Dénombrement Dénombr ement Et Probabilité Probabilité 1. Permutations Définition Soit E un ensemble fini. Une permutation de E est une liste ordonnée d’éléments de E.
Exemple Soit E = {a;b;c} E admet 6 permutations qui sont : (a;b;c), (a;c;b), (b;a;c), (b;c;a), (c;a;b) et (c;b;a)
Remarque - dans les notations avec parenthèse du type (...;...;...) l'ordre est pris en compte. (il s'agit d'une liste ordonnée) - dans les notations avec accolades du type {...;...;...} l'ordre n'est pas pris en compte. (il s'agit d'un ensemble)
Théorème ) défini par : Le nombre de permutations d’un ensemble fini E à n éléments est le nombre n! (factorielle n )
Remarque - par convention on pose 0! = 1 - pour tout entier :
Exemple Si l'on reprend l'exemple précédent on vérifie bien que :
2. Combinaisons Définition Soit E un ensemble fini à éléments et un entier tel que . Une combinaison de p éléments de E est une partie de E contenant p éléments.
Remarque Une partie est un ensemble donc l'ordre n'est pas pris en compte
Exemple
Soit E = {a;b;c} E admet 3 combinaisons à 2 éléments qui sont : {a;b}, {a;c}, {b;c}
Théorème Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est le nombre noté "p parmi n " ) égal à :
( on lit souvent
Exemples - Dans l'exemple ci-dessus on a bien : - Au poker une "main" est formée de 5 cartes parmi 52. Il y a donc :
Liste 1 : 4 Exercices Corrigés Variable Aléatoire-Loi Binomiale 1.
Un joueur lance deux dés don't les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose que les dés sont non-truqués et donc que pour chaque dé, toutes les faces ont la même probablté d'apparton. !e joueur su"ant les r#$les su"antes% - & les deux dés donnent le même numéro alors le joueur perd 1 ponts - & les deux d#s donnent deux numéros de partés dfférentes (l'un est par et l'autre mpar) alors l perd * ponts. - +ans les autres cas l $a$ne 1* ponts. !e joueur joue une parte et on note la "arable al#atore correspond au nombre de ponts obtenus par lu. a . +étermne la lo de probablté de pus calcule l'espérance de . b. eprésente $raphquement la foncton de répartton de . !e joueur effectue 1 partes de sutes. !es résultats des partes sont ndépendants les uns des autres. On appelle alors / la "arable aléatore é$ale au nombre de fos que le joueur $a$ne 1* ponts. c. 0xplque pourquo / sut une lo bnomale. uels sont les param#tres de /2 d. uelle est la probablté que le joueur $a$ne au mons une fos 1* ponts2 e. 3omben de fos le joueur peut espérer $a$ner 1* ponts2 !e joueur joue n partes de sute. f . uelle est la probablté qu'l $a$ne au monss une fos 1* ponts2 g. 4 partr de quelle "aleur de n sa probablté de $a$ner au mons une fos 1* ponts est strctement supéreure à ,5555 2 Correction Correction Exercice 1 liste 1 Spécialité ES
!'un"ers Ω est l'ensemble des résultats possbles apr#s le lancer des deux dés. c, Ω correspond au produt cartésen 71 , 8 , 9 , : , * , 6;x71 , 8 , 9 , :, * , 6;. &on cardnal est 3ard( Ω) < 6= < 96. 3omme on suppose qu'l > a équprobablté des résultats des lancers, on a alors% ?our tout é"énement 4 de Ω, ?(4) < 3ard(4)
