JUAN RIVANO
CURSO DE LOGICA moderna
y ant¡gua
ED|TORIAL UN¡VERSITARIA, S. A.
Curso de Lógica
Curso de Lógica moderna y antigua Por
JUAN RIVANO Profe¡or de la Cátedra de Ló8ica de la Univ€¡sidad de Chile
EDITORIAI. UNIVERS]TARIA S. A.
c
luaa Rivano, 1964 hsc¡ipción No 28995
P¡ensa de la
Editorial Universitaria' S. A.
San Francisco 454, Santiago de Chile Proyectó la edición Mauricio Amste¡
CONTENIDO Prclacio
I. LOGICA DE 1, Pa¡tículas corectives 2. Simbolización de conetti-
15
vás 3.
4.
16
Esquemas ProPosicionales Proposiciones comPüestas
l7 19
y elem€ntales
rorios
p¡oposicionales Posibles
56 59
sis dicotómico
22
62
de-
29, Sistemas de ¡educción
13. Disyunción, later¡ación si-
t2. Empleode las fo¡mas oorm¡les: (l). (2), (3) Deci-
l8-
noni¡nia
28
Falsedad-conjunta
2A
IícomPatibilidad Condicion¡ I f nrerPretación f o¡mal-i¡ter-
10
pretación material Condiciones Decesarias condiciones sulicieot€s
Y
19. Bicondicional.
20. AgruPación:
)1
Puotos Y Pa-
t5
4l
66
finito¡ia
30.
Esquemas no¡males: alter' teemPlazo e
7'l
intercambio
sión; (4) Nesacióo; (5) Transfor¡nación; (6) P¡inci 79 pio de Dualidad a2 13. La relación de dualidad
reemPlázo e intetcambio
97
37. Leyes de irnPlicación Y 98
equivalencia
Sobrc la noción PoPular de
z¡ción- Dcducción dc los
41.
tco¡cm¡s. Elabo¡ación dc las re¡las dc la lósica
{2. Las formas con€ctrvas
lósica 104
a7
34. Uso y mención 35. Operación inferencial 36, Tr¿nsformación mediaíte
II. CALCULO Dh PROPOSICIONES 40. Cuestiooes sobre la Pre38. Natu¡aleza de un cálcu- 101 sentación del cálculo Prol9- Elenencos del cílculo posicional
nropo.i.ion¡l
7l
nativos y conjuntivos
31. Substituciófl'
14
proposicional. Ariomati-
54
28. Decisión mediante análi'
21 8. Negación 2) 9. Coniunción 25 10. Alternación 26 11. Disyunción 12. Extetrsió¡ del "o" disYun-
14. 15. 16. 17.
5l 5t
27. Decisión mediante tablas
Esquemas n-P¡oposiciona-
les
16 48
21
6. Los valotes de Y Y F Y sus 7.
21. Modo de agrupación de Lukasiewicz Dist¡ibutividad 2t. Esquemas tautológicos, coosistentes Y contradic_
19
jas dependen u¡¡ívocamente del valo¡ de sus Partes Pro-
combimciones
PROPOSICIONES
24. Función matemática 25. Fuación de ProPosición 26. Recueato e¡haustivo de las fu¡cio¡es mono Y bi-
5. Las proposiciones comPleposicionales
11
cl discu¡so o¡dinario
I
l8
t24
etr
r27
1l
III.
LOGICA
PROPOSICION CATEGORICA A R ISTOTE LICA
DE LA
lti
41. Prelimina¡es 44. Elemenrosde la Proposr- t¡t -' ción
catesórrca
;i'.
45. oposición . .. :ii ra¡ 46, P¡iocipios de Ia oPosicron 47. Las inferercias 'innedia- ,r, ,1. . .. 141 48. conve¡srcn ,rl Permutacron 49. -- .;: 50. cooversióo l:'"'c""' i:; 51- Conc¡aPosrcron
56' Los orinciPios de las cua157 tro f is*." ent¡e validez de 5i. Relación 1t9 las figuras
177 ,;;
185 186
v rlisvuntivas íilogi".o hiPotético Silosis mo disYuottvo
LOGICA CUANT
P¡oPosiciooal
If
200
esquematrca
ProPosicional de
más de un valor
81. Cuantificación 82. EjemPlos de cuantificación
[8
siloeis mo b1. Razooamiento ordioa¡io 65' Entimema, Prosilogismo
r67
l7l
Y
episilogismo' ePiquerema' sorites, Polisilogisrno 66' Forma imPlicacional del silogismo
171 1't
4
o9. Cálcglo cooversional ió. é¡r.¡" silogístico
t'79 180
74. El dilema 75. Formalización del
189
a¡¿u-
me¡to co¡diciooal
194
ICACION AL O DE PREDICADOS
de una función ProPostcro200 nal comsimPles Y 79. Esquemas
80. ;";.ió'
166
61' E jemPlif icación sobre el
188
t99 76. Func ión ProPosicional 77. Exrensión de una función
78. Simbolización
164
dos del silogismo 62. Los términos del silosis-
ARGUMENTOS CONDICIONALES
71. ProPosiciones hiPotéticas
VI.
t6t
61. Cooside¡acio¡es genera_ les sob¡e los modos váli-
DE LA PROPOSICION CATEGORICA
67. Prelinina¡es 68, Cálculo oPosic ional
:2. 71.
t62
Reducción indi¡ecta 60. Reduccióo al Dict""t
i9.
i;: ;;." á.i'"ir"si.."
V.
160
r8. Reduccióo osteosiva
.t P..." infe¡encial e imPI¡principios "' :;:;;;;il;; sob¡e,la 'ioferencia 'n"- ,rn del elementos 5]. i,.gl{" v r5o srloSrsmo. rio tr8üas 54- Modos Y ::tt2 IV. CALCULO
O
81. Expresiooes cuantificadas .^.
equiva lentes Esquemas c¡rantif icaciona- - -lés abiertos Y cerrados ¿u) 85. AeruPación: alcance de-
8á.
ún oDerador cuantif icacio_
2Ol
86. El orden de los oPeradores
2Ol 2oz
"'antificacionales de discu¡so 87. ¡"i'*"' 88. Distribr'rción de los opetas
20ir
89. APlicación a l¡ I'ro¡'o'i-
do¡es cua
nt
ific¡c ionr l¡
205
206 207 2(t8
209
ción ca.csórica 90. Leyes lógicas en forma
cuAn.ificacional
21'0
91. Los principios cua¡rtificacionalcs en ud r¡tiverso
finito
211 212
Ies
93. Transfo¡mación con vistas a la distribución de los
operado¡es 91. Esq¡remás adibios tilicacio0¿l
96. Esqueúas válidos 'ca l-
"".{os'
Esquemas cuantificacio-
219
cuancificac iona le s: Eiemplificacióo en esquemas
abiertos
2t4 216
217 nalmente válidos 98. Contradicción cuantif ica-
220
101. Aaálisis de esquemas cuantificaciona le s: Ejemplificaciótr en esquemas
ce¡fados
212 211
95. Validez o tautología cuaa"
2t9
1o0- Análisis de esquemas
Ats'¡nas leye s equivale¡-
cia
cional 99. Análisis de esquemas cuantificacio¡ales
tO2. Sustitucióo 101. Sus¡itución: EieÍtFlifica'
ción
222 222 224
104. Apticación de los Principios cuantificacionales al silogismo 105. Infe¡eocia cuartificacio' nal
VII. CALCULO CUANTIFICACIONAL 106. Axiomatización. Elabo¡aci,5n de las reglas de la
107-
lógicacuantificaciooal ?tI 2t5
Teo¡emas
Bibliocúlíd 243 I¡dice A¡alítico 245
el
PREFACIO
La controversia sobre la naturaleza de la Lógica y sobte dóode deba siglos busca¡se esta oatutaleza puede continuar por los siglos de los sio que disminuya un ápice la importancia práctica de esta disciplina' Sólo la ciencia matemática puede disputarle el magisterio del rigor y la tutela pedagógica del pensamieoto' Cierto que en la actualidad se defiende la identificación de ambas ciencias' No obstante' y sin toúar pa¡tido sobre esto, podernos situarnos donde todos lo hacen y considerar que la Lógica resulta oás accesible a la mayoría de los Por hornbres y más amplia eD sus aPlicaciones que la Matemáticapráctica y disciplina cuaúto donde, en igualdad de condiciones en del pensamiento ftente a su formal y meticulosa Pa¡ieota, la Lígica aparece con mejores posibilidades pata encont¡ar entre los hombres simpatía y cultivo. propósito práctico y formadot, colocado sob¡e toda E. .or, ""a. ora consideracióo, que he dictado el Plesente cu¡so de Lógica Formal en la Cátedra de Lógica de l¿ Uoivetsidad de Chile' Las difíciles cuestiones implicadas eri una ieflexióo a fondo sobre la natu¡aleza del pensamiento, o de la Lógica como 'cie¡cia del pensamiento" este fueron situadas fuera de este cu¡so' Y oo Puede hacérseme a el objerespecto el reproche de Persona suPerficiat, porque rePito tlvo en vista tro era la Filosofía sioo la me¡a práctica del discurso' opino que no imPorta tanto eo uo cu¡so dictado a principiantes llegar
a los ;principios últimos' como formar bábitos de rigor intelectual' Adquiriios é"tos, "erá posible moverse en todas direcciooes; será lo ¡r.rrlbl., "o Particular' la especulación sobre aquellos hábitos' <¡ue puede ya recibi¡ el oomble de Filosofía' Dicho con una sola Palrbra, a la vez simple y pedante, el cu¡so de Lógica que aquí se l)rcse Dtá es una propedéutica.
Al retocarlo para su publicación he tenido Ia vista puesta en el lcctor corriente y, principalmente, en la enseñanza secundaiia' ( icrtamente, hay capítulos que no responden al programa preparado que son aPropiados lJ¡rr^ las lecciones del I-iceo; incluso aquellos 11
l
a esta tarea se encuent¡an, aquí y allá, ataviados del siobolismo ¡loderno- Sin embargo, cada vez más, nuestros colegas se convenceo de cuánto importa i¡t¡oducir la fotma y mane¡a de la nueva Lógica, siquiera por el hecho de la pobrgza implicada en insistir en ües o cuat¡o maquinillas silogísticas que tienen por lo demás sus buenos quilates de teliquia. Y vale la pena salir en ayuda de quienes siente¡r así Para que la protesta suba a los cielos: No sólo resulta anacrónico el pequeño ptograma de Lógica de nuesttos liceos, sino que los tópicos de Lógica Moderna son más amplios, más formadores y rlás elegantes, al tiempo que muy apnopiados a la disciplina inrclectual de los jóvenes. Mi preocupacióri por un oivel medio da razó¡ de la forma a ¡atos empírica a ratos ¡igurosa de estas lecciones. No son pata entendidos. Pero, hay tambié¡ u¡ principio implicado eo el modo de su presentación. El exceso de formulismo, fotoalismo y meticulosa tigurosidad no sólo me parece nocivo a la atmósfera que debe rodear uria verdadera formación, sino que rápidamente esta¡emos, Para decirlo de manera inofensiva, implicando demasiado sob¡e demasiadas cosas. Peto, además del tremendismo ridículo que quiere echat sobre dos o tres pa¡rículas la tarea de sujetar el cielo, hay la grave acusación de falsedad. Es, siempre, la adyertencia del espíritu al mero eoteddimieoto: "Hay más cosas ent¡e el cielo y la tierra de las que caben en tu filosofía". Sob¡e el defecto de no inclui¡ es¡as páginas ¡odos los tópicos que pudieran esperarse de una i¡t¡oducción, casi no es necesario dar explicaciones. La introducción nada tiene que ve¡ con exigencias cuantitativas. Por lo demás, me hubiera sido fácil ag¡egar otros capitulos elementales a los aquí incluídos; si no lo hice se debió a que no debía excederme en uo p¡esupuesto que muy bien podía quedar al setvicio de otros que merecen más que yo. De todos modos, la suerte de esta edicióo decidirá sob¡e uoa segunda posible. El lector, además, no debe olvidar que se trata aquí de lecciones expuestas una o dos veces y ligeramente tetocadas. Hay nuñetosos defectos y el estilo litera¡io - un eufemismo - es pésimo. Las imperfecciones de composición, por se¡ escasa la experieocia de nuestros tipógrafos en esta especie de trabajo, deben perdonarse por adelantado. En lo que me toca, tengo la disculpa de la urgencia de uo texto que facilite la ta¡ea de mis alumnos, además del escaso tiempo que dejan orras dedicaciooes para mí impostergables. Fioalmeote, unas lineas sob¡e las fuentes. Seria inaceptable en mi caso pretender siquiera una sílaba de originalidad en estas materias.
112
Et lector informado percibirá de una oieada cuáles son los auto¡es que he tenido a la vista. Al principiante, se los indico, recomendándole i¡ después del ratamiento preliminar aqui exhibido directamente a ellos. Son, en orden de importancia y sin meocionar al incompatable Aristóteles, los siguientes: David Hilbert, Jan Luk¿siewicz y el notable maest¡o Williard Va¡ O¡man Quine. Las lecciones sob¡e lógica tradicional ' pero, esPecialmente, nume¡osas que por extensas y tespeculacivas' oo me atteví a incluir en el texto - se inspi¡an e¡ la elabo¡ación excelente del profesor H. W. B. Joseph,
13
1
I. LOGICA DE PROPOSICIONE'S
l. La lógica de proposiciones se ocuPa' para decirlo del
modo más
directo posible, de las condiciones que tigeo el empleo de expresiones t'si-eoto[cestt y ot¡as que más adeco.o ..norr, ctrtr, ,.otr,.,ni-ni,t, en el lante indica¡emos' Pa¡a señalar todo lo que importa a la lógica Tales 1a' Pacaso de esta especie de exPresiones' basta lo siguieote: 20' Forconside¡adas' integralmente a aPlicao labras se P¡oPosiciones lo 'mate¡iat de las proposiciones a que se aPlican' nuevas ..o "oo proposiproposiciones. lq. Exigen, en olded a sel verdaderas' que las .ion"r. qo" se aplican sean de un determinado valor lógico' Ilustremos lo dicho con algunos ejemplos' lo. Coosideremos la proposición construída con Ni César es gtie go ni Platún emperudor'
"ni-ni":
que poEn ptimer lugar' ootamos que "ni-ni" constituye un patrón ional' biproposic un Paróo demos iescribir así: "ni.'.ni"'", es decit, tmateriat que y caso eD nuestlo f-as proposiciones que si¡ven de y griego" es It"n"n to" v"cíos del patión "rii"'ni"'" son "César a formada "Platón es emperador". En seguodo lugar, la proposicióo partir de las dos últimas y mediante el patrón "oi"'ni"'" es urla P!osubordinadas que la coos¡rosición verdadera Porque las PloPosiciones tituyen son ambas falsas. (lonsidetemos la proposición consttuída con "si-entoncest': Si llaeue, entonces, todos se 'noiañ' (irmo en el caso anteÍio¡' se trata aquí de un patrón biptoposicional r¡rc porlemos describir as-í: "si "eri¡ooces"'tt Las dos proposiciones
2o.
coÍro 'materia' de la proposicióo de nuestro ejemplo son ,ju" "rro"r, i.¡.1,r..,.,, y "Todos se moian". La ptoposición de nuestro eiemplo, cn ordcn " ser verdad..a, exige que no sea la primera proposicrón o rechaza vcr,lade¡a cuaodo la segunda es falsa, es decir' excluye l¡¡ combinación "verdadera-falsa" de sus proposiciones eleme¡tales'
15 l
Finalmente, cooside¡emos la ploposición consttuida con "o": Voy al ciae o esctcbo tuísict' sería: Se trata aquí tambié¡ de uD Patrótr biproposicional' Su forma este se aPlica ".-.o..-" Las proposiciones a que en ouestro eiemplo
3q.
pátrón son "Voy al cine" y "Escucho música"' La proposición de nuest o eiernplo (y otra cualquiera del mismo patrón) exige, en órden a set verdadera, que siquiera u¡a de sus proPosiciones subo¡di¡adas sea veldadera.
que En adelaote llamaremos a estas proposiciones subordinadas t'nott, tmateria' como "y"' palabras aplican a que se constituyen la "o", etc,, Pao7osicior,ales elerrrerrrdles o simPlemette clóasúds'
ttno", tty", "o'', ttni-nitt, 2. Para eI t¡atamiento de expresiones como etc., que ProPonemos aquí llamar conec'iuds itter?to|osiciontles ' se comienza por exPresarlas con ayuda de símbolos simples' La función más importante de estos símbolos ¡eside eo elimiÍar toda la diversidad lite¡aria en que puede exPresalse una misma conectiva' Para dar un eiemPlo de esta diversidad coosideremos "no", "y" y "si-entoncest
t.
(a\ !aan no es Político
Es lzlso qte Judn sed Político !aan es cxalquiet cosa menos político En mod.o alguno es Jran Político
(b) Pedro ud al cirre Y Jtlor, u4 al cine Pedro y lran udn 4l cine Ped¡o oa al cine, Jatr, tambi¿tl ! ttan ua al cine cofl Pedto.
(c)Si ¡aan se mete en política, Pe&o se enoia Si Jtun se mete en políticd, entonces, Pedto se enoia Tod¿ oez qte lran se mete en política Pedto se enoia Bdstd qre J¿dn se merd en política pdrd qae Pedto se enoie
Los sí¡nbolos de que hablamos aquí se aplican, como es obvio, a las ptoposiciones elementales iotegralmente consideradas. f)amos a continuación la lista de estos signos. ls. "No" y sus equivalentes literarios será¡ simbolizados po¡ el signo "-"; de manera que una cualquiera de las fo¡mas (a) será expresada del modo siguiente:
- (!aai [16
es Político)
Con tal simbolismo entendemos que la proposición dentto del paréntesis se niega. Conviene indicar desde ya el sentido que damos en este libro al patéotesis; como en matemáticas, el paréntesis se reduce a indica¡ la parte que es sometida a una oPeración cualquiera dent¡o de uo coDtexto. Sin embargo, Puesto que el signo "-" se ha int¡oducido como uno que se aplica a ptoposiciorres, no habrá ambigüedacl si elimi¡ando el paréotesis escribimos simplementel - J tt.ut es Político Esta eliminación de un paréotesis es una instancia del ptincipio
siguiente, que aplicatemos sio cesar: Donde un signo oo es necesario' se elimina. 2!. En cuanto a "y" y sus equivalentes literatios, serán simbolizados pot el signo "'", es decir, por ün Punto' como es el caso de la multipiicación eri maternáticas. Una cualquiera de las formas (b) será, eotonces, exPre sada mediante: (Pedro aa al ciie) ' (luaa ua a! cine) Y si, como en el caso de la negación, quedamos de acuerdo so_ bre la supetfluidad de los paréntesis puesto que el signo "''l' se aplica a Proposiciofres, anotar€mos simplemente: Petl¡o ua al cine ' luan ud ol citue Mientras se úata de exPtesiones que compreúden proposiciones elementales especificas, como "Pedro va al cine", "César es grieque en un ¡4o", etc., el signo "'" es oecesafio. Muy luego veleños él' de plescindir podemos nucvo grado de simbolización lq. La palabta "o" y sus equivalentes literarios serán simboliza,los por el signo "v" De manera que una proposición como "Estudio gcometría o escucho música" se expresará así: llsrudio geomehía v Lsctcho música 4a. "Ni-ni" será simbolizado Por "J"' Una proposición como "Ni (lésar es grieBo ni Platón emperador" se anotará: (,¿slr es griego t Plat6n es em?eftdor 50. "Si-entonces", como las múItiples fórmulas litera¡ias equivalcntes, se simplificará mediante ")"; de manera que uDa cualquiera ,lc las proposiciones (c) se expresatá del modo siguiente: ! at se fiete en Política ) Pedto se enoia 60. 'l'oclavia podríamos agregat la conectiva interproposicional bi¡¡¡rrin - tlescle luego, menos familiar _ que se expresa en fótmulas It¡nro "si y solamente si". Las proPosiciones elementales se übican
ln cstc caso en ambos exttemos de la fórmula. Un eiemplo seria: lil hotnbte es bueno si y solo si es sabio I'.1 signo para simbolizar "si y solo si" y sus equivalentes es r¡ t'; la proposición dc nuestro eiemplo se anotará entonces: Ij l
El bombre es bteno = El bonbre es sabio que se expresa orseñalaremos la incompatibilidad iJ. t'"" incompatible cotltt o ttson "in"l..or", mediante fórmulas "oto dinariameote verdaderastt' etc Como iocompatibles" o "no son coniuntamente ejemPlo sea:
repc4r y estar en la P¡ocesión ';1 es Posible i; conectiva int erpropos ic ional "incompatible- coo" por el nombre "Juan'1 es .!,,. Supoaiendo un suieto, a".igntdo No
"ig"n;;;; eiemPlo quedaria así: ouestro
est'í en la Toceston' Jlafl rcpico | !xan de gtados de simbolización además 3. Ya sugerimos que hay otros reNos s ionale ic ' Zta"-n"""". aplica a las "on"t:-tiutt interptopos elemenproposiciones las de simbolización iJr*.1-".-.".. *gar a la a análogo a letras' de modo tales. Pa¡a simbolizarlas, recuftiños letras simbolizar los númetos' Las como se hace en álgebra para
que estáB Por n.olt"t"t::^"-11?::i: ;:';; .. ";" "r,,on"'"- símbolosteÍas 4' b' " so,' sis¡os que estan por álgebra las ;:;;" ; ;;;.;'
coosigo una bueoa cantidad de núme¡os. Símbolos como éstos traen el t¡atamiento de toda una mulfilosofía, y Pretenden que es posible especificarlos' El símbolo ¿' titud de objetos sin que sea necesario
tal o cual número; a (para en álgeb¡a, significa alternativamente está por-J' pot 5'pot-100' " de aotiguo cuño) -:, i..i.ii "."'*t":tórmula Et'u' d Por 3 en cuanlo número son 100,"' .t-.""ta" l, "it'"to" se¡tido de estar igualmenrc a pot 5' es precisamente -^"t.t"." la tazón yp el es el sigoo (v también u' ::-'.") t::6 Por "Platóa iooi... cl¿a"to ea por "Llueve"' etc'' emoerador", está por "Tengá frío", hace ."r..rdo oli pot todas ellas alter'ativameote :;";;;;
í".ffi";;;;;;i"rul'u
'o¿""''"'
decir' hablar de cada una de ellas
una exPresión s imPle ' Debe ser muy claro que signos como
-.diante
"p"' "1"' "t" "-difieren de ,. ', " ":.,. eo un sentido esencial Los últimos " i" '""u" simple.e inequívoco ::tJ::r::lh'""J "*'"' o"' u'"'"^' ional; los primeros' tal o cual dete¡minada cooectiva inrerproposic determinada sioo una ..tbr., no designan tal o cual proposición "l :::,T.'':",.1: i i"',,;: ?:-.,'lllJJ ll::'T:',:;:,, una multiplicidad es esencla ..-.r,, .¡-t, ,, slgnos como v ' nada tiene esto que ver con de--sirnbolizar completanrente' o Estamos ahora t" cot'dici=onts
;;;;;,.;
::
como: explicigar la forma lógica de expresiones e'i?erddor' es Platón xi G)Ni ¿¿¿4r es gtiego (h)Si llncuc ( lonces to¿t)s sc n"ian'
I lrl
(c\v oy al cine o esctcbo músíca. (d\ !ma no es Político, etc, Tomaodo, por ejemplo, (b) y simbolizando, según lo codvenido, la conectiva t'si... entonces..." mediante ")", se tiene: Lhteue ) Todos se moian Considerando, además, "Llueve" como un caso de "2" y "Todos se mojant' como un caso de "g", podemos pasar enseguida a la simbolizació¡ de (b) transformándola así en un caso del esqtema proposicional:
p)s Los símbolos que nos proponerqos emplea¡ - símbolos de conexión forman entonces lo que hemos no¡nbrado ya '¡esquemas proposiciotrales". En los casos (a)-(d) tales esquemas se¡ían respectivamerite los s iguieotes :
y de proposición -
?!q; P)q; !"q; -!
la relación ent¡e un esquema proposicional y la proposición correspondiente se establece yeodo desde el primero a la segunda. Así, por ejemplo, lo frecuente es decir que (a) es un caso de ?!q; guÉ (b) es un caso de p)q; que (c) es un caso de pv4i que (d) es un caso de -p, etc. Alternativamente, se dice también que (a) es vra especificaciír de p{q; (b) una especificación de p)q; etcOrdinariamente
4. Hemos hablado de p¡oposiciooes elementales para designar aquellas a que se aplican las cooectivas. En oposición a las proposiciones elem€ntales teriemos las Foposicioxes compuestrLs, qoe soi aquellas que resultan de aplicat tal o cual conectiva a determinadas lroposiciones elementales. Más adelanre se hará muy evidente que la nntítesis aquí propuesla no es todo lo rigurosa que pudiera parecer, ¡rorque hay proposiciones compuestas cuyos elemeotos son también ¡roposiciones compuestas. Sin embargo, mucho facilitaremos las cosas si (no atendieodo a la cuestión de relatividad implicada) nos rl
f. l'in el parágrafo 1. hemos indicado que, en orden a ser verdaderas, lrrs ¡rroposiciones comlr¡estas exigen que sus proposiciones elementalcs posean un clcterminado valor. Así, por ejemplo, una proposición (()rrl)ucsta fornra¿la nrerliantc l¿ concctiva "y" cxige, en orden a ser 1e
I
ve¡dadera, que sus dos ptoPosiciooes elementales seari verdaderas; del mismo modo, la conectiva ttno" pata ser verdaderá exiSe que la sola proposición elemental a que se aplica sea falsa. Lo dicho sin embatgo no debe tomalse al pié de la let¡a. La conectiva "o", para ser verdadera, requiere que una al menos' y una cualquiera, de las dos ptoposiciones elementales a que se apllca sea verdadeta; pe.o nada dice de determinado sobre cual de estas propottsi-eotonces" no palece siciones deba serlo. Asimismo, la conectiva exigir algo determinado sobre el valor de sus proposicio¡es elemen' tales en o¡den a ser vetdadera sino en orde¡ a ser falsa. En efecto, naturalmente entendemos la proposición: (a) Caaxdo lhteue todos se moian parafraseándola de esta ma¡era: Es falso que llueva y que alguien no se moje, es decir, es falso que la primera cláusula de la ptoposición compuesta (a) sea verdadera y la segunda falsa. Sin embargo, aúo cuando no haya urra determinación precisa de los valores de las proposiciones elementales en coúespondencia coo
la verdad (o falsedad) de las proposiciooes comPues¡as a parti! de ellas y mediante la aplicación de las palabras conectivas, coo todo hay determinación. Y ello es así hasta el punto de poder nosotlos, sin forzar exageradamente el empleo de las palabras cooectivas,
establecer uoa exacta coftespondencia entte los valo¡es de las P¡oposicioaes elementales y los valores resPectivos de la ptoposición compleja construída a partir de ellas y con ayuda de las diversas conectivas. La correspondencia de que hablamos aquí puede eiernplificarse tomando para ello una proposición cornpleja construida coa la palabra
conectiva
"y".
Sea, Por ejemPlo:
(b\Voy dl cine y escacbo música Una proposición es, cualquie¡a sea, verdadera y no falsa o lalsa y no verdadera. En nuestro ejemplo' las P¡oposiciodes elementales son "Voy al cine" y "Escucho música". Considerando los valores - verdad y falsedad - que pueden poseer es(as ProPosiciones' cuat¡o y nada más que cu¿rt¡o combinaciones son posibles: (1) Ambas son verdaderas; (2) La primera es verdadera y la segunda falsa; (3) La primera es falsa y la segunda verdadera; (4) Ambas son falsas. La proposición compuesta de nuestro ejemplo posee un valot bie¡ detelminado eo cada uno de los cuatto casos: Es verdadera en eI primero; es falsa en los tres ¡estantes. Una cortespondencia de esta esPecie es la que esperamos en todo caso de co¡rectiva interproposiciooal. La correspondencia, empero, no es una que Permica transilar en ambos seotidos, es decit, dada una combinación de valores de
lzo
las proposiciones eleúentales se determioan con ello el valot de la proposicióo conPleia; pero, dado el valo¡ de la proposición compleia no se determina con ello, en general, el valo¡ de las proposiciones clementales. Si conocemos el valot de las proposiciones "Voy al cine" y t'Escucho oúsica" sabemos Precisamente el valor corresPo!rliente de la proposición "Voy al cine y escucho m"sica"' Si, por el contrario sé que esta última ptoposicióo es falsa nada puedo determinar sob¡e los valores de sus proposiciones elementales; puede su_ ceder: (1e) que sólo la primera proposición sea falsa; (20) que sólo la scgunda lo sea; (10) que ambas proposiciones sean falsas' Lo único q.r. pod".o. decir cuando una proposición comPuesta a Partir de "y, cs falsa es que alguna de sus ptoposiciones elementales lo es' Otro tanto cabe obse¡var de las co¡ectivas binnias lestántes' I'or ejemplo, si una ptoposicióo cor¡Puesta de la forma "si-e¡tonces" .. f^i.., satlemos que su prime¡a cláusula es ve¡dadera mie¡tras la orra es falsa; pero, si dicha proPosición es verdadera' ¡ada podemos rleci¡ en fo¡ma dete¡oioada sobre el valor de sus cláusulas' Pueden scr: (1!) ambas verdadetas; (2a) ambas falsas; (Jo) la primera falsa y l,r segunda verdadera.
6. Sabemos que es proPio de la proposición ser verdade¡a o falsa' Vrrdad y falsedad son los valores de la proposición' En adelante, _ ,rl referirnos ¿ estos valores erÍPleatemos respeciivameote las abre vi:¡turas "V" y '?". Tales abteviatu¡as' como también las palabras "vc¡
¡,ro¡rosición comPuesta consta de dos proposiciones elementales, las ,lisrinras combinaciooes Posibles de los valores de éstas son, como l,c¡rros visto: VV, VF, FV, FF, Por eiemPlo, sea la proposición: t,\\ \i I ttatu se ñete efl políticL' Pedro se enoid' La ¡rimera Proposición elemental puede ser verdadera o falsa in_ ,1, ¡'t rrrlicntemente de la segunda; y como ésta Puede a su vez se¡ vc¡,1¡
irrrrcs
¡rsibles son ocho: VVV, VVF' VFV, VFF' FVV' FVF' 21)
Más adelante estudiaremos el punto de manera fundada y general. Por ahora, importa fijar la noción de combi¡aci6¡ enteodida como cada uoa de las posibles asignaciooes diferentes de valor que damos a las proposiciones elementales de una proposición compleja.
7. En el caso de un esquema ptoPosicional, nomb¡aremos sus Partes con la expresión "clórsul¿s del esqtema Ptopos icio¡ta!" . Adem.ás, tales esquemas se dirán rnonopto?osicíotale s , biptoposicionale s, triptoposicionales, ,.. según sean una, dos, ttes,... l^s lett^s p,q,r,, , que comprendeo.r Por ejemplo, seao los esquemas: (b) P)s (c) Pv4, (d) ¡=s (a) -?;
(a) Es u¡ esquema moooproposiciooal cuya cláusula úoica es p,' (b) es un esquema biproposicional cuyas cláusulas son p y l, etc. La nomenclatura ante¡ior se conserva en casos metros simples como los que se anotan a cotrtinuación. Toda la diferencia reside en que las llamadas cláusulas no son ahora todo lo simple que erao en los ejemplos anteriores, (e\ -(Pq); (r\ (?d>P; G) Qdb El ejempto (e) es un esquema biproposicional cuya cláusula ú¡ica es pq; (f) constituye uo esquema biproposicional cuyas cláusulas son pq y p; etcComo se ve eo los eiemplos (e) - (g), la función de cláusula dentro de un esquema proposicional asumida por una expresión que es
ella misma un esquema proposicional se indica ence¡rando esta última de¡t¡o de un paténtesis. La funciór¡ de un paréntesis es indicar i¡tegralmente la expresión - más o menos compleja - a que se aplica la conectiva. Es fácil imaginar esquemas proposicionales que comp¡endan paréntesis dentro de pa¡éotesis. Por ejemplo: (h) - ((P)q)\q); (í) ((!vqD¡)lq;". Los paréntesis determinan bien el esquema precisando l^ ttgtrptción de¡tto de é1. Pot ejemplo, (h) represenaa uo esquema biproposicional de una cláusula, ésta a su turno es ual esquema cooplejo biproposiciooal; la primera cláusula de este último es a su vez un ' Nótese que los apellidos "monoproposicional", "biproposicioral", etc., en el texto, se aplicao tambiéu a las conectivas y atetrdietrdo a su ca¡ácte¡, En este sentido, aunque de mane¡a no aforturada, se dice que la negación es una conectiva monoproposicioral y que todas las ¡escantes - a
lo que pa¡ece - son bip¡oposicronales. El equívoco aquí indicado se p¡oduce de modo explícito en una expresión esquemática como "¿)p',, la cual segun el criterio del ptescnte pa¡ágtafo es monoproposicioaal en rarto que, atendiendo a su co¡ectiva, es biproposicional. El defec!o, empero, üo resulta grave si conside¡amos que la distinción no ciene impottancia en el I 1,
esquema complejo biproposicional proposic ionales, s^bet, "P)q".
y de cláusulas simples, o
mooo-
^
8. T¡ataremos aho¡a cada una de las v¿rias conectivas en Particular. Ernpezaremos por la tegacióx. Todo lo que ¡esulte de esta conside¡ación, Para
el caso de dicha conectiva, aranca de este principio: La aegación de arrd Ptoposici6n retdade¡a es falsa; y la negaciót de urd ptoqosici6r lalsa es vet' dadera, Podemos pasar de aquí inmediataoeote al pincipio de la doble negación. Ea efecto, aplicando lo dicho a¡te¡iolmente, que puede considerarse como una definición de la negacióo, podemos conclui¡: La negacióo de la oegación de una proposición ve¡dadera es verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsa es falsa. Recurriendo al esquema de la negación y al ptiocipio que acabamos de formular, podeoos defioir la negación del modo siguiente: -pt -v=F; -F=V Una definición como ésta se leerá, más o meoos, así: La negación (-p) es una conectiva monoptoposicional que es falsa cuando la cláusula a que se aplica es ve¡dadera y verdadera cuando la cláusula a
queseaplicaesfalsa.Lasdosexpresio¡es,,-V=F', forman, reunidas, la delinicióa simbilic¿ de la oegación. Aplicando esta definición de negación a la doble negación, resul(a:
-(-p): -(-v)=-F=v;
-(-F)=-v=F
IJI resultado, como se vió ya más atriba, muesüa la exacta coinciclencia de los valores de los esquemas "P" V "-FP)". Conside¡a,los desde el punto de aisro de s¿s talorcs, los esquemas '?" y "- ¡- p )" s otr, entonces, rigurosarnente idénticos. (). La conectiva expresada mediante la palabra "y" ¡ecibe el nombre ia conjaacíón. La coniunción es ya propiamenre conecriva, puesto quc comprende dos proposiciones elementales. I-a conjunción se puede compendiar en este principioi Es uet¡ltdetd crando srs dos ptoposicioaes conitgadas lo son, lalsa en t I caso conhcrio. Es claro a partir de esre principio que el orden de l¿s clóusrlas denfio de uta colitnción en rddo ld alecta. "fal es el lrfincipio de c on¡nutariuidad ¿e la coojunción. P¡ocediendo como en el caso de la negación, podemos definir, nrcdiz¡nte los sínbolos ya cooocidos, la coniunción de la manera si¡u icnte:
I,,q: V.V=V; V.It=l:: F.V=f:; F'F=F 211
El ptincipio de conmutatividad aludido
más a¡riba se puede petcr-
bir claramente en esta definicióq simbólic¿ de la conjunción. En efecto, los únicos casos en que los valores de "P" y "4" son enre sí disce¡¡íbles dert¡o de la definición simbólica sot "V.F" y "F,V"; pe¡o,.etr ambos casos, el valor del esquema proposicion^l "?,q" es el mismo, a saber, F. Esto quiere decit que "p.q" y "q,P" son esquemas indisce¡nibles desde el punto de vista de sus valores, o, lo que es lo misoo, rigurosamente idénticos. U¡ modo más simple de ver ésco co¡siste en adolar las defiqiciones ¡esPect¡vas: p.q: V.V=V; V'F=F; F.V=F; F,F=F
q.p: l.l=lt;. F'V=F; V.F=F: F.P=F
Una de las cláusulas de rtna coniuoción puede ser uoa conjunción. El esquema proposicional, en este caso, - prescindiendo del punto que deoota la cooluoción - seúa "(Pqh", No es difícil darse cuenta
de la ide¡tidad e¡te ',(Pqh" y "?(qt)". Considérese el
eiemplo
célebre: V ine, ai, oe¡cí Es muy evidente que la agrupación no afecta al se¡tido de esta proposición. "(Vioe, ví), vencí" y "Vine, (ví, vencí)" son ptoposiciones que en nada difieren cuaodo se conside¡an su vetdad o falsedad.* Un modo de da¡se cuedta de este principio de asociatíuidad de la conjunción mediante símbolos coosiste eo compara¡ las tablas definitorias de los dos esquemas "(Pq)¡" v "P(qt)". Ato¡emos:
@q)t: (VV)V=V;
(VY
)F'F;
(VF)v=F; (FF)V=F;
(VF )F=F;
(FF)F=F ; (VFtsF; p(qt)t v(VVtsV; V vFvtsF; v (FF tsF; F(FV)=F; F (FF )--F F (vV )=F; F(VF )=F; La coniunción edtonces es conmutativa y asociativa lo que, por ahota, erpresamos meÍamente dicieodo que los esquemas "p4" y "q!", de rma p¿r¡te, y los esquemas "(Pqh" V "P@r)", ¿e orra, soo - conside¡ados desde el punto de vista de sus valores- rigurosameote idéoticos. (Fv )V=F
;
(FV )F=F
' Es i¡teresanae ¡otar qü€ esta proposición, r¡o es una coniunción
que
podamos t¡ata¡ como otra cualquiera qüe sea uÍ 6aso geruino de '¡pqr". No podemos conserva¡ el se¿tido de "Vine, vi, venci" cuatrdo la reemplazamos por "Vencí, viae, ví". La ¡azó¡ ¡eside e¡ u¡a secucncia tempo¡al qüe es ese¡cial al sigailicado de la proposición compr¡esra y que ésta e:presa media¡te el o¡den de las proposicioaes eleme¡tales. Ahora bietr, no habien-
do co¡mutatividad estamos autorizados para ¡echazar "Vine, ví, vencí" como un caso genuino del esquema "pqr". 124
la alte¡¡acií¡, conectiva que se exPlesa ordinariamente mediante la palabra "o". Se ttata también aquí de üna conectiva en el seDtido proPio del térmi¡o, Puesto que las proposiciones elementales en el caso de la alternación sdnr por lo menos, tl¡rs. Las cláusulas de u¡a alternacióo reciben el nombre de ¿lte¡natil0.Examinemos
ahcri.a
l|na alterndci6r, es uerd.tdeÍa caando siqtieta ,!r4 de sus altetndtiads es aerdddera; et cdso conttatio la alrer¡ació¡ es /a/sa' Resulta ,le aquí, inmediatamente (como en el caso de la coniuncióo) que el o¡¡len de las ulrerrtatiads ,to zÍecta 4 l4 dlrernoci6r,, es deci¡, que la nltern ación es conmutatiYa. Considerando el eiemplo "Voy al cine o escucho música", lo diclro sob,re la altemación se teduce a esto: Si una cualquie¡a de las nlternativas, Por eieñPlo' "Escucho música", es verdadera, la alterrr¡¡ción lo es asimismo; si añbas alte¡nativas son verdaderas, la al_ rc¡nación lo es a fottiori; finalme¡te si ninguna de las alternativas c:r verdadera, la alternación es falsa' Además, en cuanto a la verdad y lo falsedad, las proposiciones "Voy al cioe o escucho música" y "l,lscucho música o voy al ciaet' sori coniuntañente verdade¡as o ,,trr juntamente falsas. (ion simbolos, la definición de la alternació¡ es la siguiente: ¡vq: VvV=V; VvF=V; FrV=V; FvF=F ( i)mparaado l¿ defi¡ición simbólica de "?v4" con la de "qvp", es óe-
ir, coo: qvlt V\V=V; FvV=V; VvF=V; F\F=F rr' ¡crcibe i¡mediatamente la identidad való.ica o, como diremos eri ¡r¡l(l¡rntc, la eqniualencid de los esquemas "pvq" y "qvp", T^l es
r
l,r yu rnencionada propiedad cormutativa de la alte¡nación.
l'ls fácil da¡se cuerita de que la alternación posee I'rr'¡,icrlrd asociativa. Conside¡emos la proposición:
asimismo la
ltoy al cine o escacbo otúsha o leo poesía, Si convenimos en el catácter. biproposicional de "o" se¡á nece,r,rrirr ¡grupar dentro de nuestra P¡oPosición pala destacar sus cláusu l,rr; vnlgómonos del paréotesis para ello. El ca¡ácte¡ de asociativl,l¡,1 rlc la alternación, como en el caso de la conjunción, consiste r¡¡ l¡r no importancia de la agrupación ¡especto de la verdad o la l¡lrc¡l¡¡tl ¡lc la proposición- Las PtoPosiciones "(Voy al cine o esnrúsic¡¡) o leo poesía" y "Yoy al cine o (escucho música o 1.,' ¡,rrcsir)" son equivalentes. De una madera general, los esquemas "ll,vq)vr" y "t¡v (qt¡)" son equivalentes, lo que puede mostrarse ,,,rr(' Íc hir(' cn cl cnso dc la coojuncióo.
, ur
l¡r
25)
alternación'.Un empleo 1l.Vate la pena distinguir la disyanciót de la t'o" puede haceroos vacilar sob¡e. la despalabra ""^"r^rrr ¿,o de la hecho en el parágrafo anterior; se ttaca caso qt. hemos Irio"ia" .del. sue^qrr" palabra "o" la lu" dos cláusulas son verdadetas' Porque .r, coo se. Jorma que i" .'*ft."."" de ma¡e¡a que la proposición compleja cuaodo y también f¡"^ cuando ambas cláusul¿s son falsas "" cláusulas son veldadelas; es el sentido fuerte de "o" que "it. ambas condici6n compleio verdadero acePta urla cláusula a ;;;";;;"t;". i. ,""h""* la otra. No vacilamos eo proPonel el térmioo "disyunción" d;.su; cláuTu i*" l',. ".".",tva v el de "disyuotiva".para:"d" la disEs evidente que, como la alte¡nación y la conjuoción' de ." .or,rn,ra",i,'"' Su definición simbólica - si nos ponemos t"""tót es la "lrl"s. '"arr"ado disyuncióo la usar el signo "w" pata expresar
"., V\:V=F; lrs¡ $
siguiente:
VvF=V ; FarV=V ; FwF=F a como se procedió en el caso de la coniunción' aoálogo De modo proposicionales puede -oto".- 1" equivalencia de los esquemas se -,,¡p'*,q)*r" y "!o¡(qwrl', es decir' probar el carácter asociativo de la
disYunción' lne!;e¡ciar La propiedad asociativa vie¡e a Parar en esto: que es iodiescribir' así podemos que y t" .g.iu"iao por la cual optemos' ;'(pwq)wr" pasa natutalmente se aquí De o "pu(qwr)"' f"r"i.rn",,,., en a prescindir del paténtesis o signo de agrupación y a escribir' que concluirse "w" pudiera oo""rro au"o, "pvqwt"' De todo esto transes r¡na cooectiYa que puede comPlicarse y de biproposicional conmala una formarse eo t¡iProPosicional' Ello sería, ciertamente' es irtelevante' clusión. La foúnl "p\rqwt" indica que la agrupación no indica que no haYa agruPación' Lo dicho se puede percibir con más facilidad en
el caso de una expresióo opetacióo aritmética asociativa como es la suma' La ,"¿1¡p+C)" es equivalente a la expresióo "(A+B)+C"; pero la opeta-
por alguna cióo debe deciditse por alguno de estos casos, es decir' de ¿z¿ caso el en suman' se palabra, deterrninada agrupación. En una a la respecto sugestión La operación, dos números, no tres o más' propodisyunción-dos err disyunción es, del mismo modo, que erlüan .i"ioo"t, no más. Así, por eiemplo, designando mediante 'f" un determinado triáagulo, podemos formar la proposición: 7 es acutá¡gulo w T es rectángulo w T es obtusángulo Cooque ofrece la ipariencia de una disyunción con res cláusulas' ptopo.idér""", empero, la operación intelectiva que efectuamos al que nernos decidir sobre el valor de esta proposición' Es evidente al conttaponemos que suya en una Parte ¡rrocedemos situándonos
ll26
cuando COn menos Plausi-
paúe' Aun rcsro cooside¡ado coúo Lt ott" seoejantes sobre consideraciooes bacetse ;,';;"";,;.;"
la
coo-
irrnción y la alter¡ación' que está melos erteri'
el ..o,, disyuotivo, sostiefien algunos eo ta Protst-c'r^oir--i1::,li,lo de lo que se piensa; que, por eieoplo' * e y' cual:-slurefar números dos *+y'; a que dan luga¡ ,,,0,,.^-'*=y 'iii' " o- Por lo trenos alte¡oativo;.^nr."¿. oo t" di"yttltioo siqo .t el único oodo de que puesto ,,:,. ;" o-;;;;"" decidir si lo t" o oo cláusulas la experieocia y pooer dos .ttld?.d:; 'l.cidirlo sería bacer misúo sl e' o ,u' cn la foroa requerida para saber en el te¡¡eoo altetnativo- Pe'o la ,,, -.n.t" o oo, !s decir, si es disyuntivo o e¡ absoluto qe ."¡criencia es imposible PÚesto que no disponemos verdade¡as las cláusulas ,los números r e / que hagao cooiuotameote fuerao dos cualesquiera que aquí ;';;'; ; "*ar"' s" dt' ""goití" es decit',-que . en modo tu,,1í.rti.ion."' fo¡maloente iocompatibles' (como' P' ei'' "E[ aire es iol, r,1,.,.' ou"¿uo ser ambas oerdader"s que atribuvaaire e. azul") es indiferente el seotido ,':i:;;"';';;t eopleo en la su (p' ej' a ,,,,,- l; conectiva "o" aplicada a ellas sentido " es incoloto o el aire es azul"); si es el ,', ,,,,.,",.i¿"-;:t r ai¡e incompatibles, potnada puede ello afectar a cláusulas l,t,.lr,_,ioo,'""t." sola en produciráo la combinación W que es la ,;;. ;i;' ,¡,,. .f """ disyuotivo y el alternativo difieten' la importan'l rrl considetación importa una notable disminucióo en científico valor de uo , ¡¡ ,lcl "o" disyuntivo, hasa reducirlo a casos donde allí sólo ,".tl,rtf,.orr,". E"t^ too"cti"" sería imprescindible verdadetas' i,i" ],."n".i.t.."" conectadas pteden ser coniuntamente que el "o" en este caso dicha posibilidad' El eiemplo '... l,¡rzrrndo satisfacción la o, r¡frccc es el del padre que ptoPone en disyuntiva ,1. ,Lrs (lcseos de su hiio: "Dulces o ca¡rusel"' no sir cmbargo, Parece haber uoa dimensión del "o" disyuntivo que la r,,,,n,,cirlo p-o. ."a^ doctrina' En efecto' si consideraoos para la ,,ln,ión cntre las proposiciones oo se oftece eo un museo sino que investigamos y exPoneúos I,rr{ y rr¡rnspareote contemplación protrlemático y l,,t rcsr¡lt¡rdos y muchas veces lo hacemos en terleno que l2.Sobre
que tengamos ,,,,,1,rso, convendtemos entooces en que oculrirá decir' excluyenr,,,-,,1n. uno telación en té¡mioos de disyuncióo' es proposiciooes' No sabe,1,, , x¡,licit;trncnte la verdad conjuota de dos representacióo r.,,h .'¡ r'stc caso todo lo que se requiete para una lo conocido' de que, err términos sólo tan ,,,,n¡,lclr rlc las cosas sino conjuota falsedad la y también ,1, t,. cxclrrirsc la verdad coniur¡ta ambas que ocurrir pudiera bien aún cuando
,1, r¡¡rlr¡s pro¡osiciones
21 )
fue¡a¡ ve¡daderas o aobas falsas. Así taobiéo, al enseñar, estaúos muchas veces nosotros seguros de que dos ptoposiciones oo pueden cn absoluto ser ambas ve¡dadetas o ambas falsas; y sio embargo debeoos form.ula¡ su ¡elación en té¡minos erplícitos de disyunción al discípulo, por la simple tazón de tro estat éste a la altu¡a de toda la cuestió¡ y ao percibir la exclusióo mutua de las ProPosiciónes13. El "o" disyuntivo y el "o" alte¡nativo etaq dife¡enciados ve¡balmedte lror los latinos; para exPresar el ptimero empleabao la partí' cúl^ "4t", pata el segundo la palabra "uel", Et nuesua leogua la mane¡a mis faoiliar de erpresar el "ott disyuntivo cotrsiste en reiterarlo, cando a la P¡oPosiciód compleia la forma 1'o...o."" Ejemplos de esta forma de erpresat la disyuocióo los hay en abu¡d¿ocia en los üscursos políticos: "O comunismo o democracia", "O democracia o totalitarismo", etc. Importa distiogui¡ el ¡'o" cooectivo del "o" sinonímico, es decir, del "ot' que es ya abreviatura de la fórmula "o sea". Cua¡do se dice: "En un üiángulo las median¿s o t¡ansversales de gnvedad concrüreo a ua prmto comúntt, no se quiere deci¡: ttl-as mediaoas conculre¡ a nn punto comúo o las traosve¡sales de gravedad concurreo a utr punto comúnttr- si¡o que las erpresiones ttmediaoatt y
"transve¡sal de gravedad" son diferentes denomioaciooes de la misma línea.
l4-Inst¡uctivo ¡esultará en este pr¡nto conside¡ar la conerión proposiciooal erpresada e¡ la fo¡ma t'ni...ui...", que, Para dispone¡ de un nombte, llamaremos aquí lalsedad coniura' Como ya hemos dicho, la proposicióo compuesta que asuúe esta forma es verdadera solametrte en el caso de ser falsas sus dos cláusulas. Podemos pues anotaa:
Plqt V,V=F; V+F=F; F+V=F; F'F=V Basta e¡ami¡¿¡ la definició¡ simbólica de "ptq" para estar de acue¡do en la relación de este esquema y la c oniunción, expresada oediaote el esquema "pq", Dicha relación puede desc¡ibirse b¡evemente así: "p+q" se comporta de la misma manera que "-p-g", Coosidérense, para ver que es así, las defi¡iciones de la negacióo y la conjunción. El efecto de la negación es inverti¡ los valores de la proposición elemental; de modo que '1-p-q" se ^rotar6r -P-q: FF=F; FV=F; VF=F; VV=V Queda asi a la vista que los valores de los esquemas "pr4" y "-p-q" s. corresponden e¡actamente, es decir, que ambos esquemas [28
son equivale¡tes- La importancia de una equivalencia como ésta reside en la posibilidad que nos ofrece de eliminar ttntt co"ectiua' erfuesándola cot ayuda ¿e otras ' En vez de recr¡t¡it a la definición simbólica de rutina podtíamos - si fuese truesro P¡opósito reducir el núme¡o de canectit¡ds trirrlitiats'defini¡ el esquema '?{4" mediante pr
la fórmula
q=-p-s
siguiente
El signo "(Def)"
i
'
(Def) puede consideraise indicativo de
la natu¡aleza
cle la rcl¿eión afiotada; se trata merameflte de rLlra definici6n tomital que da al esquema '?ü4" et carácter de simple ab¡eviatu¡a de la expresióo más comPleja "-P-t¡"' De pasada, anotemos aqui algunas indicaciooes terminológicas: A todo complejo de la especie de "pt"q=-p-q" se da el ¡ombre de defi¡ición (nomioal); a la primera Parte de tales coúPleios (etr este caso, "ptq") se la denoñina delinido y a la segunda parte (en este caso, "-p-q"), defhicíún. Hay pues un doble empleo de la palabta "definición" que impotta tener Presente. Más oste¡sible todavía es la telación entre el esquema 'lp+4" y la alternación. Basta una oie^¿,^ a su definición simbólica dada e¡ primer lugar - def.inición que no es ¡ominal sioo de sentido o signifi' cdtiuo ' pata reconocer en ella un esquema equivale*e ^ "-(p'¡q)" ' En efecto, sabemos que la negación invierte el valor de la proposición elemeotal; la aegación de "Pvq", por consiguiente, consistirá en un esquema que invierte los valores de "lnq" ' Teodremos'a3í:
-fftVtsF; -(V...F)=p, -(FvV)=F: -(F\F)=V Los esquemas "p+q" y "-(pvq)" son, por lo tanto, equivalentes' Podríamos, eotooces, oPtar Por defirk "prq" mediante la alte¡nación y la negación de la siguiente manera: (Def) Ptq=-(?vd -(?rdt
que es urra defi¡ición nominal tan apropiada como la que hemos dado cn términos de negación y coniunción.
Podemosdestacaraquílaequivalenciadelosesquemas "-(pvq)" que, siendo equivalentes ^ "p{q"' debe¡ se¡lo entre sí' l)icha equivalencia, pot lo demás, puede percibirse ditecta y rápidane¡te' "-(pvq)" es verdadero solameqte cuatdo "pvq" es falsa, cs decir, cuando sus cláusulas so¡ ambas falsas. Asimismo, "-p-4" cs vetdadero solameote en el caso eo que las cláusulas de sus cláusulas son ambas falsas. I-a relación eot¡e "p+q" y "-P-5" nos permite establecer sin rn¿ís consideraciones la conmutatividad de "P!q"' En efecto, la coDmutatividad de "P!q" significa precisamente la equivalencia de los esquemas "prq" y "q!p" y tal equrvalencia a su vez significa
zel
pfecisameate la conocida equivalencia de ,,*p-q,' y ,,-S-p,,, Po¡ su pa¡re, la asociatividad de ..J" significaría la equivalencia.
de los esquemas ,,(prq)+/, y ..p+(qh)', es deci¡, de los esquemas "-(-?-q)-r" y "-p-I-q-t)". Para ve¡ que no existe tal equivalencia codside¡emos la combinacióa ,,FFV', de las let¡as p,q,r y anote_ rnos el valor cotrespondiente a ambos esquemas - (- F-F ) -V= - (V V )F= F F= F *F- (-F-V )=V- (vF )=vv=v Es claro, entonces, que los esquemas ,,(p:rqh/'y ..p!(qIt),, no son equivalentes, es decit, que la conectiva..J! do es asociativa. Es i¡st¡ucúvo conside¡a¡ el paso desde ,,(ptq)tt", por ejernplo, a "-(-f-q)-r", Aplicando la definición a. ,,ptq,,, en- tér¡¡inos cle negación y conjunción, al esquema ,,(p{q){r" tenemos sucesivamen_ te: (pr q)rt =(-p-q) t t
CP-q){r=-(-p-q)-/ El proceso se ariene a la definición formalmente, coo prescinden_ cia de la cornplejidad de las cláusulas y progresando .rr"""iou*"nr. hasn la ¡educción final, Asimismo, la definición pudo aplicarse a un esqu,ema como ,,(pvq)r(-pr),,, resul¿ando de ello: (p,¡ q ) ! (- p ) = - (pv q ) _ (_ h ) Si, en cambio, optáamos por aplicar la definición de "prq', eD tétminos de negacióa y alternación, ¡esultaría: (?v
q)r(*t)=-(py
q)v (-l¡¡ ))
lJ.Nos hemos referido ya a la incompatibilidad, C¡ta¡do se dice que dos proposiciones son incompatibles significa ello simplemente que no pueden se¡ coniuntamente verdaderas. En verdad, arr^ndo tamos a pa¡d¡ de una incompatibilidad lo que ordinariamente ""gofn"o_ hJcemos es rechazar una proposición. Disponemos de premisas ve¡dade¡as"de
l"s formas ,,?', y ,,plq";¿. éstas obtenemos una conclusión de la Íorma 't-q,', Ello es asi porque pa¡timos siempre de premisas verda_ deras; de esta manera la ve¡dad del esquema ,p1a,, .*"t,rr. .t ;rrl.o caso de falsedad, es decir, la combinación ,gi,,; al la werdad del esquema .?,, determina precisame¡re misrno tie_po la falsedad de "q',, es decir, determina como verdadero .L4,,, Si, en cambio, es verdadero ,,plq', y ialro ,,p,, no sabríamos decidir sobre ,.q". Esto qu.iere decir qo" lg,r.trn.rrra "".po.o" la s combioacione s ,,FV', y .,FF,, como cornbinaciones q_;. ;.".n . .,?1q". ve¡dadero el esquema Si¡ embargo, decir que la proposición comPuesta que declara la incompatibilidad de sus ptoposicion.s .le_ mentales es verdadera cuando
I l0
é stas
son' ambas, falsas, parece for-
zar un poco el se[rido de la incompatibilidad, e.stamos habituados a hablar significativamente de incornpatibilidad suponiendo que una rlc las cláusulas del esguema "plq" .t verdadela. Con todo, tenieodo presente las consideraciones que. hicimos en cl patágrafo 5 y las ventajas que importan para un álculo de propo-
siciones, definimos la incompatibilidad de la manera siguiente:
plq¡ vlv=F; vlF=v; Flv=v; FIF=V
Como en el caso de la falsedad - cotrjunta, la defi¡ición simbólica de la incompatibilidad pone a la visra sus ¡elaciones con la negación, la coniunción y la alteroació¡ - Coosideremos, como sugiere nuestra definición de iocompatibilidad, el esquema .'-pv-r'',. Teniendo presente que la negación invierte los valores, la definición de la alteroación nos permite escribir: -pv-q: FvF=F; FVV=V; VaF=V; V.¡V=V Vemos así que hay equivalencia entre los esquemas ,,plq" y "-Po-7", Como en el caso de la falsedad conexa, podemos proponet oqui la reducción de "?lq" a negacióo y alternación mediante la definición nomi¡al: (Def) Plq=-P\- s mediante tal definición "plq" podria co¡rsiderarse como una simple
abreviatu¡a del esquema más compleio ,,
-fu-q". La relación de "?lq" con la conjunción está más a la vista: "plq" ." un esquema equivaleote a ,,-@q),'; la tabla de este úhimo
es, eo efecto:
-(pq)t -(vv)=F; -(vFEv; -(Fv)=v. -(FF)=v Si quisiéramos pues eliminar la incompatibilidad en fayo¡ de la conjunción y la negacióo, anotaríamosi (Def)
Plq=-(Pq)
dificil percibir la analogía entre el t¡atamiento de la falsedad-conjunta y la incompatibilidad en rérminos de negación, conjunción y alternación; la analogia es perfecta con la sola diferencia de que la conjunción y la alte¡naciór¡ intetcambiao sus papeles, lista analogía pasa de aquí: la equivalencia de cada uno de los esquemas "-pv-q" y "-@ ,' con el esquema ,,plq" asegva la equiNo es
valencia de los dos primeros. La ¡elación de que hablamos aquí querla resumida y a la vista en las dos series de esquemas equivalentes (lue se ponen a continuación: (a)
(b\
p{q; -p-q;
-(pvq)
l)lq; -pv*p; -Qq)
I-as equivalencias eotre "-(pvq)" y ,,-p-q',, y eoue ,,-(pq)" y "-F-q" se¡án de mucha urilidad más adela¡te. Se las conoce con cl oombre Lle "leyes de De Motgan",
1l
]
Las consideraciones de conmutatividad y no asociatividad r¡ue puedan hacerse sobre la iacompatibilidad quedan al cuidado det lecto¡. 16.La conectiva biproposicional que se exptesa en la forma ..si.., entonces..." recibe el noobre de condicional_ Así como en el caso de la iocompatibilidad se prefiere decir que ésta excltye la combinacióo. "VV" de sus cláusulas, así también el condicional se inte¡preta de preferencia como la co¡ectiva que excluye la conbioación '9F" d,e sus cláusulas, Las combinaciones restanres i¡cl¡ida ,,FV", se supone que hacen verdadero el condicional. La definición de éste, eotonces, es la siguiente: p)qt V)V=V; V)F=F; IDV=V; F)F=V El condicio¡al es una conectiva para la cual importa el orden de las cláusulas, es decü, es utra cooectiva ¡o-conm¡¡tativa. La primera cláusula de la proposició¡ condicional recibe el nombre de antecedente; la seguoda, el de cotsec¡¿e¿te, Se las designa también, poniéndolas en relaci6a, con el nomb¡e común de condicioaes: el antecedenre es u¡a co¡diciór s{kieate con relación at consecuente; éste último, v¡a cotdició¡ aecesattid con relación al antecede¡te. Esta terminología pueda resultar menos exótica si la referimos a un eiemplo; sea la ptoposición "Si te arrepientes, mereces perdón'l Arrepeotirse es suficiente para Írelecer perdóa; merecer perdóo es necesario desde que uno se arrepiente.t Al i¡terp¡etar el condicional como la conectiva que solo excluye la combinació¡ 'AF" d,e sus cláusulas estamos aludiendo implícitamente a la relación del condicional con la coniunción y la negación, El esquema equivaleote 4 ..?>q,' sería, evideotemente, ,,-(p-q)',, En efecto, la combinación "VF" es la única que hace verdade¡o el esquema "p-q" y, por lo tanto, la sola que hace falso el esquema" "-(p-q)". Esto resulta inoediatameote, asimismo, de la definición de negación y conjunción:
-(?-q): -(VF)=V; -(vv)=F; -(FF)=v; -(Fv)-v ¡ Una m¿ne¡a fácil de fijar en la memoria las dife¡e¡tes fuociones de las cláusulas de un cordicional poilría ptopoaerse mediante la a¡écdota que refiere Lae¡cio sobre Platón y Di6geoes: Habiendo vis.o Platón a Diógenes lavando unas hierbas, díiole: "Si si¡vieras a Diooisio, no lava¡as hie¡bas"; a lo cual contestó Diósenes: "Si lav¿ras hierbas, no si¡vie¡as a Dio¡isio". Cietto que hay una difere:rcia €nt¡e es.as proposiciones de fo¡ma.,Si.,.enton-
ces" y el cordicio¡al que estudiamos, dife¡encia que se erp.esa en las formas verbales; pero, no es difícil ver un fondo de condicionalidad e¡ el sentido nuest¡o. Bastaria pala datse cuenta de ello con poúer: Si slves a Dionisio, no lavas hie¡bas, erc.
ltz
Luego, podemos también prescindir de la cooectiva condicional, expresándola con ayuda de la negación y la conjuoción mediante la defioición nominal:
p)q=-(p-q) El condicional
(Def)
puede ponerse tarnbién e¡ relacióo con la alternacióo y la negación. La alternacióo, como el condiciooal, es falsa sólo en un caso; se tratará entotrces de ayudarse con la negacióo de manera que la alteroación así consttuída sea falsa eú el caso de la las letras, es decir, en e[ mismo y único caso combinación
er que es falso el condicional, Tal -pvq:
esquema
es, evidentemente,
-VYV=V; -VYF=F; =pal/=lt; -FvF=V "p)q" mediaote:
Podemos entonces opta¡ por detinir
P)s=-Pvs
(Def)
IIemos interpretado el condicional como la conectiva que produce una proposición compleja falsa solamente eri el caso de la combina-
ci6¡ "VF" de sus cláusulas. Esta es la llamada intet4aetaciín nttetitl del condicional que se opooe l^ interptetaciín formal' ^ pue_ l.:l contraste entre interpretación formal e interpretación material
¡lc rlescribirse así: La ioterpretación fo¡mal supone una relación cnlrc las cláusulas de manera tal que la ve¡dad del antecedente in llica (es decir, tiene como consect¿encia necesaia) la verdad del _
c()nsecueote; la interpretación material, en cambio, no supone ¡elaciór¡ alguna: basca con que el caso "VF" sea excluído para que el condicional sea genuino. Vale la peoa insistir en esta distinción; lo haremos mediante ejemplos. Considérense las siguientes proposiciones complejas de forma "si...entonces... "
Si Si (d).tl (c)
y
Pedro oan al cine, entofices, Pedro ua al cine, Pldtdn es emperadot, eatonces, Cásar es filísofo, Plat6n es ernperddot, entonces, Césat es gaetero, 6 es diuisible pot 7, entonces, 12 es diuisible por 7,
(a) Si luan
(t:\
f)esde el punto de vista de la interpretación material del condicional, todos estos eiemplos 1o soo de proposiciones condicionales; ademfs, puesto que la combinación "VF" ¡o se produce en ninguno de ellos, son lodos condicionales verdaderos. Condicional falso, para esta interpretación, sería por ejemplo: (e).ll J es nímero ptimo, erúonces, Plat6n es emletddot,
l:!
I
simplemente, que eo este ejemplo y de hecho el antecedente es verdadero y el consecuedte falso. Para la interpretación fotmal del condicional, en cambio, no todos lps ejemplos (a)-(e) serían condiciooales. I-o seríao solamente aquellos en que el antecedente apaaece como una tatz6n del consecuente, es decir, los ejemplos (a) v (d). En el caso de un condicional falso, la ioterpretación formal espera que haya roa'apariencía'de co¡exióo necesa¡ia entre el antecedente y el consecuente, 'apariencia' que, una vez descubierta, nos autorizaria a techazat el condicional como falso. Iijernplo de co¡dicional falso pata la interpretación formal
y la r^z6n de ello es,
podría ser:
(f\ Si el bonbe es sdbio, entonces, es bueno, puesto que 1o que se preteade en este e¡runciado es que hay uoa conexión necesaria entre sabiduría y bondad. Rechazar (f) sig¡ificaría entonces rechazar que haya conexión necesaria entre sus cláusulas, es decir, rechazar una doct¡ina al fin de cuentas y pretender que hay sabios (o puede haberlos) que no son buenos. De todos modos la conexióo necesaria entre las cláusulas de (f) es plausible; y la interpretación formal espera siquiera esta plausibilidad para hablar de condicional falso. En el ejempto (e) en cambio, el lógico que se atiere a la interpretación formal del condicional no sólo ¡echazaría que se tra¡e de un condicional ve¡dadero sino que rechazaría tambié¡ consideratlo como un condicional. Entre la interpretación formal y la interpretación material del condicional media todo un mundo de filosofía. Dejando el problema de lado y areniéndooos al intento de un cálculo proposiciooal, debemos reconoce¡ que el sentido material de las cooexiones de la forrna "si...entonces..." tiene la ventaja de comprender todas las combinaciones posibles de las cláusulas y rodas las cláusulas posibles; de manera que rarnbien comptende den*o de sí como proposiciones condicionales aquellas que sólo lo son pa¡a la interpretación formal. 17.La contraposición entre la interpretación formal e interpretación material vale no sólo en el caso del condicional, sioo en el de las restantes conectivas biproposicionales. Se puede decit que la idea de un cálculo proposicional rae consigo el tratamiento maeerial de las conectivas, puesto que importa aqui definirlas en otden a poder calcular en todo caso posibte; y todo caso posible no siemp¡e com¡orrará un:r conexión formal cle las cláusulas. Se verá mejor todo esto consirlcrLrndo
ll gtrnos e jem¡rlos.
(¡\ I'c¡lro r 4l ci,te y ¿os lot | .r1
¿os
s()
cuatto.
