Teoria dos Números (parte I) IME/ITA
4/14/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)
2 Dados de Deus – Teoria dos Números
“God does arithmetic.”
C. F. Gauss
3 Dados de Deus – Teoria dos Números
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO...................................................................................................04 1.1 PRINCÍPIOS E TEOREMAS PRELIMINARES............................................05
2
DIVISIBILIDADE E PRIMOS................................... PRIMOS.............. ......................................... ................................06 ............06 2.1
CONCEITOS BÁSICOS........................................ BÁSICOS.........................................................................14 .................................14
2.2
PRIMOS.................................................................................................19
2.3
MDC E MMC.................................... MMC.................................................................. .....................................................23 .......................23
3
QUESTÕES DIFERENTES.................................................. DIFERENTES...............................................................................24 .............................24
4
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................. BIBLIOGRÁFICAS..................................................................26 ....................26
4 Dados de Deus – Teoria dos Números
1 INTRODUÇÃO A teoria dos números é um dois mais antigos e importantes ramos da Matemática. Seu estudo versa basicamente sobre os números inteiros, mas as ferramentas utilizadas para tal vão desde simples operações aritméticas, como divisões, até cálculo avançado e aplicações computacionais. Tendo em vista o escasso tempo dos estudantes IME/ITA, buscamos acelerar o ritmo da apostila, priorizando assuntos mais importantes e descartando os muito elementares ou muito sofisticados.Tentamos explicar da forma mais clara clar a possível cada exemplo (há muitos deles) e demonstrar a maior parte dos teoremas, para que o aluno entenda os métodos de resolução e aplique-os nos exercícios de cada seção. As questões foram tiradas em sua maioria de livros clássicos utilizados pela banca do IME na confecção de suas provas, olimpíadas e das próprias provas. Ao fim de cada seção há exercícios selecionados, mas não espere resolver todos. Nas próximas apostilas entraremos em outros tópicos importantíssimos, como congruências, que ajudam em muitas questões. Quaisquer dúvidas, sugestões, críticas etc, envie-nos um e-mail para
[email protected]
BONS ESTUDOS!
5 Dados de Deus – Teoria dos Números
1.1PRINCÍPIOS E TEOREMAS PRELIMINARES Antes de iniciarmos nosso estudo sobre a teoria dos números propriamente dita, faremos uma rápida revisão (omitiremos demonstrações e exemplos) sobre alguns conceitos e teoremas algébricos que serão utilizados ao longo das apostilas. Vejamos alguns:
(a) Princípio da Boa Ordenação: Todo conjunto não vazio de inteiros não negativos possui um menor elemento; ou seja, existe algum inteiro em tal que para todo pertencente a .
(b) Propriedade Arquimediana: Se e então existe um inteiro positivo tal que
são quaisquer inteiros positivos, .
(PIF): Seja (c) Princípio da Indução Finita (PIF): Seja com as seguintes propriedades
um conjunto de inteiros positivos
(i)
(ii) Toda vez que o inteiro está em .
está em , então o próximo inteiro
também
Então é o conjunto de todos os inteiros i nteiros positivos.
(d) Teorema Binomial (Newton): Seja (Newton): Seja
um inteiro e
. Então
(e) Princípio das Casas dos Pombos (Dirichlet): Se pombos voam até casas, deverá existir ao menos uma casa que tenha dois ou mais pombos.
6 Dados de Deus – Teoria dos Números
2 DIVISIBILIDADE E PRIMOS 2.1 CONCEITOS BÁSICOS
Definição 2.1.1 Dizemos que um inteiro não nulo é divisível por se e somente se para algum inteiro . Neste caso, dizemos que é múltiplo de múltiplo de e é divisor é divisor de de
Em outras palavras,
. Se não divide , escrevemos
.
Corolário 2.1.1
Corolário 2.1.2
Apresentaremos agora alguns resultados diretos da definição acima que serão fundamentais para o resto das apostilas. Tente demonstrá-los!