3ar(Ω) a% !a "arable aléatore peut prendre les "aleurs -1 , -* , @1*. !'é"énement A < -1A est l'é"énement Aobtenr le même numéroA. 3'est donc l'é"énement 4 < 7(1,1) , (8,8) , (9,9) , (:,:) , (*,*) , (6,6) ;. !a probablté de A < -1A est donc % ! " # - 1$ % # & ' (& # 1 ' & +e même, l'é"énement A < -*A est l'é"énement Aobtenr 8 numéros de partés dfférentesA. 3'est donc l'ensemble des couples ( a , b) tels que a sot dans 71,9,*; et b sot dans 78,:,6; ou ben a sot dans 78,:,6; et b sot dans 71,9,*;. !a cardnal de cet é"énement est donc % 9x9 @ 9x9 < 1B. +'oC % ! " # - )% # 1* '(& # 1'+. 3omme & ?( < D) < 1 , on en dédut que ?( < 1*) < 1 - ?(<-1) - ?(<-*). +'oC % !" # 1)% # 1 - 1'& - 1'+ # 1'( On résume cela sous la forme d'un tableau %
-1
-*
1*
?( < D)
1 6
1 8
1 9
!'espérance de est alors % 0EF < Σ ?(
c: & le joueur effectue 1 partes de sute don't les résultats sont ndépendants les
uns des autres, comme pour chaque parte, la probablté d'obtenr 1* ponts est constante et é$ale à 1G9 , on peut dre que la "arable aléatore / é$ale au nombre de fos que le joueur $a$ne 1* ponts en 1 partes sut un lo bnomale de param#tres n < 1 et p < 1G9. / sut donc la lo B(n < 1 , p < 1G9) On peut donc dre que pour enter D, on a %
d: !a probablté que le joueur $a$ne au mons une fos 1* ponts est % ?( / J 1 ) < 1 - ?(/ < ) < 1 - (8G9) 1 ?( / J 1 ) < 1 - ?(/ < ) < 1 - (8G9) 1 <
*B8* *5:5
e: !e nombre de fos que le joueur peut espérer $a$ner 1* ponts en 1 partes est l'espérance de la "arable aléatore /. On sat que pour une "arable aléatore de param#tre (n , p) , l'espérance de est % 0EF < n.p 3omme / a pour param#tre n < 1 et p < 1G9 , on en dédut que l'espérance de / est % 0E/F < 1 G 9. f: & le joueur joue n partes de sute alors la "arable aléatore K é$ale au nombre de fos oC l $a$ne 1* ponts sut une lo bnomale de param#tre (n , p <1G9 ). !a probablté qu'l $a$ne au mons une fos 1* ponts durant ces n partes est alors% ?( K J 1 ) <1 - ?( K < ) 3omme ?( K < ) < (8G9) n , on a alors ?( K J 1) < 1 - (8G9)n g: On "eut alors que ?( K J 1 ) J ,5555. Ou encore que % 1 - (8G9)n J ,5555. ou encore que (8G9)n I ,1. 0n utlsant la foncton lo$arthme népéren, on peut alors ecrre que %
!e joueur a donc une probablté de $a$ner au mons une fos 1* ponts supéreure à ,5555 s'l joue au mons 89 partes de sute. 8.
Améri/e de 0ord /in +$$$ Bac ES
!es résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale arrondie au centième. Un camp d'adolescents propose des sta$es d'act"tés nautques pour débutants a"ec au chox% ?lanche à "ole , plon$ée ou sD nautque. !ors d'un sta$e donné, ce camp accuelle "n$t jeunes don sept seront ntés à la planche à "ole, hut à la plon$ée et cnq au sD nautque. 3haque sta$are ne pratque qu'une seule des tros act"tés. 2. On forme un $roupe de 9 sta$ares choss au hasard parm les "n$t. a% 3omben de $roupes est-l possble de former2 b% +étermne la probablté de chacun des é"énements su"ants% 4 % A les tros sta$ares pratquent des act"tés dfférentes A L % A !es tros sta$ares pratquent la même act"té A 3 % A 4u mons l'un des tros sta$ares pratque le sD nautque A. 22 . ?arm les tros sta$ares, un seul se prénomme 3hrstan. 3haque jour, on chost un $roupe de tros sta$ares char$é du ser"ce au repas de md. a. Montre que la probablté que 3hrstan sot chos un jour donné pour le ser"ce de md est é$ale à ,1*. b. !a durée du sta$e est de cnq jours. uelle est la probablté de ne jamas chosr 3hrstan pour le ser"ce de md pendant le séjour 2 c. uelle est la probablté de le chosr exactement une fos 2 d. Montre que la probablté de chosr 3hrstan au mons deux fos est nféreur à ,8 . Correction Correction Exercice + liste 1 Spécialité ES 2% a% l > a 8 sta$ares. On "eut en chosr 9. 3ela re"ent à chosr 9 éléments parm 8. 3'est donc le nombre de combnasons de 9 éléments parm 8. !e nombre de chox possbles pour les $roupes de 9 est donc%
