dalle en béton armé lcpc

Projet de Fin d’Etudes

”E t u d e d e l a n o u v e l l e dalle d’essai du L a b o r at o i r e C e n t r a l d e s és” Ponts et Chausse

´le `ve-inge ´ n i e u r d e 5 e`me a n n e é GEORGES Nicolas, e

ćialite ´ Ge ńie Civil INSA de Strasbourg - Spe

Remerciements Ce rapport fait état des études que j’ai menées durant une période de 5 mois au sein de l’entreprise CTE. Je remercie Philippe Capron, directeur d’agence, pour m’avoir offert l’opportunité de réaliser mon projet de fin d’études dans l’agence CTE Strasbourg. Je remercie André Christ, chef de projet et tuteur de stage, ainsi que Luc Modzinski, Laurent Mahé et Geoffroy Percheron pour leur aide précieuse et leurs nombreux conseils. Merci encore à toute l’équipe de CTE Strasbourg pour leur accueil et leur bonne humeur. Je remercie Claude Schaeffer, enseignant et tuteur à l’INSA de Strasbourg, pour son encadrement durant toute la durée du stage. Merci également a` Cyrille Chazallon pour avoir su répondre a` mes questions. Merci à Le¨ıla et à mes parents pour leurs conseils et leur soutien.

Table des mati` eres Introduction

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1 Pr´ esentation de l’entreprise

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2 Missions du PFE 2.1 Présentation du projet du Pôle Scientifique et Technique de Marne-la-Vallée 2.2 Présentation de la dalle d’essai du LCPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Cahier des Charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Chargements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Critères de résistance aux états limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Missions du PFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 12 14 14 14 15

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3 Hypoth` eses g´ en´ erales 17 3.1 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Etude des effets du retrait 4.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Description des phénomènes de retrait . . . . . . 4.3 Modèle de fluage et retrait . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Eurocode 2 : Cas particulier des BHP . . . 4.3.2 Evolution différée : Phasage . . . . . . . . 4.4 1ère modélisation : barrettes attachées au radier . 4.4.1 Visualisation des déplacements par phase . 4.4.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 2ème modélisation : radier glissant sur les barrettes 4.5.1 Réactions d’appuis . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Visualisation des déplacements par phase . 4.5.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Fissuration et inertie fissur´ ee 5.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Hypothèse du béton fissuré . . . . 5.3 Sections partiellement tendues [5] 5.4 Sections entièrement tendues [5] . 5.5 Section non fissurée [5] . . . . . . 5.6 Inertie équivalente . . . . . . . . 5.7 Principe du calcul . . . . . . . . .

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22 22 23 23 23 23 25 25 27 28 28 29 32 32

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33 33 33 33 34 35 36 37

Projet de fin d’études - Nicolas GEORGES 5.7.1

Juin 2011

Organigramme de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 M´ ethode de la double int´ egration des moments 6.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Méthode de la double intégration des moments . . 6.2.1 Rappel de théorie des poutres [8] . . . . . 6.2.2 Application a` la théorie des plaques . . . . 6.3 Application a` une dalle continue . . . . . . . . . . 6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 Etude aux Etats Limites de Service caract´ eristique 7.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Flèche sous cas de charges unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Ferraillage minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Calcul de l’enrobage minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Détermination du ferraillage minimal par la méthode des tableaux 7.2N et 7.3N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Etat de fissuration de la dalle supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Enveloppe des contraintes ELS caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Fissuration sous effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Etat de fissuration de la dalle supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Vérification de l’ouverture de fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Vérification de l’ouverture de fissure dans la dalle d’épaisseur 90cm . . . 7.5.2 Vérification de l’ouverture de fissure dans la dalle d’épaisseur 125cm . . . 7.6 Flèche de la dalle supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Participation du béton tendu et flèche réelle . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Conclusion et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 45 45 45

8 Mod´ elisation aux ´ el´ ements finis volumiques 8.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Essais sur une poutre . . . . . . . . . . . . . 8.3 Modèle volumique de la dalle d’essai . . . . 8.3.1 Présentation du modèle . . . . . . . 8.3.2 Comparatif . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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66 66 66 68 68 69 70

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71 71 71 71 72 73 73 73 75 77

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9 R´ esistance aux Etats Limites Ultimes et dispositions constructives 9.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Résistance a` l’effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Résistance au poin¸connement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Armatures de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Armatures de coutures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Ferraillage des aˆmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.2 Ferraillage d’un raidisseur transversal . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion

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Projet de fin d’études - Nicolas GEORGES

Juin 2011

Bibliographie

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Table des figures

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Liste des tableaux

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A Dalle d’essai : hypoth` eses g´ en´ erales

1

B Plans de coffrage de la dalle d’essai

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C Glissement du radier sur les barrettes

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D R´ esultats du mod` ele coque 2D D.1 Flèches sous cas de charge unitaire D.1.1 Poids propre . . . . . . . . . D.1.2 Chargement surfacique . . . D.1.3 Montage A . . . . . . . . . D.1.4 Montage B . . . . . . . . . . D.1.5 Montage C . . . . . . . . . D.1.6 Montage D . . . . . . . . . D.1.7 Montage E . . . . . . . . . . D.1.8 Gradient chaud . . . . . . . D.1.9 Gradient froid . . . . . . . . D.1.10 Observations . . . . . . . .

31 31 31 32 33 34 35 36 37 38 39 39

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E R´ esultats du mod` ele volumique

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Symboles Notations Eurocode utilis´ ees : • Ac,ef f : Aire de la section effective de béton autour des armatures tendues • As : Aire de la section des armatures de béton armé • As,mini : Aire de la section minimale d’armatures • b : Largeur totale d’une section droite • c : Enrobage • d : Hauteur utile d’une section droite • Ec : Module d’élasticité tangent a` l’origine pour un béton de masse volumique normale a` 28 jours • Ec,ef f : Module d’élasticité effectif du béton • Ecm : Module d’élasticité sécant du béton • Es : Valeur de calcul du module d’élasticité de l’acier de béton armé • fck : Résistance caractéristique en compression du béton, mesurée sur cylindre à 28 jours • fctk : Résistance caractéristique en traction directe du béton • fctm : Valeur moyenne de la résistance en traction directe du béton • fyk : Limite caractéristique d’élasticité de l’acier de béton armé • h : Hauteur totale d’une section droite • MEd : Valeur de calcul du moment de flexion agissant • NEd : Valeur de calcul de l’effort normal agissant • sr,max : Espacement maximal des fissures • VRd,c : Effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant • wk : Ouverture calculée des fissures • wk,max : Valeur limite de l’ouverture calculée des fissures • αe : Coefficient d’équivalence • α : Coefficient de dilatation thermique du béton • ε : Déformation unitaire • εcs : Déformation unitaire de retrait • ν : Coefficient de Poisson du béton • ϕ(t, t0 ) : coefficient de fluage • σc : Contrainte de compression dans le béton • σs : Valeur de la contrainte dans une armature métallique • σc : Contrainte limite de compression du béton a` l’ELS • σs : Contrainte limite de traction de l’acier a` l’ELS • ρp,ef f : Pourcentage d’armatures dans la section effective de béton autour des armatures tendues Notations particuli` eres utilis´ ees : • Ach : Aire équivalente d’une section droite de béton armé homogène non fissurée • s1 : Relatif aux armatures les plus tendues / les moins comprimées • s2 : Relatif aux armatures les moins tendues / les plus comprimées • e : Epaisseur d’une dalle • f : Flèche d’une dalle • I : Moment d’inertie de flexion • Ich : Inertie équivalente d’une section droite de béton armé homogène non fissurée • K : Pente des contraintes dans une section • y : Flèche d’une poutre • ν : Hauteur tendue d’une section non fissurée 8


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• ν ′ : Hauteur comprimée d’une section non fissurée • σx,t : Contrainte maximale de traction selon x • σx,c : Contrainte maximale de compression selon x

9

Introduction L’entreprise CTE a été missionnée pour réaliser les études d’exécution du projet du ”Pôle Scientifique et Technique de Marne-la-Vallée”. Le pôle abritera en particulier la nouvelle dalle d’essai du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, une structure particulièrement massive et rigide de 60,5m×10,5m capable d’accueillir des bancs d’essai de grande taille et de résister à des efforts importants pour un minimum de déformation (moins de 1mm de flèche). Le cahier des charges défini par la maˆıtrise d’œuvre et le maˆıtre d’ouvrage impose des critères de résistance et de déformations strictes qui sont analysés et vérifiés dans les études de comportement mécanique de la structure. Ce rapport fait état de toutes les études menées durant le stage. Dans un premier temps, l’étude des effets du retrait et du phasage des travaux a permis d’évaluer l’état de contrainte résiduel dans la dalle. Afin de modéliser le plus finement possible les déformations de la structure, une méthode de calcul d’ouverture de fissure et de calcul des déformations du béton armé partiellement fissuré ont été mises au point conformément à l’Eurocode 2 et utilisées pour dimensionner et vérifier la structure sous les combinaisons de charges ELS. La structure a d’abord été modélisée a` l’aide d’un modèle ”éléments finis de type coques 2D”, puis avec un modèle ”éléments finis volumiques”, dans le but de confirmer et de donner une critique des résultats donnés par le premier modèle. Pour finir, une étude de résistance aux états limites ultimes et une synthèse des différentes dispositions constructives ont permis de donner les premiers principes de ferraillage.

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Chapitre 1 Pr´ esentation de l’entreprise CTE est un bureau d’études spécialisé dans le calcul, la conception, l’optimisation et les études d’exécution de toute structure pour le bâtiment et le génie civil dans le domaine de l’Ingénierie des Structures et des Energies Renouvelables. Le groupe est composé de trois agences en France, a` Mulhouse, Strasbourg et Lyon ainsi que de filiales en Allemagne, en Pologne, au Brésil et au Vietnam. Le groupe a participé aux études de conception et d’exécution de projets majeurs dans le grand Est et dans le reste de la France, comme le Centre Pompidou de Metz, le Stade des Alpes de Grenoble, le Stade Jean Bouin de Paris et le Pôle Scientifique et Technique de Marne-laVallée (Figure 1.1), qui abritera la nouvelle dalle d’essai du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées. [1]

Figure 1.1 – Pôle Scientifique et Technique de Marne-la-Vallée (PST)

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Chapitre 2 Missions du PFE 2.1

Pr´ esentation du projet du Pˆ ole Scientifique et Technique de Marne-la-Vall´ ee

Le pôle scientifique et technique consiste a` regrouper sur la Cité Descartes [1] : • Le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (LCPC) ; • L’Institut National de Recherche sur les Transports et leur Sécurité (INRETS) pour partie ; • Le Service d’Etudes Techniques des Routes et Autoroutes (SETRA). TABLEAU 2.1 – Acteurs du projet Maˆıtre d’ouvrage :

Maˆıtrise d’œuvre Architecte : Bureau d’études : Contrˆ oleur technique : Coordinateur S.P.S. :

´ Ministère de l’Ecologie, du Développement et de l’Aménagement durables, Ministère de la Recherche Jean Philippe PARGADE SNC Lavalin Norisko Construction Veritas

CTE a été missionné par la maˆıtrise d’ouvrage pour réaliser les études d’exécution du projet. Le coˆ ut TCE du projet s’élève à 67 millions d’euros.