Proposição 2.1.1 Sejam , e inteiros. Então: x | x (reflexividade); x (reflexividade); (a) x |
x | y e y e y | y | z (b) x |
x | y e y e y 0 (c) x | x | y e y e x | x | z (d) x |
x | x | z (transitividade); z (transitividade); |x | ≤ |y |;|;
x | x | (α y + y + βz)
x | y e y e x | x | (y (e) x | (y ± ± z)
x | x | z ;
x | y e y e y | y | x (f) x |
|x | = |y |y |;|;
x | y e y e y ≠ 0 (g) x |
;
x | y (h) para z ≠ 0, x |
;
xz | xz | yz .
Para aquecer os neurônios, vamos propor alguns desafios clássicos envolvendo os conceitos já mencionados. mencionados.
Exemplo 2.1.1 Sejam e inteiros. Prove que somente se é divisível por 17.
é divisível por 17 se e
7 Dados de Deus – Teoria dos Números
Solução:
. . . IDA:
VOLTA:
Exemplo 2.1.2 Encontre 2.1.2 Encontre todos os inteiros positivos para algum inteiro . Solução: Se
, o que implica
e
tal que
, então
e
ou
.
.
Logo,
Exemplo 2.1.3 (IMO shortlist - 1984) Suponha que distintos tais que a equação
divide
,
e
. Logo, então
são inteiros
possua uma solução inteira . Mostre que
.
Solução: É fácil perceber que Logo:
e os
são
inteiros distintos. ,
com igualdade se e somente se
.
Logo:
E:
8 Dados de Deus – Teoria dos Números
Exemplo 2.1.4 (Putnam Mathematical Competition - 1966) Sejam inteiros. Prove que se pode escolher deles ou nenhum que divida qualquer outro, ou deles tal que cada um divida o seguinte.
Solução: Para cada , , seja o comprimento da maior sequência começando com e cada termo dividindo seu successor, entre os inteiros . Se algum for maior que , está provado. Caso contrário, pelo Princício da Casa dos Pombos, existem pelo menos valores de , que são iguais. Assim, os inteiros correspondentes a esses não podem dividir um ao outro.
Definição 2.1.2 Um inteiro é dito par se para algum inteiro k. Um inteiro é dito ímpar dito ímpar se se e somente se não é par, i.e. para algum k inteiro.
De fato, há algumas consequências imediatas da definição 2.2 que devem ser conhecidas por todos (prove-as!).
Proposição 2.1.2 Considere 2.1.2 Considere o conjunto dos inteiros. Então: (a) a soma de dois ímpares é par; (b) a soma de dois pares é par; (c) a soma de um ímpar com um par é ímpar; (d) o produto de dois ímpares é ímpar; (e) o produto de inteiros é par se e somente se pelo menos um dos fatores é par;
Exemplo 2.1.5 Seja um inteiro par. É possível escrever 1 como a soma dos recíprocos de inteiros ímpares, com par? E se for ímpar?
Solução: Suponhamos Solução: Suponhamos que:
. ..
em que
, obtemos:
,
são ímpares. Multiplicando ambos os membros por
9 Dados de Deus – Teoria dos Números
. ..
,
em que são produtos de ímpares e portanto ímpares. Mas se o 1º membro é ímpar e o segundo é par (pois é a soma de um número par de ímpares), chegamos a um absurdo.
Se ímpar, considere:
Exemplo 2.1.6 Demonstre 2.1.6 Demonstre que se é um inteiro positivo ímpar, então (I)
é divisível por
Solução: Sabemos Solução: Sabemos que:
Tome
. Desenvolvendo, obtemos:
Assim,
.
Fazendo em
, se ímpar temos que:
Voltando agora ao enunciado da questão, note que
Dividamos em dois casos, se
ímpar, ou par. Se
divide cada uma das expressões:
ímpar,
. Mas por
,
10 Dados de Deus – Teoria dos Números
Reagrupando novamente: novamente:
Vemos que cada expressão acima é múltipla de
. Como
e
possuem fatores em comum, concluímos que a soma é divisível divi sível por
não
.
dito quadrado perfeito se para algum Definição 2.1.3 Um 2.1.3 Um inteiro é dito quadrado perfeito se inteiro. Analogamente, definimos cubos perfeitos e n-ésimas potências perfeitas.
