Cuadernillo de Geometría Analítica (M3)

INTRODUCCIÓN

Este “Cuadernillo de Apuntes” de Geometría Analítica, se elaboró bajo la aprobación y supervisión de la Academia de Matemáticas del C.E..i.s. !o. "#, con la $inalidad de cont contar ar con con un unaa %e %err rram amie ient ntaa de ap apoy oyoo didá didáct ctic icoo y acad acad&mi &mico co,, tant tantoo pa para ra los los maes maestr tros os como como pa para ra los los alum alumno nos, s, pa para ra 'u 'uee en a' a'u& u&llllos os re$o re$orc rcee la $lui $luide de(( y se)uimiento de la e*posición y en &stos se mejore su )rado )ra do de compre comprensi nsión ón y entend entendimi imient ento. o. El con conten tenido ido concuerda en tiempo y e*tensión con el pro)rama de estudios en vi)or. +u desarrollo consta de una breve !-/0CC !-/0CC1! 1! y un 23E4 23E4 5- 0!/A/, 0!/A/, cada cada objetivo está trabajado en $orma sencilla y clara. ncluyen dibujos y es'uemas así como al)unos ejemplos resueltos. Cada Cada objeti objetivo, vo, con contie tiene ne su sec secció ciónn de Autoev Autoevalu aluaci ación ón con$ormada por un problemario para ser solucionado por el alu alumno y con$irme lo aprendido en clase. 6a pro$undidad y $orma en 'ue están tratados los temas en este trabajo, 'uedan a disposición del análisis y crítica constructiva de los demás maestros de la materia, 'ue con sus comentarios y su)erencias le a7adirán un valor acad&mico adicional en bene$icio de nuestros alumnos, 'ue representan el motivo y objetivo ob jetivo de nuestra labor.

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OBJETIVO

5oner al alcance de los alumnos del sistema escolari(ado y abierto 'ue inician su preparación en el apasionante mundo de las matemáticas, matemáticas, una %erramient %erramientaa de consulta de $ácil comprensión y con con orientación didáctica didáctica orientada %acia la ad'uisición de conocimientos con posibilidades de aplicación en el medio laboral.

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FUNDAMENTACIÓN

5ara coadyuvar en el constante es$uer(o para mejorar la calidad de la capacitación 'ue se o$rece al alumnado de nuestros centros de estudios, es absolutamente necesario 'ue los maestros de cada área, participen con un alto sentid sen tidoo de respon responsab sabili ilidad dad aca acad&m d&mica ica y comprom compromiso iso soci social al.. 0na 0na de las las vari varias as $orm $ormas as de pa part rtic icip ipar ar con con responsabili biliddad acad&mica, es la de plasmar conoci con ocimie miento ntoss y e*p e*peri erienc encias ias de apr aprend endi(a i(aje je con alto alto cont conten enid idoo didá didáct ctic ico, o, en escr escrititos os senc sencilillo loss 'u 'uee se conv convie iert rtan an en vali valios osas as %e %err rram amie ient ntas as de cons consul ulta ta y orientación orientación para nuestros nuestros alumnos. alumnos. Estos escritos deben ser verdaderas )uías para la mejor comprensión de los cono conoci cimi mien ento toss rele releva vant ntes es 'u 'uee de debe benn ad ad'u 'uiriririrse se y puntuali(ar las %abilidades 'ue deben ser desarrolladas para ejecutare con cierto )rado de destre(a. 6a actuación del maestro es un compromiso social, estiba en tener conciencia de la importancia de la labor 'ue estamos desemp des empe7an e7ando do al $ormar $ormar -ecurs -ecursos os 8umano 8umanoss 'ue al e) e)re reso so de debe benn cont contar ar con con cono conoci cimi mien ento tos, s, acti actitu tude dess y %abilidades muy bien de$inidas 'ue deben $acilitarles su incorporaci incorporación ón a la población población econó económicam micamente ente activa9 5or lo anterior, los cuadernillos de apuntes elaborados por los maestros, toman sin)ular importancia, por la pertinencia y con)ruencia con la 'ue son reali(ados.

UNIDAD I: SISTEMA DE EJES COORDENADOS. COORDENADOS. 3|Página

INTRODUCCIÓN: En esta unidad se muestra el manejo de un sistema de coordenadas

cartesianas, la representación de puntos en el plano y el cálculo de la distancia entre puntos. +e anali(a la división de un se)mento en una ra(ón dada y en su punto medio. +e calcula el área de un polí)ono cual'uiera en $unción de las coordenadas de sus v&rtices, reali(ando las representaciones )rá$icas correspondientes.

OBJETIVO DE LA UNIDAD.

-esolverá problemas teóricos del sistemas de ejes coordenados, mediante la investi)ación de )rá$icas en los 'ue se representen coordenadas cartesianas de un punto y lu)ares )eom&tricos 'ue abar'uen situaciones prácticas de su entorno $ísico, para $amiliari(arse con la traducción del len)uaje )rá$ico al len)uaje verbal: asociando la aplicación de los conceptos básicos como distancia, división de un se)mento en una ra(ón dada y área de polí)onos en la construcción de modelos matemáticos y aplicará las $órmulas correspondientes en la solución de al)unos problemas 'ue $aciliten el planteamiento de la situación: contribuyendo a $avorecer un ambiente escolar, colaborativo y responsable

El alumno:

1.1 SISTEMA DE COORDENADAS COORDENADAS CARTESIANAS. 

+istema de coordenadas cartesianas

Este sistema tambi&n se denomina cartesiano en %onor a -en& /escartes, por %aber sido 'uien lo empleara en la unión del ál)ebra y la )eometría plana para dar lu)ar a la )eometría analítica. Sistema de coode!adas catesia!o: Este sistema está $ormado por dos rectas o

ejes, perpendiculares entre sí, )eneralmente un eje es horizontal y el otro vertical , 'ue al interceptarse $orman ángulos rectos y dividen al plano donde están contenidos en c"ato partes llamados cuadrantes ;, ,  y 4<, las cuales se enumeran en el

sentido contrario de las manecilla del reloj, como se muestra en la =i)ura9

Considerando 'ue cada eje es una recta num&rica 'ue contienen todos los n>meros reales en $orma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo a arriba en el eje vertical , es decir todos los n>meros positivos están a la derecha y ai#a del origen ;< y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen. Al eje 4|Página

horizontal se le llama eje de las X o de las Abscisas, y al eje vertical de las Y o de las Ordenadas. 5ara la ubicación de un punto cual'uiera en el plano se consideran las distancias a los ejes, 'ue son sus Coordenadas. 6a distancia de un punto al eje de las Y es su Abscisa y la distancia al eje de las X es su ordenada. 6as Abscisas se representan por la letra X y las Ordenadas por la letra Y , es decir 'ue las coordenadas de un punto P son P(X, Y) , las cuales se anotan como parejas

ordenadas dentro de un par&ntesis y separadas por una coma. 6as coordenadas del ori)en  son ;?,?<. 1.$ LOCALI%ACIÓN LOCALI%ACIÓN DE &UNTOS &UNTOS EN EL &LANO &LANO

Cuando nos encontramos en una )ran ciudad, podemos locali(ar cual'uier es'uina si contamos con dos datos9 el nombre de la calle y el nombre de la avenida 'ue cru(a. En un salón de clases se puede locali(ar cual'uier asiento, con tan sólo dos datos9 el n>mero de la $ila y el n>mero de la %ilera. 6os anteriores son ejemplos de la locali(ación de puntos en el plano coordenado. -epresentación )rá$ica de los puntos. En el sistema de coordenadas rectan)ulares %ay una relación 'ue establece 'ue a cada par de n>meros reales ;*, y< le corresponde un punto de$inido del plano, y a cada punto del plano le corresponde un par >nico de coordenadas ;*, y<. En el proceso )ra$icador %ay 'ue tomar en cuenta 'ue siempre el n>mero 'ue se da primero es la de la abscisa ;*< y el se)undo la ordenada ;y<, así como los si)nos de las coordenadas del punto para ubicarlo en los cuadrantes, para ello se emplea papel cuadriculado o de coordenadas rectan)ulares, ya 'ue $acilita la locali(ación y el marcado de puntos en el plano. 6a locali(ación de un punto por medio de sus coordenadas se llama tra(ado tra(ado del punto, para tra(ar el punto A ( 2,5 ) , $ijamos la coordenada en el eje “@” 'ue esta  unidades a la i('uierda del ori)en, con lo cual representamos la abscisa del punto, lue)o $ijamos la coordenado del eje “B” 'ue está a  unidades %acia arriba del ori)en, con lo cual representamos la ordenada del punto como vemos en la $i)ura9

+e debe el eje de las el primer abscisa x y, en eje %ori(ontal es la ordenada vertical de las ;, < tienen como podemos observar en la $i)ura anterior.

prestar atención en no con$undir abscisas con el de las ordenadas9 n>mero representa el de la consecuencia, se marca sobre el de las x , mientras 'ue el se)undo y, por tanto, se indica sobre el eje y . 5or ello, los puntos A ;, < y 2 locali(aciones muy di$erentes,

EJEM&LO: A continuación, se indican sobre un plano los puntos 5;D, #<, ;F#, <, -;F, F#<, +;D, F <.

5|Página

+e observa 'ue si ambas coordenadas son positivas, el punto se encuentra en el primer cuadrante ;<: si son ambas ne)ativas, el punto se encuentra en el tercer cuadrante ;<: si la abscisa es ne)ativa y la ordenada positiva, se locali(a en el se)undo cuadrante ;<, y, $inalmente, si la abscisa es positiva y la ordenada ne)ativa, se encuentra en el cuarto cuadrante ;4<. 5or consi)uiente, se puede a$irmar 'ue a cada pareja ordenada de puntos le corresponde un punto del plano, y viceversa: a cada punto del plano le corresponde una pareja ordenada de puntos. ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARIO:

.H Gra$icar lo si)uiente9 D.H IEn 'u& cuadrante se locali(an los si)uientes puntosJ 5, 0 ) a ¿ . N (−5,0 b ¿ . O (−2, −4 ) c ¿ . P (−7, 5) d ¿ . S (− 4.9,−2.7 ) 9 −3 ¿

( )

e . U

.H .H

4

,

2

/ete /eterm rmin inar ar )rá )rá$i$ica came ment ntee los los si)u si)uie ient ntes es ppun unto tos. s. a ¿ . A ( 3, 4 ) , B (−2,1 ) , C (−5, −2) 1, 3 ) , M ( ( 0, 4 ) , R (−6, 6 ) b ¿ . C ( 1,3 c ¿ . B ( 2,2 ) , G (7, 4 ) , O (−8,10 ) d ¿ . L (−9,−3 ) , F (−5,1 5, 1 ) , I ( 4, 0)

#.Hra(ar la línea 'ue pasa por los puntos9 ( 1,2 1, 2 ) y ( 3, 4 ) (−2,1 ) y (−4, 4 ) 6|Página

(−3,−2 ) y (−1,−7 ) ( 2,− 4 ) y ( 5,−2 ) ( 3, 0 ) y ( 0, 4 ) (−4, 0 ) y ( 0, −2 ) .H /ibujar el trián)ulo cuyos v&rtices son los puntos9 ( 0, 6 ) , (3, 0 ) y (−3, 0 ) . .H /ibujar el cuadrado cuyos v&rtices son los puntos9 ( 4, 4 ) , (− 4, 4 ) , (−4,− 4 ) y ( 4,− 4 ) . K.H /ibujar el rectán)ulo cuyos v&rtices son9 ( 1,−1 ) , ( 1,−3 ) , ( 6,−1 ) y ( 6, −3 ) . 3, 1 ) , ( 5, 4 ) y ( 3,7 ) . L.H /ibujar el rombo cuyos v&rtices son9 ( 1, 4 ) , ( 3,1

".H /ibujar la recta 'ue pasa por ( 4, 0 ) y ( 0,6 ) y la recta 'ue pasa por ( 0, 1 ) y ( 4,5 4, 5 ) y %allar el punto de intersección de las dos rectas. 3, 5 ) , (−3, 1 ) , (−3,− 1 ) , (−3,− 4 ) .H 5robar )rá$icamente 'ue la serie de puntos (−3,5 se %allan en una línea paralela a la línea 'ue contiene a los puntos9 ( 2,− 4 ) , ( 2, 0 ) , ( 2, 3 ) , ( 2,7 2, 7 ) .

D?.H 5robar )rá$icamente 'ue la línea 'ue pasa por (−4, 0 ) y ( 0, −4 ) es perpendicular a la línea 'ue pasa por (−1, −1 ) y (−4, −4 ) .

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1.'

&RO&IEDADES &RO&IEDADE S DE SE(MENTOS DE RECTA. Dista!cia !o dii)ida e!te dos *"!tos.

+ean 5D;*D, yD< y 5;*, y< dos puntos 'ue no se %allan sobre una misma recta %ori(ontal o vertical ;ver $i)ura< se tra(a una recta 'ue pasa por 5D, paralela al eje x y y otra recta 'ue pasa por el punto 5 paralela al eje y , estas rectas se intersectarán en un punto  ;*, yD< $ormando así un trián)ulo 5 5D, en el cual identi$icamos9 id enti$icamos9 d 5D 5N ¿ %ipotenusa ¿ ¿ ;distancia< 5D ¿ cateto adyacente ¿ ;* −¿ *D< 5 ¿ cateto opuesto ¿ ;y – yD<

Al aplicar el teorema de 5itá)oras, tenemos9 tenemos9 ;5D5< ¿ ;5D< O;5< 2 2 5D5 ¿ √ ( P P1 Q ) + ( QP 2 ) 2 2 5D5 ¿ √ ( x x2 − x1 ) + ( y 2 − y 1 ) 6a distancia no diri)ida entre dos puntos se representa por9 2 2 d = √ ( x x 2− x 1 ) + ( y 2− y 1 ) ∴

EJEM&LOS:

D. Calcular la distancia entre los puntos9 A (−3,2 ) y B ( 1,−1 ) . +olución9 Aplicando la $órmula de la distancia entre dos puntos, tenemos9

AB

16 + 9= √ 25 25 =5 =√ (− (− 3−1 )2+( 2 +1 )2= √ 16

. /emuestra 'ue los si)uientes puntos A (−4, 6 ) , B ( 6,2 ) y C (4,− 4 ) son los v&rtices de un trián)ulo escaleno. ;+us tres lados son desi)uales<

8|Página

So+"ci,!:

/ebemos calcular las lon)itudes de los lados l ados $órmula de la distancia. AB

AB

,

AC

y

BC

usando la

100 + 16= √ 116 116=10.77 =√ (− (− 4 −6 )2 +( 6− 2 )2 =√ 100

=√ (− (− 4− 4 )2+( 6 + 4 )2= √ 64 64 + 100=√ 164 164 =12.8

AC

BC =√ ( 6−4 )2+(2+ 4 )2=√ 4+36=√ 40 40=6.32

ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARIO 9|Página

I.- a++a +a dista!cia e!te +os *"!tos c"/as coode!adas so!:

D. A (−2, 5 ) y B ( 4, −3 ) 9, 2 ) . L ( 0, 4 ) y B ( 9,2 II.- Res"e+0e +os si)"ie!tes *o#+emas.

D. 0no de los los e*tremos e*tremos de de un se)mento se)mento rectilí rectilíneo neo de lon)itud lon)itud i)ual i)ual a 2 √ 3 es el punto A ( 1,0 ) ; si la ordenada del otro e*tremo es (−3 ) , %alla su abscisa. . 0no de los los e*tremos e*tremos de de un se)mento se)mento rectilí rectilíneo neo de lon)itud lon)itud i)ual i)ual a 4 es el punto P (2, −2 ) ; si la abscisa abscisa del otro otro e*tremo es ( 2 ) , %alla su ordenada. #. /emuestra /emuestra 'ue 'ue los si)uientes si)uientes puntos puntos son son los v&rtices v&rtices de un trián)ul trián)uloo isósceles. isósceles. ;/os ;/os lados i)uales y uno desi)ual< D. .

A (−2, 2 ) , B ( 3, 1 ) y C (−1,−6 ) A (−2, 1 ) , B ( 2, 2 ) y C ( 5,−2 )

. /emuestra /emuestra 'ue 'ue los si)uientes si)uientes puntos puntos son son los v&rtices v&rtices de un trián)ul trián)uloo rectán)ulo. rectán)ulo. ;+us ;+us tres lados son desi)uales< 1. A ( 3, 2 ) , B ( −2,− 3 ) y C ( 0, 4 )

2. K ( ( 2, −2 ) , L (−8, 4 ) y M (5, 3 )

. /emuestra /emuestra 'ue 'ue los puntos si)uientes si)uientes son son los v&rtices v&rtices de un paralelo) paralelo)ramo. ramo. ;+us ;+us lados lados opuestos son paralelos e i)uales< 2, 6 ) ,C ( ( 6,8 ) y D ( 8, 4 ) a<. A ( 4, 2 ) , B ( 2,6 1, 3 ) , B (7, 3 ) , C ( 9, 8 ) y D ( 3, 8 ) b<. A ( 1,3

Di0isi,! de "! se)me!to e! "!a a,! dada. 10 | P á g i n a

4amos a determinar las coordenadas de un punto P 'ue divida a un segmento de recta AB de e*tremos conocidos, en partes tales 'ue )uarden entre sí la razón (0 r

=

AP

AB

PB

, consideremos el se)mento en donde A y 2 son dos puntos cuales'uiera y se desi)nan con las coordenadas A;*D, yD< y 2;*, y<. El punto

relación)

r

=

AP

P ( x , y ) , PB , 'ue 'uede claro 'ue 'ue divide al se)mento es y la ra(ón es lo 'ue se busca son las coordenadas del punto 5. 5. 4er $i)ura9

De acuerdo con la fgura los segmentos

los segmentos

AP

y

PB

En donde9

y

P B 1

1

)uardan la misma relación que

, es decir9

− x 1 = = r= PB P 1 B 1 x 2 − x A P

r=

A 1 P1

A 1 P 1

x

x − x 1 x 2 − x

de donde9 r ( x 2− x )= x − x 1 rx2− rx= x − x 1 rx2 + x 1= x +rx rx2 + x 1= x ( 1 +r )

$inalmente la abscisa del punto 5 será i)ual9

11 | P á g i n a

x =

rx 2 + x 1 1+r

para r≠1 +i)uiendo el mismo procedimiento para las ordenadas, obtenemos9 AP A2 P 2 y − y 1 r= = = PB P2 B2 y 2− y

de donde9 y =

ry 2 + y 1 1 +r

para

r ≠1

5ara el caso particular de 'ue el P ( x , y ) sea la mitad del se)mento AB y la ra(ón r =1 , le llamaremos punto edio y las coordenadas de P serán9 x + x y 2 + y 1 x = 2 1 y = 2

2

&"!to medio

5unto medio es el punto 'ue divide a un se)mento en dos partes i)uales. El punto medio de un se)mento, es >nico y e'uidista de los e*tremos del se)mento E2em*+os:

a<. 6os extremos de un segmento de recta son9 A (−3,− 4 ) y B ( 4,2) . /eterminar sobre dic%o segmento un punto 5 'ue divide a este se)mento se)>n la ra(ón r =2.

