FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO EN POWER POINT 2015
ARTURO TALLEDO FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
CRISTALOGRAFÍA Primer capítulo de curso
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
FC UNI
Agosto 2013_2 Lima, Perú ARTURO TALLEDO Doctor en Física
Introducción
• Sólidos cristalinos (ordenados) y sólidos amorfos (desordenados) • Lo que actualmente se conoce como FES es básicamente la física de los cristales o sólidos cristalinos. La Física de sólidos amorfos se explica en base a los conceptos de la Física de cristales. • Los cristales son una disposición periódica de átomos en el espacio real tridimensional (longitudes).
CRISTAL = RED + BASE Un sólido cristalino se puede describir definiendo un conjunto ordenado de puntos y asignando a cada punto un conjunto de (1,2, 3...n) átomos en posiciones bien definidas
Definición de red cristalina Conjunto de puntos descrito por tres vectores linealmente independientes y todo el conjunto de ternas de enteros Z3
RED P / P n1 a 1 n 2 a 2
n 3 a 3 ; n1 , n 2 , n 3
donde a1 , a 2 , a3 son vectores linealmente independientes
Vectores Primitivos y celdas primitivas • Se dice que una terna de vectores L.I es una terna de vectores primitivos si junto con el conjunto Z define dicha red cristalina. • El paralepípedo definido por la terna primitiva se llama celda primitiva • La terna primitiva no es única • Todas las celdas primitivas tienen el mismo volumen
Red cristalina y vectores primitivos
a2
a1
La terna (dupla) primitiva no es única u2 a2
b1
u1 a1 c2
b2 d1
c1
d2
Diferentes celdas primitivas de una red. Todas tienen igual área (volumen) a2
b1
a1 c2
b2 d2
d1
c1
CLASIFICACIÓN DE LAS REDES CRISTALINAS • Se clasifican por sus propiedades de simetría • Hay 5 tipos de redes bidimensionales • Hay 14 tipos de redes 3D (redes de Bravais)
CELDA UNITARIA • Cada tipo de red cristalina se identifica con una celda convencional o celda unitaria, no necesariamente celda primitiva. • Los tres vectores l.i. que definen la celda unitaria se llaman ejes cristalinos o vectores convencionales.
Redes Bidimensionales • Oblicua • Rectangular • Rectangular centrada • Cuadrada • Hexagonal
Redes de Bravais 3D (1)
Redes de Bravais 3D (2)
Cúbico
Hexagonal
Trigonal
Redes de Bravais 3D (3)
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red sc
Ejes cristalinos
a=ai b=aj c=ak Vectores Primitivos a1 = a a2 = b a3 = c
c
a
b
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red bcc • • • • •
Ejes cristalinos a=ai b=aj c=ak Vectores Primitivos
• a1 = 1/2 a (i + j - k) • a2 = 1/2 a (- i + j + k) • a3 = 1/2 a (i - j + k)
a2
c
a3
a
b a1
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red bcc • • • • • • • •
Ejes cristalinos a=ai b=aj c=ak Vectores Primitivos a1 = a’ = 1/2 a (i + j - k) a2 = b’ = 1/2 a (- i + j + k) a3 = c’ = 1/2 a (i - j + k)
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red fcc • • • • • • • •
Ejes cristalinos a=ai b=aj c=ak Vectores Primitivos a1 = 1/2 a (i + j) a2 = 1/2 a ( j + k) a3 = 1/2 a ( k + i)
a3
c
a
a2 b a1
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red fcc • • • • • • • •
Ejes cristalinos a=ai b=aj c=ak Vectores Primitivos a1 = a’ = 1/2 a (i + j) a2 = b’ = 1/2 a ( j + k) a3 = c’ = 1/2 a ( k + i)
Ejercicio • Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red bcc es la mitad del volumen de la correspondiente celda unitaria • Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red fcc es un cuarto del volumen de la correspondiente celda unitaria
El volumen de una celda primitiva es la cuarta parte de una celda unitaria fcc
El volumen de una celda primitiva es la mitad de una celda unitaria bcc
PLANOS CRISTALINOS Un plano cristalino puede ser definido por: • Tres puntos no colineales de una red cristalina • los vectores que van de uno de los puntos a los otros dos. • la normal al plano • En FES se usa una convención especial para designar a los planos: Los índices de Miller
Índices de Miller • Desde cualquier punto de la red no contenido en el plano se trazan los ejes cristalinos. • Se observan las intersecciones del plano con los ejes cristalinos. • Se invierten los coeficientes • Se multiplican por el entero que los convierte en la terna de enteros más pequeña,
(hkl) , en esa proporción
Índices de Miller
El entero por el que hay que multiplicar a los interceptos invertidos para obtener los índices de Miller es 1 si se toma origen en el plano paralelo vecino inmediato
O' a (1/2)
a x
X
y
2b
O
b
y
Algunos planos cristalinos de redes cúbicas
Familias de planos paralelos • Dado un plano cristalino (hkl) por cualquier punto de la red se puede trazar un plano paralelo. • Un cristal puede considerarse como la superposición de una familia de planos paralelos (cualquier punto de un cristal está contenido en una familia de planos) • Planos equivalentes por operaciones de simetría {hkl}
Algunos planos en redes cúbicas
ALGUNOS ÍNDICES DE MILLER VÁLIDOS • • • • • • • •
Cúbico simple (100), (110), (111), (120), (121), (221), (130) BCC (110), (200), (121), (h+k+l) = entero par FCC (111), (200), (220) (hkl) todos pares o todos impares
Distancia interplanar en redes ortorrómbicas
cos
cos
d xa
d yb
cos k
d zc
d cos l c
d
d
d cos h a
cos
1 2
2
h k l a b c
a 2
2
h k l
2
2
d b
z plano (hkl) d
x
, para redes cúbicas
y
Estructuras cristalinas (sc monoatómica) • Cristal = Red + base
• Red: cúbico simple • base: un átomo • en origen (cualquier punto de red) • Polonio
Estructuras cristalinas (bcc monoatómica) • • • •
Cristal = Red + base Red: bcc base: un átomo en origen (cualquier punto de red) • Li, Na, K, Rb, Cs, Ba, Ta, W, Nb, Mo, Fe, Eu
Estructuras cristalinas (fcc monoatómica) • • • •
Cristal = Red + base Red: fcc base: un átomo en origen (cualquier punto de red) • Ca, Sr, Ni, Cu, Al, Ag, Au, Pd, Pt, Ir, Ne, Ar, Kr, Xe, Pb
Estructuras cristalinas (CsCl) • Cristal = Red + base • Red: cúbico simple • base: dos átomos • Cs en origen (cualquier punto de red) • Cl en (1/2, 1/2, 1/2)a • TlBr, TlI, CuPd, CuZn (bronce beta), AgMg, LiHg, AlNi, BeCu
Estructuras cristalinas (CsCl)
Perovskita
Estructuras Cristalinas (NaCl) • Cristal = Red + base • Red: fcc • base: dos átomos • Cl en origen (cualquier punto de red) • Na en (1/2, 0, 0)a • LiH, NaCl, KCl, PbS, AgBr, MgO, MnO, KBr.
Estructuras Cristalinas (NaCl)
Estructuras Cristalinas (NaCl)
Estructuras cristalinas (diamante) • • • •
Cristal = Red + base Red: fcc base: dos átomos C en origen (cualquier punto de red) • C en (1/4, 1/4, 1/4)a • C, Si, Ge, estaño gris.
Estructuras cristalinas (diamante)
Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS) • • • •
Cristal = Red + base Red: fcc base: dos átomos Zn en origen (cualquier
punto de red)
• S en (1/4, 1/4, 1/4)a • ZnS, ZnSe, CuF, CuCl, AgI.
Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)
Estructuras cristalinas (hexagonal compacta) • Cristal = Red + base • Red: Hexagonal simple • base: dos átomos • Uno en origen (cualquier punto de red) • otro en (2/3) a + 1/3 b + (1/2) c • He, Be, Mg, Tl, Zn, Cd, Co,Y.
DISTANCIA ENTRE VECINOS MÁS CERCANOS
SC
6
BCC
8
3 a/2
FCC
12
2 a/2
HCP
12
¿?
DIAMANTE
4
3 a/4
a
Factor de empaquetamiento de una estructura fcc monoatómica a 2 4R 4 R 3 4( ) 3 f a3
f
2 6
f 0,74
R
a
Encontrar la relación c/a en una estructura hcp ideal h
2 3 a 3 2 2
2 a c a2 4 3
8 c a 3
c/2 a h a
CELDA WIGNER SEITZ • Desde cualquier punto de la red • Se trazan segmentos a los puntos vecinos más cercanos, segundos más cercanos, y así... • Se bisecan dichos segmentos con planos perpendiculares. • La celda WS es el sólido más pequeño formado por las intersecciones de los planos.
Construcción de una celda WS
Una red cristalina como una superposición de celdas WS (Hay una celda WS por punto de red)
Celda Wigner Seitz
Celda Wigner-Seitz de una red cuadrada
Celda Wigner-Seitz de una red cúbica cuerpo centrado (octaedro truncado)
Celda Wigner-Seitz de una red cúbica cara centrada (dodecaedro regular)
Imperfecciones de un cristal • • • •
Efectos de superficie Impurezas Vacancias fracturas
OPERACIONES DE SIMETRÍA DE REDES CRISTALINAS • Operaciones de simetría de un objeto son aquellas que lo dejan invariante. • Cualquier rotación respecto a un eje que pasa por su centro es una operación de simetría de una esfera. • Una operación de simetría de una red cristalina es cualquier traslación de una red cristalina por un vector: T n1 a 1 n 2 a 2
n 3 a3
• Otras operaciones de simetría son la inversión, reflexiones y rotaciones 2 / n ; n = 1, 2, 3, 4, 6.
TEORÍA DE GRUPOS • Grupo es un conjunto con una operación (producto) que : • es cerrado • es asociativo • hay un elemento identidad • hay un elemento inverso para cada elemento • conmutativo = abeliano
Operaciones de simetría de un triángulo equilátero • E, identidad • A, B, C, rotaciones de 180 respecto a los ejes A, B y C, respectivamente • D, rotación de 120 en sentido horario respecto a eje perpendicular por el centro del triángulo • F, rotación de 120 en sentido antihorario respecto a eje perpendicular por el cenro del triángulo
1 B
C 2
3 A
Tabla de multiplicación del triángulo equilátero E
A
B
C
D
F
E
E
A
B
C
D
F
A
A
E
F
D
C
B
B
B
D
E
F
A
C
C
C
F
D
E
B
A
D
D
B
C
A
F
E
F
F
C
A
B
E
D
Operaciones de simetría de un tetraedro regular ( T ) c
• Identidad • C2x, C2y, C2z • 8 rotaciones de 120 (C3) alrededor de las diagonales de un cubo.
a d
b
Algunos grupos de simetría
REDES CRISTALINAS Y GRUPOS DE SIMETRÍA Sistema Triclínico Monoclínico Ortorrómbico Tetragonal
Celda unitaria
Grupos
abc abc /2
C1 , S2 (Ci)
Número de operaciones de simetría 1 2
C1h C2 C2h C2v D2 (V) D2h ( Vh) C4 S4 C4h D2d C4v D4 D4h C3 S6 C3v D3 D3d C3h C6 C6h D3h C6v D6 D6h T Th Td O Oh
2 2 4 4 4 8 4 4 8 8 8 8 16 3 6 6 6 12 6 6 12 12 12 12 24 12 24 24 24 48
abc /2
abc
Romboedral
2 3 2
abc
Cúbico
2
abc
Hexagonal
2
,
2 3
abc
2
Redes imposibles (Simetría de orden5 ) Un eje de simetría de orden 5 es incompatible con el concepto de red. Considere que T es el vector de traslación de longitud más pequeño T´
T T´´
Nótese que T`+ T`` es de menor longitud que T
Redes imposibles (Simetría de orden 7 o mayor) Un eje de simetría de orden n, donde n es 7 o mayor que 7, es incompatible con el concepto de red. Supongamos que T es el vector de traslación Más pequeño. T´
T
T T` 2 T Sen ( /n) T , si n 7
Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
altura c/2 altura c y 0
12 atomos por celda unitaria o celda primitiva
A1 : (0,0,0) A2: 1/3 a +1/3 b A3: 2/3 a +2/3 b +1/2 c A4: (0,0,c/2)
esfera negra altura c/2 esfera roja altura 0 y c
4 átomos por celda unitaria
RED RECÍPROCA Segundo capítulo de curso
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC UNI SETIEMBRE 2013
Lima Perú
ARTURO TALLEDO Doctor en Física
RED RECÍPROCA DEFINICIÓN La red recíproca de la red cristalina definida por a1, a2, a3 es el conjunto de puntos en el espacio recíproco (L-1
L-1 L-1)
RR g / g h1 A1 h 2 A2 h3 A3 ; h1 , h 2 , h3 Z donde a su vez los vectores A1, A2 y A3 se definen como:
A1 2
a 2 a3 a1 a 2 a 3
A2 2
a 3 a1 a1 a 2 a 3
.
.
a1 a 2 A3 2 a1 a 2 a 3
.
RED RECÍPROCA PROPIEDAD 1 El volumen ( ) de una celda primitiva de una red recíproca está dado por
8 3 V donde V es el volumen de la celda primitiva de la red directa. Efectivamente:
8 π3 Λ (a2 a3) (a3 a1) (a1 a2) V3 8 π3 Λ (a 2 a3) a3 (a1 a 2) a1 a1 (a1 a 2)a3 3 V
RED RECÍPROCA PROPIEDAD 2 El producto escalar de un vector R de la red directa por un vector g de la red recíproca es un múltiplo entero de 2 . Efectivamente:
R g n1a1 n 2 a2 n3 a3 (h1A1 h 2 A2 h3 A3 )
R g 2 (h1 n1 h 2 n 2 h3 n3 ) Observar que :
Ai a j 2 π ij
RED RECÍPROCA DE UNA RED CÚBICO SIMPLE k
k 2 a
a a a
2 a
j
j
2 a
i
a1 a a i
a2 b a j a3 c a k 2 A i a
B
2 j a
C
2 k a
A1 2
a j a k 2 i 3 a a
A2 2
a k a i 2 j 3 a a
A3 2
a i a j 2 k 3 a a
La red recíproca de una directa sc es una sc
RED RECÍPROCA DE UNA RED FCC
4 a
k
a3
a a2
A1 j
a1 i
a a ( j k ) k i 2 2 2 a3 4 A1
1 a b 2 1 a 2 b c 2 1 a 3 c a 2
2 i j - k a
a1
A
2 i a
A 1 A B-C B
2 j a
C
2 k a
RED RECÍPROCA DE UNA RED FCC
4 a
k
4 a
a
A2
A3 a3
a2
j
a1
A1
i
1 a b 2 1 a 2 b c 2 1 a 3 c a 2 a1
A
2 i a
B
2 j a
A1 A B - C A 2 A B C
A 3 A B C 2 C k a
La red recíproca de una directa fcc es una bcc
RED RECÍPROCA DE UNA RED BCC 4 a
a2 a3 a1
A1
a a i j k i j k 2 2 2 a3 2
1 a b c 2 1 a 2 a b c 2 1 a 3 a - b c 2 a1
A
2 i a
A1
2 i j a
A1 AB B
2 j a
C
2 k a
RED RECÍPROCA DE UNA RED BCC 4 a
4 a
a2 a3 a1
i
A1 A B
1 a b c 2 1 a 2 a b c 2 1 a 3 a - b c 2 a1
2 A i a
B
2 j a
A 2 B C
A 3 C A
C
2 k a
La red recíproca de una directa bcc es una fcc
ALGUNOS VECTORES EN RED RECÍPROCA DE UNA RED DIRECTA BCC 4 a
k
g3
g4
g6
g1
g2
g5
i g1 A C (1,0,1) g 2 2A (2,0,0) g 3 2B 2C (0,2,2)
g 4 2 A 2B 2C (2,2,2)
g 5 A 3B (1,3,0) g 6 2A 4 B 2 C (2,4,2)
ALGUNOS VECTORES EN RED RECÍPROCA DE UNA RED DIRECTA FCC k
4π a
g5 g1
g4 j
g2 i
g3
g6
g1 A B C (1,1,1) g 2 2A (2,0,0) g 3 2A 2B (2,2,0)
g 4 2 A 2B 2C (2,2,2)
g 5 2A 4B 2C (2,4,2) g 6 2A 4 B (2,4,0)
RED RECÍPROCA DE UNA RED RECTANGULAR
22 π π j i ba
A=
b a2
B =2 π j b a
A=
2π i a
a1 a a i
a2 b b j a3 c c k A
2 i a
A1 2
A2 2
b j c k 2 i a bc a
cka i a bc
B
2 j b
2 j b
Red recíproca de una red rectangular centrada
a1 a a i
A2
b a2
1 1 a2 a i b j 2 2
a1 = a
a3 c c k A2 2
cka i abc 2
4 j b
4 j b
b a i j c k 2 2 2 2 2 i j A1 abc a b 2
B
A1
2 j b A
2 i a
PROPIEDAD 3 (parte 1) • La familia de planos paralelos {hkl} en la red directa es perpendicular al vector de la red recíproca g hA kB lC R1 m1 a1 n1 a 2 p1 a3 R 2 m2 a1 n 2 a 2 p 2 a3 R3 m3 a1 n 3 a 2 p3 a3 N
R 2 R1 R3 R1
N (h1 A1 h 2 A 2 h 3 A3 ) cte
h1 n 2 n1 p3 p1 n 3 n1 p 2 p1
…
PROPIEDAD 3 (parte 2) • La ecuación del plano perpendicular a g (R - R1 ) g 0
g es vector más pequeño en esa dirección, o sea, vector primitivo de red recíproca R g 2 N constante
g en términos de ejes cristalinos recíprocos
g hA k BlC
pa, qb , rc
Interceptos con ejes cristalinos: p a .g 2 N 2 h p
h
N p
, k
Los índices de Miller del plano R . g = 2
N , l q
N son (hkl)
N r
CONCLUSIÓN: Los índices de Miller (hkl) definen una familia de planos paralelos entre sí y perpendiculares todos ellos al vector de la red recíproca:
g h A k BlC
DISTANCIAS INTERPLANARES (1) • Plano perpendicular a g que
pasa por el origen (Π0 ): R g 0
• Plano paralelo más cercano
(Π1):
R g 2
a2
a3
R a1
g A1
(A1 a1 2 )
porque dos vectores primitivos del plano Π0 y un vector R = a1 que va de origen a Π1 forman una terna primitiva
DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS EN LA RED DIRECTA (2)
Π0 Π1
R1
R a1 d g
g A1
d R d
g g
2 g
(Observe que R es vector primitivo de red directa y g es vector primitivo de red recíproca)
Ver animación 3D
RED RECÍPROCA Y SERIES DE FOURIER (1) • Propiedades físicas de un cristal tales como densidad de carga electrónica o potencial electrostático debido a los iones en los puntos de la red son funciones periódicas, con periodicidad de la red, es decir, son representadas por funciones que satisfacen
r +R
r
f ( r R ) f (r ) donde R es un vector de la red cristalina
R
CASO UNIDIMENSIONAL • Si f (x + na) = f (x) , entonces: f( x) a n Cos n n
2 2 x bn Sen n x a a
f(x) cn e
i(
2π )n x a
n
a/2
2π
-i ( ) n x 1 c n f (x) e a dx a -a / 2
x+na
a
x
SERIES DE FOURIER TRIDIMENSIONAL Si f (r + R ) = f ( r), entonces:
f(r) Cg e
i gr
n
Cg
1 -i gr f ( r ) e dV V V
donde V es el volumen de la celda primitiva
EJEMPLO EN CRISTALES UNIDIMENSIONALES V0 , si x -a/4, a/4 V(x) 0, para otros x en la celda unitaria V
V(x) cn e
i(
2π )n x a
n
cn
a/4
1 V0 e a -a / 4
-i (
a 2π )n x a
-V0
dx
V0 1 V(x) ( e π n 1, 5,.. n
2 i a
nx
a/2
1 - e n 3, 7 ..,.. n
2 i a
nx
)
EJEMPLO EN CRISTALES BIDIMENSIONALES V0 , si x -a/4, a/4 , y -a/4, a/4 V(x, y) 0, para otros (x,y) en la celda unitaria Cg
1 c10 2 a
1 área
-i gr f ( r ) e d(área)
a
área
a/4 a / 4
V
0
e
-i (
2π i ) ( x i y j ) a
-a/4 -a / 4
C10 C01
C11
V0 2π
V0
2
dx dy
a/2 a/2
ZONAS DE BRILLOUIN • De un punto de la red recíproca se trazan segmentos sucesivamente a los vecinos más cercanos, segundos vecinos más cercanos, terceros vecinos y así sucesivamente.
• Se bisecan los segmentos con planos perpendiculares • El sólido más pequeño encerrado por los planos bisectantes es la Primera Zona de Brillouin (celda WS en el espacio recíproco) • El segundo sólido más pequeño es la segunda zona de Brillouin, y así sucesivamente.
PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN DE UNA RED CUADRADA 2 a
1
SEGUNDA ZONA DE BRILLOUIN DE UNA RED CUADRADA 2 a
2 1
TERCERA ZONA DE BRILLOUIN DE UNA RED CUADRADA 2 a
3
2 1
PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN DE UNA RED HEXAGONAL BIDIMENSIONAL red directa
red recíproca
a B
b
A a
Primera zona de Brillouin de una red hexagonal bidimensional
Primera zona de Brillouin de una red FCC 4 a
4 a
4 a
La primera zona de Brillouin de una red FCC es la celda WS de una red BCC
Primera zona de Brillouin de una red BCC 4 a
4 a
4 a
La primera zona de Brillouin de una red BCC es la celda WS de una red FCC
Zonas de Brillouin de una red cristalina unidimensional
2 a
TZB SZB
- a
PZB
a
SZB TZB
DIFRACCIÓN DE RAYOS X Tercer capítulo de curso
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC UNI Lima Perú setiembre 2013
ARTURO TALLEDO Doctor en Física
DIFRACCIÓN DE RAYOS X placa fotográfica
haz de rayos X
cristal
Un haz monocromático de rayos X al incidir sobre un sólido cristalino es re-emitido en ciertas direcciones específicas que dependen de la estructura del cristal
LEY DE BRAGG
(una explicación sencilla de la DRX)
d
d sen
d dsen sen
El haz es desviado un ángulo 2θ si encuentra en su camino una familia de planos cristalinos que satisface:
2 d sen n
(21 0)
LEY DE BRAGG
Haz
(100)
22
(100)
incid ente
2
1
1
21
0) 1 (2
x
Cada familia de planos cristalinos produce un haz desviado 2 con respecto a la dirección incidente
Detec tor
Análisis de von Laue
(una explicación más analítica) • • • • • •
Radiación re-emitida o desviada por un electrón Radiación re-emitida por dos electrones puntuales Por varios electrones puntuales Por un átomo Por los átomos de una celda primitiva Por los átomos de todo el cristal
Rayos X desviados por un electrón
Rayo incidente
do a i sv e od y ra
2 electrón
Campos del rayo incidente: Campos del rayo desviado: 4 2 + e 1 cos 2 2 f e 2 4 m c 2
E inc A e i (K i x - w t) E desv
fe
A i (K d D - w t) e D
(factor de polarización)
Rayos X desviados por dos electrones Scattering coherente
Kd
M
Kd
2
r12 Ki
P1
E desv K d P1M - K i P1 N
2
P2
N
Ki K d - K i K 2 K sen
A i Kd D fe e + ei K d D + D
(K d - Ki ) r12
Rayos X desviados por n electrones Para dos electrones:
E desv
A i Kd D f e (e ) 1 + ei K (r2 - r1 ) D
E desv f e
A i K d D i K r1 (e )e + e i K r 2 D
Se puede generalizar para n electrones que desvían un haz en K
E desv
A i Kd D i K rm f e (e ) e D m 1 n
Rayos X desviados por un átomo E desv
A i K d D n i K rm ) e f e (e D m 1
donde n es el número de electrones en un átomo, pero para ser más precisos tenemos que considerar que la carga de los electrones se distribuye como una nube
E desv
A i Kd D ρ i K r f e (e ) e dV D e V
E desv Factor atómico
A i Kd D ) f e f a (e D
ρ i K r f a e dV e V
Rayos X desviados por dos átomos iguales
Kd
M P2 Ki
N
P1
Kd Ki
2
r12
2
K d - K i K 2 K sen
A i Kd D E desv f e f a e + ei K d D + D (K d - K i ) r12 E desv f ef a
A i K D i K r 1 (e d ) e + e i K r 2 D
Rayos X desviados por los átomos de una celda primitiva E desv
nP
A i Kd D i K rj fe (e ) f aje D j1
donde n P , es el número de átomos por celda primitiva,
f aj
es el factor atómico de cada uno de los elementos en una celda primitiva
E desv donde FB
nP
j1
A i Kd D f e FB (e ) D
fa j e
i K rj
,
factor de base
Rayos X desviados por todos los átomos de un cristal E desv
A i K d D N i K Rl f e FB (e ) e D l1 E desv
donde FR
FR
N
A iK D ) f e FB FR (e D
ei K Rl , es el factor de red
l1
N , si K g , vector de red recíproca 0, si K g
N es el número de celdas primitivas en el cristal
Condición de Difracción Kdesv2
haz de rayos X
cristal
g2
Kdesv1 g1
Kinc
La intensidad de la radiación re-emitida por un cristal es nula en todas direcciones excepto en aquellas donde el cambio del vector de onda coincide con un vector de la red recíproca
K g K desv Kinc + g
Condiciones de Laue La condición de difracción:
K g Fue enunciada originalmente por von Laue en la forma:
K a 1 2 h1 K a 2 2 h2 K a 3 2 h3 Y se llaman condiciones de Laue para la difracción
Equivalencia Laue-Bragg K g Kd 2
Ki
K
g
2 K sen n g 0
donde g 0 es el vector de la red recíproca más pequeño en esa dirección y n es un entero
2 2 2 sen n d
2 d sen n
Descripción convencional E desv
A iK D f e FR FB (e ) D
E desv
A iK D fe F S (e ) D
N , si K hA + kB + C; con h,k, enteros F 0, si K hA + kB + C Al factor F podemos llamarle factor de red primitiva.
Shkl
n c.u
j1
fa j e
i ( hA + k B + l C ) rj
S se llama factor de estructura y la suma es sobre todos los átomos de una celda unitaria.
Cálculo de F N1
F ( e
i K m a
m 0
N1
F1 e m 0
i K m a
N2
) ( e
i K n b
n0
1 ei K a N1 i K a 1 e
N K a Sen 2 1 2 2 F1 K a Sen 2 2
N3
) ( ei K p c ) p0
N K a Sen 1 2 K a Sen 2
2
2 1
2 2
2 3
F F F F
Condiciones de Difracción K h Α + k B + l C K a 2 h K b 2 k K c 2 l
S hkl 0
Factor de estructura de una estructura bcc monoatómica Shkl
r1 (0,0,0) r2
a (1,1,1) 2
n c.u
j1
fa j e
i ( hA + k B + l C ) rj
Shkl f a (1 + ei(h Α + k +l C)(1/2)(a + b + c) )
Shkl f a (1 + ei (h+ k +l) ) 2 f a , si h + k + l es par Shkl 0, si h + k + l es impar
Factor de estructura de una estructura fcc monoatómica Shkl
r1 (0,0,0) r2
a (1,0,1) 2
r3
a (1,1,0) 2
r4
a (0,1,1) 2
n c.u
j1
fa j e
i ( hA + k B + l C ) rj
Shkl f a (1 + ei(h Α + k +l C)(1/2)(a + b ) + ei(h Α + k +l C)(1/2)( b + c ) + ei(h Α + k +l C)(1/2)(c + a ) )
Shkl f a (1 + ei (h+ k) + ei (k+l) + ei (l+ h) ) 4 f a , si h, k y l tienen la misma paridad Shkl 0, en caso contrario
Factor de estructura de una estructura de diamante
r1 (0,0,0) r2
a (1,0,1) 2
r3
a (1,1,0) 2
r4
a (0,1,1) 2
r5
a (1,1,1) 4
r6
a (3,1,3) 4
r7
a (3,3,1) 4
r8
a (1,3,3) 4
i (h+ k +l) Shkl f a (1 + ei (h+k) + ei (k+l) + ei (l+h) )1 + e 2
S hk
8 f a , si h, k y son pares y h + k + es 2(par) 4f a (1 i),si h,k y son todos impares 0, si h, k y son pares y h + k + es 2(impar) 0, no todos de la misma paridad
ESFERA DE EWALD
haz incidente
Kd Ki
g1
C
Ki
O
g3 g2 Es una esfera en el espacio recíproco cuyo radio es igual al módulo del vector de onda incidente (o desviado). La condición de Laue se interpreta geométricamente como la intersección de la superficie esférica de Ewald con la red recíproca.
TÉCNICAS EXPERIMENTALES • Laue, haz policromático • Cristal rotatorio • Debye Scherrer o método del polvo
Método de Laue
haz incidente
Kd
g1
Km C
O
KM
g3 g2
Se usa un haz polcromático con vectores de onda con módulos comprendidas entre Km y KM. Esto permite que ahora ya no tengamos una esfera de Ewald, sino un continuum de esferas y por lo tanto la intersección con red recíproca es un conjunto mayor de puntos. Da información sobre la simetría d monocristal.
Técnica del cristal rotatorio
haz incidente
Kd Ki
g1
C
Ki
O
g3 g2
Al rotar el cristal con respecto a un eje, rota también cada vector de la red recíproca e intercepta a la superficie esférica de ewald en dos puntos.
Técnica del polvo o Debye Sherrer
g haz incidente
Ki
2
Al moler el cristal se tienen partículas de algunos micrones, todavía cristales, orientados en todas las direcciones posibles. Es como si cada vector g rotara alrededor de todos los ejes posibles, describe una esfera. La intersección de la esfera generada por cada g con la esfera de Ewald es una circunferencia. Para cada g se tiene entonces un cono de haces difractados que hace un ángulo 2 con la dirección incidente.
Cámara Debye Sherrer
Método Debye Sherrer
Una cinta de película fotográfica sirve como detector de los ángulos en los que se producen ángulos difractados.
Difractómetro de polvos
Una fuente de rayos X monocromáticos emite en una dirección fija y un detector de gas recorre una circunferencia intersectando a los conos de haces difractado Automáticamente con ayuda de un software se almacenan los datos 2 vs I
Difractómetro X´pert UNI
DIFRACTÓMETRO DE LA FC UNI
Algunos espectros
Verificación de estructuras K g 2 K sen g El valor más pequeño de de menor módulo
corresponde al vector de red recíproca
Si podemos construir una sucesión de los g más pequeños entonces podemos determinar una sucesión de los más pequeños para los cuales se producen haces difractados. Ejemplo: Discutir como hallar los 5 valores de más pequeños para los que existe rayo difractado en el caso de una ortorrómbica F de parametros a = 4, b= 6, c = 10
Estructura cristalina del grafito La estructura del grafito es hexagonal a = 2,46 Å; c = 6,7 Å con base de 4 átomos: A1 (0,0,0); A2 (1/3 a + 2/3 b); A2 (2/3 a + 1/3 b + ½ c); A4 (1/2 c); Dé las dimensiones de los vectores convencionales de la red recíproca (A y C) Dé una expresión para el factor de estructura Shkl Identifique los 4 módulos más pequeños de los vectores de la red recíproca Indique cuáles serían los 4 valores de 2 theta para los cuáles se obtendría rayos difractados con radiación incidente de longitud de onda 1,54 angstron
A1 : (0,0,0) A2: 2/3 a +1/3 b A3: 1/3 a +2/3 b +1/2 c A4: (0,0,c/2) b
a
esfera negra altura c/2 esfera roja altura 0 y c
4 átomos por celda unitaria
red recíproca
red directa a
B
b
a
c
A
C
a 2,46 Å c 6,7 Å
4 A Primera zona de Brillouin A 2,95de Å 1 una 3a red hexagonal bidimensional C 0,93 Å 1 2 C c
S hkl 1 + e
.
1 2 i ( hA + kB +lC) ( a + b ) 3 3
+e
.
2 1 1 i ( hA + kB +lC) ( a + b + c ) 3 3 2
(hkl)
Shkl
ghkl (Å-1)
(001)
0
0,93
(002)
4
1,87
26,5
(100); (010),(1-10)
algo
2,95
42,4
(101): (1-11)
algo
3,09
44,5
(102)
algo
3,49
50,6
(004) (110)
4 4
3,74 5,10
(2 (theta)
+e
.
1 i ( hA + kB +lC) ( c ) 2
INDEXACIÓN DE REDES CÚBICAS K g 2 K sen g El valor más pequeño de corresponde al vector de red recíproca de menor módulo y los siguientes valores de cumplirán con la relación:
2 2 2 2 h + k + i i i gi sen i a sen 1 g1 2 h 2 + k 2 + 2 1 1 1 a Para cada una de las estructuras cúbicas (sc, bcc, fcc, diamante) podemos hallar la sucesión de números gi/g1. Esta nos da la relación entre los senos de los ángulos Seni ./ Sen1
INDEXACION DE REDES CÚBICAS (h,k, )
h 2 + k 2 + l 2 sen sen 1
sc
sen sen 1
(100)
1
1
bcc -
(110)
2
2
(111)
3
(200)
sen sen 1
fcc
sen sen 1
-
Diaman -
1
-
-
3
-
1
1
4
2
2
(210)
5
5
-
-
-
(211)
6
6
3
-
-
(220)
8
2 2
2
(221)
9
3
-
-
-
(300)
9
3
-
-
-
(310)
10
10
5
-
-
(311)
11
11
-
11 / 3
11 / 3
(222)
12
3
6
2
-
(320)
13
13
-
-
-
(321)
14
14
-
-
-
(400)
16
4
2 2
4/ 3
4/ 3
(322)
17
17
-
-
-
2
2/
2
-
3
2/ 3
2
2/ 3
INDEXACION DE REDES CUBICAS (h,k,l)
h 2 + k 2 + l 2
sen sc sen 1
sen bcc sen 1
sen fcc sen 1
(100)
1
1
-
-
Diamante -
(110)
2
2
1
-
-
(111)
3
3
-
1
1
(200)
4
2
1,41
1.15
-
(210)
5
5
-
-
-
(211)
6
6
1,73
-
-
(220)
8
2 2
2
1.63
1.63
(221)
9
3
-
-
-
(300)
9
3
-
-
-
(310)
10
10
5
-
-
(311)
11
11
-
1.91
1.91
(222)
12
6
2
-
(320)
13
13
-
-
-
(321)
14
14
-
-
-
(400)
16
4
2 2
2,309
2,309
(322)
17
17
-
-
-
2
3
sen sen 1
EJERCICIO Prob1 Cap.6 Ashcroft and Mermin: Se han obtenido difractogramas de tres materiales A, B y C por el método Debye-Scherrer y se han observado los valores de los cuatro primeros ángulos de desviación (2 θ ) para cada material:
A
B
C
42,2 28,8 42,8 49,2 41,0 73,2 72,0 50,8 89,0 87,3 59,6 115,0 Si se sabe que uno de ellos tiene estructura bcc monoatómico, otro fcc y otro tiene estructutura de diamante; identifique cada material con su respectiva estructura.
SOLUCIÓN A EJERCICIO De los datos para cada material se obtienen los correspondientes sen Sen θ i Sen θ1
Sen θ A
B
C
A
B
C
0,3599
0,2486
0,3648
1
1
1
0,4163
0,3502
0,5962
1,16
1,41
1,63
0,5877
0,4289
0,7009
1,63
1,73
1,92
0,6902
0,4817
0,8433
1,92
1,94
2,31
Comparando con tabla de indexación a redes cúbicas se llega a una conclusión clara.
Generación de rayos x
Espectros de rayos x generados por un target de molibdeno
Difracción de electrones De Broglie:
h p
p2 E eV 2m
( A)
150 V
V 8000V , entonces,
0,134 A
DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL (tratamiento cuántico) Supongamos que mandamos un haz de electrones rápidos a través del cristal, la interacción del potencial periódico con los electrones origina transiciones entre estados electrónicos. En la aproximación de Bohr, en teoría de perturbaciones, la probabilidad de transición por unidad de tiempo entre el estado inicial ψk y el estado final ψk´ es proporcional al cuadrado del elemento de matriz:
M k ´k
ψk
ψ k´r U (r)ψk (r) dV
ei k. r
ondas planas
U(r)
i g.r V e g g
DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL
M k ´k
i k´.r e
i g.r i k .r V e g e dV g
i k + g k´.r V e dV g
M k ´k
M k ´k
Vg , si k + g - k´ 0 0, en caso contrario
g
Difracción de neutrones Eave
3 K BT 2
p 2mn Eave
h p
ENLACE CRISTALINO Capítulo 4 de curso
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC UNI, Setiembre 2013 ARTURO TALLEDO Doctor en Física
¿Qué fuerzas mantienen unidos a los átomos de un cristal ? • La interacción electrostática atractiva entre las cargas negativas de los electrones y las cargas positivas de los núcleos es enteramente responsable de la cohesión de los sólidos. • Iones positivos separados entre sí, electrones de valencia también separados entre sí, electrones de valencia cerca a iones positivos para minimizar la energía potencial y electrones no localizados para disminuir su energía cinética.
Algunas variantes de cómo actúan las fuerzas electrostáticas • • • • •
Enlace Van der Waals o dipolar inducido Enlace iónico Enlace covalente Enlace metálico Enlace de hidrógeno
• Analizaremos en este capítulo sólo los dos primeros.
Cristales de gases inertes • Interacción dipolar inducida o Van der Waals • Potencial Lennard Jones • Constantes de equilibrio • Energía de cohesión • Módulo de compresión y compresibilidad
Interacción van der Waals-London 3 (p1 R) R 3 p1 E(R) 5 4 0 R R3 1
1 E(R) 3 R 1 p 2 (cte)E 3 R
U p2 E - constante U r6
Modelo cuántico de interacción van der Waals Hamiltoniano de dos osciladores independientes 2 p12 1 p 1 2 2 H0 x1 x22 2m 2 2m 2
Hamiltoniano de interacción de dos osciladores que experimentan interacción dipolar:
p12 1 p22 1 2e2 x1 x2 2 2 H H0 H1 x1 x2 2m 2 2m 2 R3 Cambios de variable:
1 xs ( x1 x2 ) 2
1 xa ( x1 x2 ) 2
ps
1 ( p1 p2 ) 2
1 pa ( p1 p2 ) 2
Modelo cuántico de interacción van der Waals ps2 1 2e2 2 pa2 1 2e2 2 ( 3 ) xs ( 3 ) xa H H0 H1 R R 2m 2 2m 2 2e 3 R
2
1/2
/ m
1 2e 2 1 2e 2 2 0 1 3 - 3 ... 2 R 8 R
1 U s a 0 2
C U - 6 R
1 2e 3 8 R 2
2
Modelo de Sólido de gases nobles
Potencial Lennard-Jones El potencial repulsivo puede explicarse como una consecuencia del traslape de nubes electrónicas de átomos vecinos así como al efecto cuántico de aumento de energía cinética de los electrones por confinamiento en un volumen muy pequeño. Se propone como fórmula empírica para este potencial:
U rep U
B 12 r
B C r12 r 6
12 6 Uij (R) 4 r r
Gráfico del potencial Lennard Jones 12 6 U ij (r) 4 rij rij
es el valor de r para el cual U es cero
es el valor de la energía potencial mínima.
U i (4 ) j i rij
12
i j rij
6
Energía de interacción de un átomo con todos los demás 6 12 U i (R) (4 ) i j pij R i j p ij R -6 p ij 14,45
p
j
j
pi2 R i
pi4 R
pi1R p R i3
pi5R
-12 ij
12,13
Constantes de la red en equilibrio N Ucristal (R) (4 ) 2
dUcristal - 2N dR
12 6 12,13 14, 45 R R
12 (12)(12,13) R13
R 0 1,09
(6)(14,45)
6
0 R 7
Energía de cohesión 12 6 Ucristal(R 0 ) 2 N 12,13 14,45 R0 R0
R 0 1,09
Ucohesión(R) - (2,15) (4 N )
Propiedades de los cristales de gases inertes Elemento
Distancia entre vecinos (Angstrons)
Energía de Punto de fusió cohesió n n (K) (Kj/mol)
He
Potencial de ionización del átomo libre (en eV)
ε en 10-23 J
σ en Å
24,58
14
2,56
Ne
3,13
1,88
24
21,56
50
2,74
Ar
3,76
7,74
84
15,76
167
3,40
Kr
4,01
11,2
117
14,0
225
3,65
Xe
4,35
16,0
161
12,13
320
3,98
•Tabla 2 capítulo 3 de C. Kittel
Módulos de elasticidad
Módulo de Young
F L F A E l A l L
F 1 F A Módulo de rígidez = G (Tg ) A
P P V Módulo de compresión= V V V
Módulo de compresión y compresibilidad Definición de módulo de compresión o bulk modulus:
dp B V dV A 0K la entropía es constante así que la primera ley de la termodinámica es:
dU p dV Y por lo tanto:
d2U BV 2 dV
El módulo de compresión es una medida de la dureza del cristal o de la energía necesaria para producir una deformación dada. A mayor valor de B más duro es el cristal
Módulo de compresión y compresibilidad El volumen de un cristal fcc monoatómico en términos de R (la distancia entre vecinos más cercanos) es:
NR 3 V 2 Por lo tanto, la expresión para la energía del cristal en términos de V es:
b12 b 6 U cristal 4 2 V V donde:
b12 (1/2)(12,13 )N5 12
En equilibrio a presión cero:
y
b6 (1/2)14,45) N3 6
dUcristal 4 b12 2 b 6 5 3 0 V dV V
Módulo de compresión y compresibilidad Por consiguiente el volumen de equilibrio está dado por: 1/ 2
2b V0 12 b6
1/ 2
12,13 Nσ3 14,45
El módulo de compresión es entonces:
d 2 Ucristal 20 b12 6 b6 b65 / 2 B V 3 2 3/ 2 2 3 V0 b12 dV V0 B
75
3
ENLACE IONICO
3+
9+
F
Li
3+
Li+
9+
F-
Definiciones Básicas e
+
Cl
+
Cl-
3,6 eV
Afinidad electrónica Na
+
5,1 eV
e
+
Na+
Energía de ionización
Na+
+
Cl-
Na+
Cl-
+
7,9 eV
Energía de cohesión
Energía electrostática o de Madelung 1 q2 U ij (R) exp(-R/ ) 4 0 R 1 q2 exp(-R/ ) 4 R , vecinos más cercanos 0 Uij (R) 2 1 q , otros 4 0 pij R
U i U ij j i
Ucristal NU i
Energía electrostática o de Madelung Ucristal NU i 1 q2 U cristal(R) N ( z exp(-R/ ) ) 4 0 R
j i
constante de Madelung pij
Constante de red y energía de cohesión dUi zλ N q2 N -N exp(-R/ ) 0 2 dR ρ 4 0 R z λ exp(-R 0 / )
1 4 0
ρ α q2 R 02
1 q2 U cristal(R) N ( z exp(-R/ ) ) 4 0 R
U cohesión
N q2 ρ (1 ) 4 0 R 0 R0
Cálculo de la constante de Madelung para cristal unidimensional
R
α R j i rij α 1 1 1 1 2 ... R R 2R 3R 4R
1 1 1
2 1 ... 2 3 4
x 2 x3 x 4 log (1 x) x - ... 2 3 4
α 2 log 2
Cálculo de la constante de Madelung para NaCl (convergencia lenta) α 6 12 8 ... R R R 2 R 3 α R j i rij
6 12 8 6 α 1 / 2 1/ 2 ... 1 2 3 2
Método de Evjen para constante de Madelung
6(1 / 2) 12(1 / 4) 8(1 / 8) α1 1/ 2 1/ 2 1 3 2
α1 1,46 La suma es sobre el primer cubo neutro
Método de Evjen para constante de Madelung
6(1 / 2) 12(1 / 4) 8(1 / 8) α1 1/ 2 1/ 2 1 3 2
α1 1,46 La suma es sobre el primer cubo neutro
Método de Evjen para constante de Madelung
α 2 1,75 α 1,747565 α 2 1,75
La suma es sobre el segundo cubo neutro
6 12 8 6(1 / 2) 24(1 / 2) 24(1 / 2) 12(1 / 4) 24(1 / 4) 8(1 / 8) α 2 1 / 2 1/ 2 1 2 3 2 3 5 6 8 2 3
Módulo de compresión y compresibilidad en cristales ionicos Definición de módulo de compresión o bulk modulus:
dp B V dV dU dU dR ; dV dR dV
d2U BV 2 dV
Y por lo tanto: N a3 V ; 4
3
V2NR ;
dR 1 1 dV dV/dR 6NR 2
2
d 2 U d 2 U dR dU d 2 R 2 2 dV dR dV dR dV2 A la distancia de equilibrio, cuando R = R0 y dU/dR = 0, se tendrá: 2
2
d U 1 1 d2U BV 2 2 dR 6NR 18NR 0 dR 2
Módulo de compresión en cristales ionicos 2
2
d U 1 1 d2U BV 2 2 dR 6NR 18NR 0 dR 2
d2U N z λ R 0 /ρ 2Nα q 2 N q2 R 0 2 2 e 2 3 3 ρ 4 0 R0 4 0 R0 ρ dR R 0
R0 α q2 B 2 4 4 π ε 018R 0 ρ
Parámetros y medibles en cristales iónicos 1 q2 U cristal(R) N ( z exp(-R/ ) 4 0 R 2 ρ α q R 02 exp(-R 0 / ) 4 0 z λ
1
U cohesión
N q2 ρ (1 ) 4 0 R 0 R0
R0 α q2 B 2 4 4 π ε 018R 0 ρ De las medidas experimentales de B y R0 podemos hallar ρ y λ Luego calcular la energía de cohesión y verificar con el experimento
Energías de Madelung y repulsivas para el KCl.
