Dados de Deus - Apostila Substituições Trigonométricas

Substituições trigonométricas IME/ITA/OLIMPÍADAS 6/3/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)

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2

Dados de Deus – Substituições Trigonométricas

1 Um pouco de trigonometria... trigonometria...

Antes de trabalharmos diretamente com o conceito de substituições trigonométricas, é fundamental termos solidificadas algumas propriedades propriedades da trigonometria. trigonometria. Confira na tabela abaixo as principais funções: Nome da função

Domínio / Imagem

Seno

     

Cosseno

     

Tangente

       

Cotangente

        

Secante

           

Representação Gráfica









3


Cossecante

           

Segue ainda o formulário básico de trigonometria. Não deixe de fazer os exercícios da seção!

Proposição 1

Proposição 2

            

Proposição 3

          Proposição 4

        

e

                           

Proposição 5

   









4


Proposição 6

      Proposição 7

  

             

Proposição 8

          Proposição 9

       

           

                                           

Demonstração: Como no intervalo dado a função tangente é estritamente crescente, existe uma bijeção

entre sua imagem ( ) e seu domínio(

), ), i.e., para qualquer

Proposição 10 Sejam

, tal que

Demonstração: Note que

e

real existe tal que

. Então:

.









5


                                               

É claro que

e

. Logo:

Mas:

Exercícios da seção 1:

1.1-)

                                                                                                   

Sejam

ângulos de um triângulo. Prove as seguintes desigualdades:

a-) b-) c-)

d-)

e-) f-)

g-) h-) 1.2-)

Sejam a-) b-) c-)

d-) e-)

ângulos de um triângulo. Prove as seguintes identidades:









6


b-)

         

2 Aplicações

Uma substituição trigonométrica nada mais é que a transformação de um número real em uma função trigonométrica trigonométrica correspondente. A vantagem é que, em alguns casos, utilizar as propriedades vistas na seção 1 pode facilitar muito a resolução de um problema. Um dos cuidados que devemos ter ao pensar em uma substituição trigonométrica é quanto às restrições da função em uso. Por exemplo, as funções seno e cosseno são limitadas entre -1 e 1, por isso se substituíssemos em por estaríamos restringindo restringindo o domínio da função. f unção.

                 

                         

Em casos assim, devemos buscar artifícios que possibilitem a troca, como fazer e agora o cosseno está em seu limite natural.

, já que

A grande questão é saber quando utilizar a substituição adequada. Existem alguns indicativos clássicos, como a presença dos radicais

ou de expressões como

esses termos são partes das identidades identidades vistas na seção 1.

e

Um outro indicativo forte de que podemos pensar na trigonometria é a presença de termos como podem levar à utilização dos valores trigonométricos conhecidos, como

Note Note que

, que

.

Infelizmente, nem sempre as substituições são evidentes e, em casos mais complexos, pode ficar bastante complicado de enxergá-las. Por isso, a melhor forma de afiar a mente é treinando muito!

Exemplo 1 Resolva nos reais

                           

Solução: É evidente que a solução clássica de elevar ambos os membros ao quadrado resolveria facilmente

nosso problema, mas vamos utilizá-lo ut ilizá-lo para exemplificar uma substituição trigonométrica simples. simples. Da condição de existência, . Substituindo: Substituindo:

. Assim, podemos afirmar que existe

tal que











7


Exemplo 2 (OBM) Determine todas as soluções reais da equação:

         Solução: Esse é um caso em que a ideia impulsiva de elevar ambos os membros ao quadrado pode não ser

a melhor saída. Fazendo isso chegaríamos chegaríamos a um polinômio p olinômio do 8º grau com diversas restrições de existência.

                                                                                       Note que do primeiro membro . Substituindo: Substituindo:

e do segundo

. Assim, tome

Pela P.5:

Com isso:

Como

, temos como única possibilidade

Exemplo 3 Determine as raízes de

, de modo que o conjunto solução é:

tal que









8


                                



No intervalo buscado, temos . Pelo Teorema Fundamental da Álgebra possui 3 raízes e como encontramos 3 valores para , nossa hipótese de que era válida. Com isso:

Exemplo 4 Resolva nos reais

    

Solução: O termo

múltiplo de

 

 

nos remete a fórmula do arco triplo, o que nos faz pensar em substituir Mas para podermos afirmar isso com segurança precisamos antes limitar .

