COURS DE MECANIQUE
DES
FLUIDES Version 1.0
Octobre 1999
A. L. MAR
AVERTT§SEMENT
Ce cours de quarante heures, destiné aux élèves-ingénieurs de la première année de YEcole Inter-Etats des Ingénieurs de YEquipement Rural, est plus une introduction à l’hydraulique générale qu’un cours de mécanique des fluides théorique. L’objectif se limite à établir et resoudre les équations de l’hydrodynamique pour les écoulements courants rencontrés dans le métier de l’ingénieur de l’équipement rural : i hydrostatique, débit de fluite à travers les digues et les fondations des barrages, écoulement unidirectionnel dans les canalisations et forces exercées par les écoulements sur des obstacles. Ainsi, seule l’étude des fluides parfaits incompressibles a été développée avec cependant des ouvertures permettant aux élèves ingénieurs intéressés de poursuivre l’étude des fluides compressibles. Les lois de frottement pour les fluides réels seront plutôt abordées dans les cours d’hydraulique en charge et d’hydraulique en surface libre. Le développement mathématique, en particulier pour la cinématique, a été abrégé et peu rigoureux compte tenu des objectifs du cours et de l’hétérogénéité des profils des élèvesingénieurs. C’est pourquoi les formules essentielles de l’analyse vectorielle et de la mécanique ont été “parachutées” dans les annexes pour faire des exercices si le besoin se faisait sentir. Tous les exercices ont été volontairement
tirés du livre de W.H.GRAF
cité dans la
bibliographie disponible au CD1 et intéressante pour les élèves ingénieurs qui veulent pousser plus loin l’étude de la mécanique des fluides.
A.L. MAR
CHAPITRE
1: INTRODUCTION ET PROPRIETES DES FLUIDES
CHAWTRE 1 : INTRODUCTION 1.
DEFINITION
ET PROPRIETES
DES FLUIDES
DU FLUIDE
1.1. Solide , liquide , gaz 1.2 Déformation 2.
LE SCHEMA
d’un élément fluide soumis à des forces de cisaillement
DE MILIEU CONTINU
: LA MASSE VOLUMIQUE,
2.2. La masse volumique 2.2. La pression 3. LA VICOSITE
4.
LA TENSION
5. LA TENSION
SUPERFICIELLE DE VAPEUR
ET LA CAPILARITE
ET LA CAVlTATlOr;r
LA PRESSION
1
CHAPPFRE 4, :. INfRODW2TION
1. DEFINITION
ET PR&RIETE$
DES Fi!JlbES
”1
DU FLUIDE
1.1. Solide , liquide , gaz La matière se présente sous lune des trois phasessuivantes : solide, liquide, gaz Un quatrième état, appelé plasma, peut être considéré. Il s’agit d’un gaz ionisé c’est à dire chargé électriquement. L’ordre de grandeur des forces intermoléculaires caractérise chacune de ces phases: 1. En ohase soiitie, ces forces sont considérables et le réseau moléculaire est rigide. Les atomes ou mol&ules sont bloqués dans leurs orientations ; ainsi la forme extérieure d’un solide non sollicité se maintient indéfhiment. 2. En r?hase liquide, les forces sont beaucoup plus faibles. L’orientation des molécules devient un degré de liberté mais celles-ci sont toujours liées en distance les unes aux autres. La forme d’un liauide épouse celle -du contenant. Toutefois, une masse donnée d’un liquide occupe un volume défini, indépendant de la-forme du contenant. 3. En zihase gazeuse, les forces sont si faibles que les molécules ont perdu leurs
liaisons à distance Le gaz n’a ni de forme Drom-e, ni de volume propre. Vue sous cet angle, la différence fondamentale entre les solides et les fluides est la propriété de ces derniers de pouvoir changer de forme indéfiniment
1.2. Déformation d’un élbment fluide soumis à des forces de cisaillement Rappelons d’abord quel serait le comportement d’un élément rectangulaire solide, de taille infinitésimale, soumis à une légère force de cisaillement (fig. l-l).
-4
F cisai lement
’ F cisaillement
Figure 1-l : Déformation d’un solide
4
L’élément initialement rectangulaire, subit une déformation angulaire finie y, proportionnelle à la tension de cisaillement qui est la force de cisaillement appliquée par unité de surface:
1 Y=G”
(1-l)
La constante de proportionnalité est l’inverse de ce qui est appelé le module de cisaillement G dont la valeur est propre à chaque solide particulier.
La plupart des solides se conforment à cette relation simple tant que ia tension de cisaillement n’excède pas un certain seuil appelé “limite éIa.stique “. La figure l-2 montre le même élément de fluide soumis aux mêmes conditions, L’expérience montre qu’il va subir une déformation angulaire continue et infinie (écoulement), aussi petite que soit la tension appliquée.
lI,IL/” !!lIIic l!mIIT F
F
tFt=0
F
%-
%-t=Dt
dr= l dt
2
F
%--
t=2Dt
t=iDt
z pour un fluide newtonien
Fig. 1-2 : Déformation d’un fluide Beaucoup de fluides, et les plus courants d’ailleurs, répondent à la loi suivante : La vitesse de déformation
anpullaire
y varie linéairement
avec la tension de
cisaillement z dy 1 (i-2) y=-=-r * df P Les fluides qui répondent à cette loi sont appelés fluides newtoniens Tous les gaz sont des fluides newtoniens ainsi que la plupart des liquides. Le sang, le lait, le béton liquide, les suspensions colloïdales ne sont pas des fluides newtoniens. Les fluides newtoniens uniquement seront étudiés dans ce cours.
2.
LE SCEMA DE MILIEU CONTINU,
LA MASSE VOLUMQUE,
LA PRESSION
La notion de milieu continu est un pur schéma du ftit que la matière a une structure discontinue. Elle consiste à admettre que la matière est répartie d’une manière continue dans tout le matériau (ce qui n’exclut pas des discontinuités aux interfaces). Cette notion consiste donc à oublier la discontinuité de la matière à l’échelle moléculaire et à toutes les échelles inférieures.
5
Toute théorie physique basée sur ce schéma ne prétend bien représenter que les phénom&nes à grande échelle ; celle-ci étant trtis grande par rapport à l’échelle caractéristique de la premikre discontinuité oubliée. On entend ici échelle de longueur et de temps. l’objectif de la théorie consiste aussi à représenter fidèlement les conséquences, à grande échelle, des phénomènes dont le siège est à petite échelle. La première question concerne la définition des valeurs locales pour les grandeurs comme la masse volumique, la pression, etc. Imaginons un instrument de mesure d’une grandeur g qui puisse être miniaturisée autant que l’on veut et portons la valeur de g mesurée en fonction du volume (surface, longueur) observé x (figure l-3).
g lViLb Af Valeur locale
Fig. l-3 : Définition des grandeurs locales, particule fluide 1. Si x est du même ordre de grandeur que la distance entre les molécules d, la grandeur mesurée dépendra du nombre de molécules observées (quelques unités), de leurs positions, etc. La grandeur g oscille et semble mal définie. 2. Si x est très grand par rapport aux distances intermoléculaires ; le nombre de molécules observées est aussi très grand ; et la valeur g mesurée est une moyenne statistique des observations et ne dépend plus de x. Cette valeur, très grande par rapport aux distances intermoléculaires (quelques lO-lom) est cependant extrêmement petite par rapport à la taille de l’e erience L (quelques 10-2~. Cec.i justifie que l’on considère comme locak, ou ponctue“ple, cette valeur g indépendante de x. On admet que ce volume observé, que nous désignerons particule fluide est aussi assez petit pour être assimilé à un élement de volume infinitésimal dV et pour justifier l’utilisation du calcul differentiel et intégrale. On définit ainsi des “densités volumique” :
6
où 6G est la valeur de la grandeur considérée et qui est portée par le volume 6V. Exemples : la masse volumique P= “$ le
volume
spécifique v=- 1
est
l’inverse
de
la
masse
volurnique
- le poids spécifique est le poids par unité de vohune tD=pg 2.1. masse wolumique des liquides La masse volumique de la plupart des liquides décroît lentement quand la température croit. Le taux de variation est de l’ordre de -O,l% par “C : *m-o OO’dT P *I Par ailleurs, un accroissement de pression ne produit qu’une tible augmentation de la masse volumique des liquides. En effet si la pression sur une unité de volume v d’un liquide augmente de dp, cette unit6 de volume sera réduite de -dv et le rapport ---;dP est le module d’élasticité cubiaue E. Son inverse s’appelle le coeffjcient de com~res,s+ibilité x = w!&
Pour un volume V du liquide, on aura : &= -- v@? dV dp=-dv P v
or
E=- a’P WP Exemple : Pour l’eau à O”C, on trouve a=1,99 108 K&f-/m2 .CeCi Signifie Fe Pour produire une variation de masse volumîque de 1% il faut exercer un accroissement de la pression de 1,99 106 K$$/m2 !!! On ne rencontre pas couramment de telles circonstances. On peut donc très souvent considérer que les liquides sont des fluides incompressibles, c’est à dire de masse Yolumisue constante. d’où
Pliquide’Ct e
U-3)
Cependant certains phénomènes de choc qui ne sont pas du cadre de ce cours, tels que les coups de bélier dans les conduites soumises à une brusque variation du débit (déclenchement ou arrêt d’une pompe, ouverture ou fermeture rapide d’une vanne,..“) ne peuvent s’expliquer et se calculer qu’en tenant compte de la compressibilité du liquide. 2.2. La pression Si 2% est une surface et 6G la force normale 6F à cette surface, alors g est la pression PS p&-
~-HI 8
On démontrera qu’en l’absence de indépendante de l’orientation de la surface 83 isotrope @est & dire qu’elle est une grandeur Les fluides où il’n’existe pas de force
forces de frottement, cette pression est considérée. On dit alors que la pression est scalaire. de frottement sont appelés fluides parfaits
3. LA VISCOSITE
Quand on observe le mouvement d’un fluide au voisinage d’une surfàce solide, on y constate l’absencetotale de mouvement relatif des particules ; elles adhèrent à lu wroi. Le mouvement est de plus en plus accentué au fur et à mesure qu’on s’éloigne de la surface . La figure l-4 illustre un diagramme typique de la répartition de la vitesse en fonction de la distance normale à la paroi.
4n
X
Figure l-4 : Variation du gradient de vitesse en fonction de la distance à la paroi Ce profil de vitesse est caractérisé par V=O à n=O et la viscosité du-fluide
en est lu
cause
Quelle que soit la valeur de la viscosité, le fluide adhère à la paroi et la vitesse y est nulle. L’écoulement exerce sur la Duroi une force de cisaillement sui tend à l’entraîner dans la direction du mouvement.
Quand l’écoulement est bien ordonné, c’est à dire que des “lames” bien individualisées glissent les unes sur autres, on dit qu’il est laminaire. Dans ce cas, si le fluide est newtonien, la tension de cisaillement est donnée par l’équation ( 1-2). Le coefficient p est appelé coefficient de viscosité dvnamique ou viscosité &namiuue ou viscosité absolue. Pour les liquides, il décroît quand la température croit et il est peu affecté par les variations de pression.
On débit un deuxième coefficient de viscosité, la viscosité cinématique, qui est le rapport de la viscosité absolue à la masse volumique. J/=E V-4) P
Le taux de dkformation angulaire peut être exprimé en fonction de la vitesse. Il stit de considérer le mouvement d’une ligne de longueur infïnitésimale dn (figure l-5). Si elle est initialement verticale, ses extrémités ne vont pas à la même vitesse. Elle tourne donc a à la vitesse angulaire ; = --; d’où
2= ji-
f3 al
U-5)
ligne fluide à t=O
NLdv*d,t <
ligne fluide à t=dt
Figure l-5 : Taux de déformation angulaire en fonction de la vitesse
La quantité g
est le “gradient de vitesse”. Le profil de vitesse (figure l-6) suggère
que le aradient de vitesse varie en fonction de la distance à la paroi. A grande distance, ce
gradient est quasiment nul et les tensions de fkottement interne dans le liquide sont donc quasiment nulles. Par contre, au voisinage de la paroi, les tensions sont importantes et contre la paroi elle-même, la tension vaut i5b * zo=P(-) 6h n=O On a utilisé une dkivée partielle plutôt qu’une dérivée droite parce que la tension ne dépend que de la variation de la vitesse en fonction de la distance n, normale à l’écoulement et non de la variation éventuelle de la vitesse en fonction de la distance x dans le sens de l’écoulement (figure l-6). On peut considérer qu’un fluide dont la viscosité est si faible que les tensions de cisaillement peuvent être négligées est un fluide idéal. Un fluide parfait n’exerce donc pas de tension de cisaillement.
Figure 1-O : Plaque mince alignée dans un courant uniforme
4. TENSION
SUPERFICIELLE,
CAPILLARITE
Il y a, dans les liquides, des forces intermoléculaires responsables de leur cohésion, c’est à dire de leur aptitude à résister à une traction. Elles sont également responsables de leur capacité d’adhésion à un corps étranger solide ou liquide. A l’interface entre deux liquides non miscibles ou à l’interface entre un liquide et un gaz, l’attraction entre les molécules forme un film imaginaire cat7able de résister à une tension. C’est ce qu’on appelle la tension de surface ou tension superficielle. C’est une force par unité de longueur. La capillarité est due à la fois à la cohésion et à l’adhésion. Lorsque l’adhésion l’emporte SU la cohésion, le Eiauide “mouiZZe” la surface solide avec laquelle il est en contact. Il en est ainsi pour Peau et le verre et ceci explique l’ascension capillaire de l’eau dans un tube de verre. Quand la cohésion l’emporte sur l’adhésion, le liquide est “non mouillant”. C’est le cas du mercure pour le verre. L’ascension capillaire ou la dépression peut se calculer. Il faut connaître la valeur de la tension superficielle G du liquide et celle de “l’angle de contact” 8 caractéristique de l’adhésion du liquide au solide avec lequel il est en contact. Si le ménisque d’interface est de forme sphérique, l’équation d’équilibre de la colonne hachurée à la figure 1-7 s’écrit : &OU
2nrucos i9= nr2hpg h _ 2acost9
U-7)
Les effets capillaires seront généralement négligés dans les problèmes que nous traiterons par la suite.
10
-
I
h
Figure 1-7 : Remontée capillaire dans un tube
~TENSION DE VAPEUR, CAVITATION
Les liquides s’évaporent parce que les molécules s’échappent de la surface libre. Les molecules de vapeur exercent une pression partielle dans l’espace Si cet espace au-dessus du liquide est fermé, après un temps donné, le nombre de molécules qui se condensent est égal au nombre de molécules qui s’évaporent. La uression gui rèane dans l’esvace est la tension de vaueur.
Ce phénomène dépend de l’activité moléculaire qui est fonction de la température . La tension de vapeur dépend donc de la température et croît avec elle (figure l-8). Quand la pression du liquide est égale à la tension de vapeur, il y a évaporation . Ainsi, lorsque l’écoulement d’un liquide dans un système de canalisations et de machines atteint une zone où la pression a une valeur inférieure à la tension de vapeur, il y a vaporisation du liquide a cet endroit. Ceci peut ne pas être désiré et entraîner le phénomène dangereux appelé cavitation. Les bulles de vapeur alors formées dans cette zone sont entraînées par l’écoulement et elles atteignent une zone où la pression a retrouvé une valeur supérieure à la tension de vapeur pour se condenser. Le phénomène est toujours rapide et donne lieu à une succession d’implosions qui génèrent des trains d’ondes de choc. II en résultent des bruits, des vibrations cavitation.
et parfois
la destruction
des parois solides en contact avec les zones de
6. GRANDEURS ET UNITES On l’oublie parfois; aucun calcul n’est correct s’il n’utilise des unités consistantes. Les unités de base du système international (S.I.) sont : q - le mètre (m) pour les longueurs [L] n - le kilogramme (Kg) pour la masse M 1 - la seconde (s) pour le temps [T] q - le degré celcius ou kelvin pour la di@rence de température C’est pourquoi on l’appelle aussi système MKgS. 11
Toutes les unités fondamentales en dérivent. On peut citer les grandeurs dérivées figurant au tableau l-l Pour la puissance, on utilise parfois le cheval vapeur 1 ch = 736 W Pour la pression, on rencontre souvent dans la littérature les unités suivantes : - le bar 1 bar = 106 barye = 105 Pa - l’atmosphère (atm) 1 atm = 1,014 105 Pa B 105 Pa - le m&re de colonne d’eau 1mCE = 0,98 104 Pa ti 104Pa - le mètre de colonne de mercure 1 mCHg = 13,6 mCE =1,36 105 Pa Le tableau 1-2 donne les propriétés physiques de l’eau à la pression atmosphérique.
12
Grandeurs dérivées vitesse (V) Accékation (y) Force (F) Travail (IV) énergie (E) Puissance (P) Massé volumique (p) Poids volumi~~~ /m’
Dimension LT-l 1LT-” MLT-2 M.L2T-2 [-m&qT ML-3
1ML-IT-2 -ML-lT-2 Module d’élasticité (E) Coefficient de comuressibilité (Y) MmlLTL -Pression __-----_ fn>
I mls2 1Newton (N) I- _ ~. 1Joule (J) I Watt fW I Kg/m3
cmh I crds2 1I dyne 1erg II erQ/s u 1g/Cl?3
1
I Pascal fPa> \- --/
1harve --
I
IlllIS
Pa Pa*l
barye barve- 1
Tableau l-1 : Grandeurs dérivées du Système International .
