3.1 INTRODUCCI6N 3.2
3.3
3.
DOS PERSPECTIVAS DE LA PROBABILIDAD: OBJETIVA OBJETIVA Y SUBJETIVA
3.1
SENSIBIUDAD.
ESPECIFICIDAD Y ALORES QUE PREDICEN POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD
PROPIEDADES ELEMENTALES 3.
DE LA PROBABIUDAD
3.4
TEOREMA DE BAYES. PRUEBA DE CLASIFICACI6N.
CALCULO DE LA DE UN EVENTO
RESUMEN
PROBABIUDAD
INTRODUCCION La teorfa de la probabilidad es el fundamento para la inferencia estadistica. Sin embargo, esta teoria, que es un rama de las matematicas, no es el tema principal de este libro, po 10 que solo se estudiara.n estudiara.n los los conceptos mas im portante s. Lo estudiantes que quieran abundar en este tema, pueden consult ar los libros de probabilidad disponibles disponibles en bibliotecas de muchos colegios universidades. Se recomienda consul consulta las obras de Gu (1), Isaac (2) Lar son (3). Los objetivos de este capitulo son qu el estudiante aument e su capacidad matematica en el area de la probabilidad
brindarle ayuda en la comprension de los conceptos mas
importantes. EI avance a 10 largo de este capitulo capitulo contribuira contribuira de manera important lograr el dominio de los procedimientos de la inferencia estadistica qu se presentan en el resto dellibro. El concepto de probabilidad no es ajeno a los trabajadores de la salud, puesto que 10 encuentran frecuentemente en la comunicacion diaria. Por ejemplo, se puede escuchar que un medico dice qu un paciente tiene un oportunidad de sobrevivir a un operacion de 50-50. 0 bien, otro medico puede decir qu esta 95 or ciento seguro de que paciente tiene un enfermedad en particular. Un enfermera de salud publica puede decir qu de cada 10 57
CAPITULO 3
ALGUNO ALGUNOS S CONCEPTOS Blis ICOS DE PROBABILiSTIC
pacientes suspendenin su cita. Tal como 10 muestran estos ejemplos, mucha gente expresa la probabilidad en terminos d e porcentajes Al abordar con la probabilidad matematicamente, es mas conveniente expresarla como fraccion (los porcentajes resultan de la multiplicacion de las fracciones po 100). De esta forma se mide la probabilidad de ocurrencia de alglin hecho mediant un numero entre cero y uno. Para el hecho mas probable, el numero es mas cercano
a uno, y para el hecho menos probable, el numero es ma cercano a cero. Un hecho que no ocurrir tiene un probabilidad cero, y evento cuya ocurrencia es segura tiene probabilidad de uno. Los investigadores en ciencias de la salud salud continu amente se preguntan si los resultados de sus esfuerzos se dieron solo po casualidad si alguna fuerza actuo para producir los efectos observados. Por ejemplo, suponga que seis de cada 10 pacientes vfctimas de un enfermedad se curan despues de recibir cierto tratamiento. ~ E s probable qu hubiera ocurrido este porcentaje de cura sin que los pacientes hubieran recibido recibido el trat amiento es esto evidenci<;t de un verdader o efecto curativo po parte del tratamiento? Se vera mas adelante que tales preguntas pueden contestarse a traves de la aplicacion de conceptos y leyes de probabilidad. probabilidad.
3.2
DO
PERSPECTIVAS DE lA
PROBABllIDAD: OBJETIVA
SUBJETIVA
Hasta muy recientemente, los estadisticos y matematicos ensefiaban la probabili da como un fenomeno objetivo, derivado de procesos objetivos. El concepto de probabilidad objetiva se puede divid ir bajo los tftulo de 1) proba bilidad cltisica "a priori", 2) frecuencia relativa "a posteriori". La proba bili dad clasica clasica dat a del siglo XVII en los trabajos Pascal y Fermat. Gra n par te d e esta teo ria fue creada al int enta de dos matematicos, Pascal resolver problemas relacionados con los juegos de azar, como el juego de los dados. Algunos ejemplos tornados de dichos dichos juegos ilustran perfectam ente los principios principios d dado normal es lanzado, la probabilidad la probab ilid ad c1a c1asi sica ca.. P ar ejem plo, si 1 es igual a 1/6, y es 10 mismo para los otros cinco lados. Si un de qu caiga carta es sacada al azar de mazo bien barajado, la probabilidad sacar cora zon es de 13/52. Las probabilidades como estas se calculan traves del razonami en to abstracto. No es necesario lanzar un dado sacar un carta para calcular esas probabilidades. Allanzar un dado, se dice qu cad a uno de los seis seis lados tien igual probabilidad de aparecer, si no hay razon que favorezca a alguno de los seis lados. Analogamente, si no hay razon que favorezc favorezcaa el sacar algun carta en particular, se puede decir que cad un de las 52 cartas tiene la misma probabilidad de salir. La probabilidad se define en el sentido clasico como sigue: Probabilidad cl6sica
3.2
DOS PERSPECTIVAS DE LA PROBABILIDAD: OBJETIVA OBJETIVA Y SUBJETlVA
59
DEFINICION
formas, evento p uede oc urrir cuales excluyen mutuamente igualmente probables, estos eventos caracteristica ocurrencia probabHidad igual miN.
Se lee P(E) como "la probabilidad de E". Esta definici6n se expresa como:
P(E)=!!!:...
(3.2.1)
Probabilidad f r e c u e n c i a r e l a t i v a El enfoque de frecuencia relativa de la probabilidad depende de la repetibilidad de algunos proceso la capacidad de contar el numero de repeticione s, as! como el numero de veces qu algun even to de intere s ocurre. En este contexto, s puede definir la probabilidad de observar algun a caracteristica E, de un evento com o sigue: DEFINICION
algun proceso es repetido g r a n n u m e r o d e veces, algun evento resultante, con la caracteristica veces, l a f r e c u e n c i a relativa ocurre ocurrencia min, aproximadamente igual probabilidad
Para expresar esta definicion en forma compacta se escribe:
P(
(3.2.2)
Sin embargo, se debe tener en mente que, estrictamente hablando, min es s610 un estimacion de P(E). Probab ilidad subjetiv En los primeros alios de la decada de 1950, L. J. Savage (4) dio un gran impulso a 10 que se conoce como probabilida d "personalistica" o subjetiva. Este enfoque sostiene que la probabilidad mide la confianza que un individuo tiene en la certeza de un proposici6n determinada. Este concepto no depende de la repetibilidad de ningl in proceso. De hecho, al aplicar este concepto de probabilidad, se puede calcular la probabilidad de un evento qu s610 puede ocu rrir una vez, po ejemplo, la probabilidad de descubrir un cura para el cancer los proxi mos diez aiios Aunque el pu to de vista subjetivo de la probabilidad ha gozado de gran popularidad, los estadisticos qu tienen orientacion tradicional aun no la aceptan de todo.
60
3.3
CAPITULO 3
ALGUNOS ALGUNOS CONCEPTOS UASICOS UASICOS DE PROBABILISTICA
PROPIEDADES ELEMENTALES DE
IA PROBABHIDAD
En 1933 el matematico ruso A. N. Kolmogorov (5) formaliz6 el enfoque axiomatico de la probabilid ad. Las bases de este enfoque estan inmersas en tres propiedades, de las qu se deriva todo un sistema de teorfa de la probabili dad a traves del uso uso de la l6gica matematica. Estas tres propiedades son las siguientes: 1.
Dado alglin proceso (0 experimento) con resultados mutuamente excluyentes ••• , En, la probabilidad de cualquier evento Ei' es (llamados eventos), E]> numero no negativo. Es decir:
(3.3.1)
P(E):?: 0
En otras palabras, todos los eventos deben tener un probabilidad mayor igual acero, requerimiento l6gico en vista de la dificultad de concebir un probabi lidad negativa. Un conce pto clav en el enundado de esta propiedad es el termino resultados mutua,mente excluyentes. Se dice qu dos eventos son mutuamente exclu yentes si no pueden ocurrir en forma simultanea.
