6. CALCULUL ÎN SECŢIUNI NORMALE LA SLR Mom. încov. Mx şi M y, care acţ. într-o secţ. transv. a unui element aparţinând unei structuri spaţiale, sunt în majoritatea cazurilor însoţite de o forţă axială de compresiune sau de întindere N. Comportamentul secţiunii în diferite stadii de lucru, cu precădere în cel de rupere, depinde în mod substanţial de interdependenţa ce există între eforturile Mx, My şi N. Această legătură este redată de suprafaţa limită de interacţiune Mx - My - N (fig. 6.4),
Fig. 6.4 Interacţiunea eforturilor secţionale la starea limită de rezistenţă
care devine o curbă dacă unul din cele trei eforturi secţionale lipseşte (fig. 6.5).
Fig. 6.5 Curbe de interacţine - modul de atingere a capacităţii portante
Cazurile Cazurile reprezentative reprezentative ale elem. elem. supuse supuse la încov. încov. cu forţă axială de compresiune sunt cele al stâlpilor sau diafragmelor, iar la încov. cu forţă axială de întindere sunt ale tiranţilor şi pereţilor rezervoarelor supraterane. Convenţional, perechea M - N poate fi înlocuită cu o forţă excentrică N, plasată la distanţa e0 = M/N faţă de centrul de greutate al secţiunii, denumită excentricitate (fig. 6.1). Cazul încov. cu forţă axială se mai numeşte solicitare excentrică (compresiune sau întindere excentrică). Atunci când în secţiunile monosimetrice ale stâlpilor există momente încovoietoare Mx şi My după cele două axe principale ale secţiunii, se spune că solicitarea este de compresiune excentrică oblică.
128
Fig. 6.1 Încovoierea cu forţă axială sau solicitarea excentrică
Zona întinsă a elementelor se armează cu o cantitate corespunzătoare de armătură întinsă Aa.. Pe lângă armătura din zona întinsă Aa se foloseşte şi armătură în zona comprimată A 'a (fig. 6.1c), având în vedere o serie de motive, cum ar fi: posibila alternanţă a momentelor încovoietoare, mărirea capacităţii portante a zonei comprimate, ductilizarea secţiunilor/elementelor în cazul acţiunilor seismice etc. Dubla armare poate fi nesimetrică ( A a ≠ A 'a ) sau simetrică ( A a = A 'a ) . De asemenea, armătura poate fi dispusă şi pe conturul secţiunii, nu numai în vecinătatea fibrelor cu deformaţii specifice extreme. Astfel de cazuri sunt cele ale stâlpilor cu secţiune dreptunghiulară supuşi la compresiune excentrică oblică (fig. 6.1d), ale elementelor cu secţiune circulară (fig. 6.1e) sau cu secţiune inelară (fig. 6.1f). Pt. că elem. structurale prezintă imperfecţiuni de execuţie şi pt. că secţ. transv. nu sunt omogene, se produc modificări ale mărimii eforturilor secţionale determinate în raport cu axele teoretice ale structurii. Aceste efecte se introduc în calcul prin intermediul unei excentricităţi adiţionale ea , aleasă în aşa fel încât să conducă la creşterea valorii mom. încovoietor. Mărimea excentricităţii adiţionale în cazul elementelor comprimate este: ea = h/30 dar minim 20 mm (6.1) unde h este dimensiunea secţiunii paralelă cu planul încovoierii. În cazul elem. întinse, rigiditatea acestora este redusă şi din acest motiv influenţa imperfecţiunilor de execuţie şi a neomogenităţilor secţ. este mică, a.î. excentricitatea adiţională nu este luată în considerare (ea = 0). Elem. supuse la încovoiere cu forţă axială de compresiune suferă şi deformaţii de ordinul II, care măresc val. eforturilor obţinute din calculul static de ordinul I. Măsura influenţei efectelor de ordinul II este coeficientul η = M II / M I . Influenţa efectelor de ordinul II se resimte în primul rând asupra mom. încovoietoare din stâlpii cadrelor, dar şi asupra mom. încovoietoare din rigle. Astfel, în calculul elementelor supuse la încovoiere cu forţă axială se ia în considerarea valoarea corectată a momentului încovoietor, dată de relaţiile:
( M+ ea N = )e0 Nc - p e n et lr eu m c eo nmt e p M* = = e0 Nc - p e n et lr eu m î en nt it ne s e M
(6.2a,b)
unde excentricitatea de calcul este:
η ( e0 + ea ) - p e ne tlreumc eo nm t ep e0 c= e0 - p e ne tl reum î ne tni tnes
(6.3a, b)
6.1 STAREA DE DEFORMAŢII Cedarea unei secţiuni supuse la încovoiere cu forţă axială este ilustrată de diagrama deformaţiilor specifice pe înălţimea secţiunii transversale, care trebuie să treacă în mod obligatoriu prin unul din cele trei puncte A, B sau C reprezentate în figura 6.2 - regula celor trei pivoţi. Din punct de vedere grafic, pivoţii reprezintă punctele definite prin deformaţiile specifice limită ale betonului şi armăturii. Se disting trei domenii în funcţie de modul cum se poate produce cedarea secţiunii.