Solución: Su abscisa será:

Su ordenada será:

x =

( 2 )( 4 )+(−3 ) 8 −3 5 = = 1 +2 3 3

y =

( 2 )( 2 )+(−4 ) 4 − 4 0 = = =0 1 +2 3 3

El punto pedido P ( , 0 )

b). Dado el segmento de recta cuyos extremos son A (−6,8 ) y B ( 4, −2 ) 2

Determinar el punto P que lo divide en la relación

3

+olución9 12 | P á g i n a

( x

2

=

3

)( 4 )−6

+(

1

=

2 3

)

( 2 )(− 2 )+ 8 y

=

3

1

+( 2 )

−18 −10 = =−2 3+ 2 5

8

= − 4 + 24 =20 =4 3+2 5

3

El punto 5 buscado es P (−2, 4 ) . c<. Encontrar el punto medio M del segmento

AB

, sabiendo que: A(-8,-6)

y B(4,2). Solución:

x =

y =

4 −8 2

2−6 2

=

−4 2

=−2

−4 = =−2 2

El punto M buscado es9 M (−2,−2 ) .

Detemi!aci,! de +a a,! c"a!do "! se)me!to se di0ide e! ! *ates i)"a+es.

+i un se)mento se divide en n partes i)uales, la ra(ón para determinar las coordenadas de cada punto 'ue divide a dic%o se)mento, se calcula de la si)uiente manera9 a<. +i el se)mento AB , se trisecta ;dividir en tres partes i)uales<, la ra(ón para cada punto es9 5ara el punto P1 , tenemos9 r=

A P 1 1 →U !e"#e !e"#e$% $% = P1 B 2 → d%! !e"#e !e"#e$%! $%!

5ara el punto P2 , tenemos9 r=

A P 2 2 = =2 P2 B 1

13 | P á g i n a

b<. +i el se)mento AB se divide en cuatro partes i)uales la ra(ón para cada punto es9 5ara el punto P1 , tenemos9 r=

A P1 1 = P1 B 3


A P 2 2 = =1 P2 B 2

c<. b<. +i el se)mento AB se divide en cinco partes i)uales la ra(ón para cada punto es9 5ara el punto P1 , tenemos9

14 | P á g i n a

r=

A P 1 1 = P1 B 4


A P2 2 = P2 B 3


A P 3 3 = P3 B 2


A P4 4 = =4 P4 B 1

Citeios de a*+icaci,!.

D.H 6a ra(ón es positiva cuando el punto buscado estará situado entre los puntos dados del se)mento. r =+¿ =+ ¿ .H 6a ra(ón es ne)ativa, cuando el punto buscado este situado $uera de los puntos dados del se)mento. r =−¿ =−¿

15 | P á g i n a

EJEM&LOS:

D<. 6os extremos de un segmento de recta son9 A (−3,− 4 ) y B ( 4,2 ) . /eterminar sobre dic%o segmento un punto 5 'ue divide a este se)mento se)>n la ra(ón r =2. So+"ci,!: Su abscisa será:

x =

Su ordenada será:

( 2 )( 4 )+(−3 ) 8 −3 5 = = 1 +2 3 3

y =

( 2 )( 2 )+(−4 ) 4 − 4 0 = = =0 1+2 3 3

El punto pedido9 P (, 0 ) 2). Dado el segmento de recta cuyos extremos son A (−6,8 ) y B ( 4, −2 ) 2

Determinar el punto P que lo divide en la relación

3

So+"ci,!:

16 | P á g i n a

( x

=

2 3

)( 4 )−6

+(

1

=

2 3

)

( 2 )(− 2 )+ 8 y

=

3

1

+( 2 )

− 18 −10 = =−2 3+ 2 5

8

= −4 + 24 =20 = 4 3 +2 5

3

El punto 5 buscado es P (−2, 4 ) . ACTIVIDADES ACTIVIDADES EVALUATORIAS EVALUATORIAS PROBLEMARIO.

.H 8alla las coordenadas del punto medio para cada uno de los si)uientes se)mentos, cuyos e*tremos son9 a<. A (−4, 6 ) y B ( 3,−2 ) b<. A ( 2,5 ) y B ( 8, 1 ) c<. A (−2, 1 ) y B (3, −5) II.- Res"e+0e +os si)"ie!tes *o#+emas.

D.H 6os v&rtices de un trián)ulo son A ( 3,8 ) , B ( 2,−1 ) y C ( ( 6,−1 ) . +i D es el punto medio del lado BC , calcular la lon)itud de la mediana AD . Mediana9 Es el se)mento de recta tra(ado de un v&rtice de un trián)ulo al punto medio de su lado opuesto. .H /emostrar 'ue los se)mentos 'ue unen une n los puntos medios de los lados sucesivos del cuadrilátero cuyos puntos son (−3,−1 ) , ( 0, 3 ) , ( 3, 4 ) y ( 4,− 1 ) , $orman un paralelo)ramo. #.H 6os e*tremos del diámetro de una circun$erencia son A ( 3,−2 ) y B ( 5, 6 ) ; %alla las coordenadas del centro. .H /emuestra 'ue las rectas 'ue unen los puntos medios de los lados del trián)ulo cuyos v&rtices son A (−1, 5 ) , B (−4, −6 ) y C ( (−8, −2 ) , y dividen a dic%o trián)ulo en cuatro trián)ulos i)uales. x , y ) 'ue divide al se)mento determinado .H 8alla las coordenadas de un punto P ( x

por P1 (−2, 5 ) y P 2 ( 10,−2 ) en la relación

r=

2 3

K.H +e sabe 'ue el punto P (8,− 4 ) divide al se)mento 'ue se determina por los puntos P1 ( 14, −12 ) y P 2 ( x 2 , y 2) en la relación r =2, %alla las coordenadas del P2 .

17 | P á g i n a

L.H 8alla las coordenadas de los puntos 'ue trisectan al se)mento A ( 3,5 3, 5 ) y B ( 6,10 ) ; determina tambi&n su punto medio. ".H El e*tremo del diámetro de una circun$erencia de centro C ( 6,−2 ) es x , y ) del otro e*tremo. A ( 2, 4 ) ; %alla las coordenadas B ( x .H 8alla las coordenadas de los puntos 'ue dividen al se)mento determinado por 2, 7 ) en  partes i)uales. A ( 9,−3 ) y B (−2,7 D?.H 5ara el tendido de un cableado tele$ónico sobre una calle se re'uieren cuatro postes, los cuales deben estar estar separados por distancias i)uales. +i el primero de los postes se encuentra en uno de los e*tremos del cableado 'ue está en el punto 60,90 y el >ltimo e*tremo 'ue se locali(a en B (−30,−30 ) , se desea determinar A ¿ las coordenadas del punto D y C para colocar a%í otros postes entre A y B . las lon)itudes están dadas en metros m. 1.3 4REA DE UN &OL5(ONO &OL5(ONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS COORDENADAS DE SUS V6RTICES.

Prea de una re)ión trian)ular se e*presa por9

||

x1 y 1 1 x 2 y 2 1 = ( x A = x y + x y + x y − x 1 y 3− x 3 y 2− x 2 y 1 ) 2 x 3 y 3 2 1 2 2 3 3 1 x1 y 1

Esta $órmula tambi&n se emplea para determinar el área de cual'uier polí)ono. +e %ace notar 'ue el primer ren)lón se %a repetido al $inal con el $in de $acilitar la operación. +i los v&rtices se ordenan en la $órmula en sentido contrario a las manecillas del reloj, el área resultante es de si)no positivo: en caso contrario será ne)ativa. E2em*+o: 8allar el área del trián)ulo cuyos v&rtices son los puntos 3, 2 ) , B ( 7, 4 ) y C (−2, 5 ) . A ( 3,2

18 | P á g i n a

||||

x1 y 1 1 x 2 y 2 1 A = = 2 x 3 y 3 2 x1 y 1 A =

3 2 74 −2 5 32

1 [ ( 3 ) ( 4 ) +( 7 ) ( 5 ) + (−2 ) ( 2 )−( 3 ) ( 5 )− (−2 ) ( 4 )−( 7 ) (2) ] 2 1

A = [ 12 + 35− 4 −15 + 8 −14 ] 2

A =

1 [ 22 ] = 22 =11 &'dade! 2 2 2

(rea (rea =11 &'dade! 2

ACTIVIDADES ACTIVIDADES EVALUATORIAS EVALUATORIAS PROBLEMARIO.

.H 8alla el área, perímetro y semiperímetro para los si)uientes trián)ulos cuyas coordenadas de los v&rtices son9 1. 2. 3.

A ( 3,− 4 ) , B ( 5,2 ) y C ( (−7,− 3 ) A (−4,−1 ) , B (−2,−6 ) y C ( 5,− 2 ) A ( 7,−3 ) , B (−2, 2 ) y C ( 6, 4 )

.H 8alla el área, perímetro y semiperímetro para los si)uientes polí)onos cuyas coordenadas de los v&rtices son9 1.

7, 7 ) y D (−1, 6 ) A (−3, 3 ) , B ( 4,2 ) , C ( 7,7

19 | P á g i n a

2. 3.

A (−3, −2 ) , B (−7, 1 ) , C ( (−2, 8 ) , D (1, 5 ) y ) ( 6, 3 ) 3, 5 ) , D ( 7,2 7, 2 ) y ) ( 2,− 4 ) A (−5, 1 ) , B (−4, 6 ) , C ( ( 3,5

III.- Res"e+0e +os si)"ie!tes *o#+emas. 4, 2 ) . D. 6os v&rtic v&rtices es de un trián)ul trián)uloo rectán)ulo rectán)ulo son los los pu puntos ntos ( 1,−2 ) , ( 4,− 2 ) , ( 4,2 /eterminar la lon)itud de los catetos, despu&s el área del trián)ulo y la lon)itud de la %ipotenusa.

. 8alla el área área del del trián)ul trián)uloo cu cuyos yos v&rtices v&rtices son9 A ( 2,−2 ) , B (−8, 4 ) y C ( 5, 3 ) ; comprueba el resultado por la $órmula9 A =

( b ) (* ) 2

1, 3 ) , ( 7,3 ) , ( 9,8 ) y ( 3,8 ) ; Calcule #. 6os v&rtices v&rtices ddee un cuadrilátero cuadrilátero son los puntos ( 1,3 su área y compruebe el resultado por la $órmula9 A = b*

UNIDAD $: LOS ELEMENTOS DE UNA RECTA COMO LU(AR (EOM6TRICO. INTRODUCCION: En esta unidad se muestran las de$iniciones al)ebraica, analítica y

)rá$ica de una recta, se anali(a el concepto de pendiente y án)ulo de inclinación, así como las di$erentes $ormas para determinar su ecuación )eneral. +e incluye tambi&n el cálculo del án)ulo entre dos rectas y la distancia de un punto a una recta.

OBJETIVO DE LA UNIDAD.

El alumno: -esolverá problemas teóricos 'ue involucren a la línea recta, aplicando e

inte)rando de manera crítica y re$le*iva, los conceptos, t&cnicas y procedimientos básicos de la Geometría Analítica, mediante el empleo de distintas $ormas de la ecuación de la recta y sus trans$ormaciones, )rá$icas, ecuaciones y propiedades de la recta, 'ue apli'uen en distintos ámbitos del entorno $ísico en el 'ue se desenvuelve: colaborando a 20 | P á g i n a

)enerar un ambiente escolar 'ue $avore(ca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad e inter&s cientí$ico. $.1 &ENDIENTE 7 4N(ULO DE INCLINACIÓN INCLINACIÓN La ecta.

ntuitivamente sabemos 'u& es una recta: sin embar)o, a pesar de su sencille(, el de recta es un concepto $undamental en las matemáticas, ya 'ue muc%os de los $enómenos o procesos 'ue se estudian en las ciencias son lineales, es decir, decir, las variables 'ue intervienen en ellos se relacionan por medio de una ecuación 'ue representa una recta. /e acuerdo con los a*iomas de Euclides las propiedades $undamentales de la recta son9 /os rectas distintas son paralelas o se cortan en un solo punto.   5or dos puntos distintos pasa >nicamente una recta. &e!die!te de "!a ecta

+e de$ine como pendiente o coe$iciente an)ular de una recta, al )rado de inclinación 'ue dic%a recta posee con respecto a un sistema de re$erencia, o coordenado. Matemáticamente se dice 'ue la pendiente de una recta es una di$erencia de ordenadas entre una di$erencia de abscisas, y se denota convencionalmente con la literal # y de acuerdo con la de$inición, se e*presa por #=$" + +e suele decir 'ue la pendiente de una recta se de$ine como la tan)ente de su án)ulo de inclinación. 4!)"+o de i!c+i!aci,!

El án)ulo de inclinación de una recta es el án)ulo 'ue $orma la recta con la dirección positiva del eje x . +ea L una recta no paralela al eje x y 'ue lo intersecta en el punto A . 6a dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el án)ulo + < 180  'ue se obtiene al )irar la semirrecta A- en sentido contrario al recorrido de las manecillas del reloj %asta coincidir con la recta L . 5or lo lo ta tanto, es este án án)ulo ulo (+ ) se denomina inclinación de la recta L. A partir de la ecuación #=$"+, despejando para el án)ulo de inclinación, tenemos9 += arc$"# B

6



21 | P á g i n a

@Q

A

@

Criterios de aplicación sobre la pendiente. El án)ulo ( + ) de inclinación de la recta puede tomar cual'uier valor entre 0   +  180  , por lo 'ue los si)uientes criterios $acilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectan)ulares9 0  < + <90 

a<. # es un n>mero positivo, si &

P2 ncre!en"o en #$0

'

P1

ncre!en"o en %$0

b<. # es un n>mero ne)ativo, si

90  < + < 180 

22 | P á g i n a

&

ncre!en"o en %$0

P1 ncre!en"o en #(0

' P2

c<. #=0, si += 0  B P

P2

ncre!en"o en # ) 0

'

d<. #=/ , si += 90 

23 | P á g i n a

&

P2 ncre!en"o en % ) 0

P '

6a pendiente se de$ine matemáticamente por el si)uiente TEOREMA. x 1 , y 1 ) y P2 ( x2 , y 2) dos puntos di$erentes cuales'uiera de una recta, la +ean P1 ( x pendiente de dic%a recta es9

#=

y 2− y 1 !'ed%x 1 0 x 2 x 2− x 1

EJEM&LO.

8alle la pendiente y án)ulo de inclinación de la recta 'ue se $orma por los puntos 2, 6 ) y ( 3,− 4 ) . Gra$i'ue la recta. (−2,6 6a pendiente de la recta a trav&s de estos puntos es9 #=

y 2− y 1 − 4 − 6 − 10 = = =−2 5 x 2− x 1 3 −(− 2 )

5or lo tanto, la pendiente es #=−2 en la $i)ura9

y la recta 'ue pasa por P1 y P 2 se muestra

24 | P á g i n a

&

'

P 2

 3,4

5ara determinar el án)ulo de inclinación utili(amos la ecuación9 += arc$"# += arc$"# += arc$" (−2 ) +=−63  261 6 1 1

Como la # es ne)ativa, el án)ulo + es mayor de 90  pero menor de 180  , por lo 'ue el án)ulo encontrado deberá restarse a 180  , es decir9 +=180  −63  261 61 1 =116  331 54 1 1 ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARIO.

D.H 8alla la pendiente y el án)ulo de inclinación para las si)uientes rectas 'ue se $orman con los puntos9 4, 3 ) A (−5, −2 ) y B (7, 5 ) M ( 7, 8 ) y N ( ( 4,3 0, 3 ) y B (11,−1 ) A ( 0,3 P (7, 4 ) y Q (1, −2 ) .H /etermina la pendiente de las si)uientes rectas cuya inclinación es9 a ¿ . 135  c ¿ . 60  b ¿ . 120  d ¿ . 45  #.H /etermina el án)ulo de inclinación para las si)uientes rectas cuya pendiente es9 a¿.1 b ¿ . 2.144506 c ¿ .−1.428148 d ¿ .−0.6

25 | P á g i n a

.H /etermina la inclinación de una recta cuya pendiente es −0.7002 . .H /etermina la inclinación de una recta cuya pendiente es

3 2

.

K.H /etermina la pendiente de una recta cuyo án)ulo de inclinación es de

60  .

L.H 8alla la pendiente de la recta 'ue pasa por los puntos A ( 1,5 ) y B ( 7,−7 ) . ".H +e apoya una escalera contra una pared. El e*tremo superior 'ueda a  metros ;m< sobre el piso y el in$erior a m de distancia de la pared. ICuál es la inclinación de la escalera con respecto al pisoJ /ibuje el es'uema. $.$ &ARALELISMO 7 &ER&ENDICULARIDAD. &ER&ENDI CULARIDAD.

D.H

os rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales . /os rectas,

L1 y L 2, son paralelas sólo si sus inclinaciones son id&nticas: si las pendientes

de las rectas son #1 y #2 , la condición de paralelismo establece 'ue # 1=# 2 . &&

2

1

'

Como L1 y L 2 son paralelas, sus inclinaciones +1 y +2 son i)uales, es decir, +1=+ 2 y en consecuencia $"+ $" + 1=$"+ $" + 2 , por lo tanto #1=#2 . .H os rectas son perpendiculares entre s!, si la pendiente de una de las rectas es rec!proca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.

26 | P á g i n a

/os rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es i)ual a (−1 ) 9 #1 #2=−1 ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARI & ROBLEMARIO. O.