2. La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es igual a 1. P(E])
...
P(E,)
1
(3.3.2)
Esta es la propiedad de exhaustividad, y se refiere a qu el observador de un proceso probabilfstico probabilfstico debe contemplar todos los eventos posibles, y cuando se to an todos, su probabilidad total es igual a 1. El requerimiento de que los eventos ••• , En no se traslapen. sean mutuamente exduyentes, especifica qu los eventos Es decir, no pueden ocurrir dos de estos eventos al mismo tiempo 3. Considere dos eventos mutuamente excluyentes, Ei E.. La probabilidad la ocurrencia de es igual a la suma de sus probabflidades individuales. (3.3.3) Suponga que dos
no
mutuamente
que pue
ocurrir al mismo tiempo. En intento po calcular la probabilidad de ocu rrencia de Ei Ej' el problema de traslape ocurr e y entonces el procedimie nto podrfa volverse volverse muy complicado de
3.4
CALCULO DE LA PROBABIIJDAD DE UN EVENTO
3.4 cALCllLO DE IA PROBABllIDAD DE llN EVENTO de anteriores para calcular la probabilidad de eventos espedficos. Se presentanln ideas adiciona
les seglin sea necesario. FJEMPLO 3.4.1
Journ al of Drugs and Alcohol Abuse, Erickson y la revista AmericanJournal En un articulo Murray (A-I) afirman que las mujeres estan consideradas como grupo con ries adiccion a la cocaina, y qu se ha sugerido qu sus problemas co la go especial cocaina so mayores qu en los hombres. Co base en la revision de textos especia lizados y en el anaUsis los resultados estudio original, estos investigadores argumentan argument an qu no hay evidencia de que el us de cocaina en las mujeres exceda al los hombres, que el indice de uso crezca ma rapido en comparacion co el de los hombres, que experimenten experimenten mas problemas. Los sujetos de estudio de Erickson y Murray comprenden na muestra 75 hombres 36 mujeres. Los autores afir ma qu los individuos so un muestra bastante representativa de adictos tipicos adultos sin tratamiento ni encarcelados. La tabla 3.4.1 muestra la frecuencia de us la cocaina en el tiempo vida y el sexo de los individuos. Suponga qu se Q u e escoge a un enos aleatoriamente de entre la muestra. ~ Q u e ~ probabilidad existe qu sea hombre? Soludon: Para propositos ejemplificacion de calculo de las probabilidades, se considera a este grupo de individuos como el grupo total de interes. Es decir, para este ejemplo, se considera a los individuos como una po blacion. Se supone que hombres y mujeres so categorias mutuamente excluyentes, y qu la probabilidad de seleccionar a cualquie persona es igual probabilidad seleccionar seleccionar a cu alquier otra persona. Se defi-
TABlA 3.4.1 Frecuencia de consumo de cocaina entre adultos adictos Frecuencia
el periodo
1-19 veces (A) 20-99 veces (B) 100 veces (C) otal
cocafna
us
vida
Del sexo
genero
masculino (M)
Del sexo femenino (F)
Total
32 18
20
38
39
25
75
34 36
111
FUENTE: Cortesfa de Marcel Dekker, Inc. Reimpresi6n de Patricia G. Erickson y Glenn F. Murray, "Sex Differences in Cocaine Use an Experiences: A Double Standard?", American Journal of Drug and Alcohol Abuse, 15,135-152.
62
CAPITULO 3
ALGUNO ALGUNOS S CONCEPTOS BAsICOS DE PBOBABILISTICA
ne la probabilidad deseada como el numero de individuos con la carac terfstica de in teres (hombre) dividida entre el total de individuos. Se puede escribir en notaci6 n probabilistica como sigue: P(M)
total de hombres Ito tal de individuos .6757 75/ 111
•
En ocasiones, el con unto de todos los "resulta dos posibles" puede constituir un subconjunto del con unto universal. universal. En otras p Iabras, la poblaci6n interes se puede reducir mediante algun co junto de condiciones, no aplicables aplicables a la poblaci6n total. Cuand se calculan las las pro babilida des co un subconjunto del con unto universal como denominador, el resultado es un probabilidad condicional. calculada en el ejemplo 3.4.1, 3.4.1, po ejemplo, se Ie puede consi Al probabilidad calculada condicional, debido a q ue el tamano del con unto uni derar como un probabilidad condicional, versal sirvi6 como denominador. No hubo condiciones impuestas para restringir el tamaiio del denominador. Es posible posible pensa qu esta probabilidad es un probabilidad utiliz6 como numer ador. marginal, porque un de los totales marginales se utiliz6 En la tabla 3.4.1 se puede ve el concepto de probabilidad condicional. condicional.
P r o b a b i l i d a d condicional
EJEMPLO 3.4.2
Suponga que se escoge aleatoriamente a un individuo de entr e lo y se encuen tra que es un individuo del sexo sexo masculino (M). ~ C u a l es la probabili dad de que este individu o haya consumi do cocaina 100 veces veces mas durante su vida (C)? Soluci6n: Ya no
es importante saber el numero total de individuos, porque, al se
leccionar a
individuo del sexo masculino, los individuos del sexo fe eliminados. Entonces, se puede definir la probabilidad Q u e deseada como ~ Q u e ~ probabilidad existe de qu un individuo haya con sumido cocaina 100 veces mas (C) durante su tiempo de vida, dado qu el individuo seleccionado es del sexo masculino (M)? Esta es un proba bilid ad condicional y se se escribe como P(C 1M), donde la linea ver tical se lee como "dado". Los 75 individuos del sexo masculino se vuel yen el denominador de esta probabilidad condicional, y 25, el numero sexo masculino qu consumi eron cocaina 100 vec veces es de individuos del sexo mas durante su tiempo de vida, se vuelve vuelve el numerador. Por 10 tanto, la probabilidad deseada es: menino so
P(CIM)
25/75
.33
•
Algunas veces se quiere encontrar la probabilidad de Probabilidad conjunta conjunta que un individuo seleccionado aleatoriamente a partir de un grupo de individuos po sea dos caracterfs caracterfstica ticass al mi smo tiempo. A esta probabilidad se Ie conoce como probabi lidad conjunta. El cilculo de la probabilidad conjunta se ejemplifica a continuaci6n: EJEMPLO 3.4.3 c u a la l probabilidad de que un per son a seleccio En referencia a la tabla 3.4.1, ~ c u a l ~ es selecciona na individuos sea del sexo masculino (M) que sea da aleatoriamente de entre lo un persona que consumi6 cocaina 100 veces mas durante su tiempo de vida (C)?
