cos Para Los Proyectos

Formulación y Evaluación de Proyectos de Inversión

Pronósticos para los proyectos A. Objetivos.  Conocer los diferentes tipos de pronósticos que se pueden aplicar en la formulación de proyectos de inversión.  Calcular las ecuaciones de regresión. Encontrar el coeficiente de correlación y determinación.  B. Marco Teórico 1. Definiciones La correlación es el método es el método empleado para determinar el grado de relacionamiento entre las variables que se estudian, para así determinar en que medida una relación funcional describe o explica de una forma adecuada la relación entre estas dos variables Se usa el término correlación cuando se habla de relaciones entre variables de experimentos bivariantes. Los diversos tipos de correlación que existen pueden ser:

2. Coeficiente de correlación lineal de Pearson Es una medida del grado de asociación lineal entre las variables X e Y. Es un número abstracto y se representa por r: r=

∑ ((X-X)(Y-Y)) (n-1) SXS Y

r =

nΣXY X Y − ( ΣX )( ΣY ) 2 2 2 2 ( nΣX − ( ΣX ) )( nΣY − ( ΣY ) )

2.1 Propiedades • r está siempre comprendido entre -1 y 1. • Si r = 1 ó r = -1 entonces los puntos de la muestra están situados en línea recta (correlación lineal perfecta). • Si r está próximo a 1 ó a -1, habrá una asociación lineal fuerte entre ambas variables. • Si r es cercano a 0, habrá una asociación lineal muy débil. • r no varía cuando en las variables se realiza un cambio de escala o de origen. Esto demuestra que r no tiene dimensión

Docente: Ing. Ferly Urday Luna

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2.2 Dos consideraciones sobre el coeficiente coeficiente de correlación. correlación. a) Se trata de una medida matemática que luego hay que interpretar. Aunque un alto grado de correlación indique buena aproximación a un modelo matemático lineal, su interpretación puede no tener ningún sentido. Por ejemplo puede haber un alto grado de correlación entre las ventas de celulares y el consumo de alcohol en Arequipa, pero ambas variables están claramente disociadas. b) Aunque el grado de correlación sea cercano a cero (pobre aproximación al modelo lineal) eso no significa que no haya relación entre las dos variables. Puede ser que dicha relación sea no lineal. 3. Coeficiente de determinación El coeficiente de determinación se calcula elevando al cuadrado el coeficiente de correlación y representa el porcentaje de la variación explicada por la recta de regresión. El coeficiente de determinación r2, es una medida de la proximidad del ajuste de la recta de regresión; cuanto mayor sea el valor de r2, mejor será el ajuste y mas útil la recta de regresión como instrumento de predicción. (r2 = 0.92 indica que de 100 pares de puntos 92 están en la recta de regresión y 8 fueran de la recta de regresión) 4. Método de mínimos cuadrados cuadrados para encontrar la ecuación ecuación de regresión regresión Recordemos que el análisis de regresión lo que persigue es determinar la relación funcional de la variable dependiente Y con respecto a la variable independiente X con el fin de predecir valores de Y. A continuación desarrollaremos un modelo matemático (ecuación de la línea) para expresar la relación entre dos variables y para estimar el valor de la variable dependiente Y basándonos en el valor de la variable independiente X . La técnica que se utiliza para desarrollar la ecuación de la línea y hacer estas predicciones, se le llama análisis de regresión. El principio matemático con base con el cual se traza la ecuación de la línea y se predicen los valores de Y, se conoce con el nombre de mínimos cuadrados. Este principio consiste en trazar una línea sobre la gráfica de dispersión de los valores de modo que la suma de los cuadrados de la distancia vertical entre el valor real de Y y su valor predictorio, sea la cantidad más pequeña posible. Entonces la ecuación lineal que se tiene que encontrar es:

Y* = a + bX Donde: Y*= a= b= X=

Se lee Y asterisco, es es el valor predictorio de la variable Y para un valor seleccionado de X. Es la intersección con el eje Y. Es el valor estimado de Y cuando X = 0. Es la pendiente de la línea, o el cambio promedio en Y* por cada cambio en una unidad de la variable independiente X. Es el valor que se escoge para la variable independiente. A los valores a y b se les conoce como coeficientes de regresión y se calculan con las siguientes fórmulas:

a=

Σ y − bΣ x


n

b=

nΣxy − ΣxΣy nΣx 2 − ( Σx )2 Página 2 de 22


5. Varianza de la regresión poblacional σ2. Una vez que se ha determinado la recta de regresión Y = a + bX es de suma prioridad saber su utilidad, siendo esta la de predecir valores de Y para valores determinados de X. Si se hace una predicción seria razonable conocer la respuesta de la interrogante: ¿Qué tan confiable es la predicción que se acaba de determinar? La respuesta a la pregunta anterior depende de la variabilidad de los valores de Y con respecto a la recta de regresión. Una medida que indica el grado de variabilidad o dispersión o concentración en torno a la línea de regresión es la varianza de la regresión poblacional, que se denota por σ2 o por σ Y 2 y se define por: 