129
ε ε ε ε
= R a / Ea 0 au = 10 /00 0 bc = 2,0 /00 0 bu = 3,5 /00 ap
Fig. 6.2 Diagrama deformaţiilor specifice sub efectul încovoierii cu forţă axială
DOMENIUL 1 – pivot A Acest domeniu este caracterizat de cedarea prin deformaţii excesive a celei mai întinse armăturii Aa, în care s-a atins def. specifică ultimă ε . Efortul unitar în această armătură este σa = R a . Dreapta A-A' reprezintă întinderea centrică. Existenţa unui moment încovoietor produce rotirea secţiunii în jurul pivotului A. Subdomeniul 1a reprezintă întinderea centrică sau cea excentrică cu mică excentricitate. Secţiunea este fisurată în întregime, axa neutră fiind plasată în afara acesteia. Creşterea mom. încovoietor conduce la subdomeniul 1b, care reprezintă întinderea excentrică cu excentricitate mare, sau încovoierea în cazul elementelor cu procente reduse de armare. Deoarece axa neutră este plasată în secţiune, există beton activ, comprimat, care poate ajunge la limita capacităţii portante numai în situaţia limită când secţiunea deformată se suprapune peste linia AB. au
DOMENIUL 2 – pivot B Acest domeniu este caracterizat prin zdrobirea betonului comprimat. Secţiunea se roteşte în jurul pivotului B pe măsura reducerii excentricităţii forţei. Armătura Aa este întinsă, armătura A 'a a atins limita de curgere. Subdomeniul 2a reprezintă încovoierea cu/fără forţă axială, adică încovoierea pură şi reprezintă solicitările excentrice cu excentricitate mare, denumite în continuare: cazul I de compresiune, respectiv întinderea excentrică cu mare excentricitate. Reducerea intensităţii forţei axiale de întindere produce rotirea secţiunii în jurul pivotului B, spre subdomeniul 2b. Creşterea intensităţii forţei axiale de compresiune conduce secţiunea spre dreapta B-B', care reprezintă o situaţie aparte: starea de balans. Această stare este caracterizată prin începerea curgerii armăturii întinse în paralel cu zdrobirea betonului comprimat. Starea de balans reprezintă situaţia ideală de cedare a secţiunii din beton armat. Subdomeniul 2b se atinge după ce secţiunea a depăşit dreapta de balans B-B'. Armătura Aa este încă întinsă, dar nu curge. Axa neutră este plasată în secţiune şi înălţimea zonei comprimate devine tot mai mare pe măsura creşterii intensităţii forţei axiale de compresiune. În subdomeniul 2c toate armăturile sunt comprimate. Axa neutră atinge, la limită, marginea inferioară a secţiunii care devine comprimată în întregime. Subdomeniile 2b şi 2c reprezintă o parte a compresiunii excentrice cu excentricitate mică, denumită în continuare cazul II de compresiune, care se extinde şi în domeniul următor. DOMENIUL 3 – pivot C Axa neutră este plasată în afara secţiunii, care este comprimată în întregime. Pe măsura creşterii intensităţii forţei axiale de compresiune, rotirea secţiunii se produce în jurul pivotului C . Se produce zdrobirea betonului comprimat, ceea ce înseamnă şi cedarea secţiunii. Armătura Aa este comprimată, iar armătura A 'a curge, aşa cum s-a arătat la descrierea domeniului 2. Poziţia pivotului C se obţine din asemănarea triunghiurilor OBO’ şi DBC (fig. 6.2): 6.2 INTERACŢIUNEA EFORTURILOR SECŢIONALE ASOCIATE SLR Atunci când vectorul moment încovoietor, ce însoţeşte forţa axială, nu se suprapune peste o axă principală a secţiunii, elementul este supus unei solicitări excentrice oblice. În acest caz, combinaţia de eforturi N, Mx şi M y (acestea din urmă fiind componentele momentului încovoietor oblic M = M 2x + M 2y , asociate stării limită de rezistenţă, este ilustrată de suprafaţa limită de interacţiune (denumită pe scurt suprafaţă de interacţiune), 130
reprezentată în figura 6.4. Această reprezentare grafică redă variaţia mărimii momentului încovoietor oblic capabil şi a orientării sale în funcţie de forţa axială. Pentru o secţiune de beton armat, caracterizată prin dimensiunile sale şi aria de armătură corespunzătoare, precum şi prin calitatea celor două materiale, se poate trasa o singură suprafaţă de interacţiune. Lipsa unuia din cele trei eforturi poate conduce la: • compresiune exc. dreaptă cu N≠ 0, Mx≠ 0 şi My = 0, caz reprezentat de curba de interacţiune N - Mx; • compresiune exc. dreaptă cu N ≠ 0, Mx = 0 şi My ≠ 0, caz reprezentat de curba de interacţiune N - My; • încovoiere oblică cu N = 0, Mx≠ 0 şi My ≠ 0, caz reprezentat de curba de interacţiune Mx My. Eforturile produse de încărcările exterioare determină un punct de coordonate N, Mx şi My. Dacă acest punct se găseşte în interiorul domeniului limitat de suprafaţa de interacţiune sau, la limită, chiar pe această suprafaţă, atunci secţiunea satisface starea limită de rezistenţă. La verificarea unei secţiuni din beton armat se urmăreşte să se stabilească dacă punctul de coordonate N, Mx şi My se găseşte în interiorul domeniului delimitat de suprafaţa de interacţiune.