4l cine y I attn oa al cine. Pldtó¡t es lil6solo o bay uida en Mdrte'
(1,\ Ped¡o ud
k\ Á\
Ptar6n es lilósolo o rro bty uerdodes bistó¡icas' lil ernpleo que hacemos d. "y" y de "o" espera de las cláusulas
.onectadas un mínimo de relación que no aParece en los ejemplos (,r) y (c); este ñínimo puede identificarse como un dominio de co¡' jrrnción o de alternación, idea que se pone a la vista en los ejemplos (1,) y (d). Una conexión er¡tte Proposiciooes tan disPares como "Pedro va al cine" y ttDos pot dos son cuatlo" no puede en modo alguoo *cr 'formal'; coo dos Proposiciooes como éstas no cabe otta cosa r¡r¡c, en un feble seotido, merame¡rte allegarlas entae sí; ahora bien' <.ste mero 'allegar' indica [o característico de una conexión ioterl)roposicional mate¡ial. Las ideas más importantes del cálcuto lógico son propicias a esta 'externalidad mutua' de las proposiciones' 'l< ¡rlremos muchas ocasiones de ver que ello es así. tft.hnporta insistir en las nociones de co¡dición n€cesaria y condición suficiente cuya distioción debe grabarse cuidadosamente en la memori¡r. Fll descuido de esta distinción da origen a las falacias llamadas "frrlacia del aotecedente" y "falacia del consecue¡te". Un coodici,rrral representa una cooexiólr orienlada que no Podemos recor¡er ,lc la nisma madera en sus dos sentidos. Dicho en P¡imera ap¡oxima.irín, cuando nos movemos desde el antecedetrte hacia el co¡secueÍte l¡rccmos un camino positivo o constructivo; pero, cuando por el conrrlrio, lo hacemos desde el corisecueote hacia el antecedente, nr¡esÍ¡r camino es negativo o destructivo. En otros términos, suPoniendo rlur nuestra conexión co¡dicioaal es legítima, toda vez que su ante¡c¡lt¡te es verdade¡o 1o es asimismo su consecuente; esto es lo que sc significa al decir que el antecedeote es condició¡ suficiente /el r'r,nsccuente, es decir, que basta o es suficie¡te la verdad del ante' ¡(lc¡te para que el corisecuente sea verdadero. Sin embargo cuando el ' nrrtrccrlente es falso no tenemos camirio que reco¡rer; el consecuente ¡r vcr
posición "Todos se mojan"; todos pueden moiarse aunque no llueya. Asimismo, suponiendo que la conexión condicional sea verdadera, toda vez que su consecuente es falso lo es asimismo su antecedeote; esto es lo que se significa al decir que el consecuente es condició¡ necesaria del antecedente, es decir, que si el consecue¡rte no es verdadero, no puede serlo el antecedeúte. Por el conuatio, cuando el consecuedte es verdade¡o no tenemos camino que recorer hacia el antecedente; el antecedente es falso cuando lo es el consecuente, Peio nada determinado implica el condicio¡al sobre el antecedenre cuando el consecueote es verdade¡o, Volviendo a nuestro eiemplo, si la proposición "Todos se moian" es falsa y el condicional "Si llueve, entonces, todos se moian" es veidadero, entonces la proposición "Llueve" es falsa. Pero la ve¡dad de la proposición "Todos se mojan" - combinada con la verdad de nuestro condicional - no perñite infeiir la verdad de la proposición "Llueve". Proceder así, sería incurrir en la t'falacia del consecuente"; pues, todos pueden moia¡se sin que intervenga en ello para nada la lluvia, La correcta distioción entre condicióo necesaria y condición suficiente es previa a la dialécrica con implicaciones, Anre un co¡dicional, podemos estar interesados o en el condicional enteto o en sus cláusulas. Si lo primero, para afi¡marlo debemos mosttar que la supuesta verdad del aotecedente exige que el consecuente sea verdadero; para desrruirlo, perderíamos el riempo destruyendo el camirio que ha llevado del antecedente al co¡secuente, porque así mostraríamos lo int¡ansitable de un camino, pero puede haber otros; la sola mariela de destruir un condiciooal es most¡a¡ que su aotecedente es verdadero y su consecuente falso. Si estamos inte¡esados en las cláusulas del condicional, de partida lo consideramos verdadero. En cuanto a las. cláusulas, ptrede inte¡esaríos su ve¡dad o su falsedad. Si nos interesa la verdad del antecedente, el condicional por sí mismo de nada nos sirve, porque para flegar al anrecedente debemos partir desde el coosecuente y éste sólo nos ayuda en la ptueba de la falsedad del antecedente. Si nos interesa la verdad del consecuente, el condicional se presta para ello: debemos escablecer la verdad del aritecedente. Si es ta falsedad del antecedente lo que nos interesa, el condicional se plesta para ello: basta con establecet la falsedad de su consecuente. Finalmente, si queremos concluir [a falsedad del consecuente, el condicional por sí mismo de ¡ada nos sirve; porque en tal caso debemos partir del antecedente y éste sólo nos ayuda en la prueba de Ia verdad del consecuente. Veamos algunos ejemplos célebres. Desde luego, me rernito a una interpretación determinada de cie¡tos argumentos de Parménides
It6
Zcrr¡1n. Que efectivamente hayan argumeatado así es una cuestión l,isróric:r que no puedo yo dilucidar Pero que en nada afecta a mi tema' Ilcuno en un solo discurso _ acomodando sus Paltes ñás o menos ,r¡l,itrariame¡te a la ejemplificación que tengo en vista - toda una .r'rit tlc fragmentos del famoso Poema de Parménides:
l'
"...7e ¡lité las dos únicas L)ías de inuesti?dciín co¡cebibles; lt una que el ser es y no Puede no set; ld oha qte el spt¡to es y que es necesario que no sed, No es ltosihle conoce:¡ ni cx?esar el flo'ser. I:s L,ccsotio rlecir J' lettsnr t1ae el ser es l,u(s cs losiLll qre íl sen, ttero el no'se¡ no es posible. l ),<¡ te alejo rle eslo Í)thüerc ttía ¡]e intesriSación. I d , ist¡td cos¿t es el ltersat y la etistencid (de lo pensado). I'otque sin la existe cid, en lo exyesado no lodrías e cotúrdr el 14 ]sdniento,
() (¿a, !)ues, n solo cclmino: el se¡ es". V.rnros a reel¿rborar el cliscurso con¡e¡ido en este pá¡rafo con rr.rrrs I l¿¡ prueba de estas dos tesis: I-,1 ser es; el no-se! no es' I rr ¡,rinrcr lugnr, hay una dicotomía en el problema enunciado en Ia i,,rrrrul.r "dos únicas vías de investigación concebib!es": cl ser ¡¡,, csirri:¡mente es o el ser necesatianente no es. Que el ser es, ,ri.r¡ll¡c no es nccesa¡io que sea; o que el ser no es, lrunque no es rr, , r'srrrio que no sea, son alternativas que no se consi.lettn. El 'lrrirrrso quc citirmos conprende toda una serie de atgu¡ncntos (algu1,,' irn¡'licitos). I'in princr lugar, señalemos dos princi¡rios: IIay una ,lrryrrrriva cerrarla en[re ser y oo-ser; y hay la equivalencia entrc .,i
' y l)(ns¿rr,
lrr,l'rccnros con et argumento en que se consttuye la inrplicación " tn ¡lgo, cllo es el se¡": tl\ \¡ l,i(nso p¡ 4lg¡1, ell
\i li(nso en dlgo, ello es el set, I ¡¡.r vr:z obtcnirla la implicación "Si pienso en :rlgo ello es el ser" ' ,'r'rl'ir¡indoll con su antecedente verdadcto "Pienso cn algo" desligo ,Ir¡¡rrsctr¡cncc: t'\ \i l¡i(ttso eD dlgo, ello es el se¡ I'ir D! t' (t¡ ílgo
l'¡.'tt, <,1 s(t I ,r¡ .',', .r ¡'rrrrir rlcl sc1.¡rrn,lo ¡rrinci¡io - i¡lcntirl:rd rlc cxistcncir v ¡ , r,r'rrrrr( rrt() - obt
i-
I
(3\ Si Pienso en algo, ello existe
Pienso
Íil
el
set
ser etíisle; o
el
se¡ es,
Finalmeote, ttEl no-ser no estt se obtiene mediante argumento destructivo: (4\ Si el no-set es, Pienso el no-set No es losible persat el no-ser
el
siguiente
I:,1 ro'set no es. I-os ¡rincipios, eDtooces, parecen set los cuatro siguieotes: o ser o no-ser; la existeocia y el pensar son lo mismo; no es posible pelsar el no-ser; pienso. El te¡ce¡o se puede deduci¡ de los dos ¡rinreros, porque si pienso el no-ser, éste de acuerdo al segundo f¡incifio eriste o es; luego, en tal supuesto, se destruiría la dis-
ylürtivir que constituye el ¡rimer ¡rincipio. Veanros todavía cómo obtiene Parménicles lartir de Ios ¡rinci¡rios establecidos: "Nunca ba sido ni seti.,,
la
eternidad del ser a
¿0ué o get bascatías Pdrd ¿l?,., No te tleiaré decir ni pensn q e Ptorengd cle un ro-set Potq e no es posible decir ni lensar (lue el set rlo se,t
1' si tth¡iese del ro-ser ¿Qué necesidad le habría lotzado a nacet antes o deslués? Ilay aquí dos argumeotos: (l).li e/ se¡ se o gina en ofto, éste, es el no-set Si se otigi.na e . el fio-ser, el se¡ es el no-set Ils lalso que el ser sea en el no-set
I:,I set ¡o se otigina
en el no-set; o el ser no liene otigen Fio este argurnento el co¡secuen[e de la primera premisa es el antecedente de la segunda; combin^ndo los dos resulta de ello el condicional "Si el se¡ se origina en otro, e[ ser es el no-sertt y como estarnos en situación de negar el consecuente de este último, podenros rechazar su antecedente. El argumento es, entonces, destructivo, Iin cuan¡o al segundo argumento, es el siguiente, tambiéo desftuctivo. (2\ Si el set se oúgina en el no-set ro bay necesidad en que sea Po¿tíd e tonces se¡ o no"set Peto el se¡, ,teces¿tíañe te, es
[.
ego, no se otigina en el no-se¡ l):rsenos ahora, a !os igunlmente célebres ar¡¡urncntos de Zenón <1rrc atucaba l;r pluralirlld clc lo real. f)c la cscuela pit¿górica proce-
| ¡tl
,lía el principio de los elementos monádicos como sustancia de todo lo existente. Las móoadas eran' ^ 7a vez' extensas e i¡divisibles' 'l al era la hipótesis pitagórica de la pluralidad' Pa¡ménides enseñaba l¿¡ unidad de lo existente, Zeo6¡ la ¡o-e¡istencia de la pluralidad' Aparentemente - dice Platón - enseñaba cosas diferentes, pero era cn vetdad lo mismo. El atgumento que se ¡ePartían e¡tre los dos pucde consideratse como un silogismo disyuntivo:
l,o etisrenciL es ,1fi4 o kt ex;srenciL La exisrenciL es ttnd Ld eristencia no es uaña.
es a4ri4 P
drm6nide s
La exisrencid es t¿nd o la exisleñcid es t)otia La existencitt fio es aarid Zenón es ,hzo' La exisrencid Veamos como atgumentaba Ze¡6¡. E¡ primer lugar, anticiPemos ,¡uc "las premisas de la atgumentación zeno¡iana deben buscarse en l¡ teoria parmenídea y en Proposiciones como éstas: lo que existe vcrdaderameote debe se( pensable sio cont¡adicción' y lo que se (coexteosióo de pensa_ ¡ricnsa debe corresponder a algo existente ,niento y existencia). El no-ente, el vacío, la nada, no puedeo existir" (llrrfini, 'Il "Método" di A¡chinide.'.')' En cuanto a los argumentos'
f¡rmo un todo a mi manera, siguiendo la exposición de Rufini: Los litdgíticos dicen qte la magnitud geométtict co'tstd de ele'
,
errtos indioisibles Y exrensos I'eto ex tal c¿so dicba magrrirúd seúa ¿ la aez gtande y pequeña, rula e infinita. partes; por I'orqae siendo los elene¡los indiuisibles no 'iette" Ia to no rieierr n Lgniru¿, Agregar la móaada no agtanda; ni quitarla disminaye' t'ot tnnto, la magnitrd t'otmada de elementos indiuisibles es nula' lis, l,ttes, ,tecesa o qte los elementos de una magnittd sensible nrgan nagaitxd. ti los ettes constat de urra plañIid*d de mónad¿s debe babet tn i t¡ lt tra lo enhe ésras l'tto, esre inlerualo tuo p ede ser el tcío' t I ¡¡acío es el no'set y el no set no es. l'rtr t.lrlo, esre inrer¿)olo debe conptetdet ,¿n eleñen'o l' Ios inlett¡dlos errtre este elemertto y los exbemos, 'Ltubién an
\' ¡sí ¡t¡lr latte, htde linidanente LI ntt¡ll¡titrd, QtttoncLs, < o sldrí.' tle inlinilos
ele¡nenlos qte serícln
3ql
e xtensos. Sería paes
inlinita en magnitad, Por tdnto, lo exístenle si laera plarcl y lotma¿o de elementos in¡liuísibles y exreasos, sería ulo e inlinito,
Es deci¡, cont¡adict
la plaicirlad de lo
Llego es uo. Potqae es tno o es plural. Si, ahora, separamos los razonamientos que constituyen esta larga cadena, tendríamos algo como esto: (l\ Si la existeacia es phna| entonces, es inpansable La exisl.encia no es impeasable
Lrego no es plarul (conclusión ptircipal, mediante urr argumento condicional dest¡uctivo) (2) Le existencia es plwal o xna La existencia no es plnal La existetlcid es ¿r, ¿ (conclusión coordinada mediante un argumento disyunrivo desructivo) En cuaoro a la premisa condicional del argumento (l), se puede construi¡ mediante la siguiente cadena condicional: (J\Si la exislencia es fltal, enrorrces, srs elemenlos debe¡ se¡ extensos y sin paúes (principio sustentado por Ia escuela pi_ tagórica) Si algo es o ld uez extenso ! siri partes, ello es inpensable (ptitrcipio sustenrado pot Zenón).
Si la exisrencid es plutal, entonces, es impensable. En cuanto al segundo co¡dicional de este nuevo argumerto, puede obtenerse así: soble la base de principios parmenídicos se coosr¡uye el siguiente condicional: (4'l Si algo es exrerrso, comptende ello partes extensas Potqae si s/,s pdúes ,o lsela, etatensas, setían el no-set (patné_ nides )
Y si no comptendiera partes no setíd exterlso. f)e aquí resulta:
lto
6\ Si al{o es d Id uez
extenso y sín ?drtes ello es ín¡osible (conclusión que se basa en eI sentido del condjcional de] argu¡¡ento(4)] Si algo es imposible ello es i¡npensable,
Si algo es o
1.1
_ lez exterlso y sir, paltes ello es inpensaúle.
lis decir, (J) suministra la segunda premisa del argunrento (3). ()tros argumentos más atrayentes son: Prime¡a serie: ((,\ Si las mónadas soa extens.ts son diuisibles Si dlgo es diuisible Íiene p.fires Si las m'tadas son ettens2ts, tienen pdrles, (7) Las mínadas soi exteisas y sit pútes Lds mónadds sofi extensas y con partes
Lds mífiddas rienen pútes y no rie e partes (ll\ Lo conttadíctotio no paele ser teal Las
m6na¿las son cot
ha¿ictorias
Las m6nadas no soi teoles, (r))
lil se¡ es Las m6¡adas petleflecei al t o-ser I;,1 se¡ no comltretde Ias
ñ6iadas,
Segunda serie:
(10).fl /as mótadas no sot dfuisibles no tierjer¡ ptttes
(
Si algo rro tiene ?drtes
io
\i
¿,r,ribll lo
las nónadds no
es extenso
ll) Las mónadas son"o, ettefis.ts y par, olg" ti"r" :\t ""
"or,
"i"n*J
sin ?aúes
Las mónadas son y no sor\ exte sas, etc. erc. l\lás adelante, harcmos u¡a exposición detallada dc los argumeotos r¡rndicionales. Los ejernplos rlados aquí ticnen princjpalmente valor (lrs(lc el punto de vista const¡uccional. l(). I-a conectiva biproposicional que se expresa en la forma ,,...si y rrilo si..." recibe el oomb¡e de bicondicional, Como lremos diclro, es l¡ menos farnilia¡ de las conectivas, Para entendetla, basta ceñir-
lo que dice, Considcremos el ejemplo: honbte es bteno si y sólo si es sabío 'lbdos convie,ren en que (a) corn¡rrencle la ¡rroposición: 11¡\Si el bombte es sabio, e¡totces eI bonbte es b erro. Lo que resulta in nledi a¡a rnente si ptoponemos (b) en la forma: "l,ll hombre cs bucno si es sal.¡io" que cs cvidentcmcntc equivalentc uc rr
l¡\ Iil
41
|
a la proposición condicional (b). Así taobién, la proposición "El hombre es bueno sólo si es sabio" es parte de Ia proposición (a). Ahora bien, esta proposición, "El hombre es bueno sólo si es sa!i6", significa que la sabiduria es una condición necesaria de la bondad, que quitada la sabidu¡ía es quitada con ello la bondad. Podemos entonces aootar, como Parte de (a) (c) Sí el bombre es bueno, errtonces, el bomb¡e es sabio El resultado e¡tero es que (a) comprende corno Partes integtantes las ptoposiciones (b) y (c); y como estas últimas son co¡dicionales mutuarnerite reciprocos
y cor¡stituídos pot las cláusulas de (a),
con-
cluímos que el bicondicional es uoa codectiYa que podemos reducir a términos de condiciooal y conjunción. Su definición nominal se¡ía entonces la siguiente: (Def.) p4q-(p)q) (q)p) Es fácil ver partieodo de esta defi¡ición que los casos de verdad de "P=q" son únicamente VV y FF' En efecto, la combinación "VF" hace falso el primer factot, "(?)q)", y con ello falso el bicoodiciooal; asimismo, la combinación "FV" hace falso el segundo factor, "Q)P)'i y con ello el bicondicior¡al. Ea una palabra, la definición simbólica del bico¡dicional de la especie que hemos venido asignando a las conectivas introducidas hasta aquí sería:
p=q: V=V-V; V=F=F; F=V=F;
F=F=V
El bicondicional, entonces, es verdadero cuando sus cláusulas son ambas del mismo valoi. Podemos, por consiguiente, servirnos de esta cooecriva pala expresar ciertas leyes de la lógica proposicidnal. Como hemos conocido ya un cierto núrnero de estas leyes, estamos en condiciones de dar alguoos ejemplos10. Las leyes de la asociatividad significaban la equivalencia de esquemas como "pq" y "5p", "p"q" y "qvp", etc. Es muy claro que tales equivalencias pueden esctibirse con ayuda del signo bicondicional. Toda la diferencia eotre "p=q" v "PFS|" se reduce a que mieot¡as el primer esquema es a veces verdade¡o y a veces falso, el segundo es un bicondicional siernpte ae¡dade¡o o a6lido, C'ra¡d.o tengamos que formulat uoa ley de lógica en forma de bicondicional basrará con destacar mediante algún expediente su ca¡ácter de bicondicional siempre verd¿dero. Maneras de proceder seríad, por ejemplol (a) "Pq=qP" es siemp¡e verdadera. (b\ "!q" es equivalente co¡ "q?", (c\ "Pq=qP" es un esquema válido. 20. Ilemos conocido ottas leyes que pueden expresarse como bicondicionales válidos. Por ejemplo:
pIq=-l)-q 142
..ría un condicional válido,
Puesto que hemos demostrado que hay
ambos esquemas. (-laro está que oo debemos confundi¡ exPtesiones cono "ptqT-p-l' y "!)rq=-P-q", Fio la primera se expresa una equivalencia de dos ( srlucmas conectivos; la segunda, en cambio, propone la definición ,l( "pIq" en térmioos de oegación y conjuncióo. Es evidente que si .r( cpramos "ttrS=-p-q" como una ley de la lógica proposicional, "l,L(t=-tt-q" es una expresión que no Podemos aceptar. Eo efecto' , stc írltirno esquema se Propone para tratat '¡p!q" como una expresión ,,,, csencial en el cálculo de ptoposiciones, puesto que donde es¡é I,,'lcn¡os elimina¡la en favor de la negación y la coniunción; el estrcm^ t'p:tq-¿-P-4", en cambio, implica siquiera que la falsedad,lr¡juora no se debe elimioar en términos de negación y conjunción. l r¡ üna Palabra, "p{S=-p-q" y "p!q:-p-q" son expresiones in, r¡uivalencia eotre
,,,rn¡acibles.
Nírtese, empero, que cuando nrsotros hemos hablado de defi¡i_
I't.t="P-.1 ,(¡s estamos ¡efirie¡do
nrerarneote a la posibilidad de expresar una ,,rncctiva con ayuda dc otras; sin embargo, hasra ahora hemos üatado
.¡ todas las conectiv¿s sin establecer ni irnplicar diferencias de r,rrgo entre ellas, eo el sentido de que unas sean ltimiliuas y ottas lo. Otras leyes que se puedcn expresat como bicondicionales vrilirlos son las que hcoros tenido oportnnidad de forrntrlar más atrás r' ,¡ue llevan el nombrc tle "leyes cle De lforgan"; se pueden formular, .inrplemente dicienclo <1uc Ios esquemas: "-Q.l -= (-?v-,r)" ; "-(p,tq)-Fp-.1)" .,'¡r v álidos. t)i1rse cuen!a de 1a conmutatividad de la conecliva hicondicional , s nr:'rs que fácit. En cu¿¡nto a si haya asociatividad es cuestión que .r' |uede responder rápidamente. Rasta con ello comparar las tablas '1r "(!=tl=" y "2+ft¡=t)". Disponienclo los v¿rlores cn columnas, (
¡=
2..q)=r
(v=V )=V=V
(v=v )=t:=rl
(v:I;EV:t1 (v_t;EF=V I .V )-V- t; u: v )..t:-v (r . t:), tt \'
u: r') t:
t
(r1=t)
v-(v=v )=v v=u=rr):r1 v=(t¡=V tsIl v=.Q:-I:)-v
rt-(b\/ )..r r' -(\'..
r:
)..t'
t 0: t/) t' r' (r I I I
itl
ya que l¿¡s f¡ol'osiciones simPles que constitulas dc yen clárrsulas una p¡oposición compleja no son necesaria_ 20. lle¡nos intlicado
mente simples de una rnanera absoluta; ocurre f¡ecuentemente que son sinples sólo en un seotido relativo, es decir, sólo más simples que la proposición de la cual son cláusulas o partes. En la proposición, pot cjemplo: (a\ O no Io s.tbes, seííord, o etes lalsa y desleal. las cláusulas son "no lo sabes, seño¡a" y "eres falsa y deslealt'. Cada una cs nás simple que la ¡roposición completa, lo que es evidenre; sin embargo ninguna de ellas es simple en sí misma: t'No lo sat¡es seño¡a" es un caso del esquema "-p",' "Eres falsa y tlesleal" es iln caso del esqucrna "14". Resulta entonces claro c¡ue un conpleio proposicional puede pcrtenecer a un patrón que articula dentro de sí toda una va¡iedad dc conec!ivas. F.l padrón del ejem¡lo (a) es: (¡'\ Fl¡)y (qr) Conro hemos clicho más atrás, los paréntesis curnplel la función de indic¿t l?rs p:rrtes del esquema. (iracias a los paréncesis empleados p
(1) -(l¡v (qr))
(2\ -
((pv
q)r)
(J\ -(Pvq)r (4\ ^p '/ ktt)
(5) epvq)r fin el primercaso,se rata de la negación de una alternación; en el segundo, cle la negación de un producto; en el le¡cero, de un producto; en el cuarto, de una alternación, en el quinco nuevamente de un producto, pero diferente del producto que cortesponde al tercer caso. Para tlarse cuenta de la genuina diferencia que existe eotre estos esquemas basta analizarlos a partir de las dcfiniciones que ya conocemos y comparar los resultados; desarrollando para las seis primeras combinaciones de las t¡es let¡as implicadas se muestra la divergencia quc importa aquí: -(!*(qr)): -(Vv(VV ))=tt ; -(Vv(VI;))=¡;' -(vv(t:v))=F ; -(Vv(I; F))=tt ; -(tttg(VV ))=I; ; -(Fv(vI:))=y,..,
- ((l,vq)r): *((1/vV
)V )-t' ; -($vV)I'):V ; -((V'¡l:)V)=F ; It)l),.V ; *((IvV)\')=l; ; -((l¡!V)t;)=V.... -((Vv
Itt
-(pvq)r: -(Vyl')V=F ; -(l'vv )F=F: -(VvF)V=F; -(VvF)F=F; -(FvV )V=F; -(FvV )F=F..,. -pv(qt): -Vv(VV tsV; -Vv(vF)=F; -Vv(FV)=F; -Va (FF )=F ; -Fv(VV)=V; -tsv(VF)=V,... (-Ítvql: FVvV)V=V; (-VvV )F:F; (-Vt F )V=F ; (-ltap)F=F; (-FvV )V=V ; (-FvV )F=F... Vcmos así que el esquema (at') no es inequívoco sino que se presta ¡¡ toda una diversidad de interpretaciones que dependeo del modo agrupeños dentro de él sus elementos La conclusión de todo esto es que debemos ponemos de acueldo tobre el modo de expresar un esquema inequívocamente. Hasta aquí, Ir<.rnos hecho uso de algunos principios de agrupación sin explicitar rr¡rda sobre ellos. Po¡ ejemplo, al anotar en el parágtano 16. sin ma( omo
el esquema "-¿v4" (equivalenÉ "p)q" ) dáb^^ por eatendido que la negación se aplica solamente a la primera 'uos r lrirrsula, es decir, ahorrábamos paréntesis, eximiéndooos de escriI'ir "(-Phq"' La regla práctica que en tal caso seguimos diría algo ( orno esto: El signo de negación liene el alcance mínimo ostensible, lin un esquema cono "-(p)qhP" dicha regla nos i¡rdica que no se lrrrt;r de uaa negación, sino de una alternación cuya primera alternativ¡r es una negación, la negación de un condicional. En este caso, ¡l alcance ostensible se reduce al paréntesis. Asimismo, al escribir el esquema .l6lid,o "pq-qp" dábamos por crrtcndido qwe eI bicondicionol tiene más alcance de dg¡ pación que lu ctmirnción, El ernpleo de esta regla ¡os exime de anotar la expteririn más complicada "(?A)=hP)", Si, ampliando esta convención, rros decidimos por asignar a todas las co¡ectivas bittoposicionales r¡r¡ ;rlcance de agrupación mayor que e[ de la conjuoción, entonces, err lugar de - por ejemplo - "(pdlr" anotaremos simplemenre "141r", y cste úttimo esquema será expresión inequívoca de una incompatibiyrrrcs explicaciones,
li,l¡rrl. I)amos a las conectivas biproposicionales, excluída la coniuoción, , l mismo alca¡ce de agrupacióri. Esto quiere decir que un esquema . n''lo "Pvq-t" es ambiguo y que, en orden a exp¡esarlo inequívocan,crrtc, debemos emplear un signo gráfico de agrupación; anotamos, si rulr)nemos que en nuestro ejemplo se trata de un bicondicional, del (PvqEr. En el caso de una mayor complejidad, esta'"¡r,fr¡ siguiente: rrrnos obligados a aumenrar los pa¡énresis. Por ejemplo:
,\
(( "(p .)q)!)lt,) q
I:l csquema (b) se lee sin dificultad: se rrara de una coniunción uyr prirncra cláusula cs una inconrpatibilidad; la primera cláusula ,l, cstrr inco¡¡p¡ribilirla
I l
45
1
de éste es uoa negación; finalmente, la cláusula de la negación es un coodic ional. S¡.¡ele recurtirse a diferentes figuras de paréntesis con el obieto de hacer más aPatente la agrupación; un esquema como (b), Po¡ eieúplo' puede escribirse:
,
t, -,,=4=,)lPlQ De codos modos, la dive¡sidad de paréntesis complica más el esquema. Además, el uso de paréntesis redondos permite verificar de una ojeada Ia agrupacióo; ordidariamente, basta con observa¡ si el ,o,
oúme¡o de paténtesis convexos iguala al de los cóncavos' La co¡reción de la agrupación de la fórmula (b) Puede verificarse fácilmente mirán-
dola así: ((-( ... )... )=...) 1...)...
En lugar de paréntesis, suelen emplearse puotos' La ventaja de los puntos es que simplificari notablemerite la expresióo de un esquema complejo: los puntos no son necesarios' como ocurre en el caso del paréntesis, a ambos ext¡emos de la exptesión agrupada' Antes de explicat el uso de los puntos, ayudémonos confrontando eiemplos de agrupacióc mediaote puntos y mediaote paréotesis' (ct \ pv q.=¡ (c\ (P,tq)=t
(dt) P=q.). q=P (d) (P=d>(q=P) (e,\ -(p)q)-q'lr:-q (e\ ((-(!>q)=q)V)-q (f, \ p)q').r)s;)-q (r) ((?>q)) (¡>s )))-q ({) Plq' )' ! t q:)' -Ptq-t!q (s\ (((Plq))(P!q))) ¡-W qDtt (c) - (c') nos enseña a o¡ientarnos: de La mera co¡sideración al del signo conectivo vecino; contrario sentido el punto agrupa en primer lugar, la persistencia del en más: (e) - (e') nos enseña mucho paréntesis Pata agruPar un esquema negado; y también la mayor fuerza de agrupación de la coniunción cuando supera a las conecdvas resrantes eo signos de agrupación. Finalmente, los eiemplos (e) - (g') oos muestrar que el mayor o menot número de puntos indica e1 mayor o menor alcance de la agrupación. La lectura, eotonces' de un esquema como Plq,
).Prq:), -P'rq.:{
q
se comieoza dividiendo la fórmula en torno a la conectiva vecina al mayor número de puntos; aplicando el mismo principio a las partes complejas se hace el camino que conduce hasta los últi¡nos elementos.
21. Jan Lukasievicz propone uo modo de agrupación que evita todo uso de paréotesis. Coüsiste en simbolizar primero la conectiva Principat del esquerna anotando luego sus cláusulas; procediendo con 146
"tt¿s de igual rnaÍera se llega a una expresión cuya agrupación está ,l,r,la solame¡te por el orden de sus pattes. La facilidad de la lectu¡a ,lr una fórmula de Lukasiewicz ¡esulta del caráctei biProposicional ,lc toda conectiva con excepción de "no", que es monoProPosicional . /\lccliante las definiciones que siguen inuoducimos los signos' que ir¡tcrvieoen en e ste nuevo modo de agrupación: Np=-p; C/q=pq; Apq=pvS; lpq=p)q; EpC=p=q l-a manera más simple de familia¡izarnos con este modo de agrupa¡ ií)n es trans{ormando a la rueva simbología los complejos proposir ionales que nos son conocidos. Por ejemplo: (l\ "p).qvt" se transfo¡ma primero en "p).4q" "!).Aqr" se transfo¡ma fi¡almente en'\pAqr" ( )\ "p)q.=.q)p" se transforma primero eo "lpq=lqp" pq=lqp" se "l transforma fi¡almeote e..' Elpqlqp" ( l) "p)4, f .r)s,')-1" se rraosfo¡ma en "I¿4)I¡s. )Nr" "fpq)I/s,)Nr" se traosforma en "IIp4Irs)Nr" "IIP4Irs )Nr" se lransforma eo "IllpqllsNr" Ilay que habituarse a leer u¡a fórmula ya algo complicada como
"lll/4l¡sNl". Se procede desde afue¡a hacia adentto así: Se trata ,lc un condicional cuya primera cláusula es uo condicional y cuya 'r¡unrla cláusula es una negación; el aotecedente del condicional ,¡rrc es la p¡imera cláusula es un co¡dicional, y el consecuente es r¡rrubién un condicional. Consideremos, todavía, el esquema "ll Jtqllqrl?t", Procediendo como en el caso ante¡ior lo describimos rr¡í: lis un condicional cuya primera cláusula es un co¡dicional de ¡ lrir¡sr¡las "p" y "5". La segunda cláusula del condicional principal ¡ s un condicional cuyo aotecedente es un condicional de cláusulas tnltrs "p" y "t", Será instructivo, asimismo, hace¡ el camino inverso, es decir, r¡rnsformar una fórmula de Lukasievicz eo la co¡respondiente que ¡¡os cs más familia¡. Consideremos pa¡a ello los esquemas "CENp4 l,N¿/r" "ECIp4AN4¡Np", Procedamos con el primeto desde fuera hacia l4) {:liN¡rqEN4r liNp4.EN4¡ N/r=4.Nq=r
-1,-q.-q=t
' l.os sisnos aquí introducidos no coinciden con los enr¡lcattos ¡o¡ I.ukrlai.w¡cz, f.r ¡¡zón rle esrr diver¡encia residc cn el hecIc¡,1< rtrnrlcr r¡osotros r lr tcrnrinokr¡ír c¡¡srcll¡rna, cnr¡lean.lo h lcr¡¡ inici¡l d. l,L! rxli'1,¡rs ¡'n( ¿nr
i,in", "coniunción", "altc¡nncnin", "ir¡l'lic¡ción" ¡ "r'r¡rirrlclcia". 1|
|
Y, coa el segundo, desde dentro hacia fuera: (5) ECIP4AN4TN¿ ECtpqA(-q)r(-p) EC(p)q) (-q,n) (-p) E((P)q) (-qvt)) (-?) (P>q)
(-q')=-P
fácil Parece se¡ el iodicado eo (4). Para realizar la tra¡sformación es, desde luego, imptescindible estar bien familiaúzado con los signos. Situándose en el comienzo de la fórmula, se lee la primera cláusula que ae conecta coa la segunda mediante el signo ao¡iguo, En el caso de (4).
El
camino más
CENpqEN4r
las cláusulas de '¡C..." son "ENpP" y "ENqr" que se cooectan así: ENp4.EN4r
Procediendo hacia de¡¡ro de ambas cláusulas en forma idéntica, se obtiene sucesivamente: N¿=4.N4=r
-p=q. -q=r
En cuaoto al procedimiento para establecer los valores de una fó¡mula de LuLasiewicz, las tablas o definiciones que debemos emplear son las siguientes:
Nlr NY=F; NF:Y CPqt CVV=V; CVF=F'; CFV:F; CFF=ll APqt AVV=V ; AV F=V ; Ar"V=V ; AFF=F lpq: WV=V; IVF=F; IFV=V; IFF:V Epq: F.VV-V; EVF=F; EFV=F; F'I'-11:V Consideremos dos ejemplos
:
(6) cINpfl4Np CINYYI YN Y=CIFVlV F=CV T:=F
CINVFI FNV=CIFFIF F:CV V =V CINFYI YNII=CMWV=CVV:V CIN'IF-I IJN F=CI YiTI F V :C F V = F (7) EIPqINqNP EI YYIN YNY=EI YYI Ít Ij =F,V V = V EI y¡rIN¡rN
t/=EIy IltV F:Er1r; =V
FII¡ YINVNIT = EI¡JVIFV =EVV =V EI FraIN ¡.N /r =EIlr FWV =F,VV:V 22. Ilcmos visto que las conectivas proposicionales exhiben propiedades conro la conmutatividad y la asociatividad. AI ponerlas en rcl:rció¡ urras con otras encontramos asirnisnro, en ;rlgunos casos,
I
1tr
la disttibúiaidad. De manera general, podemos decir que uoa ción 0, es distributiva respecto de otra 0" cuaodo:
opera-
(a0,b)0, (d0,c) Los té¡minos a, b, c,,., son aquellos a que se aplicao las operaciooes 0r, 0r. Supongamos que 01 se interprere como multiplicación aritrrócica y 0, como suma aritmética; bajo tal interpretacion, la propiedad rlist¡ibutiva se traosforma en el coriocido principio aritmético: 4x(b+c )=4xb+a\c I-¿r cr¡estión de distributividad de las conectivas biproposicionale s r'¡rnsistiría entonces - en el cáso de la conjunción y la aftemación rD preguntarse sobre si es o no válida la equivalencia: a0, (b|"c)
=
!(q'ü) =.pqvy
Considérese, edtonces, un esquema como "p(qvr) " y compáesele c
"¡(qvt)" exige una u otra de las combi¡aciooes 'IVV"; "VVF"; "Vl¡V"; ahora bien, cualquiera de éstas hace vetdadeto "pqvpt", (.onversamente, la ve¡dad d" "?q"fr" exige una u ot¡a de las combirrrrciones "VVV", 'ryVF", "VFV"; c^d^ una de éstas hace verda'l<,to "p(qvr)", Podemos e¡tonces decir que el bicondicional (^\ ¡t¡qa¡¡- lpq!r1 .xl)resa uoa ley de la lógica de proposiciones, o que es siempre vc¡rladero. El principio, por t¿nto, se formula asi,: la conianci6n es
lislribúiua rcspecro ¿e Ia alte¡¡tación, l)el mismo modo se puede probar que la alteroación es distributiva rcspecco de la conjunción. La equivalencia que debemos proba! ahora
cs enrre los esquemas "p'¡f" y .¡(pvq)(pvt)',, lastará para esta ¡rru
4eI
esquema posee siemPre el'valor y. Tal consideracroa nos ayuda a petcibir que, partiendo de un esquema como "(fiq)(rts)" y guiándonos por el bicondiciooal válido o equivaleocia (a), podemos anotat: (c) (Fq)ft'rs)=((Fq )n (Fq) s ) El esquema válido (c) resulta¡ía tadbién directamente de (a) mediante
mentales,
el
la stbstitscíón de "p" poE "p!s", De ello resulta¡ía: (fus )(qv¡)= ((!,¡s ) qv
(P'¡ s
)t)
es decir, uo esqueda formalmeote idéntico a (c) y sólo dife¡ente de éste en los lugares que ocupan en él las letras "p", "q", Sigaoos, no obstante, considerando (c): la segunda cláusula coo ayuda del mismo ptincipio (a) y de la conmutatiyidad de la conjuación, puede des¿¡rolla¡se de mane¡a que finalmente resulte la fótmula:
(c')
(pr q )(n s )= (t rr ps\ qrr qs ) Procedamos de un modo más formal indicando la razón de cada utro de los pasos que conducen a (ct ): (ptq)(ns )=((P\ q)tv(¿vt) s) (principio (a)) (@v q)rv (?vq)s )=(t(pvqhs (pvq)) (conmutatividad de la conjunción) (r(pv qhs(fi q))=(tptrq,rsprsq) (ptiocipio (a)) (tprqv spvs q)=(pmpsvqm qs ) (conmutatividad de la conjunción; con úutatividad y asociatividad de la alternación). Finalmeote, podemos anota¡: (fu q )(tv s )= (pw psv q* qs ) que es ouestro principio (cr). Sin embargo, al establecer esta equivalercia hemos utilizado una buena potción de lógica en modo alguno
erplícita, Hemos implicado, por eiemplo, que la equivalencia es tTtnsitiúa, es decir, que si el esquema "Er" es equivalente a "E¡" y "E^" es a su tumo equivalente a "E." entonces son también equivalentes. Hemos supueslo asimismo que si en un esquema se sustituye una parte por otra equivaleote el esquema resultante es equivalente al primero. . Nue stta excusa es, eo primer lugar, ouestro propósito de no complicar las cosas todavía; eo segundo, la evidencia de todos los principios que hemos implicado. Es muy claro que un principio análogo a (ct) resultaría de aplicar el ptincipio (b) al esquema "pqtts", Ptocediendo de acue¡do a toda una serie de principios conocidos, ¡esultaria la equivalencia: (pvr )(pa s )(qvr)(qvs ) Mediante las equivaleocias (") - (d) y ayudáodonos también de las que bemos establecido en los parágrafos anteriores podemos ir descub¡iendo ot¡as. Por ejemplo, el seotido de la conectiva bicondicional nos autoriza a for¿,ular la equivalencia:
(d) (pqv¡s )=
[ :o
(
c\ p=q.=.(p)q)(q)p)
Arlemás, hemos establ€cido
(",
la equivalencia de los esquemas "p)4"
) p =q.-.(-paq)Cqap)
Aplicando el principio (cr) a la equivalencia
(er) tesulta
((t' \ P=q.=.-P-qa^PF q-qa|q
( r¡nside¡a¡do, además, que f,rlsos, nada per¿emos elioináodolos del segundo miembro, Podemos,
I'rcs, finalmer¡te escribir:
(("') P=q.=.pqa-p-q
/'1. IIemos eocontrado en ouestra erposición que uo esquema proposi-
lional pertenece necesariamente a una de estas t¡es categorías: (1) ,ricmpre verdadero; (2) sienpre falso; (l) a veces verdadero a veces lrlso. Las conectivas int¡oducidas hasta aquí caen todas en la tetce¡a ,,rtegotía, lo que resulta cla¡o de la sola inspección de sus definir iones. Si nos atuviéramos a dichas conectivas en su empleo ñás rrntural, no habría ocasión para esquernas de las dos primeras catego-
rrrrs. Si, por el coarario,
ur esque¡na simple (es decir, de la forma "-f,", "Pq", "p)q", etc.) es siempre verdadero o siempre falso
cllo es debido a que construímos sus cláusulas de un modo especial y poco natural. Por ejemplo, los esquemas:
p)p; p=p;
patp
resultan, los dos primeros, siempre verdaderos y, el terce¡o, siempre lnlso por la simple ¡azóo de ser idé¡ticas sus cláusulas. lin el caso de un esquema conpleio que resulta siempre verdader. o siempte falso, la razóo de ello ¡eside ordinariamenre erl su comI'lcjidad misma que produce u¡a sí¡tesis de conectivas o pattón I'ro¡osicior¡al imposible de hacer respectivameate falso o ve¡dade¡o. I nl ocurre, por ejemplo, en los esquemas:
lq)qP; P\q.=.qvp; -(pq)).*pv-q; p)p(pvq); pv-p.).q-s
,¡r¡c son, unos, siempte verdaderos, otros, siempre falsos por la prini ilnrl razóri de ent¡ar l¡s conectivas que los forman eo determinadas rirrtcsis que en tales ejemplos está¡ casi a la vista. lJn esquema proposicional siempre verdadero recibe el nomb¡e de tdutologíd. Un esquema proposicio¡al siempre falso recibe el nombre 'le c¡>nlradicci6n, Cuando me¡amente hablamos d,e esquema ptopos;t lt,rt.tl se entende¡á ordinariamedte que pertenece a la tercera cate-
t,¡rí,r referida más ar¡iba, Es ftecuente también que se empleen las ,lr r¡ominacione s "esquema uálido", "esqtentd inconsistente" y "r'sr¡tema consistente", re spectiva me nte, para referirse a las tres , (rcgorías tle esque mas.
5l
I
Podemos formular todo un número de leyes relativas a esqueñas
válidos y esquemas inconsistentes: (1) La negación de un esquema válido es un esquema incoosisten-
te. Designemos por '?" un esquema válido, es decir, siempre verdadeto; "-8" será siempre falso, es decir, inconsistente' (2) La negación de un esquema inconsistence es un esquema váli' do. Designemos por "8" un esquema inconsistente' es decir' siempre falso; "-8" seti siempre verdadero, es decir, válido. (l) La coniunción de dos esquemas válidos es uo esquema válido' Porque, siendo "Er" y "Ez" siempre verdaderos "E,Er" lo es asimismo.
(4) Si una cláusula de una conjunción es uri esquema inconsistente, la coniunción es un esÍluema i¡consistente. Porque siendo uoa cláusula de una coniunción siempre falsa, la conjunción es siemp¡e fals a.
(5) La alternación de dos esquemas inconsistentes es un esquema incoosistente. Porque siendo ambas cláusulas de la alte¡nacióo siempre falsas, la alternación es siemp¡e falsa. (6) Si u¡a cláusula de una alte¡nación es un esquema válido, la alternación es uo esquema válido. Porque siendo u¡a de sus cláusulas siempre verdadera, la altetnacióo es siemple verdadera. (7) Si una cláusula de uoa incompatibilidad es un esquema incorsistente, la incompatibilidad es un esquema válido. Porque siendo una cláusula de una iocompatibilidad siempre falsa, la incompatibilidad es siempte verdadera. (8) Si las cláusulas de una incompatibilidad son esquemas válidos, la incompatibilidad es un esquema inconsistente. Porque sl Ias cláusulas de una incompatibilidad son siempre verdade¡as la iocornpatibilidad es siempre falsa. (9) Si el consecuente de un condicional es un esquema válido, el condicional es un esqueña válido. Porque siendo e[ consecueote de un condicional siempre verdadero, el condicional es siemPre verdadero.
(10) Si el aotecedente de u¡ condicional es u¡ esquema incoosistente, el condicional es un esquema válido. Porque, siendo el ante' cedente siempre falso, el condicional es siempte veidadero. (11) Si las cláusulas de un bicondicional son esquemas válidos, el bicondicional es uri esquema válido. Porque siendo ambas cláusulas siempre verdaderas, el bicondiciooal es siempre verdade¡o.
(12) Si las cláusulas de un bico¡dicional son esquemas inconsistentes, el bicondicional es un esquema válido. Porque siendo ambas cláusulas siempre falsas, el bicondicional es siemDre verdade¡o.
lsz
como éstas es clato que podemos rnultiplicar el e inconsistentes hasta donde quetamos' esquemas válidos número de válido (por eienplo, "p)p") y E,' E esquema Sea, por ejernplo, un Ij2,.., otros esqueñas cualesquiera. Aplicando (1),Iormamos el esquema inconsistente -8, Ahoia, podemos constitui! toda una serie de esquemas válidos y toda una serie de esquemas ioconsistentes Aootamos al lado de cada esquema las leyes e¡ que oos aPoyamos para cons-
A partir de leyes
truirlo. Esqaemas
a
EtE,
álídos (6)
(E,,¡E)E EL)E -E)Et
(3)(6) (e) (1)(10)
EsqLe?nds ínconsistentes
-E
-EE, Él.Et)E -E ¿tEl.E,)E (ElE)(-E>8,) (1)(3)(q)(10) -(E,)E) (1)(7) -(-ElE\) -ElE, etc.
(1) (
1X4)
(8)(9)
(5)(8)(9) (2)(e) (
1)
(7)
efc.
Es co¡veniente que demos una oieada a vuelo de pájarc a
la noción matemática de fanci.ón. Supongamos una ecuación de aquellas que eo la eoseñanza secundaria codocimos coo el nombre de "ecuaciones indeterminadas "; por eiemplo, la siguiente, de dos incógnitas: 24.
(l\ )x-2Y+l=O
a partir de (1) la expresióo exPlícita de y, es decir, como reza la ftase 'despejemos y'; tenemos entonces: (2) y 1¡+1 Fbrmemos
2
Con ayuda de (2) resulta fácil darse cuenta de una corresponden_ ( iit enüe los valores que demos sucesivamente a r y los valores (luc resPectivamente asume y: a cada valo¡ de ¡ coresponde un valor ,lctcrminado de y, y uno solo. Podemos eiemplifica¡ asignando a r los
vrrlores de ¡rr
la serie 0,1,2,3,... Resulta entonces las dos tablas si-
ientes:
t:0,1,2,),4,5,-..
I " 7 . 13,", o vt t,.,1,', z Vcmos pues que los valores cle y varían, de una mane¡a l¡ecisalr¡ rrtc detcrmin¡rda ¡or l2), a medicla que varíao los valores de .r. l',¡lcnros
s3
I
dad y depende de una manera aritméticañente dete¡minada de la canri¿^¿ x" expresan literariamente la noción maremárica de funcióo. En el caso de tal reLación e¡tre .r e y se dice, entonces, que y es una función de r, La notación que se emplea para expaesa¡ esta
conexión est y =f(r). Es claro que en (1) pudimos explicitar f,,,entonces, hubiera resultado:
3\
x=
2f:J 3
y por el mero hecho de una disposicióo dife¡ente de los rérminos dent¡o de una relación que sigue siendo la relación (1), sólo que presentada eD una forma difetente, hubiéramos tenido que cambiar de sujeto y decir no que y es una funcióo de r sino que x es una función de y. Esta simple conside¡ación basta para no toma¡ demasiado en serio al hablar de una función matemática relaciotes como las de dependencia. Sería meior deci¡ que dos series de números están eri conexióo funcional cuando existe una regla que pe¡mite, dado un ¡úmero cualquiera de una cualquiera de ambas series, determinar mediante es¡e dato un número, o va¡ios riúr¡eros, de la otra serie de ulra maneaa Pre
c-isa.
La conexión funcional (L) es bitníuoca, es decir: a cada valor de r corresponde un valor de y, y sólo uno; y a cada valor de y cotres, ponde un v¿lot de.r, y sólo uno. No siempre es así. Considérese la simple función:
(4) y =r' Si damos a r el valor 2, el valor cortespondiente de y es 4damos a r el valor -2, el valor correspondiente de y es también
Si 4.
Es decir, a un valor de y conesponden dos valo¡es de x,, la relación entre los valores de ambas va¡iables no es ,uno a unot sino .dos a u¡o'. Esto quiere decL que dado un valor de r no hay üopiezos en determinar el valoi correspondiente de y,,en cambio, dado un valor de y hay dos valores de r que le corresponden y no podemos hacer más que ofrecetlos en alternativa. 25- AlEo a¡álogo a lo que ocurre en el caso de las funciones maretnáticas ocu¡te nmbién en el de las conectivas proposicionales. Si nos atenemos a los valores (verdad y falseda*)-de las proposiciones, la idea de función surge inmediata y oatu¡almente de la conside¡ación de las conectivas. En efecto, los esquemas proposiciooales formados a parti¡ de las cooectivas estudiadas adquieren tal o cual valor determinado en función, rigurosamente en función, de los valo_ res de las cláusulas que son sus pa¡tes. La conjunción, por ejemplo,
I
s¿
cs verdadera o falsa según sea ésta o aquélla la combinación de sus r.láusulas. Si empleáramos la lera C pata designar la conjunción,
anotar la ¡o,lríamos, de modo análogo a como se hace en matemá¡icas, , onexión funcional siguiente:
t) c =r(P,q) Claro está que la telación (1) no es cuantitativa; se reduce a declarar metamente una cottespoodencia de valores, a meramelte seña_ l,rr que la conjunción es una proPosición cuyo válol está determinado que soo l)or, o en funció¡ de, los valores de las dos proPosiciones esta correspondende e¡tero desarrollo el .us cláusulas. Justameote c ia, es decir: (
U,F)=F; f(F,V)=F; f(F'F)--F lrré tomado por nosotros co¡no la definición misma de la coniunción' Y de la misma maner¿! procedimos en el caso de las co¡ectivas tes_ f(V,V)=V:
f
Podemos, pues, hablar de las ptoposiciones comPleias formadas rncrliante co¡ectivas y (más propiamente) de los esquemas proposi-
cionales que nos son ya familiares como de funciones; y siendo n(cesario cualificar el término en orden a distinguit este nuevo tiPo ,lc función, Ptoponemos llamarlas lunciones de proposici6n' Ciertamente, todos los esquemas conectivos estudiados, es decit: (¡\ -F, PS, Pvq, Pwq, P!5, Pls, P)S' P=S son fu¡ciones de proposicióo, Pero resulta igualmente evidente (luc puede haberlas más camPleias. Ya hemos tenido oPortunidad de vcr que es así. En el caso' Por ejemplo' de esquemas más complejos '¡rrc los anteriores c omo:
Q¡dt, (?,¡q)vt, (P)q)(q)P),
(P=q)=t correspondencia que existe e¡rtre la tigurosa sobre r¡o lremos vacilado
,rnl combinación cualquiera de las let¡as y uo valoi derctminado ,lcl esquema. Es claro tambiéo que, cualquiera sea la. compleiidad ,lc un esquema proPosicional' toda vez que dicha compleiidad sea ,rn¡lizable en términos del grupo (a) de funciones de verdad, el es,¡rr<:ma
será una funció¡ de proposicióo. Así, por eiemplo, esÍluemas
-(l,v q)).r=.r )s, p=-q.).r=-s, erc. .on funciones de proPosición. l)igamos todavía aquí qte las funciones de proposición no son, rrr general, biunívocas. Sabemos que a un valol de la proposición rlcnrental en eI caso de la negación correspoode un valor bien detcr_ rri¡¡utio rle la ncgación y, co¡versamente, que a un valor de la negación ,,rrrcsPon¡le un valor bien determinado de la proposición elemental; |(.ro en cirsos, ¡>ot cjemplo, co¡no la altcrnación la situacióo es otra: 55 I
a una combinación de las cláusulas cor¡espoirde un valor bie[ deteF minado de la alternacióo, pero a uD valor de la alterriación no co¡responde siempre un valo¡ único de las cláusulas. Así, por ejemplo, si la alte¡nacióo es verdadera, la combinación de las cláusulas puede ser "VV", "VF" o "FV". Sólo en el caso de sér la alternación falsa podemos deduci¡ la combinación
"FF" de sus cláusulas. Consideraciones análogas valen pa¡a las cooectivas biproposicionales re
stantes-
26. El hecho de que los valores que en&an eo juego en las funciones de proposición sean simplemente dos - ve¡dad y falsedad - y no en número irfinito como en el caso d€ una fuación matemática ordinaria, simplifica mucho su estudio. Incluso, podemos hacer irn recoe.rto de todas las funciones posibles. Hablamos más attás de conectivas monoproposicionales, biproposicionales, triproposicionales,...; pero, la ve¡dad es que hasta aquí no hemos conocido otras que las comprendidas en la serie (a) del parágrafo anterior, es decit, una monoproposicional - la negación - y siete biproposicionales. Es cierto que los esquemas rriproposiciooales pueden suponelse asociados a conectivas triproposicionales; así, por ejemplo:
(Pvqh¡, P)q,=,
(Pq)t, etc.
pueder¡ aceptarse como esquemas constituídos por conectivas triproposicionales. Ot¡o tanto podría aceptarse coo relación a esquemas que comprendan un número mayor de proposicio¡es elemedtales. Sin
embargo, tenemos que reconoce¡ que en este caso no ha¡íamos otta la cal>eza de convencio¡es no más elegantes que
cosa que lleoarnos
inútiles. Ocupándoaos, pues, solamente de co¡ectivas de la especie que hemos estudiado, veamos cómo se establece su núme¡o máximo posible cuando atendemos a su catácter de funciones de proposición.
las posibles conectivas monoproposicionales. Designándolas con el símbolo genérico f¡ (p), y considerand^ que la cláusula "p" es ora verdadeia ora falsa nos damos cuinta de que los valores corre spondiente s de ti( s6lo podrán obrenerse de esta serie de combinaciooes z VV,VF,FV,FF, Las funciones de proposición monoproposicionales posibles son, entonces, las siEmpecemos considera¡do
guiente s:
f,
(p):
t,(v)=v;
t,(F)=v
rJP)' Í"(V ) -v ; f,(F)=n f!U,): f,(v )= F ' t3(F)=v f 4(p ): fo$)=r_.; fJF)=F Iosistimos: Ias tablas anteriores consútuyen el rccuento exhausti-
[
56
vo de las conectivas monoploposicionales posibles' Que
existan cfectivamente las cuat¡o conectivas enumeradas es ya uaa cuestión aparte. La única que Jremos reconocido nosottos hasta aqui es fr(p)' cs decit, la negación. tlrrpero, así como sutilizando con la definición matemática de función se puede acePtar que "1¡=x" es una función' rnálogamente, podemos aceptat qwe f"(p) es también una fuocióo monoptoposicional de proposición. Podríamos asignarle la denominación
tle "afitmacióa" y recurriendo a nuestto viejo ptocedimiento, definirla así:
P! V =V; F=F En cuanto a ft@) y fo@) podtiar, corrsiderarse tesPeclivamente como la tautología y la contradicción monoProPosic ionales. Sólo que ,icl lado que rios volvamos encontraremoi que no hay esquemas pro|osicionales que a ellos corespondan Es cierto que explesiones
p\-p; p-!; p)p, -(p-p); P-?lp;
-(-PP)-)-pP
forman tautologías y contradicciones cuyas cláusulas son idénticas cntre sí y, por tanto, en el sentido e*Puesto en el par,ágrafo 7. resulttrn mooopropos ic ionale s; pero si, pot el contrario, hacemos valer ,¡ue en la cons(ifución de tales esquemas intervienen conecrivas csencialmen¡e bipropos icionale s podríamos rechazar que tales esque_ nras correspondan a casos de f r@) y f"QL
I-as fu¡ciones monoproposic ionale s de Proposición o esquemas conectivos monoproposicionales posibles serían entonces cuatro, tales cuat¡o solamente dos, además de posibles, setían efectivos. Fln cuanto a las posibles fu¡cio¡es de proposición o esquemas (-onectivos biproposic ionale s, su número se escablece de la misma nrirnera. Estas son de la forma fi(p,q) y por lo tanto las combinaciones rlc sus cláusulas no son dos como en el caso ante¡io¡ sino cuatro; r.s decir, li(p,q) toma los valores: fi\v), fiUF), flEv), niTF) llrrbrá pues tanas funciories bipropos ic ionale s posibles como pod,a' ¡nos forma¡ combinaciones de los valores V y F en grupo de cuatro. l'or eiemplo, a la conjunción cotresponde la combinación VEFF' a la y
cle
nltcrnación VVVF, a la disyuoción FVVF, la iocompatibilidad ^ I,vvv, etc. Para determina¡ el aúmero de tales combioaciones podernos proceder asi: Sea C el gruPo entero de combinaciones; es evi,lcnte que C comprende dos categorías de combinaciones: las que r omicnzan en V y Ias que comienzan en lt. Cada una de estas dos (,r(cgorías de combinaciones comprende a su vez dos categorías: ,rr¡rrcllas que llevan V en segundo Iugar y aquellas que llevan l' tn scgundo lrrgar. Cada una de estas cuatro categorias de combina( i(nrcs cornprcfl(le t¿rmbión rlos c:rtcgotías de combinaciones: las que
s7
I
llevan V eo tercer lugar y las que llevao F en tercér lugar Finalmeote cada una de estas ocho categorías se compone de dos combinaciones: una que termina en y y una que termina en F. Hay, Pues, eri toral dieciseis combinaciones, es decir, las funciones biproposicionales posibles so¡ 16 Podernos, partieodo de Ia coosideración anterior, elaborar el esqr¡ema siguiente:
F F
VF VFVF
F
VF
F
VF
F
Es fácil ve¡ que la fórmula para el número de combinaciones que contengan n leat^s, p,q,r,'..t, es 2D. Por ejemplo, en el caso de funciones monoproposic iorale s de proposición las combi¡¡aciones son: V,F, es decir, 2r; en el de las biptoposicionales, las combinaciones son: VV, VF, FV, FF, es decir, 22; et el de las triproposicionales: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF, esdecir 23; etc. El razonamiento completo es el siguiente: Sea 2n el oúmero le combinaciones de ¿ letras. Al introducir una oueva letra, fpor ejemplo, ésta forma, con las 2n combinaciories originales, 2n ruevas combinaciones eo que , es verdadera y otras 2fi en que , es falsa. Eo toral 2.2 n, o sea, 2n+1 . Siendo, pues, 21 el número de combinaciones pa¡a una letra, será 22 para dos lettas,2t para tres,..., 2^ para n. Por lo tanto, basta la inspección del esquema aoterior para darse cuenta de qu.e la lútnala qae liia el húmeto de lunciones *ptoposicionale s posibles
Las ra
más
""
2Qn),
1ó funciones biproposicionales posibles, expuestas de manevjsible con ayuda del esquema an¡erior son:
12 rt 14 L5
12345678o1011
vv vvv vv VF vv \,/VF t:F FV t:v vv TIFV VIJ vt.-v I.V t;v 158
FFF 1/VV VFI: FVF
F F
v v
16
F F
F
F
v
b'
F
¡-
v
F
F
I-as tablas contenidas eo las columnas 2, 5,7, 8,9, 10 y 15 nos son farniliares; representan las siete funciones biproposic ionale s rlc proposicióo que hemos estudiado. E¡ cua¡to a las rablas ex!¡€mas, I y 16, teptes.ntarían respectivamente la taurología y la contradic, ión biproposic ionale s. Sólo quedaría por determinar si se trataría ,lc csquemas
c
omo:
-PrP, -PP, P)p,
p=p
r¡rrc comprenden una conectiva biproposicional o esquemas que me¡aflrcnte comprenden dos lettas, como:
I'vq,=.qvp pq=-(pq), ercl'cro, cieftameote, es éste un
problema tao ' impo¡tancia que optamos por deiar de lado.
sutil como carente
de
liioalmente, las funciones posibles que ¡estan - es decit, 3, 4, 6, I l, 12 y l) - o se muestrao impropias o deiivadas de las ya conocidas. Vcamos sus tablas en forma más ceñida:
fo(p,q): fo$,V)-V; ntU,F)=V; f.(F,v)=F; f,(F,F)=F rs
i¡rropos
icional genuina.
Í"(p,q); r"(v,v)=v r6U,F)=F fdF,v)=v ,r¡ urre
Io que con
f", sólo
t,,(p,q): f ,,(v,v)=F
Sc trata aquí de
t,,(!,q): f' ts(p,q)t
f'ls rlecir,
f6@,F)=F
que con respecrc a q, f
,,(vF)=v ftGv)=F
f,,(FF)=v
la negación de 4.
,2(V,F)=V tL.(F,V)=F f,,(F,F)=F "?)q", f BW,V)=F f L.(,F)=F fBG,v)=V f ú(F,F )--V
f
,"(V,v)=r
f
es la negación d,e
la negación de p, las columnas 3, 4, 6, 11, 12 y l), to deben consi,lrrars6, p6¡q¡s o ior¡oducen algo impropio o algo que fué ya introduci Sc trata de
l,ln una palabra,
J7. l,ls conveniente estar erl condiciones, f¡e¡te a uo esqueña propo¡icional cualquieta, de forma¡ rápidamente la tabla de los valores r¡uc adquiere para todas las combinaciones de sus let¡as. Es la r,¡xración que se conoce con los oombres d,e ,decklón" o ,,análisk vcrificatorio"- La manera de proceder consiste en apticar desde 'l¡nrro hacia.afuera las tablas definitorias de las conectivas implica,l¡s, hasta Ilegar a un resultado. Sea, por ejemplo:
p:q.=.-q)_p I)uesto que eo el esquema intervienen dos lefias, debemos hacer fu¡r(ro aplicaciones con cada una de las combinaciones VV, VF, l¡lz, lrl;, Resultan, sucesivamente, las colur¡nas siguientes: 5e
I
V V=Y V=.F)F V F =.V)F F=F V V =,F)V V=V V V=.V)V V=V La primera cláusula del bicondicional de ouestro ejemPlo es u¡r condicional. Al disponer los valores de las cláusulas dentto del esquema ¡esulra a la izquierda del signo "=" la columna siguieote:
V)V.=.-V)-V V)F.=.-F)-V F)V.=.-V)-F F)F,=.-F)-F
v)v
v)F F)V F)F Lo que hacemos coo relación a esta eolumna es substituirla
por
otra formada con ayuda de nuest¡a definición de la función coadicional, es decir:
v F
v v De modo semeiante se procede coo las partes restantes del esy quema; en nuest¡o ejemPlo; las columnas correspondientes ^ "-q" que están asignadas las "-p", Resulta así un nuevo esquema eri combinaciones que tengan lugar. En nuestro eiemplo, el esquema resultante es: v =.-F
)I:
F=,V)F v =. F)v V =,V )V
Se procede a una nueva simplificación, esta vez de Ia columoa la derecha del bicondicional. Resulta: V=V F=F
a
v=v V=V J-a columna
fina! que expresa los valores del esquema "p,-5.=-q>-p"
es la siguiente:
v v v
v es rlecir, el esquema "Paq.=.-qr-P" es una tautología. Es claio todo este procedimiento exige el manejo pronao y seguro de la defi_ ¡ición de todas las conectivas y cn su detalle, pues lo común es
lr¡'
que
!rr) apaaezcan eo
el
mismo orden de su definición
ni es siernpre nece-
r¡¡ria toda su defioición. rJt,a vez, en auestro eiernplo, apareció el ondicio¡al eo el ordeni
¡
,;tF
v)F tl)v
v)v
{¡r¡( no es
el de su definicióo. Otra, apareció el bicondicional en la
V=V
lt=F
v=v v=v ,¡rc pide aplicar sólo Parte de la definición.
Más sirnple, aurique menos analítico' se úuesra el empleo de r ¡bl;¡s como la siguiente:
t,-q
vvv-!1vFV
t;vv IIFF Sc trata de la tabla
e¡
que se define la alternación A la izquierda
v,rn las distintas combinaciones que correspooden a las letras; a la
,
,lc¡ccha, en corespondencia horizootal, los valores que toma la rltc¡nación en los diferentes casos. Pata la aplicación de este P¡o,.ilimiento se puede anota¡ de una vez la tabla de todas las conecrv¡rs biptt'Posicionales que heúos examinado:
I" q ?q Fq t,vvvFFFVV VFFVVFVFF tvFVVFVVF t¡l.FFFvvvv I:n
t'
tv
pwq ptq plq p)q
?=q
cuanto a !a tabla de la negación, es:
¡r
, mcdian(e tablas, cl análisis verificatorio del es_ ,llro¡¡ "2vrl. ,-1t' q"; lt.abla qt¡c rlcbemos formar para ello es la I
)r'sarrol Irrmos
61 I
siguiente:
p's
.).
?tS
-P=c
VVVFFFV VFVVFVF FVVVVVV FFFVVFF El procedimiento empleado es obvio. B^io "prq" hemos anotado so tabla; Ot¡o tanto hemos hecho baio "-p" y "4". Luego, hemos procedido a anotar baio el sigro "=" la columna que corresponde a los valores que adoptan sus cláusulas. Finalmente, hemos comparado esta última columna con la cotrespondiente a "pv4" en orden a forma¡ la columna bajo el signo '5", que conesponde a los valores del esquema "?rq,).-P=S" pata las distintas combinaciones de sus let¡as e¡ el o¡den de VV, VF, FV, FF. Dicha columna fioal es: F
v v v el esÍluema, por conpleio que sea, comprende una o dos procedimiento letras, el seguido en nuest¡os ejemplos se muestla expedito y seguro. Cuando las letras son tres, ya no lo es taoto, Si son cuat¡o o más, no es en modo alguno recomendable. La raz6¡ principal es que las combinaciones pata3, 4,5.,. letras son, ¡espectivamente, I, 16, 32,-.- y rápidameote exigen mucho tiernpo y riás espacio del dispooible, Veamos u¡ eiemplo de esquema con tres leCuando
:.j.as,
"p)q.|.-r)q"
P, q,
r
v vv vvF v Fv
V F F F F
FF VV VF FV FF
P>s .1. 4)q v v
F F
FVV
F F
v v
v v v v
F
FVF VFF FVV
F F
v
vvv
vvv FVF VFF
28. Es posible acelerar el procedimiento de decisión mediante las siguientes reglas de reduccióo aplicadas a las distintas conectivas: 162
a) Si una de las cláusulas de una coniunción es verdadera, la conjunción se reduce d la otra cláusula. Porque si la or¡a cláusula cs verdadera, lo es la conjunción; y si es falsa lo es Ia cooiunción. l)c una yez: "pV" se redtce a "p". b) Si una de las cláusulas de una coojuncióo es falsa la conjun' ción es falsa. De una vez: "pF" se reduce a "F". c) Si una de las cláusulas de una alte¡nación es verdadeta, lo es l¡r alte¡oación. De una vez: "pryV" se teduce a '"f/". d) Si una de las cláusulas de una alte¡nación es falsa, la alternación se reduce a la oua cláusula. Potque si la ot¡a cláusula es ve¡,lldera, lo es la alte¡nacióo; y si es falsa, lo es la alte¡¡ación. "¡nb-" se teduce d "P", e) Si una de las cláusulas de una disyunción es ve¡dadera, la ,lisyunción se reduce a la negación de la otra cláusula. Porque si la ,'rra cláusula es verdadera, la disyunción es falsa; y si la otra cláusrrla es falsa la disyunción es verdade¡a. "?vV" se reduce a "-1". f) Si una de las cláusulas de una disyunción es falsa, la disyunr iir¡ se reduce a la otra cláusula. Porque si la otra cláusula es verlo es la disyuncióo; y si es falsa,lo es la disyunción, ''pwts'" rc reduce a "p". g) Si una de las cláusulas de una falsedad-cooiunta es verda,ltrrr, la falsedad-coojunta es falsa. '?+y" se reduce a "F". h) Si uoa de las cláusulas de una falsedad-conjune es falsa la l,rlsedad-coniunta se reduce a la negación de la otra cláusula. I'orque si la ot¡a cláusula es verdadera, la falsedad-coaiunta es I'rlsa; y si es falsa, la falsedad-conjur!tá- es '¡etdadet^. "ptF"
,lrrrlera,
..
a "-P". i) Si una de las cláusulas de una incompatibilidad es verdadera, ln incompatibilidad se reduce a la negación de la ot¡a cláusula. l','rqrre si la ot¡a cláusula es verdadera, la incompatibilidad es falsa; y si cs falsa, la incomparibilidad es verdadera. "plV" se reduce a rccluce
i) Si una de las cláusulas de uoa incompatibilidad es falsa, la rrnr¡atibilidad es verdadera. "plF" se reduce a "y". li) Si el antecedente de un condicional es verdade¡o, el condicion,'l sc ¡educe al coosecuente. Potque si el consecueote es ve¡dadero l,' r's el condicional; y si el coosecuente es falso, lo es el condieioú'¡. "V)p" se reduce a "p". l) Si el consecuente de un condicional es falso, el condicional r, rcduce a la negación del antecedente. Porque si el antecedente , , vcrdadero, el conclicional es falso; y si es falso, el condicional , s vcrdadc¡o. '? )r¿" se reduce a '1-P". rrr,
63
I
m) Si el antecedente de un condicional es falso, el condicional es verdadero- Porque el único caso de falsedad del condicional tiene antecedente verdadero. "F )p" se reduce a 'nV". n) Si el consecuente de un condicio¡al es verdadero, el condicional es verdade¡o. Porque el único caso de falsedad tlel condicio¡¡al
tiene consecuente talso. "p)V" se reduce a "V". o) Si una cláusula de u¡ bicondicional es verdadera, el bicondicional se reduce a la ot¡a cláusula. Porque si la otra cláusula es rerdadera, lo es el bicondicional; y si es falsa, 1o es el bicondicioÍ^1. "P=V" se reduce a "P". p) Si una cláusula de un bicondicional es falsa, el bicondicional se reduce a la negación de la ot¡a. Porque si la otra es verdadera, el bicondicional es falso; y si es falsa, el bicondicioeal es ve¡dadero. "P=F" se reduce a "-p". Memorizar todas estas reglas sería seguramerrte exagerado. Es preferible familiarizarse con las con siderac iorie s, tan sencillas, que permiten su deducción para estar así en condiciones de forma¡las rápidameate donde sea necesa¡io. Para su aplicación en el procedimiento de decisión se procede a asignar valores sucesiudmenre: a una letra primero, luego a otra. El esquema, entonces, deLe ser considerado a Fa¡tit de la aplicación de 'i" a la letra, y luego a partir de la aplicacióo de "F". De este modo, se produce una especie de análisis dicotómico que se ilustrará en los elemplos que sigueo. En genetal, conviene empezar considerando, de haberla, la letra que más se repite en el esquema. Desarrollemos, el ejemplo ya aoat izad,o, "P )q.=.-q)-p":
p)q.=.*q-)-! V)q. + -q) q=-Gs)
F )q.
F-
V=V
=-q)V
v
v procedimiento se el es simple Como ve, y rápido. Se disponen las ramas del análisis de la misma manera: toda aplicación "Y" ala izquierda; toda aplicación "F" a la derecha. El empleo prooto y seguro de las reglas signífica a cor(o plazo la capacidad de anota¡ et ¡esultado de una ojeada. Veamos ot¡o eiemplo! Plq,).Pv -qt=P
Flq.),r^v-qr=F V )-q. =F -q=f:
Vlq.).V\¡ -qt=V
-q:'V.=V V=V
v [64
q
Vt,
Si comparamos las dos ram¿s principales vemos que sólo la segunda vuelve a bifurcarse, es decir, que sólo a la de¡echa es necesario aplicar 'Y" Podemos deci¡lo de otra manera: Cuando aplicamos el esquema resulta verdade¡o cualquiera sea el valor de "q"; si aplicamos el esquema tiene el valor de "4", Si anotamos el esquema en la fo¡ma "E(p,S'",lo anterior, puede decirse simplemente así:
E(V,q)=V;
E (F,q) = q
Considerando nuest¡o análisis así como se ofrece visualmente, podemos fácilmente averiguar el valor del esquema para uria combinación cualquiera. ¿Cuál es, por ejemplo, el valor del esquema pa
ra la combinació
La primera "F" indica que debemos leer en la rama derecha; la segunda "V" que debemos seguit pot la subrama izquierda, Allí encontramos '1/", es decir, para la combinaci6¡ "FV" el valor del esguena "plq,).pv-q:=p" es "V", Veamos para terminar un ejemplo de análisis de un esquema coo tres letras: p p q-t || : p ) q.\.- p-)t = - ry ñ. = V
=-qr,v.V =q- r:l:V )q,'¡.
F
)r
=-t\r.v.F
=
q-r:l:F
-Fq¡h-Q-¡)'
-qnq-r,l,qvv
-qnq-r,lv -(-qnq-r) -(FmV -r) -(Fv -r)
F
q't-tt -qvr,lV
) q,'¿.V
)r
J'Vv¡
11
-(
V¡'vF
-t)
*ftvF )
- (-r)
FV VF En este ejemplo, la primera rama de la izquierda se desarrolla de modo completo hasta el análisis de todos sus elementos; la primera rama de fa derecha, en cambio, sólo tequiere la aplicación "p". Estoquiere decir que cuando "p" es verdadera, el valor "11"
^
del esquema depende de
"E(P,q,r)" a nuestro esquema - del modo síguiente: Efr',q,t)=t(q,t) Cuaodo, en cambio, "p" es falsa el esquema lo es asimismo, d
es
ecir: E (F
,q,t)
=
F
Impotta destacar el paso de la segunda a la tercera línea en la ¡anra de la detecha; ¡ara cllo se tomó en conside¡ación la ya establecida equivalencia cnrre los esqr¡emas "-(lrq)" V "*y'v-4". Es claro
65
I
que a pa¡tir de esta equivalencia se establecen igualmente las siguie¡tes:
(a) "-(?-q)" (b) "-(-?q)" (c) "-GP-q)"
es equivalenre es equivalente es equivalente
a
"-P¡4" "Pv-d' "?vq"
^ ^ Las equivalencias (a) y (b) son las que han petmitido el paso de la segunda a la tercera línea de la rama de¡echa. Es claro también que en la terce¡a línea el esquema "qu-ry-qt¡-t" se reduce inmediatamente a "V", puesto que sus partes "q\-q" y "¡v-¡" son tautológicas. La line^ "VIV" fué eliminada anotándose inmediatamente "F", su valor correspondiente. 29- Hemos establecido aI pasar toda una serie de equivalencias que serán de utilidad en una ¡educción que nos importa emprender. Vamos a mosttar que es posible reducir unas conectivas a otras dando así a
estas últimas el carácter (convencional, desde luego) de cooectiaas |Íimitiuas mient¡as las p¡imeras se consideran como conectiuas deriuadds, La sigoiente es la lista de equivalencias que importa tener en cueota para esta reducción:
(a) "-?" (b) "-P" (.\ "!q" (d) "P'¡q" G\ "Plq" (l\ "!tq" G) "!)q" (h) "P)q" (.1) "P=q"
es equivalente a es equivalenre a es equivalente a
es es es es es es
,,plp"
"wp" "-(prq)" '.-(-p-d" ,,-(pq )" "-p-q"
equivalente a equivalente a equivalente a equivalente a "-@-c)" equivalente a "-Pvs" equivalente a "Pqa-P-q" Un prirner sistema de defi¡iciones que redujera unas conectivas a oras sería el que basáodose en las equivalencias (e), (f), (g), (i) tomara como primitivas solamente la negaciín, la conjuoción, y la alte¡nación. Las definiciones que tendríamos que formular serían las siguientes: (1) Plq = -(Pq) (Def. )
rA
(2) (3\ (4)
Ptq=-P-q
P)q = - (P-q) p=s= pqv-p-q
(Def.) (Def.) (Def. )
Si coosideramos, además, la equivalencia (d), podemos eliminar la alter¡ación como conectiva primitiva. Pa¡a ello tendríamos que agtegar al sistema de definiciones (A) la nueva definición: (5) PYs = -e bs) (Def.) y además tend¡íamos que modificat la definición (4) que es la únic¿ lee
(lcl sistema (A) que incluye la alternación. Para esta modificación, r¡tilizamos ladefinición (5). Se tiene: p qv*p - q = - ( (pq)- (-? - d) Es decir, el sistema de definiciones en té¡minos de la negación y Ia conjunción tomadas como conectivas primitivas, setia:
(t)
(Def. )
!lq= -(Pq)
(Def.) (Def.) (Def.) (4\ P=s= -e@q)-(-P-q)) (Def.) (5) Pvq = -(-!-q) Si, por el'cootrario, flueremos elimioa¡ la conjunción como co¡ectiv;r primitiva del sistema (A) y fo¡ma¡ un sistema de definiciones úni( ltmerite eÁ términos de la alternación y la coniunción' empleamos ¡,:rra ello la equivalencia (c) y formamos la definición: (Def.) ((,\ l,q = -(-p!-q) (6) eliminamos la coniuoción en todas las defioicioOon ayuda de rrcs del sistema (B). Se obtie¡e de esta manera (Def.) (1' pl s=-pv-s
(2\
Pttt
=
-P-,
(8\ (1\ p)q= -(p-q)
r(r)(]'
(Def.)
p)S= -?v q
(Att ) ?=q=
(6)
(Def. )
pt q= -(pa q)
Pq =
-FPv-qh-Qt -FP"-q)
q)
(Def. )
(Def.)
