Traitement d’antennes ENST de Bretagne
Thierry Chonavel Laboratoire CNRS TAMCIC (UMR 2872),
[email protected] 24 octobre 2007
Plan ` 1 Position du probl eme 2 Localisation de sources
´ ´ e´ Localisation en presence de bruit corr el ` Probleme large bande Estimation des covariances 3 Formation de voies
´ eralit´ ´ ´ Gen eralit es ´ ´ FV independante des donn ees Approche statistique de la FV Formation de voies adaptative
Plan ` 1 Position du probl eme 2 Localisation de sources
´ ´ e´ Localisation en presence de bruit corr el ` Probleme large bande Estimation des covariances 3 Formation de voies
´ eralit ´ ´ Gen eralit´ es ´ ´ FV independante des donn ees Approche statistique de la FV Formation de voies adaptative
Syst`emes mono-capteurs et multi-capteurs • Traitement d’antennes (array processing ) traitement
systeme mono−capteur
traitement global
systeme multi−capteurs
` Observation et problemes envisag´es • Nature de l’observation ´ ´ champ spatio-temporel stationnaire, reguli` erement echantillonn e´ en ´ temps et en espace au moyen d’un r eseau de capteur ´ ´ ees ´ signaux emis par p sources d´ecorrel ´ ´ e´ avec les sources bruit additif decorr el • Problemes ` ´ envisages localisation de sources (⇔ estimation de temps de retard) formation de voies ( formation de diagramme de rayonnement) •
• •
• •
• Solution : prise en compte de l’information temporelle et spatiale.
´ erales ´ Hypoth`eses gen • Reseau ´ d’antennes (array antenna ) s(t)
θ
1
2
N
´ Figure: Source s (t ) de frequence f dans la direction θ.
• Reseau ´ ´ ´ lineaire de capteurs equidistants; Ondes planes.
Sectre spatio-temporel du champ observ´e φ φ max
2π fo d sinθ c
−Fmax
fo
Fmax
−φ max
Figure: Support spectral des ondes planes
f
Espacement entre capteurs • φ(1, n ) = 2π fd c sin θ ; ´ Pour eviter l’ambiguite´ de position des sources, il faut que
fd π π ∀f ∈ [−f max , f max ], ∀θ ∈ [− , ], |2π sin θ | < π, 2 2 c soit d <
c 2f max
(d <
λmin
2
).
• On prend gen ´ erallement ´ d =
c . 2f max
On a alors φmax = π .
(1)
` ´ Probleme a` bande etroite et a` large bande φ φ max
2π f2 d sinθ c
∆φ 2π f1 d sinθ c
−Fmax
f1
∆f
f2
Fmax
f
−φ max
• Bande etroite ´ si ∆f << (N −c 1)d . Sinon, large bande → ´ defocalisation. • Pour f fix´e la contribution de la source de direction θ est une sinuso¨ıde de pulsation 2 π fd sin θ c
´ L’hypoth`ese bande etroite (I) • Reseau ´ ´ ´ ´ lineaire de capteurs equidistants. Signal emis: s t = ξ e 2i πft . Signal rec¸u sur le capteur n : s t (n ) = s t +τ (1,n ) (1) = (t + τ ) = s 1 (t )e 2i πf τ (1,n ) = s 1 (t )e i φ(1,n ) • Retard et dephasage: ´
τ (1, n ) = d (1c ,n ) sin θ = (n −c 1)d sin θ φ(1, n ) = 2π (n −c 1)fd sin θ.
(2)
• La contribution vectorielle de la source a` l’observation sur le reseau ´ est une sinuso¨ıde spatiale de pulsation φ = 2π fd c sin θ :
s(t ) = s (t )[1, e i φ , . . . , e i (N −1)φ ]T .
(3)
• Le probleme ` ˆ de localisation de sources peut etre vu comme un ` ´ probleme de detection de sinuso¨ıdes.
` bande etroite ´ L’hypothese (II) φ φ max =π
π (f/Fmax) 2π f d sinθ 2 c
−Fmax
2π f d sin θ 1 c
f
Fmax
f
−π (f/Fmax)
−φ max = −π
• Classiquement: TF par rapport a` la variable temporelle • Souvent: trop peu de capteurs pour effectuer la TF spatiale ! • Solution : employer des m ethodes ´ ´ a` haute resolution.