D.H /adas las si)uientes rectas 'ue pasan por los puntos A y B , así como las de$inidas por los puntos M y N ; determina si son paralelas o perpendiculares entre sí9 3, 7 ) , N (−1, 1) a ¿ . A ( 4, 1 ) , B (−2, 5 ) y M ( ( 3,7 b ¿ . A (−7, 1 ) , B ( 1,−6 ) y M (−4, −6 ) , N ( (3,2 ) .H /emuestra, por medio de pendientes, 'ue los puntos dados son los v&rtices de un paralelo)ramo. a ¿ . A ( 4, 6 ) , B ( 2,−2 ) , C (−11,−1 ) y D (−3,−9 ) b ¿ . A ( 2, 4 ) , B ( 6, 2 ) , C ( ( 8,6 ) y D ( 4,8 ) #.H /emuestra 'ue los puntos dados son los v&rtices de un rombo y 'ue sus dia)onales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. 9, 9 ) , C ( 5, 6 ) y D ( 2,2 2, 2 ) a ¿ . A ( 6,5 ) , B ( 9,9 b ¿ . K ( 2, 2 ) , L ( 5, 6 ) , M ( ( 9, 9 ) y N ( 6,5 6, 5 ) .H /emostrar por medio de pendientes 'ue los si)uientes puntos son las paralelas de un cuadrado y 'ue sus dia)onales son perpendiculares. 7, 2 ) y D ( 4,− 2) a ¿ . A ( 0,1 ) , B ( 3, 5 ) ,C ( ( 7,2 b ¿ . K ( 4,−2 ) , L ( 7, 2 ) , M ( ( 3,5 3, 5 ) y N ( 0, 1) .H +e tiene 'ue la recta r 1 pasa por los puntos A ( 1, −3) , B (−3,−11) y la recta r 2 por P (3,13 ) , Q (−1,5 ) . /etermina si r 1 y r 2 son paralelas, perpendiculares o se cortan oblicuamente. 27 | P á g i n a

$.' AN(ULO DE INTERSECCIÓN INTERSEC CIÓN ENTRE DOS RECTAS. RECTAS. 4!)"+o de dos ectas.

Consideremos la la $i)ura las dos rectas L1 y L 2. +ea C su punto de intersección y A y B los puntos en 'ue cortan al eje - . +ean +1 y +2 los dos án)ulos suplementarios 'ue $orman. Cada uno de estos án)ulos, +1 y +2 , se miden, en sentido contrario al de las manecillas de un reloj, o sea en sentido positivo. 6a recta a partir de la cual se mide el án)ulo se llama recta inicial" la recta %acia la cual se diri)e el án)ulo se llama recta #inal. 6as pendientes de las rectas inicial y $inal se llaman pendiente pendiente inicial y pendiente #inal , respectivamente. y pendiente Grá$icamente, se tiene9 L1

3

L2

+1

+2

C

2 1 A

2 2

B

-

4amos a calcular cada uno de los án)ulos +1 y +2 cuando se conocen las pendientes #1 y #2 de los lados 'ue $orman estos án)ulos. ACB , tendremos9 El trián)ulo A2C, siendo +1= ACB, 2 2=2 1+ + 1 , o sea +1= 2 2− 2 1 (1 )

omando las tan)entes de ambos miembros de (1) enemos9 $"+ 1=

$" 2 2−$" 2 1 1 + $" 2 2 $" 2 1

28 | P á g i n a

5ero #1=$" 2 1 y #2=$" 2 2 . 6ue)o, de (2 ) $"+ $" + 1=

# 2−# 1 1 + #2 #1

(3 )

5ara el trián)ulo ABC , con +2 por án)ulo e*terior, e*terior, tenemos +2= 2 1 +(180  − 2 2 ) omando tan)entes de ambos miembros, obtenemos9 $"+ $" + 2=

$" 2 1+ $" ( 180 − 2 2 ) $" 2 1−$" 2 2 = , 1 −$"2 $" 2 1 $" ( 180 − 2 2 ) 1 + $" 2 1 $" 2 2

/e donde obtenemos el resultado buscado9 $"+ $" + 2=

# 1−# 2 1 + #1 #2

( 4)

5ara calcular un án)ulo especi$icado es esencial saber si se debe usar la $órmula (3 ) o la (4 ) , es decir, debemos tener la se)uridad de 'ue estamos calculando un án)ulo particular o su suplemento. Esto se resuelve muy sencillamente si observamos 'ue, en ambos resultados, el numerador se obtiene restando la pendiente inicial de la pendiente $inal. /e acuerdo con esto tenemos el si)uiente TEOREMA. $n %ngulo especi#icado + #ormado por dos rectas est% dado por la #órmula.

$"+ $" + =

#2 – #1 1 + #1 # 2

, #1 #2 0 −1 , ( 5)

En donde #1 es la pendiente inicial y %ngulo + .

#2 la pendiente #inal correspondiente al

29 | P á g i n a

EJEM&LO. /eterminar los án)ulos interiores del trián)ulo cuyos v&rtices son los puntos9 A (−2,1 ) , B ( 3,4 ) y C ( 5, −2 ) ; comprobar los resultados. So+"ci,!:

Al )ra$icar los puntos dados, se se obtiene9

/eterminaremos las pendientes de los lados del de l trián)ulo. # AB=

y A − y B 1 −4 −3 3 = = = x A− x C −2−3 −5 5

# BC =

y B− y C 4 + 2 6 = = =−3 x B− x C 3−5 −2

y A − y C 1 + 2 3 −3 = = = # AC = 7 x A − x C −2 −5 −7

Al aplicar la $órmula # – # $"+ $" + = 2 1 1 + #1 #2 -esulta para el án)ulo a

30 | P á g i n a

$" a=

# AB ´ – # AC ´ 1+ # AC ´ # AB ´

− ( ) = = − +( )( ) 3

5

$" a

21 + 15

7

3

1

$" a=

3

−

7

35

3

35 −9

5

35

36 =1.3846 26

a ¿ arc$" (1.3846 ) ∴





44 1 1 a ¿ 54  09 1 44

5ara el án)ulo b $"b $" b =

#BC ´ – # AB ´ 1+ # AB ´ #BC ´

− ( ) = = − + ( ) (− ) −3

$"b $" b

5

3 5

1

$"b $" b =

−3

3

18 5 5 9 5

−18 = 4.5 −4

arc $" ( 4.5 ) ∴ b ¿ arc

b ¿ 77  281 161 1





5ara el án)ulo c $" c =

# AC ´ – # BC ´ 1 + # BC ´ # AC ´

−3 ( 3 ) −− $"b $" b =

7

1+ (−3 )

$" c =

( ) −3

−3 + 21 =

7

7+ 9 7

18 = 1.125 16

arc $" (1.125 ) ∴ c ¿ arc



7

c ¿ 48  211 591 1



31 | P á g i n a

5or el teorema9 “6a suma de los án)ulos interiores de cual'uier trián)ulo es i)ual a 180  ”, tenemos9 a O b O c ¿ 180 



1

1 1

54  09 44

+¿

1

1 1

77  28 16

+¿

1

48  21 59

1 1

=180 

ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARI & ROBLEMARIO. O.

. F /etermina los án)ulos interiores de los si)uientes trián)ulos cuyos v&rtices son los puntos 'ue a continuación se indican: comprueba los resultados9 D.

A (−2, 0 ) , B ( 5, −5 ) y C ( 3, 7 )

.

K ( ( 2,5 ) , L (−3, −2 ) y M ( ( 4, 2 )

#.

A (−2,3 ) , B ( 4,4 ) y C (−3,−1 )

.

K ( (−5, −4 ) , L ( 9,−2 ) y M ( 1,6)

$.3

DETERMINACIÓN DETERMINA CIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA &UNTO-&ENDIENTE. &UNTO-&ENDIENTE. La ecta como +")a )eom8tico.

+e llama línea recta no vertical al lu)ar )eom&trico de los puntos tales 'ue, tomados dos puntos di$erentes, el valor de la pendiente siempre es constante. Esta de$inición nos permite determinar la ecuación de una recta cuando se conocen dos de sus condiciones )eom&tricas, por ejemplo, su pendiente y uno de sus puntos, o dos de sus puntos. TEOREMA. x 1 , y 1 ) y tiene la pendiente dada 6a ecuación de la recta 'ue pasa por el punto P1 ( x # , es9 y − y 1= #( x − x1 )

EJEM&LO: 8alla la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto P ( 4, −5 ) y cuya

pendiente es #. Escribe la ecuación en la $orma puntoHpendiente.

32 | P á g i n a

So+"ci,! x − x 1 ) , donde x 1=4, y 1=−5 enemos 'ue y − y 1= # ( x y −(−5 )= 3 ( x x − 4 ) y + 5=3 ( x −4 )

y #=3 ; por tanto9

Esta >ltima ecuación es la de la recta 'ue pasa por el punto P (4, −5 ) y cuya pendiente es #: está e*presada en la $orma puntoHpendiente.


D.H 8alla la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto dado y tiene la pendiente 'ue se indica. 5, 9 ) y # =3 Q ( 0,−2 ) y #= A ( 5,9

−3 4

.H 8alla la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto dado y tiene el án)ulo de inclinación 'ue se indica. A ( 7, 4 ) y +=60  P ( 2, −7 ) y + =135 

#.H 8alla la ecuación de las rectas si)uientes en la $orma puntoHpendiente. D. 5asa por el punto P (3, 7 ) y tiene pendiente

4.

2, 5 ) y tiene pendiente −3. . 5asa por el punto P (−2,5

#. 5asa por el punto (−1,−6 )

y tiene pendiente

. 5asa por el punto (4, −9 ) tiene pendiente

1 / 4.

−1 / 5.

33 | P á g i n a

$.9

DETERMINACIÓN DETERMINACI ÓN DE LA ECUACIÓN &ENDIENTE-ORDENADA EN EL ORI(EN.

DE

LA

RECTA

4eamos el caso particular de la ecuación en la $orma puntoHpendiente, la denominada pendiente&ordena pendiente&ordenada da en el origen.

+i una recta de pendiente # corta el eje y en el punto P (0, b ) tenemos 'ue9 y − y 1= # ( x x − x 1 ) y −b =# ( x x −0 ) y −b =#x ∴ y =#x + b y

(0, b ) x O

A esta esta $orma de la ecuación de la recta, tambi&n se le denomina com>n. 34 | P á g i n a

0na recta paralela al eje y no tiene ordenada en el ori)en: por lo anterior la ecuación obtenida no se aplica: en este caso su ecuación es x =a . +e %ace notar 'ue la recta 4 tiene su ordenada en el ori)en, intersectando al eje y en b . TEOREMA.

6a ecuación de la recta cuya pendiente es (b ) , es9 y =#x + b .

#

y tiene su ordenada en el ori)en

EJEM&LOS. a<. /etermina la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y la ordenada en el ori)en es −7 . Escribe la ecuación en la $orma pendienteHordenada en el ori)en. So+"ci,!. y =#x + b

, donde

#= 4

y

b =7

: lue)o9

y = 4 x +(−7 ) y = 4 x −7

b<.8allar la ecuación de la recta 'ue tiene de pendiente

( − ) 2 7

y su intersección con el

eje y es ;#<. So+"ci,!.

+i se sustituyen los datos dados en la ecuación, pendiente y ordenada, en el ori)en de la recta, resulta9 y =#x + b y =

−2 7

x + 3

c<. 8alla la ecuación de la recta cuya ordenada en el ori)en es −2 y 'ue es perpendicular a la recta y =5 x +2 . E*presa la ecuación en la $orma pendienteH ordenada en el ori)en. So+"ci,!.

35 | P á g i n a

Como las rectas son perpendiculares, entonces los valores de sus pendientes son recíprocos entre sí y de si)no contrario. El recíproco de  es pendiente de la recta cuya ecuación 'ueremos determinar es

1 5

: lue)o, el valor de la

−1 5

, lue)o.

y =#x + b y = y =

−1 5

−1 5

x +(−2) x −2


D.H 8alla la ecuación de la recta 'ue tiene la pendiente dada y sus intersecciones con el eje y se indica. #=

−3 ,'$er!ecc'5 (−3 ) #=−5 ,'$er!ecc'5 ( 2) 5

.H /etermina la ecuación de la recta de pendiente −5 .

4

y ordenada en el ori)en i)ual a

#.H 8alla la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto Q ( 2,−5 ) y 'ue es paralela a la recta y =−4 x + 11. .H 8alla la ecuación de la recta 'ue pasa por los puntos P1 (−1,− 4 ) y P 2 ( 3, 2 ) . E*presa la ecuación en la $orma pendiente ordenada en el ori)en, comprobar con los dos puntos 'ue se obtiene el mismo resultado. .H 8alla la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto A (−3, 2) y 'ue es −1 perpendicular a la recta 9 y = x −2. 5

36 | P á g i n a

K.H /etermina si las rectas y 1= 4 x +5

y

1 4

y = x −3 son paralelas,

perpendiculares o se cortan oblicuamente. L.H /etermina la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto M ( 8, −3 ) y es perpendicular a la recta

2 3

y = x + 2 .

$.  LA ECUACIÓN DE LA RECTA COMO MODELO MATEM4TICO.

!umerosos problemas del mundo real se describen mediante una relación lineal entre las variables 'ue intervienen en &l: es decir, su relación se e*presa por medio de una ecuación de primer )rado, la cual )eneralmente se presenta en la $orma pendienteH ordenada en el ori)en, o sea, en la $orma y =#x + b . EJEM&LO: Analicemos el si)uiente problema.

0na computadora tiene D? a7os de uso y su valor actual es de 6 23,000, pero %ace 400. +i el valor de la computadora varía linealmente cuatro a7os su valor era de 6 41, 400. con el tiempo, determina9 a;. 6a ecuación 'ue e*presa el valor del sistema en t&rminos del tiempo transcurrido. So+"ci,!.

-especto a este problema es importante puntuali(ar lo si)uiente9 37 | P á g i n a

D. El valor (7 ) del sistema varía con el tiempo ($ ) : por lo tanto, la variable independiente es $ , en tanto 'ue la variable dependiente es 7 . Es decir, nuestros pares ordenados son de la $orma ;t, v< . 6a relación relación entre entre las variables variables es lineal: lineal: por consi)u consi)uiente iente la ecuació ecuaciónn particular particular 'ue las relaciona es de la $orma y =#x + b , donde y = 7 y x =$ . /e acuerdo con lo anterior, a partir de los pares ordenados (10,23,000 ) y 41,400) encontramos la ecuación especí$ica del problema. bserva 'ue %ace (6, 41,400 cuatro a7os la computadora tenía seis a7os de uso y para ese tiempo su valor era de 6 41,400 . /eterminamos primero el valor de la pendiente9 #=

y 2− y 1 23,000 −41,400 = =−4,600 x 2− x 1 10 −6

Con el valor de la pendiente y uno de los pares ordenados podemos resolver la ecuación: por ejemplo, si utili(amos el par ordenado ;D?, #,???<, tenemos 'ue9 y − y 1= #( x − x1 ) y −23,000 =−4600 ( x −10 )

y =−4,600 x + 46,000 + 23,000 y =−4,600 x + 69,000

6a e*presión del valor del sistema en $unción del tiempo es9 7 =−4,600 $ + 69,000

#<. ICuál $ue el valor del sistema cuando era nuevoJ So+"ci,!.

Cuando el sistema era nuevo, $ =0 : por consi)uiente, tenemos9 7 ( 0)=−4,600 ( 0 )+ 69,000 7 ( 0)= 69,000

c;. ICuánto se deprecia el valor de la computadora por a7oJ So+"ci,!.

Como la pendiente representa la ra(ón de cambio de la variable dependiente respecto a la independiente, entonces de acuerdo con la ecuación especí$ica, por cada a7o 'ue transcurre el valor de la computadora se deprecia 6 4600.

d;. ICuál será el valor de la computadora despu&s de D a7os de usoJ So+"ci,!. 38 | P á g i n a

/e acuerdo con la ecuación obtenida9 7 ( 12 )=− )=−4,600 ( 12)+ 69,000 7 ( 12 )=−55,200 + 69,000 7 ( 12 )=13,800 6a computadora tendrá un valor de 6 13,800 despu&s de D a7os de uso. e;. +i se contempla vender la computadora cuando su valor sea de 6 4,600 , Icuántos

a7os tendrá de usoJ So+"ci,!.

En este caso contamos con el dato 7 =4,600 y lo 'ue debemos encontrar para 'u& valor de  es 7 =4600 : es decir9 7 =−4,600 $ + 69,000 4,600 =−4,600 $ + 69,000 4,600 −69,000=− 4,600 $ −4600 $ =− =−64,400 −64,400 =14 $ = −4,600 $ =14

<;. I/espu&s de cuantos a7os de uso el valor de la computadora se deprecia totalmenteJ So+"ci,!.

Cuando el sistema se deprecia totalmente, 7 =0 ; 6ue)o9 7 =−4,600 $ + 69,000 0 =−4,600 $ + 69,000 4,600 $ =69,000 69,000 $ = 4,600 $ =15

/espu&s de D a7os la computadora se deprecia totalmente. Grá$ica de la $unción 7 =−4,600 $ +69,000

39 | P á g i n a

0= -3>>?t; @ >>> ; 0 ? o * i " C e + e d  o + a V

80000 60000 40000 20000 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Tiem*o e! aos ?t;


D.H El valor comercial de un automóvil 'ue tiene oc%o a7os de uso es de 6 56,000. Cuando tenía cinco a7os de uso, su valor era de 6 80,000. +i dic%o valor varía linealmente con el tiempo, determina9 a<. 6a ecuación particular 'ue e*presa el valor del auto en t&rminos del tiempo de uso. b<. El valor del automóvil cuando ten)a D a7os de uso. c<. El valor del automóvil cuando era nuevo. d<. A los cuantos a7os de uso el e l automóvil ya no tendrá valor comercial.

.H 0na casa 'ue tiene cuatro a7os de uso tiene un valor de 6 48,000 , pero cuando era nueva su valor era de 6 300,000 . +i el valor de la casa varía linealmente con el tiempo, calcula9 a<. 6a ecuación 'ue e*presa el valor de la casa en t&rminos del tiempo. b<. El valor de la casa dentro de ? a7os. c<. 6a variación del valor de la casa por a7o. #.H +upon)a 'ue la demanda ;comprarán< por semana de un producto es de D?? unidades, cuando el precio es de 6 58 por unidad y de ?? unidades a un precio de 6 51 cada una. /etermina la ecuación de la demanda y su )rá$ica, suponiendo 'ue es lineal.

40 | P á g i n a

.H 0n pe'ue7o ne)ocio pronostica 'ue su in)reso crecerá de acuerdo con el m&todo de la línea recta con una pendiente de 6 50,000 por a7o. En su 'uinto a7o, el ne)ocio tuvo in)resos por R##?,???. /etermine una ecuación 'ue describa la relación entre los in)resos -, y el n>mero de a7os , , desde la apertura del ne)ocio. .H 0n nuevo edi$icio de apartamentos se vendió por 6 960,000 cinco a7os despu&s de 'ue se compró. 6os propietarios ori)inales calcularon 'ue el edi$icio se apreciaba 6 45,000 por a7o mientras ellos $uesen los propietarios. /etermine la ecuación lineal 'ue describa la apreciación del edi$icio si * es el n>mero de a7os desde la compra ori)inal. pies sobre el nivel del mar el a)ua %ierve a D"  F , mientras 'ue a 18,000 pies %ierve a DL.K  F . +i la relación entre el punto de $usión del a)ua y la altitud es lineal, determina9 K.H A

15,000

a<. 6a ecuación 'ue e*presa la temperatura de $usión del a)ua respecto a la altitud. b<. 6a temperatura de $usión del a)ua al nivel del mar. c<. 6a temperatura de $usión del a)ua a

12,000

pies de altura sobre el nivel del mar.

