Propagation des ondes; coup de bélier • Rappel : théorème d ’Euler • Propagation des ondes dans un fluide – Généralités – Conduite indéformable – Conduite déformable • Coup de bélier – Généralités – formules d ’Allievi – méthode graphique de Schnyder-Bergeron – Remèdes
Rappel : théorème d ’Euler • Théorème des quantités de mouvement
∑ F = d ∫∫∫Ω ρ V dΩ = ∫∫Σ ρ V dQ dt • Cas d ’un fluide parfait dans un tube de courant : théorème d ’Euler
∑ F = ρ Q (Vs - Ve)
Propagation d ’ondes dans les fluides • Généralités : – un ébranlement (surpression, dépression) produit en un point d ’un fluide se propage dans ce fluide avec une célérité a : ce phénomène est dû à la compressibilité des fluides (même faible pour les liquides) . – Ces ondes • se propagent sans modification dans un milieu isotrope infini • se réfléchissent sur les surfaces solides sans changement de signe (compression -> compression) • se réfléchissent sur les surfaces libres ou à pression constante avec changement de signe (compression -> dépression) • se superposent : les vitesses s ’ajoutent et les pressions s ’ajoutent – pour 2 ondes identiques se propageant en sens contraire, il existe un point où le déplacement est nul et la surpression double de celle d ’une onde unique.
Propagation d ’un ébranlement : conduite indéformable ou milieu homogène isotrope infini • Surpression dp produite en une section S0 : – se propage avec la célérité a – dans le repère lié au front d ’onde : débit à travers une section S : Qm = ρ a S B
S0
P
B'
x
ρ
P+dp
ρ+ dρ direction de l'onde de célérité a A
A'
• Conservation du débit :
(ρ a S )amont = (ρ a S )aval ρ a = (ρ + dρ )(a + da) ⇒ dρ + da = 0 ρ a
• Théorème d ’Euler : p S - (p + dp) S = ρ (-a) S (-a − da + a) ⇒ dp = - ρ a da • Module de compressibilité isotherme χ , et coefficient d ’élasticité volumique ε : dρ dp = χ dp = ρ ε • Célérité de l ’onde :
a=
1 χ.ρ
Propagation d ’un ébranlement : conduite déformable • Onde plane perpendiculaire à l ’axe de la conduite • déformation de la conduite : S ≠ cste
Propagation d ’un ébranlement : conduite déformable (suite) • Conservation du débit massique :
d (ρ a S ) = cste dρ da dS + + =0 ρ a S • Théorème des quantités de mouvement ( d ’Euler) :
∑F = ∫∫∑ ρ.V.dq
= ρ.Q.(Vs - Ve)
S.dp = - ρ.a.da.S ⇒
dp = - ρ.a.da
Propagation d ’un ébranlement : conduite déformable (suite 2) • Déformation de la section liée à la variation de pression – E : module d ’Young (module d ’élasticité longitudinale) = E ∆l • Loi de Hooke : F S l
– e : épaisseur de la conduite – D : diamètre de la conduite
• Contrainte tangentielle :
p.D 2e
• Acroissement de la contrainte tangentielle au passage de dp.D l ’onde :
2e • Loi de Hooke : dp.D
= E.dD = E. dS 2e D 2.S
Propagation d ’un ébranlement : conduite déformable (suite 3) • Récapitulation :
dρ da dS + + =0 ρ a S
dp = - ρ.a.da dp.D = E.dD = E. dS 2e D 2.S
⇒ a=
1 ρ.(χ + D ) E.e
dρ = χ.dp ρ • a : célérité de l ’onde dans la conduite déformable
Propagation d ’un ébranlement : conduite déformable (suite 4) • Exemples d ’application numérique : – eau : a = 1414 m/s pour une conduite indéformable – a = 1000 m/s pour une conduite en acier – (e = 2mm, D = 200 mm) – air : a = 331 m/s : vitesse du son
Coup de bélier : généralités • Définition : un coup de bélier est un ensemble de variations de pression provoquées par la modification brusque du régime d ’écoulement dans une conduite • Exemples – dans un circuit de pompage – arrêt brutal d ’une pompe --> onde de dépression --> – aplatissement de la conduite – dans une centrale hydraulique
• disjonction brutale d ’un alternateur --> fermeture rapide de vanne
Coup de bélier pour un fluide incompressible, dans une conduite indéformable (coup de bélier en masse)
S
A
B
L
