UNIVERSIDAD DEL AZUAY
FACULTAD DE “CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN”
MANUAL DE PRÁCTICAS DE MATEMÁTICAS PARA PARA COMPUTADOR COMPUTADOR EN DERIVE 6.0
AUTORES:
JOSE LUIS NEIRA GUILLERMO GUILLERMO BRYAND BRYAND DARIO DARI O PARRA CORONEL
Cue!"# $e%&'e()*e +e, -00
1
/NDICE 0. P*!&'!" 0
1
0.2 I&*3+u!!'4
1
0.- A%,'!"!'4 DERIVE
1
0.5 O%e*"+3*e$ ("&e(&'!3$
0.1 Ee*!'!'3$ %*3%ue$&3$ %"*" +e$"**3,,"* e !,"$e$
2-
0.7 Ee*!'!'3$
21
2. P*!&'!" 2
26
2.2 Ee*!'!'3$ %*3%ue$&3$ %"*" +e$"**3,,"* e !,"$e$
26
2.- Ee*!'!'3$
28
-. P*!&'!" -
-1
-.2 Fu!'3e$ 9 :*;'!"$# *e!&"$# %"*)3,"$ 9 $'$&e("$ +e e!u"!'3e$
-1
-.- Ee*!'!'3$ %*3%ue$&3$ %"*" +e$"**3,,"* e !,"$e$
-<
-.-.2 Fu!'3e$ 9 :*;'!"$
-<
-.-.- Re!&"$# %"*)3,"$ 9 $'$&e("$ +e e!u"!'3e$
50
-.5 Ee*!'!'3$
5<
5. P*!&'!" 5
10
5.2 C*e"!'4 +e ("&*'!e$
10
5.- Ee*!'!'3$ %*3%ue$&3$ %"*" +e$"**3,,"* e !,"$e$
1-
5.-.2 Fu!'4 E=%3e!'", 9 L3:"*>&('!"
1-
5.-.- A,:e)*" +e ("&*'!e$
11
5.5 Ee*!'!'3$
1
1. P*!&'!" 1
7-
1.2 I&*3+u!!'4
7-
1.- Ee*!'!'3$ %*3%ue$&3$ %"*" +e$"**3,,"* e !,"$e$
75
1.5 Ee*!'!'3$
7 2
/NDICE 0. P*!&'!" 0
1
0.2 I&*3+u!!'4
1
0.- A%,'!"!'4 DERIVE
1
0.5 O%e*"+3*e$ ("&e(&'!3$
0.1 Ee*!'!'3$ %*3%ue$&3$ %"*" +e$"**3,,"* e !,"$e$
2-
0.7 Ee*!'!'3$
21
2. P*!&'!" 2
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1.2 I&*3+u!!'4
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1.- Ee*!'!'3$ %*3%ue$&3$ %"*" +e$"**3,,"* e !,"$e$
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1.5 Ee*!'!'3$
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7. P*!&'!" 7
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7.2 I&*3+u!!'4
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7.5 Ee*!'!'3$
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6. P*!&'!" 6
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6.2 Ee*!'!'3$ %*3%ue$&3$ %"*" +e$"**3,,"* e !,"$e$
<2
6.- Ee*!'!'3$
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<<
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1
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6
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8. P*!&'!" 8
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8-
8.- Ee*!'!'3$
8<
20. P*!&'!" 20
200
20.2 I&*3+u!!'4
200
20.- Ee*!'!'3$ %*3%ue$&3$ %"*" +e$"**3,,"* e !,"$e$
202
3
PRACTICA 0? 0.2 INTRODUCCIÓN En la guía se proporcionarán tablas que contengan la nomenclatura de los operadores matemáticos que se utilizarán para las prácticas. Estos operadores son algunos con los que funcionan las aplicaciones. Tambin se indicarán el nombre de funciones opcionales que el alumno puede utilizar para el desarrollo de las prácticas. Se indicará las partes principales que conforman dic!a aplicaci"n# además# se e$plicará de la manera más sencilla el uso correcto del programa para el ingreso de las ecuaciones e inecuaciones % funciones del programa. &omo nota final# sta es una guía para el uso correcto del soft'are matemático ()rograma del &omputador* % no para la ense+anza de las matemáticas.
0.- A%,'!"!'4 DERIVE ,ER-E es un programa de matemáticas para un computador. /sta aplicaci"n procesa 0ariables# e$presiones# ecuaciones# funciones# 0ectores % matrices al igual que una calculadora. Tambin puede realizar cálculos numricos % simb"licos# con algebra# trigonometría % análisis# además con representaciones gráficas en dos % tres dimensiones. Es una buena !erramienta para documentar los traba1os# aprender % ense+ar matemáticas. Tanto para el profesor como para el estudiante# ,ER-E permite nue0os enfoques para la ense+anza# aprendiza1e % comprensi"n de las matemáticas. ,e !ec!o# es fácil comprobar que muc!os temas pueden tratarse más eficientemente que usando mtodos de ense+anza tradicionales. 2uc!os problemas que requieren cálculos e$tensos % laboriosos# pueden resol0erse apretando tan solo una tecla cuando se usa ,ER-E# permitiendo que los alumnos se concentren en el significado de los conceptos matemáticos# facilitando la comprensi"n % el desarrollo de stos. ,ER-E es una buena !erramienta para acceder de manera rápida a numerosas operaciones matemáticas % a 0isualizar problemas % soluciones de formas di0ersas# gracias a que dispone de un asistente amable % potente que es mu% fácil de utilizar. 3a aplicaci"n ,ER-E inicia como otra aplicaci"n de 4indo's# !aciendo doble clic5 en el icono de la aplicaci"n creado en el escritorio o en el men6 INICIO. Tras la e1ecuci"n de la aplicaci"n se 0isualizará una 0entana similar a la figura 7.7 que cuenta con lo siguiente:
4
F':u*"? 0.-.2 Ve&"" ''!'", +e DERIVE • • • • •
8arra de introducci"n de e$presiones. entana de Algebra. 8arra de letras griegas % la de símbolos matemáticos. 8arra de estado. 8arra de botones.
B"**" +e '&*3+u!!'4 +e e=%*e$'3e$ &omo se demuestra en la figura 9..# es aquí donde se ingresan las e$presiones a resol0er# consta de estos botones: Figura: •
•
•
a+ade la e$presi"n en la 0entana de álgebra. a+ade la e$presi"n simplificada % el resultado en la 0entana de álgebra. para apro$imar la e$presi"n % a+ade en la 0entana de álgebra.
•
%
son la combinaci"n de las funciones anteriores
•
elimina la e$presi"n ingresada
Ve&"" +e A,:e)*" Es la 0entana principal# aquí se 0isualiza las e$presiones# los resultados# graficas. Tambin se puede documentar el traba1o que se !a realizado. 5
3a aplicaci"n ,ER-E dibu1a las e$presiones en sta 0entana# de tal forma que el estudiante pueda 0er sus errores al momento del ingreso de las e$presiones deseadas. E$iste una funci"n interesante para poder corregir los errores cometidos en el instante de ingresar la e$presi"n# fácil de aprender que más adelante será e$plicada en detalle.
B"**" +e ,e&*"$ :*'e:"$ 9 ," +e $>()3,3$ ("&e(&'!3$ 3a barra de símbolos matemáticos se encuentran en la parte inferior;derec!a como se demuestra en la figura 9..< % contiene las operaciones con las que ,ER-E opera % se encuentran e$puestas con el fin de facilitar el uso al practicante. 2ientras que la barra de letras griegas está ubicada en la parte inferior;izquierda % fa0orece a que el practicante no pierda tiempo en estar buscando o memorizando listados de comandos para obtener dic!o carácter.
F':u*"? 0.-.5
B"**" +e e$&"+3 3a barra de estado es mu% 6til# porque# indica al practicante el nombre de la funci"n utilizada % el tiempo que se requiri" para la resoluci"n de dic!a e$presi"n. /sta barra está ubicada en la parte superior de la barra de introducci"n de e$presiones F':u*"? 0.-.1
B"**" +e )3&3e$ Aquí contiene 0arias funciones con las que el practicante %a está familiarizado % puede !acer uso. Todas estas funciones se irán e$plicando paulatinamente como se requiera. /sta barra se demuestra en la figura 9..=
F':u*"? 0.-.7
Al transcurso del aprendiza1e# el estudiante debe relacionarse con la 0entana > G*;'!"$ -D?# es similar a la 0entana inicial# pero contiene una barra de botones diferente. En la figura 9..@ e$plicaremos su funcionalidad.
6
F':u*"? 0.-.6 G*;'!" -D
B"**" +e )3&3e$ F':u*"? 0.-.<
amos a e$plicar los botones más importantes que el practicante utilizará# !a% funciones conocidas que no necesitan ser e$puestas. •
• •
•
• •
•
•
dibu1a la e$presi"n seleccionada en la 0entana de álgebra. ingresa una anotaci"n en la coordenada que guste. mue0e el cursor sobre la gráfica. centra la gráfica de acuerdo a la posici"n del cursor. % centran la gráfica en el origen. selecci"n grafica de la regi"n gráfica o rango. stas opciones permiten aumentar o disminuir el 0alor tanto para el e1e $ como para el e1e %. acti0a o ma$imiza la 0entana de álgebra.
7
En alg6n momento de su estudio necesitará realizar el bosque1o de 0arias gráficas# para identificarlas a cada una de ellas en el men6 OPCIONES debe seleccionar en IDENTIFICAR LAS NUEVAS GRAFICAS.
F':u*"? 0.-.
0.5 O%e*"+3*e$ M"&e(&'!3$ ,urante la siguiente guía práctica# utilizaremos 0arios operadores matemáticos# los mismos que lo detallaremos en la siguiente tabla.
OPERADOR @ H K #
OPERACIÓN Adici"n o Suma Sustracci"n o Resta 2ultiplicaci"n ,i0isi"n )otenciaci"n 2a%or que 2a%or o igual que 2enor que 2enor o igual que -gual -ndica el inicio % fin de una matriz o 0ector Separador de 0alores para la matriz -ndicador de inicio de otra fila en la matriz
A continuaci"n mostraremos e1emplos básicos del ingreso de operaciones aritmticas en ,ER-E. En cada e1emplo se mostrará un recuadro# en la parte izquierda ; el e1ercicio a resol0er % en la parte derec!a estará la manera de ingresar en la barra de introducci"n de e$presiones# una 0ez que !a%a ingresado la ecuaci"n puede seguir esta secuencia: 7. pulsar el bot"n
o la tecla ETER para que se dibu1e la e$presi"n en el Blgebra
. pulse para obtener la respuesta simplificada <. por 6ltimo pulse % se mostrará la respuesta en decimal 8
N3&"? 3a secuencia que se acaba de e$plicar no es una norma a seguir en un futuro# sino se trata que el practicante se familiarice con la barra de introducci"n de e$presiones. •
3a siguiente e$presi"n la demostraremos tal como se ilustra en la figura 9.< .1 (( C <*(= ; <** D ( F 7*
F':u*"? 0.5.2
&ada 0ez que ingrese cualquier operaci"n en la 0entana de álgebra se le asigna una 0ariable# e0itando escribir 0arias 0eces la misma ecuaci"n. )ara un e1emplo# en la barra de introducci"n de e$presiones ingrese G7 % para finalizar pulse •
.
