Cours Bp Rguig Poste Tension

P T H E École Hassania des Travaux Publics

Cours :

Calcul du Béton Précontraint 1

Deuxième Année Génie Civil

A.U. : 2012/13

Pr. Mustapha RGUIG

2

P T H E Pr. M. RGUIG RGUIG

Cours du Béton Précontraint 1

EHTP

P T H E Table des matières 1 Généralités sur la précontrainte

3

1.1 1.1 1.2 1.3 1.3 1.4

Défin Définit itio ionn et hist histor oriq ique ue de la préc précon ontr trai ainnte . . . . . . . . . . . 3 Inconvénients du Béton Armé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Avanta antage gess et inco inconnvénie éniennts du Béto Bétonn Pr Préc écon ontr trai ainnt . . . . . . . 5 Principe de la précontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Précontrainte centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Précontrainte excentrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3 1.4.3 Précon Précontrai trainte nte excent excentrée rée avec avec charges charges permanen permanentes tes et variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. 1.4.44 Pr Préc écon ontr trai ainnte et effor effortt tran trancchan hant . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Cara Caract ctér éris isti tiqu ques es des des maté matéri riau aux x du béto béton n préc précon ontr trai ain nt

2.1 2.1 Cara Caract ctér éris isti tiqu ques es méca mécani niqu ques es du béto bétonn . . . . . . . . . . 2.1.1 Résistance à la compression . . . . . . . . . . . 2.1.2 Résistance à la traction . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.33 Défo Déform rmat atio ions ns long longit itud udin inal ales es inst instan anta tané nées es . . . . 2.1.4 Déformations différées . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4.1 Retrait . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4.2 Fluage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 .1.5 Coeffi oefficien ient de Poiss oissoon du béto bétonn . . . . . . . . . 2.1. 2.1.66 Coeffi Coeffici cien entt de dila dilata tati tion on ther thermi miqu quee . . . . . . . 2.2 2.2 Cara Caract ctér éris isti tiqu ques es méca mécani niqu ques es des des arma armatu ture ress . . . . . . . 2.2.1 Armatures passives . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.1 Types pes d’aciers passifs . . . . . . . . . 2.2. 2.2.1. 1.22 Cara Caract ctèr ères es des des arma armatu ture ress pass passiv ives es . . . 2.2.2 Armatures actives . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1 Qualités requises . . . . . . . . . . . . 2.2.2 .2.2.2 .2 Caract ractèr èrees géom éométriq triquues . . . . . . . . 2.2. 2.2.33 cara caract ctèr ères es à pren prendr dree en comp compte te dans dans les les calc calcul ulss 2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pr. M. RGUIG RGUIG


. . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 18 18 18 20 20 21 22 22 23 23 23 24 24 25 25 29 30

EHTP

TABLE DES MATIÈRES

2

3 Pertes de précontrainte

33

3.1 3.2 3.3 3.4

Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Types de pertes de précontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . Précontrainte initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pertes de précontrainte en post-tension . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Pertes instantanées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.1 Pertes par frottement . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.2 Pertes par recul d’ancrage . . . . . . . . . . . 3.4.1.3 Pertes par déformation élastique du béton . . 3.4.2 Pertes différées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2.1 Pertes dues au retrait . . . . . . . . . . . . . 3.4.2.2 Pertes dues au fluage . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2.3 Pertes par relaxation . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Evaluation des pertes différées dans le temps . . . . . . 3.5 Pertes de précontrainte en pré-tension . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Pertes instantanées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1.1 Pertes à la mise en tension des câbles . . . . . 3.5.1.2 Pertes entre la mise en tension des câbles et la mise en précontrainte de l’élément . . . . . 3.5.1.3 Pertes à la mise en précontrainte de l’élément 3.5.2 Pertes différées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2.1 Perte par retrait sur une phase i . . . . . . . 3.5.2.2 Perte par fluage sur une phase i . . . . . . . . 3.5.2.3 Perte par relaxation sur une phase i . . . . . 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 34 35 35 35 35 38 41 44 44 44 45 46 46 47 47

P T H E 4 Calcul de la précontrainte en flexion

52

4.1 Calcul à l’état limite de service . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Dimensionnement en classes 1 et 2 . . . . . . . . . . . 4.1.1.1 Valeur minimale de la précontrainte en une section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Détermination de la section du béton . . . . . . . . . . 4.1.2.1 Section sous-critique . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.2 Section sur-critique . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Dimensionnement en classe 3 . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3.1 Calcul sous M min . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3.2 Calcul sous M max . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Vérification à l’état limite ultime . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Principe de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Méthode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pr. M. RGUIG


47 48 48 48 49 49 49 52 55

56 60 60 61 62 63 63 64 64 64 67

EHTP

P T H E Chapitre 1

Généralités sur la précontrainte

1.1 Définition et historique de la précontrainte Le béton précontraint est né du raisonnement que le béton armé est le matériau de construction le plus économique. Il résiste bien à la compression, mais peu, et surtout de façon aléatoire, à la traction. Il faut donc construire en béton, mais en évitant que ce matériau soit trop tendu, et risque de se fissurer. Et pour cela, il faut le comprimer de façon artificielle et en permanence, dans les zones où les charges extérieures développent des tractions, de façon qu’au total le béton reste comprimé (ou assez peu tendu pour ne pas risquer de se fissurer) et donc résistant, en tous cas de charge (voir figures 1.1 et 1.2).

Figure 1.1

– Fissuration d’un béton sous charge de flexion

L’effort de compression volontairement développé à cet effet est appelé l’Effort de précontrainte (ou, en abrégé, la précontrainte).

Pr. M. RGUIG


EHTP

1.1 Définition et historique de la précontrainte

4

P T H E Figure 1.2

– Absence de fissures après compression du béton

Historiquement, alors que plusieurs tentatives de comprimer artificiellement le béton armé ont aboutis à l’échoue, L’invention officielle du béton précontraint est attribuée à Eugène FREYSSINET (voir photo 1.3). c’est lui qui a pu concevoir et réaliser, dès 1908, le tirant de l’arche d’essai du Veurdre. Son premier brevet de béton précontraint date de 1928 (béton précontraint par pré-tension). Le premier brevet de la précontrainte par post-tension fût déposé en 1939 toujours par E. FREYSSINET.

Figure 1.3

– Eugène FREYSSINET, Inventeur de la précontrainte

Le BP est largement utilisé actuellement dans le domaine du génie civil et ce pour tout type de structures : Ponts (VIPP, PRAD, PSIDP, ...), Réservoirs, Centrales nucléaires, . . .

Pr. M. RGUIG


EHTP

1.2 Inconvénients du Béton Armé

5

1.2 Inconvénients du Béton Armé Pour démontrer l’existence de fissurations en permanence dans les zones tendues d’un BA, on utilise la loi de HOOKE pour le béton et les armatures :

P T H E ϵ =

∆L σb σa = = L E b E a

(1.1)

l’indice b pour béton et l’indice a pour acier. On en déduit donc :

σb =

σa

�� E a E b

=

σa n

(1.2)

Prenons une valeur modeste de la contrainte dans l’acier σa = 150 MPa (la limite élastique des aciers de construction utilisés actuellement étant d’environ 500 MPa), et le coefficient d’équivalence n = 15. On en déduit donc : (1.3) σb = 10 MPa Sachant que pour un béton de classe B50, on a : f t = 3, 6 MPa. On constate que le béton au voisinage de l’armature tendue subit une contrainte de traction largement supérieure aux valeurs courantes de f t . Il en résulte donc une fissuration du béton au moins au voisinage des armatures tendues. 28

28

Le béton armé est un matériau lourd. En pratique, dans le cas des sections fléchies, les 32 de celles-ci ne sont pas prises en compte dans le calcul de la rigidité. Le béton tendu étant négligeable dans les calculs. On constate que le poids des poutres en BA augmente plus vite que leurs travées.

En conséquence à ces inconvénients, au delà de 10 à 12 m de portée, le BA doit céder sa place au béton précontraint (BP) qui devient plus compétitif.

1.3 Avantages et inconvénients du Béton Précontraint Comme principaux avantages du béton précontraint, on peut citer :

Pr. M. RGUIG


EHTP

1.3 Avantages et inconvénients du Béton Précontraint

6

– Une meilleure utilisation de la matière puisque contrairement au béton armé, il n’y a pas de béton tendu inutile (tout au moins en classes I et II); – Le béton situé autour des armatures de précontrainte est toujours comprimé, on limite ainsi sérieusement les risques de corrosion des aciers ; – Les armatures à haute limite élastique utilisées en béton précontraint sont moins chères, à force égale, que les aciers de béton armé; – L’effort de précontrainte, agissant en sens inverse des charges extérieures, limite les déformées. On obtient ainsi une diminution des flèches des poutres et donc une diminution de leur hauteur (voir figures 1.4 et 1.5); – La possibilité d’assembler des éléments préfabriqués sans échafaudage ni bétonnage de 2 ème phase : ponts construits avec des voussoirs préfabriqués posés en encorbellements successifs, fléaux de couverture de stade, etc ... – La possibilité de franchir de plus grandes portées qu’avec des ouvrages en béton armé.

P T H E Figure 1.4

– Poutre précontrainte à vide - Présence de contre flèche

Comme inconvénients, on peut retenir :

– La nécessité de fabriquer des bétons plus résistants ; – La nécessité de disposer d’un personnel qualifié pour la vérification de la pose des gaines et câbles et pour la mise en tension des câbles de précontrainte; – L’obligation d’attendre que la mise en tension soit faite pour pouvoir décintrer ou décoffrer ; – Les calculs en général plus complexes que pour les ouvrages en béton armé.

Pr. M. RGUIG


EHTP

1.4 Principe de la précontrainte

7

P T H E Figure 1.5

– Poutre précontrainte en charge - Limitation de la flèche


La précontrainte nécessite l’utilisation d’un béton de f c ≥ 30 MPa pour réduire les pertes par fluage. En fait, le fluage est plus important pour les bétons à faibles résistances mécaniques que pour les bétons à hautes résistances. 28

L’acier de précontrainte doit avoir une limite d’élasticité beaucoup plus élevé que l’acier du béton armé (f e ≈ 1600 MPa), ce qui permet de garantir une force de précontrainte permanente. 1.4.1

Précontrainte centrée

Pour l’illustration de la précontrainte centrée, c’est une section rectangulaire qui est prise en compte (voir figure 1.6).