b: 4 est l'é"énement A les 9 sta$ares pratquent des act"tés dfférentesA 3omme on suppose qu'l > a équprobablté des chox des sta$ares, on a%
?(4)<
3ard(4)
11: & on appelle N l'ensemble des sta$ares qu seront ntés à la planche à "ole, ? l'ensemble des sta$ares qu seront ntés à la plon$ée et & l'ensemble des sta$ares qu seront ntés au sD nautque, un é"énement élémentare appartent à 4 s et seulement l content exactement 1 élément de N , 1 élément de ? et 1 élément de &. 3omme 3ard(N) < , 3ard(?) < B et 3ard(&) < * , on obtent% 3ard(4) < PBP* < 8B. ?(4)<
8B 11:
<
1: *
!'é"ément L Ales 9 sta$ares pratquent la même act"téA correspond à chosr 9 sta$ares parm N ou ? ou &. 3omme 3ard(N) < , le nombre de chox de 9 éléments de N est le nombre de combnasons de 9 éléments parm .
+e même, le nombre de chox de 9 éléments de ? est le nombre de combnasons de 9 éléments parm B et le nombre de chox de 9éléments de & est le nombre de combnasons de 9 éléments parm *. +onc , on a %
!'é"énement 3 est Aau mons un des tros sta$ares pratque le sD nautqueA. !'é"énement contrare de 3 est Aaucun des tros sta$ares pratque le sD nautqueA l correspond au chox de 9 sta$ares parm les 1* qu ne font pas de sD nautque. &on cardnal est alors %
22. a% On sat qu'l > a chaque jour 11: chox possbles de 9 sta$ares parm les 8. 3hosr un $roupe de 9 a"ec 3hrstan re"ent à chosr 3hrstan et 8 sta$ares parm les 15 qu ne sont pas 3hrstan. l > a 11 chox possbles de deux autres sta$ares. 3'est le nombre de combnasons de 8 éléments parm 15. ?arm les 11: $roupes possbles de 9 sta$ares, l > a donc exactement 1* $roupes qu contennent 3hrstan. !a probablté que 3hrstan sot chos un jour donné est donc%
p <
11 11:
< ,1*
b: & on appelle la "arable aléatore é$ale au nombre de fos que 3hrstan est chos durant le séjour de * jours, sut une lo bnomale de param#tre (n < * , p < ,1* ). +onc, pour tout D enter, on a% 0n partculer, la probablté de ne jamas chosr 3hrstan durant le séjour est %
c: !a probablté de chosr exactement une fos 3hrstan est %
d: !a probablté de chosr au mons 8 fos 3hrstan est % ?( J 8). Or ?( J 8 ) < 1 - ?( < ) - ?( < 1). !es calculs précédents montrent ben alors que cette probablté est nféreure à ,8 .
9.
3apr5s 6rance 7étropolotaine Septembre 1888 - Bac ES Un entraneur d'une équpe de football a étudé les statstques de tr au but (pénalt>) de ses joueurs. l a alors remarquer que sur une sére de cnq trs au but, un joueur prs au hasard dans son équpe marque - * buts a"ec une probablté de ,8 - : buts a"ec une probablté de ,* - 9 buts a"ec une probablté de ,9. 3haque joueur, à l'entranement, tre 8 séres de * ballons. On admet que les résultats d'un joueur à chacune des 8 séres sont ndépendants. &ot la "arable aléatore é$ale au nombre de trs aux buts réusss par un joueur au cours d'un entranement. 2 a 3alcule la probablté, pour un joueur prs au hasard, de réussr tous ses trs au buts lors d'un entranement. b . ?récse les "aleurs possbles pour et établr sa lo de probablté. (on pourra s'ader d'un arbre). c . 3alcule l'espérance de . .