Température Masse Volumique P OC K@m3 999,9 0 1000,0 5 10 999,7 999,l 15 998,2 20 997,l 25 30 995,7 994,1 35 992,2 40 988,l 50 55 985,7 60 983,2 65 980,6 70 977,8 75 974,9 971,8 80 968,6 85 90 965,3 961,9 95 958,4 100
Tension superficielle 0 10-Z N/m 7,62 7,54 7,48 7,41 7,36 7,26 7,18 7,lO 7,Ol 6,82 6,74 6,68 6,58 6,50 6,40 6,30 6,20 6,12 6,02 5,94
Tension de vapeur
Module d’élasticité & hV mCE à 5OC 107 Pa 0,06 204 0,09 206 0,12 211 0,17 214 0,25 220 0,33 222 0,44 223 0,58 224 0,76 227 1,26 230 1,61 231 2,03 228 2,56 226 3,20 225 3,96 223 4,86 221 5,93 217 7,18 216 8,62 211 10,33 207
Tableau l-2 : Propriété physique de l’eau(d’aprèsASCE)
13
Viscosité dynamique y()-3 PI 1,792 1,519 1,308 1,140 1,005 0,894 0,801 0,723 0,656 0,549 0,506 0,469 0,436 0,406 0,380 0,357 0,336 0,317 0.,299 0,284
/
CHAPITRE
2 : HYDROSTATIQUE
1
CHAPITRE
2 : HYDROSTATIQUE
1 a PRESSION
EN UN POINT
2. EQUAT~ONS
GENERALES
DE LA STATIQUE
3. CAS DES FLUIDES HOMOGENES 3.1, Fluides homogènes
DES FLUIDES
INCOMPRESSIBLES
incompressibles
3.2. Fluides homogènes incompressibles gravité : HYDROSTATIQUE 4. APPLICATIONS
B la seule
action de la
DE ~44LOI HYDROSTATIQUE
4.1. Gar avec faible variation 4.2. Liquides
stratifies
4.3. Les manomètres 5. RESULTANTE
soumis
d’altitude
en couches superposées à tube
DES FO~RCES DE PRESSION
5.1. Direction,
SUR UNE SURFACE PLANE
norme, sens de la poussée
5.2. Point d‘application
de densitds
: centre de poussée
6. ACTION D’UN LIQUIDE SUR UNE SURFACE GAUCHE 6.1. Sut-Face gauche quelconque 6.2. Surface fermée : Psu33&2
d’ARCHlMEDE
15
différentes
I
CHAPITRE 2 : HYDROSTAtlQUE
1
L’hydrostatique est la science qui étudie les conditions d’équilibre de l’eau au repos. Par extension cette science traite des conditions d’équilibre des liquides au repos 1. PRESSION
EN UN POINT
Découpons fictivement un corps par un plan (figure 2-l). Pour maintenir le corps en équilibre, il faut exercer sur ce plan un effort F qui est un vecteur orienté et qui est la résultante de tous les efforts élémentaires & qui s’exercent sur les éléments de surface dS.
Figure 2-11 : Efforts élémentaires d> sur la surface dS dont la résultante F maintient le corps en équilibre.
On appelle contrainte au point M, pour une direction de coupe donnée, la limite du C& rapport - quand dS tend vers zéro. dS Dans un fluide, toute inclinaison de d> par rapport à la normale à dS provoque des déformations inftniment grandes c’est à dire un écoulement. En hydrostatique, les contraintes sont donc perpendiculaires aux surfaces sur lesquelles elles s’appliquent car il n’y a pas d’écoulement. On écrira donc l’équation suivante : $F =-p;ldS
(2-l)
où n est la normale extérieure a la surface dS ; et d% , la force sur dS.
16
Figure 2-2 : Pour un fluide au repos, dF est normale à dS.
Ainsi si d> est une compression, p est positif Si aTf; est une traction, p est négatif; mais ce cas ne se rencontre pas dans les problemes de mécanique des fluides car les forces de liaison sont très faibles et le schéma de milieu continu serait compromis. Il faut maintenant montrer que la-wession est isotrup c’est à dire qu’elle ne dépend pas de l’orientation n de la surface dS ; ou encore qu’elle est une grandeur scalaire. En effet, soit un élement de surface dS de centre M’ et un cylindre infiniment petit de section droite dS’ (figure 2-3). L’autre base dS, de centre M, est d’orientation quelconque définie par l’angle a. Les dimensions linéaires de ce cylindre, donc MM’, sont infiniment petites du premier ordre.
d+=-odS i? l\ M’-
P ne dépend
d ‘=-p’ds’
3 n’
pasde cccar dScosa = dS’
Figure 2-3 : Forces de pression s’exerçant sur un élément de cylindre Nous avons par définition : d:=-p;dS &’ = -p’&js’
En écrivant l’équilibre des forces agissant sur ce cylindre élémentaire, on peut négliger les forces de volume (infiniment petits d’ordre 3) devant les forces de surface (infiniment petits d’ordre 2) et on aura : d>+ d>+ Ed;’ = ?I
où les d$’ sont les forces sur la surface latérale du cylindre. La projection de cette équation dans la direction G’ donne : pdScosa=p’dS’ a7
car les forces de surface agissant sur les faces Latérales sont normales à M, et s’éliminent. Comme d§cosa=dS’; on aura p=p’. Cette égalité est vraie quel que soit a, la pression est donc indépendante de l’orientation de dS. 2. &lUATION
GENEFtALE
DE LA STATIQUE
DES FLUIDES
Soient 0X, OY, 02 trois axes de coordonnées rectangulaires auxquels nous rapportons les points de la masse fluide. Considérons, dans le fluide, un parallélépipède rectangle infiniment petit dont les aretes dx, dy, dz sont parallèles aux axes (figure 2-4).
dz C H
dy
G > Y
Fig 2-4 : Equilibre d’un parallelepipède rectangle infinitésimal Ecrivons les conditions d’équilibre de ce parallélépipède : LF=8 Les forces agissant sur lui sont : 1. les -tirces de volume pdxdydzf où ?est la force extérieure agissant sur la à l’unité de masse. masse fluide et rapportée Les composantes de f seront notées I?x, ry, Tz et elles ont la dimension d’une accélération. 2. Les -forces de surface qui se réduisent, en hydrostatique, aux forces de pression sur les six faces. Rappelons que ces forces sont normales aux faces, donc parallèles aux axes choisis. La somme suivant 0X est égale à la somme des forces de pressions s’exerçant sur les faces AEICD et EFGH. 18
Soit p la pression au centre du parallélépipède; la pression sur la face
aph et celle sur la face EFGH vaut p -I--aph - car entre ces AE3CD e”fp-zTïSk2
deux face, seul x varie. La somme algébrique des forces de pression suivant 0X est donc (P-+* ax --)dydz-(
p + -$ $)d ydz
et par suite
On trouverait de même: suivant OY
et suivant OZ
En détitive,
la condition d’équilibre dans le système d’axe s’écrit
4J - -+prx=o a 4J - - +pry=o 49
G-2)
+ - -+prz=o a?
Le vecteur qui a pour composantes -cp est le zradient de P et on le note q*adp. a L& 6%) On voit donc que la somme des _forcm de pression sur l’élément de volume db’ considéré est bivalente à la-force de volume -gZadp&V L’équation (2-2).peut aussi s’écrire sous une forme vectorielle indépendante du système de coordonnées : -g:dp+p?=; ou p:=&dp ou
(2-3)
r’=lgradp P Les équations (2-3) sont les équations fondamentales de la statique des fluides et aucune hypothèse n’a été faite sur la nature du fluide ni sur les forces de volume. 3. CAS DES FLUIDES
HOMOGENES
INCOMPRESSIBLES
19
SOUMIS
A LA SEULE
ACTION
DE LA
c--PESANTEUR
3.1. Fluides homogènes incompressibles Four les fluides homogènes incompressibles, la masse volumique est constante dans tout le fluide et on aura : &.&g P Dans ce cas, l’équilibre n’est possible que si le chamD de-firces extérieures dérive d‘un potentiel ce qui veut dire qu’il existe une fonction U telle que : ?=-g&dU
(2-4)
On aura en plus -U==Z SCte (2-5) P U est ce qu’on appelle le potentiel ou fonction de force. Les su-ces éuui~otentielles qu’on appelle également surface de niveau sont caractériséespar U=Cte. En vertu de l’équation (2-3, les surfaces équipotentielles sont confondues avec les surfaces d’égale pression appeléesaussi isobares et caractériséespar p=Cte. 3.2, Fluides homogènes incompressibles soumis à la seule action de la gravité (HYDROSTATIQUE) Si la gravité est la seule action qui agit comme force extérieure dans le système D’axes OXYZ : 0 F= 0 !:1 Il faut bien noter que l’axe 02 est vertical et dirim? vers le haut On peut alors vétier que F dérive du potentiel U=gz et l’équation (2-5) devient : -gz=p +Cte P ou p+pgz=Cte (2-Q L’équation (2-6) est l’équation fondamentale de l’hydrostatique. On a l’habitude d’appeler pression motrice ou pression étoilée la quantité p+pgz qui est notée p*. On dit alors que la pression étoilée p* est constante dans un liquide au repos : p*=Cte (2-6)a Les sucftices équiDotentielles sont des w/ans horizontaux. En effet U=gz=Cte donne z-Cte qui est l’équation d’un plan Horizontal dans les axes Oxyz. Comme les équipotentielles et les isobares sont confondues, la uression ne varie pas dans un riEan horizontal. Elle ne varie que selon la verticale. La suTface libre est horizontale car c’est une surface isobare (p = pression atmosphérique = Cte)
20
4.
APPLICATIONS
DE LA LOI DE L’HYDROSTATIQUE
4.1. Cas des gaz avec faible variation
d’altitude
IA
PA-PB=f’&B-“A) IB
1
enceinte
Pour l’air, p*1,225Kg/m3 aux conditions normales (comparé à 1000 pour l’eau); prenons pour fixer les idées Q-ZA=lm qui est caractéristique des récipients de gaz. On aura : PB-PA4,225*9,81*1 =y12Pa Ce qui est très négligeable par rapport à la pression atmosphérique qui est de l’ordre de 1dPa. On admettra donc, sans erreur perceptible, que la pression est constante dans un récivient remvli de Paz.
4.2. Cas des liquides diffhentes Par exemple 23
stratifihs
en couches
superposées
de densit&
P(z>‘Patm+P 1IdZO-Zl > +P2&1 -z2)
G-7)
fP3&2-z)
4.3. Les manomètres à tubes Ce sont des instruments très répandus pour mesurer la pression à cause de leur simplicité et de leur ftible coût. En principe, ce sont des tubes de faible diamètre en matériau transparent contenant un liquide dont le niveau est déterminé par les pressions qui s’exercent à chaque extrémité. 1. Le viézomètre C’est l’instrument le plus direct et le plus primitif Il indique la pression relative au point où il est branché (figure 2-6). Prel=fJgh ou (2-W Pabs=Patm+Pgh Cette relation est invoquée pour justifier qu’une pression relative puisse être exprimée en une hauteur d’une colonne de liquide de masse volumique p. L’inconvénient du piézomètre est de requérir éventuellement des hauteurs h 21
considérables. Il ne convient pas non plus à la mesure de pressions des gaz.
Une configuration plus fréquente est donc le manomètre en U.
Figure 2-6 Le piézomètre indique la pression relative au point où il est branché 2. Manomètres en U La figure 2-7 montre un cas classique de réalisation. Le cercle représente l’enceinte, quelle qu’elle soit, dans laquelle la pression doit être mesurée. h4 ,-. L
Patm
hl h3
Figure 2-7 Manomètre en U Puisque les fluides contenus dans le tube ne sont pas en mouvement, la pression dans ce tube est distribuée de façon hydrostatique. Pour établir la relation entre P à mesurer et les cotes des ménisques séparant les dif5érents fluides, on peut procéder en écrivant une équation qui exprime que les fluides sont en équilibre : du côté gauche Pf=P+Plghl+Pzgh2 du côte droite PfPatm+Pairgh4+P2gh3 En éliminant Pf , on obtient P=Patm+P2g(h3-h2)-P1ghl~+Pairgh4 (2-9) Le dernier terme est souvent négligeable du fait que pan. est très faible devant la masse volumique des liquides. L’expression (2-9) pourrait aussi être obtenue comme sur la figure 2-7A : Cette méthode d’écrire l’équation du manomètre est plus puissante pour l’analyse des manomètres complexes comportant plusieurs brancheset plusieurs liquides. 22
P
f
pl hl
-
1.1
I-h2)
Px?U
- Pair
ah4 =Patm
Pressio à mesurer
i--l Pres
Pr d ssion en C
=Patm
Figure 2-7A : Equation du manomètre
5. RESULTANTE DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SUFACE PLANE Considérons une surface plane quelconque dont la trace sur une coupe verticale est le segment AB (figure 2-8) La surface est donc inclinée d’un angle a par rapport à la surface libre qui est horizontale et elle a une aire S
I kz Surf. libre 0
--r
Figure 2-8 : Résultante des forces de pression sur une surface plane. Projection sur un plan vertical. 5.1. Direction,
sens, norme de la poussée 23
---
--
--~--
comme les forces élémentaires, exercées par le fluide sont toutes normales à la surface, elles sont toutes paralkles et elles donnent une résultante unique appelee poussée. 5, =js p; dS=&pdS En choisissant la surface libre comme origine des z ; p est donnée par la loi hydrostatique P+ogrGteTatm d’où F, =i Ss(Patm-Pgz)dS Sur l’autre face de la surface S, s’exerce la pression atmosphérique qui donnera une résultante $, opposée à fi, avec $,=-sjspatmdS En définitive, on aura la force nette sur la surface : Fn~*~=F,+F,=-njsPgzdS =mpg; JszdS Le calcul de cette dernière intégrale est identique à celui qu’on fait quand on cherche à déterminer la position du barycentre G d’une surface plane qu’on appelle parfois centroïde ou centre d’inertie de la surface. Ainsi, nous avons : j,zdS=zGS où z~ est la cote du centroïde G de la surface plane d’aire S. Nous avons donc la force nette qui s’exprime ainsi : F;,=-wc& La cote ZG est liée à x~ (coordonnée suivant l’axe Gx) par la relation suivante (2-l 1) z=-xsinct Au signe près ZG est la profondeur du centroïde de la surfàce plane. La pression relative qui règne au centroïde PG vaut -pgzG selon la loi de I’hydrostatique. D’où la force nette peut également s’écrire: (2-12)
La relation (2-12) s’interprète comme suit La force de vression hvdrostatiaue sur une surface vlane auelconaue est égale à la force aui serait exercée sur la même surface var une vression uniforme èaale à celle oui h-ne au centroïde de la surface
De même nous pouvons constater que le produit -zGS est le volume d’une colonne ayant pour hauteur la profondeur du centroïde de la sur%aceet pour surface de base la surface S. D’où l’autre interprétation de la relation (2-12) : La voussèe exercée sur une surface vlane. var un liauide en èauilibre, est èaale au poids d’une colonne du limide avant vour base la surface de la varoi et vour hauteur la profondeur du centroïde de la surface 5.2. Centre
de pouss6e
Pour certains calculs en structure (barrages, vannes, ...). on a besoin du point d’application de la poussée appelé Centre de voussèe Sa position s’obtient en écrivant que le moment des forces élémentaires par rapport à un point ou une droite est égale au moment de la poussée. 24
Prenons, par exemple, les moments élémentaires par rapport à la droite Cy qui est l’intersection de la surfàce libre et du plan de la surface considérée. dM=CM .dF=x.(-pgzdS) Le moment résultant est M=&M=&pgzxdS. Ce moment doit être équilibré par le moment de la poussée qui vaut -pgZGsXp ; d’où après simplification : zGSxp=&xdS En remarquant que z=-xsino et zG=-x~sin01 , on peut encore ecrire zGSxG”fsxzdS ou le terme de droite est le moment d’inertie 1 de la surface par rapport à l’axe Cy. En appelant IGy le moment d’inertie de la surface par rapport à la droite Gy passant par G et parallèle à Cy, le théorème de Huygens donne : I=IGy+s(X&2 et par suite ZGsXp=IGy+s(XG)*
sXG(Xp-XG>‘IGy I (2-12) xP-XG=IsxG La relation (2-12) montre que le centre de poussée P n’est vas canfondu avec le centroïde G: il est togiours
situé au dessous
Au cas où la surface S a un axe de symétrie Gxpurall&le à Cx (figure 243, le centre de poussée se trouve sur cet axe. Dans le cas contraire, il faudra calculer la coordonnée Yp suivant l’axe Cy (figure 2% C
XCi
YG
/ I
Yp
>Y
-------
xp-------
vX
Figure 2-9 : Vue de la surface plane S dans le plan CxCy On obtient Yp en équilibrant les moments par rapport a l’axe Cx : 25
F.Yp=hydF soit : YpP&S=.!&~dS ou; en vertu de la relation (2-l 1) : (2-13) Y$(-jS=j,xydS L’intégrale qui figure dans le second membre est appelée produit d’inertie Icxc#e la surface S par rapport aux axes CxCy On peut démontrer que kxCy’IGxGy+%YG où IGxGy est le produit d’inertie de s par rapport aux axes GxGy passant par le centre de gravité et parallèles à Cx, Cy respectivement; et x~, yG ,les coordonnées du centre de gravité G. Ensuite la relation (2- 13) donnera
I Yp-yG=* SXG
(2-14)
La détermination du centre de poussée nécessite donc la connaissance des caractéristiques statiques des surfaces et le tableau 2-l donne celles de quelques plaques de formes courantes. 6. ACTION D’UN LIQUIDE SUR UNE SURFACE GAUCHE 6.1. Surface gauche quelconque A la figure 2-10, isolons un élément de surface dS. Son vecteur unitaire normal extérieur est n et dS,, dSy, dS, sont ses projections respectives dans les plans respectifs (y,~), (XA (KY> .
Figure 2- 10 : Forces sur une surface gauche dS, projection de dS sur le plan (y,~) dSy projection de dS sur le plan (x,z) dS, projection de dS sur le plan (~,y)
26
T;iIic:iii 2 . I : car:iciérisiiqiicç siatiqiics tlc qiiclqiies pl;iqiics I:oriiic
S
A Gx
---r--l
[,
BL 12
BL 2
36
h Y
lI I
I
B
I
I
%
L(Ld+L)
d+
vGx
2(3d+L)
Tableau 2.1 : caractéristiques statiques de quelques plaques (suite) -
Forme i
b
l
S
L(B+ b ) 2
3b2+4bB+B2 (B+2b}(b+B)
hl
m
4
64 8d+5D
d+
2d+D
Tableau 2.1 : caractéristiques statiques de quelques plaques (suite)
Forme
S
-
4
Z(De - Di") 64
mGx
I
B
nBL 4
>
d+
8Ded+5g+9 8(2d+@
___
64
L
8d+5L
Tableau 2. I : caractéristiques statiques de quelques plaques (Suite)
S
GX a
-2 r
I
2
a+sinû.--
A’,
= 3r.