L.H 0n $abricante de re$ri)eradores produce 3000 unidades cuando el precio es de 6 940 y 2200 unidades cuando el precio es de 6 740 . +upon)a 'ue el precio 8 y la cantidad 9 producidas están relacionadas de manera lineal. /etermine la ecuación de la o$erta y su )rá$ica.

$.

DETERMINACIÓN DETERMINACI ÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA UE &ASA &OR DOS &UNTOS DADOS.

5or )eometría, una recta 'ueda per$ectamente determinada por dos cuales'uiera de sus puntos: analíticamente, la ecuación de una recta tambi&n 'ueda per$ectamente determinada cuando se conocen las coordenadas de dos cuales'uiera de sus puntos. TEOREMA

x 1 , x 2 ) y P2 ( x x 2 , y 2 ) , es9 6a ecuación de la recta 'ue pasa por dos puntos dados P1 ( x y − y y − y 1= 1 2 ( x x − x 1 ) x 1− x 2

(

)

41 | P á g i n a

A esta esta $orma de la recta tambi&n se le denomina cartesiana. EJEM&LO.

8allar la ecuación de la recta 'ue pasa por los puntos A (−3, −1 ) y B (5,2 ) . B convertirla a la $orma pendienteHordenada ;com>n<. So+"ci,!: Al sustituir los datos dados en la ecuación de la recta 'ue pasa por dos

puntos dados, resulta9 y − y 1=

(

)

y 1− y 2 x − x 1 ) ( x x 1− x 2

y + 1=

(−− −− ) ( + )

y + 1=

−3 ( 3 ) x + −8

1 2 x 3 3 5

x + 3 ) −8 ( y +1 ) =−3 ( x

−8 y −8 =−3 x −9 )c&ac'5de 4are 4a rec$a c$a9&e 9&e 8a!a 8%r d%! 8&$%! 8&$%! −8 y =−3 x − 9 + 8 −8 y =−3 x −1 y =

3 x 1 )c&ac'5de de 4a rec$a rec$a e!cr'$a e4a :%r#a 8ed'e$e%rdeada + )c&ac'5 8 8


D.H 8alla la ecuación de las rectas 'ue pasan por los puntos dados. a ¿ . A ( 2, 4 ) y B (−7,5 ) b ¿ . M ( (−1,3 ) y N (2, 6 )

.H 0n collar anti)uo se espera 'ue ten)a un valor de 6 360 despu&s de # a7os y de 6 640 al cabo de L a7os. /etermine la ecuación 'ue describa el valor del collar despu&s de * a7os. 42 | P á g i n a

#.H 0n mapa coordenado de un campus universitario da las coordenadas ( x , y ) de tres edi$icios principales como si)ue9 Centro de cómputo (3.5,−1 ) 6aboratorio de in)eniería (0.5,0 ) 2iblioteca (−1,−4.5 ) /etermine las ecuaciones ;en $orma pendienteHordenada< de las trayectorias en línea recta 'ue conectan9 a<. El laboratorio de in)eniería con el centro de cómputo b<. El laboratorio de in)eniería in)en iería con la biblioteca. /emuestre 'ue estas trayectorias son perpendiculares. .H 0na compa7ía 'ue repara copiadoras comerciales cobra por un servicio una cantidad $ija más una tari$a por %ora. +i un cliente tiene una $actura de 6 150 por un servicio de una %ora y 6 280 por un servicio de tres %oras, determine una ecuación lineal 'ue describa el precio de un servicio, en donde * es el n>mero de %oras del servicio.

$.

USO DE LAS DISTINTAS DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIGN DE UNA RECTA.

Fomas de +a ec"aci,! de "!a ecta.

Anteriormente aprendiste a determinar la ecuación ecuación de una recta cuando se conocen dos de sus condiciones )eom&tricas. Como a%ora sabes, cuando la ecuación se e*presa de la $orma y =#x + b se denomina en la $orma pendiente ordenada en el ori)en, cuando se escribe de la $orma y − y 1= #( x − x1 ) se llama ecuación de la 43 | P á g i n a

recta en la $orma punto pendiente por >ltimo cuando se e*presa y 1− y 2 y − y 1= !e 44a#a #a ec&ac'5 ec&ac'5  9&e 8a!a 8a!a 8%r 8%r d%! 8&$% 8&$%!! . ( x x − x 1 ) !e44a x 1− x 2

(

)

A%ora aprenderemos a %allar la ecuación de una recta e*presándolas e*presándolas en las $ormas si)uientes9  

=orma sim&trica Ecuación de la recta en su $orma )eneral Ecuación de la recta en la $orma normal

Foma sim8tica de +a ecta.

+i conocemos las intersecciones de una recta con los ejes coordenados podemos x y + =1 , donde a es la demostrar 'ue esa recta está determinada por la ecuación a b

abscisa en el ori)en ;valor de x cuando y =0 < y b es la ordenada en el ori)en ;valor de y cuando x =0 <. /

P2 +0,-.

H P1 ( a , 0 )

/e acuerdo con la $i)ura tenemos 'ue9 Al determinar la pendiente de la recta dada tenemos9 tenemos9 y 2− y 1 x 2− x 1 −b b− 0 #= , ∴ #= 0− a a

#=

+e)>n la ecuación de la recta en la $orma puntoHpendiente y considerando el punto (0, b ) tenemos 'ue9 y − y 1= # ( x x − x 1 ) 44 | P á g i n a

y −b = y −b =

−b ( a

x −0 )

−bx a

Al multiplicar ambos miembros de de la ecuación anterior por a resulta9 a ( y − b )=−bx ,4&e"% ,4&e"% ay − ab=−bx ay + bx = ab Al dividir ambos miembros de la ecuación ecuación anterior por ab resulta9 ay + bx ab = ab ab ay bx + =1 ab ab y x + =1, %$a#b' b a x y + =1 a b

Esta $orma de representar una recta se llama #orma sim'trica de la ecuación de una recta. EJEM&LOS.

a<.H 8alla la $orma sim&trica de la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el ori)en son # y  respectivamente. So+"ci,!: En este caso , b= 3,

a =2 : lue)o9

x y x y + =1 ∴ + =1 2 3 a b

b<.H 8alla la $orma sim&trica de la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el ori)en son −5 y −4 respectivamente. So+"ci,!.

45 | P á g i n a

x y x y x y &$'4'
c<.H 8alla la $orma sim&trica de la ecuación de la recta y =2 x + 8 . So+"ci,!.

/eterminemos el valor de la abscisa y de la ordenada en el ori)en, respectivamente9 

Abscisa en el ori)en ;valor de x cuando y =0 < 2 x + 8 = y 2 x + 8 =0 2 x =0− 8 2 x =−8 −8 x = 2

x =−4, 4&e"%a =−4 

rdenada en el ori)en ;valor de y cuando x =0 < y =2 ( 0 ) + 8 y =8, 4&e"%b=8

/e acuerdo con lo anterior, la ecuación de la recta y =2 x + 8 en la $orma sim&trica. x y + =1 a b x

+

y

− 4 −8

x y

=1 ∴− + =1 4

8

ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARI & ROBLEMARIO. O. 46 | P á g i n a

D.H 8alla la ecuación sim&trica de la recta cuyas intersecciones con los ejes “*” y “y” se indican respectivamente. 3, 0 ) y N ( 0, 1) A (−5, 0 ) y B ( 0, −2 ) M M ( ( 3,0 .H Escriba en su $orma sim&trica las ecuaciones. a ¿ . 3 x + 2 y −6 =0 b ¿ . 5 x − 8 y + 40 =0 #.H 8alla la $orma sim&trica de la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el ori)en son  y L, respectivamente. .H 8alla la $orma sim&trica de la ecuación de la recta y =3 x −12 .H 0na recta pasa por los puntos P (7, 4 ) y Q ( 3,−6 ) ; %alla su ecuación en la $orma sim&trica.

K.H 0na recta de pendiente

( ) y 'ue pasa por el punto −7 2

A (−2, 6 ) ; determina su

ecuación en la $orma sim&trica. L.H 0na recta intersecta a los ejes “*” y “y” en ( 3 ) y ( 5 ) respectivamente: %alla la ecuación en la $orma pendienteHordenada de la recta paralela a la recta anterior y 'ue −8 ,0 . pasa por el punto A

(

3

)

47 | P á g i n a

Ec"aci,! de +a ecta e! +a
6a ecuación de la $orma Ax + Bx + C =0 , se llama ecuación )eneral de la recta, en donde los coe$icientes A , B y C son n>meros reales cuales'uiera, con la condición de 'ue A o B debe ser di$erente de cero y C puede o no ser i)ual a cero. 5ara saber si la ecuación Ax + Bx + C =0 , representa siempre una línea recta, es necesario anali(ar su comportamiento para cuando el coe$iciente de y es i)ual o di$erente de cero. Consideremos tres casos particulares en los 'ue la ecuación Ax + Bx + C =0 , está incompleta. CASO I. +i B =0, entonces A 0 0, por lo 'ue la ecuación Ax + Bx + C =0 , se

reduce a9

Ax + Bx + C =0 Ax + 0 y + C =0 ∴ Ax + C = 0

Esta $orma corresponde a la ecuación de una recta paralela al eje y: es decir9 A x + C = 0 Ax =−C −C ab!c'!a ab!c'!ae ee4 e4 %r'"e %r'"e ∴ x = A

CASO II. +i B 0 0, al dividir la ecuación Ax + By + C =0 por B , resulta9 Ax + By + C =0

Ax B y C + + =0 B B B

Ax C + y + =0 B B ∴ y

=

− Ax C − B

B

Esta $orma corresponde a la ecuación de una recta de pendienteHordenada en el ori)en, es decir, y =#x +b , por lo 'ue por analo)ía podemos deducir 'ue9 #= b=

− A B

8ed'e$ede4arec$a

−C B

%rde %rdeada ada ee4 e e4 %r'"e %r'"e

48 | P á g i n a

-epresentan la pendiente y de la ordenada en el ori)en a partir de la ecuación )eneral. 5or lo anterior, concluimos 'ue la ecuación Ax + Bx + C =0 , representa una recta. EJEM&LOS:

a<.H ICuáles son la pendiente y la intersección con el eje y de la recta cuya ecuación es 3 x −7 y −21= 0 J So+"ci,!.

6a ecuación de la recta dada está escrita en la $orma )eneral cuyos coe$icientes son9 3 x −7 y −21= 0

Ax + By + c =0

=3 ∴ B =−7 ∴ A

=− =−21 6a pendiente de la recta se determina por9 − A #= ∴ C

B

#=

−3 −7

∴#

=

3 7

6a intersección de la recta con el eje y es9 y =b = b=

−C B

−−21 −7

b =−3

5ara representar )rá$icamente la ecuación de la recta dada, determinamos su intersección con el eje x , es decir9 −C x = A

x =

−−21

∴ x

3

=7

49 | P á g i n a

Grá$icamente, tenemos9 400

450 400 350 300 250 250

y

200

e j e

150 100 050 /1 5

/1

000

000 /0 5 0

0 5

1

15

2

eje x

b<.H 8allar la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto A (−5,2) y tiene una pendiente de (1 / 3 ) : escribirla en las $ormas9 )eneral, pendienteHordenada en el ori)en y sim&trica. So+"ci,!:

Al sustituir los datos dados en la la ecuación punto y pendiente de una recta resulta9 resulta9 y − y 1= #( x − x1 ) 1 3

y −2 = ( x + 5 ) 3 y −6 = x + 5 ∴ x

− 3 y + 11=0 )c&ac'5 )c&ac'5 de4a de 4a rec rec$a $ae e4a 4a :%r#a"eera4 :%r#a "eera4

+i x −3 y + 11= 0 , tenemos9 −3 y =− x −11 y =

−− x −11 −3

50 | P á g i n a

∴ y

1 3

= x +

11 )c&ac'5 )c&ac'5 de 4arec 4a rec$a $a e4a :%r#a 8ed'e $e %rdeada %rdeada 3

6os coe$icientes de la $orma )eneral de la ecuación de la recta son9 A =1 ; B=−3, C = 11

Al determinar las intersecciones de la la recta con los ejes x y y , tenemos x =a =

−C A a=

y =b = b=

−11 1

∴a

=−11

−C B

−11 11 ∴ b= 3 −3

Al sustituir los datos en la ecuación ecuación de la $orma sim&trica, resulta9 resulta9 x y + =1 a b

−

∴

x 11

+

y 11

=1

3

− x 11

+

3 y =1 11

c<.H 8alla la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto P (4,5 ) y 'ue es perpendicular a la recta 7 x + 6 y + 8=0 So+"ci,!:

a<.H 6a pendiente de la recta # 1=

7 x + 6 y + 8=0

es9

− A −( 7 ) 7 = = B

6

6

6a pendiente de la recta buscada debe ser recíproca y de si)no contrario a #1 : por lo tanto9

51 | P á g i n a

# 2=

6 7

Así, como #=6 / 7 y el punto P ( 4,5 ) %allemos la ecuación de la recta indicada9 6 7

y −5 = ( x −4 )

Al multiplicar por L el primer miembro miembro de la ecuación y multiplicar por K el se)undo miembro la ecuación anterior resulta9 7 ( y −5 ) =6 ( x x −4 ) ,4&e"% 7 y −35 =6 x −24 6 x −24 −7 y + 35= 0 6 x −7 y + 11=0


D.H 8alla la $orma )eneral de la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto P (−5,1) y cuya pendiente es 7. .H 8alla la $orma )eneral de la ecuación de la recta 'ue pasa por los puntos P (−3,25 ) y Q (2,−10 ) . #.H 8alla la $orma )eneral de la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto 5;, < y 'ue es perpendicular a la recta y =2 / 5 x −10. .H 8alla la $orma de la ecuación de la recta de pendiente −4.

3/ 5

y ordenada en el ori)en

.H 8alla la $orma )eneral de la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto (3,−2 ) y 'ue es paralela a la recta 2 x +5 y +1=0 . K.H 8alla la $orma )eneral de la ecuación de la recta 'ue pasa por el punto ( 4, −2 ) y 'ue es perpendicular a la recta 5 x − y −3 =0. L.H /etermina la pendiente, án)ulo de inclinación y las intersecciones con los ejes coordenados, para la recta 'ue pasa por el punto A ( 3,− 4 ) y es paralela a la recta

52 | P á g i n a

3 x −4 y + 11=0 ;

sim&trica.

escríbela en las $ormas )eneral, pendienteHordenada en el ori)en y

".H 8alla la ecuación de la recta 'ue pasa por los puntos P1 ( 9, −4 ) , P2 (−3, 4 ) . En la $orma9 a<. 5endienteHordenada en el ori)en. b<. General. c<. +im&trica. .H 8alla la ecuación de la recta 'ue pasa por los puntos A (−5,−32 ) y B ( 7,16 ) en la $orma9 a<. 5endienteHordenada en el ori)en. b<. General. c<. +im&trica. D?.H Encuentra la pendiente, e intersecciones con los ejes coordenados para la rectas. a ¿ . 4 x + 3 y + 13= 0 b ¿ . 3 x −7 y −21= 0 Ec"aci,! de +a ecta e! +a
/ada una recta 6, tracemos a partir del ori)en de un sistema de coordenadas una semirrecta perpendicular a &sta y llam&mosla normal, a la 'ue representaremos con la letra !. +ea el punto P1 ( x 1 , y 1) donde se cortan o se intersectan ambas rectas, como se muestra en la $i)ura. y

L

N

Consideremos 'ue P es la lon)itud de recta O´P1 ;distancia del ori)en a la recta L < y 'ue  es es el án)ulo 'ue se )enera al )irar la normal alrededor del ori)en. Asimismo, tomemos como como dirección en la normal la dirección punto O al punto ?S del punto P1 : de esta manera, la lon)itud de P se considera siempre positiva, i)ual 'ue el án)ulo  , cuyos valores oscilan entre 0 x1 y 360  , ambos incluidos ( 0   +  360  ) . y 1 P1 + x 1 , y 1 ¿ P

53 | P á g i n a

y 1 

/educiremos a continuación la ecuación de una recta en la $orma normal, suponiendo 'ue conocemos la medida del án)ulo  y la lon)itud de P . /e acuerdo a la $i)ura, la pendiente de la normal es9 Por !"rula trigono#trica$

# N = tan + =

!e+ cos +

5or lo 'ue la recta L tiene pendiente9 −cos + # L = !e+

5uesto 'ue L y N son perpendiculares, sus pendientes son recíprocas y de si)no contrario.

x − x 1 ) , tenemos /e acuerdo con la ecuación en la $orma puntoHpendiente, y − y 1= # ( x 'ue para la recta L 9 −cos + ( x − x 1) y − y 1= !e+

A%ora bien, por tri)onometría sabemos 'ue9 !e+ =

y 1 P

y cos +=

x 1 P

/e donde resulta9 x 1= P cos + y 1= P !e+ !e + /e acuerdo con lo anterior, la e*presión9 y − y 1= y − P =

−cos + !e+

−cos + !e !e +

( x − x 1 ) e9&'7a4ea :

[ x x −( P−cos + ) ]

Al desarrollar y simpli$icar esta esta e*presión obtenemos la ecuación buscada9 x − P cos + + (¿ ) !e+ ( y − P !e+ !e + ) =−cos ¿

y !e+ !e + − P !e2 +=− x cos + + P cos2 + 54 | P á g i n a

y !e+ !e + + x cos + = P !e2 + + P cos2 + !e ( ¿ ¿ 2 + + cos2 + ) y !e+ !e + + x cos + = P ¿

-ecuerda 'ue por identidades tri)onom&tricas9 2

2

!e + + cos +=1

5or consi)uiente9 y !e+ !e + + x cos + = P , lue)o y !e+ !e + + x cos + − P=0

o tambi&n9

x cos + + y !e+ !e + − P=0

a expresión anterior es la ecuación de una recta en la #orma normal.

EJEM&LOS:

a<.H /etermina la ecuación de una recta en la $orma normal si en la $i)ura P=8 y += 30  . y r

P

+= 30 

x

So+"ci,!: 55 | P á g i n a

x cos + + y !e+ !e + − P=0 x cos30  + y !e 30  − 8=0

5or tri)onometría sabemos 'ue9 1

√ 3

2

2

!e 30  = y cos30  =

/e acuerdo con lo anterior, la ecuación de la recta en la $orma normal es9 x

( √ )+ ( )− = 3 2

∴

1 2

y

8 0

√ 3 x + 1 y −8 =0 2

2

&ROBLEMAS.

