = tan "’1 (y/se) + constante. 1 1 . zs = —yl[(x — l )2 + y 2 ] + constan te 13. Considere la parte real de log /(z ). 15. — 277
f Jo
log I 1 + relS I dd =
f 2 7r
1
— lo g 11 + r + 2r eos 9 Id6 477 J 0 1
f27r
6 \
/
-> — log 2 eos — ) d6 y 2 / 277 J o V 2rr 0 log eos — dd = 0
27r 0
2
d ri< logsen —e¡0 = 2 logsen 0 e¡0 2
Jo
u(¡¡ + re ) rdrdd
Entonces u(z) = 2 f(¿
------
I
2772 J 3G
■d f =
u(f) 4scy
(í 2 - ¿ 2 : u(t) u (tí)
(f2
7T
SECCIÓN 6.1
rd r
grad u = / ' , en donde / = u + ¿y con v cualquier armónica conjugada de u. Use g(z) = (z 2 - z 02 )/(z 2 - z02).
f = - Log z2 - i.
C a p ít u l o 6
'R
2“(f) R 2
niendo w(f) =
t2 + z 2 |2
lt 2 - z 2 |2
dt
Si u(z), U{z) son dos soluciones del problema de Dirichlet, que son con tinuas en G , entonces U(z) —u(z) es armónica en la región G simple mente conexa y continua en G. El principio del máximo implica que U — u alcanza su máximo y su míni mo en 9G. Pero U — u = 0 en 9G, así que u es única. uAeie) = o.= uieie) y uAreie) a ^ u(re l®) por el principio del máximo. Por tanto, por el ejercicio 8 , para r < k
u(ke^) ^ ur(ke*S) = a —- — log
r
0
cuando r -> 0+. Puesto que k puede hacerse arbitrariamente pe queña, u no es continua en 0. 11 Use la fórmula integral de Cauchy para /(z) y la identidad 1
2 tt
277 J 0
z - f
e¡0 = 0 .
13. Sume y reste 1
“ (0 ) = —
f 2 tt
2772 J o
¿t u(f)^f
294
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
y aplique las técnicas del teorema de Poisson. 1 d(t —x) 15. u(z) = 77 J - 1 (í - x ) 2 + y2
z - 1 -- -1 arg z + 1 77 \ z + 1 /
1 arg
--------
—77
para 0
arg z < 77.
5. Fuentes en ±¡, sumideros en 0, °°, todos de intensidad Q, y puntos de estancamiento en ±1 y °°. Las líneas equipotenciales están dadas por Iz + 1 /z I= constante, las líneas de corriente por arg(z + 1 /z ) = cons tante. 7. Sumideros de intensidad 277 en ±1, ±i, y fuentes de intensidad 477 en 0 y ±(1 ± í) y o° son puntos de es tancamiento. Las líneas equipoten ciales satisfacen 1
constante, mientras
SECCIÓN 6.3 1 . u(z)
( « o + M i ) + ( «0 -
que las líneas de corriente están da das por arg (22 _ i / 2 2 ) = constante.
Mi) •
(iz 2 Arg
77
------
\ l + Z
9. Sea w = 3. w(z) -
— log 277
------
• Familia de
Z
círculos que pasan por i y 0.
P
27771
log 277n z ( r ^lr log 1 + — ------
V
rn
11.
iv = W2
w= z 2 z+ 2
plano
z
plano iv
~P
1
2 95
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
A/_,
SECCION 6.4 1 . c0
2 */=o
= 7r, cn = i/n así que u(z) =
/ - z "x 2 Re I í 2 — j = \ n = 1 n /
7T+
(ni , . . n i _ i , k i
kj)en^ SECCIÓN 6.5
7T + 2 Re [—¿L og (l —z)] =
1 . (tt/ 2)i/2 e_blíl
77 + 2 Arg (1 — 2 ).
3. 5. 7. 9.