Ley de repulsión de potencia inversa N α q2 C U (R) m 4π 0 R R dU 0 dR
N q 2 R 0m-1 C 4 0 m
2
(4 0 )18 B R 04 1 d2U d2U 1 m 1 BV 2 2 2 q2 dR 6NR 18 N R 0 dR Conociendo R0 y B se determinan C y m. Luego se verifican estos resultados comparando la energía de cohesión experimental con la teórica:
U
teórica cohesión
N
q2 m 1
4 0 R 0
m
Propiedades cristales alcalinos con estructura NaCl Elemento
Distancia entre vecinos (Angstrons)
Punto de Potencial de Energía de fusión cohesión ionizació (K) respecto a n del iones átomo libres libre (en (Kcal/mol) eV)
LiF
2,014
-242,3
LiCl
2,570
-198,9
LiBr
2,751
NaCl NaBr
zλ en 10-23 J
ρ en Å
24,58
0,296
24
21,56
50
2,74
-189,8
84
15,76
167
3,40
2,820
-182,6
117
14,0
225
3,65
2,989
-173,6
161
12,13
320
3,98
•Tabla 5 capítulo 3 de C. Kittel 4ed ingles, 2da español.
FONONES ARTURO TALLEDO Doctor en Física Capítulo V de curso FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC UNI Lima, abril 2008
Introducción
Los átomos están sometidos a potenciales que se pueden aproximar al de un oscilador armónico simple. Constituyen un sistema de osciladores acoplados. La descripción del movimiento se puede hacer clásica (Newton) o cuánticamente (Schrodinger). A un modo de vibración de frecuencia ω , según Planck, se le puede considerar como una partícula de energía . A esta partícula se le llama fonón.
ω
Ondas elásticas en una barra contínua u
A’
u du F (x +dx)
F (x)
F S Esfuerzo A
x x+ dx
Ley de Hooke: S Y e
du Deformación unitaria e dx ; Y es el módulo de Young
2u (ρ A' dx) 2 S(x dx) S(x)A' t 2u S (ρ A' dx) 2 dx A' t x
2u 2u 2 x Y t 2
0
Ondas elásticas en una barra contínua 2
2
u ρu 2 2 x Y t
0
i(q x ω t)
u (x, t) A e 2u 2 q u 2 x
2u t2
ω u
ω vs q
Relación de dispersión:
vs
2
Y ρ
ω ω vs q
q
Densidad de modos de vibración en 1D u (x) u (x L)
Condiciones de frontera periódicas:
x x+ dx
x0
2π L
e
F (x +dx)
F (x)
xL
1
2π qn L
0
Número de modos entre q y q + dq :
Número de modos entre
iqL
g (q) dq
ω y ω dω :
L dq 2π
dq g(ω) 2 g(q) dω
g(ω)
L 1 π vs
Ecuación de onda en un medio continuo 3D 2
ρu u 0 2 Y t 2
i( q r ω t)
u (r, t) A e
ω vs q Por condiciones de frontera periódicas:
e
i(q1 L)
e
q1 , q 2 , q3 ( 2π m, 2π n, 2π p) L
L
L
i(q 2 L)
e
i(q3 L)
1
Densidad de modos de vibración en 3D q1 , q 2 , q3 ( 2π m, 2π n, 2π p) L
. . . . . . . .
. . . . . . . .
L
Número de modos de vibración con vector de onda entre 0 y q : 3
q2
. . . . . . . .
L
. . . . . . . .
2 L
. . . . . . . q. . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . 2 . L . . . q1 . .
V 4π 3 L 4π 3 q q 3 2π 3 2π 3 Número de modos de vibración con vector de onda entre q y q + dq :
g(q) d q
V 2 4π q dq 3 2
Densidad de modos de vibración en 3D Número de modos de vibración con vector de onda entre q y q + dq :
V 2 g(q) d q 4π q dq 3 2
g (ω)
Número de modos de vibración con vector de onda entre ω y ω dω 2
ω dω V 4π g (ω) dω 3 2 vs vs (3)V ω2 g (ω) 2 2 v3s
ω
Vibraciones de un cristal unidimensional monoatómico un-1
un
un+1
d2u n M 2 - u n u n 1 u n u n-1 dt
d2u n M 2 - 2 u n - u n 1 u n-1 dt Condiciones de frontera periódicas:
un (x) = un (x+L)
Vibraciones de un cristal unidimensional monoatómico i(qXn t)
un A e M
2
e
iqna
Ae
2e
i(q n a ω t)
iqna
e
iqa
iq ( n1) a
M 2 e e 2
e
iqa
M ω2 2α 1 Cos q a 4α ω Sen(qa/2) M
iq ( n1) a
Relación de dispersión para vibraciones en un cristal unidimensional
ω ωm Sen(qa/2)
ω (q) ω (q)
4α ωm M Por CFP :
qn
4α4α MM
2π L
• Obsérvese la periodicidad:
y
2 ω(q) ω(q ) a ω(-q) ω(q)
• Hay N modos de vibración en la PZB
π a
2π Na
π a
q
Comparación con relación de dispersión lineal • Para longitudes de onda grande, es decir, q próximo a cero, la ecuación:
4α ω Sen(qa/2) M Se reduce a :
4α qa ω M 2 Comparable con la ecuación:
α vs a M
ω vs q La medida de la velocidad del sonido nos permite determinar las fuerzas interatómicas
Velocidad de grupo y velocidad de fase ω vf q Para longitudes de onda grandes
vg
ω q
v f vg vs
Para valores de q cerca a la frontera de zona de Brillouin:
vg 0
Las ondas elásticas cerca de la frontera de zona experimentan difracción de Bragg
Densidad de modos de vibración en un cristal monoatómico L 1 g(ω) π dω dq
2L g(ω) π a m
qa Cos ( 2 )
1
Cristal unidimensional diatómico 2n 1
M1
2n
2n 1
a
M2
d 2 u 2n1 M1 α2u 2n1 u 2n u 2n2 2 dt d 2 u 2n M2 α2u 2n u 2n1 u 2n1 2 dt Condiciones de frontera periódicas:
un (x) = un (x+L)
Cristal unidimensional diatómico iq (2n1)a iω t u A e 2n1 1 e u iq(2n)a 2n A 2 e
2α M1ω2 - 2 Cos (qa) 2 2 Cos (qa) 2α M ω 2
2α M1ω2 - 2 Cos (qa)
- 2 Cos (qa) 2α M2ω
2
A1 0 A 2
0
Relaciones de dispersión para vibraciones en cristal unidimensional diatómico 1 1 α ω2 α M1 M 2
2
1 1 4sen 2 (qa) M1M 2 M1 M 2 vf
Signo - , rama acústica. Signo + rama óptica. Para q = 0:
ω q
ω 1/ 2
1 1 ωO 2 M1 M 2
ωA 0 1/ 2
1 1 ωO 2 M1 M 2 Para q =
π 2a :
ωA
2α M2
ωO
2 M1
π 2a
M1 M 2
π 2a
q
Relación de dispersión para vibraciones en cristal unidimensional diatómico ω
M1 M2
π 2a
π 2a
q
Relación de dispersión para vibraciones en cristal unidimensional diatómico ω 1/ 2
1 1 ωO 2 M M 1 2
π 2a
ωO
2 M1
ωA
2α M2
π 2a
q
Modos ópticos y modos acústicos 2α M1ω2 - 2 Cos (qa) 2 - 2 Cos (qa) 2α M 2ω ω 0 A1 A 2
A1 0 A 2
Átomos vecinos vibran en fase
1/ 2
1 1 ωO 2 M1 M 2
M1A1 M 2 A 2 0
Desfasaje de 1800
Vibraciones en cristales tridimensionales monoatómicas M
xx xy xz lmn - yx yy yz 6 u lmn - u lmn 1 u lmn -1 ... 2 dt zx zy zz
d 2u
i(qrn t)
un A e
M ω2 A - α(q) A Diagonalizando
ωj
s (q) M
3 ramas acústicas
, j 1,2,3
Vibraciones en cristales tridimensionales diatómicas xx xy xz d 2 u1mn M1 - yx yy yz 6u lmn - u lmn 1 u lmn -1 .... dt 2 zx zy zz
ω
LO M2
d 2 u pqr dt 2
xx xy xz - yx yy yz 6 u pqr - upqr1 u pqr -1 zx zy zz
TA2 TA1
LA
TO2 TO1
q 3 ramas acústicas y 3 ramas ópticas
Determinación Experimental de Relaciones de Dispersión • Dispersión de neutrones • Dispersión inelástica de rayos X • Espectroscopía Raman
Dispersión de Neutrones por un Cristal n
p´
p n
p2 E 2M n
cristal
p´2 E' 2M n
• Un haz de neutrones de energía E y momentum p inciden sobre un cristal. Los neutrones pueden ganar o perder energía y momentum. • Los neutrones interactúan fuertemente con los núcleos y muy débilmente con los electrones • Las leyes de conservación de energía y de momentum cristalino permiten obtener información sobre los modos de vibración del cristal
Conservación de energía y momentum cristalino E'E h ω j (q) n q j q, j
p' - p h qΔn q j h g q, j
• En el proceso de dispersión de un neutrón por el cristal pueden involucrase
diferente número de fonones.
•El momentum cristalino de un fonón definido como q no es necesariamente la suma algebraica de las cantidades de movimiento de los iones del cristal. Es simplemente un nombre. Juega un papel similar.
Dispersión de neutrones sin participación de fonones (ZERO PHONON SCATTERING)
• El estado vibracional final del cristal es igual al inicial • La energía del neutrón no cambia • La cantidad de movimiento del neutrón cambia en
p' - p g • (condición de Von Laue para difracción) • La información que se obtiene es la misma que en difracción de rayos X
Dispersión de neutrones con la participación de un fonón (ONE PHONON SCATTERING)
• Los eventos en que un neutrón absorbe o emite sólo un fonón son los que proporcionan mayor información sobre las relaciones de dispersión. • Las leyes de conservación:
E'E h ω j (q)
p' - p h q hg Podemos escoger una dirección en la cual medir E’, y obtener así un punto de la relación de dispersión. La constante aditiva g puede ser ignorada porque podemos restringirnos a la PZB
Dispersión de neutrones con participación de dos fonones (TWO PHONON SCATTERING)
E'E ω j (q) ω j' (q' )
p' - p h q h q' h g p'p E' E h ω j (q) h ω j' ( q) h Si observamos la energía de los neutrones en una dirección dada es posible obtener suma de energías de cualesquiera dos modos de vibración con q en la PZB. Si hubiera sólo procesos con absorción de dos fonones el espectro de E’-E vs número de cuentas sería un continuum
Determinación Experimental de la relación de dispersión
•En la figura, p´1 y p´2 son momenta de neutrones que se han dispersado sin crear ni absorber fonones. Al colocar el detector en la posición D ya se sabe cuál es el q del fonon absorbido Se determina ω midiendo la energía de los neutrones que allí llegan.
Resultados Típicos
Número relativo de neutrones dispersados en una dirección dada en función de la energía ganada por los neutrones. La curva continua es el ruido de fondo debido a los procesos multifonónicos. Los picos se deben a los procesos que involucran un solo fonón.
Espectrómetro de neutrones
Convención para relaciones de dispersión
Densidad de modos de vibración en 3D q ω d q dω
dω dω dS d q dS dS vg q ω
L g(ω( 2π
3
dSω vg
resumen. Haga un esquema de las relaciones de dispersión w vs k para los siguientes tipos de sólidos: a) un sólido continuo b) un cristal unidimensional monoatómico de parámetro de red a c) un cristal unidimensional diatómico de parámetro de red a d) un cristal tridimensional monoatómico de parámetro de red a e) un cristal tridimensional diatómico de parámetro de red a
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO p2 C 2 h x 2m 2 P
p m0
Q
0 2 h P Q2 2
Q, P
C 1 m 0
x, p
C x 0
1
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO 2 Q i P
,
2 P 2 Q2 1
2 P 2 Q2 1
P2 Q2 2 1
0 2 h P Q2 2
2 Q i P
N
1 h 0 2
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO p2 C 2 h x , h 2m 2
0 2 1 2 P Q , h 0 N 2 2
1 N N N
n
N
n 1
0 función propia de N para el valor propio n - 1
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO 1 N N N
n
n cte n1
n
n 1 n1
n
1 n 0 n!
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO 2 Q i P Q
C x 0
C m
m0 1 x i p 2 2m0 p2 C 2 h x 2m 2
H
2 Q i P
,
P
2 0
,
m0 2
p m0
1 x i p 2m0
1 1 2 P( R) u ( R) D ( R R´)u ( R´) 2 R, R´ R 2M
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO H
1 1 2 P( R) u ( R) D ( R R´)u ( R´) 2 R, R´ R 2M
1 ks N
e
1 ks N
e
i k . R
R
R
i k .R
ms (k ) 1 es (k ) u( R) i P( R ) 2 2ms k ms (k ) 1 es (k ) u( R) i P(R) 2 2ms k
H
1 s k k s k s 2 k ,s
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
u (R), P R´
i RR´
u (R), u R´ P (R), P R´
e
i k .R
R
k ,s
k ,s
0
0, k no es vector de la red recíproca N , k es vector de la red crecíproca
, k´s´
i kk´ ss´
, k ´ s´
k ,s
, k´s´
0
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
uR
1 k s k ,s e s k ei k.R N k ,s 2ms (k )
PR
m s k i k s k ,s e s k ei k .R N k ,s 2
3
e k e k s 1
s
e k
s
i k .R
0,
R0
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
1 1 2 ( ) ( ) P R k k s R 2M s ks k s ks 4 k ,s
1 U s (k ) k s k s k s ks 4 k ,s
H
1 s k k s k s 2 k ,s
DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL Supongamos que mandamos un haz de electrones rápidos a través del cristal, la interacción del potencial periódico con los electrones origina transiciones entre estados electrónicos. En la aproximación de Bohr, en teoría de perturbaciones, la probabilidad de transición por unidad de tiempo entre el estado inicial ψk y el estado final ψk´ es proporcional al cuadrado del elemento de matriz:
M k ´k
ψk
ψ k´r U (r)ψk (r) dV
ei k. r
ondas planas
U(r)
i g.r V e g g
DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL
M k ´k
i k´.r e
i g.r i k .r V e g e dV g
i k g k´.r V e dV g
M k ´k
M k ´k
Vg , si k g - k´ 0 0, en caso contrario
g
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 1
U(r)
V (r R ) a
M k´k
M k ´k
i k .r e
i k .r V r R e dV a
i k k´.r e Va r R dV
M k´k
i k k´.R i k k´.(r R ) e e Va r R dV
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 2
M k ´k
1 Va (K) N
iK.R e
K k´k 1 iK .r Va (K ) V ( r ) e dV a Vc Si la red está fija, es decir, si no hay vibraciones:
e
iK.R
1 eiK1L 1 1 eiK2 L 2 iK1 iK 2 e e 1 1 iK .R e
1 eiK3L 3 iK3 1 e
N K ,g
M k ´k
Va (g) k k´,g
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 3
Aquí mostramos los pasos para calcular el factor de red en un experimento de difracción cuando sí consideramos las vibraciones de la red
R´ R u R (Aq eiq. Aq eiq. ) q
Fred
1 1 iK .R ´ e exp i K R A q eiq.R A q eiq.R N N q
1 1 iK.R ´ iK.R iq.R iq.R e e exp i K A e A q qe q N N
exp i K Aqeiq.R Aqeiq.R 1 iK Aqeiq.R Aqeiq.R ... Fred
1 iK .R iq.R e 1 exp i K Aq e N q
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 4 Fred Fred
M k ´k
1 1 iK .R e exp i K A q ei qK .R N N q
1 1 iK .R e exp i K A q ei qK .R N N q
Va (g) k k´,g i k´k A q Va k´k
Si hablamos de la difracción de electrones por las vibraciones de la red, Tenemos que considerar sólo:
M k ´k
i k´k A q Va k´k
1 n q Eq 2 Nmq2 Nmq
Aq
2
TEORÍA DE BANDAS FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC-UNI octubre 2013
ARTURO TALLEDO DOCTOR EN FÍSICA
ESTADOS ELECTRÓNICOS EN UN CRISTAL (TEORÍA DE BANDAS) • • • • •
MODELO DE DRUDE (Ashcroft) GAS DE FERMI DE ELECTRONES LIBRES (Kittel) TEOREMA DE BLOCH (Aschcroft) MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES (Ashcroft) MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS (Omar) • MODELO KRONIG PENNEY (Mckelvey)
Modelo de Drude
Los electrones de valencia de un metal se mueven por todo el volumen del metal no ocupado por los iones. Esto significa aproximadamente el 80% del volumen de una muestra metálica. El comportamiento de estos electrones es como el de un gas monoatómico ideal U = 3/2 N KB T. Obedecen la estadística de Boltzman. Existe la probabilidad dt/ τ de que un electrón experimente un choque en el intervalo de tiempo (t, t+dt). τ se llama tiempo de relajación, tiempo de vida media del electrón, o tiempo de colisión. Los choques son con los iones fijos. Entre dos choques cada electrón obedece las leyes de Newton, es decir, se mueve en línea recta con MRU si ningún campo es aplicado a la muestra o con movimiento acelerado si algún campo eléctrico o magnético es aplicado.
ELECTRONES LIBRES EN 1D E
Ecuación de Schrodinger: 2 d 2 E 2m dx 2
EZE
Soluciones:
( x) A e ikx 2
2
k E 2m
Condiciones de frontera periódicas,
4π - .. a
-
2π .. a
2π .. L
2π .. a
(x) (x L)
2π 2π i kL e 1 k n n, n 1, 2, .... L Na
4π .. a
k
ELECTRONES LIBRES EN 1D Periodicidad en el espacio recíproco: E(k+g) = E(k). k+g es equivalente a k. El vector k es indeterminado en un vector g de la red recíproca
E
π a
π a
k
ELECTRONES LIBRES EN 1D Esquema de Zona Reducida
π a
E
π a
kk
ELECTRONES LIBRES Esquema de Zona Periódica.