3a siguiente e$presi"n la demostraremos tal como se ilustra en la figura 9.<.
F':u*"? 0.5.-
9
•
En la figura 9.<.< mostrarem mostraremos os un e1emplo utilizand utilizandoo el bot"n bot"n de raíz cuadrada cuadrada que se encuentra en la barra de símbolos matemáticos# al igual se puede resol0er transformando a una operaci"n de potenciaci"n.
= C 7I = H (7D* C 7I H (7D*
• •
F':u*"? 0.5.5 •
3as operaciones de raíces c6bicas % superiores# se resol0erán como una operaci"n de potencia como se obser0a obser0a en la figura 9.<..
J H (7D<*
F':u*"? 0.5.1 •
Korma de ingresar una ecuaci"n# debe pulsar el bot"n
de la barra para visualizar
y fnalizar fn alizar..
%L
(($ H * C =*
10
F':u*"? 0.5.7
,ER-E ofrece 0arias funciones# para sta práctica utilizaremos las siguientes:
FUNCIÓN abs(* 3n(z* 3og(z* 3og(z# '* ,et(* -mpMdif(* 2a$imize(* 2inimize(*
OPERACIÓN alor absoluto 3ogaritmo natural o neperiano de z 3ogaritmo natural o neperiano de z 3ogaritmo de z con base ' ,eterminante de una matriz ,eri0aci"n implícita 2todo simple$ 2todo simple$
El momento que se escriba el nombre de las funciones# en ,ER-E no es necesario que las palabras estn con ma%6sculas o min6sculas. •
Resol0eremos el siguiente e1ercicio de 0alor absoluto utilizando la funci"n abs(*. N F =N L
abs( F =* L
F':u*"? -.6 •
A continuaci"n# la manera de utilizar las funciones antes descritas# al momento de ingresar la e$presi"n en la barra de introducci"n de e$presiones# para finalizar pulse
.
3og(# <*
11
F':u*"? -.<
o la tecla N3&" I(%3*&"&e? Al momento de realizar cualquier tipo de operaci"n# Pcuándo pulse ETER % la aplicaci"n no respondaQ se debe a que está mal escrita o no se pueda realizar debido a las reglas matemáticas.
0.1. EJERCICIOS PROPUESTOS PARA PARA DESARROLLAR EN CLASES A con contin tinuac uaci"n i"n## con e1emp e1emplos los se indica indicará rá como como factor factorar ar % como como realiz realizar ar ope operac racion iones es con e$presiones algebraicas.
Ee*!'!'3 2. Realice la operaci"n indicada % simplifique.
" )ara encontrar la soluci"n a este e1ercicio# primero debemos ingresar la e$presi"n de la siguiente manera en la barra de introducci"n de e$presiones# para finalizar pulse el bot"n o la tecla ETER. (J$ F % C *(<$ C % F =*
F':u*"? 0.1.2
)ara resol0 resol0er er la ope operac raci"n i"n algebrai algebraica ca dirí1 dirí1ase ase al men6 men6 SIMPLI ) )ara SIMPLIFIC FICAR AR % presione en EXPA EXPANDIR % obtendrá la siguiente 0entana.
F':u*"? 0.1.-
12
Si la ecuaci"n tiene más de 0ariables# como se obser0a en la figura 9.. en la parte izquierda indica las 0ariables a e$pandir# para este caso es necesario que las 0ariables se encuentren marcadas como se e$pone en la figura. )ara finalizar pulse el bot"n EXPANDIR.
! obtendrá el siguiente resultado.
F':u*"? 0.1.5
Ee*!'!'3 -. Kactorice la e$presi"n siguiente.
" )ara encontrar la soluci"n a este e1ercicio# primero debemos ingresar la ecuaci"n de la siguiente manera en la barra de introducci"n de e$presiones# para finalizar pulse el bot"n o la tecla ETER. I$ C
F':u*"? 0.1.1
) )ara factorar la e$presi"n dirí1ase al men6 SIMPLIFICAR % presione en FACTORIZAR % obtendrá la siguiente 0entana.
F':u*"? 0.1.7
! Al pulsar el bot"n FACTORIZAR obtendrá el siguiente resultado.
13
F':u*"? 0.1.6
0.7 EJERCICIOS Unidad 9.I
Realice las siguientes operaciones % simplifique
. 7@. <. =.
Unidad 9.@
Kactorice las e$presiones siguientes
7I. <. 9. <. I. 14
Unidad 9.J
Realice las operaciones % simplifique
79.
J.
9.
J.
=J.
15
PRACTICA 2? ECUACIONES E INECUACIONES 2.2 EJERCICIOS PROPUESTOS PARA DESARROLLAR EN CLASES •
Ee*!'!'3 2. Resol0er por factorizaci"n. E1emplo J de la pág. =<. 3 (x2 + 3x -10 (x-
)ara encontrar el o los 0alores de x procedemos de la siguiente manera: a) ,ebemos ingresar la ecuaci"n en la barra de introducci"n de e$presiones de la siguiente
forma# % al culminar pulse
<($H C <$ ; 79*($ ; J* L 9
:
F':u*"? 2.2.2
b) )ara obtener los 0alores de x, pulse
de la barra de botones# aparecerá la 0entana de Resolver Expres!" # la figura 7.7. en el lado izquierdo indica las 0ariables que contiene la ecuaci"n# se !a seleccionado la 0ariable x que 0amos a despe1ar. Tan solo de un clic5 en el bot"n RESOLVER % mostrará el resultado del e1emplo.
F':u*" 2.2.-
c) 3a figura 7.7.< nos muestra los resultados de la ecuaci"n# en este caso serán >J?#?? % >;=?.
F':u*"? 2.2.5 •
Ee*!'!'3 -. Resuel0a la desigualdad % realice el bosque1o de la gráfica. 16
3x !
" )ara obtener x debemos realizar los mismos pasos del ee*!'!'3 2# % al culminar el resultado será $<.
F':u*"? 2.2.1
) )ara realizar el bosque1o de la gráfica# de un clic5 sobre el G7 o G< para resaltar la e$presi"n# a!ora pulse el bot"n
% aparecerá la 0entana > GRAFICAS#$D% con su propia
barra de botones# % pulse el bot"n demuestra en la figura 7.7.=.
de la nue0a barra para dibu1ar la e$presi"n# como se
F':u*"? 2.2.7
! )ara incrustar la gráfica en la 0entana de álgebra# dirí1ase al men6 ARC&IVO % pulse en INCRUSTAR INCRUSTAR (tambin puede utilizar &trlC8*.
F':u*" 2.2.6
)ara regres regresar ar a la 0ent 0entana ana de de álgebr álgebra# a# lo pued puedee !acer !acer pulsa pulsando ndo el bot"n bot"n + )ara
.
17
F':u*"? 2.2.<
N3&" I(%3*&"&e? El prop"sito de incrustar la imagen# es porque ,ER-E guarda lo que se !a realizado tan solo en la 0entana de álgebra.
•
Ee*!'!'3 5. ,eterminar por sustituci"n cuales de los n6meros dados satisfacen la ecuaci"n. E1emplo 7 de la pág. 7.
" )rimero debemos ingresar la ecuaci"n a la 0entana de álgebra. $ F ($H* L 9
F':u*"? 2.2.
)rocedemo emoss a sustit sustitui uir# r# puls pulsee de la barr barraa de boton botones es % aparec aparecerá erá la la 0entan 0entanaa S 's((')!" ) )roced *e V+r+les # aquí define la 0ariable % el 0alor que se asigna# para este caso# x se le asigna un 0alor de 7 % para terminar presione el bot"n SIMPLIFICAR.
F':u*"? 2.2.8
! En la siguiente figura# se 0e claramente que el 0alor de 7 no satisface la ecuaci"n. -ngres -ngresemo emoss un coment comentari arioo pulsan pulsando do de la barra barra de boton botones es % digite digite el sigu siguien iente te te$to: te$to: >con el 0alor de 7 no satisface la ecuaci"n?. 18
F':u*"? 2.2.20
sustituir el otro 0alor en la ecuaci"n# con el mouse seleccione seleccione la + -ngresado el te$to# para sustituir ecuaci"n del G7 % repita el paso ingresando el 0alor de 9.
F':u*"? 2.2.22
e Una 0ez alcanzado el resultado# se obtiene que el 0alor de 9 satisface la ecuaci"n % proceda a ingresar un comentario.
F':u*"? 2.2.2-
2.- EJERCICIOS Unid Un idad ad 7.7 7.7
,ete ,eterm rmin inee el el 0al 0alor or qu quee sat satis isfa face ce la ecua ecuaci ci"n "n..
7. I. Encuentre los 0alores de - para los correspondientes correspondientes 0alores de x. 19
Resol0er las siguientes ecuaciones 7.
.
. I. Unidad 7.<
alle el 0alor de x que satisface la ecuaciones .
J. . J.
I.
@<. @.
Ge3(e&*>". El área de una pintura rectangular# con anc!o pulgadas menor que el largo# es de J pulgadas cuadradas. P&uáles con las dimensiones de la pinturaQ
J<.
D3$'$ +e +*3:" . E$isten 0arias reglas para determinar las dosis de las medicinas para ni+os una 0ez especificadas las de los adultos. Tales reglas pueden tener como base el peso# la altura# etc. Si A es la edad del ni+o# * es la dosis para adulto % ) la dosis para ni+o# a continuaci"n se presentan dos reglas. Regla de oung:
20
Regla de &o'ling: PA qu edad las dosis para los ni+os son las mismas usando estas reglasQ A'/ el pro0esor p'e*e re+lz+r o(r+s pre1'"(+s.
Unidad .7 I.
A+(''$&*"!'4 +e )3$ue$ . Una compa+ía maderera posee un bosque que tiene forma rectangular de 7$ millas. Si se tala una fran1a uniforme de árboles en los e$tremos de este bosque# P&uál debe ser el anc!o de la fran1a# si se deben conser0ar de millas cuadradas de bosqueQ
79.
Ve&"$. 3a directi0a de una compa+ía quiere saber cuántas unidades de su producto necesita 0ender para obtener una utilidad de 799999. )ara este caso se cuenta con la siguiente informaci"n: precio de 0enta por unidad# 9V costo 0ariable por unidad# 7=V costo fi1o total# I99999. A partir de estos datos determine las unidades que deben 0enderse.
<.
Cu'+"+3 +e ," '$&". &omo un beneficio complementario para sus empleados# una compa+ía estableci" un plan de cuidado de la 0ista. 8a1o este plan# cada a+o la compa+ía paga los primeros <= de los gastos de cuidado de la 0ista % el J9W de todos los gastos adicionales en ese rubro# !asta cubrir un (o(+l má$imo de 799. )ara un empleado# determine los gastos anuales totales en cuidado de la 0ista cubiertos por este programa.
.
