Cours geotechnique

comportement des geomat ´ eriaux ´

´ ´ description du comportement des geomat eriaux : pour une utilisation pratique dans les codes de calcul

F. Prunier INSA-LGCIE

2016-2017


Plan de l’expose´

1

rappels pratiques sur les tenseurs

2

notion de loi de comportement

3

´ ementaires ´ ´ comportements el des materiaux solides ´ elasticit e´ ´ elastoplasticit e´ ´ visco-elasto-plasticit e´

4

´ ements ´ quelques el sur le comportement des sols compressibilite´ ´ resistance au cisaillement


´ d’evaluation ´ Modalites

´ d’evaluation ´ Modalites ´ une note sur 20 repartie comme suit ´ examen ecrit de 2h 70% deux minis projets de 15% chacun ´ si rattrapage examen ecrit de 2h 100%


But du cours

avertissement ´ ements ´ ´ ´ Ce cours a` pour but de donner les el theoriques necessaires qui ´ ements ´ permettent une utilisation avertie des codes de calcul de type el finis (ou ´ ´ ´ ` toute autre methode numerique de resolution de problemes continus) pour les ` ´ ecanique. ´ ´ problemes de geom Le lecteur pourra avantageusement completer ses ´ ´ erant ´ competences dans le domaine des lois comportement en se ref a` l’ouvrage ´ de (Lemaˆıtre et Chaboche). Enfin, si le lecteur souhaite developper sa propre loi de comportement, ou formulation physique, je le renvoie aux nombreux ouvrages ´ erences ´ de ref sur ce vaste sujet. (Simo and Hugues, Zienkiewicz ...).

comportement des geomat ´ eriaux ´ rappels pratiques sur les tenseurs

notations sur les tenseurs

´ Dans ce cours les notations d’Einstein sur les tenseurs seront utilisees. Voici quelques rappels succincts sur ces notations : ´ et ´ e´ : ai bi = indice rep

3 !

ai bi ou encore aii =

i =1

3 !

aii

i =1

´ ee ´ partielle spatiale : a,j = deriv

∂a ∂xj

´ ee ´ temporelle : on conservera la notation classique du point : a˙ = deriv symbole de Kronecker : δij =

"

1 0

si i=j sinon

pseudo tenseur de permutation : ⎧ ⎪ 0 si i=j ou j=k ou k=i ⎪ ⎪ ⎨ 1 si i,j,k dans le sens direct de la base ϵijk = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −1 si i,j,k dans le sens indirect de la base

∂a ∂t


rappel sur les matrices de passage I ´ eme ` Theor

´ d’un meme ˆ Si X0 et X1 sont les matrices colonnes des coordonnees vecteur u respectivement dans les bases B0 et B1 du K − ev E, on a : X0 = PB0 →B1 X1 avec PB0 →B1 la matrice de la famille de vecteurs de base de la base B1 exprime´ ´ en colonne. dans la base B0 , ranges B0 B1 y0 y1

x1 x0

Figure: changement de base sur un vecteur


rappel sur les matrices de passage II

effet d’un changement de base sur la matrice d’un endomorphisme Soient E et F deux K − ev , BE 0 et BE 1 2 bases de E et BF 0 et BF 1 2 bases de F . ´ On designe par P la matrice de passage de BE 0 a` BE 1 , et par Q celle de BF 0 a` ´ BF 1 . Soit K0 la matrice d’une application lineaire de E dans F e´ crite dans les bases BE 0 , BF 0 (telle que F0 = K0 X0 par exemple). ´ ´ Montrer que K1 la matrice de cette application lineaire ecrite dans les bases BE 1 , BF 1 se calcule comme suit : K1 = Q −1 K0 P


´ ´ rappel sur la reduction des matrices symetriques

´ eme ` Theor

´ ´ : Soit f un endomorphisme (f : E → E) symetrique reel f est diagonalisable sur R

´ toutes ses valeurs propres sont reelles ses sous espaces propres sont 2 a` 2 orthogonaux ie : f se diagonalise dans R sur une base orthonormale ´ eme ` Theor

´ symetrique ´ ´ Soit M une matrice carree reelle. Il existe : ´ D une matrice diagonale a` coefficients reels P une matrice orthogonale (ie de changement de base orthonormale) telles que : M = P · D · P −1 = P · D · P t


notion de scalaire

´ e´ fondamentale sur les tenseurs propriet ´ ´ ´ eral ´ Un tenseur d’ordre n est un objet mathematique (decrivant en gen des ´ physiques) qui s’ecrit ´ ´ ˆ a` une formule de quantites dans differentes bases grace ˜, M ˜ = P −1 · M · P . changement de base. exemple : X = P · X ˜ ˜ et M le meme ´ ˆ ˆ X et X representent le meme tenseur d’ordre 1 et M tenseur ´ d’ordre 2. Mais les valeurs de leur composantes respectives sont differentes ´ dans des bases differentes. ´ lorsqu’elles sont exprimees ´ Definition Un scalaire est un tenseur d’ordre 0. De ce fait un scalaire est invariant par changement de base. ´ exemples : la temperature, la pression, l’humidite´ relative ... contre exemple : une composante d’un vecteur ou d’un tenseur


notion d’invariants d’une matrice de rang 3

´ Un invariant est une fonction scalaire d’un tenseur qui ne depend pas de la base ´ ee. ´ !Il n’existe pas ” les invariants” mais des familles d’invariants. Les consider ´ sont : plus utilises ´ eme ` ˆ ceux relatifs au theor de Cayley-Hamilton (coefficients du polynome ´ caracteristique) det(M − λI) = −λ3 + I1 λ2 − I2 λ + I3 I1 = trace ' (M) ( I2 = 12 trace(M)2 − trace(M · M) I3 = det(M)

