Cours de Plan d’expériences Méthode de BOX
Techniques d'usinage avancées et ingénierie des équipements associés
Sommaire Généralités, La méthode de BOX, Notions de confusions, Construction des plans, Dépouillement des plans, Méthode itérative.
Généralités Problématique Essais réalisés par tâtonnements successifs sans planification Grand nombre de résultats à interpréter Interaction entre paramètres quasi impossible à déceler Délai, résultats longs à exploiter
L’objectif des plans d’expériences Limiter et planifier rigoureusement le nombre d’essais. Repérer les paramètres et interactions influant. Obtenir des modèles représentants le phénomène. Le modèle est une fonction linéaire: Y= a0 +a1x1+ a2x2+ a3x3+.... anxn+ a12x1x2+ ...+aijxix j Avec : a0 la moyenne des valeurs obtenues pour y a1 la valeur de l’effet du facteur 1 a2 la valeur de l’effet du facteur 2 a12 la valeur de l’interaction des facteur 1 et 2
Généralités La terminologie Les facteurs (xi) : Variables que l’on désire étudier. Elles varient entre deux bornes. Les réponses (Y) : Grandeurs qui intéressent l’expérimentateur et qui sont mesurées à chaque expérience.
Les effets (ai) : Modélisent l’influence d’un facteur, c’est à dire son importance dans la caractérisation du phénomène.
Les interactions (aij) : Caractérisent l’effet d’un facteur lorsqu’un autre facteur prend différentes valeurs.
La méthode de BOX Comparaison avec les plans de Taguchi La méthode de Box : - Offre une panoplie de plans pour un nombre donné de facteurs, - Permet de recenser les confusions, - Permet l’optimisation sur plusieurs réponses.
Notions de confusions Soit un plan complet 2 4 pour 4 facteurs à 2 niveaux. Ce plan comporte 16 expériences. Il permet de déterminer 16 coefficients : - la constante (moyenne), - les 4 effets des 4 facteurs : A, B, C et D, - les 6 effets des interactions d’ordre 2 : AB, AC, AD, BC, BD et CD, - les 4 effets des interactions d’ordre 3 : ABC, ABD, ACD et BCD, - l’interaction d’ordre 4 : ABCD. L’ensemble de ces coefficients donne une modélisation parfaitement fidèle de la réponse, qui n’est pas forcément utile. Souvent les interactions d’ordre > 2 sont négligeables.
Notions de confusions Si ABCD est négligeable alors il n’est pas utile qu’il varie lors des expériences. On utilise alors qu’une partie du plan complet. A
B
C
D
ABCD
1
-1
-1
-1
-1
1
2
-1
-1
-1
1
-1
3
-1
-1
1
-1
-1
4
-1
-1
1
1
1
5
-1
1
-1
-1
-1
6
-1
1
-1
1
1
7
-1
1
1
-1
1
8
-1
1
1
1
-1
9
1
-1
-1
-1
-1
10
1
-1
-1
1
1
11
1
-1
1
-1
1
12
1
-1
1
1
-1
13
1
1
-1
-1
1
14
1
1
-1
1
-1
15
1
1
1
-1
-1
16
1
1
1
1
1
Qu’est ce que cela implique?