GY
w
O
AG”
(a + sin a ) a 1 6 sin -2
9 r 2 - 64 B4 1152 rr 37c-2
gC;=-
cB+
6z
B
2B 3x
=-
3xl3
La force élémentaire due à la pression sur cet élément dS vaut : d>=-p;dS
Sa composante en x résulte d’un produit scalaire +-+ soit d’où il résulte
i.dF dF, = -p(;.;)dS
dFx=fpdSx De même, les composantes en y et z peuvent s’écrire dFy=kpdS y dFz=ztpdS, Le signe est + ou - suivant que le produit scalaire des vecteurs unitaires est positif ou négatif. On peut illustrer quelques cas à la figure 2- 11. Examinons de plus près la composante en z : dF, Avec pTa-ogz qui est la loi de l’hydrostatique; on aura : dF&(padS,-PgzdS,) Cette force est composée de deux termes : - le premier terme correspond à la pression atmosphérique sur la projection horizontale de la surface élémentaire dS,. - le second terme correspond au Doids d’un ylindre de Eiauide de volume dV*, avant une section droite dSz et une hauteur égale à la profondeur
de liauide sur la surface exposée
(figure 2-12) On aura en définitive : Fx’IsxdFx=dsx pds, w=kydFy==bx PdSy (2-14) Fz=k(PaSz+pgV*) Les composantes en x et y se calculent donc comme des forces agissant sur les sufaces planes S, et Sy On a vu comment le faire et wmment en localiser les lignes d’action au paragraphe 5 Quant a la composante verticale, la ligne d’action de Pas, passe par le centroïde de S, et celle de pgV*, par le centre de gravité du volume V*. Dans la plupart des cas, on aura à traiter une force Pas, agissant sur l’autre face si bien que la seule composante nette pgV* sera à considérer.
31
dFz= +pd$>O c’est à dire orienté suivant z
&?>O dFZ= +pd%O c’est à dire orienté en sens opposé à l’axe z Figure é-l 1 : Signe de dF, = k pdS,
32
6.2. Forces sur une surface fermée : Pousske d’Archim&de 1. Composante horizontale : (figure 2-12) Si nous découpons en prismes infkiment petits, paralleles au plan (XJ) In résultunte des comDosantes horizontales est nulle. En effet, les surfaces élementaires dS et dS’ ont la même projection selon une direction horizontale, les pressions sont les mêmes et les forces sont opposées.
figure 2-12 : La pression est constante sur une stice élémentaire prismatique pris dans le plan horizontal ; d’où la résultante a une composante horizontale nulle.
2. Composante vetticale En découpant le volume V par le plan de la figure 2- 13, nous pouvons constater : - une force sur S1 égale au poids du volume hachuré Vl* du liquide et dirigée vers le bas - une force sur S2 égale au poids du volume V1 *+V du liquide et dirigee vers le haut. Il vient donc que la force nette sur la surface S=S 1fS2 est égale au poids du volume V de liquide et dirigée vers le haut. D’où le théorème d’Archimède suivant : Un corps solide plong6 dans un liquidé eu ésuiiibre subit une poussée verticale, dirigée vers le haut, égale au poids du volume du liquide déplacé. La poussée est appliquée au centre de gravité de ce volume appelé centre de caréne.
33
Figure 2- 13 : Force verticale exercée sur un corps immergé = poids du liquide déplacé et elle est dirigée vers le haut.
34
t
GÉOMÉTRIE
1!
Lignes
I
Polygones réguliers Voir en fin du chapitre. Segment circulaire
-
Arc de cercle : 1 = n Ra 180
OU
0,017 453 Ra
(a etant exprime en degrés) Corde : c = 2R sin ! 2
c = 2 4 7 3 q Flèche :f = R
(1- i) cos
avec le signe
le signe
- quand a < 18û0 + quand LY 1800
l
j
Ellipse
--
(a - b)z Périmètre N n J î (oz -t ba) - -___ 22
I
1
Aires Triangle
1
S=-ah 2
Volumes
(fin) Volume
quelconque
La formule donnée à la fin du chapitre « AIRES * peut s’appliquer au calcul Simpso”) dkoupées d’un (règ’e volume de quelconque, ho, h,. h,. . ... h, étant les aires des surfaces dans le volume par des plans parallèles équidistants espacés de I (les aires h, et h, sont nulles dans le cas général). Remarque : Cette méthode simple d’utilirotion dons le cas d’un découpe paf des plans perpendiculaires r-mer sont des cercles.
Polygones
réguliers
Désignation
/T$
Triangle Carré
. . . .
. .
Pentagone
. .
Hexagone
.
. .
Octogone
convexe
Décagone
convexe
Longueur
r
Aire
C
,
3
0,5774
c
0.2887
c
1,732
R ou 3,464
r
0.4330
c2 ou 1,299
Ra
.
4
0,7071
c
0.5000
c
1.414
R ou 2,000
r
1,000
c2 ou 2,000
RP
. _
5
0.8507
c
0,6882
c
1,176
Roui,453
r
1,721
c2 ou 2,378
AZ
. .
.
6
1,000
c
0.8640
c
1,000
Rou1,155
r
2,598
ca ou 2,598
.
.
8
1,307
c
1,207
c
0.7654
R ou 0,8284
r
4,828
ce ou 2,828
.
10
~ 1.618
c
1,539
c
0.6180
R ou
0,6498
r
7,694
c2 ou 2,939
RL Ra RZ
.
12
/ 1,932
c
1,866
c
0.5176
R ou OS359
r
ca ou 3,000
Rs
Ii,20
réguliers d’une
arête
=
1 Nature
Désignation
Tétraèdre
_ . .
. . ,
.
. .
Cube Octaèdre
. . . . . .
. . . . . .
. .
. . .
Dodécaédre
!
. .
convexe
Polyèdres
R
/
. .
convexe
Dodécagone
de calcul est particulièrement volume de révolution : si on le 0 son axe. les surfaces obie-
. .
.
, .
.
de
la
surface
Volume
Aire
4 triangles 6 carrés
équilatéraux
1,732
12
0.1178
F
8 triangles
équilatéraux
6,000 3,464
1= 12
l.ooo 0,47’14
P 13
la
7,663
P
12 pentagones
20.65
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE
Volumes
Volumes
(suite) Segment
sphérique
à une
V =
$
n (hs +
30~)
Y=
f
x (3R -
h) hz
Segment
sphérique
v =
ou
+ 3cs
\’ 0,523
1.0472
à deux
;- n (3b2
Tore
base
h ou
(suite)
60 (hs f
(3R -
30s)
Y =
h
Portion
h?) h ou
0,523
Ellipsoïde aplati
de révolution ou ailong
V =
f
ou
de
extérieure
60 (36s
na2b
ou
+
3cs
4,1888
+
hs) h
V =
tore
f
nr2 (3nR
de
tore
Y =
Ellipsoïde
r2R
+
au
4r)
ou
cylindre
ABCD
rs (9.8696
R +
(voir
4,1888
figure)
r)
asb Portion
-- ‘-7 -q -1’
19,739
h) hz
bases
+
2 nerzR
intérieure
nr’& (3nR
-
au
4r)
ou
cylindre
ABCD
rs (9,8696
R -
(voir
4,18118
figure)
r)
quelconque Y =
4
nabc
ou
4,1888
Tonneau
obc
à profil
V z
Parabololde
v =
de
;
Segment Y =
;
x (2W
+
de cercle
dz) h ou
0.262
(2D”
f
dz) h
surface et ne
la
plane coupant
révolution
nR21
de
&
en arc
ou
1.5708
paraboloïde A (Rs +
R21
de rs) 1 ou
Volume engendré par la r6volution autour d’un axe situe dans son (théoréme de Guldin)
r&olution 1.5708
(Rs +
r2) 1
Y = 2zRS
G : centre de gravité de la surface Aire de la surface =
S
ou
6,2832
d’une plan
pas
RS
Remarque : Si le centre de gravité ficile 6 déterminer. on pourra la diviser appliquer à chacune d’elles la formule tionner les volumes partiels trouvés.
de la surface est difen plusieurs portions, ci-dessus, puis addi-
GÉOMETRIE
Volumes
G EOMfTRIE
Volumes
(suite) Cylindre
oblique
à bases
quelconques
non
(suite)
r
paralt&ter
Tronc
de
V = Sd
V = f
ç cI’ .-..-_
@ G et G’ : centres Section droite
de gravité = 5
cône
de
rkvolution
n (R2 C r* + Rr) h ou
1.0472
(R2 +
-.*
R
des bases
Volume (volume
compris entre deux d’un cylindra creux)
V = n (R + f) eh OU 3,1416 Si e est petit
cylindres
de
r6volution
coaxiaux
Tronc
de c6na
à bases
paralfèles
quelconques
V=;(B+b+@)h
(R + r) eh
:
V#Znreh#2nReh
Sphére Portion d’un demi-cylindre de rkvolution comprise dont l’un est perpendiculaire à l’axe du cilindre et qui se coupent selon un diomètre
Y =
f Rab ou 0.666
Cane
entre
deux
plons Y=
v = ;
67 RZh
de révolution
ou cane
oblique
a base
nR2h
ou
1.0472
nR3
ou 4.1888
70
ou
R3
0,523
6003
circulaire Volume (volume
V = f
f
compris d’une
entre sphère
deux sphères creuse)
R2h v = $I (l? - t? ou 4,1888 Si e est petit
[@ - r?)
:
V = x (R + tjZ e =4sR2e
Cône
quelconque V+h
Secteur
v
sphérique 5--
3
nRZh
ou
2.0944
RZh
concentriques
ra + Rr) h
I
G ÉOMÉTRIE
G ÉOMÉTRIE
V o l u m e s (suite)
V o l u m e s (suite) Tronc de pyramide régulier ou tronc de pyramide quelconque
Cylindre à section droite circuloire, avec un0 base droite et une base oblique
bases
=
x
2 Re (h, + hJ
OU
i,57û8 Ra ( h ,
+ hJ‘
c
r
-----_
Prlsmatolde à bases rectangulaires (tas de sable) 1 6
V = - [(2ü
+
0’)
b
Cylindre à section droite circulaire, avec deux bases obliques parallèles
+ (20’ + d ) b‘] h
V = nR21 ou 3.1416 Ral
c. O
PrismatoVde quelconque
Y=
16 ( B
(formule dite
+ B’4-45) h Cylindre droit à bases quelconques parallèles <(
des 3 niveaux »)
V = Bh
Polyèdres réguliers Voir en fin du chapitre. Cylindre oblique à bases quelconques parallèles Cylindre de révolution Y = nR*h ou 3,1416 Rzh
~~~
ce----
Section droite = S
1
btUMt
Aires
(suite)
Aires Triangle
(fin) Surface (régie
sphérique
plane quelconque de Simpson)
Raou[0,017453(~+~+~)-3.14i6]~s (a, /? et y étant
5 =
exprimés
4nPrR
ou
en degrés)
39,478
Diviser la surface en un nombre pair 2m de tranches par des lignes paralléles equidistantes; soient I l’espacement entre ces lignes et h,. h,, h,, les segments déterminés sur ces paralléles h,, h,, . . . . km-a p ham-1 s hn par la surlace (h, et hzm &ant nuls dans le cas gkkral).
rR
s x
grand. Portion (non S =
de tore compris Znr
(xR
extérieure la surface +
2r)
de ou
au cylindre ce cylindre)
r (19,739
ABCD
(voir
f 1 [(ho
L’approximation ..
+
h,,)
-t- 4 th, obtenue
est
+
h, -I- . -. d’autant
meilleure
Prisme
droit
5 =
G
Il) 7zI.A R X
4
G : centre de gravité de la courbe Longueur développée de la courbe = 1
X’
de tore compris hr
(nR
int6rieure la surface -
2r)
Surface engendrke par autour d’un axe situé (théorème de Guldin)
r (19.739
la r&olution dans son
qu’on
a choisi
-t ‘b-2)1
m plus
Volumes
R +
au cylindre de ce cylindre) ou
+ 2 (h, + h, + .‘.
figure)
12,566
r)
V=
Portion (non
+ hlm-J
ABCD
R -
plan
(voir
12,566
d’une et
Bh
figure)
r)
ne
courbe piorne 10 coupant
Prisme
oblique V =
Bh
v =
SI
pas Section
droite
=
5
S=ZTcRl
Remarque : Si le cenfre de gravité de la courbe est difficile à determiner, mais qu’elle puisse être divisée approximativement en segments (droites et arcs de cercle) dont les centres de gravité sont connus, on pourra appliquer à chacun de ces segments la formule ci-dessus, puis additionner les surfaces partielles trouvées. Si la courbe est tout à fait quelconque, on pourra la diviser en petits segments et prendre pour centre de gravité de chacun d’eux son milieu; I’apptication de cette méthode donnera la surface totale cherchée avec une approximation d’autant plus grande que le nombre des segments sera plus élevé.
Pyramide
Y=$Bh
régulière
OU quelconque
1 Klt
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE
‘n Aires (suite)
A i r e s (suite)
r
Cylindre da révolution
A i r e latérale = 2nRh Aire totale
= 2nR (R
ou 6,2832 Rh
+ h)
ou 6,2832 R
(R + h)
Cône de révolution
Aire latérale e nRi ou 3,1416 R i
Aire latérale = nRÎ/RZ+hzou 3,1416
--_
/--
RJRZ+h?
,
3,1416 R (R + 1) JRa+h2 ) ou 3,1416 R (R +
Aire totale
= x R (R
+ 1)
Aire totale
= n R (R
-+-
OU
)
Tronc de c6ne de révolution
7
Aire latérale = n (R
Cylindre d secfion droite circulaire, avec une base droite ef une base oblique
I
Aire latérale = n R (h,
+ hJ
ou 3,1416
R (h,
Aire latérale =
+ h,)
(R
+ r ) i ou 3,1416 (R f
+ r) 4
r) 1
ou 3,1416
I
w Sphère -P
5 = 4nR2 OU 12,556 R2
N
5 = xD2
OU
3,1416 Da
Cylindre d section droite circulaire, avec deux bases obliques parallèles Aire latérale = 2 n R i ou 6,2832 R i Fuseau seau sphérique
n
S = - Raa ou 0,034 907 R2a 90 (a étant exprimé en degrés)
sQ ___----
Calotte sphérique et zone sphérique
Portion d’un demi-cylindre de révoiution comprise entre deux plans dont l’un est perpendiculaire à l’axe du cylindre et q u i se coupent selon un diamètre A i r e latérale = 2Rh
5 = h R h OU 6,2832
L
I
R!i
(R + r) d
m
GEOMETRIE
Aires
GÉOMÉTRIE
(suite)
Aires
(suite)
Parall6logramme Surface
d’une
couronne
circulaire
S = bh t
s = II (R + rl e ou 3.1416
Si e est petit
(R + f) e
:
S#2xre#ZnRe iizl
-~_ b Trop&e s = ;
(6 + 6') h
Secteur
circutaire
5 = bah S= &
R% ou 0,008 726 6 R2a
(a étant
Quadrilatére S=
quelconque
Segment
1 mnsina 2
-
S =
exprimé
en degrés)
circulaire i R2 (&
(p etont
/t -
exprimé
sin fi) en degrés)
Ellipse Polygones Voir
D
en
Polygone 5 =
S =
réguliers fin du
nab
ou
3,1416
chapitre.
irrégulier surface
AK
4
surface
ACD
+
surface
ADE
c
E Parabole ci!2
S =;obou1,3333ab Cercle S = nR2 ou 3,1416
R2 = : DZ ou 0,785
40 DB
ab
ou i R2 (0,017
453
fi -
sin /f)
1EXERCICESi
D’HYDROSTATIQUE
1
Problémes Ex. ST.1 Etudier contenus zo - Zl
=
non
résolus
Ics conditions d’équilibre de trois liquides dans un tube en U. Calculer z0 , z1 , z2, z3 . 0.2 [m] , 23 - z2 = 0.1 [ml, z1 f z2 = 1.0 [m] ,
y1 = 9.81 [kN/m3]
(eau) * y2 = 133.42
73 = 6.87 [kN/m3]
(esscncc)
[kN/m3]
(Hg) ,
.
Y1 73 ::: “12 g. I:f., ,,:;;;:: z, .y::., y..,._:.,,::::::?::i::,:,’ Z2 Il -- ~~~ -I _---I -. 20
f+=l [cm1
fs=2~clRl
Ex. ST.2 Dans un Etat initial, le mercure est en 6quilibre dans les deux branches d’un tube en U (niveau de rkférence). Quelle est la quantité d’eau que l’on doit verser dans la branche de droite pour que la hauteur d’eau atteigne une cote dc 84 [cm] par rapport au niveau initial du mercure ? , ‘y,,” = 9.81 [kN/m3] . YrIg = 133.42 [kN/m3] Ex. ST.3 Calculer la différence de pression entre les deux réservoirs ci-contre.
(~1 - ~2)
y1 = 9.81 [kN/m3]
,
, ‘yI~g = 133.42 [kN/m3]
y2 = 12.75 [N/m3], hl = 1.5 [m] , h = 0.3 [m] , h2 = 1.4 [ml.
Ex. ST.4 Un piston creux en forme d’entonnoir, fermé à son extrémité supérieure de diamètre D, pouvant glisser dans un tube de diamélre d, SC trouve en équilibre sous l’effet des pressions hydrostatiques dans la position indiquée sur la figure ci-contre. ,Q ue 11e est la valeur du rapport h/b quand D/d = 4 7 On nbgligera les frottements et le poids propre du piston, ainsi que l’épaisseur des parois.
Ex. ST.5 le point d’application Déterminer l’intensité. et la direction de la poussée résultante, par mètre de largeur, agissant sur la paroi semi-cylindrique. D = 3 [m] , yeau = 9.81 [kN/m3] .
45
A;.:.:. .,.....<~......i. t :.>:.:_ . .,.,,..,.<,, Y.:.:.>:.,. ,.i..........<.<...... .<......<.,...,.,. .:::::::::::::::::::::::::::::::::.~:.:.:.;.:,:.:.:.:.:.:. -e
Ex. ST.6 Une paroi d’un rçservoir d’eau inclinte B 45* componc un orifice dc 2 [m] dc rayon dont le centre est situé à 10 [m] au-dessous du niveau de Cet orifice est obturé par un couvercle I’esu. hémisph6rique fixé à la paroi par des boulons. Calculer les composantes normale (traction) ct tangcnticllc (cisaillement) de la fofcc agissant sur Ic joint (cnsemblc dc boulons). Y ca,, = 9.81 [kN/m3].
fur. ST.7
Poür
r&gIcr Ic niveau d’eau d’un Gscrvoir, on emploie un clapet rectangulaire pivotant de 1 fm] dc haut ct 2 fm] dc iarge. Détcrmincr la position de l’articulation A pour que le clapet s’ouvre automatiquement lorsque le niveau d’eau atteint la cote dc 6 [ml. Y eau = 9.81 IkN/m3].
i- -
?
W = 3728 [kN] , ‘y=,” = 9.81 [kN/m3] .
Ex. ST.9 On veut dEtermincr la pression hydrostatique dans un r&scrvoir rcmpl i d’huile. Dans la partie du rtscrvoir qui contient de l’air, on admet une répartition uniforme dc la pression. On demande: la pression absolue pi dans Ic réservoir, il ii) la force F sur JC piston cylindrique, iii) la hauteur h de la colonne d’huile dans lc tube de gauche. Yhuilc= 7.75 [kN/m3] , ytlg= D = 0.12 [ml, tl = 1.20 [ml,
133.42 [kN/m3] , t2 = 0.24 [m] ,
d = 0.60 [ml, pa = 105 [Pal .
