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DIPOLE
RC
Corrigés des exercices sur le dipôle RC Corrigé de l’exercice 1 Utiliser la loi d’additivité des tensions 1 et 2. Pour les tensions u AB et u BM et les connexions à l’interface d’acquisition voir figure ci-contre.
voie 1
3. La loi d’additivité des tensions donne : uG = u AB + u BM . On peut donc, à l’aide du logiciel de traitement de données compatible avec l’interface (par exemple Généris associé à l’interface ESAO E SAO 4 ), tracer u AB = uG - u BM .
i(t)
u AB voie 2
4.1. Le condensateur est déchargé à la date t = 0 : donc uC (0) = 0 V. La seule courbe qui passe par l’origine des abscisses représente uc(t) ( cf schéma ). D’autre part la tension uG étant constante, sa représentation graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses (cf schéma ).
u BM
La troisième courbe ( décroissante ) correspond nécessairement à u BM .(t ). ). 4.2. On lit sur le graphe u BM .(t= 2 s ) = 1,0 V ; u AB (t= 2 s ) = 5,0 V et uG.(t= 2 s ) = 6,0 V . Ces valeurs sont cohérentes avec la loi d’additivité des tensions : u BM . (t= 2 s ) + u AB (t= 2 s ) = uG (t= 2 s ) = 6,0 V
u BM ( t t)
4.3. D’après la loi d’Ohm, appliquée en convention récepteur, on a i(t) = u BM (t)/ R. On en déduit que i(t) est positif car u BM (t) est positif d’après le graphique et que R est positif. Le courant circule donc dans le sens positif qui oriente le circuit. Les électrons circulant dans le sens opposé au sens du courant sont arrachés à l’armature A, initialement neutre ( condensateur déchargé ) et déposées sur l’armature B initialement neutre également : donc q A > 0 et q B < 0.
uG( t t)
u AB( t t)
Corrigé de l’exercice 2 Repérer la charge et la décharge d’un condensateur : détermination de la capacité. 1.a et b. D’après la loi d’Ohm en convention récepteur on a à tout instant : u BN = R..i. Ce qui donne : i = u BN /R. La tension u BN représente donc, au coefficient multiplicatif 1/ R près, l’intenité i du courant.
A
D’autre part, la relation charge-tension pour le condensateur en convention récepteur donne à tout instant : q A = C.u AB . Donc u AB représente donc au coefficient multiplicatif près C la charge q A portée par l’armature A. 2.
la
relation charge-intensité
en convention
récepteur pour
un
q A
u AB
condensateur, condensateur,
u BN
dq A . En tenant compte de la relation q A = C.u AB , on en tire en d t remplaçant q A par son expression dans la relation charge intensité : s’écrit : i =
i =
dq A d ( Cu AB ) du = = C AB d t d t d t
3.a.Tension u AB à la décharge : la tension étant continue aux bornes du condensateur on a u AB (0 ) = u AB (0 ). Or u AB (0- ) = uPN = 6,0 V : en effet, d’après la loi d’additivité des tensions, on a uPN = u AB (0- ) + u BN ( 0- ) ; le condensateur étant complètement chargé à la date 0 ( cf énoncé ), la tension u AB (0 ) ne varie pas à cette date, donc +
i(0 ) = C
d u AB d t
-
( t = 0- ) = 0 A. Il en résulte que d’après la loi d’Ohm : u BN ( 0- ) = R i(0-) = 0 V. On en déduit donc
bien que u AB (0 ) = uPN = 6,0 V . d’où, en tenant compte de la continuité de u AB , u AB (0+) = u PN = courbe dont l’ordonnée à l’origine est 6 est donc la courbe C qui représente la tension u AB à -
l’axe des ordonnées du graphe C est gradué en volts. 3.b. Tension u AB à la charge
6,0 V. La seule la décharge et
Le condensateur étant initialement déchargé, on a u AB(0+) = 0 V ( date t = 0+ = début de la charge ). La
la charge correspond donc à la courbe A ( axe des ordonnées en V )
tension u AB à
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RC
3.c. Intensité i à la charge + + + La loi d’additivité des tensions appliquée au début de la charge (t = 0 ) donne : uPN = u AB (0 ) + u BN ( 0 ). Or + + + + u AB(0 ) = 0 V. Donc u BN ( 0 ) = uPN = 6,0V. On en déduit d’après la loi d’Ohm : i(0 ) = u BN ( 0 )/ R = 6,0/2000 = -3 + 3,0.10 A. C’est donc la courbe B qui correspond à i. ( axe des ordonnées gradué en A ) . 3.d. Intensité i à la décharge : pendant la décharge, la tension aux bornes du dipôle RC est nulle. Donc + + + u AB (0 ) + u BN ( 0 ) = 0. On en déduit que u BN ( 0 )= - 6,0 V. +
+
-3
D’après la loi d’Ohm, on a i(0 ) = u BN ( 0 )/ R = -6,0 / 2000 = - 3,0.10 A. La courbe D correspond donc à l’intensité i lors de la décharge ( axe des ordonnées gradué en A ).