E
Tercera banda Segunda banda Primera banda
π a
π a
k
ELECTRONES LIBRES EN3D Ecuación de Schrodinger:
2 2 E 2m Soluciones:
(r) A e i k r 2
2
k E 2m
Condiciones de frontera periódicas k2
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . q. . . . . . . . .
k
(x, y, z ) = (x + L, y + L, z + L)
2 L
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
2 L
ei(k1 L) ei(k2 L) ei(k3 L) 1 k1 , k 2 , k 3 ( 2π m, 2π n, 2π p) L
k1
L
L
Número de estados con vector de onda entre 0 y k : 3
V 4π 3 L 4π 3 k k 3 2π 3 2π 3
ENERGÍA DE FERMI
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . .EF . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
2 L
. . . . . kF. . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
(2) V 4π 3 N kF 3 2π 3 2 L
k F (3 n) 2
2
1/ 3
2 2/3 EF (3 n) 2m
Densidad de Estados Número de estados con vector de onda entre k y k + dk : V 2 g(k) dk 4π k dk 3 2
g(E)
Número de estados con vector de onda entre E y E + dE (2)V 2 g (E) dE 4π k dk 3 2 1/2
2m k 2 E1/2 2m 2k dk 2 dE
E
g (E)
V 2m 2 2 2
g(E F )
3N 2E F
3/ 2
E1/ 2
Teorema de Bloch • Las funciones de onda espaciales de un electrón en un cristal (potencial periódico) son de la forma:
n k (r) ei k r u nk (r) donde:
u nk (r R) u nk (r)
PRUEBA:
2 En la ecuación de Schrodinger 2 V(r) E ...(1) 2m
V(r R) V(r) V(r) Vg e
igR
...(2)
g
CFP (r) cqeiqr q
...(3)
Teorema de Bloch Obsérvese que el término V(r ) (r ) en la ecuación (1) será:
ig . r i q. r V(r)(r) Vg e cq e g q V(r)(r) Vgcq ei(gq) . r gq
i q '. r i q. r V c e V c e g q ' g g ' q g ' g q'
g 'q
Reemplazando (2) y (3) en (1) tendremos entonces la ecuación de Schrodinger en la forma: 2 iq.r 2 q e 2m q E cq
V g'
g'
cq g '
0
Puesto que las funciones ei q . r son linealmente independientes, tendremos para cada q una ecuación así: 2 2 q E cq 2m
V g'
g'
cqg ' 0
Teorema de Bloch Cualquier q siempre puede ser escrito como k - g donde k está en la PZB y g es cualquier vector de la red recíproca. Luego:
2 2 (k g) E ck g Vg ' ck gg ' 0 g' 2m Cambiando el nombre de los índices: g’ = g’ - g 2 2 (k g) E ck g Vg 'g ck g ' 0 Ecuación A 2 m g' Enfatizamos que ésta es simplemente la ecuación de Schrodinger en el espacio recíproco. Cada valor de energía esta asociado con c k y todos los coeficientes ckg donde g es cualquier vector de la red recíproca. Luego:
k (r) ck g e g
i (k g )r
e
ik.r
c g
k g
e
i gr
i k.r
e uk (r). Lqqd
MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES 2 2 (k g) E ck g 2 m
V g'
g 'g
ck g ' 0
Ecuación A
Potencial periódico nulo, Vg = 0 2 (k g) 2 E ck g 0 2m
EE
( 0) k -g
ck -g 1, si q k - g ck -g ' 0, si q k - g'
2 , E (k - g)2 , 2m
2 2 E q 2m
q (r) Aeiq.r
MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES V, g g1
(0) (0) Caso no degenerado: Ek-g - Ek-g
E E c (0) k -g1
E E c (0) k -g
k g
ck g
1
k g 1
Ecuación A1
g
Vg1 -g ck - g1
V
g ' g1
g 'g
ck g ' Ecuación A2
Vg 'g ck g ' Vg1 -g ck - g1 (0) (0) E E k -g E E g 'g1 k -g
Puesto que V es pequeño, esperamos:
ck g
Vgg 1 ck g
ck -g1 1, y ck -g 0, si g g1
Vg1 -g ck - g1 2 0(V ) (0) E E k -g
Ecuación B
MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES (0) (0) Ek-g E k-g 1
Caso no degenerado:
V, g g1
Reemplazo ecuación B en ecuación A:
E E c (0) k -g1
EE
k g 1
(0) k -g1
g
g
Vg g 1 Vg1 g EE
Vg g 1 Vg1 g E Ek(0)-g
(0) k -g
3
ck g1 0(V )
0(V3 )
Los niveles no degenerados no cambian apreciablemente
MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES Caso Casi Degenerado: (0) (0) Ek-g E k-g j i (0) (0) Ek-g E k-g i
E E c (0) k -g i
E E c (0) k -g
m
k g i
Vg j g i ck g j j1
m
k g
ck g
Vg j g ck g j j1
1 E E k(0)-g
V, si i, j 1, m. V, si g g1,g 2 ,...g m
V
ck g , i 1, 2, ... m
Ecuación A1
ck g ' , g g1 , g 2 ,... g m
Ecuación A2
g g i
g g1 , g 2 ,..g m
V
g 'g
g ' g1 , g 2 ,..g m
m
2 V c 0(V ) g1 -g k - g1 j 1
Ecuación C
MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES Caso Casi Degenerado:
E E c (0) k -g i
m
k g i
Vg j g i ck g j
ck g
j1
1 E E k(0)-g
m
V
g g i
g g1 , g 2 ,..g m
V j 1
c
g1 -g k - g1
ck g , i 1, 2, ... m
0(V 2 )
Ecuación A1 Ecuación C
Reemplazo la ecuación C en A1:
E E c (0) k -g i
k g i
m
m
j1
j1 g g1 , g 2 ,..g m
Vg j g i ck g j (
Vgg i Vg j g
E E (0) k -g
)ck g j 0(V 3 ) , i 1, 2, ... m
MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES Caso Casi Degenerado: En una aproximación de primer orden los desplazamientos respecto al potencial cero se calculan a partir de:
E E c (0) k -g i
m
k g i
Vg j g i ck g j , i 1, 2, ... m j1
Matricialmente, por ejemplo, para m = 4:
E E k(0)-g 1 - Vg 2 g 1 - Vg3 g 1 (0) E E k -g 2 - Vg3 g 2 - Vg1 g 2 (0) V V E E g1 g 3 g 2 g 3 k -g 3 - Vg3 g 4 - Vg1 g 4 - Vg 2 g 4
- Vg 4 g 1 ck -g 1 - Vg 4 g 2 ck -g 2 0 - Vg 4 g 3 ck -g3 (0) c E E k -g 4 k -g 4
MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES E
Caso Casi Degenerado: E E (0) - V g k (0) E Ek -g - Vg (0) k
E E E 2
(0) k g
E
c k c k - g
0 k g
0
4 V
0 2 k
E
2
(0) E E k Vg Eg
π a
π a
kk
(0) E E k V 2 ( ) a
E g 2 V 2 (
a
)
g
2
MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES E
Caso Casi Degenerado: E E (0) k g - V2 g (0) - V2 g E Ek g Gap 2
π a
π a
kk
c k g 0 c k g
E Ek(0)g V2g
EE
(0) k g
V 4 (
a
)
MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES
k
Interpretación de Bragg Cerca de la frontera de zona de Brillouin:
λ 2a 2dsenθ n
La superposición de ondas incidentes y reflejadas produce ondas estacionarias seno y coseno con diferentes valores de energía
( x) B Cos
a
( x) BSen
x
a
x
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS
La molécula H 2 :
-
+
+
1 1 2 2
1 1 2 2
Niveles de energía
N núcleos y un solo electrón +
+
+
+
+
+
+
+
+
N funciones de onda para N niveles de energía N funciones de onda para un solo nivel de energía
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS Cuando hay N iones y un solo electrón cada nivel atómico da lugar a N niveles de energía, los cuales constituyen una banda de energía.
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS
a) Potencial periódico b) Funciones de onda atómicas c) Funciones de onda atómicas multiplicadas por onda plana
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS Escojamos una función de onda que satisfaga el teorema de Bloch y que se reduzca a una función de onda atómica para valores de x cerca de cada ion
1 N i kXj k (x) 1/2 e ν (x X j ) N j1
Ec (1)
Satisface el teorema de Bloch
1 ikx N -i k( x-X j ) k (x) 1/2 e e ν (x X j ) N j1
Ec (1a)
Cerca del j-ésimo ion se comporta como un orbital atómico:
k (x) e
i kX j
ν (x X j ) ν (x X j )
Ec (1b)
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS Cálculo de la energía
E(k) Ψ*k H Ψ k dx
E(k) Ψ k H Ψk
Ec (2)
Reemplazando Ec (1) en Ec (2): 1 i k(X j X 'j ) E (k) e ν (x X j' ) H ν (x X j ) N j, j' j
E (k)
N 1 2
N j 2
e
i k Xj
ν (x) H ν (x X j )
Ec (3)
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS Cálculo de la energía j
E (k)
N 1 2
j
N 2
e
i k Xj
ν (x) H ν (x X j )
E (k) ν (x) H ν (x) e '
j
2 d2 H V(x) 2 m0 dx 2 V(x) v (x - X j ) j
V(x) v(x) V' (x)
i kXj
ν (x) H ν (x X j )
Ec (3) Ec (4)
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS Primer término de la ecuación (4) 2 d 2 ν (x) H ν (x) ν (x) v( x) ν (x) ν (x) V' ( x) ν (x) 2 2m0 dx
β - (x) V' ( x) ν (x) *
ν (x) H ν (x) E
Ec (4a)
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS Segundo término de la ecuación (4), considerando sólo vecinos más cercanos
j
'
e
i k Xj
ν (x) H ν (x X j ) eika ν (x) H ν (x a) e-ika ν (x) H ν (x a)
2 d 2 ν (x) H ν (x - a) ν (x) v ( x a ) ν (x - a) ν (x) V' ( x a) ν (x) 2 2m0 dx
- * (x) V' ( x a) ν (x - a)
Integral de traslape
E(k ) E 2 Cos ka
Ec (5)
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS ka E (k ) E 0 4 sen ( ) 2 2
E0 E 2 Ek E0 γ a 2k 2
MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE LIGADOS Caso 3 dimensional: banda s de un sólido con estructura fcc monoatómica Es (k) Es - γ
e
ik R 0j
j, vecinosmás cercanos
a 2 (i j) a k (k x , k y , k z ) y R 0 (k j) 2 a 2 (i k ) k ya k ya k xa k za k za k x a Cos Cos Es (k ) Es 4 Cos Cos Cos Cos 2 2 2 2 2 2
Es (k ) Es 12 γ k a
2 2
MODELO KRONIG PENNEY 0, si x 0, b V(x) - V0 , si x b, a V(x) V(x n a)
v
b
2 d 2 V(x) E 2 m dx 2
x
-V0
c
aa d 2 dx 2
2 0 , si x 0, b 1/2 2mE α 2
d 2 2 0 , si x b, a dx 2 1/2 2 m (E V0 ) β 2
MODELO KRONIG PENNEY d 2 2 0 , si x 0, b dx 2
d 2 2 0 , si x b, a dx 2
Ψ k (x) e ikx u k (x)
Ψk (x) eikx u1k (x) d 2u 1 dx 2
d 2u 2 dx 2
Ψ k (x) e ikx u 2k (x)
2i k
du 1
(k 2 α 2 ) u 1 0 , si x 0, b
2i k
du 2
(k 2 β 2 ) u 2 0 , si x b, a
dx
dx
MODELO KRONIG PENNEY d 2u 1 dx 2
d 2u 2
dx 2 Caso 1: Si E>0
du 1
2i k
dx
2i k
(k 2 α 2 ) u 1 0 , si x 0, b
du 2 dx
(k 2 β 2 ) u 2 0 , si x b, a
u1 (x) A e i(α - k)x B e -i(α k)x , si x 0, b i(β-k)x
u 2 (x) C e
De
-i(β k)x
, si x b,a
MODELO KRONIG PENNEY Usando como condiciones de frontera la continuidad de la función y su derivada en x = 0 y en x = b A BCD 0
iα - k A i α k B iβ - k C iβ k D 0
A ei(α - k)b B e -i(α k)b C e -i(β - k)c De i(β k)c 0
iα - k A e i(α - k)b i α k B e -i(α k)b iβ - k C e -i(β - k)c iβ k De i(β k)c 0
MODELO KRONIG PENNEY Los coeficientes A,B, C y D se encuentran resolviendo estas ecuaciones simultáneas y la solución existe sólo si el determinante de sus coeficientes es nulo, lo cual implica:
α 2 β 2 Sen α b Sen β c Cos b Cos c Cos k (b c) (Sol. 1) 2α β
MODELO KRONIG PENNEY Caso 2: -V0 < E < 0
El procedimiento es igual pero α es imaginario y podemos escribirlo así:
α iγ Y teniendo en cuenta que:
Cos (i x) Cos h x y Sen (i x) i Senh x Puede deducirse que habrá solución no trivial para A,B,C y D sólo si:
γ 2 β 2 Senh γ b Sen β c Cosh γ b Cos β c Cos k a .... (Sol. 2) 2γ β
MODELO KRONIG PENNEY Ambas, Solución 1 y Solución 2 son de la forma:
f (E) Cos k a Esto significa que dado un valor de k podemos hallar el correspondiente E Para ver cualitativamente la existencia de bandas prohibidas y permitidas reescribimos ambas soluciones en las formas: 1/2
(α β ) 2 1 4α 2β 2 Sen α b 2
2
(β 2 γ 2 ) 2 1 Senh γ b 2 γ2 4β
Cos ( β c - δ1 ) Cos k a 1/2 Cos ( β c - δ 2 ) Cos k a
MODELO KRONIG PENNEY Donde:
α2 β2 Tan δ1 Tan α b , si E 0 2α β
γ 2 β2 Tan δ2 Tanh γ b 2γβ
, si - V0 E 0
1/2
(β γ ) 2 Senh γ b 1 4β 2 γ 2 2
2
f(E) = MODELO KRONIG PENNEY 1/2
f(E)
(α 2 β 2 ) 2 1 Sen α b 2 2 4α β
k
2π a
k
Cos ( β c - δ1 ) Cos k a
E=0 π a
k
π a
si - V0 E 0
2π a
E = - V0
k
, si E 0
Cos ( β c - δ 2 ) Cos k a
k
3π a
E
MODELO KRONIG PENNEY Para resolver exactamente E vs k puede procederse del siguiente modo: 1) Asegurarse de tener los datos V0 (en eV), a y c (en angstron) .
2) Tomar 2000 valores de energía E en el intervalo (- V0 , V0) y para cada uno de ellos escribir los valores de
3) Reemplazar
β
β
y (α ó γ ) .
y ( α ó γ ), así como a, b y c en la solución (1) o
solución (2). De este modo se obtiene f (E).
4) Para los valores de f(E) en el intervalo (-1,1) tome arco cos f ( E ) y así podrá obtener k. Con lo cual habrá obtenido un punto de la relación de Dispersión E vs k).
MODELO KRONIG PENNEY
Otros métodos de cálculo de bandas El método celular El método de ondas planas aumentadas
El método del seudo potencial
EL MÉTODO CELULAR Resuelve la ecuación de schrodinger en una zona de Brillouin con Condiciones de frontera:
(r) e-ik.R (r R) nˆ (r ) (r) -e -ik.R nˆ(r R) (r R) En la publicación original para calcular el estado de más baja energía de la banda 3s del sodio se aproximó la celda WS a una esfera y se resolvió el problema como si fuera un problema atómico pero con condiciones de frontera :
0, (r0 ) 0
SUPERFICIES DE FERMI La superficie de Fermi es definida como la superficie en el espacio k dentro de la cual todos los estados están ocupados por electrones de valencia a 0K. Todos los estados fuera de la esfera de Fermi están vacíos.
SUPERFICIES DE FERMI Método de Harrison: Una técnica para construir superficies de Fermi de metales. En primera aproximación consideramos que los electrones son libres. Las superficies De Fermi son esferas. Si salen de la PZB usamos dos o mas bandas.
SUPERFICIES DE FERMI 3ZB
2ZB
1ZB
SUPERFICIES DE FERMI
SUPERFICIES DE FERMI ¿ Cómo puede pasarse de las superficies de Fermi para electrones libres a las de electrones casi libres? a) El potencial del cristal redondea las esquinas afiladas de las superficies de Fermi. (b) La mayor parte de las superficies de Fermi cortan perpendicularmente a los límites de la zona. (c) La interacción del electrón con el potencial periódico del cristal origina la aparición de bandas prohibidas en los límites de la zona.
d) El volumen total encerrado por la superficie de Fermi depende solamente de la concentración electrónica y es independiente de los detalles de la interacción con la red.
CONDICIÓN DE LAUE k
g
g/2 frontera de zona de Brillouin
A diferencia de los experimentos de DRX con un haz monocromático, todos los electrones están expuestos a experimentar una reflexión de Bragg, pero sólo la experimentarán aquellos que satisfacen la condición de Laue. Estos son los que están en las fronteras de las ZB. La difracción de Bragg, a su vez, origina la aparición de bandas prohibidas
k´ k g 2 k . g 2
2
2
2 k . g g2
g k. g
1 g 2
SUPERFICIES DE FERMI Problema 5.14 de Omar: Recordando que para un gas de electrones libres:
k F (3 2n)1/ 3 a) Cuando la concentración de electrones aumenta, la esfera de Fermi se expande. Demostrar que esta esfera empieza a tocar las caras de la PZB en una red fcc cuando La relación entre concentración de electrones y de átomos es n/na = 1,36 b) Suponga que algunos de los átomos en un cristal de cobre que tiene estructura fcc monoatómica son gradualmente reemplazados por átomos de zinc. Considerando que el zinc es divalente y el cobre monovalente, calcular la razón de átomos de cobre a átomos de zinc en una aleación CuZn (bronce) a la cual la esfera de Fermi toca las caras de la zona. ( El bronce experimenta un cambio estructural a esta razón de concentraciones)
SUPERFICIES DE FERMI
Problema 5.14 de Omar: Recordando que para un gas de electrones libres:
k F (3 2n)1/ 3
a) Cuando la concentración de electrones aumenta, la esfera de Fermi se expande. Demostrar que esta esfera empieza a tocar las caras de la PZB en una red fcc cuando La relación entre concentración de electrones y de átomos es n/na = 1,36 b) Suponga que algunos de los átomos en un cristal de cobre que tiene estructura fcc monoatómica son gradualmente reemplazados por átomos de zinc. Considerando que el zinc es divalente y el cobre monovalente, calcular la razón de átomos de cobre a átomos de zinc en una aleación CuZn (bronce) a la cual la esfera de Fermi toca las caras de la zona. ( El bronce experimenta un cambio estructural a esta razón de concentraciones)
Solución:
La esfera comienza a tocar a la PZB cuando
kF
Reemplazando este valor en la fórmula del enunciado se obtiene:
Mientras que na = 4/a3
a
3
n
a3
3
SUPERFICIES DE FERMI DE ALGUNOS METALES
Ver tabla de superficies de Fermi en archivo de internet
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN • En el estado fundamental, es decir a OK los N electrones en un cristal ocupan los N estados de energía más baja, pero ¿qué pasa a una temperatura T ?
La Distribución Maxwell Boltzmann(*) • Dado un sistema de N partículas como las moléculas de un gas en un recipiente, el número de partículas en un nivel de energía Ei, con degeneración gi es:
Ni A g i e- Ei /KBT donde A es una constante de normalización y KB es la constante de Boltzmann Si la densidad de estados es g(E), entonces: Número total de partículas
Energía total del sistema de partículas
N A e-E/KBT g(E) dE
Etotal A E e-E/KBT g(E) dE
Es válida para N partículas distinguibles que no obedecen principio de exclusión de Pauli
(*)
Ver: Solid -State and Semiconductor Physics por J.P. McKelvey
Estadística Fermi Dirac • La probabilidad de que un estado de energía E sea ocupado por un electrón a una temperatura T es:
f (E)
1 e(E-μ)/KBT 1
donde μ es el potencial químico (depende de cada material) y KB la constante universal de Boltzmann.
Si la densidad de estados es g(E), entonces: Número total de partículas Energía total del sistema de partículas
N f(E) g(E) dE
Etotal E f(E) g(E) dE
Es válida para N partículas indistinguibles que obedecen principio de exclusión de Pauli
Estadística Fermi Dirac
f (E)
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FERMI
f 0 f(E) h(E) dE H(E) f(E) 0 H(E) E dE 0
H (E )
E
h(E)dE 0
1 H ( E ) H( ) (E - ) H´( ) ( E ) 2 H ´´( ) 2
f(E) h(E) dE H( ) 0
0
2 ( K BT )2 h 6
2 ( K BT ) 2 f H(E) (- )dE H( ) E 6
E E
2H E 2 E
Dinámica Semiclásica de los electrones en un cristal ¿Cómo se comportan los electrones de un sólido cristalino en presencia de campos externos? 1. Permanecen en su banda, n es constante 2. Un electrón con vector de onda k y energía En(k) tendrá
1 v k E 2. Obedecen la segunda ley de Newton en la forma: dk F dt
Límite de validez del modelo semiclásico Los electrones obedecen la dinámica semiclásica con la condición de que los campos E y B no sean muy intensos. En la práctica esto significa:
E gap (k) e a << EF E gap (k) c << EF
2
2
eB c m a es el parámetro de red
Dinámica Semiclásica de los electrones en un cristal
mv k 1 dE v dk
v (-k ) - v (k ) v se puede interpretar como la velocidad de grupo de un paquete de funciones de onda con k en el intervalo k k
Dinámica Semiclásica de los electrones en un cristal
mv k 1 v k E
v (-k ) - v (k ) v también se puede interpretar como el valor esperado del operador i para una función de m Bloch
Dinámica Semiclásica de los electrones en un cristal
Segunda ley de Newton y momentum cristalino dE(k ) e ε v dt dE(k ) 1 e ε k E (k ) dt dE(k ) dk k E(k ) dt dt
dk eε dt
Dinámica Semiclásica de los electrones en un cristal Masa efectiva de un electrón en un cristal
dv a dt a
dv dk dk dt
1 d2E a 2 2 F dk 2 m 2 dE dk 2
Dinámica Semiclásica de los electrones en un cristal Masa efectiva de un electrón en un cristal
dv a dt a
dv dk dk dt
1 d2E a F 2 dk 2 m 2 dE dk 2
TENSOR MASA EFECTIVA 1 v vg k E
dvx v x dkx v x dky v x dkz dt k x dt k y dt k z dt
dv x dt dv y dt dv z dt
v x k x v y k x vz k x
v x k y v y k y vz k y
v x dk x k z dt v y dk y k z dt dk z vz k z dt
2 2 2E E E 2 k x k y k x dk z k X 2 2 2 1 E E E m 12 2 k x k y k y k z k y 2 2 2 E E E 2 k x k z k z k y k z
CONCEPTO DE HUECO Es una seudopartícula cuyas propiedades físicas son equivalentes a las de todos los electrones de una banda con todos los estados ocupados excepto uno. El vector de onda del hueco es :
kh ke
La energía del hueco es: Eh (k h ) Ee (k e ) La velocidad del hueco es: vh (k h ) ve (k e ) * * m (k ) m La masa efectiva del hueco es: h h e (k e )
La carga eléctrica del hueco es: qh = e
CONCEPTO DE HUECO Ee
Eh kh
Ee(ke)
Ke
Eh (kh) Kh
ke
kh ke
Eh (k h ) Ee (k e )
vh (k h ) ve (ke )
m*h (k h ) m*e k e
CONCEPTO DE HUECO Ee
ε
Eh kh
ke
dk h dk e eε dt dt
La carga eléctrica del hueco es positiva
Conductores, semicondutores y aislantes E BC
BC
BV
Conductores
gap
gap
BV
semicondutores
BV
aislantes
Conductores semicondutores y aislantes
Conductores semicondutores y aislantes
(a) aislantes, (b) metal o semimetal, (c) metal
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos E(electrones)
2k 2 E c (k ) E g 2m*e
2k 2 E v (k ) 2m*h 1 2m e g e (E) 2 2 2π
E(huecos)
3/2
1 2m h g h (E) 2 2 2π
E E g
3/2
E1/ 2
1/ 2
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos
n
E C2
f (E) g(E) dE
E C1
p
EV 2
f
EV 1
h
(E) g h (E) dE
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos 3/2
1 2me EF/K BT n 2 2 e 2π
E E g
1/ 2 E/K BT
e
Eg
1/ 2 x x e dx 0
3/2
1/2 2
me k BT E F /K BT Eg /K BT n 2 e e 2 2π
dE
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos
p f h (E) g h (E) dE 0
f h 1 f (-E) 1 -
1
e-E-E F /K BT 1 g h (E)
1 e(EF E)/KBT 1
1 2m h 2 2 2π 3/2
3/2
E1/ 2
m k T p 2 e B 2 e-E F /K BT 2π
e E F /K BT e-E/KBT
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos
np mh 1 3 E F Eg K BT Ln 2 4 me 1/T
k BT ni 2 2 2π
3/2
me mh
3/4
e
E g /2K BT
Estados de Impurezas
e2 V(r) 4π ε r ε 0 r ε r 10 ,
me 0,2 m0
1 me - m0 e 4 Ed 2 ε r m0 2(4π ε 0) 2
Ed 0,01eV
Estados de Impurezas
1 m h - m0e 4 E a 2 ε r m0 2(4π ε 0) 2
Ordenes de magnitud:
Ea 0,01 eV
Concentración de portadores en semiconductores extrínsecos 3
k T 3/2 E /K T n p 4 B 2 me m h e g B 2π
np n
2 i
semiconductores extrínsecos tipo n n Nd
n i2 p Nd
semiconductores extrínsecos tipo p p Na
n i2 n Na
Concentración de portadores en semiconductores extrínsecos
CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA DC FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC UNI Octubre 2013 ARTURO TALLEDO Doctor en Física
MODELO DE DRUDE
Si no hay campo eléctrico los electrones se mueven con velocidades del orden de hasta 106 pero en direcciones al azar de modo que en promedio v = 0
ε
vd
En presencia de un campo eléctrico constante los electrones adquieren una velocidad constante, conocida como velocidad de arrastre, v d .