X

N

σ

2

(

= E Y − µ Y

X

)=

∑ ( yi − µ Y X )

2

Donde N es el tamaño de la población

i =1

N

La raíz cuadrada de esta varianza es la regresión estándar de la regresión en la población. Una estimación insesgada de σ2 es la varianza de la regresión muestral que se denota por s2 y se define por: n

∑ ( yi − yi )

n

2

∑y

2 i



2

s =

SCE n−2

=

i =1

=

n−2

n

n

i =1

i =1

− a∑ yi − b∑ xi yi

i =1

n−2

Donde, el numerador es la suma de los cuadrados de los errores alrededor de la línea de regresión y el denominador, n-2, representa los grados de libertad (se le quitan 2 valores a n porque corresponden al numero de coeficientes de regresión). La raíz cuadrada de la varianza de la regresión muestral, es la desviación estándar muestral de la regresión, denotada por s. Este valor es conocido también como error estándar de estimación. 6. Análisis de la varianza para β El análisis de la varianza es un método que utiliza la estadística F para probar la significación de la ecuación de regresión muestral o existencia de regresión en la población. Las hipótesis nula y alternativa para esta prueba son: H0: β = 0 contra H1: β ≠ 0 Se siguen todos los pasos para el análisis de la varianza de más de dos medias poblacionales, resumiéndose los cálculos en la siguiente tabla: Fuente de Variación

Suma de Grados de Cuadrados Razón F Cuadrados Libertad Medios calculada

Regresión

SCR

1

Error

SCE

n-2

Total

SCT

n-1


CMR =

CME =

SCR

1

F cal =

CMR CME

SCE n−2

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Donde:

SCT=Σy2-n(y)2

SCR=b ( Σxy-n(x)(y))

SCE=SCT-SCR

7. Intervalo de confianza para la media de Y 1 (x0-x)2 y 0 ± t 0s + n Σ(xi -x)2

Donde: t0

=tn-2;α es un valor t de student con n - 2 grados de libertad.

8. Intervalo de predicción para y0. 1 n

ˆ 0 ±t 0s 1+ + y

(x0-x)2 Σ(xi -x)2

C. Aplicaciones Problema Nro 1 Lori Franz, supervisora de mantenimiento de Baltimore Transit Authority, quisiera determinar si existe una relación positiva entre los costos anuales de mantenimiento de un autobús y su edad. Si existe tal relación, Lori cree que puede hacer un mejor trabajo si pronostica el presupuesto anual para el autobús. Ella recopiló los datos dé la tabla P.1 a) Grafique un diagrama de dispersión. b) ¿Qué clase de relación existe entre estas dos variables? c) Calcule el coeficiente de correlación. d) Determine la recta de mínimos cuadrados. e) Pruebe la significancia de la pendiente de la regresión en el nivel de significancia 0.05. ¿Esta regresión es significativa? Explique. f) Pronostique el costo anual del mantenimiento de un autobús de 5 años. Autobus 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tabla Nro 1 Costo de mantenimiento ($) Y 859 682 471 708 1094 224 320 651 1049

Fuente: Dpto Mnto de Baltimore Transit Authority

Edad (años) X 8 5 3 9 11 2 1 8 12

Solución Punto (a), primero solucionaremos con el Excel. Paso 1.- Se introducen los datos en una hoja de cálculo, y se seleccionan los valores a graficar, para nuestro caso es el rango C3:D11.


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Paso 2.- Se inicia el asistente para gráficos, (

) y se escoge el tipo de grafico.

Se escoge el tipo de grafico. Luego se puede cambiar el subtipo

Finalmente se presiona siguiente

Se configuran las opciones a ro iadamente.

Paso 3.- Finalmente el grafico queda terminado.