3. u(re'®) = — + 2
2
r2”+^
(2 n + 1) 0 2n + 1
n =0
5. Sea /( z ) entera y acotada por M. Por la identidad de Parseval
(?r/2)1/2 ( 1 - b I f l) e~ b u '¡2b e“ í,/4A/yTft -í(7T/2 )1'2 tanh (ttí/2) u(f) = (1 —í signof)/2 lf l1//2.Haga t = s2 y compare con el ejercicio 15 de la sección 2 .2 .
1 1 . — !— í
1 1
u(t) e *í0 <¿f ) dtp =
V27T *
por tanto, I cn I ’í M /r n *■ 0 cuan do r *■ Entonces cn = 0 para n > 0 y f(z) = 2 „c„ z" = c0 , una constante. 7. Sea /(re* 0 ) = 0 2 - 2770 en la identidad de Parseval, obteniendo c0 = —27T2 /3 , c„ = 2 /n 2 para
n >
L | - . „ { v 277 J-°°
o
Jo
re*0 — 1
F(0)
■
t
e ‘ (t—x)4> d(j) j
1
u(t) v(t — x) dt. \ /2 t7 Entonces haga * = 0. Para la segun da parte sea V = U.
0
9. c 0 = = . . . = c„_i = 1 , las otras cn 0 así que de la identidad de Parseval se tiene re nit> 1 2 2 ti 2 r2A = í dtp.
U(tp)V(tp) dtp = V(tp)'
\/2n 7
I/(re* 0 ) I2 dtp < 27TM2 ,
0
£ - “ <*>
V27T
277 2 r2 n \cn ¡2 = 71=0
f*277
..........
SECCIÓN 6.6 1.
cosh ztp e ~ 50 dtp =
Haga r = 1 para obtener 277
27771 =
e*0/2 _ e—*0/2
0 2
A l 2 11.
[e-(*-*)'#> + e-(r**) 0 ] d(¡) =
e7ii*>/2 _ e-n¡4,¡2
dtp =
1
Ls — z
•2 - /sen n0 / 2 \ 2 ri0 0 \ sen 0/2 /
Sea A = Ai • A 2 ' . . . • Ay, k = kiN2 • . . . • Ay + k2N 3 • . . . ' Nj + . . . + kj , y n = nyAy_! • . . . •A i + . . . + n 1 , entonces defina en forma recurrente n[,k[+1 kj) = c<'> (« i ,« 2 l n ekl+ iNl+i- ■■NjnmNm -i - ■ -A , 7 71 = 1 ........
+
1 -----
s+z
con Re s >
Re z, —Re z 3.
(z(s2 +z2) *) jC|senz0}= ds ds
---
------
por la ecuación (3). 5.
----
ds
ds
£ {senh ztp\ = (z(s2 z 2 ) ' )
2 96
RESPUESTAS A PROBLEMA S IMPARES
7. Por el primer teorema del corrimien to £{}(s) = JC-jsenz^j (s + w) y aplique el ejemplo 5.
X U(t ){ ^X 1V {s )W (xts)ds )d t U*(V*W) haciendo s =
,2
£{s en z| = £-[2 sen z(p}
9. — ds
por la ecuación (3). 1 1 . cos 2z
£{#( - a) costal = e~as £ { c o s z (0 +ay> y cos z(<¡>+ a) = cos z
I£{[/}!
M I e~s(p I d<¡) +
N M
d<¡>
(Rer—a)í>
1
+ N Re s 0 , cuando s ■+ 00
SECCION 6.7 1.
3. sen a<¡)/(2a) 5. (1 —cos a
cos
\/3s
11.
2/3 /r (l /3 )
13. 15. 17 . 19. 21.
(e 60 - ea4,)/
U,{<¡>) = i2 + 0 4 / 1 2 {[a + c{a + 1 )] cos
Re s
d 2a x-
u(x, s) = Clesx/a + c2e~sx/a x ñ y ) s e n h ± ^ y } dy 0 a
U'{
U ^ 0+
con condiciones en la frontera « ( 0 ,s ) = 0 , lím u(x, s) = 0 .
; lím {/() (p~*oo
25. Como las integrales son operadores lineales obtenemos el resultado. 27. (U*V)*W = C4>
s- w
a2
Usando el método de variación de parámetros de las ecuaciones dife renciales obtenemos
sep
0
V3 a
9. sen a(<¡> — b) H((¡) —b)/a
23 .