Fig. 6.4 Interacţiunea eforturilor secţionale la starea limită de rezistenţă
Această verificare se poate face prin una din următoarele două variante, în figura 6.5 prezentându-se în acest sens compresiunea excentrică dreaptă: • verificarea la încărcări gravitaţionale, când există o creştere proporţională a eforturilor exterioare M şi N, reprezentate prin punctul A, până la atingerea curbei de interacţiune în punctul B (fig.6.5a); aceasta înseamnă e0 =
M N
=
M cap N cap
; condiţia de verificare este N ≤ Ncap pentru e0 = const;
• verificarea la încărcări orizontale, de genul acţiunii seismice, când pentru o forţă axială constantă există o creştere a momentului încovoietor, din punctul A până la atingerea curbei de interacţiune în punctul B (fig. 6.5b); condiţia de verificare este M ≤ Mcap pentru N=const.
131
Fig. 6.5 Curbe de interacţine - modul de atingere a capacităţii portante
La dimensionarea secţiunii din beton armat se urmăreşte stabilirea unei arii de armătură pentru care curba de interacţiune să se aştearnă peste punctul determinat de eforturile ce acţionează în secţiune. Pentru calculul la starea limită de rezistenţă există două metode şi anume: • metoda generală de calcul, care ia în considerare exprimarea explicită a condiţiilor statice (ecuaţiile de echilibru static), geometrice ( ipoteza secţiunilor plane) şi fizice (curbele σ − ε ale materialelor); suprafaţa sau curba de interacţiune nu prezintă discontinuităţi pe tot domeniul de forţă axială cuprins între + N şi -N; • metoda simplificată de calcul, care implică introducerea unor aproximări în vederea rezolvării numai cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru static; Este evident că, pentru o secţiune dată, suprafeţele sau curbele de interacţiune date de cele două metode nu coincid, însă diferenţele care apar nu sunt semnificative pentru calculul practic.
6.3 INFLUENŢA ZVELTEŢEI LA ELEMENTELE COMPRIMATE Sensibilitatea la efectele de ordinul II este indicată de coeficientul de zvelteţe teoretic λ o = lf /i (lf - lungimea de flambaj; i - raza de inerţie, denumită şi rază de giraţie). Pentru stâlpii cu secţiune dreptunghiulară, această sensibilitate este exprimată prin coeficientul de zvelteţe convenţional λ = lf /h, unde h este latura secţ. după direcţia de acţiune a mom. încovoietor, în ipoteza de încărcare considerată. Pentru stâlpii cu secţiune circulară sau inelară, coeficientul de zvelteţe convenţional este λ = lf /d. Efectul zvelteţei elementelor comprimate este creşterea momentelor încovoietoare de ordinul I cu valoarea ∆ M, ajungându-se la valoarea MII = M1 + ∆ M (fig. 6.6). MII =η MI unde coeficientul supraunitar η arată măsura în care cresc momentele încovoietoare în urma def. de ordinul II.
Fig. 6.6 Creşterea momentelor încovoietoare datorită zvelteţii elementelor comprimate
Modul de cedare al unui element depinde de caracteristicile secţiunii (b; h; R c; R a; Aa; A 'a ), redate prin curba de interacţiune M - N, precum şi de zvelteţea elementului. Pentru stâlpul consolă din figura 6.7a, mărirea progresivă a forţei excentrice N până la cedare conduce la creşterea momentului încovoietor în secţiunea de încastrare, după cele trei variante prezentate în figura 6.7b. În cazul stâlpilor scurţi (nezvelţi), efectele de ordinul II sunt neglijabile. În cazul stâlpilor zvelţi, efectele de ordinul II nu pot fi neglijate. 132
a) stâlp consolă
b) diagrama de interacţiune M-N
Fig. 6.7 Cedarea la compresiune excentrică în funcţie de zvelteţea elementului
În cazul stâlpilor foarte zvelţi, cedarea se produce prin pierderea stabilităţii la o forţă axială N ccr , înainte de a se atinge starea limită de rezistenţă. După atingerea valorii N ccr , deformaţiile cresc indefinit sub o forţă axială constantă, ceea ce corespunde fenomenului de flambaj. Capacitatea portantă este dată de forţa critică de pierdere a stabilităţii, adică N ccap = N ccr . Se recomandă evitarea acestei situaţii prin adoptarea unor dimensiuni corespunzătoare ale elementelor. Forţa critică de pierdere a stabilităţii se calculează cu relaţia lui Euler: N cr =
π2 EI
(6.4)
2
l f
Având în vedere faptul că efectele de ordinul II se accentuează pe măsură ce elementul se apropie de stadiul de cedare (curba b), modulul de rigiditate trebuie să reflecte caracteristicile de deformaţie din vecinătatea ruperii. Din acest motiv, modulul de rigiditate trebuie introdus în calcul cu mărimea corespunzătoare stadiului de cedare, pentru care se foloseşte relaţia empirică prevăzută în standardul românesc: EI = ( EI ) conv =
0,15 1 + p t 1 + M ld / M
)
E b I b
(6.5)