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Diagrama de dispersión 1200

En el presente diagrama se puede notar que parece existir cierta relación lineal, directamente proporcional, entre las variables tiempo de vida y costo de mantenimiento

o 1000 t n e i m 800 i n e t n 600 a M e d 400 o t s o C 200

0 0

3

6

9

12

15

Tiempo de vida

(b) ¿Qué clase de relación existe entre estas dos variables? La relación que existe entre estas variables es positiva, ello debido a que según se puede apreciar en el diagrama de dispersión, la relación es directamente proporcional, es decir que si aumenta el tiempo de vida también aumenta el costo de mantenimiento. (c) Calculo del coeficiente de correlación. Introducimos los datos en una hoja de cálculo, según se aprecia en la figura siguiente:

Luego utilizamos las siguientes formulas: r =

r=

nΣXY − ( ΣX )( ΣY ) 2

2

2

r=

2

( nΣX − ( ΣX ) )( nΣY − ( ΣY ) ) 9×48665-59×6058

(9×513-(59)2 )×( 9×4799724-(6058)2 )

=0.9377

r=

∑ ((X-X)(Y-Y)) (n-1) SXS Y

8951.44 =0.9377 (9-1)×3.9721×300.42

También se pueden usar funciones de Excel, como:


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FUNCIÓN: PEARSON Devuelve el coeficiente de correlación producto o momento r de Pearson, r, un índice adimensional acotado entre -1,0 y 1,0 que refleja el grado de dependencia lineal entre dos conjuntos de datos. Sintaxis =PEARSON(matriz1;matriz2) Matriz1 es un conjunto de valores independientes. Matriz2 es un conjunto de valores dependientes. FUNCIÓN: COEF.DE.CORREL Devuelve el coeficiente de correlación entre dos rangos de celdas definidos por los argumentos matriz1 y matriz2. Use el coeficiente de correlación para determinar la relación entre dos propiedades. Por ejemplo, para examinar la relación entre la temperatura promedio de una localidad y el uso de aire acondicionado. Sintaxis COEF.DE.CORREL(matriz1;matriz2) Matriz1 es un rango de celdas de valores. Matriz2 es un segundo rango de celdas de valores. Entonces los cálculos de r, quedarían de la siguiente manera:

d) Determinación de la recta de mínimos cuadrados Para determinar los coeficientes de la recta de regresión, se puede utilizar estas ecuaciones:

a=

Σ y − bΣ x n

b=

nΣxy − ΣxΣy nΣx 2 − ( Σx )2

En Excel se hace uso de las funciones: FUNCIÓN: INTERSECCION.EJE Calcula el punto en el que una línea intersecará el eje y utilizando los valores X e Y existentes. El punto de intersección se basa en el mejor ajuste de la línea de regresión trazado con los valores X y los valores Y. Utilice la función INTERSECCION.EJE para determinar el valor de la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a 0 (cero). Por ejemplo, puede emplear la función INTERSECCION.EJE para predecir la resistencia eléctrica de un metal a 0 °C si los puntos de datos se han tomado a temperatura ambiente o superior. Sintaxis INTERSECCION.EJE(conocido_y;conocido_x) Conocido_y es el conjunto de observaciones o datos dependientes. Conocido_x es el conjunto de observaciones o datos independientes.


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PENDIENTE Devuelve la pendiente de una línea de regresión lineal creada con los datos de los argumentos conocido_x y conocido_y. La pendiente es la distancia vertical dividida por la distancia horizontal entre dos puntos cualquiera de la recta, lo que corresponde a la tasa de cambio a lo largo de la línea de regresión. Sintaxis PENDIENTE(conocido_y;conocido_x) Conocido_y es una matriz o rango de celdas de puntos de datos numéricos dependientes. Conocido_x es el conjunto de puntos de datos independientes.

Entonces la recta de mínimos cuadrados es: Y = 208.203 + 70.92X Otra forma de encontrar dicha recta es por el método grafico en el Excel, para ello se hace clic derecho en cualquier punto del diagrama de dispersión y se escoge “agregar línea de tendencia.” y = 70.918x + 208.2

Diagrama de dispersión

2

R = 0.8792 1200 1000

o t n e i m i n e t n a M e d o t s o C

800 600 400 200 0 0

3

6

9

12

15

Tiempo de vida

Donde R2, representa el coeficiente de determinación, el cual se interpreta diciendo que el 87.92% de los valores de y quedan explicados o dependen directamente de X, existiendo un 22.08% de valores de Y que no quedan representados por la ecuación de regresión calculada.