46
6.00 [m]
-Y-zf
buiu x
i
a 4.... ....a.< . .. ..;
Ex. ST.8 On veut déterminer Ics forces agissant sur une vanne segment de poids W et de largeur b. Lc centre de rotation et le centre de courbure de la vanne ne sont donc pas confondus. On cherche: force résultant i) la dc la pression hydrostatique cxcrcéc sur la vannç, ii) la r6action d’appui cn A. b = 10.0 [m] , h = 5.3 [m] , r = 6.0 [m] , d = 1.5 [m] , e = 1.0 [m] , f = 1.0 [m] ,
.%-? $:& .A:.x4 L&A
-
1.00 [m]
AL
-
0.00 [m]
Ex. ST.10 Une vanne conique permet de régler le niveau d’eau du L’orifice au fond du ci-contre. réservoir de la figure rbservoir a un diamètre de 2r et le pqids de la vanne est de W. Un ressort maintient la vanne fermte en lui le niveau d’eau (h+r) du appliquant une force F. Lorsque réservoir est dépass6, la vanne s’ouvre. Détcrmincr le niveau d’eau (h+r) pour lequel la vanne se déplace verticalcmcnt en ouvrant l’orifice. r = 2 [cm] , W = 1 [N] , F = 6 [N] , y = 9.81 10m3 [N/cm3] .
Ex. ST. 11 Trois pistons de surfaces rcspcctives S,, S, et SS sur lesquels agissent les forces F,, Fz et FS se - -- trouvent à la surface de l’eau dans les trois z compartiments d’un réservoir. Trouver les .---- I hauteurs x et z. Fl = 2 [kN] , F, = 4 [kN] , F3 = 5 [kN] , SI = 0.03 [m2] , S2 = 0.03 [m2] , S3 i 0.03 [m2] ,
Ex. ST.12 L’orifice circulaire dans une des parois verticales d’un rkservoir est fermé par un clapet dont l’articulation se trouve au point A. Un levier portant un contrepoids est fixé Celui-ci clapet. perpendiculairement au s’ouvre de lui-même quand le niveau d’eau dans le récipient dépasse la hauteur h = 80 le milieu de l’orifice. [cm] mesurée depuis a 55 [cm] de Le contrepoids se trouve l’articulation. On cherche: la force de pression sur lc clapet, 0 ii) la distance entre le point d’application de la force de pression ct le milieu de l’orifice, iii) le poids du contrepoids.
!
Ex. ST.13 Une boîte cubique de 50 [cm] de caté, à moitié remplie d’huile, est acctltrte uniformément le long d’un plan incliné de 30’ avec l’horizontale. On cherche: la pente de la surface libre, 0 ii) la pression le long du fond dc la boîte. Accélération uniforme: a = 2 [m/s*], = 800 [kg/m3] , g = 9.81 [m/s*]. ‘huiic
47
Ex. ST. 14 Une boîte cubique de 50 accélérée d’huile, est
[cm] de côté, uniformément.
à moitié remplie L’accélération
uniforme vaut: a = 2 [mis‘] On cherche: la pente dc la surface libre 9 ii) la pression lc long du fond de la boîte Phuile
= 800 [kg/m3]
, g = 9.81
a 50 [ml
a
.~~~i:~::,:.:, _........._.....,. ,...,;..,.,..: _.,.,... *huilr ..:‘:::::::::::::::::::::::::;:;:::::~~:~~.~ ‘::::::.:.:.:.:.:.:.‘:.:.:.:.:,:.:., .....;.:.:.:.:.‘.:.:.:.:.:.:,:.:.:,:.,,~.: .‘...‘.‘Y :.:.:.:.:.:.:.:.:,:,:,;,~,~.~,~.~.: x .,.y.:.:.,. _, .;... ._.,..,.,.<.,.,
[m/s2].
Ex. ST.1 5 Une vanne canec dc 3.3 [m] dc côte est formce d’une mktalliquc consolidec par deux poutrelles plaque horizontalcs. En exploitation courante, ic niveau d’eau se situe à 2.35 [ml au-dessus dc son arête supérieure. Placer les poutrcllcs de manierc à ce qu’elles il prennent la même charge. ii) Calculer le rapport des charges sur les poutrelles si lc niveau d’eau monte encore de 10 [m] ; dans ce cas, la pression sur la vanne peut être considérée comme uniforme.
2.35
Ex. ST.16 Calculer la poussée et le moment agissant sur une trappe articulée a la partie inférieure dc la paroi séparant les deux rbscrvoirs ci-contre. DCterminer la position des centres de poussée et le point d’application de la résultante. Y1 = 9.81 [kN/m3] , y2 = 8.85 [kN/m3] .
Ex. ST.17 d’un Les appontcmcnts cn bCton précontraint port ont en coupe les dimensions donnCcs sur la figure ci-contre. Calculer: la hauteur mCtaccntriquc de I’apponte0 ment. ii) la charge utile (uniformément répartie) maximale sur le plancher superieur. sera effcctui: par mbtrc courant U-e calcul d’appontcmcnt) yb = 24.53
Ex. ST.18 Un camion
[kN/m3] , y=,u = 9.81 [kN/m3] .
citerne,
muni d’un reservoir
cylindrique
x 0
z 1
de diamètre
D = 2.1 [m] et long
de 8.5 [ml, est rempli dc mazout (y = 7.75 [kN/m3]) . A un carrefour le camion freine brusquement, produisant une décéleration de 4 [m/s2]. i) Quelle est la poussée agissant sur le fond de la citerne (pleine) proche’ de la cabine du chauffeur 7 Quel est son point d’application ? ii) Dessiner le diagramme des pressions sur les parois de la citerne en coupe vcrticalc longitudinale. iii) Quelle serait la position de la surface libre du mazout en cas de remplissage partiel de la citerne ? 48
Ex. ST.19 cylindrique ci-contre est maintenu en Le tunnel équilibre par des câbles disposés par paires tous les 6 [m] . La charge dans le tunnel (voie, trottoirs, charge utile) est de 9.81 [kN] par mttre de loqgucur, a laquelle s’ajoute le poids de la paroi du tunnel. Calculer la force de traction dans les câbles d’amarrage du tunnel. Diametrc inttrieur: D = 3.0 [m] , Epaisseur du b6ton: e = 0.25 [m] , yb
= 24.53 [kN/m3]
, yclu = 9.81 [kN/m3]
s
.
Ex. ST.20 Déterminer la- valeur de la force agissant (fond de paroi) d’un récipient tronconique extrémité supérieure et rempli de mercure: lorsque le récipient est pose sur i> horizontal, ii) lorsqu’il est suspendu par le haut. = 133.42 [kN/m3] . Y&
sur le joint ouvert à son un
support
Ex. ST.21 Les accumulateurs oléopneumatiques employes dans les systèmes hydrauliques des avions ont souvent la forme d’un cylindre et d’un piston où se trouvent d’une part l’air sous pression part le liquide refoulé par une pompe. Lors du Pl et d’autre remplissage de l’accumulateur, le piston SC déplace vers la gauche sous l’action dc la pression du liquide et emmagasine une réserve d’énergie en comprimant le volume d’air V- t. Au cours de la décharge de l’accumulateur, l’air se détend et l’énergie est délivrée au consommateur. Déterminer la d’énergie (travail) d’un réserve air accumulateur [Pal dans pression
le
chargé cas
jusqu’à où sa
p2 = 0.75 107 [Pal
d’air y2 = 3 10w3 [m3]. On admet que: - la compression ct -
la
la pression p1 = 1.5 107 décharge irait jusqu’à la correspondant
détente
A un volume
de
isothermiques (pF= Cte), les volumes d’air sont proportionnels deplacements dx du piston, le frottement du piston est négligeable.
l’air
sont aux
Ex. ST.22 Dans un réservoir. le niveau d’eau est réglé par la valve lestée représentée sur la figure ci-contre. L’extrémité ouverte du tuyau de 8.5 [cm] de diamètre est maintenue fermée par un contrepoids de masse W = 5 [kg]. i) Quelle est la hauteur du niveau d‘eau au-dessus de la valve ainsi réglée 7 ii) Jusqu’où doit-on dtplacer lc poids sur le bras du levier pour maintenir le niveau d’eau à 2.5 [m] 7
49
I?x. ST.23 Détcrmincr la hauteur h du niveau d’eau du tube piézometriquc utilisé pour mesurer la pression à I’intcricur du gazométrc ci-contre. passant par On considère un plan dc réferencc lc point A et l’on tient compte dc la variation de la pression atmospherique duc a l’altitude mais on admet que g ct Ics masses volumiqucs sont constantes.
Pg.z = 0.56 [kg/m‘l]
, P,ir = 1.26 [kg/m3]
,
PCa” = 1000 [kg/m3]
, z1 = 0.1 [ml , z2 = 92 [m] .
Ex. ST.24 1) La vanne de la figure (a) ci-dessous commence A basculer quand l’eau arrive à une distance h = 0.65 [m] de 0: dessiner le diagramme dc pression sur la vanne, il dessiner la force résultante (des pressions) exercée par l’eau sur la vanne ii) et point d’application), (direction iii) trouver lc poids W (applique cn son ccntrc de gravité) de la vanne par mètre dc largeur. 2) La vanne est en équilibre sur la figure (b) avec h’ = 2.5 [m]. Quel serait lc poids W dans ce cas ? a = 0.6 [ml , b = 0.4 [m] , f = 1.5 [m] .
Les multiplicateurs hydrauliques dc la figure ciont pour fonction d’augmcntcr la pression contre p1 fournie par une pompe ou un accumulateur. La pression p1 est amenée au cylindre 1 a l’intérieur duquel se déplace le cylindre creux 2. de poids W et de diamttre D. Ce dernier glisse lc long du plongeur fixe 3. de diametre d. dont Ic canal sert à l’écoulement du liquide à haute pression pZ . Determincr la pression p2 dans les conditions suivantes: W = 3000 [N]
, D = 0.125 [m] , pl = 107 [Pal , d = 0.05
(ml. Ne pas tenir compte Ics joints d’ctanchéirC.
des
forces
de
frottcmcnt
50
dans
r-r
p2
CHAPITRE
3 : CINEMktTI&UE
CHAPITRE
3 : NOTIONS DE CINEMATIQUE
A. Particule fluide, vitesse et accélkration 2. Ecoulements
permanents,
&oulements
non permanents
2-l. Ecoulements
permanents,
écoulements
2-2. Ecoulements
permanents
en moyenne
3. descriptions
non permanents
d’un écoulement
3-l. Méthode de Lagrange : Trajectoires 3-2. Méthode d’Euler : lignes de courant, lignes d’émission 4. Dimensionnalité
et directionnalite
d’un écoulement
5. Dtbbit, débit massique 6. Principe de conservation 6-l. Forme différentielle
de la masse, équation de continuité en coordonnées
6-2. Equation de continuité 6-3. Génthalisation 7, Ecoulements
7-2. Ecoulement
potentiel
7-2. Ecoulement
plan
7-3. Ecoulements
pour un tube de courant
: volume de contrôle,
potentiels
cartésiennes surface de contrôle
plans
potentiels
plans
52
La cinématique est l’étude du mouvement des particules fluides sans faire intervenir les forces qui entrent en jeu. Nous ne donnerons que les définitions courantes sans insister sur les diverses théories qui ressortent plutôt du domaine mathématique.
1. Parkule
fluide, vitesse et acd&ation
Au chapitre 1, on a déf%i le concept de particule fluide qui désigne un petit élkment de masse (très petit par rapport a l’échelle de l’ingénieur mais très grand par rapport à l’échelle moléculaire).On attribue à la particule fluide une entité dans l’écoulement et elle contient donc toujours le même fluide, Ce concept est introduit parce que les lois de la physique newtonienne reposent sur les notions de vitesse et d’accélération de telles particules “étiquetées”. Des variables comme la vitesse, la pression et la masse volumique peuvent dépendre de deux types de variables indépendantes : . 1“/ la position considérée dans le champ d’écoulement, généralement tridimensionnel; 2’/ le temps auquel sont observées leurs valeurs. Dans le cas le plus général, une variable d’écoulement peut ainsi dépendre de 4 variables indépendantes (3 spatiales + 1 temporelle). Dès lors les dérivées doivent être exprimées en termes de dérivées partielles.
1-I. La vitesse et I’wcél~ration La vitesse d’une particule est le taux de variation temporelle du vecteur position *(t) de la particule (figure 3-l). -+
;&
(3-U dt Rappelons que ce vecteur vitesse peut dépendre de 4 variables : 3 variables de position et 1 variable temporelle t. L’accélération d’une particule est le taux de variation temporelle du vecteur vitesse ? de la particule. + y-de (3-2) --z Un changement de la grandeur ou de la direction du vecteur vitesse cause une accélération.
53
Position de la particule à t+6t
sition de la particule à t 0
~=lirn &+0
T(t+ Si-Z(t) a
Figure 3-l : Vitesse dune particule
l-2. Systhes d’axes Tout vecteur peut être défini par ses composantes dans un système de coordonnées. Ces composantes diflèrent selon le système choisi. Elles sont des scalaires et leurs valeurs sont spécifiées par les vecteurs unitaires associés aux axes du système. Puisque le vecteur vitesse peut dépendre de 4 variables, il en est de même pour chacune de ses composantes. Dans un système de coordonnées cartésiennes, chaque vecteur unitaire conserve la même direction; ce qui n’est pas le cas en coordonnées cylindriques, sphériques ou naturelles où les vecteurs unitaires changent de direction avec la position (figures 3-2). Ainsi, toute derivée spatiale de la vitesse doit aussi bien considérer le changement de direction des vecteurs unitaires que le changement de grandeurs de ses composantes.
Figure 3-2 (a) : Coordonn&es naturelles 54
Figure 3-2 (b) : Coordonnées cylindriques
Figure 3-2 (c) : Coordonnkes sphériques
2. Ecoulements
permanents,
écoulements
non permanents
2-l. Ecoulements permanents Un écoulement est permanent lorsque le champ de vitesse ne dépend pas du temps, c’est à dire la vitesse de la particule qui se trouve en un point donné reste la même à des instants difFérents. Il s’en suit en général que les autres variables de l’écoulement sont indépendantes du temps. 55
Dans un écoulement permanent, la dérivée partielle --$ de toute variable de koulement est nulle. Un écoulement non permanent est un écoulement qui n’est pas permanent. 2-2. Ecoulements permanents en moyenne En général, les composantes u, v, w ainsi que la pression p en un point M dépendent du temps. Mais très souvent ces quantités restent constantes en moyenne, c’est à dire qu’il est possible de trouver un intervalle de temps T tel que les quantités moyennes : - 1 +T ’
=-
-=’ w
T f
T f
udt
$jt
restent indépendantesde l’instant initial t choisi. 3. Descriptions d’un écoulement On peut employer deux méthodes pour décrire un écoulement : - la méthode de Lagrange - la methode d’Euler. 3-l Description lagrangienne : trajectoire Elle consiste à individualiser une particule déterminée du fluide et à la suivre dans son mouvement. Soient a, b, c les coordonnées d’une particule A l’instant to ; à l’instant t , cette particule prend la position M définie par ses coordo.nnéesx, y, z en fonction de a, b, c et t : x = f (a, b, c, t) (3-3) y = g (a, b, c, t> z = h (a, b, c, t) Cette description du mouvement est dite description lagrangienne et les variables x, y, z sont les variables de Lagrange. Le lieu géométrique des positions successives d’une particule s’appelle sa trajectoire. Les équations param&riques (en t) de la trajectoire sont donc données par les relations (3-3) On neut en déduire la vitesse de cette particule à tout instant t A u(a,b,c,t)=-=-f
a!x
d
dt
6l
v(a,b,c,t)=$=-$g dz w(a,b,c,t)=z=2h
d
Si l’écoulement”kt nk permanent, les particules qui passent par un même point à des instants di@érentspeuvent avoir des trajectoires différentes (figure 3-4). Si l’écoulement est permanent, toutes les trajectoires des particules qui passent par un même point se confondent. En pratique, l’observation d’une trajectoire peut se fkire par injection locale d’une petite quantité de traceur dans le fluide. La description lagrangienne n’est pas très adaptée à la mécanique des tluides parce que les particules fluides ne conservent pas longtemps leur individualité en raison de la dif%ùsionmoléculaire. On utilise plutôt la méthode d’Euler. 56
,------<$i$.
a Particule auI b temps t0 C >
Figure 3-3 : Description lagrangienne du mouvement
Figure 3-4 : Trajectoires des particules 1 , 2 et 3
cl1 0
2
est passé en P au temps ti ”
”
1,
t2
II I, t3 3 ” cl Si l’écoulement est permanent, les 3 trajectoires sont confondues.