I)o
rrtglción y el condicional. Pam ello bastaría defini¡ la coniuoción lo¡ ayuda de la negación y el condicional y sustituir en el sistema lll) rle modo atálogo a como lo hicimos pa¡a Pasal al sistema lC); ,,, también, definir la al¡e¡nación con ayuda de la negac!ón y el con,licional y sustituh eÍ el sistema (C). Las dos de{iniciones de que l¡,rbl;rnros aquí se obtienen fácilmente a Pa¡th de las equivalencias l¡) y (a) indicadas más atriba- En efecto, sabemos que "p)q" es r r¡uivalente a "-(?-q)" ;de donde tesulta, evidentemente qte "-(p)q)" rs cquivalente a "P-I" Además, si eo el ptimer esquema sustitui v,rlcntc a "P-Gq)", es decir, a "Pq",
f)or lo ranro, dada la equivalencia enÍe "*1p1-q)" y "pS"'
¡r'rlt.nros definir: t() ) l,q '-.(p -- -q)
(Def. )
Asimismo, considerando que, según
" ',
(h\ "p)q" es equivalente
a
/rvr¿" podcmos proceder de modo análogo a comohicimos para ob'
'r, t','\
r (6r)y
formar:
(Dcf.) l',:q. - l \q A¡licanrlo (6') al sistema (ll), resulta: 67
1
(r"
)
Pls=p)-s
(2" ) p{q=-(-p)q) (D)(4'r' ) p=q =p)-q.)-(-p)q)
(t') (6')
-P)q Pq=-(P)-q) Pv q =
(Def.) (Def.) (Def. )
(Def. ) (Def. )
Finalmenre, digamos que es también posible reducit considerando sólo u¡a conectiva como primitiva. Se muest¡a ello tanto en relación a la incompatibilidad como a la fals edad-conjunta. Para mostra¡ la posibilidad de esta reducción basta¡á con defioir la negación y la
conjunción una vez en términos de incompatibilidad, ot¡a vez en té¡minos de falsedad-conjunta. Para el caso de la negación, hemos formulado ya las equivaleocias apropiadas que eo duestra enume¡ació¡ anterior ocupan los dos primeros lugares. Para la conjunción, coosidérese que la tabla definitoria de "p14" es:
P' s
vv
plq F
VF FV
v v v de modo que el esquema "plSl.plq" se¡á verdade¡o sólo en el caso de la primera combinación; es decir, será equivalente al esquema "Pq":
P,
vv
VF FV ¡F
s
plq.l'plq
FVF
v Fv v Fv v Fv
La equivale¡cia e*te "plq.l.plq" y "pS" y la
equivaleocia (a)
permiten formar las definiciones:
(1\ -p -plp
(Def.)
(6" ) pq= plq.l.p\,1 (Def.) Estas dos últimas definiciones permiten, aplicándose al sistema (R), reducir las conectivas primitivas a la sola incompatibilidad. La ¡educción a la falsedad conjunta puede efectuarse elimioando la alternación y aplicándose las definiciones de ¡educción al sistema (C). Para ello, basta considera¡ la tabla de "pJq":
l68
p,
q
ptq
v
v
v t;
F
v
F F F
I¡
F
v
Si, como en el caso aaterior, formamos "prq,r,P{q", su tabla es: ptq.t..Ptq
1,, s
V V V F I; V I¡FVFV
FVF FVF FVF
rs decir, soo equivaleotes "p{q.t,prq" y "pvq", y considerando In cquivaleocia (b) poder¡os definir:
(7')
(Def.) -P=P;P (Def.) P'{q=Prq-r.Prq l,a sola conectiva que oo hemos eosayado en estos procesos de rrrlucción es el bicondicional. Podemos probar que una reducci6n cr términos de la negación y el bicondicional es imposible, Para c llo consideremos la tablal
\5tt)
234567
8910
v vv vvvv v vv VFFF
vvF FV V v Fv FV F
VF FV FV FV
F V
F
v v F
11 12 73 14t5 t6 PF F F F F
vv FF
VF
F
F
v v
v
F F
F
v
F F F
r¡rc hemos formado al enuÍtera! las co¡ecdvas biproposicionales ¡osihles y tomemos de ella las columnas que comprenden valores t' y lr en número par, es decir, las columoas er(tremas y las interrrrr,lins que comptenden dos valores V y dos valotes F. Te¡emos así
In s iguiente tabla: I I
(
v v ^) v v v I v I)
vv
10
13
t6
F F
F F F F
F
F
FF FV
v F
v v
VIJ
v
IJ
v v
si
negamos una cual
"l
11
6eI
las siete
columnas ¡estantes. Basn para da¡se cuenta que es asi con observar que las cuat¡o columnas de la detecha son, cada una, negación de la simétrica de la izquierda (consideraodo la línea vertical central como eie de simetría ). Además, si éstablecemos una relación bicoodicional entre dos cualesquiera de las ocho columnas, es tambieo evidente que la tabla ¡esulta¡te es alguna de las ocho columnas, Por eiemplo:
(a)
1=6
vvv VFF
vvv VFF Es decir, el resultado de combinar bicoodicionalmente las columnas 1y 6 es la misoa coluona 6. Ouo ejemplo: (b) 7=13 VFF FVF
FFV
vvv Es decir, el ¡esultado de combina¡ bicondicionalmente las columnas 7 y 13 es la columna 11. Para mostrar que los resultados análogos a (a) y (b) se producen siempre basta con rechazar como iraposible todo caso en gue la columna resultante de compa¡at bicondicionalmeote dos columnas de la tabla (A) comprenda solameote ties valores V o solamente tres valores F. Para que comprendiera tnes valores V sería necesa¡io que las coluñnas comparadas tuvieran ambas tres valores V o tres valo¡es F que se cotrespondieran lo que, manifiestamente, no sucede con las columnas de la tabla (A). Para que cooprendiera fies valores F se¡ía necesario que el cuarto valo¡ fuera también F, es decir, la columna resultadte pertenecería (como se sostiene) a la tabla (A). Esquemas proposicionales que corresponden equivalencialmente a la tabla (A) son:
p; a(6),q; a(13\,-p; -q: a(L\, F?; ^(Ll\,p=-q F-P; a(7), tsq; a(10\, es decir, el conjunto de todos los úoooproposiciodales y biproposicionales elemenrales en té¡minos de negación y bicondicional; y lo a(4\,
a(16),
que hemos probado sobre tales esquemas es que toda combinación entre ellos con ayuda de la negaci6n y el bicondicional produce un esquema equivalente a alguno de ellos. La conclusión, entonces, es iomediata: ningún esguema cuya tabla comprenda tres valores V y uno F o tres valores F y uno V puede expresa¡se eo términos de
[70
ocgación. Con ello se excluyeo de una ptopuesta teducción a nega-
ción y bicondicional todas las conectivas iestantes
(coniunción,
nlternación, incompatibilidad, falsedad-conjunta, condicional) con ll sola excepción de la disyunción. olrettatiuo cuyas cláusulas consisten en: (14) letras ,,imples; (20) letras simples negadas; o (30) cooiunciones de una , ombi¡ación cualquiera de (14) y (20) recibe el nombre de esquema ,¡nmdl altet¡atiuo, Un esquema coniuttiuo cuyas cláusulas consistan cn: (1a) leuas simples; (20) leras simples tregadas; o (3a) alterna¡ iones de una combinación cualquiera de (10) y (2q), recibe el nomI'r<: de esqrema ,,o¡rndl conitnrh)o. Ejenplos de tales esquemas son: (n\ pq-rvp-qtv-p-r (esquemaoo¡malalternativo) (l'\ (pv-q)@tqv-¡)¡ (esquemanotmalconjuntivo) Antes de proceder a una consideración teórica de los esquemas rormales yeaúos, ayudándonos de algunos eiemplos, cómo es siemptc posible üansformar un esquema ptoposicional hasta datle uoa lorma cormal altemativa o conjuntiva. Sea el esquema: !.)q.=. -pvpq ln cade¡a de transfo¡maciones es la siguieote: (n\ -Pvq.=, -PaPq tt'\ (-lvq) (-F Pq)v-(-?v q)-Ft ¡?s) (, \ - p - pv - p pqt -Pqt Pqqv P -qP - @a ) l ¿\ - 8 -Pqv Pqv P- q (-Pr - s ) ((\ -P1t -P4t Pqa ?-q-Pv P -S-s ((\ -P't -Pqtqqv?-q I r\ -l1v pqv p-q I-a transformación (a) se efectuó por la substitució¡ de "p)q" 1,,'r su equivalente "-pyq",La traosfo¡mación (b) se efectu6 apli, ¡¡ntlo al bicondicional (a) una t¡ansformación formalmente idéncica ,r lrr que conduce d,esde "pq" transformación (c) ^ "pqa-p-q",La r-s más compleja: efi primer lirgar, se efectuó el'producto'que consriruye la primera cláusula de la altemación (b); en segu¡do lugar, re lplicó la segunda ley de De Morgan al producto que constituye la r, gunda cláusula de la alternación (b). El paso a (d) cornprende las ¡'lf(r^ciones siguientes: ¡educción de "-!-P" a "-p", Puesto que ,rrnlxrs esquemas son evidentemente equivalentes; eliminación de " l,lq", esquem^ cootradictorio que siendo siempre falso no afecta 'r l:r alternacióq (c); reduccióo d. "pqq" al esquema equivalente " ¡,¡" ; aplicaciín de la primera ley de De Motgan al esquema "-( pq)". l, I tsquema (e) ¡esulta de (d) po¡ el mero desarrollo del producto "t,-qF|,¿-q)". lil paso a (f) se operó mediante la eliminación de 7r .l 10. Un esquema
"p-S-p" que siendo coltradictotio en riada afecra a la altemación (e), y pot la reducción del esquema ,,p-S-lt, a su equivalente ,,p-4,,. Fioalmente, el paso a (g) comprende la ¡educción d,e ..-pr-pq', "-2", equivalencia que es fácil ve¡ificar puesto que si ..-p,' es^ verdadero, "-pi-pq" lo es también; y si .,-p,'es falso, .,-*!-pq" es falso. Es impocante desracar los pasos dados que implican operaciones gue, aunque obvias, no nos e¡an familiares. En primer lugat, la re_ ducción de "pp" .'p", Es evidente que si ..p,, es ve¡dadera o falsa ^ "PP" es, corre spondientemente, verdadera o falsa. A esta propiedad (a falta de expresión más adecuada) podemos nombrarl^ ,n otororrís, de la conir.nci6n, Eo segundo lugar,
la eliminación de toda alternativa inconsis¡en_ te o contradictoria se basa en la regla de reducción, ya conocida por nosotros, según la cual ,,pvF,' se reduce a ,.p,,. En tercer lugar, la aplicación de las leyes de De Morgan que petmiten eliminar los paréntesis en expresiones de ta fo¡r¡a ,,-(pd" y
"-(?"q)".
En cuarto lugar, la reducción de un esquema de l^ fotma ,,pvpq"
a "p", La equivalencia
de ambos esquemas es evidente.
Todas estas operaciones tienden a reducir el esquema a su forma normal alte¡nativa y a simplificar esta fo¡ma. La ventaja de un esquema en forma oormal radica en que basta una ojeada para averiguar su carácter. El esquerna de ouestro ejem_ plo no exhibe su carácter tautológico en la forma primitiva con la evidencia de su forma notmal ,,-pv.fuvp-4,,, No es necesario oiagún
cálculo para datse cuenta, considerando este úftimo esquema, de que se üata de una tautología, es decir, que es imposible hacet conil¡ntamente falsas sus tres cláusulas. La reducció¡ a la forma normal coniunriva se puede efectuar di_ tectamente a partir de .'-pepsvp-5". Es como sigue: G\ -P"Pcr p-q
(h) -PvP(qa -q) (i) -p(qv-qhp@v -q) (i) (Pv- (qv -q) El paso de (g) a (h) se opera mediante uoa ¡factorizacióo' en [a patte "pqvp-q". El paso de (h) a (i) se opera mediante la introduc-
ción de un 'facto¡'inocuo que .multiplicat a ,,-p,,este facto¡ es la rau_ tologia "qv-q", Es evidente que "-r" y ,,-!(qv-q),'soo equivalentes. El paso fioal de (i) a (i) se realiza mediante la ,facto¡ización,del
(i) cuyo'factor comitn, es ,,qt-q", Si hubiéramos seguido el camino que se oftece naturalmente a partir de los princi¡rios de disuibución que nos son conociclos, el esquerna
Itz
rcsultado se mostra¡a más coúpleio, aunque rio menos manifiestamentc exhibi¡ía el carácter t¿utológico del esquenra prinitivo:
($\ -?"pqu P-s (rt) FWp)Fplqhp-s (i'\ (-pvp'¿p- (-Paq,¡ p-s)
(i'\ eprnil
e?upu-s) Fpvqv|) (-!vqv-s) Los esquemas normales conjuntivos exhiben de modo fra¡camente ¡rste¡sible el ca¡ácter tautológico del esquema primitivo: se trata de conjuncior¡es cuyas cláusulas soo tautologías. Veamos todavía otros ejemplos de reducción a un esquema torrr¡1. Sea el e squetua:
-Qlil=,D-s
(,\\ -C@q))=.-pr-q (b\ !¡q=. -pa -q (c) PqG?v -qh - @q)-(-pv -q) (ü 2 - pq'r p q-qv (- pv - q)pq (. ) ? - P qv P q - q! - pp qr p q - q
(t\ f-pqvpq-q I ¡a)
¡t-P
I-os pasos dados hasta (e) nos son familiares. La fo¡ma de (e) es "li,vE2vE'vE2"; y el paso de (e) a (f) consiste en reducir dicho esrlucma a otro de la forma "ErvB""; es decir, la transformación efec¡r¡ada se basa en la equivalenci^ ¿e "pvp" y "?" o, dicho con u¡a tcrn¡inología que ya nos es familiat, en l^ 'rnonotonía' de la alte¡nar /rí2. Finalmente, puesto que ambas cláusulas de la alternación (f) rorr inconsistentes, es decir, siempre falsas, hemos dado el paso (g) rr¡stituyendo (f) por la inconsisre¡cia más simple ,'p-p',, Se ve, Itrcs, que al llevar un esquema proposicional a su forma normal al¡.r .rtiva, su inconsistencia, de existir, se hace üansparente como lo es l¡r validez a través de u¡ esquema normal coniuntivo. (;cneralizando a partir de los dos ejemplos anteriores podemos lorrnular lo siguiente: Si uo esquema es tautológico, su fo¡ma normal r.njuntiva consta de cláusulas - que son alte¡¡aciooes de letras ,'l¡¡r¡llcs o negaciones de leras simples - etr cada uoa de las cuales r¡¡r¡r letra a lo menos áparece oegada y afitmada; y si un esqueúa es | ('ntr¡rdictorio, su form¿ normal alte¡oativa consta de cláusulas - gue ri'rr conjunciooes de letras simples o negaciories de letras simples ¡rr r-¡rrla una de las cuales una letra a lo menos aparece o.egada y aiitrr,r,l¡. Ahora, un ejemplo de reducción a forma normal alternativa de ¡r. .squema coo tres letras: I,lq. ). -.p{tt = ttv -q).-r \ p tn\ .(tt't) )1,-t.: :p\- q.-).-rvl 73
1
(b) ?qt ! -t. =, - (pv - Sfu-¡g p (c) Pqv P-r, -.-pqv-m p (¿\ (pqvp-r) (- pq\-rv p h - Qqr p -r )-
(- pqa
-rv p )
(e) p-pqqv ps
-ñ pp?t p - pq-rv p -t -w pp -w-(pq)-(p 1)- (-fq), -? (Í) !q-tr pqrp-w(-pvq) GPÍt) (pv-q)-Pt
G) pq-r'¡Pqrp-r'l(-?v -q) (-? - q'¡ ?r!- qt) - pz (h) p q -n pqv p -t\ (-Pv -q) (-p-q r -p-q¡) (i\ ?q-nqqvP-¡v (-p'¡ -q)-p-qr (j) Pq-NPqeP-ñ -P-qr (k\ pqvp-n-?-qt Los pasos (a)-(d) no requieren comentarios. En (e) hemos desarrollado el 'producto' " @qv?-¡) (-pqv-m?)"; además her¡os úansformado, mediante la seguoda ley de De lVlorgan, "-(pq\?+)-(-p
"pq-*pq" ei "pq".
Eo este ejemplo eüconttamos nuevas enseñanzas que pasamos a fijar inmediatamente. En primer lugar, la aplicación de la segunda ley de I)e Mo¡gan al esquema "-(-pq\-np)" pudiera prestarse a escrúpulos, puesto que se trata de una alternación con tres alte¡nativas. Sin embargo, explicitaodo la agrupación deotro del paréntesis se ve que la ley es la misma: "-( -?qv(-nq))" es equivalente a "-(Pd-Fry?)" "-(*pq)-(-t\p)" es equivalenre a "-(-!qh-p" Es claro que esta manera de proceder se aplica a un número cualquiera de alternativas. Si Er, Er, ... li¡ son esquemas proposicionales, tenemos, cualquiera sea ¡, el bicondicio¡al válido siguiente: -(E,rE"'r...vE.¡=-E | -E2-,. ' -Erl Igual consideración vale en el caso de la primera ley de De Morgan, es decir, cualquiera sea n, es válido el bicoodicional: I t¿
-(E,
8
E
) =- E,v-8
2v...\-E
¡
"...también señala¡ la transfotr¡ación de "pq-rapq" en "pq"' Importa t¡ansfo¡mación de la forma ya conocida que permite pasat de "pvpq"
t "p"' Es
muy evidente que, generalizaodo, cualesquiera seao los
csquemas proposicionales E' E' es vrálido el bicondicional: E, E Er=E "v que si " E, es ve¡dadero, lo es también "EtE"vEr"; y
si E, puesto cs falso, lo es asimisrno "ErE"vEr". El esquema ootmal conjuntivo que cortesponde a nuestro esquema primitivo se puede obtenet ditectamente desarrollando (k): (k) PqvP-ra-P-qt
(t\
qv-¡h-P-q¡ (pv-n- (?v-m-q) (?v-¡'¡r) (Pvqv-p) (pvq!*q) (qr-ry-d(qv-rvt) (Pv qvt ) (W-n-P) (¡) (?v-ü @v¡) (Pv-qv-t) (Fqvt) (qa-/r-p) (o) (P,¡ -d @v¡) (-?vqv-t) La explicación es simple: de (k) a (m) no hemos hecho oua cosa que 'multiplicar', es decii, aplicar el ptincipio del patágafo 2I: (pvpl (pv-t) (pt q)
(
(n) (Pv-!) @vd @v¡)
pqvrc=(Pw) @vs) (q\r) (qvs)
El paso de (m) a (n) ha sido efectuado mediance la eliminación de los paréntesis que comprenden una letta y su negación como alrernativas, es decir, tautologías de la forma "pv-paq"' La raz6¡ de esta eliminación reside en que una tautología ¡o afecta a una conjunción, ley que introdujimos ya al formular la regla de reducción según la clual "pV" se reduce a "p"' El paso fioal, de (n) a (o), se efectuó mediante las transformacione s
de
"(fu-q) (?v-q"-r)" er "Pr-q" v " (pt) (prqt)" ea "Pvt" ¡rara darse cuerta de las equivalencias implicadas, véase Primero que soa equivaleres "p(pvq)" y "p", Ei efecto, si "p" es verdadero, lo es "p(p'rq)"; y ti "p" ers falso, lo es "p(pv4)" Resulta igualmente obvio que, cualquiera sean "E." y "Er", "E r(E rvE")" y "Er" son equivalerites. Y éste fué el principio empfeado en la transformación que coadujo de (n) a (o). Así como (k) muest¡a que cl esquema original no es contradictorio, así también (o) muesua que no es tautológico.
Acaso, los ejemplos expuestos nos hayan enseñado suficiente como para mosúar ahofa que todo esquema puede ser expresado en forma normal alternativa o conjuntiva. (1) En primer lugar, se6alemos que cualquier esquema comprenderá una conectiva principal; y si
,licha conectiva no es negación, conjunción o alternación, bastará tri¡nsformer el esqr¡ema de modo que desaparezca. Así, siendo "Er " 75 l
y "Er" esquemas proposicionales cualesquiera: "Ett E2" se transfo.ma et,,-(ErtEr)" "ErlvtE2" se t¡ansforma e¡ ,,Et-Ezv-EtEz" "E\)E2" se transforma en ,,-ErvEr" "EL=EI" se transfo¡ma et "ErBrv-Er-8"" (2) En segundo lugar, impotta indicar que toda negación delante de un pa¡éntesis puede confinalse a sus cláusulas porque (lq) según lo recién señalado el esquema dentro del paréotesis será o podrá transformarse en un esquema alternativo o coniuntivo; y (2a) según las leyes de De Morgan "-(Er9ry' y '.-(E,vEr)" se tra¡sforman
en "-Erv-E." y ',-Er-Er". (3) En rercer lugar, indiquemos que la combinación de las dos condiciones anteriores petmite confinar la negación a las letras y dejar e! esquema reducido a un complejo proposicional constituído por la negación, la coaiunción y la alternación; uno de los casos menos especiales será de la forma siguiente: @\ ((Pvqry-s)-psv -t(w-pvs )) (pqt-ps) (4) En cuarto lugar, la propiedad disr¡ibutiva nos permite obtener (1q) o una alte¡oación cuyas alternativas sean solamente de la forma digamos "-pqt-s", es decir, seao conjunciones cuyas cláusulas sean let¡as simples o oegaciones de let¡as simples; o (2p) u¡a coniunción cuyas coniuntivas sean solamenre de la forma digamos "pv-quns", es decir, alte¡naciones cuyas cláusulas sean letras simples o negaciones de letras simples. En una palabra, toda esta consideracióo muesua la posibilidad de transfo¡mar cualquie¡ esque¡na en otro equivaleote que sea normal alterDativo o normal conjunrivo, La reducción de (a), saltando pol ent.e lo menudo, es: (b\ (-p sv-p qr sv q -rv-? -,-41s ) (pqv-ps) (c\ pq-m pq-rsv -psv -pq/s\-pq-rs!-p-rs (d\ !q-¡v-ps Es interesa¡re señalar, de pasada, la reducción de ,,-psv-pqts v-pq^rs'¿-P-rs' ' a 't-ps". Ya conocemos la regla; sólo que aquí se aplica sucesivamer,re. t'-psv-pq¡s" se reduce u "-ps";luego, .,-ps v-pq^rs" se ¡educe "-pt"; finalmente, "-?sv-p*rs" se reduce a ^ "-ps". Es claro que basta mirar los cuat¡o últirnos términos de (c) para darse cueota de que si "-ps" es verdadero, Io es la alte¡nación formada por ellos; y si "-ps" es falso, lo es también dicha alternació¡. La regla, entonces, puede generaliza¡se así: cualesquiera sean los esquemas E. E., E",,.Eo: "F'rvE,E"'tE,E"v.. vE,F' o" es equivalente "Er ", respectivameote
[
16
I l. En varias oportudidades hemos aplicado un principio de sabstiru' , ió¡. Por eiemplo, partiendo de tautologías como:
(i\
P)q, =,-Prq 0,\ plq. =.-@q)
(c) I¡v?q.=? (,t) P(p,tq)=p lrcnros elaborado las nuevas tautologías: (¡¡'
E,)E", =, -E rvE ELlE,,=.-(EtE,)" E,vE,E,. =E, ( ¡lr E, (E,vE")=E, IJs decir, si por ejemplo hacemos: Et= -p)q; E,= -p"-5, se tendrá: ("" \ -p)q.). -p"-q:=. -(-p)q)'¡ Fpv-q) (t"') -p)q.1. -pv -q | =-((-p)q) (-p\-q)) (c" \ (-?)q)t(-p)d FPvq)=FP)q) (n" ) Gl,)q) ((-p)qh ePv-q))=FP>q) I-a posibilidad de substituir una let¡a de an esquema taurológico siempre que la substitución se haga en todos los lugares en que \( cncueotra la letra y eo todos los lugares por el mismo esquema \rrstituyeote - por un esque,ra proposicional cualquiera y sin alterar rl carÁctet taurológico del esquema que resulta, tal posibilidad se ,lcbe a Ia rat taleza misma de una tautología, En efecto, la tautolo¡¿íl es verdadera cualquiera seao los valores de sus letras o cláusulns, de manera que la substitución de u¡a letra en las condiciones ¡rntcdichas no puede alterar la tautología. C)tro tanto puede decirse ,lt un esquema ioconsistente; puesto que un tal esquema es siempre Irlso poco importará al esquema qu€ sustituya una de sus letras en ¡ ¡rtla una de sus ocur¡encias: el carácter coot¡adictorio se co¡rser(
l,'
v
rrrá. Por e jemplo:
((\ l'¡*p. ). q-q r! uri esquema proposicional siempre falso, puesto que su antece,lcn!c es una tautologia y su coosecuente, una contradicción. Podernos substituir, por ejemplo, "p" pot ¡'p-qvr" de doode ¡esulta el I s que ma: (
(' ) (p-qvth*(p*qvr),).q-q
,¡rrc sigue siendo una contradicción-
l.a operación susaitutiva será indicada en el texto mediante un t,¡rr(lntesis anotado a la derecha del esquerna eo el cual se ha efec¡r¡rr,Lr la sustitr¡ción. Sea, por ejemplo, el esquema "p),pv4,, donde \lsrituímos l^ p^rte "P" pot el esquema .'rs". t,a secuencia que r¡'rl'lic:r nuestra o¡er.rciórr se anora asi: 77
I
?).pvq ts ),f svq
(,s / \ p
El sigr.o "ts/0" se leei "7s" sustituye a "p", Ilusttemos todavía sobre las condiciones de la sustitución. La substitución en un me¡o sistema consistente, ¿qué podría significar?, Que una leca puede ser substituída por un esquema cualquiera sin que se altere la tabla de valores del esquema primitivo. Pero, esta condición no puede cumplirse en general. Por eiemplo, la inofensiva subsritución d,e "-p" pot "q" e¡ t'Pq" cambia el carácte¡ del esquema y de consistente que era lo traosforma en contradictorio. En cuanto a la sustitucióo patcial dentto de un esquema tautológico, no respeta una de las condiciones impuestas a la sustitución. Pa¡a ve¡ lo ilegítimo de aquella operación basta el ejemplo siguiente: Susrirúyase e¡ "-Q-P)", esquema tautológico, la letra "p" por el esquema "Poq", peto sólo parcialmente. Resulta:
(f) -((p"q)-p) (f,\ -(p-F-pq) (t,,\ $Ít
-FPq)
\
pv
_q
El esquema (frrr) es equivalente a (f), perb no es ya una tautolo-
gía como silo es "-(p-p)", donde sustituímos parcialmente. Eo una frase: la sustirución parcial no es süsritl¿cidn, No hay que confundir la sustitución de una leua, por ejemplo
"p"
eo
el
esquema
'?)4.1.p-q",
con
el reeflpldzo
que se
hace
a
veces de una parte de un esquerna por otto eqaiualenfe a dicha parte; por ejemplo, el reemplazo de "p)q" por el esquerna "-pv4" en el esquema Crando dos esquemas son ^Íterior, "p)q,l,p-q", equivalentes sus tablas de valores son idénticas; de manera que, comportándose ambos de la misma manera en relación a los valo¡es
ttverdadero" y ttfalso", puede hacerse el reemplazo de uno por otro en un lugar solamente, sin que ello afecte en nada al comportamiento del esquema total, Por ejemplo en: (s\ ?)q. =. -p:):p)q,\. -q puede reemplazarse "p)q" pot "-poq" en un lugar solamente resultando:
(E
) P,-q. =. -Pt ) !-Pvq.v - q esquema equivalente al anterior, El reemplazo, además, se puede hacer en un esquema cualquiera (y oo como la sustitución que se aplica solamente en las tautologías) sin alterar la tabla de dicha esquema. Es evidente que en el esquema merámente consistente: (h') -fw qvr
|
"n
l)odemos reemplaz^r
l^ P^tte "-prq" pot su equivalente "p)4",
,lc lo cual resulta el esquema equivalente: (h'
) P)q.vr tiinalñerite, el reemplazo lo es de una parte compleja, no de una lerra simple, como la sustitución. No hay, pues, posibilidad de coofrrndir reemplazo y sustitución. Ni la hay ta¡npoco de coofuodir reemplazo e inte¡cambio' El i¡tercambio se refiere únicamente a las definiciones y es la opetación r¡re consiste en colocar el definido en lugar de la definición o la ¡lcfi¡ición en lugar del definido, Hasta aquí, el intercambio no es r4reración que tefrgamos nosotros ocasióo de efectuar. Cuando t¡ater¡¡os del cálculo de proposiciones se presentará la oportunidad de cfectua¡ inte¡cambios, Insistiremos rcdavía sobre esto al hablar de rr¡nsfo¡macióo ea el parígtafo 15. 12. Hemos aprendido a reducir un esquema a su forma normal alte¡rrotiva y conjuntiva. Importa indica¡ el empleo de las formas riormales .rr tógica de proposiciones. (1) En primer lugar, como ya lo hemos sugetido, la transformación ,r forma normal es, a su rnanera, un proceso de decisión, Si, por cjcmplo, un esquema ha sido reducido a la forma:
(r) Pq-*-PqrrP-qt snbemos: (1n) qoe.to es una contradicción, puesto que para etlo
.ic¡ía necesario que no pudiéramos hacer verdade¡a ninguna de sus clírusulas; es decir, que cada una de éstas contuviera una letra y lrr negación de esa lera (ser, p. ej., de la forma "pS-F") lo r¡rc no sucede con (a); (2q) que no es una tautología, puesto que basrrr aplicat una combinación que no sea ¡i "VVF", ¡i "FVV", ¡i "vl;v" pat^ que (a) resulte falso; y (30) que es verdadero solameote ¡ rr los casos VVF, FVV, y VFV, Asimismo, si el esquema es conjuntivo, si es, por eiemplo: tl,\ (¡n qv ) (p!*q ) (-pv qv4) r¡rbemos: (1n) qoe oo es ura tautología, puesto que para serlo sus l¡rctores debieran ser tautologías, es decir, contener una letra y la rrc¡¡nción de esa letra (ser, p- ej., de la forma "-yrqvpvr"), lo qte rr¡r sucede con (b); (2e) que no es una conÚadicción, puesto que basta rontr¡ una combinación que no sea ni FFF, oi FVV, ¡i FVF, ni I'l¡v, p^ra que (b) resulte verdadero; y (3a) q"e es verdadero solafn..nrc e¡ los casos VVV, VVF, VFF, y FFV. (2) Fls posible ambién que queramos averiguar específicamente ri un csqucma es o no tautológico. I-o indicado, en tal caso, es I'r¡st-ir¡ su forma normal conjuntiva. Sea, ¡ror ejemplo: (t ) l) \,.1 )t, \.lt tr 7q I
la cadena de transformacione s es la siguiente:
(.') (c" ) (c'tt\ (.'u \ (. " ) (cv') En
-(p-d-Q-r))-(p-r) -( -Q-d-Q-t) )v-(p-r) (p-.1\(q-t)\-prr (pvs) (p"-t) (q'¡-q) (-qv-¡) v-pvt
(pv-p¡d Q'r-py-t ) (-.pu qv-q) Fpo-qv-r),¡, ( Pv -P'¡ qv t ) ( Pa -¡xtr!-t ) (- p! qv- qvt ) (- pv- qv*-t ) el caso de su forma normal (cvr ) , el carácter tautológico de (c) se muest¡a de modo patente por el hecho de ser las cláusulas de (cv'), todas ellas, tautológicas; porque todas comprenden una parte d,e l^ form^ "p'¡-p". (l) Podemos, por el cootrario, estar interesados eo verificar una contradicción; lo que debemos hacer en tal caso es dar a[ esquena una forma no¡mal alternativa. Sea, por ejemplo:
(¿\ p -'\q.q )t. -(p)r) Basta una mínima familiaridad con los signos empleados en (d) para datse cuenta de su carácter contradictorio. Obtengamos, sin embargo, su expresión normal alternativa:
(d'\ (- Pvq) G qvr)-(-@-¡)) (d"\ (-p-q,¿-p* q- q\ qt)p-t
(dttt\ p- p- q-n p- Pr-rv ? q- q-ry p qr-r Todas las cláusutas de esta últinra alternación son ostensiblemente inconsistentes, condición necesaria y suficiente, tratándose de una alternación, para que sea ésta una contradicción. (,4) Hay una importante relac.ión entre las fo¡mas normales alternativas y las formas normales conjuntivas, relación que se expresa mediante la negación de una u ot¡a de estas fo¡mas. En primer lugar, observenros que el manejo de la negación no es simple cuando se aplica a un esquema y que lo más práctico para atinar correctamenre con todo el sentido de dicha negación es buscar la manera rle relegarla a las partes últimas del esquema. Es por este camino que se llega a la idea de reduci¡ un esquema a su fo¡ma normal, puesto que las leyes de De Morgan suminist¡an un expediente obvio para la relegación antedicha cuando el esquema negado es ula conjunción o una alternación. Ahora, queremos atendet al ¡raramiento de la negacióo de un esquema que va es normal. Sabemos que todo esquema puede adoptar esta form:¡. Sea, por ejemplo, el esquerña "pqr'lp-q\ p-r" y veamos cómo formar su negació1. lis nruy claro que todo e! dcsen¡eño correspi;rrrle aquí a las leyes de De lr'torgan. La cadena de t¡aosformaciones es la si6uiente:
(e) -(PqrY l-qt\P-r) (c'\ - ( lqt) - (f- qr) - ( t; -t) (et') (-lN-qv-r) (- lv tr) -t ) (-1"¡t) I tttl
Vemos, entonces, que al relegar la negación de nuestro esquema normal alte¡nativo a sus últimos elementos (es decir, sus letras) se ¡ransforma éste en un esquema normal conjuntivo. La relación entre el esquema normal que se niega y el esquema riotmal que ¡esulta de nega.lo es la siguiente: Donde el primero comprende afirmaciones, el segundo comprende negaciones; donde el ptimero comprende negaciones, el segundo comptende afitmaciones; donde el primero compreode coniunciooes, el segundo comprende alteroaciones; fioalnente, donde el ptimero comptende alternaciones, el segundo comprende coniunciones. No es dificil darse cuenta de que la transformación (e)-(err) es formalmer¡te idéntica a cualquieta otra que debamos hacer para formar la negación de un sistema norñal ahernativo y que responde a las indicaciones siguientes: Niéguense las
letras afirmadas, afí¡mense las negadas; inte¡cámbiense e¡t¡e sí ¡lternación y negación. Por ejemplo, la negación de: (t) pqtnpq-rr ?- qtv p-q-n-pqN- P-qt sc anota inmediatamente así¡
( Ít) (-!v-qv-¡) (-pv -qvt) (-pv qv-t) (- pv qvt) 1p,¡- qv-r)(pvqv-t) Es evidente que, siendo (ft) la negación de (f), la oegación de tle (fr) es equivalente a (f). Por taoto si la negación de la forma normal alte¡nativa de E es idéntica a la fo¡ma normal conjuntiva de /jr, ¡j es equivalente a -Er. Ot¡o tanto cabe decir intercambiando las palabras "alternativa" y "coniuntiva". Por ejemplo, sabemos qñ "-p)q" y "p+q" so.t uno negación del otto. I-a forma no¡mat conjuntiva de "p+q" puede considerarse ,,-p-q",y la negación de csta última es "pyq", esquema equivale¡ae a ,,-lr)q", (5) Encontramos, pues, aquí otro empleo de la forma normal; la negacién de ud esquema puede efectuatse rápi
(t\
-(1,)q )
(f') -Cp\.l)
(Itt\ !-.1 I-a equivalencia de "-Q)d" .'Í$e "p)q" y "-Qr-.1)", su negación:
y ',p-tI" nos pcrnritc deducir la particndo de ,,p\q", formamos
^simismo,
Q\ -Qlt) (s'\
-GI>v-q)
x"\ l,q l,!ago, "¡lq" cs cqrrivalcnte t -(ltq), arc.
(
8r
I
(6) tln empleo todavía más importante de los esquemas normales cs cl qrre encont¡amos en la aplicación del lfamado ptincipio de duatidud, Supongamos q:ue Er y E¡ sean esguemas no¡males (no necesariamenre de la misma especie) y que además sean entre sí equivale¡ltes; podremos entonces formar la oueva equivaletrcia siguiente:
-tl,=-F." Iir' y E"' las ¡egaciones de ambas cláusulas expresadas ahora cn su forma normal. Tendremos entonces el bicondiciooal Sean
también válido:
IiL' :.11.?' cuya sola diferencia con la equivalencia ,,Et=Ez,' es el trueque preciso entre la afirmación y la negación y enre la conjunción y la altetnación. Ilasta entooces la sustitución ei ..EL'=É.2"' de todas las let¡as por sus negaciones para obtener .Er"=E""'cuya diferencia con "Ilr=I¡,r" reside solamente er¡ el trueque preciso entre la altcrnación y Ia conjuncióo. Veamos todo esto en un ejemplo; sabenos que:
(h\
P(qvr)=. pclvl,t rrcgalrJo anbas cláusulas resulta: (ht ) - (p(qvt ))=-(!qv ü) fo¡mando negaciones con la ayuda de nuestra regla de negación: (ht' ) - pt - q-r. (- 1t't - rl ( - lN -t ) =
Sulrstituyendo
"p" pot "-p", "4" pot ',-U', y ,,t', por,,-r" y apli-
cando el principio de doble negación, resulra: (httt ) 8q¡. =Qvq) (pv¡)
Es decir, aplicando el principio de dualidad, probamos, a partir de la disr¡ibutividad de la conjunción respecto de la alternación, la distributividad de la alcernación respecto de la conjuoción. [,]s claro que los pasos (h') y (h,') no son necesarios y que, apIicando directamente el principio de dualidad, podernos fo¡ma¡ tlirectamente, (h"') partiendo de (h). Así, por eiemplo, la e quivalcncia
(i)
r
(Pvq) ftv s)=prr psv qn qs
permite obtener inmediatamente: (it \ (¡qvrs )=(pvr) (lw s) (qvt) (qv s)
p.iocifio de clistribu¡ivi¡lad esre riltimo que más atrás s
ién de estal¡leccr.
31, Iil priocipio de
dL¡alidad se b¿rsa cn el priocipio de ne¡¡ación rle un esqtrclrr ¡ror¡n¿rl; cste úl¡in¡o rcsr¡lta a su vez cle a¡rticar direcrit¡lcnte las lcycs gcncrirlizrrdas (lc f)c \lorgan, es rlecir, las
t¡llto
log í.rc.
I ¡z
(l\ -(F.\E2..... E)=.-E,lo-F'rv.... .r,-E o ()\ -(E,.vE^v...Er)=-8, -8, .'.,,."... -Er l)ichas tautologías, en último extremo' se ¡educen a las dos siguien-
\\ -(pq)=-pv- q (4\ - (Pv q)=-P-q (
l;inalmente, la razó¡ de las leyes (3) y (4) reside metamente en la nn¡uraleza de la conjunción y la alternación. Para da¡se cueota de . srrr razón basta al fin de cuentas con atender a los dos priocipios ri¡quientes:
(a) La conjuncióo es verdadera si y sólo
si sus dos cláusulas lo
si sus dos cláusulas lo son. tls deci¡, la conjunción y la altetnación se comportan de modo r,ltlntico sólo que la ptimera coo respecto a la vetdad y la segunda (b) La alternacióo es falsa si y sólo
' orr respecto a la falsedad. Esto se puede Pooer a la vista mediante l¡r s tablas siguientes:
rn) p,q vv VF FV
FF ( onsidérese
rr
(b) P,s
pc
v
F F
F F
v v
F
Prq
FF
vv FV vv
la tabla (b) y agréguese la correspondiente
obtiene:
tt,'\ p,q I:F FV VF
vv
!,¿
q
F V V
v
,l.,londe resulta: t t'\ (tNqE-Cp-q) I ., cvirJente, que del t \t ) (ut)=-(-p\ -q)
-p-q V
F
I: F
mismo modo se establece:
(irmpárense exhaustivamente las tablas (a) y (b); genetalizando l,¡ l<'lnción en que se encuentran, que de¡ominamos ¡elaci6n de daa' li,l¿¡|, la defi¡imos como aquella existente entre dos esquemas prol¡¡¡ricionalcs cuyas tablas son idénticas excePto en el ttueque Pre, ir,r y cxh¡rustivo que al pasar de una a otra se produce entte los v¡t¡'rcs V y l/. l,il ¡rincipio dc dualidad, cntonces, se funda en la ¡rl,¡r iírn rl¿. rlunlirl¡d ¿ xist< nrc cntrc la conjunción y la alternación83
I
Consideración semeiante a la hecha sobre la conjunción y la alternación puede hacerse sobte la incompatibilidad y la falsedadconjunta. La falsedad-conjunra se describe como la incompatibilidad sólo que poniendo ¡'ve¡dade¡o" allí donde en la descripción de esta última dice "falso", y ',falso" donde dice ¡.verdadero": (c) La incornpatibilidad es falsa si y sólo si sus dos cláusulas son verdaderas.
(d) La falsedad-co¡junta es verdadera si y sólo si sus dos cláusulas so¡ falsas. Podemos, pues, formar las dos tablas siguientes:
(c) p,q
(d)
plq
vv vF
F
v
FV FF
V V
p,q FF FV VF
vv
p+q V
F F F
Y análogame¡te a como obtuvimos (b'), fo¡rna¡:
(d') p,q FF FV VF
vv
prq V F F
'
-pl-q F V V
v
de donde tesulta la equivalencia de dualidad siguiente:
6)
p{q=-epl-s)
Puede mostrarse sin dificultad que el esquema ,.p,, es dual de sí mismo. Para ello ptocedemos a formar de antemano las tablas de "P" y de su esquema dual; éstas son:
PP
P r(P)
VV FF
F V
F V
Es muy evidente que el esquema incógnito ,,x(p),' es idéntico a "p". Aiot^¡do, como en los casos ante¡iores el principio dual como equivaleocia, se tiene:
(6\
P=-¡-pS
Así, también, ''-2" es dual de sí mismo. En efecto, volviendo al procedimiento mediante tablas:
P -P VF TJV Ie¿
! x(P) FV VF
\' "x(l))" es idéntico a "-p", .. decir, tenemos la equivaleocia
de
,lr¡¡rlirtad:
tt
-t)=-ce ) Itudimos ¡ecu¡rir a este procedimieoto para establecgr la dualidad .ntc "plq" y "P+q"' En efecto, siguiendo el método de conf¡ontatablas, se tiede:
r rrin de
t:'J-*a!-
!' q FFV FVF VFF
VVF
vFv ttvv
Ii
*@'q)
vvF
FV
r¡r lo cual se hace osteosible que el dual d" "Plq" es "Ptq"' I)odemos preguntamos también por el esquema dlual d'e "p=q" '
t', q
P, q
?=q
r(P,q)
VVVFFF VFFFVV I;VFVFV t¡FVVVF l l csquema "x(!,q)" es "!a¿q", es deck: t tt\ l=q.=.-e?f'-q) l\1..(li¡rnte ¡ablas, se tiene:
¡,,_q VV VI¡ I¡V I¡ IJ
p
=q -p F V F F F V V V
-q F V F V
-pt¡-q F V V F
-Gtn-q) V
F F V
Los ejemplos, habrá¡ mosrado ya claramente que E. es dual de l', si y sólo si sustituyendo todas las lettas de E. por sus negacior,.. y negando E, el esquema resultante es equivaleate a E¡' De ,u,,rr"ra más formal
.r y sólo si: ('t\ '"
ti t 0,,q, t'¡r¡
|
t
"82(p,q,."'. ,,.,s)"
es dual de
"ELQ'q"""
s)"
....... s )--E 2(?,-q, '.."., -s)
icular:
-(-p)
t,-(-(-p))
l,q,-(-p,-q)
¡,q
-Gp -a)
t,lq -?Pt-q) t,q..-.-(-pw-q)
l.rr rclación dc dualidad es a v€ces rclleia, sienpte simétticd y
8rl
a
\¡eces t¡Lnsitiad. Es deci¡: (a) a veces el dual de ..E,, es el mismo
'?" (reflexión); (b) si "E"" es dual de ,,8,,,, .,E',,, es dual de "E'¡" (simerria); y (c) a veces, si .,Er,, es dual de ,,Er', y ,,8",, de "Er", fo es "E.,, de ..8r" (transitividad). Supongamos po¡ eiem_ plo que haya dualidad ent¡e "EL" y ..E2" y que sus tablas sean: P'
s
E, (p,q)
vv
FV FF
s
vv vF
v v
vF
P'
FV FF
F V
EJP,q)
F v F F
La observacióo de dichas tablas hace evidente que la dualidad es
simétrica.
Es claro también que en el ejemplo ante¡ior no hay ni teflexión ni t¡ansitividad. Sin embargo, resulta fácil formar un esquema que sea dual de sí mismo. Bastará para ello una tabla de valores que
comprenda en su primera mitad, en cie¡to orden. valores contra¡ios de los que posee la segunda mitad en el orden inverso. Es fácil, por ejemplo, ver que las tablas:
s
P'
E,
(p,
vv
v vv
vvF
v Fv
F
v F
v v v
F FV
F F
FF
v
"(P,q,¡)
F
ts
EJf,q)
E
V FF F VV
FVF
q
VF Ft/ FF
F F
I
P'
vv
v v
VF FV FF
P, q,
s)
v F
Io so¡ de esquemas duales de si mismo, es decir, tales que: e, (P,q)=-E,G!, -q) E, (p,q )=-F,.- (-p, -q) E, (p, q,r)= -8.'(-p, -q, -r) La reflexión, en el caso de l¿ afirmación y la negación se explica de estarn.n..". Fin^lrn.,rtel observemos que en los casos de
l86
hay también ttadsitividad y que s6lo bay hd,lsitiuiddd 'cflexión ( dndo bdy rcflexión. La simple consideración de (9) basta para formulal como un crircrio de dualidad el siguiente: Dos esquemas normales idénticos cxcepto en que uno es alternativo y el ot¡o conj rntivo son fnutuaurcnte dr¡¿les. Supongamos que tales esquemas fueñn "pqv'Fv-qf" \, "(pv d G pv) (-qvr)". APlicando (9), la dualidad entte ellos exigilil que se cumpliera: ( to) pqv-W-r=- ( (-?v-q) (pa1) (qv4) ) Pero, basta aplicar el principio de negación de un esquema nornrll para transforma¡ el segundo miembro de (10) en un esquema i¡lóo¡ico al primer miembro. 14. Importa iattoducir la distincióo entte tlso y mencíóa. Flagámoslo .n este lugar, empezaodo cotr la considelación de los llamados onbrcs ptopios, Decimos, por ejemplo, de Sócrates que es un filósofo. En este caso, hablamos de Sócrates, y hablando de él lo rntnciooamos mediante su nombte personal. Para esto - para menr'ionar a Sócrates - hacemos uso de su nombre, no de su persona. A Sócrates se le -menciona hablando de é1, no se le usa; lo que se
r¡:;t hablando de Sócrates, es su ¡ombre. Habla¡¡do de Sócrates, se rncnciona a Sócrates y se usa, o se emplea, el nomb¡e de Sóc¡ates. (.)ucdan bien a la vista, entonces, las funciones distintas de usar v rrrcnciodar. I)ero, supongamos aho¡a que estamos irteresados en el nombre ,lr Sócrates. Podemos decir, hablando de este nombre, que consta de ¡rcs silabas. En este caso, oos hemos distanciado del filósofo Srir:r¡tes que nada tieoe que ver con sílabas en el sentido de que mrrste de sílabas o esté formado por sílabas. Al deci¡ del nombre ,lc Sócrates que es trisilábico mencior¡amos un objeto con la frase "t l nomb¡e de Sócrates". Es esta frase, ahora, lo que empleamos o r¡r,rrros. I-a distinción edtre uso y mención se desplazai lo mencio¡¡¡rLr cs un nombre y lo usado es u¡ nombre de ese nombre. Supongarrs (lue, en correspondencia con los ejemplos empleados pooemos l,r: ¡roposiciooes siguientes: ( l\ Sócrdtes es lil6sofo, |,).\ .\ócrates es ttisilábico, ll;rsra Ia lectu¡a de estas dos proposiciones para darse cuenta ,1, r¡uc Irr ¡rrimera dice algo de Sócrates en tanto que la seguoda dice ,rl¡r' ilcl nombre de Sóctates. Sin embargo, como no hay ninguna dilrr¡rrcin visible entre el sujeto de arnbas, podriamos inclinarnos a B7
l
(i'¡
Sóctates es lil6solo y trisilúbico la t'conclusión" todavía (si posible) más absurda: (4't Algrnos lilúsolos son bisilúbicos. Resulta, entonces, evideote que impota señalar la difere¡rcia o a fo¡mular
er¡tre los sujetos de las ptoposiciones (1) y (2), erpresar oediante algún signo que mientras en (1) se menciona a Sócrates en (2) se meociona el nomb¡e de Sócrates, Se conviene e¡ indicar esra diferencia poniendo e¡r¡e comillas el ¡ombre que no se usa sino que se mericiona. La proposición (2) se anota: (2t \ "Sócntes" es t¡isilábico, Cuando, entonces, un oombre aparece entte comillas se eotiende que se lo está mencio[ando, no usando. Supongamos ahora que yo digo de ..Sócrates" que es trisilábico. Estamos de acuerdo e¡ que en este caso estoy mencionando un nombre y usando el nombre de ese aombre. Abora bien, puede ocurrir que sea trecesa¡io me¡rcionar el nombre de ese oombre, como ocur¡e cuando digo: (5) Al decir qae ..S6ctotes" es ttisilábico esroy nenciondrrdo ul nombre y usando el nombte de ese nombre Esta proposición se puede ransfo¡ma¡ er: (J'\ Al decir q e ..|ócflles" es t silúbico estoy ,rrenciondndo d "Sóctates,' y usatzdo el nombte de ,,|óc¡ates',. Es muy claro que la expresión ,El nombre de .¡Sócrates," menciona el nombre de un nombre y que - de acuetdo a nuesúa convención - puede esc¡ibi¡se así: ,.,,Sócrates"',. Es decL, (5) se traqsfo¡ma e¡: (Jt,)Al dech qte ,,|óctdtes', es nisilóbico estoy menciotatdo a "S6crdtes" y tsando " "Sdcrates" ", Vamos a reescribir los dos pár¡afos con que se inicia este núúe_ ¡o, ayudándonos de la convenc.ión que hemos establecido para distingui¡ enffe uso y mención:
... Decimos, por ejemplo, de Sócrares que es un fitósofo, En este caso hablamos de Sócrates y hablando de él lo mencionamos mediaúte "Sóc¡ates". Para esto - pa¡a mencionar a Sócrates - hacemos uso de "Sócrates", no de Sócrates. A Sócrates se lo me¡rcioda hablando
de é1, no se lo usa, Lo que se usa, Lablando de Sócrates, es ,.Sóc¡a_ tes". Hablarido de Sócrarcs se menciona a Sócrates y se usa, o emplea, ¡¡Sócrates". Quedan t¡ien a la vista, eritonces, las fuociones distintas de usar y meociooar. Pe¡o, supongamos ahora, que estamos inte¡esados en..Sóc¡ates,,, Podemos decir, hablando de ..Sóctates", que consta de tres síla_
Ise
bas. E¡ este caso, oos hemos distanciado de Sócrates que oadatieoe que ve¡ con sílabas en el sentido de que consta de sílabas o esté formado de sílabas. Al decir de "Sóc¡ates" que es risilábico mencionamos un objeto con el noñb¡e t"'Sócrates" ". Es este lnombre, ahorat lo que empleamos o usarBos. La distinción entre uso y meocióo se desplaza: I-o es ¡'Sóc¡ates" y lo usado es tt ttsócaates" tt. mencionado
Eo esta distinción entre uso y mención (que se entiende evideoa toda erpresión significativa) debe ve¡ el lector la razón del ftecuente eúpleo de cornillas que se hace en el te:to. Cuando, por ejeoplo, se dice que "o" es u¡a cooectiva biproposicional, las comillas empleadas hab¡án sido instintivamente interpretadas por el lector en el seotido cor¡ecto. Se ponen cooillas e¡ torno a ¡'o", en torno a ttno", en tomo a ttyt'para indicar que se está mencionan' do a estas palabras, no usándolas. Lo mismo ocu¡re cuando se men' ciona un esguema; cuando, por ejemplo, se dice que "pq)q" es rautológico o que "p" implica "pvq" o q'ue "pq" es equivalente a "qP", las comillas empleadas indican que se menciona lo entte temeote
ellas comprendido. La disiiricióD que estamos introducieodo puede establecerse también en términos de signo y significado. El empleo no¡mal de un signo o de un complejo de signos permite distinguit inequívocamen!e entte uso y mencióo: lo usado es el signo, 1o mencionado es el significado, Ahora bien, como es oecesa¡io a veces hablar de signos se rcquiere, en tales casos, de signos cuyo significado esté constituído por los signos de que debemos habla¡. El expediente r¡ás obvio es agregru al signo que úormalmente usamos alguna difercncia gue indique que ya no se lo usa sino que se lo menciona, es rlccir, que ya no es un sigoo sino uo significado. Por ejemplo, para rcferirme a la proposición con que se inicia este parágrafo debo l)oner, po¡ decirlo así, fuera de juego el significado de la proposición; lo que debo significar es la dicha proposición y no lo que está significa. Debo, por lo taoto, emplear un signo o un cornplejo de signos para significar La primera p¡oposición coo que se inicia este parágrafo. Lo he hecho ya hablando de ella como "la primera proposición con que comienza este patágrafo", es decir, mediante una fírrmula circunloquial. Sin eobargo, el modo más específico de mencionar dicha proposición será éste: La proposición "Ioporta introtlucir la distrnción entre uso y mención" con que se inicia este ¡nrágrafo. Tenemos entonces: ((t\ Inporta introdlcir la disti¡ción errtre /so y mencióa
8el
(7) La prcposiciíñ "Impoúd inftodtci¡ Ia distinción
ent?e aso y mención" con que se inicia este pa íEralo, En (6) tenemor una proposición en que se habla de la distinción eñüe uso y mención; en (7), en cambio, tenemos una frase, no una proposición, eo que se designa la proposición ,.Importa introducir la distinción entre uso y mención", En (6) usamos la proposición que mencionamos en (7),
Cuando se descuida la distinción entre uso y mención se cor¡e el riesgo de caer en una especie de paradojas que sori el escándalo
de los lógicos, peto que en general resultan harto inofensivas. Como e jemplos podemos indicar: (A) La palabta aguda es gtate, (9) La palabra t¡isilíbica es pettasilábica. (lO) La lalabru letde es negta, Luego de las indicaciones que hemos hecho, el lector estará en condiciones de salir rápidamerite de la conr¡adicción que aparentemente üaen estas proposiciones. Para ello, basta con el expediente gráfico de anotar: (at \ Ld pdlabrd "aguda" es graue, (9'\ La pdlaha ',trisil.íbico,' es peitasilábica. (L0t) La polabo "ue e" es negrn, Frente a una proposición corno (8) estamos en condiciones de distinguir acertadame[te: Siendo su sentido el desarrollado en (gt),
la proposición (8) dice algo de una palabra, dice de ta
palabra
"aguda" que es grave, lo que es verdadero y en absoluto paradojal. Si, en cambio, la proposición (8) dijera algo de la caregotí^ gt^matical formada por las palabras agudas o si dijera algo de alguna específica palabra aguda, entonces sería falsa y en modo alguno paradoial.
La distinción ent¡e uso y mencióo puede emplearse pata inrroducir la idea de "niveles de lenguaje,' que eri opioióo de algunos permite resolver cie¡ta especie de paradojas. La idea de ,.niveles de lenguaje" estA y^ a la vista en una serie ¡elaciorial como la erar¡rinada eat¡e lo ¡ombrado (Sóc¡ates), el nomb¡e de lo nombrado ("Sócrates ") y el nombre del nomb¡e de lo nombrado (.. .,Sóc¡ates " ") Es claro que esta secuedcia puede seguirse sin que v€amos en parte alguna un impedimento teórico para ello; podemos entonces menciooar el nombre del nombre del nombre de lo nombrado (......Sóc¡ates"t"'), el nombre del oombre de... etc., etc, I)e esta maneta es dable imaginar que el lenguaje se dispooe eri planos o niveles. Eo un primer plano tendríamos el lenguaje que usamos para mencio_ nar objetos y relaciones de toda especie, con la condición de que Iqo
sean no-ling{iísticos. A este lenguaie de nivel más inferio¡ da¡íamos el nombre de "lenguaje-objeto". En el oivel siguiente te¡dríamos el lenguaje que usamos para mencionar el lenguaje-obieto y para referirnos a él mediante el juicio y la infe¡encia. En el siguiente, el lenguaje que empleamos para mencionar y referirnos al lenguaje con que meociooamos el lenguaie-objeto, etc. Designando con Lo , I'r, Lz, etc., esta serie de niveles tendríamos una ie¡arquía de lenguaies que podríamos concebir corDo las sucesiones de que hablan los matemáticos:
Lo,
L|,L.,
Lo, .,,,.,.,.,..,..
Considerando dos lenguajes sucesivos de esra ierarquía -L¡, L;a1- diríamos del más alto en este rango que es el metolerrglafe del aoterior. Es claro, entonces, que si aceptamos o cooveriimos que al refe-
rirnos a un lenguaje nos sicuaños en su correspoodiente metaleoguajc, una proposición - por efemplo - no podría referirse a sí misma; ,licho de ota mane¡a, ¡¡mencionar" no es verbo reflejor cada vez que (lue se hace mención de una proposición se la menciona usando alguno de sus nombres y (si se dice o itzga algo de ella) usando tlguno de sus nombtes en otra proposición, Tal co¡side¡acién mues(ra un camino por el cual podemos salir de patadojas como la de I.i¡iménides:
Epinétides, el ctetense, dice qae todos los ctetenses mie¡ten, Si miente, dice le aetdad; si dice la ae¡dad, mie¡te,. I-a co¡sideracióo que haríamos sería ésta: Cuando Epiménides ,lice que todos los cretenses mienten, está hablando de cierta esper ic de proposiciones (las proposiciooes que ¿firman los cretenses)
cstá, puts, en metalenguaie ¡especto de tales proposiciooes, de rrirnera que la proposición que formula sobre ellas debe ser de esl,('cic dife.ente. Sin embargo, la proposición del cretense Epiménides una afirmacióo de un ctetense; no es, pues, de especie diferente. l.rrego, la proposición del cretense Epiménides no cumple con la , .¡xlición de ¡o referi¡se a sí misma; y por no curnplir tal requisiro "s que debemos tech^z^tla como una proposición mal fo¡mada o no
(s
r
i¡¿n
ificativa.
' ftsta paradoia s€ encuent¡a en la epís¡ola de San pablo, .'A Tito", cap.t, ll l: "Dijo uno de ellos, propio profeta de ellos: Los cretenses, siempre
¡re¡ri¡osos, malas bestias, vient¡es pe¡ezosos. Este testimonio es verdáde,1.¡o; por ranro, repréndelos duiamente, para que sean sanos en la fé,..," lrn tr¡ramienro notable de la solucióo mediante niveles de lenguaje de "*r,r cspecie de paradoias se encuentra er'',Revista Chibna de Fitosolíd', !ol.v,N0l: "AstEctos l6ndtes de ateurds pa¡d¿oi.ts scná¡t ic as",Gerold sr
{'l'
q1 l
De ¡odos modos, indepeodientemente de la existencia o no existencia de las proposiciones que se refieren a si mismas; independieoteoente de la doct¡ioa de los niveles del lenguaie y de la idea de una cierta antítesis eotre uso y mención, oo cabe duda de que esto puede decirse con seguridad: La proposición "Todos los c¡etenses mienten" ioterptetada estrictamente no puede en absoluto expresar un penshrrrierrto que tedga uo cretense. Y como las ideas que hemos bosqueiado concueÍdao con ello, podemos considerarlas como unas que dao buena cuenta de las paradojas de esta especie'r 35. "Inleúr" o "itÍeteacia" soo ¡ombres de una operación lógica que consiste en obteoet, a Partir de una o v'¡¡ias proposiciones su_ puestas ve¡dade¡as, una proposición que en tales condiciones lesulta necesa¡iamente verdadera. La o las proposiciones de que se Patte y que se suPoneo Yerdade¡as recibe¡ al nombre de ptemisds; l^ pno-
posicióo inferida recibe el oomb¡e de cancl"si6r' Designemos la o las premisas media¡te el sigto "A" y 1a conclusión mediante "8"" fo¡memos el condicional de antecede¡te "4" y consecuente "B"' El concepto de infe¡eocia aPlicado a "A)8"' si9rifica eotonces que "A" exige pata "8" el valor "y"' En otras la asigoación palabras, se excluye la combioación "VF" como urla que acepte el condicional "A)8", lo cual significa que dicho coodicional es tautológico o, como se dice taobien, es wta implicaciún' Si "8" se inliete de "4", el condicionú "A)8" es tautológico; si y "A)8" es un condicional tautológico, "8" se inlie¡e de "4"' Pero, hay que advertlr aquí sobre una grave confusión: no basta el hecho de ser "A)8" un condicional tautológico para que podamos d fhfidr "8". El concepto de inferencia supone además de la tautoloque el concePto de tautoCía "A)8", el valo¡ "V" de ",4" en ta¡to logia aplicado "A)8" exige solamente que se excluya la combina^ ci6¡ "VF" de sus cláusulas; Por lo @nto' dado solamente un condicional tautológic o "A)8", el consecuente es susceptible de los valores "y" y "F",Pot ello, el principio que importa en este lugar debe formularse asit "8" se ínliere de "A" si y sólo si "'4)8" e s un co¡dicional tautológico o uoa implicación-
' Bueno será advenir aquí al lectot sobre un descuido del texto en lo ¡eferente a distinguir cla¡amente eotle üso y mención, Se t¡ata de nume¡osos pasajes en que mencionamos expresiones en lugar dc simplemente usarlas' La maneta de obviar rodo posible equívoco co¡siste en ceñirse á las col-
venciones simbólicas y dgteSar üna partícula de buena voluntad. Po¡ eiemplo: habtando en tal o cual pasaje del esquema E, etrcerra¡nos esta última erpresión entte comillas. lmpropiamedte, entonces' decimos: "Vamos a t¡atar del esquerna '8"'. La br.rena voluntad que solicitamos al teccor pernitirá que lcn: "Vamos a tratar del e squema cuyo nombre es 'Fl'," etc.
le2
Eo lógica proposicional todo el problema de averiguat si "IJ." se infiere de "Er" se ¡educe er¡tonces a investigar el ca¡ácte¡ del condicional "Er)82". Si dicho condicional es tautológico, "IiL" será una premisa de "E1" o "82" una conclusión de "Iir ",. esto quiere decit - como lo hernos indicado ya - que la verdad de "I!r " cxige la verdad de "8"". Coosideremos, por eiemplo, los problemas:
(a) ;se infiere ..p't de ..pq"? (b) ¿Se infiere "P" de "Pvq"?
(c) (d)
infiere "ptq" de "p"? ¿Se infiere "pq" de "p"? Aplicamos algún procedirniento de decisión a los esquemas (^) pq ) p; (b'l ?vq)p; k\ p).pvq; (d) p)pS. Por ejernplo, mediante ta. ¿Se
blas ¡esulta: p,
q
pq)p
Pvq')P
P)
Pvs
P)Pq
v
vv v vvv vvv vvv FVV vvv vvv VFF FVF FVV FVI) V FF FVF F VF FVF FV F Es decir, sólo son implicacio¡es los co¡dicio¡ales (a) y (c); lo que significa u¡ra respues¡a afi¡mativa solamente en el caso de los problemas (a) y (cl El procedimiento más apropiado es el expuesto en el parágrafo 28. Es eviderte que basta e[co¡trar uo valo¡ "I" de "Er)Er" para detener el análisis y dar una .espuesta oegativa al problema. Ocu¡te a veces que "Er" es üo esquema verdadero sólo para una combinació¡ de sus letras. Ahora bien, como el solo caso ed que "Br)Er" es falso es aquel en que "Er" es verdadero y "Er" falso, entonces, basta con averiguar que ocufte con ttEr" en el único caso en "Er" es ve¡dade¡o. Es evidente que si "Er" es eotonces verdadero, "E t)E2" es un condicional tautológico y '?r" sc infie¡e de "E\"; en caso co¡t¡ario, no hay infetencia. El proble-
v
F FV FF V
ma (a) se p¡esta para una simplificación como ésta; podemos procedc¡ del modo siguiente: pq>?
)v v)v vv
v El aotecedente "p4" es verdadeio solameÍrte en el caso VV, caso en el cual es verdadero asimismo el consecueíre "P", Luego, "Pq)p" es una implicación y "p" s. iofiete de "pq", e1
l
Análogarnente, Puede ocurrir que el consecuente sea fálso Para sólo una combioación de sus letras; se velá en tal caso lo que ocu_ rle con el antecederte para la misma combinación: si es falso, "EL)E," es tautológico, es decir, "Er" se iÁfiere de "Er", en el caso contrario, no hay tal inferencia. Una simplificación como ésta puede efectua¡se en el caso del problema (c); se anotará: P),
Pv
F ).
FvF
c
F)F v El consecuente "piq" es falso solamente en el caso de la combinacióm "FF", en el cual es falso asimismo el antecedeote; por lo t^tto, "?),p\q" es un condiciorial tautológico y "pvq" se irlliete de enteoder el condicio¡al - la ir¡te¡' que pretacióo material de se habló en el parágrafo 16 - debemos aceptar también para nuestta noción de infetencia uo sentido tal que sean válidas las leyes siguientes: (1) Si "E¡" es tautológico, eotonces, cualquiela sea "8r", "É," se irifiere d,e "8r", (2) Si "EL" y "Er" son tautológicos, entonces, "Er" se infiere y "Er" se infiere de "Er". Es decir, no es oecesaria una relación formal entre t(Er." y "Er" para que erista enre ellos una conexiór! inferencial. En (a), por ejemplo, la conexión inferencial se establece en razón de una ostensible relación e[tre los esquemas de que se trata (la sola interpretación que hace a uno verdadero hace vetdadero al otro). Por el cootrario, un esque¡na como "-(p-p)" se infiere de otro cualquiera - pot eiemplo "q)t" - ao porque haya lelación entre la inrcrpretación de ambos sino me¡amer¡te potque el condicional "q)t.)-(p'p)" es tautológico. L¡ taz6¡ de esto es el carácte¡ de "'(p'p)", y no una relación (no hay ninguna) enne este esqueña y "4)t". Como se ve, la antítesis "material-formal" se extieode al dominio de la inferencia. Importa terierlo preserite para evitar perpleiidades, literarias por lo demás y eo modo alguno genuinas,* Hay un principio de ransitividad en la conexió¡ inferencial, principio que, aunque obvio, debemos indicar: Si "8." se infiere de "Et" y "8"" se infiere de "8r", entonces, "/J." se infiere de "8r", La conexión inferencial eore "E1" y "Er" significa que si suponemos "Er" verdadero debemos aceptar la verdad de "8"",
A taiz
d,e nuestra madera
' Ilste es un párrafo a que me oblis¡ el estilo lúdico demasiado generali'z¡,lo cn los textos y escritos de lógica simbólica. l'r¿
y como algo idéntico implica la conexión i¡ferencial entre "Er" y "l;,r", es claro entonces que si suponemos ttEr" verdadero derlcmos aceptar como verdade¡o "83", es decir, debemos aceptai la c()nexión inferencial ena.e '¡Er" y "8.", Digamos, fioalmente, que la operación inferencial comporta como un r,omento esencial la sepAT,ciór, de los elementos o cláusulas del t ondicional tautológico "Erl82". El objeto de esta separación es la afirmacién independiente del consecuente, que pasa a constituir l,r conclusión. Al inferir procedemos aceptando que está a ¡uestra
rlisposición, o de todos modos que es lógicamente anrerior a la o¡cracióa inferencial, un principio de fo¡ma condicional - iusraÍienre cxl)resado en aruest¡a inplicación "Et)82" - cuyo antecedente t omprende como caso suyo la premisa, o premisas, que en el caso ¡rfitnramos. Por ejemplo, al efectuar la inferencia: I'ed¡o ud al cine y Juan ud dl cine luego, Pedto u4 ol cine lo lracemos a partir de la implicación "pq)p" cnyo antecedefite ricne la forma de nuestra paedisa, es decir, comprende a esta como r¡n caso suyo, Siendo afirmada la o las premisas, tenemos de¡echo ¡ :rfirn¡a¡ separadamente el consecuente - efi íuestro eiemplo, la ¡'rrrposición "Pedro va al cine". Podemos formular este ptincipio It inletencia de mane¡a general, establecieodo que la ptemisa ,,8r,,, ,lntla la ley implicacional "Er)E2" permite afirmar la conclusión "1i,", es decit, desligu "8"" de la irnplicación "E,)8"". Expresarnos el desligamieoto así: ,a | )82 B,
E,Las definicio¡es establecidas para las distintas conecrivas per, nritcn formula¡ toda una serie de principios inferenciales que inrnei¡tamente detallamos: (^\ Si "pq" es verdadero, se infieren de ello "p" y "q" corno l,roposiciones verdaderas. Porque la ve¡dad de una conjunción exige ,l
rlr¡c ambas cláusutas sean ve¡daderas.
(b) Si '?vq" es falso - es decir, dado "-(pyq)" - se infieren de ,'-¡t" ,'-U,', , "llo "lt" y "q" como proposiciones falsas - es decir, I'orque la falsedad de una alte¡naciót exige que an¡bas cláusulas rcnn falsas. (c) Si '?lq" es falso - es decir, "-(?lq)" vetcla,le¡o - se infieren ,lc cllo "y'" y "4" conro p.oposiciones verd¿rclcras. l)orqrre !* fnlse,l¡¡rl rlc una inconr¡atibilidad erige quc arnbas clátrsrrl¿rs scan vcrcla-
,l¡.¡¡s
,)5 I
(d) Si '?l¿f" es verdadero, se infieren de ello "p" y "q" como "-p" y "-q". Porqte la verdad de la f:rlsed¡d-coniunta exige que ambas cláusulas sean falsas. (e) Si "p)4" es falso - es decir, -@)q) - se infiere de ello que "p" es vcidadero y "q" falso. Porque la falsedad de u¡ condicional cxige que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso(f) Si '2--n" es verdadeto y "p" verdadero, se infiere de ello q\\e "q" es ve¡dade¡o. Porque en caso conttatio se desruiría la
proposiciones falsas - es decír,
primera premisa.
(g\ Si "p)q" es ve¡dade¡o y "q" falso, se infiere de ello que "p" es falso. Porque en caso contrario se destrui¡la la primera ¡remisa.
(h) Si '?=q" es verdade¡o y "p" verdadero, se infiere de ello "q" es verdadero. Porque en caso cont¡ario se dest¡ui¡ia la
<1oe
¡rimera premisa.
(i) Si "p=a" es verdadero y "p" falso, se infierc de ello que "g" es falso. Porque en caso corit¡a(io se desttuiria la primera
Premrsa.