´ ceux relatifs a` la decomposition de Rivlin-Ericksen J˜1 = trace(M) J˜2 = 21 trace(M · M) J˜3 = 31 trace(M · M · M)


signification physique du premier invariant expression : ⎧ ⎪ J = tr(σ) = σkk = 3 · p (pression ou contrainte moyenne) ⎪ ⎪ ⎨ 1σ ∆V ⎪ ⎪ ⎪ ´ ⎩ J1ε = tr(ε) = εkk = V (en petites deformations) 0 ´ representation graphique :

σ1

O

σ2

M H trisectrice

σ3

base principale (dans laquelle σ est diagonal) Figure: representation ´ graphique du tenseur de contraintes dans sa base principale

montrer que p = OH


signification physique du second invariant I ´ tenseur deviatorique : ⎧ J ⎪ 1 σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ sij = σij − 3 δij ⎪ ⎪ J ⎪ ⎪ ⎩ eij = εij − 1ε δij 3 remarque : skk = ekk = 0 ´ ces tenseurs representent uniquement les parties cisaillement des tenseurs ´ de contrainte et deformation respectivement. expression : " J2s = tr(s 2 ) = sij sij J2e = tr(e 2 ) = eij eij


signification physique du second invariant II

´ representation graphique :

σ1

O

σ2

M H trisectrice

σ3

base principale (dans laquelle σ est diagonal) Figure: representation ´ graphique du tenseur de contraintes dans sa base principale

montrer que

√ J2s = HM


` signification physique du troisieme invariant I ´ Definition ´ ´ e´ dans On appelle plan deviatoire le plan ⊥ a` la trisectrice passant par M consider l’espace des contraintes principales. ´ Definition ´ On appelle angle de Lode l’angle forme´ par la projection dans le plan deviatoire

−−→

de l’axe 1 et le vecteur HM

M

ϕ

s1

H 120◦

s3

s2 Figure: representation ´ graphique de l’angle de Lode


` signification physique du troisieme invariant II

expression : " J3s = tr(s 3 ) = sij sjk ski J3e = tr(e 3 ) = eij ejk ekj on montre que :

√

cos(3ϕσ ) = )

6J3s

(J2s

)3

√

cos(3ϕε ) = )

6J3e

(J2e )3

´ ´ cylindriques du conclusion : z = OH , r = MH et ϕ representent les coordonnees tenseur exprime´ dans sa base principale, en prenant comme axe la trisectrice.


´ demonstration I ´ nul part sur le net ! ! !) (rien que pour vous : je ne l’ai trouvee 1

´ ´ preliminaire : operateur de projection Soit Π le sous espace sur lequel on projette, ⃗n le vecteur unitaire indiquant la direction dans laquelle on projette, ⃗v le vecteur a` projeter, et v⃗p le vecteur ´ projete.

Π

⃗n

⃗v

v⃗p

Figure: croquis projection

(⃗v ⃗n )⃗n


´ demonstration II

´ Le vecteur v⃗p s’ecrit donc :

v⃗p = (⃗v − ⃗v ⃗n)⃗n De la` on tire la matrice de projection. Dans le cas particulier ou` :

, on trouve :

** ** ** ** ⃗n = ** ** ** **

* 1 * √ *** 3* 1 ** √ ** 3 ** 1 ** √ ** 3

⎡ ⎢⎢⎢ 2 ⎢⎢⎢ ⎢⎢⎣−1 −1

−1

1 P= 3

2

−1

⎤ −1⎥⎥⎥ ⎥ −1⎥⎥⎥⎥ ⎦ 2


´ demonstration III 2

angle de Lode Soit π⃗1 le projete´ de e⃗1 dans le plan de Rendulic, On a : 1 π⃗1 = P e⃗1 = 3 et π⃗1n le projete´ norme´ :

*

Donc : et

** ** ** 2 ** **−1** ** ** −1 *

*2* 1 ** ** π⃗1n = √ **−1** 6 **−1**

1 1 ⃗ = 111HM ⃗ 111 cos ϕ π⃗1n HM

⃗ 1 2S1 − S2 − S3 π⃗1n HM 11 = √ cos ϕ = 11 √ 1 11HM ⃗ 1 J2 6


´ demonstration IV or 2S1 − S2 − S3 = 3S1 donc

⃗ 1 S π⃗1n HM 1 = √ √1 cos ϕ = 11 11HM ⃗ 111 6 J2

en posant β = ϕ + 120◦ et γ = ϕ + 240◦ on a :

1 S2 1 S3 cos β = √ √ et cos γ = √ √ J 6 6 J2 2 en utilisant : cos(a + b ) = cos(a ) cos(b ) − sin(a ) sin(b ) on a : cos3 (ϕ) + cos3 (β) + cos3 (γ) = ') (3 1 ' ) (3 1 cos3 (ϕ) + (3) sin ϕ − cos ϕ − (3) sin ϕ + cos ϕ = ... 8 8 3 = (4 cos3 (ϕ) − 3 cos ϕ) 4