3-2. Description
Eulérienne,
lignes de courant
Elie consiste à considérer un point fixe M de l’espace et à étudier, en fonction du temps, ce qui se passe en ce point. Nous déterminerons ainsi, en fonction du temps, la vitesse V de la particule qui se trouve en ce point M de coordonnées x, y, z. Nous aurons alors les composantes de la vitesse en chaque instant t : u = F(x, y, z, t> (3-5) v= G(x, Y, z, t) w= wx, Y, z, t> Les variables u, v, w sont appelées variables d’Euler. 57
On appelle ligne de courant une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse en ce point. Ce qui se traduit mathématiquement par : LA’: OU
C&A“v = 0 (3-6) ou di dy dz -=-=24 v w Les équations des lignes de courant s’obtiennent donc par intégration des équations cidessus. Dans le cas le plus général d’un mouvement non permanent, la forme des lignes de courant change avec le temps. On appelle surface de courant lWinité (faisceau) de lignes de courant qui s’appuient sur une courbe donnée C. La vitesse en un point quelconque de cette surface est évidemment située, à l’instant considéré, dans le plan tangent. Lorsque la courbe C est une courbe ferriree, la surfke devient un tube de courant. Si le tube de courant est de section infiniment petite, on l’appelle un filet de courant. On peut obtenir approximativement le tracé des lignes de courant par technique photographique. Pour ce faire, on disperse dans un liquide transparent de petites particules d’un corps solide étranger de densité voisine à celle du fluide et on photographie l’écoulement avec un temps de pose très court t. Sur le cliche, chaque particule opaque va être représentée par un petit trait qui indique la direction de la vitesse au point où elle se trouve. Dès lors on peut tracer des lignes tangentes à ces traits c’est à dire les lignes de courant. 3-3. Lignes d’bmission Une ligne d’émission est l’image instantanée des positions de toutes les particules qui sont passéespar un même point (point d’émission) depuis un temps initial to, En pratique, l’injection locale et continue d’un traceur, à partir d‘un instant donne, permet de visualiser la ligne d’émission à chaque instant. Dans un écoulement non permanent, la ligne d’émission issue d’un point donné change de forme avec le temps. Dans un écoulement permanent, trajectoire, ligne de courant et ligne d’émission se confondent et ne changent pas dans le temps. 4. DimensionnaKté et directionnalité d’un écoulement A cause de la nature vectorielle de la vitesse, il faut faire la distinction entre la dimensionnalité et la directionnalité d’un écoulement : 1’1 La dimensionnalité est le nombre de coordonnées spatiales indépendantes nécessairespour décrire les variables de l’écoulement. Si ces variables ne changent que dans une direction x, l’écoulement est unidimensionnel suivant cette direction x. Si elles changent suivant deux directions du système d’axes, l’écoulement est bidimensionne1suivant ces deus axes. 2’/ La directionnalité est le nombre de composantes requises pour exprimer le vecteur vitesse dans le système d’axes choisi. Si la vitesse a une seule composante non nulle, on dit que l’écoulement est unidirectionnel. Si la vitesse a deux composantes non nulles, on dit que l‘écoulement est bidirectionnel. 58
Il y aura donc avantage à procéder à un choix judicieux du système de coordonnées pour décrire un écoulement. Le meilleur choix est celui qui minimise la dimensionnalité et la directionnalité de l’écoulement. 5. Débit, debit massique Le débit est le volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Considérons un élement de surface dS traversé par le fluide et normal à la direction de la vitesse (figure 3-5). Dans un intervalle d.etemps dt, la quantité de fluide passée à travers dS est contenue dans un cylindre de longueur Vdt et de base dS. Son volume vaut alors : dv=VdtdS Le débit traversant la surface élémentaire dS est donc égal à dQ=$=VdS Si la vitesse fait un angle 8 avec le vecteur unitaire n normal à la stice dS, la débit qui traverse est évidemment moindre (figure 3-6) . La longueur du cylindre évoqué n’est plus que Vdtcose et le débit devient : dQ = V cose dS Nous reconnaissons en V~OS~la projection de G sur la direction de G : v Cos@=ix dQ= i%dS
Le débit massique ou débit en masse dm est la quantité de masse qui traverse dS par unité de temps : dm = pdQ = pï?;dS A travers une section de grandeur finie S, le débit s’obtient par intégration de vitesse. Q= jdQ=
j?.;dS
P-8)
S
dkt= 1p;.;dS
&y S
(3-9)
S
Pour les liquides, p est constante dans l’intégrale de la relation (3-9) et on peut écrire : m=pQ
Si la vitesse a une orientation constante en tout point d’une section droite, I’expression générale (3-9) devient (3-l 1) Q= jVdS S
ou encore Q=SU en introduisant le concept de vitesse moyenne U définie par : U=i
jVdS
(3-12)
S
L’expression (3-l 1) est utilisée pour jauger les cours d’eau en explorant le champ de vitesse V dans la section S à l’aide d’un moulinet par exemple. L’intégration doit évidemment être faite numériquement ou graphiquement puisqu’on ne peut effectuer qu’un nombre limité de mesures de vitesse. 59
dS
dQ=$=VdS Figure 3-5 : Expression du débit dans le cas où dS est normale à G
dS
_..’ 4.
/\
V CO& dt Figure 3-6 : Expression du débit dans le cas où dS fait un angle 0 avec if
6. Principe de conservation de la masse, équation de continuité L’équation de continuité doit traduire le principe de la conservation de la masse qui s’énonceainsi : L’augmentation de masse, pendant un certain temps, du fluide contenu dans un volume donné, doit être égale à la somme des masses de fluide qui entrent moins la somme des massesde fluides qui sortent.
60
6-1, Femme diff&entielle en coordonnbes carthiennes La forme différentielle de l’équation de continuité, dans le cas le plus général, est la suivante :
qv est un débit par unité de volume des sources ou des puits. Nous pouvons établir la relation (3- 13) de la manière suivante. La variation, pendant le temps dt, de la masse pdxdydz contenue dans le volume ékmentaire parall6lépipédique de la figure 3-7 est donnée par : -$ (pixdydz)dt
=”
dnfydzdt
Cette variation de masseest par ailleurs égale à la somme : l”/ des massesqui passent par les six faces : * sur les 2 faces perpendiculaires à x pudydzdt entre.
pu+x-dx 3(P)
dydzdt sort 1
* sur les 2 faces perpendiculakes à y pdxdzdt entre [pv+~dyjdxdzdt
sort
* sur les 2 faces perpendiculaires à z pwdydxdt entre
pV+qp) ---g-dz
1
dydxdt sort
d’où le bilan (ce qui entre - ce qui sort) :
2”/ des massesde fluide fournies pendant dt par les sources ou les puits, de débit qv par unité de volume, situés à l’intérieur du parallék!pipède, soit On aura donc + d(pw) dxdydzdt + (~pqv)dx&kdt a az 1 et en shnplihnt par dxdydzdt on trouve l’expression (3-13). On appelle écoulement conservatif un écoulement où il n’y a pas de sources ni de puits; donc xq, = 0 4J adxdydzdt
~(Pu) + à = - 7 -
( P w
f
“ap;w
dz
) dxdydt
pudydzdt ?
/
pvdxdzdt
I
l
I
(PV + y
dy
) dxdzdt
pwdxdydt
Figure 3-7 : Masses de fluide qui passentpar les six faces d’un pamllélépipède rectangle infinitésimal pendant un intervalle de temps dt.
62
Si l’écoulement conservatif est permanent, z = 0 et on aura :
Pour les fluides incompressibles en écoulement conservatifpermanent, p = Cte et on a 4f+e+ay=, a@& (3-14) ou div(i;) = 0 6-2. Equation de continuité pour un tube de courant : Considérons le tube de courant de la figure 3-8 et écrivons le principe de la conservation de la masse pour le volume entre les sections SI et S2 pour un fluide incompressible en écoulement permanent ; masse qui entre par Si = pUlS1 massequi sort par S2 = pU2S2 ’ d’où (3-15) U~S1’U2S2 où U1 et U2 sont des vitesses moyennes aux sections S1 et S2
Figure 3-8 : Equation de continuité pour un tube de courant : le fluide ne traverse pas c 6-3. Généralisation Dans le paragraphe O-l, on a pris un volume parailelépipèdique i&nitésimal pour écrire le principe de la conservation de la masse et dans le 6-2 un autre volume délimité par S1, S2 et les lignes de courant. Le volume ainsi considéré est appelé volume de contrôle V, par beaucoup d’auteurs. La surfaçe fermée qui le délimite est appelée surfàce de contrôle. Le volume de contrôle peut être fixe ou mobile, déformable ou indéformable, fini ou infiniment petit. Son choix est donc arbitraire mais il doit se faire judicieusement en fonction des variables du problème et pour simplifier la formulation mathématique.
63
L’expression générale de l’équation de continuité pour un écoulement conservatif est la suivante : ;j&
(3-16)
pdz+ II, p&idS=O
0
e
où q, est la vitesse relative du fluide par rapport à l’élément dS de la surface de contrôle S, dont n est la normale extérieure. Si dS a une vitesse G et le fluide une vitesse absolue ‘: , par composition des vitesses : +y:-; Le premier terme de l’équation (3-16) est la variation de la masse contenue dans b volume Vc pendant I’unitk de temps. Si le volume Vc est indéformable (ne dépend pas de t); le fluide incompressible et Ecoulement permanent, ce terme est nul. L’intégrale de surface est le débit massique qui sort moins le débit massique qui entre car sur chaque élément dS, le produit scalaire J? .n)O si le fluide sort p:.G{O si le fluide entre. 7. Ecoulements
potentiels
plans
7-1 Ecoulement potentiel. Il existe une grande classe d’écoulement où la vitesse dérive d’un potentiel CD; c’est à dire : xw’v=-g&b (3-17) où le signe moins oriente la vitesse dans le sens des potentiels décroissants. C’est le cas des écoulements en milieu poreux homogéne et isotrope où le potentiel CD est la charge hydraulique (au coefficient K près) qui se résume à deux termes seulement car le terme d’énergie cinétique -Y’ est négligeable (voir chapitre 4) :
2g
@=KHz
z+J-* (3-18) 4 PS1 où K est la perméabilité du milieu qui a la dimension d’une vitesse. Il est équivalent de dire que l’écoulement est irrotationnel c’est à dire que le vecteur rotation instantané de la particule fluide rot v (au coeflïcient % près) dont les composantes en coordonnées cartésiennes sont données par l’équation (2- 19) est nulle f
Id‘ 5 a .z
Physiquement, cette rotation est provoquée par les tensions de cisaillement.
64
L’équation de continuité pour un fluide incompressible div Y; çombinke avec la relation (2-l 7) pour donner :
() pourra alors être
La divergence du gradient donne le laplacien qui est noté VQ et qui s’exprime en coordonnées cartésiennesde la façon suivante : 1 (3-20) On dit alors que le potentiel (b est une fonction harmonique car elle vérifie l’équation (2-20) qui est l’équation de Laplace. Les surfaces Q= constante sont appelées surfaces équipotentielles. Le vecteur vitesse sur un point de cette surface est normale à la surface car p .is = d0 = 0 où 28 est un vecteur élémentaire de celle-ci. 7-2. Ecoulement plan On entend par écoulement plan un écoulement où le vecteur vitesse et les lignes de courant sont tous contenus dans des pkans paralièles. La première possibilité concerne les champs de vitesse de la forme p[ &~,y), Y(x,~), W = 0] dans un repère cartésien. Dans les coordonnées cylindriques, ils sont de la forme p[ Ur(r,8),JT,(r,
19),W = 01.
11 existe une autre classe d’écoulements qui a les mêmes propriétés que les écoulements plans avec une légère dBérence. Ce sont les écoulements de révolution ou écoulements axisymétriques. Le vecteur vitesse et les ligues de courant sont dans des plans qui se déduisent les uns des autres par une rotation autour d’un axe z. Ils sont de la forme
~[u,(r,z),T/,(r,.z),W
= 0] dans un repère cylindrique.
Dans tous les cas, l’équation de continuité pour un fluide incompressible ou la condition de divergence nulle est équivalente à : (3-2 1)
3&&;t;
car div rit -=O. ( 1 Le vecteur 0 qui est défini à une constante additive près C*>G! composante non nulle pour les écoulements plans et de révolution :
A) a une seule
;[o,o,Y] où Y est une fonction soit de x,y,t ; soit de r,C),t pour les écoulements plans et r,z,t pour les écoulements de révolution. On peut donc écrire pur les écoulements plans en coordonnées cartésiennes : u=a
65
La fonction Y est invariante le long d’une ligne de courant d’où son nom fonction de courant. En effet si l’on considère deux points M M’ voisius et situés sur une même ligne de courant ; la variation de Y est donnée par : bY=~&+~sy=L’Gy-v* avec ~~=&=[h%O] Comme M et M’ sont sur la même ligne de courant, on aura : f% 4Y --U-V
d’où w=o Le débit par unité de largeur q qui passe entre les deux lignes de courant y, y,
(figure 3-9) est donné par la relation (2-22) : En effet :
Donc :
.
Figure 3-9 : Calcul du débit q entre deux lignes de courant.
et
7-3 Ecoulements potentiels plans La fonction de courant est alors harmonique car on aura les équations de Cauchy : a?m u=c7,=c
Il s’en suit que le laplacien de la fonction de courant est nul :
Pour les écoulements potentiels plans, il est équivalent de donner soit le champs de vitesse p, soit le potentiel @ ou son équation différentiel avec les conditions limites, soit la fonction de courant Y ou son équation différentiel avec les conditions limites. Les ligues de courant Y==constante et les ligues équipotentielles @=constante sont orthogonales. En effet, la ligne de courant Y=coustaate est tangente au vecteur vitesse
qui est perpendiculaire à la ligne @=cunstante car y = - &>d CD. On peut donc tracer ce réseau de lignes pour des ecoulements potentiels plans et choisir les sauts A@ et AY de façon à avoir des carreaux curvilignes. Pour cela, il suffit de prendre A@=AY. En effet considérons le réseau de la figure (3-10) : on a : q=AY=VAs A@ or V=A?l A@ donc AY=----As An si A@=AY alors An=As Donc les deux cotés du carreau sont égaux. Les dimensions des carreaux varient en raison inverse de la vitesse car As=% .
j.
:
\ ,.>'
,I
/-----
Y+A'F
Figure 3-10 : Propriété du réseau des lignes équipotentielles et des lignes de courant.
67
Le tracé de ces réseaux (figure 3-l 1) se fait par analogie électrique en utilisant le papier Télédehos ou par des techniques de construction particulières (méthode de Prasil, etc.), Si on numérote les équipotentiels décroissants de 0 à y1@et les lignes de courant de 0 à y2v , le débit de fuite se calcule alors simplement : q=nY AY car on a nY tubes de même débit AY q=n, AQ car A@=AY
4=ny
@o-Q,* na
car les ACDsont égaux.
Donc la formule de débit de fuite est : pi
(3-23)
Les fonctions cf, et Y et leurs propriétés permettent de construire également le potentiel complexe, la vitesse complexe et utiliser la théorie des fonctions complexes, les transformations conformes, les transformations hodographiques, la théorie des images et la superposition. Ces méthodes ne seront pas abordées dans ce cours mais elles constituent des outils puissants permettant d’analyser des cas complexes d’écoulements potentiels plans.
Figure 3-11 : Débit de fuite dans un massifporeux (barrage).
1ANNEXE
CHAPITRE
3 1
Vitesse et accélération dans les repères orthonormés
1 Repére
maQik
courants.
général
,,:’ :
/ , /“(J
LT ’
/
Repère mobile F
/’
“‘expression
Repère f’ïxe E générale
de la dérivée
d’un
vecteur
est le vecteur rotation instantanée du repère G par rapport au repère E
est la dérivée du vecteur L4 par rapport au repère F
applications
Tl
T2
T3
T4
70
Tl T2 T3 T4 W
vitesse vitesse vitesse vitesse
Tl
absolue du point M relative du point M du point B lié au repère mobile angulaire du point M lié au repère mobile (T3+T4=vitesse
T2
Tl accélération T2 accélération T3 accélération T4 accélération T5 accélération d’entraînement) T6 accélération 2 Coofdonnées
T3
T4
TS
d’entraînement du point
Th
absolue du point M relative du point M d’inertie du point B lié au repère mobile angulaire du point M lié au repère mobile centripète du point M lié au repère mobile (T3+T4+TS=accélération de Corriolis du point M cartésien
ries
3 Coordonnées cylindriques x = r COS~ y = r sin0
d’@
-+~-------
r dt?
dr
d8
dt dt
71
4 Coordonnées
intrinsèques
si
--1
R-
1 -=T
si F(x,y,z)=O et G(x,y,z)=O expressions
on pose x=f(t) et on se ramène au cas précédent.
de la vitesse et de l’accélération
a torsian et R le rayon de courbure
72
formules
de Frenet-Serret
d; --.-.-
1’
ds -Rn +
5 CoordonnBes sphériques x = r cosq sine y = r sintp sin0
73
expression
1 coordonnées
%l .F- l-----
cartésiennes
des opérateurs
courants
(x,y,z)
-~-
-
-i
rOtA
i? d d5 z
A.
.i
A,.
d dZ
Az
d’@ + a’@ d24b &Y’ c’y2 + dz”
2 Coordonnées cylindriques (r,e,r)
-+
-+
rot A
r p"
d dr.
-3
B o'
3 Coordonnées sphériques (r,e,q)
+
grad
+ - +
rot A
r
2
sin 8 dr
A,.
I'
sin B
P r d dfp
Problémes Ex. CN.1 La vitesse
dans
la
non
rholus
direction
x
de
l’écoulcmcni
incomprcssiblc est donnec par IJ = ,4x3 + Iiy’. Trouver la relation pour la vitesse, v, dans i> limites: y = 0, v = 0. ii) L’&oulcmcnt est-il irrotationncl 7 Ex. CN.2 L’&qualion
d’une
Trouver Dcssincr
i> ii)
famiile
l’tquation quclqucs
de lignes
de
courant
bidimensionnel
d’un
la direction
y
donnée
Y = 2xy.
est
par
dc la fonction potenticllc des vitesses lignes pour
avec
fluide
la condition
aux
0 =f(x,y).
Ex. CN.3 L’Cqualion d’une famille de iigncs de courant pour un écoulement gans un tuyau coudé est donnec par : Y = Axy + 13. L’tcoulcmcnt est-il rotationnrl ? j> La conlinuité est-clic satisfaite 7 ii) les frontières passent par P(2, -1) et iii) Application à l’bcoulemcnt plan suivant: R(1, -4). les coordonnées étant données en mbtres. La vitesse dans la direction n au point R est u = - 10 [m/scc]. Quel est le débit par mEtre d’épaisseur si la section du tuyau est rectangulaire 7 Ex. CN.4 Le potentiel 7;’ ii) iii)
d’un écoulement permanent et incompressible est arbitraire. la relation Q = (- a/2) ( x2 + 2y - z2) où a > 0 est une constante Trouver les composantes du vcctcur des vitesses. Trouver 1’Cquation des lignes de courant dans le plan xz. Prouver que la continuit& est satisfaite.
Ex. CN.5 LC champ famille
des
des
vitcsscs
lignes
de courbes
dc
courant
y = k (w2
d’un
t5coulement
plan
+ b) avec a = 0.5 [l/sJ
permanent
, b = 1 [m2/s]
est
donné
donné
par
et les frontiEres
1. La composante selon x dc la vifessc est u = bV,/(ax2 k =Octk= convective au point V o = 10 [m/s]. Calculer la vitcssc et 1’accélEration faire un graphique.
la par
+ b) , avec P( -2, 2) et
Ex. CN.6 d’un liquide sous une barribre peuvent &trc Les équipoienticlles dc l’écoulement eslimCcs par des arcs de ccrclcs (région ARCD) et des lignes droites (rbgion EFGII). i> ii)
iii)
Si dans
la région
A13CD
lc
potentiel
des vitesses
r2 =x 2 +y, 2 la continuité est-elle satisfaite Si dans la rCgion EFGII le potentiel des est donné vitesses 02 = bx + c où b > 0, trouver la fonction de courant corrcspondantc, Y2. Un potentiel des vitcsscs <03 = by est maintenant superposé à <02 de manière à obtenir O4 = @ 2 + 4,3 . Dcssincr les lignes de courant cl le champ dc vcctcurs de vitcssc dans la rbgion EFGII. 78
7
est
donné
par
Q, 1 = a lnr2,
où
Ex. CN.7 Montrer polaires
que les (x = rcos0
conditions de Cauchy-Riemann et y = rsin8) s’écrivent:
iaa, --.--ve = r 20 Soit 9 ii) iii)
alors, en coordonnées polaires, la trouver la fonction de la ligne dc dessiner Ic rtscau des lignes de d&crmincr Ics composantes dc la limite étant Y =OpourO=O.
