Chap1_TS : Cours Traitement de signal_isecs

Traitement de signal

Mondher FRIKHA Maitre assistant, ISECS

Master professionnel informatique industriel

Année Universitaire 2009-2010

Préambule Cours de master pro. 16 16,,5h répartis comme suit: Cours = 9h (6séances de 1,5h) TD = 6h (4séances de 1,5h) Examen = 1,5h Ce cours sera suivi par 3 séances de TP (3x3h). TP : simulation basée sur le logiciel MATLAB

But: Maîtriser les notions théoriques du traitement numérique du signal Savoir analyser, concevoir et mettre en œuvre un filtre numérique

Pré requis Notions de Traitement de signal Signaux et systèmes Mathématiques du signal numériques Mathématiques de base… 2

Plan du cours

I. II. III. IV. V. VI. VII.

Manipulation des signaux et système dans le domaine temporel (1,5h) Transformé de Fourier et Transformé en z (1,5h) Transformé de Fourier discrète et spectre d’un signal discret (1,5h) Filtre numérique à réponse impulsionnelle finie (RIF) (x,xh) Filtre numérique à réponse impulsionnelle infinie (RII) (x,xh) Notions sur les signaux aléatoires (1.5h) Analyse par prédiction linéaire et son application pour la parole (1,5h)

3

Traitement de signal: Synoptique Bruits mesurés par le capteur

signal émis par une source

déformation du signal par un milieu de transmission

mesure par un capteur

Traitement du Signal (récupération de

Utilisation du résultat dans une application

l’information contenue dans le signal émis)

Applications (dès qu’on mesure un signal et qu’on veut en extraire des informations pour les utiliser dans une application !): Télécommunications Radar, Sonar, géophysique Signaux Biomédicaux, imagerie médicale Sons, parole Images, vidéos 4

Exemple de traitement numérique de signal 2 1

signal émis

0 1

. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

temps 2

signal modifié par le

1

canal de transmission

0

(échos, filtrages, ...)

1

. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

temps 2 1

signal bruité capté

0 1

. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Problème posé : comment retrouver la séquence binaire contenue dans le signal émis ? 5

Signaux Temps Continu et Temps Discret A) Exemples de signaux et représentation mathématique

signal = toute entité qui véhicule une information Exemples: onde acoustique courant électrique délivré par un microphone onde lumineuse courant électrique délivré par un spectromètre suite de nombres

Photographie

Musique, parole, ... source lumineuse (étoile, gaz, …) ...

Mesures physiques

... 6

Représentation mathématique: Signal = fonction d ’une ou plusieurs variables indépendantes: ex: (Voix)

(Image)

Pression Acoustique = f(temps) Luminosité= f(x,y:variables spatiales)

 par la suite: 1 seule variable indépendante = temps Signaux Temps Continu: La variable indépendante est continue  t ex:

la voix en fonction du temps, la pression atmosphérique en fonction de l ’altitude

Signaux Temps Discret: Définis seulement pour des temps discrets La variable indépendante est un ensemble discret de valeurs  n ex:

études des précipitations pluviométriques par année études démographiques ... 7

Exemples:

a) d ’un signal continu x(t)

b) d ’un signal discret x[n]:

Remarques: x[n] n ’est défini que pour des valeurs entières de n. x[n] : signal Temps Discret ou séquence Temps Discret. 2 types de signaux discrets: a) Signaux représentant un phénomène dont la variable indépendante est discrète b) Signaux provenant d ’une opération d ’échantillonnage: x[n] représente les échantillons successifs d ’un phénomène pour lequel la variable indépendante est continue (niveau quantifié ou non...) 8

B) Energie et puissance d ’un signal Définition: par analogie avec les signaux électriques

Temps Continu

Temps Discret



Ex 

Energie

 xt 

2



E x   xn 

dt





Puissance moyenne

1 Px  lim T   2T

T

 xt 

2

2

dt

T

N 1 2   Px  lim x n  N   2 N  1 n  N

3 Classes de signaux: - Signaux à Energie finie - Signaux à Puissance moyenne finie - Signaux à Energie et Puissance moyenne infinies

9

- Signaux à Energie finie

1 0

Ex  

Px  0

Px  

Ex  

Px  

Ex  

t

1

- Signaux à Puissance moyenne finie 4 ...

