13.1 INTRODUCCI6N
13.8
ANA.LlSIS ANA.LlSIS UNILATERAL DE LA VARIANCIA POR JERARQuiAs DE KRUSKAL-WALLIS
13.9
ANA.LISIS BILATERAL DE LA VARIANCIA PO JERARQUiAS DE FRIEDMAN
13.2 ESCALAS DE MEDICI6N 13.3 PRUEBA DE
SIGNO
1 3 . 4 PRUEBA DE JERARQuIA SIGNAD DE WILCOXON PARA UBICACI6N
13.10
COEFICIENTE DE CORRELACI6N POR JERARQuIAs DE SPEARM SPEARMAN AN
13.11
ANA.LlSIS DE REGRESI6N NO
13.5 PRUEBA DE LA MEDIANA
13.6 PRUEBA DE MANN-WHITNEY
PARAMETRIC 0 13.7 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
13.1
13.12
RESUMEN
INTRODUCCION
Los procedimientos de inferencia estadfstica estadfstica estudiados ha sta este momenta se clasifican como estadisticas parametricas. La unica excepci6n es el uso de ji cuadrada en la prueba de bondad de ajuste en la prueba de independencia. Estos usos de ji- cuad rada se clasifica clasifican n como estadisticas no parametncas. Ahora la pregunta obvia es: ~ c u a l ~ es c u a la l diferencia? Para responder, es necesario necesario recordar la naturaleza de los los procedimientos de inferencia clasificados como parametricos. En cada situaci6n, el objetivo consistfa en estimar probar un hip6tesis acerca de uno mas parametros de la poblaci6n. Ademas, Ademas, el element fundamental de estos estos procedim ientos fue el conocimiento de la forma funcional funcional de la distribuci6n de la poblaci6n de la cual cual se extrajeron las muestras qu proporcionaron la base para la inferencia. Un ejemplo de una prueba estadfstica parametrica es la ampliamente utilizada prueba t. Los usos mas comunes de esta prueba son los de probar un hip6tesis acerc de la media de un sola poblaci6n la diferencia entre las medias de dos poblaciones. Un las suposiciones que fundamentan el uso valido de esta prueba es que la poblaci6n poblaciones de donde proceden las muestras tienen, al menos, un distribuci6n aproximadamente normal. 65
3.2
ESCALAS ESCALAS DE MEDICIO
65
En este capitulo se estudian procedimientos que no se centran en
panimetros de poblacion ni dependen del conocimiento conocimiento de la poblacion de la que se extra en las las muestras. Estrictamente hab lando, solo solo aquellos procedimientos qu prueban hipotesis qu no son afirmaciones acerca de los para metro s de la poblacion, se clasif clasifican ican como no parametricos, mientras que a aquellos qu no hacen suposicion alguna acerca de la poblacion de la cual se extraen las muestras, se les conoce como procedimientos de libre distribucion. Pese a esta diferencia, diferencia, se acostumbra utilizar los terminos no parametrico de libre diversos procedimientos de ambos tipos distribuciOn indist intamen te y analizar los diversos bajo el titulo de estadisticas no parametricas. partir de aqui se seguira este uso convencional. Lo expuesto anteriormente implica las dos siguientes ventajas de las estadfsticas no parametricas. Permiten la prue ba d e hipotesis hipotesis que no 1. Permiten
son afirmaciones acerca de los valores valores d los parametros de la poblacio poblacion. n. Algunas Algunas pruebas de ji-cuadrada de bo ndad de ajuste y de independencia son ejemplos de pruebas que tienen estas ventajas.
2. Las
pruebas no parametricas pueden utilizarse cuando se desconoce la distribucion de la poblacion de la cual se extr aen las muestras. muestras.
3. Los
procedimientos no parametricos son mas faciles de calcular y, en consecuencia, se aplican con mayor rapidez que los procedimientos parametricos. Esta puede ser un caracteristica conveniente en ciertos cierto s casos pero cuando el tiempo no es un factor importante merece merece poca prio ri da como criterio para elegir un prueba no parametrica.
4.
Los procedimientos no parametricos pueden aplicarse cuando los datos que sirven para el analisis constan simplemente de categorias clasificaciones. Es decir, los datos pueden no estar basados en una escala de medicion 10 suficientemente solida como para permitir las operaciones aritmeticas necesarias para llevar a cabo los procedimi entos parametrico s. EI tema de las escala escalass de med icion se analiza con mas detalle en la siguiente seccion.
Aunque las estadfsticas no parametricas tienen ciertas ventajas, ventajas, tambie deben reconocerse sus desventajas. 1. El uso de procedimientos no parametricos con datos qu pueden manejarse co un procedimiento parametrico produce desperdicio de informacion.
aplicacion de algunas de las pruebas no parametricas puede ser muy laboriosa para muestras grandes.
2. La
13.2
ESCAIAS DE
MEDICI ON
En la seccion anterior se menciona qu una de las ventajas de los procedimientos estadisticos no parametricos es que pueden utilizarse con datos basados en una escala de medicion debil. Para comprender completamente el significado de esta afirmacion, es necesario conocer entender el significado de medicion y de las
660
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
diversas escalas de medici6n qu se utili zan co n mas frecuencia. El lecto puede consultar el capitulo 1 donde se estudian las escalas de medici6n. Muchas autoridades en la materia opinan que las pruebas estadisticas dife rentes re quiere n distintas escalas escalas de medici6n. Aunque se crea qu en la practica se sigue esta idea, existen punto de vista alternativos. 13.3
SIGNO
La prueba t, estudiada en los los capitulos anteri ores, no es estrictamente valida para probar: 1) la hip6tesis nul de que la media de una poblaci6n s igual a alglin valor en particular, bien, 2) la hip6tesis nula de qu la media de un poblaci6n diferencias entre pares de medici nas es igual a cero, a menos que las poblaciones cuesti6n sigan un distribuci6n norm al. El casu 2 se se reconocera como un situaci6n el capitulo 7. qu se analiza mediante la prueba de comparaci6n po parejas Cuando no es posible hacer suposiciones de normalidad cuando los datos dispo nibles son categorfas en lugar de medidas sobre un escala intervalos de razo nes, debe buscarse procedimiento opcional. opcional. Aun cuando se sabe que la prueba es casi insensible a las violaciones de la suposici6n de norm alida d, hay casos casos en que resulta preferible un prueba alternativa. Una prueba no parametrica qu se utiliza con frecuencia y qu no depende los supuestos de la prueba es la prueba del signo. Estaprueba se cent ra en la media mas qu en la media como un medida de tendencia central de ubicaci6n. La mediana y la media seran iguales en distribuciones simetricas. simetricas. La unica suposicion que fundamenta la prueba es qu la distribuci6n de la variable de interes es conti nua. Esta suposici6n excluye el uso de datos nominales. La prueba del signo toma su nombre del hecho de qu los signos mas y me nos, y no los valores numericos, proporcionan los datos utilizados en los calculos. Se ilustrara el uso de esta prueba primero en el casu de un sola muestra y, a conti nuaci6n, mediante un ejemplo qu implique muestras parejas. EJEMPLO 13.3.1
Los investigadores investigadores desean saber si al instruir en cuidados y aseo aseo per sonal a un mues tr de niiias co retraso mental mejorarfa su apariencia. apariencia. Se eligi6 eligi6 aleatoriamen te a 10 niiias de un escuela para niiios niiios con retraso mental, para que recibieran educacion especial sobre cuidado y aseo aseo personal . Dos seman as despues de conduir el curso instrucci6n, las niiias fueron entrevistadas po un enfermera un trab.yadora so Los investigadores creian que, como maximo, las calificaciones alcanzarfan el nivel de un escala ordinal. Crefan que aunque una calificacion calificacion de, dig amos 8, represent ba un apariencia mejor qu una de 6, no podfan decir qu la diferencia entre las calificaciones de 6 y 8 er igual a la diferencia en tre las calificaciones calificaciones 8 y 10 bien, qu la diferen cia en tre las calificac calificaciones iones de 6 y 8 representaba el doble de mejora qu la diferencia entre las calificaciones 5 y 6. Las calificac calificaciones iones se muest ran en la tabla 13.3.1. Se desea saber si es posible conduir qu la calificaci6n mediana de la pobla ci6n de la qu se supone se extrajo la muestra es diferente de 5.
3.3
PRUEBA DEL SIGNO
66
Caliticaciones de apariencia general de 10 ninas co reu'aso mental TABLA
13.3.1
Calificaci6n
Nina
Nina
Calificaci6n
6 lO
10 Soluci6n: 1. Datos .
Ver el planteamiento del problema.
2. Supuestos. Se supone qu variable continua.
las mediciones se tomaron para un
3, Hip6tesis.
Ho: la mediana de la pobl aci6n es 5.
la mediana de la poblaci6n es diferente de 5.
Sea 4.
0:
=.05.
prueba. La estadistica de prueba para la prueba Estadistica de signo es el numero observado de signos mas de signos menos. La naturaleza de la hip6tesis alternati va determina cual de estas es tadisticas de prueba es conveniente. En un prueba dada, cualquie ra de las siguientes hip6tesis alternativas puede ocurrir. P(
alternativa unilateral
P(
P(-) alternativa alternativa unilateral
P( Si
*-
P(-) alternativa bilateral
la hip6tesis alternativa es
numero suficientemente pequeno de signos menos causa el re chazo de Ho' La estadistica de prueba es el numero de signos me nos. En forma analoga, si la hip6tesis alternativa es
un numero suficientemente pequeno de signos mas causa el recha zo de Ho' La estadistica de prueba es el numero de signos mas. Si la
hip6tesis alternat iva es:
662
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
un numero suficientemente pequeno de signos menos signos ma causa el rechazo de la hip6tesis nula. Se puede tomar como estadfs tica de prueba al signo signo que ocu rra con menor frecuencia.
5. Distribuci6n de la estadistica de prueba. EI primer paso para de termina r la naturaleza naturaleza de la estadfstica de prueba es analizar la tabla 13.3.1 para establecer cuales calificac calificacione ioness cae n arri ba y cuales aba jo de la mediana supuesta de 5. Si el signo mas se asign a a las califi califi caciones caciones que caen arrib de la median a supuesta y el el signa menos las que caen po abajo, se obtienen los resultados que se muestran en la tabla 13.3.2. es, si en efecto efecto la media na fuera Si la hip6tesis nula fuera verdadera, esto es, 5, se esperarfa que el numero de calificaciones que caen po arriba y abajo de 5 fuera casi igual. Esta forma de razonamiento sugiere sugiere otra manera en la que podrfa haberse enu nciad o la hip6tesis hip6tesis nuIa, a saber, saber, que la probabi lidad de un signo mas es igual a Ia probabilidad de un signo menos. Estas
probabilid ades son, cad a una, iguales a .5. .5. Simb61icamen Simb61icamente, te, la hip6tesis seria
En otras palabras, se espera casi casi el mismo numero de signos mas que de sig nos menos en la tabla 13.3.2 cuando Ho es verdadera. La observaci6n de esta tabla revela un preponderancia de signos mas; especfficamente, se observan ocho signos mas, un signa menos y un cero, el cual se asigno a la calificacion que cayo exactamente en la mediana. El procedimiento habitual para mane los ceros es eliminarl os de l analisis y, en consecuencia, consecuencia, reduci n, el tamano sigue este procedimi ento, el probl ema se reduce a nueve de la muestra. Si se sigue observaciones, de las cuales ocho son signos mas y un es menos. Dado que el numero signos mas y menos es el mismo, se signos es suficientemente despropo rcion ada pregunta si la distribucion de los signos como para arrojar alguna duda sobre la hipotesis. Dicho de otra forma, Ia pregunta es si este pequeno numero de signos menos pudo ser unicamente resultado del azar cuando la hip6tesis nula es verdad era, bien, si el numero es ta pequeno qu un elemento que no es el azar (es decir, un hip6tesis nula falsa) es responsable de los resultados.
TABlA 13.3.2 Calificaciones pOl' arriba (+ pOl' abajo (-) de la mediana hipotetica basada en los datos del ejemp lo 13.3.1
Calificaci6n relativa a Ia me diana hipotetica
10
8
Nina +
+
+
+
+
3.3
PRUEBA DEL SIGNO
66
base en 10 expuesto en el capitulo 4, parece razonable concluir que las observaciones de la tabla 13.3.2 constituyen un conjunto de variables aleatorias aleatorias independient es de una poblaci6n de Bernoulli Bernoulli con parametr p. Si es igual a la estadistica de prueba, la distribuci6n distribuci6n muestral de es la distri buci6n binomial de probabilidad con parametro .5, si la hip6tesis nu la es verdadera. Co
6.
Regia de decision. alternativa.
La regIa de decisi6n depende de la hip6tesis
Para
P( P(-) se rechaza la probabilidad de observar igual qu a. no
cuando Ho es verdadera, si menos signos menos es me
Para P( P(-) se rechaza H cuando Ho es verdadera, si la probabilidad de obtener menos signos mas es menor igual que a. Para P( +)"* P(-) se rechaza H cuando Ho es verdadera, si la probabilidad de obtener un valor de tan extrema mas qu el valor calculado es igual menor que a/2. Para este ejemplo, la regIa de decisi6n es rechazar Ho' Si el valor de la estadfstica de prueba es menor igual que .05 . C al al cu cu l de la estadistica de prueba. Es po sible determinar la pro babilidad observar menos signos menos, cuando esta dada un muestra de tamano y parametr p, mediante la evaluaci6n de la siguiente expresi6n:
In, P)
P(k
Ckpkq,,-k
(13.3.1)
k=O
Para este ejemp lo se calcula
8.
Decisi6n estadistica estadistica P(k
En la tabla B del apendice se encu entr
119, .5)
0.195
Con una prueba bilateral, bilateral, un nume ro suficientemente pequeno de signos menos signos mas puede provo car el rechazo de la hip6 tesis nula. Ya que, en el ejemplo, se tiene un menor numero de signos menos, atenci6n se se centr en estos mas que en los signos mas. AI asign ar a a el valor .05, .05, se dice que si el numero de signos menos es tan pequeno que la probabilidad de observar tan pocos, incluso menos, es menor que .025 (la mitad de a), se rechaza la hip6tesis nula. La probabilidad calculada .0195, es menor que .025. Por 10 tan to, se rechaza la hip6tesis nula.
664
CAPITULO
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
13
9.
Conclusion.
10. Valor de p.
Se concluye que la calificaci6n mediana no es
5.
Para esta pmeba el valor de pes 2(.0195) =.0390
Cuando los datos que van a Prueba de signo para parejus de datos analizarse constan de observaciones po parejas y no se satisfacen los supuestos qu fundamentan la pmeba t, 0 la escala de medicion es debil, puede utilizarse la pme ba del signo para probar la hipotesis nula de que la mediana de las diferencias es igual a O. Un forma alternativa de enunc iar la hip6tesis nula es la siguiente: siguiente:
De las calificaciones po parejas, se toma una, po ejempl0 y" se resta de la otra calificaci6n Xi" Si Y, es menor que Xi' el signo de la diferencia es +, si Y, es mayor que Xi el signo de la diferencia e Si la mediana de las diferencias es 0, se esperaria que un pareja seleccionada al azar tuviera exactamente la misma proba bilidad de dar un signo 0 cuando se hace la resta. resta. Pue de enunciarse la hip6tesis nula como sigue: Ho: P(+)
.5
En un muestra aleatoria formada po parejas, se esperarfa que el numer de sig nos y sea casi igual. Si existen mas signos 0 - que que l qu pueden atribuirse unicamente al azar azar,, c uando la hipotesis nul a es verdadera, se tendran ciertas dudas acerca de la veracidad de la hip6tesis nula. nula. Media nte la prueba del signo, es posible determinar cuantos signos de un u otr o tipo son mas de los que pueden atribuirse unicament e al azar FJEMPLO
13.3.2
Un equipo de investigaci6n investigaci6n dental querfa saber si ensefiar a la gente a cepillarse los dientes serfa benefico. Se formaron doce parejas de pacientes de un clinica dental, con igualdad en factores como edad, sexo, inteligencia y calificaciones iniciales de higiene bucal. Un miembro de cada pareja recibi6 instrucci6n acerca de la forma de cepillarse los dientes y otros temas de higi ene bucal. Seis meses despues, los 24 individuos fueron examinados y se les asigno un calificaci6n de higiene bucal mediante el examen de un especialista en la materia, qu ien ig noraba cuales perso perso nas hahfan recibido la instrucci6n. Un calificacion baja indica alto nivel de higiene bucal. Los resultados resultados se muestra en la tabla 13.3.3.
Solucion: 1. Datos. Vease el planteamiento del problema. 2. Supuestos. Se supone qu la poblacion de diferencias entre los pares de calificaciones es un variable variable continua.
3. HipOtesis. Si las instrucciones producen efectos beneficos, este he cho se reflejara en las calificaciones calificaciones asignadas a los miemb ros de cada par. Si se toman las diferencias diferencias ent re Xi Y" es de esperarse que haya mas sign signos os que signos signos si la instrucci6n resulta benefica, pOIque
3.3
665
PRUEBA DEL SIGNO
higiene bucal TABlA 13.3.3 Calificaciones individuos recibieron instrucciones individuos que no h i g i e n e buca1 (Xi) r e c i b i e r o n i n s t r u c c i o n e s (Y,) Calificacion
Numero pareja
on instruccion
Sin instruccion
(X) 1.5
2.0 3.5
3.0 3.5 2.5
2.0
11
12
2.0 2.0 4.0 2.5
4.0 3.0 3.5
1.5
3.0
1.5
2.5
2.0 3.0 2.0
10
(1')
2.5 2.5 2.5
calificaci6n baja indica un nivel mayor de higiene bucal. Si, en efecto, efecto, la instrucci6n es benefica, la mediana de la poblaci6n supuesta de todas las diferencias serla menor qu 0, es decir, negativa. En caso contrario, si la capacitaci6n no tiene efectos, la mediana de esta po blaci6n seria cero. Las hip6tesis nula y alternativa son, or 10 tanto:
un
P(-I)J. Ho: la mediana de las diferencias es cero [P( P(-)]. la mediana de las diferencias es negativa [P(
Seaa
.05.
4. Estadistica
prueba.
La estadistica de prueba es el numero de
signos +. 5. Distribucion de la estadistica de prueba.
es un de verdadera.
La distribuci6n distribuci6n muestral
distribuci6n binomial con parametros
6. Regia de decision.
Se rechazaH si P(k:5
y .5 si
Ho
es
11, .5):5 .05.
7. Calculo de la estadistica prueba. EI procedimiento es identico al qu se utiliza para sola muestra, un vez qu se obtienen las diferencias para cada par. AI efectuar las restas, se obtienen los re sultados que aparecen en la tabla 13.3.4.
66
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
la diferencias 13.3.4 Signos calificaciones d e h i g i e n e b u c a l d e 1 2 i n d i v i d u o s i n d i v i d u o s sernejantes instruccion ( ~
la inst.·uccion
.TABLA
Pareja
9
5
Signo de la diferencia de calificaciones
)
10
11
12
+
La naturaleza d e las hipotesis hipotesis indica un prueba unilateral, 10 qu la totalidad de ex .5 esta asociada con la region de rechazo, qu se compone de todos los valores de (donde es igual al numero para los qu la probabilidad deobtener un cantidad de signos atribu ible al azar, cuando Ro es verdadera, igualo menor de signos es menor igual que .05. En la tabla 13.3.4 se aprecia qu el experi mento proporciona un cero, cero, dos signos mas y nueve signos menos. Si se elimina el cero, el tamano real de la muestr a es 11 co do signos y nueve signos En otras palabras, puesto qu numero "pequeno" de signo causa el rechazo de la hipotesis nula, el valor 2. de la estadistica de prueba es 8. Decision estadistica. Lo qu se pretende es conocer la probabili da de tener no ma de dos signos en las once pruebas, cuando la hipotesis nula es verdadera. La respuesta se obtiene al evaluar la ex presion binomial adecuada. Para este ejemplo se tiene P(k::; 2111, .5)=
ll
(·5)k(.5)11-k
k=O
AI consultar la tabla B, se obtiene un probabilidad de.0327. Puesto qu .0327 es me or qu .05, es posible rechazar a Ro.
9. Conclusion. Se concluye qu la mediana de las diferencias es ne gativa. Esto es, se concluye qu la capacitacion es benefica. 10. Valor de p.
