DEFORMACION POR EL METODO DE VERESCHAGUIN.docx

DEFORMACION POR EL METODO DE VERESCHAGUIN El método de Verescha!"# es !# $roced"m"e#to "m$orta#te % m!% r&$"do $ara calc!lar de'e("o#es e# $!#tos l")res de s"stemas el&st"cos l"#eales* El método se )asa e# !#a $ro$"edad de la "#teral de+#"da del $rod!cto de dos ,!#c"o#es % e# el Se!#do Se !#do Teorema Teorema de Cast"l"a#o* b

•

Pro$"edad de

∫ f  ( ( x ) g ( x x ) dx a

Sea# , %  dos ,!#c"o#es "#tera)les e# -a. )/. !#a de las c!ales es ,!#c"0# l"#eal* b

Re1!er"mos calc!lar  I =∫ f  ( ( x ) g ( x ) dx * a

Escoemos  $ara de+#"r la ,!#c"0# l"#eal2 3(4 5 A( 67 Sea 3(45 A(67 3,!#c"0# l"#eal4 Re1!er"mos calc!lar2 b

∫

 I = ( Ax + B ) f  ( ( x ) dx * 384 a

 I = A

b

b

a

a

∫ x f  ( ( x ) dx + B ∫ f  ( ( x ) dx

*

La $r"m $r"mer era a "#te #tera rall s"#" "#"+c +ca a el Mome#to Est&t"co del &rea l"m"tada $or la r&+ca de , e# el "#ter9alo  y -a* )/. res$ecto del e:e de orde#adas %2 Ql

El se!#do s!ma#do "#teral 37 $or coe+c"e#te4 s"#"+ca el &rea )a:o la r&+ca de , e# el "#ter9alo -a. )/2  y

 A Q l + B Al *

Pero

 A A l ( x  x ) + B A l

.

 A l ( Ax + B )=¿

 y

Ql = Al 3(4* (4*

e($res"0#

1!e

 A l *

L!eo

=¿ *

 I 

Por lo lo ta# ta#to o)t o)te#em emo os $!ede

escr")"rse

 A l g ( x )

Co# lo c!al ha s"do $os")le e9al!ar la "#teral I. de+#"da e# 384

=¿ *

 I 

b

∫

 I = f  ( x ) g ( x ) dx

Por

la

a

$ro$"edad esta)lec"da2

=¿ * A l g ( x ) * Do#de  A l  es

 I 

el &rea de la re"0# del $la#o (.% l"m"tada $or la r&+ca de , e# el "#ter9alo -a. )/  x

es la a)sc"sa del ce#tro de ra9edad de la re"0# c!%a &rea es  A l  x

3(4 es el 9alor de la ,!#c"0# l"#eal  $ara ( 5 NOTA2 S" am)as ,!#c"o#es so# l"#eales. la $ro$"edad es co#m!tat"9a 2  A l g ( x ) 5 A l f ( x )

•

Calc!lo de de'e("o#es Co#s"deremos !#a 9"a s"m$leme#te a$o%ada. de lo#"t!d L5 a6). c!%a r""de; 'e("o#al es co#sta#te  EIz somet"da a 'e("0# $or acc"0# de la cara 9ert"cal P* Determ"#amos la e#er4 ?- @-a  Tramo C7 M53P)(=L4P3(a4 3B4   A-(-a6)  Pbx  L 2 (¿− P ( x −a )) dx a

∫ 0

2

2

2

 P b  x dx + 2  L U =

1

a+ b

∫¿

 ¿

2 EIz

0

A$l"ca#do el se!#do teorema de cast"l"a#o. e#co#tramos la 'echa e# el ∂U  c ∆v 5 ∂ P *Rem$la;a#do U te#emos*

$!#to C .

 Pbx  L 2 bx ((¿− P ( x −a )) )(  −( x −a )) dx  L a

∫ 0

❑

2

l

2

 P b  x dx + ¿ 2  L 0

∫

1

c

 ¿ ∆ v=  EIz

E($res"0# 1!e $!ede ser reescr"ta de la ma#era s"!"e#te  Pbx  L (¿− P ( x − a ) ) 1 ( bx −( x − a)) dx  EIz  L a

∫ 0

¿

l

 Pbx 1 bx dx + ¿  L EIzL 0

∫

c

∆v =¿

El term"#o

 Pbx 1  L  EIz

se de#om"#a mome#to 'ector red!c"do e# el tramo

AC El term"#o

bx  L  es la der"9ada $arc"al

El term"#o

 Pbx − P ( x − a ) ¿   se de#om"#a mome#to 'ector red!c"do e# el  L

c

∆ v e# el tramo AC*

tramo C7 El term"#o

bx  −( x −a )  L  es la der"9ada $arc"al

¿

∂ M  ∂ P  e# el tramo C7*

N0tese 1!e las der"9adas $arc"ales del mome#to 'ector co# res$ecto a la ,!er;a P. e# cada caso $!ede# e#co#trarse a $art"r de las ec!ac"o#es de mome#to 'ector 3ec!ac"o#es 3>4 % 3B44 Hac"e#do e# ellas P5> e# co#sec!e#c"a. estas der"9adas $arc"ales $!ede# ser determ"#adas eométr"came#te co#str!%e#do !# d"arama de mome#to 'ector $or cara

