DEMOSTRACIONES DE LAS FÓRMULAS DE FÍSICA I (INGENIERÍA)
DEMOSTRACIONES ............................................................................................................................................................. 3 Demostración de la Ecuación Complementaria del M.R.U.V. ................................................................................................... 3 Demostración de la ecuación para la trayectoria ............................................................................................................ 3 Demostración de la ecuación de alcance.................................................................................................................................. 3 Movimiento Circular Uniformemente Acelerado ..................................................................................................................... 4 Movimiento Relativo ................................................................................................................................................................ 4 Dinámica ................................................................................................................................................................................... 5 Fuerza de rozamiento ............................................................................................................................................................... 6 Deducción de Potencia ............................................................................................................................................................. 6 Deducción del teorema de trabajo y energía ........................................................................................................................... 6 Trabajo realizado de la fuerza elástica ..................................................................................................................................... 7 Deducción del movimiento del centro de masa de un sistema de partículas .......................................................................... 8 Choques .................................................................................................................................................................................... 8 Deducción de la cantidad de movimiento lineal ....................................................................................................................... 9 Deducción de impulso .............................................................................................................................................................. 9 Deducción de la cantidad de movimiento angular ................................................................................................................... 9 Deducción de la energía cinética de rotación y momento de inercia ................... ...................... ...................... ..................... . 10 Deducción de la relación .................................................................................................................................... 10 Deducción del Teorema de Steiner o Ejes Paralelos ............................................................................................................... 11 Deducción de .................................................................................................................................................... 11 Leyes de Kepler ....................................................................................................................................................................... 12 Movimiento Oscilatorio Simple .............................................................................................................................................. 12 Deducción de la energía en un Movimiento Armónico Simple .............................................................................................. 13 Deducción Péndulo Simple ..................................................................................................................................................... 14 Deducción Péndulo Físico ....................................................................................................................................................... 14 Deducción de la variación de presión de un fluido en reposo ................................................................................................ 15 Deducción de la ecuación de continuidad .............................................................................................................................. 15 Deducción del Teorema de Bernoulli ..................................................................................................................................... 16
00· 00×
FÓRMULAS ....................................................................................................................................................................... 17 Péndulo Simple ....................................................................................................................................................................... Péndulo Físico ......................................................................................................................................................................... Ondas Mecánicas .................................................................................................................................................................... Gravitación .............................................................................................................................................................................
18 18 18 19
Demostraciones Demostración de la Ecuación Complementaria del M.R.U.V.
( ) 12 ( ) ( ) 1 2 [ 12 ] 2 [ 2 2 ] 21 ( )( ) 21 ( ) 2 Demostración de la ecuación
Ecuación horaria de la posición en función del tiempo De la ecuación horaria de la velocidad en función del tiempo se despeja la diferencia de tiempo
Para un cierto
Sacando factor común
Por diferencia de cuadrados
Queda demostrada la Ecuación Complementaria del M.R.U.V.
para la trayectoria
cos cos sin 12 12 cos sin cos si n cos 2 cos tan cos
Ecuación horaria de la posición en el eje en función del tiempo Para un cierto
Ecuación horaria de la posición en el eje en función del tiempo Para un cierto
Queda demostrada la ecuación
Demostración de la ecuación de alcance
cos sin 12 0 sin 12 0[ sin 12 ] 02 sin 2
Ecuación horaria de la posición en el eje en función del tiempo Ecuación horaria de la posición en el eje en función del tiempo
()0 0
+−
ó Soluciones posibles , siendo la primera ecuación sin sentido
0
2sin cos 2 sin sin2 sin2
Reemplazando en la ecuación horaria del eje con
() 9, 8
Queda demostrada la ecuación del alcance máximo
Movimiento Circular Uniformemente Acelerado
;−; ; ; − − ⟹ ;[]; −; ∡ || 2··· · · 12 ·· 2
[]; ; − aceleración tangencial −; Movimiento Relativo
Se considera un sistema de referencia respecto al primero
“O”
fijo en tierra y otro “O’” que se encuentra en movimiento
⃗
′ ·
Según el gráfico, (desplazamiento según “O” ), es la suma vectorial de con
Derivando con respecto al tiempo
⃗ ′
⃗ ′ ⃗ ′
⃗ ′
Donde: : velocidad absoluta (velocidad instantánea de la partícula medida según “S” : velocidad relativa (velocidad instantánea de la partícula medida según “S’” : velocidad de arrastre
Dinámica
Primera Ley de Newton
Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.
Segunda Ley de Newton
de estado ⃗ {0≠0 NoCambicambia a de estado
El cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.
⃗ ·⃗
Tercera Ley de Newton
Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.
′
Fuerza de rozamiento
. . c os á tan á √ á. . √ ..tan Cinética
Normal
Elástica
Rozamiento
Gravitatoria Peso Deducción de Potencia
Sabiendo que:
⃗ ×⃗ ··cos ··cos ··cos ó
El trabajo ejercido al transcurrir un determinado tiempo es:
Sabiendo que:
Deducción del teorema de trabajo y energía
∫
∫· ∫· ∫· ∫ · · ∫ · 2 2 2 2
·
Sabiendo que Donde Donde
Como es constante
Trabajo realizado de la fuerza elástica
Tomando intervalos de espacio muy pequeños, se puede hacer una aproximación bastante exacta del área debajo de la curva, que representa el trabajo total
∫ ⃗
∫ · · ∫ · 2 ·( 2 ) · 2
Como
es una constante
Deducción del movimiento del centro de masa de un sistema de partículas
∑(∑ ·) ∑(∑ ·) () ∑ · ∑ ∑(∑ ·) ∑(∑ ·) () ∑ · ∑ ∑(∑ ·) · ·
Derivando con respecto al tiempo
Derivando con respecto al tiempo
Por la segunda Ley de Newton De todas las fuerzas, las internas pueden despreciarse porque (por la tercera Ley de Newton) las fuerzas internas interactúan de a pares con igual módulo y dirección pero con sentido opuesto. Por lo tanto se anulan.