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R2, se obtiene en la práctica elevando el valor de r al cuadrado. e) Prueba ANOVA para el análisis de regresión Para realizar este análisis en Excel, se activa menú herramientas – Análisis de datos y se escoge regresión:

Luego de aceptar, se obtiene el siguiente resultado: Resumen Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones

0.93767326 0.87923114 0.86197845 111.60975 9

ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de libertad

Regresión Residuos

1 7

Total

8 Coeficientes

Intercepción Variable X 1

208.203 70.918

Suma de cuadrados

634819.73 87197.15 722016.888 9 Error típico

75.0017941 9.93423031

Promedio de cuadrados

634819.73 12456.73

Estadístico t

F

50.96196

Prob

2.77597819 0.02745673 7.13876481 0.00018719

Valor crít de F

0.0001871

Inf 95%

Sup 95%

30.852283 385.554406 47.427411 94.4088557

Analizando los resultados, tenemos:


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

La tabla ANOVA para análisis de regresión tiene el siguiente formato: Fuente de Variación

Suma de Grados de Cuadrados Razón F Cuadrados Libertad Medios calculada SCR

Regresión

CMR =

1

Error

SCE

n-2

Total

SCT

n-1

CME =

SCR

F cal =

1

CMR CME

SCE n−2

Donde:

SCR=b ( Σxy-n(x)(y))

SCT=Σy2-n(y)2 2

∑ XY=48665

∑ Y =4799724

Y=673.111

SCE=SCT-SCR b=70.9181

X=6.555

Entonces la Tabla ANOVA calculada es: Fuente Regresión Error Total

SC 634819.73 87197.15 722016.89

GL 1 7 8

CM 634819.73 12456.74 90252.11

Fcal Prob 50.96 0.00018719

Fcrit 5.59

Las hipótesis de trabajo quedan expresadas como: H0: β = 0 contra H1: β ≠ 0 Entonces dado que FCal = 50.96 ∈ RC, o p = 0.000187 < α, aceptamos H1 y rechazamos H0, por lo tanto se puede validar la ecuación de regresión al 5% de error o podemos afirmar que la pendiente de la recta de regresión es diferente de cero. 

El error típico es la desviación estándar de la regresión y se calcula con la formula: n

∑ ( yi − yi )

n

2

∑y

2 i



2

s =

n

SCE n−2

=

i =1

n−2

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ

8 5 3 9 11 2 1 8 12 59

n

i =1

i =1

− a∑ yi − b∑ xi yi

i =1

Y

n−2

Yi 859 682 471 708 1094 224 320 651 1049 6058

s= 

=

n

87197.15 9−2

775.5484155 562.7940141 420.9577465 846.4665493 988.3028169 350.0396127 279.1214789 775.5484155 1059.220951

2

(Y-Yi) 6964.166957 14210.06708 2504.227137 19172.98527 11171.89451 15885.98396 1671.05349 15512.3078 104.4678333 87197.15405

= 111.61

El coeficiente de determinación se puede calcular con la relación:


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n=9


R 2= R 2= 

SCR SCT

634819.73 =0.8792 722016.89

El coeficiente de determinación corregido se calcula CME R 2=R 2=1CMT 2

R =1

12456.74 =0.861978 90252.11

Los coeficientes de la recta de regresión son: Coeficientes

Intercepción Variable X 1

208.203 70.918 Y*=Y=Y=209.203+70.918X i 

La recta de regresión también es representada por: Y = b0 + b1X  Las pruebas de hipótesis para cada uno de los coeficientes de la recta de regresión, están expresadas en a la derecha de dichos coeficientes y en ambos casos se utiliza la distribución t de student. 

Desviación estándar estimada de b1 s

s b1 = 2

∑ X i − ΣX = 2 ΣX =

n= sx = 

( ∑ X i )

2

n

59 513 9 9.934230312

Para la Prueba de Hipótesis individual, el estadístico t se calcula por: t =

p=

0.000187190

t=

b1 sb1

70.918 9.934

= 7.139

f) Pronóstico para un costo anual de mantenimiento de 5 años Y*=Y=Y=209.203+70.918X i 

Y* = 209.203 + 70.918(5) Y* = 562.794


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Problema Nro 2 Ejercicio aplicativo de series de tiempo Con los datos que se presentan en la tabla Nro 2, realizar un pronostico para los próximos 5 años, haciendo uso del método de los mínimos cuadrados con tendencia lineal. Tabla Nro 2.- Gastos en capacitación de la empresa INSUR Año 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Gasto 14.8 20.6 22.1 19.3 20.6 25.6 26.5 28.5 26.8 28.7 35.1 37.0 30.5

FUENTE.- Dpto de RRHH - enero del 2008

Para trabajar este ejercicio en Excel, se puede proceder de la siguiente manera:

Problema Nro 3 Encontrar la ecuación de tendencia para los siguientes datos: (Utilizar un modelo lineal o uno que se pueda linealizar)


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X 1.5 2 3 3.5 4 5

Y 2.6 2.4 1.2 1.8 1.6 1.4

Se utiliza la opción agregar línea de tendencia de Excel para un diagrama de dispersión -0.532

y = -0.34x + 2.91

3

2

R = 0.6202

y = 3.1251x 3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

1

0.5 0

2

R = 0.6247

2

0.5 0

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

y = -1.0456Ln(x) + 2.9566 2

R = 0.71

3

6

-0.1728x

y = 3.0498e

3

2

R = 0.5443

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

3

0 0

1

2

3

4

5

6

4

0 0

1

2

3

4

5

6

De lo 4 modelos anteriores, se selecciona el Nro 3, por presentar un mayor coeficiente de determinación. Problema Nro 4 Realizar un pronostico cuando el valor de X = 6, para el siguiente conjunto de datos.


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X 1.2 1.8 3.1 4.9 5.7 7.1 8.6 9.8

Y 4.5 5.9 7 7.8 7.2 6.8 4.5 2.7

Solución Se utiliza la opción agregar línea de tendencia de Excel, con un modelo polinomial de grado 2 (Parábola de mínimos cuadrados) 2

y = -0.211x + 2.0649x + 2.5878

10

2

R = 0.9823

8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

12

Ahora como X tiene el valor 6 entonces para hallar Y se tiene: Y = 2.5878 + 2.0649(6) – 0.211(6)2 Y= Problema Nro 5 Aplicación de series de tiempo con varios valores por año, uso del índice estacional ajustado para pronosticar Método de la razón de promedio móvil. Caso: Empresa de Acido Sulfurico Una planta productora de acido sulfúrico, ha venido posicionándose en el mercado, para ello se presenta la evolución de sus ventas trimestrales, en miles de barriles aprox. La capacidad máxima de la planta es de 550000 barriles por año. Si una ampliación de la misma, desde que se hacen los pedidos de las maquinarias, hasta que estas se instalan y prueban, demora 6 meses. Ayude al gerente de producción a decidir cual es el tiempo máximo en el que debe proponer a gerencia general el inicio de la expansión de la fábrica, si se desea cumplir al 100% con los pedidos de los clientes en todo momento.


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Tabla: Ventas en miles de barriles Trimestre I II III IV

2002 197 408 307 184

2003 283 449 372 169

Año 2004 278 491 288 213

2005 268 465 332 225

2006 339 505 345 244

Realice un pronóstico para los trimestres de los próximos 2 años y responda la interrogante anterior. Solución Para dar solución a este problema se deben seguir los siguientes pasos: a) b) c) d)

Colocar los datos, según el formato de la tabla Nro 3 En el paso Nro 1 (Columna 4), se calcula el total móvil de los cuatro trimestres. En el paso Nro 2 (Columna 5), se calcula el promedio móvil de cuatro trimestres. En el paso Nro 3 (Columna 6), se calcula el promedio móvil centrado, considerando dos trimestres para dicho cálculo. e) En el paso Nro 4 (Columna 7), se calcula el porcentaje del valor real con respecto al valor promedio móvil centrado. Para ello se usa la siguiente formula: %Valor Real =

Real Pr omedio Movil

× 100

Tabla: Calculo del promedio móvil centrado de cuatro trimestres. Año (1) 2002

2003

2004

2005

2006

Trimestre Producción Total Movil Prom. Movil Pro_Mo_Cen%_Valor_Real (2) (3) (4) (5) (6) (7) = (3)/(6) I 197 -II 408 1096 274 -III 307 1182 295.5 284.75 107.81% IV 184 1223 305.75 300.625 61.21% I 283 1288 322 313.875 90.16% II 449 1273 318.25 320.125 140.26% III 372 1268 317 317.625 117.12% IV 169 1310 327.5 322.25 52.44% I 278 1226 306.5 317 87.70% II 491 1270 317.5 312 157.37% III 288 1260 315 316.25 91.07% IV 213 1234 308.5 311.75 68.32% I 268 1278 319.5 314 85.35% II 465 1290 322.5 321 144.86% III 332 1361 340.25 331.375 100.19% IV 225 1401 350.25 345.25 65.17% I 339 1414 353.5 351.875 96.34% II 505 1433 358.25 355.875 141.90% III 345 -IV 244 --


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Grafico: Serie temporal, promedio móvil centrado y línea de tendencia. 600 500 400 300 200 100 0 0