Re&"$. Usted es el asesor financiero de la compa+ía que posee un edificio con =9 oficinas. &ada una puede rentarse en 99 mensuales. Sin embargo# por cada incremento de 9 mensuales se quedarán dos 0acantes sin posibilidad de que sean ocupadas. 3a compa+ía quiere obtener un total de 99 mensuales de rentas del edificio. Se le pide determinar la renta que debe cobrarse por cada oficina. P&uál es su respuestaQ
<<.
Eu',')*'3 +e (e*!"+3. &uando el precio de un producto es p d"lares por unidad# suponga que un fabricante suministrará que los consumidores demandarán
unidades del producto al mercado % unidades. En el 0alor de p para el cual
la oferta es igual a la demanda# se dice que el mercado está equilibrio. ,etermine ese 0alor de p. Unidad .
Resol0er las siguientes inecuaciones con sus representaciones graficas.
7J. 21
I.
<.
<. <=.
U&','+"+e$. &ada mes del a+o pasado una compa+ía tu0o utilidades ma%ores que <@999 pero menores que =<999. Si S representa los ingresos totales del a+o# describa S utilizando desigualdades.
<@.
Ge3(e&*>". En un triángulo rectángulo# uno de los ángulos agudos x es menor que < 0eces el otro ángulo agudo más 79 grados. Resuel0a para x.
Unidad .< <.
A**e+"('e&3 !3 3%!'4 " !3(%*" $ !3(%*" . Una mu1er de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de poseer un autom"0il % el de arrendarlo con opci"n a compra. Ella puede arrendar un autom"0il por 9 al mes (con una base anual*. 8a1o este plan# el costo por milla (gasolina % aceite* es 9.9I. Si ella compra el autom"0il# el gasto fi1o anual seria de @99# % otros costos ascenderían a 9.9J por milla. P&uántas millas por lo menos tendría que conducir ella por a+o para que el arrendamiento no fuese más caro que la compraQ
@.
Ie*$'4 . Una compa+ía in0ierte <9999 de sus fondos e$cedentes a dos tasas de inters anual:
%
W. ,esea un rendimiento anual que no sea menor al
P&uál es la cantidad mínima que debe in0ertir a la tasa de
W.
WQ
77.
Sue,+3 %3* 3*". A los pintores con frecuencia se les paga por !ora o por obra determinada. El salario que reciben puede afectar a su 0elocidad de traba1o. )or e1emplo# suponga que unos pintores pueden traba1ar por J.=9 la !ora# o por <99 más < por cada !ora por deba1o de 9# si completan el traba1o en menos de 9 !oras. Suponga que el traba1o les toma ( !oras. Si ( X 9# claramente el sueldo por !ora es me1or. Si ( Y 9# Ppara qu 0alores de ( el salario por !ora es me1orQ
Unidad .
Resuel0a la siguiente e$presi"n.
9.
N C <$N L I
.
N@$ C
J.
<7.
<=. Unidad .=
Resol0er las siguiente desigualdades con sus representaciones graficas
7=.
9.
7.
. @.
I:*e$3$ . Suponga que los consumidores compran unidades de un producto cuando el precio de )+*+ '"o es de 9 F 9.7 d"lares. P&uántas unidades deben 0enderse para que el ingreso de las 0entas no sea menor que @=9Q
. D'$eQ3 +e *e!'%'e&e. Un fabricante de recipientes desea !acer una ca1a sin tapa# mediante el corte de un cuadrado de pulgadas en cada esquina de una !o1a cuadrada de aluminio# doblando despus !acia arriba los lados. 3a ca1a debe contener al menos <
. Encuentre las
dimensiones de la !o1a de aluminio más peque+a que pueda utilizarse.
23
PRACTICA -? -.2 FUNCIONES Y GRÁFICAS# RECTAS# PARABOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES C3(%3*&"('e&3 +e ,"$ e!u"!'3e$ Obser0ar el comportamiento gráfico de las ecuaciones es parte fundamental de las matemáticas.
S'(e&*>"? En sta ocasi"n e$aminaremos ecuaciones para determinar si sus gráficas tienen simetría. &onsidere la gráfica de y=x 2 de la siguiente gráfica# la parte izquierda del e1e y es el refle1o de la parte de la derec!a# del e1e# % 0ice0ersa
Ee(%,3 2? S'(e&*>" !3 *e$%e!&3 ", ee “y”. &on el antecedente anterior# podremos 0er que la gráfica de x=y 2 (la cual es lo contrario de la ecuaci"n propuesta en el párrafo anterior* tendrá simetría con respecto al e1e x.
Tenemos un tercer tipo de simetría# s2e(r/+ )o" respe)(o +l or1e" # % se ilustra por la gráfica de y=x 3# a la cual la graficaremos de la misma manera que la anterior# obteniendo la siguiente gráfica. 24
T*"$,"!'3e$ 9 *e;,e='3e$? A 0eces# al modificar una funci"n mediante una manipulaci"n algebraica# la gráfica de la nue0a funci"n puede obtenerse a partir de la gráfica de la funci"n original realizando una manipulaci"n geomtrica. )odemos utilizar la gráfica de ;= =- para graficar := =-@-. Obsr0ese que :=;=@-. )or tanto# para cada x # la ordenada correspondiente para la gráfica de := =-@-# es dos unidades ma%or que la obtenida para la gráfica de ;= =-. Esto significa que la gráfica de := =-@- es la gráfica de ;= =-# desplazada o (r+sl+*+*+# unidades !acia arriba# tal como nos muestra la figura.
En este caso pedimos que 92# 9- se grafiquen en funci"n de la 0ariable =# aclarando que 92# 9representan las 0ariables “;=” % “:=” respecti0amente. Si aplicamos esta misma teoría a otra funci"n# por e1emplo# ;==5# sumándole a esta una constante cualquiera# para este caso# le sumaremos 7 a la 0ariable# obtendremos que la nue0a gráfica se desplazará = unidades !acia arriba# tal como nos muestra la figura.
25
G*;'!" +e u" ;u!'4 !u"+*&'!". 3a gráfica de la funci"n cuadrática
es una parábola por las siguientes razones:
7. Si a 9# la parábola abre !acia arriba. Si aZ9# abre !acia aba1o. . )ara !allar el punto más ba1o de la grafica se calcula <. 3a ) es la intersecci"n con el e1e -.
26
-.-. EJERCICIOS PROPUESTOS PARA DESARROLLAR EN CLASES -.-.2. FUNCIONES Y SUS GRAFICAS •
Ee*!'!'3 2. Realizar el bosque1o de la gráfica de la siguiente ecuaci"n.
a) )rimero ingresemos la ecuaci"n en la barra de introducci"n de e$presiones % luego
pulse
% L $ H F 7I
o la tecla ETER.
F':u*"? -.-.2.2
b) )ara realizar el bosque1o de la gráfica# pulse el bot"n
para abrir la 0entana de >[ráfica ,?# a!ora pulse el mismo bot"n de la nue0a barra % tendrá la siguiente figura:
F':u*"? -.-.2.-
c) )ulse el bot"n
dos 0eces# con el prop"sito de 0isualizar la grafica en su
totalidad:
F':u*"? -.-.2.5
27
d) -ncruste la imagen obtenida en la 0entana de álgebra# pulse
para regresar a la
0entana principal % el resultado será el siguiente:
F':u*"? -.-.2.1
•
Ee*!'!'3 -. 3ocalice los puntos % 6nalos a partir de las siguientes coordenadas: (# @*# (J# ;<*# (;7D# ;* % (9# 9*. E1emplo 7 de la pág. 77.
" )ara realizar la gráfica# los puntos deben ser ingresados en una matriz# para crearla pulse el bot"n
% al finalizar obtendrá la siguiente figura.
F':u*"? -.-.2.7
) )ara que los puntos se conecten entre sí# se necesita cambiar la configuraci"n del programa. )ulse el bot"n siguiente figura.
% dando doble clic5 en sta 0entana obtendrá la
28
F':u*"? -.-.2.6
Eli1a la pesta+a PUNTOS % seleccione SI en CONECTAR# esta opci"n !ace que los puntos ingresados en la matriz se enlacen# a continuaci"n pulse ACEPTAR.
! )ara obtener la grafica pulse el bot"n
de la 0entana >[ráfica ,?# debido a que
la gráfica es grande pulse el bot"n . + )ara centrar la grafica utilice el bot"n # centrará de acuerdo a la posici"n del cursor# con el mouse de un clic5 en el primer cuadrante % pulse el bot"n# % obtendrá una grafica parecida a la figura ..7.@.
F':u*"? -.-.2.<
e -ncruste la imagen % regrese a la 0entana de álgebra pulsando
.
29
F':u*"? -.-.2.
-.-.-. RECTAS# PARABOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES •
Ee*!'!'3 2 RECTA. acer el bosque1o de la gráfica. E1emplo J de la pág. 7<<.
" -ngrese la ecuaci"n usando la barra de introducci"n de e$presiones# una 0ez terminado presione el bot"n para obtener la 0entana >[RAK-&A ,? % pulse una 0ez más el mismo bot"n de la nue0a barra de botones para obtener la grafica.
F':u*"? -.-.-.2
) )ara obtener los puntos de corte con respecto a los e1es > x% e > -%# pulse regresar a la 0entana de álgebra % pulsamos
para
para sustituir el 0alor de la 0ariable.
F':u*"? -.-.-.-
30
! Asignemos un 0alor de 9 a la 0ariable x# para terminar presione SIMPLIFICAR# le de0ol0erá una ecuaci"n que no se encuentra despe1ada# para encontrar el 0alor de pulse % obtendrá el siguiente resultado.
F':u*"? -.-.-.5
+ )ara la primera coordenada se obtu0o (9# *# para obtener el otro punto repetimos los pasos b % c# pero a!ora se le asigna 0alor de 9 a -. Al finalizar el otro punto será (;<# 9*.
•
Ee*!'!'3 - PARABOLA. Realizar el bosque1o de la gráfica % encontrar los cortes con el e1e x. E1emplo < de la pág. 7@.
a) )rimero ingrese la ecuaci"n sin igualar a 9% obtenga la siguiente gráfica pulsando el
bot"n
.
F':u*"? -.-.-.1
b) Regresamos a la 0entana del álgebra con el bot"n
el bot"n
# para encontrar el 0alor de x, pulse
de la barra % obtendrá la siguiente figura.
F':u*"? -.-.-.7
31
c) ,e por finalizado pulsando en RESOLVER % dará como resultado
.
F':u*"? -.-.-.6
•
Ee*!'!'3 5 SISTEMA DE ECUACIONES. Equilibrio con demanda no lineal. E1emplo de la pág. 7@9.
Encontrar el punto de equilibrio si las ecuaciones de oferta % demanda de un producto son
%
# respecti0amente.
a) )rimero 0isualizará las ecuaciones en la 0entana del álgebra con el bot"n
# no es
necesario ingresar los caracteres >pL?.
qD9 C 79
J999Dq
) Aquí la ecuaci"n de la demanda no es lineal# entonces procedemos a igualar las ecuaciones# para esto en la barra de introducci"n de e$presiones ingrese lo siguiente: G L G7 obtendrá la siguiente ecuaci"n como se demuestra en la figura:
32
F':u*"? -.-.-.<
c) ecesitamos despe1ar la 0ariable q# pulse el bot"n
# aparecerá la siguiente 0entana %
de un clic5 sobre RESOLVER:
F':u*"? -.-.-.
d) Obtendrá dos respuestas como se demuestra en la figura ....