.4 Soludon:
CALCULO DE LA PROBABIUDAD DE UN EVENTO
La probabilidad buscada se puede escribir en notacion simbolica simbolica como P( se lee como "interseccion" "y". La ex C), donde el sfmbolo presion indica que la condiciones so un ocurrencia con junta. El mlmero de individuos que satisfacen ambas condiciones desead as es 25, se encuentran en la tabla 3.4.1 en la interseccion etiquetada como columna M renglon C. Puesto qu la seleccion se realiza co el total de individuos individuos del con unto, el denominador es I l l . De tal manera que la prob abilid ad se escribe escribe como: C)
P(
25/111
.2252
La probabilidad se puede calcular a partir de otras probabilidades. Por ejemplo, la probabilid ad conju nta se puede calcular como el producto de un probabilidad marginal un probabilidad condicional adecua das. esta relacion se Ie conoce como regia de la multiplicaci6n de probabilidad. Se ilustra con el siguiente ejemplo:
Regia de la multiplicaci6n
EJEMPLO 3.4.4
Se pretende calcular la probabi lidad con unta de seleccionar un individuo del sex masculino (M) co un frecuencia de consumo de cocafna de 100 veces mas (C) vida, a partir del conocimiento conocimiento de dos probabilidades convenien durante toda su vida, tes, na marginal otra condicional. Soludon:
La probabilidad buscada es P( C). La probabilidad marginal ya esta calculada como P(M) 75/111 .6757, un probabilidad condicional condicional es P(CiM) 25/75 .3333. Enton ces sucede qu estas son las probabi lidades marginal condicional adecuadas para calcular la probabilidad conjunta deseada que se puede calcular como: P( C) P(M)P(CiM) (.6757)(.3333) .2252. Obser ve que esto es 10 qu se esperaba: el mismo resultado resultado obtenido anteriorme nte para P( C). •
Se puede afirmar que la regIa de la multiplicacion en terminos generales es como sigue: sigue: Par a cualesquiera dos eventos B, peA
B)
P(B)P0IB),
si P(B):;:
(3.4.1 )
Para los mismos dos eventos B, la regIa de multiplicacion tambien se escribe P(A)P(B IA), si como peA :;: o. B) Es posible ve a traves de operacio nes algebraicas que la regIa de la multipli cacion, cacion, establecida en la ecuacion 3.4.1, se puede utilizar para encontrar un de las tres probabilidades expresadas si se conocen las otras dos. Por ejemplo, se puede la probabilidad condicional condicional P0 B) dividiendo peA B) PCB). Esta relacion permite defmir formalmente la probabilidad condicional como sigue:
64
CAPITULO 3 ALGUN ALGUNOS OS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA
DEFINICION
igual dado p r o b a b i l i d a d condicional d i v i d i d a entre la probabilidad probabilidad sea diferente probabilidad cero.
Esto es: P(A IB)= P(
B) P(B)
P(B):f;
(3.4.2)
Se ilustra el uso de la regIa de multiplicad6n para calcular la probabilidad condi donal co el siguiente ejemplo: EJEMPl"O 3.4.5
Se pretende utilizar la ecuaci6n 3.4.2 y los datos de la tabla 3.4.1 para enconttar la probabilidad condidonal P( 1M). Soludon: De acuerdo con la ecuad6n 3.4.2,
P(C 1M)
P(C
M)/P(M)
C) Previamente, se obtuvo P(C M) P( 25/111 .2252. Tambi en, se 75/111 .6757. Co estos resultados se puede calcular determin6 que P(M) P(C 1M) .2252/.6757 .3333, el cual, tal como se esperaba, es el mismo resultado qu se obtuvo al utilizar las frecuenci frecuencias as dire ctament de la tabla 3.4.1.
a d i c i o n La tercera propiedad de la probabilidad dada co ante rioridad afirma que la probabilidad de la ocurrencia de uno de los dos eventos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus sus pro babilidades individuales. individuales. Su ponga, po ejemplo, que se escoge aleatoriamente a un persona de entre las representadas en la tabla 3.4.1 es la probabilidad de esta sea del sexo masculino (M del sexo femenino (F)? Se expresa esta probabilidad co los simbolos P( F), donde el simbolo se lee como "uni6n" u " 0 " . Puesto que los dos generos son mutuamente excluyentes, P( (75/111) P(M) P(F)
Regia
(36/111)
1. .6757 3243 si los dos eventos no fueran mutua mente excluyentes? En este caso se uti liza la regIa de la adici6n, la cual se enuncia como sigue: sigue: DEFINICION
Dados la probabilidad eventos ocurra evento evento ambos igual la probabilidad evento evento la probabilidad menos probabilidad ocurran s i m u l t a n e a m e n t e .
3.4
CAI;.CULO DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO
La regIa de la adici6n se puede escribir como sigue: sigue: P(A
B)
P(A)
P(B)
P(A
(3.4.3)
B)
Para ilustrar el uso de la regIa dela adici6n se presenta el siguiente ejemplo. FJEMPLO 3.4.6
Si se escoge aleatoriamente a persona de los individuos individuos repr esentados la tabla 3.4.1, ~ c U i i l ~ es c U i i la l probabilidad de que esa persona sea del sexo masculino (M de que haya co nsumido cocafna 100 veces veces mas durante su tiempo de vida (G) ambas? .
Soluci6n: La probabilidad que se busca es P( C). Co la regIa de adici6n segUn se expresa en la ecuaci6n 3.4.3 esta probabilidad se puede escri C) bi como P( P(M) C). Ya se sabe qu P(M) P(C) P( (M C) 75/111 =.6757 .2252. De la informaci 6n de la 25/111 tabla 3.4.1 se calcul P(C) 34/111 .3063. AI sustituir estos resulta C) se tiene P( C) do en la ecuaci6n para P( .6757 .3063 .2252 .7568. • Observe que 25 individuos que cumplen ambas condiciones: ser del sexo sexo masculino haber consumi do cocafna 100 vece mas, esUin induidos entre los 75 individuos que son de sexo masculino, asf como en los 34 individuos que consumie ron cocafna 100 veces mas. Dado que, en el calculo de la probabilidad, estos 25 se agregaron en el numerador dos vece veces, s, ti enen qu e restarse un vez para superar los efectos de duplicaci6n traslape.
Eventos independientes Suponga que en la ecuaci6n 3.4.1 se dice que el evento ya ocurri6, sin que este hecho afecte afecte la probabilidad deA. Es decir, supon es el mismo pesar de que ocurra no el ga que la probabilidad de evento evento B. En esta situaci6n, situaci6n, P(A IB) prAY. En tal caso se dice que los eventosA y son eventO$ independientes. Por 10 tanto, la regia de la multiplicaci6n para dos eventos independientes se Pllede escribir como sigue: peA
B)
P(B) P(A);
P(A) ;r0, P(B);r
(3.4.4)
Asf, se observa que si dos eventos son indepen dien tes, la probabi lidad de que ocurran conjuntamente es igual al producto de las probabilidades de sus sus ocurre cias individuales. Advierta que d:tando do eventoscon probabilidades diferentes de cero son independientes. cada un de las siguientes sentenciases verdadera:
P(A IB)
P(A), P(B IA) ::: P(B), P(A
B)
P(A)P(B)
Dos eventos no son independientes a men os q ue todas. estas afirmaciones sean ciertas. Es importante estar tonscientes de que los terminos independiente y mu tuam ente exclriy exclriyente ente no significan la misma cosa.
CAPITULO 3
Co
ALGUNOS ALGUNOS CONCEPTOS
e1
siguiente ejemplo
BA.SICOS
se
DE PROBABILISTICA
ilustra el concepto de independencia.
EJEMPLO 3 . 4 ~ 7 3 . 4 ~ 7
En un grupo de preparatoria, que consta de 60 mqjeres y 40 varones, se observa que 24 chicas y 16 muchachos usan lentes. Si un estudia nte es e1egid e1egido o alea toriament e, la probabilidad de qu e el estudiant e use lentes peE), es 401100, .4. C w i l es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente use letHes dado que es un estudiante varon?
a) ~
Solucion: Con
la formula para calcular calcular la probabilidadcondici onal se obtiene como resultado: P ( E I B ) : P ( E n B ) = 16/100 PCB) 40/100
.4
De esta forma, la i nformacion adicional de que el estudiant e e un varon no altera la probabilidad de que el estudiante use lentes, peE) peE B). Se puede decir qu los eventos "ser varon" y "usar lentes" en ese grupo, son independientes. Se puede mostr ar que los eventos eventos "usar len tes", E, "no servaron", B, tambien sonindependientes: pe
IB)
P(EnB)
PCB)
24/100 ",,24
60/100
=.
