Andrés Miniguano Trujillo
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber 8: Teorema Del Límite Central 1. La joyería “Calidad Asegurada” solo produce joyas de tipo A y de tipo B. Para las de tipo A utiliza 30 gramos de oro y para las de tipo B 60 gramos. 1.1. Halle la media y la varianza de la cantidad de oro que se utiliza en la joyería.
A → 30 [ g ] B → 60 [ g ] X : cantidad de oro usado 1 , x=30 2 p ( x )= 1 , x=60 2 1 1 μ=E [ X ] =30 +60 =45 [ g ] 2 2
{
() ()
2
σ 2=V [ X ]= E [ X 2 ] −( E [ X ] ) =30 2
( 12 )+ 60 ( 12 )−45 =225 [ g ] 2
2
2
1.2. Si una persona va a comprar tres joyas, halle la media y la varianza de la media de las posibles tres joyas que puede comprar. Muestra n=3 Datos: x 1 , x 2 , x 3 ´ Media muestral: X
μ X´ =E [ X´ ] =μ=45 [ g ] 2 σ 255 σ 2X´ =V [ X´ ] = = =85 [ g2 ] n 3
2. Si en el ejercicio 1 se acepta que el número de joyas del tipo A que se produce es el triple del número de joyas B y que el cliente va a comprar cuatro joyas, halle:
{
3 p ( x )= 4 1 4
, x=30 , x=60
Muestra n=4 Datos: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ´ Media muestral: X 2.1. La media y la varianza de la cantidad de oro que se utiliza en la joyería.
( 34 )+60( 14 )=37.5000[ g] 3 1 σ =V [ X ]= E [ X ] −( E [ X ] ) =30 ( )+ 60 ( )−37.5 =168.7500 [ g ] 4 4 μ=E [ X ] =30 2
2
2
2
2
2
2
2.2. La media y la varianza de la media de las posibles cuatro joyas que puede comprar.
Andrés Miniguano Trujillo
Por el teorema del límite central:
μ X´ =E [ X´ ] =μ=37.5000 [ g ] 2 σ 168.75 2 ´ [ ] σ X´ =V X = = =42.1875 [ g2 ] n 4 3. Al analizar el rendimiento de cierta máquina que tiene distribución normal se ha observado que el 10% de la producción media de 20 días de trabajo es mayor que 800 unidades y el 8% de la producción media de 20 días es menor que 500 unidades. ¿Qué porcentaje de producción media de 20 días es mayor que 700 unidades? X : producción diaria. Muestra : n=20 ´ Media muestral: X
P ( X´ >800 ) =0.10 P ( X´ <500 )=0.08 P ( X´ >700 )=?
t−student , con ν =n−1=19 . 800−μ s P ( X´ >800 ) =0.10 ⇒ P T > =0.10 ⇒1.328 =800−μ s √ 20 √ 20
Estandarizando trabajamos con
(
)
( )
por interpolación:
500−μ =t 0.08 ( 19 ) s √ 20 α =0.10 ⇒t =1.328 α =0.05 ⇒ t=1.729 t=m α +b 1.328 ¿ m ( 0.10 ) +b 1.729 ¿ m ( 0.05 ) +b m=−8.02, b=2.13, t ≈ 1.4884
{
(
P ( X´ <500 )=0.08⇒ P T <
{
( √s20 ) s 1.729 ( √ 20 ) 1.328
500−μ =0.08⇒ 1.488 s √ 20
)
( √s20 )=μ−500
¿ 800−μ ⇒ μ=658.52, s=476.43 ¿ μ−500
800−658.52 P ( X´ >700 )=P T > =P ( T > 0.3894 ) ≈ 0.35067 476.43 √ 20
(
)
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4. La panadería “El buen sabor” solo produce los tipos de pan A y B. Para A se utiliza 150 gramos y para B 200 gramos. De A se produce 4 veces lo que produce de B. X : cantidad de gramos usados.
{
4 , x=150 5 p ( x )= 1 , x=200 5 Muestra n=4 Datos: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ´ Media muestral: X 4.1. Halle la media y la varianza de la cantidad de harina que se usa en la panadería.