´ demonstration V ´ or la linearisation de cos3 x donne : cos(3x ) = 4 cos3 x − 3 cos x d’ou` cos3 (ϕ) + cos3 (β) + cos3 (γ) =

3 cos(3ϕ) 4

d’autre part, cos3 (ϕ) + cos3 (β) + cos3 (γ) =

27

√ 2

6 6

J23

'

( S13 + S23 + S33 =

´ d’ou` le resultat attendu ! cos(3ϕ) =

√

J3 62 J23

9 J3 √ 2 J23

2 6

comportement des geomat ´ eriaux ´ notion de loi de comportement

´ ` ´ ´ ´ rappel : resolution de probleme de mecanique de materiaux deformables

´ erales ´ eqs gen conservation masse energie ´ qte´ de mvmt ´ charge electrique ...

´ materiaux comportement ´ elasticit e´ plasticite´ viscosite´ pV = nRT ...

` eqs du probleme C.L. et C.I. appuis simples bords frottants ´ vitesse imposee ...

solution RdM ´ des fluide meca thermodynamique ´ des sols meca ...


notion de chemin de sollicitation I remarque : σ : 6 variables et ε : 6 variables ´ Definition chemin de sollicitation : c’est la courbe gradue´ en temps trace´ dans l’espace a` 6 ˆ sur les variables imposees ´ par dimensions des sollicitations bati ´ ´ l’experimentateur sur l’echantillon. ´ Definition ´ ´ en temps tracee ´ dans l’espace des chemin de reponse : c’est la courbe graduee ´ ˆ sur les variables mesurees ´ par l’experimentateur. ´ reponses bati ´ e´ propriet

→ −

→ −

´ soient s la sollicitation a` 6 composantes et r la reponse a` 6 composantes. Ces ˆ ´ vis-a-vis ` ´ variables doivent etre conjuguee de l’energie volumique :

⃗s · ⃗r = σij εij


notion de chemin de sollicitation II

Figure: Essais œdometrique ´


notion de chemin de sollicitation III

Figure: Essais triaxial : 3 grands types de sollicitations : CU, CU+u, UU


notion de chemin de sollicitation IV triaxial draine´

` œdometre

σ1

ε1

ε3 ε2 sollicitation

σ3 σ2

ε3

σ3 σ2

´ reponse

σ1

ε1

sollicitation

ε2 ´ reponse

Figure: exemples de chemins de sollicitations et de leur chemins de reponse ´

´ principe de determinisme ´ ´ le chemin de Si on applique a` un echantillon un chemin de sollicitation donne, ´ ´ reponse est determin e´ unique


´ ´ ecriture incrementale des lois de comportement chemin de sollicitation

´ chemin de reponse

loi de comportement (=fonctionnelle) fonctionnelle = fonction a` qui on associe une autre fonction ex : transforme´ de Laplace

σ(t ) =

F

−∞<τ≤t

[ε(τ)] !σ = F (ε) avec F fonction, en elasticit ´ e´ uniquement !

´ fonctionnelle inutilisable en EF. Dans mais F (d σ, d ε, dt ) = 0 car ecriture ´ certains cas comme en plasticite´ on peut eˆ tre amene´ a` devoir definir ´ Fh en fonction de la direction de chargement plusieurs fonctions F notees ´ par exemple (charge ou decharge,...). ´ ´ principe de determinisme incremental ´ Si on applique a` un echantillon une petite sollicitation pendant dt , la petite ´ ´ ´ unique. reponse est determin ee

Fh (d σ, d ε, dt ) = 0

comportement des geomat ´ eriaux ´ comportements el ´ ementaires ´ des materiaux ´ solides elasticit ´ e´

´ ´ elasticit e´ lineaire isotrope I

´ Definition ´ ´ ` ´ Des deformations sont dites elastiques si elles sont entierement reversibles ie si elles retrouvent leur valeur initiale quand on annule la charge. ⇒ relation bijective entre σ et ε. σij = fij (εkl )

σ

ε


´ ´ elasticit e´ lineaire isotrope II ´ Definition ´ ´ ´ l’elasticit e´ est dite lineaire si cette relation est lineaire.

σij = Nijkl εkl

´ Definition ´ ´ une loi de comportement est dite hyperelastique s’il existe un potentiel elastique. On a un potentiel e´ lastique V si

δW = σij d εij = dV ´ avec V fonction d’etat.


´ ´ elasticit e´ lineaire isotrope III ´ rappel fonction d’etat ´ ´ ´ ´ Une fonction d’etat est une fonction des variables d’etat qui definissent l’etat ´ ` d’equilibre d’un systeme thermodynamique. Il ne s’agit la` que d’une simple fonction, comme celles que l’on rencontre en mathématique. Sa valeur est ´ : par exemple T,p,V. Une telle fonction calculable a` partir de variables d’etat ` ´ e´ de ne dependre ´ ´ d’equilibre ´ possede donc la propriet que de l’etat dans lequel ` ` se trouve le systeme, quel que soit le chemin emprunte´ par le systeme pour ´ arriver a` cet etat. En particulier, au cours d’une transformation entre deux e´ tats ´ ´ ne depend ´ d’equilibre, la variation d’une fonction d’etat pas du chemin suivi par le ` ´ ´ systeme pendant la transformation, mais uniquement des etats d’equilibre initial ´ et final (que la transformation soit reversible ou non !).