60
b) ~ C m i l es la p ~ b a b i l i d a d de que ambos eventos, queel estudiante use lentes y sea un varon, ocurran simultaneamente? . Soiucion: Co
el uso'de
Ia
regIa dada enla ecuadon3.4.1 setiene:
PCE n B)
P(B)P(E IB)
pero, tal como ya se mostro, los eventos son iildependientes, enton ces, se sustituye peE B) po peE) para obte ner media nte la ecuacion 3.4.4: 3.4.4: pe
n B)
P(B)P(E)
( 1 : ~ ) ( 1 : ~ ) ( 1 : ~ ) ( 1 : ~ ) =.16
Eventos complementarios Ya se calculo, mediante el usO de la tabla 3.4.1, que la probabilidad de que un persona seleccionada aleatoriamente de entre los individuos sea del sexo masculino es P(M) 75/111 75/111 .6757; que la probabili 36/111 .3243, qlle la suma de estas dad de qu sea del sexo femenino es P(F) .. do probabilidades es igual a 1. Esto eS cierto porque los eventos ser del sexo mas culino y ser del sexo femenino so eventos complementarios. En general, se puede
.4
CAI,CULO DE
LA PROBABIUDAD
DE
UN
EVENTO
hacer la siguiente afirmaci6n de los eventos complementarios: la probabilidad de evento es igual a 1 menos la probabi lidad de su complemento, que se escribe como A, (3.4.5)
(A)
Esto resulta a partir de la tercera propiedad de probabilidad porque el even to, A, su complemento son mutuamente excluyentes. EJEMPLO
3 ~ 4 ~ 8 3 ~ 4 ~ 8
Suponga que de 1200 admisiones al hospital general durante cierto periodo, 75 son admisiones privadas. Si se designaa este como conjuntoA, entonces es igual a 1200 - 7 5 0 450. Se puede calcular que: P(A)
==
.625
750/1200
y P(A)
450/1200==.375
y que P(A)
-P(A)
.375 .375
1 .625 .375
P r o b a b i l i d a d m a r g i n a l Ya se utiliz6 el termino probabilidad marginal pararefe rirse a la probabilidad donde el numerador de la probabilidad es un total marginal de un tabla igual qu la tabla 3.4.1.Por ejemplo, cuando se calcula la probabili da de qu un persona selecciona seleccionada da aleatoriamente entre la 111 personas repre masculino, el numerador de la sentadasen la tabla 3.4.1 sea un individuo del sexo masculino, probabilidad es lacantidad total de individuos del sexo masculino, 75. Por 10 tanto, 111 P(M) .6757. Se puede definir la probabilidad marginal de manera
mas general como sigue: DEFINICION
puede desglosarse Dada alguna variable .•• , Am categorias designadas otra variable p ueda desglosarse ocurrencia conjunta categorias designadas i' •.. Bn,.la P(A) sum.a probabilidad marginal igual las probabilidades conjuntas con todas decir, categorias ••
••
P(A)
Los siguientes ~ j e bilidad marginal. marginal.
LP(Ai m p l o s
para.todoslos valores
muestran el uso
(3.4.6)
la ecuaci6n 3.4.6 paracalcular la proba
CAPITULO 3
68
ALGUNO ALGUNOS S CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILi STICA
FJEMPLO 3.4.9
Se pretende utilizar la ecuaci6n 3.4.6 probabilidad marginal P(M).
los datos de la tabla 3.4.1 para calcular la
Solucion: La variable genero se divide en dos categorias, individuos del sexo mascu lino (M variable consum de cocafna se de sexo femenino (E). La variable divide en tres categorfas: de 1 a 19 veces (A), de 20 99 veces (B)
1000 mas veces (C). La categorfa se tamente co las tres categorias de la cocaina, Las tres probabilidades co P( .2883, P( 32/111
de sexo sexo masc ulino ocurre conjun
variable frecuencia de consumo juntas qu pueden calcularse so .1662, Y P( 18 B) C) 25 .2252. Ahora, se calcula la probabilidad marginal P(M) sumando las tres probabilidades conjuntascomo sigue: P(M)
P(MnA)
.2883 .6757
P(
.1622
P(
.2252
Tal Tal como se espera ba, el resultado es igual al qu se obtuvo al utilizar el total mar ginal para individuos de sexo masculino empleado como numerador el total de individuos, como denominador.
FJERCICIOS 3.4.1 En un estudio de c6mo influye la violencia social y polftica en los riesgos de complicaci6n del embarazo, Zapata et al. (A-2) recopilaron un gran cantidad de informaci6n de una muestra de 161 mujeres embarazadas coli edades entre 19 y 40 aiios inscritas en cuidados prenatales en seis centros de salud en Santiago de Chile. En la siguiente tabla se aprecia la muestra de individuos clasificado referencia cruzada segiin el nivel de estudios el numero de com plicaciones prenatales: Numero
complicaciones prenatales
Total
Escolaridad. (anos)
1-3
22
4·
9-10
;:::11
l
10
53 23 27 12
75 32 37 17
115
161
Cecilia Zapata, Annabella'Reboliedo, Eduardo Atalah, Beth Newman y Mary-Clair King, "The Influence of Social an Political Vio lence on the RiskofPregnancy Complications", Americanjournal of Pu Copyright!> !> American Public He alt h Association. Association. blic Health, 82, 685-69 0. Copyright FUENTE: B.
EJERCICIOS
a) Suponga que Ste escoge escoge aleatoriamente un mujer de este grupo. ~ existe de que sea un mujer co dos mas coll.lplicaciones prenatales? b)
~ C 6 m o
Q u e
probabilidad
se Ie llama a la probabilidad calcuIada en el inciso a?
c) Muestre como se calcula la la probabili dad de inciso a co do metodos adicionales.
escoge aleato riamen te a un mujer,
mas
e) (Como se Ie llama a la probabilidad de inciso d?
escoge aleatoriamente f) Suponga que se escoge
un mujercon na ninguna complicacion du rante su embarazo. (Que probabilidad existede que tenga 11 aftos mas de educaci6n?
g) iC6mo se Ie llama a la probabilidad de inciso f? h) Suponga que se escoge aleatoriamente a un
mujer. (Cual es la la probabil idad de qu tenga dos mas complicaciones durante su embarazo que tenga menos de cuatro aftos de esco laridad, qu presente ambas condiciones? i) iComo se Ie llamaal metodo para obtener la probabilidad de inciso h?
3.4.2 En un articulo publicado en la revista Canadian Journal o/Public Health, Hammoud Grindstaff (A-3) afirmaron que se estima que aproximadamente 15 po ciento de la poblaci6n de adul tos canadienses son discapacitados en cierto grado. Los autores examinaron un muestra de la poblaci6n adulta de Canada para determinar las caracterfsticas de los disca pacitado s ffsi ffsi camente hacer un comparaci6n co una muestra aleatoria de person as sanas fisicamente de los mismos grupos de edad. La siguiente tabla tiene los datos de los sujetos de Ia mues tr clasificados po estado de discapacidad ocupaci6n, po referencia referencia cruzada.
Estado
Ocupaci6n
Administrativa Oficina Servicios Primaria Manufactura
Total
Discapacitados
discapacidad
Sanos
Total
784 541
333 26 320 68 297
451 281
62 317
614
1278
1427
2705
316
636 130
FUENTE: Ali M. Hammoud Carl F. Grindstaff, "Sociodemographic Characteristics of the Physically Disabled in Canada", Canadian journa.l a/Public Health, 83 57-60,
a) eCuantas probabilidades marginales se pueden calcular a partir de estos datos? Enuncie cada un en notacion de probabilidades realice los cilculos. b) eCuantas probabilidades co juntas se pueden calcular? EnCmcieIas en notaci6n de proba bilidades realice los cilculos. c) (Cu
CAPITULO 3
70
ALGUNOS ALGUNOS CONCEPTO S BAsICOS DE PROBABILI PROBA BILISTIC STIC
f) Galcule co la regia de la multiplicaci6n la probabilidad de que un persona seleccionada aleatoriamente sea discapacitada, dado que tiene empleo en el area de la manufactura. g)
~ C 6 m o
probabilidad calculada calculada en el inciso f?
se Ie llama
. h) Utilice Utilice el conce pto deeventos complementarios para calcularla probabilidad de qu persona seleccionada aleatoriamente sea un empleado administrativo. 3.4.3
Consulte los los datos del ejercicio ejercicio 3.4.2, y enunc ie las siguientes probabilidades co a) P(Oficinista
fisicamente sano)
b) P(Oficinista
ffsicamente sano)
c) P(Oficinista
na
palabras:
fisicamentesano)
d) P(Oficinista) .' 3.4. 4
Sriins Sriinsky ky et al. (A-4) realizaron un estudio para evaluar la eficacia eficacia y segurida de una prepara , cion de mesalami'na oral recubierta de poHmero sensible al pH en pacientes co actividad de leve a moderada de colitis ulcerosa. En la siguiente tabla se muestran los resultados del trata mientoal final de seis semanas, po tratamiento recibido:
-------
GJ:upo en tratamiento Resultado
Placebo
Mesalamina, 1.6 gldia
8 12 22
13
'.
