Decodificador Binario a Hexadecimal con Display 7 Segmentos y Compuertas Lógicas

2014

Universidad Autónoma de San Luis Potosí Facultad de Ingeniería Área de Computación e Informática Tarea: Reporte de Proyecto Final Fecha de Entrega: 01/12/2014 Profesor: Dr. Francisco Edgar Castillo Grupo: 296405 Alumno: Erick Garrigos Carrera: Ingeniería en Computación Semestre: 2014-2015/I

Introducción a los Circuitos Lógicos Decodificador de Binario a Hexadecimal

Introducción a los Circuitos Lógicos

2014

Índice  Apéndice……………………………………………………67  Bibliografía…………………………………………………68 Parte Teórica  Introducción…………………………………………………3  Objetivos………..……………………………………………4  Conversión de Sistemas Numéricos……………4  Los Circuitos Lógicos…………………………………..9  El Álgebra de Boole……………………………………11  Teoremas del Álgebra de Boole…………...….13  Leyes de De Morgan…………………………...…..15  Funciones Booleanas…………………………………16  La Tabla de Verdad……………………………………19  Mapas de Van Karnaugh……………………………20  Compuertas Lógicas………………………………….23  Compuerta AND………………………………………..24  Compuerta NAND………………………………………26  Compuerta OR…………………………………………..28  Compuerta NOR………………………………………..29  Compuerta NOT………………………………………..30  Compuerta XOR………………………………………..31  Equivalencia de Compuerta NOR………………32  Equivalencia de Compuerta NAND……………34  El Display de 7 Segmentos……………………….35 1

Universidad Autónoma de San Luis Potosí


2014

 La Protoboard……………………………………………37  Resistencias………………………………………………39  Fuente de Poder………………………………………..41 Parte Práctica  Introducción………………………………………………42  Realizando la tabla de verdad………………….42  Utilizando los mapas de Van Karnaugh para Simplificar…………………………………………44  Obteniendo las Funciones Booleanas………47  Reduciendo las funciones por medio del Álgebra………………………………………………………49  Instalando el material para comenzar……..52  Realizando el cableo de funciones……………55  Comprobando el funcionamiento……………..63

2



2014

-Parte TeóricaIntroducción En ésta práctica se llevará a cabo un decodificador electrónico que muestre en un display de 7 segmentos los números hexadecimales a partir de números binarios. Para ello se utilizarán los principios del Álgebra de Boole, el uso de compuertas lógicas y el uso práctico de los circuitos lógicos electrónicos. Un circuito Lógico es cualquier circuito que se comporta de acuerdo con un conjunto de reglas lógicas. Maneja la información en forma de "1" y "0", dos niveles lógicos de voltaje fijos. "1" nivel alto o "high" y "0" nivel bajo o "low". Los circuitos lógicos están compuestos por elementos digitales como las compuertas lógicas, que son una serie de condiciones que ayudan a manejar el flujo de la información. Más adelante se detallarán. El Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemáticas, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Más adelante se detallarán éstos conceptos. Los números hexadecimales se componen de 16 caracteres que representan cada uno un número del 0 al 15, por ello su nombre (hexa: seis, deci: diez, diez más seis es igual a diez y seis), estos utilizan los números del sistema decimal del 0 al 9, pero debido a que el número 10 ya cuenta como la unión de dos caracteres diferentes, se toman en cuenta letras a partir de la A a la F, cada una representará un número. Mientras tanto, los números binarios se componen únicamente de dos caracteres, que son el 0 y el 1, los cuales, como en el sistema numérico decimal y hexadecimal, es posicional y cada posición representa una potencia, en el caso del binario se potencia a base 2.

3



2014

Objetivos  Comprender la representación binaria y hexadecimal, realizar las operaciones básicas y conversiones de números entre éstas bases.  Identificar los principales elementos de conmutación, y la lógica de operación, Conocer los elementos básicos de circuitos lógicos integrados  Aplicar la lógica binaria, el álgebra Booleana y los mapas de Van Karnaugh, para la simplificación de funciones booleanas.  Desarrollar una aplicación práctica.

Conversión de Sistemas Numéricos Un sistema numérico son un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar datos numéricos o cantidades. Se caracterizan por su base que indican el número de símbolos distinto que utiliza y además es el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe. Estas cantidades se caracterizan por tener dígitos enteros y fraccionarios. El sistema decimal es el sistema que manejamos cotidianamente, está formado por diez símbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} por lo tanto la base del sistema es diez (10). El sistema binario es el sistema que utiliza internamente el hardware de las computadoras actuales, se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígitos del sistema). Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit). Se puede utilizar con nombre propio determinados conjuntos de dígitos en binario. Cuatro bits se denominan cuaterno (ejemplo: 1001), ocho bits octeto o byte (ejemplo: 10010110), al conjunto de 1024 bytes se le llama Kilobyte o simplemente K, 1024 Kilobytes forman un megabyte y 1024 megabytes se denominan Gigabytes. También es utilizado en la electrónica de circuitos lógicos.

4



2014

El sistema numérico hexadecimal utiliza dieciséis dígitos y letras para representar cantidades y cifras numéricas. Los símbolos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; la base del sistema es dieciséis (16). También se puede convertir directamente en binario como se verá más adelante. Conversión De Un Numero Decimal A Binario Para esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo: Transformemos el numero 42 a numero binario. 1. Dividimos el número 42 entre 2 2. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo procedimiento hasta que el cociente sea 1. 3. El numero binario lo formamos tomando el primer dígito el ultimo cociente, seguidos por los residuos obtenidos en cada división, seleccionándolos de derecha a izquierda, como se muestra en el siguiente esquema.

Conversión De Un Numero Decimal Fraccionario A Un Numero Binario Para transformar un número decimal fraccionario a un número binario debemos seguir los pasos que mostramos en el siguiente ejemplo: transformemos el número 42,375. 1. la parte entera se transforma de igual forma que el ejemplo anterior. 2. La parte fraccionaria de la siguiente manera:

5



2014

Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que irá formando el numero binario correspondiente Tomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte fraccionaria la multiplicamos sucesivamente por 2 hasta llegar a 0 Tomamos nuevamente la parte entera, y como la parte fraccionaria es 0, indica que se ha terminado el proceso. El numero binario correspondiente a la parte decimal será la unión de todas las partes enteras, tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso del proceso , en donde el primer dígito binario corresponde a la primera parte entera , el segundo dígito a la segunda parte entera , y así sucesivamente hasta llegar al último .Luego tomamos el numero binario , correspondiente a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la parte fraccionaria y lo unimos en un solo número binario correspondiente a el numero decimal.

Conversión De Un Número Binario A Un Numero Decimal Para convertir un número binario a decimal, realizamos los siguientes pasos: 1. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamente unos 2. Sumamos los valores de posición para identificar el numero decimal equivalente 6



2014

Conversión De Un Numero Decimal A Octal Para convertir un número en el sistema decimal al sistema de numeración Octal, debemos seguir los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo: convertir el número decimal 323.625 al sistema de numeración Octal. 1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, para colocar entonces el número 0 y pasar el dividendo a formar el primer dígito del número equivalente en decimal 2. Se toma la parte fraccionaria del número decimal y la multiplicamos por 8 sucesivamente hasta que el producto no tenga números fraccionarios 3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dígito correspondiente 4. Al igual que los demás sistemas, el número equivalente en el sistema decimal, está formado por la unión del numero entero equivalente y el numero fraccionario equivalente.