u AB ( V)
4. Déterminons la constante de temps par la méthode de la tangente à l’origine en utilisant la courbe u AB(t) à la charge par exemple. On lit graphiquement la constante de temps : t = 0,36 s. On en déduit C = τ / R. D’où : C = 0,36 / 2000 = 1,8.10-4 F. τ
Corrigé de l’exercice 3 Décharge d’un condensateur dans une résistance : établissement de l’équation différentielle ; dissipation d’énergie. 1.
q A(0) = C.uC (0) = 200.10 .6,0 = 1,2.10-3 C
2.
E (0) =
-6
1 C u 2(0) = 1 200.10-6 .6,02 = 3,6.10-3 J = 3,6 mJ. c 2 2
3. La tension aux bornes du dipôle RC est nulle à la décharge. On en déduit, d’après la loi d’additivité des tensions, qu’à tout instant : uC + u R = 0 d uc d t
4.
On montre facilement ( cf cours ) que : i = C
5.
Equation différentielle : En utilisant la loi d’Ohm
u R = R.i, la relation i = C
d uc et la loi d’additivité des d t
tensions uC + u R = 0 , on obtient : uC + R.C .
6.
d uc = 0. d t
Traduisons que la fonction uC (t ) = A exp ( - t / τ ) est solution de l’équation différentielle.
Calculons pour cela la dérivée de uC :
d uc = - A exp ( - t / τ ) . Ce qui donne en remplaçant la dérivée par son d t τ
(τ
expression dans l’équation différentielle : A exp ( - t / τ ) + R.C - A exp ( - t / τ) = 0. On en déduit que quelque soit t : A ( 1- R.C ) exp ( - t / τ ) = 0. Deux possibilités :
τ
A = 0 : ce qui donne uC = 0 quelque soit t , solution qui correspond à un condensateur non chargé initialement : c’est donc une solution inacceptable dans le cas présent.
1 - R.C = 0 : ce qui donne
τ
= R.C
condition initiale On a donc uC (t) = E exp ( - t / R.C ) -6 7. = R.C = 2000 x 200.10 = 0,4 s. En tenant compte de la
8.
uC (0) = E , on obtient A = E.
La relation intensité tension pour un condensateur en convention récepteur donne : i(t) = C.
d uc = - E exp ( - t / R . C ) . On en déduit : i(t) = - E exp ( - t / τ ) . d t R.C R
d uc . d t
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6,0 = - 3,0.10-3 A = - 3,0 mA. Le signe négatif de l’intensité à i(0) = - E = 2000 R la date t = 0 montre que le courant de décharge circule dans le sens opposé au sens + choisi sur le circuit ( cf figure ci-contre ). 9.
RC
sens du courant de décharge
10. uC (t) = E exp ( - t / RC ). Donc uC (t) tend vers 0 V quand t tend vers l’infini. i(t) = - E exp ( - t / τ ) . Donc i(t) tend également vers 0 A quand t tend vers l’infini. R
11. uC (t)
i(t) t
E = 6 V
t
- 3,0 mA
Au passage par la date t = 0 s, la fonction uC (t)
est continue
+
-
uC (0 ) = uC (0 ) = 6,0 V :
Au passage par la date t = 0, la fonction i(t) est par contre discontinue i(0- ) = 0 et i(0+) = -3,0 mA (i(0- )
≠
+ i(0 ) ).
