Curso Abreviado Fisica Teorica Archivo1

Ill, cos '1'.

't',.

m"l~

fig.

u.rd,,;

dulo pI

uy

coordertedas

%=1

11=1

it_2).

Q.Sc

~".penslOn

punlo I II II , s e r In:


gn ge

T . . . . 111011' Ep.

Om

C<

Ie$~O

.,+11111

mp

de

un or

1I1ll/'y
'l

5I:J]

yt.

v er er I " ,

m e n t.

LEYES

§6. ENERGIA

Cu

ma

conservan constante.su mi me intf!gta1e~ .del mouimien. to

.magmtudes

intciales.

f·

que.dependen

movirniento

10

razonamientos p~g. [4)_

uri

ic mp

C/

do

me

iernpo. EI trnl trnlnan nando do

iv C/

ma ce

t+ t.

t.,

Cl:r~')' rnovi-

miento.

papel T o d a s estas

Esta

nt

rias

la papel

II

sera

ma

Supongarnos,

ulo

(I.

.s

je

nt caSCI.

du

ci

tennino

aLliJi).

Ii

lntegrales

siones

escr

Tt="7-' [si de esta

f}q/

igualdad

afiadir le el

habr

ilLlilq{

..., ...,.. ..,,-

.... ....

---,-+ rJq,

E=L.qi

"r

di

SU5ti-

aQ;

Clq;

-L)=O.

aL_

(6,1)

sea, lliJm.a ~ne'gia del.,sistema. .direC .direCJa~. Ja~.ei1 ei1.~,d .~,d .Iaali .Iaaliiti itivi~ vi~~de ~de c.Li~J~ .L.\ .L.\ ·ley ·ley

ar sino iamb 'Ul}. CamP.Q···.exterlor C,o,nstallte del, i~!1J.jJo): imica prop ge' ' q u e ' de' t.1ep.~dencia expltcita

lc sist sistemjseer emjseerrados, rados,

conseroatiuos.

.v

campo constante)

(0

(q, q)-U

ma

(q),

la

donde

v e o c d ad ad e A p1 p 1 ic ic l d 61 61 e e l .bcmogeneas, obte-

iJ

.4.. .4...q .qi~ i~ =~ ;-.;-.-=2 =2

Poniendo

hallamos:

E=T(q,

(6,2)

q)+U(q); carlesi anas

1: '''to

(6,3)

terminos

clnelica, o te te nc nc i a l

energia

part iculas.

7. IMPULSION O t r a le

imponiendo invariable.

de

c o e r c lo lo n

esto,

la condicron

pur.

os eorrespondiente

cion

6L

un ormi ormido do

51'.

el espa espaci cio. o.

ma

or

r~--r6+E. ac on

variation me

pequeiia

w:::

Qat)

lo

&L=O

L~y.s d o c o e r a c e n

=0.

La Il

(7,1)

CJr(J

!:..

ilL

magnitud

L.~

vectorial (7,2)

OVa

perrnanece llama

invariable de) sistema,

amos,

nl

mpul

Derivando

funci6n (7,3)

la impulsion

np

es evidente.

Es mas,

s io io n e s

despreciar La le impulsion

no

on

las mismas. cornponen

ausencia

II'S

del vector

conservarse

en

caw,

al

I'

10

Irasladarse

.por este

iedades

rnecanicas

ilrrifori1i~dii"igiQo mp o. ar

d e los, ejes

LlIderivadaiJL/(jr-a='~

aUjiJra

del las

y.

13 [uerza- F.

correspondiente, la

la

campo III simple,

es decir, (7,4) se

0lI0V

irnien

10

8. Centro

un os

f,+

ma er

]3

F,O,

ejeicida

reacclon..,

Si generalizadas

dos

sobre

medio

qi

~L

(7-,5~,

-,

iJq;

impulsiones

generalizadas,

vadas (7,6)

ilL

iJq,

[ ue u e rm r m s g e ne n e ra r a l z ad a d as as . Pi=

(7,7) P., qi

veiocidad,

8.

rencia, Si

U/1

v~

ma

fe

di

referencra

K'

c o e la la c o n

rela-

~m., P=P'+Vl;m.anula,

K' P'=O,

sistema

1 : : ~ ~::a. lerenci

mente

sera (8,2)

cero,

un

ill! im at

de referenda

ple

general

del concepto cuya impulsion

sistema mecanico

UT

ri

f1=Zm.

m3S8S

tUiiliuidtUi de /a 1i"lllsa.

(8,2)

tolal

1 :£ .

(8,3) .v

radio

Ull

centro

inercia

forma, esta cl

eolncideconH

''': ''': tZl.!i tZl.!i:l :lli lido:s:e do:s:e cerrado, 10 natura)

misrno.

vector

Ii

cUy
forma

centro

junto. uele uele l1ai l1aina na ener energi gi

del sistema.

potencial

135

3,1

impulsIon,

forma

Aunque .esta uc E'

or er

ul

entre

ma

m ec ec a c o

m~vH

le,daremos

l(

J(

mq (v~+'V)'+U=

VP'

pasar

,~iJ

(8,5)

ma

de

e fe fe re re nc nc i

J('

mu

=£;'11

o rrm ma

me O,

(8,4).

de conservacion

sistema cerrado gi

Qu c ua u a l u le le r luncion

ma

6,),

de

sistema

de Lagrange

cuya

la

ma

estc. cu r vade 3 1 o cu pequefia infinitamente l i o p 'f cuya

igual durante hasta

IJ

c(,]rlvetlhm,te


e( (ermino "memento T.

im

puntas

materiales del sistema extreme d~1

(fig.

aogulo

vector

p. Por

6r=\6
(9.1) solo 13

pari

ley.

),

blj)'

(9,2)

presion

r u n e io

nv :a

I~V")=O

6L=:E(~6r.+:,,~ sust sustrt rtuy uyen endo do

P.

ib!p' r"

Lagrange

as de

oLlar.

a da d a s ilL/avo (/'Io:p.

o b e ne ne m o

vol) lio:p,

6'qtL . « ( r . p . l como

Ii~ ,e

[~.P.J) arbitraria,

6'f~:E

{r.p.!

deduce

(r"p.J conclusion

(9,3)

=~[r.p.l, sunplernente

moment,,)

M om om e

sistema II, tjcularidad exista

la impulsion. t i inlegrales lolal tiene energla, on

genera,

componentes

Como

particulas,

denadas pun

lren entre cons

e i a . Entre

impulsiOn

no d e p e n d e

de fvei::toi" fvei::toi" iiri iirijijiul. ul.

del momentoentran en general"

1?

5i

Pol'

inovimienlo.

veetores CQOI':

a d o s v ed e d o re re s ~ y de--_up;ml,s~?" ~~I_lcuen. de coordenadasque existira --"r~+a:

M=M'+[aP}_

(9,4)

ri -" la le

ndeterrn

ell'

ion

5U

lor

momenta, np formula

nfluye, puesto todo sistema entre SI lo

referenda

d is is ! n to to s

ri dertadas En lances,

los sistemas

coinciden las

valores

inslante

coordado.

istirii

Vo

[rav.] =~mD [r~Y~}+~m.

=~m.

centro

radio

,

K'; inlroduciendo

[r~Vl. igualdad la

obtenerno.:

[ de

1111

pondien t~ mWimi!!nt!).

para m o m e 'd 'd ~ c in in e

lsion

J) la ellergi

Hamar "'om,nlo ,mcu./<". / I I O I M n l o o » mvmt.,t~1J dilJJ.~. etc,

/U

Gl do

de

34

ye

seni

j.

Entonces

(9,6)

M=M'+[RP).

impulsion [RPI,

la

limitada

tambien

hemos es

sistema relation de mom

puede cumplir

hecho

proyeccion

respecto

met

gi

mas importante

cu

u ie ie r

de este gene.ro (centro)

centro.

ot os er mos relation

campo. Ol

proyecci6n

~L~,;:pro>'¢cdon.~e ~e m o

p\,Il!de

uniforme

memento,

S?

cualquier

origen

je (l)amem?slo ge gu o rm rm u (9,7)

dOllde

la lrecto.

(fl,

(poniendc

9,

.,',.=

t,

tenernos:

I!'.).

y.

(x.Y m. (x.Y 18

bl

i~lpul.i6n

(9,8)

.r~ j)

un

Lagrange,

expresada

ell

P",hlem.