E bI b este modulul de rigiditate al secţiunii brute din beton; pt - procentul total de armare al secţiunii din beton; Mld - momentul încovoietor din încărcările de lungă durată, care produc stâlpului o deformată în acelaşi sens cu cea determinantă pentru efectele de ordinul II; M - momentul încovoietor total de ordinul I. Raportul Mld / M din relaţia (6.5) introduce influenţa deformaţiilor de curgere lentă ale betonului asupra efectelor de ordinul II, influenţă care constă în mărirea deformaţiilor de ordinul II. În cazurile curente, se poate lua preliminar (EI)conv ≅ 0,3 E bI b În cazul stâlpilor zvelţi, la care fenomenul de flambaj nu intervine înainte de atingerea stării limită de rezistenţă, forţa critică dată de relaţia lui Euler (6.4) reprezintă numai un parametru pentru trasarea curbei b în vederea determinării punctului β , respectiv pentru calculul lui η cu relaţia (6.6). Coeficientul η poate fi determinat cu relaţia lui Perry - Timoshenko: η=
1 1 − N / N cr
(6.6)
şi ea este riguros valabilă numai dacă diagramele de momente MI şi ∆ M sunt afine, ceea ce pentru un stâlp tip consolă se întâmplă dacă încărcarea orizontală este distribuită sinusoidal pe înălţimea stâlpului. Problema efectelor de ordinul II în structurile de rezistenţă reale este complicată. Din acest punct de vedere, intervine problema structurilor contravântuite şi a elementelor de contravântuire, de care depinde posibilitatea deplasărilor laterale ale nodurilor structurii. În fcţie de valoarea coefic. η obţinută din rel. (6.6), există 3 metode de abordare a efectelor de ordinul II: Metoda A este folosită atunci când η ≤ 1,2, se admite să se efectueze un calcul static de ordinul I, din care rezultă MI (notat M). Pentru luarea în considerare a efectelor zvelteţei se foloseşte relaţia: M* = η (M + eaN) (6.2a) 133
Lungimea de flambaj, se apreciază în funcţie de natura legăturilor stâlpului la capete. Pentru modulul de rigiditate se ia în considerare o valoare constantă în lungul elementului (EI)conv, dată de relaţia (6.5). Metoda B este folosită atunci când 1,2 < η ≤ 1,5. Se cere să se efectueze un calcul static de ordinul II, în care se admite să se considere în mod simplificat un modul de rigiditate constant în lungul elementelor (EI) conv, în conformitate cu relaţia (6.5). Metoda C este folosită atunci când η > 1,5. Se cere să se efectueze un calcul static de ordinul II aprofundat, ţinând seama şi de variaţia modulului EI în lungul elementului. Se ia în considerare atât neliniaritatea geometrică, adică efectele de ordinul II, cât şi neliniaritatea fizică, adică variabilitatea mod. de elasticitate E b cu gradul de solicitare al betonului .Un astfel de calcul nu se poate efectua decât cu ajutorul unor programe de calcul. În privinţa coeficientului η , practica proiectării a relevat următoarele constatări: • la clădiri în cadre etajat rigidizate sau nu, prin diafragme, η =1,05...1,20, η <=1,2 , cazuri rare η >1,2; • la hale industriale parter prefabricate, cu riglele de acoperiş concepute ca articulate pe stâlpi, lungimile de flambaj rezultă mai mari, astfel încât se poate ajunge la 1,2 ≤ η ≤ 1,5; datorită cerinţelor de ductilizare pentru stâlpii participanţi la structurile antiseismice, la care este posibil să apară deformaţii postelastice semnificative, se poate ajunge la o mărire a secţiunilor stâlpilor, astfel că multe cazuri rămân în domeniul η ≤ 1,2; • în cazul dimensionării cu η > 1,5 se obţin consumuri exagerate de armătură; în acest domeniu efectele de ordinul II depind de ipotezele de calcul admise,încât siguranţa este mai greu de controlat prin calcule obişnuite.
STÂLPI: scurţi zvelţi CEDAREA STÂLPILOR: starea limită de rezistenţă
foarte zvelţi flambaj
Fig. 6.8 Corelaţia dintre capacitatea portantă şi zvelteţea elem.comprimate din beton armat
Fig. 6.9 Tipuri de elemente şi structuri
6.5 METODA SIMPLIFICATĂ DE CALCUL Metoda simplificată are în vedere adoptarea unor diagrame de eforturi unitare normale, astfel încât condiţiile de echilibru static singure să fie suficiente pentru rezolvarea calculului. Aceste diagrame de eforturi unitare se bazează pe: 134
• înlocuirea diagramei reale de distribuţie a eforturilor unitare de compresiune în beton (fig. 6.17c) cu o diagramă dreptunghiulară (fig. 6.17d) la care înălţimea zonei comprimate este x = 0,8xr ; această înlocuire reprezintă o bună aproximare atunci când zona comprimată are formă dreptunghiulară şi când cedarea se produce prin zdrobirea betonului comprimat (ε bc = ε bu); erorile care se introduc în alte cazuri (cedarea prin armătura întinsă: ε a = ε au; secţiuni T etc.) oferă totuşi o precizie satisfăcătoare pentru necesităţile proiectării curente; • corelaţia cu starea de deformaţii specifice, deci depinzând de poziţia reală a axei neutre.
Fig. 6.17 Distribuţia eforturilor unitare de compresiune
6.5.1 Situaţii limită de cedare a secţiunii Având în vedere distribuţia deformaţiilor specifice pe înălţimea secţiunii, se pot defini trei situaţii limită pentru secţiunea dublu armată, fără armături intermediare (fig.6.18). Situaţia limită a corespunde cedării simultane a celor două materiale: εa = εau (deformaţii excesive) şi ε b = ε bu (zdrobirea betonului comprimat), când secţiunea deformată uneşte pivoţii A şi B (vezi şi figura 6.2). Poziţia reală a axei neutre rezultă din relaţia: a
x r
=
ε bu ε bu + ε au
h0
= 0,26 h 0
(6.10)
Acest caz este reprezentat de punctul A de pe curba limită de interacţiune, în zona întinderii excentrice cu mare excentricitate (fig. 6.19).