12. L’énergie emmagasinée par le condensateur à la date t = 0, a pour expression : 2 (0) = 1 200.10-6 x 36 = 3,6.10-3 J = 3,6 mJ. E C (0 ) = 1 C uC 2 2 Lorsque t tend vers l’infini, l’énergie emmagasinée tend vers 0 J car uC tend vers 0 V ( question 10 ) : la décharge est alors terminée. Donc l’énergie dissipée est égale à E C (0) - E C ( ∞ ) = 3,6 mJ. On peut expliquer la continuité de uC à la date t = 0 s de la façon suivante : la dissipation d’énergie ne peut être instantanée car la puissance dissipée serait infinie. Donc l’énergie emmagasinée ne peut subir de discontinuité, il en est donc de même de la tension uC car E est proportionnelle à uC 2.
Corrigé de l’exercice 4 Décharge d’un condensateur dans un autre condensateur 1.
A la fin d e la charge la tension aux bornes du condensateur 1 vaut uG . On en déduit : -6
-5
Q1 = C 1 uG = 1,0.10 x 12 = 1,2.10 C.
2 = 0,5 x 1,0.10 -6 x 122 = 7,2.10-5 J L’énergie emmagasinée est : E1 = 1 C 1 u G 2 2.a. Comme il n’y a pas de fuites de charges électriques, on peut écrire Q1 = Q’ 1 + Q’2 où Q’1 et Q’2 sont les charges électriques portées par 1 et 2 dans l’état d’équilibre électrique final atteint à la fin de la décharge. En tenant compte du fait que Q’1 = C 1 U et Q’2 = C 2 U , on obtient : Q1 = C 1 U + C 2 U = ( C 1 + C 2 ).U. On en déduit que : U= -6
2.b. On en déduit : Q’1 = C 1 U = 1,0.10
Q1 C 1 +C 2
x 3,0 =
= 1,2.10-5 / ( 4,0.10-6 ) = 3,0 V
3,0.10-6 C et Q’ 2 =
Q1 - Q’1 = 1,2.10 - 3,0.10 = 9,0.10-6 C. -5
-6
2.c. L’énergie emmagasinée par l’ensemble des deux condensateur dans l’état final est : 2 + 1 C u 2 E = E’ 1 + E’2 = 1 C 1 u G 2 2 2 G
2 = 0,5.x 4,0.10-6 = 2,0.10-6 J = 1 ( C 1 + C2 ).u G 2
3. On constate que E est inférieur à E 1. Il y a donc perte d’énergie lors de la décharge du condensateur. Cette perte d’énergie est due à une dissipation d’énergie par effet joule dans les fils de connexion qui relient 1 et 2.
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Corrigé de l’exercice 5 Etude énergétique de la charge d’un condensateur 1.1. C’est la relation intensité-tension en convention r écepteur pour le condensateur : i = C 1.2. P(t) = uC (t ).i(t ) relation vue en 1 1.3. E e(t ) =
t
∫ 0
P ( t ') d t ' .=
d uc Or uc (t ' ) . = d t '
d 1 uc2 2 dt'
t
∫ 0
ière
d uc d t
S et valable en régime variable.
uc ( t ').i(t ') d t ' =
. On en déduit E e(t ) =
t
∫ 0
uc ( t '). ( C
d 1 uc2 d t ' = C . . 2 0 dt '
∫
t
On en déduit que : E e(t ) = 1 Cuc2(t ) - 1 Cuc2(0) = 2 2 déchargé ).
t
duc ) d t ' = dt
1 Cu 2(t ) c 2
∫ 0
C . uc ( t ').
duc d t ' . dt
1 2 t d 2 C uc t d t ' = 1 Cuc2(t ') 0 0 2 dt '
[
∫
]
car uC (0) = 0 V ( le condensateur est initialement
2.1. La courbe a correspond à uc(t) car c’est la seule courbe croissante à partir de la valeur 0 ( état initial déchargé) tendant vers une valeur asymptotique ( charge complète du condensateur ). La courbe c correspond à i(t) car c’est la seule courbe pour laquelle l’ordonnée à l’origine est maximale : en effet, à la date t = 0, la pente de la courbe uC (t) étant maximale, i (0) = C
b représente les variation de Unités sur l’axe des ordonnées de la courbe i(t). Par élimination la courbe
d uc (0) est maximale. d t
P.