F':u*"? -.-.-.8
e) Se descarta q L ;J99# %a que q representa una cantidad. Eligiendo q L 99#
reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones iníciales % tenemos p L (J999D99* L 9# de modo que el punto de equilibrio es (99# 9*. [rafique las ecuaciones del G7 % G pulsando
.
F':u*"? -.-.-.20
33
; Una 0ez graficado# comprobará que el punto de equilibrio se encuentra en las coordenadas (99#9*.
F':u*"? -.-.-.22
&omo se obser0a en la figura ...77# >(99# 9*? es un te$to ingresado por el practicante % si quiere obtener el cuadriculado en la grafica# de doble clic5 sobre la grafica# % obtendrá lo siguiente:
F':u*"? -.-.-.2-
Eli1a la 0i+eta RE3ILLA % en la opci"n MOSTRAR seleccione LINEAS . )ulse ACEPTAR para culminar.
•
Ee*!'!'3 1 SISTEMA NO LINEAL. Realice el bosque1o de las siguientes funciones % obtener los puntos de corte.
34
" )rimero debe ingresar las dos ecuaciones de la siguiente manera: % L $ C < %L ($H* ; = Una 0ez ingresado# con el mouse seleccione las dos e$presiones como se demuestra en la siguiente figura:
F':u*"? -.-.-.25
b) amos a realizar el bosque1o de las gráficas % 0isualizaremos su respecti0a ecuaci"n
para identificarlas# presione el bot"n para que aparezca la 0entana >[ráfica ,?# dirí1ase al men6 OPCIONES % seleccione INDENTIFICAR LAS NUEVAS GRAFICAS # a!ora pulse
para dibu1ar las e$presiones % obtendrá la siguiente imagen.
F':u*"? -.-.-.21
c) )ara una 0isi"n completa pulse dos 0eces el bot"n
corte dirí1ase a la 0entana de álgebra con el bot"n presione en SISTEMA.
. A!ora para obtener los puntos de # seleccione el men6 RESOLVER %
F':u*"? -.-.-.27
d) A continuaci"n tendrá la siguiente 0entana donde 0a a ingresar el n6mero de
ecuaciones# para este e1emplo seleccione % pulse en SI.
35
F':u*"? -.-.-.26
e Obtendrá la siguiente pantalla:
F':u*"? -.-.-.2<
; En el recuadro 7 ingrese el G7 % en el recuadro ingrese G# cuando est en el recuadro pulse la tecla TA8 para 0isualizar las 0ariables# como se obser0a en la figura siguiente:
F':u*"? -.-.-.2
g) 3as 0ariables deben estar seleccionadas# en ste caso > x? e > -?# pulse la tecla RESOLVER para obtener la
respuesta.
36
F':u*"? -.-.-.28
Respuesta: El primer punto de corte es (;# ;7* % el segundo punto es (# 77*
NOTA? El símbolo G 1unto al n6mero representa a dic!a ecuaci"n que se 0isualiza en la 0entana de álgebra.
-.5. EJERCICIOS Unidad <.=
,etermine las intersecciones con el e1e > x% e > -%. Tambin pruebe la simetría con respecto al e1e > x%# al e1e 4-% % al origen. ,espus realice el bosque1o de las gráficas.
. =. 77.
7<.
7=. 7. Unidad . 7=.
E!u"!'4 +e +e("+". Suponga que los clientes demandarán 9 unidades de un producto cuando el precio es de 7 por unidad# % = unidades cuando el precio es de 7J cada una. alle la ecuaci"n de la demanda# suponiendo que es lineal. ,etermine el precio por unidad cuando se requieren <9 unidades. 37
Unidad .< .
I:*e$3. 3a funci"n de la demanda para la línea de laptops de una compa+ía de electr"nica es
# en donde p es el precio (en d"lares* por unidad
cuando los consumidores demandan unidades (semanales*. ,etermine el ni0el de producci"n que ma$imizará el ingreso total del fabricante % determine este ingreso. <7.
U&','+"+. 3a utilidad diaria de la 0enta de árboles para el departamento de 1ardinería de un almacn está dada por
# en donde x es el n6mero
de árboles 0endidos. ,etermine el 0rtice % las intersecciones con los e1es de la funci"n# % !aga la gráfica de la funci"n. Unidad .
Resol0er los siguientes sistemas
=.
7@. @.
Te'+3$. Una fábrica de te1idos produce un te1ido !ec!o a partir de diferentes fibras. &on base de algod"n# polister % n%lon# el propietario necesita producir un te1ido combinado que cueste <.= por libra fabricada. El costo por libra de estas fibras es de .99# <.99 % .99# respecti0amente. 3a cantidad de n%lon debe ser la misma cantidad de polister. P&uánto de cada fibra debe tener el te1ido finalQ
7.
C3&*"&"!'4 +e &*")""+3*e$ . Una compa+ía paga a sus traba1adores calificados 7= por !ora en su departamento de ensamblado. 3os traba1adores semicalificados de ese departamento ganan por !ora. A los empleados de en0íos se les paga 79 por !ora. A causa de un incremento en los pedidos# la compa+ía necesita contratar un total de @9 traba1adores en los departamentos de ensamblado % en0íos. )agará un total de @I9 por !ora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato# deben emplearse el doble de traba1adores semicalificados que de traba1adores calificados. P&uántos traba1adores semicalificados# calificados % empleados de en0íos debe contratar la compa+íaQ
Unidad .=
Resuel0a el sistema no lineal.
<.
38
=.
77. Unidad .I I.
,etermine el punto de equilibrio si p representa el precio por unidad en d"lares % el n6mero de unidades por unidad de tiempo. Oferta: ,emanda:
7<.
representa el ingreso total en d"lares %
el costo total en d"lares para un
fabricante. Si representa tanto el n6mero de unidades producidas como el n6mero de unidades 0endidas. Encuentre la cantidad de equilibrio.
39
PRACTICA 5? LOGARITMOS Y ÁLGEBRA DE MATRICES 5.2 CREACIÓN DE MATRICES . )ara la utilizaci"n de la siguiente guía e$plicamos a continuaci"n c"mo crear matrices.
2 En el siguiente e1emplo se e$plicará la manera de crear una matriz# cuando ingrese la e$presi"n % pulse el bot"n # obtendrá la matriz como se demuestra en la siguiente figura. 3os corc!etes indican el inicio % el fin de la matriz# la >#? !ace referencia a la separaci"n de columnas % el >V? se usa para indicar el inicio de la siguiente fila. \ = # V # @ ]
- E$iste otra forma más sencilla de crear una matriz# se debe seguir los siguientes pasos:
que se encuentra en la barra de botones. Aparecerá una 0entana llamada " )ulse >Tama+o de la 2atriz^?# donde debe introducir el tama+o# en ste e1emplo tanto para filas como columnas se le asignará un 0alor de % para continuar pulse el bot"n SI.
40
) Una nue0a 0entana aparecerá# aquí debe ingresar los 0alores de la matriz a crear. Una 0ez ingresado todos los 0alores pulse el bot"n SI para continuar .
! Al trmino del paso anterior se obtiene la matriz como muestra la siguiente figura.
Si por alguna raz"n se equi0ocara en el ingreso de los datos en la matriz# con el mouse seleccione la matriz % pulse ETER# le pedirá si !a% alg6n cambio en las dimensiones de la misma# cambie o no# no perderá los 0alores antes ingresados. )ara ma%or entendimiento# cambie el 0alor de por @.
41
5.-. EJERCICIOS PROPUESTOS PARA DESARROLLAR EN CLASES 5.-.2 FUNCION EPONENCIAL Y LOGARITMICA •
Ee*!'!'3 2. Encuentre el 0alor de $. E1emplo <= de la pág. 97.
" )rimero ingrese la e$presi"n a la 0entana de álgebra. 3n ($* L ;<
F':u*"? 5.-.2.2
b) )ara despe1ar la 0ariable x, pulse
.
F':u*"? 5.-.2.-
c) )ulse RESOLVER para terminar.
F':u*"? 5.-.2.5
•
Ee*!'!'3 -. Encuentre el 0alor de $. E1emplo de la pág. 97.
42
" )rocedemos a ingresar la ecuaci"n en la barra de introducci"n de e$presiones de la siguiente manera. 3og ($# <* L
F':u*"? 5.-.2.1
) )ara !allar el 0alor de x# pulse 0entana:
de la barra de botones % obtendrá la siguiente
F':u*"? 5.-.2.7
! )ulse el bot"n SI % en esta ocasi"n no obtendrá el resultado de inmediato . )ulse 0arias 0eces este bot"n
# !asta que la respuesta dada en cada paso no cambie.
F':u*"? 5.-.2.6
43
5.-.- ALGEBRA DE MATRICES? •
Ee*!'!'3 2. Suma con otra matriz# multiplicaci"n por un escalar % multiplicaci"n por una matriz.
" )rimero cree la matriz % gracias a ,ER-E no !ace falta asignar a una 0ariable. )ara !acer referencia a dic!a matriz se utiliza el símbolo >G? seguido del n6mero. )ara realizar la suma duplicaremos la matriz del G7# para esto ingrese >G7? en la barra de introducci"n de e$presiones.
F':u*"? 5.-.-.2
) amos a realizar la suma entre matrices. )ara cualquier tipo de operaci"n con matrices nunca ol0ide de ubicar el signo > 5? al final. G7 C G L
F':u*"? 5.-.-.-
! )ara multiplicar por un escalar# utilice el operador de la barra de símbolos matemáticos % no confunda con el punto decimal. )ara este e1emplo cualquiera de las formas es 0álida. < _ G7 L G7 _ < L
44
F':u*"? 5.-.-.5
+ 2ultiplicaci"n entre matrices . G7 _ G L G _ G7 L
F':u*"? 5.-.-.1
•
Ee*!'!'3 -. &álculo del determinante# de la matriz in0ersa % de la transpuesta.
a) )rimero cree la matriz % para obtener el determinante de esta matriz# debemos utilizar la
funci"n ,ET(* % no ol0ide finalizar con el símbolo 5. ,et(G7* L
F':u*"? 5.-.-.7
b) )ara obtener la in0ersa de la matriz , !a% que ele0ar la matriz a la >;7?.
G7 H ;7 L
F':u*"? 5.-.-.6
45
c) )ara conseguir la transpuesta de la matriz utilice el bot"n
de la barra de los símbolos
matemáticos. G7
L
F':u*"? 5.-.-.<
N3&"? &uando realicen la in0ersa de una matriz % dic!a matriz obtenida se encuentre con e$ponente >;7?# indica que esa matriz no es in0ertible.
F':u*"? 5.-.-.
•
Ee*!'!'3 5 Re:," +e C*"(e*.