< Q u e rompon.ntes

impuLsi6n

lug8'

Rnp_ta:

t8mp'"

M.

,iguientes?

plano Inlinlte

"VI.

zl

R_ata: t)

eonserven cusndc

le I).

Rcspu Rcspu .. la:

R~uesta: por I)

ej.

(.I

y). ermo. (el .i Ia:

nI

plano

Ilmltld.

INTEGRACION

mas

(10,1) (q donde particular,

oo de

me

-mX1.

l, (10,2)

-2--U [z),

correspondientes propia 13

(10,2),

l.

tenernos:

mo v~tE-U(x)J,

donde t~

VfS-Y""E==~:;':x=u=(.r=)

+const.

(10,3)

lo

10

1m

mente

U(x)<_E. U(x)

na

pr imicarnente

region AB

Fig_

U(X)=£,

(10,4)

deterrn

un

movimienlo.

on

cere,

region

dice

m o v m ie ie n

x,

x,.

fig,

(pag.

x, hasta

x,

51'

pow

r ep ep l

igua! Xl

liempo

por

es!a solamente

inlinito

1' movimiento infinito.

x, x,), reverstbtl+dad

[inito.

limitada

movimienlo

i Ia Ia d

esla

x,

por

region

p e o d ic ic am am e n

entre

T, es decir, 1'1 [iernp [iernp viceversa, es segrnento x,x,

""LIaci

Cap II

s:

~F.'J

2m .r U!~'J

XL

x.

cula, 11. problema muy

un sistema (problema

rnovimienlo

"I

L=

III:, -U(lr,-r,I).

(11,1)

Id

r=r,-r 'I

nemos: m,T,

.yrn,r....

ni,

Po

+-m,

do

"'*",

...- --U(r),

r.=-;",

r.

(ll,2)

i.n, obtenemos: (.1

1,3)

!l'on~e. )XIT (11,4)

magnitud

punto U(r)

,9

material

ue Yf <; be or br me ii ,00 mueve

ma

de

redsicUk_

~S4

L ag a g ra r a ng ng e

filo'

ma ma mi rna,' red'uce aieSQiver e r a le le s q _u _ u e in i n te te ra ra c c o n a p ro b l e a , entre punto erLun campo exterior 'U~r:td,do,,:·~()r a , s o u e , o n r-t(.t). :_{ ~ayee!oti otias as rj t;(I t;(IJ' J' e 5 e : p ro ro b Je Je r na na ) . la :_{~ayee! r,=r.(I) cada u n d e Jas parlfcula:s mL 'y,.m.:(oo{l teiai:!6lJ"a, centro comulJ) 00 obtlenen sep.ar!i:damente , o r ':' : ili l a s

12,

mo m! movimienlo cual

hasta

dependa

5U

punta celt ral. La fuerza lt

(r) tK

exterior 5U distancla

campo

",,_'P.!.... lcula, depende,

en valor

bsol bsolut ut

dirigida

sivamente vector. Como

al centro

Para

largo

ex lu

movimiento sistema respecto partieula este momenta es

M.=[rpJ. vectores particula

radio saber, 5U

vector permanece

central s e e nc nc u en e n trtr a Lagrange

(; T o d a coordenada

on

"fv')-U

me II o d m o

part icula plano. T o m a n d o cr bi

(f).

generalizada

d ic ic u e s mueve la mismo

(12,1)

Forma

que,

expltctta

la coordenada 'P gu ex

ciclica.

!£~=


i'lqi

eaci

integral

En

movimienlo

le

1p mp

conduce

bl on ge

simpli-

as t: lclicas.

p.=mr·({l

M,

mento r'i{!

(12,2)

COIlSt.

D eb eb em em o

pararea d io io s

' 1 1 0 1 elemento

infini tamente

or

momenta

\3 forma

proxirncs esta dela part i-

2m;,

02,3)

II ,donde la conservacton

Lasoluci6n

lie

signtlica

c am am p

ce

al

dM

Is

iguales (segunda le movirniento fkitmente

partienmemento. movirnlento. poniendo

sjn:cijecesidild·de e$Ulva

10,r

E!"'.

-t(r.

!unci.on' d e ion - d ex,p

ti

unc.mp

d e a cu cu e d e .«lJ1 hi en la te

('Ip'.)

E -

o,

2111['

(12,4)

(7).

(12,5)

( r ) ] m1:{1 memento

j~ I'arc!

pars it III.S

",a"

i c: c : u lil i !!!! l q u e .

1 2 , M a " m i~ i ~ .o .o t

.fl.

earnpccenttal

Q, dr

M'

+const.

(1'2,6)

(r))-"iii¥

IE-V

forma

Ip =.m,rdl,

dt -;r-

}I

da

2;

mc

dt

(12,7)

-l-const, 2m (t , 7

xi de

gr do

define

ob

!p,

trayectoria.

(12, (12,6) 6) dete deterr rrnl nlna na dtstancia

Fig.

el

forma rnonotona; ex es on

energia

potencial

(12,4)

formula signo.

(12,2) Sf

"elicaz"

U,!=U(r)+2",,.,·

(12,8)

la m e rg rg l

c en e n l u ga ga . (12,9)

region

2,

oc

radial;'

efectua

1' rnovi rnovi

verdadero),

ei

cion r(t)

viceversa.

region r;;;::"tnin,

cula sera in

verrdra d e

su trsy trsy ctot ctotla la

Si

mcviml mlen ento to Sera iinito ',.h, el mcvi anillo

=r

(=

imiles,

llmltado

se nece necesa sarl rlam amen ente te en

'mh,

r. ~(jl,

trayecto-

''''in

6q1=2lttl,ln., donde n,

ros,

'mi.

n,

despues

es

el

>n

cuando

U(r)

2n. Per

,,'" maxima y'.' 'I

anrl anrllo lo corn cornpr pren endi dido do enfre la I lm lm i

Exlslen Estes son

unicamenle

des

,§

at'. Ilamado

osci oscila lado do espa espaci ciai ai (v ease

13

El ni e gu g u nd nd o

,p oble oblelJ lJll lll' l' de <.ep <.ep er

as es el co es d le le n del 19).

/8.

mp el el Cl:l3 e ne n e r a .p .p c e nc nc t e s r tv tv e s .a .a _m _ m e n e ,w ,w "o " o po p o rd rd ( n a ar'Y; resp resp ctiv ctiv rnen rnen e, Ia [u rz s. on mv~rsamenle:"DroporC1onal~·a:,r·., Aeste corn~sponden Jos"<; Jos "<;ai ainP~; nP~; de; gt4--v gt 4--v itac. itac. 6ti: 6ti: tipa de campos corn~sponden los Ne mp l o m b, 10s,pJ:irilerosj como, sabemos, tien tien ar ct campcs de,.atracci(jn',;,mien.lnas que atraccidn como de. repulsion. pueden ser tanto Consideremos primerarnente un earnat ~f de'

po en ia

energia

efic eficaz az (13,2)

fig.

tiene

7. Cuando r......() la energia

r= M'/a M'/am, m, (U
a.'",

(13,3)

Esta

general

£;;;;'0

(12,7),

Or

finito. =-a.

electuando

rna

arccos

,-"'M

m'a.t.

const,

2mE+-w

ongen

de

canst

0.

inl.graoion

r=s:

ecuactones

(13,4)

e=

-;-= metro or

(13,5)

la exceniricidad. lo a n g u lo

entre

sera

mb centro

cipio

para· (jI,

O,e

as

le

1 8 e xc x c e n r ic ic ld ld a d

E
0d

Segun la

parrafo,

ar cu

FOrmu-

FI

ma:yor (I..

a=r=;;=2JFj.' EI

O,e

b.=

=_ }/J-~~ 'C

'selTiieje

(13,6)

li

\8 I:'nergia (y

(0 (13,7)

se toman res.