.
22. !'entraneur consd#re que le joueur a réuss l'épreu"e des trs au but lorsque J B. Montre que la probablté pour un joueur de réussr cette épreu"e lors d'un entranement est é$ale à ,61 . 222.3haque joueur partcpe à 1 séances d'entranement. On admet que les épreu"es de trs au but sont ndépendantes les unes des autres. On appelle / la "arable aléatore é$ale au nombre de succés d'un joueur à l'épreu"e des trs au but au cours des ces 1 entranements, c'est à dre le nombre de fos oC l a marqué au mons B buts. & au cours d'une séance d'entranement, l ne marque pas au mons B buts, on dt qu'l a eu un échec. Les résultats seront donnés par défaut, avec 9 chiffres après la virgule. 3alcule pour un joueur % a . la probablté de n'a"or aucun échec lors des 1 séances. b . la probablté d'a"or exactement 6 succ#s . c . la probablté d'a"or au mons 1 succ#s.
222 .3alcule le nombre mnmale d'entranement auxquels dot partcper un joueur pour que la probablté d'a"or au mons un succ#s sot supéreure à ,55. Correction Correction Exercice ( Liste 1 4"ant de commencer cet exercce, l faut meux fare un arbre qu résume la stuaton. Un joueur tre donc deux séres de * ballons. ?our chaque sére, le joueur marque 9 ou : ou * buts a"ec des probabltés respect"es de ,8 ou ,* ou ,9. 3ec condut alors à l'arbre su"ant. !es probablté calculées tennent compte du fat que les résultats des trs sont ndépendants les uns des aures.
2. est la "arable aléatore é$ale au nombre de buts réusss par un joueur au cours d'un entranement. !es "aleurs que peut prendre sont donc% 6 ou ou B ou 5 ou 1 a% !e joueur réusst tous ses trs au but s'l marque * buts à chaque sére. 3omme la probablté de marquer * buts durant une sére est ,8 et que les résultat des séres de trs sont ndépendants, on a donc% robabilité de mar/és ) b/ts 9 ca/e série # !$;+%< # $;$4 . b: On a "u que les "aleurs que peut prendre sont 6 - - B - 5 - 1. +'apr#s l'arbre construt, on obtent alors % ?(<6) < ,9P,9 < ,5 ?(<) < ,9P,* @ ,*P,9 < ,9 ?(
"#=
&
>
*
8
1$
!"#=%
$;$8
$;($
$;(>
$;+$
$;$4
c: On "érfe que l'espérance de est % 0EF < Σ ?(
22.
!'entranement est réuss s le joueur marque au mons B buts durent deux séres. On "eut ?( J B) < ?( < B ) @ ?( < 5 ) @ ?( < 1 ). +'apr#s le tableau précedent, on a donc% ?( J B ) < ,9 @ ,8 @ ,: < ,61. 3'est ben la "aleur demandée. 222. / est la "arable aléatore é$ale au nombre de séances d'entranement réusses ou succ#s en 1 séances d'entranement. 3omme pour chaque séance, la probablté que la séance sot un succ#s est p < ,61 et que les résultats des séances sont supposés ndépendants les une des autres, on "ot alors que / sut une lo Lnomale de param#tre ( n < 1 , p < ,61).
a: !a probablté que le joueur n'at aucun échec lors des 1 séances est alors%
b: !a probablté d'a"or exactement 6 succ#s est %
c: !a probablté d'a"or au mons un succ#s est %
22. ?our n séances d'entranement de sute, la probablté que le joueur n'at aucune succ#s est (,95) n. +onc la probablté que le joueur at au mons un succ#s est % 1 - (,95) n On "eut donc détermner la plus pette "aleur de n telle cette probablté sot J ,55.