( 45 )+200 ( 15 )=160 [ g] 4 1 σ =V [ X ]= E [ X ] −( E [ X ] ) =150 ( )+200 ( )−160 =400 [ g ] 5 5 μ=E [ X ] =150 2
2
2
2
2
2
2
4.2. Si una persona desea comprar cuatro panes, halle la media y la varianza de la media de los cuatro posibles panes que puede adquirir. Por el teorema del límite central:
μ X´ =E [ X´ ] =μ=160 [ g ] 2 σ 400 σ 2X´ =V [ X´ ] = = =100 [ g2 ] n 4 5. Una muestra aleatoria de tamaño 81 se extrae de una población infinita con media 76 y varianza 256. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una media entre 75 y 78? Muestra n=81 Datos: x 1 , x 2 , … , x 81
μ=76 σ 2=256
Media muestral:
X´
P ( 75< X´ <78 ) =P
(
75−76 78−76 < Z< =F ( 1.125 )−F (−0.5625 ) ≈ 0.5828 16 16 √ 81 √ 81
)
6. Las llamadas telefónicas de larga distancia tienen distribución normal con media 12 minutos y desviación estándar 3 minutos.
X N ( 12,32 ) 6.1. Si se seleccionan muestras aleatorias de 49 llamadas, ¿Qué porcentaje de medias muestrales se halla entre 11.5 y 12.5 minutos?
P ( 11.5 < X´ <12.5 )=P
(
11.5−12 12.5−12
)
6.2. Si se seleccionan muestras aleatorias de 100 llamadas, ¿Qué porcentaje de medias muestrales se halla entre 11.5 y 12.5 minutos?
Andrés Miniguano Trujillo
P ( 11.5< X´ <12.5 )=P
(
11.5−12 12.5−12
)
6.3. Explique la diferencia entre los resultados obtenidos Ambos resultados son calculados con el mismo método, aunque con una población diferente. En el primer caso las llamadas son bajas por lo que el porcentaje es más alejado de ser certero, en cambio en el caso segundo se tiene un mayor número de llamadas lo cual incrementa al resultado, y tenemos un alto porcentaje cerca de la media. 7. Una máquina vendedora de refrescos está regulada de modo que la cantidad despachada tenga distribución normal con media 7 onzas y varianza 0.25 onzas al cuadrado. Si se toman muestras de 9 vasos, ¿De qué valor excedería el 95% de las medias de la muestra? X : cantidad despachada.
μ=7 2 σ =0.25 n=9
a−7 P ( X´ >a ) =0.95 ≡ P T > =0.95 1 ∗1 4 3 ⇒ 12 (7−a )=t 0.05=1.86 ⇒a=5.7603
( )
8. El número de horas de duración de una pila tiene distribución normal con media 100 horas y desviación estándar 20 horas. X : duración de la pila.
μ=100 σ =20 8.1. Halle la proporción de pilas que duran entre 100 y 125 horas. Si se seleccionan muestras aleatorias de 16 pilas.
n=16
P (100< X <125 )=P
125−100 493 39
8.2. Halle la proporción de medias muestrales que se encuentran entre 100 y 125 horas.
100−100 125−100 1 P ( 100< X´ <125 ) =P
(
)
8.3. Halle la proporción de medias muestrales que son mayores que 90 horas.
90−100 2443 39 P ( X´ >90 ) =1−P Z < =1−P ( Z <−2 )=1−F (−2 ) ≈ 0.9772 ⇒ ≈ 20 2500 40 4
(
)
8.4. ¿Dentro de qué límites caerá el 90% de las medias muestrales alrededor de la media de la población?
Andrés Miniguano Trujillo
P (|X´ −μ|≤ k )=0.90≡ P (−k + μ ≤ X´ ≤ k + μ ) =0.90≡ P
⇒F
(
−k k k −k ≤Z ≤ =0.90 ≡ F −F =0.90 ≡ σ σ 5 5 √n √n
)
() ( )
(−k5 )=0.05 ⇒ k=8.2243
⇒ Z ∈ [−1.6449,1.6449 ] 9.
La cuenta de gastos de comida de los ejecutivos de una empresa tiene una media de 10 dólares diarios por persona y una varianza de 16 dólares al cuadrado. Si se toman muestras aleatorias de 16 cuentas. X : gastos en comida.
μ=10 σ 2=16 n=16 9.1. ¿Por abajo de qué valor en dinero se hallan el 90% de las medias muestrales?
a−10 a−10 =P T < =0.90 4∗1 1 4 ⇒ a−10=t 0.10=1.341 ⇒a=11.341
(
P ( X´
)
(
)
9.2. ¿Qué proporción de medias muestrales están entre 8 y 12 dólares?