Fig. 6.18 Situaţii limită ale secţiunii normale Situaţia limită b reprezintă cazul în care armătura Aa atinge limita de curgere (ε a = ε ap = R a /E a ) simultan cu cedarea betonului comprimat (ε bc =ε bu), caz în care secţiunea deformată este aşezată peste linia BB’ (vezi şi figura 6.2). Acest caz este reprezentat de punctul de balans B de pe curba limită de interacţiune şi reprezintă soluţia optimă de armare pentru încovoiere şi cazul I de compresiune excentrică. Acest punct delimitează cele două cazuri ale compresiunii excentrice. Poziţia reală a axei neutre este dată de relaţia:
ε bu ε bu h0 = h (6.11) ε bu + ε ap ε bu + R a / E a 0 În diagrama simplificată de eforturi unitare (fig. 6.17d), poziţia axei neutre este dată de relaţia: b
x r
=
x b = 0,8 x br = 0,8
ε bu
ε bu h0 + R a / E a
(6.12) 135
iar valoarea relativă a poziţiei axei neutre este: ξ b =
x b h0
= 0,8
ε bu
ε bu + R a / E a
(6.12a)
În tabelul 6.1 se dau valorile ξ b, care rezultă din relaţia (6.12a). Valorile sunt rotunjite şi iau în considerare faptul că, pentru betoane de calitate superioară sau pentru cazul betonului cu agregate uşoare, ε bu scade faţă de 3,50/00. Situaţia limită c este un caz particular când efortul unitar în armătura A 'a este nul ( σ 'a = 0 . Acest caz reprezintă punctul C de pe curba limită de interacţiune, delimitând întinderea excentrică cu mare excentricitate de cea cu mică excentricitate. Înălţimea reală a zonei comprimate este: c ' x r = a (6.13) Tabelul 6.1 Valorile ξ b Tipul de beton Beton obişnuit Beton cu agregate uşoare
Tipul de armătură OB37 PC52; PC60; STNB OB37 PC52; PC60; STNB
Clasa de beton > Bc35 ≤ Bc35 0,60 0,55 0,55 0,50 0,55 0,50 -
6.5.2 Cazuri de solicitare la încovoiere cu forţă axială În funcţie de natura forţei axiale (compres. sau întindere) şi poziţia axei neutre în raport cu valorile limită c x , x şi x r , tabelul 6.2 prezintă cazurile de solicitare ale secţiunii şi modurile de rupere pe care se bazează stabilirea relaţiilor de calcul în metoda simplificată. Se constată că există trei moduri majore de cedare a secţiunii: • cedarea armăturii Aa când secţiunea este complet fisurată - MOD-ul A; • zdrobirea betonului comprimat şi curgerea armăturii Aa - MOD-ul B; ' • zdrobirea betonului comprimat şi curgerea armăturii A a , în timp ce armătura Aa poate fi întinsă (σ a < R a) sau comprimată (σ a ≤ R a) - MOD-ul C. a r
b r
Fig. 6.19 Modurile de cedare ale secţiunii, reflectate în curba limită de interacţiune 136
Pe lângă punctele A , B şi C , pe curba limită de interacţiune mai sunt reprezentate următoarele cazuri: Tabelul 6.2 Cazurile de solicitare ale secţiunii normale Poziţia axei neutre Starea betonului domeniul
subdom.
x r < x
c r
complet fisurat
Starea armăturii Aa
Starea armăturii A 'a
întinsă, cedează1:
întinsă:
εa = εau
ε'a ≤ εap
întinsă, cedează1:
x r < x
a r
x r = x
c r
x r > x
c r
x r ≤ x
b r
x r ≥ x r
b r
x < x r < h 0
complet fisurat
εa = εau
comprimat:
întinsă, cedează1:
ε b ≤ ε b lim
εa = εau
comprimat, cedează2:
întinsă, curge:
ε b lim = ε bu
εau ≥ εa ≥ εap
nesolicitată: ε'a = 0
Modul de solicitare al secţiunii
MOD A
• ÎNTIND. EXC. CU
EXC. MICA
comprimată:
ε'a ≤ εap comprimată:
ε'a ≤ εap
MOD B
• INTIND. EXC. CU
EXC.MARE • INCOV.(N≅ O) • COMPR. CAZUL I
comprimat, cedează2:
întinsă:
ε b lim = ε bu
εa < εap
comprimată, curge:
comprimat, cedează2:
nesolicitată: σa = 0
comprimată, curge:
• COMPR.
εa ≥ εap
CAZUL II
comprimată:
comprimată, curge:
a
x r = h 0
ε b lim = ε bu
x r > h 0
comprimat, cedează2: 2 0 / 00 ≤ ε b lim < ε bu
εa < εap
εa ≥ εap MOD C
εa ≥ εap
• efort unitar normal nul în fibra inferioară a secţiunii - punctul D (linia întreruptă d din figura 6.18); această situaţie se numeşte decompresiunea fibrei inferioare; • efort unitar normal nul în armătura Aa - punctul D0 (xr = h0 ); • compr.centrică - punctul E (linia întreruptă e din figura 6.18), care este un caz convenţional datorită efectului exc. adiţionale ea; din acest motiv punctul E este înlocuit cu E' care reprezintă situaţia reală; • întinderea centrică - punctul F NOTĂ: 1 - cedarea se produce prin deformaţii excesive: σ a = R a; 2 - cedarea se produce prin zdrobirea betonului comprimat: σ b = R c
6.5.3 Eforturile unitare în armături Ef. unitare în armături depind de poziţia axei neutre în secţiune, precum şi de poziţia arm. în secţiune.