Cherchons la valeur de la précontrainte qui nous permettra d’annuler les contraintes de traction sur toute la section d’une poutre (voir figure 1.6). Cette précontrainte doit respecter l’équation : σ p

− σ(M ) = 0

(1.4)

dans le cours RDM, nous avons vu que la contrainte induite par un moment de flexion dans une poutre est exprimée par : σ(M ) =

Pr. M. RGUIG

M.y I


(1.5)

EHTP


8

P T H E Figure 1.6

– Schéma d’une précontrainte totale centrée

et on a aussi pour une section rectangulaire : BH 3 I = 12

(1.6)

La contrainte due au moment M à l’extrémité supérieure de la section (y = H 2 ) est exprimée par : σ(M ) =

(1.4)

6M MH MH = BH = 2I BH 2 2 12





3

P BH

6M =0 − BH 2

P =

6M H

(1.7)

(1.8)

(1.9)

Puisque les contraintes de traction sont supprimées du béton, on peut affirmer que le béton est exploité à plein avec application du moment extérieur M . Toutefois, la fibre supérieure du béton qui était chargée par la contrainte σ(M ) reçoit une contrainte double après application de la précontrainte (σ(M ) + σP = 2σ(M )). Le béton risque donc d’être écrasée par excès de compression (voir exemple de la figure 1.7). La précontrainte qui est utile dans la partie inférieure de la section se révèle donc inutile, et même nuisible, dans sa partie supérieure. Pour cela, on a cherché à appliquer cette précontrainte autrement pour limiter son effet néfaste sur la partie supérieure. Pr. M. RGUIG


EHTP


9

P T H E Figure

1.4.2

1.7 – Écrasement du béton précontraint et flambage des aciers passifs Précontrainte excentrée

Pour éliminer l’effet de la précontrainte sur la fibre supérieure et garder son rôle sur la partie inférieure, il est plus judicieux d’appliquer cette charge de précontrainte de telle sorte à avoir une valeur nulle sur la fibre supérieure et garder la même valeur sur la partie inférieure (σP = σ(M )) (charge triangulaire). Pour assurer cela, il suffit d’excentrer le point d’application de la précontrainte vers le bas (voir figure 1.8).

Figure 1.8

Pr. M. RGUIG

– Schéma d’une précontrainte totale excentrée


EHTP


10

Cherchons l’effort de précontrainte P qu’il faut appliquer à la limite inférieure du noyau central de la section (e = H 6 ). Pour avoir une résultante nulle sur la fibre inférieure, l’effort de précontrainte P doit satisfaire l’équation :

P T H E

σP

− σ(M ) = 0

(1.10)

l’effort de précontrainte P et la contrainte maximale générée σP sont reliés par (voir figure 1.8) : 1 P = σP BH 2

σP =



2P BH

(1.11)

d’après la formule (1.7), la contrainte générée par le moment M est : σ(M ) =

(1.10)





6M BH 2

2P BH

6M =0 − BH 2

P =

3M H

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Cette nouvelle disposition présente par rapport à la précontrainte centrée deux grands avantages :

– la contrainte maximale n’est plus que σ(M ) au lieu de 2σ(M ) ; M – la force de précontrainte nécessaire est P = 3H , soit la moitié seulement de la valeur déterminée pour la précontrainte centrée.

Nous voyons donc l’intérêt que présente l’excentrement de la précontrainte. En réglant convenablement le couple (P, e), on pourra obtenir les conditions optimales de répartition des contraintes. 1.4.3

Précontrainte excentrée avec charges permanentes et variables

Dans la pratique, une poutre précontrainte est réalisée pour supporter des charges permanentes et des charges variables (charges d’exploitation). Sous le seul effet des sollicitations extérieures, la contrainte normale sur la fibre supérieure varie de σ G à σ G + σQ . Le diagramme optimal de la précontrainte Pr. M. RGUIG


EHTP


11

P T H E Figure 1.9

– Compensation d’une charge permanente par une précontrainte

dans ce cas pour assurer la non présence de zone tendue est présenté dans la figure (1.9). Considérons l’effet de la précontrainte seule. Sur une section donnée, la précontrainte applique un effort normal N = P et un moment M = P e. Le moment M génère une contrainte sur la section telle que définie dans la formule (1.12). Les contraintes générées sur les fibres supérieures et inférieure sont de signes opposés. Les optimums de contraintes générées par la précontrainte sont donc définis par (traction : - ; compression : +) :

−σ

G

= σ(N ) + σ(M ) =

σG + σQ = σ(N )

P 6P e + BH BH 2

(fibre supérieure)

P 6P e − σ(M ) = BH − BH 2

(fibre inférieure)

(1.15)

(1.16)

en cherchant les expressions de P et e, on obtient : (1.15) + (1.16)

(1.15)





− σ − 12 σ G

Q =

H e = 3σQ 

P =



BH σQ 2

(1.17)

6 6 BH 3 P e = . σ .e = σQ e (1.18) Q BH 2 BH 2 2 H 1 H 2σG + σQ σG σQ = (1.19) 2 3σQ 2

�−

−

e =

�

−

−H 2σ 6σ + σ G

Q

(1.20)

Q

Pr. M. RGUIG


EHTP


12

Ces deux expressions de P et e permettent de satisfaire le diagramme de la figure (1.9). Ce couple (P, e) permet d’avoir des diagrammes de contraintes indépendants du moment M G de la charge permanente. Ces diagrammes dépendent seulement du moment M Q de la charge variable. Nous découvrons ainsi un avantage essentiel de la précontrainte qui fait dire que "En béton précontraint, la charge permanente est gratuite" .

P T H E Cette conclusion ne doit pas être prise sans réserves car la valeur de l’excentrement n’est pas toujours compatible avec la géométrie de la section. En fait, l’excentrement est limité car l’armature active doit rester à l’intérieur du béton avec un enrobage convenable. Si le moment de flexion est négatif, des limitations doivent être aussi respectées.

Remarque : La précontrainte a pour effet de contrebalancer les effets

des charges extérieures en éliminant les zones tendues du béton.

1.4.4

Précontrainte et effort tranchant

Étant donné que le moment fléchissant est maximal en milieu de travée et comme on l’a vu dans la partie précédente, il est préférable d’excentrer l’armature de la précontrainte et de la placer sur la partie inférieure de la section. Cependant, puisque le moment est faible au voisinage des appuis, il est préférable de relever les armatures de précontrainte dans cette zone. Ce fait est même indispensable pour éviter de provoquer des tractions sur la partie supérieure. Au niveau de l’extrémité, on atteint un niveau voisin du centre de gravité de la section (voir 1.10). Vu que le câble de la précontrainte sort sur un axe incliné sur l’extrémité. La précontrainte P génère un effort tranchant P sin α, de sens contraire à celui des sollicitations extérieures. Il compense donc une partie de ces sollicitations.

On considère que V G est l’effort tranchant dû aux actions permanentes et V Q est l’effort tranchant maximal dû aux actions variables. Compte tenu de la précontrainte, l’effort tranchant total varie de V G − P sin α à V G + V Q − P sin α. La compensation optimale (reprendre tout l’effort tranchant V = 0)

Pr. M. RGUIG


EHTP

1.5 Exercices

13

P T H E Figure 1.10

– Relevage d’une armature de précontrainte

est obtenue pour un angle α vérifiant :

�

1 1 sin α = V G + V Q P 2

�

(1.21)

avec cette condition, l’effort tranchant total varie ainsi de :

− 12 V

Q

à

1 + V Q 2

(1.22)

il faut savoir qu’il n’est pas toujours possible de réaliser cet optimum, car P et α sont déterminés par d’autres conditions. Cependant, le gain dû au relevage des armatures de précontrainte reste toujours très important.

En plus des gains précédents sur les sollicitations (moments de flexion et efforts tranchants), le fait d’augmenter le volume de béton comprimé par la précontrainte augmente sa résistance au cisaillement. Ainsi, on dispose moins d’armatures transversales que pour un élément en béton armé.

1.5 Exercices 

Exercice 1 :

On considère la poutre de la figure (1.11) de section rectangulaire (50 cm, 120 cm) et soumise à un moment extérieur M = 0, 8 MN.m. Une précontrainte centrée P 1 étant appliquée à la poutre. 1. Déterminer la valeur minimale de la précontrainte P 1 pour qu’il y est une précontrainte totale ? Pr. M. RGUIG


EHTP

1.5 Exercices

14

P T H E Figure 1.11

– Précontrainte centrée

2. Schématiser le diagramme des contraintes dans la poutre ? 

Solution 1 :

1. La précontrainte minimale correspond à la figure (1.6) où on est au seuil minimal de la précontrainte totale d’une poutre. La précontrainte minimale est exprimée donc par la formule (1.9), d’où : P 1 =

6M 6.0, 8 = = 4 MN H 1, 2

(1.23)

2. Le diagramme des contraintes est présenté dans la figure (4.3)

Figure 1.12

σ(M ) = Pr. M. RGUIG

– Diagramme des contraintes

6M 6.0, 8 = = 6, 67 MPa BH 2 0, 5.1, 22


(1.24) EHTP

1.5 Exercices

15

σP = 1

P 1 4 = = 6, 67 MPa BH 0, 5.1, 2

σ(M ) + σP = 6, 67 + 6, 67 = 13, 33 MPa 1

(1.25)

(1.26)

P T H E 

Exercice 2 :

Soit une poutre précontrainte de section rectangulaire (100 cm, H ) soumise à une précontrainte excentrée P 1 et à un moment extérieur M = 0, 8 MN.m. On considère les contraintes limites du béton comme suit : – Traction = 0 (précontrainte totale) ; – Compression limite = 1200 t/m2 .

Figure 1.13

– Précontrainte excentrée

1. Déterminer la hauteur de la poutre ? 2. Déterminer la force de la précontrainte et son excentrement ? 

Solution 2 :

1. La contrainte limite en compression du béton étant de 1200 t/m2 , en considérant le schéma de la figure (1.8) correspondant à une précontrainte excentrée en limite inférieure de la précontrainte totale, on constate que : σ(M ) = 1200 

Pr. M. RGUIG

H =

�



6M = 1200B

6M = 1200 BH 2

�

6.80 = 0, 63 m 1200.1


(1.27)

(1.28) EHTP

1.5 Exercices

16

2. La force de précontrai précontraint ntee est donnée donnée par : P 1 =

3M 3.0, 8 = = 3, 81 MN H 0, 63

(1.29)

P T H E L’excentrement de la précontrainte correspond à la position inférieure du noyau central d’une section soit : e =

Pr. M. RGUIG RGUIG

H 0, 63 = = 0, 105 m = 10, 10, 5 cm 6 6


(1.30)

EHTP

P T H E Chapitre 2

Caractéristiques des matériaux du béton précontraint 2.1 Caract Caractéri éristi stique quess mécaniq mécaniques ues du béton

Le béton est un matériau hétérogène composé d’un mélange de liant, granulats, eau et éventuellement d’adjuvants. Sa résistance mécanique est influencée par plusieurs facteurs : – Qualité du ciment; – Dosage en ciment; – Teneur en eau; – L’âge du béton; – La temperature; – L’humidité; – La durée de chargement.

Le caractère de base est la résistance à la compression à 28 jours, d’où sont déduites les valeurs des caractères suivants :

– Les résistances à la compression aux âges de j jours (différen (différents ts de 28) ; – Les résistanc résistances es à la traction traction à différen différents ts âges ; – Le module de déformation longitudinale du béton.

Les autres données nécessaires au calcul concernent les caractères suivants : – Les déform déformatio ations ns différées différées;; – Le coefficient de Poisson;

Pr. M. RGUIG RGUIG


EHTP

2.1 Caractéristiques mécaniques du béton

18

– Le coefficient de dilatation thermique. 2.1. 2.1.1 1

Rési Résist stan ance ce à la com compr pres essi sion on

Pour l’établissement des projets, un béton est défini par la valeur de sa résistance à la compression à l’âge de 28 jours, dite «résistance caractéristique requise ou spécifiée» . Celle-ci, notée f c , est choisie à priori compte tenu des possibilités locales. Les valeurs de f c sont définies dans la plage suivante : 30, 35, 40 et 50 MPa.