2.2

Pr´ esentation de la dalle d’essai du LCPC

Le LCPC dispose actuellement de deux dalles d’essais contiguës indépendantes de 20 m x 8 m et 8 m x 8 m, avec des ancrages de 500 kN tous les 50 cm ou tous les mètres, (Figure 2.1) localisées dans la plate-forme d’essai des structures de Paris.[2] G´ eom´ etrie : La nouvelle dalle d’essai du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (LCPC) est un bloc de béton monolithique de 60,50m de long et de 10,50m de large. Des platines d’ancrage sont disposées tous les 1m sur la zone d’épaisseur 90cm et tous les 0,50m sur la partie centrale d’épaisseur 125cm. Deux murs de 5,00m de hauteur et de 1,10m d’épaisseur 12


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Figure 2.1 – Dalle d’essai actuelle du LCPC située a` Paris

sont disposés sur les bords de la partie centrale. Des raidisseurs de 4,70m de haut et 60cm d’épaisseur sont disposés dans les deux directions sous la dalle supérieure environ tous les 4m. Les raidisseur sont supportés par un radier de 40cm d’épaisseur. Le tout est fondé sur 39 barrettes de 0,82x2,80m de section disposées au droit de chaque raidisseurs et atteignant la couche de calcaire de Champigny située 20m sous le niveau du terrain naturel. Les dimensions de coffrage décrites ci-dessus découlent des phases de conception de l’ouvrage et sont figées. Mat´ eriaux : Le béton utilisé pour la dalle supérieure, les raidisseurs et le radier est un Béton a` Hautes Performances (BHP) dont la classe reste encore a` être déterminée. Les armatures utilisées sont des barres a` haute adhérence standards en acier S500. La solution ≪ béton précontraint ≫ a été écartée par le maˆıtre d’œuvre et le maˆıtre d’ouvrage durant les phases de conception.

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Figure 2.2 – Modèle 3D de la dalle d’essai

2.3

Cahier des Charges

La mission de CTE concernant la dalle d’essai est de réaliser un contre-calcul afin de confirmer les résultats de comportement mis en avant par SNC Lavalin, puis de concevoir le ferraillage des différents éléments de la dalle.

2.3.1

Chargements

Le cahier des charges a été établi par SNC Lavalin dans le DCE gros œuvre (Annexe A). Il s’agit d’étudier la dalle d’essai sous différents cas de chargements unitaires : • 1 chargement surfacique de 10T /m2 ; • 5 combinaisons de 18 montages ”LCPC” différents décrits par SNC Lavalin ; • 2 gradients thermiques.

2.3.2

Crit` eres de r´ esistance aux ´ etats limites

Les études devront être effectuées en accord avec l’Eurocode 2. Trois états limites de service sont déterminés : • Les ELS caract´ eristique donnent une limitation de contrainte dans le béton comprimé à 0, 45.fck , dans les aciers tendus à 0, 8.fyk . La non-fissuration sous effort tranchant doit être vérifiée. Dans le cas d’un élément de type coque qui présente un état de contrainte biaxial, la limitation de la résistance en traction du béton doit être réduite suivant l’Annexe QQ de l’EC2 partie Ponts en béton (EN1992-2). La flèche relative aux combinaisons de chargement (sans poids propre) est limitée à min(1mm, porteedumontage/10000). Le calcul des déformations de la dalle devra tenir compte d’une inertie fissurée dans les parties de la dalle o` u la résistance en traction du béton est dépassée. De plus, Le contrôle de la fissuration impose un ouverture de fissure maximale wk,max = 0, 2mm. • Les ELS fr´ equent limitent la contrainte en traction du béton a` fctk0,05 , pour éviter la fissuration. L’EC2 prévoit cependant que l’on puisse considérer une section de béton comme ”non-fissurée” si la contrainte de traction du béton ne dépasse pas la résistance en traction médiane fctm de la classe de béton considérée. Ce choix marque la volonté du maˆıtre d’œuvre de limiter autant que faire se peut la possibilité de fissuration. Une 14


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limitation des contraintes en fatigue pour les aciers est également à prendre en compte conformément à l’article 6.8.4. de l’EC2. • Les ELS ”longue dur´ ee” représentent un chargement d’une durée de 1 an o` u les effets du fluage des éléments de la dalle devront être pris en compte. • Une vérification de résistance classique aux ELU devra être mise en œuvre selon l’EC2. Cependant, en limitant l’ouverture de fissure à 0, 2mm aux ELS fréquent, il est peu probable que les ELU soient dimensionnants. Ceci peut être mis en parallèle avec les règles BAEL qui recommandent un dimensionnement aux ELS dans le cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable. Comportement dynamique : Les modes propres de la dalle associée a` ses appuis et aux murs d’essai devront avoir une fréquence supérieure a` 5Hz. Effets du retrait : Les différents éléments de la dalle seront coulés sur une plage d’un an environ. Les retraits différés des raidisseurs sur le radier, et de la dalle supérieure sur les raidisseurs sont susceptibles de créer un état de contrainte résiduel important qui doit être intégré aux combinaisons de chargement. R´ eactions d’appuis : Les réactions de la dalle sur les barrettes doivent être inférieures aux limites de résistance ”élastiques” horizontales et verticales calculées par le bureau d’études géotechniques de Spie Fondations.

2.4

Missions du PFE

La mission de mon PFE consiste à dimensionner le ferraillage du radier, des raidisseurs, de la dalle supérieure et des murs d’essai. Pour cela, il s’agit de modéliser la dalle sous chargement et de vérifier contraintes et déformations aux combinaisons ELS et ELU décrites en Annexe A. Une première note de calcul réalisée par le maˆıtre d’œuvre SNC Lavalin donne les grandes lignes et les premiers résultats qui devront être confirmés par les études d’exécution : la classe de résistance de béton préconisée dans cette note de calcul est C80/95. CTE propose d’étudier la possibilité d’utiliser un béton de classe inférieure de type C60/75, plus accessible et moins coˆ uteux. Les effets du retrait doivent être quantifiés pour déterminer le type de liaison barrettes/radier (réalisation d’un gla¸cis ou non, type de clavetage...). En résumé, la mission qui m’a été confiée par CTE consiste à : • Etudier et déterminer les déformations et les contraintes résiduelles générées par le retrait du béton • Déterminer les contraintes, les déformations et l’état de fissuration de la dalle aux ELS • Déterminer les déformations différées de la dalle aux ELS sous chargement de longue durée • Etudier le comportement dynamique de la structure (modes propres). Ceci dans le but de : • Déterminer les liaisons barrettes/radier • Ferrailler la structure • Proposer, dans la mesure du possible, une classe de béton inférieure a` celle choisie initialement par SNC Lavalin (C80/95).

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Planning du PFE : Le Tableau 2.2 fait état du planning de mes études durant les 20 semaines au sein de l’agence CTE-67. TABLEAU 2.2 – Planning du PFE Semaine 1 : Semaines 2 a` 4 : Semaines 5 et 6 : Semaines 7 et 8 : Semaines 9 et 10 : Semaines 11 et 12 : Semaines 13 et 14 : Semaine 15 a` 20 :

Etude des caractéristiques mécaniques d’un Béton Hautes Performances Etude des effets du retrait Calcul d’ouverture de fissure et d’inertie fissurée selon l’EC2 Flèche d’une dalle partiellement fissurée : Approche par la double intégration des moments Exploitation des résultats du modèle Effel Modélisation de la dalle en éléments finis volumiques sur Robot Exploitation des résultats du modèle volumique Rédaction d’une note de calcul, étude des principes de ferraillage et conclusions

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Chapitre 3 Hypoth` eses g´ en´ erales 3.1

G´ eom´ etrie

La géométrie utilisée pour cette modélisation est celle définie sur les plans de coffrage les plus récents (N˚ STR27 indice A, Février 2010 donnés en Annexe B). Les différents éléments sont modélisés par des éléments surfaciques de type coque épaisse déclarés aux axes de symétrie. TABLEAU 3.1 – Dimensions définitives de la dalle

Convention de signe Effel : Pour un élément de type coque, on a : • Nx : Effort normal selon l’axe local x ; • Nxy : Effort de cisaillement dans le plan de l’élément ; • Nxz : Effort tranchant sur une facette de normale x ; • Mx : Moment de flexion autour de l’axe x ; • Mxy : Moment de torsion ; • N positif : Effort normal de traction ; 17


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Figure 3.1 – Maillage de la dalle supérieure et des murs d’essai, repère local

• M positif : Fibre supérieure la plus tendue.

18


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Figure 3.2 – Maillage des Raidisseurs, repère global

Figure 3.3 – Maillage du radier et des appuis, repère global

19


3.2

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Mat´ eriaux

Le béton utilisé pour l’ensemble de la dalle est du type C60/75. Il s’agit d’un Béton Hautes Performances (BHP) dont les caractéristiques mécaniques définies par l’EC2 sont données en Tableau 3.2. Le coefficient de dilatation thermique du béton est 1.10−5 . Le coefficient de Poisson pris en compte est ν = 0, 2 dans le cas d’une section non fissurée et ν = 0 dans le cas d’une section fissurée, conformément aux articles (3) et (4) de l’EC2 § 3.1.3. L’acier utilisé pour le ferraillage de la dalle est du type S500. Les armatures disposées dans le béton ne sont pas prises en compte dans l’étude sur le retrait. TABLEAU 3.2 – Propriétés mécaniques du béton C60/75

3.3

Conditions limites

Les barrettes ont une section de 0.82*2.80m. Elles sont encastrées de 2m dans la couche Calcaire de Champigny ≫ (surface entre 64,4 et 66,9 NGF). Une note de calcul géotechnique réalisée par Spie fondations détermine les raideurs qui seront prises en compte dans la modélisation des appuis élastiques de la dalle. La raideur horizontale et verticale d’un élément de type pieu dépendant fortement de l’ordre de grandeur des sollicitations externes qui s’exercent a` sa tête, il conviendra de procéder a` plusieurs itérations en réinjectant dans le calcul des raideurs les réactions d’appuis obtenues avec le modèle Effel. La note de calcul différencie trois types de barrettes représentées sur la Figure 3.4 : • B1 : Barrettes des files latérales, espacées de 3m entre nus. • B2 : Barrettes des files latérales, espacées de 1,2m entre nus. • B3 : Barrettes de la file centrale, espacées de 3m entre nus.