Mesalamina, 2.4 gldia
En
Mejorado Estable Empeorado
15 14
11
14
FUENTE: Reproducido con autorizaci6n de Charles A.Sninsky, David
H. Cort, Fergus Shanahan,
Bernard J. Powers, John T. Sessions, Ronald E. Pruitt, Walter H, Jacobs, Simon K. Lo, Stephan R.
Targan, James J. Cerda, Daniel E. Gremillion, \,yjlliam \,yjlliamJ, Snape, John Sabel,. Sabel,. Horaci o J inich, James M, Swinehart y Michael Michael P. DeMicco, "Oral Mesalamine (Asaco (Asacol) l) for Mildly. Mildly. to Mo deratel y Activ Ulcerative Colitis" Annals of Internal Medicine, 115,350-355,
a) ~ C u a l es la probabilidad de qu un paciente selecciona seleccionado do aleatoriamente entre en remi si6n al final de seis seis semana s? b)
~ C u a l
es la probabilidad de qu unpaciente qu recibeplacebo logre la remisi6n al final
de las seis semanas?
c) ~ C u a l es la probabilidad de qu un pacienteseleccionado aleatoriamente haya entrado en remision y sea un de los que recibio placebo? d)
es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente sea un de los posea ambas qu recibieron dosi de 2.4 g/dia este en la lista de pacientesmejorados, condiciones? ~ C u a l
3.4.5 Si la probabilidad de ser zurdo en un grupo es de .05, (suponiendo que no hay ambidestreza)? 3.4.6 3.4.6
~ c u a l
es la probabilidad de ser diestro
La prob probabi abilid lidad ad de que un paciente seleccionado aleatoriamente entre los residentes actua les de un hospital sea del sexo masculino masculino es de .6. La probabilidad de qu el paciente sea del sexo masculino y haya sido internado para cinigia es de .2, Un pacie nte seleccionado aleat riamente entre los residentes actuales es de sexo masculino, ~ c u a I es la probabilidad de qu el pacienteeste pacienteeste internado para cirugia? '
3.5 TEORKMA TEORKMA DE-BAYES,PRUE BA DE .CI,ASIFICAC .CI,ASIFICACION, ION, SENSIBILIDAD
71
3.4.7 En cierta poblaci6n de pacientes hospitalizados la probabilidad de que un paciente, seleccio nado aleatoriamente, est€ enfermo del coraz6n es de .35. La probabilidad de que un pacien de
..
es
seleccionado seleccionado aleatoriamente, de esta poblaci6n, poblaci6n, sea fum ador
un est€ enfermo del coraz6n?
3.5
TEOREMA DE BAYES, PRUEBA DE CIASIFICACION, SENSmHIDAD, ESPECIFICIDAD VALORES QUE PREDICEN POSITIVIDAD NEGATIVIDAD En el campO de ciencias de la salud se utiliza ampliamente la aplicacion de leyes de probabilidad y conceptos relacionados en la eva,luacion de pruebas de detec cion y criterios de diagnostico. A los medicos les interesa tener mayor capacidad para predecir correctamente la presencia ausencia de una enfermedad en par (positivos.o negativos) de prue ticular partir de conocimiento de los resultados (positivos.o bas y el estado de los sfntomas (presentes a u s ~ n t e s ) qu se m ~ m i f i e s t a n . Tambien, es de interes la informacion respecto a la probabiFdad de resultados positivos la, probabilidad d.epresencia ausencia de un sfntoma negativos l ~ s pruebas enfermedad en particular pacientes co sin espedfico En pruebas de deteccion se debe considerar co (:uidado qu no siempre son falso positivo un falso pruebas irifalibles. Es decir, el procedimiento puede da
negativo, DEFINICIONES
falso positivo resulta cuando una·prueba indica qu estado es positivo, cuando en realidades negativo.
1. Un
2. Un falso riegativo resultacuando una pmeba indica que estado es negativo, cuando en realidades positivo. En resumen, se debe responder a las siguientes preguntas para evaluar la utilidad de los resultados de la prueba elestado de los sintomas para determinar si el individuo ti ene no alguna enfermedad
1. Dado que un individuo tiene la enfermedad,. ~ q u e prqbabilidad existe de qu la prueba resulte J?ositiya (01a presencia de un sintoma)? , 2. Dado qu individuo no tiene que laprueba: resulte negativa (0
enfermedad, ~ c u a l es la probabilidad de un sintoma)? i a ~ m s e n c i a
3. Dada una prueba positiva de deteccion. (0 la presencia de sintoma), prob,abilidad existe de que,el individuo tenga la enfermedad?
~ q u e
unaprueba de deteccion (0 la ausencia de 4. Da:do Da:do el resultado negativo •. sintoma), ~ c m i l eslaprobabilidad de qu individuo no tenga la en fermedad?
72
CAPiTULO 3 ALGUNOS ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILiS TICA
Muestra individuos ( c o n n c1asificados cruzada segnn el estado enferlOedad resultado prueba detecci6n' TABlA 3.5.1 lOuy
Enfermedad Resultado de la prueba
Presente (D)
Ausente
Positivo cn N egativo cn Total
D)
Total
a+b d a.
Suponga que para un IDuestra individuos (donden es un numero grande) se tiene la informaci6n que se muestra en la tabla 3.5.1. tabla muestra para estos individuos sus sus estados estados con respecto a l a enferme dad, es el resultado de un prueba de detecci6n disefiada para identificar a los individuos individuos enfermos. Las en tradas de las casi llas n:!presentan el nfunero de individuos que caen en las categonas definidas po los encabezados de rengl6n' columna. Pot ejemplo, es el numero de individuos que tienen la enfeime dad un resultado positivo positivo en la prueba de detecci6n. Tal como se explic6; 'se puede cakular un gran variedad de probabilidades a partir de la informaci6n desplegada en una tabla de doble via como la tabla 3.5.1. Por ejemplo, se puede calcular la estimaci6n de la probabilida d condiciona peT D) a / c). Esta proporci6n es un estimaci6n de lasensibilidadde la prueba de detecci6n. (a DEFINICION: sintoma) resuhBdo positivo prohahilidad prueha sintoma) dada la presencia (presencia ausencia enfermedad. sensibilidadde una prueha
Tambien se puede cakular la estimaci6n de la- probabilidad condicional (b +d). Esta proporci6n es unaestimaci6n d e l a especificidad de la
115)
prueba de detecci6n. DEFINICION u n a p r u e h a (0 s i n t o m a ) especificidad prohahilidad r e s u l t a d o n e g a t i v o d e 1a p r u e h a (0 ausencia enfermedad. ausenciadel- sintoma) dada
partir de los datos de la tabla 3.5.1 puede responderse pregunta co el ca.lculo ca.lculo de la estimaci6n de la probabilidad condicional P( I, T). Esta proporci6n es un estimaci6n de la probabilidad Hamada valor que predice la positividad de un prueba de detecci6n (0 de sintoma).
3.5
73
TEORE MA DE BAYES, BAYES, PRUE BA DE CLASIFICACION, SENSIBILIDA
DEFINICI6N
El valor que predice lapositividad de una prueba detecci6n sintoma) es la probabilidad individuo tenga enfermedad, dado individuo presenta la prueba resultado positivo detecci6n pr esen ta el sintoma).