P T H E 28

28

Pour les sollicitations qui s’exercent sur un béton âgé de moins de 28 jours, on se réfère à la résistance caractéristique f c obtenue au jour considérée comme suit : j

f cj =

j f c 4, 76 + 0, 0, 83 j 83 j

f cj =

j f c 1, 40 + 0, 0, 95 j 95 j

28

28

si

f c

MPa ≤ 40 MPa

(2.1)

si

f c > 40 MPa

(2.2)

28

28

La résistance à la compression est conventionnellement maintenue constante à partir de 28 jours : f c = f c . j

2.1. 2.1.2 2

28

Rési Résist stan ance ce à la trac tracti tion on

La résistance caractéristique à la traction, à l’âge de j jours, notée f t , est conventionnellement définie par la formule : j

f tj = 0, 6 + 0, 0 , 06f 06f cj

(2.3)

dans laquelle f t et f c sont exprimées en MPa (ou N/mm2 ). j

2.1.3

j

Déformati Déformations ons longitudin longitudinales ales instan instantané tanées es

On peut considérer comme déformation instantanée une déformation résultant de l’application d’un effort statique s’exerçant pendant une durée inférieure à 24 heures en ordre de grandeur.

A défaut de résultats expérimentaux probants, on adopte pour le module de déformation longitudinale instantanée du béton noté E ijij , une valeur conventionnelle égale à : E ij f c (2.4) ij = 11000

� 3

Pr. M. RGUIG RGUIG

j


EHTP


19

où E ij et f c sont exprimés en MPa ou en N/mm2. j

Lorsqu’on a besoin d’une loi déformation-contrainte représentative du comportement du béton jusqu’à rupture, notamment dans les calculs aux états-limites ultimes, il est nécessaire de recourir à l’un des modèles suivants :

P T H E Dans les cas courants, lorsqu’on n’a pas besoin d’une évaluation précise des déformations, on peut adopter le diagramme parabole-rectangle représenté dans la figure (2.1).

Figure 2.1

– Loi de comportement du béton de type parabole-rectangle

Lorsqu’on a besoin d’une évaluation plus précise des déformations et à défaut de données expérimentales probantes (ce n’est le cas en pratique que pour la justification vis-à-vis des états-limites ultimes de stabilité de forme des pièces très élancées). il est nécessaire d’adopter un diagramme prenant en compte :

– la valeur du module tangent à l’origine pour lequel on conserve la formule : E ij = 11000 f c (2.5)

� 3

0

j

– la valeur de la déformation au maximum de contrainte, appelé pic de contrainte, que l’on peut évaluer par la formule : ϵb = 0, 62.10 0

3

−

� 3

f cj

(2.6)

– la valeur de la résistance à la compression du béton f c . j

Le diagramme en question est présenté dans la figure (2.2). Pr. M. RGUIG


EHTP


20

P T H E Figure 2.2

2.1.4

– Loi de comportement avancée du béton

Déformations différées

Les déformations différées du béton résultent du retrait et du fluage, qui sont considérés dans les calculs comme deux phénomènes indépendants dont les effets s’additionnent. Ces déformations et leur évolution dans le temps dépendent du rayon moyen de la pièce r m . Lorsqu’on envisage des effets globaux, dans les cas courants, on peut définir le rayon moyen de la pièce par le rapport : rm =

B u

(2.7)

où B est l’aire de la section droite de la pièce et u son périmètre extérieur. 2.1.4.1 Retrait

Le retrait est le raccourcissement du béton non chargé, au cours de son durcissement. Son importance dépend d’un certain nombre de paramètres : – Humidité de l’air ambiant ; – Dimensions de la pièce; – Quantité d’armatures ; – Quantité d’eau; – Dosage en ciment; – Temps.

La déformation relative du retrait qui se développe dans le temps peut être évaluée au moyen de la formule : ϵr (t) = ϵ r r(t) Pr. M. RGUIG


(2.8) EHTP


21

où ϵr est le retrait final du béton et r(t) est une fonction du temps variant de 0 à 1 quand le temps t varie de 0 à l’infini à partir du bétonnage. Cette formule est utilisée si une grande précision est recherchée. A défaut de résultats expérimentaux, la loi d’évolution du retrait r(t) est donnée par :

P T H E r(t) =

t t + 9rm

(2.9)

où t est l’âge du béton, en jours, compté à partir du jour de fabrication et rm est le rayon moyen de la pièce, exprimé en centimètres (cm).

Pour simplifier, le retrait final ϵr peut être donné par les valeurs forfaitaires suivantes : 2.10 3.10 4.10 5.10

4

−

4

−

4

−

4

−

2.1.4.2

: en climat humide ; : en climat tempéré sec; : en climat chaud et sec; : en climat très sec ou désertique ;

Fluage

Le fluage correspond à une déformation croissante dans le temps sous contrainte permanente. Il dépend d’un certain nombre de paramètres : – Épaisseur moyenne de la pièce ; – Contrainte appliquée; – Dosage en ciment; – Teneur en eau; – Humidité; – Température ; – Âge de mise en tension.

La déformation de fluage à l’instant t d’un béton soumis à l’âge j = t 1 − t0 à une contrainte constante σ1 est exprimée sous la forme : ϵf l = ϵ ic .K f l (t1

− t0).f (t − t1)

(2.10)

t0 : date du bétonnage; t1 : date de mise en charge; ϵic est une déformation conventionnelle instantanée sous l’effet de la contrainte σ1 : σ1 ϵic = (2.11) E i 28

Pr. M. RGUIG


EHTP


22

K f l est le coefficient de fluage, qui dépend notamment de l’âge (t1 t0) du béton au moment où il subit la contrainte σ1 ; et f (t t1 ) est une fonction de la durée du chargement (t t1), exprimée en

−

−

−

jours, qui varie de 0 à 1 quand cette durée varie de 0 à l’infini.

P T H E On peut également mettre ϵf l sous la forme : ϵf l = ϵ i Φ(t1

− t0)f (t − t1)

(2.12)

où ϵi est la déformation réelle instantanée : ϵi =

σ1 E ij

(2.13)

E

Φ = K f l E iij le rapport entre la déformation finale de fluage et la déformation 28

réelle instantanée.

Dans les cas courants, on peut prendre : 11000 E νj = 1+Φ

� 3

f cj

(2.14)

on peut prendre Φ = 2. La loi d’évolution de fluage f (t − t1 ) est donnée par la formule : √ t − t 1 f (t − t1 ) = √ (2.15) √ t

− t1 + 5 r Dans laquelle la durée de chargement (t − t1 ) est exprimée en jours et le rayon m

moyen rm en centimètres. 2.1.5

Coefficient de Poisson du béton

Le coefficient de Poisson du béton non fissuré ν b est pris égal à 0,20. En cas de fissuration, il est pris égal à zéro. Cette valeur est également admissible dans les phases de déformation plastique. 2.1.6

Coefficient de dilatation thermique

A défaut de résultats expérimentaux, le coefficient de dilatation thermique αb est pris égal à 10 5 par degré C. −

Pr. M. RGUIG


EHTP

2.2 Caractéristiques mécaniques des armatures

23

Remarque : pour améliorer la mise en place du béton, ses caracté-

ristiques ou sa durabilité, on peut être amené à ajouter des adjuvants en faible quantités lors de la confection du béton. On utilise plus spécialement des :

P T H E – – – – – – –

Accélérateurs de prise ; Retardateurs de prise ; Accélérateurs de durcissement ; Entraîneurs d’air ; Plastifiants ; Hydrofuges de masse ; Antigels.

2.2 Caractéristiques mécaniques des armatures Les aciers utilisés en précontrainte sont de deux natures différentes :

– Aciers actifs qui créent et maintiennent la précontrainte ; – Aciers passif nécessaires pour le montage , pour reprendre les efforts tranchants et pour limiter la fissuration.

2.2.1

Armatures passives

Ce sont des armatures identiques à celles utilisées dans le béton armé, ils ne sont mis en tension que par la déformation de l’élément. 2.2.1.1 Types d’aciers passifs

Les aciers généralement utilisés sont classés en plusieurs catégories :

1. Barres rondes lisses; 2. Barres à haute adhérence; 3. Fils (Fils à Haute adhérence et fils lisses); 4. Treillis soudés.

Pr. M. RGUIG


EHTP


24

D’une façon générale, on distingue pour les armatures passives en béton précontraint : – Aciers passifs longitudinaux; – Aciers passifs transversaux.

P T H E 2.2.1.2 Caractères des armatures passives

Les caractères des armatures passives à prendre en compte dans les calculs sont les suivants :

– Section nominale de l’armature – Module de déformation longitudinale Le module de déformation longitudinale de l’acier E s est pris égal à 200 000 MPa. – Limite d’élasticité garantie L’acier est défini par la valeur garantie de sa limite d’élasticité notée f e .

On présente dans la figure (2.3) l’allure du diagramme contrainte-déformation réglementaire de l’acier.

Figure 2.3

2.2.2

– Loi de comportement réglementaire de l’acier

Armatures actives

Les aciers actifs sont les aciers de la précontrainte, ils sont mis sous tension. A l’inverse des armatures de béton armé qui se contentent d’un acier

Pr. M. RGUIG


EHTP


25

de qualité courante, les armatures de précontrainte exigent des aciers satisfaisant un certain nombre de conditions. Elles sont classées par : – Catégorie : fils, barres, torons; – Classe de résistance.

P T H E Ces armatures doivent, soit être agréées par le Ministère concerné, soit bénéficier d’une autorisation de fourniture ou d’une autorisation d’emploi. 2.2.2.1 Qualités requises

Les principales qualités à vérifier pour les câbles de la précontrainte sont : – Une résistance mécanique élevée ; – Une ductilité suffisante ; – Une bonne résistance à la corrosion ; – Une faible relaxation; – Un coût aussi bas que possible.

2.2.2.2 Caractères géométriques  Fils de précontrainte :

Les fils sont des armatures dont la plus grande dimension transversale est inférieure à 12.5 mm. Ils sont livrés en couronnes. On distingue les catégories suivantes : Fils d’acier ronds et lisse ;  Fils autres que ronds et lisses. 

Les fils sont définis par leur diamètre nominal auquel correspond une section nominale conventionnelle, suivant le tableau (2.1). Diamètre (mm) 4 5 6 7 8 10 12,2 2 Section (mm ) 12,6 19,6 28,3 38,5 50,3 78,5 117

Table 2.1

– Caractéristiques géométriques des fils de précontrainte

On présente dans les figures (2.4), (2.5) et (2.6) des exemples de fils de précontrainte.