D.H 8alla la ecuación de la recta en la $orma normal, para los si)uientes valores de P y + ; tra(ar la )rá$ica correspondiente. P=7 y += 45  P=2 y + =225  P= 4 y + =300  P=6 y + =135  Red"cci,! de +a ec"aci,! de +a ecta de +a
!e + − P=0 las ecuaciones de una misma +ean Ax + By + C =0 y x cos + + y !e+ misma recta e*presada en su $orma )eneral y normal, respectivamente.

Como las dos ecuaciones determinan una misma recta, sus coe$icientes don proporcionales, es decir. cos +

A

= K ,

!e+ P = K y − = K B C

/onde K es la constante de proporcionalidad. /e acuerdo con lo anterior, anterior, tenemos9 1.cos += KA 2. !e+ = KB 3.− P = KC

+i elevamos al cuadrado los miembros de las ecuaciones D y  y las sumamos miembro a miembro, resulta9

56 | P á g i n a

+ ¿ K 2 A 2 2 2 2 !e + = K B

cos

2

cos

2

+ + !e2 += K 2 A2 + K 2 B2

2 2 C%#% cos + + !e +=1 , entonces resulta9 2

1= K A

2

+ K 2 B2

A ( ¿ ¿ 2 + B 2) 2 1= K ¿

A%ora despejamos K 2 : A

( ¿ ¿ 2 + B2 ) 2

K =

1

¿

Al obtener la raí( cuadrada de ambos miembros miembros de la i)ualdad anterior resulta9 K =

1

= √ A A + B 2

2

/e acuerdo con la e*presión de T obtenida tenemos9 cos + = KA

/e donde9

[

cos + =

cos + =

]( ) A

1

= √ A A + B 2

2

1

A = √ A A + B 2

2

Análo)amente9 !e+ = KB 57 | P á g i n a

/e donde9 !e+ =

!e+ =

[ √

]( ) B

1 2

= A A + B

2

1

B = √ A A + B 2

2

B9 − P = KC − P =

C = √ A A + B 2

2

5or lo tanto, la $orma normal de la ecuación Ax + By + C =0 es9 A = √ A A + B 2

x + 2

B = √ A A + B 2

y + 2

C = √ A A + B 2

2

=0

/e todo lo anterior podemos concluir lo si)uiente. /ada la ecuación )eneral de una recta Ax + By + C =0 , para 'ue tome la $orma normal se multiplica cada uno de sus t&rminos por el $actor 9 1

= √ A A + B 2

2

el cual recibe el nombre de $actor normali(ador de la ecuación )eneral y cuyo si)no 'ueda indeterminado.

5ara determinar el si)no del $actor normali(ador, aplicaremos la i)ualdad si)uiente9 − P = KC +e)>n esta i)ualdad, KC , o tambi&n 9 1

= √ A A + B 2

2

C,

'ue es un n>mero ne)ativo. 5or consi)uiente, el si)no del $actor normali(ador debe ser contrario al si)no del t&rmino independiente C de la ecuación 'ue se normali(a, ya 'ue9 58 | P á g i n a

+¿ ¿ −¿ ¿ −¿ ¿ +¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

En caso de 'ue C =0, el si)no del $actor normali(ador se considerará i)ual al de B . EJEM&LO.

12 x −5 y −8= 0

a<.H -educe la ecuación

a la $orma normal.

So+"ci,!.

/etermine primero el valor del $actor normali(ador con su si)no correspondiente9 K =

1

= √ A A + B 2

2

donde, de acuerdo con la ecuación, A =12 y B =−5 ; lue)o9 K =

1

1

== 2 2 13 = √ 12 12 +(−5 )

Como el si)no de C es ne)ativo (−8 ) , el si)no de T es positivo. 5or consi)uiente, la ecuación en la $orma normal de la recta 12 x −5 y −8= 0 es9 12 5 8 x − y − =0 13 13 13

b<.H 8alla la $orma normal de la recta

4 x −3 y + 2=0

.

So+"ci,!. K =

1

= √ A A + B 2

2

donde A = 4 y B =−3. 6ue)o9 1 1 1 K = = = = 2 2 25 5 √ 25 = √ 4 +(−3 )

/ebido 'ue el si)no del t&rmino independiente C es positivo (+ 2) , el si)no de K es ne)ativo. 5or tanto9

59 | P á g i n a

K =

−1 5

6a ecuación 'ue buscamos es9 −4 5

3 5

2 5

x + y − =0

c<.H 6a ecuación de una recta es 3 x −4 y −24 =0 : reducir su ecuación a la $orma normal: determinar los valores de 5 y + . So+"ci,!.

=−24. Conocidos los valores de los 6os coe$icientes son9 A =3, B=−4 y C =− coe$icientes, se determina el valor del si)no del radical, resultando. K =

K =

1

= √ A A + B 2

2

1

1

1

== = 25 5 √ 25 = √ 3 2+(−4 )2

Como el coe$iciente de C es ne)ativo, el si)no de K debe ser contrario a C . Al sustituir los datos encontrados, encontrados, resulta9 3 5

4

24

5

5

x − y −

=0

El valor de 5 es9 − P = − P =

C = √ A A + B

−24 5

2

2

∴ P

=

24 5

El valor del án)ulo + . Es9 A B = cos + = !e+ 2 2 2 2 = √ A A + B = √ A A + B cos + =

3 5

=0.6 !e+ =

−4 5

=−0.8

+e nota 'ue la $unción seno es de si)no ne)ativo y la $unción coseno es positiva, por lo 'ue se deduce 'ue el án)ulo + se ubica en el cuarto cuadrante del sistema coordenado.

60 | P á g i n a

+= arc cos ( 0.6 ) + =arc !e (−0.8 ) +=53  071 481 1 + =53  07 1 48 1 1

+i se resta a

360  1

, se determina el valor preciso de + .

1 1

360  =359  59 60

−53  07 1 48 1 1 1 1 1 ∴ + = 306  52 12 ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARI & ROBLEMARIO. O.

D.H Encontrar la $orma normal de las si)uientes ecuaciones. a<.H

3 x + 4 y −5 =0

b<.H

5 x −126 + 13= 0

c<.H

20 x −21 y + 5 =0

d<.H

8 x +15 −17 =0

e<.H

2 x +3 y − 8=0

.H 8alla la $orma normal de la ecuación de la recta 'ue pasa por los puntos9 a<.H A (2, −1) y B ( 6,2 ) b<.H P (1,−6 ) y Q (−2, −3 ) #.H -educe las ecuaciones si)uientes a la $orma normal y determina los valores de 5 y + . a<.H x − y − 4 =0 b<.H

2 x +3 y − 8=0

c<.H

3 x −4 y −7 =0

d<.H

4 x + 5 y + 10= 0

e<.H

3 x −4 y + 11= 0

61 | P á g i n a

$. DISTANCIA DISTANCIA DE UN &UNTO &UNTO A UNA RECT RECTA. A.

x 1 , y 1 ) a una recta 6 6a $órmula para calcular la distancia diri)ida de un punto P1 ( x determinada por la ecuación Ax + By +C =0 es9 d=

Ax + By + C = √ A A + B 2

2

x 1 , y 1 ) 5or conveniencia, diremos 'ue la distancia d será positiva si el punto P1 ( x está situado arriba de la recta y ne)ativa si está por debajo. 6o anterior se puede obtener si e si)no del radical √ A A 2+ B 2 es el mismo 'ue el de B , el coe$iciente de la variable y .

+i no interesa el si)no de la distancia ;distancia no diri)ida<, entonces su lon)itud es el valor absoluto de la e*presión anterior, es decir.

| √

d=

|

Ax + By + C 2

A A + B

2

EJEM&LOS.

a<.H Encuentra la distancia diri)ida del punto P (5, −3 ) a la recta

2 x + 3 y + 4 = 0.

So+"ci,!.

Con base en la ecuación de la recta, A = 2, B=3 y C =4, y con el punto P , x =5 y y =−3. 5or tanto9 Ax + By + C d= 2 2 = √ A A + B d=

d=

2 ( 5 )+ 3 (−3 )+ 4

= √ 2 + 3 2

2

5 13 = √ 13

Como el si)no de 2 es positivo, entonces el radical √ 13 13 tambi&n lo es: por ende9 d=

5 13 √ 13

=1.39

El punto estará situado arriba de la recta por'ue d es positiva. b<.H 8alla la distancia diri)ida del punto P ( 9,−3 ) a la recta

3 x −4 y −24 =0.

So+"ci,!. 62 | P á g i n a

d=

d=

d=

Ax + By + C = √ A A + B 2

2

3 ( 9 ) −4 (−3 )− 24

= √ 3 +(−4 ) 2

2

27 +12 −24

=

25 = √ 25

15 25 = √ 25

Como el si)no de 2 es ne)ativo, entonces el si)no del radical √ 25 25 tambi&n lo es: por lo tanto9 15 d= =−3 −5 d =−3

/e acuerdo al resultado obtenido, el punto P ( 9,−3 ) está situado debajo de la recta 3 x − 4 y −24 =0. c<.H /etermina la distancia no diri)ida de la recta

5 x + 4 y + 15= 0

al punto A (2, 4 ).

So+"ci,!.

6a distancia pedida se considera absoluta y al sustituir los datos en la ecuación obtenemos9 Ax + By + C d= 2 2 A + B √ A d

| = |

| + + √ + |

5 x 4 y 15 2

5

4

2

B al sustituir las coordenadas del punto A ( 2, 4 ) , tenemos9

| =|

d=

d

∴d

|

5 ( 2)+ 4 ( 4 )+ 15 25 + 16 √ 25

|

10 + 16 + 15 41 √ 41

|√ |

=

41

41 41

=

41 41 √ 41

6a distancia de la recta

5 x + 4 y + 15= 0

al punto A ( 2, 4 ) es9

63 | P á g i n a

d=

41 41 √ 41

d<.H /eterminar la distancia no diri)ida comprendida entre las rectas paralelas 6 x −8 y −24 = 0 y 3 x −4 y + 12= 0

So+"ci,!.

6os se)mentos 'ue determinan la recta 6 x −8 y −24 = 0 sobre los ejes x y y , es decir sus intersecciones son9 (4,0 ) y ( 0, 3 ) .

Al determinar la distancia de la recta encontrados, resulta9

3 x −4 y + 12 =0

a cual'uiera de los puntos

5ara (4,0 ) Ax + By + C d= 2 2 A + B √ A

|

|

4

−¿ ¿ ¿2 2 3 +¿ √ ¿ 3 x − 4 y + 12 ¿ d =¿

| √ + | + =| = = | √

d=

d

3 ( 4 )− 4 ( 0 )+ 12 9 16

12 12 25 25

24 ∴d 5

24 5

5ara (0 −3 ) Ax + By + C d= 2 2 A + B √ A

|

|

64 | P á g i n a

4

−¿ ¿ ¿2 2 3 +¿ √ ¿ 3 x − 4 y + 12 ¿ d =¿

| √ + + =| = | √

d=

d

3 ( 0 )−4 (−3 )+12 9 16

12 12 25 25

|

24 24 ∴d = 5 5

ambi&n se puede resolver, al determinar los se)mentos 'ue la recta 3 x −4 y + 12 =0 $orma con los ejes x y y , es decir, sus intersecciones con dic%os ejes, y calcular despu&s la distancia de la recta 6 x −8 y −24 = 0 a cual'uiera de los puntos de intersección encontrados.


D.H /etermina la distancia diri)ida de las si)uientes rectas dadas al punto indicado. a<.H

8 x −15 y +10=0 P ( −2,3 2, 3 ) .

b<.H

20 x + 21 y + 4 = 0 P ( −1,− 2 ) .

c<.H

3 x −4 y − 12= 0 Q (− 2,−1 ) .

d<.H

6 x + 8 y + 5=0 P ( 4, 2 ) .

e<.H

5 x −12 y −22=0 P ( −3, −2 ) .

.H /etermina la distancia absoluta ;no diri)ida< de las si)uientes rectas dadas al punto indicado. 65 | P á g i n a

a<.H

4 x −5 y −13= 0 A ( 7,−1 ).

b<.H

2 x +5 y + 10= 0 C ( ( 1,3 1, 3 ) .

c<.H

3 x −4 y −12=0 P ( 5,−2 ) .

#.H /etermina la distancia no diri)ida comprendida entre las si)uientes rectas paralelas. a<.H

3 x + 4 y −12 =0 y 3 x + 4 y + 8= 0

b<.H

15 x + 8 y + 30 =0 y 15 x + 8 y − 4 =0

c<.H

9 x + 12 y − 27= 0 y 9 x + 12 y + 33 =0

d<.H

20 x −21 y + 9=0 y 20 x −21 y −20= 0

e<.H x − y − 9=0 y x − y +3 =0

UNIDAD ': LAS CÓNICAS. INTRODUCCION: En esta unidad se reali(a el estudio de las secciones cónicas9

circun$erencia, parábola y elipse. +e e$ect>a el análisis de sus elementos, de sus di$erentes $ormas y se obtienen sus ecuaciones canónicas y )enerales. OBJETIVOS DE LA UNIDAD.

esolverá problemas teóricos relativos a las cónicas, a El alumno:  esolverá

partir de su caracteri(ación como lu)ar lu)ar )eom&trico, 'ue permita permita aplicar e inte)rar sus propiedades )rá$icas y sus ecuaciones ordinarias y )eneral, recuperando los conceptos procedimientos, )eom&tricos y analíticos, analíticos, sobre puntos, rectas y se)mentos y contribuirá a )enerar un ambiente escolar 'ue $avore(ca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad y colaboración %acia el entorno en 'ue se desenvuelve. '.1

DETERMINACIÓN DETERMINACI ÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA. CIRCUNFERE NCIA. 66 | P á g i n a

LA CIRCUNFERENCIA.

Es el lu)ar )eom&trico de todos los puntos en el plano 'ue e'uidistan en un punto $ijo. El punto $ijo se llama centro de la circun$erencia. Cual'uier se)mento de recta cuyos puntos e*tremos sean el centro de la circun#erencia y un punto cual'uiera de &sta se denomina radio. a circunerencia l un"o O reresen"a el cen"ro O

E+eme!tos de "!a cic"!
A continuación continuación de$iniremos conceptos relacionados con la la circun$erencia. CIRCULO. Es la re)ión del plano limitada por una circun$erencia RADIO. Es cual'uier se)mento de recta en el 'ue uno de sus e*tremos es el centro de

una circun$erencia, y el otro es un punto cual'uiera de la misma. ambi&n ambi&n llamaremos radio a la distancia de cual'uier punto de la circun$erencia a su centro y lo desi)naremos con r. CUERDA. Es cual'uier se)mento de recta cuyos e*tremos son puntos 'ue pertenecen a

la circun$erencia.

DIAMETRO. Es una cuerda 'ue contiene el centro de la circun$erencia. 6a lon)itud de un

diámetro es el doble de la lon)itud del radio.

SECANTE. Es cual'uier recta 'ue corta una circun$erencia en dos puntos. TAN(ENTE. Es cual'uier recta 'ue contiene un y sólo un punto de la circun$erencia, el

cual se llama punto de tan)encia. +e dice 'ue esa recta y la circun$erencia son tan)entes en ese punto. La ec"aci,! de +a cic"!
6a circun$erencia cuyo centro coincide con el ori)en del sistema de coordenadas rectan)ulares y tiene por radio la constante r , tiene por ecuación9 2

2

x + y =r

2

67 | P á g i n a

&eostraci"n%

+ea P ( x , y ) un punto cual'uiera de la circun$erencia de centro en el ori)en y radio r . Y

P(x,y)

r % X

X’



O

Y’ ´ : Al aplicar la ecuación de la distancia entre entre dos puntos, tenemos para el se)mento se)mento OP

d = √ ( x x 1− x 2 ) + ( y 1− y 2 ) 2

´ =√ ( 0− x ) + ( 0 − y ) OP 2

r = √ x x + y 2

2

2

2

Al elevar al cuadrado ambos miembros de la la ecuación, resulta9 = x 2+ y 2 6a e*presión x 2+ y 2 =r 2 tambi&n se denomina $orma canónica de la ecuación de la circun$erencia. ∴r

2

EJEM&LO.

/eterminar la ecuación de la circun$erencia de centro en el ori)en cartesiano y de radio i)ual a . So+"ci,!.

Al sustituir los datos en la ecuación ecuación de la circun$erencia en su $orma canónica, resulta9 2

2

x + y =r 2

2

2

2

x + y =( 4 )

68 | P á g i n a

2

2

x + y =16 Ecuación de la circun#erencia de centro en el origen y radio igual a *.

5ara )ra$icar se despeja y en $unción de x y se le dan valores arbitrarios a la x , obteniendo los valores de la variable dependiente y y se variable independiente x, re)istran en un tabulador. Ec"aci,! de +a cic"!
6a ecuación de una circun$erencia cuyo centro es el punto C ( * , > ) y radio r es9

( x −* )2 + ( y − > )2=r 2 Y

P(x, y)

r

C(h,k) X

O

6a e*presión anterior es la $orma ordinaria o estándar de la ecuación de la circun$erencia de radio r y con centro en el punto C ( * , > ) . Esta ecuación permite identi$icar las coordenadas del centro y el radio de una circun$erencia, de a%í la $acilidad para el tra(o de una )rá$ica. Demostaci,!.

Con base a la de$inición )eom&trica de la circun$erencia, se tiene 'ue el punto P ( x y ) ´ |= r , la cual analíticamente se e*presa por la $órmula cumple la condición de 'ue |CP de distancia entre dos puntos, es decir9 ´ |= √ ( x − * ) + ( y −> ) |CP 2

2

r = √ ( x − * ) + ( y −> ) 2

2

Al elevar al cuadrado ambos miembros de la la ecuación, tenemos9 69 | P á g i n a

∴r

2

=( x −* )2 +( y −> )2

Foma )e!ea+ de +a ec"aci,! de "!a cic"!
+i en la ecuación ( x x −* )2 + ( y − > )2−r 2=0 desarrollamos los binomios al cuadrado y reducimos t&rminos semejantes, lle)amos a una ecuación de la $orma9 2

2

x + y + Dx + )y + F =0

6a ecuación anterior es la $orma )eneral de la ecuación de la circun$erencia. bserva 'ue el coe$iciente de x 2 y de y 2 es D. EJEM&LOS.

a<.H 8alla la ecuación de la circun$erencia cuyo centro C (− (−4,3) y de radio . So+"ci,!.