Para esta prueba,
=.0327.
s i g n o c o n t a b l a s " m a y o r e s q u e " Como se ha demostrado, la prueba de signo puede emplearse con un sola muestra co dos de ellas, en las que cada miembro de na de las muestras se une con un de los miembros de la parejas. Tambien se visto qu la hipotesis otra para formar un muestra alternativa puede conducir un prueba unilateral na prueba bilateral. En cualquier caso, la atencion se centra el signa menos frecuente y se calcula la probabilidad de obtener numero menor igual de signos de este tipo. Se utiliza el signo qu se presenta con menos frecuencia como estadistica de las probabilidad es binomiales de la tabla B son probabilidades prueba debido qu las "menores iguales que". AI utilizar el signa menos frecuente, es posible obtener la
Prueba
3.3
PRUEBA DEL SIGN
66
probabilidad directamente de la tabla B sin tener qu hacer restas. Si las probabili dades de la tabla B fueron "mayores iguales que", como las qu suelen darse en las tablas de la distribucion binominal, se utilizada como estadistica de prueba el signo mas frecuente, para aprovechar la conveniencia de obtener directamente la probabilidad deseada sin tener que hacer resta alguna. De hecho, en estos estos ejemp los podric: utilizarse como estadistica de Hrueba el signa mas frecuente pero dado que Ia tabla B contiene probabilidades "menores iguales que", se tendda que hacer un resta para obtener la probabilid ad deseada. Conside re el ultimo ejemplo. Si se utiliza como estadistica de prueba el signo mas frecuente, q ue es el signo el valor mas signos cuando de la estadistica es 9. Asi, la probabilidad deseada es de 11 .5. Es decir, se necesita: 11, .5)
P(k?
Sin embargo, dado que la tabla B contiene probabilidades "menores debe obtenerse esta probabilidad mediante resta. Es decir, 11, .5)
P(k
qu
1 - P(k 1 .9673 .0327
iguales que",
11, .5)
es el resultado obtenido anteriormente.
En el capitulo 5 se estudia que, cua ndo el tamano de la muestr a es grande pesta cercano a .5, distribucion binomial puede ser aproxi mada po la distribucion normaL La regIa regIa empiri ca utilizada dice dice que la aproxima cion normal es conveniente cuando np nq son mayores que 5. Cuando .5, como se establece en las hipotesis de los los ejemplos estudiados, un muestra de ta mano 12 puede satisfacer la regIa empirica. Siguiendo este razonamiento, puede utilizarse la aproximacion normal cuando se usa la prueba del signo para probar la hipotesis nula de que Ia mediana la mediana de las diferencias es 0 y es mayor o igual que 12. Dado qu el procedimiento implica la aproximacion de un distri bucion continua mediante un distribuci6n discreta, discreta, en gener al, se utiliza la correc cion de continuidad de .5. Por 10 tanto, la estadistic de prueba es Tomano de la muestra
-
'
k±.5)-.5n -
-
-
-
'
-
;
.5-fr;
=
~
-
(13.3.2)
Ia cual se compara contra el valor de z a partir de la distribucion normal estandar .5 se correspondiente al nivel de significacion escogido. En la ecuacion 13.3.2, utiliza cuando .5 se utiliza cuando n/2, n/2. oomputaoora Muchos paquetes de software software estadfstico aplican la prueba del signo. Por ejemplo, si se utiliza el paque te MINITA MINITA para aplicar la prueba de signa para el ejemplo 13.3.1, donde los datos estan almacenados en la columna 1, el procedimiento y los los result ados sedan como los qu se muestran en la figura 13.3.1.
Antilisis
66
CAPITULO 13
ESTADiSTICA
PARAMETRICA
Datos: 4 5 8 8 9 6 10 7 6
1:
Caja de dialogo: Stat
>-
Nonparametrics
Comandos de la sesi6n: >-
1 -Sample Sign
MTB
STest
SUBC>
Alternative
O.
Teclear CI en Variables. Seleccionar Test median teclear 5 en la caja de texto. Clic OK Resultados: Prueba Sign
de
signo para la mediana
N 10
C1
5.00
median
test
BELOW
EQUAL
FIGURA 13.3.1
versus
ABOVE
N.E.
5.000
P-VALUE
0.0391
MEDIAN 8.000
Procedimiento MINITAB Yresultados Yresultados para el ejemplo 13.3.1.
F-JERCICIOS 13.3.1
Un muestra aleatoria de 15 estudiantes de enfermerfa present6 los siguientes resultados despues de un prueba para medir sus niveles de autoritarismo:
Numerode estudiante
Calificaci6n autoritarismo
75 90 85
llO
115 95 132 74
Numerode estudiante
10 11
12 13 14 15
Calificaci6n de autoritarismo
82 104 88 124
llO 76 98
Pruebe en el nivel de significaci6n de .05 la hip6tesis hip6tesis nula que indica que la me diana de la calificaci6n para la poblaci6n de la que se extrae la mues tra es 100, determ ine el valor de p. 13.3.2 EI prop6sito de un estudio realizado po Vaubourdolle et ai. (A. 1 era investigar la influencia de la dihidrostestosterona (DHT) liberada a traves de la piel en la velocidad de eliminaci6n de etanol del plasma, para determinar si el efecto de inhibici6n de la DH sobre la actividad
3.4
PRUEBA DE JERARQ UiA DE WILCOXON
66
de la deshidrogenasa del alcohol ocurria en hombres sanos. Lo individuos eran 10 hombr es sanos que voluntariamente partici paron en el estudio, co edades entre 25 44 aftos. aftos. Entr
los datos que se recolectaron estan las siguientes concentraciones de testosterona (T (nmoW) antes despues del tratamiento co DHT: Individuo: Antes: Despues:
21.5 9.4
23.0 17.2
3 21.0 13.0
21.8 6.4
22.8
4.8
14.7 4.5
21.0 10.7
23.4 15.6
9 20.0 12.5
10 29.5 7.7
VaubourdoIIe. J. Guechot, O. ChazouiIIeres, R. E. Poupon y J. Giboudeau, "Effect of Dihydrotestosterone on the Rate of Ethanol Elimination in Healthy Men", Alcoholism: Clinical and Expe rimental Research, 15 (No.2). 238-240. Copyrigth©, Th Research Society of Alcoholism. FUENTE: M.
Con base en estos datos, ~ e s posible conduir que el tratamiento co DH traciones de testosterona en hombres sanos? Sea a. .01.
reduce las concen
13.3.3 Un muestra de 15 pacientes con asma particip6 en un experimento para estu diar los efec tos de un nuevo tratamient o sobre la funci6n pulmonar. Un de las mediciones qu se regis traron fue la de vohimen espiratorio forzado (litros) en 1 segun do (VEF (VEF antes despues de la aplicaci6n del tratamiento. Los resultados son los siguientes:
Individuo
Antes 1.69 2.77 1.00 1.66 3.00 .85 1.42 2.82
Despues
1.69 2.22 3.07 3.35 3.00 2.74 3.61 5.14
Individuo
10 11
12 13
14 15
Antes
Despues
2.58 1.84 1.89 1.91 1.75 2.46 2.35
2.44 4.17 2.42 2.94 3.04 4.62 4.42
Con base en estos datos,
PRUEBA DE JERARQuIA SIGNADA DE WILCOXON PARA UBICACION 13.4
En algunos casos se desea probar un hipotesis nula con respecto a la media de la poblacion, pero, resultan in adecuada s como estadisticas estadisticas de alguna razon, z exc1uye ye la est adist ica z cuando se tiene un muestra pequena (n 30) prueba. Se exc1u de un poblaci6n qu a simple vista parece seguir un distribuci6n no normal y el teorema dellfmite central no es aplicable. La estadfstica no es conveniente porque la distribucion de la poblaci6n de la que se extrae la muestra no se aproxima 10 suficiente a la normalidad. Cuando se presentan tales situaciones, normalmente se busca un procedimiento estadistic estadistic no parametrico. Como se ha visto, la prueba del signo puede utilizarse utilizarse cuando los datos confor man un muestra simple cuando se
670
CAPiTULO 13
ESTADISTICA NO
P A R A t ' \ 1 f ~ T R I C A P A R A t ' \ 1 f ~ T R I C A
presentan en pares. Sin embargo, si los datos para el amilisis son medidos al menos en un escala de intervalos, la prueba del signo tal vez no sea aconsejable pOI'que podrfa desperdiciarse mucha informaci6n contenida en los datos. Un procedimiento mas adecuado puede ser la prueba de jerarquia signada de Wilcoxon (1), la cual utiliza las las magnitu des de las diferencias entr e las medici ones y un supuesto supuesto paramet ro de ubicacion en lugar de (micamente los signos de las diferencias.
Supuestos La prueba de Wilcoxon para ubicaci6n se basa posiciones sobre los datos. 1. La
las siguientes su
muest ra es aleatoria.
2. La variable es es continua, 3. La poblacio n se distribuye simetric amente alrededor de su media
f.l.
4. La escala de medici6n es al meno s de intervalos.
Hipotesis Las siguientes hip6tesis son hip6tesis nulas Gunto con las hipotesis alternativas) alternativas) q ue pueden probarse para alguna media de poblacion no conocida f.l a) Ho HA
f.l
f.lo
f.let: f.lo
b) Ho f.l
f.lo
c) Ho
HA f.l
f.l:S; f.lo
HA f.l>f.lo
Cuan do se utiliza el el procedim iento de Wilcoxon se llevan a cabo los sigui entes caIculos:
1. Se resta la media
h i p o t t ~ t i c a h f.lo i p o de t t ~ t cada i c a
observacion Xi para obtener
Si cualquier Xj es igual a la media, de modo que d; del calculo y se reduce, po consiguiente, la n.
0, entonces se elimina a
2. Se orden an las jerarqu fas con las utilizables de menor a mayor sin considerar Es decir, el signo de decir, solo se considera el valor absol uto de designado po Id;l, al establecer lasjerarqu ias con estos elementos. Sidos mas valores de Id son iguales, iguales, a ca da un de enos se Ie asigna la media de las posiciones jerarquicas que o cup an los los valores valores iguales Si, po ejemplo, los tres mas peq uen os son igua les, se les coloca en las posiciones 1, 2 y 3 dentro de las las jerarquias pero a cada 3)/3= 2. un se Ie asigna unajerarquia de 3. A cada jerarquia se Ie asigna el signa de la d qu produjo esa jerarqu fa. 4. Se encuentra T+, que es la suma de lasjerarquias co signa positivo, y T_, que es la suma de las jerar quias con signa negativo. dependiendo de la Prueba estadi ~ t i c a ~ t i c a La estadistica de Wilcoxon es naturaleza de la hip6tesis alternativa. Si la hipotesis nula es verdadera, es decir, si la media verdadera de la poblacion es igual a la media hipot etica, y si si las suposicio suposicio f.lo de Xi nes se cumplen, la probabilidad de observar un diferencia positiva d una magnitud dada es igual a la probabilidad de observar un diferencia negativa de la misma magnitud, Entonces, al repetir el muestreo, cuando la hip6tesis nula es
3.4
671
PRUEBA DE JERARQUIA DE DE WILCOXO
es igual al valor verdadera las suposiciones se cumplen, el valor esperado de calculados a partir de esperado de T_. No es de esperarse que los valores de T+ iguales. Sin embargo cuando Ho es verdadera, no se espera un muestra dada sean iguales. gran diferencia en sus valores. En consecuencia, un valor suficientemente pequeno T_ causa el rechazo de Ho' suficientemente Cuando la hipotesis alternativa es bilateral (1-1 =1= flo)' un valor suficientemente flo' La estadfstica de prueba, enton pequeno de T_ causa el rechazo de Ho: fl ces, sera T+ T_, cualquiera qu sea el mas pequeno. Para simplificar la notaci6n, al ma pequeno de los dos valores se Ie Hamara T. Cuando Ho: fl;::': flo es verdadera, verdadera, se espera que la muestra proporcione un valor grande de T+. Por 10 tanto, cuando la hipotesis alternativa unilateral establece que la media verdadera de la poblaci6n es menor que la media hipotetica (fl flo)' un valor suficientemente pequeno de causa el rechazo de es la estadfstica de prueba. flo es verdadera, se espera que la muestra proporcione un Cuando Ho: fl valor grande de T_. Por 10 tanto, para la hip6tesis alternativa unilateral flo, fl un valor suficientemente pequeno de T_ causa el rechazo de T_ es la estadistica de prueba. de T+
Los valores criticos de la estadistica de prueba de Wilcoxon se niveles exacto de probabilidad (P) se da encuentran en la tabla K de apend ice. Los niveles con cuatro decimales para todos los totales posibles de las jerarqufas (T) qu pro porcionan un nivel diferente de probabilidad en el cuarto decimal de 0.000 I hasta
Valores criticos
0.5000. Los totales de lasjerarqufas (T) se tabulan para todas las muestras de tama 5 hasta 30. A continuacion se enuncian las reglas de decision para las no tres hipotesis alternativas: a)
en un nivel de significacion a, si el valor calculado Se rechaza tabulado para es menor igual al valor de un aJ2 preseleccionada. el valor calculado de Alternativamente se puede consultar la tabla K co es menor para ve si el valor tabulado asociad co el valor calculado de o igual al nivel de significacion establecido. Si es asi, es po sible rechazar
b)
Se rechaza Ho en un nivel de significacion a, si T+ es menor un al valor de en la tabla K para preseleccionada.
igual
Se rechaza Ho un nivel de significacion a, si T_ es menor un la tabla K para preseleccionada.
igual
c)
1-1 =1= 1-1
1-1
1-1
fl
1-1
al valor de
EJEMPLO EJEMPLO 13.4.
aleatoria EI gasto cardiaco (litros/minuto) se mid i6 po termodilucion en un muestra aleatoria simple de 15 pacientes co cirugfa cardiac en posicion late ral izquierda. Los resul resul tados fueron los siguientes: 4.91 5.98
4.10 3.14
6.74 3.23
7.27 5.80
7.42 6.17
7.50 5.39
6.56 5.77
4.64
Se pretende saber si es po sible conduir, con base en estos datos, qu la media de la poblacion es diferente de 5.05.
67
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
Solucion: 1. Datos.
Vease el planteamiento del problema.
2. Supuestos. Se sup one que los requerimientos para la aplicaci6n cumplen. de la prueba de jerarquias signadas de 3. Hipotesis. 5.05 f.L* 5.05
Ro: f.L
Se a.
0.05.
T_, la 4. Estadlstica prueba. La estadistica de prueba sera qu sea mas pequena, y se designara T a l a estadfstica de prueba.
5. Distribucion de la estadistica de prueba. Los valores crfticos de la estadistica de prueba se encuentran en la tabla K de apendice.
6. RegIa
decision. Se rechazara Ro si el valor calculado de es igual qu 25, el valor crftico crftico para 15, y a/ ==.0240, el valor mas cercano a .0250 en la tabla K.
menor
EI calculo de estadistica de
7. Catculo Ia estadlstica de prueba. prueba se muestra en la tabla 13.4.1. 8. Decision estadistica.
Puesto qu 34 es mayor que 25, no es posi
ble rechazar Ro Tabla 13.4.1 ejemplo 13.4.1 Gasto cardiaco
4.91 4.10 6.74 7.27 7.42 7.50 6.56 4.64 5.98 3.14
3.23 5.80 6.17 5.39 5.77
Calculo de la estadistica de prueba para el Jerarqula
d.
x.-5.05
-.14 -.95 +1.69 +2.22 +2.37 +2.45
Jerarqula de Idil
Idil -1
10 13 14 15
+1 13 15
+ 1.51 -.41 +.93 -1.91 -1.82 +.75
-3
12
-1
-11
11
+ 1.12 +.34 +.72 ==
86, T_
==
34,
34
673
EJERCICIOS
Caja de dialogo: Stat>
Comandos de sesi6n:
Nonparametrics > 1-Sample 1-Sample Wilcoxon
MTB
WTEST 5 . 0 5
SUBC>
Alternative
O.
Teclear Cl en Variables. 8eleccionar Test median. Teclear 5.05 en Ia caja de texto. Clic OK.
Resultados: Prueba de jerarqu(a signada de Wilcoxon TEST OF MEDIAN
5 . 0 5 0 VERSUS MEDIAN N.E. 5 . 0 5 0 FOR
15
C1 FIGURA FIGURA 13.4.
ESTIMATED
WILCOXON
TEST STA TIST IC 86.0 15
P-VA P-VALUE LUE 0.148
MEDIAN
5.747
Procedi miento MINITAB MINITAB Y resultados para el ejemplo 13.4.1.
9. Conclusion. 5.05.
8e concluy concluyee que la media de
poblacion puede ser
10. Valor de p. partir de Ia tabla K se aprecia que el valo 2(.0757) 2(.0757) =.151 4. Prueba de jerarquia signada de Wilcoxon para parejas iguales La prueba de Wilcoxon puede emplearse en parejas de datos bajo circunstancias circunstancias en las que no es adecuado utilizar utilizar la prueba de para comparacion de parejas estudiada en el capftulo 7. En estos casos se obtienen cada un de los valores, las diferencias entre cada un de los pares de mediciones. 8i IlD es igual igual a la medi de la poblacion de esas diferencias, es posible seguir el procedimiento descrito previamente para probar cualquiera de las siguientes hipotesis nulas: Ho: IlD 0, Ho: IlD S; 0 Ho: Il ;::: o. Antilisis porcompuJadora Muchos Muchos paquete de software estadfsticos aplican la prueba de jerarqufa signada de Wilcoxon. 8i, po ejemplo, los datos del ejemplo 13.4.1 se almacenan en la columna 1, es posible utilizar el paquete MINITAB MINITAB par ejecutar la prueba como se muestra en la figura 13.4.1.
EjERCICIOS 13.4. 13.4.1 1 Diec Diecis isei eiss animales animales de laboratorio fueron alimentados con un dieta especial desde su naci miento hasta 12semanas despues del mismo. EI aumento de peso (en gramos) de cada uno
63 68 79 65 64 63 65 64 76 74 66 66 67 73 69 76 partir de estos datos que la dieta proporcion6 un aumento de peso ~ E s posible conduir menor que 70 gramos? Sea =.05, calcule el valor de p.
67
CAPiTULO 13
ESTADISTICA NO P ARAMETRICA
psic610go go seleccion6 aleato riame nte un muestra de 25 estudiantes discapacitados. Las 13.4.2 Un psic610 calificaciones de destreza manual de cada uno de los estudiante s son las siguientes: 33 36
53 47
22 22 41
40 32
24 20
56 42
36 34
28 53
38 37
42 35
35 47
52 42
52
lProporcionan estos datos suficiente evidencia para indicar q ue la calificaci6n calificaci6n media para las pohlaciones no es 45? Sea .05, Ycalcule el valor de p. 13.4.3 En un estudio realizado po Davis et ai. (A-2) se comparo durante el recreo y durante las horas de clase ellenguaje de las las madres dirigido hacia ninos con retraso mental y ninos con con igual capacidad de reconocimiento de lenguaje. Los edad cronol6gica equivalente resultados fueron consistentes con la hip6tesis de que las madres de ninos con retraso mental igualan su comportamiento verbal a la capacidad de reconocimiento dellenguaje de nino. Entre los datos recolectados estin las siguientes mediciones respecto al numero de palabras po minuto durante el recreo para las madres de ninos con retraso (A) y para las madres de ninos de la misma edad pero sin retraso mentaI.(B): A: B:
21.90 15.80 16.50 15.00 14.25 17.10 13.50 14.60 18.75 19.80 13.95 13.35 9.40 11.85 12.45 9.95 9.10 8.00 14.65 12.20
FUENTE:
Co
autorizaci6n de Hilton Davis, Ph. D.
Con base en estos datos, le posible eoncluir que entre las madres de ninos con retraso mental, el numero promedio de palabras po minuto durant e el reereo reereo es mayor que entre las las madres con hijos que no tienen retraso mental? Sea .01. 13.5
PRUEBA DE LA MEDIANA
prueba de la mediana es un procedimiento no parametrico que puede emplearse para prob ar la hip6tesis hip6tesis nula de que dos muestras indepen dientes fueron extrafdas de poblaciones con me dianas iguales. iguales. Esta prueba, que se atribuye atribuye principalmen te a Mood (2) y a Westenberg (3), se estudia tambien en Brown y Mood (4). Se ilustra el procedimiento po medio de un ejemplo. La
FJEMPLO 13.5.1 ~ E x i s t e ~ diferencia E x i s t e
entre el nivel de salud mental de los alumnos de secundaria de
un area rural y un area urbana? Soludon:
1. Datos. Se aplic6 un prueb a para med ir el nive nive de salud mental en dos grupos. La primer a muestra aleatoria aleatoria de 12 estudiantes varones se e x ~ o e de x ~ un o poblaci6n de estudiantes de una secundaria del area rural, y la segunda muestra aleatoria indepe ndien te de 16 estudiantes tambien varones, se extrajo de una poblaci6n de estudiantes de una secundaria del area urbana. urban a. Los resultados se muestran en la tabla 13.5.1. 13.5.1. Para determinar si es posible conduir que hay un diferencia, se lleva a cabo una prueba de hip6tesis que utiliza la prueba de la mediana. Suponga qu el nivel de significaci6n es de .05.
Las suposiciones suposiciones que fundame ntan la prueba son: a) las 2. Supuestos. Las muestras son elegidas indepe ndient e y aleatoriamente de sus resp respec ec
PRUEBA DE
3.5
LA
13.5.1 Calificaciones del nivel salud mental de jovenes de secundaria
TABLA
MEDlANA
67
de
Escuela Urbana
Rural
35 26 27
29 50 43 22 42 47 42 32
21
27 38 23
25
Urbana
Rural
25 27
45 46 33 26 46
50 37 34 31
41
tivas tivas poblaciones; poblacione s; b) las las poblaciones son de la misma forma difieren solo en cuanto a su ubicacion, ubicacion, c) la variable de interes es continua. El nivel de medicion debe ser, al menos, ordinal. No es necesario que la dos muestra s sean del mismo tarnafio. tarnafio. 3. Hipotesis. Ho:Mu
HA:Mu-:f. MR es la calificacion mediana de la poblacion de la que se extrae la
muestra de estudiantes del area urbana, es la calificacion me diana de la poblacion de estudiantes del area rural de la cual se extrae la muestra. Sea =.05.