Pr. M. RGUIG


EHTP


26

P T H E Figure 2.4

Figure 2.5

– Fils d’acier hélicoïdales pour précontrainte

Figure 2.6

Pr. M. RGUIG

– Fils d’acier pour précontrainte

– Fils d’acier crénelés pour précontrainte


EHTP


27

 Barres de précontrainte :

Les barres sont définies comme des armatures rondes et lisses de diamètre supérieur à 12.5 mm, ou non rondes ou non lisses ne pouvant être livrées en couronnes. Les caractères géométriques sont le diamètre et la section conventionnellement définie suivant le tableau (2.2).

P T H E Diamètre (mm) 20 22 26 32 36 Section (mm2 ) 314 380 531 804 1018

Table 2.2

– Caractéristiques géométriques des barres de précontrainte

On présente dans la figure (2.7) des exemples de barres de précontrainte.

Figure 2.7

– Barres d’acier pour béton précontraint

 Torons de précontrainte :

Un toron est un assemblage de 3 ou 7 fils enroulés en hélice et répartis en une couche, éventuellement autour d’un fil central. Les torons sont caractérisés par le nombre de leur fils , par leur diamètre, et par leur section. Le tableau (2.3) fournit les valeurs correspondantes. Type 3 fils 7 fils 7 fils 7 fils standard 7 fils super Diamètre (mm) 5,2 6,85 9,3 12,5 15,2 12,9 15,7 Section (mm2 ) 13,6 28,2 52 93 139 100 150

Table 2.3

– Caractéristiques géométriques des torons de précontrainte

On présente dans les figures (2.8), (2.9) et (2.10) des exemples de torons de précontrainte. Pr. M. RGUIG


EHTP


28

P T H E Figure 2.8

– Exemples de torons de précontrainte

Figure 2.9

Figure 2.10

Pr. M. RGUIG

– Torons d’acier pour précontrainte

– Torons d’acier pour béton précontraint non adhérent


EHTP


2.2.3

29

caractères à prendre en compte dans les calculs

Les caractères des armatures de précontrainte à prendre en compte dans les calculs sont :

P T H E Section nominale de l’armature ;  Contrainte maximale garantie à rupture f prg ;  Contrainte à la limite conventionnelle d’élasticité f peg ;  Coefficient de relaxation ρ 1000 : 

pour la classe TBR (Très Basse Relaxation), pour la classe RN (Relaxation Normale);

ρ1000 = 2, 5 % ρ1000 = 8 %

Adhérence au béton;  Coefficient de dilatation thermique 10  Module de déformation longitudinale : 

5

−

E p = 200 000 MPa E p = 190 000 MPa



par degré C ;

pour les fils et les barres, pour les torons;

Diagramme efforts-déformations (voir figures 2.11 et 2.12).

Figure 2.11

Pr. M. RGUIG

– Diagramme contrainte-déformation des torons et fils tréfilés


EHTP

2.3 Exercices

30

P T H E Figure

2.12 – Diagramme contrainte-déformation pour barres et fils trempés

2.3 Exercices 

Exercice 1 :

Déterminer, pour un béton de f c vantes :

28

= 30 MPa, les caractéristiques sui-

1. La résistance à la compression au jour j = 7 et 90 jours ; 2. La résistance à la traction au jour j = 7 et 90 jours ; 3. Module de déformation instantané au jour j = 7 et 90 jours ; 4. Module de déformation différé au jour j = 7 et 90 jours ; 5. Tracer le diagramme contrainte-déformation pour un acier actif de type toron f peg = 1600 MPa. 

Solution 1 :

1. Puisqu’il s’agit d’un béton de résistance f c = 30 MPa ≤ 40 MPa, on a : 28

La résistance à j = 7 jours est : f c = 7

Pr. M. RGUIG

j f c = 19, 86 MPa 4, 76 + 0, 83 j 28


(2.16)

EHTP

2.3 Exercices

31

La résistance à j = 90 jours est : f c = f c = 30 MPa 90

28

(2.17)

2. Résistance à la traction :

P T H E Pour j = 7 jours :

f t = 0, 6 + 0, 06f c = 1, 8 MPa 7

7

(2.18)

Pour j = 90 jours :

f t = f t = 0, 6 + 0, 06f c = 2, 4 MPa 90

28

28

(2.19)

3. Module de déformation instantané : Pour j = 7 jours :

E i7 = 11000

Pour j = 7 jours :

√ √ 3

f c = 29878 MPa 7

E i90 = E i28 = 11000

4. Module de déformation différé :

3

(2.20)

f c = 34180 MPa 28

(2.21)

Pour j = 7 jours :

11000 E ν 7 = 1+Φ

Pour j = 90 jours :

11000 f c = 3

√ 3

7

E ν 90 = E ν 28 =

√ 3

f c = 7

E i7 = 9960 MPa 3

E i28 = 11393 MPa 3

(2.22)

(2.23)

5. Le diagramme contrainte-déformation pour un acier actif de type toron, f peg = 1600 MPa, est présenté dans la figure (2.13).

Pr. M. RGUIG


EHTP

2.3 Exercices

32

P T H E Figure

2.13 – Diagramme contrainte-déformation des torons f peg =

1600 MPa

Pr. M. RGUIG


EHTP

P T H E Chapitre 3

Pertes de précontrainte 3.1 Définition

On veut dire par le nom «perte de précontrainte» ou encore «perte de tension» dans les câbles actifs de la précontrainte, la différence entre l’effort exercé lors de sa mise en tension (instant t0 ) et l’effort qui s’exerce à un instant donné t. Cette perte de précontrainte dépend également de la position spatiale.

La perte de précontrainte correspondante à l’intervalle de temps [t0 , t] est notée comme suit : ∆P (t, t0 ) = P (t0 )

− P (t)

(3.1)

En post-tension, l’effort de précontrainte varie à la fois :

– suivant l’abscisse le long du câble, dû essentiellement au frottement ; – dans le temps, dû au retrait, fluage et relaxation des aciers.

En pré-tension, l’effort de précontrainte varie principalement dans le temps du fait de l’application successive des actions.

En général, les pertes de précontrainte sont de deux types : instantanées et différées . Le mode de réalisation de la précontrainte influence également ces pertes de précontrainte. On peut donc constater que les pertes de précontrainte constituent un inconvénient du béton précontraint car elles diminuent le rendement de l’acier actif et par conséquent elles peuvent conduire également à une diminution Pr. M. RGUIG


EHTP

3.2 Types de pertes de précontrainte

34

du rendement du béton par diminution de compression de celui-ci.

3.2 Types de pertes de précontrainte

P T H E 

Pour les pertes instantanées de la précontrainte, on a :



Précontrainte par post-tension :

– pertes par frottement; – pertes par recul d’ancrage; – pertes par déformation élastique du béton. 

Précontrainte par pré-tension :

– pertes à la mise en tension de l’armature ; – pertes entre la mise en tension de l’armature et la mise en précontrainte de l’élément; – pertes à la mise en précontrainte de l’élément. 

Pour les pertes différées de la précontrainte, on a :



Précontrainte par post-tension :

– pertes par retrait du béton; – pertes par fluage du béton; – pertes par relaxation des armatures actives. 

Précontrainte par pré-tension :

– pertes par retrait; – pertes par fluage ; – pertes par relaxation.

Les différents types de pertes de précontrainte seront détaillés dans les parties suivantes.

Pr. M. RGUIG


EHTP

3.3 Précontrainte initiale

35

3.3 Précontrainte initiale La précontrainte initiale est réalisée à l’aide de vérins hydrauliques. Au niveau des points les plus sollicités des câbles, on évitera d’atteindre la valeur de la contrainte de rupture des câbles. Pour cette raison la réglementation nous impose une tension maximale à imposer dite précontrainte initiale ou tension à l’origine notée σ p .

P T H E 0

Dans les deux cas de la post-tension et de la pré-tension, σ p prend la valeur : (3.2) σ p = min(0, 8f prg ; 0, 9f peg ) 0

0

f prg : contrainte de rupture garantie ; f peg : limite conventionnelle d’élasticité à 0, 1%.

Dans le cas de produits industrialisés en pré-tension et faisant l’objet d’un système fiable d’assurance qualité, cette valeur peut être prise égale à :

σ p = min(0, 85f prg ; 0, 95f peg ) 0

(3.3)

Pour les barres, la tension à l’origine est prise égale à : σ p = 0, 7f prg 0

(3.4)

3.4 Pertes de précontrainte en post-tension 3.4.1

Pertes instantanées

Les pertes instantanées de précontrainte sont des pertes qui se produisent d’une façon instantanée après la mise en tension des câbles actifs. L’intensité de ces pertes ne dépend pas du temps. La somme des pertes instantanées de précontrainte est notée ∆σ pi (x) et elle dépend de son abscisse sur le câble x. 3.4.1.1 Pertes par frottement

Les pertes par frottement sont générées par le frottement des armatures actives avec les gaines (métalliques ou plastiques) lors de leur mise en tension. En fait, le déplacement du câble à l’intérieur de la gaine est gêné par sa courbure ce qui génère des forces de frottement qui résistent aux efforts extérieurs appliqués aux extrémités des armatures.

Pr. M. RGUIG


EHTP

3.4 Pertes de précontrainte en post-tension

36

Supposons un élément d’armature tendu de longueur ds, de rayon de courbure r et d’angle correspondant dα. Cet élément étant sollicité par une force de traction F (voire figure 3.1).

P T H E Figure 3.1

– Forces normale et tangente dues à la courbure d’un câble de précontrainte La force normale p a pour résultante :

P = pds

(3.5)

la longueur curviligne élémentaire est définie par : ds = rdα

r =



ds dα

(3.6)

Les forces extérieures appliquées à l’élément de câble sont présentées sur le schéma (b) de la figure (3.1) (en négligeant la variation de tension dans le câble). L’équilibre des force extérieures donne : P = 2.F sin(

dα ) 2

= F dα ≈ 2.F dα 2

d’où :

P = F dα = pds





p =

dα F p = F = ds ds dα

F r

(3.7)

(3.8)

(3.9)

l’équation représente l’expression de la contrainte normale p exercée par l’armature active sur la gaine.

Pr. M. RGUIG


EHTP


37

Soit f le coefficient de frottement de l’armature de précontrainte sur la gaine. A la mise en tension, les armatures s’allongent et les forces de contact entre ces armatures et les gaines produisent des forces qui s’opposent au mouvement. La force de frottement par mètre linéaire est donnée par :

P T H E φ =

−f p = −fF dα ds

(3.10)

(3.11)

la résultante du frottement est donc :

dF = φds =

−fF dα

on obtient l’équation différentielle suivante : dF = F

−f dα

(3.12)

la solution de cette équation est exprimée par : F = F 0e

(3.13)

f α(s)

−

α(s) représente la somme des variations d’angle du câble entre l’ancrage et

le point considéré.

L’expérience a montrée que les déviations parasites des gaines et des armatures de précontrainte provoquent des pertes de précontrainte qui sont loins d’être négligées. En tenant donc de ces pertes parasites, on obtient la nouvelle expression de la force de précontrainte :

(3.14)

f α(x)−ϕx

−

F = F 0 e

où ϕ est un coefficient de frottement par linéaire représentant les pertes parasites linéaires. vu que la courbure des câbles de précontrainte est grande, l’abscisse curviligne s a été remplacée par l’abscisse cartésienne x dans l’équation (3.14). Après développement en série de l’exponentielle de l’équation (3.14), cette équation peut être exprimée sous la forme simplifiée :

− F 0 = F 0 [f α(x) + ϕx]

∆F = F

(3.15)

Pour pouvoir simuler à l’avance les pertes de précontrainte dans une structure, les valeurs des coefficients de frottement f et ϕ sont choisies dans le tableau (3.1) fournie par le règlement BPEL.