≪

Les raideurs estimées des barrettes et les hypothèses faites sur l’ordre de grandeur de ces efforts sont données dans le Tableau 3.3. Il s’agit des raideurs finales données par Spie Fondations et découlant d’un calcul itératif sur la base des descentes de charges estimées par SNC, dans un premier temps, puis CTE.

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Figure 3.4 – Disposition des barrettes sous la dalle

TABLEAU 3.3 – Raideurs estimées des barrettes, après la deuxième itération

21

Chapitre 4 Etude des effets du retrait 4.1

Objectifs

La construction de la dalle d’essai s’étale sur plus de 7 mois : le planning prévisionnel des travaux (Tableau 4.1) prévoit le coulage du radier en semaine S34 de l’année 2011, le coulage des raidisseurs en semaine S37 2011 (soit 28 jours plus tard), et celui de la dalle supérieure en semaine S13 2012, lorsque le bâtiment sera couvert. Pour laisser le temps au béton d’effectuer la majeure partie de son retrait, le premier étalonnage de la dalle sera réalisé un an après le coulage de la dalle supérieure, c’est à dire en semaine S13 2013. TABLEAU 4.1 – Planning prévisionnel de coulage

L’objectif est d’évaluer les conséquences de ce retrait différé. Afin d’obtenir une structure la plus monolithique possible, les éléments de la dalle seront encastrés les uns aux autres : le champ de contraintes résiduelles n’est donc pas négligeable, étant donné l’échelle de la structure.

Mod´ elisation des appuis : L’étude qui suit vise également à comparer les états de contraintes résiduelles dans la dalle pour des liaisons barrettes/radier encastrement et butée glissante, un coefficient de frottement de 0, 2 étant arbitrairement choisi pour cette dernière. Les barrettes sont modélisées par des appuis linéiques de 2.80m déclarés aux axes des barrettes et de raideur équivalentes. Dans la première modélisation, tous les appuis sont solidaires du radier : l’étude des réactions d’appui permet ensuite de déclarer les appuis glissant et les soulèvements de la dalle.

22


4.2

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Description des ph´ enom` enes de retrait

Trois types de retrait différents sont à considérer : • Le retrait endogène (ou retrait d’autodessiccation) est propre au matériau. Il provient des réactions d’hydratation qui font la prise et le durcissement du béton. Ce retrait peut être considéré comme uniforme dans le volume correspondant a` une même opération de bétonnage [3]. De ce fait, il est assez simple de le prendre en compte dans les calculs (semblable à un rétrécissement thermique uniforme). Un modèle décrivant l’évolution du retrait endogène est donné dans l’Eurocode 2-2. La vitesse de réaction est rapide et la quasi-totalité du retrait endogène d’un béton est atteinte trois mois après le coulage. • Le retrait de dessiccation provient de l’évaporation de l’eau libre contenue dans le béton. C’est un phénomène lent (parfois plusieurs dizaines d’années), a` plus forte raison dans le cas de pièces massives et d’environnement humide (dessiccation négligeable pour une humidité relative supérieure à RH=80%). • Le retrait thermique est dˆ u au dégagement de chaleur créé par les réactions d’hydratation du ciment. Un gradient thermique entre la surface du béton (plus froide, car en contact avec l’air libre), et l’intérieur de la pièce coulée peut engendrer une fissuration de peau. Une fissuration peut également survenir dans le cas ou le retrait est gêné en phase de refroidissement. Ce type de retrait est difficilement intégrable au modèle de calcul (complexité de la diffusion de chaleur). Il peut cependant être évité en grande partie en jouant sur la formulation du béton (ciments a` faible chaleur d’hydratation, cendres volantes, laitiers...), en observant certaines règles d’exécution afin de limiter le gradient thermique et en ajoutant des armatures complémentaires qui permettent de réduire l’ouverture des fissures.

4.3

Mod` ele de fluage et retrait

4.3.1

Eurocode 2 : Cas particulier des BHP

L’annexe B de l’Eurocode 2-2 (Ponts en béton) définit un modèle de fluage et de retrait adapté aux ouvrages massifs et/ou réalisés en Béton a` Hautes Performances (BHP). Contrairement au modèle proposé dans la partie bâtiment de l’EC2, ce modèle suppose que le retrait endogène et le retrait de dessiccation du béton n’évoluent pas a` la même vitesse dans le temps : si le retrait endogène est propre au matériau, le retrait de dessiccation dépend lui de la géométrie de l’élément considéré. Les déformations de fluage sont intégrées au modèle à l’aide d’un module d’Young différé. Pour des éléments de grandes dimensions, Ec,ef f (t, t0 ) est donné par la formule : Ec,ef f (t, t0 ) = Avec • • •

Ec 1 + ϕb (t, t0 ) + ϕd (t, t0 )

: Ec , le module d’élasticité du béton tangent à l’origine à t = 28j ϕb (t, t0 ), un coefficient lié au fluage propre du béton ϕd (t, t0 ), un coefficient lié au fluage de dessiccation du béton.

4.3.2

Evolution diff´ er´ ee : Phasage

Les phases de l’étude sont décrites dans le Tableau 4.2. La visualisation graphique de l’évolution du retrait est représentée en Figure 4.1. 23


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TABLEAU 4.2 – Description des phases de calcul Phase 1 :

Calculs à la date du coulage des raidisseurs. Uniquement le radier est présent. Phase 2 : Calculs à la date du coulage de la dalle supérieure. Uniquement le radier et les raidisseurs sont présents. Phase 3 : Calculs un an après le coulage de la dalle supérieure (date de premier étalonnage). Tous les éléments sont présents.

Figure 4.1 – Evolution du retrait et phasage

A chaque phase correspond un cas de charge ”retrait” pour chaque élément présent et correspondant au ∆(retrait) entre la phase précédente et la phase calculée : ∆(εcs ) = εcs,ϕ(i) − εcs,ϕ(i−1) Le logiciel Effel ne permettant pas de définir comme cas de charge une déformation volumique imposée, le retrait est modélisé par un rétrécissement thermique uniforme sous écart de température ∆T négatif. Le coefficient de dilatation thermique du béton étant pris égal à α = 1.10−5 , on obtient la formule ci-dessous : ∆T = −100000.∆εcs Par exemple, en phase 1, le retrait ∆εcs = 0, 0000791 − 0 = 0, 0000791 est modélisé par un rétrécissement thermique uniforme dˆ u a` un écart de température ∆T = −7, 91˚C.

24


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TABLEAU 4.3 – Valeurs du retrait et des modules différés

4.4 4.4.1

1ère mod´ elisation : barrettes attach´ ees au radier Visualisation des d´ eplacements par phase

Figure 4.2 – Déplacements du radier sous retrait et poids propre, Phase 1

Calcul par phase sur Effel : Sur le logiciel Effel, une phase correspond a` une structure calculée pour un cas de charge affecté à cette phase. Les résultats finaux sont donc la combinaison 25


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Figure 4.3 – Déplacements du radier et des raidisseurs sous retrait et poids propre, Phase 2

linéaire des résultats de chaque phase (principe de superposition). Pour obtenir les véritables réactions d’appuis pour chaque phase, il convient de déclarer le poids propre des éléments présents dans la phase. Cependant, il faut faire attention de ne pas compter plusieurs fois le poids propre du même élément. Le poids propre est donc intégré uniquement dans la phase de première apparition de l’élément (radier : phase 1, raidisseurs : phase 2, dalle supérieure et murs : phase 3). Les résultats à exploiter a` la fin de la phase 2 sont la somme des résultats des phases 1 et 2, tandis que les résultats a` exploiter à la fin de la phase 3 sont la somme des résultats des phases 1,2 et 3. Les phases représentées sur les Figures 4.3 et 4.4 sont ”les résultats a` exploiter”, et non les ”phases Effel”.

26


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Figure 4.4 – Déplacements de toute la structure sous retrait et poids propre, Phase 3

4.4.2

R´ esultats

Les valeurs maximales des contraintes principales obtenues dans la dalle supérieure sont données dans le Tableau 4.4. Le champ de contraintes résiduelles obtenu montre qu’avant tout chargement, certaines parties de la dalle supérieure sont déjà soumises a` d’importants efforts de traction (Figure 4.5). TABLEAU 4.4 – Contraintes maximales dans la dalle supérieure au moment du premier étalonnage (S13 2013)

Remarque : Ces résultats s’expliquent facilement en regardant le phasage des travaux. La dalle supérieure est coulée bien après les raidisseurs (lorsque le bâtiment est couvert), alors que les éléments sous la dalle ont déjà effectué la majeure partie de leur retrait. Cependant, ce modèle ne tient pas compte d’un éventuel glissement de la dalle sur ses appuis. Pour déterminer les appuis glissant des barrettes solidaires du radier par frottement, il convient d’étudier les réactions d’appuis a` la fin de chaque phase.

27


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Figure 4.5 – Contraintes résiduelles de traction maximales sur extrados

4.5

2ème mod´ elisation : radier glissant sur les barrettes

Les hypothèses générales sont identiques à celles du premier modèle. Seules les hypothèses d’appuis sont modifiées.

4.5.1

R´ eactions d’appuis

Dans le cas d’une liaison barrettes/radier réalisée par surfa¸cage et gla¸cis, la dalle est censée pouvoir libérer une partie des contraintes résiduelles générées par le retrait. En considérant un coefficient de frottement tan ϕ = 0, 20, le comportement de la dalle peut être déterminé pour chaque phase et sur chaque appui. Les réactions d’appuis sont données en Annexe (p. 27). Le glissement du radier est représenté sur les Figures 4.6, 4.7 et 4.8.