(j) Si "1,=4" es falso y "p" verdadero se iofie¡e de ello que "4" cs falso. Porque en caso conttario se desuuiría la ¡rimera
premisa.
(k) Si "1=q" es falso y "p" talso, se infiere de elto que "4" es falso, Porque en caso contaa¡io se destluiría la primera ptemisa. Iis fácil ver la posibilidad de inferir tápidamente, eo ciertos casos, cuando se conoce el valor de un complejo ptoposiciooal y el valot de una parte suya. Por eiemplo:
(1) Dada la vetdad de "P" y de "plrl,p)t" resulta iomediatamente que "4" es falso y "¡" verdadero. Porque ambas cláusulas de "Plq,P -'-,t" sori vcrdaderas. (2) llada la verdad ,Ie "1¡" y la falsedad de "pl4.p)r" resulta inrnetli¡¡.ta¡nente la verdad ele "qv-r", Porque a [o me¡os uoa de las dos cláusulas -"l,lq" V "1,>t" .es falsa. Se puede decir ¡ambién que d. "2" y "-(flct.?i-¡)" se infiere "r)4". (l) Dada la falsedad tle "p" y l" verdad de "l,lq,P)¡" na.¿.a se infie¡e dc ello. (4) I'inalmente, la falsedad d. "P" y de "plq.¡Dt" constituye uoa idconsistencia; porque si "1" es falso, "plq,p)t" es necesa.iamente vercladero, como lo mue.stra el anólisis siguieote: ?lq f>¡
I:lq.I:)t |,,|, t'
l'rr
o también, süPonierdo que ambot' "p" y "plC.p)r", sean faltos' podemos
erplicitar la conrailicció¡ a¡í:
'P -@lq,P)t) 'P -((Pq) -(P -, )) -P (Pq"P't) -
PPcv-PP
-r
lo que muestta que las supuestas premisas son im; osibles. 36. Supoogamos un esquema proposicional E, en el cual intervenga de una manera cualquiera la parte Er. Es evidente que esta parte sólo contribuye a los valores del esquema E mediante los valores que ella asume para cada una de las combinaciones de sus let¡as. Por lo ento, cualquiera sea El si sus valores coinciden exactamente con los de E, para todas las combioaciones posibles de las letras, podemos reemplaza¡ E, por E, en E sin que los valores de cste último esquema sean modificados por el reemplazo. Podemos formular este principio de modo menos literario conviniendo e¡ tlesignar pot "E(Er)" un esquema E en el cual E' es parte' Coo tal convenciirn, dicho principio se reduce a lo siguiente: Si los valo¡es de E, coinciden con los valo¡es de E' los valores de E(8.) - cualquiera sea E - coinciden con los valores de E(Er), O, más formal mente: Si "Er=Er" es tautólogico, "E(Er)=E(E")" es tautológico. Lo dicho se¡á aú¡ más evidente si oos ayudamos coo un ejemplo. Sea el esquema proposicional:
Fq.).-P,
q
Sabemos que "pvq" es un esquema proposicional cuyos valores coinciden qractameote con los valores del esquema "-(-p'S)". ( omo parte del esquema "?v5,,-,-p=q", el esquema "pvq" ^Potta cfltonces exactamente los mismos valofes que "-?P-q)"; Pot lo cual resulta que los esquemas "pvq.),-p=q" y "-Cp-q))'-p=q" coinciden embién exactameote e¡ sus valores. De esta especie es lo que dice el principio fo¡mulado. Cuando dos esquemas - como e¡ el caso de "p\q" y "-(-p-q)"I'oseen los mismos valores, el bicondicioaal que los comPrende como cláusulas es ¡autológico; a un bicondicional tautológico, o siempre vr:rdadero, damos el nombre de equiualencitt. Así como la implicación cs la pieza maestra de la irrferencia, la equivalencia lo es de la Irtttslotmaci6n. l\4uchas veces, en lo que llevamos expuesto, hemos tr:rnsformado mediante teemplazo. Así,, por ejemplo, en Ia secue¡rcia ,lc normalización: l, )q,r ) p (-
¡v q) (-rv
P)
97
I
-P-ta-PFq-¡vSP -p4aq-ñPq pqv-P-rvq-t
heoos realizado una cadena de ransformaciones mediante el empleo rácito de las siguientes equivalencias: (r\ P>q.=' -Pvq
(2) t)p,=-rltp
(1\ Gptq) (-nP)=.-P-te'PPvq-N qP (1\ -P-ñ'PF q.raqq, =' -P-N q-n Pq 6\ -P-* q-m qP,+.-P-ta4-ñPq (6)' P-n q'm Pq, =. Pq'r - P4v q -/ Sabemos ya distinguir entre teemplazo y sustitución'
Importa pot está Aunque también sabe¡ hacerlo entre ¡eemplazo e interca"tbio'
delaote la exposición del cálculo ProPosicio¡al, hemos visto ya que es posible defi¡ir una expresión conectiva en términos de otlas conectivas. Más adelante se introducitán las deÉniciones: pq=
-(py-s)
(Def.)
(Def.) p)q = -p\q ¡esulta de colocar que una transformación Ahora bien, toda vez pot eiemplo, "-(-po'q)" tn del definido la delinición en el lugar que la diremos U" "p)4"el lugar de "pS" o "-pvq" en el lugar El iotertransfo¡mación se lleva a efecto mediante un inte¡cambio' que y se cambio obedece a un principio aoálogo al del reemplazo, formula así: Si E, se defi¡e mediante E' el esquema "E(Er)" es ' equivalente' al esquema "E(Er)", Ciertamerrte' Puesto que el definido es sólo ora manera (más simplificada) de a¡otar ta defi¡ición se debe decir que "E(8")" es ot¡a manera (más complicada) de anotar el esquema E(Er), Sin embargo, no hay peligro, aunque si impropie dad, al expresarse en téÍninos de equivalencia.
37, Formula¡emos en este lugar algunas leyes de la equivalencia y la implicación. Son de sob¡a ostensibles; Pero daremos brevemente' en alguoos casos, la razón. (a) Todo esquema se imPlica a sí mismo. Patiendo de la tautologia "p)p" y efectuando la sustitució¡ (E/2) tes¿ka: E)E, (b) Si "E¡" es un eslluema tautológico, eoto¡¡ces, cualquiera sea
)Er" es uoa irnplicación. Porque dado el carácte¡ de "E"" es imposible obtener la combinación '!F" para "EL)82", (c) Si 'E1" es contradictorio, entonces' cualquiera sea "E"", "EL)E2" es una implicacif¡. Potque, dado el carácter d,e "Er" es irnposible obtener la combinació¡ 'YF" para "Er)82".
lqs
Si "Er" se infie¡e de "Er", e¡tonces "-Er" se infiere de "-tlr". Porque, siendo "E, )Er" una implicacióo, es imposible obte,,.. l^ combi¡ació¡ '!F" d,e las cláusulas; pero esto quiete decir ,¡r," cs imposible obtener la combinación '9F" de las cláusulas de "-ll,)-8r", Siendo ello asi, "'Er)-Et" una implicación y "-4" -,. infie¡e ó,e "'Ez" (c) Si "E"" se i¡fiere de "E¡" y "8"" de "E¡"' eÁtonces' "ti," se infiere d.e "Er"'Porque, siendo "Er)F," y "Er)8"" ,,u¡'li.."ioo"", el valor V d,e "Et" exige el valor V de "E""' el , r¡¡¡t exige el valo¡ V de "El', Luego, es imposible obtener la coml,r¡¡rción VF del esquema "r'1)8." que, en colsecuericia, es uoa (,1)
r
rr¡rl icación.
esquema es equivalente a sí mismo, es decir, '.E =E" r¡na equivalencia. (g) Si "Er =E." es una equivalencia, entonces, "E2=É1" es una
(f) Todo ..
,,¡rivaleocia-
(h) Dos esquemas tautológicos son equivaleotes'
(i) ..
Dos esquemas contradictorios son equivalentes'
(i) Si "E,=Er"y "8"=Ei'
soa equivalencias, entooces'
"Er=8""
'
r¡na equivalencia.
Agreguemos a estas leYes una serie de equivalencias que importa
tc cr
Presente coo
el fin
de
estar en condicioaes de üansfotmar un
r \quema:
| )
7t. --E=E - EE=E 3t. EvE=E
*?=P
2t
l,l, =P
't. l(lnq)=p
;
I
t, ( l¡v
q) (Pv¡).
lr'l lqa Pñ
..
''
@vt)=P
.v Pt ,=P
4'. E,(E,vE")=E, 5t. E, (E,vE,) (E vE.)...(E,vEolE, 6t. E,vE, E;E 7'. E rvE rErvE 'rEsv.. 'vE 1E¡=Et '
esqueúa a su fo¡ma normal, sea alternar,v,, y conjuntiva, imPorta también tener Pleseate las equivalencias ya ,,'¡r¡rcidas: 8t. E L+ 8'4,-B | -E 2 tt I' rq.=. -p-q
si se t¡ata de lleva¡ un
,¡ lt.rq.=.-Q'¡q) tr l,lq.=-(?q) t t ttlq.=.-pv-q |; l' \q.=-(P-q) t \ ¡ )q.=.-Pq 1.t tt
t\ I'
..=.-( p -q )- (- pq ) q. Gt¡v q) ( l¡v- q)
tt
=.
)t. E,tE^,=.-(E ¡E^) 101.
EtlE:r,=-(ELE)
tt' . E,lE,'=.-E,v-E, l2t . E, )E'=-(E,-E^) llt. E,)8",=-E
"tE " 14'. E,=E".=.-(E, -8,)-(-E L5'
. E,=8,.=..(-E,vE")
(E
'E1.)
,'f-8,) q9 l
16. p-q,=.pqa- p- q 17. -(Pq)=.-Pv's r8. -(-?q)=.pv- q
l6t - E,=E r.=.E,E"vL7t. -(E,E
"),=.-E,v-E " - -(-E,8")=,E,v-E" 7et. -(EL-E)=.-E,vE2 Zat. -(-E,-E r)=.E,vE, 2lt. - (E I E2.-. E >.-E Lv- E2v.-.r-En !8t
re- -(p-q)==8q 20. - (-p-q)=.pr q 2l- -(pq,,,t)=-pv22. - (p,tq)=-p-q 23. -GF =p-q 24. - (P!-q)=-pq 25. -F?\,-q)=ps 26. - (pr qv .. .vt ) =-
E,-8,
qa-.
-r-r
221 -(E,vE")=-E,-E, 23t -(-E rvE -8, ")=E, 24t -(E,v-8")=-E,E"
25t'GEt-E)=EtEz ?-
q.
,
.-r
26t -(E,vE
"t
-..vE
)=-f',-Er...-Ea
iiinalmente, en relación con la rrarisfo¡mación o simplificación de un esquema normal debemos esta¡ en condiciones de identificar de un vistazo una tautología o uria iricoosistencia. Si el esquenia normal es alte¡nativo se eliminao las cláusulas que sean cootradictorias puesto que: Si "Er" es coottadicao¡io, ettonces, .'ErvEr,, es equivaleotc a "E2", Si, en cambio, el esquema es qotmal conluntivo, se eliminan las cláusulas tautológicas puesto que: Si "E," es tautológico, entonces, "ErE"" es equivalente a "Er". Podemos señalar los esquemas siguientes: Tautológicos: ,,pv-p"; .,pv-pv -.-yt";
"-pa-qvpq".
Con tradic corios
: "p-p": ,,p-p...t"; pgGpv-q). Hacier
do en estos esquemas las subsrituciones (E, /p) y (E^/q), tesrltan los esquemas geoerales, oÍa cont¡adictoiios ora tautológicos, que pueden eliñina¡se sin nás dcsde el none¡to en que se piesenta¡ e¡ e squeñas de la forna "ErvErv...vE/'o,,ELEt,,Err',,
I
loo
II. CALCULO DE PROPOSICIONES
ttl. IIemos mostrado úás atrás cómo las equivalencias ent¡e ciertos rsquemas proposicionales pemiten exPresar unas coDectivas er! rárminos de otras. Vemos que esto se logra ayudándose de dichas c,¡uivalencias para una definición nominal' Asi, por eiemplo, patien,lo rle las tautologías: lr\ ¡.:rt.='-Pvq (1,\ t (p)q) (q)P) =q.=. ¡'otlcmos defioir el condicional y el bicondicional de la mane¡a si¡¡uiente:
(n') P)q = -Pvq (1,' \ p=q= Gp"q)
(Def.) (Def.)
(-qyp )
sistematizar esta reducció¿ mediante definiciones, distinguimos
^l .llire conectivas primitivas y co¡ectivas derivadas. Las primeras las segundas, las que 'on aquellas que se acePtao sin definición; tambien
¡rcrliante definiciones se reduceo a las primeras. Mosramos ,¡,,c csta reducción puede efecruarse de modos dife¡entesAsimismo - aunque en ello no hemos logrado hasta aquí nada l,¡rrccrdo a nuestro tratamierito de las definiciooes nominales - hemos ,lcstacado la co¡exión infe¡encial eo!¡e unos esquemas proposicio-
y otros, es decir, la posibilidad de afirmar unos por la razón ,lc que otros han sido afirmados. Patiendo del principio de la infrr.ncia, podemos decir que dicha conexión (suponiendo que sean "lir" y "E"" los esquemas infe¡encialmen¡e conec@dos) se estal,lccc a cravós del esquema tautológico "E)82"' Eo efecto, decir paitir de "Er" sigo.ilica '1r< "F."" se ob¡iene infe¡e¡cialmente a l,,.cis¿rmeote asegurar que "EpBr'.' es una tautología; porque etr r,rl crso, y sólo en tal caso, basta la afirmación de "Er" para que ,lt rll¡¡ restite la afirmació¡r separacla de 'Tr". Sabemos, por etcmrrnlcs
l,
l,r, que:
..
tautología. Si, entonces, afirmamos el esquema "p4" estamos , ¡r conrlicioncs ¡lc afirma¡ cl csqucma "¿" mediante una inferencia rrrr,r
,¡rrc
¡rrrl¡¡¡¡j
csrlucrrr:rtizar
así:
101
I
Pq)P ps p Ahora bien, si consideramos el esquema "p4" de nuestro eieoplo, eocontramos que oo es tautológico, Puesto que es verdadero sólo en
el caso de la combinación VV de sus cláusulas. Importa fijat la atetrcióri eo este hecho, porque la ld'ea de cálc o pto?osicionqtr se presenta casi de cuerpo ente¡o eliminándolo. Volviendo a Duest¡os esquemas
caracteriza como rn ,rroaimier.to e¡be ta{rologíAs " se trata eo este cálculo de obtener la tautología "82" a Pütit ¿e las ,a,,tologías "Ei" y "E)8,". Por ejemplo, sabemos que "'(p'p)" es uoa tautología y que lo es asimismo "-(P-p))''Np"; lo dicho anteriotmente sobre un cálculo proposicional significa, eo este caso' la posibilidad patrir de "-(p-q)" y "-@-s) de establecer la ta,trología "-P¡?" ^ ).-p"p". Esta infe¡eocia puede esquematizarse del modo siguier¡te: - (P-P)).-PtP -(p-p) 'PtP Basta este ejemplo de inferencia para estar en condiciones de coosidera¡ la posibilidad de una reducción de las tautologías que sea análoga en cie¡to seritido a la reducción de los esquemas proposicionales mediante definiciones. Del mismo modo como la reducción mediante defi¡iciones consiste en erptesar l^ mayoría de los esquemas con ayuda de unos pocos que tomaroos como primitivos y que oo definimos, asi también la propuesta reducció¡ de las tautologías consistitia et ptobar la mayoria de éstas mediante unas Pocas que no se probarían sino que se aceptarían como tales. Dicho más e squemáticamen te: así como la definición parte de 1o indefinible, la demostración partiiía de lo i¡demostrable. Así como en el primer caso partimos de los térmi¡os indefioidos, en el segundo Partiríamos de las proposiciones axiomáticas o txiomls, Es fácil ve¡ cómo la idea de un cálculo proposiciooal combina estos dos aspectos de la definición y la demostración: la reducción definito¡ia acon el oúmeto de nocio¡es primitivas; la ¡educción axiomática acota el de tautologías indemostradas; y los axiomas son, o pueded ser, tautologías eo términos de las conectivas primici -
La necesidad de partir de térmioos no definidos, o primitivos, y de proposiciones no probadas, o axiomas, ha sido considerada unánimemeate por los lógicos como uoa oecesidad indisolublemente ligada a la idea de un sistema deductivo. I-a clarificación de las
Í
to2
n('ciones es su definici6n; la consolidación de las proposiciones (r' verdades) es su prueba, Pa¡a defin.ir una noción recurrimos a otras nociones diferentes de la noción definida; de esta maoera, el f'roceso de las defi¡riciooes debe ser, evidentemente, linedl, no r irculat. Pero, como este proceso de definir uoa noción por otras, y luego éstas por oras, y luego éstas por ocas, etc-, no paede set tna inlinita regtesi6t definitrtia, resulta imprescindible u¡ cieno r¡rimero de nociones úkimas oo definidas. Así, también, la ptueba de rrrra proposición se basa en otras proposiciones que son ve¡daderas .in qr¡e intervenga en su verdad la verdad de la ptoposición que rllas prueban. De manera que hay tarnbién linealidad en el proceso ,lcnrostrativo: una proposición se prueba con otras, que se prueban r on ot¡as, que se prueban con otras, etc. Para dar un punto de l,¡rrtida al proceso demostrativo es, eotonces, necesario cierto núme¡o ¡lc Proposicio¡res no probadas, es decir, cierto núme¡o de axiomas. A estas consideraciones relativas a la naturaleza de un sistema ,lcmostrativo se agregari oüas que es importante señalar aquí. En I'rirner lugar, es evide¡te que el grupo de axiomas en que se funda
rl sistema debe comprender solameqte axiomas que sean muruamette l lependientes, es decir, tales que ninguno de ellos se deduzca rlc los otros. Si no fue¡a así, aquel axioma que depende de otros no sería una proposición última sino derivada; se¡ía - como se dice ro esta elaboración matemá¡ica de la lógica de proposiciones li teoreña ptoposiciondl, no u¡ axioma. Asimismo, el grupo de n¡iomas debe set consistetzte, es decir, tal que no haya en absoluto ln ¡xrsibilidad de probar conjuntameote y a partir de ellos uo esquema trrrrtológico "E" y su negación exigencia es obviay ¡r- refiere a [a idea de no-contradicción como condición formal de rr¡r sistema demost¡ativo. Finalmente, se erige que el grupo de axio.xrs sea completo, es decir, que toda posible tautología proposicio¡rnl sca demostrable a partir del grupo de axiomas. Esta última pro¡'i'sición es sólo ese¡cial cuaodo se er,fatiza el ca¡ácrer de cálculo Itt ttl'os iciondl que posee nuestro sistema; porque si hubiera un es-
,l'(
prcposicional tautológico que no fue¡a probado a partir de ¡¡xiomas estaríamos dejando fuera del sistema una parte que, por ,l"finición, hemos supuesto que queda dent¡o de é1. ur¿r
l,''
'l¡rles son, pues, las condiciones formales del grupo de axiomas ,¡rrc podemos oombtat: independencia, cotsistencia y sdtuaciún. l)igarnos de aoaemano que hay una va¡iedad de grupos de ariomas r' rr¡'r'iones primitivas que alteroativamente han sido p¡opuestos para , r'¡¡srrr¡ir ef cálculo proposicional. Tales grupos son e¡tte si eqti tttlLtlcs. es decir, son bases diferentes del mismo cálculo propo103 l
sicional. Más adelante diremos algo de esto. Lo que ioporta primero es elabora¡ el cálculo ptoposicional en alguoa de las fotmas propuestas; luego de este desarrollo estaredos en co¡diciones de cqmpa¡a¡ esta fotma con ottas y, además, de elaborar las consideraciones ¡elativas a la independencia, consistencia y sauración de que hemos hablado.
39, Ioiciamos nuestra erposició¡ del cálculo de proposiciones indicaodo erplícitamente las nociones prioitivas y los axiomas' Agtegaoos tambiéo en este Pliner momeoto las defi¡iciones que vamos a necesitar. Finalmente, se requiere v¡.a tegll de btletencia que aos permita desligar el consecuente de los co¡dicionales que construya¡nos y uoa regla de ststitacióz que oos Permita realizar las transformaciones en ordeo a elabo¡a¡ la prueba de teo¡emas que de otra manera rio so¡ ostensibles. A esos dos últimas reglas, damos el aombre de rcglos Prirnitiuas' T
étmi¡os no delinidos:
(a) "Proposición". De proposiciones no especificadas son sigr,,.' que empleamos en el cálculo.
nos las letras p, q,
"-p" que significa "negap", cooo ción de Así "p", "5", "t", '., asit n'biftt "-p", "-q", proposiciooes no especificadas. "-/" son signos de (c) "Alternacióo". De ella es un sigoo "pvq" que significa "alte¡nación de ? y q". Asi como "p", "-p",". ^si t^tbién "ptq" (b) "Negación"- De ella es un signo
es signo de una proposición no especificada' D
e
: p)q = -pYq Pq=-1-¡o' t¡ D,c,t p=q=(p) q) (q>p)
fiíic
ione s
D,^t D,b:
Ax iomas t
Se enuncian en forma de irnplicaciones; es decir, se bace inte¡ve' mane¡a
nir en su expresión la definición (a). La razón de ello es la como empleamos la tegla de infe¡encia. Los axiomas son:
A,^t PvP.)P A,bt P),pvq A,ct pt q,),qv| A,¿,: p)q) rvP,).rv
q
Reglasl
"principio" e¡ este cálculo a: (I) Cualquiet arioma de éste cálculo. (II) Cualquier teorema de este cálculo. Con esta terminología estamos e¡ condicio¡es de Pongámonos de acuerdo sobre llama¡
€nunciar las dos reglas primitivas de la maneta siSuie¡te.
I
lo4
R,al Si "Er" y "Er)E"" son principios, entonces, "8""
es
priocipio. R,b: En un principio de e¡te cálculo se puede sustituil uoa letta por una expresióo siemp.e que dicha sustitucióo se haga en todos Ios lugares que ocup¿r la leua. La sustitución se erpresatá aquí ¡nediante el siglo "/"; "pvq/q" sigúfica que la expresión "fr4" se coloca en lugar de "q". Todo el símbolo se lee: "pv4" en lugar
ie "q",
'l e oter¡¿^s:
tt P),PvP
T
In
efecto:
(A,b) ). P ?vP @/q) Para probar T, buscamos uo puoto de pa¡tida, es decir, un esquema que podamos afi¡ma¡. Dicho esquema sólo puede encont¡a¡se cn¡re los axiomas. La fo¡ma de T, sugiere inmediatamente (A,b). l)ara pasar a la seguoda línea de la prueba se efectúa una susritu-
P).Pas
ión, es decir, una aplicación de (R,b), 1o que ¡éntesis de la de¡echa. T2t qap,).pt q
<
11n
se
indica en el pa-
efecto:
Pvs,)'s\P
(A,c)
( p /p, q/p) qap,) ' ?s q I)ara probaa T, buscarnos asimismo entre nuestros axio¡nas. Está a la vista que debemos partir de (A,c) y que basta la sustitución (p/4, q/p) pata obtener r¡uestro teotema.
T 3t l.-n
e
p)q,):t)p).t)q
fecto:
Ír p),ñ q p)q,):-r!p.).-¡eq I )q,)r)p,),t)q P)q. )
(A,d)
(t/r)
(D,a) I'r¡ra hacer más visible la opetación que nos conducirá a T. harer¡os cn
T, la siguiente sustitución: lsvs/!, "/q, "/r)
olrtenemos:
svs.). s,') -'.s ).svs.'),s )s lln esta expresión, hacemos la sustitucióo (p/s), Resul¡a: p')p : ) t. p ). pv p D. p)p lx¿ t,.t ¡¡tecedente de este último condicional es (A,a); luego, en virtud ,lc (R, a), podernos afin¡ar el
l.).prp:).P)p
105
l
El
antecedente de este condicio¡al es (Tr); luego, podemos afiroar el consecuente, es deci¡: Ti P)P Ahora sustituyam os er T, CP/p')t -p) -p lo gue segúo (D,a) puede esc¡ibi¡se:
-(-P)r'P Tenemos además en virtud de (A,c): ?v
S.). qvP
Y sustituyendo en esta última - GP)v-P.>.
/P, -p/q) rcswlta:
-P"'¡-P¡
"-pr-(pl' p)-(-p)
Perc
((
es ot.a r¡a¡era de esc¡ibir:
Aplicando ento¡ces (R,a) al condicional:
-Gph-p.).p)-( -p) separa¡Dos
el co¡secuente y afirmamos:
?)-(-!)
T
": T6|
-G )p -D'((p)) (2) -p)-F G il).):pv-p.).pf-(-(-p)) 0'l ?v-P.>,fu-(-(-p)) (4) -pvp.).pv-p (5\ p)P.).pr-p (6) Pr-P (D
Fi¡almente: (7\ tu-(GPD (8'l -CG )vP
o\ -(p))p ^n
p)q.),-q)-p
1t
q)-Fd
q)-(-q))' -paq).-fv-(q) -Pv
s.).-F-(q)
(^Í,:-?/p¡ (^,d) (R,a: implicación antefio¡) (A,c) (D,a: aotecedente de (4)) (R,a: (5)) (R,a: (3)) (A,c; (7); R,a) (D,a: (8) )
(t ,t q /p)
(Ad\:(q/p;'(-d/q;
-p
/r)
(R,a)
además:
-F'Gd.>-(-q)v-P - p'¡ -
( d.). - ( sh - p :) t.-pv q.),-pv - (- q) :) -pY-(- /p; -(-q)s-p/q; -?vq/t)
(A,c)t (P/ p; -F4)qS :-pr q,).- F q h -p
('f "t El antecedente de esta implicación se afi¡ma en virtud de (A,c); luego se afirma:
-?aq.).-pv-(-q )t:-p'¡ q. )-Fqh-p (R,") antecedente de esta afirmació¡ esrá afirmado en la tercera línea de este desarrollo; luego, se afi¡ma el consecuente:
El
-pvq.).-(-q)y-p
I
lor'
luego:
p)q.),-q)-p
(D,a)
Deteagámonos cn este pr¡oto y coosideremos la setie de esquemas proposicionales que hasta aquí podemos afirmar:
t. PaP.)P 2. p),PsS 1. pvq,),f p 4. p)q,):np,),nq 5. P).PvP 6. gvp.).Fq 7 - P)q.):t)P.),t)q 8. p)p e. p)-(-?) to. -(-p))p
tl. p)q.).-p)-q
Todos ellos son implicaciones; y como segúo el principio de sustitución podemos aootar uo esqueda cualquiera eo el lugar de sus let¡as y, además, según el ptincipio de infetencia, afirmado el antecedente es afirmado el coosecuente podemos entonces formular una regla por cada teorema. Empleamos los signos "8" "Er", "8r",,., pta refe¡irnos ¿! esqueoas proposicionales que no esPecificamos. R,, Si "EvE" es un principio de nuestro cálculo, lo es asimismo "E'l Rr. Si 'Er" es un ptincipio de nuesúo cálculo, lo es asimismo "ErtE"" (sin que impotte qué esquema sea "Et" ), Rr. Si "ErvE." es uo principio de nuest¡o cálculo, lo es asimismo
r" ' Si "Er)E:" es un p'rincipio de nuestro cálculo, lo es asimisoo "E"vEr,),Er:, E"" (sin que impotte qué esquema sea "Er"). Itr. Si€'es uo princiPio de ¡uesro cálculo, 1o es asimismo "EvE", Ito. Si '?rvEr " es un principio de ouestro cálculo, lo es asimismo "E rvE
R..,
"E rv
E
r".
It,. Si "E,)Er" y "E)E3" son principios de nuestro cálculo, lo asimismo "E t)E3"
es
,
R,. Si "8" es un principio de nuestro cátculo, lo es asimismo "-ÉE)", Ito. Si 'rfE)"es un priocipio de nuestro cálculo,lo es asimismo "E". Iiro. Si "Er)E¡" es un principio de nuestro cálculo, lo es asimismo
"-E )'E t"
Tú
Pq)qP
-qv-P,),-Pv-q
6pl41P'
-GPv-q)'>.-(qv'!¡)
(R,,)
l,q 1c
f
(
-?
101,
D,b) 107
I
T,: qP)Pq,
(A,c: -P¡p. -4¡r1 (R,,) (D,b) Se observa que (Tr) pudo establecerse media¡te la simple sustitución (q/p; p/d a parir de T". Fórmulas del tipo "pq)qp" o ,,pvq.>,.tv{' puedeo traasformarse sin más desar¡ollo eo..qp)pq" o ,,qvp,),fuq" pot la identidad formal que oste¡tao.
-Pa-q.),-'ry-P -( qv-P))-(-!v-q) qp)pq
Trt -(pq)).-pt-q '('(-?t-t)),t'-*-q -(pq)).-pa-q Hemos anotado "pq" et
(T":-?t-l
¡O¡
(D,É)
l.ug^t de ,,-(-?v-q)', por la simple razón de qúe "pq" es ot¡a matrera de escribi¡ ,LGF-{',. Los té¡minos de u¡a defioición so¡ iotercambiables. Llamamos,,i¡te¡c¿mbio" a la operación consistente en aoota! u¡a de las dos partes de una definición en lugar de la ona. Distinguimos eutonces enre iotercambio y sustitución. Una nueva operación de transformación que más adelaate estudiaremos es el reernpldzo, Trrz -Pv-q,)-(pq)
-F-q)-G(Pa-q))
-Pr-s.)-(pq) "f
,2t
(^r
":-Pv-í/p) (D,b)
fiQv).).qv(!vt)
(1) r).rvp (¡,b\: (t/p; p/q) (2) ¡vp.).!tt (A,c\t (¡/p; ?/q) (3) t).tvt (R"; (r); (2)) (4) qa¡,):qa.?w (A,d; R,a;(3)) (a) Pv.qvr:);.Po tOr.P", (A,d; R,a; (4) ) (5) P).pct (A,t¡\ (t /q) (6) F¡).mp (A,c) (t /q) (7) p).wp (R); (5); (6) (8\ Nt,):qv.?vt ((7')t Pat/p; t /q) (9) P):qt,pt¡ (R"; (5); (8)) (10\ qt.fitnp.:>:,qv.pvr:v:qt. pvr (9); (Ad,:4v '?vr / q;qa.?vt/t) (ll\ qv - fi¡ n:qt.Wr.:) ryv. py? (A,ü qy'Pat/p) (b\ qa.futnp,:):qv.ptt (10); (11); (R) Finaloente, aplicando R" a (a) y (b), puesto que el consecuente de (a) cambiaodo el orden de las cláusulas es idéntico al antecedenre de (b), resulta:
FQtt):):qv(?vt)
T., nos permite "traspasar,t el paréntesis de una alte¡nación uno de cuyos eleoentos es una alternación. Y podemos deci¡: Se obse¡vará que
[
108
Si "Erv(E"vEr)" es uo teor€ma de nuestro cálculo, lo es asimismo "E,v (E,tE
El
)"
T' es vital para la prueba de los dos teo¡enas que siguen y que se refieren a la asociatividad de la alte¡nacióo. -f Llt Q\ qhr) pv (q'tt)
(r)
teo¡ema
qhÍ.).N (pvq) (2\ tvQvq).>.!v(nq) (1\ nq.).qvr (4) p''t (ra q). ).p,¡ (qv )
(A,c) (T,,) (A,c) (A,d; Ra)
(p'¡
Iuego:
(5)
(p! q ht. ),
'f \at
P\,
par
(qat )
(qvr).).
(pv
(R9, aplicado sucesivamente e¡t¡e (1), (2) y (4))
qht
(l\ qvr,).mq
( A,c)
(2\ Pv (qvt).).Pv (^r q) (7\ t¡v (wq),),¡v(Pvq) (4\ rv (ptq ),).(prqtrt
(Tu) (A,c)
6\ ?v(qvi).@'¡qhr
(Rr, aplicando sucesiva-
(A,d)
menre entre (2), (3)y (4) ). Antes de proseguir vaños a elaborar una regla impottante que facilitará ¡uest¡ai operaciones. Sean "Er" y "Er" esquemas proposicionalcs tales que "Er)Er" y "Er)Er" soo principios, l'is evidente que a partir de estas fó¡mulas obtenemos todas las siguien
tes: ( 1) E"vEr.).E.vE2; 8.v82,,1,E3\Et (2\ -Er)-E,; -8")-E, (3) E.v-E, .). Erv- E r; E"v-8"),8.v-8,
(Rr) (R,, ) (Rr)
(4) -(E.vE,)--¡-(E,vE"); - (E"tE ) (R11) "))-(E,vE, (s) -(E,v-E D-(E,v-E );-(E.,v-Ep-lE.v-8.) (Rrr ) Ilaciendo en (3) la sustitución -Es/8., resulta ( 6\ - E - E,.).- Euv - E - E rv - E rv - E, "v ".).-E "; (1) -(-Erv-E. ))-(-E rv-E,); -GF.,v-E.,) (Rr,: (6) ) :*(-E"v-E, ) l.s fácil percibir de que los casos considerados cubren rodas las lormas esquemáticas que hemos estudiado hasta aquí. En efecto "1,)q" y "pq" ¿,^a otigen respectivamente a expresiones tle la
"I1r)82" es decir "-8, vEr" "li,F.r" es,J,ecir''-(-F,,v-Fl")" lil caso que origina esquemas no considerados en cs cl de Ias cx¡rrcsiones qrre se originan de "p=q":
la lista
aoterior 10q
i
"Er=Er", es decir, "(Er)E) (E])E,Y' es decir, "(-E rvE,) (-E,vE,)" es decit, "-(- (-E ,vE,)v-(-E,tE, ))" Es fácil, sio emba¡go, darse cuenta de la validez de un principio como los ante¡iores en este caso. Basta para ello con cons-
truit "Er=Er" del modo siguiente: - (- (- E, v 8,fu - (- E,v E, )) Supongamos que rli "Sr" ni además:
"Sr"
comprenden la cooectiva
'=" y
s,)s,,.s,)sr y finalmente que "Sr" se edcuentre coIno parte de:
-E,vE, Nombremos "(-ErvE)'" al esquema resulta de reemplazar por "J2". Segrin las reglas antetiores:
"Sr"
(a) ( -E,tE,)) (-E,vE")' (b\ (-E,v E,)' )(-E,vE ") (c\' ('E,vE ")D-(-E'vE,)l (d) -(-E,vBr)t )- (-E,vE
^)
luego:
(e) -(-E,vE,h-6E,vE,)).-(-E,vE,)'r-(-E,vE,)t A partir de (e) y mediante la aplicación de (A,c) y
(R.:(c)) (R,) es flcil
construir:
(t) -(-E,vE ).). -( -E,vE 't-(-E,vE,) ^h-FE "vE,una operación ")ta¡áloga y también, efectua¡do a partir de (b): ((E,v (( E,v E, ) E E E.)' E.)v v E ).). G\ r\ t \r Aplicaado a estas dos últimas implicaciones, (f) y (g), la regla (R,,
)
se obriene:
(8\ -(-(-E,vE,h- (8,'¡E L D)-((-8,'tE^)t v-(-E"vE,) ); -(- (-E,vE,)' r (-E2v E, )))-(-(-E |\E,h-(E^vE,) ) con lo cual queda probado eo forma completa un principio de reemplazo que permite efectuat esta operación con esquemas "Er ", "Er" tales que: El)E2 y E)EL. Significamos con "lR¡)" nuestra regla de reemplazo que puede generalizarse así: Cualquie¡a sea "E(Er)" - donde "Er " es parte de. "EGrf si "Er)8," y "ElE," soa principios, "E(Er))E(8,)"y "E(Er) )E(E, )" lo son asimismo. T *t - (-p-q)),pvq (T,o:) -(Pq)).-tu-q v-(-q) -(-p-q)).-C ¡?/p; -4/q) (q (R.) q).). -C vP,r (R,) -(-P-q)).Pvq
I
r ro
T,"; Nq.).'GP'q)
-2s-q.),-(Pq) -(Ph-(q).:.-(-P-q) Paq').-(Ph'tuil Paq.).-('P-q) T L"t
(T") (-?
/P; -s /q)
(R.)
(n")
-Q!q))-p-S
'('P'qD'Pvq -@¡q))-(-(-P-q)) -(-(P-q)))'P'q -@vq)>-!-q T,"t -p-q)-(Pvq)
?vQ-GP-d -(Fp-d)-(pvü -P-q)-((-P-q)) 'P-q>-(fiq)
(T. ) (R") (T
"; (R")
-P-4 /P)
(T'J (R,, )
(r;
-P-4 / ?) (R") (lomo se ve, Tr"_Tru / Tr"-Tru son pares de teoremas que nos permiten reemplazar, unas con otras, pares de fó¡mulas de la especie:
"E,vE"" t "-¡-8,-E)"
y "- E,. - E," " - (8,'t E ")"a probar la asociatividad de la operación sirnbolizada Ahora vamos pot "Pq", es decir, la asociatividad de la coniunción. 'I,": Qqh)PQt)
Sabemos expresar ambas cláusulas con ayuda de (D,b):
Q)
Qqh
=-((!q)t-t)
(2\ !(qt)=-(Pv-(qt) Se ciene, además:
-(@qh -¡)) - ((-!v -qN -t) -((-?s-qh-¡)>- ('?"('q-r)) -(-fu(qv't))>-(?v -(q¡))
(Rr T'" -T") (R¡: T," - T'") (R.: T,o -T,.)
-
(R")
(Qqh-r))>-(-!v-(qt))
lntercambiando ambas cláusulas de este último condicional mediante (l) y (2), resulta T.o:
Qqh)P@t)
't,. , p@r))(psh (t\ lt(qt) = -(Pv- (r)) (z\ (pqh = -((?q)v-t) -G?v-(q¡)))-GN ?qv-r) ) -Ftn Lq -r)--((-Pv-q)v-¡)
-Gttv-qh-t)-¡-( QqN-r) -(-P\ - ((y )) )'-(-(l)qh'r)
(R, : T'o
-T¡)
(Rr: T,3- T1a) (R.: T.o -T1')
(R') Irrtcrcambiando ¿rmbrs cláusulas de esre último condicional con ayuda rlc (1) y (2), rcsulra 'l-,0 :
llr
I
?(qt))(!qh En una palabra
"f,Lt Pq)p
"(Pqh" y "p(q/)"
se reemplazan mutu¿mente.
q -(pas))-p -(-P"-q))-(-p) Ps)p p).Pv
(A,b) (R,, ) (-?
/p; -a /q)
(D,b; R¡ )
f)e cste teorema resulra la regla Rr: Si ErE" cs un principio del cálculo, E, lo es asimismo. (Obviamente, valc otro tarto para Er.) Esta es una regla que nos permite 'desligart las partes de una conjunción afirmada o tautológica. Es aatural esperar aquí ot¡o reo¡ema que nos permita formular R,¡: Si E. cs un principio y también E' lo es asi¡¡ismo ErE". Ello resulta del reorcnta sigui.ñte: T2rt p).q)pq
p)p
-pvP P!-P
(r)
(D,a)
(A,c; R,a)
GP"-sN-CP"-
(- Pv-s / p)
-p'¡ (-qv- (pv"q)) P).-S\pq p).q)pq
(D,a; D,b) (D,")
(T13)
Sustituyendo eo Trrl
Et:-.E)EtE, es decir, si E, es un principio de nuestro cálculo y lo es rambién Er, entonces, lo es asimismo E, Ér. Esta regla nos permite emplear (D,c) eo conexión con todos los pates de teoremas demostrados cuya forma es: "E \)E 2" -.'E2)Er" Por ejemplo, sabcmos que son afirmados:
"P)-CP.Y' v "-(P))P" ;
"pq)cp" y "qp)pq"; "-tu -q.)-(pq)" y "-(Pq)). -p\¡- q" ; etc. y sabemos además quc está perniitido a¡orar, cuando ,,8,:,E",, "ElE t" son afirmados, "(Er)Er) (E)E\)", lo que según (D,c) es: E.=Er. Por ejemplo:
@)-cpD GGp))p) =p=-Cp) (Pq)qP) QP)P =ps=sp ((- pv -q)t-(PqD C 0¡d)( I'v-q))= - pv-4.-=-Qcl, erc. El signo de relación entre estas fórmulas es "=",
porque dicha
¡elación es definicional. Nos oc¡rpamos ahora dc I¿¡
|
112
y
pecto de la co¡iunción. Enunciamos primero:
'l*t pa (q))(?v I Qvt) (1) qt)q (2) ?'¡ct)paq (1) qt)r' (4) Pvqt)Pv¡ (5) p'¡q.):8t,)(Fq) @v) Si aplicamos (R,) a las implicaciones (2) y (6) p\r {. )tpat.,-\(prq) (pw) (Considérese
p,).q)t;
-,r..(q'¡t) -qv.('F¡) q).P)r
^
(T,,t
4/P;t
/q)
(A,d; R,a)
(A,d; )i,a) (T,") (5) resulta:
pártir de está irnplicación se tiene: (D,a)
(T,) (D,a)
cs decir:
(^) P).q>:):q),P)t a la verdad la relación es más fuerte y podemos anota¡l
(h\
11]-,.Pt.='
q).P)t)
Aplicando el lerna (a) de nuestro paréntesis a (6) resulta: (7) Pvt. ): P,t q¡. ) (Pv Q Qvr) y aplicando R, a (4) y (7) ¡esulta:
(8) pv ry .) :8 qt . ,-: (pv q ) (fur) lOtro lema. Considérese: p)..1)t
-ttv(-qw) (-Pa-qfu -((-Pt-q)h, '1-P.¡-q))r pq)t
(D,a) (T,o) (Rr )
(D,a) (D,b)
(c\ P). q)r:),Pq)t cs obvio que la secuencia se puede l)c modo
que
t: .pq)t) A¡licando el lema (c) del último
(,1\
l,
recorrer en sentido cootrario.
r
-q:
paréntesis a
la implicación (8),
r'csultr:
(,)\ ( n {) Qv r))@yq) (pYr) f'rrr.r sirnplificat el antecedente de (9) ¡educiéodolo a "'p,¡q"y olrtcne¡ así finalmente Tr., se tequiere de un principio que en nuesro r ¡rso nos permita const¡ui¡ la im¡rlicación: ( I o) lN
qr,
(lN rt )
(
r"
or
)
r's rlccir, del reorema:
'l'ú: l)
'
Pl,
imDficnción (3) Jel'c p.ob.rsc. lJnn p¡uebn setí^t
' q., ,,¡r 1.tr
,..
"q/'\q"
y
tq \"ilut
ll3
l
Tenemos:
P\p.)p
(A,a)
-pv -p.) - p
(A,f;'!/p)
-(-p))-G?Y-p) p)pp
(R.
(T,; R,a) ; D,b)
Asimismo:
I2st pp)p En efecto:
P)'PtP -P).-pv-p
(A,b; P/q) (-? /p¡
-(-p!-p))- -p
(T"; R,a) (R. )
pp)p
(l) (2)
't,": (Fq) Qvt))(pvrr) q),¡)qr
t)r.):!vt.
(T
), pvqr
Aplicando a las implicaciooes (3\ q) tPvr.>,pvqr Aplicando a (3) el lena (a):
(l)
""'l (A,d) y (2) la regla (R") resulta:
(4) Pv.):q).p\q? Ademásr
(5)
q
), pvqr
):pvq, ).pe(?vq)
(A,d)
y combinando (4) y (j): (6\ pv¡.): pv q)p't ( pv qt) Aplicando el lema (c):
(7) (pvt ) ( pv qD. pv (?v qt) (8\ (pvq) (pvrD. @vp)vqt (Prq) (pv)).p"q ^f.7, p),prpq
-prp,),(?vphpq -pvp.),-8 (pvpq) -PvP
P)'PvPq
'I2st pvpq.)p pv pq.). (pj p) Qvq) pvp. )p; p).pvp l,vpq.). !(?v q) P(P,t q.))P Pvpq.,-\p
'1,,t -(P-P) p)p -Pvl)
-Gph-p
I tt4
(T,.) (R¡; A,c; T, ) (A,b)
(T,,) (T.) (R,a; D,a) (T,.) (A,a; T, ) (Rr )
(Tr' ) (R'')
(T.)
(D,")
(T5, Tó, Rr)
-G?Cptu-?)) -cpp) 'Í lo , pQvt)).patfr (qet ) ='(- Pv - (qvt ) ) P - (-
?v' (qv )))
-
('F
(D,b)
- q-r
(D,b) (Rr, Tt?, T1!)
)
¡ )) - ((- ?v - q ) (- ?'¡ -r )) (CPv -d Gp\'+ )))' (- Pv -qh' (P't -r )
-(- p\
-
q
(Rr, T¡., T¡6) (R¡; Tro ; T,,)
cs decir:
(D,b;
P(qar)),Pqvfr zL, Pqvfu.)P(qvt)
R)
'l
pq!F=-(W-{v-(-F-¡)
(D,b)
-q-¡) -(-pv-q-r)>'GPv-(qtt))
(R¡; T".; T') (R¡; T'"; T'")
-('pv-qh-Fpv4).)-((8- F?'¡'¡) (T") -((- pu-q) (-pt-r)))'GPu ¡s
decir:
(R'; D,b)
l¡qtF.),!(qor)
^t;
P)q, ).Pt )qt p)q.).-q)-p -q)-P. )t-N -q.)''rv-P -l.r - q
),
-t-t - p = - (-m -
q
(r,) (A,d)
h Fm
-
?
)
(D,a)
- (t p)tr q. >. - (P)v qt
(Rr; T,o ; T") (A,c; D,b) (T,; T"; R¡)
-(fthry.=F)qt
(D,a)
).- (-m'q h-(4v-qh-ftPr).-0Phtq -
(-¡v -q)v (-m
-
.
k? )
"s decir:
p)q,).b)qt Ti P)q,P)t. )'P)qr
(D,a; R")
-Pvt . ). - Pv qt
(Tro)
P)t:),P)qt !; P)qr,).P)q.P)r
(D,a)
- P,t q.
I )q. ^t
ql
(r.)
)qr
(^,d) (T.') (D,")
)- ?v qr -Pvqt.). -Pvq'-P\t -
P'¿
l)qt,).P)q.P)t
'T:,st P)q.r)q' ) tPrr.
)q
l,)q.r)q=(-pvd (Nq) (t¡'t (-nqDFPv -tv(-P\ds
(T.o )
(-l¡v q)-rv(-p\q)q), -¡ (-?v
(T"; T"; Rr )
qhqF?v
(D,")
i(-Pv vs( P,¡d.)(t-p,¡-tqh (q'Pvqq) (T,o ; T",; Rr ) (-r- lN +q)v (q-Pvqq).).(-r-pv'rqh @-Pv q)('l,o; Tr"; Rr\ (T'"; Tr"; R ¡)1 Gr-ln -rqh k-fv q).'t.(-t-pv -rq)v q l,;l reemplÁzo dc ln linca ndolccc dc un lcve defccto: la cláusula de rs qúe irnporrn ¡nrn "l rccm¡,l,rzo conrprcnde I¡s alte¡¡ativas c¡ cl o¡den ,,",¡¡rri¡'. l'c¡,, r¡ t¡rrn rlc unn ir,¡'rrfcerión sin ¡-'or'¡rn. in. '
I
,,-'l
ll5
I
I (
i
-W
-t q h q) -r - py
( qv q
-r-P,¡@vq-r))-r- pyq -/-8 q)- (- (-t-p hq - (- (-r-ph q.).-(m ph
-r
)
a
o; A,c;
(R r) (D,")
q
)q=-(pvhq
pyt.
"f
(T,"; Tru; R¡ ) (T"; Tu; Rr) (T'r; T'o; R ¡)
-(rvphs.)-(pvhs -(p'¿thq=psr.)q "l .6t pi t.) q:), p) q.r)
(T,r; T,n; T";
-Qw)vq,),-P-rvq - P-|v q.) , q'¡ - p -r qv -p-r.)(q\-p) (qv-t) (qv-P) (qva).).(-?vq) (-/r q)
(D,") (Tr"; T,"; R¡ )
(4,") (T,"; T,o; R.) (Rr )
es decir, pjr.)q:). p)q,r)q -l
pq).pv
ut
q
(T., ) (A,b)
Ps)P --F¡q Ps)Pv s P
T.s. Pv
(R")
P\ q,)r
q.)r t), p
i,1 :
P)/,'r,
)r.q)r
P)r. q)r.):p)r.\t Pv q,)/ t):p)r.\¿. T
q)t
q
(r"") (T,,)
)/
q)r p)r,\ q)t:),pq)t 3,,
P)r.'¡. q)r= -Pvr.Y.-
(
qit
R,)
(D,")
(r,")
-pvr.v.- qar:):,-qv t- pvl,vr -q\'. -pvr.y/:,):-qr, -py (wr) - q'r, -pv (mt):):- qv- pvr -qv.-Pvr t),-qy-p,'¡r -qY-P,vr:).-(qpht
(T13' T1.' R¡ )
(A¿; T,) (T,,; T,n; R¡) (T,o ; T,,; R¡) (Tu; T"; R¡)
-Qphr.).-@qhl
finalmente, recu¡¡iendo a (Rr) y (D,a), se obtiene:
p,-r.v.q,\i:),pq)t "l,o I p)q.).pt)q -Pv g. ) t- Pvq.v-t
(A,b)
-pvq,v-r:):-py-r,\q - pv -r.t qr),- (-(-¡tt -t ))v q
(Asociatividad, etc.)
-(Fin-r)¡vq=h)q
(D,a; D,b)
(T.; Tu; R¡
)
es deci¡: P ,\
T
q.).
(Pv
q) (rv s ))-
p(t',r
I
Pt], q (ms
o,: (!vq)
r 16
s
)):¡t*Ps,v.t1m qs
lh\s
h
q (rv s
)
h qftvs ).--.|tv ls ,'! . qrv
qi
(Ts, T,, Il r; I ., ('r.n ; 'l'., ; R, )
)
T,)
Asimismo, tenemos:
'Í,t pwps.y.qmqst)(F t\s) Faps.e.qmqs D'p(mshq(ms) ?(ms).v -q(¡vs):) ¡(ws)p.v. (tvs)q (ras)pv(rvs)q,).(r.rs)(pvq) (ns) (pvqD@vq) (ms)
(T'o; T"", R.) (Tu; Tn; Rr )
(T"') (T")
Aplicando (R¡), resulta T¡2.
4i P)q,¡)s.) 'Pr)qs (-F GnsD:- P-r'r-Ps'.v,q-rvqs
T
(T"")
-p-r'r-?s.v-q4vqs:);.-p-rv-P6,1¡!q-raqs''t'/ -p-ñ -ps,v tq-r'¡ qs.r-r, D:.-p'r v'ps '\qs n iq'ft -r -p-rv-ps,vqs ft 'q-l..t't.D:'-p'tr -ps,Yqs nv'r - p-t!-p6.\ qs :a -t)r-P-rv qs,1r t-¡a . -psa -p -p-ñ qs,\:-ñ.-ps\-p, D:-p-¡'tqs 'v.'r\¡ -P -p-rvqs,Y.-ñ-?D t- p -f\r - P.\ -t:r qs -p-t\ -p,\ -r:rqs,:):- pr-r.\ qs
-P\-r,\qs:)-(Ph qs
(A,b) (Tr?, Trs) (
A,
b)
(4"; T,"; R. ) (T'", T,'; Rt)
(D,a) Se observará que en la prueba de (T.r) ¡o hemos hecho explícicos todos los pasos La elaboracióo que hemos hecho has¡a (Tor) ha tratado de serlo con el máximo de explicitación. En adelaote, hemos de presciodir de esta laboriosidad fastidiosa para el lector. T a., p qrrc, ) (p'tr) (Pv s ) (qtr) (qvs )
-(p)vqs.=P>qs
pqvts.).(prrc ) (qrrs ) (pl¡s) (q,¿ts)) (?tt) (!"s ) (q'¡r) (q\s) Para probar el recíproco de (Tnn) emplearemos dos teoremas análogos
a (r,") y
(r,).
t P(?vq)) P P(P\q))P
T,r
"f,"t
(t",t ?vt/q)
P)P(Pvq)
(A,Ú ?s/ q) (T,.; T,"; R¡ ) (T.o ; T"; R¡)
D.ptps PrPq,),PPvPq ppvpD.pQvq) p)p(pv q)
"f^; (pit) (pvs ) (qvr) (qvs )).pq,tts (pvt) (pvs ) (q,o) (qvs ) --((pw)pv (pw)s)
((q¡¡)qv (q'vr)s ) ((pv/)pv (pvt)s ) ((q'¿t )qv (qv)sl)(?¡@tt)s ) (q'¡ (q'¡t )s)
(lv (tt ¡¡)s ) ( q'¡ (qvr)s))(pv
ps ',¡¡s ) (qvqs.vr's
(qvrs)
)
(Trr; Tr.; R¡ ) (T.J (qwsD ) ?qv's a los apliquemos y Atcndamos ahora a los principios establecidos ¡rrrr:s tle ellos dc la forma: 1t7 | (pvps.vrs)(qvqs,vrs))(pv¡s) (l¡'¡rs
(a) E,)E" y (b) E,)Er el teorema (T"r), o más bien, la regla que en él se funda y
que nos
auto¡iza a afirmar u¡a conjuncióo cuando sus partes son afi¡mad¿s. Se tendrá eototrce s: E \ ) 82.82)81' expresión que, atendiendo a la definició¡ (D,c) podemos aootar Er=E". En una palabra, mediante tales reglas estamos en condiciones de 'condensatt una parte no despreciable de nuest¡os resultados, los cuales hasta aquí se han expresado implicaciooalmente. (4,") PvP')P
P).!¡P
(r.
PvP.=P "f ,rt P=.Pn¡t
(D,c)
)
Asimismo:
T.s,
pv q.=.qep
T,oz
p
^n
P)q=-q)-P
srt
=- (-p)
erc.
(Podemos obsetvar que el ¡ecíproco de p)q.),-q)-p se obtiene efectuando en este último la sustitución (-4/p, -P/q); rcsulta:
-q)-P.).'('P) >-(-q) es deci¡:
-q)-p.),p)q 40. La exposición del cálculo de proposiciones que hemos hechor presentará alguna dificultad al estudiante, sob¡e rodo si no está familiarizado con los procedimientos matemáticos. Consiste esta elaboración - como se dice - eo una presentación sintética de los tesultados; es decir, va elaborando los enunciados teoremáticos a Partir de p¡incipios pteviamente presentados y mediante el mo¡¡ótono expediente de ¡eunirlos o compararlos unos con oros en orden a producir los dichos reo¡emas. Lo que está a la vista del lector es en cada punto una síntesis o construcción de nuevos enuociados que se apoyan en enunciados anteriores. El punto de partida lo forman los
axiomas y las reglas primitivas que permiten, la una, transformat las implicaciones previas; la otta, sepzua¡ el consecuente de uoa implicación cuando su anrecedente se afirma previa y separadamente. Es natural que el lector experimente ante u¡ desar¡ollo como el contenido en el patágrafo 39, el sentimiento de encontrarse ante un artificioso prodigio. ¿Cómo se procedió para elegit los axiomas? ¿Cómo se arinó con su número y cualidad? ¿Quién indicó la indole y ' Ciñéndonos en lo principal al desar¡orlo dc Hilbe¡r y Ackerm^nn.: Mdthe-
I
l rB
número de las reglas ptimitivas ? ¿De dónde se traieton las pruehas - a veces artificiosas y alSo comPlicadas - de los distintos teoreñas? por qué tales nociones se ¿Qué razóo hay para el orden seguido? ¿Y derivadas ? eligen como primitivas y tales oúas como el camino del PrinPreguntas como éstas surgen naturalmente en
cipiante, y hasta el punto de poder éste concluir decepciooado que todo el cálculo lógico es un puro juego de convenciones eri o¡de[ a producir conclusiones obvias que _ corno se mostró al corisiderar empíticameote las palabras '¡oo"' "y"' "o", etc'- pueden estable' recuÍir a todo este aparato del cálculo proposicional' "in ""."" Y debemos decir aquí que ¡anto fo¡malismo se debe a un pturito de otdeo y sirnplicidad que, cualquiera sea nueslro estado de ánimo' tenemos que respetar; Porque es deseable y legitimo poner relacióo de principio a consecuencia allí donde tal orden es posible, y es también deseable y legítimo reducir los principios a un mínimo Para poner de manifiesto la simplicidad allí donde exista' Po¡ el contratio, aquella manera empírica de recolectar las leyes que ensayamos eo nuestro primer capítulo, auoque cier¡amedte obvia, Produce en el espíritu un sentimierito no menos insoportable: el sentimiento de un taotear sin principio y prodigar al desparramo la investigacióo No puede escaPar al lector la conexión existente entle estas dos maneras de proceder: En el caso de nuestra Lógica de Proposiciones todo resulta fácil y familiar; pero tales co¡diciones se Pagan coo el defecto sistemático. En el caso del Cálculo Ptoposicional, por el conrario, aunque todo es obvio Pa¡a el exPerto' el P¡inciPiante eocueritra dificultades a cada paso; tales dificultades son el Precio del carácter sistemático de esta elaboración. De todos modos, algo podemos hacer aquí por respondet a las preguntas que se hace eI Principiaote y que pusimos más arriba; es decir, algo podemos hacer por ilust¡ar el pioceso en que se in_ vestiga el sistema desat¡ollado en eI parágtafo ]9., en que se tantea y attaliza con el proPósito de descub¡ir uo ordeoamiento posible de la L6gica de Proposiciones' ordenamiento al que se da el nombre muy merecido de Cálculo Proposicional. Algo, entonces, podemos hacer por inst¡ui¡ al principiante sobte lo que es propiamente el trabaio del lógico que investiga con vistas a explicitar este cálculo de las proposiciones. En ptimer lugar, podemos despachar rápidamente la pregunta: ¿T)or qué tales nociones se eligen como Primitivas y tales otras como derivadas? En el capítulo de Lógica de Proposiciones heoos invcstigado analíticamente muchas cosas; sobre todo, han surgido f¡icilmentc de at¡uella inverti¡¡ación las relaciones entre las diferenl le I
tes cooectivas. Sob¡e esto no cabe pregunta que hacer después de uoa lectuta siquiera superficial. E¡ cuanto a la cuestión sobre la razón que tene¡¡os para elegir tales nociones como primitivas y tales otras como deriyadas, basta con observat la forma de los axiomas (A,a) - (A,d); en tales formas intervie¡en solamente las conectivas "-", Es claro en¡onces que no es necesario agregar a estas nociones ora cosa que la noción de ,,proposición" que ..s,,, .... podemos exPresamos mediante las le|las ..p,', incluso prescindir de ')", puesto que es expresable eo términos de y esto hemos hecho, considerando que solamente ..-" y "v" represeotan conectivas prirnitivas. En cuanto a la cuestión: ¿Cómo se procedió para elegir los axiomas? exigiría, para una rcspuesta satisfactoria de un número prodi_ gioso de e¡umeraciooes alternativas que no podemos poner aquí; hacerlo sería algo como transcribir el bo¡¡ador de un lógico, lo que cie¡tamente está fuera de lugar. Sin embargo, aunque abstractamente, podemos representardos este trabajo: Dada la telación que en nuestra Lógica de Proposiciones se ha manifestado ent¡e tales o cuales esquemas proposiciooales, como por eiemplo la siguiente: pvS.),Syp
que es una relación implicacional entre los esquemas ,,pvS" y "qvp", podemos arender al lugar que tales determinadas relaciories podrían ocupar en el sistema que oos proponemos construir. Es decir, podemos p¡oponernos averiguar si el esquema ,,pvq).qap,' puede obtenerse a pa¡tir de oftos o si, en el proyecto que bosquejamos en
nuestra cabeza, debe ocupar un lugar básico. para responder a esta cuestión debemos poner nuest¡o esquema en ¡elación con otros. y un poco empíricamente debemos conve¡i¡ en ciertas reglas de composi_ ción y disolución de los esquemas. Surgen asi algunas aceptaciones generales: (l) Debe habe¡ una regla de ftansfo¡mación o de sustirución; una regla que, por eiemplo, a paftir de ,,pvq),qvp,, petmita pone¡ como asimismo válidos esquemas como ..fi/q.).q\f", ..rvs.),s v/", etc. (2) fJebe haber una regla de separación o inferencia; una re_ gla que, una vez afirmado el attecedente, permita desligar o afirmar sepa¡adamerite el consecuente. De modo que, supuesto .,ErvEr,, válido estemos eo condiciones, a través de ,,f rvAr.>,ervÉ,,, ae afkmat "Ei¡Et", (3) nebe haber una regla de unión o conjunción; una regla que, tomando por ejemplo "p).p'¡p" y ,,p.vq),qvp" cono sque mas válidos, f,ermira asimismo ro^r,, p .), p\ p :l)e q ), q\ p,, . F. ¡ ^tir el desartollo que h€mos presentado en el parágrafo 39., hemos asig_ nado un rol básico a las dos primeras reglas de que hablamos aquí, Y ¡o es difícil pcrcibir, daclo por cjemplo el gru¡.m de axiomirs: e
I
l2o
Pv
P.)P
P).Pv q
(A,a) (A,b) (A,c)
q,)'qv P (A,d) P)q') | 7\P.)'r'¡ q que nada podemos obteoer de ellos si no disponemos de una regla de sustitución y una regla de separación. Las definiciones a nuestra Pv
tlisposición nos permiten traosformar los axiomas y obtener, por cjemplo, a pa¡tir de (A,a): -(PvPhP
l,cro, es muy claro que vamos a gi¡ar en tedondo si nos reducimos ;r las definiciones y no disponemos de una regla de sustitución, que l,ermita, Por ejemplo, a partir de (A,b) aootar: "pv t') tp'tt ''t s" ne' tliante la sustitución de "p!/' en lugar de "p" y de "s" en lugar de Es, asimismo, evideote que la mera sustitución no permitiría otra cosa Ílue agre g^r cada uno de los cuatro axiomas po¡ se|aTd¿o ^ r¡na cantidad infinita, pero también ociosa, de esquemas proposiciorrales de la misma forma y que también se afirman. Es necesario, (ntonces, que exista uoa regla que perrnita unir los esquemas afirrrrados; y no metdmente unirlos, que de ello tampoco resultaría g¡an cosa. La regla requerida debe ser de unióo y separación. Nada más ltlecuado para ilusttar lo que decimo3 que un Proceso de deducción teoremática como el siguiente: (A,a) (1) PvP )P (D,") (2\ -(?'rPhP (7\ - (p'¿ pNp.).Pv-(pvp) 6¡t-@vP)/P ; P/q) ll¡¡sta (3), e[ proceso se reduce al empleo de dos axiomas, una defirrición y dos sustituciones. El a¡teceden¡e de (3) es el axioma (A,a) y (3) entero es una transformación mediante sustitución del rrioma (A,c). Tenemos, entooces, la anió¡, de dos axiomas obteni ,l¡ ¡nediante sustitución. Se muesra aquí la necesidad de un princ
i¡'io de separacióo que opera así:
\\
- (pvphP.),p't-(F p) (2\ -(pvphp t/t) p,¡ -(pvp) lis clato que el nuevo esquema qüe desliSa,nos y afirmanos de ,.srd manera, "Pv-(?'¡1,)", no Puede ob¡enerse de los axiornas elegi,los prescindiendo de la regla de separación o inferencia; ninguno rlc cllos puede dat origen al esquema "pv-(Npy' si no hay un print
ilio de separación. Agreguemos aquí cónro, Partiendo de este nuevo crrrrnciado, podemos obtener c1 teorert^ "P )Pp":
<
121
I
Pv-(prp)
-?a-(-fi-p)
f
'?v
(D,b)
PP
p)pp
P/p)
(D,")
lo anterior
como un esbozo, muy imperfecto descle luego, de la especie de consideraciones que conducen a formula¡ los enunciados básicos. Por lo demás, todo el trabajo de axiomatización es una larga historia de tanreos y hay diversos grupos de ariomas propuestos para e ste cálculo. En cuanto a la pregrmta por el orden seguido al exponer los teoremas, es de fácil respuesta: Hay teoremas cuya prueba depende de otros y es obvio que estos últimos deben probarse primero. Muchas veces, sin embargo, ocure que teoremas que pudieron probatse antes se establecen solamente en el momento en que son necesarios. El Quede
,,p)pp", es ilustrarivo; po¡que mismo eiemplo que pusimos en el desarrollo expuesto en^tiba, el parágrafo 39. se encuent¡a en el
lugar vigésimo cuarto sieodo que pudimos probarlo entre los primeros. Una pregunta cuya respuesta puede resultar inst¡uctiva es la que se refiere a la prueba de los teoremas. Trata¡emos aquí de ejemplificar sob¡e el análisis con el propósito de enffesacar algunos prin_ cipios generales sob¡e el arte de la prueba. por lo demás, lo ptiocipal aquí es cierta habilidad que poco resulta de cáoones que puedan diccarse y mucho del ejercicio, la agudeza y la paciencia. pero, al fin de cuentas, nada de lo que se habla aquí es cosa del otro mundo. 1) Ante todo, los enunciados axiomáticos y la regla de sustitución pe¡miten establece¡ algunos teoremas silr más ¡ecursos. Nada se requiere aqui; basta hace¡ las sustituciones qug conveogan y formu_ lar el resulado. Así, por eiemplo, se tiene, sustituyendo en (A,b) la
letra "p"
(l)
por la
letta ,,q":
s).q,¡q
Asimismo, colocando
p)q,):-n p.).-rvq
,,-/, eÍ
lug^r de
,t,,
en (A,d), resulta:
es decir, en virtud de (D,a):
(2'l
p)q.>:t ) p,),Dq
Puede igualmeote coosidera¡se (A,c) y mediante sustitució¡ esc¡ibi¡:
-Pv-5,),-q!-p
lo cual, aplicando nuevamente (D,a), produce: (3) P-q.).q)-p Finalmente, es obvio que mediante susritución puedo obteoer las siguientes generalizaciones partie¡do de los axiomasl EvE.)E
F,).
I
tzz
E
,v E,
ÉrvEr,),E"tE, E" r )Er,):ErvE,,),E "v 2) Si se obse¡va la implicación (2) puesta más a¡riba se percibirá que es un principio de transitividad; es decir, que si tengo dos implicaciones, "p)5" y "r)p", con la primera y la tegla de separación desligo el consecuente de (2); co¡ la seguoda desligo asimismo el consecuente del consecue¡te de (2), es decit, 't)q". En una palabta si se afirman t'Dp" y "P)q" se afitma asimismo "r)q", Ahotd est^E
mos en coodiciones de hacer más cosas. Por eiemplo:
p).Fp
((1)) (A,a)
PaP')P de donde ¡esulta: ($ p>p Escribiendo (4) media¡te (D,a), resulta
6)
-p¡?
Valiéodonos de (A,c), podemos anotat:
(6\ -PtP.).Pt-P
y desligando el coosecuente mediante la regla de inferencia, obtene-
(7\ P\- p
La siñple
inspección de (7) sugiere
la
sustitución -p1P; de ello
resulta:
'Pv- -P que sirviéndonos de (D,a) se escribe:
(8) 2)- -p 3) Digamos, finalmente, algo sobre los teoreoas menos inmediaros y que requieren algún grado de elaboración. Ante todo, es muy claro que los teo¡emas se muestran, en su mayoría, evidentes ante la mera inspección y también que nuestra farniliaridad con las leyes que rigen el empleo de las palabtas conectivas nos permite formulat una multitud de ellos sin especie ninguna de preámbulos. Pongamos aquí para evitarnos fastidiosas repeticiooes, solamente un eiemplo. Atendier¡do a la implicación (8) puesta más ariba, se ¡os ocur¡e inmediatamente la siguiente : (,r1
- -p)p
¿Cómo establecerla partieodo de
El
movimiento que conduce a
los principios¿ nuestra disposición?
la prueba en este caso es algo
como
lo siguiente: 10, Debo establecet "- -P)p", es decit, "- - -pvp", 20. Supongamos que lo obtuve mediante (A,c), es decir, desligándolo del e squema:
pv---?.).---pvq
123 I
3q. Para el paso indicado en 2p, es claro que debo establecer aotes el esquema ',pv- - -p',.Supongamos que fo desligué de:
"Pv-p.).A- - -p"
cuyo aotecedente es uo teoremá. 4p. Es claro que la implicación puesta en 3p puede a su vez des_
ligarse de:
-p)- - -p.):p!-p.).pv- -
-p y cuyo aatecedente es la implicación (g) donde -p/p. Tales soo los pasos que damos al busca¡ la prueba. Es claro tambiéo que al erponerla iovertimos el orden, es decir, de analítico que es aquí lo transformamos en sintético. que es válido
41.. Después de un desarrollo elemental como el cumplido hasta aquí,
estamos en condiciones de entende¡ bien algunas ftases que se ofte_
cen frecuentemente como descripciones de la lógica formal. Estas frases, que atienden en verdad a aspectos esenciales de dicha lógi_
ca, suelen ocupar uo lugat introductorio en los manuales elementales;
y tal ubicación rier¡e oidinadardente el efecro de palidecer un poco
su significado. Porque el principianre poco o nada sabe de la ciencia, de maneta que aquellas ftases descriptivas se muest¡an para él como
geoetalizaciones cuyo significado no sabe fijar bien pot falta de familia¡idad con los tópicos que son ilustraciones En .ste lugar en cambio, cuando hemos ¡ecorrido una porción"rrya.. impotante del camioo, podremos comprender perfectamente las frases de que habla_ mos.