Exemplo 2.1.7 Em um hotel há 100 portas fechadas enumeradas sequencialmente. Um hóspede entediado resolve então abrir todas as portas de número par. Depois, volta fechando as múltiplas de 3 e, após isso, vai abrindo as múltiplas de 4 e assim em diante, até 100. Se alguma porta estiver fechada, ele abre e se estiver aberta, ele fecha. Quantas portas restarão abertas quando hóspede acabar seu process pr ocesso? o? Solução: Note que a i-ésima porta será mexida pelo hóspede na j-ésima passada se e somente se . Mas se , então . Portanto, as portas de número quadrado perfeito ( ) serão operadas um número ímpar de vezes, ou seja, ficarão abertas no final. fi nal. Logo, a resposta buscada é 10.
Exemplo 2.1.8 Demonstre 2.1.8 Demonstre que o quadrado de todo inteiro é da forma forma . Logo, demonstre que nenhum inteiro da sequência
ou da
11,111,1111,11111, . . .
é quadrado perfeito.
.
Solução: Seja Solução: Seja um inteiro par, digamos . Seu quadrado então é . Seja agora um inteiro i nteiro par, digamos . Seu quadrado então é . Note agora que, para
:
Portanto, nenhum número da sequencia é da forma quadrado perfeito.
ou
nem
11 Dados de Deus – Teoria dos Números
Exemplo 2.1.9 (IME-2004) Demonstre que o número
. .
é um
quadrado perfeito. Solução: Note Solução: Note que:
. . . . . . . . . Lembrando da fórmula da soma da P.G. finita:
Logo:
. .
Teorema 2.1.1 (Euclides) Para (Euclides) Para quaisquer e ( divisor divisor ) e ( resto resto ) tais que e
Prova: Primeiro Prova: Primeiro vamos provar a existência de
, existem únicos inteiros
.
e e depois suas unicidades.
1-) Existência
Seja . É fácil perceber que S é não nulo, pois para , . Como também é um conjunto de inteiros não-negativos, pelo Princípio da Boa Ordenação, existe um menor elemento .
Se para um dado , , então , mas então , que é menor que , pertence a , contradizendo a minimalidade de r. Logo, . 2-) Unicidade Sejam
tais que
e
com
(I)
Como
.
. Logo
12 Dados de Deus – Teoria dos Números
Mas de (I) temos que acabamos de provar que .
e portanto ou , logo pela tricotomia temos que
Exemplo 2.1.9 Seja mas não por 4.
um inteiro positivo. Prove que
Solução: Note que
é ímpar e portanto . Abrindo pela expansão binomial:
. Mas
é divisível por 2
é par. Note ainda que + ... + 1
+
Assim,
deixa resto 1 na divisão por 4 e
deixa resto 2.
Proposição 2.1.3 Se 2.1.3 Se N é um inteiro produto de k fatores consecutivos, então N é divisível por todos os inteiros menores ou iguais a k. Prova: Seja Prova: Seja
.
Pelo Teorema 2.2.1, existem restos possíveis na divisão de por . Assim, há restos possíveis na divisão de por , mas como possui pelo menos fatores consecutivos, pelo menos um deles deixa resto 0.
Da mesma forma, podemos concluir que como há pelo menos um deixa resto 0 na divisão de por processo até 1, provamos a proposição.
fatores consecutivos, . Repetindo esse
Exemplo 2.1.10 Prove 2.1.10 Prove que, para todo
natural,
.
Solução:
Pela proposição 2.1.3, é divisível por 2 e 3, logo por 6. Resta provarmos que também é divisível por 5. De fato, pode deixar 0, 1, 2, 3 ou 4 como restos na divisão por 5. Se deixar 0, 1 ou 4, a divisibilidade é evidente. Se
:
13 Dados de Deus – Teoria dos Números
Se
:
Assim,
é divisível por 6 e 5, logo por 30.
Uma questão semelhante a essa caiu no IME em 2001. Na apostila de congruências resolveremos novamente, utilizando outra ferramenta.