U'(4>)\ lím e 50
\/Sa
U(t)V((¡) — t)dt\ W{x — <¡)) d(j) V{6 - t)W{ x
Por tanto, c 1 = c2 0, así que ' U(x, t) =
£ —1 í — 1 T / ( y ) s e n h a JO
2 7.
d2u dx2
¡l du s —+ — — — — u 0 tiene la S dx
S
297
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
solución
l + 4 y dy
u = Ci g(-M+\/MJ+4i6x)/26 + C2 e(n\f¡j^+^síx)¡25
81
con las condiciones en la frontera
(13)3/2 1 1
20
5.-1
m(0 ,s) = - ,
7. 148.75 9. 0
lím u(x, s) = 0 . Por tanto, cj
ce
(13)5/2 _ 4
A .
= 0, c2 = —c/s y
-IJx/28
(- x ¡ s / Z )\/ s + ¡A /46
11. Por el teorema de Green
jcdy —y<¿>c =
así que por el teorema de convolución y el primer teorema del corri miento
-HL U -(-l))djcdy=¿ 13. Por el teorema de Green
cenx/ 2 6 £{!}£
pd y + qdx = 2
g - ( M 2 í + x 2/ f ) / 4 6
ip x - 9 y )
Entonces, u( jc ,
í) =
=
ce- W 2« 15 .
t-3/s e-(M2f+x2/í)/46
-4
in APÉN DIC E A .3
1. 2\/2
J y
y 2d x = A y
=-ÍL xd xd y =
—1 J x 2dy = —Ax
ÍNDICE
Con el número que se anota en cada término se indica la página en que éste se define. Abel, teorema de, 111 Abierto, conjunto, 21 Absoluto, valor, 9 Acotado, conjunto, 21 Acumulación, punto de, 20 Aditiva(o) identidad, 2 inverso, 2 Aislada(os), 105 singularidad, 121 Amplificación, transformación de, 167 Amplitud, 54 Analítica continuación, 125, 127 función, 32 global, función, 129 Antiderivada de una función analítica en un disco, 92 teorema de la, 94 Apolonio, círculos de, 224 Arco de Jordán, 62 longitud de, 78 simple, 62 suave por partes (spp), 62 suave, 62
Argumento, 10 principio del, 156 Armónica, funciones, 207 Asociativas, leyes, 2 Bemoulli, teorema de, 185 Bessel, función de, 121 Bidimensional, 178 Bilineales, transformaciones, 205 Binomial, teorema, 8 , 108 Biyección, 25 Cadena, regla de la, 33 Calor, flujo de, 194 Campo, axiomas de, 2 Cardano, 1 Cargas, sistema de, 196 Carleson, L., 258 Cauchy convergencia de, 146 estimación de, 86 fórmula integral de, 80 teorema de, 72, 96 teorema de, para derivadas, 82, 97 valor principal de, 146 Cauchy-Goursat, teorema de, 90
2 99
300
ÍNDICE
Cauchy-Riemann, ecuaciones diferenciales de, 34 Cavitación, 185 Cerrado(a) conjunto, 21 curva, 62 Cerradura (de un conjunto), 24 Circulación (del campo), 179, 196 Compleja, exponencial, 4 Complejo(s) conjugado (véase Conjugado, complejo) números, 2 plano, 5 potencial (del flujo), 180, 194, 196 Complemento, de un conjunto, 20 Condensador, 201 Conductividad térmica, coeficiente de, 194 Conductor (contornos), 197 Conexo(a) conjunto, 21 múltiplemente (región), 79 simplemente, 23 Conforme, mapeos, 161 Conjugada(o) armónica, 208 complejo, 6 Conmutativas, leyes, 2 Continua, función, 27 Converge (una serie), 101 Convergencia radio de, 110 semiplano de, 241 uniforme (de series), 108 Convergente, absolutamente, 101 Convexa, región, 166 Convolución (de funciones), 246 Corriente función, 180 líneas de, 180, 195 Corrientes libres, líneas de, 202 Corrimiento primer teorema de, 243 segundo teorema de, 243 Coseno, función, 44 Cruzada, razón, 172 Chorro, flujo de, 204 De Moivre, teorema de, 13 Derivación de Laplace, propiedad de, 245 de la transformada, 245 Derivada de una función compleja, 32 por un lado, 232