Figure 4.6 – Glissement du radier (barrettes colorées), phase 1

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Figure 4.7 – Glissement du radier (barrettes colorées), phase 2

Figure 4.8 – Glissement du radier (barrettes colorées) et soulèvements (barrettes entourées), phase 3

4.5.2

Visualisation des d´ eplacements par phase

Remarque : Les déplacements de la dalle sont plus importants que dans le premier modèle, ce qui prouve qu’une partie des efforts dus au retrait gêné sont libérés.

29


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Figure 4.9 – Déplacements du radier sous retrait et poids propre, Phase 1

Figure 4.10 – Déplacements du radier et des raidisseurs sous retrait et poids propre, Phase 2

30


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Figure 4.11 – Déplacements de toute la structure sous retrait et poids propre, Phase 3

31


4.5.3

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R´ esultats

Les valeurs maximales des contraintes principales obtenues dans la dalle supérieure sont données dans le Tableau 4.5. Le relâchement du radier sur les barrettes fait diminuer les contraintes résiduelles de traction de près de 7%. (Figure 4.12). TABLEAU 4.5 – Contraintes maximales dans la dalle supérieure au moment du premier étalonnage (S13 2013)

Figure 4.12 – Contraintes résiduelles de traction maximales sur extrados

4.6

Conclusion

Ces deux modélisations forment la borne inférieure et la borne supérieure de l’enveloppe des contraintes résiduelles dans la dalle supérieure. La contrainte de traction résiduelle maximum a` l’intérieur de la dalle supérieure est donc encadrée par 1,92 MPa et 2,04 MPa (S1 Extrados). Cela représente près de 45% de la résistance en traction fctm d’un béton C60/75 (4.4 MPa ). Le mode de liaison barrettes/radier par sufa¸cage et glacis diminue seulement légèrement l’état de contrainte à l’intérieur de la dalle. Cette solution semble donc peu avantageuse. 32

Chapitre 5 Fissuration et inertie fissur´ ee 5.1

Objectifs

Le cahier des charges défini par SNC Lavalin prévoit une limitation de l’ouverture de fissure dans la dalle de wk = 0, 2mm aux ELS caractéristique. De plus, le calcul des flèches doit être réalisé en considérant l’état de fissuration mais sans négliger la participation du béton tendu. Ce chapitre traite du calcul de l’ouverture de fissure dans une dalle selon l’EC 2 ainsi que de la méthode a` mettre en œuvre pour calculer une inertie équivalente tenant compte à la fois de l’état de fissuration dans la dalle et de la participation du béton tendu.

5.2

Hypoth` ese du b´ eton fissur´ e

Dans le cas d’une poutre, une section de béton est considérée homogène (non fissurée) si la contrainte maximale de traction dans le béton ne dépasse pas la résistance fctm de la classe de béton considérée (art. 7.1(4) de l’EC2). Cependant, dans le cas o` u les efforts de cisaillement sont importants, il convient de considérer une diminution de cette résistance a` la traction du béton selon l’Annexe QQ de l’EC2-2 partie Ponts en béton. La résistance maximale à la traction du béton est alors évaluée grâce a` la formule ci-dessous : σ3 fctb = 1 − 0, 8. .fctk,0,05 fck o` u: • fctb est la résistance a` la traction du béton préalablement à la fissuration dans un état de contrainte biaxial ; • σ3 est la plus grande contrainte de compression. Si la contrainte maximale de traction du béton dépasse fctb , la section est considérée comme fissurée

5.3

Sections partiellement tendues [5]

• Position de l’axe neutre x3c + p.xc + q = 0 Avec : p = −3.c2 +

6.αe .AS1 6.αe .AS2 ′ .(d − c) + .(d − c) bw bw 33


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Figure 5.1 – Section partiellement tendue [5]

q = −2.c3 −

6.αe .AS2 ′ 6.αe .AS1 .(d − c)2 − .(d − c)2 bw bw

• Moment d’inertie Icf =

bw .x31 + αe .AS2 .(x1 − d′ )2 + αe .AS1 .(d − x1 )2 3

• Calcul des contraintes K=

Nser .xc Icf

σc = K.x1 σS1 = αe .K.(d − x1 ) σS2 = αe .K.(x1 − d′ )

5.4

Sections enti` erement tendues [5]

• Aire équivalente Atirant = αe .(As1 + As2 ) • Inertie équivalente Itirant = αe .(As1 .d2 + As2 .d′2 ) − Ach .ν ′2 34


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Figure 5.2 – Section entièrement tendue [5]

• Contraintes dans les aciers

5.5

σs1 =

Nser .eA2 (eA1 + eA2 ).AS1

σs2 =

Nser .eA1 (eA1 + eA2 ).AS2

Section non fissur´ ee [5]

Figure 5.3 – Section non fissurée [5] • Aire équivalente Ach = b.h + αe .(As1 + As2 ) Avec : αe =

Es Ecm

• Hauteur comprimée b.h2 + αe .(As1 .d + As2 .d′ ) ′ ν = 2 Ach 35


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• Hauteur tendue ν = h − ν′ • Inertie équivalente b.h3 + αe .(As1 .d2 + As2 .d′2 ) − Ach .ν ′2 3 • Contraintes : Régies par l’équation de Navier-Bernoulli (multipliées par le coefficient d’équivalence αe pour les aciers). Ich =

5.6

Inertie ´ equivalente

L’EC2 prévoit une méthode de vérification des flèches par le calcul (EC2 7.4.3). Pour un élément de béton travaillant principalement en flexion et partiellement fissuré, l’expression suivante donne une approche pour considérer un paramètre de déformation équivalent : α = ζ.αII + (1 − ζ).αI Avec : • α le paramètre de déformation équivalent, qui peut être une déformation unitaire, une courbure ou une rotation... ; • αI et αII les valeurs du paramètre de déformation respectivement dans l’état non fissuré et dans l’état fissuré ; • ζ un coefficient de distribution calculé selon la formule : 2 σsr ζ =1−β σs • ζ = 0 pour les sections non-fissurées ; • β est un coefficient prenant en compte la durée de chargement : 1 pour une courte durée, 0,5 pour une longue durée ; • σs est la contrainte dans les armatures, calculée en négligeant la participation du béton tendu ; • σsr est la contrainte dans les armatures, calculée en supposant la section fissurée sous les conditions de chargement de la première fissure (cf 7.6.2). D’après cette expression, Jean-Marie Paillé [4] donne une expression de l’inertie équivalente : L’EC2 donne pour les courbures M M M 1 = = ζ. + (1 − ζ). re E.Ie E.III E.II On a alors : Ie =

II .III ζ.II + (1 − ζ).III

II et III étant respectivement l’inertie des sections non-fissurée et entièrement fissurée.

36


5.7

Juin 2011

Principe du calcul

Le principe du calcul de l’ouverture de fissure et de l’inertie équivalente est facilement mis en œuvre a` l’aide d’une routine Excel. L’organigramme général de cette routine est présenté en 5.7.1. Les conditions de section entièrement comprimée ou tendue sont définies par Jean Roux [5] par : • Section entièrement comprimée 1 h h .b.d2 .σ¯c Condition[A] : Mser − As2 .σs2 .(d − d ) > 0, 5. . 1 − . d 3 d ′

O` u:

h − d′ h l’indice ”s2” faisant référence a` la nappe d’acier la plus comprimée. σs2 = αe .σ¯c .

• Section entièrement tendue Condition[B] : Le centre de poussée C est à l’intérieur des traces des armatures (pour une traction).

5.7.1

Organigramme de calcul

37

Paramètres déclarées

Flexion composée avec Compression

N>0

N >< 0 N<0

OUI

[A] vrai

Flexion composée avec Traction

Section entièrement comprimée, non fissurée

NON

[B] vrai

NON

OUI Section entièrement tendue, principe du tirant

Section partiellement tendue

Calcul Axe Neutre et Inertie (béton tendu inexistant) Calcul des contraintes Calcul de wk et ısr

wk < wk,max

NON

Changer Ferraillage

OUI Calcul de ȗ NON

ȗ>0 OUI Prendre l’inertie équivalente

Prendre l’inertie de la section non fissurée

Chapitre 6 M´ ethode de la double int´ egration des moments 6.1

Objectifs

Le logiciel de modélisation aux éléments finis Effel ne permet pas de changer l’inertie affectée a` un élément de type coque. L’inertie est automatiquement calculée comme étant fonction de l’épaisseur d’une section homogène de béton : e3 12 Pour intégrer l’inertie équivalente des éléments fissurés dans le modèle, deux possibilités sont alors envisageables : • Modifier l’épaisseur de la dalle localement permet de modifier l’inertie des mailles considérées. Cependant, modifier l’épaisseur de l’élément modifie également l’aire de la section et corrompt les contraintes et déformations résultantes d’un effort normal. • Modifier localement la valeur du module d’Young E pour modifier la raideur EI des mailles considérées permet d’évaluer les déformations mais fausse les contraintes obtenues, et toutes les autres déformations liées a` d’autres sollicitations que la flexion. I=

Les deux méthodes présentées ci-dessus impliquent une corruption du modèle. Elles ne permettent pas de modifier largement le modèle pour prendre en compte le ferraillage de la dalle par exemple. D’après l’EC2, pour un état de fissuration important et varié d’un élément en béton armé, il convient de vérifier les flèches de l’élément par double intégration des courbures en un certain nombre de points sur l’élément (art. 7.4.3(7)). En extrayant les sollicitations internes fournies par Effel, on peut calculer en toute maille du modèle l’état de fissuration, la ”courbure” de l’élément coque et sa flèche. Le chapitre suivant vise à expliciter cette méthode et à valider les résultats obtenus. Le principal défaut de la méthode considérée dans ce chapitre est qu’elle ne considère pas la redistribution des moments qui s’effectue lorsqu’il y a fissuration d’un élément hyperstatique (comme une poutre continue ou une dalle). Une majoration des moments pourrait être prise en compte.

39


6.2 6.2.1

Juin 2011

M´ ethode de la double int´ egration des moments Rappel de th´ eorie des poutres [8]

Dans la théorie des poutres, l’équation différentielle régissant la déformation d’une poutre en flexion s’écrit : Mf d2 y =− 2 dx EI O` u Mf est le moment de flexion dans la poutre. L’équation de l’angle de rotation par flexion est trouvée en intégrant une première fois selon x : Z dy Mf θ= = .dx + c1 dx EI L’équation de la flèche est trouvée en intégrant encore une fois selon x : Z Z Mf dx + c1 dx + c2 y(x) = EI Il suffit d’un système de deux équations découlant des conditions limites pour déterminer les constantes c1 et c2 et donc connaˆıtre la flèche en tout point de la poutre.