En este caso, *=−4, > =3 y r =5 : lue)o9 ( x x −* )2 + ( y − > )2=r 2

[ x x −(−4 )] + ( y −3 ) =5 2

2

2

( x + 4 )2+ ( y −3 )2=25 Ecuación de la circun#erencia en la #orma ordinaria

Al desarrollar y simpli$icar el miembro miembro i('uierdo de la ecuación anterior 'ueda9 2

2

x + 8 x + 16 + y −6 y + 9= 0

x 2+ y 2 + 8 x −6 y + 25 −25 =0 x 2+ y 2 + 8 x −6 y =0 Ecuación de la circun#erencia en la #orma general Y

r

C(-4,3)

70 | P á g i n a

X

O

b<.H /etermina la ecuación de la circun$erencia 'ue pasa por el punto (4, −5 ) y cuyo centro es el punto C ( 6,−4 ) . So+"ci,!.

6a lon)itud del radio de la circun$erencia es i)ual a la distancia 'ue %ay entre los puntos mencionados, es decir9 2

2

2

r =( x − * ) + ( y −> ) 2 2 2 r =( 6 − 4 ) + [−4 −( 5) ] 2

2

r =( 2 ) + (−4 + 5 ) 2 r = 4 +1

2

r 2=5 r = √ 5

Con r = √ 5 y el punto C ( 6,−4 ) ya podemos determinar la ecuación de la circun$erencia9

( x −* )2 + ( y − > )2=r 2 2 2 ( x −6 )2 +[ y −(−4 ) ] = ( √ 5 ) ( x −6 )2 + ( y + 4 )2=5 F%r#a %rd'ar'a %rd'ar'a 6ue)o9 x 2−12 x + 36 + y 2 + 8 y + 16 −5= 0 x 2+ y 2 −12 x + 8 y +47 =0 F%r#a "eera4

c<.H /eterminar la ecuación de la circun$erencia cuyo centro es el punto C ( 10,−5 ) y 'ue es tan)ente a la recta 4 x +3 y −50 =0. So+"ci,!.

+e)>n lo se7alado antes ;y los principios de la )eometría plana<, una recta tan)ente a una circun$erencia es perpendicular al radio, cuyos puntos e*tremos son el punto de tan)encia y el centro de dic%a circun$erencia. 6a lon)itud el radio es i)ual a la distancia no diri)ida 'ue %ay del centro C ( * , > ) a la recta tan)ente. 71 | P á g i n a

/e acuerdo con lo anterior, la distancia no diri)ida 'ue %ay del punto C ( 10,−5 ) a la recta 4 x + 3 y −50 =0 es la lon)itud de su radio, es decir9 y

x r

C ( 10,−5 )

4

¿ ¿ ¿ 2 +(3 )2 −25 ¿= =5

| | 5

√ ¿

4 ( 10 ) + 3 (−5 )−50

¿

r= ¿

Con el punto C ( 10,−5 ) y r =5 , determinamos la ecuación de la circun$erencia9 x −* )2 + ( y − > )2=r 2 ( x ( x −10 )2 +[ y −(−5) ]2=5 2

( x −10 )2 +( y + 5 )2=25 F%r#a %rd'ar'a %rd'ar'a 2 2 x −20 x + 100 + y + 10 y + 25=25 2 2 x + y −20 x + 10 y + 100= 0 F%r#a "eera4 "eera4

72 | P á g i n a


D.H /etermina la ecuación de la circun$erencia de centro en el ori)en cartesiano y cuyo radio se indica a continuación: construye la )rá$ica correspondiente. a<.H b<.H c<.H d<.H

r= 6 r = √ 7

r= 8 r = √ 5

.H /etermina la ecuación de la circun$erencia en sus $ormas ordinaria y )eneral, cuyo centro es el punto C y 'ue pasa por el punto A , tra(a la )rá$ica correspondiente. a<.H b<.H c<.H d<.H

C (−6,7 ) y pasa por A ( 2, 2 )

C (− (−3, 4 ) y pasa por A (2, −5) (− 4,−3 ) y pasa por A ( 4,−9 ) C (− C ( 3,2 ) y pasa por A (−1,−5 )

#.H 6os e*tremos del diámetro de una circun$erencia son los puntos 'ue a continuación se indican: determina la ecuación de la curva en su $orma ordinaria y )eneral: tra(a la )rá$ica correspondiente. a ¿ .− A (−7,0 ) y B (0, 4 ) b<.H A (6, −2) y B (−4, 3) c<.H A (5, −2) y B ( 7,2 ) d<.H A (−2,− 4 ) y B (1,2 ) .H /etermina cada una de las ecuaciones de la circun$erencia 'ue pasa por los centros dados y es tan)ente a la recta 'ue se indica. a<.H C (− (−2,3 ) y es tan)ente a la recta 20 x −21 y −42 =0 b<.H C ( 13,−6 ) y es tan)ente a la recta 3 x −4 y −13= 0 1, 2 ) y es tan)ente a la recta 3 x −4 y −15= 0 c<.H C ( 1,2 .H /etermina la ecuación de la circun$erencia en su $orma ordinaria y )eneral, para los centros y radios dados a continuación, construye la )rá$ica correspondiente. a<.H b<.H c<.H d<.H

C ( 4, 2) y C ( 2,−3 ) y C ( 5,0 5, 0 ) y C (− (−1, −3)

r =3 r =5 r= 4 y r = √ 7

73 | P á g i n a

'.$

DETERMINACIÓN DETERMINACI ÓN DE LA ECUACIÓN DE LA &AR4BOLA. La *a#o+a.

Es el lu)ar )eom&trico de todos los puntos en el plano cuya distancia a un punto $ijo, llamado $oco, es i)ual a su distancia a una recta $ija, denominada directri(.

En la $i)ura se muestra una parábola, y a%í distin)uimos estos elementos9  El punto = es el $oco de la parábola. 6a recta $ija / es su directri(.   6a recta 'ue contiene al $oco y es perpendicular a la directri( es el eje de la parábola se desi)na con la letra 6.  El punto medio entre el e l $oco y la directri( se llama v&rtice y se simboli(a con la letra 4. bserva en la $i)ura 'ue el v&rtice es el punto de intersección de la parábola y su eje. 6a distancia diri)ida de 4 a = se representa con la letra a, es decir9 

a =?F 6a distancia no diri)ida del $oco a la directri( es el parámetro de la parábola y se representa con la letra 5.

| AF |= P Entonces9 | A? |= P y |?F |= P 2

2

 sea9 P=|2 a| 74 | P á g i n a



Ec"aci,! de +a *a#o+a co! 08tice e! e+ oi)e! / 0 .

En la $i)ura se representa una parábola cuyas características son9

a. b. c.

d. e.

f.

+ea 5 un punto cual'uiera del plano 'ue está en la parábola 6a recta $ija / sea su directri(. ´ sea +ea  un punto 'ue pertenece a la recta /, de modo 'ue PQ perpendicular a /, es decir, la distancia 'ue %ay del de l punto 5 a la directri( / es la ´ lon)itud del se)mento PQ . +ea = su $oco y la recta 6 su eje, la cual es perpendicular a la directri( y contiene al $oco. +ea 4 su v&rtice, el cual está colocado en el punto medio del se)mento de la recta ´ . bserva en la $i)ura si)uiente 'ue el v&rtice es el punto más cercano a la RF directri(. /e acuerdo con la de$inición de la parábola, se tiene 'ue PF = PQ .

75 | P á g i n a

Direc"ri

x =a

5ara encontrar la ecuación de una parábola en un sistema de coordenadas colo'uemos su eje $ocal sobre el eje x , el v&rtice ? en el ori)en y el $oco en el punto F ( a , 0 ) , como se observa en la $i)ura anterior. 5or lo tanto, la ecuación de su directri( es x =−a o x + a= 0 . +e)>n la de$inición de la parábola y la $i)ura tenemos 'ue9 a. b. c.

FP= PQ

PQ= x −(−a)= x + a 2 2 FP =√ ( x −a ) + ( y −0 )

5or consi)uiente9 2 2 √ ( x −a ) + ( y − 0 ) = x + a A continuación continuación elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior9

[ √ ( x −a ) +( y −0 ) ] = ( x x +a ) 2

2

2

2

Al desarrollar y simpli$icar la e*presión e*presión anterior resulta9 x −a )2+ y 2 = x2 + 2 ax + a2 ( x 2 2 2 2 2 x −2 ax + a + y = x + 2 ax + a

A continuación continuación despejamos y 2 : y 2=2 ax + 2 ax 2 y = 4 ax Así tenemos 'ue la ecuación de una parábola con v&rtice en el ori)en, eje $ocal en el eje x y cuyas coordenadas son F ( a , 0 ) es9 2

y = 4 ax

76 | P á g i n a

A partir partir de esta ecuación podemos deducir lo si)uiente9 D. +u )rá$ica )rá$ica es sim&tr sim&trica ica respecto respecto al al eje *, es decir, decir, si el punto punto P ( x , y ) satis$ace su ecuación, entonces el punto P ( x ,− y ) tambi&n la satis$ace, es decir, ambos puntos están en dic%a )rá$ica. . +i y es di$er di$erent entee de cero cero,, enton entonces ces y 2 será siempre un n>mero positivo, por lo 'ue se deduce 'ue tanto el valor de a como el de x deben tener el mismo si)no. +i a es mayor 'ue cero, entonces la x sólo podrá tomar n>meros positivos, es decir, la e*tensión de la variable x es el intervalo x @ 0, mientras 'ue la e*tensión de la variable y es el conjunto de los n>meros reales, ya 'ue y == √ 4 ax. ax . /e acuerdo con estas condiciones, la curva resulta una parábola abierta 'ue se e*tiende in$initamente a la derec%a, %acia arriba y %acia abajo, como se muestra en la $i)ura si)uiente.

´ de esa $i)ura, 'ue es perpendicular al eje $ocal y pasa por el El se)mento de recta LR $oco, se llama lado recto y su lon)itud es 4 a . Esto se puede demostrar al sustituir en la ecuación y 2= 4 ax la a por la x , es decir, si x =a , entonces9 y = 4 a ( a ) 2

y 2= 4 a2 6ue)o9

√ y y =√ 4 a 2

2

| y|=2 a y == 2 a 77 | P á g i n a

Es decir, las coordenadas del punto L son (a , 2 a ) y las de R son (a , −2 a) , y de acuerdo con la $órmula de la distancia tenemos9 LR= √ ( a −a ) + [ 2 a −(− −(−2 a ) ] 2

LR= √ 0 + ( 4 a )

2

2

LR= √ |( 4 a ) | 2

LR=|4 a|

Es importante precisar 'ue a la lon)itud del lado recto tambi&n se le llama anc%ura $ocal.

EJEM&LOS.

D.H /ada la ecuación de la parábola y 2=12 x , a<. 6as coordenadas del $oco

encuentra lo 'ue se indica.

So+"ci,!.

a<. Coordenadas del $oco. 6a ecuación es de la $orma y 2= 4 ax; ax ; lue)o9 4 a=12 a=

12

4 a =3

5or ende, las coordenadas del $oco son F ( 3, 0 ) . b<. 6a lon)itud del lado recto So+"ci,!.

b<. 6on)itud del lado recto ;6-<9 LR=|4 a| LR=|4 ( 3 )|=|12| LR=12

El lado recto tiene D unidades de lon)itud. c<. El parámetro. So+"ci,!.

c<. El parámetro es9

P=|2 a|, lue)o P=6

d<. 6a ecuación de la directri(. 78 | P á g i n a

So+"ci,!.

d<. 6a ecuación de la directri( es x + a= 0 ; así9 o tambi&n x + 3=0, x =0 −3 x =−3 e<. 6as coordenadas de los puntos e*tremos del lado recto.

So+"ci,!.

Coordenadas de los e*tremos del lado recto. El valor de las abscisas en los puntos e*tremos del lado recto es el correspondiente a la abscisa del $oco: lue)o, x =3 , por consi)uiente9 y 2= 4 ax 2 y = 4 ( 3 ) ( 3 ) y 2=36 36 y == √ 36 y == 6 Es decir, las coordenadas de los puntos e*tremos del lado recto son (3, 6 ) y ( 3,−6 ) . $<. Esbo(a la )rá$ica de la parábola.

.H 8alla la ecuación de la parábola con v&rtice en el ori)en y $oco F ( 4,0 ). So+"ci,!.

+e)>n las condiciones )eom&tricas se7aladas, y 2= 4 ax , donde a =4 ; por tanto, su ecuación es9 2 y = 4 ( 4 ) x 79 | P á g i n a

y 2=16 x

#.H 8alla la ecuación de la parábola con v&rtice en el ori)en, cuya lon)itud del lado recto es D y su )rá$ica se abre %acia la derec%a. So+"ci,!.

Como su )rá$ica se abre %acia la derec%a y su v&rtice está en el ori)en, su ecuación es de la $orma y 2= 4 ax , con a > 0 ; lue)o9 LR= 4 a 4 a=14 Es decir9 y 2=14 x

80 | P á g i n a



Ec"aci,! de +a *a#o+a co! 08tice e! e+ oi)e! /
+i el $oco de una parábola con centro en el ori)en se locali(a en la parte ne)ativa del eje x , entonces el $oco se representa con F ( a , 0 ) y la directri( con x =−a , donde a< 0 . Entonces la medición positiva desde un punto P ( x , y ) a la recta directri( en – a− x . 5or tanto, de acuerdo con la de$inición de la parábola tenemos 'ue9 2 √ ( x −a ) + y 2=−a − x

Al elevar al cuadrado y simpli$icar la la e*presión 'ue resulta lle)amos a 81 | P á g i n a

2

y = 4 ax

Como a es menor 'ue cero, entonces la * sólo puede tomar valores ne)ativos y cero, es x  0. 6a e*tensión de la variable y decir, la e*tensión de la variable x es el intervalo x es el conjunto de todos los n>meros reales, por lo 'ue resulta una parábola como la 'ue se muestra en la si)uiente $i)ura. bserva 'ue la recta directri( es paralela al eje y , pero corta al eje x en su parte positiva.

EJEM&LO.

D.H /ada la ecuación de la parábola y 2=−8 x , determina lo 'ue se indica. a<.H 6as coordenadas del $oco.

So+"ci,!

El si)no ne)ativo del coe$iciente de la x nos indica 'ue la parábola se abre %acia la i('uierda, lue)o el $oco se encuentra en la parte ne)ativa del eje x . 4 a=−8 −8

a=

4 a =−2

=−2

/e acuerdo con lo anterior, las coordenadas del $oco son F (−2,0 ) . b<.H 6a ecuación de la directri(

So+"ci,!.

c<.H 6a lon)itud del lado recto.

x + a= 0, lue)o x + (−2 ) =0 x =2

So+"ci,!.

LR=|4 a| 82 | P á g i n a

LR=|4 (−2 )| LR=|−8|

LR=8 d<.H 6a lon)itud del parámetro. So+"ci,!.

P =|2 a|=|2 (−2 )|= 4

e<.H 6as coordenadas de los puntos e*tremos del lado recto.

So+"ci,!.

En los puntos e*tremos de dic%o se)mento x =−2 : lue)o, al sustituir este valor en la ecuación resulta. y 2=−8 x 2 y =−8 (−2 ) y 2=16 2 16 y == √ 16 2 y = 4 ax y == 4

5or lo tanto los puntos e*tremos de lado recto son (−2,4 ) y (−2,− 4 ) . $<.H Grá$ica de la parábola.

.H /ada la ecuación de la parábola con v&rtice en el ori)en y en la 'ue las coordenadas 4, 0 ) . de su $oco son F (− (− 4,0 So+"ci,!.

/e acuerdo con las condiciones se7aladas, el eje $ocal está en el eje * y su )rá$ica se abre %acia la i('uierda (a =−4 < 0 ) : entonces su ec ecuación uación es de la $orma 2 y = 4 ax , donde a =−4 ; lue)o9 2 y = 4 (−4 ) x 83 | P á g i n a

y 2=−16 x 6a )rá$ica sería la si)uiente9



Ec"aci,! de +a *a#o+a co! 08tice e! e+ oi)e! /
/edu(camos a continuación la ecuación de una parábola con v&rtice en el ori)en y cuyo eje $ocal está en el eje y , como se muestra en la $i)ura. /e acuerdo con ella y la de$inición de la parábola, se cumple esta condición )eom&trica.

PF = PQ

6ue)o9 2 2 2 2 2 √ ( x −0 ) + ( y − a ) =√ ( x − x ) + [ y −( a ) ] =√ ( y + a ) de donde9 2 2 x +( y −a ) = y + a √ x 84 | P á g i n a

A continuación continuación elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior para eliminar el radical9 2

2

x +( y − a ) =( y + a )

2

/esarrollamos y simpli$icamos la e*presión anterior9 x 2+ y 2 −2 ay + a2= y 2 + 2 ay + a 2

Al despejar x 2 resulta9 x 2=2 ay + 2 ay 2 x =4 ay

6a e*presión anterior es la ecuación 'ue 'ueremos deducir. /e esta ecuación se desprende lo si)uiente9 D. +u )rá$ica )rá$ica es sim&trica sim&trica respec respecto to al eje y, y, es decir, decir, para cada punto punto P ( x , y ) 'ue la satis$ace, entonces el punto (− x , y ) tambi&n la satis$ace. . El lado lado recto recto pasa pasa por por el $oco $oco:: lue)o, lue)o, si si y = a , entonces de acuerdo con la ecuación tenemos9 2 x =4 ay 2 x =4 a ( a ) x 2=4 a2 Al e*traer la raí( cuadrada en ambos miembros miembros de la ecuación anterior resulta9 x == 2 a

/e acuerdo con ello, las coordenadas de los puntos e*tremos del lado recto son (2 a , y ) y (−2 a , y ) , y su lon)itud es la distancia 'ue %ay entre esos puntos, o sea9 LR = √ [ 2 a −(− −(−2 a )] +( y − y ) 2

2

LR = √ (4 a)

2

LR=|4 a|

Es decir la lon)itud del lado recto ( LR ) es el valor absoluto del producto

4a

.

#. +i x es di$erente de cero, entonces x 2 es siempre un n>mero positivo, por lo 'ue los valores de a y y deben tener siempre el e l mismo si)no, es decir, ambos positivos o ambos ne)ativos. . +i a es mayor 'ue cero (a > 0) , entonces su )rá$ica es una cuerva abierta 'ue se e*tiende in$initamente %acia arriba y ambos lados, esto se debe a 'ue el valor de y será siempre un n>mero positivo o cero y la x puede tomar cual'uier valor real. 85 | P á g i n a

. +i a es menor 'ue cero ( a < 0) , entonces su )rá$ica es una curva abierta 'ue se e*tiende in$initamente %acia abajo y %acia la derec%a e i('uierda respectivamente, esto se debe a 'ue el valor de y será cero o siempre un n>mero ne)ativo, y x puede tomar cual'uier valor real. EJEM&LOS.