4. Estadistica de prueba. Como se muestra en el siguiente analisis, la estadfstica de prueba es X2, se calcula, po ejemplo, ejemplo, media nte la ecuacion 12.4.1 para una tabla de contingencia de 2 x 2. 5. Distribucion de la estadistica de pr;ueba. Cuando Ho es verdade ra las suposiciones se cumple n, X2 sigue un distribucion semejan te a la de ji-cuadrada con 1 grado de libertad. 6. RegIa de decision. 3.841 (dado que
Se rechaza Ho si el cilculo del valor de X2 es 2:: .05).
7. Ci.ilculo de la estadistica de prueba. El primer paso para caIcu la la estadfstica de prueba es calcular la mediana comiin de las dos muestras combinadas. Esto se hace arreglando las observacio ne en orden ascendente y, dado qu el niimero total de observa ciones es par, obteniendo la media de los dos valores centrales. 34)/2 Para este ejemplo, la mediana es (33 33.5.
A continuacion se determina para cada muestra el niimero de ob servaciones que caen po encima po debajo de la mediana comtin.
676
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
TABLA 13.5.2 de secundal'ia
Caliticaciones de mvel
salud mental de j6venes
Total
Urbana
Rural
Cantidad de calificaciones arriba de la mediana Cantidad de calificaciones debajo de la mediana
10
4
14
Total
16
12
28
14
Las frecuencias resultantes se arreglan en una tabla de 2. La tabla 13.5.2 muestra los resultados de esta operadon. Si, en efecto, las las dos muestras provi enen de pobladones con la mis ma mediana, se puede esperar que aproximadamente la mitad de califi caciones en cada muestra este arriba d e la media na combinada y la otra mitad po debajo. Si se cumplen las condiciones relativ relativas as al tamafio de la muestra y las frecuencias frecuencias espera das para la tabla de contingencia de 2 2, como se estudia en el capitulo 12. puede utilizarse la prueba de ji-cuadra da con 1 grado de libertad para proba r la hipotesis hipotesis nula de igualdad de medianas en las poblaciones. poblaciones. Mediant e la formula 12.4.1. 12.4.1. se tiene que: X2 =28[(6)(4)-8(10)]2 =2.33
(16)(12)(14)(14 ) 8. Decision estadistica. Puesto Puesto que 2.33 3.841. el valor crftico de ji-cuadrada con .05 y 1 gra do de libertad, n o es posible rechazar la hip6tesis nula con base en estos datos. 9. Conclusion. Conclusion. Se conduye que las dos muestras probablemente se extrajeron de poblaciones con mediana s iguales. iguales. 10. Valor de p.
Puesto qu 2.33
2.706, se tiene que
.10.
•
A veces, un mas de los valores observados seran exactamente iguales a la mediana calculada y, po 10 tanto, no caeran po arriba ni po debaJo de ella. Es importante observar qu si n} es impar, al menos un valor siempre sera exa ctamente igual a la me diana. Esto Esto lleva lleva al de de problema que h acer c on las observaciones observaciones este tipo. Un soluci6n es elimi narlas del analisis analisis si n} es grande se tienen s610 unos cuant os valores qu caen en la mediana combinada, 0 bien, dividir las calificaciones en dos muestras: aque llas qu son mayores mayores que la me diana y las qu no 10 son, en cuyo caso, las observa ciones que son iguales iguales a la media na se contaran en la s egunda categorfa.
Manejo de valores iguales a la mediaaa
La prueba de la mediana se Extension de la prueba de la mediaaa donde probar la hip6tesis nula que dice caso se quiere el extiende 16gicame 16gicamente nte para qu 3 muestras son de poblaciones donde las medianas son iguales. Para esta prueba un tabla de contingencia de puede elaborarse utilizando las frecuen de po cias cias que cae po arriba y debajo la mediana calculada a partir de las mues tras combinadas. Si se cumpl en las condiciones como como el tamafio de la muestra las frecuencias esperadas, X2 puede calcularse calcularse y compararse con el valor crftico de ji cuadrada con 1 grados de libertad.
677
EJERCICIOS
Caja Ca ja de dialogo :
Comandos de la sesion:
Stat >- Nonparametrics >- Mood' s Median Test
MTB
Teclear Cl en Response
Mood
C2.
Clic OK. C2 en Factor. Clic
Resultados: Prueba de la mediana del estado de animo Mood m e d i a n t e s t Chisquare
2.33
0.127 I n d i v i d u a l 95.0%
C2
N<=
N>
10
Median 27.0 39.5
Q3-Ql
15.0 14.8
--------+---- ----+----(-+-----------------)
----
- - + - - - - - - -- - + - --- - -
30.0
Overall median 95.0% C . I .
36.0
-+- -+
------)
- - + -- - - --- - 42.0
33.5 median
FIGURA FIGURA 13.5.
(I
median(2}:
(-17.1,3.1)
Procedim iento MINITAB MINITAB Y resultados para el ejemplo 13.5.1.
El calculo de la prueba de la median puede Ile computadora varse a cabo con el paquete MINITAB. Para ilustrar el uso de este paqu ete con los datos del ejemplo 13.5.1, primero se almacenan las mediciones en la columna 1; en la columna 2 se almacenan los c6digos qu identifican las observaciones que corre sponde n a los individuos urbanos (1 rurales (2). La figura 13.5.1 muestra los los resultados gener ados po el procedimiento de MINITAB.
Malisis
FJERCIOOS 13.5 13.5.1 .1
Se revi revisa saro ro 15 expedientes d e pacientes de dos hospitales se asign6 un calificaci6n dise fiada para estimar el nivel de aten ci6n recibida. Las calificacione calificacione so las siguientes; Hospital A: 99, 85, 73, 98, 83,88,99,80,74,91, 80,94,94,98,80 Hospital B; 78, 74, 69, 79, 57, 78, 79,68,59,91,89,55,60,55,79 ms posible concluir, en un nivel de significaci6n de .05, que las medianas de las dos pobla dones son diferentes? diferentes? Det ermine el valor de p.
67
CAPITULO 13
13.5.2
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
Se obtuvieron los siguientes valores de albfunina en el suero de 17 personas normales hospitalizadas.
AlbUmina en el suero (gllOO ml) Individuos nonnales
2.4 3.5 3.1 4.0 4.2
3.0 3.2 3.5 3.8 3.9
Albumina en el suero (gllOO ml Individuos nonnales
Individuos
hospitalizados
2.0 3.4 1.7 2.0
13
3.1 1.3 1.5 1.8 2.0
4.5 5.0 2.9
3.5 3.6
lndividuos hospitalizados
3.5
1.5
.05, que las medianas de las dos poblaci o nes de las que se extrajeron las muestras son distintas? Determine el valor de p. ~ S e
13.6
podria conciuir, en el nivel de significacion de
PRUEBA DE
MANN-\VHlTNEY
La prueba de la mediana, qu se analizo en la seccion anterior, no utiliza toda la informacion presente en las las dos muestras cuando la variable variable de interes se mide po 10 menos en una escala ordinal. Reducir el contenido de informacion de un observa cion para concluir si cae no po arriba po debajo de un mediana comun, es desperdicia r informacion. Si para probar la hipotesis deseada, se cuenta co procedimiento que utilice un mayor cantidad de la informacion inherent en los datos, dicho procedimiento debe utilizarse siempre que sea posible. EI procedi miento no parametrico que puede utilizarse con frecuencia en lugar de la prueba de la median a es es la prueba de Mann-Whitney (5), algunas veces Hamada Mann-Whitney Wilcoxon. Esta prueba se basa en las jerarqufas de las observaciones, or 10 cual utiliza mas informacion que la prueba de la mediana.
Supuestos Las suposiciones qu fundamentan la prueba de Mann-Whitney son las siguientes: m, respectivamente, que se utilizan para el 1. Las dos muestras, de tamafios anaIisis ha sido extrafdas de manera independiente independiente en forma aleatoria de sus poblaciones respectivas.
2. La escal de medicion es
10 menos ordinaL
3. La variable de interes es continua. 4. Si las poblaciones son diferentes, varian solamente medianas.
10 que respecta a sus
Hip6tesis Cuando se satisfacen estas suposiciones, puede probarse la hipotesis nula de que las dos poblaciones denen medianas iguales contra cualquiera de tres alternativas posibles: posibles: 1) las poblaciones no tiene n medi anas iguales {prueba bilate bilate
3.6
PRUEBA PRUE BA DE MA-NN-WH MA-NN-WHITNEY ITNEY
79
ral), 2) la mediana de la poblacion 1 es mayor qu la mediana de la poblacion 2 (prueba unilateral), bien 3) la mediana de la poblacion 1 e menor qu la media na de la poblacion 2 (prueba unilateral). Si las dos poblaciones son simetricas, de modo qu dentro de cada poblaci6n la media la mediana so las mismas, las condusiones a las qu se llega respecto a las medianas de las dos poblaciones se aplicara.n tambien a las medias de ambas poblaciones. El siguiente ejemplo ilustra e1 uso de la prueba de Mann-Whitney. FJEMPLO 13.6.1 En experimento disefiado para esti mar los efecto de la inhalaci6n prolongada de oxido de cadmio, 15 animales de laboratorio sirvieron sirvieron de sujetos para el experi mento, mient ras que 10 animal es similares sirvieron de control. La variable de inte res fue la concentracion de hemoglobina despues del experimento. Los resultados se muestran en la tabla 13.6.1. Se desea saber si es posible conduir qu la inhala ci6n prolongada de 6xido de cadmio disminuye el nivel de hemoglobina.
Soludon: 1. Datos.
Vease la tabla 13.6.1 13.6.1
2. Supuestos. Se considera qu Mann- Whitney Whitney se se cumplen.
las suposiciones para la prueba de
TABlA 13.6.1 Determinacion de hemoglobina (gramos) 25 animales de laboratorio Animales expuestos (X)
14.4 14.2 13.8 16.5 14.1 16.6 15.9 15.6 14.1 15.3 15.7 16.7 13.7 15.3 14.0
Animales no expuestos (Y)
17.4 16.2 17.1 17.5 15.0 16.0 16.9 15.0 16.3 16.8
680
CAPITULO
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
13
3.
Hipotesis.
Las hip6tesis nula H o : M x ~
alternativa son las siguientes:
My
HA:Mx
donde Mx es la mediana dt: la poblaei6n de animales expuestos al 6xido de eadmio My es la medi ana de la poblaci6n de animales no expuestos a la sustancia. Sea .05.
4.
Estadistica de prueba. Para ealcular la estadistica de prueba se proeede a eombinar las dos muestras, las observaeiones se orde na de menor a mayor teniendo present e a emil emil muestra perten eee eada observaci6n. A las observaciones de igual valor numerico se les asigna un jerarquia igual a la media de las posiciones en las que se encuentran "empatadas". Los resultados de este paso se muestran la tabla 13.6.2.
TABlA 13.6.2 ejemplo 13.6.1
Datos Datos originales jerarquias, Jerarquia
13.7 13.8 14.0 14.1 14.1 14.2 14.4
1 2 3 4.5 4.5 6 7
15.3 15.3 15.6 15.7 15.9
10.5 10.5
16.5 16.6 16.7
Total
Jerarquia
15.0 15.0
8.5 8.5
16.0 16.2 16.3
16 17
12 13 14
15
18 19
20
145
16.8 16.9 17.1 17.4 17.5
21
22 23 24 25
3.6
681
PRUEBA DE MANN-WHIT MANN-WHITNEY NEY
La estadistica de prueba es T=S-
n(n+l)
(13.6.1)
es el numero de observaciones de la muestra X, y S es la donde suma de las jerarquias asignadas a las observaciones de la muestra de la poblacion de valores X. La eleccion de los valores de la mues tr que se marcan co X es aleatoria.
5.
Distri Distribuc bucion ion de Ia estadistica de prueba. Los valores crfticos de la distribucion de la estadistica de prueba se encuentran en la tabla para varios niveles de cx.
6. RegIa de decision. Si la mediana de la poblacion X es, en efecto, mas pequena que la mediana de la poblacion Y, como se especifica en la hipotesis alternativa, es de esperar (para muestras de igual tama no) que la suma de las jerar quias asignadas a las observaciones observaciones de la poblacion X sea menor que la suma de las jerarqufas asignadas a las observaciones de la poblacion Y. La estadfstica de prueba esta basada en este razonamiento en tal forma que un valor de suficientemente x;?: My. pequeno causara qu e se rechace la hipotesis Ho: En general, para pruebas unilaterales del tipo que se muestra aquf, la regIa de decision es Rechazar Ho: Mx Mysi el valor calculado de es menor que w'" donde w,yes el valor critico de T, el cual se obtiene mediante la tabla del apindice con n, el numero de observaciones de X; m, el numero de observaciones de Y, ex, el nivel de significa ciOn elegido.
Mann-vVhi Vhitne tne para probar Si se utiliza el p roce dimi ento Mann-v Ho:Mx:S; My contra
HA:Mx los valores suficiente mente grandes de forma que laregla de decision es:
causaran el rechazo, de tal
Rechazar Ho: Mx s; Mysi el valor calculado de
es mayor que wl-c! donde w1-a
nm
w".
Para la situacion de la prueba bilateral con Ho:Mx
My
HA:Mx* My
los valores calculados de qu sean suficientemente suficientemente grandes su ficientemente pequenos causaran el rechazo de Ho. La regIa de deci sion para este caso es:
68
CAPiTULO
13
ESTADiSTICANO PARAMETRIC PARAMETRIC
Rechazar Ho: Mx Mysi el·c(ilculo de es menor que aJ2 mayor que wl-(aI2l' del donde waJ2 es el valor crituo del valor T para n, m y 0/2 dado en la tabla apendice, 1-(aJ2) nm aJ2
Para este ejempIo, la regIa de decisi6n es: Rechazar H si el valor cdlculado de es menor que 45, el valor crituo de la estadis 15, IX 10 tica de prueba para n ,05 que se encuentra en la tabla L.
La regi6n de rechazo para cada conjunto de hip6tesis se se muestr Ia figura 13.6.1. 7. CaIculo de la estadistica de prueba. Para este ejemplo se tiene, tal como se muestra en la tabla 13.6.2, 145, de manera que 15(15+1) =2
T=145
8. Decision estadistica. AI consul ar Ia tabla Leon 15, lO .05 se encuent ra que el valor critico de w" es 45, Dado que 25 0: 45, se rechaza Ho'
H o : M x ~ M y
1-<>
HO:
Mx:5
HA:Mx>My 1-<> W1
Ho:Mx=My 7'
<>
FlGUBA
hip6tesis.
13.6.1
Regiones de rechazo de la prueba Mann-Whitney para tres con unto de
3.6
PRUEBA PRUE BA DE MANN-WHITNEY
68
9. Concl Conclus usion ion Se concluye que Mxes menor qu My. Esto lleva ~ c o n cluir que la inhalaci6n prolongada de 6xido de caduiio redu.£e la concentraci6n de hemoglobina. 10. Valor
dep.
Puesto que 22
25
30, entonces, .005 >
>.001
Aprox;maciOn a un muestra grande Cuando es mayor que 20 no es po sible sible utilizar la tabla L del apendi ce para obtener los valores criticos de la prueba de Mann-Whitney. Cuando este es el caso, es posible calcular T-mn/2
=:
--p====== +m+l)/l2
(13.6.2)
comparar el resultado con los valores criticos de la distribuci6n normal estandar.
An61isis Muchos paqu etes estadfstic estadfsticos os de software ejecu computadora ta la prueba de Mann-Whitney Mann-Whitney.. Con los datos de las dos muestras al macenados en las columnas 1 y 2, po ejemplo, MINITAB realizara la prueba bilateral unilate ral. El procedimiento de MINITAB MINITAB y los resultado para el ejemplo 13.6.1 se mues tran en la figura 13.6.2.
a e
:
s e a
Stat >- Nonparametrics
>-
Mann
>-
Whitney
Mann-Whitney 9 5 . 0
MTB
C1
C2
SUBC
Alternative
Tec1ear Cl en First Sample C2 en Second Sample. En Alternative seleccionar menor que. Clic OK. Resultados: Prueba e intervalo de confianza 15 Median 10 M e d i a ~ P o i n t e s t i m a t e f o r ETA1
de
Mann-Whitney 15.300 16.550
C1 C2
ETA2
30
(-2.300, -0.600) 95.1 Percent c.r. ETA1 ETA2 145.0 T e s t o f ETA1 ETA2 ETA1 ETA2 significant he t e s t i s s i g n i f i c a n t a t 0.0030 ( a d j u s t e d f o r t i e s ) FIGURA
13.6.2
Procedimi ento MINITAB MINITAB Y resultados para
0.0030
ejeIllplo 13.6.1.
684
CAPITULO 13
ESTADIST ICANO PARAMETRICA
FJERCICIOS 13.6.1 El prop6sito de un estudio realizad po Demotes-Mainard et ai. (A-3) er comparar la farma cocinetica de la cefpirami da (una cefalosporina) total y libr en voluntarios sanos pacien tes con cirrosis alcoh6lica. alcoh6lica. Entre los datos recolectados estan los siguientes valores de depuraci6n plasmatica (mVmin) despues de un sola inyecci6n inyecci6n intravenosa de 1 gramo de cefpiramida: Voluntarios: 21.7,29.3,25.3,22.8,21.3,31.2,29.2,28.7,17.2,25.7,32.3 Pacientes con cirrosis alcoh61ica: 18.1, 12.3, 8.8, 10.3, 8.5, 29.3, 8.1, 6.9, 7.9, 14.6, 11.1 FUENTE: Utilizada co
autorizaci6n de Fabienne Demotes-Mainard, Ph. D.
ms po sible conduir, co
base en estos datos, que los pacientes con cirrosis alcoh6lica y los pacientes sin la enfermedad difieren co respecto a la variable de interes? Sea ex .01. 13.6 13.6.2 .2
Lebran Lebranch ch et at. (A-4) dirigieron un estudio donde nueve individuos eran pacientes co inmunodeficiencia variable comtin (WC) y 12 individuos eran de control. Entre los datos recolectados estan las siguientes cifras de celulas CD4+ po mm de sangre periferica. Pacientes con
WC
623, 437, 370, 300, 330, 527, 290, 730, 1000
Controles: 710, 1260,717,590,930,995,630,977,530,710,1275,825 FUENTE: Utilizada con autorizaci6n del Dr. Yvon Lebranchu.
Co base en estos datos, ~ e de ceIulas CD4+T? Sea ex
s
posible conduir que los pacientes WC tienen un nivel reducido .01.