6.2.2

Application ` a la th´ eorie des plaques

Dans la théorie des plaques, les moments de flexion sont déterminés par les formules suivantes [8] : 2 ∂ f ∂ 2f + ν. 2 Mx = −D ∂X 2 ∂Y 2 ∂ f ∂ 2f My = −D + ν. ∂Y 2 ∂X 2 Mxy = Myx = −D.(1 − ν)

∂ 2f ∂X∂Y

Avec :

E.e3 12.(1 − ν) En utilisant uniquement les deux premières équations, on obtient l’équation a` dérivées partielles : D=

ν.My − Mx ∂ 2f = 2 ∂X D.(1 − ν 2 ) ⇒

∂ 2f ν.My − Mx 12.(1 − ν) = . 2 ∂X (1 + ν)(1 − ν) E.e3 ⇒

ν.My − Mx ∂ 2f = 2 ∂X E.I.(1 + ν)

Avec : I=

e3 12

En intégrant deux fois selon x, on obtient : Z Z ν.My − Mx dx + C1 (y) dx + C2 (y) f (x, y) = E.I.(1 + ν) 40


Juin 2011

O` u Mx et My sont des fonctions de x et de y, et o` u C1 et C2 sont des fonctions de y. Les expressions littérales des moments ne sont pas connues mais on peut calculer et extraire la valeur de ces moments au centre de gravité de chaque maille de la coque (dalle supérieure), et appliquer une méthode d’analyse numérique comme la méthode des rectangles pour approximer les deux intégrations. Pour une bande de mailles d’axe y0 , l’expression de la flèche au centre de gravité Gk d’une maille mk0 de coordonnées (xk , y0 ) peut être approximée par l’expression :

f (xk , y0 ) =

i k X X ν(xj ; y0 ).My (xj ; y0 ) − Mx (xj ; y0 ) i=1

j=1

E.I(xj ; y0 ).(1 + ν(xj ; y0 ))

!

.(xj − xj−1 ) + C1 (y0 ) .(xi −xi−1 )+C2 (y0 )

Remarques : • Les moments Mx (xj ; y0 ) et My (xj ; y0 ) sont directement extraits du logiciel Effel. • I(xj ; y0 ) et ν(xj ; y0 ) sont des données de la maille mj0 , selon la quantité d’armature et l’état de fissuration local. D’après l’EC2, le coefficient de Poisson d’une section de béton fissurée doit être pris égal a` zéro. • C1 (y0 ) et C2 (y0 ) correspondent aux constantes a` déterminer grâce aux conditions limites, la flèche au niveau de deux appuis par exemple.

6.3

Application ` a une dalle continue

Soit une dalle en béton d’épaisseur 40cm chargée uniformément et reposant sur un quadrillage d’appuis élastiques (Figure 6.1). Dans un premier temps, la méthode de calcul des flèches est comparée aux résultats donnés par le logiciel. La flèche donnée par Effel et celle obtenue en intégrant deux fois les moments de flexion sont très proches (Figure 6.2). Les différences obtenues aux extremums proviennent de l’approximation faite par la méthode des rectangles. L’utilisation de la méthode des trapèzes ou l’affinement du maillage permettraient de réduire cette erreur. Remarque : La somme des tassements sur appuis est une constante qui dépend uniquement du chargement et de la rigidité cumulée des appuis Σui ≈ 420µm = C te . Dans un deuxième temps, l’inertie de la troisième travée est augmentée (simulation de la prise en compte du ferraillage), et la flèche calculée par intégration des moments est à nouveau comparée aux résultats donnés par le premier modèle (Figure 6.3). La troisième travée devient plus rigide et se déforme moins. Cependant, la somme des tassements sur appuis est surévaluée : cette erreur provient de la non-prise en compte de la redistribution des moments. En augmentant l’inertie de la dalle dans un second modèle, l’erreur de calcul de la flèche peut être comparée à la flèche que l’on devrait obtenir (Figure 6.4).

41


Juin 2011

Figure 6.1 – Dalle continue sur appuis linéaires élastiques

Figure 6.2 – Comparaison des flèches, 1er modèle

42


Juin 2011

Figure 6.3 – Inertie modifiée dans le calcul par intégration, 1er modèle

Figure 6.4 – Représentation de l’erreur sur le calcul des flèches

43


6.4

Juin 2011

Conclusion

La méthode développée dans ce chapitre est difficilement applicable a` une structure fortement hyperstatique. La redistribution des efforts due a` une altération locale de la rigidité est en effet non négligeable. La modification de la rigidité d’une section, qu’elle soit due au ferraillage ou a` la fissuration du béton, doit être intégrée d’une fa¸con ou d’une autre au modèle de calcul pour approcher au mieux la déformée réelle de la structure.

44

Chapitre 7 Etude aux Etats Limites de Service caract´ eristique 7.1

Principe

La fissuration d’une structure fortement hyperstatique entraˆıne une grande redistribution de ses efforts internes. Les déformations réelles peuvent être calculées comme étant une moyenne pondérée entre les déformations de la structure dans un état totalement fissuré et dans un état non-fissuré. La méthode proposée consiste donc à réaliser deux modèles de la dalle d’essai et à les combiner afin d’obtenir les déformations réelles de la dalle.

7.2

Fl` eche sous cas de charges unitaires

Les flèches sous cas de charge unitaires sont présentés en Annexe (p. 31). Ces résultats forment la base pour le calcul de l’enveloppe des flèches dans l’état non fissuré : le principe de superposition est appliqué afin de calculer les résultats sous combinaisons ELS.

7.3 7.3.1

Ferraillage minimal Calcul de l’enrobage minimum

L’Eurocode 2 pose : cnom = cmin + ∆cdev Avec cmin = max(cmin,b ; cmin,dur + ∆cdur,γ − ∆cdur,st − ∆cdur,add ; 10mm L’annexe nationale fran¸caise donne ∆cdev = 10mm. En considérant un paquet de barres de 2HA25 et les conditions environnementales définies dans le cahier des charges on obtient : cmin = 35mm D’o` u cnom = 45mm

45


Juin 2011

Dans un premier temps, la distance entre le centre de gravité des armatures et la peau de coffrage peut donc être prise égale a` 100mm (h − d = d′ = 100mm).

7.3.2

D´ etermination du ferraillage minimal par la m´ ethode des tableaux 7.2N et 7.3N

L’Eurocode 2 pose : kc .k.fct,ef f .Act σs La maˆıtrise de l’ouverture de fissure à 0, 2mm correspond ici à une limitation de contrainte dans l’acier. Pour un espacement maximal des barres de 100mm (10barres/m), le tableau 7.3N limite la contrainte admissible de l’acier a` 240M P a. Le tableau 7.2N limite la contrainte en fonction d’un diamètre de barre équivalent dépendant des paramètres du béton, des sollicitations et de la géométrie de la section considérée. La valeur a` prendre en compte est la plus petite des deux valeurs extraites des tableaux. As,min =

Comparatif BAEL : • La fissuration préjudiciable donne une limitation de contrainte dans l’acier a` 250M P a ; • La fissuration très préjudiciable donne une limitation de contrainte dans l’acier a` 200M P a. Comparatif DTU 14.1 Travaux de cuvelage : • La contrainte dans l’acier tendu ne doit pas excéder 190M P a. Cette méthode permet donc de définir une quantité minimum d’acier pour chacune des sections (/maille) de la dalle (/modèle) comme représenté Figure 7.1.

Figure 7.1 – Ferraillage minimal As,mini suivant X

46


7.3.3

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Conclusion

Le ferraillage pris en compte pour le calcul des flèches et de la fissuration est : • Dalle d’épaisseur 90cm : – Selon x : 10HA32 / m (en haut et en bas) – Selon y : 10HA25 / m (en haut et en bas) • Dalle d’épaisseur 125cm : – Selon x : 2x10HA25 / m (en haut et en bas) – Selon y : 10HA25 / m (en haut et en bas)

7.4

Etat de fissuration de la dalle sup´ erieure

Seule la fissuration de la dalle supérieure est prise en compte : les raidisseurs et le radier ne font pas l’objet ici d’une étude de la participation du béton tendu. L’état de fissuration de la dalle est basé sur l’enveloppe des efforts ELS caractéristiques obtenus sur le modèle Effel. Les contraintes résiduelles dues au retrait gêné ont été prises en compte.

7.4.1

Enveloppe des contraintes ELS caract´ eristique

Contrainte dans la fibre la plus tendue orient´ ee selon x : σx,t =

Nx,max max(|My,min |; |My,max |) + .ν Ach Ich

Contrainte dans la fibre la plus comprim´ ee orient´ ee selon x : σx,c =

Nx,min max(|My,min |; |My,max |) ′ − .ν Ach Ich

Remarque : • L’effort normal N et le moment de flexion M pris en compte ne proviennent pas forcément du même cas de charge, la contrainte de traction est surévaluée pour tenir compte de la grande multiplicité des montages sur la dalle d’essai. • Les efforts sont extraits aux centres de gravité des éléments surfaciques et non aux nœuds. D’o` u une légère diminution des valeurs obtenues : la valeur au centre de gravité d’un élément est la moyenne des valeurs calculées aux quatre nœuds, les extremums sont toujours aux nœuds (points de calcul du logiciel). • Il s’agit de contraintes calculées en sections homogènes, tenant compte du ferraillage mais pas de la fissuration.

TABLEAU 7.1 – Enveloppe des contraintes ELS caractéristique

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Figure 7.2 – Enveloppe de l’effort normal Nx maximum

Figure 7.3 – Enveloppe de l’effort normal Nx minimum

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Figure 7.4 – Enveloppe de l’effort normal Ny maximum

Figure 7.5 – Enveloppe de l’effort normal Ny minimum

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Figure 7.6 – Enveloppe du moment Mx maximum

Figure 7.7 – Enveloppe du moment Mx minimum

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Figure 7.8 – Enveloppe du moment My maximum

Figure 7.9 – Enveloppe du moment My minimum

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7.4.2

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Fissuration sous effort tranchant

La dalle peut être considérée non fissurée sous effort tranchant si la résistance a` l’effort tranchant de calcul du béton seul VRd,c suffit à reprendre l’effort tranchant à l’intérieur de la dalle. L’équation (6.2b) de l’EC2 donne la valeur minimale de l’effort tranchant résistant de calcul, dans le cas o` u aucune armature d’effort tranchant n’est nécessaire : VRd,c = (vmin + k1 .σcp ).bw .d L’enveloppe des efforts tranchants aux ELS caractéristique est donnée Figure 7.10 et Figure 7.11.