" )rimero cree la matriz
% obtenga el determinante de coeficientes: ,et(G7* L
F':u*"? 5.-.-.8
) a que el determinante es ` 9# se debe resol0er tanto para x como para -. )rimero creamos la matriz
% procedemos a di0idir para !allar el 0alor de x.
46
,et(G<* D ,et(G7* L
F':u*"? 5.-.-.20
! )ara encontrar el 0alor de -, creamos la siguiente
matriz ,et(G=* D ,et(G7* L
% di0idimos los determinantes.
F':u*"? 5.-.-.22
3os resultados son
•
.
Ee*!'!'3 1. Resol0er el sistema por determinaci"n de la in0ersa de la matriz de coeficientes.
" ,ebemos crear las siguientes matrices:
47
F':u*"? 5.-.-.2-
) 3a soluci"n está dada por: (G7H;7* G L
F':u*"? 5.-.-.25
3a matriz de la derec!a tiene las siguientes respuestas:
5.5 EJERCICIOS Unidad =.
Encuentre el 0alor de $
<. =. @. J.
48
Unidad =.<
Encuentre el 0alor de $
=. @. J. Unidad =.
Encuentre el 0alor de $
=. . 7. . Unidad I.7
Encontrar la transpuesta de la matriz
7J.
7. Unidad I.
Realice las operaciones requeridas.
.
<.
J. &alcule las matrices requeridas si 49
7. 7=. 7@. 7. 9. .
<.
Unidad I.<
Realice las operaciones indicadas.
7.
9.
@. Resol0er el sistema por determinaci"n de la in0ersa de la matriz de coeficientes Unidad I.
50
7<.
7I.
7. Unidad I.=
7.
. Unidad I.I 7.
. Unidad I.J
Resol0er los siguientes sistemas por el mtodo de &ramer
<.
@.
51
J.
7. Resol0er el sistema por determinaci"n de la in0ersa de la matriz de coeficientes. Una compa+ía produce < tipos de muebles para patio: sillas# mecedoras % sillones reclinables. &ada uno requiere de madera# plástico % aluminio# como se indica en la tabla siguiente. 3a compa+ía tiene en e$istencia 99 unidades de madera# I99 unidades de plástico % 7=99 unidades de aluminio. )ara la corrida de fin de temporada# la compa+ía quiere utilizar todas sus e$istencias. )ara !acer esto# Pcuántas sillas# mecedoras % sillones deben fabricarQ
Silla 2ecedora Sill"n reclinable
M"+e*"
P,$&'!3
A,u(''3
7 unidad 7 unidad 7 unidad
7 unidad 7 unidad unidades
unidades < unidades = unidades
52
PRACTICA 1? L/MITES Y DERIVADAS POR FÓRMULA 1.2 INTRODUCCION L'('&e$:
El signo indica lo siguiente:
De*'"+"$? )ara obtener la primera % la segunda deri0ada es necesario que el estudiante tenga conocimiento de c"mo ingresar ecuaciones en la aplicaci"n ,ER-E. En la siguiente figura# la casilla ORDEN se encuentra un 0alor de 7# eso indica que 0a obtener la primera deri0ada.
53
1.- EJERCICIOS PROPUESTOS PARA DESARROLLAR EN CLASES •
Ee*!'!'3 2. Encontrar el límite. E1emplo < de la pág. 7@.
" )rimero debemos ingresar la ecuaci"n en la barra de introducci"n de e$presiones de la siguiente forma: ($H C 7* D (
($H ; **
) -ngresada la ecuaci"n procedemos a calcular el límite# pulse el bot"n botones % aparecerá la siguiente 0entana.
de la barra de
F':u*"? 1.-.2
! Seleccione la 0ariable e ingrese el 0alor de ;@ en la casilla de PUNTO % para terminar pulse en SIMPLIFICAR.
F':u*"? 1.-.-
&omo obser0amos en la figura ..# indica que este e1emplo no tiene límite.
•
Ee*!'!'3 -. &osto )romedio. E1emplo = de la pág. 7J. Si ) es el costo total en d"lares para producir unidades de un producto# entonces el costo promedio por unidad para una producci"n de unidades está dada por ecuaci"n de costo total es
. Así si la
# entonces
54
e )rimero debe ingresar la ecuaci"n en la 0entana de álgebra# en sta ocasi"n no importa los caracteres >cL?. =999Dq C I )or e1emplo# el costo total para la producci"n de = unidades es =9<9# % el costo promedio por unidad en este ni0el de producci"n es 799I. )or medio de la determinaci"n de
# demuestre que el costo promedio se apro$ima a un ni0el de
estabilidad si el productor aumenta de manera continua la producci"n. P&uál es el 0alor límite del costo promedioQ aga un bosque1o de la gráfica de la funci"n costo promedio.
; )ara !allar el limite pulsamos el bot"n # se selecciona la 0ariable e ingresamos en la casilla de PUNTO la palabra "0 o pulsando el bot"n (ambos representan * % finalice pulsando SIMPLIFICAR.
F':u*"? 1.-.5
,e resultado tenemos un I como 0alor limite del costo promedio.
: )ara obtener cuadriculado en el bosque1o de una funci"n# con el mouse seleccione la ecuaci"n del G7 de la 0entana de álgebra % pulse el bot"n para que aparezca la 0entana >[RAK-&A ,?. ,e doble clic5 en sta pantalla % obtendrá lo siguiente:
F':u*"? 1.-.1
Eli1a la 0i+eta RE3ILLA % en la opci"n MOSTRAR seleccione LINEAS . )ulse ACEPTAR para culminar. 55
)ulse
para realizar el bosque1o % conseguirá lo siguiente.
F':u*"? 1.-.7
' )ara copiar la imagen a la 0entana de álgebra dirí1ase al men6 ARC&IVO % seleccione -&RUSTAR# a!ora pulse el bot"n
.
F':u*"? 1.-.6
•
Ee*!'!'3 5. ,iferenciar la siguiente funci"n.
; )rimero ingresamos la ecuaci"n en la 0entana de álgebra# los caracteres > -5? no son necesarios ingresar. )ara deri0ar la funci"n presione el bot"n que se encuentra en la barra de botones % le aparecerá la siguiente 0entana.
56
F':u*"? 1.-.<
: En la figura ..@ se define el orden % la 0ariable# en este caso la 0ariable es x % el orden es 7# para culminar pulse SIMPLIFICAR. 3a respuesta es
.
F':u*"? 1.-.
•
Ee*!'!'3 1. En este e1emplo 0amos a utilizar el siguiente bot"n # se utiliza tanto para las deri0adas como para las integrales# la funci"n de este bot"n es de indicar la regla que se utiliza en cada paso.
a) )rimero se ingresa la ecuaci"n sin los caracteres >%L?# luego presionamos el bot"n
para
deri0ar % aparecerá la siguiente 0entana# para finalizar pulsamos el bot"n SI .
F':u*"? 1.-.8
b) A!ora presionamos este bot"n
de la barra de botones para resol0er paso a paso e irá indicando la regla utilizada# se debe pulsar 0arias 0eces !asta que ,ER-E %a no utilice ninguna regla más. El resultado de este e1emplo es
. 57
F':u*"? 1.-.20
•
Ee*!'!'3 7. Encontrar
por medio de la deri0aci"n implícita.
" )ara resol0er este tipo de e1ercicio# se debe eliminar el carácter >L? debido a que la funci"n a utilizar no cumple su correcta funci"n# ingrese la ecuaci"n de la siguiente forma: % C %H< ; $ ;@
F':u*"? 1.-.22
b) 3a funci"n a utilizar se llama '(%+';u#=#9# # % sus parámetros son:
7. u ; es la ecuaci"n. . Si quiere obtener
el orden es ($#%*# si es lo contrario
<. ; deri0ada implícita de grado n -ngrese de la siguiente manera % para finalizar pulse
el orden es (%#$*.
: impMdif(G7# $# %# 7*
F':u*"? 1.-.2-
58
1.5. EJERCICIOS Unidad .7
Encuentre los limites
.
. =.
P,"&" +e Ee*:>". 3a eficiencia te"rica má$ima de una planta de energía está dada por
# donde
%
son las temperaturas absolutas respecti0as del
dep"sito más caliente % del más frío. Encuentre (a* Unidad .
% (b*
Encuentre los limites. Si no e$iste# especifique o utilice el símbolo
. o
donde
sea apropiado. 9.
7.
.
J.
.
59
=<.
=.
=@.
I7.
P3),"!'4. 3a poblaci"n de cierta ciudad peque+a ( a+os a partir de a!ora se
. ,etermine la poblaci"n a largo plazo#
pronostica que será esto es# determine Unidad 79.
.
,iferencie las funciones
I. II. I@.
@. Unidad 79.=
,iferencie las funciones
.
60
=.
I. Unidad 79.I
Encuentre -
.
=7.
=<.
=. Unidad 77.7
,iferencie las funciones
.
<<.
<.
. Unidad 77.
,iferencie las funciones
61
@. I. @.
Unidad 77.<
Encuentre
por medio de diferenciaci"n implícita
@. 7<.
7=. 7I. 9. .
62
PRACTICA 7? APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS 7.2 INTRODUCCION En esta guía# se e$pondrá la forma de obtener en ,ER-E los má$imos % mínimos# puntos críticos# puntos de infle$i"n % su respecti0a gráfica. )ara alcanzar los puntos críticos al practicante se le demostrará la forma más id"nea para despe1ar una 0ariable. Esto es necesario para la sustituci"n de 0alores con el fin de obtener el má$imo# el mínimo % el punto de infle$i"n si lo !a%. El estudiante aprenderá como obtener la segunda deri0ada para la comprobaci"n de los puntos críticos# en los e1emplos que resol0eremos# se obser0ará que la palabra OR,E se relaciona con ,ER-A,A. ,e forma grafica e$plicaremos lo que es punto crítico# punto de infle$i"n# má$imo % mínimo:
Pu&3 C*>&'!3
M>'(3
63
M='(3
Pu&3 +e ';,e='4
Pu&3 +e ';,e='4
64
7.- EJERCICIOS PROPUESTOS PARA DESARROLLAR EN CLASES •
Ee*!'!'3 2 M='(3$ 9 M>'(3$ . Encontrar má$imos % mínimos de las siguientes desigualdades# % encontrar puntos de infle$i"n.
" -ngrese la ecuaci"n sin los caracteres > -5?# para abrir la 0entana >[RAK-&A ,? pulse % presione el mismo bot"n para que se dibu1e la gráfica.
F':u*"? 7.-.2
) En la figura anterior se obser0an los puntos críticos# para encontrar su ubicaci"n pulse el bot"n . Una 0ez en la 0entana de álgebra# procedemos a deri0ar pulsando % aparecerá la siguiente 0entana.
F':u*"? 7.-.-
! Seleccionado x como 0ariable % 7 para obtener la primera deri0ada# presione SIMPLIFICAR para terminar.
F':u*"? 7.-.5
65
+ &onseguida la primera deri0ada procedemos a despe1ar la 0ariable x. Seleccionada la ecuaci"n del G<# pulsamos el bot"n
% obtendrán la siguiente 0entana.