Se dice, por ejemplo, que la lógica fo¡mal se ocupa de las coodi_ ciones formales de la inferencia, de las leyes que permiten afirmar una proposición a pattir de ottas proposiciones previamente afirma_ das; se dice, también, que la ligica fo¡mal se propooe establecer las leyes o formas de conexióri necesaria entre las proposiciones, o las esüucturas proposicionales gue son verdaderas por virtud de su. forma; se dice, finalmente que la lógica formal hace explícito y o¡denado recuento de las coodiciones formales de ciertas palabras que empleamos al tazorrat, de las relacioaes de implicación o equi_ valeacia que resultan enüe estas palabras por l^ sol" razón de su significado formal, es decir, la serie de condiciones a que sometemos eo principio y por siempre su empleo. Frases de ..," gén."o aoaont¡amos ordinariame¡te en los manuales de tógica elemeotal. y nos PJoponemos en este pa¡ágrafo, aprovechando lo visto hasta aquí, ilustrar tales frases descriptivas de la lógica formal. (a) La primera de estas descripciones pone el énfasis en la in_ ferencia y se ilustra ampliamente con la simple inspección del
I
124
cálculo proposicional desalrollado en el parágrafo 39. Incluso, tal inspección pone a la vista un desaúollo infetencial comprendido ¡etfecta y rigurosameote en sí mismo; en tal eiemplo se ¡¡ruestran, for decirlo así, de manera pura y última las condiciones del movirniento infe¡encial que representa, las leyes que permiten afirmar cie¡tas proposiciones - las @utologías proposicionales - a partir ile otras. Estas últimas esaán fohadas por los axiomas: cuatro de tllos proponea esquemas proposicionales que son las afi¡macio[es lrásicas en que se apoyan lodos los teoremas; los dos ¡estantes cxpresan las leyes de separación inferencial y de traosformación sustitutiva. Fioalmente, los ¡érminos primitivos representan la 'marcria' de las afi¡maciones básicasl v las definiciones, las condiciones de t¡a¡sformación definitoria. Todo el parágrafo 39. exhibe l¡ a¡ticulación de ua coniunto de coodiciones formales eo orde¡ a inferir partiendo de ellas los rtumerosos teoremas proposicionales que allí se estableceo; en una frase, el cálculo proposicional se ocupa de las condiciones formales de la ioferencia proposicio¡ral, tic las leyes que permiten afirmar cierros esquemas proposicionales t:trtológicos a partir de ot¡os esqüemas proposicionales (los axiomas que hemos llamado "afi¡maciones básicas") previa y axiornática mente afirmados.
l)igamos también aqui que este p¡oceso infe¡encial que obrier,e rle unas cuantas tautologías todas las restaotes pasa corrientemeote I'or matemática, no por lógica. Lo común es habla¡ de la inferencia ,ic'tal o cual específica proposición y no de la infe¡encia de taurolo¡¡ías proposicionales; lo común es llamar infe¡encia a un proceso coPedto y laan ldn dl cine Pedto y luan ron al cine
)
Ped¡o ua al cine
I'ed¡o ad al c i¡e ,l¡,n,lc 1a última y específica proposición se iofiere de las dosprimer,rs; no es lo corriente llama¡ infe¡encia a la obtencióo de princil,ios como "?qlP.pS,>p" pa¡riendo de otros, al modo como lo hemos Lccho en el parágrafo 39. Sio embargo, este nuevo se¡tido de la l'.,!,rbra inferencia puede también ilustrarse recurriendc al Cálculo 'l, l)roposiciones. El mismo eienplo que hemos puesro más a¡riba rr¡'s sirve aquí; tal inferencia se funda en la tautología proposicional "ltt' '1,,|¿f. ''l)"; es decir, que dada una tautologia rle forma implicacior.rl I'uecle ella scr e*r¡ieacia como ¡rincipio de una inferencia espe¡ il¡cl. fodos los reoremas prolrados en e! parágr:rfo 39- tie¡en lorma
r¡¡l'lic;rcion¡1, rlc marcra (luc cn csrir conciió¡ pucrle decirse que ¡¡,licho ¡rará¡rafo h
I
una proposición a pa¡tir de ot¡as pteviamente afrrrr;das,'. Considére, se, por ejernplo, TL6:. pvq,)-(-p-q):
Pedro o !*an úot ol cine ) Es lalso qae ni Pedro ni lton úa.n ol c;rre Pedro o lxat uan al cine Es lalso qte ni Pedlo ¡j ¡ ¡¿4n aan aI cine (b) Conside¡emos ahora nuest¡a segunda frase. Según ésta, la lógica formal se propooe establece¡ las estructuras o esquemas proposicionales que son verdaderos e¡ virtud de su forma- Desde el punto de visÉ de ¡ruesúa lógica de proposiciones, ..verdadero e¡ vi¡tud de su forma" significa ' ¡siempte verdadero, cualesquie¡a sean las combinaciones de valo¡es de las letras proposicionales que forman el esquema". Es decir, esta desctipción, cuando se aPlica a la lógica de proposiciones, destaca los esquemas que hemos nombrado "taurológicos" y dice que la lógica foroal se propone establecer rales esquemas. Para eiemplificar esta descripción bacta, como en el caso antetior, con atender al desarrollo efectuado eo el parágrafo 39. Cada urlo de los teoremas allí establecidos es una tattología, es deci¡, ve¡dadero en razón del significado y articulación de los elementos que lo forman sin que importe para nada la combinación de valores que asignemos a sus let¡as proposiciooales. (c) Finalmente, al aplicar la descripción que hemos indicado e¡ tetcer lugar - la descripcióo de la lógica formal como el estudio de las condiciones fo¡males de ciertas palabras que empleamos al razo¡ar - a nuestlo desarrollo anterior que denominamos Lógica de Proposiciones, el sentido de tal descripción se hace muy ostensible, ¿Qué es, en efecro, todo el estudio desa¡¡ollado allí sino un erplícito recue¡to de las propiedades formales de palabras como "no", "t", "o", "si...entonces...,', etc. y también de las relacio.nes formales de tales palabras, de los padroaes o est¡uctu¡as conectivas denEo de las cuales pueden disponerse cualesquiera proposiciones quedando bien determioado el valor lógico del cornplejo proposicional así resultante? Todos los principios lógicos que hemos formulado al desarrollar esta lógica de proposiciones no son orra cosa que el resultado del empleo que asignamos a las palabras conectivas. La equivalencia, por ejemplo, de los esquemas proposicioaales "pvq" y ,,q"p" co¡siste únicamenre en cie¡ra propiedad de la partícula "o", su propiedad conmütativa. Conviene, sí, al proponer estas descripciones sabe¡ distinguir entre inferenci?r y tautología. llay la cosrumbre de llevar causa en contra de la lógica formal con ftases como.,mero discursivismo, '¡mera inferencia", "pur^ ¡¿u¡e¡.tía,!. Tal causa es, desde luego,
[
126
ociosa puesto que nadie se p¡oPone defender lo cootrario y los lógicos, en primer lugar, se adelantan a sostener que la lógica formal es "me¡a lógica". Pero, lo que nos importa aquí señalar es que las frases ttmera inferencia", ttmera cautologíatt son en es¡e caso empleadas a bulto y sin cualificación; las palabras "inf\rencia" y "tautología", cuando se las emplea técnicamente difieren esencialmente. Sabemos ya todo lo que hay que sabe¡ sobre esto, Pero no está de más fijat la distioción. La inferencia lógica se reduce a la operación que afirma u¡a proposición sobre la condición suficiente de otras proposiciones previamente afi¡madas. En este sentido, la afirmación "Juan va al cine" se infiere de la proposicióo "Pedro y Juan vao al cine". Esra infe.encia se fu¡da en una razón que dice así: si se afilma la coojuncióo de dos Proposiciooes entonces Puede afirmatse tarnbién separadamente una cualquiera de estas proposiciones. Es evidenre que esta t^z6n se funda en la conocida t^itologia "pq)p". Se ve entonces que la ioferencia toma como premisa mayor o principal una tautología implicacional y que, mediante la afirmació¡ del antecedente de ral implicación, desliga el consecueote. La esrucrura de la inferencia es, pues, la siguiente: Et)82 Premisas El E2 Conc lusión En la medida en que la infereocia es pura, sus premisas deben ser tautológicas. De aquí la importancia de las tautologias respecto de la infe¡e¡rcia. De todos modos, la p.emisa mayo¡ de una inferencia debe ser siempre tautológica aun en el caso de trata¡se de la inferencia de una específica proposicióo. Tal ocurre eo: Pedro y luat aárl ol cine ) luan ua al cine ,"dr" n , ooo ,oo o, ,* ludn ua dl cine la mayor es simplemente un caso de la tautologia "pq)p", cn tarto que la menor es meramen¡e una específica conjurición propos icional.
tlonde
42. Podemos, ahora, ocuparnos de la corresponde¡rcia entre ¿liscurso ordina¡io y esquema proposicional. No siempre, ni siquiera frecuentcmente, estamos eo situación de considerar un texto compteto de
.liscurso como un caso de esquema pioposicional; pero importa s:rbcr distinguir I:r ¡rarte dc un texto susceptible de fotmalización y cl nxxlo y meditlrr cr¡ qrrc lo sca. Ve:lmos, como primer ejemplo, un ¡rnsljc bíblico: r21
|
I .,, Oísfe las palabtas del libro,,. Y t¿ corazó¡ se enterneció, y le humilldste dela¿te de lebouó cuawlo aiste lo que yo (!ebouó) be fronanciado c otarra este fugat y conha s s motadores, que t)endrítrn a se¡ asolados y nal¿itos, y tasgoste tus uestidatas, y llotdste en mi prcsencia.., (Reyes, 2, 22, 19) El pasaje contiene uria serie de afirmacio¡es en conjunción; la te¡cera de esras afirmaciones, "te humillaste delante de Jehová,', es cualificada mediante una larga aclaraci6t circunstancial: ..cuando oiste [o que yo (Jehová) he pronunciado contra esre lugar y contra sus moradores, (es a saber) que vendrían a ser asolados y malditost'; sin emba¡go, no es difícil percibir que la est¡uctura proposicional del pasaie citado comprende cinco proposiciones afirmativas conjugadas. Su forma proposicional, entotces, es ,'pqrst", Uo pasaie que requiere de más elaboracióo, aunque es simple todavía, es el siguiente tomado del Evaogelio según San Juan: De cierio, de cie¡to os digo: El que oye mi pdlabrd, y cree dl qte me ba ent¡iado, tiene uida eretna; y no uendrá a condenociíi, ,rrds pasó de mlerte a lidd, (San ltar, 5, 24,) Para percibir mejor la esttuctura proposicional de este cexco eliminamos algunos aspectos literarios; ello permite asimismo captar los matices significativos que escapaa a esta lígica y que, e¡ cambio, la retórica sabe manipular a maravillas. Eliminamos también el factor de unive¡salidad que introduce la fórmula "El <¡ue.,.,' y que podríamos sustituir con la fórmula ,.Todos los que...',; sin enrbargo, como no hemos tratado de lógica cuantific ac ional, optamos por eliminar este aspecto de unive¡salidad. Así ransformado, el texto sería el siguiente: Si oyes mi palabfa y crees al qte ne ba enuiado, ettonces, tendrás uidd eternd, no serós conde¡ado y pasatás de mueúe a uida, cuya expresión, con ayuda de los signos aquí empleados es: Oyes mi pdlabra. Ctees dl qr¿e me ba enaiado ) Tendrós uida e terhe - S er ás c ond e od do, p as a7 ás d e mter te o u idd, o sea, un caso específico del esquema proposicional .,pq)r-st,, Con ¡elación a este ejemplo, pudiera surgir una duda sobre las proposicioaes que formao el consecuert€ del condicional; porque - se di¡á acaso - son afiamaciones sob¡e eI futuro y no cabe entonces asigna¡les precisamente tal o cual valor. Independienrenrente de las especulaciones que pudieran hacerse sobre el valor
I
¡
¿¡r
Otro ejemplo, tomado de la célebre pieza dramática de Calderón, La Vida es Sreño: Cot¿ cdda uez que te aeo ,tteúA ddmitdción ,ne das
y crando le miro
más
aú¡ mós mitatte deseo. (La Vida es Saeño, Iot¡ad,a l) Los dos primeros versos pueden lee¡se eo conexión condicional; y asimismo los dos últimos. Además, ambos condicionales van explícitamente coniugados- Transfo¡mando el cua.teto, y olvidándonos del aspecto de universalidad implicado, podemos anotar: (Te aeo de nteao ) Me das taeaa admitaciót) (Te nito mós ) Deseo segLir nbá¡dote) El esquema proposicional, en este caso, sería entonces: b)q.r>s': Otro eiemplo, en que mejor se mues¡lari las limitaciones a que debemos somete¡ un texto para ertiesaca¡ su est¡uctura proposicional es el siguiente discurso de Sancho tomado del Quijote: - Esto digo, señot, poryte si al cabo de babet andado caminos y c,tr¡etuts, y pasddo ¡talas nocbes y peores días, ba de uenh a coger el lflito de nLesho trabdjo el qle se esrá bolgdndo e¡ estd uento, ,to bay Parc qlé ¿dtnos ptiso a qte etsille a. Rocinante, alba¡de el iúner,to y ade¡ece el palzftét prcs será meiot que nos estemos qtedos, y cdda púa bile, y comamos, (Don Qúiote de la
lancba, parte I, cap. XLVL) Ante todo, obse¡vemos que el esquema "p porque 4" (asimismo "p pues q") no represenla u¡a fu¡ción proposicional. Basta para mostra¡ que es así con indicar que sus cláusulas pueden ser ambas ve¡daderas mientras que el esquema entero, puede se¡ verdadero unas veces, falso ot¡as- Los ejemplos siguieotes son ilust¡ativos: Hitlet es reptdiable poryr.e es an crimi¡al. Hitlet es rcpxdiable potqüe an a a st pteblo. Es;ta conÉideración sobre las palabras ,.porque" y ,,pues" exige que eliminemos las partes del texto en que so.r significativas. Asi también, la frase "al cabo" introduce un mariz de contraposición entre las, proposiciones "Hemos andado caminos", ..Hemos andado carleras", "Hemos pasado malas ¡oches y peores díastt, de una paite, y la proposición "Viene a coger el fruto de nuestro trabajo el que se está holgando en esta venta", de la ot¡a. Este matiz de cont¡aposición se pierde al fo¡malizar el discu¡so de Sancho y debegros pone¡ todas las proposiciones anterio¡es en conjunción antecedente; peto es precisamente tal contraposición ahora diluída en la pcta coniunción, la fuer:¿a de clonde sale el condicional que Sancho t29 |
formula. En cuaoto al consecuente de este coodicional, consta de la conjunción de: "no hay que darnos pris¿ ¿ q¡s ensille a Rocinante", "No hay que darnos prisa a que albarde al jumento", "No hay que datnos prisa a que aderece el palafrén". La parte formalizable, entonces, se¡ía la siguiente aho¡a formalizada: Hemos andado caminos. Hemos andado ca¡reras. Hemos pasado malas noches .y peores días. Coge el ftuto de nuest¡o t¡abaio el que se está holgando en esta venta ) - Tenemos que darnos p¡isa a ensillar a Rocinante - Tedemos que darnos prisa a albardar el iumento-Tenemos que darnos prisa a aderezar el palafrén.
Responde, pues, este ejemplo al esquema ,?4¡s)-t-l-u", E¡ cuadto a la modalidad ervuelta en las frases ..Tenemos que.,.", que compreodeú las últimas proposiciones, podemos dejarlo para otra oportunidad. El siguiente es un texto extraído del discu¡so de un jurista chileno: Ld crítica es ana contribtcidn inst¿stituíble cta¡do es respoasable y constrttctiua, Entettdentos qte es tesponsable cnando se apoya o desconsd en el conocimíento cabdl ¿e rodos los onrecedentes que deben concatrit pdrd fomdt y emith u iuicio uáIido; y qle es conshacriua ctar.do no se dirige o recbdzdt ,ti a apldtdir sisteotáticamenre Ia acciín emprendida, sito a señalu los medios o procedimientos a haués ile los ctales esa dcci'n pueda set rcfotzada o cottegidd. (Prof, Dauid Stitcbkin),
Lar primera afirmación de este pasaje viene dada en forma de condicional; la tespoosabilidad y la constructividad se sostiene que son condicio¡es suficientes de la critica; pero no de la ctitica sin cualificación sino de aquella que pertenece al género de las contribuciones insustituibles. La fo¡ma proposicional de esta p¡imera afirmación es:
La crítica es responsable. La crítica es const¡ucriva ) La crítica es una conrribución insustituible. La parte siguiente del texto pudiera confundirse con la definición
de tesponsabilidad y constructividad; pero no es así sino que el autor del discurso ha preferido metamente c^tactetizdr estas dos nociones mediante la indicación de condiciones suyas suficientes. L;r esüuctu¡a proposicional de estos dos pasos de Ia segunda parte del texto citado es:
(1) La critica se apoya (o descansa) en el conocimiento cabal de todos los antecedentes que deben concu¡ri¡ pa¡a formar _ emitir un juicio válido ) La c¡í¡ica es responsable.
[
130
(2) - Rechaza sistemáticamente la acción emprendida. - aplaude sistemáticamente la acción empreadida, (Señala medios (o procedinientos) de resfue¡zo de tal acción v Señala medios (o procedimientos) de co¡¡ección de tal ¿cción)) La cririca es constructiva, El paréritesis del aotecedente de (1) significa que el .,o" allí empleado erpresa una relacióo de sinominia; lo mismo ocume con los paréntesis análogos en el antecedente de (2). El sentido del texto obliga además a inre¡pretar el ¡¡o,' del antecedente de (2) como allí Io está, es decir, como ,'o" alternativo o incluyente Finalmente, hemos elimioado el "y" fotnalizable entre ..formar" y ..emitir" y creado la expresión incluyeote "formar-emitir"; la sola ¡azón de esto es hacer más fácil la formalización. Anoteños, finalmente, el texto siguiente que envuelve un razonamiento de transitividad implicacional; se t¡ata de un pasaje de Las mil y una ¡ocbes donde los tres hiios de un sultán que habíase debilitado en extremo y perdido casi la vista insistían por que sus mujeres guisaran para él:
".,. gtisarán püd ,í maniores que te deaoluerán el apetito, y con el aperito las fuetzas, y con las laerzas la salud, y con ld solrr¿ la excele¡tcia de la risro..," [isquematizando un poco, tendríarnos lo siguiente: Si grisan pata tí, entotces, te deuolue¡an etr apetito.; Si ,e u elae el opetito, enrorrces, lecLperdtós las fuetzas; Si ¡ectpetos las laerzas, entonces, tenfuós sabd; Si tienes salxd, entotces, tecupetatás Ia excelencia de t*s oios, La conclusión que se busca es entonces: Gtrisdn Para tí ) recupetor.ís la etcele¡cia de tr¿s oios,
Importa también a esta correlación ent¡e discu¡so ordinatio y
csquema proposicional atender cuidadosameote a las formas variadas cn que puede expresarse en el habla cor¡iente una conexión proposi-
cional. La conexión con;untiva, por ejemplo, suele estar indicada nrcramedte mediante uoa coma; así ocrüre en el ejemplo ,,Vi¡e, vi, vcncí". Ot¡as veces, la mera yuxtaposición se emplea pala expresaa un condicional, como ocr¡¡re en ,,Oios que no ver!, corazón que no siente". Eo este mismo caso, las cláusulas ocultan su ¡atúaleza ¡lc proposiciones, puesto que las f¡ases .,que no ven,t, ..que no sicnte" aparentan un carácter adjetivo. La forma implícita del lrr()verbio se pone de manifiesro al anora¡: .,Si los oios no veo, cnconces, el corazón r¡o siente". Un hermoso ejemplo de oculta¡nicnto Iiteral de Ias proposiciones se encueritra en los ve¡sos de ron_ ¡l¡r:
Itasto terde, s oledad, ttt l¡or .tq í, yo por allá.
l3l
I
que
al sel llevados a su forma proposicional se muest¡an
como una
coniunción de cuarÍo proposiciones. Casos, asimismo, importantes y de una va¡iedad resbatadiza en la expresión de uoa conectiva sotr aquellos en que la conexióo se erpresa mediaote frases o palabtas adversativas como .,con todot', ttno obstantett, t'aunque", etc. Estructu¡as proposicionales como "p aunque Q", "2 ¡o obstante q", etc. parecen ser fuocio¡es de pcoposición; su verdad exige que ambas cláusulas sean ve¡daderasSe tracaría, al fin de cuentas, de conjunciones. Sin embargo, es ouy evidente que el matiz adve¡sativo que comportan se pierde al aplicátseles el esquemt "pq", Uno diría que al afirmar una proposición compleja de la forma ..p aunque q", afirma implicitamente una de la forma "?q"; pero, que al afirmar una ptoposición de esta última forma no es necesario comprender en ésta el carácter adversativo de la primera. De lo cual puede muy bien sacarse la conclusión de que las proposiciones de fo¡ma adversadva furcluyer' esencial: merrre ri carácter de conexión formal que nuestra lógica de proposiciones no puede recoger. O pueden tambiéri considerarse tales proposiciones como 'decepciones de condicionalidad', es decir, que erpresiooes de la forma "p, perc q,,' ,,p no obstance q',, ..p, coa' tod,o, q" techazan la exclusión de la segunda cláus¡l¿ pq¡ la primera; rechazan en una palabra el condicional de la fo¡ma ,,p)-q". Ahora bien, el esquema "-(p)-q)" que puede ftansformatse e¡ ,.-Fpv-q),'es evidengemente equivalente a ,.pq", con lo cu¿l venimos ouevamente a dar e¡ que se trata de conjunciones. Sin embargo, es del todo iodiscutible que "pq" no responde en¡eramente de la específica
conexió¡ "p aunque q", Deben distinguirse asimismo las proposiciones compleias donde hay una significatiya inclusión de la relació¡ temporal entre los hechos referidos por las proposiciones. Un ejemplo notable de esta especie es la célebre frase de César en la cual encont¡amos oculta_ miento Iiteral de la relación temporal. En efecto, ,.Vine, ví, vencí,, apatenta se¡ una mera conjunción; pero, cualquiera variación del orden de sus cláusulas basta para mostra¡ que no posee la propiedad conmutativa y que la secuencia de las proposiciones es significativa e inalterable, puesto que expresa o es cot¡elativa de uria secuencia temporal de los hechos. Además de la ¡etación de secuencia hay la de alte¡oancia temporal que se ilust¡a en proposiciones como t'Ora erimudecían, ora murmuaaban,'. En este caso, ambas proposiciones se excluyen entre sí y podríanos considerar que se trata de una alternación fuerte o disyunción; sin embargo, es claro que tal interptetación inadecuada olvidaria el matiz de alternancia temporal que trae el ejemplo.
I
r32
Finalmente, digamos algo sobre la'articulación conectiva', que en el discurso ordinario suele ir expresada de modo imperfecto. Pongamos aquí de ejemplo un terto extiaído de un a¡tículo de prensa: La petición de inbabilülad es p?esenradd y fhnada o por todos los diputados del F¡e¡te x o por sr¿s comités,,, Se tr4ta, en este ejemplo, de una articulación coaectiva a base de las partículas "y" y "o". El texto se presta a las interpretaciones siguientes: (a) La petició¡ de inhabilidad es presentada y firmada por todos los diputados del Frente X o presentada y firmada por los comités
del Frente X. (b) La petición de inhabilidad es presentada por todos los diputados del Frente X y firrnada por todos los diputados del Fre¡te X o firmada por los comités del Fre¡te X. No vale la petl' agtegu aqui las diferencias que resultaa de las interpre taciooe s alterda¡iva y disyuntiva de la partícula "o" . Sabernos, al leer, que la inrerpretación nás probable es (a); pero es indudable que la articulación conectiva en ejemplos como el anterior compo¡ta cierta imperfección- Ot¡o tanto cabe deci¡ de un texto como cl siguiente, debido nada meoos que a Cervantes: .,. se balla¡on e¡ ella ac¿so dos nacbacbos de bosta edod de catorce a quínce años; el nno ¡i el otro no posabot de diecisiete,.. (Ri¡tco¡ete y Cqra.¿iuo). I-a lectura de la seguoda pa¡te de este texto obliga a volver sobre la primera donde "c4torce a quince" patecía indicar un máximo siendo a la verdad que indica uo míoimo. Pe¡o este equívoco resulta poca cosa cuando se considera la proposición "El uno ni el ot¡o no pasaban de diecisiete", Las interpretaciones posibles parece¡r sel: (a) Ni eI xno ro pasaba de diecisiete, ni el otto no pasabd de diecisiete, (b) Nl e/ no posíba de diecisiete, ,ri el oho pasaba ¿e diecisierc, t..s indudable que la inrerpretación correcta es (b) La nayoria de los casos en que la articulación cooectiva resulta cxpresada imperfectamente se explica de la misma manera: se trata ,lc 'modos de decir' que el vulgo impone y que debemos respetar l)ot razones de comunicación o se trata de gustos litetarios que cvirao las formas estereotipadas y casi mecánicas de la lógica fornral. En cuanto al procedimiento para salir de las imperfecciones for¡nales de un texto, es siempre el mismo: sujetarse a sus condic iones específicas.
131 l
III.
LA PROPOSICION O ARISTOTELICA
LOGICA DE
CATEGORICA
esta 43.'fodavia, al hablar de Lógica Fotmal, lo co$iente es asociar
de¡ominación a los célebtes t¡atados aristotélicos compendiados bajo el título de otganon, donde se comPreoden Lds Ct'egoúds' D; ld lüe¡preroci6n, Ptímetos Analíticos' Segtndos A¡¿lí'icos' LosTípicosy Lds Relstlciones Solísticds' Los tratados que ocuPan el centro de la atención escolar cuando de lógica formal se tlata son De la lrrret\tet^ción y, partlctlttmente' los Pri'neros A"Llíticos' Eo este últiño, trata fuistóteles del silogismo categótico en ertenso y de manera sistemática con el Propósito de establecer las formas válidas de la inferencia silogística. En este capitulo, expondremos los elemeotos de la lógica de la no al texto de la ¡rroposición categórica o aristotélica ateoiéndonos, a la preseotación sino claboración que encontramos en el Otganoq en los manuales muy sirnplificada y obvia que ha llegado a ser usual de Lógica. Como hasta aqui, sigue ocuPándonos la tatea de Presentat cscolarmente las materias; aaz6n Pot la cual pasamos i¡mediatamente a ouestlo tratamiento elemental.
44. (a) Llamamos proposición categórica o aristotélica a la proposición de forma atributiva; a la proposición, quiere decir, en que cxplícitamente se atribuYe a un sujeto tal o cual detetminación o cualificación que él Posee como suieto. Proposiciones de esta especie son, por ej : (l\ 56c¡ates es ntoúdl. (2\ Los gatos son felinos (7\ E sto es eztl (4) Algunos lihos son i¡ítiles
lilósolos son ¡idículos' Aristóteles suponía que este análisis de la proposición en términos de sujeto y atribr¿ro (o predicado) valia por todas partes, y c()nsccuentemente hacia depender toda su lógica de la ptoposición rlc este ¡nálisi¡ fundamental. Deiando de lado la muy cuestionable rloctrina sobrc la rrnivcrsalirl:rl de la forma suieto-Preo;.ad^ vamos
(5\ Todos
los
135
I
a seguir la rura
que dicha distinción Dos propone y tratar de la pro_ y ar'alizada en tales específicas pattes: el sulero
posici6;: analizade
y el predicado. (b) Ante todo, asigoamos al sujeto y al predicado la denomioación común de "tétminos de la ptoposición,, y nos ponemos, además, de acuerdo sobre exclui¡ de esm lógica de la proposición categórica los tétminos singtlarcs, es decir, térmi¡os tales como ¡¡Sóc¡ates,,, "Estot', ''Este gato", etc. Las proposiciones de que üatamos aquí cons¡an solamente de tétminos rrnh)ersoles, Los rérminos univetsales se dicen ídéatica y dist¡ibtriaamente de una diversidad, Esto quiere decir, pot ejemplo, que el té¡mino "hombre" se dice oo de un grupo sino de cada uno de los miembros de un grupo y siempre con igual sentido. A dicho grupo se da en lógica el riomb¡e de extensiún del rérmino en cu..tión. (c') CuantiÍiceción se d.ice de cada una de las dos operaciones que ponen un término universal en explícita ¡elación con su extensión. Cuando el término se emplea aplicado a toda su extensió¡ la cuanti_ ficación recibe el nomb¡e de disttibución; cuando, en cambio, el té¡mioo se emplea aplicado solamente a pa¡te de su extensión la cuaotificación ¡ecibe el nombre de limitaciún. Se dice del rérmino distribuído que es ¡¡unive¡sal tomado unive¡salmente' ,; y del limitado, qr¡e es ¡'universal tomado particula¡mente t r. Ejemplos son, ¡espectivamente, "Todos los hombres" y ..Alguoos hombres". Ya hicimos algunas convenciones sob¡e la proposición de que hablamos aquí y los términos que la forman, Aho.. ug..g.¡¡o" oo^ nueva convención sobre el término suiero: en lógica de la proposi_ ción categórica, el sujero se supone explícitamente.uurrrifi".do. La proposición categórica cuyo suieto es un rérmirio universal tomado unive¡salmerite se denomida,,ptopos ici6a cate g6ríca lrrio etsal", En cambio, la proposición categóric; un té¡mino "rryo "o;"to-." universal tomado eo forma limitada ." d"no.irr" ,,ptoposici6n cdtegórica partic lú". (d) "Attibkión o ,,ptedicación" son nomb¡es de la específica relación que se establece entre los términos de la proiosición categórica. Dicha ¡elación se expresa medianre la ,óp)b'd," .rt Proposiciófr, tepresentada por la partícula verbal .,es,,. Las di _ fe¡encias temporales no afectan a la cópula sino qrre entran eo el modo de la cualificación. Así, ..Sócrates s.¡á filó*ofo,i j.,..rnr"" a Sóctates como filósofo-futuro y, así entendida, puede anora¡se "Sóc¡ates es fil ósofo-futu¡o " - euiere decir, en ,r"u'f..r", lo. S;_ crates es, ahora, determinado cr sabemos será en er ruru¡o ,,,:l;rJ'"r;";" del pasado.
n$:.::Hi"I":::
I
116
(e) Con la cralidad del juicio, empero' se opera de modo diferente; aunque una doct¡ina sostiede la Posibitidad de traspasar la cualidad al predicado- Aristóteles describe el juicio o proposición como sí la cualidad fuera una diferencia específica de la cópula. El juicio, en la descripción aristotélica, une o divide, quiere dech, alhma o niega, La cópula, entonces, expresa la aribución eo el modo de la afi¡mación y en el modo de la negación. tlay iuicios afirmativos y iuicios negatiYos. (f) Ttatarnos, pues, de la cantidad y la cualidad mediante dos aotítesis que, siendo independientes (una recae sobre el sujeto, la ocra sobre la cópula) podemos combioar al modo de las multiplicaciones. Resultan así: Juicios universales afirmativos. Ei: Todos los homb¡es son moitale
s.
Juicios universales ¡egativos. Ej: Ningun hombre es cuadrúpedo. Juicios particulares afirmativos, Ej: Algunos homb¡es son virtuosos.
Juicios particulares negativos. Ej: Algunos hombres no
son
virtuosos.
De las palabras latinas "affirmo" y "nego" se toman las dos primeras vocales para representar estos juicios. De esta manera, los símbolos son, en el orden dado, A, E, I,
O,
45. (a) Dos proposiciones categóricas se dicen opuestas cuando, siendo idénticos sus términos difieren en cantidad, cualidad, o caotidad y cualidad. Tomando los térrninos "homb¡e" y "virtuoso", las posibilidades son:
A. Todos los hombres son vi¡tuosos. E. Niagún homb¡e es virtuosoL Algunos hombres son virtuosos. O, Algunos homb¡es no son virluosos. Es comúo esquematizar la oposición de las proposiciones mediante una figu¡a conocida con el ¡rombre de caa¿ltado de Atistóteles. Dicha figura es:
AE IO l\'lediante esta figura se hace visible que la oposición comprende una variedad de especies. Son las siguientes: (1) á-8,' E-4. Oposición que se conoce con el oombre de conrrorie dad.
(2) A-O; O-A; F.-I; I-8, Oposición que se conoce coo el nombre
de
conhddicción.
1j7 l
()) A-I; E-O. Oposicióo
que se coooce coo el nombte de srperordi' taci6n, (4) I-A; O-E, Oposición que se conoce con el nombre de srbordinaci6r. (5) I-O; O-1. Oposición que se co¡¡oce con el norúbre de srbcont¡¿ied¿d(b) Las leyes de la oposición, que estableceremos en este luga¡, exp¡esan relaciones de valor enúe las proposiciones opuestas. Tales leyes sor enunciadas aquí en la forma t'si..- entonces...", es decir, de modo que puedan emplearse ulte¡iormente en conexiones ioferenciales. No hay, empero, leyes de la oposición en todos los
(l)-(51 la conra¡iedad. Si A es verdadera, ¿es E verdadera? A dice - si nos guiamos de nuest¡o ejemplo - de cdda xno de los hombres que es virtuoso; E, en cambio, dice de cada uto de los hombres que no es virtuoso. Si A y E fueran ambas ve¡daderas casos enumerados en (l) Conside¡ernos
c4¿4 rno de los hombres sería y no sería virtuoso, es decir, afirmaríamos y negaríamos conjuntamente lo mismo de un mismo sujeto, En esto consiste la idea de conrtadicci6n que el ptincipio de no-cont¡adicci6n rechaza universalmente. Por tafito, si una proposición categórica de tipo ,4 es verdadera, la opuesta contra¡ia es falsa e¡ virtud de un principi<, que podemos formul"r así: es imposible alitnar y coniwtanente negar lo mismo de lo mismo, Ayudándonos del simbolismo que nos es familiar podemos anotar la ley de oposición contraria aguí establecida en la forma siguiente: (* ) A)-E y empleando tres principios conocidos del cálculo de proposiciones - el teorerna T", conocido con el nombre de principio de transposición, la equivalencia "p=- -p" y la regla de separación -podemos pa-
sar de (c) a;
(P) E)-A que expresa la ley de conuariedad cuando se toma E como punto de partida. I-as leyes (") y (É) n"d" permiten establecer sob¡e la cont¡a¡iedad cuando la proposición categórica universal que se toma como punto de partida se supone falsa. Según ('), la falsedad de A es consis-
tente con un valor cualquie¡a de su opuesta contraria, puesto que una implicación de antecedente falso es verdadera cualquiera sea el valor del consecuer¡te. Otro ta¡rto vale en el caso de (p). Tal consideración anunciaría que no hay ley de contrariedad cuando la universal que se toma como punto de partrda se supone falsa. Si consideramos directamente una proposición de tipo .4 falsa, digamos,
I t]e
'Todos los hombres son virtuosos", rcsulta evidente que Para
su
fatsedad se exige tan sólo que a lo menos un hombre no sea virtuoso' Por tanto, de l¿ falsedad de A no se obtiene oecesariamente la verdad de E. Igual consideración si se parte de E supuesta falsal,as ú¡icas leyes de contratiedad son, entonces, (") y (É). (2) En cuaoto a la co¡t¡adicción' supongamos primero que A sea verdade¡a. Si la opuesta conuadicto¡ia o fuera asimismo verdadera tendtíamos - siguieodo con el eiemplo Puesto arriba - que según O algunos hombres no son viltuosos y, adem6s, siendo según ,A todos los homb¡es virtuosos, los "algunos" de que habla O serían y oo serían virtuosos. Por tanto, debieodo rechazat esta contradiccióo, conc luiÍros que si ,4 es verdadera, O es falsa. Evidentemente, igual consideración vale eri el caso de suponet E ve¡dadera y compararla
con su oPuesta cont¡adic¡oria I' Los principios que hemos empleado para obtener estas leyes son el ya citado de no-concradicciód y uo principio d,e ide¡tidad según el cual lo que se dice del todo ("Todos los hombres son virtuosos") se dice igualmente de urta palte suya cualquieta ("Algunos hombtes son virtuosos"). La palabra "igualmente" significa que si el predicado se afirma o niega del todo, respectivameote se afirma o niega de una Parte suya cualquiera. Usando de nuest¡o simbolismo, las leyes establecidas de contradic' ción se anotan:
(-) A)-O
(p) E)'l Y mediante trasposición: (y) o)-A (8) I)-E Supoogamos ahora que ,{ (¡'fqdos los hombtes son virtuosos") es falsa. En (l) conside¡amos este caso y observamos que la falsedad de A "exige que a lo medos uno de los hombres oo sea vi¡tuoso"' es decir, si A es falsa, O, a lo rnenos, es ve¡dadera. Asimismo, la falsedad de E ("Ningún hombre es virtuoso") erige, a lo ménos' la verdad de I ("Algunos homb¡es son virtuosos"). Hay, Pues, cuatro leyes más: (.t )-A)o
@') -E)I (y' ) -o)A lD') -t)E Es claro que estas ocho leyes se pueden reducir a cuatro, Puesto qr¡,e "A)-O" y "-O)A" se pueden resumi! como equivalencias R
esulta entonces: 139
l
) A= _o (P") E=-t (y" ) -A=o (et t
(0,,)
_E=r
Finalmente, estas cuatto últimas leyes Pueden leducirse' en virtud de un principio PioPosiciorial (p=-q.=-'-p=q)* a las dos siguientes:
| ) A=-o (p"') E=-I
(ct
(3) En cuanto a las leyes de superordinación ' puede¡ establecerse mediante las leyes y consideraciones hechas sobre la contra¡iedad y la conradicción En primer lugar' si A es ve¡dadera' E es falsa
y si E es falsa, I es vetdadera (c ont¡adicc ión)' Por ta¡to, si A es verdadera, I es ve¡dadera Mediante conexiones Pro_ posicionales la consideración ariterior Puede formalizarse así: A)-E):-E)l'). A)I La suposición "A es verdadera" permite desligar el consecuente icontrariedad);
del c onsecue¡te:
(*) A)t Iguales consideraciones a partir de E verdadera Permiten establecer:
(P) E)o En cuaoto a Partir suPoniendo A fatsa, sabemos que ello es con_ sistedrc con la verdad y con la falsedad de E,' luego - en virtud de los principios sobre la oposició¡ cont¡adictoria - la falsedad de A es consistenae con la falsedad y con la verdad de I lguales consideraciones si se suPof¡e E falsa. Es decir, en tales casos no hay le_ yes de s uperordinac ión. (4) Las leyes (*) y (É) establecidas en (3) permiten establecer inmediatamente las dos siguientes de subordinación:
(*) -D-Á (B) -o)-E
Estas leyes pueden establecerse asimismo mediante contradicción y contrariedad; porque si I es falsa, E es verdadera; y si E es verdade¡a, A es falsa. Igual coosideración eo el caso O falsa' En cuanto a suPoner verdadera la subotdinada, ello exige la falsedad de su cont¡adictoria; dicha falsedad es consisteote con la verdad y con la falsedad de su coot¡aria. Esto significa que la verdad de la subordinada es consistente con la ve¡dad y con la falsedad de la subordinante. No hay entonces eo tal caso ley de subordinación.
(5) Finalmente, tenemos la subcontrariedad' Si
'
Se prueba rápidamente mediante
I
l4o
transposición v reemplazo.
suPonemos
I
vcrdade¡a nada detetmina ello para O; porque si O estuvie¡a bieo ,lcterminada a partir de este supuesto lo esta¡ía asimismo A, por contradicción; pero las consideraciones hechas en el úftimo párrafo ,lr' (4) nos enseñan que rro hay tal determinacióo. Otro tanto resulta ,lc considerar O verdadera. Po¡ ta.nto, tales supuesto no conducen
ley ninguna de subconrra¡iedad, Si, empero, se supone I falsa, es E verdadera; po¡ tanto, verdaderr O. Y como dtio tanto resulta de suponer O falsa, tenemos las leycs siguientes de subcontrariedad: rr
(-) -I)o $) -o)I
I'ls claro que (B) pudo obteoerse por trasposición a parti¡ de (e),
46. I-os principios eo que rios apoyamos para obtener todas las leyes
,lc
opos
ll)
ición s on:
Es imposible afirrnar y negar conjuntamenre lo mismo de lo mis-
(2) Lo que se afitma o oiega del todo se afirma o niega de una l)¡fte cualquiera suya. Como dijimos, (1) es e1 célebre principio de no-con¡radicción. l':n cuanto (2), ¡o menos célebre es un priacipio de ideotidad que sc conoce ^con la ftase descriptiva Dictum de omni et nullo. La Iorma en que otdinariamente opera el Dicram es silogística; y en vcrdad se le toma como el fundamento principal de toda la silogística ,lc la proposición categórica^ Empero, la frase "Algunos X" expresa r¡r)a parre del rodo '¡Todos los X"; de manera que pasar desde ¡{To,los los X son Y" a "Algunos X son Y" es posible por la explícita y rlirccta aplicació^ del Dictt¿m. Y esto es lo que hemos hecho para c stablece'r, con ayuda del principio de no-contradicción, las [eyes ,lc la oposición contradictoria. l'in lógica, si¡ emba¡go, es común aceptar que la exteosión de u¡ ( ¡'ncepto puede ser nula. Es la idea de c/ase nüld o \¡aci^. Un ejemI'lo de tales clases estaría representado por la extensión del término ,listribuído "Todos los cenrauros". y se acepta que la proposición "'lirdos los centauros son ficciooes" es verdadera, e¡ taoto que "rrlgunos ieotauros son ficciones,' es falsa. La razón para esta ,lifcrcncia residiría en que la ptoposicióo parricular exige la exíslrt¡c¡u de un objcco que sea centauro y que sea ficción, siendo por ,.llo falsa; en ranto que la proposición universal no conlleva este .rs¡xcto tlc existencia. I,ln ral caso, no podría aplicarse eI Dictum; y sírlo cstaríarnos cn condicioncs dc cfectuar esta aplicación si a Ia ¡'rol'osicirin "'forlos los c(lr:rurrls s()n ficcioncs" pudiéranros agrcgar
tÍr
I
la premisa existencial "Exisrcn los centauros". Por tales consideraciones, las leyes de la oposición (como otras que formula¡emos más adelante) exigen eri orden a ser enteramente aceptadas el principio: (3) Los objetos de que se dice el rérmino suieto existen. 47. Diiimos más atrás que las leyes de la oposición rep¡esentan principios que puedeo emplearse en conexiones inferenciales. Esto es muy evidente a partir de operaciooes como:
A) -o A
-o No es común, eopeto, des@car de esta manera en los textos de lógica las leyes de la oposición; sin embargo, es claro que rodo el empleo de dichas leyes se reduce a tales conexiones inferenciales. Algunos autores clasifican la oposición entre las inferencias inmediatas. Este nombre proviene de la ausencia de un elemento de mediaci6n o térmioo medio, caracteristica de dichas infe¡encias. Quiere esro decir que la relación entre los rérminos de la proposición-conclusión no se es@blece mediante un nexo común de éstos (el término medio) sino directamenre de la proposición-premisa ea virtud de alguoa propiedad formal de ésra que nos permite formular la ley implic acional. Para asegurat de una vez esta distinción enre inferencia inmediata y mediata demos un ejempto de esta última y contrasremos. P¡emisas. Todos los hombres son mortdles Todos los griegos son bombres
lusión Todos los griegos son motlales
Conc
Más adelante veremos cuál es especificamente la ley implicacional que permite establecer inferencias de esta especie. Basta por ahora con observar que los términos de la propos ic ión-conc lusión son vinculados a t¡avés del elemento común que ostentan ambas premisas, el término medio ¡¡hombre". Nada de esta naturaleza eocontramos en el caso de u¡a inferencia inmediata; no hay una .salida' de los términos a una relaci6n con un tercer término en que se funde Ia relación ent¡e aquellos quc exhibe la cooclusión sino que ésta resulta de las relaciones cualitativas y cuantitativas en que los tétminos están. Tc¡do esto es lo que define la antíresis inmediato-mediato aplicada al razonamiento inferencial en el dominio de la proposición categórica. Y no dcbe decirse (como ocurre a veces) que la infctencia
I
142
inmediata se caracte¡iza Por compre¡¡der sólo una premisa. Toda infereocia es de la forma:
E!)8, El E2
y esto vale también para la inferencia oposicional. Eliminar este cquívoco de tla premisa única' es una de las razones que hemos renido pata dar a las leyes de la oposición forma implicacional. llcsultan así - como pusimos más arriba - inferencias inmediatas la siguiente: A)-O
como A
-o la conuerción de las proposiciones cateque especie de la i¡ferencia in¡nediata. Coaverti¡ es otra ¡qóricas ,rna proposición es transforma¡la en otta de igual cualidad, pero ¡londe los términos aparecen intercambiados. La Primera ProPosiciirn, en esta operación, se denomina l^ d ectd; la segunda, se denonina la c onuersa. Es claro que la cooversa debe sostenerse a partif de la direcra; cs claro, asimismo, que la conversa puede experimeotar un cambio cr¡:rntitativo respecto de la directa, puesto que la definición de esta 1)l\craci-n no hace exigencias de cantidad; y, finalmenre, claro es rrrrnbién que la definición dice sólo en qué consiste esta operaciin y no si es posible. Las cualificaciooes sobre la cantidad y la posiI'ilidad pueden sólo obtenerse examinando cada uno de los tipos rlc la proposición categórica. Antes de hacerlo así, conviene sin cnrbargo, que formulemos uo par de principios sobre la cantidad del Irc(licado. I'ls irnportante ante todo teoe¡ preser¡te que en la proposición ,,rtcgórica el predicado es pensado en comptensión, no en extensión; ( sro quiere decir que el predicado tiene por función cualificar el rrrjcto, expresar ur¡a determiriación que la proposición afirma o niega 'lcl sujeco. Ilepresentándonos sencillamente esta ¡elación diríamos ,rl¡¡o como esto: El objeto juzgado se ofrece al pensamiento en el ,-lr.nrcnto de la dete¡minación, exhibe múltiples determinaciones (l'roPicrlades, cualificaciones, relaciones); el pensamienro que es j"icio (lcstaca alguna de estas determinaciones y declara - fo¡mulando rrrrrr ¡>rcposición - quc ral dererminación pertenece al objeto. Así ,uzl{l cl pcns¿tmicnt() ?tccrca
48.
Consideremos ahora
143
I
ledera, es obvio que el predicado de la proposición categórica no es pensado en extensión siflo en comp¡ensióo. Sin embargo, los lógicos han aceptado siempre que es posible y legítimo hacer consideraciones cuaotitativas sobre el predicado. Y ya las simples consideraciones que siguen permiten admitir sob¡e esao. E¡r efecto, la proposición categórica afirmativa (A, I) oo exíge que la determinación expresada por el predicado sea privativa del sujeto sino que dicha determinación cubre el sujeto y puede ir más allá de sus límites. Incluso, en proposiciones donde oo encontramos otro domicilio para el predicado como no sea el su¡'eto, no hay en la proposición en cuestión elemento niaguno que fije esta condición sino que queda abierra la posibilidad de mayor exrensión para el predicado. Si consideramos el ejemplo "Algunos hombres sori virtuosos" podríamos pensar que la definicióo de "virtud" ercluye ura aplicacióo rnás amplia del término virruoso y que ésre, por tanro, está empleado en toda su extensión- Sin embargo, la verdad es que la proposición de nuesro ejemplo nada rrae que acote mediante defioiciones ni mediante expediente aioguno el empleo del predicado Todo lo que dice nuestra proposición es que algunos hombres son vir¡uosos, deiarido abierta la posibilidad de otros seres que, siendo o no hombres sean do obstante virtuosos. O, situándonos en un eiemplo ea que el uso pa¡ticular del predicado sea obvio como en..Todos los homb¡es son mamíferos", podemos hacer consideraciones de unifo¡midad: No habiendo diferencia formal ent¡e esta proposición y la que pusimos más arriba, es eviden¡e quc la ptoposíción cdtegíricd a.lbnotild no especifi.ca sob¡e la cantidq.l del ptedicado sino que lo empled paúiculaTmente en todos los casos. Asimismo, ld proposici6r, categ6rica negariua no especilica sobte la cantidad del ptedicado sino que lo ernplea unil'ersalmente en to.los los casos, Al decir, "Algunos hombres no son rubios', no se excluye la dete¡minación "rubio" particularmeote (¡'no son tal especie de rubios", por ejemplo) sino de modo universal. Es claro que lo mismo
vale de proposiciones negativas unive¡sales como, po¡
eiemplo,
" Ningún hombre es cuadrúpedo".
Con tales priocipros sobre la caoridad del predicado, podemos conside¡ar la conversión de los disti¡tos ripos de la proposición categórica. Lo que digamos se apoya además en el siguiente y obvio principio de identidad: ningún térnrino puede rener en la conversa mayor extensión que en la directa. (1) ionversión de A. Las observaciones anreriores hacen evidente qve Ia conueca de A es L Por ejemplo, ,,Todos los hombres son mamíferos" tiene por conversa "Algunos mamíferos son hombrcs'1
I
r44
Dicha conversión recibe el nombre de cotuetsiít p,, Ihnitaci6tu o cooversió¡ per acciders, Para dar fo¡ma simbólica e implicacional a esta ley de convetsión convedimos en la siguier¡te simbología, que empleareoos además e¡ todo lo que sigue: A IXY) =Todos los X son Y E (Xf ) = Nidgún X es Y I (XY ) = Algunos X soo Y o(XY) : Algunos X no son Y Así también, exprcsiones como "A(YX)" significan "Todos los Y son X",'etc. La conversión de ,4 es, pues, evide¡temente posible y se efectúa mediante limitaciói o per accidens, Anotamos simbólicamente: (*) A(x,Y))tE,x) (2) Conversióo de E. Ld cotu)ersa de E es E, En efecto, la disaibución del predicado de una proposición negariya y el carácter universal de E sigoifica la exclusión murua de las e¡te¡siones de ambos térmioos: X excluye Y, Y excluye X. Tambiéo es posible establecer inmediatameote esta ley de conversió.r apoyándola e¡ la simelría de la relación de exclusión. Anotamos eotonces: (*) E(XY )>E(Yx) lin este caso, puede anotarse igualmeote:
(p)E(vx))E(xv) lo que resulta de aplicar (*) a E(YX). Resumiendo, entonces, ea urra sola las leyes (*) y (É) podemos formular la conve¡sión de E como equivalencia: (y)
n6Y )=E(YX)
I,ilernplo: Ningún hombre es cuadrúpedo =Ningún cuadrúpedo es hombre. Siendo E la conversa de E, no hay cambio de canddad- Se deno-
a una operación con estas caracte¡ísticás conuetsi6n simple. (l) Conversión de l. La conuetsa de I es I; es decir, la particular lfirmativa se convierte también simplemente. En efecro, si consi,lcramos la proposición I en exre¡sión podemos decir que esre tipo rle proposición establece la conerión pardcula¡ de dos extensiones, ¡ni¡¡a
lr¡s de sus términos. Esta relación es simétrica, o sea, "Algunos X s()n Y" da lugar asimismo a "Algunos Y son X". Simbólicamenre: (. ) t(x,Y ))I(Y.x) y :tplicaodo (") a I(YX) resulta:
(l)r(Yx))r(xY) l,inalmente: (y ) I(xY )J(Y x )
(inbc insistir en quc la conversión de las proposiciones categóricas inrPort¡ no mcrnrncnrc u¡ cambio dc posición de sus términos sino un 145
I
la función lógica de éstos. Describiéndolo con ayuda de la terminologia gtanatical puede decitse que cl término suieto pasa de función 'sustantiva' a función 'adjetiva'; por su parte, el término cambio en
predicado hace el camino inverso.
(4) La conve¡sión de O no es posible. En los casos anteriores es patente que hemos respetado la defioición y los aludidos principios de la cooversión. Sc hari intercarnbiado los términos y se ha conservado en la conversa la cualidad de la directa; la cantidad de la convérsa se ha ceñido a los principios sob¡e la cantidad del predicado; de esta manera, finalmcntc, ningún término en la conversa tieoe más extensión que en la directa- La sola diferencia cuarititativa ocurre en la conversión de á,'pe¡o en este caso el té¡mino sujeto de la directa pasa a tene¡ menos (no más) extensión al traosformarse en téamino predicado de la ¡onversa, Mediante conside¡aciones que se arienen a la definición y a los priocipios de la conyersión podemos establecer a ptiori qre las yoposiciotes cdtegóricds de tipo O ,1o son cot¿erriblcs. Porque si no fuera así la supuesta conversa de O, debiendo ser negativa, empleatía universalmente el prcdicado quc como término sujeto de la directa es pa¡ticula!; de mane¡a que olvidaríamos en tal caso el principio prohibitivo sobre Ia caotidad de los términos en la conve¡sa.
49. Se considera también como infcrencia inmediata l^ perm tdciírl de las proposiciones categóricas. Iotroducimos para definir esra operacióo la ¡oc ión de "tó¡mino coot¡adictorio ": Dado un término X, su correlativo contradicto¡io es el término ¡o-X (-X), Por eiemplo, el contradictorio de "visiblc" cs "no-visiblc". Aho¡a definimos petmutación: Permutar uoa proposición categótica es cambiar su cualidad y sustitui¡ su término predicado por su coot¡adicrorio co¡relativo. Es claro que esta ope¡ación es posible e¡ cl caso de todos los tipos de proposición categórica. Lo que importa, enronces, es averiguar la relación entre la propos ic ióo-permutando y la proposicióo-permutada. Para esto, fo¡memos las cuat¡o permutaciones posible s:
(l) Todos los X son Y - Ningún X es no-Y (2) Ningún X es Y - Todos los X son no-Y (3) Algunos X son Y - Algunos X no soo no-Y (4) Algunos X no son Y - Algunos X son no-Y Si aceptamos que la relación de contradicción entre dos términos es simétrica, entooces, el conttadictorio de "no-Y", que podemos escribir "no-no-Y", es idéntico a 'Y". Permutemos ahora la proposición-permutada de ( 1); resulta:
|
146
(l) Ningún X es no-Y -
Todos los X son Y. Igual resultado se obtie¡e evidentemente ea los casos restarltes, l2l(4); es decir, la proposic ión-permutada de uoa proposicióo previ:rmente permutada es la proposición-permutando de esra última, Es ,rl,vio, además, en virtud del principio de ¡o-coritradicción que la prolx)sición -permutando y la proposición-permutada son en todos los , .rsos (1!(4) eqtiuatrentes. Podemos, empero, debilitar esta relación y cscribir las relaciones (1)-(4) como implicaciones; de esta mane¡a \c prestan ostensiblemente a conexiones ioferenciales. Empleando In sirnbologia del parágrafo aorerior y conviniendo además ea poner ¡'-y,, por el contradictorio de 'Y", anotamos:
(-) A(xY))E(X-Y) (p
)
(y)
E I
(xv ))A(x-Y ) ))o(x-Y )
(xY
(6t o(xY )'t(x-Y )
\l\. Conuersi6n pot negdciór, es la operación que consiste eo permutar y luego convettit una proposición cacegórica. Sabemos que los cuatro ti¡rrs son permutables; pero, puesro que la permutada de f es O y lrr¡csto qu9 esta última no es convertible, coricluímos que I no es onuertible pot tegacióa, Combinando entonces (en el orden que exige l¡r definición) permutación y conversión, tenemos las siguientes relat
A(xY ))E(X-Y ) (x-Y )) E (,Y x)
ti
(49, *) (48, (2),
*)
(.) A(xY ))E(-YX) ti(xY ))A(x-y )
(4e, B)
A(x-Y))t(-yx) (48, (1),.) (l) tt (xY )) r(Yx) (,(xY ))r(x-y ) (49, D) t(x-Y ))r(-YX) (48, (3), ") (y) o(xY))I(-YX) l.rrs leyes (*)-(y) aCuí obrenidas no pueden transformarse en equir,rlc¡rcir¡s como l^s leyes (")-(D) del parágrafo anterior. para tlue I'r¡l'irra cquivalencra de.¡al manera, la conversa por negáción eo cada rlr¡r ¡lc l¡rs casos (-)-(y) tendría que producir la directa al ser some¡ i,ln ¡r l¡¡ misma operación- Pero, la cooversa por oegación de ,,E(-yD,' ,', "l(-X-Y)" y no "A(XY)"; y la de "t(-YX),,, como vimos, no , rrrrc- Sin cmbzrrgo, invirtiendo los pasos de la conversión por negaI rt,ri o gcn convir¡ientlo primcro y pcrmu(ando después, es posible ¡,1¡trrr<'r l¡¡ irn¡rli<;rcirírr rccí¡rrocrr rlc (.) y (y). [in efecto: 147
|
E
(Yx))E(X-Y )
(48,
(2),.)
E (x-Y ))A(xY ) (*t ) E(-YX))A(xY)
(4e, p')
r(-Yx))r(x-Y ) r(x-Y))o(xY )
(48, (49,
(l), y\
.)
(yt ) t(-Yx):o(xY) La conversión por negación produce, entonces, equivalencias en el
caso de los tipos A y O.
51. Finalmente, entre las operaciones denominadas infe¡encias inmediatas se encuentta la conr¡aposicidn Consiste en Pefmutal' conver' ti¡ y ouevarueote Permutar u¡ra proposición. Es posible en todos los casos, ercepto en el de I. Procedie¡do como en el parágrafo anterior, tenemos:
A(xY ))E(x-Y )
(P erm.)
E(x-v ))E(-Yx) E(-yx))A(-Y -X)
(Convers-) (Perm.)
(* ).
A(xY
))A(Y-x)
E(xv ))A(x-Y ) A(x-Y ))r(-YX) r(-Yx ))o(-v -x)
(perm.)
(Co¡vers.) (p erm. )
(p) E(xY ))o(-v-x)
o6Y))t6-Y) ))r(-vx)
(Perm.)
r(x-Y
(Co¡vers. )
t(-vx))o(-Y -x)
(Perm.)
(y) o(xY ))o(Y'x) Hagamos ahora co¡side¡acio¡es de equivalencia: (Pe¡m.) A(-Y -X))E(-YX)
(Co¡vers.) E(-Yx ))E (X-Y ) (P erm. ) E(x-Y )) A(xY ) (", ) A(-Y-X))A(Xy ) Combinando (") y (*r ), anotamos: (cú ) A(xY )=A(_Y-x) Es fácil ve¡ que en el caso (p) no puede haber equivalencia; porque la irnplicación "ICYXDA(X-Y y' teniendo el término "X" más extensión e¡ el aatecedente que en el consecuente' debe ser rechazada; es decir, que el camino inve¡so de la serie de implicaciones que coaduce a (É) no es t¡ansitable. En el caso (y), en cambio, hay tránsito:
[
148
o(Y -x))r(-YX) r(-yx))r(x-Y ) t6-Y ))O(XY ) (y' )
(Perm. )
(Convers.) (Perm.)
o('Y-x))o(xY)
(lo¡¡bina¡do (y) y (y'), resulta: (.y" ) o (xY )= o ('Y -x ) La razótt de oo trá¡sito inverso en el caso del Proceso que conduce a (B) reside, aquí como en el parágtafo anterior (50, p), en el carácter limitativo de la conversión de A, En cuanto a la equivaleocia que se produce en los casos de contraposición d.e A y O y que no se produce cn los casos de conversión por negación de los mismos tipos, se cxplica, evidentemente, porque la inversió¡ de los pasos de esta última operación la afecta esencialmeate, lo que no ocure en el caso de la contraposición.
52. Las operaciones expuestas hasta aquí se comptenden en los manrrales de lógica bajo Ia denooinación "inferencias inmedia¡as". Se (ccurre, pues, a una simbología diference de la aquí empleada para presentar las diversas leyes que nosotros hemos expresado en forma implicacional. Como mntas veces hemos dicho, la inferencia es un ¡rroceso lógico que consiste en es¡ablecet uoa proposición como verdade¡a a partir de otras supuestamente verdaderas. Esta noción significa que si P, Pr,,.,, Po son las premisas de P- es decit, las ¡roposiciones que supuestas verdade¡as permiten inlerir la conclusión l)- el condiciooal
l\ P,.P,...Pn )P cs válido o es una implicación. Conversamente, el carácter implicacional de (1) significa que P se iofiere de P, Pr, .,' y Pn. De mane¡a ,¡ue la formulación implicacional de las leyes i¡ferenciales es adecuada, coo el agregado de que en esta forma ponemos aquí también ,l¡ manifiesto que hay uoa ley implicacional a la base de toda infe¡
t r¡cia.
l,a razón, coo todo, para que en los textos se expresen de oüa nr¡ncra los principios de la infereacia inmediata es que se suponen vcrdacleras las premisas; en tal caso, la contraposición de A, por jcmplo, se anota así: A(x'{ )... F. (x -v ) .'. E (-Y x ).'. A(-Y -x) Asinrismo, otrás operaciones fáciles de idendficar son:
r.
A(XY ) .. . -O(xY ) .' . t(xv )
^(xyI t.(xY)..-A(xY)
oltY). . r(X-Y). .l(-YX),'ctc.,
etc.
149
l
53. La doc¡rina ceotral de la Lógica de la Proposición Categórica es
la
mediata que trararemos de
defini¡ de modo que mejor se adapte a la obtenció¡ de sus condiciones más importantes.
Silogismo es la inferencia en que supuestas verdaderas las relaciones suieto-p¡edicado de dos té¡minos con un terce¡o se obtie¡e de ellas una determinada relación sujeto-predicado ent¡e los dos primeros télminos,
Las dos primeras relaciones sujeto-predicado (es decir, dos proposiciones categóricas) reciben el nombre de lÍemisas det silogismo; la te¡cera es la. concl si6n del silogismo. Los dos primeros términos son los extrerrros del silogismo; el tercero es el té¡míno medio, Es evidente que los exremos forman la conclusión; de éstos, el que se desempeña como predicado de la co¡clusión se de¡omi¡a término mayor; el sujeto se denomina té¡mino menot, Finalmente, aquella de las premisas que contiene el térmioo mayor se designa ptemisa mayor; la que contiene el té¡mino me¡ot, premisa nenot. Nada meior pata fijat esta termioología que recurrir a[ famoso cjemplo que codos sabemos de memoria: Todos los homl¡¡es son moúales Todos los g¡iegos son hombres Todos los gÍiegos son morrales Premisa mayor. "Todos los bombtes son mqtales" Premisa meno¡. '"Iodos los griegos son bombrcs,' Conclusión. "Todos los gríegos son úottales"
Término mayor, "llortak
s"
Término medio. "hombtes" Término menor. "gtiegos" Er ouesffo estudio, ¡espetaremos esüictamente el orden que las proposiciones que formao el silogismo presertan en el eiemplo anterior: premisa mayor, premisa meno¡, conclusión. Se observará que la definición que hemos dado ¡ada dice de expliciro sobre el tipo de las proposiciones categóricas que forman el silogismo, sólo fija su número. Tampoco esrablece dicha definición
la función de los términos dentro de las premisas; sólo declara que los té¡minos son tres y que el rrrenor y el mayor son ¡espectivameote sujeto y predicado
54. Si consideramos que los tipos de c¡rat¡o, los silogisrnos posihles clesde
[
150
la proposición categórica son tal punro de vista son tantos
como podamos combinar de tres eo tres con
o sin ¡epetición, cuatro cspecies distinras de proposiciones. Silogismos posibles serán, por ejemplo, los formados por las combinaciotes AAI, EOI, AOA, etcl)ara obteaer todas las combinaciones posibles de esta [aturaleza hacemos
la siguieote consideración: Hay cuatro silogismos posibles
y siguen e¡ A: AAA, AAE, AAI, AAO. La segunda lctra de estas combinaciones puede variar de cuatro maneras; luego, lr:ry dieciseis silogismos posibles que comienzan ea A: AAA, AAE, tlAI, AAO; AEA, AEE, AEI, AEO; erc. La primera lefta de es¡as ¡lieciscis combinaciones puede varia¡ de cuatro maneras; luego, y finalmente, hay sesenta y cuatro silogismos posibles considerando rreramente el tipo de las proposiciones categóricas que fo¡man un silogismo. Tales combinaciones indicativas de silogisrnos y'oslllas rcciben el nombre de modos posibles del silogismo, En realidad, c(¡mo proato veremos, los modos posibles del silogismo no son sesen_ t:r y cuatro sioo doscientos cincuenta y seis. Ot¡a manera de obtener las combi¡aciones aquí deducidas consiste cn disponer mediante divisiones encapsuladas en serie las distinras c¡rmbinaciones. Resulta así uo cuadro gráfico que el lector pu-c,, t-laborar rápidamenae. Se comienza diciendo: Sea C el número de combinaciones; uoas comenzarán en A, otras en E, ot¡as er¡ l, oúas finalmente en O,. de las que comienzan en ,4, unas seguiráo cn á, ()tras en E, o&as en l, otras finalmente en O,. de las que comieozan cn /!.,, etc., hasta completar los 64 modos posibles de que hablamos crr el p árrafo "anterior. Dijimos también que la defioición de silogismo nada establece sobre el orden de los términos denuo de las premisas. para da¡se cucnta de las combinacjones posibles en este caso, basta qq¡ y.a¡a. lrr ubicación del término medio. Será éste o sujeto en ambas premisas, o sujeto en la mayor y predicado en la menor, o predicado en la mayor y sujeto en la menor, o finalmente, predicado eri ambas premisas. l'.s fácil darse cue¡ta de que sólo hay esras cuarro combinaciooes (l'¡c reciben el aomb¡e de ligwas posibles del silog¡szzo. Es cosmmbre rlt signarlas en este orden: I¿. ligúa 2a. figura 3a. Íigúa 4a. figuta z-y Y -z 7.-y Y-Z que comienzan en A
x-z
(lombinando
x-z
z-x
z-x
las cuaa¡o figuras posibles co¡ los sesenta y cuatro rrrrrlos posibles, disponemos de esros últimos para cada figura; de rlonrlc resulta, como anricipamos, que los modos posibles lon do"_ r-icntos
c
incucnta y scis.
15
r
I
5 5. A contiouación, apoyándonos eo ciertas condiciones generales del silogismo, vamos a ioiciar ua proceso de acotamiento más ceñido de los llamados modos posibles. En esto y lo que sigue hasta te¡minar la exposición de este tópico nos atenemos en lo principal aIa presentación más cor¡iente que viene e¡ los ma¡uales. Un t¡atamiento más mode¡no de la teoría silogística se ofrece en el capítulo siguien-
te.
En primer lugar, formulamos aquellas condiciooes que se conoced
cor el oombre de reglas genet.tles del silogismo, Nos apoyamos para ello en la definición que hemos dado y en los principios ya establecidos sobre la cualidad y la cantidad de la proposicióo categórica.
(a) De la definición resulta que un silogismo liene ltes y s6lo tres tó¡mínos. (b) Asimismo, el silogismo constd solamenre de hes Ptoposiciolres' (c) El l&níno medio debe estat, Lnd uez al menos, eplicado erl
,odd su extensión (debe estar, una vez al menos, distribuído). La razón de esta regla es obvia: Puesto que los extremos se relacionan ent¡e sí por la intervención del medio, no es oecesaria ninguna conclusión cuando la relación de ambos ext¡emos cae sobre una parte solamente del término medio. La parte del medio con que se relaciona un térmioo puede no ser la misma con que se relaciona el otro, por lo cual no podemos concluir una relaciór¡ entle ellos. Se exige, pues, la distribución del término medio. (d) Ningín t¿tmino pvede ,enet en Id conclasión mós extensidn que en las premisas,
Es también un principio obvio, pues su trasgresión implicaría que hemos ido más allá de las premisas y que el silogismo no es válido por sí mismo. (e) Nada se concluye de ptemisos negotiuos, En efecto, en ellas o excluímos ambos extremos del medio, o el medio de ambos extremos, o u¡r extremo del medio y el rnedio del otro extremo. Es fácil ver que no hay relación entre los extremos que pueda conclui¡se. Dicho de otra maoera: las premisas negativas sólo establecea exclusiones; de lo cual no puedo conclui¡ ni afirmativa ni negativamente. (f) Si una ptemísa es negdtiúa ld conclasiín lo es csimísmo, Potque un térmiDo está en relación de exclusión con el término medio; luego, no puede relacionarse de ot¡a manera coo el segundo. Esta re-
gla, como es obvio, tiene ¡ecíproca, es decir, si Ia co¡chtsión
es
neBaliua und premisa debe serlo.
(g) De yemisas pqrric ¡arcs nada se infiere, La :ú¡ica parricular que distribuye un térñino es negativa. Este rérmino disrribuído debe se¡ el medio (ler. principio). La conclusión debe ser negativa (60
I
r52
l,'iocipio). Luego, el tér¡nirio mayor debe estat distribuído, lo que r
es
nr¡'osible por hipótesis.
(h)Si ua premiso es particala ld conclqsión es ,4mbi6n pqúic l4r. I)rueba, tambiéa, mediante las reglas anteriores. En efecto: una l,rcrnisa debe ser particular y la otra uoiversal (7q principio). Si son ,r'rlrrs positivas sólo hay un término distribuído que debe ser el tér¡rirro medio (3er. principio). Luego la conclusión es Pa¡ticulat (44 ¡'rirrcipio). Si una es negativa y la ora positiva la conclusión debe rrr negativa (6p principio); luego, el término mayor debe estar distrilruído en la prernisa. Adernás, debe estatlo el término medio (3er. ¡'rirrcipio). Supongamos que la univetsal es negativa. La otra ha de r"r particular afkmatív^; luego, la conclusión debe se¡ particular ll" principio). Supongamos que la particular es negativa; también ' rr cste caso la conclusión es particular. A¡liquemos, pues, estas reglas a la lista completa de los modos liin hacer todavía consideraciones sobre las figuras). La.lera anota,l,r al lado de algunos de estos modos indica la regla general que rrrlringe y por la cual es rechazado, ahora, como imposible: AAA AEA(Í) ,4rA(h) AoA(f) /l/E(f) AEE AIE( AoE(h) Aor(f) AE r(t) Atr ^Ar AAo(f) AEO AtO(t) AOO
\..
t¡AA( f) EEA(e) EtA(f) ttAE EEE(e\ EIE(h) N(f\ E El(e) E II(f) tt Ao EEo(e) EIo
E oA(e)
r/A(h)
IoA(e) IoE(c) IoI(e\ too(e)
II
IIA(g) r^E(h) rEE(h) IIE(g\ At rEt(f) I (e) ,.4o(f) IEO(d) IIo(s\ o AA(Í\ oEA(e) oIA(s) o^rj(h) OEE(e) oIE(g) oAI(f) oEI(e) oII(e) o tto oEo(e) olo(g) rE
A(f)
r
E
o¡j(e)
E Ot(e ) E OO(e)
oOA(g)
ooE(e) OOr(e) o
oo(e)
Lrr climinación que hemos hecho (hay cierta a¡bitrariedad, como es l,¡, il vsr, tespecto de las reglas empleadas en los disrintos casos)
',
asi: cgla ( rl) It, ¡¡l:r (c) l{c,qlr (f)
',.sume It
1
12 1'7
(n) l6 Ire¡r (lr) 7
Itr',,{la
l5t
I
Es decir, la aplicacióo de las cinco últimas reglas del silogismo (y de la tercera, asimismo, puesto que ésta se ha empleado en la obtención de la séptima y la octava) eli¡ri¡a 53 modos posibles. Los once restantes son cotsisrerxtes con tales reglas; pero esto no quiere decir que hayamos probado que tales once modos sott conclayentes. Tenemos, pues, todavía por delante 44 posibilidades; porque son cuatro las figuras que pue
Podemos, ahora, introducir la consideración de las figuras para uoa nueva eliminación enüe los 44 modos hasra aquí posibles. Empecemos anotando los modos consistentes con las seis últimas reglas del silogismo. AAA EAE IAI oAo
AAI AEE
EAO
EIO
AEO
AII AOO (1) Consideremos la primera figura. Su forma es:
itB AM
AB
I-as condic.iones que debemos exigir en el caso de la primera figura
(a) La l¡rernisa menor clebe set alirn ath)d, Si no fuera así, la co¡clusión seria negativa (60 principio). Luego, en AB el predicado estaría disribuído, por lo cwal MB sería negativa (4a principio)Y en consecuencia, no habría silogismo (50 principio). (b) La ptemisa may or debetser uniue¡sal, Si no fuera asi, AM teodrá que set negariva (3er. principio). Luego, AB lo se¡ia asimismo (60 principio). Por lo cual, MB tend¡ía que ser también oe g^tlva (4a principio). En consecuencia, no habría silogismo (5q principio). podemos también probarlo apoyándooos en la primera condición. porque A,4l debe ser afirmativa, es decir, que no distribuye el término medio; por lo cual debe éste estar distribuído en ,418, Estas dos condiciones nos permiten seleccionar los modos consis_ ten¡es de la primera figura:
AAA
EAE
AII
EIO
(AAr)
(EAo)
De éstos, AAI, EAO, son modos en que la conclusión se encueritra limitada, puesto que puede ser, re spectivame nae, A y E. Los ponemos, entonces, de lado y dejamos como resultado de n¡restra reducció¡
los modos: I ts4
AAA;
EAE; ATT;
ETo
(2) Esrudiemos las condiciones de la segunda figura: nt4
^¡t
,48
\', rrros inmediatamente que ura de las premisas debe ser negativa trr. ¡rincipio)(,r) L,r"to, la conclusi6n debe ser negariud (6q principio) ll,) Fln vi¡rud de (a) , B debe ir disribuído (40 principio). La segun,l,r ¡ r¡ndición es pues que ld premisa mayor debe ser ,tiaercal. A partir de estas condiciones, obtenemos para la seguoda figura lr,' nrodos siguientesi t
,'IIIE ,lr It
(/tEo)
AE (EAO)
,.too
Eto
E
lr¡s cuales separamos, como modos débiles, ,4EO
rr ¡r
lmc
l:
y EAO.
Resulta
nte:
AII; AEE: EIO; AOO terce¡a figura se
(l) La
esquemariza
de la siguiente
manera:
Mtl A
^tl La ptemisd meno¡ debe set oli\r1tLtia7. Si fueta negativa, lo (r\ ¡rríll también la premisa mayor, por razones obvias; y entonces no h,r I'r
írr
s
ilogismo.
ll,) Como consecuencia de lo anterior, la conclasión debe
ser
l ¡rles condiciones nos permiten separa¡, como modos consistentes
'1, Lr t
,trl
(,\).li ld
premisd m¿tyot es aÍitrl?atiaa, Id menor debe set *nit¡etsal, I ,' ,¡rrc t:s obvio en razóo del tercer prilcipio que exige que el término ¡r,,1¡¡r csté distribuido una vez a lo menos. (l'\ Si la plemiso rnenor es dfirmdtiua, Ia conchtsión deb¿ s¿¡ p4¡. ¡h lü. Lo que resulta de la exigencia que hace el cuarto priocipio. r
n
lr\ .\i ld conc lusi6r, es rregatiua, la premisa moy or debe set nittl (40 principio). lt5 I
! Seleccionamos a partir de estas condiciones los modos consisten_ ¡es de la cuarta figura:
AAI; AEE; (AEO); IAI; EAO;
EIO.