...

n 0 - Signaux à Energie et Puissance Moyenne infinies

1 1

t 10

Transformation de la variable indépendante A) Exemples de transformations Décalage temporel (Retard/Avance)

t 0 < 0 : AVANCE

n 0 > 0 : RETARD 11

Inversion temporelle

Changement d ’échelle

12

B) Signaux périodiques

xn  xn  N 

x(t )  x (t  T )

Remarques: T0 = période fondamentale = plus petite valeur possible de T

Px  

Ex   13

C) Signaux Pairs et Impairs Pairs

Impairs

x(t )  x (t )

x(t )   x(t )

xn  x n

xn   x n

Propriété: Tout signal se décompose en la somme: - d ’un signal pair xpair(t) et - d ’un signal impair ximpair(t)

1 xt   x t  2 1 ximpair t   xt   x t  2 x pair t  

x (t )  x pair (t )  ximpair (t )

14

Signaux exponentiels et sinusoïdaux En Temps Continu Signaux à exponentielle réelle:

x(t )  Ce at

avec

C et a réels

 phénomènes physiques a0

a0

x(t )  e j 0t

Signaux à exponentielle complexe périodiques et signaux sinusoïdaux:

 0  2f 0 

2 T0

Ex  

e j 0t  e j 0 ( t T )  e j 0t e j 0T

e j  0T  1



xt   A cos 0t     Ae e j ( 0t   ) A cos 0t    



A j j 0t A  j  j 0t e e  e e 2 2 15

Remarques : - Signaux à exponentielle complexe périodiques appelés aussi signaux harmoniques - Ensemble d ’exponentielles harmoniquement reliées = Ensemble d ’exponentielles périodiques ayant en commun la période T0 :

k t   e jk 0t , k  0,  1,  2,...

Signaux à exponentielle réelle et complexe : r 0

x(t )  Ce at avec a  r  j 0 et C  C e j r 0

16

Signaux exponentiels et sinusoïdaux En Temps Discret Signaux à exponentielle réelle:

 1

xn   C n

avec

C et  réels

0  1

1    0

  1

17

xn   e j 0 n

Signaux à exponentielle complexe et sinusoïdaux:

xn  A cos( 0 n   )

Propriétés liées au Temps Discret: 1)

e j  0  2 n  e j 2n e j 0 n  e j 0 n e j 0 n  e j  0  2 n  e j  0  4 n  

 même signal pour des pulsations différentes!...



0 < 0 < 2 0 < f0 < 1

Le taux d ’oscillations de

e j 0 n

n ’augmente pas en fonction de 0 !…

Basses fréquences

 0  2k 

Hautes fréquences

 0  2k  1

18

2)

Périodicité:

Pas toujours!...

e j 0 ( n  T )  e j 0 n Si e Alors

j 0 N

1 

0 m

Signal périodique si 0 / 2 est un entier ou une fraction rationnelle

Fréquence fondamentale

xn   cosn / 6 

périodique

0 m  2 N

Non périodique!

périodique

non périodique 19

3) Exponentielles reliées harmoniquement

k n  e

 2  jk  n  N 

 k  N n   e

k  0,1,...

 2 j (k  N )  N

 n 

e

 2 jk   N

 n 

e j 2n  k n 

seulement N exponentielles distinctes...

Signaux à exponentielle réelle et complexe : xn   C n avec    e j 0 et C  C e j

 1

 1

20

Impulsion unité et fonction échelon unité A) En Temps Discret

 n  Impulsion Unité:

1

0, n  0  n    1, n  0

0

n

un

Echelon Unité: 1

0, n  0 un   1, n  0

... 0

n

Relations:

  n   u  n   u  n  1



u n     n  k  k 0

x  n   n   x  0    n 

x  n    n  n 0   x  n 0   n  n 0  21

B) En Temps Continu Echelon Unité:

u(t)

0, t  0 u t    1, t  0

t

Impulsion Unité ou Dirac: On veut:

du t     t 

Problème!...

dt

  t  Signal Pulse

 t   lim   t   0

Impulsion de Dirac 22

Propriétés du Dirac: Modélisation mathématique issue de la théorie des Distributions (Laurent Schwarzt)... - (t) n ’a pas de durée, sa hauteur est infinie et son aire est égale à l ’unité 

  t dt  1



- représentation de (t):

(t) 1

fonction singulière

t Besoin des physiciens: (t) modélise par exemple le courant i(t) d ’un filtre RC lors de la charge d ’un condensateur...

- (t) peut être pondéré par un scalaire  k.(t) a une aire de k 23

xt  t   x0  t 

xt  t  t0   xt0  t  t0 





 xt  t  dt  x0

 xt  t  t  dt  xt 



0

0





u t    t   d



du t   t   dt

0

24

Systèmes Temps Continu et Temps Discret x[n]  y[n]

x(t)  y(t)

Système

x(t)

Temps

Système

y(t)

x[n]

Continu

Temps

y[n]

Discret

Exemples: - Relation entre la tension aux bornes d ’un condensateur et la tension d ’entrée - Relation entre la vitesse d ’un véhicule et la force appliquée  équations différentielles linéaires du 1er ordre: - Evolution d ’un compte bancaire

dy t   ay t   bxt  dt

yn   1.01 yn  1  xn  25

Interconnexions de systèmes Idée:

des systèmes complexes peuvent être construits en interconnectant des sous ensembles plus simples...