F':u*"? 7.-.1
e )resionamos el bot"n RESOLVER para !allar los 0alores de x.
F':u*"? 7.-.7
A0eriguamos en estos puntos críticos obtenidos si e$iste un má$imo# un mínimo o ninguno# mediante la prueba de la segunda deri0ada.
; )ara obtener la segunda deri0ada con el mouse seleccione la e$presi"n del G7 % pulse el bot"n % seleccione como 0ariable x % en orden ingrese el 0alor de # para finalizar pulse el bot"n SIMPLIFICAR.
F':u*"? 7.-.6
: Una 0ez finalizado procedemos a sustituir por los puntos críticos# pulse el bot"n sustitu%a el 0alor de $ L7.
%
F':u*"? 7.-.<
66
En la figura anterior obser0amos que $L7 es un mínimo# a!ora sustitu%a con el 0alor de .
F':u*"? 7.-.
Tenemos como resultado que
es un má$imo.
' )or 6ltimo encontramos estos 0alores má$imos % mínimos de la funci"n sustitu%endo en esta los 0alores de los puntos críticos de $L7 %
original#
.
F':u*"? 7.-.8
)ara encontrar los puntos de infle$i"n debemos !allar el 0alor de x de la segunda deri0ada# con el mouse seleccione la ecuaci"n del G@ % pulse el bot"n presione en RESOLVER para finalizar.
% de la 0entana obtenida
F':u*"? 7.-.20
,el resultado obtenido procedemos a sustituir en la ecuaci"n original (G7* lográndolo con el bot"n
.
67
F':u*"? 7.-.22
El punto de infle$i"n tiene como coordenadas (;7D<# ;JJD@* Ee*!'!'3 - M='(3$ 9 M>'(3$. Resol0er el siguiente e1emplo. •
" -ngrese la ecuaci"n sin los caracteres > -5? % obtenga el bosque1o de la gráfica pulsando
.
F':u*"? 7.-.2-
) )ara encontrar los puntos críticos regresamos a la 0entana de álgebra pulsando barra de botones# primero debemos deri0ar % para lograrlo pulse .
de la
F':u*"? 7.-.25
! Seleccione x como 0ariable % 7 para obtener la primera deri0ada# presione SIMPLIFICAR para terminar.
68
F':u*" 7.-.21
+ )ara !allar el 0alor de x pulse
de la barra de botones % obtendrán la siguiente figura.
F':u*" 7.-.27
d* )resionamos el bot"n RESOLVER para despe1ar la e$presi"n % !allar el o los puntos críticos.
F':u*"? 7.-.26
A0eriguamos en estos puntos críticos obtenidos si e$iste un má$imo# un mínimo o ninguno# mediante la prueba de la segunda deri0ada.
, )ara obtener la segunda deri0ada con el mouse seleccione la e$presi"n del G7 % pulse el bot"n % seleccione como 0ariable x % en orden ingrese el 0alor de # para finalizar pulse el bot"n SIMPLIFICAR.
F':u*"? 7.-.2<
69
( Una 0ez finalizado procedemos a sustituir por los puntos críticos# pulse el bot"n sustitu%a el 0alor de
%
.
F':u*"? 7.-.2
En la figura anterior obser0amos que %
es un mínimo# a!ora sustitu%a con el 0alor de
.
F':u*"? 7.-.28
Tenemos como resultado que
es un má$imo % con $L9 se obtiene un 0alor de 9.
3 )or 6ltimo encontramos estos 0alores má$imos % mínimos de la funci"n sustitu%endo en esta los 0alores de los puntos críticos de
#
original#
% $L9.
F':u*"? 7.-.-0
% )ara encontrar los puntos de infle$i"n debemos !allar el 0alor de x de la segunda deri0ada# con el mouse seleccione la ecuaci"n del G@ % pulse el bot"n presione en RESOLVER para finalizar.
% de la 0entana obtenida
70
F':u*"? 7.-.-2
,e los resultados obtenidos procedemos a sustituir en la ecuaci"n original (G7* pulsando el bot"n
.
F':u*"? 7.-.--
El punto de infle$i"n tiene como coordenadas
7.5 EJERCICIOS Unidad 7.<
)ara cada una de las siguientes funciones realizar el procedimiento completo# desarrollado en los e1emplos anteriores.
J. 77.
7.
7@.
71
9. Unidad 7.=
)ara cada una de las siguientes funciones realizar el procedimiento completo# desarrollado en los e1emplos anteriores.
.
J.
79.
7I.
7J. Unidad 7<.7
Resol0er los siguientes problemas.
7.
I:*e$3. Una empresa de tele0isi"n por cable tiene J99 suscriptores que pagan cada uno 7J mensuales# % puede conseguir 7=9 suscriptores más por cada reducci"n de 9.=9 en la renta mensual. P&uál será la renta que ma$imice el ingreso % cuál será este ingresoQ
=.
D'$eQ3 +e *e!'%'e&e. Una lata cilíndrica sin tapa debe tener un 0olumen 6 . ,emuestre que si se usa la cantidad mínima de material# entonces el radio % la altura serán iguales a
.
olumen L Brea de la superficie L h
r
72
@.
U&','+"+. 3a ecuaci"n de demanda para el producto de un monopolista es # % la funci"n de costo total es
. Encuentre la
producci"n % el precio que aumentarán al má$imo la utilidad % determine la utilidad correspondiente. Si el gobierno impone un impuesto de por unidad al fabricante# P&uáles serían entonces la producci"n % el precio que aumentarían al má$imo la utilidadQ A!ora# P&uál es la utilidadQ <<.
C3$&3 +e &*"$%3*&e. El costo de operar un cami"n sobre una autopista (e$clu%endo el salario del c!ofer* es
d"lares por milla# donde s es la
0elocidad (uniforme* del cami"n en millas por !ora. El salario del c!ofer es de 7J por !ora. PA qu 0elocidad debe mane1ar el c!ofer para que un 0ia1e de @99 millas resulte lo más econ"mico posibleQ
T"$" +e *e+'('e&3 . )ara construir un edificio de oficinas# los costos son de .= millones e inclu%en el precio del terreno# los !onorarios del arquitecto# la cimentaci"n# la estructura# etc. Si se constru%en x pisos# el costo (e$clu%endo los costos fi1os* es
. El ingreso por mes es de =9999
por piso. P&uántos pisos darán una tasa má$ima de rendimiento sobre la in0ersi"nQ (tasa de rendimiento L ingreso totalDcosto total.*
73
PRACTICA 6? FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 6.2 EJERCICIOS PROPUESTOS PARA DESARROLLAR EN CLASES •
Ee*!'!'3 2. Esbozo de una superficie. E1emplo = de la pág. @<.
+ -ngrese la e$presi"n en la 0entana de álgebra# % realice el bosque1o en <, utilizando el bot"n # % una 0ez en la 0entana >[ráfica <,? pulse el mismo bot"n de la nue0a barra de botones: z L $H
F':u*"? 6.2.2
e Si desea 0isualizar los e1es % la gráfica en un cubo# pulsando la tecla K77 obtendrá las propiedades de la gráfica.
F':u*"? 6.2.-
En la 0i+eta E3ES, seleccione SI en LINEAS, % de la misma forma en la 0i+eta CA3A para obtener el cubo. 74
•
Ee*!'!'3 -. Esbozo de una superficie. E1emplo I de la pág. @<.
a) -ngrese la e$presi"n % realice el bosque1o de la gráfica# pulsando el bot"n
.
$H C %H C zH L =
F':u*"? 6.2.5
3e sale un mensa1e indicando que no se puede representar gráficamente# la 6nica forma es despe1ando % de1ándola en funci"n de z. b) )ara despe1ar pulse
% obtendrá la siguiente figura.
F':u*"? 6.2.1
En la casilla de 0ariables# para de1arlo en funci"n de z debe elegir primero la 0ariable x debido a que dic!a 0ariable aparece marcada# a!ora eli1a la letra z % para finalizar pulse RESOLVER.
! El resultado es el siguiente:
F':u*"? 6.2.7
d) Una 0ez despe1ada# proceda a graficar la e$presi"n del G< con el bot"n
.
75
F':u*"? 6.2.6
•
Ee*!'!'3 5. Encuentre la deri0ada parcial de la funci"n con respecto a cada una de las 0ariables. E1emplo 7 de la pág. @.
" A continuaci"n ingrese la ecuaci"n sin los caracteres >f($#%*L?. $H C <%H F @
F':u*"? 6.2.<
) )ara realizar la deri0ada con respecto a > x% presione el bot"n # defina > x% como la 0ariable % 7 en orden. )ulse SIMPLIFICAR para culminar % obtendrá el siguiente resultado:
F':u*"? 6.2.
! ,el mismo modo para realizar la deri0ada con respecto a > -% procedemos de la siguiente forma: con el mouse seleccione la ecuaci"n del G7 % de la misma manera como se !izo en el paso anterior# deri0e % defina la 0ariable > -?.
76
F':u*"? 6.2.8
•
Ee*!'!'3 1. Encontrar
por medio de la deri0aci"n implícita.
! )ara resol0er este tipo de e1ercicio# se debe eliminar el carácter >L? debido a que la funci"n a utilizar no cumple su correcta funci"n# ingrese la ecuaci"n de la siguiente forma: $H C %H C zH ;
F':u*"? 6.2.20
d) 3a funci"n a utilizar se llama '(%+';u#=#9# # % sus parámetros son:
. u ; es la ecuaci"n. =. Si quiere obtener
el orden es (=# 9*# si es lo contrario
I. ; deri0ada implícita de grado n -ngrese de la siguiente manera % para finalizar pulse
el orden es ( 9# =*.
: impMdif(G7# $# z# 7*
F':u*"? 6.2.22
•
Ee*!'!'3 7. Encuentre la deri0ada parcial mi$ta
77
a) )ara encontrar
primero debemos ingresar la ecuaci"n sin los caracteres > 07x,-85?la
0entana de álgebra. $H%
F':u*"? 6.2.2-
b) )ara realizar la deri0ada parcial mi$ta debemos proceder de la siguiente manera: primero
deri0e con respecto a x eligiendo el orden 7 utilizando el bot"n
de la barra de botones.
F':u*"? 6.2.25
c) ,el resultado obtenido deri0e con respecto a - eligiendo el orden 7 utilizando el bot"n
#
así obtendrá la deri0ada parcial mi$ta.
F':u*"? 6.2.21
6.- EJERCICIOS Unidad 7I.7
Realizar el bosque1o de las graficas en <,.
7. . <. . I. 78
Unidad 7I.
Encuentre la deri0ada parcial de la funci"n con respecto a cada una de las 0ariables.
=.
.
77.
7.
7. =. Unidad 7I.
Encuentre las deri0adas implícitas utilizando la funci"n '(%+';.
.
=.
@. Encuentre las deri0adas parciales % e0al6e para los 0alores dados de las 0ariables utilizando el bot"n
.
7.
7I.
79
7J.
Unidad 7I.=
)ara todas las funciones siguientes encontrar
.
