5.1 Definisi Bilangan Kabur Konsep bilangan kabur muncul dalam kehidupan sehari-hari yang dinyatakan dalam aplikasi teori kabur dalam bentuk besaran “kurang lebih 10 orang”, “kira“kira -kira 3 orang”,
ℝ
“sekitar 5 km”, dsb. Secara intuitif dapat diterima dit erima bahwa ungkapan “kurang lebih 10” dapat dapa t dinyatakan dengan suatu himpunan kabur pada semesta
, di manabilangan 10 mempunyai
derajat keanggotaan sama dengan 1, bilangan 1, dan semakinjauh bilangan itu dari 10 derajat keanggotaannya semakin mendekati 0.
ℝ
Secara formal bilangan kabur didefinisikan sebagai himpunan kabur dalam semesta himpunan kabur dalam semesta himpunan semua bilangan real berikut:
yang memenuhi empat sifat
1. Normal 2.
Mempunyai pendukung yang terbatas
3.
Semua potongan-α potongan- α-nya adalah selang tertutup dalam
4.
Konveks
ℝ
Suatu bilangan kabur bersifat kabur bersifat normal, sebab bilangan kabur “kurang lebih ” seyogyanya mempunyai fungsi keanggotaan yang nilainya sama dengan 1 untuk x = α. Ketiga sifat lainnya diperlukan untuk dapat mendefinisikan operasi-operasi aritmatik (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) pada pada bilangan-bilangan kabur. Bilangan kabur yang paling banyak dipakai dalam aplikasi adalah bilanagn kabur dengan fungsi keanggotaan segitiga, yang disebut bilangan kabur segitiga, segitiga , dan bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan trapesium, yang disebut bilangan kabur trapesium. trapesium . Jelas bahwa kedua jenis bilangan kabur tersebut memenuhi keempat sifat bilangan kabur seperti didefinisikan di atas. Contoh 5.1.1: bilangan
kabur “kurang lebih 6” dapat dinyatakan sebagai himpunan kabur kabur
dengan fungsi keanggotaan segitiga sebagai berikut:
1
6
0 6 Gambar 5.1.1.
Bilangan kabur
6
R
6
5.2 Operasi-operasi pada Bilangan Kabur
ℝ
ℝ×
Seperti halnya pada bilangan tegas, pada bilangan kabur juga dapat didefinisikan operasi-
ℝ→ℝ
operasi aritmatik. Suatu operasi biner pada
pada dasarnya adalah suatu pemetaan f :
. Misalnya operasi penjumlahan dua buah bilangan real x dan y yang menghasilkan
bilangan real z , dapat dinyatakan dengan f ( x, y) = z atau biasa ditulis x + y = z . Kama pada
̃ ̃ ×
prinsip perluasan kita dapat mendefinisikan operasi biner untuk bilangan-bilangan kabur. Misalkan dan adalah dua buah bilangan kabur dalam semesta
ℝ
. Maka terbentuk
ℝ × ℝ ℝ × ℝ → ℝ ̃ ̃ ℝ ̃+ (,) = ̃+ + = ̃ ̃ ̃ ℝ ̃− (,) = ̃+ − = ̃ ̃ ̃ ̃ −̃ ̃ −̃ −= 1 ̃ ̃ ̃+ +̃ = ̃ 1 ̃ ̃− +̃ = ̃ 1 ̃ ̃ . ℝ himpunan kabur
dalam semesta
nyatakan dengan pemetaan f :
. Misalkan operasi penjumlahan tegas kita
dengan dengan f ( x, y) = z atau x + y = z . Dengan
prinsip perluasan kita definisikan penjumlahan dan , yaitu dalam semesta
, sebagai bilangan kabur
dengan fungsi keanggotaan
( z ) =
( x, y)
=
min {
( x),
( y)}.
Demikian pula operasi pengurangan bilangan-bilangan kabur dan , yaitu bilangan kabur dalam semesta ( z ) =
, adalah
dengan fungsi keanggotaan
( x, y)
=
min {
( x),
( y)}.
bila bilangan kabur negatif dari , yaitu - , kita definisikan sebagai 0- , maka fungsi keanggotaannya adalah ( z ) = =
( x) =
min { ,
( x)}
(-z )
Bila b adalah suatu bilangan real tegas, maka
adalah bilangan kabur dengan fungsi
keanggotaan ( z ) = =
Dan
min {
( x), }
( z-b)
adalah bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan
( z ) = =
min {
( x), }
( z+b)
Perkalian bilangan kabur dan , yaitu denganfungsi keanggotaan
, adalah bilangan kabur dalam semesta
̃. = ̃ ̃ ̃/ ℝ̃/ ̃ / = . . . = 1 ̃ 6 2 62 6 2 8 6 2 4 66 2 6. 2 6 / 2 ̃ 0 ≤ ≤≤ ̃ 0 ≤≤ ≤ 0 ≤ 0 ≤≤ℎ ≤≤ ℎ≤ ( z ) =
min {
( x),
( y)}.