Exercícios (Sec. 2.1) 2.1.1) Sejam
e números naturais tais que
é inteiro. Prove que A é ímpar.
2.1.2) Sejam e números naturais e seja é divisível por 24.
divisível por 24. Mostre que
2.1.3) (IME - 2000) Considere quatro números inteiros , , e . Prove que o produto:
é divisível por 12.
2.1.4) Sejam Prove que
e .
inteiros positivos tais que
,
,
,
2.1.5) Demonstre que é sempre divisível por 6 e que sempre divisível por 120 para todo inteiro .
2.1.6) Seja um inteiro positivo. Mostre que o produto de consecutivos é divisível por n! 2.1.7) Seja
um inteiro ímpar. Prove que
.
2.1.8) Encontre o maior inteiro positivos menores que
tal que
não divide
, .... é
inteiros
.
é divisível por todos os inteiros
2.1.9) Seja um inteiro positivo. Mostre que o produto de consecutivos é divisível por .
inteiros
14 Dados de Deus – Teoria dos Números
2.1.10) (IMO - 1992) Encontrar todos os inteiros , , com que é divisor de .
(Dica: Mostrar primeiro que 2.1.11) (IMO - 1988) Se demonstre que
e considerar os possíveis casos.
são inteiros positivos para os quais
é um quadrado perfeito.
divide
um inteiro positivo tal que é o quadrado de um inteiro.
2.1.14) (IME - 1981) Mostre que o número perfeito
é inteiro,
2.1.12) Sejam e inteiros positivos tais que
2.1.13) Seja que
tais
. Mostre que
é um inteiro. Mostre é um quadrado
2.1.15) Prove que o produto de quatro inteiros consecutivos não nulos nunca é um quadrado perfeito. 2.1.16) Um conjunto de bolas consiste em 1000 bolas de 10 gramas e 1000 bolas de 9,9 gramas. Desejamos retirar dois subconjuntos de bolas com mesmo número de bolas mas com pesos totais diferentes. Qual é o menor número de pesagens para isso? (A escala da balança dá o peso dos objetos no braço esquerdo menos o peso dos objetos no braço direito. ) 2.1.17) Determine todos os inteiros
é um inteiro.
tais que
2.2 Primos
Definição 2.2.1 Um inteiro é dito primo se não existe inteiro tal que . Se não é primo, dizemos que ele é composto. é composto.
Corolário 2.2.1 Todo inteiro
possui pelo menos um divisor primo.
e
15 Dados de Deus – Teoria dos Números
Prova: Se Prova: Se é primo, então e está provado. Se n é composto, então seja seu menor divisor. Temos então . Se a não for primo, então e , contradizendo a minimalidade de .
Corolário 2.2.2 (Eratóstenes) Se é um número composto, então possui um divisor primo menor ou igual a .
Prova: Assim como na demonstração anterior, menor divisor de . Assim, .
e
é o
Exemplo 2.2.1 Encontre todos os inteiros positivos são todos números primos. pri mos.
tais que
,
e
Solução: Note Solução: Note primeiramente que . Como a soma dos 3 números é par, ao menos 1 deles deve ser par, mas como 2 é o único par primo, pelo menos um dos números deve ser igual a 2. não pode ser par (por que?), portanto temos
Ou
Para Para
,
, não é primo
, temos os números 2, 3 e 7.
Teorema 2.2.1 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja Fermat) Seja um inteiro e número primo, então .
um
Prova: Apresentaremos Prova: Apresentaremos uma prova via indução 1, mas na parte II veremos uma demonstração por congruências mais elegante e intuitiva. Para
, temos
Suponhamos por hipótese,
1
. Logo,
e provemos para
.
. Temos então
Na prova do IME de 1972 (Álgebra) pedia-se para demonstrar esse teorema por indução.
16 Dados de Deus – Teoria dos Números
Como da hipótese
e
, então
.
Crivo de Eratóstenes Erastótenes pensou em um método simples e elegante para determinarmos os números primos até certo inteiro . Escrevemos todos sequencialmente Depois cortamos os múltiplos maiores que 2, em seguida os maiores que 3, que 4, até . Com isso, os números não cortados serão primos.