5

10

15

20

25

f) En el paso Nro 5, reunir todos los porcentajes reales con respecto a los valores promedio móvil que se encuentran en la columna 7 de la tabla Nro 3 y organizarlos por trimestres, ver tabla Nro 4 Tabla: Porcentajes de valores reales Trimestre Trimestre Trimestre Año I II III Trimestre IV 2002 --107.81% 61.21% 2003 90.16% 140.26% 117.12% 52.44% 2004 87.70% 157.37% 91.07% 68.32% 2005 85.35% 144.86% 100.19% 65.17% 2006 96.34% 141.90% --Una vez reunidos los porcentajes de valores reales se procederá a calcular la media modificada. Los valores estacionales que se han recuperado para los trimestres, todavía contienen las componentes cíclica e irregular de la variación de la serie temporal. Al eliminar los valores mas alto y mas bajo de cada trimestre, se reducen estas variaciones cíclicas e irregulares extremas. Trimestre Media Modificada

I II III IV 88.93%143.38%104.00% 63.19%

Por ejemplo, el valor 88.93, es el resultado de promediar 90.16 con 87.70, los valores 85.35 y 96.34 han sido eliminados para el primer trimestre. Repetir este proceso para los demás trimestres. g) En el paso Nro 6, se procederá a calcular los índices temporales ajustados. Trim I II III

Indice Constante Desajustado ajuste 88.93% 1.001251564 143.38% 1.001251564 104.00% 1.001251564


Índice Temporal Ajustado 89.04% 143.56% 104.13% Página 16 de 22


IV

63.19% 1.001251564 399.50%

63.27% 400.00%

Calculo de la constante de estacionalidad Suma deseada 400% Suma de índices 399.50% Constante de estacionalidad 1.001251564 Nota.- Para calcular la constante de estacionalidad, se usa la siguiente formula: Cons tante Estacionalidad =

Suma Deseada Suma Indices

h) En el paso Nro 7, se procederá a realizar la desestacionalización de los datos, para ello se debe dividir cada valor entre el índice estación ajustado correspondiente a su respectivo trimestre, y con los datos se procederá a encontrar la ecuación de tendencia, haciendo uso del método de los mínimos cuadrados para la tendencia desestacionalizada. Tabla: Datos Desestacionalizados X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Año

2002

2003

2004

2005

2006

a= b=

Trimestre I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV 267.8917644 4.783245626

Producción Producción Produccion Real Desestacionalizada Pronosticada 197 408 307 184 283 449 372 169 278 491 288 213 268 465 332 225 339 505 345 244

221.25 284.20 294.82 290.82 317.83 312.76 357.25 267.11 312.22 342.02 276.58 336.65 300.99 323.91 318.83 355.62 380.73 351.77 331.32 385.65

272.68 277.46 282.24 287.02 291.81 296.59 301.37 306.16 310.94 315.72 320.51 325.29 330.07 334.86 339.64 344.42 349.21 353.99 358.77 363.56

Y = 267.89 + 4.78X

i) Finalmente se calcula el pronóstico haciendo uso de la ecuación de pronóstico y se estacionalizan los valores hallados multiplicándolos por el índice estacional ajustado según corresponda a cada trimestre.


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Tabla: Pronóstico Estacionalizado X

Año

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Pronostico Pronostico Trimestre Desestacionalizado Estacionalizado I II III IV I II III IV I II III IV

2007

2008

2009

368.34 373.12 377.91 382.69 387.47 392.26 397.04 401.82 406.61 411.39 416.17 420.96

327.97 535.66 393.51 242.13 345.01 563.12 413.44 254.23 362.04 590.59 433.36 266.34

Grafico: Serie temporal, serie desestacionalizada y línea de tendencia 600 500 400 300 200 100 0 0

5

10

15

20

25

Conclusión: Como se puede ver en la tabla Nro 6, se excederá la capacidad máxima de producción en el II trimestre del año 2008, por lo tanto se debería comenzar la ampliación de las instalaciones a mas tardar al finalizar el tercer trimestre del 2007.