Pr. M. RGUIG


EHTP


Cas

f 3R6

R6

(en m)

(en m)

fils tréfilés ronds et lisses

22−R 100

0, 16

torons

24−R 100

0, 18

fils tréfilés ronds et lisses

24−R 100

0, 18

torons

26−R 100

0, 20

Nature des armatures

I- Câbles ne traversant pas des joints ou surfaces de reprise

38

ϕ

P T H E II- Câbles traversant de nombreux joints ou reprises de bétonnage Table 3.1

0, 002

0, 003

– Valeurs moyennes des coefficients f et ϕ

Les valeurs fournies dans le tableau (3.1) sont valables si un certain nombre de conditions est vérifié. Ces conditions portent sur l’état des armatures actives et des gaines, utilisation de produits minimisant les frottement (huile ou graisse), respect du tracé des câbles, etc (voir BPEL pour plus d’informations). 3.4.1.2 Pertes par recul d’ancrage

Ce type de pertes est généré par un glissement des armatures actives dans les clavettes d’ancrage et un glissement des clavettes dans les plaques d’ancrages lors du relâchement des vérins et du blocage des clavettes. La déformation de la zone d’ancrage participe également dans les pertes par recul d’ancrage. Pour simplifier le problème, les hypothèses suivantes sont admises :

 Les

pertes par reculs d’ancrages sont maximales au niveau des ancrages

actifs;  Ces pertes affectent une longueur partielle de la poutre désignée par λ ;  L’angle α(x) varie d’une façon linéaire en fonction de x ;  La contrainte σ p (x) est symétrique avant et après pertes par recul d’ancrage; En reprenant l’équation (3.15) et en remplaçant les efforts de précontrainte par les contraintes correspondantes, on obtient : σ p (x) = σ p [1 0

Pr. M. RGUIG

− fα(x) − ϕx]


(3.16) EHTP


39

sachant que α(x) est linéaire en fonction de x, l’épure de la contrainte σ p (x) est droite. L’évolution de la contrainte σ p (x) en fonction de son abscisse avant et après production des pertes par recul d’ancrage est présentée dans la figure (3.2).

P T H E Figure 3.2

– Action du glissement d’ancrage sur la précontrainte

Sachant que la déformation par élément de longueur est définie par : ϵ p (x) =

dl dx

(3.17)

et sachant que les pertes par recul d’ancrage se produisent dans le sens inverse des pertes par frottement, on obtient ainsi l’expression de l’allongement élémentaire : dl = ϵ p (x) − ϵ p (x) dx (3.18) où ϵ p (x) est relatif à σ p (x) et ϵ p (x) est relatif à σ p (x). ′

�

′

�

′

Le glissement total g de l’ancrage représente la somme des raccourcissements sur la longueur touchée λ. On a donc :

∫ ∫ ∫ λ

g =

λ

dl =

0

ϵ p (x)

0

′

− ϵ (x) dx p

(3.19)

en utilisant la loi de Hooke, on obtient : 1 g= E p Pr. M. RGUIG

λ

σ p (x)

0

′

− σ (x) dx p


(3.20) EHTP


40

géométriquement, l’intégrale de cette équation représente l’aire du triangle (ABC) de la figure (3.2). On a ainsi :

∫

λ

σ p (x)

′

− σ (x) dx = (σ − σ

pg0 )

p0

p

λ 2

(3.21)

P T H E 0

par symétrie des courbes de σ p (x) et σ p (x), on a : ′

σ p

0

−σ

= 2 [σ p

pg0

− σ (λ)] p

0

(3.22)

(3.23)

En reprenant l’équation (3.16), on obtient : σ p (λ) = σ p [1 0

σ p



0

l’équation (3.22) devient : σ p

0

− f α(λ) − ϕλ]

− σ (λ) = σ

p0 [f α(λ)

p

−σ

pg0

+ ϕλ]

(3.24)

= 2σ p [fα(λ) + ϕλ] 0

(3.25)

selon l’hypothèse qui dit que α(x) peut être pris sous forme linéaire, on peut exprimer cet angle sous la forme : α(λ) =

αt λ l

(3.26)

où α t représente la variation totale de l’angle α sur la longueur l de l’élément. σ p



∫

0

−σ

pg0

= 2σ p

0

λ

(3.21)



σ p (x)

0

(3.20)

′

− σ (x) dx = σ

p0

p

gE p = σ p



gE p = σ p



αt f λ + ϕλ l

�

0

�

0

�

�

�

(3.27)

αt f λ + ϕλ λ l

�

αt f λ + ϕλ λ l

�

αt f + ϕ λ2 l

�

(3.28) (3.29)

(3.30)

cette dernière formule nous permet d’avoir l’expression de la longueur λ touchée par les pertes de recul d’ancrage : λ =

� � σ p

0

gE p f αlt + ϕ

�

(3.31)

En considérant l’équation (3.22), la contrainte au niveau de l’ancrage après production des pertes par recul d’ancrage peut être calculée par : σ pg = σ p 0



Pr. M. RGUIG

0

− 2 [σ − σ (λ)] = 2σ (λ) − σ p0

σ pg

0

p

p

p0


(3.32)

(3.33) EHTP


Remarque :

41

Le critère de choix des types d’ancrages est défini

comme suit :

P T H E  

Si λ  l/2 : prévoir deux ancrages actifs ; Si λ > l/2 : prévoir un seul ancrage actif.

3.4.1.3 Pertes par déformation élastique du béton

Dans la pratique, la mise en tension des armatures de précontrainte ne peut être réalisée en une seule fois. Ainsi, la mise en tension du 2 ème câble vas entraîner un raccourcissement de la poutre et du 1 er câble. De même, la mise ne tension du 3 ème câble vas entraîner un raccourcissement de la poutre et les deux premiers câbles et ainsi de suite pour le reste. Donc, d’une façon générale, la mise en tension d’une armature i produit des pertes sur les (i − 1) armatures déjà installées. Recherchons l’expression des pertes dues à la mise en tension successives de n armatures de précontrainte.

Commençons par le cas d’une poutre à deux câbles de précontrainte. Sachant que la précontrainte totale appliquée à la poutre est P , chacun des deux câbles reprend un effort P/2. Le raccourcissement du béton lors de la mise en tension d’un câble est donné par (application de la loi de Hooke) : ϵb =

∆lb σb 1 P/2 P = = = l E bi E bi S 2SE bi

(3.34)

où S est l’aire de la section du béton ; E b est le module instantané du béton; ∆lb est le raccourcissement du béton. i

On a donc un raccourcissement du béton dans ce cas égale à : ∆lb =

Pl 2SE bi

(3.35)

Après mise en tension du 2 ème câble, le béton se raccourcit de ∆lb . Il en est de même pour le 1 er câble qui reçoit le raccourcissement : ∆l p = ∆lb = l Pr. M. RGUIG

∆σ p Pl = E p 2SE bi


(3.36) EHTP


42

La perte de précontrainte dans le 1 er câble lors de la mise en tension du 2ème câble est donc : 1 E p P 1 E p σb ∆σ p = = (3.37) 2 E bi S

2 E bi

P T H E Le deuxième câble n’étant pas influencé par ce type de perte de précontrainte, la perte de précontrainte moyenne des deux câbles vaut donc : ∆σ pmoy =

1 E p σb 4 E bi

(3.38)

Prenons maintenant le cas d’une poutre contenant trois câbles de précontrainte. Sachant que la précontrainte totale appliquée à la poutre est P , chaque câble doit recevoir un effort de P 3 . Après mise en tension du deuxième câble, en reprenant l’équation (3.35) en remplaçant l’effort P 2 par l’effort P 3 appliqué dans le cas de poutre à trois câbles, on obtient un raccourcissement du béton et donc un raccourcissement du 1er câble égale à : Pl (3.39) ∆l = 3SE bi

Après mise en tension du 2 ème et du 3ème câble sous tension, le raccourcissement moyen des trois câbles est donné par :

                   1er câble

1 3

∆lmoy =

1er câble

Pl 3SE bi

+

2ème câble tendu

2ème câble

Pl Pl + 3SE bi 3SE bi

=

1 Pl 3 SE bi

(3.40)

3ème câble tendu

A partir de (3.36), l’expression de la perte moyenne est : ∆σ pmoy =

E p ∆lmoy l

(3.41)

on a donc :

∆σ pmoy =

1 3

      � � 1 3

2ème câble tendu



Pr. M. RGUIG

2 3

+

∆σ pmoy =

P l E p 1 P E p = SE bi l 3 SE bi

(3.42)

3ème câble tendu

1 3

1 2 + 3 3

E p σb 1 E p σb = E bi 3 E bi


(3.43)

EHTP


43

Pour une poutre précontrainte avec quatre câbles, on obtient de la même façon l’expression de la perte moyenne comme suit : ∆σ pmoy

1 = 4

�

1 2 3 + + 4 4 4

�

E p σb 3 E p σb = E bi 8 E bi

(3.44)

P T H E Par extension à une poutre contenant n câbles de précontrainte, on obtient : ∆σ pmoy

�

�

1 1 2 3 n 1 E p σb = + + + . . . + n n n n n E bi 1 E p σb = (1 + 2 + 3 + . . . + n 1) n2 E bi n(n 1) E p σb = 2n2 E bi

−

(3.45) (3.46)

−

−

(3.47)

Dans le cas général, la perte de précontrainte par déformation élastique du béton est exprimée par : n

∆σ p =

− 1 E σ

p b

2n

(3.48)

E bi

où σb est la contrainte moyenne du béton au niveau des câbles à la mise en tension; n est le nombre de câbles de précontrainte ; E p est le module de Young des aciers de précontrainte ( 200000 M P a pour les fils et 190000 MP a pour les torons) ; E b est le module instantané du béton. i

En tenant compte des charges extérieures et des autres pertes de précontrainte, cette perte peut être écrite sous la forme : ∆σ p =

n

− 1 E

p

2n E bi

�

P P e2 Me + + B I I

�

(3.49)

avec :

(3.50) où P représente la précontrainte appliquée (après production des pertes) ; B est la section de la poutre ; I est l’inertie de la poutre ; e est l’excentrement du câble au droit de la section de calcul ; M moment fléchissant dû aux charges permanente. P = nA p (σ p

Pr. M. RGUIG

0

− ∆σ

frot

− ∆σ

rec )


EHTP


3.4.2

44

Pertes différées

Les pertes différées se produisent lentement dans le temps (en cours de plusieurs mois ou plusieurs années sur les structures de génie civil). La valeur totale de ces pertes de tension différées, dans une section d’abscisse x de l’armature, est notée ∆σ pd (x). La tension au point d’abscisse x, après pertes de tension instantanées et différées, appelée tension finale, est notée :

P T H E σ pf (x) = σ p0

− ∆σ

pi (x)

− ∆σ

pd (x)

(3.51)

3.4.2.1 Pertes dues au retrait

La valeur de la perte de précontrainte due au retrait vaut : ∆σr = E p ϵr [r(t)

− r(t1)]

(3.52)

où ϵr est le retrait final du béton; t1 est l’âge du béton au moment de sa mise en précontrainte.

r(t) est une fonction traduisant l’évolution du retrait en fonction du

temps, elle est exprimée par :

r(t) =

t t + 9rm

(3.53)

où rm est le rayon moyen de la pièce considérée.