Exemplo 2.2.2 Determine 2.2.2 Determine os primos até 100.
Do crivo, temos que os únicos primos até 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Teorema 2.3.2 (Euclides) Existem (Euclides) Existem infinitos números primos.
Prova: Suponha que exista um número finito de primos. Tome então , em que é primo menor ou igual a . Como n é composto, do corolário 2.3.1, digamos sem perda de generalidade, que . Logo:
Teorema 2.3.3 (Postulado de Bertrand 2 ) Seja sempre existe um primo tal que .
2
um inteiro positivo. Então
Esse teorema recebe o nome de postulado por razões históricas, mas Chebyshev apresentou uma demosntração, a qual foge do escopo do curso.
17 Dados de Deus – Teoria dos Números
apresentaremos nessa apostila. Prova: Por ser muito extensa, não apresentaremos
Teorema 2.3.4 (Teorema Fundamental da Aritmética) Qualquer inteiro possui uma única representação (exceto permutações) como produto de primos, denominada fatoração denominada fatoração canônica . Prova: Dividiremos Prova: Dividiremos a demonstração em 2 partes: 1-) Prova da existência:
d
d d
Se é primo, não há nada a se provar. Se é composto, então existe tal que e . Dentre todos esses inteiros , tome como menor (o que é possível graças ao Princípio da Boa Ordenação).
Se fosse composto, existiria um divisor tal que e , dividiria , contradizendo minimalidade de primo.
; mas como . Portanto, deve ser
Com isso, podemos escrever , em que é primo e . Se for primo, a prova termina. Do contrário, podemos repetir o mesmo argumento para gerar um segundo primo tal que . Se for primo, está demonstrado. Se não, repetimos o processo e criamos .
A sequência não pode continuar indefinidamente. Assim, após um número finito de passos, teremos chegado à fatoração buscada . 2-) Prova da unicidade: Suponhamos haja duas fatorações buscadas possíveis, ou seja:
r s irj s em que
e
são todos primos, tais que
e
Considere agora que seja p menor inteiro com duas fatorações desse tipo. Vamos gerar uma contradição buscando um outro inteiro menor que n que também possua duas fatorações distintas de primos. Se existir
, então
contradizendo a minimalidade de . Logo, .
,
para qualquer
18 Dados de Deus – Teoria dos Números
c r c r c r
Assuma sem perda de generalidade que , ou seja, é o menor fator primo de nas representações acima. Aplicando o algoritmo da divisão, segue que:
r ih c rc rc r m r r r m k rr r m k k k k r r r r tt t rr. . r kk k
em que
.
Temos então:
Desenvolvendo o segundo membro, obtemos inteiro positivo . Escolhendo , temos do que segue e .
para algum ,
Como mostramos, pode ser escrito como produto de primos
.
Por outro lado, fatorando em primos, todos seus fatores são menores ou iguais a . De , segue que possui fatoração em primos da forma , em que todos os fatores são menores que . Tal fatoração é diferente de . Mas , contradizendo a minimalidade de n. [CQD]
Proposição 2.2.1 Se então possui
divisores.
é uma decomposição de
em primos,
Prova: Seja um primo da fatoração canônica. Todos os divisores de possuem um fator , com expoente . Assim, para cada primo temos possibilidades para seu expoente, o que pelo Princípio Fundamental da Contagem nos dá divisores.
é uma decomposição de em primos, Proposição 2.2.2 Se entã a soma de todos os divisores positivos de (incluindo 1 e ) é tal que
19 Dados de Deus – Teoria dos Números
Prova: Cada divisor de expansão do produto
aparece exatamente 1 vez como parcela na
Lembrando da fórmula da soma de P.G. finita:
Segue o resultado.
Exercícios (Sec. 2.2)
2.2.1) Prove que se é um número primo, então forma chamam-se Primos de Mersenne.
é primo. Primos desta
2.2.2) Prove que se é um número primo, então Primos desta forma chamam-se Primos de Fermat.
é potência de 2.
2.2.3) Seja um primo da forma que divide inteiros e . Prove que e são ambos divisíveis por .
para alguns
2.2.4) Sejam
e dois inteiros positivos coprimos, e considere a P.A.