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Ejercicios Planteados 1. Industrias Peruanas S.A., (INPESA), es una empresa que se dedica a la producción y comercialización de productos embutidos en todo el territorio peruano, cuenta con agencias en 10 ciudades del país, a continuación se presenta la cantidad de vendedores por agencia que posee esta empresa. Nro Vendedores Ventas Mensuales Miles de $

2

6

8

8

12

16

20

20

58

105

88

118

117

137

157

169

Realizar un pronostico si se piensa aperturar una agencia con 5 vendedores. Utilice la ecuación lineal de tendencia. 2. Compras de alimentos de un programa de asistencia alimentaría del gobierno en

miles de soles

Años Compras 2000 70.40 2001 66.50 2002 70.70 2003 51.90 2004 80.90 2005 90.00 2006 93.20 2007 87.90 a) Con los datos presentados elaborar un diagrama de series de tiempo y sacar conclusiones del resultado. b) Encontrar el coeficiente de correlación y determinación e interpretar el resultado. c) Hallar la ecuación de mínimos cuadrados con tendencia lineal. d) Realizar un pronostico para los años 2008 – 2015. 3. Con la siguiente información Producción de tomate en el departamento de Arequipa

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Producción 5913 6880 5285 5595 5752 5110 9644 12318 12447 12018

FUENTE: Dirección Regional Agraria de Arequipa - OIA


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a) Realizar el mejor pronostico para los años 2000 – 2005. b) Buscar información acerca de la producción histórica de tomate en Arequipa y comparar los datos reales con los pronosticados. c) Con todos los datos reales (1990 – 200?) encontrar una nueva ecuación de tendencia y realizar un pronóstico hasta el año 2015. 4. La siguiente semana. Stan se dirigió a Laurel para pedirle algunos datos para su

próxima reunión sobre ventas.

Si recuerdas las primeras pláticas que tuvimos sobre la historia de la compañía le dio, recordarás que te dije como os sellos y el equipo para sellar, nuestra línea de producción más extensa, son la piedra angular de nuestras ventas. De hecho es la línea de productos con la que, básicamente empezó el negocio el Señor Douglas. Como están las cosas, también es la línea de productos que genera mayor nuestro mayor porcentaje de cobertura ¿Hay algo que puedas hacer, como diagramas o gráficas, que pudiera ilustrar el comportamiento de las ventas de sellos durante los últimos diez años o algo así? Tengo datos de las ventas por día o por mes con los que puedes trabajar. ¿Qué tal si desestacionalizó los datos para mostrar una tasa de crecimiento más precisa? Sugirió Laurel. Puedo utilizar las cifras sobre ventas mensuales y generar algunas gráficas que muestren las tendencias. Calculando una estimulación de mínimos cuadrados, también podrá darte una herramienta aproximado para que puedas predecir la venta de sellos, sin tomar en cuenta las diferentes temporadas de ventas, quiero decir, para los años venideros ¿Qué te parece? Me perdí en la parte de los mínimos cuadrados – admitió Stan - , pero suena exactamente como la clase de cosa que estoy buscando. Será interesante ver como se ven las ve tas sin el efecto de las temporadas. ¿podrás tener una primera información de las cifras para el inicio de la siguiente semana? Claro que si, respondió Laurel. Te traeré todo a tu oficina el lunes o el martes. a) Haga un análisis de serie temporal de las ventas de sellos durante los últimos diez años. Desestacionalice las ventas por mes, utilizando el método de razón de promedio móvil (use un promedio móvil centrado de doce meses). Luego encuentre la ecuación lineal de mínimos cuadrados que mejor describa los datos desestacionalizados. b) Utilice los resultados que obtuvo para predecir las ventas de cada mes del 2007

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Ene 1421 1535 1381 1561 1734 2232 1867 2365 2662 3328

Feb 1434 1549 1395 1576 1751 1704 1873 2060 2590 3237

Ventas mensuales de sellos (1997 – 2006) Mar Abr May Jun Jul Ago Sep 1952 1533 1853 1516 1663 1969 1304 2108 1656 2001 1637 1796 2127 1408 1897 1490 1801 1473 1619 1914 1347 2144 1684 2035 1665 1829 2163 1522 2382 1871 2261 1850 2029 2403 1591 1733 2017 2258 1914 1895 2429 2028 2053 1906 2465 2094 2691 2331 2233 2242 2820 2409 2191 2871 2414 2890 2799 2605 2907 2513 3230 3171 3126 3500 3256 3630 3141 4037 3910 3910