IJ

(13,6»

(13,4)

larda

13

part-icu la en recorrerJa movimlentc,

iernpo, entre

donde ayuda

cere

ll-

nab,

.r=z:"

(esta

Hamada

E>O, hiperbola

la

campo

(138)

unicamente

esle C u a n d o E;;;;'O

1'1pH"

T, obtenemos:

la Iorr Iorrnu nula la (13.6), hallamos: .1;;:

centro

U;,r(r)=E

la excentn-

centro (13,9)

'ml" donde ct

=ecI ='JE ell' 13 C3,O

estaoo Consideremos

hiperbcla.

parabola

Ia partie ahora

'\ movirnlento

e=

par-

m i m a r.,in=p/2iendo

campo

d e r ep ep u s io io n

(1.1,10)

la

ua

mo mt

(a

"=7+2mfi di mi uy

mo on desd desd er a s camente posit iv

de de

energi gi o . La ener el mo mi os

!I

cuando partlcula puede in

cslculos e c o s a n e r o rm rm e e . hiperbola:

varia

trayecloria

(13,11)

tP

SI!

determinan

por

Fig.

centro 'min

campo,

=...L.. =a(e+

I)

(13,12)

CHOQUES

OQ

CO la

propiedades

impulsion

dependan

absolute

las

particulas

etastico 11.1

iculas,

labo labora raio iori ri m.) est" en (m,l mu

cheque, otro

es

cia);

(sistema

ma

v"

rese rese ca

v,.

iii7"+iif.

(11,2)).

despues

sist sistem em

iner-

inercia

=~Y'

(c rn

centro

.3

el

sistema

repcso el

valor el

impulsion,

do

co

ar o,

y, segun

la ley

it uto

ulas

a,!

c to to r u n a r m, de,sp.ues an;bas parh~I.J\3.S

'~-~ro.

v,,-~vn.

mi·

v"

(14,1)

,+ .... ....

!a ara. ara.to tori ri la

aboratorto,

despues

ha

velocidades

(14,.2)

Eslos

50

los

todos

51

I\

partlculas

oblener conservacidn.

pueden

nl

II

cnoque,

me

51

para stones,

me

respecti-

P,.:::: mfll1,

111,

(\4,3)

m=m,mJ{m,+m,)

la

Jig.

n.

dlrecct ccton on 0(:, lo vectotime hi dlre

ervector unitarian,

;. Para punta

mg·,

los

c~lral"

clrcunferencia. ~
un

. '

9.
51

flo),

mi>m.

in diem

ult .S!'

tuera

de

(y

angu.1o delerrnina me

padleu!a la de

en

iigura

linguI,?s'

se.ve

~-x

'=---z"""""

b)m,~ml Fig.. 11

AS-PI

f6rmulas

valor

(14,5)

a,+6, m,
choq


cuando

,+

vI

m,>m~.

mi

1=11,

p;

entre

. > 1 1 / 2 cuando

(fig. II,

p;

case, seran: ....(14,6) (14,6)

(14,7)

iculas

donde E , = n l u 1 Si In,
de la prlmera

ue co resp respon onde de

3p sea,

DC/OA,

(14,8)

un

9,=t,

5010

.-

(rig.

B,

A,

_,,-l(

(14,9)

(14,10) DUll

despues

15. x)

hay

(r),

prt\l(imo

II

(OAen

el centro

punto de

ma

cerca

X=I"-2rp.l·

(15,1)

de

segun

mt

(15,2)'

!i

aI n,'n

Cu gar velocidad

la

..

'I

infinito ma choq choque ue de e r e nd nd ic ic u a r

)t/

_-lWO-----~-------centro

ro lr

00

magnitudes

m eem me (15,3)

=mpu.,

la formula ..

(15,4)

entre es v a c 6 n d i d ua ua l Ia d es la dispersion. sobre el dlstintas part iculas

l.Iarnemos dN

part

ro!'mando

suele decirse, ch ue dl angul05 '1 distlntos,

Choq .... .... V _ Choq

~e paJt paJtlc lcul ul

X+dX. razon

(15,5)

da=dN

particulas

la

(0 stmp stmple leme ment nt sion

caracterfsttcas de dispersion

creciente particulas

cheque p(v+dp(xl.

p(x)

igual

denim

radios son

escrtbir

da

viene

esta

2n:p 2n :p (X

p+dp.

ellcaz ex presi pr esion on

disper ersi sion on angulo de disp

i-~lt)laX.

(15,7)

negatlva

Q:ln Q:ln .Ire .Irecu cuen enci ci do. dX" sinc.a.unelemento prendi~_()

dispersion

pOT

elleaz'en

sistema

funci,on

teniendo

(15,8)

Volviendo

el

dp/dx

sOlido com:

sen It

sian

el

11

eflcaz

basta

procesc

P_3.rfoJ:triula

del

ceritro

3nercia.

rato rato io ha qu expr expres esar ar en estl estll. l.r6 r6rr rrnu nu ax !XI' (~4,4). Asls Asls bt ene' ene'la la·e ·el( l(pr pr~s ~si_ i_~n ~n tlin tlinto to e: dt

p ar a r t c u la la s

q u e n ic ic ia ia Jm Jm e n t

Probl_

~ncaz

I. H a

fectam~le s6 id de r a d cuando r~1I -O euando ella

t.d

5U

Ie

me

oblenemos:

do=T

(I

X=4"dcI, is te te m a .1 s is

UI sI

< i ~ 1c 1c e n r o d.

de

m l m o
'II,.

~2

y, hallarno:d

mO

u e d o c o .1 hechD de II"" .1 paTU.ula para que

U II!! p ie ie rd rd e


Ol

ntersecd6n

Poniendo

I. ulera.

COI

v.

.1 dibujo,

CO$!.

11118

ConJj,

Sollld{m.

grando

e e i e r a perlater I <: =., < : C l 6n 6 n e n l lili l

On

..

disper.i6n

'I""

I!$

me

(14.f).

n le le .

que delle.

superlicl.

mo

s 6 o pa pa .

$=ioll

d.

ob

I,

igual

tenemOll!

X.

.qul

que

(I

do"_M·~. £mix

L a d l r lb lb u c 6 n me

d.

di'Jm"13!

mp

de

£""•.

3. D. .. minor I. secciao ~fic.. d. "",u.rdo COIl la _ I ~ y SolndOn.. 1:. •lendo ,."In v. sj

rna.

que

st

,3

m, >m

R.

po

U.I(R)~E:

"'=~ m,m,

do..,d. parttendo

radio R.).

d. 13

Iray.doria

a•

cbtenemos

Rv~ se

d6n

.Iicntlende. como

16.

acabamos

aplicactones

mas importantes

de

=a/r

m"~p

arcc arccos os-V -V-r -r== ==c( c(~" ~",= ,='C 'C') ')~, ~, 1+-\",u~p

sus.iituyendo,

'=

(15,1),

q>

(16,1)

m'u!,

,_ piier piierel} el} i.ian i.iando, do,

e!;.tlt

-( 5,7) 5,7)

'2

e.",pr-llsion

'--ax .seu:3.!_

C O l } respecto,

a c e nd nd o

(16,2)

55

" (

(16,3)

sen'

2m"",

Esta I'S ma secciorr ellcaz

formula

Rutherford, a,

manera .i

1c mente

'd .ref¢.

1c

'sis!emil

medic

6,

51'.

obtiene:

\' =r mt'I;lI)

ll',

-r

,=

sen

COS,

na formula

ge

a.)'

mt'."

(16,4)

--'11-' COS,

compJicada.

m,

manera

=n

esta raz6n

m~m" (IS,5)

donde

=m,v!!2

(m,

x:=W,. dCY,=2n

9,

cos

,en'tI,

(16,6)

do,.

or

13 dispersi6n,

dll, ll

:,

(.e~.~C O ~ ' 6 )

m,/2). (\6.2)

do,

us

uy do (16,7)

determine-

i3

II

ue

persora

(m,l

(m.)

luncion pO

v~

riel angulo id n ls r e a c id

ml+m~ v~ senT

constgutente,

ve pariicula,

t"

rn'1~:l!

ll

m:;-v!.sen'-r. SlI

(16,8) mu

responde

define ~m••

2",'.'

OSCILACIONES PEQUENAS /7. o s c i l a c i o 1 l £ S pequeiias,

proximidades

equllibrto

U(q)

hani

esta esta le

rnpe rnpeza za

-dUjdq

valo valo eorre eorresp spon ondi dien ente te diferencia

q-qo

U(q)-U{q,)

segun

Cd'O

(q -U

II

(q-q.)',

donde suponiendo

Entonces

U(q.)=O)

lJamaremos

qu

(17,2)

liene

p.'!oeila.

cion

valor para

(q

pll car

alq,l=-m, obtenemos

ll definiliva

Ia siguiente efeclua

ue

os

funci6n c io io n (17,3)

movimiedlo

(17,5)

x+w'x=O, ciande

w=V1.

07,6) €Cuaeton dl!erencial g<'neral

ro

'"=c.

cos ro

se

(17,7)

(j)t.

puede =acos (wi

la Iorma (17,8)

a.).