(a) Prove que existem infinitos termos na P.A. que possuem os mesmos divisores primos. (b) Prove que existem infinitos pares de coprimos na P.A. 2.2.5) Prove que entre 10 inteiros positivos consecutivos pelo menos um é coprimo com o produto dos outros. outr os.
2.2.6) Seja um primo com , e seja que contem dois elementos , tal que
. Prove
e divide .
2.2.7) Suponha que e são números naturais tais que
20 Dados de Deus – Teoria dos Números
é um número primo. Qual o maior valor possível de ?
2.2.8) Seja um número primo. Prove que existe um primo tal que para cada inteiro , não é divisível por .
2.3 M 2.3 M áximo D áximo D ivisor C ivisor C omum omum ( MDC MDC )
Definição 2.3.1 O entre dois inteiros positivos e é o maior inteiro que divide e simultaneamente. Se , dizemos que e são coprimos .
Exemplo 2.3.1 Prove que
é irracional.
Prova: Suponha Prova: Suponha por hipótese de absurdo que são inteiros positivos coprimos. Temos então:
Da última igualdade concluímos que
, i.e.
, em que e
deve ser par, digamos
. Logo:
Assim concluímos que b também é par, o que contradiz nossa premissa de que e são primos entre si.
. .
Exemplo 2.3.2 Mostre 2.3.2 Mostre que para qualqauer inteiro positivo , existe um múltiplo de formado apenas por 1s e 0s. Mostre ainda que se é coprimo com 10, então existe um múltiplo formado apenas de 1s. Solução: Considere Solução: Considere os
inteiros
. Quando divididos
por , cada número deixa restos. Pelo Princípio das Casas dos Pombos, dois desses restos são iguais, portanto a diferença entre os inteiros correspondentes é da forma e divisível por . Se é coprimo com 10, então podemos dividir por todas as potências de 10 e obter um inteiro da forma 111...1 ainda divisível por N.
Exemplo 2.3.3 Prove 2.3.3 Prove que, se
, então
21 Dados de Deus – Teoria dos Números
Solução: Sejam Solução: Sejam , e os conjuntos formados pelos divisores de , e , respectivamente. Se , então e . Assim, . Analogamente, se , então e . Assim, .
Seguem abaixo algumas propriedades interessantes do MDC (PROVE-AS!).
. . . . . . a a m
Proposição 2.3.1 Sejam (a)
(b) Se (c) (d)
e inteiros positivos.
, então
Exemplo 2.3.4 ( 2.3.4 ( Euclides Euclides ) Prove que se
e
Prova: Temos pelo ítem (a) da proposição 2.3.1 que Observe agora que divide e , logo
, então
.
.
.
Algoritmo de Euclides Euclides desenvolveu um método simples e engenhoso de se determinar o MDC entre dois inteiros. Vamos explicar com um exemplo:
. . . .
Queremos determinar o
. Temos que:
Tomamos o divisor e dividimos pelo resto:
Dividimos agora o primeiro resto pelo segundo:
Novamente, dividimos o terceiro resto pelo segundo:
Logo,
.
22 Dados de Deus – Teoria dos Números
De fato, o algoritmo resume-se a repetir o seguinte processo até o resto ser 0: 1-) Dividir o maior dos inteiros dados pelo menor. 2-) Dividir o primeiro divisor pelo primeiro resto. 3-) Dividir os restos sucessivamente até chegar a um resto 0. 4-) O
buscado é o último divisor.
Teorema 2.3.5 ( Bézout Bézout ) Dados os inteiros não nulos e , existem tais que:
Prova: Seja obtemos
o menor inteiro tal que
Dividindo a e por . Dividindo
Mas é o menor inteiro da forma e como e . Logo, a única possibilidade é por por , . Suponhamos agora que exista .
Assim, Assim,
tal que
e
,
e são restos da divisão e portanto e portanto e
. Logo, Logo,
é o maior divisor comum entre e .