7



2014

Conversión De Un Numero Octal A Binario La ventaja principal del sistema de numeración Octal es la facilidad con que pueden realizarse la conversión entre un numero binario y octal. A continuación mostraremos un ejercicio que ilustrará la teoría. Por medio de este tipo de conversiones, cualquier numero Octal se convierte a binario de manera individual. En este ejemplo, mostramos claramente el equivalente 100 111 010 en binario de cada número octal de forma individual.

Conversión De Un Numero Decimal A Un Numero Hexadecimal Convertir el número 250.25 a Hexadecimal 1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el numero decimal 16 (base) hasta que el cociente sea 0 2. Los números enteros resultantes de los cocientes, pasarán a conformar el número hexadecimal correspondiente, teniendo en cuenta que el sistema de numeración hexadecimal posee solo 16 símbolos, donde los números del 10 hasta el 15 tienen símbolos alfabéticos que ya hemos explicado 3. La parte fraccionaria del número a convertir se multiplica por 16 (Base) sucesivamente hasta que el producto resultante no tenga parte fraccionaria 4. Al igual que en los sistemas anteriores, el número equivalente se forma, de la unión de los dos números equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que establece la diferencia entre ellos.

8



2014

Conversión De Un Numero Hexadecimal A Un Numero Decimal Como en los ejemplos anteriores este también nos ayudará a entender mejor este procedimiento: Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su equivalente decimal. 1. Multiplicamos el valor de posición de cada columna por el dígito hexadecimal correspondiente. 2. El resultado del número decimal equivalente se obtiene, sumando todos los productos obtenidos en el paso anterior.

Los Circuitos Lógicos Los circuitos lógicos están compuestos por elementos digitales como la compuerta AND (Y), compuerta OR (O), compuerta NOT (NO) y combinaciones poco o muy complejas de los circuitos antes mencionados. Estas combinaciones dan lugar a otros tipos de elementos digitales como los compuertas, entre otros. -

compuerta nand (No Y) compuerta nor (No O) compuerta or exclusiva (O exclusiva) mutiplexores o multiplexadores demultiplexores o demultiplexadores 9



-

2014

decodificadores codificadores memorias flip-flops microprocesadores microcontroladores etc.

La electrónica moderna usa electrónica digital para realizar muchas funciones. Aunque los circuitos electrónicos podrían parecer muy complejos, en realidad se construyen de un número muy grande de circuitos muy simples. En un circuito lógico digital se transmite información binaria (ceros y unos) entre estos circuitos y se consigue un circuito complejo con la combinación de bloques de circuitos simples. La información binaria se representa en la forma de: (ver gráficos) - "0" ó "1", - "abierto" ó "cerrado" (interruptor), - "On" y "Off", - "falso" o "verdadero", etc.

Los circuitos lógicos se pueden representar de muchas maneras. En los circuitos de los gráficos anteriores la lámpara puede estar encendida o apagada ("on" o "off"), dependiendo de la posición del interruptor. (Apagado o encendido). Los posibles estados del interruptor o interruptores que afectan un circuito se pueden representar en una tabla de verdad.

10



2014

El Álgebra de Boole Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde fue extendido como un libro más importante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (también conocido como An Investigation of the Laws of Thought2 o simplemente The Laws of Thought3 ), publicado en 1854. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:  

Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos. Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relaciondos por dos operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.) ( la operación producto se indica generalmente mediante la ausencia de símbolo entre dos variables lógicos.) Cumplen las siguientes Propiedades: a) Ambas operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elemen tos del álgebra, se verifica: a+b=b+a 11

a.b=b.a



2014

b) Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones: 0+a=a

1.a=a

c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra: a . ( b + c) = a . b + a . c a+(b.c)=(a+b).(a+c) d) Para cada elemento a del álgebra existe un elemento denominado a , tal que: _ _ a+a=1 a.a=0 Este postulado define realmente una nueva operación fundamental que es la inversión o complementación de una variable. La variable a se encuentra siempre en un estado binario contrario al de a. La tabla de verdad de la inversión o complemento, es: _ a a 0 1 1 0 Físicamente son varios los conjuntos que poseen dos operaciones binarias que cumplen los postulados desarrollados. Ejemplo de estos conjuntos son el álgebra de las proposiciones o juicios formales y el álgebra de la conmutación formada también por elementos que pueden tomar dos estados perfectamente diferenciados. Los primeros circuitos de conmutación o lógicos utilizados, han sido los contactos que pueden ser empleados para memorizar más fácilmente las leyes del álgebra de Boole antes expresadas y los teoremas. La operación suma se asimila a la conexión en paralelo de contactos y la operación producto a la conexión en serie. El inverso de un contacto es otro cuyo estado es siempre el opuesto del primero, es decir está cerrado cuando aquél está abierto y viceversa. El elemento 0 es un contacto que está siempre abierto y el elemento 1 un contacto que está siempre cerrado. Además se considera una función de transmisión entre los dos terminales de un 12



2014

circuito de contactos, que toma el valor 1, cuando existe un camino para la circulación de corriente entre ellos (corto circuito) y el valor 0 si no existe dicho camino (circuito abierto).

Teoremas del Álgebra de Boole Teorema 1: Cada identidad deducida de los anteriores postulados del álgebra de Boole permanece válida si la operación + y . y los elementos 0 y 1 se intercambian entre sí. Este principio, llamado de dualidad, se deduce inmediatamente de la simetría de los cuatros postulados con respecto a ambas operaciones y ambos elementos neutros. Teorema 2: Para cada elemento a del álgebra de Boole se verifica: a+1=1 y

a.0=0

Teorema 3: Para cada elemento a del álgebra de Boole se verifica: a+a=a y 13

a.a=a



2014

Teorema 4: Para cada par de elementos del álgebra de Boole a y b se verifica: a + ab = a y

a ( a + b) = a

Teorema 5: En un álgebra de Boole, las operaciones suma y producto son asociativas. a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c a ( b c) = ( a b ) c = a b c Teorema 6: Para todo elemento a del álgebra de Boole se verifica: a=a

14



2014

Teorema 7: En toda álgebra de Boole se verifica: 1) a + b + c + d + ……… = abcd ____ 2) abcd…………………… = a + b + c + d Estas igualdades son denominadas Leyes de De Morgan.

Leyes de De Morgan Este teorema define realmente dos nuevas funciones lógicas de gran importancia que serán utilizadas como elementos básicos para la realización de los sistemas digitales. Estas dos funciones que realizan las expresiones (1) y (2), se denominan respectivamente NOR y NAND. Las tres funciones elementales: suma, producto e inversión lógica pueden ser realizadas mediante las funciones NOR y NAND. Aplicando el teorema de De Morgan tenemos: ___ _____ ___ _ _ ab = a b = a + b

_____ ____ ____ _ _ a+b= a+b = a b

La inversión se representa en general mediante un círculo; por lo tanto, los símbolos de la función NOR y NAND se deducen respectivamente de las funciones OR y AND añadiéndoles un circulo:

15



2014

Las funciones NOR y NAND de una sola variable constituyen la función de inversión. La realización de las funciones suma, producto e inversión con las funciones NOR y NAND se representan, mediante los símbolos estudiados.