Amilogamente, la expresi6n p ( D I T) es un estimaci6n de la probabilidad condicional de que individuo no presente la enfermedad dado que el resultado de la prueba de detecci6n es negativo (0 no presenta el sfntoma). La estimaci6n de se llama valor que predice la negatividad de la la probabili dad mediante esta proporci6 n se prueba de detecci6n del sfntoma. DEFINICI6N
la prueba de valor que predice lanegatividad d e t e c c i 6 n (0 s i n t o m a ) probabilidad que el i n d i v id id u o n o t e n g a enfermedad, dado resuItado prueba decir negativo detecci6n sintoma). presenta
La estimaci6n del valor qu predice la positividad negatividad de un prue ba (0 sintoma) puede obtenerse a partir;del conocimiento de la sensibilidad y espe cificidad de la prueba (0 del sintoma) sintoma) y delaprobabilidad de la enfermedad relevante en la poblaci6n general. Para obtener la estimaci6n de estos valores de predicci6n se utiliza el teorema de Bayes, teorema de probabilidad atribuido a Thomas Bayes (1702-1761), c U ~ r i g o c Ingles U ~ r i g o iriteresado en las matematicas. Acontinuaci6n se enun cia el teorema de Bayes, co la notaci6n indicadaen la tabla 3.5.1 para obtener el valor qu predice la positividad de una prueba de detecci6n (0 sfntoma): P(
IT
=
pe
pe
D)P(D)
ID)P(D)+P(T ID)P(D)
(3.5.1)
EI amHisis de la composici6n de la ecuaci6n 3.5.1 resulta instructiva: Re cuerde que seglin la ecuaci6n 3.4.21a probabilidad condicional P(D T) es igual a P(D 11 T)/P(T). Paracomprender la 16gica de teorema de Bayes, se debe identifi ca qu e1 numerador de la ecuaci6n 3.5.1 representa P(D 11 T) qu el denomi nador representa P(T). Se sabepor la regIa de.la multiplicaci6nde la probabilidad dada en la ecuaci6n 304.1 queel numerador de la ecuaci6n 3.5.1, P(TID) P(D), es igual a P(D 11 T). Ahora, observe que el denominador de la ecuaci6n 3.5.1 es igual a P(T). Se sabe positivo co qu el evento es el resultado de qu un individuo esta clasificadocomo positivo respecto a la prueba de detecci6n (clasificado (clasificado con presenci de sfntoma). Un indi viduo clasificado como positivo puede tener no la enfermedad. Por 10 tanto, la ocurrencia de es el resultado de un individuo con la enfermedad prueba positiva [P(D 11 T)] qu sin la enfermedad y con prueba positiva [P(D 11 T)]. Estos dos
74
CAPITULO 3
ALGUNOSCONCEPTOS BA.SICOS DE PROBABILISTICA
eventos son mutuamente excluyentes (su intersection es cera) y, consecuentemen te,·par la regIa de adici6ndada pa laecuacion 3.4.3, se puede escribir: P(T)
P(
T)
(D
(1
T)
Puesto que, or Ia regIa regIa de la multiplication, P ( D n T) '=P(T D)P(D) p ( f I D ) P(D), se puede reescribir la etuaci6n 3.5.2 como sigue: P(T)
i.
:=
D)P(D) +P(T 115)P(D)
pe
(D
T)
(3.5.3)
este es el denominador de la ecuad6n 3.5.1.' Tambien, advierta qu el numerador de la ecua ci6 n 3.5.1 3.5.1 es igual a la sensibi lidad po la tasa (de prevalenda) de la erifermedad; el denominador es igual sensibilidad po la tasa de la enfermedad mas el t e r m ~ n o t 1e r menos m ~ n o la sensibilidad po el termino 1 menos Ia tasa de la enfermedad. La evaluacion de laecuaci6n 3.5.1 responde pregunta 3. Para responder sigue, ahora; la linea de r azonam ient o ya conocida para llegar al la pregunta 4 se sigue, siguiente enuRciado del te orema d e Bayes Bayes P(DIT}=
P(TID)P(D) pe
ID P(D) + P ( T ID P(D)
(3.5.4)
" La ecuad6n 3.5.4 p e r m i ~ e calcular estimaci6n de la prababilidad de qu el individuo con prueba negativa (0 qu no presentael sfntoma), no tenga la enferme dad, la cual. cual. es el valor que predice la negativ idad de la prueba de detecci6n del sfntoma. , Con el siguiente.ejemplose muestra el us del teorema de Bayes para calcular el valor qu predice la positividad: FJEMPLO 3.5.1 Un equipo de investigac investigaci6n i6n medica pretende evaluar un prueba de detecd6n pro puesta para la enfermedad de Alzheimer. Alzheimer. La pr ueb a se basa en un muestra aleatoria de 450 ehfermos en otra muestr a aleatoria indep endien te de 500 pacientes que no . presentansfntomas de la enfermedad. Las dos muestras se obtuvieron de una pobla cion de individuos con edades de 65 alios mas. Los resultados son los siguientes:
eDiagnostico
Alzheimer?
Resultado
prueba
Sf
(D)
No ( j j )
Total
Positivo (T) Negativo
436 14
4 ~ 5
441 509
Total
450
500
950
EJERCICIOS
75
estos datos se estima quela prueba·de sensibilidad es P(TID) 436/450 .97. La especificidad de la prueba es pCt l5) ::::: 495/500 .99. Ahora, con estos resultados se calcula el valor que predice la positividad de la prueba. Esto es, se pretende estimar la: probabilidad de que un individuo con pnieba positiva este 436/ enfermo de Alzheimer. A partir de los datos tabuladosse calcula P(TID) 45 .9689,-y qu P ( T I D ) 5 / 5 0 0 .01. La sustitucion de estos resultados en la ecuacion 3.5.1 da: Co
P(
IT)
(.9689) P(D) (.9689) P(D)
(.01) P(D)
(3.5.5)
Note que el valor qu predice la positividad de la pruebadepende de la tasa de la enfermedad en la poblacion relevante en general. En este caso 1a poblacion mas representativa representativa esta for mada po individuos de 65 aflos mas. Se hace enfasis de que la tasa de enfermedad la poblad6n general mas represeniativa, P(D), no se puede calcular a partir de los datos de la muestra, porque -las dos muestras inde pendient es se obtuvieron de dos pobladones distintas. Por 10 tanto, se debe buscar en otro lugar un estimaci6n de P(D). Evans et at. (A-5) estimaron qu 11.3 po ciento de la poblacion de 65 aflos mas en Estados Unidos tiene la enfermedad de Alzheimer. Al sustituir la estimacion de P(D) en la ecuacion 3.5.5 se obtiene: P(
IT
(.9689) (.113) (.9689) (.113)+(,01) (1-.113)
Tal como se puede apreciar, en este caso, el valor predictivo de la prueba es muy alto. • EJERCICIOS 3.5.1 Un equipo de investigacion medica pretende evaluar la utilidad de cierto sintoma (Hamado S) para el diagn6stico de determinada enfermedad. En un muestra aleatoria independien te de 775 paci entes con esa enferme dad, 744 present aron el sintoma. sintoma. En una muestra aleatoria independientede 1380 individuos sin la enfermedad, 21 presentaron elsintoma. a) Para el contextode este ejercicio, ~ q u e ~ es q u un e falso positivo? b) ~ Q u e es un falso negativo? c) Calcule la sensibilidad de los sintomas d) Calcule la especificidad del sfntoma e) Suponga que se sabe que la tasa de la enfermedad en la poblaci6n en general es .OOL 2Cuai es el valor que predice la positividad del sintoma? 1) ~ C u a l es el valor que predice la negatividad del sfntoma? sfntoma? g) Calcular los valores que pred icen la positividad y la negi ltividad' del sfntoma para las siguientes tasas hipoteticas: .0001, .01 Y 10. . h) Co base en los los resulta dos que se obtuvie ron en el inciso g, ~ q u e sepuede conduir acerca de los v a l o r e ~ que predicen el sfntoma? 3.5.2 En un articulo titulado "Probability an Characteristics of Human Immunodefi ciency Viru Infection in Male Greek Military Personnel with Tuberculosis", publicada en la revista Respiration [62, 280-285], Bouros fJt at. utihzaron el teorema de Bayes para calcular la proba
76
CAPiTULO 3
ALGUNO ALGUNOS S CONCEPTOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILtST ICA
bilidad de que pacientes con tuberculosis esteninfectados con el VIE. Si puede conseguir este articulo, lea y escriba un crttica del mismo que incluya la respuesta a las siguientes preguntas: a)
autores emplearo ncorr ectam ente el t eorema de Baye Bayes? s? Expliqlle Expliqlle su respuesta. b) ~ S e utilizaron las estimaciones de probabilidad correctas en los calculos? Explique su respuesta. ~ L o s
~ E x i s t e suficiente informacion disponible para repetir los calculos? Si es as!, (se puede llegar a los mismos resultados?