´ ´ elasticit e´ lineaire isotrope IV

´ e´ fondamentale des fonctions d’etat ´ propriet ´ ´ La differentielle d’une fonction d’etat, fonction de plusieurs variables ´ ´ ´ independantes, est une differentielle totale exacte. Cela signifie qu’elle est egale ´ a` la somme de ses differentielles partielles par rapport a` chaque variable.

dF =

3

4 3 4 ∂F ∂F dx + dy ∂x ∂y

´ Remarque : L’ordre de variation des variables independantes x et y n’a aucune ´ ´ incidence sur le resultat. Cela se traduit mathematiquement par le fait que les ´ ees ´ secondes croisees ´ de la fonction F par rapport a` x et y sont egales. ´ deriv

∂2 F ∂2 F = ∂x ∂y ∂y ∂x


´ ´ elasticit e´ lineaire isotrope V ´ conclusion : en hyperelasticit e´ on a σij =

⇒

∂V ∂2 V ∂2 V et = ∂εij ∂εij ∂εkl ∂εkl ∂εij

∂σij ∂σkl = ⇒ Nijkl = Nklij ∂εij ∂εkl

remarque : Dans la pratique il vaut toujours mieux utiliser des lois ´ ˆ qu’il n’y aura pas de dissipations internes hyperelastiques car on est sur ´ ´ parasites. Une loi e´ lastique, non hyperelastique est dite hypoelastique. ´ Definition ` ´ comportement isotrope : N n’est fonction que de deux parametres independants : " N (E , ν) module d’Young et coefficient de Poisson N (λ, µ) coefficients de Lame´


´ ´ elasticit e´ lineaire isotrope VI loi de Hooke

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ σij = λεkk δij + 2µεij 1+ν ν ⎪ ⎪ ⎪ σij − σkk δij ⎩ εij = E E

´ et de cisaillement en fonction exercice : Donner les modules de compressibilites ´ puis en fonction de E et ν (rappel : γij = 2εij avec i ! j ). des coefficients de Lame, Exprimer enfin les coefficients de Lame´ en fonction de E et ν. ´ interpretation physique montrer que :

3

4 σ11 ε11 σ22 =σ33 =0 3 4 ε22 ν=− ε11 σ22 =σ33 =0 E=


´ ´ elasticit e´ non lineaire isotrope

"

E → E t (σ) ν → νt (σ)

´ ´ representation matricielle : passage d’ecriture 3D tensorielle (σ, ε) a` ” 6D ” vectorielle (σ ⃗ , ⃗ε)

⎡ ⎢⎢⎢ d ε11 ⎢⎢⎢ d ε 22 ⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢ d ε33 ⎢⎢⎢ √ ⎢⎢⎢ 2d ε23 ⎢⎢⎢ √ ⎢⎢⎢ 2d ε31 ⎣ √ 2d ε12

⎤ ⎡⎢ 1 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ E t t ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ − ν ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ Ett ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ − ν ⎥⎥⎥ = ⎢⎢⎢ E t ⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ 0 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎦⎥ ⎢⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

t

− Eν t 1 Et

t

− Eν t 0 0 0

t

− Eν t t − Eν t 1 Et

0 0 0

0 0 0 1+νt Et

0 0

0 0 0 0 1+νt Et

0

0 0 0 0 0 1+νt Et

⎤⎡ ⎥⎥⎥ ⎢ d σ11 ⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ d σ22 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ d σ33 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ √ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ 2d σ23 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ √ ⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ √2d σ31 ⎥⎦ ⎣ 2d σ12

⎤ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎦

´ et ˆ a` faire jouer le meme ˆ ˆ aux σij i ! j et εij i ! j remarque : On a toujours inter role ´ pour le transport de la norme entre les deux representations.


´ ´ elasticit e´ non lineaire anisotrope

´ Definition ´ es ´ mecaniques ´ ´ l’anisotropie correspond a` la variation des propriet d’un materiau en un point avec les directions spatiales. On distingue deux types d’anisotropie : ´ ´ ´ ” inherente ” : initiale, due a` la formation du materiau (ex : composites, beton arme´ ...) ´ ´ ” induite ” : produite par la deformation du materiaux (ex : compactage des sables ...)


orthotropie I ´ Definition ´ symetrie par rapport a` un plan P : On dit qu’une loi de comportement est ´ ´ symetrique par rapport a` un plan P si elle reste invariante dans toute symetrie ´ par rapport a` ce plan : si on transforme d σ par symetrie par rapport a` P, alors d ε ˆ ´ est transforme´ par la meme symetrie. ´ e´ tangente pour une loi exercice : Donner la forme de la matrice d’elasticit ´ ´ symetrique par rapport au plan (1, 2). indication : on ecrira d’abord la matrice de ´ la transformation (symetrie), puis on appliquera cette transformation a` d σ pour ´ . connaitre les composantes changees ´ Definition ´ e´ orthotrope s’il possede ` ´ Un milieu est consider 3 plans de symetrie orthogonaux. ´ (Une loi de comportement symetrique par rapport a` deux plans orthogonaux est ´ symetrique par rapport au dernier plan orthogonal). ` exercice : montrer que la loi de comportement possede 12 fonctions ´ ´ ´ ´ ´ independantes en hypoelaticit e´ et 9 fonctions independantes en hyperelasticit e.