MODELO DE DRUDE dv m qε dt q v ε t, entre t 0 y t τ m
En t = τ los electrones chocan con “iones” y regresan a v = 0
Entonces, en promedio los electrones viajan con velocidad : q vd ετ 2m
drift velocity o velocidad de arrastre
MODELO DE DRUDE dv mv m qεdt τ dv q v εdt m τ qτ dv 1 - v ε dt τ m
dv 1 - d t τ qτ v m ε
qτ v m ε t Ln qτ τ ε m
qτ v ε ( 1 - e - t/τ ) m Si t >> τ
qτ v ε , velocida d constante m
MODELO DE DRUDE J nq v d vd vd Δt
t=0
v d Δt vd t = Δt
n A v d t q I t
q J nq τ ε m J σε
n e2 σ τ m
MODELO DE SOMMERFELD Se basa en la descripción cuántica del movimiento de electrones libres (gas de Fermi)
Si no hay campo eléctrico externo, los electrones con k < kF se distribuyen simétricamente dentro de la esfera de Fermi. En presencia de un campo eléctrico, la esfera de Fermi se desplaza.
δk m vd δk
MODELO DE SOMMERFELD Sólo contribuyen a la conductividad eléctrica los electrones llevados fuera de la esfera de Fermi por el campo eléctrico.
2 δk 4π k 1 F n ef n n ef n 3 4π 3 kF 3
vd vF
J n ef q v F J nq v d
n e2 σ τ m
Conductividad vs temperatura en metales Si el cristal fuera perfecto no habrían choques de los electrones con la red. Los choques se producen por las impurezas y por losfonones.
Conductividad vs temperatura en metales
σ
n e2 σ τ m
n e2 τ m
m 1 ρ n e2 τ
σ
ρ
m 1 1 ( ) 2 n e τi τ fon
n e2 τ m
ρ ρi ρfon
Conductividad eléctrica en semiconductores n e2 σe τe m n e2 σh τh m
σe n e μ e ve e τe μe μe ε me
μh
vh eτ μh h ε mh
σh n e μ h
σ (n e μe p e h )
Conductividad vs temperatura en semiconductores intrínsecos σ n i e ( μ e h ) ni depende de la temperatura exponencialmente μe y h
( μe h ) depende de la temperatura polinomialmente
Prevalece el comportamiento exponencial
σ f (T) e-Eg/ 2 KB T
Conductividad vs temperatura en semiconductores extrínsecos
σe n e μ e
En un amplio rango de temperatura n = Nd se mantiene constante. Los cambios de σ con la temperatura se deben a la movilidad. σe n e μ e
-
μe
e e me
μe
e T -1
e e
-
me v r
-2 1 3 me v r K B T 2 2
μe
e e 1/2 ( ) m1/2 3 K T e B
μ e T -3/2
EFECTO HALL Si sobre una muestra por la que circula corriente eléctrica se aplica un campo magnético perpendicular a la corriente, entonces, aparecerá una diferencia de potencial en la dirección perpendicular a ambos. Sirve para determinar el tipo de portadores en semiconductores. εH
εH
εH
εH
ε H vd B
q (vd B ε H ) 0
ε H vd B vd -
Jx ne
1 εH Jx B ne 1 RH ne
vd
Jx pe
εH
1 Jx B pe
1 RH pe
EFECTO HALL
q (vd B ε H ) 0
FLe - e (ve B) e ve B
ε Le ve B Je B ε Le ne
ε Lh
- Jh B pe
J y n e μ e ε Le p e μ h ε Lh (n e μ e p e μ h ) ε H
n e Je n e p h Jx
pμ 2h nμ e2 R e(nμ e pμ h ) 2
RESONANCIA CICLOTRÓNICA mω 2 r - e v B ωc
e B * m
ωc υc 2,8B GHz 2π B en kilogauss La resonancia ciclotrónica es comúnmente usada para medir la masa efectiva del electrón en metales y semiconductores
RESONANCIA CICLOTRÓNICA La trayectoria no es necesariamente una circunferencia:
dk - e v(k ) B dt
δk -
:
e v (k ) B δ t
T δt eB
δk v (k )
v( k) es la velocidad normal a la órbita ωc
2πeB δk v (k )
Para electrones libres regresamos a: ωc
e B * m
EFECTO HALL Y MAGNETORESISTENCIA d 1 m v e (E v B ) dt τ
d 1 m v x e (E x B vy ) dt τ
d 1 m v y e (E y B vx ) dt τ d 1 m vz e Ez dt τ
EFECTO HALL Y MAGNETORESISTENCIA eτ vx E x ωc τ v y m
eτ vy E y ωc τ v x m
E x 1 ωc τ eτ E y - ωc τ 1 m 0 Ez 0
0 0 1
vz -
vx vy vz
eτ Ez m
EFECTO HALL Y MAGNETORESISTENCIA
Jx ne 2 τ Jy m J z
Jx Jy n e Jz
vx vy vz
ωc τ 1 - ωc τ 1 0 0
0 0 1
-1
Ex Ey Ez
EFECTO HALL Y MAGNETORESISTENCIA
Jx σ0 J y 2 1 ( ω τ ) c J z Jy 0
c E x -E y ; J x
1 ωc τ 0
- ωc τ 1 0 σ0
1 ( ωc τ )
2
Ex Ey 1 ( ωc τ ) 2 E z 0 0
(E x c E y ) J x σ 0 E x
La resistividad es independiente del campo magnético E y - ωc τ E x - ωc τ
ρ(B) ρ 0
RH
1 ne
Jx 1 JxB 2 ne τ/m ne
MAGNETORESISTENCIA
PROPIEDADES TÉRMICAS DE SÓLIDOS FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC – UNI JUNIO 2014
ARTURO TALLEDO Doctor en Física
Calor Específico de sólidos (definición) El calor específico molar es definido como: ΔQ C ΔT donde Q es el calor requerido para elevar en T la temperatura de una mol del sólido.
Recordando la primera ley de la termodinámica: Q E P V y puesto que en sólidos el proceso se realiza aproximadamente a volumen constante, tendremos:
E C T V
Calor Específico de sólidos (Evidencia experimental)
El calor específico molar depende de la temperatura en la forma mostrada en la figura:
A altas temperaturas el valor CV de cualquier sólido es aproximadamente 3R donde R es la constante universal de los gases (R 2 cal/K) (Ley de Dulong y Petit). Al disminuir T, el calor específico también decrece hasta hacerse cero a 0K.
Modelo clásico • Cada átomo es un oscilador tridimensional • En un sólido con N átomos tenemos 3N osciladores unidimensionales. • Los osciladores son independientes • Pueden tener valores continuos de energía • Obedecen la estadística de Boltzmann.
Calor Específico de la red (modelo clásico) Cada átomo está fijo a un punto de red oscilando como un oscilador armónico simple Recordamos de Física elemental que la energía promedio para un oscilador unidimensional es E prom k B T
Entonces la energía por átomo, considerado como un oscilador 3D es 3 k B T y la energía por mol es:
E 3 N Av k B T El calor específico molar a V constante es entonces:
CV 3 N Av k B 3 R
Modelo de Einstein • Cada átomo es un oscilador tridimensional • En un sólido con N átomos tenemos 3N osciladores unidimensionales. • Los osciladores son independientes • Sólo Pueden tener valores discretos de energía E n n ω • Obedecen la estadística de Boltzmann.
Calor Específico de la red (modelo de Einstein) Los átomos son tratados como osciladores independientes pero los valores de la energía están dados por la MECÁNICA CUÁNTICA
En n ω
E n e - E n / K BT E prom n 0 e - E n / K BT n0
ω E prom e ω/K B T 1
E prom
En e n 0
e
- E n / K BT
- n ω / K BT n ω e n 0
- E n / K BT
n0
- n ω / K BT e
n 0
x e- ω / K BT
E prom
ω n xn n 0
n x
n0
1 n x 1 x n 0
ω x ω E prom -1 1 - x x -1
d x n n n x x dx n x 1 x 2
n
ω E prom e ω/K B T 1
Calor Específico de la red (modelo de Einstein) ω E E 3 N Av e ω E /K B T 1 ω E C V 3 R K T B
θ C V 3 R E T
2
e ω E /K B T e ω E /K B T 1
2
e θ E /T e θ E /T 1
2
2
Calor Específico de la red (modelo de Einstein) θ CV 3 R E T
2
e
eθ E /T θ E /T
1
2
A bajas temperaturas, T << θ E , la expresión para CV se reduce a: 2
θ E -θ E /T B(T ) e-θ E /T CV 3 R e T
0
A altas temperaturas, T >> θ E , la expresión para CV se reduce a: 2
1 θE CV 3 R 2 T θE 1 1 T
3R
Modelo de Debye • En un sólido con N átomos tenemos 3N osciladores unidimensionales. • Pero cada átomo no es un oscilador, sino cada modo de vibración colectivo, cada fonón es un oscilador. • Cada oscilador sólo tener valores discretos de energía • Obedecen la estadística de Boltzmann. • Cada oscilador tiene frecuencia diferente.
Calor Específico de la red (Modelo de Debye) Cada modo de vibración de la red es considerado como un oscilador cuántico con valores de energía n h ω E
ω e ω/K B T 1
Se usa aproximación de vibraciones en sólido continuo 3V ω 2 g (ω ) 2 π 2 v3 s
ω vs q E E(ω) g (ω ) d ω
Calor Específico de la red (modelo de Debye) ωD
E
3V ω dω ω2 2 3 ω/K T B 1 2 π vs 0 e
La integral es de 0 a un valor ω D tal que: ωD
g (ω ) d ω 0
3 N Av ωD vs 6 n 2
1/ 3
Calor Específico de la red (modelo de Debye) ωD
E
3V ω ω2 dω 2 π 2 v3 e ω/K B T 1 s 0
CV
2
3V 2 2 π 2 v3 s K BT
T C V 9R θD
ωD
ω/K BT 4 ω e
0 e ω/K B T 1
3 θD / T
0
x4 ex e x 1
2
2
dx
dω
Calor Específico de la red (modelo de Debye) Para bajas temperaturas, T <<
θD
:
4 π4 d x 2 15 x 0 e 1
x4 ex
T 12 π 4 CV R 5 θD
3
Para altas temperaturas, T >> θ D : 3V CV 2 π 2 v3s
2
K BT 2
ωD
0
ω4 1 1 K T B
2
dω
3R
Calor Específico de la red (Teoría exacta) E
-
E( ) g( ) d ω E C V T V
L g( ) 2π
3
dSω vg
Calor Específico de los electrones En metales: C V Ce C red
Considerando la contribución electrónica como la de un gas ideal: Ce
3 R 3 cal/mol K 2
Se esperaría entonces que la capacidad calorífica de los metales sea: CV 3 R
3 R 4,5 R 9 cal/mol K 2
Sin embargo, el experimento contradice este razonamiento. Experimentalmente se observa que la contribución de los electrones al calor específico es sólo 0,01(3/2) R.
Calor Específico de los electrones No todos los electrones del metal contribuyen al calor específico: n ef N Av
E N Av
Ce 2 R
K BT EF
K B T 2 EF
K BT EF
Más exactamente:
E
EF
0
0
E f(E) g(E) dE - E g(E) dE
Calor Específico de los electrones E
EF
0
0
E f(E) g(E) dE - E g(E) dE
EF N
f (E)
1 e(E -μ)/K BT 1
EF
f(E) g(E) dE
E - EF e(E - EF )/KBT f K BT 2 (e(E - EF )/KBT 1) 2 T
0
E Cel = T
E g(E)
0
N 0 EF = T
f dE T
EF g(E) 0
f dE T
x=
E - EF K BT 2 B
Cel g(E F ) (K T)
-
E Cel = T
0
f (E - E F ) g(E) dE T
K T π2 Ce NK B B 2 EF
x
2
e
ex x
1
2
dx
N = n ó N = NAv
INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FERMI
f(E) h(E) dE H(E) f(E)
0
0
H (E )
f H(E) dE E 0
E
h(E)dE 0
1 H ( E ) H( ) (E - ) H´( ) ( E ) 2 H ´´( ) 2
f(E) h(E) dE H( ) 0
0
2 ( K BT ) 2 h 6
2 ( K BT ) 2 f H(E) (- )dE H( ) E 6
E E
2H E 2 E
Cálculo de Cel
f(E) h(E) dE H( )
2 ( K BT ) 2 h
0
0
0
Etotal f(E) E g(E) dE E g(E) dE
0
0
E E
6
2 ( K BT ) 2 6
n f(E) g(E) dE g(E) dE
g ( ) g ( )
2 ( K BT ) 2 6
EF
h(E) dE h(E) dE - E H ( E F
0
0
F
g ( ) )
Cálculo de Cel EF
2 ( K BT ) 2 2 ( K BT ) 2 g ( EF ) g ( EF ) Etotal E g(E) dE E F EF g EF 6 6 0 EF
2 ( K BT ) 2 g ( EF ) n g(E) dE EF g EF 6 0 2 ( K BT ) 2 g ( EF ) 0 EF g EF 6
EF -
2 ( K BT ) 2 g ( EF ) 6
g ( EF )
Cálculo de Cel 1 K BT 2 E F 1 - ( ) 3 2 EF Etotal
E total 0
2 2
K BT 2 g ( EF )
Etotal 2 2 CV K B T g ( EF ) T 3 CV
2 KB T 2
EF
nK B
Conductividad térmica de los electrones 1 Q dT H K Δt ΔA dx K K e K fonones 1 K e C Ve v 3
v, velocidad de los electrones,
H n c ( T ) v
(asi como J n q v)
dT dT ΔT vx τ dx dx
, trayectoria libre media
1π n K T v F F K e 3 2 EF 2
E
2 B
1 m v2 F 2
π 2 n K 2B T τ F K 3 m*
H n v 2x cτ
dT 1 dT n v 2 cτ dx 3 dx
1 dT H CVe v 3 dx
Conductividad térmica vs conductividad eléctrica de metales π 2 n K 2B T τ F K 3 m*
n e2 σ τ m K L T
L
π2 K B 3 e
Número de Lorentz
2
= 2,45 10-8 watt-ohm/grad 2
Valores experimentales del numero de Lorentz L x 108 watt-ohm/grad2 Metal
00C
1000C
Ag
2,31
2,37
Au
2,35
2,40
Cd
2,42
2,43
Cu
2,23
2,33
Ir
2,49
2,49
Mo
2,61
2,79
Pb
2,47
2,56
Pt
2,51
2,60
Sn
2,52
2,49
W
3,04
3,20
Zn
2,31
2,33
Conductividad térmica de la red dT H K dx
K K fonones 1 K e CVfonones v 3 A bajas temperaturas: 3
T 1 K fonones 234 NK B vs 3 D
A altas temperaturas:
Kfonones R vs
Resistividad eléctrica vs temperatura en metales ρ
m 1 1 ( ) 2 n e τ i τ fon
n
A x
m 1 ρi = cte , n e 2 τi
1
(Ley de Mathiensen) m 1 ρf n e2 τf
ρf
m vF n e2 f
T
T
A 1
n
1 k x2 2 e
ρf
2
x2 ω
ω/K BT
1
KB T
2 N KB m v T F 2 ne k
Resistividad eléctrica vs temperatura en metales
σ
n e2 τ m
σ
n e2 τ m
Movilidad vs temperatura en semiconductores
σe n e μ e En un amplio rango de temperatura n = Nd se mantiene constante. Los cambios de σ con la temperatura se deben a la movilidad. σe n e μ e
-
μe
e e me
μe
e T -1
e e
-
me vr
μ e T -3/2
-2 1 3 m e v r K BT 2 2
μe
e e 1/2 m1/2 3 K T e B
Los electrones en el fondo de la BC obedecen la estadística clásica.
EXPANSIÓN TÉRMICA Consideremos la anarmonicidad del potencial y supongamos: U ( x) c x 2 - g x 3 - f x 4 Calculamos el desplazamiento medio utilizando la distribución de Boltzmann que da los valores posibles de x según su probabilidad termodinámica.
x
U ( x) dx x e
U ( x) dx e
x
3g k T 2 B 4c
Fenómenos termoeléctricos Efecto Seebeck Efecto Peltier
Efecto Thompson
EFECTO SEEBECK En un circuito formado por dos metales distintos homogéneos, A y B, con dos uniones a diferente temperatura, T y T+ T, aparece una corriente eléctrica J, o bien, si se abre el circuito una fuerza termoelectromotriz (f.t.e.m.) VAB que depende de los metales utilizados en la unión y de la diferencia de temperatura entre las dos uniones. material A T T
V
T T
material B ε Q T V
Q T
VA VB
QA T QB T
VB - VA V
QB -
QB -
QA T
QA T
Cálculo de la termopotencia Velocidad de arrastre de los electrones debido al gradiente de temperatura vQ
1 vx - v vx v - v dv 2 dx
d v2 v Q dx 2
vQ
d v2 6 dT
d v 2 dT v Q dT 2 dx
T
2 cV 1 d mv Q 3ne 3e d T 2
vd k Q B 2e
Drude
e m Q
2 k B k BT 6 e EF
Sommerfeld
EFECTO PELTIER El efecto Peltier consiste en el enfriamiento o calentamiento de una unión entre dos conductores distintos al pasar una corriente eléctrica por ella y que depende exclusivamente de la composición y temperatura de la unión.La potencia calorífica intercambiada en la unión entre A y B es [Biel J. G., 1997]:
Llega calor
HA HB
A J, B J
Sale calor
QT H
( A B ) J
EFECTO THOMPSON El efecto Thomson consiste en la absorción o liberación de calor por parte de un conductor eléctrico homogéneo, con una distribución de temperaturas no homogénea, por el que circula una corriente
Coeficiente de Thomson Q= termopotencia
H Q T T J T
EFECTO TERMOIONICO El efecto termoiónico consiste en la emisión de electrones de un filamento metálico por efecto de calentamiento. J
T2 T1
amperímetro Alto vacio
filamento
Alto voltaje Fuente para calentar filamento
T1
J S (T2 ) J S (T1 )
V
Este efecto se explica calculando la corriente debido a los electrones que pasan a través de la barrera de potencial Nivel de vacío
función trabajo
EF
e Jx V
e v x (k ) V k
v x (k ) 2
E EF v x ( k ) 0
d dk x dk y dk z
d 2 L
3
Considerando la probabilidad de ocupación según Fermi Dirac. 2e Jx dk y dk z k x dk x f E k , T 3 k x min 2 m
K B T
Jx
e
4 3 m
Boltzmann
dk y e
E F 2 m 2
2k 2 y
/ 2 mK B T
k x dk x e
2k 2 x
dk z e
2 k 2 / 2 mK z B
/ 2 mK B T
4me 2 / K B T K B T e Js 3 h Formula de Richardson-Dushman para la corriente de saturación
T
Corrección por factor de transmitancia cuántica en un potencial escalón.