Plan ` 1 Position du probl eme 2 Localisation de sources
´ ´ e´ Localisation en presence de bruit corr el ` Probleme large bande Estimation des covariances 3 Formation de voies
´ eralit´ ´ Gen es ´ ´ FV independante des donn ees Approche statistique de la FV Formation de voies adaptative
` des observations Modele • Hypothese ` bande etroite. ´ ´ Frequence f fix´ee. p sources (p connu !) • Observation
y = t
s k ,t d(φk ) + bt = Ast + bt
k =1,p
avec d(φ) = [1, e i φ , . . . , e i (N −1)φ ]T , A = [d(φ1 ), . . . , d(φp )], et s = [s 1,t , . . . , s p ,t ]T . • On observe T realisations ´ {yt }t =1,T
(4)
Connaissance statistique accessible
• A defaut ´ ` direct aux premieres ` du spectre, on a un acc es covariances H ˆ y = T −1 ´ par R spatiales estimees y y t t . t =1,T
• Modele ` parametrique ´ correspondant: H ] = + = + Rb , Ry = E[yt yH R R AC A s s b t
avec [Cs ]ij = δij σs 2i .
(5)
´ Principe de la goniometrie 2 • On suppose le bruit spatialement blanc : Rb = σb I • On exploite la structure hermitienne de Rs : Rs = Udiag {λ1 , . . . , λp , 0, . . . , 0}UH , avec λ1 > . . . > λp > 0. Donc 2 2 2 2 , . . . , λp + σb , σb , . . . , σb }UH . Ry = Udiag {λ1 + σb
(6)
et vect {d(φ1 ), . . . , d(φp )} = vect {U1 , . . . , Up } = [vect {Up +1 , . . . , UN }]H . (7) • Spectre MUSIC: g (φ) =
|
1 . H H 2 k =p +1,n Uk d(φ) |
(8)
´ e´ Cas du bruit correl
• On peut chercher a` estimer un mod ele ` pour le bruit. • Plus direct : estimer un modele ` global signal+bruit pour le spectre spatial. • Peu de covariances disponibles → regularisation ´ ARMA. ´ ´ description par equation aux differences ´ description par mod`eles d’etat • •
` ARMA Justification du modele • Modelisation ´ ´ realiste de la source k sur le capteur n :
fd s k ,t (n ) = e s k ,t (n − 1) + v k ,t (n ), (φk = 2π sin θk ). c • Le bruit peut etre ˆ ´ ` ARMA: decrit par un modele i φk
b t (n ) =
α
k b t (n −
(φ) =
S y
k =1,p
|1 −
k ).
(10)
k =0,q 2
( )=
Spectre spatial de y t n
k w t (n −
k ) +
k =1,q 1
β
(9)
k =1,p s k ,t (n ) +
σv 2k e i φk e −i φ |2
2 + σw
b t (n ): −ik φ |2 e β k k =0,q 2
| | + 1
−ik φ |2 e α k k =1,q 1
• Estimation S y (φ) a` partir de [Ry ]11 , . . . , [Ry ]N 1 .
.
(11)
` d’etat ´ Estimation ARMA par modele (I) • Modele ` des sources (theorique),du ´ bruit et global:
diag e i φ1 1 1
n n
s
n n
b
x( ) () n
y n
e i φp
x ( ) = { , . . . , }x ( − ) s( ) = [ , . . . , ]x ( ) x ( ) = F x ( − ) + w( ) b( ) = G x ( ) { ,..., } 0 0 n
n
n 1 b n
b b b
s
s
n
1
(12)
(13)
diag e i φ1 e i φp = = Fx(n − 1) x(n − 1) + w(n ) 0 Fb = [1, . . . , 1, Gb ]x(n ) = Gx(n ). (14)
` d’etat ´ Estimation ARMA par modele (II) • La technique utilise la matrice de Hankel des covariances
R y (0) R y (1)
R y (1) R y (2) . . . R y (N /2 + 1)
R y (N /2) G GF = . PH .. . GFN /2
FPH
( / ) ( / + )
... R y N 2 . . . R y N 2 1 ... ... F
R y (N )
N /2
PH = 0C,
(15)
P = cov (x(n )).
• On note que O↑ = O↓ F, soit F = (O↓ H O↓ )−1 O↓ H O↑ = O↓ # O↑ . • Les {φk }k =1,p sont fournis par les arguments des valeurs propres de ´ F proches du cercle unite.
