DEMOSTRACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE LOS MCO (1)

DEMOSTRACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE LOS MCO 

Este trabajo tiene como objetivo principal presentar la demostración de la fórmula de los Mínimos Cuadrados Ordinarios mediante Ecuaciones normales, Derivadas Parciales y Método de las Desviaciones puesto que es esencial saber de donde provienen las diversas formulas utilizadas para el cálculo de los mismos, sin embargo, no se pretende ser objeto  de guía mas bien de referencia y ayuda.

Partiendo del siguiente modelo hipotético 

              

Despejando el termino de error 

    

Donde la denominaremos minimzando los errores tenemos,

, elevando al cuadrado y 

          

Derivando parcialmente con respecto a

  ,

                                       

Félix Casares C.

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                 Por definición de sumatorias se sabe que

   

, entonces

                     Derivando parcialmente con respecto a

  ,

                                                                            

Con estas bases resulta sencillo el cálculo de los parámetros mediante las Ecuaciones Normales así como también mediante la las derivadas parciales y el método de las desviaciones, todos estos explicados a continuación.

Ecuaciones Normales Se procede a armar un sistema variables es igual a n ecuaciones

ecuaciones

en

el

cual

n

                                      Félix Casares C.

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Donde se debe prestar atención a lo que nos pide cada ecuación y recordad ciertas propiedades básicas de las Sumatorias.

Método por despeje 

Como se puede observar, este sistema de ecuaciones permitirá mediante manipulación algebráica estimar parámetros de la siguiente forma.

nos los

 

Dada la ecuación 1, por conveniencia se procede multiplicar  por  cada uno de los factores.

                           Dada la ecuación 2, por conveniencia se procede a multiplicar  por n cada uno de los factores .

                      Por tanto, se está en condición de eliminar el parámetro  réstese 5 de 4

                                           



                               Félix Casares C.

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i factorizamos la expresión resultante tenemos lo siguiente S 

                           Despejando el parámetro requerido 

      De la ecuación 1 podemos obtener dividiendo los factores para n

el

parámetro

restante

                                     

Método de las desviaciones Este método representa las desviaciones con respecto a las medias muestrales y simplifican considerablemente los cálculos aritméticos

Félix Casares C.

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                                         

Suponiendo que , de la formula estimada en apartado  anterior, divídase para cada uno de los términos.

          Donde

        y 

L.Q.Q.D 

Félix Casares C.

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