Da condição de existência da raíz, temos que:

por um

                                                                                  (I)

Suponhamos que

:

(II)

Mas:

(III)

De (II) e (III) concluímos que . Logo que  . Substituindo na equação original:

e agora sim podemos afirmar que existe

 

tal









9


                                                                                                                                                                     

Solução: Para

real temos

.

Assim, podemos fazer

Com isso, obtemos

Portanto obtemos

:

.

e o conjunto solução é:

Exemplo 6 (IME - 2008) Seja

, para

Solução: Como

Como

:

, existe

uma constante real positiva. Resolva a equação e

.

tal que

. Substituindo:









10


                                                                                                                                                                      

Assim, para

 

a única possibilidade é

Exemplo 7 Sejam

. Com isso:

números reais diferentes de

. Prove que a igualdade igualdade

acontece

somente se

Solução: Sejam

Assim, identidade segue que:

tais que

. Note agora que:

. Nesse caso,

e da mesma

Exemplo 8 Determine todas as soluções reais do sistema

Solução: Note que

. Assim, existe

tal que

e:









11


                                                                               

Solução: Se alguma das variáveis,

por exemplo, for igual a

, então

. Assim,

podemos escrever:

Seja

tal que

. Da P.7 temos que

e

e por fim:

.

No intervalo buscado, o conjunto solução é:

Exemplo 10 Resolva o sistema abaixo nos reais:

Solução: Se

Analogamente,

, então da primeira equação . Isolando , obtemos:

, tornando o sistema indeterminado, i.e.

.











12


                                                                                           Da última equação, temos . Portanto, o conjunto solução é:

. Além disso,

Exemplo 11 Resolva o sistema de equações nos reais

Solução: Sejam

com

tais que

:

Assim, no intervalo buscado as soluções ocorrem para

. Lembrando que









13


Logo, o maior valor da expressão dada é

  

.

                                                                                                     

Exemplo 14 Se

é uma sequência que satisfaz a recorrência

sequência é periódica. Solução: Seja

Logo (

):

Somando as equações acima 2:

tal que

. Assim:

. Prove que essa









14


Mas

                                                                  

Com isso, concluímos que a expressão é válida para todo

Exemplo 16 Se Solução: Seja

que não excede

e são números reais não nulos tais que tal que

Portanto, o valor máximo ocorre para

e

. Assim:

, i.e.

.

. Então, prove que

      

.









15


                                                                                     

Exemplo 18 Prove que se os reais positivos

Solução: A identidade

satisfazem

, então

juntamente com os temos da expressão nos faz pensar em uma substituição por tangente. Pela proposição 9, sabemos sabemos que isso pode ser feito de maneira única e, como as variáveis são positivas, podemos fazer a troca sem receios. Assim, sejam tais que:

Aplicando a proposição 2 no primeiro membro:

Lembrando que

Mas pelo exercício 1.1 item b-):

:









16


E:

Substituindo em (I):

                           

                                                       

Podemos ainda fazer as seguintes substituições: substituições:

Note que

Exemplo 20 Sejam

(i.e. ângulos de um triângulo acutângulo) e, pelo execício 1 item b-):

números reais positivos tais que

. Prove que











17


                                             

2.5-) (ITA – 2005) Se e , em que para os quais a equação admite solução não nula.

é um parâmetro real, calcule os valores de

2.6-) Resolva o sistema

2.7-) Se

são números reais e distintos que satisfazem as seguintes equações

determine o valor de

.

2.8-) Determine todas as soluções do sistema









18


2.16-) (IME - 2010) Considere a sequência:

                                 ,

,

, ......

Determine o produto dos 20 primeiros termos desta sequência. 3 Referências bibliograficas

ANDREESCU, Titu; RAZVAN Gelca. Putnam and Beyond. New York: Springer, Springer, 2007.

ANDREESCU, Titu; RAZVAN Gelca. Mathematical Mathematical Olympiad Challenges. 2a edição. Boston: Birkhäuser, 2009.

VERDIYAN, Vardan; SALAS, Daniel Campos. Simple Simple trigonometric tr igonometric substitutions with broad results.









19


Dados de Deus - Apostila Substituições Trigonométricas

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