13.6.3 El prop6sito de un estudio realizado po Liu et al. (A-5) er caracterizar los cambios media dores, celulares y de permeabilidad que ocurren inmediatamente y 19 horas despues de una prueba de estimulaci6n broncosc6pic broncosc6picaa se gmentari de las vias respiratorias perifericas co antfgenos de ambrosia en individuos alergicos y moderadamente asmaticos.Ademas de los individuos individuos co a ~ m a , el estudio induia individuos normales que no presentaban sfntomas sfntomas de asma. Entre los los datos recolectados esr;in esr;in las siguientes mediciones respecto al por centaje de Ifquido Ifquido recuper ado de los sitios sitios sometidos a la prueba de antfgenos despues de un lavado broncoalveolar. Individuos normales: 70, 55, 63, 68,73,77,67 Individuos asmaticos: 64, 25, 70, 35, 43, 49, 62, 56, 43, 66 Co
de
M. D.
Co base en estos datos, ~ e s posible conduir que bajo las condiciones descritas, se puede .05. esperar recuperar menos fluido de los individuos asmaticos? Sea ex
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV 13.7
Cuando se desea saber que tan bien se ajusta la distribuci6n de los datos de una muestra un distribuci6n te6rica, la prueba conocida como prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov es un alternativa para la prueba de ji-cuadra da de bondad de ajuste, la cual se estudia en el capitulo 12. La prueba debe su nombre ados mate mati cos rusos: A Kolmogorov y N V. Smirnov, Smirnov, quienes presen taron dos pr uebas muy parecidas en la decada de 1930. EI trabajo de Kolmogorov (6) se relaciona con el caso de una sola muestra, como se menciona en este capitulo. EI trabajo de Smirnov (7) (7) t rata el caso en el que
3.7
PRUEBA DE KOLMOGOROV.SMIRNOV
intervienen dos muestras y el interes centra l radica en probar la hip6tesis de igual da entre las distribuciones de las dos poblaciones de origen. la prueba para Ia primera situaci6n se Ie conoce como prueba Kolmogorov-Smirnov para una sola muestra. La prueba para el caso de dos muestras es la prueba Kolmogorov-Smirnov para dos muestras, y no se estudia en este texto. de prueba AI utiliza utilizarr la prue ba de bondad de ajuste ajuste de Kolmogorov Smimov, se efect11a un comparaci6n entre alguna funci6n te6rica, FT(x), un fun cion de distribucion acumulada muestral Fs(x). La muestra se extrae de manera aleatoria de una poblaci6n con un funcion de distribuci6n distribuci6n acumulada desconoci desconoci da F(x). Recuerdese (de la seccion 4.2) que un funcion de distribuci6n distribuci6n acumula da proporciona la probabilidad de que X sea menor igual que un valor en particular, x. Es decir, po medio de la funci6n muestral de distribucion acumulada Fs(x), es posible determinar P( S; x). Si existe un ajuste estrecho entre las distribuciones acumulada te6rica y muestral, muestral, entonc es se apoya la hipotesis de que la muestra fue extrafda de un poblaci6n cuya funcion de distribuci6n acumulada especffica es FT(x). Sin embargo, si hay un discrepancia discrepancia e ntre Ia funcion de distribucion distribucion acumu lada observada y la te6rica, y si dicha discrepancia es 10 suficientemente grande como para no atribuirla al azar cuando Ho es verdadera, la hip6tesis se rechaza. La diferencia entre la funci6n funci6n de distribuci6n acumulada teorica, F i x ) , la muestral, Fs(x), se mide c on la estadfstica D, la cual es la maxima distancia vertical vertical entre FsCx) FT(x). Cuando un prueba bilateral es conveniente, esto es, cuando las E s t a d i s t i ~ ' f l
hipotesis son:
Ho: F(x)
F(x)
FT(x) para toda desde FT(x) para al menos un
hasta
la estadfstica de prueba es sup
F,(x)
F,(x)
In
(13.7.1)
la cual se lee "D es el mayor de los valore valores, s, s obre to das las x, del valor absoluto de la diferencia Fs(x) menos T(X)". La hipotesis nula se rechaza en un nivel de significacion si e1 valor calculado de excede e1 valor que se muestra en la tabla M para I - (bilateral) y el tamafio de la muestra. Supuestos Las Las suposiciones suposiciones que funda ment an la prueb de Kolmogorov-Smimov son las siguientes: 1. La muestr a es aleatoria. 2. La
distribuci6n hipotetica F i x ) es continua.
Cua ndo los valore de se basan en un distribuci6n te6rica discreta, la prue ba es moderada. Cuando la prueba se utiliza con datos discretos, el investigador debe tener en mente que la probabilidad real de comete un error de tipo I es, cuando mucho, igual qu a, que es el nive1 de significaci6n significaci6n e stablecido. La prueba
686
CAPITULO
13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
tambien es moderada datos de la muestra.
si un
mas parametros deben ser estimados a partir de los
EJEMPLO 13.7.1 Se efectuaron mediciones del nivel de glucosa en la sangre de 36 hombres adultos en ayuno, no obesos apar ente ment e sanos. Estas medici ones se mues tran en Ia tabla 13.7.1. Se pretende saber si es posible conduir que tales tales datos no pertenecen un poblaci6n que sigue un distribuci6n normal, con un media de 80 un desviaci6n estandar de 6. Soludon:
1. Datos.
Vease la tabla 13.7. 1.
2. Supuestos. La muestra disponible es un muestra aleatoria simple que se extrajo de una poblacion que sigue un distribuci6n distribuci6n cont inua. 3. Hipotesis.
Ho: F(x) FT(x) FT(x) para toda desde F(x) ':f:.F/x) para al menos un
Sea
hasta
.05.
4.
Estadisti Estadistica ca de prueba.
Vease la ecuaci6n 13.7.1.
5.
Distribudon de Ia estadistica de prueba. Los valores crfticos de la estadistica de prueba para los valores elegidos de se encuentran en la tabla M.
. R eg eg I de decision. Se rechaza si el el valor calculad de .221, que es el valor crftico de para 36 Y .05 7.
CaIc CaIcuIo uIo de Ia estadistica de prueba. EI primer paso es calcular los valores de Fs(x), como se muestra en la tabla 13.7.2 Cada uno los valores de se obtien en al dividir la fre cuencia cuencia acumulada correspondi ente entre el tamaflO tamaflO de la muestra. Por ejemplo, el primer valor de Fs(x) 2/36 .0556. Los valores de F i x ) se obtienen al convertir cada valor obser vado de en valor de la variable normal estandar, z. En la tabla
TABlA 13.7.1 Concentraciones (mg/l00 mI) de glucosa la sangre en 36 varones no obesos, aparentemente sanos, ayunas 75 84 80 77 68 87
excede
92 77 92 86
78 76
80 81
72 77 92 80
80 77 77 68 87
84 75 78 80 80 77
72 81
76 78 81 86
13.7
PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIR KOLMOGOROV-SMIRNOV NOV
TABlA 1 3 . 7 . 2 Valores e j e m p l o 13.7.1
Fs(x) para
Frecuencia Frecuencia
acumulada
68 72
75 76 77 78 80
14 17
23 26 28 30 32 36
81
84 86 87 92
36
F.(x)
.0556 .1111 .1667 .2222 .3889 .4722 .6389 .7222 .7778 .8333 .8889 1.0000
D del apendice se encuentra el area entre z. Co estas areas es po sible calcular los valores de FT(x). El procedimiento se resume similar al qu se utiliza para obtener las en la tabla 13.7.3, frecuencias relativas esperadas la prueba de bondad de ajuste de ji-cuadrada. La estadfstica de prueba puede calcularse calcularse algebraicament e, o bien, determin arse graficamente al medir la distancia vertical mas
TABlA 1 3 . 7 . 3 F ~ x ) para
cileulo Pasos para e j e m p l o 13.7.1
80)/6 68 72 75 76 77 78 80 81 84 86 87 92
-2.00 -1.33 -.83 -.67 -.50 -.33
.00 .17 .67 1.00 l.l7 2.00
.0228 .0918 .2033 .2514 .3085 .3707 .5000 .5675 .7486 .8413 .8790 .9772
68
CAPITULO 13
ro "0 ro
::l
'" '" ·0 '"
::J
LL
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
1.00 .90 .80 .70 .60
.16
.50 .40 .30 .20 .10 68
70
FIGURA 13.7.1
72
Fs(x)
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
FT(x) para el ejemplo 13.7.1.
larga entre las curvas } ~ ( x ) } ~ ( F grafica. Las graficas de x ) i x ) en un ambas distribuciones distribuciones se muestra en la tabla 13.7.1. Un examen de las graficas de Fs(x) FT(x) revelan que '" .1 (.72 .56). A cont inuaci inu aci6n 6n se calcula el valor de de manera algebraica. L ~ s valores valores posibles d Fs(x F i x ) se muestran en la tabla 13.7.4. Esta muestra que el valor exacto exacto de es .1547. 8.
Decision estadistica. AI consul ta la tabla M se observa que el va lo calculadode .1547 no es significativo en ning(in nivel razo nable. Por 10 tanto, no procede el rechazo de
9.
Conclusion. ficada.
TABlA 13.7.4
para
68 72 75 76 77 78 80 81
84 86 87 92
La mues tra tal vez proviene de la distribuci6n especi
Calculo ejeOlplo 13.7.1
.0556 .1111 .1667 .2222 .3889 .4722 .6389 .7222 .7778 .8333 .8889 1.0000
Fix)
.0228 .0918 .2033 .2514 .3085 .3707 .5000 .5675 .7486 .8413 .8790 .9772
:r
.0328 .0193 .0366 .0292 .0804 .1015 .1389 .1547 .0292 .0080 .0099 .0228
3.7
10. Valor p. entonces
PRUE BA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV KOLMOGOROV-SMIRNOV
Dado que se tien
68
na prueba bilateral y .1547
.174, •
.20.
P r e c a u c i 6 n Es necesario tener cuenta que, al determinar el valor de D, no T(X) I. La siempre es suficiente calcular elegir de entre los valores posibles de Fs(x) distancia vertical mas larga entre F i x ) FT(x) posiblemente no ocurra en un valor valor observa x, sino en algUn valor de X. muestra en T(X) qu se posible apreciar qu si sola mente se consideran los valores de Fs(x) los puntos extremos izquierdos izquierdos de las barras horizon ales, el valor de presentan podria err6neamente calcularse como 1.2 -.41 =.2. Sin embargo, al analizar la gnlfica puede observarse qu la mayor distancia vertical entre Fs (x) FT(x) se pre senta el extremo derecho de la barra horizontal qu se origina en el punto .3. .4, el valor correcto de es 1.5 .21 correspondiente Es posible determinar el valor correcto para de manera algebraica al calcu lar, ademas de las diferencias IFix) FT(x) I. las diferencias IF/xi_I) FT(x para 1, 2, .'" todos los valores de 1, donde es igual al numero de valores diferentes de Fs(x O. Por 10 tanto, el valor correcto de la estadistica es
maximo{maximo[1 FS(x 1::; j:::;
FT(xi) 1,1 Fs(xi-l)
FT(Xi) In
(13.7.2)
Las siguientes consideraciones son puntos importan tes de comparacion entre las pruebas de Kolmogorov-Smimov de bondad de ajuste de ji-cuadrada. desventajas
1. La prueba de Kolmogorov-Smimov no requiere qu las observaciones sean agrupadas, como en el caso de la prueba de ji-cuadrada. La consecuencia de 1.0 .9
.8
:::J
:::J
1il
.1il !!:
.7
.6 .5
f"
'5
<=
:::J
CI)
.4
u.
.3 .2
00""" .2' =. '.5-
.1
.2
FIGURA 13.7.2
GrMica de datos ficticios que muestran el caIculo correcto de D.
690
CAPITUW
13
ESTADISTICA
NO
PARAMETRICA
esta diferencia es qu la prueba de Kolmogorov-Smirnov Kolmogorov-Smirnov hac usa de toda la informaci6n presente en e1 conjunto de datos. 2. La prueba de Kolmogorov-Smirnov puede utilizarse co muestras de cual quier tamafio. Recuerde qu para realizar la prueba de ji-cuadrada es necesa ri qu las muestras tengan un tamafio minimo. 3. Como se ha visto, la prueba Kolmogorov-Smirnov no es aplicable cuando lo panimetros tienen qu ser estimados a partir de la muestra. La prueba ji cuadrada puede utilizarse en estas situaciones mediante la reducci6n de los grados de libertad en para cada parametro estimado. 4. El problema de suponer un
anterioridad.
distribuci6n te6rica continua se mencion6 co
EJERCICIOS 13.7 13.7.1 .1
El peso del cerebra cerebra medido durante la autopsia de cada un padedan cierta enfermedad, es el siguiente:
de 25 individuos adultos qu
Peso de cerebro (gramos) 1041
1166
1117
1064
1141
1202
1168
1255
859
1073
962
1051
973
904
1001
1012
1016
920
1039
1002 1086
1146 1140
1233 1348
~ E s posible conduir, a partir de estos datos, qu la poblaci6n de la cual se extrajo la muestra no sigue un distribuci6n normal co un media de 1050 Yun desviaci6n estandar de 50? Determine el valor de para esta prueba.
13.7.2
El coeficiente intelectual de un muestra de 30 adolescentes arrestados po abuso de farmacos es el siguiente:
Coeficiente intelectual 91
106
97
100 106
92
100 104 106
101
91
103 105
101
95
102
95
98
102 104
109 107 105 101 107
110
119 112
110 118
suficiente para conduir que la poblaci6n muestreada ~ P r o p o r c i o n a n ~ estos P r o p o datos r c i o n la a n evidencia no sigue un distribuci6n normal con una media de 105 un desviaci6n estandar de 10? Calcule el valor de p.
3.8
13.7.3
691
ANALISIS ANALISIS UNILATERAL DE LA VARIANCIA DE KRUSKAL-WALLIS
Para Para una muestra de sujeto sujetoss aparentemente aparentem ente normales que que servia servia de control control en un experi mento, se registraron los siguientes val ores de la presi6n sanguine sanguin ea sist6lica sist6lica al inicio del experimento: 162 130 147 153 141
177 154 157 157 137
151 179 141 134 151
167 146 157 143 161
concluir, r, a part p artir ir de esos datos, que la poblaci6n de valores de presi6n sangufnea ms posible conclui
de la qu se extrajo la muestra no sigue una distribud6n normal con Calcule el valor de p.
J.1 -=
150
cr
12?
13.8 ANAuSIS UNI1ATERAL DE lA VARIANCIA PORJERARQuIAs DE KRUSKAL-WAUlS En el capitulo 8 se estudia como se utiliza el amil amilisi isiss unil ateral de la variancia para probar la hipotesis nula de que las medias de varias poblaciones son iguales. iguales. Cua n do las suposiciones que fundamentan esta tecnica no se cumplen, es decir, cuando las poblaciones de las cuales se extraen las muestras no siguen un distribucion normal con variancias iguales, cuando los datos para el analisis son unicamente jerarquias, es posible utilizar un alternativa no parametrica al analisis unilateral de la variancia para probar la hipotesis de parametros de ubicacion iguales. Como se indica en la seccion 13.5, la prueba de la mediana puede ampliarse para incluir la situacion qu involucra mas de dos muestras. Un deficiencia de esta prueba, sin embargo, es el hecho de qu solo utiliza un pequefia cantidad del total de infor macion disponible. La prueba utiliza solo la informacion qu indica si las observa ciones estan no por arriba po abajo de un solo numero, el cual es la mediana de las las muestras comb inadas. La prueba no utiliza utiliza directament e mediciones de canti da conocida. Existen varias pruebas no paramet ricas equivalentes al analisi de la variancia, variancia, las cuales utilizan mas inf ormacion al tomar en cuenta la magnitud de cada observaci6n co respecto a la magnitud de cualquier otra observaci6n. observaci6n. Quiz el procedimiento mejor conocido es el analisis unilateral de la variancia or jerar quias de Kruskal-Wallis (8). Procedimiemo de Krushal- W
los siguientes pasos. 1.
Las n
a l l i ~
La aplicaci6n de la prueba comprende
observaeiones de las muestras se combinan en un sola serie de tamano y se clasifican en orden ascendente. Las observaeiones, poste riormente, se sustituyen jerarqufas desde 1, la eual se asigna a la observa cion menor, hasta n, que eorresponde la observacion mayor. Cuando dos mas observaciones tienen el mism o valor, valor, a cada un de ellas se Ie da la media de las jerar quias co n las qu estan empatadas. ••• ,
2. Las jerar qufas asignadas a las observaciones observaciones en cada uno de los suman po separado para ar sumas de jerarquias.
grupos se
692
CAPiTULO
13
ESTADisTICA
NO
P ARAMETRICA
3. La estadistic de prueba se calcula asi 12
R2
1)
n(
j=1
nj
-3(n+l)
(13.8.1)
En la ecuaci6n 13.8.1 .k
numero de muestras
nj
numero de observaciones de la j-esima muestra numero de observaciones en todas las muestras combinadas
j
==
suma de las jerarquias en la j-esima muestra
4. Cuando hay tres muest ras y cinco menos observaciones en cada una, e1 nive1 puede determinarse al consultar la tabla N del apendi de significaci6n de ceo Cuando hay ma de cinco observaciones en una ma muestras, se compara con los valores tabulados de ji-cuadrada con 1 g ra ra do do s de libertad. EJE.MPLO 13.8.1
Se estudi6 el efecto de dos medicamentos en el tiempo de reacci6n ante cierto es timulo en tres muestras de animales experimentales. La muestra III sirvi6 como control, mientras que a los animales de la muestra I se les aplic6 el medicamento y a los de la muestra II se les aplic6 el medicamento B antes de la aplicaci6n de estimulo. En la tabla 13.8.1 se encuentran anotados los tiempos de reacci6n en segundos de los 13 animales. ~ E s ~ posible E s concluir qu las tres poblaciones representadas po las tres mues tras difieren co respecto al tiempo de reacci6n? Esto es po sible si se puede recha zar la hip6tesis nula que indica qu las tres poblaciones no difieren en sus tiempos de reacci6n.
TABlA 13.8.1 Tiempo de reaccion en segundos de 13 animates de experimentacion
Muestra
III 17 20 40 31
35
13.8
ANALISIS ANALISIS UNILATERAL DE LA VARIANCIA DE KRUSKAL-WALLIS
69
Solucion:
Vease la tabla 13.8.1.
1. Datos.
2. Supuestos. Las muestras son aleatorias e independientes, y fue ro extraidas de sus sus respectivas poblaciones. La escala de medici6n que se utiliza es al menos ordinal. Las distribuciones de los valores en las poblaciones poblaciones muestrea das son identicas, excepto po la posibi lidad de que un mas poblaciones esten compuestas po valores que tienden a ser se r mayores que los val ores de las demas poblaciones. 3. Hipotesis
Las distribuciones de las poblaciones son identicas. De todas las poblaciones, po 10 menos un de elIas elIas ti ende a mostr ar valores valores mayores mayores que al menos un de las demas.
Ho:
Sea 0;
.01.
4. Estadistica
prueha.
Vease la ecuaci6n 13.8.1.
5. Distrihucion de Ia estadfstica prueha. Los valores criticos de para diferentes tama nos de muestras y niveles niveles 0; se encuentran en la tabla N. 6. RegIa
La hip6tesis nula se rechaza si el valor calcula do de es tan grande que la probabilidad probabilidad de obtener un valor ma yor igual, cuando Hoes verdadera, es menor igual que el nivel de significaci6n 0; decision.
Ia estadistica de prueha. Cuan do las tres muestras se 7. Calculo combinan en un sola serie y los valores se clasifican po jerarquias, entonees es posible posible elabor ar un tabla de jerar quias como la que se muestra en la tabla 13.8.2. La hip6tesis nula implica qu las observaciones las tres muestras constituyen un sola muestra de tamano 13 extraida de un sola poblaci6n. Datos de
TABLA 13.8.2
la tabla 13.8.1 sustituidos po jerarqul8S Muestra
6.5
lO
8 6.5
13 11
12 55
R2
26
R3
10
694
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
Si esto es eierto, puede esperarse qu las jerar qulas este bien distri
buidas entre las tres muestras. En consecuencia, se espera que la pro suma total de jerarqulas sea dividida entre los tres grupos porcion al tamaiio de estos. Cualquier incumplimiento de estas con diciones se refleja en la magnitud de la estadlstica de prueba H. partir de los datos de la tabla 13.8.2 y la ecuacion 13.8.1 se obtiene 12
[(55)2
13(13+1)
(26)2
5
(10)2]
4
-3(13+1)
10.68 8. Decision estadistica. Es posible observar en la tabla N que cuan do lasn. son 5, 4 y 4 l a probabilidad de obtener un valordeH 10.68 es m e n ~ r m que e n ~ .009. .009 r . La hipotesis nula puede rechazarse en nivel de significaci6n de .0 1. 9. Conclusion. Se eonduye que SI existe un diferencia en el tiempo promedio de reacci6n entre las tres poblaciones. p. Para esta prueba, 10. Valor < . EmpaJes
Es importante indicar qu a los dos valores iguales en la muestra
les asigno una jerarqula de 6.5. Es posible ajustar el valor de dividirlo entre
se para este empate al
1
(13.8.2)
t. La letra se utiliza para designar el numero de observaciones un muestra de valores empatados. En este ejemplo, solamente hay iguales en grupo de este tipo, pero, en general, puede haber varios grupos de valores empata do qu da como re sultado varios valore de T. Dado qu existen solo dos observa ciones iguales en esta muestra de valores empatados, entonees la "i 6, as} que la expr esio n 13.8.2 13.8.2 e donde
13
.9973
10.68 iT
10.71
.9973
que, naturalmente, es significativa en el nivel de .01. Como es el caso aqul, el efecto del ajuste para valores iguales es po 10 general, insignificante. Tambien es importante sefialar que dicho efecto incrementa a H, aSI que, si la no ajustad aj ustad a es signific significativa ativa al niveI niveI dado, entonces enton ces no es necesario ajustarla. En el siguiente ejemplo es posible observar como utilizar el procedimiento cuando exis es mayor qu 5. te mas de tres muestras y al menos un de las
Ma
ires muesiras
un
de elias es m a y o r qu
1m; demas
13.8
69
ANALISIS UNILAT ERAL DE LA VARIANCIA DE KRUSKAL-WALLIS
Valor Valor contable neto del equipo por cama para TABlA 13.8.3 cada tipo de hospital Tipo
hospital
A
D
$1735(11) 1520(2) 1476(1) 1688(7) 1702(10) 2667(17) 1575(4) 1602(5) 1530(3) 1698(8)
$5260(35) 4455(28) 4480(29) 4325(27) 5075(32) 5225(34) 4613(30) 4887(31)
68
246
R2
$2790(20) 2400(12) 2655(16) 2500(13) 2755(19) 2592(14) 2601(15) 1648(6) 1700(9)
R3
124
$3475(26) 3115(22) 3050(21) 3125(23) 3275(24) 3300(25) 2730(18)
R4
$6090(40) 6000(38) 5894(37) 5705(36) 6050(39) 6150(41) 5110(33)
159
R5
264
EJEMPLO 13.8.2
la tabla 13.8.3 se encuentra el valor contable neto de capital en equipo emplea cama en una muestra extrafd de cinco tipos de hospitales. Se pretende determinar, determinar, mediante la prueba de Kruskal-Wallis, si es posible conduir que el va lor contable contable neto pr omedio de capital en equipo po cama, difiere en los cinco tipos de hospitales. Las jerarqufas de los 41 valores, junto con las sumas de jerar quias po muestra se encuentran en dicha tabla. tabla. En
do po
Soluci6n:
partir de la sumas de las jera rqui as se calcula: calcula:
[(68)2 + (246)2 + (124)2 10 41(41+1) 8 9 12
(159)2
7
(264)2]-3(41+1)
7
36.39 AI consultar la tabla F, co 4 grados de libertad, se encuen tr que la probabilidad de obtener un valor de tan grande igual que 36.39 debido s610 al azar, cuando no hay diferencia entre las muestras, es menor que .005. Se conduye, entonces, que sf existe un diferencia entre las las cinco poblaciones con respecto al valor promedi de la variable de interes. • computadora El paquete de software software MINITAB calcula calc ula la esta dfstica de prueba de Krusk Kruskalal-Wal Walli liss y pr opor cion a info rmaci6 n adicional. Despues de poner los tiempos de reacci6n de la tabla 13.8.1 en la columna y los c6digos de las muestras en la columna 2, el proc edim ient o MINITAB MINITAB y los los resultados son lo qu se muestran en la figura 13.8.1.