(Qn
CN.23)
en
coordonnées
ay Jr
fonction potcnticlic @ = - (6/2~) lnr: courant, Y, corrcspondantc, courant ct des Çquipotcnticllcs, vilcssc au point P(x = 2,~ = 3). La condition
Ex. CN.8 L’équation i> ii)
d’une
Quelle Montrer Iv I =
iii)
famille
est l’équation qu’en tout (m/r2)
Identifier
Ex. CN.9 Le potentiel
le des
dc
lignes
Y = m A x +Y de la famille des équipotenticlles, 0 ? point du champ la vitesse est:
vitesses
d’écoulement. est
donne
9
par: où
a = 3x2 - 3x i- 3y2 c 16t3 -t- 12zt
ii> iii)
est:
r=m
03 type
de courant
t = Cte.
Définir le champ de vitesse associé à cette fonction. L’écouIement est-il irrotationnel 7 La continuité du fluide incompressible est-elle satisfaite
1
Ex. CN.10 Dans un Ccoulcmcnt plan, qn associe une source, S , de débit qv et un puits, On adoptera les p . de débit (- qv). notations de la figure ci-contre: il
ii)
iii)
Déterminer la fonction de courant obtenue cette Par superposition. Montrer que les lignes de courant sont dEfinies par fi = Cte. Déterminer la fonction potentielle des vitesses. R-p ,O) S(+fl IO) Esquisser le rkseau, @ et Y. La source étant située au point sj(+ 43, 0) et le puits au point P(- 43, 0), trouver graphiquement par un dessin à l’échelle et par calcul la vitesse au point M(O.l) avec qv = 4n [m3/s/m’]. Si l’on fait tendre A présent E vers zkro. de telle façon que le produit m = (qv/2x), c.-&-d. l’intensité de l’écoulement. reste constant, on peut démontrer que le potentiel 0’ de l’écoulement obtenu s’écrit: a’ = m E (COS~ Pr) . Que
vaut
la fonction
de courant 79
associée,
Y’
?
Esquisser
Ic réseau
Q>’ et Y’.
, ---
Ex. CN. 11 les deux
soit a) b)
01
écouicments
= -ux
Q* = -2
9
avec In 4x2
plans U
definis
=
1 [m/s]
+ y2
avec
par
les potentiels
dc vitesse
suivants:
q = 20a [m3/s/m’]
Trouver Ics fonctions de courant correspondantes Y1 et Y2 . Donner la fonction dc courant Y, obtenue par superposition des deux 6coulcmcnts. dktcrmincr les coordonnées du point A où Ies Pour ce dcrnicr Ccoulcmcnt, composantes dc la vitcssc sont nulles. Trouver l’expression pour la ligne dc courant Y, = 0. graphiquement (a l’échelle) vitesses de Calculer et rcprescnter les I’ecoulcmcnt aux points M ct M’ d’abscisse nulle sur la ligne dc courant Y s = 0. Esquisser l’allure dc ccttc ligne; que représente-t-elle ?
ii) iii)
iv)
Ex. CN.12 DCtcrmincr puis dcssincr le r6scau des tçoulcmcnt ‘lignes,
Y
a =225" -,X
+ Ex. CN.13 L’écoulement mailles Car&s
potentiel plan, rcpréscnté ci-dessous, de lignes de courant et de lignes
Si à la section
est illustré équipotentielles.
par
un
réseau
à
moycnnc entre les lignes de courant Y 2 et Y3 est = 0.10 [ml, quelle est la vitesse moyenne (VZ-~)A a (V2-3)B la section A où (Anze3)* = 0.03 [m] 1 Calculer lc d6bit Q de I’tcoulcment. Les distances cntrc les équipotcnticlles sur la ligne Y 2 sont données cidessous:
i>
B la vitesse
= 1 [mlsl
ii) iii)
0
[cm’ls]
As
[cm]
ct (An2.3)R
2
1
3.0
La vitesse moyenne V = 10/3 [m/s], calculer
3 4.0
4 5.0
5 6.0
6 7.0
7 8.0
8 9.0
9 9.5
cntrc les lignes Cquipotentielles
80
10
10.0 étant
A de
6. CN.14 Pour le réseau d’écoulement cicontre, on sait que: Q = 20 [m3/s] et I-i = 7.5 [ml. Calculer et représenter graphiquement la pression sur le fond entre les points A et L. La
pression
est dkfinie
par: -
p. = II - v2 -. Y 2g 1,~s distances entre données ci-dessous: Points As [cm]
A
les
points
---
sont B C
A
C
B 1.70
Q
1.65
D 1.42
E 1.11
F 1.05
G
D E
II
P CI tl
1
0.84
0.75
0.70
5
6
7
1 J K
J
L
K
0.65
0.60
8
9
L 0.55
Ex. CN.15 La figure ci-contre représente une ligne d’un écoulement de courant les lignes bidimcnsionnel et équipotentielles 1 à 10 qui lui sont associées (réseau 2 mailles carrées). Si la les lignes vitesse moyenne entre équipotenticlles 1 et 2 est Vt-2 = 0.2 [m/s], calculer : les vitesses moyennes sur la ligne entre chaque ligne de courant équipotentielle, lc temps qu’il faut à une particule ii) pour parcourir la ligne de courant de 1 à 10. Les distances Q> . As
sur la ligne
[cm’ls]
1
[cm]
de coorant, 2
20.0
3 16.0
Y, 4
12.0
Ex. CN.16 Pour une palplanche qui empkhe l’eau d’entrer dans une fosse, on a trouvé le réseau des lignes, Q> et Y (voir figure ci-contre). On cherche par mètre de largeur: le d6bit Q sous la palplanche. i> ii) la pression au point 1, iii) le diagramme des pressions entre A et D sur la palplanche. Points As [ml
B
A 2.0
c 4.0
D 2.0
A
81
sont:
X.0
5.0
V -+F rdscnvir
3.5
2.5
1.5
10 1.0
Ex. CN.17 trne bcton dc paroi cn longueur infinie et d’épaisseur sur une b = 16.0 [m] rcposc couche permeable d’épaisseur t = 15.0 [m] ct dc pcrmfabilitt k = 10-3 [cm/s] (voir figure cicontre). Les niveaux d’eau dc part ct d’autre dc la paroi sont 11, = 6.0 [m] et II, = 1.5 [ml. On chcrchc: le debit d’infiltration par 0 mètre de paroi, ii) les valeurs et lc tracé de la pression excrcéc par l’eau sous la scmcllc A-I. Les
distances
Points 4As
cntrc
A [ml
les
R
C
1.0
Ex. CN.18 L’écoulement
points
2.1
1
sont
donnees
D 2.4
bidimcnsionncl
E 2.5
au
ci-dessous F
2.7
travers
sous
G
forme
II
2.3
2.0
d’une
digue
de tableau:
1 1.0
en
terre
de
coefficient
de
perméabilité k = 10.’ [m/s] est représenté par des lignes équipotentielles et des figure ci-dessous). La lignes de courant formant un TEseau à mailles carrées (voir hauteur d’eau cn amont de la digue est II = 45 [ml. Calculer: le débit d’infiltration évacué par Ic drain aval par m&tre courant de largeur 9 de la digue la vitcssc moycnnc de I’écoulemcnt lc long de la ligne de saturation (de A (i D) ii) Points 1 As Im? iii)
C
A 5.0
4.5
D 4.0
la pression aux points IX, Jr, G, II et 1 cn négligeant la vitesse. On sait que: zE = 30.0 [m] , zF = 21.5 [m] et zG = 37.0 [m]
Ex. CN.19 La coupe d’un filtre jusqu’a son axe dc symetrie et le réseau à mailles carrées des lignes, 0 et ‘9, sur la figure cisont dessinés filtre La largeur du contre. perpendiculairement au plan du dessin est dc 1 [ml. Déterminer: le débit au travers du filtre il entier, la répartition des pressions ii) le long de l’équipotenticilc AU, iii) la pression maximum sur le bord du filtre. , h, = 0.5 [ml, hi4 = 0.8 [m] hE = 0.13 [ml. ht-, = 0.25 [m] ,
Ex. CN.20 Le barrage cohésif lignes.
9 ii) iii)
en béton
de la
dont le coefficient @ et Y. détermine
figure
ci-dessous
de pcrmEabilitt par la methode
Déterminer le débit d’infiltration sous jour. Déterminer la sous-pression aux points Quand l’eau remonte dans le sable, supérieur B 1, les grains de sable constitue phénomène, appelé renard, au point d à l’aval du barrage (voir renard.
repose
sur
une
lc
barrage
par
metre
dc
sable
si IAh/Asl> dc renard
1 1
non
Le réseau des sur la figure. de largeur
et par
a. b et c indiqués sur la figure. si le gradient hydraulique (AhlAs) peuvent être entraînés par l’eau. un danger pour l’ouvrage. Vérifier figure) il y a danger de formation
danger
83
couche
est k = 2.10 -3 [cmjs]. analogique, est représenté
est Ce si dc
Ex. CN.21 1.c dfbit dc pompage d’une nappe captive cs! donné par l’éqn une relation pour Ic dcbit de pompage d’une nappe non captive.
CN.38.
D6vcloppcr
r:x. CN.22 Soit une nappe captive d’une epaisscur dc 20 [m] dans un milieu poreux avec cocfficicnt dc filtration dc k = 5 [m/jour]. On pompe 800 [l/min] dans un puits ‘P = 0.3 [m] dc diamEtre. DCtcrmincr la chute du niveau piezométriquc provoquec par ce pompage. Ex. CN.23 Lc puits
d’exploitation
dc
la
figure
ci-dessous.
situé
dans
une
nappe
captive
un de
de 20
[m] d’Cpaisscur, pcrmct dc po.mpcr 0.05 [m3/s] d’eau. pour determincr Ia dont la température constante est de 10 [“Cl. on a pcrmcabiiite dc la nappe captive, foré deux puits d’observation. L’un de ces puits, dans lequel on mesure une hauteur piezometriquc dc hl = 11 [ml, est à 250 [m] du puits d’observation. Lc second, dans Icqucl on mcsurc une haurcur piézom6trique de hz = 9.5 [m], en est CIoignk dc 80 [ml. Quel est Ic cocfficicnt intrinseque de perméabilité ?
puits d’expioiralion
puits d’ob.servaIion
\
84
CHAPITRE
4 : BYNAMQUE
1. Equations
DES FLUIDES PARFAITS INGOMPBESSIBLES
d’Euïer
1A Equations
d’Euler en coordonnees
cartesiennes
4.2 Equations
d’Euler en coordonnées
naturelles
2. Théorème de Bernouilli 2.1 Théo&me
de Bernouilli
2.2 Interpretation 2.3 Extension 3. Applications
pour un fluide parfait
energétique
du th6oreme dru theoreme
du theor&me de Bernouilli
de Bernouilli de Bernouillli
3.1 D6bite des orifices et des d6versohs
minces
3.2 Mesure de vitesse : tube de Pitot 3.3 Mesure de debit par rétr&cissement 4. Théordme des quanti%
de la section de 1’6coulement
de mouvement
4.1 ThéorQme des quantites de mouvement ayant des vitesses uniformes 4.2 GenBralisation du th8orème des quanti% controle quelconque 4.3 Les typee de forces extitrieures 5. Applications
aux jets liquides
5.2 Application~
aux écoulements
5.3 Applications
aux koulement
de mouvement
sur le volume de contr6le
du théorème des quantites
5.1 Applications
applique à wn tube de courant
de mouvement
en charge a surface libre
$6
à un volume de
Les lois de la mecanique newtonienne appliquées à un système matériel nous sont déjà familieres : - Action = Réaction (4-L)
+ + d(MV) -CM ;,. =OGA -- dt
(4-3)
A ces lois nous ajouterons le premier principe de la thermodynamique qui dicte la conservation de l’énergie d’un systéme clos. Dans ce chapitre, nous allons développer et traiter ces lois sous une forme plus adaptée à la description eulerienne du mouvement des fluides dont nous avo.ns parlé au chapitre précédent.
1. Equations
d’Euler
Elles traduisent la relation (4-2) pour le système constitué par la particule située à un point M du champ d’écoulement en l’absence de forces de Fottement.
1 .l Equations
&EuIer en cosrdonnbes
cartésiennes
Considérons un élément de volume parahélépipédique de côtés dx, dy, dz entourant le point M (figure 2-4). Les forces exterieures qui agissent sur le système ainsi considéré sont : l”/ les forces de pression sur les six faces et nous avions démontré au chapitre 2 que leur somme donnait un vecteur - g&I( P)&&dz
de composantes :
-$ixdydz -gdxdydz â 2’1’ les forces de volume qu’on avait mises sous la forme pT’&dydz où f était la force extérieure par unité de masse et avait la dimension d’une accelération. Les composantes de p? drdydz sont :
La somme de ces forces extérieures doit être égale a la masse du fluide contenu dans le dr; d; volume pdxdydz multipliée par * avec les composantes de qui sont : dt ’ dt
87
a a a à+U-+V-+Wk?c Ly a aJ --l-u-+v-+w-aL a a ûj avdvf3vav -+u-+v----l-wa a z$
a a kb a 62
On peut écrire l’égalité énoncée et diviser membre à membre par dxdydz : -gr&dP+p:=p-
di: dt
S’il n’y a que l’action de la gravité comme force de volume, on aura : r = - g$d(gz) où l’axe z est vertical et orienté vers le hwt. Il s’en suit alors d?
-grtadP-pg&d(gz)=pz
et pour les fluides incompressibles : 3 -&d(P+pgz)
=pz
dV
V-4)
La quantité P+pgz est appelee pression étoilée(P*) ; elle est définie à une constante près car l’origine des z est arbitraire. Dans la suite du cours, nous ne considérons que les liquides et l’action de la gravité comme force de volume. Dans le système d’axes Oxyz, nous aurons 3 équations pour exprimer l’égalité vectorielle(4-4) qui sont les équations d’Euler en coordonnées cartésiennes:
Les équations(4-5) traduisent donc la loi fondamentale de la mécanique newtonienne pour un liquide parfait dans le champs de la gravité. Elles ne font intervenir que les variables d’Euler. 1.2. Equations d’Ewler en eoordonn6es naturelles. Considérons un écoulement ou les lignes de courant ne changent pas de forme avec le temps. Les lignes de courant et les trajectoires sont alors confondues. Nous allons projeter la relation vectorielle(4-4) dans un système d’axes orthogonaux déG.nisà la figure 4-l : L est le vecteur unitaire de la tangente ; + in est le vecteur unitaire normal principal ; -, i, est le vecteur unitaire binormal à la ligne de courant passant par M.
-+
-f
Le vecteur i, est orienté vers le centre de courbure et le système (lS ,En ,i> forme un repère direct.
“Centre
de aaubure
Figure 4- 1 : définition des coordonnées naturelles. La projection de l’équation (4-4) sur ces axes donne les relations suivantes :
aP* v” --=PR ch --aP’=, B
(4-6)
qui sont les équations d’Euler en coordonnées naturelles. La deuxième égaliti de ces équations est intéressante i analyser :
dP* -=a2
-Y”
(4-7) pR Elle veut dire que la pression étoile diminue dans l’écoulement
quand ron se dirige
vers te centre de courbure des ligues de courant(figure 4-2). Dans le cas particulier des écoulements rectilignes ou quasi rectilignes(R + CO), la pression étoilée ne varie pas dans une direction perpendiculaire à l’écoulement
(figure 4-3). C’est le cas par exemple des écoulements uniformes et graduellement variés en hydraulique à surface libre.
89
La pression étoilée diminue
Lignes de cmanl
Figure 4-2 : Diminution de la pression étoilée dans un écoulement non rectiligne. lignes de courant
La pression &oil&e est constante
Figure 4-3 : Répartition hydrostatique dans une direction perpendiculaire à un écoulement rectiligne ou quasi rectiligne. 2. Thborème de Bernouilli Le théorème de Bernouilli traduit le principe de conservation de l’énergie avec les variables de l’écoulement d’un fluide. 2.1. Théorème de Bernouiili pour un fluide parfait Avec les hypothèses suivantes : 1. le mouvement est perjnanent($ = 0); 2. il n’y a pas de force de frottement(fluide parfait); 3. la masse volumique est constante(fluide incompressible); 4. l’action de la gravité est la seule force extérieure; ligne de courant, la quantité définie par Bernouilli a établi (4-9) est constante, H est ce qu’on appelle la charge hydraulique. Elle est définie à une constante additive près car l’origine de l’axe vertical z(rappelons qu’il est orienté vers le haut) est arbitraire. La dimension de la charge hydraulique est une longueur[L]. On peut démontrer la relation (4-9) en considérant la première équation d’Euler en coordonnées naturelles :
D’après la première hypothèse, % = 0 et on aura : v’ --=pV% & On multiplie membre à membre par ds : v’ --ds OU
-dfi
= ,,u; 2
donne : L
= ,,sds
car on est sur la meme ligne de Courant( seul s varie). Ce qui
V’ = 0 d(P* + pz-)
et -
= cte sur la ligne de courant,
En divisant membre à membre par la quantité ~tg et en rappelant que P* = P +pgz , on retrouve la relation de Bernouilli (4-9). On peut donc écrire entre deux points quelconques 1 et 2 d’une ligne de courant :
(4-10)
2-2 Interprétation hergétique du thborème de Bernouilli Prenons, sur un f3et de courant, un volume élémentaire A B C D . Pendant le temps dt, il vient en A’ B’ C’ D’ (figure 4-4). L’énergie cinétique de la partie commune A’ B’ C D n’a pas changé (mouvement permanent). Tout se passe comme si la masse A B A’ B’ était passée en D C D’ C’. Appliquons à cette masse dm le théorème de I’énergie cinetique : la variation de l’énergie cinétique est égale au travail de toutes les forces. Le fluide étant parfait, il n’y a pas de forces internes de frottement et les seuls travaux à considérer sont : - travail des forces de pesanteur gdm(z, - z2) - travail des forces de pression +p,s,V,dt surlafaceAB -p,S,V,dt surlafaceCD La conservation de la masse s’écrit : PS, V,dt = PS, J7,dt = dm La variation de l’énergie cinétique de la masse dm vaut idrn(V: D’où
- V:)
En divisant membre à membre par gdm qui est un poids et en réarrangeant les dif%érents termes, nous aurons :
La charge représente donc une énergie par unité de poids qui est la somme de trois termes :
V’ 2g - l’énergie potentielle de position par unité de poids : Z - l’énergie cinétique par unité de poids : -
- l’énergie des forces de pression par unité de poids : -!!m V,dt
Figure 4-4 : Interprétation énergétique du théorème de Bernouill& filet de courant, écoulement permanent.