Funciones Booleanas Una función de álgebra de Boole es una variable binaria cuyo valor es igual al de una expresión algebraica en la que se relacionan entre sí las variables binarias por medio de las operaciones básicas. Producto lógico, Suma lógica e Inversión. Se representa una función lógica por la expresión F = f (a,b,c,….); El valor lógico de f, depende de las variables a,b,c,…. Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma en la cual aparecen todas las variables en su forma directa o inversa. Al primero de ellos se le llama producto canónico (minterminos) y al segundo suma canónica (maxterminos). Por ejemplo: sea una función de tres variables f(a,b,c); el término abc es un producto canónico y el término a+b+c es una suma canónica. El número máximo de productos canónicos o sumas canónicas viene dado por las variaciones con repetición de dos elementos tomados de n en n. El número de productos o sumas canónicas de n variables es por lo tanto 2n. Para mayor facilidad de representación, cada término canónico, se expresa mediante un número decimal equivalente al binario obtenido al sustituir las variables ordenadas con un criterio determinado por un 1 o un 0 según aparezcan en su suma directa o complementaria respectivamente. Por ejemplo, los términos canónicos siguientes representarán: _ _ d c b a = 01102 = 610 _ _ d+c+b+a = 10102 = 1010 * La función lógica f(a,b,c) = a b c + a b c + a b c se podrá representa r por la expresión: f(a,b,c) = ∑ (2,3,5)

16



2014

En la cual el símbolo ∑ representa la suma lógica. _ _ _ _ * La función f(a,b,c) = (a+b+c) (a+b+c) (a+b+c) se puede representa r por: f(a,b,c) = ∏ (1,2,7) En la que ∏ indica el producto lógico. Cuando una función que se expresa como una suma de productos canónicos o un producto de sumas canónicas, se dice que se encuentra en forma canónica. Si se tiene la expresión canónica en forma de suma de productos, la expresión canónica de producto de sumas se obtiene mediante el complemento a 2n – 1 de los productos canónicos que no forman parte de la función. Por ejemplo, si: f = ∑ 3 (0,2,5) Para obtener la expresión como producto; se representa como f = ∏ 3 (0,1,3,4,6) Cuando una función lógica se presenta de una forma no canónica, su transformación en canónica resulta muy sencilla por procedimientos algebraicos. Si se desea obtener la expresión canónica en forma de suma de productos canónicos, se operará algebraicamente aplicando las propiedades distributivas del producto con respecto a la suma, hasta obtener una expresión de suma de productos no canónicos. Para convertir cada uno de estos productos en canónicos, se le multiplica por la suma de las variables que faltan en él y sus inversas. Ejemplo: _ _ Sea la función: f = a(b+c) + c Aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, resulta: _ _ f = ab + ac + c

17



2014

De acuerdo con lo explicado anteriormente: _ _ _ _ _ f = ab(c + c) + ac(b + b) + c(a + a) (b + b) Y aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, resulta: _ _ _ _ _ _ f = abc + abc + abc + abc + cab + (ca+ca)(b+b) Suprimiendo los términos repetidos, resulta: _ __ _ _ __ f = abc + abc + abc + abc + abc + a b c La función se puede expresar como: f = ∑ 3 (1,3,4,5,6,7) De igual forma, si se desea obtener la expresión canónica en forma de producto de sumas canónicas, se operará algebraicamente aplicando la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto hasta obtener una expresión de producto de sumas no canónicas. Para convertir cada una de estas sumas en canónicas, se le suma el producto de cada variable que falta en ella por su inversa. Ejemplo: _ _ f = a(b + c) + c Aplicando la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto: _ _ f = (a + c) (b + c + c) = a + c _ f = a + c + bb Y aplicando nuevamente la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto, tenemos:

18



2014

_ f = (a + b + c) (a + b + c) f = P3 (5,7)

La tabla de verdad La tabla de verdad es un instrumento utilizado para la simplificación de circuitos digitales a través de su ecuación booleana. Todas las tablas de verdad funcionan de la misma manera sin importar la cantidad de columnas que tenga y todas tienen siempre una columna de salida (la última columna a la derecha) que representa el resultado de todas las posibles combinaciones de las entradas. El número total de columnas en una tabla de verdad es la suma de las entradas que hay + 1 (la columna de la salida).

El número de filas de la tabla de verdad es la cantidad de combinaciones que se pueden lograr con las entradas y es igual a 2n, donde n es el número de columnas de la tabla de verdad (sin tomar en cuenta la columna de salida) Ejemplo: en la siguiente tabla de verdad hay 3 columnas de entrada, entonces habrán: 23 = 8 combinaciones (8 filas)

19



2014

Un circuito con 3 interruptores de entrada (con estados binarios "0" o "1"), tendrá 8 posibles combinaciones. Siendo el resultado (la columna salida) determinado por el estado de los interruptores de entrada. Los circuitos lógicos son básicamente un arreglo de interruptores, conocidos como "compuertas lógicas" (compuertas AND, NAND, OR, NOR, NOT, etc.). Cada compuerta lógica tiene su tabla de verdad. Si pudiéramos ver con más detalle la construcción de las "compuertas lógicas", veríamos que son circuitos constituidos por transistores, resistencias, diodos, etc., conectados de manera que se obtienen salidas específicas para entradas específicas La utilización extendida de las compuertas lógicas, simplifica el diseño y análisis de circuitos complejos. La tecnología moderna actual permite la construcción de circuitos integrados (ICs) que se componen de miles (o millones) de compuertas lógicas

Mapas de Van Karnaugh Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos. Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método. Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables.

20



2014

Se desarrolla la función lógica basada en ella. (Primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1". Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.

F = A B C + A B C + A BC + A B C + A B C + A B C Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh. Este mapa tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (número de variables (A, B, C)). Ver el diagrama arriba a la derecha. La La La La La La

primera fila corresponde a A = 0 segunda fila corresponde a A = 1 primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0) segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1) tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1) cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)

En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores de F = "1" en la tabla de verdad. Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh. Para proceder con la simplificación, se crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de 2). Los "1"s deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más "1"s tenga el grupo, mejor. 21



2014

La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos con el mayor número de "1"s en cada grupo Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se permite compartir casillas entre los grupos). La nueva expresión de la función booleana simplificada se deduce del mapa de Karnaugh. - Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los "1"s de la tercera y cuarta columna) corresponden a B sin negar) - Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los "1"s están en la fila inferior que corresponde a A sin negar)

Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B Ejemplo: Una tabla de verdad como la de la derecha da la siguiente función booleana:

Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando F = "1" Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno. Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se observa que hay una casilla que es compartida por los tres grupos. 22



2014

Compuertas Lógicas Las compuertas lógicas son bloques de construcción básica de los sistemas digitales; operan con números binarios, por lo que se les denomina puertas lógicas binarias. En los circuitos digitales todos los voltajes, a excepción de las fuentes de alimentación, se agrupan en dos posibles categorías: voltajes altos y voltajes bajos. Todos los sistemas digitales se construyen utilizando básicamente tres compuertas lógicas básicas, estas son las AND, OR y NOT; o la combinación de estas. ¿Qué es TTL? Acrónimo inglés de Transistor-Transistor Logic o Lógica Transistor a Transistor". Tecnología de construcción de circuitos electrónicos digitales, en los que los elementos de entrada de la red lógica son transistores, así como los elementos de salida del dispositivo. Características de los TTL La familia de circuitos integrados TTL tienen las siguientes características: - La tensión o voltaje de alimentación es de + 5 Voltios, con Vmin = 4.75 Voltios y Vmax = 5.25 Voltios. - Su fabricación es con transistores bipolares multiemisores. - La velocidad de transmisión entre los estados lógicos es su mejor ventaja, ciertamente esta característica le hacer aumentar su consumo. 23



2014

- Su compuerta básica es la NAND Familia de los Circuitos Lógicos Integrados

Compuerta AND La compuerta AND o Y lógica es una de las compuertas más simples dentro de la Electrónica Digital. Su representación es la que se muestra en las siguientes figuras.