Calculons i(0). A la date t = 0 ( début de la charge ), la loi d’additivité des tensions s’écrit : uC (0 ) + u R(0) = uPN .. En tenant compte que uC (0 ) = 0 V ( condensateur déchargé à la date t = 0 , on en déduit : u R(0) = uPN . Que vaut uPN ? Pour le trouver, on raisonne de la façon suivante : au bout d’un temps suffisamment long u R = 0 ( car i = 0 A graphique c ) et uC = uPN - u R = uPN = 4,0 V ( d’après la loi d’additivité des tensions et par lecture graphique sur la courbe a ). On en déduit que u R(0) = 4,0 V. D’après la loi d’Ohm i (0) = u R (0) / R = 4,0 / 2000 = 2,0.10-3 A = 2,0 mA.
L’axe des ordonnées est donc gradué en mA. Unités sur l’axe des ordonnées de la courbe P(t)
La courbe P(t) passe par un maximum à la date t = 0,5 s . P(0,5 s) = uC (0,5 s). i(0,5 s). Par lecture graphique sur les courbes a et c, on obtient uC (0,5 s).= 1,8 V et iC (0,5 s ) = 1,12 mA .On en déduit : P(0,5) = 1,8 x 1,12 = 2,0 mW. L’axe des ordonnées donc gradué en mW.
u c (t)
P(t) en
en V
mW
i(t)
en mA i ( 0,5 s ) = 1,12 V )
u c ( 0,5 s ) = 1,8 V )
=08s
t = 0,5 s
temps (s) 2.2. L’énergie emmagasinée à la date t = 2 s est l’intégrale définie de la fonction P(t) entre les dates 0 et 2 s. Elle peut être déterminée graphiquement en calculant l’aire sous la courbe P(t) entre les abscisses t = 0 et t = 2 s ( aire hachurée sur la graphe b. 2.3. La constante de temps peut-être déterminée graphiquement :
soit par la méthode de la tangente à l’origine sur le graphe uci(t) ou sur le graphe i(t).
soit par la méthode du 63 % sur la courbe uC (t) ou par la méthode du 37 % sur la courbe i(t).
Par lecture graphique on peut lire
τ
= 0,8 s sur la courbe
a. Ce qui correspond bien à la valeur théorique :
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-6 R.C = 2000 x 400. 10 = 0,8 s. 3.1 P(t) étant la dérivée de E e(t), elle représente le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse t à la courbe E e (t). On a tracé sur le graphe E e(t) diverses tangentes à la courbe et l’on constate que lorsque t croît à partir de 0 , le coefficient directeur de la tangente croît à partir de la valeur 0, passe par un maximum pour t = 0,5 s ( tangente en pointillés sur le graphe ci-après) puis décroît jusqu’à tendre vers 0 pour des valeurs suffisamment élevées de t . Les variations analysées sont donc tout à fait en accord avec le graphe P(t), ce qui justifie son allure.
τ =
3.2. La valeur de l’énergie emmagasinée lorsque la charge est terminée est la valeur asymptotique de E e(t) que l’on peut lire graphiquement sur l’axe des ordonnées : Ee (finale )= 3,3 mJ. 3.3. L’énergie finale emmagasinée a pour expression E e (finale )= 1 Cuc2( finale) avec uc(finale ) = 4,0 V. 2
Numériquement : E e (finale ) = 1 400.10−6 x 4,02 = 3,2.10-3 J. Les deux valeurs sont très voisines ce qui cohérent. 2
Ee (finale
) = 3,3 mJ
Correction de l’exercice 6 tension triangulaire aux bornes d’un condensateur
voie 2
1. La masse M du montage est à la jonction du conducteur ohmique et du condensateur ( cf figure ). La connexion à la voie 2 permet de visusaliser la tension uC , mais par contre la connexion à la voie 1 visualise la tension - u R : il faut donc inverser la voie 1 pour visualiser u R représentée sur le schéma. 2. ).