Figure 7.10 – Effort tranchant Fxz (repère local)

52


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Figure 7.11 – Effort tranchant Fyz (repère local)

Figure 7.12 – Vérification de résistance à l’effort tranchant

7.4.3

Etat de fissuration de la dalle sup´ erieure

En déterminant la contrainte de traction maximale pour chaque maille de la dalle supérieure et en la comparant à la résistance en traction locale du béton fctb (cf 5.2), on détermine l’état de fissuration de la dalle à la première itération, c’est-à-dire avant la première redistribution des efforts. Remarque : • Aucun élément ne fissure en flexion composée selon y (pas de fissures orientées x) ; • Les éléments fissurés sont soumis a` une forte traction axiale (due aux effets du retrait gêné). Afin de rester dans le cas le plus défavorable, on peut considérer que les éléments fissurés se comportent comme des sections de tirant : seules les armatures participent a` la résistance de la section. Les éléments fissurés sont introduits dans le modèle en altérant le module d’Young de la maille considérée :

53


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Figure 7.13 – Etat de fissuration de la dalle a` la 1ère itération : 429 éléments sur 1980

• Raideur à la flexion : Eeq .IEf f el = Ecm .Itirant ⇒ Eeq =

Ecm .Itirant IEf f el

O` u IEf f el est calculé par le logiciel et égal a` : e3 b.h3 = 12 12 IEf f el peut être remplacé par Ich pour tenir compte du ferraillage. • Raideur à la traction/compression : IEf f el =

Eeq .AEf f el = Ecm .Atirant ⇒ Eeq =

Ecm .Atirant AEf f el

O` u AEf f el est calculé par le logiciel et égal a` : AEf f el = b.h = e.1 AEf f el peut être remplacé par Ach pour tenir compte du ferraillage. Le module d’Young équivalent pris en compte pour modéliser la fissuration est donc égal a` : Ecm .Itirant Ecm .Atirant ; Eeq = min Ich Ach De plus, le coefficient de Poisson d’un élément fissuré est nul : ν = 0. 54


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Figure 7.14 – Récapitulatif des modules d’Young équivalents

It´ erations suivantes : Une fois les éléments fissurés déclarés, les calculs sont relancés. La redistribution des moments entraˆıne la fissuration de nouveaux éléments (Figure 7.15 et Figure 7.16). Le modèle converge rapidement vers un état de fissuration stabilisé : a` la 4ème itération, il n’y a plus de nouvel élément fissuré. La migration des efforts en travée vers les appuis est flagrante : la fissuration se produit dans un premier temps en travée (itération 1), puis dans un deuxième temps sur appuis (les raidisseurs, itérations 2 et 3).

Figure 7.15 – Nouveaux éléments fissurés à l’itération 2 (+53)

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Figure 7.16 – Nouveaux éléments fissurés à l’itération 3 (+4)

7.5

V´ erification de l’ouverture de fissure

En utilisant la routine Excel dont le principe est décrit dans la partie 5.7, on vérifie l’ouverture de fissure dans les sections les plus sollicitées en traction (Figure 7.17)

Figure 7.17 – Sections les plus sollicitées en traction (ELS caractéristique)

7.5.1

V´ erification de l’ouverture de fissure dans la dalle d’´ epaisseur 90cm

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Figure 7.18 – Matériaux

Figure 7.19 – Géométrie

Figure 7.20 – Sollicitations Le centre de poussée est a` l’intérieur de la trace des armatures, la section est entièrement tendue. Le béton tendu est considéré inexistant.

Figure 7.21 – Contraintes (section tirant)

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Figure 7.22 – Ouverture de fissure L’ouverture de fissure est vérifiée : wk = 0, 178 < 0, 2mm

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7.5.2

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V´ erification de l’ouverture de fissure dans la dalle d’´ epaisseur 125cm

Figure 7.23 – Matériaux

Figure 7.24 – Géométrie

Figure 7.25 – Sollicitation Le centre de poussée est a` l’intérieur de la trace des armatures, la section est entièrement tendue. Le béton tendu est considéré inexistant.

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Figure 7.26 – Contraintes (section tirant)

Figure 7.27 – Ouverture de fissure L’ouverture de fissure est vérifiée : wk = 0, 182 < 0, 2mm

60


7.6 7.6.1

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Fl` eche de la dalle sup´ erieure Bornes

Le modèle élastique homogène et le modèle totalement fissuré forment les deux bornes de l’enveloppe des flèches ELS caractéristique dans la dalle supérieure (Figure 7.28 et Figure 7.29). N.B. : Seules les déformations dues au chargement et au gradient thermique sont prises en compte. Les déformations dues au poids propre et au retrait ne sont pas étudiées ici.

Figure 7.28 – Enveloppe des flèches du modèle homogène [µm] fmin = −890µm; fmax = 722µm

61


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Figure 7.29 – Enveloppe des flèches du modèle totalement fissuré [µm] fmin = −947µm; fmax = 788µm

7.6.2

Participation du b´ eton tendu et fl` eche r´ eelle

La participation du béton tendu dans une section peut être évaluée pour le calcul des flèches a` l’aide d’un coefficient de pondération entre l’état totalement fissuré et l’état non fissuré de la section conformément aux équations (7.18) et (7.19) de l’Eurocode 2 : α = ζ.αII + (1 − ζ).αI O` u αI et αII sont les flèches respectivement dans l’état non fissuré et dans l’état fissuré avec : 2 σsr ζ = 1 − β. σs

O` u σsr est la contrainte dans la nappe d’acier la plus tendue sous le chargement correspondant a` l’ouverture de la première fissure. A l’ouverture de la première fissure, la section d’acier reprend seule le même effort que l’aire de béton tendu et la section d’acier en section homogène : σsr .As = fct,ef f .Ac,ef f + αe .fct,ef f .As σsr =

fct,ef f .Ac,ef f + αe .fct,ef f .As As 62


σsr =

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fct,ef f .(1 + αe .ρp,ef f ) ρp,ef f

Avec : ρp,ef f =

As Ac,ef f

Le coefficient de pondération ζ est calculé pour chacune des mailles o` u il peut y avoir fissuration (Itération 1, 2 ou 3 ; cf Figure 7.30). La flèche réelle peut alors être calculée en chaque maille comme étant la somme pondérée de la flèche dans un état élastique linéaire homogène et dans un état totalement fissuré (Figure 7.31)

Figure 7.30 – Etat de fissuration total : somme des trois itérations

63


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Figure 7.31 – Enveloppe des flèches réelles [µm] fmin = −928µm; fmax = 761µm

7.7

Conclusion et commentaires

La flèche de la dalle supérieure a été encadrée et le cahier des charges est vérifié : la flèche maximale reste inférieure au millimètre. On remarque trois composantes distinctes dans la déformée de la dalle supérieure : un tassement g´ en´ eral de la structure sur les barrettes, une d´ eformation globale de la structure poutre a` caissons et une d´ eformation locale moins importante sur chaque alvéole de la dalle. Pour la combinaison la plus défavorable (Chargement surfacique + 0,6*Gradient froid), le tassement général est de l’ordre de 200µm, la déformation globale de l’ordre de 400µm, et la déformation locale alvéolaire (vaguelettes Figure 7.31) de l’ordre de 100µm. Etudier la fissuration de la dalle supérieure n’intervient quasiment que sur les flèches locales. Une étude de la structure fonctionnant comme un bloc monolithique doit être approfondie. La fissuration des raidisseurs et du radier reste cependant plus compliquée a` étudier du fait des pics de contraintes intempestifs dus aux problèmes de modélisation des liaisons entre les éléments avec un modèle coque (exemple : Figure 7.32).

64


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Figure 7.32 – Pics de contraintes à la liaison dalle supérieure/raidisseur

65

Chapitre 8 Mod´ elisation aux ´ el´ ements finis volumiques 8.1

Objectifs

La théorie des coques est connue pour donner des résultats acceptables pour les éléments qui vérifient les hypothèses suivantes [8] : • L’épaisseur e est faible par rapport aux autres dimensions ; • Le vecteur normal de la surface moyenne de la coque reste vertical à la surface moyenne et garde la même longueur après la déformation ; • Les contraintes parallèles a` la surface moyenne de la coque sont négligeables ; • La flexion de la surface moyenne est faible, supposée linéaire. La dalle d’essai est une structure massive dont les dimensions particulières ne permettent pas de vérifier en tout point les hypothèses de théorie des plaques et coques qu’utilise le logiciel dans le modèle 2D. Une approche aux éléments finis volumiques pourrait a` certains endroits donner des valeurs plus favorables en termes de déformations et également permettre de lisser les pics de contraintes au niveau des liaisons entre les différents éléments de la dalle. Dans un premier temps, il convient de comparer sur une structure simple les résultats donnés par un modèle volumique a` ceux donnés par un modèle coque, pour finalement être capable d’analyser les différences entre le modèle coque et la modélisation volumique de la dalle d’essai.

