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Factorización de Matriz
Considere un sistema de ecuaci ecuación ón lineal lineales es de la forma Ax =
Productos de otras matrices. Cualquier representación de una matriz matriz como como produc producto to de dos o más matrices
Donde A es una Matriz de n x n.
Factorización LU
%ea A una matriz cuadrada. Una factorizac factorización ión de A como A = LU& donde L es trian$ trian$ula ularr inferi inferior or unitaria # U es trian$ular superior.
%i A es una matriz cuadrada que puede reducirse a forma escalonada sin usar intercamios ios de ren$lón lón& entonces A tiene una
Cada uno de dic!os sistemas lineales tiene solución directa porque las matrices coe"ciente L # U son amas trian$ulares
0l $ran matemático matemático in$l2s Alan M.3urin$ 4)*)56)*7+8
'ntrodu(o 'ntrodu(o la factorizac factorización ión LU en )*+,& en un ensa#o titulado titulado -oundin$/o -oundin$/off ff 0rrors 0rrors en Matrix Processes1
%ur$e de permutar los ren$lones de una Matriz Permutación
Factorización P 3 LU
A!ora se explorará el prolema de adaptar la factorización LU para mane(ar casos donde son necesarios los intercamios de ren$lón durante la eliminación $aussiana.
3
Factorización P LU de A
3oda matriz cuadrada tiene una factorización P3 LU
matriz identidad en cierto orden
%ea A una matriz cuadrada. Una factorización de A como A = P3LU& donde P es una matriz permutación& L es trian$ular inferior unitaria # U es trian$ular superior.
). 0l 9ector cero : está en %. 5. %i u # 9 están en %& entonces u ; 9 está en %. 4% es cerrado a(o la suma8. 3. %i u está en % # c es un escalar&entonces cu está en %.4% es cerrado a(o la multiplicación por un
Un suespacio de n es cualquier colección % de 9ectores en n tal que<
%ea P un plano a tra92s del ori$en con 9ectores directores 9) # 95. Por tanto& P = $en 49)& 958.0l 9ector cero : está en P& pues : = :9) ; :95. A!ora sean
%uespacios
3oda recta # plano a tra92s del ori$en en es un suespacio de Dos 9ectores en P. 0ntonces
Por tanto& u ; 9 es una cominación lineal de 9) # 95& # por tanto está en P. A!ora sea c un escalar. 0ntonces
%ea A una matriz de m x n. Asociados con matrices
). 0l espacio ren$lón de A es el suespacio ren$lón4A8 de n $enerado por los ren$lones de A. 2. 0l espacio columna de A es el suespacio col4A8 de m
$enerado por las columnas de A.
La relación entre operaciones elementales con ren$lones # el espacio ren$lón se resumen.
0l con(unto de soluciones de un sistema !omo 2neo de ecuaciones
%ea A una matriz de m x n.
%ea A una matriz cu#as entradas son nmeros reales.
%ea > cualquier matriz que es equi9alente por ren$lones a una matriz A. 0ntonces ren$lón 4>8 =
%ea A una matriz de m x n # sea ? el con(unto de soluciones del sistema lineal !omo$2neo Ax = :. 0ntonces ? es un suespacio de n.
El espacio nulo de A es el suespacio de n que consiste de las soluciones del sistema lineal !omo$2neo Ax=:. %e denota mediante nul4A8.
Para cualquier sistema de ecuaciones lineales Ax = & exactamente uno de los si$uientes es 9erdadero< a. ?o !a# solución. . @a# una solución nica. c. @a# un nmero infinito de soluciones.
%ea % un suespacio de n. 0ntonces cualesquiera dos ases para % tienen el mismo nmero de 9ectores.
3eorema de la >ase
0s un con(unto de 9ectores en % que n
Una ase para un suespacio % de .
). Benera % 5. 0s linealmente independiente.
>ases
Para el espacio ren$lón& el espacio columna # el espacio nulo de una matriz A. ). 0ncuentre la forma escalonada reducida por ren$lones de A. Procedimiento efecti9o para
más encontrar
5. Use los 9ectores ren$lón distintos de cero de 4que conten$an los ) pi9ote8 para formar una ase para ren$lón4A8. . Use los 9ectores columna de A que correspondan a las columnas de que conten$an los ) pi9ote 4las columnas pi9ote8 para formar una ase para col4A8. +. esuel9a para las 9ariales pi9ote de x = : en t2rminos de las 9ariales lires& i$uale las 9ariales lires a parámetros& sustitu#a de 9uelta en x # escria el resultado como una cominación lineal de f 9ectores 4donde f es el nmero de
%i % es un suespacio de n& entonces el nmero de 9ectores en una ase para % se llama la dimensión de %. Los espacios ren$lón # columna de una matriz A tienen la misma dimensión.
Denotación dim %.
0s la dimensión de sus espacios ren$lón # columna # se denota mediante ran$o4A8.
0l ran de una matriz A
Para cualquier matriz A& ran 4A 38 = ran 4A8
La
nulidad
de
0s la dimensión de su espacio nulo # se denota por nulidad4A8.
una
%i A es una matriz de m x n& entonces
Dimensión # an
3eorema del ran
). ran 4A8 ; nulidad4A8 = n 5. ran4A3A8 = ran4A8 . La matriz A3 A de n x n es in9ertile si # sólo si ran4A8 = n. %ea A una matriz de n x n. Los si$uientes enunciados son equi9alentes<
3eorema fundamental de las matrices in9ertiles
a8 8 c8 d8 e8 f8 $8 !8 i8 (8 8 l8
A es in9ertile. Ax = tiene una solución nica para todo en n. Ax = : tiene sólo la solución tri9ial. La forma escalonada reducida por ren$lones de A es ' n. A es un producto de matrices elementales. ran4A8 = n nulidad4A8 = : Los 9ectores columna de A son linealmente independientes. Los 9ectores columna de A $eneran n. Los 9ectores columna de A forman una ase para n. Los 9ectores ren$lón de A son linealmente independientes. Los 9ectores ren$lón de A $eneran n. m) Los 9ectores ren$lón de A forman una ase para n.