D.H 8alla la ecuación de la parábola con v&rtice en el ori)en y cuyo $oco se encuentra en las coordenadas =;?, < So+"ci,!.

/e acuerdo con las condiciones )eom&tricas se7aladas, el eje $ocal de la parábola está en el eje y y su )rá$ica se abre %acia arriba (a =5 > 0 ) : lue)o, su ecuación de la $orma 2 x =4 ay , donde a =5, es decir9 2 x =4 ( 9 ) y 2 x =20 y

.H /etermina la ecuación de la parábola con v&rtice en el ori)en, cuyo eje $ocal está sobre el eje y y cuya )rá$ica contiene el punto P ( 8,− 4 ) . So+"ci,!.

Como el eje $ocal está sobre# el eje y, entonces la ecuación es de la $orma x 2=4 ay . 5uesto 'ue la )rá$ica contiene al punto P ( 8,−4 ) , entonces se cumple lo si)uiente9 2

8

= 4 a ( −4 )

4 a=

64 −4

4 a=−16

5or lo tanto, la ecuación es9 2 x =−16 y

86 | P á g i n a


D.H En los ejercicios si)uientes determina la ecuación de la parábola con v&rtice en el ori)en y 'ue satis$a)a las condiciones dadas. ra(ar la )rá$ica correspondiente a<. =oco en b<. =oco en c<. =oco en d<. =oco en

(4, 0 ) (3, 0 ) (0, 6 ) (0,− 4 )

.H /etermina la ecuación, las coordenadas del $oco, la ecuación de la directri( y la lon)itud del lado recto para la parábola de v&rtice en el ori)en y cuyo eje coincide con el eje *, pasando por el e l punto indicado9 ra(a la )rá$ica respectiva. a<. K (−2, 4 ) b<. L ( 5,7 5, 7 ) c<. M (−6,−4 ) #.H /etermina la ecuación, las coordenadas del $oco, la ecuación de la directri( y la lon)itud del lado recto para la parábola de v&rtice en el ori)en y cuyo eje coincide con el eje y, pasando por el punto indicado: tra(a la )rá$ica respectiva. a<. K ( 4,−2 ) b<. L ( 7,5 7, 5 ) c<. M (−4,−6 ) .H /etermina las coordenadas del $oco, la ecuación de la directri( y la lon)itud del lado recto para cada una de las ecuaciones: tra(a la )rá$ica correspondiente. a<. b<. c<. d<.

2

x =20 y

y 2=20 x 2 x =18 y y 2=−2 x

87 | P á g i n a

Ec"aci,! de +a *a#o+a co! 08tice <"ea de+ oi)e!.

Analicemos los casos si)uientes de la parábola con v&rtice $uera del ori)en. Caso I. Eje de la parábola paralelo al eje * y $oco ubicado a la derec%a del v&rtice.

6a ecuación 'ue correspondería a esta parábola si su v&rtice estuviera en el ori)en es y 2= 4 ax; ax ; por tanto, de acuerdo con el teorema de traslación, su ecuación con v&rtice en el punto ? ( (* , > ) es9

( y − > )2=4 a ( x −* ) Esta ecuación es la $orma ordinaria de la ecuación de la parábola. EJEM&LO.

Escribe la ecuación de la parábola con v&rtice en ;, K< y $oco en ;

5 2

,6¿

So+"ci,!.

Como el v&rtice y el $oco están en la recta %ori(ontal y =6 y el $oco está a la derec%a del v&rtice, la )rá$ica es una parábola 'ue se abre in$initamente %acia la derec%a, por lo 'ue su ecuación es de la $orma9 x −* ) ( y − > )2=4 a ( x

/onde9 ´ a =?F 5 2

a= − 2 ∴ a=

1 2 88 | P á g i n a

Con el v&rtice ? ( 2, 6 ) y 2 ordinaria9 ( y −6 ) =4

()

a=

1 2

encontraremos la ecuación solicitada en la $orma

1 ( x −2 ) 2

Caso II. Ecuación de la parábola con v&rtice en ? ( * , > ) , eje $ocal paralelo al eje x

y $oco ubicado a la i('uierda del v&rtice.

89 | P á g i n a

+i su v&rtice estuviera en el ori)en sería9 y 2=−4 ax . 5or lo tanto su ecuación en la $orma ordinaria es9 x −* ) ( y − > )2=4 a ( x EJEM&LO.

8alla la ecuación de la parábola cuyo v&rtice se %alla en las coordenadas ? (−4, −3) y cuyo $oco está en F (−7,−3 ) . So+"ci,!.

Como el $oco está a la i('uierda del v&rtice, la ecuación de la parábola es de la $orma =−3 . +u )rá$ica es la si)uiente. ( y − > )2=4 a ( x −* ) , con a < 0 en donde *=−4, > =−

/e acuerdo con la $i)ura anterior tenemos a =?F D'!$ac'ad'r'"'dade? aF a =−7 −(−4 ) a =−7 + 4 a =−3 6a ecuación de la parábola en la $orma ordinaria es9 [ y −(−3 ) ]2= 4 (−3 ) ( x x + 4 ) ( y +3 )2=−12 ( x x + 4 ) (* , > ) , eje paralelo all eje y y Caso III. Ecuación de la parábola con v&rtice en ? (

$oco arriba del v&rtice.

6a ecuación ordinaria de esta parábola es 9 ( y −* )2=4 a ( y −> )

90 | P á g i n a

EJEM&LO.

/etermina la ecuación de la parábola de v&rtice en ? ( ( 4, 3 ) y $oco en F ( 4, 4 ) . So+"ci,!.

/e acuerdo con las condiciones )eom&tricas se7aladas, el $oco y el v&rtice de la parábola están en la recta vertical *U: además, el $oco se sit>a arriba del v&rtice, por lo 'ue la )rá$ica se abre %acia arriba y por consi)uiente, su ecuación es de la $orma9

( y −* )2=4 a ( y −> ) /onde9 ´ d'!$a a =?F d'!$ac' c'aa d'r'" d'r'"'dade? 'dade? a F a =4 −3 a =1 Con el v&rtice ? ( 4,3) , es decir, *= 4, > =3 y a =1 , determinemos la ecuación de la parábola9

( x −4 )2= 4 ( 1 )( y −3) 91 | P á g i n a

( x −4 )2= 4 ( y −3 )

Caso IV. Ecuación de la parábola con v&rtice en el punto ? ( * , > ) , eje paralelo al eje y y $oco abajo del v&rtice.

6a $orma ordinaria de la ecuación de esta parábola es9

( y −* )2=−4 a ( y −> )

92 | P á g i n a

EJEM&LO.

8alla la ecuación de la parábola con v&rtice en el punto ? ( (3, 5) y $oco (3, 4 ) . So+"ci,!.

5uesto 'ue el v&rtice y el $oco están en la recta *U#, la ecuación de la parábola en la $orma ordinaria es ( x −3 )2= 4 a ( y −5 ) ´ d'!$a a =?F d'!$ac c'a 'a d'r'" d'r'"'dade 'dade? ? a F

a =4 −5 a =−1

5or lo tanto, la ecuación9 ( x −3 )2= 4 (−1 )( y −5 ) ( x −3 )2=− 4 ( y − 5 )

93 | P á g i n a

ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARI & ROBLEMARIO. O. 2, 3 ) y :%c% e F ( 6,3 6, 3 ) . D.H 8alla la ecuación de la parábola con v&rtice en el punto ? ( ( 2,3

.H Encuentra la ecuación de la parábola con v&rtice en el punto ? ( 2,2 ) y :%c% e F (−2,2 ) . 5, 5 ) y 7r$ 7r$'c 'cee e? (−5,8 ) . #.H 8alla la ecuación de la parábola con $oco en el punto F (−5,5 3, 0 ) y :%c% e (−3,1 ) . .H 8alla la ecuación de la parábola con v&rtice en el punto (−3,0

A*+icacio!es.

6as $ormas parabólicas se encuentran $recuentemente en el mundo $ísico, antenas de televisión, puentes col)antes, antenas de sat&lite, arcos de puentes, micró$onos, re$lectores, recolectores de calor solar, etc. EJEM&LO.

D.H 0na antena para televisión tiene $orma de paraboloide. Calcula la posición del receptor 'ue se coloca en el $oco si la antena tiene un diámetro de D? pies y  pies de pro$undidad.

So+"ci,!. 94 | P á g i n a

6a parábola )eneratri( se muestra en se)uida en un plano xy en la $i)ura, donde se %a colocado el v&rtice en el ori)en y el eje de la parábola en el eje y .

/e acuerdo a la $i)ura, la ecuación de la parábola es de la $orma x 2=4 ay . +i x =5, entonces y =2. Así 'ue tenemos9 ( 5 ) 2= 4 a ( 2 ) 25= 8 a

a=

25 8

=3.125

∴a

El receptor está colocado a #.D pies arriba del v&rtice a lo lar)o del eje de la parábola. .H 6os cables de un puente col)ante $orman un arco parabólico. 6os pilares 'ue lo soportan tienen una altura de DK m sobre el niveVl del puente y están separados ?? m. 95 | P á g i n a

El punto más bajo del cable 'ueda a K m sobre la cal(ada del puente. Calcula la altura del cable a "? m del centro.

So+"ci,!.

+i tomamos como eje x la %ori(ontal 'ue de$ine el puente y el eje y como el eje de la parábola, tenemos la )rá$ica si)uiente9

/e acuerdo con la $i)ura, la ecuación de la parábola es de la $orma9 x −* )2= 4 a ( y −> ) , donde *= 0 y > =6 ( x

Al susutituir valores 'ueda9 ( x x −0 )2 =4 a ( y −6 ) 2 x =4 a ( y −6 ) Cuando x =100 , entonces y =16 . 5or tanto9 ( 100 )2= 4 a ( 16 −6 ) 10000= 4 a ( 10) 4 a=1000 Al susutituir en la ecuación x 2=4 a ( y −6 ) 'ueda9 2 x = 1000 ( y −6 ) ; lue)o si x =80 resulta9 96 | P á g i n a

6400

= y −6 1000 6.4 = y −6 y =12.4

6a altura del cable a "? m del centro es de

12.4

metros.


D.H El arco parabólico 'ue se $orma en el puente de concreto de la $i)ura tiene un claro de "? m y una altura de D? m. Calcula la altura de arco a " m del centro.

.H El $aro de un automóvil tiene un re$lector parabólico de DD. cm de pro$undidad. +i el bulbo luminoso está a  cm del v&rtice a lo lar)o del eje de simetría, determina9 a) b)

El diámetro del re$lector El anc%o 'ue tiene el $aro al nivel del bulbo luminoso.

97 | P á g i n a

#.H 6os cables de un puente col)ante $orman un arco parabólico. 6os pilares 'ue los soportan tienen una altura de #? m y están separados por una distancia de ?? m. +i el punto más bajo de los cables 'ueda a D? m sobre el puente, calcula la altura 'ue tienen a D? m de este >ltimo.

.HCalcula la altura má*ima 'ue puede tener un autob>s de . m de anc%o para 'ue pase sin problemas por un t>nel 'ue tiene $orma de arco parabólico. 6a altura del t>nel es de  m y el lar)o de K m.

98 | P á g i n a

'.'

DETERMINACIÓN DETERMINA CIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA ELI&SE La e+i*se. 99 | P á g i n a

Es el lu)ar )eom&trico de todos los puntos en el plano cartesiano tales 'ue la suma de su distancia a dos puntos $ijos es constante, la cual siempre es mayor 'ue la distancia entre dic%os puntos $ijos.

En la $i)ura se representa una elipse en la 'ue podemos distin)uir los elementos si)uientes9  Focos. 6os puntos F y F  son los puntos $ijos denominados $ocos.  E2e
5ara encontrar esta ecuación 'ue ten)as las condiciones sim&tricas se7aladas en la de$inición, primero colocamos su centro en el ori)en del plano cartesiano, de $orma 'ue su eje mayor ? ´1 ? coincida con el eje x , como se muestra en la $i)ura. Asimismo consideremos 'ue C es la distancia del centro de la elipse a cada uno de los $ocos: de este modo, las coordenadas de &stos serán F ( c , 0 ) y F  (−c , 0 ) . 5or >ltimo, denotemos con la e*presión 2 a la distancia constante a la 'ue nos re$erimos en la de$inición. 100 | P á g i n a

+i el punto P ( x , y ) es un punto cual'uiera de la elipse y tomamos como re$erencia la de$inición, tenemos 'ue9

F 1 P + FP =2 a

Como 9

FP =√ ( x −c ) + ( y −0 ) 2

2

F 1 P = √ ( x +c ) + ( y −0 ) 2

2

Entonces aplicando la $órmula de la distancia. y −0

¿ ¿ ¿2 ( x +c )2 + ¿ 2 √ ( x −c ) +( y − 0 )2+ √ ¿

5ara eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al se)undo miembro de la i)ualdad. y −0

¿ ¿ ¿2 ( x + c )2+¿ √ ¿ Elevamos al cuadrado ambos miembros de la i)ualdad. y −0

¿ ¿

2 2 2 +( ¿ 2 ¿¿ ) =(2 a −√ ( x −c ) +( y −0 )2) √ ( x + c ) +(¿

/esarrollamos

2

¿ ¿

101 | P á g i n a

x + 2 xc + c + y = 4 a − 4 a √ ( x −c ) + y + x − 2 xc + c + y 2

2

2

2

2

2

2

2

2

+impli$icamos 2 2 2 4 a √ ( x − c ) + y =4 a − 4 xc /ividimos entre  ambos miembros de la i)ualdad e introducimos a al radical 2 2 2 2 √ a ( ( x −c ) + y )= a − xc

4olvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical a ( x x −2 xc + c + y ) =a −2 a xc + x c 2

2

2

2

4

2

2

2

-educiendo t&rminos semejantes a x − x c + a y =a − a c =actori(ando 2 2 2 2 2 2 2 2 x ( a − c )+ a y =a ( a − c ) 2

2

2

2

2

2

4

2

2

/ividiendo la i)ualdad entre el producto a2 ( a2−c 2 ) 2

2

x y + =1 2 2 2 a a −c

Como a2 > c 2 entonces a2− c  es positivo, podemos %acer a2− c  ¿ b , por consi)uiente, esta ecuación recibe el nombre de $orma ordinaria de la ecuación de la elipse, es decir, la $orma ordinaria de la ecuación de la elipse con centro en el ori)en y $ocos en F ( c , 0 ) y F  (−c , 0 ) es9 2

2

x y + 2 =1 2 a b 2

2

x y En resumen, la )rá$ica de la ecuación 2 + 2 =1 donde a b

a2 > b 2 y c 2=a 2−b2 es

una elipse 'ue tiene las características si)uientes9

D.H +u centro está en el ori)en. .H +u eje $ocal está en el eje x . #.H 6as coordenadas de sus v&rtices son ? ( a , 0 ) y ?  (−a , 0 ) . .H 6as coordenadas de los puntos e*tremos de su eje menor son B (0, b ) y B  ( 0,−b ) . .H 6as coordenadas de sus $ocos son F ( c , 0 ) y F  (−c , 0 ) . K.H 6a lon)itud de su eje mayor ??´ 1 es 2 a . ´ 1 es 2 b . L.H 6a lon)itud de su eje menor BB 2 2b ´ ".H 6a lon)itud de cada lado recto ( LR ) es a

102 | P á g i n a

EHce!ticidad de +a e+i*se.

+e denomina e*centricidad de la elipse a la ra(ón de sus ejes determinados por la lon)itud de su eje mayor y la distancia entre sus $ocos. +i indicamos la e*centricidad con la letra e se tiene 'ue9 e=

2c 2a

e=

c a

√ a −b e= 2

2

a

5uesto 'ue c es menor 'ue a , entonces e es menor 'ue la unidad: por otro lado, como c 2=a 2−b2 se tiene 'ue9 2 2 2 a −b b 2 e= = 1− 2

() a

a

Entonces9

√ ()

b e = 1− a 2

2

+i anali(amos la ecuación anterior tenemos9 D.H +i a es muy )rande comparada con b entonces la e*centricidad de la elipse tiene a 1 , lo cual resultará una elipse muy alar)ada. .H +i

b tiende a a

1

, entonces el valor de la e*centricidad tiende a cero y la elipse se

asemejará a una circun$erencia. En caso de 'ue a =b , el lu)ar )eom&trico será una circun$erencia. 103 | P á g i n a

En conclusión, se)>n el valor de la e*centricidad de la elipse puede ser alar)ada o casi circular. c √ a −b e= = a a 2

/e acuerdo con la ecuación de la e*centricidad

2

, si el valor de b se

acerca al de a , la e*centricidad tiende a cero y la )rá$ica es casi circular. circular. A la ve(, si el valor de b es casi cero, la e*centricidad tiende a uno y la )rá$ica es una elipse muy aplanada. EJEM&LO.

D.H /ada la ecuación si)uiente de la elipse, determina lo 'ue se indica. a<. 6as coordenadas de los $ocos.

So+"ci,!.

6a elipse tiene centro en el ori)en y su eje $ocal está en el eje *: lue)o, 2 2 a = 16 y b =12 ; por consi)uiente9 c 2 = a 2 −b 2 2 c =16 −12 c 2= 4

Es decir9 c == √ 4 c == 2 6as coordenadas de los $ocos son F ( 2, 0 ) y F  (−2, 0 ) . b<. 6as coordenadas de los v&rtices. So+"ci,!.

6as coordenadas de los v&rtices son de la $orma ? ( a , 0 ) y ?  (−a , 0) ; por ende, en ( 4,0) y ?  (−4,0 ) . este caso las coordenadas de los v&rtices son ? ( c<. 6a lon)itud de cada lado recto So+"ci,!. 2

LR= LR=

2b

a 2 ( 12 ) 4

LR=6

d<. 6as coordenadas de los v&rtices del eje menor. So+"ci,!. 104 | P á g i n a

6as coordenadas de los e*tremos del se)mento de recta BB  son B (0, √ 12 12 ) y 12 ) . B 1 ( 0,− √ 12 e<. 6a lon)itud del eje mayor. So+"ci,!. ? ? 1 =2 a 1

? ? =2 ( 4 ) 1 ? ? =8

$<. 6a lon)itud del eje ej e menor. So+"ci,!. BB 1 =2 b

B B =2 √ 12 12=2 √ 4 ( 3) 1 B B = 4 √ ( 3 )=6.9 1

)<. 6a e*centricidad. So+"ci,!. e=

c a

e=

2 1 ∴ e= 4 2

.H 8alla la ecuación de la elipse con v&rtices en ? ( 3,0 ) y ?  (−3,0 ) y cuya e*centricidad es i)ual a

2 3

.