Oct 1465 1582 1424 1609 1788 2371 2828 2380 3676 4595

Nov 1369 1478 1330 1503 1670 1557 2008 2730 2610 3263

Dic 979 1057 1360 1511 1194 1381 1901 2157 2804 3505

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5. Buscar en el INEI la siguiente información, y realizar un pronóstico para los meses

de los próximos 5 años, utilizando el método de los promedios móviles, haciendo uso del índice estacional ajustado, para los precios al consumidor. Precio Harina de Trigo Preparada (mensual / Kilogramo) Precio Harina de Trigo sin Preparar (mensual / Kilogramo) Precio Maicena Envasada (mensual / Kilogramo) Precio Sémola Envasada (mensual / Kilogramo) Precio Galleta Envasada (mensual / Kilogramo) Precio Pan de Labranza (mensual / Kilogramo) Precio Pan Francés (mensual / Kilogramo) Precio Fideos a Granel (mensual / Kilogramo) Precio Carnero Chuleta (mensual / Kilogramo) Precio Cerdo Chuleta (mensual / Kilogramo) Precio Carne Molida (mensual / Kilogramo) Precio Res Bisteck Asado (mensual / Kilogramo) Precio Res Churrasco (mensual / Kilogramo) Precio Res Lomo (mensual / Kilogramo) Precio Sancochado (mensual / Kilogramo) Precio Gallina Eviscerada (mensual / Kilogramo) Precio Pollo Eviscerado (mensual / Kilogramo) Precio Pato Eviscerado (mensual / Kilogramo) Precio Higado de Res (mensual / Kilogramo) Precio Hueso de Res (mensual / Kilogramo) Precio Mondongo de Res (mensual / Kilogramo) Precio Pata de Res (mensual / Kilogramo) Precio Chalona (mensual / Kilogramo) Precio Jamón del País (mensual / Kilogramo) Precio Jamonada (mensual / Kilogramo) Precio Hot Dog de Ternera (mensual / Kilogramo) Precio Tocino Ahumado (mensual / Kilogramo) Precio Filete de Atún (mensual / Lata Chica) Precio Grated de Atún (mensual / Lata Chica) Precio Leche Fresca (mensual / Litro) Precio Leche Fresca Reconstituyente (mensual / Litro) Precio Queso Fresco de Vaca (mensual / Kilogramo) Precio Queso Mantecoso (mensual / Kilogramo) Precio Aceite Embotellado Vegetal (mensual / Litro) Precio Mantequilla a Granel (mensual / Kilogramo) Precio Mantequilla Envasada (mensual / Kilogramo) Precio Margarina a Granel (mensual / Kilogramo) Precio Margarina Envasada (mensual / Kilogramo) Precio Ají Rocoto (mensual / Kilogramo) Precio Ají Verde Escabeche (mensual / Kilogramo) Precio Ajo Entero (mensual / Kilogramo) Precio Apio (mensual / Kilogramo) Precio Cebolla Cabeza (mensual / Kilogramo) Precio Cebolla China (mensual / Kilogramo) Precio Choclo Criollo (mensual / Kilogramo) Precio Arveja Verde Criolla (mensual / Kilogramo) Precio Haba Verde (mensual / Kilogramo) Precio Vainita Americana (mensual / Kilogramo) Precio Tomate Italiano (mensual / Kilogramo) Precio Zanahoria (mensual / Kilogramo) Precio Zapallo Macre (mensual / Kilogramo)


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Precio Betarraga (mensual / Kilogramo) Precio Col Crespa (mensual / Kilogramo) Precio Coliflor sin Hojas (mensual / Kilogramo) Precio Espinaca (mensual / Kilogramo) Precio Nabo (mensual / Kilogramo) Precio Poro (mensual / Kilogramo) Precio Verdura Picada (mensual / Kilogramo) Precio Pasas a Granel (mensual / Kilogramo) Precio Azúcar Blanca (mensual / Kilogramo) Precio Azúcar Rubia (mensual / Kilogramo) Precio Aceituna de Botija (mensual / Kilogramo) Precio Ají Molido Amarillo (mensual / Kilogramo) Precio Canela Entera (mensual / Kilogramo) Precio Comino Molido (mensual / Kilogramo) Precio Pimienta Molida (mensual / Kilogramo) Precio Sazonador en Sobre (mensual / Kilogramo) Precio Vinagre Corriente (mensual / Botella Grande) Precio Sal Yodada de Cocina (mensual / Kilogramo) Precio Gaseosa (mensual / Botella Vidrio Mediana) Precio Cerveza Blanca (mensual / Botella Vidrio 620 ml.) Precio Cerveza Blanca Servida (mensual / Botella Vidrio 620 ml.) Precio Gaseosa Servida (mensual / Botella Vidrio Mediana) Precio Jugo de Frutas (mensual / Vaso) Cuestionario ¿Qué ocurre con el coeficiente de determinación para los modelos logarítmico y potencial, cuando se hace un cambio de la variable X en una serie de tiempo.?


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cos Para Los Proyectos

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