Notions de confusions Le nouveau plan construit comporte 8 expériences et permet d’identifier seulement 8 coefficients. Dans ce plan la colonne ABCD est identique à I (la constante). I = ABCD (1) A
B
C
D
ABCD
A.(1) ⇒ A.I = A²BCD (A²=I)
1
-1
-1
-1
-1
1
2
-1
-1
1
1
1
A = BCD (2)
3
-1
1
-1
1
1
4
-1
1
1
-1
1
C.(1) ⇒ C = ABD (4)
5
1
-1
-1
1
1
D.(1) ⇒ D = ABC (5)
6
1
-1
1
-1
1
7
1
1
-1
-1
1
8
1
1
1
1
1
B.(1) ⇒ B = ACD (3)
B.(2) ⇒ A.B = B²CD AB = CD (6) C.(2) ⇒ AC = BD (7) D.(2) ⇒ AD = BC (8)
Notions de confusions On voit apparaître les différents coefficients calculés avec les confusions : I + ABCD (1) A + BCD (2) B + ACD (3) C + ABD (4) D + ABC (5) AB + CD (6) AC + BD (7) AD + BC (8) L’effet du facteur A sera confondu avec l’effet de l’interaction BCD …
Construction des plans Les générateurs de BOX : Pour un nombre de facteurs donné il existe différents générateurs : Plan pour 3 facteurs Résolution
Nom du plan
Nombre d’essais
Générateur
3
23-1
4
3 = ±1.2
Résolution
Nom du plan
Nombre d’essais
Générateur
4
24-1
6
4 = ±1.2.3
Résolution
Nom du plan
Nombre d’essais
Générateur
3
25-2
8
4 = ±1.2
Plan pour 4 facteurs
Plan pour 5 facteurs
5 = ±1.3 5
25-1
16
5 = ±1.2.3.4
Construction des plans Application : Plan à 5 facteurs en 8 expériences 1
2
3
plan 23
4
5
4=1.2
5=1.3
1
-1
-1
-1
1
1
2
-1
-1
1
1
-1
3
-1
1
-1
-1
1
4
-1
1
1
-1
-1
5
1
-1
-1
-1
-1
6
1
-1
1
-1
1
7
1
1
-1
1
-1
8
1
1
1
1
1
Construction des plans Application : Recensement des alias (confusions) à partir des générateurs : 4=1.2 5=1.3 On en déduit : 1.4 = 1.1.2 ⇒ 1.4 = 2 2.4 = 2.1.2 ⇒ 2.4 = 1 3.4 = 3.1.2 ⇒ 3.4 = 1.2.3 1.5 = 1.1.3 ⇒ 1.5 = 3 2.5 = 2.1.3 ⇒ 2.5 = 1.2.3 3.5 = 3.1.3 ⇒ 3.5 = 1 4.5 = 1.2.1.3 ⇒ 4.5 = 2.3 Attention pour connaître les effets des facteurs principaux il faut que les interactions soient négligeables.
Compétition entre nombre d’essais et confusions
Dépouillement des plans Identique à la méthode de TAGUCHI Y= M +a.A+ b.B+ ab.AB + …
a = moyenne des réponses quand A est au niveau 1–moyenne de l’ensemble des réponses b = moyenne des réponses quand B est au niveau 1–moyenne de l’ensemble des réponses ab = moyenne des réponses quand AB est au niveau 1–moyenne de l’ensemble des réponses
Dépouillement des plans Méthode matricielle Y= M +a.A+ b.B+ ab.AB + …
peut s’écrire sous la forme [Y] = [A].[X]
N° essai 1 2 3 4
Matrice de calcul des effets Moyenne Facteur 1 Facteurs 2 Interaction 12
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
1
1
1
Y1 + 1 − 1 − 1 + 1 Y2 + 1 + 1 − 1 − 1 = Y3 + 1 − 1 + 1 − 1 Y4 1 1 1 1 + + + +
Solution:
a0 a1 a2 a12
Y1 + 1 Y2 + 1 = Y3 + 1 Y4 1 +
− 1.02 + 0.91 −1 +1
−1 −1 + 0.99 + 1.05
A=X-1.Y ou A= [Xt.X]-1.Xt.Y
Multi optimisation sur plusieurs réponses
+ 1.02 − 0.91 − 0.99 + 1.05
a0 a1 a2 a12
Méthode itérative On part d’un plan complet. On réalise un partie de ce plan (¼ ou ½), le plus représentatif possible. On valide les résultats avec un essai au centre, en comparant la modélisation et les mesures. 350
350
y = 0.997x y = 0.9588x
R2 = 0.9854
300
300
250
R2 = 0.8126
250
e é s i l é 200 d o m e s 150 n o p é R
Points du plan Essai au centre Linéaire (Points du plan)
e é s i l é 200 d o m e s 150 n o p é R
Points du plan Essai au centre Linéaire (Points du plan)
100
100
50
50
0
0 0
50
100
150
200
Réponse mesurée
250
300
350
0
50
100
150
200
Réponse mesurée
250
300
350