La relation entre i et u R est u R = R i ( loi d’Ohm en convention récepteur
3. La tension u R i du courant. 4.
q -q
M
visualise au coefficient multiplicatif 1/ R près l’intensité
La relation entre i et uC est : i(t) = C.
d uc . ( relation charge-intensité d t
qu’il faut savoir démontrer à partir des relations charge-intensité ( i = de la relation charge-tension ( q = C.u ). 5.1. Dans l’intervalle de temps [T 1 ; T 2 ], la tension uC est une fonction affine de t.
voie 1 inversée
dq ) et d t
+2,3 DIV 2,4 DIV
0,5DIV
d uc 5.2. est le coefficient directeur de la droite d t représentative de uc(t) dans l’intervalle [T 1 ; T 2 ]. En observant la figure et en tenant compte de la sensibilité verticale sur la voie 2 ( 2V/DIV ) et de la sensibilité horizontale ( 1ms/DIV), on obtient : (2,3 -(-2,3 )) x 2 d uc = 3,8.103 V.s-1 = d t 2,4 x 10-3
-2,3 DIV
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RC
d uc est également d t est un segment de droite parallèle à
5.3. Dans l’intervalle de temps [T 1 ; T 2 ], La dérivée de uC étant constante, l’intensité i= C. constante et il en est de même de u R = R.i, ce qui explique que le graphe u R l’axe des temps.
u 0,5 (DIV)x ( 0,5 V/DIV) -4 5.4. D’après la loi d’Ohm : i = R = = 2,5.10 A = 0,25 mA. 3 R 1,0.10
5.5. C =
i
d uc d t 6.
i= C.
d uc d t
2,5.10-4
=
3,8.103
=
0,66.10-7 F = 66 nF
change de signe après T 2, car
d uc d t
change brutalement de signe à la traversée de la date T 2.
Corrigé de l’exercice 7 Tension en créneaux appliquée à un dipôle RC 1.
Connexions ( cf figure ).
2.1. Le condensateur se chargeant pendant l’intervalle de temps [0, T/ 2 ], la charge q augmente et il en est donc de même de uC . La loi d’additivité des tensions donne : ue = uC + uS = cste dans [0, T/ 2 ]. Donc uC augmentant, uS = R .i doit diminuer et tend vers 0 ( car uC tend vers ue ) , donc i diminue au cours du temps dans [0, T/ 2 ] et tend vers 0 A
voie 1 uC
q
voie 2
uS(0) = ue (0) - uC (0). Le condensateur étant initialement déchargé, on a uC (0) = 0. Il en résulte que uS(0) = ue (0) = 5,0 V
2.2.
τ
3
-9
-5
= R.C = 2,2.10 x 10.10 = 2,2.10 s . -3
La période T = 1/ f = 10 s. On en déduit :
τ T 2
2,2.10−5 =
5.10−4
4,4.10-2
On en déduit que T/ 2 ≈ 22 τ .. On en conclut qu’au bout d’une demipériode T / 2, le condensateur est complètement chargé ( T/ 2 > 5 τ ) 2.3. On en déduit l’allure de uS(t) dans [0, T/ 2 ] uS(t)
t T/2
T
3.1. La loi d’additivité des tensions donne : ue (T/ 2+ ) = uC (T/ 2+ ) + uS (T/ 2+ ) = 0 V. On en déduit que : +
+
+
-
uS (T/ 2 ) = - uC (T/ 2 ). La continuité de uC donne uC (T/ 2 ) = uC (T/ 2 ) = 5,0 V.
On en déduit que : uS (T/ 2+ ) = - 5,0V < 0. D’autre part, comme le condensateur se décharge dans l’intervalle de temps [T /2 ; T ]., uC diminue et sachant que uS (t ) = - uC (t ), il en résulte que uS augmente dans l’intervalle [T /2 ; T ]. 3.2. Voir schéma complété ci-avant. Qui se déduit de la question 3.1.
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RC
3.3. et 3.4. uS(t)
5V
T
T/2
2T
4T
3T
t
- 5V uC (t)
t
B.
On ferme l’interrupteur K
La diode est supposée idéale ce qui signifie qu’elle se comporte comme un fil sans résistance lorsqu’elle est passante ; 4.