On peut constater que r(t = ∞) = 1 et à la mise en tension des câbles r(t1 ) ≪ 1, d’où l’expression simplifiée de la perte de tension par retrait : ∆σr = ϵ r E p

(3.54)

3.4.2.2 Pertes dues au fluage

Les pertes par fluage sont dues à la déformation lente (raccourcissement) du béton après application d’une charge permanente dans le temps (compression). En pratique, il a été observé que la déformation totale augmente dans le temps et peut atteindre 3 fois la déformation instantanée ϵi. Le raccourcissement instantané vaut (en appliquant la loi de Hooke) : ϵi = Pr. M. RGUIG

∆l σbc = l E bi


(3.55) EHTP


45

Le raccourcissement final vaut donc 3 ∆l l . La déformation due au fluage est donnée par : 3σbc ∆ϵf l = (3.56) − ϵi = 2σbc E bi

E bi

P T H E Le béton subit une déformation de ∆ϵf l . Les aciers de précontrainte reçoivent donc le même raccourcissement ∆ϵf l , ce qui entraîne une perte de précontrainte : E p ∆σf l = E p ∆ϵfl = 2σbc (3.57) E bi

où σbc représente la contrainte moyenne du béton au niveau du câble que l’on suppose calculée à un temps infini.

Le règlement BPEL fournit une formule équivalente plus précise, elle est exprimée comme suit : ∆σf l = (σb + σM )

E p E ij

(3.58)

σb étant la contrainte finale dans le béton, après pertes totales sous l’effet de la

précontrainte et des charges permanentes (pratiquement égale à la contrainte dans le béton à vide à l’infini, c-à-d après pertes différées) ; σM étant la contrainte maximale dans le béton, au niveau du centre de gravité des armatures, sous l’effet de la précontrainte et des charges permanentes (pratiquement c’est la contrainte dans le béton après pertes instantanées) ; E ij est le module instantané du béton au jour j de mise en précontrainte. 3.4.2.3 Pertes par relaxation

La relaxation de l’acier est un relâchement de tension dans les câbles dû à leur allongement (à longueur constante).

Ce type de perte dépend de la nature des aciers utilisés, à savoir : – Armatures à Relaxation Normale (RN) ; – Armatures à Très Basse Relaxation (TBR). En général c’est les aciers TBR qui sont choisi vu le gain qu’on a en terme de limitation de perte de précontrainte et vu la différence de prix qui est faible.

Un acier est caractérisé par sa relaxation ρ1000 à 1000 heures exprimée en %. Pour les deux types d’armatures actives, on a les valeurs suivantes de

Pr. M. RGUIG


EHTP

3.5 Pertes de précontrainte en pré-tension

46

relaxation : (aciers TBR) (aciers RN)

ρ1000 = 2, 5 % ρ1000 = 8 %

(3.59) (3.60)

P T H E La perte par relaxation s’écrit sous la forme : 6 ∆σ p = ρ1000 100

�

σ pi (x) f prg

− µ0

�

σ pi (x)

(3.61)

σ pi (x) étant la contrainte initiale dans les câbles de précontrainte après pertes

instantanées ; f prg est la contrainte de rupture garantie ; Le coefficient µ0 est pris égal à : – 0,43 pour les aciers TBR; – 0,30 pour les aciers RN; – 0,35 pour les autres aciers.

3.4.3

Evaluation des pertes différées dans le temps

La perte de tension par relaxation de l’acier diminue sous l’effet du retrait et du fluage du béton. Il en a été tenu compte forfaitairement dans le BPEL en minorant par 5/6 la valeur de la relaxation finale de l’acier. La perte différée totale est :

5 ∆σ pd = ∆σr + ∆σf l + ∆σ p 6

(3.62)


Les grandes différences entre la précontrainte par post-tension et la précontrainte par pré-tension résident au niveau des pertes de précontrainte et des zones d’about. Toutefois, les pertes de précontrainte en pré-tension reste physiquement équivalentes à celles de la post-tension. Comme en post-tension, on a deux types de pertes comme expliqué ciaprès : Pertes instantanées et pertes différées.

Pr. M. RGUIG


EHTP


3.5.1

47

Pertes instantanées

Pour la précontrainte par pré-tension, les armatures subissent des pertes de tension à la mise en oeuvre qui se produisent :

P T H E – à la mise en tension de l’armature ; – entre la mise en tension de l’armature et la mise en précontrainte de l’élément ; – à la mise en précontrainte de l’élément.

La tension au point d’abscisse x après pertes de tension à la mise en oeuvre, appelée tension initiale, est notée : σ pi (x) = σ p0

− ∆σ

pi (x)

(3.63)

σ p0 est la précontrainte appliquée par les vérins ; ∆σ pi (x) est la valeur totale des pertes à la mise en oeuvre de l’élément.

3.5.1.1 Pertes à la mise en tension des câbles

Il s’agit d’une perte par recul d’ancrage à la mise en tension des câbles. Cette perte peut être évaluée par : ∆σ pg = E p

g L

(3.64)

où g est la valeur du recul d’ancrage et L est la longueur du banc de précontrainte. L’expérience montre qu’en général on a : g

≈ 2 mm

L = 100 m

E p = 200000 MPa

(3.65)

En prenant en compte ces données, on trouve qu’on a une perte comme suit : 5 2.10

∆σ pg = 2.10

3

−

100

= 4 MPa

(3.66)

Ce type de perte de précontrainte pour être donc négligé pour la précontrainte par pré-tension.

3.5.1.2 Pertes entre la mise en tension des câbles et la mise en précontrainte de l’élément

Le BPEL fournit les types de pertes à prendre en compte pour cette phase comme suit :

Pr. M. RGUIG


EHTP


48

– Retrait du béton sur le banc de la précontrainte ∆σr ; – Relaxation de l’acier sur le banc ∆σ p ; – Déformation différentielle de l’armature et du béton sous l’effet d’un éventuel traitement thermique du béton.

P T H E Des annexes sont fournis dans le BPEL pour le calcul de ces pertes quand c’est nécessaire. 3.5.1.3 Pertes à la mise en précontrainte de l’élément

Il s’agit de la perte par déformation élastique du béton. Elle est exprimée par : σbj (3.67) ∆σ pe = E p (1 + ki ) E bj

où j est l’âge du béton au moment du transfert de la précontrainte au béton.

Le coefficient K i tient compte du taux de charge appliquée et il est exprimé par : K i =

�� 0

4

σbj f cj

− 0, 5

si σbj  0, 5f cj si 0, 5f cj < σbj < 0, 66f cj

�

2

(3.68)

σbj est la contrainte au niveau du centre de gravité des armatures sous la

précontrainte résiduelle (après relâchement des câbles). Elle peut être évaluée par : σbj = (P ( j)

− ∆P ) e

� � 1 e2 + 0 B I

(3.69)

P ( j) étant la précontrainte résiduelle au moment du transfert.

3.5.2

Pertes différées

Les pertes de précontrainte en pré-tension se fait par phases successives. Une phase donnée i est caractérisée par sa durée (ti+1 − ti ). Les pertes correspondantes sont les pertes par retrait, fluage et relaxation comme mentionné dans la partie suivante. 3.5.2.1 Perte par retrait sur une phase i

Ce type de perte est évalué par : ∆σ pri = E p ϵre ( ) [r(ti+1

∞

Pr. M. RGUIG

− r(t )] i


(3.70) EHTP

3.6 Exercices

49

3.5.2.2 Perte par fluage sur une phase i

Cette perte est exprimée par : ∆σ pf li = E p ∆ϵf li

(3.71)

P T H E

où ∆ϵf l est la déformation de fluage qui se produit sur l’intervalle de temps [ti ; ti+1]. i

3.5.2.3 Perte par relaxation sur une phase i

Elle dépend des pertes antérieures à la phase i . Elle peut être calculée en utilisant le même modèle que la précontrainte par post-tension.

3.6 Exercices 

Exercice 1 :

Soit une poutre précontrainte par post-tension de longueur de L = 47 m soumise à une précontrainte par 4 câbles de 7 T 15 a j = 8 jours. Pour la section à mi-travée x =

L

2

= 23, 5 m ; déterminer :

1. Précontrainte initiale ; 2. Perte par frottement ; 3. Perte par recul d’ancrage ; 4. Perte par déformation élastique du béton ; 5. Perte instantanée ; 6. Perte par retrait du béton; 7. Perte par fluage du béton; 8. Perte par relaxation des aciers actifs; 9. Perte différée; 10. Déduire la valeur de la contrainte finale probable Données du problème :

(

α L2 = 0, 2984 rad g = 6 mm σb = 11, 1 MPa f prg = 1860 MPa µ0 = 0, 43

Pr. M. RGUIG

f= 0, 18 rad 1 σbc = 12, 4 MPa fc = 35 MPa f peg = 1660 MPa E p = 190 000 MPa −

28


ϕ = 0, 002 m 1 σM = 15, 3 MPa ϵr = 3.10 4 ρ1000 = 2, 5 % −

−

(3.72) EHTP

3.6 Exercices



50

Solution 1 :

1. Précontrainte initiale :

P T H E

σ p0 = min(0, 80f prg ; 0, 90f peg ) = 1488 MPa

(3.73)

2. Perte par frottement :

∆σfrot



(

− σ (x) = σ 0 1 − e ( + ) (x) = 1488 1 − e (0 18 0 2984+0 002 23 5)

∆σfrot (x) = σ p0

p

p

(

,

−

−

. ,

f α ϕx

,

.