8.2

Essais sur une poutre

Soit une poutre isostatique (Figure 8.1)de 10m de portée et de section b x h = 2,00 x 0,90m (E = 32000M P a) modélisée par un élément filaire (Théorie des poutres), un élément de type coque (Théorie des plaques et coques) et par un solide (Eléments finis volumiques). La poutre est chargée uniformément(200kN/m2 ou 400kN/m). Les résultats donnés en termes de flèche sont très proches : • Flèche poutre : fp = 13, 4mm (Vérifié par le calcul) • Flèche coque : fc = 13, 6mm • Flèche solide : fs = 13, 1mm Cependant la contrainte de traction maximale sur la fibre inférieure est nettement plus faible dans le cas du solide que dans les deux autres modèles :

66


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Figure 8.1 – Présentation des trois modèles

• Poutre : σmax = 18, 52M P a • Coque : σmax = 18, 51M P a • Solide : σmax = 14, 18M P a On se propose de faire varier le maillage du solide afin d’observer les conséquences sur les résultats. Les quatre maillages étudiés sont représentés sur la Figure 8.2 : • Maillage 1 : 3 lits de 4x20 mailles • Maillage 2 : 3 lits de 10x50 mailles • Maillage 3 : 11 lits de 4x20 mailles • Maillage 4 : 21 lits de 10x50 mailles TABLEAU 8.1 – Résultats des différents maillages du solide Maillage 1 2 3 4

Flèche [mm] 13,1 14,6 12,1 13,4

σmax [MPa] 14,18 15,91 15,78 17,84

Conclusion : Les résultats du modèle volumique dépendent fortement de la finesse du maillage (Tableau 8.1). Le maillage 4 n’est cependant pas applicable à une structure de grande dimension comme la dalle d’essai (un maillage type de 4 comporte 43 fois plus de nœuds qu’un maillage type de 1). La forte diminution des contraintes données par un modèle volumique est donc discutable. Le maillage d’un solide doit être en adéquation avec les sollicitations de ce solide.

67


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Figure 8.2 – Maillages 1 à 4

8.3

Mod` ele volumique de la dalle d’essai

Le modèle volumique de la dalle d’essai prend en compte les mêmes hypothèses géométriques, les mêmes conditions limites, les mêmes paramètres de matériaux et les mêmes cas de charges que le modèle coque. Il convient dans un premier temps de vérifier les résultats obtenus sur les flèches des cas unitaires afin de les comparer a` ceux du modèle coque (cf 7.2).

8.3.1

Pr´ esentation du mod` ele

Le maillage de la dalle, des raidisseurs et du radier est principalement constitué de mailles quadrangulaires d’environ 60 × 60cm. Pour des raisons de complexité du maillage et de taille du modèle, les éléments sont maillés avec deux lits : un sur l’extrados et un sur l’intrados. Les têtes de barrettes sont modélisées par des éléments infiniment rigides reposant sur un appui ponctuel situé au centre de gravité de la section. De cette fa¸con, la rotation de la dalle sur les barrettes est libérée. Les flèches de la dalle supérieure sous cas de charge unitaires sont données en Annexe (p. 40).

68


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Figure 8.3 – Vue des raidisseurs

Figure 8.4 – Vue de la dalle supérieure

8.3.2

Comparatif

La comparaison des deux modèles sur la base des flèches sous cas de charge unitaires est présenté en Tableau 8.2. Remarques : 69


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TABLEAU 8.2 – Comparatif modèles coques-modèle E.F. volumiques

• La redondance du poids propre des intersections (poids propre multiplié par 2 dans le modèle coques) n’est plus prise en compte dans le modèle volumique : une diminution sensible des flèches en résulte ; • Les flèches sous les différents montages sont comparables (moins de 15% de différence) ; • Les flèches calculées sous gradients thermiques sont assez différentes : ceci peut provenir du fait de la prise en compte d’une dilatation/rétrécissement dans la direction de l’épaisseur des éléments, dans le cas du modèle volumique. • L’enveloppe des contraintes du modèle volumique montre une forte diminution des contraintes de traction dans la dalle supérieure (Tableau 8.3. Ceci provient en partie d’un probable manque de finesse du maillage (c.f. 8.2), mais également du lissage des pics de contraintes non réalistes du modèle coque. TABLEAU 8.3 – Comparaison de l’enveloppe des contraintes : Modèle E.F. volumique et modèle coques

8.4

Conclusion

Le modèle aux éléments finis volumiques donne une nouvelle approche de la dalle d’essai. Il vient confirmer les flèches et déplacements obtenus avec le modèle coques 2D, tout en laissant penser que les contraintes données par le modèle 2D sont surévaluées. Le modèle E.F. volumique forme donc la borne inférieure a` l’encadrement de l’état de contrainte réel de la dalle. 70

Chapitre 9 R´ esistance aux Etats Limites Ultimes et dispositions constructives 9.1

Objectifs

Ce chapitre a pour but de présenter les méthodes de calcul utilisées pour le dimensionnement du ferraillage des différents éléments de la dalle ainsi que les dispositions constructives particulières préconisées dans l’Eurocode 2. Il s’agit ici de faire la synthèse des principes de ferraillage qui seront mis en œuvre lors du ferraillage complet de la dalle.

9.2

R´ esistance ` a l’effort tranchant

Afin de vérifier la non fissuration sous effort tranchant de la dalle supérieure, on a montré dans la partie 7.4.2 que la résistance a` l’effort tranchant de calcul du béton VRd,c était suffisante sous les combinaisons de charge ELS caractéristique. Cependant, une vérification classique de résistance à l’effort tranchant de la dalle supérieure et du radier doit être mise en œuvre sous combinaisons ELU.

9.3

R´ esistance au poin¸ connement

Dans certains cas, l’application d’une charge concentrée sur une dalle peut entraˆıner une rupture locale du béton par poin¸connement. Il convient de vérifier la résistance de la dalle au poin¸connement pour un puits d’ancrage, et si nécessaire, de disposer des armatures complémentaires au droit des puits. L’Eurocode 2 prévoit la définition d’un contour de contrôle ou la contrainte maximale de cisaillement doit être vérifiée (Figure 9.1). L’état de contrainte dans la dalle est pris en compte dans le calcul de la résistance au poin¸connement. n.b. : Dans le cas d’une section tendu (effort normal de traction, selon x et/ou y), le calcul de résistance au poin¸connement et à l’effort tranchant est plus défavorable. Il est facilement vérifiable que la dalle ne poin¸conne pas sous l’effet d’une charge caractéristique de 1, 5 × 500kN appliquée a` un puits de la dalle supérieure, étant donnée son épaisseur.

71


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Figure 9.1 – Contour de contrôle à la résistance au poin¸connement [6]

9.4

Armatures de peau

La disposition d’un ferraillage de peau supplémentaire sur la dalle supérieure peut être justifié pour limiter la fissuration due au retrait thermique, qui n’a pas été quantifiée dans l’étude sur le retrait. La section a` mettre en œuvre devra représenter au minimum 1% de la surface de béton tendu extérieure aux cadres (Figure 9.2).

Figure 9.2 – Ferraillage de peau [9]

72


9.5

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Armatures de coutures

La liaison des raidisseurs, âmes de la poutre a` caisson, avec le radier et la dalle supérieure fait l’objet d’un effort de cisaillement dont l’Eurocode (et le BAEL avant lui), impose de tenir compte. Des armatures dites de couture sont ainsi disposées perpendiculairement aux raidisseurs (cf Figure 9.3) pour reprendre l’effort de glissement vEd , calculé à partir de la variation de l’effort de compression/traction dans la table.

Figure 9.3 – Couture des membrures [9] L’effort de glissement est donné par la formule : vEd =

∆Fd hf .∆x

Dans le cas de l’application de charges ponctuelles, ∆x est réduit au plus petit espacement de ces charges. Dans le cas de la dalle supérieure, 50cm et 100cm dans les zones d’épaisseur respectives e = 125cm et e = 90cm. La section d’armature de couture à mettre en œuvre est donnée par : As vEd .hf .fyd > s cotθ Le non-écrasement des bielles de compression doit également être vérifié, même si dans le cas de la dalle d’essai les contraintes de compression restent toujours assez faibles.

9.6 9.6.1

Ferraillage des ˆ ames M´ ethode

Les raidisseurs fonctionnent comme les âmes d’une poutre à caissons : ils reprennent principalement un effort tranchant longitudinal, un effort normal ainsi qu’une flexion transversale (Figure 9.4). La partie Ponts en béton de l’Eurocode 2 propose une méthode de détermination des contraintes a` l’intérieur de ce type d’éléments. Le calcul à l’aide d’un modèle de type sandwich modifié tel que défini dans l’annexe MM de l’EC2-2 (Figure 9.5) permettra par la suite la 73


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Figure 9.4 – Sollicitations dans une âme

détermination du ferraillage minimal à l’intérieur des raidisseurs. Une méthode de calcul des armatures tendues dans les situations de contraintes planes est décrite dans l’annexe F de l’EC2-1. Afin de tenir compte de l’inclinaison du ferraillage par rapport au repère des contraintes principales, la résistance à la traction maximale apportée par les armatures peut être définie de cette fa¸con : • Pour σEdx ≤ |τEdxy | ′ ftdx = |τEdxy | − σEdx ′ ftdy = |τEdxy | − σEdy

σcd = 2|τEdxy | • Pour σEdx > |τEdxy | ′ ftdx =0 2 τEdxy = − σEdy σEdx 2 ! τEdxy σcd = σEdx . 1 + σEdx ′ ftdy

Avec : ftdx = ρx .fyd ftdy = ρy .fyd O` u l’indice ’ signifie qu’il s’agit des armatures ”optimales”, et o` u ρx et ρy sont les ratios d’armatures géométriques le long des axes x et y respectivement. En rempla¸cant fyd par une valeur de contrainte limitée, comme 200 ou 240 MPa (cf 7.3.2), on peut alors ce ramener à une limitation de l’ouverture de fissure, comparable aux ELS 74


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Figure 9.5 – Modèle de type sandwich modifié

préjudiciables ou très préjudiciable du BAEL. On peut alors faire l’hypothèse que c’est les ELS qui dimensionnent la section d’armature a` mettre en œuvre. Pour finir, et afin de tenir compte de la perte de résistance du béton fissuré à l’effort tranchant, la contrainte dans le béton σcd ne doit pas excéder ν.fcd , avec : fck ν = 0, 6 1 − 250 Ce qui donne une résistance a` la compression de 18M P a dans le cas d’un béton C60/75. Cette contrainte est facilement vérifiée étant donnée la massivité de l’ouvrage.

9.6.2

Ferraillage d’un raidisseur transversal

Par post-exploitation des efforts donnés par le logiciel Effel et en appliquant la méthode décrite dans le paragraphe précédent, on détermine la section d’aciers longitudinaux nécessaire sur chaque face d’un des raidisseurs transversal. La section maximale est trouvée en pied de voile et avoisine les 40cm2 (Figure 9.6). Le module Expertise Béton BAEL est un logiciel permettant de déterminer le ferraillage minimal des éléments surfaciques d’un modèle Effel. Ce logiciel base ses calculs sur des méthodes de ferraillage de plaques et coques comme celle de Wood & Armer ou celle de Capra. Les résultats donnés par le logiciel pour le même raidisseur sont présentés sur la figure Figure 9.7. Les sections d’acier données par le logiciel sont plus importantes que celles calculées précédemment (environ +20%). Ceci peut être dˆ u a` la perte d’intensité lors de l’extraction des efforts au centre de gravité des éléments surfaciques et non aux nœuds.