Derivada ( Continuación ) nula, teorema de la, 38 Dipolo, 225 momento del, 225 Directriz, 16 Dirichlet el problema de, 212 integral de, 77 Distributivas, leyes, 2 Diverge (una serie), 101 Doblete (puntual), 224 Dominio, 21 Duhamel, fórmulas de, 247 Electrostático, campo, 196 Elementos, 125 Elipse, 15 Enestrom-Kakeya, teorema de, 19 Entera, función, 32 6 -vecindad, 19 Equipotenciales, líneas, 180, 196 Esenciales, singularidades, 122 Estacionario, 178 Estancamiento, puntos de, 181 Estela (en un flujo de fluidos), 202 Estereográfica, proyección, 23 Exponencial compleja (véase Compleja, exponencial) orden, 241 Exterior ángulo, 187 conjunto, 20 de la curva (región), 63 Extremos (de una curva), 62 Fase, corrimiento de, 54 Fijos, puntos, 170 Fluidos, flujo de, 178 incompresible, 178 Flujo como chorro, 204 de calor, 194 estacionario, 178 irrotacional, 179 Foco, 16 Fourier coeficiente de, 229 ley de, 195 serie de, 229 teorema integral de, 237 transformada de, 237 par de la, 237
301
ÍNDICE
Fraccional lineal, transformación, 166 Frecuencia, 54 Fresnel, integrales de, 77 Frontera (de un conjunto), 20 Fuentes (o sumideros), de potencia, 221 de una región, 179, 221 Fuerza, función (véase Función fuerza) líneas de, 190 Función analítica, 32 analítica global, 128 armónica, 207 compleja, 24 continua, 27 corriente, 180 de Bessel, 121 de Heaviside, 240 de transferencia, 247 entera, 32 fuerza, 196 gamma, 131 hiperbólica, 46 holomorfa, 32, 59 impulso, 150 meromorfa, 122 multivaluada, 48 potencia, 50 potencial, 180 regular, 59 Funciones trigonométricas complejas, 44 Fundamental, teorema, 95
Imaginaria ( Continuación) parte, 5 unidad, 5 Impulso, función (véase Función impulso) Incompresible, 178 Infinito, 23 punto al, 23 Intensidad (de una fuente vórtice), 222 Interferencia efectos de, 54 franjas de, 54 Interior, 20 de la curva (región), 63 y del exterior, teorema del, 136 Inversión fórmula de (para transformada de Laplace), 250 transformación de, 167, 237 Inyecciones, 25 Irrotacional, flujo (véase Flujo irrotacional) Isotermas, 195 Jacobian o, 165 Jordán arco de, 62 curva de, 62 teorema de la, 63 Joukowsky, perfil de, 22 Katznelson Y., teorema de, 258
Hadamard, fórmula de, 110 Harnack, desigualdad de, 218 Heaviside, función de (véase Función de Heaviside) Hipérbola, 17 Hiperbólicas complejas, funciones, 46 Hodógrafa, región, 203 Holomorfa, función (véase Función holomorfa)
Lagrange, identidad de, 19 Laguerre, polinomios de, 98 Laplace ecuación de, 207 transformada de, 241 de dos lados, 240 Laurent serie de, 116 teorema de, 116 Legendre, polinomio de, 85 Lemniscatas, líneas, 223 L’Hospital, teorema de, 114 Límites, 27 por un lado, 232 reglas de, 28 Línea, integral de, 64, 267 Liouville, teorema de, 87 Logaritmo, 47 Looman-Menchoff, teorema de, 59
Imagen, conjunto, 25 Imaginaria, 5
Maclaurin, serie de, 104 Magnitud (véase Módulo)
Gamma, función, 131, 155 Gauss, 1 ley de, 196 teorema de, del valor medio, 86 Geométrica, serie, 102 Gradiente, 195 Green, teorema de, 71, 273
ÍNDICE