,

∆σfrot (x) = 142, 56 MPa



 

(3.74)

(3.75)

(3.76)

3. Perte par recul d’ancrage : λ =

� � σ p

0

� � �

gE p = f αLt + ϕ

0, 006.190 000 .2 1488 0, 18 0,2984 + 0, 002 47

λ = 13, 71 m



<

x = 23, 5 m

(3.77)

(3.78)

∆σrec (x) = 0 MPa



�

(3.79)

4. Perte par déformation élastique du béton : ∆σelas (x) = f c = 8



E i = 11000 8





n

− 1 E σ p

2n E bi

bc

=

n

− 1 E σ p

2n E i8

bc

8 .35 = 24, 56 MPa 4, 76 + 0, 83.8

√ 3

f c = 11000 8

√

∆σelas (x) =

3

(3.80)

(3.81)

24, 56 = 31974, 4 MPa (3.82)

3 190 000 12, 4 8 31974, 4

∆σelas (x) = 27, 47 MPa

(3.83)

(3.84)

5. Perte instantanée :

∆σ pi (x) = ∆σfrot (x) + ∆σrec (x) + ∆σelas (x) = 142, 56 + 0 + 27, 47 

Pr. M. RGUIG

∆σ pi (x) = 170, 03 MPa


(3.85) (3.86)

(3.87) EHTP

3.6 Exercices

51

6. Perte par retrait du béton :

∆σr = ϵ r E p = 3.10 4 .190 000 = 57 MPa −

(3.88)

7. Perte par fluage du béton :

P T H E E i = 11000 28



√

√

3

f c = 11000 35 = 35981, 7 MPa

3

28

∆σf l = (σb + σM )

E p 190000 = (15, 3 + 11, 1) E i 35981, 7

(3.89)

(3.90)

28



∆σf l = 139, 4 MPa

(3.91)

8. Perte par relaxation des aciers :

� �

� �

σ pi (x) µ0 σ pi (x) f prg 1318 = 0, 06.2, 5 0, 43 1318 1860

6 ∆σ p (x) = ρ1000 100



−

−

∆σ p (x) = 55, 08 MPa

(3.92)

(3.93)

(3.94)

9. Perte différée :

5 5 ∆σ pd (x) = ∆σr + ∆σf l (x) + ∆σ p (x) = 57 + 139, 4 + 55, 08 (3.95) 6 6 

∆σ pd (x) = 242, 3 MPa

(3.96)

10. Valeur de la contrainte finale probable :

σ p (x) = σ p ∆σ pi (x) = 1488 170, 04 0



Pr. M. RGUIG

− −

− ∆σ (x) − 242, 37 pd

σ p (x) = 1075, 59 MPa


(3.97) (3.98) (3.99)

EHTP

P T H E Chapitre 4

Calcul de la précontrainte en flexion

L’objectif du calcul ou du dimensionnement de la précontrainte étant la détermination de la force de précontrainte initiale P qui permet l’amélioration du rendement mécanique de la pièce étudiée tout en s’assurant du non dépassement des contraintes admissibles des matériaux. Le calcul de la précontrainte doit faire intervenir les pertes de tension qui sont loin d’être négligeable comme on l’a démontré avant.

4.1 Calcul à l’état limite de service

Le moment fléchissant extérieur M est compris entre deux valeurs optimales tel que (figure 4.1) : M min



M  M max

(4.1)

On considère que la précontrainte P est excentrée de e0 .

En présence de la précontrainte, le moment fléchissant m sur une section donnée est formulé par : (4.2) m = P e0 + M On désigne par e l’ordonnée du centre de pression de la section : e = 

Pr. M. RGUIG

m P e0 + M = P P e = e 0 +

M P


(4.3)

(4.4) EHTP


53

P T H E Figure 4.1

– Précontrainte avec diagrammes des moments extérieurs

La contrainte normale au niveau d’une fibre d’ordonnée y est donnée par : P my + B I P P ey P Bey = + = 1+ B I B I

σ(y) = σ(P ) + σ(m) =

P = B

�

1+

ey I vv Bvv ′

� �

�

(4.5)

(4.6)

′

(4.7)

en considérant le facteur du rendement géométrique ρ de la section B : ρ =

on trouve que :

I Bvv

(4.8)

′

�

P ey 1+ σ(y) = B ρvv

′

�

(4.9)

Le non dépassement des contraintes limites dans le béton tel que schématisé sur la figure (4.1) est traduit par :

 

σ1 σ2 ′



σ(v)



σ(v ) ′



σ2



σ1

(4.10)

′

L’expérience montre que les contraintes limites en traction sont déterminantes en terme de dimensionnement. En se basant sur cette hypothèse on Pr. M. RGUIG


EHTP


54

obtient au niveau de la fibre supérieure : σ1



σ(v)

σ1



� �

P e 1+ B ρv



′

(4.11)

P T H E B σ 1 P



ρv



′

�

1+



B σ 1 P

Au niveau de la fibre inférieure on a : ′

σ2



′

σ(v )

′

B σ P 2 ′



� − 1

σ2





e ρv



1

(4.12)

′



e

�− �

P 1 B

e ρv

− ρve

B σ P 2

(4.14) (4.15)

′

e  ρv 1

�− �



(4.13)

(4.16)

On obtient donc à partir de (4.13) et (4.16) : ′

−C = −ρv

′

�− � B σ 1 P

1



�− �

e  C = ρv 1

B σ P 2

′

(4.17)

L’intervalle [−C , C ] est le noyau limite de la traction de la section. On retient les valeurs de C et C : ′

′

 

(−  (− 

C = ρv 1

B ′ σ P 2

C = ρv 1

B σ P 1

′

′

On considère l’inégalité de (4.17) : ′

−C  e  C

le cas −C

′



e correspond à σ 1 (4.4)

′



(4.19)

σ(v) et σ1 est créée par M min (figure 4.1).

e = e 0 +



−C  e Pr. M. RGUIG



(4.18)

M M min = e 0 + P P

− C  e0 + M P min

′



− C − M P min  e0 ′


(4.20) (4.21) (4.22)

EHTP


55

le cas e  C correspond à σ 2  σ(v ) et σ2 est créée par M max (figure 4.1). ′

(4.4)



′

′

e = e 0 +

M M max = e 0 + P P

(4.23)

P T H E e  C



(4.22) et (4.25)



e0 +



e0



C

−

M max P M max P



C

(4.24)

−C − M P min  e0  C − M P max ′

(4.25)

(4.26)

On définit ainsi le noyau de passage en traction correspondant à une section donnée par le segment [−C − M P , C − M P ]. ′

min

max

L’ensemble des noyaux de passage obtenus en faisant varier la position d’une section sur la longueur d’une poutre est appelé Fuseau de passage en traction de la poutre (voir figure 4.2).

Figure 4.2

4.1.1

– Schématisation d’un fuseau de passage sur une poutre

Dimensionnement en classes 1 et 2

Selon le règlement BPEL, La classe 1 de calcul n’autorise aucune contrainte de traction dans le béton aussi bien à vide qu’en charge. La classe 2 autorise la présence des contraintes de traction mais à condition qu’elles demeurent inférieures à f t du béton. ça veut dire que les fissures ne sont pas tolérées dans le béton 28

Rappelons qu’une poutre à vide subit l’ensemble des charges permanentes et de la précontrainte. Pour une poutre à charge, elle subit, en plus des charges Pr. M. RGUIG


EHTP


56

permanentes et de la précontrainte, l’ensemble des charges variables (charges d’exploitation). 4.1.1.1 Valeur minimale de la précontrainte en une section

P T H E En adoptant l’hypothèse qui affirme qu’on est à l’abri des contraintes de compression, il suffit alors de satisfaire la condition sur les contraintes de traction, soit : −C − M min  e0  C − M max (4.27) ′

P

− C − M P min  C − ′







P M max P

M max M min  C + C P P ∆M M max M min P  = C + C C + C

(4.29)

′

−

−

′

(4.28)

(4.30)

′

la précontrainte minimale est donc : P =

M max M min ∆M = C + C C + C

−

′

(4.31)

′

cette précontrainte minimale correspond à un excentrement : e0 = C

− M P max = −C − M P min

′

(4.32)

dans ce cas, le noyau de passage pour une section donnée est réduit à un point.

En fonction des valeurs calculées de l’excentrement e 0, on a deux cas possibles :  1er

cas :

L’excentrement e 0 satisfait la condition d’enrobage : ′

′

−(v − d )  e0  v − d

(4.33)

La section est dite sous-critique. L’expression de la précontrainte est : P =

Pr. M. RGUIG

∆M C + C

′


(4.34)

EHTP


57

son excentrement est : e0 = C  2ème


′

(4.35)

cas :

P T H E L’excentrement e0 ne satisfait pas la condition d’enrobage. Dans ce cas, la section est dite sur-critique.

Cette situation peut se rencontrer lorsque les moments extrêmes M max et M min ont le même signe. On excentre l’armature de précontrainte à la limite tolérée, soit : e0 =

{

si moments négatifs si moments positifs

v

−d −(v − d ) ′

′

(4.36)

la valeur de la précontrainte doit être augmentée dans ce cas : (4.27)

e0





C

− M P max

(4.37)

en précontrainte minimale on a :

e0 = C



− M P max

(4.38)

M max = C e0 P M max P = C e0

−



(4.39)

(4.40)

−

si on considère que M max et M min sont positifs et puisqu’on est en section sur-critique, on a : e0 = −(v − d ) (4.41) ′

′

M max (4.42) C + v d De la même façon, on démontre pour M max et M min négatifs qu’on a : P =



P =

On a donc en récapitulatif : P =

Pr. M. RGUIG

 

′

−

′

−M min C + v − d ′

M max C +v′ −d′

si moments positifs

M min C ′ +v −d

si moments négatifs

−

(4.43)

(4.44)


EHTP


58

Les valeurs de C et C sont données par (4.18) que nous reprenons ici : ′

 

(−  (− 

C = ρv 1

B ′ σ P 2

C = ρv 1

B σ P 1

′

′

(4.45)

P T H E Selon les classes de calcul on a : 

1er cas : Dimensionnement en classe 1 :

On a dans ce cas :

′

σ 1 = σ 2 = 0

et

C = ρv



′

C = ρv

(4.46) (4.47)

′

Section sous-critique :    

la précontrainte est calculée par :

∆M ∆M = C + C ρv + ρv

P =

′

P =



(4.48)

′

∆M ρH

(4.49)

l’excentrement de la précontrainte est donné par : (4.35)

e0 = ρv



− M P max = −ρv − M P min ′

(4.50)

Section sur-critique :

   

En reprenant les expressions de P dans (4.44), on a : P =



 

M max C +v′ −d′

; e0 =

M min C ′ +v−d

; e0 = v

−

si moments positifs

−(v − d ) ′

′

(4.51)


−d

2ème cas : Dimensionnement en classe 2 :

Section sous-critique :    

En remplaçant les valeurs de C et C dans l’expression de P on obtient : ′

P = Pr. M. RGUIG

∆M = C + C ρv ′

−

∆M ρv B σ + ρv P 2 ′

′

− ρv


′

B σ P 1

(4.52) EHTP

4.1 Calcul à l’état limite de service ′

P (ρv + ρv )



59 ′

′

− ρB(v σ1 + vσ 2) = ∆M ′

′

P ρH = ∆M + ρB(v σ 1 + vσ 2 )



∆M B + (v σ1 + vσ 2 ) ρH H ′

P =



(4.54)

′

(4.53)

(4.55)

P T H E avec toujours :

(4.35)

e0 = C




′

(4.56)

Section sur-critique :

   

On reprend les expressions de (4.51). Dans le cas de moments positifs, on a : M max M max (4.57) P = = B C + v



−d

B=

I ρvv

ρv

′

P (ρv + v

on sait que :



′

′

− ρv σ2 + v − d − d ) − ρvBσ 2 = M max ′

′

P (ρv + v

′

ρvB =

′

(4.58)

(4.59)

′

′

′

′

I v

− d ) − vI σ2 = M max

M max + P = ρv + v



′

′



′

′

P

I ′ σ v′ 2

(4.60)

(4.61)

−d

′

De la même façon, on démontre pour des moments négatifs que : I v

−M min + σ1 P = ρv + v − d ′

(4.62)

Récapitulons :

P =

 

Pr. M. RGUIG

M max + vI ′ σ ′2 ρv+v ′ −d′

I −M min + σ 1 v

ρv ′ +v −d

; e0 =

−(v − d )

; e0 = v

′

−d

′

si moments positifs

(4.63)



EHTP


60

Remarque : Pour déterminer la nature d’une section (sous-critique

ou sur-critique), on a deux méthodes possibles : la précontrainte P et son excentrement e0 en sous-critique. Si l’excentrement calculé vérifie la condition d’enrobage de la section, ça veut dire que la section est bien sous-critique sinon elle est au contraire sur-critique.  Calculer

P T H E la précontrainte P 1 en sous-critique et P 2 en sur-critique (en respectant le signe des moments M max et M min ). Après, si la valeur de P 1 est plus grande ça veut dire que la section est sous-critique, sinon elle est sur-critique.  Calculer

En général, dans les cas pratiques, on a affaire à des sections sur-critiques surtout en classes 2 et 3 de calcul. 