O Teorema 2.3.5 nos diz que o MDC entre dois inteiros pode ser escrito como uma combinação linear dos mesmos. Isso será de grande utilidade na resolução das chamadas equações diofantinas , que vermos na próxima apostila. Exemplo 2.3.6 ( 2.3.6 ( IMO IMO 1959 ) Prove que a fração
É irredutível para todo inteiro positivo .
23 Dados de Deus – Teoria dos Números
Solução: Essa clássica questão já foi resolvida de inúmeras maneiras, algumas gastando várias páginas. A que vamos apresentar resume-se a uma linha, utilizando o Teorema de Bézout .3
Para todo , denominador são coprimos.
, portanto o numerador e o
Teorema 2.3.6 (Dirichlet) Se a e b são coprimos, então a P.A. contém infinitos primos.
A demonstração do Teorema 2.3.2 envolve os conceitos de caracteres e Lséries, que fogem ao escopo do nosso curso. Para mais informações, consulte a bibliografia.
Exercícios (Sec. 2.3)
2.3.1) Prove que a expresão expresão
. É inteira para todos os pares de inteiros positivos
2.3.2) Sejam
com
.
dois números naturais. Demonstrar que
2.3.3) Demonstrar que se então
e
são inteiros tais que
e
2.3.4) Sejam e dois inteiros positivos e seu maior divisor comum. Demonstrar que existem dois inteiros positivos e tais que 2.3.5) Determine o MDC dos elementos do conjunto
3
.
Reza a lenda que esse teorema deu nome á expressão “bizu”. Apenas uma conjectura, rs.
24 Dados de Deus – Teoria dos Números
2.4 M 2.4 M ínimo M ínimo M últiplo C últiplo C omum omum ( MMC MMC )
. a .a a a
entre dois inteiros positivos Definição 2.4.1 O inteiro divisível por e simultaneamente.
e
é o menor
Teorema 2.4.1 Sejam e dois inteiros positivos. Então:
Prova: Seja Prova: Seja
. Suponhamos por hipótese de absurdo que exista um
outro múltiplo de e tal que
. Temos então:
Pelo Teorema de Bézout,
Como chegamos a um absurdo, temos que
. Logo:
e portanto
.
Exercícios Sec. 2.4
2.4.1) Sejam
e inteiros positivos tais que
.
Prove que um dos dois números é divisível pelo outro.
. . . .
2.4.2) (Primeira Olimpíada Matemática de Moscou - 1935) Sejam inteiros positivos. Prove que:
e
25 Dados de Deus – Teoria dos Números
. ..
2.4.3) Sejam , b e inteiros positivos. Mostre que
Expresse e
em termos de
,
.
3 QUESTÕES DIFERENTES 3.1) Dois inteiros positivos são escolhidos. A soma é revelada ao aluno A e a
soma dos quadrados ao aluno B e tanto A quanto B sabem disso. A conversa entre os alunos foi a seguinte:
B: “Eu não sei quais são os números” A: “Eu não sei quais são os números” B: “Eu não sei quais são os números” A: “Eu não sei quais são os números” B: “Eu não sei quais são os números” A: “Eu não sei quais são os números” B: “Agora eu sei quais são os números.”
Quais são os números? 3.2) Suponha que
e são números complexos tais que
são inteiros para quatro inteiros positivos consecutivos . Prove que a fração é um inteiro para todos os inteiros . 3.3) Prove que
26 Dados de Deus – Teoria dos Números
é um inteiro positivo. 3.4) Seja
um primo ímpar. Mostre que existe no máximo um triângulo não degenerado com perímetro e área inteira. Caracterize esses primos para os quais para os quais o triângulo existe.
3.5) Mostre que se
e são inteiros positivos, então
é um inteiro somente para um número finito de inteiros positivos .
3.6) Para cada
Se
e
definamos
designa o seu máximo divisor comum, prove que
(Dica: Note que os elementos de são os vértices de um polígono regular de lados. Logo, devemos provar que a quantidade de vértices comuns a um polígono regular de lados e outro de lados é ).
3.7) (Lamé) Prove que o número de passos necessários no Algoritmo de
Euclides é no máximo 5 vezes o número de dígitos do menor número.
27 Dados de Deus – Teoria dos Números
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