Interconnexion Parallèle

Interconnexion Série

Système 1

E

Système 1

Système 2

S

+

E

S

Système 2

Interconnexion Rétro-actionnée E

+

Système 1

S

Système 2

26

Propriétés de base des systèmes Système sans mémoire: La sortie y à l ’instant t ou n ne dépend que de l ’entrée x à ce même instant Système inversible: Des entrées distinctes conduisent à des sorties distinctes y[n]

x[n]

Système

Système

w[n]=x[n]

inverse

Système causal: La sortie à n ’importe quel instant ne dépend que des valeurs de l ’entrée aux instants présent et passés n

y[n]   x[n]

y[ n]  x[ n]  x[ n  1]

y[ n]  x[  n]



27

Système stable: A une entrée bornée: |x(t)|  M t correspond une sortie bornée |y(t)|  N t n

y[n]   x[n]

y (t )  x(t )  x (t  1)



Système temporellement invariant : Un décalage temporel sur le signal d ’entrée entraîne le même décalage temporel sur le signal de sortie x[n-n0]

Système

y[n-n0]

x(t-t0)

Système

y(t-t0)

Système linéaire:  Propriété de superposition Soit

x1 (t )  y1 (t ) x2 (t )  y2 (t ) x1 n   y1 n x2 n   y2 n 

Alors

a.x1 (t )  b.x2 (t )  a. y1 (t )  b. y2 (t ) a.x1[n]  b.x2 [n]  a. y1[n]  b. y2 [n] 28

SLTI Temps Discret: Somme de Convolution Etude d ’un sous-ensemble de systèmes:

Nb Propriétés

Systèmes Linéaires Temporellement Invariants Outils puissants Représentation d ’un signal Temps Discret à l ’aide des signaux impulsions 

x n    x k   n  k 

Somme pondérée d ’impulsions décalées temporellement



29

B) Réponse d ’un SLTI Temps Discret a) Réponse d ’un système linéaire (pas forcément T.I.) 

Signal d ’entrée

x n    x k   n  k  

Si

  n  k   hk  n 

Alors:

yn 



 xk  h n k

Principe de superposition

k  

30

b) Réponse d ’un SLTI Il suffit de connaître la réponse h0[n] à [n] ... Invariance Temporelle    n   h0  n 

Définition:

  n  k   hk  n   h0  n  k 

Réponse impulsionnelle = Réponse d ’un SLTI à l ’impulsion unité [n]

On obtient:

yn  

SLTI

h[n]

hn   h0 n



 xk  hn  k 

Somme de convolution

k  

yn   xn  hn  SLTI entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle 31

Propriétés des SLTI Systèmes entièrement caractérisés

yn 



 xk hn  k   xn hn

k  

par leur réponse impulsionnelle



yt  

 x ht   d  xt   ht 



 Commutativité 



k  

k  

 xk hn  k    hk xn  k 

xn  hn   hn  xn 



xt   ht   ht   xt 



 x ht   d   h xt   d



x[n]

h[n]

y[n]



h[n]

x[n]

y[n]

32

 Distributivité xn  h1 n  h2 n  xn  h1 n  xn  h2 n

(IDEM T.C.)

Une combinaison parallèle de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont la réponse impulsionnelle est la somme des réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés 33

 Associativité xn  h1 n  h2 n   xn  h1 n   h2 n  xn  h1 n  h2 n

(IDEM T.C.)

Une combinaison série de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont la réponse impulsionnelle est la convolution des réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés La réponse impulsionnelle d ’un SLTI résultant de l ’interconnexion série de plusieurs SLTI ne dépend pas de l ’ordre dans lequel ils ont été cascadés 34

 Multiplication par un scalaire

  x[ n]  y[ n]  x[ n]  y[ n]  x[ n]  y[ n]

(IDEM T.C.)

Elément neutre: xt    t   xt 

x n    n   x n 

Décalage temporel:

yn  n0   x[n  n0 ]  h[ n]  x[n]  h[n  n0 ] xt    t  t 0   xt  t 0 

(IDEM T.C.)

x  n     n  n 0   x  n  n 0  Très important

Dérivation: D  x  y   Dx   y  x  Dy  Dxt  

dxt  dt

Dxn   xn   xn  1 35

 SLTI sans mémoire

hn   0

h  n   hi  n     n 

 SLTI inversible

 SLTI causal

 SLTI stable

pour n  0

(IDEM T.C.)

ht   hi t    t 

hn   0

pour n  0

ht   0

pour t  0



 hk   

k  

Sa réponse impulsionnelle est absolument sommable



 ht  dt  



Sa réponse impulsionnelle est absolument intégrable 36