Po¡emos entre paréntesis AEO, porque es una valiación limitada de AE E.
Eo resumen, hemos obtenido 19 modos, distribuídos entre las figuras de la siguiente manera:
Id. lig.
AAA F.AE AII EIO
24.
Íig. EAE AEE EIO AOO
fis, 4a líg AAI AAI AEE IAI IAI AII EAO EAO EIO O AO
3a.
Eto No hemos mos[ado que seari conchtyentes, sino solamente consistentes con los priocipios generales del silogismo y las condiciones necesarias de cada figura e¡ Particular' Sin embargo, podemos darnos cuenta de su cooclusividad si logramos percibir las relaciones que cada figura establece entre los términos y cómo los mo'dos que hemos seleccionado satisfacen esas relaciones. lo. En la primera figura, la mayot es universal' El término mayor
se afi¡ma, o niega, del término medio uoiversalmente' La meoo¡ es afitmativa; el térmioo menor se afirma del término medio: luego el térmioo mayor debe, afirmarse o nega(se' respectivamentet del térmiño menot. 24. En la segunda figura, la menor afitma que algo posee universal o particularmente (,4 o f) lo que otro término oo posee (E); o níega que algo posea (E u o) un at¡ibuto que otro tétmino posee ('4) Es u"í q,r" pod"roo. concluir que el término menor queda excluído del
térmioo mayor, siendo
la cantidad de la conclusión
determioada por
la menor. 3p. En la tercera figura la mayor contiene la afirmación' o oegacióot de un atributo, la meoo¡ la afirmación de un nuevo atributo; luego, es legítimo concluir el acuerdo, o desacuerdo, entre los predicados, según sea la canrided de las premisas. 4q. I-os modos de la cuatta figura se resuelven fácilmeote en modo¡ de la primera y de la tercera, según veremos más adelaote' Si tales consideraciones no basraran para most¡ar que los 19 modos obtenidos son concluyentes o uálidos, ya haremos un trabaio menor vago más adelante. Por ahora, digamos que para fijar tales modos en la mernoria los lógicos medievales idea¡on nombres que asignaron a cada uno y con los cuales formaron los siguientcs versos:
[156
Bub6a, Celarent, Darii, Ferioqre prio¡is; C e s ate, C orne s he s, F e s tirro, B et oko s e c undae ; Tertio, D&apti, Disarnis, Ddtisi, Felaprort Bokardo, p¿r¡"oo, babel; qratta its,pet addit Br antanrip, C a mene s, D imarís, F e s o po, F¡e s is on, l.irs tres yocales de cada nombre indican los ripos de proposición de r'¡rda modo. Así, p.ej., Ferio corresponde al modo EIO de la primera li¡qura. Es así que estamos eo condiciones de da¡ un ejemplo de un nrodo cualquiera:
Ningúz polílico es inútil
Alguos holgazanes son políticos Alganos holgazanes no son
inútiles
I'E
rI O
Pe¡o no sólo las vocales tie¡e este rol indicativo; algunas enúe l¡rs consonantes indican el modo de realizar cienas operaciones que rstudiaremos más adelante y que permiten responder simple y segur ¡rmente a la ya mencionada cuestión de validez o conclusividad. Observemos finalminte sob¡e las ocho reglas generales del silo¡ismo que todas sin excepción han sido empleadas en la obteoción rlc los diecinueve modos coosistentes del silogismo que enumeramos ¡nris arriba. La primera regla que fiia el número de Ios términos de rrn silogismo ha permitido dererminar el número de sus figuras posil,lcs, la segunda, que fija el oúmero de las proposiciones del silogisu',', ha permitido determinar el número de los modos posibles; la tlrccra, Ílue exige la disrribución del término medio e¡ alguna de las l,rc¡nisas, fue empleada en la prueba de las dos últimas reglas genernlcs; finalmente, las cinco ¡escantes se u[ilizaroD en la primera y nrris importante eliminación. Por lo demás, a la visra está el empleo r¡uc hicimos de algunas reglas generales en la obtención de las reglas l.sl)cciales de cada una de las figutas. \1,. Consideremos las cuatro figuras. En primer lugar, salta a la vista ,¡rr sus principios son distintos. (r) En la ptimera figura los modos so¡: AAA; EAE; AII; EIO rl rsquema de la figua es: ,11 cs B A cs M I es B \¡ consideramos el esquema y los modos conjuntamente llegamos a la ri¡rricntc cooclusión: Que B se afirma, o niega, univetsalmente de M, y tl{ sc afirma (unive¡sal o pa¡ric ularmente ) de A. Luego, B se afirma, ,r ric¡i¡¡, (r¡oivcrsll o part ic ularmcotc ) de A, Todo el fundanento de 157
I
esta figura reside eo el famoso principio que e¡ lógica se designa con la expresión abreviada Diclum de Omni el Nallo, y que podemos enunciar asi: Lo que peftenece ol ahibuto de una cosa, pertenece d la cosa;
o Lo que se dice del predicado se d.ice del sajeto: o Lo que se alirma, o niega, del totlo se afhma, o niega, ,e
de sl¿s par-
s.
En conexión con el Dictam podemos citar dos pasajes d.el Organon, Err Cdtegoríds,
3, leemos: ",,, Cxando ana cosa se dice com<¡ attrib to de otra, todo lo qte es alirma.lo .lel preclicado, deberó tdmbién alirmarse del sfieto, Pot ejemplot 'homb¡e' es atribuído al hombte indiuidual, y .dnimal' abibtído d 'hombre'; en consec encia, al bombre indiuidtal se ahibLh á tarnbién animal,,,"
E¡ Primeros Analíticos la misma idea se expresa, sólo que no ianto con el carácter de un principio o axioma, sino como algo implícicamente supuesro en una definición. De todas maneras, la definición en Aristóteles tiene un sentido muy diferente del que suele dársele en nuest¡os dias; de modo que el principio que estamos examinando es el contenido de una formulación verdadera, y no de una mera convenc i ón:
"... Decb que n l¿tmino est¿ contenido en ld totdlidod de oÍro rérmino, o decir qae an término es atribüído d otro tomado nh)ersdlmente, es lo nismo. Y ¡lecimos que an término es ¡tlrmddo aniuers.tlmente c a do to se puede eicontÍar en el s4eto ningtana parte de la cual ,to se paedd alhmar el obo ,érmino; igual explicación se dat6 a la erpresión 'no se¡ attibtído d nirrgtno' ". (248, 26-30). Vemos así que el Díctum de bmni et Nzllo se aplica allí donde atribuimos universalmente (A y E) en raz6o d.e la definición misma de e sta úhima operación. (b) En la segunda figura los modos son: E.4 E: AF.E: CIO; AOO. EI esquema de esra figura es: B es
,41
,4 cs B Las premisas son de cualidad diferente, la mayor es siempre universal. El principio de esta figum es el siguiente: Si un término se afirma o niega universalmente de otro, y re spectivamenre, se niega o afirma, particular o universalmente, de un tercero, entonces el segundo se negará particular o universalmente del últirno. t. \ L,,' mo,los ,lt l,r tcrccr:r fi¡ur.r son.
I
Ist¡
AAI; lAl; AII; EAO; OAO;
EIO'
y su e squema:
MesB MesA A es B til priocipio de esta regla Puede formularse así: en Ia mayot se :rfirma o niega urr atributo de un sujeto; en la menor se afirma un ruevo ,rtributo del mismo sujeto; luego, estamos eo condiciones de afirmar ,r negar el primer atributo del segundo. M puede considerarse como cxpresión de una parte de A, de maoera que lo que se afitma o niega ,lc ,4,1 se afitma o niega de A con las diferencias que requiera la canti.r¡rrt.
(d) En cuanto a la cua¡ta figura sus modos se reducen obviameote rr la prirnera -\r tclcera figuras. Pero, ya Pasaremos a ver todo el detallc de esto. 57. Darse cu€dta de la validez de los modos que hemos seParado es rrlgo que puede lograrse mediante consideraciooes geoerales en e[ ,,rso de cada figum o cstudiando por separado cada uno de los modos quc rcsultaron de nuestro examen anterior. Consideraciones geoerales hcmos hecho eo el caso de las t¡es primeras figuras. En cuanto a la rilrima, hemos rcferido la validez de sus modos a la validez de otras fi¡quras, relación que, como vamos a mostrar ahora, vale Pata todos los modos con refereocia a los cuatro de la primera figura. Es lo que crr lógica clásica se corioce con el oombre de "reducción a la primera
figura". Antes, ilustremos sob¡e la validez en el caso Particular de cada ¡nodo considerando los casos de Carnesres, Bramantip y Bokardo: (l) Todos los Y son Z Ningún X es Z Niogúo X es Y El sentido del argumento es: Y está incluído en Z, y Z
excl'uído
,lc X. Luego, lo que se dice de Z se dice de Y que es una Parte suya, .r saber, que está excluído de X, El principio, corno se ve, es el lt i.tum en su parte negativa. (2) Todos los Y son Z Todos los 2 soo X Algunos X son Y l,.s fácil rlarse cuenta de la validez del argumento eo llramantip: l' r'srá inclrridr> tt Z, /, está incluítlo en X. I-uego, Y está incluído ,n X; tlc rlrncr¡ (It¡c] convircicndo, simPlcmcnte concluyo "algunos \ sorr )"'. l5q 1
(3) Algunos
Z
Todos los
no son Y
Z so¡ X
Algunos X no son Y Es decir, puesto que todos los Z soo X, y alguoos no son y, serán estos 'algunos' uoa pa¡te de X que ercluye y. Los argumentos soo igualmente obvios en los casos aestantes.
58. Consideraciones del tipo de las que hemos hecho para darnos cuedta de la validez de Camenes, Bramantip y Bokardo, no son otla cosa que la aprehensión inmediata de lo que en general y articulada_ mente se expresa en los priocipios de ¡educción a la primera figura.
Vamos a conside¡a¡ de esta mane¡a la ¡educción examir¡ando los modos de la seguoda figura:
(l)
Cesare:
Ningúo Y es Z Todo
X es Z
Nrü;T ."
x
Si convertimos la premisa mayot simplemente obtenemos: Ningún Z es Y
Todo X es Z Ningún
X
es Y
es decir, que Cesare se réduce a Cela¡ent que es válido en virtud del D ictlm. (2) Camest¡es: Todo Y es Z Niogún X es Z Ningún X es Y Convirtamos simplemente la preoisa menor; cambiemos el orden de las premisas; y convirtamos simplemente la co¡clusión: Ningún Z es X "fodo Y es Z Ningún
Y es X
que es nmbién Cela¡ent.
(3) Festino: Ningún Y es Z
Algú¡ X es Z Algún X no es Y Convierto simplemente Ningún Z es Y Algún X es Z
Atg¡"
[
160
x .. ""7
la
premisa mayor:
.\ (lccir, la reducción
me conduce a Ferio. Los lógicos hablan de ¡edu.cción ostensitd er¡ casos como los que l¡cnos exami¡ado. En general, se dirá que la redrrcción es osreosiva ,r rlirecra cuando la conclusión probada a paltir de la primeta figura cs Ia misma que contiene el modo que reduzco (p.ej,, Cesare, Festirro), e 5¿ obtiene por conversión de la conclusión que obtengo (p.ej., r ¡rnrestres). lls fácil ver que la reducción no presenra serias dificul¡ades, .xcepto en los casos en que uoa de las premisas es O puesto que a t,rlcs proposiciones no podemos aplicar la conversión. Esto nos hace lij¡rr especialmenre la arención en los modos Baroko y Bokardo. I'cro anres de examinarlos, digamos algo sobre el significado de ,rl¡¡unas entre las letras que forman el nombre de cada modo. (a) En primer lugar, las vocales; ésras indica¡ el ripo de las pro¡rtsiciooes que forman el argumento, y en el orden, premisa mayor, I'rcmisa menor, conclusión. Ei: Ferio, EIO. (b) La inicial de los nombres correspondientes a los modos de las liguras 2a, 3a, y 4a, indica el modo de la primera figura a que pasarnos al reducir. Por ej., Bramaatip se reduce a Barbam, Cesare a ( clarent, e¡c, (c) La lera s que sigue inmediatamente a uoa vocal indica que la ¡'roposición ¡ep¡esentada por dicha vocal se convierre simplemente al rcducir a la primera figura. Así, p-ej., eri Cameoes: [a conclusión que olrtenemos en Cela¡ent es la conversa de la conclusión de Camenes. (d) La lera zr iodica que para reducir debo intercambia¡ las premi_ ',¡s: ¿sí lo hemos hecho, por ei., al reducir Camesffes. Hay que aten,lcr a va¡ias cosas a la vez. Consideremos, por ejemplo, Disamis. llrr este caso pasamos a Da¡ii del modo siguieote: Convertimos sim_ ¡,lcmente la mayor (I); luego, intercambiamos (e) La letra p indica conversiin per accidens. por ejemplo Brar¡r:rntip:
'l'odo Y es Z 'I'odo Z es X Algún X es Y l'¡rso a Barbara poniendo (m): Todo Z es X Todo Y es Z
'I'odo Y es Y lrrcgo, convierto por limitación la conclusión: Algún X es Y (f) l-a lerra k de los r¡odos Raroko y Bokardo indica que la reduc_ 161
I
ción oo es directa, que el proceso que debemos empleat es la famosa / edqct io dd imPossibi Ie, 59. Coasideremos ahora Baroko y Bokardo. Sabemos que los modos de la primera figura son:
AAA; EAE; AII; EIO. luego, al ¡educi¡ r¡o podemos considerar como mayot una ptemisa particular. Y si ésta es de tipo O no puede ni siquiera se¡ menot. Es así que la reducción no puede ser ostensiva, puesto que O oo se conviette. El procedimiento para reducii Baroko y Bokardo es introducido por el mismo Aristóteles. En esencia, consiste en Proceder rechaza¡r-
do la validez del modo y mostrando que tal rechazo es inconsistente con lo aceptado; es decir, se procede indirectamente. Veamos el caso de Baroko, que esquematizaremos: Todo N es ,ll Algún S no es M
Algún
S no es N
l)ice Aristóteles: ".,. Si Il pertenece a ,odo N, peto no pettenece o algú 5, necesoriamente N no pettenece a algún S, Pues, si N pertenece a trodo .f, y ll es aÍirmddo tdmbién de lodo N, necesariamer?te M perte ecet6 a ,odo S. Abora bien, babíamos sr.ptesto q e M no peúeflece a algún 5,.." (Ptimeto Analíticos, 27o, 35-40) El plan de prueba es. pues. el siguiente: si Todo N es ll y Algún S no es,4'f será Algún ,Í no es N
En efecto, si no fuera ésta la conclusión será eotonces "Todo S es N." Construyo: BAr
Todo N es M Todo S es N
bA
Todo S es
rA
M
verdadera
La conclusióo de este silogismo en Ba¡bara está en contraCicción con la menor del que consticuye mi premisa. La dificultad proviene Ce haber supuesto que Baroko no era concluyente. Luego, debo sostener que sí lo es. Bokardo pertenece a la aerce¡a figura, Su esquema es: Alg'ór Z oo es Y
Todo Z es X
Algún X no es Y
I
t62
l¡rocedemos como eD el caso anterior, y ano¡amos:
fodoX es Y BAt Zes X bA fodo Zes Y rA silogismo en Barbara que a¡roja una conclusión inconsistente Todo
con
rtn:r premisa que hemos supuesto verdadera, a sabet: Algún
Z no es Y, l'odemos, tambiéa, probar di¡ectamente la validez de Baroko y Bokar,lo. Para ello, aplicamos p¡imerámenre a sus ptemisas los principios (lc permutación y cooversión que henos establecido más atrás. La Iorrna de Baroko es:
'Iodos los Y son Z Alguoos X no son Z Algunos X no son Y
( ¡rnvirriendo la mayor por oegación y permutando la menor obtengo, tt ltarlir de las ptemisds de Bdtoko, las de Ferio que pruebao la misma r ¡¡rclusió¡. A saber: Ningún no-Z es Y Algunos X son no-Z Algunos X no son Y
l'¡r cl caso de Boka¡do convertimos por negación la mayor y cambia¡r¡,s el orden de las premisas. Resultan así las premisas de Darii, la ¡ r¡nl corivertida a su vez por negación produce la desea{a conclusión
,lt. llokardo.
En efecto, Bokardo es: Algunos Z oo son Y 'l odos los Z son X Al¡1unos X
(
ro son Y
)l'( rando como pusimos rnás arriba, resulta:
'lixlos los Z son X Algunos no-Y soo Z Al¡¡unos
no-Y son X
\', linrlmente: Algunos X
no son Y
r'il.
Vcmos así (no lo hemos mosrado exhaustivaoente, pero a partir ,1" los crite¡ios suñinisrrados es fácil lograrlo) que todos los silogisr,¡,'r rle las tres últimas figuras se prueban por los modos de la prime-
r,, l,.n ¡rrrticular, Cesare, Came stres, Baroko y Bokardo, se reducer¡ 'r l,rr nrorlos r¡niversales Barbara y Celarent. Co¡sideremos todavía 1,,¡ nrotlos p?rrticularcs de la primera figura, es decir, Darii y Ferio. Vrrrros :r proceclcr con ellos indirectamente, ú, l
( 1) Darii: Todo Z es Y Alg.ón X es Z Algún X es Y
si rechazamos la conclusión obtenemos Ningún X es Y Combinamos esta última con la mayor de Da¡ii: Todo Z es Y Ningún X es Y Ningún X es Z
es decir, obteoemos uo argumento en Camesttes, que se prueba por medio de Celarent' La conclusión es contradictolia con la me¡or de Darii" Luego, debemos ¡echazarla, con lo cual la conclusividad de Darii queda probada. Et fundamento, tepedÍros' es Celaient' Lo que quiere decir que el silogismo particular afi¡mativo de la primera figura, Darii, se P¡ueba media¡¡te el silogismo universal r¡egativo de la misma figura, Celarent. (2) Ferio: Ningún Z es Y Algú,t X es Z Algún X no es Y rechazando la conclusión, Pasamos a la verdad de la contradiccoria, a sabet: Todo X es Y Combinemos esta última con la mayor de Ferio: Ningún Z es Y Todo X es Y Ningúo X es Z es decir, Cesare, que se prueba mediante Cela¡eot. La conclusión que obtenemos es inconsistente con la menor de Ferio, por lo cual la rechazamos, siendo asi probado Ferio mediante Celarent'
En una palabra, procediendo directa o indirectamente - en todo caso en acuerdo con las leyes de la oposición, la conversión y el Dictrm - henos reducido todos los modos * los dos modos unive'sales de !a primera figura; o meior, hemos probado la validez de todas las fo¡mas del silogismo mediante los rqodos Barbara y Celarent, que son perfectos y que no requieren de otro principio qwe el Dictum de omni et de nallo. (Confrontar Pt. Anal. 23 b)' 61. Demos todavia una mirada de conjunto a los
modos concluyentes
del silogismo, y tracemos de obtener algunas conclusioncs cstimativas' I-as figuras son c¡¡aüo, y los modos e¡trc cllas sc distribuycn así:
|
164
la. Figura: AAA; EAE; AII; EIO 2a-Figural. EAE; AEE; EIO; AOO 3a. Figura: AAI; IAI; AII; OAO; EAO; EIO 4a- Figrra: AAI; AEE; IAI; EAO; EIO (a) El valor de la primera figura frente a las restantes es indiscr¡rible. Es la única que nos perrnite concluir ea .t, es decir, probar r¡na afirmación unive¡sal. Además, comprende del modo más simple Ios cuatro tipos de conclusión. Se agrega a esto su perfección, es rlccir, que su conclusividad resulta directame.\te del Dictuñ, (b) La segunda figura nos sirve exclusivamente para refuta¡; y nos instruye sobre la forma de1 argume[to en relación al grado de la refut;rción. Ante una afirmación general, p,ej,, "los principios son autoevi,lcntestt puedo adoptar dos actitudes: o refutarla meramente, o sostencr la contraria. Es decir, que tengo en vista t'algunos principios no ton autoevideates" o "los principios no soa autoevidente s t t. Con vistas a la p'rimera conclusión debo seleccionar EI o AO, en todo caso una proposición universal. Con vistas a la segunda, así como mi meta cs más ambiciosa, el precio es mayor: las dos premisas deben ser iversales(c) En la tercera figura pruebo una particular negadva o afirmativa" I-¿r utilidad de esta figura es en relación a la refutación de algo universal (A,E). En efecto, la prueba de I, p.ei., en sí oisma ioútil o de ¡xrco valor, constituye una refutación de E, en virtud de las leyes de l¡r con¡radicción. r¡n
(d) Podemos agregat otras consideraciones que resultan de un los modos, Por ei., para ¡efutar mediaote I eri la rcrccra figura, serán preferibles Disamis o Datisi; y la razón es que
¡xzrmen exte¡io¡ de
I);rr¿pti exige de dos premisas unive¡sales. En efec¡o es más fácil cncontrar premisas patticula¡es que udiveasales; de manera que la rlfutación por I exige menos esfuerzo mediante Disamis o Datisi. I stt consideración puede generalizarse diciendo que una proposición sc lrrobará pot el camino más fácil, es decir, aquel en que las premi*,rs universales sean mínimas. (c) En cuaoto a la cuarta figura, su estructura es: BM MA
A; .i
c¡nrbianros el orden de las premisas, y al mismo tiempo converrimos r i¡r¡lrlcnrencc la conclusión, tend¡emos: ttl ,4
BM
nA
t65
)
es decir, un posible silogismo en primera nrgura. La conve¡sión simple, empero, sólo es posible co¡ los tres primeros modos, es decir, AAI, AEE, L4L Ello significa que los tres p¡imeros modos de la cuarta figura se reducen en un sentido obvio a Barbara, Celarent, y Darii, Consideraciones del mismo género muestran que Fesapo y Fresisoo se transforman obviamente en Felapton y Ferison.
62. Aristóteles habla de dos especies del razonamiento: silogismo e induccióor. f)ivide, además, el silogismo en demosüarivo, dialéctico y erístico'?. El silogismo demost¡ativo es aquel que parre de premisas verdaderas y primeras, o de p¡emisas cuyo conocimiento se origina en premisas primeras y verdaderas. El silogismo dialécticc es el que parre de premisas probables (es decir, de opiniones que se originan meramente en el comercio cotidiano de los hombres, o que provieoen de quienes iienen autoridad). El silogismo es eristico cuando parte de premisas que parecen ptobables, no siéodolo en realidad. Los términos que intervienen en el s.ilogismo son universales. Aunque Arist6teles no rechaza decididamente los términos singulares es claro que el significado de los argumentos con conclusión sirigular es, desde el punro de vism de la concepción arisrotélica de la ciencia, totalmente ¡ulo. En efecto, ..la ciencia es demostracióo, y la demostración establece una co¡exión u¡riversal a través de premisas universales. En relación al carácter universal del conocimiento, nadie más e¡fárico e inequívoco que Aristóteles,' (H. H. Joachim, A Comm, to Nicornachean Etbics, p- lAl) Además, las coosideÉciones generales que hace Aristóteles sobre la prueba o demosr¡ación de cada ptoblema (en pt. Anal. 43a, 2O y sig.) nos instruyen sob¡e los términos que son, por deci¡lo así, 'demasiado generales', o sea, las categorías. Se trata, como dice él mismo, de esta¡ en condiciooes de procurarnos siempre y en abundan_ cia silogismos que comprendan como conclusión la cuestión que nos es propuesta. Ahora bien, para que los rérminos de la cuestión 1,4 yB) se prueben esta¡ vinculados en el sentido requerido debe ocurrir, en relación a un medio, una de las cuatro posibilidades (sabemos que Aristóteles sólo considera ¡res ): I',8 BA', TIB BLI
ALI AIT ITA
MA
I
Segundos Analícicos
'?
Habla rambién de un argumento defectivo que
7
ól,icos,
I
t66
IOO
^
24
7la,
y sis.
j-tI. lt¡m¡ pa.alosismo.
ConfÍ.
cs decir, que los términos del silogismo, con vistas a la Prueba c rlcmostración, deben ser (así, por lo oenos, en la mayoría de los casos) intermedios con resPecto a los té¡mioos singulares y a los ¡óneros supremos.
"Etttre todd.s las cosas qte existen sofl nas de t|tr rrdtúaleza qte no paeden legílimamente set tlhmd.das {niaetstlrnen,e de ninguna otut (pot eienplo Cleór' y Callias, es dech, lo indiuidxal y sensi' ble); ottas cosas, et cambio, ptedet ser tlirtu*dds de ellas (yd q .e cddd ta de estos cos1s indh)ídttdles es 4 l.t aez hombte y animal). Hay, ademós, las cosos que se ílhmdn de ohds mie"ttes que de ellas no se tfhítd nodt dnterior. Finalmente, tenemos las qre se alhman de ottts coslts, 4X tienpo qt¿e otrds se alhman de ellas; p.ej,, de Calli¿s se dice qte es bombte, y de bomb¡e que es animal,.. (En ¡elaciín 4 tales ,¿rminos intetmediatios) cdsi todos los mgrmentos e iartestigdciones se relieten Principab ,neite a ellos.,." (Pt, Anal., 434, 25 y sigs.) Si, por ejemplo, duestro ptoblema es si la ciencia es un bien, l,odemos buscar eatre los antecedentes y consecuentes de ambos ¡érrrrinos lo que haya de común, lo cual se¡á emPleado como el elemerito ,lc unión. Podemos deci¡ que la ciencia es una realización natrüal rlcl hombre; y por otra pa.te agregar que las tealizaciones natutales soD una parte del bie¡. La consecuencia será la que buscábamos.
63. Apliquemos la ooción a¡istotélica del silogismo a una serie "
de
jcmplos patticulares. Patménides:
(¡\
Y srponiendo qre cada participdnte reciba ua Peqleid Pdrte de I4 igualdad, ¿setá posible que el qtte la posee sea, por esra peqleñd !,arte mós peqt eñ4 qxe la ígtaldad en sí, igtal 4 cttdlqtiet otta S6ctotes:
lnPosible. I'latón: Patméúdes ) Si tratamos de poner en secuencia silogística este argumento, ¡cnrlríamos algo como lo siguiente: Lo qre porticiqa es poseed.or de und pú¡te de lo que PortícipÚ; 1,.1s cosqs qre poseet la igrdlddd la poseen en ctatto pa¡tici|on le la lcnma 'igraldad' ; (
lrrr'¡o,
Las cosas q e poseen Ia igroldad poseen solamente srzd paúe lc la igualdad ( y no son por tanto, en cuat to pd¡ricipan de l4 igaaldad, iguales), ú7 I
Es claro que el argumento es de la forma ll es B BAr
,4esM bA A es B tA (b\ "Torlos los bombres ñanilíestdrz en su naÍnrrrleza el deseo sdber; lo que Io maestrd es el placer
de
por las sensdciones, porqle, sin conside¡ar su xtiliddd, más agtadan por sí mismas,,,,, (Atistdtele s, Metdf. A, I). Lo que debemos probar aquí, nuescro problema, es una universal afitmativa: Todos los hombres aspiran naturalmente al sabe¡. Aristóteles da una primera prueba que podemos esquematiz^t ^si.: Deseaños lo qae nos sorisldce; y nos satislace lo qle tleseamos, BAt Lo que nos satislace ndtatalmente, Io deseamos natt ralmertte, bA Las sensaciones nos satisfacen ndrr¿ralmenre I
cd.usa.do
uego:
rA l'as sensaciones ¡le s
e
(que son Lnd especie de conocimiento) sor
a¿las ndturalmente.
{c) ",.. ¿En dónde lo uie¡on las qae con tantd solemnidad y énfasis uaticinaton el fataro, si o existe todauíd? ptues no paede t)erse aquello qte no es, Y los q e narron lo paso.lo, fio colrtdran cosas ue¡ídicas si no las ,ieset etu su im.aginccíón. Si este pdsado ese l nulo, sería imposible uerlo. Existen, p^es, el thlo y el pasado,,, l (Saa Agtstín, Conlesiones, LibroXI, Cap. XV ) Eo este pasaie encont¡amos dos argumentos, uno en apoyo de la existencia del futuro, el ot¡o probando la realidad del pasado. En secuen_ cia silogistica tend¡íamos algo como esto: Lo no-exisrente no se ire; CE El lututo es no-existente; 1A lue go,
El lularo no se ,.) e rEnt Pero, la conclusión es contradictoria respecto del ase¡to de becho: Existen se¡es que veo el futuro. po¡ lo cual debemos tech^zar la ¡ncnor y afirñar que el futuro existe. podemos elabo¡ar otro argumento en Barbara respecto de la misma cueslióD: Aquello qae se oe existe; BAr El l ruto se ue les visto pot q ienes
lo uaticinan);
bá
luego,
El lr.,turo e:riste 2a Aquello que se r'e existe; El pasado se te (es úisto por quienes relie ren cosas pasadas);
[
168
rA ll Ar
hl
Iuego,
EI posddo exisre rA (d\ ".., Hace ya dlgún tie¡n?o qte be corrsrdtado qte desde mis ptimeros dños he recibido como aetdadetds una cdrrtidod de opinione s lalsas, y que lo qae be lundado sobre principios tan endebles no podíd set si¡o dudoso e incierto,,." (Descdrtes, I Meditoción), I)ste argumento se esquematiza fácilmente: Lo que se frndd en principios Íelsos es dudoso e incietto; Lo qre be consetuado hasta abo¡a como mi opinión se ltnda en pt¡ncípíos lalsos: luego,
Lo qtle be coisetaado bcsrd aborc como mi opini6n es dtdoso e incietto. ( omo se ve, se trata de un silogismo eo Ba¡bara. (<'\ ".., Nada tan bien distribuído como el buen sentido; en eleclo, cdda ano piensa estar ,dn biei ptouisto de é1, que aún aquellos que es mós dilícil satist'acet en oba cosd cualq iera, no se inclinLfi 4 deseat más qte el que tienen,.." (Discurso del Método, I palte) l,:l argumento es ua silogismo er Barbara: Aqrello en relociín a lo ctal nadie ospiro a más está muy bíe¡ disttibuído; I:,1 buen se¡tido es dlgo en ¡elación a lo cual nddie aspita a más; Iucgo,
Iil buen sentido estó nu! bien distribuído, (l)"... Pt¿esto q e es el erirendimiento lo q*e pone dl hombte pot encima de los setes sensibles, y le da loda ld uektojd y ¿ominio rl e sob?e ellos tiexe, seró su examen, siqai.era pot s noblezd, tlgo qae uale Ia pena empterde¡.,,"(Locke, Afl Essay Concerning llrman Undetstanding; Book l, Ch. I) Lo que debemos probar aquí es el valor de una filosofía del cono, rr¡ricnto. El argumento de I-ocke puede formularse así: Lo q e da dl homb¡e sa rango superiot dentro de la narrraleza cs digno de ser esrudiado; l:l enlendimiento es lo q&e pone al bombre por encimd. de los se¡es
(fr)
lil e, 'eadimiento es m.rterid digna de estudio. "... I entendimiento ba sido delinido antes de rnd manerd parnnetle negdth)a: na ldc ltad de conocer no sensíble, AhoTo bien; torno no podemos tener ningund inluición inde pendiente de Ia sens¡bíli¿d¿, no seró el ent?n.limie to una lacaltdd int itind. pero, lncrr dt la inttit.i¡í¡t, o hay ott¿ ¡ta¡¡cta tlt, (.onocer qte lor 16e
I
conceptos, Es, pot consiguiente, el conocimienlo del entendimíento, 4l menos el del bomb¡e, Ln conocimiento por conceptos, es decit, no inttiriao sino disculsiuo,,." (Kanr, Crítico de la Raz6n Pata, Andlírica Trdscendentdl, liho L Cap, I) Ning*xa intuíción es xo-sensible; El entendimiento es und fdc*ltad no-sensible; luego,
El ente¡tdimiento no es rna facultdd intnitiud. Además,
Todo conocimiento es o intuitiuo o disct¿rsiuo luego, El enlendimiento es un conocirníento disc¡nsiuo, (h\ "Despaés de lo qte hemos dicho es lácil conc hth lo qte debe pensdtse de ld dialóctica que, pa.rd ?robü lc eternidad de la matetia, niega el comíenzo y el t'in del mundo; es d.ecir, de ld didléctha qre niega e/ devenir, el nacimiento y el pereciniento en genetal, Exdminatemos mós adelante, a propósito del concepro de lo inlinito
cüantitdriro, ld antinomid kdntidna de lo linitA¿ o i.nlinitud del m ndo en el tiempo y en el espocio, Esla shi.ple y co¡rienre didléctica rcposa et el manrenimiento de ld oposici6n enhe el set y la nada. Eé eqaí cdmo se .lemuestrd Ia imposibilidad del comiexzo d¿l mundo, o de lo q*e sed: Nada puede comenzar, ni lo q*e exisre ní Io qae no existe. Pt¿esto alte et(isre, no puede colrenzot, y ef, ctanta no existe, cdmo podría tener tn comienzo? Si el mundo, / orto cos¿t ct¿alaluiera, tuúierd. ln comienzo, ese com:ienzo se hahía hticiado d.esde la nada; peto ld nada no es tn comienzo, ni bay comienzo en Ia tada, p^esto que el comienzo implicd ya ,tn set, y la nada, pot su pa.tte, excluye el se¡, La nada no es más qre nada, Siend.o así de t'ini.da la nada, la tazón, Ia causa, erc,, de Lnd. cosa, implica ünd dfírmaciín, an set, Po¡ la nisna taz6n nada paede cesat de set, pues entonces el ser contend¡íd ld n^dd; pero el set no es sino ser, y no lo conttatio de sí mismo", (Hegel, La Ciencia de la Lógica, Libro I, Capít. t, 1, Noto IV). El primer pfurafo de la cita que hemos hecho rio contiene argumenro alguno; sólo eo el segundo se prueba algo (aunque Hegel no suscribe lo que se 'prueba'). En primer lugar, uoa definición: Comenzar (aquí se introduce el comieozo como ooción metafísica) es adquirir la existencia. Luego, no puede comenzar lo que existe, a riesgo de que queramos cont¡adecirdos, es decir, no ente¡dernos en absoluto. De manera que sólo oos resta ur¡a alternativa: Que lo que comienza no exisre en cuanto comienza, es decir, lo que comienza comienza como nada. Ahora bien:
[
170
Todo comienzo'imPlica' un set;
CA
La nada exclrye el set;
mEs
La nddd excluye el cornienzo,
trEs
La nada etcfuye el comienzo; Lo qt¿e comieflza, conienzd como n^¿a;
CE
Lo qae comienza exclaye el comie¡zo, es decir, que el comienzo es imposible.
IA rEnt
64. E¡ el lenguaje cotidiano exp¡esamos el argumento silogístico en forma muy simplificada. Ejemplos son: a) Pérez mati6 porqae cortií pescado con üerne belddd' b) Se lueror de la conlerencia por Íalta de ;nteús, c) No pol mucbo mddtugat am:anece mós tenptano' El sentido normal de estas expresiones requiere de una inte¡Pretación como la siguiente: (a) El que (en ci.ertds condiciones) corie pescddo y ctemd belada, ntePétez (en ,tles cordíciones) comió pescado y crcma belldd; Es dsí qae eI bombte muí6, Es un argumento cuya forma se puede asimilar 4 Batbara. (b) Nadie dsisre 4 rkt conletencia qt¿e ¡o ticne interés; Aquella conlerencía ca¡ecía de intetés;
Es así que aqrella conletencid no tlluo 4sistenci6 lJn a¡gumento que podemos compreoder bajo Cesare. (c) El dnonecer (un becbo lísico) es ind.ependieite de mi corr¿ucrd. Madrtgu es, pot deliniciín, ,tn ttcto de mi aoluntad' De maaera que ,radrugar no tiene nada que üet con omanecer' l..stamos, aquí también, en la segunda figura. El modo es, riuevameo-
te, Cesare, 65. En los ejeúplos que hemos dado de argumentos silogísticos se han l)uesto de manifiesto diversas fo¡mas en que estos, de hecho, se est¿rblecen. Vamos a refe¡irnos brevemente a ellas.
(a\ Enlimema.- Se da este nomb¡e a un ¿ugumento silogístico en (lue no se expresa alguna de las cres proposiciones que comPonen cl silogismo: la premisa m^yor, l^ menor, o la conclusión. Algunos críticos de Descartes sostuvieron que su famoso principio "p-ienso, luego, exisco" era meramente un entimema en el cual iba tácita la nr^yor, algo así como "todo lo que piensa existe". 171
l
Eo el argumento "Iodos los hombres son raciorrales, por lo tanto lo son también fos araucanos" Do se formula la me¡or. Los oradores suelen usar el argumento que lleva tácita la cooclusión, seguramente con el ProPósito de atraer al que escucha hacién_ dolo participar activamente en sus Pensamientos. Por ejemplo: El eobietno se deja guiat ldn s6lo pot los ptincipios que benefí' cian a la clase X; Pero, ¡nosotros no pertenecemos a la cldse X! Incluso, ocurre frecuentemente que Iro Pase de formular la mayot; y su co¡fianza muestta que silogizamos casi co¡ la misma seguridad con que caminamos.
(b) Frosilogismo y episilogismo.- Estas son oociones telativas' el e jemplo:
Sea
I.os f
au imale
s son sensíbles;
,os bombres son animales;
Los hombtes son sensibles. Los seÍes sensibles son inirables; Los hombtes son seisibles: Los bombtes son hritables. El primer silogismo,en cuanto empleado para probar una premisa del segundo' es un Prosiiogismo de éste El segundo silogismo emplea
como premisa la conclusión del primero; es' en relación al primero,
un ePisilogismo. (c) Epiqaerema'- Cuando en un argumento que consta de dos silo_ gismos, en la relación pro y episilogismo, el prosilogismo se expresa como entimema, el argumento en su totalidad se denomina epiquerema' Si en el primer silogismo de (b) eliminarnos la menor y combinamos con el segundo. tendremos un epiquerema. (d) ,lorlres llaman los lógicos a un argumento en primeta figurt que contiene, en verdad, una serie de silogismos en los cuales eli-
minamos las conclusiones intermedias. en sori¡es es:
A es B B es C (A es C) C
e
s
1)
(A es D) D es E (A es E)
f es
I ttt
F
La forma de un
argumento
La fo¡ma de este argumento es hecha obvia mediante el intercambio de la menor y la mayor. Erpresemos el argumento sin los paréntesis:
AesB B es
C
CesD DesE E es F Vemos que la relación es algo así como un encapsulamienro de los términos A,B,C,D,E,F, Es así que una premisa cualquiera es 6ayor respecto de la que la antecede y úenor en ¡elación a la siguieote. Es fácil ve¡ que las reglas de este atgumento son las siguientes: (1) Sólo la primera premisa puede ser particular. (2) Sólo la últi¡¡a premisa puede ser negaciva. Supongamos que fuera tegativa "C es D". Mi co¡clusión será ",4 no es D",'pero debo detene¡me en ella, pues nada puedo obtener para A mediante D, sea que afirme o niegue de él otro término cualquiera. Asi, resulta también que ninguna premisa que contenga u¡¡ gérmino medio como sujeto puede ser particulal, puesto que el término medio debe ir disuibuído por lo menos una yez. Y esto reduce la posibilidad de ser particular sólo a la primera premisa. Joseph cita como ejemplo de sorites el argumento que hay eo la Epistola de Sao Pablo a los Romanos: "... Potqre o los qae anres conoció, ,ambiér, ptedestinó paru qte fresen hecbos conlormes a la inagen de sx Hijo, paru qte él sea el Prinogéfiito enrre tnt cbos betmanos; y a tros q*e predesti¿í, a estos tornbiér, lldm6; y a los qae llam6 a esros tambi¿n iustificí;
y a los qre jttstificó, a cstos tanbién glotific6," (Ron. VIII, 29-j0).
ie) Polisilogismo.- Se denomina de esta manera una cadena de argumertos silogísticos en que uno cualquiera p¡ueba la ptemisa del siguiente. E jemplo: El trióngulo es polígono El polígono es tnd slpett'ície EI tt.iángtlo es ana sapetlicie l.a superlicie es iiexistente F:l lriángalo es inexisteire Las cosas teales no soe inexisleales f¡,1 lriíngalo no es nd cos¡t rettl, Algrnos obietos geométticos sott ttiángulos Algnnos obietos gaomélricos ¡o sonreoles.
t71
I
66. En ouestra exposición anterior del silogismo categórico se echará de menos la presentación implicacional de las leyes silogísticas del modo como lo hicimos al úatar de las inferencias inmediatas. No procedimos así eo primera instancia por tratarse de una teoría más complicada y no ser ¡ecomendable eo este caso comeozar distanciándonos de los modos t¡adicionales de exposición. En este lugar, sin embargo, algo podemos hacer para una rep¡esentación de la lógica silogística con ayuda de la moderna simbología y de las estructuras proposicionales examinadas en los dos primeros capítulos y en la primera parte de éste(1) Empezando por los modos válidos del silogisaro y teniendo Presente que han sido pteseorados como infe¡encias (premisas y conclusión desligada de sus premisas), podemos inmediatamente asigna¡ a cada uno el principio implicaciooal corre spondiente. (a) Barbara:
Todos los Z son Y Todos los X stm 7 Todos los X son Y Ateniéndonos a la simbología adoptada más arriba, el modo Barbara se anota: A(zY )
A(XZ) A(xY )
y puesto que las premisas vao conjugadas, la ley implicacional
en
que se funda Barbara se anota:
A(zy).A(xz))A(xy) (b) Celarent:
Ningín Z es Y Todos los X so¡t Z Ningún X es Y La ley implicaciooal correspondienre es: E(zY ).A(xz))E (xY ) Ciertamente, es muy fácil indicar la tey implicacional correspondiente a cada uno de los modos, Se pondrá inmediatamente: Dariit A(ZY ) .UXZ) )I(XY ) Fetio: E(ZY ) .I(XZ))O(XY ) Cesarc: E (YZ).A(XZ))E(XY ) Camestres: A(YZ).E(XZ) )E(XY ) Fesú¡ot E (YZ ),I(XZ))O(XY ) Barokot A(YZ).O(XZ))O(Xy ); erc. (2) Consideremos ahora los procesos de reducción ostensiva o
I
174
ditec¡a a la primera figura que expusimos en el parágrafo 56. Esta especie de lrormalizacií¡ servirá para ir percibiendo por adelanrado la posibilidad de un cdlcala siloEístico iospirado en la elaboración aristotélica misma y que preseotaremos en el capítulo siguiente. Importa para ello atende¡ al juego de las partes d rúo de la reducción formalizada.
(a)
Sabemos que la implicación - Cesare es: E(Y Z) . A(xZ))E(xY )
Para probar esta implicación partimos de dos leyes: La implicación-
Celarent, agui saryesta, y la equivaleocia ',8(Zy)=E(yZ)', prob^d,^ E¡ tales condiciones, se tiene: E(zy ) .A(xz)>E(xY) (implicación-Celareot) E (Y z ). A(X z )) F. (zY ). A(xz ) (R¡ : 48, (2), y) E(v z ) . A(xz ))E (xY ) (R") (b) La implicación-Camestres es: A(YZ) .E(xz))E(xy ) Probamos esta implicación procediendo como en el caso anterior; nos aPoyamos esta vez en la implicación-Cela¡ent y las leyes ,,8(XZ) =E(ZX)", "pS=qp"; asimismo empleamos los principios de reemplazo-equivalencial y t¡ansitividad-implicacional que exp¡esan las reglas &. y Rr, respectivamente. Se tiene: E (zY ) .A(xz DE (xY ) (impl.-Celarent) A(XZ).E(ZY ))E (ZY ) -A(xZ) (T; Pq)qP) , A(xz ) .E (Y z DA(xz) .E (zY ) (R, : E(YZ)=E(ZY)) en 48, (2)-
A(xz).E (Yz DE (xY) (R") lin la implicación así obtenida susriruimos Í /X; x (r) A(YZ),E(XZ))E(Yx)
/Y ). P.esúta
Pero, además: (2\ E (YX) )E(Xy )
(lombinando (1) y (2) mediante R, se obtiene la implicación_Camestres: A(YZ).E(XZ) )E(XY ) lc) La implicacióir-Festino es: tt(Yz ).t(xz))o(xY ) l)ara probar esta implicacióo nos damos la im¡,lic ac ión- Ferio. procerlicndo como en los casos anteriores, aootamos: B(ZY ).r(xz ))o(xY ) (Implic-Fer io) t
i(Y z ).
t(xz
DF. (zY
).r(xz)
(Rr
I E(Yz)=E(zY) )
)
ti(Y z ).r(xz))o(xY (R,) No scrá difícil frocc(lcr (lc modo semejante en Ios casos restantes de rcrlr¡cci
cntrc lns l)nrtcs (luc intcrvicnt.n cn los ¡.rroccsos expuestos y ver
que
175
I
es posible urr cálculo sitogístico o' mejor quizás, un cálculo de ia proposición categótica. Adelantando sobre los elementos de este cálculo es cla¡o que, en primer lugar, tendríamos que colocar todos los principios, teo¡emas y reglas del cálculo proposicional; además, habrá principios específicos de la lógica de la proposición categórica. Peto, hablaremos de esto más adelante. (3) Podemos, asimismo' en este lugar fotmalizar las pruebas indireclas de Baroko y Boka¡do. Para ello, probamos dos teoremas del cálculo proposicional: "f
s; Pq)r.).P-r)-q
-Pv-qrt. )'' ltrt-q
(R¡: T,o -T',, etc')
-@qht)'-(P-rh-q Pq)t.).Pr)-q "l # Pq)r.).'tq)-P
(D, a)
q\r ') ,t-¿- qr 'P -Qqh¡ ':.- (-tqh-P
- P't -
(Rr:
pq)t).-tq')-P
Empleamos, asimismo,
la
Tro -T,,, etc') (D, a) equivalencia probada al tratar de
la
opo-
sicióo contradictoria: -A(xY )=o(xv ) FioaLnente, suPooemos la implicación-Barbara: A(zY ) .A(Xz ))A(xv ). (a) P¡ueba de la implicación-Baroko, es decir, de:
.o(xz))o(xv ) et "l r^: A(ZY)/p; A(xZ)/q; A(XY)/¡, se cie¡e: A(ZY ) A(XZ D A(xY D.A(ZY )- A(xY ))-A(xz) Y puesto que el antecedente de esta irnplicación es la implicaciónA(Yz)
Sustituyendo
Barbara podemos desligar el consecuente: A(zY )- A(xY ))- A(Xz )
Do(XZ) Aftz)o(xzDaqY)
A(ZY )o(xY
(-A=o) (Y
/z; z/Y)
La última implicación es la implicacióo-Batoko (b) Prueba de la implicación-Bokardo, es decir, de o(zv ) A(zx))o(xY ) Hacienrlo en T." la sustitución: A(zY)/p; A(xz)/q; A(xY) /r, resulta: A(zY ) A(xz )) A(xY ).).-A(xY ) A(xz))-A(zv ) Desligaodo el consecuente: -A(xY ) A(Xz))- A(zY ) Aplicando la ley de oposición conradictoria a ambas negaciones: o(xY
)
A(xz))o(zY )
Finalmente, para obtener la implicación-Roka¡clo con los signos enr_ Z/X; ¡leados en srt fotm.,lació.t c¿¡ni¡nic:r, hacc¡nos tas suscituciones X
/Z: o(zr' ) A(zx )
I
r76
'o(\\')
IV. CÁLCULO DE LA PROPOSICION CATEGORICA
tí7. En el patágrafo 66. elaboramos uoa aproximación a lo que seria r¡n cálculo de la proposición categórica. Vimos allí que es posible l)rcsentar la "¡educción a la primera figura", o prueba de validez rlc los silogismos de las ces últimas figuras, en fo¡ma de rigurosa rlcclucción. Empero, esta presertación no acla¡ab¿ gran cosa sob¡e los principios empleados; aquí y allá romábarnos a tono con el caso los principios exigidos; y esta mera selección de ellos sugería ya uD sentido de a¡birrariedad y pura acomodación. Ence los principios rlr¡c empleamos había teoremas del cálculo proposicional, leyes de la oposición y la conversión de la proposición categórica; esraban ramlrién Ias reglas de inferencia y susritución; finalmente, supusimos vriliclos tres modos de la primera figura, sólo exceptuamos Darii. Todas estas acomodaciodes podrán hacerse también, pero ahora ordenada y rigurosamente, en el caso de una presentación estricta de lrr lógica de la proposición categórica en forma de cálculo. A tal cfccto debemos servirnos de algunos principios del cálculo proposi¡ ional; debemos, para simplificar sobre esto, supone¡ rodo el cálculo l!r()l)osi ciooal. Asimisuro, es necesatio proponer una regla de inferenlia y otta de sustitución que permitan efectuar las transformaciones y scparaciones adecuadas. Finalmente, se requieren términos oo-defirrirlos, definiciones y axiomas específicos de este cálculo y que rirv¡n cómodamente a su p¡esentación. Sob¡e todo esto, valen las nrisn¡as consideraciones fo¡males que hicirnos al exponer el cátculo l,r¡rfo s icional, en parricular, sobre la co¡sisreacia, iodepeadencia y r¡rrur¿rción axiomácica.
Nos proponemos elabora¡ en orden de fundamentación sucesiva rrcs cálculos; esto quiere decit, que uno cualquiera (agreg:mos '¡,lcn¡¡is a l:¡ serie cl cálculo proposicional) supone y emplea los que lc s¡rn antcrit¡rcs. l-os cálculos que vamos a desarrollar aquí son el
r¡l¡r¡sicional, el convcrsiar¡al y el silogistico.
171 l
68. Cálculo oposicional. En primer lugar, anotamos los términos no defioidos: (a) Términos universales
o partes de la proposición categóricat
x, v, 2,... (b) Proposiciones categóricas de los tipos A e I: A(X,Y); I(X,Y) A(x,z ),... En segundo lugar, ponemos las definiciones de las proposiciones categóricas de los tipos E y O, Tales definiciooes se expresan con ayuda de los términos no-definidos anrerio¡es y de la negación. Dd.- E(xY) =-I(xY ) Db.- o(xY ) =-A(xv ) Es claro que la razóo que tenemos'para ponet estas defioiciones es la ya averiguada relación equivalencial eritre las proposiciones categ6ricas contradicto¡ias, es decir, las leyes establecidas en el capitulo anterior: E (xY )=-t(xY ) O(XY )=- A(xY )
Para establecer las leyes de la oposición fo¡mulamos sólo un axioma, es decir, hacemos uso axiomático de sólo una ley oposicional: la
ley de superordioación de l. Aa.- A(xY ))I(xY ) No se requieren aquí leyes específicas de inferencia ni de sustitución. "f ,: A(XY))-o(XY): (p)p) o(xY ))o(xY ) o(xY
))-A(xv
A(XY ))-O(XY
) )
T; E(XY))-I(xY): -I(xY))-I(xY) E(xY))-\xY) T
(Db)
(Transposición)
(p)p) (Da)
3t -A(xY ))o(xY ):
) ) ^ri -E(xY))I(xY ): -t(xY))-r(xY ) o(xY
))o(xy
(p)p)
-A(xY ))o(xY
(Db)
) -E(XY))I(XY)
(Da)
-UXY))-A(XY) E(xY))o(xY)
(Transposición (Da, Db)
-I(xY ))E(xY
(p)p)
(Transposición) I-as cuatro leyes restantes de cootradicción se obtienen de Tr-T. por transposición. Probemos ahora la ley de superordinación de O. Tst E (XY ))o(XY )l A(Xv ))r(xY ) (Aa)
I
tz¡t
)
lln cuanto a las leyes de subordinación se obtieoen mediante tlans¡rosición de Aa y T": Tol. -I(XY ))-A(XY ) ^t - o(xy ))-E(xY ) I)ara"tterminat con este pequeño cálculo oposicional faltan las leyes ,lc contra¡iedad y subcootrariedad. ^Í A(xY ))-E(XY ): ": ))t(xY ) (Aa) A(xY I(XY))-E(XY) (T,: transposición) (R") A(xY ))-E(xY ) ^f E(xY ))-A(XY ): ": ))-E(xY ) (T,) ^(xY (Transposición) L(XY ))-A(XY) T ,o : -I(XY ))o(XY ): -I(XY ))E(XY
)
n6Y ))o(xY ) -t(x't ))o(xY ) 'r' ttl. -o(xY ))I(xY ): -r(xr'))o(xY )
-O(XY))I(XY)
(Transposición)
(T") (R,)
(T.
)
(Transposición)
69- Cálculo conversiorial, Como dijimos, se supone aquí todo lo anrttior, es decir, el cálculo proposicional y el cálculo oposicional. Sc agregan, como principios específicos de este cálculo un axioma y una regla de sustitución. Esta última, expresa que uD término cual,¡rricra puede ser sustituído por otro cualquiera siempre gue la ope¡ar-ii¡n se efectúe en todos los lugares en que se encuentra
el sustituí
-
,lrr y que el sustiruyente sea siempre el mismo. Indicamos la operación-sustitución señalando primero el susrituyente y luego el susticuí,lrr; por ejemplo, Y /X iodica que X se sustiruye po¡ y, Er cuanto ,rl ¡xioma empleado es el priocipio de conversión de E.. Aa: E(XY))F.(YX)
N¡rs ceñimos a la definición de conve¡sión dada en el capitulo anrerior, cs decir, nombramos conve¡sa de una proposición a otra que r ortr¡rcndc sus términos en orden inverso y que posee la misma cuali,1,¡¡
l.
,I Ii(YX) )E(XY): ti(xY ) )tt(YX) ti(Yx) )tj(xY) 't t(x't ) ¡t(r'x )' ,: It(xr') )t|(Y X) '1
-rl.\
l')
'-rlY,\
)
(Aa) (Y
(
/x; x/Y)
Aa)
(L)¡¡,68) 179
I
t(Yx))r(xY ) (Transposición) r(xY))r(Yx) (x/Y:Y/x) "f I(YX))I(xY ): (Í 2,: Y /X; x /Y) ": A(xY "t,z ))I(YX): A(xY ))r(xY ) (Aa, 68) r(xY ))rNx ) A(xY ))r(yx )
(Tr)
(R")
la elabo¡ación del cálculo silogístico suponémos todo lo ante¡ior elaborado como cálculo y agregamos a modo de axiomas la implicación-Barbara y la implicación-Cela¡eot. procediendo de esra manera (que con¡iene cie¡tas imperfecciones de condensación) respetamos en lo principal el plan seguido por Aristóteles e¡los prime¡os Analíticos y obviamos ciertas exigeocias que un¿! elaboracién más pretenciosa haria a la fo¡ma ordinaria de entender la proposición categórica y su tratamieoto escolar.. Formulemos, pues, los dos axiomas siguientes: Aa|. A(zY ). A(xz))A(Xy ) (Irnplicación-Barbara) AÚ E (ZY ),A(XZ DE (XY ) (Implicación-Celarent) A partir de ellos obtenemos las leyes implicacionales en que se fun_ dan los varios modos válidos del silogismo. por razones de presentación de esta teoría, alteramos el oadeo en que se enuncian ordinaria_ 7O- Pata
Ttt E (Yz) A(xz))E(Xy p)q.).pt)qt
(Implicación-Cesare ):
)
(T.,)
z )) E (zY )). E (Y z )A (xZ )E (ZY )A(xz) E (Y
)
E(Yz))E(zY )
$z) ¡ p. a Ev ) ¡ o; A(xz ) /r) (Conve¡sión de E)
E(Yz )A(xz ))E (zY )A(Xz) E(ZY )A.(xz))E(xy )
(Celarent)
E(YZ)A(xz) )E(xY ) T.r A(Y z)E (xz ))E(XY ) P)q.),t p)qt E(Yz ))E(zY )).A(xz)E (Yz) )E(ZY )A(XZ) E(Yz.))E(zY ) A(x7,)E(YZ) )E (Zy )A(XZ) E(zY )A(xz))E (xY ) E (XY ))E(YX)
¡e
(Separación)
(Implicación-Camesne s): (T,,; R. : T"-T")
(E(Yz)/p; E(zY ) /q; A(xz)1r¡ (Conversión de E) /Separación)
(Celarent) (Conversión de E)
' Sin embargo - debo adelantarme a ¡econoce¡lo - la formalización dc ta lósi_ ca silosistica que aqrrí se of¡cce se dcbc casi enreramentelr J¡n Lukssicrtr,cz. su a¡8urn.nro histórico no nc par.cc .n modo ¡rtsuno ¡lnusibtc, ^unqüe cscoy obl¡¡¡nd; n {pl¡u(tir su ¡¡t¡rirnbtc ctrtxx¡ci
I
ltrtl
^tist,Ih.,s
A(xz)E(YZ))E(Yx) A(YZ)E(xZ))E$v) "t.: A(ZY )I(XZ))I(XY )
(Implicación-Darii)
Pq)r.).P-r)-q
(T'.)
A (v z )E
(xz ))
E
(xY
).
(R")
(Y/x; x/y)
). A(Y z )-
E
(xY
))-
A(vz)E(xz))E(xY ) A(vz)-E(xY ))-E(XZ) ANz)I(xY ))t(xz) A(zY )I(xzDt(xY )
E
E
) (Camestres, T,)
(Y
/z;
z /Y )
(Implicación-Fetio):
(zY ) I(Xz
(Tr,)
(yz)A(xz ))E(xY ).).E(yz)-E (xy )
)-A(xz)
)
ti(Yz)A(xZ) )E(Xv
E (x z
(68, Da)
))o(Xz) Pq)t.).p-r)-q Ta,
:
(E(vz)/p; A(Xz /q'E(XY)/t) (Implic-Cesare)
r(Yz )-E(xY ))-A(xz ) tt.(Yz)r(xY |(7.Y
't'':
)
(Eqúv.t "-E(XY )=l(XY
))o(xz)
y,'-A(Xz)=o(xzy') (z/Y;Y/Z)
r(xz))o(xY )
I(xZ))o(xY l,)q.),pt)qr B
(v
E(YZ)
z. )
) E (zY ).). E (Y Z
(Implicación-Festino):
)
l(xz
(r",) ) (E
)t(xz) tiNz))E(zY ) )u(zY
ri(Y z
zl(xz))o(xY
-A(xz)
A(zY
)A(xz))A(xY
A(zY )-A(xY )
)
o(xy
)
.,:
/p; E(zY
)
/ q;
t(xz) h)
(R,) (Implic ación-Baroko):
(T"r)
¡A(zY)/p; ¿(Xz)/q; A(xY)/r. (Aa)
))-A(xz )
))o(xz)
^(zY /t(Y Z) O(XZ))O(XY ) t
z
(Implic-Ferio)
't'": A(Yz) o(XZ))o(xY ) I'q Y-).pl)-q A(zY )A(xz))A(xY ).). A(Zy )-A(XY ) ,
(Y
I(xz))E(zY I(xz)
r(7.v )r(xz))o(xY ) ri(Y
)"
A(ZY ) A(ZX ) ¡I(XY )
(68, Db) (Y /z; z /Y)
(Implicación-Darapti):
(T.,; R.: T"-T") ls1 I
A(XZ ))I(ZX ),). A(XY )A(XZ DA(XY TEX ) 4(xz) /p;r(zx) /q.A(xY )b) A(xz, ))t(zx ) (69; To: Z/Y)
A(xv )A(xz))A(xY )t(zx ) A(XY TGX (ZY ) A(xY A(zY
)'
(fi
)A(xz))r(zy ) )A(zx)t(xY )
(R") (Z
I(ZY
)A(zxDKXy ,. P)q,).pt>q T
)
))I(YZ)
Implicación-Disamis):
))A(zxI(y z)
0
T;T)
R ¡: QY ) / p ;I
(Y
z ) / q ;A (zx )1r)
(Conversión de I)
r(zv )A(zx DA(zx)r(Y
z)
A,(Zx )r (Y z
('f":X/Y;Y/x)
I(zY
))KYx) )A(zx))r(yx)
(n')
))r(xY )
(Conversión de l)
r
(Yx
I(ZY )A(Zx T
A(zY
":)cP
))t(xy )
IQxDIxy
(n') )
(Implicación-Datisi): (T": cálc. proposic.)
Ps
A(zY
)r(zx))r (zx)A(zY )
(A(zy )/p; r(zx)/q)
r(zx )A(zY ))r (Yx) I(YX ))I(XY )
(T at
A(zYIAx)r(xY) P)q.)./p)tq A(zx))r(xzD. A(zx))KXZ)
E
E(zv )r(xz))o(xY ) E(ZY
(Implicación- Felapron):
(T"r; R.: T"-T") E
(zy I(x7. ) (A(ZX)/p; I(Xz)/q; E(7.y )h) (Conversión de ,4)
)A(zxDo(xY )
)A(zxDo(xy ) Pq)t.). -t q)-p A(zY )A(xzDA(xY D.-A(xY )A(xz) )-A(zY )
A(zY )A(xz ))A(xY )
-A(xY)A(Xn>AGY) o(xy )A(xz))o(zY) tsz
/X)
I62)
"1,,t o(zy
o(7-Y
Y
(R")
(zy )A(zx D
E(zY )A(Zx))F.(zY
x /Y;
(Conversión de I)
"lN I F.(7l)A(7xDo(xy)
I
/X: x /Z)
(T",;
I(zY ))r(y z ).).r(zy )A(zx I(ZY
(
x/z; z /x)
)A(ZX) )o(xY)
(Implicación-Ferio)
(n') (Implicación-Bokardo):
(r".
)
(A(zy )/p; A(xz) /q; A(xY (Aa)
)h)
(68, Db)
(z
/x: x /z)
'f,2: E(ZY )t(zx)) o(XY ) (Implicación_ Ferison): | ) q.).|p)rq t (zx ))r(x7,)).E(zy )r(zxDE (zy I6z) (Gx v p; r$zy q; E (zy )/,)
I(ZX))I(XZ) E(ZY
(Conve¡sión de t)
I(ZX))E(ZY )r(XZ)
) ti(zY ) r(zx))o(xy) '1 ,,. A(yZ)A(ZXDI(XY) A(y z )A(zx DA(zx)A(y z) A(ZX)A(YZ))A(Yr) ^(YX))I(XY) (Zy )I(XZ))O(XY
Il
(Y
^
(Implicación- Ferio ) (R") (Implicación_Bramanrip):
@Dsp) (Aa: X /Y;
z ) A(zxDt(xY )
't,.:
(Implicacióo-Camenes):
Z) ^(YZ It(Zx)AAz))E(Yx)
(pQsp)
(A* x /y:
y /X) (Coaytrsión de E(YX) )
ri(Yx))E(xy ) '1
,,:
)E(Zx))E(xY I (Y
)
(n")
z)A(Zx))I(xy )
))I(yX) ^(ZX)I(YZ t(Yx))l(xY ) t (YZ)A(7.X))I(XY )
(púqp) ¡-I
(R?)
A(zx))I(Xz)
(Implicación-Fesapo): (y
z)Kxz)
,,:
/'
zI(7x ))o(xy
q. ).tP
z
(R") (Implic ación- Fre sis
)
)rq
t 7 x ) )t (xz ). -. rj (y z l qx rux ) )r(xz) t i'z )t(zx) )rÍz)r(xz) t (r'Z )l(xZ) )o(xt, ) t
r (r'7 )t(zx ) '(r(xt')
-
E (y
(Impticación-Fe stioo)
r'(r'z )A(7.x ))o(xY ) ri (y
(A(Zx )/p ; I(xz yq; (Conversi6n de .A)
ZI$Z)
,,ra..rrOrrtor*n t
X/y; y/X)
"t (Conversióo de I)
't t6. E (v7, )A(ZX))O(XY ) l) )q.),tp)rq /t(zx ) \r (xz ),). E (y 7, )A(z.X ))E )At7,x)) E(y
(Implicación_Dimaris):
z)
I(yz )A(zx))A(zx)r(y
It (Y z
/X)
(R,)
A(YZ)E (zx))E(xy )
)E(zx DE (zx)A(Y
^(Yz
Y
(conversión de A)
on
)
)a\E (y z )r (xz )
Conve¡sión de I)
(Inplicación-Fesrino) (R?) 1fl1
I
I
)
De esta ma¡e¡a, hemos probado, a manera de cálculo, las leyes implicacionales silogísticas cotrespondientes a todos los modos válidos del silogisoo; empleamos como principios especi ficos solaoente las leyes implicacionales que sustentari las iofe¡encias en Ba¡ba¡a y Celatent. Si convenimos en adscribir tales principios de Barbara y Celarent, respectivamente, a las partes positiva y neg tivd del D ktr.m de Omni et Nzllo, ouestra presentación del cÁlculo silogístico coincide con su presentación radicional, que lo sustenta en tal principio.
I
rs4
Y.
ARGUMENTOS CONDICIONALES
71. En el capítulo I, hemos t¡atado el condicional y la disyunción como cooectivas interproposicionales. En lógica t¡adicional se empleao ambas cooectivas con sentido formal y se opoierL las ptoposiciones condiciotales que ellas forma¡ a la proposición categórica. AI coodicional enreodido forrnalme¡te se le denomina ptoposici6n hipotética; y a la disyunción, asimismo formal, se da el nombre de !,toposici6n disytmtiad, La raz6¡ de es¡a distinción entre proposiciones categóricas y proposiciones condicionales reside en la relación (n que una proposicióo está con ot¡a proposición. En términos breves, se trata de lo siguiente: La ve¡dad - o falsedad - de la proposición categórica apalece como un valor absoluro, es decir, dicha proposición se emplea aislada, prescindiendo de sus condiciones. Eiemplos son: "Todos los homb¡es soo bípedos"; "Algunos triángulos son plaoos". I)or el contrario, la proposición hipotética - y tambiéo la disyuntiva-
constituye un complejo condicional; se rrata de un todo de parres ¡rroposicionales, de la afirmación de cierta dependencia orientada (¡,roposición hipotética) o mutua (proposición disyuntiva) en que se cncuentra¡ dichas partes proposicionales- Ejernplos son: "Si algunos triángulos son planos, entonces, algunas figuras geométticas son ¡,llnas"; "O algunos triángulos son planos o determinados principios rl< la geometría euclideana son falsos". Precisando, entonces: Desde el punto de vista de la relacióo hay l)r('posiciones incondicionadas y p¡oposiciones condicionadas. Las |rimeras son nombradas proposiciones categóricas. En cuanto a las slguodas, se dividen ateadiendo a la fo¡ma del condicionamienro. ( rn¡do la verdad de una proposición depende de la verdad de otra, ,rl complejo que afirma explicitamente ral condicionamiento se le ,k,signa proposición hipotética. Cuaodo, por el contrario, el complejo ¡ ¡'r¡licional es de recíproca exclusión, en el seilrido de que ambas ¡'rrrtcs condicionales excluyen la coincidencia de valor, se le nombra ¡'ro¡usición rlisyuntiva. A ambas especies se da también el nomb¡e , r'nrr'in dc fKrlrosiciotcs (onlleias. 185 l
Es importante observar que las proposiciones condicionales son esencialmente afi¡mativas. La negación alplic^da una ptoposición ^ .*i..ro, hipotética disuelve el complejo condicional que ésta y no hay ya proposición hipotética ninguna, Lo mismo vale en el caso de la proposición disyuntiva. Las diferencias de la cualidad afirmación y negación - sólo afectan, entonces, a las pa¡tes proposicionales de la proposición compleja. En la presentación tradicional de estas proposiciones complejas, se expresan Ias partes proposiciooales eo forma analizada; se supone que las pa¡res proposicionales son de la forma su;eto_p.áicado. f)e esta manera, resultas las dos formas siguientes: (a) Proposición hipotética: Si X es y, Z es U (b) Proposición disyuntiva: X es y o Z es IJ Es comúo encootra¡ en los manuales las fotmas:
(ar)SiXesy,XesU (b')XesYoXesU
o, todavía más extractadas: (a") Si x es y, es U
(!rr)XesyoU
Sio embargo, es evidente que cuanto se diga de las formas (a) y (b) vale de las otras; pbrque éstas últimas r.J.,lt"r, d. ("1 y i¡) ." fo. casos en que los sujetos de ambas cláusulas son idénticos. En lo que sigue, nos atendre¡¡os a las formas más genetales.
72. A los argumentos condicionales cuyo principio consiste en uoa proposición hipotética suele darse el nomb¡e de silogismo bipot¿tico, Aunque tales argumenros difieren todo lo concebible a-" to qo.'o.ain"_
enriende por silogismo (y que estudiamo. .;" u,.a"l, la definición aristorélic¿ de ,,silogismo,, que se encuenrr¿ en prime¡os Analíticos permire aqut ,a de"nominación del argumento hipotético. Igual consideración vale i)ara el atqumento orsyunt¡vo, que suele designarse silogisno
:::"jj: :: c¡eDemos reconocer que
disyaai)o, Los argumentos hipotéticos .le..nt.l.. eri dos premisas: la ¡mayo¡', o priocipio del argun¡enro, "á.r.i",.r, es una proposición hipotética: la ¡¡¿¡6¡', o razón del a¡gumento, es una proposición categórica en que se afirúa el anrecedente de la .mayor, o.. ni"g"
!i."jll;Il'"t.,,
de esta manera dos fo¡mas ctel a¡gumenr;
(a)SiXesY,ZesIl XesY (b)SiXesY,ZcsIl Z¡oesL1
I
ls6
"ulon."_ r,;p*;ri."
La forma (a) recibe el nombre de modxs ponens y asume el aspecro constructivo del argumerito hipotético. La fo¡ma (b), que representa cl aspecto destructiyo del argumento hipotético, recibe el .rornb.. d" nodts tollens, Cuál sea la conclusión en ambos ." .,rarrióo cvidente: La conclusión a pútit de las premisas"a"o., (a\ es ..2 es Il,,: rn cambio, de las premisas (b) resulta ,,X oo es y,,. El sentido de -las condiciones una proposición hipotética determioa perfecramente en que puede argumenrarse con ella. para ir del nocecedente al consecuente tanro el punto de partida (premisa menor) como el de arribo (conclusión) consisten en proposi.ion.s categóricas ¡rfi¡mativas. En cambio, pa.a ir desde ul urrc."ld"nt., "oo"."o.nt"(premisa ello no es posible sino oegando el "lconsecuente ¡¡s¡q¡¡, rle lo que resulta la negación del antecedente (conclusión). Todo otro inteoto de a¡gumenta¡ a parti. de una proposición hipotitica es f¡rlacioso. Falacia del anrecederrre es aquella que se produce cuando l;r negación del antecedente de una proposición hipotética se ,lcra, indebidamente, una razón para negar el consecuente. consi_ F4l4ci¿ de-l consecuenle, en cambio, es la que resulta cuando la afi¡mación
¡lcl
de una proposición hipotética ,e torn^, ta-bié., ,c.onsecuenre indebidam:nte, como una ¡azóo para afirmar el anrccedente. liienplos de a.gu¡¡entos Lipotét.icos simples son: ( l) llodrs ponens: Si Id tierta es tedonda, lds opariencias exgañan; I-d tiertd es tedondc;
_-''--
Lds dpd?iencios engdñorr, (
)) Modas tollens: Si la tietd es plana, las dpariencias no e*gañatz;
Las apa¡ie¿cias engañan; La tieftd no es pla¡o. I os efemplos (1) y (2) pueden co¡fronrarse con los argumentos fala¡ :osos siguientes: I l') .9i la tiena es rcdonda, las opdriencids engañatz; Ld tieTta,to es ¡edonda;
¡ts apariettcias ,ro er.g,rñarr. l)') Si Id tierrd es pland., lds dpariencias no engañan; I
,
:::
P",
*" r t":::::S:u.",
La liefto es pland.
cc ¡¿6."^. o extenderse sob¡e el análisis de estas falacias. Sal,rrnos ya que la destrucción del antececlente no destruye necesariaNrr
rrentc ¿l s6¡5ss¡ente; y qüe la posición del coosecuente nada úae 187
I
de necesario para el antecedente. Por 1o tanto ni (1') ni (2') son argumeotos válidos. Todo lo que irnporra señalar para cerrar el paso al argumento falacioso se circuoscribe eíteramerite dentro del sentido de la proposicióo hipotérica, y puede ponerse así: La proposición hipotética dice que el antecedente es una razón para el consecuente, pero oo dice que sea la única; y dice que el antecedeDte es una razó¡ para el consecuente, ¡o que este último lo sea para eI primero. Refirámonos, finalmente, a una fo¡ma importaote de argumento hipotético que se funda en la propiedad rransitiva de la relación hipotética. La forma más elemental de esta especie es la siguierire:
SiXesY,ZesU,. Si Z es U, V es ll; Si X es Y, V es l/ No es necesario insisti¡ sobre esta escructura argumental que tanto hemos empleado en los capítulos anteriores, ni sobre otras de familia anfibia como: (a) Si X es Y, Z es ll; Si Z es U, V es ll; X es Y,' V es
lV
(b)SiXesY,ZesU; Si Z es U, I/ es
ll¡,'
V no es I{,'
X no es Y, etc.