4me 2 / K B T K B T e Js 3 h
K T/E
T
B
F
4 E 1/2 ( E U ) 1/2
E
1/2
(E U )
1/2
2
Corrección a la función trabajo por efecto de un campo eléctrico.
e 4 0 3
TEORÍA SEMICLÁSICA DE CONDUCCIÓN CAPÍTULO 9
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FACULTAD DE CIENCIAS UNI Noviembre 2013 ARTURO TALLEDO Dr. EN FÍSICA
FLUJOS DE CARGA ELÉCTRICA Y DE CALOR
Flujo de carga ( Densidad de corriente eléctrica):
d J e 3 vn k f n 4 n
Ec. (1)
Flujo de calor:
H
fn
d n 4 3 En vn k f n
Se llama función de distribución de no equilibrio
Ec. (2)
APROXIMACIÓN TIEMPO DE RELAJACIÓN En equilibrio: f n (r, k , t ) f n0 (r, k ) f 0 ( En (k )) 1 0 f ( En (k )) E / K BT e 1
Fuera de equilibrio :
d f n (r, k , t ) dt /
dt 0 f (r, k ) n (r, k )
es la fracción de electrones que sufren una colisión y también la fracción de electrones que emergen hacia r, k
Ec. (3)
Cálculo de la función de distribución de no equilibrio dV d f n (r , k , t ) 3 4
dN
dV d dt´ f n0 rn (t´), kn (t´) Pn (r , k , t; t´) dN n rn (t´), kn (t´) 4 3 t
fn
t
dt´ 0 f (t´) P(t , t´) (t´)
P(t,t´) es la fracción de electrones que emerge en t´y sobrevive hasta t
La fracción P(t,t´) dt´ P(t , t´) P(t , t´ dt´) 1 (t´)
P(t , t´) t´ P(t , t ) 1
P(t , t´) t´
t dt P(t , t´) exp t´ t
Cálculo de la función de distribución de no equilibrio f (t ) dt´ f (t´) P(t , t´) t´ t
f (t )
0
t
d 0 f (t´) f t dt´ P(t , t´) dt´ 0
f 0 En k n f 0 T rn f 0 rn d f 0 (t´) En k t´ T r t´ r t´ dt´ 0 f E 0 v -eE-μ T f (t ) f dt´P(t , t´) T E t
SIMPLIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN DE NO EQUILIBRIO PARA CASOS ESPECIALES 1) Campos eléctricos y gradientes de temperatura débiles
2) Campos electromagnéticos y gradientes de temperatura espacialmente uniformes 3) Tiempo de relajación dependiente de la energía
t
f (k, t ) f 0 dt´et t´/ E k
f 0 vk t´ E
E T -eε-μ T Ec. (4)
CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA DC Si B = 0, T= constante, μ = constante, la ec. 4 se reduce a : 0 f 0 f (k ) f (k ) e ε vk ( E(k ) E
J e
J e
2
Ec. (5)
d vk f 3 4
d f vk vk E k ε 3 4 E
( n) n
(n)
e
2
d f En k v n k v n k 3 n 4 E E En k
CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA DC
e
2
d f E k vk vk 3 4 E E En k
1 f vk f ( E (k )) k E E En k
e
2
d 1 f ( E (k )) E k vk 3 4 k E E n k
Teorema apéndice I
dV u v dV v u
e ( EF ) 2
d f ( E (k )) ( v(k ) 3 4 k
EQUIVALENCA DE ELECTRONES Y HUECOS
d f ( E (k )) ( v(k ) 3 4 k
e ( EF )
d e ( EF ) 3 4 estados ocupados
2
2
d e ( EF ) 3 4 estados desocupados 2
M 1 (k )
(M 1 (k ))
Ec. (6)
Regreso al modelo de electrones libres
e n m 2
e2 p m
CONDUCTIVIDAD TÉRMICA t
f (k, t ) f dt´e 0
f 0 E ε -e μ T Ec. (4) vk t´ T E
t t ´ / E k
Si B = 0, ε = 0, μ = constante, la ec. 4 se reduce a: 0 E f 0 f (k ) f (k ) T vk ( E(k )) T E
H
Ec. (7)
d 4 3 E vk f
Ec. (2)
Reemplazamos ec. (4) y ec. (7) en ec (2)
H
d 4 3
E vk v(k) (E(k))( f 0 ) T 2
T
E
CONDUCTIVIDAD TÉRMICA
K
d E f 4 3 T vk v(k) (E(k))( E ) 2
K
0
k T 2
2 B
3 e
2
COEFICIENTES GENERALES DE TRANSPORTE t
f (k, t ) f 0 dt´et t´/ E k
f 0 E ε -e μ T vk t´ T E
Ec. (4)
Si existen al mismo tiempo un campo eléctrico y un gradiente de temperatura 0 E f 0 f (k ) f (k ) eε T vk ( E(k )) T E
J e
H
d vk f 3 4
d 4 3 E vk f
Ec. (7)
Ec. (1)
Ec. (2)
COEFICIENTES GENERALES DE TRANSPORTE Reemplazando ec. (7) en ec. (1) y ec.(2)
J L11 ε L12 T H L21 ε L22 T
d 1 L12 3 e 4 L21
E vk v(k) (E(k))( f 0 ) T
E
d f 1 3 E vk v(k ) ( E(k ))( ) e 4 E 0
Q potencia termoeléctrica,
es el coeficiente de Peltier
COEFICIENTES GENERALES DE TRANSPORTE
L11
L22 K
L12 Q L11
Q es la potencia termoeléctrica y
lega calor
H
Sale calor
( A B ) J
L2 1 L11
es el coeficiente de Peltier
Otras Formas de Integrar J e
2
d f vk vk E k ε 3 4 E
dS f J e dE vk vk Ek ε vk E 2
f J e g ( E )dE vk vk E k ε E 2
K
d 4 3
E 2 vk v(k) (E(k))( f 0 ) T
E
PROPIEDADES DIELÉCTRICAS Y ÓPTICAS DE SÓLIDOS FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC UNI Noviembre 2013 ARTURO TALLEDO Doctor en Física
Permitividad Eléctrica
E0
E
E E0 / r
σ 0 E0
D 0 E P D ( 0 + ) E
D 0 r E
σ D
σ D
Permeabilidad Magnética
B0
N B 0 0 I L
B
B
N B 0 I M L
B 0 H H
B r 0 H B0 0 H
B 0 r H
Ecuaciones de Maxwell
ε E da Q
B da 0
ε E ρ
B 0
d E d - dt B da
B E t
B d μ (I Id )
E B μ J ε μ t
Ecuaciones de Maxwell en el vacío 0 E 0
B E t
B 0
B ε0 μ0
E t
Identidad vectorial: ( A) ( A) - 2 A
Aplicada a la tercera ecuación E 0 2
2E 2E 0 0 2 0 2 x t
2E 0 0 t2
Onda plana que se propaga a lo largo del eje X 1 Con velocidad: c 0 0
Ecuaciones de Maxwell en medios dieléctricos E 0
B E t
B 0
B μ
E t
Identidad vectorial aplicada a la tercera ecuación 2E E 2 0 t 2
2E 2E 0 0 r r 2 0 x2 t
Onda plana que se propaga a lo largo del eje X 1 c c c con velocidad: v n r μ r 0μ 0
rμ r
r
r n2 Nota: En general, r depende de la frecuencia y puede ser real positivo, real negativo o complejo, por lo tanto, en general n es número complejo n + ik
Índice de refracción complejo y coeficiente de absorción E E0 e
E E0 e
ω c q n
v
i (q x ω t) i q ( x v t)
q
ω n c
Si el índice de refracción es complejo, entonces: ω qñ
c
(n ik)
ω i (n ik) x ω t c
E E0e I E 2 I I0e
2
kω x c
I0e x kω α2 c
c
E0e
-
kω c
ω i n x ω t c
e
α es el coeficiente de absorción. La onda no sólo disminuye su velocidad, sino que también se amortigua.
Reflectancia normal y
B1 E1i
E1t
E2
q1 B1i
B1r
E1r
BB21t
q2
x
B2
ñ1 q1 E1 c q1 ñ 2 q2 E2 c q2
z
E1i E1i0 e E1r E1r0 e
i (q1 x ω t)
i q1 ( x v t)
E 2 E t0 ei q 2 ( x v t)
B1i B1i0 ei (q1 x ω t) B1r B1r0 ei q1 ( x v t) B2 Bt0 ei q 2 ( x v t)
Reflectancia normal Condiciones de frontera: y
E1i
E 1i E 1r E 2 E1t
E2
q1 B1i
B1r
E1r
BB21t
B 1i B 1r B 2 q2
x
ñ1 ( E 1i E 1r ) ñ2 E 2
z
E1r
E1t
ñ 2 ñ1 E1i ñ 2 ñ1
2 ñ1 E1i ñ 2 ñ1
ñ ñ R 2 1 ñ 2 ñ1
2
ñ1 1, vacío
ñ2 n i k
(n 1) 2 k 2 R (n 1) 2 k 2
Permitividad eléctrica y polarizabilidad en gases y líquidos D 0 E P
P Np donde N es el número de átomos (moléculas) por unidad de volumen y p es el momento dipolar eléctrico de un átomo
p E
D 0E P
D 0 E N α E 0 r E r (1
N
0
) 1
χ
0
χ N
Permitividad eléctrica y polarizabilidad en sólidos D 0 E P P Np donde N es el número de átomos (moléculas) por unidad de volumen y p es el momento dipolar eléctrico de un átomo
p Elocal
E E0 E1 E2 E3 E0 es el campo externo E1 es el campo debido a las cargas de polarización en la superficie externa de la muestra E2 es el campo debido a las cargas de polarización en la superficie de la esfera
E3 es el campo debido a las cargas dentro de la esfera.
Elocal E Em E E3
Permitividad eléctrica y polarizabilidad en sólidos Elocal E
P 3 0
P N Elocal
E es el campo de Maxwell N P 1 N 3 0
2 Nα 3 0 Nα 1 3 0
1
r
E
N D 0 E + 1 N 3 0
E = 0 r E
r 1 Nα r 2 3 0 Ecuación Clausius Mosotti
Fuentes de polarizabilidad Polarizabilidad dipolar
Polarizabilidad iónica
Polarizabilidad electrónica
Dispersión de la polarizabilidad (experimental)
Dispersión de la polarizabilidad electrónica d 2x m 2 m02 x eElocei t dt
x x 0eiω t m(-ω2 ω02 ) x 0 eE loc
e2 p 0 ex 0 Eloc 2 2 m(ω0 ω ) e 2 /m αω 2 2 ω0 - ω 2
e /m αω 2 ω0
ω0 usualmente en el ultravioleta r (1
Ne2 m 0 2 0
) n 2 constante
en el visible
a
3.91 1016;
ancho de linea
b 7.5731 1016; frecuencia fundamental Plot b b2 x2 , x, 0.11 1010, 16.5731 1016
6.
10 17
4.
10 17
2.
10 17
2.
10 17
4.
10 17
6.
10 17
5.
10 16
1.
10 17
1.5
10 17
Dispersión de la polarizabilidad electrónica considerando relajación d2x dx m 2 kx b eE0eiω t dt dt e 1 -i t x( ω) E e 0 m ω02 ω2 iγ
N e2 1 ( ω) m ω02 ω2 iγ p2 (ω02 ω2 ) ´( ω) (ω02 ω2 )2 + γ 2 2
d2x dx e 2 i ω t ω x E e 0 0 2 dt dt m
e2 1 α ( ω) 2 2 m ω0 ω iγ
1 ( ω) 2 2 ω0 ω iγ 2 p
´´( ω)
p2 ( ) (ω02 ω2 )2 + γ 2 2
LORENTZIANAS
3.
10 34
2.
10 34
1.
10 34
1.
10 34
2.
10 34
3.
10 34
p2 (ω02 ω2 ) ´( ω) (ω02 ω2 )2 + γ 2 2 5.
6.
10 34
5.
10 34
4.
10 34
3.
10 34
2.
10 34
1.
10 34
10 16
1.
10 17
1.5
10 17
´´( ω)
5.
10 16
1.
10 17
1.5
10 17
p2 ( ) (ω02 ω2 )2 + γ 2 2
LORENTZIANAS
3.
10 34
2.
10 34
1.
10 34
1.
10 34
2.
10 34
3.
10 34
5.
6.
10 34
5.
10 34
4.
10 34
3.
10 34
2.
10 34
1.
10 34
a
3.91 1016;
ancho de linea
b
7.5731 1016;
frecuencia fundamental
10 16
5.
Plot
a x
Plot
1
1.
10 16
10 17
x2 b2
1.5
1.
10 17
b2
x2
x2 x2
10 17
1.5
10 17
b2
b2
a2 x2 , x, 0.11 1010, 16.5731 1016 x2
b2
a2 x2 , x, 0.0011 1010 , 16.5731 1016
Propiedades ópticas de sólidos iónicos d 2 u 2n * M2 α 2u u u e E 2n 2n1 2n1 2 dt d 2 u 2n1 * M1 α 2u u u e E 2n1 2n 2n 2 2 dt
u 0
E E0e
e* M 1 ( ) 2 0
2
i ( q x t ) u 0
E0
e* M 2 (02 2 )
E0
P nme (u0 u0 ) *
1 1 2 M1 M 2 2 0
Pe nme 1 r ( ) 1 0 E 0 02 1 2 *2
02
M 1M 2 M1 M 2
Propiedades ópticas de sólidos iónicos r (0) r () r () r () 2 1 02 1/ 2
r (0) 1 0 r ()
Frecuencia de modos longitudinales
0
1
Observar que entre ω0 y ω1 la permitividad relativa es negativa y por lo tanto la parte real del Índice de refracción es cero
Propiedades ópticas de sólidos iónicos 1/ 2
r (0) 1 0 r ()
Frecuencia de modos longitudinales
0 r E 0 E E0 e i k . r
k 0 r E 0 0
1
Las ondas planas tienen que ser transversales, pero si εr = 0, pueden existir modos longitudinales
Propiedades ópticas de sólidos iónicos Permitividad
0
Reflectancia
1 (n 1) 2 k 2 R (n 1) 2 k 2
Propiedades ópticas de sólidos iónicos Resultados experimentales para el cloruro de sodio (b) y (c)
2 a( ) k c
Coeficiente de absorción
t
Polarizabilidad dipolar en campo constante
El momento dipolar de una molécula es cero en ausencia de campo y puede alcanzar el valor p0 en presencia de éste. La forma cómo evoluciona el momento dipolar está dado por:
dp p (t) - p 0 dt τ
donde τ se llama tiempo de relajación. Si en el instante t = 0 el momento dipolar es p = 0:
p(t ) p0 (1 e t / ) Si en el instante t = 0 el momento dipolar es p = p0 y se elimina el campo eléctrico, entonces:
p(t ) p0e t /
Dispersión de la polarizabilidad dipolar Supongamos que sobre nuestra muestra actúa un campo
E(t) A ei ω t Se alcanzará una situación de “equilibrio dinámico” en la cual:
p(t) α(0) E(t) α(0) A e-it La evolución hacia este “equilibrio estacionario” está dado por: dp 1 α(0)E p(t) dt τ i ω t p(t) α(ω)e Asumimos soluciones de la forma:
α(ω)
α(0) 1 i ω τ
La polarizabidad no está en fase con el campo
Dispersión de la permitividad en sólidos dipolares Por simplicidad ignoramos las corrección del campo local y consideramos que la contribución iónica es muy pequeña.
d e r ( ) 1 0 0
Debido a su pequeña masa los electrones siguen al campo instantáneamente
d r ( ) n 0 2
r ( ) n 2
r ω n 2
N 0
0
1 1 i
r (0) n 2
1- i ω τ r ( ) r' ( ) i r'' ( ) Los campos E y D no están en fase
r (0) n 2 ω n 2 2 ' r
1 ω
2
ω '' r
r (0) n 2 2 2
1 ω τ
ωτ
Dispersión de la permitividad Nótese que: r (0) n 2 ω n 1 ω2 2 ' r
2
ω
Si
constante igual a r 0
ω '' r
r (0) n 2 1 ω2 τ 2
1 ' , entonces r ω τ
1
Si , entonces Se aproxima a n2
es una
r' ω disminuye y
ωτ
ω '' r
alcanza un máximo cuando
1
y la curva decrece a la mitad cuando (1 2 2 ) / 4
Para materiales dipolares τ es aprox 10-11 s (microondas)
Absorción Óptica y Permitividad Compleja
La situación es que en los tres casos la permitividad es una función compleja de la permitividad. Mostramos en las dos diapositivas siguientes que la parte imaginaria de la permitividad eléctrica está directamente relacionada con el calor disipado por efecto Joule de la corriente de desplazamiento.
Absorción Óptica y Permitividad Compleja Calor disipado por efecto Joule por unidad de volumen: dW Re J d dt Jd
Re E
dD dt
D(t) 0 ( ´r (ω ) i ´´r (ω ) ) Es ei t
Jd (t) - i ω 0 ( ´r (ω ) i ´´r (ω ) ) E(t)
Absorción Óptica y Permitividad Compleja E(t) Es eit = (ER i EI ) Cos t - i Sen t ReE
ERCost EI Sent
ReJ d (t) r´´ ERCost EI Sent r´ EI Cost ER Sent Promediando en un período la potencia disipada: dW Re J d dt
Re E
Absorción Óptica y Permitividad Compleja dW 1 2 '' 0 r ( ) E dt 2 Conclusión: la rapidez de absorción de energía por el medio es proporcional a la parte imaginaria de la permitividad eléctrica :
ω r'' ( ) NOTA: La perdida de energía por unidad de volumen y por unidad de tiempo es igual a la variación del vector de Poynting por unidad de espesor.
d S dW S (x+x)-S(x) x dt dx
Propiedades ópticas de metales Análogamente a modelo de Drude, expresión para conductividad ac : m
dv mv qEdt τ
Ey
E0e
i t
eτ 1 vy * E me 1 iω
0 ( ) 1 i 0 ' 1 2 2
0 '' 1 2 2
Propiedades ópticas de metales Permitividad eléctrica compleja en metales:
E H 0 J t
E - i E t
E H 0 E t E H 0 i t
σ(ω) (ω ) 0 i ω 0 0 ' '' i r r i r 1 2 2 2 2 ) ( 1 ) ( 1 0 0
Propiedades ópticas de metales ñ( ) (n 1) 2 k 2 R (n 1) 2 k 2
2 a( ) k c
n k
r 1/ 2
n ik
Reflectancia Coeficiente de absorción
Îndice de refracción
Coeficiente de extinción
Propiedades ópticas de metales 0 0 r i 1 i 2 2 2 2 ) ( 1 ) ( 1 0 0 ' r
'' r
1
Región de bajas frecuencias
1/ 2
n k 2 '' r
I I 0e x
1/ 2
0 2 0
1
1/ 2
0c 2 0 2
r ( ) i r''
Skin depth, profundidad de penetración
Propiedades ópticas de metales Región de altas frecuencias
r r' i r'' 1
1 :
0 0 i 0 (1 2 2 ) 0 (1 2 2 ) 2 Nq p2 0 me*
r ( ) (1 ) 2 p 2
donde q es la carga del electrón y N es la concentración de electrones Algunos valores de frecuencia de plasma:
Li
p p
1,22 x 1016 Hz 155 nm
Na
K
Rb
0,89
0,593
0,55
210
315
340
Ag
Propiedades ópticas de metales TRANSPARENCIA EN EL ULTRAVIOLETA
p2 r ( ) (1 2 ) ñ ( ) r
1/ 2
n ik
Si ω < ωp entonces n(ω) = i k
(n 1) 2 k 2 R 1 2 2 (n 1) k Si ω > ωp entonces n(ω) = n real, Entonces el metal transmite como un dieléctrico “normal”.
Propiedades ópticas de metales Si ω = ωp entonces
r (ω ) = 0, la ecuación de maxwell:
E 0 Será satisfecha para cualquier E, sin necesidad de que éste sea perpendicular al vector K, es decir, tenemos la posibilidad de modos longitudinales. A estos modos de oscilaciones longitudinales de los electrones se les llama plasmones
PLASMONES Al valor de frecuencia ω = ωp se tiene que εr = 0 y por lo tanto la Ley de Gauss E 0 permite la propagación de ondas electromagnéticas longitudinales. u
A ++++++++++++++++++++++
E(t)
--------------------------------------
= d2u N 2 e2 Nm 2 =-NeE= u 0 dt 2 Nq p2 0 me*
NeAu n e Au N e u σ A n e u A
d2u 2 + p u = 0 2 dt Frecuencia de plasmón volúmico en un sólido ideal (infinito)
PLASMONES
Espectrómetro con analizador electrostático para el estudio de plasmones
Espectro de pérdida de energía para electrones que pasan a través de una película delgada de magmesio.
Plasmones superficiales: Considere un plasma semiinfinito en el lado positivo del plano z = 0. Una solución a la ecuación de Laplace en el plasma es:
Ui ( x, z )
Ezi ( x, z)
A Cos k x e- k z
kA Cos k x e- k z
a) Demostrar que U e ( x, z )
Exi ( x, z)
kA Sen k x e- k z
A Cos k x e k z , para z 0
Satisface la condición de frontera para la componente tangencial de E.. Encontrar E0x.
b) Demostrar que la condición de frontera par D requiere que εr = -1, por lo tanto
2 s
Prob 1 cap 10 Kittel 5ta edición
1 2 p 2
Modo de plasmón de una esfera: La frecuencia del modo de plasmón
uniforme está determinado por el campo despolarizante de una esfera, donde P = - n e r, y r es el desplazamiento promedio de los electrones de concentración n. Demostrar usando la segunda ley de Newton que la frecuencia de resonancia del gas de electrones es: 2 Nq p2 3 0 me*
Debido a que todos los electrones participan en la oscilación, tal excitación es llamada Una excitación colectiva o un modo colectivo del gas de electrones. Prob 5 cap 10 Kittel 5ta edición
SPR en un experimento de reflexión interna total
En un experimento de reflexión interna total la intensidad reflejada es igual a la Intensidad incidente. Sin embargo hay un campo evanescente que se propaga a lo largo de la interface. Si la onda evanescente tiene la frecuencia del plasmón i superficial, entonces, la onda reflejada tendrá un mínimo. Sen i
Modelo SPREETA Texas Instruments
Texas Instruments (35 dolares)
Transiciones interbandas en sólidos d 2x m 2 m02 x eElocei t dt e 2 /m αω 2 2 ω0 - ω
Modelo cuántico, teoría de perturbaciones dependientes del tiempo:
f e2 α e ω 2 j0 2 m j0 ω j 0 ω
Transiciones interbandas en sólidos 1 p eA 2 V(r) H 2m
H0
1 2 p V(r ) 2m
H1 (r, t)
e Ap m
A es el potencial vectorial magnético y se relaciona con E así: E
A t
A A0 e expik r t c.c.
De la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo: 2
e w ω, t, k v , k c 2 2 m
2
t
dt´ dr (k , r, t ) A p (k c
0
c
v
v
, r, t )
V
v (k v , r, t ) exp - i -1E v (k v ) t exp (ik v r) u v (k v , r)
Transiciones interbandas en sólidos w ω, t, k v , k c
2 t 0 2 2 0
2
eE m
1 dt ´ exp i (E c E v ω)t´e Mvc
2
e M vc d r exp i (k v k ) r u*c e exp i (k v r) u v V
w ω, t, k v , k c
e E expiEc E v t / 1 e M vc iEc E v / m 2 0 2 2
2
d w e2 E02 2 2 2 e Mvc 2 (Ec - E v - ) dt m
2
Transiciones interbandas en sólidos dWVC e2 E02 dt 2 2 m2 2
2 e2 ( ) 0 2 m 2 2 ´´ r
2
e M vc (E c - E v - ) d
2
e M vc (E c - E v - ) d
2 e2 2 ( ) dS e M vc 0 2 m2 2
dE (E c - E v - ) k E c - E v
´´ r
2 e2 ´´ r ( ) 0 2 m2 2
Ec (k ) Ev (k ) Eg
2
2
dS e M vc (Ec - E v ) E E c
2
k 2
r´´( ) Problema 24 capítulo 8 Omar
2
2
8 e 0 m2 2
2m 2
*
v
3/2
e M vc
2
- E0 1/ 2
Relaciones Kramers-Kronig TEOREMA 1: f (z) = u(x,y) + i v(x,y) tiene singularidades sólo debajo del eje real │f(z)│ → 0 uniformemente cuando │z│ → ∞ u(x) es par y v(x) es impar . Entonces:
2 x v(x) dx u(x 0 ) P π 0 x 2 x 02 2 x 0 u(x) dx v(x 0 ) P π 0 x 2 x 02
Relaciones Kramers-Kronig Fórmula integral de Cauchy:
1 f(z) 2π i
C
f (ω ) dω ωz
z (x 0 ,0)
A través de contorno superior:
C1
C1
f (ω ) dω 0 ωz
f (ω ) dω f (ω ) dω PP iπ f (z) ωz ωz
1 f( ) d f (x 0 ) P P z πi
u ( x0 )
1
1
P
v (x) dx x x0
u (x) dx v( x0 ) P x x 0
Relaciones Kramers-Kronig u ( x0 )
1
P
v (x) dx x x0
0 1 v (x) dx v (p) dp u( x0 ) P 0 x x 0 p x 0
p-x
0
0
v (x) dx v (-x) (-dx) v (x) dx - (x x 0 ) x x 0 x x0 0 u( x0 )
2
P 0
x v (x) dx x 2 x 02
Relaciones Kramers-Kronig 1
u (x) dx v( x0 ) P P x x0 u (x) dx 0 u (p) dp 1 v(x 0 ) PP π 0 x x 0 p x 0 0
u (x) dx u (-x) (-dx) p-x - (x x 0 ) x x0 0
2x 0 u (x) dx v(x 0 ) P P 2 2 π x x 0 0
Relaciones Kramers-Kronig Demostraremos ahora que la susceptibilidad eléctrica
χ (ω ) χ' (ω ) i χ' ' (ω ) Satisface las condiciones del teorema 1 y por lo tanto:
' ()
1 χ (s) χ(ω) PP πi sω
2
P 0
s ' ' (s) ds s2 2
χ' (s) ds 2ω χ' ' ( ) P 2 2 π 0 s ω
Relaciones Kramers-Kronig Obsérvese que si extendemos la susceptibilidad como una función compleja de variable compleja, entonces χ (ω) :
1 ( ω) ω02 ω2 iγ 2 p
satisface las condiciones del teorema 1.