AnUlisis
CAPiTULO 13
69
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
Datos: C1
17
C2:
1
20
1
40
1
1
31
1
8
35
2
2
7
2
2
9
8
3
2
3
3
Caja de dialogo: Stat>
4
3
3
Comandos Comandos de la sesi6n:
Nonparametrics Nonparametrics > Kruskal·Wallis
Teclear
5
Response
C2 en Factor.
elic
MTB
KRUSKAL-WALLIS C1 C2
OK.
Resultados: Prueba Kruskal-Wallis LEVEL
NOBS
13
OVERALL
10.68 10.71 NOTE
RANK
VALUE 2.93
-0.31 -2.78 7.0 0.005 0.005 (adjust ed for ties)
d.f.
On
AVE.
MEDIAN 31.000 8.000 3.500
more s m a l l s a m p l e s
Procedimiento MINITAB reacci6n anotad os en la tabla 13.8.1. de reacci6n
FIGURA 13.3.1
resultados para la prueba Kruskal-wa Kruskal-wallis llis de los datos de tiempo
EJERCICIOS Para los ejercicios ejercicios siguientes, ef ectue la prueba en e! nive! de significaci6n en que se indica determine el valor de p. 13.S.1
En un estudio de sintomas de fatiga entre hombres con lesiones cerebrales (LC), walker et al. (A-6) registraron las calificaciones de depresi6n de Zung para tres muestras de individuos: con lesion cerebral sintomas de fatiga, con lesi6n cerebral sin sintomas de fatiga, e indivi duos normales, de la misma edad qu los pacientes, qu sirvieron como individuos de con
trol. Los resultados son los siguientes: LC, fatiga:
46,61,51,36,51,45,54,51,69,54,51,38,64
LC, sin fatiga:
39,44,58,29,40,48,65,41,46
Controles:
36,34,41,29,31,26,33
FUENTE:
Utilizada con permiso de Gary C. Walker, M. D.
EJERCICIOS
97
concluir, con base en estos estos datos, datos, que la poblacion representa da po estas mues CEs posible concluir, .Ol. tras difiere con respec to a las calificaciones calificaciones de depresior i de Zung? Sea 13.8.2 13.8.2
Los Los siguientes siguientes valor valores es corresponde n a los los gastos gastos de pacientes externos po determinada interven cion quirurgica. Estos gastos se obtuvieron en muestras de hospitales localizados en tres diferentes partes del pafs.
Area III
$80.75 78.15 85.40 71.94 82.05
$58.63 72.70 64.20 62.50 63.24
$84.21 101.76 107.74 115.30 126.15
Con un nivel de significacion de .05, pecto a los gastos? 13.8 13.8.3 .3
~ e s
posible concluir que las muestras difieren con res
Du oi et al. (A-7) afirmaron que la heparina administrada en pequenas dosis (10 IU/kg/h) mediante infusion continua IV puede prevenir aminorar la inducci6n de la coagulacion intravascular diseminada inducida po trombina en mandriles bajo anestesia general. Los ani males males del grupo A recibieron solame nte trombina, los del grupo B fueron fueron pret ratados con heparina antes de administrarles trombina los del grupo C recibieron heparina dos horas despues de que la coagulacion intravascular diseminada fue inducida con trombina. Cinco horas despues de que los los animales fueron anestesiados, se obtuvieron las siguientes mediciones del tiempo parcial de tromboplastina activada (TPTa): GrupoA:
115, 181, 181, 128, 107,84,76, 118,96, 110, 110
Grupo B:
99,83,92,64,130,66,89,54,80,76
Grupo C:
92,75,74,74,94,79,89,73,61,62,84,60,62,67,67
FUENTE:
Utilizada con autorizaci6n del Dr. HendrikJ. Du Toit.
Pruebe un diferencia significativa entre los tres grupos. Sea
.05.
13.8. 13.8.4 4 Tart Tartag agli lion on et al. (A-8) exami naro n los los efectos efectos de lesiones unilaterales del hemisferio izquierd el hemisferio derecho en la exactitud para elegir la velocidad de respuesta en un tarea de tiempo de reaccion de cuatro opciones. Se formaron 3 grupos: el grupo 1 de control con 30 individuos, el grupo 2 con 30 pacientes con dano cerebral en el hemisferio izquierdo el grupo 3 con 30 pacientes pacientes con dana cerebral en el hemisferio derecho. La siguiente tabla mues tra el numero de errores producidos producidos po los individuos durant e un a fase fase del experimento:
Grupo
Cantidadde errores
2
Grupo
Cantidad de errores
Grupo
0 0
3 3
0
3
Cantidadde errores
(Continua)
698
CAPITIJLO 13
ESTADisTICA NO PARAMETRICA
Cantidad de
Cantidad de Grupo
1 1 1 1 1
errores
rupo
0
2
0 0
2
errores
10
49
3
3
Cantidad Grupo
errores
1
3
2 41
1 1 1 1
1 5 1
2 2 2 2
17 33 20 48
2
3
3
3 11
1
17 15
2 2
FUENTE:
23 10
22
Utilizada co la autorizaci6n de Antonio Tartaglione, M. D.
posible conduir, con base en estos datos, datos, que las tres poblaciones representadas po estas muestras difieren con respecto al numero de errores? Sea 0: =.05. 13.8 13.8.5 .5
rd et al. (A-9) estudiaron la incidencia de complicaciones complicaciones respiratorias episodios hip6xi cos cos dur ant e la inducci6n anestesica po inhalaci6n con isoflurano en nifios sanos sin premedi caci6n qu fueron sometidos a intervenci6n quirurgica bajo anestesia general. Los niiios fueron repartidos de manera aleatoria en tres grupos, en los que se administr6 de manera diferente el isoflurano. Los tiempos qu se necesitaron para inducir la anestesia son los siguientes: GrupoA
8.0 7.75 8.25
GrupoB
GrupoC
GrupoA
GrupoB
GrupoC
11.75 7.25 9.25
6.5 7.75 7.25
5.75 9.0 11.0
8.75 11.0 12.0
4.75 7.5 5.5 (ContinUa)
EJERCICIOS
GrupoA
13.0 8.75 6.75 8.5 1l.5
7.75 16.75 8.75 6.75 8.25 10.75 10.0 FUENTE:
GrupoB
GrupoC
12.0 8.75 6.75 10.5 8.0 11.0 9.5 7.75 10.25 12.0 8.25 8.0
6.5 6.75 7.5 7.75 8.75 8.75 10.0 7.5 5.0 6.25 6.25 9.0
GrupoA
8.25 8.25 7.75 13.75 7.25
GrupoB
15.0 7.0 14.25 9.75 15.25
69
GrupoC
9.5 6.75 5.5 4.0 9.5 7.25 5.25 6.25 6.5 9.75 6.5
Utilizada con autorizaci6n del Dr. DecianJ. Warde.
(Es posible concluir, con base en estos datos, que las tres poblaciones representadas po estas muestras difieren con respecto al tiempo de induccion? Sea =.01. 13.8.6 Un estudio conducido po Ellis et al. (A-I0) ayud6 a explorar las caracteristicas de uni6n de maniaticos y a com parar los los resultados con datos la imipr amina a las plaquetas en pacientes maniaticos equivalentes de individuos sanos (con troles) troles) y pacientes co n depresi 6n. Entr e los datos reco lectados estan los siguientes valores miximos de uni6n de la imipramina (B max) para tres gropos de diagn6stico y el grop de control: Diagnostico
Bmu
(fmol/mg pr.)
Mania
439,481,617,680,1038,883,600,562 439,481,617,680,1038,883,600,562,303,492,1075,747 ,303,492,1075,747 726,652,988,568
Control sana
509, 494, 952, 697, 329, 329, 518, 328, 516, 664, 450, 794, 774, 247, 395, 860, 751, 896, 470, 643, 505, 455, 471, 500, 504, 780, 864, 467, 766, 518, 642, 845, 639, 640, 670,437, 806,725,526,1123
Depresi6n unipolar
1074,372,473,797,385,769,797,485,334,670,510,299, 333,303,768,392,475,319,301,556,300,339,488, 1114, 761,571,306,80,607, 1017,286, 511, 147,476,416,528, 419,328, 1220,438,238,867, 1 6 5 7 , 7 9 0 , 4 ~ 9 , 1 179,530,446, 6 5 7 , 7 9 0 , 4 ~ 9 , 328,348,773,697,520,341,604,420,397
Depresion bipolar
654,548,426,136,718,1010
FUENTE:
Utilizada co autorizaci6n del
Dr. P. M.
Ellis.
ms posible conduir, con base en estos datos, que las cuatro poblaciones representadas por estas muesttas difieren con respecto a los valores Bm .? Sea =.05. 13.8.7 La siguiente tabla muestra los los nivel niveles es de residuos de pesticidas (ppb) en muestras de sangre poblaciones de individuos humanos. Utilice la prueba de Kruskal-Wallis para pro de cuatto poblaciones
700
CAPITULO 13
ESTADiSTICA NO PARAMETRICA
bar, con un nivel de significaci6n de .05, la hip6tesis nula de que no existe diferencia entre las poblaciones con respecto al nivel promedio de residuos de pesticidas. Poblaci6n
Poblaci6n
C 10
D
44
15
37
35
12
32
10
31
19
12
11
33
11
11
12
10
15
32
42
17
11
14 15
23
18
13.8.8
Se midi6la actividad de la y-glutamil transpeptidasa (GGTP) hepatica en 22 pacientes some tidos a biopsia percutanea del higado. Los resultados son los siguientes:
Individuo
10 11
12 13
14 15
16 17 18
19 20 21
22
Nivel de GGTP hepatica
Diagn6stico Higado normal Cinosis biliar primaria Enfermedad del hfgado po Cirrosis biliar primaria Higado normal Hepatitis persistente Hepatitis cronica activa Enfermedad del higado po Hepatitis persistente Hepatitis persistente Enfermedad del higado po Cirrosis biliar primaria Hfgado normal Cirrosis biliar primaria Cirrosis biliar primaria Enfermedad del hfgado po Enfermedad de hfgado po Hepatitis persistente Hepatitis cronica activa Higado normal
Hepatitis cr6nica activa Hepatitis cr6nica activa
alcoholismo
27.7 45.9 85.3 39.0 25.8 39.6 41.8
alcoholismo
64.1 41.1
alcoholismo
35.3 71.5 40.9 38.1 40.4
alcoholismo alcoholismo
34.0 74.4 78.2 32.6 46.3 39.6 52.7 57.2
posible conduir, a partir de estos datos, qu el nivel promedio de GGTP de la poblaci6n difiere en los cinco grupos de diagn6stico? Sea .05, Y calcule el valor de p. ~ E s
13.9
701
AL"l"ALISIS BILATERAL DE LA VARIANCIA DE FRIEDIVIAN
13.9 ANAuSIS BHATERAL DE lA VARIANCIA PO JERARQlllAs DE FRIEDMAN Asl como en ocasiones se tiene la necesidad de un analisis no parametrico analogo al analisi analisiss par ametric o unilateral de la variancia, variancia, en ciertos casos casos es necesario a na lizar los datos de un clasificaci6n bilateral mediante metodos no parametricos amilogos amilogos al analisis bilate ral de la variancia. Esta necesidad puede surgir porque no se satisfacen las suposiciones necesarias para el analisis analisis para metric o de l a variancia, variancia, porque la escal de medici6n que se utiliza es "fragil" porque es necesario necesario obtener los resultados rapidamente. Una prueba que suele utilizarse en estos casos es el anal isis bilateral de la variancia po jerarqulas de Friedman (9, 10). Esta prueba es conveniente siempre que los datos se midan, al menos, en una escala ordinal puedan ordena rse significativame significativamente nte en una clasificaci6n bilateral, como se hace en el disefio po bloques completos aleatorizados que se estudia en el capitulo 8. El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento. FJEMPLO 13.9.1
estudio para comparar tres modelos diferentes de Un fisioterapeuta realiz6 estimuladores electrico de bajo voltaje. voltaje. A nueve fisioterapeutas se les pidi6 que clasi ficaran en orden de preferencia a esos tres generadores. Un jerar quia de 1 indica indica la primera preferencia. Los resultados se muestran en la tabla 13.9.1. Se pretend e sabe si es posible concluir que los model os no ti enen igualda d de preferencia. Solucion: 1. Datos.
Vease la tabla 13.9.1
2. Supuestos. Las observaciones que aparecen en un bloque dado son independientes de las observaciones que aparecen en cada un TABlA 13.9.1 Clasiflcacion por jerarquias de tres modelos de estimuladores eJectricos eJectricos de bajo voltaje proporcionadas po flsioterapeutas Modelo
Terapeuta
4
1
3
1 R.
15
25
14
70
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
de los demas bloques, y las mediciones dentro de cada bloque se logran, al menos, en un escala ordinal.
3. Hipotesis.
En general, las hip6tesis son:
Todos los tratamientos tienen efectos identicos. AI menos uno de los tratamientos tiende proporcionar proporcionar observaciones mas grandes que los demas tratamientos. Para este ejemplo, las hip6tesis se enuncian como sigue: Ho: Los tres modelos tienen igual preferencia. Los Los tres modelo no tienen igual preferencia. Sea (J, .05. Ho:
4. Estadfstica de prueba. Por medio de la prueba de Friedman es po sible determinar si es razonable suponer que las columnas de jerar qufas fueron extrafdas de la misma poblaci6n. Si la hip6tesi nuia es verda dera se esperarfa que la distribuci6n observada de las jerarqu fas en cualquiera de las columnas sea el resultado de factores aleatorios y, po 10 tanto, tanto, se es peraria qu los mlmeros 1, 2 Y 3 ocurri esen aproxi madamente con la misma frecuencia en cada columna. Por otra parte, si la hip6tesis nula es falsa (esto es, si los modelos no tienen igual preferencia) se esperarfa un preponderancia de jerarqufa relativa mente alta (0 baJa) en, al menos, un columna. Esta condici6n se re flejarfa en la suma de las jerarqufas. La prueba de Friedman dira si las sumas de jerarqufas observadas son ta distintas que no es probable atribuirlas 5610 al azar cuando Ho es verdadera. Dado qu los datos fueron c1asificados en bloques (renglones), el primer paso es sumar las jerar qufas dentro de cada columna (tra tamiento). Estas Estas sumas son los que se muestran en la tabla 13.9.1. Un estadfstica de prueba, descrit po Friedman como X;, se calcula como sigue: (13.9.1) es el mlmero de renglones (bloques) y columnas (tratamientos). (tratamientos). donde
es el mlmero de
la estadistica de prueba. Los valores criticos para 5. Distribucion diversos valores de se encuentran en la tabla de apendice. 6. RegIa decision. Rechace Ho si la probabilidad de obtener valor de X;, mayor 0 igual qu el valor calculado es menor 0 igual qu (J" cuando Ho es verdadera. prueba. Mediante el uso de datos de 7. Calculo de Ia estadistica la tabla 13.9.1 y la ecuaci 6n 13.9.1 13.9.1 se obtiene
X;
12 9(3)(3 8.222
1)
=[(15)2 +(25)2 +(14)2]-3(9)(3+1)
3.9
ANA.LIS ANA.LISIS IS BILATER AL DE
LA
VARIANCIA VARIANCIA DE FRIEDM AN
703
8. Decision estadistica. AI consultar la tabla Oa de apendice, se en cuentra qu la probabilidad de obtener un valor para X; tan grande como 8.222 debido solo al azar, cuando la hipotesis nula es verdade ra, es de .016. Por 10 tanto, es posible rechazar la hipotesis nula.
9. Conclusion. Se concluye que los tres modelos de esti mulador elec trico de bajo voltaje no tienen igual preferencia. 10. Valor de p.
Para esta prueba,
=.016.
Valores iguales Si los los datos or iginale s se componen de mediciones en un in tervalo un escala de razones y no de jerarquias, entonces se asignan las medicio ne a las jerarqufas co base en sus magnitudes relativas dentro de los bloques. Si hay val ores iguales cada uno de ellos se Ie asigna la media de las jerarqufas de todos los valores iguales. Maestrasgrandes ambos, exceden a los qu apare Cuando los valores, ce en la tabla 0 de apendi ce, el valor critico critico de X; se obtiene consultando la tabl grados de libertad elegidos. elegidos. de ji-cuadrada (tabla F) co a. EJEMPLO
13.9.2
La tabla 13.9.2 muestra las respuestas, en porcentajes de dismin ucion del flujo salival, salival, de 16 animales de laboratorio despues de recibir diferentes dosis de atropina. Las Disminucion en porcentaje de Rujo TABlA 13.9.2 salival en animates de experimentacion despues de aplicarles diferentes niveles de dosis de atropina Nivel de dosis
Numerode
animal
4 5
9 10 11
12 13 14 15 16
A 29(10) 72(2) 70(1) 54(2) 5(1) 17(1) 74(1) 6(1) 16(1) 52(2) 8(1) 29(1) 71(1) 7(1) 68(1) 70(2) 20
48(2) 30(1) 100(4) 35(1) 43(3) 40(2) 100(3) 34(2) 39(2) 34(1) 42(3) 47(2) 100(3.5) 33(2) 99(4) 30(1) 36.5
75(3) 100(3.5) 86(2) 90(3) 32(2) 76(3) 100(3) 60(3) 73(3) 88(3) 31 (2) 72(3) 97(2) 58(3) 84(2) 99(3.5) 44
100(4) 100(3.5) 96(3) 99(4) 81(4) 81(4) 100(3) 81(4) 79(4) 96(4) 79(4) 99(4) 100(3.5) 79(4) 93(3) 99(3.5) 59.5
704
CAPiTULO 13
ESTADISTICA NO PARMfETRICA
jerarqufas (entre parente sis) y la suma de estas se observan en la misma tabla. Se concluir que las diferentes dosis dosis produc en respuestas pretende saber si es posible concluir distintas. Es decir, se desea probar la hipotesis nula seglin seglin la cual no hay diferencia en las respuestas a las cuatro dosis. dosis. partir de los datos se calcula que
Soluci6n:
12 16( 4)( 4
x;
1)
[(20}2 +(36.5)2 +(44)2 +(59.5)2]-3(16)(4+1)
=30.32
3 grados de libertad, la Al consultar la tabla F, esta indica que, con probabilidad de obtener un valor de x; tan grande como 30.32 de bido solo al azar, es menor qu .005, cuando Ho es verdadera. Se rechaza la hipotesis nula se con cluye cluye que las difere ntes dosis prod uce n respuestas distintas. Muchos paquetes estadisticos de software, indu yendo a MINITAB, ejecutan la prueba de Friedman. Para utilizar el paquete MINITAB MINITAB se form an tres col umnas con los datos. Por ejemplo, es posible c argar en las columnas los datos de manera que la columna 1 contenga los los numeros qu incamputadara
Antilisis
Comandos de la sesion:
Caja de dialogo: Stat>
Nonparametrics > Friedman
Tedear C3 en Response,
MTB
en Treatment
C2 en
Block. Clic OK.
Resultados: Prueba Friedman Friedman
test
8.22
d.f.
C1 b l o c k e d
C3
2
0.017 Est.
C1
FIGURA
13.9.1
Sum
Median
RANKS
2.0000 2.6667
15.0 25.0 14.0
3333
Grand median
C2
2.0000
Procedimiento MINITA MINITAB B Yresultados para
el
ejemplo 13.9.1.
FRIEDMAN C3 C1 C2
705
EJERCICIOS
diquen el tratamiento al que pertenecen las observaciones. En la columna 2 se guard an los numeros que indican los bloques a los que corresponden las observa ciones. En la columna 3 se guardan las ob'servaciones. Si se hace esto para el ejem pl 13.9.1, el procedimiento MINITAB los resultados seran los qu se ilustran en la figura 13.9.1.