orthotropie II in fine la forme de la loi de comportement dans les axes d’othotropie est la suivante :

⎡ ⎢⎢⎢ d ε11 ⎢⎢⎢ d ε 22 ⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢ d ε33 ⎢⎢⎢ √ ⎢⎢⎢ 2d ε23 ⎢⎢⎢ √ ⎢⎢⎢ 2d ε31 ⎣ √ 2d ε12

⎡ ⎢⎢ 1 ⎤ ⎢⎢⎢⎢ E1t ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ νt21 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ − E t ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ 1 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ νt31 ⎥⎥⎥ = ⎢⎢⎢ − E t 1 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ 0 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎦ ⎢⎢⎢ 0 ⎢⎢⎢ ⎢⎣ 0

⎡ ⎢⎢⎢ d ε11 ⎢⎢⎢ d ε 22 ⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢ d ε33 ⎢⎢⎢ √ ⎢⎢⎢ 2d ε23 ⎢⎢⎢ √ ⎢⎢⎢ 2d ε31 ⎣ √ 2d ε12

⎤ ⎡ ⎥⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ = ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎦⎥ ⎢⎢⎣

A F′ E′ 0 0 0

νt

νt

− E12t

− E13t

0

0

1 E2t

− E23t

0

0

− E32t

1 E3t

0

0

0

0

2 G1t

0

0

0

0

2 G2t

0

0

0

0

2

νt

⎤

0 ⎥⎥⎥⎥

3

⎥⎥ ⎡

⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢

3

νt

2

F B D′ 0 0 0

E D C 0 0 0

0 0 0 2G 0 0

0 0 0 0 2H 0

⎥⎥⎥ ⎢⎢ ⎢

⎥⎥ ⎢ 0 ⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ ⎢

⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ ⎢

⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥⎥⎥ ⎣

2 G3t

0 0 0 0 0 2J

⎥⎥⎥ ⎦

d σ11 d σ22 √d σ33 √2d σ23 √2d σ31 2d σ12

⎤ ⎡ dσ 11 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ d σ22 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ √d σ33 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ √2d σ23 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ 2d σ 31 ⎦⎥ ⎢⎣⎢ √ 2d σ12

⎤ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎦

⎤ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎦


´ orthotropie de revolution ou isotropie transverse I ´ Definition ´ Une loi de comportement elastique est dite isotrope transverse si elle est ´ invariante par toute rotation autour de l’axe i et symetrique par rapport au plan (j , k ). on montre que la forme de la loi de comportement invariante autour de l’axe 1 ´ s’ecrit :

⎡ ⎢⎢⎢ d ε11 ⎢⎢⎢ d ε 22 ⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢ d ε33 ⎢⎢⎢ √ ⎢⎢⎢ 2d ε23 ⎢⎢⎢ √ ⎢⎢⎢ 2d ε31 ⎣ √ 2d ε12

⎤ ⎡ ⎥⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ = ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎦ ⎣

A E′ E′ 0 0 0

E B D 0 0 0

E D B 0 0 0

0 0 0

B −D 0 0

0 0 0 0 2H 0

0 0 0 0 0 2H

⎤ ⎡ dσ 11 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ d σ22 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ √d σ33 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ √2d σ23 ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ 2d σ 31 ⎥⎦ ⎢⎢⎣ √ 2d σ12

⎤ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎦


´ orthotropie de revolution ou isotropie transverse II

ˆ ˆ aux axes 2 et 3 d’une loi orthotrope, on remarque : en faisant jouer le meme role ´ identifie aisement que B = C , E = F , D ′ = D , E ′ = F ′ et H = I . Mais pour ´ ´ 2G = B − D il est necessaire de faire l’identification ”penible ”. Principe : on ˆ le transforme´ de σ par la rotation d’angle θ : σ ˆ = P t σP avec : calcul σ

⎡ ⎢⎢⎢ 1 ⎢ P = ⎢⎢⎢⎢ 0 ⎣ 0

0 cos(θ) sin(θ)

0 − sin(θ) cos(θ)

⎤ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦ = PB →Bˆ

telle que

⃗ˆ ⃗ = PB →Bˆ X X

⃗ˆ = T σ ´ On en deduit la matrice de passage T (6 × 6) telle que σ ⃗ , puis on calcul −1 ˆ ˆ N = T NT et on identifie les termes pour que N ≡ N .


conclusion anisotropie

´ de sa une loi isotrope est invariante par toute rotation : les coordonnees matrice sont identiques dans toute base. ´ une loi orthotrope est invariante par symetrie suivant trois plans ´ suivant les plans orthogonaux : !si la base choisie n’est pas orientee d’orthotropie, il faut effectuer un changement de base sur la forme de la ´ ´ matrice present ee. une loi isotrope transverse est invariante par rapport a` un plan et toute rotation autour d’un axe perpendiculaire a` ce plan. !si la base choisie ne ´ ´ contient pas l’axe de symetrie de revolution il faut effectuer un changement ´ ´ de base sur la forme de la matrice present ee.

comportement des geomat ´ eriaux ´ comportements el ´ ementaires ´ des materiaux ´ solides elastoplasticit ´ e´

´ ementaires ´ notions el sur la plasticite´ I ´ Definition ´ ´ des deformations sont dites plastiques si elles sont irreversibles, permanentes et ´ ´ instantanees. On montre alors qu’elles sont independantes des vitesses de sollicitation.