6.5.3.1 Efortul unitar în armătura Aa În MOD-ul A de cedare efortul unitar în armătură este σ a = R a (întindere), deoarece ε a = ε au (tab. 6.2). b MOD-ul B de cedare este caracterizat prin condiţia x r ≤ x r (sau 1,25≤ l,25x b) care prin împărţire la h0 se ξ ≤ ξ b pune sub forma: (6.14) Deformaţia specifică în armătura Aa este (fig. 6.20a): h − x r h − 1, 25 x 0,8 − ξ ε a = ε bu 0 = ε bu 0 = ε bu (6.15) x r 1,25 x ξ Din relaţia (6.12a) se obţine: 137
ξ b ξ b R ⋅ a = ε ap 0,8 − ξ b E a 0,8 − ξ b ξ 0,8 − ξ ε a = b ⋅ ε ξ 0,8 − ξ b ap ε bu =
(6.12b) (6.15a)
Deoarece ξ ≤ ξ b , conform relaţiei (6.14), este evident că raportul ξ b / ξ ≥ 1 ca şi raportul ( 0,8 − ξ ) / ( 0,8 − ξ b ) ≥ 1 , motiv pentru care εa ≥ εap şi deci σa = R a . b
MOD-ul C de cedare este caracterizat prin condiţia x r > x r ,
Aa putând să fie întinsă sau comprimată. Armătura Aa este întinsă atunci când axa neutră se găseşte în secţiune (fig. 6.20a) astfel încât şi în acest caz deformaţia specifică în armătură se calculează cu relaţia (6.15a), iar efortul unitar de întindere este: ξ 0,8 − ξ σ a = b ⋅ R a (6.16) ξ 0,8 − ξ b Această relaţie este valabilă pentru x br ≤ x r < h 0 (sau 1,25 x b ≤ 1,25x < h0), care se pune sub forma: ξ b < ξ ≤ 0,8 (6.17) Armătura Aa este comprimată atunci când axa neutră se găseşte pe grosimea stratului de acoperire sau în afara secţiunii. Deformaţia specifică de compresiune rezultă din relaţia (fig. 6.20b): ε a = ε bc
x r − h 0 x r − w s
(6.18)
iar efortul unitar se obţine prin înmulţirea relaţiei (6.18) cu modulul de elasticitate al armăturii.
Fig. 6.20 Determinarea deformaţiilor specifice în armături
Din fig. 6.19 se constată că mărirea forţei axiale peste valoarea corespunzătoare punctului D0 (care corespunde la xr = h0) conduce la o variaţie cvasi-liniară a curbei de interacţiune, ceea ce presupune o legătură liniară între forţa axială şi efortul unitar de compresiune. Pe de altă parte, xr este direct proporţional cu forţa axială. Pe baza celor de mai sus, se acceptă o variaţie liniară pentru ef. unitar de compresiune σ a, conform relaţiei: σa = (aξ + b)R a (6.20) unde ξ =
x h0
=
0,8x r h0
Coeficienţii a şi b se determină din următoarele condiţii: • pentru ξ = 0,8, adică xr = h0, efortul unitar este σ a = 0; • pentru ξ = 1, adică xr = 1,25h0, se acceptă că ε a ≥ ε ap, deci σ a = R a Sistemul de ecuaţii care permite determinarea coeficienţilor a şi b este: (a ⋅ 0,8 + b) = 0 (a ⋅ 1,0 + b) = 1,0 138
Rezolvarea sistemului de mai sus conduce la a = 5, respectiv b = - 4, astfel încât efortul unitar de compresiune în armătura Aa este dat de relaţia: σ a = ( 5ξ − 4 ) R a ≤ R a (6.21) Această relaţie este valabilă pentru xr > h0 (sau 1,25x > h0), care se pune sub forma: ξ > 0,8 (6.22)
6.5.3.2 Efortul unitar în armătura A 'a Când secţiune se află în MOD-ul A de cedare, se acceptă că efortul unitar de întindere este σ'a = R a În cazul MOD-ului B de cedare, armătura A 'a este comprimată în permanenţă, deoarece x r > x cr (fig. 6.18), deformaţia specifică fiind:
ε = ε bu ' a
x r − a
'
= ε bu
x r
Având în vedere expresia lui ε ' a
ε =
1,25 x − a ' 1,25 x
⋅
1,25x − a
'
(6.23)
1,25x bu
dată de relaţia (6.12a) se obţine:
ξ b εap 0,8 − ξ b
(6.23a)
Armătura comprimată A 'a curge ( σ 'a = R a ) atunci când ε'a ≥ εap . Relaţia (6.23a) permite determinarea corelaţiei dintre a' şi x pentru care armătura A 'a curge, punând condiţia: 1,25x − a ' 1,25x
⋅
ξ b εap ≥ εap 0,8 − ξ b
(6.24)
Din relaţia (6.24) rezultă că armătura A 'a curge atunci când: x≥
0,8ξ b 2ξ b
− 0,8
a'
(6.24a)
care conduce la : x ≥ 1,2 a’ pentru ξ b = 0,60, x≥ 1,47 a’ pentru ξ b=0,55, respectiv x ≥ 2 a’ pentru ξ b = 0,50. STAS 10107/0-90 prevede, în mod acoperitor, că armătura comprimată curge atunci când x ≥ 2a’. Efortul unitar în armătura comprimată A 'a se ia în considerare după cum urmează: • •
σ'a = R a dacă x ≥ 2a ' ; σ'a < R a dacă x < 2a ' ; se admite simplificarea că rezultanta globală a compresiunilor din beton şi
armătură ( N b + N 'a ) este concentrată la nivelul centrul de greutate al arm. A 'a (N b este coliniar cu N 'a ). În cazul MOD-ului C de cedare, arm. comprimată A 'a curge , deoarece ε 'a ≥ ε bc = 20 / 00 > εap (fig. 6.20b); ε ap =R a/Ea are următoarele valori: 1,000/00 –pt. OB37, 1,430/00 – pt. PC52, respectiv 1,67 0/00 - pentru PC60.