EJERCICIOS Para los siguientes ejercicios, lleve a cabo la prueba en el nivel de significacion indicado y calcule el valor de p. 13.9.1 La siguiente tabla indica las calificaciones obtenidas po nueve estudiantes de enfermerfa seleccionados al azar en los examenes finales de tres materias distintas. Area de estudio
Numerode estudiante
2 5 6
Fisiologia
Basica
98 95 76 95 83 99 82 75 88
Anatomia
77 79 91 84 80 93 87 81 83
95 71 80 81 77 70 80 72 81
Pruebe la hip6tesis nula seg(1n la cuallos estudiantes de enfermerfa, que form an la pobla cion de la cual se extrajo la.muestra, tienen un aprovechamiento igual en las tres materias, contra l a hipotesis hipotesis alternativa de que su aprovechamiento es mejor po 10 menos-en un de las materias. Sea IX =.05. 13.9.2 13.9.2
A quince quince estudi estudiantes antes de fisioterapia sel eccionados al azar se les die ron las siguientes instruc ciones:· "Supongan que se van a casar con. un persona que tiene alguna de la siguientes incapacidades (se enumeraron las incapacidades de laA a laJ ). Clasifiquenestas incapacida incapacida des de 1 a 10, de acuerdo con su primera, segunda, tercera (y as! sucesivamente) eleccion de la incapacidad que aceptarian en su conyuge". conyuge". Los resultados se muest ran en la siguiente tabla.
Incapacidad
Numerode estudiante
D 3
5
9
G 8
2
4
6
10 10 (ContinUa)
706
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
Incapacidad
Numerode estudiante
3
8
9
6
10
10
5
1
7
1
10
4 5 4 3
11
12 13 14 15
3
3
7
8
10
6 7 6 5 6 6
3 4
6 10
10
3
10
2
8
4
4 6 7
6 10 10
10
10 8
8 7
1 1
4
5 7
10 10
4
10
Pruebe la hip6tesis nula de que no ex:iste preferenda respecto a las incapacidades contra hip6tesis altemativa de que se prefieren algunas incapaddades sobre otras. Sea .05.
1a
13.9.3 13.9.3 Diez Diez individ individuos uos con asma indudda po ejercido participaron en un experimento para com efecto protect or de un medicamento administrado en cuatro dosis. dosis. Se utiliz6 un parar el efecto soluci6n salina como control. La variable de interes fue el volumen espiratorio forzado des pues de la administracion de medicamento la soluci6n salina. Los resultados fueron fos siguientes:
Soluci6n Individuo
10
Nivel de dosis de medicamento (mglml)
salina
-.68 -1.55 -1.41 -.76 -.48 -3.12 -1.16 -1.15 -.78 -2.12
10
-.32 -.56 -.28 -.56 -.25 -1.99 -.88 -.31 -.24 -.35
-.14 -.31
-.11
-.24 -.17 -1.22 -.87 -.18 -.39 -.28
20
40
-.21 -.21 -.08 -.41 -.04 -.55 -.54 -.07 -.11
-.32
+.11
16 -.83 -.08 -.18 -.75 -.84' -.09 -.51 -.41·
posi ble conc1u conc1uir, ir, de acuerdo con estos datos, que las diferentes dosis tienen efectos dis ~ E s posible tintos? Sea =.05. Calcule el valor de p.
3.10
70
DE CORREIACION JERARQuIAs DE SPIWlMAN
13.10
PO
COEFIC IENTE DE DE CORRELACION POR JERARQUiAS DE S P E A R M A l ~
COEFICIENlE
investigador cuenta con varias medidas no parametricas de correlaci6n. correlaci6n. Un procedi El investigador miento utilizado con frecuencia y que resulta interesante po la sencillez de los calculos que implica, se atribuye a Spearman (11). A la medida de correlaci6n que se calcula mediante este metodo se Ie conoce como coeficiente de correlaci6n po jerarqufas de Spearman, y se designa po rs' Este procedimiento utiliza los dos con untos de jerar quias que pu ede n asignarse a los valore valoress de las muestras muest ras de X Y, que representan a las variables variables indepe ndiente y continua, respectivamente, respectivamente, de una.distribuci6n bivariada. Hip6lesis son:
Las hip6tesis nulas y altemativas que se prueban con mayo frecuencj;:>
independientes. a) Ho: X Y son mutuamente independientes. no son mutuamente independientes. X b) Ho: X y son mutuamente independientes. independientes. Existe un tendencia a formar pareja entre los valores grandes de X y Y. c) Ho: X y son mutuamente independientes. HI.: Existe un tendencia de los valores grandes de X a formar parejas con los valores pequefios de Y. Las hip6tesis especificadas en el inciso a cond uce n a un prueba bilatera l, y s utilizan cuando se desea descubrir cualquier desviaci6n de la independencia. Las pruebas unilaterales indicadas en los incisos se utilizan, utilizan, respectivamente, cuan do el investigador desea saber si es posible concluir que las variables variables esta n directa inversamente relacionadas. relacionadas. Procedimiento guientes pasos: 1.
El procedimiento para proba r las hip6tesis compren de los si si
Clasificar po jera rqufa los valore valore de X desde 1 hasta (el numero de parejas de valores de X y en la muestra). Clasificar po jerarquia los valores de desde 1 hasta n.
2. Calcular
para cada pareja de observacion observaciones, es, rest ando la jerarqufa de
de la
jerarquia de Xi' 3. Elevar al cuadrad o cada d; y calcular
I.d;2, la suma de los val ores al cuadrado.
4. Calcular r, 1-'
6I.d
n(n2
(13.10.1)
esta entre 4 y 30, se compara el valor calculado de rs con los valores criticos, r,*, de la tabla P del apendice. Para la prueba bilateral, se rechaza Ho en el nive de significaci6n a. si rs es mayor que r; menor que - r;, donde r; esta en la intersec ci6n de la columna encabezada po a/2 y el rengl6n que corresponde a n. Para la prueba unilateral con HA que especifica un correlaci6n directa, se rechaza Ho
5. Si
708
CAPITULO 13 . ESTADISTICA NO PARAMETRICA
en el nivel de significaci6n a; si r, esmayor qu nula se rechaza en el nivel de significaci6n a; cuando r, es menor que r; para a; n. 6. Si
r,' para a;
n. La hip6tesis
la otra prueba unilateral
es mayor qu 30, se puede calcular (13.10.2)
z=r)n-l
y utilizar la tabla D para obtener los valores crfticos. 7. Las observacionesde igual valor numerico plante an
problema: el us de la tabla P es es trictamente valido solo cuando no hay dos valores iguales (a me no qu se emplee alglin procedimiento aleatorio para cambiar los que sean iguales). iguales). Sin embarg o, en la pnktica, co frecuencia se utiliza la tabla despues de que se ha utilizado alglin otro metodo para manejar los valores numerica mente iguales. Si el numero de valores iguales es grande, puede utilizarse la siguiente correcci6n valores iguales: (13.10.3) 12 donde es el nlimero de observaciones de igual valor numerico para alguna jerar quia particular. Cuando se utiliza este factor de correcci6n, r, se calcula a partir de T=--
r,
:::: - - ; = = = = = -
(I3.I0.4)
en lugar de utilizar la ecuaci6n 13.10.1. 13.10.1. En la ecuaci6n 13.10.4 se tiene
12 Tx. ::::: la suma de los valores de numerico igual en
para diversas jerarqufas de valor
T ::::: la suma de lo valores de
para diversas jerarquias de igual
v ~ l o r numerico
Muchos investigadores sefialan que a menos q ue sea excesivo excesivo el el num ero de canti dades iguales, iguales, la correcci6n correcci6n produce un diferencia diferencia muy peq uefia en el valor de r,. Cuando el numero de valores iguales es pequeno, puede seguirse el procedi miento habitual de asig nar a las observaciones de igual valor valor numerico la me dia de las jerarquias que intervien en y procede r con los pasos anteriores del 2 al6. FJEMPLO 13.10.1
En un estudio de la relacion entre la edad y los resultados delelectroencefalogra rna (EEG), se recopilaron datos 20 personas con edades entre 20 60 anos. La tabla 13.10. muestra las edadesy un valor de rendimiento de EEG particular para cada una de esas 20 persona s. Los investigadores investigadores pretenden saber si es posible con cluir qu este rendimiento del EEG particular tiene relaci6n inversa inversa con la edad.
13.10
709
COEFIC IENTE DE CORRELACION CORRELACION POR JERARQUiAS DE SPEARMAN
Edad valores TABlA 13.10.1 resultantes del EEG para 20 individuos Numerode
individuo
Edad (X)
Valor resultante de EEG (Y) 98 75
20 21
22
95
24 27 30
100
99 65 64
31
33
70 85 74
35 38 40
10 11
68 66
42 44
12 13 15
46 48
16
51
17
53
14
18
55
19
58
20
60
Solucion: 1. Datos.
71
62
69 54 63 52 67 55
Vease la tabla 13.10.1.
2. Supuestos.Se supone que la muestra disponible para el analisis es un muestra aleatoria simpl son medidas en, po 10 qu menos, un escala ordinaL 3. Hipotesis.
EEG la edad son mutuamente indepen . Existe un tendencia del rendimiento del EEG a disminuir con la edad.
Ho: El rendimiento del
Sea
=.05.
4. Estadistica de prueba.
Vease la ecuaci6n 13.10.1.
5. ])istribuci6n de la estadistica de prueba. Los valores crfticos de la estadistica de prueba se encuentran en la tabla P de apendice.
6. RegIa de decision. Para esta prueba se rechazani Ho calculado de r, es menor qu -.3789.
si el
valor
71
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
TABlA 13.10.2 13.10.1
Jerarquias Jerarquias para los datos del ejemp lo
Numerode
individuo
erarquia (X)
Jerarquia (1')
d.
di
18 15 17 20 19
-17 -13 -14 -16 -1 -1 1
289 169 196 256 19
3 5 6 7 9
7
10
10
11
11
12 13
12 13 14 15 16 17 18 19 20
14
15 16 17 18 19 20
6
12 16 14 10
16
--4
49
-7
16
--4
16
0
13
100 16 196 144
10
11
14 12 17 10 17
28
100 289
IA2
=2340
la estadistica de prueba. Cuando los valores de 7. Calculo son clasificados po jerarqufa, se obtienen los resultados resultados de 1a tabla 13.10.2. Los d, Y 'l,d se muestran en la misma tabla. La s u s t i ~ c i 6 n s de u s t li ~ ~ s c i datos 6 n de la tabla 13.10.2 en la ecuaci6n 13.10.1 proporciona
6(2340) 20[(20)2 1]
-.76
8. Decision estadistica. Dado que e1 valor calculado de r, -.76 es menor que e1 valor crftico de r:, se rechaza la hipotesis nula. 9. Conclusion. Se concluye qu invers ament e re1acion re1acionadas adas 10. Valor de p. Puesto que -.76 .001.
las do
variables se encuentran
-0.6586, se tiene que para esta prue •
13.10
711
COEFICIE NTE DE CORRELACION POR JERARQUiAS DE SPEARMAN
siguierite ejemplo muest ra el procedimiento para una muestra con EI siguierite algunas observaciones iguales.
30
EJEMPLO 13.10.2
En la tabla 13.10.3 se muestr an las edades y las concentraciones (ppm) de cierto mineral en el tejido de 35 individuos a quienes se les practico la autopsia como parte de un proyecto amplio de investigacion. En la "tab "tabla la 13.10. 1 3.10. 4 se muestran lasjerarqufas de los val ores de Se pretende probar, en un nivel de significacion de .05, la hipotesis nula de que X son mutuame nte indepe ndientes c ontra la hipotesis hipotesis alternativa bilateral bilateral de que no son mutuamente independientes. . partir de los datos en la tabla 13.10.4, el caIculo es
Soluci6n:
rs
=1
6(1788.5) 35[35
1]
Para probar la significacion de r,
se
. 7 5 ~ 3 5 - 1
.75
calcula 4.37
TABlA TABlA 13. 10. 3 Edad concentraci6n de mineral (ppm) tejido de 35 indlri.duos Ntimero de individuo
Edad (X)
82 85 83
5 6 9 10 11
12 13
14 15
16 17 18
64
82 53 26 47 37 49 65 40 32 50 62 33 36 53
Concentraci6n de mineral (Y)
169.62 48.94 41.16 63.95 21.09 5.40 6.33 4.26 3.62 4.82 108.22 10.20 2.69 6.16 23.87 2.70 3.15 60.59
Ntimero individuo
Edad
19 20
50
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35
(X)
71
54 62 47 66 34 46 27
54 72 41
35 75 50 76 28
el
Concentraci6n de mineraI (Y)
4.4 46.93 30.91 34.27 41.44 109.88 2.78 4.17 6.57 61.73 47.59 10.46 3.06 49.57 5.55 50.23 6.81
712
CAPITULO 13
TARLI\
13.1 0.4
Numerode individuo
2 5 8 9
10 11 12 13
14 15 16 17 18
Jerarquias Jerarquias para los datos del ejem plo 13.10.
Jerarquia
(X)
32.5. 35 34 25 32.5 19.5 13.5 15
26 10
17 23.5 19.5
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
Jerarquia (Y)
d.
35 27 23 32 19
-2.5
11 -7
13.5 8.5
11
14
-1
5.5
10
33 17
-7 -7
13
3.5
20 30
-10.5 ..
6.25 64.00 121.00 49.00 182.25 72.25 169.00 30.25 9.00 25.00 49.00 49.00 9.00 16.00 12.25 9.00 9.00 25 110.
Numerode individuo
Jerarquia
(X)
Jerarquia (Y)
19
17 28
9 25
27
22 24 34
20
21.5 23.5 13.5
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
21
6
12
15 31
21.5 29
32 33 34 35
.5 1.5 -10.5 -7
5
-1 -9.5
26 18
11
31
3
30
-7
28 12
17 31
29 16
3
-1
5 2
.E
64.00 9.00 .25 2.25 110.25 49.00 9.00 25.00 169.00 90.25 9.00 49.00 9.00 4.00 25.00 4.00 169.00 1788.5
Dado que 4.37 es mayor qu 2(.0001) =.0002, po 10 3.S9,p que se rechaza Ho Yse concluye q ue las dos variabl es en estudio no son mutuamente independientes. Con fines comparativos, comparativos, a continuaci 6n se realiza la correcci6n para valores iguales mediante la ecuaci6n 13.10.3. Ydespues Ydespues se calcula r, me diante la ecuaci6n 13.10.4. En las je'r;lrqufas de X se tuvieron seis grupos de valores iguales que se modificaron asignando los valores valores 13.5, 17, 19.5 ,21. 5,23 .5 Y32.5. Y32.5. En cinco de los grupos, dos observaciones son iguales en valor numeri co, y en un grupo tres de sus observaciones son iguales. Por 10 tanto, se calculan cinco valores de T = 2 3 _ 2 = ~ = . 5 12
12
12
24=2 12
valor de
partir de estos dlculos, se tiene qu
I. T"
forma qu
12
4.5 =3565.5
=:
5(.5)
2
4.5, de tal
EJERCICIOS
Caja de dialogo: Stat>
Comando de la sesi6n:
Basic Statistics> Correlation
Teclear C3-C4 en
713
Variables.
MTB
CORRELATION Cl-C3
Clic OK.
Resultados: Correlaciones (Pearson) Correlation
(X) Rank
-0.759
(Y)Rank
Procedimiento MINITAB resultados para calcular el coeficiente de co rrelaci6n po jerarquias de Speannan, ejemplo 13.10.1.
FIGURA 13.10.1
Dado que no se tienen valores iguales en las las jerarquia de Y, se dene que 2.. y que 2..y2
==
35
3570.0 12
partir de la tabla 13.10.4 se tiene 2..# 1788.5. A partir de estos datos, puede calcularse calcularse ahora, media nte la ecuaci6n 13.10.4 13.10.4
r,
==
3565.5
3570.0 -1788.5 ==.75
(3565.5)(3570) Se observa en este caso que la correcci6n para los valores iguales no produce diferencia alguna en el valor de r,. Anmisis
comp1!-tado1'U
Es posible utilizar el paquete MINITAB, igual
que otms paquetes de software estadfstico, para calcular el coeficiente de correla MINITAB, AB, primem es necesario que se ci6n de Spearma n. Para utilizar el paquet e MINIT jera rquic en las observaciones observaciones se alma cenen las las jerarqufas en columnas separadas, un para las otra para las jerarqufas de Y. Si se dasifican po las jerarqufa de jerarqu ias los valore valore de Xy Y, del eje mplo 13.10.1 13.10.1 despues se almacenan en las columnas 3 4, es posible obtener el coeficiente de correlaci6n po jerarqufas de Spearman medianteel procedimiento qu aparece en la figura 13.10.1. Otms pa quetes de software como SAS® SPSS, po ejemplo, dasifican las medici ones en jerarqufas de manera automatica antes de calcular el coeficiente, po 10 que se elimina un paso extra en el pmcedimiento.
Para los siguientes ejercicios, lleve a cabo la prueba en elnivel de significaci6n indicado determine el valor de p.
714
CAPiTULO 13
ESTADisTICANO PARAMETRICA
13.10.1 La siguiente tabla muestra 15 regiones geograficas seleccionadas al azar ordenadas jerarqufas seg1in la densidad de poblacion la tasa de mortalidad ajustada po edades. ~ E s posible concluir, en un nivel de significacion de .05, que la densidad de poblaci6n la tasa de mortalidad ajustada po edades no son mutuamente independientes? Jerarquia po
Jerarquia po
Tasa de muertes Area
Densidad de poblacion (X)
4
Tasa de muertes
ajustada po edad (1')
Area
10 14
10
12
Densidad de poblacion (X)
ajnstada or edad (1')
14
11
15 11
12
10
12 13
14
15
13 15 11
13
13.10.2 La siguiente tabla muestra 10 comunidades jerarquizados po numero de dientes co caries, faltantes obturados (CFO) or cada 100 ninos la concentraci6n de fluoruro, en ppm, en el suministro publico de agua. Jerarqula po
Jerarquia po Dientes po cada 100 ninos (X)
CF
Comunidad
Dientes Concentraci6n de fluoruro (1')
CFOpor cada 100 Comunidad
10
9 3
ninos (X)
Concentracion de fluoruro (1')
9
9 10
5 10
~ P r o p o r c i o n a n estos datos evidencia suficiente para indicar qu el numero de dientes CFO po cada 100 ninostiende a decrecer en la medida que aumenta la concentracion de fluoruro? Se =.05.
13.10.3 EI prop6sito de un estudio realizado po McAtee Mack (1\-11) er investigar las posible relaciones entre el desempeno de los parametros de tecnicas atipicas de la subprueba de copiado de disenos (CD de las pruebas de integraci6n sensoria practica (PISP) las las cali cali ficaciones de las pruebas de integracion sensorial de sur de California (PISSC). Los indivi duos estudiados eran ninos atendidos en una cHnica privada de terapia ocupacional. Los siguientes datos corresponden a las calificaciones de 24 ninos para elparametro limite de PISP-CD la subprueba de imitaci6n de posturas (IP) de PISSC:
715
EJERCICIOS
IP
Limite
3
IP
Limite
-1.9
-1.1
.8
-.6 -.3 .9 -1.3 .8 -.7 .3 1.3 .5 .2 .2
-.
-. .1 .3 -. .3
-1.7 -1.6 -1.6 .8
FUENTE:
U tilizada co autorizaci6n de Shay McAtee,
M.A.,OTR. ~ E s posible concluir, con base en esta informacion, que las calificaciones respecto a las dos .01. variables tienen correlaci6n? Sea
13.10.4 Barbera et al. (A-12) realizaron un estudio para investigar si las caracterfsticas patol6gicas pulmonares de pacientes con enfermedad pulmonar obstructiva obstructiva cr6nica esta no relacio nadas con las respuestas de intercambio de gases durante el ejercicio. Los individuos eran pacientes sometidos a resecci6n de un lobulo un pulmon debido a la identificacion de neoplasmas pulmonares. Entre los datos recolectados estan las mediciones de Pa durante el ejercicio (E) en reposo (R), asf como las calificaciones de enfisema (CE). Los r ~ s u l t a d o s para estas variables son los signientes:
Pa
Pa Num.de
Num.de
CE
paciente
95 93 78 79 77 89 87 110 61
87 84 82 69 85 74 90 97 67
12.5 25.0 11.3
30.0 7.5 5.0 3. .0 70.0
E
paciente
10 11
12 13 14 15 16 17
Media± SEM
02
78 101 79 84 70 86 66 69 81:!:
69 113 82 93 85 91 79 87 86
CE
18.8 5.0 32.5 .0 7.5 5.0 10.0 27.5 16.0 ± 4.4
Joan A. Barbera, J osep Roca, Roca, J osep Ramirez, P eter D. Wagner, Wagner, Pie tat Ussetti y Rober t RodriguezRoisin, "Gas Exchange During Exercise in Mild Chronic Obstructive Pulmonary Disease: Correlation with Lung Structure". American Review Respiratory Disease, 144, ,520-525. FUENTE:
Calcule T, para Pa
02
durante el ejercicio
la CEo Pruebe con un nivel de significacion de .01.