Dan pembagian bilangan kabur dan , yaitu
, adalah bilangan kabur dalam semesta
dengan fungsi keanggotaan ( z ) =
min {
( x),
( y)}.
Bila a adalah suatu bilangan real tegas yang tidak sama dengan 0, maka
adalah bilangan
kabur dengan fungsi keanggotaan ( z ) = =
min { ,
( y)}
( z/a)
Contoh 5.2.1:
Diberikan himpunan-himpunan kabur dan sebagai berikut:
= 0.2/3 + 0.5/4 + 0.8/5 + 1.0/6 + 0.8/7 + 0.5/8 + 0.2/9 = 0.3/0 + 0.7/1 + 1.0/2 + 0.7/3 + 0.3/4
Maka:
= 0.2/3 + 0.3/4 + 0.5/5 + 0.7/6 + 0.8/7 + 1.0/8 + 0.8/9 + 0.7/10 + 0.5/11 + 0.3/12 + 0.2/13 =
= 0.2/-1 + 0.3/0 + 0.5/1 + 0.7/2 + 0.8/3 + 1.0/4 + 0.8/5 + 0.7/6 + 0.5/7 + 0.3/8 + 0.2/9 =
= 0.2/5 + 0.5/6 + 0.8/7 + 1.0/8 + 0.8/9 + 0.5/10 + 0.2/11
= 0.2/-9 + 0.5/-8 + 0.8/-7 + 1.0/-6 + 0.8/-5 + 0.5/-4 + 0.2/-3
= 0.3/0 + 0.2/3 + 0.5/4 + 0.7/5 + 0.7/6 + 0.7/7 + 0.5/8 + 0.2/9 + 0.8/10 + 1.0/12 + 0.8/14 + 0.7/15 + 0.5/16 + 0.7/18 + 0.3/20 + 0.7/21 + 0.5/24 + 0.2/27 + 0.3/28 + 0.3/32 + 0.2/36
= 0.2/0.75 + 0.3/1 + 0.3/1.25 + 0.5/1.33 + 0.3/1.5 + 0.7/1.66 + 0.3/1.75 + 0.7/2 + 0.2/2.25 + 0.7/2.33 + 0.8/2.5 + 05/2.66 + 1.0/3 + 0.8/3.5 + 0.5/4 + 0.2/4.5 + 0.7/5 + 0.7/6 + 0.7/7 + 0.5/8 + 0.2/9
Bila dan adalah bilangan-bilangan kabur segitiga dengan fungsi keanggotaan Untuk
( x) = Segitiga ( x; c, d, e) =
Untuk
Untuk
Untuk
Untuk
( x) = Segitiga ( x; c, d, e) =
Untuk
Untuk
Untuk
∈
≤ ≤ ≤ ≤ ̃ −− −− () () ≤( ) ≤ ≤≤ (+−()−+)(+) −(+) ̃ 12 ̃ (+)−(+) ̃ 3 ≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤ℎ ̃ 3 ̃ 3 ℎℎ () ℎ(ℎ) 3 ≤ℎ( ℎ) ≤ℎ ≤≤ℎ (+(+)−()−+) (+)− ̃ 12 ̃ (+)−(+) ̃+̃ ≤ ≤ℎ ≤≤ ≤≤ℎ 0 ≤ −(+) ≤≤ ̃ ((+)+)(+)−−((−+)+) ≤≤ℎ { 0 ℎ≤ Maka untuk suatu α [0,1], terdapat
dan
dengan
dan
sedemikian sehingga
(
)=
(
)=α
Yaitu
=
Sehingga
=α
dan
. Misalkan
, maka
.
Jadi untuk
, berlaku
( x) =
Dengan mengingat bahwa
, sehingga
min {
( x) dan
(
),
(
)}=
( x) naik monoton untuk
berturut-turut. Demikian pula terdapat
dan
dengan
dan
dan
sedemikian sehingga
(
)=
(
)=α
Yaitu
Sehingga
dan
Jadi untuk
. Misalkan
, berlaku
( x) =
Dengan mengingat bahwa
berturut-turut. Jelas bahwa
, sehingga
min {
( x) dan
(
Untuk Untuk
Untuk
Untuk
= Segitiga ( x; c + f, d + g, e + h)
),
(
)}=
( x) naik monoton untuk
( x) = 0 untuk
( x) =
, maka
atau
dan
. Maka diperoleh