(17,7) muestra a s c o ns ns ta ta n e s c,

li-

c,

on

medic

bi la eorrelaciones

liga-

(17,9) III sisforma, lemal)e.ff!:!il,a·;iun·,.movimientb oscilatOr·io -armdnlco. E l c oe o e l c ie ie n :I amplitud fase;' os ar lo origen e · o s e m depende, evidentemente, [recuencia angular (cirpas q u e · (j) .CLllar-) la simplemente [recuencia, n. mo mo 5610

osci/aM". Ii •• les,

.)7,

condiciones

no depende-'de-,ias

clones

O s c a ~ o ne ne s

ea es

es__

d e a s o sc sc l a I!lovir lovirti tiienI ienI6, 6, ',iniciales del ''''I!

fundamental.

De .a~uerdo ·c0n la:'lo~Jf1! la:'lo~Jf1!:11~\ :11~\l7, l7,6);' 6);'1(~(efuer'l 1(~(efuer'li: i:la.· la.·qu.e~~y qu.e~~y ~.ffe~t~i!! ~.ffe~t~i!!l!l l!l]t~ ]t~ Jqll,leila.~~5:,i la.~~5:,il~J:. l~J:.pf:QR pf:QR .l ,sJ~,te,f1:1, ,sJ~,te,f1:1,~_'m ~_'m ~.~m cQ .,'~e!!l~~ .,'~e!!l~~ ,c!ertnf911p O , r las,_P Jqll,lei no o \ s \a \a ,u ,u , q!J,e es,la' ipr,~RI~,al!dcarernos, " no Irecuencia It :Ias ioscil iosc ilacion aciones es y.,.aesajJarece .e gada supuesta"pequenez,-oe' :Ias asa a' !prQx,i !prQx,ima:l ma:l:i :ipnes pnes dem-oyor grade. D.esde ' e l : . p l . i 1 ' \ t o , cuanto vista vista matema matemattc ttco-e o-esto stose.. se..!!)(p1ica par-que la enefgf'a: pOlen~iill_ ~e.J UI} sistema

e fe fe c u a o sc s c l a c o ne ne s

'pequeiia,s.-es

~'..

=~:(X'+(t)'X')

E;;,;-~+k~~

E=~m(t)'a" os

ac on

(17,10)

energia

oo de ad Re

ma

parte re.al

tiempo

os

e-/fdt}.

(17,1 J)

siendo (17,12)

expreslon comple]a; su m o vi

(17,8).

exponenciales e re re n a c o n efectuarnos p e c oe o e f c le le n e s constantes, omitir ger:erlll cuenta

La co

mp ud

amplitud

di ar

maternatico

iactouma

mul

c ac a c io io n

calculo,

Problemas E.xpr!Ulr v a l" l" n ~ & i ni ni ci c i al al Q

am "-

ud

u. d e

1o fase Inkla!

10 osellacio!l

1 8 v e lo lo c td td a d .

hmcion

LllS

O"

peqlleiw.

2,. H a U a r

forma.

alamo<;

hi

m"

;salopo.

i<=k'.

un

d•

F.

Soluclon. rniento

de ~a oscl osclla lact cton ones es

m; m;

L••

61

"-1"" Fx'/21.

tanto,

as

o,

t.. nemos:

/m:m~(m;

+m;) m,m,(m,+mJ

&I as

p...l p...l

51

de des

d. i!lual

0d

'"

or

(u

5eiUn

una

t.nudo

por

(uen.

2T' como

m~·f2.

.:

libres, Como Como segu seguim imos os

elongaci6n ll

x",

U.(JC,

t)

x, obtenemos:

la

V,(x, EJ

t);::::

V,(O,

,;r~G

lermino e s u n c o nd nd e l mi

me

o,

(iempo·.sola,mente y, mo

respecto tt~·tmi'no; br oV,la V,la 1.11 l!dua ~quilibrio,siendo sidon liempo pofensotros designarembsp6r' F(;t). Deesta fqrma,en,laelietgi~· lerrnino-xF(t), 'I;a'gsistema

,no-

u'

(l8,1)

de

mo mi

(18,2)

introducir

libres. Co sicnes: x=x.+x" homogenea

ue

donde X. gr parcial x, pa

resenta

la osci oscila laci cion ones es

,'II

la

os

on

I io io r

fre(yl

x,

(yt+~)

cos (wi

iniciales.

+~).

(18,3)

=flm (00'_,,');

a)

()-V') a.

10

ai'ladiendo (yl

+~).

la

forma (18,4)

las condiciones

prop ta

'I

resonancia,

im la ecuaci6n

ma

so ue cn

hallar

del. forma

(wi

(!Ill

IX

"\,1)

(cos ('It +jl)-cos

(wt

~1I. lipo

(0

nemos:

+0.)+-2'

(18,5)

"'0>

forma,

pequeii.as ud como

la teor ia expuesta deja como

Il magforma compleja

ue

Be- ..'. ..'... .. mag

c=

ud

e:......

per!odo 'bI/fJl ia tud variable. Llamando

(18,6)

(A

Be-I'I

mo

Be-iIIl.

gn

c'

=4' + I J '

at-I.

2a11 cos(et

I'-a.j.

be-{~; (18,7)

itud·~ osciia P o r ] o . a n , o ; .lil.iamp itud·~

Cia:::e',

~ : , . J ~ . : ' : _ ' b : l~C~!:f;+ ~ C~!:f;+

..

·Este ienomeno 'Eslo· i;e'''consig'l1e'

ulwiiln ulwiiln

l.icilmenle

mp e.scribiend6la

(.~·-illlx)

(I)

F(t)

prlmero'

tambien arpitraria. ma

(18,8)'

+jCl +jClll lli= i=~p ~p(t (t), ),

~=X-ililX.

prir~ierO:"

,ser,ia

bu~m~s

lanle A{t)

(t)

'='..!...

forma

e-

..,

(t)

ff,\;

(I)

iwl

(18.10)

dt

r(l)

li

1=0.

la

energia

lola

+00),

con _0

i6nnula lugar

8 ,1 ,1 0

la energia

igual

o m a d o el m i (-00)=0), euando

hasta

1_00, lenemos:

cn

real.

I,

C a S O . . , sobrenuende

I. !ue=

F(I)

lorma

aqui J!;, (00)

buscabamos

E=2~ll

ob

(18,12)

F(t)8

F(t)

e''''~I.

Entonces

-'"

el heche de que

de cuya acclcn

una fuena impulse Fdt,

al

notable. Problemas t)

memento (%""0.

1e

R""p~sta:

..

dllc dllc.i .i =a/

(I_coo

",I);

pGSieion

ac

que

torno

.s

.r=~

eredtil\n

(0)1 -!en mt).

-.I

R«p"eol.: d)

sI a.

;c

espu.q;!a:

c) F=

inkl.1

o"

.r=m(':+a~)(.-"-C~""+: ~I.

II'-'f II'-'f

R'espueSt.:

.) F=F..,,-·-i),,).

sen

te

en

{-C·'+· '-"'J eose 1+ ,I+~-.'1(0)' "'~!e 1(0)' +""- 1 1 ' ) co

..ma result.

rU
comedo escribir

$""un

I.

~II} forma cornpleja

,§ 1<0, 1<0,

=f!o =f!ol/ l/

I<'r"

So

.1

"f iftsialtte'·:, «(Ig «(Ig ,16) ,16) ha su, pOsicion. de ~qui ~quili lib~ b~io io cumplen Ia condie;';n oo:i1aciones,

J;i=:F.,~u.ndo'.J;>

0 < f
ma

\i,?

"""'....!.L.(@I_""""'/). "'Til)' "dim

Cuando

(I-Tl+c.

x=Ct

(O,({..:..T)!'

moo' c u . .n .n d o I=T. hallam';":

c,=- mTw.senwT

c'=mT~.(I-co."'T).

Sera

-,-.-.

fW

(lJT

se

16

Fig.

sera

F. durante

uclcin. Se

)luede

h'"

1tlJ)~,

'IF.

Una Uer

llmttado

postcten

I~f'

T).

a=mlJ)·senT·

sI

e'''' dl

I>

ei"'l) e-''''';

constant.

problema

ue

rna.

66

Cap

[tllio V. o..:U.dOl1e'5

19.

