UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA, METALURGICA METALURGICA Y GEOGRAFICA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
Relación de Poisson.- Ley de Hooke generalizada.Dilatación.- Deformación por corte.- Relación entre E, y G.- Materiales compuestos.
Ing. Omart Tello Malpartida
Relacion de Poisson • Para una barra delgada sometida a carga axial: ε x =
σ x E
σ y = σ z = 0
• El alargamiento en la direccion x esta acompañada por una contraccion en las otras direcciones. Suponiendo que el material es isotropico ( sin dependencia de direccion), ε y = ε z ≠ 0 • El coeficiente de Poisson se define como: ν =
deformacion unitaria lateral deformacion unitaria axial
=−
ε y ε x
=−
ε z ε x
Ley de Hooke Generalizada • Para un elemento sometido a carga multi-axial, los componentes de deformación normales resultantes de los componentes del esfuerzo puede ser determinado a partir del principio de superposición. esto requiere : 1) Cada efecto esta linealmente relacionado con la carga que lo produce. 2) La deformacion resultante es pequeña • Con estas restricciones: σ x
ε x = + ε y = − ε z = −
−
E νσ x
E νσ x E
νσ y
+ −
E σ y
−
E νσ y E
−
νσ z E νσ z
+
E σ z E
Dilatación: Módulo de compresibilidad • Relacionado la condición de no esfuerzo, el cambio de volumen es: e = 1 − (1 + ε x ) (1 + ε y ) (1 + ε z ) = 1 − 1 + ε x + ε y + ε z
= ε x + ε y + ε z 1 − 2ν (σ x + σ y + σ z ) E = dilatacion (cambio de volumen por unidad de volumen)
=
• Para elemento sometido a la presión hidrostática uniforme, 3 (1 − 2ν ) p e = −p k =
E E
3 (1 − 2ν )
=−
k
= modulo de compresion
• Sometido a una presión uniforme, la dilatación debe ser negativo, por lo tanto 0 < ν < 12
Deformación por Corte • Un elemento cúbico sometido a un esfuerzo de corte se deformará en un romboide. La deformación de corte correspondiente se cuantifica en términos del cambio en el ángulo entre los lados, τ xy = f γ xy
• Un gráfico de esfuerzo de corte frente a deformación de corte es similar a los diagramas anteriores de esfuerzo normal y deformación normal, excepto que los valores de resistencia son aproximadamente la mitad. Para pequeñas deformaciones, τ xy
= G γ xy
τ yz
= G γ yz
τ zx
= G γ zx
Donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte.
Ejemplo 2.0
Un bloque rectangular de material con módulo de rigidez G = 90 ksi está unido a dos placas horizontales rígidas. La placa inferior es fija, mientras que la placa superior se somete a una fuerza horizontal P. Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 in bajo la acción de la fuerza, determinar : a)
La deformación unitaria promedio a corte del material.
b)
La fuerza P ejercida sobre la placa superior.
Relacion entre
E,
ν , y G • Una barra delgada cargada axialmente se alargará en la dirección axial y contrae en las direcciones transversales. • Un elemento cúbico inicialmente orientado como la figura superior se deforma en un paralelepípedo rectangular. La carga axial produce una deformación normal. • Si el elemento cúbico está orientada como en la figura inferior, se deformará en un rombo. La carga axial causa una deformación por corte en el elemento. • Los componentes de esfuerzo normal y de corte están relacionados, E
2G
= (1 + ν )
Materiales Compuestos • Materiales compuestos reforzados con fibra se forman
a partir de lámina de fibras de grafito, vidrio, o polímeros incrustadas en una matriz de resina. •
Los esfuerzos normales están relacionadas por la ley de Hooke, pero con diferentes módulos de elasticidad dependientes de elasticidad en cada dirección, E x
=
σ x ε x
E y
σ y =
ε y
E z
=
σ z ε z
• Contracciones transversales están relacionados por valores direccionalmente dependientes de la relación de Poisson, por ejemplo, ν xy = −
ε y ε x
ε ν xz = − z ε x
• Los materiales con propiedades mecánicas direccionalmente dependientes son anisotrópicas.
Ejemplo 1.0
a)
b)
Para la carga axial mostrada en la figura, determinar el cambio de altura y el cambio de volumen del cilindro de latón mostrado. Resuelva el problema del inciso a. suponiendo que la carga es hidrostática con σx = σy = σz = -80 Mpa
a)
Para la carga axial mostrada en la figura, determinar el cambio de altura y el cambio de volumen del cilindro de latón mostrado.
b)
Resuelva el problema del inciso a. suponiendo que la carga es hidrostática con σx = σy = σz = -80 Mpa
Esfuerzo Hidrostático
No
No
sepuedemostrarl a imagen en estemomento.
sepuedemostrarl a imagen en estemomento.
Ejemplo 2.0
Un bloque rectangular de material con módulo de rigidez G = 90 ksi está unido a dos placas horizontales rígidas. La placa inferior es fija, mientras que la placa superior se somete a una fuerza horizontal P. Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 in bajo la acción de la fuerza, determinar : a)
La deformación unitaria promedio a corte del material.
b)
La fuerza P ejercida sobre la placa superior.
SOLUCIÓN:
• Se determina la deformación angular media o deformación tangencial del bloque. γ xy ≈
tan γ xy
=
0.04 in. 2 in.
γ xy = 0.020 rad
• Aplicando la ley de Hooke se determina el esfuerzo correspondiente. τ xy = Gγ xy =
90 ×103 psi (0.020 rad ) = 1800 psi
• Utilizando la definición de esfuerzo cortante, se calcula la fuerza P. P = τ xy A = (1800 psi )(8 in.)(2.5 in.) = 36 × 10
3
lb
P = 36.0 kips
Ejemplo 3.00
Un círculo de diámetro d = 9 in, cuyo espesor es t = 3/4 in, se marca en una placa de aluminio sin esforzar. Las fuerzas que actúan después en el plano de la placa causan esfuerzos normales σx = 12 ksi y σz = 20 ksi. Para E = 10x106 psi y ν = 1/3, determinar el cambio en: a) La longitud del diámetro AB, b) La longitud del diámetro CD, c) El espesor de la placa, y d) El volumen de la placa.
SOLUCIÓN: Se aplica la Ley de Hooke generalizada • Calculo del cambio de longitud. para encontrar las deformaciones en δ B A = ε x d = + 0.533 × 10 −3 in./in. (9 in.) cada una de las direcciones coordenadas −3 σ νσ y νσ z ε x = + x − − E E E
=
1 1 ( ) ( ) 12 ksi 0 20 ksi − − 3 10 ×106 psi
= +0.533 ×10−3 in./in. ε y = −
νσ x E
+
σ y E
= −1.067 × 10
ε z = −
νσ x E
−
− −3
νσ y E
= +1.600 ×10
νσ z E
in./in.
σ + z
−3
E
in./in.
δ B A = +4.8 ×10
in.
δ C D = ε z d = + 1.600 ×10 −3 in./in. (9 in.) δ C D = +14.4 × 10−3 in. δ t = ε yt = − 1.067 × 10−3 in./in. (0.75 in.) δ t = −0.800 × 10−3 in.
• Volumen de la placa. −3 3 3 e = ε x + ε y + ε z = 1.067 ×10 in /in
∆V = eV = 1.067 × 10
−3
(15 ×15 × 0.75)in 3
∆V = +0.187 in
3
¿ Preguntas ?