P ( 8< X´ <12 ) =P
(
8−10 12−10 9
)
9.3. ¿Qué suposición se debe hacer para resolver 9.1 y 9.2? ´ tiene un comportamiento t−student ya que ν =15<30 . Se supone que la variable X Si se toman muestras aleatorias de 64 cuentas 9.4. ¿Por abajo de qué valor en dinero se hallan el 99% de las medias muestrales?
(
P ( X´
a−10 =P ( Z <2 a−20 )=0.99 4∗1 8
)
1 1 ⇒ a−10= α 0.01= 2.3263 ⇒a=11.1632 2 2 9.5. ¿Qué suposición se debe hacer para resolver 9.4.? ´ tiene un comportamiento normal. Esto se debe a que Se debe suponer que la variable X ν =63>29 . 10. El número de clientes por semana en cierto supermercado tiene distribución normal con media 5.000 y desviación estándar de 500. Si se toma una muestra aleatoria de tamaño 25. X : número de clientes por semana.
μ=5000 σ =500 n=25 ν =24 10.1.
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 5.075 clientes por semana?
Andrés Miniguano Trujillo
(
P ( X´ <5075 )=P T <
5075−5000 3 =P T < =0.7697 500 4 5
)
( )
Aproximando:
t=1.318 ⇒ α=0.10 t=1.711⇒α =0.05 α =mt +b 0.10 ¿ m ( 1.318 ) +b 0.05 ¿ m ( 1.711 ) +b −50 526 m= , b= ,α ≈ 0.7641 393 1965
{ 10.2.
¿Dentro de qué límites se puede asegurar se hallan el 95% de las medias muestrales alrededor de la media de la población?
P (|X´ −μ|≤ k )=0.95≡ P (−k + μ ≤ X´ ≤ k + μ )=0.95≡ P
⇒F
(
−k k k −k ≤T ≤ =0.95 ≡ F −F =0.95≡ s s 100 100 √n √n
)
( ) ( )
−k ( 100 )=0.025
usando tablas:
−k =−2.064 ⇒ k=206.4 100 ⇒ X´ ∈ [−k + μ , k + μ ] ⇒ X´ ∈ [ 4793.6,5206.4 ] 11. Una gran industria paga un salario medio de 4 unidades por hora, con desviación estándar de 0.5 unidades. La industria ocupa 64 trabajadores de cierto grupo racial; estos trabajadores tienen un salario medio de 3.9 unidades por hora. X : unidad salarial.
μ=4 σ =0.5 n=64 ν =63 X´ =3.9 11.1. ¿Qué porcentaje de grupos de 64 trabajadores gana en promedio menos que la media del grupo racial en referencia?
(
P ( X´ <3.9 )=P T <
3.9−μ =P ( T <−0.8 )=0.2134 σ √ 64
)
Aproximadamente se asegura el 21% de los grupos ganará menos de la media. 11.2. ¿Considera que existe segregación racial en esa empresa? Sí, existe un alto porcentaje de personas que reciben menos de la media del salario que presenta la empresa, por lo que se puede inferir que hay una segregación a favor del grupo presentado, aunque claro que el resultado puede ser ambiguo pues si sólo el grupo que se presenta es el de la raza determinada, se pueden decir dos cosas, una que es casualidad el hecho de que reciba en promedio
Andrés Miniguano Trujillo
-0.1 unidades menos que la media, y dos que sea un grupo escogido para recibir tal monto, a favor o en contra del mismo. 12. Un fabricante, basado en años de experiencia, afirma que las llantas que produce tienen una duración media de 35000 millas, con una desviación estándar de 5000 millas. Una organización de protección al consumidor selecciona aleatoriamente 100 de esos neumáticos encontrando una duración promedio de 34000 millas. ¿Debe dudar dicho organismo de la aseveración del fabricante? X : duración de neumáticos
μ=35000 σ 2=5000 n=100 X´ =34000 34000−35000 P ( X´ <34000 )=P Z < =P ( T <−141.4214 ) ≈ 0 √ 5000 √ 100
(
)
Existe una probabilidad casi nula de que la media de los neumáticos de la empresa sea menor que la determinada por el organismo, así que el organismo no debería dudar de la aseveración del fabricante. 13. Un transbordador transporta 25 pasajeros. El peso de cada pasajero tiene distribución normal con media de 165 libras y varianza 441 libras al cuadrado. Las normas de seguridad establecen que, para ese transbordador en particular, el peso total de sus pasajeros no debe exceder de 4375 libras mas de 1% de las veces. ¿Está cumpliendo el transbordador con las normas de seguridad? X : peso pasajeros
μ=165 σ 2=441 mmáx =4375 n=25
(
P ( X´
5 ( a−165 ) a−165 =P T < =0.01⇒ a=340.47 21 √ 441 √25
)
(
)
El transbordador sí está cumpliendo con las normas de seguridad pues la media para su cumplimiento máximo debería cargar de 340.37 libras. 14. La cantidad de líquido en cierto tipo de botellas tiene distribución normal con media 20 onzas y varianza 1 onza 2. X : cantidad de líquido
μ=20 2 σ =1 n=25 14.1.Un día se toman 25 botellas al azar y se mide la cantidad (en onzas) de líquido que tienen. Calcule la probabilidad de que la diferencia entre la media de las 25 botellas y la media de la población sea al menos igual a 0.3 onzas.