!#"tar"a 3a$l"cada e# el $!#to de "#terés % e# la d"recc"0# de la ,de'e("0# )!scada42

De)"do a 1!e los mome#tos 'ectores $or cara !#"tar"a e# todos los casos de+#e# ,!#c"o#es l"#eales. s"em$re $odr& ser a$l"cada la $ro$"edad esta)lec"da e# la secc"0# a#ter"or $ara e9al!ar las "#terales 1!e determ"#a# la de'e("0# )!scada*

•

Metodolo
>* De+#"c"0# del $ro)lema  A

∆v =

 A

∆v =

∂ U  ∂P



M  ∂ M  dx ∑∫  EIz ∂P

384

Los térm"#os del t"$o M=EI; s"#"+ca# los mome#tos 'ectores red!c"dos e# los d",ere#tes tramos t<$"cos* Los térm"#os

∂ M  ∂ P  s"#"+ca# los mome#tos 'ectores $or cara !#"tar"a e#

cada !#o de los d",ere#tes tramos t<$"cos* B* Mome#tos 'ectores reales red!c"dos % $or cara !#"tar"a

E# todos estos d"aramas de)e res$etarse el s"#o corres$o#d"e#te. de ac!erdo al co#9e#"o de s"#os $ara el mome#to 'ector De ac!erdo co# 384 la de'e("0# )!scada es

 A

∆v =

M   mdx ∑∫  EIz

 s"e#do

m !#a ,!#c"0# l"#eal 31!e hace las 9eces de la ,!#c"0#  e# la $ro$"edad esta)lec"da a#ter"orme#te4

* Por la $ro$"edad esta)lec"da el c&lc!lo de la de'e("0# se tra#s,orma e# ∆ v = A 1 m ( x1 ) + A 2 m ( x 2) . e# la c!al  A

 A 1

%

 A 2

est&# co# s!

res$ect"9o s"#o*

E# e#eral. el c&lc!lo de las de'e("o#es t"e#e la ,orma

 A 1 m(¿ x 1 ) ∆=

∑¿

.

s"e#do el #mero de s!ma#do "!al al #mero de re"o#es a$ro$"adas e# las 1!e se ha# d"9"d"do am)os d"aramas 2 Mome#tos 'ectores red!c"dos % Mome#tos 'ectores $or cara !#"tar"a* El método de Verescha!"# es tam)"é# co#oc"do como el Método de la m!lt"$l"cac"0# de los d"aramas de mome#to* P!ede e#eral";arse $ara el c&lc!lo de de'e("o#es $or otros e,ectos como cara a("al. caras de tors"0#. etc* EEMPLOS >4 Calc!lar la 'echa e# el $!#to A* Co#s"derar de,ormac"o#es #"came#te $or 'e("0#* S!$o#er co#sta#te de r""de; EI;* Determ"#amos los d"aramas de mome#tos 'ectores reales red!c"dos % $or cara !#"tar"a* reas2

2

3

2

3

2 Lw L

= w L  ;  A  1 = 24  EIz 3 (2 ) ( 8 ) EIz 2 Lw L

= wL 2  A  2 = 3 ( 2 ) ( 8 ) EIz 24  E I 

M!lt"$l"cac"0# de d"aramas2 U)"cac"0# de los ce#tro"des2  x 1=

5 L 16

 x 2 = L=

5 L 16

=

11 L 16

Valores de los mome#tos $or cara !#"tar"a2 m ( x 1 )=

5 L 32

m ( x 2 )=

5 L 32

3Todos los d"aramas ta#to de mome#tos 'ectores reales as" como los mome#tos $or cara !#"tar"a. so# $os"t"9os4 Rem$la;a#do e#

(¿ x )   te#emos ∆=∑ ¿

 A 1 m

1

4

 A V 

∆

wL 5 384 EIz   J e# el

se#t"do as"#ado a la cara !#"tar"a B4 Calc!lar el "ro e# el a$o%o ";1!"erdo e# la 9"a del e:em$lo a#ter"or* El d"arama de mome#tos 'ectores reales % el d"arama de mome#tos red!c"dos #o cam)"a#* Solame#te cam)"ara el d"arama de mome#tos $or cara !#"tar"a*

El "ro del $!#to 7 es  x  A 1 m(¿¿ 1) θ B=¿

* 2

2 Lw L

L!eo 3

= w L . e# θB = 3 8 EIz 2 24  EIz se#t"do !#"tar"o*

del

mome#to