17

(s)

Supongamos que las co rden rdenad adas as ge eral eral ea as q;.. ntroduciendo

(i

eq eiio eiio

de

laza lazarn rnie ient nt (19.1)

X;=ql-qll

esar esarro roll llan ando do

=-}~

5),

10

(19,2)

kl"x/x",

i.1I

volver er dande volv

contar la energia

te

kl
partir XY'/t.

subindices

la formula sus

ku.= 1 1 . .

"2 Laja{q),qjq.

la cons consta tant ntes es

Q/.(q.)

lonna cuadrattca

deIi deIi id

m,'.'

qi=q;o

sttr sttrva va

(19.3)

coeficientes

mil. tambien

sutiindicAiS:

.esta (19,4.)

V.

/9.

($

11 la osci oscila laci cion ones es Supongamos

mas

q/=q q/=q •.

mi mo

du

lineales.

I.

do

ue os

de

s).

am

x/=qi-ql.

(19,1)

desarrollando lerminos

-} minimo.

os

ii

obtenemos po iIi

Is

(19.2)

k;.x;X~,

Como

formula

subindices k;•.=k~;.

la cons consta tant ntes es

mo

a,.(q.) por medio de m,~,

qj=qi. y, designando

(19,3) i. L o s c 6e 6 e f c ie ie n e s fl!laciol) !I subindices:

im

mlk=m

Iuncion

="i'~

(mu,X,xj,-k/i,x/x.).

(19.4)

diferenci~l (mi.x,ex.

r:iL= i,

m;kXtJ1xl-k.i~x;,
II

,1 desigl1(!pelJde,evid~ntem.ellle., in ces sl .imat .imat() ()rj rjp~; p~; 'camb iamos ,en;, .1os terminus o, p~r,enfesTg,i la simetria os.coefl [entes [entes mj~"y.'k;•~obten:~inos:

Como ·n'!ci6n primero

.valcr;

cu

~(mi~X~j-~f~.d.t:i)'

dl,

0.

(19,6) 5)

cion ciones es dife difere renc ncia iale le II'S.

Slgu iendo

bu ca os

x. donde

A . - e - ,,',

la

ecua-

.( f)

Iunciones

(19,6)

A.

un ma

-Iw"

~(-w'rn,.

on sistema

algebraicas

lineales

hornoge-

kill

soillcl6n

tendra 'M,. 'M,.

grado rs ices reales tudes ma

W·. ll

ma

et w!(a= forma lIaman

iene magnir ec e c ue u e nc n c ia ia s p ro r o ps ps a cion

EI caracter

real

degeneralias.

positivo

tuviera

x~

0»

ia

E=U+T

10

va iase iase

CLI••

representemos reales 6.••

x.

coeficientes

A~=6t.C.

A~.C.e-;"/.

suma

forma (19.9) donde

{C.e-I"'.lj. !ieL !ieL~i ~ist steQ eQJa Ja co laCrp~esperi6dieas

(l9.1O)

Ia varlacion

simples Q.,

:•

gi '1.3 '1.35c 5coo oord rden enad adas as ·gerierali:z.adas·,de',tal elIas: elIas: efeCti efeCtilar lar sohltTierite (le-,Ie Integral muestra ob ma

forma. seguir

pode de os reso resolv lver er ecil~CiQIie§\,oon s. 'in!!pgnitas Q., po Q. lunclon Q• !!09 !!09[, [, e! ad :x,~, on igul igulen en e, (a magnltu•. Pa

ult.,s·i$te,i:tlit

ta

·Ias coordenadas u pe p e r o s c io io n 'de a ·m ·m p u de de s a se se s

,d

00" m u

oo

~e

m" ~l1amillr"n-()i'males,

da

be, 10

'e

las oscilaeiones

sistema. normales Laseoordenadas definicion, la eeuaciones

Q.+w!Q.=O. .Esto vi

,.

ma

ponerr

en

vaiorde basta

'p VB

(II-C il

independientes, funcion Lagrange expresada mp suma expreo sc sc f c l al forma

ell

t.,-"

coelicientes

mo

sciones,j depen(!~ iihi~a:fitenle"del coordeilada'noi'mal mente u r c io io n d e mp mi coorden ni al la oscilaciones

normales

coordenadas

,(1,9,t1l

st cemun

neralmen te

(1.9,9).

Juego c oo o o rd rd e a d runeion tolal

(Q!-ro!Q!).

(19,12)

a.

campo exterior,

i,

oscilatorio. lo

alamos

puede

rotacion.

dnetic. sumas ~Q~

Iiberlad

me

de rota rotaci cicn cn

vimiento

or ma

mp o s m o v m ie ie n a s

d.

ig

~Q!

3n If.,

ma

igu. "'.) "'.) (de igu. e,

n va va r

M"'1Ilal

3n-6 d~ de que

1110V

sI

des

nscil

todos Ii

de

maner

rnovimientos ol

Iiliza

cu

atcmos

el nurnero

de

traslacion

atornos

2n

resto

Ii salgan

deben

nosci Iaciones

n-

=n

grades de

o s a to to r o s

5-

ci oscflaciones

lc corr corres espo pond nden en

ib

t.

II

10

3n-5,

tendrernos

obs-

10

di cui

pu

ares frecuencia,

Problerta.

="2

(Xl"'"

(xc·..,.. JI'I

2n

11-2 Ire-

istemaS'lin,;ale' [dos '& istemaS'lin,;ale'

ir..:,jelid~"~ropia

gu

be

71

in l f llll c~ c~ 1 61 61 J Igil d o s , p ilil i r a i·i· in

" '.' . :!: ! I « %

:X =c:i L a u . u c io io n

g to to dd dd , d .

nu

10

(19.6)

,'li(",r-",r)=ctA

(~:-~)=·ctA%.·

("':-""j' = a : ; ,

..

de d e n d e

ru:=!»!+a,

",~=ro~-ct.

Cuande " ' , = " ' , . Por tanto

.euandc

6)

='(1),.

:.

_A;.,:

.lecd6n

10).

SI ",%ru:

Ienemos;

",,~Ill.-~"''''.+~' "II

frecuencias proxima., "'.-
se de ir

este

tarkl,;, 18).En eslas condidon es,en pI Iu pOf lene

qUI' I. ampiliud in

vondulo

'I't~

forma

'tI'l+ 'tI'l+

+.m,

mz.z'

1.'I'. 1.'I'.+m +m'l.' 'l.'l"' l"'I" I"-------r --r-----C1 C1ttl' ttl'.-yg! .-yg!,'I ,'I'I 'I

I ,~, ~ , + 1 1 I .1. 1 . ~ .+ . + ( I 1 I,I , "

(Ill,

+111.) Kif',

=().

I lq l q ; + I ,q , q ;a ;a + C " ' = O

su AI (m,+m,

(g ·lloo· ·lloo·)-A )-A w· 1I =O

(g-I.",')

seran;

"';.1

+111,)

(I,

I,) y i : :(: ( m : -

Cuande dient es

"'1->00 ')2

)"" 4 ; - m - . ,I, I . . .,. , , . 1 } + - : - - " , . ) 7 0 7 [ ( m " " ' " " , " " " " + - m - ' , ) " ( / ' , +., -, ., I,..... gil,

pendulos. partfcula en

.recl

gil,. correspon-

campo 0"

I·

V.

plalM> el Jqf. r.>=

=" %=<1

do

+a), cos '1'.

(w'

1/

'I'-b~n

6=11-<1·

'I' /'

hi

Vilm:

+~)

lI=b cos (+6)=b

'1'= '1'=., .,1+ 1+<1 <1

x, !I

2x!I

/ j j jco.

.u.s euadra-

planteando

sen' 6. un segmento

recta.

I.

co",denadll'.

II

como

a. nt

rropio rnedio

term ito

Iuncion

in\rQi:h.jcie!ldp.

-ell -ellas as cler clerto to

tfu" tfu"mi mifl fl .coP .coP"i "ipl plem emen enta ta_i _i"i "iOS OS esta uy pe

eol,iiii!leri!r.que Sabre. Si~. Si~.~d ~de! e!1" 1",a ,as, s,

·lIe ·lIe

[uerza de rozamlento

da

'p

Iuerza

ro

nto, nto,

el

term

primer

l'irieales

bi

f.

t;

pequefias

51

-a,i, e.s.Ia coorden'!da_ge,netali.za!iii d e _ ~ ~ ~e ~ e m aayy . u ! ~ ?e ?e H ~Isigno !lueJa; f!let~aact,u~.en:i::f,l1:e.c" v,elocidljd. di do es f U e T Z , , ! al ~!.!h:dO;

d?ndex

(20,2)

w.