73. El argumenro disyuotivo elemeoral se compone de una proposición disyuntiva que representa el principio o premisa'mayor, del argumento; y una proposición categórica - la taz6¡ o premisa .menor,-que consiste eo la negación o afirmación de una de las cláusulas de la ptemisa 'mayor'. Aqui, hay a¡gumeoto eo todos los casos que puedan suponerse; porque el sentido de una disyunción así lo implica. Si se afirma u¡a de ambas cláusulas debe rechazarse la otra; y conversamente, si se rechaza una cualquiera de las cláusulas debe afi¡marse la otra. Las dos formas elementales del argumento disyuntivo son: (a\ Modas ponendo tollens: X es Y o Z es IJ: X es Y,.
ZroesU. I
1sB
b)
liod6
tollendo
ponet¿s
XesYoZesU:
X no
es
I
Y,'
Z es A. A estas dos formas se agregan offas dos que no es oecesario destaca¡ Puesto que resultaq de iovertir el o¡den de la premisa mayor, lo cual cs posrble por la conmutatividad de la disvunción. Ejemplos de ambas formas del .rgurinto disyunt¡vo son los siguientes.
(l) ltlodts
ponendo toll,ens: O lo uirtüd exisre o los lilísolos mienten;
La !i/t d existe;
I-os lil6solos no mietuten, (2) Modas tolletdo ponens: O eI bomb¡e es ahttoso o to¿o esrí l)ern¿tido; El bombre no es aitttroso; Todo est6 petnitido.
La proposición disyuntiva puede consra¡ de más de dos cláusulas; en tal caso, la afi¡mación de una cualquiera de e as excluye a todas y cada una de las otras; por el contrario, la exclusión de una cualt¡uiera de ellas exige la afirmación de la parte disyuntiva restante. l-as formas que tesultan de esta manera son: (c)O X es Y o Z es U o.-. o Ves l/,, X es Y,,
¡i Z es U ni... ni
V es
l/
(ct)O X es Y o Z es
Il o..- o V es W; XnoesY, oZesUo...oVesl/
f'ara ejemplificar, podemos suponer que .iÍ" sea el oomble de triángulo determinado. Un argumento de la forma (c) sería: (l) 7 es equilátero o 7 es isósceles o T es escaleno;
un
T es equilátero;
Ni T es isósceles ni 7 es escaleno. Asimismo, Ia forma (d) se ejemplifica mediante el siguiente ejemplo: (4) 7 es rectángulo o T es obrusángulo o ? es acurángulo; 7' no es rectángulo; C)
I
es obtusángulo o T es acurángulo.
74. Argrrrncntos contlici¡rn¿lcs t¡rre vrrl<, 1¡ ¡ena tlestacar son los conorrr¡nlrrc Lb ¡liltn¿s.lJn rlilcma cr¡mbinn unn ¡rcrnisa hi¡ro-
lirlos rrxr cl
lfie
I
tética y una disyuntiva; la caracteristica de esta fo¡ma de argumento está representada por la premisa disyuntiva que, abriendo dos salidas al discurso, lo empuja, emPero, a una determinada conclusióo. Para familiarizatnos rápidamente con el argumento dilemático Pongamos un ejemplo: Si el Inlíemo existe,es pradente medir n estros .tclos;Si lodo está permitido, es pradenre medh i estros Lctos; O eúste el Inlierno o todo est6 petmitido;
ltudefire medir n estros 4ctos. argumento parte de dos proposiciones hipotécicas que Poseen el mismo consecuente y cuyos anrecedentes forman lo se sostiene que forman) las partes de una disyuntiva. Es claro que, debiendo una de las cláusulas de esta última ser verdadera, la conclusión - es decir, la afirmación categórica del consecuente comú¡ a las dos proposiciones hipotéticas - se establece forzosamente. No es necesario insistir en la calidad dialéctica de esta especie de argumentos, como también en la mayor amplitud y adecuación que ofrece a los temas de otdinaria c onttoversia. Los dilemas más escolares son de cuat¡o esPecies que resultan F,s
El
de combinar las
antítesis simple-complejo y consttuctivo-destructi-
1. Dilema simple constructivo. Es de la forma: Si X es Y. Z es U,'Si V es lV, Z es U;
OXesYol/eslf,' Z es U De esta especie es el ejeoplo puesto más arriba. Dilema célebre, cambién de esta especie, es el que proPuso Protágoras a un discípulo suyo. Ilabíale pedido Protágoras la paga por su enseñanza; y como el discípulo le respondiera que después de su primer juicio pagatía' si lo ganaba, púsole juicio el r¡ismo Protágoras. Ante el tribunal, dijo at discípulo algo como esto: "Si gano este juicio, me pagas por sentencia de los jueces; si lo ganas tú, me Pagas también' porque así lo prometiste. Pero, o tú lo ganas o lo gano yo. f)e todos modos, ento¡ces, debes pagarme ". 2. Dilema simple destructivo. Puede adoptar varias formas: (a) Si X es Y, Z es U; si X es Y, Ves W,'
OZnoesUoVnoeslf,' XnoesY En esta forma de argumento dilemático el a¡lteccdenle es el mismo en ambas proposiciones hiporécicas. I-a prcmisa disvuntiv:r esth formatla por las neqacioncs de los consecucnrcs; y rle csra m¡¡rcr¡ ll negaciírn rlcl rrntt:t:crlc ntc conúo rcsr¡lrrr ncct:r¡r itr' I l'rtl
Ejemplo de argumento dilemático sirnple
y destructivo es el si-
guiente:
Si Pldt6n es uetaz Sócrates conocií a Pa¡m€nides; Si. Platón es leraz Sóqdtes conoci6 .t Aristdteles; O S6crotes no conocií d Pa¡móxides o Sócrdtes no c o¡oci6 a Aristóteles; Platón no es leroz,
A veces, la mayor de un dilema simple destructivo comprende en disyuotiva sus pa¡tes condicionales; en este caso, la menor no es una proposición disyuntiva sino una de la forma "ni... oi..,", es decir, de la forma que más atrás hemos llamado falsedad cooiunta. Esquemáticamente, tal a¡gumento se anota así: (b) O si X es Y, Z es U,'o, si X es Y, V es
17.
NiZesUniVesll XnoesY Fijemplo de'esta forma dilemática es
el célebre argumento atribuído a 7,e¡6¡t Si los cterpos se mreuel Io bacen en el lagat en qte est6n o et el lrgat en qae no eslóa; Ni los ctetpos se mueL¡en en el lagar en q*e están, ni en el lagat en qxe no están; Los c.tetpos,ro se m euen, Es claro que la forma "ni... ni..." puede combidarse con una mayor cn Ílue se conjugueo los condicionales. Eo este caso, la conclusión cs la misma; la diferencia sólo es un refuerzo de la me¡or, Po¡ ejemplo, en el argumento sobre Sócrates pues.o úás atriba, puede sustituirse la menor "Ni Sócrates co¡oció a Parménides, ni Sócrates conoció a Ariscóteles". La forma de este argumento (c) SiXes Y, ZesU; SiXesY, Y es tY,.
_es:
Ni Z es U ¡i V es ll;
L
X noes Y Dilema complejo constructivo. Es de la forma: Si X es Y, Zes U;Sí Ves l/, Ses 7,. óXesYoVesl/,. OZesUoSesT. l-a legitimidad de este argurnento es obvia: Puesto que la
menor
formula en disyuntiva los antecedentes de la mayor podemos coocluir ln disyunción de los consecuentes. Ejemplo de argumentos de esta f¡rr¡¡:r es el s i¿uieotc: 191 I
Si und docrrina es erdadera, esr.í en el C¡¡án; Si
ttnd docrrinq
no está ?n el Corán, es herélica; O una doctrina es ue¡dadera o no estó en el Corón; O ana dochina está en el Corón o es betática. 4. Dilema complejo desructivo. En este argumento, la
menor formula
en disyuntiva las oegaciones de los consecuentes de la mayor- Obviamefite, la conclusión coosiste en la disyunción de las negaciones de los antecedentes. La foima de este dilerna es: Si X es Y, Z es U;Si Ves l/, S es 7;
OZnoesUoSnoesT,, OXnoesYoVnoesl/. Considerando el ejemplo sobre el
Corán, podemos transformarlo en el dilema destructivo siguienre : Si xna doctrina es úerdadeto, está en el Co¡ón: Si ma dochina no esló en el Cotón, es betética. O una ¿actuitla ¡o está en el Corán o no es he¡ática. O una doctrina no es uerdadeta o estí en eI Co ín. llemos dicho que la ca¡acte¡isrica del argumenro dilemárico está representada por la disyunción que expresa la menor. Las cláusulas de esta disyunción reciben el nombre, pintoresco y muy significarivo, de "cuernos del dilerna". Los cuernos del dilema son .cue¡nos disyunlivos' y empuian sin dar tregua hacia 1a deseada conclusión. Empero, ante un argumento dilemático, podemos ensayar varias salidas; si alguna resulta, el dilema se derrumba, (^) Escdp¿t por entre los caetnos del dilema, Consiste este modo de tefutar el argumento dilemático eÍ mostrar que la disyunción es falsa. Este camino esrá vedado cuaodo las cláusulas de la disyunción son cont¡adictorias, es decir, de la forma .,X es y o X no es y,,, Es el caso de la disyunción en el ejemplo de protágoras que pusimos más atrás; la menor de aquel argumento incerpretada correctamenre, equivalía a: "O ganas el juicio o no ganas el juicio"; en este caso no era posible escapar por ent¡e los cueroos, por la inobietabilidad de la disyuoción. Pero, en el dilema que pusimos sobre Sócrates, la disyunción no es pura; siquiera es concebible la verdad de ambos consecuentes (.¡Só_ crates conoció a Parménides" y "Sócrates conoció a Aristóteles"), caso en el cual podentos cscapar por enire los cuernos del dilemii. (b) Tomu el dilema por los cxernos. Ante un dilenra, lo primeto cs atender a la disyunción. É.n el caso de no habe¡ razoncs que I:r des_ truyan, lo segundo es considerar las proposicioncs hipotéticas que forman la mayor. ¡¡'Io r¿r el dilcrna por uflo (le sus cuernos,, consisrc
Í
192
cn destruir alguna de dichas proposiciones hipotéticas. Asi, por ejem¡rlo, en el argumento sobre ef Corán, pueden objetarse los dos princilios que forman la mayor; basta para ello con mostrar que hay docuinas verdaderas y no heréticas que no están en el Co¡án. En este caso cl dilema se toma por sus dos cuetoos. (c\ Repeler el dilema, Consiste esra operación en producir otro di-
lema que pruebe la conclusión cootadicroria del dilema original. IIay ejemplos céleb¡es de ¡efuración dilemática. El dilema de protágoras que pusimos más arriba fué repelido por el discíputo. ptotágoras irrgumentaba asíi Si gano el iuicio, me pdgos (pq sentencia); Si tí lo ganas, me pagds (por conuenio), Yo gano o ganas
,í,
Ne pdgos.
Y se dice
que el discípulo respondió, rorciendo el dilema: Si ganas el jaicio, no te pdgo (pot coauenio); si yo lo gano, no te Pago (Pq sentencia). Ganas
tí
o gdno yo.
No te pago,
l-os paréntesis indican la permutación de las razones que hizo el rliscípulo. (d) Es este cambio de razones 10 que, quedando implícito al argunrcnrar, suele dar apariencia de paradoja a una mera confrontación de irrgumentos cuya conexión se revela sólo aparente cuando avanzamos
cn el análisis. s
Consideremos, para ilustrar esto,
los dos
dilernas
iguient e s:
(l) Si existe Ia úidd lururd, Id ptesenre
no tiene odlo¡; Si no existe la uida latura, la presente no ¡iene ualor;
O existe
o
o existe ld uida
larúa,
La uida presente no tiene ualor,
l)\ Si existe la uida t'ulura, la ptesente tiene ualot; Si no existe uila lutta, la Presente Íiene ualor; | ".t"t" " ", "rt",
la
La t)i¿a lresente liene ualo¡. l.rr consideracií>n visual del coniunto que forman estos dos dilcmas
¡'rrrlucc h im¡resión de una conrradicción rorunda. Sin embargo, cxflicitamos l¡¡s razones de las implicaciones <1ue forman Ia
, r¡,¡r¡do
rrr.ryor rlc rrnrbos irrgu¡rcntos dcscul¡rimos una divergencia que disuelve
l.¡ contrrr¡licción Si I¡r vidn futtrr¡ exisre loclemos sostcne¡ la falca de v.rlor rir. la vi,l ,,rcstrrrr..cn l,r ¡¡rcrlirla cn qrrc la co¡)l)¡¡irrn(.,s cor irqueJllr; ¡'r rr), ¡ro,lr,rrros ¡r.r r)fr:r l,rrrr(. consirlcr:rr lrr virlrr ¡rr(.scnr(, (.olro un
Ir)l
I
medio de hacernos excelente la futura, y en este sentido asignar valor
a la vida presente. El lecto¡ captará fácilmente que la ambigüedad de la fórmula "tener valortt es aún más complicada y que mientras en el primer condicional es relativa, en el segundo es absoluta. Estas consideraciones bastan para un juicio ctítico que disuelve la aparien-
cia de paradoja. I-as instancias específicas de argumentación dilemática se prestan frecuentemente a uoa fácil refutació¡. Uno puede da¡se cuenta ¿ Priori de este defecto al observar lo dificil que resulta producir disyunciones que no seao de la forma trivial ..o p o no'p". Co¡sidérense, por cjernplo, pretendidas disyunciones como ¡¡O libertad o ti¡anía", "C) derecho natu¡al o derecho divino", "Q es la luz de natu¡aleza corpuscular o de naturaleza ondulatoriatt, etc. A friñera vista, puede uno concebir un camino por entre las disyuntivas; basta para ello alegar el carácter abstracto e inadecuado de las an¡ítesis en que se fundan aque llas disyunciones. De este defecto factual, sacan algunos razones para relegar el argumeoto dilemático a un plano secundario. Con rodo, debe reconoceise que se rata de un procedimiento formalmente impecable. Todo el defecto reside e¡ la dificultad cle sosrener las premisas del dilenra; dificultad que bien puede emparentarse con la ¡atr¡raleza más dialéctica de este razonamiento, rnás próxima - quiere decir - del ¡roceso en que viven las cosas reales. Al lector podemos dejar el cuidado de formaliza¡ el dilema del pasaje siguience de Las mil ! na Nocbes donde la princesa Budur, que se ha hecho pasar por su propio esposo, considera la propuesta que le hace el rey Armanos de romar s¡ hija por esposa: "Semejante ptoposici6n, ,a.n genelos.t y espontánea, p1so en moIesto dpr.ro a Ia princesa Batlar. Al hincipio no supo quó hacer para no delatar Ia turbación que la agitaba: baió los ojos y reflexionó un buen rdto,rnientras un stdor ftío le helaba la ltente,y pens6: Si contesto que, como Kamaralzamán, estoy yd casado con la prin_ cesd Sett Badur, responderó que el Librc lermite bdsta cuatro najetes Iegítimas; si le digo la tte¡¡lad ace¡ca de mi sexo, es cdp.tz de obligatne d cdsarme con él; y ,odo el mundo se enteraría tJe ello, y me daría macba úelgú'enza; si recbazo esd oleTra paternal, sa afecto hacia mí se cont'erthía en odio leroz,,.,; De nodo que oale mís nceptar la proposición y deiar qae se campla el Destino,,. 75. En el caso de los argumentos condicionales y con vistas a su for, malización a manera de cálculo, no es neccsi¡rio introrlucir ¡¡¡¡l;r nr¡evo. fis cvidente que torlas las leycs inf<.rcnci:rlcs fornrulr¡rl:rs crr cstc
l1e4
capítulo se pueden remirir a priricipios del Cálculo proposicional, es decir, a laurologías implicacionales propos icionale s. Destacamos aqui brevemente esta co¡relación. (a) Argumento hipotético positfto (modus poaens). Su fo¡ma es:
SiXesY,ZesU X es Y Z es U
Y puesto que las cláusulas pueden simbolizarse en forma Ío ^i^liz^¿^, se tiene:
p)q p q
l)roceso inferencial que se funda en la tautología proposicional: l, q,p,'S, La prueba de esta úlrima es como sigue:
(T., Ac,
Pv-P P\,-p.).py-PvS
Da)
(Ab) (R,a)
P'¡-Pvs q!-qv-P (?v-P'tq) (qv-qv-p) (Pv-p) Cqv'phS
(q
/p; -p /q)
0,,) (Distributividad, asociaciv idad, etc.)
P-.!v-p\q -ePv q)a -NS -( (Wq) vq P)q.P.)q
(Distribut. ) (De tr{organ) (De Morgan) (Da)
(h) Argumento hipotético destrucrivo (modus tollens). Su forma es:
SiXesY,ZesU Z noesU X noesY
l{t preseotáodolo, como en l,lcs, se tiene: l, )q
el caso anterior,
mediante símbolos sim-
-rl
In (sre caso, el ¡rincipio implicacional es la rautología,,p)q,-q::\-p' es la siguicnCe: .,-l) ).-q t' I' tq. ).-q t-p: t:(p tq)-q.\.((r)-p)-q (lt ,q)-q t(-q t-¡)-q (-q t-p)-4 ,-¡
¡ r¡y¡t Prueba
)/t.
(l'q)-,t -l
(T,) (Tr,) (Scparación) (l,.r ,tt)
llt,) lq5
|
(c) Otro
argumento hipotético expuesto, era
el más cornplejo de la
forma:
SiXesY,ZesU SiZesU,VeslT SiX esY, I/es LY Con símbolos
s
imples, queda:
p)s q)/ P)r Aquí, el principio implicacional correspondienre es la tautología
"p)q,q)t,),p)r" cuya prueba es obvia: p),q)t:).pq)t (Lema p)q, ):r)p. ).r) q (t")
parág. 39)
Aplicando a esta última implicación el lema expresado en la primera y separando el consecuente se tiene la implicación deseada. (d) Pusimos también las formas: (1) Si X es Y, Z es lJ Si Z es U, V es lf X es Y
V esW (2) Si X es Y, Z es lJ Sí Z es U, V es lf
Vnoesll/ X noesY Los principios implicacionales respecaivos so¡r: (1) p)q. q)t.p. )r (2) p)q. q)r.-r.)-p Su prueba es frícil y queda a cargo del lecto¡. (e) En cuanto a) argumento disyuntivo, sus modos son: (L) Ponendo tollens:
OXesYoZeslJ XesY Z es
U
(2\ T ollendo ponens:
OXesYoZesU XnoesY Z es
U
En este caso, debemos introducir la disyunción, conectiva que no empleamos en ¡uestra exposición del cálcr¡lo proposicional. para ello, podemos emplear la equivalencia:
I
lq6
P)-q.-p)q.=.pwq
y defiDir, entonces, "pwq" mediante alguna de las
expresiones
siguientes:
(^) P)-q,-p)q (b\ -(p¿l-Cp-q) (c) -(Pqv-?-q)
G\ (Pvq) (Pv-q) Sin decidir sobre este punto, ocupémonos de aootar el ¡ \quematizado ¡or l1) del modo siguiente:
argumento
?wq p
-q
I-:r tautología
c
orre spondie
nte, enronces, esl- (pwq)p)-q. Tomaodo, "Pwq" nuestro ptincipio queda:
pot ejemplo, el equivalente (b) de
-(Pq)-(-p-dp)-q
I)ara probarlo, empezamos aplicando (D,a) a esta última implicación. Sc tiene sücesivamente :
[email protected])- Gp-q)p)v-q Pqv-p-qv-p\-q Pq v-P!-q ltsv-(Pq) Pq)pq
(Da)
(De Morgan)
Fp-qv-p.=.-p) (De l\lorgan)
(D,a; etc.) Ahora bien, partiendo desde la última implicación se puede andar el clmino que lleva a la primera probando así el principio del argumenro rl isyuntivo n od ts ponendo t olle ns. Para Ia segunda forma de argumenro disyuntivo, el principio impli-
clcional que importa probar es: (p wq )- p .:q
Ir¿rra esta prueba puede seguirse
el mismo plan aplicado al
caso
.¡rrterior.
Ilcmos mostrado así que todos los argumencos condicionales pueden e¡ algún ptincipio del Cálculo Proposicional. De esra manerrr, rcrnirimos esta parte de la lógica ordinaria - como hicimos en el ¡.rso tle la Lógica de la Proposición Categórica - a una formalización ¡¡¡rrtt rnácica- Agregrremos todavía aquí un desarrollo semejante para el , .Lso ¡lc u¡ro cle los argumentos dilemáticos. lr¡rrrl¿rrse
ll) l)ilcm¡ simplc constructivo:'Su
forma es:
Si X cs Y, Z es l/,. Si V es lI', Z es It
O.\cs)'oVesV I cs
I1
I nr¡,lr.,rrrrIr sínrl,olos ¡rroposi<.ion,rtcs, qrrcrla:
¡q7
|
p)q,t)q Pwt q
EI principio que debemos probar se expresa mediante el esquema "p)q.ñq. P wt' )q",P ara tal prueb.. basta coo emplear la forma (b) de "pwq" pnesta más arriba y anotar: ' (P - q) - (r - q)' (t )- F P' t )'-', q p- qvr-qv pr'r-P'¡v
q
(D,a)
Aplicando sucesivamen¡e el principio T.. al último esquema se obtiene otao que es ostensiblemente tautológico; invirtieodo el Proceso se concluye la prueba. Las fotmas restantes del argumento dilemático se valida¡ a partir del cálculo proposicional de modo semejante. Mostrar que es así puede asigoarse coÍ¡o tarea
I
r98
al lector-
VI.
LOGICA CUANTIFICACIONAL O DE PREDICADOS
76. El modo menos complicado de introducir las ¡ociones que impor¡an a la lógica cuantificacional coosisre en partir de una proposición
singular, por ejemplo, '¡O'Higgins es chileno". Esta proposición es verdadera; y lo son también oúas similares como t'Manuel Rodríguez es chileno", "Pezoa Yéliz es chileno", etc. Podemos coocebir coda una familia de proposiciooes verdadetas que resultan de sustiruir por ciertos nombres propios los puntos suspensivos de la expresión: (1) ". es cbileno" La expresión (1) se presenta de esta manera como una especie de rnatriz proposicional, El lugar de los puntos suspensivos se susriruye de ordina¡io por letras como r, de donde resulta ta expresión: (1' ) "r es cbileno" que sugiere inmediatamente el nombre d.e t'unción ptoposicionol qt,e cn efecto se le da. * Se notará, en primer lugar, que una función ptoposicional no es una ¡rroposición sino ur¡a abstracción a parrir de una proposición. para t¡¿nsformar uoa fu¡ción proposicional en una p¡oposición hay que ¡lar un ualo¡ a x; tal vez la necesidad de esta distinción se deba solarnente al hecho de que el signo "x" en (1') da a la función la frrnción la apariencia sensible de una proposición. Si hubiéramos mnntenido la expresión (1) acaso no valiera la pena insistir en la rlistinción ent¡e función proposicional y proposición. Se notará, ade-
'
I'jodria sugerirse la disrinción de Ias fórmulas "función de proposición"
y "función proposicional". La primera penenecería a la lógica proposicional y sc iustificaría por ser la noción más generalizada de proposición ,,aquello r¡uc es verdaCcro o falso". Así, todo esquemá conectivo como ,,pvS,)-p" s¡¡íu ¡na función de proposición puesto que su valor 'depende'de tos valores clcmencos. I-a fórmul^ de Quine para la misma desisnación es "tl¿tl,-uabe lünctiorl"; no es feliz, puesto qre no alude explícitamente a l¡ lnlsc¡lud corno vnlor. Mcnos adecuadas son expresioncs como.,función de v,rrlnd" o "función vcririiiv¡"- lln cuanto a "función p¡oposiciooat" r,rnpoco r"suh,r riprin,r, ¡cro cl uso (1. cllr $c h{r difun(tnto dc t¡rl manera
rlr sus
,¡tr. n(, (¡u.(l¡ nrrir qrrc hnccr In rcvcrenci¡ n lo cosru¡,bn.-
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más, que una fu¡ción proposicional explesa, eo general, adecuadamente sus posibles aalores. Esto quiere decir que en (1,), por ejemplo, los valo¡es de r (las expresiones que debemos anotar en su lugar para transformar la función proposicional en proposición) deben ser expresiones que nombren pe¡sonas u objetos que no excluyari violenta_ mente el predicado. Sería absurdo colocar en (1') ,.Raíz de dos" en luga¡ de r. Finalmente, se nota¡á que oo son sólo valores de x aquellos que, sustiruídos, hacen la proposición verdadera; basta que la hagan proposición colservando el sentido de la maciz. Así, ..portales" y "Washington" son valores de r;,,F.aiz de dos', y .¡Triángulo",
77. El conjunto o la clase de los objetos que nombran los valores de r que, sustituídos, transforman la fu¡ción proposicional en una proposición verdadera coostituye la extensi6n cle la lanción. Importa dis_ tinguir entre extensión y comprensión de una funció¡ proposicional. Sean
los e jemplos: ufia ligura de tres lados,
(l\ x es
(2) x es ua ligta cuyos ángalos inieriores suman dos rectos. OrdinariameDre enrendemos los predicados (l) y (2) de ral manera que la extensión de ambos es la misma. Sin embargo la comprensión es distinta. De tal triángulo no se dice lo mismo al decir, una vez, "es una figura de ttes lados,,, otra, ..es una figura cuyos ángulos interiores suman dos rectost'f)ado un predicado, p.ej., ..es roma¡o',, ,.es útil,,, ,.es discípulo de Jesús", no tenemos dificulrad sobre la clase o conjunto que le cortesponde como extensión. Lo contrario no parece igualmente obvio a los lógicos. En verdad, dada una clase siempre es posible asignarle una función proposicional como extens.ióa. por eiemplo, si Fulano me indica una clase puedo poner en cotrespondencia con ella la fun_ ción siguiente: (3) "x Pertenece a Ia clase que me indicí Fulano". La verdadera dificultad se ¡efiere a las clases en su esrado, por decirlo así, natu¡al. Y todo viene a parar entonces al problema de si existen tales clases a que no corresponde una fünción proposicional y que no pueden ser indicadas, una tesis, si no imposible de sostener,
eri verdad peregrina.
78. La lógica cuantific ac ion al requiere de un simbolismo que le permita ¡eferirse de ma¡era general a las funciones propos ic ionale s. Nada más simple: Expresiones como ,.r es chileno", .,r es discípulo cle Jesús", "están pinta¡do la casa de r,', etc. se simbolizan ..rn oyr,,lo
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de una leua adjunta a la variable x. El símbolo ,,pr,,, p.ei., alude geoéricamente a fuociones como las anleriores. Se notará que el símbolo "P" rio está necesariamente en lugar de expresiones tan simples como sugieren la totma ,,px" y los mismos ejemplos que he_ mos dados. Los siguientes son igualmente casos de ,,pr,,,. (1) J aa.n paegr¿n a por x a pedto. (2) x desed algo que Pedto ocuho 4 x, Expresiones coúo 'tPrc" esquematizan, al modo de las let¡as del álgebra con relación a los números, Io que conocemos ya cori el nomb¡e de función proposicional. Se las nomb¡a esqr¿emds cúanriÍicacionale s, Cuando en una función proposicional sustituímos un valor de .r lo que resulta es una proposición; cuando en un esquema cuaritificacio_ nal sustituímos un vala! resulta, no una proposición, sino un esquema de proposición; algo que, aun cuando diferente de aspecto es sustancialmente lo misrno que las let¡as-es qnem s p,qt,,. empleadas en lógica de proposiciooes. Así, el trato que debemos dar a expresiones como "Pd", "Pb",,,, - doade ,,a", ,,b',... soí letras que esquematiza¡ los valores de x - es el mismo que daríamos a .tp,', ..q',,.., 79. I-as fuociones proposicionales y los esquemas cuar¡rificacionales no están meramente en relación con proposiciones y esquemas p¡opo_ sicionales simples (como p,Q,t,.,) si¡o asimismo con esquemas com_ plejos. Sean los ejemplos: (l) Cuando Jüan ?fegunÍa por x, pedto se bace el sc¡rdo,
(2) Cxando x desea algo, t lo compta, (1) Si Ped¡o es pdriente de x, enÍonces, ,. es púienre de Iudn, I'.1 ejemplo (1) está e¡ ostensible relació¡ coo el esqaema ,,p)q,,, lrl esquema cuantificacional correspondienre es ',p*)p,,. Así cambién 12) se relaciona con "p)q", Y lo mismo ocu¡¡e con ,,px)ex", gue c s quemariza (2\ y (3)Se inroduce¡ asi esquemas cuantificacionales cono ,,pt,ex,,, " l'xvQr", "Px,Qx=Rx", etc. U0. Sea la proposición ..Pedro pregunca por Juan". Es claro que po,lcmos obrener a partir de ella una función proposicional con dos v¡rriables:
ll), )( ltegantd pot
y
l'¡rr¿r ob¡ener una proposición a
partir de (l) se requieren dos valores, a y, I_a e{tensión de la proposición está cons_ rirrrída por los parcs de personas que se relaciorian del modo indicado rrrro asignado a
r, otro
I'or (l vcrho '¡l)rcgunt^r por". Asimismo, el esqüema cuaotrficacional ,frr(: ¡r cstc caso co¡rcs¡rondc s<,rÁ ',lt(xy)", poclemos consicle¡ar ram201
I
.
bién proposiciones como ¡¡Juan pregunta por Luis a pedrot' y anotar: (2\ rc prcg ntd por y d z. El esquema cuaritificacional correspondienre a (2) es p(¡yz). No es difícil ver la relación entre el número de variables de una función proposicional y la proposición que le es co¡relativa. Con palabras de la gramática, el número de va¡iable depende de los complementos que comprende la proposición. Por ejemplo: Juan ptestó dínelo d Pedro en la casq de Luis con dttorización ¿e los é. permite consttuir: (3) t ptestd dinero a y en z co¡ autorizaciín de a y también: (4) x prestd y a z en con dutorizdción de u. La oscilación eorre (3) y (4) se debe al distinro trato que podemos dar al verbo; podemos considerar o que el verbo es ¡¡prestar dinero" o meramente "prestar". La justificacióo que teíemos pat^ i^fat "presta¡ dinero" como un verbo se muestra en el hecho muy generalizado de producirse incluso g¡amaticalmence la contracción; es el caso de verbos como "apalear',, ,,blanquear", etc., que pueden considerarse como contraccio¡les de "golpear coo palo", ..pintar de blan-
81. Dada una fiir¡ción proposiciooal, resulta de ella una proposición verdadera o falsa por la simple asignación de un valor de ¡. Sea como ejemplo la función obtenida de las matemáticas: (1)
3
+r =r
+3
r los valo¡es 1,2,1,... 3+1=1+3 3+2:2+3 3+1:3+3...
Si damos a
obteoemos las proposiciones:
que son verdaderas. Si, eo cambio, coosideramos:
(2) 2 + x<5 y damos a .f, los valo¡es 1,2,1,... obtenemos: 2+
t<5
2+2<5 2+1<5.-.y solamente las dos primeras de estas proposiciones son ve¡dade¡as. F
ina lmente. podemos considerar:
(1) x
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202
podemos obtenel, a pa¡tir de una funcióo proposicional, una proposición. En efecto, considerando que la función misma dete¡mina satisfactoriamente el ámbito de los valores de la variable, podemos decir que (l) es una función proposicional que produce una proposicióo verdadera en rodos los casos de asignación de valo¡ a la variable; que (2) produce una proposición verdadera sólo en algunos casos; y finalmente, gue (3) no produce proposición verdadera ninguna, cualquiera sea el valor que asignemos a r. Podeoos ariotar: (4) Cualquieta se^ x, "3 +x=x +3" es una proposición verdade¡a. (J) Pata algún x, "2+ tc<5" es una proposición ve¡dade¡a. (O Para algún tc, "2+ x<5" es una proposición falsa. (7) Cualquiera sea tc,
"r
Consideremos, por ahora, los casos (4) y ciooal tales proposiciones se expresan así:
(j). En lógica cuanrifica-
(4' ) (x)3+x=x+j (5'\ (Et)2+'.<5
y se leen alternativamente así: (4'): Cualquiera se^ t ,3+x=r+3 o Todo x es tal que 3+x=x+3 o Para todo t,3+x=x+3 (5' ): Siquiera un r es tal que 2 +r< 5 Para un .r al menos 2 + r< 5 Existe siquiera un ¡ tal que 2+r{5
Llamamos cuantílicación a la operación consister¡ae en aplicar a una fuoción proposicional o esquema cuantificacional los símbolos "(x)", "(Ex)", A estos últimos se d¿ el nombre de opetadores cuanrilicdcionoles; el primero recibe el nomble de opetadot uniuersal, el scgundo el nomb¡e de o?erddor existerciol.
ll2. Ejemplos muy evidentes de proposiciones cuaotificadas pueden olrtenerse de las matemáticas. Son muy familiares principios como "cl orden de los sumandos no altera el totalt,, ..la agrupación de la sr¡nra no altera el total" etc., los cuales, en términos de cuaotificación se fo¡mulan así: (l\ (r) (y) (x +y-y +x) Conmutarividad
(2) (x) (y) (z) ( (r +y) +z=x + (y +z) ) Asociatividad Itlra descac¡r eiemplos de cuantificación existencial, basta recor,l,rr principios ¡naremáticos qve establecen que en tales con'rltunos ¿03
l
diciones tal elemento existe. Por eiemplo, el famoso postulado geometrico que establece la existe¡cia de una recta paralela a otta dada, por ün punto dado. Ciertamente, el postulado propone la unicidad de dicha recta. Pero, para nuestro propósito actual' Podemos dejar de lado la cuestión de unicidad y considerar solamente el asPecto ex¡stencial del postulado. f)esigoando pot "L" luna recta cualquiera, por "P" un punto cualquie¡a exterior a L y pot "Lt " u¡a recta cualquie ra, distinta o no de L, expresamos la proposición "Cualquiera sea L y cualquiera sea P, existe una recta paralela a L que pasa por P" de la siguiente manera: 3) U,) (P) (EI't ) (P pertenece a Lt y Lt es paralela a L) Otro ejemplo de este tipo está representado por una proposición de existeocia como aquella que se refiere a la suma de dos números: ttDados dos números, existe otro que es su sumatt que se a¡otaría así:
(4) (r ) (y ) (Ez) (x + Y= z ) O también, el principio que establece la existencia del número cero: "Existe un número tal que sumado a otro cualquiera la suma ¡esultante es este último". (5\ (Ex)(y)(x+y=y) Se obsetvará que (J) difiere de los otros ejemplos en que la cuantificación no se aplica a u¡a función proposicional simple sioo compleja. Otros ejemplos del tipo de (l) que resultan muy evidentes se encuentran entre las sentencias populares o refranes. Coosideremos algunos:
El refrán "Camarón que se due¡me se lo lleva la cotriente" expresarse así: (6) G)0)k es camerón 7 es corriente
.l r
duernre en
yly
puede
arrastta
"En casa de herrero cucbillo de palo"; éste se aoota: (x (1) G) 0) k) es casa . I es herreto z es cuchillo lr'¡ es de y z es de ¡ r,- z es de palo) ñtro eiemPto: "No hay bien que por mal no venga". Primero, pongámonos de acuerdo sobre lo que dice esta sentencia' Podemos conveni¡ en que no significa que un bien cualquiera e'(i8e
C)tro ejemplo
un mal como efecto suyo (es decit, que todo bien venga en demanda de un mal) sino, por el conttario, que un mal es causa de un bien; en tal caso nuestra sentencia sería: (B) (x) [¡ es bien ] 0)v)(y es mal . r proviene tle y)l I-os ejemplos dados en este lugar lo son de cüantificación múltiPle Importa dcsde va ir fam il iari zándos e con la técnica rle cuancificrción, la regla de oro para este tipo de oper:rciones consistc cn alenersc cuidntlos:¡mcntc ¿rl sentido dc la cx¡rcsiírn qrrc tlcbcnros trlducir ,r rrucstr()s s ínrl¡olos.
I
)(\/t
83. Un ejernplo notable del patágtafo anrerior es (8). Se trata aquí de una disposición nueva de los operadores. Supongamos que no hubiéramos agrupado asi y que si,nplemente anoráramos: (l) (x)(Ey)(x es bien ) y es mal . r proviene de y.) Si atendemos a la expresión (1) ateniéodonos al empleo que hacemos de las partes que la constituyen, la traduciríamos, más o meoos, en la forma siguiente: Cualquiera sea r, existe y de manera que, si ¡ es un bien, entonces, 1 es un mal y .r proviene de y. Asignemos uo valor a¡bitrario a a la vatiable r. Si ¿ no es un bien, el antecedente de la expresióo enffe paréotesis es una proposición falsa; de manera que, eligieodo rrn valor cualquiera de / tendremos un coodicional verdade¡o. Si ¿ es un bien, el antecederite de la expresión entre paréntesis será verdadero. {1) se transforma en (2) (Ey) (a es bien ) y es mal . a proviene de y) lo que viene a significar "Existe y tal que la conjunción coosecuente es verdadera" o "Exisre y tal que es mal y a proviene de y" o "Dado un bien, hay un mal de donde proviene" o "Todo bien proviene de rlgún mal" o fioalmente "no hay bien que por mal no veoga".
las formas: (3) G)Gy)G es bien ) y es mal . * proviene de y) (4\ (x) (r es bien )(Ey)(y es mal rprovienedey)) clicen lo mismo o son equivalenres. Queda sin embargo, mucho que rlecir todavía sobre la disposició¡ de los operadotes deorro de uoa cxpresión cuantificada. Antes de ello, pongámonos de acuerdo sobre cierta terminología y ciertos principios de agrupacióo. Se muestra así que
84. En lo que sigue, hablaremos preferentemence de esquemas cuantificacionales. La ¡oción misma de esquema cuanaificacional deja en claro que cuanto establezcamos sobre ellos es eri un aeraeno de gcner¡lizaci6¡ respecto de las funciones proposicionales. Un esquema cuantificaciooal se dice abie¡to cuaddo comp¡ende r¡na o más variables sin el operador cuaotificacional corre spondie n te, (lix) P(x,y) es un esquema cuantificaciooal abierto. La vatiable y a la cual no corresponde operador alguno se dice lib¡e o ao.ligada, La vatiable r, en cambio, se encuentra ligada dentro del esquema. lln esquema cuantificacional se dice ce¡rado cua¡do codas sus v,rriables están ligadas. "(x)Pr", ,,(E*)(y)P(x,y)" soo, eiemplos rlc csquemas cuanti ficac iona
le
s cerrados.
fi5- lin cu:rntificaclor dentro de una expresión no se aplica necesariarfrcntc ¡ clla como r¡n totlo. ('onsicléresc cl ejcmplo (r)(I;íGx)Gt): 2c)5
I
en ella el operador se aplica a toda la expresión, Pero no ocurre asjl en (Ex)Pxlq Cada operador entonces se emPlea con vn alcance hleo determinado dentro de la fórmula, lo que se hace explícito mediante un expediente simbólico - puntos o Paréntesis _ que permita indicar dicho alca¡ce. Sin embargo' por los ejernplos dados, se ve que no siempte es necesario dicho expediente y que el alcance de un operador, cuando no hay signo de alcance, es mínirno; cuando, en cambio se emplea un sigoo, el alcance está bien determioado por la agrupación que el signo produce. F'or ejemplo: (1\ G) Fx(y) Gy )(y)Gy
(2) (y) ( (x)F xcy.:Gy ) (3) G) Fx'¡Gx):'FY'¡GY (4) (Ex) (FxvGx),¡(x) (F x)Gx ) En (1) el alcance de todos los operadores es simple, Por lo que no se emPlean paréntesis En (2), en cambio, el alcance de "(x)" es simple, es decir, conprende solamen¡e "Fr",'pero "(y)" tíe¡e alca¡' ce complejo, razón Por la cual el operando que corresponde a este operador se comPrende dentro de un Paréntesis. Cuando varios operadores anteceden al mismo operando, se debe ello a que ninguna ambi_ gúedad resulta de este modo de agrupación. Por ejemplo, "La suma de dos números es un número" se expresa así: (5) k) 0) Gz) (x + Y=z) porque no pasaría de un gasto de paréntesis hace¡lo de la manera:
( @z) (t + Y =z) ) ) Fln efecto, en ambos casos, la lectura es la siguiente: "Todo número x es tal que todo número I es tal que existe z de modo que r+y=2" o también; "cualquiera sea ¡ y cualquiera sea y, existe siernpre z de modo que x+Y=2"-
(6) G) ( 0)
86. Si la cuantificación múltiple rio Produce dife¡encia e¡r casos como (5) del parágrafo anterior haciéndose entonces inútil el empleo de paréntesis que propone (6), el orden por el contrario puede llegar a ser esencial. Cie¡tamente, no ocurre asi en el caso de esquemas como "(x)(y) P(x,y)" o "(Er)(Ey)P(x,y)", e1 sentido de los operadores cuartificacionales basta para hacer evidente que en tales esquemas el ordeo de los cuantificadores no tiene importancia. El esquema"(x)(y)P(x,y)" afirma P(x,j) de todo par de valores l¡,y) obtenidos del dominio o dominios de que estamos hablando sin que importe el orden en que dichos valores se tomen. Otro tanto Puede decirse de esquernas como
"(Ex)(Ey)P(x,y)". Se verá más claramente todavía e¡ los ejemPlos: (r) (l) (x cstá rclacionado con y) (Itl)(ttY) (r cs m:ryor quc l)
l206
que el orden de Ios operadores no tiene importancia, y que se pudo decir lo mismo alterando dicho orden. Sin embargo, no si.mp..." así; por eiemplo, si alreramos (5) del parágrafo anrerior escribiendo: l) (Ez)(x)(y)(x+y=z) y ponemos en términos ordinarios lo que resulta, no es ya.,I_a suma tle
dos números es un número" sino algo como ..Hay un número que es la suma de dos números cualesquiera", proposición evidentemente falsa.
Ot¡o ta¡to ocurrirá con (3) del parágrafo g. Invi¡riendo el orden
de los operadores resulta: 2) (Ey) (x) (r es bien ) y es mal . r proviene de y) cuya lectura no es '¡no hay bieo que por mal no venga" sino algo como "IIay un mal de donde provienen todos los bie¡es". y ciertaminte, lo ¡rrimero y lo segundo so¡ todo lo dife¡entes que pueda concebirse.Si cn cambio, para volver sobre ejemplos anteriores, co¡sideramos ,¡Carnarón que se duerme se lo lleva la corriente', cuya exptesión mediaote cuantificadores es: (x)(y) (x es camaróo . y es corriente .l: r duerme en y,l. y arrastra a x)
l)odemos cambia¡ el orden de los cuantificado¡es conservando el sentido de la proposición: (!)(x) (x es camarón . y es corriente :): r duerme e¡ y.,a, y arrastra a x) r¡rre se lee:Cualquiera sea la corriente y cualquiera sea el camarón, si éste se duerme en aquélla, es arrasnado.
fl7. Noción imporrante en esta Iógica es la de uniuerso del discarco significa,.las cosas de que estamos hablando,,. ( r¡¡rndo ponemos explícitamente a [a base de nuestro discurso un rrriverso (por ejernplo, lo que ocufte por el simple hecho de escribir r¡r¡ manual sobre ral o cual materia), la simbolización se simplifica ,lc modo notable. Si, por ejemplo, el universo del
(r)(tly)0=x+t\
r\si¡tismo, para ',En casa de herrero cuclrillo de palo,, podemos ex_ I'r.s¡rr con ¡ una casa de herrero cualquiera y co¡ y un cuchillo cual_ ,¡rricr;t. I,il universo de nucstr?r proposición esrá constiruído por estas ,1,'s r l:rscs; y lrr rcl;rcirin quc clla afirmt cs: h ) ly) 0 cs ¡lc ly cs (lc ¡¡rlo) 201
|
88. llemos hablado de la agrupación de un complejo cuantific acional en orden a expresar inequívocamente el alcance de sus operadores; asimismo hemos visto que el o¡den de los operadores dentro de un complejo puede ser esencial. Todavía importa referirse a la dist¡ibución de los operadores. Consideremos una proposición como ¡¡O existe el bien o existe la misericordia" que, evidentemente, anotaremos así:
(f)
(Ex) ¡ es bien v lE¡) r es misericordiaI-a proposición que consideramos es equivalente a "Existe o el bien o Ia misericordia", y si expresamos esra última en términos de nuestra sirnbología
c
uanti fic
ac
ional resulta:
(2) (Ex) (r es bien v r es misericordia) Por lo tanto, podemos igualar las expresiones (1)y (2). Deuna mañera general podemos estar de acuerdo en la evidente equivalencia de las fórmulas "(Er)(FxvGx)" y "(Ex)I:xv(Ex)Gr". Si quisiéramos exptesar esta ley a la manera de las matemáticas diríamos algo como esto: ¡¡I-a cua¡tificacióo existencial es distributiva respecto de Ia alternacióo" o anotariamos: (4) " (E x ) (F xvG x )" = " (11.r)r^ m (F.x )G x" Coosideremos ahora una proposición como ¡'Todas las cosas son huenrrs y útilrs ' que ex¡resaremos asi: (3\ (x) (x es bueno . x es útil) Como en el caso de nuestro ejemplo anterior, podemos decir lo que dice la proposición (3) mediante esta otra: "l'odas las cosas son buenas y todas las cosas son útiles" que anotamos: (4) (¡) ¡ es bueno . lx) r es úril L-n el ejernplo puede verse con roda evidencia la validez general de la distributividad de la cuanrificación universal respecto de la
conjunción; o sea que: lb) "lr)rf rG) )", "r¡rlt r../r)Gr" Veamos ahora córno no hay distriburividad de "lEx)"respecto de la conjunción nt 'Je "(x)" res¡recto de la alternación. Consideramos para ello ejemplos como "llay libros útiles" y "I-as cosas son coloras o incoloras". La primera, medi¿nte cuan¡ificadores,se exp¡esa así: (t) (Ex)(x es libro . ¡ es útil) para ver que no hay distributividad en este caso basra considerar
(6\ (Ilx) x es libro . (l'ir) r es útil que corresponde a una proposición como Ia siguiente: "ilay libros y hay útiles". Ahora bien, esta úlrirna no dice necesa¡iamente lo que dice la primera: que haya útiles v que haya libros no exige que haya
libros útiles. Tenemos entonces que: (.\'{t:,¡¡¡,,.r,rr' no cs cr¡uivalcnrc :r '(Iir)l r.(/:s)tir, l2o8
Asimismo, ttl-as cosas son colotas o incolotas, se anota: (x es colo¡eado v r es incoloro) Consideremos, e¡ cambio: (8) (x) r es coloreado v l¡) r es incoloro I-a diferencia enrre (7) y (8) es, precisamente, la que hay entre la verdad y la falsedad: (7) expresa de u¡a manera particular el cono_ cido principio de tercero excluído; (F), en cambio, es una alternativa cuyas dos partes son falsas, porque ni es verdadero que todo sea coloreado ni lo es que todo sea incoloro. Tenemos pues que: (
(1) (x)
89. Desde ya, podemos indica¡ la expresión que reciben en esra lógica que hemos estudiado en otro lugar. Conside¡emos los ejemplos: (l\ Todos los cbilenos son dTauconos. (.2) Ningún chileno es araucano, (1) Alg/lnos cbilenos son aÍaucanos. (4) Alg nos chilenos no sotu draacanos,
los cuatro tipos de la expresión categórica
Conside¡emos (1), que predica universalmente ,,araucano,,, es rlccir, que dice de toda pe¡sona que sea chilena que es, tambien, rrraucana. Podemos decir lo mismo así: Cualquiera sea una persona,
si es chilena, entonces, es araucana- De una vez: l') (x) (x es chile¡o i ¡ es araucano) lrl tipo (2) se trata de modo semejante; excluye universalmente ,.araur'rrno", es decir, dice de toda persona que sea chilena que no es .¡rirucana- Podemos ponerlo de la siguieote manera: Cualquiera sea r¡n¡ Perso¡a, si es chilena, entonces, no es araucana. f)e una vez: (x) (x es chileno I - r es araucano) I )'\ ( r.nsideremos ahora (3). procediendo como en los casos (1) y (2), ¡'r,licr,r anotarse en el de (l): I \'\ (lix) (x es chileno ) r es araucano) Sin embargo, el solo hecho de que (3') es todavía significativo y v¡rtl¡rlero en el caso de no habe¡ ni araucanos ni chilenos tiene el , lccro rlc mostrar quc no representa una simbolización adecuacla de ll) l,.n cfecto, srrponiendo que ni hay araucanos ni chilenos, entonces, , rr,rlt¡uicra sc^ A, 'ta es araucano', y .,a es clrileno" son proposicio_ r'r's trrlslrs. l)or lo ranro, ¡ cs thilcno r .i cs araucano ,. rrrr corxlicional vertladero, tle donde resulra Ia verdacl de lJr). i)trrr tonsirlcraci<1n que nos conduce a re¡utJiar la interpretació¡ tl') sc hrrrri rnris inmc,lirrta cxprcsnndo cst:r últi¡rzr ¡.ror su e!ui.,alcn_ (
20q
I
(3") (llx) l-l¡
es chileno) v r es arauca¡o) que, aflicando el ¡rincipio de distributividad establecido en el ¡arágtafo 1.1. puede !¡ansformarse en: (3ttt\ (Itr)-(x es chileno) 't (l:x) (x es araucano) ALora bien, la verdad de (l"i) exige que haya siquiera u¡ sujeto en el nlundo que no se¿ chileno o que haya siquiera un sujeco que sea afaucano. Pero, suponiendo por ej., quc ',(Ex) (x es araucano)" se¡ una proposición verdadera, no podemos obrener a partir de tal ¡ro¡osición la proposición "AIgunos chilenos son araucanos"; con ello se mostraría que la inrerpreración no es adecuada porque puede dar origen a una pro¡osición verdadera sin que la proposición interpretada
(es decir, "Algunos chilenos son araucaoos") sea
necesi:r¡iamenre
verdadera-
Digámoslo todavía de otra manera considerando nuevamente (3r):
l/:¡) l¡ es chileno ' ¡ es araucano) Si hav siquiera un sujero d que es araucano, (3r) es ciertamente verdadeta aunque no haya chilenos. Pero en tal supuesto, la ¡roposición "Algunos cl¡ilenos son araucanos" es falsa, puesto que no hay cbilenos. I-a sinrbolización correcta en el caso de (J) es: (3ú\ (lar) (r es chileno ,.r: cs araucano) No es difícil vcr la equivalencia enrre esta proposición y la pro¡osición interpretada. T)e una se ¡asa a la otra, y conversamente. .{simismo, co el caso de (4) se (ienc: (11\ (l:x) (r es chileno -¡ es araucano) llesumienrlo, y sinbolizanclo por A v ll los términos de la proposición catcgórica; sus cutltro tipos err lógica cuantificacional se ex.4.- (¡) (,,1x Itx) li.- (x) (Ax -lJx)
L-
(
llx ) (Ax. Bx )
O.-(Ilx) (Ax. -llx
)
O0. Il tlesarrollo dcl nrimero anterior se presta para ir familiarizándonos con li¡s técnicas de esta lógica. Consideremos por eiemplo la conversión dr: la ¡roposicirin (3) de! ¡arágr:rfo anterior, conversión quc, coo)o sabemos, es Jrosible V de mo,lo simllc. l.:n sl caso presentc sc trirta rlc ver si hav tránsito infc¡cncial eotte "(t:.x) (,|x,Bx)" v "(l:x)(llt.Ax)", es decir, si es válido el coodicional: it t ) (,1t. B x) . (ta r: ) (tix. Ax ) l)ebc¡ros consider¿r si es posible Ia comhinacién .'Vl ,, de sus cl¿iusnl¿rs. l.ln el caso
conjunción verdadera. Arleorás, s:rbemos que: ld !t lt
I
z
to
l'id \4
for lo ranto "Ba.Aa" es verdadera lo
que hace imposible la falsedad de (Ex)(Br.Ax). Luego, "(Er)(Ax.Rx):(Ex)(Bx.Ax),, es una implicac
ión.
Podemos examinar asimismo la oposición cootradictoria, por ejemplo, entre "(r)(Ax-Bx)" y "(Ex)(Ax.Bx)". t.a verdad de ..1¡) (Ax .,-Bx)" significa que, cualquiera sea el valor a de r, la pr6pqsicjón "Aa)-Bd" es verdadera. Como sabemos, esta última puede anotarse "-(,4a-'Itd)", es decir, ',-(AaBa),'. l_uego, la verdad de (x) (Ar)-Bt) exige que, cualquiera sea el valor a de x, "AaBd,' sea fnlsa; y esto precisamenre es lo que significa la falsedad de ,,(Ex) (Ax.llx)", Asimismo, la falsedad de ,,(x) (Ax)-Bx),,significa que hay un valor a de r tal qus "Aa'-Ba" es falsa; es decir, tal gue ,,Aa', y "Bd" so¡ verdaderas. Y esto precisamente es lo que significa la verdad de "(Ex) (AxItx )" , ()1. Otra manera de obteoer resultados de la especie del parágrafo .rntcrior cr'rnsiste en partir suponiendo que los valores de una variable trrllquiera constituyen r¡o número finito, cualquiera sea el rango de .u t¡agni¡ud. Y la verdad es que las palabras ,,todos" y,.algunos", ,rsunto p¡incipal de esta lógica, ni ganan ni pierden en su uso ordinario con las ideas que uno pueda tener sobre el infinito. IIay más que ,lccir sobre esto, pero dejémoslo para ocro lugar. Suponienrio pues la linitud de los valores de la variable r, es posible rraducir las nociorc,¡ del cálculo c uanrific ac ional a las r:lel cálculo proposicional. ll,r,ita para ello con observar que, siendo a, b, c,,,. d los valores de
r, Ir¡xle mos anotar: (l\ "(x)Pt" se puede anotar ,,Pa.Pb,pc,., pk" ()\ "(lir)Px" se puede anorar ,,Pavpbvpcv...vpk,' Las rclaciones (1') y (2), en las condiciones aceptadas, ((rr rigurosamente a explicirar eJ significado de .,(x)" se rerJuy,,:.x)',. .'\lr
anorar cle la segunda parte de (2): ( \) A( I)av AkBk ^,bllb\¿...y 1 r's nrrry claro, co¡ro hemos aprendido en lógica de proposiciones,c¡ue: t.i \,1 a I| ¿ v A h B bv...v AkB k.' . Il a Aav llb Abv...v B kAk * rk r ir, aplicando (2): r', ) (, rr ) l/.r. /tr) 0ar) (Br.Ax) '\\inris'¡r(), cn lugzrr clc ',(x)(Ax .-Bx)" podemos anotar: tt'\ (.ld -ttt)(.4h -tJh)... (Ak.- Bk) ,rr r¡cr¡lo con
t \ (,\d.lta )- (.,1h. B l,). .... - ( ,\t!. rJ k) r , rr l,r¡,,r ,lr' "lIir)t.1r r),,:
ir
l
(R) AdBa'¡ AbBb'r....vAkBk cuya negación, segun el principio de )\,forgan es: (9) - 6dBd)- (AbBb)... - (AkBk)
Ahora bien, la equivalencia (7)-(9) muestra que es válido el bicondicional siguiente : (10\ (x) (Ax)-Bs)= -(Ex) (AxBx) Y (10) es, precisamente, lo que dice la ley de oposición conr¡adictoria.
92. En un universo finiro, "(x)Px" signitica ,,papb.,.pk", Ne gand,o esta conjunción y aplicándole el principio de De Morgan, resulta "-Pav-Pb'¿...v-P*",. esta última exptesión corresponde, en un univer_ so fioito de objetos (a,b,c,,,,k), a la proposición ,,(Ex)-px", Del mismo rDodo, puesto que "(Ex)pr" equivale a "patpbv...,tpk"y la negación de ésta,según la regla de I)e Morgan,es ,,-pd-pb,,,-pk", tenemos que "-(Er)Px" puede escribirse también así: lx)-pr. Nues_ tro resultado, entonces, queda resumido en las siguiences equivalen_ cias: ( 1\' (2)'
- (x )P x'=' (E r )- Px'
(x )- Px' que nos permiten o elimina¡ la negación delante de u¡ cuantificador o, con ayuda de la negación, expresar un cuantificador en términos del otro. l.o primero es demasiado ostensible para insistir sobre ello. En cuanto a lo segundo, bastará para ello con recordar las leyes que tigen la negación de las cláusulas de una equivalencia y, partiendo
- (E x ) Px'='
ae (1) y ( 2), anotarz
(J)'k)Px'='-(Er)-Pr' (4)' ( E x )Px'='- (x )- Px' Las relaciones (1X4) pueden obrenerse, sin Ia ¡estricción de un universo finito, medianre la simple y fácil rransformación lite¡al de una cláusula en otra. Así, Ia proposición,,Es falso que, cualquiera sea x, Px" es equivalente a '.Existe siqrriera rrn .rr cal que -pr,,,. la proposición "Es falso que existe x tal que px,, dice evidentemente lo mismo que "cualquiera sea x, - px"; la proposición ,.cualquiera sel x, Px" es equivalente a ,,Fs falso gue existe x t^l gve -px,,; y, finalmente, "E¡iste ¡ tal que Px,, se puede úansformar en ..8:r falso que Dara todo.r, -Prc".
03. En el parágrafo 88. hemos expuesto los casos
|
212
co primer lugar para maoipular sus ope¡adores es poner relación eotre rales esquemas y la alternación o la conjuoción, Sea, por ejemplo, el esquema abierto:
(1) Px)Qr cualquiera sea
el valor que asignemos a la variable x, ¡esultará de cllo un condicional; asimisrno, cualquiera sea el ¡ratamiento que demos (1) no se altera con ello el hecho de que fué obtenido a partir de " urr coodicional. Es, pues, obvio que en vez de (1) pudimos anotar: (2) -PnQx (J\ -@x-Qx) Otro ta¡to podremos hace¡ en los casos restantes de esquemas cuaotificacionales Est Ítos, pues, elr condiciooes de eliminar el pa¡éntesis ^bieúos. de alcance en exp¡esiones como "(Er)(Px)Qx)". lin efecto, urilizando (2) transformamos "(Ex)(Pr)Qt<)" e¡ "(Ex) (-PxyQxl'; luego, utilizando (a) del parágrafo 88. resulta: '(Ex) (Px)Qr )'= '(Ex )-Pxv(Er)Qx' No ocurren igualmente las cosas cuando se trata de una expresióo como "(x) (Px)Qx)". En electo, si recurrimos a (2) sabemos que lr) no se distribuye a través de la alternación; si tratamos de sali¡ ¡¡tlelante con ayuda de (3), la aegación en f¡ente de la conjunción cierra el paso a toda distribución. Si, ante la expresión "(x)-(Px-Qx)", rccurrimos a (2\ d,el pará'grafo anrerior, tendremos:
-(Er) (Px-Qx) lo que nos deja doade estabamos, puesto que lE¡) no se distribuye '(x
)- (Px-Qx )'=
a
rrrrvés de Ia coojunción.
'),{. Una proposición compleja de esta lógica puede comprender una ¡rrrrte cuantificada y oüa meramente proposicional; ejemplo de tales onrplejos anfibios se¡ía: Si Sóc¡ates es lilósot'o, entonces, todos los lilósolos son gtiegos r¡rrc, nediante nuesra simbología cuantificacional y proposicional, ,L l¡cmos anotar así: ()\ S¡íc¡ates es fil6solo), (x) (r es filósofo ) r es griego) l'.1 csquema cuanrificacional anfibio correspondiente a (2) sería:
r
(l)
)\ | :(x) (Px)Qx) )lro ciemplo, de esúucrura coojuocional, es: ( l\ Sócrctes es lilósolo y se interesa en todas las cosas
t (
,¡rrc simbólicameote
se anota:
l\\
S6<:rates es lilósot'o , (x) Sócretes se interesa , rry,r forma cuantificaciooal correspondiente es:
(() l. (x )Px lin vcrtlad, "Sócrates se interesa en rt'
e¡ x.
puede considera¡se como 213
l
función proposicioaal a medio realizar partiendo de la función proposicional de dos variables: y se interesa por r asignando y el valor "Sócrares" a la va¡iable y. En tal caso, el esquema cuanrificacional correspondiente sería ,.P(x,y)"; y el tesuftado de asignar un valot ¿ de la va¡iable y se anotaría p(x,a). La nírmtla (6) se t¡ansforma¡ía entonces en: (61
) p.(x)P(x,a)
Sin embargo, no hay inconveniente en simplificar y tra€¡ la expresión "Sócrates se interesa en,' como un todo que simbolizamos con "P". Se observará que los complejos anfibios del tipo examinado eo este parágrafo no estáo excluidos de u¡ trato meramente proposicional. El ejemplo (1) corresponde al esquema proposicional ,.p)4,,; el eiemplo (4), al esquema proposicional ..p4,,.
95. En lógica
cuanti fic acional, como en lógica de proposiciones, importa significativamente la nocióo de validez. ya hemos renido oportunidad de refe¡irnos a esquemas cuantificacionales válidos. Los esquemas: (1) (x) (PxQx)= (x)Px.fu)Qx (2) ( E x ) ( Prv Qx )=-!E t ) Px't (Ex)Qx ()) (x)Px= -(Ex)-P* (4\ (Ex)P*= -(x)-Px son ejemplos de esquemas válidos. Otros esquemas que intuitivamente reconocemos como válidos son: (5\ k) (Px. p)=(r)Px.p (6) Px p) p (1\ PxQx)Px
(8) Pr)PrvQr (9) Pr0y)Px erc. Importa precisar la nocióo de validez que hasra aquí flota intuici_ vamente en lo que vamos dicieodo. En lógica se rata de precisar; pero no hay que olvidar que se traüa siempre de precisar intuiciones.
llemos inrroducido ya la noción de universo de discurso, aquello de lo que hablamos y a que esrán referidas las variables que empleamos. Suponemos siemp¡e que el universo de discr¡¡so no es vacío, es decir, que de un modo u ot¡o exisaen cosas, obietos o eod¿ades en tal universo. Suponemos as.imismo que las letras ..p't.1.e",,.. son una referencia esquemática a cu¿lificaciones y relaciones que se aplican a los obietos de dicho universo. por ejemplo: ( 10) P¡vQ¡ como esquema cuantificacional referido a la clase de los homb¡es | 2r4
"P" y "Q" sea¡ enteodidas como esquemas de cualificaciones que acePta dicha clase. Por ejemplo "es rubio", "camina", "debe explicaciones", etc., son cualificaciones de la cspecie esquematizada pot P y Q' Si, en cambio, refiero el esquema (10) al universo matemático de los números enteros, P y p esquematizan cualificaciones que Peftenecen a este universo' Tales cualificaciones esquematizadas por P y p son, por ejemplo, "es par", "es primo", "es divisible por 3", etc. Del mismo modo uo esquema como: (1r) P(x,y) referido a la clase de los hombres esquematiza relaciones que acePtan la clase como, por ejemplo, "es más sabio que", "es amigo de", "es padre dett, etc. Referido, en cambio, a los números enteros, (11) esquematiza relaciones del tipo "es mayot que", "es divisible por", "es poteocia de", etc. Especificar la clase a que un esquema queda referido en ud contexto cualquiera es operación que nombraremos "asignación de univcrso". Especificar la cualificación o relacióa que eo urr contexto cualquiera correspoode a las lettas "P", "Q",.,. de un esquema cuantificational es operación que nombtaremos "interpretación de sus letras". Hay más sutilezas que agtegar en la conexión; pero podemos desde ya aproximarnos a la noción de validez con los medios exige que sus letras
tle que disponemos, Consideremos, por ejemplo, (Z)-(9). ¿Qué es lo más caracte¡ístico rle estos esquemas? Cieita analogía, responderíamos, con tautologías como "pq)p", "!),?"q". En verdad, (7)-(9) son esquemas abiertos, cs decir, rio son p¡oposiciones sino mat¡ices de donde salen proposit'iones. Pero, cualquiera sea el uoiverso asignado, cualquiera sea la
intetpretacióo de sus letras y cualquiera sea el valor dentro de ese universo asignado a sus variables, el tesultado de ello es siempre runa proposición ve¡dadera del mismo modo que lo es toda interpreta_ r i<ín de las letras proposiciooales de "pq)p" o "?).pvq"' Conside¡emos (6)r Px,p)p; lo característico de este esquema, (()mo en el caso de los otros ejemplos ya examinados, es que la I'roposición resuhante de asignarle una especificación es verdader';r sin que importe cuál sea la especificacióo. Cualquiera sea el unip)P", cualquiera sea la interpretación de vcrso asignado ^ "Px de dicho universo, cualquiera sea el valor asignado a f, dentro "l)" ,n tlicho universo y, finalmente, cualquiera sea la proposición p,el rcsultado será siempre una ptoposición verdadera. Iil caso (5) difie¡e de (6)-(9) en que ¡o se trata ya de la validez ,lt. rrn es<¡rema cuantificacional abiertol en este caso desapareceo
,l¡ l¡ rlcfioici¡ín tlc v¡litlcz frascs como "cualquicra sea el
valor 215 I
asignado x". La validez de (J) significa que, cualquiera sea el ^ universo asignado, la interpretación de ,,p" y la proposición ,,p,, el resultado de tal especificación transforma ' ,(x ) (pxpl(x)prp,' eo una proposición verdadera. Finalmente, la validez de los casos (1!(4) significa que, cualquiera sea el universo asigoado, cualquiera la interpretación de las letras '-t' , -'!1 , las proposiciones resulcantes de esta especificación son verdade¡as. En una palabra, y resumiendo con el término .. e specificación,' toda una serie de operaciones que sería fastidioso enumerar detalladamente, podemos decir que un esquema cuantificaciooal cualquiera es válido cua¡do y sólo cuando cualquiera especificación suya produce una proposición ve¡dadera.
96, Es evidente que un esquema c uanti fic ac ional abierto ,calcado' sobre uoa laurologia proposicional es válido. ,,px,tex,).exvpx", por ejemplc,, es un esquema abierto calcado sobre la tautología "Pvq.).qvp", Si asignamos un valor ¿ cualquie¡a a la variable r, fesvlt^ "Pa'rQa,).Qav Pa', , cuyos símbolos ,'pa", ,,ed" son esque_ mas proposiciona le s. En una palabta, ,, pavea.). ea,¡ pd" es la misma tautología " p\ q,,). qv p,' ex¡rresada en forma mengs simple. Cualquie_ ra sea, entonces, la interpretación de sus esquemas proposic ionales, "Pa\Qd, ).Qd\Pa", produce una proposición verdadera; por lo tanto,
"PxvQx.).QxaPx" es un esquema válido. Para producir esqücmas válidos a partir de tautologías proposicio_ nales no es necesario que el esquerna resultante a"a d" aólo un, variable. Es obvio que esquemas como: (1\ P (x, y ) :-. p (x, y )v ek ) (2\ P (x,y)Qz)P(r,y ) (3\ Px',, Qjr,y ). ).Qk,y h Px (4\ P(x,y, z). ). P(x,t,z)vQx, etc. son válidos en el sentido definrdo en el patágrafo a¡rerio¡. I_o son asimismo los esquemas cuantificacionales que resultan de un calcado solamente parcial a partir de una tautología proposicional. por e¡em_ plo, partiendo de Ias rautologías: (5) P>'Pvq (6) pqlp podemos obtener los esquemas cua¡tificacionaies válidos: (5' \ Pr-t. Pxv q (5" \ P;-.PvQx (6') Pxq,.P, (6" \ PPxlp
|
216
Si un esquema cuantificaciooal abierto es válido ello implica que, en un universo cualquiera, se transfo¡ma en una tautología proposicional para cualquier valor que asignemos a sus variables; y esto significa que su cuaritificación uoiversal es, asimismo, válida. Areoiéndonos po¡ ahora a los esquemas cuantificaciodales que hemos dado como eiemplos en este parágrafo, podemos entonces anotar los esquemas
válidos siguientes: (7) (x) (PxvQx.).QtvPx ) (8) (x) (y) (P(x,y))P(x,y )vQx) (9) (x) (y) (z) (P(x,y)Qz)P(x,y ) ) Si, por ejemplo, en (8) eliminamos el cuantificador universal '.(y),' resulta: (lo) (x) (P (x,y D 'P(x,y)vQx) esquema abierto cuya vatiable libre es "r", Es obvio que (10) responde también a nuest¡a definición de validez puesao que una especificación cualquiera que asignemos a dicho esquema produce una proposición ve¡dadera, La condición anotada aquí es pues necesaria y sufi-
ciente: U¡ esquema cuantificacional es válido si y sólo si lo es su cuantificación universal. 97. En el patágafo 96, hemos considerado esqueñas cuanrificacionales válidos en cuanro han sido calcados sob¡e un esquema proposicional tautológico. En cambio, en el parágrafo 95, hay varios eiemplos en que el esquema proposicional correspondiente no es tautológico. Por ejemplo, "(r) (Px.Qx)= (x) Pr ft)qr", esquema válido coosignado eo el parágrafo 95, tiene como esquema proposicional correspondienre "?=tl¡", q¡. obviamenre no es tautológico. Otro ranto de la misma especie ocure con los ejemplos (2),(3),(4),(5) del mismo patágrafo. La razón, obviamente, reside en que la validez de tales esquemas provieoe exclusivamente del significado de las nociones que inrervienen específicamente eo lógica cuantificacional. Hay entonces esquemas ptoposicionalmente válidos y esquemas cuaritificacionalmente válidos. Consideremos algr¡¡ros de estos últimos. Sea, pot ejemplo el esquema cuanaificacional abierto: (r\ (x) Px)Py I'iste esquema consra de dos partes; y no hay que olvidar para la consideración que vamos a hacer que la primea parte ',(x)px" es cn si misma un esquema cer¡ado, es decir, está por una proposición. t'l'y", por el contra¡io es un esquema abierto. Para da¡nos cuenta de la validez de (l), aplicar¡os la defioición que hemos dado en el ¡rarágrafo 95. Supongamos que haya un universo, una inrerpretación ¿c "r"' y un valor
de dicha especificación y a parrir de "Py" sea falsa; es evide¡te que e¡ tal caso el antecedente lo será también puesto que pretende, al contrario de nuesro supuesto, gue ,,Px" es ve¡dadera de todo objeto del universo asignado. El condicional (1) en tal caso será verdadero. Si suponemos lo cont¡ario, - es decir, la verdad, pa¡a una especificación cualquiera de "(x)Px" - el consecuenre de (1) será siempre verdadero y el condicional entero, en consecuencia, siempre verdadero asimismo. Luego, "(r)Pr )Py" es un esquema válido; y lo se¡á por lo tantoi (2\ (y)((x)Px'Py) Consideremos aho¡a, el esquema cuantificacional
(3)
Py ) (Ex)Px
de ,,P" tal .,Pr,, que la proposición construída a partir de en ese universo es siempre falsa. En tales condiciones - que hacen el consecuente de (J) falso - el anrecedente del condicional (J) es siempre falso para dicha especificación y, por lo tanto, el condicional entero, siempre ve¡dadero. Supongamos, en segundo lugar, que la interpretación de es siempre falsa; resulta entonces que el consecuentede (l) es siempre verdadero, y por la¡to lo es todo el condicional. Concluímos entonces que el esquema c uantific ac iooa I abierto, (J), es válido y que lo es también el que resulta de su cuantificación univerSupongamos un universo cualquiera
y
uoa interpretaci6¡
sal:
(4)
(y) (Py: (Ex )Px ) Asimismo, atendiendo a los esquemas válidos validez de:
(5\ (x)Pr)
(l) y (3) obtenemos la
(li. x)Px
En efecto, la no validez de (5) significa¡ia que siquiera en un univer-
',P", ,.(r)pr,, produce una ptoposición verdadera mientras que "(Ex)Px" produce una proposición falsa. Aho¡a bien, "Py", para dicha interptetación no puede producir una proposición falsa, a riesgo de no ser válido (l) conrrariamente a lo que hemos mostrado; pero ¡ampoco puede ,,py,, producir so para siquiera una inrerpreració¡
d.e
una proposición verdadera, a riesgo de ser falsa (3) cont¡ariamente a lo que hemos establecido. La conclusión, entonces, es que no es posibÍe "P"; o lo que es lo mismo gue',(r)px)(Et)pr,,es válido. Este ejemplo permite generalizar y obrener la validez d,e ',E)Er" meramente a partir de "8,)E" y "Íj)82", En efecto, si suponemos que "Erl,Er" ¡o es válido significa ello que pa¡a cieta especificación "Er" es verdadero f "F,r" es falso; pero, por hipótesis, en ral caso no puede "Il" ser falso-"Er)8,'- ni puede tampoco ser verd:¡clcro -"8)nr", - es decir, "l3"es imposible. pero, hemos supuesto lo con, trario; por Io tanto es im¡osible qv ,,t,\ ,t:," sc,r f¡rlso. I zt¡t
98. Si, dado un esÍluema cuantificacional '¡áli¿o, "8", formamos su negación, obtenemos ofro, "'8", que evidentemente Produce una Pto_ posición falsa cualquiera sea la especificación que le asignemos. Decimos que un esquema como "-8" es íriconsisteote o contradictorio. No todo esquema cuantificacional i¡consistente ¡esulta de una construccióo como la proPuesn, es decir, negando un esquema cuaotificacio¡al válido. Por ejemplo, "Pr-Pr" es un esquema incoosistente que preferimos considetat en telación a la inconsistencia proposi_ cíonal "p-p" y no al esquema válido "-(Px-Px)". En general un esquema cuartificacional es inconsistente cuando, cualquiera sea la cspecificación asignada, la proposición tesultante de ella es falsa. Cuando un esquema cuantificaciooal no es la negación de un esquema cuantificacional válido ni está calcado sobre una inco¡sistencia ¡rroposiciooal, no es en absoluto inconsistente. SuPongamos que lo fuera; entonces, su negación constituiría un esquerna cuantificaciorial válido y el esquema primitivo podría considerarse como la negacióo de esta negación, de maoera que seria la negacióo de un esquema cuantificacional válido, contrariamente a lo que hemos supuesto. Un esquema c uantific ac ioral consistente se puede definir de modo negativo como aguél que no es ni válido ni inconsistente. Si se ha mostrado que un esquema no es válido, bastatá most¡ar además que es verdadero para alguna especificación y con ello se habrá mostrado que es consistence.