6.5.3.3 Efortul unitar în armătura intermediară Aai Când secţ. este fisurată în întregime se acceptă că ef. unitar în Aai este întotdeauna σ ai = R a (întindere). Axa neutră (AN) este plasată în secţiune când xr ≤ h0 (1,25x ≤ h0 sau ξ ≤ 0,8), iar def. specifică se obţine: ± ( 0,8h i / h 0 − ξ ) ± ( h i − x r ) ± ( h i − 1,25x ) ε ai = ε bu = ε bu = ε bu ξ x r 1,25x şi având în vedere că σ ai = ε aiEa, precum şi expresia lui ε bu din relaţia (6.12a), se obţine: ξ ± ( 0,8h i / h 0 − ξ ) R a ≤ R a σ ai = b ⋅ (6.26) 0,8 − ξ b ξ Semnul (+) se ia în considerare pt. arm. plasate sub AN, iar semnul (-) pt. cele plasate deasupra AN. Se consideră că secţiunea este comprimată în întregime atunci când xr > h0 (l,25x>h0 sau ξ >0,8), iar deformaţia specifică şi efortul unitar în armătura Aai se determină cu relaţiile (fig. 6.20b): 139
ε ai = ε bc
x r − h i x − hi , respectiv σ ai = ε bc r Ea x r − w s x r − w s
Acceptând ipoteza simplificatoare a liniarităţii dintre σ ai şi ξ (luată în considerare la punctul 6.5.3.1 pentru MOD-ul C de cedare) se ajunge în final la relaţia de mai jos, care este prevăzută în standard STAS 10107/0-90:
σ ai =
ξ b h i ( ) 5 1 2 , 72 2 , 15 − ξ − + ξ R a 0,8 − ξ b h 0
(compresiune)
(6.27)
6.5.4 Relaţii generale de calcul pentru secţiunile monosimetrice În cazul secţiunilor monosimetriee, la care planul de încovoiere este situat în axul de simetrie, se dispune de două ecuaţii de echilibru static: • ecuaţia de proiecţie după axa longitudinală a barei (Σ N = 0); • ecuaţia de momente în raport cu o axă oarecare ( Σ M = 0); de preferinţă, se aleg anumite axe în funcţie de oportunităţile pe care acestea le oferă. Verificarea secţiunii constă în determinarea capacităţii portante (Mcap sau Ncap) în funcţie de efortul secţional cunoscut (N sau M). În mod curent se urmăreşte determinarea momentului încovoietor capabil Mcap în funcţie de forţa axială N. Ecuaţia de proiecţii este folosită pentru determinarea poziţiei axei neutre, iar ecuaţia de momente, pentru determinarea capacităţii portante Mcap. Secţiunea satisface condiţia de rezistenţă dacă M*≤ Mcap, momentul încovoietor M fiind corectat cu efectul excentricităţii adiţionale ea şi cu cel al deformaţiilor de ordinul II, conform relaţiei (6.2a,b). În cazul întinderii excentrice cu excentricitate mică se urmăreşte determinarea forţei axiale capabile Ncap pentru o excentricitate dată. Verificarea secţiunii constă în satisfacerea condiţiei N ≤ Ncap . Proiectarea secţiunii se poate face numai pentru anumite forme particulare de secţiuni transversale (dreptunghiulară, T, circulară, inelară) şi constă de regulă, în determinarea ariei de armătură. În general, se poate aprecia că există două necunoscute: poziţia axei neutre şi aria de armătură (sau procentul de armare). Sistemul de ecuaţii, format din Σ N = 0 şi Σ M = 0, permite rezolvarea acestei probleme, prin utilizarea unor tabele, diagrame sau relaţii specifice.
6.5.4.1 Întindere excentrică cu excentricitate mică (MOD-ul A de solicitare al secţiunii) Secţiunea este fisurată în întregime şi în toate armăturile efortul unitar este R a; din acest motiv, armăturile se pot grupa în două arii echivalente, plasate deasupra şi dedesubtul axei perpendiculare pe planul de încovoiere.