(donde

os

rozamienta, lenemos

guaci6n. I'),

on

1'1 llamad llamad

br

coejtciente

sistema,

amorti-

(20,3)

la

x=e,t

para

hallamos

r'+2"r+(O~ VA'-QJ~.

r...

la

x = e,e e ,e r +e + e .e .e "

"
tenernos

x= Re (A exp (-)..t

dcnde od mo

mp

conjugados

wf-}..')},

cr bl

ae-~t

(wi

atcf atcftm tmtn tnto to loga logari ritm tmlo lo

w:-""

(20,4) T~2It/'"

peqeenas

siendo

q.

osci(a osci(acio ciones nes amorti amortigua gua

lias.

expoII

La

II

la Sl ~w

2n/w.

cuadrados

1.'-':.

temente,

siendo

pequeiiez. era de. esperar,

I l l .

proporcionales

ley

E,

Supongamos ahora

reales

negativos

/..><&1

energia

la energia, a- Entonces los

seran

(20,6) En este de I x l .

un deer deer cimi cimi nt

en una

la t--oo) m a de amor-

posicion tigu tigu(J (J£i £ion on aper aperi6 i6di dica ca caraderlst!ca

(doble)

x=(c, +c.t)e-lt.

A.=cu.. r=-i.,

este (20,7)

E:{t~..~~ \In '.~aso '.~aso partic particula ula.r .r de

.PJx;
on ~n#oneS Un~les

~de;··las. velocidad~

~~;~.

Partiendc

de conslderacicnes

concJ'Usi6it

tam-

coordenadas

Xi'

~~ §ime.tr·ia

de

-20. o.ci lactones

os co

ci

~"

do

amortjflU_',da.,

P e re re -

-il_los:,.lhiliiies

,7,5;

o s _ ' 1 f~ f~ lo lo d a s

c,j20;,9):;

escti'b-j'r~ilforIrii('l:t~J

expreslones

or

:'.

:_

. r~ r~ . _ ( • •'c

i'

ij

Xj

(20, lJ

funcion

las

dlsipacion.

afiadidas

Lagrange:

al

iiXi- ail'

iii importante:

di

disipaci6n

Ilene

sistema.

(~>.

ae

(!!.

'ax,

e o nv nv en e n ce c e rs rs e

la disipaci6n

calculando

_#,)

Como tanto,

decir, di

funcion

miembro

la

ua

como o s

or

es

o ce c e so so s

MI

21. sstudlo etam etam

ma ecuacton

gran in eres,

(21,1)

yt.

w:x

c o o ddaa m en en t

mp

e-''''

segundo

lugar

:i:+ 2 ; ' x +

mi

yt

del

o rm rm a

II

la

particular

1c

caso

analogo

o n e nd nd o

miembro,

escribe

ie-ITt.

(,):,t

1' valor valor

de

particular

=Be-/JI

(21,2)

(w!-y'-im.y)

iJlr'\ para

Haciendo

«(I):-V')'+41'1'

(j

tenemos: ):'1'

v·_...,

(21,3)

. ,

Be-""=

Finalmenle, =be-IlTI+~I,

escr escrib ibir irno no JC=

.·-::f·~"

oe:"

ha-

conc concret retame ament nt

(wt+a)+bcos (yt+

CI para

w.>"-), (21,4)

15).

li pr me' ·J·e ·J·ern rn no,decrece d ecrece -expon -exponenc enc alment alment con 1' ernp er npc, c, i'apso-suficientemente grande qll'edara dej'uB,! dej'uB,!l. l.era era «I)1 «I)1 ah~abo'de m ic ic am a m .e .e n . e l s eg e g u nd nd o . tenillno; '.t=bcos

Zl

,.

('Vt

6),

ue um ox ma ut om m~~ . o u r ,ha:~e~ ~ a e~'.I!~sr=n~I~.de. rozami~,t9· para u n ~ p u d la

(21,5), @.,

lIega·

la resonancla

frecuencla

21. O.dla~jcnes·

(w&-2)';;

Consi_deremos la Supo Supong ngam amos os Y=Ia Y=Ial. l. y'-Ial~

or

~w"

(Y+(Jl,l

B=

ol

$1'.

Qu Irecuencias proxima a . resonancia, e, siendo una.icantidad pequena ._ ,, (y -00,)

r.::;

211).8,

2i),;y,:::; 2i).II)••

(21,6)

().)"'o

(21,7)

Debemos

{j

tiende

iferenda

cera,

istica

y
51'.

-A.)

cuando

segundo

tener

-11. V>Ial., freeslrecha b a n d a
ma

y=
termino

este sistema

Cuando

mismo Pero (d la Iuente oz mi o. bida x t or

ultima.

frecuencia

la

ue

la Iuerza

Iuerza exterior), mo I(y) on

(IS,4)

rase cuando

y=oo.

"prolonga",

gi

bl

energia que

51'.

(20:,13),

/(y)=2F,

donde de d i (21,5).

es

valor medic

oblenemos: "mtl'v' sen' (yt

(pOT

reduce Ii).

F=ax'/2=)"m.iI.'.

(2Q,II) Poniendo

aqui

C5

tanto, (V

{21,8)

=:l. mb'l".

resonancia, su valor :;egun (21,7).

cion

tenemos: (21,9)

1(6)""4,;;11'+1.'"

III magnilud (correspondicnte

que

sonancia

(fig.

igual

/(E) II f.··-O)

llama dispersiua. 51

valor

de

llama

di IIIlO)

la

in tlguacion

It

im

CCIe-

A..-

Pero

f'

4ml.

coeficiente estrecha 13 super iicie invariable.

r J / · y j ;4 ; 4 'r' r ' -l

1...

hace

alta,

-[L]"

(& de.

lei.

Como i(e)"disni'iriu,ye-

e~

de

a nd nd .e .e ~

inler O T P ? f ' " " " c o o . .

agudo. Pero

/(t)

Entonces

SUS\i(Ulf

(21,10)

on nt

·§

r.

ii

.t

tiempo

e.

.d

si$temaiUi:\ea!:

W! ;10$ ;10$:(;oeficient~.,m;'y\k·

pilnimetrj)s',.(IepeQile:tf!qel'

mevimlenlo (mx)

(22,1).

k»

una

Sustltuyendo

iiT'

sus

indepen'dlertte

dllm (0,

I·T.

'de; 'de;il il.c .c'u 'uer er·· ··

kx

limltacion

suficienfe 11)'

forma

(t)x

que se

22,

5i

wet)

esta es una

II

(t+T)=

(t),

tada

y, peeto

x(t)

It

sera. En dientes de

solution

den II elegir x. vartacion se

(22,2)

t-rt+T. s, si x,(t)

x.(I)

manera

X,

Iuncten

x(t+T)

lamb,eit

dos la sustitucion 1-rI+T se atra. En este puepor

acto actor' r' cons consta tant nte: e: T)

es:

~,X, (I),

(I

~,X. (t).

T)

forma (22,3)

donde .."t. gtnero to

YJl

"'I

puntc de ,,,,pe ,,,,pen.l n.lbn bn v.

8(

La entre

c on on s a n e s

1',

(I) x,

igadas

fL

0,

x.

+w'{I)

mi

';;,x,-x,x,

miembro

(x,x, -x,i,.)

x,x, -x,.i~ me

x,(/)

mi mb

tanto,

T.

x,(I)

us

!1J1!s

para

evidentemente,

!1Jl.,=

11

reaies. SI x(t) cion om

on ug da

cualquiera x·(f) d e l : 5 e r a

1-':,

x,

011,

=1-';,

II

misma

,a 1 1 - ,

1 ) .1. 1 , 1 '=' = 1 " , , 1 '

",,= 1/",;.

ecuacien

ir

(22,2)

t)

tienen

ll/rn ll/rn (t),

l- 'I

(t)=

I)

ecuadebera II

1-',

n.

mlmero real positivo

olJ .'1

pueden

).I.

I"I>

crece

posicion

equilibrio

Q4e, ea a,a4m~ntar t!l_d~)po,_{\.~Ls'~JeEl~~pi~ .Este -.fenotneno_ m a i'eSOl1llncu2paramitnca. ~p ei a 4 v , e r J it' qu!!' 5i '105_val ores Inlelales S. me cor nua sien siendol dol

expetimen· mp

O)

t)

.valorini~i~1

' A : c I _ a t ~ o s l~toiJd:idone~

mi nCia paramMi' paramMi' Cii

ca

q~ehaceh

importante,en

X"

fueran adelante,

reso-

1Jl{t)

til.

