Calculus Purcell
Sampai saat ini kita sudah mempelajari deret dari konstanta, yaitu
.
Sekarang kita pelajari deret dari fungsi, . Contoh : deret fungsi sinus (deret Fourier)
sin sin sin2 sin3 1 4 9 ⋯ =
Deret pangkat dalam :
⋯
=
Our interests? ◦
◦
Kapan deret tersebut konvergen? Konvergen kemana? ?
()
⋯
=
Konvergen untuk geometri)
1 < < 1 (ingat deret
Konvergen ke
1,
1 < < 1
Yaitu semua nilai yang membuat deret konvergen.
Contoh:
1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 4 2 ⋯ =
negatif): + → lim 2 2+ 1 2 → lim 2 . 12 2
Dengan uji rasio mutlak (karena suku2nya bisa negatif ketika
Deret konvergen mutlak ketika dan divergen ketika
> 2.
< 1 ⟹ < 2,
2, kita punya deret harmonik -> divergen. Utk 2, kita punya deret harmonik ganti tanda -> konvergen. Jadi himpunan kekonvergenannya adalah ∈[2,2). Utk
Himpunan kekonvergenan dari suatu deret pangkat selalu berupa salah satu interval berikut: i. Titik tunggal ii. Interval ditambah titik batas iii. Seluruh bilangan real
0 , ,
Secara berturut-turut disebut memiliki radius/selang kekonvergenan dan
0,,
∞.
Deret pangkat
konvergen pada titik
interior dari selang kekonvergenan.
() ()()⋯
=
Himpunan kekonvergenan: i. Titik tunggal Interval ditambah titik batas ii. iii. Seluruh bilangan real
,,
= Apakah
1 , 1 < < 1
:
Dapat diturunkan?
Dapat diintegralkan?
Misal yakni
adalah jumlah dari suatu deret pangkat pada interval ,
⋯ = Maka, jika titik interior dari , ′ = = − 23 ⋯ + = = + 1 1 2 3 ⋯ i.
ii.
1 1 … , 1 < x < 1 1 Turunan 1 123 4 ⋯ , 1 < < 1 1 Integral
1 1 1 ⋯
ln 1 2 3 ⋯ , 1 < < 1 ln 1 2 3 4 ⋯ , 1 < < 1, 1
tan− . tan− 11 − tan (1 ⋯) − tan 3 5 7 ⋯ , 1 < < 1
Tentukan deret pangkat dari
Tentukan fungsi sebagai jumlah dari deret:
1 2! 3! ⋯ ′ 1 2! 3! ⋯() dan karena 0 1, maka 1 2! 3! ⋯
Σ
Σ keduanya < .
Misal dan konvergen setidaknya untuk
Jika pada kedua deret tersebut dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, maka deret yang dihasilkan akan konvergen ke dan , untuk
, , ⋅ () < . Jika ≠ 0, hal yang sama terjadi juga untuk operasi pembagian untuk || yang cukup kecil.
Tentukan deret pangkat untuk
exp(tan− ).
1 2! 3! 4! ⋯ − ) (tan− ) (tan− ) (tan − 1tan 2! 3! 4! ⋯ Substitusi tan− dengan deretnya ⋯ ⋯ 3 3 1 3 ⋯ 2! 3! 3 ⋯ 4! ⋯ 7 1 2 6 24 ⋯
Sebelumnya kita sudah melihat bagaimana suatu deret pangkat konvergen ke suatu fungsi Sekarang, apakah hal sebaliknya dapat dilakukan? Yaitu menyatakan suatu fungsi sebagai sebuah deret pangkat dalam atau ?
⋯ untuk ∈ ,
Dengan Teorema 9.7 A :
′ 2 3 4 ⋯ ′′ 2! 3! 4⋅ 3 ⋯ ′′′ 3! 4! 5⋅ 4 ⋯ ⋮ Substitusi menghasilkan , ′ ′′ ′′′ 2! , 3! !
⋯ untuk semua ∈(,). Maka ! Misal memenuhi
Deret tersebut dinamakan deret Taylor. Jika , disebut deret Maclaurin.
0
(1): + (), utk
Misal sebuah fungsi yg memiliki turunan ke-
Maka utk stp ∈ , ′′ ′ 2! ⋯ ! stp di interval yg memuat .
dengan error:
+ 1 ! +, < <
Misal sebuah fungsi yg selalu memiliki turunan pada suatu interval
(,).
Deret Taylor
′′ ′′′ ′ 2! 3! ⋯ merepresentasikan fungsi pada interval tsb jika dan hanya jika + + 0, lim lim → → 1 ! dengan ∈(,).
dan buktikan bahwa deret sin sin ′ sin ′ 0 0 ′′ cos ′′ 0 1 ′′′ sin ′′′0 0 cos 0 1 sin 0 0 ⋮ ⋮
Tentukan deret Maclaurin untuk tsb menyatakan utk semua .
Maka
untuk semua
.
sin 3! 5! 7! ⋯
+ |cos| atau + |sin|, maka 1 ≤ 1 ! + Tapi lim /!0, utk stp . Dengan demikian → + + lim lim 0, → → 1 ! Karena