716
CAPITULO 13
ESTADIST ICA NO PARAMETRICA
13.10.5
Con los datos del ejercicio ejercicio 13.10.4, 13.10.4, calcule r, para Pa de significaci6n de .01.
en rep()so y la CEo Pruebe con un nivel
13.10.6 13.10.6
Como parte de un estudio realizado po Miller Tricker (A-13) 76 prominentes profesiona les de sal ud y educaci6n ffsic ffsicaa eva luaron 17 mercados blanco de promoci6n de la salud co base en la importancia durante los ultimos 10 aDOS los pr6ximos 10 aDOS. EI promedio de calificaciones clasificadas sobre un escala de agradable a muy agradable (5 extremada mente importante, 4 muy important e, 3 importa nte, poco importante, 1 si importancia) son los siguientes: Proximos 10 aiios .... ~
Mercado
~
~
-
Anteri ores 10 aiios
Clasificaci6n
Clasificacion
media
media
4.36 4.25 4.22 4.17
3.23 2.61 3.66 2.63 2.08 2.15 2,95 2.11 3.41 2.84 2.97 2.00 2.95 2.12 2.51 3.30 1.88
Mujeres Ancianos Empleados/empresas grandes Niiios Jubilados Obreros de fa.bricas Adictos a drogas/alcohol EmpJeados/pequenas empresas Pacientes enfermos del coraz6n1pulmones PUblico en general Obesos con trastornos de la alimentaci6n Minorias discapacitadas Buscadores de tiempo de ocio/recreaci6n Mercado en casa Lesionados (espalda/extremidades) Atletas Enfermos mentales
4.15
4.03 4.03 3.90 3.83 3.81 3.80 ..56 3.52 3.51 3.42 3.13 2.83
FUENTE: Cheryl Miller Ray Tricker, "Past an Future Priorities in Health Promotion in the United States: A Survey of Experts", American Journal of Health Promotion, 5, 360-367. Utilizada co autori zaci6n.
Calcule r, para los dos con untos de datos y pruebe con un nivel de significaci6n de
.05.
13.10. 13.10.7 7 Diecis Diecisiet ietee paciente pacientess con un historia dinica de insuficiencia cardiaca congestiva parti cipar on en un estudio para estimar el efecto del ejercicio sobre varias funciones corporales. Durante un perio do de ejercici ejercicio, o, se recolectaron los siguientes datos sobre el cambio porcentual en la norepinefrina plasmatica (Y) y el cambio porcentual en el consumo de oxigeno (X). Individuo
Individuo
500 475 390
525 130 325
4 6
325 325 205
190 90 295 (ContinUa)
13.11
ANALISIS DE REGRESION NO PARAt)lETRICO
Individuo
Individuo
200 75 .230 50 175 130
10 11
12
180 74 420 60 105 148
Con base en estos datos, bles? Sea .05.
13.11
ANAuSIS
71
~ e s
13 14 15 16 17
76 200 174 201 125
75 250 102 151 130
posib1 posib1ee conc luir q ue existe un asociaci6n entre las dos varia
DE REGRESION
NOpARAMETRICO
Cuando las suposiciones que fundamentan el analisis de regresion lineal simple qu se estudia en el capitulo 9 no se cumplen, es posible posible utilizar procedimientos no parametricos. E n esta seccion seccion se presentan esti madores de la pendiente y la orde nada al ori gen que son alternativas facile facile de calcular para los estimadores de mini mos cuadrados, descrito en el capitulo 9. Estimador de la pendiente de Theil Theil (12) propuso un metodo para obtener la estimacion puntu al del coeficiente de la pendien te. Se supone que los los datos constituyen el modelo clasico de regresion. y;
1, ... ,
~ X i
donde las Xi sonconstantes conocidas,
son parametros no conocidos, y es un valor observado de la variable aleatoria continua .. Para cada valor de x, se supone un subpoblacion de valores, y las son m u t ~ a m e n t e i n d e p e n d i e ~ t e s . Las Xi son todas distintas (no existenvalores iguales), iguales), y se se tiene que Xl ...
),
lJ
mediana
'1
(13.1Ll)
EI siguiente ejemplo ilustra el calculo calculo de EJEMPLO EJEMPLO 13.11.
En latabla 13.1 L I s e muestr an los niveles niveles (Y) plasmaticos de testosterona (ng/ml) los niveles de acido dtrico seminal (mg/ml) un muestra de ocho hombres adul tos. Se pretende calcular la estimacion del coeficiente coeficiente de la pendiente de regresio con el metodo de TheiL
718
CAPITULO 13
ESTADiSTICA NO PARAMETRICA
TABLA 1 3 . 1 1 . 1 Testosterona plasDla concentraciones a c i d o citrico seDlinal
varones
adultos
Testosterona: Acido dtrico:
230 421
175 278
315 618
290 482
13.11.2 Valore Valoress ordenados de para el ejemplo 13.11.1
TABLA
-.6618
.1445 .1838 .2532 .2614 .3216 .325 .3472 .3714 .3846 .4118 .4264 .4315 .4719
275 465
150 105 105
360 550
425 750
Sij
.5037 .5263 .5297 .5348 .5637 .5927 .6801 .8333 .8824 .9836 1.0000 1.0078 1.0227 1.0294
28 valores ordenados de S. se encuentran en la tabla Soluci6n: Los aC2 13.11.2. 8i se designa 2; que son los indicadores indicadores del pr imero y segundo valor de Yy de la tabla 13.1 L 1, es posible calcular 5 12 como sigue: 12
=(175
230)/(278
421)= -.3846
Cuando todas las pendien tes son calculada en forma similar y se se orde na como se puede apreciar en la tabla 13.11.2, -.3846 acaba como el decimo valor en el arreglo ordenado, La mediana de los valores 5 es .4878. En consecuencia, consecuencia, la estima .4878. • cion de coeficiente de la pendierite de la poblacion es
c o e f i c i e n t e d e l a o r d e n a d a a / o r i g e n Dietz (13) recomienda dos estimadores de la ordenada al origen. EI primero, designando a i M ' como la mediana de los terminos 1', ~ X i ' donde es el estimador de Theil. Este Este estimad or se recomienda cuando el investigador no se inclina a suponer que los los termino de error se distribuyen en forma simetrica alrededor de O. 8i el inves tigador se inclina a suponer que existe un distribucion simetrica de los los termin os estinzador
de error, Dietz Dietz recomienda el estim ador )/2 de los t ( ~ r m i n o dios po pares n( calculo de cada uno de los estimadores.
2M
el cual es la mediana de los prome ejemplo siguiente ilustra el
s t ( ~ ...;. r m ~ i x n r o s EI
EJERCICIOS
71
FJEMPLO 13.11.2
Con los datos del ejemplo 13.11.1, calcule
terminos ordenados .487&:;, son: 13.5396, 24.6362, 39.3916, 48.1730,54.8804,59.1500, 91.7100y 98.7810. Lamediana, 51.5267 es el estimador
13.5396 19.0879 24.6362 26.4656 30.8563 32.0139 34.21 36.3448 36.4046 39.3916 39.7583 41.8931 43.7823 47.136 48.173
49.2708 51.5267 52.6248 53.6615 54.8804 56.1603 57.0152 58.1731 59.15 61.7086 65.5508 69.0863 69.9415 73.2952 73.477
75.43 76.8307 78.9655 91.71 95.2455 98.781
La mediana de estos promedios, 53.l432, es el estimador
EJERCICIOS 13.11.1 13.11.1
Los siguientes datos corresponden a la frecuencia frecuencia cardiaca cardiaca (Fe: latidos po minuto) y a los valores valores del consumo de oxigeno (V02:caVkg/24 h) de nueve nifios con insuficiencia cardiaca congestiva. FC(X): Vo (y):
Calcule 13.11.2 13.11.2
163 53.9
164 57.4
156 41.0
151 40.0
152 42.0
167 64.4
165 59.1
153 49.9
155 43.2
Los Los sigui siguiente entess datos corresponden al peso corp oral (gramos) (cm2) de nueve animales de laboratorio:
la superficie superficie corporal total
Peso corporal (X): 660.2, 706.0, 924.0, 936.0, 992.1, 888.9, 999.4, 890.3, 841.2 Superficie Superficie corpora (Y): 781.7,888.7, 1038.1, 1040.0, 1120.0, 1071.5, 1134.5,965.3,925.0 Calcule Calcule el esti mador de la pendiente
dos estimadores de la ordenada al origen.
72
13.12
CAPITULO 13
ESTADISTICA ESTADIST ICA NO PARAMETRICA
RESUMEN En este capitul o se estudi an las plUebas plUebas estadisticas no parametricas. Estas Estas prueb as se pueden utilizat cuando los supuestos qu funda ment an las plUebas plUebas paramet ricas no secumplen cuando los datos que se ha de analizar son medidos en un escala muy debil para los los procedimientos aritmeticos necesarios que requie ren las prue bas parametricas. Se describen e ilus tran nueve plUebas no parametricas. on excepci6n de la plUeba de bondad de ajuste de Kolgomorov-Smirno Kolgomorov-Smirnov, v, cad prueba constituye un alternativa no parametrica un prueba p arametrica bien conocida. Exis te otras plUebas no parametricas. Ellector interesado puede consultar muchas de las obras dedicadas a los metodos no parametricos, entre las qu se incluyen las de Gibbons (14) y Pett (15).
EJERCICIOS DE REPASO
PREGUNTAS 1.
Defina las estadisticas no parametricas.
2.
~ Q u e
3.
~ C m i l e s
significa
el
termino prueba estadistica de libre distribucion?
son las ventajas de las pruebas estadisticas no parametricas?
4. cCm'iles son algunas de las desventajas de las pruebas no parametricas? .
escr escrib ib un situaci6n del area de interes particular del estudiante dondecada una de las siguientes siguientes prueba pueda utilizarse. Uti ice datos reales ficticios para probar un hip6tesis adecuada mediante cada prueba. a) La pruebadel signo
b) La prueba de la mediana c) La pru eba de Wilcoxon d) La pru eba de Mann-Whitney Mann-Whitney e) La prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov Kolmogorov-Smirnov f) EI analisis unilateral de la variancia po jerarqufas de Kruskal-Wlllis g) EI analisis bilateral de la variancia po jerarquias de Friedman
h) EI coeficiente de correlad6n po jerarqufas jerarqufas de Spearman i) Ani.ilisis de regresi6n no parametrico
6. La siguien siguiente te tabla tabla indica indica las las jerarquias de edades (X) de 20 pacientes de cirugia y l a dosis (Y) de un analgesico necesario para bloquear un segmento de la columna vertebral. vertebral. Jerarquia d e e d a d en aftos (X)
2 4
erarquia de los reqnerimientos de dosis (1')
Jerarquia de edad en aDos (X)
Jerarquia de lo requerimientos de dosis (1')
11
13
12 13 14
11 16
(ContinUa)
REGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO
Jerarquia de edadeu aflos (X)
72
erarquia lo requerimientos dosis (Y)
Jerarquia de edad en aflos (X)
Jerarquia de lo requerimientos de dosis (Y)
6 8 3 15 9 12
15 16 17 18 19 20
20 18 19 17
5 6 9 10
10
14
Calcule r, Yefectiie la pru eba bilateral de significaci6n. Sea para esta prueba.
.05. .05. Determine el valor de
7. Se reunieron los los siguientes siguientes datos acerca acerca del funcionamiento pulmonar en ninos con distrofia muscular, muscular, ante despues de un periodo de terapia respiratoria. Los resultados resultados se expresan como porcentajes de los valores normales pronosticados po estatura, peso medida de la superficie corporaL
Capacidad pulmonar forzada
Antes: Despues:
74
65 78
79
84 100
89 92
84
104
65 70
78 81
Utilice la prueba del signo para determinar si la terapia es eficaz. Sea valor dep? 8.
86
83 85
82 90
.05. (Cual es el
Se compararon compararon tre tress metodos metodos para reducir, con el bano, la flora bacteriana de la pieL Se efectu6 un conteo de bacterias bacterias en el pie derecho de las personas antes despues de trata miento. La variable de interes fue el porcentaje de disminuci6n de las bacterias. Veintisiete Veintisiete estudiantes de enferrneria participaron voluntariamente en el experirnento. Los tres rneto dos de bano del pie fueron centrifugaci6n del agua, agua, aspersi6n rernojo. Los resultados son los siguientes:
Centrifugado
91
87 88 84 86
80 92 81
93
Aspersion
18 22 20 29 25
16 15 26 19
Remojo
8 9 13
10 12
posible conduir, con base en estos datos, que los tres rnetodos no son i gualrnente efica efica ces? Sea .05. '::Cu:H es el valor de para esta prueba?
722
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
9. Diez Diez person personas as con asma bronq bronquial uial participaron participaron en un experimento para estimar la eficacia relativa de tres medicamentos. La siguiente tabla muestra el cambio en el VEFj (volumen espiratorio forzad en I segundo), en litros, dos horas despues de la administraci6n de medicamento. Medicamento Individuo
Medicamento
A
A
Individuo
.00 .04 .02 .02 .04
.13 .17 .20 .27 .11
.26 .23 .2 .19 .36
10
.03 .05 .02 .00 .12
.18 .21 .23 .24 .08
.25 .32 .38 .30 .30
eSon suficientes estos datos para indicar que existe existe un diferencia en la eficacia de los medi camentos? Sea =.05. (Cmil es el valor de para esta prueba? 10. 10.
Se estudiaron estudiaron los los suero suero de dos grupos de personas, despues de sufrir un infecci6n po estreptococos, para observar la acci6n neutralizante de los anti cuerpos a nte la estre ptolisina (AEO). Los resultados son los siguientes:
AEO (medidas GrupoA
324 275 349 604 566 810 340 295
unidades Todd)
AEO (medidas en unidades Todd) A
Grupo
558 108 291 863 303 640 358 503
357 580 344 655 380 503 314
646 689 250 540 630 190
2Proporcionan estos datos la evidencia suficiente para indicar un diferencia en las media .05. 2CuaI es el valor de para esta prueba? Utilice Ia prueba nas de las poblaciones? Sea Mann-Whitney, y, y compar e los resultados obteni dos. de la mediana y la prueba de Mann-Whitne 11. Los Los siguien siguientes tes valore valoress Paca (mm Hg) de 16 pacientes con enfermedad broncopulmonar: 39,40,45,48,49,56,60,75,42,48,32,37 39,40,45,48,49,56,60,75,42,48,32,37,32,33,33,36 ,32,33,33,36
Utilice la prueba de Kolmogorov-Smirnov para probar la hip6tesis nuia de qu los valores de Paco de la poblaci6n muestreada siguen un distribuci6n 12. distribuci6n normal co IJ. 44 (j 12. La siguiente siguiente tabla muestra los los consumos consumos de calorias (cal!dia/kg) y de oxfgeno V0 (ml!min/kg) de 10 infantes.
723
REGUNTAS REGUNTAS Y EJERCIC IOS DE REPASO
Consumode calorias (X)
Consumo calorias (X)
Vo
(y
7.0 8.0
50 70
90 120 40
(y
10.8 12.0 10.0 9.5 11.9
100
150 10
10.5
11.0 9.0
75 160
Pruebe la hip6tesis nula de que las dos dos variables variables son mutuament e independientes contra la de qu .05. ~ C u a I de para esta prueba? 13.
Los siguientes siguientes datos corresp onden a los los nivel niveles es de estriol (mglespecimen de orina de 24 horas) de 16 mujeres embarazadas el peso (en gramos 100) de los bebes recien nacidos. Niveles
Peso a1
de estriol
15 17 17 18 20 22 25 16
Niveles
nacer
de estriol
31 31
17 17 17 15 10 26 28 25
32 31 32 31 32 33
Peso al nacer
34 29 28 28 26 33 35 39
Pruebe la hipotesis nula de que las dosvariables son mutuamente independientes, independientes, contra la hipotesis hipotesis alternativa de que estan directamente relacionada relacionadas. s. La probabili dad de cometerun error del tipo es de .05. ~ C m i l es el valor de p? 14. Los siguientes dato corresponden a los promedios de las calificaciones (PC) de 12 estudian tes que recibieron el grado de B.S. en enfermeria sus calificaciones calificaciones obtenid as en el examen de certificaci6n esta tal (ECE). PC: ECE:
2.5 84
2. 85
3.0 91
2. 83
2.8 87
2.5 89
2.3 86
3.7 93
3.1 95
2.9
2.7
79
90
2.4 85
(Es posible concluir, concluir, en un nivel de significaci6n de .05, que las dos variables no son mutua mente independientes? ~ C u a l es el valor de para esta prueba? En cada uno de los ejercicios del 15 al 29, realice un corresponda:
mas de las siguientes acciones segiln
a) ApJique un
mas de las tecnicas estudiadas en estecapitulo.
b) Aplique un
mas de las tecnicas tecnicas estudi adas en los capftulos anteriores.
c) Formule hip6tesis trascendentes, apIique prueba s adecuadas
caIcule los valores de p.
724
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
d) Establezca Establezca decisiones estadfsticas estadfsticas y condu sion es cHnica cHnicass que esten justificadas po las pruebas de hip6tesis. las pobl aciones donde las inferencias pueden ser validas. e) Describa las f) Establezca Establezca los supuestos necesarios para que el analisis sea v ~ H i d o . v ~ H i d o . 15. EI prop6sito de un estudio realizado po Damm et at. (A-14) er investigar la sensibilidad y la secreci6n de insul ina en mujeres con diabetes gestacional previa (DMG). (DMG). Los individuos eran 12 mujeres de peso normal, con tolerancia a la glucosa (edad media, 36.6 aiios; desviaci6n estandar, 4.16) y diabetes gestacional previa, as! como 11 individuos de control (edad media, 35 aiios; desviaci6n estandar, 3.3). Entre los datos recolectados estin los siguientes valores de insulina en el plasma (mmol/l), (mmol/l), registrados en los individuos en ayuno. Utilke la prue ba de Mann-Whitney para determinar si es posible conduir, con base en estos datos, qu las dos poblaciones representadas difieren con respecto al nivel promedio de insulina en el plasma (en ayuno).
Controles
46.25 40.00 31.25 38.75 41.25 38.75 FUENTE:
.
et
PreviaDMG
Controles
PreviaDMG
30.00 41.25 56.25 45.00 46.25 46.25
40.00 30.00 51.25 32.50 43.75
31.25 56.25 61.25 50.00 53.75 62.50
Utilizada co autorizaci6n del Dr. Peter Damm. at.
composicion corporal, que indufan absort ometria (A-15) comparo tres medidas de la composicion
de energfa dual con rayos X (ADX). Los individuos eran niiios aparentemente sanos (21 niiios y 22 niiias) con edades entre nueve y aiios. Entre los datos recolectados recolectados es tan las siguientes mediciones de los compartimi entos de composicion corporal po ADX. Los investi gadores estaban interesados en la correlaci6n entre todos los pares posibles pa ra esas variables. variables.
Porcentaje
Volumen
Volumen libre
de grasa
de grasa
de grasa
11.35 22.90 12.70 42.20 24.85 26.25 23.80 37.40 14.00 19.35 29.35 18.05
3.8314 6.4398 4.0072 24.0329 9.4303 9.4292 8.4171 20.2313 3.9892 7.2981
29.9440 21.6805 27.6290 32.9164 28.5009 26.4344 26.9938 33.8573 24.4939 30.370 7 26.8933 26.5341
11.l863
5.8449
Contenido
Tejido
de minerales
blando libre de grasa
6seos 1.19745 0.79250 0.95620 1.45740 1.3250 1.17412 1.11230 1.40790 0.95505 1.45545 1.17775 1.13820
28.7465 20.8880 26.6728 31.4590 27.1758 25.2603 25.8815 32.4494 23.5388 28.9153 25.7156 25.3959 (Continua)
REGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO
Porcentaje
Volumen
Volumen libre
de grasa
de grasa
de grasa
13.95 32.85 11.40 9.60 20.90 44.70 17.10 16.50 14.35 15.45 15.45 28.15 18.35 15.10 37.75
4.6777 13.2474 3.7912 3.2831 7.2277 25.7246 5.1219 5.0749 5.0341 4.8695 10.6715 5.3847 5.6724 25.8342
22.25 15.50 14.10 26.65 20.25 23.55 46.65 30.55 26.80 28.10 24.55 17.85 20.90 33.00 44.00 19.00
7.2755 4.4964 4.3088 11.3263 8.0265 10.1197 24.7954 10.0462 9.5499 9.4096 14.5113 6.6987 6.5967 12.3689 26.1997 5.0785
FUENTE:
17.