σ

´ shema

ε


´ ementaires ´ notions el sur la plasticite´ II ´ Definition

´ ´ es ´ mecaniques ´ ´ On appelle ecrouissage la variation des propriet du materiau (par ´ ex : seuil de rupture) avec les deformations plastiques

σ

ε ´ plasticite´ avec ecrouissage

σ

´ elastique plastique parfait

ε


´ ementaires ´ notions el sur la plasticite´ III σ

ε

´ elasto-plastique ´ avec ecrouissage ´ Definition ` de plasticite´ limite (ou critere ` de rupture) la surface tracee ´ On appelle critere ´ dans l’espace a` 6 dimensions des contraintes qui limitent les etats de contraintes ˆ ´ qui peuvent etre atteints par le materiau.


´ ementaires ´ notions el sur la plasticite´ IV ´ Definition ´ ´ ´ On appelle surface de limite elastique ou surface d’ecoulement la surface tracee ´ dans l’espace a` 6 dimensions des contraintes qui limite les etats de contraintes ˆ ´ ` ´ qui peuvent etre atteint par des deformations entierement reversibles. (Par ´ ´ ´ ´ ´ ` de ecrouissage la limite elastique se deforme et se deplace a` l’interieur du critere ´ plasticite). limite de plasticite´

´ limite elastique


limites classiques I

Von-Mises ´ ´ e´ se rompre quand le deviateur ´ Un materiau est reput des contraintes atteint une valeur limite k . J2s − k 2 = 0 ou encore sij sij − k 2 = 0

σ3

σ2 σ1


limites classiques II

Tresca ´ ´ e´ se rompre quand la contrainte tangentielle maximale Un materiau est reput atteint une valeur limite k .

σ1 − σ3 − 2k = 0 avec σ3 ≤ σ2 ≤ σ1 ´ aux axes !les indices ne sont pas associes

σ3 τ τmax σ3

σ1 σ

σ2 σ1


limites classiques III Mohr-Coulomb ´ ´ e´ se rompre lorsque la contrainte de cisaillement maximum Un materiau est reput ´ ` : verifie le critere

τ = c + σn tan (ϕ) soit encore :

σ1 =

avec

σ3 ≤ σ2 ≤ σ1

cos(ϕ) 1 + sin(ϕ) σ3 + 2c 1 − sin(ϕ) 1 − sin(ϕ)

´ aux axes !les indices ne sont pas associes

σ3 τ

ϕ c

σ2

σ σ1


limites classiques IV

¨ Drucker-Prager ´ ´ e´ se rompre quand l’etat ´ de contrainte atteint la limite Un materiau est reput ´ par un cone ˆ circulaire d’axe la trisectrice dans l’espace des contraintes donnee principales. ) J1σ + A J2s − B = 0 ´ A et B sont fonctions de c et ϕ a` determiner en fonction d’une recherche d’un ` inscrit ou circonscrit a` celui de Mohr-Coulomb. critere

σ3

σ2 σ1


´ ´ et non associee ´ elastoplasticit e´ associee ´ Definition ` ´ ´ dans l’espace a` 6 dimensions des regle d’ecoulement : c’est la surface tracee ´ contraintes a` laquelle est perpendiculaire le vecteur deformation plastique ´ ´ incremental (quand ces deformations plastiques apparaissent : ie sur la surface ´ de limite elastique). ´ Definition ´ ´ ´ ` On dit qu’un materiau elastoplastique est associe´ si la limite elastique et la regle ´ ´ d’ecoulement sont confondues. Dans le cas contraire le materiau est dit ´ ´ (On parle aussi de materiaux standards et non standards et de non associe. ` ´ regle de normalite). ` geom ´ etrique ´ ´ ´ ` de exercice : montrer de maniere qu’ un materiau verifiant le critere ¨ ´ Mohr-Coulomb ou Drucker-Prager associe´ est dilatant dans le regime plastique. ´ ´ ´ Les metaux ´ ´ remarque : Tous les geomat eriaux sont non associes. verifient ´ eralement ´ ` de Tresca ou celui de Von-Mises. De plus on observe gen le critere ´ ´ qu’ils se deforment a` volume constant dans le regime plastique. Montrer alors ` ´ ´ que la regle d’ecoulement est associee.


´ ´ theorie classique de l’elastoplasticit e´ I notations

⎧ ⎪ ´ variables memoires :α ⃗ = ⃗α (εp ) ⎪ ⎪ ⎨ ´ ⃗) = 0 limite elastique : f (σ, α ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ regle ` ´ d’ecoulement : g (σ, α ⃗) = 0 ` hypotheses hyp.1 : d ε = d εe + d εp ´ ´ Hyp.2 : d εe = H (σ) d σ (en elasticit e´ lineaire, H est constant) ∂ g Hyp.3 : d εp = d λ

∂σ ´ ´ λ est un scalaire a` determiner : cette e´ quation traduit que la deformation ` ´ plastique est perpendiculaire a` la regle d’ecoulement.