La primera es la representación de una compuerta AND de 2 entradas y la segunda de una compuerta AND de 3 entradas. La compuerta Y lógica más conocida tiene dos entradas A y B, aunque puede tener muchas más (A,B,C, etc.) y sólo tiene una salida X. La compuerta AND de 2 entradas tiene la siguiente tabla de verdad.

24



2014

Se puede ver claramente que la salida X solamente es "1" (1 lógico, nivel alto) cuando la entrada A como la entrada B están en "1". En otras palabras... La salida X es igual a 1 cuando la entrada A y la entrada B son 1 Esta situación se representa en álgebra booleana como: X = A*B ó X = AB. Una compuerta AND de 3 entradas se puede implementar con interruptores, como se muestra en el siguiente diagrama.

En la tabla de verdad que se muestra en el diagrama de arriba: A = Abierto y C = Cerrado. Una compuerta AND puede tener muchas entradas. La compuerta AND de múltiples entradas puede ser creada conectando compuertas simples en serie. El problema de poner compuertas en cascada, es que el tiempo de propagación de la señal desde la entrada hasta la salida, aumenta. Si se necesita una compuerta AND de 3 entradas y no una hay disponible, es fácil crearla con dos compuertas AND de 2 entradas en serie o cascada como se muestra en el siguiente diagrama.

25



2014

Se observa que la tabla de verdad correspondiente es similar a la mostrada anteriormente, donde se utilizan interruptores. Se puede deducir que el tiempo de propagación de la señal de la entrada C es menor que los de las entradas A y B (Estas últimas deben propagarse por dos compuertas mientras que la entrada C se propaga sólo por una compuerta) De igual manera, se puede implementar compuertas AND de 4 o más entradas

Compuerta NAND Una compuerta NAND (NO Y) de dos entradas, se puede implementar con la concatenación de una compuerta AND o "Y" de dos entradas y una compuerta NOT o "No" o inversora. Ver la siguiente figura. Al igual que en el caso de la compuerta AND, ésta se puede encontrar en versiones de 2, 3 o más entradas.

26



2014

Tablas de verdad de la compuerta NAND

Como se puede ver la salida X sólo será "0" cuando todas las entradas sean "1". Nota: Un caso interesante de este tipo de compuerta, al igual que la compuerta NOR o "NO O", es que en la primera y última línea de la tabla de verdad, la salida X es tiene un valor opuesto al valor de las entradas. En otras palabras: Con una compuerta NAND se puede obtener el comportamiento de una compuerta NOT o "NO". Aunque la compuerta NAND parece ser la combinación de 2 compuertas (1 AND y 1 NOT), ésta es más común que la compuerta AND a la hora de hacer diseños.

En la realidad este tipo de compuertas no se construyen como si combináramos los dos tipos de compuertas antes mencionadas, si no que tienen un diseño independiente. En el diagrama se muestra la implementación de una compuerta NOT con una compuerta NAND. En la tabla de verdad se ve que sólo se dan dos casos a la entrada: cuando I = A = B = 0 ó cuando I = A = B=1

27



2014

Compuerta OR La compuerta O lógica o compuerta OR es una de las compuertas más simples dentro de la Electrónica Digital. La salida X de la compuerta OR será "1" cuando la entrada "A" o la entrada "B" estén en "1". Expresándolo en otras palabras: En una compuerta OR, la salida será "1", cuando en cualquiera de sus entradas haya un "1". La compuerta OR se representa con la siguiente función booleana: X = A+B ó X = B+A Compuerta OR de dos entradas. La representación de la compuerta "OR" de 2 entradas y su tabla de verdad se muestran a continuación.

La compuerta OR también se puede implementar con interruptores como se muestra en la figura de arriba a la derecha, en donde se puede ver que: cerrando el interruptor A "O" cerrando el interruptor B se encenderá la luz "1" = cerrado, "0" = abierto, "1" = luz encendida Compuerta OR de tres entradas En las siguientes figuras se muestran: - La representación de la compuerta "OR" de tres entradas (primer diagrama). - La tabla de verdad (segundo diagrama) y... - La implementación con interruptores (tercer diagrama) 28



2014

La lámpara incandescente se iluminará cuando cualquiera de los interruptores (A o B o C) se cierre. Se puede ver que cuando cualquiera de ellos esté cerrado la lampara estará alimentada y se encenderá. La función booleana es X = A + B + C

Compuerta NOR Una compuerta lógica NOR (No O) se puede implementar con la concatenación de una compuerta OR con unacompuerta NOT, como se muestra en la siguiente figura. Al igual que en el caso de la compuerta lógica OR, ésta se puede encontrar en versiones de 2, 3 o más entradas. Las tablas de verdad de estos tipos de compuertas son las siguientes:

Como se puede ver la salida X sólo es "1", cuando todas las entradas son "0".

29



2014

Compuerta NOT creada con una compuerta NOR Un caso interesante de la compuerta NOR, al igual que la compuerta lógica NAND, es: Cuando las entradas A y B ó A, B y C (en el caso de una compuerta NOR de 3 entradas) se unen, para formar una sola entrada. En este caso la salida (X) tiene exactamente el valor opuesto a la entrada.

Ver la primera y la última filas de la tabla de verdad. En otras palabras: Con una compuerta lógica NOR se puede lograr el comportamiento de una compuerta lógica NOT.

Compuerta NOT En la electrónica digital, no se podrían lograr muchas cosas si no existiera la compuerta NOT, también llamada compuerta inversora. El símbolo y la tabla de verdad son los siguientes:

La compuerta NOT como la compuerta AND y la compuerta OR es muy importante. Esta compuerta entrega en su salida el inverso (opuesto) de la entrada. La salida de una compuerta NOT tiene el valor inverso al de su entrada. En el caso del gráfico anterior la salida X = A Esto significa que: - Si a la entrada tenemos un "1" lógico a la salida hará un "0" lógico y ... - Si a la entrada tenemos un "0" lógico a la salida habrá un "1" lógico. 30



2014

Nota: El apóstrofe en la siguiente expresión significa "negado". Entonces: X = A’ es lo mismo que X = A Las compuertas NOT se pueden conectar en cascada, logrando después de dos compuertas, la entrada original. Ver el siguiente gráfico y la tabla de verdad

Un motivo para implementar un circuito que tenga en su salida, lo mismo que tiene en su entrada, es conseguir un retraso de la señal original con un propósito especial.