a) distribuţia reală a armăturilor
b) concentrarea armăturilor c) diagrama de eforturi
Fig. 6.21 Secţiune întinsă excentric cu excentricitate mică
Se scrie câte o ecuaţie de mom. în raport cu axa ce trece prin C. de greutate al fc. armături echivalente: M + N(x G - a ' ) - N a h a = 0 (6.28) M - N(h 0 - x G ) + N 'a h a
N cap1 =
N a h a − M xG − a'
=0
, respectiv N cap 2 =
(6.29) M + N 'a h a h0 − xG
+ N' aha (6.28a; 6.29a)
Se alege Ncap = min (Ncap1, Ncap2). 140
6.5.4.2. Încovoiere, cazul I de compres. şi întindere excentrică cu excentricitate mare (MOD-ul B) Pentru ca secţiunea să cedeze prin curgerea armăturii întinse, urmată de zdrobirea betonului comprimat, trebuie respectată condiţia: ξ=
x h0
≤ ξ b
(6.30)
Nesatisfacerea condiţiei (6.30) înseamnă: • pentru elementele încovoiate: intrarea în domeniul betonului supraarmat, la care armătura întinsă nu curge (σ a < R a) în momentul zdrobirii betonului comprimat; • pentru elementele comprimate: trecerea la cazul II de compresiune. Elementele structurale care participă la preluarea acţiunilor seismice şi care capătă deformaţii postelastice semnificative necesită asigurarea unei ductilităţi corespunzătoare, în acest scop se pune condiţia (6.31), mai restrictivă decât condiţia (6.30) şi anume: ξ ≤ ξlim (6.31) ξ lim = 0,25 - la extremităţile riglelor de cadru; ξ lim = 0,40 - la extremităţile stâlpilor; această valoare poate fi depăşită până la ξ ≤ ξ b, cu condiţia majorării arm. transv. conform tab. 13.11 şi a majorării cu 25% a lungimii pe care pot apărea deformaţiile postelastice.
Fig. 6.22 Secţiune supusă la încovoiere, cazul I de compresiune, sau întindere excentrică cu excentricitate mare
Poziţia axei neutre rezultă din ecuaţia de proiecţii: ± N - N b + N a - N 'a + N ai = ± N - A b R c + (Aa - A 'a )R a + ∑ A ai σ ai = 0 (6.32) Scrierea ecuaţiei de momente depinde de poziţia axei neutre. Astfel dacă: ’ x ≥ 2a , atunci momentul încovoietor capabil rezultă din ecuaţia de momente în raport cu armătura Aa: ' M* ± N(h 0 - x G ) - N b z - N a h a + ∑ N ai (h 0 - h i ) = 0 (6.33) ' M cap = A b R c z + A a R a h a − ∑ A ai σai ( h 0 − h i ) N( h 0 − x G ) (6.33a) x < 2a’, când armătura comprimată nu curge şi se admite că rezultanta compresiunilor din beton şi din această armătură acţionează la nivelul armăturii A 'a ; în această situaţie momentul încovoietor capabil rezultă din
ecuaţia de momente în raport cu A 'a : M * N(x G - a ) - N a h a - ∑ N ai (h i - a ) = 0 '
= A a R a h a + ∑ Aai σai
'
(6.34)
− a ' ± N x G − a '
(6.34a) În relaţiile (6.32), (6.33) şi (6.34), efortul unitar σ ai se determină conform relaţiei (6.26) şi se introduce ca valoare pozitivă pentru întindere. În cazul forţei axiale N, semnul superior se ia în cazul compresiunii. M cap
hi
6.5.4.3 Cazul II de compresiune (MOD-ul C de solicitare al secţiunii) Cedarea secţiunii prin zdrobirea betonului comprimat, fără curgerea armăturii Aa, are loc atunci când: ξ=
x h0
> ξ b
(6.35) 141
Poziţia axei neutre rezultă din ecuaţia de proiecţii: N - N b + N a - N 'a + N ai = N - A b R c + A a σ a - A 'a R a + ∑ A ai σ ai = 0
(6.36) Momentul încovoietor capabil rezultă din ecuaţia de momente în raport cu armătura Aa: M* + N(h 0 - x G ) - N b z - N 'a h a M cap
+ ∑ N ai ( h 0 − h i ) = 0
= A b R c z + A 'a R a h a − ∑ A aiσai ( h 0 − h i ) − N( h 0 − x G )
(6.37) (6.37a)
Eforturile unitare σ a şi σ ai se determină după cum urmează: - în armătura Aa: - din relaţia (6.16) dacă ξ b < ξ ≤ 0,8 σ a - din relaţia (6.22) dacă ξ > 0,8 - în armătura Aai, - din relaţia (6.26) dacă ξ ≤ 0,8 σ ai - din relaţia (6.27b) dacă ξ > 0,8 şi se introduc cu valoare pozitivă pentru întindere. Momentul încovoietor capabil al unei secţiuni armate numai cu armăturile Aa şi A 'a , pentru cazul II de compresiune, poate fi obţinut pe baza acceptării curbei limită de interacţiune ca fiind o dreaptă (fig. 6.23), ipoteză suficient de exactă pentru calculele practice. Relaţia de calcul, stabilită pe baza asemănării triunghiurilor ENN1 şi EN bB este: M cap N 0c
= M b
N 0c − N N 0c − N b
(6.38)
= A b R c + (A a + A 'a )R a este efortul capabil pentru cazul convenţional al compresiunii centrice;
M b şi N b sunt obţinute din relaţiile (6.32) şi (6.33a), pentru x = x b = ξ bh0 şi σ ai = 0. Important este faptul că acest procedeu este acoperitor, deoarece punctul N1, determinat de eforturile N şi Mcap se află în interiorul curbei de interacţiune reale (fig. 6.23). Pentru MOD-urile B şi C de solicitare, secţiunea satisface starea limită de rezistenţă dacă: M* ≤ Mcap unde M* se determină cu relaţia (6.2).
Fig. 6.23 Cazul II de compresiune - curba de interacţiune simplificată
142
143