Efectivamente: Los polos están en la parte inferior del plano complejo y son:
ω1,2
2 i - 0 donde 02 02 2 4
Relaciones Kramers-Kronig Consideremos ahora la transformada de Fourier de la susceptibilidad:
G(t) ω
2 p
e-i t dω , 2 2 ω0 ω iγ ω
… A
que la interpretamos como la respuesta del material a un pulso de campo eléctrico:
E(t) E 0
e-i t d
Hay varias maneras de evaluar la integral A, pero sólo una conduce a Resultados físicamente compatibles con principio de causalidad:
0, si t 0 G(t) 2 Sen 2 υ0 t - t/2 e , ωp υ 0
si t 0
Relaciones Kramers-Kronig Consideremos ahora la relación entre los campos E y P y sus respectivas transformadas de Fourier:
P (t) χ(t) E (t)
P(ω ) χ (ω ) E (ω )
P(ω )
P( t ) ei ω t d
P(t)
P( ω ) e-i ω t d
P(t )
χ( ω ) E (ω ) e-i ω t dω
Por teorema de convolución P(t)
G (t') E (t-t') dt' , donde....
G(t)
χ ( ω ) e-i t d
Relaciones Kramers-Kronig En general, las relaciones Kramers Kronig se cumplen independientemente del modelo, para cualquier χ (ω )
G(t) e
χ (ω )
-i t
par d ´ impar
G(t) e-i ω t dω
0
Efectivamente, puede verse que esta función considerada como una función definida en el plano complejo satisface las condiciones para el teorema 1. (La única condición que debe cumplir G(t) es que:
G(t) 0 cuando t
Relaciones Kramers-Kronig para la permitividad En general, las relaciones Kramers Kronig se cumplen independientemente del modelo, para cualquier
' ( )
2
P 0
s ' ' (s) ds s2 2
2ω ' (s) ds ''( ) P 2 π 0 s ω2
Bibliografía sobre relaciones Kramers-Kronig
• Mathematics for Physicists P. Dennery sección 23. • Introduction to Solid State Physics 5ta edición, capítulo 11 • Classical Electrodynamics second edition J.D.Jackson
Polarizabilidad dipolar vs temperatura en gases Energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico:
.
V p E - p E Cos θ
f e
-V/K BT
e
pE Cos / K BT
Promedio de la polarización en presencia de un campo E a lo largo del eje X: p x f( ) d px
f( ) d
px
pECos / K BT p Cos e 2 sen d 0
pECos / K BT e 2 Sen d 0
Polarizabilidad dipolar vs temperatura en gases px
p Lu
L u = Coth(u) -
u=
1 u
pE K BT
Si u << 1 ( campo pequeño) entonces:
px
p2 E 3K BT
r 1 1 p2 e i r 1 3 0 3K BT
Polarizabilidad dipolar vs temperatura en sólidos w 1-w
Dos orientaciones Posibles para p
w
e-2 p E / K B T
e-2 p E / KB T 1 e-2 p E / KB T
Si pE mucho menor que KBT
w
1 -2 p E / KB T e 2
px = p (1- w) - p w = p ( 1- 2w) px = p 1 - e-2 p E / KB T 2 p2 d K BT
CRISTALES FERROELÉCTRICOS Son aquellos cristales en que puede existir una polarización aún en ausencia de campo externo.
CRISTALES FERROELÉCTRICOS La ferroelectricidad ocurre sólo en algunos pocos materiales y por debajo de una cierta temperatura TC llamada temperatura de Curie. ε (r ) B
C , T TC
T TC
Típicamente: B 5, r 1000
C r T TC
Divergencia de Catastrofe de la polarización
CRISTALES FERROELÉCTRICOS Algunos materiales ferroeléctricos: Material
TC (K)
Ps en esu cm-2 a T (K)
KH2PO4
123
KD2PO4
213
13500
-
RbH2AsO4
147
16800
(90)
KH2AsO4
96
15000
(80)
BaTiO3
393
78000 (296)
SrTiO3
32
WO3
223
KNbO3
712
90000
PbTiO3
763
150000 (300)
Sulfato de triglicina
322
8400
(293)
Seleniato de triglicina
295
9600
(273)
16000
(96)
9000
(4) -
(523)
CRISTALES FERROELÉCTRICOS p2 3K BT
r
2 1 3 1 1 3 r
TC T TC
Asumiendo polarizabilidad dipolar: 2Np2 C 9 0 K B
N p2 TC 9 0 K B
El modelo parece conducir naturalmente al fenómeno de ferroelectricidad, pero no está de acuerdo con los rultados experimentales: Para el agua:
1 N 10 29 m 3 3
y p 0,62 debye
TC 1100 K
Sin embargo el agua no es ferroeléctrica
CRISTALES FERROELÉCTRICOS El fenómeno de ferroelectricidad se asocia con polarizabilidad iónica r ( ω)
r ( 0)
n2
A ω2t ω2
n2
A ω2t
El fenómeno de ferroelectricidad se asocia con polarizabilidad iónica, ¿Por qué decrece ωt?
d2 u 2 2 u 0 dt ω2t
2
CRISTALES FERROELÉCTRICOS P
E
3 0
N e*u 3 0
d2 u 2 2 u 2e* E dt d2 u 2Ne*2 2 d t2 3 0
*2 t
ω
*2 t
ω
* u 2e E
2
2Ne* 3 0
2Ne* 3 0 2 t
CRISTALES FERROELÉCTRICOS
Cristales ferroelectricos
CRISTALES FERROELÉCTRICOS 1 2 1 4 1 F PE g 0 g 2 P g 4 P g 6 P 6 2 2 2
F 0 - E g 2 P g 4 P3 g 6 P 5 P
g 2 γ (T - T0 ) γ (T - T0 )Ps g 4 Ps3 0 γ P T0 T g4 2 s
1/ 2
γ Ps g4
T0 T1/ 2
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE SÓLIDOS Física del estado sólido FC-UNI Noviembre 2013 ARTURO TALLEDO Doctor en Física
Revisión de fórmulas básicas m I A
e r 2 Momento 2
magnético
L m ω r2 -e μm L 2m
Momento angular orbital
Razón giromagnética orbital: -e/2m -e μm S m
Razón giromagnética de spin: -e/m τ μm B V - μm B
μm B
Revisión de fórmulas básicas dL τ dt
Segunda ley de Newton rotacional
d μ -e μB dt 2m
eB ωL 2m E
Frecuencia de Larmor
e Lz B 2m
e E B mL 2m
B0 Magnetón de Bohr e 2m
B0
ml 1 ml 0 ml -1
Susceptibilidad Magnética
B0
BM
B 0
N B 0 0 I L
B0 0 H
B
N IM L
B 0 H 0 M B 0 H 0 H
0 1 Permeabilidad magnética del material
r 1
Clasificación de los materiales magnéticos Paramagnéticos
0
:
Al, Mn, W
Diamagnéticos
0
:
Cu, Au, Hg, agua, H
Ferromagnéticos
10
Fe, Ni, Co
5
:
Diamagnetismo de Langevin F0 m ω02 r Momento magnético del electrón:
e el I A ω0 r 2 2
Paul Langevin (1872–1946)
F0
FL B
v
F0 - e B ω r m ω2 r m ω2 r - m ω02 r - e ω B r eB ω 0 2m
Aproximación válida para campos pequeños
L
B
F0
Electrón girando en sentido horario
FL
μ v
v
Electrón girando en sentido antihorario
L
F0
B
FL
μ
En cualquier caso el momento magnético orbital se hace mas negativo respecto al campo B
Diamagnetismo de Langevin e2 r 2 B - 4m
Si la órbita fuera plana
e2 r 2 B - 6m
Para una nube electrónica esférica
M μ 0M χ Η B
-
0 e 2 6m
N Z r 2 prom
2 10-20 10-5 N 1029 m3 , Z 10, rprom
Diamagnetismo de Langevin La susceptibilidad diamagnética es más claramente observada en aquellos sólidos en que las capas atómicas están completamente llenas -6 Elemento
Susceptibilidad (X 10 )
He
- 1,9
Ne
- 7,6
Ar
- 19,0
F-
- 44,0
Cl -
- 24,2
Br -
- 34,5
Na+
- 6,1
K+
-14,6
Paramagnetismo: modelo clásico Energía potencial de un dipolo en un campo magnético: V μ B - B Cos
f e
-V/K BT
e
B Cos / K BT
Promedio de la polarización en presencia de un campo B a lo largo del eje Z:
BCos / K T Cos e 2 sen d B
z
0
BCos / K BT e 2 Sen d 0
Paramagnetismo: modelo clásico z
L v
L v = Coth(v) María Sklodowska 1867-1934
v=
1 v
mB K BT
Si v << 1 ( campo pequeño) entonces:
z
2 3K BT
μ0 μ2 χ = 3K BT
B
N μ2 M = N z = B 3K BT
Susceptibilidad paramagnética de Langevin o ley de Curie
Paramagnetismo: modelo cuántico e μ g J 2m e E -μ B - μ z B g m j B g B m j B 2m 1 mj 2
1 E1 - g B B 2
1 E 2 g B B 2
ΔE g μ B B
e E1 / K BT N1 E1 / K BT e e E2 / K BT
e E2 / K BT N 2 E1 / K BT e e E2 / K BT
Paramagnetismo: modelo cuántico e B B / K BT N1 B B / K BT e B B / K BT e
e B B / K BT N 2 B B / K BT e e B B / K BT
M g μ B N1 N2
ex e-x M Ng μ B x -x Ng μ B Tanh x e e x
g B B K BT
0 N g B 2 K BT
Fig. 9.9
2 0 Nefect
3K BT
Paramagnetismo El origen atómico del magnetismo
L Li i
S Si i
J LS e μ prom μ Cos θ g J 2m
j j 1 s s 1 - l l 1 g 1 2j j 1
Figura 9.10
Paramagnetismo Reglas de Hund 1) El número de spin s toma su máximo valor permitido según Pauli 2) El número l toma su máximo valor permitido según Pauli consistente con 1.
3) Si la capa es menos llena que la mitad, j = | l – s |, y si la capa es mas llena que la mitad, j = | l + s |, EJEMPLOS:
Ce
3
Pr3
Un electrón f
1 5 s , l 3, L - S 2 2
s 1, ml 3, ml 2, L = 5, J = L - S Dos electrones f
4
Paramagnetismo en Metales N 0 B2 K BT En los metales, la susceptibilidad no depende de la temperatura y sus valores son menores
N ef
M N ef
1 g (E F ) μ B B 2
2 μ B
Densidad de estados de electrones libres (a) en ausencia y (b) en presencia de un campo B
1 g (E F ) μ B B 2μ B μ B2 g(E F )B 2
χ p μ 0 μ 2B g(E F ) 3 T χp 2 TF
Ferromagnetismo Magnetización espontánea debajo de una cierta temperatura, llamada temperatura de transición o temperatura de Curie. Por encima de dicha temperatura la susceptibilidad magnética obedece la ley de Curie - Weiss.
C T - Tf
Figura 9.14
Figura 9.15
Ferromagnetismo de la red La teoría del campo molecular ΗW λ M μ0 g μB λ M M N g μ B Tanh KB T KB T M x μ0 g μB
..(A)
M N g μ B Tanh x
k B Tf 0 N g μ B 2
... (B)
Ferromagnetismo de la red La teoría del campo molecular explica también ley de Curie M Ng μ B Tanh x
x
g B B K BT
k B Tf 0 N g μ B 2
Ηtot H HW μ0 g μB M M0 (H+λM) K BT 1 Tf T M 1 f H T T
T 1 M f H T- Tf C T- Tf C
Tf
Ferromagnetismo de la red El origen físico del campo molecular
.
Vexch - j' s1 s2 Vexch y j´ energía y consante de intercambio, j´ positivo
z J' s 2 g s μ B μ 0 W
J'
μ 0 N g μ B z 2
¿interacción dipolar?
V12
μ 2B μ0 3 r
tres órdenes de magnitud menos que experimento
e2 Vexch 4 π ε0r
Criterio de Slater: cuando r/2ra >1,5 (r distancia interatómica y ra radio atómico) j´se hace positivo. Es la misma fuerza entre spines que explica principio de Pauli pero favorece spines paralelos.
Antiferromagnetismo
Orden antiferromagnético
Orden ferromagnético
C T Tn1
Fluoruro de manganeso
Susceptibilidad paralela y perpendicular al campo para el MnF2.
Antiferromagnetismo
¿Cómo se diferencia un antiferromagnético de un paramagnétco? 1. Por el comportamiento de la susceptibilidadad magnética 2.
Por experimentos con difracción de neutrones
Antiferromagnetismo
Datos de materiales antiferromagnéticos Substancia MnO FeO CoO NiO
TN (K) 116 198 291 525
TN1(K) 610 570 330 2000
Ferrimagnetismo
Orden ferromagnético
Orden ferromagnético
Ferritas: óxidos iónicos Estructura espinel: Mg Al2O4 Prototipo: magnetita Fe3O4 (56 iones en total, 24 de fierrro, 16 Fe3+ (férricos), 8 Fe2+). Total cancelación de los momentos magnáticos de los férricos. Son los más útiles, son aislantes
Ferromagnetismo en metales De acuerdo a la teoría anterior, el momento magnético de un átomo debería Ser s μ B donde s es entero o semientero, sin embargo toma valores 2.22, 1.72 y 0.54 respectivamente para Fe, Co y Ni respectivamente.
El modelo de electrones itinerantes: La figura muestra densidad de estados para banda 3d. Si no hubiera campo B, la magnetización sería cero. La interacción de intercambio produce B = HW tiende a alinear los momentos en la dirección paralela.
Bandas 3d
Ferromagnetismo en metales El modelo de electrones itinerantes Energía que pierde un electrón cuando su momento magnético rota 180 0
1 1 1 1 2 B M μ Η W M μ 0 M 2 μ 0 2μ B 2 2 2 2 ¿Energía cinética que un electrón gana por encima del nivel de Fermi?
1 n gE F E 2 E
2 respuesta gE F
Condición para que los electrones de la BC produzcan ferromagnetismo:
2 μ 0 λ μ 2B
2 gE F
Ferromagnetismo en metales g(EF) produce ferromagnetismo porque cuando g(EF) es grande acomoda más electrones en un rango pequeño de energía
Densidad de estados en las bandas 3d y 4s del níquel
Dominios Ferromagnéticos En su estado natural los materiales ferromagnéticos están usualmente desmagnetizados Weiss postuló que el cristal está subdividido en un gran número de dominios y cada dominio sí está magnetizado Los dominios se pueden ver en un microscopio, puliendo bien la muestra y colocando un polvo fino ferromagnético sobre la superficie Los dominios se forman para minimizar la energía total constituida por cuatro contribuciones: Energía magnetostática, energía de intercambio en las paredes de Bloch, Energía magnética anisotrópica y energía de magnetostricción.
Dominios Ferromagnéticos
La energía magnetostática disminuye cuando un dominio grande se divide en 2 porque hay un factor de desmagnetización pequeño para geometrías alargadas.
La interacción de intercambio hace que cuando un spin rote 1800 para formar una pared se consuma energía. Esto limita el número de dominios.
Los cuatro tipos de energía
Dominios Ferromagnéticos
El efecto de la energía de anisotropía es reducir el espesor de la pared porque cuando más gruesa es la pared, más spines apuntan en la dirección díficil
Pequeños dominios en los bordes relacionados A la energía de Magnetostriccion.
Los cuatro tipos de energía
Dominios Ferromagnéticos
Figura 9.24: Observación de los dominios ferromagnéticos con ayuda de un microscopio óptico
Dominios Ferromagnéticos El Proceso de magnetización
En cada ciclo se pierde energía igual al área de la curva de histéresis:
Figura 9.29
Dominios Ferromagnéticos
Disposición experimental para observar la curva de histéresis
SUPERCONDUCTIVIDAD CAPÍTULO 12
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC UNI Diciembre 2013 ARTURO TALLEDO Doctor en Física
RESISTENCIA ELÉCTRICA CERO En un material superconductor la resistencia eléctrica es nula. Esto generalmente ocurre por debajo de una temperatura crítica Tc . Por encima de esta temperatura el material es un metal normal.
Heike Kamerlingh Onnes Laboratorio Leiden, Holanda [Estudió en Alemania, sus profesores: Bunsen y Kirchhoff]
Se han observado corrientes que persisten varios años. R = 0 , R = 10-25 ohm.
RESISTENCIA ELÉCTRICA CERO En los metales existe una resistividad eléctrica residual atribuida a los choques de los electrones con las impurezas
Los gráficos muestran la comparación del comportamiento de la Resistividad eléctrica en un metal y en un superconductor.
La forma como se produce la transición de metal a superconductor depende de la concentración de impurezas. En un metal puro la transición es abrupta.
OCURRENCIA DE LA SUPERCONDUCTIVIDAD
DIAMAGNETISMO PERFECTO O EFECTO MEISSNER El campo B dentro de un cuerpo en estado superconductor es cero. B 0 H M
B 0 1 H
M H
1 En una serie de experimentos con cilindros superconductores, demostraron que por debajo de Tc , el flujo magnético es súbita y completamente expulsado. Observación hecha en Berlín en 1933 por dos físicos alemanes Walther Meissner y Robert Ochsenfeld.
DIAMAGNETISMO PERFECTO O EFECTO MEISSNER Diamagnetismo perfecto significa también que el superconductor repele a cualquier imán.
El efecto Meissner-Ochsenfeld podría ser la base de un tren de levitación magnética.
CAMPO MAGNETICO EN UNA ESFERA PARAMAGNÉTICA
Blindaje magnético
EFECTO ISOTÓPICO Ha sido observado que la temperatura crítica de los superconductores varía con la masa isotópica. Las primeras observaciones fueron hechas por Maxwell y Reynolds (1950-51). En mercurio Tc varía de 4,185 a 4,146 K cuando la masa atómica media varía de 199,5 a 203,4. M Tc constante
EFECTO ISOTÓPICO
CAMPO CRÌTICO Poco después que Onnes descubrió la superconductividad, se descubrió también que la superconductividad puede ser destruida por el efecto de un campo magnético. Si un campo magnético suficientemente fuerte, llamado campo crítico es aplicado a una muestra superconductora, ella vuelve a ser normal y recobra su resistividad, aun a T menor que Tc. T 2 H c (T ) H c (0)1 Tc
CAMPO CRÌTICO Tabla Algunos valores de campo crítico para algunos superconductores
Superconductores tipo I y tipo II
TERMODINÁMICA DE LA TRANSICIÓN SUPERCONDUCTORA En esta sección tratamos de unificar las observaciones anteriores. El pico de CV en T = Tc indica un apreciable incremento de la entropía (desorden) cuando T aumenta hacia Tc y la transición hacia el estado normal es inminente. El estado superconductor tiene un orden mayor que el estado normal. b T / Tc V
C ae
El comportamiento exponencial implica la presencia de un gap de energía en el espectro de los electrones. Este gap que está justo en el Nivel de Fermi previene a los electrones de ser Rápidamente excitados.
k BTc 10 eV 4
TERMODINÁMICA DE LA TRANSICIÓN SUPERCONDUCTORA
La densidad de estados g(E) vs E para un superconductor, ilustrando el gap superconductor en el nivel de Fermi. Está magnificado.
/ EF 0,0001eV
TERMODINÁMICA DE LA TRANSICIÓN SUPERCONDUCTORA ΔE energía de condensación, equivalente a calor latente de cambio
de estado
ΔE E N EA
Hc
Hc
0
0
ΔE BdM 0 H (dH ) ΔE
A 0K:
ΔE
1 0 H c2 (0) 2
1 0 H c2 2
Si Hc(0) = 500 gauss,ΔE 103 J / m3
TERMODINÁMICA DE LA TRANSICIÓN SUPERCONDUCTORA Re lación entre HC , TC , E y k BTc n ef n EF n k BTc ΔE EF
2
ΔE
1 0 H c2 (0) 2
2nk H c (0) 0 EF 2 B
1/ 2
Tc
1 ΔE 0 H c2 (0) 2
Tc 50 K , EF 5 eV , n 10 29 m3 , Hc (0) 0,01 T 100 Gauss
EL MODELO DE DOS FLUIDOS Los electrones de conducción en una sustancia superconductora son de dos clases: superelectrones y electrones normales. Los superelectrones tienen algunas propiedades especiales: no chocan, tienen entropía cero, (orden perfecto) y una gran longitud de coherencia (104 Å). El número de electrones depende de la temperatura. En 1934, Gorter y Casimir encontraron que la concentración de los superelectrones debe estar dada por: 4 T ns n 1 Tc
A 0K todos los electrones son superelectrones pero cuando T aumenta, los superelectrones decrecen en número y a T= Tc, todos son electrones normales.