−0.3 0.3 3 −3 P (|X´ −μ|≤0.3 ) P (−0.3+20 ≤ X´ ≤0.3+ 20 )=P ≤T≤ =F −F =0.8533 1 1 2 2 √ 25 √ 25
(
)
() ( )
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14.2.Halle el número mínimo de mediciones que se deben efectuar para que la media de la muestra quede a menos de 0.3 onzas de la media de la población con una probabilidad de 0.95.
P
(
−0.3 0.3 −3 3 ≤T ≤ =0.95 ≡1−2 F √ n =0.95⇒− √n=−1.711⇒ n=32.53 ≈ 32 medidas 1 1 10 10 √n √n
)
(
)
15. La cantidad de llenado de una máquina embotelladora de cierto tipo de colas tiene una varianza igual a 1. La media de llenado depende de ajustes que se pueden realizar día a día o de operador a operador. 2
σ =1 n=25 15.1.Si un día se mide la cantidad la cantidad (en onzas) de líquido que tienen 25 botellas tomadas al azar, todas con el mismo ajuste en la máquina, calcule la probabilidad que la media muestral quede dentro de 0.3 onzas de diferencia con respecto a la media de la población con ese ajuste.
P (|X´ −μ|≤0.3 )=P (−0.3 ≤ X´ −μ ≤0.3 )=P
(
−0.3 0.3 3 −3 ≤T≤ =F −F =0.8533 1 1 2 2 √ 25 √ 25
() ( )
)
15.2.Halle el número de observaciones que se deben efectuar para que la media de la muestra quede a menos de 0.3 onzas de la media de la población con una probabilidad de 0.95.
−0.3 0.3 −3 3 ≤T ≤ =0.95 ≡1−2 F √n =0.95⇒− √n=−1.711 1 1 10 10 √n √n ⇒n=32.53 ≈32 medidas P
(
)
(
)
16. Un antropólogo desea estimar la estatura promedio de los hombres de cierta raza. Si se supone que la desviación estándar de la población es de 2.5 pulgadas y se seleccionan al azar 100 hombres:
σ =2.5 n=100 ν =99
16.1.Halle la probabilidad de que la diferencia entre la media de las muestras y la media de la población no exceda de 0.5 pulgadas.
P (|X´ −μ|≤0.5 )=P (−0.5 ≤ X´ −μ ≤0.5 )=P
(
−0.5 0.5 ≤T ≤ =F (−2 )−F ( 2 ) =0.9518 2.5 2.5 √100 √ 100
)
16.2.Si quiere que la diferencia de la media de las muestras y la media de la población sea menor que 0.4 pulgadas con una probabilidad de 0.95 ¿Cuántos hombres tendrá que seleccionar?.
−0.4 0.4 −4 4 ≤T ≤ =0.95 ≡1−2 F √ n =0.95 ⇒− √ n=−1.711 2.5 2.5 25 25 √n √n ⇒n=114.37 ≈ 115 hombres P
(
)
(
)
17. Si la resistencia a la ruptura de cierto tipo de barras de acero está distribuida normalmente con media 235 libras por pulgada cuadrada y desviación estándar 20 libras por pulgada cuadrada.
Andrés Miniguano Trujillo
μ=235 σ =20 17.1.¿Cuál es la probabilidad de que una barra seleccionada al azar tenga una resistencia mayor a 245 libras por pulgada cuadrada?
(
P ( X >245 )=1−P Z<
245−235 =1−P ( Z <0.5 )=1−F ( 0.5 ) ≈ 0.30854 20
)
17.2.Se aceptará un cargamento de barras de acero si la resistencia media a la ruptura de una muestra aleatoria de 10 barras es mayor que 245 libras por pulgada cuadrada. ¿Cuál es la probabilidad de que el cargamento sea aceptado?