Compuerta XOR ¿Qué es una compuerta O exclusiva (XOR)? En la electrónica digital hay unas compuertas que no son comunes. Una de ellas es la compuerta XOR ó compuerta O exclusiva ó compuerta O excluyente.

El diagrama anterior muestra el símbolo de una compuerta XOR (O exclusiva) de 2 entradas: Comprender el funcionamiento de esta compuerta digital es muy importante para después poder implementar lo que se llama un comparador digital. La figura de la derecha muestra la tabla de verdad de una compuerta XOR de 2 entradas. Y se representa con la siguiente función booleana X = A.B + A.B A diferencia de la compuerta OR, la compuerta XOR tiene una salida igual a "0" cuando sus entradas son iguales a 1. 31



2014

Si se comparan las tablas de verdad de la compuerta OR y la compuerta XOR se observa que la compuerta XOR tendrá un uno ("1") en su salida cuando la suma de los unos "1" en las entradas sea igual a un número impar. La ecuación se puede escribir de dos maneras: X = A.B + A.B ó La siguiente figura muestra la tabla de verdad de una compuerta XOR de 3 entradas

De la misma manera que el caso anterior se puede ver que se cumple que X = 1 sólo cuando la suma de las entradas en "1" sea impar Circuito XOR equivalente También se puede implementar la compuerta XOR con una combinación de otras compuertas más comunes. En el siguiente diagrama se muestra una compuerta XOR de dos entradas implementada con compuertas básicas: la compuerta AND, la compuerta OR y la compuerta NOT. Comparar el diagrama con la fórmula anterior: X = A.B + A.B

Equivalencia de Compuerta NOR La compuerta NOR equivalente es una forma alternativa para lograr el mismo resultado que se obtiene con una compuerta NOR (No "O") como la que ya se conoce. En la siguiente gráfico se muestra la compuerta NOR que ya se conoce y su circuito equivalente. 32



2014

La compuerta NOR equivalente se ha implementado con una compuerta AND y se han conectado dos compuertas NOT, una a cada una de sus entradas, como se muestra en la segunda figura. Comparando las tablas de verdad que se presentan más abajo, se puede ver que el valor de las salidas (F) son iguales.

Se puede ver también que la fórmula booleana utilizada para el circuito equivalente da un resultado (F) igual al resultado de la fórmula booleana de la compuerta NOR (F). F = A + B Teorema de Morgan Comparando los diagramas superiores (la compuerta NOR y su circuito equivalente) se obtiene la siguiente igualdad:

Esta última igualdad es llamada "El teorema de Morgan". Este teorema es muy útil para simplificar circuitos combinacionales booleanos, especialmente cuando existen expresiones grandes y complejas que están negadas (que tienen una línea horizontal en la parte superior) una o más veces. El circuito NOR equivalente se representa también como muestra el gráfico de la derecha: Los pequeños círculos que están a la entrada de la compuerta NAND reemplazan a las compuertas NOT o compuertas inversoras (el circulo pequeño es un inversor) 33



2014

Equivalencia de Compuerta NAND El circuito NAND equivalente es una forma alternativa de lograr el mismo resultado de una compuerta NAND como la que ya se conoce. Comparando las tablas de verdad que se presentan a continuación, se puede ver que el valor de las salidas (F) es igual. La primera tabla es la tabla de verdad de un circuito NAND equivalente y la segunda es la tabla de verdad de la compuerta NAND Se puede ver también que la fórmula booleana utilizada para el circuito equivalente da un resultado (F) igual al resultado de la fórmula booleana de la compuerta NAND (F). F=A+B

F=A.B

Teorema de Morgan Entonces (observando las 2 tablas de verdad anteriores): A . B = A + B

Esta última igualdad "A . B = A + B" es llamada "El teorema de Morgan". 34



2014

Este teorema es muy útil para simplificar circuitos combinacionales booleanos. Es especialmente útil cuando hay que simplificar expresiones booleanas grandes y complejas que están negadas (que tienen una línea horizontal en la parte superior) una o más veces. El circuito NAND equivalente se representa también como se muestra en el gráfico anterior. Los pequeños círculos que están a la entrada de la compuerta OR reemplazan a las compuertas inversoras que se muestran en el primer gráfico de este artículo. (el circulo pequeño es un inversor).

El Display de 7 Segmentos ¿Qué es un display de 7 segmentos?

El displays de 7 segmentos, es un componente 1ue se utiliza para la representación de números en muchos dispositivos electrónicos. Cada vez es más frecuente encontrar LCD´s en estos equipos (debido a su bajísima demanda de energía), todavía hay muchos que utilizan el display de 7 segmentos por su simplicidad. Este elemento se ensambla o arma de manera que se pueda activar cada segmento (diodo LED) por separado logrando de esta manera combinar los elementos y representar todos los números en el display (del 0 al 9). El display de 7 segmentos más común es el de color rojo, por su facilidad de visualización.

35



2014

Cada elemento del display tiene asignado una letra que identifica su posición en el arreglo del display. Ver el gráfico arriba -Si -Si -Si -Si

se se se se

activan activan activan activan

todos los segmentos se forma el número "8" solo los segmentos: "a,b,c,d,f," se forma el número "0" solo los segmentos: "a,b,g,e,d," se forma el número "2" solo los segmentos: "b,c,f,g," se forma el número "4"

p.d. representa el punto decimal El display ánodo común En el display ánodo común, todos los ánodos de los diodos LED unidos y conectados a la fuente de alimentación. En este caso para activar cualquier elemento hay que poner el cátodo del elemento a tierra a través de una resistencia para limitar la corriente que pasa por el elemento

El display cátodo común El display cátodo común tiene todos los ánodos de los diodos LED unidos y conectados a tierra. Para activar un segmento de estos hay que poner el ánodo del segmento a encender a Vcc (tensión de la fuente) a través de una resistencia para limitar el paso de la corriente

También hay display alfanuméricos que permiten representar tanto letras como números

36



2014

La Protoboard La protoboard es un dispositivo muy utilizado para probar circuitos electrónicos. Tiene la ventaja de que permite armar con facilidad un circuito, sin la necesidad de realizar soldaduras.

Si el circuito bajo prueba no funciona de manera satisfactoria, se puede modificar sin afectar los elementos que lo conforman. La protoboard tiene una gran cantidad de orificios en donde se pueden insertar con facilidad los terminales de los elementos que conforman el circuito. Se puede conectar casi cualquier tipo de componente electrónico, incluyendo diferentes tamaños de circuitos integrados. Los únicos elementos que no se pueden conectar a la protoboard son elementos que tienen terminales muy gruesos. Estos elementos se conectan normalmente sin problemas en forma externa con ayuda de cables o "lagartos". El primer diagrama muestra una protoboard típica. Algunos de estos orificios están unidos de manera estandarizada que permiten una fácil conexión de los elementos del circuito que se desea armar. En el segundo diagrama se pueden ver que hay unas "pistas" conectoras (Las "pistas" están ubicadas debajo de la placa blanca). Estas "pistas" son horizontales en la parte superior e inferior de la protoboard y son verticales en la parte central de la misma. Nota: Las "pistas" mencionadas en el tutorial son unas tiras metálicas flexibles fabricadas de berilio-cobre