99. Vamos a ocuparnos de un procedimiento análogo a la decisión proposicional que nos permita ve¡ificar si un esquema cuantificacional es válido, inconsistente o consistente. T¡ataremos solamente esquemas cuadtificacionales de una variable Pero antes, trataremos de familiarizarnos con cierta especie de tran sfo¡macione s. Conocemos ya las relaciones que oos permiten traosformar:
(a) (r)Px (b) -(¡)P¡
(c\ (d\
en -(Ex )- Pr e¡ (Er)-Px
e¡ et
(Ex) (PxvQx) (x) (Px.Qr)
(Ex )Pxv (Ex )Qx
(x)Px, (x)Qx Sabemos además, que uo esquema cuaotificacional se puede transfornrar en o¡ro de modo similar a como se t¡aosforman los esquemas Proposicionales. Ve¡emos en última instancia que es posible transfor-
nrar un esquema proposicional de mane¡a que exhiba una forma análoga a los esquemas proposicionales que conocimos bajo la denominación de esquema normal alternativo. Sean, por eiemplo, (x)(Px)Qr), (x
) ( Pt. - Qxy llx
¡) l¡) lPx iQx)
),
( li x
) Px.) (r )
(P
r - Qr).
sc cransforma
e¡ (x)(-PxvQx) 2t9 l
e¡ -(Ex)'(-PxvQx) e¡ -(Ex) (Px-Qx) se traosforma e¡ -(Ex)-(Pr-QxvRx) se t¡ansforma e¡ -(Ex) (-(Px-Qx)'Rx) se traosforma e¡ -(Ex)( (-PwQx)-Rx) se nansfotma e¡ - (Er)(-Px'RxtQx'Rx) se traosforma e¡ - ( (Ex)(-Px-RxhGr)
('PrvQx) -(Ex)-(-PxvQx)
se transforma se tradsforma
(x)
t¡) &) (Px.-QxvRx) - (Ex)-(Px-QxYRx)
-,Fx)(-(Px-Qx)'Rr) -(Ex) ( (-PxvQx)-Rx) -(E x )(-Px-RxvQx-Rt)
(Qr-Rx) )
-( (Ex)(-Pt-Rxh(,Ex)
(Qx-Rx))
se transforma
et -(Ex)(-Px-Rx)-(Ex)
(Qx-Rx)
c)
)Px)(x)(Px-Qx) -(Er)Px'¿(r)(Px-Qx) -@x)px't- Gx)-(Px-Qx) -(Ex)Px,¡-(Ex )(-PwQx) @x
se transÍotma se tiansforma
se $ansforma eo -(Ex)Px'¡ - (E x)(-PrlvQtc) se transforma en -(Ex)Pxv- ( (Er)- Pxv (Ex)Qx) )
- (Ex)Px'¡- ( (Ex)- Pxv
(Ex)Qr)
et - (Ex )Pn (t)(Px-Qx ) e¡ -(Ex)Pxt - (E¡<)-(Px-Qx)
se transforma
e¡ -(Ex )Pxv'(E
x)-P x-(Ex)
Qx
de esqueCoosiderando los ejemplos, es fácil darse cuenta del tiPo dicho Se trata' ma a que catamos de reduci¡ un esquema cualquiita' o soo gfosso modo, de forrnar uo esquema alternativo cuyos efementos ii.pl." o se forman exclusivameote mediante coniuncióo' negación y cuantificación existeocial' oPeraciones que se combinan como me_ darse cuenta de la posibilidad io, "" p,r.d.. Tampoco hay dificultad en d. ll.rr". siempre a cabo esta transformación mediaote los principios que rigen .l cálcrrlo proposicional, las leyes de De Morgan y relaciones de la especie de (a)-(d). Lo que tratamos de obtener mediante toda esta aparatosa transformación es una forma del esquema que permita simplificar su análisis sea eliminando Partes suyas, sea poniendo de manifiesto los casos de validez o inconsisteocia sea permitiendo verificar rápidamente si hay consistencia. 100. Vamos ahora a considetar algunos ejemplos de decisión en lógica cuaritificacional. Sea, primero:
(l\ PxQx)Px v'ex-
Px
las transformaciones de
ll)
son:
(l'\ ( 1") - Pxv-QxvPrv-Cr-Pr Es fácil ver que cualquiera sea el universo, cualquiera sea l¿ interpretación de "P" y de "Q" y cualquiera sca el valor asignado | 220 - (PxQxh Pxv-Qx- Px
¿t
"x", (21 \ se transformará en una p¡oposición verdadera. Ello ¡esulta de que es un esquema normal que comprende la parte ,,Pxv-Px". En general, cuando, luego de una transformación como la que conduce de (1) a (1 ), encontramos nuestro esquema reducido a otro calcado sobre una tautología proposicional, bastará ello para estar convencidos del ca¡ácter tautológico de ouestro esquema. Consideremos aho¡a
el esquema: (2) P x Qx,-t - P x.v. - Qr P x,) Q x (2t \ - (PxQx )'¡- Pxv- (-QxPxh Ox (2tt) - Px'r-Qr¡v- P¡v frv- PrvQ¡ ( 2rr r) - P¡v-OrvO¡ (.omo se muesrra osteosiblemente en (2',,), el esquema (2) es válido. Ahora, veanros un eiemplo algo más complicado: = - Px
(3) Pror)Rr.vRr-Qx
(3r) - lPrCrlvRxv R x-ox -Pxv- (Rx-ox)Px (lr') -Prv - QxvRrv Rr- !r- Pxv- RrP.tvQrPr (3"') - Pxv-QrvRxv-R¡ P¡vC¡ P¡ El esquema en su forma (3"') está calcado sob¡e el esquema prol)osic ional
-Pr-q,tn-rPvPq que es tautológico puesto que su parte
"-pv-4vpq" 1o es siendo im¡osible la combinación IIrF de sus ¡res cláusulas. Por lo tanto, (3) cs válido. Tal vez valqa la pena insistir en la legitimidad de rransformaciones como la de "RxvRx-Qx-Px,' efi ,,Rx" que hemos efectuado al pasar de (3t') a razór¡ de una t¡ansformación de un csquema en ot¡o puede darse en términos de extensión: Si dos esquer¡r¡s rienen la misma extensión, es decir, si son verdaderas de la rnisma clase de objetos, puederi intercambiarse. Coosideremos un objeto cualquiera ¿ del cr¡al es verdadero "RxvRr-Qr-Px,'. Es claro t¡ue de dicho objeto es asimismo verdadero ,?¡,,. Inversame¡te, si "ll¡" es verdadero de a, lo es también ,'Rx,rRx-!:x-Px",Igual resul¡rrdo se obtiene considerando un objeto cualquiera ü del cual es falso
"l.lxvRx-Qx-Pr" o '¡Rx", Como ya hemos visto, el tratamiento de csqr¡enras como (11(l) y asimismo de un esquema c uan rific ac ional lormaclo de cláusulas cerradas, resulra, para este tipo de transformacirin, en rodo análogo a las transformaciones del cálculo ptoposicional ( ,,mo ril¡imrr cjem¡lo de esra especie se¿: lf ) /'r.l I'r.v.-PrJ.Cr...,Prtr lf ') - lf'r(-)t
)v
¡'r- l-)Í. r¡'¡l),
1tt) - (- (Px(tr )v P-t - rl¡r )v ¡'rllr /.1) l)r r_r¡- lf'r- lrr )v l'.1-)¡
(
I
l)
flr'_rr (-I'rvl-rr
)v
l'lrlrr 22t
I
(4\ PxCx- Pxv Px CxQJrv PxQr (4\ PxQxQxv PxQx (4) PxQr
lls claro que "PtQrc" es co¡sistente,
en cuanto es verrladero ¡ara
ciertas especificaciones y falso para otras. 101. Consideremos ahora el caso más compljcado de esquemas cuan_ tificacionales cerrados. Sea, en priner lugar: (l) (¡: ¡ ) (Px- C¡ 1. Qr)- Pr ) I-o que hacemos en primer lugar es llevar a su forma canónica el esquema contenido en el Paréntesis, lo que se logra de la mane¡a cxf,uesta a través de los ejernplos (11(4). Anotando en columna la serie de rransformaciones, se tiene:
Pr-!r'.erl-Pr
- ( l'x-Qx h.tQr'¡- Px ) - l)rv(lxv - Q.rv - Pr
- I'xv'lxv-Qx Srrstituyenclo esta última expresión en
(1) tenemos:
(1'\ P ¡'¡ Q xv -rlx ) \ t lx- Pxv I:.xQx't Il x- !x (
It t ) (-
(1"
I-a ex¡resión (1" ) tiene forma ca¡ónica. Es, además, fácil comprobar su valirlez puesro que está calcada sobre la cautología p¡oposicional l': qv - r¡ Sea
el e jenrplo:
(2) lll¡) (Pr -Cr,)l (x ) (- t'xv PxQx ) (2t\ (t:x) (-Px\Qx) (x ) (- Pxy PxQx ) (2") - (/ix (- /)-tv ('r ) )v (x )(- Pxv PxQx ) (2"' \ - ( (t x )- t'xv (ll x )Qx h - ( Ii x )- (- Pxv P r? r ) (2t" \ - ( (t:x )- Pxv (Itx )Qx h- (Ex )(Px- (PxQx ) ) (2'\ - (ll¡; )- I'x - (llt )Qxv- (l:.x )(Px (- Pxv -Or ) ) (2vt \ - (llx )- l'x- (ll x)Qx¡ - (E r)(Px- Pxv Px-Qr ) (2"'\ - (Itx )- l>x- (t:x)Qxv- (F.x) Px -lx ) I-¡r fotnra (2"") del esquema (2) permite verificar de una oieada el carácter rlel esqucma. l)ara ver si es o no inconsistente basta con irvcrigunr si algr:na de sus cláusulas puede hacerse verdadera para efecto la segunda 'r12rrna es¡ecificación. Considcramos fara este [)ado cláus]¡Ia que es más sim¡le. un universo cua!qulera bastará con interpretar "P¡" de manera que sea falso de todo objeto en dicho universo para gre "Pr-lx" lo se¿r asi¡ris,no: cn tal cnso, "flir) (l'r.-()s)" es falso v "-(lix)(l't-ot)" verdacicroi de nanera c¡ue lo es, I)ara dich¡ cslrecific¡ci¡in, cl csqlrcnrr l2 "'), lo quc ¡ruc!r:r qLrc no cs incr¡¡sisrcr¡tc'- I'.rrir v
(
t con averiguar si acepta o no la combina_i l;,r este caso te¡emos que habérnoslas con tocla la fórmula (2"r'). Da_ ,lo un u¡iverso cualquiera, podemos inte¡pret ar '.p" y ..e,, de maneta
,l¡dera en nuesro universo y, for ranro, ,,-(Ex)(px-Qx),,falso; la condición (2) implica g:ue ,,(Fx)ex', es verdadera, ,,-(Ex)ex,, falsa, y "-(Ex)-Px-(Ex)ex" falsa asimismo. Luego, (1) y (2) reunidas comportan la combinación I.-I: para (2rttt\. Con esto se prueba gue (2) no es válido. Ni válido ni inconsistente, es decir,.on.i"r.nt.. 102. I-a relación entre esquemas cuantificacionales y esquemas propo_ sicionales ha sido establecida aquí muchas veces en térmi¡os de Ia Irase "calcado sob¡e". En verdad, se trata de u¡a forma más de sr¡stitución. En un esquema proposicional podemos sustituir una o nrrís letras por un esquema abierto o cerrado siempre que resperemos ll norma general de esta opetación, a saber, sustit\¡ir ral o cual lcrra por tal o cual esquema en cada una de las ocurrencias de la l(tr.¡ dentro de la fórmula. por ejem¡lo la sustitución ((x)px/p) ( I' x / lt ), ei pv.l, :. qv p producen alaernarivamente : ( (
l) )\
(x
)P
r,¡ q. ),. qv
Pxvq.
:-,,
(x
)
P:t
qt Px
[:-n el caso de esquemas proposicionales válidos, como lo es e] rle rr¡cs¡ro eiemplo, es evidenre que tanto la susti¡t¡ción (1) como lo sus_ ¡ittrción (2) conservan la valtdez. Es claro también que la susritución ,lc trn esquema cuantificacional fuede extenderse sin alterar nada r:le l,r tlicho a esquemas que comprenclan más de una variable. por elenr, ¡,1,,, Ies sustituciones ( (x)(F.),)p(x,y)/p), ((F.f)p(x,y)/p), (p/,r,¡1 ¡¡ "n " l,\ 1,,/. p" producen sucesivamente:
t \\ t x )( t:y )P (r,1' fu G )G y )r, (x,y )q. (x )(E y )p k, y ) =. l4\ (t:y )P (t,1, )n¡ (p.y )p(x,y )q.=.(Ey)p (x,y ) ts\ I'(x,y h t,(x,y )q. = P (x,y ) Para darse cuenra de la validez de (j)-(5) no hay rnás l.r definición de validez que viene at ca.o: asigna,l,, que ¡¡pticar un unir"rr,, (tualquiera), dada una interpreración (curlquier,r) a ,,/),, en (ticho rr|iverso, dado un valor (cualquiera) r i¡mcs qrre rcsultan de (3)-(5) a parri¡ de ral cspecific¿ci,in.,,n.rc,¡,
c verdade¡as. ( rrsi no cs ncccs.lr¡o qüc l¡ sr¡stituci¡ín
r
.:.1 r
(6) (x)(PrQx))q. =. (x)PxQx-q (7) (x)(Ey )(Px,y ))q. =. (x)(Ey)P(x,y)x-q (8\ PxQ-x.)q. =. PxQx.-q
y es evidente que todos estos esquemas son inconsisrentes o contradictorios. 103. Podemos también sustituir a parrir de un esquema cuanrificacional eo este caso, la sustitución como en el parágrafo anterior, preserva tanto la validez como la inconsistencia. Veamos algunos ejemplos a partir de esquemas cuantificaciorales específicamente válidos, es decir, tales que su validez resr¡lte del sentido mismo de los
cuanrificadores y no del cálculo proposicional. ya hemos conocido un bueo riúmero de esquemas válidos de este tipo. Tomemos, por eienplo: (1) (x) (Px.Qx)=(x)Px (x)Qx y efectuemos la sustirución R¡).f¡lP¡,. resulta ( 1') (r)lRx lJr. Qx )=(r)(Rr]s x) (x)Qx que es evidentemente válido. Otro tanco resultará de la sustitución, por ejemplo, lR.'cvsr/Pr) en el esquema válido: (2) (x )Px)Py que producirá: (2t ) (x )(RrvS x)).R yvSy
En un esquema válido se puede sustituir una parte por otra que comprenda más variables. Por ejemplo, volviendo a (2), podemos sustituir "P¡" pot "P(xy)" de donde resultará: (2" ) k)P(x,y):,P(y,y)
IJrr ejemplo menos simple es la sustirución (er.:.(Ez)R(x,z)/px) que produce el esquema válido de ctes variables:
(2''
t
\
(x )
(Qx
.-. ( E
z
)R (x, z ) )
). ey )
(E
z
)R (y,
z
)
Las sustituciones que rienen por efecto aumentar el número de variables de un esquema se encuentran sometidas a las siguientes exigencias: (1) I-as variables que úae el esquema introducido por la s¡rstitución no deben caer ba;o la influencia de los cuantificadores del esquema original; (2) Los cuantificadores que rrae el esquema int¡oducido no deben influi¡ en las variables del esquema original. Fijemplifiquemos sobre esro; supoogamos que la última sustirución lrubiera sido, más bien (Qx.:(Ey)R(x,y)/Pr.), el resulrado se¡ía (21\ \ (x)(Qx'-,(Ey)Rk,y)):.ey )(Ey )p (yy) En es[e caso, estaríamos transgrediendo la condicióo (2), porque el cuantificador "(tly)" que trae el esquema subsciruyentc influiría sobre la variable libre y del esquema original. Cie¡ramen¡e, el scnticlo de las condiciones (l) y (2) es harto evidcnrc puesro quc sicntlo ta
I ))/'
validez de un esquema el iesultado de cier¡as relaciones de extensión es difícil conservarla cuaodo tales lelaciooes son afecmdas. Ahora bien, (1) y (2) excluyen tal posibilidad. Pasando de esta codsideración general, mosremos que (2r" ) no es válido, Para ello, podemos inlerprerar "Qr" y "R(x,y)" del modo siguienre: Qx..¡ es núme¡o R(x,y):r es menor que y Con tal interpretacióo, el aorecedente de (2r" ) sería verdadero puesto que simboliza la proposición "Cualquiera sea uo número, hay otlo mayor". El consecueote, en cambio, simboliza la función proposiciooal Si y es número, entonces, / es meno¡ que 1 que es falsa cualquiera sea y, Todo esto quiere decir que (2- ) no es válido puesto que hay siquiera una especificación para la cual la proposición que produce es falsa. Consideremos el esquema válido: ()\ Py)ExPr Podemos efectuar la susritución (P(y,z)/Py), de donde ¡esulta¡ia el es quema también válido: (3t \ P(y,z))Et((Px,z) Al cootrario, de la sustitucióo P(y,x)/Py resulta: (3") P(y,x ))ErP(x,x) que no ¡espeta la condición (1) p.,erto que la variable r del esquema introducido cae en el consecuente de (3") baio la i¡fluencia del cua¡tificador lEr). Para ver que (3rr) no es válido podemos interpre tat .,P(x,y)" por la funcióo proposicional "y es padre de r,,. Resulta e¡tonces la función proposicional siguienre : y es padre d,e x,).(Ex)x es padre de r que es falsa para iodo par de valores de "x" e .,y,, que hagan verdadero el antecedente. La i¡ferencia en el terreno cuantificacional representa ua p¡oceso atáIogo al que hemos conocido en lógica proposicional. Un esquem.r cuaotificacional puede considerarse como conclusión de otro, que es su premisa, cuando (1) este último se afirma; (2) el condicional formatlo con la premisa como antecedeate y la conclusión como consecuenle es un esquema válido. En uo capítulo anterior nos hemos ocupado de la inferencia silogística. Podemos aqui, para ejemplificar, comenza¡ trataodo cuantiIicacionalmente los ya conocidos modos del silogismo. A cada uno
104.
rlc óstos deben corresponder principios o reglas inferenciales e¡ el trrrcr)(¡ cuanrif icacio al. ( orrsi¡l¡¡¡u,,t", ( n Prirrcr lt¡8¡r, cl I'ri¡n<,ro y ntás famoso rle los ,n(',1¡),,l(.1 silosisnlr, ¡l,rrl).,r,,. r'(),,)cn¡,s <.t cjcrl¡lo: 22s
I
Todos los bo¡nbres son mottales Todos los cbilenos son hombtes Todos los cbilenos son mortales
La simbolización cuantificacional transforma este silogismo en el siguiente:
(r) (r es hombre I ¡ es mortal) (r) (x es chileno I ¡ es hombre) (r) (r es chileno ) ¡ es mortal) Finalmente, la esquematización de las fuociones proposicionales dentro de los paréntesis (empleando para el caso las letras á,8,M) nos suminist¡a el argumento en toda su generalidad: (:r
)
(tt
)
(Mx)Bx) (Ax)Nx)
(x)
(Ax)Bx)
La cuestión principal entonces consiste en probar la validez siguiente condicional
del
:
(1) (x)(Mt)Bx)(t)(Ar)MxD k )(Ax )Bx ) La cadena de transformac (x
)(
(Mx
)Bx )(Ax)Mx
ione
)))
-(Ex )- ( (-Mxl'Bx )(- Axv
(x
s se dispone a continuación en columna:
)(Ax )
Mx )
))-
B x
(E x
)
)-(-AxvBx)
- ( E x )(Mx - B xt Ax ^ l¡l x ),\ - (E x ) ( Ax - B x ) (Ex )(ltx-Bx )t (Ex)(Ax-Mx)t - (E x)(Ax-Bx )
Nuestra tarea ahora es mostrar la validez del esquema cuantifica_ cional (l' \ (Ex )(Mx-Bxh @x)(Ax-Mx )v - (Ex )(Ax-Bt) Para ello, bastará con mosr¡ar la imposibilidad de producir para (l') la combinación FF-F. ler. caso: Supoogamos que '.Mx" se interprera de modo que sea falso de todo valor de ,,*,,,, en tal caso ,,(Ex) (Mx-Bx)" es una proposició¡ falsa. para que lo sea tambíén ,,(Ex) (Ax-lúx)" -puesto que "-Mx" es verdadeto de todo valor de.r- lray que inte¡preaar '7r" de modo que sea falso de todo valor de r, En tal caso, "(Ex)(Ax-Mx),' es una ptoposición falsa. Es clato que en tales condiciones, siendo ",4*" falso de todo x, lo es ',Ax-Bx" y es falsa asimismo la proposición ,,(Ex)(Ax-Bx)", I_uego, y finalmente, "-(Ex)(Ax-Bx)" es una proposición verdadera y con ell^ todo el complejo (1,). 20 caso: Inrerpretemos .'8x,, de modo que ser verdadero de todo valor de x; ,'-Bx,'se¡á entonces falso de to
I
226
"(Ex)(At-Mt)" es una proposición falsa; pero ,,-(Ex)
(Ax-B
x),,
es
ciertamenre ve¡dadem. No es difícil da¡se cuenta de que, interpretant)o para "Ar", t'Bx" y '.Mx", hemos agotado todas las posibilidades. I-a conclusióa, entonces, es que (lt ) es un esquema válido. Podemos considerar seguidamente el caso de Ferio. El esquema cuantificacional correspondiente a este modo sería: (x) (Mx)
-Bx)
(Ex) (Ax.Mx) (Ex )
(Ax-Bx)
Nuestra tarea corisiste en mostra¡ la validez de: (2\ (x) (Mx) -Bx)(E*) (Axtuc))Ex(Ax -Bx) Disponiendo las transformacio¡es sucesivas eo columna, resul!a: - (Ex )- (Mx) -B r ) (E x ) (AxAlx p (E x ) (Ax -Bx ) -(Ex )- (-Mxv -B x ) (E x ) (AxM* )) (Ex ) (Ax - Bx ) -(Ex) (MxBx ) (Ex) (AxMx))(Ex ) (Ax-Bx) -(- (Ex ) (MxBx ) (Ex) (AxMx) )v (Ex) (Ax-Bx) (2t) (Ex) (MxB x)v - (Ex ) (Ax x )v(Ex) (Ax-Bx)
P¡oba¡ la validez de (2) en su fotma (2t ) equivale a mostra¡ que no es posible la combinación FFF de sus cláusulas. le¡. caso: para la falsedad de "(Ex)(MxBx)" basta con que ,?*,, sea falso de todo valor de ¡ en el uoiverso (cualquiera) asignado. Tal intetpretación de 'tBx" nos obliga a una inrerpretaci6¡ de ,,Ax" en .,(Ex)(Ax-B*)" puesto que "-B*" será verdadero de todo valor d,e x, ,,Ax',, entonces, es falso de rodo valor de r. En tal caso ',AxM:," es falso asimismo
de todo valor de x; " ( Ex ) (Axrl.f ¡),,, falso y su r¡egación verdadera. En tal caso, (2t ) es verdadero. 2a caso: Si interpretamos ..,1{r,, como falso de todo valo¡ de r, es evidenre qrre ..-(Ex) (AxM,c)', es una proposición verdadera; y coo ella lodo el esquema (2'). 3er. caso: Sea ",4x" falso de todo valor de r en el universo (cualquiera) asigna_ do. En tal caso, asimismo, ,,-(Ex) (Ax.Ux)" es una proposición ve¡da_ rlera.
En una palabra, la combinación FFF es imposible o, lo que es lo el esquema (2) válido.
'nismo,
105. Veamos, ahora, algunos casos de infe¡encia que sean más espe-
cíficos eo ¡elación a esta lógica cuar¡tificacional. f)e esta maoera, comenzamos a familiarizarnos con la noción de un cálculo cuantifi_
c¿cio¡al. Por ejemplo, hemos visto ju.e ,,(r)Px)Py" y ,,py)(Et)px" so¡ csqucm^s cuanrificacionales válidos. Rasta Ia observación de esros csqucmas para estar en condiciones de efectuar la inferencia siguienre
(l) l¡)P¡
,¡'v
t,,,/ '(tt.li)l,x
ir ¡t'\ r, \ )r'\
l¿j
I
uo
Hemos hecho algunas coosideraciones sobre validez y dicho gue esquema cuantificacional abierto calcado sob¡e una tautología
proposiciooal es válido. Asimismo, sabemos que si un esquema cuantificacional abierto es válido su cuantificacióo universal rambién lo es. De aquí resulta rodo un plan para infereacias del tipo siguienre:
(2\ p)p Px)Pr (x)(Px)Px)
G) Pq)p PxQx)Px
(PxQx)Px) Basta aplicar ouesra rioción de validez o siquiera la mera repre_ sentación de las ideas fundamentales de esta lógica para darse cuenta de la validez de esquemas como: (x) (p!Px )). pv (x)Px (x ) (p)px)). p)(x)p,. pv(x)Px,)(x) (pvPx) p)(t)Pt .)(x) (p)Px) Sin embargo, podemos arreglarnos fácilmeote para obrcner tales esquemas inferencialmeote a parti¡ de oüos que se conside¡arán más fuodamentales. Pongámonos antes de acuerdo sobre ciertas reglas. (a) Si se afirman "Sr)Sr,, y .,Sr,,, se afirma también en razón de ello "S"". Se rrara de una regla en todo análoga a aquella que formu_ lamos al elaborar u¡ cálculo proposicional. (b) Si se afirma "Sr)S(r),, - donde ,.Sr,, no comprende ,,x,, - se afirma también en .azóo de ello ,,Jr)(r)S(r),,, porque la afirmación (x)
es verdadero; y esto es lo mismo que significa
,,5)(x)5x",
(c) 5r se afirma "Slr.))Sr,, - donde ,,,Sr,, no comprende t.x,, se afirma también e¡ razón de ello ,t(Ex)Sx)Sr,,. porque, siendo "J, " falso, S(x) debe serlo asimismo de todo valor de r,.y en tal ca_ so "(Ex)Stt" es tambié¡ falso, (d) Si se afirma',Sl)Sr,,y ,.Sr)S3,, se afirma tarnbién .,Sr)Sr,,. Esta regla ha sido utilizada con anrerio¡idad y no requiere de comen_
ta¡io. Veamos ahora cómo obtener nuestro primer esquema mediante una deducción
I
(4\ (x)(pvPx)),pvPy (Esquema válido que resulta de susriruir (pvprl Px) en "(x)Px)py" ) (x)(pvPx) ¡,-(ph Py (Reemplaza¡do cn la inr¡licacióo :rntcrior ..2,,
(x)('gPx)),-?)Py
(Transformando el consecuenre de la irnpticació¡ anterio¡ mediante i¡rercambio) (r)(p'rPx)-p)Py (Transfo¡mando la implicación de acuerdo con la tautología propos icional " p). q)r : -. pq)t " ) (x) (p\rPr),- p)(y )Py (Aplicando a la implicacióo anterior 14 regla (b) ) ) (F P x )). - p) (y)Py (Id. tautotogía " pq)r.=. p) q)r" ) (t) (pv Px)).pv (y)Py De esta última implicación, usando el signo que aquí conviene para denotar la variable en el consecuente, resulta: (x
(r ) (pv Px)).p'¡(x )Px
En cuanto al esquema condicio¡al ,'(x)(p) Ptc)).p) (x)px', es fácil deducirlo a partir del anterio¡, En efecto, hemos probado o inferido el esquema "(tc)(pvPx)),pv (x)Pr,, que mediante sustirución puede traosforma¡se en "(x )(-pv Ptt )). -pv (tc)Ptc" , Se tiene eoronces: (5', (r)(pv Px))pv (x)Px (x )(-pv P*))-pv (x)Pt (x )(p)Px )).p)(x)Px A partir de esta última implicación podemos generalizar Ia tegla (b). En efecto, sea: (6) S,).S,)s(¡) Sr)(tc)(SlS(x) (Aplicación de la regla (b) al esquerna condicio¡al anterior) Sr),Sr)(r)J(r) (Aplicación al consecuente del condicional anterior del condicional que acabamos de probar en (J), es decl:., ,,(x)(p)px) ) p)(x)Px", en que hemos susrituído t.p', pot ¡.51,'y ,'p" pot ,,9"¡, Es fácil ver que mediante exteosiones sucesivas se puede establecer - cualquier^ sea n - el cor¡dicional: Sr ),'..S, )....,, ). Sz f (r).tr a partir de: Sr ),'.'Sr),'., .. ). Sr, )S.r Todavía nos queda la tarea de obtener los esquemas ,'p\(x)p¡r)(x)(pr Px)" y "p>(x)Px, )(x)(p)Px)". Veamos el caso del primero:
(7) (x)Px)Py pv(x)Px.),?vPy (Puesto que si "Et)82" es uoa tautología, entonces, cualquiera sea "8", "E:vEr,),EvE"" es también una tautología) pv(t)Px.)(y)Q'tPy) (según la regla (b)) Iifectuando, por último, el cambio adecuado de variables, resulta: lN (x) Px.)(xXpv px) I'ln cuanto " 1,)(r)Pt )(x)(p ) Pr),, partimos del condicional probado ^ cn (7) y sustituímos "/.r" por ',-p',, Resulra: (a\ -pv(x)1,x. )(x)(- lN px) cs
dccir:
229,r
p)(x)Px.)(x)(p)Pr) Los eiemplos de derivación inferencial o deductiva elabo¡ados a ¡avés de (1)-(8) so¡ suficientes pa¡a sugeri¡ la idea y fo¡ma de un cálculo cu¿ntificacional. Como e¡ el caso del cálculo proposicional, se pardrá aquí de ciertas ¡ociones primitivas y ciecos enunciados o axiomas desde los cuales se inicia¡á el proceso deductivo.
|
210
VII,
CALCULO CUANTIFICACIONAL
106. En el último parágrafo del capítulo aoÉrior anticipamos sobre un cálculo cuaotificacional. Vamos a elabora¡lo aquí ¡ápidame¡te y en forma elemental. Suponemos para esta tarea todo el cálculo proposicional presentado ya en el segundo capítulo. (a) Los términos que no se definen son: p(x), (x)p(x), (Er)px, Pod¡íamos prescindit de uno cualquiera de lob dos últimos y ayudáo_ donos de una u otra de las equivalencias i (1) (x)Pr=-(Ex)-Ptc (2\ (Ex)Px=-(*)-Px introducirlo mediante una definición. Sin embargo, con el propósito de acostumbra¡ al Iector a los procedimientos def cálculo cua;rificacional, pteferimos esrablecer como teoremas las equivalencias (l) y (2), como así ¡ambién otras de su género. (b) Las leffas ',P", ,,e", ..R,,,,,, esquematizan predicados. Las letras "¡", ',y',, ,,"",.., esquer¡atizan variables. (c) Para referirnos a esquemas cuaritificacionales sin especificarlos, emPleamos las expresiones o signos ,,S,,, ,,5r", ,,5"",:., (d) Los axiomas de este cálculo serán designados co-ntinuando la lista de los cuatro axiomas del cálculo proposicional. Igual cosa en el caso de los teoremas, Las reglas opetaciooales cuantificatorias serán designadas en coordinación con sus análogas del cálculo pro¡rosicional. Los axiomas cuantificacionales son: A,e: (x)Px)Py A,f : Py)(Ex)Px (e) Eo el cálculo proposicional hay una regla de separación (Ra) que, aunque puede conside¡arse fundada en el principio proposicional "!')q'p.)q", debemos formula¡ con palabras .o.o, Si ,i"rrur,, "lir " son principios, ,,Er" lo es asimismo. podríamos indicar lr. se-, ¡r ración flledianre un signo; por ejemplo, medianre ¡¡-,,. pod¡íamos |one¡nos de acr¡crdo sobre una,operación disolutiva, que indica¡íamos 'rrc(liante "''' y cntender que el esqucnra a la izquierda d".,-,, O" Itr¡nr n I:r irpcracirin rlisoluriva' quc scpara la f,arte anota,ia a la 211
I
derecha. Se tendría algo como lo siguientel
,,J, J,". ,.Jl " - ,..t,,,
com¡lejo equivalenre a nuestra reg!a de separación. f)e .*"todos modos, "." seria un instrumenro o her¡ai,¡""," -":-:-;:,^^ ^ mos; y no sería meio¡ n""
""":l::i;,j;.:H:.:.H::::::Tff.
formulada ordinariamenre. A la regla de separación del consecuence en
el ámbito de los prin_ cipios proposicionares, se agregan en er cárc'lo cuantificacional dos reglas, rar¡bién de separación.
Ria: Si "JriJr)lr),, - doncle ,,.f,,, no comprende ,,r,,, en canco que este signo eo,,S"(x),, es de variable libre - es,ro p.in.ipi, lo asimismo',5 ) (r )5,(x )". "" 1L"a si "Jrk)tsr,' - donde .,sr,, no comprende ,.r,,, en ranro que este signo en ,,Sr(x)" es de variable libre I es o., p.lo.ipio, to.. asimismo ', (Il t (x
)(S | ) 5 r,,, Resultará evidente para el lector que estas dos nuevas reglas, específicamente cu antificaciona I r idez..cuantif icaf _-\
,;;;i;;;-;::",;;.:o::TJ'. j::::ir$"JJ: J:
significa Ia f¡ase ,,validez deJ esquema .S, ,r, fJl;, ,l-nfr-"." ii.r,"lf Pattiendo de Ia validez ,.S_ _¡. consideramos ) (x)s.¿(¡)"'
"s'¡ es .r"." n". ;;;".""'o1T-r.','-szlx)" uera si gr ificaría ;;;::;;",:",:1:,1,t:""j :: J::',H::il::r,:;?J, '..rr*¡^r,"., se transforma en "';; una proposición f
falsa. Conside¡."ra"."
en el s'¡'esto legítimo de que siquiera r¡n universo conducen a la validez de ,,fl(x)Srlr)_iJz,, ¡oda ,.,
es un esquema v álido. Son, pues. válidos los esquem¿s:
no., u^i,o, no" *"".", Orrrr,,
(l) ".i, _.r,(x). .J, f tr).t.f.r),, (2) "s, (x)')s,),(E*)s, ú) )s",, (1) y (21 derivamos im¡lícitamente, y sin mezclar esta deriva_ -_De ción con el cálculo cuantificacio¡al en sentido estticto, las reglas (Ra') t ¡¡ar' 'r,. O.ocedemos en es til"d;,iÍl: ti.,te u- r uut or ogí",t -;.;.-.;;;'; j,":".;:" :*:::i" ioclúr (l?at)y (Ratt)e6¡¡s Ias reglas de separación. Se observa¡á. finalmenre. que l, inferencie. digamos: (a\. (x )5, (r). (Ext\,(x ) (Ex)S,G)
T
r
(x k). (Ex )5,(x) .__--.-)S 1
(E x
)5,(x )
llli.,,"^ l: ":::.^ ::p*ción
out.,.iz,,
:,.,":::'::::':,::,i,1,::,1:'.,1:
I ztz
da iior (^a). es trecir, \tna sep.trtt.
u,,:il,i.;iIl:j::t:;,,:lll::;:l: ;::i:
(b)
ELE)F,2
E, E,
E,
Incluso, pueden eliminarse los cuantificadores de la inferencia (a) sin que deje ésta de ser idéntica formalmenre a la inferencia (b), (f) En cuanto a la substitución, las consideraciones hechas eo el capítulo anterior permitirán al lector comprender las limitaciones que se imponen a las diferentes reglas- Son las siguientes: Rbr: En un esquema que exprese un principio, una letra-proposicional puede ser substituida po¡ un esquema cualquiera, siempre que la substitución se efecrúe eo todos los lugares de la letra y de la misma manera; además, el esquema substituyente no debe comprender variables que apatezcan ligadas en el esquema original. Por ejemplo: se probará más adelante el principio o reorema ,,(r) (pvex¡)po¡*¡p*". Podemos efectuar eo esre esquema la s¡¡bstitucióo Qy /p) de modo que resulta: (x)(Qy'r Px
)).Qy\ k)Px
esquerna que evidentemente conserr¡a Ia validez del original. Si, olvi-
(Rb'), efectuáramos la substi/p) o!>teod¡íamos: (x )(Qxv Px )), Qxv (x)Px que no es válido. En efecro, sea !=es par y P=es impar; teodríamos: (x)(r es par v r es impar)).r es par v (n.) r es impar Agreguemos, todavía, con el obieto de hace¡ verdadero el antecedente de esta función proposicional, la especificación ,,r= número entero", y demos a la variable Iibre el valor J. Resulta eoro¡ces la dándonos de una de las exigencias de
luciín
(Qx
ptoposición falsa: (r) (x es pat v r es iopar)).
I es par v (r) r es impar I-a simple aplicación de (Rb') en el dominio de los principios
p¡oposicionales permite establecer teoiemas de especie cuaotificacional. Pot e jemplo:
P)q.). -q)- P Px)Qx.).-Qx].-Px Prc )Qy.). -Qy f-Pr
(r,) (Rb')'. Px /p; (F.btt Px /p;
/q) Qy /q) Qx
P x )( Ey )Qy.). - (Ey )ey )- px (Rbt : Px /p; (Ey)Qy /q) etc,, etc. Rb : Una variable libre comprendida en un esquema que exprese rrn ¡rincipio puedc ser s!¡bstituida por otra variable cualquiera, siem_ lrrc quc se la substituya en todas las partes eri que está y de la misma nrrrnera; atlcrnris, la varia[rle substituyente no debe aparecer ligada en la f
211
I
den efeccuar alrernativamenre las subsrituciones (z/y), fu/y), (p/y),.., Pero, como se mosrró más arriba, no habría validez en '"1';rnu.rnu resultante de la subsritución úr/y). Rbrrr: Una Ietra predicado puede ser substituida por otra que contenga tantas variables como ella o más, siempre que la substitución se lraga en todas partes y de la misma ,nun".u, .t ."qo._ ma substiruye¡te no debe comprender ligada ^0",na", ningurra de t^" lr.aiu¡1"" oel.subsrlruido ni debe el esquem¿ original contener ligada ningtrna de las va¡iables libres en que el substiruyenre exceda .i"J",iroi¿o. Por ejemplo: A partir del esquema válido ,,(x)px_tpy,,, Dodemos substituir la letra-predicado de una variable, ,,p,,, por oaa. qu. prenda dos variables. Sea ,.p,, esta "o.lerra. La substitución, .i-,o.r..", se i¡dica (Q(,..2)/p.,,), Efec¡uando dicha re
sulta:
^síl
operación
lui".r,",r"u
(x)Qkz))Q0z) esquema que, de acuerdo a nuestra regla, conserva la validez deI o¡iginal. Así también, si opráramos por la substicucióD ((Ez)e(,..2)/p,..) ¡esultaría el esquema válido I (x)(E z)Q(x, z).t(Ez )eg, z) En cambio. no acata¡ía las e re gla la substituci6n ( (t).y )e(.. .y ) /p... ), .,,, . :'^s"'J::i".ñ::'.:"'
"," (t )(ti y )Qk,y )> (Ey )e 0,y )
no es válido, corno puede mosüarse fácilmente, hablando de los hom_ bres, mediante la especificación ,.Q= es hiio de,,. pe¡qug dadero que [odos ]os homb¡es tie¡en padre, ", "" o"._ no lo ."
qo" ,rn *rnb."
sea hijo de sí mismo.
variabte tigada puede subsrituirse por otra variable Iiga_ siempre que se la substituya en el cuantificador y en los Iugares del alcance de éste.
," oa ll-l^..ii: cuarqurera,
ejemplo: en los esquemas váIidos ,,py)(Ex)px,, y "(x )(PxvQx) _Por ), 4ryQy" podemos efecruar la substitución (z /x); res¡lt'a respectiva -
I'y )( Ez) Pz
(z)(PzvQz) t. PyvQy Asimismo, dada la validez de ,,(x)pt:)(Ey )py,,, se obtiene este tipo de substirución el esquema válido ,,(x)px)(Ex)px,,, mediante aj "\(x)" es un_principio; .,(x)S(x),, también lo es. Sea, en -,^L.^, e¡ecto, rj un esquema válido crralquiera (por ejempl9,,¡¡¡ teorema del cálculo ¡ro¡osiciooal). Se tiene. E
lsl¡)
Il'(x)S(x)
(por construcción)
(Rar) (¡or hipórcsis) (li¡r)
l2\4
Rd: Pueden substituirse todas las variables de un esquema, siempre que en cada caso se haga en todas partes y de la misma manera; además, las variables diferentes deben ser substiruidas pot variables dife¡entes.
Esta regla resulta de la aplicación combiaada de (Rbr') y (Rb'v
I
Por ejemplo: P(y,z ))(Ex)P(x,z)
))(Ex)P(r, z) P(u,z))(E!)P b,z) P(t,u))(Eu)P(t¡'u¡) P(u,z
(Rb,, ) (Rb,v )
(nu" ,
107. Con todos los elementos atteriores, e incluído el cálculo proposicional, estamos en condicio¡es de establecer los teoremas de este cálculo. Po¡ r¡era sustitución resulta: "Í
si PrrrPrt,)Px
Tsr: Pr). P.rvgr
y
(A,a) (A,b) (A,b) (A,d) etc., etc.
Ts6: P,r). PrvQy "l s7t Px)Q/,):Ryv Px.),Ry,t Qx En el caso de tales teore¡¡as se pueden aplicar las reglas (Rat) (Rc), y obtener de esta manera nuevos teoremas que comprenden
Por ejemplo: (r)(PxvPx,)Px) "f "; s; Px )Q,.)(y )(Ryv Px.l.pyopr¡
operadores.
'l
1T."; nc¡
(T5,; Ra') Es fácil ver que, de modo patecido, se originan numerosos teoremas; asimismo, al lector basta¡á una ojeada para percibir si un teorema cuar¡tificacional ha resultado o oo direc¡amente de otro proposicional. T oo:.
p)q,
(x
)Px)
(Ex
)Px
):t)p,).t)q
Py )(Ex ) Px.
(T.)
) :(z)P z)Py,), (z)Pz
)(Ex)Px Py)(Ex)Px
(Rb' I Py /p; (Ex)Px /q;(z)pz
)Pz ) Py.). (z)Pz )(E x)Px (z)Pz)Py
(Ra)
(z)Pz)(Ex)Px (x)Px)(Ex)Px
(Ra)
(z
h
(A,f) (A,c:
z
/x)
(Rb'v) La demostración anterior muestra a las cla¡as que la regla de ransitividad (Rr) sigue valiendo en el cálculo cuantific ac iona l, es decit, que los principios cuanrific ac ione s ..Sr)Sr,, y .,Jr)S3,, permiten for-
mula¡ el principio cuantificacio¡al .,Sr)T.,,, Sobre Too , puede el !cctor pre¡luntarse cómo, no habieodo en ',(x)pr" sentido existericial ninguno, pucdc rl¿r¡sc. el consecucntc ,,(tjx)px" a patci de ,,(x)px,'. 2\5
|
Para disolver esta pequeña dificultad basta con ateDerse a los casos en que la extensión de "Px" es nula; potque sólo entonces rlo hay contenido existericial. Pero en tal caso, sieodo el antecedente falso para todo valor de ,t, es verdadero entonces el condicional. 'f
ú,
P\
(x
)Px.).
Pv
(Et )Px
(r""
(r)Px)(E:.)Px p'r (t)Px.).p\ (Ex )Pr ^16,t - (Ex
)Px)
)
)Px)-(x)Px
P)q.).-q)-P (x
)
(T., Ra, etc. (T,)
(Ex )Px.-,.-(Ex )Px
-(Ex)Px)-(x)Px
)-
(x
)Px
(substit.
)
(Ra)
"f
6!t P)(x)P,c.).P) (Ex )Px P\ (x)Px.:.P,¿ (Ex)Px -p! (x ) Px.). -pv (Et )Px P)(x )Px .). p)(Ex )Pt
(T", ) (-p /p)
(D,a)
^t
u.t p,t - (Ex )Px. -'t. Pt¡ -(x)Px -(Ex )Px )-(x )Px
(Tur)
(Ra, etc. ) )Pt.). pv - (x )Px Ahora, algunos teoremas que nos permiten manipular un operador aplicado a un esquema anfibio. pv - (Ex
*,
^l
(x)(p!
Px
)).p,¡
(x
)Px y /*; x/y) (Rb"': PvP,.. /P..,)
(Ae:
(Y)PY>Px (y
)(?,¡Py
):.N
Px
-(Y)(Pu PY hP" P* - -CU )@',Py )"Ph
P, -(-(y )(?'¡ Py )'¡P)) P, -G0 )(Pv Py )vP))k )Px
(D,a) (Doble negación) 1na)
(Ra')
-(y )(?v Py hP'¿(x)P¡c
(Da)
P!)).P'¿ (x)Px (x )(p\¡ Px )). pi (x)Px
(Da)
(y )(P'r
(Rb'v)
p\(r)Px.)(x )(pyPx) )Px )Py.)tpv (t )Px.).p\Py P'{(r)Px.).PvPy P\(x)Px,,1(f )Q\Py) "f
(x
"":
Fk)Pt.)(:t)(fuPr) A partir de Tos-To¡.
)¡ mediante
tamente: 't
.,t
(x )(p) Px )).p)(x )Px p )(x )Px.-)(t()(p ) Px ) 6st 'Í Q)(pl'x ) tp(x)l>x o":
'l
|
216
(A,d: Rbr) (A,e; Ra) (P.at ; y (Rb'v )
/z)
substitución, se esrablecen inmedia-
(r') ( tr)(pPx) )PPy (2) PPy)PY O) G)QPx))PY (4) (x)(pPx))(y)Py (5\ k)QPx))(x)P'. (6\ PPyX (7) G)@Px))P (8\ P)q, P)tt) P)qr (9) k)QPx )>!.(x)(PPt))(x)Pt I ). (x)(pPx ))P(x )Px (10) (x)(PPx))P(t )Px
(Let PP... /P...)
(pq)qt
o) pk)Px)pPy
/q)
(Rb'v )
(Pq)P: Py /q) (R": (1), (6) )
(T,.) (Rb; Rbr )
(R")
'Ín I pq)Px)(r)(pPx) (L) P)q ),tP)rq (2) ('. )Px)Py ').P(x)Px)PPY
Py
(R,) (Ra')
(
r,,)
(Rb; Rbr ) (A,e; Ra)
(4) p(x)Px:.(y )(pPy ) lRat : y /x) (Rb,v ) (5\ P(x)Px )(x )(PPt ) Es claro que los teoremas Tu"-T"o son ampliables; eo Particula¡' y recurriendo al expediente de la mera substitución, podemos anotar: 'f,,: (x )(pvq't,. 'v Px D,pv qt...v (r)Px
"f,,: pv qv ---v (x)Px )(x)(?v qv...v Px ) 'Í,; (x)(Pq,, Px))?q..'(x)Px "f ,,: ?q,. ('c )P x) (x )(Pq... Ptt )
En el capítulo anterior mostramos que "(x)" se distribuye a trael bicondicional "(¡)(Px 'tés de "PxQx", es decir, que es válido sus dos partes: probat (x a (x)Pr Ahora vamos x)= )Qx". Q
^t?{ k)(PxQr))(r)Px
(L) (*)(PxQt))PyQy (2) PyQy)Pr (1) PyQy)Qy (4\ G)exQx))Py (5\ G)(PrQr))QY
(6
'(x )Qx
k)(PxQx))(y)PY
(7\ ('.)(PxQx))(y )Qy (8) (x)(P'.Qx))(y)Py (y )Qy (e) (x )(PxQx)) (x )Px(t)Qx "t,u: 6)Pr (x )Qñ G )(PxQx) P)q,r)s.).fu)qs (x
)Px )Py.(x)Qx)Qy.). (x)Px(x) Qx
)PYQY (x
)1".k )Qxa) PyQY
(x )I>x (x
(y
)Qx' )(t'y Qy ) (x)Px(t)Qx \(/ Xl"Qf )
(Ae:. P. .Q.,,
/P...)
(Ps)P) (Pq)q) (R,: ( 1), (2) ) (R.,; ( 1), (Rar)
o))
(Ra')
(T".: (6), (7) ) (Rbrv )
(r..) (Rb') (Ra)
(Ra' : y /x) (
Ill)'v ) 211
|
el
Aun cuando "(x)" ¡o es distributiva respecto de ,,pn] ex,,, hay
teorema: "f
nt k )(Pt)Qx)). (x)px)(x)ex Para probar este teo¡ema vamos a emplear dos lemas del cálculo proposicional, establecidos en el capítulo segundo con el obieto de probar Tr.; tales lemas sooi (a\ p). q)r:=:q). p)t (b) P).q)r: =. pq)t La prueba de T,, es como sigue: (7) (x)(Px )Qtc)). Py)Qy (A,e; R"'r P...)e.., /p...) (2\ Py). (x)(Px )Qx ley ( lema (a), (1) ) (3) (x)Px)Py (A,e) (4) (x )Px l. (x)(Px)Qx Dey (Rz) (5) (x)Px('c )(px)ex ))ey (lema (b) ). (6) (x)Px(x)(Px )ex D0 )ey (Rat : y /x) (7) (x )(Px)Qx ),1.(x )Px )(y )ey (lema (b)r (ó) ) (8\ (x )(Px)QxD. k )px)(x)ex (Rb'v ) T,": (r )(Px =Qx)1. (x)px=(x)ex (1) ( x)( Px )Qx D. 0r ) px ) (x )ex (r",) (2\ (x)(Qx) Px )>. (x)ex (x)px (T,,) En virtud de T.., las implicaciones (1) y (2) se afí¡man conjugadas y a partir de taf conjunción, medianre el teorema ProPosiciona "p)q i)s.), pr)qs,,, se obtiene T"". En el capitulo anterior mostramos, basándonos melamente en e sentido de los operadores ,,(x)" y ,'(Ex)",las equivalencias:
(l)
(Er)Px =-(x)- Px (Ex)-Px
(2\
3)
(4\
=-(x)Px
- (Ex )Px =(r)-Px - (Er )- Pr =(x )Px
La demostración es como sigue: T"o: (Ex)Px)-(x)-Px (1) (x)-Px)- Py
(2) Py)-(x)-Px (3) ( Ey )Py )-(x)-Px (4\ (Ex)Px)-(x)-Px "f
- (Ex )Px)(y )-Py - (y )-Py ) (Ex)Px
(4\ (5) -(x)-Px
l
zTB
(n""¡ (Rbw)
: -Q)-Px]-(Er)px
"o (1\ Py)(Ex)Px (2) -(Ex)Px)-Py
(j)
(A,e: - p.,. /p,.. ) (T,; (1))
)
(Ex
)px
(A,f )
(T,;
( 1)
(Rat : y
)
/x)
(T": (l) ) (Rb,v )
(Ex
T
)-Px)-(t)Px
",: (1) 6)P,()PY
(A,e)
(2) -Py)'(x)Px (3\ @Y)-PY)-(x)Pt (4\ (Ex)-Px.-- (x)Px
(T"; (1) ) (Ru"¡ (nu'" ¡
"Í s2t -k)Px)(Ex)- Px (1) - -P¡)Pr (- -P)P: Px /P) (2) (x)(- -Px)Px) (Rc) (3\ k)G -Px))(x)Pr (r"") (4\ -(x)Px)- (x )- (-Px ) (r,; (3) ) (5) -k)-GPx))(Ex)- Px (T"" ) (6) -k)Px)(Ex)-Px ( n,: (4) (5) ) A partit de T"¡T"r, mediante traosposición, es decir, con ayuda
Tr, obteoemos sucesivame¡te
de
:
)- Px)-(Ex)Px -f ""2 -(Ex )Px)(x )- Px ",1 T sst k)Pt )-(Ex )- Px T s6t -(Ex )- Px)(x )P* ^f
(x
Ayudáodonos con el signo "=" podemos forrnular, estabtecido hasta aqui, los teoremas siguientes: TBTt fu )(Pv Px )=, Pv (x )Px
a partir de lo
7",r (x)(p )Px)=.p )(x)Px Ts,,0.)@Px)=p(x)Pt
T".: 'Í
",:
^Í
(x)(PrQx )=(x )Px(x)QG ) (Et )Px =-(x )- Px (Ex )-
""t -(Etc T "":
Pt=-(x )Pt
)Px =(x)- Px
T sat -(Ex )- Px-(x )Px
Para desplazar
el
operador
"(Er)" dentro de
una
fórmula, son
importantes los teo¡emas siguientes: -f
ss, Gx )(P'¡ Py)(Ex)Px
(t\
Px
)).
Pv (Ex
(A,O
(2\
Py Py
(4)
(Ey )(pv Py ),>.py(Ex )Px (Ex )(pv Px) ).pv(Ex)Px
(t)
(l)
,).1¡v
)Px
(E x ) P x
p! (Ex )Pt.)(Ex )(pvPx ) e6:. pv Py.)(F.x)(p'¡ Pr ) Py 1.. pv Py
(A,d; ( 1) ) (Ra") (Rb,v)
T
(2) (3) (4\ (5\ (6\
Py )(Er )(pv
(h'v)lry
Px )
¡(Ex )(Pv Px)
l')l'v t'Y l"(tix )(l'\
(A,f) (A,b) (R,: ( 1), (2))
(R.") (A,b)
Pr l
(
li.,: ( 1), (5) ) 21e
I
Atendiendo ahora a las implicaciones (4\ y (6\, y reniendo presenre
el.
teorema proposicional: p
)q,t ) q, ):p,rr.)q
podemos hacer la aplicación que corresponde y anotar que rep¡esenta nuestro teofema, a saber: p'¿ (F.y
pv
Telt
(1)
)Py.)(Ex)(pv px ) x )(py pr )
(Er)px.)(E (F.x
el
consecuenre
(Rb,v)
)(pPx))p(Ex )px
)(Ex)Px (2\ pPy)p(E'c)p't (1) (sy)QPyDp@x)Px (4) (Ex)(pP'.Dp@x )px
(nU''
más atrás. Tendremos: (l\ (x)(pv -px )=pv(x)-px
(t",: _p.,,/p,..)
Py
(A,f)
(T.,) (Ra,') ¡
E[ teo¡ema T", y su recíproco pueden demostra¡se de una vez mediante las equivalencias entre operado¡es que hemos desarrollado (2\ (x)- (- pPx )=- (-p- (x)-Px ) (3) -(x)-(- pPx)=- ?- (x)-px
(4\ (5\
(principio de f)e Morgan, (1)) (negación de ambos ,iiemb.o, en (2)
)
)(-pPx)= - p(Ex)pr (T"" ) (F.x) (t,px )=p(Ex)px cp /p) f)e manera que, tomando la ¡mitad' que imporra de la equivalencia (5), se tiene la implicación siguieote: p(Er)Px ,-(Ex )(ppx) T "{ l.as transformaciones del desa¡¡ol10 aoterio¡ son de rápida aceptación. Por ejemplo, el paso desde e[ primer miembro de il) "t pri... miembro de (2) se efeccúa mediante un ¡eemplazo. La equivalencia implicada se es¡a[rlece de la manera s¡guiente: (F.x
Pv q
.=- GP-q)
(T,5 -T16)
(-p-Px) (Rb' ) (x )(pv- Px )=(x)-(-p- px (Rc; T,.) ) l\lediante aplicación análoga, pueden establecerse los teotemas Trr-Tnu, es decir, la equivalencia: Pt - Ptc,=-
7,,,
Et (lN px)=. pv (Ex )px
(1) (x)(p- Px) -=p(x )- px (2) (x)- (- pv px )=- (- p,¡ - k)-px ) (1\ -@)-?tN I'x )=. -py (Ex )px (4) F:x (-lN px)=.-lN(Er)px (5\ (ttx)(ry Px)= F Er )px
(Principio de De t\lorgan,
(t))
(negación de ambos mie mbros de (2)) (T,, )
I-:rs equivalencias ofrcr:rcionales ft¡r¡nul¡rl;rs I'or l<¡s r<.o¡cm:rs st (.rlplcan (lc rnorkr ¡rrrcc irLr cl {)rr¡,s (.irs()s. I,(). ..j(.rrt)lt),
'l',,, -'1 .,n
|
("fs"t -P... /P...)
¿.lo
en el capítulo anterior vimos que el ope¡ador existencial se distribuye a t¡avés de la alternación; podemos establecer aquí dicha propiedad mediante el teo¡ema: úo | @x)(Pxaex)=. (Ex)pxv(Ex)ex (r)(PrQx)=(r)Px(x )ex
"f
(t)
(T"" ) (2'l k)FPx-Qx)=(x)- Px(x)-Qx (-P.../p...; -a.../a...) (3\ (x) -(Pt aQx)=-(-(x)-Pxv-(x)-ex) (principio de De Morgan,(2)) (4\ -(x)-(PnQx)=- (x)-Pxv-(x)-Qx (Negacióo de ambos miembros
6)
de (3) ) Gx)(PxaQx)=(E t)Px't (Ex )px (T o, ) Sobre el orden de los operadores, establecemos los reoremas siguien-
tes:
(l)
Í,o,2
(x)(y )P(x,y))(y
)(x) p (x,y)
(z)fu)P(z,t))(c)P (x,a) (2', (¿)P(r,¿¿))P(x,y ) (3) k)ft/)P(z,r¿))P(x,y)
(Ae; ¡6' ''¡ (Ae; Rb',,)
(4\ (z)(r)P(z,r))(r)P(t,y) (5\ (z)('!)P(2,'!))(y)k )P(x,y) (6) (x)(y )P(x,y ))(y)(* )P(x,y )
(R,: (t), (2) ) (R",) (Ra,) (Rb,)
Para el recíproco de Tro, se sigue el camino que sugiere
a¡rte¡ior, Se tiene: ^f
,.:
@
)(z ) P (2,
(¿
)(z
la
prueba
(y
)(x)p(x,y))(x)(y)p(x,y) a)) (z )P (z,y ) (z )P(z,y ))P(x,y) (r)(z)P(z,r))P(x,y) ( z,
t))
(y )P ( x,y
)(z ) P (2, (y ) (x ) P (x,
a))
)P (x,y ) (r )(y )P (x,y )
)P
(a
)
(x )(y
y )) Pa¡a la conmutatividad de los operadores existenciales se esta_ blece el teo¡ema: "f ,o.: (Er )(Ey )P(x,y )=(Ey)(Ex)p(x,y) (r) (x )(y )P (x,y )=(y )(x )P ('c,y )
(2\
0)
(4\
6\
(x)(y )- P (x,y )=(y )(x )-
G)-
P (tc,y
)
)P(x,y )=(y )-(E")P(x,y) - (Ex )(Ey )Pk,y ts- @y )(E'r )P (x,y ) Gx )(Ey )P (x,y )= (Ey )E x )P (xy ) @y
En este desarrollo, y p^r^ sinplificar las fórmulas eliminando sig_ nos de agrupacióo, hemos implicado un principio sobre (4): la negación delante de un operador se aplica a la proposición que ese operador encabeza. 'f \oat ( It x )(y
)P
(t,y ) )(y)F.x)p(x,y)
I'(x,y) t(tiz)t'(z,y)
(AL I'(.-.y)/p..., x/y; z/x) 24t
I
(y)(P(x,y ))(Ez)P(z,y) ) (y )P(x,y ))(y)(Ez)P(z,y ) (Ex )(y )P(x,y))(y )(E z)P(z,y (Ex )(y )P(x,f
) ))(y )(E'r)P(x,y )
Como ya sabemos,
Tr*
(Rct z/y)
(T,,) (Ru' ' ¡
(Rb'v) no tieoe recíproco.
Suponemos que a es@ altu¡a del desarrollo el lector ha captado lo esencial del cálculo cuantificacional, No hemos elabo¡ado de manera completa esta teotía; peto lo que falta se sujeta a los mismos
principios.
|
242
BIBLIOGRAFIA La lista que sigue, comprende únicamente los libros que he tenido a la vista al preparar es¡as lecciones. Atist6tele
s.
-
0r g at on.
Alfred Ayer.- Langtage, Tutb and Logíc. George Boole.- Laus ol Tborgbt. Cohen and Nagel.- ,{z Introducriol to Logic and Scierrtilical Metbod, Hilbert and Ackermann.- Matbemalical Logíc, Stanley Jevoos.- Elerrreatdry Lessois in Logic. H. H. Joachin.- Logical Stt¿ies,
Joseph.- Az lnt¡odtction ,o Logí., C, I. Lev¡is.- A Suuey ol Symbolic Logic. Lewis aod Langfotd-- Synbolic Logic. Lukasieq'icz.- Atistotle's Sy llogistic, Qwiae,- Method ol Logic, Qui¡e.- Mdrbemarlcal Logic, Enrico Rufini.- Il "Metodo" di Arcbimede e le Otigini dell'Analisi In liri te s im ale ne ll' Anticbita. Russell and Vhitehead.- Principia MLtbet t^ricd, Schipper and Schuh.- A Fits, Cotúse in Modertz Logic. Gerold Stahl.- l¡tttodrcci6¡ a la Lígica Sinb6lica. Tarcki¡ lnttodtctiotz to Logic, Virtgenstein.- Ttoctotts Logico-Pbilosopbicrs, C. Henrik von Wright.- Logicol Sr dies.
243
I
INDICE ANALITICO (Los ¡úme¡os indican parágrafos)
Af'nnaci6a, 26, 11 'Agrupación,20,21
Cópule,4á
.Alca¡ce de a8rüpación, 20,85 Ahcrnación, 2, 10, 12
Altcroarivas, l0 A¡ílisis dicotómico,
Dccisióo, 21, 27,32,
tOO,
106
Cilculo coaversional, 6) Cálculo cua¡¡if icacional, 107 Cálculo (¡oción de) 38 Cálculo oposicional, 68 Cálcülo proposicio¡¡1, 3g Cálculo silogístico, 70 Ca¡tidad del pedicado, 48 Clase rula, 46 7
Comprcnsión,48
Combinación,6 Conclusión, I5 Co¡dición necesaria, 16, 18 Condició¡ suficieate, 16, 18 Condicional, 2, 16, 18 Conectivas derivadas, 2!
l1l
Decisión dicotómica,
28 1,f
Defi¡ició¡ ronioal, Defi¡ición sinbólica, 8,
Bicoadicional, 2, 19,
Cláusula,
Cualid¡d, {4 Cu.¡tificaciótr,,14, 81 Cu¡ntificació¡ múltiplc, 85, 86
28
coadicionalcs, 72, 75 Asociatividod, 9, 10, 11,11, t9 AlSume¡raos
Atribución,43 Atributo,4,l A¡iom¡, 38, 39,
Cuodrado aristotélico, 4J
14
Definición (sistenas de), 29 Definiciones, l! Dcfinicio¡cs (secuencia de ), 38 Díct4r, de O*¡i et. N la, 46
Dil€n¡,
74
Dilema compleio coast¡ucrivo, 74 Dilema complejo dcsr¡uctivo, 74 Dilema simplc corsarr¡ctivo, 74 Dilema simple destrüctivo, 74
Distribución, ,14 Distriburividad, 22, 39,
88
Disyunción, 11 Disyuntiv¿, 11 Dualidad (pli¡rcipio de) 32 Dualidad (relacióa de) 33 Eatirrema,65 Epiménides (paradoia
d€ ), 33 Epiquerema,6! Episologismo,65 Equivalencia, 10, 19, 16, 37
Conec¡ivas intetpropos icioaa les , 2 Conectiva mono, bi, ari, ... n-proposi - Especificaciór, 3
cional,
T
Conec¡ivas primitivas, 14,
Conjunci6n, 2,
2!
!
Conmutatividad, 9, 10, 11, 14,39
Consisrencia, S8 Contradicción, 21, t2, 45 Cont¡aposición,51 Contratiedad, l5
Conversión,48,90 Conversión por limitación, l8 Conversión por ncgación, J0 Conve¡sión sim¡le, {8
Esquema Esquema Esquema Esquema Esquema Esqucrna Esquema
abierto, 84 cerrado, 84
consistente, 2l
cuantificacional, 78 inconsistente, 23 normal akertrativo, 30 normal conjuntivo, 30 E squema proposicional, l Esquema válido, 21, 32
Extensión,44,76 !'alacia del ¡nteced€n.e, tB,
72
245 I
ralacia del consecuenre, 1g, Falsedad,6 Falsedad-co¡jutrta, 2, l4
72
Figuras (del silogismo), 54 Función de p¡oposición, 2j Funcióa (noción ¿e), 2.1,, 25 Función ptoposicional, 76
Polisilogisrno, 65 Predicación,44 Predicado,44 Premisas,35 Premisa mayor, j3 P¡emisa menor,53
Identidad (principio de), 4! tmplicación, 16,37 Incompatibilidad, 2, 1j
Principio,39 Proposición c*e6&ica, 14 Proposición categórica á.fiEm .iva, 44 Proposición categórica ¡e Ca¡iva, 44 Proposición categórica particular,44 Proposición categótica universal, 44 Proposición compuesta, 4, 71 Proposición co¡ve¡sa, 48
fncoasisrencia,23, t2
Independencia, lB Inferencia, 35, tO4, t1j Infe¡encia i¡.o¡.edi^a, 47 ,j2 I¡feteocia mediat.., 47
Inferencia (p¡iqcipio de), t5
Infe¡i¡,35
P¡oposición di¡ecta, 48 Proposición elemental, I Proposición-petmutada, 4! Proposición-petmutando, 4! Proposiciones condicionates, 7l Proposiciones disyuntivas, 7l
Intercambio, 11, 36 Inte¡cambio (p¡incipio de), 36 lnte¡p¡eración formal, l6 Incerpreración material, l6 Lenguaje-objeto,34 Lensuaie y metalensuaje, l4 Leyes de De Morgan, lj, 19
Ptoposicioaes hipotéticas, 7l Prosilogismo,65 Prueba (noció¡ de) , 38
Linitació¡,44
Mediación,47 Mención y uso,34 Metalenguaje, 14 Modos (del silogismo), 54 Modls pcrnet do tollens, 71,
Reducción ( a esquena no¡mal), Reemplazo, 31
ModÁ toll.ens, 72,7j
75
Relación biunívoca, 24,
j3, jj
Relación refleja,33
Relación simétrica, ll Relación transitiva, ll
Negación,2,8,44 Negación doble, S Negación (de u¡ esqü€ma ¡ormal),
j2
Niveles de lenguaie, 34 No-contradicción (principio de),45, 46 Operador exlstencial, 8l Operador universal,8l Operadores cuantif icaciorÉles,
Oposición, 45, 90
I
246
t0
Reemplazo (principio de) , 16, 19
Reglas de reducción,28 ReBlas (del silo¡ismo). 55 Reglas primitivas, l!, 106 ReSlas (teoremáticas), 39
Ito&.s tonens, 72,7j ¡nodrs toryendo po"errs,
Paradoias, 34 Pa¡énresis y Puntos.20 Permutación, d9
gl
Saturación,38 Silogismo categórico, Jl Silogislno disyuntivo, 72 Silogismo hipotético, 72
Sinonimia, l3 Sorites,6J Subcontrariedad,4J Subo¡dinación,45
25
Substituci6n, 22,
tl,
Suleto,,f4
süperordinaciótr,
tO3 39
102,
Sub¡titrrció¡ (re8la de),
Térmiuos singulares,44, 62 Térmioos unive¡sales,44,62
T¡ansformación' 36
4i
T¡arsitividad irnplicaciooal,
Tabla de verificación, 27
rattotosia,23,32
Tautologías (secueacia de), 3g Teoreme,38 Teo¡emás (Füeb¿ de), 39 Té¡mino nedio,
47
Térnioos (dcl silogisno), Jl Términos (ea la p¡oposicióa), Términos (no definidos), lp
44
$::'ñ'",'.1Í:'rT"''
lJ,
tt
V^lidé¿,95,96 Variable libte, 84 Veriable .tigada, 8.1 Variablc y valor, 76 Verdad, 6
247 )
72
Comprende este libro la porción más volumino' sa de un curso completo de Lógica dictado -par' llni' te en la Universidad de Chile, parte en la versidad de Concepción- entre los años 1958 y f963. Los tópicos incluidos fueron selecciona' dos con la viita puesta en el carácter introductorio del volumen; en todo caso, el contenido representa un núcleo obligado de formación elemental. Para exponer los tópicos elegidos, el autor ha recunido a dos procedimientos diferentes con el propósito de familiarizar al lector con el cálculo lógico: primeroz expone directamente el asunto y establece las leyes y principios de modo empíri' co y descriptivo; luego, procede a formalizar el material así presentado, desarrollando eI cálculo respectivo. Los tópicos así elaborados son: lógica de pro' posiciones y cálculo proposicional; lógica de la proposición categórica y cálculo de la proposi' .i¿" eategórica ( cálculo oposicional, conversio' nal y silogístico) ; lógica cuantificacional y cálculo cuanti{icacional. El texto, aparentemente? se encuentra recar' gado de fórmulas y aparato matemático; sin em' bargo, ha sido preparado de modo que un lector corriente y ajeno a estas materias pueda leerlo sin dificultad, aunque deba esforzarse un poco. El capítulo "Lógica de la proposición categórica" comprende lo esencial del curso de Lógica, que incluye el programa de segunda enseñanza.