Choques
Choque elástico: colisión entre dos o más cuerpos en la que éstos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En una colisión elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después del choque. Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se conserva. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura. El coeficiente de restitución (en realidad, cociente) es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas.
→á: 0⟹ Colisiones →á: ≠0 →á: ′ ′ ⏟á0 ≤ ≤ Eá⏟1 ∑(∑ ·) ∑(∑ ·)
Deducción de la cantidad de movimiento lineal
· ( · ) ∑ · (· ) · 0 0 y
Porque es un cuerpo rígido
Por la segunda y tercera Ley de Newton
∑ · ∑ 0 Si
Deducción de impulso
∫ ∫ ∫ ∫ ⃗ · · · · Deducción de la cantidad de movimiento angular
Relación entre el momento resultante de las fuerzas exteriores con la tasa de cambio del momento cinético a través del tiempo
× × = ∑= × × × = = × × = = =
Derivando con respecto al tiempo
Como
∥
, entonces
× 0
Por la tercera Ley de Newton las fuerzas internas se anulan entre sí
× = =
Deducción de la energía cinética de rotación y momento de inercia
· 2 · · 2 ·∑ · 2 · 2 · × = ×( · ×( · ) ) = = ×( · ) = × ·( × ) = · ·‖ ‖ = ×
Energía cinética de translación de una partícula Sabiendo que
·
Para un cuerpo rígido formado por varias partículas
·
Deducción de la relación
⃗ ∥⃗ ⃗ × 0 ⃗⃗ ×
Se descompone en (velocidad tangencial) y (velocidad radial) Como
,
Como
·‖ ‖ =
Deducción del Teorema de Steiner o Ejes Paralelos
· √ = Si el centro de masa · es el origen de coordenadas = · Si el punto ; = 2 2 · = * Son cero porque se · 2 · 2 · como centro = = ∗ = ∗ = detomamasas al origen ×⃗ × = × = Se descompone ⃗ en (fuerza tangencial) y × × (fuerza radial) = = × Como ∥⃗ , ⃗ × 0 = ⃗ × · Como ⃗ ⃗ × = ⃗ × ·( × ) =
Deducción de
⃗ · ·‖ ‖ = ·⃗
·‖ ‖ =
Leyes de Kepler
Primera ley (1609): "Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse". Segunda ley (1609): "El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales".
La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol.
· · · ·
Tercera ley (1618): "Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica".
3 constante
Donde, es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), la distancia media del planeta con el Sol y la constante de proporcionalidad.
Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.
3 · 4
Donde, es el periodo orbital, el semieje mayor de la órbita, es la masa del cuerpo central y una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión. Movimiento Oscilatorio Simple
·sin ′··cos ′′· ·sin · · · · · · ·
2 2 21
2 1
Deducción de la energía en un Movimiento Armónico Simple
· 2 · ·si n ·sin 2 · ·sin 2 · ··cos 2 · ··cos 2 · · ·cos 2 · ·cos · 2 · ·cos · 2 ··cos ≥0 2 · ·sin ··cos 2 2 · ·sin2cos sincos1 ·2
Deducción Péndulo Simple
Se descompone el peso en una componente radial causante de la aceleración centrípeta y una componente tangencial, clasificada como fuerza restauradora.
··sin ·· · · · · · · · · 2 ·· 2
Como son amplitudes muy chicas
sin≈
· ·
Deducción Péndulo Físico
× × × × ∥ × 0 ···sin ··· sin≈ ·′′··· ·′′ ·sin · · · sin ··· · sin ′′· ·sin · ·· ·· Se descompone en (tangencial) y (radial) Como
,
Como son amplitudes muy chicas
2
2 ·· Deducción de la variación de presión de un fluido en reposo
Suponemos un cuerpo sumergido en un fluido en reposo. El elemento tiene una altura , las superficie inferior y superior tiene un área . Sabiendo que el volumen del elemento es
···· ··0 ·····0 ··0 ·· ·· Como el fluido está en reposo:
Segunda Ley de Newton Dividiendo por el área
Deducción de la ecuación de continuidad
· · · · · · · · · · · ·
La masa total es constante Al ser un fluido incompresible
·
(caudal)
Deducción del Teorema de Bernoulli
· · · · ·· · · · · ·· · ··· ·· ·· 2 2 · 2 · · 2 · · · ··· ·2 ·2 ·· · · ·· 2 ·· 2
El trabajo de la fuerza de presión en 1 El trabajo de la fuerza de presión en 2 El trabajo efectuado por el sistema para elevar el fluido
·· ·
Fórmulas
·sin2 − ; ; ; ; − − > . . . c os →á: 0⟹ Colisiones →á: ≠0 →á: ′ ′ ⏟á0 ≤ ≤ Eá⏟1 ∑(∑ ·) ∑(∑ ·) ⃗×⃗ · } ⃗ · · · · × ··· × ·⃗ ·sin ′′′··cos · ·sin · 2 1
Péndulo Simple
Péndulo Físico
Ondas Mecánicas
2 21 · 2 ·· 2 · ·· ·· 2 ·· · · ·· 2 ·· 2 ·sin· 2 ;·sin·· ;·sin·· 2··sin· ·cos· ó · 2· 2 Número de Onda 2 Frecuencia Angular Posición del nodo ·2
Gravitación
2 · · + ·· ℎ · · √ 2 ·· · é ó · 3 · 4