37



2014

Las "pistas" horizontales superior e inferior normalmente se utilizan para conectar la fuente de alimentación y tierra, y son llamados "Buses" Los circuitos integrados se colocan en la parte central de la protoboard con una hilera de patas en la parte superior del canal central y la otra hilera en la parte inferior del mismo. Puede observarse sin problema que las patitas del circuito integrado se conectan a una pista vertical diferente. Para realizar conexiones, entre las patitas de los componentes, se utilizan pequeños cables conectores de diferentes colores. Si se observa la protoboard con detenimiento se puede ver que los orificios están etiquetados con números en forma horizontal (1,2,3,...) y con letras (A,B,C,D...,J) en forma vertical. Esto es así para evitar errores en la interconexión de los diferentes elementos del circuito. Para un uso eficiente de esta herramienta, se recomienda: - Trabajar en orden. - Utilizar las "pistas" horizontales superiores e inferiores para conectar la fuente de poder para el circuito en prueba. - Usar cable rojo para el positivo de la fuente y el negro para el negativo de la misma. - La alimentación del circuito se hace desde las pistas horizontales, no directamente desde la fuente. - Ordenar los elementos del circuito de manera que su revisión posterior por el diseñador u otra persona sea lo más fácil posible. - Es recomendable evitar, en lo posible, que los cables de conexión que se utilicen entre dos partes del circuito sea muy larga y sobresalga del mismo. En el siguiente diagrama se muestra un circuito armado sobre una protoboard.

38



2014

Resistencias El símbolo de la resistencia es:

Una resistencia también llamado resistor es un elemento que causa oposición al paso de la corriente, causando que en sus terminales aparezca una diferencia de tensión (un voltaje). En el gráfico más abajo tenemos un bombillo / foco en el paso de la corriente que sale del terminal positivo de la batería y regresa al terminal negativo. La máxima cantidad de corriente que puede pasar por una resistencia, depende del tamaño de su cuerpo. Los valores de potencia comunes de las resistencias son: 1/4, 1/2, 1 watt, aunque hay de valores mayores. Este bombillo / foco que todos tenemos en nuestros hogares se comporta como una resistencia, pues limita el paso de la corriente, disipa calor, pero a diferencia del foco o bombillo, la resistencia no emite luz.

Las resistencias se representan con la letra R y el valor de éstas se mide en Ohmios (Ω). 39



2014

Las resistencias o resistores son fabricadas principalmente de carbón y se presentan en una amplia variedad de valores. Hay resistencias con valores de Ohmios (Ω), Kilohmios (KΩ), Megaohmios (MΩ). Estas dos últimas unidades se utilizan para representar resistencias muy grandes. A continuación se puede ver algunas equivalencias entre ellas: 1 Kilohmio (KΩ) = 1,000 Ohmios (Ω) 1 Megaohmio (MΩ) = 1,000,000 Ohmios (Ω) 1 Megaohmio (MΩ) = 1,000 Kilohmios (KΩ) Para poder saber el valor de las resistencias sin tener que medirlas, existe un código de colores de las resistencias que nos ayuda a obtener con facilidad este valor con sólo verlas. Para obtener la resistencia de cualquier elemento de un material específico, es necesario conocer algunos datos propios de éste, como son: su longitud, área transversal, resistencia específica o resistividad del material con que está fabricada. Conductancia (inverso de la resistencia) La recíproca (inverso) de la resistencia es la conductancia. Se representa generalmente por la letra G. Un circuito con elevadaconductancia tiene baja resistencia, y viceversa. - Una resistencia / resistor de 1 Ohmio (ohm) posee una conductancia de 1 mho. - Una resistencia / resistor de 1000 Ohmios (ohms) posee una conductancia de 0.001 mho.

40



2014

Fuente de poder Muchos circuitos necesitan para su funcionamiento, una fuente de poder o fuente de alimentación. Esta fuente de poder entrega normalmente un voltaje en corriente continua (C.C.), pero lo que normalmente se encuentra en los tomacorrientes, de nuestras casas, es corriente alterna (C.A.). Para lograr obtener corriente continua, la entrada de corriente alterna debe seguir un proceso de conversión como el que se muestra en el diagrama. En el gráfico siguiente se ve el funcionamiento de una fuente de poder, con ayuda de un diagrama de bloques. También se muestran las formas de onda esperadas al inicio (Entrada en A.C.), al final (Salida en C.C.) y entre cada uno de ellos.

- La señal de entrada, que va al primario del transformador, es una onda senoidal cuya amplitud dependerá del lugar en donde vivimos (110 / 220VAC. u otro). Ver unidades de medida básica en electrónica. Nota: A la fuente de poder también se acostumbra llamar fuente de alimentación y fuente de voltaje o tensión

41



2014

-Parte PrácticaIntroducción Con todo lo estudiado, vamos a realizar el trabajo necesario para poder construir nuestro decodificador de binario a hexadecimal. Comenzaremos definiendo cómo es que queremos que se muestren nuestros números en el display de 7 segmentos para poder construir la tabla de verdad.

Realizando la tabla de verdad Como ya estudiamos en la parte teórica, la tabla de verdad es un modo de verificar y obtener las funciones booleanas, en éste caso la utilizaremos para realizar nuestro circuito decodificador.

Comenzaremos planteando la tabla, sabiendo que para poder convertir todos los números de binario a hexadecimal se utilizan sólo 4 bits, quiere decir que utilizaremos 4 variables de entrada en nuestra tabla de verdad. Vamos a estudiar un poco un display de 7 segmentos, en éste caso de cátodo común.

42



2014

Podemos observar que éste tiene en realidad 10 pines de conexión, 2 de los cuales son los cátodos, uno el punto decimal que en éste caso no lo utilizaremos y los 7 sobrantes los ánodos de los leds que mostrarán los números al encender en orden lógico. Esto quiere decir que debemos crear una función para cada segmento, es decir, 7 funciones, significa que nuestra tabla de verdad tendrá 7 columnas adicionales a las de las 4 variables. Ahora determinaremos el número de renglones, si sabemos que la tabla de verdad tendrá 2n columnas, donde n es el número de variables, es decir 4, entonces utilizaremos 16 renglones (24 = 16) Finalmente llenaremos cada una de las filas de las funciones de manera vertical, utilizando ceros y unos, donde cero significará apagado y uno encendido. Basándonos en las formas numéricas que ya planteamos que mostrará el display colocaremos los datos de 0 o 1, por ejemplo, para la función número 1 que sería la del segmento “a” debemos plantear si deberá prender o no para mostrar un número determinado, como por ejemplo, para mostrar el número cero sí necesita prender, por lo que colocaremos un 1 en el primer renglón de la fila de la función 1 o a. Para el caso en que deseemos mostrar el número 1, el segmento a no debe encender, por lo que en el renglón 2 colocaremos un cero. Esto lo haremos con cada una de las funciones hasta que hayamos finalizado. Es muy importante hacer con atención y cuidado ésta parte ya que en caso de estar errónea saldrá mal nuestra práctica. Para resumir, el número de renglones (del 0 al 15 que son en total 16) representará el valor de nuestros números en hexadecimal, y el número 43



2014

de las filas (7, porque son 7 segmentos) representa el número de funciones booleanas que realizaremos. Aplicando todo lo mencionado, nuestra tabla deberá quedar de ésta manera: # 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

W 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

X 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Fa 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1

Fb 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0

Fc 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0

Fd 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0

Fe 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

Ff 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1

Fg 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

A partir de la tabla de verdad podríamos crear ya nuestras funciones booleanas, sin embargo quedarían con mucha longitud, por lo cual utilizaremos ahora los mapas de Van Karnaugh.