So+"ci,!.

El centro de la elipse es el punto medio del se)mento ??  : lue)o, el centro es el ori)en y, de acuerdo con la locali(ación de los v&rtices, el eje $ocal está en el eje x ; por lo tanto, la ecuación 'ue buscamos es de la $orma9 2

2

x y + 2 =1 2 a b

/onde9 c e= a

Como a =3 y e =

2 3

, entonces9

2 c = 3 3

/e donde resulta9 2 (3 ) c= ∴ c =2 3

105 | P á g i n a

A%ora determinemos el valor de b2 : b2= a2− c2 2 2 2 b =( 3 ) −( 2) 2 b = 9− 4 b2= 5 5or tanto, la ecuación de la elipse es9 x

2

+

9

y

2

5

=1

Ec"aci,! de +a e+i*se co! ce!to e! e+ oi)e! / e2e
2

x y /e la misma manera 'ue se determinó la ecuación 2 + 2 =1 podemos demostrar 'ue a b

la ecuación de la elipse 'ue tiene las condiciones )eom&tricas se7aladas es9 2

2

x y + 2 =1 2 b a

En la $i)ura se muestra una elipse con centro en el ori)en y eje $ocal sobre el eje y . 2

2

x y En resumen, tenemos 'ue la )rá$ica de la ecuación 2 + 2 =1, con b a

a2 > b 2 y

c 2=a 2−b2 , es una elipse 'ue tiene las características si)uientes9

D.H +u centro está en el ori)en. .H +u eje $ocal está en el eje y . #.H 6as coordenadas de sus v&rtices son ? ( 0, a ) y ?  ( 0, −a ) . .H 6as coordenadas de sus $ocos son F ( 0, c ) y F  (0,− c ) . .H 6a lon)itud de su eje mayor ??´ 1 es 2 a . ´ 1 es 2 b . K.H 6a lon)itud de su eje menor BB 2 ´ es 2 b L.H 6a lon)itud de cada lado recto LR a

".H 6as coordenadas de los puntos e*tremos de su eje menor son B (b , 0 ) y B  (−b , 0 ) . c a

.H 6a e*centricidad es e = .

106 | P á g i n a

EJEM&LO.

/ada la ecuación de la elipse

2

25 x

+ 16 y 2= 400, determina9

a<. 6as coordenadas de los $ocos. So+"ci,!.

+i dividimos ambos miembros de la ecuación anterior entre ?? resulta9 25 x

2

+ 16 y 2

400 2

25 x 400

x

2

16

+

=

400 400

2

16 y + 400

y

=

400 400

2

25

=1

/e acuerdo con lo anterior, la elipse tiene su centro en el ori)en y su eje $ocal está sobre el eje y: por lo tanto las coordenadas de sus $ocos son9 de la $orma F ( 0, c ) y F ( 0,−c ) , de donde9 c 2=a 2−b2 2 c =25 −16 c 2= 9 c == √ 9 c == 3 6as coordenadas de sus $ocos son F ( 0,3 ) y F ( 0,−3 ) , b<. 6as coordenadas de sus v&rtices.

So+"ci,!.

107 | P á g i n a

/e acuerdo con la ecuación de la elipse, las coordenadas de los v&rtices son de la $orma ? ( 0, a ) y ?  ( 0, −a ) . En este caso puesto 'ue a2= 25, las coordenadas de los v&rtices son ? (0, 5 ) y ?  (0, −5 ). c<. 6a lon)itud del lado recto ;6-<. So+"ci,!. 2

LR= LR=

2b

a 2 ( 16 ) 5

LR=6 .

d<. 6a lon)itud del eje mayor. So+"ci,!.

? ? 1 =2 a 1 ? ? =2 ( 5 ) 1 ? ? =10

e<. 6a lon)itud del eje menor. So+"ci,!. BB 1 =2 b 1

B B =2 ( 4 ) 1 B B =8

$<. 6as coordenadas de los v&rtices de su eje menor. So+"ci,!.

+e)>n la ecuación de la elipse, las coordenadas de los v&rtices del eje menor son de la $orma B (b , 0 ) y B  (−b , 0 ) . Como b2= 16, las coordenadas de los v&rtices del eje menor son B (0, 4 ) y B  (0, −4 ) . )<. 6a e*centricidad de la elipse.

So+"ci,!. e= e=

c a 3 5

108 | P á g i n a

ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARIO. 2 2 D.H /ada la ecuación de la elipse x + y =1, determina9

25

9

a<. 6a lon)itud del eje mayor b<. 6a lon)itud del eje menor c<. 6as coordenadas de los $ocos d<. 6as coordenadas de los v&rtices e<. 6a lon)itud de cada lado recto $<. 6a e*centricidad .H /ada la ecuación de la elipse

y

2

100

a<. 6a lon)itud del eje mayor b<. 6a lon)itud del eje menor c<. 6as coordenadas de los $ocos d<. 6as coordenadas de los v&rtices e<. 6a lon)itud de cada lado recto $<. 6a e*centricidad

+

x

2

64

=1, determina9

#.H /ada la ecuación de la elipse 16 x 2+ 25 y 2= 400, encuentra9 a<. 6a lon)itud del eje mayor b<. 6a lon)itud del eje menor c<. 6as coordenadas de los $ocos d<. 6as coordenadas de los v&rtices e<. 6a lon)itud de cada lado recto $<. 6a e*centricidad .H /ada la ecuación de la elipse 36 x 2+100 y 2=3600, encuentra9 a<. 6a lon)itud del eje mayor b<. 6a lon)itud del eje menor c<. 6as coordenadas de los $ocos d<. 6as coordenadas de los v&rtices e<. 6a lon)itud de cada lado recto $<. 6a e*centricidad .H 8alla la ecuación de la elipse cuyos v&rtices son los puntos ? ( 0,5 ) y ?  ( 0.−5 ) , y cuyos $ocos son los puntos F ( 0,3) y F ( 0,−3 ) . K.H /etermina la ecuación de la elipse con centro en el ori)en, eje $ocal sobre el eje x , lon)itud del eje mayor i)ual a

12

unidades y e*centricidad de

1 . 3

L.H 8alla la ecuación de la elipse con centro en el ori)en, eje $ocal sobre el eje y , lon)itud de cada lado recto i)ual a 8 unidades y la del eje mayor i)ual a 10 .

109 | P á g i n a

".H 8alla la ecuación de la elipse con v&rtices ? ( ( 10,0 ) y ?  (−10,0 ) y lon)itud de cada lado recto es i)ual a 12.8 unidades.

A&LICACIONES.

6as elipses tienen diversas aplicaciones en el mundo real: entre las más importantes se encuentran las 'ue se detallan a continuación. &o*iedad e<+ectoa.

6os se)mentos de recta 'ue unen los $ocos de una elipse ;como se muestra en la $i)ura< con un punto cual'uiera ubicado en ella $orman án)ulos i)uales don la recta tan)ente a la elipse 'ue pasa por dic%o punto.

/ebido a esta propiedad, si se coloca una $uente de lu( o de sonido en uno de los $ocos de un re$lector, cuya super$icie %aya sido )enerada por la revolución de una elipse alrededor de su eje mayor, mayor, todas las ondas re$lejadas pasarán por el otro $oco.

6a propiedad re$lectora de la elipse se aplica en medicina para desinte)rar cálculos renales. El llamado litotriptor es un aparato 'ue utili(a un re$lector elíptico de ultrasonido. 5ara usarlo, se coloca el re$lector de modo 'ue la $uente sonora se ubi'ue en uno de los $ocos y el cálculo renal en el otro: las ondas se concentran en el tumor para %acerlo vibrar y posteriormente desinte)rarlo.

110 | P á g i n a

ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARIO.

-esuelve los problemas de aplicación de la elipse 'ue se presentan a continuación. D.H En la tabla si)uiente se indica la e*centricidad de las órbitas elípticas de los planetas ubicados alrededor del sol. ICuál de ellas es la más alar)adaJ Icuál de las órbitas se acercan más a un tipo circularJ 5laneta E*centricida d

Mercuri o ?.?K

4enus

ierra

Marte

?.??K"

?.?DKL

?.?#

3>piter +aturn o

?.?"

?.?KD

0rano !eptun o ?.?D??

?.?D??

5lutón ?." 

.H 0n puente tiene $orma de arco semielíptico. +i su claro es de #? m y su altura má*ima es de D m, calcula su altura a D# m del centro.

#.H 0n litotripor tiene DL cm de altura y DK cm de diámetro. /etermina a 'u& distancia del v&rtice debe estar situado el $oco para 'ue desde a%í se emitan ondas de c%o'ue 111 | P á g i n a

acuáticas de alta ener)ía y a 'ue distancia del mismo v&rtice debe ubicarse el cálculo ren%al 'ue se desea desinte)rar.



Ec"aci,! de +a e+i*se co! ce!to e! e+ *"!to C ( * , > ) / c"/o e2e
6a ecuación de esta elipse se obtiene de la ecuación de la elipse cuyo eje $ocal est& en el eje * y cuyo centro se ubica en el ori)en: es decir, en la ecuación9 2

2

x y + 2 =1 2 a b

+ustituimos y por ( y − > ) y x por ( x −* ) , es decir, la ecuación de la elipse con centro en el punto C ( * , > ) y eje $ocal paralelo al eje x en la $orma reducida es9

( x x − * )2 ( y − > )2 + =1 2 2 a

b

112 | P á g i n a

/e la $i)ura anterior se se deduce lo si)uiente9 6as coordenadas de los v&rtices del eje mayor son ? ( * + a , > ) y ?  (* −a , > )  6as coordenadas de los v&rtices del eje menor son B (* , > +b ) y B  (* , > −b )   6as coordenadas de los $ocos son F ( * + c , > ) y F  ( *− c , > ) EJEM&LO.

Escribe Escribe la ecuación ecuación de la elipse con centro en el punto C ( 3,−4 ), eje $ocal paralelo al eje x , en la 'ue la lon)itud del eje mayor es 10 y de e*centricidad 4 / 5 . 8alla las coordenadas de los v&rtices y de los $ocos. So+"ci,!.

/e acuerdo con las condiciones )eom&tricas indicadas, la ecuación de la elipse en la $orma reducida es9 ( x x − * )2 ( y − > )2 + =1 a2 b2

/onde a =5

2 a=10.

+i despejamos a , tenemos9

c 4 e= = a 5

6ue)o9 c =9 e c =5

() 4 5

c= 4

/eterminamos a continuación el valor de b2 : /e donde9 b2= a2− c2 b2= 25−16 b2= 9 Como sabemos 'ue *= 3 y > =−4 , la ecuación de la elipse es9 2 2 ( x x − 3 ) ( y + 4 ) + =1 25

9

A partir de esta ecuación determinemos los v&rtices y los $ocos de la elipse. 6as coordenadas de los v&rtices son9 ? ( (* + a , > ) y ?  (* −a , > ) ? ( ( 3 + 5,− 4 ) y ?  ( 3 −5,− 4 ) ? ( 8 −4 ) y ?  (−2,− 4 ) 113 | P á g i n a

6as coordenadas de los $ocos son9 F ( * + c , > ) y F  ( *− c , > ) F ( 3 + 4, −4 ) y F  (3 −4, −4 ) F ( 7, −4 ) y F  (−1, −4 ) 

Ec"aci,! de +a e+i*se e+i*se co! ce!to <"ea de+ oi)e! e! e+ *"!to C ( * , > ) / c"/o e2e
Análo)amente, la ecuación de la elipse'ue tiene estas condiciones )eom&tricas se x 2 y 2 obtiene de la ecuación de la elipse 2 + 2 =1, al sustituir x por x −* < y y ¿ b a por ( y − > ) . 5or tanto, la ecuación de la elipse es9 2 2 ( x x − * ) ( y − > ) + =1 2 2

b

a

/e acuerdo con la $i)ura las coordenadas de los $ocos son9 F ( * , > + c ) y F 1 ( * ,> −c ) 6as coordenadas de los v&rtices son9 ? ( * , > + a) y ?  ( * , > −a ) 6as coordenadas de los v&rtices del eje menor son9

B (* , > + b ) y B 1 ( * , > −b )

EJEM&LO.

/etermina la ecuación de la elipse con centro en el punto C (− (−2,1 ) , eje $ocal paralelo al eje y , lon)itud del eje menor 16 y lon)itud del lado recto i)ual a 32 / 3. So+"ci,!.

/e acuerdo con las condiciones indicadas, la ecuación de la elipse es de la $orma9

114 | P á g i n a

2 2 ( x x − * ) ( y − > ) + =1 2 2

b

a

/onde9 *=−2 y > =1 . Además 2 b=16 Es decir9 16 b= 2

b =8

lue)o

2

b = 64

Entonces el lado recto ( LR ) es9 2

LR= LR=

2b

a

=

2 ( 64 )

a

32 3

=

32 3

2 ( 64 ) ( 3 ) =32 a ,

6ue)o9 2 ( 64 )( 3 ) a= =12 32

2

a = 144

6a ecuación de la elipse en la $orma reducida es 9 2 2 ( x x + 2 ) ( y −1 ) + =1 64

144

6as coordenadas de los v&rtices se determinan por9 ? ( ( −2, 1 + 12 )=? (− (−2,13) ? 1 ( (−2, 1−12 )= ? 1 (−2,11 )

? ( (* , > + a) y ?  (* , > −a )

6as coordenadas de los $ocos se determinan por9 F ( * , > + c ) y F 1 ( * ,> −c ) /onde9 80 =4 √ 5 c =√ a 2−b2= √ 80 6ue)o9 2, 1 + 4 √ 5 ) y F 1 (−2,1− 4 √ 5 ) F (−2,1 

&asos *aa e!co!ta +a
&aso I. +e a)rupan en un par&ntesis los t&rminos 'ue contienen a * y a y. 115 | P á g i n a

&aso II. Coloca el t&rmino independiente de lado derec%o de la ecuación y $actori(a las

e*presiones al)ebraicas a)rupadas a partir del má*imo $actor com>n de los coe$icientes. &aso III. =orma trinomios cuadrados per$ectos con las e*presiones a)rupadas en el lado i('uierdo, i('uierdo, en la $orma acostumbrada acostumbrada y suma el lado derec%o derec%o de los n>meros necesarios necesarios para 'ue se manten)a la i)ualdad. &aso IV. =actori(a los trinomios cuadrados per$ectos y simpli$ica el miembro derec%o. &aso V. /ivide ambos miembros de la ecuación anterior por el t&rmino independiente obtenido en la simpli$icación. &aso VI. +impli$ica las $racciones del lado i('uierdo de la ecuación. ACTIVIDADES EVALUATORIAS &ROBLEMARIO.

D.H A par partir de la ecuación de la elipse encuentra lo si)uiente9

16 x

2

+ 25 y 2−32 x −100 y −284 =0

a<.H 6a ecuación de la elipse de la $orma ordinaria. b<.H 8alla las coordenadas del centro de la elipse. c<.H 8alla la lon)itud del eje mayor. d<.H 8alla la lon)itud del eje menor. e<.H /etermina las coordenadas de los v&rtices. $<.H /etermina las coordenadas de los $ocos. )<.H /etermina la e*centricidad de la elipse. %<.H /etermina la lon)itud de cada lado recto.

.H A partir partir de la ecuación ecuación de la elipse elipse si)uiente9

9 x

2

+16 y 2 −36 x +96 y +36 =0 encuentra lo

a<.H 6a ecuación de la elipse de la $orma ordinaria. b<.H 8alla las coordenadas del centro de la elipse. c<.H 8alla la lon)itud del eje mayor. d<.H 8alla la lon)itud del eje menor. e<.H /etermina las coordenadas de los v&rtices. $<.H /etermina las coordenadas de los $ocos. )<.H /etermina la e*centricidad de la elipse. %<.H /etermina la lon)itud de cada lado recto. #.H A partir partir de la ecuació ecuaciónn de la elipse elipse lo si)uiente9

2

25 x

+ 9 y 2−50 x +36 y −164 =0 encuentra

a<.H 6a ecuación de la elipse de la $orma ordinaria. b<.H 8alla las coordenadas del centro de la elipse. c<.H 8alla la lon)itud del eje mayor. d<.H 8alla la lon)itud del eje menor. e<.H /etermina las coordenadas de los v&rtices. $<.H /etermina las coordenadas de los $ocos. )<.H /etermina la e*centricidad de la elipse. 116 | P á g i n a

%<.H /etermina la lon)itud de cada lado recto. .H A parti partirr de la ecuació ecuaciónn de la elipse elipse encuentra lo si)uiente9

169 x

2

+ 144 y 2−338 x − 864 y −22871= 0

a<.H 6a ecuación de la elipse de la $orma ordinaria. b<.H 8alla las coordenadas del centro de la elipse. c<.H 8alla la lon)itud del eje mayor. d<.H 8alla la lon)itud del eje menor. e<.H /etermina las coordenadas de los v&rtices. $<.H /etermina las coordenadas de los $ocos. )<.H /etermina la e*centricidad de la elipse. %<.H /etermina la lon)itud de cada lado recto.

CONCLUSIONES

/e$initivamente, las carreras t&cnicas son estudios 'ue preparan a las personas para “ser”, “estar” y “%acer”, dic%o de otra manera, ense7an a vivir, como vivir y de 'ue vivir. vivir. 5or lo tanto, el aspecto práctico de las materias re$erentes al componente básico, tiene 'ue ser re$or(ado. 6o anterior, permitirá al e)resado disponer de una %erramienta muy valiosa al momento de aspirar a incorporarse a un trabajo, ya 'ue llevará consi)o los conocimientos y %abilidades elementales, 'ue lo apoyarán 117 | P á g i n a

a responder con e$icacia a los re'uerimientos de su ambiente y responsabilidad laboral. +irva el presente “cuadernillo de apuntes”, para coadyuvar con el propósito arriba mencionado y 'ue sea bueno para estimular la curiosidad de los alumnos %acia la ad'uisición de conocimientos y re$or(amiento del aprendi(aje para 'ue se cumplan de $orma sencilla y uni$orme.

BIBLIO(RAFIA

Matemáticas , En$o'ue por competencias Cuellar, Cuellar, 3uan Antonio 5rimera edición, ?D? Editorial Mc. GraV 8ill +2!9 L"HK?LHDH?#LKH# Matemáticas , Geometría Analítica Gar(a lvera, 2enjamín +e*ta reimpresión, ??#. Editorial /GE +2!9 K"HH?LKH@ Geometría Analítica 6e%mann, C%arles 8. 118 | P á g i n a

-eimpresión, DK Editorial 0E8A

119 | P á g i n a

Cuadernillo de Geometría Analítica (M3)

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