` Probleme large bande • Methode: ´ ´ ´ synthetiser les resultats obtenus dans les sous-bandes ´ etroites. • On exploite le fait que pour une source φ varie lineairement ´ avec f . • Une technique possible; Moyenner les spectres MUSIC:
1 , avecg k (φ) = k =1,K g k (f k , φ)
(φ) =
g
φ i f max f
φ T i (N −1) f max f k
et d(f k , φ) = [1, e k , . . . , e pour la direction θ , φ = 2π fd c sin θ . • Perte de resolution. ´
1 , k =p +1,N Uk (f k )d(f k , φ) (16)
´ f et ] , car a` la frequence
Focalisation
• Deux approches ´ transformation lineaire : T(f k )d(f k , φ) = d(f max , φ) ´ transformation non lineaire : S k (f k , φ) → S k (f max , φ). • •
´ Focalisation lineaire 1
´ Estimation bande etroite des pulsations (φu ,k )u =1,p ;k =1,K aux ´ frequences f 1 , . . . , f max
2
Construire {T(f k )}k =1,K telles que T(f k )Ak (f k ) = Ak (f max ), avec Ak (f k ) = [d(f k , φ1,k ), . . . , d(f k , φp ,k )]. On peut prendre
˜ (f 0 )][Ak (f k ), A ˜ (f k )]−1 . T(f k ) = [Ak (f 0 ), A 3
(17)
´ Construire la matrice de covriance focalis ee
Ry
= T(
f k )Ry (f k )T(f k )H
k =1,K
(18)
´ Focalisation lineaire approch´ee • On voudrait que T(f k )d(f k , φ) ≈ d(f max , φ), ∀φ • On peut prendre π
T(f k ) = arg min
T(f k )
T(f k )d(f k , φ) − d(f max , φ) d φ,
−π
` contraint si on veut privili egier ´ ou un critere certaines directions:
T(
minT(f k )
π −π
T(f k )d(f k , φ) − d(f max , φ) d φ
f k )d(f k , φi ) ≈ d(f max, φi ),
(19) i = 1, . . . , p .
´ Focalisation non lineaire
1
´ Estimer le spectre S k (φ) aux frequences f 1 , . . . , f max .
2
Focaliser les spectres f max S k (φ) → S k ( φ). f k
3
Extraire conjointement les pulsations {φk }k =1,p
(20)
´ Parametrisation des covariances • Parametrisation ´ de la matrice des covariances R (structure Toeplitz) • Approximation conique: + KM
= S= α d(φ )d(φ ) ; α m
m
m
H
m ≥
0, φm = (2m − M − 1)π/ M
m =1,M
(21)
• Estimation par optimisation :
H ˆ −1 ˆ −1 )R ˆ −1 minα (R α (φ ) (φ ) − d d R m m m m =1,M αm ≥ 0, m = 1, . . . , M .
(22)
Estimation des covariances • Hypothese ` gaussienne. Log-vraisemblance:
ˆ ]. L(S) = − log |S| − Tr [S−1 R • Proleme ` des optima locaux. • Estimateur asymptotiquement equivalent: ´
ˆ )R ˆ −1 2 . min (S − R S
Conclusions sur la localisation de sources • Localisation en presence ´ de bruit blanc : algorithme MUSIC ou variantes • En presence ´ ´ e´ : estimation ARMA du spectre spatial de bruit correl • Localisation de sources a` large bande : focalisation lin eaire ´ ou non ´ ´ lineaire des solutions a` bande etroite. • Estimation de la matrice de covariance des observations • Remarque: le diagramme de rayonnemment global sera le produit du diagramme d’un capteur (capteurs identiques) par la fonction de ´ reseau.
Plan ` 1 Position du probl eme 2 Localisation de sources
´ ´ e´ Localisation en presence de bruit corr el ` Probleme large bande Estimation des covariances 3 Formation de voies
´ eralit´ ´ Gen es ´ ´ FV independante des donn ees Approche statistique de la FV Formation de voies adaptative
Formation de voies (beamforming ) • Objectif: formation electronique ´ d’un diagramme de rayonnement • Methode: ´ ´ combinaison des sorties d’un r eseau de capteurs par pond´eration scalaire des sorties de capteurs par filtrage des sorties de capteurs • •
• Traitement large bande et bande etroite ´ • Differentes ´ approches possibles prise en compte des sorties de capteurs traitements par blocs ou adaptatif • •
´ ementaire ´ Approche el 2i π fd sin θ T c
• On observe yt = d(f , φ)s t + bt (d(f , φ) = [, . . . , e ] ) • Formation de voies par remise en phase de l’information utile
z t
sin θ −2i π (n −1) fd c
= d( , φ) y = ( )+ ( ) (φ) = |d(φ) . | = ( f
H
t
Ns t
b n e
.