4.1.2

Détermination de la section du béton

ça consiste à déterminer les sections minimales des éléments précontraints en respectant les conditions d’applications de la précontrainte notamment les contraintes admissibles des matériaux. 4.1.2.1 Section sous-critique

En section sous-critique, on se permet d’atteindre les contraintes admissibles en compression. Cela correspond en général, dans ce cas, à l’atteinte des contraintes admissibles en traction.

Nous savons qu’un moment de flexion engendre une contrainte de la forme (cours RDM) : My σ(y) = (4.64) I

on a donc au niveau des fibres extrêmes :

 

Pr. M. RGUIG

∆σ ∆σ

′

=

v∆M I

fibre sup.

=

v′ ∆M I

fibre inf.

(4.65)


EHTP




 

I v I v′

=

∆M ∆σ

=

∆M ∆σ

avec

′

61

− σ1

∆σ = σ 2 ′

avec

∆σ = σ 1 ′

(4.66)

− σ2 ′

P T H E ces deux équations représentent les modules d’inertie de la section et nous permettent de déterminer le coffrage des éléments calculés à travers le calcul des moments d’inertie quadratiques des sections. 4.1.2.2 Section sur-critique

L’équation du diagramme de M max est écrite sous la forme (figure 4.1) :

σ(y) = ay + b

pour σG on a :

P B

σG = σ(0) = b =

(4.67)

pour σ 2 on a :

(4.68)

′

′

′

σ2 = σ( v ) =

−

′

−av + b = −av −σ2 + a = v

P B

P B

−σ2 + = σ(v) = av + b = ′

P B

v +

v P P σ 2 v = σ2 v + v + v B B P P σ 2v + σ 2 v = (v + v ) = H B B P σ 2 v + σ 2 v =  B H ′

′



′



−

′

on a :

ρ =

I Bvv



′

′



I ρvv

B=

I v (σ 2 + σ 2 ) ρvH v I ρP H = v σ 2 + vv σ2 ′

P =



′

′

′

′

(4.71)

(4.72)

′

′

(4.69)

(4.70)

′

pour σ 2 on a :

σ2

+

P B

′



′

(4.73)

(4.74)

(4.75)

′

(4.76)

(4.77)

′

Pr. M. RGUIG


EHTP


62

De la même façon pour M min on a : I ρP H = v σ 1 + vv σ 1 ′

′

(4.78)

′

P T H E Les modules d’inertie pour un moment positif sont donc exprimés par :

   

I v′ I v

=

∆M ∆σ

=

ρP H σ 2 + v σ′ v′ 2

′

(4.79)

Pour un moment négatif, les modules d’inertie sont : I v

I v′

= =

∆M ∆σ

(4.80)

ρP H ′

σ ′1 + vv σ1

D’après ce qui est démontré ci-haut, le dimensionnement du coffrage d’un élément précontraint nécessite la connaissance de la précontrainte et le calcul de la précontrainte nécessite la connaissance du coffrage. La seule façon de traiter un problème pareil et d’utiliser une méthode de calcul itérative. Remarque :

4.1.3

Dimensionnement en classe 3

Dans la classe de dimensionnement, le dépassement de f t par la contrainte de traction dans le béton est toléré mais seulement avec l’application des charges variables d’exploitation et ce dépassement n’est pas autorisé avec les charges permanentes. Cela veut dire qu’avec la classe 3 de dimensionnement de la précontrainte, la présence de fissures dans le béton, sous charges variables, est autorisée. 28

La précontrainte à appliquer en classe 3 doit vérifier la condition suivante : P min

Pr. M. RGUIG



P (classe 3)  P (classe 2)


(4.81)

EHTP


63

4.1.3.1 Calcul sous M min

On calcule la contrainte normale :

σbc = σ bc (y = e 0 ; 1, 1P choisie + Gex )

(4.82)

P T H E où Gex représente les charges permanentes existantes à la mise en tension des armatures.

On détermine la position de l’axe neutre y , puis on calcule σbc (v ) et σs et on vérifie que : σbc  σ bc (4.83) ′

{

σs



σs

4.1.3.2 Calcul sous M max

On calcule le moment résistant de la section M r qui annule la contrainte normale du béton au voisinage du câble de précontrainte. On a donc : σbc =

P e0 + (P e + M r ) = 0 B I 0

M r =



� −

I P e0 + Be 0

Ensuite, on compare M r et M max : 

�

(4.84)

(4.85)

Si M max  M r :

La section est non fissurée et le calcul se fait en classe 1 ou 2. 

Si M max > M r :

La section est fissurée et le calcul se fait en classe 3. On calcule y , σbc (v), σs et ∆σ p et on vérifie :

 

Pr. M. RGUIG

σbc σs ∆σ p

  

σbc σs 0, 1f prg


(4.86)

EHTP

4.2 Vérification à l’état limite ultime

64

4.2 Vérification à l’état limite ultime Le dépassement des sollicitations de calcul à l’ELS peut être probable. Dès lors, la vérification des sections fléchies à l’ELU s’avère nécessaire. La sollicitation de calcul à considérer est :

P T H E

S = S (P m + 1, 35Gmax + Gmin + 1, 5Q)

(4.87)

avec :

P m = P (t

→ ∞) = A σ (∞) p p

(4.88)

A p étant la section totale des armatures de précontrainte.

4.2.1

Principe de calcul

La sollicitation de calcul ci-dessous nous permet de calculer M u , moment agissant à l’ELU. L’effort normal agissant, dans le cas des poutres isostatiques, est : N u = P (t

→ ∞) = P

m

(4.89)

on cherche un diagramme des déformations, c’est-à-dire ϵbc et ϵs qui représentent respectivement les déformations du béton et des armatures passives, puis on calcule ϵ p . À ce diagramme de déformation correspond un système de sollicitations N u et M u . Ce choix doit être tel que N u = N u et on vérifie alors que : M u  M u . 4.2.2

Méthode de calcul

Au départ, on prend :

{

ϵbc = 3, 5 ‰ ϵs = 10 ‰

(4.90)

on calcule la position de l’axe neutre y :

avec un simple jeu géométrique des triangles dans le diagramme des déformations de la figure (voir figure 4.3), on obtient : ϵbc + ϵs ϵbc = ds y Pr. M. RGUIG



y =

dsϵbc ϵbc + ϵs


(4.91) EHTP


65

y représente la position de l’axe neutre à partir de la fibre supérieure (voir

figure 4.3).

P T H E Figure 4.3

– Déformations et contraintes dans une section précontrainte

Selon la loi de comportement des armatures passives, on a (voir chapitre 2) : (4.92) σs = f (ϵs ) On a encore selon le diagramme des déformations : ∆ϵ p ϵs = ds y d ds y ′′

− −

−

(4.93)

donc, la surtension se produisant après fissuration du béton correspond à : ′′

∆ϵ p =

�

�

ds y d ϵs ds y

− − −

(4.94)

où d représente la distance entre l’armature passive et l’armature de précontrainte.

La contrainte du béton au voisinage du câble sous précontrainte et charges permanentes est : (4.95) σbpm = σ bc (y = e 0 ; P m + g + g ) où g est la poids propre de l’élément précontraint et g représente les charges permanentes autres que le poids propre. ′

′

Pr. M. RGUIG


EHTP


66

Sachant que la déformation du câble de la précontrainte est égale à la déformation du béton voisin, on peut affirmer que : ′

′

∆σ p = E p ∆ϵ p = E p ϵbpm =

E p σbpm = nσ bpm E b

(4.96)

P T H E le coefficient d’équivalence à prendre en compte est le coefficient d’équivalence instantané n = 5. On a donc :

′

∆σ p = 5σbpm

(4.97)

d’où, la déformation due à la décompression du béton de σbpm à 0 est exprimée par : ∆σ p 5σbpm ∆ϵ p = = E p E p ′

(4.98)

′

La déformation initiale après pertes instantanées et différées (allongement instantané) est : P m (4.99) ϵ pm = E p A p

La déformation globale des câbles de précontrainte est donc (voir figure 4.3) : (4.100) ϵ p = ϵ pm + ∆ϵ p + ∆ϵ p on sait que, d’après la loi de comportement des armatures de précontrainte, on a : (4.101) σ p = f (ϵ p ) on a encore : ∆σ p = σ p − σ p (∞) (4.102) σ (∞) = P ′

{

′′

m

p

Ap

La contrainte ultime est donc définie par : N u = N bc

− A σ − A ∆σ s s

p

p

(4.103)

avec :

(4.104) avec Bc correspond à la surface tendu du béton sur la hauteur 0, 8y . N bc = f bu Bc

Dans la suite, on compare N u et P m : Si N u ≃ P m, on vérifie que : M u

Pr. M. RGUIG



M u


(4.105) EHTP

4.3 Exercices

67

où on a :

M u = f (N bc ; N s = A s σs ; A p ∆σ p )

(4.106)

Sinon prendre ϵs < 10 ‰ et refaire les calculs jusqu’à ce que N u ≃ N u , puis vérifier que M u  M u .

P T H E 4.3 Exercices 

Exercice 1 :

Soit une poutre de section rectangulaire (50 cm;120 cm) soumise aux moments M min = 1, 2 MN.m et M max = 3, 2 MN.m avec une valeur de l’enrobage telle que d = 0, 15 m. ′

1. Déterminer la valeur de la précontrainte en classe 1 en sous-critique et en sur-critique ( P 1 et P 2) ; 2. Donner une constatation sur la nature de la section ; 3. Déterminer la valeur de l’excentricité e0 .



Solution 1 :

1. La précontrainte minimale en classe 1 et en sous-critique est : P 1 =

∆M ρH

(4.107)

D’après les données de l’exercice on a : ∆M = M max

− M min = 3, 2 − 1, 2 = 2 MN.m ′

v = v = 60 cm = 0, 6 m

(4.109)

(4.110)

B = 0, 5.1, 2 = 0, 6 m2 ρ =





Pr. M. RGUIG

I 0, 072 1 = = Bvv 0, 6.0, 6.0, 6 3 2 P 1 = 1 = 5 MN .1, 2 3

′


(4.108)

(4.111)

(4.112)

EHTP

Cours Bp Rguig Poste Tension

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