EL MODELO DE DOS FLUIDOS El modelo de dos fluidos explica la resistencia cero del superconductor. Para T menor que Tc, algunos superelectrones están presentes y puesto que tienen resistencia cero, cortocircuitan a los electrones normales. El modelo puede relacionarse al concepto de gap. Todos los electrones debajo del gap están congelados en su estado de movimiento. Aquellos encima del gap son electrones normales. El gap decrece cuando la temperatura aumenta y desaparece a T = Tc. Cuando T tiende a Tc y el gap desaparece, todos los electrones se hacen normales.
ELECTRODINÁMICA DE SUPERCONDUCTORES J s ns evs
dv m s eε dt
dJ s ns e2 ε dt m
ε0
En el estado estacionario, el campo eléctrico dentro de un superconductor desaparece. La caída de voltaje a través de un superconductor es cero. Entonces, de acuerdo con la ley de Faraday:
ε 0
dB 0 dt
En estado estacionario el campo magnético dentro del superconductor es constante, en contradicción con el efecto Meissner. Este formalismo requiere una modificación: 2 dJ s ns e ε m dt
dJ s dB m De dt dt ns e2
a
B
m
ns e2
J s
ELECTRODINÁMICA DE SUPERCONDUCTORES B
m ns e
J s Ecuación de London 2
B 0 J s Ley de Ampere F y H London
2B
0 ns e 2 m
B
ELECTRODINÁMICA DE SUPERCONDUCTORES 2B
2B y x2
0 ns e 2 m
B y B y 0e x /
B
1/ 2
0 ns e 2 m
By
m 2 0 ns e
Profundidad de penetración de London
ELECTRODINÁMICA DE SUPERCONDUCTORES Cálculos a mano alzada muestran que 500 A verifica experimentalmente
lo cual se
Otra confirmación impresionante es la variación de con la temperatura. T 4 ns n 1 Tc
1/ 2
y
m 2 0 ns e
T4 01 4 Tc
1/ 2
1/ 2
con
m 0 2 n e 0
ELECTRODINÁMICA DE SUPERCONDUCTORES Una tercera conclusión de la teoría de London es la existencia de una corriente eléctrica fluyendo cerca de la superficie.
B y B y 0 e x /
y
B
m
ns e2
J s
2 1 / 2 n e J Z x s B y x J s m 0
Entonces:
0e x /
El efecto Meissner está acompañado de una corriente superficial.
LA TEORÍA BCS Dos electrones dentro de la esfera de Fermi se repelen entre sí por la interacción coulombiana. Esta fuerza de Coulomb es reducida sustancialmente por el apantallamiento debido al resto de electrones en la esfera de Fermi. Es más, es posible una fuerza atractiva entre dos Electrones, lo cual permite que dos electrones se atraigan entre sí y formen una especie de molécula: el par de Cooper. La energía de enlace es más fuerte cuando los electrones tienen k opuestos y spines opuestos
LA TEORÍA BCS Suponer que dos electrones 1 y 2 pasan uno cerca del otro como se muestra en la figura. Debido a su carga negativa el electrón 1 atrae iones positivos de modo que el electrón 2 ve un electrón apantallado por los iones. El apantallamiento reduce la carga efectiva del electrón. Si esto sucede el electrón 2 será atraído hacia el 1.
LA TEORÍA BCS
Se dice que el electrón 1 es rodeado por una nube de fonones y que entre los dos electrones hay una interacción atractiva por intercambio de fonones. El electrón 1 emite un fonón que es rápidamente absorbido por el electrón 2.
LA TEORÍA BCS La teoría muestra que el gap de energía a temperatura cero está dado por:
0 4 D
e
2 / g EF V ´
DondeD es la frecuencia de Debye, g(EF) es la densidad de estados para el metal normal en el nivel de Fermi, y V´es la intensidad de la interacción electrón-fonón. Los estados en el rango de energía 1 1 EF 0 , EF 0 2 2
Son ahora prohibidos y la función densidad de estados experimenta deformaciones como se muestra en la figura.
LA TEORÍA BCS La teoría BCS muestra que la temperatura crítica está dada por:
0 3,52 kBTc La tabla muestra algunos resultados experimentales:
TUNELAJE NORMAL Al cero absoluto no puede fluir corriente hasta que se aplique un voltaje
V
Eg
0 2e 2e
El gap es la energía necesaria para que un par de Cooper se disocie en 0 dos electrones, o un electrón y un hueco en el estado normal.
EFECTO JOSEPHSON DC i
1 t
i
T 2 1 n1ei1 y
2 t
T 1
2 n2ei2
J J 0 Sen J 0 Sen(2 1 )
superconductor
superconductor
EFECTO JOSEPHSON AC Cuando un voltaje dc es aplicado a través de la unión, se obtendrá una corriente alterna. i
1 t
T 2 eV 1
i
2 t
T 1 eV 2
(t) (0) 2eVt / .
J J 0 Sen 0 2eVt /
superconductor
superconductor
2eV
SQUID: Superconducting quantum interference device
1) La producción de grandes campos magnéticos. Al decir grandes nos referimos tanto a una gran intensidad del campo magnético como al espacio en el cual se crea el campo. 2) La fabricación de cables de transmisión de energía. Aunque éstos ya se manufacturan a partir de los superconductores convencionales (no de los nuevos superconductores cerámicos), actualmente no son competitivos comercialmente con respecto a los cables aéreos normales, a menos de que cubran una gran distancia (de cientos de kilómetros). En los casos en que las líneas de transmisión deben ser subterráneas, habría cierta ventaja económica con la utilización de los cables superconductores. 3) La fabricación de componentes circuitos electrónicos. Estos dispositivos electrónicos fueron ideados originalmente con la intención de utilizar la transición de estado normal a estado superconductor como un interruptor, mas resultaron decepcionantes con respecto a los logros alcanzados por los transistores de películas delgadas y se ha abandonado su uso en este aspecto
EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR
Tenemos N electrones, cuya energía es principalmente cinética, en estados indicados por el vector de onda k y el spin σ, y que interaccionan a través del potencial U(K)
H (k ) ak ak k ,
U ( K ) a a a a k 2 K , k1 K , k1 , k 2 ,
k1 , k 2 , K
El primer término representa la energía cinética de los electrones medida a partir del nivel de Fermi. El segundo término representa la interacción entre electrones a través de Los fonones.
EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR H (k ) ak ak k ,
U ( K ) a a a a k 2 K , k1 K , k1 , k 2 ,
k1 , k 2 , K
Transformaciones de Bogoliubov: tienen en cuenta propiedades de emparejamiento
bk uk ak v k ak , bk uk ak v k ak bk uk ak v k ak , bk uk ak v k ak
uk Cosk , vk Senk
uk2 v 2k 0 H 2 (k ) v 2k k
k
U ( K ) u k ,K
k
v k uk K v k K
2 2 2 k u v u v k k k k
U (K ) u k ,K
k K
v k K bk bk
EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR H 2 (k ) v 2k k
k
U (K ) u k ,K
k
v k uk K v k K
2 2 2 k u v u v k k k k
2 k uk v k uk2 v 2k
U (K ) u k ,K
U (K ) u K
k K
uk2 v 2k 0 0 U
w
u w
k K
vk K
vk K
k K
v k K bk bk
0
EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR k 1 u 1 2 2 2 0 k 2 k
k 1 v 1 2 2 2 0 k 2 k
w 1 1 U 20 2 (k ) 2 w 1 2w g ( EF ) U n 2 0
EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR
E0
1/ 2 1 2 2 2 2 k 0 0 (k ) . 2 0 k
El estado fundamental es un auto estado de H con una energía más baja que la de una esfera de Fermi llena de electrones.
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO p2 C 2 h x 2m 2 P
p m0
Q
0 2 h P Q2 2
Q, P
C 1 m 0
x, p
C x 0
1
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO 2 Q i P
,
2 P 2 Q2 1
2 P 2 Q2 1
P2 Q2 2 1
0 2 h P Q2 2
2 Q i P
N
1 h 0 2
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO p2 C 2 h x , h 2m 2
0 2 1 2 P Q , h 0 N 2 2
1 N N N
n
N
n 1
0 función propia de N para el valor propio n - 1
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO 1 N N N
n
n cte n1
n
n 1 n1
n
1 n 0 n!
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO 2 Q i P Q
C x 0
C m
m0 1 x i p 2 2m0 p2 C 2 h x 2m 2
H
2 Q i P
,
P
2 0
,
m0 2
p m0
1 x i p 2m0
1 1 2 P( R) u ( R) D ( R R´)u ( R´) 2 R, R´ R 2M
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO H
1 1 2 P( R) u ( R) D ( R R´)u ( R´) 2 R, R´ R 2M
1 ks N
e
1 ks N
e
i k . R
R
R
i k .R
ms (k ) 1 es (k ) u( R) i P( R ) 2 2ms k ms (k ) 1 es (k ) u( R) i P(R) 2 2ms k
H
1 s k k s k s 2 k ,s
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
u (R), P R´
i RR´
u (R), u R´ P (R), P R´
e
i k .R
R
k ,s
k ,s
0
0, k no es vector de la red recíproca N , k es vector de la red crecíproca
, k´s´
i kk´ ss´
, k ´ s´
k ,s
, k´s´
0
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
uR
1 k s k ,s e s k ei k.R N k ,s 2ms (k )
PR
m s k i k s k ,s e s k ei k .R N k ,s 2
3
e k e k s 1
s
e k
s
i k .R
0,
R0
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
1 1 2 ( ) ( ) P R k k s R 2M s ks k s ks 4 k ,s
1 U s (k ) k s k s k s ks 4 k ,s
H
1 s k k s k s 2 k ,s
DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL Supongamos que mandamos un haz de electrones rápidos a través del cristal, la interacción del potencial periódico con los electrones origina transiciones entre estados electrónicos. En la aproximación de Bohr, en teoría de perturbaciones, la probabilidad de transición por unidad de tiempo entre el estado inicial ψk y el estado final ψk´ es proporcional al cuadrado del elemento de matriz:
M k ´k
ψk
ψ k´r U (r)ψk (r) dV
ei k. r
ondas planas
U(r)
i g.r V e g g
DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL
M k ´k
i k´.r e
i g.r i k .r V e g e dV g
i k g k´.r V e dV g
M k ´k
M k ´k
Vg , si k g - k´ 0 0, en caso contrario
g
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 1
U(r)
V (r R ) a
M k´k
M k ´k
i k .r e
i k .r V r R e dV a
i k k´.r e Va r R dV
M k´k
i k k´.R i k k´.(r R ) e e Va r R dV
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 2
M k ´k
1 Va (K) N
iK.R e
K k´k 1 iK .r Va (K ) V ( r ) e dV a Vc Si la red está fija, es decir, si no hay vibraciones:
e
iK.R
1 eiK1L 1 1 eiK2 L 2 iK1 iK 2 e e 1 1 iK .R e
1 eiK3L 3 iK3 1 e
N K ,g
M k ´k
Va (g) k k´,g
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 3
Aquí mostramos los pasos para calcular el factor de red en un experimento de difracción cuando sí consideramos las vibraciones de la red
R´ R u R (Aq eiq. Aq eiq. ) q
Fred
1 1 iK .R ´ e exp i K R A q eiq.R A q eiq.R N N q
1 1 iK.R ´ iK.R iq.R iq.R e e exp i K A e A q qe q N N
exp i K Aqeiq.R Aqeiq.R 1 iK Aqeiq.R Aqeiq.R ... Fred
1 iK .R iq.R e 1 exp i K Aq e N q
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 4 Fred Fred
M k ´k
1 1 iK .R e exp i K A q ei qK .R N N q
1 1 iK .R e exp i K A q ei qK .R N N q
Va (g) k k´,g i k´k A q Va k´k
Si hablamos de la difracción de electrones por las vibraciones de la red, Tenemos que considerar sólo:
M k ´k
i k´k A q Va k´k
1 n q Eq 2 Nmq2 Nmq
Aq
2
Interacción electrón – electrón via un fonón Para el primer proceso
M k ,k K M k´,k´K k K, k´K U k, k´ E(k) Ek K q k´+K
k-K
q k
k´
Para ambos procesos:
U K
k´+K
k-K
-q k
2
M k ,k K 2q
E (k) E k K 2 q 2
k´
Interacción electrón – electrón via un fonón U K
2
M k ,k K 2q
E (k) E k K q 2
2
Para el intervalo : E(k ) E(k K) q U K
2 M k ,k K
2
q
M k ´k
i k´k A q Va k´k M k ,k K
2
Va K K Aq Va K 2
2
2
K 2 2 N m q
FÍSICA DE SEMICONDUCTORES FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO FC-UNI Diciembre 2013
ARTURO TALLEDO DOCTOR EN FÍSICA
La Distribución Maxwell Boltzmann(*) • Dado un sistema de N partículas como las moléculas de un gas en un recipiente, el número de partículas en un nivel de energía Ei, con degeneración gi es:
Ni A g i e- Ei /KBT donde A es una constante de normalización y KB es la constante de Boltzmann Si la densidad de estados es g(E), entonces: Número total de partículas
Energía total del sistema de partículas
N A e-E/KBT g(E) dE
Etotal A E e-E/KBT g(E) dE
Es válida para N partículas distinguibles que no obedecen principio de exclusión de Pauli
(*)
Ver: Solid -State and Semiconductor Physics por J.P. McKelvey
Estadística Fermi Dirac • La probabilidad de que un estado de energía E sea ocupado por un electrón a una temperatura T es:
f (E)
1 e(E-μ)/KBT 1
donde μ es el potencial químico (depende de cada material) y KB la constante universal de Boltzmann.
Si la densidad de estados es g(E), entonces: Número total de partículas Energía total del sistema de partículas
N f(E) g(E) dE
Etotal E f(E) g(E) dE
Es válida para N partículas indistinguibles que obedecen principio de exclusión de Pauli
Estadística Fermi Dirac
f (E)
CONCEPTO DE HUECO Ee
Eh kh
Ee(ke)
Ke
Eh (kh) Kh
ke
kh ke
Eh (k h ) Ee (k e )
vh (k h ) ve (ke )
m*h (k h ) m*e k e
CONCEPTO DE HUECO Ee
ε
Eh kh
ke
dk h dk e eε dt dt
La carga eléctrica del hueco es positiva
Conductores, semicondutores y aislantes E BC
BC
BV
Conductores
gap
gap
BV
semicondutores
BV
aislantes
Conductores semicondutores y aislantes
Conductores semicondutores y aislantes
(a) aislantes, (b) metal o semimetal, (c) metal
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos 2k 2 E c (k ) E g 2m*e
2k 2 E v (k ) 2m*h 1 2m e g e (E) 2 2 2π
3/2
1 2m e g h (E) 2 2 2π
E E g
3/2
1/ 2
E 1/ 2
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos
n
E C2
f (E) g(E) dE
E C1
0
p f h (E) g h (E) dE -
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos 3/2
1 2me EF/K BT n 2 2 e 2π
E E g
1/ 2 E/K BT
e
Eg
1/ 2 x x e dx 0
3/2
1/2 2
me k BT E F /K BT Eg /K BT n 2 e e 2 2π
dE
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos 0
p f h (E) g h (E) dE -
f h 1 f (E) 1 -
1
eE-E F /K BT 1 g h (E)
1 e(EF E)/KBT 1
1 2m e 2π 2 2 3/2
3/2
E 1/ 2
m k T p 2 e B 2 e-E F /K BT 2π
e E F /K BT e E/KBT
Concentración de portadores en semiconductores intrínsecos
np mh 1 3 E F Eg K BT Ln 2 4 me 1/T
k BT ni 2 2 2π
3/2
me mh
3/4
e
E g /2K BT
Estados de Impurezas
e2 V(r) 4π ε r ε 0 r ε r 10 ,
me 0,2 m0
1 me - m0 e 4 Ed 2 ε r m0 2(4π ε 0) 2
Ed 0,01eV
Estados de Impurezas
1 m h - m0e 4 E a 2 ε r m0 2(4π ε 0) 2
Ordenes de magnitud:
Ea 0,01 eV
Concentración de portadores en semiconductores extrínsecos 3
k T 3/2 E /K T n p 4 B 2 me m h e g B 2π
np n
2 i
semiconductores extrínsecos tipo n n Nd
n i2 p Nd
semiconductores extrínsecos tipo p p Na
n i2 n Na
Concentración de portadores en semiconductores extrínsecos
DIFUSIÓN DE PORTADORES EN SEMICONDUCTORES
Difusión bajo diferentes circunstancias: (a) un pulso de concentración n vs x en t = 0. Las flechas indican corrientes de partículas. (b) El Ensanchamiento del pulso debido a la difusión en tres instantes sucesivos. (c) Un pulso de electrones difundiéndose y trasladándose en un campo eléctrico. (d) La desaparición del pulso debido a la recombinación.
DIFUSIÓN DE PORTADORES EN SEMICONDUCTORES Ley de Fick: Para una concentración no uniforme , la corriente de partículas J´(número de partículas por unidad de área y por unidad de tiempo) está dado por: n J´ D x
donde D es llamada la constante de difusión. Esta ley establece que la corriente es proporcional al gradiente de concentración.
En el caso de semiconductores el flujo por difusión de electrones y huecos implica corrientes eléctricas: n J e eDe x
J h eDh
p x
Usando mecánica estadística se puede demostrar que: D
k BT e
La ecuación de difusión para un tipo de portador. p J e D pe E x
Por ecuación de continuidad: p 1 J 2 p D 2 p E x e x x t flujo
No todos los portadores fluyen, algunos se recombinan: p p p0 ´ t recombinación p p p t t flujo t recombinación
p 2 p p p0 D 2 p E ´ t x x
Esta es la ecuación de difusión.
Solución en dos casos 1) Solución estacionaria para campo igual acero. 2 p p p0 D 2 0 ´ x
p1 p - p0 Ae
x / LD
,
LD
D ´
1/ 2
2) Solución estacionaria para campo diferente de cero.
p1 E p1 p1 2 0 2 D x LD x 2
p1 p - p 0 Ae
x / LD
,
1 s s, s 2
ELD 2D
Grafico de las dos soluciones
UNION p-n: Propiedad de rectificación p
BC
n
p
n
BC
Ed
J nr0 J pr0
J nr0 J pr0
Ea BV
BV
J nr0 J ng0
J pr0 J pg0
Unión p-n
UNION p-n: Propiedad de rectificación
I n e( J nr J ng ) eJ ng0 (eeV0 / KBT )
I n e( J nr J ng ) eJ ng0 (eeV0 / KBT 1)
J ng J ng0
J nr0 J nr0e
I p e( J pr J pg ) eJ pg 0 (eeV0 / K BT 1) eV0 / K BT
I n I n I p e ( J ng 0 J pg 0 ) (eeV0 / K BT 1)
I I0 (eeV0 / K BT 1)
UNION p-n: Propiedad de rectificación
I I0 (1 - e
eV0 / K BT
)
UNION p-n: Propiedad de rectificación
I I0 (1 - eeV0 / K BT )
I I0 (eeV0 / K BT 1)
I I0 (1 - eeV0 / K BT )
I I0 (1 - e
eV0 / K BT
)
I I0 (e
eV0 / K BT
1)
Unión p-n: Cálculo de I0: corriente de saturación I0 e J ng0 J pg0 - El campo eléctrico está concentrado en la unión misma.
- Discutimos primero la polarización positiva. La barrera de potencial es reducida por eV0. Huecos son inyectados desde región p donde son mayoritarios a región n donde son minoritarios.
- El exceso de concentración de huecos en la región está dado por:
pn1(x) pn (x) - pn0 pn1 x0 e
x / Lp
, x0
pn0 es el valor de la concentración en equilibrio.
Unión p-n: Cálculo de I0 La corriente es debida a la inyección y subsecuente difusión de portadores minoritarios La barrera de potencial es reducida por eV0:
pn x0 pn1 x0
pn 0 eeV0 / k BT
pn 0 eeV0 / k BT 1
pn1 x pn0 eeV0 / kBT 1 e J pn
x / Lp
, x0
pn1 pn Dp Dp x x
Unión p-n: Cálculo de I0
I
pn x 0
I
pn x 0
e Dp pn 0 eV0 / k BT x / Lp e 1 e Lp
e Dp pn0 e Dn n p 0 eV0 / kBT x / Lp e 1 e e Ln Lp
Dn n p 0 Dp pn0 I0 e J ng0 J pg0 e L L n p Dn Dp I0 e n (T ) L p L n n p 0 p n 0 2 i
Unión p-n: Cálculo del potencial de contacto 3/2
me k BT E F /K BT Eg /K BT n 2 e e 2 2π n n0 U c eEcn E F /K BT EF
n p0 U c e
E cp E F /K BT
n n0 ee 0 / K BT n p0 k BT n n0 p p 0 0 Ln 2 e ni
0 0,3V
k BT N d N a 0 Ln 2 e ni
Para germanio con Nd = Na = 1016 cm-3
EL ANCHO DE LA UNIÓN Y EL CAMPO ELÉCTRICO d 2 ( x) dx2
x e px Nd x nx Na x Aproximación: No hay portadores d 2n eN d , 0 x wn 2 dx d 2 p eN a , - wp x 0 2 dx
(1) (2) (3) (4)
El campo es cero fuera de la unión El campo es continuo en el punto x = 0 (el centro de la unión) El potencial es continuo en x = 0 y lo escogemos igual a cero. La deiferencia de potencial entre los bordes de la unión es 0
EL ANCHO DE LA UNIÓN Y EL CAMPO ELÉCTRICO wn N d wp N a
wn 2 0 Na / Nd Nd Na e
1/ 2
wp 2 0 N d / N a N d N a e
2 0 w wn wp e
1 1 Na Nd
El campo en x = 0 20 E (0) w
1/ 2
1/ 2
El transistor
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO Primera edición digital
Noviembre, 2015 Lima - Perú
© Arturo Talledo
PROYECTO LIBRO DIGITAL
PLD 2918
Editor: Víctor López Guzmán
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PROYECTO LIBRO DIGITAL (PLD)
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de investigación de las alumnas y alumnos tomando como base el libro digital y las direcciones electrónicas recomendadas. • Que este proyecto ayude a las universidades nacionales en las acreditaciones internacionales y mejorar la sustentación de sus presupuestos anuales en el Congreso. En el aspecto legal: • Las autoras o autores ceden sus derechos para esta edición digital, sin perder su autoría, permitiendo que su obra sea puesta en internet como descarga gratuita. • Las autoras o autores pueden hacer nuevas ediciones basadas o no en esta versión digital.
Lima - Perú, enero del 2011 “El conocimiento es útil solo si se difunde y aplica” Víctor López Guzmán Editor