• t = 0 : vanne d ’extrémité ouverte, régime permanent établi : vitesse V • de t = 0 à t = T : fermeture de la vanne • quantité de mouvement de la masse d ’eau contenue dans la conduite : – à t = 0 : m.V = ρ.L.S.V à t = T : m.V = 0 • Dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement – F = ρ.L.S.V / T • Surpression correspondante : ∆p = ρ.L.V / T
Coup de bélier pour un fluide compressible : allure du phénomène
Equation du mouvement des particules e A
A'
B
B'
x e
• Equation d ’Euler (fluide parfait dans le seul champ de la pesanteur) dp*
ρ du + =0 dt dx
• Equation de continuité :variation de masse = masse entrée - masse sortie (ρS )t+dtdx - (ρS )tdx = (ρuS )xdt - (ρuS )x+dxdt déformation de la conduite : dp= Ee.dS
D S dρ compressibilité du fluide : =χdp ρ ∂ρS ∂u hypothèse : << ∂x ∂x
⇒ * p ∂ ∂ u 1 ρ ∂x + 2 ∂t a
avec a =
(
1 ρ χ + ED.e
)
Equation du mouvement des particules (suite) * ∂ p =0 ρ ∂u + ∂t ∂x * ∂ p =0 ρ ∂u + 12 ∂x a ∂t 2 *
*
2 p ∂ 2∂ p ⇒ 2 =a ∂t ∂ x2
2 u 2 et ∂ 2 = a ∂ u2 ∂t ∂x 2
2 2 φ 2∂φ ∂ =a Solution générale de l'équation : ∂t 2 ∂ x2
φ = F (t - x) + f (t + x) a a F et f : fonctions qui dépendent des conditions initiales et aux limites
Formules d ’Allievi •
h = P* / ρ g : cote piézométrique
h = h0 + F ( t - x) + f ( t + x) a a
[
]
g u = u0 + F ( t - x) − f ( t + x) a a a
• h0 , u0 : constantes, hauteur piézométrique et vitesse en l ’absence de tout ébranlement • F : surpression (ou dépression) se déplaçant dans le sens des x > 0, avec la célérité a • f : surpression (ou dépression) se déplaçant dans le sens des x < 0, avec la célérité a • h est la superposition d ’ondes F et f qui se croisent
Coup de bélier dans une conduite alimentée par un bassin à niveau constant h = h0 + F ( t - x) + f ( t + x) a a
[
g F ( t - x) − f ( t + x) u = u0 + a a a t = 0 : régime permanent h = h0 u = u0 F = f = 0 à partir de t = 0 : ouverture de la vanne --> perturbation qui remonte de B vers A : onde F, puis réflexion en A : onde f T = l / a : temps mis par l ’onde pour parcourir AB Détermination de f et de F:
en A : h = h0 :
F(t - l ) + f(t + l ) = 0 a a
soit t' = t + l : f(t') = -F(t'-2l) f opposée à F et en retard de 2l a a a en B : débit connu ⇒ détermination de F
]
Courbe caractéristique d ’une section de conduite • Hauteur piézométrique h = p* / ρg en fonction du débit q
• Caractéristique en une section, pour un observateur immobile
Interprétation graphique des formules d ’Allievi • Régime varié : Soit un observateur se déplaçant dans la conduite avec la vitesse a, dans le sens des x > 0 : • cet observateur voit : – une onde Fi qui ne change pas – une onde fi qui se déplace par rapport à lui avec une vitesse opposée 2a a (j-i)
t=i
t=j
hi = h0 + Fi + fi ui = u0 + g (Fi - fi) / a
hj = h0 + Fj + fj uj = u0 + g (Fj - fj) / a Observateur fixe
•
t=j
h = h0 + Fi + f u = u0 + g (Fi - f) / a
observateur mobile : même Fi
On élimine Fi, f et fi, on obtient la caractéristique pour un observateur lié à l ’onde F -->
h - hi = - a (q - qi) gS
Interprétation graphique des formules d ’Allievi (suite) • Courbe caractéristique pour un observateur lié à l ’onde F : droite de pente - a / (g S) • Courbe caractéristique pour un observateur lié à l ’onde f : droite de pente a / (g S)
Principe de la méthode de Schnyder-Bergeron • Pour un observateur mobile, se déplaçant à la vitesse a, de même valeur que la célérité des ondes, la courbe caractéristique en un point d ’une conduite en régime varié est une droite • Si on connaît un point (h,q) à un instant t, on peut construire graphiquement les couples (h,q) à tous les instants ultérieurs
– temps de parcours de A à B : t = l / a
Exemple de construction du graphique de Schnyder-Bergeron
• c0, c1, c2 … : caractéristiques de la section B aux instants 0, l/a, 2l/a … (dépend de la fermeture de la vanne • On en déduit ensuite la courbe h (t) pour le point A et la courbe h(t) pour le point B
Remède au coup de bélier • Pour limiter la surpression, on adjoint un système déformable à la conduite