Utilizando los mapas de Van Karnaugh para Simplificar Como ya estudiamos, los mapas de Karnaugh son muy útiles para reducir las funciones booleanas a partir de nuestra tabla de verdad, con lo aprendido en el tema “Mapas de Van Karnaugh” de la parte teórica. Procederemos a construir nuestros mapas de verdad:

44



45


2014


2014

Ahora vamos a realizar el segundo paso que es crear las uniones de grupos de unos únicamente en potencias de dos. Rercordemos que entre más grandes y menos sean las agrupaciones, obtendremos menos términos. Debería quedarlos algo por el estilo:

46



2014

Ahora a partir de los mapas de Karnaugh procederemos a realizar nuestras funciones booleanas como ya lo hemos estudiado.

Obteniendo las Funciones Boleanas Recordando lo estudiado en la parte teórica obtendremos las funciones Booleanas utilizando los mapas de Van Karnaugh realizados anteriormente. Podemos obtener tanto los mintérminos como los maxitérminos.

47



2014

Mintérminos: Fa (W, X, Y, Z)= (~X*~Z)+(~W*Y)+(~W*X*Z)+(X*Y)+(W*~Z)+(W*~X*~Y)

Fb (W, X, Y, Z)= (W*~Y*Z)+(~X*~Z)+(~W*~Y*~Z)+(~W*Y*Z)+(~W*~X)

Fc (W, X, Y, Z)= (~Y*Z)+(~W*X)+(W*~X)+(~W*~Y)+(~W*Z)

Fd (W, X, Y, Z)= (X*~Y*Z)+(~X*Y*Z)+(X*Y*~Z)+(W*~Y*~Z)+(~W*~X*~Z)

Fe (W, X, Y, Z)= (~X*~Z)+(Y*~Z)+(W*Y)+(W*X)

Ff (W, X, Y, Z Z)= (~Y*~Z)+(X*~Z)+(~W*X*~Y)+(W*~X)+(W*Y)

Fg (W, X, Y, Z)= (~X*Y)+(W*~X)+(W*Z)+(Y*~Z)+(~W*X*~Y)

Maxitérminos: Fa (W, X, Y, Z)= (W+~X+Y+Z)*(W+X+Y+~Z)*(~W+~X+Y+~Z)*(~W+X+~Y+~Z)

Fb (W, X, Y, Z)= (W+~X+Y+~Z)*(~X+~Y+Z)*(~W+~Y+~Z)*(~W+~X+Z)

Fc (W, X, Y, Z)= (W+X+~Y+Z)*(~W+~X+Z)*(~W+~X+~Y) 48



2014

Fd (W, X, Y, Z)= (X+Y+~Z)*(W+~X+Y+Z)*(~X+~Y+~Z)*(~W+X+~Y+Z)

Fe (W, X, Y, Z)= (X+Y+~Z)*(W+~Z)*(W+~X+Y)

Ff (W, X, Y, Z)= (~W+~X+Y+~Z)*(W+X+~Z)*(W+X+~Y)*(W+~Y+~Z)

Fg (W, X, Y, Z)= (~W+~X+Y+Z)*(W+~X+~Y+~Z)*(W+X+Y) Donde ~ es negación (NOT), * una multiplicación (AND), + una suma (OR) y W, X, Y y Z nuestras 4 variables. En este caso como nuestro display es de cátodo común, utilizaremos los mintérminos. A partir de ahora podríamos comenzar a cablear nuestro circuito en la protoboard, sin embargo aún podemos simplificar las funciones utilizando el álgebra tradicional, los teoremas de Boole y las leyes de De Morgan.

Reduciendo las funciones por medio del Álgebra Por medio de factorización, teoremas de Boole y leyes de De Morgan podemos simplificar aún más nuestras funciones. En éste caso utilizaremos la factorización y las equivalencias de compuertas con las leyes de De Morgan.

49



Recordando que: ~X*~Y ~X+~Y (~X*~Y)+(X*Y) (~X*Y)+(X*~Y)

= = = =

X X X X

(NOR) Y (NAND) Y (X-NOR) Y (X-OR) Y

Fa (W, X, Y, Z)= (~X*~Z)+(~W*Y)+(~W*X*Z)+(X*Y)+(W*~Z)+(W*~X*~Y) Factorizando: Fa (W, X, Y, Z)= ~Z(~X+W)+~W(Y+XZ)+XY+W(W*~X*~Y) Aplicando la Ley de Demorgan: Fa (W, X, Y, Z)= ~Z(~X+W)+~W(Y+XZ)+XY+W(X-NOR-Y)

Fb (W, X, Y, Z)= (W*~Y*Z)+(~X*~Z)+(~W*~Y*~Z)+(~W*Y*Z)+(~W*~X) Factorizando: Fb (W, X, Y, Z)= ~X*~Z+W~YZ+~W(~Y*~Z+Y*Z+~X) Aplicando la Ley de Demorgan: Fb (W, X, Y, Z)= X-NOR-Z+W~YZ+~W(~(Y-XOR-Z)+~X)

Fc (W, X, Y, Z)= (~Y*Z)+(~W*X)+(W*~X)+(~W*~Y)+(~W*Z) Factorizando: Fc (W, X, Y, Z)= ~Y(~W+Z)+~W(X+Z)+W~X

Fd (W, X, Y, Z)= (X*~Y*Z)+(~X*Y*Z)+(X*Y*~Z)+(W*~Y*~Z)+(~W*~X*~Z) Factorizando: 50


2014


2014

Fd (W, X, Y, Z)= Z(~X*Y+X*~Y)+~Z(XY+W~Y+~W~X) Aplicando la Ley de Demorgan: Fd (W, X, Y, Z)= Fd (W, X, Y, Z)= Z(X-XOR-Y)+~Z(XY+W~Y+~W~X)

Fe (W, X, Y, Z)= (~X*~Z)+(Y*~Z)+(W*Y)+(W*X) Factorizando: Fe (W, X, Y, Z)= W(X+Y)+~Z(Y+~X)

Ff (W, X, Y, Z Z)= (~Y*~Z)+(X*~Z)+(~W*X*~Y)+(W*~X)+(W*Y) Factorizando: Ff (W, X, Y, Z Z)= W(~X+Y)+(~WX~Y)+~Z(X+~Y)

Fg (W, X, Y, Z)= (~X*Y)+(W*~X)+(W*Z)+(Y*~Z)+(~W*X*~Y) Factorizando: Fg (W, X, Y, Z)= Y(~X+~Z) + W(~X+Z)+(~WX~Y) Aplicando la Ley de Demorgan: Fg (W, X, Y, Z)= Y(X-NAND-Z) + W(~X+Z)+(~WX~Y)

Ahora que tenemos las funciones simplificadas, podemos comenzar a cablearlas en nuestra protoboard, comencemos instalado el material.