(I)

(.1

II

h
Co 51

aI

2w.

(conslderaremos

,e.L"ot.jg~ibQeJ]

(i).,

(w,+i)1 b(l)

esta clare arnbien

x=O

on

(22,8)

+i

+b(t)sen

(22,9)

un on

me

exacta.

real

(0),+

le

un

aproximaclon ores

y,

en

c on on s a n oI

miento.

contiene

x(l)

terminos

c oe o e l c ie ie n e s

m'

t e s n a r i c , iai a , ; 'p'p a t ~ . m e ! r -k -k ! ! . de. 1qrn~daqe_nt.e

+licos(2w.+e)/]

d o n d e a(l)

ue

COSll

~ d ,e ,e !a !a Q t~ t~ :

lrecuencla

la

Ii positive.

22

a l o re re s

en (22,8)

cos (2(i).

22,

es ec

de!

am

is

0q

forma e) 3w,

los

(I),

Ca

Ch

p"Qucf,.s

h;.)

II

(ol.

ob

mo

a("-

h;.)

i) todos lo

e=-hw./2

a=O

£=hw.f2

b=O.

os

or

coeii-

decir,

para-

e so so na n a nc nc i

(22,10) 2m,.

quiera, disminuye

2I1l,/n,

obstante,

aumentar

la regiones n. c o m o h"

resonancia

Pt bl .... ...... ..

m6 r. suspension o s

pendulo

tical.

Ui On o sc s c i a c o ne n e s p eq e q u en e n o s (Kll

O l ~ ( +4 y c o S

(donde

aqui el

Ol~flt).