´ ´ theorie classique de l’elastoplasticit e´ II ´ equation de consistance

α) = 0 ⇒ f (σ + d σ, α f (σ, ⃗ ⃗ + dα ⃗) = 0 ⇒ df = 0 montrer que :

dλ =

3 4 −1 ∂f : dσ h ∂σ

´ tel que : avec h appele´ module d’ecrouissage

h=

∂f ∂αk ∂g ∂αk ∂εpij ∂σij


´ ´ theorie classique de l’elastoplasticit e´ III ´ ´ operateur elasto-plastique

3 4 a ∂f ∂g = Nijkl d σkl d σkl h ∂σkl ∂σij 4 3 ∂g a ∂f ⊗ : d σ = Nd σ dε = H : dσ − h ∂σ ∂σ

d εij = Hijkl d σkl −

avec : ´ ´ qui se traduit par les relations : a = 0 en elasticit e, ⎧ ⎪ f (σ, α ⃗ ) < 0 ou alors ⎪ ⎪ ⎨ ∂f ⎪ ⎪ ⎪ ´ d σkl < 0 decharge ⃗ ) = 0 et ⎩ f (σ, α ∂σkl ´ avec les relations : a = 1 en plasticite,

f (σ, α ⃗ ) = 0 et

∂f d σkl > 0 charge ∂σkl


´ ´ theorie classique de l’elastoplasticit e´ IV

remarque 1 : Chemin de chargement neutre, ou chemin qui suit la surface de ` limite e´ lastique. Il n’y a pas de probleme de continuite´ car on a dans cette ´ condition σ∂f d σkl = 0 (qui definit le plan tangent a` la surface). ∀a , d ε reste kl identique. ` rare que l’on fasse dependre ´ les variables remarque 2 : dans la pratique il est tres ´ ´ ` classique : memoires du tenseur de deformation plastique en entier. De maniere ´ ´ pour les limites elastiques le seuil 2 de Tresca ou Von-Mises, on fait dependre

p ´ elastique k de εeq =

p

p

eij eij

´ ¨ pour les limites elastiques de Mohr-Coulomb ou Drucker Prager, on fait 2 p

´ ´ dependre les variables du seuil elastique c et ϕ de εeq =

p

p

eij eij

´ ` de pour une limite elastique de type ”cap” qui ferme un critere ¨ ´ Mohr-Coulomb ou Drucker Prager, on fait dependre la contrainte de pre´ p p ´ sur le seuil elastique) ´ consolidation (contrainte isotrope situee pc de εv = εkk


´ ´ theorie classique de l’elastoplasticit e´ V

` ´ exemple de modeles d’ecrouissages

ϕ = ϕini +

(ϕlim − ϕini ) εpeq p

Bp + εeq

` Le parametre Bp est une constante de calibration. Montrer que sur un essai de compression isotrope effectue´ sur un sol, on peut ´ ` d’ecrouissage ´ definir le modele suivant :

pc = pc 0 exp

3

−εpv λ(1 − n0 )

4


´ ´ theorie classique de l’elastoplasticit e´ VI

√

”cap” de compression

r rage er P ru¨ ck D e de limit h

J2s

e S.C.

R N.C.

θ

λ

J1σ L

D 3pc

(a)

pc′

ln(p ′ )

(b)

Figure: (a) une limite d’elasticit ´ e´ possible, (b) rappel sur le comportement type d’un sol soumis a` une compression isotrope


´ ´ theorie classique de l’elastoplasticit e´ VII

´ ´ ´ ementaires ´ les differents types d’ecrouissage el ´ ´ ´ ´ ecrouissage cinematique : la limite elastique se deplace en translation a` ´ l’interieur de la limite de plasticite´ ´ ´ ` homothetique ´ ecrouissage isotrope : la limite elastique croit de maniere ´ jusqu’a` epouser la limite de plasticite´ ´ ´ ´ ecrouissage rotationnel : la limite elastique se deplace en rotation a` ´ ` l’interieur de la limite de plasticite´ (dans les modeles classiques ce type ´ ´ d’ecrouissage n’est pas utilise)

comportement des geomat ´ eriaux ´ comportements el ´ ementaires ´ des materiaux ´ solides visco-élasto-plasticite´

´ visco-elasto-plasticit e´ avertissement ´ ´ Je serai assez bref sur ce type de comportements car les geomat eriaux sont en ´ eral ´ ` peu visqueux. En presence ´ gen tres d’eau (ou autres liquides) on observe ´ ´ une viscosite´ apparente globale, mais une formulation hydro-mecanique couplee permet une description plus pertinente de la physique mise en jeux, a` mon sens. ´ la viscosite´ est dej ´ a` integr ´ ee ´ dans la loi de Par exemple, dans un sol sature, Darcy : elasto-plasticite´ pour les squelette granulaire + loi de Darcy non ´ stationnaire pour l’ecoulement du fluide + principe de contrainte effective de ´ ´ ees ´ dans le temps. Terzaghi, permet la description des deformations differ classes de lois de comportement Dans la pratique, on distingue deux grandes classes de lois de comportement ´ elasto-visco-plastiques :

"

d ε = d εinstantane´ e + d εdiff e´r eé d ε = d εr e´versible + d εirr e´versible


´ ´ plus differ ´ ee ´ deformation instantanee

"

d εinst . = d εe´lastoplastique d εdiff . = d εvisqueuse

soit

d ε = d εep + d εv = N h (u)d σ + d εv avec u =

dσ ||d σ||

` la classe de sollicitation de fluage : d σ = 0 Si on considere alors

d ε = d εv = Cdt avec C k le tenseur de vitesse de fluage.