2-3 Extension du théorhne de Bernsuilli Pour établir la relation de Bernouilli dans le paragraphe 2-1, nous avions posé deux hypothèses parmi d’autres : - l’écoulement est permanent ; - le fluide est parfait. Si I’écoulement n’est pas permanent, l’intégration de la prernikre équation d’Euler entre deux points 1 et 2 situés sur une même ligne de courant donne :
L’intégrale représente le travail des forces d’inertie par unité de poids.; Pour les fluides réels, il y a des forces de frottement entre les particules qui vont dissiper de l’énergie. La charge diminue alors le long de la ligne de courant dans le sens de l’écoulement.
92
Ainsi entre deux points 1 et 2 de la ligne de courant, on peut écrire :
(4-12) AH est appelé perte de charge. Pour l’évaluer, il fkut adjoindre une loi de frottement du fluide ; ce qui sera fait dans les cours d’hydraulique en charge et à surface libre. On représente génkralement les wriations de la charge H et de la hauteur piézométrique -P* sur un graphique comme celui de la figure 4-5. Pg ligne-. de --charge ---------~~~
- - - Y u Y - - - a u -a Pfluide parfait ;$----.w, ---a- - -fluide réel If2
---
plan horizontal de référence
Figure 4-5 : Représentation graphique des lignes piézométrique et de charge. 3. Applications
du théor+me de Bernauilli
3-1 D&its des orifices et des dhversoirs minces Un orifice est une ouverture de forme quelconque pratiquée dans la paroi d’un réservoir. C’est un ajustage si l’orifice est prolongé par un court conduit. C’est une tuyère si ce conduit guide l’écoulement de manière appropriée (en suivant les lignes de courant). Un déversoir est une paroi constituant un écran partiel à un liquide en écoulement à surface libre (en contact avec l’atmosphère). Ces différentes définitions sont illustrées à la figure 4-6 l”).Formule de Tsrriçelli Considérons un réservoir de grand volume dans lequel le niveau du liquide est à une hauteur h au dessus d’un orifice de diamètre d, petit devant h. L’expérience montre que le jet présente une section contractéen à quelques distances de la section d. Dans cette section CT,tous les filets liquides sont parallèles (figure 4-7).
93
Orifice Ajustage extérieur
---------..
-.
-1..
‘-.
Déversoir
uyère
Figure 4-6 : Définitions d’un orifice, d’un ajustage, d’une tuyère et d’un déversoir
Figure 4-7 : Application du théorème de Bernouîlli pour un orifke. Appliquons le théorème de Bernouilli entre le point A de la sudace libre et le point M de la section contractée :
Si le niveau de la surface libre est pris comme origine des cotes et la pression atmosphérique comme origine des pressions, nous aurons : p;=o p~f=phf+p9zM
avec Z,=-h+O 94
PM = P,, = 0 car les flets liquides etant parallèles, P’ est constante dans la section cr qui présente de très faibles variations d’altitude z. D’où PL =pgz
M’
D’autre part, VA = 0 (grand réservoir)
Vil Donc -+;a,=0 2g
et (4-13) ifice est donc avec o = C s où C est le coefficient de contraction. Le fluide n’étant pas parfait, il existe une lkgère perte de charge entre A et.M qu’on peut mettre SOL~S la forme :
VM AH=K-----2g
ou K est un coefficient petit devant 1. On aura ainsi la correction suivante :
et
En définitive on écrit : y=,sJ2gh1 (4-14) où m est un coefficient qui tient compte de la contraction du jet, des pertes de charge et du fàit que h est une profondeur moyenne du jet. Le coefficient m est voisin de Q,6 . On peut trouver des valeurs P~LISprécises dans les tables pour di@érentstypes d’orifices (Lencastre). 2”) ICdQverssi93 rectangulaires en mince paroi Un déversoir est dit en mince paroi si l’épaisseur mouillée du seuil est négligeable vis à vis de la hauteur h de la nappe déversante. La figure 4-8 représente l’écoulement au dessus d’un déversoir où h est la hauteur d’eau au dessus du seuil et qui mesurée à une certaine distance à l’amont; P est la pelle du deversoir ; 1est la largeur du seuil ; Q est le débit traversant le seuil.
95
Figure 4-8 : Ecoulement au dessus d’un déversoir En appliquant le theorème de Bernouilli entre les deux points A et M, on trouve la vitesse de la particule se trouvant en M :
Y,=& Le débit Q est trouvé par intégration de ces vitesses : = 5 1& la” pour un déversoir rectangulaire. 0 En réalité on ne doit pas intégrer de 0 à h car la nappe s’abaisse avant le deversoir. D’autre part on a supposé dans l’équation de la vitesse en M obtenue à partir de la relation de Bemouilli que VA r2j0 ; ce qui n’est pas toujours le cas. Enfin on a supposé que la pression en M et sur toute la verticale est égale à la pression atmosphérique ; ce qui est contestable à cause de la courbure des lignes de courant et de la hauteur y non négligeable dans certains cas.
Q = j@iih
Pour toutes ces raisons, le coefficient ? de la formule de débit n’a pas de sens, on écrit J
plutôt : (4-15) où m est coefficient tenant compte des caractéristiques du déversoir et qui peut varier entre 0,3 et 0,7. Généralement, la formule des déversoirs de forme quelconque s’écrit de la manière suivante : (4-16) IQ=BKI où B est un coefficient tenant compte des caractéristiques du déversoir et n un exposant propre au déversoir. Ces formules seront vues plus en détail dans le cours d’hydraulique à surface libre. 3-2 Mesure de vitesse : tube de Pitot En principe, un tube de Pitot est un obstacle de révolution dont l’axe de révolution est percé d’un trou qui communique avec un tube piézométrique. On place l’obstacle tel que son axe Co*ïncideavec les lignes de courant{ figure 4-9). B est un point d’arrêt ou la vitesse est nulle. On écrit l’équation de Bemouilli entre A et B :
96
(4-17)
Figure 4-9 : Principe du tube de Pitot Le point A est situé loin du tube et il est mal défini. Mais si l’écoulement est uniforme et le tube très petit, on mesure la vitesse qu’il y aurait en B avant l’introduction de ce dernier. Dans ce cas, on peut mesurer la pression étoilée en un point proche de B et situé sur le tube comme le montre la figure 4- 10. Le tube de Pitot n’est pas très précis et il introduit une ftible perte de charge.
L est de l’ordre de 14D D peut aller jusqu’h 1.5 mm
figure 4- 10 : tube de Pitot et prise des pressions 3-3 Mesure de d6bit par rkitrécissement
de la section de l’écoulement 97
ou
appareil déprimogène Un appareil déprimogène permet de mesurer un débit dans une conduite par la mesure de la dépression provoquée par un rétrécissement de la section. 1”) Le venturi Soit une conduite de section variable parcourue par un fluide pouvant présenter une inclinaison quelconque par rapport à l’horizontale ( figure 4-I 1). On suppose que la vitesse est uniforme dans chaque section.
plan
de réf&ence
Figure 4-l 1 : Le venturi L’application du théorème de Bernouilli nous donne : p’+vz= C*e Pg 2g sur chaque ligne de courant. L’équation de continuité s’écrit : VS = cte Donc si S décroît, V croît car SV = cte; si V croît fJ* décroît car -p*+y’=ct, Pg2g
Inversement si S croît, V décroît et p*&. Entre les sections 1 et 2 de la figure 4- 11) on peut écrire : 88
*
J&- Pi -= Pi vx Pgpg 2g Q Ory,=-etVl=s2
Q SI
Si SLI est négligeable devant &‘, , on aura . Q=S,&A% En fait, le fluide n’est pas parfait, la vitesse n’est pas uniforme dans une section donnée et on doit introdu ur corriger la formule du debit : (4-l 8) et dans le deuxième cas (4-19) p=zJzq Le venturi présente l’avantage d’avoir une bonne précision et d’introduire une perte de charge relativement faible. 2”)Diapkragme et tuyère Four les diaphragmes et tuyéres(figure 4-12), la relation débit-dénivellation s’écrit : Q= C,f$,Jm où S2 représente la section du diaphragme ou de la tuyère et le coefficient C est de l’ordre de 0,6 à 0,7.
// t
t
,’-~i ,il .’ \ ,/ ‘1
99
1
-
Figure 4-12 : Diaphragme (gauche) et tuyère (droite).
4. Théorkne
des quantités de mouvement
4.1 Théorème des q.d.m. appliqué à un tube de courant ayant des vitesses uniformes. La figure 4-l 3 represente un tube de courant où les vitesses sont uniformes dans les sections d’entrée et de sortie. L’écoulement est supposé permanent.
Figure 4-13 : Application du théorème des q.d.m. a un tube de courant On doit traduire le principe qui dit que la variation de quantité de mouvement pendant un temps dt est égale à l’impulsion des forces extérieures : ’ Fat 1jluids ou
CI~= variation de q.d.m.
dt = q.d.m qui entre moins q.d.m. qui sort car l’écoulement est permanent ’
Zext
/fluide
ou
En simplifiant par dt et en réarrangeant, on trouve : (4-2 1)
Nous verrons plus loin les differents types de forces extérieures. 4.2 Théorème des q.d.m. gén+ralisé.
Nous avions établi les équations d’Euler en appliquant le théoreme des quantités de mouvement à un volume infiniment petit dans le fluide parfait. Dans ce paragraphe, nous nous proposons d’écrire le même théoréme pour une masse de fluide contenue dans un volume arbitraire donne V, délimité par une surface fermée S, . Considérons le système matériel constitué par le fluide contenu dans le volume V, qui est la réunion des volumes V, et V,, au temps t. Appliquons lui le théorème des quantités de mouvement :
Au temps t+At, le fluide occupe la position \b!,+V,,, (figure 4-14).
&a
système à l’instant t
&
a
Y
l9
- = - à l’instant t+dt systeme
Figure 4-14 : Dérivée matérielle de la q.d.m. contenue dans le volume de contrôlevc . Le fluide entre par S, et sort par S, La quantité de mouvement du système au temps t est :
Au temps t+At, elle est de :
101
li.i-+J/PPd=k2PhY.iM~ +zqui représentela quantité de mouvement qui sort de V, par unité de
temps
;
et
h&pYfl %--
= - I, PicfGW 1
qui est la quantité de mouvement qui entre de V, par unité de temps. En définitive, on aura la dérivée matérielle de la quantité de mouvement contenue dans V, qui s’écrit : d z (, cPY~
= $L
P+N c
et la relation fondamentale suivante :
+ I, pt$.j;)d~ c
atvo
(4-2 1)
l’écoulement est permanent et le voiume de contrôle V, fixe et indéformable, alors le terme de la dkivée partielle est nulle et il reste : Si
d’où l’interprétation suivante : le débit des quantités de mouvement qui sort moins le débit de quantitk de mouvement qui entre est égal B la somme des forces extérieures qui s’appliquent sur le volume de contrôle. 102
L’équation (3-21) est valable quelle que soit la nature du fluide. C’est une équation vectorielle qui peut être projetée sur les 3 axes du système de coordonnées choisi pour avoir 3 équations scalaires. L’équation du moment peut s’avérer utile dans la description des écoulement en rotation (turbomachine, tourniquet, etc).Nous donnerons son expression générale sans la démontrer :
Où
- 0 est un point quelconque - M est un point courant où se trouve la particule (dans v, ou sur S, ) de vitesse j?
-Gi,Od,“Cest la somme des moments des forces extérieures par rapport à 0 Il reste à expliciter les types de forces extérieures qu’on peut rencontrer. 4.3 Forces extdrieures
SUT le volume de contrôle
Le terme
est la force nette (résultante) qui agit sur le volume de contrôle e*tlVc Ve. Elle peut être la résultante vectorielle d’un certain nombre de forces de types différents. Nous pouvons distinguer trois types de forces : - les forces de surface (pression et cisaillement) ; - les forces de volume (gravité, inertie,. ..) - les forces de réaction (généralement résultante de forces de surface) 1”) les forces de surface Elles sont causéespar la présence de fluide ou de paroi solide à Ilextérieur du volume de contrôle V, en interaction le long de la surface de contrôle s, avec le fluide contenu dans Vo (pression et frottement de l’environnement). Elles peuvent être exprimées sous forme d’intégrale de tensions (forces élément.airepar unité de surface). Il y a la tension normale appelée pression et que nous avons vue en hydrostatique. Il y a les tensions tangentielles ou de cisaillement dont la définition nécessite un double indice. Le premier indice désigne la surface sur laquelle elle s’applique et le second indice désigne la direction de la composante considérée (figure 4-15). Pour la convention de signe, une composante est positive si le vecteur position de la swrface et la composante pointent à la fois dans le sens positif ou ndgatif des axes de coordonnées (figure 4-16). L’expression mathématique de ces tensions dépend du type de fluide (Newtonien ou non), de la directionnalité de l’écoulement et surtout du caractère laminaire ou turbulent de ce dernier. Pour un écoulement laminaire et un fluide newtonien incompressible, les tensions s’expriment ainsi
2”) Forces de volume Généralement la seule force de volume que nous considérons est la gravité. Cependant, dans un repère non galiléen, il faudra considérer les forces d’inertie en P~LIS.
/ L7y 1.’ ,//’
Figure 4- 15 : Signification des
les tensions de cisaillement.
Figure 4-16 : Convention de signe pour les tensions de cisaillement.
104
3”)Fsrces de réaction La résultante des forces de pression, cisaillement et volume peut parfois être transmise par un support solide. C’est le cas lorsque le solide subit divers types de forces engendréespar l’écoulement dont la resultante est transmise à l’extérieur de v=pa.r un support. L’équation des quantités de mouvement doit prendre en compte toutes les forces qui est la réaction à la
agissant sur le fluide du volume de contrôle V, donc aussi c force exercée par le fluide sur le solide j FjpOl’
Cette force est donc à prendre en considération si le volume de controle V, coupe des parois. D’après le principe de l’action et de la réaction, on aura : F,.“, 5. Applications 5.1. Application
0 = -F,,..,
du thhrétme
des quantité de msuvement.
aux jets liquides
51.1. Action d’un jet sur un8 plaque Soit une plaque plane immobile inclinée d’un angle a par rapport à un jet d’eau dans laquelle la vitesse est supposée uniforme (figure 4-17). Les lignes de courant étant parallèles dans les sections AB, CD et EF, nous pouvons en déduire que la pression y est constante et égale à la pression atmosphérique si la figure est dans un plan horizontal.
Figure 4- 17 : Action d’un jet sur une plaque plane. En négligeant les pertes de charge, l’application du théorème de Bernouilli nous montre que la vitesse est la même dans les sections AB, CD et EF : (4-23) Y,=Y*=K
Dès lors, on peut écrire l’équation de continuité sous la forme :
105
et le théoréme des quantité de mouvement :
dont la projection sur la normale n de la plaque donne :
= -pQy,cosa CF extlJi%de Cette force se reduit à l’action de la plaque sur le fluide car on est dans un plan horizontal. D’où le fluide exerce sur la plaque une force opposée égale à : IR=ph,v:cosal (4-25) La projection sur l’axe de la plaque est nulle car les frottements sont négligeables (fluide parfait en particulier). D’ou :
Ph3V:-~h~V:+PhiV:Sina=O En tenant compte des égalités (4-23) et en simplifiant par pJ7: , on obtient :
h@a= hz-h,
(4-26)
uations (4-24) et (4-26) donne le rapport de partage du jet : (4-27)
5.1.2. Action d’un jet sur un auget. Considérons la plaque incurvée de la figure 4- 18a, que nous appellerons auget. 1”) Cas de I’auget fixe : (figures 4-l%% et 4-18b) La pression sur AB et CD est constante et égale à la pression atmosphérique (lignes de courant parallèles et plan horizontal). D’après l’équation de continuité, la vitesse à l’entrée est égale à la vitesse à la sortie : ve=vs=v Le théorème des quantités de mouvement s’écrit : zF,,,ide=%?3 Si on néglige le poids du fluide, cette force est l’opposée de la réaction du fluide sur l’auget : -R,,,,,~~~~=Pe’~~--;!
La projection sur l’axe des x donne :
-R, =&?(v,COSa-Ve) d’où R, = pQV(1 -cosa>
(4-28)
Si a=1 80” (figure 4- 18b) ; alors / R, = @QV 2”) Cas de I’auget animé d’une vitesse W (figure 4-18~) L’équation des quantités de mouvement s’écrit avec les vitesses relatives si on prend un repère lié à Fauget. Il n’y a pas de force d’inertie car le mouvement est uniforme. D’où : (4-29) R,=i@(V, -V,)
L
s
106
Ces vitesses relatives peuvent être calculées : -àlasortie yr =-Y+W - à rentrée v; =v-w B En substituant ces vitesses dans l’expression de la force sur l’auget, on obtient : R, = w2v - WI Le débit étant donné par Q = Yr S = v, S où S est la section du jet ; l’équation 4-29 * I peut s’écrire sous la forme suivante : IR,] (4-30) Ch définit le rendement q de l’auget par le rapport de la puissance fournie R*W sur la puissance reçue $Qv2,
Le rendement est donc :
4Pqv-w)2w 17’
ou
PSY3
q=4k(l-k)2
avec k=F
1 Ce rendement est maximum pour k=- etilauralavaleurde$. 3
Figure 4- 18a : Auget fixe ; a est quelconque.
Figure 4-18b :Auget fixe ; a=1 80°.
Figure 4-18~ : Auget ayant une vitesse W ; a=l$O”.
5.2. Applications
aux écoulements
en charge.
5.2.1 Pertes de charge dans les élargissement
et r&récissement
brusques.