Mapeo(s), 25 conformes, 161 Máximo, principio del, 87, 210 Maxwell, ecuaciones de, 58 Menchoff, 35 Meromórfica, función, 122 Mínimo, principio del, 88 Mittag-Leffler, teorema de, 131 Mobius, transformaciones de, 205 Módulo (o magnitud), 9 Monodromía, teorema de la, 128, 131 Monogénica, función, 59 Morera, teorema de, 83 Múltiplemente, conexa (véase Conexa, múltiplemente) Multiplete (puntual, o multipolo), 228 orden de un (véase Orden de un multiplete) Multiplicativa(o) identidad, 2 inverso, 2 Multivaluadas, funciones, 150 Multivaluado, argumento, 48 Natural, frontera, 130 No acotado, conjunto, 21 Noshiro-Warshawski, teorema de, 166 Números complejos, 2 reales, 2 Onda ecuación de, 54 longitud de, 56 Orden de un multiplete, 228 de un polo, 121 del cero, 105 exponencial, 241 punto de ramificación de, 130 Origen (del sistema coordenado), 5 Parábola, 16 Paralelogramo, ley del (para la suma vectorial), 3 Parseval, identidad de, 231, 240 Picard, teorema de, 123, 131 Plano complejo extendido, 23 Poisson fórmula integral de, 214 núcleo de, 72 teorema de, 215 Polar, representación, 11
Polos, 121 Por un lado, límites (véase Límites por un lado) Positivo, sentido, 63 Potencia, función, 50 Potencial, función, 180, 196 campo de, 196 Principal, rama, 49 valor, 10, 49, 146 Pringsheim, teorema de, 131 Punto, 20 Puntual fuente (o sumidero), 221 vórtice, 222 Ramificación, 43 cortes de, 43 logaritmo, 47 principal (rama o ramificación), 49 puntos de, 43, 130 Rápida de Fourier, transformada, 235 Rapidez, 184 Razón, prueba de la, 115 Real, parte, 5 Reales, números, 1 Reglas de límites (véase Límites, reglas de) Regulares, puntos, 129 Removibles, singularidades, 121 Residuo, teorema del, 133 Riemann del mapeo, teorema de, 164 esfera de, 23 superficie de, 43 teorema de, 96 Rotación, transformación de, 167 Rouche, teorema de, 157 Schwarz fórmula de, 219 principio de reflexión de, 131 tema de, 89 Schwarz-Cristoffel fórmula de, 187 transformación de, 187 Seno, función, 44 Serie(s), 101 de Fourier, 229 de Maclaurin, 104 de Laurent, 116 de Taylor, 102 geométrica, 56, 102 Simetría, principio de, 173
303
ÍNDICE
Simple, arco (véase Jordán, arco de) Simplemente conexa, región, 23 Singularidades (aisladas), 121, 129 Sinusoidales, ondas, 54 Snell, ley de, 58 Sobre, función, 25 spp (suave por partes) (véase Arco, suave por partes) Suave arco, 62 por partes, arco (o función), 62, 232 Suma (de la serie), 102 Sumideros (véase Fuentes) Suryecciones, 25 Tartaglia, método de, 8 Taylor serie de, 102 teorema de, 103 Temperatura, 195 Teorema fundamental del álgebra, 1, 88, 90 del cálculo, 61, 66, 95 Transferencia, función de, 247 Traslación, transformación de, 167 Tres círculos, teorema de los, 89
Triángulo, desigualdad del, 10 Unidad, raiz de la, 19 Univaluado, argumento, 48 Uno a uno, función, 25 localmente (mapeo), 163 Valor, 10, 49, 146 Valor medio del área, teorema del, 218 teorema del, 210 Valores en la frontera, problema con, 211 Variable compleja, 24 Variación (del argumento), 156 Vector, 3 Velocidad, vector, 179 Vórtice(s), campo plano de, 222 fuente, 222 Wallis, fórmula de, 98 Weierstrass, teorema de, 108, 131 Weierstrass-Casorati, teorema de, 123 Zhukovski, (véase Joukowski)
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