~·§·~3.O S l~{/ l~{/

~~~-~l'r ~l'r ,'"

o ua ua e < i d o m o v

(2",.+a)

ON

V1!T'

j.S

'1'=0 me mo

me

en

ma

d l c :c :c l

que

1 8 1 ! a c 6 n 4 t 1 I d e se se m ~ ; nd ic ic I6 I6 n t.xtD. L a e o nd

MO

T_ da a' eo

!11~,~:tese~asii

· i ; ! ~ e f . i c a de

stem stem

SegUrt · l l 1 i .c. c a m e n t e :l: l o s termin~· e l e s e g u n d o m( SO~ Hn or

e.~fa.aProXimilci6n

iJe,.que'·la·:am~rHlud

bl

lineales, E s d e o sc sc i a c o n mtentrasse me

de or

o-

CQndicioo

pequefia,

s,

obstante, decir,

Sf:

as ma

da

osctlaciones

SO[]

rn

terc terc

ciQet"iCa, la coordenadas Por

(lik(q).

i.

arlarmol!itas

respecloalasc?ordenad,8s""i.

gr

m e orden tanto, la lunclon

(""iOX;~.-

..

.Iineales}

que, aunmil .d, ter,a.energia

.~611 h a b e r con se'i

hp6x,x,x,;

eSi'a ,tiif~reri'ci_a

los"

1de ol de funcion de Lagrange lornara forma

k'kX,X~)

(23,1)

li./X,X,x"

den

10,

males

movirniento

ion

+~ L . 1 l ; ~ , X i X . X / - - k Si

s ig ig u e n te te s

aproximaclones

lineal

Q. (aproxirnacion

de

ugar

as

mando funci6n

e lo lo c d ad ad e

! J . ' 1 " lo A')l de Lagra'nge

+~

Q,

.i·;,

coeiicientes

I..",Q.Q,Q.,.-y

13

I.

!-I.,;l

donde f. coordenadas

(~3,2)

,Q:,Q,·

movimiento important

forma

Q,+iJ)~Q.=f.(Q,

(1).

(23.31

fu nc

Apllcando

o l u c io

de!

po

Q.=Q~"+Q~21.

uonde

Q~"I~

L1a-

(23,4)

'i

sa

s la la ce ce n

ua on

V,

no

+"'~Q~II

siguienle

Q[II,

Q~I+CIl!Q;;)=f.(Q"J,

Q''').

(23,6)

drierenciales

(2

a.a) cos (w,1

Q~l'Q~"

="2 a,a~{cos +cos

[(CII.

{(Cll.-Ul~)

(O~)

+0:)

(Cd.i

+0:))

a.-a~]l.

rniernbros II

os

llegarnos

II

on o rm rm a las osctlaclones sup lernen lar ia

w.

lrecuencias

la

superponen

01.,

(23,7)

CII~

2.~. J.Jamp.j"1, J.Jamp.j"1,~oi1lb ~oi1lbl'lQl l'lQloria8 oria8 Las amplitudes ·tod~s ~O!l; productos

a.ii; (0

norm ales.

d~~9r,~en~m~s,e)e.vado ~p'ate¢en o sc s c i a c o n s . c om o m b t a to to r s . 'Ul} sum! sum!l~ l~ :y ·i4l ·i4l~.s ~.s di.f di.fer eren enci cias as,. ,.:d :d

w~

antertorrnente,

d!

J ( ) . > ; cuadrados

los termtnos

de L~gra.nge,

e cu cu e c i nuevo

!)

cfen6meno·.

~j

CII••

23.

term lnos

cuya arnpli

scll scll ei

haran

la soluelon~ aparezc;an{i).~'~l1, P e r c , desde el eltiempo. me

aprox[m8ci.on~ !Il

potencial. cos «d~)

me g u ra ra ne ne n

'que Ea apar apar ci ri

<:::;

cos

85

.nar .nar dnit dnit.. ..

t'er-"

ext,erlQt h o

ausencla 'de tensidad

.s

-I

P 9 s b )e ) e ! q ue ue :

super,iores,~~'pr9i1uc~

en

un!!:,

w~,jespei:to':8"s\!s'Valo"';-

a 'e 'e xp x p , e s o n cu c u a dh dh i d -

los t'eriilinoS,cretiei).teS,ih':'

~l.

1,'~'1, so

sufi sufici cien en e.

MOVIMIENTO

§"24.

sOlido

sistemas reales que ex;isten en

mvarrables.

naturaleza Ie.

simplificacion

derados

Ormu

e fe fe r d a

puntos

ic

al cuerpo como

que

que c o m o cue; interne.

cuerpo.

temas

"Iijo", X,=.x, XYZ, otro movil, coordenadas pon~re~os Imid Imid rlgl rlgl amen amente te s6ljd~

utilizarernos

con

o~ S6 ~ c e de d e c a me me n d e e rm rm i a d

.R iI ~flg_. ~flg_. 19) Laorjent Laorj entaclon aclon

oi:ig~.O del· sl.>tema

g!J1.osJndependientes, ·de\' vector " R . ,

ma

radio ''lector

.d

rnanera

sistema

sis-

x.=y, x.=z,


q ue ue d ·rnov.iL

Hnu

realfzasim-

continuo

todo

pO

'inercia

lo

muy

Iorma

exposici6nque

Los

centro del sistema

inor u e u n o -e -e o 1 1 1 5 treseomponenres tanto, c o o rd rd e na na ddaa s

Este plaz plaz~m ~mi¢ i¢nt nt

'e

p
taclon I,m

de

sistema

plasemtentc

1c la

otro otro

del' del'cu cuer erpo po"" ""q4 q4e" e"!i !iac ac.e .e

je

n!i

vi.

Oc,upe.5u,,pos,i9i6n

U1H"u\ltoar~ltr~a.rio,de!s9HdQ I{, a.1 radi9.~(~~oql,~~,t.'t,JTltsii)9

sistema

de

de

figur:1Irno,slo ~ C o m ' o ~

.di.splllufi;lief{IP:· pcdernos

'i':bmpondtli ie tc Idep·tl

de

,2

el :ingL.llo

dR

r],

fig,

t, durante

dujo

'1 I"

locldades J)

dR. dr-V'

dlt

Tt=v,

v=V+[Cr]. EI vector

tacion,

vector

cion del

es ueloci uelocidad dad angula angula

(1

qu

vechamos 51'

al

de tras-

forma,

aI

la

elecclon

(24.2)

5U

formulas (24,2) no apro·

e I 5i

coordena que su ongcn

51'

del

di

considerar

pOT

al

pOT

la definicion

fO'r'l. (24,3)

Qd"!

cada

ri

del sistema

los sistemas

ion

au no

"absoluto".

prlrnera coor coorde dena nada da

0,

pa.~3P Q f o '

E~h " e

otro odgen

'.

n' par

uy

de

dade!,;ci.JeqiQ~de

cual cualqu quie ie

respecto

perpendicular

g~jJl~el;:si~l~ma.

de

[Ur'J.

V'=V+IOal.

independlente

del

un punto cualquiera

r=·(+a (Oa]

Ademas,

loc dad

rnovirntento

rotaci6n, ', Vol vamos Enlonces

VI'

51'

rotacien. i/islall uineo del'.cuerpo".

I'

:C.

or

mo

rclenada rclenada movi

queel

s · a tu tu ra ra l

se

lorna en

centro ido

Sf.

ca·.~~en.~r .' ~en.~r~), ~), en.que en.que 1.3 -.dlrecciones dlrecciones cl"ca.ordenatias entr entre· e· slto sltol. l.Or Ortg tg." ." :~ ra

Y.

110

so

del'

ide iner-

am ie tanto

UI

perp perpel elld ldio ioul ulif ifes es Ii .Q resullen mismo

in.rej.

89

25.

T=1: paranumerar

I.TU'+

T= I.!f(V+[gr]l'=

[Qtl+ [Qtl+ I.Tlnr I.TlnrJ'. J'.

y'O

'ter 'ter es

~mV

segund nd el segu

in \erm \ermin inoe oesc scri ribi bimo mos: s:

r={vnl

[Orl

~mr.

obtenernos: ,25,1)

solido qu

5i

loda

xp II

inercla, De-

con

lnercia

icien iO,n

Tendremos:

XI'

r,",

-}

-4-1:

'I

IQlx} -!I;XiQ.X~)

\Q,Q",oi.xr-QiQ.x,x.1

'I

(xjoik -x,x.).

'0 i=I.

i¥ok).

(x1Il,.• -x/,(.),

'I>

(25,2)

forma

(25,3]

J.l.v·

=2+1"I.-",Q,Q.-U.

(25,4)

nadas fijos.

tensor it se llama tensor de o s m e m e n o s plemente tensor de inercia de! cuerpo, rt

Para

inercia

(25,5)

(_I'

mayor

sim-

matrlz

~~' s-

forma

siguiente:

; r ; ~ ; ;~'~.~~.Jm~!-;". ,

}j;n

(25.6) y»

Con";-I..

c. en or al se lo ld~~"i.,k: val~reN.- Z , . , 3 . • ., ; A ! : ~.cerJo.OI:' i~n.-de de aceer m l i~n.~.cerJo.OI:' pJ.!cae( pJ.!cae( _Ion... paries oI.~!o, d e 1!,;, 1!,;,cl!~UI>S cl!~UI>S slgl)_O slgl)_O !_:~l!m,alori !_:~l!m,alori
isma

ii."

y~'

113'113n

J"

je Co

igLiales

de sus

solido ;2 ) defi,n ic ion 2 5 ;2

extiende

al

q_l1e

i2S:?l

lo ejes de inercia, los m o m en e n to to s

[e pr nc pa es cornponentes

signarernos rg

je

a-

ln

(I,

T,., Debemos

convenlenternente

lare lare

puede ser mayor (.xl

pr nc pa es

de inercia;

can

(25.8)

mementos lo

uno

2xi);;" ~m{x:

r om om p e

1,=1,:;1=-1,.

+xi)=

(25,9)

met co

te

lido

pueden eleg elegiT iT arbi arbitr traa-

mpo es er co

ejes

1s acil acil idad idad

puesto

inercia

simetria as

entre

ireccicnes

sl

sl cu lesq lesqul ul ra

posicion

inercia

debe

un

lorma,

igen

trom trompe pe asim asimet etri rico co

llama

treccion

corr corres espo pond nd

.Qn,

I,Ci

',+1, ='1; EI

1d

do

cia se pued pued

la

ra continuo a - su s u rn r n a se sustl sustltu tuve ve

xrx,)

x I5 I5 .

I,'k

lcs

corr correl el eion eion simple an

1' Ires

,X.,

es

in-

e r ce ce r existe

tenlendo

up

Ol

x,=O, resulta:

1,=1;m.x:, (25,10)

1.=1,+1,.

lo a l T O S

5i

eje d e rr

me a)

arnente particular

recta. Tomando

(' 'x

.s

-,-,0 1t

girar rorn rorn sistema

un angulo

sirn sirnet et rico.

esta

eje x,, para todas

(25,11)

rotodor.

rotador

dist

libertad

sentldo,

Qu

rotacion (e

el 1c fundamental

mente It=~m

(25,3)), puede

X/uil-X/X.,• '

00 vien.e d aaoo a> a> p6 p6 r u r

origen

hallarnos:

'.

.r,-"-r' -i-a .x

"':0, pot delin [don

distam;ia

'((h-II/,

puma

(25. (25. [2

formula,

conoclendo

Ilk,

fl.

faei!

PrabtemaS !. Hallar

10

se

U~8

m<11ecql~, con$id~,'ntoy.",

triatOmic.

Soluoi6n.

su

atomo,

(m,-m~lit+m,m,ll, +";.m,I~.). e nd nd e

,. tn,.

Si resuttado

sed

d. 10.' .tomos y-3. Y 3

1115

13=D•

I"

di,limol.,

respect'iv:a.;

1d la

Fig. triatomica distancia

2.

omtn omtnuc uc

.1

m,hI!, de

om

sigu siguie ient nteo eo

es

..

hom<>gen"".

b as as e

lo

ri

'1=1.=~,.r'.1,-0

Solucion:

forma

deoI'Tocia).

(e!

b) Solucl6n;

1.=1,=1 1,+I.+I.=2p r"dV).

(.

altura

h.

Solution:

1.=I.=.!i

(R'+~)'

',=if

(x, es 1;.

c.

Ild6n, (/)'+<'),

, . = R ! (t'+",).

'.

("'+/;') b, c).

SoII SoIIlC lCIO IOn, n, EI centre lo

roordenad

ie

sc

.jt.

d. inercia coincide s,

intograciim

x=a€.

ss

.1 centro

los


y-b."

'=0',

I. su

co

;;O+bi+,,=1 ..

tran transf sf rrna rrna

~'+"'+t·=1. obtenernos

=p

=abc}

I' (bl+ (bl+ ),

"I v o u m e

I,

(0 +<'),

res, decir,

(b"'I+CI~·)dtd.,d~=

~'+%I)dxd!ld.=pabo

H.

~ J s o d . edltllbc/3,

1 . = * (a'+c'j,

ob

ia n oj. d e m t c ia

I"

ya,

entre la vert vertic ical al


;ingulo ;ingulo .•

mo

l o r no no -

definitiva

1.=* (a·+b'j. e q" " n a t la grave
un ",Boo

l""

cl ~nguto II

do

e1c

rol.don.

I. perp perp"" ""di dicu cula la

o rm rm o

pend

lo

isIco

la., direcciones de SIIS

Iruada,

al

j.

cent centre re de iner inerci ci

V=Iq,

I"

proy proyec ecci cion ones es

II

QI:,

ba ",glq>'.

Por.

tanto, I..

=-'-2-

IUllc,ion

q>'+2

'il.

ros'<:<+/,

co~·P+I. cos' y) 11"--2-

'1':,

frecuencia ",gl

I "

cos'IX+I.co,·Il+I.cos'Y ',

,",'n pun(o A. extreme

UIl",

v9

a ~h ~ h o W g e ne ne . d ~ longiturlJ $ill.tas O t ~i,a(en-.llilano d~,l? 'fig.ural d.

a' 10 Ilrg Ilrgo' o'

~.t

I. fig. 2 , 1 , donde OA

do

de

un

Oy.r

.25.

Ira

c in in .

o\II o\II j~"c j~"c L. v"lo v"lo~i ~i !. media)

ca

del. del.~, ~,n: n: tro, tro,d¢ d¢

I. mas"

vali,ila).

Y={-sen

X=~<:os
la 'v.ri) 'v.ri),!a ,!a:.C :.C?-i ?-iI(~ I(~~e ~e,se ,se ~o~nl ~o~nl • • lendo 'I' ,I .ligulo J,10B. e ne ne rg rg t ta~,to,

J;

vorill.

in"rel':1e

a rl rl • I.

esta

varilla

ig"'!

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M,=/,Q"

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