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Capitulo 1:
RAZONES
Y
PROPORCIONES
BIMESTRE I : 01 de marzo al 04 de mayo Semana
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Tema Unidad 1: Razones y Proporciones Razones Razón Aritmética y Geométrica
Fecha Lu: 05/03
Aplicaciones
Ju: 08/03
Series de Razones Equivalentes Propiedades - Aplicaciones
Lu: 12/03
Propiedades - Aplicaciones
Ju: 15/03
Proporciones Proporción Aritmética y Geométrica Aplicaciones Proporciones Proporción Aritmética y Geométrica Aplicaciones
Lu: 19/03 Ju: 22/03 Lu: 26/03 Ju: 29/03
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RAZONES 1.DEFINICIÓN: Se llama RAZON o RELACION a la comparación de dos cantidades por sustracción o división. 1.1 RAZON ARITMETICA – Por Diferencia – Consiste en determinar en cuantas unidades una de las cantidades excede a la otra. Así:
1.2 RAZON GEOMETRICA – Por Cociente – Consiste en determinar cuantas veces una de las cantidades contiene a la otra. Así:
consecuente
a – b = r
antecedente
a k b
razón aritmética
antecedente
Significa que: a es mayor que b, en r unidades b es menor que a, en r unidades a excede a b, r unidades b es excedido por a, r unidades GURPO A :
consecuente
Significa que: a contiene a b, k veces b está contenido en a, k veces
Definición Formar la razón aritmética con los siguientes numeros y escribir las frases que la interpretan:
GRUPO A :
1) Para 6 y 2 :
1) Para 6 y 2 :
1o) Datos: 6 y 2
Solución
Definición Formar la razón aritmética con los siguientes numeros y escribir las frases que la interpretan: Solución 1o) Datos:
o
2 ) Razón Aritmética:
6 – 2 = 4 3o)Significa que: 1) 6 es mayor que 2, en 4 unidades 2) 2 es menor que 6, en 4 unidades 3) 6 excede a 2 , 4 unidades 4) 4 es excedido por 6, 2 unidades
2) Para 12 y 3 : Solución
razón geométrica
6y2
2o) Razón Geométrica:
6 3 2 3o)Significa que: 1) 6 contiene a 2, 3 veces 2) 2 está contenido en 6, 3 veces
2) Para 12 y 3 : Solución
3 3) Para 27 y 9 : o
3) Para 27 y 9 : Solución
1 ) Datos:
Solución
1 ) Datos:
4) Para 36 y 6 : 1o) Datos:
o
4) Para 36 y 6 : Solución
1o) Datos:
Solución
4 GRUPO B:
Consolidación de la Definición
Consolidación de la Definición
GRUPO B:
En los siguientes ejercicios colocar y nombrar los ele- En los siguientes ejercicios colocar y nombrar los elementos que faltan: mentos que faltan:
1) 1)
—
= 3
5
2) 2)
—
= 5
7
3) 3)
4)
17 —
— 5
=
=
24
4)
8
5)
—
= 7
5)
5
5 GRUPO C: Enunciados de Razones Geométricas 1)Enunciado: Las edades de A y B están la relación de 2 a 5
2)Enunciado: Las edades de A y B están la relación de 3 a 7
Interpretación: La edad de A es tan grande como 2 La edad de B es tan grande como 5 Simbólicamente:
Se Lee: “a es a b como 2 es a 5”
A 2 B 5
En Particular:
A 2 4 6 8 .... B 5 10 15 20 En General: A 2 B 5
A 2k B 5k
A tiene 2k años B tiene 5k años
Otras formas de enunciar: Las edades de A y B están la razón de 2 a 5 La relación de las edades de A y B es de 2 a 5 La razón de las edades de A y B es de 2 a 5 La relación de las edades de A y B es de
2 5
La razón de las edades de A y B es 2
5 1)Las edades de A y B están la relación de 2 a 5, si actualmente A tiene 30 años, cuantos años tiene B? Solución 1o)Datos:
A 2 B 5 A = 30
A 2k B 5k
2o) Por teoría y dato:
30 2k k 15 3o)Piden. B tiene 75 años
2)Las edades de Juan y Toño están la relación de 3 a 7, si actualmente Toño tiene 42 años, ¿cuántos años tiene Juan? Solución 1o)Datos:
6 3)Enunciado: Las velocidades de dos autos M y P están la relación de 6 a 7 Simbólicamente: Se Lee:
3)Las velocidades de dos autos M y P están la relación de 6 a 7, si la suma de las velocidades de ambos es 390 km/h . ¿A qué velocidad va cada uno?. Solución 1o)Datos:
4)Enunciado: Lo que gana y lo que gasta una persona están en la razón de 11 a 8. Simbólicamente: Se Lee:
4)Lo que gana y lo que gasta una persona están en la razón de 11 a 8. ¿Cuánto gana esa persona si lo que gasta es 960 soles? Solución 1o)Datos:
7 GRUPO D:
Aplicaciones Típicas
1)Las edades de Juan y Rocío están en relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. ¿Qué edad tiene Juan?. T1
Solución
1o)Datos:
2)Las canicas que tienen Pepo y Toño están en la relación de 5 a 2 y juntan las de ambos son 70 canicas. Hallar cuantas canicas tiene cada uno.