51



2014

Instalando el material para comenzar Para esta práctica utilizaremos lo siguiente: -3 Protoboards, las tres deben ser idénticas y tener uniones para juntarlas -1 Display cátodo común de 7 segmentos -8 Resistencias de ½ watt a 470 o 520 ohm -1 Dip Switch de 4 interuptores -6 Circuitos Integrados AND 74LS08 -7 Circuitos Integrados OR 74LS32 -1 Circuito Integrado NAND 74LS00 -1 Circuito Integrado NOT 74LS04 -1 Circuito Integrado XOR 74LS86 -1 Circuito Integrado NOR 74LS02 -9 Metros de cable para protoboard, 9 colores diferentes 1m por cada uno (2 para la corriente y 7 para las funciones). Nota: se recomienda usar rojo para corriente positiva y negro para negativa. -Etiquetas pequeñas (opcional) Comenzaremos uniendo nuestras tres protoboards con las uniones que tienen en los costados, para que queden de ésta manera:

52



2014

Sabiendo el funcionamiento de la protoboard, procederemos a puentear los canales de corriente:

No es necesario puentear de esta manera, sólo es para darse una idea, además en algunas protoboards no es necesario puentear la parte central. Ahora procederemos a instalar nuestro demás material, no hay una manera precisa o correcta de hacerlo, así que puede hacerse al gusto, sin embargo es recomendable acomodar según convenga ya que habrá que utilizar más cables si se colocan las compuertas muy lejos. 53



2014

Alguna sugerencia es que quede de ésta manera:

Las compuertas fueron intercaladas entre AND y OR, la compuerta NOT se colocó cerca del dip switch, y las demás se colocaron en el área que se creyó que quedarían cableadas las funciones que las utilizan. Ahora que hemos instalado nuestro material comenzaremos a cablear.

54



2014

Realizando el cableo de funciones Con todo lo estudiado en la parte teórica y lo realizado hasta ahora en la práctica, ya podemos comenzar a cablear nuestras funciones en la protoboard. Para ello recordaremos cómo están configuradas nuestras compuertas utilizadas para éste proyecto:

También recordaremos que para construir ciertas compuertas que no tenemos, podemos combinar algunas para crear la equivalencia (esto se explicó en las leyes de De Morgan). 55



2014

Y además, como en éste caso estamos utilizando sólo compuertas de dos entradas en su mayoría, podemos crear compuertas con entradas adicionales combinando las salidas con nuevas compuertas. Ejemplo:

es igual que

Hay que recordar que para cablear ya debe estar toda la parte teórica realizada, desde la tabla de verdad hasta las funciones simplificadas, y éstas deben estar correctamente simplificadas, de lo contrario no funcionarán. En este proyecto se utilizó software para comprobar las funciones el cual está todo mencionado en el apéndice.

Para crear las funciones, utilizaremos las variables que el dip switch definirá, ahora que ya conocemos el funcionamiento de la protoboard y el dip switch (que es solamente un juego de interruptores) ya deberíamos darnos la noción de que la parte de encima del dip switch serán las funciones W, X, Y y Z acomodadas de izquierda a derecha respectivamente. Podemos darnos una idea de cómo cablear con los siguientes diagramas lógicos que han sido simplificados son compuertas de hasta 5 entradas:

56



57


2014


58


2014


59


2014


2014

A continuación unas fotografías del proceso de cableado físicamente:

60



61


2014


62


2014


63


2014


2014

Comprobando el funcionamiento Una vez terminado de cablear todas nuestras funciones en la protoboard, pasaremos a comprobar que nuestro decodificador realmente funciona, utilizando lo aprendido en el tema “Conversión de Sistemas Numéricos” de la parte teórica podemos obtener las equivalencias: Número en Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

En Binario (con 4 bits) 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

En Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Podemos tomar al dip switch como los 4 bits, y pondremos las posiciones de cada uno de ellos según lo indique la equivalencia, recordando que 0 es apagado (abajo) y 1 encendido (arriba). A continuación unas imágenes:

64



65


2014


66


2014


2014

Apéndice Para desarrollar ésta práctica se utilizó software enfocado al álgebra de Boole y a la simulación de circuitos electrónicos. Para comprobar si la tabla de verdad, los mapas de Karnaugh y las funciones simplificadas por medio de los mismos mapas estaban correctos, se utilizó el software Boole-Deusto, desarollado por Javier García Zubía, Jesús Sanz Martinez y Borja Sotomayor Basilio de la Facultad de Ingeniería en Informática de la Universidad de Deusto. Además también fue utilizado para mostrar gráficamente algunas imágenes en este reporte. Este software puede descargarse de manera gratuita en la siguiente dirección: http://paginaspersonales.deusto.es/zubia/ Para comprobar si las funciones eran correctas tras factorizarlas, aplicar los teoremas de Boole y las leyes de De Morgan, se simularon las funciones de los circuitos y al final se hizo una compilación final con ayuda del software NI Multisim, para más información se puede visitar: http://www.ni.com/multisim/esa/ Para mostrar algunas otras imágenes en éste reporte se utilizó además el software Virtual Breadboard o VBB, desarollado por James Caska, Infology Pty Ltd, más información en: http://www.virtualbreadboard.com/ Además también un agradecimiento especial a los que colaboraron con el desarrollo de ésta práctica; los estudiantes de la Facultad de Ingeniería del Área de Computación e Informática de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí: Raúl Marván Medina, Josué Torres Pérez y Lilia Castellanos.

67



2014

Bibliografía 1. Monografías «Introducción al estudio de los circuitos lógicos y sistemas numéricos» http://www.monografias.com/trabajos32/sistemasnumericos/sistemas-numericos.shtml 2. Ladelec «Conversiones de sistemas de numeración» http://www.ladelec.com/teoria/electronica-digital/148-conversionesde-sistemas-de-numeracion 3. Simbología Electrónica. «Símbolos de electrónica digital » http://www.simbologia-electronica.com/simbolos-electricoselectronicos/simbolos-electronica-digital.htm 4. Unicrom. « ¿Qué es un circuito lógico?» http://www.unicrom.com/Tut_circuitoslogicos.asp 5. AYRES, Frank. Mc Graw-Hill. Serie Schaum, ed. Álgebra Moderna (1994 edición) 6. Facultad de Ingeniería de la UASLP. «Programa de la materia Introducción a los Circuitos Lógicos» http://ingenieria.uaslp.mx/web2010/Oferta%20educativa//Programa s/CeI/2964%20Introduccion%20a%20los%20Circuitos%20Logicos.p df 7. Boole, George; Requena Manzano, Esteban: tr. (1 de 1984). El análisis matemático de la lógica (2 edición). Ediciones Cátedra, S.A 8. Boole, George (2003) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought. Prometheus Books 9. Boole, George; Suárez Hernández, José Antonio: tr. (3 de 1982). Investigación sobre las leyes del pensamiento (1 edición). Ediciones Paraninfo. S.A 10. Bernardo Núñez Montenegro, Facultad de Ciencias UASLP, EPISUNPRG. «Sistemas Dígitales, Álgebra de Boole » http://galia.fc.uaslp.mx/~uragani/algebra1/Textos/Algebra_Boole.pd f 11. Unicrom - http://www.unicrom.com/

68


Decodificador Binario a Hexadecimal con Display 7 Segmentos y Compuertas Lógicas

Recommend Documents