CUADRO COMPARATIVO DE LOS MÉTODOS
MÉTODO DE BISECCION
MÉTODO REGLA FALSA
MÉTODO DE NEWTON -RAPHSON
MÉTODO ITERATIVO DE PUNTO FIJO
Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear. El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro asegurar la convergencia.
Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:
En la n ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.
Se trata de encontrar la raíz de una ecuación. La ecuación tiene la forma f(x), es decir, es una función de x. Además, f(x) está definida en el intervalo [a, b].
El método de la interpolación lineal inversa, requiere varias condiciones:
1.- f(a)*f(b) < 0
Es decir, que el producto de la función de x, f(x), evaluada en a, f(a), multiplicada por la función de x, f(x), evaluada en b, f(b), sea negativo (menor a cero).
2.- Que la función f(x) se aproxime por otra función L(x).
f(x) es aproximadamente igual a L(x)
Por tanto encontramos un punto falso c
Donde C es la raíz que se anda buscando Después se calcula f(C) para ver su valor. Si se obtiene cero, no se debe avanzar más, pero gen caso de no ser así, se realiza lo siguiente:
Se calcula f(C)*f(a) si este producto es menor a cero (negativo), entonces ahora C equivaldrá a b, y se repite el cálculo para encontrar una nueva C.
El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:
La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación a r tal que r=x+h. Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos:
En donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir hes pequeña), es razonable ignorar el término O(h2):
0 = f(x) + hf'(x)
(3)
Por lo que obtenemos la siguiente expresión para h:
A partir de la ecuación y teniendo en cuenta que r=x+h es fácil derivar la primera ecuación.
El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x) siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
Consiste en obtener una raíz o solución, de una ecuación de la forma f(x) = 0, la misma que se debe transformar es una ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que al reordenar la ecuación f(x) = 0, "x" se ubique al lado izquierdo de la ecuación de manera que se defina: x= g(x).