c)
3.5.3
esta disponible el articulo 'de Katz Katz et al. ["Use of Bayes's Theorem to Estimate th Impact of the Proposed CD4-Based Expansion of the AIDS Case Definition",joumal of Acquired Immune Deficiency Syndromes, 6, 295-297], le y escriba un crttica que incluya las las respue stas a Si
las siguientes preguntas:
a)
unq aplicaci6n apropiada del teorema de Bayes? Explique su respuesta.
diferencias entre esta aplicaci6n del teorem de Bayes y la aplicacion presentada b) (Existen diferencias el ejercicio 3.5.1? Explique su respuesta. en
3.6 RESUMEN En este capitulo se presentan algunas de las ideas basicas y conceptos de probabili
dad. EI objetivo es proveer suficiente "intuici6n" sobre la materia, de manera que los aspectos probabilfstico de la inferencia estadistica puedan se Hicilmente com
capftulos posteriores. prendidos y apreciados Se define como probabilidad a un m1mero entre 0 y qu mide la posibilidad de que ocurra alg(m evento. Se hace la distinci6n entre probabilidad subjetiva y objetiva. La probabilidad objetiva se puede subdividir como probabilidad clasica las tres propiedad es de probabilidad, se de frecuencia relativa. Despues de establecer las
define mues tra el carcul de los siguientes tipos de probabilidad: marginal, conjun ta y condicional. Se aprende c6mo aplicar las reglas de adici6n multiplicaci6n para calcular ci,ertas probabilidades. Se estudia el significado de eventos independientes, mutuamente excluyentes excluyentes y complementarios . Tambien, se es tudia el significado de especificidad, sensibilida d y valores qu predi cen la positividad y negatividad aplica dos a pruebas de detecci6n sintomas de enfermedad. Finalmente, se aprende c6mo utilizar el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de qu individuo este enfermo, dado qu el individuo tiene resultado positivo positivo en la prueba de detecci6n correspondiente). (0 bien, presenta el sintoma correspondiente).
PREGUNTAS 1.
EJERCICIOS DE REPASO Defina los siguientes conceptos: a) Probabilidad
b) Probabilidad objetiv d) Probabilidad clasica
c) Probabilidad subjetiva e) Concepto de probabilidad de frecuencia relativa
Eventos m utuame nte excluyente excluyente f) Eventos
g) Eventos independientes
h) Probabilidad marginal.
REGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO
Probabilidadcondicional
i) Probabilidad conjunta
2. .
77
k) Regia de la adici6n
I) RegIa de la multiplicaci6n
m) Eventos Eventos complement arios
n) Falso positivo
0) Falso negativo
p) Sensibilidad
q) Especificidad
r) Valor Valor que predic e la positividad
s) Valor qu predice la negatividad
t) Teorema de Bayes
Nombre y explique explique las tres propiedades de la probabilidad. arlais et ai. (A-6) examinaron el fracaso para mantener reducido s los riesgos de SIDA en intravenosas en la ciudad de Nueva York. La siguiente un estudio de consumo de drogas intravenosas tabla muestra a los sujetos de estudio, en referencia cruzada; po estado de reducci6n de riesgos y numero de compaiieros sexuales en un mes promedio: Estado de reducci6n de rlesgos Nu.mero de compafteros sexuales/mes
Ninguno
Sin mantener Mantiene Total
>1
20 37 20
17 45 54
43 95 67
177 141
Total
77
116
205
398
Ninguno
80
Cortesia de Marcel Dekker, Inc. Reimpreso po Don C. Des Jarlais, Abu Susan Tross, "The Next Problem: Maintenance of AIDS Risk Abdul-Quader Reduction Among Intrave nous Drog Users", The InternationalJournal o/the Addictions, 26, 1279-1292. FUENTE:
a) Si se selecciona a un individuo al azar, (cmiles la probabilidad de que este individu no haya iniciado ninguna reducci6n de riesgo?
b) Si se selecciona a un individuo al azar, azar, y este ha tenido mas de un compaiiero sexual, es la probabilidad de que haya manteni do la reducci6n de riesgo?
~ c u ; i l ~ c u ; i l
c) Si se selecciona aleatoriamente a un individuo, ~ c u a I es Ia probabilidad de qu no haya tenido compaiieros sexuales sexuales y que no haya mantenido 1;:,t,reducci6n de riesgo? d) Si se selecciona al azar a un individuo, ~ c u a l es la probabilidad de qu haya tenido un compaiiero sexual no haya iniciado la reducci6n de riesgo? 4. El prop prop6si 6sito to del del estudio estudio de Gehan Gehan et ai. (A-7) es definir Ia dosis dosis 6ptim a de lidocaina necesaria necesaria para reducir el dolor en la inyecci6n de propofol. De acuerdo cones tos investigadores, investigadores, el propofol utiliza como agente de acci6n rapida para inducci6n de anestesia. anestesia. Sin embargo, embargo, a pesar de se utiliza esto, muchas desventajas limitan su utilizaci6n debido al dolor generadci. Otros estudios mues tran que la lidocama intrave intravencis ncisa a suministrada antes con el propofol reduce la frecuenda de dolor; dolor; En el estud io de Gehan et ai. (A-7) se utilizaron 310 padentes que recibieron anestesia. Se clasific clasific6 6 a los pade nte en cuatro categonas de acuerdo con la dosis de lidocaina. El grupoAno recibi6lidocama, en tanto que los grupos B, D recibieron .1, .2 .4 mglkg, respectivamente, mezclado con propofol. EI grado de dolor experimentado experimentado po los padentes se calific6 de 0 a 3; los padentes que no experimentaron dolor recibieron un calificaci6n de O. La siguiente tabla muestra a los padentes, dasificados dasificados en referencia referencia cr uzada po grupo segCtp niveles de dosis y calificaci6n po dolor:
78
CAPITULO 3
ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA
Grupo
Calificaci6n Total
or dolor
Total FUENTE:
49 16
73
58
5
6 0
77
86
71
62
242 38 25
76
31
G. Gehan, P. Karoubi, F. Quinet, A. Leroy, C. Rathat
J. L. Pourriat, " Optimal Dose of Lignocaine for Preventing
Pain on Injection of Propofol", 66, 324-326. .
a)
BritiSh journal of Anaesthesia
Encuentre las siguientes probabilidades 1. P(O
D)
2. PCB
2)
expliquesu significado:
3. P(3IA) 4. P(C)
) Expl Expliq ique ue porqu porquee cad un de las' siguientes ecuaciones es 1. P(O l i D )
2. P(2
C)
3. peA) 4. PCB
peA (10) 2)
5.P(DI0)
6. P(C 7. P(;t
8. P(2
.
II
P(C PCB)
no un
afirmaci6n verdadera:
0)
2)
peA
II
1)
peA
II
2)
P(;t (13)
P(2)
P(D) P(C) pel)
II
B)
D)
P(D) P(21 D)
9. PCB (10)
PCB) PCB 0)
un centenar de mujer es casadas se le pregunt6 que metodo de control natal preferfan. preferfan. La siguien te tabla mues tra las 100 respuestas clasificadas en referencia cruzada po nive! educa tivo metodo de control.