1o)Datos:
J 5 R 9
J 5k R 9 k
y
Solución
J + R = 84
2o)Por teoría y dato: J R 84 5k 9k 84 14k 84 k6
3o)Piden: Juan tiene 30 años
3)La razón geométrica de las edades de Elena y Luis es 8/5 y su diferencia es 12. ¿Cuál es la edad de Elena? o
1 )Datos:
Solución
4)Dos números están en la relación de 3 a 7 y la diferencia de ellos es 160. Hallar el menor. T2 o
1 )Datos:
Solución
8 5)La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg. y están en la relación de 7 : 4. ¿Calcule el peso del vehículo menos pesado?
1o)Datos:
Solución
6)La razón entre las velocidades de un tren y de un avión es 3 : 5 si la velocidad del tren es de 400 km/h menos que la del avión. ¿Cuál es la velocidad del avión?.
1o)Datos:
7)La razón de las longitudes de los lados de un rectángulo es 2 : 5 . Si la diferencie entre la longitud de sus lados es 24 cm. ¿Cuánto mide el área del rectángulo?.
Solución
8)La razón de las longitudes de los lados de un rectángu lo es 3 : 4 . Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo?
Solución
Solución
o
o
1 ) Datos-Figura:
1 ) Datos-Figura:
:
9 9)De cada 13 alumnos de un colegio, 3 son mujeres, si del colegio hay 120 varones. ¿Cuántos alumnos son en total?
Solución
1o)Datos:
M 3k M 3 HM 13 H M 13k
10)De cada 10 autos en una playa de estacionamiento, 4 son Toyota y el resto de otras marcas, si en dicha pla ya hay 60 Toyotas. ¿Cuántos autos hay en total?.
1o)Datos: y
Solución
H = 120
2o)Por teoría y dato: H + M = 13k 120 + 3k = 13k 120 = 10k k = 12
M = 36
3o)Piden: Hay en total 156 alumnos
11)Una elección fue ganada por una votación de 5 a 3. ¿Cuántas personas del total están en contra del candidato ganador, si votaron 800 personas?
1o)Datos:
Solución
12)Dos amigos deben repartirse $ 54 000 en la razón de 7 : 2. ¿Cuánto dinero recibe el mayor?
1o)Datos:
Solución
10 13)Mario tiene 38 años y Julio 24 años. ¿Hace cuánto sus edades fueron como 2 a 1?. T1
Solución
1o)Datos:
F:
Pasado x Actual 38 x 38
J:
24 x
14)Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años respectivamente. Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 7 a 6.
1o)Datos:
Solución
24
2o)Por condición del problema: 38 x 2 24 x 1 38 x 2( 24 x ) 38 x 48 2 x 2 x x 48 36 x 12
3o)Piden: Hace 12 años
15)Dentro de cuántos años, la relación de las edades de dos personas será 6/5. Si sus edades actuales son 30 y 20 años. T1
1o)Datos:
Solución
16)Mona tiene 18 años y Jano 12 años. ¿Dentro de cuan tos años sus edades estarán en la relación de 4 a 3 ?.
1o)Datos:
:
Solución
11 GRUPO E:
Problemas Audaces
2)En una granja el número de pollos es al de gallinas como 9 es a 5 siendo su diferencia 120. ¿Cuál es la nueva relación de pollos a gallinas si se mueren 30 gallinas?.
1)En una reunión hay hombres y mujeres. Siendo el número de hombres al número total de personas como 3 es a 8 y la diferencia entre los números de hombres y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres y mujeres si se retiran 33 mujeres?. T2
1o)Datos:
Solución
1o)Datos:
H 3k H 3 HM 8 H M 8k
y
Solución
M — H = 24
2o)Por teoría y dato: M — H = 24
5k — 3k = 24 2k = 24 k = 12 3o)Reemplazo en 1o): H = 36
M = 60
4o)Se retiran 33 mujeres: M = 60 — 33 5o)Piden:
H 60 M 27
M = 27
H 20 M 9 4)En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay 3 mujeres si llegaron 10 hombre y 8 mujeres la nueva relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántos personas habían inicialmente en la reunión?