75


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Figure 9.6 – Section d’aciers longitudinaux minimale par face

Figure 9.7 – Section d’aciers longitudinaux minimale par face calculé par Expertise Béton BAEL

76


9.7

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Conclusion

Ce chapitre a permis de faire un tour d’horizon de tous les types de ferraillage qui devront être mis en œuvre dans les différents éléments de la dalle d’essai. Une approche de la section minimal d’armature dans les raidisseurs à l’aide de la méthode décrite dans l’annexe MM de l’EC2 et du logiciel Expertise Béton BAEL a permis de donner un ordre de grandeur des quantités d’acier, comme cela avait été fait dans la partie 7.3.2 pour la dalle supérieure.

77

Conclusion Les études qui ont été menées durant la période de stage ont permis d’appréhender les méthodes les plus adaptées a` l’étude de la nouvelle dalle d’essai du LCPC. En effet, ce rapport montre qu’une utilisation poussée des logiciels courants en bureau d’études (Effel, Robot, Excel...) permet d’apporter des solutions a` des problèmes plus complexes et moins ordinaires que ceux traités quotidiennement dans les BETs. Les effets du retrait, habituellement minimisés par la présence de joints de dilatation et de l’éventuelle mise en œuvre de bandes de clavetage, ont pu être quantifiés a` l’aide de la modélisation par phases sur Effel. L’intégration des courbures préconisée dans l’Eurocode pour un calcul précis des flèches peut être entreprise à l’aide de méthodes d’analyse numérique (méthode des rectangles, trapèzes...), par post-exploitation des résultats des modèles éléments finis. La représentation graphique de surfaces et la manipulation de matrices de taille importante sont facilement mises en œuvre avec le logiciel gratuit (Open Source) Scilab. La géométrie de la dalle et sa massivité ne permettent pas en tout point de vérifier les hypothèses de base de la théorie des coques sur lesquelles s’appuient la plupart des logiciels de modélisation aux éléments finis utilisés en bureau d’études. L’étude aux éléments finis volumiques qui a été menée a apporté un contre-calcul satisfaisant et a permis de valider les résultats obtenus à l’aide du modèle coques 2D. Toutefois, l’importance de la finesse du maillage dans les modèles aux éléments finis volumiques fait de ce genre de modélisation un travail long et peu adapté aux structures plus classiques. En attendant que les programmes de maillage des logiciels soit plus performants, on peut être certain que la résistance des matériaux classiques (théorie des poutres, plaques, coques...) a encore de beaux jours devant elle. Pour finir, la détermination des sections d’acier minimales et des dispositions constructives synthétisées dans le dernier chapitre ont permis de donner une première idée du ferraillage a` mettre en œuvre. Toutefois, il conviendra d’organiser plusieurs rencontres avec l’entreprise de réalisation afin de fixer des principes de ferraillage réalistes, c’est-à-dire exécutables par l’entreprise : c’est a` ce moment que la mission d’exécution (EXE) aura été remplie.

78

Bibliographie [1] Site internet CTE : http://www.cte-sa.com/ [2] Site internet du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées : http://www.media.lcpc.fr/ [3] P. Acker, J.-M. Torrenti, M. Guérinet La durabilité des bétons, chapitre 6 : La maˆıtrise de la fissuration au jeune âge Presses de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées [4] Jean-Marie Paillé Calcul des structures en béton Eyrolles, afnor éditions [5] Jean Roux Pratique de l’Eurocode 2 Eyrolles, afnor éditions [6] Jean Roux Maˆıtrise de l’Eurocode 2 Eyrolles, afnor éditions [7] Jean-Armand Calgaro et Jacques Cortade Applications de l’Eurocode 2, Calcul des bâtiments en béton Presse ENPC [8] Youde Xiong Toute la résistance des matériaux Editions Eyrolles et Dunod [9] Eurocode 2 Norme

79

Table des figures 1.1

Pôle Scientifique et Technique de Marne-la-Vallée (PST) . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 2.2

Dalle d’essai actuelle du LCPC située a` Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Modèle 3D de la dalle d’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 3.2 3.3 3.4

Maillage de la dalle supérieure et des murs d’essai, Maillage des Raidisseurs, repère global . . . . . . Maillage du radier et des appuis, repère global . . Disposition des barrettes sous la dalle . . . . . . .

repère . . . . . . . . . . . .

local . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

18 19 19 21

Evolution du retrait et phasage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Déplacements du radier sous retrait et poids propre, Phase 1 . . . . . . . . . . . Déplacements du radier et des raidisseurs sous retrait et poids propre, Phase 2 . Déplacements de toute la structure sous retrait et poids propre, Phase 3 . . . . . Contraintes résiduelles de traction maximales sur extrados . . . . . . . . . . . . Glissement du radier (barrettes colorées), phase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Glissement du radier (barrettes colorées), phase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Glissement du radier (barrettes colorées) et soulèvements (barrettes entourées), phase 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Déplacements du radier sous retrait et poids propre, Phase 1 . . . . . . . . . . . 4.10 Déplacements du radier et des raidisseurs sous retrait et poids propre, Phase 2 . 4.11 Déplacements de toute la structure sous retrait et poids propre, Phase 3 . . . . . 4.12 Contraintes résiduelles de traction maximales sur extrados . . . . . . . . . . . .

24 25 26 27 28 28 29

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

29 30 30 31 32

5.1 5.2 5.3

Section partiellement tendue [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Section entièrement tendue [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Section non fissurée [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1 6.2 6.3 6.4

Dalle continue sur appuis linéaires élastiques . . . . . . . Comparaison des flèches, 1er modèle . . . . . . . . . . . . Inertie modifiée dans le calcul par intégration, 1er modèle Représentation de l’erreur sur le calcul des flèches . . . .

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42 42 43 43

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

Ferraillage minimal As,mini suivant X . . . Enveloppe de l’effort normal Nx maximum Enveloppe de l’effort normal Nx minimum Enveloppe de l’effort normal Ny maximum Enveloppe de l’effort normal Ny minimum Enveloppe du moment Mx maximum . . . Enveloppe du moment Mx minimum . . . Enveloppe du moment My maximum . . .

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46 48 48 49 49 50 50 51

80

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Juin 2011

7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30 7.31 7.32

Enveloppe du moment My minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effort tranchant Fxz (repère local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effort tranchant Fyz (repère local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vérification de résistance a` l’effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . Etat de fissuration de la dalle à la 1ère itération : 429 éléments sur 1980 Récapitulatif des modules d’Young équivalents . . . . . . . . . . . . . Nouveaux éléments fissurés a` l’itération 2 (+53) . . . . . . . . . . . . . Nouveaux éléments fissurés a` l’itération 3 (+4) . . . . . . . . . . . . . . Sections les plus sollicitées en traction (ELS caractéristique) . . . . . . Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contraintes (section tirant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ouverture de fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contraintes (section tirant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ouverture de fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enveloppe des flèches du modèle homogène [µm] . . . . . . . . . . . . . Enveloppe des flèches du modèle totalement fissuré [µm] . . . . . . . . Etat de fissuration total : somme des trois itérations . . . . . . . . . . . Enveloppe des flèches réelles [µm] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pics de contraintes a` la liaison dalle supérieure/raidisseur . . . . . . . .

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51 52 53 53 54 55 55 56 56 57 57 57 57 58 59 59 59 60 60 61 62 63 64 65

8.1 8.2 8.3 8.4

Présentation des trois modèles Maillages 1 a` 4 . . . . . . . . Vue des raidisseurs . . . . . . Vue de la dalle supérieure . .

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67 68 69 69

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Contour de contrôle a` la résistance au poin¸connement [6] Ferraillage de peau [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Couture des membrures [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . Sollicitations dans une aˆme . . . . . . . . . . . . . . . . . Modèle de type sandwich modifié . . . . . . . . . . . . . Section d’aciers longitudinaux minimale par face . . . . . Section d’aciers longitudinaux minimale par face calculé BAEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . par Expertise Béton . . . . . . . . . . . . .

72 72 73 74 75 76

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76

C.1 Glissement du radier sur les barrettes, phase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 C.2 Glissement du radier sur les barrettes, phase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 C.3 Glissement du radier sur les barrettes, phase 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 D.1 D.2 D.3 D.4 D.5 D.6 D.7

Flèche Flèche Flèche Flèche Flèche Flèche Flèche

sous sous sous sous sous sous sous

poids propre . . . . . chargement surfacique Montage A . . . . . . Montage B . . . . . . Montage C . . . . . . Montage D . . . . . . Montage E . . . . . .

. . . . . 10T /m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

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31 32 33 34 35 36 37


Juin 2011

D.8 Flèche sous gradient chaud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 D.9 Flèche sous gradient froid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 E.1 E.2 E.3 E.4 E.5 E.6 E.7 E.8 E.9 E.10

Déformations liées liées au retrait (1 an après coulage de la Flèche sous poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flèche sous chargement surfacique (10T /m2 ) . . . . . . . . Flèche sous Montage A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flèche sous Montage B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flèche sous Montage C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flèche sous Montage D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flèche sous Montage E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flèche sous Gradient chaud . . . . . . . . . . . . . . . . . Flèche sous Gradient froid . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

dalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

supérieure) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

Liste des tableaux 2.1 2.2

Acteurs du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Planning du PFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 3.2 3.3

Dimensions définitives de la dalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Propriétés mécaniques du béton C60/75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Raideurs estimées des barrettes, après la deuxième itération . . . . . . . . . . . 21

4.1 4.2 4.3 4.4

Planning prévisionnel de coulage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description des phases de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeurs du retrait et des modules différés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contraintes maximales dans la dalle supérieure au moment du premier étalonnage (S13 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contraintes maximales dans la dalle supérieure au moment du premier étalonnage (S13 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5

22 24 25 27 32

7.1

Enveloppe des contraintes ELS caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.1 8.2 8.3

Résultats des différents maillages du solide . . . . . . . . . . . . . . . . Comparatif modèles coques-modèle E.F. volumiques . . . . . . . . . . . Comparaison de l’enveloppe des contraintes : Modèle E.F. volumique et coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

. . . . . 67 . . . . . 70 modèle . . . . . 70

dalle en béton armé lcpc

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