. Nivel escolar
Metodo de
control, natal
Preparatoria Prep aratoria
Universidad
15
8
10
3
33
23
(A)
3 5
Total
(B)
Posgrado
(C)
Total
20 15
30 30 25
44
100
15
REGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO
79
Encuentre las siguientes probabilidades: a) P(S)
b ) P ( V u C)
e) P(A vv)
t) p ( j j )
c) P(A) P(
d) riB riB))
peW)
h) P[(T
C)]
6. EI departamento de salud de ciert o pais recibe 25 solicitude para una vacante que hay para solicitudes, 10 son de mayores de 30 aiios y.15 de un enfermera en salud publica. De estas solicitudes, menores de 30 aiios de edad. D i e c i s i e t ~ tienen estudios universitarios universitarios y ocho ti enen grado de maestrfa. De las que tienen menos de 30 aiios, seis tienen grade de mae stria. Si al az ar se hace un selecci6n de entr e las 25 solicitantes, solicitantes, ~ c u a l es la probab ilidad de se1eccionar se1eccionar un persona que tenga mas de 30 aiios de ~ d a d que tenga grade de maestrla? 7.
La siguiente siguiente tabla tabla muestra 1000 1000 aspirantes a la escuela escuela de enfermeria, clasif clasifica icadas das de acuer do co n las calificacione calificacioness logr adas en el examen de ingreso, ingreso, a la univers idad y a la cal idad de la escue1a preparatoria de la que son egresadas, segU un gmpo de profesores:
Caiidad
las escuelas preparatorias
Promedio
Deficiente
Superior
Calificaci6n
(P)
(A)
(S)
Total
Baja (L) Media (M Alta (H
105 70 25
60 175 65
55 145
300
220 390 390
Total
200
300
500
1000
seleccionadaa aleatoriamente de este grupo: a) Calcule \a prob
b) Calcule
calificaci6n alta
que sea graduada de un preparatoria de nivel superior.
siguientes probabilidades: '
I.P(A)
2. P(H)
4.P(A IH
5.·P(M r i P )
3. P(M) 6. P(HIS)
8. Si la probabllidad de que un enfermera en salud publica publica encuentre un paciente en casa es de .7, ~ c u a l es la probabilidad (suponga independencia de evento&) de que en dos visitas domiciliarias hechas en un dla ambos pacientes esten en casa?, 9. La siguiente tabla muestra el resultado de 500 entre entrevist vistas as hecha hechass durante un investigacion legalizacion del aborto. para estudiar la opini on de los residentes de derta ciu dad acerea de la legalizacion 'Los datos estan clasificados po area de la ciudad en donde se aplico cuestionario.
CAPITULO 3
80
ALGUNOS ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTI CA
Resultado
A favor
Area de
.l
contra
(Q)
(F)
ciudad
Total
Abstinencia
(R)
Total
100 115 50 35
5 60 50
40
125 125 125 125
300
135
65
500
20
15
, a) Si aleatoriamente se selecciona selecciona un'cuestionar io de entre los 500, de que:·
~ c u a l
es la probabilidad
1. el encuestado este a favor de la legalizaci6n legalizaci6n del abor to? 2. el encuestado este en coritrade la legalizaci6n de aborto? 3. el encuestado se abstenga? en
area A, B,"D, E?
5. el encuestado este a favor de la legalizaci6n de aborto, dado que reside en el area B? 6. el encuestado se abstenga
resida en el area
D?
b) Calcule las siguientes probabilidades: 1. P(A 4. P(Q
D)
2. P ( Q u D )
3. P(D)
5. P(B
6. P(F)
R)
10. En un poblaci6n, poblaci6n, la probabilidad de que un individuo, elegido aleatoriamente, se exponga determinado alergeno y tenga'una ieacci6n frerite al mismo es de .60. La probabilidad de individuo expuesto al alergeno expedmente una reacci6n alergica es de .8. Si un qu un individuo c u a probabilidad l e s individuo es elegido aleatoriainente deesta poblaci6n, ~ c u a l e s ~ la de que se exponga al alergeno? 11. Suponga que 3 po ciento de una poblaci6n de adultosha intenlado suicidarse. Tambien se sabe que 20 po ciento de esa pobl aci6n viv en condiciones extremas·de pobreza. Si estos dos d e p e n d i e n t e s , ~ c u a de I eventos son i n d e p e n d i e n t e s , ~ c u a Ii n eslaprobabilidad que unindivi duo elegido aleatoriamente haya intenta do suicidarse ademas.viva en condiciones extremas de pobreza? 12. En un poblaci6n de mujeres, 4 po ciento tienen cancer de pecho, 20 po ciento son fuma· doras y 3 or ciento son fumadoras y tienen cancer de pecho. Si un mujer es elegida al azar de entre esa poblaei6n, ~ c u a l es la probabilida de qu tenga,cancer de pecho, sea fumado caracteristicas? tenga ambas caracteristicas? '
.
probabilidad de qu un persona elegida al azar de entre un poblaci6n presente el sintoma caracteristico de una enfermedad es de .2, y la probabilidad de que un persona elegida aleatoriamente presente esa enfermedad es de .23. La probabilidad de elegir a un persona qu tenga el sintoma y tambien la enfermedad es de .18. Si un persona elegida al azar de entre esa poblaci6n no presenta el sintoma, ~ c u a I ~ es c u a la I probabilidad de que tenga la
enfermedad?
14.
Para Para cierta cierta poblaci6n poblaci6n se definen los siguientes eventos para las edades de las madres en el 20-24 aDOS, 25-29 aDOS, 30-44 momenta de dar a luz: menos de 20 aDOS, aDOS. Lo eventos A, B, Cy D' en pares ~ s o n ~ mutuamente excluyentes? s o n
15. En referencia al ejercicio 14, 14, establezca con palabras e l'even to
(A
B).
ffiLIOGRAFIA
16. En referencia al ejercicio ejercicio 14, establezca con palabras el evento
(B
17. En refere referencia ncia al ejer ejerci cicio cio 14, -=omente respecto al even o G
B).
(A
81
C).
eventos con respecto los niveles de lipoprotefna 18. Para cietta pobhici6n se definen los siguientes eventos del plasma (mg/dl):A (mg/dl):A (l0-15); y mutuamente ( ~ 3 0 ) ; C= ($ 20). ~ S o n ~ los S o n eventosA exduyentes? C?, i.E C? Explique su respuesta para cada pregunta. 19. En referencia al ejercicio 18, 18, establezca con palabr as el significado de los siguientes eventos: a)AuB
b)AnB
d)AuC
c)AnC
20. En referencia al ejercicio ejercicio 18, establezca con palabras el significado de los siguientes eventos. a) 21.
b)
c)
La siguiente tabla muestra los resultados de la evaluaci6n de la prueba de detecci6n en la qu participaron un muestra aleatoriade 650 individuos con la. enfermedad y una segunda muest muestt:a t:a aleatoria ind ependien te de 1200 individuos individuos sin la enfermeda d.
Enfermedad Resultado del examen
Presente
490
Positivo
160
Negativo
Ausente
70 1130
a) Calcule la sensibilidad de la prueba. b) Calcule la especificidad de la prueba. c) Si la tasa de la enfermedad en la poblaci6n en general es .002, ~ la positividad positividad de la prueba?
c u a I
es el valor valor que predi ce
d) un estimaci6n satisfactoria 650/1850 de la tasa de la enfermedad en la poblaci6n general? Explique su respuesta. 22. La sensibilidad de un prueba de detecci6n es de .95 y su especificidad especificidad es .85. La tasa de la enfermedad para la que utiliz 6la pru eba es de .002 ~ C m l l es el valor que predice la positividad de la prueba?
BmUOGRAFiA Bibliografia de metodologia 1.
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CAPITULO 3
ALGUNOS ALGUNOS CONCEPTOS
BA.SICOS
DE PROBABILISTICA
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Do
..