1”)Elargissement brusque (figure 4-lga) Les hypothèses suivantes sont faites et elles sont du reste confirmées par l’expérience : - l’existence d’une zone de tourbillon - le jet central a une vitesse uniforme Y1 - à une certaine distance (environ 20 D,) , la vitesse redevient uniSorme JT2 - les forces de frottement sur AC et BD son négligeables - la pression étoilée P* est constante sur AB
Figure 4- 19a : Elargissement brusque de la section. L’application du théorème des quantités de mouvement au volume ABCD donne : (4-3 1)
c 108
Les forces extérieures sur le fluide sont - la pression sur la face AI3 : PI Sz i - la pression sur la face CD : - pz Sz G - le poids du fluide : --BS, (x2 - x,) i - les forces de frottement qui seront négligées. La substitution de ces forces dans l’équation (4-3 1) donne :
PQ;2-PQ;~ =(P1-?2)s-,-PgS2(x*-Xl)k
(4-32)
Projetons cette expression sur l’axe i : (4-33) PQCJ~, - V*I = (P, ,- PJ s2 -PJ? s2 (x2 - Xl) cos a Les identités z = x COSa , Q=Jf2S2 et p’= P+ pgz permettent de ~simplifier l’équation (4-33) : (4-34) PY,(v,-vJ=P:-P; * La perte de charge se définit par la dfiérence de charge entre les sections 1 et 2 : (4-35) En combinant les équations (4-34) et (4-35) , on trouve la perte de ckwge AH en fonction des seules vitesses : (4-36)
Y2 S, - 2Dz D: pour une conduite circulaire, la perte de charge peut Si on pose yl=s2encore s’écrire : (4-37) 2”) R&récissement brusque (figure 4-l 9b) L’expérience montre que la veine liquide se contracte et qu’il n’y a pas de tourbillon au droit du rétrécissement. La perte de charge se calcule alors comme si l’on avait un élargissement brusque entre les sections CTet S :
L\H- oG-v2)L 2g avec
109
Ce qui donne la perte de charge : (4-3 8)
Le coefficient C est le coefficient de contraction. Il est toujours inférieur à 1 et sa
S valeur dépend de l’angle de raccordement en AA’ et du rapport 2. s2
Si le raccordement est bien profilé, le coefficient C sera peu digérent de 1 et la perte de charge devient négligeable.
Figure 4- 19b : Rétrécissement brusque de la section.
5.22. Poussée sur un coude et débimètre
à coude.
1”) Poussée sur un coude horizontal. Considérons le coude ABCD de la figure 4-20a et appliquons le théorème des quantités de mouvement à ce volume: (4-39) -pe,=-P~s,n,-p,s,n*+~~~~ @ïc couaèl fluide Du fait que S1 = S2 = S, il existe un axe de symétrie du coude sur lequel on projette l’équation (4-39) : -y,sinf-T/zsin,z = p, S sin T + p2 S sin 4 + FcOUde,fl.ide(4-40) pe( 1 L’équation de continuité donne : * Y,=Y,=V Si les pertes de charge sont négligeables (coude bien arrondi), l’équation de Bernouilli permet d’écrire : P,=P,=P
Avec toutes ces considérations, l’équation (4-40) devient :
F coudeljluKie = -2(P+pyZ)Ssin.f D’où la force exercée par le fluide sur le coude : (4-41) F#uiklcde -2(P+pV’)Ssinq L’existence de cette force justifie le fait qu’on mette des butées aux coudes des canalisations non enterrées surtout si celles-ci sont emboîtées. La relation (4-41) montre que la force est alors plus grande que celle due à la seule pression P. Tout se passe comme si la pression était augmentée de pv’ . 110
figure 4-20a : poussée sur un coude simple.
2”) Débirnètre A coude (figure 4-2X3) . Dans un coude, il se produit des diffkences de pression entre la partie intérieure et la partie extérieure du fait de la courbure des lignes de courant. Théoriquement, l’équation d’Euler vue au paragraphe 1.2 s’écrit :
aP* -=-F a2
Y’
et on peut en conclure que la perte de charge AH = -AP’ est proportionnelle à JY” Pg donc à Q2 aussi. D’où la formule de Addison : (4-42) Q=~~~ où K est un coefficient de forme et p un coefficient de débit qui tiennent compte de I’approximation tkite dans l’établissement de l’équation d’Euler. Leurs valeurs sont données en fonction du rapport entre le rayon de courbure moyen R et le diamètre D du coude (tableau 41) Pour un coude normalisé le rapport R/D est de l’ordre de 1,5.
Tableau 4-l : Valeurs de K et u en fonction du rayon de courbure R du coude (d’après Carlier) R/D P K
1 1,23 0,570
1,25 1,lO 0,697
150 1,07 0,794
1,75 I,O5 0,880
2 1,04 0,954
2,25 1,03 1,02
Ill
2,50 1,03 1,os
2,75 1,02 1,14
3 1,02 1,20
Figure 4-20b : Débimètre à coude.
5.3. Applications aux Qcoulements à surface libre : le ressaut hydraulique. Sans entrer dans la théorie du ressaut qui sera abordée dans le cours d’hydraulique à surface libre, nous pouvons le définir comme une brusque surélévation de la surface libre qui occupe une position f?xe dans le canal (Figure 4-21) .
(2) Figure 4-21 : Le ressaut hydraulique.
Avant le ressaut, l’écoulement est parallile et a une profondeur y1 ; après le ressaut, il redevient parall&le avec une profondeur y2 plus grande que Y, , Entre ces deux sections, il se forme des tourbillons avec une grande perte de charge. Pour trouver la relation entre les deux profondeurs y1 et y1 , il faut appliquer le théorème des quantités de mouvement dont la projection sur l’axe x du canal donne : P!2(v*-V,)=Fp -Fp L.es forces de frottement et ia com$sante du poids sont négligeables devant les forces de pression FP . Comme l’écoulement est parallèle dans les sections 1 et 2 , la répartition des 112
pressions y est hydrostatique et les forces de pression s’expriment ainsi :
D’où la relation :
qui peut encore s’écrire : 2
Q
2
Q
(4-43)
--g+&.YJ,,=s;+gs,3’, Dans le cas d’un canal rectangulaire, on a :
y,=:,
Q=qb et S=by où b dksigne la largeur du canal et y la profondeur
d’eau. L’équation 4-43 se simplifie alors et on O”btient:
q* y; q2 YZ -sg2=~+g-~ Y1
(4-44)
Pour un débit don& si l’on connaît Y, on peut alors calculer y2 par la relation (4-43) et vice et VIFS+.
113
DYNAMIQUE PARFAITS
Problèmes
non
rholus
Ex. IID.1 Pour lc rccipient dc la figure ci-contre: Calculer le débit du jet sortant en 4 pour un niveau 9 cn 1 constant ct un coclficient dc debit Kq = 0.82. Les ii) ii;)
pertes de charge linéaires sont négiigks. Cons truirc la ligne piézometriquc dc dans l’ajutagc. DCtcrmincr lc temps néccssairc pour niveau du recipicnt dc 1 [m] ainsi que vidange du réservoir. -
S dscrvoir
abaisser lc temps
d’un
siphon
rcprfkcntt
Ex. IID.3 i> Calculer
,
r 23
fa = 12.5 [cl-n]
sur
la valeur dc la dcnivellation Ah dans le manomiitre à mcrcurc dc la figure ci-contre. Montrer cette denivellation est que indépendante de l’inclinaison a du cône. On negligera les pertes de charge dans la conduite.
115
3
Ic dc
= 5 [m2J.
Ex. I?D.2 Etudier I’écoulcment figure ci-contre.
ii)
l’ecoulcment
ty71----?4
la
lml
4 -.- .\ \
@ = 7.5 [cm]
Ex. IID.4 Dttcrmincr reprcscntc W = 10 constant. y=9.81
horizontal AI du rccipient Ic dEplaccmcnt du recipicnt rempli d’eau vaut ci-contre. Lc poids est maintenu [NI. Lc niveau d’eau dans lc rtcipicnt
[kN/m3],
S=I
[cm2],
II=O.l
[ml,
L=l
[ml.
Ex. 1ID.S i) Quelle est la force ncccssairc pour rctcnir lc chariot rcprcscntc ci-contre, place SOUS un jet dc 50 [mm] dc diamttrc. avec une vitesse de U = 30 [m/s], faisant un angle dc 30” avec la voit dc roulcmcnt horizontalc ? ii) Calculer le rcndcmcnt dc cc mode dc propulsion si l’on admet que la vitcssc imprimfc au chariot est dc 5 [m/s] .
.
.A. ::......:._ _....i . :.._._..._. ...5. .::::_
p = 1000 [kg/m3] Ex. IID.6 Une conduite de 0.5 [m] dc diamètre est munie d’un “Y” dont la branche latcralc a un diamctrc de 0.2 [ml. Calculer Ics efforts agissant sur le massif d’ancrage du “Y” selon les directions x et y, sachant que la pression piézométrique dans la section 1 est de 20 [m] de colonne d’eau. Casl: Q2=0, Q3 =O, avec Ics vannes 2 ct 3 complètement fcrmecs. Cas 2: QI = 600 [l/s] , Q3 = 300 [Vs] , avec les vannes 2 et 3 completcmcnt ouvcrtcs. Les axes des conduites sont horizontaux. On negligcra les pcrtcs dc charge cntrc Ics sections 1, 2 ct 3 .
Ex. IlD.7 Lc systcmc ci-contre est rempli d’eau. Un tube dc 20 [mm] de diamttrc travcrsc Ic couvercle supérieur par un joint ttanchc. Quel est le temps dc vidange 7 C, = 0.6
Ex. IID.8 En négligeant les pcrtcs par frottement dans l’air, calculer: i) la pression, ii) Ic débit, iii) la puissance hydraulique ncccssairc un jet d’eau au diamètre initial de 107 pour alimenter [mm] s’clcvant vcrticalcmcnt à une hauteur de 156 [m) .
il6
Ex. IID.9 Calculer la force qui agit sur le fond d’un cylindre dc 60 [mm] de diamÈtre comportant un orifice axial de 20 [mm] de diamEtrc. Lc liquide & 1’intCrieur du ~=3 cylindre, d’un poids volumiquc dc 7 = 8.83 [kN/m3], est expulsé par cet orifice à I’aide d’un piston dans le cylindre, actionne par une coulissant de contraction de force de 3 [kN] . Lc coefficient l’orifice est Cc = 0.63.
Ex. IID.10 dc diambtre et refoule un Une pompe centrifuge aspire par un tuyau de 100 [mm] débit de Q = 20 [l/s] sur une canal,isation dc 75 [mm] de diambtrc. La charge piCzom&trique est de -20 [cm] Ilg à l’aspiration et la pression de 2.5 [atm] au rcfoulemcnt. La puissance absorbCe étant de 6786 [WI. quel est lc rcndemcnt de la pompe ?
Ex. IID.ll Quel est le débit q sortant par les deux orifices pratiqués dans le fond dc l’élargissement de Ia conduite? Q = 0.6 [m3/s] , (p/7)amont = 18 [m] de colonne d’eau , C c orifices =0.6, q<
Ex. IID.12 Lc tronçon dc tuyau de 200 [mm] de diamètre de la figure ci-contre, fermé 8 son extrémité aval (droite), comporte trois orifices: A, B et C. Les vitesses de sortie des jets étant rcspcctivemcnt de 10, 12.5 et 15 [m/s], determiner le diambtre des orifices de manibre que chacun d’eux évacue le tiers du debit total.
Ex. 110.13 La paroi fixe rcpréscnttc ci-contre divise le jet initial en deux jets non identiques. Trouver la valeur des composantes selon x et y de la force agissant sur la paroi (problemc bidimensionnel). On négligera le frottement. Q, = 0.1 [m3/s] , U, = 90 [~/SI .
117
8
0=20[mm]
1
Ex.flD. 14 La diffErcnce dc hauteur cntrc les deux mcrcurc d’un vcnturimEtrc est Ah = 6 [cm]. vinsse cn A ct Ic dEbit Q 7 On négligera Ics pertes dc charge. s, = 100 [cm21 , SD = 10 [cm21 ,
colonnes de Quels sont la
QS = 133.42 [kN/m3] , ycau = 9.81 [kN/m3]r, 2 A = 100 [cm], zB = 118 [cm) .
I:x IID.15 DC la saumure (dcnsitb 1.20 g/cm3) [n$/minutc]. A I’cntr6c dc la pompe, charge pi&zom&rique est de -15 [cm] pompe, d’un diamEtrc dc 200 [mm] , rchtivc B I’cxutoirc est de 1.373~1 Os au fluide ?
coule à travers une pompe. Le dbbit est dc 8 lc diamEtrc du tuyau est de 300 [mm] et la dc mercure (densité 13.55). L’exutoire dc la est à 1.2 [ml au-dessus de i’entrée. La pression [Pal . Quelle puissance la pompe fournit-elle
-_
Ex. IID.16
r
Le rEcipicnt, symttriquc selon l’axe z, dc la figure cicontre est conçu cn sorte que lc niveau d’eau s’abaisse a une vitcssc constantc: Us = 0.1 [mm/s] . il Quelle est la courbe du mCridicn dc cc récipient 7 ii) Quel doit Ctrc Ic rayon sup6ricur si Ic temps de vidange est de 1 heure ? on nEgligcra la pcrtc dc charge à la sortie, C, = 1 , Ex. IID.17
Ufl réacteur est posC horizontalcmcnt sur un banc d’essai. pour obtenir il Quel devra i!trc Ic poids dc la fondation dc 1.2 au glisscmcnt dans Ics conditions suivantes: Q = 300 [m”/s] (air) , ypir = 12 [N/m3] , S sortie
ii)
= O-5 [m21 9
Poids du r6actcur = 50 [kN] , u cntrbc i négligcablc , cocfficicnt de frottcmcnt bCton-li&gc, cf = 0.4 . Calculer Ic Q,,, p our la mCmc fondation. Commcntcr Ic rCsultat.
Ex. IID.18
De l’eau COUIC radialcmcnt entre deux plaques circulaires à I’cxtrémité d’un tube vertical. Si la pression rcIativc cn hauteur d’eau est dc -0.3 [m] cn A, dc combien est-clic cn 13 ct quel est le débit?
118
un
coefficient
de s&curité
On remplit un pression interne S réservoir
ii)
wagon-citerne d’huilc pi est constante.
= 40 [m2] , yhuile = 8 [kN/m3]
Quclic est la valeur minimale pie permettant de vider réservoir 7 Quel est le temps n&cessairc wagon
de 40 [m3]
lorsque
de
chauffage
à partir
d’un
réservoir
dont
la
, S, = 0.01 [m2] , hz = .l [m] .
dc la pression complètcmcnt le pour
remplir
la pression
rEscrvoir vaut pi = 1.2 105 ]Pal 7 niveau de depart dans Ic rtscrvoir h, =5 [ml.
LC
dans
un Ic
est A la cote
EL I-ID.20 Un jet est alimente par un reservoir à charge constante (hauteur d’energie h, = 10 [m] ) . Déterminer Ie débit Q et la force dans lc tuyau convergent 2-3 . Le coefficient de perte de charge sur tout le système est h, = 0.9 [ml.
S2 = 0.9 [m2] , SI = 0.3 [rn2] ,
Ex. 11D.21 De l’eau s’échappe d’un réservoir par un orifice dc l3orda de section circulaire (Cc = 0.4) placC à h,= 4 [m] de profondeur. Lc jet vient heurter un obstacle conique avec un angle de p = 30”. On négligera les pertes de charge. Quelle est la force exercée par le jet sur cet obstacle ?
Ex. IID.22 Une pompe développe une hauteur hydraulique nette dc 14 [ml. Au moyen de cette on désire alimcntcr un canal d’irrigation avec un debit dc 300 [I/s] par pompe, prC1Evement dans la nappe phr6atique. Le diametre de la conduite est dc 30 [cm] . On connaît d’autre part ics pertes de charge h, tout le long dc l’installation: n perte de charge = 3 WIW (y compris chr)l-2 singulibrc a l’entrée) 2 par mbtrc de longueur (hr)3-4 = CJ /2g) (hr)4-5
i) ii)
= 2 (U2/2g)
(y compris pcrtc de charge singulibe au coude) Qucllc est la plus grande valeur possible pour h ? Représenter la ligne de charge totale entre les points 1 et 5 .
119
Ex. IID.23 D’un rtscrvoir cylindrique dc section S ct constante s’ccoulc du mazout par une conduite. On donne:
ymlzoul
= 7.85 [kN/m3]
de
pression
intéricurc
relative
pi
,
s rCscrvoir = 40 [m*] , Sconduilc = 0.01 [m’] , hauteur initiale du niveau h, = 5 (m] , hauteur de la conduite à la sortie ho = 1 [ml, totale (lindairc ct pcrtc dc charge singu1iErc) dans la conduite
Calculer: i) la surpression
minimum
pi
ii) Ic temps ncccssairc pour vider
nEccssairc
pour
complctcmcnt
vider
complètemenî
Ic rcscrvoir
le réservoir, 5 si pi = 1.177~10 [l’a] .
Ex. IID.24 Une soupape dc sécuritc de 25 [mm] de POU’ diamblrc est dimensionnée p. = 25 [atm] . A une pression dc 32 [atm] , Ic ressort est comprimé de Ax = 5 [mm] ct UII jet d’huilc (Yhuile = 9 [kN/m3]) jaillit avec un dEbit de Q = 10 Il/s] . Calculer l’angle 01 du jet par rapport à l’axe dc symcttic du dispositif. -On ncgligcra les perfcs dc charge. Constante du ressort: C = 20 [N/mm]
Ex. 1ID.25 Un jet d’air est dirigt sur une plaque formant un angle a avec l’axe du jet. DCtcrmincr la force normale à la plaque cn fonction dc I’anglc d’attaque a du jet. On admettra que l’air est incompressible. ’ e Pair = 1.225 [kg/m’ ] , SI = 0.1 [mL-1 , u, = 25 [rrds] .
p = 1.225&/m’j
/ ---
u, SI
w Y Ex. IID.26 Issu d’une tuycrc fixe (SI= 0.045 [m*]), un jet frappe une d’eau d’une vitcssc de 12 [m/s] vanne orientable montCc sur un wagon. La vanne dirige Ic jet dans la direction Q = 50’. DClcrmincr la valeur dc la force 1: ncccssairc pour que Ic wagon rcstc immobile.
120
U,
-
U2 l
J
X
.
1 ‘WI CAKLiER : Hydraulique Gh$-ale et Appliquée, Eyrolles, 1980. 2 R. COkKU.ET : Mhxnique Exp&imentale des Fluides, Masson, 1985 3. W EL GR4F : Hydrodynamique. Eyrolles, 199 I 4, A. LENCASTRE : Hydraulique Générale, Eyrolles-Safége, 1991. 5. A. RW?ONJZR : Engineering Fluid Mechics, McGraw Hill, 1979. 6. Fkvzt A ÏW~z~sst~n S.A. : Canalisation Pont $ MOUSSQ~,PAM, 1985 7. N. PISK’OUNOI~: Calcul DiffZxntiel et Intégrale, MTR, 1980. 8. 6. SCHNEERELf : Mydr~ulique Souterraine, Eyrolles, 1978. 9, Y. T4L/?4RET : Cours et Applications da la Mécanique Générale et Analytique, Ellipses, 1987
121