n =1,N
1
• Fonction de reseau: ´ g
H
2
sin(N φ) 2 ) . sin(φ)
1 • Pour une source large bande, il faudrait appliquer d(f , φ)H pour ´ ´ ´ chaque frequence f , c.a.d. un filtre de reponse frequentielle sin θ −2i π (n −1) fd c h (n , f ) = e sur le capteur n . • Dans le cas large bande, deux approches sont possibles: • •
filtrage derri`ere chaque capteur ´ ´ realiser des traitements bande etroite dans le domaine temporel.
Traitements large bande
´ FV independante des donn´ees • Fr´equence f fix´ee. Formation de voie simple: H
( )+
z t = d(f , φ) yt = Ns t
sin θ −2i π (n −1) fd c
b (n )e
n =1,N
• Gain de formation de voies
G FV = avec Π =
SNR FV Tr (Rb ) = , SNR 0 Tr (ΠRb )
d(f ,φ)d(f ,φ)H . d(f ,φ)2
• Estimateur spectral du p eriodogramme ´
S (φ) = E[|z |2 ] = d(f , φ)H Ry d(f , φ).
.
´ eralisation ´ Gen • On cherche
ˆ = arg min AH h − rd 2 , h h
´ eral, ´ avec A = [d(f , φ1 ), . . . , d(f , φp )] et, en gen [rd ]k ∈ {0, 1}. • Solution unique pour p ≥ N :
ˆ = (AAH )−1 Ard . h • Cas large bande: A = [d(f 1 , φ1 ), . . . , d(f p , φp )]. • Pour p < N , la solution de norme minimale s’ ecrit ´
ˆ = A(AH A)−1 rd . h
Approche statistique de la FV • On exploite la connaissance de Ry • Approche gen ´ erale. ´ ` de maximum de Pour Ry = Rs + Rb le critere ´ SNR s’ecrit: H h Rs h ˆ h = arg max H h h Rb h
• Caract`ere gen ´ eral ´ et limitation de cette approche.
ˆ est le vecteur propre associe´ a` la plus grande valeur • Solution: h 1 propre de R− b Rs .
Filtre adapte´ spatial • Encore appele´ estimateur a` variance minimale ˆ solution de • On cherche h
minh E[|hH y|2 ] hH d(f p , φp ) = 1
´ par le filtre adpte´ spatial (FAS) qui est donn ee
ˆ= h
1 R− y d(f p , φp ) 1 d(f p , φp )H R− y d(f p , φp )
• Gain par rapport a` la formation de voies classique: −1 FAS G FAS = SNR Tr Tr = (Π ) (Π R R b b ). SNR FV
• Estimateur spectral de Capon: S (φ) =
1 1 d(f p ,φp )H R− y d(f p ,φp )
.
´ eralisation: ´ Gen GSC
minh hH A(y)h CH h = c.
ˆ = A−1 C(CA−1CC)−1 c. • Optimum h • Methode ´ GSC (Generalized Sidelobe Canceler): prend en compte ´ l’evolution temporelle de A(y) (par ex. A(y) = Ry ) avec un coˆut de calcul limit´e ˜ ˜ h h = h0 + C ˜ } = Ker {C}. avec CH h0 = c et Im {C ˜ = ( ˜ ˜ )−1 C ˜ H A(y)h0 . CA(y)C Solution: h0 = C(CH C)−1 c et (par ex.) h • Propriet ´ es ´ ˜ L’information statistique n’est contenue que dans h ˜ est de dimension inferieure ´ h a` N ´ Possibilit´e d’implementation adaptative. • • •
• • •
Formation de voies adaptative • Presentation ´ ´ des criteres ` unifiee
ˆ = arg min |yd − hH x|2 = R−1 rxy h x d h
˜ et yd = hH y. • Pour le GSC: x = Cy 0 • On peut estimer h de fac¸on recursive ´ par les algorithmes LMS ou RLS (voir cours de traitement du signal adaptatif). • Formation de voies partiellement adaptative.