Y Binomial P (Y =10 )=b ( 10,10, P ( X >245 ) ) =0.000007818
18. El presidente de una fábrica de teléfonos está molesto por la cantidad de aparatos producidos por la empresa que tienen defectos. En promedio, 120 teléfonos son devueltos diariamente a causa de ese problema, con una desviación estándar de 81. El presidente ha decidido que se revise el proceso de producción ya que considera que en los próximos 40 días, el promedio diario de aparatos devueltos será mayor a 135 con una probabilidad mayor a 0.1. X : devoluciones de teléfonos por día
μ=120 σ =81 n=40 P ( X´ >135 ) >0.1 Justifique la decisión del presidente, calculando la probabilidad necesaria.
(
P ( X´ >135 )=P T ≥
135−120 10 =1−P T ≤ √ 10 =0.1243>0.1 81 27 √ 40
(
)
)
Esta probabilidad es muy alta, lo cual implica que de una u otra forma habrá un alza en la taza promedio de aparatos devueltos lo cual implicará que la empresa tendrá que devolver más dinero a sus clientes, lo que representa pérdidas no sólo económicas sino en el mercado. Por ello el presidente tiene razón para mandar a que se de aquella revisión. Si la revisión del proceso apunta a cambiar la desviación estándar, ¿Cuál debe ser la desviación estándar máxima, en números enteros, para que la probabilidad sea aproximadamente igual a 0.1 a que en los próximos 40 días el promedio diario de aparatos devueltos sea mayor a 135?
135−120 30 30 P ( X´ >135 )=0.1≡ P T ≥ =1−P T ≤ √ 10 =0.1 ≡ √ 10=1.3036 ⇒ σ ≈ 72.7720 σ σ σ √ 40
(
)
(
)
19. En cierta fábrica la producción de varillas tiene un comportamiento normal. El costo de producción por cada varilla es de 10 dólares y el precio de venta de cada varilla se fija de la siguiente manera: A 20 dólares si la diferencia de su longitud respecto a la media de la población no supera una desviación estándar de la población. A 16 dólares si la diferencia de su longitud respecto a la media de la población se halla entre una y dos desviaciones estándar de la población. A 11 dólares si la diferencia de su longitud respecto a la media de la población supera dos desviaciones estándar de la población.
CU =10
Andrés Miniguano Trujillo
PL−μ ≤ σ =20 Pσ ≤ L−μ ≤ 2σ =16 PL−μ ≥ 2σ =11 Calcule las utilidades si se venden 25000 varillas.
P ( L−μ≤ σ )=P ( Z ≤1 )=0.9772 P ( σ ≤ L−μ ≤ 2 σ )=P ( 1≤ Z ≤ 2 )=0.1359 P ( L−μ≥ 2 σ ) =1−P ( Z ≤2 ) =0.02275 U=V −C=V 25000−C 25000=25000 ( 20∗0.9772+16∗0.1359+11∗0.02275 )−10 (25000)≈ $ 299243.32 20. La longitud de cierto tipo de agujas tiene comportamiento normal. El costo de producción de cada aguja es de 0.01 dólares y se empacan en tres tipos de cajas. Las cajas tipo A contienen 25 agujas cuyo promedio de longitud se diferencia de la media de la población en menos de un quinto de la desviación estándar de la población. Las cajas tipo B contienen 25 agujas cuyo promedio de longitud se diferencia de la media de la población en mas de un quinto y en menos de dos quintos de la desviación estándar de la población. Las cajas tipo C contienen 25 agujas cuyo promedio de longitud se diferencia de la media de la población en mas de dos quintos de la desviación estándar de la población. Las cajas A se venden a 0.50 dólares cada una, las cajas B a 0.40 dólares sucres cada una y las cajas C a 0.30 dólares cada una.
CU =0.01 P 1 =0.50 L−μ ≤ σ 5
P1
P
5
2 σ ≤ L−μ ≤ σ 5
2 L−μ ≥ σ 5
=0.40
=0.30
Calcule las utilidades si se venden 250.000 agujas.
1 1 P L−μ ≤ σ =P Z ≤ =0.5793 5 5 1 2 1 2 P σ ≤ L−μ ≤ σ =P ≤ Z ≤ =0.07676 5 5 5 5 2 2 P L−μ ≥ σ =1−P Z ≤ =0.3446 5 5 U=V −C=V 25000−C 25000=250000 ( 0.50∗0.5793+0.40∗0.07676+ 0.30∗0.3446−0.01 ) ≈ $ 103367.04
( ( (
) ( ) ) ( ) ) ( )