La diode est bloquée si uS (t) > 0 V. La diode est passante si uS = 0 V.
Pour 0 < t < T/2 on a ue = 5,0 V et uS > 0 V: la diode est bloquée et se comporte comme un interrupteur ouvert. La tension uS présente donc les mêmes variations que dans le circuit du paragraphe A. Pour T/2 < t < T ue = u R + uC = 0 V ( le dipôle RC est alors en court-circuit ) et uC étant positif , u R ne peut être que négatif : la diode est donc passante et, comme elle est idéale, la tension à ses bornes est nécessairement nulle et donc la tension uS = 0. On a alors une tension uS dite redressée dont les variations sont données ci-après sur l’intervalle [0, 4T ]. uS(t)
T
2T
3T
t
4T
Exercice 8 : stockage d’énergie : le flash électronique 1. 100 éclairs d’intensité lumineuse et de durée maximale, correspondent à une énergie emmagasinée de 3 18/2 = 9,0 kJ. Un éclair d’intensité et de durée maximale libère donc une énergie de 9,0.10 / 100 = 90 J si l’on suppose que l’énergie emmagasinée par le condensateur est intégralement transformée en énergie lumineuse. 2.
L’énergie E emmagasinée par le condensateur sous une tension U vaut : E = 1 C U'2 .On en déduit : 2 C = 2 E / U’2 = 2 x 90 / 300 2 = 2,0.10-3 F = 2,0 mF La constante de temps
τ
4.
D’après la relation
-3 3 R.C, on déduit : R = τ / C = 2,2 / (2,0.10 ) = 1,1.10 Ω = 1,1 k Ω.
τ =
du circuit de charge est telle que 5
τ
= 11 s. D’où
= 11/5 = 2,2 s.
3.
Exercice 9 : principe de fonctionnement d’une minuterie I – Étude du circuit RC 1. Pour les connexions voir schéma. 2. D'après la loi d'additivité des tensions: E = u AB + u BD Soit : E = u R + uC Loi d'Ohm: u R = R.i
A K
i(t)
+
E –
voie 1
R
q(t) P
C
B uC
M
L
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RC
Orientons le circuit ( cf schéma ) et écrivons les diverses relations du condensateur en convention récepteur. Les relations du condensateur s’écrivent : i =
dq dt
(relation charge intensité )
La combinaison des deux relations précédentes donne : i =
d (C .uc (t )) dt
; q = C.uC (t) (relation charge-tension )
. Ce qui donne i = C .
constante ). En tenant compte de la loi d’additivité, on obtient : E = R.C .
duc (t ) dt
duc (t ) ( car C est une dt
+ uC (t) , équation différentielle de la
charge du condensateur.
3.a.
uC (t) = A (1 – e
–t/ τ
–t/ τ
) = A – A.e
différentielle. Il vient : E = R.C . A .e
La dérivée de uC s’écrit : –t/ τ
τ
+ A – A.e
–t/ τ
–t/ . On obtient : ( E – A ) + ( A - AR.C )..e τ = 0 quelque soit t .
τ
Pour que cette égalité soit vérifiée, il faut et il suffit que : A = E de 0 ) . On obtient donc :
duC (t ) –t/ = A .e Insérons, ces expressions dans l'équation τ dt
RC et A ( 1 - R.C ) = 0 soit = 1 ( car A est différent τ
= R.C
3.b. L'équation différentielle établie est : E = R.C . En régime permanent, uC (t) est constante, donc
duc (t ) + uC (t). dt
duc (t ) = 0. Il vient E = uC (t). dt
Donc uC = 30 V.
3.c. τ est appelée constante de temps. Analyse dimensionnelle : loi d’Ohm R = [R×C] =
[U ] [Q] [Q] = [ I ] [U ] [ I ]
τ
. Or I =
Q
U I
Relation charge tension : C = Soit
soit [I] = [Q].[T] . D’où : [R×C] = [T] . RC est –1
Δt
donc homogène à un temps.
s'exprime en secondes (s). 4.
