Dal Grafico Di f a Quello Della Sua Derivata e Viceversa

Dal grafico di f(x) a quello della sua derivata e viceversa Supponendo che le funzioni esaminate siano continue e derivabili due volte negli intervalli considerati, cerchiamo di ricavare dal grafico di una funzione quello della sua derivata e, viceversa di ricavare dal grafico di una funzione quello di una sua primitiva.

Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata

Osservazioni su f

Conseguenze per f’

Negli intervalli in cui f(x) è crescente Negli intervalli in cui f(x) è decrescente Nei punti in cui f(x) ha tangenti orizzontali Negli intervalli in cui f(x) ha la concavità verso l’alto Negli intervalli in cui f(x) ha la concavità verso il basso Nei punti in cui f(x) ha flessi Se f(x) ammette asintoto orizzontale Se f(x) ammette asintoto verticale Se f(x) ammette asintoto obliquo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 Se f(x) è pari Se f(x) è dispari

f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) = 0 (f’(x) interseca l’asse delle x) f’(x) è crescente f’(x) è decrescente f’(x) ha tangenti orizzontali negli stessi punti f’(x) tende a zero per 𝑥 → ∞ f’(x) tende all’infinito nello stesso punto f’(x) tende a m per 𝑥 → ∞ f’(x) è dispari f’(x) è pari

Esempio Dal grafico della seguente funzione ricavare quello della sua derivata 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥

      

La funzione è dispari e pertanto il grafico della sua derivata sarà pari. Nei punti 𝑥 = ±1 f(x) ha tangenti orizzontali per cui il grafico di f’(x) interseca, in tali punti, l’asse delle x. Negli intervalli ] − ∞; −1[ 𝑒 ]1; +∞[ ,dove f(x) cresce, f’(x) > 0 Nell’intervallo ] − 1; 1[, 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑓(𝑥) decresce, f’(x) < 0 Nell’intervallo ] − ∞; 0[ f(x) è concava per cui f’(x) è decrescente Nell’intervallo ]0; +∞[ f(x) è convessa per cui f’(x) è crescente Nello zero f(x) ha un punto di flesso e questo vuol dire che f’(x) ha un punto di minimo

La derivata di equazione 𝑦 ′ = 3𝑥 2 − 3 ha il seguente grafico

I due grafici sovrapposti

Dal grafico di una funzione f(x) a quello della sua primitiva F(x) Per ricavare il grafico approssimativo di F(x) conoscendo quello di f(x) facciamo le seguenti considerazioni:

Osservazioni su f(x)

Conseguenze per F(x)

Negli intervalli in cui f(x) > 0 Negli intervalli in cui f(x) < 0 Nei punti in cui f(x) = 0 e cambia di segno nell’intorno Nei punti in cui f(x) = 0 e non cambia di segno nell’intorno Se f(x) è crescente Se f(x) è decrescente Nei punti in cui f(x) ha tangenti orizzontali

F(x) è crescente F(x) è decrescente F(x) ha, negli stessi punti tangenti orizzontali, cioè massimi o minimi F(x) ha un flesso a tangente orizzontale F(x) ha la concavità verso l’alto F(x) ha la concavità verso il basso F(x) ha, negli stessi punti, dei flessi

Esempio Dal grafico della funzione 𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ricaviamo il grafico della primitiva F(x). La funzione F(x), ottenuta integrando la funzione 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 ha la seguente espressione 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) + 𝒄

Osserviamo che la funzione f(x) possiede infinite primitive che differiscono tra loro per una costante e infiniti sono i grafici che possiamo prendere in considerazione per risolvere il nostro problema. Essi, risultano tra loro traslati lungo l’asse delle ordinate come possiamo notare dal seguente grafico

Tra questi prendiamo in considerazione quello che passa per il punto (1; 0) e confrontiamolo con la funzione f(x) 𝑦 = 𝐹(𝑥)

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Osserviamo che    

Nell’intervallo ]0; 1[ 𝑓(𝑥) < 0 quindi F(x) decrescente Nell’intervallo ]1; +∞[ 𝑓(𝑥) > 0 perciò F(x) crescente Nel punto (1; 0) f(x) = 0 e cambia di segno nell’intorno per cui F(x) ha, in tale punto un minimo e, quindi, una tangente orizzontale Essendo f(x) sempre crescente questo implica che F(x) volge sempre la concavità verso l’alto.