d ε = N h (u)d σ + Cdt


´ ´ ´ deformations reversibles plus irreversibles

"

d εrev . = d εe´lastique d εirrev . = d εvisco −plastique

soit

d ε = d εe + d εvp ´ ` gen ´ erale ´ qui s’ecrit sous forme tres :

d ε = H (σ)d σ + d λ

∂g ∂σ

avec g = 0 un potentiel visco-plastique ´ ´ ´ remarque : H est constant en elasticit e´ lineaire et non constant en elasticit e´ non ´ lineaire.

comportement des geomat ´ eriaux ´ quelques el ´ ements ´ sur le comportement des sols compressibilite´

compressibilite´ isotrope e O.C.

κ

σ′3

N.C.

λ

pc′

∆e en charge vierge isotrope ∆ (ln(p ′ )) ∆e ´ κ=− en decharge recharge ∆ (ln(p ′ )) λ=−

exercice : montrer que K t =

1+e

λ

p ′ en charge vierge.

ln(p ′ )


´ compressibilite´ œdometrique e O.C.

σ′1

Cg

ε3 = 0

N.C.

Cc

σ′c

Cc = − Cg = −

∆e '

∆ log(σ′1 ) '

∆e

( en charge vierge œdometrique ´

∆ log(σ′1 )

´ ( en decharge recharge

t = exercice : montrer que Eœd

2.3(1 + e ) ′ σ1 en charge vierge. Cc

log(σ′1 )


consolidation

M M M

´ initial etat

conso primaire conso secondaire ´ (selon materiaux)

` succincts sur la consolidation. Vous etes ˆ ´ Quelques rappels tres fortement invites ´ ementaires ´ ´ a` revoir votre cours de 3GCU, ou des cours el de mecaniques de sols. consolidation primaire : c’est le tassement d’un sol duˆ au drainage de l’eau sous l’effet du gradient de pression interstitielle du fait d’une construction. ´ ´ ` Ingredients pour resoudre un probleme de consolidation primaire : modele ` elasto-plastique ´ pour le sol loi de Darcy ”non stationnaire” (H = H (t ))

´ consolidation secondaire : c’est la deformation duˆ squelette granulaire (argileux) au cours du temps sous charge constante. ´ ingredients : loi visqueuse pour le sol

comportement des geomat ´ eriaux ´ quelques el ´ ements ´ sur le comportement des sols résistance au cisaillement

´ sur sable triaxiaux draines ε˙1 > 0 σ′3 = cte

influence de σ3

influence de e0 σ1 − σ3

? σ1 σ3

?

ˆ lache medium

? ?

σ3 fort

dense

σ3 moyen σ3 faible

ε1 e

ε1 e

ec

les pentes permettent de calculer ψ a` la rupture

ε1

ec

ε1


´ non draines ´ sur sable triaxiaux consolides chemin de sollicitation : ε˙1 > 0

⎧ ⎪ ε˙ > 0 ⎪ ⎪ ⎨ 1 ε2 = ε3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ J = ε + 2ε = 0 1ε 1 3

M oh r-C ou l

om b

q

´ liquefaction statique

u

σ′30

ε˙3 = − 21 ε˙1

ˆ lache dense 3

p′

! ! limite plasticite´

´ dans les plans : (q − ε1 ) exercice : donner qualitativement le chemin de reponse et (u − ε1 ).


´ non draines ´ sur argiles triaxiaux non consolides

´ materiau eau + sol sature´ sans mouvement relatif des deux phases

⇒ incompressible

` de plasticite´ insensible a` p = J1σ /3, ie un cylindre de courbe ⇒ critere directrice quelconque d’axe la trisectrice

⇒ ϕu = 0 et Cu = Cu (w ) σ1

σ3 σ2

!on raisonne en contraintes totales. A n’utiliser que pour le comportement a` court terme des ouvrages.


´ draines ´ sur argile I triaxiaux consolides argile N.C.

argile S.C. σ1 − σ3

? σ′1 σ′3

ε1

e (e0 )a

ε1 e

(ec )a

ec

(e0 )b e0

(ec )b ε1

NC ⇒ C = 0

ε1


´ draines ´ sur argile II triaxiaux consolides

´ critique concept d’etat ´ ou` le sol se deforme ´ ` L’indice des vides critique correspond a` l’etat de maniere ´ isochore sous une contrainte de cisaillement constante en condition drainee.

q

e

×

courbe de consolidation vierge isotrope

. M.C

× diagramme critique

′

q=

× ln(p ′ )

Mp

C LE

p′


´ non draines ´ sur argile triaxiaux consolides

M oh r-C ou l

om b

´ q pas de liquefaction statique

´ cohesion nulle

N.C.

σ′30 p ′

rupture

q

q mb ulo Co hro M

σ′30

S.C.

N.C.

S.C.

p′

(σ′30 )b pc′ a

(e0 ) = (e0 )

(σ′30 )a

p′

b

´ exercice : donner qualitativement le chemin de reponse dans les plans : (q − ε1 ) et (u − ε1 ). question : pourquoi les courbes convergent-elles sur le coude de Mohr-Coulomb ?

Cours geotechnique

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