=. . 7. <.
80
PRACTICA
Ee*!'!'3 2 APLICACIÓN DE LA PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA. Encontrar los má$imos % mínimos relati0os de la siguiente funci"n# usando la prueba de la segunda deri0ada. E1emplo < de la pág. @@7.
a) -ngrese la ecuaci"n sin los caracteres > 07x, -85?# % deri0amos con el bot"n
tanto para
> x% como para > -%, % obtenemos las respuestas en el G< % G=. $H< C %H< ;
%$ F':u*"? <.2.2
b) )ara obtener los puntos críticos procedemos así: nos dirigimos al men6 RESOLVER %
seleccionamos en SISTEMA. ,espus elegimos en la casilla de ecuaciones % obtenemos esta 0entana.
F':u*"? <.2.-
-ngrese
# despus presiones el bot"n RESOLVER.
! Obtenemos los siguientes resultados.
81
F':u*"? <.2.5
o debe tener en cuenta las soluciones que tienen 0alores imaginarios. )ara este e1emplo# el primer punto es (9#9* % el segundo es
.
+ )ara cumplir
# debemos obtener la segunda
deri0a tanto para > x% como para > -%. )ara deri0ar seleccione la e$presi"n del G7 pulse
.
F':u*"? <.2.1
)ara la segunda deri0ada ingrese en la casilla ORDEN el 0alor de . para terminar presione SIMPLIFICAR.
e Realizado la segunda deri0ada para > x? e > -?# obtenemos los resultados en el G % G77 respecti0amente.
F':u*"? <.2.7
; )ara cumplir con el tercer trmino# que es la deri0ada mi$ta# primero deri0e para > x% % del resultado obtenido deri0e para > -%.
82
F':u*"? <.2.6
En el G7= tenemos como resultado el 0alor de F7.
: Reemplazamos la funci"n por los 0alores obtenidos
e
ingresamos en la 0entana de álgebra sin los caracteres >,($#%*?. Una 0ez ingresado la ecuaci"n sustituimos las 0ariables con los puntos críticos (9#9* obtenidos anteriormente# lo logrará pulsando
. (I$*(I%*;(;7*H
F':u*"? <.2.<
&on los puntos (9#9* obtenemos un 0alor de ;7 e indica que no e$iste e$tremo relati0o.
A!ora sustitu%a utilizando los puntos
pulsando
.
F':u*"? <.2.
83
' Obtenemos < 9 % para que sea un mínimo relati0o debe ser ma%or a 9 sustitu%endo en la segunda deri0ada con respecto a x# seleccionamos la e$presi"n del G % pulse sustituir por los puntos
para
.
F':u*"? <.2.8
Tenemos un mínimo relati0o debido a que el resultado obtenido es ma%or a 9.
)ara !allar el 0alor de la funci"n# sustitu%a en la e$presi"n principal que se encuentra en el G7 por los puntos
pulsando el bot"n
.
F':u*"? <.2.20
•
Ee*!'!'3 - MW&3+3 +e ,3$ (u,&'%,'!"+3*e$ +e L":*":e. Encontrar los puntos críticos su1eta a la siguiente restricci"n. E1emplo 7 de la pág. @J9.
a) Escribimos la restricci"n como
# % formamos la funci"n . Obtenida la e$presi"n#
ingrsela en la 0entana de álgebra % el símbolo lo podrá encontrar en la barra de letras griegas. <$ F % C I F ($H C %H ; *
F':u*"? <.2.22
84
b) A!ora procedemos a obtener la deri0ada parcial de cada una de las 0ariables pulsando el
bot"n
.
F':u*"? <.2.2-
c) Una 0ez obtenida las deri0adas parciales# para encontrar los puntos críticos resol0emos el
sistema dirigindonos al men6 RESOLVER # SISTEMA. A continuaci"n obtendrá una 0entana donde ingresará el n6mero de ecuaciones en este caso un 0alor de <. )ara finalizar pulse el bot"n SI % obtendrá la siguiente 0entana.
F':u*"? <.2.25
-ngrese
# despus presiones el bot"n RESOLVER.
+ El resultado será el siguiente:
85
F':u*"? <.2.21
<.- EJERCICIOS Unidad 7I.@
Encuentre los puntos de las funciones. )ara cada punto crítico# determine# por medio de la prueba de la segunda deri0ada# si corresponde a un má$imo relati0o# a un mínimo relati0o# a ninguno de los dos# o si la prueba no da informaci"n.
@. 7. 7I. 7. 7.
M"='('X"!'4 +e ," %*3+u!!'4. Suponga que
Es una funci"n de producci"n para una empresa. Encuentre las cantidades de entrada# l % 9, que ma$imizan la producci"n P . <.
U&','+"+. Una empresa produce dos tipos de dulces# A % 8# para los cuales los costos promedio de producci"n son constantes de I9 % @9 (centa0os la libra*# respecti0amente. 3as funciones de demanda para A % 8 están dadas por . Encuentre los precios de 0enta que ma$imicen la ganancia de la empresa.
86
J.
U&','+"+. )ara los productos A % 8 de un monopolista# la funci"n de costos con1untos es
% las funciones de demanda son . Encuentre los 0alores de
%
%
que ma$imizan la utilidad.
P&uáles son las cantidades de A % 8 que corresponden a esos preciosQ P&uál es la utilidad totalQ Unidad 7I.J
Encuentre por el mtodo de los multiplicadores de 3agrange# los puntos críticos de las funciones su1etas a las restricciones indicadas.
=. I. 79. 77. 7<.
A$':"!'4 +e %*3+u!!'4. )ara surtir una orden de 799 unidades de su producto# una empresa desea distribuir la producci"n entre sus dos plantas# planta 7 % planta . 3a funci"n de costo total está dada por # donde
son los n6meros de
unidades producidas en las plantas 7 % # respeti0amente. P&"mo debe distribuirse la producci"n para minimizar los costosQ (suponga que el punto crítico obtenido corresponde al costo.* 7J.
M"='('X"!'4 +e ," %*3+u!!'4. &uando se in0ierten l unidades de traba1o % 9 unidades de capital# la producci"n total# # de un fabricante está dada por la funci"n &obb;,ouglas de producci"n
. &ada unidad de traba1o cuesta %
cada unidad de capital II. Si se 0an a gastar e$actamente <@I9 en la producci"n# determine las unidades de traba1o % de capital que deben in0ertirse para ma$imizar la producci"n (suponga que el má$imo se presenta en el punto crítico obtenido*
87
PRACTICA ? INTEGRALES Y CÁLCULO DE ÁREAS .2 EJERCICIOS PROPUESTOS PARA DESARROLLAR EN CLASES .2.2 INTEGRALES? •
Ee*!'!'3 2. -ntegral indefinida. E1emplo J de la pág. I7=.
" )rimero ingresamos la ecuaci"n en la 0entana de álgebra de la siguiente manera: %H (% C D<*
F':u*"? .2.2.2
) )ara resol0er la integral# pulsamos
de la barra de botones % obtendrá la siguiente figura:
F':u*"? .2.2.-
En esta 0entana !a% que definir que la integral sea indefinida# seleccionar la 0ariable % en la casilla de constante digite la letra C. )ara finalizar pulse el bot"n SIMPLIFICAR.
! En la siguiente figura se obser0a la respuesta .
88
F':u*"? .2.2.5
•
Ee*!'!'3 -. -ntegral definida. E1emplo 7 de la pág. I=.
" -ngrese la ecuaci"n de la siguiente manera: <$H F $ C I
F':u*"? .2.2.1
b) A!ora pulse el bot"n
.
F':u*"? .2.2.7
Elegimos la 0ariable x, indicamos que es una integral *e0"*+ % en la casilla de los límites ingresamos los 0alores de < % ;7# para culminar pulse SIMPLIFICAR.
! Una 0ez terminado# la respuesta será la siguiente:
89
F':u*"? .2.2.6
)ara 0isualizar las reglas utilizadas en el e1emplo# procedemos de la siguiente forma: primero de un clic5 en la ecuaci"n del G7 % repita el paso con la diferencia que para culminar pulse el bot"n SI. amos a utilizar este bot"n # su funci"n es resol0er paso a paso 0isualizando la regla utilizada. )ulse 0arias 0eces !asta que el resultado no cambie.
.2.- CALCULO DE AREAS •
Ee*!'!'3 2. ,eterminaci"n de un área entre cur0as. E1emplo de la pág. II=.
a) -ngresemos las ecuaciones a la 0entana de álgebra# % realice el bosque1o de las gráficas
pulsando el bot"n
.
F':u*"? .2.-.2
b) )ara encontrar las coordenadas de intersecci"n# regrese a la 0entana de álgebra pulsando
# dirí1ase al men6 RESOLVER % seleccione SISTEMA, obtendrá una 0entana donde deberá ingresar el n6mero de ecuaciones# digite . )ara finalizar pulse SI % conseguirá la siguiente figura.
90
F':u*"? .2.-.-
,igite en
% para finalizar pulse RESOLVER.
c) A continuaci"n# conseguirá las coordenadas donde se interceptan las gráficas# los 0alores de x son los límites inferiores como superiores de una integral.
F':u*"? .2.-.5
)ara este e1emplo $L;7 % $ L . d) A!ora ingresamos las ecuaciones# cumpliendo
. $ F $H C J F $H C $
F':u*"? .2.-.1
e) )ara obtener el área# procedemos a realizar la integral +e;''+" pulsando el bot"n
de la
barra de botones# utilizando los límites % ;7.
91
F':u*"? .2.-.7
•
Ee*!'!'3 -. Encontrar el área de la regi"n limitada por la cur0a % las líneas siguientes. E1emplo de la pág. II@.
" -ngrese las ecuaciones en la 0entana de álgebra# % realice el bosque1o de las gráficas con el bot"n
.
F':u*"? .2.-.6
F':u*"? .2.-.<
) )ara encontrar el puntos de intersecci"n regrese a la 0entana de álgebra con el bot"n # dirí1ase al men6 RESOLVER % seleccione SISTEMA, en esa 0entana ingrese el n6mero de ecuaciones# . )ara finalizar pulse SI % conseguirá lo siguiente:
92
F':u*"? .2.-.
En
para encontrar la intersecci"n entre la línea negra % azul como se
demuestra en la figura J.7..@# para finalizar pulse RESOLVER.
! )ara los limites tomamos el 0alor de
como se demuestra en la figura siguiente:
F':u*"? .2.-.8
+ Repetimos el paso , a!ora para la intersecci"n entre la línea
% la ecuaci"n
F':u*"? .2.-.20
e Tenemos los limites tanto inferior como superior# siguiente integral cumpliendo
%
# a!ora realizamos la
.
93
; En la barra de introducci"n de e$presiones ingresamos la siguiente e$presi"n: <;
$
F':u*"? .2.-.22
: )ara integrar pulse
% definir que es una integral definida con los limites
%
.
Una 0ez simplificada el resultado será:
F':u*"? .2.-.2-
.- EJERCICIOS En los e1emplos de cálculo de áreas# no ol0ide de incrustar la imagen en la 0entana de álgebra. En caso de no acordarse# dirí1ase al men6 ARC&IVO % presione INCRUSTAR. Unidad 7.7
Encuentre las integrales indefinidas
<.