3)A una fiesta concurrieron 320 personas entre hombres y mujeres, observándose que por cada 5 hombres hay 3 mujeres. Si se retiraron 20 parejas, cuál es la nueva razón entre hombres y mujeres?.
1o)Datos:
Solución
1o)Datos:
:
Solución
12 5)La razón de las cantidades de dinero de Pedro y Juan es 8/17. Si Juan le diera 63 Soles a Pedro ambos tendrían la misma suma de dinero. ¿Cuánto tiene Juan?. T2
Solución
1o)Datos: P 8 J 17
6)Dos números están en la relación de 2 a 7. Agregando a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números. T2
1o)Datos:
Solución
P 8k J 17 k
2o)Variación: Actual J = 17k P = 8k
Le da 30 17k - 30 8k + 30
3o)Consecuencia: P + 63 = J - 63 8k + 63 = 17k — 63k 63 + 63 = 17k — 8k 126 = 9k k = 14 o 4 )Piden: Juan tiene 238 soles
7)La señora Linda le dice a su esposo: “Si me quitára 5 añi 8)El dinero que tiene Andrea es al dinero que de Cristina tos y te los pusiera a tí, ambos tuviéramos las mismas como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas edades”. Sabiendo que sus edades están en la relación tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea? de 4 a 3, ¿cuántos años tiene cada uno?. Solución o
1 )Datos:
Solución
1o)Datos:
:
13 9La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, después de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En qué relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Luis?
Solución
1o)Datos: P 5 L 6
P 5k J 6k
2o)Variación:
1o)Datos:
Solución
+x
Actual 5k 6k
P= L=
10)En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se presentó una moción. En una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra. Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 en contra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión?. No hubo abstenciones
Futuro 5k + x 6k + x
3o)Consecuencia: 5k x 9 6k x 10 10(5k x ) 9(6k x ) 50k 10 x 54k 9x x 4k
4o)Piden: Tiempo transcurrido x 4k Edad inicial Luis 6k 6k T. transcurri do 2 E. inicial Luis 3 11)Un campamento esta dividido en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2 bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuál es la población del campamento?.
Solución
1o)Datos: A 7 B 3
A 7 k B 3k
2o)Variación: +x Original Pasan 60 A = 7k 7k - 60 B = 3k 3k + 60 3o)Consecuencia y 2o) : A 7 k A 3 B 7 B 3k 7 k 60 3k 60 7(7 k 60) 49k 420
3 7 3(3k 60) 9k 180
40k 180 420 k 15 o
4 )Piden:
reemplazo en 1o):
La población es de 150 personas
12)Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman S/. 60, lo que gasta y lo que cobra está e relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5?
1o)Datos:
Solución
14
GRUPOS en CASA GRUPO D:
Aplicaciones Típicas
GRUPO E:
Problemas Audaces
17)Dos números están en relación de 3 a 7 (o forman una razón de 3/7) y su suma es 400. Hallar el mayor de los números.
13)A una fiesta asisten 400 personas entre hombres y mu jeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas, por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron?
18)Dos números están entre sí como 7 es a 12. si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro número debe triplicarse. Hallar el mayor de los 2 números
14)En una academia la relación de hombres y mujeres es 2 : 5, la relación del semestral es 7 : 3 ¿Cuál es la rela ción de los hombres que están en el semestre y el total de alumnos?
19)Un cuadrado tiene 8cm de lado y otro cuadrado 2cm de lado. Calcular la razón aritmética y geométrica de sus lados, de sus perímetros y de sus áreas.
15)La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, des pués de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En que relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Luis?
20)La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 entonces ambos resultados serían iguales. Hallar dichos números 21)El perímetro de un rectángulo es 256 cm y la razón entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcular el área. 22)La razón de las longitudes de los lados de un rectán gulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo?
16)El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido do por dicho empleado? 17)Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se alte re, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los 2 números
23)Las edades de Ana y Julia están en la relación de 2 : 3. ¿Qué edad tiene la mayor, si la sumas de sus edades es 85 años?
18)De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo.
24)La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos la nueva relación es de 3 a 5. Hallar el mayor
19)Un cuadrado tiene 8cm de lado y otro cuadrado 2cm de lado. Calcular la razón aritmética y geométrica de sus lados, de sus perímetros y de sus áreas.
! Yeee ….ya sé RAZONES, QUE VENGAN LAS . . . PROPORCIONES . . .
! Me encanta la Aritmética!