Utilizada co la autorizaci6n del
Contenido de minerales
725
Tejido
6seos
blando libre de grasa
28.9144 27.0849 29.5245 30.8228 27.3302 31.8461 24.8233 25.7040 30.0228 26.6403 27.2746 23.9875 31.9637 42.6004
1.23730 1.17515 1.42780 1.14840 1.24890 1.51800 0.84985 1.09240 1.40080 1.07285 1.24320 0.94965 1.32300 1.88340
27.6771 25.9097 28.0967 29.6744 26.0813 30.3281 23.9734 24.6116 28.6220 25.5674 26.0314 23.0379 30.6407 40.7170
25.4560 24.4888 26.2401 31.2088 31.5657 32.8385 28.3651 28.3651 22.8647 26.0645 24.1042 44.6181 30.8043 24.9693 25.1049 33.3471 21.6926
0.88025 0.96500 1.17000 1.48685 1.50715 1.34090 1.22575 1.01055 1.05615 0.97540 2.17690 1.23525 0.97875 0.96725 1.42985 0.78090
24.5757 23.5238 25.070 29.7219 30.0586 31.4976 27.1394 21.8541 25.0083 23.1288 42.4412 29.5690 23.9905 24.1377 31.91 72 20.9117
Dr.
Mark Litaker
EI objetivo de un estudio realizado po Crim et al. (A-16) er conocer la funci6n potencial del anaIisis de flujo citometrico del fluido dellavado broncoalveolar para el diagn6stico de re chazo agudo pulmonar. Los investigado investigadores res se dieron cuenta de que estudios anteriores suge ria n una asociaci6n de rechazo agudo pulmo nar con aumento de linfocito linfocitoss CD8+, e1 aumento de manifestaciones de antigenos tipo (HLA)-DR de antigenos humanos de linfocitos el au mento del receptor interleuquina 2 (IL-2R). Los grupos de individuos estaban formados por pacientes que habian recibido transplante de pulm6n (TP) no tenlan pruebas histo16gicas que evidenciaran re chazo 0 infecci6n, indi viduos no rmal es v01untarios v01untarios (NORM), v01untar v01untarios ios sanos que habian recibido el transplante de coraz6n (TC), pacientes con transplante de
72
CAPITULO 13
ESTADISTICA
PARAMETRICA
pulmon que experi mentaban rechazo agudo del organo transplant ado (RA). Entr e lo datos recolectados estan los siguientes porcentajes de linfocitos obtenidos en e11avado e11avado br onc o al veolar, CD8+ que tambien se manifestaron IL-2R, IL-2R, que se observaron en los cuatro cuatro grupos
NORM
TC
TP
0 5
0 5
0
3 0
RA
12
16 24
5
5
18
8
22 10
8
14 10
8
7
4 18
FUENTE:
Utilizada ca autorizaci6n del Dr. Courtney Crim.
(A-17) 7) estudi aron la interve nci6n de las taquicininas end6genas en la construc 18. Ichinose et aI. (A-1 ci6n de las vias respiratorias producida po el ejercicio en pacientes con asma, po medio de la FK-888, un antagonista selectivo selectivo del receptor de neurocinina. Nueve individuos (ocho varones un mujer), con edades entre 18 43 alios, con al menos 40 po ciento de reduc cion en la conductancia espedfica de las vias vias respiratorias participaron en el estudio. Los siguientes siguientes datos corres ponden al consumo de oxigeno (m1/min) los individuos repo so durante e1 ejercicio mientras segufan un tratatmi ento con placebo FK-888.
Placebo En reposo
303 288 285
280
295 270 274 185
364 FUENTE:
FK-888
Ejercicio
2578 2452 2768 2356 2112 2716 2614 1524 2538
Enreposo
Ejercicio
255
2406 2214 3134 2536 1942 2652 2824 1448 2454
348 383
328
321 234 387 198
Utilizada ca autorizaci6n de Dr. Kunio Shirato.
727
REGlJl\"TAS Y EJERCICIOS DE REPASO
19. El factor de transformacion del crecimiento (fGFa), de acuerdo con Tomiya y Fujiwara (A-18),juega un papel en la progresion maligna as! como en el crecimiento de celulas nor males en un manera autosecretativa, y se ha visto que sus niveles niveles sericos sericos aumen tan durante dicha progresion. Estos investigadores desarrollaron un ensayo ensayo inmunoabsorbent e ligado a encimas (EISLE) para medir los niveles sericos de TGFa en el diagnostico de carcinomas hepatocelulare s (CHC) complicadas con cirrosis. cirrosis. En un estudio donde evaluaron la significa significa cion de los niveles de TGFa en el suero con propositos de diagnostico, recolectaron las siguientes mediciones de las pruebas de funcionamiento hepatico, TGFa (pg/ml) y fetoprotefna seric (AFP) (ng/ml) en pacientes con carcinoma hepatocelular.
TGFa.
32.0 65.9 25.0 30.0 22.0 40.0 52.0 28.0 11.0 45.0 29.0 45.0 21.0 38.0
TGFa.
AFP
12866 9 124.3 610 238 153 23 28 240 66 83 4 214
44.0 75.0 36.0 65.0 44.0 56.0 34.0 300.0 39.0 82.0 85.0 24.0 40.0 9.0
AFP
23077 371 291 700 40 9538 19 11
42246 12571 20 29 310 19
TGFa.
AFP
100.0 12.0 32.0 98.0 20.0 20.0 9.0 58.0 39.0
479 47 177 1063 21 206 32 628
AFP
15.0 34.0 lOO.O
26.0 53.0 140.0 24.0 20.0 35.0 52.0 50.0 95.0 18.0
92 118 6.2 19 594 lO
292 11
37 35 742 lO
291
FUENTE: Utilizada con autorizaci6n de Dr. Kenji Fujiwara.
averiguar la cantidad de alumi 20. El objetivo de un estudio realizado po Sakhaee et al. (A-19) nio (Al) en el cuerpo utilizando el aumento de aluminio serico y urinario despues de administrar deferoxamina intravenosa (DFO) en pacient es con calculos renales y mujeres osteoporosicas sometidos sometidos a trat amientos de largo plaza con citrato de potasio (KsCit) Ydecitra to tricalcico tricalcico (Ca Cit ), respectivamente. Los inrlividuos inrlividuos eran 10 pacient es con nefrolitiasis y cinco pacien tes con osteoporosis que se habfan mantenido con citrato de potasio citrato de calcio de dos a ocho alios, alios, respectivamente, ad emas de 16 voluntarios sin ante cedentes d e uso regu la de antiacido que contuviera aluminio. Entre los datos recolectados estan las mediciones C!..lg/dia) de excreci6n de aluminio en orina de 24 horas, antes (PRE) y despues (POST) de un infusi6n de dos horas de DFO. Grupo
PRE
POST
Grupo
PRE
POST
Control Control Control Control Control Control Control
41.04 70.00 42.60 15.48 26.90 16.32 12.80
135.00 95.20 74.00 42.24 104.30 66.90 10.68
Control Control Control Control Control Control Control
9.39 10.72 16.48 10.20 11.40 8.16 14.80
12.32 13.42 17.40 14.20 20.32 12.80 62.00 (ContinUa)
728
CAPiTULO 13
ESTADISTICANO PARAMETRICA
Grupo
68.88 25.50 0.00 2.00 4.89 25.90 19.35 4.88 42.75
Control Control
Paciente Paciente Paciente Paciente Paciente Paciente Paciente FUENTE:
POST
PRE
PRE
Grupo
46.48 73.80 14.16 20.72 15.72 52.40 35.70 70.20 86.25
15.20 8.70 5.52 13.28 3.26 29.92 15.00 36.80
Paciente Paciente Paciente Paciente Paciente Paciente Paciente Paciente
POST
27.15 38.72 7.84 31.70 17.04 151.36 61.38 142.45
Utilizada con autorizacion del Dr. Khashayar Sakhaee.
21. EI proposito de un estudio realizado or Dubuis et al. (A-20) era determinar si el deficit neurofisiologico de niftos co un forma severa de hipotiroidismo congenito puede no evitarse mediante el inicio de un terapia ma temprana y dosis mayores de levotiroxina. Los 24 dfas de nacidos) co hipotiroidismo congenito severo y individuos eran 10 niftos (d 35 nifios (con edades de 2 10 dfas) co hipotiroidismo congenito moderado. Entre los datos recolectados estan las siguientes mediciones del nivel nivel pla smatico de T4 (nmol/I):
Casos severos
Sexo
T4
(nmoI!l)
16 57 40 50 57 38 51 38
60
Casos moderados
Sexo
T4
(nmoI!l)
Sexo
20 34 188 69 162 148 108 54
96 76 122 43 40 29 83 62
T4
(nmoI!l)
62 50 40 116 80 97 51 84
51 94 158
47 143 128
112
84 55 *= Dato faltante. FUDITE:
Utilizada con autorizacion del Dr. Guy van Vliet.
72
REGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO
.
(A- 21) condujeron un estudio relacionado co las quimiocinas en la rinitis aIer gica estacional. estacional. Est udiaron a 18 individuos atopicos con problemas de rinitis alergica tem estos individuos esta poral causada po el polen de plantas. Entre los datos recolectados de estos las siguientes siguientes mediciones de histamina prote fna eosinofila cationica (PCE). (PCE). et al.
PC
(ng/mt)
Histamina (ng/ml)
511.0 388.0 14.1 314.0 74.1 8.8 144.0 56.0 205.0 FUENTE:
PC
31.2 106.0 37.0 90.0 29.0 87.0 45.0 151.8 86.0
(ng/ml)
25.3 31.1 325.0 437.0 277.0 602.0 33.0 661.0 162.0
Utilizada Utilizada co n autorizaci6n del Dr. Allen
P.
Histamina (ng/ml)
5.6 62.7 138.0 116.0 70.6 184.0 8.6 264.0 92.0
Kaplan.
23. El prop6sito de un estudio realizado po Kim et al. (A-22) era investigar los cambios en serie en los niveles lipoproteicos Lp(a) con la perdida de hormona s sexuales sexuales femeninas en mujeres con menopausia quirfugica terapia de sustitucion de estrogenos. Los individuos estudiados eran 44 mujeres premenopausicas que se sometieron a histerectomia transabdominal. Treinta 13 un de las mujeres tenian la histerectomia salpingo-oforectomia unilateral (SOD), tenian l a histerectomia histerectomia salpingo-oforectomia bilateral (SOB). Las mujeres tenian entre 30 53 afios de edad. Los individuos en el grupo SOB recibieron .625 mg de estrogeno equino conjugado diariamente durante dos meses despues de la operacion. Los siguientes datos co rresponden a los niveles de co1estero1 total antes (CTO), dos meses despues (CT2) cuatro meses meses despues (CT4) del proce dimien to quirurgico 1a terapia de sustitucion hormonal.
SOB
SOU
Individuo
1 2
8 10 11 12 13
14
CTO
CT
CT
Individuo
CTO
202 204 206 166 150 137 164 207 126 131 133 142 225 158
203 183 199 180 171 134 168 249
196 203 192 1 76 154 129 171 223 140 167 149 140 180 179
23 24 25 26 27 28 29 30
140 167 134 163 196 181 160 188 172 224 202 181 191 248
121
141 159 152 193 182
31
32 33 34 35 36
CT2 175 186 131 190 183 194 162 200 188 218 196 182 230 284
CT
167 195 185 192 208 181 181 189 239 231 208 208 279
(ContinUa)
730
CAPITULO 13
ESTADISTICA NO PARAMETRICA
U
Individuo
15 16 17 18 19 20 21 22 FUENTE:
24.
CTO
CT2
CT4
Individuo
CTO
184 223 154 176 205 167 164 177
177 244 178 137 253 156 176 168
182 234 187 162 288 136 191 185
37 38 39
224 229 147 248 160 175 262 189
40
41 42 43 44
CT2
228 318 199 258 218 187 260 199
CT
19 272 194 30 22
166 247 181
Utilizada Utilizada con autorizad6n del Dr. Chee Jeong Kim.
Velthuis et at. (A-23) condujeron un estudio para evaluar si la combinaci6n de capas de hepari na inmoviIizada inmoviIizada pasivamentey la heparinizaci6n nor mal pueden reducir la activaci6 activaci6n n del com plemento en pacientes sometidos a intervenci6n quirurgica cardiaca. Los investigadores se dieron cuenta de que los circuitos extracorporales con capas de heparina reducen la activa ci6n de complemento durante operaciones cardiacas, pero que existe poca informaci6n in vivo respecto a la reducci6n de la activaci6n po la via alternativa y clasica. La activaci6n de complemento inicia un respuesta inflamatoria sistemica durante y despues de operaciones cardiacas, Yjle asocia asocia con acontecimientos fisiopatol6g fisiopatol6gicos icos como de presi6n cardiaca posopera toria, der rames capilares pulmonares y hem6lisis. hem6lisis. Los individuos estudiados eran 20 pacientes sometidos a injerto con derivaci6n cardiopulmonar (DCP) electiva seleccionados aleatoria mente para ser tratados con circuitos circuitos extracorporales de capas de heparina (H con circui tos sin capas (S). Entre los datos recolectados esran las siguientes concentraciones plasmaticas del complejo de comple mento ter minal (SC5b-9) (SC5b-9) al al inicio, inicio, diez minutos despues d e comenzar la DCp, al terminar la DCp, y despues de la administraci6n de sulfato de protamina: Paciente
1 3
Tratamiento
S S
S
9 10
S
11
12 14 15
S
Inicial
IOminDCP
FinDCP
0.37 0.48 0.48 0.37 0.38 0 .38 0.46
0.81 0.73 0.42 0.44 0.31 0.43 0.57
3.28 2.94 1.28 0.50 1.39 1.03
0.41 0.37 0.48 0.39 0.27 0.51 0.97
0.94 0.38 0.33 0.39 0.41 0.27 0.75
1.57 2.07 1.12 1.69 1.28 1.17 1.82
l.88
Protamina
2.12 3.31 1.46 3.82 0.68 5.04 1.29 2.53 1.69 1.04 1.62 1.62 1.05 1.31 (ContinUa)
REGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO
Paciente
Tratamiento
Inicial
H H
0.53 0.41 0.46 0.75 0.64
16 17 18
19 20 FIJENTE:
.
10
in DC
FinDCP
Protamina
4.49 1.60 1.49 1.49 2.11
2.15 1.87 1.24 1.57 2.44
1.57 0.47 0.65 0.78 0.52
Utilizada con autorizaci6n del Dr. Henk te Velthuis.
H ei ei jd jd r et al. (A-24) aseguran que muchos pacientes con enfermedad pulmonar obstructiva cr6nica tienen baja saturaci6n de oxigeno arterial durante la noche. Los investigadores con du jeron un estudio para determinar si existen relaciones causales entre Ia disfunci6n muscular respiratoria la saturacion nocturna. Los iridividuos eran 20 pacientes (cinco mujeres 15 varones) varones) con enfermeda pulmonar obstructiva obstructiva cr6nica a quienes a leatoriamente se les asigno que recibieran entrenamien to muscular inspiratorio para un mejor flujo flujo de aire (EMI-MFA) al 60 po ciento presion maxima de inspiracion po la boca (PI ;\,) EMI-MFA sustituta al10 po ciento de PI ", Entre los datos recolectados estan los siguientes tiempos de resistencia (tiempo, en s) para cada individuo alinicio de entrenamiento 10 semanas despues: Tiempo (s) EMI·MFA 60%Pl :ix Semana
33 40 720 249 144
44 44
28 819 540 FIJENTE:
Semana 10
544 590 624 330 369 789 45 52 1099 930
Tiempo (s) EMI·MFA
10
P1m:ix
SemanaO
Semana 10
430 40 900 42 679 522 116
47
32 650 330 48 36 110 474 700 259
450 570 199
Utilizada con autorizaci6n de la Dra. Yvonne
F.
Heijdra.
26. Wolkin et al. (A-25) establecieron tres objetivos para un estudio qu consisda en determinar a) los efectos de un tratamiento po mas de tres meses co haloperidol en el metabolismo cerebral de pacientes esquizofrenicos, esquizofrenicos, b) la relacion entre los sintomas negativos los cam bios locales locales producid os po eI haloperidol en la utilizacio de glucosa cerebral c) la relacion entre los cambios metabolicos los efectos antipsic6ticos clinicos. Los individuos examina dos eran 18 pacientes internos de un hospital para veteranos de guerra (10 negros, cinco blancos tres hispanos) con descompensacion esquizofrenica aguda cr6nica. Los indivi duos tenfan entre 26 44 anos de edad, la duracion de su enfermedad estaba entre siete 27 afios. Entre los datos recolectados estan las siguientes calificaciones pretratamiento de la subprueba de sustituci6n de sfmbolos digitos de Ia WAlSeR (DSYIRW) las mediciones de los cambios provocados or el haloperidol en la corteza dorsolateral izquierda absoluta prefrontal (DLLA3Vl) en la corteza dorsolater al dere cha absoluta prefr ontal (DLRA3V (DLRA3Vl), l), en unidades de flIIlol de glucosa/1OO g de tejido/min:
732
CAPITULO 13
DSYIRW
47 16 31
34 22 70 59
41
DLLA3VI
DLRA3VI
DSYIRW
DLLA3VI
-7.97 -8.08 -lO.15 -5.46 -17.12 -12.12 -9.70 -9.02
-17.17
18
-4.91 -1.71 -4.62
-4.57
9.48
11.31
-6.59 -12.19 -15.13 -10.82 -4.92
-6.47 -13.61 -11.81 -9.45 -1.87
4.67
-9.59 -11.58 -2.16 -12.95 -13.01 -12.61 -7.48 ·7.26
29 17 38 64 52 50
62
DLRA3VI
-9.58
.40
FUENTE: Utilizada con autorizaci6n de Dr. Adam Wolkin.
27. 27.
l prop6 prop6sit sit de un estudio realizado po Maltais et at. (A-26) era comparar correlacionar el incremento de acido Mctico Mctico arte ria l (La) durante el ejercicio la capacidad oxidante del musculo esqueletico en pacientes con enfermedad pulmonar obstructiva cr6nica (EPOC) e individuos de control (C). En cada grupo habia nueve individuos. La edad media de los pacientes er de 62 anos co un desviaci6n estandar de 5. Los individuos de control tenfan aiios. Ent re los datos recolectados una edad media de 54 aiios con desviaci6n estandar de 3 aiios. estan los valores de la actividad de fosfofructocinasa (FFC) hexocinasa (HC) deshidrogenasa lactica (DHL) para los dos grupos. FFC
EPOC
106.8 19.6 27.3 51.6 73.2 89.6 47.7 113.5 46.4
DHL
HC
49.3 107.1 62.9 53.2 105.7 61.3 28.2 68.5 40.8
EPOC
EPOC
2.0 3.2 2.5 2.6 2.4 2.4 3.5 2.2 2.4
2.3 1.4 1.0 3.6 1.3 2.9 2.2 1.5 1.6
241.5 216.8 105.6 133.9 336.4 131.1 241.4 297.1 156.6
124.3 269.6 247.8 200.7 540.5 431.1 65.3 204.7 137.6
FUEI>'TE: Utilizada con autorizaci6n del Dr. Fraw;;ois Maltais.
.
(A-27) realizaron un estudio para det erm ina r los los niveles sericos sericos de nitrito en pa cientes pediatricos infectados po virus tipo 1 inmunodeficiencia humana (VIH-l). Los individuos investigados induian 10 ninos de control sanos (6 ninos 4 nifias), con edad media de 9.7 aiios desviaci6n estandar de 3.3. Los demas individuos eran 21 ninos que nacieron infectados po el VIH-L De estos, siete (3 ninos 4 ninas) esta ban afectados po e1 SIDA; sus edades promediaban 6 anos co un desviaci6n desviaci6n estanda de 2.8 anos. Los restantes 14 ninos (7 ninos 7 nifias) se volvieron seronegativos para e1 VIH-l durante e primer ano de vida. Entre los datos recolectados esta n los siguientes nive1 nive1es es de nitrato en el suero (!lffiol/l): et at.
BIBLIOGRAFiA
Ninos seronegativos seronegativos
Controles
14
10
0.335 0.986 0.846 1.006 2.234 1.006 0.803 0.301 0.936 0.268 0.134 0.335 0.167 0.234
0.301 0.167 0.201 0.234 0.268 0.268 0.201 0.234 0.268 0.30]
FUENTE:
29. 29.
Padentes V l R · l positivos
0.503 0.268 0.335 0.946 0.846 0.268 0.268
Utilizada ca autorizad6n del Dr. Donato Torre.
Segh Seghay ay et al. (A-28 (A-28)) analiza ron la i nfluencia de dosis bajas de aprotini na sobre la activacion activacion del complemento, estimulaci6n estimulaci6n de leucocit leucocitos, os, producci6n de citoquina y respuestas de fase aguda en ninos sometidos a operaciones cardiacas. El criterio de inclusion para el estudio fue un defecto cardiaco congenito no cian6tico qu requeria de un procedimiento quirurgico primario relativamente senciIlo asociado con riesgos posoperatorios bajos. Entre los datos recolectados est{m las siguientes mediciones de interleuquina-6 (IL-6) y proteina C reactiva (PCR) (PCR) que se obtuvier on 4 y 24 hora s despues de la operaci6n, respectivamente: respectivamente: IL·6
IL·6
122 203 45 78 239 165 FUENTE:
32 39 63 62 22
421 421 227 265 97
IL·6
29 44
24 31 12
415 66 58 213
50 41 12 14
Utilizada ca autorizaci6n de la Dra. Marie-Christ ine Seghaye.
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ESTADISTICA NO PARAMETRICA
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