J.
=7. Unidad 7.<
Encuentre las integrales indefinidas
=I.
94
I.
@7.
@. Unidad 7.
,etermine las integrales indefinidas
9.
@.
=7.
==. Unidad 7.@
E0alu la integral definida
.
@.
<7.
95
=<.
D'$&*')u!'4 +e ':*e$3$ . El economista )areto !a establecido una le% empírica de distribuci"n de ingresos superiores# que da el n6mero N de personas que reciben x o más d"lares. Si
# donde A % : son constantes# obtenga una integral
definida que d el n6mero total de personas con ingresos entre + % # si + Z . ==.
F,u3 !3&'u3 +e ':*e$3 . El 0alor actual (en d"lares* de un flu1o continuo de ingreso de 999 al a+o durante = a+os al IW compuesto continuamente está dado por
Unidad 7.
. E0al6e el 0alor actual# al d"lar más cercano.
Encuentre el área de la regi"n limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Aseg6rese de encontrar los puntos de intersecci"n requeridos.
. 79. 7I. 7. I. <7. <.
96
PRACTICA 8? PROGRAMACIÓN LINEAL 8.2 EJERCICIOS PROPUESTOS PARA DESARROLLAR EN CLASES •
Ee*!'!'3 2. Realizar los bosque1os de las gráficas.
" -ngrese las = desigualdades en la 0entana de álgebra % realice el bosque1o pulsando el bot"n # para tener idea del resultado de cada una de ellas# se le pide al estudiante que las realice de una en una.
F':u*"? 8.2.2
) )ara encontrar la interacci"n entre las desigualdades regrese a la 0entana de álgebra con el bot"n % proceda de esta forma: dirí1ase al men6 RESOLVER % seleccione SISTEMA. En la nue0a 0entana# en la casilla de ecuaciones ingrese el 0alor de = % obtendrá la siguiente 0entana.
F':u*"? 8.2.-
97
-ngrese
% para finalizar pulse RESOLVER.
! El resultado será el siguiente:
F':u*"? 8.2.5
En caso de no tener respuesta# indica que no !a% intersecci"n.
+ El resultado obtenido# represntelo en la 0entana >[ráfica ,? con el bot"n
.
F':u*"? 8.2.1
)ara la siguiente práctica usaremos este e1emplo# se recomienda no cerrarla % que se diri1a al men6 VENTANA % seleccione MOSAICO VERTICAL para tener una ma%or 0isi"n.
•
Ee*!'!'3 -. 2a$imizar
. E1emplo < de la pág. <7=.
a) )ara encontrar las coordenadas del área resultante# !a% que reemplazar los operadores >X#
Y? por >L?. Seleccione la desigualdad del G7 % pulse la tecla ETER# como obser0ará en la barra de introducci"n de e$presiones se encuentra la desigualdad# cambie el operador % pulse el bot"n
. A!ora cambie las desigualdades restantes.
98
F':u*"? 8.2.7
b) Terminado el cambio de operadores# para encontrar los cortes repetimos el paso del
e1ercicio anterior# con la diferencia de ingresar en el numero de ecuaciones a resol0er. )ara el primer e1emplo utilizaremos las desigualdades del G7 % G. 3as coordenadas de corte son las siguientes:
F':u*"? 8.2.6
&omo obser0a en la grafica# las coordenadas
!acen referencia al punto superior;
derec!a del área resultante.
! Repita el paso anterior % encuentre los < cortes restantes# realice utilizando las siguientes relaciones: G7 con G# G con G<# G< con G.
F':u*"? 8.2.<
d) -ngresamos la ecuaci"n
# a!ora sustituimos > x% e > -% por los 0alores de
coordenadas de corte , para la sustituci"n utilizaremos el bot"n 0entana:
para obtener la siguiente
99
F':u*"? 8.2.
e) Reemplazamos las 0ariables con los 0alores del G# > x5;<=>% e > -L@?. )ara finalizar pulse
el bot"n SIMPLIFICAR.
F':u*"? 8.2.8
f) &on el bot"n
reemplace % simplifique el resto de coordenadas.
F':u*"? 8.2.20
&omo se obser0a en la figura anterior# el resultado es zL;79 cuando es $L# %L<. •
Ee*!'!'3 5 MW&3+3 $'(%,e=. 2a$imizar. E1emplo 7 de la pág. <<9.
Su1eta a:
,ebido a que el siguiente procedimiento no traba1a con 0ariables cambiar por
e
%
# se procedi" a
respecti0amente.
100
" )ara poder realizar este tipo de e1ercicios# se debe e1ecutar un programa llamado >S'(%,e=Me&3+.+(3? ubicado en > C?A*!'3$ +e %*3:*"("TI E+u!"&'3De*'e 6U$e*$S'(%,e=Me&3+S'(%,e=Me&3+.+(3?. )ara e1ecutarlo dirí1ase al men6 ARC&IVO ? LEER % seleccione en DEMOS . 8usque % e1ecute ese arc!i0o# con lo cual se desplegará la siguiente 0entana:
F':u*"? 8.2.22
) Si el resultado sale false, deberá abrir el arc!i0o S'(%,e=Me&3+.(& u)'!"+3 e ," ('$(" +'*e!!'4. )ara poder traba1ar pulse la tecla ES& % se acti0ara la barra de introducci"n de e$presiones. Una 0ez acti0o ingrese las = e$presiones pero la funci"n a ma$imizar sin el carácter >zL?. $ C % $ C % Y J $ C <% Y 7 $X9 %X9
F':u*"? 8.2.2-
! amos a utilizar la funci"n MAIMIZEX# *# contiene parámetros que son: 1. X F es la ecuaci"n# pero no ingrese los caracteres >zL? para su correcto funcionamiento. 2. * F son las restricciones pero estas son ingresadas en un 0ector. ma$imize(G<# \G# G=# GI# G@]*
101
F':u*"? 8.2.25
3os resultados se interpretan de la siguiente manera: el primer 0alor indica zLJ obtenido con los 0alores de $L9 %L. El resto de 0alores (# 9# 9# * corresponden a las 0ariables artificiales que son asociadas a cada restricci"n. En caso de que el resultado sea -K--TO# indica que las restricciones no pueden ser satisfec!as.
8.- EJERCICIOS )ara minimizar e$iste la funci"n MINIMIZE X# *# los parámetros son los mismos e$puestos anteriormente. Unidad @.7
Realice el bosque1o de las siguientes gráficas
79.
77.
7=.
7.
7. Unidad @.
2a$imizar
102
.
@.
.
79.
7. Unidad @.
Utilice el mtodo simple$ para resol0er los problemas siguientes.
2a$imizar <.
=.
79. 103
7.
7<.
7=. Unidad @.@
Utilice el mtodo simple$ para resol0er los problemas siguientes.
2inimizar
=.
@.
79.
104
PRACTICA 20 MATEMÁTICAS FINANCIERAS? PROGRESIONES# INTERS SIMPLE# INTERS COMPUESTO# PAGOS PARCIALES Y ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS. 20.2 INTRODUCCION A continuaci"n# mostraremos las formulas para los e1emplos e$puestos en esta guía.
F3*(u,"$? •
P*3:*e$'3e$ o P*3:*e$'4 A*'&(W&'!"
o
P*3:*e$'4 Ge3(W&*'!"
•
cuando r Z 7 cuando r 7
I&e*W$ S'(%,e o
o •
P":3$ P"*!'",e$
o
o •
I&e*W$ C3(%ue$&3 o
•
Au",'+"+e$ C'e*&"$ O*+'"*'"$
o
o
105
20.- EJERCICIOS PROPUESTOS PARA DESARROLLAR EN CLASES •
Ee*!'!'3 2 I&e*W$ S'(%,e . Encontrar el 0alor presente# al IW de inters simple# de 7=99 con 0encimiento en meses. E1emplo J de la pág. <.
a) )ara este caso
. Reemplazamos los 0alores en la formula %
obtenemos lo siguiente:
b) )ara despe1ar la 0ariable# procedemos a ingresar en la barra de introducci"n de e$presiones
lo siguiente % para finalizar pulse el bot"n
: 7=99 L &(7 C (9.9I*(
F':u*"? 20.-.2
•
Ee*!'!'3 - Au",'+"+e$ C'e*&"$ O*+'"*'"$. En los ultimos 79 a+os# X !a depositado =99 al final de cada a+o en una cuenta de a!orro# la cual paga el
efecti0o. P&uánto
!abía en la cuenta inmediatamente despus de !aber !ec!o el dcimo dep"sitoQ E1emplo de la pág. J<.
a) 3os 0alores que tenemos son
. Reemplazando los 0alores
tenemos lo siguiente.
b) )ara obtener el 0alor# ingrese la siguiente e$presi"n % para culminar pulse el bot"n :
S L =99(((7 C 9.9<=*H79 ; 7*D9.9<=* 106
F':u*"? 20.-.-
•
Ee*!'!'3 5. Obtener el inters simple % compuesto# donde el monto es 7 al IW en un tiempo de 79 a+os# % obtenga la diferencia entre ellos de cada a+o.
a) Tenemos los siguientes 0alores
. Sustitu%a los 0alores a
e$cepci"n de C e :
b) )resentaremos los 0alores en una tabla# por esta ocasi"n 0amos a cambiar la 0ariable ( por ". A!ora ingrese las e$presiones sin los caracteres > S5? % para culminar el
pulse el bot"n
. 7(7C9.9In* 7(7C9.9I*Hn
F':u*"? 20.-.5
! )ara dar la impresi"n de columnas# debemos ingresar las formulas en un 0ector de la siguiente manera: \G7# G]
F':u*"? 20.-.1
)ara !acer referencia a esta posici"n# escribimos G< (nombre del 0ector* seguido por la palabra s' 1untamente con la posici"n. )ara este e1emplo se escribe >G< sub 7?. 107
d) A!ora necesitamos una columna e$tra para realizar la resta % para esto procedemos de la
siguiente manera# con el mouse de un clic5 en la e$presi"n del G< % presione la tecla ETER# a continuaci"n obtendrá una 0entana donde deberá ingresar la dimensi"n del 0ector# para este caso digite < % finalice pulsando el bot"n SI. conseguirá la siguiente 0entana:
F':u*"? 20.-.7
En la casilla < ingrese > @> s' $ # @> s' ; ?% para finalizar pulse el bot"n SI.
e En la siguiente figura se 0isualiza el cambio.
F':u*"? 20.-.6
f) Agregada la tercera columna# procedemos a desarrollar la tabla siguiendo estas
indicaciones# dirí1ase al men6 CALCULO % seleccione TA:LA % conseguirá la siguiente 0entana:
F':u*"? 20.-.<
Seleccionada la 0ariable " ingrese
. &omo se puede obser0ar solo !a% como
elegir una 0ariable % es la raz"n por la cual cambiamos al comienzo la letra ( por la ". )ara finalizar pulse el bot"n APROXIMAR.
: El resultado es el siguiente: 108