U l
= 20 V
Régime transitoire
t à = 22 s
5. τ = R.C τ = 100×103 × 200×10–6 = 20,0 s
Régime permanent
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6.a. La date
DIPOLE
t o est définie par la relation : uC (t 0) = U l = E .( 1– e
Il en résulta que : e
−t o / τ = 1 – U l = E −U l E
6.b. Application numérique :
E
t 0 = 20,0 × ln
−t o / τ ) On en déduit : U l = 1 – e−t o / τ E
t Il vient : o = ln
τ
⎛ 30 ⎞ ⎜ ⎟ − 30 20 ⎝ ⎠
=
RC
⎛ ⎞ ⎜ E ⎟ ⎜ E −U ⎟ ⎝ l ⎠
⎛
⎞ ⎟ ⎜ E −U ⎟ l ⎠ ⎝
. ln ⎜ E
. D’où : t0 =
22 s Graphiquement, on vérifie que pour
t = t 0 on a bien
uC = U l. ( cf construction sur le graphe ci-avant ). 6.c. D'après le graphe de uc(t), uc varie « très peu » dans la partie où t0 >> τ. La comparaison entre uc et U l devient imprécise, ainsi l'allumage de la lampe n'aura pas la même durée à chaque fois. 7. t 0 étant proportionnel à τ, si l’on augmente R ou C , alors τ augmente. La durée d'allumage de la lampe augmente.
Constante de temps d'une minute: τ = R.C soit R = τ C
R =
60
200.10−6
= 3.102 k
8.a) Lorsqu'on appuie sur le bouton poussoir, on court-circuite le condensateur (décharge instantanée), alors uC = 0 V. On a uC < Ul . Si la lampe est déjà allumée: la lampe reste allumée, et on a ainsi remis la minuterie à zéro. Si la lampe est éteinte, elle s'allume.
II –Méthode d'Euler 1.
L'équation différentielle établie est : E = RC.
duc (t ) = 1 . ( E – uC (t) ) RC dt
2.
Par hypothèse :
soit
duc (t ) = dt
duc (t ) duc (t ) + uC (t). On en déduit : E – uC (t) = RC . dt dt
1 × (30 − uC (t )) 20,0
Δuc (t ) uc (t + Δt) - uc (t ) duc (t ) . On en déduit – uC (t + = ≈ Δt Δt dt uC (t +
Δt
) = uC (t) +
duc (t ) . dt
Δt
) - uC (t) =
duc (t ) dt
.
Δt .
D’où :
Δt
3.
uC(2) = uC(0) +
⎛ duC (t ) ⎞ ⎜ ⎟ .Δt dt ⎝ ⎠0
uC(4) = uC(2) +
uC(2) = 0 + 1,50 ×2 = 3,00 V t (s) uC (t)
⎛ duC (t ) ⎞ ⎜ ⎟ dt ⎝ ⎠
0 0 1,50
2
4
3,00 1,35
⎛ duC (t ) ⎞ ⎜ ⎟ .Δt dt ⎝ ⎠2
uC(4) = 3,00 + 1,35 ×2 = 5,70 V
5,70
6 8,14
8 10,3
10 12,3
12 14,1
… …
20 19,6
1,22
1,09
0,99
0,89
0,80
…
0,52
1 ⎛ duC (t ) ⎞ × (30 − uC (2)) ⎜ ⎟ = ⎝ dt ⎠2 20,0 1 ⎛ duC (t ) ⎞ × (30 − 3,00) = 1,35 V.s –1 ⎜ ⎟ = ⎝ dt ⎠2 20,0
1 ⎛ duC (t ) ⎞ × (30 − uC (4)) ⎜ ⎟ = ⎝ dt ⎠4 20,0
1 ⎛ duC (t ) ⎞ × (30 − 5,70) = 1,22 V.s –1 ⎜ ⎟ = ⎝ dt ⎠4 20,0
10/10
CORRIGE EXERCICES TS
DIPOLE
RC
3.
La courbe tracée en utilisant la méthode d'Euler est assez proche de la courbe expérimentale. Les valeurs calculées sont cependant légèrement supérieures aux valeurs expérimentales.
Courbe obtenue par la méthode d’Euler
4. Pour améliorer la précision de la méthode d'Euler, il faut diminuer la valeur du pas t, mais cela présente l'inconvénient de devoir faire plus de calculs.
